Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

340 Capitulo 3: Continuidad

i— * 1 )
10. La función /( x ) e s tá definida por ,/( x ) = (x + 1). 2 Ul * , p a r a x ^ O y /( O ) = 0 .

Demostrar que en el intervalo [-2 ,2 ] la función /(x ) toma todos los valores, sin excepción,
comprendidos entre /(-2 ) y f(2) y , sin em bargo, es discontinua (en qué punto precisa­
mente) . Construir su gráfica.

11. Esbozar las gráficas de las funciones dadas, mostrando todas las asíntotas existentes y los
intervalos de continuidad.

x4 - 7 x 3+ 1 5 ;r-9 x x>+ 1 ,x<- 1

** - 2x2 - x + 2 ,x > I b ) / ( X ) = < x4 - 3x2 + 16 1<x< 3
a) / W = < ,x<l x (x2 - 5x + 6)

Vx2- 4x + 3

Vx2 - 3x ,x> 3

2X2 , x < - 1 Xa + 2x- 3 , x < - 1
x2 + x - 6 c*+2j*v*+7

c) /(x) = VTT^T 1<x< 1 á) m = <¡ x V M , -1 < x < 0
x> I ,x>0
x* y 1+ X
2 ( x - 1)
X3 - 1

VFTq , Ixl > 3
e) f(x) = < , Ixl <3

, 9 ~x2

12. Analizar la continuidad de la función

[ l - J c ] + [ x - I ] , si 0 < x < 2
m = < 2-Vlxl-[x]

2x-5 ,six>2

13. Sea la función

f ( x ) = ( k + l)(k x - 1) Sen(k7t + ^ ) + k [ (k + l) x - 1] C oskn , c o n x e ["j™TJ
k e Z+ . A nalizar la continuidad de / en ( 0 , 1]
14. Analizar la continuidad e n x = 0 de las siguientes funciones

7 [ £ ] ■•"*° b) g(x) = < , x=0
k
a) m =

I .*=0

15. Analizar la continuidad de la función : h(x) = 1

2x- [x + I ]

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Sección 3.6 : Funciones acotadas 341

16. Si /(jr) I-Atxt-t-—3 1 - I , analizar la continuidad en el intervalo [O ,+«>)

l O ~ JC J

17. Dada la función /(x ) = v , analizar la continuidad en [0 ,2 ].
y -r-l-s]

18. Estudiar la continuidad de /(* ) - x - [ —] + [ x ] + Vx- [ x ] y dibujar su gráfica.

19. Estudiar la continuidad de la función f(x) = 2x~ 2x - I , en [0 .3 /2 ]
[2x]

20. Analizar la continuidad de la función

m = [x]-aC T T 7I ( [ ! ] ) + [x [ ^ ] ] , siUI > l

Esbozar su gráfica y redefinir la función donde sea posible para que se convierta en
continua.

(3.6) FUN CIO N ES ACOTADAS

Definición 3.10 s FUNCIÓN ACOTADA SUPERIORMENTE

Se dice que una función / eslá acouulü superiormente: sobre un conjunto S c D o m ( / ) .s i el
conjunto de im ágenes/(S) está acotado superiormente, es decir. si existe un ntímero real M
taique/(x)£,M . V xe S
Formalmente.

f(x) está acotada superiormente « 3 M t IR,V .r6 S e D oro(/) l/(x ) < M

En las Figuras 3.21y 3.22. M = /(x ,) y obsérvese que V xe D om (/) se cumple que f(x )< f( x ,)

Definición 3.11 : FUNCION ACOTADA INFERIORMENTE

Se dice que una fu n c ió n / está acolada inferionnente sobre un conjuntos c D o m (/j ,si el
conjunto de imágenes /( S ) está, acotado inferiorm ente. es d ecir, si existe unnúm ero real m
tal que f ( x ) ^ m ,Vjr e S.
Formalmente:

f ( x ) está acotada interiorm ente <=> 3 m e IR, V xe S c D o m ( / ) |/ ( .r ) > m

En la Figura 3 .21 ,m = /(jr,) y e n la Figura 3.22 , m = f ( a ) . Nótese que para cualquier x e
D om (/) se cumple q u e : f( x) > /(x ,) y /(x ) > f ( a ) , respectivamente.

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342 Capítulo 3: Continuidad

Definición 3 . 1 2 : FUNCION ACOTADA

Se dice que una función es acotada sobre un conjunto S c D o m (/). si el conjunto de
imágenes / ( S) está acotado, es decir, si existe un número real M > 0 tal q u e :

< M, eS

F orm alm ente:

/ ( ¿ ) es acotada sobre S <^> 3 M > 0 I i/( x ) l < M , V a g S

o equivalentemente:

/(x):es acotada sobre S .<=> 3 m , M e ERI m < f { x ) < M , V x e S

Definición 3.13 : SUPREMO DE UNA FUNCIÓN

Se diceque una función f tiene un supremo sobre un conjunto S cD o m (.f) ,s ie l conjunto
de imágenes /(S ) tiene un suprem o, esto es

Sup f{x) = S up/(S ) = S u p { /(* )U s S}
s'

Dado que cualquier número menor que M se puede expresar como M - 8 , donde 8 > 0 ; una
definición formal de la 3 .13 puede ser

f i) V y e / ( S ) „ y < M
M = S u p /(jr) <=> <

s I i i ) V 8 > 0 , 3 y(íe / ( S ) I )•„> M 8

Definición 3.14 : INFIMO DE UNA FUNCION

Se dice que una función tiene un ín fim o sobre un conjunto S cz D o m ( /) , si el conjunto de
imágenes /( $ ) tiene un .ínfim o, es d ecir:

Iñff(x) = Inf-f(S) = In f{ /(x )U e S} *
s
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Sección 3.6 : Funciones acotados 343

Dado que un número mayor que m = Inf / ( S) se puede escribir como m + 5 , donde 8 > 0 ;
una definición formal de ia 3.14 puede s e r :

f i) V >• e / ( S) , y > m
m = In f / ( S) <=> <

s [ ii) V 5 < 0 , 3 y 0 e / ( S ) l y()< m + 8

En la Figura 3.21 se observa que S = [a ,b ) «=> / ( S) = / ( [ a , &)) = [ / ( x () , /(x 2)]

í S u p /(S ) = Sup ( [ / ( x ,) ,/ ( x 2) ] ) = /(x ,)

1 I n f /( S ) = In f ( [ / ( x ,) ,/( x 2) ] ) = /(x ,)

y en la Figura 3 .2 2 , S = (fi ,b] S) = / ( ( a , b]) = < / ( a ) , / ( x 2) ]

^ f S u p /(S ) = S u p « / ( a ) , / ( x 2) ] ) = /( x 2)

1 Inf/C S) = In f C( f ( a ) J ( x 2) ] ) = f{a)

Definición 3.15 : MINIMO DE UNA FUNCION

Se dice que una función / tiene un mt'tiimo sobre e! conjunto S c D o m ( /) , si existe al
menos unx, e S tal q u e :

minCf) = /(x ,) = I n f [ / ( S ) ] e / ( S )

En la Figura 3.21 , /(* ,) = Inf [ / ( S) ] € / ( S) <=> min (f ) = /(x ,) sobre [a , 6)
En la Figura 3.22 , f ( a) = In f [ / ( S) ] e /( S ) i=^ / no tiene mínimo en (a , 6]

Definición 3.16 : MAXIMO DE UNA FUNCION

Se dice que una función / tiene un máximo sobre el conjunto S c D o m (/j . si existe al
menos un x, e S tal q u e :

max ( /) = /( x 2) =- Sup I f ( S ) J e f ( S)

En las F iguras 3 .2 1 y 3.22 , / ( x 2) = Sup [ /( S ) ] e f ( S ) •=> max ( / ) = /( x ,) sobre [a , fe) y
{a , 6], respectivamente.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( EJEMPLO 1 j Determ inar si la fu n ció n /(x ) = 4x3+ 8 x - 2 e s acotada sobre el intervalo
S = [ 0 , 3 ] . H allar, si existen , el Sup( /) e Inf(/)

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344 Capítulo 3: Continuidad

tSoluciónHallarem os la m ayor y la m enor imagen de f ( x ) = 4(x + 1)2- 6 , calculando su
rango a partir de S , esto es :

S i x e [ 0 , 3 ] » 0 < r < 3 « I < x + 1 < 4 «=> 4 < 4(*r + 1)2< 64
« -2<4(x+ l)2- 6 < 5 8 ^ f(x) g [-2,58]

f( x) es acotada, pues existen , m = -2 y M = 58 tales que : -2 < f ( x ) < 58
L uego: Sup [/(* )] = Sup [/(S )] = S u p tfO O U e [ 0 .3 ] } = S u p { [-2 ,5 8 ]} = 58

Inf [/(*)] = Inf[/(S )] = M { f ( x ) \ x s [0 ,3 ]} = Sup{[-2.58]} = -2 ■

^ E J E M P L O ^ J H allarelsuprem oeínfim odelafunción f(x) = ,x e [-2,2]

Solución Sea / ( jc) = I - ^ , jce S = [-2 ,2 ]

Sijce [-2,2] « - 2 < ^ < 2 0ájc2< 4 « 1<*2+ I <5

Invirtiendo se tie n e : 4- < -4 , < 1 c ? -3 < - ? , < - 4-
5 jt2 + 1 x1+ I 5

« - 2 < I - ^ _ S | ^ / W e [-2,2/5]

L uego: Sup/C*) = S u p /(S ) = S u p { /(r)|jte [-2 ,2 ]} = Sup { [-2 ,2 /5 ]} = 2/5 ■
Inf/(jc) = In f/(S ) = Inf { /(x )U e [-2 ,2 ]} = Inf {[-2 ,2/5]} = -2

E JE M P L O 3 ) Si / y g son dos funciones acotadas en S , dem ostrar que
I n f ( / + g) > I n f (/) + Inf (g)
s ss

D em ostración Sean : m = Inf ( /) , m = Inf (g) y m = I n f ( / + g)

ss s

Debemos probar q u e: m > m ( + m2

1. En e fe c to , supongam os q u e , m < m, + m 2 <=$ m, + m 2- m > 0

2. Sea £ = m | + m 2- m > 0 , entonces por la definición de ínfimo

3. m = I n f ( / + g) <=* V e < 0 , 3 j r e S | ( / + g ) (jr)< m + e
=> V e > 0 , 3 jre S | ( / + g) (jc) < m, + m2

4. Perosi m, = lnffjf) =s V x s S ,/(* )> m ( (D ef.3 .1 4 )

5. m 2 = ln f ( g ) <=$ V x e S , g(jc) 5 m2 (Def. 3.14)

6. Sumando (4) + (5) se tiene : V x e S , / ( jt) + g(x) > m, + m 2
7. O bsérvese que en (3) y (6) e x iste una contradicción ( «=>< = ) , p o r lo que la h ip ó te sis:

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Sección 3.6 : Funciones acotadas 345

m < m, + m ,, del cual se dedujo (3 ), no se puede verificar, en consecuencia
m > m + m , esto es : In f ( / + g) > In f ( / ) + Tnf (g)
s ss

E JE M P L O 4 j S e a /u n a función acotada en [ 0 , 1 ] .Si II/ti = S u p { |/(x )l ,x e [0, I]},
demostrar que l l / + g ll < l l / l l + llgll

Demostración En efecto

1. Según la definición d a d a : I I / + gil = Sup { I / + gl , x e [ 0, 1]}
2. I l ( / + g)(x) 11 ex iste, pues por la desigualdad triangular sabemos que

l / + g l < l / l + Igl

3. E ntonces, por la Definición 3 .13 , 1/ + g I está acotada superiormente y M = i / 1+ Ig Ies
una cota superior. Luego , Sup { l / + gl , x e [0, 1] existe

4. Además , por la definición de supremo : 11/ + g 11 ^ l / l + Ig l es la menor delas cotas
superiores. Entonces se cumple
i) V j e [ 0 , 1] , I/ + g 1 < 11/ + g 11
ii) V e > 0 , 3 x 1(e [ 0 , i ] l l / + gl > l l / + g l l - e
Prueba por el absurdo

5) Supongamos que | | / + g | | < | | / | | + | | g | | n o s e cumple , entonces
l l / + g l l > l l / l l + l l gl l <=» l l / + gl l - l l / l l - l l g l l > 0

6. L u e g o , eligiendo £ = l l / + g ll - l l / l l - l l gl l y sustituyendo en la condición ¡i) se tiene:

7. l / + g l > I | / + g l | - l l / + g l l + l l / l l + | | g l l l / + g l > ll/ll + llgll

■=> l / + gl >1/ 1 + l g l

Contradice la desigualdad triangular

I | / + g | | < 11/11 + l l gl l -

x 1+ 4x - 2 , x € [-3 , I)

^ E J É M P L £ 5 j Si S es el dominio de la función /(x ) = 2x + 1 , x e [I ,2)

9 -x2 , x e [2 , 3)

Solución hallar, si existen : Sup ( / ) , Inf ( / ) , Max ( /) y Min ( / ) .
ss

Hallaremos el rango de cada subfunción partiendo de los dominios respectivos,
esto e s :

1. / , W = x2 + 4x - 2 = (x + 2)- - 6 , x € [-3, 1> /,(x) e [-6,3>
«=* - 3 < x < 1 <=> -1 < x + 2 < 3 « 0 < ( x + 2)2< 9
<=> - 6 < ( x + 2 ) 2 - 6 < 3
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346 Capítulo 3: Continuidad

2. f 2(x) = 2 x + I , * g [1 , 2 )
>=> 1 < x < 2 <=> 3 < 2x + 1 < 5 t i / 2( * ) e [3 ,5 )

3. f¿ x ) = 9 - x 2,xe. [ 2, 3)
t=> 2 < x < 3 <=> 4<j c 2< 9 <=> -9 < - x 2 < - 4
« 0 < 9 - J t 3< 5 t > f¿ x )e (0,5]

4. L u e g o , R a n (/) = [ - 6 , 3) U [3 . 5) U <0 , 5] = [-6 , 5]
5. / . S u p t f ) = Max ( / ) = Sup { / ( j c ) | * e [ - 3 , 3 ) } = S u p { [ - 6 , 5 ] } = 5

Inf ( / ) = Min ( /) = In f { /(* ) I jce [ - 3 , 3 » = I n f { [ - 6 ,5 ] } = -6

In f {z2 - 3xz + 2 x 2\ x < z < 3 x , 0 < j r < 1}

( EJEMPLO < P ) Sea / (jc ) = ! ( _ ! ______
4 M - jc 1 - x 3 I
, l <x<2

Es posible definir la función / en x = I de modo que sea continua en (0 , 2). En caso que sea
posible, como se define / ( l) ?

Solución Si In f {g(z) I x < z < 3x} ■=> g(z) = z2 - 3 x z + 2x3 , z € ( x , 3x)

» g(z) = ( z - f * ) 1- ! 2 , z e <x,3x)

Si jc < z < 3x c=> jc - ^ - jr < z - íj- jt< 3 ji;- - |- jr <=> 0 < ( z - ^ x ) 2 < ~ x 3

« - f 2< ( z - f j t ) 2- ^ ^ g(z) e [-x*l4 , 2 x 2)

Entonces , In f {g(z) I z e (jc , 3-c» = In f {[- jc7 4 , 2X3)} = - jcV4

- jc2/4 , si 0 < * < 1

Por lo que f(x) = < , / , 3*

H íríi-TT?)

A h o ra , los. límites laterales d e / e n el punto de acum ulación jcu= I , son :

i) lim / ( j c ) = lim ( - ^ r ) = - T
s-* r x-* r ' 4 / 4

ü) lim /(x ) = lim „ t \ X * X Í - 3 ^ = lim _ 1 ( x + 2 \ 1
jr-»l+ a ~* 1+ ( l " . X ) ( l + J T + JC^) *-» i+ 4 \ 1 + X + X 2 I '4

D a d o q u e : l i m / ( jc ) = l i m / (jc ) t=> l i m / ( jc ) = - j , e x iste

* - » I" X-» l+ x —> I

P o r l o t a n t o , l a e x t e n s i ó n c o n t i n u a d e / e n jc0 = I s e d e f i n e

/ ( ] ) = lim /(* ) = - i

X -» I ^

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DERC1CI0S Grupti 22 : Funáimes tit tiltuhu 347

EJEMPLO 7 ) Sea la función f ( x ) = \ ISen2* I y S = <-tu/2 , 7i/2> - {0} . H a lla r. si

existen , el Sup (/) y el Inf (/)
ss

Solución Com o ia función seno es acotada , esto es ,-1 < Sen 2x < I y | S e n 2 x l > 0

.=> 0 < I Sen 2 x ! < 1 » 0 < ^ | Sen Zv I < ^ <=? /(x ) e <0, 1/2]

Por consiguiente:

Sup (/) = Sup {/(x )Ix e , it/2) - {0}}

= Sup { (0 , 1/2]} = 1/2 = M ax(/)

Inf ( / ) = Inf { /(jc )|jc e (-JI/2 ,71/2) - {0}}

= Inf {<0, 1/2]} = 0

Como Inf ( f ) e / ( S ) .=> Í M in ( /) FIG U R A 3.23
s

EJERCICIOS . Grupo 22

1. Demostrar que si / está acotada sobre S y c > 0 es una constante, entonces

a) S u p (c /) = cSup ( /) b) In f(c /) = c Inf ( /)
ss
SS

2. Demostrar que si / está acotada sobre S y c < 0 es una constante, entonces

a) S u p (c/> = c l n f ( / ) b) Inf ( c f ) = c S u p ( / )
ss ss

3. Analizar , justificando sus respuestas , si las siguientes funciones son superiormente y/o

inferiormente acotadas sobre el intervalo d ad o . H allar, si existen , el Sup ( / ) e Inf ( / ) para
ss
las funciones dad as.

a) fO0 = Sec x , S = [0, ti] c) m = í r l * S = í_4,3]
b) /(x ) = 4x 2- 12x + 5 , S = [-2 ,3 ]

4. Dadas las funciones: f ( x ) = * —x y g(x) = x , x e [-1 , l)
1-x 2 -V T T x

a) S o n / y gacotadas en [-1 , 1 ) ? Justifique su respuesta.
b) C alcular, si existen , el supremo y el ínfimo de / sobre S = [-1, 1)

5. H allar, si existen , el supremo e ínfimo de f(x) = x 2- x + I , en x € IR, luego comprobar
x2+ I

usando la definición.

6. H allar, si existen , el suprem oe ínfim ode f(x) = x2-l , en x e IR
x2+ l

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348 Capítulo 3: Continuidad

7. Demostrar que si / y g son dos funciones en el dominio S tales que V x e S , /(x ) < g (x ),
entonces , Sup ( /) ¿ Sup (g)

8. Dem ostrar que si / y g son funciones acotadas y a y b son constantes no negativas ,
entonces : Inf ( a / + b f ) > a .ln f(/) + &Inf(g)

9. C alcular, si existen : i) Inf ( / ) , si f(x) = Sen x + Cos x

ii) Sup ( g ) , si g(x) = C o t g x - j , x * 0
Justificar adecuadamente.

10. Sean / y g dos funciones acoladas sobre S . tales q u e , f ( x ) < g (x ), Vx e S . D em ostrar
que: Inf(g) < Inf(/) < S up(/) < Sup(g)
ss s s

11. Sea S c IR , S * (]) y sean / y g funciones definidas y acotadas en S. Dem ostrar que
a) Si a e [R , Sup {a + / ( x ) , x € S} = a + Sup {/(x) , x € S}
Inf {a + / ( x ) , x e S} = a + Sup { / ( x ) , x e S}
b) Inf { /(x ), x e S} + Inf {g(x),xE S} < Inf {/(x) + g(x), x e S} 5
In f { /(x) , x e S} + Sup (g(x) , x e S}

12. S e a / : £0 , xc/2] —> [ 0 , 1 ] .d e fin id a p o r /( x ) = S e n x , y considerem os los intervalos
[kn/2n , (k + l)7t/2n] , k = 0 , l , 2 , . . . . , n - l

a) Demuéstrese q u e : Sup (/) = S e n ( k + 1 ) ^
►en [k7t/2n , (k + 1)xc/2n]

In f ( / ) = Sen ( ]2rn~ )

y que estos coinciden con el máximo y el mínimo absolutos,

b) Sea Rk = { ( x , >) 6 IR2 | < x < ( k ^ 1)n , 0 < y < / ( x ) }

Grafique en el plano X Y , R k para un k genérico (k = 0 , I , 2 , . . . . , n - I)
Pruebe que:

S e n ^jK .V k -O .l.a n-1

donde a (Rk) = área de R k
n- 1

Mostrar geométricamente que, A = I , ú (R .) es el área bajo la sinusoide en [O.rc/2]
k=fl

3 - 2x - x2 , si -3 < x < 0
13. Si S es el dom inio d e /( x ) = < Ix - 2 1 + I , si 0 < x < 3

x2- 5x + 8 , s i 3 < x < 5

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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas 349

hallar, si existen : Sup ( / ) , Inf ( / ) , Max (/) y Min (/)
ss

14. Si S es el dominio f - i r 2- 4jc , s i .? <= [ - 3 ,- 1 )
d e / (jc )=s 2 - 2 x , si x e [ - 1, 2)

[ x? - 6 , si x e [2 , 3]

h allar. si existen : Sup ( / ) , Inf ( f ) , Max ( / ) , Min (/)
s s

í Sup {4 jcz - z2| 3x < z < jc} , s i -1 < * < 0

15. Sea la función f ( x ) = s Sen'Zic , si O<x < 1
Sen23*

Es posible d e fin ir/ en x = O , de modo que sea continua en (-1 , I) ? . En caso afirm ativo,
como debería definirse /(O) ?

■ ^ r -------|0 < u < 2 x V , d e te rm in a r si / es c o nt i nua so b re
u2 u J

<U , + «• ) .

17. Dada la función / ( jc) = Sen ( y [ jc] ) + Sen ( y jc) , jce [ - 2 , 2 ] ; determ inar :

a) Los puntos de discontinuidad. De qué tipo son ?
b) Sup ( / ) , Inf ( / ) . Max ( / ) y Min ( /) .

18. Hallar el mínimo y el máximo de las funciones: c ) /(*) = _ í L -
a) /(* ) = (-I)", donde n = [ jc J
b) f(x) = are Cos (Cos jc ) - are Sen (Sen x)

[3 ¡7 ) PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LAS FUNCIONES
C O N TIN U A S

TE O R E M A 3.5 : Teorem a del cero

S e a / : [a ,fe]-> IR una función continua en [a , b ] . S i / ( u ) y / ( f e ) tienen signos opuestos,
es decir, si

/( o ) < 0 < /(fe) o /(fe) < 0 < /(fl)
entonces existe un número c en el intervalo abierto (a ,fe) tal que

m =o

Demostración Supongamos que/(fl) < 0 y /(fe)> 0
(El otro caso puede tratarse en forma semejante)
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350 Capítulo 3: Continuidad

1. Probarem os en prim er lugar que c es el suprem o del conjunto

A = { x l x e [ a , c ] y f { x ) < O . V x e [a , c ]}

2. En efecto, puesto q u e , por hipótesis f { a ) < 0 y por la continuidad de / en [ a , b] , existe un
número 8 > 0 tal que /(x ) < 0 ,V x que satisface 0 < x < a + 8 (Corolario del Teorema 3.1) .
Entonces :jc6 [ a , a + 8 ) c A

3. Igualm ente, aunque b e A , b es una cota superior de A , y por hipótesis /(£>) > 0 y por la
continuidad de / , existe un número 8 > 0 tal que /(x ) > 0 , Vx que satisface : b - & < x < b
(Teorema 3.1)
O bviam ente todos los puntos x que satisfacen x e
{b - 8 , b] son cotas superiores de A , esto e s , A está
acotado superiormente y por el Axioma del Supremo
tiene supremo en c.

4. L uego, c - Sup(A ), dado que se cumple

i) V x e A ,x <c

ii) V S > 0 , 3 x e A | c - 8 < x < c < 6 FIG U R A 3 24

Demostraremos ahora que f(c) = 0 , eliminando las alternativas f(c) < 0 y f(c) > 0

5. Supongamos que /( c ) < 0 , entonces por el corolario del Teorema 3.1
3 8 > 0 1f ( x ) < 0 , V x e (c - 8 , c + 8) = I (Figura 3.25)

6. Y s i c = Sup(A ) «=> 3 x , e A | c - 8 < x , <c = 1,

y c o m o lj e l => /(x ) < 0 , V x e [a ,x ,]

7. Si x2es un número tal que
c < x 2< c + 8 = I2, y como I2c 1, entonces

f ( x ) < 0 ,V x e [x, , x,] , de tal manera que x, e A

Incidentalm ente, este argumento excluye la posibili­

dad de que c sea el Sup(A) ya que ningún número es

mayor que el supremo. 'i

8. Esto contradice la definición de c , luego , la suposi­ ------------------------ -■ -N
ción de que f( c ) < 0 es falsa. — O-------------- > -■ » - ■o ■■ >

c-8 x, c x¡ c + 5
^ . >■ — ^ . >

9. Supongamos ahora que /(c ) > 0 , entonces por el Teorema 3 .1

3 8 > 0 | / ( x ) > 0 , V x e ( e - S . c + 8) c - S < x < c + 5 = I3 ( F ig u ra 3.26)

10. S ic = Sup(A) t=* 3 x , e A k - S < x , < c = I4

11. Como I4c A , entonces se cum ple que / ( x ) < 0 , Vx e [a ,x,]

12. Pero además , I4<= I3 , y e n l 3 , por el paso (9 ), /(x ) > 0 , V x e [a , x , ] , lo que contradice

al paso (11).

En consecuencia, eliminadas las dos alternativas, se deduce q u e :

/(c)=0 ■

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Sección 3.7 : Propiedcules fundamentales ile las funciones continuas 351

c-8 c + 8

OBSERVACIÓN 3.2 Este importante teorema tiene su aplicación en la solución de ecua­
ciones de la forma f(x) = 0 . el cual nos dice que si / es continua en

[a , b] y tanto f ( a ) com o /(£>) tienen diferente signo ,
entonces /(* ) = 0 tiene solución. Además su interpreta-1
ción geom étrica nos indicaque si la gráfica de una fun­
ción / continua en [a , 6] , donde f{a) y /(£■) tienen dife­
rente signo, debe cortar al eje X a lo más en un punto.
A s í, en la Figura 3.27 tenemos : f (a ) < 0 y f(b) > 0 ,
entonces 3 c, 6 (a , b) I/( c .) = 0 , donde i » 1 , 2 . 3 .

F IG U R A 3.27

TE O R E M A 3.6 : Teorem a del valor interm edio (B erna rd Bolzano)

Sea / : [a , 6] - * IR y / continua sobre [a , b] y k e f /( a ) , /(&)] o k e 1 /( 6 ), f ( a) } .
Entonces k e R an(/) y existe un número c entre a y 6 tal q u e :

/(c) = k

Demostración

1. Supongamos por ejem plo q u e : / ( a ) < k < /(6 )

2. Entonces , sea la función : g(x) = f(x) - k
que es continua en [a , 6]

3. L uego: g(a) = / ( a ) - k
g(6) = /( 6 ) - k

4. Pero de ( I) : f ( a ) < k i=> f ( a ) - k < 0
/(6 )> k ^ f(b) - k > 0

5. Por lo que en (3 ): g (a )< 0 y g(6 )> 0

6. Entonces por el Teorema del C ero , 3 c e (a , b) Ig(c) = 0

7. En consecuencia , en el paso (2 ): g(c) = /(c ) - k = 0<=> /( c ) = k.

(La otra posibilidad k e [/(6 ),/(a )] puede tratarse de modo semejante).

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352 Capítulo 3: Continuidad

La interpretación geométrica del Teorema 3.6 establece que la recta horizontal y = /(c ) - k
debe interceptar a la G r(/) en por lo menos un punto ( c , k ), donde c e (a , fe). En la Figura 3.29
tenem os q u e /(fl) < k < /(fe) , entonces e x is te c e (fl , fe) I/(c .) = k , i = I , 2 , 3

O B S E R V A C U S tf^ Si en el Teorema 3.6 no se cumple la hipótesis de continuidad de / en
[a . fe] , la conclusión 3 c e (a , 6) |/( c ) = k no necesariam ente se

cum ple. En la Figura 3,30, vemos que el número k se ha “ pasado por alto” , es d e cir, la recta
y = k no intercepta a la Gr( / ) , por lo que : É c e {a , fe) I/( c ) = k

F IG U R A 3.29

TE O R E M A 3.7 : Teorem a de acotación local

Si / es continua en el punto x0 , entonces existe.un núm ero 8 > 0 , tal que / está acotado
superiormente en el intervalo abierto {x(| - S ,xu+ 5 ), e s d e c ir, existe prxhúmero.real M *tal
que

l / ( x ) | < M , Vxé- ( x ^ - S .x ^ + S)

Demostración En efecto, ■
1. S i/e s c o n tin u a en x„ e=> lim /( x ) = /( x 0) , luego

V e > 0 , 3 8 > 0 | s i | x - x n| < 8 <=> l / ( x ) - / ( x 0)l < e
2. Como £es un número positivo arbitrario, laelección d e e = I determina que

- 6 < x - x 1J< 8 i=> -1 < / ( x ) - / ( x 0) < 1
« xn- 8 < x < x((+ 6 >=* /(Xjj) - 1 < / ( x ) < 1 + / ( x 0)
3. Si hacem os M = /( x |t) + I y com o - M = - /( x 0) - 1 < /( x |J) - 1 , entonces en (2)

xH- 8 < x < xp + 8 «=> - M < / ( x ) < M
4. En co nsecuencia: V x e (xfl- 8 , x „ + 8) *=> [/(x ) I < M

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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas 353

TE O R E M A 3.8 : Teorem a de acotación global

Sea / : [« , 6] —> (R , si / e s c o n t i n u a so b re [a . b] , se v e rific a q u e f e s ac o ta d a
so b re [a , 6] .

Demostración En efecto.
1. Sea el conjunto A = |jcI.x€ [a ,6 ] y / acotada en [a ,* ]
2. Por la continuidad de / es fácil notar que A * (J) y que está acotada superiormente por b.

Entonces , por el Axioma del Supremo , admite supremo. Luego , sea c = Sup(A) =
S u p { jc |/ es acotada sobre [a ,jr]} .
3. Está claro quec <b , entonces deducirem os quec = b suponiendo para esto que , c < b .
4. Por el Teorema 3.7 y de la continuidad de / en c :

3 M, > 0 y 6, > 0 , tal que |/(jt) I < M , , V jce [c - 8 ( ,c + 8,]
es fácil deducir que / acotada sobre el intervalo I = [c - 8 j , c + S2]
5. Siendo / acotada en [a , c - 8 J para algún M , y com o I ( c I , entonces llamando =
m a x { M ,, M2} se tiene : l/( x ) l < M j , V x e [a , c + 8, ] . Es evidente que / es acotada en
12= [a , c + 8(] , donde (c + 8j) e A. Esto contradice la elección de c com o supremo de A.
Podem os, por tanto , concluir diciendo que c no es menor de b , y como c < b e* c = b
6. Esto nos afum a que : / es acotada en [a , jc] , para to d o x < b
7. A nálogam ente, de la continuidad de / , sabemos que tal función es acotada en algún inter­
valo de la forma [b - 82 , fc], para algún 82> 0
8. S¡ 82 > 0 <=^ - 8, < 0 y b - 82 < b , entonces sabem os , según lo que acabam os de
d e m o s tra r, que / es acotada en [a , b - 8 2].

9. Siendo / acotada en [a , b - 8 ,] y en [¿ - 8 , , b] , se sigue que / es acotada en [a , b] m

TE O R E M A 3.9 : Te o re m a del va lor M áxim o y Mínimo
(Teorema de Karl Weierstrass)

Si / es una función continua en [a , b) , entonces existen , .v, e {a , bj en los cuales la
función.toma su valor máximo M y su valor mínimo m . esto e s :

x, , x2e [a ,b] ■=> f ( x l) < f { x ) < f ( x 2) . V x e [c.fc]
m < /(.t)< M . V.te[a,&l

Demostración
I. Como / es continua en [ a , b] , por el Teorema 3 .8 , / es acotada en [a ,b ] , es d e c ir, admite

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354 Capítulo J : Continuidad

supremo e ínfimo.
S e a M = S u p { /(x )t x e [ a , 6]}
2. Probaremos que 3 j t , e [a , b] \ /(* ,) = M
3. En efecto, para ell o, hagamos

gU) = J T T m

4. Supongam os, por el absurdo, que
V x e [ a . b] , f ( x ) < M /( x ) - M < 0

5. Si / no tom a el valor M , entonces g es continua en
[a , 6] y com o consecuencia del Teorem a 3 .8 , g es a c o ta d a , es d e c ir, existe un núm ero
L > 0 tal que g(x) < L

6. Luego , en el paso (3): <l ~
m TTw /(* )< M --1 , V xe [a,b]

7. La suposición de que / no tenga el valor M nos ha llevado a una contradicción ,
pu es M - 1/L es una co tasu p erio rm en o rq u eelsu prem oM . En consecuencia, existe por lo
menos un punto*, 6 [a , 6] tal que

f ( x 2) = M = max ( / ) , donde S = [a , b]
s

Del mismo modo se puede demostrar que / toma el valor m ínim o, esto es

3 *, e S = [a , b] ! /(* ,) = m = m in (/) m

TE O R E M A 3.10 : Teorem a de continuidad
Sea / una función univalente . Si / es continua sobre el intervalo [¿2 , 6] , entonces la
función in v e rsa /* es continua sobre el intervalo con extrem os en los puntos f( a ) y f(b).
(Figura 3.32)

Demostración Realicemos la demostración del teorema para las funciones estrictamente
crecientes.

1. Sean c = /( a ) y d = / ( 6)
2. Probarem os que el dom inio de la función inversa / * es el intervalo [c , d)
3. En efecto, del crecimiento monótono de / se deduce que

f(a ) < /(x ) < / ( 6)
es d e c ir, / ( * ) e [c . d \ , V * e [a , b ] .

4. P or otro lad o , cualquiera que sea y e [c ,d] secum ple : f ( a ) < y < / ( 6) , entonces existe un

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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas 355

punto x 6 [a ,&] I /( * ) = > ’ .
De esta form a , todos los valores d e la función / dada están sobre el intervalo [c , d ] y
cada punto de este intervalo es el valor de la función / en cierto punto, es d ecir, el intervalo
[c , d] es el conjunto de imágenes de / .
5. L u eg o , la función / * es univalente y crece estrictamente sobre [c , d \ . M ostraremos ahora
que la función / * es continua sobre [c , d ) .

F IG U R A 3.32

6. Sean y() e (c , d ) y x Q= / * ( y0) . Es d e c ir, yn es un punto interior del intervalo [c , d ] ,
entonces por ser /* creciente, también x, e (a ,b)

7. Elijamos cierto 6 > 0 , suficientem ente pequeño de modo que x n - S y + 8 estén en el
intervalo (a , b ) .

8. Sin perder generalidad se puede considerar que 5 es tal que
a < x 1(- 6 < x n < x n + 6 < 6

9. Sean y, = f ( x u - 8) , y , = f ( x Q+ 5 ) , entonces de la condición (8) y por el crecimiento
estricto de / se deduce que
c < y ,< yn < y2 < 5

10. T o m e m o s e > 0 , de m odoque : y, < yu- £ < y0+ e < y, (Figura3.32)

Si ahora escogem os y de forma tal que y(l - e < y < y0 + e , entonces con m ayor razón :
y, < y < y2

11. L u eg o , por el crecim iento d e / * es válida la desigualdad

= / * ( > ', ) < / * ( > ) < f * ( y 2) - x n + 8
12. De esta form a , p ara 6 > 0 está indicado £ > 0 I V y e ( y0 - £ , y + £) se cum ple la

d esig u ald ad : l/ * ( y ) - / * O ’0) l < 5
es d e c ir, la función / * es continua en un punto y0 e (c , 8)

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3S6 Capítulo 3: Continuidad

SÍ ahora y „= c e >0= d , entonces con razonamientos análogos se demuestra que la función

/ * es continua por la derecha en ei punto c y continua por la izquierda en el punto d.

A sí, el teorema para las funciones estrictamente crecientes queda probado. En caso en que

/ decrece en todo [a.fc] puede tratarse de modo semejante. ■

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS O

f E JE M P LO 1 ) Sean / y g dos funciones continuas en el intervalo [a ,b] , tales q u e ,
/(fl) <g(fl) y /(&) > g ( b ) . Dem ostrar que existe un número c entre a y

b tal que /(c ) = g(c).

Dem ostración l. Sea la función : h(jr) = f ( x ) - g(*)

2. Entonces, h(a) = f ( a ) - g(a) y h(fe) = /(£>)-g(&)

3. P or h ip ó tesis, / ( a ) < g (a ) «=> / ( a ) - g ( a ) < 0 *=> h(zi) < 0

f ( b ) > g(b) .=> f ( b) - g (b) > 0 ^ h (6 )> 0

4. Com o h(a) • h(í>) < 0 => 3 c € {a , b) I h(c) = 0 (Teorema del cero.)

5. Luego, en el paso ( I ) : h(c) = /(c )-g (c ) = 0 f(c) = g(c) ■

( EJEM PLO 2 ] D e m o stra r q ue si / es c o n tin u a en [a , 6] en to n c e s ex iste un pu n to

x e S = [a , b] tal que /( * ,) = Inf{/).
s

D em ostración 1. Según el teorem a de acotación g lo b al, / es continua en S , entonces / es
acotada sobre S y existe I n f ( /) .
s

2. Sea m = I n f ( / ) . Debemos probar que 3 x t e [a , ¿] I/(* ,) = m
s

3. En e fe c to , por el método in d irecto , supongam os que V jc € S , /(* ,) * m

Entonces la función g(jt) = ^----- es continua sobreS y por el Teorema 3.8 es acotada

sobreS . /0 0 -m

4. L u e g o , 3 c g IR+ I lg (x )| < c , V x e S
5. Com o m es ínfimo => f ( x ) > m , e im plica que f ( x ) - m > 0

Entonces en (4) : Ig(*)I = g(x) = 1 — < c <=$ f ( x ) > m + \ , V x e S

J w -m

6. Hay una contradicción en la definición de m , pues se debería cumplir lo siguiente : ■
Dado e » l / c > 0 , 3 x e S [f ( x ) < m + l/c

7. P or tanto , lo supuesto es falso => 3 * , e S = [a , b] !/(* ,) I = m
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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas 357

E J E M P L O 3 J] Sea f(x) = —h -—- + — . Sin resolver la ecuación f(x) = 0
x x+l x+3 J

demostrar que f(x) = a tiene una raíz en cada uno de los intervalos (-3 ,-1 )

y {-1,0 ) . Además , si a > 0 , existe una raíz en {0, + °°), y si a < 0 , existe una raíz en

D em ostración I. Si f ( x ) = a *=$ a - f ( x ) = 0

2. Sea g(x) = a - f ( x ) = a - ( - + —í— + — )
'x x+ 1 x+3t

3. Entonces para x e (-3 ,-1 ) J —> +<=o y g(jc) = a - í+t50) = -°°

Si x —>-3+ , x > -3 ■=> x + 3 > 0 , entonces ^

x —» - l - , x < - l i=? x + 1 < 0 , entonces ( —+ "j") “ * y g(x) = a -(-«>) = +°°

Vemos que g(x) cam bia de signo en los extremos de (-3 ,- 1 ) , luego por el teorema del cero,
g(x) tiene una raíz en x e (-3 ,-1 ).
4. Para x e (-1 ,0 )

Si x —>- 1+ , x > -1 ■=> x + 1 > 0 , luego : ( —-j-y J —> +o° y g(x) - a - (+00) = - 00

x 0 " , x < 0 , entonces (2/x) + ■ » y g(x) = a - (-00) = +«•
g(x) cambia de signo, luego tiene una raíz en x € (-1 ,0 )

5. S i a > 0 y x e (0,+«>)
x -> 0+ , x > 0 i=> (2/x) ~+ + ° ° , entonces g(x) = a - (+*») = - 00
Si x -+ +<» e=> g(x) = a - (0) = a > 0
g(x) cambia de signo, luego existe una raíz en (0 , +°°)

6. Si a < 0 y x e (-=», -3)

x - * - 3 " , x < - 3 1=5 x + 3 < 0 , entonces ( j —>-<*> y g(x) = a - (-“ ) = +°°

x —> - ° ° , entonces g(x) = a - (0) = a < 0 ■
g(x) cam bia de sig n o , luego existe una raíz en (-<*», -3)

( EJEM PLO 4~) Usando el teorema del cero o de la raíz, demostrar que la parábola y =x1
se intersecta con la c u rv a x 2 + y 2= 16 , y > 0

Solución 1. Sean -P: y = x 2 , x e IR ; K': y = V16 - x2 , x e ( - 4 ,4 ) , y > 0

2. Si P (x , y(|) e dP =5 y ü = x2 1
l c > f = V l6 - x 2 <=> x2- V16 - x2 - 0

P(J <>'(])e ^ ^ l6 x¡ J

3. Sea la función /(x ) = x - V i6 - x 2 , que es continua en x 6 ( IR fl [ - 4 ,4 ])
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358 Capitulo 3: Continuidad

Analicemos el signo que toma la función / en los extremos de los intervalos [-4 ,0 ] y [0 ,4 ]

a) Para x e [-4 ,0 ] S ix = ^ t »=> / ( - 4 ) = I 6 - V 1 6 - 16 = 1 6 > 0
«

x = 0 .=> /<0) = 0 - V l 6 - 0 = - 4 < 0

/ cambia de signo, entonces por el Teorema 3.5 : 3 c, e [-4 .0 ] l/(c ,) = 0

b) P araxe [0 ,4 ] S ix = 0 ^ /( 0 ) = 0 - V16 - 0 = - 4 < 0
<

x = 4 es. /( 4 ) = I 6 - V I 6 - 16 = 1 6 > 0 /

cam bia de s ig n o , entonces por el Teorema 3.5 : 3 c 2e [ 0 ,4 ] |/ ( c 2) = 0

5. Por ta n to , la parábola i? intercepta a la curva rf en dos p u n to s:
c, e <-4 ,0 ] y c, e [0 ,4 )

EJEM PLO 5 j Sin resolver la ecuación jc3 - 3jc - 1 = 0 , hallar el número de sus raíces
reales.

Solución Sea f ( x ) = x y - 3* -1 , continua Vx e IR

P orelteorem adelcerosabem osquesi/C x,) > 0 y /(x ,) < 0 , entonces existe
c e ( x ,,x 2> l/(c ) = 0
Elegiremos entonces puntos del dominio d e / tales que cumplan con el antecedente de la
condición d ad a, esto es :

x, = -2 .=> /( - 2 ) = (-2)3 - 3(-2) - 1 = - 3 < 0 3c,« =o

1. <¡
x2= - l ■=> / ( - I ) = (-1)3- 3 (-l) - 1 = I > 0

x ,= -I = > / (-!)= I> 0 ^ =* 3 c , e <-! , 0) l / ( c ) = 0

2. <
x2= 0 / ( 0) = - 1 < 0

x , =f l ^ / ( l ) = ( l ) 3 - 3 ( l ) = - 3 < 0 ► => 3 c 3e <1 ,2 > l/(C 3) = 0
3. <

x, « 2 ¿o / ( 2) = (2)3 - 3 ( 2 ) - 1 = 1 > 0

Por lo tanto, la ecuación dada tiene tres raíces reales.

[ EJEMPLO 6 ) S ea / una fu n ció n c o n tin u a so b re [a , b] , d o n d e a < b , tal que
/ : [a , 6] -* { a ,b) , es d e c ir, R a n ( /)c < a , 6) . Dem ostrar que existe x„e

( a , b ) . tal que /(x„) = x B.

D em ostración 1. Sea la función g = / - I , donde I = función identidad
2. E n to n ces, g(x) = /( x ) - x , tal q u e , D om (g) = D om ( /) fl Dom(I) = [a ,b]

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Sección 3.7 : Propiedades fundamentales de las funciones continuas 359

3. Por hipótesis , / es continua sobre [a , b] , entonces la función g también lo es por ser la
diferencia de dos funciones continuas sobre [ a , 6 ].

4. Como el R an(/) está contenido en el intervalo ( a , 6 ), implica que

R a n (/) = {/(jc) la < x < b } a ( a ,b)

5. Es d e c ir, Vx e [a , b ] , /( x ) e (a ,b)

=> a < /(x ) < b

6. y ocurre que para x = a , a < f (a) <b

=* /( a ) - a > 0

yparax = 6 , a< f(b )< b

^ f(b)-b <0

7. L uego,en (2 ): g(a) = / ( a ) - a o g (a )> 0

g(b) = f ( b ) - b ^ g(6) < 0

8. Como la función g cambia de signo en los extremos del intervalo (a , 6 ), entonces por el
teorema del c e ro , existe xü e (a , b ) !g(x0) = 0

9. Por tanto , en (2): g(x,) = /(*„) - x„ = 0 <=> /( x ^ = xu »

f E JE M P L Q 7 ~ ) Demostrar que la ecuación x = a Sen* + b , donde 0 < a < 1 y ¿ > > 0 tiene
por lo menos una raíz positiva no mayor que a + b.

D em ostración i . Sea la función / ( * ) - x - a Sen.* - b , continua Vx e IR

2. Entonces, /(O) = - b y como b > 0 /(O) < 0

3. f ( a + b ) = a +b - a Sen(a + b) - b = a [ l - Sen(a + 1)]

4. Dado que , - 1 < Sen (a + b) < 1 , entonces de a q u í: 1 - Sen(a + b) ¿ 0
A nalicem os los c a so s: 1 - Sen(a + b) = 0 y 1 - Sen(a + fc) > 0

5. Si 1 - Sen(a + b) = 0 , entonces en (3 ): / ( a + b) = a(0) = 0 . Luego x(|.= a + bes una raíz
positiva de /(x ) = 0 y no es m ayor que a + b.

6. Si 1 - Sen(a + b) > 0 , entonces en (3 ): / ( a + b) > 0

7. En (2) y (6) se observa que / cambia de signo en los extremos del intervalo(0 , a + b) ,

entonces por el teorem a del cero, 3 r e ( 0 ,<2+ 6)1 / ( r) = 0 , esto e s , r es una raíz positiva no

mayor que a + b de la ecuación dada. ■

[ EJEMPLO 8 j Sea la función / continua en [a , b] con /(a ) < 0 y f(b) > 0
Demostrar:

a) QueA = { x e (a ,6] |/(x ) < 0 } tiene supremoc en [a ,b]
b) Que /(c) = 0 , es decir, /(x ) = 0 tiene por lo menos una raíz en [a, 6]

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360 Capítulo 3: Continuidad

c) Si a e IR" y n es entero positivo im p a r, entonces existe un núm ero real negativo b tal que
bn= a (Use (b) y la hipótesis).

D em ostración a) Por definición : Vjr e [a ,¿ ] , x < b <=* b e s una cota superior de [a , b] .

Pero A = { x € [ a , fe] If ( x ) < 0} c [ a , 6] ya q u e , por hipótesis f ( b ) > 0 ,

luego x < b , V x e A entonces b es cota superior de A * <|) (pues por lo menos posee un

elemento x = a y f(a) < 0) en virtud del Axioma del Suprem o, existe Sup(A ).

Seac = S up(A ). Como b es una cota superior de A , también lo es c y es la m enor de todas las

cotas superiores, por lo q u e : c < b (l)

Dado q u e a e A , p u e s a e [a ,6 ] y f ( a ) < 0 i=> a < c (2)

L u e g o , de (I) y (2) se tiene q u e : a < c < b «=> c e [ a , 6]

b) En e fecto , por hipó tesis, / es conti nua en [ a , b] con / ( a ) < 0 y < f ( b) > 0 , entonces por el
teorem a del c e ro , 3 c e (a , b) 1f( c) = 0 , luego c es una raíz de /(jc) = 0 . Si c € ( a , b) ^
c e [ a , fc]. Por tan to , /(jc) = 0 tiene al menos una raíz en [a , 6).

c) Sea c < 0 tal que a > c y sea /( x ) = jc" , n im par y x e R l Entonces se tie n e : /(O ) = 0 y /(c )
=c" < 0 . Además ,c "< c puesc < 0 y nes impar. L uego:

ca < c < a < 0 *=> c " < a < 0 «=> / ( c ) < a < / ( 0 )

Si / continua en ÍR , entonces es continua en [c , 0] y por el teorema del c e ro ,

3 & e (c ,0 )lfc n= a « = > 3 6 < 0 |6 n= a ■

EJERCICIOS . Grupo 23

1. Usando el Teorema del Valor Interm edio, demostrar que la parábola y = x2se intersecta con
la curva x 2 + y 1 = 16 , y > 0

2. Si/(jr) = 1 ~ C os* ,X € [-71/3 , JC/4] - {0}
, demostrar usando el T.V.I.,

0 ,six = 0

q u e e x iste .e e [-7t/3, rc/4] tal q u e /( c ) = 1/2?t

3. Dem ostrar que si / : [a ,fc] —» R , con a < 6 , es una función continua y acotada en [a , 6 ] ,
entonces 3 jc, , x 2 e S l/(X j) = m in (/) » m in (/) y f(x 2) = m ax(/)

4. Usando el T. V. I. m ostrar que el polinomio P(x) = x3 - 6x + 2 tiene tres raíces reales ,
indicando los intervalos que contienen una sola raíz. Hallar la menor raíz positiva de / ( jc)
con aproximación de dos decim ales.

5. Sea / : [ 0 , 1] —> ( 0 , 1 ) una función continua. Probar que 3;C e ( 0 , 1)1/(c ) = c

6. Sea / una función continua en [ 0 ,2 n] y tal que /(0 ) = /( 2 ít) . D em ostrar que existe

c e (0 . 2k) I/(c) = f(c + 71).

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EJERCICIOS . Grupa 2 2 - PritpieduJrs J v luxflincioarf continuas 361

7 . S e a / u n a f u n c i ó n m o n ó t o n a c r e c i e n t e e n [a , b ] \ s i p a r a c e ( a , b) s e d e f i n e
£{c) = S u p { / ( x ) U < c } , r ( c ) = I n f { f ( x ) U > c > y h ( c ) = r ( c ) - £(c) .
D e m o s t r a r q u e : i ) £(c) < f ( c ) < r ( c )

ii) S i / e s c o n tin u a e n e e n to n c e s h (e ) = 0

8 . S e a / u n a f u n c i ó n c o n t i n u a s o b r e [a , b ] , a < b , t a l q u e / ( a ) • f ( b ) < 0 . D e m o s t r a r q u e l a

a) ( x - b )e c u a c i ó n ( j c - 2 /(jc ) = 0 , tie n e n p o r lo m e n o s tre s ra íc e s d ife re n te s.

9 . S e a / u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n R . S u p o n g a m o s q u e l i m / ( jc) = 1 0 y l i m / ( * ) = - I

T.E x p l i q u e c o m o u s a r e l V . I . p a r a d e m o s t r a r q u e e x i s t e p o r l o m e n o s u n jc e IR . t a l

q u e f(x) = O

1 0 . S e a / : [a » IR u n a f u n c i ó n c o n t i n u a e n [fl ,b] t a l q u e /( f l) = a + b = f ( b ) . D e m o s t r a r

q u e e x i s t e c e (a , b) I / ( c ) = 2c

' I x x x1 1 . D e m o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n
- 1 + S e n = C o s jc + V 1 + a d m ite u n a s o lu c ió n

en < 0 . n /2 ).

2X1 2 . M o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n jc • = 1 , t i e n e p o r l o m e n o s , u n a r a í z p o s i t i v a n o m a y o r

q u e 1.

1 3 . S i / ( j c ) = — ■— + — ^ . .d e m o s tr a r q u e la e c u a c ió n / (jc ) = O tie n e a l m e n o s
jc - 3
jc - I jc - 2

u n a ra íz e n ( l , 2 ) y o tra e n ( 2 . 3 ) .

1 4 . M o s tr a r q u e la e c u a c ió n : — + a \ + a \ = O , d o n d e a . > 0 ,a „ > 0 ,fl, > 0

jc - o , jc - 6 2 jc - o3 1 23

(b2 , b¿ .y fc , < 6 2 < 6 3 , t i e n e d o s r a í c e s r e a l e s c o m p r e n d i d a s e n (¿>, , é 2 ) y

15 . D em o strar q u e :
a ) E l p o lin o m io d e g ra d o im p a r t ie n e , p o r lo m e n o s , u n a ra íz r e a l.
b ) E l p o lin o m io d e g ra d o p a r t ie n e , p o r lo m e n o s , d o s ra íc e s r e a le s , s i to m a a l m e n o s , u n
v a lo r c u y o s ig n o s e a c o n tra rio d e l q u e tie n e e l c o e fic ie n te d e su té rm in o d e g ra d o m á s
e le v a d o .

1 6 . D e m o s t r a r q u e l a s g r á f i c a s d e l a s f u n c i o n e s / ( x ) = S e n 2 c y g ( j c ) = x s e c o r t a n e n u n p u n t o jcü

t a l q u e jc0 € (ji/4 , J t / 3 )

17 . V a lié n d o s e d e la s p ro p ie d a d e s d e la s fu n c io n e s c o n tin u a s c o m p ro b a r q u e la e c u a ­

x -5c i ó n 3 jc - I = 0 t i e n e , p o r l o m e n o s , u n a r a í z c o m p r e n d i d a e n t r e I y 2 .

1 8 . D e m o s t r a r q u e l a e c u a c ió n jt' - 3 jc + 1 = 0 t ie n e u n a r a íz r e a l e n e l i n t e r v a lo ( 1 . 2 ) . C a l c u l a r
a p r o x im a d a m e n te e s ta ra íz .

19 . D e m o stra rq u e V 5 e x iste .

x2 0 . D e m o s t r a r q u e l a e c u a c i ó n T g j c = t i e n e u n a i n f i n i d a d d e r a í c e s r e a l e s .
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362 Capítulo 3: Continaúlcul

21. Demostrar que la ecuación x = a Cos* + b , donde 0 < a < l y f c > 0 , tiene por lo menos una
raíz positiva no m ay o rq u ea +b.

22. S e alafu n ció n f ( x ) = — I - + —3 — + ---*-5- , dem ostrar que la ecuación / ( * ) = 0
" & JC**4 3

tiene al menos una raíz en (2 , 4) y otra en (4 ,5 ).

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rs ñ H H ifñ s l

CAPITULO

A LA DERIVADA

(¿ T ) in tr o d u c c ió n

Cuatro problemas fundamentales que tuvieron marcada influencia en el desenvolvi­
miento del Cálculo fueron:

1. El problema de la tangente
2. El problema de la velocidad y la aceleración
3. El problema de máximos y mínimos
4. El problem a del área bajo una curva.
Los tres primeros problemas fueron resueltos por el Cálculo Diferencial y el cuarto por el Cálculo
Integra!. Soluciones parciales a dichos problemas fueron dadas por Pierre de Fermat, René Des­
cartes, Christian Huygens e Isaac Barrow. Sin embargo, la primera solución general parecen haberla
resuelto Isaac Newton y Goltfried Leibniz porque ambos coincidieron en el mismo resultado.
Por su naturaleza geométrica empezaremos con el problema de la tangente, para tal
efecto, estudiaremos previamente el concepto de incremento de una variable.

( INCREMENTOS

Sean y = f ( x ) una función real y.x0 e D o m (/). Si el valor de la variable independien­
te x cambia de jt0 a x ¡ , entonces la diferencia x {- .rp se llama un incremento de x y se denota por

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364 Capítulo 4: La derivada

o bien: A* = U)
h = x , - x (1 (2 )

A nálogam ente , si y() = /(x „) e y, = /(jc ,) .e n to n c e s la d iferen cia Ay = y , - y 0 , o bien ,

Ay = / ( x , ) - / ( x n) , sig n ific a d incremento de la variable y .

Si de (1) despejam os x , , se tiene : x, = xH+ Ax ■=> y, = /(x ,) = /(x u + Ax)

de modo que: Ay = f ( x 0 + Ax) - jf(x0)

o también Ay = /( x (J+ h) - /( x (])

Definición 4.1 : EL INCREMENTO DE UNA FUNCION

Si y = /( x ) y si Xjj ,x ft+ h son dos números que pertenecen al D o rh (/), entonces

Ay = /( x 0+ h ) - / ( x ü) (3)

es tlincrem ento de la variable dependiente y que corresponde al incrementoh de la varia­
ble independientexen x0 , o b ien , incremento de lafunción f , en cuyo caso Se denota

M - /U ',p+ h) - f ( x t) (4)

En la Figura 4.1 .obsérvese que P f ^ . y ^ y Q(x, ,y ,)so n XA
dos puntos de la gráfica de y = f{x) y com o x, = xn+ Ax
y y, = y0+ Ay , las coordenadas de Q son ; r

(x(| + Ax , y(| + Ay) Ay

de modo que la pendiente de la secante PQ es

m= >W o _ (>'o + A>')->'tl = Ay -±— > X
x ,-x 0 (x0 + A .r)-x 0 Ax
X
i=> m = /(*„) + Ax) - /(*„) (5)
Ax áx

F IG U R A 4.1

[4 .3 ) TA N G EN TE A UNA CURVA

Esencialm ente. el problema de hallar la recta tangente en un puntoP de una curva se
reduce al de hallar su pendiente. y ésta puede aproximarse mediante rectas que pasan por P y
otro punto de la c u rv a , por ejem plo Q . Entonces sea la función y = /( x ) y sean P(xH, / ( x )) ,
Q(x(J+ h , /( x 0+ h>) dos puntos de la gráfica de / (Figura 4.2).
L a pendiente de la recta secante 2?, que pasa por P y Q , según (5) es

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Sección 4.3 : Tangente a mía cttrva 365

m. = T s0 =

Supongamos que el punto P es fijo y Q es un punto de la curva que se desplaza hacia P de
m odo que si

x xn , entonces , h = O , - xn) —> 0
y ocut re que la pendiente ni, de la secante tiende a trans­
formante en la pendiente m de la tangente y así el ángulo 0
tiende a coincidir con el ángulo a ., esto e s , InTgB tiende
a convertirse en la T g a cuando h —>0 , es decir

T ita = lim Tg0
h—»0

t=$ m = T g a = lim /(*„ + h ) - /( * ,)
h-* u

Definición 4.2 : PENDIENTE DE LA TANGENTE

Si / es una función definida en un intervalo que contienen a *0. entonces la pendiente de la
tangente a la curva en Pí*„,/(*„)) es

m = hm — -— ¡------W---— (6)
h-»0 h

siempre y cuandoel límite exista.

Por lo ta n to , si P(jc(I, f ( x j ) es el punto de tangencia de la recta tangente V a una curva y m su
pendiente. la ecuación de dicha tangente está dada p o r :

)-/(* „ ) = mU-*,,)

E J E P y L O 1 ) H a lla r la e c u a c ió n d e la tan g en te y la n o r m a l’a la g rá fic a d e la
/ fu n ció n f ( x ) —)c ~4.r - 5 en el punto de abscisa*u= -2.

Solución Para un punto arbitrario ( * ,/( * ) ) la pendiente de la tangente a la gráfica d e / e s ;

f( x + h) -/(* )
m = lim -------- ;----------

h-*o h

, (x + h)2- 4(x + h) - 5 - Or - 4x - 5) h (2 ,c -4 + h)
E ntonces: in = lim ----------------------- = hm = 2^-4
h-» o h ii _*o h

En particular, para.tH= -2 , ni = 2 { -2 )-4 = -8

Punto de tangencia; si * = -2 <=> y = (-2): - 4{-2) - 5 = 7 *=> P(-2 , 7)

Ecuación de la tangente: y - 7 = -8(.r + 2) « ; 8.v + y + 9 = ü

Ecuación de la n o rm al: y - 7 = X (x + 2) <=> f : x - 8y + 58 = 0 ■
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366 Capítulo 4: La derivada

Nota Para muchas funciones . ci proceso de límite usado en el Ejemplo I resulta a veces laborioso

y complicado . El siguiente método de los cuatro pasos es útil como guía.

1. E v a lu a r /e n x + h /(jf+ h )

2. Restar f(x) f( x + h) - f(x)

3. Dividir por h /(.* + h) -/(* )

f ( x + h) - / ( jc) = tn
4. Evaluar el límite cuando h —>0 lim ----------
h-»o h

Di importancia de este método estriba en que da una fórmula para hallar la pendiente de la tangente
en cualquier punto donde el límite exista . Cuando el límite no existe , es decir. cuando m = ■» . la
recta que pasa por el punto (xt). f i x j ) se llama recta tangente vertical a la gráfica de /.

[ E J E N J f t O 2 ] Hallar las eceuacúiones de la tangente y normal a la gráfica de la función
f / ( * ) = - * ' + 3 a + I en jc = 2

Solución Punto de tangencia : si x = 2 <=$ y = /( 2 ) = -(2)' + 3(2) + I = - I P(2 , - 1)
Siguiendo el método de los cuatro pasos se tiene

1 . f ( x + h ) = - ( . * + h ) ? + 3 ( jc + h ) + 1 = - j c ' - 3 f L c 2 - 3 h - J C - h 1 + 3 . r + 3 h + I
2. f ( x + h ) - f ( x ) = h ( - 3 j r ’ - 3 h * - h 3 + 3 )

3 f U + h ) - m =_3j(3. 3ht. h!+3

n

4. m = lim ( - 3X2- 3hjr - h2+ 3) = - 3.tr + 3 . V .c€ D om (/)

h -»0

En particular, para jt = 2 i=> m = -3(2)3 + 3 = -9 n = 1/9

Ecuación de la tangente : y + 1 = - 9 (jc - 2) <=>Sf : 9* + y - 17 = 0

Ecuación de la n o rm a l: y + l = l/9 (jr-2 ) <=>9' :jc -9 > '-11 = 0

EJERCICIOS . Grupo 24

❖ En los ejercicios i al 6 , se define una función / , hallar el valor del incremento de la función
que corresponde a los valores dados de jc(1y A*

1. f ( x ) = 2jt - 3x + 5 , xa = 1 , Ax = -0.2 2. /(.r) = Vjt - 4 , jt(]= 4.2 , Av = Ü.6

3. f ( x ) = (5 - j ^ ) 1/3, x ll= 2 , A í = -0.3 4. /(* ) = x* - 3jt2+ 3* - I , jc„ = 2 , A r = 0.2

5. f ( x ) = x? - 3.r + 5 , x pasa de 5 a 4.99 6. f ( x ) = x } + 4x , x pasa de 0.7 a U.85

7. En la función f( x ) = b x - . r , x varía de 2 a 2.02 , determinar el valor de b si A / = -0.0204

8. En la función / ( * ) = x r + b x - 3 , x varía de -1 a - 1.02 .calcular el valor de b si A / = 0.0804.
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Sección 4.4 : La derivada de una función en un punió 367

En los ejercicios 9 al 18 . hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva en el
punió indicado . Trazar un dibujo jun io con las rectas tangente y normal correspondientes.

f. f ( x ) = 2x - x \ x a - -2 10. f {x) = , xf¡= 2

d . f(x) = V9- 4x ,x„ = A 12. f ( x ) = \ k t - 3 , x ü = 3

/ 1 3 . /(JT) = . x(1 = -3 14. f ( x ) = Zx + 3-Jx . xu = 4

15. f ( x ) = x ' - 3.r + 2x , x n = 2 16. /(x ) = x2 - x + I , xu = -1

17. f(x) = >/ST7 , xn = -5 1S. /(x ) = 2 x - x \ x l( = *2

l Hallar la ecuación de la recia tangente a la curva y = V4x - 3 -1 que es perpendicular a la

/ recta x + 2v - 2 = 0

20. H allar las ecuaciones de las rectas que pasan por P(3 , -2) y son tangentes a la1curva

y = x 2 - 7.

(4 .4 ) DERIVADA DE UNA FU N C IÓ N EN UN P U N TO

La forma delim ite en (6) .em pleado para definir la pendiente de una recta tangente.
es uno de los más importantes en el Cálculo. Es de uso frecuente y recibe un nombre específico.

Definición 4.3 : DERIVADA DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

Sea la función / : IR —» IR defin id a en cierto entorno del punto x e IR , Si la relación
/(> a + h) f ( \ ) tienen límite cuando h 0 , entonces este límite se llama derivada de

la función / en el punto x0 y .se denota por f ' (xu) , de modo que :

f \ x u) = Im i 2— ------- (7)
ii —>o h

Ahora , si parii un x € D o m (/) introducimos la notación h = x - xu , una forma alternativa de
definirla derivada de una función en un punto es la siguiente :

Definición 4.4 : FORMA ALTERNATIVA DE DEFINIR f ’( x j

Sea la función / : [R —» IR definida en un cierto entorno de! punto a(1e IR y se a x un punto
arbitrario de este entorno. E ntonces, la derivada de / en r0 viene dada por •

f ' i x j - lim /<*> - / ( - O

X -x „

siempre que el límite exista.
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368 Capítulo 4: La derivada
Mediante un ejemplo mostraremos que ambas definiciones son equivalentes.

EJEMPLO 1 j Hallar la derivada de la función f(x ) = Vl + 9* en el punto de abscisa

a „ = 7.

Solución I. f ( x + h) - / ( a ) = VI + 9(a + h) - VI + 9* = .------- ------- 9-h ---------

“" 0 0 Vi + 9*0 + 9 h + VI + 9 a ((

Por la Definición 4.3 : f ' (x n) = lim ( - ? = = = = ------------■■■■■) = — , ^

p h - »o Vi + 9 a () + 9 h + Vi + 9 x n > 2 VI + 9 a - (

Luego , parax(I = 7 se tienen ; / ’(7) = 9 /I6

2 - f ( x a) = f ( 7) = V i + 9 ( 7 ) = = V i+ 9 a - 8 = 9 U " ?)
Vi + 9 + 8
Entonces el cociente / ( a ) - /(7 )
a -7 9
VI + 9a + 8

Luego , por la Definición 4.4 : f ’(7) = lim ( - j = ¿ L ------] = — ■
H a^ V T T Ó T + S ' 16

O BSERV A CIO N ES 4.1

1. Si en las Definiciones 4.3 y 4.4 , el límite existe , se dice que la función es derivable o
deferenciable en a (i . En caso contrario se dice que la función no es derivable en x lt.

2. De la com paración de las ecuaciones (6) y (7) se deduce que / ’(a 0) = m . Significa que ,
desde un punto de vista geom étrico , el valor de f ' ( x n) representa la pendiente de la recta
tangente a la gráfica de f en a 0 .

3. Si a f ( x ) llamamos v, esto e s , y = f ( x ) , la derivada de f se escribe a menudo , que es
d.í

la notación d eL eib n iz, y se lee la derivada de y respecto de x . En notación de límites se

tiene

lim « y + ' + ' W /■ (,)
dA h—*o ' A_í / h-*o h

Otras notaciones son y’ , D( v) ,D v ,
*’ ú x

4. Si en la Definición 4.3 om itim os el subíndice cero de awy escribimos

í ( x ) . Iim n
h-*0

Obtenemos una nueva función f , la derivada de la función original / .

5. El dom inio d e / ’(a ) es subconjunto del dom inio de / ( a ) .

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Sección 4.4 : Derívaela de tina Junción en un punto 369

Definición 4.5 : LA FUNCION DERIVADA

Dadti una función / : IR —» ÍR y un conjunto A = {r € IRI 3 / ’(x)} . si A * <j>, entonces la
función

lim ( /(-*) - /(>-„)
x - x„
* '—♦ V,, '

se denomina fu n c ió n derivada de f y se denota en las formas siguientes

/•W . D J . ^ . D(/)

Esta definición iguala la idea de diferenciabilidad d e / e n x l}con la noción de extensión conti­
nua del cociente de diferencias en x 0. En efecto , si escribimos :

/(a ) ■~f(x )
= — x - x " ^ Dom(S) = D °m( /) - {*„}
yx„es una discontinuidad esencial.
Si existe el límite deg íx ) en x0, entonces xues una discontinuidad evitable de g(x) y así obtene­
mos la extensión continua gr(x ), definida de la siguiente manera :

$t(x) = * x -x „ , S i x = x ll
f ’( \ )

( E J E iy L O 2 ) Hallarladerivadadefunción f(x) -

/
Solución Siguiendo el método de los cuatro pasos se tiene :

I. Kx + h ) = 2^ + h) + 3 _ 2 r + 2h + 3

(x + h) - 2 x + h-2

2. /( * + h ) - /( x ) = 2* + 2h + 3 2r + 3 7h
x + h -2 x -2 (x + h - 2 ) ( x - 2 )

, , - * K * + H )-/(x) , 7
3. rorm ando el cociente ---------h¡--------- ,. re.sul.ta: - (x + h - 2)(x - 2)

4. Luego: lim = _ ?. ^ f{x) = _ 7
h -»o
h ( x - 2)(x-2) J KJ (x-2)2

Según la observación 4 .1(2) , / ’( \ ) permite calcular la pendiente de la tangente a la gráfica d e /
en ( V /(-*„)) • el siguiente ejemplo se ilustra esta observación.

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370 Capítulo 4: La derivada

f E J E M P L O 3 ) Hallar la ecuación de la tangente y la normal a la íunción f ( x ) = .r Vjt - 1,

/ en el punto de abscisa .v = 2

Solución Punto de tangencia : si x = 2 =}• y —2 V 2 -7 = 2 c=> P(2 ,2 )
Como / está definida Vx > 1 , podemos escribir

/( x ) = V j r f r - 1) = V.r3 - _r-
Ahora hallaremos la derivada de / p o r el método de los cuatro pasos

1. / ( A+ h) = V Ü + h )’ -(jc + h)3

2. /( x + h ) - /( jr ) = V(j + h)3- U + h ) 3 - = h(3x3+ 3 h * + h ? -h -2 .e )

VU + h V -U + h)- + ^ J - j r

3. f ( x + h) - f ( x ) 3x1 + 3h x + h2 - h - 2 x
V (.t+ h )3-(jr + h)3 + Vjc3- x 2

4 „m = ^ f(x ) _ _ ¥je> ,

h-*ü h 2Vjc’ - jr2 2^x - 1

En particular, para x = 2 e D o m (/’) , m = / ’(2) = - ^ = 2
2V2^1

P or tan to , la ecuación de la tangente es :y - 2 = 2(x - 2) <=> T : 2x - y - 2 = 0 y la ecuación

de ia normal es : y - 2 = - ~ (.v - 2) <=> : x + 2y - 6 = 0 ■

( EJEM PLO 4 \ Si / es una extensión continua de g(;c) = x2Sen [ ) en el origen , probar

que / es derivable en el origen y que / ’(0) = 0

D em ostración f x 2Sen(l/jc), sijr^O
Por definición : f(x) = <

{ a , si = 0

Conociendo que : - I < S e n (l/x ) < I «=* 0 < |S e n (I/x )l < I

0 < |j r Sen( Ifx) \ < U -|

Por el teorema del sandw ich, | x 1 Sen( 1/jt) I —>0 cuando x —» 0 .S e sigue entonces que /(O ) = 0.
luego a = 0 es la extensión continua de g .
Mostraremos ahora q u e /’(0) = 0
1. /(j; + h) = /(U + h) = / ( h) = h2Sen (l/h )
2. f ( x + h ) - f { x ) = / ( h ) - / ( 0 ) = h2Sen (I/h j - 0 = h2S en(l/h)

3 = hSen(|/h)
h

f(x + h) - f(x) / i\ ■
4. hli-m* o ----------h- --------- = hli—m*o h S e n (x—Ii )/ = 0 ■=> /J'(Oy )/ = 0
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EiliRCICIOS . Grupa 25 : D em u d a de unti Juiuitw en un punta 371

❖ En los ejercidos 1al I2 .u sarelin éto d o d elo scu airo p aso sp n racalcu larlafu n ció n d er¡v a-
rf;»e iruHrnr su dominio

•** En los ejercicios 13 al 2 0 . usar lu forma nliem ativadel límite pura hallar la derivada de la
función dada en x = x(}, si existe

Hal lar la ecuación de una recia que sea tangente a la gráfica de y = y sea paralela a
/ la recta 3* - y + I = 0 .

r Usando la definición de derivada, hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica
de y = 2a- + 3 que es perpendicular a la recta x + 8y + 3 = 0
23. Hay dos rectas tangentes a la gráfica de y = 4x - xr que pasan por el punto P(2 ,5 ). Hallar
sus ecuaciones.
24. H allar las ecuaciones de las dos rectas que pasan por P( I , -3) y son tangentes a la
gráfica de y = j r . Hacer un dibujo y comprobar el resultado.
Sabiendo q u e / ( - l ) = / ’(-!) = 1 .calcu lar: lim
(Sugerencia: Sum ary restar I al numerador del límite).

(4 .5 ) DERIVABILIDAD Y C O N TIN U ID A D

Existe una estrecha relación entre la derivada y la continuidad de una función en un
punto, en cuyo caso es fundamental la definición alternativa de la derivada

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372 Capítulo 4: La derivada

r w = I¡.n í wX '- X/ .w.

pues , la existencia del lím ite, exige la igualdad de los límites laterales

, ¡ m / w .-j w

t X„ x -> v X-X u

Por conveniencia, citaremos estos límites laterales como las derivadas laterales por la deredut
y por la izquierda, respectivam ente. De modo que

¡ ; U ) = ,¡m M i í M = Hm /t* .,+ h ) - /( x „ )

x-x.t li —»o+ n

es la derivada d e / p o r la derecha e n x (l

f = ,im J M - / W = lim i h
l-».»- X ' Xn h_»0'

es la derivada de / por la izquierda en a„ .
Si ocurre que

/ + ’(* u) = /.* ( * ,) ^ 3 / ’<*„)

y si ocurre que dichos límites laterales no son ¡guales .entonces se dice que la derivada de / no
existe en xM

/
[ E J E y P L O 1 ] A nalizar laderivabilidad de la función / ( jc) = Ia - 2 | + I

Solución La función es continua V r e (R . en particular en x = 2 , por lo que

/( 2 ) = 12 - 2 I + I = I
fx - I ,x > 2

Veamos los límites laterales . en el entorno d e x = 2 , para f(x) = s

* ................ / « - / ( 2 ) (Jr-I)-I . 13 -j:,x < 2

* * (2) = A v ^ r r - - A m2 . ^ r - = '

f : m , lim i W i M . „ ,n ..,

x —*2 X - 2 x —>2 X - 2

Las derivadas laterales no son iguales, luego / no es derivable en
x = 2.

Obsérvese que e n x = 2 , la gráfica d e /m o stra d a en la Figura 4.3 ,

presenta un vértice. ■

í E J E M ^ b 2 ) D ada la fu n ció n /(x ) = ^ x - I + I , hallar/ ’(!)
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Sección 4.5 : Derivabilidad y continuidad 373

Solución La función / es continua Vx e IR
Parax= I / ( |) = i . Pero com o,

r ( 1 ) = lim M z m = „m í O - í . n i

x -* I JC - 1 x -H X -l

- lim ( j.- * -.7 ) ■ + oo

se sigue que la tangente es vertical en x = 1.
L u e g o ,/’(l) no existe , por loque / n oesderivableenx = 1

EJEi £ L o 3 j Analizar la derivabilidad de la función /(x ) =

Solución Veamos la continuidad d e / e n x = 2
/(2 ) = (2)2 - 4(2) + 2 = -2

lim /(jc) = lim ( 4 - jt3) = 0

x 2' x -*2'

Entonces: f(2) * lim /(x)
x - * 2"

lo cual implica q u e / no es continua e n x = 2 . Además

f : m = l¡m M z m . 1¡m

x —> 2 " X- ¿ x —> 2 * X -2

Luego, / no es derivable en x = 2 .
Obsérvese en la Figura 4.5 que aunque / produce lím ite infinito no tiene tangente vertical, lo
cual no contradice la definición de recta tangente vertical pues / no es continua en x = 2 ■

De estos tres ejemplos recogemos algunas causas que destruyen laderivabilidad.
1. Desvíos b ruscos, com o vértices, cú spides, etc. (Ejemplo 1)
2. 'Tangente v ertical. (Ejem plo 2)
3. D iscontinuidades. (Ejemplo 3)

Por tanto, la continuidad no es suficiente para garantizar la derivabilidad , pero por otra parte
las discontinuidades la destruyen . Esto nos lleva al siguiente teorema.

TEOREMA 4.1 : Derivabilidad implica continuidad

Si una función / es derivable e n x u , éntonces / es continua e n x ü.

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374 Caj)itulo 4: La derivada

D em ostración Probarem os que : lim f ( x ) = f ( x n)
X->*0

En efecto

1. Por hipótesis, / es derivable en x 0, entonces f'(x ¿ ) existe

2. L ueg o : lim [ /( * ) - /( * „ ) ] = lim

a-»a„ " a-»a„ ' x-xü /

= lim (*-*„)■
A-»A0 A -*V 0'

= (0 ) [ f ( x 0) ] = 0

3. Com o [ f ( x ) - /( x cl)] -> 0 , cuando x - * 0 , concluimos que
Iim /( * ) s / ( ^ )

4. Por tanto , / es continua en xu.

( E J E M P L O 4 ) Si / (J C ) = ( x - jru) g U ) , donde g(jc) es una función continua en x ir hallar

Solución S i / U ) = U--*r0)g U ) ■=> /(*„) = (xa- x 0) g ( xa) = ü

« r o ¡ ¿ = ,¡m f w - / w = ,¡m .< »-*> « m - q

*-»•*„ * ~ x u x —* Xq x ~x»

= Iim g(x)
A-»A0

/ ’(*„) = gU „), que es la continuidad de g(jc) en x = xu m

E JE M P L O 5 J Si a , b e IR+ y f e s deri vable en jc(), demostrar que

iim f ( ^ l > h ) - f ( x „ - a b ) =

h -*o (fl + 6 ) h n

Demostración En efecto, por el recurso de sumar y restar / ( x j en el numerador del límite ,
se tien e:

]¡n ] / U , + ¿ h ) - / ( * „ ) + / ( jt,,) - / ( a „ - a h ) _

h -»0 (fl+ fc )h

- ]¡m + .. / ( a „ - flh ) - /(a ,,)
h -» o (a + í> )h
h -* o (c + 6 )h

= f b ) Jim /( * u) + ¿ h ) - M > ) _ / -a \ ,im f{xü - a h ) - f ( x tt)

v a + f e / h_ȟ bh \a+ bih-> o (-flh)

E s cierto que si h —» 0 , también (bh) —>0 y (- a h) —» 0 ; luego :

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Sección 4.5 : Derivabilidad y continuidad 375

b h)-}{xi r ah) = l _ b _ \ „ U ) ( _ a _ \ f ,( }= f t e )

(a + 6) h l a + b >S 1 \ a + b I 1 {' "* S ( “}

s í x2 ,x <2

EJEMPLO 6 J Sila función f ( x ) = <,

l -Jcix + b . x > 2

es d erivable en [R . hullar la ecuación de la recta tangente a la gráfica d e / en el punto de
abscisa 8.

Solución Si / es derivable en IR , entonces / +’(2) = / . ’(2)

.. Vcx + b - (V2a +b) Jt2 - ( 2 ‘)2
t=> lim ---------------- - ---------- = lim ------- —-

A - » 2+ X -2 ,_ » 2- x - 2

a{x- 2) (x + 2 ) ( x -2 )
t=> Iim ------------f = ^ = ~ = -------------------
j-* 2 + (.r- 2) (Vajc + \ 2a ) x - * t x - 2

Evaluando los límites se tiene: — % = = 4 <=> a = 128
2V2a

Además la derivabilidad de / en x = 2 implica la continuidad de / en x = 2 , esto es ;

lim f ( x ) = lim f ( x ) <=> lim ('Jax + b) = lim (jc2)

x-*2* x-*2~ a —» 2 + a —> 2 "

c^> >¡2a" +b = 4 o 6 = -12

Luego , la regla de correspondencia de la función es : /(x ) = 8 - 12 , Vx s [2 , +°°)

Punto de tangencia : si =jc 8 c=> y = 8‘'/Í6 - 12 = 20 e=> P(8 , 20)

^ (8 ^ 2 7 -1 2 )-2 0 , 8(V 2x-4)
Pendiente de la tangente: m = / ( 8 ) = lint ------------- --------- - hm-----------—

a —* 8 X -8 > —» 8 X -o

Evaluando el límite obtenem os: m = 2

Ecuación de la tangente : y - 20 = 2(x - 8) e=> c£ \ 2 x - y + 4 = 0 ■

EJEMPLO 7 J Si / es una función derivable en x , demostrar que

Demostración «... / ( x + h ) - / ( x - h )

h 'líi. 2h = /W

En efecto , de la definición de derivada se tiene :

r t a = hni . 1¡rn / u + ( - h ) ] - / w _ 1¡m / W - j f r - h )
Ii-» 0
n h-»0 (_n ) h-*0 n

Entonces, sumando y restando /(x ) ai límite dado se sigue q u e :

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376 Capítulo 4: La derímela

f(x + h) -/(x - h) /(x + h) - /(x) + /(x) - /(x - h )
lim ----------- x r --------- = -x- lim --------------------- ¡--------------------
h-» O -¿l1 1 h—»O 11

= I [ 1¡m K + U - f M + lim / M - / ( * - h ) ]

2 L h-»o n h ->o hJ

= j irw + fw ] = fw
A este límite se le conoce como la derivada simétrica de / .

( E JE M P L O 8 j Siendo p y q dos números reales, p * q , se llama derivada generalizada

p , q de la función /( x ) e n el puntoxDal siguiente lím ite, siempre que éste

exista:

J = lim / ( ^ + p h ) - : f a , + qh)

,K h—*0 (p-q)n

a) Probar que si la función f ( x ) es d eriv ab le en el punto x (l , entonces (x0) ex iste y
coincide con / *(x)

b) S i / ( x ) = 1x1 , h allar / “ '''(x ) y los intervalos para los que ex iste f (l • ' ’(x)

Solución En e fe c to , em pleando el recurso de sum ar y restar /(x 0) en el límite dado se tiene:

a) / ‘"■■"(O = lim f i X “+ P h ) ' f(Xo) + f(Xt}) ~f{Xü + q h )
* h -»o (p-q)h

= (_ !_ ) Ijm f o í P . h > : f W +[ _ ! _ ) Iim

V p - q l h _»0 h 'P - q ' h-»o n

- ( P ) Iim /í-^ n + p h )-/(x „ ) _ / q \ 1¡m f(x <(+ q h ) - /( x „ )

* p - q » h —»o ph * p - q * h-»o qh

= (ir? ) W - ( A ) = ( F ? ) r (v = ry

b) Para la fu n ció n/(x ) = 1x1 .ten em o s:

r .-n(x) = ,¡m U + h l - U - h l = ,¡ro U + h | ’ - U - h P

h —*o 2h h-»o 2h ( |x + h | + 1x - h | )

= i¡m ------- Í í L - ------- -- = | im 2*

h—»o 2 h ( l x + h | + ¡ x - h l ) h-»o I x + h l + | x - h |

Evaluando el lím ite: x ¡ - I , six< 0
• c,(jc) = -—- =

lx| [ 1 , six>0

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Sección 4.5 : Derivabüidad y continuidad 377

Una función cuyo dominio es [R tiene la propiedad de que :
/(x + y) = /< x ).(y ),V x ,y e K y /(0 )* 0

a) Demostrar que/(O ) = I
b) Demostrar que si / tiene derivada en 0 entonces la tiene también en cada número real x , y

q u e f { x ) = / C r ) . / ’(0)

Demostración

a) En e fecto . si / ( x + y) = f ( x ) » / ( y ) , Vx , y e IR , en p a rtic u la r p a r a x = 0 se tiene:

/ ( 0 + y ) = / ( O ) - / ( y ) , y com o/(O ) í O «=> /( 3 ') — / ( O ) - /( y )
^ /(O) = I

b) Se sabe que: = lim h
h —»O

Pero s i / ( x + y) = / ( x ) - / ( h ) .=> / ’(*) = lim ^
h —>o h

■=> / ' (*) = /( * ) • lim 1
h-»o n

D e la pane ( a ) . /(O) = I *=> / ’(*) = / ( x ) - lim ^ (h ) ~ ^ 0)
h -»I) h

y por definición de / ’(0) «=> /'O O = / ( x ) * / ’(0 ),

Como / tiene derivada en x = O, es d e c ir, existe / ’(O), entonces también existe /* en cada

número real x . ■

E JE M P L O 1cT| S ea la función / ( x ) = V |x l - [ x ] , determ inar si / es d erivable en :

a) xn= 5/2 y b) xtí = - 2

Solución a) Dado que (5/2) e [ 2 , 3 ] , entonces [ x ] = 2 y l x l = x«=> /( x ) = V x- 2
Pero com o 5/2 no es en tero , las derivadas laterales en dicho punto, si existen,

deben ser iguales , entonces para asegurar la derivabilidad en 5/2 hallarem os / ’(5/2),
esto e s :

/•(5 /2 , = lim í k t l m . lim = um ( 1)
x ^ 5 t 2 X - 5/2
,-* 5 /2 V x - 5/2 7 * -> 5 /2 ' Vx^2 + Vl/2 1

de donde o b ten em o s/’(5/2) = V2/2 .e x iste .
Por ta n to , / es derivable en x(| = 5/2 .

b) S i x e [ -2 , - I ) ■=> [ x ] = -2 y |x l = -x /(x ) = V - x + 2

x e [ - 3 ,- 2 ) i=> [ x ] = -3 y | x | = -x f ( x ) = V -x + 3
Para x = -2 entero, hallamos las derivadas laterales

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378 Capítulo 4: La derivada

/+ .(. 2) = ,¡m m z m = lim . Iim ( - = j — ) = . i
x-*-2+ x + 2 x - * -2*
x + 2 ' x-»-2+ W 2 - x + 2 ' 4

M z imy _.(_2 ) . lim . lim / j E L j S ) = ,¡m ( -■ _ ) = >

x +2 1 -»-2‘ x + 2 ‘ x-+ -t ' V3 - x + V5 ' 2V5

C o m o /+’(-2) * /_ ’(-2 ), e n to n c e s /n o es derivable en jc = -2 ■

EJEM PLO 1 l ) Sea / una función con dominio en (0 , +<») que cumple

>) / ( f ) = / ( * ) - / ( .> ') , Va . y e D o m (/) ii) / ’( ! ) = I
Dem ostrar que / ’(*) = \ / x , j c> 0 .

Demojrracíó/i En efecto , según la definición de derivada

r w = ,im h
h -»o

/(* ± h ) /(l+ “ )

2. Por la condición dada ( i) : / ’(*) = lim ------- 7 ----- = lim ---------- —
i,-»o n h -»o h

3. H agam os: y = u i=> h = u j c y si h -+ 0 , entonces u - » 0

4.. L. u e g o :r r ,-1 / (l*■i■)m—»-0 >imu x— rrz— •1*- ur—tm»0 /I'(m,u+ u ) r— 1 ” -T»0*,m/ ( I —U+-uU7)T-~0ñ-
•*
u

5. De la condición (i) : / ( y ) = / ( u ) - / ( l ) , y s i u = I <=> / ( l ) = 0

6. Entonces en el paso ( 4 ): f ( x ) = — lim ^ + UL ^ ^ }

u - » 0 ux

El lím ite es la definición d e / ’( l ) *=> f ' ( x ) = j / ’O )
7. De la condición (ii) y por hipótesis : / ’( l ) = I y x > 0

(^ E J E M P L 0 ^ 1 2 j Sean / , g : IR —» [R dos funciones derívables en todo IR tales que
1 /to - g C O l < x - , y f x e IR+

D em ostrar que las gráficas de / y g tienen la misma tangente en el punto de abscisa cero .
[ Sugerencia : Sean h y k : IR —» IR dos fun cio n es arb itrarias y a e IR . Si I h(a) - k(a) I < £ ,
V £ > 0 =* h(a) = k(a)]

Demostración Se probará que /'(O ) = g’( 0 ) , pendientes de las rectas tangentes a las gráficas
de / y g en el origen.

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EJERCICIOS . Grupa 26 •DerivubUitlüil y continuidad 379

1. En efecto , si If ( x ) - g(jr) Iá , V x e ÍR+ , en particular, para x = 0
l/(0 )-g (0 ) | < 0 « /(O) = g(0)

2. Entonces por el recurso de sumar y restar una misma cantidad se tiene

| / t> )-/ (0 ) + g (0 )-g (* )| < * -

3. A h o ra , si hacemos jc2 = h2 , h * 0 y como-ire 1R+ t=> h > 0

Luego, en el paso (2): gW *g(0) <h
hh

4. En el límite cuando h - * 0 : l / ’( 0 ) - g ’(0)l < h

Siendo h > 0 y por la sugerencia, se sigue que

/ ' ( O ) - g ’ (O ) = 0 <=> / ’ ( 0 ) = g ’ < 0 )

EJERCICIOS . Grupo 26

❖ En los ejercicios 1 al 8 , hallar los puntos en que la función / no sea diferenciable. Dibujar
su gráfica.

I. f(x) = \ x + 3 \ - 2 2. f ( x ) = 1 ^ -9 1 3. /(* ) = 2x
x- 1

4‘ = ^ 4 5. f(x) = (x-3)™

7. m í 4-Jt2 ,s¡Ar>0 8. /(*) =
=

j t - 4 , si < 0

*** En los ejercicios 9 al 12 , h allarlos valores d e a y fe de modo tal que la función / d a d a , sea
derivable en todo su dominio.

9. m = a x + fe, si jc < 2 10. f(x) = ax + b .six <2
x? - 3 , si jc > 2 2x 2- 1 , sí jc > 2

a x 2 + fe , si < 1 x 1 + a x + 3 . si < - I
-4ajt + fe , si x > - 1
11. /( * ) = <1 ,síjc> I 12. f(x) =
Ixl

13. S e a /(x ) = [x + 1/2] V9x ; calcular, si existe , / ’(3)

14. C a lc u la r/ ’( ! ) si / : [R —> IR es tal que f ( x + y) = f ( x ) • f ( y ) , V * , y e (R ; adem ás,
/(O ) = 1 y / ’(0) existe.

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38U Capítulo 4: La eterivatla

15. Sea / una función derivable en a . Para cadafc e IR . calcular

L = lim / ( ^ S e n M - / W

x -*a X

16. S ea f ( x ) una función continua en el intervalo [3 ,7 ] con /( 3 ) = 1 0 . S i / ’(x) = 5 para
jc g (3 , 7 ) . probar que f ( x ) = 5jc - 5 .

❖ En los ejercicios 17 al 22 : b) D eterm inar si / e s continua
a) Trazar la gráfica de la f u n c ió n /. d) D eterm inar s i / e s derivable en a J(.
c) H a lla r / ’(*) y /_ ’(*)

[ 5 -6 * ,si* < 3 í V7 , si jc < 4
17. /(* ) = <
,* D= 3 18. /(* ) = < ,xu= 4
t -4-jc2 ,sÍjc > 3
1 2 ( x - 3)2 , si * > 4

19. /(jc) = VI*J + [ 2 x ] . xu = 3/2 20. /(* ) = U - [ 3 x ] l . *„ = 2/3

21. /(* ) = V*- [ * ] + | * I , x u= I í x 1 - 4 . si x < 2 ,^ * 2
22. /(* ) = 5

( V jc-2 , si * > 2

23. Analizar la derivabilidad de las funcione / en IR . Grafique / y /*

(* + 4)2+ I ,jc < -2 -x* + 2* + 1 ,jc > 2

a) / W = x2+ 1 , -2 < * < 2 b) /(*) = «

4* - 3 ,x > 2 5 ~2x ,x < 2

24. cS-ir/ /(a\) m = i i 10, cr alcul/a(ro: + 3 lhim) --/--(-a---+r2--h--)-
-

h —*o n

(Sugerencia : Sumar y re sta r/(a )en el numerador del limite)

25. Sabiendo que / es una función derivable en * = a y conociendo f ( a ) , f ' ( a ) , calcular

tl-i»mc x - a
(Sugerencia: Sumar y restar * /(* ) en el numerador del límite).

26. Supongamos que / es derivable en x . Demostrar que

r w „ 1¡m +

J K' h+k

(Sugerencia: Sumar y restar/(* ) al numerador del lím ite).

27. Sea /u n a función derivable sobre un intervalo que contiene a 0

Calcular: lim f {2 x)~ $ x)
x-*Q X

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EJERCICIOS Gruiki 2 7 . D rrñvhilittud y t iinttnuidutl 381

28. Si / es derivable en x(l, calcular: Iim n [ f ( x n+ ) - f ( x ü) ]
(Sugerencia: H aceru = I/n)

í jr2 - 7 , si 0 < jc < 6
29. Sea la función/(x) =

[ 6/x , si x > b
a) Determinar un valor de b tal que / sea continua en b
b) Dibujar la gráfica de / con el valor de b hallado en el inciso (a)
c) Es d eriv ab le/co n el valor de b determinado en el inciso (a ).

30. Si / e s derivable en xu , e v a lu a r:
n

lim ( i " ) X [■K*u + k z ) - /(*0 + <k “ *)z >]
l ~*° ¿Ti

n

(S ugerencia: Use la propiedad telescópica: ^ [ / ( k) - / ( k - 1) ] = /( n ) - /(O)
k= i

31. Sea / : IR —> IR y sea xMg D o m ( /) , tal que / ’(•*„) - L ; calcular

nn

tJI^O "h [ X /C *o + k h ) - X f & o - k H ) ]

k= I k= 1
32. Sean / y g dos funciones reales definidas y derivables en todo IR tales que

a) g(jc) = x f ( x ) + 1 b) g(* + >) = g{x)>g(y) c) lim f( x) = I

A- - * 0

Dem ostrar que g ’(jr) = g (x ). V x g IR

33. S e a /u n a función definida en un intervalo que contiene ax.. Sí lim 2h

h -»o

existe , se dice que / tiene derivada simétrica en x fí y se denota por / s’( j . Analizar la

verdad o falsedad de las siguientes proposiciones .justificando debidamente su respuesta.

a) 3 / ’(*u) 3 / s’(*(() b) 3 / s’( V = > . 3 / ’Cx¿)

c) f ( x ) es continua en <=> 3 / s’(x) d) 3 / s’(jc4í) <=> / es continua en jc0

34. Sea / una función d efin id a en un intervalo que contiene a x 0 y si

/ . ( x jv = l.•im -/-(-*--o--+---h- )—- /—( * 0-----h--)-- e.sla.de.riv.ad.asi.m.étrica en jc.. :
h -» o 2h H

a) D em ostrar que si /+ ’(•*„) y / . ’(-*„) existen , entonces f s\ x ^ existe

í jcSen(l/jc) , x * 0
b) Probar que si f( x ) = s

lo , * = 0

no existen / +’(0) y / . ’(0 ), pero si existe //(O )

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382 Capítulo 4: La derivada

35. S e a / : R —> IR definida por /(x ) = x" Sen(l/x) , x # 0
l 0 , jt—0

Estudiar la existencia de / ’(0) cuando n e Z+

( 4 ,6 ) R EG LAS B Á SIC A S DE DERIVACIÓ N

En esta sección comenzamos nuestro desarrollo de reglas formales para encontrar la
derivada / ' de una función / :

r w _ Iim f í x + V - M

h —»o h

Este procedimiento empleado hasta ahora resulta laborioso y hasta tedioso incluso para funcio­

nes sencillas. A fortunadam ente, existen reglas que facilitan mucho la tarea y permiten deriva­

das sin usar directamente límites.

TEOREM A 4.2 : Regla de la constante (S>)

Si /(x ) ==. e , (una constante) para to d a* , entonces f ’Qc) = 0 , V x .E s to es
^ (4 - 0 , ( 0 = O

Demostración En e fe c to , si la función f ( x ) = c , V x e D o m (/) => /( x + h) = c
L uego, por la definición de derivada

lim & + *> -& > = U m ^ = O
a x h-»o h h—*o h

dx id = o

G eom étricam ente esto es evidente por que la gráfica de una función constante es una recta
horizontal y , p or lo tanto , tiene pendiente cero en cada punto . Por ejem plo , s i :

/( x ) = 5 .=* / ’(x) = ^ (5) = O

TEOREM A 4.3 : Regla de la potencia

Si n es un número entero y positivo, n > 2 , y J{x) - x " , entonces

/ ’(*) = nx"-1 m

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Sección 4.6 : Reglas básicas de derivación 383

Demostración ( jc + h ) n - jc"
En efecto , por definición : / ’ (jc) = lim ------- --------
h —»0 h

Expandiendo el binomio por el teorema de Newton , se tien e:

jc" + ( ,i ) j c n l h + ( 2 ) ^ n - h í + . . . . + ( ¡ ¡ ) h D- V
=/ ' ( jc) lim

h-»0

= h'™ „ [ { ü ' - ' + M * - 1**- ■■■ + ( n ) h " ' ]

Finalmente .evaluando el limite obtenemos:

- f - (jcn) = n x a' 1
dx
OBSERVACIONES 4.2
1. Conviene mem orizar el caso especial cuando n = I , esto es
¿ (x) = Dx(x) = I
2. La regla de la potencia también es válida cuando n es un número racional positivo o negativo.

( EJEMPLO 1 ) Derivar aplicando la regla de la potencia

a) f(x) = jc5 b) >• = l / * 3

Solucióna) S i / ( jc) = x 5 ■=> f ( x ) = 5 (x )51 = 5jc4

b) s i >' - 7 ~ £ ■ í i ^ - (-3)^ ' = - 7

Nota Enla pane b ) del Ejemplo I . hemos reescrilo ! / jt' como jc'* antes de derivar . Este proceso
es el primer paso en muchos problemas de derivación.

Dada : R ecscrib ir: D erivar: Sim plificar:
’-± >• = x ’ dy_ ÉL - A.
d x = (-3) x ’ dx “ x4

TEOREMA 4.4 s Regla del múltiplo constante (11)

Si / es una función derivabley c un número real, entonces '
¿ U / ( x ) J = r í'w = c ( | )

Demostración En efecto , por la definición de derivada
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384 Capítulo 4: La derivada

-dfx [ , : / « ] = Iim c / U + iO -tf«
h-»o h

h -»0 ' h

Esta regla nos indicaque las constantes pueden ser sacadas del proceso de derivación.

EJEM PLO 2 ) Aplicando las reglas del múltiplo constante y de la potencia, derivar:

m

b) f ( x ) = ± x 3'-

S o iu c w n a) SÍ y = 3 a ( j r 3) i=> = 3 a (jc'2> = - 6 a (x '3) = 6a
w s í m = | w ” « / ’w = | = | ( | ) = 2 aí t
*3

■

Klnta Combinadas en una única regla se formulan a s í: Dx (c jc") = cnx11 1

Antes de hallar una regla para derivar sumas y deferencias de funciones, necesitamos
saber como derivar combinaciones lineales.
Una combinación lineal de las fu n cio n es/y g es otra función de la forma a f + bg , donde a y
b son constantes. Se sigue de las reglas de la suma y producto de límites que

lim [a f ( x ) + b g(x)] = a lim f ( x ) + b lim g(x)
x->x0 x-*x0 x-*x0

Esta fórmula se llama propiedad de linealidad de la operación límite . Implica una linealidad
análoga para la diferenciación.

TEOREM A 4.5 : Regla de una combinación lineal ( 12)
(13)
Si / y g son funciones derivables. entonces

- f - \ a /( * ) + b gfx) ] = a f r(x) + b g ’fx)
dx
con u = f( x ) y v = g(x), esto toma la forma

¿ ( „ u + ¡,v) = 0 ( £ ) + b ( £ )

Demostración En efecto, por la propiedad de linealidad de la operación límite :

~4~ [ a f ( x ) + b gCr)] = |¡ m [ ° ^ + h> + M * + h ) J - ¡ ° / W + M * ) ]

ax h -*0 h

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Sección 4.6 : Reglas básicas de derivación 385

a [ f ( x + h) - f{ x ) ] + b [ g(* + h) - g(x) ]
= lim

h —*O

= ,im i t o + K - f W ) + b . ,im ( g ( ^ h ) - E W )
hl —*.n0 '' hn / il.i-». 0n \ n /

= a-f'(x)+b-g'(x)

Haciendo a = b = I , obtenem os:

I / U ) + g U )] = f ( * ) + g ’(*) ó ^ (u + v) = dy (14)
dx

Entonces , la derivada de la suma de dos funciones es la suma de sus derivadas . En forma

semejante se tiene para las diferencias

[/(*)-gWl = fW -g-W 6 É¡L £(u_ v) = + (15)

La aplicación del Teorema 4.5 para una suma de un número finito de funciones derívables da

d d u, + d u, + du, + ■+ d u n
-djx- (u,' + u77+ u3, + . . . . + u ) = -drx1 —d x1 —d x1 dx

Cuando aplicamos las reglas (9) y ( 14) y la regla de la potencia al polinomio

P(jc) = a ax a + a o^ x r"l>- I _l_ + a 2 x - + a lx + a n

encontramos de inmediato su derivada
P’(x) = n a iij:n- , + ( n - l ) a n Jx n' 2+ . . . . + 2 a 2 x + a {

Por ejem plo, si f ( x ) = - x* + 3 j t - 2x + 5 ■=> / ’(*) = - I x 1 + 6 x - 2

TEOREMA 4.6 ; Regla del producto

Sí / y g so n funciones dcrivable-, en x entonces el producto / *ge- derivabie en t . v

¿ . / W - g W 1 = /(*)-í!*f.r) + g í » . / ’Cr> (16)

con u = / ( a ) y v - g fx). esto tom a la forma

(17)

Demostración En efecto, por la definición de derivada

d f ,, , , w r f(x + h).g(x + h)-f(x).g(x)
-drx í /(*> • sí* ) J - hI-,»mo------------------- hn------------------

Usando el recurso de sumar y restar /(x + g )* g (x ) al numerador del límite .se tiene

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386 Capítulo 4: La derivada

r, . s / g (* + h )-g (x ) ^ x f f(x + h)-f(x)\
= hli-m» o / ( x + h ) (' hr / + hh-m» o g(x) I* n- tJ

- hli-m»o /,(,x + .h. ) . h.l.i-m» o /I' g ( * + h) - g M \1 + g,(x, ). h.l.i-m» o-(¡'-f--(-x---+---hn) - f { x ) \)

h • •

= /(* )■ g’(*) + g

L u eg o , la derivada de un producto es igual al prim er factor por la derivada del segundo, más el

segundo factor por la derivada del primero. ■

^ E J E M P I O ^ J H allarlad eriv ad ad e/(x ) = (3jt - 2 x )(2 x -3)

Sbíukién Por la regla del producto se tiene
(Primero) (Derivadadel segundo) + (Segundo) (Derivada del primero)

o f r(x) = (3x2 - I x ) (2x - 3) + (2x - 3) ^ (3x2- 2x) = t f x 2 - 2x)(2) - (2* - 3)(6x - 2)

= (óx2 - 4x) + (12x2 - 22x + 6) = 18x2 - 26* + 6 ■
En este ejemplo nótese que la derivada del producto es

(3 x * -2 x )(2 x -3 ) = 1& r - 2 6 x + 6

mientras que el producto de las derivadas sena

-a4x- ( S ^ - Z r ) • d x ( 2 x - 3 ) = (6 x - 2 ) ( 2 ) = I2x - 4
En consecuencia: (Derivada de un producto) * (Producto de las derivadas)

( E J E M P L O 4 ) H a lla rla d e riv a d a d e la fu n c ió n /(x ) = 2 x 3Vx*

Solución Aquí podemos optar entre hallar la derivada por la regla del producto o por la regla
de la potencia (reescribiendo la función), conviene el segundo caso.

/ ( x ) = 2x3(x3'2) = 2 í W2 o / ’(x) = 2 ( ^ ) x li2 = 9x'V x ■

La regla del producto puede extenderse a productos de más de dos factores.
A sí, si / , g y h son funciones derivables de x , entonces.

[/(* )■ g (* )- h(*) 1 = / 'W - g ( - )c ) - h W + /( J f ) 'g ’W -b (x ) + /( x ) .g ( x ) - h ’(x)

f ^ E J E M P L 0 5 ^ Hallar la derivada de /(x ) = (x + l)(x 2 + 2)(x3 + 3)
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Sección 4.6 : Reglas básicas de derivación 387

Solución Por la regla del producto se tiene :

/ ’(*) = [ ^ f j c + l ) ] (xI + 2X*í + 3) + ( * + l ) [ “ C^ + 2 ) ] (jc3+ 3) + (jC+ 1 )(x2 + 2)

[ £ ( * * + 3)]

= (1) (x2+ 2 )(x ' + 3) + (x + l)(2x)(x3+ 3) + (x + l)(xa + 2)(3x2)

= ( x 5 + 2 x 3 + 3x* + 6 ) + ( 2 x s + 6 * = + 2 x * + 6 x ) + (3a5 + 3x* + 6 x 3 + óx 1)

= 6 a 5 + 5.x4 + 8 x 3 + I 5 j t + 6 x + 6

TEOREMA 4.7 ¡ Regla de la recíproca

S i / e s una función derivable en v y /( .r ) * 0 .entonces

J L r - L .1 = rix) (18)
d x flx'i J
[ / ( X ) j3

Demostración En efecto. se sabe que una función es continua siempre que sea derivable.
Como en este caso /(x + h) * 0 para h próximo acero porque, por hipótesis,

/(x )* O y /e s c o n tin u a e n x . Entonces

h_»o n - - /( x + h ) /(x)

r /(x ) - / ( x + h) -i

= ljm
h —»o L h / ( x + h ) /( x )

- - [ lim 1 f(x + h) - /(x)

h -»o / ( x + h )/( x ) 1J L1 hliJ’m* 0„ h

f'(x)

"[/(* )■ /(* )] I f W ) " [fM P

Nota Con u = / ( x ) . la regla de la reciproca toma la forma

J - ( 1 \ = . _ L {É2L) Ó Í I L . u l (19)
dx *u • u2 ' d x *' u • u2

TEOREMA 4.8 : Regla del cociente

Si / v g so n funciones den vables en x y g(v) * 0 , entonces f/g es derivable efl x ,y

d |- / W i _ - g ’fx) (20)
d x ' g(x) ( R(.r) ui

con un /(x ) y v —g (x ). esta regla loma la lorma

_d_ » ( £ ) “ ( £ ) v il1- uv* (21)

dx m = v- » ( * y - V2

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388 Capítulo 4: La derivada

Demostración Probaremos la regla del cociente por dos métodos :

M étodo 1 . Haciendo uso del recurso de sumar y restar una misma cantidad

+ h) _ f(x)

rd / W -j _ | j m g ( * + h ) g (x ) _ ^ g ( x ) ■f ( x + h ) - / ( a ) . g(x + h )

d x L g ( j c ) -1 h '_ » 0 h h’- » o h g (*) g (x + h )

lim ( + ~^ +^ ~ ^ gt* + h) )
h-*o' hg(x)g(x + h) /

lim g M [ /(Jr + h> - J W ] - m . lim [ g(JC+ H.) - g W ]

h -»o L n -i____________ h - » o L________ n ■»

lim [g (* ).g (* + h )]

h -» 0

&(x).f'{x)-f(x).g'(x)

[g w i2

M étodo 2. Aplicando la regla del producto a la factorización

m -“ ( r t í í V ) * i w nw™ 4?>

_ g.(x)‘f ' ( x ) - f ( x ) . g ' ( x ) u
U(x)Y

Nota Igual que en la regla del producto, conviene memorizar el enunciado de la regla del cociente.

, (denominador) (num erador)-(num erador) (denominador)
----------------------
■ f (Cociente) = ----------------------- ¿ i ----------^ ^
a x (denomiador)-

En general, es evidente que :

(Derivado de un cociente) * (Cociente de las derivadas)

E JE M P L O 6 ) Hallar la derivada de la función f(x) - 4

(jt2 + 4 ) ( j t - 4) - ( ^ - 4 ) - f ( ^ + 4)

Solución n x ) -----------------------^ ^ ---------------

(jt2+ 4) (2x) - (.x2 - 4)(2x) I6uc

(j^ + 4 )2 ' ~ t*2+ 4)3

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EJERCICIOS C ru p u 2 7 Rrulo.t htiui vs ti? tlerívutiiin 389

Nota Es recomendable hacer uso de paréntesis en los procesos de derivación. Con la regla del
cociente es buena la idea de encerrar lodos los factores y derivadas entre paréntesis , y

prestar atención especial a la resta exigidu en el numerador.

EJEMPLO 7 J Hallar la den vuda de la función f(x) = 4 ^ ( l x- 3
(Función dada)
Solución /(a ) = ~ (Reexpresarla)

a -3 (Regla del cociente)
(Simplificar)
x1 ( x+ M = 1 ( jf+ x 2 \

2 \ a-3 I 2 \ x-3 I

(x - 3 ) ( 3 a 2 + 2x) - ( a ’ + a 2) ^ )

/ ’(*> = 2 ( a - 3 )2

( 3 a 5 - 7 x * - 6x) - (a ^ + a 2 ) a (a * - 4 a - 3 )
2 (a- 3)2
(*-3)-

EJERCICIOS . Grupo 27

*** En los ejercicios 1al 17, hallar la derivada de la función duda. En los casos que sea necesa­
rio , reescribir la función antes de derivar

l . / ( * ) = ± jc5 + ± X* + 3 a 2 - 5 2. f ( x ) = Sa2- ^ 2 + | x2-% ?

3. /(A) = | « ? + + —— A2 •
13

4. 8 3 .2 l S. 1 0 0 =
/(* ) = 5a5 ' a4 a5 ‘ 2r
28a7 12a 6 2 Q *5

6. /(* ) = (2a - 1) (a2- 6a + 3) 7. f( x) =

8. M = (a3 - 3 a + 2K2a , + I) 9. / W = 2 a + 1

3a + 4

lü. /(*) = a , a es constante 11. /oo = ár - x 2 , a es constante
A^ - fl' a2 +x*

12. /(A) = V A+ 1 1 13. fOO = 3 - 2a - a 2

x2- I

14. a7 + 2a2 + 3a + 2 15. m 2a2- 3a + 4
A” - 1
2 =
II
a2- 2a + 3

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