Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

690 Capitulo 7: Form as Indeterm inadas

29. Iim 12 + Cos 22x —Sen x n ~ 2x

\ x Sen2x + x Cos x 2 Sen2x

e Sen x —e [Sen a + J2( x —a) C os(a~7c /4 )J
30. lim -------------------------------------------------------------------

e - e (x+ I-a )

En los ejercicios 3 1al 36, úsese la regla de L’Hospital paracomparar el crecimiento de las
funciones

M = x ” . *(x) = e" h(x) = (Ln x)"

donde /i > 0, m > 0 y x —» Los límites en estos ejercicios sugieren que (Ln x y tiende a
infinito mas lentamente que x"\ el cual a su vez tiende al infinito más lentamente que e"’

31. lim l| e3.x 32. lim , .
(Ln x) *- i e
(Ln x ) 2
33. üm
34. lim i----

35. lim , n > 0, m > 0 36. lim — , n > 0, m > 0
'-»■! e

37. Sabiendo que la función real/tiene derivadas de todas las órdenes, evaluar

f ( a + x ) - f ( a ) - x f ( a ) - X- x 2 f ' ( a )

lim
x —Sen a

38. Sean ftx)= x?Sen(l/x), g(x) = Senx. Hállase ,l-im»« ^g (Xr)* y demuéstrese que en este caso

la regla de L’Hospital no es aplicable.

39. Suponga que / e s una función dos veces difercnciable. Use la regla de L’Hospital
para demostrar que

a) lim f(x +h)-f(x-h)
2h = f(x)

ím n * + » - 2f M + f i x - h )

40. Establezca la versión (VOdc la regla de L’Hospital para el caso a =

(Sugerencia: Sea F(t) = / ( l / f ) y C (f) = g (l/f). Demuéstrese después que

l.i.m —/ ( x -) = Iim F(t) = lim F^( t ) = Iim fg(,(xx))
g(x) »-»*» G (/) G (0

usando la regla de L’Hospital para el caso a = 0)

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Sección 7 .4 : Formas indeterminadas adicionales

En los ejercicios 4 1al 44, estudiar la posibilidad de la aplicación de la regla de L’Hospital.

41. I*™, x Sen(l/x) 42. Uní 2*{Cos x + 2 Sen x) + e * Sen2x
e~r (Cos x+ Sen x)
Sen x

x-Senx 44. lim 1+ x + Senx Cosx
43. lim x + Sen x ( x+Senx Cosx)eSmii

[7 .4 ) FORM AS IN D ETER M IN AD AS A D IC IO N A LES

i) El caso 0 . »

Si lim f ( x ) = Q y ü™ £ (* ) = °°, sedice que el producto fíx).g(x) tiene la forma LndetermL-
r-* « *-*•>

nada O.oopara x = a

Para calcular el límite de f{x).g{x) cuando x —> a, por la regla de L’Hospital, se cambia el
problema por uno de la forma 0 /0 ó «■/«», utilizando las transformaciones siguientes:

f(x).g{x) = - ^ p - (Forma0/0 ) ( 1)
1fg(x) (Forma (2)
g{x)

f{x).g(x) =

í E J E M P L O 1 } Calcular: lim ( x - a r c Senx) Coseclx

Solución Como la sustitución directa nos lleva a una indeterminación de la forma
0«>, reescribiremos el límite para que se ajuste a la forma 0/0. Esto es:

. ax —uari te Sü cerniAx (Forma0/0)
L = Iim ------— 5------

Seenn*xx
Entonces, por la regla de L'Hospital se tiene:

L = lim g'(x) = lim - (1 (Forma 0/0)
3 Sen xCosx

2 v-3 /2

L, = vlim -/ —" -(—■*) = il-im ----------X-- (--l----X-----)-'
*'*" g (x ) »-»" 3Senx{Cos2x + Cos x)

= lm r^ í l ^ L l*i-m*> S-e-n---x-
3(C os2x +Cos x)

-d ) _ 1
3(1 + 1) 6

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692 Capitulo 7: F orm as Indeterm inadas

(E JE M P L O 2 ) Calcular: lim L n \ l - ^ Tg j

Solución El límile lienc la forma O.»», por lo que usaremos la transformación (1)
para obtener

¿.=lim - ^ M - = li,n ¿ " g - x / f l ) (Fonna0/0)
~ . l / * ( x ) — C„,gf í O

¿=hm ~ t- t = lim — !— 1
r " ;' G'( x ) ~ ^
a\2~ x!aJ

2a Cosec2

V2 fl

= lim ---------------- 2a

K(2a —x) Casec2^ ^ ^

2a 2 u
Tt(2a —a ) (I)2 n

Ü) El CaSO oo—ee

Si lim f { x ) = oo y lim g (* ) = » , entonces se dice que fíx) - g(x) tiene la forma
x —tii c—

indeterminada <»—oo. Luego, para calcular

lim [ f ( x ) ~ g(x)]

se procura transformar /(.r) - g(x), mediante ciertas operaciones algebraicas (común de­
nominador o factorización), en una de las formas 0 /0 o «>/ “ y aplicar luego la regla de
L’ Hospital.

( EJEMPLO 3 ) lim I 1
Calcular: >-*2 | —x -—W22
Vl ■■1 ■* i Lti(x —I)J

Solución Se tiene aquí la forma indeterminada oo—oo. Entonces mediante la técnica del
común denominador:

r 2- x +Ln(xr n ] (Forma m

< ^ -l(x-2)Ln(x-\)}

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Sección 7.4: Formas indeterminadas adicionales 693
(Todavía 0/0)
ey

= lim (-x----- —2)—+ (-x-----l7)—L n ( x - l—)
*-*2

L = lim 7----- ^ -----------------= - -
2 8 (-0 ^ 21+(jc_ | ^ _ j _ j +¿JlU_ ]) 2

( E J E M P L O 4 ) Calcular: lim i —1j —Cotg2x

Solución Como la sustitución directa nos lleva a la indeterminación « - « , recscribimos
el límite para reducirlo a la forma 0 /0

L = lim 1 Cos x = lim Sen x ~ x Cos x (Forma 0/0)
*-*» \ x Sen x ) *-*íl
x zSen2x

= *l-i»m<> Sen x + x C o s x ' Sen x —x Cos x (Algebra)
Sen x
x1 Sen x

= lim Sen x+x Co s x Sen x —x Cos x
t-*ll Sen x lim ÍProp. de los límites)
*->íi x Sen x

El límite del primer factor lo hallamos directamente

Ly = lim Sen x + x C o s x ' = lim \ 1+ —Se--n---x- Cosx =2
*-*0

Y el límite del segundo factor por la regla de L’Hospital

, = lim ,| -S--e-n---x——xCosx |, = lim x Sen x

x Sen x 2x Sen x + x Cosx

= lim 1 =l
2 + í^—SeXn—x | Cos x 2 +dXD 3

De estaforma: L = L¡. L2= 2(1/3) = 2/3

( E J E M P L O 5 ) Calcular: lim [ J x 2 -5jc + 6 - jc]

Solución En este caso tenemos la indeterminación 0 0 - 00. Usaremos la técnica de
factorización para transformar el límite a la forma ««.0 y luego reducirlo a la

forma 0/0 .

L = lim i^Jx2—5jc+ 6 - jc ) = x ~ ~ + ~~t ~ *j (Forma oa.0)

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694 Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas

J l - 5 / x + 6/ x2 - l (Forma 0/0)

= üm ------------- — ----------------
1/ x

, f(x) 1 / 2 ( 1 —5 / x + 6 / x 2 )~I/2 (5 / x2 - 1 2 / x3 )
L = lim . - = Lm
g’ ( * )
- 1 / X"

= lim 5-12/x

^-2Vl-5/x + 6 /x2 .

( 7 . 5 ) L A S F O R M A S IN D E T E R M IN A D A S 0°, °°D, 1~

Supóngase queJ(x) y g(x) son funciones cuyos límites cuando x - * a son tales
que el límite de la expresión

v= l/ÍJí)]*"

asuma una de las formas indeterminadas 0 o, <*° ó l
Al calculare! logaritmo natural

Ln y = Ln (/(x )]*1' 1 = g(x). Lnf(x)

vemos que en cada uno de los tres casos de indeterminación mencionados, g (x) . Ln fi, r)
toma la forma 0 .« , por lo que se pueden usar los métodos que preceden a esta sección para
calcular u = lim (L/i y)

Luego, de la propiedad: ax— exLaax se sigue que

[/í*)]***1 = e Ln^xi = eL"!

y como la función exponencial es continua, entonces

/1 liml/í v

L = lim [/(x )l =lim = e"
x —*a

En consecuencia, los cuatro pasos siguientes simplifican el proceso de calcular el límite

de (/í*)]***’ cuando x - > a .

1. Sea: y = L/(x)]*“ >
2. Simplificar: Lny = g(x). Ln f(x)

3. Calcular: u = Ali—m*4(L/t y) = L*\(lim y)/
4. Concluir que: L = lim t /íx )]*1''1 = e"

| EJEM P LO 6 ) Calcular: lim ( l - x ) ° " lBJt/2)

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Sección 7.5 : Form as indeterm inadas O " , 1“ 695

Solución Se tiene aquí la forma indeterminada 0°. Entonces por 1a regla de los cuatro
pasos se tiene:

1. Sea: _y= (1 - jc ) Cos(7t jt/ 2 )

2. Entonces: Ln >' = ^C os~ j Ln ( 1 - x )

3. Sea u = l i m Cos ^ j Ln (1 — j c ) (Forma0 . “ )
u ~ lim Ln{1—j c ) (Ahora de la forma °o/ « )
*-»> Sec(nx f 2)

u = lim 1—x = lim - 2 Cos2(n x 12)
*-i nl2Sec{nx/2)Tg(nx!2) n{l-x) Sen(nx/2)

C„ omo li'im Scen/{ nx/ 2) = ,1 => u = rh m ---2---C---o-v--2--(-r-c--x--/-2--) (Forma 0/0)
*->i *-»' rc ( l- x )
.. f ' ( x ) .. Sen(nx) „
=> u = hm .. ~ lim — . .. ' = 0
*-*' £"(•*) «-*' « (“ !)

4. Si u =»—l•i!m {Ln v)= Z/i( lim /y) <=>í —l»iml y =e"
L = eu= e° = I

Scnx

[E JE M P L O 7 ] Calcular: lim
*-*0 \ X

Solución En este caso la indeterminación es de la forma oo”, entonces, por la regla
de los cuatro pasos se tiene:

2. L n y = (Sen x) Ln ( 1/x) = - (Sen x) Ln x

3. Sea u = *l-i*m•> —(Senx)Lnx = - lim Ln x (Forma«>/«»)
C_osec x

u =-lim l/x = l i m | ^ ^ | 7 g x = (l)(0 ) = 0
*->» —Cosecx Cotgx *-■»<>v. x

4. Si u =lim (Ln y) = Ln [lim y) <^> lim y =e"
J \K -*n / r—»ll
L = e°= 1

( EJEM PLO"8 ) ItS*n$x
Calculan lim (eu +2x)

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696 Capítulo 7: Form as Indeterm inadas

Solución Aquí el límite tiene la indeterminación 1*\ Entonces al aplicar lá regla de ios
cuatro pasos se tiene:

1. Sea y = (c2* + 2x)'#Scll'u

2. Ln y = Sen 3x Ln (e¿I+2x)

3. Sea u = lim(£/i y) = lim ——77— jl^ £ ) (Forma 0/0)
*-*" Sen 3x

=> u = lim f (.,x ). = lim 2(e2x+\ )

g’ (x) *-»« 3(e2* + 2 x ) Cos3x

= 2(1 + 1) = 4
3(1 + 0)(1) 3

4. Si u =x-l»i0m (Ln y) =Ln\ \i-Mli»m y/) <í=>jt-Hli>m y = e"

E JER C IC IO S . Grupo 52

❖ En los ejercicios 1 al 28, calcúlese cada límite, usando la regla de L’Hospital cuando
necesario.

!. h i J Z ü l j 2 . lim í 2- ----------- —— 1
«-»» x \ 4 x + BJ
<-»i* \x + x - 2 x —I J

3. lim J a 2- x2 C o t gí ^2 \ —j: 4 . lim ( o l,x- l ) j c
y
'-** a+x

5- T g x ~ l Sec x) 6 . lim [tJx*+2-c + 5 —jcj*

,7. lrim f 4 - -— —2 - 8 . lin
l x 1- Cos x

9. lim ----- - ----1--- ,0- í k I ^ M t
^ jc —I Ln x

11. lim [(IT —2 arcTg j c ) Ln x] 1 2 . lim ^ ( f l + jf)(/? + x ) ( c + z ) —x]

' \

1 1
13. l*i-m*0 Lnlx + J l + x 2) ¿«0+*) 1*1* uní i . _
[ J x 2- *
V' ' ,

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EJERCICIOS. Grupo 52 697

15. lim [(xfi+ 3 x 5 + 4 ) 1/f- x l 16. lim ( V x 5 - 3 x 4 +17 - x j
LJ

,7- s a p ír ) 18. lim (x + Senx)*
*-*«*
19. lim ^Cos —^
1+7gx 2 0 . lim (e* + 2 x)
IfScn-JTi
21. üm ^ 1 +Senx
22. Iim (lll + Senlx)

25. lim (Sen x~~ Cosx) i}¡* »í i "
r-»«/2 v ' 24. lim (Cos nu)

»-»n+

-utSm bt

26. *li-m*« (ve3x - 2 x)>

i 28. Um Í 2 - ^ f 1
*-*» \ a )
27. lim (x) £n(r*-l)

x -*á )

11 30. h m | Ln x +
29. üm ^Sen x x
x-tit*

31- lim x(2"* - l ) 32. *i-i»m() . * 3 * Tg x
,33, . .l.im i Ln x Ln x
34. *ü-m*« l Cos x Lti{ex —e“)
'ZÜ+ l, 2 2 (x 2 + 1)
Ln(x-a)

35. lim 7g2( l / x ) 36. lim x 4 + 3x2 + 5 x —2
Ln ( 1 + 4 / x)

37. Demostrar que cuando x es infinito => x —x2 Z j¡(| + — | = -2
\ x)

38. Suponga que n es un entero positivo fijo. Demuestre que

lim ( ^/x" +a|X""' +£j2x"-2 + ....+ an_,x + an —x) = —

X' V * /í

39. Sea f ( x ) = e~Ux y g(x) = Cos x - l , por lo que [/(x )F ° es una forma indeterminada

del tipo 0 ° cuando x —»0 . Demuestre que | / ( x ) | * ul —>-Je cuando x —>0 .
40. Use la regla de L'Hospital para demostrar

a) lim (l+ /ix ) IM = e x b) lim ( l + * ) = c '

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698 Capitulo 7: F orm as Indeterm inadas

0 . 6 ) FU N C IO N ES HIPER BÓ LICAS

En esta sección haremos un estudio de una clase especial de funciones trascen­
dentes elementales, cuyas reglas de correspondencia incluyen combinaciones de las
funcioes exponenciales conocidas e' y e'-1.Tales funciones reciben el nombre defunciones
hiperbólicas.

Definición 7.1 : F U N C IÓ N SENO H IPER B Ó LIC O

Sea x 6 E; el seno hiperbólico de v, denotado por Senh r, se define como-

Senhx = ^l (< ~ e ‘

o bien:

Senh : IR —»IR

t y = ^ (e - c )

OBSERVACIONES 7.1

l . Es fácil comprobar que Scnh(O) = 0 y que
Senh(—x ) = 1 ~ c ' ) = —^1(e' —e~') = —Senh(x)

de modo que la gráfica de Senh x, mostrada en la Figura 7 .1, es simétrica respecto al
origen, es decir, Senh x es una función impar.
2. Cuando I * I —> la gráfeia de y = Senh x es asintótica al de las gráficas de las funciones

y = I- e w ó v = —J e- r
}2 '2

3. La gráfica de Senh x es estrictamente creciente en todo su dominio, es cóncava hacia

abajo en <-«».0 > y cóncava hacia arriba en <0 , -H»>; (0 . 0 ) es un punto de inflexión.

Definición 7.2 : FU N C IÓ N COSENO HIPER BÓ LICO
Sea x e IR; el coseno hiperbólico de .r, denotado por Cosh x, se define como

Cosh x ~ —(e* + e~x)

o bien: Cosh: IR —» f 1, + » >

y=-(e' +*'*)

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Sección 7.6: Funciones hiperbólicas 699

OBSERVACIONES 7.2

1. Se comprueba sin dificultad que Cosh 0 = I y que Cosh(-x) = Cosh (x), es decir,
Cosh x es una función par y como tal su gráfica, mostrada en la Figura 7.2, es simérica
respectoal eje Y.

2. Para I x I —>■», la gráfica de Cosh jres asíntota ai de y = —eT ó y = - e~x

J2 '2

3 La gráfica de Cosh x. llamada catenaria, es decreciente en <- <».()> y creciente en

<(),+«•>, presenta un mínimo absoluto en (0 , 1), es cóncava hacia arriba en todo su

dominio.

Las otras cuatro funciones hiperbólicas (la tangente,cotangente,secante y cosecante
hiperbólica) se definen en términos de Senh y Cosh por analogía con las funciones
trigonométricas:

T„h r _ Senh x - e ' ~ e~', D = IR. R = <-1, l>
, gnX ~ Cosh x ~ e ' + e ~1

CtJtghx = C° Sh- = e ' + e~_' n = ® - { 0 ) * R = <-°°. - I> u <L-H»>
Senh x e T- e *

Sech x = - , D = IR, R = <0, l>

Cosh x e x+ e '

Co&ech x = 1 —, d = r = m -{0}

Senh x e x- e ’

Las gráficas de estas cuatro funciones hiperbólicas se muestran en la Figura 7.3
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700 Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas

Figura 7.3

En las gráficas de las funciones hiperbólicas resulta evidente una sorprendente diferencia
entre estas funciones y las trigonométricas ordinarias: Ninguna de las funciones hiperbólicas
es periódica. Sin embargo tienen propiedad de ser pares o impares como las funciones cícli­
cas. Por ejemplo las funciones Cosh y Sech son pares, pues

Cosh ( - jt) = Cosh x y Sech(-x) = Sech .t , V x e IR

Las otras cuatro funciones hiperbólicas son impares

Senh (-*) = - Senh x Cotgh (-jr) = - Cotgh x
Tgh (- jc) = -Tgh x Cosech ( - jc) = - Cosech x

La terminología y notación trigonométrica de las funciones hiperbólicas surge el hecho de que
satisfacen una lista de identidades, salvo algunas ocacionales diferencias de signo, que recuer­
dan identidades trigonométricas familiares. Por ejemplo es válida la fórmula

a) Cosh2 jc - Senh2 jc = 1 e -e
En efecto: Cosh2 jc - Senh2 x = e + e A

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Sección 7.6,1: Identidades hiperbólicas 701

También es válida la formula
b) Senh 2 x = 2 Scnh x . Cosh x

pues, 2 Senh x . Cosh x = 2 e - e e +e = - l e 2' ~e~2') = Senh 2 \

Estas fórmulas recuerdan las relaciones entre el seno y el coseno usuales, circulares como a

veces las llaman, porque el punto (Cos 0. Sen 8 ) se encuentra en el círculo x2 + y2 = I .

V 0 € IR. En forma semejante, la identidad (a) indica que el punto (Cosh 0, Senh 0) se

encuentra en la hipérbola k2- y2= I y esta es la razón del nombre de funciones hiperbólicas

(Figura 7.4)

Figura 7.4

En la lista siguiente, nótese la similitud con las identidades trigonométricas

(7 .6 .1 ) ID EN TID AD ES H IPERBÓLICAS

1. Cosh1x —Senh2x = 1
2. Tgh2x + Sech2 x = 1
3. Cotgfr x —Cosech2x = 1

4. Senh (x ± y) = Senh x Cosh y ± Cosh x Senh y
5. Cosh (x ±y) =Cos h x Cosh y ± Senh x Senh y

Tgh x ± Tgh y
6 . Tagh(x±yJ) = i, ±* Tg.h---x--.Tgh y
7. Senh(2x) = 2 Senh x . Cosh x

8. Cosh (2x) = Cosh2 x + Senh2x

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702 Capítulo 7: Form as indeterm inadas

9. Senh (3x) = 3 Senh x + 4 Senh* x
10. Cosh (3x) = 4 Cosh* x - 3 Cosh x
11. 2 Senh’ x= Cosh (2x) —I

12. 2 Cosh2x = Cosh (2x) +1

13. Senh x + Senh y = 2 Scnh^* ^ j Cosh^ ^ j

14. Cosh x + Cosh y = 2 Cosh^A j Cosh^^^- j
15. [Senh x + Cosh x)M= Senh (n x) + Cosh (n x)

Las identidades 1, 4 y 5 se deducen directamente de las definiciones de Senh x y Cosh x.
Por ejemplo

Senh(x + y) = Senh x Cosh y + Cosh x Senh y

En efecto:

Senhx . Cosh y + Cosh x Senhy - ^.(ex- e*) (e> + e y) + i.(e* + e *) (e> - <?')
44

= I ' er - e xe T) + 1 e^-e* e 1 + e* eT- e ' eO
^ (e* e* +e* e r- e ^ (e*

= | ( 2 e ' í”- 2 e xe") = * (í*"r - e I ¡) ~ Senh (x + y)

Las demás identidades se infieren de (1), (4) y (5) en forma paralela a la deducción de las
identidades trigonométricas estándar. Por ejemplo, probar que es válida la fórmula

Cosh (2x) = Cos/f x + Senh2x

En efecto, si en la identidad (5) (tacemos x = y. obtenemos:
Cosh (x + x) = Cosh x . Cosh x + Senh x . Senh x

=> Cosh (2x) = Cosh2x + Senh2 x

[E J E M P L O *0 Si Coshx =-3/4. hallar el valor de x _

Solución Resolveremos la ecuación teniendo en cuenta que x e IR - {()}

Como Coseh x = ------2----- =>-y2- e s = - 3
e ' - e - ' elx- l 4

de donde se tiene: 3e2f + 8 ex—3 = 0 O (3 e * -l) (<^+3) = 0
c * e*= 1/3 a e' = -3

Dado que e '> 0, V x e IR => e* = 1/3 <=> x = Ln (1/3) = - Ln 3

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Sección 7.6.2 : Lím ites hiperbólicos 703

(E JE M P L O 2 ) Resolver la ecuación: Tgh (Lnx)= 2x¿+ 7^
2

| Solución | Teniendo en cuenta que x e IR*, de la definición de Tgh, se sigue que:

e 2x + 7
y e Ux = l/x, entonces:
~ x2 + ,

pero como é J>K= x

x -l/x 2x + 7 ^ {x > Q) A í x - - l _ 2x
x+l/x
x2+1 \ x2 +1

<=> (x > 0 ) a (x2 - 2 x - 8 = 0 )
<=> (x > 0) a (x = 4 v x= -2) => x = 4

(7 .6 .2 ) LÍM ITES HIPERBÓLICOS

El método de sustitución directa aplicado al cálculo de límites algebraicos y

trigonométricos es también aplicable a límites de funciones hiperbólicas, esto es

lim Senh x = Senh x ., lim Coshx=Coshx,t etc

X —i X * X -*X a

Ahora, si aplicamos la definición de Senh y Cosh, es fácil comprobar que los límites:

lim SWi/ix = lim -(er - e - * ) = - ( e ° - e ', ) = 0
*-*o 2 2

»li—m*n Coshxj—=»nlim -(e* + e ) = ]- ( e° + e") = |

2 2

Tienen una marcada analogía con los límites trigonométricos.

En el teorema siguiente se enunciará seis propiedades, incluidas estas, las cuales son muy

útiles para el cálculo de límites hiperbólicos.

TE O R E M A 7.4 : Seis lim ites hiperbólicos especiales

L .ll.l : l.i-m»n Senh r =0 L .H .4 :. Jim |I W* rt*” 1* \|=- J

L.H.2 : lii-m*u Cosh x = 1

L.H.J =I L.H .6 : lim I - Cosh v
.v*
—» i X

Límites indeterminados que contienen funciones hiperbólicas pueden calcularse con
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704 Capítulo 7: Form as Indeterm inadas

las ayuda de las seis propiedades del Teorema 7.4, las identidades hiperbólicas y una buena
dosis de ingenio.

[EJEM PLO x Senh' 5x
Calcular: lim

[ Senh 3x

Solución La sustitución directa y la propiedad L .H .l lleva al límite a Ja forma 0/0.
Eliminaremos esta indeterminación dando al límite la forma L.H.3, estu es:

*2 f V \2
L = | ¡ m f ^ L l £ ' ) í — 3* ) í í ^

*-*»y 5x ) \ S e n h 3 x ) (3jc)

Pero, según L.H.3 : lim xJ 1 => lim ( X = 1
*-+o(Senhx

[ E JE M P LO 4 ) Calcular: lim 1+ Senh x - Cosh x

*-»•> \ ] +Senh( 2x) - Cos h( 2x) j

Solución En este caso eliminaremos la indeterminación 0/0. dividiendo el numerador y el
denominador entre x.

( 1—Cosh x \ ( Senh x \

j—L —lim J+h H
,,^l-C o s ft(2 j ) j + 2 ^5enA(2^) j

Ahora haciendo uso de las propiedades L.H.3 y L.H.5 se tiene:

L= 0+1 1

2 (0 )+ 2 (l) 2

[ EJEMPLO g ) Calcular: lim ^ Cosh 3x —Cosh x

X 2

Solución La sustitución y la propiedad L.H.2 llevan al límite a la forma 0/0. Elimaremos
esta indeterminación mediante el uso de la identidad hiperbólica 10, esto es:

L = lim 4 Cosh* x —3—xC2=o--s-h--x---—---C--o--s-h---x- } = l..im -4---C--o--s-h--x---{-C-=-o-s--h--2--x--—---I-)
v J
*-» « X2

= lim ( 4 C im /zjO I ( Senh2x |— 4 ( | ) ( i ) = 4

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EJERCICIOS. Grupo 53 705

2 —yjCosh t - Cosh x
f EJEM P LO 6 1 Calcular: lim

Solución La sustitución directa da al limite la forma 0/0.

Resolveremos esta indeterminación descomponiendo el numerador en dos
sumandos de modo que tengan la forma de la propiedad L .H .6

1- t] Cosh x | - Cosh x = lim (l-JCosh x)(l+JCoshx) \-C o sh
L = lim
—

x 2(l + y jC f í S h X )

( \ - Cosh x '’l /\ i 1—Cosh x
rs ) ' X2
- Xli—m*0 1

1+ t]C osH x

[E JE M P L O 7 ) Calcular lim x Se“ tSenh
si ■ * *-r*—»>1111 _- CCfois*((SReenn hh rt)

Solución Resolveremos el problema de la indeterminación 0/0 multiplicando y dividiendo

el límite entre Senh2x

L = lim Senh x x Sen (Senh x)

l 1—Cas(Senhx) Senh~x

- lim Senh x Sen (Senh x)

*-»« l l-Cos(Senhx) Senhx Senh x

Obsérvese que el denominador del primer factor y el numerador del segundo factor son fun­
ciones trigonométricas cuyos argumentos son funciones hiperbólicas; además como

rlim , -1-----C- =o--s--u- I\= I => lim u' = 2
I —Cos tt

¿ = { 2 ) ( 1) ( 1) = 2

E JE R C IC IO S . Grupo 53

1. Demostrar que: I -Tghx =

2. Demostrar que: Cosh + Cosh(4B) (A + 2B)

' Senh(2A) + Senh(4B) +

3. Demostrar que: Senh A - S e n h B ( A-B

Cosh A+ Cosh B *

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706 C apitulo 7: Form as Indeterm inadas

4. Calcular el valor de x , si d) Tgh(Lnx) = -U2
a) Senhx= 12/5 e) Cosh x = 5/4
b) Cotgh x = -5/3 f) Cosech x = -3 /8
c) Senh (Ln 2x) = Cosh (Ln jc )

*1* En los ejercicios 5 al 16, calcular el límite indicado

5. lim Senh x ' 9x —Senh2x
*-»<• yxTgh 4x 6 . lim

X-*» x + 5 Senh 4x

7. lim (l —Cosh j c ) Cotgh2x Senhx —Tgh x
lim
JC—*0 Senf? x

9. lim l + Senhx—Cosh x 10. lim \ —Cos(Senh x)

x-*<l ^1+ Senh( px)—Cosh(px) t kSen2 (Senh 2 jc) ,

11. lim 1—Cosh? x J—tfCosh x
12. lim
Tgh2x
x Senhx

13. lim yjl + Tgh x —i¡\+~Señh~x 14. xli-m»U ■JCoshx —\¡Cosh x

- Senh2x

v. x /

-J]+x Senhx —yjC oshlx 16. xli-m»ll ' Senh (tlc) + 3 Senh2(7tx) ^
15. lim
jc + 2 j t
t-*0 7fiAa( j f / 2 )

(7 .6 .3 ) DERIVADAS DE LAS FU N C IO N ES H IPER BÓ LICAS

Como las funciones hiperbólicas están definidas en términos de las funciones
exponenciales e* y e *. podemos obtener fácilmente las fórmulas de sus derivadas, mediante
la aplicación de las reglas de derivación de estas funciones. Por ejemplo

e.r—e -x e +e = Cosh x
(Senh x) = -y-
ríx ax

-dl O A, x ,) * d- ( e—* + e ~ x = Senh x

Las otras cuatro fórmulas se infieren de estas dos fórmulas con ayuda de la regla del cociente
y de las identidades hiperbólicas,

d ( t i \ _ d ( Senh 'j _ Coshx( Coshx) —Senhx(Senhx)

dx ^ dx [ Cosh x J Cosh2 x

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Sección 7.6.3 : Derivadas de las fu n cio n es hiperbólicas 707

Cosh2x —Senh1 x 1 — = Sech2x

Cosh x Cosh'x

Del mismo modo se obtiene las fórmulas: — (Cotgh xj = - Cosech2x

dx

■4-(Sech x ) = —Tghx . Sech x , 4 (Cosch x) = - Cotgh x Cosech x
dx dx

Obsérvese que las fórmulas de las derivadas de las funciones hiperbólicas son semejantes

a las de las funciones trigonométricas, con ocacionalcs diferencias de signo.

Ahora, si u es una función derivable de x, por lo anterior y por la regla de la cadena,

obtenemos:

1. — (Senh u) = (Cosh u) du 4. — (Cotgh u) = -(Cosch2«) — •
dx dx
dx dx

2 . 4dx- (Cosh u) = (Senh u) 4dx 5. 4 ~ (Sech u)~-(Sech u . Tgh u ) ~
dx dx

3. 4dx (TSh u} = (Sech2 “) 4dx 6 . — (Cosech u) = - (Cosech u.Cotgh u) 4
dx dx

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

[ EJE M P LO 1 ) Para las funciones dadas, hallar su derivada y simplificar

a) y = are Tg (Senh x) d) y = x - Cotgh x - í Cotgh2x

£b) v = Ln Cosh x e) v = - * Sech5 x + —Sech1x - Sech x
53
Cosh x
fj y = —j= Ln J l Coshx + JCosh 2x J
c) y = Ln (Cosh x ) - ~ Tgh7x

Solución a) Si y = are Tg (Senhx) => ~dy = i T (Senh x)'
dx 1+ (Senh x)

dy _ Cosh x _____1__ = Sech x
dx Cosh2x Coshx

b) y = y [£« (1 + Cosh x ) - L n ( 1 - Cosh x)]

• = 1 [(1 + Cosh x)' ( l —Cosh x) 1 _ I ( Serlh x _ —Senh x

dxr 2 [ 1+■Coshx i - C o s h x \ ~ 2 [ l + Gw/i x 1—Cosh x

Senh x [ 1—Cosh x + 1+ Cosh x Senh x

(]+Cosh x ) ( l -Cosh x) l-C osh x

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708 Capitula 7: Formas Indeterm inadas

d \ Senh x = - Cosech x
dx Senh2x

c) y = Ln (Cosh jc ) - 1 Tgh2x => ^ ~ Tgh x (Tgh x)'
2 dx Cosh x

Senh x - Tgh x (Sech2x)
Cosh x

= Tgh x - Tgh x . Sech2x = Tgh x ( I - Sech2x ) = Tgh* x U

d) y = x ~ Cotgh x — ^ Cotg/? x

— = 1 - ( - Cosech2 x) —^ (3) Cotgh2x (-Cosech2 x) m

dx 3

= (1 + Cosech2x) + Cotgh.2x . Cosech2x
= Cotgh2x + Cotgh2 x . Cosech2 x = Cotgh2x ( I + Cosech2x)

— = Cotgh4x

dx

e) y = - ■— Sech5 x + ^ Sech? x - Sech x

=> ^ = - i (5) Sech?x (-Sech x . Tgh x) + ? (3)Sech2x (-Sech x Tgh x) - (-Sech x.Tgh x)
dx 5 3
= Sech9x. Tgh x - 2 Sech' x . Tgh x + Sech x . Tgh x
= Sech x . Tgh x (Sech* x - 2 Sech2x +1)

= Sech x . Tgh x (1- Sech2x)2= Sech x .Tgh x (Tgh2x)2

• ¿I _= Sech x . Tgh5x
dx

f) y = _ L Ln ( 42 Cosh x + JCosh 2x )
41

dy _ _ 1_ í42 1 1 va* kjL.iihn a i 2 |S e n h l x \
dx 42
Cosh x +4 Cosh 2x J 2 4 Cosh 2x ^

1 42 Senh x 4Cosh~2x + 2 Senhx Cosh x

42 4 2 Cosh x + 4 Cosh 2x 4 Cosh 2x

/ 1_________ 4 2 Senh x (4Cosh 2x + 42 Cosh x)
4 Cosh 2x
I

42 4 2 Cosh x + 4 Cosh 2x

dy _ Senh x

dx 4 Cosh 2x

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Sección 7.6.3 : Derivadas de tas funciones hiperbólicas IW)

Hallar la derivada de las siguientes junciones
a) Senh (x + y ) + Senh (jt - y) = 1

b) y = i Senlr x + -^Senh1 x + y¡Senf¡^x + +«■

Solución a) Derivando implícitamente se tiene:

Cosh (a- + y) . ( I + y’) + Cosh(x - y ) . ( I - y’) = 0
=> Cosh (a + y) + y' Cosh (x + y) + Cosh (x - y) - v' Cosh (a - v) = 0
=> Cosh (a + y) + Cosh (a - y)= -y' [ Cosh (x + y) - Cosh(x - v)]
Transformando a producto la suma y diferencia de cosenos hiperbólicos, obtenemos:

2 Cosh + CM ( * + -V¡ * + -V) =-- y [ 2 S e n h ( x + y+2 X- ^ Seoh +

=> 2 Cosh a . Cosh y = -y' (2 Senh x . Senh y)

de donde: y= — Cosh x . Cosh y = _, x . _ v
Senh x . Senh—y — Cotgh Cotgh

b) Elevando al cuadrado ambos miembros de la igualdad se tiene:

y2 = Senlrx + -Js^enh2x + ^Senli2x+.... + °°

y2 = Senh2 x + y
Ahora, derivando implícitamente obtenemos:

2 y y ' = 2 Senh x . Cosh y + y ' => y' = Senh 2x
2y -I

( EJEM P LO 3 ) Hallar la derivada de y=Senh2xi-Jx1+ 1) respecto de , *

V VA2+

Solución Sea u = = x( xi + 1) i/2

Por la regla de la cadena: — = í (I)
dx U a H c í u J
(2)
Si y = Senh2 x 2+ l'j => = 2Senh (-\/a2 + |) Cosh ¡^Jx7+ 1J 2a
A +.
dx

u = a(a2 + I)' dy Senh (2V a2 + i )
dx W * 2 + l ,
du
dx = A ^ - i ( A 3 + i r 3' 2 (2 a) + (a 2 + 1 ) ' /3

= (a2+ i r m [ -a 2 +(a2 +i)] =

( a 2 + 1)‘

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710 Capítulo 7: Form as Indeterm inadas

dado que: dx \ dx (3)
da da = ( , 2 + 0 3
da

dx

Finalmente, sustituyendo (2) y (3) en (1) resulta:

dy _ ( j c ' + l )*'2 Senh (2 V xi + I) = x ( jr 2 +1) S e n h [ l t i 2+ \)

du ^ x 2 +l ,

( EJEMPLO~4~) Si F(x) = J l + Senh2x se escribe como una función compuesta de

cuatro funciones / o g o h o k, hallar la derivada de/ respecto de k
en el punto x = I

Solución Si F ( jc) = (Jo g o h o k)(x) entonces:

k (jc ) = Senh x , h (x) = k \ g (h) = 1 + h y f ( g ) = t i
Esto es, si f —* g —* h —* k, por la regla de la cadena

(á)(S)É í = ( d f ) Éf (D ( 2 k) = (1)
dk
dk , 2t i . ti

Como k ( jc) = Senh x = ^ (** —e'*). para x = l =$ k = ^(e - e') (2)

y si h = k2=>h = ^ ( e - e '')2 ;g = 1 + h = 1+ ^ (e - e ')2- (3)

Finalmente, sustituyendo (2) y (3) en (1), obtenemos:
ÉL e —ezf —arcTg(l) =0.7615
dk e + e

[ E JE M P LO 5 ) Hallarlos extremos relativos de la función
/ (jc) = ( jc - 1) Cosh x - Senh x. Trazar su gráfica

Solución I . Como el Dom (Senh) = Dom (Cosh) = IR => Dom (J) = IR

2. La gráfica de/no tiene asíntotas de ninguna clase
3. Localización de los números críticos

/'(jc) = (jc- |) Senh x + Cosh x - Cosh x = ( x - l ) Senh x
Si f'(x) = 0 => (jc - I ) Senh jc = 0 <=> x = 0 , j r = l
4. Usaremos el criterio de la segunda derivada para determinar los extremos relativos

/ ” (jc ) = -( jc I ) Cosh x + Senh x
ParaJt= 0 =>f" (0) = (0 - 1) Cosh (0) + Senh (0) = - I < 0 <—Máximo

jc= I ^ / " ’ ( I) = (1 - I) Cosh ( I ) + Senh (l) = Senh (1) > 0 <—Mínimo

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Sección 7.6.3: Derivadas de las funciones hiperbólicas 711

Valores de la función en cslos números críticos
En c= 0 => y = (0-1) Cosh fO) - Senh (0) = - 1

=> (0 , - 1) es en máximo local
En Jt = I => y = ( I - () Cosh (1) - Senh( I )

= -Senh I = -1.75
=> (1, -1.75) es el mínimo local
5. La Figura 7.5 muestra la gráfica de la función ■

[ EJE M P LO 6 ) Hallar los extremos relativos, asíntotas y dibujar la gráfica de la función

f ( x ) = Sech (■\¡x2í r - 3 ) J

Solución I . La función está definida en toda la recta real, es decir, Dom (/') = IR
Si x = 0 => y = Sech (0) = 1 => (0, 1) e Gr (/)
Si x = 3 => y = Sech (0) = 1 => (3. I ) e Gr (J)

2. Como «l-im»±- f(x) = Sech (+«*») = () => v = 0 es una asíntota horizontal en ambos senti-
dos (Véase la Figura 7.3c)

3. Localización de los números críticos

f (a ) = -Senh ( V * J- 3 * 3 ) Tgh ({¡i3- ! * 1 ) r [ ~ bX, 2

' ’ ' ; 3V(Jt - 3 j t 3)2 -

= 2 ~ J Sech ( t f x ^ - l x 2) Tgh ( \ l x' ~ 3.t3 )
\ l x ( x - 3 )2
K 'V '

si / ' ( * ) = 0 =* 2 - x = 0 <=> x - 2

/'(•*) noestá definida en x = 0 y x =3, por lo que los números críticos son, x = 0, x —2

y jc = 3 con los que formaremos los intervalos prueba

<-■», ()> , <0 , 2> . < 2 , 3> , <3 , +°°>

El comportamiento de la función en estos intervalos se resume en la siguiente tabla

Tabla 7.1

Intervalos Valor prueba Signo d e / ’(jc) Forma de la gráfica

<-oo, 0 > * = -I z (+) (-)= + creciente

<0, 2 > x~ 1 "(+)(-) = - decreciente

<2, 3 > jc = 2.5 “ (+) <-)= + creciente

<3, +oo> jc = 4 ” <+>(+)=- decreciente

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712 Capitulo 7: Form as Indeterm inadas

4. En esta tabla podemos destacar lo siguente: La función tiene un máximo relativo en los
puntos angulosos (0, 1) y (3, 1) y un mínimo relativo en x —2, donde,
/ ( 2 ) = Sech ( V 4 Í 2 - 3 ) ) = Sech ( V ^ í) = Sech (-2 .2 8 ) = 0.633

EJERCICIOS . Grupo 54

*> En los ejercicios 1 al 20, hallar la derivada de la función propuesta

1. y = Senh2x + Cosh2x 2. y = x Senh x - Cosh x

3. y =*¡ ( l + Tgh2 jc) 3 > ^ T*h l í ) - ' 6 T*hí í )
y = Sech1 (2x) - Sech (2x)
5. y = Senh (2x) + ^ Sech2(2 jc)

7. y = are Tg (Tgh x) ¡. y = - ^ Sec/t2jc - ^ S e c h ( 2 jt) - -

9. y - Ln (Cosh x) + ^ Sech2x 10. y = are Cos (Sech x)

2 „($Tg(xf2)+2 12. y = M + M Z
1L > = 75 [ V?-------- ' 1l-Tghx

Cosech x + Cotgh x 14. y = L, n \i -C---o-s--e-c--h---x---+---C---o-tg--h---x- '
^ Coxec/s jc - Cotgh x >
1 3 y = ------------------------------------- ----------

J Cosech x - Cotgh x

16. y = — j c + — Sen/i ( 2 jc) + * Sen/i (4
i s- v = u í co,« h i ) 44 32

17. y = ^ T g h x + J l ( I + V2 Tghx\ 18. ,,
Ln ¡ = - ^ --------
y = jc2 e 2* O w e c / i *

. 1-^/2 Tgh x ) .

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EJERCICIOS. Grupo 54 713

19. y = b—x + 2---J-e-i-1--—---b-~--- are T^g ( G¡aE—-b ^Tgh, ^x , 0 5 I/jI < a
a Va+<
a

20. y= yjSenil2x + yjsenh2x + 1]Senh2x + + oo

jll V

21. Si y =A Senh ( k x ) + B Senh (kx), demostrar que = k 2*\<

Iy —Senil x ly + Senh x
22. Si ,\f y + S—enh-—x + J\ y - Se—nh¡—x = 2. demostrar que y" = v

IT-L 0 " +~

23. Hallar la derivada de y = e(T>lh°

24. Derivar are Tg (Ln a) con respecto a Ln (Senh a)

25. Sea la función y = Tgh2x + y¡Tgh2a + y¡Tgh2x + , =+. 00

Si £ = y ' Cotgh x . Cosechrx, hallar el valor de k cuando y = 1/4.

a 2—a 2

26. Si v = ——:-------- , demostrar que;
Cosh x —x

x 2x( C o s h a — a ) y ’ + y S e n h - y + =0

❖ En los ejercicios 27 al 40, dibujar la gráfica correspondiente, indicando en cada caso las
intersecciones con los ejes coordenados, asíntotas, los intervalos donde la curva es cre­
ciente y decreciente, los extremos relativos.

x x2 7 . / ( a ) = a C o s h - S e n h ¡ f ox22 8 . / ( x ) = T g h - a*)

29. /(a ) - C o sh [^ x+\ ) 3 0 . / ( a ) = C o s h í 2x + l )
\ A —4 A+ 3 )
\xl +x+\)

3 1. /(a ) = S ec h í ) 32. /(a ) = Cosech [ / + 1 )
Va + a + I/
\x+ \)

3 3 . H x ) = S e n h { Í + * + A' } 3 4 . f U ) = Tg h ( x * ~ x +
A 2 +. 2ry a +. 4A )\ *” • J ' ' — í ’ y x 2 + A + 1i

35. / ( a ) = Sech ( ^ a ( 2 - a ) 2 ) 36. f ( x ) = Cotgh ( f e 2 - a 1 )

3T fíx)= 3S- fo )

3 9 . / ( , ) = r s/ , ( ^ ) 40. / w = Co« „ ( ^ ± ± )
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714 Capítulo 7: Form as Indeterm inadas

(.7 .7 ) FU N C IO N ES H IPER BÓ LICAS INVERSAS

Una mirada a las gráficas de las funciones hiperbólicas nos muestra que cuatro

de estas seis funciones son en efecto inyectivas (el seno, la tangente, la cotangente, y ln

secante hiperbólica), por lo que no existe dificultad para cuncluir que cada una de estas

funciones hiperbólicas tiene función inversa, cuyo dominio es, en cada caso, el rango de

la función original.

Así el seno hiperbólico inverso, que se denota por are Senh o Senh ', está definida por:

y = Senh1x <=> x = Senh y , x e IR ( I)

Del mismo modo, si: (2)
(3)
y = Tgh:1x e=> Tgh v . I x I < 1 (4)

y = Cotgh'1x <=> x = Cotgh y , Ix l > 1

y= Cosech'1x x = Cnsech y , x e Di - { 0 }

Las funciones hiperbólicas coseno y secante son inyectivas si se restringen sus dominios a los
números reales positivos, donde Cosh es creciente y Sech es decreciente, por tanto, se define

y = Cosh1x <=> x = Cosh y, x e [1, +«*>>

y = Sech1x <=> x = Sech y, x e <0. I]

Las gráficas de estas seis funciones hiperbólicas inversas se muestran en la Figura 7.7

Así como las funciones hiperbólicas se expresan en términos de funciones exponenciales, las
inversas pueden expresarse en términos de funciones logarítmicas como se muestra en el si­
guiente teorema.

TE O R E M A 7.5 : Funciones hiperbólicas inversas

1. Senh'1x = Ln (x + yfx2 + I ), v e IR 2. Cosh 'x = Ln ( i + J x 2- 1 ). \ e [ l , +■»>

3. Tgh 1 x = - - Ln ^ j , Ixl < I 4. CotglL1 x = ^ Ln ^ X-+ j j . Ixl > 1

5. Sech 1.i' = Ln I W l - x 2 u e <0, I) 6 . Coscch1x = Ln

Ix I

demostración Comenzaremos por el inverso de Senh x

En efecto, si: y - Senh'1x <=> Senh y = ^ (er - e'y) c=> e2’ - 2xey- 1 = 0

Es una ecuación cuadrática en la incógnita e> => ef = x ± •Jx2 + I
Como e} > 0 y V x2 + 1 > x, se sigue que: ey = x + -Jx2+ I £=> y - Ln( x+ -Jx1 + I )

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Sección 7.7: Funciones hiperbólicas inversas 715

.\ Senil1x = Ln (x + -Jx~ + I )

Otra forma de demostrar este teorema es por la aplicación inmediata de la propiedad de las
funciones inversas

/[£(■*)] = g [/U )l
y de las propiedades de las funciones logarítmicas y exponenciales

eL"a= u y e UH= -uI
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716 Capítulo 7: Form as Indeterm inadas

Por ejemplo, si / (a) = Senh x = ^ (€*- e'x) y g(x) - Ln (x + -Jx2+1 )

flg(x)] = x + x+ Jx2+ 1, x |a + x~+ 1J

=X

x+ ■Jx2+ I

Un procedimiento similar nos muestra que g[/(Jt)] = x, y podemos concluir que g es la

función inversa de/.

El cálculo de Tgh'1jc es algo diferente, pues como sabemos la Tgh x es creciente en todo su

dominio, por lo que tiene inversa. Sin embargo, esta función es acotada, pues 1Tghx I < 1, de

manera que su inversa estará definida sólo para I x I < 1. Luego, si:

y = Tgh ' x <=> x = Thh y <=> x = —e —e _2v i
e +e

De donde obtenemos: eu = Di=> 2y = Ln ^ j » Tgh 1 .r = ~ ^-J— j

Análogamente se calculan las inversas de las demás funciones hiperbólicas.

( 7 . 8 ) DERIVADAS DE LAS FUN CIO N ES HIPERBÓLICAS
IN V E R S A S

Se describe a continuación las derivadas de las seis funciones hiperbólicas inversas
en el siguiente teorema, donde se puede observar la gran similitud que tienen con las derivadas
de las funciones trigonométricas inversas.

TEO R EM A 7.6: Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas

Las funciones hiperbólicas inversas son derivables en lodo su dominio, c'sto es

1. — {Senh 1 ; x e IR 2. j~(atr Cosh i = t e < !,+«»>
dx
y.r'-l

3. - f( Tgh- ' x) ^ — ; IjcI <1 4. 4-{arcCotgh ' v ) = — —. ; l.vl >
dx I - a * '
OK l - . V Z

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Sección 7.8 : Derivadas de las funciones hiperbólicas inversas 717

Demostración Probaremos la fórmula ( I ) mediante el método común de hallar la
derivada de una función inversa cuando se conoce la derivada de la fun­

ción directa.

Empezamos con la relación: Senh (S en h 1 x) = x

Si se sustituye u - Senh1x, entonces como en realidad la ecuación anterior es una identidad
Dx[Senh (u)] = Dx( jc) = I

Luego: (.C„osh. u). —du = , —du 1
1=*
dx dx Cosh u

Por lo tanto: ~d (Senh x). = I I

d* Vi + Senh2ti -J\ +Senh2(Senh~lx)

1

Jñ 2
X

Otro método de demostrar está fórmula es derivando directamente ambos miembros de la
fórmula (1) del Teorema 7.5, esto es:

- f (Senh~l x) = f Ln ( x + V x 2 + l ) ]
dx dx

1+ x 1 1

X + Vx2+1 , Vx2+ 1J Vx2+ 1

Para verificar las otras cinco fórmulas anteriores de derivación pueden usarse métodos
similares.

Ahora bien, si y =f(u) es una función hiperbólica inversa y u - u(x) es una función derivable
de x, entonces por la regla de la cadena tendremos

¿y J # ) ( * £ '
dx du ) i. dx

De aquí se establecen las fórmulas 1 al 6 , para una función compuesta, esto es:

>i

7- u ) = “ 8- Í ( M ' B)=j b r ( S ) ■“

9- ¿ < r*r t ) = 7 b ( s ) ' lBl>1 10- ¿ (C^ - I" , = í b ( í ) ' 1"

H . d— /(rS, ec,h~i uv) . 1 ( —du}L u e <0, 1>

12. e—l (Cosc.h-i uv) = ------ ,1 ( —du , u e IR - {0}
dx \ u \ J l - u \ d x .

( EJEM P LO 1 ^ Hallar la derivada de /( x ) = Senh'1(Tg x)

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718 Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas

jSolución Como el Dom (Tg x) - IR - | ~ + kiz, a g Z => Dom (f) - Dom (Tg a )

Ahora, haciendo uso de la fórmula (7) se tiene

1 (i ,rji \ I (Ser2x) = ISec x\7
~ r (Tg x) = - = -
f(x) = , , ISee .vi

j T j f x + l dx JSec x

/'(•*) = I Sec x I

( E JE M P LO 2 ) Hallar la derivada def (x) - Sech ' (Cos 2x)

Solución Como el Dom (Cos 2 a ) = IR y 1Dom (Sech a ) = < 0 , 1 > , entonces

O< Cav 2x < 1 <=>O< 2r < n/2 => Dom (f) = <0, Tt/4>
Ahora, por la fórmula de derivación (11), se tiene:

/■(*)=- . — (Cos 2 a ) = — ( - 2 Sen 2 a )

\ C o s l x \ - J \ - C o s 2 2 a " d x ' ................ ' ( C o s 2 x ) (Sen 2k)

2 Secf ' ( x ) = 2 x , a g < 0 , 7c/ 4 >

( j J E M P L O ^ J Hallar el dominio de la derivada de la función

f ( x ) = Tgh 3 + 4 Sen x '
4 + 3 Sen x

Solución Dado que el Dom (Tgh ' x) = < -1. I>, entonces

3 + 4Sc«a ( 3 + 4 Senx . 1+ Senx - f -1. +. _S_e_n_x
> -1
A( 4^+ 3o Srenx <f 1^ S e n x <+ +4 3 S e 7 i A > J A ^ 4 3
4 + 3Senx

siendo 4 + 3 Sen x > 0 , V x e IR =} (1 + Sen x > 0) a ( - 1+ Sen x < 0)
De aquí se deduce que 1Sen x 1< I = í a e IR es el dominio de la función/.
Ahora, haciendo uso de la fórmula (9) y de la regla del cociente, se tiene:

/ ‘U)=- 3+ 4 Senx' Cos v)( 4 + 3 5 g n A ) ( 4 C q y A ) - ( 3 + 4 5 e n A > ( 3
•1 4 + 3 Senx (4 + 3Señ

( 4 + 3 SenxY 1 Cos x
( 4 + 3 5ew:r) - ( 3 + 4 Set\ a ) ( 4 + 3 Sen a )

_____ 7 Cos x_____ __ Cosx _ I

7(1 + S e n A ) ( l — S é v t a ) C o s 1 a C os x

f'(x) = Secx , a e IR— [kT2, + ¡c k . k g Z ) ■

Nota La secante hipcrbóica inversa puede usarse para describir una curva conocida como
la tractiz o curva de persecución

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719

[ E JE M P L O 4 J Una aplicación: La tractiz

Sea la ecuación de in tractiz: y = a Sech' (tla) - yj a 2—x 2

Sea L la tangente en el punto P a la tractiz. Si L intersecta al eje Y en el punto Q. mostrar
que la distancia entre P y Q es a.

Solución Hallaremos la pendiente de la tangente a la tractiz en el pnto P(x, v) haciendo
uso de la fórmula ( 11), esto es:

m = \ - — —r— a —I( 1— I ----- , —x = ------a- .2 —x 2 => m = ------J-a--2------x--3-

( )2 ' a ' y/ " 2 xjci2- x 2 x

entonces la ecuación de la tangente L que pasa por Q(0, y,) es

y - y,= ni (x - 0 ) => y - y, = - y¡ t r - x 1

Ahora, por la fórmula de la distancia entre dos puntos obtenemos:

d(P. Q) = ^ í x - 0 ) 2 + ( y - y \ f = J x 2 + (a2- x 2) = a

(^ J E M P L O J S J Otra aplicación de la tractiz

Una persona sujeta un cable que está atado a un bote, como muestra la
Figura 7.8. cuando la persona camina a lo largo del muelle, el bote sigue una trayectoria que
responde a la ecuación de la tractiz

y = a S cch 1 (x/a) - -Ja2 —x 2

donde a es la longitud del cable. Si a = 20 pies, calcular la distancia que debe caminar la
persona para acercar el bote 5 pies del muelle. Mostrar que el bote siempre apunta hacia la
persona.

Solución Designemos por A(0, v ), B(0, y,) y P(.r, y)
La distancia recorrida por la persona viene dada por

y, = OB = 0A +AB => y, = y + -x 2

Dado que, y = a Sech ' ^ j - y]a2 - x 2 =3 y,= a Sech ^ x.j
Si a = 20 pies cuando x = 5 pies, esta distancia es

Ji = 20 Sech~'( 1 / 4 ) = 20 Ln í I + ^ 1~<I / 1L

l 1/4 J

= 20 D i(4 + V Í 5 ) = 41.27

Para un punto genérico P(x, y) de la tractiz, la pendiente de la gráfica nos da la dirección del bote
(Figura 7.8). Esta pendiente la obtuvimos por derivación, en el Ejemplo 4. resultando ser

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720 Capítulo 7: Form as Indeterm inadas

m= —

Pero como la pendiente del segmento que une el punto
B(0, y,) con el punto P(x, y) es también

m = y<-y J<r-x2
0 -x
x

concluimos que el bote siempre está apuntando hacia la

persona. (Debido a esta propiedad se conoce a la tracliz

como la curva de persecusión. ■

(^EJEMPLO_6__J Dada la función f(x) = Senh ' {^¡2x2~ x ? hallar los extremos relativos

de la función/y luego hacer un dibujo de la gráfica.

Solución f { x ) ~ Senh ' ^ jx 2(2 —x)J

1. La función está definida en toda la recta real.
Para y = 0 => x2 (2 - jc ) = 0 « jc = 0, x = 2 => (0, 0) y (2, 0) e Gr (/)

2. La gráfica de la función no tiene asíntota de ninguna especie

3. Números críticos: f' (x) = 4-3x

^ \ + { 2x1 - x y)2n ( 3 l l x ( 2 - x )2 j

si / ,(jc) = 0 => 4 - 3 a = 0 <=> x = 4/3
f \ x ) no está definida en x = 0 y x = 2, luego, son números críticos: x = 0, x = 4/3 y
a-= 2
Intervalos prueba: < -» , ü> , <Ü, 4/3 > , < 4/3, 2 > , < 2, +°° >
4. El signo de f'(x) se determina tomando un valor prueba en cada uno de estos intervalos.
El resultado es el siguiente

+ 00

(-) (+) 4/3 ( - 1 {")

/ es creciente en x e < 0, 4/3 >
/e s decreciente en x e <-■», 0 > vj <4/3, 2 > t j < 2 , + “ >

Para a = 4/3, y = Senh'' ( \ j \ b f 9 ( 2 - 4 / 3 ) ) = Senh'' (1.058) = 0.92

La función tiene un mínimo relativo en (0,0) y un máximo relativo en (4/3, 0.92)
5. La Figura 7.9 muestra la gráfica de la función.

(E J E M P L O 7 ] Dada la función f ( x ) = CoshT x2+3x+2) , „ ,

—j— — , ha lar los extremos
x -3x+2J

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EJERCICIO S. Gruyo 55 721

relativos, los intervalos donde la función es creciente o decreciente y luego, hacer un dibujo de
su gráfica.

Solución f i x ) = Cosh' (x + l) (x + 2)1

u - u u -2)J

1. Dominio de la función = {x e IR I + 3x + 2 > j . _ .q j ^ +00>
x2-3x + 2

2. Como lim / ( x ) = lim / ( x ) = + « - => x = 1 y x = 2 son dos A.V.

x -* r x -* i*

lim f { x ) = Cosh ' (]) = 0 =» v = 0 es una asíntoui horizontal.

3. Números críticos: f ( x ) = 3(2 - x 2)

U - D U - 2 ) V 3.*U '+2)

Si y“(jc) = 0 => 2 - j - = 0<^>.t = ± V2 g Dom(f), no existe números críticos, por tanto

la función no tiene extremos relativos.

4. La función es creciente en x s <0. I> y decreciente en .ve <2, +<»>

5. La gráfica de la función se muestra en la Figura 7.10 I

FIGURA 7.9 FIGURA 7.10

EJERCICIOS . Grupo 55

❖ En los ejercicios 1al 18, hallar la derivada de la función propuesta, indicando su domino.

1. y = Senh1(Jx2- \ ) 2 . y = Cosh1 (t/.v2 +1)
4. y = Cotgh'■(Soí 2x)
3. y = T g h ' ( \ - J ñ

5. y=Tgh'(fy + T gh'^ , - G h ^ ( 1± £ )

)

7 . y = Cotgh'(i]x2- 3 ) 8 . y = CVxsfr1 ( a 2 + 1 )

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722 Capitulo 7: Formas Indeterminadas

9. y = Tgh-'(Jx+l) 10. y = Tgh'(Set i 2 a )
11. y = 2x S en h 1(2x) - J \+ 4 x 2 12. y = x T g h 1( a ) + Ln ( V T V )

13. y - x C osh1 (2x) - 1 J 4 x 2 - l 14. y = SenhA \ 4 Sen x
^ 3 + 5 Cos
2

1 5 . y = ^■yfa2 + x z + Senh' 1 ^ , a > 0

( x ^ *fci2 ~+~x2
16. y = Senh I — 1+ , a >0

17. y = a Cosh' ( l “ ^ ) + V ^ - 2 a x , a > 0

1 8 . y = 3 a 2 T g /i'1 * j - ( 3 a + 2x) yjax+x2 , a > 0

1 9 . Hallar el valor de k para que las funciones dadas sean constantes.

a) / ( x ) = Tgh'1 x b) f( x ) = k T gh1^ j + I ¿n ^ V2l
20. Sean las funciones: A + V2 J

f(x)=2+Tgh~ ( x z -5 x + 4 ) - w - ' a
x 2 +5x + 4

I —x + x 2
g (x ) - - 5 - Catgh(3) + Cotgh

^ 1 + X + jc2

Hallar el área del triángulo cuyos vértices son el punto (-1. 3), el segundo es un extremo
relativo d e /( x ) y el tercero es el mínimo relativo de g (x)

21. Sean las funciones: / ( x ) = are Tg (x + 6) —1, g(x) = \j(x - 3)2 - I,

h(x) = 2 - a te T g h 1 \ x + x + ^ j + [ Ui 6, y la curva definida por las ecuaciones para-
{xi -x+ 9) 2

/ . /-2

métricas: x = , y= , t* I
I - /3 * 1-r3

Hallar el área del trapecio isóceles con base paralela al eje X, tal que el primer vértice A es
el punto de inflexión de f ( x ) , el segundo vértice B es el m áxim o relativo de /i(x), el tercer
vértice C es un punto que está sobre la asíntota oblicua de la curva paramétrica y el cuarto
vértice D está sobre esta asíntota y es punto extrem o relativo de g (a).

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723

22. Sean las fondones:
/ ( j c ) = -2 + Tgh{x - 1)

h{x) = Tgh ( x 2 + 5x + 4 ^ 1 , ( 4 } , r (jr) = 4 + Senh'1 (x + 2)

Hallar el área del rectángulo tal que el primer vértice es el punto de inflexión d e /( x ) , el
segundo vértice es el punto máximo relativo de g(x), el tercer vértice es el punto de extre­
m o de h{x), y el cuarto vértice es el punto de inflexión de r(x).

❖ En los ejercicios 23 al 32, hallar el dom inio, asíntotas (si existen), los intervalos donde la
función dada es creciente o decreciente, los extremo relativos y luego hacer un dibujo de
su gráfica.

2 3 . _v = S e n h 1 [ \jx { 2 —x )2 ) 24. y — Cosech ' {\¡3xz -x * J
26. y= C o s f r '^ i x - 3)2( * - 2 ) + l )
2 5 . y = 5 e « /r , (5 x z,3- j t 5/í)
28- y^C o t g ff 'í ^ x^+-3}J
_ . _! ( x 2 + 3 x + 2 ' * \ x + 4
27‘ y=Cnsh [ 7 = £ T ¡ ¿ ,

2 9 . xv = J i * - ( 4 += 5 x^+ 41 ) 3.r
30. y= T gh-'

a 2+2

/ í---------\

K31. y = Sech' 7 32. y = S e c h - ( 4 ^ l )

[ x7- 8 x +7 J

( 7 . 9 ) FÓRM ULA DE TA Y LO R Y APROXIM ACIONES
POLINOM IALES

Las definiciones de las diversas funciones transcendentales elementales no dejan
claro cómo se calculan con precisión sus valores, excepto en unos cuantos puntos aislados. Por
ejemplo, para la función exponencial y —e' es fácil de calcular su valor cuando x —0, pues
é'= I, pero no queda claro cómo calcular con precisión e' para x * 0. Aún. las expresiones
sencillas como x no son fáciles de calcular, a menos que x sea el cuadrado de un número
racional.

Por otra parte, cualquier polinomio de la forma

P (a ) = b„ + b, x + b2x + .......... + b„ x"
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724 Capítulo 7: Formas Indeterminadas

Con coeficientes reales conocidos b„, b ,, b,.... b„, puede ser fácilmente evaluado para un
determinado valor de jc, sólo se requieren operaciones d e adición y multiplicación. El objetivo
de esta sección consiste en aprovechar que los valores de los polinomios son fáciles de evaluar
para ayudarnos a calcular los valores de las funciones transcendentes y aun de las sencillas
como las funciones racionales e irracionales.

Supóngase que se requiere calcular (o aproximar) un valor específicof(a) de una función
dada/. Bastaría con hallar un polinomio P(v) cuya gráfica esté muy cerca de f en alguna vecin­
dad de a. Entonces, podría usarse el valor de P{a) com o una aproximación del verdadero valor
d e /(c ). Una v ezque se sepa cómo hallar un polinom io de aproximación P(.t) puede preguntar­
se después con qué exactitud se aproxima P(a) al valor deseado/(tí).

El ejem plo más simple de aproximación

polinomial es la aproximación lineal

/U ) = /( ü ) + /'(« ) .(x -a )
Obtenida al escribir A r = x - a en la ecuación

(47) de la Sección 4.17.2

La gráfica del polinomio de primer grado

Pi ( x ) = f ( a ) + f '( a ) . ( x - a ) (l)

es la recta tangente a la curva y = /(-*) en el punto

(a ,f(á )), Figura 7 .11.

Obsérvese que este polinomio de primer grado

concuerda con / y con su primera derivada para

x - a , e sto e s, P , ( a ) = / ( a ) y P,(¿z) = f'( a ) FIGURA 7 11

Por ejemplo, supóngase que f ( x ) = L n x y que

a = 1. Entonces, / ( 1 ) = Ln( I ) = 0 y sif '( x ) = -L => / ' ( I) = 1, de m odo que en la ecuación ( I),
x

P,(j¡r) = jc - 1. Por lo que, podría esperarse que L u x ~ x - \ , cuando x está cerca de 1.
Ahora con x = 1.1 se encuentra que P ,(l, 1) » 0.1, m ientras que Ln (1 .1) = 0.095310. El error
en esta aproximación es alrededor del 5%.
Es de suponer que para mejorarla aproximación ú c f( x ) = L nx, cerca de x= l, se debe buscar
polinomios de mayor grado. Así que planteamos un problema más general; supongamos una
función y = f( x ) con derivadas hasta el orden n en una vecindad del punto a Para aproximar­
se a esta función cerca de x = a, hallem os un polinomio y = P„ (x) de grado no superior a n:

P„ (.*) = b„ + b, jc + b, x 1 + b3x* + ...... + b„ x"

tal que su valor en a y los valores de sus n primeras derivadas en a coneuerdan con los
valores correspondientes de/ . Esto es:

P, (a) = f( a ) , P„Xa) = f'( a ) , P . » = f" (a ) ,.... P / 'V ) = (*) (2)

Estos n + 1 condiciones se usan p ara d eterm in ar los valores de los n + 1 coeficien tes b,„
b|« b2, .... b„
Sin embargo, resulta mucho más fácil si se expresa P„(x) como un polinomio de grado n en
potencias de (x - a) en lugar de expresarlo en potencias de x.

P«U) = K + b,(x - a) + b2(x - a f + .... + b„ (jr - a)" (3)

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Sección 7.9 : Fórmula de Taylory aproximaciones polinomiates 725

H allem os los co eficientes b,„ b „ b2> b , .... b„, de modo que cum plan las condiciones (2).
determ inando previam ente las derivadas de Pn (x).

P0'(x) = b, + 2 b2 (x - a) + 3 b, (x - a )2+ .... n b„(x - a)u i (4)
P„M(x) = 2b2+ 3.2 b , ( jt - a) + .... + n(n - /)b B(x - a ) " ' 1

PB'*‘(x) = k ! bt + (potencias de a- - fl)

P„‘"‘(x) = n (/i - l ) (n - 2 ).... 2 . I. b„ = « ! bH

Ahora, si sustituimos x por el valor de a en las igualdades (3) y (4), y teniendo en cuenta la
condiciones de (2), obtenemos:

/ ( f l ) = b„, /'( f l) - b , , /" ( « ) = ( 2 .1) . r \ o ) = (3 .2 .1) h , ......

. . . , f in\á ) = n(n - 1)(n - 2) .... 2 .1b/f = n ! b„

de donde resulta:

K = f(a ) - h ,= f\a) . b2= f ' W , f ‘ Ui) t b„ = / ^
3! n !
2!

Obsérvese que cuando se sustituye x = a en P„l*’(x) de (4), se encuentra que

k ! b* = P„ K,(fl) = / ,w (a) = (5)

Para k = Q, 1 , 2 , 3 n
Inlrociendo estos valores hallados en la fórmula (3), obtenemos el polinomio buscado, los
cálculos establecen el siguiente teorema.

TE O R E M A 7.7 : Polinom io de Taylor de grado n-ésim o

Supóngase que existen las n primeras derivadas de la fu n c ió n /p a ra t = a. Sea P„ ( a ) el
polinomio de grado n:

P„(v) = X (A - f l / (6)

k!

n!
Entonces, los valores de P„(x) y desus primeras n derivadas concucrdan. para a = fl, con
los valores de / y de sus n primeras derivadas en ese punto. Es decir, las ecuaciones (2)
se cu m p le n .

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726 Capitulo 7: Formas Indeterminadas

El polinomio dado en la ecuación (6) se llama polinomio de Taylor de grado n de la función
f en el punto x = a.

( ^ E J E M P L O ^ ^ Hallar el polinomio de Taylor de grado n para/ ( a) = Ln x, en a = I.
Solución Las primeras derivadas d e /(a ) = Ln x son

/ ’<*>= 1 , f ' ( x ) = - \ , f " ( x ) = -2, , / ‘4' ( x ) = - 34
X xl X X

Es fácil deducir que: / ‘**( t ) = ( - 1 ) * 1 ^ P ' , para k > 1
De a q u í,/lt>( I) = ( - 1 / 1{k - 1 ) ! , por lo que Inecuación (6) da

PB(.r ) = U - l ) - ~2 ( ^ l l 2 + 3^ - l ) , - 74 ( í - 0 4 + ....+ ^ -nU - l ) "
Con n = 2 se obtiene el polinomio cuadrático

P2(x) = ( a - I) - ± ( a - ] ) - = - ^ x 1 + 2 x - |

y cuando x está en la vecindad de 1, podría estim arse que

Ln x « —)-x i + 2x - ^
22

Con x = 1.1 se encuentra que P2(l. I ) = 0.095000 que tiene una precisión de tres cifras decim a­
les porque ¿ j t ( l .l ) = 0.095310
Con el polinomio de Taylor de tercer grado

P,(A) = (A- I)1 + 3] iX - I ) '

se puede ir m ás adelante con la aproximación de Ln (1.1), el valor P x( 1.1) = 0.095333 es
correcto con cuatro cifras decimales.

( ^ J E M P L O _ 2 _ J H allar el polinom io de aproxim ación de grado 4 para la función
/ (a) = p p . alrededor del punto a = 0.

S o lu ció n Las primeras derivadas de f l x) = í 1 - a) 1son
/ '( a ) = (1-a)-2 , / " ( a ) = 2 ( 1 - a ) \ / " '( a 1=2.3 (1 - x)A

Entonces/'*>(a) = k ! (I - jc)-**+11 = ■ kV1 , , *>0

(.1 x )

de d o n d e :/“ '(a) = f m{0) = k !
Luego, en la fórmula (6) se tiene:

p„(*> = /(O ) + / ’( 0 ) . (a - o) + ( a —0 ) 2 ( x - 0)3 + ( x -0?
b
P4(a) = 1 + a + a 2+ a í + a j

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Sección 7.9: Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales 727

[ EJEMPLO 3 J Sea la función f ( x ) = 2 - x - Im x , x > 0. Se sabe que esta función

tiene una única raiz i e f 1, 2], es decir, f ( x ) = 0.
Use el polinomio de Taylor de grado dos para/alrededor de x = I con el objeto de aproximar
el valor de X.

Solución Las dos primeras derivadas d&f ( x ) = 2 - x - L n x . son

/■(*)=- ! - ' y X
X

Estas dos derivadas, en el contorno de x = I, tiencnel v a lo r/'(l)= :-2 y /"(!)= |

El polinomio de Taylor de grado dos, según la fórmula (6) es:

P,(x) = ¿ ^ 4 - í ^ - * ) 2 = / ( 1 ) + / , ( 1 ) .( .v- I ) + ^ ^ ( Jc- I ) 2

= ( 2 - I - L n I ) + ( - 2 ) ( a - 1) + ~ ( a - 1)2 = ^ (-<2 - í w + 7 )

Si P2(x) = fl x) = 0 => x2 -6 .t + 7 = 0 < = > x = 3 ± - J 9 - 1 = 3 ± y ¡ 2
« x = (3 - - J l ) e 11, 2J

La precisión con la que Pn(x) se aproxima a /(jr) se mide por la diferencia (7)
R „(0 = / ( x ) - P n(A)

Por lo que:
J{x) = Pn{x) + R„ (x)

El término R„ se llama término residual o residuo de grado n p a ra /(v ) en r = I. Es el errtn
cometido cuando el valor d e /( a ) se reem plaza por la aproximación P„{a)
El teorema que perm ite estim ar el error o residuo R„(a) se llama form ula de T aylory la expre­
sión particular de R,((x) que se da enseguida se llanta fórm ula de Lagrange para el residuo.

TEOREM A 7.8 : Fórmula de Taylor con resto de Lagrange

Supóngase que la derivada de orden ti + 1 de la función / existe ™brc una vecindad deí
punto «. Entonces:

f ( x ) = fUi) + f ( a ) . ( x - a ) + ' -« }’ +

n ' (* + !)! ( x - a Y (S)
Para algún número c comprendido entre a y x (9)

Demostración En efecto, escribiremos el residuo en la forma

R„(*) = ( x - a Y +l Q(x)
<« + !)!

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728 Capítulo 7: Formas Indeterminadas

donde Q ( a ) es la función que debemos hallar. Entonces en la fórmula de Taylor se tiene'

x -c t ( x - a )2 (x-a)' f " \ a ) +.
21 /"<a) + 3!
f(x) =f[a) +

(JO)

donde la función Q(a) tendrá un valor determinado Q cuando los valores de.*y a son conside­
rados fijos. Usaremos el artificio de introducir una función auxiliar F(f), t e <a, x>, que se
define en la siguiente forma.

F (o = n x)-m -^ . n o - / - ( o - ....

U - O " f u,wñ _ ( x - t ) n+l
n ! J W (m+ I) !

Nótese primero que F(x) - F(a) = 0. Al calcular F{t) se obtiene:

F (t) = 0 - / ’(/) + / V ) - í á S l l f ' V ) + % x r J ) . f " { t) - /'••(/) + ....
1 2! 2!

u -rr1 n (x-t)n jx-ty (« + D ! Q
( n - 1) ! n! ( /)- n ! / ,u+l) (t) +

Al examinar con cuidado este resultado, se ve todos los términos, con excepción de los dos
últimos, se cancelan por pares, así es que

= q (1 1 )

/(! n!

Por tanto, F(t) es derivable V t e <a, x> y com o F(x) = F(a) = 0, entonces por el Teorema de

Rolle, existe un valor i = c e <a, x>, tal que F{c) = 0, esto es, en ( 11)

( X — C ) " /j-(n+!) (c) + ( x - c T nQ == 0 => Q = / ,n* l , (c)

/i ! n !
Luego, en la expresión (9)

(« + !}! r " ( c ) (12)

Que es la llamada fórm ula de Lagrange para el termino residual. Obsérvese que es fácil recor­

dar (es lo m ism o para el último término de Pn+| (x), salvo que (c) sustituye a f ^ ’ítt).

Como c e <a. x) ^ a < c < x c=> c - a < x - a

O sea, c - a = 0 (x - a), donde G e <0, 1> => c = a + Q{x - a)

En este caso, la fórmula del término residual toma la forma

R-w = ( ( ñ + ¡ v .
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Sección 7.9: Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales 729

Así, la fórmula

fían...

+ u z f i : r*"' + ^ r f r r r <13 )

se denom ira/rírm a/fl de Taylor con resto de Lagrange para la función f. Haciendo a = 0. la
fórmula de Taylor se convierte en

f ( x ) = f ( 0 ) + j f ( 0 ) + ^ f ' { 0 ) + j - f ’(()}+...

■+ f ! /,n>(0)+^ ! /<ntl,(eA) (,4)
En este caso particular toma también el nombre de fórmula de Maclaurin.

( E JE M P LO 4 ) Use el polinomio de Taylor para la función f { x ) = (3 - 2x) a l r e d e d o r

del punto a = l.
Solución Las derivadas sucesivas de f ( x ) son:

/■(*) = -! ( 3 - 2 x )2 (-2)= I ( 3 - Z x ) H 2 )
f" ( x ) = -1.2 (3 - 2x) H 2) (-2) = 1.2 (3 - 2x)-’ (2)2
/ " V ) = - 1-2.3 (3 - 2x)-*{2? (-2) = 1.2.3 (3 - 2*)4 (2)1
Luego, es fácil deducir que:

f ' “\ x ) = n ! (3 - 2jr)u'* n ( 2 / = , l ? 2 " , V n > 1, jc 3/2
f {“\a ) = f w ( 1) = n ! 2" ( 3 - 2 j.)',+'

Entonces:

f + 0 u - 0)1 = + 9 < * " 1)1 = p J o X - m r 2

Por lo tanto, en la fórmula ( 13)

/ « = i + i ”-1 ( 2 ) + - í í f r 1 2 ’ 2 í + ^ y r - 3 ! 2 ‘ +■■■

I (*-!)" , U - i r 1 (n+ 1)!2"*'
n!
f » + D ! (I —2 0 (jc — 1)]

9n+1 / |\n+!

= i + 2 ( x - 1) + 22 { x - o 2 + i y( x - \ y + 2 " ( x - i r + u „ , o<e< i
[1-2 e u - n r 2

o más breve

• o"*' / r _ | %"*■
f ( x ) = > 2‘ (jt-i)* + — — — 5-;0<e< i
s í [i-2 9 (jc -i)r2
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730 Capitulo 7: Formas Indeterminadas

[E JE M P L 0 ^5 ^J A plicar la fórmula de M aclaurin para las siguientes l'unciones:

a)f(x) = e ' b)f(x) = Sen x c) /(* ) = Cos a

Solución Las funciones dadas tienen derivadas de todos los órdenes. H allem os sus

derivadas alrededor de a = 0 .

a) Desarrollo de la función / ( a ) = e*

/ ( a) = e* . /(O ) - l

/ ' ( x) = e> . /'( 0 )= l

f ll,)(x) = e* . / lni(0 ) = l

f H+"(x) = e* . f +"(0 x) = e6'

Sustituyendo todas estas expresiones en la fórmula (14). obtenemos:

« - « l + * + *L + + n ! + ( « + 1)1 f 01. 0 < B <1
1 2!

ux n+l
= x Y\ -ft\ 0 < G < 1

b) Desarrollo de la función f{x) = Senx

f(x) =Senx , /(0) = 0

f'( x ) = Cos x = Sen (jc + n/2) . /'(O ) = I

/"(jc) = -Sen x = Sen (jí+271/2) . /"(O ) = 0

/" '( a ) = - Cos x = Sen (x + 3n/2) . / " ’(0) = -1

f w(x) = Sen x = Sen (x + 4n/2) , / 4,(0) = 0

/**>(a) = Sen (x+ n n/2) f in\ 0) = Sen (« n/2)
/ < - *>(jc) = Sen [x + (n + 1) n/2] /< n+ "(0 jc) = Sen 10a + ( « + ! ) n/2]

Luego, por la fórmula (14)

2n+l ,2il+3

Sen jc = x - — + “ ------... + (—1)" — -------- + — ------- Sen |^0A + ( n + 1 )^ j
3! 5! ( 2 « + l)! (2» + 3)!

= V (_()* 2A+1 .2ii+3 o<e<i
xLr 1
((2Hka+ l)\ + Sen 0 jc + (
(2« + 3)!

c) Desarrollo de la función f(x) = Cos x

f{x)=Cosx, , f (0 ) = 1
f (0) = 0
/ ' (*)= - Sen x = Cos (x + n/2) f " (0) = -l
f '"(0) = 0
/"(jc)= - Cas x —Cos (jc+ 2 n/2) f w(0) = 1

/ '" ( jc)= Sen x = Cos (jc + 3 n/2)

/ 41(jc)= Cos x = Cos (jc+ 4 n/2)

/ 1m)(jc) = Cos (x + n 7t/2 ) , f (" \0) = Cos (n tú2)

f {"*l\x) = Cos (jc + (« +1) tc/2) . x) = Cos ( 0 x + (n + l ) 7t/2 )

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Sección 7.9 : Fórmula de Taylor y aproximaciones polinomiales 731

Por lo tanto, haciendo uso de la fórmula (14) obtenemos:

24 2n / \ 2n+2 r _ "I

C^ = ‘ - % + i r - - + ( - » * ^ j ) + ( ^ )! a » [ e x + ( B + 2 J

” 2t 2 n+ 2 r -

■ I (- !)‘ ¡ t í j i + ( ¿ Í 2 j ! ' . 0 .< 'B-< I

( E J E M P L O 6 J Aplicar la fórmula de M aclaurin para la Función
f ( x ) = Cosh x

Solución Dado que Cosh x = ^ (e* 4- e*)

23 n fl+]

y e x = i + x + ^ T+ ^ T+ ...+ ^-¡ + ~ - - ea'
7 2! 3! n! (n + 1)!

de aquí, sustituyendo x por -x , obtenemos

24 n+l

e~* = \ - x + + + ( - h " - ___ - ___ e a'
2! 3! 4! “ * U «! (n + l)!

De modo que:

_1 ( e . + ^ ) = 1 + iv 2 + £v 4. + . . . .v 2^n + _ r 2i"*_2 ^

2k „2/j+2
Cató X = y , eer , 0 < e < 1

f * (2*)! (2n + 2)!

( E J E M P L O 7 ) Aplicar la fórmula de M aclaurin para la Función f ( x ) = ( I + x )" \ donde
m es un cierto número dado.

Solución. La función f tiene derivadas de todos los órdenes, luego, si

/(* ) = o +*)" . /( o)= i

/* (* ) = m<l + x r ‘ , f'(0)=m

/ " (x) = m (m - 1) (1 + xT* , /"(O ) = m (w - l )

p ' \ x ) = m {m - l) (m-2 ) (m - n + I) (I + * )“ "
= ^ /'"'(0 ) = m (wi-1) (m -2 )...... ( m - n + 1)

Luego, utilizando la fórmula (14) obtenemos:
(l + x )" = l. +. m x +. m (vm ——1)i * ?2 + —w ^i-(-m----^l) (-m------2--)£j r»+ . . .

i m ( m - l ) ( f f l - 2 ) . . . . ( » ! - K + l) „ m ( m - l ) . . . . ( i n - n ) /A , n+1
. . . H ------- — ------ X + -------------- - ( b X)
«! (tt-l)l

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732 Capitulo 7: Formas Indeterminadas

O más breve:

(! + *)" =1 + Y + X* +R¡ (0jc), 0 e < O . I >
JAm=m»t L*■' I

[ EJEMPLO ~ 8 ) Demostrar que el número 0 en el término residual de la fórmula de Taylor

de primer orden

f í a + h) = / ( « ) + h f (fl) + ^ f " <« + 6 h>
tiende a 1/3 cuando h —» 0, si f " ( x ) es continua para x = 0 y /" (fl) *■0

^ttnnatración En efecto, debido a la existencia de la tercera derivada, en la fórmula de
Maclaurin con residuo, para n = 2 tenemos

h2 /i3
/ {a+h) - f í a ) + f t / (fl) + 2 , /" (fl) + 3 , / " '( « + 0, h), 0, 6 <0, 1>

Si comparam os con la expresión dada, obtenemos:
h2 h1
[f" (a + Oh) - / » ] = 31- f mía + 0, h)

esto es:

f ' ( a +e h ) - f ' ( a ) _l_ y . . ( n + e , ^

= > 6 r < « ± M 5 ) = . r .(n + 6 i ,i)

= * e t e , [ 0/f r t t e / > + e - m

=>e/M,(fl)=y/"’(a) «(e-i/3)/,,,(«) =o

como, por h ip ó tesis,/ " ' (fl) ^ 0 => G -1 /3 = 0 < = > 0 = 1 /3

',OBSERVACIÓN 7.3. En la fórmula de Lagrange para el residuo

ff" u ) = í T « í o r / '"*',(<')
de ordinario, el valor exacto de c es desconocido. Una forma efectiva de sortear esta dificultad
consiste en estim ar / <fl+l> (c) : por lo regular se busca una sobreestim ación, un num ero
M > 0 (ai que

l / ln+l)( c ) l < M
V c e <«, x>. Sí se puede hallar dicho número M, entonces

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Sección 7.9 : Fórmula de Taylvry aproximaciones palinomiales 733

A /lx-ir1

l/ U )-/ > nU )l= /? „(A )< M lx . (15)
(fj + l)!

Cota superior de! error

El hecho de que (n + I)! crece muy rápidamente cuando n aumenta es con frecuen­
cia útil para m ostrar que \R„ (x)l es pequeño. Para una x particular, se puede mostrar que
iim R„(x) = 0. Entonces se sigue que

PAx)

En tal caso, se aproxima/ (jc) con cualquier grado de exactitud deseado, con tal de escoger una
n suficientemente grande.
Asi pues, p aran fijo, la fórmula (15) permite calcular la cota superior del error que se com ete
cuando P„{x) se aproxim a a / ( j c ) .

( ^ E J E M P L ^ ^ ^ J Estimar la exactitud de la aproximación
Ln ( I. I) « 0.095333...., obtenida en el Ejemplo I.

Solución En el Ejemplo I . para f (x) - L t i x obtenemos

r(*l / / ,x*-l ( * - ! ) !

Y de aquí: /'** (1 )= (-1)*'1(k - I)!

Por lo que, la fórm ula de Taylor de tercer grado con residuo para a = 1. es

Ln(x) = ( x - l ) - ^ ( x - l ) 2+ | ( x - I ) 3+ ^ ^ ( . t - l ) (1)

para algún r entre a = I y x. Con x = 1.1, en ( I) resulta

Ln (1.1) = 0.095333 - 0 (X*)1 (2)
4c

El valor numérico máximo posible del termino residual se obtiene para c = I, esto es

R4 = 0.0001 = 0.(XXX)25
4

Luego, el error que se comete no es superior a 0.000025

Se sigue entonces, en (2), que:

Ln (1.1) = 0.095333 - 0.00025 = 0.095308

=> 0.095308 < Ln (1.1) < 0.095333

y asi, podemos decir que ¿ n (l.l)= 0.0953 con cuatro cifras de exactitud.

( EJEM PLO 10) Usando los tres primeros términos del polinomio de Taylor d e /(x ) -

calcular y estimar el error cometido

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734 Capitulo 7: Formas Indeterminadíis

\SoíucÍP>i\ Puesto q u e / (A>(x) = e \ V k , los tres prim eros términos con residuo del polinomio
de Taylor para la función / (x) = e', son

Con x = -1/4 s encuentra que

-1 /4 (I)

Puesto que R2(x) = —y y como x < 0 y O < 0 < l= > 0 x < O

Esto im plica que ea' < 1. Luego se sigue que:

X (-1/4)-’ 1 R, » 0.0026 < 0.003
384
\R2(x)\< 6
3!

El error que se comete no es superior a 0.003
Por lo tanto, en (1): eriH= 0.78125 - 0.003 = 0.77825

estoes: 0.77825 < l/^ e <0.78125

N ota D ebido al factor (x - n)”+l en el term ino residual de la fórm ula (12), se ve que con
n fijo, entre m ás cerca esté x de a, m ejor será la aproximación de P„ (x) a f{ x ). Por

ejemplo, para calcular Sen 5o (que equivale a ti/36 radianes) se elige a - 0. Pero para calcular
Sen 50° (que equivale a 5re/18 radianes) es m ejor usar a = n/4.

( jE J E M P L O ^ I lJ Demostrar que los valores de Sen x para ángulos comprendidos entre
40° y 50° pueden calcularse con tres cifras de exactitud mediante la aproxi­

mación.

Sen x 1 1+ x ( 1)

’D em ostración En efecto, si/(x ) = Sen x, entonces

f ' ( x ) = Cos x, f ”(x) = -Sen x y f " ( x ) —-Cos x
Luego, en el polinomio de Taylor de segundo grado con residuo

x -a ( x - a )1 f " ( a ) + R 2 (x)
I! 2!

Para Sen x en a = tJ 4 se tiene:

Sen x= Sen — „ n (x-n/4) c i l D , .

4 ---------- 2\ -4 + R i ( x )

+ /?,(x)

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EJERCICIOS. Grupo 56 735

en donde: ( 2)

C° SC

para algún c entre n/4 y x.

Como ICos c I< 1, para cualquier c, entonces

71 57C 71 _ K
X' 4 Üí ~ 4 “ 36

para los ángulos de 40° y 50°

Por lo tanto, en (2): I fí2(x) I< (Q.i)- 0.000167 < 0.0002
3!

En consecuencia, el polinomio dado con tres cifras decimales de exactitud es, en realidad,

exactamente el deseado.

Por ejemplo, para x = 50°, en (1), tendremos

TT TT 1 I■ TT I I TnT *2
= 0.766
Sen 50°=Sen 1+
4 36 J 2 36 2 136

con un error que no es superior a 0.0002

EJER CICIO S . Grupo 56

❖ En los ejercicios 1 al 6, encuentre el polinomio de Taylor con residuo usando los valores

de a y n

I- / W = f ’, f l = l , « = 4 2. /(x ) = C osx, a = n/4, n = 3

3. / ( x ) = Sen x, a = k/6, n = 3 4. / ( x ) = V x . a = 100, n = 3
5. f { x ) ~ (x - 4) %a = 5, n = 5 6. / ( x ) = (jc + 2)'2, a = -1, n = 4

En los ejercicios 7 al .12, encuentre la fórmula de M aclaurin con residuo para los valores
dados de n en las funciones que se indican

7. f ( x ) = J l + x , n = 3 8- f ( x ) - ( \ - x ) l, n = 4
9. f ( x ) = L n ( l + x ) , n = 4 10. f ( x ) = T g x , n = 3
11. f ( x ) - are Tg x. n = 2 12. / ( j c ) = are Sen x, n = 2

En los ejercicios 13 al 16, determine el número de cifras decimales exactas que produce
la fórmula dada de aproximación, para I x ! < 0.1

x2 x3 x4

15. L n ( l + x) = x r 2 x 4—r 3 14

16. V í + x ~ l + - - —

28

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736 Capítulo 7: Formas Indeterminadas

17. D em uestra que la aproxim ación del Ejercicio 13 da e* dentro de 0.001 si I x I < 0.5.

Calcule entonces Ve con dos cifras decimales exactas.
18. Para que valores de x tiene S e n x - x - x ' l 6 cinco cifras decimales exactas?
19. a) D emostrar que los valores de la función coseno para ángulos entre 40° y 50L' se pueden

calcular con cifras decimales exactas mediante la aproximación

rCos x ~ -&----
2

b) Demostrar que esta aproximación produce ocho cifras decimales exactas para ángulos
comprendidos entfe 44° y 46°.

20. Demostrar la siguiente desigualdad

(1 + x y > l + n x + n(-n ~ l) x z . x > ü y n > 2

(Sugerencia: Aproxim e ( I + *)" para el polinom io de Taylor alrrededor de a = 0)
21. Dem ostrar que el coeficiente de x? en el polinomio de Taylor de

/ ( x ) = (jc + l) '1. (1 - 4 jc2)'1, alrededor de a = 0, es igual a

í - n n 2"
- L y - + i - + < -1> "2"

22. H allando el polinomio de Taylor d e / ( x ) = -2--x--—--3---, alrededor de a = 0, determ inar el

coeficiente de jc*.

23. Calcular -Je con un error menor que I0'3
24. a) H allar el polinom io de aproximación de Taylor de grado n para la función

f ( x ) = (I + jc) 2 alrededor del punto a = 0.
b) Calcular el valor aproximado de ( 1. 16)'2con un error menor que 39 x 10^

25. H allar el desarrollo de Taylor para la función y = , alrededor de! punto x = 1¡2

y de una expresión para la cota superior del error si el polinom io se calcula en el
punto x = D.4

26. Sea / ( x ) = Sen(2x + Tt/4) y sea P„(x) el polinom io de Taylor de grado n e n e
(polinomio de Maclaurin) correspondiente

n 2 *-l/2

a) Demuestre que: |^,(-y)| - K¿ I■ Ixl*
*=(! '

b) Hallar el número de términos que deben considerarse en P,(x) para aproximar
Sen(nf2) con un error m enor que 10"\

27. Comprobar que para los ángulos menores que 28° el error que resultaría de haber tomado

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EJERCICIOS. Grupo 56 737

la expresión x ~ — + —x 5 en vez de Sen x, sería menor que 0.(X)00()| Valiéndose de

ello, calcular Sen 20° con seis cifras exactas.
28. H allarel Cos 10° con exactitud hasta 0.001. M ostrar que es suficiente tom ar la correspon­

diente fórmula de Taylor de segundo orden para alcanzar la exactitud indicada.
29. Aplicando la fórmula aproximada

L. n {\+ x)=. * x - —X ~ ■+ X- 1— —X 6
2 34

hallarel Ln (1.5) y calcular el error.
30. Com probar que calculando los valores de la función e1 paso 0 < x < 1/2 con arreglo a la

fóimuta aproximada.
e = i +.*• +, x—2 + —x \
26

se comete un error menor que 0.01. Valiéndose de ello, hallar -Je con tres cifras exactas.

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Respuestas a
Ejercicios Propuestos

[Grupo l ) E v a lu a c ió n y g rá fic a d e u n a fu n c ió n _________________________________ {^
1. S i; 2 . N o ; 3 . S i; 4 . S i; 5. £ = 8; 6 . r¡ = 4 : 7 . / ( 2 ) = 2 1 ; 9 . a 2 + 8 a + 12
1 0 .a )/(A ) = A2 - 5 * + 6, b ) / f .t) = x2 + 6jt, c ) / U ) = j r - 2 , U I > 2 ; d) a x) = i ± 4 ) + x 2 e)

x
/(* )= ("f5 - ) ' 0 f ( x ) = a 2 + 3a ; 11- / ( a ) = 3a2 - 4 a + 4 ; 15. E l o rd en a se g u ir
en la construcción de la Gr(g) es el siguiente: a) y = f ( r + 3), b) y = - f (a + 3),
c)>’= 5 - /( a + 3 ) = h(a), d)>- = 5 -f[~x+ 3) = h(-x).

[Grupo 2 ^ D om inio y rango de u n a fu n c ió n . M odelos m atem áticos_________________ ( y
1. D = [-2, 2 ] , R = [0, 2]; 2. D = [-1. 2), R = [0. 3/2]; 3. D = <-■».-1] u [2, + ~ > :
R = [0 , + « > ; 4 . D = < - « , -1 ] u (4 , + « > ; 5. D = IR -{ -1 /2 } . R =IR -{2}:
6. D = < -o o ,.1/2] o [4 /3 ,+ « > ; 7 . D = R = E ; 8 .D = E , R = [-4 ,+ c « » ;9 .D = I R -f -5 ,-l} ,R =
IR-{-7s -3 }; 10. D = IR -f-3, - I ) , R = [-4,+oo>; 11. D = IR -{ -3 , 2} R = < -5 .+ « > ,
12. D = IR = -{3 } . R = [-5, +«»>, 1 3 . /{M ) = [-1 . 5 > . / ( { - l , l, 2}) = {0, 1/2, 1);
1 4 ./(M ) = <-5, 4 ] ,/ ( { - l , i . 4}) = {-4, 0. 2}; 1 5 ./(M ) = [-5. -1>; 16. [0, 4>.
17. <-5. 20]; 18. [3. 4> ; 19. [-6. 3]; 20. [ 1 + ^ 3 . 3]; 2 1 .< -~ ,-l] U < l,+ ~ > u {0J;
22. /i(r) = 2 / r - j 4 - 2 r , D = i r e IR/ 0 < r < ]; 23. A (a) = ( a / 2 ) -Ja{a - x ) , D = <0, a ], R
= < 0, cr/2]; 24. A = 4 \}n v 2 . 25. C ( a ) = 30 ( a 2 + 128/a ) , a es el ancho de la base;
2 6 . a ) / ( a ) = (2 /7 5 ) a , b ) 4 .7 Ib; 2 7 . a j A (x ) = 3a +- 4 8 / a + 3 0 . b) < 0 , + ~ > ;
28. a) A ( a ) = a ( 120 - x), a g <0. 120> b) x =>• = 60m, 3600m 2; 29. a) L (r) = k r {200 - r{2 + n i
2)]. b) < 0 ,200/n+2>.

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Respuestas a ejercicios propuestos 739

[Grupo 3 } Funciones especiales O

I .< ! . 6J; 2. 4 ; 3. g (x ) = x + 8, 4 . /( v ) = 3.x + 3 ó /(.i) = - 3 r - 6; S. 1136 gal/m in;
6. a) M ínim o = -2, b) M ínim o = 3, c) M áxim o = 7, d) M áximo = 2; 7. a) 10/3 es un valor
máximo, b) -9 /4 es una valor mínimo, c) 6 es un valor mínimo, d) 8 es un valor máximo:
8. 4 es v a lo r m ín im o ; 9. 15/8; 10. 130, S /.8 4 .5 0 0 ; 11. 40 u n id ad es, 9 0 0 d ó la re s;

i1i2. oS/ /. u9<5; i1i 3. * —2~00 - 28 pui,g. 1, 4. . a), , = —_v( 1ít0K,0^l0it0K-J x) ’ . . peces por

Í15 x . si 0 < t < 150 ■
se m a n a : 15. b , .[Q, 2 5 0 ] , c ) 2 2 5 . a ) / W = | 2 25.t I5(1 < s ^

16. a) D om (J) = R a n (/) = IR-{ 3 /2 ], b) D o in (/) = K -{ 4 } . R a n (/) = lR -{2),
c) D om (/) = IR-{-2). R an (/) = IR-{3/2 ], 17. a) < -00, 0] u [8, -h~>, b> |0 , 5], c) <6. + « >
d) <2/9, 1]; 18. a) D om (/) = IR. R an(/) = {0, 2] kj [3, +«>>, b) Dom (/) = f-3, +°o>,
R an ( /) = < -2 ,2 > ; 19. a) (-2 , +<»> , b) 1-18, 5 ], c) 13/2, +<»>, d) [1 , +°°> :
20. x 6 <-«». 0> u <0, 3/2>; 21. a) Dom (/) = <-2, 4>, Ran (/) = [0, 4], b) D om (/) = IR,
R an (/) = [-1 0 . +«>>; 2 2. x e <-■», -2 > u < - 1, +«>> *{2}; 2 3 . R an (J) =

< - 4 ,0 ] u < l ,3 ] u [5, I2>; 24. a) Dom (J ) = < -» , - +“ >, b) Dom (/) —

< -» . 2>: 25. Dom ( / ) = IR . Ran ( / ) = ( 0 ) ; 26. Dom ( f ) = <-«». 0> w f l , +<»>,

R an ( / ) = [ - 1, 0 > xj [ 1, 2 > ; 2 7 . D o m (/) = < l,+ o o > , R a n ( f ) = 1 -V 3 , 0>
28. D om (/) = R an (/') = IR; 29. D o m (/) = R an(/) = IR; 30. D om (/) = IR-{0.1,2,3...}
R an(/) = [0. 2) u <4, +<»>; 31. D o m (/') = IR • IN, R a n ( / ) = <-<», -2> u <0, +«*>>
32. D om ( f ) = < -~ , 4], Ran ( f ) = Z,,+; 33. Dom ( f ) = IR, Ran ( / ) = Z,*; 34. D om ( f ) = IR
Ran (/) = [-4,-3,-2,-1,0} o Z*; 35. D o m (f) = ] - l, l/3> , R a n (/) = [0. 1]; 36. D om (/ )=IR
R a n (0 = [0,1,2,3,}; 37. D o m ^ ) = <-5, 7]. R an(/') = <-2, 6]; 38. Dom(f ) = [-3, 8>
R an(/ ) = [-2, 7]; 39. Dom( / ) = <-2, 5], R a n ( /) = [2, 7>; 40. Dom{ / ) = <-1, 9>
R a n (/ ) = < -12, 5>; 41. D o m ( / ) = IR, R a n ( / ) = <-«», 8]; 42. D o m (/ ) = [-2,+<»>
Rani f ) ^ [-8, + « > ; 43. Ran{ /) = [-3, 0] u [ 1, 4> u [5; 8> - {-4} ; 44. R a n (/) = IR- {7}; 45

R an( f ) = [-5, 5]; 46. R an( f ) = (0. 1/V2 ]; 47. R an(/ ) = [0,'3} u < 15/4, 6]
49. Ran(7 ) = <-4/3, 4]; 50. Ran( / ) = [0, 3] xj <15/4, 6]; 51. R an( f ) = (-2, 4]
52. R an( / ) = JO, +<»>

2 x , si x e [0, 2 > —2 x . si x e [ -2 , 0 >

—J ü x —x 2 - 12 , si x e [2 ,6 > 2 + ^ 4 x - x 2 . si x g [0,4 >
\x] , s i x e [ 6, 8 >
53. /(* )= 54. /(* )= ■^■jc2 —18x + 52 , si x e [4, 6 >
— + 8x —24, si x e [8, 12]
x- 4 , si x e [6. 10]

55. a) par, b) No es par ni impar, c) par, d) impar, e) impar, 0 No es par ni impar, g) impar,
h) par; 56. / e s par; 58. h es par, g es impar

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