Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

ANÁLISIS
MATEMÁTICO 1

R. FICUEROA C.

CBBE d ic io n e s LIMA - PERÚ

ANÁLISIS M ATEM ÁTICO 1

SEGUNDA EDICIÓN

E nero 2006

© Im preso en E diciones
Jirón Loreto 1696 B reña - Telefax 423-8469

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Lim a - Perú

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RAZÓN SOCIAL: RICARDO FIGUEROA GARCÍA

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Este libro no se puede reproducir total o parcialm ente
por ningún m edio electrónico, m ecánico o fotocopia u
otros m edios sin el previo y expreso perm iso del autor.

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Prólogo

Esie es un libro para un curso corto de Análisis Matemático dirigido para estudiantes
cuyo interés primordial radica en la ingeniería, las ciencias físicas y m atem áticas, economía
y ciencias administrativas. Su propósito es el de proporcionar una exposición asequible y
flexible que cubra los temas más importantes del Cálculo Diferencial de una variable, tan
sencilla y claramente como sea posible, de modo que sea adecuada a la experiencia y madurez
del estudiante

Entre los temas que contiene el libro y que tienen importantes aplicaciones en las áreas
antes mencionadas están ios siguientes. El primer capítulo contiene algunos temas de revisión
y preliminares para el estudio del Análisis M atem ático: F U N C IO N E S . A quí se presenta en
fonna completa las técnicas para hallar el dom inioy el rango. así como la construcción de sus
gráficas, tanto algebraicas como trascendentes. Las funciones como modelos matemáticos de
situaciones prácticas que aparecen a lo largo del texto se introducen primero en la Sección 1.7
donde se dan sugerencias de como obtener dichas funciones paso a paso.

El segundo c a p ítu lo , que trata sobre L I M I T E S , es q u iz á , el m ás im portante de los
capítulos que contienen el libro , pues sirve de punto de partida para iniciar el estudio del
Análisis M atem ático. Primero se introducen una serie de conceptos relacionados con puntos
de acumulación y vecindades , para luego conducir al estudiante a una definición rigurosa del
límite en términos de intervalos abiertos como vecindades . Las demostraciones de los teore­
mas básicos sobre límites son relativamente sencillas cuando se formulan empleando vecinda­
des y la abundancia de ejem plos perm iten al estudiante comprender realmente cada demostra­
ción .

Los otros dos capítulos siguientes : CONTINUIDAD y DERIVADA son práctica­
mente una extensión del segundo capítulo, pues cada uno de estos temas se definen a base de
límites.

En el capítulo 5 se hace un estudio amplio sobre las A P L IC A C IO N E S D E L A S D E ­
RIVADAS que implican máximos y mínimos así como el trazado de gráficas de funciones,

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IV Prólogo
problemas de optimización y aproximaciones del cálculo de raíces de una ecuación por el
método de N ew ton.

En el capítulo 6 se tratan las E C U A C IO N ES PA R A M ÉTR ÍC A S , su derivada y
aplicaciones . En el capítulo 7 se establecen métodos para calcular límites que toman diversas
FO RM A S IN D ETERM IN A D A S por laregladeL 'H ospital y la aplicación de la Fórmula de
Taylor para aproximaciones polinom iales.

En todos estos capítulos , una atención especial se presta en los ejemplos concretos ,
aplicaciones y problemas que sirvan tanto para clasificar el desarrollo de la teoría como para
demostrar la notable versatilidad del Cálculo en la investigación de importantes cuestiones
científicas.

Para guiar al estudiante se dan una variedad de aplicaciones, esencialmente por medio
de ejercicios, los cuales recomiendo se resuelvan progresivamente , tuda vez que en la selec­
ción de los mismos , he tenido cuidado en considerar el grado de dificultad . M uchos ejerci­
cios contienen sugerencias de carácter instructivo y las respuestas de la mayoría se encuentran
al final del libro

Aprovecho la oportunidad para expresar mi agradecimiento a la Editorial AM ÉRICA
cuyo personal no ha escatimado esfuerzos para resolver las dificultades inherentes a la publi­
cación del tex to . A sim ism o, una mensión especial de gratitud va dirigida a la Señorita Abilia
Sánchez Paulino, por su dedicación y abnegada labor de diagramar gran parte del manuscrito.
Creo que su excelente colaboración ha sido inestimable .

El autor

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Contenido

F U N C I O N E S ______________________________________________

1.1 In tro d u c c ió n ------------------------- — , — - ........................ j
.

1.2 Definición de función ------------------ .---------------------------------- 2

1-3 Evaluación de una función ------------ 4

1.4 Gráfica de una función ............. ........... '— - — ........... - .............. .— • 6

1.5 Determinación del dom inio de una función — ------------------ 13

1.6 Determinación del rango de una f u n c ió n . - - .................- — - - - 17

1.7 Funciones com o m odelos matemáticos — .....................— - ............... 18

1.8 Funciones especiales

Definición 1.5: F u u c ió ru d e n tid a d .................................................... 23

Definición 1 .6 : Función c o n s ta n te ........................................... 23

Definición 1.7 Función lineal — - ..................... ........... - • 24

Definición 1.8: Función c u a d r á tic a .................................... 26

Definición 1.9 Función raíz cuadrada ................ 31

Definición 1.10: Función p o lín ó m ic a ----------------------- -35

Definición 1.11: Función r a c io n a l....................... 36

Definición 1.12: Función seccionada ............... 37

Definición 1.13 : Función escalón unitario -• - 40

Definición 1.14 : Función signo - - 41

Definición 1.15 : Función valor a b s o l u t o ............................................. 42

Definición 1.16: Función máximo entero ................................. 49

Definición 1.17: Función par - -- 58

Definición 1.18 : Función impar — .......................... 61

Definición 1.19: Función periódica - — ................ 63

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VI Contenido

1.9 A lgebra de las f u n c io n e s ------------------------------------------------------------- 73

1.10 Com posición de f u n c io n e s ----------------------------------------------------- 83

1.11 Funciones crecientes y decrecientes --------------------------------------------- 94

Definición 1.23 : Función in y e c tiv a - 96

Definición 1.24 : Función sobreyecó va — .................................. 100

Definición 1.23 : Función b iy e c tiv a ------------------------------------ 101

1.12 Función inversa -------------------------------------------

1.12.1 Propiedades de las funciones inversas -------------------------------------------104

1.13 Función longitud de arco ------------------------------------------------------------ 115

1.14 Las funciones trigonom étricas — ---------------------------- 116

1.14.1 Propiedades de las funciones trigonométricas ------------------------------ 119

1.14.2 Gráficas de las funciones trigonom étricas ........................................... 123

L IM IT E S _____________________________________________£?

2.1 Introducción ---------------------------------------------------------- 139

Definición 2.1 : Vecindad de un número r e a l ................- .........................139

Definición 2.2 : Punto de a c u m u la c ió n .....................................................140

Definición 2.3 : Conjunto a c o t a d o ................- ......................................... 142

Definición 2.4 : Función a c o t a d a ------------------------------------------------143

2.2 Noción de lím ite de una función --------------------------------------------------- 145

Definición 2.5 : Función acotada de una vecindad N ---------------------- 147

2.3 El lím ite de una f u n c i ó n .............................. - 149

Definición 2.6: Una definición rigurosa del lím ite ---------------- 151

2.4 Teoremas sobre l í m i t e s ................................................. - .................. 167

2.5 Lím ite de una función in te r m e d ia -------------------------------------------------- 177

2.6 Técnicas para evaluar el límite de una función — ................................ 182

2.7 Lím ites la t e r a l e s ................................- --------------------------------- 202

2.8 Lím ite de las funciones trig o n o m é tric a s ....................................- ...............216

2.9 Lím ites al i n f i n i t o - ........... - ........................................... 236

2.10 Límites in fin ito s .....................— ------------------------- 252

2.11 Lím ites infinitos en i n f i n i t o ----------------------------------------------------------261

2.12 Asíntotas y su uso en las representaciones g r á f ic a s ------------------------- 269

2.13 Las funciones exponenciales y lo g arítm icas ...................................285

D efinición 2.21 : L a función p o te n c ia ........................................ 285

Definición 2.22 : Función exponencial de base a ....................................286

Definición 2.23 : Función logarítm ica de base a ---------------------------- 287

2.14 El número e ---------------- 1 ------------------------------------------------------------292
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Contenido VII

2.14.1 Propiedades de los límites exponenciales y lo g a rítm ic o s --------------------297

2.14.2 L ím iíesdelaform a: lim [/(jc ) =L - .................. 298
x-*a

Q j C O N T IN U ID A D ______________________________________

3.1 Introducción ................... - .............................. 307

Definición 3.1 : Continuidad en un p u n t o ------------------------------------- 308

Definición 3.2 : Definición ( e - 8) d e la c o n lin u id a d ----------------------- 309

Definición 3.3 : Definición en términos de vecindades - ............ 309

Definición 3 .4 : Condiciones de c o n tin u id a d ------------- 309

3.2 Puntos de D isc o n tin u id a d ................................ 315

Definición 3.5 : Discontinuidad e v i t a b le ---------------------------------------315

Definición 3.6 : Discontinuidad inevitable --------------------------------316

3 3 Continuidad lateral --------------------------------------------------------------------- 324

3.4 Composición de funciones c o n tin u a s --------------- 326

3.5 Continuidad en intervalos ------------- 329

3.6 Funciones acotadas -------------------------------------------------------------------- 341

3.7 Propiedades fundamentales de las funciones c o n tin u a s ---------------------- 349

L A D E R IV A D A ______________________________________ £

4.1 Introducción ------------------------------------------------------------------------------ 363

4.2 In c re m e n to s .................. - ------------ 363

Definición 4.1 : Increm ento de una función -------- 364

4.3 Tangentes a una c u r v a ------------------------------------- 364

Definición 4 .2 : Pendiente de la t a n g e n te --------------------------------------- 365

4.4 Derivada de una función en un p u n t o --------------- 367

Definición 4.4 : Form a alternativa de definir / ’(■*).................... 367

D efinición 4.5 : L a función d e r i v a d a ----------------------- 369

4.5 Derivabilidad y continuidad --------------------- - ............ .. 371

4.6 Reglas básicas de derivación ............................... - ............... — 382

Teorema 4 .2 : Regla de la c o n sta n te ------------- 382

Teorema 4 .3 : Regla de la p o te n c ia --------------- 382

Teorema 4 .4 : Regla del múltiplo constante ...................... 383

Teorema 4.5: Regla de la combinación lin e a l - .................... 384

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VIII Contenido

Teorem a 4 .6 : R egla del p r o d u c to ..............- ------------ 385

Teorema 4.7: Regla del re c íp ro c o .................................................. 386

Teorem a 4 .8 : Regla del cociente ---------------------- 387

4.7 R egla de la potencia generalizada - --------------------- 390

4.8 Derivada de una función c o m p u e sta ---------------------------------- 399

T eo rem a4 .1 0 : Regla de la c a d e n a ------------------------ 399

4.9 La derivada de una función i n v e r s a ---------------------------------------- - - - 401

4.10 Derivadas de orden s u p e r i o r .............. 409

4 .11 Derivación im p líc ita ----------------------------------------- 422

4.12 Derivación de las funciones tra s c e n d e n te s-------------- 428

Teorema 4.14: Derivadas de las funciones trigonométricas inversas 4 4 1

Teorema 4.17 : Derivada de una función logaritmo de base b -------------- 452

T e o re m a 4 .18 : D erivadade lafunción e x p o n e n c ia l-------------------------- 459

4 .1 9 : Derivada de la función exponencial n a t u r a l-------------- 459

Teorema 4 .2 0 : D erivadade la función exponencial p o te n c ia l------------- 460

4.13 A lgunos problemas sobre la t a n g e n te -------------------------------------------- 465

D efinición 4.6 : La recta tangente y a recta n o r m a l ------------------------- 465

Definición 4.7 : Tangente h o r iz o n ta l................ 466

Definición 4.8 : Tangente vertical ----------------------------------------------- 466

Definición 4.9 : Longitud de la tangente y n o rm a l ....................... 467

D efinición4.10: Angulo entre dos c u r v a s ----------------- 468

4.14 La derivadacom o razón de variación ----------------------------------- 478

Definición 4 .1 1 : Razón promedio de cam bio - ...........— --------------- 478

Definición 4.12 : Razón de variación instantánea -------------------------- 479

D efin ició n 4 .l3 : Intensidad relativa y razón porcentual ----------------- 481

4.15 M ovim iento r e c tilín e o -------------------------------------------------------- . . . . 482

Definición 4.14 : Velocidad prom edio e in s ta n tá n e a ----------------------- 483

D efinición 4.15 : L a aceleración in s ta n tá n e a --------------------------------- 485

4.16 Razones de variación relacio n ad as -------- 488

4.17 D ife re n c ia le s------------------------ 506

T eorem a4.2l : El tam año relativo de d y y Ay --------------- 508

4.17.1 Propagación de errores - ..............- ---------- 508

4.17.2 Aproximación lineal ------------------------------- 511

4.17.3 Propiedades de las d ife re n c iale s ........... 515

4.17.4 Diferenciales de orden s u p e r i o r ..................... 516

Definición 4.16 : Segunda d ife re n c ia l .......................... 517

4.17.5 Propiedades de las diferenciales de orden s u p e r io r ................. 518

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Contenido IX

1 0 ) A P L IC A C IO N E S D E L A D ER IV A D A ________________ £

5.1 Introducción -------------------------------------------------------------------------------523

5.2 Máximos y m ín im o s -------------------------------------------------------------------- 523

Definición 5.1 : Noción de extremos -------------------------------------------- 523

Teorema 5 .1 : El teorem a del valor e x tr e m o ----------------------------------- 524

Definición 5 .2 : Extremos relativos o l o c a l e s --------------------------------- 524

Definición 5.3 : Número c r í t i c o ................. 525

Teorema 5 .2 : Teorema del extremo in te r io r ----------------------------------- 526

5.3 El teorem a del valor medio y sus a p lic a c io n e s-----------------------------------530

Teorema 5 .3 : El teorem a del R o l l e --------------- 530

Consecuencias del Teorema de R o l l e --------------------------------------------- 531

Teorema 5 .4 : Teorema del valor medio (L a g ra n g e )------------------------- 537

Consecuencia del Teorema de Lagrange ------------- 538

Teorema 5 .5 : Teorema de C a u c h y .............................- ........................- - 5 4 5

5.4 Criterio para las funciones crecientes y decrecientes — ............................551

Teorema 5 .6 : Funciones crecientes y d e c re c ie n te s -------------------------- 551
5.5 El criterio de la prim era d e r iv a d a ----------------------------------------------------555

5.6 El criterio de la segunda d e r iv a d a ........................... — 556

Teorema 5 .8 : Criterio de c o n c a v id a d ------------------------------------------- 568

Teorema 5 .9 : Punto de inflexión ---------------------- 571

Teorema 5 .1 0 : El criterio de la segunda d e r iv a d a --------------------------- 574

5.7 Resumen de técnicas para graficar una fu n c ió n --------------------- 580

Gráfica de una función polinóm ica — ------------------- 580

G ráfica de una función racional ...................... 583

Gráfica de una función conteniendo un radical de índice p a r 589

Gráfica de una función conteniendo un radical de índice im p a r 59!
Gráficas de funciones s e c c io n a d a s ---------------------------- 594

Gráficas de funciones trascendentes --------------- 601
611
5.8 Problemas de optim ización ----------------

5.9 El método de N e w t o n ------------ 637

E C U A C IO N E S P A R A M É TR IC A S ____________________£

6.1 Curva p a ra m é tric a ----------------- 647

6.2 Derivación paramétrica ----------------------------------------------------------------655

6.3 Rectas tangentes a curvas p a ra m é tric a s ----------------- 656
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X Contenido

6.4 Derivación paramétrica de orden s u p e r io r ---------------------------------------- 662

6.5 Asíntotas en curvas p a ra m é tric a s ----------------------------------------------------666

6.6 Trazado de curvas p a ra in é tric a s ------------ 668

F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S ______________________

7.1 In tro d u c c ió n .................................. 677

7.2 Prim era regla de L’ H ospital: Forma 0 / 0 ---------------------------------------- 677

7.3 Segunda regla de L’ H o sp ital: Form a « A » .................. 684

7.4 Formas indeterminadas a d icio n a les --------------------------------------- 691

7.5 Las formas indeterminadas 0Ü, <»c , 1“ ................................................... - 694

7.6 Funciones h ip e rb ó lic a s --------------------------------------- 698

D efinición 7 .1 : Función seno h ip e rb ó lic o ------------ - ...............698

Definición 7.2 : Función coseno h ip e rb ó lic o .................... 698

7.6.1 Identidades h ip e rb ó lic a s ----------------------------------------------------------------701

7.6.2 Límites h ip e rb ó lic o s --------------------------------------------- 703

7 .6 3 Derivadas de las funciones hiperbólicas .................. - .............. 706

7.7 Funciones hiperbólicas in v e r s a s -----------------------------------------------------714

7.8 Derivadas de las funciones hiperbólicas in v e r s a s -------------------------------716

7.9 Fórm ula de Taylor y aproxim aciones p o lin o m ia le s ---------------------------- 723

Teorem a 7 .7 : Polinomio de Taylor de grado n - é s im o ..............................725

Teorema 7 .8 : Fórmula d e Taylor con resto de Lagrange ----------------- 727

R esp u estas a ejercicios p r o p u e s t o s ----------------- 738

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CAPITULO Preludio al
Análisis Matemático

FUNCIONES

f iT f ) IN TR O D U C C IÓ N

En el estudio de unos u otros procesos del mundo real (físicos, químicos, biológi­
cos, económicos, etc.) constantemente nos encontramos con unas u otras magnitudes que los
caracterizan y que cambian en el transcurso de los procesos analizados. A menudo ocurre que
la variación de una m agnitud va acom pañada por la variación de otra o incluso, aun m á s , la
variación de una magnitud depende de la variación de otra. Las variaciones relacionadas entre
sí de las características numéricas de las m agnitudes analizadas nos llevan a su dependencia
funcional en los modelos matemáticos correspondientes. Por esta razón , el concepto de fun­
ción es uno de los más importantes en la matemática y sus aplicaciones.

Por ejem plo, la relación entre el área de un círculo y radio puede ser expresado
por la ecuación S - nr2 , de modo que si escogem os a voluntad algunos valores de r (varia­
ble independiente) obtenemos un único valor de S (variable dependiente) para cada r esco­
gido , esto es , si

r = 2 e=> S = 4 r t ; r = 3 =» S = 97c ; r = 4 <=> S ~ 16rc ; r = 5 <=> S = 2 5 it; . . . (1)
Si designamos por A = { 2 ,3 .4 ,5 ,. . . } el conjunto de todos los radios escogidos y
B = ( 4 ;c , 9 r t , I 6tc , 2 5 í t , . .} el conjunto de todas las áreas correspondientes , y si
expresamos las magnitudes ( 1) como un conjunto de pares ordenados ( r , s) obtendremos una
relación funcional de S a través de r :

/ = {(2 , 47t ) , (3 , 9 i t ) , ( 4 , 16ít), (5 , 2 5 ít), . . . } c A x B
Es decir, esta correspondencia define una función de A en B.

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2 Capítulo I: Funciones

Í Í T l D EFIN ICIÓ N DE FU N CIÓ N

Sean A y B dos conjuntos no vacíos y sea / una relación binaria de A en B .esto es , /
c A n B . Entenderemos por función de A en B toda regla que asocia a un elemento x del
conjunto A exactamente un único elemento y del conjunto B. Diremos que y es la im agen d e*
m e d ia n te /. El D o m ( f ) ^ A , y su rango consta de todas las imágenes de los elementos x d e A.
Es decir:

/ es una función de A en B o para un x € A . 3 ! y € BI ( x . y) e /

(E JE M P L O "P) Sean los conjuntos A = { I , 2 ,3 ,4 } y B = {a ,& ,c} . Establecer cuál
de los siguientes esquemas constituye una función de A en B.

FIG U R A

11
S o lu ció n En el diagrama (1): / = { (I , a ) , (2 , a ) , (3 tb ) , (4 , b)} , donde Dom( /) = { 1 ,2 ,3 ,4 }

y Ran( /) = { a , b} * B . Luego / es una función de A en B , pues cada x e A está

relacionado con un único y e B . Obsérvese que no es necesario que R an(/) = B.

En el diagram a ( 2 ) : g = {(1 , a ) , ( 2 , c ) , ( 4 , b)} , donde Dom(g) = {1 , 2 , 4 } c A y Ran(g) =

{a , b , c} = B . Luego , g es una función de A en B aunquex = 3 € A no esté relacionado con

ningún y e B.

En el diagram a ( 3 ) : h = {(1 , a ) , ( l , b) , (2 , b) , ( 3 , c ) . ( 4 , c)} , no es una función de A

en B , pues si bien el Dom(/> = A . existe un x = I e A al cuál le corresponden dos imágenes:

y= a € B , y =¿€B . ■

[Frotación] Para denotar que / es una función de A en B se escribe
/ : A -»B

y se dice que: jc-> y = / W

“ y es la imagen de x m e d ia n te /”
“ y es el valor numérico de / en x "
“ y es el transformado d e x por la función / "

^O B SE R V A C IÓ N 1.11 U na función / es una aplicación de A en B si y sólo si / es un
existencia y unicidad: subconjunto de A x B que satisface las siguientes condiciones de

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Sección 1.2 : Definición de Junción 3

i) V x e A , 3 ! y e B |( x , > ) e /
ii) Si (x ,y ) 6 / a ( x , z) e / =* y = z

A sí, en el esquema (1) el Ejemplo 1, la función / es una aplicación de A en B porque todo el
conjunto A (conjunto d e partida) es el dominio de / , mientras que el Ran(_f) c: B (conjunto de
llegada).

( e j e m p l o 2 ) Sean A = {-2,-1 , 1, 3 , 4 , 8} y B = {-l , 0 , I , 2 , 3 ,4 ,5 } . H a lla rle
y de modo tal que el conjunto

/ = { ( - 2 ,4 ) , (3 . - I ) , (2x , -2y) , (3 x - 2y , 2 ) , (3 , x + 3 y ) , ( - 2 , x - 2 y ) , (-1 1)}
sea una aplicación de A en B.

Solución De la condición de unicidad de la Observación I . I se tiene

( - 2 ,4 ) e / a (-2 ,J t- 2y )e / 4= jc-2y (1)
(2)
(3 ,- 1 ) e / a (3 , x + 3y) e / «=* - l = j c + 3 y
■
La solución común del sistem a de ecuaciones (1) y (2) es : jc= 2 , y = -l
L u ego , / = {(-2 , 4 ) , (-1 , 3 ) , (3 , - 1) , (4 , 2 ) , (8 ,2 )} , de donde

Dom (/) = {-2,-1 ,3 ,4 ,8 } = A y Ran(/)= { - 1 ,2 ,3 ,4 } c B

Obsérvese que / transforma cada x e A en un elemento y del rango, entonces podemos decir que
/ transforma al conjunto A en el conjunto Ran(/) £ B , denominado conjunto de imágenes y
denotado por /( A ) . Por lo q u e , definimos :

i) Dom( /) = { j c e A | 3 ! y E B , y = /(* )} = A

ii) R an(/) = /(A )= {/(*) e BIx e A} c B es el conjunto imagen de Amediante /

OBSERVACIÓN 1.2En estelibro tratarem os con funciones del tipo / : A —>B . donde
real y denotaremos A c IR y B c [R, a las que llamaremosJunciones reales de variable

/ : (R -> IR
x —* y — f ( x)

Esto es : / = { (x , y) e IR x IR I y = f ( x ) }

o bien : / = { (* , /(*)) € IR * R Ix e D o m (/)}
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4 Capítulo l : Funciones

Según esta notación , si /(* ) es una función de * y *Qe D o m (/), la expresión /(* n) , ya lo hemos
dicho .significa la imagen de *(| o el valor numérico obtenido por /(* ) al sustituir * por x(). Por
esta razón siempre se deftne una función mediante una ley o fórm ula, llamada regla de corres­
pondencia , que permite calcular para cualquier * e D om (/) su imagen y = /(* ). En consecuen­
cia , una función queda completamente definida si se conocen

1. Su regla de correspondencia/(* )
2. Su dominio
P or ejem plo , sean los conjuntos A = {1 , 2 , 4} y B = {2 , 4, 8} y la función / : A —» JB I
/ = {(I , 2 ), (2 ,4 ) , (4 , 6)} . Si en / denotamos por* cualquier elemento de su dominio A ;
entonces la regla de correspondencia que nos perm ite hallar su correspondiente im agen es
/( * ) = 2* , de modo q u e , sim bólicam ente, podem os escribir

/ = { ( * , 2*>€ (Rx [R| * e A}

(T73J EVALUACIÓ N DE UN A FUN CIÓ N

Con frecuencia se describe una función por medio de una fórmula que especifique

como se calcula el número /(* ) en términos del número*. Por ejem plo, la fórmula :

f ( x ) = x 2+ 2 x - 5 , x e IR (1)

describe la regla de correspondencia de una función / que tiene como dominio el eje real.

La notación funcional tiene la ventaja de identificar claramente la variable dependiente como

/(x ) a la vez otorga un nombre a la fu n ció n . El valor de la función cuando* = * Mse denota

por /(* 0) y se lee “/ d ex ()" , se dice entonces que la función está valuada en *(l.

El símbolo / ( ) puede ser considerado como una operación que se va a ejecutar cuando se insene

un valor del dominio entre el paréntesis. Por ejem plo , la función definida por la fórmula ( l)

puede ser descrita como

/ ( ) = ( )2+ 2 ( ) - 5

con paréntesis en lugar de las x. Por tan to, si queremos ev a lu a r/(-4 ), colocamos sencillamente

-4 en cada paréntesis:

/(-4 ) = (-4)3 + 2(-4) - 5 = 1 6 - 8 - 5 = 3

No todas las funciones se definen por medio de una fórmula única. Por ejem plo, si escribimos

{*-’ - * + 1 , s i* > 1
._____
v i - * . si * < 1

tenemos una definición perfecta de una función. Algunos de sus valores son
/ ( 3 ) = (3)2 - (3) + I = 9 - 3 + 1 = 7
/(-3) = V i-(-3) = V i = 2

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Sección 1.3 : Evaluación de una Junción 5

E J E M P L O 3 ] Sea la función / = {(x , j t - 2 r + 3 ) e R x r | >■= /(* )} . H a lla r:
a) /( - O , b) m . c) /(2 ) , d) E = /(4 + h )h^(4 —

Solución Si x e ER <=> C*2- 2* + 3) e IR , luego, D om (/) = IR y Ran(/ ) = [R .
La regla de correspondencia d e / e s f(x)=x*~ 2x + 3 , por tanto, la función esta

bien definida.
Describimos la función com o / ( ) = ( )2 - 2 ( ) + 3 , entonces :
a) / ( - I ) - ( - 0 1 - 2 (-l) + 3 = I + 2 + 3 = 6 <=t> la imagen d e -1 es 6
b) /(O ) = (O)3- 2(0) + 3 = 0 - 0 + 3 = 3 e=> la imagen de 0 es 3
c ) /( 2 ) = (2)2 - 2(2) + 3 = 4 - 4 + 3 = 3 •=> la imagen de 2 es también 3
ó) /( 4 + h) = (4 + h)3 - 2(4 + h) + 3 y / ( 4 - h ) = (4 - h)2 - 2(4 - h) + 3

^ C = -K4 + h> - ^ 4 - h> _ 4 (4 )(h )-4 h ^ h(16 - 4) _ l2 u

E J E M P L O 4 ] Sea la función / : (R —» IR [f ( 2 x + 3) = 4xa - I x + 3, hallar la imagen d e x

Solución Hallaremos j( x ) por dos m étodos:
a) M étodo d el cam bio de variables. Sea u = 2* + 3 ■=> x = u ^

S i / ( 2 r + 3) = 4 ^ - 2 r + 3 t=^ / ( u) = 4 ( - ^ ) ‘ - 2 ( - ^ ) + 3 = u2 - 7u + 15

<=$■ f ( x ) = x 1- 7x + 15

b) Método directo. Consiste en describir la función en una forma adecuada escribiendo
paréntesis en lugar de las x , esto es
/ [ 2 (.. . ) + 3] = 4 ( . . ,)2 - 2 ( . ..) + 3

En los paréntesis se coloca xl2 para eliminar el factor 2 de 2x + 3

/ [ 2 ( f ) + 3 ] = 4(-§)’ - 2 ( f ) + 3 « /(* + 3) = ^ - x + 3 ■

Ahora describimos la función com o : / [ ( . . . ) + 3] = ( .. .)2 - ( . . . ) + 3
En los paréntesis se coloca x - 3 para eliminar el sumando 3 de ¿ + 3

f [ ( x - 3 ) + 3] = ( x - 3)2 - ( x - 3 ) + 3 =* /(* ) = ¿ - 7 x + 15

[E JE M P L O 5 ) S e a / : I R —»(R| /( V jc - 2 ) = 2 x * - x + 5 , hallar la regla de corresponden­
cia de / (V2 r + 1 ).

Solución Usaremos el método directo describiendo la función como
/(V T T 72) = 2 (...)M ...) + 5

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6 Capítulo I : Funciones

Si queremos conseguir 2x + 1 en el radical colocam os 2 x + 3 en el espacio punteado de cada
paréntesis, esto es

/ (V2* + 3) - 2 ) = 2(2x + 3J2 - (2x + 3) + 5 .=> /(V 2 x+ 1 ) = 8x ! + 22v + 20 ■

(EJE M P LO 6 ] Determ inar si el conjunto f = {(*2+ 2 , x) Ix e CR} es o no una función

Solución La regla de correspondencia d e / es /C *2+ 2) = x ■
S e a n * = 2 y x = -2 dos elementos d e ld o m in io d e /

Para x = 2 , f (4 + 2 ) = 2 « / ( 6 ) = 2 => ( 6 , 2 ) e /
x = -2 , / ( 4 + 2) = - 2 « / ( 6) = -2 => ( 6, -2) e f

D e la condición de unicidad : ( at , y) e / a (x , z ) e / t=> y = z , se sigue que
( 6 , 2 ) é / a (6 , - 2 ) e / >=> 2 = - 2

lo cual es falso , por tanto , / no es una función.

( 1 , 4 ) G R ÁFICA DE UN A FUN CIÓ N

Cuando el dominio y el rango de una función consisten en números reales ambos , es
posible plasmar el comportamiento de la función en forma gráfica.

Definición 1.1 : GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

Sea una función / : A —>B , donde Á c IR y B c IR, se define la gráfica de / , y s e denota
G r ( / ) , al conjunto de todos los pares ordenados en los q u e x e A está como primer elemen­

to y su imagen y = f( x ) e B com osegundo elemento. Es d ecir:

G r ( / ) = { ( * , . ) ’) £ E J ] r e A , y ?=/(!*) ¿ cAxB

o bien .

G r ( / ) = {(X j / W 6 lR ? U ‘ e A j c A x B

P R O P IE D A D E S

G . l : V ate A , existe un par ordenado (a; , y ) e G r ( / ) , es d e c ir, el D o m (G r(/)) = A

G .2 : (jr, y) e G rf/ ) a (a: , z) e G r(/) <=> y = z (U nicidad)

G .3 : Si PC*. y) e Gr( / ) <=> P(* ,y ) e /

(E JE M P L O 7 ) Sea la función / : IR —» CRdefinida por la fórm ula f ( x ) = -2x2 - 3jc + 5.

D ecir si los siguientes pares ordenados pertenecen o no a la G r(/)

a) (-1 ,6 ) b) (3 /2 .-4 ) c) (4 ,3 9 )

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Sección 1.4 : Gráfica de una función 7

Solución Por ia propiedad G.3 se tiene :
a) / ( - l ) = - 2 M ) 2 - 3 ( - l ) + 5 = 6 = > ( - ! , 6) e / => ( - 1 . 6) e GríJ)
b) /(3 /2 ) * -2 (3/2)2- 3(3/2) + 5 = -4 => (3/2 , -4) e / =» (3 /2 , -4) e Grlf )
c) /( 4 ) = -2(4)2 - 3(4) + 5 = - 39 ( 4 , -39) e / , luego ( 4 ,3 9 ) e Gr( /)

(EJE M P LO 8 ) Sea la función / : A —>B | f ( x ) = 4 - x2, A = ( - 2 ,3 ] y B = [-5 , 5 ); trazar
la gráfica de / mostrando el conjunto A x B.

Solución En primer lugar construim os el rectángulo A x B ,
(F ig u ra 1.3) , lu eg o dib u jam o s la gráfica de / »
¡
eligiendo los puntos extrem os y un punto interm edio de A. J
A sí, para t
* = -2 i A =* / ( - 2 ) = 4 - ( - 2 )2 = 0 ^ (-2 ,0 ) e Gr(f)
!
r = 0 e A /(O ) = 4 - (O)3- 4 o ( 0 , 4) e Gr( / ) I
j = 3 e A o f ( 3 ) = 4 - Í3)2 = -5 => (3 , -5) e G r(f) ^

Obsérvese que aunque (-2 ,0 ) e G r(/),estepuntonossirvecom o
referencia para el trazado de la curva. Por lo tan to :

GlX f)~ {U ,Jí3 - 4 ) |j c e (-2 , 3]} c A x B ■

“ I^IGufíÁ V.3 ~

OBSERVACIÓN 1.3 Sabemos que una función no debe tener dos pares ordenados con la
misma primera componente. Según esta definición si se presenta la

gráfica de una función en IR- se debe cum plir la siguiente propiedad geométricafundamental:
"U na relación / : A - » B , A c [ R y B c = [ R , e s una función real si y sólo si cada línea recta
vertical 31 corta a la gráfica de / a lo más en un punto” . Es decir : Gr( /) f| 31 - {P} , P 6 [R2
Esta observación proporciona un criterio visual para funciones.

^E JE M P L O 9 j En las gráficas de la Figura 1.4 , establecer la diferencia entre gráficas de
una función y los de una relación.

Solución La gráfica en (a) es la de una función porque una línea vertical A corta a la curva de
im ag en :
un solo punto P , esto es , a cada elemento del dominio le corresponde una de la
jc, y,

La gráfica en fb) es la de una relación que no es función pues una línea vertical 31 corta a la curva

en dos puntos P, y P ,, es d e c ir. a cada elemento del dominio x l le corresponden varias imáge­

nes, las com prendidas entre y, e y2. m

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8 Capítulo / ; Funciones

OBSERV A CIÓ N 1.4 L a notación funcional sirve para describir cómodamente transforma­
ciones de gráficas en el plano. Algunas familias de gráficas tienen una

forma básica común y apoyándose en éstas se pueden hacer tres tipos de transformaciones :
1. Traslaciones horizontales
2. Traslaciones verticales
3. Reflexiones.

TIPOS BASICOS DE TRANSFORMACIONES k > 0)

Gráfica original: V= /tT )
Traslación horizontal de h unidades a la derecha: v=/u-h)
Traslación horizontal de h unidades a la izquierda : y = /(.v + h)
Traslación vertical de k unidades hacia abajo: y = /(.*)- k
Traslación vertical de k unidades hacia arriba: >’= /(* ) + k
Reflexión (en el eje X) : y = -/(*)
Reflexión (en el eje Y ;: W < -rt

EJEM PLO 10 J Mediante la gráfica de la función f(x) =
(Figura l .5 ), dibujar el de las funciones

a) y s + 2 d) y = V f- x + 2

b) y = - Vic - 1 c) y = Vjc- I - 2

c) y - yJx + 2 f) y = - Vx-2 + l

Solución a) Si y=*Jx + 2 «=>>• = f ( x ) + 2 F IG U R A 1.5

Tenemos un desplazamiento vertical de la Gr(/) , 2 unidades hacia arriba.

b) Si y = - Vx - l ■=>>' = - f ( x ) - l
Reflexión (en el eje X) y desplazamiento vertical de la G r(/), l unidad hacia abajo.

c) Si y = Vjc + 2 o y = f ( x + 2)
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Sección 1.4 : Gráfica de una Junción 9

Desplazamiento horizontal de la G r ( /) , 2 unidades hacia la izquierda.

d) Si >■= VT^Jt + 2 « y = / K x - I)] + 2
Reflexión (en el eje Y) y desplazam ientos: horizontal 1 unidad a la derecha, y vertical, 2
unidades hacia arriba.

e) Si y = - 2 <=> y = f ( x - 1) - 2

Desplazamientos: horizontal, I unidad a la derecha, y vertical, 2 unidades hacia abajo.

f) Si y = - \'jc- 2 + 1 •=> y = - f ( x - 2 ) + I
Reflexión (en el eje X) y desplazam ientos: horizontal, 2 unidades a la derecha, y vertical,
1 unidad hacia arriba.

OBSERVACIÓN J.5 Con relación a la gráfica original y = f(x) existen otros dos tipos de
transformaciones en el plano que son los siguientes

1. Gráfica de la función g(x) = a f ( x )
a) Si 0 < a < 1 , la Gr(g) se obtienen recortando verticalmente la G r(/) en un factor de a.
b) Si a > 1 . la Gr(g) se obtiene estirando verticalmente la Gr(_f) en un factor de a . En
am bos casos se toma com o base el eje X.

2. Gráfica de la función %{x) = f ( a x )
a) Si 0 < a < 1 , la G r(g) se obtiene estirando horizontalmente la G r( / ) en un factor Ma
b) Si a > 0 , la G r(g) se obtiene recortando horizontalmente la G r(f) en un factor de a . En
am bos casos se toma com o base el eje Y.

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10 Capítulo I : Funciones

(EJEM PLO 11 j D ada la gráfica de f (Figura l .7 ), dibujar la gráfica de ia función
g(x) = 2 - / ( x + l ) , luego, indicar su dominio y rango.

Solución Obtenemos la Gr(gj haciendo las siguientes transformaciones
a) >’ = /(■* + 0 »traslación horizontal l unidad a la izquierda
b) >' = - f ( x + l ) , reflexión en el eje X
c) y = - f ( x + l) + 2 , traslación vertical 2 unidades hacia arriba.

Leyenda

a) ------------------
b) ------------------
c) ------------------

Dom (g) = [-6 , 5>- { - 1 }
R an(g) = [-3 , 4 ]

E JE M P LO 12 ) M ediante la gráfica de la función /(jc) = (Figura l .5 ), dibujar el de las
funciones (Ejemplo de la OBSERVA CION 1.5)

a) g(*)= ( 1 / 2 ) ^ , x e [0 .4 ] c) e(x)=^Ix/2 , y e [0,2]

b) g(*) = 2-Jx , x e [0 ,4 ] d) g(*) = <2x , y e [0 , 2 ]

Solución a) g(*) = .=> g ( x ) = - i- /( x ) , a = ^ e < 0 , l )
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EJERCIOOS : C ru p a l 11

Dibujam os la G rtg ), recortando verticalmente la G r(/) en un factor d e a = 1/2 , tomando
como referencia el eje X.

b) g(x) = 2 V* •=> gC*) = 2 / ( * ) , a = 2 e <1 , + ~ )
L uego, trazamos la Gr(g) estirando verticalmente ia G r(/) en un factor de a = 2 , tomando
com o base el ejeX .

c) Si g(*) = ^ 2 ^ g(x) = / (jc/2) , a = \ e <0, 1>

Dibujamos la Gr(g) estirando horizontalmente la G r(/) en un factor de 2 a partir del eje Y.

d) SÍg(*) = ^2X «=* g(x) = / ( 2x)

D ibujam os la G r(g) recortando horizontalm ente la G r(/) en un factor de 1/2 a partir del

eje Y. ■

E JE R C IC IO S . Grupo 1

*•* En los ejercicios I al 4 , determ inar si el conjunto de pares ordenados dado , es o no una
función

1. {(jc + 4 , * ) U e (R> 3. { ( x - I .j ^ + Z r j U e IR}
2, (x3 - 4 , x ) ! x e (R} 4. { [(x + 1 3 ) . (* ,.y)] l(* ,>’) e IR2}

5. Si / e s una función real de variable r e a l, tal que f ( x + 3) = x2+ 3 , hallar el valor de

E= f{a + 2) - fia - 2) ^ ——= 6 ,a#2 ,
a-1

6. S i / es una función real tal q u e / ( * - 2) = 3jc-11 >’

hallar el valor de a. 15/4,
7. Sea la función /( x ) = a x 2+ fcx + c t a l q u e / ( - l ) = 0 . /( 1 ) = 8 y / ( - l ) + / ( l / 2 )

hallar f(2).
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12 Capítulo I : Funciones

8. Sea f ( x ) = a x 2+ b x +c , verificar que f ( x + 3) - 3 f ( x + 2) + 3 f ( x + I) - f ( x ) —O
9. Si / es una función real tal que f ( ^ 3 x + 4 ) = 9a:2 + 36x + 3 2 , hallar / (\íx + 2 )
10. Hallar /( * ) , s i :

a ) / ( * + O = jc2 - 3 x + 2 ó) / ( ^ ) = at+ V T T * 2 , a: > 0

b) / ( 3 a: - 2 ) = 9jt2+ ¿a: - 8

c) / ( * + “X I) = * 2+ -xT‘ ■ f ) f \( x -Xj ) = , x *0

11. H allar la regla de correspondencia de la función f ( x ) = a x 2+ b x + c que tiene a CRcomo
su dominio y tal que /( - I ) = 3 , f ( 2 ) = 0 y /(4 ) = 28

12. Sea /(n ) la sum a de n términos de una progresión aritm ética. D em ostrar que :
Sn= /(n + 3) - 3/(n + 2) + 3/(n + l) -/( n ) = 0

[ Sugerencia : Sea la P.A.ra , a + r , a + 2 r a + ( n - ] ) r ^ Sn= /(n) = an + ^ (n - l)r]

13. Mediante la gráfica de f( x ) = U l , (Figura 1.10), dibujar el de las funciones

a) > = | a: | - 2 c)y = -U -2 | e) y = 2 - 1 1 - jrt

b )y = U+3l d) y = U + l l - 2 f)y = ^U -2|

14. U sando la gráfica de f ( x ) = , (Figura 1. I I ) , dibujare! de las funciones

a) y = ^íx - 1 c) y = ylx~ I e) y = ~ tfx.

F IG U R A 1.10 F I G U R A 1.11

15. Dado la gráfica de la fun­
ción / (Figura 1.12), dibu­
jar la gráfica de la función
g(*) = 5 - /( - * + 3).

F IG U R A 1.12

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Sección 1.5 : Determinación del dominio de una junción 13

[1 ,5 ) DETERM INACIÓN DEL DOMINIO DE UNA FUN CIÓ N

Cuando una función viene dada por una fórmula o regla de correspondencia, se suele
sobreentender que el dominio consiste de todos los números para los que la regla de correspon­
dencia está bien definida. Ahora bien . el dominio de una función puede describirse explícita­
mente junto con la función o estar implícito en la fórmula que define a la función. Por ejemplo
, para las funciones

a) / : A - » B , A c t R , B c l R

b) g(jt) = V 7 7 2 , 2 < x < 7
el dominio está descrito explícitam ente, pues en

a) D om (/) = A = { j r e A l B ! > e B , y ~ /(*)}

b) Dom(g) = {jc| 2 < x < 7 } = [2 ,7 ]

Por su p arte:

a) Las funciones polinómicas

/<*) = a D*n + a „ - i * " ', + ■ • ■ ■+ a Jx 2 + a ¡x + a 0 , a o * 0
tienen por dom inio im plícito al conjunto IR.

b) Las funciones racionales de la forma : f(x) =
qtó

tienen como dominio implícito a t R - { x € (Rlq(.r) = 0}

c) Las funciones con raíces de índice p a r: / ( x)= >/g(jc) , n e Z +

tienen com o dominio im plícito al conjunto {x e IRIg(x) > 0}

d) Las funciones con raíces de índice im par: f(x) - ,n e Z +

tienen como dom inio implícito al dominio de g (x ), e s to e s , D o m (/) = Dom(g)

¡EJEM PLO I ' ) Determinar el dominio de las siguientes funciones

a) f { x ) - x* - + 3x - 1 d) h(x) = x
b) / ( x ) = <39- x 1
V* 2 - * - 6

c) g(x) = V 4 -V 2 4 -2 a -x 2 e) /(* ) = V . 5^ " 22jt + 5

Solución" a) E ID om (/) = (R, pues se trata de una función polinómica de tercer grado.
b) Para que la función / tenga se n tid o , 9 - jí1 ha de ser p o s itiv o , es d e c ir , / es
real «■ 9 - ^ > 0 •=> x * - 9 < 0 <=> - 3 < x < 3 ■=> D om ( / ) = t - 3 , 3 ]

c) Del mismo m odo, la función g tienen sentido, si y sólo s i :
( 2 4 - 2 x - x i ¿ 0 ) a (4 - V24 - 2jc - Xa ¿ 0 ) <=> (xa+ 2 r < 2 4 ) a (V 2 4 -2 * -* 3 < 4 )

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14 Capítulo / : Funciones

<=> [ ( * + l f < 2 5 ] a [ ( * + 1 ) 2 > 9 ] <=> ( - 5 < j + 1 < 5 ) a ( h ! < - 3 v í + I > 3 )
<=> ( - 6 < x < 4 ) a ( x < - 4 v x > 2 ) <=> ( - 6 5 x < - 4 ) v ( 2 < * < 4 )

.*. Dom(g) = [-6 , -4] U [ 2 , 4 ]

d) Si h(x) = . x- <=> D om (h) = {jce IR l(x + 2) ( x - 3) > 0 }
\( x + 2) (x - 3)
= {x e IR Ix < -2 v x > 3}
= x e - 2) U (3, +«)

e) Tenemos una funcióncon raíz de índice im par, luego ,Dom(.f) = D om (g), donde

x-2 , x * - l , 1 , 5 / 2 ■=> D o m (/) = IR - {-1 , I , 5/2}
g to = (x + I)(x - l)(2 x -5 )

Definición 1.2 : IMAGEN DIRECTA DE UN CONJUNTO

Sea una función/ : A B , donde A ^ K y B e : [R. Si M e A = D o m ( /) , s e denom ina la;
imagen directa de M m ediante f , al conjunto /( M ) , donde

/(M) ={f(x)\xe M }e B
y se le e “ conjúnte de las imágenes de x , tal q u e x € M ”
o bien :

/(M },= { y * B | 3 x . e M , y = m }

Según esta definición: y e /( M ) <=> 3 x e M | y = /(x )

En particular si M = A , entonces /(A ) se llama imagen del dominio de / . A dem ás, para toda

función / se tienen que /( ó ) = <¡). En la Figura l . 13 , obsérvese que /(M ) es la proyección de la

G r ( / ) , con dom inio M , sobre el eje Y.

PROPIEDADES
ID . 1 : S i / : A - » B , M c A y M c N *=> /(M ) c /(N )
ID . 2 : Si / : A —»B , M c A y N c A => / ( M U N ) = / ( M) U / ( N)

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Sección ¡.5 : Determinación del dominio de una función 15

I D . 3 : Si / : A —» B , M c A y N c A => / ( M f lN ) c / ( M ) n / ( N)
I D . 4 : Si / : A —►B , M c A y N c A «=> / ( M ) - / ( N ) c / ( M - N )

EJEM PLO 2 ] Dado el conjunto M = [ - 1, 4) y la función / : A B definida por

H allaría) /({O , 1 , 3 } , m= 3 + 2x , si -2 < x < I
b) /(M ),
6 - 2 x , si l < x < 4
c) Construir su gráfica

Solución La función está definida por dos fórm ulas:
f t( x ) ~ 3 + 2x , r e [ - 2 , 1) y f 2(x) = 6 - 2 x , x e [1 , 4)

Luego ; A = Dom(/) = [-2 ,1 ) U [1,4) = [-2 ,4 )

a) Por la Definición 1 . 2 : / ( M) = {/(*) I* e M} ^ / ( { 0 , 1 , 3}) = { /(O ), / ( l ) , /(3 )}
d o n d e :/( O ) = /,(()) = 3 , / ( ! ) = /,<1) = 6 - 2 = 4 y /<3) = f 2(3) = 6 - 2 ( 3 ) = 0

Por lo tanto , / ( { 0 , 1 , 3}) = { 3 , 4 , 0 }

b) C o m o M c= A .=* M = M ,U M2= [ - l , 1) U [1 , 4)
Luego , V x e M ( = [-1,1), estoes :
S i -1 < jc< 1 e* - 2 < 2 * < 2 ^ 3 - 2 < 3 + 2 x < 3 + 2
■=> - 1 < / ,( * ) < 5
V jre M2= [1 ,4 ) => 1 < x < 4 .=> - 8 < 2 * < - 2
«=> -8 + 6 < 6 - 2 * < - 2 + 6 ■=> -2 < f 2(x) < 4

E n to n ces, /(M ) = {/ (* ) = /,(* ) U / 2U ) U e ( M ^ M j ) } F IG U R A 1.14
= [-1 ,5 ) U < -2 ,4} = < -2,5)

c) La G r(/) jun to con la de /(M ) se muestran en la Figura 1.14

(E JE M P LO 3 ) Sea la función / : A —>BI f ( x ) = x2- 2x - 4 . Si B = /(A ) = (-5 , 4 ] , hallar
el conjunto A.

Solución Hallaremos el conjunto A = D om (/) partiendo de /(A ) = {/(*) e B I x e A} = B ,
esto es , si /(* ) e (-5 , 4 ] , entonces

- 5 < ^ - 2 x - 4 < 4 =? - 5 < ( j c - l )3 - 5 < 4 » 0 < ( j t - 1)3< 9

<=> 0 < * - 1 < 3

A = D o m (/) = {jc e (R11 < x £ 4} = (1 ,4 ] ■

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16 Capítulo I : Funciones

Definición 1.3 : FUNCIONES IGUALES

S ean d os funciones / : A -4 B y g .i A -r> B , Sé dice q u é / y g son iguales , y s é denota
/ ss g , si y sólo si G r( f ) - G r(g) com o subconjuritos de A x B ,.esto es

equivalentemente / = g w V « A , /( * ) = fe(jc)
/ * g o 3 x e A]/Cx)*g£jc)

(E J E M P L O 4 : ) Sean las funciones / ; [ - 1 , 3 ] - * [ - 5 ,4 ) l / ( x ) = 2 x ~ 3 y g : [-1 ,3 ] - i

[ - 5 ,4 ) tal que g(x) = ^ - Determinar si / = g

Solución Un dibujo de la Gr( / ) se m uestra en la Figura 1.15 , en donde
G r(/) = { ( x , 2 x - 3 ) \ x e [-1. 3]} c [-1, 3] x [-5 ,4 )

En g , factorizando el numerador obtenem os: g(x) = ^ ^ ^ = 2x-3 ,x ^4

Un dibujo de la Gr(g) se muestra en la Figura 1.16 , en donde se observa que ■
Gr(g) = { ( a , 2 x - 3 ) U € [-1 ,3]> c=t-l . 3 ] x [ - 5 , 4 >

En consecuencia, si G r(/) = Gr(g) e^>/ = g

Definición 1.4 : FUNCIÓN RESTRINGIDA

Sean los conjuntos A ,B yD subconjuntpsde iRy , sea la función / : A~> B. Si.definimos

la fundón g : D - 4 B , tal que

./(*) - £(*)■ x e D . D c A
entonces se dice que la función g es la restricción d e / a l conjunto D.
Equivalentem ente, si / : A -4 B tienen unu restricción g ; D -4 B y.D c A fentonces se dice
q u e /e s una extensiórrde g al conjunto A.

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Sección 1.6 : Determinación úel rango de una función 17

Por ejem plo , sean los conjum os A = (-1 , 3 ] , B = (-1 ,4 ] y D = [0 , 3] , y sea la función
/ : A —f r B l / t x j s S + Z c -x ^ c u y a g ra fic a se m u e stra e n la Figura 1.17. Si definimos la función
g : D -* B de m odo tal que f ( x ) = g(x) , V x e D , decimos entonces que la función g es la
restricción de / al conjunto D (Véase la Figura 1. 18). En las gráficas de / y g se observa respec­
tivamente que

i) Ran( / ) = /(A ) = [ 0 , 4 ] c B

ii) Ran(g) = /(D ) = [ 0 , 4 ] c B

( 1 . 6 ) DETERM INACIÓN DEL RANGO DE UNA FUNCIÓN

En la determinación del rango de una función se presentan dos casos.
C aso 1 Cuando el dominio está implícito en la regla de correspondencia que define a la

función.
En este caso se despeja x en función de y , luego se analiza para que valores reales de y ,* es real.

E JE M p1f o 5) Hallar el rango de la función f ( x ) ~ ■ ,
V ■ J e ' x2+ 4

Solución Sea y = f ( x ) <=> y(jt3 + 4)=.T 2 <=> * = ± 2 s j |

«=> jc 6 (R <=> —1 - y > 0 => —y - 1 < 0 <=> 0 < v < 1

Luego, Ran(/) = { y e I R l O < y < I } = [0,l>

Caso 2 Cuando el dominio está descrito explícitamente junto con la fórmula que define a la

función. Es decir, si / : A -» B , entonces R an(/) = / ( A ) c B ■

( e j e m p l o 6 ) Sea la función / = {(* , y) e tR3 |/( .t) = 4 + 2 x - jr2 , x e [ - 2 , 4 ] } .
Determinar su rango.

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18 Capitulo I : Funciones

Solución Com o A = [ - 2 , 4 ] «=> R an(/) = / ( [ - 2 , 4 ] )
L u e g o , si f ( x ) = 5 - { x ? - 2 x + 1) .=> /(* ) = 5 - (x - l )2

Llegaremos al segundo miembro de esta fórmula partiendo dei dominio de la función, esto e s :

1. Si j r e [ - 2 ,4 ] =» - 2 < * < 4 <=> - 3 < J t - 1 < 3 « ( - 3 < j t - I < 0 ) v ( 0 < jc- 1 < 3 )

2. Elevando al cuadrado : ^=> 0 < (x - 1)2 < 9

3. M ultiplicando p o r -1 : <=> -9 < - (jc - I )3 < 0

4. Finalm ente, sum ando 5: <=> -4 < 5 - (* - I)2 < 5

<=> -4 < f ( x ) < 5

Ran(/)={ye (Rl-4< y<5} = [-4,5] ■

(EJEM PLO 7 ) Hallar el rango de la función /= { ( ~~l¡") Ix > 6 j-

Solución Regla de correspondencia de la función : f( x ) = ^ =3 -

Si A = (6 , +°°) <=> R an( f ) = /( A ) = /((6 , +°°))
Obtendremos el segundo miembro de esta fórmula partiendo de x e A

1. S i ; t > 6 « = * j c - 5 > 6 - 5 i = > j » : - 5 > 1 < = > —1— < i ( S i * > a ■=> -7 < n )
x -5 ■*

2. C o m o x - 5 > I .tam bién x - 5 > 0 ^ ^ >0 (Si a e [Ry a > 0 ■=> ^ -> 0)

3. Luego , de los pasos ( I ) y (2) se sigue que : 0 < —^5 < *

4. M ultiplicando p o r -1 : - 1 < - — — < 0 «=* - l + 3 < 3 - —— < 0 + 3 ■
jc - 5 x - 5

5. De donde : 2 < f ( x ) < 3 => R an (/) = { y e 1R 1 2 < y < 3} = ( 2 , 3 )

ÍÍ7T> FUN CIO N ES COM O M ODELOS M ATEM Á TICO S

Del uso y aprovechamiento del lenguaje de las funciones se puede expresar diversos
tipos de situaciones prácticas, que tienen que ver con la geom etría, física, econom ía, biología,
etc, en términos de una relación funcional. La función obtenida representa un modelo matemá­
tico de tales situaciones. Los ejemplos que siguen muestran el procedimiento implícito en la
obtención de algunos modelos matemáticos.

(EJEM PLO 8 ) Determinar una función que exprese el área del rectángulo de base x y
perímetro 2a (fl> 0) .H allar el dominio y el rango de la función obtenida.
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Sección I.7.: Funciones como modelos matemáticos 19

Solución Designemos p o r* e>' las dimensiones del rectángu­

lo (Figura 1.19)

1. Por geometría sabem os que su área esta dada por

A = xy

2. Como la fórmula de A está expresada en términos de dos

variables x e y , usaremos el hecho de que el perímetro del

rectángulo e s : 2x + 2y = 2a =* y = a - x F IG U R A 1.19

3. Luego, en el paso (2 ): A(x) = x(o - x ) , a > 0

4. A h o ra, de esta últim a fórmula debemos especificar el dominio de la función A. O bvia­

mente, sólo los valoresx > 0 producirán rectángulos efectivos, esto e s , si A(x)> 0 ^

x(a - x) > 0 <=> 0 < x < a (=> Dom(A) = { 0 , a)

A sí, la definición completa del área es : A(x) = ex - x2 , x e (0, a)

5. Rango de la función : A(x) = a x - x 2= y - - [ x - y ) 1

6. Si 0 < x < a i=> - y < x - y < y =5 0 < ( x - y )2 <

7. M ultiplicando por - 1 : - y - < - ( x - y )< 0 > = > 0 < y - - ( x - y ) “ "4~ ■

.=> 0 < A (x) < a V 4
.% R an(A ) = { y e Í R l O < y < a 2!4} = (0 , a 2/4]

[EJEM PLO 9 J Un hombre está en un bote a 2 millas del punto más próximo de la costa.
Tiene que ir al punto Q (Figura 1.20), situado 3 millas más abajo por la

costa y a una milla tierra a dentro. Puede remar a 2 millas por hora y andar a 6 millas por hora.
Expresar el tiempo T de su recorrido en función de x.

Solución El espacio remado por el h o m b re e s: PA = _s/jt2 + 4

y el espacio cam inado es : A Q = VI + (3 - x)2

Sabiendo que el tiem po = espacio »entonces el tiempo T de su recorrído de P a Q es :

T = - ^ + ^ ■=> T(x) = 1 ^ + 4 + - M x 2 - 6x + 10 , x e ( 0 ,3 ) ■

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20 Capítulo ¡ : Funciones

10 ] En una circunferencia de radio r = 5 , se inscribe un triángulo isósceles.

Expresar el área del triángulo en función de su altura.

Súfacióti 1. Sea BH = x la altura del triángulo isósceles ABC y sea A C = 6 la longitud
del lado desigual.

2. El área del triángulo A B C es S = -^ (AC) (BH) =

3. En el triángulo rectángulo B C D : HC2 = BH x HD
(La altura es media proporcional entre los segmentos en que divide a la hipotenusa)

4. Entonces : (6/2)2 = x (2 r - x ) , de d o n d e , 6 = 2 Vx (2r - x)

5. L uego, para r = 5 , en el paso (2): S(x) = x V x(10-x)

6. Como S (x )> 0 c=> x ( I O - x ) > 0 0 < x < 10

S(x) = x Vx (10 - x) , x € ( 0 , 1 0 ) ■

(EJEMPLO 1 1 ] El gerente de una tienda de muebles compra refrigeradoras al precio de

mayoreo de $ 250 cada uno . Sobre la base de experiencias pasadas, el
gerente sabe que puede vender 20 refrigeradoras al mes a $ 400 cada uno y un refrigerador
adicional al mes por cada reducción de $ 3 en el precio de venta Expresar la utilidad mensual U
como función del número x de refrigeradoras mensualmente vendidas.

SpU if& n' Interpretemos el enunciado del problem a con el significado de que el precio de

venta p de cada refrigerador es impuesto al comienzo de cada mes y que todas las

refrigeradoras se venden al mismo precio. Entonces:

1. La utilidad unitaria d e la venta de cada refrigerador e s : u = p - 250

2. La utilidad mensual total U de la venta de x refrigeradoras es

U = x u = x ( p - 250)

3. Designemos por n el número de reducciones de $ 3 hechas al precio de venta original, de

modo que: p = 400 - 3n

4. Como se pueden vender n refrigeradoras más que los 20 originales, entonces
x = n + 2 0 , de donde, n = x - 20

5. En el paso (3) se deduce q u e : p = 400 - 3(x - 20) = 460 - 3x

6. Sustituyendo este valor de p en el paso (2) obtenemos la fórmula

U(x) = x (2 l0 -3 x ) = 3x(70 - x)

para la utilidad mensual U como función del número x de refrigeradoras vendidas al mes.

7. Dado que seria inaceptable la utilidad negativa, entonces si

U (x) > 0 « 3x (70 - x) > 0 <=> 0 < x < 70

Por lo q u e , la descripción completa de la función utilidad es

U(x) = 3x(70 - x) , 0 < x < 70

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EJERCICIOS Grupo 2 21

8. Para el cálculo del rango, escribimos

UU ) = 3 (7 ttc -x 2) = - 3 ( x 2-7 0 x + I225J + 3675 *=* U(x) = -3 (x - 35)3+ 3675
Llegamos al segundo miembro de esta fórmula partiendo del d o m inio, esto e s , si

0 < x < 70 -35 < x - 35 < 35 ^ 0 < (x - 35)3 < 1225

Multiplicando por -3 : - 3675 < -3 (x - 35)2 < 0

Sumando 3675 : 0 < 3675 - 3(x - 35)2 < 3675 <=* U(x) e <0, 3675]

9. O bsérveseque la utilidad máxima es de $ 3675 y ocurre cuando x - 35 = 0 , e sdeci r , s i

x = 35 el precio de venta óptimo p , dado en la ecuación del paso (5), e s :

p = 460-3(35) = $335 ■

E JE R C IC IO S . Grupo 2

•í* En los ejercicios 1 al 12, hallar el dominio y rango de la función dada. D ibujar su gráfica

1. /(x) = < 4 ^ 7 2. / ( x ) = V2 + X - X 2

3. f ( x ) = V2 + X - X 2 4. /( x ) = Vx2 - 3x - 4

5. g(x) = 4X2 - I 6. /( x ) = Vóx2- 5x - 4
2x + 1 x2- 4 , s i x < 3

7- /€*) = 6 x + 7 , si x < - 2 8. g(x)=
4-x , six>-2 2x~ 1 , s i x > 3

9. m = ( x + l ^ x 2 + 3 x - 10) 10. g(x)= xA+ 2x3 - 7x 3 - 8 x + 12
x2+ 2 x - 3
x2 + 6x + 5

ii. m = x4- 3x3 - 1 Ix2 + 23x + 6 12 . h(x)= x3 - x2- 1 3x - 3
x2 + x - 6 x+3

13. Dado el conjunto M = [ - 2 ,4 ) y la función f definida por

/(*) = x + 1 , si-2 < x <0
x3 - x + 1 , si 0 5 x < 4

Hallar: a) /( M) , b) / ( { - l , l , 2 } ) , c) Construir su gráfica

14. Sea el conjunto M = [-3 , 5) y la función / definida por

3 - 2x - x2 , si - 3 < x < 2
m=

- { 2x-6 , si2 < x < 5

Hallar: a) /(M ) , b) /( { - ! . 1 , 4}) , c) Construir su gráfica

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22 Capitulo J : Funciones

15. Sea la función / : [R —»(R definida p o r/(jr) = x* - 6 x + 4 . a) Dado el conjunto M = ( l , 4 ] ,
representar gráficam ente el conjunto {(x ,/( * ) ) Ix e M} . b) H allar el co n ju n to /(M ).

*•* En cada uno de los ejercicios 16 al 21, determ inar analíticamente el rango de la función.

16. / : [-1 , 2 ) —> Í R | / ( x ) = x2 + 2 17. f : ( - 2 , 3] -> CR| f ( x ) =jc3 + 4jc- 1

18. / : [-2 , 2) —» [RI f ( x ) = 3 + 2 r - j t 19. / : [ 0 , 5] —» [R | f ( x ) = - x 1+ 4 x - l

20. / : (-1 ,2 ] —> [ R |/( jt) = I + V3 + 2jc- jt1 21. / = { ( x , - ^ ) | ^ (x2- 4 ) > 0 }

22. Sí el área total de un cono circular recto m ide 4 n u2 , hallar su altura como función del
radio. Dar el dominio y dibujar la gráfica de la función.

23. Hallar la función que exprese el área de un triángulo isósceles en términos del lado desigual
x , sabiendo que la longitud del perím etro es 2a. A d em ás, hallar el dominio y rango de la
función.

24. La altura de un cilindro es igual a su radio . Exprese el área total A d e la superficie (inclu­
yendo ambas bases) en función de su volumen.

25. Se va a construir una caja rectangular que tenga un volumen de 256 piesJ . Su base debe ser
doble de largo que de ancho. El material de la tapa vale $ 10 po r p ie 2 y el de los lados y
b a s e , $ 5 por pie2. Expresar el costo de construcción de la caja como una función de uno
de los lados de la base.

26. El peso aproximado del cerebro de una persona es directamente proporcional al peso de su
cu erp o . y una persona que pesa 150 Ib. tiene un cerebro cuyo peso aproximado es de 4 Ib.
a) Encuentre un modelo matemático que exprese el peso aproximado del cerebro como una
función del peso de la persona, b) Determine el peso aproximado del cerebro de una
persona que pesa 176 Ib.

27. Una página impresa contienen una región de impresión de 24 pulg2 , un margen de 1.5 pulg.
en las partes superior e inferior y un margen de 1 pulg, en los lados, a) Encuentre un
modelo matemático que exprese el área total de la página como una función del ancho de la
región de impresión, b) Cuál es el dominio de la función.

28. A un campo de forma rectangular se le colocaron 240m de cerco, a) Expresar un modelo
matem ático que exprese el área del terreno com o una función de uno de sus lados, b) Qué
dimensiones debe tener este campo rectangular para que su área sea máxima ? Determinar
dicha área.

29. Una ventana tipo normanda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo.
Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perímetro de 200 pulg., y que la cantidad
de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana .a ) Si r pulg. es el
radio de semicírculo, exprese la cantidad de luz transmitida por la ventana como función de
r. b) Cuál es el dom inio de la función resultante?

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Sección 1.8 : Funciones especiales 23

30. Un campo petrolero que contiene 20 pozos ha estado produciendo 4000 barriles diarios de
petróleo. Por cada pozo nuevo que es perforado, suponga que la producción diaria de cada
uno disminuye 5 barriles. Escriba la producción diaria del campo petrolero en función del
número x de pozos nuevos que se perforan.

( 1 . 8 ) FUN CIO N ES ESPECIALES

Definición 1.5 : FUNCIÓN IDENTIDAD

Es aquel la función denotada p o r I : (R —» CR.donde el dominio y el rango es el conjunto de
los números reales y que tiene como regla de correspondencia

I(x) = x . V * e IR

Es d ecir, en esta función cada número real se corresponde a si mismo. Su gráfica (Figura l .22)
es la recta de pendiente m = Tg 45c * l , denotada por

G r(l) = { ( x , x ) \ x e IR}
pasa por el origen de coordenadas como bisectriz del prim er y tercer cuadrante. Cuando e!
dominio de esta función está restringido a un conjunto A <z IR , se denota t A, esto es :

IA(x) = x , Vx e A.

En la Figura l .23 se muestra la gráfica de una función identidad sobre el conjunto A = ( - 2 ,3 ] ,
esto e s , G r(IA) = { x , x ) \ V x e A = ( - 2 ,3 ] } .

Definición 1.6 : FUNCIÓN CONSTANTE

E s aq u ella función denotada por C , con d om inio IR y el rango consiste en un núm ero
real k , cuya regla de correspondencia es

o bien: C = {(* , >•)!>• = k}
C(x) = k

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24 Capítulo ¡ : Funciones

La gráfica de esta función es una recta horizontal (Figura 1.24)
denotada por

Gr(C) = { x , k) | V* e IR}

Considerando que la gráfica de una función constante pasa

por el punto ( O , k) y es paralela al eje X , la posición de la

recta depende del valor de k. F IG U R A 1.24

1. Si k > 0 , la G r(C) es una recta horizontal situada por encima del eje X

2. Si k = 0 , la G r(C ) es el eje X , se dice entonces que la función es nula , esto es , y = 0,

V x e IR.

3. Si k < 0 , la Gr(C) es una recta horizontal situada debajo del eje X.

Definición 1.7 : FUNCIÓN LINEAL

Es aquella función / : IR —►IR cuya regla de correspondencia es
/(x) = m x+b

donde m y 6 son núm eros reales fijos y til * 0

Su gráfica es una línea recta ÍB (Figura 1.25) cuya pendiente o coeficiente angular es m y su
ordenada en el origen es b.

TEOREMA 1.1 entonces existe una única

Sean x,.,..^ » y , , y2 números reales tales q u e x ^ jq .,y
función lineal / tal que

= /(*,) e y9 =

D em ostración En e fe c to , sean P ^x, , y ,) y P2(x2 , y2) dos puntos diferentes cuyas coordena­
das satisfacen la ecuación : /(x ) = mx + b . Como y = f ( x ) , escribim os

entonces y = mx + b , luego , deben existir los números reales m y f c . m í O , tales que :

y {- m x t +b (I)
y2= m x, + b (2 )

y2 -y , (3 )

Restando ambas ecuaciones obtenem os: r2 _ y1 = m

y sustituyendo (3) en (1) se tiene: y, = + b «=> b - (4)

Si los números reales m yfc existen porlas ecuaciones (3) y (4), entonces la función lineal
también existe y está definida por

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Sección ¡.8 : Funciones especiales 25

Por le que: ,(*,) = )*, + x2 y r x iyi

/(*,) = >,

O B SE R V A C IÓ N 1.6 En el triángulo P, Q P 2 de la Figura 1.26 , se tiene

Tgct = T g a = - ^ 1 * In
P,Q x2-x,

La pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación.

O BSERVACIÓN 1.7 Para determinar la ecuación de una recta basta conocer dos puntos

de ella con los cuales se calcula su pendiente. luego eligiendo cual­

quiera de los dos puntos como punto de paso . por ejemplo P ((jr,, y , ) . y P(x , y) com o punto

genérico, se sigue que

y ~y
m = 7 7 T ** y - y ^ m O c - x J

EJEM PLO 1 J Hallar la función lineal para la cual se cumple que (I)
(2)
2/(2) + /(4) = 2l y /( - 3 ) - 3 /( l) = - l6 (3)

Solución Sea la función lineal: f(x) = m * +b m
Si 2 /(2 ) + /( 4 ) = 2 1 <=> 2(2m + 6) + (4m + ¿) = 2 1>=>8m + 36 = 2l
/(-3 > - 3 /(1 ) = 16 (-3m + ¿) - 3(m + 6) = - 16 ^ 3m + ¿ = 8

La solución común de las ecuaciones (2) y (3) e s : m = 3 y b = - I
Entonces en ( I ) , la función lineal está definida por la fórmula

f(x) = 3 x - l

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26 Capítulo I ■Funciones

( e j e m p l o 2 ) H allar la función lineal tal q ue / [ / ( * - 1)] = 16* - I

Solución Sea la función lin e a l: f ( x ) = m * + b (I)
(2)
E n to n ces, / ( * - 1) = m(* - 1) + b = in* - in + b

En (1) , sustituim os*por/ ( * - I) y obtenemos : / [ / ( * - I)] = m /( * - l ) + ¿
D e la condición dada y de (2) se sigue q u e :

16*- 1 = m (m * - m + 6) + 6 «=^ 16* - 1 = mí* + &(m+ l ) - m 2

Identificando coeficientes: í m2 = 16 <=> in = ± 4
<

( b(m + I) - m2 = -1 e s b = in - I

En (3 ), para m = 4 , b - 3 y pasa m = -4 , b —-5 ; 'p or tanto, en (1), hay dos soluciones

/(*) = 4*+ 3 o /(*) = -4*-5 ■

E J E M P L O 3 j U na tienda de artículos dom ésticos tiene 900 licuadoras en alm acén al
principio de cada mes ; las ventas de licuadoras promedian 25 unidades

por día de venta.
a) H allar un m odelo m atem ático que represente el número de licuadoras en almacén en cual­

quier día de ventas de cada mes.
b) En que tiempo se agotará las licuadoras en almacén ?
c) Cuál es la cantidad de licuadoras cuando han transcurrido 12 días ?

IS olución] a) Sea y el número de licuadoras en almacén y se a * el número de días de venta.

Al inicio de cada m e s, es d ecir, cuando * = 0 , tenemos en almacén y = 900

licuadoras. Como el número de licuadoras dism inuye en almacén a razón de 25 unidades

por día de venta , entonces y cam bia en -25 unidades cuando * cam bia en I unidad , es

d ecir q u e la razón d e cam bio o p en d ien te es m = -25. L uego , la función está d ad a p o r la

fórm ula: y = m* + b = -25* + 900 (1)

b) Cuando las licuadoras se agotan en almacén se tiene que y = 0

Entonces , en ( I) : 0 = -25* + 900 <=> * = 36 días

c) C u a n d o * = 12 , en (1) se tiene : y = -25( 12) + 900 = 600 ■

Definición 1.8 : FUNCION CUADRATICA

Es aquella función con dom inio IR y definida por la ecuación
/(* ) = ox2 + bx +c

dondea .6 y e son constantesque representan números realesy a * 0

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Sección 1.8 : Funciones especiales 27

Esta función puede e sc rib ¡rse c o m o /{ (x ,y )e R 2I y = a x 2+ b x + c } cuya gráfica es la misma
que de la ecuación y = a x 2+ b x + c ,y que mediante el artificio de com pletar cuadrados puede
ser transformado en otra equivalente de la form a: y = a (x - h)2+ k
El siguiente teorema nos muestra el procedimiento a seguir.

TEOREMA 1.2 : Valores extremos de la función cuadrática

La función cuadrática definida por
/(x) = a x 2+bx + c = a(x-h)z+ k , a * 0

donde: h = - y k= ■ , tienen un valor extremo en el punto x - - -~-
2a Aa 2a

i) Si a > 0 , el valor extremo es un valor m ínim o k = / ( h ) , es d e c ir, R an (/) = [ k , + « )

¡i) Si a < 0 , el valor extremo es un valor m áximo k = / ( h ) , es d e c ir, Ran(/> - , kj

DemostraciónEn efecto, sea y = f ( x ) , entonces

y ®a x 2+ b x + c = a (x2 + — x + — ) = a (x2+ — x + -7^7 - -7^-7 ) + c
' a a / ' a 4a2 Aa21

l -> b b1 \ b2 t b \ 2 A a c - b 2
Ü \ X + a X+ Aa1 ) +C " Aa “ a \ X+2a i + 4a

Si hacemos h = - y k= , obtenemos : y ~ a (x + h )2 - k

que es otra forma de representar la función y = a x 2 + b x + c

Por otro la d o , si (x - h)2 = y“k , y com o (x - h)2 > 0 , V x e IR, entonces
——

i) S i a > 0 = » y - k > 0 < = > y > k , luego y e [ k , -k*>) = R a n (/) , es d ecir , la función
tiene un valor mínimo k , cuando x = - bl2a

ii) S i a c O e * y - k < 0 < = * y < k , luego y e ( - ~ , k] = Ran( / ) , es d ecir, la función tiene un
valor máximo k , cuando x = - b/2a

La gráfica de una función cuadrática es una curva llamada parábola que es simétrica respecto a
la recta vertical x = h (eje de sim etría). Según los resultados anteriores puede ser una de las dos
formas siguientes:

1. Si a > 0 , la parábola es abierta hacia arriba y de este modo el vértice V ( h , k) es el punto más
bajo de la gráfica (Véase la Figura 1.27)

2. Si a < 0 , la parábola se abre hacia abajo y así el vértice V (h , k) es el punto más alto de la
gráfica (Véase la Figura 1.28).

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28 Capítulo J : Funciones

E J E M P L O _ 4 J Esbozar las gráficas de las funciones

a) /(*) = 3 - 2 X - X 2 b) f ( x ) = ± x? - 3 x + 6

-f
Solución Usarem os el método de com pletar el cuadrado para hallar e! vértice de cada

parábola.

a) La ecuación que define a la función / e s : > » = 3 - 2 r - j r 2 = - ( x + I )2 + 4
d e d o n d e , a = - 1 , h = -1 , k = 4 <=> V (-l , 4 ) , e j e : j c = h <=> x = -1
Como a < 0 , la parábola es abierta hacia ab ajo , por lo que R an (/) = (-«>, 4]
Para dibujar la G r(/) hallamos dos puntos de la parábola mediante sus intersecciones con el
e je X , e s t o e s .s i > = 0 i=> 3 - 2 r - ^ = 0 « jt = -3 ó jc = 1 .
Luego, uniendo los puntos A (-3 ,0 ) y B ( 1 ,0) con el vértice obtenemos la G r(/). V éasela
Figura 1.29.

b) La ecuación que define a la función g es : y = ^ j p - l x + fs = -^•(x-3) +

de d o n d e , a = 1/2, h = 3 , k = 3/2 <=> V(3 , 3 /2 ), eje x = h = 3.
Como a > 0 , la parábola es abierta hacia a rrib a , por lo que R an( /) = [3 /2 , +«■)
Un segundo punto de la parábola lo obtenemos mediante su intersección con el eje Y , es
decir, si x = 0 c=> y = 6 , luego , A (0 , 6) e G r(g) , y el tercer punto , po r sim etría de A

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Sección 1.8 : Funciones especiales 29

respecto ai eje x = 3 , esto es , A’(6 , 6). Uniendo estos tres puntos obtenem os la Gr(g)

mostrada en la Figura 1.30. ■

[EJE M P LO 5 j Sea la función f = {(* , >■) Ix1- 4 x - 8y - 4 = 0} . D eterm inar un valor
m áxim o, o bien uno mínimo de dicha función.

Solución La ecuación que define a / es : 8y = x 2- 4x - 4
De este m odo, los valores de la función / están dados por

^X) = 8 X2 ' 2

Para esta función cuadrática: a - 1/8, b = -1/2. Como a > 0, f tiene un valor mínimo en el punto

donde x = h = b/2a , esto es , si h = - ^2( 1/ 8) = 2 entonces el valor mínimo e s ,

k = f(2) = ± ( 2 f - 1 ( 2 ) - 1 * -1 ■

{EJEMPLO 6 ] Si / es una función cuadrática tal que

f { x + 2) - f { x - 2) = 4 ( 3 - x ) , V * € IR
D etenninarun valor m áxim o, o bien uno mínimo d e / s i /(O) = It i

Solución Sea la función cuadrática f( x) = a x 2+ b x + c (1)
Si /(O ) = 1/2 <=> a(0)2+ b(0) + c = 1/2 » c = 1/2

Además : f ( x + 2) = a(x + 2 f + b(x + 2) + c y f ( x - 2 ) = a( x - 2 )2 + b(x - 2) + c
«=> f ( x + 2 ) - f ( x - 2 ) = a{(x + 2 )1 - ( x - 2 )2] + 6[(x + 2 ) - ( j r - 2 )]
= a[4(*)(2)]+6[(2) + (2)] = %ax+4b

Luego si 8a x +4í> = 12 - 4 x , V x e IR <=> (8a = -4 ) a (4b = 12) <=> a = -1/2 a& = 3
Por lo q u e , en ( I ) , los valores de la función f( x) están dados por

/(* ) - " ^ X2+ 3X +
Como a < 0 , / tiene un valor máximo en * = h = -bi2a <=> h = 3

El valor máximo e s : k = / ( h) = - y (3)2 + 3(3) + ~ <=> k = 5 ■

^EJEMPLO 7 J Se va a cercar un terreno rectangular situado en la ribera de un río y no se

necesita cercar a lo largo de éste. El material para construirla valla cuesta
$ 6 el metro lineal para los extremos y $ 8 por metro lineal, para el lado paralelo al río ; se
utilizarán $ 1200 de material para vallas. Hallar las dimensiones del terreno de mayor área posi­

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30 Capítulo ! : Funciones

ble que pueda demarcarse con los $ 1200 de material. Cuál es la mayor área ?

Solución Sean * e y las dim ensiones del terreno y A su área (Figura 1.31)

■=> A = x y (1)

El costo del material para cada uno de los extremos del

terreno es : 6y + 6y = 12y. El costo del material correspon­

diente al tercer la d o , paralelo al rio es : 8* .

De modo que el costo total de la cerca es

12y + 8* = 1200 <=> y = | ( 1 5 0 - * ) (2)

Para expresar A en términos de una sola variable sustitui­ _____ tj

mos (2) en ( I ) y obtenemos P lG Ú ftA 1 .3 Í

A(*) = y (1 5 0 -* )* = x 1+ 100*

La función A es cuadrática con a = -2/3 y b = 100. C om oa < 0 , la función A tiene un valor

máximo en * = - b!2a • = > * = - = 75 m . En (2): y = y (150 - 75) - 50m

Por lo ta n to , la m ayor área posible que pueda dem arcarse con $ 1200 es ■
A = 75 x 50 = 3,750 m1

[e j e m p l o s j Un fabricante de camisas puede producir una camisa en particular con un
costo de $ 10 por unidad. Se estim a que si el precio de venta de la camisa

e s * , entonces el número de camisas que se vende por semana es 120 - x. D eterm inar cuál debe
ser el precio de venta con el objeto de que las utilidades semanales del fabricante alcancen un
nivel máximo.

Solución Sea I dólares el ingreso sem anal. Como el ingreso es el producto del precio de

venta de cada camisa por el número de camisas vendidas, entonces:

I = *(12 0 -*)

Sea C dólares el costo total de camisas que se venden por semana. Como el costo total es el

producto decadacam isay el número de camisas vendidas .entonces

C = 10(120-*)

Las utilidades se obtienen restando del ingreso total el costo to ta l, esto es , si P dólares es la

utilidad semanal del fabricante, entonces

P(*) = I - C = * (1 2 0 -* )- 10(120-*) = -* 2 + 130*- 1200

La función P es cuadrática con a = - i ,b = 130 y com o a < 0 , P tiene un valor m áxim o en el

punto donde * = -b /2 a . Así pues ,* = - 1 30/-2 = 65 dólares, es el precio de venta con el cual las

utilidades del fabricante alcanzan su nivel máximo. B

¡EJEM P LO T T | En un triángulo A B C , cuya base A C = 10 cm y su altura BH = 6c m , está
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Sección 1.8 : Funciones especiales 31

inscrito un rectángulo (Figura 1.32). Si S es el área de dicho rectángulo , hallar un modelo
matemático expresando S como función de su base x . Construir la gráfica de esta función y
hallar su valor máximo.

Solución Si S es el área del rectángulo e=> S = x y (I)

Para expresar S en términos de una sola variable haremos uso de la geometría

elem ental, esto e s :

AABC = A D B F « f g = | | « f = « y= 6 . | x (2)

Al sustituir (2) en (1) se obtiene el modelo m atemático : S(x) = - y x? + 6x , x e (0 , 10)

La función S es cuadrática con a = -3l5yb = 6 ,y c o m o a < 0 , S tiene un valor máximo en el
punto x = -b¡2a , es d e c ir, en x = 5 . Por lo que

S(5) = - | (5)3 + 6(5) = 15

es el valor máximo de la función , cuya gráfica se muestra en la Figura 1.33 ■

Definición 1.9 : FUNCIÓN RAIZ CUADRADA

Es aquella función denotada por %T, con dom inio el conjunto de los números reales positi­
vos y cuya regla de correspondencia es

para la cual f ( x ) t=¡\!* es el número cuyo cuadrado es <, es decir, los elementos del conjunto /
son parejas de la forma " f = {(},2 . y ) l ^ > 0} <de modo que el D o m (/)= R an(f) = fO,

r” F IG U R A 1.34
Nótese que al elevar al cuadrado ambos extremos de la ecuación
y = 'íx toma la forma conocida y2= x. Esta ecuación representa '
una parábola de eje horizontal ( y = 0) , con vértice en el origen y ‘
que se abre a la derecha. Por ta n to , la gráfica de y = tJx , mostra- |
da en la Figuro l .3 4 , es parte de la gráfica de la parábola y 2=x
cony>0

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32 Cafúiulo 1 : Funciones

OBSERVACIÓN 1.8 Para el caso general de una parábola de eje horizontal
x = a y 2+ b y + c = a{ y - k)2+ h

al despejar >•= / ( * ) , obtenem os : ( y - k )2= ^ (x - h) «=* >■ = k ± \ (x - h)

Como a puede ser positivo o negativo, entonces haciendo = (± p )-, se tiene
y = k + pV± (jc - h) ó y = k - pV± (x - h) , p > 0

Se tienedos funciones cuyas gráficas son sem iparábolasconejey = k , y vértice en V ( h . k ) . La
forma como están ubicados las gráficas de las semiparábolas respecto de su eje y = k , dependen
de los signos antes del radical, y la forma como se abren éstas (hacia la derecha o izquierda)
dependen de los signos ± dentro del radical. En consecuencia , se presentan dos casos :

En este caso la gráfica de la sem iparábota está ubicada en el semiplano superior del
eje y = k ( y > k)
En (a) la curva se abre hacia la derecha . El D o m (/) = [h , + » ) y R a n (/) = [k + -H»)
En (b) la curva se abre hacia la izqu ierd a. El D o m (/) = (-<*>, h] y R an (/) = [k,-H »)
(Véase la Figura 1.35)

0h »X o h
l

F IG U R A 1.35

C aso 2 y = k - p V± (x - h) <=>

En este caso , la gráfica de la sem iparábola está ubicada en el sem iplano inferior del
eje y = k ( y<k).
En (a) la curva se abre hacia la derecha. El D o m (/) = [h , +«>) y R an (/) = (-<» , k]
En (b) la curva se abre hacia la izquierda. El D o m (/) = (-“ •, h] y R an (/) = (-<», k]
(Véase la Figura 1.36)

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Sección ¡.8 : Funciones especiales 33

EJEM PLO 10 j H allar el d o m i n i o , el rango y dibujar la gráfica de las funciones :

f { ( x , y ) \ >■= -! + V 4 x + 12} y g = { ( x , y ) l y = 3 - V 4 - x } .

Solución En / : y = - 1 + 2 V+ (x + 3) «=* h = -3 , k = -l , luego V(-3 ,-1 )
Tenemos el caso I( a ) , la gráfica de la fu n c ió n /e s una semiparábola ubicada en el

semiplano superior del eje k = - 1 , y la curva es abierta hacia la derecha. Por lo q u e , D om (/) =
[-3 , +~> y Ran( / ) = [-1 , +°o). (Figura 1.37)

En g : y = 3 - V- ( x - 4 ) , de donde , h = 4 , k = 3 ^ V (4 ,3 )
Tenemos el caso 2(b) , la gráfica de la función g es una sem iparábola ubicada en el
sem iplano in ferio r del e je k = 3 y la cu rv a es ab ierta h acia la izq u ierd a (F ig u ra 1.38).
Luego , Dom(g) = (-< » ,4] y Ran(g) = (-°°.3]

O B S E R V A C IÓ N 1.9 Si una función / tiene por regla de correspondencia una de las
formas:

a) f(x) = ± V ¡Ü ) b) /(*) = k ± V g ü ) c) f(x) = k±pV g(*j

donde g es una función cuadrática, esto es

g(x) = a x 2+ b x + c = a(x - h)2 + 1 , a * 0

entonces, según el signo y el valor que tengo el número real a , su gráfica puede ser una de las
formas cuadráticas: semicircunferencia, semielipse o una semihipérbola. A hora, la forma como
está ubicada la gráfica de / respecto del eje X ( y = 0) o respecto de la recta y = k depende del
signo antes del radical. Si el signo es positivo, la G r(/) está ubicada en el semiplano superior

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34 Capítulo 1 : Funciones

del eje X para el caso (a ), y de la recta y = k para los casos (b) y (c ). Lo contrario sucede cuando
el signo es negativo.

E J E M P L O ^ Ii'J Hallar el dominio, el rango y dibujar la gráfica de la función siguientes:

1 . f ( x ) - 3 - Vi 5 - 2 * " - x2' 2 . / ( x) = Vx“ - 4 j r - 5
3. /(x ) = 1 - | VI2 + 4X-JC2
\4. /(x ) = - I + V27 + ÓX-X3

Solución I . f ( x ) = 3 - Vl 6 - (x + I )2
a) Dom inio de la función : / e s real o 16 - (x + 1)2S 0 *=> (x - l )2 < 16
<=> - 5 í x < 3 >=> D o m (/) = [ - 5 , 3 ]

b) Si y = / ( x ) o y¡16 - (x + 1)2 = 3 - y , de donde : (x + 1)2 + ( y - 3) = 16
La forma cuadrática es una circunferencia con centro en C ( - l , 3) y radio r = 4

c) El signo negativo antes del radial nos indica que la G r(/) es una semicircunferencia
ubicada en el semiplano inferior de la re c ta y = 3. Véase la Figura 1.39).

d) D e la G r(/) se deduce que : R a n (/)= [ k - r , k ] r=> Ran ( / ) = [ - 1, 3]

2. /(x) = V(x-2)2-9

a) Dominio de la función : / tiene sentido «=> (x - 2)2 - 9 ¿ 0 c ^ ( x - 2 ) 2 > 9

« (x - 2 < - 3) v (x - 2 Sí 3) « (x > - l ) v (x > 5) «=> D o m (/) = -1 ] U [5 , +“ }

b) Si y = V(x - 2)2 - 9 <=> (x - 2 )2 - y2 = 9 . L a form a cuadrática es una hipérbola
equilátera con centro en C(2 , 0 ) , semieje transverso a = 3 y cuyas asíntotas se
obtienen haciendo : (x - 2 )1 - y 2 = ü <=> x - 2 = ± y
<=>£,:x + y = 2 ó l2: x - y = 2

c) El signo positivo antes del radical nos indica que la gráfica de / es una sem ihipérbola
ubicada en el semiplano superior del eje X. (Figura 1.40)

d) Rango de la función : Como y ^ 0 , V x e D o m (/) R an (/) = [0 , +«*>)

3. /(* ) = l - | V l 6 + ( x - 2 ) 2
a) Dom inio de la función : Como 16 + ( x - 2 ) 2> 0 , V x e CR => D om (/) = OR

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Sección 1.8 : Funciones especiales 35

•3 (y_Jy (x_2)2
b) Si \ I 6 + ( x - 2)2 = 1 - y o ------— - — —— = 1 , lo form a cuadrática obte­

nida e s una hipérbola con c en tro en C(2 , 1) y en donde , a = 3 , 6 = 4 , h = 2 y
k = 1. Si V ( h , k ± a ) e=> V ,(h , k - a ) <=> V2( 2 ,- 2 ). Sus asíntotas se obtienen haciendo

(>> ~ 1)2 - (JCj~62?2 = 0 <=> : 3 x - 4 y = 2 o e2 : 3 x + 4 y = 10

c) El signo negativo antes del radical nos indica que la G r(/) es una semihipérbola ubicada
en e! semiplano inferior d e la recta y = 1 (Figura 1.41)

d) Rango de la función : De la G r(/) se deduce que R an (/) = <-°®, -2]

4. /(* ) = -1 + ^ V 3 6 - ( jc- 3 ) 2
a) Dominio de la función : / tiene sentido <=> 3 6 - ( a t - 3 ) 2> 0 <=* (a: - 3) < 3 6
« - 6 S * - 3 < 6 o D om (/)= [-3,9]

b) SÍ V36 3)2 = 2 (y + 1) « + i y + 1)2 = 1

La forma cuadrática es una elipse con centro en C(3 , -I) y semiejes : a - 6 , b = 3
c) El signo positivo antes del radical nos indica que la sem ielipse está ubicada en el

sem iplano superior de la recta >• = -1 (Figura 1.42)

■- ■
V,

I.

jT i 1 2 <£4 ^ * 2 8\ ' “
.\ o C
l
i

Definición 1.10 : FUNCIÓN POLINOMICA

Es aquella función real de variable real / : IR -> IR , denotada por

f ( x ) = a nxr + a n t x ” ' + . . . . + a Txz + , a lx + a ll (l)

e ÍR , donde n es un entero positivo y ail, a t , c 2, a t , a M, son números reales

fijos llamados coeficientes, a t # 0 es el coeficiente dominante y <2ue s el ténnino constante

del polinomio.

Para denotar el grado de una función polinómica de orden n escribimos abreviadam ente :
gr(/) = n
Por ejem plo . la función / : IR IR definida por f ( x ) = 3a5 - 4xA + 3a^ + x - 5 es una función

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36 Capítulo / : Funciones

polinómica de quinto grado y se escrib e, gr( / ) = 5.
Cuando se grafican funciones polinómicas , se supone que sus gráficas son curvas ininte­

rrumpidas. Esta propiedad se deduce del hecho de que las funciones polinómicas son conti­
n uas. L a definición de función continua requiere el concepto de límite que lo estudiarem os en
el próximo capítulo.

Definición 1.11 : FUNCION RACIONAL

Es aquella función que puede ser expresada como cociente de dos funciones polinómicas.
Esto es , si P(x) y Q(x) son funciones polinóm icas, la función cuya regla de correspon­
dencia es

Pí.r) a x* + a„ ,An l + . . . . + a je 2 + a ,x + a„

™ = qU = »> + »:> '+ ... ■« w * 0

se denomina función racional.

Cualquier función polinómica es una función racional, esto ocurre cuando Q(x) es una función
constante , en particular cuando Q(x) = I , V r e Dom(Q).
El dominio de una función racional es el conjunto CRtales que Q(jc) * 0.

f.EJEM PLO 12 J Construir las gráficas de las funciones racionales

a) , = f b) y = l - x
l +x

Solución Ambas funciones son casos especiales de una función racional de la forma
P(*)/Q (x), llamadasfunciones homográficas.

En (a) escrib im o s: (x - 0) ( y - 0 ) = 2 <=> D o m (/) = R an(/) = (R -{ 0 }
La gráfica de esta función es una hipérbola equilátera cuyas asíntotas son los ejes coordenados
jc= 0 , y = 0 . (Véase la Figura l .43)

Yé

• JX

F IG U R A 1.43

En (b), efectuamos la división y obtenemos : y = - 1 + 2 <=>(x+l)(y+l) = 2

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Sección 1.8 : Funciones especióles 37

L u eg o , el D o m (/) = R an (/) = [R - 1}

La gráfica de esta función es la hipérbola equilátera del ejercicio ( a ) , cuyo centro se ha

trasladado al punto (-1 , - ! ) , es d e c ir , sus asíntotas son las rectas x = -1 , y = -1 (V éase

la Figura 1.44) ■

E JEM P LO 13 J H allar el domi ni o, rango y dibujar la gráfica de la función

ñ x ) *, - 6.r2 + 3* + 10

Solución Factorizando los términos de la función racional se tiene

f i \ = -rlt + DCt - 5í(.r - 2)(.r - 4) VA
n ) (x+l)(*-2)(*-5)
1

«=> f ( x ) = *C *-4) = ( x - 2)2 - 4 , x * - 1 , 2 , 5
La gráfica de / e s la parábola de vértice en V (2, -4).

Entonces el D o m (/) = ÍR - {-1 , 2 , 5 } . Para determ inar el rango L -2--i--t/i ‘i >
hallamos los puntos excluidos, esto e s , s i : 2
•»
x = - l ■=> y = (-3 3 --4 = 5 A (-I , 5 ) « G r ( /)
x = 2 => y = (0)‘ - 4 = -4 ^ V (2 , - 4 ) e G r ( /)
x = 5 ^ y = (3)2 - 4 = 5 => B(5 ,5 ) tí G r ( /)
Obsérvese que los puntos A y B tienen la misma ordenada, por lo
que habrá que quitar y = 5 del rango, esto es, R an (/) = ( -4 , +®°} - {5}.
La gráfica de la función se muestra en la Figura 1.45

❖ Hasta aquí hemos tratado solamente funciones de tipo /(x) = y , donde una misma formula
nos describe el comportamiento de la función en todo su dominio. Sin em bargo, podemos tener
funciones que tengan distinto comportamiento dependiendo de los valores del dominio.
Es decir , el concepto de una función , cuya regla de correspondencia consta de dos o más
fórm ulas, nos permite enunciar la siguiente definición.

Definición 1.12 : FUNCIÓN SECCIONADA

Es aquella función cuya regla de correspondencia tiene la forma
/,(-0 . J t e A

/ ( O = <! A CO . B
ACO , x e C

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38 Capítulo I : Funciones

donde: A f l B f l C n . = <? ** G r ( /) = G r ( /,) U G r ( /2) U G r ( /3) U .
y además: D o m (/j = D o n i(f() U D o m (/,) U D o m (/3) U -. -
R a n (/) = R a n ( / , ) U R a n ( / 2) U R a n ( / 3) U . - . .

EJEM PLO 14 ) G raficary hallarel rangode la función

/(*) = - 1 , si x < - 2

l , si -2<,x<2

3 . si x ^ 2

Solución En este caso el dominio de la función se ha dividido en tres subconjuntos :

A = , 2) , B = [-2 ,2 ) y C = [2 , +«>) , tales que A f | B n C = <}>,y que los

valores de la función dependen de donde esté localizado*. Por ejem plo : /(-4 ) = -l . pues

-4 e (-«>, -2 ) ; /(O ) = I , ya que 0 e [ - 2 , 2 ) ; / ( 5 ) = 3 , puesto que 5 e [2 , +<*>). L uego la

G r(/) en cada sección es una recta p aralela al eje X , dado que /,( * ) = - l , f 2(x) — l y

f y(x) = 3 son funciones constantes. P o r tanto , D o m (/) = IR , R a n (/) = { -l , l , 3} y la

G r ( /) = G r ( / () U G r ( / 2) U G r ( / 3) se m uestra en la F igura 1.46. ■

( e j e m p l o 1 F ) Hallar el rango y dibujar la gráfico de la función

í 5 - Vjc1 + 2x - 3 , si x <. -3
f ( x ) = *S
[ 6 + 2jc -jt * si jc>-I

Solución Vemos que el dominio de / se ha dividido en dos subconjuntos :
A = (-o® , -3] y B ={-1 , + ° ° ). tales que A D B = <J>

Entonces , sean : /,Cjc) = 5 - V(jr+ 1)- - 4 , jt < -3 y /,(* ) = 7 - (x - 1)2 , x > - 1
El rango de / lo obtenemos analíticamente partiendo de los dominios de / , y / 2

a) Para / , : si x < -3 «=» x + I < -2 t=> (jjc+ 1Y > 4 «=> V O + 1)2 - 4 £ 0

M ultiplicando p o r-1 : - V(jr + I)2 - 4 < 0 «=> 5 - ^ ( x + I )2 - 4 < 5 o / , ( * ) £ 5

b) P a ra / 2 : sí jr > - 1 «=» x - 1 > -2 ■=> (jc- 1)2> 0 >=> - ( * - l)3 < 0
^ 7 - ( jt - 1) z < 7 => f 2(x) < 7

Por lo q u e , de (a) y (b) se tiene : R an(/) = (-«», 5] U , 7] = (-<», 7]

A h o ra, e n / , : V(x+ l )2 - 4 = 5 - y <=> ( x + l )2 - ( > ' - 5)2 = 4 , x £ - 3

L u eg o , la G r(/,) es parte de una hipérbola con centro en C (-1 ,5 ) restringida a la región x < -3

y con una de sus asíntotas, la recta ( ,: x - y + 6 = 0.

En f 2 : y = : - ( x - I)3 + 7 , l a G r ( /2) e s la de una parábola con vértice en V(1 ,7 ) restringida a la

región jc>-I . (Véase la Figura 1.47) ■
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Sección 1.8 : Funciones especiales 39

^EJEM PLO 1 6 ) Un comerciante de ropa gasta 200 dólares porcada docena de camisas
com pradas , si es que com pra no más de 8 docenas. Sin embargo , si la

capacidad de com pra sobrepasa las 8 docenas el precio de com pra estará reducida en $ 12.50
por el número de docenas excedentes. Definir la función de compras (gasto realizado) como
función del número de camisas adquiridas. Cuál será el mayor gasto que se podría realizar y en
este coso cuántas camisas se adquirirían? Dibujar la gráfica de la función.

Solución Sea x el número de docenas de camisas adquiridas y sea G(x) el gasto total realiza­

do al com prar las a d o c e n a s. Según el e n u n c ia d o , cada docena cu estaS 200 si

x e [0 , 8] , entonces:

G(x) = 200x , si 0 < x < 8 (!)

Si x - 8 es el número de docenas excedentes, entonces es precio por cada docena de exceso será

g(x) = 200 - 12.5(x - 8) , y por las x docenas se gastará.

G(x) = [2 0 0 - !2 .5 (x -8 )]x e=> G(x) = (3 0 0 - I2.5x)x, si 8 < x < x .

Es evidente que se gastará en comprar docenas de camisas hasta GfUU .

que G(x) = 0 , esto es , si 3 0 0 - I2.5 = 0 , de donde , x = x ( = 24

docenas «=> G (x )= 3 0 0 x - I2.5x2 . si 8 < x < 24 (2) i

Por tanto , la función de compras como función de camisas ad­ 7 \I.6W1 r
/ V31)0
quiridas la obtenemos de ( l ) y (2 ):

200x , s¡0á x á 8

G(x) = 0 4 i 12 24

300x - 12.5X1, si 8 < x < 24

En x e (8 , 2 4 ], la función G es cuadrática y de a q u í: F IG U R A 1.48

a = - 12.5 < 0 y b = 3 0 0 , luego , la función alcanzará su m ayor valor en el punto donde

x = -bí2a x = 12 . Es decir , el mayor gasto ocurre cuando se compran I2 d o c e n a sd e

camisas y éste e s , G íl 2) = 300(12)- 12,5(12)- = $ 1,800.

La gráfica de la función se muestra en la Figura 1.48 ■

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