Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

490 Capítulo 4: La derivada

Como el hombre cami na a razón de 5 pies/seg. hacia

la derecha ^ = 5 pie/seg.

Queremos hallar — ■ cuando jc = 10 pies F IG U R A 4.23

2. Tratemos de buscar un modelo matemático que re­
laciones x y z por semejanza de triángulos . En la
Fisura 4.23:
z z - x <=> 3 z = 5 x
15

3. Ladiferenciaciónimplícitada:

4. a) Dado que — • = 5 = - y pies/seg. , es la velocidad con que se mueve la

longitud de la som bra cuando el hombre está a 10 píes de la farola,
b) La longitud de su sombra es

d s ddzz d x ^ - 5 = -y- pies/seg
dt dt dt

es la velocidad con que cambia la longitud de la sombra.

[ E JE M P L O 2 j Un abrevadero tiene 12¡n. de largo y extremos que tienen la forma de trián­
gulos isósceles invertidos que miden 3m de altura y 3m de base. El agua

fluye al abrevadero a razón d e 2 m 3/min. Con qué rapidez aumenta el nivel del agua .cuando el
agua tiene Im de profundidad.

Solución La Figura 4.24 muestra la sección transversal del abrevadero de L = 12m de largo.

1. Sea V el volumen del prim a triangular (Volumen de agua) cuya
base tiene pordim ensionesxy h. El agua fluye al abrevadero a
razón de2m V in¡n.

Entonces: — = 2 . Debemos hallar cuando h = 1
dt di

2. V = (área de la base) (longitud)

V = (1/2) (h jc )(L ). Para L = 12 ^ V = óhjc

Por semejanza de triangular se deduce queje = h o V = 6 h J FIG UR A 4.24

3. Derivando implícitamente se tiene: y - = 1 2 h ( - y - J

Parah = 1 2 < l ) ( ^ L ) « $d t = I m/min
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Sección 4.16 ; Rozones de variación relacionadas 491

E JE M P L O 3 J Una escalera de 20 pies de largo se apoya en una pared inclinada de 60°

respecto a la horizontal . Si la base de la escalera está siendo movida
horizontalmente hacia la pared a razón de I pie/seg, a qué rapidez se mueve la parte superior de
la escalera cuando la base está a 4 pies de la pared?

Solución 1. Sea jc la distancia de la base de la escalera a la pared.
En la Figura 4 .2 5 , el A B H C es un trián­

gulo rectángulo cuyos ángulos agudos miden 30° y
60°, luego si BC = z , entonces

BH = V3 z/2 y HC = z/2
Como la escalera es empujada hacia ¡a pared (izquier-

da) >=> = -1 pie/seg.

Debemos hallar cuandox = 4 FIGURA 4.25
dx z ) 2 = 2(F

2. Una relación entre x y z lo encontramos a partir del ( 1)
teorema de Pitágoras.

E n e lA A H B :Á H 2 + B H 2 = Á B 2 => ( x + - | ) 2 +

de donde obtenemos : x 2 + x z + z2 — 400
3. Una derivación implícita nos lleva a :

2* ( £ M t ) + 2 ( £ ) + 2z( f ) = 0

4. En (1 ), para x = 4 se tien e, z = - 2 + 2^97 . Luego^en el paso (3)
2(4 ) ( - l ) + 4 ( ^ ) + (- 2 + 2V97 ) (-1) + 2 ( - 2 + 2^97 ) ( ^ ) = 0

de donde obtenem os: d z _ 3 + V97 = 0.652 pies/min
d i 2V97

[ e j e m p l o 4 ) Un triángulo A B C está formado por las tangentes AB y A C en cada extre­
m o de la cuerda B C , perpendicular al eje de la parábola y 2 = 2(x + 1).

Si BC se acerca al vértice de la parábola a razón de 2 unidades por segundo, con qué rapidez
cambia el área del triángulo cuando BC está a 6 unidades del vértice.

Solución 1. Sea B(xn ,y n) y r = xn + I =* x a = r - I . L u ego, B (r- 1 ,y D)

Como BC se desplaza hacia la izquierda: ^ = - 2 u /s e g

Si S = fl(A A B C ), debernos hallar 1I dx 1I cuando r = 6 unidades
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492 Capítulo 4: La derivada

2. S = i (BC)h = \ (2>’„)h => S = y ah

B(*0 , >■„).= ^ >-0a = 2(x0 + l)

>n* = 2 r (I)

En B la pendiente de la tangente es

m = T„ g a _«=¡> y, = —yn (2)
n

Al derivar la ecuación de la parábola en B(x0, y j se ob­

tiene : y ’ = Myü (3)

F IG U R A 4.26

De (2) y (3) :

L u eg o , en (1) : h = 2 r , entonces si S = yflh <=> S = V 2r ( 2 r ) = ( 2 r ) w

3. La derivación implícita nos conduce a : ^ (2 r ) 1,2(2) ^ J

4. P arar = 6 y ^ = - 2 , el área del triángulo decrece a razón de

^ = 3>ÍÍ2 ( - 2 ) = - 12-s/3 uVseg.

Por lo ta n to , la rapidez de cam bio es j j = 12V3 uz/seg.

E JE M P L O 5 ) Sea el triángulo rectángulo ABO recto en el punto B , el cual se despla­
za sobre la recta .2?,: x + y = 0 . El vértice A se desplaza sobre la curva

V : x = Vy ; variando la abscisa x a razón constante de 4 unidades por segundo. El vértice 0
permanece fijo en el origen de coordenadas. Hallar la razón de cambio del área del triángulo
ABO cuando x = 6

Solución 1. Sea A(jr,>’)q u e se d esp lazaso b relacu rv a r£ : x l = y ,.* > 0 , cuya abscisa varía

a razón de —d x = 4 u/seg.

Com o A € W *=} A ( x , x2) . Las alturas de los triángulos ABO
yacen sobre la familia de rectas £P J_ SP
L u e g o ,s iS ? :jc - y + k = 0 y A e & => x - j p + k = 0

■=> k — x 1 - x

ÁB = d ( A , j?) = y ÓB = d(0 , 2 ) =
V2 V2

Se desea calcular di cuando x = 6

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Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas 493
■
2. Area de AABO : S = j (AB)(OB) = j = \ t**--*2)

3. Derivando respecto aJ tiem po se tie n e : = ~ (4.x3 - 2x) ~

4. Finalmente , paraje = 6 : ^ [4 (6 )3 -2 (6 ) ]( 4 ) = 8 5 2 u 2/seg.

E JE M P L O 6 j j En un depósito de forma cónica está siendo vertida agua a razón de 8
piesVmin. El cono tiene 20 pies de profundidad y 10 pies de diámetro en

su parte superior. Si tiene una fuga en la base (parte inferior) y el nivel de agua está saliendo a
razón de 1 pulg/min. cuando el agua tiene 16 pies de profundidad , con que rapidez se esta
fugando el agua?

Solución 1 1. Sean R el radio del depósito cónico r : radio del
nivel de agua de volumen V a una profundidad h

Razón de cambio en el volumen de ag u a:

¿V , (ritmo constante)
^ = 8 piesVmin

Razón de cambio en el nivel del agua
^ = I pulg/min = pies/mín.

—d ¡\— es la razón de cam bio en el aumento del volumen del V ii
ai
_
agua.
F IG U R A 4.28

Se desea calcular | 1 , la rapidez con que se fuga el agua cuando h = 16 pies.

2. La ecuación que relaciona la altura h con el volumen de agua V e s :

v - “ r = T . i - g ° : V= i H£ ) 2h = f K*

3. Derivando implícitamente obtenem os: h2( j

4. Para h = 16 y , se tien e: n piesVmin

La rapidez con que se fuga el agua es: di di

dt

= 8 - - y J t = - y ( 6 - n ) piesVmin ■

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494 Capítulo 4: La derivada

E JE M P L O 7 j U n filtro cónico de 18 cm . de profundidad y 6 cm. de radio en la parte
superior . se encuentra lleno de una solución. Esta va pasando a un vaso

cilindrico de 5 cm. de ra d io . Cuando la profundidad de la solución en el filtro es de 10 cm. su
nivel está bajando a razón de 2 cm/min. Hallar la rapidez con que está subiendo la solución en el
vaso, para dicha profundidad.

Solución l. Con referencia a la Figura 4.29 ;
x : es el radio del filtro cónico a una profundidad y
h : profundidad de la solución en el vaso.

Razón de cambio en el nivel de la solución

dy (ritmo constante)
—r~ = -2 cm/min
di

Por determinar:
di

2. Volumen de! filtro cónico : V = y x 2y

Por semejanza detriángulos: ~6xr = y jc = v
—
tlek «=>
3

Luego: V ( , ) = j ( | ) >■=^ O '1)

3. Derivando con respecto a t se tiene: F IG U R A 4.29

d V K ■>( d y \
di 9 ' di *
4. Para y = 10 «=s> d V = £ ( 10)-(-2) = - ^200 Ttcm2/min
di 9
En el cilindro: V, = ít(5 ): h = 25rth

^ =25n t m
di \ di I

En el instante en que la solución está a lOcm. de profundidad en el filtro cónico, la rapidez
con que está bajando debe ser igual a la rapidez con que está subiendo en el v aso , esto es

dV 1 dV, p 9p n = 2 5 i tv( 4d iM/ « d i = p9 cm/min ■
di 1 " di

[ EJEMPLO 8 ] Un automóvil que viaja a razón de30pies/seg. se acerca a una intersec­

ción . Cuando el automóvil está a 120 pies de la intersección, un camión
que viaja a razón de 40 pies/seg. cruza a la intersección . Si el automóvil y el camión están en
carreteras que forman ángulos rectos una con respecto a la o tra; con qué rapidez se separan el
automóvil y el camión 2 segundos después de que el camión pasó por la intersección.

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Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas 495

Solución 1. S e a * ia distancia entre el automóvil y el camión en un instante t . En este
tiem po:

s ,= Ó Á = 3 0 t •=> ÁP = 120 - 3 0 t

s, = PC = 40t *

Debemos hallar dt cuando t = 2 seg.

2. En el A A PC : ÁC’ = A P + PC2
a jc = (120- 30t)2+ (40t)-

3. Derivando respecto al tiempo se tiene : F IG U R A 4.30
2 x ( -(^1 1- j = 2 ( l2 0 - 3 0 t) ( - 3 0 ) + 2(1600t)

De donde: d x = lO Q p .- 3 6 )
di \ x

En el paso ( 2 ), para t = 2 obtenemos : jr3 = 602+ 802 <=> * = 100

4. Luego en (3 ), la rapidez con que .se separan el automóvil y el camión después de 2 segundos

e s : ~ = 2 5 (2 )-3 6 = 14 pies/seg.

f EJEMPLO 9 J Dos aviones A y B están volando al Este a la misma altitud . El avión A

lleva una velocidad de 600 millas/h y el avión B una velocidad de 400
millas/h . Al mediodía el avión A está a 50 millas al norte del avión B . Con qué velocidad se
separan ambos a la I pm?

Solución 1. Sean Q y T las posiciones de los aviones A y B , respectivam ente, al cabo de
t horas y sea s = TQ

Entonces : PQ = 6001 y RT = 4001 r

A las I2M : f C = 5 0 millas y RT = PC = 400t

Como CQ = PQ - PC <=$ C Q = 2 0 0 1

2. En el A TCQ : f Q 2 = f e 2+ CQ3

o s = V(50)2+ (200t)2 J-2M

3. Derivando respecto al tiempo obtenem os: F IG U R A 4.31

d s 400001

d l V2500 + 40000t2

Desde las 12M hasta la 1PM , esto es , en una hora los aviones se han separado s millas .

L uego, para t = 1

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496 Capítulo 4: La derivada

4. 41 = = 194.17 millas/hora
d i VT7

es la velocidad con que se separan ambos aviones a la 1 PM

( e j e m p l o 1 0 ) Un vehículo se dirige hacia el Sur a una velocidad de 15 km /h y otro lo
hace hacia el Este a la velocidad de 10 k m /h . A las 3 de la tarde el segundo

vehículo pasó por el punto donde el primero estuvo una hora an tes. a) Con qué rapidez cambia­
ba ia distancia entre los vehículos a la IPM ? b) y a las 4 de la tarde ? c) A qué hora no
cambiaba la distancia entre ellos?

Solución 1. Sean A (0 ,y ) y B (x , 0) las posiciones respecti v a s, Sur y E ste , de los vehículos
en un sistema de coordenadas.

Como datos tenem os: dx = 10 y ■ = - 1 5 . Debemos , cuando t = I y t = 4
dt dX

2. En la Figura 4.32 , por el teorema de Pitágoras s2 = x 1 + y 2

3. Derivando implícitamente respecto al tiempo se tiene

~ f " 10 ( í ) - 15 ( t )

Según el problem a, a las 3 PM el vehículo B se encuentra
en el origen y el vehículo A , que había pasado I hora antes,
se encuentra a 15(1) = 15 km al Sur del o rig en , esto e s , en
el punto P (0 , -15).
L uego, las ecuaciones de movimiento de los vehículos A y
B , las 3 PM son , A : y = - 1 5 ( t- 3 ) - 15 = - l 5 t + 30

B : x = 10(t - 3) = 1 0 t-3 0

4. a) Para t = I x = 1 0 -3 0 = - 2 0 , y = - 15 + 30 = 15
s = -Jx2 + y 2 = V400 + 225 = 25

En el paso (3) : ^ = 10 ( - ) - 15 ( ^ | ) = - 17 k m /h

Por tanto, la distancia s decrece a razón de I7km/h

' jr = 1 0 (4 -3 ) = 10 , y = - !5(4) + 30 = - 3 0
b) Para t = 4 «=>

s = Vx2 + y 2 = VlOO + 900 = ÍOVTO

En el paso (3) : * = 10 (fin1e0s1x01e0d0uc\'ativoIsS ( ^ M ) . IW Ü km /h
Sólo -vL\iQbryo¡\sQVir'tuales 2

Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas 497

En consecuencia. s crece a razón de 17.38 k m /h

c) No cambia la distancia entre A y B cuando =0

Entonces en (3) : I 0 ^ y ) - 1 5 ( y j = 0 í = > 2 . r = 3y
» 2(10t - 30) = 3(- I5 t + 3 0 )

de donde obtenemos : t = -y j = 2h 18minPM

EJEM PLO 11 j Un autom óvil cam ino a una ciudad , pasa por un p u e n te , en el mism o

instante en que un tren lo cruza por abajo y perpendicularmente . El auto
v a a 4 0 k m /h y el tren a 2 0 k m /h .S i el puente está a 30 m sobre el riel ,con qué rapidez se están
separando el auto y el tren 10 minutos después de haberse cruzado?

Solución 1. Sean x e y las distancias recorridas por el automóvil y el tren al cabo de t horas,
respectivamente, y z la distancia que los separa en el mismo tiempo.

Seconocen = 40 km/h y = 20km /h
di 3 di

Se desea determinar cuando t = lOmin.
di

2. En la Figura 4.33 se observa que z e s la diagonal de
un paralelepípedo de dimensiones x , y , 0.03 , en­
tonces :
Z" = x 1 + y 2 + (0 .0 3 )2

3. Laderivación im plícita, con respecto a t .n o s d a : F IG U R A 4.33

d z \ .. I d x \ . .. / d y \ dz

4. Para t = lOmin = y- hora : x - 40(1/6) = 20/3 ; y - 20(1/6) = 10/3

Luego : z = ^ { 2 m )2 + (10/3)’ + (0.03)2 = km

Sustituyendo estos valores en el paso (3) obtenemos :

É l = 4 0 ( - ^ M + 20 f — = 4 47
dt \ 22.36 l \ 22.36 I \ 22.36 I

Conclusión . En el instante en cuestión . el auto y el tren se separan con una rapidez de 4.47

km /h ■

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498 Capitulo 4: La derivada

EJEMPLO 12 j L a cubierta de una barcaza se encuentra 4m m ás abajo de la altura del

muelle . Tirando la barcaza, la hacen acercarse para que se ponga al lado
del m uelle«mediante un cable el cual va devanándose en un cabrestante a 2 m/scg. Qué acelera­
ción experimenta la barcaza al moverse en el momento en que dista 8m del muelle (en línea
horizontal)

Solución l. Sea* la distancia de la barcaza al m uelle,

y sea z la longitud del cable .

P

Si = - 2 m /seg (ritmo constante)

Se desea calcular d -x , cuandox = 8m.
d i2

2. Por el teorem a de Pitágoras : z2 = x2 + 16

3. Derivando implícitamente con respecto a t , se tiene : .1

dx F IG U R A 4.34

( £ ) = * (d£i ) (0

Para x = 8 , z 2 = 6 4 + l6 z = 4‘\Í5 ; luego en ( I) : dx = - VJ

4. Al derivar nuevamente los dos miembros de (1) con respecto, se obtiene

* (& )♦ (£ )(£ )-'(£ )* (£ )(£ )

Com o la barcaza se tira uniformemente , se sigue que d,2z, = 0
° H d i1

- ( £ ) ’ - ' ( & ) ♦ ( £ ) ’ « C-2)= = 8 ( ^ ) + < - V 5 f

de donde obtenem os : ~d4i-- = - 4o- = -0 .1 2 5

Conclusión . La aceleración decreciente que experimenta la barcaza al momento que dista 8in

del muel le es de 0 .125 m/seg2. ■

EJEM PLO 13 J Un automóvil viaja a la velocidad de 120 km/h sobre una pista circular en

cuyo centro 0 hay una fuente de lu z . A que velocidad se mueve la sombra
del automóvil sobre una pared tangente a la pista en un punió P , cuando ha recorrido I/6 de la
pista desde P.

Solución 1. Designemos las distancia PT = x y PA = s . como se indica en la Figura 4.35

Se conoce que = 120 km /h y s = 1/6 de vuelta . Luego , cuando el

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Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas 499

automóvil ha recorrido 1/6 de vuelta entonces (I)
0 = 1 (2jt) = m

El objetivo es hallar , cuando 8 = jt/3

2. Del diagrama buscamos una relación entre x y 0 me­ F IG U R A 4.35
diante la trigonometría.
E nelA O P T : x = r -Tg0

3. Derivamos esta ecuación respecto al tiempo para obtener

= r Sec20 ( )
di \ di i

Pero como s = r0 o 0 = y ; luego : = ~ (~ )

E rla e c u a c ió n (I) : * = r Sec=0 [ I ( * ) ] = Sec=0 ( * )

4. Para 0 = Jt/3, se tiene: ~ = Sec2 -v (120) = 480
di x

Conclusión . La sombra del automóvil se mueve a una razón de480km /h

( EJEMPLO 14~) En la Figura 4.36 vemos un brazo de 7 pulgadas que conecta un pistón

con una biela de 3 pulgadas de radio, la cual gira en sentido contrario a las
agujas del reloj a un ritmo constante de 200 revoluciones por minuto. Hallar la velocidad del
pistón cuando 0 = 60°

Solución 1. C om o una revolución com pleta corresponde a 2n radianes podem os hallar
el ritmo constante en radianes por m inuto.

E sto es di = 2 0 0 (2ic) = 400jirad/m in.

El objetivo es hallar para 0 = 60°

2. Una relación entre* y 8 lo conseguimos por trigono­
metría (ley de los cosenos)

T = 32+Jta -2(3)xC os0 F IG U R A 4.36

de donde : j^-éixCos© = 40 (1) 6x Sen 0

3. Por derivación implícita con respecto al tiempo obtenemos = 6 Cos0 - 2x ( f ) ®

2* ( f F r í - ' M - f ) + ° * e ( £ ) ] = ° - f

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500 Capitulo 4: La derivada

4. Cuando© = 60°, en la ecuación (I) tenemos :
x 7- 6*( 1/2) = 4 0 * = > * 3 - 3 * - 4 0 = 0 « * = 8 v * = - 5
Sustituyendo la solución positivax —8 en la ecuación (2 ), se tiene :

£ ■ 6((| « S ) = - 4018 pulg/min

La velocidad es negativa por que el pistón se mueve hacia la izquierda. ■

EJEMPLO 15^ Un observador situado a nivel del su e lo , divisa por un telescopio que un

avión está a 7 km. dealturay vuela horizontalmente a razón de 600km/h.
H allar:
a) La razón de cambio del ángulo de observación del telescopio cuando el avión está a una
distancia horizontal de 25 km del observador.
b) La razón de cambio del ángulo cuando el avión está directamente encima del observador.

Solución 1. Para em pezar, en la Figura 4 .3 7 , se muestra
un diagrama indicando las cantidades rele- ^

vantes:x la distancia horizontal del avión al observadory
0 el ángulo de observación del telescopio.

Conocemos: h = 7 km y at = - 600 km /h

(El ritmo constante es negativo porque el avión avanza

hacia la izquierda.

El objetivo es hallar cuando* = 24 km. y * = 0 F IG U R A 4.37

2. Una relación entre * y ©es : Tg © = x/7 600 Cos2© (I)
3. Derivamos está ecuación respecto al tiempo t

de

( £ ) = 4 ( £ ) ~ di

El signo negativo re fle ja que 0 es decreciente

4. P ara* = 24 , s2 = 243+ 73 = 625 => s = 25 y Cos© = ^ ^

a) Por tanto , en ( I ) : dQ 600 / _7_ \ 2 = 168 rad/h
di 7 \1 2255 1I 25

b) Cuando el avión está exactamente en la vertical del observador 0 = 0 y Cos 0 = 1 ,

entonces en (1): de 600 rad/h
di 7

Obsérvese que el telescopio se mueve mucho más rápidamente cuando el avión está

sobre la vertical. ■

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Sección 4.1 : Razones ele variación relaciónetelas 501

E JE M P L O 1 6 ^ Un cuerpo M se mueve a razón de 5 m/seg a lo largo del diámetro de un
patio circular (llamémosle A B ). Una luz ubicada en uno de los extremos

de un diám etro perpendicular a AB , proyecta la sombra a lo largo de la pared cuando M se
encuentra a r/3 del centro del patio (A B ). Con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la
pared circular.

Solución l. La Figura 4.38 muestra el diagrama donde se . • - ...
indican las cantidades relevantes. F,

x = OM , la distancia del cuerpo M al centro del patio / rf \
s = Q P ,el arcoquedescribe la sombra del cuerpo M en la 1o
at íi m/A j* z
pared circular.
0 = el ángulo inscrito que subtiende el arco QP \\ b* i
r
(0 = I/2 Q P )
a = ángulo central ( a = Q P ) t=> a = 2 0 cK —

>
F IG U R A 4.38

Como ritmo constante se tiene: = 5 m/seg
dt e

El objetivo es hallar la variación de s Testo es , cuando jr = r/3

Si a = 20 y s is = a r s = 20 r ■=> = 2rf-^-) (1)
3 d\. \ d t ¡ (2)

2. Una ecuación que relaciona* y 0 es : x = rT g0

3. Como ambas variables son funciones del tiem po, entonces

f = rS e c * 0 (f )=r(1+Tg=0)(f )

4. En el instante en que x =* «=> Tg0 = ~

^ o .e „ ( 2 ) :f = , ( l + i ) ( f ) = _9_
2r

Sustituyendo en (1): — ■= 2 r ( - ^ ; ) = 9

Conclusión. La rapidez con que se mueve la sombra a lo largo de la pared circular es de

9 m/seg. ■

EJEMPLO 1 7 j En la Figura 4.39 se tiene un sector circular PAC de radio A P , donde

A = (0 ,5 ) y B = (0 ,1 0 ), (prolongación de P C ), son fijos y P se desplaza
sobre el eje X hacia la derecha con una velocidad constante v = 2 m /seg habiendo partido del
origen. En qué intervalo o intervalos de tiem po, la rapidez con que varía el área del sector es
positiva?

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S02 Capitulo 4: La derivada

Solución 1. Sean r el radio y Gel ángulo del sector circular

PAC de área S < = > S = -^ 0 r2 (1)

El objetivo es expresar 0 y r en función de la variable ^cono­

ciendo que = 2 m/seg

En cualquier posición de P se cum ple: 0 = a - p
T ga-TgP

t=> T g 0 = 1 + T g a *TgP

Pero, T ga = y TgP = ^ | F IG U R A 4.39

Luego, en (2) se obtiene: Tg0 = 5x
x 2 + 50

En el A A O P , por el teorema de Pitágoras : r2 = x 2 + 52
2. Sustituyendo en (1) estos dos valores se tiene:

S(jc) = y arc Tg ( ) • (x* + 2 5 )

3. Derivamos esta función con respecto al tiempo y sustituyendo = 2 obtenemos:

d s = 5(x2 + 50X50 - x 2)
dt (x2 + 50)2

4. Para que d s sea siempre positivo bastará que 50 - x2sea positivo, pues las otras expre­

siones son positivas V x> 0 .

L u e g o , si 50 - x2> 0 >=> x < ^Í50 = 7.07 , es d e c ir, si x e [ 0 ,7 ] >=> >0
En un movimiento rectilíneo uniform e, e = v t t=> t = e t \

Como e = x € [0 ,7 ] y v = = 2 m/seg >=> t e [ 0 , 3.5]

E JE R C IC IO S . Grupo 38

1. La arena que empieza a vaciarse en una tolva a razón de 10 pies/seg, form a una pila cónica
cuya altura es el doble de su radio. A qué razón aumenta el radio de la pila cuando su altura
es de 5 pies?

2. Una mancha de petróleo de grosor uniforme ha sido causada por el derrame de 1 m3 de
petróleo. El grosor de la mancha está disminuyendo a razón de I cm /h. A qué razón aumen­
ta el radio de la mancha cuando mide 8 m?
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EJERCICIOS . Grupa 3 H : Razones de variaciim reUttuiruiJüi 503

3. Un cómela se desplaza en el aire en dirección horizontal a una altura de 400 pies y a razón
de 10 p ies/seg, alejándose de la persona que sostiene la cuerda de la c o m e ta , al nivel del
piso. A qué razón se está soltando la cuerda cuando ya se soltaron 500 pies de ella?

4. Un aeroplano vuela en dirección horizontal a una altura de 3 millas . con una velocidad de
480 millas/h y pasa directamente arriba de un observador en el suelo . Con qué rapidez
aumenta la distancia del observador al aeroplano 30 seg. más tarde.

5. Una escalera de 41 pies de longitud ha sido apoyada contra un muro vertical. Ha comenza­
do a resbar de m odo que su tope se desliza hacia abajo del muro mientras que su base se
mueve sobre el su e lo ; la base va a una velocidad constante de 10 pies/seg. Con que rapidez
se mueve el tope de la escalera cuando está a 9 pies sobre el suelo ?

6. La altura de un cono disminuye 4 cm/seg .mientras que su radio aumenta a 2 cm/seg.
Cuando el radio mide 4 cm. y la altura 6cm , está creciendo o decreciendo el volumen del
cono ? Cuál es la razón de cambio del volumen ?

7. Un cohete es lanzado en dirección vertical y rastreado por una estación de radar situada en
el su e lo . a 4 millas de la rampa de lanzamiento. Cuál es la velocidad vertical del cohete
cuando está a 5 millas de la estación de radar si su distancia aumenta a razón de 3,600
millas/h.

8. En el tiempo t = 0 , un je t militar monomotor vuela rumbo al Este a 12 millas/min. A la
misma altura y 208 millas adelante de é l , todavía en el tiempo t = 0 , un avión comercial
vuela rumbo al Norte a 8 millas/min. Cuándo estarán los dos aeroplanos más cerca uno del
otro? Cual es la distancia mínima entre ellos?

9. Un tanque de agua tiene la forma de un cono, con eje vertical y vértice hacia abajo. El radio
del tanque es de 3 pies y la altura de 8 p ies. El tanque está lleno de agua al principio, pero
en el tiempo t = 0 (seg.) se abre pequeño orificio en el vértice y el tanque comienza a
desaguar. Cuando la altura del agua en el tanque ha bajado a 3 pies fluye hacia afuera a
0.02 pies3/seg. A que razón está bajando el nivel del agua en ese momento ?

10. Está escurriendo arena de un tanque arazón de I20ítpies3/seg. La arena que cae forma una
pila cónica sobre el su e lo , la altura del cono es siempre 1/3 del radio de su b a se . Con qué
rapidez aumenta la altura cuando la pila mide 20 pies de altura ?.

11. Un punióse mueve sobre la curva je2+ y 2- 4 x = 0 , y > 0 , cuando la abscisa del p u n tees 3
unidades su velocidad (de la abscisa) es de 5 unidades/seg. H allarla velocidad de su orde­
nada y la rapidez con que la distancia del origen cambia en ese mismo instante.

12. Sean B y C dos puntos de la parábola y = x2 tal que BC es perpendicular a su eje . Las
tangentes a la parábola en los puntos B y C se cortan en A de manera que forman el AAB C .
Si BC se mantiene perpendicular al eje de la parábola y se acerca su vértice con uria veloci­
dad de 2 unid/seg, hallar la velocidad con que se desplaza el vértice A y la velocidad con
que varia el área del AA B C cuando BC dista 4 unidades de) vértice de la parábola.

13. Una lámpara está colgada a 3.50 m sobre una recta horizontal. Un hombre de 1.50 m de

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504 Capítulo 4: La derivada

estatura camina alejándose de la luz a razón de 24 m/min. a) Con que rapidez se alarga la
sombra? b) Con qué rapidez se mueve la punta de la sombra del hombre? c) Si el hombre
hace ronda siguiendo la trayectoriax 2+ )2 = 12 y el loco está en un poste de 6 m de altura,
ubicado en el punto ( - 9 ,0 ) , cuál es la trayectoria de la punta de la sombra de! hombre ?

14. Un abrevadero horizontal tiene 16 pies de largo y sus extremos son trapezoides con una
altura de 4 p ies, base menor de 4 pies y base mayor de 6 p ies. Se vierte agua en el abreva­
dero a razón de 10 piesVmin. Con qué rapidez crece el nivel del agua cuando ésta tiene 2
pies de profundidad?

15. Una piscina rectangular de 25 pies de ancho y 40 pies de largo tiene 3 pies de profundidad
en un extremo y 9 pies en el otro extrem o, siendo el fondo un plano inclinado de 25 pies de
ancho. Si se bombea agua al interior de la piscina a razón de 10 piesVmin ;a q u é velocidad
se está elevando el nivel del agua cuando tal nivel está a 4 pies de la parte más profunda ?

16. U na pieza tiene la form a de un tronco de cono circular recto (Figura 4 .4 0 ). Se sabe que el
radio de la base menor es de 5 cm. y forma con la generatriz un ángulo de 120° . Si dicha
pieza se sumerge en un estanque de agua con una rapidez de 2 cm /seg, manteniéndose su
eje perpendicular a la superficie del agua que es un plano; con qué rapidez va desaparecien­
do la superficie lateral del tronco de cono cuando su base menor está a una profundidad de
lOcm.?
(Area lateral del tronco de cono = rcg(R + r ) )

17. En la Figura 4.41 , las rectas y ■2'1 son tales que /f x fl = {(3 , 4)} . Estas rectas
empiezan a girar alrededor del punto de intersección, de manera que sus intersecciones A y
B con el eje X se desplazan con velocidades : VA = 4 u/seg y VB = 10 u /se g , respectiva­
mente . Encontrar la razón de variación instantánea del área del cuadrilátero OAPQ cuando
OA y OB miden ambas 6 u.

J

F IG U R A 4.40 F IG U R A 4.41

18. Un buque navega hacia el Sur a una velocidad de 6 m illas/h; otro navega hacia el Este a una
velocidad de 8 m illas/h. A las 4 de la tarde el segundo cruzó la ruta del primero en el punto
por el que éste había pasado dos horas antes. a) Cómo variaba ladistancia entre los buques
a la 3 P M . b) C ó m o a la s5 P M ? c ) Cuando no variaba la distancia entre ellos ?

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EJERCICIOS . Grupo 3H : Razones de variación relacionarlav 505

19. Un depósito de agua tiene la forma de un cono circular recto con un vértice hacia abajo. Su
altura es de 10 m y el radio de la base de 5 m . El agua sale por el fondo de modo constante
a razón de 1 mVseg. Se vierte el agua en el depósito a razón d e c in 3/seg .C alculare de modo
que el nivel del agua asciende a razón de 4 m/seg en el instante en que el agua alcance la
altura de 8 m.

20. Si A es la intersección de dos vías perpendiculares, un móvil M, pasa por A a las 9 am en
dirección Norte a razón de 60 k m /h . Un móvil M j. pasa por A en dirección Este a la 10 am.
en el mismo día a 90 k m /h . Hallar la razón de la distancia entre los dos móviles a las 11 am.
dei mismo día.

21. Un observador contempla un avión que se aproxima a una velocidad de 500 millas/h y a una
altura de 3 m illa s. A qué ritmo está cambiando con respecto a) tiempo el ángulo de eleva­
ción de la línea de visión del observador cuando la distancia horizontal entre el avión y el
observador es de 4 millas ?

22. Una persona de 6 pies de altura está contemplando una farola de 18 pies de altura mientras
camina hacia ella a una velocidad de 5 pies/seg. A qué ritmo está cambiando el ángulo de
elevación de la línea de visión de la persona con respecto al tiempo cuando está a 9 pies de
la base de la farola ?.

23. Un ayudante está de pie al fin de un embarcadero a 12 pies por encim a del agua y está
estirando de una cuerda atadaa un bote de remos a un ritmo de 4 pies de cuerda por minuto.
A qué ritmo esta cambiando el ángulo que la cuerda forma con la superficie del agua con
respecto al tiem po cuando el bote está a 16 pies del embarcadero ? .

24. Las longitudes de los lados de un triángulo son 15 cm. y 20 cm. Si el ángulo formado por
dichos lados aumenta a razón de 2° por segundo , hallar : a) La rapidez de variación del
tercer lado cuando el ángulo entre estas dos es de 60°. b) La rapidez de variación del área
del triángulo.

25. Una barrera, en un paso a niv el, tiene dos brazos que giran alrededor del mismo eje OY
(Figura 4 .4 2 ). El brazo OA mide 6 m , el brazo OB mide 8m y ambos giran a razón de 25
rad/min. Con qué velocidad (en m/seg) se acercan los extremos A y B en el instante en que
6 = 45° ?

26. El AABP de la Figura 4 .4 3 , los vértices A( a , 0) y B(¿>, 0) son puntos fijos y el tercer vértice
P se desplaza siguiéndola dirección positiva del eje Y , con una velocidad de v = "íab ¡ 15
m/seg, habiendo partido del origen de coordenadas. A partir de que instante la rapidez con
que varia q empieza a se negativa ?

27. Un cuadro de 4 pies de altura se coloca sobre una pared con su base 3 pies arriba del ojo de
un observador. Si el observador se acerca a la pared a razón de 4 pies/seg. con qué rapidez
está cambiando la medida del ángulo subtendido en su ojo por el cuadro cuando el observa­
dor está a 10 pies de la pared.

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506 Capítulo 4: La derivaíla

F IG U R A 4.42 J

28. Un faroesiá a 1/2 milla de un cam ino recto y mantiene su luz fija en un automóvil que está
viajando a la rapidez constante de 60 millas/h . Hallar la rapidez a la cual el rayo de luz está
cambiando de dirección, a) cuandoel automóvil está en el punto del camino más cercano al
fa ro y .b ) cuando el automóvil está a l/2m illacam inoabajodeestepunto.

29. Un cuerpo M se mueve a razón de 5 m/seg. a lo largo del diámetro de un patio circular. Una
luz ubicada en uno de los extrem os de un diám etro perpendicular al an terio r. proyecta la
som bra de M sobre la pared circu lar. Con qué rapidez se mueve la sombra a lo largo de la
pared cuando M se encuentra a r/2 metros sobre el centro del patio ? (r es el radio de! patio)

30. Un embudo de forma cónica tiene un diámetro de lOpulg. en su parte superior y 8 pulg. de
profundidad. El agua entra al embudo a una razón de 12 pulgVseg. y sale de él a una razón
de 4 pulgVseg. Qué tan rápido se eleva la superficie del agua cuando ésta tiene una profun­
didad de 5 pulg. ?

[4 .1 7 ) D IFER EN CIALES

Sea y = f( x) una función derivable en su dom inio, entonces
a) La diferencial de x , es cualquier núm ero real no nulo , que se define por la relación:

dx = Ax
b) La diferencial de y , denotada por d y o d f , se define por la relación

dy = f \ x ) .dx (44)

es decir, la diferencial de una función es igual al produc­
to de su derivada por la diferencial de la variable indepen­
diente .
La Figura 4.44 muestra la interpretación geométrica de
estas dos definiciones:

AB = PR t=> Ax = d x

En el APRT : Tga = RT
PR

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Sección 4.17 : Diferenciales 507

de donde: R T = f ‘( x ) . PR d y - f ' { x ) ‘ d x
Í Q = R Q - R T <=> e A j c = A y - d y
i=> A y = d y + e A jc

El ejemplo que sigue compara los valores de d y y A y

[ EJEMPLO 1. j Sea la función y = x 2 + x - 1 , hallar dy cuando jc =1 y d x = 0 . I .
Comparar este valor con Ay cuando x = 1 y Ax= 0 .1

Solución Si f(x) = x 2 + jc -1 <=}■ x) = 2x + l
Por la ecuación (44) : d y = f ( x ) • d x «=* dy = [2 (1 )+ 1] • (0.1) = 0.30

El verdadero cambio en f es : Ay = /( x + A jc )-/(jc ) = (jc + Ajr)2+ (jr+ A x ) - I

A y = Ajc ( 2 x + I + Ají)

Para Ajc = 0.1 y x = i , se tiene : Ay = ü. I (2 + I + 0 .1) = 0 .3 1

En consecuencia: Ay - dy = 0.31 -0 .3 0 = 0 .0 1 ■

Para la función de este ejem plo confeccionamos la siguiente tabla para valores de Ajc = 0.1 ,
0.01 yO.001 , y vemos que dy se aproxim aaA y cada vez más exactamente cuando A jc tiende
hacia cero.

dx - Ax dy Ay Ay - dy
0.100 0.300 0.310000 0.010000
0.010 0.030 0.031000 0.000100
0.001 0.003 0.003100 0.000001

Nótese en la tabla que cuando Ax decrece en décimas , Ay - d y decrece en centésimas.

OBSERVACIÓN 4.6 L a validez de la recta como aproximante a una curva proviene de su
definición como lím ite. Es d ecir, la existencia del límite.

/■ (,)- lin, [ £ ) . (,)

Ax - » 0 ' A A : / Aj - * 0 A*

implica que cuando A x está próximo a cero ( en menos de 5 unidades ) entonces / ’(x) está
próximo al cociente incremental de £ unidades, lu e g o , si designamos por £ la diferencia entre

—— y / ’( * ).ten em o sq u e Ay (2)
** - ¿ = / ’(*) + £ , A x * 0

y si multiplicamos am bos extremos de la ecuación (2 )porA x obtenemos

Ay = f (jc) • A r + EAx (3)

En consecuencia, si A jc se aproxim a a c e ro , £ tiende a cero y e A a también se aproxima a cero.
Es decir

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50» Capítulo 4; luí derivada

Ay = f ( x ) • Ax , A ^ 0 (4)

o bien: Ay = d y , ¿7x9*0

En qué sentido la diferencial dy es una buena estimación para el incremento Ay ? Formalicemos

este resultado en el siguiente teorema.

TEO R EM A 4.21 : El tamaño relativo de dy y Ay

Sea / una función derivable en un número x y supongamos que f'(x) * 0 . Si d x = A x .
entonces:

iéi) = l
A í - » ooA\ d yv /

Demostración Consideremos el cociente

Ay _ Ay /i Ay£ \ / J \
\A x )\f'(x ))
dy f(x)»dx

Puesto que f'{x) 9*0, la división está perm itida. Luego

¿ u - » o ' d y I a * -» o v Ax f \ f (x) I ' / (*)
lim ( A > ) = :

aa -»o ' dy >

(4 .1 7 .1 ) PROPAGACIÓN DE ERRORES

Muchos profesionales tienden a usar con amplia libertad la aproximación de Ay
por d y . Tal ocurre por ejemplo en la estimación de errores propagadas por los sistemas de
medición físicos. A sí, supongamos que / es una función de una variable x ;la cual es objeto de
medición y hay un error Ax en la medida del valor d e x , es d ecir, la función puede tener el valor
exacto / ( x + Ax) en lugar del valor m e d id o /(x ). El error de la función A/ = /( x + Ax) - f ( x ) se
llama errorpropagado.

fcjTtx <Jc medida

f ( x 4 "¿ O - /O ) = A/ (45)

V a lo r exacto Valor medido Error

propagado

A/ / ( x + A x ) - /( x )
El error relativo es sim plem ente : e t = - j - = -------- j ----------

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Sección 4.17 : Diferenciales 509

Sin em bargo, en cálculos de estimaciones es conveniente utilizar la aproximación para el error
relativo.

d ¿ f ’( x ) . d x (46)
f" m

y e\ error p orcentual e s : e = e f x 100

E JE M P L O 2 j La medida del radio de una esfera es de 6 cm ., con un margen de error de
0.02 cm. Estimar el error propagado al calcular a) su volumen y b) su

á re a . c) Hallar los errores porcentuales en a) y b).

Solución a) El volumen de la esfera es : V = -^ 7 tr 3 .donde r = 6 ni y

- 0.002 < Ar < 0.02 , es el margen del error posible.
Estimación del error p ropagado: d \ = AV r=> d V = 4 n r 2d r

cz? d V = 4 jt(6 )3 (± 0.02) = + 2 .8 8 cm3
b) Area de la esfera : A = 4rcr2 o d A - 8 n r • dr

■=? d A = 8 n ( 6 ) (± 0.02) = ± 0.967tcm 3
c) Que tan grande o pequeño es la estimación del error propagado lo determ inam os, en ambos

caso s, por el error relativo .
iE- n a )^ : , r = —d \ = 4 n r 2d r = 3n(( —d r )\ = n3 (l--±---0g.—02 \) = * 0„.01

e p = 1 0 0 er n=> e p = 1%

En b) • « , = # = =2Í— ) = 2( ) = ± 0^2
V 4nr- Vr / \ 6/ 3

e p = 100«r c=$ e p = 2 / 3 %

[’ EJEMPLO 3 ^ El período de un péndulo viene dado p o rT = 2jWL/g , donde L es la

longitud del péndulo en pies, g la aceleración de la gravedad y T el tiempo
en segundos. Si el péndulo se somete a calentamiento de modo tal que su longitud aumenta en
1/2 por 100.
a) Hallar el cambio porcentual aproximado del período.
b) Usando la parte (a) hallar el error aproximado del reloj de péndulo en un d ía .

Solución Error porcentual en la longituddel péndulo : = 100 ( ^ ~ ) ~ \ ^

de donde se tiene: = —í—
L 200

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510 Capitulo 4: La derivada

Si T = ( ) VL e=* d T = f -^= -) ( ) , es la estimación en el cambio del pe-
ríodo. I J\ 2 y}LJ

=>dT T ( ^ ,) =

a) Cam bio porcentual aproximado del p e río d o : ep = ( ’ j " ) * 100
de donde obtenemos : e p = 1/4 %

b) El error relativo en (a) e s: ~ ^ ^ dT = (-^ q )

Entonces para T = 24 horas = 24 x 3600 seg. se tiene :

(24) (3,600)

"T " 400 = 2 ' 6seg-

( EJEMPLO 4 ] La altura de un cono circular es el doble del radio de la base . AI medir se

encontró que la altura es de I2 p u lg ., con un posible error de 0.005 pulg.
Hallar el error aproximado en el volumen calculado del cono .Cuál es el error porcentual en el
volumen ?

Solución El volumen del cono es : V = y r2h

C o m o r = - j =* V(h) = ( - j y j h 3 , lu eg o : V ’(h) = ( ^ ) h2

El error aproxim ado es : d V = V ’(h )-¿ /h = ( ^ ) b r ' d h

Para h = 12 y d h = 0.005 , se tie n e : d \ = ( ^ ) (I2 )2 (0.005) = 0 .l8 jtp u lg 3

cE,l error re,ía,,vo es : * = —d \ = ( ^ 4 ) h2d h = 3 (/ —d h )\

Obsérvese que el error relativo en el volumen es tres veces el error relativo en la medida de la
altura. Por lo q u e ;

,r = 3 ( ^ ) = 0. 00125 ■=> ep = 0 125%

( E J E M P L Q 5 J a) Demostrar la fórmula de aproximación

!& T a¿ s ^ + n Yjc"' 1 , n e Z+

para valores IA x I pequeños en comparación con jc

b) Aplicando la fórmula de (a) aproxim ar el valor de VTo

Solución a) Sea la función : y = f(x) = ^ f ’(jc) = - nJ — (1)
n S x tti

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Sección 4.17 : Diferenciales 511

Como f ( x + A x ) - f ( x ) = A> t=> f ( x + A x ) = y + Ay (2)

Además , según la ecuación (4 ): A y = d y e=> Ay = / ’(*) • d x
Ahora sumando y a cada miembro de esta ecuación se tiene

y +Ay = y + f'(x)>dx

Según las ecuaciones (1) y (2) : f(x + A x) = y + ( — nJ — ) Aje
tyx + A x = Vx + Ax
n AÍx"'1

b) Para n = 3 : >/x + Ax = \Gc"+

3 vx2

L u e g o : >Í70 = >/64 + 6 = ^ 6 4 + —, = 4 + ~ =4.125 ■

3 V(64)3 16

Con una calculadora vemos que con tres cifras decimales \^70 = 4.121 , de modo que la
estimación obtenida mediante la fórmula de aproximación no está lejos.

EJEMPLO 6 J Una caja de metal en la forma de un cubo va a tener un volumen interior de

6 4 pulg3 . Los 6 lados se van a hacer de metal de 1/4 pulg. de esp eso r. Si
el costo del metal que se va a usares de 8 soles/pulg\ usar diferenciales para encontrar el costo
aproximado del metal que se va a usar en la manufactura de la caja.

Solución Sean : V, = volumen interior = x3
V2 = volumen exterior = (x + dx)3

Volumen total de material empleado : d V = V2- V,
<=> d \ = (.x + d x f - x 5 = 3xI d x + 3 x (d x )2 + ( dx) i

Como V, = 64 O i 5 = 6 4 o x = 4 y
d x = 2 e ^ d x = 1/2

L ueg o , d V = 3 (4 )z( 1/2) + 3 (4 )(l/2 )3 + (1/2)3

- M + 3 + lffl- Pulg!

Por ta n to , el costo aproximado es C - ( ■Qr- ) x 8 = 217 soles. ■

(4.17.2) APROXIM ACIÓN LIN EA L

En la Sección 4 . 17 , al hablar de diferenciales para una función y = / ( x ) , deriva-
bleen un punto x0e D o m (/), usamos la recta tangente en el punto x((para aproxim arla gráfica

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512 Capitulo 4: La derivada

de /c e r c a del punto (x0, f ( x 0)) y logramos determinar que d y es una buena estimación para Ay ,

es decir: Ay = f ( x ) • Ax (4)

o bien Ay = dy

Como se muestra en la Figura 4.46 t dy es el cambio en
la altura de un punto P que se mueve a lo largo de la
tangente , en lugar de hacerlo a lo largo de la curva
y = / ( x ) . Imaginemos que xuestá fijo , entonces la ecua­
ción (4) muestra que la diferencial d y e s una función
lineal del incremento Ax (dy = / ( x + Ax)) . Por esta
razón d y se llama aproximación lineal al verdadero in­
cremento Ay . Podemos aproximarnos a f(x 0+ Ax) es­
cribiendo d y en lugar de Ay , esto es , si

= / ( x ü + A x) - / ( x 0) ■=> /( x ü+ A x ) = f ( x t) + A y

= f(Xt) + dy
Puesto que y = /( x 0) y d y = / ’(•*„)• Ax , esto da la fórm ula de aproximación lin e a l:

/ ( r # + A x ) s f ( x a) + / ’( x 0) ■ Áx (47)

E J E M P L O 7 j Usando diferenciales, calcularel valor aproximado de V37.5

Solució n El objetivo es estim ar/(x ) = V3 cuandox = 37.5 . Aquí /(3 6 ) es co n o cid o , lo m is­

mo q u e / ’(3 6 ), esto e s /( 3 6 ) = \ í36 = 6 y si /(x ) = Vx «=> /*(x) = — ^-= ,
2 \x

luego, / ’(36) = — = ~L

2V36 12

Dado que 37.5 = 3 6 + 1 .5 , se sigue que , Ax = 1.5

Por lo tan to , haciendo uso de la fórmula (47) tendremos :

V3X5 = /( 3 6 + 1.5) = / ( 3 6 ) + / ’(3 6 )-(l.5 )

Nota El método del Ejemplo 7 refleja el siguiente procedimiento general

PARA ESTIMAR f ( b )

1. Hallar un númerox0cercano al valor de& , de modo tal que sea fácil calcular/(x,,) y / ’(xj})

2. H allarA x = b - xü , b (A xpu ed eserp o sitiv o o n eg ativ o )

3. C alcular f ( x {) + Jp (xu) • Ax -i que e s la estimación f(b)

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Sección 4.17 : Diferenciales 513
(I)
[E J E M P L O 8 j Usando diferenciales estimar ^0.00098

Solución ^ 0 0 0 0 9 8 = ^980 x l0 ‘h = 1CT1 • ^980

Ahora el objetivo es estimar f{x) = 'fx en el dato x = 980
1. Un número cercano a b = 980 es xn = 1000

L uego, si ^ <=> /(1 0 0 0 ) = I f ñ m = 10

y si / ’(*„) = ,!— <=> f ’( 100ü) = — ,7 } • = ——
ü3 3 ^(ÍOOO)1 300

2. Ax = b - x 0 = 9 8 0 - 1000 = -2 0
3. Por la fórmula de aproximación lin eal: /( x 0+ A x ) = /(x u) + / ’(*0) 'A x

>/98Ó = >/100Ó0 - 20 = /(1 0 0 0 ) + / ’(1000) . (-20) s l O - ^ r S 9 .9 3
jüü

Luego en (1) : fo.00098 s 10'2 ( 9 .9 3 ) = 0 .0 9 9 3

E J E M P L O 9 ) Aproximar el valorde SCS.OOO^ + íS.OOl)3 - 48
V8.001

Solución Aquí se trata de estim ar la función f ( x ) = 3x*13+ x3 - -57=- para x 8.001
\x

1. Un número cercano a b = 8.001 es x0 = 8

E ntonces: f ( x u) = /( 8 ) = 3(8)4n + (8)3- =3(16) + 512 - 24 = 536

y s i / ’C g = 4Xpl/3+ 3x03 - 16¡x™ => / ’(«) = 4(2) + 3(8)2 - 16/24 = 199

2. Ax = b - x 0 - 8.001 - 8 = 0.001
3. Haciendo uso de la fórmula (47), se tien e:

/(8 .0 0 I) = /(8 +0.001) = /(8 ) + / ’(8) *(0.001) = 536+ 199(0.001)
/ . /(8 .0 0 I) s 536.199

-— ------------------------------------------------------------------------------------ jP T ñZ "

EJEMPLO 10 J Usando diferenciales aproximar el valor de A/ -,'nn

m--?«-<fs- V 2.88

Estimaremos la función / ( x ) = ' > íx para x = ~ = I+
l. Un número cercano a b = 17 /i 6 es x(|= ] , luego , si

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514 Capítulo 4: La derivada

/ U u) = ^ *=* / (> ) = * > y si / ’ U J = J — ; *=> f O ) = j
5 \x H

2. Ax = b - x a = 17/16- I = 1/16

3. Por la formula de aproximación lineal (47) se tiene

4 % = f { ' + 15) “ « ' M l k H l k h ' + l y H i k ) 3 10125 ■

(EJEM PLO 1 1 ) Usando diferenciales estimar Sen 60° l ’

Solución El objetivo es estimar la función/ ( j c ) = Sen x para

* = 6 (n ' = f + (e ff) ( w ) = f + T o l » radianes

1. Un núm ero cercano a b = y + [q^qq es x(l =

De modo que si / ( x (l) = Sen ^ f ( n l 3) = Sen (tc/3) = V3/2

/ ’(*„) = C o sx u ^ / ’(n/3) = Cos ( tc/ 3 ) = I/2

2. A x = b - xu ^ Ax = ^

3. Ahora , aplicando la fórmula de aproximación lineal se tiene : )
S e n 6 0 r r = / ( f + 1 5 § 5¡r) S f ( f ) + f ( f ) ■ ( ^

3 # + ( i K i o l ó ó ) 3 0-866025+a000' 45

S e n 60° I’ = 0 .8 6 6 170 ■

EJEM PLO 12J Usando diferenciales, hallar el valor aproximado de are Gos(0.85)

Solución El objetivo es estim ar la función /(x ) = are Cos x para x = 0.85
I. Un núm ero cercano a b = 0.85 es x0 = V 3/2 = 0.866 , de modo que si

/( x n) = are Cos x(l <=> / ( V J / 2 ) = are Cos (V3 / 2) = n /6

= -2
f i x '> = ■ v t = ? ~ f ^ l2) = - v. .f = 3/4
2. Ax = fe-x„ Ax = 0 .85-0.866 = -0.016
3. Aplicamos la fórmula de aproximación lineal y obtenem os:
/(0.85) = /(0.866 - 0.016) = n /!6 + (-2) (0.016)
■=* /(0 .8 5 ) = are Cos (0.85) ~ 0.5236 + 0.032 = 0.5556

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Sección 4.17 : Diferenciales SIS

(4 .1 7 .3 ) PROPIEDADES DE LAS D IFER EN CIA LES

Podemos usar la definición de diferenciales para reexpresar cada una de las reglas
de derivación enform a diferencia!. Por ejem plo, si u = f(x) y v = g(jr), por la definición de
diferencial, tenemos : d u = u ' d x y d x = v'dx . Entonces podemos escribir la forma diferen­

cial de la regla del producto como sigue : d(uv) = (ux)dx (Diferencial de uv)

= (uv’ + vu ')d x (Regla del producto)
= ux'dx + xu'dx
= u • d x + v •rfu

De manera similar se obtienen las formas diferenciales de las reglas de derivación estudiadas has
ahora.

FORMULAS DIFERENCIALES GENERALES

Para u y v , funciones derivables de x , se tienen :

a) Diferenciales de funciones algebraicas.

Regla de la constante: d(c) = 0

Regla del múltiplo constante: d(c u) = c - d u

Regla de la suma o diferencia: d{ u ± v) = du ± d x

Regla del producto: d (u v) = u ‘d x + v -du

Regla del cociente : d (±

Regla de la potencia : d(x") = n x n 'dx

b) Diferenciales de funciones trigonométricas

d(Senx) = Cosx’dx d ( C o tg x ) = - Cosec2* ' d x

d(Cosx) = -S e n x'd x d(Secx) = SecxTgx*dx

¿ ( T g jc) = Sec2X ' d x d{Cosecx) = - Cosecx Cotgx - dx

c) Diferenciales de funciones compuestas

Si y = / ( u) y u = g(x) siendo g(x) derivable d e x ny /d e r iv a b le en u = g(*u) y si

y = f ° g . entonces

dy = / ’ tg(*)] ’ g'(x)dx

» < i i ■. ■ i i i— \

EJEMPLO 1 3 j Hallar ladiferencial para cada uno de las funciones dadas

a) y = x ^ a 2 - x 2 b) x J + 6 x y 2+ 2 y 3= 10 c) Sen(* - y) = Cos (jc + y)

Solución a) y = jcV a2 - xr — V a2x 2 -X a t=$ d y - (Va2* 2 - jc4 ) d x

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516 Capítulo 4: La deri\>ada

2 V a 2x 2 - x * 2xVa2-x 2 Va2-

b) d { x 3) + 6d ( x y 2) + 2 d ( y i ) = ¿ (1 0 ) t=$ 3 x 2d x + 6 ( 2 x y d y + y 2d x ) + 6 y 2d y = O

«=» (3x2 + 6y 2) d x + ( I2x> + ó r W y = O e ¿ , = - ( ^ y ++ 2 y 2 ) dX

c) ¿ [S e n (x -y )] = í/[C o s(x + y)] •=> C o s(x -> ) • d ( x - y ) - - S e n (x + y) ♦ ¿ ( x + y)
c=$ Cos(x - y) • ( dx - d y ) = - Sen(x + y) • ( dx + d y )

_ Cos(x - y) + Sen(x + y)
^ ^ Cos(x - y) - Sen(x + y) X

E JE M P L O 1 4 ) Si d ( ) = f(x )d x , hallar/(-2)

Solución Sea u = x^2 + ^2 <=> d u = u'd x (Definición de diferencial)

Luego,si /(x) = u’ ^ f(x) = 2 ) ( 2 x ) - (x2+ 2)(2x) _ 8jc
(x2 - 2 f (x-’ - 2 ) 2

‘ /(-2) = - ?I. - 4
’* t{ } ( 4 - 2)2

[E J E M P L O 1 5 ) E x p resarIadiferenc¡aIdelafuncióncom puestas = Cos2z , z = - I),
en términos de la variable independiente t y su diferencial.

Solución Según la regla de la cadena: d s = ( ) ( ~ r ) d t
dz l * di

d s = (-2 Cos z Sen z) ( ) z/t = - S e n 2 z [ ) d t

(4,17-4) D IFER EN CIALES DE ORDEN SUPERIOR

Sga la función y = f(x) derivable sobre un intervalo I . Sabemos que su diferencial

dy = f(x) . dx (!)

que se llama su primera diferencial , depende de dos variables , x y dx. Sea /*(x) a su vez

derivable en cierto puntoXjjE I . Entonces la diferencial en este punto de la función d y analiza­

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Sección 4.17 : Diferencióles 517

da como una función sólo de x (es d e c ir, para cierto d x constante d ado), tiene la forma

d(dy) = d l f ( x ) . d x ] \ x^ (2 )

A hora, si aplicamos la definición de diferencial en el segundo miembro de (2) obtenemos :

< F y = [ f ' { x ) . d x ] ' \ x = J ( ¡ ¡ d x = [ f ’ ( x ¡) d x ] d x

¿ 2y = f " ( x ) ( d x ? = f ’M - d x 2

Definición 4.16 : SEGUNDA DIFERENCIAL

El valor de la diferencial d ( d y ) , es d ecir, la diferencial de la primera diferencial en cierto

punto *0, se llam a segunda diferencial d e la función / en este punto v se denota p o r d 7y .,

esto es

dlv = - d#

Observemos que en virtud de esta definición d 2x = 0 ya que en el cálculo de las diferenciales
consideramos el incremento Ajc = d x constante. De forma análoga, en el caso cuando la deriva­
da de (n - l) - ésim o o rd e n y (n' 0 es derivable en el punto jr0 , o lo q u e es equivalente , cuando
para x = x (]existe la derivada de n-ésimo orden y<n), se define la diferencial de tt-ésim o orden
d"y de la función y = f ( x ) en el punto jr()como la diferencial de la diferencial d e (n - 1) -ésim o
orden d ”•1, esto es

d ny = d { d a' , y) (48)

Mostraremos que es válida la fórmula
d Dy = y ' " d x n . n e Z+

Su demostración la realizamos por inducción . Para n » 1 y n = 2 está demostrada Sea esta
fórmula válida para las diferenciales de orden n - I

d ” ' 1y = y <fl' f) d x 0‘ 1

Entonces, según (48), para el cálculo de la diferencial d ay es necesario calcular inicialmente la
diferencial d ° ' ly :

d { d n 'y) = d[ y - W - 1]

= [ (D ef.dediferencial)

1 = [ y Md x n' x ] d x ( d xa ' 1es constante)

por consiguiente : d ("'y = y ln) d x a

De aquí se deduce que : y(*) = d°-v
d-xD'■

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518 Capitulo 4: La derivada

( 4 .1 7 ,5 ) PROPIEDADES DE LAS DIFERENCIALES DE ORDEN SUPERIOR

D . l : ¿ " ( y , + y , ) = d"y i + d ay 2

D .2 : d n( c y ) = c • d"y , c es una constante
D .3 :
n

d \ y r y 2) = ( ¡J ) d y ”-* ■d y k

k=0

= ( d y l + d y 2) ' "

donde la expresión ( d y } + d y 2),n1se escribe según la fórmula de Newton , es d e c ir, es una su-

n

m ad el tipo : ^ ( ^ ) d" y:y l . d ky 2
k=Ü

Además , para cualquier función u se considera : d °u = u i0,d x l0) = u

[E J E M P L O 1 6 ) Hallar d ny para la función >’ =
(2- 3x)2

Solución Hallem os las derivadas sucesivas de y = (2 - 3jc)'2
y ’ = - 2 ( 2 - 3 x ) í (-3 ) = 2(2 - 3*)‘3(3)
y ” = 2 ( - 3 ) ( 2 - 3 x ) \ - 3 ) ( 3 ) = 2 .3 ( 2 - 3 x ) * 4(3Jz
v’" = 2 . 3 . (-4) (2 - 3xJ'3(3 )2(-3) = 2 .3 . 4 (2 - 3*) 5(3)3

Analizando cada una de las derivadas sucesivas, concluimos que
(n + 1)! 3"

y (n) = (n + 1)! (2 - 3 x )'(n*2,( 3 ) n =
(2 - 3x)n+2

(n + 11 13 n
L u e g o , si d ny = y w d x a => d ny = — ■ , d x "

- j X)

[E JE M P L O 1 7 J Sea la función y = 3 Sen (2* + 3 ), hallar d"y

Solución Las derivadas sucesivas de la función so n :

y’ = 3'Cos(2* + 3 )(2 ) = 3 . 2 Sen [ ( 2 x + 3) + tc/2 1

y " = - 3 .2 Sen (2*+ 3) (2) = 3 .2 1 Sen [ (2x + 3) + 2(n/2) ]

y’” = - 3 . 2 2C os (2x + 3) (2) = 3 . 2a Sen [ (2x + 3) + 3(n/ 2) ]
y '41 = 3 . 23 Sen (2x + 3) (2) = 3 . 24 Sen [ (2x+ 3) + 4(7t/2) ]
c=> y<n» = 3 . 2n Sen [ ( 2x + 3) + n(7t/2) ]
L u eg o , si d Dy = y (n)d x n => d ILy = 3 .2 ° Sen [ ( 2 x + 3 ) + n(n/2) ] dx°

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EJERCICIOS Crvpo 39 519

E JE R C IC IO S . Grupo 39

❖ En los ejercicios I al 10 , hallar A y = d y para los valores dados

1- /(* ) - x * - 2 x - 3 , x = - l , A x = -0.02 2. / ( x) = l/x , J t = 2 , A x - 0.05

3. f ( x ) = j? + 3 x * - 6 x - 3 , x = 2 , A x =0.01 4. f ( x ) = yrx , x = \ , A x = -O.Ól

5. f ( x ) = x 3 - 2 x 2 + 3 x + 4 , x = 1 , A x = 0.02 6. /(* ) = 2 ^ - 5 , x = 2 , A x = 0.01

7- f ( x ) = 8 0 * - 16*3 , x - 4 , A x = -0.2 8. /(* ) = x - - 3 x , jc = -1 , A x = 0.02
9- f ( x ) = jc3 + 1 , x ~ 1 , A x = - 0-5 10. f ( x ) = l/x2 , x = 2 , A x = 0.01

11. Se encontrará con un posible error de 0.01 pulg. que la medida de la arista de un cubo es 15
pulg. Usando diferenciales , encontrar el error aproximado al calcular con esta medida : a)
el volum en, b) ei área de una de las caras.

12. Un tanque cilindrico abierto tiene una capa exterior de1/8 pulg. deespesor . Si el radio
interior es de 6 pulg. y la altura de 10 pulg. ,hallar ,usandodiferenciales, lacantidad
aproximada de pintura que se necesita.

13. Un contratista está de acuerdo en pintar ambos lados de 1000 rótulos circulares cada uno de
radio 3 pies . Al recibirlos rótulos .s e descubre que el radioes 1/2 pulg. más g ran d e . Usar
diferenciales para encontrar el aumento , en porcentaje , aproximado de pintura que se
necesita.

14. Cuánto varía el área S de un sector circular de radio r = 100 cm. y ángulo central 0 = 60°
cuando : a) re s incrementadaen 1c m .b ) Gdecrece 0.5°. Dar una solución exacta y una
solución aproximada basada en diferenciales.

15. Demostrar que si se com ete un error al m edir el diámetro de una esfera el error relativo del
volumen de la esfera es tres veces el error relativo del radio.

16. La medida del radio de un cono recto circular es 4/3 de la medida de la altura . Qué tan
exacta se debe medir la altura para que el error en el volumen calculado no exceda el 3% ?

17. Demostrar por m edio de diferenciales q u e . aproximadamente
I _ J_ d x

x + dx ~ x x1
(Sugerencia: S e a / ( x ) = l/x y seguir el procedimiento del Ejemplo 5)

18. Sea f ( x ) = x™*', m n e Z+ . M ediante diferenciales se sabe que el error porcentual en el
cálculo de f( x ) es aproximadamente igual a 0.6% cuando el error porcentual d e * e s 1 % .
Calcular m y n sabiendo que suman 8

19. Se requiere hacer un recipiente en form a de cubo con un volumen de 1000 cm3 usando 6
cuadrados iguales de un material que cuesta 2 soles/cm2. Con qué exactitud se debe hacer
el lado de cada cuadrado para el costo total del material sea correcto con una tolerancia de
50 soles?
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520 Capítulo 4: La derivada

20. El tiem po de una oscilación de un péndulo cualquiera está dado por la form ula g t2 = 7t2L,
en donde i está medido en segundos , g = 9.81 m /seg-, y L , longitud del péndulo , está
medida en m etros. H allar, a) la longitud de un péndulo que oscila una vez por segundo,
b) el cambio de t si el péndulo anterior es alargado 0.01 m , c) cuánto se adelantará o se
atrasará en un día un reloj que tenga un error semejante ?

21. El valor de g se puede encontrar midiendo el tiem po d e oscilación d e un p én d u lo . H állese
el error relativo en g debido a un error relativo de I% en el tiempo de oscilación del
pén d u lo , ( g t2 = 7t2L )

22. El valor de g se calcula midiendo las oscilaciones de un péndulo cuya longitud fue medida
como 2.237 m con un error de 0.0015 m . El tiempo de cada oscilación , que se supuso
ex acto , fue de 1.5 seg. Hallar el valor de g , el mayor error posible en este valor, y el mayor
porcentaje de error posible (Véase el problema 21)

23. El punto de ebullición del agua a una altura H metros sobre el nivel del mar se obtiene
mediante la fórmula H = 283.6 (100° - T) - (100° - T)- en donde T es la temperatura de
ebullición en grados centígrados. Hállese el error en el valor calculado de H , si el error en
el valor medido de T es 0.5 cuando T vale 94°

24. Se m ide el diám etro de una esfera y con el resultado se c a lc u la d valor de su volum en. Si
el m áximo error posible al m edir el diám etro es 0.02 cm. y el error máximo aceptable al
calcular el volumen es de cm1, cuál es el diámetro aproximado de la esfera más grande a la
que se puede api icar estas condiciones.

25. La altura de un cilindro circular recto es lO c m ; si el radio de la base cambia de 2 a 2.06 cm.
calcular el cam bio aproxim ado correspondiente en el volumen del cilindro . Cuál es el
porcentaje de cambio en el volumen ?

26. El período de oscilación del péndulo (n s e g .) se determina por la fórmula g t 3 = 4 n 2L ,
donde L e s la longitud del péndulo en cm y g = 9.81 cm/seg2es la aceleración de la fuerza
de gravedad . Cuanto se debe alargar la longitud de un péndulo de L = 20 cm , para que el
períodoT aumente 0.05 seg.

27. En un rector c irc u la r. R = 100 cm. y el ángulo central a = 60“ . Cuánto variará el área de
este recto r, s i : a) se aumenta 1 cm. su radio R , b) se disminuye 30° el ángulo a .

28. Para medir la aceleración de la fuerza de gravedad mediante las oscilaciones de un péndulo
se utiliza la fórm ula g t 2 = 4 r t2L , donde L e s la longitud del péndulo y T es el período total
de las oscilaciones del m ism o . Com o influiré en el valor de g el error relativo e Tal m e d ir:
a) la longitud L , b) el período T.

29. Si T segundos es el tiempo para una oscilación del péndulo de longitud pies , entonces
4 ji2L = g t 2 donde g = 32.2 . U n reloj que tiene un péndulo de longitud L = I pie se
adelanta 5 minutos c a d a d ía . Cuanto debe alargarse el péndulo para corregir el error?

30. Estimar usando diferenciales; para que valores de x

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E JER C IC IO S . C ru/M ¿V 521

a) Vx + 1 - Vx < 0.01 b) VxTT - Vx < 0. 02

(Sugerencia: a) S e a /(x ) = Vx <=> A / < 0.01 y c o m o A / = / ’(x) r/x , entonces de aquí

1/2 < Vx < 0.01)

31. Demostrar la fórmula de aproximación : V a^ + x = a + x /2 a , o > 0 d o n d e lx l < a .

Aplicando esta fó rm u la, calcular aproximadamente a) V5 , b) V 3 Í . c) Vi 20 .
Compararlos con los datos de una tabla.

32. Demostrar la fórmula de aproximación : Va" + x s s + — - — , f l > 0 , donde |x | < a.
nfl” ’1

Aplicando esta fórm ula, calcular aproximadamente

a) V9 b) V80 c) f Í 0 Ó d) 'V i000

❖ En los ejercicios 33 al 3 8 , usando diferenciales, calcular el valor aproximado de f ( x ) en el
punto xu indicado.

33. / ( x ) = x3 - 3x* + 2x - 5 , xn = 2.005 34. /(x ) = x2V3 - 2x . x0 = -2.998

35- /( x ) = . x„ = 2.988 36. /(x) = . x(l = 0.1

37' f(x) = X ' x ^ 2x 3 ’ = 2,964 3S- f M = = 197

❖ En los ejercicios 39 al 5 4 , usando diferenciales, hallare! valor aproximado de cada una de
las cantidades dadas

39. V25Ó 40. V0.0024 41. ^282 42. W ñ

43. VJT 44. V4 45. V28 + V255 46. VaÓ42

47- V W 4s- í j f 49- ^ sa V S j

51. S íO ^ ? )* + 5(0.997)5-1- 7(0.997)3- 9 52. (8.02)*3+ \ (8.02)2- 2 4 (8 .0 2 ),/3

„ A / 3( 1.92)3- (1.92)2+ 5 ^ i 7 + (3.03)2 ^
' (1.92)2- 1.08 \ 7 - (3.03)- )

•> Dados Sen 60° = 0 .8 6 6 0 3 , Cos 60° = 0 .5 , Tg 45“ = 1 y 1° = 0.01745 radianes , calcular ,
usando diferenciales, el valor de cada una de las siguientes funciones

55. Sen 62° 56. Cos 61° 57. Sen 59°

58. Cos 58° 59. Sen 29° 60. Cos 59°

61. Tg44" 62. T g 4 5 ° 3 ’20” 63. Sen 60° 18’

64. Cos 151° 65. T g 4 4 w30’ 66. Sen 60° 3’

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522 Capítulo 4: La derivada

<* En los ejercicios 67 al 7 0 , usar diferenciales para estim ar el valor de las funciones dadas.

67. arcSen(0.54) 68. are Tg( 1.02)

69. are Tg(0.97) 70. arc Sen(0.4983)

71. Si / ’(*) = e y= ) . hallar dy

72. S i/ ( u ) = u2 +5u+ 5 y g(x) = “ "y •hallar d ( / o g)

73. Si í/ ( a/ Jjc - 4 1- j t ) = g(jt). d x ,hallar g(3)

74. Si d ( j +Q ^ $ 2 x ) = h W *d x . hallar el valor de h (rt/4 )

❖ En los ejercicios 75 al 83 , calcular la diferencial que se indica

75. y> = Ax - 1 .’ diy 76. >• = x %, d5y 77. y =

\x

78. y = j:C os2jt , d'*y 79. y = 1 -X , tl»y 80. y = !+•*■ d tiH)v

>¡T^x

81. ax +b ,' d“ "v1 82. y = . , d"\ 83. JV = i '^ *
ex +d J jc( I -x ) J ^ [ -2x

i

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CAPITULO

APLICACIONES
DE LA DERIVADA

(Ü Q INTRODUCCION

En el Capítulo 4 aprendimos a derivar una gran variedad de funciones algebraicas y
trascendentes, y vimos también que dichas derivadas tienen diversas aplicaciones tales como
razones . velocidad, aceleración , razones o tasas relacionadas y diferenciales.

En el presente capitulo se aplica la derivada a la determinación del comportamiento
de una función en un intervalo, al cálculo de los valores del máximo y del mínimo y al problema
del trazado de su gráfica; son los problemas fundamentales que aquí consideram os. Empece­
mos con los máximos y mínimos de una función en una vecindad o intervalo.

í572) MAXIMOS Y MINIMOS

D e fin ició n 5.1 : NOCION DE EXTREMOS
Sea / una función, definida en un intervalo I que contiene al punto c
i) f(c) es el m ínim o absoluto de / en I si f(c) < / ( x) . t t e l
ii) f( c ) es el m á xim o absoluto ue / en l si f( c) > f ( x ) . >a)ce I
F,l m ínimo y el máximo absolutos de una función en un intervalo se llama valores extremos
o extremos de la función en ese intervalo.

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524 Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada
OBSERVACION 5.1 En ocasiones puede suceder que una función pueda no tener mínimo ni

.máximo absolutos en un intervalo . o también carecer de ambos . La
Figura 5.1 m uestra algunas posibilidades . Comparando las gráficas de (a) y (b) vem os que se
pierde un m áximo absoluto al cam biare! intervalo cerrado [-1 ,4 ] por el abierto {-1,4 ) y en (c)
vemos que una discontinuidad en x = ! afectalaexistenciadeextrem os en el intervalo abierto
(-1 ,4 ). Esto sugiere el siguiente teorema que identifica condiciones que garantizan la existen­
cia de extremos pero no dice como calcularlos.

T E O R E M A 5.1 : E l te o re m a d el v a lo r e x tre m o
Si / es una función continua en un intervalo cerrado entonces / tiene máximosy mínimos en
dicho intervalo.

En la Figura 5.1(a) se observa que los extremos puede ocurrir en los puntos interiores
(mínimo) o terminales de un intervalo (m áxim o). Estos últimos se llaman extremos terminales y
los prim eros, extremos relativos.

D e fin ició n 5 .2 : EXTREMOS RELATIVOS O LOCALES
i) Si existe un intervalo abierto I en el q u e /(c ) tiene un m áxim o, entonces/(c) se llama un

máximo relativo o local de / .
ii) Si existe un intervalo abierto I en el que /(c ) tiene un mínimo aentonces/(c) sé llama un

mínimo relativo o local de f

^ E J E M P L O I j Unapropiedadde los extremos relativos
Hallar el valor de la derivada en los extremos indicados en la Figura 5.2

para las funciones:
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Sección 5.2 : Máximos y mínimos 525
a) f ( x ) = x’ + 3x* - 2
b) f(x ) = l x - 2 l

F IG U R A 5.2

Solución a) f'(x) = 3x- + 6x = 3 x (x + 2 )
Para el punto A (-2 , 2 ) : / ’(-2) = 3(-2) (-2 + 2) = 0
y para e! punto B(0 , -2 ): /(O ) = 3(0) (0 + 2) = 0

b) E n x = 2 , la derivada de f ( x ) - \ x - 2 \ no existe pues los límites laterales

l¡m m - m = ( , . 2 ) . - o _ , |im / w - / ( 2 ) _ :(x- 2) - o _ ,

x_»2+ X - 2 x-2 x ^ 2- x-2 x-2

son distintos.
Nótese q u e , en este ejemplo los extremos relativos ocurren cuando la derivada es ceero o no
esta definida. A estos valores de x se les llama n ú m e ro s c rític o s .

Definición 5.3 : NUMERO CRITICO

Si / e s una función definida en un cierto intervalo que contiene al niíinero-c, se dice quec es
un número crítico d e / si / ( c ) = 0 o si / '( c ) no está definida.

FIG UR A 5.3

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S26 Capítulo 5: Aplicaciones Je la derívenla

El siguiente teorema nos garantiza que ios extremos relativos solo ocurren en los números
críticos.

TEOREM A 5.2 : Teorema del extremo interior (Fermat)

Sea la f u n c ió n / definida en un cierto intervalo abierto {a , b) . Si / tom a un valor
extrem o relativ o (m áxim o o m ínim o) en un punto c e (a , fe) y si / es d erivable en c ,
e n to n c e s /’(c) = 0.

Demostración Probaremos en el caso de un máximo relativo (el otro cao es similar.)

1. Sea x 2 e (a , b) \ x, > c => x2 - c > 0
2. Hagamos x2- c — h <=> x2 = c + h
3. Considerem os el cociente usado para definir

x /(c + h) - f(c)
/ ( c ) , esto e s: — -------.

h

4. C om o/(c) es el valor máximo V x e [c ,¿ )
^ /<c + h ) < / ( c ) « /(c + h ) - /( c ) < 0

5. Si dividimos entre h > 0 obtendremos
f(c + h )- f(c) £ o
h

6. Luego , cuando h —» 0 por valores p o sitiv o s, esto es , si

Un. <o « <0

h - » o+ n

7. A hora, sea x, e (a , b) | x, < c x, - c < 0

8. Haciendo x , - c = h e=s> h < 0

9. Dado que también f(c) es el valor máximo V x e (a , c ] , entonces
f ( c + h) < /(c ) <=> f ( c + h) - f (c) < 0

10. Dividiendo entre h < 0 obtenem os : f(c + h) - /(c) >0

11. L u eg o , cuando h —»0 por valores negativos, el cociente tiende a un número positivo, esto
e s , si

Un. f(C + h? ' m > 0 ~ f M > 0
h-»0' h

12. Por lo ta n to , de los pasos 6 y 11 se sigue q u e :

/ +’( c ) < 0 a / / ( c ) > 0 « f \ c ) - 0 ■

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Sección 5.2 : Máximos y mínimos 527

OBSERVACION 5.2 La recíproca del Teorema 5.2 no se cum ple, esto e s , / ’(c) = 0 no es

suficiente para im plicarque/(c)sea un extremo relativo. Por ejem­

plo , para la función f ( x ) = x ' , su drivada f ' ( x ) —3 jt se anula para jc = 0 . pero su gráfica

(Figura 5.3c) muestra que /(O) = 0 no es un extremo relativo de f ( x ) . pues para un intervalo

pequeño que contiene a jc = 0 no se produce una especie de colina ( ^ ) o una especie de valle

local Por tanto. la ecuación f'(c) = Oes una condición necesaria pero nosuficentepara

que/(c) sea un extremo relativo o local.

OBSERVACION 5.3 La existencia de la derivada en un extremo local c , implica la existen­
cia de una tangente horizontal en dicho punto, pues, como ta l, ocurre

q u e / ’(c) = 0 . (Figura 5.3b)

Nota Con lo que ya sabemos sobre extremos relativos podemos confeccionar la siguiente regla para
hallar los máximo y mínimos absolutos en un intervalo cerrado.

GUIA PARA HALLAR EXTREM OS EN UN INTERVALO CERRADO
Los extremos (máximos y mínimos absolutos) de una función continua en un intervalo ce­
rrado [ a . b] se hallan mediante
1. La evaluación inicial de / en cada punto crítico que tenga en {a , b)
2. La evaluación posterior d e / e n los puntos extrem osa y b (puntos terminales)
3. La elección entre el menor y mayor de estos valores se deduce e! mínimo y el máximo

absolutos, respectivamente.

EJEMPLO 2 J H allar los extremos de la función/(r) =x* -4a’ en el intervalo [-1 ,4]

Solución I. Hallaremos los números críticos derivando la luncion
/'(jc) = 4 t ? - I2jc2 = 4x1(* - 3 )

Si / ’(•*) = 0 ■=> jt2(.t - 3) = 0 <=> jc = 0 v j c = 3
son los únicos números críticos de / cuyos valores so n :

/(O) = 0 y /(3 ) = (3)<-4(3)’ = -27

2. E v a lu a m o s/e n los puntos terminales de [-1 ,4 ]

/( -1 ) = (-1)* - 4 ( ~ l f = 5

/(4) = (4)4 - 4(4)2 = 0

3. Con estos resultados elaboramos la Tabla 5.1 ydetem iina-

mos que c! máximo absoluto y terminal es /(-1 ) = 5 , y el

m ínim oabsolutoyrelativoes/(3) = -27. ■

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528 Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada

Punto terminal Número crítico Número crítico Punto terminal
/(-i) - 5
Máximo ti /<3)--27 II
M ínim o
3 C
4^

OBSERVACION 5.4 Nótese que el número crítico* = 0 no da máximo ni mínimo relativo,
lo cual significa que el recíproco del Teorema 5.2 no es válido.

OBSERVACION 5.5 La gráfica de la función / (Figura 5.5) se ha trazado teniendo en
cuenta la Definición 5 .1sobre máximos y m ínim os. En iasección 5.7

estudiaremos métodos más eficaces para diseñar gráficas.

f EJEMPLO 3 ) Hallar los valores extremos de la función /(* ) = I + \ x - 2 \ enel intervalo

[-1 ,4 ]

Solución Por definición de valor absoluto

Si x < -2 <=> f ( x ) = l - ( x - 2 ) = 3 - x 3 - * , si * e ( - 1 ,2 )
Si* > -2 e* /(*) = 1+ (* -2 ) = * - I
«=> /(* ) = «
* - I , si* 6 [2 ,4 ]

1. Com o / no es derivable en x —2 , éste será el único número Y.
crítico en [-1, 4 ] . L uego, para

* = 2 i=> f ( 2 ) = 2 - 1 = I

2. Evaluación de los puntos terminales de / en [-1 ,4 ] ti
/( - l) = 3 - (-1) = 4 y /(4 ) = 4 - 1= 3
i-
3. En consecuencia: i
f ( 2) = 1es un mínimo relativo y absoluto i . '.
/ ( - l ) = 4 es un máximo absoluto.
1 b: \ t

•! 6 1 * a i;

y

i F IG U R A 5.6

[E JE M P L O 4 j Hallar los valores extremos de la función

/(*) = 4 - ( * + 5)2 , s i* 6 [-6,-4] , en el intervalo [-6 ,0 ]

i
12 - (* + I)2 , si * 6 (-4 ,0 ]

[Solución] 1. D eterm inación de los números críticos

-2(* + 5) , x e [-6,4] * = -5 e [-6 ,-4 ]
'
/ ’(*) = < ; luego , si /'( * ) = 0 d
* = -I e (-4,0]
- 2 ( * + 1) , * e ( - 4 ,0 ]

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Sección 5.2 ; Máximos y mínimos 529

Ambos son números críticos de / en sus respectivos intervalos y (-5 , 4 ) , ( - 1 , 12)son los

puntos críticos. c
2. Evaluación de los puntos terminales :
‘Y

/(6 ) = 4 - C - 6 + 5 ) 2 = 3 . / ( - 4 ) = 12 - (-4 + l)2= 3 3£t*" 12

/(_4) = 4 - (-4 + 5)2= 3 , /(O) = 12- (0 + I)2 = 1 i/ S
Luego , (-6 , 3 ) , (-4 , 3) y (0 , 11) son los puntos
terminales. ir 1 .6
3. Por lo tanto: :* 1
/ ( - I ) = 12 es un máximo relativo y absoluto .3
/(-ó ) = / ( - 4) = 3 es un mínimo absoluto •6 5 -4 -3 -2
La gráfica de la función f aparece en la Figura 5.7) 0X
FIGU RA 5.7
■

E JE R C IC IO S . Grupo 40

En los ejercicios 1 ai 4 , localizar los extremos absolutos y relativos de la función (si los
hay) en el intervalo indicado.

1. f ( x ) = * - 2x a) [-12] b) (1 ,3 ] , c) <0, 2> , d) [ 1 , 3 ]

2. f ( x ) = ^ ( x - l ) 2( 4 - x ) a) ( - 1 ,5 ) b) <-1 .4 ) . c) <0,4> , d) ( 0 ,5 )

3. f ( x ) = ^ 7 a) [-2,2] b) [-2 ,0 ) , c) (-2 ,2 ) , d) [1,2)
4. f { x ) = x A- S x 1 + \ 6 a) [-4 ,0 ] b) [-1 .4 ] , c) [0 ,3 ] , d) [-3 ,2 ]

En los ejercicios 5 al 2 6 , localizar los extremos de la función dada en el intervalo cerrado
que se indica . Dibujar la gráfica de la función.

5. m = x J + 5 x - 4 , [-3 ,- 1 ] 6. /(*> = x ' + 3x2 -9 x [ - 4 ,4 ]
7. m = x3 -3 * 2 , [ - 1 , 3 ] 8. f i x ) = 3 x ^ - 2 x ; [-1 , 1]

9. m = 10. m • W.2]

11. f( x) = ( x + 1 ) 2* , [ - 2 , 1 ] 12. m l-(jr* 3 )m , [-5,4]
13. m = l * - 4 | + 1 , [ 0 . 6 ] 14. m = 14 - x2 1 , jc g IR
15. / w - .r3- 3 ^ - 9 * + 5 , [ - 2 .4 ] 16. m = 5 + | 7 - 3 x | , [1 , 5]

17. m = \ x + 11 + Ijc - 11 , [-2,2] 18. m - x + j , [1 ,4 ]

19. m = x ( 2 - x ) w , [ 1 . 3 ] 20. f( x) - 'Jx - Vx3 , [ 0 , 4 ]

21. /(* ) = 1 + I 2 l x | - 3 x 2 , [-1 ,4] 22. m = 2jc= - 8 | jcI + 3 , [-1 , 4]

23. / w = 3 - 8 U - l l - jc2 . [-1 , 5] 24. /(* ) (x + \)'n { x - 2 ) ' n , [ 0 , 4 ]

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530 Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada

2x+ x+ t , A re [-2,0)
<
25. f{x) = ►Are [-1 ,3 ]

4 + 1jc - 2 / 3 1 + 'Jx , x e [ 0 , 2]

26. /(* ) = \ x + ll , SÍAT*-I ►x e [-1 , 2]
<j 3 , SÍ AT= -1

3 - jc2 , s¡ Are (l , 2]

27. Halle los puntos críticos de la función

/W = 3 Ix - 1 I + 2a t , si jc e (0 ,2 )
V jc-] + 5at . si x e [2 , 5)

(5 .3 ) EL TEO R EM A DEL VALOR MEDIO Y SUS APLICACIO NES

El teorema del valor medio (T.V.M.) es el principal instrumento técnico del cálculo
diferencial y tiene muchas aplicaciones importantes. Geométricamente, garantiza la existencia
de una recta tangente que es paralela a una cuerda secante (Figura 5.8)
En el lenguaje de fu n cio n es, una traducción del teorema de!
valor medio es el siguiente:

Sea y = f ( x ) una función continua en [a ,b] y derivable en

(a ,b) , y sean P(a , f i a ) ) y Q ( b , f(b)) los puntos term inales de

la cuerda cuya pendiente es: . m - m F IG U R A ,5 .8
b -a

mientras que la pendiente de la tangente en un punto genérico
(a: . / ( a:)) del gráfico es : m = f ' ( x )
El Teorema del valor medio afirma que existe al menos un pun-

to e e (a ,b) tal que ; f (O = m -m

b -a

Demos primero un resultado prelim inar, un teorema que facilite la demostración del teorema del
valor medio.

TE O R E M A 5.3 : El Teorem a de Rolle

Sea / : ' [ a •,■&]—» IR una función tal que
i) / es conlinua.en eí.intervalo cerrado [a t b]
ii) f es. derivable en el intervalo abierto (a i b)

iii) Si f i a ) = f( b ) - 0 3 c e .( a ,b) \ f ( c ) = 0

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Sección 5.3 : El teorema tlel valor medio y sus aplicaciones 531

Demostración En efecto

1. P o r ser / c o n t i n u a , tiene un valor m áxim o y un valor m ínim o m en [a , b] , tales que
m < /(jc) < M

2. Supongamos que los valores máximos ocurren en los extremos a y b respectivamente .
L u e g o , por la D efinición 5.1

/( a ) = M = máximo t=> / ( a ) > f ( x ) , V x e (a , b) (a )
f(b) - m = mínimo <=> f (b) ¿ f ( x ) , V jc e (a , b)

Caso 1. Si M = m , el máximo y el mínimo coinciden, es d e c ir, s i / ( a ) = f (b) = k ,
entonces por (a)

(k > /(* )) a (k < /(* )) e* /(jc) = k , V x e (a ,b)
S ie n d o /d e riv a b le so b re(a , b ) y constante, entonces f ' ( x ) = 0 ,\/x e {a , b ) ,
y com o c e (a ,b ) => f '( c ) = 0

Caso 2. Si m * M , entonces de la condición f ( a ) = f( b) se deduce q u e , al m enos uno de
los valores m o M no ocurren en los extremos del segmento [ a , b]

3. Sea M este v alor, es decir ,s i/( * ) > k e n a lg ú n .te (a ,b) ,el teorema del valor extremo dice
que existe un punto c e (a ,b) tal que /(c ) = M , y que por lo tanto en este punto c la función
alcanza su valor m áxim o, también sobre el intervalo (a ,b).

4. Según e s to , p o rel Teorema de Fermat y sie n d o /d e riv a b le en e , s e s ig u e q u e /’fc) = 0 .
5. Podemos usar un argumento análogo para el valor m , es decir, si f ( x ) « k . Lo cual completa

la demostración de! Teorema de Rolle.

CONSECUENCIA DEL TEOREMA DE ROLLE

C oro lario 1 Si / e s continua en [ a , b) y si f ( a ) = f ( b ) , entonces / tiene un número crítico
en (a ,b )

C oro lario 2 Sea / continua en [a , b] tal que f ( a) - f( b) = k (Figura 5.9)
i) Si f ( x ) > k en algún x e (a ,b) , f tiene un máximo relativo en (fl , b) (Figuru5.IO)
ii) Si / ( jc) < k e n algúnjee (fl , b) , / tiene un mínimo relativo en (fl ,b)

OBSERVACION 5.6 El Teorema de Rolle geométricamente significa que en la gráfica de
una función continua sobre un intervalo y derivable en é l , que toma

valores idénticos en sus extrem os, existe un punto en el cual la tangente es paralela ai eje X .
(Figuras 5.9 y 5.10)

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532 Capítulo 5: Aplicaciones de la derivada

F IG U R A 5.10

OBSERVACION 5.7 S eñalarem os que todas las prem isas del Teorem a de Rol le son
esenciales y determ inantes. Por ejem plo, la función /(x ) = I* I ,

x e [-1 . I j . satisface las condiciones ( ¡) y ( i i i ) pero no satisface la condición ( i i) , ya que /
no es derivable en x - 0 e [-1 , I ] . (Figura 5.11a)
La función / ( jc) = (x + 3 ),sa tisfa c e la sc o n d ic io n e s(i) y (i i ) pero no satisface la condición
( i i i ) , p u e s / ( - I ) * / ( 3 ) . (Figura 5.1 Ib)
OBSERVACION 5.8 Si la función /(.r) satisface las condiciones del Teorema de Rolle sobre

el intervalo [a , b ] .entoncesla función F(x) = f ( x ) - f ( a ) = f ( x ) - f ( b ) ,
es igual a cero en sus extrem os y F ’(jc) = f ' { x ) , en p articular, estas derivadas se hacen igual a
cero simultáneamente. Por e sto , el Teorema de Rolle es equivalente a la afirmación : Entre dos
ceros de una función derivable se encuentra siempre al menos un cero de su derivada .
(Figura 5.1 le)

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( EJEMPLO 1 ) Verificar que las tres condiciones del Teorema de Rolle son satisfechas

por la funció n /(jt) = x 3-2 jt2- * + 2 en el intervalo [ I . 2 ] . L u e g o . hallar
el valor de c adecuado que satisfaga la conclusión del Teorema de Rolle

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Sección 5.3 : til teorema del valor medio y sus aplicaciones 533

Solución Como la fu n ció n /es polinomial .entonces es continua y derivable V .re [ ü , 6 ] ,
por lo que las condiciones ( i ) y ( i i ) son satisfechas.

Dado que / ( l ) = 1 - 2 - I + 2 = 0 y /(2 ) = 8 - 8 - 2 + 2 = 0 , l a función / también satisface
la condición (i i i) . L u e g o . si / ( I ) = /( 2 ) = 0 =* 3 c e (1 ,2 ) I f ' (c ) = 0
Derivando la función obtenemos : f ' ( x ) = 3jc-- 4 v - 1 x=> / ’(c) = 3c2- 4c - I

A hora , si f * ( c ) = 0 <=> 3c2 - 4c - I = 0 « c = (2 ± V4~+3 )

« c ,= j (2 + V7 ) v c2= )
Es fácil com probar que c, e (1 ,2 ) y quec, e (I , 2) , por lo tanto

f'(c) = 0 para c = ^ ( 2 + V 7 ) ■

E JE M P L O 2 J Para la función f ( x ) = x 3- b x l + I L v - 6 , hallar los intervalos [a ,b] en los

q u e /(a ) = f(b) = 0 y el Teorema de Rolle es aplicable

Solución 6.x2Si / ( jc) = 0 <=j. x* - + 1\ x - 6 = 0

«=* (JC - \)(x - 2)(x - 3 ) = 0 « JC, = I , * , = 2 , ^ =3

Como / es continua y derivable en toda la recta real «=> f ' ( c ) = 3c2- I2c + 11y s i / ’(c) = 0

c = ^(6±V 36-”33) = 2+ & ■

Vemos que c, = (2 + V3 /3 ) e ( l , 2) y c, = (2 - V3/3) e (2 , 3 ) , por lo tanto , en
[1 .2 ] ,/* ( c ,) = 0 y en [ 2 , 3 ] , / '( c ,) = 0

EJEMPLO 3 j Usando el Teoretnade R o lle, dem ostrar que si

f ( x ) = ( r + 3 ) ( x + 2 ) ( j c - 5 ) ( r - 6) .entonces la ecuación/ ’(.*) = 0 tiene

tres raíces reales (sin resolver dicha ecuación) s

Demostración En efecto , la función / es continua y derivable en toda la recta re a l, pues se
trata de una función polinomial. Adem ás, evaluando directamente la función

encontramos que : /(-3 ) — f( -2 ) = /(5 ) = /(6 ) = 0

L uego, las condiciones del Teorema de Rolle se satisfacen en cada uno de los intervalos
[-3 , -2 ], [-2 ,5 ] y [ 5 , 6 ] . Entonces

3 c, 6 <-3 ,-2 ) I f i e , ) = O . 3 c 2e ( - 2 , 5 ) [ f ‘(cy) = 0 y 3 c3 e (5 , 6) | f ( c j = 0

En consecuencia, la ecuación f'(x) = 0 tendrá por conjunto solución :
{c,,c2,c3}

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534 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

^ E J E M P L O ^ Probar que la función: f ( x ) - 2 x z - 5 x - 3
x+l

satisface la hipótesis del Teorema de Rolle en el intervalo [a, 6] y hallar
los números c e <a, b> que satisfacen la condición del teorema.

Solución D eterm inarem os el intervalo \a , b]
interceptando la función con los ejes

coordenados.
Si /( x ) = 0 =» 2x3- 5 x - 3 = 0 <=> x = - l/2 v x = 3

=> [a, b] = [-1/2, 3]
Con esto se cumple la condición (iii)

/ ( - 1/2) = / ( 3 ) = 0
Las condiciones (i) y (ii) también se cumplen, pues/
es continua V x e [-1/2, 3] y derivable V x e <-1/2,
3>, toda vez que x = -1 £ <-1/2, 3>.
Entonces,3 c e [-1/2,3] 1 f ' ( c ) = 0
Derivando la función obtenemos:

2 ^ -2 ^ -!)

U+l)1

Si / '(c) = 0 => c2 - 2c - 1 = 0 « - c = - l ±V T+T => C = -1 + -Jl

[E JE M P L O 5 ) Use el Teorema de Rolle para demostrar que la ecuación x5+ 2x + p = 0,

donde p es cualquier constante, no puede tener más de una raíz real.

[Vcm ostracm n | Supongam os que la función / (x) = .t3 + 2x + p tiene dos raíces

reales x, y x2 tales que x, < x2

Luego, si / ( x ,) = / ( x 2) = 0, entonces por el Teorema de Rolle, 3 c e < r,, x2> I / '( c ) = 0

Si /'( x ) = Sx2 + 2 => f ' ( c ) = 3c2 + 2

Vemos que f \ c ) s* 0, porque 3c2+ 2 > 0, V x e IR

Entonces lo supuesto que / ( x ) tiene dos raíces reales es una contradicción, por lo tanto

x2+ 2x + p = 0 no puede tener más de una raíz real, cualquiera que sea el valor de p. ■

^E JE M P L O 6 ] Si / (x) = (x - c¡yn (x - b f , donde m y n son enteras positivos y a < b

constantes en IR, entonces dem ostrar que existe c e IR tal que c divide al
intervalo [a, b] en la razón m/n.

Demostración En efecto, por ser / una función polinómica y m y n enteros positivos,
entonces es continua y derivable en toda la recta rea!, en particular lo es en

[a, b]. Además, se f { a ) = f { b ) ~ 0, entonces por el Teorema de Rolle: 3 c e <¿i, b> If ' ( c ) = 0

=> / '( x ) = ( x - a)n [n (x - b)n *] + (x - b)n [ n i (x - a ) m ']

=* f \ c ) = ( c - b y 1(c - a)'" ' 1 [n (c - a) + m (c - fe)]

L uego,si f \ c ) = 0 = > f l ( c - f l ) + m( c - f e ) = 0 o a —c m
c —b n

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Sección 5.3: E l teorema del valor medio y sus aplicaciones 535

( E JE M P LO 7 ^ Si f ( x ) , f ' ( x ) y f " { x ) son continuas en |«. b\ y si lacurva v - / ( v)
corta al eje X en tres puntos por lo menos, comprendidos entre a y /?.

demostrar con la ayuda del Teorema de Rolle que la ecuación f"{x) = 0 tiene ul menos una
raíz real entre a y b.

Demostración l. En efecto, si f corta al eje X en tres puntos por los menos en

[ a ,/j] = > 3 a „ x 2, a, e [a,h ] I /(-V,) = /(jc.) = =0

2. / es continua en [.v,. a3] c [«, b] ■
f es derivable en <a„ a3> c <a, b>

Si / ( a , ) = / ( x ¡ ) = 0 = » 3 c pe <x¡, x2> I / ’(c,) = 0
3. Análogamente, / es continua en [a>, a 3J c \a,b)

f es derivable en <*,, a,> c <u, b>
Si f ( x 2) = /(.v ,) = 0 3 c2 e < x 2, a 3> I f ' ( c 2) = 0
4. /" es continua en [c,, c>] c [a, />!
/ ' es derivable en c e ,, c2> Q <a, b>
Si /'(£.*,) =f'(c2) = 0 = > 3 c e < ch c2> I / " ( c ) = 0
Por lo tanto, / “(a) tiene una raíz real c e <a, h>

( E J E M P L O 8 ) Sean f y g dos funci ones reales d criv ah les en IR tales que
f ( x ) . g ' ( x ) - f \ x ) . g ( x ) * 0 . V x e IR

Sí para a , < x 2 se cum ple que: / ( a , ) = / ( a 2) = () y / { a ) * 0 , V x e <a,, a 2>, dem ostrar que
existe un único a e < a p, a,> tal que g(a) = 0.

Demostración 1. Supongamos que g (a) * 0, V a e <v,, t->>

2. Sea la función F ( a ) = = » F( y. ) = 1^ = 0 y F{a , ) = 2^ = 0

*U ) « (* ,) ' £<*:)

3. Por el Teorema de Rolle, 3 c e < a ¡ , a 2> I F '(c) = 0, entonces:

F , v= g ( A ) ./'( A ) - /( A ) .^ ( A ) g (r). / ( c ) - / ( c ) .g '( c )

■ [í(x)1a [g(c)]2

4. Luego, si F ' ( c ) = 0 = > g (r) . f ' ( c ) - f ( c ) . g'(c) = 0

contradice la hipótesis de que / (a) . g'(x) —/ '( a ) , g(x) * 0, V x e IR o bien, de que:

/(c).g'(c)

5. Por lo tanto, lo supuesto es el paso (I) es falso, luego £(a) = 0, y si « 6 <xu x -> ^ g u > ) = 0

Demostración de la unicidad de a

6. Supongamos que existen a 3 y a 4 e < x,, a 2> I # (a ,) = g(Aa) = 0

7. Sea la función G (a) = • tal 9ue : G(a3) = C(a4) = 0

J \ *)

8. Por el Teorem a de Rolle: 3 c e <av a 4> 1 G ’(a) = 0, Luego si

C U )- Uwr = > G le" ------------

9. Si G’(c) = 0 => f ( c ) . g \ c ) - g ( c ) , f ' ( c ) = ü, contradicela hipótesis

10. Por lo tanto, 3 ! a e < t„X2> I g ( a ) = 0

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536 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

[ e j e m p l o " ! » ! Probar que la función fíx) = Sen x + Cos x - 1 satisface la hipótesis del
Teorema de Rolle en el intervalo [0, 4tc] y hallar todos los números

c e [0, 4rc) que satisfacen la conclusión del teorema.

Solución Com o las funciones Seno y Coseno son continuas y dcrivables en todo su
dominio entonces:

i) / es continua en [0 ,4 rc]
ii) / es derivable en <0, 47U>
iii) Además, /(O ) = /f 4 ir ) = 0 => 3 c e <(), 4it> | / ’(c) = 0
Luego, si /'(.* ) = Cos x - Sen x => f ' ( c ) = Cos c - Sen c

y si f ' ( c ) = 0 => Cos c - Sen c = 0, de donde, Tg c = ] <=> c = ^ + k n , k e Z,| ■

Dado que c e < 0 ,4 7 0 => k e {0, 1 , 2 , 3 )
Por lo tanto, cada c e {jt/4, 57t/4,97t/4, I3tc/4 } satisface la conclusión del Teorema.

( EJEM PLO 1 0 ) Aplicar el Teorema de Rolle para demostrar que la ecuación x ' + Ax - 3 = 0

tiene exactamente una raíz real en el intervalo <0, l>

^fetnostración I. En efecto, sea la función f ( x ) - x* + Ax - 3, continua en [0, I) y

derivable en <0, l>.

2. Los valores de la función en los extremos del intervalo dado son: /(O ) = -3 y/ ( l ) = 2

3. C o m o /(0 ) . / ( l ) < 0, pui el teorema del cero (T.3.9), existe al menos un x0 e <0, l>

tal que / ( * u) = 0

4. Supongamos que existe otra raiz x, e <ü, l> . jc, * tal que 0 < xn < jc, < I

5. Dado que f ( x a) = f ( x ¡ ) = 0, entonces por el Teorema de Rolle

3 c e <*„, ;c,> c <0, l> I f ' ( c ) = 0

6. Si / ( x) = x* + 4.r - 3 => f ' ( c ) = 3 c1 + 4 > 0, V c e IR. e s lo e s f ( c ) ^ 0 l oq ue
contradice la hipótesis del paso (5).

7. Por tanto, la ecuación dada tiene exactam ente una raiz en el intervalo <0, I>. ■

(E J E M P L O 11) U sando el Teorem a de Rolle e inducción m atem ática probar que el

polinomio de grado n no puede tener más de n raíces reales distintas.

Demostración l. En efecto, sea el polinomio de grado n

P(x) —aHx" + aBAx"’' + ... a ,x + an

donde a a, a,, a2 a„, son números reales, a„ * 0

2. i) Si n = l P{x) = a, x + y si P(x) = 0 => fl, x + a0= 0,

de donde ; x = — — , posee una sola raíz
a,

ii) Supongamos que todo polinomio de grado n - l, con n > l tiene a lo más n - l reales
distintas.

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Sección 5.3: E l teorema del valor medio y sus aplicaciones 537

iii) Probarem os entonces que P(x) = a„ x" + a„., x al + ... + a ix + a0
no puede tener más de n raíces reales distintas.

3. P or reducción a! absurdo, supongam os que P(x) tiene n + I raíces d istin tas tales
que : a-, < x 2 < a 3 < ....< xn < x ^ ,

Luego, P(Xl) = P(x2) = P (x%) = ........ = P(x„) = P{xBtl) = U

4. En t u n c e s el T eo rem a de Rol l e se c u mp l e en c a d a i nt er val o c e rra d o [a,, a,|,
(a2, a,], ...... [a„ . a^iJ, y por lo tanto, existen números t „ c2, c„ .... c„, tales que:
P \ c x) = 0 y je, < c, < c2
P' (c2) = 0 y a, < c2 < <n

P'(c„) = 0 y a h < c„ < c rhH ■
lo cual implica que el polinomio

P '(x) = n a„ x + (w - 1) a.., x *-2 + .. + a
de grado «-I, tendrá n raíces distintas: r (, c2, c , , ... c„
lo que contradice la hipótesis inductiva (ii).
5. En consecuencia, el polinomio P{x) de grado n tiene a lo más n raíces distintas.

Nota El Teorema de Rolle sirve para probar otro resultado importante: el Teorema del
Valor Medio. Cabe interpretarlo como una generalización del Teorema de Rolle,

en la cual /( « ) * /(/? ).

TEOREM A 5.4 : Teorema del Valor Medio o de Lagrange

Si f :[«, b)->JR es una función tal que
i) Es continua en tu. b]
ii) Es derivable en <a b>

Entonces existe un núm ero c e <a, b> tal que . y

b- n

Demostración La demostración se basa en

el estudio de lafunción auxiliar

tp ( a ) sugerida en la Figura 5.13

1. Por definición: tp ( A ) —f ( x ) - y

2. Como la secante PQ pasa por P(a, f(a)),

con pendiente

m = /(fr > -/(« )
b-a

la fórmula punto-pendiente de la ecuación

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538 C apítulo 5: Aplicaciones ele la Derivada

de una recta, da la siguiente ecuación para la secante PQ : y = f ( a ) + m (x -a)
3. Entonces en (1): (p ( x ) = f ( a ) - f ( a ) - m(x - a)

4. Dado que <p(x) es continua en [a, b] y derivable en <a, b>. se puede verificar por

sustitución directa que: tp(a) = tp(b) = 0

5. Entonces, por el Teorema de Rolle, 3 c e <a, b> I (p \ c ) = 0
6. Luego, en (3): <p’(x) = / '(a) - m => <p'(c) = / '( c ) - m

y si <p'(í.')= ( ) = > / ’(c) = m

f{b)-f(a) .
f (c) = b —a

Nota El teorema del valor medio tiene implicaciones en todas las interpretaciones de
la derivada. Geométricamente garantiza la existencia de una tangente que es parale­

la a la secante que pasa por (a, f ia)) y ( b , f ( b ) ) com o indica la figura 5 .13.

CONSECUENCIAS DEL TEOREM A DE LAGRANGE

COROLARIO 1 : Funciones con derivada cero

Sea / : [a, b] una función tal que. si / '(a) = 0 . V a € <a. ! » . entonces / es

constante en [a, b], es decir existe una constante Atal q u e / f x ) = k. " . r e |a, b\.

Demostración I . En efecto, si x es un número arbitrario tal que a < x < b , la función/( v)
satisface las condiciones (i) y (ii) del T.V.M. en el intervalo [a, x] c: [a. />l

2. Luego, existe un núm ero c e <a, b> tal que : f (c) =

3. Pero, por hipótesis, f \ x ) = 0 en el intervalo <a, b>, entonces f \ c ) = 0

4. Por tanto, en el paso (2): / ( a ) -f [ á ) = ü <=> / ( x ) = / (a)

5. Com o el resultado / ( a ) = J ( a ) se mantiene V x e <a, b], esto e s ,/( x ) tiene un valor fijo

k —f ( a ) sin importar el valor de x en \a, b\, se sigue que: f ( x ) = k , ■

COROLARIO 2 sFunciones con derivadas iguales

Sean f i x ) y g(x) dos funciones continuas en \n. b\ y derivables en <a. b>, tales que
/ ’(x) = g \ a), V x e <fl, b>, entonces f y g difieren en una constante k e [ct. b \ . Estos es.
una constante k tal que:

/ u ) = g(x) + k. V a e [a. /;]

Demostración I. En efecto, por la hipótesis dada, sea la función h(x) = f x ) - g{x),
V a e [o, b], que es continua en [a, bj y derivable en <a, b>.
2. Luego, si
b ‘( a ) = 0 h'(x) - f ' ( x ) - g '(a) , y com o / '( a ) = g ' ( a ) , V a e <a, b>, se sigue que :

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Sección 5.3: E l teorema del valor medio y sus aplicaciones 539

3. De modo, por el Corolario 1, h(x) es una constante en ¡ a , b\, o sea / ( a ) - g(x) - k,
y asi, / =( a ) g ( A ) + k. V x e [a. b].

Nota El Corolario 3 del T.V.M. se refiere a funciones crecientes y decrecientes de cuyo

estudio nos acupamos en el Capítulo 1, Sección 1.12. A llí definimos lo siguiente:

Una función/es creciente en un intervalo I si, para cada par de números a, y x2 e 1. con

a , < a , implica / ( a , ) < / ( A j )

Una función/es decreciente en I siempre que

a , < a 2 implica/ ( a , ) > / ( a 2)

para cualquier par de números xlt í.

Según estasdefiniciones vemos que/es cre­

ciente si su gráfica asciende al mover a hacia la dere­

cha y es decreciente si desciende al mover a hacia la

derecha. Así la función/de la Figura 5.14 es decre­

ciente en <-**>, a>, constante en <a, I » y creciente en

<b, +»>.

Como la derivada /'(a ) es la pendiente de la recta tan­

gente en el punto ( a , / ( a ) ) de la gráfica def se tiene FIGURA 5.14
que el signo de la derivada va a determinar cuando la

función es creciente o decreciente, pues como se indi­

ca en la Figura 5.14, una derivada positiva (f'(x) > 0)

implica que la pendiente de la tangente asciende y una derivada negativa ( / " ' ( a ) < ü) produce

pendiente en descenso. Se debe advertir que para determinar si una función es creciente o

decreciente, debemos examinar el signo de / ’ en todo el intervalo, no sólo en un punto.

COROLARIO 3 : Funciones crecientes y decrecientes

Sea f: [«, b] —» El una función continua en \a, b] y derivable en <a, b>
i) Si / ' ( a ) > 0 , V a e < ¿i, b>. f es creciente en ( « , b]
ii) Si / ’( a ) < 0 . V .ve <a, ¿ > , / es decreciente en [ « , b\

liemmtración (i) Supongamos que / ' ( a ) > 0, V x e <a, b>. Necesitamos probar
que si a , , a ^ , g [a, b\ con a , < a 2 ^ / ( a , ) < / ( a 2)

1. En efecto, para un intervalo [a,, a3] aplicamos el T.V.M. Esto da:

a2-a ,

para cualquier c e <a,, a2>
2. Puesto que a, < a 2 y, como por hipótesis, / '( a ) > 0 =* f ‘(c) > 0
3. Luego, en el paso (1), se sigue que: /( a 2) - / ( a , ) > ü =>./(ai) < f ( x 2)

La prueba es similar para el caso (ii).

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