Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

240 Capítulo 2: Límites

ii) S im = n r=s m - n = 0 y Jcm'" = jc° = 1 ¿l-i*m+00f { x ) = ( t 0 (1) = Oq
» Oq •

iii) S i m > n «=* m - n > 0 , y cuando jc -+ + «>, entonces (jcm " )-+ + «>

L u eg o : lim f ( x ) - ( - ^ )(+ © « ). S i > 0 t=> lim f [ x ) = + ©o
*->+« * P() Uq x —i+cr,

iv) Sim > n y < 0 <=* lim f ( x ) = ( i r L) { + 00) = - 00
0« x —»+oo ' On

[E JE M P L O 2 ) Utilizando el criterio del Ejemplo 1 , calcular los límites

a) ,ím ( | ^ £ ± 4 ) c> iim 2j t - I /
*_*+«>'5 x -8 jc + 5 /

b> , Ü ™ J w £ r é ) d> t a j 4 + í -^ >

P ( jc)

Solución Las funciones racionales dadas son de la fo rm a: f ( x ) =
QU)

a) m = grP(jtr) = 2 y n = gr Q(jc) = 3 <=> m - n = - 1< 0 . L u eg o : lim /(jc) —^ (0) = 0

b) m = grP (x ) = 3 y n = grQ{;c) = 3 => m - n = 0 . Entonces : lim /( x ) = (■£) (1) =

c) m = grP(x) = 4 y n = grQ (x) = 2 «=> m - n = 2 > 0 . L u e g o : lim /(*) = ( J - ) (+«*>) = + 00

í - > + oo '2•

d) m = gr P(jc) = 2 y com o Q(x) = 1 , entonces g r Q(x) = 0 «= > m -n = 2 > 0

P o rlo q u e : lim f ( x ) = l --r1- ) ( + ° ° ) = -

J t —» + « o * 1'

Un método para evaluar límites al infinito de funciones racionales consiste en factorizar la
mayor potencia de jc en el numerador y denominador para luego hacer uso del Teorema 2.8. Así
para las funciones racionales del Ejemplo 2 , se tiene

<L. lim = l¡m 2 - ^ + 10^

+ « x * ( 5 - 8 /jc 2 + 5 / x 1) x - » + ~ jc( 5 - 8 / jc2 + 5 / jc3)

2- 0+0 2 =0

+ ©o (5 - 0 + 0 ) + ®°

M I- r -t'( 4 + 2 /^ - 5 / ^ ) _ 4 + 2/x1- 5 / jc3 _ 4 + 0 - 0 1

; x Í T L x i ( S + y x 7+ \ 2 / x s) 8 + 1/JC2+ 12/x3 8+0 + 0 2

.. x^C l- 5 / ^ + 1/x4) jc^ I - S / x ’ + I / jc4) + © °(I-0 + 0)
C) L =
¿ ( 2 - Itf) = ,Ü T - T lb f = ------- 2 ^ 0 ------ = + ”

d) L = lim x*(4/x2+ I / x - 1) = +© °(0 + 0 - 1) = -© « ■
*-»+«»
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Sección 2.9: Límites al infinito 241

(2x - 3)2(5 - 3x)3
E JE M P L O 3 J Calcular: lim , ^
* x_»+oo (3x -2 )(1 - 2 x Y

Solución La técnica de factorizar una potencia de x en cada factor del numerador y denomi­
nador nos lleva a escribir:

jc2( 2 - 3 /x)2* ^ ( 5 /x - 3)3 (2 - 3/x)2(5/x - 3)1

x1( 3 - 2 / x3) - ^ { 1 / jc-2 )2 " ,1 1 ? » ( 3 - 2/jc3) ( 1 /x - 2)2

Obsérvese que al cancelar jt5del numerador y denominador estamos eliminando la forma inde­

terminada f f . L uego, por el Teoreama 2.8

. _ (2-oy(o-3r _ q
(3-0)(0-2)2

( E J E M P L ^ ^ 4 j Hallar el valor de n e Z , tal que

(jc + 3 ) " ( 4 x + 7 ) " 2 ( 3 * - 4 ) " + ' 8
x -lT - (9 x 2 + x + 3 )3 (2 x -5 )" 1 "
243

Solución Siguiendo la técnica del Ejemplo 3 se tiene:

x" (1 + 3/x)n•xn 2(4 + 7/x)n-2•x**1(3 - 4/x)n**

xi*™- x2" (9 + 1/x + 3/x3) " . x" 1( 2 - 5/x)n 1

— lim x 4" ‘2 ( 1 + 3 / x ) " ( 4 + 7 / x ) n- 2 ( 3 - 4 / x ) ° * 1
, 4 + - x4" 2(9 + 1/x + 3/x2) " ( 2 - 5/x)"~1

(1 + 0)" (4 + ü)"~2(3 - 0)n*’ 22" 4 . 3 n+l
Por el Teorema 2.8: L = ( 9 + 0 + 0), ( 2 _ 0). , - 3J„ . 2„ ,

9 n-3 o / O \n-■ /?\5
L uego.si: ^ = -^ 3 (T ) = ( - ) « n - I -5 n=6 ■

f'■E«■JiE■M- P L■O s }J Si f ( x ) = ¿x + b¿ X , examinar el lim f ( x )

Solución Previamente hallemos el dominio de la función
f e srea! <=> (4x2- 3 x > 0 ) a (2x + 6 * 0 )
<=> x e (- «», 0] U [3 /4 , + °°) - {- 3}

Significa que podemos evaluar el límite indicado

L = ,im = Hm (V ?= lx l)
i —*- o» x (2 + 6/x) x-»-« x (2 + 6/x)

Como x se aproxim a a - “ , esto es , decrece sin lím ite para valores negativos entonces

|x | = - x , de modo q u e:
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242 Capitulo 2: Limites

L = lim X(2 + 6/x) = lim - 2 f 16*/x* = 2 + 0 = -1

x-f-eo x -* -e * +

EJEMPLO 6 J Calcular: lim ( ^ x= )

Solución A quí también jc decrece sin lím ite para valores negativos y como el
Dom (/) = R - { 0 ,27/8} , entonces

, .. x (3 /x + 4) x (3 /x + 4 )
L = lim .. ------ = lim —

V x\27/x-8) *-»-“• x V27/x- 8

Obsérvese que x se extrajo del radical sin valor absoluto , pues sabemos que si x < 0 y n es

número im par «=> 'Ix*' = x . Luego , elim inando la indeterm inación | | , se tiene :

iL = ili_m ..3 /x + 4 = - 0r =+ =4 = - 2^ i
V27/X-8 V ÍT l

EJEM PLO 7 J C alcular: lim (Vx2- 2x - 1 - Vx2- 7 x + 2 )

* *-*+«»

Solución N ó tese q u e cu ando x —>+ , am bos radicales tam bién tienden a + 00 . No es
inmediato ver como se comporta su diferencia - «>). En estos casos es nece­

sario racionalizar la expresión y transformar el límite a la forma f f , esto e s :

= lim 5 ,-4

V j^ - Z t- 1 + Vx2- 7x + 3 x-*+oo Vx2- 2x - 1 + Vx2- 7x + 3

]¡¥n_____________ x(5 - 4 /x)____________

x-*+™> Ix l Vi - 2/x - I/x3 + Ixl V i- 7 /x + 3/x2

Como x crece indefinidam ente para valores positivos *=> Ix I = x . Por lo que :

L = lim 5 - 4/x 5

+« V l - 2/x - l/x 2 + Vi - 7/x + 3/x2 2

>E1 J E M PL O - ■ 8] C alcular: lim (Vx2+ 2x + x)
J T -> -00
.1 II»

Solución Obsérvese que la indeterminación “ se produce dentro del radical, por lo que
es necesario racionalizar la expresión entre paréntesis , esto es :

L. = lim —(x,2 + 2x) - x2 = hm . 2x ----- = h.•m 2x

Vx2+ 2x - x Vx2+ 2x - x jt—♦-«> Ix l Vi + 2/x - x

Como x < 0 c=>|x| = -xt=> L = lim — . — = -1

x -*-•*> - V1 + 2/x -1

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Sección 2.9: Límites ai infinito 243

EJEMPLO "9 I C alcular: lim (x + '¡2xi - x i )
* X - » + oo

Solución Aquí también la indeterminación 00- 00se produce dentro del radical, de m odo que
es necesario racionalizar la expresión entre paréntesis multiplicando y dividiendo

por el factor racionalizante

F ( a ,¿ ) = a 2- a b + ¿ 2,d o n d e a = x y b = -$ 2 x 2 jc '

« L = lim = lim * + = 1¡m 2 *
,_»+« *-»+■*> F ( a , fe)
F(a ,b ) x-* + o o F( a , b )

Com oF(a,í>) = j? - x -1¡2x2- x * -f V o ^ - x 3)2 = x2( l - V 2 / x - l + V ( 2 /x - l) 3)

=> L = lim 2
+~ 1-V2ZT7 + V(2/x-l)2 l - ( - l ) + l 3

(e je m p lo 1 0 ] Calcular: lim x í V ^ + lx - 2 < ¿ + x + x )

Solución La sustitucióndirectadaal límite laforma«*>(«»- 2 + « 0 , quesepuedeescribir

©o[ ( 0 0 - 0 0 ) + ( 0 0 - c*>] . Esto nos sugiere que debemos ordenar los términos del

límiteenesaforma, estoes

L = lim x [ ('Jx2+ 2x -'>}x2+ x ) + ( x - ^ x 2+ x ) ]

x —*-<»

Ahora, racionalizando cada paréntesis obtenemos

L = lim x [ — x—. ■ - — 1 = lim x1\ —,■ . _ ~|
x-» +o» L \x 2+ 2x + \ j r + jr x + Vx^ + x - 1 *-» +« L (Vx2* ! * + Vx2+ x ) (x + V x^+x) J

= lim x,2r —. --------—- 7------X--2----(-X2+ 2x) , -1
,.
L ^ ¿ 2 + 2x + Vx2+ x ) ( x + Vx2+ x )( x + V x 2+ 2x ) 1

Um - 2x3 ^ ==_

*-»+« \x \ ( V l+ 2/x + Vl + l/ x ) ( x + |x | Vi + l/x )(x + lx l Vi + 2/x)

Como x crecesin límite para valores positivos ,l x | = x . Entonces :

L = lim , —, -------- ~ 2 . , = - -7 ■
*->+~ (Vi + 2ix + Vi + 1 / x ) ( l + Vi + l / x ) ( l + V l + 2 /x )
4

¡EJEMPLO 1 l ) Calcular: lim ( 3x^+5x2- 4 . V9x2+ 2 x + 3 )
V J x-> +~ ' x 2+ x - l /

Solución El límite tiene la form a indeterminada 00- ®°. Para resolver el problem a debemos

elim inar el término 3x®y obtener una función racional cuyo numerador y denomi­
nador sean del mismo grado. Para ello hacemos el artificio de restar y sumar 3x a la v ez, luego
hacer las operaciones respectivas , esto es :

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244 Capítulo 2: Límites

L = m U K + ^ - * - - 3 x ) - f a + 2x + 3 - 3 x ) U ^)
*-*+-L' jt + x * 1 /' / j a -.+- \ j ^ + x - l V 9r + 2* + 3 + 3 x '

= 2 . lim , * * * * * = 2- 2+0

jc(V9 + 2/jr+3/x® + 3 ) V9+0 + Ü +3 3

ÍEJEMPLO 12] Hallar *->li+m00 ( l ^ 2 x+2,6+^3~ 3- + ^ + 3 ^ + 1 -7x)

\* \ t

SoluciónPara resolver el problema de indeterminación °o -«», debemos eliminar el término
I2x3 del prim er sumando. El artificio consiste en descom poner el térm ino

- I x = - 6jr-Jc,y lu eg o escrib ir

L = lim r ( i y + 6 j! - 3 - 6x ) + ( ^ + 3 ^ + 1 - J ) l
x-*+«oH 2x + 3 ' J

= lim [ ( ~M + C^*3+ 3 ^ + 1 - x) 1 - ^ + lim (\U 3+ 3x2+ 1 - x)
x —» + oo L i ¿ r + 3 * -i ¿ / - > + «

Ahora debemos racionalizar la expresión entre paréntesis multiplicando y dividiendo por el

factor racionalizante F (a ,b ) = a2+ ab + b2 , d o n d e : a = Vx3+ 3jt3 + 1 y b = x , esto es

. . .. ( V + 3 ^ + 1 - x) • F ( a , b) , (x3+3x2+ l ) - x 3
L = 3 + lim -------------=-— TT------------ = 3 + lim =r---- rr ------
*_»+« F (a, o) x —>+°° F ( a ,o )

xa (3 + 1 /x2) (1)
= 3 + x_h»m+oo — p—(—a . 0i r)—

Como F(a ,i>) = M(x' + 3 .r + 1)J + x - ‘Vx', + 3x2+ 1 +X2

= jc2(^/(1 + 3/x + 1/jc3)2 + 3/ 1 + 3/x + I/a ' + 1 )

E n to n c e s ,e n (1 ): L = 3 + lim -57 3+ 1/x

.+ « \í(l + 3 /x + 1/r1)3 + %Í1 + 3 /x+ V x ' + 1

= 3 o - ------------------3 + 0 --------------- = 34 -1 = 3

>/(! +0 + 0)2+ \TT7 Ó + Ó + 1

EJEMPLO 13] Hallar a y b , si existen, sabiendo que

iim l^ ± lM + 6 + 5 .ax-b)= 0
J w*. oo\ x+3 »

Xo/uctó* La presencia del radical y su coeficiente sugiere el artificio de sumar y restar 3x en
el numerador y luego agrupar los términos convenientemente de modo tal que se

cumpla la condición d ad a, esto es :

lim [ x*2_+± 33 *x ++ 55 . t i +. *3 (*^ ++ 6* --*x>) ] = 0
-»-«L x + 3 x+3 J

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Sección2.9: Límites al infinito 245

^ lim [ (1- a)jJ + ( 3*- +3a3,- t)Jr + 5 - 3 Í -]I +3 jr-ü»m-«A( - í^ V i ) = 0

X+3 f

Para que el primer lím ite sea un número real finito debe ocurrir que el grado del numerador sea
1, es decir , s i l - a = 0 « a = 1

A. .h o ra, si a = ,1 «=* tL.1= i -,l•»im. » -(-3------3----x6--)-+x--+3=--5-----3--b-- = x.l-.i*m-®I°f'----b--x-x--++--5-3r--3---b-1\/ = - b.

S eaF ( a , b ) = á 1+ ab +¿>2el factor racionalizante del segundo lím ite, d ondea = V j? + 6 y b = x

Entonces:

f _ .. (x* + 6 ) - x 3 _ 6 _______________ 6 _n

L* ~ , “ m- ( x + 3 ) - F ( a , b ) “ (x + 3 )* F (a ,6 ) " ( - ~ ) - F (a,b) ~

L u e g o ,si L. + 3 L , = 0 => -6 + 3(0) = 0 <=> ¿ = 0 ■

—EJE■MPLO 14/) H allar:x-*li+m» (aünVx +c Vx+ 1 + . . . . +anVx + n )

donde a 0„ 1.a .1 . . . ’, a nson núm eros naturales diferentes de cero tales
que : aQ+ a ]+ a 2 +. . . . + a n= 0 , n e -4'

Solución Sea f ( x ) = a QVx + a fVx + 1 + . . . . + a nV x T n
De la condición d a d a : a n ~ - a 0n~ aI, - ü2. - . . . . - a n -1

Sustituyendo en la función / y ordenando convenientemente sus términos se tiene :

f ( x ) = tf0(Vx -V x + n ) + a,(Vx + l - Vx + n ) + . . . . + a n l (Vx + n - 1 - Vx + n )

de modo que al racionalizar cada paréntesis obtenem os:

^ = -Qon + a iU -« ) + + -a„- 1
Vx + n - 1 + V x + n
Vx + Vx + n Vx + 1 + Vx + n

lim f ( x ) = - 0 + 0 + . . . . - 0 = 0 ■
X-»-»

EJEMPLO i s ) Calcular: f a r [ ^ T g ( f ± | ) - | ]

Solución Sea L = lim x ^ a rc T g J f ^ ) - a n c T g ( l ) ]

Usando la identidad: arcT g a - arcT g b = arcT g f ,g ) , podemos escribir
'1 +abf

x + 1 _j

^ " [ arcTS I ) ] = J, ^ [ arCT8( 2 Í f 3 ) ]
1 T x + 2A

Si hacemos el cambio x = l/u ,p o r e l Teorema 2 .9 ,se tiene

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246 Capítulo 2: Límites

' 2 + 3u *

EJEM PLO 16^ C alcular: lim (S enV x+ 1 - SenV x)

Solución Transformando la diferencia de senos a producto, se tiene :
Sen VxTT - S e n ^ = 2 C o s ( ^ T \ + ^ ) S e n (^ - ^ )

^ IS enV T T T -S en Vil = 2 |sen ( ^ ± L ^ ) | | Cos ( ^ ± L ± ^ ) |

Pero com o ICos x I < l ^ 0 < I Sen Vx+ 1 - Sen Vx | < 2 Sen ( + ^ — ) | (1)

y si lim (V x+ 1 - Vx) = lim ( . 1------ = ) = 0 ■=> lim S e n f ^ ^ * =0

x —» + « * j r - » + » ' \ J C + 1 + vJC x —>+ «■» ' ¿ '

■=> lim Sen
X—*+oel

De (2) y (1 ), por el teorema del “sandwich” , se sigue que :
lim ISen V x+ 1 - Sen Vx I = 0 ==* lim (Sen Vx+ I - Sen V x) = 0

[EJEMPLO 17^ Demostrar , usando las definiciones correspondientes , que :

lim f ( x ) = L <=> lim /( k x + c) = L ; k € IR+ y c € IR son constantes.

X-* +«“> X—»+<»

D em ostración (= > ) Probaremos que : lim f ( x ) = L r=> lim /( k x + c) = L

X-* +«® X—»+ °®

1. Si lim /(x ) = L d V e > 0 , 3 N > 0 I s ix > N e=> |/ ( x ) - L | < e

X—»+“

2. Sea x = k u + c , k y c son constantes , luego en el paso ( l ) :

=> V e > 0 , 3 N > 0 | s i k u + c > N l/(k u + c)-L | < e

t=> V e > 0 , 3 N > 0 | síu > ^ ~ c = N , <=> | / ( k u + c ) - L | < e

3. A h o ra , N, > 0 p orqueN es suficientem ente grande par c e OR y k e DR+
V e > 0 , 3 N l > 0 | s i u > N l <=* l / ( k u + c ) - L | < e

4. Cambiando variables: «=* V e > 0 , 3 N , > 0 |/ ( k x + c ) - L ( < e que es la definición precisa
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Sección 2.9: Límites al infinito 247

de: lim /( k x + c ) = L

X —» + “

5. P o r ta n to ,d e ( l) y ( 4 ) : lim f ( x ) = L *=> lim /( k x + c ) = L

X —» + w X —» + »

(< = ) Ahora probaremos q u e : lim /( k x + c) = L => lim f ( x ) - L

X —» + » Jt— » + “

6. Si lim /(k u + c) = L , siendo x = ku + c , por definición de límite
U—►♦

V £ > 0 ,3 N ,= > 0 [ si u > ■=>I /(k u + c ) - LI < £

7. Com o k e R + V o O l s i k u + c > N «=* l/( k u + c ) - Ll < e

«=> V e > 0 , 3 N < 0 I s i x > N «=> l / ( x ) - L | < e

i=> üm /(x ) = L

jt—♦+»

8. Por tanto, de (6 ), cambiando variables, y (7), se sigue q u e :

lim f ( k x + c) = L <=> lim /( x ) - L l

X — f + oo X — » + o»

(E JE M P L O 1 8 ^ D em ostrar que si lim f(x) = L y lim g(x) = L , , L , L e R y
■— — ^ x —*+o® Jt—»+oo 1

L, < L j , entonces existe N > 0 tal que V i e N , f(x ) < g(x)

Demostración En efecto:

1. Si lim f ( x ) = L, <=* V £ , > 0 , 3 N ( > o |s i x > N , <=> |/ ( x ) - L , l < e,

X —>+0 0

2. lim g(x) = L2 <=> V eJ > 0 , 3 N 2> 0 , | s i x > N 2 =* |g ( x ) - L 2l < e 2

J t-> + 00

3. Dado que ambos límites se definen V £ > 0 y como por hipótesis L, < L2

«=> L2- L, > 0 , eleg im o s: £ = £, = £2= i (L2- L,) > 0

4. L u e g o : lim /(x ) = L, <=> V e = > 0 , 3 N, > 0 I si x > N, => I/(x ) - L, I < e

x—>+o<s 2

S ix > N ( tzo L | - £ < / ( x ) < L , + £ ^ 2L ,- L l 2 Lí < /<x) < L ,+ L ? ~2 L|

3L! - L , x ,..-, , Li + L 2
— 2— ^ ' — 2—

5. Si lim g(x) = L2 « V e = > 0 ,3 N 2> 0 ls ix > N 2 =* lg ( x ) - L j < e 2

X —♦+ ee ¿

S i x > N 2 i= > L ¡ - £ < g (x )< Lj + e ■=? L2- L 2 ~ L - < g(x) < L j+ L|
2 ov ' 2 2

■=> ± ^ - ^ < g ( x ) < 3 L j ' L|
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248 Capítulo 2: Límites

6. Entonces , de (4) y (5 ), tom ando N = max {N, ,N 2} , tal que V x > N , im plica : ■
f ( x ) < ± ( L ,+ L 2) < g(x)

7. En consecuencia, por transitividad :
3 N > 0 , N = max { N ,, N J I V x > N >=>/( x ) < g(x)

E JE M P L O 1 9 ) H allar, si existe; lim x [ 1] Sen ( )

Solución El símbolo 00, sin s ig n o , significa que puede se r+ o - , por lo que evaluaremos el
límite para ambos casos.

a) Sea L, = lim x [ ^ ~ l Sen ( - i )
1 LXJ \X /

Como x tiende a + 00, entonces si 1< x < + <» <=> 0 < j < 1 => [ - j ] =0

== -m => o
(Teorema2.9)
P o r lo q u e :L . = lim x S e n ( 4 : ) = lim [ ‘n 'S e n ( u ) ]

x —* + “ \ X/ u ^ 0* J

= lim ( % ^ ) = 1
u-»o+' u /

b) Sea L ^ l i n ^ x j i i í ] Sen( j )

Com o x tiende a - 00 , es decir , - «■ < x < - 1 <=> - 1 < — < 0 J—J = -1

L uego,en(l): [ ] = 1-1=0

Entonces: L , = lim [ x(0) Sen ( — ) 1 = lim [ 0 ] = 0
1 _r - 0 0 L \ X /J - co

En consecuencia, si L, * L3, no ex iste, lim x ^ * * * ] Sen ( y ) ■

EJEM PLO 20 ) Sea M el punto de intersección de la recta L : Z r - y + 4 = 0 con el eje Y, y

considere un triángulo que tiene por vértices M , P y O , donde P € L y O
el origen de coordenadas . Si MH = h es la altura del triángulo , calcular lim (h ), siendo a la
abscisa del punto P.

Solución L n Eje Y : Si x = 0 <=t> 2(0) - y + 4 = 0 <=> y = 4 o M = (0 ,4 )
Si P(a , y ) e ^ « = > 2 a - y + 4 = 0 <=> y = 2 a + 4

<=> P (a , 2 a + 4)

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EJERCICIOS . Grupo 14 249

La pendiente de la recta 3}yque pasa por O y P es

(2a + 4) - 0 2a + 4
m = -----a----- 0ñ— = ----a-----

entonces su ecuación e s : y ~ ( — j x

<=> S ?,: (2 a + 4 ) x - a y = 0

12a + 4)(0) - 4a
L uego: h = d(M , SB^ =

V(2a + 4 )2 + a 2

de donde : h = ---------4--a------- = «=> lim (h) = 4
\ 5 a 2 + 16fl + 16 o-»+«o
>¡5

E JE R C IC IO S . Grupo 14

1. Si n e Z* , dem ostrar que lim ( ) = 0

2. Demostrar que si lim f( x ) - L ,entonces lim f ( 77) = L , y hallar lim f ^ ^ \
jt u-*0- ' u ' *-»-«->»x + 5 '

3. Demostrar que si lim f(x) = L ,entonces lim f ( - í r ) = L , y hallar
*-> +« u—»D+ ' u '

lim ( , * + 3 )

x - i + o c ' S 4 X 2 - x + I'

4. Demostrar que s i :

a) / : IR —» [R es una función tal que lim f ( x ) = L <=> lim l /( x ) | = lL l

X -» + " x —» + ° °

b) lim f ( x ) = L y lim g(x) = M <=? lim max [ /( x ) , g(x)] = max ( L , M )

*-*+«“> X —t + 00 *->+<*,

5. D em ostrarusando definiciones correspondientes, la propiedad :

Si lim f( x ) = L < 0 y lim g(x) = +00 t-. lim /(x)»g(x) =

*-»+«> X —»+“> X —♦+°°

6. H allarlasconstantesa y b tales que : lim { x + }~ a x - b \ = 1
1 ^ *-»+«' X + 1 /

❖ En los ejercicios 7 al 5 2 , calcular el límite indicado

7. lim ( 58xx2++y42xx-2-"-x3j )/ (2-r - 1) (3 - 2x) (6 x - I)
8. lim

X ~ * +DO (1 - 8x)2 (3x - 8)

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250 Capítulo 2: Límites

9. ,im ^ ( 3 - ^ > ( 2 + 8 ^ ) 10. lim (x2- 3 x + 5 ) ( 3 x 3- 1)
(x3 + I) (x2- 7x + 1)
r —>4 oú Z * IZ j X

11. lim V x + Vx +V x + 2 12. lim ( Vx + Vx + Vx )
Vx + 1 V2x+ I

13. 14. lim xíVx2 - 1 - x - 1)

x+ 1

15. .l.im jc-(-I-----V--x—2 - rI---J----x--2 16. lim 5X3- 3x2+ 6x + 22

x -»-c» X-¿ VxM )(7x + 3 - 15xV c^9)

17. lim ( V ( x + o ) ( x + f>) - x ) 18. lim (V x + Vx + Vx - Vx )

X ~4 + oo

19. lim (Vx3- 2x - 1 - Vx3- 7x + 3 ) 2 0 . lim (Vx2 + 3x - x )

X —*í oo

21. lim Vx ( Vx + c - V x) . a e IR 22. lim (Vx2+ x - Vx3 - 5 )
—> + 0 0

23. lim ( x - V(x - 2 a ) (x - 3 a ) ) 24. lim (V x+ 2 a ) (x~ 3a) -x )

X ~^ f oo

25. lim Vx.(_x__+_a_) - x 26. lim Vx(x + a) -x
+ x(Sx1+ 3 - x)
~ x - Ve’ + x2+ 5 l l/x ]

27. lim ( N^x2- x3 + x ) 28. lim ( Vx3 + x3 + 1 - Vx3 - x2 + 1 )
—> - oo

29. lim V F (V (x + I)2 - Vx3- x2+ l) 30. lim V ? (V x + 2 - 2 Vx + 1 + V x)
—> + ©o

31. lim ( Vx3+ x2 - Vx3+ 1 ) 32. lim ( ^ Z ^ ± Z )
—» . oo -» +oo' ** •

33. lim ( Ve3+ 3X2 - Vx2- 2x ) 34. lim ( yJa + x) (b + x) (c + x) -x )

—> 4 oo

35. lim ( Vx2+ 3x + [1/x] x + x ) 36. lim ( V(x + a ,) (x + a ) . . .(x + a ) -x )
—* - oo ' ) +€0

37. lim x2( Vx3 + I - Vx3 + 1 ) 38. lim ( Vx3+ 5x2+ 3x + 1 - Vx2+ x + 1 )

—>+ °o —> + OO

39. lim x3 ( Vt4+ 1 - Vx3 + l ) 40. lim ( ^ x 2+ 'Í2 7 x 4+ V ? - V ? )
—y - oo

41. lim (Vi + 4 x 2 - >J1 + 8x3) • %x 42. lim (V í3^ ? - -sk3^ 2)
^ + oo

43. lira L )VT 44. lim | Vx3+ óx2- 16 - x )
- Vx2 - x
— +~ v v m - v r J Vx2+ 2 x + I

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EJERCICIOS . Grupo 14 251

„ 1 - [Sen (l/x ) - Cos ( l/x )] „\
45. x-*li+mooyf[<C—os7(TI7/~x\)—- óS—ent(tlt/xt í)]—- r1 46. xl-i»m- »(' x + \y/ —x - 2=-1I

47 4 8 . Iim _^ + 3 x + 2 )
X —t + Q Q
X x —> ' ¿X + X - 5 *

49. lim (Vx + V2r - V x -V 2 x ) 50. lim ( x + 2 - Vx2 - x + 3 )

X —* + oo x - * * Ba

S1. lim V + 2 ^ - * * 52_ Um ^ x 1+ 4x - x
*->+» jc (Vx2+ 3x - x) x-*+~ S x 3+ 2x* - x

53. Si lim (Vx6 + 2 x4+"7x 2+ í - a x ^ - b x ) = 0 , hallar las constantes a y b.
X-»+ *o

54. Hallar lim ( +d \ . |jm (ax +b-'Jbx2- x*) = 0 , donde a ,¿ ,c y d s o n c o n sta n -
ax - c / *-» + « ' J

tes en IR.

55. C alcular : x—l>im+oo[ x ( ^ 8 + [l/x3 ] + ^3 2 + [l/x 5] - Vó4x3 + 24x2+ 3 ) ]

_T

56. C alcular: lim
n-»+c» nVrT[ Sec(x/V ñ) • Sen(x/Vñ)] - Sen(x/Vñ)

57. H allar: ^ üm_ * [ are T g ( - are Tg ( ^ ) ]

M T „ ,.(2x3+ 5xz+ 6)n-2 ( 4 x - l I ) 2n+l (8x6 + 4x3 -2 x 2 - 5 ) D*3
5o. Hallar : lim ------------t t t s — --------------
x-» +~ (16x5- 5x4 + 3x3+ 4x + l) 2n+2

59. Six-tl+imo*f\ **xT30-*x ++ 1* - Vx2+ 3x - 1 0 ) / = ^2 , hallar el valor de la constante c
60. Hallar el valor de las constantes a y b , tales que

*_l»im+«.*( ax-3f+\63xj;2 -+5gfxa+~l2 - 2x + 2 /) = - 5 .

♦I* En los ejercicios 61 al 6 6 . h a lla r, si existe el lím ite propuesto

Cotg -±i rfx + n 1 - Cos -í- ,
61. lim --------- — — Zx— l 62. . .l.im. _ L[C os (V-^ £3 7=4 )I - C o s x lJ

63. lim (Cos Vx* + itx - Cos Vx2 - t t x ) 64. lim ** S e n jx + 2 C osfrx b e R
*->+« *-»+- x3 + 3x + 1

x3 [ Cos(2/x) - Cos(3/x) ] ^ x2 [ Sen(l/x) - S-—en(5-3-/-x--)--]
65. lim -------------- =— = 66. bm t —=¡-----
x _*+«, Sernx x-»+~ 2 C o sx - Serrx

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252 Capítulo 2: Limites

(2-10) LIM ITES INFINITOS

Sea / una función definida en una vecindad reducida V ^ x ^ y cuya gráfica se
m uestra en la Figura 2.37 . En ella podem os observar que cuando jc se aproxim a , tanto por
la derecha com o por la izquierda a x0 , las im ágenes /(x ) crecen sin lím ite , es d e c ir, / ( jc) tiende
a + ° ° , y se escriben respectivamente

lim /(jc) = + 00 y Hm /(jc) = + °o
jc-+V ja ­

loque nos induce a denotar : lim f(x) = +00 (1 )

Análogam ente, para la función / cuya gráfica se muestra en la Figura 2.38, vemos que en la
medida que x se aproxim a , tanto por la derecha como por la izquierda del número x0 , las
imágenes /( x ) decrecen sin 1imite , y se escriben respectivamente

lim /( x ) = - 00 y lim /(x ) = - 00

X -* A + X -* X '

lo que nos motiva a denotar: lim /(x ) = -00 (2)

D efinición 2 .1 2 : FUNCIONES QUE CRECEN SIN LÍMITE
Sea / una función definida en una vecindad reducida V s* ( x J , se dice que el límite de /(x)
tiende a + « cuando x tiende a xp y se escribe

lim /( x ) = + 00

si para cada M > O , existe 8 > O, tal que si O< | x - x01 < 8 , entonces /(x ) > M , Vx e D om (/)
Formalmente:

lim /( x ) = +o©<=> V M > 0 , 3 8 > 0 | x e D o m (/) y s í O < l x - x l < 5 «=* /( x ) > M

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Sección 2.10: Límites infinitos 253

D efinición 2.13 : FUNCIONES QUE DECRECEN SIN LÍMITE

Sea / una función definida en una vecindad reducida V 5*(x0) , se dice que el límite de f ( x)
tiende a - <*>cuando x tiende a x0 , y se escribe

lim /(x ) = -oo

x -* x 6

si para cada N < 0 , existe 8 > 0 tal que si 0 < Ix - x01 < 8 entonces f ( x ) < N para todo x e
Dom(_f).
Formalmente:

lim f ( x ) = -©© <=> V N < 0 , 3 5 > 0 I x e D o m (/)y s iO < | x - x nl < 5 >=> / ( x ) < N
*-**u

OBSERVACIONES 2.11

a) Es conveniente insistir en que las expresiones (1) y (2) no dicen que /(x) tenga lím ite, sino
por el contrario, estos límites no existen y los símbolos + ©° y - ©©solamente nos indican el
comportamiento no acotado de la función en la vecindad Vg*(x0).

b) Para referim os al límite lateral de una función / en la vecindad Vg*(x0) usaremos el símbolo
©©(infinito sin signo) el cual tiene la siguiente equivalencia:

lim /(x ) = oo <=> lim If ( x ) | = + oo
x-*x0 x-+x0

que nos indica que el valor absoluto de la función excede a cualquier número dado M > 0 ,
cuando x se aproxima a x0.

c) En base a la definición 2 .1 2 , el l i m / ( x ) = «> se puede definir
*-***

lim l/( x ) l = + ‘» < = > V M > 0 , 3 8 > 0 | s ¡ 0 < l x - x nl < 8 =* l /( x ) | > M
*-**b

d) Se dice q u e : lim /(x ) = + oo <=> lim f ( x ) = lim f ( x) = + ° ° , donde

x-»x0 *-»V *-»v

i) lim /(x ) = + o o < ^ V M > 0 , 3 8 > 0 |s i x e < x o ,xo+ 8 > /(x) > M

X

ii) lim /(x ) = +oo<=> V M > 0 , 3 S > 0 | s i x e <x n- 8 , x > => /(x ) > M
*-»v

e) S e d ic e q u e : lim /(x ) = -«> <=> lim f ( x ) = lim /( x ) = -© o,donde

*-*V *-»v

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254 Capítulo 2: Límites

TEOREMA 2.10

Si n es un núm ero entero p ositivo, entonces se cumple

i) lim ( \ ) = + «
r _»o+'a" /

ii) lim ( - U ^ + ®® , si n es par
- <» , si n es impar

Demostración Probaremos que lim (~¡r) = -° ° ,n es impar

De la observación 2 .1 1 e , inciso (ii) ,s e tiene

lim = e = > V N < 0 , 3 8 > 0 | s i x E < 0 - 5 , 0 > ■=> - ^ < N
*—*u x ' x

1. Demostraremos que s i: - 8 < x < 0 -^ < N

Para tal efecto , es suficiente eleg ir, 8 jr- . esto es :
N ,ttl

2. De la hipótesis, - h < x ^ ^ < x « x > ^

3. C o m o x y son am bos negativos , entonces : y < N l,f¡ . y dado que n es un núm ero

im par >=# ~ < N m

TEOREMA 2.11

S ean / y g d o s fu n c io n e s y x0 e R un p u n to d e a c u m u la c ió n . S ü p o n ie n d o q u e

lim f( x ) — L , L * 0 y lim g(x) = 0 , entonces se cumplen para todo x próximo a x0

•f -*•*0 r -» x e

i) Si g(x) —» 0 para valores p o sitiv o s, es decir g ( x ) > 0 . entonces

lim Í & L - i a) + “ ' s iL > 0

SÍ*) | b) - o® , si JL < 0

ii) Sí g(x) —>0 para valores n eg ativ o s. es decir g(x) < 0 , entonces

l..im f i x ) - í b) -“ . si L > 0

J

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Sección 2.10: Límites infinitos 255

Demostración Probaremos el inciso (i b ) : f(x )
Si lim f { x ) = L y lim g(x) = 0* ; L < 0 y g(;c) > 0 => lim
——r =

En efecto , dado N < 0 , debemos hallar 8 > 0 tal que si

0 < U - jc I < 8 c=> Í Q < N
0 gW

La demostración consta de dos p artes:
A) Prueba de que / ( jc) < 0

1. Si lim / ( * ) = L <=* V £ > 0 , 3 5 , : > 0 | s í 0 < : | j c - jco I < 6 ■=> ! / ( * ) - L | < £

<=> L - £ < / ( jc) < L + e

2. Como L < 0 , bastará elegir e = - yL > 0 => ^1 L < f ( x ) < L

3. L u eg o ,ex iste S ,> 0 I s iO < l x - * 0l < 8 , <=>f ( x ) < y < 0

B) Prueba de que lim -^7-7 = - 00
g(x)

4. Por hipótesis g(;c) > 0 , entonces dividiendo (3) entre g(jc) tendremos

M. < <0

g(x) güc) *

5. Entonces será suficiente demostrar que L/2 <N

para valores próxim os a x0, y com o N < 0 y g(jc) > 0 , entonces

± < f | < 0 « 0 <gW < ±

6. Pero: lim g(x) = 0 <=> V e > 0 , 3 8 2> 0 I siO < Ijc-jr0l < 82 !g(jc)f < £
JT—»X0

7. De modo que para e = i , lg (x )l < <=> g(x) < ^

y co m o g (x ) > 0 0 < g(x) < —^
8. L u eg o , tomando 8 = min {8, , 82} , vemos que si

0 < \ x - x A0 < 8 - > g4(*4) < -g(^x)< N
/(x)
1
lo cual prueba que : lim - r r = - 00
x -**o g W

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256 Capitulo 2: Límites

OBSERVACIONES 2.12

1. Las m ism as alternativas del Teorem a 2.11 son válidas para lím ites la te ra le s: x - > x +,

X —» X0" , X —» + , X —►- o o

2. En la p rá c tic a , las alternativas del Teorem a 2.11 suelen escribirse a s í :

L J a) , si L > 0 i a) - oo s¡ L > 0
“ > 7^F = 1 b) + , si L < 0
0* 1 b ) - o ° , s i L < 0

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

EJEM PLO 1 j Calcular: lim +( *) , y luego demostrarlo

Solución S i x —» 2 + , entonces x > 2 , luego ( x - 2) —> 0 +

Por lo q u e : = - X = +■

D em ostración Si lim ( —-i -) = + <» < = > V M > 0 ,3 5 > 0 |s ix e ( 2 ,2 + 8) -^4 > M

x_»2+\ X - 2 I x -2

1. Probarem os que si 2 < x < 2 + 8 >=> x ~j > M

2. En efecto , buscaremos una 5 en función de M partiendo de

xx -' 21 = 1 + -xL- 2 o 1 + x - 2 > M <=> —x -K2r > M - l

3. Inviniendo se tiene : x - 2 < — «=> x < 2 + —
M -l M -l

4. Por hipótesis x < 2 + 8 , entonces la elección de 8 = ^ ^ es satisfactoria, con lo cual

queda demostrado que si x e ( 2 ,2 + 8) f(x) = >M

/. xl^i m2¿ (x^ -42 !) = +

.E JE M P LO 2 J Demostrar q u e : lim ( 3 ) -

Demostración Como lim f(x) = +°° y lim /(x ) = -««.usarem os la equivalencia:

x —» - 3 + x — 3*

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Sección 2.10: Límites infinitos 257
üm f ( x ) - oo <=> lim |/ ( x ) | = +00

Entonces: Xl^im. f iI3i*+’ *x \I = + 00 V M > 0 , 3 8 > 0 | s i 0 < | x + 3 | < 8 <=> 1 3 + x l > M

Determinación de 8 en términos de M

1 II i5 - x II — 1Ix - 5 11 ^ Mw W I 1c I1x +, 3o 1 <_ . 1.
1 3 + x l |jc + 3 1 lx-5 I M

2. Acotaremos | ~ " g | a partir de [x + 3 | < 8 , eligiendo 8,= 1

3. SI Ijr + 3 1 < 1 - 1 < x + 3 < 1 <=> - 9 < x - 5 < - 7

« 1< I < i ^ 1 1 |< i
7 x-5 9 lx-5! 7

4. En el p a s o ( l) : y l x + 3 l < ~ =* l x + 3 l < = 82

5. Por tanto, eligiendo 8 = min{8| , 82} = m in {l ,7/M } queda demostrado que efectivamente:

lim I~ —— I = +00 lim ( X ) = < » ■
,_».3I 3 + x I X^ . i \ 3 + x l

EJEMPLO T j Demostrarque: lim ( ^ x\ ) = + '

x - * 2~
Demostración En efecto de la Observación 2.1 I d , inciso ( i i ) , se tie n e :

lim ( 4 ~ 2 ) = + ro <=> V M > 0 , 3 8 > 0 1si x e ( 2 - 8 , 2 ) ■=> 4 ^ 2 > M
Determinación de 8 en términos de M

'■ 4 ^ = a ^ T ) = ( z T í ) ^ ) > M

2. Acotaremos ( ) a partir de x e (2 - 5 ,2 ) eligiendo 8, = 1

3. Si x e ( 1 ,2> « 1 < x < 2 = > l < x 3< 8 ■=> x3> l

S il< x < 2 i=> 3 < x + 2 < 4 <=> -7 - < — ^-77 < 4- i=> — > -7
3 x+2
4 x+2 4

jS I
Multiplicando ambas desigualdades obtenemos : x + 2 > 4"

4. Luego, en el paso (1): M ^5 2 - x < ¿

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258 Capítulo 2: Límites
5. Por hipótesis: 2 - 6 < x => 2 - x < 8 , entonces la elección 8 = 1/4M es satisfactoria. Por

tan to , es suficiente tom ar 8 = m in { l, 1/4M} para asegurar q u e : lim (-7-^-7 ) = + ° ° ■
^ _ ,r' 4 -jr /

(EJE M P LO 4 ) Si f ( x ) = ~26- . hallar

a) lim f(x) b) lim f(x) c) lim /(x )

x -* 2 * x -* 2 ~ x~*2

|p - m

p o lu c ió n El num erador tiene por lím ite: L = lim (x2- 2x - 6) = - 6 < 0 y el denominador:
jr-»2

lim (x - 2) (x + 1 ) — (0) (3) = 0

x —* 2

Como el denominador se aproxim a a cero a través de valores positivos (x > 2) o negativos
(x < 2) para valores muy próximos a x = 2 , tendrem os:

C u a n d o x —>2+ , x > 2 c ^ ( x - 2 ) > 0 y ( x + l ) > 0 «=> lim ( x - 2 ) ( x + I) = 0*

x -* 2 +

C u a n d o x —»2" , x < 2 e=}>(x-2)<0 y ( x + l ) > 0 => lim ( x - 2 ) ( x + 1) = 0“

x -* 2 ~

Por tanto: a) l i , ( £ & £ ) - £ — b, , » ( 4 ^ ) = ^ = + ~

c) Um I < - 2 x - 6 I = h- oo ^ | i m K -^ - 6 ) =
*-»2l X - - X - 2 I x*-x-2 t

[EJEMPLO ' 5 ] Calcular: lim ( — ^ - — )
Vi ■ IJ jr^ 2 + ' X - 2 xz - 4 /

Solución Sea f(x) = ^ ~*
x- 2 x*-4 (x - 2) (x + 2)

En el n um erador: lim ( x - 1) = 2 - 1 = 1

x-* 2

En el denominador, six > 2 x - 2 > 0 y x + 2 > 0 <=* lim ( x - 2 ) ( x + 2) = 0+

x~*2*

Por tanto: lim f(x) = - ^ r = + oo

x -* 2 * Lr

EJEM PLO 6 ) Calcular: lim ( x2-! jc2- 1 1

* - » r ' \ViT- 7x

Solución S i x —>1 , entonces x < l y x - l < 0 i = > l - x > 0
En el numerador se tie n e : x2- |( x + l ) ( x - l ) |

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Sección 2.10 ; Limites infinitos 259

Como x - 1 < 0 y x + 1 > 0 <=^> (x + l ) ( x - 1 ) < 0 y l(x + l ) ( x - 1)1 = -(x 2- 1 ) , entonces

lim (x2 - Ijc2 - 1 1) = lim (x2+ j r - I) = lim (2x2 - 1) = 1

x -» r x —» r x —» r

En el denominador: lim Vi - x = V(F” = 0*

x -* \ '

lim /(x ) = ¿ - = + “ ■
x-* 2~ U

x2+ r 3 x - 5 1 ^-21

E JE M P L O 7 ^ C alcular, lim ( -L -/ tI J )
J x3-5x2+ 3x + 9 /

Soiución Previamente: [ * ] = [3 + ^ 2] = 3+ [ " 2 ] O)

Como x —>3" , x < 3 y x - 3 < 0 , entonces en el proceso del límite restringimos el
dominio de la función a : 5/2 < x < 3

L u eg o , si ^ < x < 3 e » - | < x - 2 < l » < ~^Z~2 < 2 ^ 2] =1

Entonces , en (1) se tiene : |T ^ J =3 + 1= 4

r> 1 x-y v x2 + 4 x -2 1 (x -3 )(x + 7 ) x+7 ..

Por lo q u e : /(x ) = = ^ > ^ 1 ) = ( x - 3 ) ( x + l ) • ” <5 / 2 ’ 3)

lim / ( x ) = 3 + 7 = —- = ■
x-*3~ (0” )(3 + l) 0~

■Jn x n- ' + (n - l ) x " ^ - 7 x - 3 - n x " -4 + x
E JE M P L O 8 | C alcular: Iim

*-*r x -1

Solución La sustitución directa da al límite la forma 0/0. Resolveremos el problema factori-
zando el numerador por el método de Ruffini ,esto e s :

n n- 1 -n -n 1
1 2n - 1 n - I -1
n n- I
n 2n - 1 -1 0

=_* lim / ( x ) = lim —V--f-*------1-)--I--"----------+---<-2--n-------D---^--"--'-3--+---(-n-------I--)--*-----4-------1-]-

x —>1"* x-»l* X- 1

J n x n‘ 2 + (2n - l) x n' 3 + (n - l ) x n_4 - 1]
= lim -----------------------------------------------------------

x-»r x - 1

Como x —>l * , o s e a x > 1 , entonces (x - 1) —»0*
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260 Capítulo 2: Límites

.*. lim f ( x )\ = —V4n—-—3 = +oo

x-> i+ IT

[ e j e m p l o 9 ) Calcular: lim ( S g n (x /2 -l)
r* xOc-2)
¿ + \X z2 ] x-2 )

Lx + 2J

SoluciónSi x —» 2 " , entoncesx < 2 y ^ < 1 , lo que im plica: ^ - 1 < 0

P o r lo q u e : Sgn (x i2 - 1) = - 1

Ahorabien: f i l 2 1 = [ 1. 4 l r 4 -| 0)
I. x + 2 J
lx + 2 J L x+2 J

En el proceso del límite debemos restringir el dominio de / , tal que 0 < x < 2

«=> 2 < j c + 2 < 4 <=> -4j < —x +^52» < i2

Multiplicando por - 4 : - 2 < - < - 1 <=> f - - -2

Entonces en (1 ): [ * ] = I - 2 = - 1 , luego, en el límite dado :

jtli_m» r (\ x (, x*- 2) j r 2 - jc - 2 ) = xli_m»2* Xy( x+ Il )\ (Sx - 2A)V 1
2(3) (0-)

EJERCICIOS . Grupo 1S

❖ En los ejercicios 1 al 2 0 , hallar el límite propuesto.

1. lim '('<x 3 + 8x2 + 7 \ 2. lim V l6 - jc2 3. lim 1W
x2- x )
x -» r x -* 4* x -4 x —» r )

4. lim | 5. lim x+Vx -2 6. lim [ 5x] - 5 [ X]
x-*r x- 1
x —» 4 ( x - 4 )3

7. lim J 8. lim / x2- 5 x - 2 \ 9. lim J 8 - 3 x
x - » 3 * V jc2 - 9 9 -x2 x-»S' V x2-25
x -» 3 + l )

10. lim | 11. lim Sen (x - 1) 12. lim VSenrcx - Vi - x

x-»3‘ ( 4 £ * ) x - * 0‘ x (x - l )2 X—>1' X + C O S TLC

13. lim 'Jxl - 9 14. lim 3X2 - 2x - 9 15. lim jc2 + (x2 - 9 1
j ->3* x -3
x - » 2‘ 4 -jc2 x -» 3' V 3-x

16. lim |f 1 x\ 17. lim Ijc2 - 2 | - 2 18. lim jc2 + 2 [ x ] - 9
x-»3* ^ x+ 3 x>-9l
x - * 2 ‘ V2 - x x -» -l - x ^ x 2-!*

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Sección 2.11 . Límites infinitos en infinito 261

* -l - 1Ctt
jlÍT/* (jc + l)C o tg (-nx/2) xÜ^j- jc’ - 9x2 + 24x - 20

❖ En los ejercicios 21 al 2 6 , calcular los límites y probar su respuesta usando la definición
correspondiente de límite.

21. 22. lim 23.
X_ »4 -V x --1 6 /
j ^ i i x - 2 )* r-*i+' l -X -I

24. lim ( , 4I X , ) 25. lim 26. lim l}
*->2+ ' *--5.* + 6 / x-*4*Vx - 2 * - » r Xa - 1

27. a) Dem ostrar que si lim /( * ) = + ©o y lim g{x) = L , L < 0 .entonces

X -»X „ x -* x „

lim f(x) •g(*) = - «
*-**o

b) Aplicar la parte (a) para calcular: lim X 2- 1
x_^‘ r
(x + l)2

28. Sea jrHe IR, lim g(jr) = 0 y lim / ( jc) = L , L > 0 . Si g(x) -» 0 a través de valores
x-*x0 *-»*„

f(x)
negativos de g (jt). entonces probar que lim • -r = +o©

8W

29. SioreCR y lim g(jí) = 0 y li m / ( jc) = L , L < 0 y si g(x) - » 0 a tra v e z d e valores

x -» ^ x -» x ¿

f(x\
negativos de g (x ), entonces dem ostrar que lint —r ^ = + ° °

*-*** 8 W

30. Dem ostrar que s i : i) lim f (x ) = L . L < 0 ; ii) lim g(jc) = 0 ; iii) 3 c > 0 I

x -» x 0 x —* x 0

V x e V / ( jc0) , g ( j c ) > 0 . e n t o n c e s ; l i m = - <*>
X-*.«u gl-XJ

(2.11) l ím it e s in f in it o s en in f in it o

Ahora nos enfrentamos a límites que tienen la forma
lim /(jc) = »

JC —»»

d o n d e /( * ) e s u n a fu n c ió n d e fin id a p a ra to d o s lo s jc m ay o res o m en o res q u e un c ie rto
núm ero . y cu an d o jc a lc a n z a v a lo re s b a sta n te g ra n d e s , /( * ) se h a c e a rb itra ria m e n te
grande.
Una definición form al para cada uno de los cuatro casos que se presentan son las
siguientes.

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262 Capítulo 2: Límites

D efinición 2 .1 4 : FUNCIONES QUE CRECEN SIN LÍMITE

S e a / una función definida en un intervalo I = (c , + «>), se dice q u e / tiene límite + *» en
+ o*, si pardeada número M > 0 , existe un número N > 0 tal que para todo x e I y x > N ,
entonces se cum ple, /(a ) > M . (Figura 2.39, arriba del eje X). En sím bolos:

lim f(x) = + “ < = > V M > 0 . 3 N > ü ! s Í A 6 Í y j r > N /(x )> M

M«

D efinición 2.1 5 : FUNCIONES QUE DECRECEN SIN LÍMITE

Sea / una función definida en un intervalo 1= (c , + <»), se dice que / tiene lím ite - » en
+ si para cada num ero M > 0 , existe un núm ero N > 0 tal que si jc e I y x > N , entonces
se cum ple: f(x) < - M
(Figura 2.39, abajo del eje X ). En símbolos.

lira f ( x ) - ~oo « » V M > 0 , 3 N > 0 l s i x e I y x > N f(x)<-M
i -»+«*-

< ^ V M < 0 , 3 N > Ó | s i x € l y x > N <=> f {x) < M

D efinición 2.16 : FUNCIONES QUE CRECEN SIN LÍMITE

Sea / una función definida en un intervalo I = ( - « , c ) , se dice que / tiene límite +«» en
- c o , si para cada número M > 0 , existe un núm ero N > 0 , tal que s i x e l y j c c - N , entonces
se cum ple: f ( x ) > M
(Figura 2.40, arriba del eje X ). En sím bolos:

lim f ( x ) = + ©o <=* V M > 0 , 3 N > 0 I six«= i y * < - N =>

1 -> »o

e ^ V M > 0 , 3 N < 0 | s i x e I y jc< N <=> /(*)■> M

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Sección 2.11: Límites infinitos en infinito 263

Definición 2.17 : FUNCIONES QUE DECRECEN SIN LÍMITE

Sea / una función definida en un intervalo 1= (- , c) , .se dice que / nene lim ite - «a en
- « , si para cada número M > 0 existe un número N 0 la! que s i x t í y A C - N entonces
f(x)< -M .
(Figura 2.40, abajo del eje : Ensimboios

l i m / ( * ) - - - - * « V M ? 0 . J N > 0 I si . 1 . » - N

V M < 0 .i3 N < 0 I s ia c I > x < N <=* f{x) < M

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

EJEMPLO —TJ) Calcular: x_ü»m+«V( 6 + 5 x - 6 x^1 J)

Solución La sustitución directa da al límite la forma | | . Como ya sabem os, resolvemos
esto es el problem a factorizando la m ayor potencia de a del numerador y denom inador.

^ v x* ( 3 - 5 ^ + 2/x9) a ( 3 - 5/x2+ 2/r*)

, i I T - a 2 (6/x2+ 5 /a - 6 " x i í L 6/x2+ 5 /a - 6

+ « ( 3 - 0 + 0) +«

0 +0-6 -6

EJEMPLO Í2 E valuar: lim x (Va2+ 1 - a )
r - oo
Solución Obsérvese que en el radical: a2 = x •a

Si x —» - , e n to n ces: Xa = (- °°) (- *») = + °°

(+00 00 00De modo q u e l i m / ( a ) = ( - « ) [ V + « +" 1 - ( - « ) ] = - oo
+ )= -

Como se sabe , otra forma de calcular el límite consiste en racionalizar la expresión entre
paréntesis , esto es

lim f(x) = lim (-= = = = ----- ) = lim (-—. x- ■=------ )
* -» -» 'Va2 + 1 + a ' >ÍTTT7? + x '

Dado que x toma valores, entonces Ia I = - x

^ ( -v.r+i1z? +1 ') * -v,i+o1+■+1 = ±o-

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264 Capitulo 2: Límites

EJEMPLO 3 ) Calcular: lim x | | s + 1| -51

x —* - « 4 - 1x - l|

Solución Com o x tom a valores n eg ativ o s, entonces Ix + 1 1 = - (* + 1)
f=> | l x + l | - 5 | = | - j c - 6 | = |jc + 6 | = -(jc + 6) y \x~ 11 = - ( * - 1)

. -* (* + 6) - x*(\+ 6Ix)

Luego: J im /(*) = ¿ n .

= lim ----jc—(1 -+ 6=/*)— . + « ( 1 +_ 0 ) = + « ■
x —*- 1 + 3/x 1+0

(e j e m p l o 4 ^ Usando la definición correspondiente , demostrar que

Iim {ax) = + « , a > 0

X -* + °e

Demostración En efecto, por la Definición 2.14, se tiene

lim ( a r ) = +<» <=> V M > 0 , 3 N > 0 l s i * > N «=* a jc> M
Jt—♦+OD

La desigualdad a x > M implica que x > Mía , pues a > 0 . Luego , la elección de N = Mía es
satisfactoria, esto es , de la hipótesis , si

* > N c í> flx > flN «=> a x > a (M /a) => a x > M

Concluimos inmediatamente que : Iim (a*) = + « ■

E J Q H P I A ^ s j Usando la definición precisa, demostrar que
lim [ ~ + S en*) = + «

Demostración En efecto, por la Definición 2.14, se tien e:

lim ( 4 + S en * ) = + « o V M > 0 , 3 N > 0 | s i* > N 4 + Sen*>M
X —) + o q \ 4 /
L
Debemos encontrar un número N , dependiente de M , tal que si x > N
^
«=> ^ + S e n * > M

Como Sen * es una función a co tad a, pues ISen * | < I , entonces si
Sen * > -1 ,Vx e D o m (/), en la desigualdad (1) tendremos

-1 > M , de d o n d e : * > 2 (M + 1)

Por tan to , elegir N = 2 (M + 1) será suficiente; es d e c ir, si

* > 2 ( M + l ) >=> 7f + S e n * > M

Para verificar esta afirmación debemos comprobar que N = 2 (M + 1) es una respuesta adecuada
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Sección 2. I I : Límites infinitos en infinito 265

paraM . ^ > M + I y Senjr>-1
Supongamos q u e : jc> 2 ( M + 1)

Sumando estas dos desigualdades obtenemos

| + S e n j c > M + t + (-l)

*=$ + Sen x > M

que es exactamente (1)
Entonces podemos ya asegurar que

lim ( 4 + S en*) = + o o

La gráfica de la función aparece en la Figura 2.41. Obsérvese que la función no siempre crece al
crecer jc. N o o b stan te, al c re c e r* , la función tiende a hacerse y a perm anecer g ra n d e , a pesar
de pequeñas caídas eventuales.

TEOREMA 2.12
St lim f ( x ) = «*> y lim g(jc) = L , donde L e s una constante .entonces

i-»». i-*jir
lim / ( jc) + g(*) = o*

El teorem a sigue siendo válido si se reem p laza por ± <» y s i * —>jc0 se su stitu y e por
jc —»jc0+ . x —»*0' ó x —>± 00

TEOREMA 2.13
Si lim /( * j = + ° ° v lim g(x) = L , donde L e ‘ una c o n ta n te . exeept* . O . entonce**

i) S i L > 0 <=? lim f(T)*g(x» = + oq

n) S ¡ L < 0 =* Jim /(* )•? (* ) = -«»

•

El teorema sigue siendo válido si * —>jc0es reem plazado por jc—» jcc+ , jc—»jc0' ó * —>± «»

TEOREMA 2.14
Si lira / ( jc) = • « y lim g(jc) = L , donde L es una constante, excepto 0 . entonces:

*->*0
i) S i L > 0 =» lim /(-c).gíx) = -o®
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266 Capítulo 2: Límites

ii) Si L < 0 lira /(*)♦ g(x) = + “

x -»x 0

El teorema tam bién es válido si jc—>jtoes reem plazado por x —>*0+ , x —»x0' o p o r* —» ±

EJEM PLO 6 I Dem ostrar que si lim f( x ) = +«» y lim g(*) = L , L < 0 entonces :

X +w

lim /( * ) ‘ g(x) = -° °

X-» +“

D em ostración P ro b arem o s e l in c iso (ii) d e l T eo rem a 2.13 re e m p la z an d o x —» x 0 por
x —» + oo . En e fe c to :

1. lira /(* ) g(x) = • “ » V M > 0 , 3 N > 0 | * > N i=> f ( x ) • gtx) < M

X —» + ««

2. Si lim f ( x ) = + ©c < = > VMl > 0 , 3 N l > 0 l . x > N I ■=> / ( x) > M,
I - > + eo III I

3. y si Xl-i»m+°og(x) = L y L < 0 <=> V e > 0 , 3 N _1> 0 | j : > N ,1 e=> Ig(jc) - L I < e
jc> N 2 *=> L - £ < g(;c) < L + £

4. Como e > 0 y L < 0 , podemos elegir £ = - L /2 , entonces en (3)

* > N 2 >=> | L < g (A )< y < 0 cz> g(jc) <

m > n , m , n € 1R+
5. Ahora b ien , comprobar que s i : <

y a<b , a,b e

6. En virtud de (5), multiplicamos (2) por (4) y obtenemos
/0 0*gW < M ,(L /2)

7. Por ta n to , elegir M = M ,L/2 es suficiente, siem pre que N = m ax{N ,’N 2}

EJEMPLO 7 I Si lim f(x) ~ L , L < 0 y lim g(x) = 0 mediante valores positivos.

Qfm&strución dem ostrar q u e : lim ~ ~ = - <»
X-» +~ g(*)

Debem os probar que si

lim g(x) = -oo V M < 0 , 3 N > 0 | s i x > N «=s« g(x) < M

1. E n e fe c to .s i lim f ( x ) = L <=> V e ,> 0 , 3 N , > 0 I s ix > N , =* I/( jr)- L I < e^

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EJERCICIOS . Grupo 16 267

< = * jt> N , =* L - e , < / ( * ) < L + c,

2. Com o £, > 0 y L < 0 , podem os e le g ir, e, = - L/2

Entonces en (1): <=>*>N , «=> ^ L < f ( x ) < ^

3. Si / ( jc) < \ = > - / ( ; c ) > - y
4. Ahora bien, lim g(*) = 0 mediante valores positivos, es decir, g(x) > 0

X—*
=> iim g(x) <=> VEj > 0 , 3 N 2> 0 I síjc> N 2 ■=> lg(x)l < e2

j f —> 400

5. Si elegimos e^= L /2M > 0 ,p u e s L < 0 y M < 0 => 1g(x)| < L/2M

6. Como g(x) > O =* O < gCx) < ^ >~ -

7. Tom andoN = m a x { N ,, N 2} e s s u fic ie n te p a ra q u e (3 )y (6 )s e c u m p Ia n a la v e z ,e s to c s ,

multiplicando (3) por (6): - < - M -=s* <M

8. Por ta n to , dado M < 0 , 3 N = m a x { Ni ,,Nj,J} Is ijr> N ^ g(^) < M ■

E J E R C IC IO S . Grupo 16

1. Usando la definición de lím ite correspondiente, demostrar que si lim f ( x ) = L ,

entonces

a) lim f(x) = lim /(ice) , k < 0 b) lim f(x) = lim / ( - y )
X—t-ca X—* X—>- <* ''

2. Demostrar que si lim f ( x ) = + « y lim g(jc) = L , L e [R, entonces

x -» í0 x -»x 0

lim [ /( * ) + gU ) ] = + 00 (Teorem a2.12)

3. Usando la definición de límite correspondiente, demostrar que si lim f(x) = L ,
X-» + "

L g IR, entonces

a) lim / ( jc) = lim / ( r + c ) , c e IR b) lim f ( x ) = lim / ( - 1/jc)
X—>+oo X —♦+c” X—»+«

4. Usando la definición de lím ite correspondiente, demostrar que si

lim f ( x ) = + °° y lim g(x) - L , L e IR e=s» lim f ( x ) ■g(x) = +«> (Teor.2.13i)

*-**<¡ *-»*o

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268 Capítulo 2: Limites

5. Usando la definición p recisa, dem ostrar que si

a) lim / O ) = - c» y lim g(jc) = L , L > 0 «=s> lim f ( x ) • g(x) =

*->*o ' *-**o

b) lim /( x ) = - » y lim g(x) - L , L < 0 «=> lim /(x )* g (x ) = + °°

6. Dem ostrar que si g(x) > /(x ) y lim g(x) = - 00, entonces lim f ( x ) = - 00

X —♦ + OC J —♦ + 00

7. D em ostrar que si lim f ( x ) = +00 y fim g(x) = -<*> e=> fim / (x) • g(x) = -00
X- » + »

8. Sean / y g dos fun cio n es reales d efinidas en I = (c ,«») , c e IR ; sea L e IR" tal que

lim f ( x ) = L , lim g(x) = - 00, dem o strar que 3 N e IR" , 3 k e IR+ | si x < N

X —» + PO r -a ia >

M. < « k
gw < 3 k

9. Sean f y g dos funciones reales definidas en I = (x0 , c) , c e [R ; sea L e IR* tal que

lim f ( x ) = +00 y Jim g(x) - L , dem ostrar que lim f ( x ) • g(x) = +00

*-*V X-* V

10. Sean 1 = (x0 , c) un intervalo abierto y / : I - » [ R , g : I - » l R dos funciones tales que

lim f ( x ) = + 00 ; lim g(x) = L , L < 0 . Dem ostrar que lim /(x ) • g(x) -
x-*x + x^x* *-»V

•!* En los ejercicios 11 al 2 0 , hallar el lím ite propuesto

1 1 . Hm x (Vx2 + 3 - x) 12 . lim x (Vx2 + 1 - x) 13. lim ( c —*7 ^-— )
x - o» ±—*- oo x —*+«o jc + L os x *

14. Bm x+5 15 . ,im * ^ J I + * + 3 16. 1¡m » l l » 4 l - - 2 |
x—í - " x —»- 3x 4-5 x—*- 4 —Ix I

17. Um ( x2 - x - 18. lim 00(Vx2 - 4 - V30 + 2x + 5x2-x ’ )
+ X+1 ' x ->+

19. lim ( | g ± i - i t A . ) 20. ita - ÍEF7T)

x_*-ooV3x2 + X 3x4-1 3x 2 4 - I / X -9-»

❖ En los ejercicios 21 al 3 2 , calcular los límites y probar su respuesta usando la definición
precisa de límite.

21. x->li+m« (\ x^ 4-3) / 22. Xli-m>|- ( x - 1 ) 3 23. l i m ( ^ ) i

24. lim 25. lim 26. lim ( ¿ H )
x-*2- x2- 4 x-»-»v 3 -2x/ 4x3- 3 '

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Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 269

27. lim l x \ 5f 28. lim x1+9x2+ 2to 29. lim? J Ü T Í )
Jc2- 1 x-»3" jt2+ x ■ 12
32. lim ( j^ + x C o sx
30. l i m f x2' &c + 6 ) 31. lim ( —) jc- 1 + S en x
, ->2+l ^ - 3^ + 4 1 *-»i+v S 2x - ¿ -1 1

( 2 . 1 2 ) A S ÍN TO TA S Y SU USO EN LAS REPRESENTACIONES GRAAFICAS

L a asíntota de una curva V-'es la recta j/’cuya posición está definida por el límite de
la distancia d de un punto P de la curva a dicha r e c ta . que es c e ro , cuando P se aproxima a SC
hasta tocarla en el infinito.
De aquí que la misma definición nos induce a pensar que
los límites infinitos y al infinito están íntimamente ligados
al estudio de las asíntotas. Geométricamente los límites de
la forma

lim f( x ) = k , lim /(je) = ±oo
X—>+oo X—.>X0

indican la presencia de asíntotas horizontales y verticales. FIG UR A 2 42
Enseguida una definición más precisa de cada una de ellas,
incluyendo el de las asíntotas oblicuas.

Definición 2.18 : ASÍNTOTA HORIZONTAL

Sea / una función real de variable real . Se dice que la recta .£P: y ~ k es una asíntota

horizontal de la gráfica de y = f(x) si se cumple al menos uno de los enunciados

siguientes:

i) lim f ( x ) - k ii) lim f(x) ~ k
jr-»+®o *—

La interpretación geométrica de esta definición se muestra en las Figuras 2.43 y 2.44. Se puede
observar que cuando x se hace arbitrariamente grande la gráfica de / se aproxima a la recta
horizontal SP: y = k.

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270 Capítulo 2: Límites

Definición 2.19 : ASÍNTOTA VERTICAL

Sea / u n a función real y jc0un p unto de acum ulación del D o m ( / ) . Se d ice q ue la recta

9 : x = x Qes una asíntota vertical de la gráfica de y = f ( x ) si se cum ple al menos uno de

los enunciados siguientes

i) lim f( x) = ±oo ü) lim f( x) = ±«> iü) lim f(x) = ± ~

X —VX + x —*x~

La interpretación geométrica que se da a esta definición se muestra en las Figuras 2 .4 5 ,2 .4 6 ,
2.47 y 2.48. En ellas se puede observar que cuando x se aproxima al punto de acumulación xQ
la función crece o decrece sin límite.

F IG U R A 2.45

F IG U R A 2.47 F IG U R A 2.48

Definición 2.20 : ASÍNTOTA OBLICUA

S ea/ una función real de variable r e a l, se dice que la recta 3!: y —n u +b ,m * 0 ,e s una
asíntota oblicua de la gráfica de y = f(x) si se cumplen lassiguientes condiciones:

i) lim = m y lim [ f( x ) - x a x ] = b

X —* + ° ° *■ X —»+ «

f(x )
ii') lim —— = m y lim [ f ( x ) - m x ] = b
x - «o X x >-

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Sección 2.12: Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 271

OBSERVACIONES 2.13

1. En el caso (i) se dice que la recta 9' es una asíntota oblicua derecha (AOD) y en el caso (¡i)
que es una asíntota oblicua derecha (A O l). Véase la Figura 2.49.

2. S im = 0 y 6 * 0 , entonces se dice que la recta .9’es horizontal.

3. Si Sí' : y = itu + b *=^ Sf : m x - y + b - 0 y si P (x , y ) € Gt< / ) , entonces

Im x ->' + &! .. Imx - > + 6 1
d ( P . 2 °) = lim — , — -0
jr—» ± o o Vm2+ 1
Vm2+ 1

Según la definición de asíntota : lim d (P , W) — 0

jr -» ± o o

y como Vm2 + 1 * 0 «=> lim Im x - y + b I = 0 t=> lim [ m x - /(x ) +b ] = 0 (1)

i —*±eo X -* ± °°

Factorizando x se tien e: lim x [ m - + -j ] = 0

Dado que x tiende a «», entonces: lim [ r a ­ t o ) ]=°

y de aquí: m = lim + 0 = 0 <=> m = lim

X —»±“

De (1) obtenem os: lim [ b - ( f( x) - m x) ] = 0 «=> b = lim [ /( x ) - m x ]

i —»±o© /-tí«

Se cumplen las dos condiciones de la Definición 2.20

Enseguida algunos ejemplos ilustrativos para esbozar la gráfica de una función haciendo uso
de los conceptos discutidos hasta ahora . Los pasos a seguir son los siguientes.
1. Determinar el dom inio o rango de la función
2. Discutir las intersecciones y simetrías con los ejes coordenados
3. Determinar las asíntotas

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272 Capítulo 2: Límites

4. Para tener una idea de la naturaleza de la gráfica, hacer un esbozo preliminar localizando las

intersecciones con los ejes y dibujando luego las asíntotas (éstas sirven de guía para el
trazado de la curva.)

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

(^EJEMPLO 1 j H allar las asíntotas y esbozar la gráfica de la función

f(x) = x -2

Solución 1. Dominio de la fu n ció n : /(* ) = \ x \ *\J—x x- 2

L a función es real <=> x - 2 > 0 , esto e s , si x e (-<» ,0 ] U ( 2 , + «>) como
1*1 > 0 , la función /(* ) > 0 ; V x e D o m (/), es decir ,1a gráfica d e / s e extiende por encima
del eje X.
2. Intersecciones con los ejes coordenados .
S ix = 0 ■=> y = 0 , luego ( 0 , 0 ) es el único punto de intersección
3. Determinación de las asíntotas
a) Asíntotas v erticales. Para * € ( 2 , + <»)

lim / ( jc) = 12 1 ~ + ° ° => x = 2 e s u n a A .V .
x-*2+

b) Asíntotas h o rizo n tales: lim /(* ) = |± « M VT = ° °

Como el límite no es un número re a l, la G r(/) no tiene A. H.

c) Asíntotas Oblicuas : SB'.y = rrut + b r
m 1= jr_l»im+oo JC - jt_l*im+ oo(\—j c y X -—2 /) = 1
Y.

b = lim [ f ( x ) - m * ] = lim ( * V —

X ) f oo x + oq\ X "A /

= lim [ , r-2x , 1= 1 I' = 2 : M/ '
*-♦+«>L Vjc- 2 (v* + V * - 2 ) J 1 /■ >
A\ A
Entonces t SP : y = x + l es una A. O. D.
\ yf~í~
~ >x
/ / y.\
i t^l = x -üi-moc ^ x = lim V^ x- S- 2- i) = - »

k

RGURA2.50

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Sección 2.12: Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 273

b = X—li*m- oo [ / ( x j - m x ] = jf^lim. oo\ X ”<C - i ]/

= lim í ■, : 2x , 1 = -1
Vx-^2 + Y x ^ 2 ) J

L u eg o , : y = -jc - I es una A. O. I .

4. La gráfica de la función se muestra en la Figura 2.50 en donde se puede observar el

comportamiento asintótico de la curva indicado por las flechas. ■

EJEMPLO 2 ) H allarlas asíntotas y construir la gráfica de la función

r’
= 7 + ^-2

Solución 1. Dominio de lafunción : f(x) = (x +2 ) ( x - \ )

Entonces, D om (/) = IR-{ -2 ,1 }

2. Intersecciones con los ejes coordenados
Si x — 0 e=> y = 0 , luego ( 0 ,0 ) es un punto secante, es d e c ir, la curva pasa por el origen
de coordenadas

3. Determinación de las asíntotas
a) Asíntotas verticales

lim /(* ) = - 8 -8 .■ x/ \ -8 - 8 = + ©o

j-»2 (0 ) (-3) - 0 * ' ,_ lm2*Í W " (0 +)(-3 ) ■ 0 -

A nálogam ente: lim f ( x ) = -00 y lim f ( x) = + <»

X-+1"

Por tanto, x = -2 y x = 1 son dos asíntotas vertica­
les de la curva en ambos sentidos, hacia aniba y
hacia abajo.

b) Asíntotas horizontales : lim f( x) = ± « íU ?
*-*±« i

Como él límite no es un número re a l, la curva no ‘“ x s 41 A >X
tiene A. H. I
-------------------------
c) Asíntotas Oblicuas : y = n u + b x~ i

m- lim f(x) = x_li,±mc*A j r + x - 2 )' = J I

x —> ± “ X I

b= lim [ / W - m x ] = lim ( , * „ - x ) r I

X —> t OO X —> ± M ’ A T J * i / I
I

= X-l»i±reoo'(j-r^+ X+ -22; U1 - l *
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FIGURA 2.51

274 Capítulo 2: Límites

Luego *S0:y = x - 1 es una asíntota oblicua derecha e izquierda. ■
4. El trazado de la gráfica de la función se muestra en la Figura 2.51

OBSERVACIÓN 2.14 Si f(x) = Qw es una función racional en laque el grado de p es

mayor que el grado de q en una unidad, entonces encontramos que al dividir p(x) entre q(jr),

f{x) toma la forma f(x) = mx + b + g(x), donde el lim g(x) = 0 . Por tanto, y = mx + b es

X —»±“

una asíntota oblicua de y = f(x).

A sí, para la función del Ejemplo 2 , la división antes sugerida toma la forma

= j r + x - ?2 = x - ] + [\ x* + x -*2 /)
Por tanto, y = x - 1 es una asíntota oblicua de la gráfica de / .

(EJEM PLO 3 } H allar las asíntotas y construir la gráfica de la función

f ( x ) = <¡ y J x ^ 4 , si \x\ > 2 (/.)
4- x , SÍ U | < 2 (/,)

Solución Como la Gr(/) consiste en la unión de las gráficas de / , y / 2 , calcularemos las
asíntotas correspondientes por partes , esto es :

I. Para / ( * ) = f ,x e <-<~,-2) U (2 ,+ ~ )
1 \x 3-4

1. N o hay intersección con los ejes coo rd en ad o s, pues x = 0 « D om (/,)
2. Determinación de las asíntotas

a) Asíntotas v erticales: /,( * ) = , ** =
J | V(x + 2)(x - 2 )

Según el D o m (/t) , tom arem os lím ites laterales en r = - 2" y j = 2+

Iim /.(x ) = 1 4 = +00 ; Jim / (x) - , 4 = + 00

1 V (0 -)(-4 ) x-* 2 * V (4K 0+ )

L uego, x = -2 y x = 2 son asíntotas verticales en el mismo sentido (arriba del eje X).

b) Asíntotas horizontales. Como lim f.(x) = í “ ? IR, la G r ( f ) no posee asíntotas

X —»±«0

horizontales.

c) Asíntotas oblicuas.

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Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 275

b. = lim [ / .( * ) - rrur] = iim ( , r -jc) = lim . — . =O

x-*+ co ' Jr~» + oo ' V j t - 4 ' *-»+■» V x2 - 4 (jc + V x2- 4 )

lim m . = 1¡m ( - ^ 1 = - !

6 = lim [ / (jr)-n u ] = lim (-7 = = + * ) = O

L u e g o , 9 \ : y - x (derecha) y SB2 : y = -jc (izquierda) son dos asíntotas oblicuas de la
G rt/j). Además, la Gr(/,) es simétrica respecto al eje Y . pues /,(-*) = /,(* ) y como
/,(* ) > 0 , V x e D o m (/,), ésta se extiende arriba del eje X , entre las asíntotas x = 2 y
2 \ , x = -2 y STy

II. Para f 2(x) = - ^ - 5 , s i x e (-2 ,2 )

1. Intersecciones con los ejes coordenados
Si y = 0 => jc3= 0 <=> jc= 0 , es un punto secante. L a Gri f 2) corta al eje X en el origen.

2. Determinación de ¡as asíntotas

a) Asíntotas verticales : f ¿ x ) = (2 - jc ) ^ + jr ) .* e < - 2 .2 >

Por el D o m (/2) , tomaremos límites laterales en x = -2+ y x = 2 '

- m ñ - - ; .'z - W = (ó 4 ) - +“

Luego ,x = - 2 y j r = 2 son dos asíntotas verticales de la Gr( f 2) . A dem ás, es simétrica
respecto del origen , pues : f 2[-x) = - f 2( x ) .

b) Com o el Dom( f 7) = ( - 2 ,2 ) no tienen sentido los límites infinitos (± <»), por lo que la
G r(/2) no tiene asíntotas horizontales y oblicuas

3. Con toda esta información esbozam os la G r(/) = G r(/,) U G r(/2) , m ostrada en la Figura

2.52 , donde se puede observar el comportamiento asintótico de la curva indicado por las

flechas. ■

K Y>

X c/l W

•N. ! J

"\ 1

N
* = -2 |

■/ 1
1 12
-2l / o >

1

1

\f !
1¡ G n u
1
s. ^ J

FIGURA 2 52

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276 Capitulo 2: Límites
[E JE M P L O 4 ] Hallar todas las asíntotas de la función

Solución 1. A síntotas verticales : fJ('x ) = ( x + 3 ) ( x - 2 ) + Vx2 + 4

,!™ /w = w ñ ) + ^ = - “ • «*> = - +-

m = T s m + ^ = ■“ • J í ^ í w = w i f ñ + %¥ = + ”

Luego , x = - 3 y x = 2 son dos asíntotas verticales de la Gr(f)

2. Asíntotas horizontales. Como lim /(x ) = ± ° ° e ÍR, no existe asíntotas horizontales para

XX —- *» ± * «

la G r( /)
3. Asíntotas oblicuas

a) Asíntota oblicua d e re c h a : y = m | x + ¿>|

m lim m = 1¡m ( y + j x + i + h = 3 + 1= 4
l
1 *_*+<» x x_»+o-t j r + j r - o x x

b = lim [ / ( x ) - m x ] = lim ( 3 x ^ ± 3 x + l + Vx2+ 4 - 4 x )
jr ^+oo x +eo ' JT O '

= X-tl+imco U[ ( 3jJ¿^ ++3JT*-Ót ' - 3 x )I + '( V ^ + T - x ) ]J = -3 + 0 = -3
Por lo q u e , SPt : y - 4x - 3 es una A. O . D.

b) Asíntota oblicua izquierda: y = m7 x + b 2
0„ . = 1™
^ X -» -» ^x = üm x ( 3f \ +jx-*j +: x‘^ - 64x X ) =3-1=2

—►- f

b2= lim [ / ( x J - n i j x ] = lim ( ^ + ^ 6 *+ 4x 1 + 4 - 2x )

= - 3 * ) + < V ? T 4 + * ) ] = - 3 + 0 = -3
Por lo tanto, L2: y = 2x - 3 es una A. 0 . 1.

(EJEM PLO Hallarlas asíntotas y construir la gráfica de la función

í 2x4-1 5 x 3+ 39x2 -4 1 x + 1 5 , six> 0 (/,)
, si x < 0 (/,)
ñ x ) = <¡ x3-6 x 2+ 5x + 12

x2X+ l + 44

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Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 277

( x - l ) 2( x - 3 ) ( 2 t - 5 ) < x -l) 2(2 x -5 )
Solución 1. Para / (x) = ( x + l ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) (x + I)(x -4 ) , x * 3 , x > 0

1. Intersecciones. Eje Y : x = 0 ■=> y = 5 /4

í (x -1 )2 = O => x = 1 es un punto dobJe o tocante
Eje X : y = 0 <=> *j

[ 2x - 5 = 0 t=> x = 5/2 es un punto secante

Para x = 3 se tiene y = -I e=> ( 3 .- 1 ) es un “punto ciego” .

2. Determinación de las asíntotas
a) Asíntotas verticales. Como el D o m (/() = [ 0 , +<»)- {3} , tomaremos límites laterales
en x = 4

Jim /,(*) = = + ~ ; Jim / , « =

L u eg o , x = 4 es una asíntota vertical en ambos sentidos.
b) Asíntotas horizontales. lim /,(x ) = + °o ■=> no existe A. H.

c) Asíntotas oblicuas. Porel D o m (/,), determinaremos laA . O. D.

m = lim /■(*) x■ t 2x4 -1 5 x , + 39x2-4 1 x + 1 5 \

X —»+«■» “ x "-6 x 3 + 5x2+ 1 2 x 1 ~ Á

b= lim ( / (x )-m x j = lim (x -1 )2(2x - 5) - 2 x ] - lim + +* = -3

(X+ l) ( x - 4 ) -> jc_»+oo ( x + l ) ( x - 4 )

Por ta n to , : >• = 2x - 3 es una A. O. D. para la G r ( /t) .

II. Para / 2(x) = + ~ , xe< -°°,0>

La G r(/2) corta al eje Y e n y = 5 /4 , no tiene asíntotas verticales pues no existe x0 tal que

lim / (x) = ± °°

Y4

Dado que .lim /,(x ) = 5/4
J-»*« ‘

t=> y = 5/4 es una asíntota 1

horizontal y

r = 5M

Um m . = o * ----- ^ m s4

2 *-»-«*» X

entonces no existe A. 0 . 1. 0 1 2 \ } i4

1

3. Con toda esta información traza­ Grí/J-A j
mos l a Gr{f) = G r{/,) U G r(/2) ,
FIGURA 2 53
-

mostrada en la Figura 2.53 ■

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278 Capítulo 2: Límites

(EJEM PLO fT) Determinar si la gráfica de la función f ( x ) = — ¡—¡-------- posee asinto-
vf ^ UI-2
tas verticales. Esbozar dicha gráfica.

Solución S i U I - 2 = 0 i = > U I = 2 <=>;c = ± 2 son dos posibles asíntotas verticales de

la Gr( / ) . Para salir de dudas debemos redefinir la función / eliminando las barras
de valor absoluto del numerador. Esto e s :

i) Ijc3 - 3 1 = jc2 - 3 , s i . r - 3 ¿ 0 « Ix l >V3

~ f~M = "Url r- r2 = Url H- 2 = 'U- rl r- 2r •ul +2- Ul *2

*=* /,(•*) = U l + 2 , s i j t e {-oo , - ^ 3 ] I [V3 ,+«>>- { -2 ,2 }

Luego , s i U I * 2 e = > j r * ± 2 e y * 4 , por tanto ( + 2 , 4 ) son “puntos ciegos” , esto e s ,
x — ± 2 no son asíntotas verticales de la G r(/,)

ii) Ijc2- 3 1 = - (jc2 - 3 ) , s ix 2 - 3 < 0 «=> U l <V 3 Gr(f,> Y' Gr(f,f
v \/
~ / , « = U l -2 U I - 2 , W < V3 4-
11 2* >5 T¡
Com o j: = ± 2 g { j : | j c e (-V3 , V3 ) } , 11 1i
entonces x = ± 2 tampoco son asíntotas 11 3- 1i
verticales de la G r(/2) 1i
!i 2-

¡ \ G ' í f J l- GrffJ 1 ¡
SI i

U l + 2 , si U l > V 3 . U I * 2 • 1 1 l •• • w "\ i r r X

■2 V I 0 1/ 2

/w = i . si U l <'& V -i
■2
U l -2

Concluimos en que la G r(/) m ostrada en la Fi­ F IG U R A 2.54
gura 2 .5 4 , no posee asíntotas verticales. ■

[EJEMPLO 7 J Determinar las asíntotas y bosquejar la gráfica de la función

✓

■sijr<' 3 t/,)

f(x) = < . si-3<x<2 ( f 2)
, six>2 </*>
,1

^3?-A

Solución 1. El dom inio de la función e s , x e IR - {2}

2. Según el D o m (/), solo existen intersecciones con los ejes coordenados para / , ,
en x e [-3 , 2 ) , esto es
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Sección 2.J2: Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 279

a) Con el e j e X : Si y = 0 ■=> * + 1 = 0 x = - l «=> A ( - l , 0 )€ E jeX
b) Con el eje Y : Si x = 0 y = - 1/2 B (0 ,-l/2 )e Eje Y

3. Asíntotas verticales. Solo tomaremos límites laterales en x0= 2

lim f A x ) = lim ( * ~i ) = — = -oo ; lim f A x ) = lim f = +oo
x-»2- - * - ,2- ^ - 2 ' 0- ’ , ^ 2* ’ *-»2*W ?^4'

L uego, x = 2 es una asíntota vertical en ambos sentidos

4. Asíntotas horizontales. Debido a que el D o m (/2) está restringido a! intervalo [ - 3 ,2 ) sólo
tomaremos límites infinitos en / , y / 3, esto e s :

lim f ( x ) = lim = -° ° : lim / (r) = lim (7 = = ) = +°°

* -»-* «' A' x -* + ° ° * -»+ » ‘ Vx*- 4 '

Como ambos lím ites no son números reales, no existen A. H.

5. Asíntotas Oblicuas
*2 . 3

a) Asíntota oblicua d e re c h a . f A x ) = — . . ...
xV l-4/x2

m = ,ira m = Iim ( ¿ ± 1 = ) = ± ¿ g = i

x x -» -k o 'x 2V1 - 4/x2 ' Vi -0

6 = lim[ f { x ) - m x] =tim ( f * \ - x ) = 0 (Verificar)
x -***■= x-»+oo‘ Vxa - 4 7

Entonces, : y = x es una asíntota oblicua derecha

b) Asíntota oblicua izquierda. /,(x ) =

m, = lim = lim ( V ^ F ) = i

b 1 = X-l*im-oe [ / ( x ) - i t l x ] = xl-i>m.oo(\ x* - x x )1= lim [ 3x -i _ 3

Vx(VxT3 + Vx-* 2

L u eg o , J2'2 : y = x + 3/2 es una asíntota oblicua izquierda.

Y4

UU'

Gr ( f ) r

1X=2

* fr ^ B ! I2 Vv
/ ¿S* >x
\1
y /s \1
//$ • - \1
/y \1

}l

Sólo fines educFaItGivUoRsA-2L.5ib5rosVirtuales

280 Capítulo 2: Límites

(EJEMPLO 8 ] Si y = / ( je) es una función definida im plícitam ente por la ecuación

(xy - je2 - 1) (x2y 2- je2 + y 2) = 0 , hallar las asíntotas de la curva y esbozar
su gráfica.

Solución S i( x y - x 2- l ) ( x 2y 2 - x 2+ y z) = 0 <=> xy - je2 - 1 = 0 (1)
x V - x 3+ y = 0 (2)

La gráfica de la ecuación dada es la unión de las gráficas de (1) y (2)

1. Si xy - x2- l = 0 e * f t( x ) = ^ ± ± = x + l - > D o m ( / ,) = ^-{0}

La G r(/,) no intercepta a los ejes coordenados , tiene una asíntota vertical en x = 0 , en
ambos sentidos , pues

U m / . W = 0 + i = +oo ; K m ./.U ) = 0 + - , [ = - >

No tiene asíntotas horizontales ya que lim /,(x ) = ±© °ís IR

JC —*

Tiene una asíntota oblicua en am bos sen tid o s, ¡F'. y = x

En f t( x ) - x + ~ i vemos que s i x > 0 y > 0 y s i x < 0 ■=> y < 0 ,s ig n if ic a q u e la G r ( /|)

se extiende arriba y abajo del eje X , respectivam ente, entre las asíntotas x = 0 y y = x

2 . x2 y 2 - x 2 + y 2 = 0 <=* y = ± . x
Vx2* 1

Obsérvese que la ecuación (2) es simétrica respecto de los ejes coordenados y al origen ,

pasa por éste y define dos funciones :

/,(■*) = y /,<*) = -
Vx2 + 1 J Vx2* !

Analizarem os la G r(/?) y luego dibujarem os la
G r(/?) por sim etría.

a) La G r(/2) no tiene asíntotas v erticales, pues no

existe un xQtal que lim / 2(x) = ± ©o
X~**Q

b) Asíntotas horizontales.

lim f J x ) = lim -—:— -■ — 1
X—*-H» X—»+» |x | VI + 1/jE2

lim /,( x ) = lim -— -— ,x - -1
X^ . « * '2W |x | Vi + 1/x2

F IG U R A 2.56

Entonces : y = 1 , y = -1 son dos asíntotas
horizontales de la G r(/2) y de la G r(/3)

c) Asíntotas oblicuas. m - lim = lim ( )=0
*-»+«■» x x —*+°« *Vje2 + 1
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Sección 2.12 : Asíntotas y su uso en las representaciones gráficas 281

L u eg o , la Gr( J J com o la G r(/}) no tienen asíntotas oblicuas.

Con toda esta información dibujamos la gráfica de la ecuación implícita , mostrada en la

Figura 2.56 ■

OBSERVACIÓN 2.15 Las Definiciones 2 .1 8 ,2 .1 9 y 2.20 son válidas para funciones
definidas im plícitam ente, en las que resulta más fácil obtener

x = / ( y ) , (a en términos de y) . Esto e s :

1. Si Iim f ( y ) = h => x = h es una asíntota vertical

2. Si Iim / ( y) = ± do ó si lim / ( y) = ± 00 «=> y = yb es una A. H.
»■-»>. ‘ y~*y„

3. Para asíntotas o b lic u a s. U¡\ x = k y + b , k * 0

k = jrl_i»m±oo ^ y^ ; b = v-l»im±« [ f ( y ) - k y ]

EJEMPLO 9 I Obtener las asíntotas de la curva de ecuación

—J jpyi. 2 / + 9y3+ 8a- 6= 0

Solución Conviene despejar x = / ( y ) , esto es
2y4-9 y s+ 6

x( y 3+ 8) = 2y4 - 9 y ? + 6 »=> x = / ( y) = y’ + 8

1. Asíntotas verticales. lim / ( y ) = +«>,00 es un número real, entonces no existen asíntotas
y —i + o c
verticales.

2y* - 9 v :| + 6
2. Asíntotas horizontales . / ( y ) =

( y + 2 )(y2-2y + 4)

lim f ( v i = — L I O — = .0 0 • | i m f ( y ) = — L 1 Q — . — + 0 0

yl™ r n y } (0-KI2) ’ y-,-2*71 ” (0+)(12)

Luego , y = -2 es una asíntota horizontal en ambos sentidos.

3. Asíntotas o b licu as. 3 : x = k y + b

k = Um M . = lim [ 2y' ; % + 6 ) = 2
v—»±oo y »— ' y + 8y /

b = Iim L f(y )-k y ] = lim ( 2v -2 y ) = lim ( 9>y ^ s * 6 ) = 9
}± o* y —f ± o o ' y +0 / y +OO ' y TO *

Por tanto , 3?. x = 2y - 9 es una asíntota oblicua en ambos sentidos.

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282 Capítulo 2: Límites

E J E R C IC IO S . Grupo 17

❖ En los ejercicios 1 al 40 hallar, si existen, las asíntotas horizotales, verticales y oblicuas de
la gráfica de la función definida por las ecuaciones dadas. Bosquejar su gráfica.

1. / W = i 2. /(x) = <x-7)V ?^9
x+ 6

3. /(x ) = V3x*-x3 4. /(x) = V 4 ^+ 2 ^+ I

5. /(x) = **+3 6. f(x) = x -2 + x2
Vx2- 4 Vjt*-9

7. /(x) = 2x> 8- /( x ) = x 4 - 3 x 5 + 2 x +X
x 3- 3 x 2- x - 3
Vx2- 6 x - 7

9. /(x ) = Vx4- 3 x , -9 x 2+ 36x 10. /(x) = 3- 2x - x2

Vx2- x - 2

II. f(x) = 1 -X + 2j ? 12. /(x ) = V 97?

Vx4-1 3 x 2+ 36 x ( 3 - /3 + x/3/>

13. /(x) = x + +^ 14. / (x ) = | x + 5 l +

15. /(x ) = V (x + 4 )2( x -5 ) Ixl -4
16. /( x ) = Vx4 - x 3- 9 x 2+ 9x

-<t=xT=^4 . U l > 2 x2+ 2 x -3 , x < - l , x # -2
(x + 2)V2 + 1
17. / (x ) = <
18. /(x ) =

2x3+ 3x , x>-l

(x+1)2

Vx2+ 4 , X < -1 x4-x 3
,X >-1
-x- 1 X3 + X2 - X - 1

1 9 . / ( x ) = <¡ 20. /(x) = <

( x X 3 ) 2 , Jf>-1

+ 1

(x 2-3)V F + 5 , x > -4 2X2 ,x<-3
(x3+ 2 ) V í+ 4 x2+ x - 6
21- / W = <| 22. /(x ) = <¡
x-8 ’ *
x3+ 7x2+ 3x-27 ,x>-3
x3+ 5X2+ 6x

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EJERCICIOS . Grupa ¡7 283

+2x+ I . x <-2 x+3 ,x>2
x +8 4x^4

23. / ( x) = x - 1/2 , -2 < x < 1/2 24. /(x) = 2r2+ 3x+5 , - 2 < x < 2
x- 1
4 2x+ 7 , x > 1/2
2jc- 1 [*]+* , x<-2

, x < -1 V3+3? ,x < -l
Vx2- l

25. /(x ) = x2- ! t -1 < x í 1 26. /(x ) = ^ ,-1<x<!
x2+ 1 , x> 1 ,x> I
I -X2
V
l x3- I 3x + 2
1-x

r x^-2x ,X<-I x Vx2- 2x + 4 + x 2 , x < - l

x" + I

27. /(x) = X* , -I < x < 0 28. /(x) = V líT x2 . -1 < x < 4
4(x2- 2) x-4

j£,+1 2x/ 3 , x > 0 , 0 * -2 f e - x3 , x > 4
x2- 4

•x/x* + 2 x + 1 . X < - 1 , x * - 2 3x + 3x , x<-3
V x’ + 8 2x+ 1

29. /(x ) = 3 |x + 3 I ,-l< x < 2 30. /(x) = x3-f x2 - 2x , -3 < x < 2
x+ 1 (x - 2) (x3+ 2x - 3)

Ce - l)3 , x > 2 v x5 - x + \ + ^ T 3 T l Ó , x > 2
x3 + \

x2+ 2x - 3 , X<- 1 x+ 6 ,x< 4-{-6}
(x + 2) Vx2+ I 32. /(x ) = < 8 - 2x , x e {-6.4}

31. / W =

X4 - X2 ,x>- I ^ (x -5 )(x '-8 ) , x > 4
X3 + X2 - X - 1

33. /(x ) = (x2- 4 x - 2 lK x + l) 2 . x < - 3 (“ ii ,x<-3
35. /(x) = (x- í y c ^ - B x + S ) , -3 £ x < 1
x3+ x2- 2x , -3 < x < 2 , x jt I 34. /(x) = « ' m ,x> I
x3- 7x + 6
ix-i?
,x^2 (x+l)2

( * - 3 ) tF 2 >x<.V2-{-3} x+ 1 , X € ( ”°® . 1 )
x3- 9x ,x>5 36. /(x) = < X - 1
, X € [ 1 , + «»)
2x + 4
x-5

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284 Capítulo 2: Límites

, lx| >2 x + 1+ ,X <-1
Ixl < 2
Vx2 - 4 X+ 1
= «j
37. m 38. /( x ) = <¡
x3 2X2
4 -x2 ,x>- 1
x3+ I

x2+ 2x-3 ,x < -I s
(x + 2 ^ G P T Í

39. m =< T^x 1<x<0 40. /(x ) = <j [ - 7 Ü 1
I +x
J x [2+ l/x] + 7
,x>0 v 2x - 1 ,

x3- !

41. Sea / una función que cum ple:
i) y = 3x + 5 es una asíntota oblicua derecha de la Gr( /)

ü ) /(* ) = / ( - x ) ,V x e IR.

C a lc u la r: a) lim ( , */((xx)) ) b) lim ( , /( J ) ----- - )
x _»+ » ' V3X3 + Sen2x ' ^ V 3 x 2+ Sen2x '

42. Sea la función/(x ) = x2 , hallar las asíntotas de la gráfica de la función y = 3 /(z ) ,S1
esta dado en el sistem a de coordenadas ZY. z- I

43. Sea la función J w /(x(a) + =)x +-t—c — a,+xb*2 - — ^ t t

a) Hallar los valores de a , b , c y d de modo que se verifique simultáneamente

i) y = x + 2 sea la única asíntota oblicua, ii) _f(l) = 1/3

b) Dibujar la Gr( /) indicando sus asíntotas e interceptos con los ejes.

44. Hallar las constantes a y b de modo que lim f ex + b - )=0
x-* ' Jr + 1 /

Interprete geométricamente este resultado.

45. Sean P(x) y Q(x) dos polinom ios en IR tales que gr[P(x)] - gr[A(x)) = ’ 1

P (X )

S ¡/(x ) = Q(x) , demostrar que y = /(x ) tiene asíntota.

46. La recta & es asíntota en -«*>de la función /(x ) = ~ + ^ , con a una c o n sta n te real
\x2+ 1

dada. Si la pendiente de es -2/3 , halle la ecuación de SR

❖ En los ejercicios 47 al 60 , hallar las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas de las
curvas cuyas ecuaciones se d an . Dibujarla gráfica de cada curva.

47. xy2+ 3y2- 9x = 0 48. x2- x y + y = 0

49. 2x2-2 x y + 3 x - y - 15 = 0 50. x2 - x y - 2 x -2 y + 2 = 0

51. x y - 3x2 - 4y2 = 0 52. 8x2- 2xy - 3x - 3y + 2 = 0

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Sección 2.13 : Las funciones exponenciales y logarítmicas 285

53. y 2( x - 2 a ) = x3 - * 3 54. y3 = (x - a )2 (x - c ) , a > 0 , c > 0
55. (x + fl)y2 = ( y + ¿)x2 56. x \ x - y f - a } { j d + y 2) = 0
57. 4x- = (a + 3x)(x2+ y2) 58. :cy2 - 2 y a - 4 x + 3 y - l = 0
59. ty2- y 3- 4 x - y 2- 2y = 0 60. xy2 - 2 y 3 - x - y 2+ 3y = 0

(2.13 ) LAS FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTM ICAS

En esta sección es necesario conocer las leyes de los exponentes racionales y
las de los logaritmos , por lo que quizá sea conveniente referirnos muy brevemente a tales
propiedades.

Si a y b son números reales positivos , y , m y n son números reales cualesquiera ,
entonces

P .l : am. a n = am*n P.6 : a ° = ~a a
P.7 : a l/n = ^ , n e Z+
P.2 : ^ = * - -
P.3 : (a™)11 = a mn P.8 : c m/ri = , m,ne Z
P .4 : (a • b)D= anbn
p ^ . ( a \ n _ ar P.9 : Si a > 0 , b > 0 , n e Z+ , a > b t=* a a> bn

^^ P .1 0 : S i a > l , m < n «=> a m < a D

P . l l : Si O c a < I y m < n a m > a"

OBSERVACIÓN 2.16 Exponente Cero
Si en Ja propiedad P .2 hacemos m = n , obtenemos

= a- " « a° = 1
Por tanto , si a e IR - {0} , debe definirse a° como 1
Por ejem p lo : (120)° = (1/5)° = (-2 ^3 )° = (2jc)° = 1

Definición 2.21 : LA FUNCIÓN POTENCIA

Una función real definida p o r/(x ) = x*, siendok una constante real. se denomínafunción
potencia de variable re a l.

Por ejem p lo , /( x ) = x 3 , g(x) = x2' 3 , h(x) = 3 x 7 son funciones potencia de variable real.

OBSERVACIÓN 2.17 Propiedades de los logaritmos de base a
Si A , B y N son números reales positivos, entonces se cumplen las

siguientes propiedades para los logaritmos de base a
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286 Capitulo 2: Límites
L. 1 : Loga(A • B) = Log0A + LogflB
L . 2 : Loga ( ~ ) = LogflA - LogQB L .4 : Logfl„(AB) = ( f ) LogflA
L . 3 : LogaA" = n LogaA L . 5 : Log0^ÍA = ( ¿ ) LoguA

LogflN
L. 6 : Log^N = L og.a ■LogflN =

Sea a cuaJquicr núm ero real positivo distinto de 1. Entonces una función / , denotada por
cxpg , se llamafu n ció n exponencial de base a s i , y sólo s i :

o bien, /={Cx,y)l/C*)=fl',JrelR}
expo = { ( jc , v) Iexpa(x) = a x , jc e IR }

Un esbozo de las gráficas de las funciones
y = 2* e y = (1/2)'

nos permite observar lo siguiente

1. El dom inio de la función exponencial es IR , en tanto que su rango es [R+ , esto e s :

expa : IR —» {R+
jc —> a +

2. La función exponencial es inyectiva, pues una línea horizontal corta a su gráfica en un solo
punto .

3. L a función exponencial no es sobreyectiva, pues a* nunca es real negativa, sin em bargo es
una biyección de IR sobre !R+.

4. Dado que a° = 1, las gráficas de y = a1 intersectan al eje Y , generalm ente, en el punto
(0 , 1).

YA YA

c' 1 8 0<a< 1

3 2 -1 O 23 -3 -2 I O 2i

F I G U R A 2 .5 7 : >•= 2* F IG U R A 2 .5 8 : y >(1/2)*

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Sección 2.13: Lasfunciones exponenciales y logarítmicas 287

OBSERVACIÓN 2.18 PRO PIED A D ES D E LA FU NCIÓN EXPONENCIAL_________

C aso 1 S i a > 1, la gráfica de cualquier función de la forma { (jr,,y)e fRx fR+ | y = a '} , se
parece mucho a la gráfica de y = 21(Figura 2.57). Entonces convenimos en aceptar

las siguientes propiedades para cada una de tales funciones.

1. El rango de la función exponencial es el conjunto de los números reales positivos (IR+) . Es
decir, V x e IR, y = a x > 0 . (La gráfica está dispuesta encima del eje X.)

2. S ix = 0 => a* = 1 , s i > 0 ^ < ¡ ' > l y r < 0 ■=> 0 < f l * < 1

3. A medida qu e x crece, crece también y = a * , ( / e s estrictam ente creciente). Es d ec ir, si
x, <X2 t=$ /,(* ,) < f { x 2) , V x e D om (/).

4. S i a > 1 t=> lim (a*) = 0 y lim (a*) = + «

X-*.oo J —i +oo

C aso 2 Si 0 < a < 1 ,1a gráfica de la función de la forma { (x ,y ) e [Rx [R+ | y = a*} tendrá
una apariencia distinta. Sin em bargo, cada una de estas funciones tendrá la forma

general de la gráfica de y = (1/2)*. (Figura 2.58)
Las siguientes propiedades son válidas para las funciones de este tipo.

1. El rango de la función exponencial es IR+ , es d e c ir, V x e IR , a1 > 0

2. S ix = 0 «=* a*= 1 ; s i x > 0 => 0 < a x < 1 y s i x c O ■=> a*> 1
3. A medida que x c re c e , decrece y = ax , ( / es estrictamente decreciente)

Es d e c ir, si * ,< * 2 ■=> f(x¡) > f ( x 2)

4. S i0<¿7< 1 lim (a 1) = +«» y lim (a1) = 0

X —»-«> X —*+»

¡ EJEMPLO 1j Construir la gráfica de la función /(x ) = 1+ exp31x - 2 1, indicando su

dominio y rango. ¿ Es / inyectiva ?

Solución Si /(jc) = 1 + exp3l x - 2 | y = 1 + 3 |jr' Z|

Para hallar la regla de correspondencia de / debemos redcfinir la función eliminan­

do las barras de valor absoluto, esto es Vé
1. S i x í 2 t=> Ijc - 2 1 = x - 2 i=> y = l + 3 * - a

2. S i x < 2 => \ x - 2 \ = - (x -2 ) «=> y = l + ( l / 3 ) x 2

1 + 3 ' 2 ,six<2 <fi)

! + ( ' ) ' 3 ,six< 2 (/,) 2

E n /,(x ) = 1 + 3 " 2, la base e s a = 3 , a > 1, entonces su gráfica Ii N. V
es similar al de la Figura 2.57. es creciente V x S 2
En / 2(x) = 1 + ( 1/3)1' 2, la base es a = l / 3 , e s t o e s , 0 < a < 1, 11 ”
luego su gráfica es similar al de la Figura 2.5 8 , es decreciente
Vx<2. 0 ¡2

F IG U R A 2.59

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288 Capitulo 2: Límites

Por lo ta n to , Dom( / ) = [R y R a n (/) = [ 2 , + « » ). Geométricamente vemos / no es inyectiva,

pues una recta horizontal corta a la curva en dos puntos. ■

OBSERVACION 2.19 De las propiedades de la función exponencial /( x ) = a ' , donde a > 0

y a * 1 , se deduce que ésta es inyectiva de IR en [R+ , por lo que
admite función inversa d e [R+ en (R a la que se llam a fu n c ió n logaritm o d e base a y cuya
definición es la siguiente.

Definición 2.23 : FUNCIÓN LOGARITMICA DE BASE a

Si a e IR+ - { l } , entonces lafunción logaritmo en base a , denotada por Log^, es la función
inversa de la función exponencial expc : CR- » !R+
Esto e s :

■ Log0 : IR+ IR = { ( x , y) | f(x) = Logc( x ), x > 0 }

Como consecuencia de esta definición se tiene
1. expa [ Loga (jc) ] = j t . V x e IR+ « f l = x , Vx e (R+
2. L ogfl [ expa(x) ] = x , V x e IR <=> Logo(a*) = x , V x e (R
3. Loga (x) = y <=> x = a y

Se sigue que por la propiedad de reflexión de las funciones in v ersa s, la gráfica de y = Logo(x)
es la reflexión con respecto a la recta y = x , de la gráfica de y = a’ como se observa en la Figura
2.60 cuando a > 1 ,y en la Figura 2.61 cuando O c a < 1

FIG U R A 2.60 F IG U R A 2.61

OBSERVACIÓN 2.20 Propiedades de la función logarítmica de base a

1. El rango de la función logarítm ica de base a > 0 es (R.
2. Si a > 1 , la función y = Logox es estrictam ente creciente en su dominio IR+ (Figura 2.60).

Obsérvese que si x € (0 ,1 ) entonces Logcx < 0 . (La gráfica está dispuesta debajo del eje X.)
Si x = 1 Log x = 0 , y s i x > l Log x > 0 . (La gráfica está dispuesta sobre el eje X.)

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Sección 2.13: luis funciones exponenciales v lagaritmn as 289

3. Si 0 < a < I , la función y = Log^ a es estrictam ente decreciente en su dominio ÍR+ (Figura
2.61). Obsérvese que s i x e ( 0 , 1 ) , entonces Logox > O da gráfica está dispuesta sobre el
eje X ) , y si x > 1 . Logox < 0 ( gráfica esta dispuesta debajo del eje X).

4. Toda gráfica de una función logarítmica de la forma v = Loga x pasa por el p u n to (l ,0 ).

_E_J_E__M__P__L_O__ 2 j Sea la fu n c ió n /: (R —» <2 ,+<*■). definida p o r:

/ ( x ) = exp2(x + I) + 2 . Determ inar el valor de verdad de cada una de las
siguientes afirmaciones:
a) La función /* es estrictamente creciente
b) la recta x = 2 es una asíntota vertical de la gráfica de /*
c) La recta y - 2 es una asíntota horizontal de la gráfica de f*

•

Solución a) Sea y = /(x ) «=> y - 2 = exp,(x + 1) = 21*1

Intercambiando variables se tien e:
x - 2 = 2r+l <r> Log2 ( x - 2 ) = v + I i=i /* (x ) = -1 + Log2(x - 2)
Como / : IR —>( 2 , , entonces f * : ( 2 , +°°) —> (R
Sean x ,, x, e Dom (/*) —(2 , +°°)
S i / ^ x , ) > /* (x 2) ■=> -1 + L o g 2(x f *2) > -1 + L o g 2(x3-2 )

<=> L og,(x, - 2) > Log,(Xj - 2)
Siendo las bases iguales , entonces :

x, - 2 > x , - 2 * x, > x 2

Por lo que f * es estrictamente creciente.

b) Como lim /* (x ) = - 1 + Log ,(0+) = -<», entonces
í~ » 2* 1

x = 2 es una asíntota vertical de la G r ( /* )

c) /(x ) = 2 + 2 '* 1 = 2(1 + 2 X) lim /(x ) = 2 (1 + 2 ~ ) = 2(1 + 0) = 2

X—

Entonces y = 2 es una asíntota horizontal de la G r(/).

Por tan to , las tres afirmaciones son verdaderas.

EJEMPLO 3 v] H allar el dom inio de la función inversa de y = 2*

Solución Intercambiando variables se tien e:

x — 2' . . o2,r = x > = LoM t 7 í )
1+ 21 1- x

La función es real <=> >0 o x - I < 0 «=> D om (/*) = < 0,1)

1-X

EJEM PLO 4 J M ostrar que la gráfica de la función y = Logfl(x + Vx2+ I ) es simétrica

respectSo óalloofrinigeesne.dHuacalltaivrolas f-uLnicbiróonsVinirvtuearslea.s