Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

90 Capítulo ¡ ' Funciones

Si I < * < 2 ■=> 2 < x + i < 3 =¡> 4 < ( x + 1)2 < 9 ^ V3 < V (x + I)2 - 1 < V 8
=> R a n (/2) = [V 3 , V 8 )

4. Com o R a n (/j) fl D om (g,) = 0 y R a n (/,) f| Dom(g2) = <J>, no están definidas g f o / ,
y S2° / r

5. R a n (/a) n D om (g,) = [<3 , 2 ^ 3 ) fl [ - 2 , - 1 ) = <><=> í ( g , o / 2)
R a n ( / 2) n D om ígj) = [ V3 , 2 ^ 2 ) fl < 0 , 6 ) = [ V I , 2<2> * <? >=*3 ( ^ 0 f 2)
Com o R a n (/2) c Dom (g2) e* Dom (g2o / 2) = D o m (/2) = [ 1 , 2 )

6. Por ta n to , (g o / ) ( * ) = g^[ / 2(jc)] = g2(Vx2+ 2 x ) = 1 - V*2+ 2x , x e [I ,2 ) ■

Determinar la regla de correspondencia d e / o g .

Solución Por el método de los puntos críticos en x = 2 , verificar que la función que se puede
redefiinir de la siguiente manera

c/,) (8«>
(/,) (gj)

Entonces la f u n c i ó n / o g está definida <=> Ran(g) R D o m (/) * § (g3)

1. Verificar qu e : Ran(g,) = ( 2 , +« » ) , R a n (g 2) = ( - 1 , 0 ) y Ran(gj) = [-1 ,+ “ >)

2. Intersección del Ran(g,) con los dominios de / , y f 2
a) (2 , +<*=) R ( - ° ° ,3 ) = <2, 3) *<> *=> 3 ( / ( o g ()

R an (g ,)<zD o m (/,) ■=> D o m ^ o g , ) = { x l x e D o m f g jjA g /x J e D om (/,)}
i=> D o m (/, og, ) = ( x < 2 ) R (4 - * < 3) = 1 < x < 2

*=* / , íg,(*)] = / , ( 4 - * ) = (4 - x)1- 4 = x2 - 8x +1 2 , s i x e (I , 2)

b) R an (g ,) fl D o m (/2) = ( 2 ,+ ° ° ) fl [ 3 ,- k » ) = [ 3 , + « ) * 0 t=> 3 ( / 2 o g ()
R an (g j) c z D o m (/2) i=> D o m f/jO g ,) = ( r l i e D om (g,) a g ,(x ) e D o m (/2)}

D o m (/2o g ,) = (x < 2 ) fl ( 4 - x > 3 ) = x e ( - ^ . - l ]

=> / 2[g ,(* ) 1 = / 2( 4 - * ) = 8 - (4 - x) = x + 4 , s i x e (-<«,-1]

3. Intersección del Ran(g2) con los dominios d e / y f 2

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EJERCICIOS . G rupo 5 : Composición de fim citm et 91

a) R a n fg J fl D o m (/,) = (-1 ,0 ) f l ( - o o ,3 ) = ( - 1 ,0)*< > E ^ a c ^ o g , )
Ran(g2) c Dom( /,) <=> Dom( / , o g j = Dom(g2) = ( 2 ,3 )

b) Ran(gj) n D o m (/z) = ( - 1 , 0 ) n [3,+«> ) = <¡> ■=> í ( / 2o g j

4. Intersección del Ran(g,) con los dominios de / , y f 2
a) Ran(g3) fl Dom( /,) = [-1 , +<*>) fl (-*», 3) = [-1 , 3) * 0 *=> 3 ( /, o g3)
Ran(g3) «z D o m (/,) =s« D o m ( /,o g 3) = { x l x e D om fg^ a g,(x) € D o m (/()}
*=> D o m (/, o g 3) = (jc> 3 ) n ( x - 4 < 3 ) = 3 < x < 7

■=> /,[& (* )] = / ,( * ' 4 > = (* ' 4 )Z' 4 = x 1~ 8* + 12 , si x e [ 3 , 7 )
b) Ran(g3) f lD o m ( /2) - [- 1 ,+«>) fl [ 3 ,- h » ) = [3,+®°>^<¡) B í/jO g j)

Ran(g?)tz D o m f/j) eu, DomCfjOgj) = { x | x e D o m íg ^ )a g 3(^r)e Doin( f 2)}
t=> D o m (/1o g J) = ( x > 3 ) fl ( x - 4 > 3 ) = x > 7
t=> f 2 [g3(x)] = / 3(x - 4) = 8 - (x - 4) = 12 - x , si x [7 , -t-~)

x +4 , si x e (-o* , 1]

(/og)(x) = - x * - 8 x + 12 , s i j r e (1 , 2 ) U [ 3 , 7 )

x2- 4x , si x e ( 2 , 3 )

12-x , s i x e [7 ,+oo)

EJER C IC IO S . GrupoS

1. Si / : [3 , +«>) —» [R está definida por /(x ) = ~ ~ 2 . y g • [ 1 / 2, +05) —> [Resta definida

por g(x) = JQ * , hallar el D om (g o / ) . = 3xa + a x + 12 , g(x+ I) = 5 x + 7,
2. Dadas las funciones reales / y g , tales q u e /( x - I)

hallar el valor de a tal que ( /o g ) (-2) = -4a

3. Sean las funciones reales : f( x ) = Vi - x y g(x) = -— -— - . Si el dominio de lafunción
Ix2 - 1|
/ o g es A , Hallar 0A.

4. S i/( x ) = V2x - I , g(x) = V2x2- 7 , hallar una función h tal que ( / o hXx) = g(x)

5. Sean las funciones / y g definidas en IR por las ecuaciones f ( x ) = x 2+ 2 y g(x) = x + p , p
fijo. Hallar la suina de todos los valores de p que satisface a la ecuación : ( f o g) (p + 3) =
(g°/) (p-3)

6. S i/(x ) = 2xJ- 4 x - 5 , hallar dos funciones g para las cuales ( / o g)(x) = 2xJ + l6x + 25

A_y
7. Hallar todas las funciones lineales / tales que (J o /)(!/* ) - — , x * O

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92 Capítulo I : Funciones

8. Si /(x ) = [ x 2+ 2x + 2 , s i 0 < x < 3 [4x +5,si0<x<l
< y g(x) = <|

[ 2 * + 4 , si x > 3 [ 3 x 2+ 2 Jsi x>I

h a lla r: Cf o g ) (1/4) + 16 (g o / ) (1/2)

9. Sean las funciones / y g definidas en IR , tales que

{x + 2 ,six<l í x 2-2 ,s ix > 2
: g(x) = i

(x - 1)2+ 3 . si x > 1 [x-5,six<2

Hallar la función (g o /)(x ) y dibujar su gráfica.

{ x2, six< l | - x , si x < 2
-x: ,six>2 ; g(jr) = s

[ 2x ,six> 4

Hallar el Dom(g o /).

11. Sean las funciones / y g d efinidas p o r: /( x ) = 1x ] , x e [ 4 , 9 ] , g(x) = x3- x + 1/4,
x 6 [-3, 0]. Hallar el D om (/ o g ) .

12. Hallar el D om (g o / ) , si / y g son funciones re a le s, tales que

x*+ 1 , s i x < 1 x - I . si x < 2
/(JC) =
y g(*) =
l-x2 ,six>4
[ 2 , si x S 4

13. Sean las funciones /(x ) = 2x2+ l , x e (-2 , 20) y g(x) = I - x . x e (-oo,-2)
Hallar/o g 2x , x e (6 , -H»)

14. Determ inar / o g , siendo / y g funciones reales definidas p o r/(x ) = 3x + 2 si x e (-00 ¥-3 )

í 2x , si x < 0

y g(*) = \

[ -3x , s i x > I

15. Sean las funciones reales de variable real

/(*) = í x + 2 , six < 1 ; g(*) = x2 , si x < O . Hallar/og
L X- I , six> 1 1 - x2 , si x > O

16. Dadas la funciones / y g definidas en IR p o r :

{x + 3 , si x e [-5 , -3] .H allar ( /o g)(x)
2x - 1 , si x e (-3 , 1)
4 x + 1, six g [1,3]

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EJERC IC IO S . C r u p t'5 : Ctimpuxit üm d t fuiHiimea 93

17. Sean las funciones / y g definidos p o r :

f Jt2 - 3jt, si jt < 3 í 3 - jc , si £ 1
f(x) = <
, g(x) = < . Hallar / o g y su rango
[-jc2+ 3 , s i j t > 3
[ 5 - jt, síjc> 1

18. Sean las funciones / y g definidas por

í Vi - x , si x e {-3 , I) f jc7- 4 , si x e [0 . 4]

/(*) = í ; B(x) = . Hallar/og
I, 1/r , si x e [3 , 8] [0
, si jce (4 , 7)

19. Dadas las funciones

f(x) = f Ijc I , si x e [-5 , - I] j [x * 1] , x € [0, 2> . Hallargo/

2 . s i jc e [1 , 2 ] ; gCO =
1 x 1 , a: e [ 2 , 3 ]

í -2 + .cS gn(jr-I) ,x e [-2,3]

20. Sea la función/(jc) = s .Hallar f o f

[ Vx + 2 , jc6 [4.9]

21. Sean las funciones / y g definidas por

, si jc< - 2 - ---\-x-+ 6l , si x 6 ,(-4. ,-1)

/(*) = 1 -JC ;g(x)= < U + 31-3 . Hallar/og

(x + 2)2, six e [-2,-1] V5 - jc - 2 , si x e ( - 1 , 5)

22. Para las fu n c io n e s /y g del E jercicio 21 , h allar, si existe , g o / .

23. Sea / ( jc) = j r + 3 , x e (-1 , 1) U (2 , 2 ] . Si g e s una función con dominio
(*-l)2

x e [-1 , I) U 0 , 4 ] , tal que (J o g) (jc) = x 2 ~x + I .h a lla r su regla de correspondencia ,
el dom inio y el rango de / o g.

24. Si / e s una función racional de la forma f(x) = ^ + ° » h a l l a r l o s v a l o r e s d e a y b . d e

modo que : < / o / ) (1/jc) = 2"+4* | x e IR - {-2 , -1 , 0 , 1} .

25. S e a n /[g (jc )] = 9x* [g(jc)]2- 4 y h[r(;c)] = 4x 2 - 2 (k + 25 , donde g(x) =
1 - 3 jc ’

jc ^ 1/3 y r(jc) = 2x - 5 , j c > 10. Hallar las reglas d e correspondencia d e / y h .

26. H allar el dom inio y la regla de correspondencia de (F o G ) o (g/ / ) si F o G está
definido solam ente en [4 . 5] y si adem ás : F = V I , G = (I - 4)(I + 4) , g = I y
/ = (I - 2)(I - I ) , donde I es la función identidad.

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94 Capítulo / ; Funciones

C1.11) FUN CIO N ES C R EC IEN TES Y D EC R EC IEN TES

Definición 1.20 : FUNCION CRECIENTE

Una función / es no decreciente en un intervalo [a , b] de su dom inio , si p ara dos

números x, ,x 2 e [ a , fe], se cumple

•*,< x t *=> f l x j í f i x j )

y si ocurre que

x, < x z ■=> f ( x , ) < f ( x ¿

entonces se dice que f es estrictamente creciente o simplemente creciente.

E s d e c i r , una función es crecien te o no decreciente en [fl , fe], si al crecer la
variable x los valores de la función tam bién crecen (Figura l .95) o permanecen constantes
[Figura l .94 : /(* ,) = /(x ,) en el tram o CD]

F IG U R A 1.95 : Función creciente

Definición 1.21 s FUNCION DECRECIENTE

U na función / es no crecien te en un intervalo [a . 6] d e su domi ni o . si para dos
núm eros x , , x 2 e [a , fe] se c u m p le :

** /(-*■() ^ /(■*j)

y si ocurre que

X f < X 2 <=> / ( X j ) > / ( * , )

entonces se dice que / es estrictam ente decreciente o simplemente'¿fecrec/e/ifó.

E s d ecir t una función es decrecien te o no creciente en { a , fe] , si al c re c e r la
variable x , los valores de la función d ecrecen (Figura 1.97) o perm anecen constantes [Fi­
gura l .9 6 : /( x ,) = /( x 2) en el tramo CD]

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Sección ¡.l¡ : Funciones crecientes y decrecientes 95

Definición 1.22: FUNCIÓN MONÓTONA

Una función.se dice que es monótona en un intervalo [ a b ] de su dominio , si y:sólo si
corresponde d cualquierade las dos definiciones antes mencionadas.

F IG U R A 1.96 : Fimcutn no creciente

EJEMPLO 1J Analizar la verdad o falsedad de las siguientes proposiciones

a) Si /(x ) = a x + b , entonces x, < x2 no im plica que /(x ,) < /(* ,)

b) la función g(x) = a x 2+ bx + c , a > 0 , e s monótona , entonces Ranfg) = [ ~

Solución a) Sean x, y x2dos puntos del dominio de /(x ) = ax + b [x, < xr
Consideremos los siguientes casos

i) Para a > 0 , si x, < x 2 «=> ax , < a x2 <=> a x , + £>< a x , +b

■=* / ( * , ) < / ( * 2) , f es creciente (Def. 1.20)
ii) P a ra a < 0 , si x, < x 2 c^> a x , > a x 2 e=* ax , + b > a x , + 6 (Def. 1.21)

■=> / ( x , ) > / ( x , ) , /e s d e c re c ie n te /(x ,) < / ( x 2)
L uego, de (i) y (i i) , s i/( x ) = a x + b , entonces : x, < x 2
Por tanto, la proposición es verdadera

b) Sea p : La función g(x) = ax2+ bx + c , a > 0 , es

monótona q : El Ran(g) = . + 00)

Tenemos entonces la proposición ; p <=> q
En p , completando el cuadrado se tien e:

Si a > 0 , la G r(g) es una parábola cóncava hacia arrib a,

donde h = - ~ y k = ~^
2a 1 4a

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96 Capítulo I : Funciones

Según la Figura 1.98, g no es una función monótona pues, para x e , h] g es decreciente y

p a r a je [h , , g es creciente. Luego , V(p) = F y como el Ran(g) = [k , +<»), entonces

V (q) —V.

Por lo que el valor de verdad de la proposición e s : V(F —» V) = F ■

Definición 1.23 : FUNCIÓN INYECTIVA

Sea una función / : A —» B . Si cada elem ento y del conjunto B es una imagen de un solo
elemento del conjunto A , entonces se dice que la función / es una inyección o es inyecti-
va. Dicho de otro m o d o , una función/ : A -* B es una inyección si para x, , x 2e A

equivalente: i) /(.tj) = /(* ,) en B «=> t, = x , en A
¡i) x , # x 2 e n A c=> f(x,) * /( x ,) e n B

Es decir, en una inyección, la igualdad de las imágenes en el conjunto de llegada B implica
la igualdad de los elem entos en el conjunto de partida A.

O B SER V A CIÓ N 1.16 U na función / : IR IR es inyectiva o univalente si una línea
horizontal 2 intercepta a su gráfica en un punto.

O B SER V A CIÓ N 1.17 Una función que es creciente o decreciente en un intervalo [ a , b] es
además inyectiva.

En e fe c to , en la Figura 1.101
x t < x 2 *=> / ( * , ) < f ( x 2) , f es creciente

es d e c ir, si x, *-*,en A = [a ,¿ ] «=> / ( * , ) * / ( * 2) en B = [ / ( f l ) , f ( b )] ; por lo que , según
la Definición 1.23, la función / es inyectiva.
A sí m ism o, en la Figura 1. 102

x , < x 2 «=^ / ( * , ) > f ( x 2) , f e s decreciente

es d e c i r . si x, * x 2 en A = [a ,&]•=> / ( * , ) * / ( x 2) en B = í / ( ¿ ) , /( f l) ] ; e n to n c e s , / es
inyectiva.

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Sección l . l l : Funciones crecientes y decrecientes 97

OBSERVACIÓN 1.18 Determinación del rango de unaJunción inyectiva.
Si una función inyectiva f es continua en un intervalo [a , b] , su

rango se determina calculando los valores f ( a ) y f(b).
A sí en laF igura 1.101 , / es creciente V x e [ a , 6] •=* R an (/) = [/(fl),/(fc)]
En laF ig u ra 1.102 , /e s in y e c tiv a Vjce [a ,b] <=> R an (/) = [/(&) ,/(<z)]

OBSERV A CIÓ N 1.19 Para verificar si una función / : A —>B es inyectiva se toman ( x , y)
6 / y (z >)’) 6 / y se demuestra queje = z

EJEMPLO 2 ) Sea la función / : IR R |/(jr) = 2x + 5 . Es / inyectiva? ■

Solución S e a n x ^ x , e D o m ( /) , tales que , / ( x () = 2 x , + 5 y /(x ,) = 2x2+ 5.
Debemos probar que s i/( x ,) = /( x 2) =* x, = x 2

En efecto , / ( x , ) = / ( x 2) «=* 2 xt + 5 = 2x2 + 5 ■=> 2xt = 2x2
=> Xj = x2 , / es inyectiva.

(EJEM PLO 3 ] Determinar si la función / : ( - « , -2]IRI/(x ) = x2+ 4 x - 1es inyectiva

V e (-Do, -2]

Solución Si /(x ) = (x2+ 4x + 4) - 5 ^ /(x ) = (x + 2)2- 5 ■
Sean x , , x2e < -« , -2] [/(x ,) = (x, + 2)2- 5 y /( x 2) = (x2+ 2 ? - 5

Si /(x ,) = /( x 2) ^ ( x , + 2 f - 5 = (x2+ 2)z - 5 ^ Ix, +2 1 = lx2+ 2 |
Dado que x € (-«*, - 2 ] , es decir , x < - 2 >=í> x + 2 < 0 «=* i x + 2 1 = - (x + 2)
L u e g o , si /( x ,) = /( x 2) ■=> - (x, + 2) = - (x, + 2)

•=> x, = x2 , / es inyectiva V x e (-« « ,-2 ]

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98 Capitulo l : Funciones

EJEM PLO 4 ) Dada la función / : IR ¡RI f ( x ) = 2 + 2x - x 2 , restringir su dom inio de

modo tal que / sea inyectíva.

Solución Si f ( x ) — - (x2- 2x) + 2 o f ( x ) = - ( jc - I)2+ 3
L a G r(/) es una parábola con vértice en V(1 , 3 ) . Figura 1.103).

S e a n x t , x 2 € DomCf) = IR , tales q u e /(* ,) = f ( x 2) «=¿ -(jc, - I)l + 3 = -(jr2 - l)2 + 3

=4 U t - 1 1 = U , - 1 I <=> (jc, - I = jc2 - 1) v ( jc, - 1 = - x 2 + 1)

o ( x ,= * 2) v (xt = 2 - x 2)
Obsérvese que se presentan dos alternativas de las cuales solo interesa la primera por cumplir
con la condición de inyección.
Por tanto, para restringir el dominio de / debemos considerar dos
casos
a) Para signos positivos (a la derecha del vértice):

x - I > 0 t=> x > 1

*=* /,(* ) = 3 - ( x - l ) 2 , x e [ l , +«>), es inyectiva

b) Para signos negativos (a la izquierda del vértice):

x - 1 < 0 ■=}• x < I F IG U R A 1.103

f 2(x) = 3 - (x - 1)5 , x e (-00 , I) , es inyectiva

OBSERVACIÓN 1.20 Cuando se trata de funciones seccionadas , esto e s , si
/,(* ),x e D om (/,)
f 2( x ) , x e D o m (/2)

/(*) =

/ nO ) . * e D o m (/n)

donde: G r(/) = G r í / ^ U G r t f j u G r Ü ^ U - - . - U G r(/n) F IG U R A 1.104
y D o m (/) = D o m (/,) U Dom ( / ,) U D o m (/3) U-. -U D o m (/n) ; f
entonces la función / es inyectiva, si y sólo si
i) Las funciones /¡(x ) . ¡ = 1 . 2 , 3 ............. , n , son

inyectivas, y
ii) R anf/j) fl R an(/j) = (J),Vi#j
Es d ecir, los rangos de las funciones /¡ deben ser disjuntos
dos a dos.
La Figura 1. 10 4 muestra una función / inyectiva seccionada
/ Uf 2 , con dom inio x e [a , b) U [6 , c] = [a , c] y donde se
observa lo siguiente:

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Sección I.H : Funciones crecientes y decrecientes 99
■
a) / , es inyectiva y creciente en [a , b ] , por lo que su rango es [ / , ( o ) , /,(& ))
b) f 2es inyectiva y decreciente en [b , c ] , por lo que su rango es [ f 2(c) , f 2(b)]
A dem ás, de a) y b ) , se observa que Ran( / ,) fl R a n (/,) = ij); lu e g o , / es inyectiva.

EJEMPLO 3 - 2x , si x e [-2 , 1)
Determinar si la función /(x ) =

[ - x2+ 4x - 3 , si x € [ 2 , 4 )

es inyectiva o no. Dibujar su gráfica.

Solución Sean /,(x ) = 3 -2x, x e [-2 , 1) y /,(x ) = 1 - (x - 2)2, x e [2 , 4>

i) En / , : si /,(* ,) = / ,( x 2) .=> 3 - 2 xx= 3 - 2x2

«=* x, = x , , V x e [-2 , 1) , / , es inyectiva

En f 2 : f 2(x,) = f 2(x2) =* 1- (x, - 7 f = I - (x2 - 2)2 « U , - 2 | = !x2- 2 l ( 1)
Como x e [ 2 , 4 ) . esto e s , x > 2 «=> x - 2 > 0 , luego Ix - 2 1= x - 2

Entonces en (1) ; x t - 2 = x2- 2 => x, = x2 . V x 6 [2 ,4 ) , f 2es inyectiva

i¡) Determ inación de los rangos de / y f 2 y. i >
En /,(r) = 3 - 2*, x e [-2,1)

Si -2 < x < I «=s> - 2 < -2 x < 4 «=> l < 3 - 2 x < 7

^ 1< / , ( x ) <7 Ran(/,) = (1,7] N
En / 2(x) = I - (x - 2)2, x e [ 2 , 4 )

Si 2 < x < 4 0 < x - 2 < 2 t=& 0 < (x - 2)2 < 4

^ -4 < - (x - 2)2< 0 .=> -3 < 1 - (x - 2)2 < l •2 -I 0. i 2 \ :4 > *•
>=> R a n (/2) = (-3 , I]

Luego , Ran ( / ,) fl R a n (/Z) = < 1, 7] n (-3 , I] = <> •?

Por lo tanto ,1a fu n c ió n /e s inyectiva. ■ FIGURA 1.105

-x2 - lOx- 2 0 , x e [-5 ,-2 ]

[e j e m p l o 6^1 Determ inar si la fu n c ió n /(x ) = <j

lillL li <1 , 3]

es inyectiva o no. lx+ 1|

Soluciári S ean / (x) = - (x + 5)2 + 5 , x e [-5 ,-2] y /,(x ) = , x e (1 ,3 ]
1 “ Ix+ll

i) En / , : si /,(* ,) = /,(x 2) <=> - (x, + 5)2+ 5 = - (x2+ 5)2+ 5

<=> (x, +5'¡r = (x2+ 5)2 o lx ( + 5 1 = lx2+ 5 1 (1)

Como x e [-5 , - 2 ] , es decir , x > - 5 <=* x + 5 ^ 0 <=> | x + 5[ = x + 5

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100 Capítulo J : Funciones

Luego ,e n (1) :jc, + 5 = x 2+ 5 *=» = x, ,V jre [ - 5 , - 2 ] es inyectiva
En f 2 , eliminando las barras de valor absoluto obtenemos

f (jf) = - C r - 3 ) - i -x +2 _j — 3 _ /j 3,
x+ \
3¿ } x+ l x + 1' X

S i/A )-/W - 7 ^ = 7^T

=> jt, + 1 = jc2+ 1 <=* x, = jt2 , / 2 es inyectiva

ii) Determinación de los rangos de / y / ,
L a función / , es d ecreciente V jc e [-5 , - 2 ] , pues su gráfica es una parábola con vértice
en V(-5 , -2) y cóncava hacia abajo a la derecha del vértice. Entonces , R an (/,) =
[/,(-2 ), /,(-5>] = [-4,5]

E n / 2 sí jc e ( 1 , 3 ] ■=> I < j c < 3 2 < jc 1 < 4 *=> \4 jc + 1 2

>=> R an (/2) = [-1 /4 , 1/2) ■
L u e g o , RanCfj) fl R a n (/3) = [ - 4 ,5 ] fl [-1 /4 , l/2> * 0
Por lo tanto . la función / no es inyectiva.

Definición 1.24 : FUNCIÓN SOBREYECTIVA

Se denom ina función sobreyectiva o suryectiva a .una función d e Á e n B cuando todo ele­
m ento del conjunto B es imagen de pór lo m enos Un elem ento del conjunta A . es d e c ir ,
cuando el rango o imagen es todo B (conjunto de llegada).
Formalmente:

f V y e B , 3 * e A |/(.r) = y
/ es sobreyectiva <=> s

[oRan(/) = /(A ) = B

[ e j e m p l o t ) Determ inar si la función / : IR —» IR | f ( x ) = 2x + 3 es sobreyectiva

¿Solución l. Com o y € (R (IR es el conjunto de llegada) ^ y = 2x + 3

y_3

2. D espejando* se tiene : x ~ ~ ■ , x e D om ( /) = IR
3. Aplicando / a cada miembro de (2) se sigue que

/(-*) = ** f(*) = + 3^ = y *v ->’ e R

P o rta n te ,/e s sobreyectiva. ■

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Sección i. I! : Funciones crecientes y decrecientes 101

E J E M P L O 8 j Sea la función / : (R—» (RI /(x ) = x 1- 1 . D eterm inar si es o no sobreyec-
tiva

S o lu c ió n 1. Sea y e IR (conjunto de llegada) «=> y = x7- 1

2. Despejam os x : x = ± Vy + 1 e = > 3 j c e = > y + l > 0 e = > R an (/) = [-1 ,+«»)

3. Aplicamos / a cada lado de (2) : /( x ) = f ( ± Vy + I ) i=> / ( j c ) = (± Vy + 1 J2 - 1
/(x ) “ y , Vy e (-1, +°°)

4. Como el conjunto de llegada es IRy R a n (/) = [-1 ,-h » ) c [R, e n to n c e s /n o «5 sobreyectiva.
Obsérvese que toda función es sobreyectiva sobre su rango , es decir , toda función de la

f o r m a / : A —» R a n (/) es siempre sobreyectiva. En consecuencia, para saber si una función es
sobreyectiva bastará hallar su rango y comprobar si coincide con el conjunto de llegada. ■

f -— ■' ■ t v

EJEM PLO 9 j Sea la función / : [-1 >5) —» (-7 , 5] I/ ( jc) = 3 - 2 x . Probar que / es

sobreyectiva.

Solu ció n 1. Sea y e (-7 , 5] (conjunto de llegada) = * y = 3 - 2 x ■
2. Si x e [-1 , 5) o -1 < x < 5
« - 1 0 < - 2 * < 2 » - 7 < 3 - 2 x < 5 <=> y e < -7 ,5 ]

3. L u e g o , R a n (/) = ( - 7 ,5 ] = conjunto de llegada. Por ta n to , / e s sobreyectiva.

Definición 1.25 : FUNCIÓN BIYECTIVA

S ed íc e que una función / : A —»B c s b iy e c tiv a o és unábiyacción si a la v p z es in fectiv a y
sobreyectiva.

EJEMPLO 10 J Demostrar que la función /(x ) = mx + n , m , n e (R ,m * 0 ,e sb iy e c tiv a .

Demostración Debemos probar simultáneamente que / es inyectiva y sobreyectiva . En
efecto:

1. Sea x , , x 2 e D o m (/) ■=* /( x ,) = m x, + n y /( x 2) = mx2 + n

2. S i/( x ,) = /( x 2) e=> m x, + n = mx2 + n ^ x, = x2 , / es inyectiva

3. Sea y £ R a n (/) = IRIy = m x + n *=> x =

4. Aplicando / a cada extremo se tien e: /(x ) = / ( ) (a)

y com o /(x ) = m x + n , entonces en (a ) : /( x ) = m ( ^ f ~ ) + n «=> /( x ) = y
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102 Capitulo I : Funciones

Por lo que / es sobreyectiva, ■
5. En consecuencia, de (2) y (4) queda probado que / es biyectiva.

E JE M P L O 11 J Determ inar si la función / : [ - 1,4 ) —» {-9 ,8] I/(*) = 5 - 3*es biyectiva.

'‘S o lu c ió n 1. S e a n * ,, x2 e [-1 ,4 ) «=> f ( x t) = 5 ~ 3 x t y f ( x 2) = 5 - 3 ^
2. Si /(* ,) = f ( x 2) «=> 5 - 3jc, *=5 - 3x 2 *=$ - 3x, = ~3x2

«=> x t = x 2 , V * e [-1 , 4 ) , / e s inyectiva.

3. Sea y e ( - 9 , 8] (conjunto de llegada) e=> y = 5 - 3 *

4. Como / es decreciente (porque?), entonces p arax e [-1,4), Ran(/) = (/(4 ) , / ( - ! ) ] =
(-7 ,8] * (-9 , 8 ], esto es , R an(/) * conjunto de llegada, luego , / no es sobreyectiva.

5. En c o n secu en cia,/n o es biyectiva. ■

(1 ,1 2 ) FU N C IÓ N IN V ER SA

S ea la f u nc i ón / : A —» B , c u y a re g la d e c o rre s p o n d e n c ia es / = {(* , y ) I
y = / ( * ) , x e D om (/) = A}. Si / tiene la propiedad de ser biyectiva , entonces se define la
función inversa de / , denotada por /* , a la función

o b i e n , si f* = {(>, *)[* = /* (> ). *eD om (/)}
y = /(* ) » * = / * ( y ) , Vx<= Dom ( /)

O BSER V A C IO N ES 1.21

a) D e la definición se tiene , / : A —» B , entonces / * : B —» A , significa que
D om (/*) = R an(/) y R an(/*) = D om (/)

b) Según la definición de función inversa , si / es biyectiva , entonces / * también lo es . De
aquí se deduce que : (/*)* —/

c) Si / es una aplicación / : A —> B , tiene su función inversa / * : R a n (/) A , si y sólo si /
es inyectiva.

^ E J E M P L 0 1 2 j Sea la función / : [3 ,5 ) —> (2 ,4 ] I/(* ) = •H a lla r, si e x iste , la
función inversa de /.

Solu ció n 1. Probarem os que / es inyectivay sobreyectiva escribiendo / ( * ) = l + ——
jc - 2

a) Sean * , , x 2 e [3 , 5) , entonces : /(* ,) = I + — ^ y f ( x 2) = 1 + —

JC. ■ ¿ X* /

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Sección i. 12 : Función inversa 103

S i/( x ,) = /(X ,) C* ] + - 1 ^ = 1 + 3 1
x, -2 x, - 2 x, - 2 x2- 2

*=* x, - 2 = x,<-2 Xj = x2 , / e s inyectiva

b) S i x e [ 3 , 5 ) < = > 3 < x < 5 c ^ l < x - 2 < 3 i = > -^ < <1

■=* 1 < <3«2<l + Í 4 «z> 2 < / U ) < 4

R a n ( /) s= ( 2 , 4 ] = conjunto de lle g a d a , lu e g o /e s sobreyectiva

2. Como / es biyectiva, según la Obs. 1.21a , la función in v e rs a d e /e s
/ * : (2 ,4 ] —» [3 , 5 ) | x = f * ( y )

3. La regla de correspondencia de /* se halla despejando x en términos de y , haciendo
f ( x ) = y en la ecuación d ad a, esto es :

y= Z± 1 x y - 2 y = x + l <=>x= « = » / * ( > ) = 2; , V . y e (2 ,4 ]

4. Como la variabley es “muda” , de puede escribir

/*(x) = ^ ± 1 , x e ( 2 , 4 ] ■

^ J E M P t o W ) Sea la función / : [-2 ,1 ) —» IR| /(x ) = 2x + 3 . H allar, si existe, la función
/ * y dibujar en un mismo plano las gráficas d e / y /* .

*Solución Com o el conjunto de llegada es IR no podemos afirm ar directam ente que / es
sobreyectiva. Previamente hallaremos el Ran(/)

1. S i x e [ - 2 , l ) « - 2 í x < l t = ^ - l £ 2 x + 3 < 5 i = > R an (/) = [-1 ,5 ) c IR
Luego , / no es sobreyectiva , entonces según la Obs. 1.21c , la función inversa de / , si
existe, tendrá la forma de la aplicación
/ * : R an (/) —> A <=> / es inyectiva

2. Probaremos la inyectividad d e /
Sean x , , x, € [-2 , 1 ), entonces s i /( x ,) = /( x ,) «=> 2 x , + 3 = 2x2+ 3
«=» x, = x2, / e s inyectiva

3. Luego , / * : [-1 , 5) -> [-2 , 1) Ix = /* ( y )

Si /( x ) = y t=> y = 2x + 3 , de donde :x = ■=> f * ( y ) =
P or lo que : /* (x ) = j (x - 3) , x e [-1 , 5>

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104 Capítulo 1 : Funciones

En la Figura 1.106 obsérvese que el punto P ( 0 , 3) e G r(/) F IG U R A 1.106

es el reflejo del punto Q (3 ,0 ) e G r(/* ) respecto de I(jc) ,

o sea la recta y = x es la m ediatriz del segm ento de recta

que une P con Q. En general el punto P(a , b) e G r( /) es

el reflejo del punto Q(¿ , a) e G r(/*) respecto de la recta

y = x . De aquí que la G r(/* ) se obtiene por reflexión de

la G r ( /) , respecto de la recta y = x. ■

(1-12.1) PROPIEDADES DE LA FU N C IÓ N IN V ER SA

I. Si la función / : A —>B es biyectiva y si / * : B —>A es la función inversa de / , entonces :

F I . l : f * o f = IA o /* [ /( x ) ] = x , V x e A , siendo D om (IA) = D o m (/)

F L 2 : f o f * = IB o /[/* (* )] =y . V y e B , siendoD om (IB) = Ran( f )

IL Si / , g y h son funciones inyectivas o univalentes, entonces

FI.3 : / o g es univalente F1.5 : S i h = / o g e = > / = h o g *

FI.4 : ( / o g)* = g* o f * FI.6 : S i h = / o g * = > g = : / * o h

"Demostraciones

F I .l ; Sea a e Dom (/) f{a ) = b , donde (c , b) e /

Esto im plica que (b , a) e f * , o sea f * ( b ) = a

Luego, para c e D o m (/): f*[f(a)] = f*(b) = a

S i x e D om ( / ) .=> = /*(> ) = * » / * o / = IA

F I .2 : Sea a e R an( / ) , es d e c ir , sea a e D o m (/* ) c=> f * ( a ) = b , donde (a , b ) e f *
Lo cual implica que (b , a) e f , esto es , f( b ) = a
Luego , si a e R an( /) t=> f [/*(£()] = f ( b) = a
y s i x e Ran( / ) .=> / [/*(*)] = f ( y ) = x « • f o f * = IB

F L 3 : Probaremos q u e / o g es univalente. (1)
En efecto , sea h = / o g y sean jc , ,x 2e D om (/ o g)
S íhtx,) = h(x,) (/o g H * ,) = ( / o g X ^ ) / [ gfx,)] = /[gf*,)]

Si , Xj g D o m (/) y siendo f univalente , entonces si /( * 3) = f ( x 4) •=> jc3 = je4
Según (1) : x3 = gfjr,) y x 4 = g(x,) => g(x,) = g (x ,), y como por hipótesis , q es
univalente, entonces se sigue que : x t = x 2
Por lo tanto , / o g c s univalente.

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Sección 1.J2 : Función inversa 105

FI.4 : Demostraremos que ( f o g)* = g* o /*

En efecto , de FI.3 , / o g es univalente , entonces existe ( / o g)*

D e la definición de función in v e rsa , si y — tfo g X * ) «=> x = ( /o g ) * ( y ) (2)

Si y = /[*<*)] =» g(*) = f * ( y ) ^ x = g * [/* (y )] = (g * o f * ) { y ) (3)

De (2) y (3) se tiene : ( / o g)*(y) = (g* o /* )(> ), V >e R a n (/o g ) = x = D o m (/o g )*

=> ( f o g)* = g * o / *

Corolario Si / , g y h son funciones univalentes , tales q ue ( / o g o h ) * existe entonces:

( / o g o h ) * = h* o g * o / *

F I.6 : D em ostrarem os que s i : h = / o g •=> g = / * o h

En efecto:

1. S ih = / o g « = » / * o h = / * o ( / o g ) (Composición por la izquierda con /* )

2. t=> / * o h = ( / * o / ) o g (Ley asociativa)

3. t=>/ * o h = (ID^) o g (Propiedad IQ)

4. o (J*o h)(x) = a Df o g)(x)

= ID [g(x)] = g (* ), si g(x) g Dom( / )

5. P e ro D o m (/o g ) = {x Ijce Dom(g) a g(x) e D om (/)} ■
6. E n to n c e s: ( /* o h)(jc) = g (x ), si jc g D o m (/ o g)

t=* / * o h = g , Vjc e D o m (/ o g)

E J E M P L O 1 4 ) D ada la función / = {(1 , 3 ) , (2 , 5 ) , (4 , 7 ) , (3 ,8 )} ; hallar / * , / o / y
/o/*.

So lu c ió n " 1. Sea A = {I , 2 , 3 , 4 } = Dom ( / ) y B = {3 , 5 , 7 , 8} = Ran( / )
Por simple inspección / es inyectiva, pues no existe dos pares con la misma

segunda somponente, entonces existe/*

Por definición : / * = {(3 , 1) , ( 5 , 2 ) , (7 , 4 ) , (8 ,3 )} D om (/*) = R an (/) = {3 , 5 , 7 , 8}

2. / * o g = {(1 , / * [ / 0 ) ] ) >( 2 , /* [ /( 2 ) ] ) , ( 4 , / * [ / ( 4 ) ] ) ,( 3 , /* [/(3 )])}
= {(1 . /* ( 3 ) ) , (2 , / * ( 5 ) ) , (4 , / * ( 7 ) ) , (3 , /*(8))}
= { (1 ,1 ) ,( 2 ,2 ) ,( 4 ,4 ) ,( 3 ,3 ) } = IA
= Identidad sobre A = D om (/) = {1. 2, 3 ,4}

3. f o f * = { ( 3 ,/[ /* ( 3 ) ] ) ,( 5 ,/[ /* ( 5 ) ] ) ,( 7 ,/[ /* ( 7 ) ]) ,( 8 ,/[ /* ( 8 ) ] ) } ■
= {(3 , / ( ! ) ) . (5 , /(2)) . (7 , /( 4 ) ) , (8 , /(3))}
= {(3,3) , ( 5 , 5 ) , ( 7 , 7 ) , ( 8 , 8 ) } = IB
= Identidad sobre B = D o m (/* ) =* {3 ,5 , 7 , 8}
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106 Capítulo / : Funciones

EJEM PLO 1 5 ) S e a n / y g funciones inyectivas tales que /*(*) = ' S(*) = ^ * 3 ’

Si (g* O /) ( u ) = 3 , hallar ( / * o g)(u + 2).

Solución I. Si f*( x) = y ■=> x = /(>■): pero , y = jc- 3 ■=> x = y-2

3y 3 ,
L uego, f ( y ) = my 2 *cam ^ 'anc*° var^a^ es : / ( Jc) = x 2

2. A h o ra , si y = g(jc) ■=> jc= g * ( y ) , pero com o y = *x +^3 «=>jc = 3- yj —+ p3

E ntonces: g * (> ) = ^>• -+l.~* <=>6g *v(*')= ^jc*-+l? = 3 + x^ - I
3. Dado que (g* o /) ( u ) = 3 » g*[/(u>] = 3 ■=> g * ( ^ ) = 3

4. Pero en ( 2) : g* (' u -)2 ' = 3 + 3^u ----2«-- g *' u( -^2)/ = u +
u-2

5. De (3) y (4) se deduce que : ^ = 3 , de donde, u = 2

6. Por le que : (/* o g)(u + 2) = /*[g(4)] = = f*0)= 7^ 3 = \

[EJE M P LO 16 ) Sea la función f ( x ) = ^ + ^ + —— , hallar f*( x) y dibu-

"¿ J y X ^ X "

ja re n un mismo plano las gráficas de / y /*

Solución Si f M ■ (X+^ 3X X l)

2. Como / es creciente ( / es una función lineal de pendiente positiva) .entonces
R a n (/) = R - { / ( - 2 ) , / ( l ) , / ( 2 ) > =* R a n (/) = [R - {-7 , - l , !}

3. Siendo / una función inyectiva (verificar), entonces
e x is te /* de lafo rm a / * : R a n (/) «=> D o m (/)

4. Regla de correspondencia de /* , por dos m étodos:
a) H aciendo/ ( jc) = y «=> * = / * ( y )

SÍ ys= 2 c - 3 Jc = ^ ( y + 3) «=> / * ( y ) = ^ ( y + 3)

/*(jc)=^(j: + 3),jcelR -{-7,-l,l}

b) Haciendo uso de la propiedad : / o /* = I B
Si ( / o /* )(* ) = x «=> / [/ *( *) ] = x
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Sección 1.12 : Función inversa 107

Luego , aplicando f*(x) a la ecuación (/(x) = 2x - 3 tendremos : f * [/(*)] = 2 f*(x) - 3
i=> x = 2 f* ( x ) - 3 , de donde : f * ( x ) = (x + 3 ) , x e R - {-7 , -1 , I }

^EJEM PLO 17^ Sea Ja función / definida por f ( x ) = [ x ] + Vx - [ x j , x e [-1 ,3 ]
a) Hallar la función/*
b) Graficar / y f * e;n un mismo plano.

Solución a) Dado q u e x - [ x ] > 0 , Vx e IR, entonces si
[ x ] = n < = > x < x < n + l , n e Z i = > f(x) = n + Vx- n , x e [n , n + l )

1. Veamos si / e s inyectiva en todo su dominio

Sean x, , x 2 e D o m ( /) , s i /( x ,) = / ( x 2) »=> n + Vx, - n = n + Vx2 - n
=> x, = x, , / e s inyectiva

2. Determinación del R an(/)
[ x ] = n <=> n < x < n + l
<=> 0 < x - n < l

<=> 0 < Vx - n < I

n < n + Vx - n < n + 1
«=> n < /(x ) < n + l => y e [n , n + 1)
Luego , el Ran( /) es la unión de intervalos de longi­
tud unitaria de la forma [ n , n + 1), igual que su domi­
nio , esto es

0D o m (/) = R an (/) = [n , n + I)
ne Z

Com o no hay intersección entre los rangos , la fun­
ción / es inyectiva t=> 3 / *

3. Si y = n + Vx - n «=> x = n + ( y - n j 2e=> / * ( > ) = n + (y - n)2 , y e [ n , n + 1)
<=> /* (* ) = n + (x - n)2 ,x e [ n , n + 1)

4. Dibujamos las gráficas de f y f * dando valores a n ( n = - l , 0 , 1 , 2) hastacubrir el intervalo
[-1,3] .esto es:

- 1 + V x+ 1 ,X 6 [-1 , 0) - 1+ (x+ l ) \ x e í-l ,0)

V* , X E [ 0 , 1 ) x2 , x e [ 0 , l )

f(x) = 1+Vx- 1 ,x e [1,2) /*(*) = 1 + Cx-1)2 , x e [I ,2 )
2 + (x - 2)1 ,x e [ 2, 3)
2 + Vx~^2 , x e [ 2 , 3 )
3 ,x= 3 s. 3 , x = 3

5. Las gráficas de / y / * se muestran en la Figura 1.108
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108 Capitulo J : Funciones

O B SER V A C IÓ N 1.22 Función inversa de una función seccionada______
Sea / una función seccionada definida por :

//rJ .re D o m l/,)
/ 2( x ) , x e D om {J2)
f ( x ) = <| / 3( x ) , x e D o m (/3)

x f „ ( x ) , x e D o m (/n)

tal que / : A —» B , donde A = U D om (/¡) y B = |J R an(/¡)
¡=i j= i

Entonces se dice que / tiene inversa / * : B —» A , si sólo si
i) Las funciones /¡(x) , i s 1 , 2 , 3 , . . . , n , son inyectivas
ii) R an(/j) fl R an(/j) = $ , V i * j

Es decir *los rangos de las funciones /¡ deben ser disjuntos dos a dos.

E J E M P L 0 1 8 ) Hallar , sí existe, la función inversa de

V2 + x - x 2 + l . s i x e [-1 , I/2]
/(*) = <

2 " “x +T 7I * s i x e < 2 . 4 )
Si existe / * , dibujar / y / * en el mismo plano.

Solución l . Probemos la inyectividad de /

a) Sean : / ,( x ) = l + V9/4 - (x, - l/2 )2 y x, , x 2e D o m (/,)

Si f ( x t) = /{* ,) <=> l + V9/4 - (íj - l/2 )2 = I + V9/4 - (x2 - l/2)2
>=> (x, - I/ 2T = (x2- 1/2)2 => Ijc, - 1 /2 1 = \ x 2 - 1 /2 1

C o m o x e [-I , I/2] t x < 1/2 e=> -(*, - I/2) = - (x2- 1/2) = j . x l = x 2 , / , es inyectiva

b) Sean : / 2(x) = 2 - , x , , x2g D om (/,)

S i / 2(x,) = / 2(X 2) =3 2 - = 2- o X l + l = X2 + l

«=> x, » x2 . f 2es inyectiva

2. Determinación de los rangos de / , y / 2

/ , es creciente en [-1.1/12] R an(/,) = , /,(l/2>] = [I .5/2]

f 2es creciente en < 2 , 4> ■=* R a n (/2) = C f,(2), /,(4)> ~ <-1/3, 3/5)

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Sección 1.12 : Función inversa 109

(Verificar analíticam ente la obtención de los rangos d e / , y / 2)
S ie n d o /, y / , inyectivas y R a n (/,) fl R a n (/2) =<}>,/es inyectiva e=> 3 / *
3. Obtención de la función /*
a) En / , , si y = /,(* ) «=>x = / ,* ( y )

P e ro , y = I + V9/4 - (x - 1/2)2 o jc = 1 ± V9/4 - ( y - l) 2 = 1 ± 1 V5 + 8y - 4y2

Como el D o m (/,)= [-l . 1/2) . o s c a x í í 1/5 .=> /,*(>’) = \ (I - V5 + 8 y - 4 y 2) , V y e [1 ,5/2]
o bien : f * ( x ) = (1 - V5 + 8* - 4x2)

b) E n / 2 , s i y = f 2(x) & x = f * ( y )

D ado q u e : y = 2 -----t=> x = { +
x+1 2-y

/ 2* (y ) ~ ,ye<-l/3,3/5>

1 ( 1 - V5 + 8jc-4jc2) , s i J t e [1, 5/ 2]

/• « = i x+5 , si jce (-1 /3 , 3/5) F IG U R A 1.109

2 - jc

4. O bsérvese en la F igura l . 109 que las gráficas de / y / * son partes de las circunferen­
c ia s '<?y\ (jc - 1/2)- + ( y - 1)- = 9/4 y ( x - 1)2+ ( y - l/2)2= 9/4 , respectivamente. ■

EJEM PLO 19 J Sean las funcione*: g(jc) = V ¡jc2- 4 1 - 3 , jc g (-o s, -4] U (0 ,2) y

f 2 -jc 2 . s í j c g [V3 .2] , t ales que / = h* o g

/(jc) - s
[ 1 - V ¿ ^ 4 ,s i * € <-«,-4]

a) Demostrar que / y g son funciones inyectivas
b) Hal lar la funcióp h.

Solución a) S e a n /,(jc )= 2 - x 2 [V3 , 2] y f 2(x) = l - Vjc2- 4 , jc e <-«>, -4]
1. E n / , : s i /,( * ,) = / ,( x 2) >=> 2- j c, 2 = 2 - x 22 *=> U J = \x2\

Como x e [V3 , 2 ] , es d e c ir, x > 0 «=> jc, = x 2 , / , es inyectiva
E n / . , : s i / 2Cx,) = / 2(*2) >=> I - Vx,2- 4 = 1 - i x 22 - 4 ■=> |x, I = !jc2)
D ado que jc € (-«» , - 4 ] , esto es jc< 0 ■=> -jc, = -x, jc, = jc2 , / 2es inyectiva.
2. Determinación de los rangos
/,( * ) = 2 - j 2 es decreciente en [V3 ,2 ] ■=> R an( /,) = [ / , ( 2 ) , /,(V 3 )] = [-2 ,- 1 ]

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110 Capítulo ¡ : Funciones

f 2(x) = 1 - Vx * - 4 es creciente en ,-4 ] ■=> R a n (/,) = ( / 2(-°°) . / 2(-4)l

= <-°° , 1 - 2^3 ]
Siendo R an(/,) f l R an(/,) = ó , / e s inyectiva, entonces ex iste/*

f x2 - 4 , si x2 > 4 <=> ( x < - 2 ) v ( x > 2 )
3. Hn g : Ijc2 - 4 1 = <

[ 4 - x2 , si x2 < 4 <=> (-2 < x < 2)

Interceptamos estos dominios parciales con el Dom(g) y obtenemos

í Vi2""-4 - 3 , si x < - 4 (g l)
g W = í ,____ (g2)

[ V 4 -X 2 -3,siO<x<2

4. En g , , seanx, ,x 2 e Dom(g,)

S ig ,(x ,) = g,(*2) ■=> Vx,2 - 4 - 3 = Vx22- 4 - 3 = o | x , | = | x2l
Com o x e (-«», - 4 ] , es d e c ir , x < O -x, = -x2 x, = x2 ; g | es inyectiva.
Análogam ente , p arax , ,x 2e Dom(g2) se prueba q u ex , = x 2 ; g2esinyectiva
5. Determinación de los rangos de g, y gj
g,(x) = Vx3 - 4 - 3 es decreciente en (-«* ,-4 ] Ran(g |) = [g ,(-4 ), g,(-°°))

= [2>/2 - 3 , +°°>
gj(x) = V 4 - X 3 - 3 es decreciente en ( 0 , 2 ) <=> Ran(g2) = ( g ,( 2 ) , g2(0) = (-3 , - 1 )
D ado que Ran(g l) fl R a n (^ ) s=<J>, entonces g es inyectiva , V x e Dom(g)

b ) Si / = h* o g => / o g* = ( h * o g ) o g * = h * o ( g o g * ) => f o g * = h * o I = h*

Luego , h = (fog*)* = g o f * (Propiedad F l.4)

1. Determinación de la función inversa de /

E n / , : si y = 2 - x 2 <=> x = + V2 - y t=> / * ( y ) = + V 2 - y

C o m o x e [V J , 2 ] , esto es , x > 0 <=> / * ( y ) = V 2 - y

En f 2 : si y = 1 - Vx2 - 4 « x = + V4 + ( y - I)2 / * ( y ) = + V4 + ( y - l) 2

P e ro x e (-<», - 4 ] , e s d e c ir, x < 0 *5 /* (> ’) = - ^ y 2 ~ 2 y + 5 , y € (-<», l - 2 ^3 ]

í V 2^I , x e [-2 , -2] (/*)
( / 2*)
/*(*) = < ,________

t - V F T i m " ,XE<-oo, 1-2V3]

2. g o / * está definida <=* D om (g) fl R a n (/* ) * ó

C o m o R a n (/,* ) = D o m (/,) = [V3 ,2 ] y R a n (/2*) = D o m (/2) = (-“ ,-4 ] .v e m o sq u e
sólo existen g[ o f 2* y g^o / , *
A dem ás: R a n t / ^ c i D o m f g ,) «=> D om (g, o f * ) ~ D o m (/2*) = ( - « , - 4 ]

R a n ( /* ) c D o m ( g 2) <=? Dom(g2o / * ) = D om ( f * ) = [ - 2, - 1]
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EJERCICIOS G rupo 6 . Función inversa 111

3. ( g , o / 2*)W = g, [/,*<*)] = g , M j e - 2 * + 5 l = V ( ^ - 2 t + 5 ) - 4 - 3 = I x - l l - 3

P e r o r e <-«>, 1 - 2V3 ] , es d e c ir, x < 1 (g, o -- ( •*- 1 ) - 3 = - a - 2

% o = g3[/* (x )] = g2(V 2 T 7 ) = V4-C2-JC) - 3 = ^ 2 - 3

[ Va + 2 - 3 , si x e [ - 2, - 1]

h(x) = g[/*(x)] = 5 _

I-x-2 , sixe I -2>/3 ]

E JE R C IC IO S . Grupo 6

1. Sea la función / : [1 ,4 ] [a , b ] , tal q u e /(x ) s x 3 -2 x + 3 . D em ostrarque la fu n c ió n /
es inyectiva y hallara y ¿p ara que sea biyectiva.

2- Si / , g y h son función es de IR en !R , definidas por las ecuaciones : /(x ) = 2 1x I - x ,

g(x) = x* ^+ 1 , h(jc) = 2x + 3 . Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones
x-2

a) /esinyectiva b) g es sobreyectiva c) hesinyectiva

3. Sean las funciones iwyectivas :/( x ) = 3a 2 - 6 x + 4 , x e [ 1 , + ° ° ) y g(*) = ,x^-l.
Si /* [g * (a)] - 2 , hallar el valor de n = /[g (a + 8/5)].

4. Dem ostrar que la f unci ón/ : IR—»(-1 , 1) |/( x ) = x es biyectiva.
1 + 1x1

5. S i g : A —» B y / : B —* C , son funciones inyectivas , dem ostrar que ( J o g ) : A —» C es
inyectiva.

6. Si / , g y h son funciones inyectivas, demostrar que si (Propiedad FI.5)
h = /og«=>/ = hog*

7. Analizar si las'funciones reales / y g son inyectivas.

- 2 x + 10 , a < 0 - x 2- I0a-21 ,A 6 [-5,-1]
Ia - 2 l - 1
V*2 + 1 6 , 0 < x < 3 g(*) = + 3| , x e <1 , 2]
/(*> = <

,a >3

Xa - 4

8. Sea la función lineal /( a ) = a x + b , x e [ - 3 ,3 ] , a > 1/2

a) Sih(A) = /(a ) + /* (x ) = a + - | .h a lla ra y b

b) Si g(A) = Ia + 3 ! - Ia + 1 [ , hallar. si existe, / o g .
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112 Capítulo l : Funciones

9. S i/* es una función biyectiva tal que / * ( * ^ ) = c > hallare! conjunto solución de

la inecuación / ( c) > -------
J ' x +4

10. S e a la fu n c ió n /in y e c tiv a .d e fin id a e n IR por la ecuación

f(x) = -Vi -jc , x < i . H allar/* (-2 ) + 2 /* ( 1/2) + 3 /* (2 )
x-[x] ,\< x< 2

3 x - 5 , 2 < Jt< 4

11. Si / y g son funciones reales tales q u e / ( * - 1) = 3at + 2 y g(2x + 3) = 4x + 4 ; hallar
(g*o/)(x) y (/*og)(x)

12. D e c im o s q u e u n a fu n c ió n / : A —» (R , con A c E e s e stric ta m e n te d e c re c ie n te si
V x ,, x 2€ D o m (/) : x l < x 2 «=> f ( x {) > f ( x 2) . D em ostrar que si una función g : A —» B .
con B c IR es sobreyectiva y estrictam ente d e c re cien te, entonces : a) g tiene inversa ,
b) g* es estrictamente decreciente.

13. Sea la función : h(x) = [ jc 3 - 2j t + 2 , x < 0
s

[ - 3x* - 6 x + 2 , x > 0

a) Demostrar que h es estrictamente decreciente. b) Determinar h*

14. D em ostrar que la función / ( jc) = 1\2 (12 - 4 x + x 2) , x e [ 0 , I) U [2 , 3] es in y ectiv a y
hallar/*

f 2-x2 ,V3 <JC <2
15. Sean las funciones : /(x ) = <
y g(x) = \ x - 2 1 , x € [-4 , -3/2]

[ l - Vjc2 - 4 , x < - 4

Hallar (g + /*)(jr)

16. Sea la función f( x) - ^ ^ - I , x e (1 , 2 ) .dem ostrar q u e / e s inyectiva y
hallar/*.

r JC- 1 ,*e[-I,2]

17. Sean las fu n cio n es: / ( * ) = <! [ 2jc1 - 2 f jc 1 : g(x) = ,x±2

[ -------- *-------- , x e <2 , 3>

H allar si existen , las funciones / * , g * y ( / o g )*

í - ± ( x 2 - 2 x - 5 ) , x e [I ,4]
18. Sea la función real / : A —> B |/( x ) = s

[ - 2x + 3 ,x € [-2, I)

Haciendo las restricciones posibles, hallar A y B para que / sea biyectiva, de modo tal que
el dominio restringido sea el mayor posible.

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EJERCICIOS . Grupo 6 : Funcum m\*rsu 113

19. Si /(x ) = 2 a - 3a , hallar los valores de a de m odo que f ( a - l) = / * ( a 2+' 2)
20. SÍ / ( a ) = ( U - 5 1 + 1 + a ) V5 - x , hallar si e x is te , la función f*( x)

*> En los ejercicio s 21 al 3 4 , se dan las funciones reales / , probar q ue son inyectivas y
h a lla r, en cada caso, la función /*

4 - V a2 + l2x + 27 , x < - \ I j ^ + l . a g [ A , - 2>
Va + 2 , x e [ - 2 ,2 ]
2i. m = 22. / ( a ) =

x2+ 6x + 6 ,a > 0

a 2 + 2 a - 2 , x e [-3 , - 2 ) - 2x* + 8 a - 7 , jc < 2

23. f(x) = < x e (. | 2) 24. / ( a ) = i
l*+ 3l -\J x + 6 >x<2

U-21-1

a 2 + 4 a - 5 , a g [-2, I) x2+ 2x + 2 , x < \

25. f(x) = 26. /(x) =

x-5 , x e [5 , +«=) [ a3+ 4 ,x < I

4 x - jc2 , x e (-©o , 2 ) 28. f ( x ) = ^ x S g n ( ‘x ^ y ) ■; c e í"3 ’ 2)

A .X£ <2,4> -ix 2 , a g [ 2 . - h ~>
x-2
f x2 ,* 6 [1,2)
r 2a - I , a g < - ~ ,- l> 30. /(jc) = i [ a ] +V a- [ a ] , a g [-1 , I)

2 9 . f( x ) = ^ 4.Í2 , a g [-1 , 0 ] l-V ^c , a g [-9,-1)
l x + 4 , x e <0, +©o)

31. / ( a) = a2 - 8a + 7 , a e (-3 , - I ) U (4 ,7 ] í Va - 3 , a g [3,+ « > )

,_____ 32. / ( a) = ^
V 7 -2 a , a g [-1 ,3 ) [ A2 + 2 x - 3 , A e [-1 , 1)

33. / ( a ) = a 2 + lQr + 2 1 , a g [-7 , -5)U [ - 2 , -I) í - Vl - a , a < 0
1 + V Á T T , A € <-1 , 3] 34. / ( a ) =

L X2 + 1, A > 0

En los ejercicios 35 al 4 0 , se dan las funciones reales /
a) H allar. si existen , las funciones / *
b) D ibujar, en cada c a so , las gráficas de / y / * en un mismo plano.

f a2+ 2a + 2 , a g ,-1 ) Í - a2 - 2 a , a g [-3,-1)

35. m =< 36. /(.r) = <

[ - V x + 1 , A G [-],+«>) [ 2 + V 3+ 2A -A 2 , 1 6 [-1 , 1]

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114 Capítulo ¡ : Funciones

- x2 - 4x - 3 , x e ( - « , -2] 1^-41 , jce [ 0 , 2 )
3 + Vx , x g [J , +«»)
37. /(x) = 38. /(*) =

- ^ x * + x - 1 , x e [2, +°®>

- 4 - ( x + 2)2 ,x e [-5 ,-2 ) í - (j t + 6x + 8 ) , x e { - « > , - 4 ]
2x[x + 3] ,x e ( -2 .-l>
40. f(x) = [^ x + 3 . ;t€ (0 ,3 )
39. /( x ) = <¡ Vx^T
2 + Vx + I , X G < - ] ,3 ) , x e [ 1 0 ,+eo)
4 , si JT= -1

41. Sean las funciones : /(x ) = s
[ x +1 , x > - 1

H a lla r, si e x is te , la función h = / o g*

42. Sean las fu n c io n e s/y g definidas por

í I0-V2-X ,x < -2 í 4-x ,x<- 3

/(*> = í ,2 <x<4 . g« = í

[ j^ + 4 lV 2T3,3<xS4

D eterm inar una función h , si existe , tal que g = h* o /

2x3- 12x+ 2 , - 2 < x < 3

43. Sean /(x) = iJC< _ 2 y g(x) = - x+2 , x> 3
x -3

Hallar la función h = / * o g indicando su dominio y regla de correspondencia

44. Sean las funciones : h(x) = I x - 1 1 - 3 ,x e (-60 , | - 2>Í3 ]
; g(x) = V |x 3 - 4 1 - 3 , si

V jc + 2 - 3 , x e [ - 2 ,- 1 ]

x e (-0 0 , -4 ] u (O , 2 ] . Si h = g o / * , hallar la función / .

45. Sean / , g , h y t funciones reales definidas por

f 2-x,x<0 f V jT l,x > I t(x) = - 1-V ^ .x < 0
Six) - < ; h(x) = s x-3 ,x>4

[ 3-x,x>4 [ x ,x<0

S i t ^ h o g o / , hallar las funciones g y g* , si es que existen.

46. Sean las funciones g y / definidas por :

V81 Sgn(x- 3) + x2 , x < - 9

g(x) = | - x ^ 6 j . - 9 < x < 0 y /( x ) = { (x , ^ 7 ^ 7 ) Ix2 > 49} . H allar g + / *

V l x - 11 + 8 , x > 0
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Sección 1. ¡3 : Función longitud de arco 115

(1 .1 3 ) FUN CIÓ N LO N G ITU D DE ARCO

Consideremos la circunferencia unitaria (radio= l )con centro en el origen de coor­
denadas :

V = { ( x , >) e ÍR2 1x3 + y 2 = l } <= ÍR2
Fijem os el punto P0= ( l ,0 ) com o punto de referencia (punto inicial). Sea a e ÍR el arco PÜP ,
donde P = (x , y) es el punto móvil (punto final). Si a tiene orientación positiva ( a > 0)
entonces P se m ueve en sentido antihorario desde P(l (Figura l . 11ü a ) . Si a tiene orientación
negativa ( a < 0) entonces P se mueve en sentido horario desde P0(Figura l . 110b)
Podeinos decir entonces que a cada número real a le corresponde un único punto ( x , y) de la
circunferencia. Es decir , esta correspondencia es una función vectorial cuyo dominio es el
número real a y su rango el par ordenado (x , y) que representa al punto P sobre la circunferen­
cia.
Se define entonces una función L de IR en IR -, tal que L ( a ) es el punto P cuya distancia a lo
largo de rff a ( l , 0) es a radianes.

F IG U R A 1.110

Definición 1.26 : FUNCIÓN LONGITUD DE ARCO

Se denominafunción longitud de arco a la correspondencia L que asocia a cada longitud de
arco a un único punto P(x , y) e x 2 + y1= I . Esto es •

L : IR -» , ré a tRJ
« t * (x , y) , .x* + y 1 = 1

[ EJEM PLO 1 j Considerando que la longitud de la circunferencia unitaria es 2 n , tene­
mos las siguientes correspondencias entre puntos sobre # y los ángulos

cuadrantales : 0 , n / 2 , n , 37t/2 y 2rt

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116 Capítulo ¡ : Funciones

L : a -» (* ,y) Significado

a) L(0) = ( l , 0 ) Al arco cuya longitud es ct= Ole corresponde el punto (I , 0)
b) L(n/2) = (0 , I ) Al arco cuya longitud es a = rt/2 le corresponde el punto ( 0 , 1 )
c) L(7t) = ( - 1 , 0 ) Al arco cuya longitud es a = n le corresponde el punto (-1 ,0 )
d) L(37t/2) = ( 0 ,- 1 ) Al arco cuya longitud es a = 3ti/2 le corresponde el punto ( 0,-1 )
e) L(2ji) = ( 1 , 0 ) Al arco cuya longitud es a = 2tele corresponde el punto ( 1 , 0 )

OBSERVACION 1.23 Como la distancia 2n corresponde a una revolución levórica (senti­
do antihorario) sobre 9? y la distancia-271corresponde a una revolu­

ción dextrógira (sentido horario) sobre í?, es evidente que al arco a y al arco a + 2 n le corres­
ponde el m ism o punto ( x , y) € í?. Por tanto, es fácil notar que la función L : IR - » f 'e s una
función periódica de período 2n , es d ecir:

lo que im plica: L ( a + 2rt) = L (a ) , V a e IR
L ( a + 2nJü) = L(ct) , V a e [ R , V n e Z

para n revoluciones levóricas si n e Z+y dextrógiras si n € Z'

Ejem plos: 1. L(7tc) = L(íi + 3 x 2iz) = L(it) = ( - 1 , 0 )
2. L(9it/2) = L(Jt/2 + 2 x 2n) = L(Jt/2) = ( 0 , 1 )
3. L(-2l7t/2) = L(-Tt/2 + (-5 )x 2 n ) = L(-7t/2) = ( 0 , - 1 )

OBSERVACIÓN 1.24 En el AOQP de la Figura 1.110a, el ángulo central POQ tiene por
medida el arco a , entonces

0 —C a7=te-t-o---o p u e s to y Cateto adyacente x
Sena = = -7- =y ; C o sa = — —------ =4 =x
Hipotenusa 1 Hipotenusa i

de modo que el punto P e f?si puede expresar por P = (Cos a , Sen a ) . Luego , la función
L : IR —» r(? nos se rv irá , a h o ra , para definir las funciones trigonométricas.

[1.14) LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

En esta sección estudiaremos las seis funciones F I G U R A 1.111 : P = L ( a )
trigonométricas, empezando por las funciones circulares básicas
que son el Seno y C oseno, éstas se denotan por Sen y C o s; y se
definen como sigue:
Para cada a € R , Sen a y Cos a son , respectivam ente , la
segunda y primera coordenada de la función P = L (a ), siendo
P el punto cuya distancia , a lo largo de la circunferencia ^ ,
desde P0 = (1 ,0 ) es a , esto es :

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Sección /. 14 : Las funciones trigonométricas 117

Entonces, ( Cos a ^.Sen a ) - L í$ ) , V a e R t

a) Sen : IR —» IR
a —> Sen a = ordenada de L(ct)

b) C o s : IR —» IR
a —» C os a = abscisa de L (a)

EJEMPLO 2 ) a) Mediante el uso de la definición de función circular, hallar Sen(Ji/2)

y Cos(7i/2)
b) Hallar todos los a tales que Sen a = 0
c) Hallar todos los á ta le s queC os a = 0
d) Hallar el valor de Sen(3n/4) y Cos(37t/4)

Solución a) Com o L(it/2) = ( 0 , 1 ) y L(tü/2) = ( Cos ^ , Sen ^ ) , e n to n ce s:

( 0 , 1) = ( Cos \ , Sen \ ) » Cos f = 0 y Sen J = 1

b) Si Sen a = 0 « L(a) = ( 1 , 0 ) ó L(a) = (-1,0 )

<=» a = 0 + 2n7t ó a = 7 t + 2 n 7 t , V n e Z

«> a = { - 2 n , 0 , 2tc , 4 r t , . . . . } U {-3tc, - n , n , 3 n , . . . .}

<=» a = { - 3 rc , -2 tt , -71, 0 , tc , 2jt , 3 n } = nrc , n € Z

c) Si Cos a = 0
» L ( a ) = ( 0 , l ) ó L(a) = (0,-1 )

e=> a = ^ + 2 n 7 t ó a = ^7 r + 2nr c, n e Z

<=> a = { . . , - y J t , - | , y te , y tc , . . U

<=>o={. . . - ■ | i c , - - | 1- | , - | j i , - | n , ^ i t , - | 7 t , y f t , . . . } = - | + n J t , n E Z

d) Sea U = ( x , y) un vector unitario en la dirección del vector

v = (-1 , 1) .L u eg o , si
!=> U = (-1 , 1)

V2

r lo que si L(37t/4) = u = (- - i , , - j= )

Entonces ; Sen (3n/4) = ~ y Cos(3n/4) = “

OBSERVACIÓN 1.25 La correspondencia que existe entre los puntos de la circunferencia

9?: x1+ y2= 1 , extremos de los arcos a , y los puntos del plano IR2

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118 Capítulo I : Funciones

hace posible establecer, entre otras , algunas relaciones típicas de la trigonometría como las
siguientes
a) Al ser P(Cos a , Sen a ) e V : x2+ y 1= 1 , se obtiene la relación fundamental

C o s 2a + S en 2a = I
b) Dado que P es un punto de la circunferencia unitaria, tanto su abscisa como su ordenada

en el plano cartesiano varían entre -1 y I , y com o tal
- 1 < Sen a < 1 <=> i Sen a I < I
- I < Cos ex< I <=> IC os a I < I

c) De L ( a + 2níC) = L (a ) , V a e IR y V n e Z , se deduce inmediatam ente que
C os(a + 2 n n ) = Cos a y Sen(a + 2n7i) = Sen a , V a e K . V n e Z

'Nota Las restante funciones trigonométricas : tangente , cotangente , secante y cosecante se detinen
en términos del Seno y Coseno , por lo que debemos eliminar los a e IR tales que Sen a = 0 y

Cos a = 0

Definición 1.27 : LAS OTRAS FUNCIONES TRIGONOMETRICAS

Sean los conjuntos : D = { a € R l a ^ n í t , n e Z } y E = { a € l R | a í i - ^ + nTC1n e Z ).
Entonces definim os:

a) Tg : E —> IR c) Sec : E - » l R - ( - l , l >

a —> T g a = J é Hí L a —> Sec a = 1
Cos a Cos a

b) Cotg : D —» IR d) Cosec : D —> ER- ( - 1 ,1 )

a —>C o tg a = —Q--— a —> C oseca = *
Sen a Sen a

Además , si a e [R y L (a ) = ( x , y ) , por la Definición1.2 7 , se tiene

a) Sena = y c) Tga = y , x * 0 e) Seca = - , x * 0

b) C o sa = x d) Cotga = y , y * 0 f) Coseca = y . > ^ 0

i EJEMPLO 3 ) H allar el valor que tom an las funciones trigonom étricas en el arco

a = 5 ti/3

\Sulucivri | Com o = 2 it- y , laFigura 1.113 muestra a la circunferencia W : x l + y 2= I

en la que a > 0 y cuyo punto terminal P(a: , y) está en el IV cuadrante.
El triángulo rectángulo OQP tiene ángulos de 30° y 60° y por geometría sabemos que la longitud

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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas 119

del cateto opuesto al ángulo de 30° (OQ) es la mitad de la hipotenusa. Estoes, s ijt= l / 2 e y < 0 .

entonces de x 7+ >'2 = 1 se obtiene : y = - VI - Jt2 = - V3/2

YA

b) Cos^-—n ) = x = ■— e) Sec rcj = — = 2

[1 .1 4 .1 ) PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TRIGONOM ÉTRICAS

Para todo a e IR , donde lus funciones trigonom étricas respectivas están definidas , se

cum ple:

1. Sen ( a + n/2) = Cos a 4. C o tg (a + n/2) = - T g a

2. Cos ( a + n/2) = - Sen a 5. Sec (a + n/2) = -C osec a

3. T g (a + n/2) = -C o tg a 6. Casec (a + n/2) = Sec a

Demostración Recordemos que si v = (x, y) es un vectoren IR: , el ortogonal a dicho vector

es V1 = ( - y ,x ) .G eom étricam ente el vector v Ase obtiene mediante un giro
antihorario de 90° del vector v (Figura 1.114).
Ahora , com o a los núm eros reales a y a + n/2 les corresponde , respectivam ente los
puntos P(* , y) y Q(- y , x ) , apoyándonos en la notación del vector ortogonal podemos
escribir : L (a + n/2) = [L (a)]'L
Es d ecir, si

L ( a ) = ( x , y ) <=* L ( a + n /2 ) = ( x .y ) 1 = (-y ,a :)
E ntonces: (Cos a , Sen a ) = ( x , y ) <=> [C os (a + n /2 ) , Sen ( a + n/2 )] = (- y , a:)
Por lo q u e :

I. Sen (a + n/2) = x = Cos a 4. Cotg (a + n/2) = - Tg a

2. Cos (a + n/2) = - y = - Sen a 5. Sec ( a + n/2) = —y = - Cosec a

3. Tg (a + n/2) = = - C o tg a 6. Cosec (a + n/2) = -i = S e c a

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120 Capítulo 1 : Funciones

TEOREMA 1.3 : A rco s iguales y de signo contrario

Para todo ct e I R . d onde las funciones trigonom étricas respectivas están d e fin id a s , se :

cumple

1. Sen (-a). = • Sen a 4. Cotg (-á) = - Cotg á

2. C os(-a) = CoS a 5. Sec(-a) = Sec a

3. T g (-a) = —T g a 6. Cosec (-a) = -C osec a

D em ostración En efecto , estas igualdades son consecuencia de que los puntos P = L(cc) y

Q = L (-a) son sim étricas respecto del eje X . ya que por estar en una
línea vertical les corresponde la misma abscisa , en tanto que sus ordenadas difieren en
signo (F igura 1.1 15) , por lo ta n to , si

L(a) = (x , y) « L(-a) = (.* ,- y)

L uego, se sigue que :

l. Sen (-a) = - y = - S e n a 2. Cos (-a) = x = C o sa

„ ^ , _A 7CS7eo7ns 7((--7aa7)) = - Sen a ^ ^ , Cos (-a)
3. Tg (-a) = Cos a = - Tg a 4. Cotg (-a) = c _ , = - Cotg a

Sen (-a)

5. Sec (-a) = 1 = 1__ = Sec a 6. Cosec (-a) = 1 = - Cosec a
Cos (-a) Cos a Sec (-a)

TEOREMA 1 . 4 : Arcos complementarios

Para t p d p á e £R, donde las funciones trigonom étricas están definidas ,s e cum ple

L Sen ( v J 2 - a) = Cos a 4. Cotg (7t/2-a ) = T g a

2. C os(7t/2-a) = S en a 5. Sec(7t/2 - a ) = C osec a

X Tg (tc/2 - a ) = Cotg a 6. Cosec .(it/2-a) = ^ e c a

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Sección 1.14 ; Las funciones irigoiwmétricas 121

D em ostración En efecto , haciendo uso de los Teoremas 1.2 y 1.3 , se tiene :
1. S e n (rc /2 -a ) = Sen [(-a) + 7i/2] = C o s (-a ) = C o s a
2. C o s ( n /2 - a ) = Cos [ ( - a ) + ?t/2] = - Sen ( - a ) = - [-S en (a)] = Sen a
3. Tg (nl2 - a ) = T g [(- a ) + nf2] = - Cotg(- a ) = - [- Cotg (a)] = Cotg a

Los otros casos son similares.

TEOREMA 1 . 5 : A rc o s suplem entarios

Para todo a e IR »donde las funciones trigonométricas están definidas , se c u m p le :

1. Sen (7i - a ) = Sen a. .4. Cotg (7t - a ). = - Cotg a

2. Gos (n - a ) = - Cos a 5. Sec {n - a ) - - Sec a

3. T g(7üra) = - T g a 6. Cosec (7T- a ) = Cosec a

La demostración se deja como ejercicio.

TEOREMA 1.6 : A r c o s q u e d ifie re n e n ji ra d ia n e s

V.r e (R . donde las funciones trigonométricas están definidas ..se cumple

1. Sen ( a + 7t) = - Sen a 4. Cotg (a + rt) = Cotg a

2. C o s.(a + 7t) = - C o s a 5. S e c ( a + n) = - S e c a

3. T g (a + rt) = T g a 6. Cosec (a.+ rc) = - C osec a

La demostración se deja a cargo del lector.

EJEMPLO 4 ) En la circunferencia unitaria de la F i­ F IG U R A 1.116

gura !. 116 : a = longitud del arco QP y (Teor. 1.6)
P = ( - 3 /5 ,4 /5 ) . Hallar un punto T de la circunferencia tal que
la longitud del arco Q T sea a + (Teor. 1.2)

Solución S Í L ( a ) = P ( x , y) <=> L ( a ) = (-3 /5 ,4 /5 )
y si T = L (a + liíI2 ) = L [(a + 3n/2) + 2rt]

Entonces :T = L (a + 3ir/2) = L [ ( a + - j ) + r c ] = - L ( a + ^ )

= -lL (a)]1

Luego: T = - [(- 3/5 .4/5)]1 = - (- j , - | ) = ( j , - | )

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122 Capitulo I : Funciones

( EJEM PLO 5 ^ Si la longitud del arco Q TP es a y la f~ ya

longitud del arco QT e s a - 5n/3 , hallar f t v- . t
4 Sen p - 3 Cos P , donde p es el ángulo formado por OQ y
ÓT.

Solución Com o el radio de la circunferencia es r —5 , desig­
Entonces: nemos un vector unitario U en la dirección de O P .

F IG U R A 1.117

u = L (a) = ^ ' 5 1 ^ ) «de donde : Cos a = - | y Sen ct=
..(-3,4)11 5

Si QTP = a = * r a = a « a = 5cx

_ í Sen P = Sen (a - 4 ) (1)

QT = rp i = > a - 4 K = 5p<=>P = a - -fi=> < J (2)

Cos p = Cos (a - ^ )

En (1): Sen P = Sen a Cos f - Cos a Sen § = ( j ) ( { ) - (" j ) ( ^ ) =4 * q ^

Cos P = Cos a Cos y + Sen a Sen= ( - y ) ( Í ) + ( f ) ( ^ ) = '' ^ +\ Q ^
_3
Portante: 4 Sen P - 3 Cos P = 4 =| ,

O B SER V A C IÓ N 1.26 Periodicidad de lasfu n c io n e s trigonom étricas_______________

Las seis funciones trigonométricas son periódicas
a) El período de Sen , Cos , Sec , y Cosec es 2n
b) El período de la T g y de la C otg es jt

E JE M P L O 6 ] S i/U ) = Sen(ax + b) y g(x) = Cos(ax +6) , a > 0 , demostrar q u e / y gson
funciones periódicas con período T = 2ida

D em ostración 1. Supongamos que f ( x ) = Sen(ax + 6) es una función periódica con período
T > 0 , entonces
i) Si jc e D o m (/) = fR «=> (jc + T) e D o m (/) = (R
¡i) 3 T > 0 1f ( x + T ) = f ( x ) , Vx e D o m (/) = IR

2. En particu lar, para x = 0 : /(O + T ) = /(O) <=> / (T ) = /(O)
3. Pero /(O) = Sen(0 + h) = Sen b <=* /( T ) = Sen i*
4. P or otro lado , ev aluando/ ( jc + T ) se tie n e :

f{x + T) = Sen(fl(jr + T) + b] = Sen[(ax + b) + aT] = Sen(ax + b) CosaT + Cosfox + b) Sen oT
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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas 123

5. Si x = O <=> /( T ) = Sen b Cos a T + Cos b Sen a T

y por (3): Sen b = Sen b Cos a T + Cos b Sen aT

6. La igualdad será válida si se cumplen simultáneamente q u e :

( Cos a T = I ) a ( Sen aT = 0 )

En ambos casos : a T = 2tc , 4 r t, 6tc , . . . . , n n , n e Z par

SÍ a T = n n . n e Z par t=> T = nn/a , n e Z par

7. Luego , si / es periódica , su período mínimo lo obtenem os eligiendo n = 2 , esto es :
T = 2n!a.

8. Con g(x) = Cos (ax + b) se procede en forma sim ilar. ■

EJEM PLO 7 ^ D eterm inar ei período de la función / ( jc) = Sen 2 c + 2 Sen 3 jc + 3 Cos 5 jc

Solución Si la f u n c ió n / es periódica y su período es T > 0 , se debe cum plir la condición :
f ( x + T) = / ( jc) , Vx e D o m (/) = IR

Esto es : Sen(2r + 2T) + 2 Sen(3x + 3T) + 3 Cos(5x + 5T) = Sen 2x + 2 Sen 3x + 3 Cos 5x

Por el ejem plo anterior sabem os que las funciones Seno y Coseno tienen com o período nrt
si n e Z p a r , o bien 2 n r t , si n € Z

Luego, si: Sen (2x + 2T) = Sen 2 x «=> 2T = 2n ,71, n ( € Z ( 1)
* Sen ( 3 jc + 3T) = Sen 3x t=> 3T = 2 n ,n , n2 € Z

Cos (5jc+ 5T) = C o s 5 jc e=> 5T = 2 n 3Jt, n } £ Z ,

de d o n d e: T = 2n,7t 2 n 27t 2niít n t n-> n» _
2 3 5~
T = ? = f sn€Z

n, = 2n , n2 = 3n , n3 = 5n

Los menores valores de n ,, n, y n3 para que se cumple la condición

/(x + T) = /(x) , V xe Dom(/)

lo obtenem os con n = 1 .e s to e s n, = 2 , n , = 3 y n3 = 5 q u e a lre e m p la z a rlo se n (I),re su lta

que: T = 2n m

(1 .1 4 .2 ) GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES TRIGONOM ÉTRICAS

Usaremos el círculo unitario para dibujar las gráficas de las funciones trigonomé­
tricas. Una mirada a la Figura 1.U 8 muestra lo siguiente
1. A » ( I , 0) es el origen de los arcos a
2. m (a ) = m (AP) = m (^ A O P ), es la m edida , en radianes , del arco a desde el punto

A = ( l ,0 ) hasta el punto genérico P = ( x ,y ) .
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124 Capítulo 1: Funciones

3. OP = (Cos a , Sen a ) es el vector unitario
4. x = OH = Cos a , es la proyección del vector unitario OP sobre el eje X (abscisa del

punto P).

5. y = HP = OC = Sen a , es la proyección del vector
unitario OP sobre el eje Y (ordenada de P)

6. Á f = Tg a
En efecto, AOHP = AOAT

,=> -1-1- = J £ L o .S en a AT ^ X ga

OH OA Cosa 1 B

7. PN = Cotg a

En efecto, AOHP = AOBM

^ OH BItf Cosa = BM o B M = Cotga
^ HP OB
Sena 1 F IG U R A 1.118

P e r o , AOBM = AOPN «=> BM = PÑ

=> PN = Cotg a

8. OS = Sec a (Verificar) (Verificar)
9. OM = ON = Cosec a

L GRÁFIC^JpE LA FUNCIÓN SENO

F IG U R A 1.119: Gr(Sen) = {(a . Sen a ) I a e [ 0 . 2 « ] }

OBSERVACIONES

1. El máximo valor d é l a función Seno es I y el m ínimo e s - 1 , es d e c ir, es a co tad a, p u e s :

- I < S e n a < 1 , V a e IR

2. Com o Sen a = - S e n (-a ), V a e IR , la función Seno es periódica impar (T = 2 n ) y com o tal
su gráfica es simétrica respecto del origen.

3. La función Seno es positiva Va e [ 0 , re], I y II cu ad ran tes, y negativa V a e (7t, 2n),

III y IV cuadrantes.

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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas 125

4. Es creciente en el I y IV cuadrantes, y decreciente en el II y III cuadrantes
5. La gráfica de la función Seno se conoce como la curva senoidal u onda senoidal.
II. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO

OBSERVACIONES

1. La función Coseno es a co tad a, pues su rango = [-1 , l ] , V a 6 IR
2. La función Coseno es una función periódica par, pues Cos a = C o s(-a), Va € R y como tal

su gráfica es simétrica respecto del eje Y.
3. Es positiva V a e [ 0 ,n /2 ] U [3 n /2 ,2 n ] , I y I V cuadrantes, y es n eg ativ a V a e {n /2 ,371/2),

II y III cuadrantes.
4. Es decreciente en el I y II cuadrantes y creciente en el III y IV cuadrantes
5. Com o S en(a + n/2) = Cos a , la gráfica de la función Coseno se puede obtener trasladando

la Gr(Sen) a una distancia n/2 unidades a la izquierda. De este m o d o , la G r(Cos) se conoce
también como onda senoidal.

III. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE

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126 Capitulo / : Funciones

OBSERVACIONES
1. L a función tangente no es acotada , dado que su rango = IR
2. Es una función periódica im par (T = ti) , pues : T g a = - T g ( - a ) ,V a € Dom(Tg). Su gráfica

es simétrica respecto del origen.
3. Es positiva V a e [0 ,J t/2 ) U [jc , 3jc/2) , I y III cuadrantes , y es negativa V a e (jc/2 , 7t) U

(3k/2 , 2jc) , II y IV cuadrantes
4. Es creciente en todo su dominio.

IV. G R Á FIC A D E LA FU N C IÓ N CO TA N G EN TE

<• s
lM
Y4 IG 1
'1 |27t> x
1
f/ \ ¿ S \ \a 1 \ \\
G(
l lW o : ^JC j \ •

=j í V e- : ! \ k’
/ •A *

\j

| G' l \M ‘

N. J

F IG U R A 1.122 : Gr(Cotg) = {(a , Cotga) la € R y a í n i . n e Z }

OBSERVA CTÓNLS

1. L a función cotangente no es acotada toda vez que su rango = IR
2. Es una función periódica impar (T = J t ) , pues :

Cotg(cx) = - C o tg ( - c t) .V a e Dom(Cotg)
Su gráfica es simétrica respecto del origen
3. Es positiva V a € ( 0 , Jt/2] U (J t, 3 jt/2 ], I y III cu adrantes, y es negativa V a e (jc/2 , re) U
<3jc/2 , 2 it) , II y IV cuadrantes.
4. Es decreciente en todo su dominio.

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Sección 1. ¡4 : Las funciones trigonométricas 127
V. G R Á F IC A D E L A FU N C IÓ N SE C A N T E

\ 7 - V.........! ...... e l
|D' J j ' l
'•................................ i

•i • B/ . | .............................¡ i V .
• E° - q - - - : - - t................................I - -
F/C\ 7 ^ 1 " a- : N :
j yS \

Gl V ní7 m 0 s! y'l(/i» ^y
HV / \x /9 ¡
211
r —j ........ , , ,
Vi

hi V * M‘
w

F IG U R A 1.123 : Gr(Sec) = { ( a , Sec a ) la e IR y a * | + n u t n E Z }

OBSERVACIONES

1. La función secante no es acotada pues su rango = -1 ] U [ I , +°°)

2. Es una función periódica par (T = 2 it), pues: Sec a = S e c (-a ),Va e Dom(Sec a ) y su gráfica
es simétrica respecto del eje Y.

3. Es pasitiva V a € [0 , jt/2) U 0rc/2 , 2 n ] , I y IV cuadrantes y es negativa V a 6 (n/2 , 3it/2),
ITy III cuadrantes.

4. Es creciente en el I y II cuadrantes , y decreciente en el III y IV cuadrantes.

VI. GRÁFICA D E LA FUNCIÓN COSECANTE

-Y/ / F iG |M’
kV
[
........... 1
1|
eJ.
1 . -v
f/ A . / ’S : : ”N : , .ict.Sen a)
v Ar '
G[ l * /: • ;
/: • : 1 \1 !

Y \ JM iV ;h
V s (L
........ , .......... .
H N/ . .......

*s

*- ^V .

F I G U R A 1 .1 2 4 : G r(Cosec) = { ( a , Cose a ) l a € IR y a * r m , n e Z }

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128 Capítulo I : Funciones

OBSERVACIONES

1. La función cosecante no es acotada, pues su gráfica se extiende indefinidamente hacia ± <*>.

Su rango es = -1 ] U [ 1 , +oo)

2. Es uría función periódica impar (T = 2rc), pues Cosec a « -C o sec(-a), V a e Dom(Cosec),
y como tal su gráfica es simétrica respecto del origen.

3. Es positiva V a e <0, 7i), I y II cuadrantes, y es negativa V a e ( n , 2 n ) , III y IV cuadrantes.

4. Es decreciente en el 1y IV cuadrantes, y creciente en el II y 111 cuadrantes.

Nota Cuando empleamos la variable x en lugar de a y escribimos y = Sen x o y = Cos x ,
entendemos que x puede tomar cualquier valor real y las funciones se evalúan con x medido

en radianes.

OBSERVACIÓN 1.27 Conociendo la forma básica de la gráfica de las funciones trigono­
métricas es posible dibujar otras más complicadas. La discusión de

traslaciones y reflexiones estudiadas en la Sección 1.4 es aplicable para las funciones trigono­
métricas , cuyas reglas de correspondencia están definidas de la forma

y — a Sen bx y = a Cos bx

y = a Sen b(x - h) y ~ a Cos b(x - h)

y — k ± a Sen b(x - h) y = k ± a Cos b(x - h)

donde a , b , h y k son números reales, a * 0 , b * 0

Para cada una de estas funciones:

A = la l = Am plitud de una onda senoidal = y | ym.(i - yni|B|

D = Ih l - Defasamíento de la gráfica de la función correspondiente
T = 2n!\ 61 , es el período fundamental de las funciones dadas

[ E JE M P L O 8 J Dibujar un ciclo de onda senoidal definida por las funciones :

Solución 1. f ( x ) - 4 Sen 2 ( * - ) n=>a = 4 , 6 = 2 , h = n f2

Período de la función : T = 2tí/I b I r=> T = Tt
Apelando a la form a básica de la función Seno , dibujamos un ciclo de la función en el
intervalo [0 , it] , según el orden siguiente

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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas 129

a) y = Sen 2x , con amplitud A = I
b) y = 4 Sen 2x , con amplitud A = 4
c) y = 4 Sen 2(x - n/2) , con defasamiento o traslaciónhorizontal de la gráfica en (b) . n/2

unidades a la derecha (Figura 1.125)

2. / ( x ) = 3 C o s je+ = 3 Cos ^ ( * + - § ) ^ f l = 3 , 6 = i t / 2 , h = -2/3

Período de la función : T = 2rc/1 n/2 [ <=> T = 4

Según ia forma básica de la función coseno, dibujamos un ciclo de la función en el intervalo
[ 0 , 4 ] . El orden es el siguiente :

a) y = Cos ( y jc) , con amplitud A = 1

b) y - 3 Cos *), con amplitud A = 3

c) y ~ 3 Cos ^ ( x + - j ) , con traslación horizontal de la gráfica en(b ) , 2/3 unidades a

F IG U R A 1.125 F IG U R A 1.126

3. / ( jc) = - 2 S e n ( ^ ) ^ a = - 2 , 6 = 2 7 t / 3 ^ > T = ^ = 3

Dibujamos un ciclo de la onda senoidal en el intervalo [ 0 , 3 ] , del modo siguiente:

a) y = Sen , con amplitud A = I y T = 3
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130 Capitulo I : Funciones
b) y = 2 Sen ( ^ p " ) , con amplitud A = 2 y T = 3
c)- y ~ - 2 Sen ( ) »reflexión en el eje X de la Gr( / ) en ( b ) . (Figura 1.127)
4 - /(•*) = 2 + C os ( jc - 7i/2) = w z = 1 , 6 = 1 , h = i t f l , k = 2 y T = 27t

Según la form a básica de la función coseno , dibujamos un ciclo de la onda senoidal en el
intervalo (0 , 2n + 7t/2], del modo siguiente :
a) >• = Cos x , x e [ 0 , 2jc]
b) y = Cos(x - 7 t/2), desplazam iento horizontal de la gráfica en ( a ) . tc/2 unidades a la

derecha.
c) y = 2 + Cos(jc - n / 2 ) , desplazamiento vertical de la G r(/) en (b) , 2 unidades hacia

a rr iba. (Figura 1.128)

Nota Lasgráficas de las funciones más generales de
f(x) = a Tg b(x - h) , }(x) = a Sec b(x - h)
f(x) = a Cotg 6(jr - h) , f(x) = a Cosec b(x - h)

pueden analizarse en formasemejante . Sin embargo . paraéstas funciones , no existe amplitud.

(1 .1 4 .3 ) OTRAS GRÁFICAS DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Las funciones definidas como la suma de funciones seno y coseno se presentan
con m ucha frecuencia en aplicaciones de matemáticas. En particular si representamos por h la
suma de dos funciones f y g en las que intervienen seno y coseno , con el mismo dominio , de
manera que

h(*) = /(x ) + g (x), V x e D o m (/) fl Dom(g)
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Sección 1. 14 : Las funciones trigonométricas 131

entonces la gráfica de h puede obtenerse a partir de las gráficas de / y g mediante la adición
gráfica de las ordenadas, esto es

Gr(h) = G r(/) + Gr(g) , Vx e Dom(/) D Dom(g)

•> Sugerencias para dibujar la gráfica de la función h
1. Elegir las funciones / y g indicando sus períodos y amplitudes. D e aquí deducir el período

fundamental de h.
2. Construir las gráficas de / y g con el período fundamental de h.
3. Elegir un número suficientes de valores de x de donde se trazan líneas verticales. (General­

mente se eligen aquellos puntos donde las gráficas de / y g interceptan al eje X o en las
intersecciones de ambas gráficas.)
4. Sobre estas líneas verticales, con una regla o com pás, se suma gráficamente las distancias
dirigidas/(x) y g(x).

[EJEM P LO 9 ^ Dibujar la gráfica de la función : h(x) = 2 Sen (-^) + 3 S e n ( ^ )

Solución 1. Sean f ( x) = 2 Sen y g(x) ~ 3 Sen

La amplitud d e / e s 2 y su período es T = = 4 ji

La amplitud de g es 3 y su período es T = = 6rt

De modo que el período de h es T = 6n
2. Dibujamos un ciclo para g (trazo fino) y un ciclo y medio para / (trazo punteado), tal como

se indica en la Figura 1.129.
3. Elegimos los puntos x - n , 2n , 3n , 4tc y 5ti y el que corresponde a la intersección de las

gráficas de / y g . Sobre esos puntos se trazan rectas verticales.

4. Sobreestás líneas verticales se suma gráficamente las ordenadas de los puntos correspon­
diente en las gráficas d e / y g. Por ejem plo, en x = x , ,/(x ,) y g(x,)son ambos positivos de
modo que el punto (x ,, h(x,)) puede obtenerse midiendo distancia dirigida /(x ,) y sumando
ésta a la distancia dirigida g (x ,). A sí, el punto ( x ,, híXj)) se encuentra por encim a del punto
(* ,» g (x ,)). En x - x 2, f{Xj) es positiva y g(x2) es negativa, d e modo que el punto (x2 , h(x2))
está debajo del punto (x2 , /(x 2)).

5. C om oh(-x) = - 2 S e n (-^ )-3 S e n (-^ J = -h (x ) >=^h(x) = --h (-x ), la función h es periódica

impar. Por tanto , si se tiene la Gr(h) en [0 , 6n] se puede obtener su gráfica en [-6 jt, 0] por

propiedades de simetría respecto al origen. ■

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132 Capítulo I : Funciones

\

\ iv GW
3
2 ’/T \s

Qds) ^

/l \ A

0 \/' í\ *
/\ * ■

: ' KV f r 5 x

l Tv

-2
F IG U R A 1.130

[E J E M P L O 1 0 ] D ibujar la gráfica de la función : h(jt) = Cos 2 jix - 2 Cos n x

Solución I. Sean : f ( x ) = Cos 2jl* y g(jc) = 2 Cos nx

El período de / es T, = 2n = I , y el de g es T2 = = 2 de modo que
2n

el período de h es T = 2

2. Dibujamos dos ciclos para / (trazo punteado) y un ciclo para g (trazo fino), como se ilustra
en la Figura 1.130.

3. Dividimos el período fundamental de h en 8 puntos, desde los cuales trazamos líneas verti­
cales.

4. Sobre estas líneas verticales , m ediante la adición gráfica de las ordenadas obtenem os la
gráfica de h(trazo oscuro) en x e [ 0 , 2 ] .

5. Como Cos(-*) = C o s* c=> h(-*) = h (* ),V * e D o m (h ). Luego , si se tiene la gráfica de h

en [ 0 , 2 ] , se puede obtener fácilmente su gráfica en [-2 , 0] por propiedades de simetría

respecto al eje Y . ■

Nota* La función del siguiente ejemplo no contiene funciones de seno y Coseno , sin embargo se
puede llegar a éstas por medio de las identidades trigonométricas.

( e j e m p l o 1 1 ^ Dibujar una gráfica de la función

Solución VI Cosec ( n x / 12) - Sec (n x / 12)
“ 2 Sec ( n x / 12) ■Cosec ( n x / 12)
Por medio de las identidades recíprocas correspondientes se llega a la fórmula :

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Sección ¡.14 : Las funciones trigonométricas 133

/ W = | c o s ( M ) . . Se „ ( f )

« M - C o s ( f ) C o s ( S ) . S e n ( | ) S e „ ( M ) . c o S ( M + S ) . C o s - j y (x + 2)

A_
De donde, el período de la función es : T = - = 24

* 71/12
Conociendo la forma básica del Coseno podemos dibujar un período de la función en el interva­
lo [ 0 , 2 4 ] , con el orden siguiente :

a) y = Cos x , con amplitud A = 1 y período T = 2n

b) y = Cos (y iy ). con amplitud A = 1 y período T = 24

c) y = Cos (jc + 2) .co n traslaciónhorizontalde lagráficaen ( b ) , 2 unidades

a la izquierda. ■
El trazado de la gráfica de la función / se deja como ejercicio.

( e j e m p l o 1 2 ] p ¡b uja r h, gráfica de la función h fx j- x + Sen x , p arax e [0 , 2n]

Solución l . Sean f {x) = x y g(jc) = Sen x
2. Se dibujan las gráficas de / (trazo fino) y g(trazo discontinuo) en el mismo
plano coordenado (Figura 1. 13 1)

3. Se traza los puntos en los valores de x para los cuales Sen x = 0 , esto es , x - 0 , n , 2 i t . En
estos puntos la Gr(h) intercepta a la G r(J)

4. Se obtienen otros puntos de la Gr(h) mediante la adición gráfica de ordenadas , eligiendo
algunos valores arbitrarios de x , tales como x = nJ2 y x = 3nf2

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134 Capítulo l : Funciones

5. C om oh(-x) = - x - S e n x e=> h(-x) = -h(x), la función h es unafunción im pary p o rello su

gráfica es simétrica respecta al origen . Por lo tan to , si se tiene la Gr(h) en x e [0 , 2 n ] , la

posición de la Gr(h) en x e [-271,0], se sigue de las propiedades de simetría. ■

[EJEM PLO 13 J Dibujar la gráfica de la función definida por h(jc) = £ Sen x para

x e [-n , 0) fl {0 , jc]

Solució n 1. O bsérvese que h(-je) = Sen(-x) = - y (-Sen x) = y Sen x = h(x)

entonces h es una función par y por ello su gráfica es simétrica respecto al eje
Y . Por tanto, primero dibujaremos su gráfica para x e (0 ,7i].

2. Como -1 < S e n x < 1 , y s i x > 0 t=> - y < y S e n x < y

3. Sean : /(x ) = - y y g(x) = y , cuyas gráficas son hipérbolas equiláteras que tienen por

asíntotas los ejes coordenados.

4. Si dibujamos las gráficas de estas hipérbolas p arax > 0 notaremos que la Gr(h) se encuentra
entre las gráficas d e / y g.

5. Dado que Sen(n/2) = I , la Gr(h) corta a la Gr(g) en x = tc/2 . A d em ás. la G r(h) intercepta
al eje X en x = 7t, pues Sen n = 0 .

6. Ahora b ien , como Sen x > 0 ,Vx € {0, 7t], en este intervalo la Gr(h) se encuentra arriba del
ejeX .

7. D e toda esta inform ación se dibuja Ia G r(h )e n { 0 , jc] .según se muestra en la Figura 1.132.
8. L a porción de la G r(h) en x e [-jc , 0 ) se dibuja de acuerdo con las propiedades de sim etría

respecto al eje Y.

9. Obsérvese queexisteun punto abiertoen el eje Y locual indica q u e e n x = Ola función no

tiene sentido, es d ecir, /(0 ) no existe. ■

EJEM PLO 14 j Hallar el período y dibujar la gráfica de la función

/(x ) = ISen Ttx I

Solución Si / es periódica ■=» 3 T > 0 1/( x + T ) = / ( x ) , V x e D o m (/) = IR
En particular, para x = 0 e D om (/) : /(T ) = /(0 )

Pero com o /( 0 ) = ISenOl = 0 y /( T ) = I S en riT l , entonces ISen 7cTI = 0 , cuya solución
es : n T = k n « T = k<= Z+ ^ T = { 1 . 2 . 3 . 4 , . . . , n }
L uego, el período mínimo o fundamental de la función / es T = 1
Obsérvese que si usáramos la fórm ula T = 2 n / \ b I para hallar el período de la función /o b te n ­
dríamos , T = 2jc / 7c= 2. Esto significa que cuando se trata de funciones trigonom étricas d e la

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Sección 1.14 : Las funciones trigonométricas 135

forma
/(x) = k ± |a S e n fc (x -h )| o f{x) = k + |aC os& (x- h)|

el período de estas funciones, por el valor absoluto, se recorta en la m itad, esto es

T - -— I 2 i l \ _ZL
2 \ \ b \ i Ibl

C om o f ( x ) > 0 , V x e D o m (/) = IR >4 O í I Sen n x I < 1 , es d e cir , R a n ( /) = [0 , 11,

entonces conociendo la forma básica de la función Seno , dibujaremos las ondas senoidales

sobre el eje X , tal com o se m uestra en la Figura 1.133 ■

F IG U R A 1.133

(EJEMPLO 15 ) Dibujar la gráfica de la función definida por

/(x) = C o s f [ x ] + C o s ^ x , V x e [-4,4)

Solución S i [ x ] = n < = * n < x < n + l i = > ^ [ x ] = y n

Dando valores a n hasta cubrir el intervalo [ - 4 , 4 ) , esto es , si n = - 4 , -3 , -2 , - 1 ,
0 ,1 ,2 ,3 y sustituyendo cada valor de n en / , se sigue que :

/(*) = 1+ Cos(nx/2) , x e [-4 ,-3 ) ll 1+ C os(nx/2), x e [0,1)
,Cosf7tx/2) , x e [-3 , -2) Cos(Jtx/2) , x e [1 ,2 )
-1 + C o s(irx /2 ), x e [-2 ,- 1 ) ' k' -1 + C o s(itx /2 ), x e [ 2 , 3 )
Cos(tix/ 2) , x e [ - l , 0 ) h-. Cosfnx/2) , x e [3 ,4 )

Obsérvese que el período de la gráfica de y = Cos(rtx/2) es T = = 4 , luego , dibuja­

remos dos ciclos para esta función y sobre ella trazaremos la G r(/) en cada subintervalo de

[-4 , 4). Las gráficas que corresponden a las funciones y = ± I + C os(rtx/2) tienen un

desplazam iento vertical hacia arrib ao hacia abajo indicado por las (lechasen la Figura 1.134.

Geométricamente, el

R a n ( / ) = [ - 2 , - l > fl ( - 1 , 1 ) U (I , 2 ] a

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136 Capítulo ¡ : Funciones

F IG U R A 1.134

E JE M P L O 1 6 ) D ibujar la gráfica de la función definida por
/(* ) = [Sen —x ] , parax e [0 ,4 ]

Solución SeagOt) = Sen — x T = = 4 J u e g o , si dibujamos un ciclo de la Gr(g),
2 tc/2

entonces la gráfica de f consistirá en segmentos de rectas horizontales que son las

proyecciones de la Gr(g) en cada intervalo unitario en que se ha dividido su período.

Como f ( x ) e [-1 , I ] •=* [ Sen ^ x ] = {-I , 0 , 1}
A hora, definiendo el mayor entero se tiene

[ Sen jc] = -1 c=> - 1 < Sen < 0

«• (n< j x < - |n ) U ^x< 2n)

<=> (2 < jc < 3) U (3 < x < 4 )
[ Sen ] = 0 <=> 0 < Sen ^ jc< 1

« (o < f* < f) U (f < f ,o t) F IG U R A 1.135

<=> ( 0 < x < 1) U (1 < jc< 2 ) U { 2 , 4 }

[ Sen ^ x ] = 1 <=> l < Sen ^ x < 2 , no pueden ser , entonces : Sen ^ x = 1 4=> x = 1

f -1 , s i x e <2,3> U [3 , 4 )
/ ( * ) = < O . s i j t e [0 ,1 ) U <1 ,2 ] U {4}

L I , si X = 1
L a gráfica de la función / se ilusta en la Figura 1.135

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EJERCICIOS . Grupn 7 : Im s funciones trigonométricas 137

1. En la circunferencia unitaria de centro ( 0 , 0 ) se tiene dos arcos QP y QR cuyas medidas
son 7 n /6 y -5 n /4 radianes .respectivam ente. Si Q = ( 1 , 0 ) . P = (x ,y ) y R = ( r . s ) ,
hallar xr + sy

2. En la circunferencia unitaria de centro ( 0 , 0 ) , hallar la pendiente de la recta que pasa por
los puntos L (a) = (1/2 , V3/2) y L (a + 37t/2)

3. El rayo O P , donde = 0 es el origen de coordenadas y P —(2^3 ,2 ) corta a la circunferencia
unitaria en el punto L (a ). Hallar E = C os(a + n/2) - Sen(a - n/2)

4. Si Sen x Sen >• = 3/4 , x + y = ti , h allarC os 3 (x -y )
5. Sí T, es el periodo de la fu n c ió n /(x ) = Sec (3 n /2 + 14x/37t) y T2e se l periodo de la

función g(x) = Tg ( —) , hallar T ( + T , .

❖ En los ejercicios 6 al 15 , dibuje una gráfica de la función definida por la ecuación indicada.

6. f(x) = 2 Sen(x - it/4) 7. f ( x ) = 3 Cos (x - n/2) 8. /(x ) = - 3 Cos (x + n/6)

9. /(x ) = 6 Cos (x - n/6) 10. /(x ) = 2 Sen (3n/2 - x) 11. /(x ) as 2 Sen (3x + 3n/4)

12. f{x) = ± Sen(2icx - 6/5) 13. /(x )= 5 Cos (3x + n/2) 14. /(x ) = -2 Sen (3x - n/2)

15. f (x ) = 2 Sen (nx/2 + n/2)

❖ En los ejercicios 16 al 19 , construir una gráfica de la función definida por la ecuación
indicada.

16. /(x ) = 2 + 2 Sen (n x /2 + n /6 ) 17. f ( x ) = 1 + Cos (2 x - 7C/3)

18. /(x ) = 2 - 3 Sen (n x - n/3) ¡9. /(x) = -3 + 2 C o s(n x /2 + 2 n /3 )

❖ En los ejercicios 2 0 al 31 . m ediante la adición g ráfica, dibujar una gráfica definida por la
ecuación dada.

20. f ( x ) = Cos x + 2 Sen x 21. /(x) = 3 S e n x + 2 C o s x

22. /(x ) = 3 Cos x - 2 Sen x 23. f(x) = 2 Sen x - 3 Cos x

24. /(x ) = Sen nx + 3 Cos nx 25. /(x ) = 2 Cos n x + 3 Sen nx

26. /(x) = Sen 2nx + Sen 3nx 27. /(x ) = Sen 2rtx - 2 Sen(nx/2)

28. /(x ) = x - Senx 29. /(x) = 2 x -C o sx
30. /(x ) = x2 - Cos 2x 31. f(x) = x + S e n (nx/2)

❖ En los ejercicios 32 al 3 4 , halleel periodo de la armónica compuesta

32. /(x) = 2 Sen 3x + 3 Sen 2x 33. /(x ) = Sen (Ttx/3) + S e n (nx/4)

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138 Capítulo I : Funciones

34. f ( x ) = Sen ( 2 n x + rc/3) + 2 Sen(3nx + rc/4) + 3 Sen 5ttx
❖ £n los ejercicios 35 y 36 , indicar el período de la función y conslruir su gráfica.

35. f(x) = ISenxl + ICosxl 36. f(x) = ± ( \ p £ * í + %?nx )
2 \ Cos x | Cos x I '

37. Construir la gráfica de la función /(x ) = a C o s x + ¿ S e n * reduciéndola a la form a
/ ( x ) = A Sen -(jc xfl) . Exam inar el ejem plo f ( x ) = 6 C o s .r + 8 S e n x

38. Presentar en forma de armónica simple la función /(x )= S e n x + C o s x y luego construir
su gráfica.

«¡l• En los ejercicios 39 al 46 , dibujar la gráfica de la función definida por la ecuación dada.

39. /(x) = Sen [x ] ) - [ S e n ( ^ x ) ] , V x e [-3.4] [x]) ,Vx[-4,4]
40. /(x) = Cos [ 2x,}n + Cos(x2- I)n ,V x e [-2,4]
41. /(x) = | [ S e c ( n x ) ] + S e c (7 tx /2 )-T g(*

42. /(x ) = Sen ( y [ x ]) + Cos(rcx/2) 43. f(x) = Cos ( ^ [ x ] ) + Cos(7tx/2)

44. f( x) = S e c ( § [ jc ] ) 45. f(x) = Tg( § [ 2x ]) 46. f(x) = S e n U - l l

47. Paraqué valores enteros d e n . la función f(x) = C os(nx)Sen(5x/n) tiene un período igual

a3rc.

[ 1 , s i x € [2a , 2a + 1)

48. Sea la función/(x) = s , d o ndea e Z ; definimos la fun-

[ 0 . sí x e (2fl + I . 2a + 2)

c i ó n g p o r g ( x ) = ( x - [ x ] ) / ( x ) + [ I - /( x ) ] Sen2(itx/2). Es g una función periódica. En
caso afirm ativo, hallar su período.

49. Sea la función / tal que /(x ) = Sen( ~ [ x ]) + S en (-j x ) , Vx e [ - 2 , 2].

Hallar el rango de la función y hacer un dibujo de su gráfica.

50. Hallar el período, el rango y dibujar la gráfica de la función

Jf ( x ) = Sen - Cos y xj

51. Hallar el período y dibujar la gráfica de la función h(x) = ISen3xl - ICos 3x1.

52. Sea la función /( x ) = VI + Sen 2x + V1- Sen 2x , hallar analíticamente el período y luego
dibuje su gráfica.

í 2x~l ,-3<x<-f í x1 ,x < 0
53. Sean las funciones : /(x ) = s ; g(x)= s

[ [4 + S e n x ] , x £ 0 [ C o s x , 0 < x < 3/2

Hallar la función / + g y dibujar su gráfica.
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iC = = = 2 \ LIMITES

CAPITULO

2

k ¿>

[j.T ) IN TR O D U C C IÓ N

La noción de limite de una función es el tema central del cálculo, es tal vez el más
importante, pues está íntimamente ligado a los conceptos, entre otros, de continuidad, deriva­
da e integral. Es por esto que, antes de dar una definición formal del concepto de límite,
analizaremos ciertas definiciones y una sene de ejemplos que sentarán las bases y a la vez
facilitarán la comprensión de los diversos términos que intervienen en la definición rigurosa
presentada en la Sección 1.2.

Definición 2.1 : VECINDAD DE UN NUMERO REAL

Se llama vecindado entorno d e un núm ero real a 0>al intervalo abierto (x0- £ ,x f(+ e) que
tiene como centro a y como radio a £ > 0 , y que se denota

W " (* o 'e • x»+ e>
Vecindad reducida o vecindad con exclusión dex0es el entorno anterior sin el número
jf0, se denota

V ^ o ) = < V C ■xo + E>-t*o>
Una interpretación geométrica de esta definición se muestra en la Figura 2 .1

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