Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

40 Capítulo l : Funciones

Definición 1.13 : FUNCION ESCALON UNITARIO

Es aquella función denotada por u , que se lee escalón unitario de paso a y que está
definida por:

f 0 . si x < a
u(*) = u(*-a) = <

{ l ,s¡A->fl
con dom inio IR y rango el conjunto { 0 , l } , y cuya gráfica se m uestra en la Figura ! .49

v.\

i

'0 a

F IG U R A 1.49

EJEM P LO 17 ) Sea la función que consiste en el conjunto d e pares ordenados (x , y ) ,
donde y está relacionado con x p o r:
f ( x ) = u(jt) + 2 u(jc - 1) - 3u(jc - 2)

siendo u la función escalón unitario. Indicar su dominio, rango y construir su gráfica.

Solución Sea y = u(x) + 2u(* - I ) - 3u(jc - 2)
E n to n ces, por la definición 1.13 , se tiene

Í0 ,síjc<0 í 0 , si x < 1

u(*) = { ; u (x - 1) = u,(jr) = < u ( * -2) = u,(x) =
'
1 ,six>0 l I ,six> I I ,six>2

Siguiendo el método de los valores críticos, hallamos los intervalos de variación en x = 0,
x = I y x —2 .E n cada intervalo, la función u tomará valoresdeO y 1, a la izquierda y derecha,
respectivamente, del valor crítico correspondiente.

x < 0 () 0<x< 1 1 1 <x < 2 2 2£2 +«
u(x) = 0 u(*) = 1 u(*)=l u(*)=l

c u(x - 1) = 1 u(jt- I)= 1
V1

•'w

II
o
c

i
w

II
O

u(x- l) = 0 U(JC- 2) = 0 u(x - 2) = 0 u(x - 2 ) - 1

Luego, en (1), s i : x<0 y = 0 + 2(0) - 3(0) = 0
0 < jc < I .=>y = 1 + 2(0) - 3(0) = 1
1< x < 2 ■=>y = I + 2(1) - 3(0) = 3 > = /(*)
«=*y = I + 2(1) - 3(1) = 0
x>2

D o m (/) = [R , R a n (/) = { 0 , 1S,ó3lo}f,inyecsueydausceatmivuoess-trLaibernoslaVFiritguaulreas1.50

Sección J.8 : Funciones especiales 41

Definición 1.14 : FUNCION SIGNO

Es aquella función denotada por Sgn(.r), que se lee signo de x , y que está definida p o r :

-l . si x < 0
Sgn(A) = < 0 . si x = 0
. sí x > 0
1

El Dom(Sj:n) = IR . el R an(S¿n) = ( - 1 , 0 , 1 } , y sü gráficase muestra en la Figura 1.51

Yé !T , ,
1-
0 A , 1 Y
•1 -2 > 1 !2
J
F I G U R A 1.51 -1 -1¡ ü
?i

F IG U R A 1.52

EJEM PLO 18 ) x?+x-6
Construir la gráfica de la función f ( x ) — Sgn ( — x + \— )

Hallar su dominio y rango.

^Solución Haciendo uso de la Definición 1.14, se tien e:

- i . s:i (/ jc2*+ +x -\ 66 ) < ° « J r e ( - o o . - 3 ) U < - l , 2 >

/<*) = 0 , si ( ** + * ’ 6 U o = óx =2
' x+ 1 /

1 , si ( * 2+ * - 6 \ > 0 ^ j r e < - 3 , - l > U< 2 , + « >
' x+ 1 >

La gráfica de f ( x ) en cada intervalo son rectas paralelas al eje X , puesto que y = -1 e y = 1
son funciones constantes (Véase La Figura 1.52) .P o r tan to ,

D o m (/) = » - { - ! } y Rant f ) = { - l , 0 , 1} ■

(EJE M P LO 19 ) Se define la función g en IR por g(x) = -1 ,si x < 0
0 ,si x = 0
1 ,si x > 0

Hallareldom inio,elrangoyesbozarlagrdficadelafunción f(x) = g *j

\Solución Según la D efinición 1.14 , g e s la función sig n o , entonces
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42 Capitulo I : Funciones

-1 , si x-3 ) < 0 « x e < ^ , - l ) U < l ,3)

m =4 ^ ) = <=> X = - ] Q X = 1

, si (■ " 1 ) > 0 ** (x2 - 1 > 0) a (x > 3) >=>x>3

Luego, Dom (/) = (-«>,-1] U [I ,3 ) U (3,+°®)

Ran(/) = { - 1 , 0 , 1}

En la Figura 1.53 se m uestra la g ráfica de la fun­

ción / . ■

F IG U R A 1.53

Definición 1.15 : FUNCION VALOR ABSOLUTO

E s aquella funciómcon dom inio el conjunto IR y que está definida por

f x ,six£Ü
/(x) = txl = <

I - x , si x < 0

Los elementos del conjunto / son pares ordenados de la forma r
{(x, Ix I) Ix € IR ), y su gráfica es la unión de dos panes de rectas
cuyos puntos son simétricos respecto del eje Y. Esto es VA

y > 0 a [(y = x , si x > 0) v ( y = -x , si x < 0]

Por lo q u e : D o m (/) = ÍR y R an (/) = [ 0 , -h» ) ■

F IG U R A 1.54

O BSER V A C IO N X-Xi) Las funciones que tienen por regla de correspondencia una de las
form as : f ( x ) = ± Ix - h I + k , sus gráficas tienen por vértice el

punto ( h . k) y la forma como están ubicadas, éstas respecto de la recta y = k depende del signo
antes del valor absoluto. Si el signo es positivo , las gráficas están ubicadas en el semiplano
superior de la recta y = k . Caso contrario sucede cuando el signo es negativo.

EJEM PLO 20 ) Construir la gráfica de la función f(x) = l x - 2 l - 3

¿Solución S iy + 3 = | x - 2 | , entonces por la definición del valor absoluto

(y + 3>0) a [(y + 3 = x - 2 , x>2) v ( y + 3 = -x + 2 , x<2)]
(>’-■ 3) a [ ( y = x - 5 , x > 2 ) v ( y = - x - 1 , x<2)}

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Sección 1.8 : Funcionen especiales 43

La Gr( / ) , con vértice en el'punto V (2 , -3 ), es la unión de dos

partes de rectas cuyos puntos son simétricos respecto de la

recta x = 2 y esta ubicada en el semiplano superior de la recta

y = -3 (Figura l .55) ■

F IG U R A 1.55

OBSERV A CIÓ N 1.11 Cuando se tiene funciones cuyas reglas de correspondencia contie­
nen dos o más términos con barras de valor absoluto, se recurre al

método de los valores críticos para determinar los intervalos o dominios restringidos y eliminar
dichas bamas según sea el signo que adopten los términos en cada intervalo.

EJEM PLO 2 1 ] Hallar el dom inio. el rango y dibujar la gráfica de la función :

/(x) = lx + 1 I + l x - 2 |
Solución Los valores críticos se obtienen igualando a cero cada valor absoluto, esto e s ,

x + 1 = 0 y * - 2 = 0 <=> x = - l y x = 2
Los intervalos de variación (dominios restringidos) y los signos de cada valor absoluto , en
dichos intervalos, se muestran en el siguiente esquema

x<- 1 -1 <*<2 ? x >2 > + oo

< ----------- s

l* + ll = - ( * + 1 ) l x + ll = + ( * + 1 ) Ix + ll = + ( * + 1 )

1x - 2 1 = - (x -2) l x - 2 | = - (x- 2) l x - 2 l = + (x - 2 )

Luego ,si: x < - I « = > y = - ( x + l ) - ( x - 2 ) = l - 2 x
-1 < x < 2 = > y = + (x + I) - (x - 2 ) = 3
x > 2 => y = + ( x + l ) + ( x - 2 ) = 2x - l

Por lo que la regla de correspondencia de / es

1 - 2* , si * < -1

/(*)= - 3 , s i-1 < * < 2

2x- I , si* > 2

D o m (/) = IR y R a n (/) = [3 , +°°)

E JEM P LO 22 ) Sea la función f : A - > ¡R, definida por /(*) = —l*+ 11 -3
1+ Ix - 31
-*

Si A = [ - 2 , 4 ) , hallar /(A ).

Solución, Obsérvese que valores críticosx=-1 y x = 3 pertenecen al conjunto A , dominio de
/ , en consecuencia, la eliminación de las barras de valor absoluto lo obtendremos

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44 Capitulo I : Funciones

expresando el conjunto A como una unión de subintervalos, esto e s ;
[-2, 4) = [-2 , - I) U [ - 1, 3) U [ 3, 4)

y así: /( A ) = R a n (/) = R a n (/,) U R a n (/2) U R an (/2)

Entonces cada imagen de / está restringido a un intervalo en el que el signo de cada valor
absoluto depende del valor de x en cada intervalo.

-2 - 2 < , x < - \ -1 -l<x<3 3 3<x<4 4

l x + ll = - ( x + I) 1x + 11 = + (x + 1) | x + l| = + ( x + 1)
| x - 3 1 = - ( x - 3) I x - 3 1 = - ( x - 3) |x - 3 1 = + (x - 3)

Determinación de las imágenes y los respectivos rangos,

a) S i x e [-2 , 1) ■=> /,(x ) = l - ( x - 3 ) *x +- 4t <=* /■(*) = ■+ x - 4

x € [-2 , - 1) *=> -2 < x < - 1 < = > - 6 < x - 4 < - 5 < = > - \ < ——^ r < - 1
5 x-4 " 6

« - I <_8_á *« . 1 <I+ * s . il

5 x-4 6 5 x-4 3

/,< jc)e <-3/5 , - l / 3] (2)

b) S i x e [-1 , 3 ) ^ f 2(x)= = 4 ^ » / 2(x) = - 1 + 2
I-(x-3) 4-x 4 -x

x e [-1 , 3) s=^ -1 < jc < 3 ^=> -3 < - jc < I <=> 1 < 4 - x ^ 5

« 4< < 2 <=> - | < - 1 + - ? - < 1 -i- / 2(x ) e [-3 /5 , 1) (3)
5 4-x 5 4-x 2

c) Si x e [ 3 , 4 ) / 3(x) = = I ■=> / , W e Í U (4)

L uego, sustituyendo (2 ), (3) y (4) en (1) se sigue que
/(A ) = <-3/5,-1/3] U [-3 /5 ,1 ) U {1} = [-3 /5 ,1 ]

EJEMPLO 23 J Hallar el dominio y el rango e la función (I)

/(x ) = V 1x |2 + 4x + 4 1 |x + 1 I + I | - 17

Solución Dado que |x l 2= x2 y lx + I I + 1 > 0 , V x e (R, entonces
/(x ) = Vx2 + 4x + 4( |x + IÍ + Í ) - 1 7 = Vx2 + 4 x + 4 | x + 11 - 13

L uego, la función es real <=> x2+ 4x + 4 l x + ll - 1 3 > 0
Resolveremos la ecuación (1) considerando los casos siguientes:

Caso 1 S ix + l < 0 = > | x + l | = - ( x + l ) .entonces en (1)
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Sección 1.8 : Funciones especiales 45

(.x < - l ) A [x*+ 4x-4(x + ] ) - 13>0] (x < - 1) A (jc2> 17)
« a ( x < - V l 7 v x > V T 7 ) *=> j r í - V ñ

Caso 2 S ix + l> 0 lx + I I = +(x + 1), entonces en (1) :
( x > -l) a [x2+ 4x + 4(x + 1)- 13>0] «=* (x > -l)a [(x+ 4)2> 25]

« (x> -I) a (x+4<-5 v x + 4>5) » x> I
. Vx1- 17 , si x < - VI?

Por consiguiente: /(x) = <
Vjt + 8x - 9 , si x > 1

Luego , Dom(/) = , -VT7 ] U í 1, +°°) y como Vx3- 17 > 0, V x < - Vl7 y
Vx2+ 8x-9 > 0 , V x > l , entonces, Ran(/) = [0,+«>)

(ejem plo 2 4 ) Seala función: /(x) = 9V3-2x-x* -U + 6 | + x -3
Ix - 1 I + 1 x - 3 1 + |x + 5 ! + x

H allar, el dominio , el rango y dibujarla gráfica d e / .

Solución Como el denominador * 0 , V* e IR, el D om (f) lo obtendremos a partir de la raíz
cuadrada.es decir:

/ es real< = > 3 - 2 x - x J > 0 « (x - 1)2 < 4 c=> -3 < x < 1 <=$ D o m (/) = [ - 3 , 1 ]
Ahora analizaremos el signo de cada valor absoluto a partir del D om (/) ,sin recurrir al método
de los puntos críticos , esto es :

a) 3 < x + 6 í 7 ¡=5 Ix + 6 1 = + (x + 6)

Si -3 < x < I <=> b) -4 < x - 1 < 0 U - ll = - ( x - I)

c) -6 < x - 3 < -2 ^ Ix - 3 1 = - (x - 3)

d) 2 < x + 5 < 6 «=> l x + 5l = + ( x + 5 )

x x, x 9 V4 - (x + 1)2 - (x + 6) + x - 3 r— -=■ ,
Entonces en / : /(x ) = — — — -— = V 4- (x + l )2 - 1
- (x - I) - (x - 3) + (x + 5) + x

Sí y + I = V 4 - ( x + I)2 o ( y + I f = 4 - ( x + l )2
^ ( x + I)2+ ( y + I )2 = 4

Es la ecuación de una circunferencia con centro en C( - 1,-1)
y radio r = 2 . Luego , la G r(/) es una semicircunferencia de
radio 2 . en el semiplano superior de la recta y = - 1. (Véase la
Figura 1.57). Por tanto :

R an(/) = [k , k + r] = [-1 , 1]
Verifiqúese analíticam ente, a partir del D o m (/), la obtención del R an(/)

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46 Capítulo / Funciones

;---------- f u +U + 3 1 + I j c - 2 1 , si \2 x - 1 1 > I j c - 5 I
[EJEMPLO 2 5 ] Sea/(jr) = <|

[ u + 5 I - Ijc - ll , si \ 2 x - 1 1 < | x - 5 l

Hallar el dominio, el rango y dibujar la gráfica de / .

\Solución\ Analizaremos el signo de cada valor absoluto resolviendo las inecuaciones respec­
tivas de los dominios restringidos.

a) Si |2 jc- 1 1 > \x - 5 K<=> (2x - 1)2> (jc - 5 )2 < = > j c < - 4 v j c > 2
Entonces : f t(x) = U + 3 1 + Ijc - 2 1 , si jc e (-<», -4) U ( 2 , +*»)
Determinemos el signo de cada valor absoluto partiendo del D om (/,)

jc+ 3 < I Ijc + 3 1 = - (jc + 3 ) jc + 3 > 5 «=> I jc + 3 1= + ( jc + 3)

* < -4 <=> jc> 2 <=> jc - 2 > 0 ■=> I jc - 2 I = + ( jc - 2 )

jc - 2 < - 6 i=> |jc - 2 1= - ( jc - 2 )

■=* /,(* ) = - (jc + 3 ) - (jc - 2 ) = - 2 ; c - l , s í j t < - 4

[ (jc + 3) + ( jc - 2) = 2 jc + 1,si jc > 2

b) Si12 x - 1 1 ^ Ix - 5 I x e [-4 , 2 ] , es el com plem ento de (a)
Luego :/,( * ) = U + 5 1 - U - 1 1 , si x e [ - 4 ,2 ]
Como el punto critico jc = 1 e [ - 4 , 2 ] , entonces s í :

- 4 < j c < 1 <=> f l < j c + 5 < 6 i = * | j c + 5 | = + (jr + 5 )
1 - 3 < x - I < 0 ^ [jc- I I = -(jc - I)

1 <x<>2 <=> f 6 < j c + 5 < 7 czj | j c + 5 | = + (jc + 5 )

l 0 < j c - 1 < 1 «=> | j c - 1 1 = + ( j c - 1)

=* /,(* ) = ( * + 5 ) + (ji:- 1 ) = 2 jc + 4 , s i j r e [-4 , l )

( j c + 5 ) - (jc - 1) = 6 , si j t € [ l ,2 ]

Por lo ta n to , si / ( jc) = / , ( jc) U / 2( jc) , entonces

-2x - 1 , si jc < - 4

m= 2 * + 4 , si - 4 < x < 1
6 , si 1 < j c ¿ 2

. 2 t + 1 , si j c > 2

L a Gr( f ) se m uestra en la Figura 1.58 , de d o n d e : D o m (/) = IR y R a n (/) = [-4 , +«>)

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Sección ¡.8 : Funciones especiales 47

OBSERVACIÓN 1.12 Con respecto a la gráfica de funciones definidas por

/<*) = lg(*)l
como por definición de valor absoluto, f ( x ) > 0 , Vjc e D o m ( /), y , además

í g(x),sig(¿)>0
/(*)= i

[ -g(x),sig(A)< 0

se observa dos aspectos fundamentales:
a) Las restricciones: g(x)> 0 y g(x)< 0
b) Las imágenes : f ( x ) = g(jr) y f ( x ) = - g(x)

Esto significa que la G r(/) se obtiene a partir de la Gr(g) y ocurre que si g es positiva la
Gr(f) = Gr(g) ,y cuando es negativa, la G r(/) se obtiene por reflexión de la Gr(g) sobre el eje
X . En consecuencia, la G r(/) siempre se mantendrá en el semiplano superior del eje X. Para el
caso de funciones definidas p o r:

/U ) = | g ( x ) ± h ] ± k
la G r(/) se mantendrá en el semiplano superior de la recta y — k

E JE M P L O 2 6 ) Construir la gráfica de las funciones

a) f(x) = x+2 b) /(*) = \j t -4 x \ - 1
x-2

Solución a) Sea g(x) - ** > - 1 + ~ 2 w (Jf - 2) (>• - I) = 4

La Gr(g) es la de una hipérbola equilátera con centro en C (2 , l ) y asíntotas,
las rectas x = 2 , y - 1 .P o r tanto, la G r ( /) , que se muestra en la Figura 1.5 9 , comprende la
parte de la hipérbola arriba del eje X donde g(x) > 0 , esto e s , en x € (-<», -2] U ( 2 , +<»),
y la parte reflejada de la hipérbola donde g(x) < 0 , es decir , en x e (-2 , 2) . Luego .
Dom ( / ) = IR - {2} , R a n (/) = [ 0 ,+ ~ >

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48 Capítulo / : Funciones

b) Sea g(jc) = j r - 4 x = (x - 2 )2 - 4

La Gr(g) es la de una parábola con vértice en V (2 , - 4 ) . Entonces la G r ( / ) , m ostrada en la

Figura 1.60 con tra z o lle n o , com prende parte de laG r(g) donde g( x) >- I (semiplano supe­

rior de la recta y = - 1) , junto con la parte reflejada de la Gr(g) donde g(x) < -I (trazo

disco n tin u o ). Luego , D o m (/) = IR y R an (/) = [-!,+«»> ■

EJEMPLO 27 j Sea f la función cuya gráfica se muestra en Y. k
ciones : laFigura 1.61. Hallar la gráfica de las fun­

\1

a) g(*) = f ( \ x \ ) ..xe Dom(/) .T .J

14 '

b) hO) = I f ( x ) I ,Jte Dom (/) -1

F I G U R A 1.61

Solución a) Por definición de valor absoluto

' / ( x ) , si x > 0

gW = / ( U I ) =

/(-x ) , si jc < 0

L uego, si x > 0 J a Gr(g) = G r( / ) , esto e s , si x e [ 0 , 4 ] , y si x < 0 , la Gr(g) se obtiene por

reflexión de la G r(/)e n el eje Y . De laF ig u ra 1.61 :

/(*) = -I , s i0 < x < 1 «=> /(-*) = -1 , S ¡ 0 < - X < 1 < = > - l < X < 0
x - 2 , si 1 < x £ 4 -JC- 2 , si I < - x á 4 <=> -4 < x £ - l

-x - 2 , si -4 < x ¿ -1
■■■ g(*) = / ( U l ) = <! -I , s i - l < x < 1

X - 2 , si 1 £ x < 4

Su gráfica se m uestra en la Figura 1.62

b) Si h(x) = If ( x ) I%entonces la Gr(h) se obtienen reflejando sobre el eje X toda la parte de la

G r(/) que está debajo de dicho e j e , tal com o se m uestra en la Figura 1.63. ■

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Sección 1.8 : Funciones especiales 49

Definición 1.16 : FUNCION MAXIMO ENTERO

Es aquella función denotada por [ j , con dominio el conjunto IR. rango el conjunto Z y
cuya regla de correspondencia está dada por

/ : « —> Z l f ( x ) = [ a ]
donde ( a ] es el m áxim o entero no m ayor que x , es d e c ir, si

[ x ] = n «=> [ x ] = max {n e ZI n á jc}

De las propiedades de los números reales es conveniente recordar que si
[jc] = n < = > n < j c < n + l , n € Z

entonces el dominio de la función máximo entero es la unión de intervalos de la for­
ma [n , n + l ) , n e Z , esto es

D om (/) = CR = x € U [ n , n + l > , y c o m o / ( x ) = n Ran(/) = Z
ne Z

Luego , para trazar la gráfica de f(x) = [ x ] , especificaremos / para algunos intervalos de

longitud unitaria a cada lado del origen.

Si -2 < j c < - I t=* n = [ * ] = - 2 0 < x < 1 «=> [ x ] = 0

- l < jc < 0 c* n = [ jc 1 = -1 1 <jc<2 [x] = I

-2 , s í x € [-2 , - 1) 2 á x < 3 i=* [ jcJ = 2
-1 , si x e [-1 , 0)
m = í x ) = < 0 , s í j c e [0 , I)
1 , si jc e [ 1 , 2)
2 , si x € [ 2 , 3 )

Obsérvese que la gráfica de / (Figura 1.64) se obtienen
dando valores a n , es decir, para cada valor de n obtene­
mos un intervalo en el cual se tiene una función constante
cuyo rango esn.

N ota Antes de resolver algunos ejemplos ilustrativos, es conveniente recordar las propieda­
des más usuales d d máximo entero.

M E . 1 : Si [ r ] = n « n ^ r < n + 1 , n e Z
M E .2 : Si m e Z e=> [ jc+ m j = [ x ] + m

M E.3 : V re R , [ * ] + [ je] f 0, sixe Z
M E.4 : [[*]) = U j =<

l -1 , si x e ( IR - Z)

ME. 5 : Si[jc]<fl<=>jr<a,V aeZ

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50 Capítulo 1 : Funciones

M E .6 : S ¡ [ j r ] < a < = > J c < a + J , V a € Z
M E .7 : S i l J t ] > a « j c > c , V a e Z
M E .8 : Vjce IR,jc- I < [ * ] < *
M E .9 : V x , ) ‘ 6 R . [ x ] + l y ] < [ * + >']

[EJEM P LO 28 ) Construir la gráfica de la función f( x ) = [ i n r ] , m e Z

Solución P o r l a p r o p i e d a d M E . l t [ m x ] = n <=s> n < m x < n + 1 (1)
Puede ocurrir dos casos:

a) Si m e Z + ^ ^ < * < , luego,D om (/) = y /(*) = n

Cada intervalo del D om (/) tiene una longitud 1/ m, es decir, se acorta m veces respecto de la
longitud unitaria (Véase la Figura 1.65)

b) Si m e Z- « -5 ± 1 < * S A « D om (/) = 1 ^ < J ! ± I , £ ] y , W = „

Cada intervalo del D om (/) tiene una longitud 1/m y cambia de sentido (Figura 1.66). Nótese
que cuando n € Z+ cada intervalo del D om (/) es negativo y viceversa. L uego, dando valores
a n en ambos casos, se sigue que :

f(x) = -2 , s i - 2/ m < x < - 1/m ll -2 , si - 1/m < x < - 2/ m
-1 , s i - l / m < x < 0 3 -1 , si 0 < j r < - l / m
0 , s i 0 < x < I/m 0 , si 1/m < x < 0
1 ,si l / m < x < 2/m I , si 2/ m < x < l/m
2 , sí 2/m < x < 3/m 2 , si 3/m < jc< 2/m

4 » \ t>) 171 < 0
2

i/m 2/m 1/m 0 ■i/m .2/m ' “

•1 !

*2

FIGURA 1.66

Nota Situaciones similares se presenta para funciones definidas por f(x) = [ xfm ] donde el Dom(/)
está constituido por la unión de intervalos de la forma [m n , m (n + I)) o (m(n + 1) . m n] ,

es decir , cada intervalo se alarga m veces la longitud unitaria.

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Sección 1.8 : Funciones especiales 51

EJEM PLO 29 J Construir la gráfica de la función f {x ) = ( jt/2 ]

Solución Si [jc/2 J = n <=> n <xf2 < n + l » 2 n < x < 2 ( n + l ) , n e Z
E ntonces, Dom ( / ) = { jtlx e [ 2n , 2 (n + 1)) , n e Z} = IR

Obsérvese que en este caso los intervalos del D om (/) son de longitud doble (m = 2 ), y como
f ( x ) = n , entonces el R an(/) = Z . Luego, eligiendo algunos
valores para n e Z , se tiene :

/<*) = -2 ,s i-4 < * < ~ 2

- I , si - 2 < jc < 0
0 , s í 0 < jc< 2
1 , si 2 < jc< 4

2 ,si4<x<6

Finalm ente, la G r(/) se ilustra en la Figura 1.67

OBSERVACIÓN 1.13 El m étodo gráfico para dibujar gráficas defu n cio n es definidas

p o r ; f ( x ) = [gOr)]
Supongamos un intervalox e [ a , b) del D o m (/). Sabemos que para n e Z , si

ñ x ) = [ g(jr)J = n » n < g (j) < n + 1 , Vx e [a , b)
Si interpretamos geom étricam ente este resultado veremos que la gráfica de / en [c . b) es
la proyección vertical de la G r(g) en dicho intervalo que resulta de resolver la inecuación
[ g ] < gtr) < [ g ] + I
E ntonces. dada una función g , cuya gráfica es conocida (en la Figura 1.6 8 , con línea discon­
tinua) , la gráfica de la función f(x) = [ g(x) ] estará constituida por segmentos horizontales
uno de cuyos extremos estará sobre la gráfica de g. Se debe advertir que no necesariamente la
porción de la gráfica de g debe proyectarse sobre todo el intervalo [n , n + I) p ara que cum pla
la igualdad [ g(x) ] = n . En la Figura l .69 se m uestra la gráfica de una función g (línea
discontinua) en la que se ob serv a q u e para x e [jc2 , x3] <=> [ g(x) ] = 2 , es decir , se
cum ple que 2 < g(x) < 3 , aunque no to d a la curva perteneciente al intervalo [jr2 , x3] se
proyecte sobre [ 2 , 3 ) .

F IG U R A 1.68 F IG U R A 1.69

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52 Capitulo I : Funciones

E JE M P LO 30 ) Hallar el dom inio, el rango y construir la gráfica de la función
/(*) = [ ^ ]

Solución Los pasos a seguir son los siguientes

1. C onstru ir, con trazo d iscontinuo, la gráfica de g (x) =
2. Determ inar los intervalos [a ,b)

Como ■\ / xel R+ < = > * > 0 y [ Vx ] e Z+ , se tiene que

[ -Jx ] = n <=> ( j c > 0 ) A ( 0 < n < > / x < n + l , n 6 Z+)
<=> n2< r < ( n + l ) : , n e Z +

3. D eterm inarelD om (/)yelR an(/)

D om (/) = {jce R + | x e [ n2, (n + l)2) , Vn e Z+} = [0 . +°°) , y como f ( x ) = n , entonces

Ran(/) = Z+ U {0} . Y* Grfe)sv _ .
4. Determinar la regla de correspondencia de /. >■

Dando valores a n = 0 , 1 , 2 , 3 , se tien e:

0 , si x e [ 0 , 1) l/ G r(/)
1 , si jre [ 1 , 4 )
/(*) = 2 . si x € [ 4 ,9 ) I 16 >X
3 , si x e [ 9 ,16) /: J

5. Construcción de la gráfica de f . (Figura 1.70) F IG U R A 1.70

E JE M P L O 31 j Hallar el do m in io , el rango y construir la gráfica de la función

Solución l. Dibujamos con trazo discontinuo la gráfica de g(x) = ^ ^ , .llamadacurva
de A gnesi, que tiene por asíntota al eje X.

2. Determinación del dominio y el rango de / .
Com o la curva se extiende a lo largo del eje X *=* D o m (/) = R

Además , f > 0 , V j r e IR c* f + | > I y 0 < — r < I c=> 0 < — < 4

l + X2 1 + X2

Luego : [ ] = ®, 1 . 2 , 3 , 4 , esto es , Ran(/) - {0 , I , 2 , 3 ,4}

3. Conocidos los elementos del rango podemos determinar losintervalos restringidos del domi­

nio , h acien d o : T , ^ , 1 = n <=> n < . ^ , < n + 1
I- 1 + X2 J 1 + X2

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Sección 1.8 : Funciones especiales 53

A h o ra , para n = 0 <=$ 0 <y y y r < 1 <=> 4 < I + Xa , pues I + x2 > 0 ,Vx e IR
t=s x 2> 3 « x e ( - « > , - V 3 ) U (V 3 , +~>

para n = I «=> I < y ~ 5" < 2 » x e [-V 3 .-I) U (1 . V3 ]

n = 2 .=* 2 < < 3 « x e [-1 , - l WÍ J) U (I/V 3 , I]

n = 3 t=j. 3 < 1 + X2 < 4 <=>xe [-!A Í3,0> u <0, I/V3]
n = 4 i=> x = 0
4. Con toda esta información trazamos la gráfica de / , mostrada en la Figura 1.71.

Nota OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

[EJEMPLO 32 J Hallar el dom inio, el rango y construir la gráfica de la función :

/(x) = \ x \ - [ x ]

Solución Sabemos que si [ x ] = n c=> n < x < n + l (M E . 1)

Por el valor absoluto, consideremos los casos siguientes

a) S i x > 0 , l x | = x « = > f ( x ) = x - [ x 1 «=> /(x ) = x - n « r e [ n , n + l ) 1n e Z +

b) Si x < 0, 1 x I = -x ■=> /(x ) = - x - [ x ] t=> f ( x ) = - x - n <=> x e [ n , n + l ) , n e Z-

L u e g o , de (a) y (b) se sigue que el D o m (/) = ÍR.
Análogamente para determinar el rango de / consideremos dos casos

C aso ! Si x > 0 ■=? n < x < n + 1 <=> [ r ] = n , n e Z , y com o lx ) = x *=$ n < Ix I < n + l
y restando n a cada extrem o e tiene : 0 < Ijc I - n < I o y e [0 , l)

Caso2 S i x < 0 e ^ - n - l < x < - n t = > [x] = - n - 1
M ultiplicandopor-1 : n < - x < n + l , y c o m o I x l = - x => n c l x ! < n + 1

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54 Capitulo 1 : Funciones

Si sumamos (n + 1) a cada extrem o obtenemos : 2 n + l < | x l + ( n + l ) < 2 n + 2
Entonces : 2 n + l < | x ! - [ x J < (2n + I ) + I , y haciendo 2n + 1 = k e Z im par, se tiene

k < /(x ) < k + 1 c ) y e { k , k + l ] , k e Z impar

•\ Ran ( / ) = [0 , 1) U (k , k + I] »k e Z impar.
n« 7

Dando valores a n en (a) y ib) se tien e:

fO0 = 2 - jc, si -re [-2 ,-1 )
1 - jc , si jc e [-1 ,0 )
1 X , si JC € [0 , 1 )
X - I . si X € [ 1 , 2)
jc - 2 , si x € [ 2 ,3 )

Dibujando cada recta en el intervalo correspondiente F IG U R A 1.72
obtenemos la G r(/) m ostrada en la Figura 1.72. ■

E JE M P L O 3 3 ) Hallar el dom inio, el rango y construir la gráfica de la función

(-1 y
f ( x ) = n -jc , donde n = [ jc ]

Solución i. La función tiene sentido e s n - x * 0 , es decir xe Z
D o m (/) = 1R - { jc| [ jc] - jc= 0 ) , pero s¡ [ jc] = x

Por lo tan to , D om (/) = R - Z

2. Para determinar el rango d e / debemos considerar dos casos

C aso 1 Si n es un número p a r : n = 2k , k e Z «=> ( - ! ) " = 1

y si [ x ] = 2k « 2k < x < 2k + I , luego , /,(x ) = 1 ,jc e < 2 k , 2 k + I)
¿K “ X

Si 2k < j c < 2 k + I => - (2k + l ) < - j c < - 2 k , y sum ando2k se tiene :

-J<2k-jc<0 => - o °< 1 <- I R an (/t) = ( - ° ° ,- l)
2k-jc

Caso 2 Si n es un número im par:

n = 2k + I , k e Z t=> ( - l ) n = -l

y si [ x ]= 2k + l => 2k + I < x < 2 k + 2

^ ^ = 2k+ l-jc = x - 2k - 1 ’
x e <2k + 1 . 2k + 2 ) , k e Z

A hora, si 2k + 1 < x < 2k + 2 , entonces restando 2k + I a
cada extremo obtenemos

F IG U R A 1.73

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Sección i.8 : Funciones especiales 55

O< x - 2k - 1 < l t=j> 1< 1 Ran(/_) = (1 , +°°)
<+t»
jc - 2 k - 1

Ran ( f) = Ran( / ,) U R a n (/3) = U <1 , -m»)

3. La G r ( / ) , mostrada en la Figura 1.73 se obtiene dando valores a k e n :

2k-x , s i x € ( 2 k , 2k + 1) , k e Z

/(*> = i
1 , si x € (2 k + 1 , 2k + 2) , k e Z

x - 2k - I

EJEM PLO 34 j S e a /u n a función definida en K p o r/(x } = x + xl
lx|-[x]

Hallar el dom inio, el rangoy graficar la función.

Solución 1. Determinación del dom inio de la función.
L a función tiene sentido <=> Ixl - [ x ] * 0

Por el valor absoluto debemos considerar dos casos.

C aso 1. S i x < 0 « = > [ x ] < - i y | x | > 0 i = > | x | - [ x ] > 0

Además : l x | = - x i = > | x l + x = 0 , luego, f(x)= =0

S i/( x ) = O . V x e (-«> ,0) «=> jce R" y R an (/) = {0} (I)
(2)
C aso2 S i x > 0 e=> | x | = x
C o m o x - [ x ] ^ 0 « = > [ x ] * x < = > ( x e Z ) A ( x > 0 ) «=* x e Z+ (3)
Por lo q u e , de (1) y (2) , se sigue q u e : D om (/) = R - Z+ (4)

2. Para determinar el rango de / en el caso 2 , consideremos

a) 0 < x < 1 y b) x > l l x ¿ Z +

a) Si O < x < I i=> [ x ] = 0 y |x] = x i=* /(x ) = =2

^ R an(/) = {2} , V x e (0,1)
b) S i x > l l x e Z + n ^ [ x ] = n « n < x < n + l , n > 0

■=> f W ~ * + * /(x ) = 2 + -^ n— , x e [ n , n + l ) , n > O

Si n < x < n + l « = > n - n < x - n < n + l - n * = * 0 < x - n < l => —-— > 1
x-n

Pero com o x > l y [ x ] = n > l •=}> 2n > 2 > O , luego en ( 4 ) :

7TTT > ! ~ T ^ ¡ > 2 n « 2 + y ^ > 2 n * 2 « / W > 2 n + 2
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Sfi Capitulo I : Funciones

Pero n > I f ( x ) > 4 , luego y e (4 , +“ ) , si x > 1 1x g Z+ (5)
Por tanto, de (1), (3) y (5):

Ran( /) = { 0 ,2 } U <4 , +°°)
Teniendo en cuenta (!) , (2a) y dando valores a n en
(2b) se sigue q u e :

m= 0 , si X 6 (-«> , 0)
2 , si jce ( 0 , 1)
2 x . si -ce (I ,2 ) , n = 1
x-1
2jc , si x e (2 , 3 ) , n = 2

jc - 2

F IG U R A 1.74

3. Con esta última información trazamos la G r(/) m ostrada en la Figura 1.74

(¡E JE M P L 0^3í^J Construir la gráfica y hallar el rango de la función

[ [jc -2 ] , si [ jc ] es par
f(x) = S
, V x e [-I ,4]

[ 3 jc - [ jc + l ] , si [ jc ] es impar

Solución Haciendo uso de la propiedad : [jt + m ] = [jc] + m , m e Z
sean : / (jc ) = [ j c ] - 2 , s i [ j c ] e s par
/ , ( jc ) = 3 j r - [ j c ] - l , s i [ j c ] e s impar

En / , , si [ jc ] = n = 2k <=> 2k < j c < 2 k + 1 /,(* ) = 2k - 2
En /2, si [ jc ] = n = 2k + 1 « 2k + 1 < jc < 2k + 2 t=> / , ( j c ) = 3 jc - 2 - 2k

■=*/(*) = í 2 k - 2 , si jce [2 k , k + I)
<
[ 3jc - 2 - 2 k , si jc e [2 k + 1 , 2 k + 2 )

L uego, / , para k = - 1 , 0 , 1 , y en / , para
k = - 2 , -1 , 0 , I , obtenemos

-4 , si jce [-2 , -1) > n par
-2 , si jc e [0 , 1) ►n impar
0 , si jc e [2 , 3)
/ ( jc) = <{ 3 jc + 2 , si jc e [ - 3 ,- 2 )
3 jc , si jc e [ - 1 ,0 )
3 jc - 2 , si jc e [1 ,2 )
s 3 x -4 , sijce [3,4)

La Gr( / ) se muestra en la Figura 1.75, de donde Ran ( / ) = [-7 , -4] U [-3 , 0] U [ 1 ,4 ) U [5 , 8)
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Sección ¡.8 : Funciones especiales 57

^EJEMPLO 3 6 J Hallar el dominio, rango y dibujar la gráfica de la función

[x-l] + (l-x] ,si 0 < x < 2

2 - V jc- [ x ] (/.)
( / 2)
/(*) = <

Sgn( T7T) ’SÍ*>2

Solución En / , se tiene : [ x - l ] + [ l - x ] = [ x ] - l + l + [ - x ] (M E.2)

í 0,sixe Z (M E.3)
■=> /,(* ) = [ x ) + [ - x ] = <

{ - 1 , si jc e DR-Z

P o re l ra d ic a l: x - [ x ] > 0 o [ x ] < x , que es válida V x e (R (M E.8)
Para hallar la imagen simplificada de / , escribimos la restricción

0 < x < 2 = {0} U <0 , 1 ) U {1} U <1, 2)

0 = 0 , si x - 0 , s i X € { 0 , 1}
2-V cT Ó
l , si 0 < x < 1 ,s¡0<x< 1
-1 ^¡x-2
/.(*) = < 2 -^0 = 0,six = 1 VF-2

0 l , si I < x < 2 I , si I < x < 2
2 -V T i % G T T -2 ’í T T - 2

-1
2 -y fin

1, si lxJ > 0 <=> ( x < 0 ) V ( x > I)

En/>;S g n ( f i j ) = 0 , si ~ 4 - 0 <=> x = 1
[x ]

- 1 , si [x ] < 0 <=> 0 < x < 1

Debido a la restricción x > 2 , sólo interesa : / 2(x) = 1 , si x > l
Entonces, la regla de correspondencia de / e s :

0 , s i x e { 0 , 1}

I , si 0 < x < 1
<x - 2

/(*) = I , si < x < 2
\Zx~^í-2

I , six>2 __

La gráfica correspondiente se muestra en la Figura 1.7 6 , de d o n d e: FIGURA 1-76

R a n ( /) =Só<lo-1fin,-e1s/2e)duUca{ti0vo, 1s}- LibrosVirtuales

58 Capitulo ¡ : Funciones

Definición 1.17 : FUNCIÓN PAR
Es aquellafunciónquesecaracterizapor tenerunagráficasimétricarespectodel eje V , es
decir, si enellasecumplelosiguiente:

i) S i j t e D o m (/) «=* ~x e D om (/)
ii) /(-* ) = / ( jt) . V x e Ü o m ( / )

EJEMPLO 37 J Determinarsi lasfuncionesdadassonpares

a) /(x) = 3x4-Zr1 b) g(*) = I*-1+ 2*1 , jce <-3 , 3)

Solución a) Como el Dom(/) = [R, entonces
i) Si x e Dom(/) = IR i=> - x e Dom(/) = IR
ii) f(-x) = 3(-xy-2(-x)2= 3.x4- Zr2 «=> /(-*) = /(*)
Por lotanto, / esunafunción par

b) i) Sixe (-3 ,3) ^ -3 < jc< 3 o 3>xr>-3 *=> ~xe {-3 , 3)

i>) e U ) = Í(-jc)í + 2(-x)| = |-*2-2*| = |-(a?+ 2r| = \x*+ 2x\ ■
«=> E(--k) = g(x), Vxe Dom(g)
Por lo tanto, g esunafunción par.

EJEMPLO 38 J Si / es una función real de variable real definida p o r :

f ( x ) = Vjc+ t-JC] + x [ x ] , dem ostrar que / es par

Demostración En efecto, si / es una función de variable re a l, ésta tiene sentido s i , y sólo
s i: x + [ -x ] > 0

í a) x + [ - x ] = 0 = > x e Z
Ahorasi,jr+[-x]>0«=> <

[ b) x + [ - x ] > 0 o x e (Ji
Probaremos (a ):

1. Sea x = n , n e Z , es d e c ir, x es un entero cualquiera
2. M ultiplicando p o r -1 : - x = - n = > [ - * ] = - n
3. Sumando ( l ) + (2 ): x + [ - x ] = n - n = 0 .cum ple con la relación (a)

L u e g o , si [ -x ] = - x <=> - x e Z ■=> - (-*) = x e Z

Probaremos (b)
4. Consideremos ahora : n < x < n + 1
5. M ultiplicando p o r -1 ( n + I ) < - x < - n «=> ( -x ] = - (n + 1)
6. Sumando [ -x ] a (4) tenem os : n + [ - x ] < x r + { - x ] < n + l + [ - x ]

Entonces : n - ( n + ! ) < * + [ - x ] < n + l - ( n + l ) ■=> -1 < x + [ - * ] < 0
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Sección 1.8 : Funciones especiales 59

Obsérvese quex + [-x ] es siempre negativo, es d ecir, no se cumple la relación ( b ), por lo
q u e x c <J>. L u e g o :

i) V x e D o m (/) = Z >=> - x € D om (/) = Z

Si x e Z <=> [ x ] = x y s i - x e Z e ^ [ -x ] = -x

y si /( x ) = Vx + [ -x ] + x [ x ] >=* f ( x ) = V x - x + x(x) = x2 , x e Z

Ü) /<-*) = (-x)2 = x2 /(-x ) = /(x ) ■
En consecuencia, / es una función par.

[EJEMPLO 3 9 J Demostrar que la función/(x)= [Ixl + 3 / 2 ] , x e [-2 ,2 ],e s p a r ; hallar

su rango y dibujar su gráfica.

Demosa-ación En efecto , si x e [ - 2 ,2 ] <=> -2 < x < 2 «=> 2 > - x > - 2

«=> - 2 < - x < 2 r=> - x e [-2 , 2]

Luego: i) S i x e D o m (/) = [ - 2 ,2 ] r=> - x e D om (/) = [ -2 ,2 ]

ii) /(-x ) = [ l - x l + 3 / 2 ] = [ I xl + 3 / 2 ] = /(x )
Por lo tanto, / es una función p a r.
Para dibujar la Gt(J) escribim os, D o m (/) = [ - 2 ,0 ) U [ 0 , 2 ] , entonces si

/ ,(x) = [ Ix | + 3/2 ] , x e [ 0 , 2 ] y /,(x ) = [ 1 x 1 + 3 /2 ], x e [-2 , 0 ) , se tiene :

a) E n x e [0 , 2] , | x | = x /,(x ) = [x + 3/2 ] = n , n e Z
S i x e [ 0 , 2 ] *=> 0 < x < 2 3/2 < x + 3 / 2 < 7 / 2
A hora, dando valores a n hasta cubrir el intervalo [3/2,7/2], se sigue que

[ x + 3/2 ] = I ,s i 3/2 < x + 3/2 < 2 ■=> /,(* ) = 1 , si 0 < x < 1/2
2,si2<x+3/2<3 2 , si l / 2 < x < 3 / 2
3 , si 3/2 < x < 2
3 , si 3 < x + 3/2 < 7/2

b) Como / es una función p a r , su gráfica es si­
m étrica respecto del eje Y , entonces la
G r( /,) en x e [-2 , 0) la obtenem os por re­
flexión , sobre el eje Y , de la G r(/,) en x

e [ 0 , 2 ] ,tal com o se m uestra en la Figura
1.77 , d e d o n d e :

Rantf) = { 1 , 2 , 3 } ■

JEJEMPLO 40 Sea la función /(x ) = V2 Ixl + 3 -x 2 Sgnfx2- 1). H allar el dominio , el

V

rango y construir su gráfica.

Solución a) Determinación del dominio de la función

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60 Capítulo I : Funciones

/ es real t í 2 Ix I + 3 - x2> O O)

.Caso L Si x > 0 , 1*1 = x , entonces en ( I ) : 2x + 3 - x2 > 0 t í x2- 2x - 3 < 0
^ (jc > 0 )a [(jc -I)3< 4] t í (x > 0 ) a (-2 < x - 1 < 2)

t í (x > 0 ) a (-I < x < 3 ) t í x e [ 0 ,3 ]

*Gaso 2 Si x < 0 , 1x I = - x , entonces en (1) : -2x + 3 - x2 > 0 t í x2+ 2x - 3 < 0
t í (x < 0) a [(x + l)2< 4 ] t í (x < 0) a (-2 < x + 1 <2)

« ( x < 0 ) a ( - 3 < x < 1 ) t í x e [-3,0)
Dom(f) = [-3 ,0 ) U [ 0,3] = [-3 ,3 ]

b) Construcción de la gráfica d e /
Obsérvese que / es una función p a r, pues
i) S i x e D om (/) = [ 0 , 3 ] t í - x e D om (/) = [-3 ,0 )
ii) /(-x ) = /( x ) , V x e D om (/) = [-3 ,3 ]

-1 , s i x 3 < 1 t í -J < x < I
y dado q u e : Sgn (x3- I) = < 0 , si x2= 1 t í x = ± 1

1 , si x2> 1 « x < - 1 v x > 1

Entonces construimos la gráfica de/correspondiente al intervalo [0 , 3 ], para luego dibujar,
por reflexión sobre el eje Y , la G r(/) correspondiente al intervalo [-3 ,0 ). L uego, para intervalo
[0,3] se tien e:

V2X + 3 - X 2 (-1) = - V 4 ^ ( x - J )2 , s i x e (-1 , I) fl [0 , 3] t í x e [ 0 , 1>

/(x )= i V2 X + 3 - X 2 (0) = 0 . s i x e {-I , 1} D [ 0 , 3 ] t í x = 1

V2x + 3 - Xa (I ) = V 4 - ( x - I)2 , s i ( x < - l v í > 1)U [ 0 . 3 ] t í x e <1 , 3 ]

En x e [0 , 1 ) , y = - V 4 - ( x - l)2 , ( y < 0 ) t í y 2= 4 - ( x - l)2 « (x - 1)2+ y2 = 4

E n x e <1 , 3 ] , y = V4—( x - l )2 , ( y > 0 ) t í y2= 4 - ( x - I)2 t í ( x- 1)2+ y 2 = 4

Luego , en x e [ 0 , 3 ] la G r(/) consiste en seg­
mentos de circunferencia (x - l)2 + y2 = 4 , con
centro en C(1 , 0) y radio r = 2 , cuyo dibujo se
m uestra en la Figura 1.78 , así com o la im agen de
estos segm entos respecto del eje Y.

c) De la gráfica de / obtenemos :

R a n ( /) « < -2 , -V3 ] n [ 0, 2> ■ >_
L

F IG U R A 1.78

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Sección 1.8 : Funciones especiales til

Definición 1.18: FUNCION IMPAR

Es aquella función cuya gráfica se caracteriza por ser simétrica respecto del origen de coor­
denadas , es decir:

i) S i x e D om (/) - x e D om (/)

¡i) f(-x ) = - / ( * ) , ^ j r e Dom(/}

EJEMPLO 41 ) Determ inar si las funciones dadas son impares

a) /(x) = 2x*-3x b) g(x) = >/x(2 + U I ) , r e [ - 2, 2]

Solución a) Com o el D o m (/) = IR , entonces
i) S i x e D o m (/) = IR e=t - x e Dom( /) = IR
ii) /(-x ) = 2(-x)J - 3(-x) = -2x3+ 3x = - (2x3- 3x) >=> /(-x ) « - /(x )
Por lo tanto, / es una función impar

b) i) S i x e [ - 2 . 2 ] <=> - 2 < x < 2 o 2 > - x > - 2 - x e [ - 2 , 2 ]

ii) g(-x) = ^ T í i T T T í ) = - ">/x(2 + | x l ) *=* g(-x) = - g(x)
/. g es una función impar

EJEMPLO 4 2 j Sea g(x) = Vx2+ 4 - [x2+ 1/2 ] +X3+ x . Si f ( x ) = g(x) - g(-x ). determinar

si / e s una función par o impar.

Solución C om oel Dom(g) - IR , entonces -x e Dom(g) = IR ■

L u e g o , g(-x) = V(-x)2+ 4 - [ (-jt)2+ 1/2 ] + (-x)3+ (-x)
= ~Jx*~+4 - [ x 2 + 1 /2 ] - x3 - x

Por lo que la regla de correspondencia de / es : /(x ) = g(x) - g(-x) = 2X3+ 2x
A h o ra , si /(-x ) = 2(-x)3+ 2(-x) - - (2x3+ x) ■=* /(-x ) = - /(x )

/ e s una función impar.

EJEMPLO 43 ) S e a /u n a funcióncon dominio [-a,a] , de donde a > 0 . Demostrar q u e /

se puede expresar com o /(x ) = /,(x ) + / 2(x ), donde / es una función par
y f 2es una función impar.

Demostración En efecto , haciendo /(x ) = ~ /(x ) + y /(x ) + y /(-x ) - ~ /(-x)

•=> / ( * ) = \ [ / ( * ) + / ( - X ) ] + y [/(x ) - / ( - X ) ] (l )
S ean: /,(x ) = y [/(x ) + /(-xS)]óloy fin/e,(sxe) d=ucaytiv[/o(sx )- L- i/b(r-oxs)V] irtuales

62 Capítulo / ; Funciones

i) Si * 6 [ - a, a] <=> - a < x < a <=> a > - x > - a e=» - x e [-c , a)
ii) S i/,(.*) = [/(* ) + /(-* )] t=> f t(-x) = ~ [/(-*) + /( * ) ] = /,(.*)
Luego, /,(x ) es una función par.

S i / , ( * ) = \ [ / ( J t ) - / ( - j c ) ] e=> / , ( - j c ) = \ [ / ( - j c ) - / ( * ) ] = - \ E / U ) - / ( ■ * ) ]

Entonces , / 2( - jc ) = - /,(jc ), luego, f 2(x) es una función impar

Por lo tanto, en (1): = +/ ( j c )
/,( jc ) /,(jc )

EJEM PLO 44 ) Demostrar que el producto de dos funciones , una par y la otra impar, es

una función impar.

Demostración En efecto, sea la función f(x) = g(jc) • h(.c) t=> x e Dom(g) fl Dom(h) ( l)

f i) V;ceDom(g) «=> -^ eD o m (g )
Si g es par t=> <

[ i¡) g(-Jc) = g (*),V jc e D o m (g )............................ (2)

f i) V jc€ Dom(h) i=£ -jceD om (h)
Si h es impar t=> <

[ ii) h(-:c) = - h(jc), Vjce Dom (h)....................... (3)

Multiplicando (2) por (3) , se tiene :

g(-jc)*h(-.c) = -g(x)-h(jc) , \ f xe Dom(g) n Dom(h)

Pero , en {1): f(-x) = g(-j¡) • h(-jc) ■=> f(-x) = -g (x )-h (*) = - / ( * )

/e s una función impar. ■

EJEM PLO 45 ] Sea la función/(jc) = V4 - jr Sgn ) . Comprobar que / es una

función impar.

Solución La función / es real cs> (4 - jc2> 0) a (jc* 0)
<=> (-2 < jc < 2 ) a ( c * 0) D om (/) = {x e IR I jce [-2 , 2] - {0 }}

Para definir la función Sgn ( x ~ * j , ubicamos los puntos críticos jc = ± 1 y jc = 0 en el
intervalo [ - 2 , 2 ] , esto es:

-2 (-) -I (+) 0 (-) 1 (+) 2

-1 , si > 0 « jce [-1, 1> U <0, 1>

Entonces : Sgn ( *2x" n^) = * 0 ,si = 0 « x=± I (1)

1 .si > 0 « <-l ,0> U <1. 2]

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Sección 1.8 : Funciones especiales

Si y = -V4-JC2 , y < 0 «=* x 2+ y i = 4 , j e [ - 2 , - l > U ( 0 . 1)

y = V 4 ^ , > > 0 <=> ¿ + y 2 = 4 , j e (-1 , 0 ) U (1 , 2]
Es decir , la G r(/) mostrada en la Figura l .79 , consiste en cuatro arcos de circunferencia de
centro en el origen y radio r = 2 . Por tanto, hemos comprobado geom étricam ente que / es una
función im par. Ahora lo probaremos analíticamente.

/(-*) = i - y¡4 - t-x)2 = - V 4 - j 2 , s i - j e [ - 2 ,- 1 ) U <0, l) (2)
0 , si x = ± 1

\Í4 - ( - x f = V 4 - j 2 , s i - j e <-1 , 0 ) U <1 , 2 ]

Si - j e [ - 2 ,- 1 ) U ( 0 , 1 ) <^> (-2 < - j < - I ) v ( 0 < - j < l)

-j =± I « (1 < x < 2 ) v (- I < * < 0 ) >=> j e (1 , 2 ] U (-1 , 0)
j= ±I

- j e (-1 , 0 ) U <1 , 2 ] « (-1 < -j < 0) v (1 < - j < 2 )

<=> ( 0 < jc< 1) v ( - 2 < j <- 1 ) ■=? jce ( 0, 1) U [ - 2 , - 1 )

Entonces en (2)

/(-*) = - V 4 - x 2 , si j e (-1 ,0 ) U (I , 2]
0 . s¡J = ± 1
. V 4 ^ j? . si j e [ - 2 ,- 1 ) U <0, 1)

Si comparamos esta última relación con (1) se deduce q u e:

/(-* )= -/(* )
L uego, hem os probado que si

¡) j e D o m (/) •=> -j e D om (/)

» ) /(-•*) = -/(•*) , Vj e Doih(/) ■ F IG U R A 1.79

Definición 1.19 : FUNCIÓN PERIÓDICA

Una función en IR , se dice que es periódica si existe un número T * 0 , tal que
i) Si j e D o m (/) «=> ( j + T) 6 D om (/)
ii) / ( j + T) = / W .V j e Dom (/)

Al menor número positivo T se le llama período mínimo o simplemente período de la fun­
ción / .

¡^EJEMPLO 46 J Probar que la función /(j ) = x - [ x ] es periódica , hallar su período y

construir su gráfica.

Solución | a) Como el D om (/) = (R, entonces
i) Si x e IR t=> ( j + T) e IR
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64 Capítulo i : Funciones

ii) f( x + T) = x + T - [* + T ]
Supongamos que existe un número T > 0 , tal que f( x + T) = f( x ) , esto es

* + T - [ x + T ] = x ~ [ x ] .=> T = [jc + T ] - [jc]
Como la diferencia de dos números enteras es un entero, se sigue que T e Z , adem ás, por
la propiedad M E .2 : [ x + T ] = [ x ] + T , luego en (¡i)

/U + T) = x + T -( [x ] +T) = x- [x ] = f(x)
En consecuencia, / es una función periódica.
b) Si T e Z , c o n T > 0 « = > T = { I , 2 , 3 , 4 . . . . } , de donde elegimos T = 1 como el mínimo
período de / .
c) Gráfica de la función f(x) = x - [ x ]
Para intervalos de longitud unitaria se tien e:

F IG U R A 1.80

De la Figura 1.80 podemos rescatar lo siguiente

1. El período T de una función / es la longitud de un intervalo.

2. Geométricamente la gráfica de una función periódica tiene la propiedad de ser repetitiva. es
d ecir, se repite en idéntica forma cada T unidades.

3. y = f ( a ) - f ( b ) = f(c') = f ( d ) = ,sia=x,b =x + 1,c = x +2, d - x +3 , . . . .

Entonces : y = f(x) = f ( x + l) = f ( x + 2) = / ( x + 3) = . . . . = / ( n ) , n e Z

y com o [a , 6] = [b , c] = [c , d ] = . = T , en g en eral, para una función periódica

siem pre se cumple que

f(x) = f(x + T) = f(x + 2T) = f(x + 3T) = . . . = f(x + n T ), n e Z

donde los números 2 T , 3 T , 4 T ................ n T , son también períodos de f . m

EJEMPLO 47 ) Sea la función periódica f(x) = 2 x - [ 2 x + 3 ] + 3 . Hallar el dom inio, el

período y el rango de f .

Solución a) f ( x ) = 2x + 3 - ( [ 2 x ] + 3) >=> f ( x ) = 2 x - [ 2 x ] (I)
Por l o q ue el D o m (/) = IR

b) Para determinar el período de / usaremos dos métodos

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Sección 1.8 : Funciones especiales

Método 1 Si / es periódica entonces 3 T > 0 1/( x + T ) = / ( x ) , V x 6 IR

Luego, en (1): 2(x + T) - [ 2(x + T ) ] = 2 x - [ 2 x ] ■=? 2 T = [ 2x + 2 T ] - [ 2 x ]
Como la diferencia de dos números enteros es otro entero, se sigue que

2 T e Z y T > 0 i=> 2T = {1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n } , n e Z+
<=> T = { l / 2 , 1 , 3 / 2 , 2 ..............n / 2 } , n e Z +

/. T = 1/2 es el período mínimo de la función /

M é to d o 2 S i/ e s p e r i ó d ic a : i) V x e D o m (/)= IR <=> (x + T ) e D om (/) = IR

ii) o 3 T > 0 1 f ( x + T ) = / ( jc) , V x

En particular, si x = 0 e D o m (/) => /(O + T ) = /(O ) <=$ /( T ) = /(O)

En (1) : 2T - [ 2T ] = 2(0) - [ 0 ] < = > [ 2 T ] = 2 T c ^ 2 T e Z y como T > 0 , entonces:
2 T = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . , n} , n e Z+ => T = {1/2 ,1 ,3 /2 ,2 , . . . , n/2} , n e Z+

/ . T = 1/2 es el período mínimo de la función /

c) Rango de la función :

Si [ 2x ] = n <=> n < 2x < n + 1 i=> [ 2 x ] < 2 x < [ 2 x J + l

Restando [ 2x ] : •=> 0 < 2 x - [ 2 x ] < 1 c=* 0 < / ( x ) < I r=> R a n (/)= [ 0 , 1) ■

(EJEM PLO 48 ) Sea la función p erió d ica/(x ) = 2 + (-1)" , donde n = [ x ] . H a l l a r e !

dom inio, el rango, el período y construir la Gr(/).

Solución Si [ x ] = n <=> n < x < n + 1

C aso 1 Si n es un núm ero p a r , n = 2 k , k e Z «=> (-1)2* = 1
Entonces,/(x) = 2 + 1 = 3 , V xe [2k,2k+ l > , k e Z

C aso 2 Si n es un número im p a r, n = 2 k + I «=* (-l)2k+, = - l

Luego, /(x )- 2 - 1= I , Vxe [2k+ 1 ,2k + 2>,ke Z

Por lo tanto : a) D o m (/) = (R

b) Ran(/) = { 1 , 3 }
c) Si / es una función periódica, entonces

3 T > 0 1/ ( x + T ) = / ( x ) , Vx e D om (/) = IR

*=> 2 + ( - l) lJ+T] = 2 + ( - l ) l l l 1V r e IR

En p articu lar, p a ra x = 0 : (-I),T] = 1

La igualdad se cumple V T e Z+ p a r , esto es

T = { 2 ,4 ,6 , . . . . , 2k} , k e Z+

Luego, T = 2 es el período de / . F I G U R A 1.B1

d) L a G r(/)s e m u e s tra e n la F ig u ra 1.81. ■

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66 Capítulo 1 : Funciones

|JU¡,,IP'.^ 1y,wji. l nrj' >. (/,)
E JE M P L Ó 4 9 j Hallar el dom inio, el rango y dibujar la gráfica de la función C/2)

[ |jc - [ x ] 1 , si [ x ] es par
m =«

[ | x - [ x + l ] | , s i [ x ] e s impar

Es / una periódica ? En caso afirm ativo, hallar su período.

\Solució n } 1. S i [ x ] = n < = > n < x < n + 1
e* [ x ] < x < [ x ] + 1 , V x e [R

y restando [ x ] a cada miembro de esta desigualdad se tien e:
0 < x - [ jc I < 1 , por lo que , l x - [ x ] l = x - [ x ]
E nton ces, /,( x ) = x - [ x ] , s i [ x ] es p a r . A hora si

Ix ] = n = 2k 2k < x <2k + 1 , k e Z
c=> / (( jc) = x - 2 k , si x e [ 2 k , 2 k + 1 ), k e Z

2. Del paso (1 ): x - [ x ] < 1 t=$ x - [ x ] - 1 < 0 ; luego » /2(x) = - ( x - [ x ] - I)

f 2(x) = l - x + [ x ] , s i [ x ] e s impar
S i[x ]= n = 2k+I <=>2k+l<x<2k + 2

•=* / 2C*) = 2 k + 2 - x , s i x e [2k + I , 2k + 2) , k e Z

f x-2k , sixe [2k,k+ I),ke Z
Por lo q u e : f(x) = s

[ 2 k + 2 -x , sixe [2k+ 1,2k + 2 ),k e Z

Luego, para algunos valores de k obtenemos II -2 - x , si x e [-3 , -2) , k = -2
3 -x . si x e [-1 , 0) , k = -1
x + 4 , si x e [-4 , -3) , k = -2 2 - x , si x e [ 1 , 2) , k = 0
x + 2 , si x e [-2 , - 1) , k = -1 4 - x , si x e [ 3 , 4 ) , k = I
/,(*) = < x , s i x e [ 0, 1) , k = 0 6 - x , si x e [5 , 6) , k = 2
x - 2 , si x e [2 , 3) , k = 1
x - 4 ,sixe [4,5) ,k = 2

3. La construcción de la gráfica de / la obtenemos uniendo las gráficas de / , y / 2, tal como se
m uestra en la Figura 1.82

4. D e la G r(/) obtenemos :D o m (/) = IR y R an(/) = [ 0 , 1 ] . A dem ás, la función / es periódica,
con un período mínimo T = 2

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EJERCICIOS . Cru/Mi 3 : F unciones especiales 67

Nota Otros ejemplos clásicos de funciones periódicas lo constituyen las funciones trigonométricas.
Así tenemos q u e :
Sen (x + 271) = Sen x , Vx e IR
C o s(x + 2ti) = C o sjc, V * e IR

En general para las funciones Seno y Coseno se cumple que
/(* ) = / ( x + 271) = f ( x + 4k ) = . . . . = f ( x + 2 k n ), V k e Z

donde T = 27ü es el período mínimo de ambas funciones.

^EJEM PLO ^SO j Hallar el período de la función f(x) = Cos(bx +a ) , ¿ > 0

Solución S i f e s p erió d ica, entonces : 3 T > 0 1f ( x + T ) = f ( x ) , V x e Dom ( / ) = IR

i=» Cos [&(* + T ) + a] = Cos(fcjr + fl) « Cos[(¿x + a ) + 6T] = Cos(bx + a)
Como la igualdad es válida V * e IR , en particular para x = 0 , tendremos

Cos(a + 6T) = Cos a <=> Cos a Cos bT - Sen a Sen bT = Cos a
La igualdad se cum ple <=> (CosfcT = I) a (SenfcT = 0)

<=> {bT = 0 v bT = 2n) <=> T = 0 v T = 2n/b

Como T * 0 , entonces, T = 2n/b es el período mínimo de la función / ■

E JE R C IC IO S . Grupo 3

1. S e a / una función lineal para la cual se cum ple que : 3 /(3 ) - / ( - ! ) = 10 y 2 /(4 ) + 5 /(2 ) = I.
SÍ A = < -3 ,7 ] , h a lla r/(A ).

2. Sea / : IR —> IR 1f ( x ) = truc + b , con m y b constantes ; si /( 1 ) = 2 y /( 3 ) = 1 r calcular /(5 )
3. Sea / una función lineal de pendiente m e intercepto con el eje Y igual a b , tal que

/ ( m 2 - 2b) = f( b + 12 - 2 m 2) y /( 2 m + ¿ - 2 ) = / ( m + ¿ - 1). hallar la función g si se tiene

que: g(x + 4 ) - x = / ( - ^ J + /

4. Hallar una función lineal tal que / [ / ( 2 x - 1)] = 3 + 18*
5. El propietario de una tienda de abarrotes encuentra que puede vender 980 galones de leche

cada semana a $ 1.69 el galón y 1220 galones semanales a $ 1.49 . Suponga una relación
lineal entre el precio de venta y la dem anda . Cuántos galones puede vender a la sem ana
a $ 1.56?
6. Utilice el método de com pletar el cuadrado para determ inar un valor máximo , o bien un
mínimo y dibujar la gráfica de la función dada.

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68 Capítulo 1 : Funciones

a) f(x) = 4x7- 12*+7 c) /(*) = - 2 x * + i2 x -ll
b) g = {(*, y) I x2+ 2x - 2y + 6 = 0} d) g = { ( jc , y) I x 1+ 6x + 2y + 5 = 0}

7. U se el Teorema 1.2 para hallar un valor m áx im o , o bien uno mínimo de la función dada .

Dibuje su gráfica.

a) f ( x ) = 2 + 4* - 3JC2 c) g(*) = 3*1+ 6x + 9

b) g = { ( x , y )l8 y = 4*2 + 1 2 v - 9 } d) / = { (* , y ) \ jc2+ 8* + 2y + 8 = 0}

8. Si / es una función cuadrática tal que : f [ x + 1/2) - / ( * - 1/2) = 4(2* - 1 ), Vjc e IR ,
determ inar un valor m áxim o, o bien uno mínimo de / si /(O ) = 5.

9. S i / : IR —» (R es una función d efinida p o r f ( x + 2) = 2x2 + 5x + c y / ( - I ) = 8 ,
determ inar el mínimo valor de /.

10. Una agencia de viajes ofrece a una organización un viaje todo incluido por 800 dólares por
se m a n a , si no más de 10 personas hacen el viaje. Sin embargo , el costo por persona se
reducirá en $ 5 p o rcad a una después de 100 que hagan el viaje. Cuántas personas deberán
viajar a fin de que la agencia reciba el mayor ingreso total y cuál es éste ?

11. Una em presa puede vender a un precio de 100 dólares por unidad todas las piezas de un
artículo que produce . Si se fabrican x unidades diarias , el monto del costo total de la
producción diaria es x2+ 20* + 700. Cuántas unidades deben producirse por día a fin de
que laeinpresa obtenga las máximas utilidades totales diarias?. Cuál es el monto de éstas ?

12. Un carpintero puede construir estantes para libros a un costo de $ 40 cada uno. Si el
carpintero vende los libreros a x por unidad , se estima que 300 - 2x muebles se venderán
por m es. Halle el precio de venta por estante que dará al carpintero las máximas utilidades
totales mensuales.

13. Una ventana tipo normanda tiene la figura de un rectángulo rematado por un sem icírculo.
Suponga que una ventana de este tipo tendrá un perímetro de 200 pulgadas, y que la canti­
dad de luz transmitida es directamente proporcional al área de la ventana. Halle el radio del
semicírculo de modo que la ventana admita el paso de la mayor cantidad de luz.

14. Si un acuario puede alojar un máximo de 10,000 peces , el índice de crecim iento de la
población piscícola es conjuntam ente proporcional al número de peces que contiene el
estanque y a la diferencia entre éste y 10,000. a) Si el índice de crecimiento es de 90 peces
por sem ana cuando hay 1000 peces en el acuario , exprese la tasa de crecim iento de la
población como función del número de peces en el estanque, b) Calcúlese el índice de
crecimiento de la población cuando hay 2000 peces.

15. Un viaje auspiciado por una escuela y que da cabida a 250 estudiantes costará a cada
alum no $ 15 dólares si no m ás de 150 alumnos hacen el p a se o ; sin embargo , el costo se
reducirá en 5 centavos porcada estudiante que exceda 150, hasta que el costo se reduzca a
$ 10 p orcada alumno, a) Si x estudiantes hacen el v iaje, exprese el monto del ingreso total
como función de*, b) Cuál es el dominio de la función resultante, c) Cuántos estudiantes
deben viajar para que la escuela reciba el máximo ingreso total.
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EJERCICIOS Grupo 3 : Funciones «spetuilrx 69

16. Construir la gráfica de la función homográfica y — ex + cf ’ ~^C* ^ ’ C* ^ ’ redü'

ciéndolaalaform a >■= k + . Examinar los ejemplos.

a) y = -3 * -^ b) v =^ x c) y = — — —
} y 2x-3 } } x-4 c) } 2x + 4

17. D etermine analíticamente el rango de las funciones

a) /(x )= 4 -V x 2+ 12*+27 , x e (-«>,-11] c) /(jc) = x2+ 6x + 6 , x e <0 , -k»)

* [ — ] +3^ l
b) /(*>= * L 2 J - 4 \1' x e <* ’ 3) d > /W ® i\ 5 x - I |r -2 15 + 6 |ijr + 2 1í • jr€ (-2.1 /2 )

18. Halle el d om inio, el rango y dibujar la gráfica de las funciones :

a) /(x) = 2u(x)+x2u ( x - l ) - u ( x - 2 ) b) / ( x ) = x u ( [x + 3] ) - x S g n ( l x | - I)

19. Determine el rango y dibuje la gráfica de las funciones dadas

a) /(x) = Ix - 1 | + U + 1 I c) /( x ) = | 2jc - 1 1 + l x - 2 l

b) /(x) = U + 2 | - 2 l 3 - x | , x e [-1 0 ,10] d) f ( x ) = l x + 2 l + l x - 2 | - U l -1

20. H alle el dominio de la función : /(x ) = —¡V-ri-----—í j—c I—

X I ¿ X “ II* £ X

21. Halle el dom inio, el rango y dibuje la gráfica de las funciones

í Vx3- 2x , sixe { I x - 11> 1} D { I x - 1|< 3 }

a) /(x) = <

[ x2- 4 x - 4 S g n ( | x | - 3 ) , si x e { | x - 3 i ^ l| D {I x - I I < 1}

í |x + 7 l + | x - l | , s i | 2 x + l | > | x - 7 |
b) /(x) = <

( |x + 9 l - I x - 3 1 , si l2x + 11 < l x - 7 l

22. Halle todos los valores de x , si es que existen , tales que

Sgn( l 7 T i ) + Sgn( y ^ ) = ° .

23. Determine analíticamente el rango de la función /d efin id ap o r

í x3+ 10x + 21 , s i x e [-7 , -5) U [-2 , -1) . Construir su gráfica
/(x ) = s ____

[ Vx + 1 + 1 , s i x e ( - 1 , 3 ]

24. Halle el dominio y construya las gráficas de las funciones:

^ T6 u, ^ _ Ixl - [ x ]

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70 Capítulo / : Funciones

*•* En los ejercicios 25 al 44 , halle el dom inio , el rango y dibuje la gráfica de las funciones
dadas.

25. /(x) = V [ x ] - x 26. /(x) = Ixl 27. /(x) = V2x- I
[*3 [ I -x]

28. /(x) = ( x - [ x ] ) 3+ [ x ] 29. /(x) = x 2- [ x ] 2 30. /(x) - x + | xl
32. /(x) = [V 4-x ] Ixl - [ x ]
31. /(x ) = r .3 ' x , 35. /(x ) = V [ x ] - 3 x
Ixl- [x] 33. /(x) = [ 1 1-2x1]

34. /(x ) = [x2 - 2x - 3] 36. /(x) = [ t^ - j ]
1+x2

Vx3 - 9 . si x e <-5 , -3] x2- 2 , si x e [-3 . 0)

37. /(x) — lx+31-2 ,sixe<-3.5] 3 8 - / ( x ) = < x - ]x -2| , si x e [0,4)

x2- I0x + 26 . s i x e ( 5, 7] 2 + V x^4 . si x e [4 . 8)

5 - x , si x e (-2 , 3> [ I x - I I - 2] x2 - 2 x , x e <-11 ,2 )

39. /(x) = 5 40. f( x) = «

x+ [ j T j ] .sixe [3,5] Ix - 4 1 , si x e [ 2 , 9 )

2x + 4 , x<-2 I x 3 + 4x - 6 , si x e [ - 2, - 1)
42. f (x ) = <¡ 2 - Vx + 1 , s i x e [ - 1 , 3 )
41. /(x) = W4-X2 ,-2<x <2
13 - x I - 2 , si x S 3
-2x2+ I 6 x - 2 4 , x > 2

3x - [ 1 + x] , si [ x ] es impar

43. f(x) = . V xe [-2,4]

[ -x ] , si [ x ] es par

7xx-~ 56 ° , silxl > 2 , x * 6

44. /(x ) = <¡ V4 Sgnfx2- 1) - x2 , si 1 < Ix I í 2

[ — ] + x 2 , si IX I < 1

En los ejercicios 45 al 5 2 , hallar el rango y dibujar la gráfica de las funciones dadas.

45. f(x) = l x - 3 l - 2 | x + 1 I + | x | 46. /(x ) = V [ x + ! ] - Ixl + 1/2

47. /(x) = i |x + 2l , sí xe [-7,-2] 48. /(x) = f r25-x < -5 ,5 /2 )
[ x/2 ] + x , si I x I< 2 ÍT Íf] , IE [5/2,4)
,«E [2,S1
1M l V T77II
2x - I

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EJERCICIOS . C ru p n 3 : Funr.iimes e.\/tecUiles 71

jc + 5 — ——r , si (je2 - 3 6 ) ^ 0
jc- 4
x-2 , si U - 2 1> 3

49. / ( jc ) = < Vjc2 + 4x - l , si 0 < jc< 1 V3x- 1/2 , sijc e [1 /6 ,9 /4 ]
50. f(x) = ^

jc + "¿c , si x e (9/4 ,4 ]

2 + |2jc - 5 1 , si 2 < jt < 3 , si4 e x <6
U+2]

V je -9 - 2 , s í - 5 < jc< - 3 U + 2 ] - x , six e (-4 ,0 )

51. f(x) = U + 2 l - 3 , s í 0 < jc< 5 52. /(x ) = <! V4-j c , sijce (0,4)
2x-8 ,síjcS4
16 , s¡ jc> 6
jc- 5

53. Si la gráfica de la función / está representada por la Figura 1.83 , hallar su regla de
correspondencia . (N o ta : AV es la ram a de una parábola donde Ip l = 1/ 2) .

54. Determinar la regla de correspondencia de la función cuya gráfica es la representada en la
Figura 1.84 (Nota : AB es una semicircunferencia, BV es la ram a de una parábola).

F IG U R A 1.83 F IG U R A 1.84

55. En los siguientes ejercicios , discutir si la función dada es p a r, impar o ninguna de las dos

cosas.

a) / ( * ) = 2x* - 3jc* + 5 b) /(jc ) = 5x3- 3 jc + lc) g(x) = 3 - Z c 3 + Cos2

d) /(*) = ( x \ x \ + j j S e n * 2e) g(x)= (jc+ 3)X(jc. 3)O h(x) =

g) /(* ) - ^a2+ax +x7 - Va2 -a x +x3 h) f(x) = Vx +[ ~x ] + x[ -x ]

56. Com probar si la función dada es par o im p ar.Dibujar su gráfica

{-x2+ 8x - 1 0 , si 2 < j c < 6
- jc2- 8jc- 10, si -6 < x <-2
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72 Capitulo I : Funciones

57. S e a /(x ) = V4 - x 2 Sgn , donde el D o m (/) fl { -2 ,2 } =(J>. Probar que / es una
función impar.

58. Sea / ( x) = jc2+ 3x + 2 . Si h(x) = /(x ) + /(-x ) y g(x) = f( - x) - f ( - x ) , determ inar cuál de
las funciones h o g , es par y cuál es impar.

59. La gráfica de la función / de la Figura 1.85 separece a la letra w . a) D efinir la función / .
b) Verificar que / es una función par.

60. La gráfica de la función / de la Figura 1.86 se parece a la letra M . a) D efinir la función / .
b) Verificar que / es una función p a r.

61. D e m o stra r q u e la fu n ció n d e fin id a en IR p o r / ( x ) = [ m x ] - m [ x ] es una fu n ció n
periódica.

[ 1 , s i x e [2a , 2a + 1)
62. Dada la función definida p o r: /(x ) = <

[ 0 , si x e (2a + I , 2a + 2)
donde a e Z , definimos la función g por

g(x) = U - [ x ] ) / ( x ) + [ l- /( x ) ] Sen2(nx/2)

Es g una función periódica? En caso afirm ativo, hallar su periodo.

63. Demostrar que las siguientes funciones son periódicas y hallar su periodo mínimo para
cada función

a) f(x) = 3 x - [ 3 x + 2 ] + 2 d) /(*) = (x - [ x ] 2, Vx e R
b) f(x ) = [ 3x ] - 3 [ x ] e) f(x) = ISen x I + ICos x I

C) / ( * ) = .n = [x],D o m (/)= R -Z f) /(*) = 2 Cos ( ^ )

64. Sea /(x ) = ( [ mx ] - m [ x ] ) Sgn (4 - x 2) , n e Z - {0} ,X € { - 2 , 2 ) . D eterm inar s i :
i) / es par o impar
ii) / es periódica. En caso afirm ativo, hallar su período.

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Sección 1.9 : Algebra de las Junciones 73

(1 .9 ) ALGEBRA DE LAS FUN CIO N ES

Sean / y g dos funciones reales cuyas reglas de correspondencia son / (x) y g (x ). Se
define entonces las cuatro operaciones : suma , diferencia , producto y cociente de / y g del
modo siguiente
1. Lafu n c ió n s u m a , denotada por / + g

/ + g = { (x , y)l y = f ( x ) + g(jc) , * e D o m (/)flD o m (g ) }
2. Lafunción diferencia , denotada por / • g

/ - g = { ( x . y ) I >'= f(x) - g(x) , x e D o m (/)n D o m (g ) }
3. Lafunción producto , denotada por / • g

/* g = { (* .> )! y = /(*)*g(.x),jce Dom (/) n Dom(g) }

4. Lafunción cociente, denotada por ^

j = {(*.>)! y = D om (/)nD om (g), g(x)* 0 }

Geométricamente, la gráfica de la sum a, diferencia, producto y cociente de dos funciones / y
g se obtiene sum ando, restando, multiplicando y dividiendo, respectivamente, las ordenadas
para un x del dominio común de ambas funciones, esto e s :

G itf + g) = {(* ,/ (* ) + g (* ))U e Dom(/) fl Dom(g) }
Gr( f - g) = { (x , / (x) - g(x) ) I x e Dom(/) D Dom(g) }
G r(/-g ) = { (* ,/(x )-g (x ))lx e Dom(/) fl Dom(g) }

Gr = {(* ’ ' X £ DomG:) fl D o m ( g ) ,g ( x ) * 0 }

(EJEMPLO 1 ) S iG rf/) = {(-3 ,2 ) , ( 0 ,0 ) , (2 , 4 ) , (3 , - l ) , ( 4 , 3)} y G r{g)= {(2 , 0 ) ,
(3 , 4 ) , (4 , 7 ) . (6 .2 )} , hallar :
a) / + g
b) /* g c) f/g d) f z + 3g

Solución D om ( /) = {-3 , 0 , 2 , 3 , 4 } y Dom(g) = {2 , 3 , 4 , 6 } *=> D o m (/) D Dom(g) =
{ 2 , 3 , 4 } . Aplicando la definición correspondiente se tiene :

a) G r ( / + g ) = { ( 2 ,/( 2 ) + g ( 2 ),(3 ,/(3 ) + g ( 3 ) ) ,( 4 ,/( 4 ) + g(4) )}
= {(2,4 + 0), (3,-1 + 4), (4, 3 + 7)}= { (2 .4 ), (3, 3), (4,10)}

b) G i t f . g ) * { (2 , /( 2 ) - g(2) ) , (3 , / ( 3 ) • g(3) ) , ( 4 , /( 4 ) ■g (4 )) }
= {(2.4*0),(3I-lx4),(4,3*7)} = {(2,0),(3,-4),(4,2l)}

c) G rtf/g) = { ( 2 . /(2)/g{2 )) , (3 , /(3V g(3) ) , (4 , /(4Vg(4)) } = { (3 , -1/4) . (4 ,3 /7 ) }
Como g(2) = 0 , no existe Gr{ /(2 )/g (2 ) )
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74 Capítulo l : Funciones

d) Gr( / 3+ 3g) = { ( 2 , f ( 2) + 3g(2) ) , ( 3 , / 2(3) + 3g(3) ) . ( 4 . / 2(4) + 3g(4)) }
= { (2 , 42+ 3(0) ) , (3 , (-1J2+ 3(4) ) , (4 , 32+ 3(7)) }
= {(2, 16),(3. 13),(4,30)}

f ___ .... j . í l,si-l<x<2

(EJEMPLO 2 ) Sean /(x ) = - x 2+ 4 x - 2 , x e [ 0 , 4 ] y g(x) = <|

■ [ 2 , si 2 < x < 6

Halle ( / + g) (x) y dibuje en un mismo plano / , g y / + g

Solución Vemos que g es una función seccionada cuyas partes son funciones constantes,
lu e g o , si g,(x) = 1 y g,(x) = 3 , se tiene:

D o m (/) fl D om (gt) = [ 0 , 4 ] n [-1 . 2) = [ 0 , 2> y D o m (/) fl Dom (g,) = [ 0 ,4 ] n [ 2 , 6 ) = [2 , 4]

[ (-x2 + 4 x - 2 ) + l = 4 x - x J - 1 , s i x e [0,2>

■=> Cf + g) W - <i
[ (-x2+ 4 x - 2 ) + 3 = 4 x - x 2+ 1 , s i x € [ 2 , 4 ]

Construcción de las gráficas de / , g y / + g.

Sea y = -x2 + 4 x - 2 = - ( x - 2 ) 2 + 2

L a G r(/) es una parábola con vértice en V ( 2 ,2 ) y l a d e g , las rectas>•= I , y = 3 (Figura 1.87).

Obsérvese que la G r(/ + g) en x e ( 0 , 2 ) tiene la misma Y iK '
forma que la Gr( / ) , siendo paralela a ésta, obteniéndose 5
por un desplazamiento vertical de la GríJ). Los mismo se
puede notaren la G r(/ + g )p arax € [ 2 , 4 ] . En general, 4 G / S5¡
si g(x) = c , entonces G r ( / + 9) ¡ ^ \ *o

}W ------------------- \

2

/ + g = {(x , /(x ) + c) Ix e D om (/) fl Dom(g)} . Esto f/ T \ LG r í í l ;

es , a cada valor de la ordenada de / se le debe sum ar la M i): Y !

-1 o 1 2 * 4 5 6 ',

constante c . ■ tJ m » . .. -J

F IG U R A 1.87

EJEMPLO 3 J Sean las funciones reales definidas por

{2 + 4 X - 2 X 3 , s i x < 1
2 - x , si x t I
Si definim os la función h : ( - 1 ,3 ) - > IRIh(x) = /(x ) + g (x ), halle el R a n (/) y dibuje su gráfica.

Solución Siguiendo el método de los puntos críticos para la función / se tie n e :

x < -1 -I -1 < x < 3 3-------------------------- x----->----3-----------------------> + «w

< -------------------- s

1x + ll = - ( x + 1) 1X + l l = + ( X + 1 ) 1X + 11 = + (x + 1)

| x - 3 1 = - ( x - 3) 1x - 3 | = - (x - 3) |x -3 | = + (x-3)

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Sección 1.9 : Algebra de las funciones 75

Como el Dom (h) = (-1 , 3 ) , nos interesa la segunda restricción en d o n d e :
f ( x ) = - (x - 3) + (x + 1) = 4 , constante Vx e <-1 , 3) . Luego , s i :

h = {(*. y) I y = /(*) + g(*). X e D om (/) n Dom(g) >

f 4 + (2 + 4x - 2X1) , x e < - « , |> D <-1 ,3 )

l=> h(x) = <

[ 4 + (2 - x) , x s [I , +©o) n <-1 .3 )

f 6 + 4x - 2 jt , si e {-1 , 1)

[ 6-x , s i x e [I , 3)

Con esta información dibujamos la Gr(h) mostrada en la Figu­

ra 1 .8 8 , de d o n d e : Ran(h) = (0 , 8) ■ FIG U R A t.88

E JEM P LO 4. j Hallar el dominio de la función

/(* ) = V 4 - | x - 2 l + V fS g n íx ^ + x2 ] - 2
Solución Para determinar el D om (/) podemos definirla como la suma de dos funciones, esto

e s , s i / ( x ) = /,(x ) + /,(x ) => Dom( / ) = D om (/,) n D o m (/2)

Luego, sea /,(x) = ' I* 2 I 3 ^ ^ 4 - | . x - 2 | 2: 0 ,X 5*0

« | x - 2 l < 4 , x * 0 <=> - 4 < x - 2 < 4 , x * 0 ^ D om ( /,) = [ - 2 ,6 ] - { 0 }

S i / 2(x) = V[ Sgnfx2) + x 2 J - 2 .=> B f 2 « [ Sgnfx2) + x2 ] > 2 (1)

1 , si x2 < 0 , no puede s e r , pues x2es (+) V x e [R
0 , si x2 = 0 , no puede ser porque en / , , x * 0
1 , si x2> 0 , si puede ser

Luego , si Sgn(x*) = i , en (1) : [ 1 + X2 ] "¿.2 e=> [ x * ] > I <=>x2> l

< = > ( x < - l ) v ( x > l ) c=> D o m (/3) = , -1] U [I , +00)

D om (/) = ( [ - 2 ,6] - {0} ) n (<-«>.-1] U U , + ~ ) = [-2 .-1 ]U [ 1 , 6 ] ■

(E JE M P LO 5 ) Sean las funciones : / = { (x ,-y V 9 - X 2 ) ! D o m (/) D {-3 , 3} = <J>}

s « ) = Sgn ( ^ ± f ) y =

a) Halle el D o m (F ), si F(x) = /(x ) ■g(x) + h(x)
b) Dibuje la Gr(F) y determine su rango.

'Sotucfim S i/( x ) = ~ V 9 - x2 / e s r e a l <=> 9 - x 2 £ 0 <=> - 3 á x < 3
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76 Capitulo I : Funciones

Pero por definición , el dominio de / no debe contener al conjunto {-3 , 3} , por lo que :
D o m (/) = <-3 , 3)

g(*) = Sgn ( ^ + ¡2 ) g es real <=> (* + 2 £ 0 ) a ( * * 1) o Dom(g) = [-2 , +°°) - {1}

h(jr) = [ ^ ± ^ ] - 1 C» Dom(h) = K - { - 3 }

a) L ueg o , Dom(F) = D o m (/) n Dom(g) n Dom (h) = [ - 2 , 1) U (1 ,3 )

b) Para dibujar la Gr(F) y determinar su rango , debemos eliminar el corchete y evaluar la

función sig n o , esto es

^x±+ 53 2 - -x +L 3 ■=* h(jc) = [L 2 x +L3 -]* - 1 = l + [*-jc^+ 3l J (I)

S i* e D om (F) t=> -2 < x < 3 1 e=> 1 < x + 3 < 6 < — í— < 1
6 *+3

M ultiplicando por - 1 : - 1 < - j —j < _ ^ ^ [ + 3 ] = "*

Entonces, en (I) : h(x) = ! + ( - ! ) = 0 , V x e Dom(F)

Por tanto , F(x) = /( x ) .g ( x ) = ~ V 9 - x 2 Sgn ( — + 2 ) , x e [-2 , 3) - {1} (2)

- 1 , si ^x + } < 0 <=> - 2 < x < I
*- 1

Com o, Sgn ( ^ ^ ) = 0 , si >íc + 2 = 0 <=> * = - 2
x- I

1 , si■ Vx + 2 > 0 <=> ( * > - 2 ) v ( x > I)
x- I

\
L uego, en (2) se tien e:

F(*) = - < 9 ^ , s í x e < -2 , I ) >. - 'X
:» 2 . 3
, si * = -2 \ /
f C 7 , s i x e (I ,3) \
\

-31 -1* -1 0
\:
Obsérvese que para cada raíz cuadrada, en el intervalo
indicado, la Gr(F) m ostrada en la Figura 1.89 , es una -2
parte de la elipse 4 x2 + 9y2= 3 6 , de donde :
F IG U R A 1.89
R an(F) = [-2 , -2<5 /3> U [ 0 , 4 ^2 /3> ■

(EJEM PLO 6 ) Sean las fu nciones/y g , cuyas reglas de correspondencia son
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Sección 1.9 : Algebra de las funciones 77

f 3x - 2 , six e [0,2] . g(x) = x2, si x 6 [O . 3)
/(x) = \ 4 , si x e [ 3, 6]

[ I - x , si x e <2 ,5 ]

Hallar / + g , su rango y dibujar su gráfica.

Solución Cuando se trata de operar con funciones seccionadas, los pasos a seguir son los
siguientes.

1. Considerar a / y g com o la sum a de dos funciones, es decir
/,(x ) = 3 x - 2 , * e [ 0 ,2 ] ; g,(x) = x , x e [0,3>
/ 2(x) = I- x t x e < 2, 5] ; g,(*) = 4 , r e [ 3 , 6 ]
L uego, efectuar la operación que se indica, en este caso

/ + g = ( / , + / , ) + (g, + g,)
= ( f i +g i) + ( f l + g2) + ( f 2+ gl) + i f 2+ g2)

2. Hallar los dom inios de cada una de las sumas parciales FIGURA 1.90
D °m (/|+ g l) = [0,2] n [0,3) = [0,2]
D o m (/| + g,) = [0 ,2 ] n [3 ,6 ] = <> i=> £ ( /, + g 2)
D om (/2+ g|) = <2,5] D (0 ,3 ) = <2.3)
D o m (/2 + g2) = <2, 5] fl [ 3 , 6 ] = [ 3 , 5 ]

3. Operar con las imágenes correspondientes donde la intersección de los dominios sea dife­
rente de <{>. Entonces

jc2 + 3je- 2 , si jc e [ 0 , 2 ]
( / + g ) W = < *2- x + 1 , s i x e ( 2 , 3 )

5 -x , sixe [3,5]

4. La G r(/ + g) se presenta en la Figura 1.90, de d o n d e: R an(/ + g) = [-2 ,8 ] ■

^E JE M PL O 7 ) Sean las funciones:

í 4x + [ x ] , s ix e <-3 ,0 ) í [ -x J - 2 x , si x e <-4 ,-1]
/<x)=< , g<x) * s

[ Ix2 -5xl , s i x e [0,6> [ |x - 5 |- 4 , s i x e [0,3]

Hallar la función / + g , su rango y dibujar su gráfica.

'Solución 1. / + g = C/1+ / 2) + ( g ,+ g 2)
= (/, + g,) + (/, + g2) + (/2+ g,) + ( f 2+ g2)

2. D o m t/.+ g ,) = Dom ( /,) n D om íg,)= <-3, 0> fl <-4.-1] = <- 3, - l ]
D o m ( /,+ g 2) = Dom ( / ,) D Dom(g2) = <-3 ,0 ) fl [ 0 , 3 ] = <J> *=>£(.f, + gj)
Dom(/2+ gt) = Dom(/2) fl Domtg,)= [0,6) fl (-4,-1] = ó <=> SCfj + g,)

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78 Capítulo I ■Funciones

DomCA + g j) = D o m (/2) fl DomCg,) M O . 6> n [ 0 , 3 ] = [ 0 , 3 ] = {0} U ( 0 , 3 ]

f 2r+[jc]+(-jc] , si jc e (-3 , -1 ]

3. Entonces: (J + g)(jc) = < 1 , si x = 0

[ Ijc(jc- 5) I + | j c - 5 1 - 4 , s i j c e ( 0 , 3]

{0 , si JC€ Z
-0 , si jc e ( !R - Z)
L u e g o , paraje = -2 y * = - 1 e ( - 3 ,- 1 ) >=> ( j c ] + [ - jc ] = 0
y para j c e (-3 , -2) U (-2 , -1) [ jc ] + ( -x ] = -1

5. A d e m á s ,s i j c e ( 0 , 3 ] <=> 0 < j c < 3 <=> - 5 < j c - 5 ^ - 2 «=> j c - 5 < 0
Por lo que : Ijc2 - 5 j c | = - U 2 - 5x) y | j c - 5 1 = -(jc- 5)

6. Entonces en el paso (3)

2x - 1 , si jc e (-3 , -2

-4 , si jc= -2

(/+g)(*)= ‘ -2 , si jc = - 1
1
, si jc = 0

-jc2 + 4 jc+ 1 , si jce ( 0 , 3 ]

7. La Gr( f + g) se m uestra en la Figura 1.91, de donde :
Ran(/ + g) = (-7,-5>U(-5,-3)U{-2}U[l ,5]

EJEMPLO 8 ^ Sean / y g dos funciones reales definidas por

[ H 2L] +3 x ~ 1’ * e í_2' 1] I 5 j c - l| + 6 |jc + 2 1-15 , x e [ - 3 . 0 ]

/(*) = ;g W = <¡

jc + 8 .jce (2 ,8 ] 3 jc - 4 , jce (1 , 6 ]

Halle el dom inio, la regla de correspondencia y el rango de / / g .

Solución 1. Sean : / ](x) = jc2 ¡ [ ] + 3x - 1 , j ce (-2 , 1] y f 2(x) = jc + 8 , jc e (2 , 8]

2. Eliminemos las barras de valor absoluto en g por el m étodo de los puntos críticos .teniendo
encuentaque l/5e [-3,0]>'-2e [-3,0]
S Í - 3 < jc< - 2 ^ |5 jc- 1 1 = - ( 5 jc- I) y | jc+ 2 1 = - (* + 2)
- 2 í j c < 0 = > | 5 j c - 1 1 = - ( 5 j c - 1) y | j c + 2 | = + (jc + 2 )
*=* B|(*) = - (5 jt- I) - 6(jc-i-2 ) - 1 5 = - 1Ijc- 2 6 y g2(jc) = -(5jt- 1) + 6(jc + 2 ) - 15 = j c - 2

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Sección 1.9 : Algebra de las funciones 79

Entonces : gC*) = - 1Ix - 26 , si x e [-3 , -2) (g.)
x - 2 . s i x e [-2,0] (g 2)
3 x - 4 , s i x e [1 , 6]
(g ,)

3. Intersección de los dominios de / y g
D o m (/() n D om (g |) = ( -2 , 1] D [ - 3 , -2> = <J> .=> í / / g
D o m (/,) n D om (g2)= ( - 2 ,1 ] f) [ - 2 , 0 ] = < -2,0]
D o m (/,) n D om (g3)= ( - 2 , 1 ] fl [1 . 6 ] = {1}
D o m (/2) n Dom (g |)= <2, 8] n Í - 3 .- 2 ) = 4» í / / g
D o m (/2) D D om (g2)= ( 2 , 8 ] fl [ - 2 , 0 ] = 0 >=> £ //g
D o m (/3) D D om (g3)= ( 2 , 8] fl [1 ,6 ] = (2 ,6 ]

4. Elim inem osel c o rc h e te e n x e (-2 ,0 ] y evaluem os/ , ( ! ) y g3( l)

S i - 2 < x < 0 => 0 £ - x < 2 <=> 2 £ 2 - x < 4 <=> 1 < 2-x
]= *

/ , ( ! ) = CD2 t ^ - 1 ] + 3(1) - I = 1(0) + 3 - 1 = 2 ; ^ ( 1 ) = 3 ( 1 ) - 4 = -1

**-+-2x ~ I , s i x e ( - 2 ,0 ]
x -2

5. Luego: ( 4 ) w - -2 ,six= l .=> 00171 ( j ) = (-2 .0 ] U { l } U(2 .6 ]

x+8 , si x e ( 2, 6]
3x-4

6. Determinación del R an(//g) . Supongamos que h(x) = (x ), entonces :

a) Para x e ( - 2 , 0 ] , sea h,(x) = y » x* + 3x - 1 , de donde despejando x = h(y)
x-2

se tie n e : x = 1\2 ( y - 3 ± Vy2 - "Í4y + 1 3 ) «=> x e s r e a l o y2 - 14y+ 13 £ 0

<=> ( y < 1 ) a ( y > 1 3 )

E s to e s , el universo de la variable y , es : U = (-*», 1] U [ 1 3 , + « » )

Como x e ( - 2 ,0 ] ■=> - 2 < - ^ ( y - 3 ± Vy2 - I4y + 13 ) < 0

«=> -1 - y < + Vy2 - 14y + 13 < 3 - y (o )

-I -1 <- 1 - y t=f> - 2 < - l - y
IC aso 1] S i y e U l y ^ l « = * - ! < - > < = > <

1 3 - I ¿ 3 -yc=$ 2 < 3 - y

Nótese que -1 - y e s negativo y 3 - y es positivo V x e ( - 2 , 0 ] , entonces en (a)

(- 1 - y < - Vy2 - 14y+ 1 3 ) v (Vy2- 14y + 13 < 3 - y )

■=> (Vy2 - 14y + 13 < l + y ) v (Vy2 - 1 4 y + 1 3 < 3 - y ) ^ (Vy3 - 14y+ 13 < 3 - y )

A h o ra , aplicando la propiedad : Va <b <=> ( a> 0) a Q> > 0 a a < b 7) , se tiene
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80 Capítulo I : Funciones

(y2 - 14>•+ 13 > 0 ) a ( 3 - ) ’> 0 a >^- I4y + 1 3 < 9 - 6 y + y 2)
«=^ ( y e U) a ( y < 3 a y > 1/2) <=> y e [ 1/2 , 1]

C a s o 2 Si>*€ U l y > 13 «=> - >• <- 13 r -i 14
<
l 3-y<-W

Obsérvese que ambos extremos de (a) son negativos, esto es

-I - y < - 1 4 ^ - V y 2 - 14y + 13 £ 3 - y < - 10
Luego , elevando al cuadrado : (3 - y)2< y2 - I4y + 13 < (-1 -y )2
d e d o n d e : (8y < 4 ) a (- I6y < - 12) ( y < 1/2) a ( y > 3 / 4 ) y e «})
Entonces , por el Caso I : Ran(h,) = [ 1 / 2 , 1 ]

b) Para x = I , h,(x) = -2 i=> Ran(h,) = {-2}

c) En j c e ( 2 , 6 ] ,s e a h j(x ) = * * ^ " 3" + 3 ( 3 ^ - 4 ) ^ R an(h3) = [ 1 . 5 ) (Verificar)

R an(//g) = [1/2 , 1] U {-2} U [I . 5> = {-2} U [1/2 , 5) ■

E JE R C IC IO S . Grupo 4

1. S i / = { ( 0 , V 2 ) , ( 1 , ^ + V 5 ) , ( 2 , 0 ) } y g = { (0 , VÜ) , (2 , 1/2), (4 , V3 )} , h a lla r:

a) ( / + g)(2) b) ( / *g) (2) c) ( / , + 3g) (2)

{0 , si x < 0 , g(x) = Sgn(x)
1,six¿0

Se define la función H(x) = /(x + 2) - g(x - 2 ), hallar el Ran(H)

3. Dadas las funciones / : A -> [-2 , 2] I/ ( x ) = x 1 - 4 , A c [-3 , 3] ; g : ÍR —> IR [ g(x) =

a/sT ? y h = {(-3,2),(-2.3),(0,1).(1,-1),(2,4),(6,5)}

a) Construir la G r(/) y hallar su dominio. b) Hallar/+ g y g - h

4. Dadas las funciones / : A -» [ 1 ,4 ) If(x) = x2- 2x + 1, A c [-2 , 3 ] ; g : R RI g(x) =
2x + I , y g [-1 , 3} ; h : IR —> IR |h(x) = Ix2- I | + x , y 5 2

a) Dibujar la Gr(g + h) b) Hallar el D o m (/-g )

5 . Sean las funciones / : R —» R I / ( x ) = x - | x - 1 I ; g : IR —> IR I g(x) = x3-2 , x > - 2;

h : fR —> tR I h(x) = Vx2- 9 , hallar el dom inio de la función ( / + g) ■h

6. Sean f ( x ) = x 2 y g(x) = 12x I , dibujar la G r( / + g) y hallar su rango.

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EJERCICIOS . Grupo 4 : Algehru d e Lis fuñeiu/ies 81

7. Sean las funciones / : A —> [- 5, 3] If (x) = - x2+ 2 x + 3 , A c ( - 3 , 5 ] ; g : I R —» {RI g(x) =
V9-X5 . Hallar: a) / / g , b) D om (//g).

8. Dadas las funciones / y g , hallar/ + g y dibujar su gráfica

f x + 3 .sixe (-4,0] f 2 x -4 ,s i x e [-3,2]

a) /(* ) = ^ . gC*) = í
[ 3x +2 , si x € (1 ,6 ) l 2 - x , si x e ( 2 , 8 )

{ 4x + [ x ] , s¡ e (-3 , 0) f [-jc]-2x,-4<jc^-I
. g(*)= \

lx2+ l l . s i x e ( 1, 6) Ll->c- 5 1 , 0 < x < 3

9. S e a / y g las funciones definidas por í [*/2] ,x e [l,8 )

\ < x-2 , x e [2,4) : g(*) = s

f(x) - ’S [ 12 x - 101 , x e [8 ,.12)

[ x 2 - 14x + 48 , x e [6 , 10)

a) D eterm in arlaíun ción /-g

b) Graficar / - g , indicando explícitameníe su rango.

10. Sean las funciones:

[ x ^ + l x 2- I| - 3 , x e [ - 2, 2] ( 4-[xM,x<2

^ = 1 Ir \ .«<2.4> ; 6W = \ [-2.X22

~t

H allarla f u n c i ó n / + g indicando explícitamente su rango.

11. Sean las funciones :

/(*) - f 4x+ [x] , sixe (-3,0) f [ -x] - 5x , x e (-4 ,1)

i . gW = j
l l x - 3 I ,xe (0,2)
l \ ^ + ll - 3 , si x e (1 , 6)

Hallar la función / + g y construir su gráfica.

f Ix2 - 4 1 , x e [-6 , 0] fx+2,six>-2
12. S i/(x ) = < y g(x) = <

[ 2 ,x < 2 [ l ,s ix < -2

halle la regla de correspondencia d e //g y su dominio

f Ix-ll [Sgn(3-x)] , x e [0,6] [lx-2l ,xe(-8,3]
y g(x) = <!
13. Si /(x ) = <|
[ x lx -2 | ,xe (3,8]
[ x2 , x e ( 6 , 10)

halle la regla de correspondencia de g/ /

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82 Capítulo ¡ : Funciones

Vjc2+ 16 , si jce (-4 , -2) y g(jc) = 2x + 4 , s i x s (-3 .-1 )
14. S i / ( * ) = í [ x ] - 2 x , si x e [ - 1 , 2 ) Ijc2 - 2 I , si x e [-1 ,5 )

\ x 1+ 2 \ , si x e <4 ,6 )

hallar la regla de correspondencia de / - g.
15. Sean las funciones:

Vx’ - 2x , s í | j c - 1 | > 1 a | j c - I | < 3 y gW = < t i p i l ] ,sij:<3
/(*) = 5 jc* + jc + I . s i j c e [ 5 ,1 0 )
a:- 1
jc2- 4jc- 4 S g n (íx I - 3 ) . ; c e [ 0 , 2 ]

H a lla r/-g yconstruirsugráfica.

16. Si f ( x ) = 2x + 3 y g(x) = [ 2 c - 1 ] , hallar / / g y su dominio.

17. Dem ostrar que si / y g son funciones im p ares, entonces

a) ( / + g) es una función impar Y, 1
b) Cf *g) es una función par

18. Si / es una función cuya regla de correspondencia es 2
1
'w=2M ítM )-uCi+4>
-4 -J -2 -1 0 1 :2 3X
y g es la función tal que su gráfica es el de la Figura -1
1.92 ; hallar la función h = / • g , expresando h(x)
únicamente como combinación de la función escalo­ F IG U R A 1.92
nada y la función identidad.

19. S e a n f ( x ) = |jc S g n (* -2 )l + Sgn ( ^ r ^ ) . gC*) = U - 2 | Sgn ( y ^ ) y

h(x) = U l Sgn H allar: a) / ( jc) = / ( jc) + h(:c) - g(*) b) G(x) = ^ +

20. Sean / y g dos funciones definidas por

[ ¿ T r l , j e [-3,0)

m= t [x } - 2x\ t x e [0,3) . gto = - jc2 , si jc e [-2 , 1)
Ijc - 5 I , jee [4 , 7) \x - 3 1 , si e [2 , 8)

Hallar la función h = / - g y dibujar su gráfica.

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Sección I. ¡O : Composición de funciones 83

(ÍT ÍtQ CO M PO SICIÓ N DE FUN CIO N ES

D ados los conjuntos A , B y C y las funciones / : A —» B y g : B —» C , si para
x € A ocurre que y —f ( x ) , entonces x determina una y , la que a su vez determina una z e C ,
esto e s , s i :

* —/ » > • —g.> z

se habrá asociado entonces una z e Ca u n a j t E A por medio de la ecuación z = g(y) = g [/(* )]•
Si designamos z = h (* ), la ecuación h(jc) = g [/(-c)] se llama com posición de / por g , la que se
denota por g o / y cuya regla de correspondencia e s :

(g °/)C * ) = g t/(* )] . Vjce Dom(g o / )

obien: g o / = {(*. g [/(* )l) I x e D om (go/)}
donde: D o m (g o /) - {jclxe D om (/) a f ( x ) e Dom(g)}

y cuya interpretación geométrica se muestra en la Figura 1.93

F IG U R A 1.93

O BSERV A CIO N ES 1.14
a) D o m (g o /)c D o m (/)c A
b) Ran (g o / ) cR an(g) c C
c) Existe g o / « R an(/) D Dom(g)#4>
d) Cuando el R a n (/)e stá incluido en el D o m (g ), entonces la función g o / e s t á definida en el

Dom(_f), esto es , s i : Ran ( / ) £ Dom(g) => Dom(g o / ) = D om (/)
e) Cuando el R a n (/) <Z Dom(g) e=> D o m (g o /) = {jcU e Dom ( /) a / ( jc) e Dom(g)}
f ) La aplicación se hace de derecha a izquierda, esto e s , la función de partida / es la que está

a la derecha de la notación “o”
En g o / , / es la función de partida y g es la función de llegada.
En / o g , g es la función de partida y / es la función de llegada.

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84 Capítulo 1 : Funciones

OBSERV A CIO N ES. 1.15 Del m ism o m o d o , para las funciones g : A —» B y / : C —» E ,
se tiene : ( / o g)(x) = f [g(x)] . V x e D o m ( / o g )

a) D o m (/o g ) c Dom(g) = A

b) R a n (/o g ) c R an(/) c E

c) E x is te /o g e=> Ran(g) fl Dom(_f) * <J>

d) Cuando el Ran(g) c D o m (/) ■=> D o m (/o g ) = Dom(g)

e) Cuando el Ran(g) <z D o m (/) D om (/og) = {xl xe Dom(g)a g(x)e Dom (/)}

PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES COM PUESTAS

Para funciones / , g , h , I (función identidad) se cumplen las siguientes propieda­
des.

FC.1 : ( / o g) o h = / o (g o h) (Ley asociativa)
FC-2: / o g * g o / (No es conmutativa)

FC .3: ( / + g)oh = ( / oh) + (goh) (Ley distributiva para la suma)

F C .4: (/* g)oh = (foh)-(g oh) (Ley distributiva para la multiplicación)

FC.5 : 3 ! I l / o l = l o / = / , V / (Ley de unicidad)
F C .6 : I" o I m = I m" , m , n e Z +

FC.7 : I " o ( f + g) = ( / + g)n, n e Z+

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

EJEMpLo 1 ) D adas las funciones/ : IR -> 1R |/ ( jt+ l ) = j r 2)jce (-1 , 7] y g : R IRI

g ( x - l ) = 2 x - 1 , x e [1 , 4oa) , h a lla r: a) ( / o g ) ( x ) , b) ( g o / ) ( x )

> & C « S ri 1. Si f ( x + 1 ) f ( x ) = ( x - l ) 2 ; g (x - \ ) = 2 x - \ i=> g(x) = 2(x + I) - 1
<=> g(x) = 2x + 1

2. Determ inem os los rangos de / y g.
Si -1 < x < 7 <=> -2 < j c - l < 6 t=> 0 < (jc -1 )2 < 36 , luego : R an (/) = [ 0 , 36]

Si x > 1 «=> 2x + 1 > 2 + 1 *=> g(x) > 3 , por lo que Ran(g) = [3 , -B»)

3. Ran(g) D D o m (/)= [3 ,+«*) f l (-1 , 7] = [3 , 7] *<{> >=> 3 / o g (Obs. 1.15c)

Ran ( /) D Dom(g) = [0 , 36] f l [ I , +*») = [ 1 , 36] * <]) «=> 3 g o / (Obs. 1.14c)

4. Cálculo de los dominios d e / o g y g o /

a) Com o Ran(g) <x D o m (/) >=? D o m (/ o g) = {x Ix e D om (g) a g(x) € D om (/)}

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Sección i. 10 : Composición de funciones 85

«=> D o m ( /o g ) = x e (1 ,+ « > )n ( 2x+ 1) e (-1 , 7]
= (x> I) n (-1 < 2 x + I <7) = (x > l) n (-1 < x < 3 ) = xe [1 ,3]

b) Ran ( / ) <2 Dom(g) e=> D o m (g o /) = {xl x e D om (/) a / ( x ) e Dom(g)}
«=> D o m ( g o / ) = (-1 < jc< 7) f l ( x - 1)2 > I = (-1 < x < 7 ) D ( x > 2 v j c < 0 )
= x e (-1,0] U [2,7]

5. Determinación de las reglas de correspondencia d e / o g y g o /
a) ( / o g ) ( x ) = /[ g ( x ) ] = /( 2 a + l) = (2x + 1 - 1)3= 4jr . x e [ 1 , 3 ]
b) ( g o / ) U ) = g[/(j:)] = g [ ( ^ - l ) 2] = 2 ( ^ - l ) 3+ l = 2 í 3 - 4 j c + 3 , j t e < - l , 0 ] U [ 2 , 7 ] ■

[EJEM PLO ~ 2 ^ S e a n / : IR —> R l/(x ) = 2 x - 3 . x e (-1 . 3] ; g : R. IR i g(x) = x + 2 ,
su rango. x e [ - 2 , 4 ) y h : IR —» R I h(x) =■ 3x + 7 , x e ( - 6 , 0 ] . H allar / o g o h y

Solución Según la propiedad FC .l : / o g o h = (J o g) o h . Entonces , sea F = f o g (g es
la función de partida y / es la función de llegada).

1. C om oR an(g) = [ 0 , 6 )<2 D o m (/) «=> Dom(F) = {x Ix e Dom(g) a g ( x ) e D om (/)}

.=> Dom(F) = ( - 2 < x < 4 ) fl (x + 2 ) e (-1 . 3 ] = ( - 2 < x < 4 ) fl (-1 < x + 2 < 3 )
= (-2 < x < 4 ) fl (-3 < x < 1) = - 2 < x < I

2. Luego : F(x) = /[g(x)] = /( x + 2) = 2(x + 2 ) - 3 = 2x + 1 , x e [- 2, 1]

3. Ran(h) = ( - l! ,7]<zD om (F ) e=> D o m (F o h ) = ( x l x e Dom(h) A h ( x ) e Dom(F)}

i=> D o m (F o h ) = (-6 < x < 0) fl ( 3 x + 7 ) e [ - 2 , 1 ] = ( - 6 < x < 0) fl (-2 < 3 x + 7 < I)
= (-6<x <0 ) D (-3<x<-2) = x e [-3,-2]

4. E n to n ces: (F o h) (x) = F[(h(x)] = F(3x + 7) = 2(3x + 7) + I = 6x + 15 , x e [-3 ,- 2 ]

/ o g o h = { ( x ,>■)!>• = 6 x + 1 5 , x e [-3 ,-2 ]}

5. Determinación del rango d e / o g o h

S ixe [-3,-2] » - 3 < x < - 2 ^ - 18<6x<-12 « -3<6x+ 15<3

Ran(/ ogoh) = [-3,3] ■

EJEM PLO 3 ) Sea la función: h(a) = -fíV s£n<*4+ s >>- / ( fl - *) fl5 t_4
s 1■ ■ a+4

Si /(x - 2) = x3- 4 y g(x) = x2+ 4x - 2 , hallar g[h(a)]

Solución I. Si / ( x - 2) = x2 - 4 <=> /(x ) = (x + 2)1- 4 = x2 + 4x , x e R
Luego : /(VSgn(x4+ 5) ) = Sgnfx4+ 5) + 4 VSgnfx4+ 5)

2. Pero Sgn(A4 + 5) = I , pues x4+ 5 > 0 , V x € R , entonces : /(VSgn(x4+ 5 ) ) = I + 4 = 5
3. / ( a - 1) = ( a - l ) ’- + 4 ( a - 1) = a 2 + 2 f l - 3

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86 Capítulo J : Funciones

5 - (a2+ 2a - 3) - (a + 4) (a - 2) - 2-a , a*-4
C=* h(va) = i a + 4 i = — -----a--+---4

4. Por tanto , g[h(a)] = g ( 2 - a ) = ( 2 - a ) 2+ 4 (2 -a ) - 2 ,a * - 4
= a 2- 8a + 1 0 , a e IR - {-4}

E J E M P L O 4 ] Si / = 2 I2 - 31 y g - I2- 1 + 2 , h a l l a r / o g y g o /

S olución a) / o g = (2 V - 31) o (I2 - 1 + 2) = 2 I2 o (I2- í + 2) - 31 o (I2 - 1 + 2) (F C .3 )
(F C .7 )
= 2(I2- 1+ 2)2- 3(I2 -1 + 2) = 2I4- 4 I 3+ 7I2- 5 1 + 2 (FC.3)

b) g o / = ( I 2- 1 + 2 ) o ( 2I 2 - 31) = F o ( 2 I 3- 31) - 1 o ( 2 I 2 -3 1 ) - 2 o ( 2 I 2 - 31) ■
= (2 I2 - 3 I)2 - (2 I2- 31) + 2 = 4 I4 - 1 2 P + 7 P + 31 + 2

D ea) y b) se cumple q u e : / o g * g o / (FC.2)

EJEM PLO 5 j Sea g(x) = * + * con dom inio [-1, 1) f| 0 , 4 ] ; la función / tiene do­

minio : ( - 1 , 1 ) f| ( 1 , 2 ] y es tal que ( / o g)(.x) = ; r - ; t + 1. H allar la regla
de correspondencia de f ( x ) , el dom inio y el rango d e / o g.

S olución 1. S i/[ g ( * ) ] = jt2 -jc + 1 ■=> / ( * + ) = j t - j c + 1

Sea u = X~\ .dedonde: * = U -l « / ( u) = í ^ ) 2 - ( i ± | ) +1
' U - 1/ \ u - 1/
^>=> / ( jc ) =
Efectuando operaciones obtenem os: /(u ) = ^ * y ,x*\

2. D o m (/ o g) = { jc 1jc e D om (g) a g(*) € D o m (/)}

*=> D o m ( /o g ) = x e [-1 , 1> U <1 ,4 ] a ( * + * ) e (-1 , 1) U <1 ,2 ] (a)

3. ( ^ | ) e <-1 , 1>U (1 , 2 ] « ( l < 1 + ^ 7 7 < 0 u ( ' < , + 7 7 / - 2 )

« ( - 2 < 1 T T < 0 ) u (0 < -t t £ 1 )

« [(t 17 > -2) n < 0 ) ] u [ ( i r r > 0 ) n t í r * 1) ]

« [ ( 7 7 7 > 0 ) n ( x - i < ° ) ] u [ ( x - i > 0) n ( A i í s o ) ]

<=> [ ( * < 0 v x > l ) D ( * < 1)] U [ ( * > 1) f) ( * < I vjc¡> 3 )]
<=> [jc < 0] U [x > 3] <=> x e (-©o, 0) U 13 , +<»)

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Sección LIO : Composición de funciones 87

Luego , en ( a ) : D o m (/ o g) = (x e [-1 , 1) U 0 , 4] ) H (x e (-«» , 0) U [3 , +*«))
= [-1,0) U [3,4]

4. Determinación del R a n (/ o g ) : ( /o g )(x ) = xa - x + 1 = ( x - I /2 ) 2+ 3/4
S i * € [-1 , 0 ) U [ 3 , 4 ] <=> (-1 < jc> 0) U <3 < jc< 4)

[1 < ( / og)(x) < 3 ] U [ 7 < ( / o g ) ( x ) < l 3 ]
.% R a n tf o g ) = ( 1 , 3 ] U [ 7 , 13]

Mota Cuando se trata de efectuar una composición de funciones seccionadas, esto es , si

/ = /, U / 2U . , U / n, donde el Dom(/) = Domí/.HJ D om tf^U . - ■U Dom(/lt)

g = g, U g2u - ■. ü / „ . donde el Dom(g) = Dom(gf) U Dom(gJ U . . . . U Dom(gJ

entonces: / o g = ( /, og,) U ( /, o g 2) U (f2o g,) U Cf2o g 2) U . - . • ü ( / no g n)

[E JE M P L O 6 j Hallar ( / o g)(x) sabiendo que

Solución 1. S e a n : / , ( x - 3 ) = x t=* /,( x ) = x + 3 , x e [ 1 , 3 )
/ 2( x - 3) = ( x - 3 ) 2 <=> / 2(x) = x3 , x e [ 3 , 7 )

g ,(x - I) = x - 4 «=> g,(x) = x - 3 , x e [ 2 , 5 ) ; g2(x - 1) = 4 i=> g2(x) = 4 , x e [ 5 ,7 )
2. Cálculo de los rangos de g, y g2

En g , : x e [ 2 , 5 ) <=> 2 á x < 5 <=> -1 < x - 3 < 2 t=t> R an (g ,)= [ - 1 , 2 )
En g j : x € [5 , 7 ) , y = 4 (constante) ■=> Ranfgj) = {4}
3. Ran (g |)f1 D o m (/,) = [-1 , 2>fl [1 ,3 ) = [1 ,2 ) *<J> ^ 3 ( / , o gl)
Com o Ran(g |) a D o m (/,) D o m ( /,o g |) = {jc Ijc e Dom(g |) a g,(x) e D o m (/,)}

D o m (/( o g () = ( 2 < x < 5 ) n ( x - 3 ) e [ 1 , 3 ) = [ 4 , 5 )
■=> Cf, O s,K-c) = /,[g ,(x )] = / , ( x - 3 ) = (x - 3) + 3 = x , si x e [ 4 , 5 )
4. R an(g2) n D o m (/,) = {4} fl [I , 3) = <¡>*=$ í t f . o g , )
5. Ran(g,) fl D o m (/2) = [-! , 2) fl [ 3 ,7 ) = 0 = > * ( / , og, )

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88 Capítulo ¡ : Funciones

6. Ran(g2) fl Dom(/2) = {4} fl [3, 7) = {4} * <J>=* 3 (/, og,) (Obs. 1.15d)
Como {4} c [3 ,7) ■=> Dom(/2ogj) = Dom(g2) = [5,7)

(EJEM PLO 7 ) Dadas lasfunciones/ y g hallar, si existe, (g o/)(x)

*[l*-3|] + 2,si2<*<4
Solución Para redefínir las funciones/ y g en su forma más simple debemos eliminar las

barrasy loscorchetes, estoes

1. En / : si - I < x < 1 <=> 1< x + 2< 3 «=> — <
3 I* + 2 I

Además , si x > 1 i=> \xI = x
2. En g : a) Para -V2< * < 0 c=> |*| = - x

Ahora , si (-V2 <*<0) = (-V2 < * < - !) v ( - l < x<0)
i=> (1< - jc< V 2 ) v (0<-;c< 1) i=> (1 < ^ < 2 ) v ( 0 < ^ < 1)

=> ( [ ^ ] = l ) v ( [ ^ ] = 0)
b) Si (2 < jc< 4) = (2 <*< 3) v (3 <x < 4) t=> (-1 <x - 3 <0) v (0<* - 3 < 1)

c* ( 0 < U - 3 l < l ) v ( 0 < U - 3 | < 1) «=* [ U - 3 | ] = 0 , V jc€ <2,4)

( / , ) x?+ 2x, si ->/2< * £ - 1 (g,)
;g(x) = < 2x , si - I <x < 0 (g,)

( A ) 2 , si 2 < * < 4 (g3)
Entonce g o/está definida <=> Ran(/) fl Dom(g)*<}>
3. Determinación delos rangos de/, y f 2
En /,, Ran(/,) = 0, constante
En /2, y = x , como* >1 *=> y > 1, luego, Ran(/2) = [1 , +°°)
4. Si interceptamos el Ran(/,) con los dominios de g, , g2y g3, veremos que sólo
Ran(/,) DDom(g2) * 4> ■=» 3(g,o/,)
*=* Dom(g2o/,) = {*l*e Dornt/,) A/,(jc)e Dom(g2)}

= (-1 < jc< 1 ) a 0 6 (-1 < * < 0 ) = ( - l < * < l ) n ( - l < * < 9 ) = <-l , 0 ]

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Sección 1.10 : Com/Tosición de funciones 89

■=> g J /jC * )] = g,(0) = 2(0) = 0 , si x g ( - 1 ,0 ]

5. Si interceptam os el R an (/) con los dom inios de g, >g 2 y g3 , encontram os que sólo
R a n (/2) n Dom(g3)*4> i=> 3 ( g 3o / 2)

Com o [ 1 , +«>) <z ( 2 , 4 ) ¡=> D om (g3 o / 2) = { x l x e D om (/,) a e/ 2(x ) D om (g3)}

= ( A > l ) n ( ^ ( 2 , 4 ) ) = (2,4)
*=> E/aOr)] = EjC*) = 2 , V x g <2 ,4 )

6. Por tanto, de (4) y (5 ): f 0 , SÍ - 1 < X < 0 ■

(go/)(x) = s
I 2,s¡2<x<4

(EJEMPLO 8 j Sean / y g dos funciones reales definidas p o r:

[ k L i ] , s i x e (-1 , I) [ ——- , sí jcg[-2 , -1)
x- I
/(*) = ígW = <

Vx2 + 2x , s í x g [1 , 2) 1 - x , si x g ( 0 , 6 )

Hallar el dominio y la regla de correspondencia de g o /.

Solución I . En / , si ( - 1 , 1) = (-1 ,0 ) U (0 , I) , entonces

a) Para x g (-1 ,0 ) , Ixl = - x t=> [ - x - 2 T
3-x '

A h o r a , s i : - 1 < x < 0 « - 4 < x - 3 < - 3 <=> - 4 < —
3 x-3 < 4

3 x-3 4 3 x-3 4 l x-3

b) P a r a x e ( 0 , 1> , Ix l = x >=> = [" 1 + 3" ^ ]

Partiendo d e x G ( 0 , 1 ) y siguiendo los pasos (a), se llega a la conclusión deque

[ - 1 + 3 ^ ] = - I , V x e <0 . 1>

Por .am o, de (a) y (b) : j - | ^ _ 2 j = , ^ ( , ()

f - 1 , S Í X E <-1 , I) ( / , ) f J L - .S ÍX G [-2,-1) (g,)
(g,)
2 . «=> /(x ) = ______ ;gW = \ x - ]

[ Vx2+ 2x , siXG [ 1 , 2 ) ( / 2) 1 1 -JT , si XG ( 0 ,6 )

La composición g o / e s t á definida c=> R an (/) fl Dom(g) ^ 0

3. Determinación de los rangos de / y f 2 : R a n (/,) = -1 , constante
En f 2 : y = Vx1+ 2x = V( x+ l)2 - 1
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