Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

740 Respuestas a ejercicios propuestos

59. /U ) = - 2 - 2 * , si * € [—2, - 1 > 60. /U )= 4 + 2*, si x e [-2, -1 >
I + * , si x e [ - l ,0 > 1 - * , . « ' * € [—1 ,0 >
1—jc , si x e [0, 1> ! + * . si x e [0. I >
- 2 + 2 * , si x e [1,2] 4 - 2 * . si x e [1.2]

61. g es p eriódica, T = 2; 63 a) T = 1/3, b) T = 1, c) T = 2, d) T = 1, e)T = n /2 , f) T=6tc

{Grupo 4 } Algebra de las funciones (u

1. a) l/ 2. b ) 0 , c ) 3 /2 ; 2 . [ - 1 , 0 , 1 , 2 ) ; 3 . a) [ - - / é . - V 2] u [V 2 . V fi].
b ) (f+ g)(x) = x2+ V<T-*2 - 4 , Jfe D om (f), g - h = {(-3,-2), (-2 ,^ 5 -3), (0,2), (1, 1+2 J 2 ),
(2, -Js -4 )} ; 4. D om ( f • g ) = < -1, O]; 5. * e [3, +<»>; 6. R an ( f + g) = [O, +°°>;

W =_ 3 + 2 * - * 2

8.a) (f+g)(*) = 3* - 1 , * e [-3, 0] b) if+g){x) = 2 * - 1, * g < -3 ,-l> -{ -2 )
5* - 2 , * e <0, 2] 2* , * = -2, * = -1
2* + 4 , * g <2,5] *z - * + 6, * € <1, 3J

9. </-g)(*) = J x - 2 - I , * g [2, 4> !*■+11 + 1, * g [-2, 2>
* = - 14*+ 95 , * g [6,8> 2 ,x = 2
*2 - 16* + 58 , * g [8,10>
10. (f+g)(*) =

—* - 1. , * g <2. 4>

Ran (f - g) = [-6, -2> vj [ l , -Jl - I> Ran (f + g) = <1/3, 4]

- (* + 1 ), * e < -3 ,-1>- {-2} *2 - 4 , * g [-6,-2>

11. t f + g ) ( * ) = 2 , x=-2 12. I ^ |(*) 2 - * , * g < -2, 0)
1 , * = -1 g
2
(* - 2 )2 , * g < 0 , 2] x - 2 , * G [2, +<»>

Ran ( f + g) = [O, 4> Ran (/7g) = <0, 36]

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Respuestas a ejercicios propuestos 741

^ , Í E L 0 .3 > -(I)

x 2 —2x „
— , x e <3, 6J
I- x

- x e <6, 8]

J x 1 + 1 6 - 2 . t - 4 . x 6 < -4, -2>

x3- 2 x - 3 ,X 6 [-I,0 >
x2- 2 x - 2 , x e [O, 1>

x2 - 2x - 1 , X 6 [I, ^2 >

-X2 - 2 x - 1 , X 6 < y Í 2 t 2>
4 . x 6 <4, 5>

15. <f- g) ( x ) = y¡x2 - l x . X 6 <-2. 0> u <2, 3>

3 . si x = O
( x - 2 ) 2 , x e <0. 2]

16. K - 1 (x ) = 2 x + 3 . x e IR -[1 /2 , 1>
\ 8J [2 x -l]

O , si x e -4] u <0, 21

2x + 4 , si x e <-4, - 1> - {-2}

18. h ( x ) = -2 x - 4, si x 6 < - 1. 01

-2 , si x e <2, +<»>

==>h(x) = 2(x+2)[U (x+4)-2U (x+1)][ I-U (x)]-2U(x-2), x e E - [-4. ±2, -1)
0 . s i x e {-4,-2}

19. a) F(x)= - x - l . x e <-t»,-2> u < -1,0> u < 1,2>
- 1 , si x = -2
x - ! , si x e <-2, -J>
1 , si x = O
x + 3 , si x e <0, 1> u <2, +«>>

b) G(x)= * -2x - 1 , x e <-«>,. 2> o <-1, 0>
-3 , si x = -2
-1 , x e <-2, -1>
1 , x e {0} vj <1, 2>
t/3 (2 x + I) , x e < 0 , 1> e < 2 , +«=>

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742 Respuestas a ejercicios propuestos

[Grupo 5 ) Composición de funciones

1. [3, 4J; 2. a = 5; 3. < -« , - - J l ] u [ J z , + “ >; 4. h(x) = x2- 3; 5 .- 1 7 /3

. .. x + 3, si x > -4
6. g[x) =
-x - 3, si x < -4 7. /(x ) = 2x - 1/3; 8. 555; 10. jc e < - « -2] u < - ^ 2 , l> u

[2,+<*>>; 11. [-3 ,-3 /2 ]; 12. < -« « ,-^ 3 ] U < -1, !> u [4,+<»>

13. (fog)(x) — - 2x*-4x + 3. x e <-19,-2> 14. ( f og) (x) = 6x + 2 , si x <-3/2
8x2+ 1 , x e <6, 10> 2 - 9x , s ¡x > l

x 1 - 1 , si x < I 16- (fog)(x)= x2+ 6x + 7 , x e [-5,-3]
15. (fog){x)= ■ x2-»- 2 , si - I ^ x < 0 4x2- 4x - 1 , x e [-2, l>
16x2+ 8x • I, x = 1
3 - x2 , si x >0

- jc2 + 6x - 6, x e <-«», U] ■JS - x, x e <1, -J5>
1 , x e <4, 7>
x2 - 3x , x e <0, l ] 18- (f0g)(x) =
-p~— , x e [/7 .2 V 3 }
17. <fo)(x> = -je2 + l(lx - 22, x e <1,2>

A'2 - 7x +10 , X E [2, + » >

19. (goj)(x) = JE2, X e [-3, -2] -4 ,x = -1
0, x e <-2. -1 ] *x - 4 , x e < - 1.0]
4, x e [1,2] -4 ,x =I
-x , x e <1,3>
20. (fpf )(x) = -2 ,x=3

4 - íx -1-2 + 2 , x e [4, 9]

I , x e <-4,-3> \4x-5 „ , x e <-°°,-2>
x+6 J -2
21. (f0g )(x )= ^ , X E <-2,-l] V x -1
22. [g°f){x) = i
m'
, x 6 <-3,-2] Vi —4 x - x 2 -2, x e [-2 ,-1 ]
L5 - x
.X E [4, 5]

23. g ( x ) - x + 1 , x e [-1, 1> u < 1,4]; D om (fQg)(x) = [-1, 0> u [3, 4], R an (fag) = <1, 3]
x -l

u [ 7 , 13]; 24. a = 2, b = !; 25. / ( x ) = x2- 4x, x e IR -{0}, /?(x) = x 2, x > ! 5

íGntpo 6 J Función Inversa
1. a = 2, b = 11; 2. FFV; 3. N o existe n\ 7. / e s inyectiva, g no es inyectiva 8 . a ) a = 2 , b = 3 ,

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Respuestas a ejercicios propuestos 743

4x + I I , x e [-3. -1>
b)(/¡tf)(x) = 7 ; 9. < -4.-I> u< 0.2> ; 10.7; 11. i/2(3x+ 7), 1/3(2jc-7);
,x e [-1, 3]

13. b) k * (x) -■ yf(5 - a ) / 3 - i. x < 2

\-Jx-\ ,x> 2

2 - V 2 x - 8 , x e < 9/2, 6]

14. / ( j f) - «
2 + V 2 x ^ 8 i x e [4, 9/2]

15. (g + /*) (x ) - ( V x 2- 2 x + 5 + x + 2 ) , x e [-4. 1 • 2 ^ 3 ]

V2 - x + x + 2 , x e |- 2, -3/21

16. / * ( * ) = 1 +' l+ V T + x ’ l7 ‘ í / * ( f n° es inyectiva), # * ( a ) = 2 (/b £)*(■*) =

(tíí> <1/3, 2/5>; 18. A = [-2, 0> u [1, 4], B = [-3, 7]; 19. a = -4 ó a = - 1;

2 -■

20. / * ( x > = ^ (180 - x?). x 5 0:

-6 - V x 2 - 8 x + 25 , x < 0 -V 2 x - 2 , x e <3,9]

21. /* (x ) = - Vx + 3 - 3 , x >6 22. ./ * (t) = x2 - 2 . x e [0. 21

- 1 - V a f 3, x e < -2, 1> 2- e <-oo. _5>

23. f *(x) = . , x e <-oo,-5> 24. f* ( x ) = ■ , X 6 < 1, 2>
x_j3
x +1 . x2- I

-2 + Vx + 9 , x f [-9, 0> -I + V7--T, x > 5

25. /* (* ) = ■ X3 + 5 , X 6 (1 0 , +oo> 26. /*(*> = V x —4 ,x< 5

2 - V^T ,x < 4 - x , x e <-2, 3>

27. j *(jr) = 1/2 (x3- V x2 -~8x ), x > 8 28' ^ *(A) " 2 V - x - I , x e <-oo.-21

1/2 ( l + x ) . x 6 <-«>,-3> V7 , x e ( l , 4>

29. / * (x > = • - 1/2 V ^ , x e [0 ,4 ] 3 0 ./*(A ) = x2 + 2 v . x 6 ( - 1. 0>
x2 . x e [I), l>
X-4 , x 6 <4, +«»>
-X 2 , X E [-3, - l >

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744 Respuestas a ejercicios propuestos

4 + Va + 9 , a g <-9,0] a2+ 3 ,a> 0

Ms (7 - j t ) , a < 1 , 3] 32. /* (* )« Vv+ 4 - 1 .- 4 < a <0
31. f*(x) = <

4 - J J + 9 , x e <16, 40]

-5- J x + 4 , x e < -4, 0]

33. /*(*> = < x2- 2 x , jc e < 1, 3] I - A2 , A 6 1]

- 5 + J x + 4 . x g [5, 12> 34. /* (a ) = V a - 1 . . t e < I. +oo>

I - V a - 1 , jc g < 1 , +«■> I- V i - a , a g [-3, l >

35. /*(*> = « , x g < - « , 0] 36. /* (a ) =

c2 • 1 1 + J 4 x - x 2 , a g [2,4]

37. f* (x) = < -2- Vi-A» *e <-°°,l] 38. / * ( a) = 2 J —x + 2, a e <-<», 0 |
V 4 - a . a g <0, 4]
(a - 3)2 , a g [4, + < »>

-2 - V—a — 4 t a g ( - 1 3 , - 4 ] -3 - Vi —A , A G < - « > , ( ) ]

39./*< *)= x/2 , a e <-4,-2> 40. / * ( a ) = A- 3 , A G <0,3>
<
A2 + I . A G (3. + « >
a2 - 4a + 3 , a e <2.4>
-I , A = 4

41. /i(a ) = Va (a + l ) 2 , A g <-«*>, -3> 42. /l(A ) = 10 - J x - 2 , A G [7, +«>>
Va ( a 2 + 3 )2 + 4 , a g ( V 3 . V 5 1
< , A G [0 , +oo>
A2 +• I

4‘v 6r ‘> , x < E < - 2 . 3 - j ü ñ >

- 2 a + 12a - 1

43. (T«g)(A) = 2JI+2

, A G <3, +00 >

V a —3 —J x + 2

1 - V a 2 - 4 , a g <-«>, -4]

44. f ( x ) =

2 - jc2 , a e [ V 3 , 2]

45. g (jc) = - 1 - J x - 2 , x g <2, + « > A2 + 2a + 3, A G < - 00, - I >
- V a + I , a g < 2 , +“ >>
g * (a) =

a2+ 1 , a g < -« > ,-1>;

46. (g +/* ) ( A ) = J 7 + 1 + (7 - A 2) , A > Jl4

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Respuestas a ejercicios propuestos 745
[Grupa 7 | Las funciones trigonométricas

1 . : Í L (V 3 - i); 2. ni = - (2 + ^ 3 ) ; 3. E = l/z( ^ 3 -1); 4. -1 : 5. lü n 2/2 1 ; 6. A m plitud

A = 2; periodo T = 2n, defasam iento a la derecha h = Kl4; 7. A = 3, T = 2n, h = n /2 a la
derecha; 8. A = 3, T = 2n, h = n/6 a la izquierda; 9. A =6, T = 2n, h= n/6 a la derecha
10. A = 2, T = 2 n . h = 3n/2 a la derecha; 11. A = 2, T = 2 n/3, h = n /4 a la izquierda
12. A = Vá. T = I. h = 3 /5 n a la derecha; 13. A = 5. T = 2n/3, h = n /6 a la izquierda
14. A = 2. T = 2n/3, h = n/6 a la derecha; 15. A = 2; T = 6. h = 3/2 a la izquierda
16. A = 2, T = 4, h = 1/3 a la izquierda; desplazam iento vertical hacia arriba k = 2
17. T = n /2 . h = n /6 a la derecha, k = I ; 18. A = 3; T = 2, h = 1/3 a la derecha, k = 2
19. A = 2, T = 4, h = 4/3 a la izquierda, desplazam iento vertical hacia abajo k = -3
32. T = 2n; 33. T = 24; 34. T = 2

35./( * ) = Sen x +Cos x , x e [0, n/2> Tg x , x g [0, n/2>
Sen x - Cos x , x e [ n/2, n> 0 . x e <n/2, n>
- Sen x - Cos x . x e | n, 3n/2> -7# x , x e [n, 3n/2>
- Sen x + Cos x , x e l3n/2, 2n] 0 . * e <3n/2,2n]

Período: T = n/2 Período: T = 2n

3 7. A = V a 2 + b * . Sen x 0 — -a/A , C os x c = b/A , 38. f ( x ) = V 2 S e n ( x + n /4 ), A = > / 2 ,
T = 2n , h = n /4 h acia la izq u ierd a; 47 . n = ± 1, ± 3, ± 5, ± 15; 48. S i, T = 2;

49. R a n t n = [ - 2 , 2 ] -{-1, I }; 50. T = 3n/2, R a n tf) = [0. J 2 |. D ibujar la G r{ f ) red u cién ­

dola a la form a / ( x ) = -J2 \Sen(2/3 x - n/4)l. 51. Sugerencia: H acer f [ x ) — ISen 3rl y
#(x) = ICos 3x1, y m ediante la adición gráfica de ordenadas co nstruir la gráfica d e /i, el

1 f2n V n

período es ^ = 2 l 3 J ~ 3

52. Com o f ( x ) > 0, V x e D o m ^ ) = IR, se puede escribir

/(* ) = + Sen x + ^ / l - Sen x ) => f ( x ) = ^ 2 + 2 I Cos 2 x I

d e a q u í o b ten em o s a n alíticam en te T = n /2 . A dem ás 0 < ICos 2 x I < I. en to n ces

2 < 2 + 2 I Cos 2x I £ 4 , d e donde; < f ( x ) < 2 => R an( f ) = [■sÍ2 , 2]

x2 + 2x - I , x e [-3 ,-1> -;r-3x , x 6 <-4,-3>
4 + Co.v x , x 6 [0 ,n /2 > u < n/2,n] 5 4 ./ U ) = x2+3x , x s [-3,-2>
5 , si x = n/2
- 3+ Cos x . x 6 <n, 3n/2] u2 Scn(2/x), x 6 <2,4>

Ran (/)= < -4,0]u< 2,2>

[Grupo 8 J Introducción al límite de una función

1. V x e [-3, -2], x es un punto de acum ulación del D o m (/); x,, =3 es un punto aislado del
Domtf).

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746 Respuestas a ejercicios propuestos

2. 0; 3. a) M = 30, b) M = 9/4; 4. a) m = -100, b) m = -4, 5. m = 21/10, M - 9/4;
6. a) A colada inferio n n en te, p u e s / ( x ) > -3, V . t e D om (J ). b) A cotada superiorm ente,
pues f ( x ) < 5, V x 6 D o m (f), c) A cotada inferio n n ente y a q u e / ( x ) > 2, V x 6 Dom ( /’),
d ) N o es acolada; e) A cotada por las rectas y = -1, y = 1, pues - 1 < / ( .r) < 1, V x e [-1, 2],
1) Acolada por las rectas y = -3, y = 3 ; g) Acolada superiormente, pues/íx) > -9/4, V x e Dom (/).
7. a) Si, b) No, c) No, d) Si, e) Si, f) No, a menos que N = <«, +“ >, g) Si

{Grupo 9 j E l lím ite de una fu n c ió n _________________ __________________________

1 .8 5 0 .0 1 ,2 .8 5 0.002. 3 .8 5 0.02; 4. 8 5 0.003; 5. 8 < 0.009; 6. 8 S 0.026;
7. 8 = m in { 1, 4e / 13}; 8. 8 = m in {1 ,2 1 e /4 ); 9 . 8 = m i n {1/3, 2 e /1 3 )
10. 8 = min {1/20, e/2 }; 11. 8 = m in {1/12, e/30}; 12. 8 = m in {1/4, e/24}
13. 8 = min {1, e/4 7 }; 14. 8 = inin {1/28, e/98}; 15. 8 = min {1, e /3 }
16. 8 = min {1/2, e/8 ); 17. 8 = min { l/2 .e /6 } ; 18. 8 = min {1/4, e/24}
19. 8 = m in {1/10, e /2 6 ); 20. 8 = m in { l , e / 6 }; 21. 8 = m in {1/8, e /8 }
22. 8 = min { I, 4 e/3}; 23. 8 = min {1/60, e/12) ; 24. 8 = m in {1/5, e/50}

25. 8 = m in {1/128, -J2 e /4 } ; 26. 8 = min {1, 16e} ; 27. 8 = min {1, - J t J 2 }

2 8 .8 = m in { l/2 , |( V 7 + 2 V 3 ) e } ; 29. 8 = min {1, 2 e} ; 30. 8 = min {1, 4 - ^ e }

31. 8 = min{ 1, e / 3 ) ; 32. 8 = m in {1/4, e /8 ); 33. 8 = min {1,125 e/I28}
34. 8 = m inf 1/4, e /8 }; 35. 8 = min{ 1/4, e /2 4 ); 36. 8 = m in {1/4, e /8 }
37. 8 = m in { l. 19 e/68 }; 38. 8 = min{ 1/6, 3 e/46}; 39. 8 = min {2/5, 4 e / 3 )
40. 8 = min{ 1/6, e /8 }; 41. 8 = 1/4; 4 2 a) L = 5, b) 8 = 0.05

[Grupo I I ) Técnicas para evaluar el limite de una función

1. - 1/4; 2 .- 5 ; 3 .- 1 /3 ; 4 .- 1 /4 ; 5. Vi; 6. 2 - 1; 7 .- 1 ; 8. 4/5; 9 .-1 2 /2 5 ; 10.1/2; 11. m /n;
12. 6; 13. 10; 14. Vi rnn/n - m ); 15.(3/2)“’; 16. 49/24; 17. n/2(n + I); 18. n ^ ín - D a 1'*2;

19. n /2 (n + l); 20. ^ f m - n ) ; 21. (m /p)amT"-™; 22. ; 23. V2(3n - 2); 24. n/6 (n + 1);

j 2~ j-

25. -----7 7 ; 2 6 .3 a ; 2 7 .5 a ; 2 8 .- 1 / 3 ; 29. h i l ; 30. J a ■ 3 1 .- 1 /4 ; 32. 1/12;
l+aV 3 9

33. V 6/I2; 34. -9/2; 35. 4/3; 36. ^ 4 7 9 ;37. -J2/96: 38.12/5; 39.1/4; 40. 2/2

41. 3/2; 4 2 .-1 /2 ; 43.1/2; 4 4 .-1 /6 ; 4 5 .-3 ;4 6 .1 ; 47. ^2 /3 ; 4 8 .5 ;49. - l x -

50. -2 /a :; 51. 4/3; 52. -1 ; 53. í ;54. í-2- l ^ x ;55. —- , 56. 1/3;
\nj \3 ) (b-a)'

57. 5/8; 58. . * ; 59. 3/4; 60. -3 /8 ; 61. 70/3; 62. 1/6; 63. -1 /4 ; 64. 2/3;

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Respuestas a ejercicios propuestos 747

65. 1/2; 66. I/m ; 67. 32/9; 68. -1 /2 ; 69. -8 /3 ; 7 0 .2 /1 5 ; 71. 1 / 7 3 ; 72. " +-
mn

73. 29/30; 74. -1 /1 6 ; 75. -7 /3 2 ; 76. 4; 77. 1/4 ; 78. -1 /4 ; 79. 0; 80. 0; 81. 57/5;

8 2 .-1 /5 4 ; 83. a - b ; 84. H ~ P ; 85. 2n; 8 6 .3 2 /9 ; 8 7 .9 /5 ; 88. 112/27; 89. 1/n!;

mn pq

9 0 .-8 /9 ; 9 1 .1 ; 9 2 .-1 8 /3 5 ; 9 3 .-3 /1 0 ; 94. 57/5; 95.23/12; 9 6 .1 ; 9 7 .5 /4 ; 98. -4

99. 25/32; 100. 150; 101. -3 /4 ; 102. p(2/5, -1/25); 103. h(x) = x2 ■ 5x + 4 7 * + 6

L = 1/2(12 7 2 - 1); 104. 0 /0 no está definido, 1/6; 105. 0; 106. a = 2, b = -4. c =2;
107. a + m = 10; 108. a) 3. b) 0 ; 1 0 9 .-1 0 ; 110. a = ± 8/5, a = ± 2 , 111. 7; 112. a = 2;

113. 9 /2 1 1; 114. * ( * + I)(2n + 1); 115. -
6 «+ l

(C rn /w ^ £ j Límites laterales

7 .5 ; 8. 5 y —1; 9 .5 ; 1 0 .4 ; U . 3; 12. a) Si existe, L = 0. b = N o existe

13. a) 0 , b ) 1, c ) 0 , d ) 0 ; 14. 1 / 7 2 ; 15. a ) D o m (/) = IR- { - I } ,
R an(/) = < -« ,-3 > o [2, +««>, b) N o existe; 16. c) 20; 17. a) N o existe, b) N o existe, c) 0;
18. E n / a = 1/8, b = 21/8, Eng: a = - I , b = 4 /3; 19. a = - 1, b = 41/4, p = -3/4, q = 19/4;
20. a = -1, b = 1; 2 1 .- 5 /4 ; 2 2 .- 1 ; 23. a) 1, b ) l; 2 4 .- 1 ; 25. N o existe; 26. 0; 27. No

existe; 28. 2 7 2 ; 29. N o existe; 30. N o existe; 31. N o existe; 32. n + 1; 33. (4 + 7 2 )/6;
34. 4/3; 35. -32/5; 36. a) No existe, b) 29; 37. 4 y 7/5; 38. a) No existe, b) -6/5

x + 4 , x 6 <-“ ,!] [3.7] 40. a ) (f0g)(x)= Xa + 3. x < -1
x * - 8 x + 12, x g < 1, 2 > O
39. a) UoS)(x)= xa - 4 , x g <2, 3> - X2 , - l< x < 1
12 - x , x e (7, +*»>
x -2 ,x > 1

b) 5 c) No existe b) - 1 c) No existe

{Grupo 13 ) L ím ites de la fu n c io n e s trigonom étricas

1. 1/4; 2. 25/8; 3. 3/2; 4.1/2 ; 5. 2; 6. 4; 7. 1/p; 8. 1/2; 9 .0 ; 1 0 .-1 ; 11. 4 n \ 12. n ; 13. 1/6
1 4 .0 ; 15. a2/4b; 1 6 .0 ; 1 7 .- 1 ; 18. 1/2; 1 9 .0 ; 2 0 .0 ; 2 1 . 7 2 ; 2 2 .- t i ; 2 3 .2 ; 2 4 .- 1 /1 2
25. 3/4; 26. 1/6; 27. 4/3; 28. 48; 29. Sen 2a; 30. 14; 31. 1/4; 32. 1/2; 33. 3
34. C a s1 a; 35. 6, 36. 2; 37. 1; 38. (1+ 7 2 )/4: 39. 7 2 /1 6 ; 40. 0; 41. 2/ tü; 4 2 . 1/2

43. 1/Tt; 44. 3/4; 45. 2/3; 46. n/4; 47. 7 3 /3 ; 48. - 2 4 ; 49. 3/4 ; 50. 2 7 3 Tt/9; 51. 1

52. - 7 2 / 4 ; 53. - 7 3 / 3 ; 54. 2 7 2 ; 55. - 3 tc/ 2; 56. 1; 57. -16/iu; 58. 1/2; 59. 7 3 ; 60. n/8
61. 1/4; 62. n; 63. n; 64. - 3 ; 65. 0; 66. 0; 67. -1 /3 ; 68. - i ; 69. l/n ; 70. -2 a /3 ít
71. 2/3; 7 2 . 0 ; 7 3 . 8 /n 2; 7 4 . n /2 ; 75 . 3; 76. - c /n ; 77. -S e n a ; 78. - Cos a
79. 2Cos a / Sen'a, a * kn\ 80. (3/2)Sen 2a; 81. Cos 2a/Cos* a, a * (2 k + l)n /2 , k e Z

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748 Respuestas a ejercicios propuestos

82. 971/32; 83. 2; 84. -C o s a: 85. 1/4 Sen 2a Cos a ; 86. 1/12; 87. 18 rc: 89. 2/3; 90. 0:
91. 1/2; 92. 3; 93. 0 ; 94. 3/2; 95. 1/3; 96. - > / 2 / 7 t ; 97. 5/2. 98. - ^ 2 / 1 6 ; 99. I;
100. 1/2 (S ug. S u stitu ir arc Sen x p o r a rc Tg x / -<Jl—x 2 ); 101. b-’/2 ; 102. —1/2;
103. I /V 2 Í (H acer: u = arc Cos x); 104. - 1 ; 105. - 1 ; 106. 18: 107. 1/4; 108. 600;
109. N o existe; 11 0 .a; 111. 1/2; 112. a ) - V 3 , b) No; 115. Si n > m, L = 0, y si n = in.
L = I; 117.0; 1 2 1 .a ) .- i. b) 1/125; 122. ÁP = 3R; 124. 2R; 125. 2/3; 126. 2/lt

{Grupo 14 ) Límites al infinito Qj

2. - I ; 3. 1/2;6. a - 1, b = -2; 7. -8; 8. -1/8; 9. 2/5; 10. 3; 11. 1; 12. V 2 /2 ; 13. -4;
14. 1; 15. I;16. -1/3; 17. (a + b)/2; 18. 1/2; 19. ±5/2; 20. ±3/2; 21. a/2; 22. ±3/2;
23. 5a/2 ; 24. -a/2; 25. a/3; 26. -3a/2; 27. 5/3; 28. 2/3; 29. 4/3; 30. -1/4; 31. 1/3;
32. 1; 33. 2; 34. (a + b + c)/3. 35. - I ; 36. 1/n (a, + a 3 + ....a„); 37. -1 /3 : 38. 7/6
(Sug. S um ar y restar jc ) ; 39. 1/4 (Sug. H acer jc = 1/u); 40.* I; 4 1 .0 ; 4 2 .2 /3 ; 43. 3/4;
4 4 .4 /3 ; 45. I (Sug. H acer jc = 1/h); 4 6 .- 1 ; 4 7 .2 " ; 4 8 .-1 /4 (Sug. Sum ar y restar 2jc);

49. J l ; 50. 5/2; 5 1 .0 ; 52. 3; 53. a = b = ±1; 54. -2; 55.-1/2; 56. 2 (Sug. H a c e ra - 1/»);
57. 1/2, 58. 32; 59. c = 5; 60. a = b = 2; 61. 0

[Grupo J 5 ) L ím ite s Infinitos_____________________________________________________

1. -e»; 2. +°°; 3. - 4. -°o; 5. °c; 6. -°°; 7. -°°; 8. +oo; 9. +oo; 10. +<»; 11. -<»; 12. -<*>;
13. +oo; 14. -oo; 15. +00; 16. -00; 17. -oo; 18. +00; 19. -00; 20. + 00; 21. -00; 22. +00; 23. ± 00;
24. + » ; 25. +00; 26. +00

[Grupo 7 6 ) Lím ites in finitos en infinito___________________________________________

11. -o®; 12. -c*3; 13. +00; 14 . - 00; 15. +“ ; 16. +<»; 17. -«>; 18. +“ ; 19. +«»; 20. -<»;
21. 3; 22. -oo; 23. 2; 24. 1/4; 25. - 4 ; 26. 1/4. 27. + ~ ; 28. -oo; 29. 3; 30. 31. -oo;
32. +oo

(G rú p o lT ) Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas

1. x = ± l, y = ± x; 2. x = -6, y = x-13, y = l - x ; 3 . y = 1 - x ; 4 . y = 2x + 1/2, y = - 2 x - 1/2;
5. x = ±2, y = ± x; 6. x = ± 3, y = 2x - 2; 7. x = -1, x = 7, y = 2x + 6, y = -2x - 6;
8. x = -1, x = 3, y = -x - 1/4; 9. y = x - 1, y = -x + 1; 10. x = - I , x = 2, y = -x + 7/2,
y — -3x + 5/2; 11. x = ±3, x = ±2, y = x+ 1; 12, x = 0, x = 3; 13. x = ±5, y = 2x, y = 0;
14. x = ±3, y = -x - 4, y = x + 4; 15. y = x + 1; 16. y = x - 1/4, y = -x + 1/4; 17. x = ±2,
y = ±x; 18. x = -1, x = -2, y = -1, y = 2x - 4; 19. x = -I, y = l, y = x - 2; 20. x = -I,
x = -2, y = x, y = x - 2, ( 1, 1/4) “ punto ciego” ; 21. x = -4 , y = 1, y = x + 8; 22. x = -3,
x = 2, x = 0, y = l , y = -2x + 1, (-3,-4) punto ciego; 23. x = -2, x = 1/2, y - 1, y = x;

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Respuestas a ejercicios propuestos 749

24. x = 2, y = 1, x = 1, y = 2x + 5; 25. x = -1. x = I, y = -1, y = x: 26. x = ±1, y = -3
27. x = 2, y = I. y = x; 28. x = 4, y = x - 3/2, y = 2 - x; 29. x = - 2 , x = - 1 , y = 1, y = x
30. x = 2, x = -3, y = I, y = 3x + 3/2, y = 2x + 9/2; 31. x = -2, x = - 1. y = - 1, y = x - 2
32. x = -6, y = x - 7, y = 8 - 2x; 33. x = -3, x = 2, y = I/2, y = 2 - x, ( I , -3/4) punto ciego
34. x = I, y = 1, y = x - 5; 35. x = ±3, y = -2, y = 2x - 2; 36. x = I, y = I. y = x - 1/2
37. x = ±2, y = ±x; 38. x = -1, y = 2, y = x + 1; 39. x = -2, x = ±1, y = - I . y = x

40. y = I. y = x; 41. a)V 3, b) —V 3 ; 42. x = 1, y = 3(z + 1); 43. a) a = -3/2, b = VÍO/2,
c = -7/2; h) (0,0), (3/2, 0), x = 7/2, y = x + 2; 44. a = I, b = 0. Geométricamente se puede

decir que y = a x + b es una asín to ta oblicua de la i'unción j ( x ) = x 32 ^+ l^ ; 47. x = -3,

y = ±3; 48. x = 1, y = x + I; 49. 2x + 1 = 0, y = x + I ; 50. x = -2, y = x - 4; 51. x = ±2.

y = ± V 3 ; 52. 2x + 3 = 0, y = 4x + 9/2; 53. x = 2a, y = ± (x + a), 54. y = x - — ~ :

55. x = - a , y = b, y = x + (b - a ) ; 56. x = ±a, y = x ± y¡2 ; 57. x - - a / 3 , y = ± - ^ - ( a - 2 a / 3 );
58. y = ±2, x - 2y = 0; 59. y = 2, x = y + 1; 60. y = -1. x = 2y + l

[G rupoJH ^ Las funciones exponenciales y logarítmicas

1. D = IR, R = <0, +<«>; 2. D = IR, R = <0, + ~ > ; 3. D = IR. R = l> ; 4. D = IR.

R = < - 1. 0]; 5. D = IR, R = [3, +«•>; 6. D = IR, R =[6, +<»>; 7. D = x e | n, n + 1>, n e Z;

9. x = 3/2; 11. D = < l , V 3> ; 12. D = <1, 3>. / * ( * ) = 1 + 2*2-':

1+2* , x e [1,3] 2 ’^ r ; " 2 , x g < - 1 7 / 4 , - 2 >

1 + 2 -Jx , x g [ 0 ,1> 20. ( g af ) ( x) = 2 ^ 2 , x g < - 1 7 / 4 , -2>

\- y ¡ \ - ( x - \ ) 2 . x e l-l,0> Lng1J x * +1 , .v e K - J l J l . 2>

[Grupo / 9 ) E l nú m ero e________________ O

1. ^ /2 / 3 ; 2. 1; 3 . V e ; 4. e J; 5. 1 ; e2; 7. e2“; 8. 0. si H| < a2; si a,> a,; e ‘h<

si a,= a2; 9. e; 10. 1/c; 1 1 . e 3; 12. e l/3; 13. 1; 14. V e; 1 5 . c r,Hp1'; 16. e 3*2; 17. I; 18. I/e2;

19. I/e2; 20. e; 21. I/V ^ ; 22. I/e 3; 23. e**1; 24. e 3 (Sug. Use x - I, < lx ] < x);
25. e ‘2/2; 26 . 1/a; 27. 0; 28. 1/5; 29. 3 /2 ; 3 0 . 3 /2 ; 31. 2 x /b ; 32. ( a /b )2; 33. n;
34. a2 L n(a/b); 35. aJ Ln (ea); 36. e2; 37. 2/3; 38. e>w ; 39. a /p ; 40 - 2 , 41. e 2; 42. I ;

43. (a /p ) a0-*1; 44. e***»; 45. Ln x; 46. Ln x; 47. %fb\ 48. V ^ ; 49. (aJ b" c')'"***';
50. l / V « * ; S l . ( L n a /b )'1; 52. aJ*Ln a

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750 Respuestas a ejercicios propuestos

(G rupo 2 0 ] P untos de discontinuidad_____________________________________________

5. D iscontinuidad evitable en x = 1, continua en x = 4; 6. D iscontinuidad evitable en
x = 2; 8. D iscontinuidad inevitable en x = ±2; 9. D iscontiuidad inevitable en x = -4 y
x - 2; 10. C o n tin u a en x = 2, dicontinuidad esencial en x = -2: 11. a = 1/3, b = 2/3
12. a = 8, b = 20/9; 13. a = -7/8, b = 13/8; 14. a = 3 ó a = 4. b - -9 ó b = 5
15. a = 27/8 ; 16. b = 0; 17. a = -1/2; 18. a = 2. b = -1/3; 19. C ontinua V x e IR

2 0 .a = tc /4 ; 21. a ) / ( 8 ) = 1/72, b ) /( 3 2 ) = 1/320, c ) /( 2 ) = 122/27, d ) /( 2 ) = 3 ( 7 2 + 1)

22. c = 1; 23. c = 0; 24. Si m y n son pares o im pares entonces f{2) = 6 mf n , si ni y n son

impares, entonces ,fí-2)= bmfn 25. x = ± 2 ,y = 1 - x , y = x - 1, discontinuidad

esencial en x = ±2; 26. x = ±3, y = x + 4, y = -x - 4; 21. y - 2, y = x - 1/3, discontinuidad

evitable en x = -3, discontinuidad esencial en x = 0; 30. jc = ±3, y = -2, y - 2 x - 2 \

32. x = -2, x = -1, y = -1, y = x - 2; 35. x = -6, y = -2x + 8. y = x -1.

(G rupo 2 1 ) C ontinuidad en intervalos

0 , si jt £ [ - V 2 . V 2 ]

3. Es continua en x = ±-J2 , (/c #)(x) =

2 - x 2 , s i x £ [ - 2 , - - J 2 > u < -> ¡2 , 2 ]

4. No son continuas, (f0g)(x) = •x - I- Vi —jc , x < 1
jt2 - 7 . v + 10 , I < jc < 5
x-3 ,x >5

5. a ) / e s d iscontinua en jt = 0 y x = 2, y g es continua en todo IR
b )/p re se n ta discontinuidad removible e n jt = 0 y x = 2

6. f 0 g es co n tin u a en x e <-«>,0> vj < 0 ,I>

g 0f es continua en Jt £ <-««, - V2 > u < - l , l > u <1, J 2 > vj < V 2 ,+<»>

7. g es discontinua en x £ ( 2 - V 3 .1 , 2 + -/3 J
8. a ) / e s continua V Jt € [-1, +«»>; b ) / e s continua en x e <0, 2> u [n, n + l> ,

n £ Z + - { l } ; 9. x £ ( -1 /4 ,- I , 0, 1/8}; 1 0 ,/e s discontinua en x = 0;
11. a) x = 2, y = -3, y = x - 5, co n tin u a V x e IR -{ 0 , 2};
12./ e s co n tin u a en x € <0, 1> u <1, +<»>. En x = 0 p resenta discontinuidad rem ovible y

en x = 1 una discontinuidad esencial.

15. h ( x ) = - — -----r , x £ ( « , n + l > , X 9 f c l / 2 , x * I ; h(x) presenta una discontinuidad
2 x —n —i

esencial en x = n y x = n + l , n e Z

[Grupo 22 ) F unciones acotadas__________________________________________________

3. a) No es acotada, b) / e s acotada, Sup(f) = 5 , l n f ( f ) = - 4 . c) / es acotada,

>i

S «p (/) = 7 / 9 , Inf(f) = -1
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Respuestas a ejercicios propuestos 751

4. a) / no es acotada, pues existe una cota inferior m = - 1 y no existe cota superior,

g es acotada, #(x) e [1/2 (2 + - Jl ), 2 +s¡2 >, h) Inf ( f) = 0, S u p (/).

5. S uxp { f ) = 3/2, I n»f i f ) = V i , M a x tf ) = 3/2 y M in ( / > 6. /«X/ ( f ) = M in ( / )= - I ,

•Sup ( / ) = 1■no csitc M a x (/); 13. Sup (/*) = 8, no existe M a x ^ ) , I nf ( f ) = m in^/-) = 0;

14. S u p ( f ) = M ax(/) = 4, Inf (f) = M in (/) = -4; 1 5 ./(0 ) = 0; 16. f ( x ) = -1, por tanto

es continua V x e <0, + ~ > 17. a) D iscontinuidad esencial en x = - I, x = 0, jc = I,
b) Sup( f ) = M a x tf) = 2, I n f t f ) = M in(/ ) = -2; 18. a) M intf ) = -I, M a x tf ) = I,
b) M in( f ) = 0, M a x tf) = te, c) M in ( / ) = 0, M a x tf ) = 1/2.

[Grupo 2 4 ) Incrementos y Tangente a una curva

I.-0 .1 2 ; 2.0.44722; 3.-0 .3 1 0 4 ; 4.0.061208; 5.-0.0699; 6.0.8325; 7. h = 3

8. h = -2; 9. IOjc +y + 16 = 0, x - lOy + 42= 0 ; 10. 2x + y - 7=0, x - 2y+ 4 =0

I I . 2jt + 5y - 17 = 0, 5* - 2y + 3 0 = 0; 12. 2 x - 3y + 3 = 0,3x + 2y - 15 = 0

13. x + 2y -21 = 0,2x - y + 48 = 0; 14. 1Ix - 4v + 12 = 0, 4x + I ly -170 = 0

15. 2x - y -4 = 0, x + 2v - 2 = 0 ; 16. 3x + y = 0, x - 3y + 10 = 0; 17. x + 6y- 13 = 0

6jc - >• + 33 = 0; 18. IOjc + y + 18 = 0; x - lOy + 22 = 0; 19. 2x - y - 2 = 0

20. 2x - y - 8 = 0, lOx - y - 3 2 = 0.

(G rn £ o 2 5 j Derivada de una función en un punto

I . 6(x2 - x + 1), m ; 2. 3(x2 - 4). IR; 3. 1 x > 3/2; 4. . <-2. 2>
V 2^3

5. \X~ 2 , x > 2; 6. 1 r o _ |o /7 } - 7 ______ 2___ .]R -{ 2 } ;
Vx —2
3 x - 2 )> (x —2)

8 . ----- - — - , IR -{ -2 /3 } ; 9 L? ,IR -2 { 2 /3 } ; 10. l- - , ffi-{1/2);

(3x + 2) (2 —3 x )2 (I —2x)

I I . - . 1 = , x > -1; 12______ ? _ , m - { l ) ; 1 3 .5 ; 14. 4; 1 5 .-1 /2 7 ;

V(x + I)' (x —1)

16. No existe; 17. No existe; 1 8 .^ 1 6 /9 ; 19. 3/250; 2 0 .-1 /1 1 ; 21. 3x - y + 4 = 0,
3x - v - 2 = 0; 22. 8x - y - 5 = 0 ; 23. 2x - y + I = 0, 2x + y - 9 = 0; 24. 6x - v - 9=0,
2x + y + I = 0; 25. 2

[Grupo 2 6 ^ D erivabilidady continuidad__________________________________________

1. x = -3; 2. x = ±3; 3. x = I; 4. x = ±2; 5. x = 3; 6. x = 1; 7. x = 0; 8. x = 1;
9. a = 4. b = -7; 10. a = 8, b = -9 ; 11. a = -1/2, b = 3/2; 12. a = 2. b = 10; 13. 1;
1 4 . / ’(1) = / ( 1 ) . / '( 0 ) ; 15. L = b / '( a ) ; 17. b) Si, c) - 6 , -6, d) Si ; 18. b) Si, c) 4, lA,

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752 Respuestas a ejercidos propuestos

d ) N o; 19. b) N o, c) ^ 2 / 6 . -J~\4 /1 4 , d ) No; 20. a) N o, c) - l , -1 , d ) Si; 21. b) Si,
c) « , >Í2 /2 , d) N o, 22. b). Si, c) «>,4, d) N o; 23. a) No derivable en x = -2 , derivable
en x - 2 , b ) D eriv ab le en x = 2; 24. 10; 2 5 . f ( a ) — a f ' ( a ) \ 27. / '(0 ); 28. / ' ( a , , ) ;
29. a) 3, c) No; 30. n / '( x n); 31. 2 n f ,(xa)\ 33. FV FV : 3 5 ./* (0 ) = 0 . V n > 2

[C ru £ p ^^ Reglas básicas de d erivadón__________________________________________

l.x« + 2x, + 6 x - 5 ; 2. 4x (2 i / ? ) ; 3. ; 4.

5. •r 2 + 2 j r ~ 3 ; 6 . 6x2 - 2 6 x + 12; 7. (x - l ) 2 ( 5 x - + 2x + 2); 8. I0x4- 2 4 x ' + l2x2 + 2 x - 3
4x6

o 5 .| 4a x .h 4 a 2x . 1 2 2 x (2 x 2 + x —2) . i-i ___2

' ( 3 x + 4 ) 2 ’ * <x2 - a 2) 2 ’ ‘ ” (fla + x 2)2 * (7 T T 7 '(X+T)2 '

U - 3 X X + 1 ) . i s , - f " 4 * + l z ; 16. - — — ; 17.

(x -l)2 (a —2 x + 3 ) (x -l)J (X -1)-

19_ 4 x 2 + 12x + 1 . 2fl 2 x s + 4x^ + 4 x 2 + x —4 . 21 2(x* + x 4 + 3x* + 3 x + 4)

(2x + 5)2 ’ ( j c 2 + 1)2 ’* (x2+ l)2

22. 3x4 + 12x3 + 2 x 2 + 24 x - 5 , 23. a = 0, a = 5
2(x + 3)2

(Grupo 2 ftj Regla de la potencia generalizada

l . x ’ (l + x 1)M; 2. 45x' + 16* ; 3. I */.2 " * ) ; 4. Í i + J _ Y ; 6. 15x3

•Jl + 5 x 2 j 5 — 2x ^ J 2-Jx—\

s ( 2 x - 1 ) V2( 4 1 x - I 8 ) . 7 ( jc a + 3jC + 4 ) _ v 2 . 8# . 2 * 2 ^ . , y m ( x s + i j - o t

(7 x -3 )

Q _________4_________ . fft x . 1| 2abmnx"~l( a - b x ny

' (2 + 3x)m ( 2 - 3 x ) m ’ ' 7 1 ^ 2 7 ( 1 + 3 x 7 " ’ " { a - b x " ) ’"+x

1 2 . ( a 2 + r 2) » ; 1 3 . - . . ; 1 4 . ---------- - $ = 1 ----------- — ^ 1 5 . - 1

' ■ ” (2 * + 3 ) ''2(3* —4)*” • ■ u ’ + S * 2)2' 3

16 n {a + x ) - m ( b + x) ? ----------------1 ; 18. 1 n l, ,- i i

( « « r 'i i t ! ) " 1 2o + ^ ) J x - x 2 x24 7 ^ 7

19. X 5 x1 1a 1 ; 21. X' 3 , Ix I> Io I
, * V 2 , 1 x I < I a 1; 2 0 . . ,1x1 > .
. (fl -■ * )
2V X ' - f l V x 2- C 2

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Respuestas a ejercicios propuestos 753

2 .t’ <Jxz - a 2 - x l +yj)-x* 2(l + V l - A 4 )

22. " i > . . 2 3 . 1 , , ; 24. " , ¡ . 2 5 . --------- n 4~

V a '- .r flV V -fl- jc' V i — V r V l-Jf

26. . J ~ ? x ; 27. - - .- L ; 28. v l+n-Jl-^x2 29. 2 r 4 - 3 n 2r + 2 o 4
iJ x 2 - a 2 U 2 - a 3 )V2

30. r + 3 (1 + j c ) v+i 1—x
(3 x + 4 )4M( 2 x + l ) l/2
34^ _ • ; 35.
32. *' ( l - x ) ; [p . + | )A- . (p + q . [
d + jcr (1+ *=)*« 21ylJx-(\ +¡ryf

36_____ (« m ) (n + m )x ____ . 3?> 1/2 . 3g _ 9/2; ^ 9. - 7 / \ 2 ; 4 0 .- 9 /8
{n + m ) n+Í ( l - x ) n { \ + x ) " ‘

41.303/4 . 4 2 .2 0 ; 4 3 .-4 1 /9 0 ; 4 4 .5 /6 ; 4 5 .8 ; 4 6 .9 /1 6 ; 47. -2-^3 ; 4 8 .-7 /3 ;
49. -7/12 ; 50. -7 4 ; 51. -2 (x + l)'2 ; 52. 13^2 ; 53. 0

-1, si jt < -2, D *(/), h )2f ! ) { f )
54. / ’(*) = • 1, si - 2 < jc < 3 55. «)

3. si jc > 3

57. m = 3; 58. -7/3; 59. 6x + 24y - 37 = 0; 60. x + y - 2 = 0; 61. -3 /x 4 ; 62. -4
63. m = 3; 64. m = 9; 65. m = 1/2

[Grupo 29 ) La derivada de una función compuesta e inversa O

1 . 3 < * ~ 8 > ; 2. - 6 (3 jc - I) . 3 _ 16jc 4 ______________ 4

{x-2? (3.v2 —2 x —l)2 ’ (-r2- 8 ) z (.1 —2 )2 1/ 2 .1 ' - 8 v + l 2

5. - 1/108 ; ' 6. 8 ; 7. 9 ; 8. -1 /3 ; 9. - 6 ; 10. 52 ; I I . 2xJ - 2 ; 12. 3.r’ - 6/.r;

1 3 .4 jc- l ü i / J ; 14- 1 T -f 1 1 15___ !__ ; 16. 2x . 1 7 .- I .

i / í JC2 — 1 ^ \ \ - X 2J ly R

' dg \ ( d q 'j ( dp V d f

1 9 - y = 2 x - W- t = ^ = dq J \ dp ) \ d f J\ dx

.. (a - l f ( a + \ ) f { x ) ...... ( f l + O
De aquí: g (x) = ------- 7= --------; r -------------- r =* £ M ) = " 7= \n>
[\-J¿q{x)Y . 2j¿ (I)\\-a f{x)r . 2 -Jit )

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754 Respuestas a ejercicios propuestos

Si fl £ <0, l> =$ q + 1 > 1 , luego g ‘(0) > m=$ g '(0 ) ^ / '(O) ; 21. 6 ;
2 -Ja

22. - (x - I)3 It] x 2 ~ 2 x ; 23. -3 /4 ; 24. 64/3 ; 25. 4f(x2- I)*2 ; 26. m = 1 ;

2 7 .2 ; 28 2 x + l , x e IR - {-1. 0 ) , 3 x + 32v - 7 = O ; 29. 16/13

8(x2+ x)2

3 0.-9/10 y -42/25 ; 31. 4

[Grupo 3/7) Derivadas de orden superior

1. 24 {Ax + l)'572, x > -1/4; 2. 6(x + 3)(1 - x ) '5, x * 1; 3. 3/8(4 - x) (x - 2)V2, x > 2

4 . 6 x . x * 0 ; 5. 1 /1 8 ; 6. 1 5 / 1 6 ; 7 . 4 3 2 ; 8. 48 fl/?* . ; 9. 1 2 8
Ixl ( a- f ox ) 3 ’ '
fo 8 1

1 0 . __________________ 11. — 2 n —' ~ , x ^ 1 ; 12. h n ' - .
( a —bx)" b
(1 - J c ) 3 (1-x)"*'

13. («-»-1)! 3r"r ; ,14. . (. - !.). ." « !, 2«*i . |5 ( — 1)n”—I f_li!c. .”n - 1( a d —bc)
(cx+dY
(2 —3x) (2 x -3 ) (x + 2)"

16. (-D "« ! b+c ac —b ; 17. « i ( - i r i
(l-x )"'
2c ( x - c ) n+l ' (x + c)'’*' x " +l

18. (-1)" n ! . lü 9 5 / i K - i r 1 | 198 f l ! ( - i r n>2
(* -2 )
(x -l) (/ x„ - 4/f)\/7+l /( x„ - 5C)\H+I

0+1 (-1) r 2 n+> i
20. 4 «! ( - i r 1 ( x - 2 ) fl+l ; 21. (-1 )" fl! — - - + ( x —1)/j+l
'L (2x + 3 r '
(x + 2)"+l

22. (-1)" a ! 2 3 ; 23. fl! ( - 1 ) ” + 2
x"+1 ' ( l - x ) n+1
( x - l ) ”*' (x + l)n+‘ (x + 2)"

7A. (-I)* * 11 .4 .7 ....(3 fl-5 )(3 fl + 2 x ) > 25. a) ” 1 [2'»' + (-1)"]
3" (I + x)"*173 3

b) fl_(2fl 3)! . c) 2fl! . 27. n \k n ; 31. a = 3, b = -3. c = 1
2
v ; o” ( l - * x ) 0+I

33 3 x (3 -2 x '> . 34 _ 3/4 5 /4 . 35 q) a V * 3 - (2 n ¿ - l) x ”~ + (fl + 1)¿ - x¿- x
U 2 + l ) 7' 2 ’ ’ (x-l?

36. a) S I L - 3 S . n ) x D nf ( x ) + n D n l f ( x ) , b) (x2- I ) D " f (x) + 2nx D " 1f (x) +
1- x

n(n - I) Dn'2/ ( x ) , n S 2

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Respuestas a ejercicios propuestos 755

(-!)*— (3 J c -2 )Hn+<>(3 )t ; 4 1 .(-1 )'" [x- (2n -I)J ;44.k+ l;

45. E = O ; 46. _*L + “ TTT + ; 47.-61/•(<)]

m 2 x**' (m - c x ) " * ' ( m + c x T +‘

( Grupo 3 1] Derivación implícita

j 4 r-3 y + 3 . 7 x 2 + 2 y .3 x 2+ 2 x x . 4 h2y - a x 2 s 2 x y - 3 x 2 - 3 y 2

3 x-2y 2jc + 5 v 3 t2 +v2 cy^-frx 6xy-2y'

6 _ y ( 2 y J x y + \) _ ? _ x2(x + 3v) . 8 _ I5y + 4 x j x y . y 3x2-4 y .
4 jc -3 y 2
x(4\y[Ay+\) jc '+ y 1 \5 x + 6 y 2Jlcy

10. v ; 11. ^ ; 12. _ 2 S ± ¿ ; 13- .-3 /5 ;

l+3xy + 4 y 2* 3xy + jt y (v -2 x)

14. 2 x J * y - y 2 1 ; 15. a -v ~ 3jfa 2 . I6 _ -v ( 4 / v y - 3 v ) 5 . 17 3 x 2 - v a _ n

2 y ^ x y + x * 12* fl(6>— jr)’ 5 ’ x 2+SyJxy ' » ’ y(2*-3y) '

18. 2>‘~ ~ 2 .v y - x 2 j . fc4 ; 20. 2 a V y ; 2 1 . _______9
jc2 - 4 x v + 2 y 2
a 2y ’ ( r u - y 2)3 (x + y + l)1

22. yM= 0; 23. - J - a¿ - ; 24. . b ~ ~ ÜC ; 25. - ; 26. _ .a *

3 V * 4>’ (fc t-c y )3 9x 4y2

28. — 2 - ; 30. ni y lt(x - x lt) + ftxu(v - y ,,) = 0: 33. 4 x : + 2y2= p 7
2y+\

(Grupo 32 ) Derivadas de las funciones trigonométricas

1. Cos 2x ; 2. x Sen 2b + C os 2b; 3. 2 Cos* 2x; 5. 2 (1 + Cos 2 x )’';
4. -3 Tg- x S<ic2 x Sen (2 Tg* x) . C os [C os2 (Tg3 x)J. x *=n/3 + k 71, k e Z;

6. 4 Tg x Sec2 x ; 7. 7 Cos x ; 8________ * ! . . 9. 1 + Tg* x;

(4 + 3 S en x )2 {Cos x + x S e n x Y

1 0 . —. x * kK, k e Z; 11. 5 C o s3 5x; 12. n (Sen x)11' 1C os ( n + l) x
3 Sen x \JCotg x

13. n (C os x)n l C os(n + 1) x ; 14. - n (C os x)"~' Sen (n + 1 )x; 15. 2 S ec2 2x

16. m n j S e n n x ) ”-' C o s ( m - n ) x . 17 _2 Sec2 2x Scn(T g 2x) . C os[C os (Tg 2x)]
(C os m x)K*'

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756 Respuestas a ejercicios propuestos

18. -- S e n 2x Cos 2x, x * n/2, donde A = Sen (Cos2 x) Cos (Sen2 x)
IAI

19 . 3. M 3*Z_21 . S ec2(3jr/2), x * 2/3 kre + tt/3; 21. (1 + AVn 2 x ) Cns 2 x ~ 1
2 I7g(3x/2)l l + Se«2¿

20. 9 , 4(xr + 2 )3 Sen2 A C os A, A = [ x —' + 3x; 22. Cos 2x Cosec'’ x

U -l)s

23. C osecy x S ec4x; 24. S ec2 4x; 25. Sen5(x/5); 26. - C oigf>x; 27. x S e n 'x ; 2 8 .- S e n '1x;

30. Cos 64x; 31. Cos y — C o s(x + y ) . 3 2 . _ >' Cos x + S e n ( x + y ) .

x Sen y+ C os(x + y ) Sen x +Sen(x + y)

3 3 . Sec (x + y ) - y Co s (xy ) - (sx ; 34. 2Ay s?» a 1, + .

jt Cos(j:y)+3>'2 - 5 c c 2 (x + y) 2-Jx2 + y+Sen a '

x ( \ x y \ + y 1 ‘J x 2 + y 1 ) Sen A ¡2 —
3 5 . ---------- 5----------- , A = 3fjs +.v +|jryl

Ixyl - jx 2 + y 2 + y (íx y l+ x 2V *2 +>’2 ) 5<?nA

y 2 - x 5 e w ( x 2 + y 2) C o s [C o í(x 2+ y 2)]
1—2 x y + 2 y S e n ( x 7 + y 2 ) C o s [C o í(x 2 + y 2]

37. [ x l x - y l + í x - j O V ^ +2Z J Í « A , A s^/rjc r ,+ ■—/ + |. jt-.v l.

Ijc —yl V* 2 + y 2 í y l * - }’! - ( * - y) V * 2 + y 2 ]Se« A

38. x (y 2 -Jx2+ y2 )-\xy\ Seny¡x2 + y2
IxyK-Jx2 + y 2 + y S e n -J x 2 + y 2 ) - x 2y ^ ¡ x 2 + y

39. 2 7 ( 1 - 3 ^ - 3 6 1 ^ . 27(1 3j:) — \ C o s 3 x ; 40- 81 C os 3x ;

(1 - 3 x )7/3 (l-3 x rJ

41. 25H(-x2 - Sen 2x + 50x C osx + 1225/2 Sen 2x)2; 42. -2 " Sen 2x - 2 ”' Sen 4x + 2K.3
Sen 6x; 43. U se la fórm ula de L eib n iz para calcu lar y*n\lu e g o : y,30,= -(x2- I ) Sen x + 60x

Cos x + 870 Sen x; 44. (1 - x2) C os(x + ícn/2) - 2n x C os[x + re - n (n - 1)

(n -2\
Cos [x + I 2 I71!; 45. 2 n 1 Cos (2x + rcn/2) ; 46. (S ugerencia: Sen 3x = 3 Sen x - 4

Sen2 x). 3/4 Sen (x + Ttn/2) - 3"/4 Sen (3x + rcn/2); 47. (Sugerencia: Cos 3x = 4Cos^ x -
3Cos x), 3/4 C os (x + n n /2 ) + 3n/4 Cos (3x + rcn/2) ; 48. 1/2 (a - b)" Cos [(a - h)x +
7in/2J - 1/2 (a + b)n C os [(a + b)x + rcn/2]; 49. 1/2 (a - b)n C os[(a • b)x + rcn/21 +
1/2 (a + b)n Cos [(a + b)x + rcn/2]; 50. 1/2 (a - b)n Scn[(a - b)x + ren /2] + 1/2 (a + b)"
Sen[(a + b)x + rcn/2]; 51. 1/2 bn Cos (bx + rcn/2) - 1/4 (2a-b)n C os ((2a - b)x +rcn/2] - 1/
4 (2a + b)n C os [(2a + b)x + rcn/2]; 52. a" x C os (ax + 7cn/2) + n a"'1Sen (ax + rc n /2 );

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Respuestas a ejercicios propuestos 757

53. a" [x2- n (n ^ ] Sen (ax + n n /2 ) - 2n a" 1Sen (a x + nn/2)
a2

54. a" x Sen (ax + íin /n ) - n a""1C os (a x + ícn/2); 5 5 . ^ en x , x= —

2 "-l Sen(2 x + ^ n ) 6

60. a ) i z i r v + J z ! r ^ + K
2
7(x + 4) 5 ( x —3)

RmV -IV ’ í - n " * 1/?!
b) S e n [x + (n + l) n/2] + 2"-' Sen(2x + nn /2) + * \ ^ ^ . n> 2

( x —2 ) ( x - l ) " +1

62. I ; 63. n/2 ; 64. 2/n ; 65. 0 ; 66. a = 2/3, b = -1/3; 67. a) Si, b) No; 68. Probar que
f ' ( x ) = 0 = J / W = k , V x e IR. En p articular, si x = n/3 => k = 3/4

70. a) a = 0, b) 2 (Sen2x ~ x Scn2 x ) ^ c) _2
x2

[Grupo 33 J D erivación de las fu n c io n e s trigonom étricas inversas___________________

1. J i L j . k » ; 2 . ^ > ; 3 . J “ = * ; 4.- ; 5. - U , -
4+x Vfl + x ICosxl 1+*'

6. 2 - J a - x 2 , I x I < 2; 7 _______ ■* areC os x, I x I < 1 ; 8. Sen x + C o sx

■J\-x2 JSen 2x

9. 1 + *~ x x g <0, 2>; 10. are Sen I - x - . x > 0; I I . 1, x & n iA + kn
',l + <

12. .I+JCü * * ; 1, J3.--------I--2---*P'T ~ T ;♦ l1*4m. r.—1 , ll xa li< ,I,: i135.. —- -- _1 r- - , x e < 0, a>

l+ x * (1 + x )

.1 . 2x(C os x2 +Setix2) 4
16. 2^ ; 17. , =-------- ,1 8 .--------------- . x I< I

2 (l+ x ) JsZT(2 7 ] a + x'-)2 y f ^ 7

19. 2x [Sgn(C os x2) + Sgn(Sen x2)], I x l * k7t/2, k e Z„+; 20. ^
5 + 3 Cos x

2

21. 5s+ 3 3C'co sx ; 22- ^ x 4 , I x I > 2; 23. fl^+ í» C bosx- ; 24. /?+ o C o6s x-

25. are Sen 2x ; 2 6 . ___ !__ ; 2 7 . ------- -____ ; 28. i , 0 < x < n

l+ x2 5 + 4 Cosx 2

29. — !_____ ; 3 0 . ____ 2fl2 : 31. > '(2 -* + y); 34. _ *

a x 2 + £»x+ c * * _ ü2 x(x + 2y) >•

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758 Respuestas a ejercicios propuestos

32. x + y + y ^ j l - i x + y )1 . 33 (l + y2)(y z + 2x y - 2 x 2 - 2 ) - 3 5 . cy+ x^¡x2 + y 2 .

x + y + x ^ \ - ( x + y )2 ' ( l + x 1 )(2 y2 - 2 x y - x 1 + 2 ) ’ c x - y ^ '+ r ’

36. l^ V ^ > ’Z- i ( y 2 + y ) - y ( ^ - + > '2) .__ 3 7 __________ >_______ .d o n d e

Iry lJ jr2.)'2 - i (x ~ 2 x v ) + x(a-2 +>-2) 2Jxy (a-Cosx) + *

a = I ^ x y +■Sen y I ^ ( J ^ + S e n y )2 - 1; 38. v(1 ** - O ; 39. 1
jc(1 + x 2 + y2 ) ' C0 5 .V

4 0. <Ja 2 - x 2 . I x I < a ; 41. (are Sen x)2,1 x I < 1; 42. x — , Ix + y I< ^2 ;

V l-2 x -x 2

43. 6 — ; 44. 4 jc. / —^— , x e (0, a>; 45. 2x ; 46. 0 , 47. _ Cos x

5 + 4 C oSsXx \\ aÜ -- xX {í naA+- bh CCro, *s x )2

4 8 . ------- ¿ ; 49. _ 2* ; 50. 2(l + y2) . 5 1 . 4o* . *
10 + 8 (a 2 - x 2)m
(I + X)a " (« 2+ * 2)2

53____ ^ ~ ” 2) Sf fíH '• S4- r~ i 55. k /4 ; 56. 7/26; 57. rc/6 ; 58. n ;

( Cos x + n~ Sen x )2 2( a + x ) J x

60. a) k = n /2 , b) k = íc/2 , c) k = 0 ; 61. k = 0

(G rupo 34 J D erivación d e las fu n c io n e s logarítm icas

1------------- 1------------ , x > e ; 2------------------- , x * 0; 3------ J ------I x I > ^ 2 / 3

x Ln x Ln(Ln x ) x (l + x ) 3x —2

4. Ln (x + -Jxz + \ ) ; 5. V x2 + « 2 ; 6. ---- 1----- , I x I < -JaTb ; 7. _ 8

fl-/>x2 W l-jc 2

8 . - S e c x, x * 1/2 ( 2 k - 1 ) te, k g Z ; 9 . Sec x. I x - 2 k Jl I < n /2 , k g Z

10. C og2 x , 0 < x - 2k n < n, k e Z ; 11. _ , x > 0 ; 1 3 _______ £

Sen3x x 2 l+ VVTl + x 2

______L+ x + 1 / x + Ln(l / jc )_____
12* ( l+ x Ln x ) [ \ + x L n ( l / x + Ln 1 /jc )]; l4- 2 Sen (Ln x)’ x > 0

15. Sen x . Ln (Tg x), 0 < x - 2k te < te/2 , k g Z ; 16. * 2 + * 2
(x + «)(x2 + ¿ 2)

17. x L n x . x > 1 ; 18. * a /c * , 1x 1< 1 ; 19. ____ !____

(jc2 - ! ) * 2 ( \ - x 2)m l+2Senx

2ü. _ are C o sx o < I x 1< I ; 21. 2 I x I < I ; 22. Ln2 (x + Vl + x 2 )

x-2 ( l - x 2 ) ( I - a x 2)

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Respuestas a ejercicios propuestos 759

23. - 2 Cos x . are Tg (Sen x); 24. — !— , x * -1; 2 5 . ! , 1 x 1 * 1

I+ *3 \+x*

II
26. , l x l * l / V 2 ; 2 7 . ---------- í—r = , x < 1; 28.

> + * ’ ( l - x ) t f T ’ ‘ V Í + jc7 ’

29. _ , * Ln J — . 1x I < 1 ; 30. í ^ - y l are T g x; 33. (1 + x1) »
Vl+x [\ + x2)

31 * , 0 < I x I < 1 . 32. . I x 1* 1: 34. 1 Í J z I

(xJ - l ) V 7 7 2 V L - x4 xVl+x

35. J ; 36. + ; 37._______^ . 38. -”1! + ,í

J + * '+ x 4 S e n 'x Cos (yJSen x ) x2-o 2

39. - 2^ V - r ; 4 0 . 1.n (a2 + x2) ; 41. - <*+ 1 )(3 jr + 14 v + 5 > . x * - 2 , x * - 3

(1 + 8*r ) ( x + 2 ) (x + 3)

42. (67Jf2 -3 2 2 x + 3 3 1 )(x + l)2 . 43 l - x - i 2 . 44 54 - 36x + 4 x 2+ 2 * 1
2 0 ( x - 2 ) li4( x - 3 ) 7' 5 ' " x ( l - x 2) ’ ‘ 3 x ( l - x ) ( 9 —x 2)

45. — n— - ; 46. y(5 T a 4 x + 6 C otg 2x - 3 C osec 4x);
V l+ x2

47_ x 3+ 3 l x 2 + 36x + 11 . 4g (5 7 x 2 -3 0 2 x + 361 )(x + 1 )2 V 7 ^ 2 .

{■Jlx + l ) (^/(3x + 2 )2 (x 2 + 1 )7/J ’ 2 0 (x - 2 ) ( x - 3 ) (x - 3 )2'5

49. - i— ,' * --------------------------- — ’ S O .y f í^ -ííz M x>0,

V l - x [(are Sen x)~ - 1J \b x)

SI. £ [ " ] ; 52. a) - :S e n l * . b j , 1 ; 53. <-■>' 6( " ~ 4 ) !. n £ 4 ;

ic| ^ ' ' -J\ + Cos*x x V (l+ jrV

54. (n -l)! ; 55. y" = f/x2 [ f " (Ln x ) - f * (Ln x)], y "= 1/x' [f'(L n x)- 3 f " (Ln x>+2 f(ln x)]

56. y = , y ■= [3(1 + y’)= + 2x<( 1 - y')]

i+ y d + r )

£

1. 3(1 + x z) e “=- * + l; 2. (J_+ 2 L n x) e2*; 3. 13 e2‘ Cos 3x ; 4 . x 2 e '; 5 . x 2 e - Sl1*";
x

*>- J a 2 + b z e " .Sen bx; 7. e ' f 1+ ec*( I + ecC)]; 8. aJ + a xJ-1 a,J Ln a + a* aJ* L n2 a;

9. l + x ( ( l + l . n x) + xl . x ‘“ ( ! + Ln x + Ln2 x), x >0; 10. x ° 1x'J(1 + a Ln x)+ a * . xJ*
x

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760 Respuestas a ejercicios propuestos

(J_ + L n a . L n x) + x * . a ^ í l+ L n x) Ln a. x > 0; 11. S . ! ; 12. (L n x)Lnx.

x e 2x + 1 x

x > 0 , x * 1; 13. 1 ; 1 4 . (I + a 2) e'* S en x , 15.

J e 3' + 4 f ' + 1

, , v[ Tg{xv) + Sec{jcy)]S e c ( x \ ) - v ' L n v x e '2 + Sec2 ( x 2 + y 2) ]
l o . —----------------- ¡--------------------------- 1 7 .------ ; 18.
* i -1
x y ' ' 1- j:5 e c (x > )[7 g (jn )+ 5 íc (x y )J e y + Sec~3 u 2 + r ) 1

j ^ 2/71 un- Srm
[C o s (m a r e S e «.x )J,|;r| < l; 20.
c^ (íí l ^ ú>0; 211

1, 0; 22. y " = e2T ’(e*) + e* f í e 1), y’” = e 1* f ,M(ex) + 3 e2* F* (e x) + e x f ( e x);

. x + y ,, 2 (x 2 + y 2 )
23. y = J Z y ' > = (X_y)2 M - a >220 e2x (Jia+20x +95). h) - 4 e* Cosx

26. a ) ( - 1)" e "x [x2-2 ( n - 1)x +{n-1 )(n-2)J. c) 2n,J e* Sen [x+n(7t/4)]

I * n (/i —I ) ....( / ? - * + ! )

b) ■ I < - » . d ) e“ [a" P(x) + ( ; ) a - pP-( x ) +... P,,u(x)]

28. n (n -l) a"

{Grupo 3 6 ^ A lgunos problemas sobre la tangente

1. x + 2y - 8 = 0, 2x - y - ! = 0 ; 2. 3x + 5y - 1 = 0, 5x - 3y - 13 = 0 ; 3. 31 x - I2y = 224.
12x + 3 ly = 158; 4. 2x + 5y = 7a, 5x - 2y = 3a; 5. 5x - 8y = 12, 8x + 5y = 37;
6. 2x + y = 6. x - 2y + 2 = 0; 7. x + 2y = 40. 2x - y = 30; 8. lOx + 8y = 13. 4x - 5y + 3 = 0;
9. 5x + 6y = 13, 6x + 5y + 2 1 = 0 : 10. 5x - 2y = 2. 2x + 5y = 24; 11. % : 4 k - 5y + 1 = 0 ó
14x + 2y = 13.££n: 5x + 4y = 9 ó x - I 4 y = 15. 12. x - y = 1. x + y = 3; 13. 3x + y - 4 = 0,
x - 3y + 2 = 0; 14. 3x - y = 2. x + 3y = 4; 15. x - y + 2 = 0, x + 3y = 4 ; 16. 4nx - 2y + 2 - k —0.
4x + 8íty = I + 8íi; 17. x - y = 1, 3x - 3y + 13 = 0; 18..3x - y - 2 = 0, 9x - 3y + 22 = 0;
19. x + y - 1 = 0, 3x + 3y + 1 = 0; 20. 6x - 3y + 4 = 0, 2x - y = 0; 21. x - 2y = 0, 2x - y = 0;
22. x - y + 3 = 0, x - y + 11 = 0; 23. T.H.: (3/5, 5) (-3/5, 7/5); 24. T.H.: (±3, ±1).
T.V: (+ 5, ± 3 /5 ); 25. T.H .: (± 1 2 . ± 3 ), T.V: (± 15, ± 1 2 /5 ); 26. T.H: (± 1 2 , ± 1);
T.V: (±13, ±12/13); 27. T.H: (±5/13, + 1 3 ), TV: (±1, + 5 ); 28 T.H.(0, 2), T.V: (±1, 0);

29. T.H: (2,3 7 2 /2), (8,0); 30. T.H: (4/3, 16 7 3 /3 ); T.V: (0, 0); 31. x ±4 7 6 y - 5 = 0;

32. (3 ± 2 7 3 )x + y - (5± 2 7 3 ) = 0; 33. 2 (6 ± 7 3 Ó )x - y - (30 ± 4 7 3 0 J = 0;
34. x + 4y - 11 = 0, 11x + 4y - 1 = 0; 35. x + 2y =3. 3x - 2y + 1 5 = 0 ; 36. 3x - 2y = 5,
7x - 6y = 21; 37. 2x + y = 12; I4x + y = 60; 38. x + y - 2 = 0 ,9x - 191y = 218;39. 11x + 4y = 1;
x + 4y = 11; 4 0 . 4x - y = 3, 2x + y = 6; 41. 4 5 °; 4 2 . are T g (2 )= 6 3 °2 6 ’; 4 3 . 90°;

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Respuestas a ejercicios propuestos 761

44. are T g( 12/5) = 67° 23'; 45. are Tg( 1/2) = 26° 34'; 46. are Tg(4/3) = 5 3 “ 8'; 47. 45";
48. 45°; 49. a) 2 ^ 2 • b) 2; 50 a) P,(0. 0), Tg 0 =1/3, P.,(l, e),T g 6 = e (I + 6 cz)
b) P,(0, 0 ), T g 0 =1, P , ( l , l/e ), T g 0 = l/e ; 51. x + y = 0; 52. a) tcx + 2y = 2 n.

4 x - 2 n y = 2 - i t 3, b ) 2 í i x + 4 y + t i - 4 = 0 , 2 x - 7 t y + n - 1 = 0 ; c ) y = 2^3+3)

(x - Z1 ) + ^ ( 7 +4 i/ 3 ) , y = (3 - 2>/3)(x - * ) + 1 (7 + 4 ^ 3 ) , d) 4x- e:y + 5 = 0.

42 42

e^x + 4 e 2y + eJ - 4 = 0; 53. A = 3, B = -6, C = 6, D = -3; 54. a = -3, b = 2, c = I ;

55. - 7 6 58/3; 59. I2x - y = 0, k = 3; 60. 3x - y = 2, x + 3y = 4. 1/3, 3, VT6/3.

61. a) 5 u 3 . b) 4 5 u 2. 62. a) 4 5 u 2, b) 39/4 u 2; 63. Q í-1 , 0); 64. 2x + y - 1 = 0 ;

65. x - !3y + 16 = 0; 66. 2x + y - 4 = 0; 67. 2x + 3y - I = 0

68. a) Puntos de intersección: A(0, 0). B(a+m . m-(a+nj>). C(a-m , m (a-ni)), Rectas nm-

gentes: ££,: y = a 2x, Jt2: y - m2(a + m) = m (2a + 3m ) (x - a - m ), i£?; y - m (a - in) = m(3m

- 2a) (x - a + m), b) Puntos de intersección; P(-2a, 2a,),Q(-2m, -8in2- 8 a n r-2a-m),

R(2m , 8 n r - 2 a n r + 2a2m), E ntonces: 4m : + a 3= myf,

37j La derivada com o razón de variación y movimiento rectilíneo ^

2.a) 2.5 m eses, b) 50 roedores por mes; 4. -6.545 pies/seg; 5. a) 369,000 focos por incre­
m ento de un centavo en el precio, b) 363,000 focos por increm ento de un centavo en el
precio: 6. v = 0 (toque suave) cuando t = 2seg; 7. a) 7m illares/ año, b) 7.3 m illares por
año; 8. a) t < - I. m ovim iento a la derecha, -1 < t < 2,m ovim iento a la izquierda, l > 2,

m oviem iento a la derecha. Cam bia la dirección cuando t = - I y t = 2, b) l < - l> /5,

m ovim iento a la izquierda, - 1 -V 5 < t < -1 + . m ovim iento a la derecha, t > - 1 + y[5 .

m ovim iento a la izquierda. C am bio de dirección cuando t = -1 - V5 y t = - I + >/5,
c) t < -1 , m ovim iento a la izquierda, -1 < t < 1, m ovim iento a la derecha t > l, m ovim iento
a la izquierda. Cam bia de dirección cuando l = ±1; 9. a) (20 t {+ 24) pies/seg, h) 6/5:
10. a) l = 3, l = 8, b) cuando t = 3. v = -15, el objeto se está m oviendo a la izquierda,

cuando t = 8 y v = 40 el objeto se está m oviendo a la derecha; 11. -X üV ó pies/ seg;
12. 740 pies 13. a) D espués de 3 segundos, b) 96 pies/seg; 14. a) 32 pies/m in, b) 128 pies
c) 32 pies/seg, d) 96 pies/seg; 15. a) 10 seg; b) -1 6 0 pies/seg. c) 5 seg., d) 400 pies

Razones de variación relaciónales

1. 4/5íl = 0 .2 5 4 6 5 p ies/seg ; 2. 3 2 ít/I2 5 m /h; 3. 6 p ies/seg ; 4. 384 m illas/h;
5.400/9 pies/seg; 6. Aumenta a razón de 16ítcm 7seg; 7. 6.000 m illas/h; 8. Están más
próxim as cu an d o t = 12 m in y la d istan cia en tre ellos e s 32V Í3 m illas; 9. 1/I6 2 n
p ie s/se g ; 10. 1/30 p ie s/seSgó; lo fi1n1e.s -e5du>ca/3ti/v3o,s 5- VLib3r/o3sVui/rstueagl;es12. 4 u /seg y 12 u2/seg;

762 Respuestas a ejercicios propuestos

13. a) 16 m /m in, b) 42m /m in, c) (x - 3 )' + y2= 64/3; 14. 1/8 pies/m in ; 15. 0.015 pies/m in;

16. (20jt/3)( V 3 + 4 ) cm 2/seg ; 17. 268/9 u2/seg. . 18. a) dism inuía 2.8 m illas/h, b) aum en ­
taba 8.73 m illas/h, c) a las 3h 17 m in PM ; 19. c = (I + 64 n )m 7 seg .; 20. 102 km /h;
21. 60 rad./h; 22. 4/15 rad/seg.; 23. 0.15 rad/m in; 24. a) 7 t/V 39 cm /scg, h) 57C/6
c n r/se g ; 25. - 4m /seg; 26. A p artir de t = 15 seg; 27. 0.078 rad/seg.; 28. a) 120 rad/h;
29. 8 m /seg ; 30. 5 12/ 625 7t s 0.26 pulg/seg.

[Grupo 3 9 ] Diferenciales

1. 0.0004; 2. 0 .0 0 0 3 ; 3. 0.0 0 0 9 0 1 ; 4. -0 .0 0 1 3 2 ; 5. -0 .1 0 1 9 9 2 ; 6. 0 .0002; 7. -0 .0 4
8. 0 .0 0 0 4 ; 9. 0 .6 2 5 ; 10. 0 .0 0 0 0 2 ; 11. a) 6 .7 5 p u lg \ b) 0.3 p u lg 2 ; 12. 57T/4 p u lg j
13. 2.7 % ; 14. a) As = 67ít/2 cm 2, ds = IOOft/3 cm 2. c) As = ds = -125 rc/18 cm 2
16. e < I %; 18. m = 3, n = 5; 19. un erro r de 5/24 cm ; 20. a) L = Im , h) dt = 0.00153 seg

c) - 2 m in 12 seg; 22. 9 8 0 m /seg 3, 0 .0 2 2 , 0.07 % ; 23. 150 m; 24. 10 J l / n cm
25. dv = 7.54 cm 3, e p= 6% ; 26. H ay que alargarlo 2.23 cm; 27. a) aum entará 104.7 c n r
b) d ism in u irá 4 3 .6 cm 2; 28. a) e g = e L, b) e g = 2 e T; 30. a) x > 2500, b) x > 625
29. dL = 0.00627; 31. a) 2.25, b) 5.833, c) 10.9546; 3 3 .-4 .9 9 ; 3 4.2 6 .9 5 8 :3 5 .0 ,7 5 1 2 5
36. 0.93; 37. 2.007; 38. 3.92; 39. 3.9766; 40. 0.049; 41. 9.2 ; 42. 0.93 : 43. 1.9875
4 4 . 1.5875; 45. 7.03314; 4 6 .0 .2 0 5 ; 47. 1.00201; 4 8 .0 .5 0 7 8 ; 49. 3.99688; 50. 0.357037
51. 5.19; 52.20.143; 53. 28.2; 54. 3.79; 55. 0.8835; 56. 0.4849; 57. 0.8573; 58. 0.5302
59. 0.4849; 60. 0.5151; 6 1 .0 .9 6 5 1; 62. 1.0019; 63. 0.868643; 64. -0 .8 7 4 7 ; 6 5 .0 .9 8 2 5 4 7

r 2 /Ir
66. 0.866461; 67. 0.57; 68. 0.795; 69. 0.770; 70. 0.52164; 71. - —

( * - 3 ) ‘ (2 a - 3)

72. 2(3(/*X■-l-1xi )\)J5d x ; 73. - J1n-2 ; 74. 4; 75. Í 1T2"<*,*v*4 ; 7 6 .1 2 0 d x 5; 77 15¿t3
’ ’ ................Í I T

79. HldX v , x * I ; 78. - 1024 (x Cos 2x + 5 Sen 2 x ) d x 80. 197 !!(3" x<,

(1 -a ) 2 l,,fl(l -x )!" " J l - x '

N o ta n ü denota el producto de los números naturales que no son superiores a n y
tienen la m ism a paridad que éste, o sea; 197!!= 1.3.5.7.....197

81. ( - ' r ' b e ) d x n -t 82. +1 dx" ;
ic x + d r' dx
l
g3 i.a .s .-tz ,,-!)
(1 —2x)

[Grupo 4 ti) M áximos y mínimos

1. a) M in ( l,- I ) , M ax(-1,3); b) M ax(3,3); c) M in (1,-1); d) M in (-1,1), M ax (3,3)
2. a) M in (1,0), M ax(3,2); b)SMóloinfin(1e,s0e);ducc) aMtivionsf-l,L0ib) ,roMsVaixrtu(a3l,e2s); d) M ax (3,2)

Respuestas a ejercicios propuestos 763

3. a) Min (±2,0), Max(U,2); b) Min (-2.0); c) Max (0,2); d) Min (I, V3)
4. a) M in (-2.0). M ax (-4,144); b) M in (2.0). Max (4,144); c) Min (2,0), Max (3. 25)
d) Max (-3. 25), Min (2,0); 5. Min (-3, -46), Max (-1,-10); 6. Min (1. -5). M ax (4.76);
7. M in (-1 ,-4 ) y (2, -4), Max (0.0) y (3,0); 8. Min (0,0), Max (0.-1/2)-. 9. Min (-1,1).

Max (2, V4); 10. M in (2,-7). M ax (-5,0); 11. M in (-1.0), M ax (1, j; 12. M in ( - 5 ,- 3 ) ,
Max (3,1); 13. M in (4.1). M ax (0,5); 14. M ax (0,4), M in (±2, 0); 15. M in (3,-22).
M ax (-1,10); 16. M in (7 /3 ,5 ), Max (5,13); 17. Max (±2,4), Min (±1.2); 18. M ax (1.5) y

(4.5). Min (2.4): 19. Max (3/2. 3 /V Í6 ), Min (3, -3); 20. Max (1/3 2 ^ 3 /9 ). M in (4, -6);
21. Max (2.13), Min (0.1), Min (4,1); 22. Max (0.3) y (4,3), M in (2 ,-9 ); 23. Max (1,2),
Min (5, -54) ; 24. M ax (4,.2.817), Min (4/5. -1.4225); 25. No hay exirem os, la función
presenta una discontinuidad en x = -1 e [-2, 2]; 26. M ax (-1, 3), 27. (3/4, 15/8).

[Grupo 41) E l teorema del valor medio y sus aplicaciones

1. c = 2; 2. c = ^ ( 2 ± 4 l ); 3. c = ± ^ 3 /3 ; 4. c = - 1, 0, 1, 5. c = 2: 6. c = 3/4 ; 7. c = 4/9 ;

8. N o satisface; 9. c = -1 + 4~\0 ; 10. c = -1 , 2; 11. [-1, 0], c = 1/3 (1- >, f0, 2],
c = 1/3 (1 + V 7 ); 12. J - l, 3 ), c = -2 + ^ 5 ; 13. [-1, 3]. c = 5 /3 ; 14. [-2, l |,
c = 1/3 (2 - V Í9 ), [ I . 31, c = 1/3 (2 + 7 Í 9 ) ; 15. / no es continua en x = 2 e [0, 4];
16. [ 0 , 4 |, c = -2 + 2 V 3; 17. [-2. 2J, c = 2/3; 18. [-2. 3], c = 2/5; 19. [ - 1, 0], c = -0.5756,
[0, 11, c = 0.5756; 20. [0, n/61. c = 1/2 are Sen (3tt/2); 21. c = 3; 22. c = 7/3; 23. c = 2:
24. c = 0, 1/2, I ; 25. c = 1/3 (2 + ^ 1 0 ) ; 26. c = 6 - >/5 , 27. c = I ; 28. c = 2; 29. c= 7- S -
30. c — -4 + 2 >/ó ; 31. c = 1; 32. c = -1, 5/4, 4; 33. c = -1, 4/3; 34. c = -ji/ 2, n/2;
6 3 . / (x) = -2 C os1x + x ‘ - 5x + 3

[ G r u m ^ 2 \ E l criterio d e la prim era derivada_______________________ •______________

1. x = 0, 4, creciente: <-«», 0> cj <4, +oo>, decreciente: <0. 4>, M ax (0, 15), M in (4, -17)
2. x = 0, 3/2, creciente: < 3/2, +«>>, decreciente: < -~ , 3/2>; 3. x = -1, 1, creciente:
< -« , -1 > U < 1, -H»>, d ecreciente; < - 1, I>, M ax ( - 1, 4/5), M in ( I. -4/5); 4. x = -2, 0, 2.
creciente; < - 2 ,0 > u < 2, +<»>, d ecreciente: <-«>, -2> u <0. 2>. M in (-2, -6) y (2, -6), M ax
(0, 10); 5. x = -1, 1 ,2 , creciente: < - l, l> u <2, + « > , decreciente en <-«>, - |> u <1, 2>,
Max ( l , 15), M in (-1, -17) y (2, 1 0 ); 6. x = -2, - l, 1 ,2 , creciente: <-<», -2> u <-1, 1>
u <2, +«•>. decreciente: <-2, -1> u < l , 2>. Max(-2, -6) y (1, 48), Min (-1, -28) y (2, 26):
7. x = -2, -1/2, 1 creciente en <-2, - l/2 > u < 1, +<»>, decreciente en <-««,-2> u < -1/2, 1>,
M in (-2, 0) y (1, 0), M ax (-1/2, 81/16); 8. x = -1, 0, 1, creciente en <-«», - l > cj <1, +*»>,
decreciente en <-1, 0> U <0, 1>, Max (-1, 2). Min (1, -2): 9. x = -2, 0, 2, creciente en
<-2, 0> u <2,+o° >, decreciente en <-■», -2 > u <0, 2>. Max (0,7) M in (-2, -9) y (2, -9);

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764 Respuestas a ejercicios propuestos

10. x = -1, 0, 2, crecien te en < - I , 0> o <2, + «’>, decreciente en <-«■, -1 > u < 0, 2>,
Max (0,8), M in (-1, 3) y (2, -24); 11. x = -2, 0, 2, creciente en <-°°, -2> c j <2, +<»>,
decreciente en <-2, 2>, M ax (-2, 64), M in (2, -64); 12. x = ±1, ±2, decreciente en
<-««, -2> u < - l, I> , d ecrecien te en < -2 ,- l> t j <1, 2> , M ax(-2, -1 6 ) y (2, 16),
M in (-1, -38) y (2,16); 13. Sin extrem os relativos, creciente V x e Dom (/); 14. x = I,
3, d e c re c ie n te en < - » , 3> , c re c ie n te en < 3, +«■>. E n x = 1 no e x is te e x tre m o s,

M in (3, 181); 15. x = 0, ± J 2 • crecien te en <-«*>, -,j 2 > U <0, J 2 > , decrecien te en

< - ^ 2 ,0 > u < V 2 , + « >, M ax (±V 2 , 16), M in (0, 0); 16. x = 0, 1, creciente en <-«*, 1>,
d ecreciente en < 1, -n»>, M ax (1, 3); 17. x = 3/5, 1, creciente en <-«>, 3/5> u <1, -h» > ,
decreciente en <3/5, 1>, M ax (3/5, 0.3257), M in (l, 0); 18. x = -2, 0, 2, creciente en

<-2, 0> u <2, +«*>>, d ecrecien te en <-®o, -2> U < 0, 2>, M ax (0, U), M in(-2, -12 V 4 ) y

(2, -2 ^ 4 ) x = 0, 2/3, 2, creciente en <-2, 0> u < 2, +«■>, decreciente en (2/3, 2),

Min (2, 0); M ax (2/3, 2 \[Á /3 ); 20. x = -1, 1 ,2 , creciente en <-<*,-!> u <1, +<»>, decre­

ciente en (-1, 1), M ax(-1, 0), M in (l, -\[Á Y, 21. x = a/4, a/3, a/2, creciente en <-«», a/3>

u < a/2, +<»>, d ecrecien te en < a/3, a/2> , M ax (a/3 , a/3), M in (a/2, 0); 22. x = 1, 3/2, 3,

creciente en <1, 3/2> t j <3, +°°>, decreciente en 1> vj < 3/2, 3>, M in ( 1 ,0 ) y ( 3 ,0 ),

M ax(3/2, 9 \¡2 /8 ); 23. x = -1,3, crecien te en <-«*°,-1> u < 3 , +<»>, decreciente en < - 1, 3>,
M ax (-1, 1/2), Min (3, -1/5); 24. x = -4,0, decreciente en < -» , -4 > u <0, +°°>, creciente
en <-4, 0>, M ax (0, 1/2), M in (-4, 1/6) ; 25. x = -2, 2, creciente en <-°°, -2> u <2, +®°>,
decreciente en < -2, 2>, M ax (-2, 3/2), M in (2, 5/6), A .H ; y = 1; 26. x = -1, 1, crecien te en
< -1, 1>, d ecrecien te en <-°®, -1> U <1, + « >, M ax (1, 3), M in (-1, 1/3), A.H: y = 1;
27. x = -1, 1, crecien te en <-«>, -1> O <!,+«»>, d ecreciente en <-1, l> , M a x (-I, 3),
M in (I, 1/3), A .H : y = 1; 28. x = 0, 2, crecien te en <0, 2>, decreciente en < -~ , 0 > u
<2, +*»>, M ax(2, 1/2), M in(0, -1/2); 29. x = -2, 0, creciente en <-«», -2> u < 0 ,+ ~ > ,
decreciente en <-2, 0> , M ax(-2, 5), M in(0, 1); 30. x = -5, -4, -1, creciente en <-«», -5>
u <-4, -1>, d ecrecien te en < -5, -4 > u < -1, +®°>, M ax (-5, 4 ) y (-1, 12), M in (-4, 3);
31. D o m ^ ) = [-12, -h» > ; x = -12, -7, -3, 0, creciente en < -12, -7> o < -3, 0> , d ecreciente
en <-7, -3> cj <0, +«»>, M ax(-7, 5) y (0, 12), M in(-3, 3); 32. x = - 1 , 0, 2, creciente en
<-«*>, -1 > u <0, 2>, d ecreciente en < - ! , 0> u <2, +«*> >, M a x (-1, 2) y (2, 5), M in (0, l);
33. x = 0, 3, sin extrem os relativos, la función es m onótona no creciente V x e D om (/);
34. x = 6, 8, 10, creciente en <-«>, 6> u <8, 10>, d ecrecien te en <6, 8> o <10, -h» > ,
M ax (6, 0) y (10, 0), M in (8, -2); 35. x = -9, -7, -4, 0, 1, 2, crecien te en < -9 , -7>
u <-4, 0> u <2, +°o> decreciente en <-«»,-9> u <-7, -4> u <0, 2>, M ínim os: (-9, -8),
(-4, -5) y (2, 7) M áxim os; (-7 , -4 ) y (0, -3); 36. Düm(/") = <-°°, 17], x = -5, - 3 ,- 1 , 7, 17,
crecien te en <-«», -5> vj < -1 , 7>, d ecrecien te en <-5, -3> u <-3, - l > u <7, I7>,
Max (-5, 12) y (7, 10), M in (-1, 6); 37. a = -1/2, b = 3/2, c = d = 0; 38. a = -10/9.
b = 100/9; 39. a = -9/25, b = 18/5, c = 3; 40. D ecreciente en < -~ , -3> o <-1/3. I>

creciente en < -3, -I/3 > u <1, +«»>, M ax (-1/3, 8 \}l / 3 / 3 ) , M in (-3,0); 4 1 . a = -2,

b = 9, c = -12. d = 7; 42. / ( x ) = ax4- 2 ax 2, V a e IR; 4 4 . / ( x ) = -2x3 + 32x2 + 12x + 2,
M ax (2, 22), M in (-1 ,-5 ); 45. 31 de M ayo; 46. a = 2, es m áxim o; 4 7 . x = rc/3,
5Jt/3, decreciente en <0, 7t/3> u <5ti/3, 2n>, creciente en <ít/3, 5n/3>

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Respuestas a ejercicios propuestos 765

M in [ ? n - 3 - j 3 V M ax 5_n 57C+ W 3 ' 48. x = n/6. 5n/6. creciente en <0, rc/6>

3’ 6 J 3’ 6

u < 5n/6, 2n> , decreciente en <n/6 , 57i/6> Max n n + 6 7 3 ^, Min 5 tt 5 jt-6 > /3
\ 6 ' 12 ),
6 ’ 12

49. x = n/4. 3rc/4, 57r/4, 7te/4. creciente en <0. n /4 > u <371/4, 5n/4> u <7tc/4, 27i>;

decreciente en <7t/4.‘37i/4>‘u <5ji/4 , 7ti/4 >. Max(7i/4. 1/2) y (5tc/4, 1/2), M in (3n/4.

-1/2) y (77i/4, -1/2); 50. x = 7t/3, n, 5 n/3, creciente en <7t/3, 5n/3> , M ax (tt/3, 3>/3 / 4 ),

M in (5 k /3 , - 3 > /3 /4 ) ; 51. x = 0 , 7t/4, tc/2, n , 5n/4, 3ti/2, 2ti, creciente en <n/4, 7t/2> u
<7t, 5tt/4) kj < 3n/2, 27t>; decreciente en <0, n /4 > u < ít/2, ti> u < 5n/4, 3rt/2>. M áxim os:

(0, 1). (n/2, 1), (57t/4, - y[2/ 2) y (271,1), M ínim os: (n/4, ^ 2 /2 ) , Í7t, 1) y (3n/2, -I);
52. x = 0 , 7i/6, n /2 , 5n/6. 37C/2. 2ti. creciente en <0, n/6> c j <tc/2, 5tt/6> u <3tc/2, 27T>,
decreciente en <71/6,7t/2> U <5ti/6, 3ti/2>, M áxim os: (ti/6, 3/2) y (5ts/6, 3/2), M ínim os:
(71/2, I) y (3rt/2, -3); 53. x = 0, n /6 , 5 n /6 , 3 n /2 , 2 n . decreciente en <7t/6, 5ti/6 > u <3jí/2 ,

2 k>, crecien te en < 0, tü/6> c j < 5 n /6 . 3n/2> M áxim os: (ti/ 6 , 3 ^ 3 / 2 ) y (3n/ 2, 0),

Min (5tt/6, -3-J3/2)-, 54. x = 0, n/2, ti, 3n/2 creciente en <n/2, 3n/2>. decreciente en
<0, n/2> u <3n¡2, 2n>, Max (3n/2, 4) Min (n/2, -4)

[Grupa 43J E l criterio de la segunda derivada

1. C reciente V x € IR, no hay extrem os, punto de inllexión en (3, I);
2. M ínim o en (3,-25), 1, (0, 2) l2(2, 14); 3. M ax(-1. 10), Min (2 ,-1 7 ), I (1 /2 ,-7 /2 )

4. Max (0, 0), M in (± 2 ,-1 6 ), I (±2 S / 3 , 80/9); 5. Max (±2, 22), M in(0, 6), 1 (±2 -J3/3,
134/9); 6. Max (0, -1), M in (-1, -6) y (2, -32), I, f 1.22. -19.36), I, (-0.55, -3.68);

7. M a x (-2 ,-l6 ) y (1. 38), M in (-1, -38) y (2, 16), 1,(0 , 0) I.(-/Í0 /2 , 65 VÍÓ/K),
l.í-V To /2, -65 V Ü j/8 ); 8. Max (1, 0), M in ( l ± 2 f i . 12). !,(-!. 20/3). I, (3. -20/3);

9. Max (-1, 23/6), Min (-4, -2/3), I (-5/2, 19/12); 10. M ax (-4. 256) y ( ^ 2 . 104 V2 ),

M in (-V 2 , -104 y[2) y (4, -256), I,( -3,-77), 1 ,(0 , 0), 1 ,(3 . 77); 11. M ax ( - ^ 2 /2 ,
2 +J 2 / 2 ) , M in ( J 2 / 2 , 2 - J 2 / 2 ). I, (-1/2, 39/16); I2(0, 0). I, (1/2. 25/16); 12. M in global
(-3/2, -729/64), I, (0, 0), I,(-3 . 0) y en x = (5± 3 -^3 )/10; L3. A.V: x = 0. M in ( l : 4),
M ax (-1, -4). No existe puntos de inflexión, cóncava hacia arriba en x e <0, +«»>, có n ca­
va hacia abajo en < -“ , 0>; 14. M ax (V 3 , J 3 ) , M in (- V 3. ' & ) ■ I. (-3, -3/2), I2 (0, ü),

1,(3, 3 /2 ); 15. + - ~ x —2 4 , 16. / ( x) = A * 1- 9- x 2 + ! 2 x - 6 '. 17. a = - 2 .

b = 6, c = 0; 18. a = 2/3, b = -2, c = -1/3; 19. a = 1/2, b = 3/2, c = 12; 20. Puntos de

in flex ió n en 1,(1. I), I,(-2, + ^ 3 , ( 1 + j3 ) /4 ) y i,( - 2 - ,/3 . (l-V 3 )/4 ); 21. a = 4, b = -12,

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766 Respuestas a ejercicios propuestos

c = 10; 22. a = 2, b = -6 , c = O, d = 3; 23. b) M in (-3. -251) 1(1, 5), 24. a = 1/5, b = 0.
c= -6/5, d = e = 0

[(¡rupo 4 4 } Resum en de técnicas para dibujar una fu n ció n ^

I . D om (/) = IR, p re c íe n le en <-«», - 1> u < 2. +«»>. d ecrecicnle en < -! , 2>. cóncava hacia
abajo en <-«», Í/2> , có n cav a hacia arrib a en <1/2, + ~ > , Min (2, -12), M ax(-1. 15), 1(1/2,
3/2); 2. D om (/) = IR, función par, creciente en < -2, 0> <2,+o«>, decreciente en <«*>, -2>

u <ü, 2>, có n cav a hacia arrib a en < - » , -2 V 3> <J < 2l - J l , +<»>, cóncava hacia abajo en

< - 2 1 2/ - j 3>. M in (±2, -4), MaxíO. 0), I (± 2 /7 3 - -20/9); 3. D om (/) = IR, crecien te en
<-2, 0> o < 1, +«»>, d ecreciente en < -» ,-2 > o <0, l> , cóncava hacia arriba en

< - » , (-1 - 7 7 ) /3 > u <(-1 + 7 7 )/3 , +<»>, c ó n c a v a h a c ia ah ajo en < -( l + -Jl )/3,

(-1, + -Jl )/3 > , M in (-2 , - I I ) y (1, -3 ), M ax (0 , -4 /3 ), P. I. en x = 1/3 (-1 ± 7 7 ) ;
4. D om (/) = IR, crecien te en <1, +•»>, d ecrecien te en <-**>,1>, cóncava hacia arriba en
lodo su dom inio, M in (1 ,-3 ), no hay p untos d e inflexión; 5. D om (/) = IR, creciente en
< - l, - l/2 > cj < 0, +«=>, d ecrecien te en <-<», -1 > o < -l/2 , 0>, cóncava h acia arrib a en

< -00, -1 /6 ( 3 + 7 3 )> xj < - l / 6 ( 3 - 7 3 ) , +«*>, c ó n c a v a h a c ia ab ajo en < -1 /6 ( 3 + 7 3 ) ,

-1/6 ( 3 -7 3 )>; M in (-1. 0) y (0. 0). M ax (-1 /2 , 1/16), P.I. en x = -1/6 ( 3 + 7 3 ) :
6. D om (/) = IR, d ecrecien te en <-•», 0>, crecien te en <0, +«>>, cóncava hacia arrib a en IR.
M in (0. I ), no existe p untos de inflexión; 7. D om (/) = IR, creciente en <-«», 0> u < 8/7,2>
vj <2,+«»>, decreciente en <0. 8/7>, cóncava hacia abajo en < -« , 0> cj <0, 0.74 > u
< 1.55, 2>, cóncava hacia arrib a en < 0,74. 1.55 > u <2, + « > , M ax (0, 0). M in (8/7, 1.07).

1(2,0) y en x = 2 /7 (4 ± 7 2 ); 8, D oin(/) = IR d ecreciente en <-««. -2> U < -1/5, l> , creciente
en <-2, - l/5 > u < l.+ °°> , cóncava hacia arrib a en <-«». -1.72 > o < 0.52, +«»>, cóncava
hacia abajo en <-1.72, 0.52>, M in(-2,0), Max (-1/5, 26244/3125), M in (1, 0), P.I. en

x = 3/10 (-2 ± -J[4 ); 9. Dom(/) = IR, creciente en <-«», - l> u <!,+«>>, decreciente en

< - 1. 0> c j <0, 1>, cóncava hacia abajo en <-<», -7 2 7 2> c j <0, 7 2 /2>, cóncava hacia an ib a en

< -7 2 /2 , ()> u < 7 2 / 2 , l> , M ax (-1, 6), Min (1, -2), 1(0, 2) y (± 7 2 /2 , 1/8 (16 ± 15 ^2 ));
10. Dom (/)= IR, función par, creciente en <-«»,-1> u < l , + ~ > , decreciente e n < - l ,0 > u < 0 ,l > .

cóncava hacia abajo en <-«*>, - 7 2 / 2 > U <0, 7 2 / 2 >, cóncava hacia arriba en < - 7 2 /2 ,0> cj

< 72/2, Max (-1, 2), Min (1,-2), I, (0, 0), I,(->/2/2, 7 7 2 /8 ), I,(7 2 /2 , -7 7 2 /8 );

II. Dom(/) = IR - (0 ). función par, A.V. x = 0, decreciente e n < - « , -1 <0, 1>, creciente en

<-1, 0 > u <1, +■»>, cóncava hacia arriba V x e IR, M in (± l, 2); 12. Dom (/) = IR, función

impar. A.H. y = 0, creciente en <-«*>, -1> <1, +°°>, decreciente en < - l, 1>, cóncava hacia

arriba en <-■», - 7 3 > u <0. 7 Í > , cóncava hacia abajo en < S , 0> k j < S , + ~ > , M a x (-1 , 1/

2 ) , Min ( I , -1/2), I, ( - 7 3 , 7 3 /4), l2 (0, 0), I, ( 7 3 , - ^ 3 /4 ) ; 13. Dom (/) = IR- ( I }, intersec­
ción con e! eje Y: (0, -2), A.V: x = l, A.O. y = x + 2, creciente en <-«», -1> u <2, + « >,
decreciente en < - l. 1> U <1, 2>, cóncava hacia abajo en <-«■,!>, cóncava hacia arrib a en

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Respuestas a ejercicios propuestos 767

<1, + « > , Max (2, 6 \ M iní-l, 3/4), no existe punto de inflexión; 14. Doin(/j = IR - l± - J í ),

función im par, A.V. x = + V 3 , A .O . y = -x, decreciente en <-«>. -3 > U < 3 , +«»>, creciente

en <-3, - V 3> u < - 4 $ , V 3 > u < 4 $ , 3>, cóncava hacia arriba en <-«», - 4 $ > u <0,

V 3>. cóncava hacia ahajo en < - 4 ^ , 0 > t j < 4 5 , +«» >, M in (-3, 9/2), M ax (3, 9/2), I

(Ü.0); 15. D om (/) = IR - {0}. función im par, A.V. x = 0, creciente en <-°o. - l> o < 1. +<*>

>, decreciente en <-'!. ü> u <0, 1>, cóncava hacia arriba en <0, +«>>, cóncava hacia

abajo en <-«», 0>, M ax (-1, -4), M in (l, 4), no existe P. I. 16. D om (f) = IR - (-1},

X- intersección = (-3, 0), pasa por (0, 0). A.V: x = 1 A .O . y = x+2. creciente V x e D,,

cóncava hacia arriba en <-«>, - 1 >, cóncava hacia ahajo en < - 1, +<»>. No existe extrem os

relativos ni puntos de inflexión; 17. Dom(/) = IR - {-1}, X - intersección = (0, 3), pasa por

(0, 0). A.V: x = -1, A .O ; y = x-4, creciente en <-®°, -3 > u < -l, + » > , decreciente en <*3,

- 1> u <-1. !>, cóncava hacia abajo en <-«», -1>, cóncava hacia arriba en <-1, +«*>>. Min

(1, -1), Max (-3, -9), no existe puntos de inflexión; 18. D om (/) = IR - { - I }, pasa por

(0, 0), A.V: x = I; A.O: y = 2x - I, creciente en | > u <2,+«.>, decreciente en < 1, 2>,

cóncava hacia arrib a V x e D (f), M in (2,4), no existe putos de inflexión;

19. Dom (/) = IR - {2}, Y - intersección = (0, -5/2) A.V: x = 2, A.O: y = 2x - P ereciente

en 0.8> u < 3.2, +«»>, decreciente en <0.8, 2 > u <2, 3.2 >, cóncava hacia abajo en

<-<«, 2>, cóncava hacia arriba en < 2, +<» >, m áxim o local en x = 2 — - J t ! 2, M ínim o local

en x = 2 +4t> 12, no existe puntos de inflexión; 20. Dom (/) = IR - {4}, Y - intersección
= (0, -3), A.V: x = 4, A.O: y = x - 2 , creciente en < -» , 2> u <6, + » > , decreciente en
<2, 4> w <4, 6>. cóncava hacia abajo en < -» , 4>, cóncava hacia arriba en <4.+«»>,
M ax(2, 2), M in (6. 6); 21. D om (/) = IR. función impar, pasa por (0, 0). A .H ; y = 0.
decreciente en < - « , -1> c j <1, +«>>, creciente en < - l, 0> u <f). I>, cóncava hacia ahajo

en < -» , - - J t / 2 > \ j <0, -Jh!2 >, cóncava hacia arriba en <- V ó /2 , 0> u < V ó /2, +*»>,

M ax ( I , I), M in (-1 , - l ) , P.I: I,(- -^6 /2 , -2 V ó /5 ), P (0 . 0), I, ( J 6 / 2 , 2 ^ 6 /5 ) ;
22. Dom (J) = IR - (0 , 2}, A.V: x = 0, x = 2, A.H: y = 2, decreciente en <-°=, - 1> u < 1/2,
2> U < 2, +°°>, creciente en <-1, 0> c j <0, l/2 > , Min (-1, 1), M ax (l/2 , -2), cóncava hacia
abajo en <-«», a> u <0, 2>, cóncava hacia arriba en <a, 0> u <2, +«»>, P. I. en x = a,
donde a es la única solución real de 4xJ + 3x2- 6x + 4 = 0; 23. D, = [-2, 2], función impar,

pasa por (0. 0), X - intersección = (±2, 0). decreciente en <-2, - 4 2 > ^ <-j2 . 2>, cre­

ciente en <- 4 2 , 0> u < 0, 4 2 >, cóncava hacia arriba en <-2, 0>, cóncava hacia abajo en

<0, 2>, M in {-4 2 ., -2) M ax ( 4 2 , 2) , P.I. = (0, 0); 24. D om (j) - 13, + « > , creciente
V x e Dom(f), no hay extremos, cóncava hacia abajo en <3, 4>, cóncava hacia arriba en
<4, +*»>, P.I. = (4, 4); 25. D om (/) = < - » , 4 ], la curva pasa por (0, ü), creciente en

<-°o, 8/3>, decreciente en <8/3, 4>, cóncava hacia abajo V x e Dom(/), Max (8/3. 16 V3/9);
26. Dom (f) = [-5, + " > , la función es positiva V x e Dom(/), creciente en <-5, -4> u
< 0, +•»>, decreciente en <-4, 0>, cóncava hacia abajo en <-5, x0>, cóncava hacia arriba

en<Xfl, +««>, M ax (-4, 16). M in (0 ,0 ), P.I. en x„ = -4 + 2 -s/6/3; 27. Dom (f) - IR, pasa por

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768 Respuestas a ejercicios propuestos

(O, O), X - intersección = (6, O), A .O : y = x - 2, creciente en <-°°, 0> u <4, +«*>, d e c re ­
ciente en <0. 4>, cóncava hacia arriba en < -« , 0> U <0, 6>, cóncava hacia ahajo en

<6, + « > , M ax (0, 0), Min (4. -V 3 2 ), P.I. = Í6. 0); 28. D om (/) = Di . pasa poi (0. 0).
X - intersección = (4 ,0 ), A.O: y = -x + 4/3, d ecreciente en <-e*\ 0> u < 8/3, +«»>, c re cien ­
te en <0. 8/3> , cóncav a h acia ab ajo en <-<», 0> kj < 0 , 4>, cóncav a h acia arrib a en

<4, -H»>, M in (0, 0), Max (8/3, 4 V i / 3 ) , P I. = (4. 0); 29. D om (/) = IR. pasa por (0, 0).
X - intersección = (6, 0), A .O : y = x - 4, creciente en <-««, 2> u <6, +*»>, decrecien te en
<2, 6>, có n cav a h acia arriba en <-■», 0>, cóncav a hacia abajo en < 0, 6> u <6,+«*>. Max

(2, 2 \¡4 ), Min (6, 0), P.I.= (t), 0); 30. D om (/) = IR, pasa por (l), 0), X - intersección
= (-3, 0) creciente en <-°o, -3> U < -9 /5 . +«■>, d ecreciente en < -3, -9/5>, cóncava hacia
abajo en < -~ , -3.6>, cóncava hacia arriba en <-3.6, -3> u <-3, + ~ > , M ax(-3. 0),
Min (-9/5, -1.3) P.I. en x = -3.6 ; 31. D om (/) = IR -{ 2 } , pasa por (0. 0), A.V: x = 2,
creciente en <-«», 2> u <6, +«»>, decrecien te en <2, 6>, cóncava hacia arriba en < -« , 2>

o <2, I2> , cóncav a hacia ab ajo en <12, +«■>, M in ( 6, 3/V 2 )» P l = (12, 12 Vi 0 0 );
32. D om (/) = IR - {-2}, la curva pasa por (0. ü), A.V: x = -2, A .H : y = U, izquierda y
derecha, d ecreciente en <-«», -2> U < 2 , + ~ > , creciente en <-2, 2>, cóncava hacia arriba

en <-<», -2 > U < -2, 2 - V ó > u <0, 2 + a/ 6 > , cóncav a hacia arrib a en < 2- Vó , 0 > u

<2 + -J ó , +oo>, M ax (2, 1/2) P.I. (0, 0) y para x = 2 ± V ó ; 33. Dom (/) = E - { - l j . la
curva pasa p o r (0, 0), A.V: x = - I, crecien te en <-«>, -2> u < 0, +<»>, de creciente en

<-2, -1> O < -1, 0>, cóncav a h acia arriba en <-«*>, -2 - V 3> cj < -! , -2 + V 3>, cóncav a

hacia abajo en <-2 - V 3 , - 1 > cj <-2 + V 3 , 0 > U <0, +«» > , M in (0, 0), M ax(-2. V i ).

P.I. para x=-2 ± V 3 ; 34. D om (/) = IR - { - 1, l }, Iunción impar, A.V: x = ± l. la cu rv a pasa

por (0, 0), creciente en <-«■, - V 3> u <y¡3 , +«»>, decreciente en < - V 3 . -1 > vj <-1, l>

u <1, V 3> , cóncava hacia arriba en < -» , -3 > u <-1, 0 > u <1, 3>, cóncava hacia ahajo

en <-3, - l > u <0, 1> kj <3, + - > . M in (V 3 . 1.38), M ax (-V 3 , -1.38), P.I. en (0, 0),
(±3, ± 3/2); 35. D om (/) = IR — [-2, 2}, X — intersección = (-1, 0), ( I , 0), (3. 0),

Y - intersección = (0, V 3 ), “puntos c ieg o s” = (-2, - V Í 5 ) y ( 2, VT5 ), A .O : y = x-1.
creciente en <-«>, -1> u <-1, x,> u < x 2, 3> u <3, +«>>. decreciente en < x ,, I> u <1. x,>,

donde x,= )/3 (3 -2 V 3) = -0.15 y x2 = 1/3 (3+ 2 V 3) « 2.15, M áxim o local en x, = -0.15,
m ínim o local en xz = 2.15; 36. D om (/) = <-<», - 1] u 11, +«■>, lu íunción es par y positiva
en lodo su d om inio, A .O : y = -x/2, y = x/2, decrecien te en <-<»,-1> creciente en <1, + « > ,
cóncava h acia ab ajo V x e D om (f), m ínim o absoluto en (± I, 0); 37. D om (/) = IR - {8},
la (unción presenta una discontinuidad inevitable en x = 8. la curva pasa por (0, 0),
X - intersección = (6. 0), para x > 8 la curva presenta una A.O: y = 2 - x, es decreciente
en < -» , ()> U <4, 8>, creciente en <0, 4>, cóncava hacia abajo en <-e», 0> u <0, 6>,
cóncava h acia a rrib a en <6, 8>, m ínim o local = (0, 0), m áxim o local = (4, 2 V i ).
P.I. = (6, 0), para x > 8 la curva no tiene extrem os, e s decreciente y cóncava hacia arriba
en <8, +<» >; 38. D om (/) = IR -{()}, d iscontinuidad inevitable en x = 0, pasa x < 0 la

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Respuestas a ejercicios propuestos 769

curva es creciente en <-<», -2>, d ecreciente en <-2, 0>, cóncava h acia arriba en <-■», -5>,

cóncava hacia abajo en <-5, 0>, M ax (-2, -3/V 4 ), P.I. = (-5, -6/V 25 ), para x > 0 la curva
presenta una A.O: y = -x + 2/3, es creciente en <0, 4/3>, decreciente en < 4/3, +o®>,

cóncava hacia ahajo en <0, 2>, cóncava h acia arriba en <2, +<»>, Max (4/3, 2 V 4 /3 ),
P.I. = (2, 0); 39. D iscontinuidad inevitable en x = I, para x < I la curva es decreciente en
<-««, 0 >, creciente en <0, !>, cóncava hacia arriba en <-«■, - 1>, cóncava hacia abajo en
< - l, 0 > u < 0. I>, min (0, 0 ) P.I.= (-1, 6), para x >1 la curva no presenta extrem os,
creciente en <1. +«*>, cóncav a hacia abajo en <1. 2>, cóncava hacia arriba en <2, +«»>,
P.I. - (2, 6), A .O : y = x + 2, A.V: x = I; 40. D iscontinuidad inevitable en x = 0, para

x < 0 la curva no tiene extrem os, X- intersección en x = - I - V2 , creciente y cóncava
hacia arriba en <-«», 0>, A.O: y = x + 2, para x > 0 la curva presenta una A .O : y = -x + 1,
creciente en <0, 2> y d ecreciente en <2, +«»>Icóncava hacia abajo en <0, 3>, cóncava

hacia arriba en <3, +“ > , m áxim o local en (2, V 4 ), P.I. en (3,0); 41. D iscontinuidad

inevitable en x = - V 3 ; para x e (-4, 0> la curva es decreciente en <-4, -3>. creciente en

< - 3 ,- J 3 > u <-V3 ,0>, cóncava hacia arriba en <-4, -V 3>, cóncava hacia ahajo en

< -V 3 , 0 > , M in (-3, 5.5); para x 6 <0, +«>>, la curva presenta una A.H: y = 1, es creciente

en <0, l>, decreciente en <1, + «> , cóncava hacia abajo en <0, V3>. cóncava hacia

arriba en < V 3 , + ~ > , M ax (1, 2), P.I. en ( V 3 , I + V 3/2); 42. D om (/) = IR, para x < 0 la
curva presenta una A.H: y = 3, es decreciente en < -» , -l> , creciente en <-1, 0>, cóncava

hacia abajo en <-«>, -V 3 > , cóncava hacia arriba en < -V 3 , ()>, M in (-1,1), M ax (0,3), P.I.

en (-V 3 .3 -V 3 ), para x > 0 la curva presenta una A.O: y = x - !,e s decreciente en <0, 3>
y crecien te en <3, +<»>, es cóncav a h acia abajo en <0, 3> o <3, +<»>, M in (3, 0);
51. D om (/) = <-«>, 0) u [2, +<*>>, A .H : y = íc/ 2, crecien te y có n cav a h acia arrib a
V x e <-*», 0>, creciente y cóncava hacia abajo, V x e <2, -k »>, no hay extrem os;
52. D oni(/) = [0, +“ >>, A.H. y = 0, hacia la derecha creciente V x € <0, l> , decreciente
V x e <1, + « » , cóncava h acia abajo V x e <0, 1>, cóncava hacia arriba V x e <1, +<*>>,
m áxim o absoluto en (I, n /2); 53. D om (/) = IR A.H: y = 7t2/4, decreciente V x e < -~ , o>,
creciente V x e <0, +°°>, Min (0, 0), los puntos de inflexión ocurren cuando
2x arc T g x = .1 (Por el m étodo de N ew ton se h alla que x = ± 0.765), cóncava hacia abajo
en < -0.765, 0.765>; 54. D om (/) = <-«», 0> U <2/3, + ~ > , m ínim o en la frontera (0, 0),
m áxim o en la frontera (2/3, ji), A.H: y = ft/3; 55. D om (/) = <0, +«*>>, decreciente en
<0, l> , creciente en < 1 ,+oo>, M in (J , 1/2); no existe puntos de inflexión, cóncava hacia
arriba en todo su dom inio; 56. D om (/) = <0, +«»>, decreciente en <0, I/e> , creciente en
< l/e , -h»>, Min (1/e, -l/e ), no existe puntos de inflexión, cóncava hacia arriba en todo su
dom inio; 57. D om (/) = <0, +®°>, creciente en <0, 4>, decreciente en < 4, 8>, m áxim o
global en (4, L nl6), no existe puntos de inflexión, la curva es cóncava hacia abajo en

todo su dom inio; 58 . Dom (/) = < 0, +<*>>, d ecreciente en <0, I/V e > , creciente en

< \/-Je , +■»>, m ínim o relativ o en ( I /V e , -1/2 e), punto de inflexión en ( l/V e J. -3/2 e 3)
59. M ax (1. l/e), I (2, 2/e), creciente en < -~ , |> , decreciente en <1, +o°>, cóncava hacia

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770 Respuestas a ejercicios propuestos

abajo en <-«*, 2>, có n cava h acia a rrib a en <2, +«»>; 60. M ax ( 2 ,4 /e 2), M in (0, 0), puntos
de inflexión en x = 2 ± ->¡2 , d ecrecien te en <-«>, 0> vj <2, + ~ > , crecien te en <0, 2>,
có n cava h acia ab ajo en <-«>, 2 - -J2 > \ j < 2 + -J2 , +<»>, cóncava h acia arrib a en
<2 - J 2 , 2 + y¡2 >\ 61. M ax(0, 1), \ j ,- j 2 t 2 , 1/■Je), I? ( - -J2 I2 , It -Je), c re c ie n te en
<-«>, 0>, decrecien te en <0, +«»>, cóncav a h acia arrib a en <-«», -yp2 / 2 > kj < j 2 / 2 , +«»>,
cóncava h acia ab ajo en < - -J2 /2 , -J2 /2 >; 62. M ax (3, 27/e*), puntos d e inflexión en x = 0
y x = 3 ± -^3; 63. M ax (1, 1/e), M in (0,0), puntos de inflexión en x = - lry ¡5 ± -J \l y

x = \ V Í ± V l T ; 64. M ax (-7t/4, y¡2 /2 e**), M in (3jt/4, - -J2 12 e MA) . I. ( 0 ,1), l2 (71, I/ e")

(G rupo 45 ) P roblem as de optim ización____________________________________________

I. 50 y 25; 2. & S , 8 ^ 3 ; 3. 100/3, 5 ^ 6 /3 ; 4. (±5, 3); 5. (2V 3, V 3); 6. Si (x, 0).
(0 , y ) son los e x tre m o s del se g m e n to se o b tie n e x = a + V a h 2 , y - b+ sfa 7b =>
L = i](a 2, i + b 2nf ; 7. (0, 0), (1 + \ Í 4 , 0), (0, 2 + ^ 2 ); 8 . (a3 + h3) x - 2aby +

a(b 2-a 3) = 0; 9. A 9 p ies del p o ste de 12 pies; 10. a) P (± ^ 2 / 2 , 1/2) b) P(0, 0);
I I . B ase = 3, altu ra = 2;12. A = 87 x 72.5 = 6307.5 cm 1; 13. 4x + y = 4; 14. Lado

del cuadrado = - ja^0| F¡án p U|0 e q u ilá te ro = — — 7= ; 15. R ad io del
9 + 4^3 6H 9 + 4-J3

8 IA
círculo = la d o d el c u a d ra d o = ti + 4 ; 16. y„x + x0y = 2 x „ y fl, A = 4 x n yn
7C+ 4

17. base = a j z , a ltu ra = b ^ 2 ; 18. P ( 2 ^ 3 / 3 , 8/3); 19. B ase = 2a/3, altu ra = 4- Jap/ 3

20. base = 8/3, altu ra = 44/9, 21. 2q + JO* y 2 p + ; 22. b-s/2/2; 23. 8a/5/5 y

2 J 5 ; 24. A = ac/4; 25. A = 0.02 u2; 26. A ltu ra = 3b, base = 2 a J 3 ; 27. base = 4+7t .

a ltu ra = — ; 28. - - = J 2 \ 29. - = 2 ^ 2 ; 30. 22.5 x 22.5 x 15; 3 1 . 1/2;
4 + jt r r

32. r = — H R jlH + R ---------. ^3 ra(ji0 = 3/2 r , altu ra = 3R; 34. r = 4 ^ 6 cm ,
R y j H 2 + R 2 + { H 2 - R 2)

h = 8 ^ 3 cm; 35. — = —; 36. (l - i ; 37. base = 5 m, altura = VTTm; 38. Un Cubo de

H2 H3

arista x = - j 5 f 3 n ; 39. h = 2r; 40. b = 8-^/3 pulg, h = 18 pulg; 41. Punto S ituado a I m illa

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Respuestas a ejercicios propuestos 771

del punto más cercano sobre la costa; 44. 2-J3/3 km. del Punto más próxim o de la isla;
45. 0 = max {are Tg (h/d), are Tg( - Jk2 -1 ) } ¡ 46. A x = 3/4 millas aguas arriba de la

central eléctrica; 47. 16 pisos; 48. ]5y¡2 m; 49. 0 = n i2; 50. 0 = n/3; 51. 8 pies;

52. 0 = 7t/3; 53. A = 3-J3/4; 54. Debe cam inar 2.19 km; 55. -J3/3 m; 56. -J l /2 m;
57. La mujer debe desembarcar en el punto P a 8 Km del punto B y recorrer en aulo I Km
hasta'el punto C.

CGrupo 4 6 } E l m étodo d e Newton________________________________________________

I .0 .6 8 2 ; 2 .1 .1 4 6 ; 3 .3 .3 1 7 ; 4 .- 1 .4 4 2 ; 5 .- 0 .8 8 , 1.35 y 2.532; 6 .- 1 .3 5 3 , 7. ±1.32;
8. -0 .7 6 ; 9. Sug. Tom e u = x ,n y halle las raíces de -u2+ u + l , -0.23 y 7.24; LO. -0 .7 5 4 9 ;
I I.2 .2 3 6 1 ; 12.1.2599; 13. 2.5119; 15. 0.3028; 16. -0.7 4 0 2 ; 17. 2.3393; 18. 1.8022;
19.-0 .3 4 7 3 ; 20.0.7402; 21. b) 1.58489; 2 2 .-1 .3 5 7 8 , 0.7147 y 1.2570; 23 .3 .4 5 2 5

2(x f
24. f*(x) = 3x2 - 5, xn+, = ----- \ ------, com o x, = 1, xM*,= (-1)", de m odo que {xn} no tiene

3(x„) “ 5
lím ite. El T eorem a 5 .1 0 no se sa tisfa c e p orque f” (0) = 0; 25. 2.893 ; 27. 0.7391;
2 8 .1 .2 3 6 1 ; 29. 2.0288; 3 0 .-0 .7 3 9 1 ; 3 1 .-1 .2 3 6 1 ; 33. a ) -1 .8 9 5 5 , 0 y 1.8955,
b) 0.8655; 34. 0.860; 35. 2.0288; 37. 2.209

{Oru¡tOj4^ | C urva param étrica___________________________________________________

I .y = 3 x ; - 2 ,x > 0 ; 2. x2= 2y + 4; 3. (y - a)2= 4/p (x - b); 4. x2+ l6y2= 64, x e [0, 8]; 5. (x - 2)(y
- 3) = 4; 6. x2+ y2= a2; 7. y2- x2= 4; 8. y2(4 - x) = 4 x1; 9. (x - y f = 2(x + y); 10. bx + ay = ab;
I I . xy =1, I x I > 1; 1Z y = 2 - 2x2, l x I < I; 13. x’ y = I, x > 0; 14. y = l- 2x2, I x I < 1;
15. x = 4y2- 2 , 1x I < 2; 16. x2 + 8y = 8, I x I < 4; 17. x2'1+ y2^ a*', I x I < a; 18. x2+ y2= 5,
19. (x - 2)2 + y2= 4; 20. 4(x - 2f + 9(y +3)2= 36; 21. (x + l)2- 4(y - 2): = 4; 22. 4(x + 3)2 -
(y+ 4 ^ = 16 ; 23. a2y - bx2= a2b; 24. 4x' - 3x + y = 0; 25. y ' - 3y - 2x = 0; 26. 9(y - 1f -
l6(x - 2)2= 144; -27. Cada curva representa una parte de la recta dada por y = 2x + 1 Dominio:
a ) x e IR, b )lx l< l,c)x > 0 ,d )x > 0 ;O rien lac¡ó n : a) Sube, b) oscila, c)haja,d) sube; 28. Cada curva
representa parte de la circunferencia dada por x2 + y2 = 4, Dominio; a) x e IR, b) x > 0,
c ) x > 0 ,d ) x ^ 0 ,Orientación; a)oscila,b)oscila,c) baja,d)sube;3 5 .x = (1 -2m2) / m2,y = (l + 2 in j/m

36. a) SP= {(x, y) e IR2 1x = * = 3 + 2 / 11 e (solución no única)

b) ^ - {(x, y) e IR21x = -3 + 3 C os t, y = 1 + 3 Sen t, t e IR} (solución no única)
c) / = [(x, y) e IR2 1x = 4 + 4 C os t, y = 2 + 5 Sen l, t e IR} (solución no única)
37. x = at - b Sen t, y = a - b Cos t; 38. x = 3 Cos t - Cos 3t, y = 3 Sen t - Sen 3 l

39. x = a (Cos 1 - t Sen l), y = a(Sen t - 1 C os t); 40. a) x = b Cos l ± Vr~ - { a + b ) x Serrt

y = a Sen t, b) x = r Cos t + í ^ ( a + b)2 - r 2 Sen2i , y = Se* r.
ya+bj* a+b

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772 Respuestas a ejercicios propuestos
[Grupo 48 ) Rectas tangentes a curvas paramétricas

1________ ; 2. _ 2 t ; 3. _ 1 + / ; 4. ; 5. - - Tg t : 6. t/2: 7. C otg (t/2):

1+/ 1 -r2 r(l + / ) 1 -2 /3 *

8. T g i; 9. T g t; 1 0 . - l s i t < 0 , l si t > 0; 11. y' = 1; 12. y’ = 1; 13. y ’ = 14. y = ^-+7C;
4 —7C

15. <£t : x + 2y = 5, s£„: 4x - 2 y = 5; 16. <£,: 2x - 2y = 3tt - 12. 2x + 2y = 3it;

17. 5 S x + 2y = 16. i j i x - 30y + 69 = 0; 18. <£,: x • y = a; % : x +■ y = a;
19. ¿£r: 2x + y = 2, ££„: x - 2y = 1; 20. ££,: 2x +2y = a, S£„: x - y = 0; 21. S£t : 4x + 3y = 12a.
Si„: 3x - 4y + 6a = 0; 22. %üt: x + y = J l , x - y = 0 ; 23. Sf,: I6x + I6 y = n 1 V2 ,

a ,: 2y - 2x = Jt V I ; 24. S£r: 7x - IOy + 6 = 0, % : I0x+7y= 34; 25. Sí,: 3x - y +1= 0.
a .: x + 3y = 13; 26. Sf,: 5x - 4y = 28, S£„: 4x + 5y = 47; 27. ££,: x - y = I, SE,,: x + y = 5;

28. t = tc/4 + k n ; 29. a) t = n /2 + a , b) l = n - a , c) t = * + v , donde a es el ángulo
63

formado entre la tangente y eje X
3 0 . a) T.H: (-4, -4), X V : (-4 , 5) y (4, -3), b) T.H: (3, 1) y (3, 7). T.V: (7, 4 ) y (-1. 4)

c) T.H; (0, 0), (32/9, 256/27), T.V: (4, 4), d) T.H: (0, 0), T.V; (0, 0), (-243/4, -81/4)
31. T = I y C osec (3 l/2 ) I, N = I y Sec (3t/2) I, ST = I y C otg (3 t/2) 1, SN= I y T g (3t/2)l
32. T = l y C osec 11, N = I y S ec t i , ST= I y C otg I , SN= ly Tg 11; 33. Las curvas se cortan
en tres puntos form ándose los ángulos a , = a-, = 30° y a , = 0o, 39. p = 2a C os t;
40. x Sen t + y Cos t = a/2 Sen 2 t; 41. T (x ) = I Sec 11, 2; 42. a = 2, h = -8

(G rupo 4 9 } D erivación param étrica de orden superior

I _ 1 .2 36 Cosí . 1___ . ^ 3 5 5 Cos2t —A Sen1t
a S en 't a* Sen* t
3a Sent Cos4 1 16 eC * 9 a 2 Sen*t C o s1 1

« 2 + t2 •7 2(f + l)2 .s 6 (f -l)3 .q 2 ( l + f 3) 4

a ( C o s t - t S e n t f ' /<f-i-2>( f - I)3 r ( / + l ) 1( / - 2 ) í ’ 3 ( l - 2 r V

10 l + 3 / • 11 ~ 2 e~' 12 4 e 2' ( 2 S e n t- C a s t) 13 3 C ost

5a (Sen t + Cost)* '(Sen t + Cost)* a 2Sen5/

14. m n t"'; 15. - - ; 16. 4e2' ( 2 S e n r Coi' 0 - 21. a) P, (Ln 12, 7/6)

4a Sen (t / 2) (S e n t+ C o stf

P, (Ln 3, 2/3), b) ; 23. a) f ( 0 g " iO ~ ■?' W ( 0 . b) (5-3-73)

(1 + / ) ’ [/'(* » '

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Respuestas a ejercicios propuestos 773

[Grupo 5 0 J Trazado de curvas paramétricas_______________________________________

1. x = -1, y = 0 ; 2. y = x/2 + e; 3. y = ± x/2 - 1/2; 4. x = -a, y = x - a/2, y = -x +a/2

5. a) y = -48/7, y = x/2 + I, h) T.H: (0, 0), (-4/3, 16/3). T.V: (0. 0), para t = 3± V3
6. a) x = 3/2, y = -1/2. b) T.H.: y = 0, y = 4, no existe T.V.; 7. a) x = 2, 2x + 8y + 1 = 0,

6x - 40y + 9 = 0. h) T.H. para i = ± 2 /^ 3 , T.V. para t = 8 ± 2 j \ 5 : 8. a) T.H. t - 0, T.V: t
= 0,1 = 2, h )y = 0 ,y = x /2 - 3 / 4 ; 9. a ) y = ± x , b) 1 2 x -1 5 y = 2 0 5 : 10. y = 2 x -4 /3 ; II.
/ ( t) y g(t) están definidas V t e IR, M ax (-3, 3), M in (5 ,-1 ) Punto de inflexión en ( 1, 1), no
liene asíntotas; 1 2 ./ ( t) y g(t) están definidas V t e IR, asíntotas; y = x, y = x + 6jt, M ax (-
1 —3jc, -I + 3 n /2 ), M in ( I-3tc, l-3 n /2 ) Punto de inflexión en (-371, 0), 13./ ( t ) y g(t) están
definidas V t e IR - {-1}, asíntota; x + y + 1=0. (0,0) es un punto m últiple, los ejes X e Y
sirven de tangentes en este punto, 3 P.I., en el prim er cuadrante está un lazo cerrado;
13./( l) y g (l) están definidas V l e IR. cuando x e <-«>, l/e> , la función: 14. y(x) no está
definida, cuando x e < -l/e, 0> esta función es bivalente, cuando x e <0, + ~> es univalente.
La línea es sim étrica respecto a la recta x + y = Oel m áxim o es (e, 1/e). Existe dos puntos

de inflexión I,(-V 2 / , -Jj / c ua ndo t = - , 1, (V2 e ^ , J 2 /e '31^ cuando

t = s f l . Los ejes coordenadas hacen de asíntotas.

[Grupo 5 /) Formas indeterminadas

1. Vr, 2. » ; 3. 2: 4. 1; 5. 1/3; 6. Vr. 7 . 1/3; 8. V a \ 9. 6; 10. 0 ; 11. - 1 /6 ; 1 2 . - 1 : 13. 2
14. 4; 15. m / 3 ; 16. 2 ; 17. - 1 / 2 ; 18. 1 2 8 / 8 1 ; 19. 1 ; 20. 2 ; 21. ai j b , 2 2 . » ; 23. 3 / 2
24. - 1 ; 25. 1 / 1 2 8 ; 2 6 . C o s a ; 27. 1; 28. 16; 29. - 1 /4 ; 30. 2 C o s a; 31. 0; 32. 0; 33. 0
34. 0: 35. 0; 36. 0; 3 7 . /'" (a )

[Grüpa~52\ Form as indeterm inadas adicionales___________________________________

1. 3/8; 2. +«>; 3. 4a/rt; 4. Ln a; 5. - 1 , 6. 0; 7. -1 /3 : 8. 4 a:/7t; 9. 1/2 ; 10.-4 /n ; 11. 0;
12. 1/3 (a + b + c); 13. -1 /2 ; 14. - 1 /2 ; 15. Vr, 1 6 .- 3 /5 ; 17. e-1* ; 18. 1: 19. e 2, 20. e 1;
21. 1; 22. I ; 23. e '° ; 24. cr"-"*3; 25. e 1 ; 26. e"* ; 27. e; 28. e"; 29. 0; 30. 31.
32. 1/3; 34. Cos a ; 35. 1/16; 36. 2 Ln 2;

[Grupo 5 3 ) Límites de las funciones hiperbólicas

4 . a) Ln 5. b) - Ln 2 , c) V ó / 2 , d) ^ 3 / 3 , e) ± Ln 2 , f) - L n 3 ; 5 . W; 6. 1/3 ; 7. - 1 / 2 ; 8. Vr,
9. I/tc; 1 0 . 1/8; 1 1 . - 3 / 2 . 1 2 .- 1 / 6 ; 1 3 . - 1 / 4 ; 14. 1 / 12 ; 1 5 . - 2 ; 16. jc.

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774 Respuestas a ejercicios propuestos
{ C r u £ ^ 5 ^ Derivadas de las funciones hiperbólicas

I. 2Senh(2x>: 2. x Cosh x: 3. 3 T8 h x Sech2 x : 4. i 5. 2 Cosh1Í2x)
UJ
2*jl+ Tghr x 4

6. 2 Sech (2x) T g h '(2 x ); 7 . Sech (2x); 8 . --- 1___ ; 9. T g h 1 x; 10. Sgn (5g/> h x )
Tgh x —1 Cosh x

I I . — — ----1 , ^ L , 12. . 1------ ------ = ; 13. C otgh ( - ) Cosech* f - 1 ;
2 Senh x + 3 Cosh x 2 J Cosh x - Senh x V2j \2 )

S\

14. —2 C osech x ; 15. - 2 C osech1 x, x > 0; 18. —— --- [(3x+2) Senh x - x C osh’ xl;
Senh2 x

17. ■y 1 .4 ; 16. C osh4 x; 19. a + b C m h * ; 20. Senh <2 *> ,
I - Senh x b+a C o s h x 3y2 -\

23. ; 2 4 . Tgh x ; 25. K = -4; 27. Dom ( / ) = IR, creciente
Ln (Tgh x) - Ln y x(l+ D i2x)

V x e D om (/), no hay ex trem o srelativos, 1(0,0); 28. D o m (/)= IR, A.H: y = ±1, Min (0,0).
M ax (4. 4.0996), decreciente en <-°o, 0> vj < 4, 6> ^ <6. + » > , creciente en <0, 4>.

P.I. (6,0); 29. D o m tf) = I R - {1, 3}, A.V: x = I, x = 3, A .H : y = C osh 1, d ecreciente en

-3> < - V I , -I > u <1, V I > u <3, +«*>>, crecien te en <-3, - V I > u < -l ,1 ><j

< V I , 3>, M in (-3 ,1 ), (-1, 1) y ( V I , C osh 14.04), M ax ( - V I , IO 02); 30. D oin(/) = IR,
A.H: y = 0, crecien te en <-°°, -2 > w <-1, 0> , decreciente en < -2, - 1 > u < 0, +<»>,
M ax (-2, 1.055) y (0, C osh I ), M in (-1,1); 31. D o m ^ ) = IR, no tiene asíntotas, creciente
en <-1, 0 > kj < ! ,+ « > , decreciente en <-«», -1 > u <0. !>, M in (±1, 0.887). Max(U,M;
32 . D o m ^ ) = IR — (-1} A.V: x = -1 ; crecien te en < - « , -2 > kj <0, +«*>>, d ecrecien te en
<-2, - 1> c j < -1 , 0> , M ax (-2 , - 2 .9 7 ) , M in(0, 0.851); 33. D om ( f ) = JR, A .H : y = Senh 1 s
1.175, c re c ie n te e n <-<*>, -2 > u <2. +■*>>, d e c re c ien te e n < -2, 2> , M ax (-2 . 2 .1 3 ),
M in (2, 0.9 3 ); 34. D o m ^ ) = IR. A .H : y = T gh I = 0.76, d ecreciente e n .< - l, 1>, creciente
en < - » -1 > w < 1,+-*>, M ax ( - 1, 0.995), M in (1, 0.32), T gh(3 )= 0.995, Tgh (1 /3)= 0.32;
35. D om ( f ) = IR A .H : y=0, crecien te en <-«*>, 0 > v j <2/3, 2>, decreciente en <0, 2/3> w
<2, + « » , M ax‘(0, l ) y (2, 1), M in (2/3, 0.62); 36. D o m ( f ) = I R - (0 , 3}, A.V: x = 0, x = 3.
A.H: y = ± 1 , creciente en <-«>, 0> u <2, 3> u <3, +°°>, decreciente en <0. 2>, Min (2,

0.633), C otgh (V ? ) = 0.633; 37. D o m (/) = IR - ( - 2 ) , A.V. x= -2, creciente en <-«>, -4 >

U < 0 , +«»>, d e c re c ie n te en < -4 , -2> U < -2 , U>, M in (0. 2 .1 6 4 ), M ax (-4, -6 .3 );
38. D o m ( /) = IR -{ ± 2 , ±5) A.V: x= 2, x=5. A .H : y - C otgh 1 = 1.313, “p u ntos ciegos":

(-5, ± 1), (-2, ±1), crecien te en < -V Í0 , -2 > u <-2, 2> vj <2. VTo>. decreciente en <-«>,

-5> u <-5, -V Í0 > u <VÜ>, 5> u <5, + «> , mínimo relativo en x = -V lO , máximo
relativ o en x = V Í0 ; 39. D o m (/ ) = IR -{2 } , A.H. y = ±1, creciente en <-«», 0> u <4. +“ >.

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Respuestas a ejercicios propuestos 775

decreciente en <0. 2> cj < 2. 4>. M ax(0, 0), M in (4. Tgh 8): 40. Dom (/> = IR —{±1, ±4},
“ punios ciegos’*: (-1. I). (-1. -1), (-4. - I U - 4 . I), A.V: x = I. x = 4. A.H: y = Cotght I ) = 1.313.
creciente en <-2. -I> u < - 1, 1> w <1. 2>. decreciente en <-«». -4> U < -4. -2> U <2, 4>

<4. +<»>. M in (-2, -1.0001) M ax (2, -9.12)

[Grupo 5 5 J Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas

1. X >, 1 . x e IR - {0 f; 3 . \ e < - J l y *¡2> -
1vi
, U I > 1; 2. •v(v--2)
Ixl

|Ü) ; 4. y '= 0 . pues I Sen2x 1< 1:5. . x e IR- {-a, a}. 6. - * ,.\ e <0, +«>> - { I }

o2- * 2 ‘* 2*

7 . ---------- * . . I x l > 2 ; 8 . y' = 2. x > 0: 9 . f . x e <-1, 0 > :

(4 - x 2) V x’ - 3 2*V x+l

10. 2 Sec 2x, x e IR -fx /x = ^ * v }. 1 1 . 2 Senh '(2x), x e IR; 12. Tgh 1 (x). I x I < I

13. C osh 1(2x). x e <l/2,+«>>; 14____ — ; 15. J f l '+ .v 2 ; Ift. ^ t ^ . x e IR-10)
3 + 5 Cos x x

17. J-X— a : 18. - 6 ín + 4 x ~ ; xy. a ) k = 1/4. b) k = 1/3; 20. 12 u-
vx rr~
y jx + a .\

21. A (-6 ,-1 ), B (-3,2), CíO.2), D (3,-1), 18u ’; 22. 18 u-

(tjru p o jtó ^ Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales

1. ex= e + c (x - 1) + ^ (x -1)2 + ^ ( x - l ) '+ (x-l )"*+ (x -1)', p a ra algún c e <1x>

2. Cos X = [ l-fx - T t / 4 ) - “ ( X - tc/4)2 + ^y(x - tc/4)^1 + 6 ( x - J t / 4 ) J, c e < 71/4. x >

3 . Sen x = ^ fl + J $ ( x - n /6 ) - (x - n / 6 ) - - ^ ( x - ti/ó)'! + -*!’í- ^ í (x - 7C/6)4, c e <tt/6, x>

4. lO + ^ tx - lO O ) - 4 j- , (x-lU0)2+ (x-100)1- (x-100)*, c e <100, x >

5. ----- ’— r = I -2 (x-5) + 3(x-5)3 - 4(x-5)* + 5(x-5)4 - 6(x-5f + - f (x-5)'\ c e <5,x >
( x - 4)* (r-4 )

6. ----- -— 5- = 1-2(x41) + 3(x+1)■—4(x+1)’ + 5 (x+1 )J- — . paraaleúnce <-1. x >
(x + 2)" (c + 2)

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776 Respuestas a ejercicios propuestos

7. VT+7 = |+ <l + c ) - pan, algún c e <0, x>

8. ---I----= l+ x + x2 + x ’ + x4 + — :—r s , para algún c e <0, x>
1~* (l-o *

2 ^4 S
X 1-X------X--------- 1------X------r . para aleú n c g <0, x>
9. Ln( (1 + x) = x 2 3 4 5(1+0

I1(0.. T™g x = x + 2--x--i-(- 1+6--S--e-c--4--c--.--T--g---c- -+--8---S--e-c--2--c---.--T--g-y--c- 5}— , para al.gú. n c e <0_, x>
V. { 4! J

11. are I g x = x -x ' (-c---~-2D~2y , para algún c e <0, x>

3(l+ c )

12. arc Senx = x + A^ c. ) , para algún c 6 < 0,x >
3! (1 - c2)5/2

13. Seis c ifra s e x a c ta s; 15. C in c o c ifra s e x a c ta s; 17. El e je rc ic io 13 p red ice que
e in = 1.3955826, el verdadero valor es de alrededor de 1.3956124 (el erro r es alrededor
de 0.00003); 22. -2 0 ; 23. 1.648; 27. 0.342020; 28. 0.985; 29. 0.40. con un error m enor
que 0.01; 30. 1.65

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BIBLIOGRAFIA

1. E L C Á L C E L O . Sétima Edición 1998
Louis Leithold - Editorial Oxford Universit) Press México S. A.

2. A N Á LISIS M A T E M Á T IC O . Curso de Introducción ( Vo! 1)
H aser-L asalle-S ullivan. Editorial Trillas

3. CÁLCULO y G eom etría Analítica
Edwin J. Purcell - Editorial Norma

4. CÁ LCU LO y G eom etría Analítica
Larson - Hostetler - Editorial Me Graw • Hill

5. CÁLCULO y Geom etría Analítica
Edw arsy Penney-Editorial Prenlice - Hall - Hispanoamericana

6. CÁLCULO APLICADO Para Administración y Economía
Laurence D. Hoffman *Editorial M e G raw - Hill

7. C A L C U L U Sde una y varias variables con Geometría Analítica
Saturnino L. SaJas - Eiirmr Hille - Editorial Reverte S. A.

8. CÁ LC U LO .
Ceder - Outcait - Editorial Fondo Educativo Interamericano S.A.

9. CÁ LCU LO D IF E R E N C IA L E IN TEG RA L (T o m o !)
N. Piskunov - Editorial M ir - Moscú

10. PR O B L E M A S DE LA S M A T E M A T IC A S S U P E R IO R E S (T om o I )
V. Bolgov - Editorial M ir - Moscú

11. P ro b lem as y E jercicio s de A N Á L ISIS M A T E M Á TIC O
G. N. Berman - Editorial M ir - Moscú

12. P ro b lem as y E jercicios de A N Á LISIS M A T E M Á TIC O
B. Demidovich - Editorial M ir - Moscú

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778 Bibliografía

13. C Á L C U L O y G E O M E T R ÍA A N A L ÍT IC A
Sherman K. Stein - Editorial Me Graw - Hill

14. C Á L C U L O AVANZADO
Watson Fulks - Centro Regional de Ayuda Técnica

15. A N Á LISIS M A T E M Á T IC O
Protter - Morrey - Fondo Educativo Interamericano S.A.

16. A NÁ LISIS M A T E M Á T IC O ( Tomo I )
L. D. - Kudriavtsev - Editorial M ir - M oscú

PEDIDOS A PROVINCIAS

Depositar a la Cta. de Ahorros del Bco. de Crédito
N° 193-03122265-0-02

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