Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

190 Capítulo 2: Limites

EJEMPLO 6 ) Sea /(jc) = + l haUar [im ^

s* \ x + \ -1 -*-»0

Solución I . La sustitución directa da /(O ) = |j-

2. A hora, b u scar el facto r x tal q u e elim in e la ind eterm inación p or el proceso anterior
resulta bastante laborioso. Como x + í aparece en todos los radicales , un cambio de
variables resulta más eficaz. Hacem os x + 1 = un , donde n es el com ún índice de los
radicales, esto es , n = m • c , m (3 , 4 , 5 ) = 60 <=? jc+ 1 = u60

3. C om o x —> 0 , entonces (x + I) —> 1 , luego u —» 1

4. Entonces: L = lim f( x ) = lim ( u ~u )
i»—>I U - 1 '
jc—>0

5. Obsérvese que aun subsiste la indeterm inación 0 /0 ; para elim inarla buscarem os el factor
(u - 1) por el proceso de factorización , esto es

u l2( l - u 8) u l2( l - u ) ( l + u + u2+ u ' + u4+ u ' + u6 + u7)

" UÍÍ5 u l5- I " n-Ti ( u - l ) ( u ” + u ,3 + u ,:! + ____ + u + l )

- u 12( 1+u + u1+ . . . . + u7)( I ) ( l + 7 ) 8 m

u 1- ? ! + +~ 14+1 TI "
U,4 U,, Ull+. . .+U+1

EJEMPLO T Í Evaluar: lim ( + 1 + ^ X+ 1 ~ 1 )
1 + tft+ T - 1 *
- J j —»0

Solución 1. Por sustitución d ire c ta , /( 0 ) = 0/0

2. Nótese que jc + 1 aparece en cada radical , un cam bio de variables , parecería lo más
conveniente, sin em bargo, como x es el factor que se debe elim inar, éste aparece en los
prim eros térm inos del num erador y denom inador. Entonces resulta m ás fácil buscar el
factor jc en los otros térm inos por el proceso de racionalización . Para tal efecto , sea

F(a ,b ) = a3+ a 2b + a b2+b3e 1factor racionalizante de + 1 -1 ,d o n d e a = > /x + 1 y i> =l

3. Com o lim F( a , b) = n • lim (6)3 = 4 lim ( l ) 3= 4 ; racionalizando;tendrem os:

x —* o x~*o

m= ______

F (c ,6 )

x.^ T i + ^T T +

e* ftx ) = -------------- / . n , e* gU) = ----------------- i---- «**0

+ C *+ 0-l_ jt-V x + T + — !—
F(a,b) F(a,b)

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Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unaJunción 191

4. S i/ ( a ) = g(jc) ,V x e V .* (0 ),en to n ces

L = lim /( a) = lim g(x) = g(0) = * * = 5
x-»G *-»0 U +l/4

EJEMPLO 8 ] Calcular lim f ( x ) , siendo /( a ) = V l+ x 2 - V 1 - 2 a
é x -»0 x +x1

Solución I. La sustitución directa da al límite la forma 0/0

2. Obsérvese que los términos V Í + a 2 y Vi - 2 a tienden a 1cuando x —>0 , de m odo que
sumando y restando 1 al numerador se tiene

I +-T2 - 1) - ( Í I 1 - 2 X - 1 ) < Í Í T ? - 1 . & l

A + A2 X + X2 A + A2

3. Sea F (a 7b) = a 2+ ab-+b1c I facto r racionalizante de Vi + a 2- 1 , donde a = V i +A2 y

b = 1 c=> lim F ( a ,¿ ) = n - lim (by l = 3(1)2 = 3

* -» o x -» o

S e a G (a ,¿ ) = a? + a 2b + a b 2+ el factor racionalizante de V1 - 2 a -1 .donde a = Vi - 2 a

y b = 1 <=> lim G ( a ,6 ) = n* lim (6 )"'1 ~ 4(1)* = 4

x -»0

4.. R. ac. io.nal.iza. ndo: f(x). - ( -V--l-+---A--2- r-—1)-■—F ( a, , b) --- -(i-V--i-----2--a-----1-)■ G(a,b)
<
( a + a^) • F (fl, b) ( x + x 2) - G ( a , b )

( I + a 2) - ! (1 - 2a ) - 1

a (1 + a ) * F ( c ,b) x(l+ x)'G(a.b)

Efectuando operaciones en los numeradores y cancelando factores iguales obtenemos

a2

8 Í J : ) “ ( I + a ) ■F(a , b ) + (1 + a ) • G (a ,í>) ’ X * °

5 . S i / ( a ) = g ( A ) , V A e V 6* ( 0 ) l i m / ( a ) = g ( 0 ) = (1)0(3) . 2(1)(4) 2l

EJEMPLO 9 | Calcular: lim ( Vi +x/3 - V l + x / 4 \

x-*0 ' 1 - Vi ~x/2

Solución l. Evaluando/(O) obtenemos la forma indeterminado ^

2. Buscaremos el factor a en el numerador y denominador simplificando previamente los térmi­

nos de la función, esto e s , haciendo uso del Teorema 10. L : lim / ( a ) = lim /( h x ) , se tiene

X — >hx0 X —,>Xy

3. h = m ■c • m ( 2 , 3 , 4 ) = 12 (h es el común denominador)

=> LL == lim / ( 1 2 a n) = lim .( VViI ++ 44 aa -- j V/ iH+^3ax \
x-*oJ X_>0 V i - V T T é l •

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192 Capítulo 2: Límites

4. Com o los radicales del num erador tienden a 1 cuando x —» 0 , aplicaremos el artificio del
ejem plo an terio r(su m ary restar 1)

/(1 2 h ) = \Í1 + 4 x -1 VT7 3 * -1
I-V l-6 * l-V l-6 *

5. S eaF (a ,b) el factor racionalizante de ("SÍ1 + 4 x - 1) ; a = ^¡l+4x y b = \ y G ( c , 6) el factor
racionalizante de ("NÍ1 + 3x - 1 ) ; a = VT~+2x y b = I
E ntonces: lim F(a ,b) = 3(¿>)2 = 3 y lim G(a ,b) = 4(b)2 = 4
x-»o x —»o

6. Racionalizando se tiene

, [(< ÍT + 4 x -l).F (a,é)](l+ V r6 J) [(>fí73jt - l).G (a,¿> )J(l+ V l-6x)
j(1 2 r ) = ----------------- , -, . ----------------

1(1 - V i - 6 x ) ( l + V l- 6 * ) ] - F ( a ,í> ) [(1 - Vi -Ü T)(1 +>íl -6.x)] • G( a , b )

_ [(1 + 4 x ) - I] (1 + Vi - 6 x ) [ ( l + 3 * ) - l ] ( l + V l ~ f r r )
[ 1 -(1 - 6 * ) ] • F ( a , b) " [ l -(1 -6jc)J - G ( a , 6)

Simplificando y cancelando factores iguales obtenemos

2( í W T e J ) i + V T ó T 0
EU) 3 F (a , 6) 2 G (o , b) '

7. L uego,si/(I2x) = g(x) , V * € Vs *(0) «=> lim / ( I 2 h ) = lim g(x) = g(0)

x —» 0 x —»Ü

L = 2(1 + 1) 1 + 1 = J _
3(3 ) ' 2(4) 36

[ e j e m p l o 1o) Calcular: L = lim ( „ )

Solución i . Por conveniencia hallaremos el recíproco del lím ite, esto es

L = lim ( Ü H ^ Í E Z ) = ,¡m JC2 X2 l

1 x -* 0 » X* f x -» 0 »

2. S iF (c ,6 ) es el factor racionalizante de (V i + JC3 - 1 ) ; a = "Vi +x* y b - 1

o lim F ( a , b) - n - Iim(6)" 1 = 3 lim ( l) 2 = 3 (!)2 = 3

x -*0 x —*0 x —*0

3. Racionalizando: L ,= ita x2 - ¥ ( a , b ) . W T ? -l» jr? + Q )
1 *->o' ^ N l-X 2 +1) 1

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Sección 2.6: Técnicaspara evaluar el límite de unafunción 193

EJEMPLO 1 l ) Calcular: lim ( - -f e * +4 + *_+A )

" x —»-4 v x ^ - 3x + 4 + jc + 2

Solución l. Al evaluar /(-4 ) el límite tom a la forma S.

2. Trataremos de cancelar el factor (jr+ 4 ) mediante el siguiente artificio. Como ^ 3 x + 4 tiende
a - 2 y Vjc2 - 3x + 4 tiende a 2 cuando x —> - 4 , entonces :

(•sÍ3x + 4 + 2 ) + (x + 4) (^3jc + 4 + 2) • F (a , b) + (x + 4 )
/ w *” 5 F(o.fe)

(a /x 2 - 3x + 4 - 2) + (x + 4) (AÍx2-3 x + 4 - 2 ) - G ( g , ¿ ) +

G(a,f>)

D o n d e: F(g , 6) e s el factor racionalizante de (%Í3x + 4 + 2)
G ( a , b) es el factor racionalizante de (AÍx2-3 x + 4 - 2)

3. Si lim F(c,i>) = n- lim (fc)"'1 ^ Iim F(c,¿>) = 3(2)- = 12

x-»-4 x -» -4 x-»*4

lim G (a,í») = n • lim (¿j) " '1 <=> lim G(g ,¿ ) = 5(2)4 = 80

x -* -4 x —* - 4 x - * -4

+(x+4) * £ + £ + (,+4)

4. Luego: f(x) = M ' b)
(x*-3x +4)-32 + (jr+4)C»7) +

G (a , b) G(a.b)

3
EV Lv ^ i

5. Cancelando el factor (x + 4) se tie n e : g(x) = —~f~-¡ , x ¿ -4

G(a,b) +1

6. Si f(x) = g(x), V x e V *(-4) =* L = lim f( x ) = lim g(x) = g(-4)

x -» -4 x —» - 4

Por tan to . evaluando el límite en (5) obtenem os: L = 100/69

EJEM PLO 12) Calcular: lim ( V? + ^* + 2 ^ ~ 7 )
* x— Jc-8 /

Solución l . La sustitución directa /(8 ) da al límite la form a |j-

2. Cuando x —» 8 , los radicales tienden a 3 y 2 respectivamente , luego buscaremos en el
numerador el factor (x - 8) mediante el siguiente artificio : Descomponer - 7 = - 3 + 2(-2) y
escribir

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194 Capítulo 2: Límites

3. Al racionalizar el prim er sumando de / enconiram os que

/W = ^ 2 + ^ _ 2 >

( x - 8 ) ( \ 7 + Vx +3) x -8

4. Si F(a ,6) = a2+ ai» + b1es el factor racionalizante de los numeradores, donde 6 = 2 , entonces:
lim F(a ,6) = 3 lim (2)J = 3(2)2 = 12
j —*8 jr-»8

^ (V ^ -2 )-F (a ,6 ) 2 (Í/Í-2 )*F(í i ,6)

^ jW “ / 5=7 +
( x - 8) ( \ 7 + s x + 3) • F(a ,6 ) (jc - 8) • F ( a , 6)

__ ___________x - 8___________ + 2(x- 8)

U - 8 ) ( V 7 + V c + 3) ■F(a , 6) (* - 8) • F(a , 6)

5. Si x * 8 , podem os cancelar factores ig u ales, obteniendo

g(x) = ----------------- 1--------------- + — , jc * 8

(V7 + 3 x + 3 ) - F ( a , 6 ) P(a,b)

6. Si f ( x ) = g(x) , V x e V *(8)=> L = lim /(jc) = lim g{x) = g(8)
jt—♦8 j —♦8 ■

P o rian to , evaluando el límite de (5) obtenem os: L = 13/72

EJEM P LO 1 3 ) Si / ( jc) = ~ ^ + ^ + 3 ~ V 8 ^ + j _ j h a U a r ^

s J v* + \5 jc+ 4 -2 v jc + 3 *-*i

Solución l . Evaluando / ( l ) , el límite tom a la forma jy

2 . Obsérvese que tamo el numerador como el denominador contienen raíces cuyas cantidades
subradicales son diferentes. En estos casos , para eliminar la indeterminación , el artificio
consiste en agrupar los términos en la forma siguiente : evaluar cada raíz y restarle dicho
valor, esto es :

_ (V 7 - I) + (V jc + 3 - 2 ) - (V8¿ : + I - 3)

( a£ - 1 ) + ( V 5 * + 4 - 3 ) - 2 ( a£ + 3 - 2 )

3. C om o* —> l , en to n ces, (jc - I ) —>0 , debem os dividir num erador y denom inador entre x - l,

e sd e c ir ^ T - l + V jc + 3 - 2 - V & C + Í - 3

/(jc ) = x ~l x' X X' 1

Vx -1 + V5* + 4 - 3 « / V jc+ 3 - 2
JC- 1 JC-1
* *- 1

4. Racionalizando cada término y simplificando obtenemos

_L_ + I _ §______
V S x+ l+ 3
o(r\ - ^ * + l Vjc+3+2 ,

E ( ) _______1 + _____5_______ 2 (____ !_____\ ’

Vx 1 V5JC+ 4 + 3 W jc + 3 + 2'

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Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unafunción 195

5. S i/ ( jc) = g (x ). V * e Vfi* ( l) = * L = lim f ( x ) = lim g(x) = g (l)
x-> l x-> I

Por tanto, evaluando el límite en (4) obtenem os: L = -7/10

EJEM PLO 1 4 ) Si f ( x + 2) = V4 - 3jc , calcular: L = lim /<“2+ y ~ / ( - 2>
iV h ->o h

Solución I . La sustitución directa de h = 0 , da al límite la forma

2. Buscaremos el factor h en el num erador hallando primero la imagen de / ( jc)
Si / ( x + 2 ) = V 4 - 3 j c <=> / ( jc) = V 4 - 3 ( j c - 2 ) = V 1 0 - 3 j c

3. Entonces: / ( - 2 + h) = V l0 -3 (-2 + h) = V l6 - 3 h y /(-2 ) = V l6 = 4

4. Luego: L = lim h = lim ( > ^ ^ ^ 4 4 )
h—>o h-»o h(Vl6 - 3h + 4 )

... L = l¡m ( - — L — U . l

h—*o V l6 - 3 h + 4 ' 8

EJEM PLO 15} Si / ( jc) = > k T+ T ,c a lc u la re llím ite L = lim f(C + x ) ' ^ (C)
*^ x-*0 •*

Para qué valores de c existe tal límite ?

Solución l. La sustitución directa/(O ) da al límite la forma

2. Buscaremos el factor jc en el num erador conociendo que

/(c + jc )v = v\/;-(-c-+--j-c- )—3+r l y /r(/c )%= s\rc?3—+ ;1 => L, = lim ->--/-(-c-+---*-)-•-’-+---l------>--/c--3-+---l

x -* Q x

3. Sea F ( a , b) el factor racionalizante del num erador y si

lim F ( a , b) = n • lim (b)" ' <=> lim F ( a , 6 ) = 3 lim (Vc3 + l )2 = 3^/(c3 + I) 2
x-*^ x ->xD ■«-►o

4. Luego, racionalizando el numerador se tiene

. .. (V(c + jc)3 + 1 - >/c3+ 1 ) • F (g , b) (c + x)3+ 1 -(c3+ l)
L = lim ---------------------—— — = l i m -------------------;-------
*—»o x-F(a,b) x-*o jc*F( a , b )

= ,im x(3c'- + 3 c x ^ ) = ljm 3cz + 3c-r + jr2

*-»o x*F(a,b) x-*ü F(a ,b)

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196 Capítulo 2: Límites

EJEMPLO 16) Si f ( x ) = x - 2 y g(-t+ hallar lim (g o ^ ^ + ^
x-*2 ( g o / ) ( j f + l )
J

Solución S ig (x + l ) = x * - x ■=> g(x) = (jc - l) a - (jc - l ) = x 2 - 3 x + 2
(g o /) ( jc + 2) = g [ / U + 2)] = g(jt) = x 2- 3 x + 2
( /o g )( x + l ) = /[g (jr+ 1)3 = / ( j ^ - j c ) = j t - x - 2

^ L = lim = üm =i
x -*2 ' x i - x - 2 • x-*2 ( jc - 2 ) ( x + I ) ¿c-»2' x + 2* 3

EJEM PLO 1 7 ] Si Üm f o l ~ 3) = 5 y Hm ^ . hallar lim ^
* r_»3 \3 x - 3 3 *-» O g (A )
* - > 3 j? - x - $ >

Solución l. Si x —» 3 , entonces x - 3 —» 0 , lu e g o , haciendo el cam bio de variables
d = j c - 3 < = » j c = u+ 3 , tendremos

2. lim , /(U> = 5 y lim , , « " > . - lim - * ! # = \
u-»o >/3(u + 3 ) - 3 . - » o (u + 3 ) - - ( u + 3 ) - 6 U_,0 u- + 5u 3

3. Dividiendo ambos lím ites obtenemos

Um ( u ^ £ u ) / ( u ) = (5 ^ ,.m £ u ) = 1 5 _ ljm .V3ÜT9 -3

u—»o (\3 u + 9 - 3 ) g(u) u-»o g(u) u_ o u(u + 5)

<=> .h.m —/<U) = 15 .h. m (3u+ 9) - 9

u-+o g(u) u—>o u(u + 5)(V 3u + 9 + 3 )

= 15 lim --------- ¿ = ----- = 15 3 3
u-»o (u + 5)V3u + 9 + 3 (5)(3 + 3) 2

4. Por lo ta n to : lim f tx ) _ 3
ó g(*) 2

(EJEM PLO 18) Sean m . n e IR+ ; si lim ( . ) = 12Vm+ n , y si
s^ í - m 'v m + x - Vra + n '

lim ( , «<n17 > ) = 9 « ¡ ¡ ¡ ¡ T t f . h a l l a r : lim
*-»»> * Vm + n - V m + T ‘ *-*0 g(m + n + x )

Solución 1. C o m o x —» n , e n to n e s jr - n —» 0 ; lu e g o , p o r un c am b io d e v a ria b le s :
u = x - n «=> x = n + u , setien e

2. ljm ( , /( m + n + ,U) ) = y lim
u-*oWm + n + u -Vm + n 7 u -* o '\lm + n ~ Vm + n + u 7

3. Dividiendo ambos límites se sigue q u e :

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EJERCICIOS . Grupo II 197

U / Vm + n - Vm + n + u \ /( m + n + u) _ 12 Vm + n
u-»o ' Vm + n + u - Vm + ñ ' g(ro + n + u) 9 V(m + n )2

4. Sea F(a ,b)- á 1 + ab + b2 , el factor racionalizante del num erador, donde

a = Vm + n y 6 = V m + n + u , y si lim F( a , b ) = n* lim (c )°' 1, entonces
*-**0

lim F ( a ,6 ) = 3 lim (V nT +ñ)2 = 3 V(m + n)2
u—*0 u -» Q

5. Ahora, racionalizando los términos entre paréntesis en (3), se tiene

|irn [(m + n) - (m + n + u)] (Vm + n + u + Vm + n ) / ( m + n + u) _ 4 Vm + n

u—*o [(m + n + u) - (m + n)] *F(a , b) g(m +n+u) 3 ^m + n)2

. -u (Vm + n + u + Vm + n) \ / ( m + n + u) 4Vm + n
lim _
( u ■F(a , b) J g(m + n + u) 3^(m + n f

/ 2 Vm + n \ /(m + n + u) _ 4 Vm+ n

' 3V(m + n)2 ' *-+0 g ( m + n + u ) " 3V(m + n)2

6. De donde, cambiando las variables u por x , obtenemos

lim = - 2
x-*o g(m + n + x )

E JE R C IC IO S . Grupo 11

❖ En los ejercicios 1 al 48 h allar, si e x iste, el límite dado.

L lim ( x2 - 2x - 3 \ 2. lim x4+ 4x* + 5X2+ 4x + 4
r - * - li \\ x 3 - 5 x 2 + 3x + 9 / x3+ 5x* + 8x + 4
x-* -¡

3. lim f 4X4 + 12x3 -7 x 2 - 4 8 x^- 3366 ) 4. lim 2x3+ 7x2 + 8x + 3 \
*-*-3/2' 4x4 + Í2x3 + 21x3 + 3 d r + 27 I X —*“1 3x3 + 5x2 + x - 1 I

5. lim f x2B- 3 + 2 x z" 6. lim x2" - n
1X - *
)x - » l \ x 7n- 4 + 3 x - 7n

7. 3 8. lim 2x- 5 2x- 1

1 - 8 *0 x-*3\ x2 - 5x + 6 x2- x -6

9. lim ( X+ 1 í) 10. lim x + 4 x + 1 .1/3
x -*■-1/2 \ 2 x * - 3 x - 2 2x2 + 7 x + 3 / x-*2 x2 - 4 x2 ■2x •

11. lim ( ) , m , n e Z* 1Z lim (1 + x ) (1 + 2x) (1 + 3x) - 1

X - » I v X8 - 1 ' x-*0

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198 Capítulo 2: Límites

13. lim (1 + x)? - (1 + 5x) 14. lim -(-1--+---m--x--)--n--- 5(-l---+--n--x--)-m- .m ,n ,+
jt—*o ir
X- + X5 x-* o x-

( x ^ x ^ ) 20 16. l i m ( ^ ; - ^ + 1 )
15. lim X ^ i ' x 5u-2 x + 1 I

x - > 2 (x3 - 12x + 16)10

17. !im f x + x2+ -- - + x ll- n j 11t8t. rlim -(-x--n----a---n-);---n--f--l-n^l--(---K----f-l-) , nme ¿
x- 1 I
x-»l' x —» a (x-a>

19. lim x B+l - ( n + l)x + n , n e Z* 20. l i m f - p ^ - - - J L - j . m . n e Z *

x —> I (x-1)1 ._»i\ I -x " 1 -x" /

(vin^n m)DvO \ 22. x3+ {2a • \)x2+ (a 2- 2 a ) x - a 2
xl^im'-v x 3+ (2a + 1)jt + (á2 + a2)x + a 2

23. lim nx" *1+ (n - 1)xn*2- 2nx" *3+ x" *4 24. nx" l - ( n + l)x "+ I
i 1 -x2 lim

i X4 - X3 - X + 1

yfa^-x2 + V(a - x)3 26. lim ( )
25. lim
a - VaxX —* Q \ /
x-*a V a 3 - x 3 + V a T x rt i l / i v

27. lira ( t o ' G T Í - l j l x \ 28. lim ( Vx2- 2x + 6 - Vx2 + 2x - 6 )
x-»3a' 2 - Vx + fl '
x-»3 ' x2- 4x + 3

29. lim ( y < n - 2x • & ] 30. lim Ve2 + a x + x 2 -Vfl2^ a x + xJ

' V3o+x -2V x ' xO Va+ x -V a-x -)

31. lim ( 4 - ^ g ) 32. lira ( 2 - V5 ++ v r ¡ n \
x-»27 ' 3 - Vi + X 7 x—»8 ' 3 - Vx + I '

33. lim ( ^) 34. lim
x-»2 ' 3x - 2 V15 - 3x 1
x -» 2 ' Vx - V2

35. | ¡ n ( . < g ± E -2 ) V(x*+ l)2 - 2 V2X2 + 2 +V4
x-»o ' Vi6 + 6x - 2 ; 36. lim

1 (x-1)2

37. lim ( V 8 -V2 + VTT+x \ 38. lim / V9 + 2x - 5 \
x -»25 ' 25 -x
^ V 7-2 1

39. | i m ( 2 f i ± S ^ 2 ) 40. lim f V27+X -VV27 --Xx \
XX++ XX22
x -* O * I x-»0 ' x + 2 V x 4"

41. lim ( ^Vi + X - Vi -X 42. lim ( T rx2. )
xr —_ >i no '' AVi + x - v r r
x-»o ' Vi + 5x - (1 + x ) '

43. lim ( 44. lim ( V¿+4 -3 ,14* \
*-* '\ V^ rxr-~4i - jVo3.x. - /
i ' 1 -V x I -V x s

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EJERCICIOS Crvpo ¡I 199

45. ( 2 ; ^ . lim ( i- v ni )
vr+ x - Vi +jé*
x-»s M - V 3 - V T 1 X-* 1 '

47. lim ( ~2r . I in .(2 & ± )
x-♦20' vx + 1 2 - 2 '
' Vx+7 -2V2

❖ En los ejercicios 49 al 5 8 , evalúese los límites funcionales

49. lim /<? + h>-/<*>, t s¡ f(x) = 1 > x # 0

h -»o n Mx2

SO. Iim / ( a : 2h) - / ( g ) , si m = x _ i xse0

h -»0 h x

s , . Um + ■)-■«» + lim s w - f 2>
h —>0 h x —>2 ^ " 2

si/(Jt)= 3 ^ ± i i X * 0 y

52. lim f ( 4 + ^ " /(4 ) , si f( x ) = x* 3
h—»o 5h x-3

53. lim ~ ^X~* ^ ,s i / ( x ) —x1, definida Vx e (0 , -H»), donde r = m/n , m , n e ^ * - { l }
h—»o

54. lim 4h . Si/ W =

h -*o , si / ( x ) = --br-+--x-- , x * b

5c5c. lri™m f { a + x ) - f ( a ) o -x

x-* o x

56. lim ^ 5 + ^ ~ ■f(5 ) , s i / ( x + l ) = V 2x+ I , x > l / 2
h —*0
n

57. lim / ( 3 + x ) - / < 3) ^ si f (x) = V 5 7 T 1 , x > - 1/5
h —»0
h

58. lim g (* + h)u ' g (x) , si g (x - 1) = Vx2 - 2x , x e ( - ~ , 1] U [ 3 , + « )
h -»0
n

❖ En los ejercicios 59 al 100, los límites necesitan de un artificio para ser evaluados, hállelos.

59. lim f Vr - 2 \ 60 üm / V x f 14 - 2V x + 2 \

x —» 4 * X - 4 ! x^,2 \ x -2 /

61. , ^ ( x2 - 6 - ^ T 6 \ 62 ,i m ( Í ^ =J ^ ± l )

x-*3 Vx + 1 - 2 1 x —»o Vx + 1 - 1 1

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200 Capítulo 2: Límites

63. lim ( ? 64. üm ( J ^ n _ l ^ l + 3 x ^ l )

Jt-» 1 ' X -l I V X -l /

65. üm ( Vl + x ~ • 66. lim, ( ^ T L J ^ T T i z,

a _»o ' jc- O' Xm I

67. l t a p ' 16* ^ - 2 ^ Í ) 68. lim ( - ^ + ^ T I ~2 5 )
*-*s'V25-xV6x-5 7
jt-»2 ' 2-V2X7 7

69. lim [ 70.L lim ( V 5T T 3 - VaTTT \
jc—»o ' J,C_-i+l1 'v V x - 3x + 2
x - x Vjr + I 7

71. I i+ 72. lim ( V T + a x V7+¿üc -1

. i1 \' Vx3- 3x + 2 x —* i) ' )

73. lim f V3JC2- 8 -x V x + 6 + x2 - 2 74. r,m (2 ¡ £ ± H _ i 2 ^ T I ) 7
x3- 2x2+ x - 2 1-93 l X2 - 9
jc- * 2 \

75. lim ( Vx24-7x + 2 - Vx + 1 7 6 lim ( Í Z U í y E I l )
-*3 ' A-»2 v V3x+ 10 - 4 7
V2x^5 - I

77 lim f V ^ - V ^ - 2 \ 78. lim 1 -^T 3 )
2,/2 v X3- 8 »•-»!' X -l •

79. l i m / Vx2 - V x - 2 \ 80. l i m / V 2 v /9 + 3 - Vx \
l Vx’ + I 1 <-*27 ' 3 - V Í /3 '

81. ( V3x- 2 + x - V x-2 \ 82. l i m ( V.r + 18 - V2x + 3 \
A—» 3 V jr-9 1
lim

' Vx + 7 - 2 7

83. | V 1 + a x - V 1 + f>x J 84. l i m (
Jt—*0 *
lim
jt —*0

f (Vi +X3 + x )n - (Vi + x2 -x)" ^ ’V j¡n -x + V r - 3 \
85. ü m 1 86.
Jt-» 0 l x1 lim (

r —*2 ’‘ V 3 t+ 1 0 - 4 7

87. / 3 Vx + I - 2 Vx + 1 + 4x - 1 \ 88. l i m 1/ Vx + 2 - Vx + 20 \

lim
x-»o l
x2+ 2x / t —>7 ^ Vx + 9 - 2 7

89. -(i-V 7 )(i-V 7 )...(i - V o* 90. l i m / V2x+ 1 - V3x+ 15 \
lim (
n - x y ’-1 1 t-»4 1 2 - Vx I
Jt—91 ’

91. lim 1 Vi -x + Vx + 3 - 2 \ 92. lim f Vx + 1 - 3 ‘Vx + 1 + 2

| 1

^JT - » 1 Vx2 - 3x + 2 7 jt —v0 1 Vx + l + Vx + 1 - 2

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EJERCICIOS . Grupo i i 201

93. lim ( M t Í2*:\, 94 lim H 3 j : - 2 + je- 2 Vx- 2 \

*-»i vVx + 2 V 5 x + 4 - 7 V3jc-2 1 *-»■' Vjc+ 7 - 2 '

95. lim ( ^ - ^ + 2r - 8 \ <*. ,im (------- * *+ x-------- )

x_»4 ' *-4 / x —»o ' V i + j c - V i - 2 j c /

97. lim ( 5 ^ 5 - 3 f ^ 5 + 2 x - t \ 98 hm (
j-íO ' V8 + jrJ - >Í4* + j¿ '
*-»2 ' x -2x f

J / jc2 - 3 x + 4 a/Z + 5 *

99, | i m ( . 3 ^ T 5 - 5 < S Ü 7 j -_4 ^ m ( V -y-3
*_»]' j^-1 /
f -»4 ' V3a + 4 - Va:+ 4 '

101. Sean P(3 ,4 ) y Q (x , V25-X2) puntos diferentes y sea M(x) la pendiente de 1a recta que

pasa por P y Q. Hallar el lim

* —* 3

102. Hallar la posición límite del punto P cuando c —> 1, donde P es la intersección de las rectas
j ? , : 3 jr+ 5y = 1 y y ,2:( 2 + c)jr+ 5 cJy = 1.

103. Desde el punto A con abscisa x e [ 1 , 4 ] , ubicado en la gráfica de f ( x ) = jc2- 4x + 6 se
traza una recta paralela al eje X , que corta a ia recta y = x en el punto B ; desde el punto
B *e traza una recta paralela al eje Y . que corta a la gráfica de g(x) = 4>Jx en el punto C.
Si desde C se traza una recta paralela al eje X , se determina que ésta corta a la recta
paralela al eje Y , que pasa por A , en el punto ( x , hCO). Calcular

/ h(x) - Vjt2+ 14* + x 2- 4 \
)

104. Si' h(jc) = - * + (*—1 , por qué no existe h (0 )? Demuestre analíticamente que lim h(jc)

X x-»0

existe y calcúlelo. Apoye su respuesta gráficamente,

í jr2 - 9 , si j r ^ - 3

105. Si f ( x ) =; < , encuentre el lim f ( x ) y demuestre que

[ 4 , si x = -3

lim f(x) * /(-3 ). Dibuje la gráfica d e /.

j->-3

106. Sea la función /(* ) = ------ ^— ;--------- , se tiene que lim f(x) existe y es distinto de
JK ' a x 2+ b x + c ^ *-*1

c e ro .y lim / ( x) = 1/2 ; h a lla re ,b y e

x-»3

107. Si m = & + C l a - l ) * - l 4 a ‘ + a ) x + 2a \ = ¿ ju -h f2 m
JK J x - a A:-m

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202 Capítulo 2: Límites

la suma de los mayores valores d e a y m , tales que lim f(x) = 5a2+ 28 y lim g(;c) = m 2- 8.
x —*< 2 x —»m

108. Si V w e IR , lim / ( jc) = 2w + 3 y lim g(*) = 1 - w ; dclerminar

JT -» W X —> W

a) lim ( f o g ) ( x ) y b) lim ( g o /)(jr)
X—*I X-»-]

109. Si f( x ) - x + 'Ix2- 2 y g(x) - V2x + 5 , hallar: lim
,_»-2 V 7-x -3

110. Si /(jc) = x ' - l f x + a x 1 ^ Q > 0 j y üm _ 2 a -5 .hallar el valor de a.
x(¿a+x) x_,i

111. Si ( g o / ) (jt) = 4 x * - 4 x + 1 y f ( x ) = 2 x - 1 T h allar: lim /[g(JC- 1)J
X—>-1

112. Si lim — — ^ — — = 16 . hallar lodos los valores d e a
x —*a Ix - a I

113. Sea f(x) = -------, ^ " * 1 ? - . . . -------- , hallar el valor de lim f( x)
J + 3 x x—»4

(Sugerencia: Si L , es el recíproco del límite L d e / , entonces L = 1/L,)

... .... x + j r '- í n + 1 )V +I + (2 n 2+ 2n - l)jcn+2- n 2jrfi+3
114. H allar: lim ----------------------------- - — r=----------------------------
x-*l (1 - jc)*

(S ugerencia: M ultiplicar el num erador y denom inador por - 1 , luego aplicar tres veces la
regla de Ruffini)

(o+l)ni— n(n-I)i— 3x2i— 2xlf—

U S . C alcular: lim ------- ^ ------- 'Jx + . . + V* + V x - n .

x-» I X-\

116. SeaP(c) = a {x + a 2x* + . . . + c r " y sea m € J* . Demostrar que

lim = f .
x —»o x m

(2,7) LÍM ITES LATER ALES

Sea la función Jf(jc) = —x—- 71^ ^ ^ = -1
1. Sí jc c 1 <=> jc - 1 < 0 , im plica que Ijc- 1 1 = - (jc- 1) ^ f ( x ) =

2. S ix > 1 >=> jc - 1> 0 , implica que U - 1 | = + (jc -1 ) ■=? f ( x ) — + ^ =1
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Sección 2.7: Límites laterales 203

Argumentamos que el Hm f ( x ) no existe por que f ( x) se aproxima a - 1 cuando x —» 1 por
la izquierda, mientras que / ( jc) —» 1 cuando* se aproxim aa 1 por la derecha (Figura 2 . 2 1 )

y* O

L= I

o -»x
L, » -1

F IG U R A 2.21

Una forma natural de describir esta situación consiste en lo siguiente :
Si / es una función definida en los intervalos (a ,x¿¡ y (xfJ, fe) y si

1. x e ( a , x 0) ta lq u c * < * 0 y x —>x 0. se escribe : x —»x ~

2. x e (*0 ,fe) ta lq u e * > * 0 y * *0 , se escribe : * —>*0+

Entonces los números y L 2= /(* 0+) = lim /(* )

L, = / ( * *) = lim /( * ) X -¥X *

Jt-»x0-

J<X0 X>XB

se llaman , respectivamente , lím ite a la izquierda de la función /(* ) en el punto x0y limite a
la derecha de la función /(* ) en el punto *0(Figura 2.22)

Definición 2.8 : EL LÍMITE POR LA IZQUIERDA DE UNA FUNCION

Sea / una función definida al menos de un intervalo de la form a {a ,x¿> a D om ( j ) , siendo
*nun punto de acumulación , entonces

( V e > 0 ,3 8 > 0 ) I s ix e (a.Jtp) c D o m (/)y si
lim /( * ) = L, <=* <

0 < x 0 - x < 6 i=j | / ( * ) - L , | < c
donde L, es el límite de f por la izquierda de x0

Obsérvese que en esta definición no se ha colocado las barras de valor absoluto alrededor
de x 0- x y a que se consideran únicam ente valores de * para los cuales * < * Q. ( Ilustración
gráfica: Figura 2.23)

Definición 2.9 : EL LÍMITE POR LA DERECHA DE UNA FUNCIÓN

Sea f una función definida al menos en un intervalo de la forma (*0,fe) c Dom ( f ) , siendo
xQun punto de acum ulación . entonces

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204 Capítulo 2: Límites

lim f( x ) = (V £ > 0 , 3 5 > 0) I si .r e {xb . b) c D óm ( f ) y si
«=> <

0 < x - x 0< S '<=? I/( x ) - L, I < •£

donde L2es el límite de / por la derecha de x

I,a ilustración gráfica de esta definición se muestra en la Figura 2.24

EJEM PLO 1J A nalizar los límites laterales de la función / ( jc) = [ jc]

Solución La Figura 2.25 muestra la gráfica de la función máximo entero y en ella se observa
que / ( jc) se define por intervalos de la forma [ n , n + l).

A sí, s i x e Í 0 , l ) , la función es 0 a lo largo de este intervalo , x = l e [l , 2 ) , la función salta
a l y así permanece a lo largo de este intervalo. En x = 2 e [2 , 3) la función salta a 2 y asi
sucesivamente.

Luego , si /( x ) = [ j c ] = n <=> n < x < n + l . n e Z , l o s límites en jc0 = n e Z , serán

a) lim [ x ] = lim (n - l ) = n - l , pues si x < n => x e [n - l , n)

x n' i —» n

* <n e*n-l<x<n«[x]=n-l

b) lim [ x ] = ' lim (n) = n , pues s i x > n e s x e [ n , n + l)
x —» n+ -X —• »-fl

x >n <=> n < x < n + l <=> [ x ] = n

A sí tenemos q u e : lim [ x ] = 2 - 1 = 1 y lim [ x ] = 2

x-* T X -+2+

Si x0 no es número entero se situará entre dos números enteros consecutivos n y n + 1 . Para

x = 5/2 e [ 2 ,3 ) , tendremos

lim [ x ] = 2 y lim [ x ] = 2 ■

x-*srr x - » 5/2+

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Sección 2.7: Límites laterales 205

FIGURA2.26

t7 , si x < 2

EJEMPLO 2 j Sea la función/(x) = < 2 , si x = 2

1 3 - 2x , si x > 2

Hallar los límites laterales de / y dibujar su gráfica.

Solución Obsérvese que la función / , en las proximidades del puntox= 2 tiene diferentes
reglas de correspondencia.

A s í, para x < 2 , /(x ) = x2 ■=> lim /(x ) = /( 2 ) = (2)2 = 4
x->r

Para x > 2 ,/( x ) = 8 -2 x > lim /(x ) = /(2 ) = 8 - 2(2) = 4
-»2+

La gráfica de / se muestra en la Figura 2.26

Nota Según el Teorema de Unicidad del límite, una función no puede tender a dos límites diferentes
en Xq. L o s límites laterales nos dan un criterio simple para determinar (a existencia de un límite

bilateral.

TEOREMA 2.5 : El lím ite b ila te ra l d e una fu n ció n

Una función ^(x) tiene límite e n x 0 , si los lím ites laterales en x0 son ig u ales, esto e s , si

lim f { x ) = L <=> ( lim f ( x ) = L) a ( lim f ( x ) = L)

■*—»*„ -»-»V

Demostración En efecto
( ) lim /(x ) = L <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0) 1 s ix e D om (/) y si

0< Ix -x J < 8 ^ l/(x)-L l < £
- 8 < x - x Q< 8 =* l / ( x ) - L l < e
<=> jt¿ -8 < x < x0+ 8 , x * x 0 «=> |/ ( x ) - L ! < £
o X E <X0 - 8 , X 0) U <X0 , X 0 + S) >=$ | / ( x ) - L | < e
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206 Capítulo 2: Límites

x e { x 0 - 8 , x () *=> |/( x ) - L | < e <I)

<=> 4 A (2)

x e < x 0 ,x 0+ S ) i=> l / ( x ) - L | < e

D c(l)y(2): <=> ( lim / ( x) = L ) a ( lim f ( x ) = L)

*-»V *-*V

( <= ) a)lim f ( x ) = L <=> (V e , > 0 , 3 8, > 0 ) I s i x e D o m (/) y si
x ~*V
X 6 ( x 0 - 8 , , x j «=> | / ( x ) - L | < e ,

b)lim f ( x ) = L <=> (V e 2> 0 , 3 82> 0 | s i j c e D o m ( /) y si

x e < x 0 ,x 0 + 82) => I / ( * ) - L | < € j

Si se elige e =£, = Ej y 8 = min { 8 ,, 82} se tiene que
lim f ( x ) = L <=> (V e = E, = e2 , 3 5 = min { 8 ,, 82} ) I si x e D om ( / ) y si

( x e <jr0 - 8 , j ^ > e x e <x0 - S , , ^ > v

x e <x0 , x 0 + 8> c x e ( x 0 , x 0 + 8 2>«=>I / ( x ) - L I < £

« ( x e <ara - S v jc e Or0 , x0 + 8) ^ | / ( j c ) - L | < e

<=> ( í e ^ - 6 , ^ + 5 ) - ^ } ) *=> |/ ( x ) - L l < £

« (O< lx -x 0l < 8 ) |/(x )-L | < e

Por lo tan to , queda demostrado que

lim f ( x ) = L <=> ( lim f ( x ) = L ) a ( lim f ( x ) = L) “

*-**o *-»*o *-»V

Nota Si loslímites laterales existen y son diferentes o si uno de ellos no existe , entonces se dice
que la función no tiene límite o no existe el límite de la función en x ^

A sf, en el Ejem plo 1 , lim [x ] = n - 1 y lim [ jc] = n =» 2 lim f ( x )

*-**„ *-»v

E n el E jem p lo 2 , L = lim f ( x ) = lim /(x ) = 4 , entonces existe lim f ( x ) = 4 , aunque

X-»2' x-*2' x -»2

el hecho de que /(2 ) = 2 no afecta dicho límite.

f E J E M P L O 3 ) S e a /(x ) = [ x ] - Vx - [ x ] .h allar el lim f(x)
x-»n

ISolución | Del Ejem plo 1 rescatamos lo siguiente
a) Si n - 1 < x < n «=> [ x ] = n - 1
b) S i n < x < n + I t=> [ x ] = n

Entonces tomando límites laterales en x0 = n tendremos

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Sección 2.7 : Límites laterales 207
■
a) Si x < n ■=> L, = lim f ( x ) = (n - 1) - Vn - (n - 1) = n - 2
x-» n'

b) Si x > n <=> L = lim f(x) = n - Vn - n = n

Dado que L. * L , , entonces no existe lim /(a )

¿ x -+n

EJEMPLO 4J Sea la función f ( x ) = V3a + 1 - [ 2 x - 1] , hallar

a) lim /(a ) b) lim f(x)

x —» 5 / 2 x —* 7 /3

Solución La función es real <=> 3 a + I - [ 2 a : - 1] > 0 <=> [ 2 a - 1] < 3 x + 1
<=> (3a + 1) e Z a (2x -1 < 3x + 1)
<=> ( 3 x + l ) e Z a ( x > - 2 )

A hora, según la definición de máximo entero

[2a — I] = n o n ¿ 2 j [ - l < n + l « ^ < a < * ± ± 1 ^ X (= [ R ± 1 ,

El dominio d e / es el conjunto de intervalos de longitud m edia, estoes

D om (/) = \x \x e [ ^ ) D [ - 2 , + ~ > , n <= Z}

a) Obsérvese que cuando x —»5/2 , el término [2a:- 1] es e n te ro , entonces tomando límites
laterales en dicho punto, tendrem os:
1. Si x —»(5/2)+ , entonces : 5/2 < a < 6 /2 <=> 5 < 2x < 6

« 4 < 2 x - 1 < 5 «=> [ 2 a - 1] = 4

L uego, L, = lim /( a ) = /(5 /2 ) = V3(5/2) + 1 (4) = 3 xÍ2/2

x - * 5/2*

2. Si a (5/2)", entonces : 4/2 < a < 5/2 <=> 4 < 2 a < 5
« 3 < 2r- 1<4
[ 2 a - 1] = 3

«=> L ,= lim / ( a) = /(5 /2 ) = V 3(5/2)+ 1 -(3 ) = VTT/2

x -* s /r

Como L (-* L 2 , entonces no existe lim / ( a )

x - » 5/2

b) Nótese que el término [ 2 a - 1] no es entero cuando a tiende a 7 /3 , por lo que no es necesario
tomar límites laterales en este punto, pues se encuentra entre dos enteros consecutivos para
los cuales la función tiene un mismo valor, esto es

lim / ( a ) = /(7 /3 ) = V 3(7/3)+ 1 - [ 11/3] = V 7+ 1 - 3 = V5 ■

x - * 7/3

EJEMPLO 5 } Si / ( a ) = ,*3' 2 I + J ^ T ^ hallar lim / ( a )

x-» r

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208 Capítulo 2: Límites

Solución S i * —» 1*. entonces x > 1 y x2 > x17 > 1 <=> I < x*72 < x3
Sumando -1 + Vx - I a cada miembro tendremos
Vx - 1 < x* 2- 1 + Vx- 1 < x J - 1 + Vx - I

A hora, dividiendo entre Vx2 - 1 > 0 , se sigue que

, x 3,2- l + - / x ^ í ^ x 2 - í + 4 x ^ ¡
< ¡rr* < ------7-r--------- => h(x) < / ( x ) < g(x)

Vx2 - 1 Vx -1 Vx2 - •1’

L u eg o : lim h(x) = lim f ^ x-—- r ) = lim ( . * ) = —!=
x-*if ' ^ 2 _ ¡ / ,_ » ,* V V I+ 1 ' 4 i

lim g/(x ) \= l1i-m -(-x--2--—--/I) +■a/x —1 = .l.im /[ Vrx~2 - 1T + .--1---- \) = —¡1=

-/jc2 - i ' V x+ 1 ' y¡2

Entonces , por el teorem a del “ sandwich ” : lim / ( x ) = -X=-
»-+r V2

CEJIECMMPDLlOf t 6. ' jJ c ... = 6 ^ /x - 6 S g n ( x>2 - 4 ) - 4 V x + [ 4 + 2x] ; hallar lim f(x)
Sea /( x )

1 Vx2 + 5 - 3 *-»2"

S o lució n S ix —>2 , entonces x < 2 y x2 < 4 i=> x2- 4 < 0

i=i> Sgn (x2- 4) = - 1

[4 + 2x] = 4 + [2x\ =* [ 4 + 2x] = 4 + n (M E .2)

SÍ [ 2x] = n « n < 2 x < n + l <r$ ^ < x < n * * =7
¿z

Perocom o k 2 o ^ y - 1 = 2 « n = 3: luego :[ 4 + 2x] = 4 + 3

. > % 62/x+6 - 4Vx + 7 x e (3/2 , 2>
Asi tenemos q u e :f ( x ) = — *—¡---------------------- , y six -► 2"

Vx2+ 5 - 3

Dado q u e; lim V x + 6 = 2 y lim V x + 7 = 3 , podemos escribir

> - ♦ 2' • x-* r

f W m 6 ( £ + 6 - 2 - 4 < £ + 7 -3 )
Vx2 +5 - 3

Racionalizando cada término d e / se tiene

V x+6- 2 = — ^ 8 = , donde lim F (a ,6 ) = = 3(2)2 = 12

r ( a , o) F(a ,b ) x -* r

(xt])slV T = x ~ 2 . V 7 Í5 -3 = <*2 + 5 > ~ 9 = < * + 2 > < * ~ 2 >

'+ 3 V x + 7 + 3 ’ v/x2 + 5 + 3 V*2 + 5 + 2

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Sección 2.7 : Limites Laterales 209

6U -2 ) _ _4(£-2)_ __ 6_________ 4

Lr u e g D , e n ( l ) : /rUi )\ = - T ^ - —■y/x+ 7 + 3 ^ g/ ( x•, ) = F (fl,-¿) ^ -y/X-+---7--+--3- , x * 2.■»

Vjc2 + 5 + 3 Vx2+ 5 + 3

lim /(x ) = lim g(x) = g(2) = - ¿

x - * 2’ x - » 2' 4

JEJEMPLO 7 H allar, si ex iste , lim ^ J [ A j , a > 0 , í > e í R

Solución Si [ x ] = n e=> n á r < n + 1 p> [ x ] < jc (1)
(2)
Si n < x < n + 1 = > n - l < x - l < n «=* x - I < [ x ]

' V'

De (1) y (2) ocurre que : x -1 < [ x ] < jc, y de esta relación se deduce que

!-> < l!l< ! « Ill< 1 (3)
se tiene :
i) Si x —>0 + y a > 0 , entonces -jj es positivo ; luego , multiplicando (3) por

< ( ' a ) I x 1 < ~a ^ < g W y por el teorema de “ sándw ich"

lim h(x) = lim g(.c) = £ •=> L = lim f ( x ) = £

x _ > 0* x - » 0* “ 1 x —» o + a

ii) S ix —> 0' y a > 0 , entonces es n egativo; lu eg o, multiplicando cada extremo de (3) por

¿obtenem os: A < ( ¿ ) [ A ] < (hjL )

y aplicando nuevamente el teorema del “ sándwich ”

lim h(x) = lim g(x) = % •=> K = lim / ( jc) = ■£

x - » 0‘ *-*<r a x - » o- a

Dado que L ,= «=> lim /(x ) =_ b

x -» 0

( EJEMPLO 8 I Si lim )f ( y < lim / ( j c ) , demostrar que existe una 8 > 0 tal que
x-* a * x-»e* n

V x , , y e Dom ( / ) , si 0 < | x - a | < 8 , 0 < | y - a | < 5 y x < a < y o f {x ) > / ( y )

Demostración En efecto, según la definición de límite lateral , si

lim / ( y ) = L c=> V e, > 0 , 3 8 > 0 I a < y < a + 8 l/(y )-L | <e,
y-* a* 1

y j[lim _/(x) = M <=> Ve2> 0 , 3 5 > 0 I a - S < x < a <=> ! / ( x ) - M | < e2

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210 Capítulo 2: Límites

Por h ipó tesis, lim f ( y ) < lim f ( x ) t=> L < M c j L - M < 0 » M-L> 0

y-*u* x-*a-

Luego , s i c - 5 < x < a < y < í 2 + 8 , entonces

/(y ) < L + e, < M -C j< ftx) (1)

Como L y M son definidos V e, > 0 y Ve2> 0 , si elegimos £, = £2= ^ (M - L) > 0 , tendremos
en (I)que

/( > ) < L + I (M - L ) < M - \ (M -L ) < f(x) => f ( y ) < M + L f(x)

Por lo tanto: ñy) < m /(x) > f(y )

[ e j e m p l o 9 ] Sea /( x) = [ x - 1] - x , x € [-9 , -2)
hallar, si existe, lim f(x ) Vx- [x] , x e [-2 ,7 )

x-*-2 í 3jc] - 3 [x ] - 8 [x /3 ]
X - Ixl

Solución Redefmiendo la función / en cada intervalo tendremos

i) P or la izquierda de x,, = - 2 : f ( x ) = X- , x e (-9 ,- 2 )
u Vx - l x ]

Como x —>- 2 , entonces x < - 2 , habrá que restringir el Dom ( / ) a - 3 < x < - 2 , esto im plica
que

[ x ] = -3 => /(x ) = -3 - 1 - x x + 4 , x e (-3 , -2)
Vx - (-3) yfx + 3

Por lo que : L, = lim /(x ) = /(-2 ) = -2
x-»-:r

ii) Por la derecha de x = - 2: f ( x ) = [ 3x] - 3 [x ] - 8 [x/3] j J t e [ _2 7 j
x - |x I

Si [ 3x] = n <=> n < 3x < n + I » x e [ y > ^ (1)

El dom inio de [3x] es la unión de intervalos de longitud 1/3

C o m o x —»-2+, e s to e s x > -2, entonces habrá que restringir el dominio d e /a - 2 < x < -5 /3
( En (1) para n = -6)

- 6 £ 3x < - 5 e¿[3x]=-6
L u e g o , si -2 £ x < -5/3 i=> < c* [ x] = -2

- f í -5 < ~ i l => U « ] = -1

Además , dado q u e x < 0 e=> I x [ = - x
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Sección 2.7 : Límites laterales 211

Por lo que : f ( x ) = ~6 ~ 3(~2) - 8 (-l) = A t X £ [_2 .-5/3>

JC - ( - X ) ■*

L ,= lim f ( x ) = /<-2) = -2 ■

* - 2*

Si L, = L2 , se concluye , por el Teorema 2.5 , que : lim f(x ) — -2
x—»-2

(EJEMPLO 1 0 ] Sean f(x) = x , síjt< 2 y g(x) = 2 x + 1 , si jc < I
3 , six = 2 x + 1 , si jc > 1
2x-2 , six> 2

Hallar: a) / o g b) lim ( / o g ) c) G raficar/og
x-» 1/2

Solución Sabemos que existe / o g « Dom ( /) fl R an (/) * <J>
L u e g o .si g,(jc) = 2 x + I , x < ! Ran(g,) = {-«>.3)

g,(x) = x + 1 . x > I => Ran(g,) = (2 . +°°)

Dom ( /,) D Ran(g,) = (-«>, 2) D <-°°, 3> = (-=» , 2) * 0 i=$ 3 / ( 0 g,

n nDom ( f 2) Ran (g,) = {3} , 3> = ó ^ 3 / , o ^

D om ( f 3) n R an (g ,) = ( 2 , H n , 3) = ( 2 , 3> * 0 o 3 / 3 o g ,

Dom ( / , ) fl Ran (gj) = (-«=, 2> 0 (2 . + « ) = <J> ■=> fi / , o g2
i=¡> < D o m (/2) fl Ran (g,) = {3} D <2, +°°> = {3} ^ 3 / 2og2

Dom (f 2) fl Ran (g2) = (2 , +°°> n <2 . +~> o 3 / , o g.

Determinación de los dominios y las reglas de correspondencia de / o g

Dom ( / , o g ,) = { x | x e D om (g,) a g, € D o m (/,)} = ( j c < I) f l ( 2 x + 1 < 2) <=> x < 1/2

*=* f t E g | ( * ) l = / , ( 2x + I) = 2 j t + 1 Tsi jc < 1/2 1/2 < j c < I
Dom ( / 3o g ,) =s { x l x i z Dom fgj) a g, e D o m (/3) } = ( x < 1) f l (2x + l > 2 ) «

*=> / , [ gy(x)] = / , ( 2 x + 1) = 2(2* + 1) - 2 = 4jc, si 1/2 < x < \

D o m ( f 2 o g 2) = { j : U e D om (g2) a g2 e Dom(J2) } = ( * > 0 D (x + 1 = 3) = {2}

f 2[ g2(x)] = / 2(x + I) = 3 , si x = 2

D o m f/jO g j) = { x l x e Dom(g2) a ^ e D om (/j)} = ( r > I) fl (* + 1 > 2 ) » x > I

«=> / 3 [ gj/x)] = / , ( * + 1 ) = 2(x + I ) - 2 = 2 x , s i x > 1

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212 Cupílula 2: Limites

( /o g ) (x) = ‘ 2x + 1 , si x < 1/2
4x , si 1/2<jc< 1
3 , si x = 2
2x , si x> 1

b) L ,= lim ( /o g ) U ) = 2(l/2) + l = 2
a-» 1/2'

L = Jim ( / o g) (x) = 4( 1/2) = 2
X-* 1/2+

Como L, = L2 lim tf o g ) ( x ) = 2
*-» 1/2

c) La gráfica de / o g se muestra en la Figura 2-27

E JE R C IC IO S . Grupo 12

1. D em ostrar que si lim / ( jc ) = L y lim g(jc) = M , entonces se verifica que
x-*x* X

a) lim [ f(x) + g(x) ] = L + M b) lim [/(*)-g(.*)] = L -M

x~*x*

c) lim — = t t » M * 0 d) lim = tt i m * 0
V go('*'v) *M*
*->x„+ g W M

Resultados similares se pueden demostrar para límites a la izquierda.

2. Dem ostrar que si lim /,(* ) = L ( , lim f 2(x) = L2, . . . . , lim / n(jc) = Ln

x -* x * -» -» V * -* V

entonces: lim [ / , ( * ) + / 2(x) + . . . . + /„ ( * ) ] - L , + L z + . • • • + • • - ■L„

■ * -* V

(Sugerencia: Usar la parte (a) del Ejercicio 1, e inducción matemática)

3. Si lim / ( jc) < l i m / ( y ) .dem ostrar que existe una 5 < 0 tal que V jc , y e Dom ( / ) ,
x—*¡7" v—»a+

s i 0 < | j c - a | < 8 , 0 < l y - f l l < 6 y jc< a < y , entonces /(* ) < / ( y)

4. D em ostrar, u sa n d o . la definición de lím ites laterales, que

a) lim (x - f x f ) = 0 b) lim ( x ~ f x f ) = I

* -» 3 + JT—* 3

5. Demostrar .usando límites laterales, que : lim ( ¡ 4 x f - 4 ¡ x ¡ ) , n e 7 , no existe

X —>T\

6. Si g(jc) = 2Í2+ 3* , si x < 1
, dem ostrar, utilizando la definición de límite lateral.

\ £ n + 5 , SÍJC > 1

que lim g(jt) = 5

x~* i

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EJERCICIOS . Grupo 12 213

•> En los ejercicios 7 al 10, hallare! límite indicado, si e x iste , en caso contrario justificar su
respuesta. Trazar la gráfica correspondiente.

7- /(*) = 2x + 3 , si jc < 1 2x + 7 , si jc < -1
2 , si jc = 1 3-2x , si- I < x < 2
7 - 2x , s ix> 1
jc 2 - 3 jc 1 , síjc> 2

lim / ( jc) lim f ( x ) y lim /(x )
j —»-I i -» 2
X -» I

jc- 3 ; six£3 6jc- 2x* , s i x < 2

9. m = <| VjcT T - 2 10. f(x) = < 6 , si jc= 2
3x*-14*+ 15 . s¡x<3
2x1- x - 2 , si jc > 2
jc- 3

lim f(x) lim /( jc)
2x —*
x

11. Seag(x) = [ x ] + [ 4 - x ] , trazar la G r(g) y h a lla r, si existe , lim g(jc).

j —»3

12. Usando límites laterales, analizar la existencia o no existencia de los siguientes límites

a) lim [ x ? + 2x + 1] - [jc + l ] 2 b) Jim - 3I* ] , n e Z
x2+ 2x x- n
jr-»0H

13. Calcular los límites que existan c) lim [ jc] [ jc+ 1]
a) lim [ 2 x ] (x - 1) d) lim x3 [ 1/x]
JC-* i
*-»0
b) lim x [ 1/jc ]

x -» 0

(Sugerencia : Para (a) y (b) observar que x - l < [ x ] < x y luego usar el teorema del
“sándwich ” apropiado.)

14. Conociendo q u e s i x > l y 1 <jc6/5 < Xa , hallar: lim f ^ ~j + ~M
x~* i '

(Sugerencia: U sar el teorema del “ sándwich ” .)

1*5x y2 » Ty X 2
15. a) S i / ( x ) = ------¡-------- ¡------- ,trazar la G r ( / ) e indicar su dominio y rango

Ix + 1 I

b) Discutir la existencia de lim /(x ) Justificando su respuesta.

X -* I

jc2 + 1 , si x < 2 x2 , s i x < 2
16. S e a n : /(x ) = < 5 , si x > 2

x + 2 , si x > 2

Usando límites laterales. demostrar que
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214 Capítulo 2: Límites

a) lim /(x ) no existe b) lim g(x) no existe

x-> 2 x-* 2

c) lim /(x ) •g(x) si ex iste. Cuál es el límite

x -* 2

17. S e a n : / ( * ) = # ¿ ± ^ ± 1 1 y g(jI) = [S g " (l-^ )1
(je-l)(x*+ l) x s - 4 x 2- 7 x - 10

H allar, si existen : a) lim /(x ) , b) lim g(x) , c) lim /(x)*g(x)

x-* -l X-*-] x-»-l

18. Sean / y g dos funciones cuyas reglas de correspondencia son

x? - x* - 4x + 4 , six< -2 x» + 3 x ? -9 s -2 7 , s ix < -3
x+2 x +3

/(*) = ax2- 2 b x + í , s i- 2 < x < 2 g(x) = < aj¿2-7 b x + 1 , si -3 < x < 3

-'x 3x2+ 22 , s i x > 2 x*-22r+57 , six> 3
x -3

H allara y b para que los límites d e / , e n x = 2 y x = - 2 , y de g e n x = -3 y x = 3 .existan.

3x + 7 , si < p
19. Sean/(x) = < a x + 4 , s i p < x < q . Si l i m / ( x ) = q y l i m / ( x ) = p y a < 0 ,

x -» q

2x - b , si x > q

hallara , b , p y q

x2- a x - 6 , x > 2
20. Sea la función f(x) = f( x ) = « x - 2

x2 +b , x<2

Qué valores de a y b posibilitan la existencia de lim f(x).
x->2

„ ^. . . . , r 3 [Sgn(l - x 2)] (x2 - 1 ) lx 2+ 3x + 2 | 7
21. Calcular el valor d e : hm ------ ^ ¡ -------------------- —
jr-»-IL x3 + 2x- - 5x - 6
Ix2- 1 1 (x2+ 1) J

22. Sean las fu n c io n e s/y g definidas por

lxl-2 , si - 1 < X < 1 , si-2 < x < -l
3 -x x- 1
/(*) = g<*> = Ix - l| ,s i0 < x < 3

Vx2 + 2x , si 1 < x < 2

H allar, si existe, lim /[g (x )] .
x —*1

x2 *-1 , x > 0 y g(x) = 2x- i , x > 1
23. Dadas las funciones /(x ) = *? x + I

Vi -x , x < 0

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EJERCIOOS . Grupo 12 215

a) Justificar la existencia de lim f(x)

x -» 0

b) Si existe, hallar lim ( g o /) ( x )

x -» 0*

í x2 - I , si x < 0 , hallar lim ( J o / ) ( x )
24. Si f(x) = < -*-*-1

[ x + 2 , si x > 0

❖ En los ejercicios 25 al 3 4 , calcular los límites que existan , en caso contrario .justificar su
respuesta.

25. lim (x + 1 ) 4+ 1 26. lim
(x + 1 )2 x —* 2 X [x /2 ] - 1
x -» l

27. lim V [3 x ] - |jc- 3 I 28. lim V2x + 1 + [ 3x]

x -» 5 /3 x -» 3 /2

29. Iim 30. lim ^*

x-*4 \ X - [ x ] *-*-3 Vx2 - [ x ]

31. lim (1 - x + [ x ] - [ 1 - x l ) 32. lim [[2 x + 1] - [ x + 1/2]] , n e Z
x —» I

33. lim ( l i i l +- í l + l-*+ 21 ~2 \ 34. lim ( -----------1 )
x-* i*' x 3+ V í x 1 - I '
[ 3x + 2] '

35. Evaluar: lim ( x -3 + W -3 x -9 )
jc-»2 * + V ^ + S g M ^-l) - 4

x -3 , si x > 3
3^9 , s i 3 < x < 4 . Usando las definiciones de límites latera-
36. Si /( x ) = < 3X2 - 5x + I

I x 3 - 8x2- 3 x + 12 si jc > 4
x -4

les , analizar la existencia o no d e : a) lim f ( x ) , b) Iim f ( x )

x -+ 3 x —> 4

37. Sean f(x) = * x+ ^ , si x > 1 V3x2+ 4 , si x < 2
x+ 1 , six< 1 . g(x) = < l5x - 2 , si x > 2
x-2
x2 - 2

D eterm inar, si existen : lim ( g o / ) ( x ) y I i m ( / o g ) ( x )

x —* 1 x -» 2

38. Usando límites laterales, analizar las existencia o no de :

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216 Capítulo 2: Límites

a) jcli-m>6 (\ f[2x~] l+* ?1-01 )I b) Hm
x-¥ i/6 V í 3x1 - 1 0 ‘

x2 - 4 , si jc< 3 y g(x) = 7 ^ 7 + l x - 3 l . Hallar
39. S ean: /(x) = <
I jc - 2 1
- jc , si x > 3
c) lim ( / o g )
a) / o g b) lira ( / o g )
x-> 2
X -* l

- x , s íjc < 1 xz , si x < 1
x + 3 , s íjc > 1
40. S e a n : / ( jc) = y g(x) = *j .H allar
a) / o g
2 - x , síjc> 1

b) lim ( /o g ) c ) lim ( / o g )
* —*-I
x —♦ 1

(2 .8 ) LÍM ITE S DE LAS FU N C IO N E S TR IG O N O M É TR IC A S

El método de la sustitución directa aplicado al cálculo de los límites de las funciones
algebraicas es también aplicado a límites de funciones trigonométricas. El teorema siguiente nos
dice tal propiedad.

TEOREMA 2 . 6 : El lím ite trig o n o m é tric o co m o p ro pie d ad lo ca l

S ix e ER, se verifican las siguientes propiedades.

1. lim S e n x = S enxn 4. lim C otgx = C olgx0
*-M> 5. lim Sec x = Sec x„

2. lim Cos X = Cos x

3. lim Tg x = Tg xu 6. lim C osecx = Cosecx0

Efectuaremos la'demostración sólo para Sen x , la demostración para las demás funciones trigo­
nométricas es semejante.

Demostración En efecto, por el teorema T.9L

lim /( x ) = lim /( x 0 + h ) t=> lim S e n x = lim S en (x . + h)
h —*0 h-*0

Pero la fórmula de adición para la función seno produce

lim Sen x = lim (Sen x0«Cos h + Cos x. • Sen h)

= (Sen x j ( lim Cos h) + (Cos x j ( lim Sen h)
h -»0 h-»0

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Sección 2.8: Límites de lasfunciones trigonométricas 217
■
= (Sen x0) (Cos 0) + (Cos a^ (Sen 0)
= (Sen (1) + (Cos a 0) (0) = Sen a 0

[E JE M P L O 1 ] Calcular los siguientes límites

a) lim (a Cos 3a) b) lim S ec(na/3) c ) lim Tg(Jix/4) »

J-»71 x —*5 x —i i

Solución Por el Teorema 2 .6 , se tien e:

a) lim (a Cos 3a) = ( lim a) ( lim Cos 3a) = n Cos 3n

j —»K jr—»jc jt-» k

= n Cos(2je + Jt) = Jt Cos te = - te

b ) lim Sec ( tea/3) = Sec(5n/3) = Sec(2jc-7c/3) = Sec(rc/3) = 2

x -* 5

c) lim Tg(7iA/4) = Tg(37t/4) = T g ( n - n / 4 ) = -Tg(7t/4) = -1

x-»3

En la demostración de la Propiedad l del Teorema 2.6 hicimos uso de nuestros conoci­

mientos de trigonometría para afirmar que lim C o sh = Cos 0 = I y lim Sen h = Sen 0 = 0.
h—»0 h—»0

En el teorema siguiente se mostrará tres propiedades incluidas éstas, de las cuales se derivan

otras propiedades igualmente útiles para el cálculo de límites con funciones trigonométricas.

TEOREMA 2 .7 : T r e s lím ite s trig o n o m é tric o s e s p e c ia le s

lim C o s a = 1 11. lim =1 III. lim Sen a = 0

x -» 0 x -* 0 * •* • x -• 0

Demostración En efecto , de entrada , un dibujo del
círculo trigonométrico en el primer cua­

drante (Figura 2.28), luego el punto A. sobre él la tangente
AT y el ángulo a medido en radianes.
E ntonces, para a g ( 0 , tc/2) , se tie n e :

P = (Cosa, Sen a ) , A = (1 ,0 )
R = (Cos a , 0) y T = (1 , Tgx)
Luego, se verifica q u e :

a(AOAP) < ü(SectorOAP) < a(AOAT)

=5- ^ (OA x PR) < ^ (x )r2 < ^ (O A x AT) F IG U R A 2.28

D adoque OA = r = 1 t=> PR < a < AT <=> S enA < a < T g A (1)

Como Sen a > 0 , Va e ( 0 , tc/2) , entonces dividiendo cada extremo de (1) entre Sen a , se sigue
que:

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218 Capítulo 2: Límites

1 < Sen x Sen x <=> C o s x < x < I (2)
Si d( A , P) < Á P «=> V( I - C os x)2+ Sen2x < x « = > 2 -2 Cos x < x2 (3)

=> 1 - ^ < C o s x

De ( 2 ) y (3) se tiene: I - y - < Cos jc < < i , si x e (0 , tz/ 2 ) (4)

Supongamos ahora que - n/2 < x < 0 (jc en el cuarto cuadrante)
<=> 0 < - x < txJ 2 - x e ( 0 , tc/2)

Entonces en (4 ): I - 4" ("-*)' < Cos (- j c ) < X) < 1
2

P e ro , C o s ( - jc) = Cos jc y Sen(-x) = - Sen x

<=> 1 - 4 ** < Cos jc < < 1 , si - x e <0,71/2) (5)
2 •**

Las desigualdades (4) y (5) se cum plen para todo jc taJ que 0 < Ijc I < tc/2

Por tanto, aplicando el teorema del “sandwich” a (4) tendremos

lim (1 - 4 -*2) = i y *'m 0 ) = I
< -> 0 x -* 0
L

Entonces, se concluye que : I. lim Cos x = 1

x -* 0

a lim ( % S ) = 1

x-»0 X x ’

En la Figura 2.28 vem os q u e : P R < Á P «=> S e n x < x , s i x e ( 0 , tc/2)

Sen(-jc) < - x «=^ - S e n x < - x , s i - X € (0,7t/2)

Luego , de ambas desigualdades se tiene :

0 < ISenjcl < L l , V x e <-Jt/2, tc/2) - {0}

y por el teorem a del “sandwich” : lim |S e n x | = 0 «=> III. lim S e n x = 0

x —» 0 x -* 0

Nota De estas tres propiedades se pueden obtener otros resultados igualmente importantes para el
cálculo de límites trigonométricos.

K ÍToTg^ = l Ü T o ( ^ ) = T ^ J^ T g Jr = °

v- j™ , í 1 ^ ) = ,ü s ( ^ ) ( q L ) = «*> ( i ) - J™. í 1? ) = '

VL lim S e c x = 4lim í-=-^— ) = - = 1
I
t ►0 x **40 w O S X *

VIL .lri_m* o 'S e n x / = jli-m, 0 í1-Sc e^n—x )/ = Tl = 1

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Sección 2.8: Límites de lasfunciones trigonométricas 219

-*0VIH.
= Hm ( S™** ) = lim ( S e n j:) ( , S a n * ) = 1 (0) = Q
»o * X • x ' *(1 + C o s jc ) / x-»o‘ x / V l + C o s * /

Límites indeterminados que contienen funciones trigonométricas pueden calcularse con
ayuda de las propiedades del Teorema 2.7, las identidades trigonométricas y una buena
dosis de ingenio, como ocurre en los siguientes ejemplos ilustrativos.

EJEMPLO 2 ] Calcular: lim ( S en n * )

—~ J *_»o 'S e n 3 7 L t/

Solución La sustitución directa y la propiedad ITJ, da al límite la form a indeterminada 0/0.
Para resolver el problema podemos reescribir el límite del modo siguiente

L= liln( S s i í i ¡ ( ^ ) ( i )
j,_»o ' tu: / ' Sen 3ju: / ' 3 /

Es evidente que si jc — » 0 y también 3 n x —>0 , entonces

L=i íuli-m»o (' ^n x“ )I • 3iluim^ o í' S^enf 3-tu)c/

3

y por las propiedades II y V II: L = ^ - ( l ) ( 0 = y ■

EJEMPLO
D Eva,uar:

Solución La sustitución directa lleva al límite a la forma 0/0. Eliminaremos la indeterminación
reescribiendo el límite como el Ejemplo 2 , esto e s :

( W t é b ) ’w

^ L= ! ’ • J ” (s H í ) *= (I) =t

[e j e m p l o T ) Calcular: lim ( 2 f e n 3 x )

— J 2* + 3 S e n 4 r /

Solución En este caso elim inarem os la indeterminación 0 /0 , dividiendo el num erador y el
denominador entre x

2 ( Sen 5jc\ _ Sen 3jc jq / Sen Sjc\ 3 / Sen 3jc\

=> L = lim 1 * ~„ f = lim 1 2 S1*12 \^ '
jt-»o 2 + 3 [ Sen 4 x j x-»o ^ Sen4jr j

V 4x I

y evaluando el límite obtenemos : L= 1 0 (0 -3 (1 ) ^ 1

2 + 12( 1) 2

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220 Capítulo 2: Límites

E JE M P L O 5 1 Calcular: lim í 1 ' C? sjr)

J jt-*0' X ' i

Solución Eliminaremos la indeterminación 0/0 valiéndonos de la identidad:

S en 2jc = 1 - C o s 2jc = ( 1 + C os jc) ( 1 - C os jc) *=> 1 - Cos jc = S e n 2jr
1 + C os JT

Por lo q u e , L = lim ( ^ ^ ) ( ——i ----- ) = lim lim ( - — i ------ )

i-» o \ x 2 l \ 1 + C o s jc/ * -»o ' x t x -»o U + C o s jc /

= * L = ' 1)!(lT 7 ) = y

E J E M P L O 6 J Calcularr: lim ^ 0SJ: )

Solución En este caso eliminaremos el 0/0 racionalizando el num erador:

L = lim jc^ 1 + VCosjc) = Iim 1 - C osx
j -»o *-*o jc^ I + V Cosjc)

Como aun persiste la indeterminación 0 /0 , resolveremos el problema utilizando la identidad del
ejemplo anterior, esto es

L = lim--------------- [ -------- 1--------------- 1 = ( l) 2 [ - — — — 1 = \ ■

x _ » o ' x • (1 + \C o s jc ) ( 1 + C o s j c ) (1+ 1)(1 + 1) 4

[ e j e m p l o 7 } Evaluar: lim f Sf C^L~2 Tg * )
S * í —»>i/4» 1 + Cos 4jr I

SoluciónEliminaremos el 0/0 mediante el uso de las identidades trigonométricas.

1 / Senjc\

_ / C o s 2jc + C osjc / ) _ r M - 2 Sen jr Cos jc )
2 f 'C o s 2jc o s 22 jc
“ s 1-XK/a\ 2 C o s 22 jc /“

_ 11 / 1 - Sen 2jc \ . . / ______________ 1_____________ \

x - * m \ 2 C o s 2jc ( 1 - Sen22 x ) I x - * x j a \ 2 C o s ?x ( 1 + Sen 2 j c ) /

L >---------- = i

2 ( l / v 2 )2( l + 1 ) 2

[ e j e m p l o 8 ] Calcular: lim ( ^ + * s e ii^ -V C o s 2x \

* *-»o' Tg2 (x/2) I

Solución Resolveremos el problema de indeterminación 0/0 racionalizando el num erador,
esto es

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Sección 2.8: Límites de las/unciones trigonométricas 221

^ _ |jm 1 + x Sen x - C os 2x_______ _ x Sen x + 2 Sen2x

x—»o (V1 + x S e n x + V C os2x)«T g2(x/2) x-*o (V1 + x Sen x + VCos 2 x ) • Tg2(x/2)

Obsérvese que cuando x —» 0 , entonces (V1 + x Sen x + VCos 2 x ) tiende a 2

Dado que aun persiste la indeterminación dividiremos el numerador y el denominador entre x2,

esto es

/S enx\ . 0 /S e n x \2

i - ( 1 \ í m ' ■* J w / _ 1 f!+ 2 0 £ \ ,
' (l)2 ) - 6
12 ) x™ i /Tg(x/2H2 -2

4 \ x/2 /

IEJEM PLO _9J C alcular: Jim [ ( 1 ~ ^ ^ X ) C o s ( j ) + C o s 3 x -C o s 2 x '
Tgx I \x I x2

Solución Eliminaremos la indeterminación 0/0 escribiendo convenientemente los términos
de la función , esto e s :

= - Mi ) + - «(MM)]

Con relación al li m x C o s f l ] ;com o lim x = 0 y sabiendo que Cos ( 1 ) es una función aco-

x —» 0 '■x ' x —»0

tada ( ICos AI < 1), por la propiedad del producto de lím ites, lim x Cos (--) = 0 , y teniendo

x —» o 'x '

en cuenta el valor del límite del Ejemplo 5 , obtenemos finalmente q u e:

L = [(I)(0 ,+4 ( I ) - 9 ( i) ] = - f

[EJEMPLO 10] Calcular: lim 3 - 4C os2x-t-C os4x
(3 + 4 Cos2x + Cos4x)x4
- ■■■■■■■■ — i J

Solución Sea L = lim (— — i — — ) ( 3 -4 C o sZ » + C o s4 x \
x_»o ' 3 + 4 C o s2 x + C o s 4 x / \ xr i

Al evaluar el lím ite por sustitución directa encontram os que L = -g-

Eliminaremos la indeterminación rcescribiendo el límite de la siguiente manera

L= -5l- ,• r 4 ( l - C o s 2 x ) - ( l -C o s4 x ) i
lim --------------— -¡----------------

8 x-*o ** J

A h o ra , haciendo uso de la identidad 1 - Cos2tz = 2 Sen2a , se sigue que

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222 Capítulo 2: Límites

1 4(2 S enlr) - (2 Sen22 r) i 8 Sen2* - 2(2 Sen x Cos x j1
L = g- Iim -------------- ~2--------------- = -ñ lim ------------------- ------------------
8 JT 8 x-»0 r

1 8 Sen2* - 8 Sen2* C os2jc 1 8 Sen3* (1 - Cos2*)

“ -oR xl—in»i0 --------------- 7 --------------- = "ro x —»0 *------------^ -----------

= 1 (8) Um ( S ^ £ j - ^ L = ( , )4 = 1 u
o *-»() ' •* '

f _ * . .'k _ , , Sen(a + 6x) - 3 Sen(a + 4x) + 3 Sen(a + 2x) - Sen a
E J E M P L O 1 1 1 Calcular: lim i -------------------------- ' --------------
k ■■ " J x-*a T g\r

Solución Para resolver el problema de indeterminación 0/0 , agruparemos convenientemente
los términos del num erador, esto es

[S en (a + 6 * )-S e n a ]-3 [S e n (a + 4jt)-Sen(a + 2x)]
L = lim ------------------------------- =-= ----------------------------------
j —»o T g 3*

Ahora transformamos a producto los términos entre corchetes

. . . 2 C os(a + 3jc) Sen 3* - 6 Cos(c + 3*) Sen x
L = Jim -------------------------- --------------------------------

x-*o T g *

2 C o s(a+ 3*) [S en 3 * -3 Sen*] 2C os(a + 3*) [(3Sen x - 4Sen3*) - 3Sen xj
= xli-m»o _T■g,3*—----- -— — = ,l_i»mo -------------------------- =Trg-3í*------------------------

= ,.m Z C o s f r + ^ H S e n ’x] = _ g ^ Cos(fl + 3x) ( » )

jt-»o T g 3* x —*o 'Tg*'

= - 8 lim Cos(a + 3*) • Cos3* ■=> L = - 8 Cos ¿2 ■
x—»0

(E J E M P L O 1 2 ) Calcular: Um T g (< n -2 h )-2 T g (a + h ) + T ga
^ J h-»0 h2

Solución La sustitución directa da aliím ite la forma 0/0
Para resolver el problema reescribiremos la función, apoyándonos en la identidad

_ . _^ Sen (A - B)
trigonométrica: Tg A - Tg B = C o sA -C o sB

/ Tg(a + 2h) - Tg(a + h) Tg(ü + h ) - T g j )
•=> L = lim l ------------------—--------------------- t~2------------J
h-*o ' h2 h2 •

_ / __________S en h _________ _________ S en h \

h _»o ' h2C os(a + 2 h )-C o s(a + h) h2Cos(o + h) • Cos a I

i¡m / Sen h \ 1( 1 _ 1\

h_»o ' h ' Cos(a + h)\ h C o s ( a + 2h) hC osa/

n \ 1 1 * i m / Cos a - Cos(a + 2h) \
“ ( ) \ Cosa ¡ ¿ o ' h Cos a Cos(a + 2h) •

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Sección 2.8 : Límites de ¡as Junciones trigonométricas 223

Transformando a producto el numerador obtenem os:

i _ i 11 y / 2 Sen h ■Sen(a + h) \ _ / 2 \ y ( Sen h \ Sen (a + h)
v Cos2¿z * h-!*o ' h Cos(a + 2h) i \ Cos2a > h-^o * h / C os(<2 + 2h)

- ( c 5 f f i ) (,) ( f & siCosa*° - L = Of.k* a

E JE M P L O 1« 3J I Hallar: lim (jc2 -t-jt-t- l f + 3xl + 3 x - 15

jT-X1 [T g7i(jr-1) + C otgit(jr- l)] Sen22 r c ( x -1)

Solución La sustitución directa da al limite la forma ^ . Resolveremos el problema
factorizando el numerador, esto es

._ (x2+ jt + 7) U + 2) ( j : - 1) {}
, [T g7t(jc-l) + C o tg 7 t(jr-l)]S e n 227C(.r-l)

P ero, dado q u e : Tg A + Cotg A = Sen2A ^ (TgA + Cotg A )S en2A = 2

Haciendo uso de esta identidad, el limite (1) se reduce a :

( j ^ + jc + 7 ) ( x + 2 ) ( x - I ) (jc + 2 ) (jr2 + x + 7 ) / 2 n ( j r - l ) \

j!? ! 2 S en 2 n (jc- 1) “ 20^) \ S e n 2 ti( jc - 1 ) /

. _ (1 + 2) (I + 1 + 7) 27
” 4n 47t

E JE M P L O 1 4 J H allar: lim ( n -2 * )-Tgjc

—1 1* X -* v il

Solución Tenemos el caso de indeterm inación: 0 . <»
Para resolver el problema haremos uso del T.9L (Reducción de un límite en;c0,a un

límite en 0)
Haciendo u = je - n/2 «=^> jc = u + tJ 2 . Si jc —> nI2 , entonces , u —>0
Luego ,e n el lím ite dado : L = lim (-2u) • Tg(u + 7t/2)

u-»0

P ero , por trigonometría sabemos que Tg(A + 7i/2) = - Cotg A

Entonces: L = lim (-2u)(-C otgu) = 2 lim — ) (C osu) = 2(1)(1) = 2 ■
u —»0 u—»0 * ^en ^ '

E JE M P L 0 1 5 ) Calcular: lim - C° s(1 S™ x)

1* * -* * « (n / 2 - jc )4

Solución La sustitución directa da al límite la forma 0/0

Para resolver el problema haremos uso del procedimiento de reducción del T.9L
esto e s :

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224 Capítulo 2: Límites

Sea u = jc - n/2 ■=> jc = u + tJ 2 . Si x —>i J 2 , enronces u —»0

Luego: L = lim l - C o sj(—l -sC o su )-J = h m rI —1 - C—o s^íl-----C--o-5s—u^)-iI / i1. r o, s uu \ 2
u^ o (-u)4 u_ o L (1 - C os u)2 J V u2 f

Teniendo en cuenta el resultado del Ejemplo 5 , el valor del límite es

L=(im r=i

(EJEMPLO 16) “51 TC -'

La sustitución directa da al lím ite la form a OA).

Resolveremos el problema aplicando el proceso de reducción del T .9 L , esto es
sea u = jc- 7t t=*jr = 7 t+ u .S ijc - » 7 t,e n to n c e s , u - » 0

, 1 ,• T g [ 1 + C o s(7 t+ u )] T g(l-C osu)
L u eg o : L = lim J b rT / , x1 . = lim * „ x .
u-»o C os [Tg (tc+ u)] -1 u_ o C o s ( T g u ) - l

= lim [ T■gg(Ul - C^ oo s u )J -]1[r 11 - cCoossu J 1 _______l i m / i | £/T)go=ri ,

u_»o 1 - C o s u J LC o s ( T g u ) - 1-* x'

C=> fL = ul—im>o /(1t \) r --l5-—C1~o-sC(oT7=sguu )rJi - -u-l»i0m l- C1^o- sC(oTsgu—u )7
L

Conociendo el valor del límite del Ejemplo 5 , reescribiremos el límite de la siguiente m anera:

L ( t S t ) -lr- rCdos(nTgu^) l - >■- ( i ) <«■ f e ) " '

T g 2u

ÍEJEM PLO 17) Calcular: lim ( Sen 3 +tcjc Cos tijt + l
>■■»■— ■ '■■■ ■ + X-* l v ^ -1

Solución Por simple inspección el límite tiene la forma indeterminada 0/0.
Resolveremos el problema factorizando previamente el denom inador, luego apli­

cando el T.6L tendrem os:

L = lim i * ) f Sen 3 n x + Cos n x + M _ l_ j¡m / Sen 3iur + Cos t u + M

1' ' jc - 1 /2 \ x -l I

A hora, por el proceso de reducción del T .9L :

Sea u = jc -1 ;r = u + 1 . Si jc —> 1 , en to n ces, u —> 0

„, .1 Sen3rc(u+l) + Cosrc(u+1)+1 (1)
Por lo q u e : L = y hm ----------------- — - --------------------

Por trigonometría: í (Sen 3n;(u + 1 ) = Sen(3« + 3 n u ) = -SenSrcu
<¡
1 C os 7t(u + 1) = C os(jt + n u ) = - Cos 7lU

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Sección 2.8: Límites de lasfunciones trigonométricas 225

Lr u e g o ,_e n (,.1v): L, = -=1- um I ---S---e-n---3--t-t-u----C---o--s-t--i-u--+----1--\1
1 u-»o ' u '

= I r_ 3 „ lim (S en 3 7 tn j + „ lim ( l - C o s i m \-|

2 L u-»o' 3nu / u-»o * rcu /-»

Haciendo uso de las propiedades II y VIII tendremos finalmente que :

L = ^ [ - 3 te ( I ) + tc(0)] = - ^ -

Cotg -i- (71-2 + ^ 3 S e n x -C o s x )

EJEMPLO 1 8 1 Calcular: lim \ ---------- --------= ------------------------- 1

----------------------- ' * -« L Cos ( ~*1— \ - l
' I - V3Tg* •

Solución Resolveremos el problema de indeterminación 0/0 haciendo transformaciones en
el numerador y denom inador, esto es

Cotg [ f - 1 C o s * - ^ S en * )] = Cotg [ | -1 - Cos (*+ y ) ] = T g [l +C os(* + | ) ]

pues , Cotg (-y - a ) = TgA , y C o s^ ^ ^ ) = C o s [ T g ( |+ * )]

A hora, aplicamos el proceso de reducción del T.9L
S e a * - 27t/3 =u => *=u +2rt/3 . Si *—» 2 it/3 , entonces u —» 0

T g [1 + C os(7t+ u)] _ rT g(l-C osu)-i

Luego. L - hm ^ [Tg(JC + u)] _ j u_ 0 L Cos (T g u )- 1 J

Es el límite calculado en el Ejemplo 16, por lo que: L =-1 ■

EJEMPLO 19] Calcular: lim ( S en*-*S enfc \
> i ■■ ■ i * \b C os*-*C oso /

Solución La sustitución directa conduce a la forma indefinida 0/0.
El .problema se resuelve haciendo un cambio de variable.

S e a * - 6 = u ■=* x = b + u . S i * —> b , entoncesu —»0

, / £>Sen (í? + u) - (í? + u) Sen i? \
uego. ^im [ j Cos ^ + ay _ ^ + uj Cos ¿ )

- lim T ^ *"os u + ^ en u ^ os ^ ^ ^ en ^ ’ u ^ en b l
- u_»o*- b(C osb Cos u - S eñ é Sen u ) - 6 Cosí? - u Cosí? J

- l i m \ ' b ^ Cn b ^ ~^ ° S +b ^ ° Sb ^ en U" U^ en b 1
u_»o - b Cos í?( 1 - Cos u) - b Sen b Sen u - u Cos b ■*

Ahora, dividiendo el numerador y denominador entre u , se tien e:
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226 Capítulo 2: Límites

) + b C o s b { S S ™ ) - Sen &

L = lim F ___________ u u _______

u - >0 - 6 Cos 6 ( 1 ^ ° S U ) ^ 6 S e n f c ( ^ i L ) _C o s6

y por las propiedades II y VITI del Teorema 2 .7 , obtenem os:

L = - 6 Sen 6(0) + b Cos 6( 1) - Sen b Sen 6 - 6 Cos 6
- b Cos 6(0) - 6 Sen 6(1) - Cos 6 Cos 6 + 6 Sen 6

(EJEMPLO 2 d ] Usando límites laterales analizar la existencia de

lim l * + S e n 2Jt| + lT g x - x l

x —>o iTgjrl

p o lu c ió n 1. L ím ite por la d e re c h a : x —» 0+ , es d e c ir, x > 0

C o m o IT gjr I > Ix l , V x e {-tí!2 , tt/2 ) , im p lic a q u e : T gx > x , e sto

es , Tgx -x > 0 |T g x -x | = T gx-x

A d em á s, 0 < Sen2x < 1 y s i x > 0 <=> Ix.+ Sen2x I = x + Sen2x

. ... / x + Sen2x + T g x - x \ .. ^
L u e g o : L. = lim [ ----------- - --------------) = hm (1+ Sen x Cos x) = 1
1 jc— Tgx / , _ 0+v

2. Lím ite por la izquierda: x —» O- , es decir x < 0

S il Tgx I > 1 x 1 , implica que : - T g x > - x t=> T g x - x < 0

«=> i T g x - x l = - T g x + x
Además , ISen2x I < ISen x I < Ix l , V x e IR

Si x < 0 i=? (- Sen x)2< - x c=> Sen2x + x < 0 <=> Ix + Sen2x I = - x - Sen2x

Lt uego: wL = li-im /( ---x-----S--e--n--2-x -—T g- -x--+--x--}\ = hm ( 1 + S e n x C _o s x ) = 1
^ x-tcr' - Tgx I

Por tan to , si L, = L , entonces existe lim / ( x ) , esto e s , L = 1 ■

x -» 0

(¡EJEMPLO 21 ) Demostrar que lim Sen ( ^ J no existe

(Sugerencia : Para cualquier r e (R+ , 3 n e Z*\ - i- < r )

dem ostración Supongam os que Sen (iilx) tiene un lím ite L en x0 , entonces , si

lim S e n í f ) = L <=> V e > 0 , 3 8 > 0 | s i 0 < l x l < 8 => I S e n ( ? ) - L | < e
x-»o '■* ' »■* '

Eligiendo en e = 1/2 podemos hallar una 8 tal que

0 < Ixl < 8 I Sen ( j ) - L l < ^

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Sección 2.8 : Límites de ¡as funciones trigonométricas 227
Tomemos ahora dos puntos x, y x7pertenecientes a 0 < U I < 6 , que tienen la form a:

Entonces r = 2 n V Í /2 y x 2~ 2 n - 1/2 'n e Z*
Sen ( ^ ) = Sen (2n + 1/2)jc = Sen (rc/2) = 1

Sen ( £ ) = Sen (2n - l/2)n = Sen (-n/2) = -1

Luego: | s e n ( £ ) - l | = | 1 - L l < ^ y | Sen ( ~ ) - L |= 11 + L | <

Como , 2 = I(1 - L) + (1 + L) I i=>2 < 11 - L | + 11 + L | (Desig. triangular)

2 < -^ + <=> 2 < 1

lo cual es absurdo e implica que la hipótesis es falsa.

En consecuencia, no existe lim Sen f £ ) ■

x-*0 'x •

E JE M P L O 2 2 ] Calcular: lim( x S e n I )
^ x->0 x

.Solución Obsérvese que al aproximarse x a c e ro , 1 decrece o crece sin lím ite, por lo que
S en (l/x )o sc ila entre -1 y I .e s d e c ir. Sen ( 1/jc) no se aproxima a un único núme­

ro, luego no existe lim Sen ( - ) .
*-»o ' x '

En consecuencia no se puede considerar a x Sen ( 1/x) com o el producto de dos funciones para
calcular su límite. Sin em bargo, como la función seno es acotada, esto e s ,

O S (Sen (1/x) I <1 ^ 0 < lx S e n (l/x ) < Ixl

y aplicando el teorema del “sándwich” concluimos que

lim |x S e n ( l/x ) I = 0 <=> lim x S e n (-jr) = 0 ■

x —»Q jr—»0 ' •* '

(EJEM PLO 2 3 ) Sea P un punto de coordenadas ( x , Senlr) sobre la gráfica de y = Senzx.

Se supone que P es diferente del origen y que x e ( - n , n ) . La perpen­
dicular mediatriz del segmento OP intersecta al eje Y en el punto E. A medida que P se mueve a
lo largo de la gráfica y se aproxima a cero , cuál es la posición límite de E?

Solución L a gráfica de y = Sen2x para x e [ 0 , rt) se muestra en la Figura 2.29.

En el triángulo rectángulo O A E: OE = (1)
ocn u

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228 Capítulo 2: Límites

Como OA = ^ OP ■=> OA = ~ Vjc2+ S e n 4*

En el AOBP: Sen 0 = PB OP S e n 2*
OP '■Ix*+ Sen4*

Sustituyendo (3) y (2) en (1) obtenem os:

™ - x 2 + S en4*
° E = 2 S en2*

L u eg o : J im Ó É = Bm [ I ( ^ ) + \ S o * ] = \ (1 )’ + I (0) = i

EJEMPLO 24j En la Figura 2.30, las rectas EB y OD son tangentes a la circunferencia de

radio 1en los puntos B y O respectivamente. C alcular:

área(AEAB)
e ^ o área(AEOD)

Solución Expresemos cada cateto de los triángulos
rectángulos EAB y EOD en función del

ángulo 6
En el AEAB : AB = (BC) Sen© ■=> AB = Sen 0

É A = (ÁB)Tg© =* ÉA = (Scn0)Tg6 =

Entonces: c(AEAB) = (ÉÁ xÁ B ) = F IG U R A 2 30

Z Z COS ü

En el ABA C : A C = (BC) Cos0 = C os0 => O A = OC - AC = 1 - Cos0

En el A E O D : ÉÓ = ÉA - ÓÁ = C o s0 - ( 1 - C o s 0 ) = l C~Coos&0Q

AEOD = AEAB ^ ® ^ B ^ ÓD , A B\ / 1- Cos 0 Sene ( g f )
EO EA

«=> o d = - zSc—en° 0j r
L uego, a(A E O D ) = i (E O ,(O D ) = 11 / ! - C o s 0 \ / 1 - C o s 0 \ (1=- C2oSs e0n)26 C o s e

a(AEAB) Sen4©

a(AEOD) ” (l-C o s© )1 = ( r r § V r = <1+Cose>3

a(A E A B )
lim /A C™ = lim (1 + C o s 0 )2 = ( l + 1)2 = 4
e-»o a(AEOD) e-»o

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Sección 2.8: Limites de lasfunciones trugonométricas 229

OBSERVACIÓN 2.9 Lím ites de lasfunciones trigonométricas inversas

Para el cálculo de los límites de las funciones trigonométricas inver­
sas se puede hacer uso de las siguientes propiedades

i) lim (are Sen x) = 0 iii) lim (arcTgjr) = 0 v) lim (are Cos jc) = tí/2
*-*0 jt-»0 *-*0*

ii) lim ( arc ^en x ) = I iv) lim ( ‘^ M _ | vjj (arcX gjf) = + jc/2
j-»0 ' X * x —»0 ' X ' x-*± «o

y también de las siguientes identidades

I) a rc S e n x = a r c T g { - ^ = = ) III) a r c T g a - a r c T g 6 = arcT g

II) arc Cos x = arc Sen V1 - x 2 IV) arc Tg(a + x) - arc Tg(a - x) - are Tg ( | + x ? )

f / arc Cos ( x - 7 t/2 + 1) \
[E JE M P L O 2 5 1 C a lc u la r: lim I ----------------- - ----------]
k x-Td2 I

Solución S ix —> 7c/ 2 “ «=> x < t i/ 2 y s i x - 7 t / 2 < 0 c = > 7 i/2 -x > 0
Haciendo el cam b io : u = i d 2 - x > 0 . entonces, u —>O*

are Cos2( 1 - u) [are Sen Vi - (1 - u)2 ]2 (II)
L uego: L = ul_im»o+ = ul-i»mo+ ----------------u---
-u

= i,ra (a re S e n . ' 2 ^ W (2 u -u M = , H 2 = _ 2

arcTg [ Cos(Senx)- Cos(2Tg x) ]
E JE M P L O 2 6 ) Calcular: lim

• x-* 0

Solución Para resolver el problema de la indeterminación 0 /0 , haremos uso de la propiedad
(IV ), escribiendo

. arcTg [ Cos(Senx)-Cos(2Tgx)j r Cos(Senx)- Cos(2Tg x) n

Cos(Sen x) - Cos(2 T g x) <- x2 -I

/i% i „ C o s(S e n x )-C o s(2 T g x ) / Cos2(Senx) - Cos2(2 T g x ) \

“ ( } j S o ^ " x ™0 y X2 [CosfSen x) + Cos(2 Tg x)] i

2/' [(1I - SSeenn :¿(S e n xx))J] - [L11 - Senn -((2 T g xx ) J) \ _ j]_ Sen2( 2 T g x ) - S e n ^ S e n x )
(l + l) lim \
xx 2 I/ 2 j_»» oo x2

1 r /S e n ( 2 T g x ) \2 / 2 T g x \ 2 / S e n (S e n x )\2 ^ S en x l 21

= z j'T o U zT g* ) H - \ sen* ) h r ) J

L = i [ ( l ) ! (2)í - ( l ) ¡ ( l) J ] = f

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230 Capítulo 2: Límites

( e j e m p l o 2 7 ) Calcular: lim T g ^ + -^)-T 8 (^ --r)
v * jt_»o a r c T g ( # + x ) - a r c T g (# -x )

Solución En este caso resolverem os el problem a de la indeterm inación 0/0 usando las
2 Sec2# • T e x

identidades (IV) y T g (a + x ) - T g (# -x ) = ¡ Tg2# . T g2x

Esto e s : L = lim 2 S e c 2# . T g x

x -* 0 ( I - Tg2a - Tg2jc) aro T g ( - 2f-
»1 + a 2- x ¿•

= (2 S e c 3a ) lim ( 2[ „ 2 ) [ ----------------- — r 1
jc^ o ' 1- Tg2# •Tg2x / areTe í 2 x \

' 1 + # 2-x 2 /

= (2Sec3#) U - o I1^* 0Í\( \I ^x ) M( a r c T g ( _ ^ _ _ ) M 2|

= (2 S e c za ) ( l ) [ ( ! ) ( ! ) ( i ^ ) ] «=> L = (1 + a 2)S e c 2a

E JE R C IC IO S . Grupo 13

❖ En los ejercicios 1 al 40 hallar, si existe, el límite indicado.

1. jlti-m,0 '(x T- g^4 x) / 2. *lim_ ,0 ' Sen 2x / 3. ,lim.oo í\' k Tfcg'j^*f ) /

4. ,im 5. lim ( S e n ^ S e n j i ) 6. lim ( Cos x-C os 3xj
jt-,0 ' SenJx • x-»ov Senx > ' jr
x -» 0

7. lim ( ^ ^ U A T -C o srr \ g. lim ( 2 1) 9. lim ( ' - CoSX)
*_*o ' I + Sen px - Cos px / ^_,ov T gx /
x^_»no \'S e n 2x 1 Cos x /

1«. lim ( Cotg2* - - ] ,) 11. lim 3 Sen t í x - Sen 3rcx 12. Jim Sen n x + 3 Sen2rcx
jc3 x —»o x + 2xi
13. lim x - Sen x x -» 0
x —»Co Tg3*
x^osU /x) 14. lim x2- Sen x 1 15. limo 1 - Cos ax
,o+ x Sen x2 x(2-x) T gix
16. lim
x-»o Tgx + Sen x 17- ¡ í j r a l - ? ) 18. l i m C o tg 2 x
'- °
-------7— --------r

M y x)

19. lim 1 - VCos x 20 lim Sen(Cosx - 1) 2 L lim V i-C o s x2
x -»0 1 -C o sV x Sen [C os(x+ 7t/2)] ,_>o 1 - Cos x

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EJERCICIOS . Grupo 13 231

Sen(itx/2) x Sen(Sen x) 24. lim VCosx - VCosx
22. lim 23. lim *-»o Sen2x

o 1- Vx+ 1 x-»o l-C o s(S e n x ) v2
27. lim
25. lim 2 - V C O S X - C O S X 26. lim
x—»o xSenx x-»o Vi + x S e n x -V C o sx

28. lim Sen28x - Sen24x Sen2(h + fl)-S e n 2a 30 Jim * - Cos x Cos2x Cos3x
29. lim
x —>0 x2 h -»0 x _»o 1 - Cosx

31. lim V I + T g x - Vi + S en x 32. lim 2(1 - Cos x)2(1 + Cos x)

x —. 0 x —*0 x^l -Cos2x)

33. lim 1 - Cos x • VCos 2x • VCos 3x Sen(a + x) - Sen(a - x)
34. lim0 Tg(fl + x ) - T g ( a -x )
x -» 0

35. lim Vi + x SeñT - VCosZr V( 1 + x)1 -C o tg x - l + Cosec x
T g 2(x/2) 36. lim
x -* 0
x -» 0

x4.Scn(Vx3+ 4 -2 ) 38. lim 1 -V Cosx + V ^ T 2 -V 2
37. lim x2
x -» 0
x —» 0 (Tgx - Sen x)2

39. lim ^ ; V i+ C ° SJr (1 - Cos x VCoiTZr) 40. lim C o s x C o s l r - 1
*-»o (xSenT ) *_»£) S e n 2 x -S e n x C o s 2 x

•> En los ejercicios 4 1al 76 hallar, si ex iste, el límite indicado.

41. lim (1 -x )T g (jrx /2 ) Tg 2* 43. lim 2x2- 3 x + 1
X—» I 42. lim X—»I1i/2 Cotg 7LX

jc/4 Cotg(7C/4-x)

44. lim l + x 3 T g(l - x 2) Sen(nx)
-i S en(l - jt5) 45. lim 46. Hm
Sen(x - tí/3)
Jt—»-1 l + x 3 x-*-2* x 7 - 4
47. lim TgV -STgx
x-»rt/3 1 - 2 Cos x 1 - Cotg3x
48. Hm 49. lim
mi Cos(x + 7t/6)
jt/4 2 -C o tg x - C o tg 3x

50. Hm 2 - Sec(7t/x) Sen (Cos x) 52. lim Sec x - Sec(jt/4)
51. Hm
x —. 3 x- 3 x - * r/4 tü- 4 x
x —» n /2 C o tg x

53. lim 1 - 2 Cos x 54. Hmjt/4 Cos2x 55. Hm 4 C o s 'tu - C o s 3 t i x
n/3 n -3 x Cos x - Sen ic/4 2x -1
x —» 1/2

56. lim 1 - Sen x + Cos x 57. lim x2- 4... 58. Hm ( 2 1
X—>jJt/2 Sen x - 1 + Cos x x-i2 Cos(n/4) *x--».ljti//?2 '' Cos2x 1 -S e n x /

59. lim 1 - 2 Cos x T g(x2- n 2/ ^ ) Sen(x/2) + Cos x
X-*‘¿*ra Sen(jt-7t/3) 60. x—li»mjt/4 .. 6 1 . l i mñ l + S e n 2x + C o sx
Sen(4x - 7t)

TgJtx C o s (jcx/2) 64. Bm ? S « f r + S e n * - l
62. Iim x~inJ6 2 Sen2x - 3 S e n x + 1
63. Iim
x-*-2 x + 2 1-V*

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232 Capítulo 2: Límites

^v l-Sen(7U /4) Vx+Cos(7U:)
65. lim (Tgjc + Secjc) 66. lim ---------- 67. lun------ ;--------
x -*2 X - 2. x -» I
x -» -Til I-*

68. i™ y 1*0" ? 69. Iira M ^ r)

*- C o s(T g x )-1 x(ti-x) x ^ a Cotg(nxlla)

(Jü + 2x) C os(3n/2 + 3a) (jc - n/2) S en (l/x )

' jJÜ U Sen (3TC/2 + 3jc) ,- J ín 1/3 + Sen jc

“ • J í J W 5K fe íf) 7|L “ “ l Y l T í l í f ) ’ - "

❖ En los ejercicios 77 al 8 8 hallar, si e x is te , el límite propuesto

__ .. Sen(a + 2jt) - 2 Sen (a +x ) + S e n a __ Cos(a + 2x) - 2 Cosía + jc) + Cos a
77. lim ------------------------s 7o. l i m ------------------------- ----------------------
jr—*o x x —>o x

7__9. .. Cotg(a + 2x) - 2 Cotg(a + jc) + Cotg a Sen(a +jc)*Sen(a + 2 r ) - S e n 2a
lim ----------------------------------------- 80. lim ----------------------
*-»0 Xr x-*Q X

81 1¡m Tg(a + x) • T g(a - x) - T g2a g2 1¡m Tg l u x - Cos(rc/2) + Tg(rcx/8)
x-»o ■**
' x-*o x2+ 4 x -1 2

.. (xn + x * l + ...........+ x 2 + x + i f - X * -1
83. lim ------------------ -— —r -------- ,n e Z+,n > 2
x-*o S e n ( r + jc)

_ . Sen(a + 3jc) - 3 Sen(a + 2x) + 3 Sen(a + jc) - Sen a
84. lim ---------------------------------- ?--------------------------------

*-»o x*

o r «•_ f T g(a + 2x) - 2 T g(a + *) + Tg a \ f Sen(a + x ) - S e n (a - x) \

K - A™ l Tg(a + * )-T g (0 -*)— H —J

8 6 . lim T g2jc (V2 S en2jc + 3 Sen jc + 4 - VSen2jc + 6 Sen jc + 2 )
x-*itf2

j - A m 4n x ) + s X T iKXl4>) ^ ^

00 Cos jc + C os2jc + ...........+ Cosnx , ,
88. lim -= Spe—n2j5c--+---..-.-.-..-.-.-.-..-.-+---S- e-n—"*- , donde n es par
x-* it Sen jc+ F

❖ En los ejercicios 89 al 104 h a lla r, si e x is te . el límite propuesto

89. fon 90. lim ’)
x-*o s e n á x
j —>D are Sen (VCos x - 1)

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EJERCICIOS - Grupo !3 233

91. lim are Sen(Vx + I - V C osx) 92. lim 3x Sen x

x -> 0 Tgx

0

are Sen(VCosx -1) x2are Sen x + Tg x - Sen x
93. lim 94. lim

o Vare Sen x + 1 - 1 x —> 0

95. limó 2x - are Sen x 96. lim (are Sen x - n/2) (Vare Sen x - V n/2)
2x + arcT gx
x —»r jn

2x (are Sen x)2+ Tg x - Sen x 98. lim arcTg(Vl + S enx -V2)
97. lim
x —* it/2 1+ Cos 2x
x-*0+

arcCos(l -x) are Senx - are T gx
99. lim ,-------- 100. lim

x-»o+ v2x- x2 x -» 0

1 - Cos(fc are Sen x) , are Sen (VCosx - 1)
101. lim -------------------- - , b > 0 102. üm
,_»0 Sen2x
x-»o Vare Senx2+ 1 -1

103. lim Vñ - Vare Cos x 104. lim V, i + a rc T-g—3 x —- Vi-----a-r--e--Se.n—3x
x-»o V i-a rc S e n 2 x - V i+ a rc T g 2 x
X—»-l Vx+T

105. S i/(x ) = — Q° ^ 'l2nv \ * h a lla r: lim / ( x - 4 )

Cos ( n x ~2 n j x —»5

106. Si lim ( ^ * - Cr0 tg * ) y * = lim ( - ^ - ) . hallar ( f )
jr-^nw' S e n x -C o s x / x -*o ' 1 - C o sx / \¿ /

107. Si a= lim ( ^ C o s* M y b= l]i\m Sen(l +Cosx) ; hallar a -b
— ::r —r
X - ,B C o s(S e n x )'!
x —» 0 ' X~ •

/(h -2)-/(-2 )
108. Sean las funciones /(x ) = (x2+ l)3 y g(x) = C os22 x ,s i a = lim

h -»o

y t . l i . g W - E ( ^ 8) t hallara
*-»*» x -n /8

x+ 1Senxl , six> 0

109. Si /(x ) = ¿ l.vl , analizar la existencia de lim f (x)

8.- 8 - ^ 7 _ s i J [ < 0 x -»0

110. Sean / y g dos funciones definidas por

Sen (a x2) , X*0 ' U +1J2 , x*- 1
Vx + 5 - 2 , x = -1
x Trjig x 2

/w = gU) =

1 , x= 0

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234 Capítulo 2: Límites

C alcu lar, si e x iste , lim ( / o g ) ( x ) .

X—>■I

111. Sean f y g funciones definidas por f(x) = -j— — , si
(x-a)Tg(x-a)

IXa - a 21 + a x + a2_ x < - a

^ < x - a < y , x * a , y g(x) = • * +a ,a>0

2 a - G ( yV*x++22aa - a Ca ). . x > _a
k \ x +a /

Usando el límite de la función com puesta, calcular lim f(g (x ))

x-* -a

Sen (ex) , x>0
------x------ , x =0
112. Dada la función : f(x) = < 2

C os (71/3 + x ) - Cos (jt/3)
---------------------------------- , x < 0

a) Para qué valor de c existe xli—m>0 f ( x )
b) Para el valor de c encontrado, es verdad que lim f ( x ) = f(0)

x -»0

113. Dem ostrar que los límites siguientes no existen

a) x—li»mit/2(* Cgs * ) b) lim C o s ( - ) c) x-l»imjtf2 ( 1 + Senjr )
1 “ Sen x i ' x_»0 ' C osjt ¡

114. D em ostrar, usando la definición de lím ite, que

a) lim (I S•=—e n =3—x \1 = 3-w bL)x h••m .rC o~s ( l/x ) = 0
,_>o 'S e n 2 * / 2 x-*o 5 + C osx

( S~j e—enn —x *\) para m ,n e Z * siem pre que n - m > 0. H allar L.

116. Usando el teorem a d e l“sandwich” , dem ostrar que lim (k - jc)Cos(1/x) = 0
jr k

117. A nalizar la existencia o no existencia de : lim f Sen \ 1+ - i - - Sen "V—í— )
x —»o ' U! y \x\ '

(Sugerencia: Usar el teorema del “sándwich” )

118. Sean A y 8 constantes p o sitiv as de m anera qu e una cierta función / satisface la
condición:

i- -A x < f(x) < 1 , V x e (-8 , 8) , x * 0

Justificar que es posible aplicar el teorema del “sándwich” para hallar lim f(x ) y

determinar dicho límite x-»o_

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EJERCICIOS Grupo ¡3 235

119. Hallar lim /(c x - 1 ) , donde c * 0 es una constante real, sabiendo que para constantes

x -* 0

reales positivas A y B , la función / c u m p le : A Va-2- 1 < f ( x ) á B Sen2(x + 1 ), con
x e <-2, -1/2)
(Sug. Use cambio de variable y aplique el Teorema del “sandwich”)

120. Usar el teorema del “sandwich” para hallar los siguientes límites

a) lim ( Sen ^ x - S e n ”\ / - M b) lim (a- l ) 2Sen f * )

x -* 0 * X X' x -* l ' VX - 1 '

c) lim ^ [l-C o s(l/x )]C o s(I/2 x ) jr Cos(l/x)
d) lim 5 + Sen x
x —»0

121. En el plano XY se traza una circunferencia con centro en (0 ,0 ) y radio r , 0 < r < 25. Desde
el punto A (2 5 ,0 ) se traza una tangente a dicha circunferencia.

a) Si por P(r/V2 , r/V2 ) se traza una recta que corta a la circunferencia en Q (x , y) ;
h alla r lim M ( at) , donde M ( a ) es la pendiente de la recta que pasa por P y Q.

x —» W 2

b) Si P(jc , y ) es el punto de tan g en cia, calcu lar: lim ( r areS en r )

122. Sea 9? una circunferencia de radio R y AB un diám etro. Por A se traza una tangente a <€.
Luego, por un punto T * A de dicha tangente se traza una secante a Asiendo M el punto
de intersección más próximo a la tangente. Si la longitud de AM es igual a lalongitud de
AT y si la secante corta a la recta que contiene a AB en un punto P exterior a la circunfe­
rencia , hallar la posición lím ite de P cuando T se aproxima a A.

(Sug. Las funciones Sen x y Cos x pueden expresarse com o:

Sen x — x - y y + x" R, (a ) ; Cos x = 1 - ~ + •— + x6Rz(x)

donde R.(jc) y R ,(x) son funciones tales que lim R .(x) = lim R ,(x) = 0 )

x-»0 ' x -» 0

FIGURA2 31
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236 Capítulo 2: Límites

124. En la Figura 2.32, la longitud del arco AM = A N , A es un punto de tangencia y x está en
radianes. Calcular lim OB .

125. En la Figura 2.33 , OQP es un arco de circunferencia de radio 1 , RP y RQ son
tangentes al arco. Si S, es el área del triángulo PQR y S2es el área del sector som ­

breado, c a lc u la r: lim
*->o+ 'S , /

126. La circunferencia de la Figura 2.34 es unitaria. S, y S2 son las regiones indicadas y

r # (S ,) + 1/2 ■»
a (S ) , a (S ) las áreas respectivas. C alcular: hm I — J.

x -* id í

FIG U R A 2.33

12.9) L IM ITE S A L IN F IN ITO

En las definiciones de limites consideradas hasta ahora, cuando expresamos
lim /(.t) = L

entendemos que /(jc) tiende a L sin im portar com o se aproxima x a jc0, y que tanto x Qcomo L son
números reales.

En esta sección veremos que existen funciones que a pesar de que no se aproximan a un
número real, siempre tienen la tendencia a crecer o decrecer constantemente a medida que los
valores del dominio se aproximan a un punto. Veremos situaciones com o:

i) lim f( x ) = L ii) lim f ( x ) = *» iii) lim f {x) = 00

donde el sím bolo «> (infinito) denota que tanto jccom o el conjunto de im ágenes / ( jc) crecen o
decrecen indefinidamente.

x1
Por ejem plo , sea la función / ( * ) = ——^ . cuya gráfica se m uestra en la Figura 2.35

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Sección 2.9: Umites al infinito 237

1. Nótese que cuando x se hace cada vez más grande \-
e! valor de la función se aproxim a a 1 y podemos 2
decir entonces que

lim /(jc) - I

A hora, cuando x se hace cada vez más pequeño la _______ [ L i U
función también se aproxima a 1 y decimos que
1 C l 1 ^V
lim f(x) = 1 x -N N t >X
\l \ 2 ¡
j r —> - ©o x < -N \1 *------- * -
x>N
2. Por otro lado, vemos que entre más próximo esté x 11 *1
de 2 1los valores de /(jc) son más grandes, no im­ |1
|1
f1

portando la dirección en la que nos aproxim am os a- F IG U R A 2.35

x = 2 , esto e s , podemos decir que

lim / ( jc) = + o o y lim / ( jc) = - O©
*-»2+ r—*2“

Estas dos situaciones nos obligan a precisar las definiciones de
I. Límites al infinito
II. Límites infinitos

I OBSERV A CIÓ N 2.10 E l sistem a am pliado de los núm eros reales________________

Antes de dar una definición de límites al infinito, recuérdese
que en el sistema de números reales. Jos símbolos + » . - c o e » n o son núm eros, pero que
juntos constituyen un nuevo sistema numérico llamado el sistema ampliado de los núme­
ros reales y en el que se cumplen las siguientes reglas, donde c es una constante.

1. c + (+«») = +<*’ 6. S i o O <=> c (-°°) = - 00

2. c + (-° ° ) = - 00 7. S i c < 0 => «. i-° ° ) = + 00

3 . (. 00) + ( - 00) = - 00 8 . (+ “ ) ( + ® °) = + 00

4. S i o O ■=> c(+ °°)= +©0 9. (-00)(-00) = + «*

5. S ÍC < 0 ■=> C (+ “ ) = - o® 10 (- °o)(+oo) = - oc

D efinición 2.10 : LÍMITES AL INFINITO

S e a /u n a función definida en el intervalo (x0 , + «*>). El Iimite de f ( x ) cuando jc crece a + 00
es L . y se escribe

lim / ( jc) = L
*-»+«»
si para e > 0 , existe un número N > 0 tal que si j c > N , entonces | / ( jc) - L | < e , para todo x

Formalmente: lim / ( jc) = L V e > 0 t 3 N > 0 I s í j o N «=* | / {jc) - L | < e

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238 Capítulo 2: Limites

D efinición 2.11 : LÍMITES AL INFINITO

Sea f una función definida en el intervalo « s, Jty). El límite de f ( x ) cuando x decrece a - ° °
es L , y se escribe

lim f(x) = L

X —» - o o

si para cada £ > 0 , existe un num ero -N > 0 tal que si x < - N , entonces If ( x ) - LI < e para
todo x e (- oo, x¿)
Formalmente:

Iim /( * ) = L <=> V e > 0 ,3 ( .- N ) > 0 I s ía < - N «=> l / ( * ) - L | < e

c s Ve > 0 ,3 N < 0 | six< N ^ j/U )-L l < e

TEOREMA 2.8
Si n es cualquier número entero positivo, entonces se cumplen

0 Km í ^ r ) = 0 ii) lim í ^ r ) = 0

Demostración Probaremos la parte (i)
En efecto

1. Si lim ( - ^ ) = 0 < ^ V e > 0 , 3 N > 0 | s ía > N ■=> l - V - ( l l < £

X —» + o o \ X ' IA I

2. Si | — | < e ^ \x" I < ~ , y com o n > 0 =* I■*I < ( ) Xa > —
3. Si tom am os N = (1/E)1'" => V x > N se tien eq u e jc> (1 /e) E

=* l ^ l < £
4. L u eg o , si jc > N <=> | - ^ - 0 | < e , que es precisam ente la definición de

lim ( ¿ ) = 0
i —) + » ' A i

TEOREMA 2.9

Sea / una función cuya variable x crece o decrece indefinidam ente, entonces se cumplen
Jas p ropiedades:

í i) lim f ( x ) = lim, / f-M
x—»+“ u-»0* ' U'
Si A= - =>

ii) Iim f ( x ) = lim / ( - U
jc-t.cc U-»0~ ' u »

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Sección 2.9 : Límites al infinito 239

Demostración Probaremos la parte (ii)
En efecto:

1. Sea lim / ( jc) = L , entonces por la Definición 2.11
V e > 0 , 3 N < 0 | s í j c < N .=> | f ( x ) - L I < e

2. Si elegim os 8 = - j q - > 0 , y s i - 8 < u < 0 «=* u > - 8

3. D e d o n d e , u > , y com o u y N son negativos -i- < N

4. L u e g o , del paso (2 ): si - 8 < u < 0 , im plica q u e , -I- < N r=> | / ( - q-) - L ,| < e

lo cual demuestra que: lim / ( - ¿ - ) = L

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS &

EJEMPLO 1 ) _, , / a je ™ + a, jcm' 1+ . . . . + a m \

C alcu lar: hm ( -¡*- r i ¡----------------r 1 )
— / fc0xn + ¿ ,x n ' + . . .+b„ >

(donde m , n e Z+ , a 0 , b0 e IR , b0 * 0 ) , en cada uno de los casos siguientes

i) m < n «o
ii) m = n
u i ) m > n y -j— > 0

o0

a0
ív) m > n y -r— < 0

Oq

P(x)
Solución Tenemos una función racional de la forma / ( jc ) =

Q (x)

donde : P ( jc) = a trcm+ a fx m 1+ . . . . + a m= x"1 ( a„ + + . . . . + J

y Q W = bgK''+blx ' " l + . . . . + b a = * n [ b 0+ y + . . . . + ^ - )

d em o d o q u e : / ( , ) = * " - ( ^ -+Q/ * + - • ■
M ' b0 + bll x + . . . . + b n/x* r

En virtud del Teorema 2.8

iim / ( * ) = ( ~ ~ ~ l o ) iim c* " ‘b5 = (t ) lim 0 0 c* m n)
X-» + c» * 0(}+ . + U ' x _ » +m *
' "o -» +

i) S i m < n m - n < 0 , y c u a n d o j c ^ + o °,e n to n c es, jcra-n = -» 0

Por lo que: lim =/ ( jc ) ( ) (0) = 0

,_ * + « ' b„ •

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