Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

390 Capitulo 4: La derivada
i*. m I7. m . ¿ £ * ± ¿ ± 1

18. Dado que f { x ) = —y - " w(jt) .hállese una fórm ula para f'(x).
*w

❖ En los ejercicios 19 al 2 2 , calcular la derivada de cada función usando la fórm ula obtenida
en el Ejercicio 18

w - m = ( ) ( 2j t +5) 20- / w = ( ) (*J + * + o

21- / W = (*’ + * + I) 22. m = ( - ¿ ~ ) W + 5)

23. S i/(*) = , hallare] valor de a tal que
(a1- l)/(-2 ) + 3 a f(-2 ) = /(-8 )

[4 .7 ) REGLA DE LA POTENCIA GENERALIZADA

SÍ / es una función derivable, la regla del producto da

[/(* )-/(* > ]
= f U ) ' f ’(x) + f ( x ) - f ( x ) = 2f ( x ) ' f { x )
la derivada de su cuadrado.
Análogamente la derivada de su cubo es cubo es
J L [ /(jr, p = A . [(/(JC)2-/(JC)] = (f(x))2 - f ( x ) + f ( x ) [ 2 f ( x ) - n x )
- if(x))2 ‘f ( x ) + 2 (f{x )f-r(x ) = 3 [ f(x )] 2f'(x)
Estos son dos casos especiales de la regla de la potencia generalizada

TEOREM A 4.9 : Regla de la potencia generalizada (22)

S i / e s u n a función derivable en jc y re s un número racional .entonces

| = ' U M r - ' j ’M
en todos los puntos donde el segundo miembro tenga significado
i) Puntos d o n d e , si r - 1 < 0 *=> / ( jc) * 0
ii) Si / contiene raíces pares «=> f ( x ) > 0
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Sección 4.7 : Regla de la potencia generalizada 391
Si u = / ( jc) , la regla de la potencia generalizada se puede escribir (23)
(24)
5 7 (»•) = r ( u r - ( | M )
cuando u = / ( jc) = x , la regla anterior se reduce a

(*)r = r . x " 1
dx
que es la regla de la potencia para exponentes racionales.

E J E M P L O 1 ] Hallar la derivada de la función / ( jc) = 2V*2 - 3 tfx*
Solución R eexpresando: f{x) = 2jc3'2 - 3*2/3

Por la fórmula (2 4 ); f ( x ) = 2 ( | ) jc"2- 3 ( f ) * -In
de donde : f ' ( x ) = 3 Vjc - 2 /Sfx , a condición de que sea j c > 0

[^E JE M P L O J2 ^J Hallar la derivada d e /( x ) = V(3-r + 9x - 1)2

Solución Reexpresando : / ( jc) = (3 jt + 9 x - IJ20
N ó teseq u esiu = 3 j r + 9 x - I , la regla de la potencia generalizada (23) da :

r u1' 1 u’

/ ’(*) = ( 3 jc2 + 9 j c - l ) ' " 3 (6x + 9) = 2{2x + 3) ■

3 V3x2+ 9 x - I

En seguida demostraremos el Teorema 4.9 para r entero positivo , entero negativo y
fraccionado.

I. Si r = n , un entero p o sitiv o . entonces

« * [ / ( * ) ] " = n [ /( * ) r - ' / ’(*)
Por inducción matemática

i) S in = 1 ^ Dx [ f ( x ) Y = ^ Dx [ f ( x ) V = f ( x ) e s V.

ii) Supongamos que para n = h el resultado es verdadero, esto es

D j f ( x ) ] h = h [ / ( * ) ] * - ■ / ’(*)
¡ii) Probaremos también que para n = h + I el resultado

D* [ /(* ) l h+1 = (h + 1) [ f ( x ) ]hf ’(x) es verdadero
En efecto, la regla del producto da

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392 Capítulo 4: La derivada

D , [ / ( * ) ] '- ' = Dx[ ( /( x ) fc. / ( x ) ] = [ / W ] h. / ’W + / W . h t / W ] ‘ -| f (A )
= t f(x)}h. n x ) + h [ f u ) } " . f ' ( x )

= < h + ! ) [ / ( * ) ]l’. / ’<*>

Puesto que ésta es la regla de la potencia generalizada para r= h + 1, el Teorema 4.9 queda

demostrado para valores positivos enteros de j-por inducción. ■

( E J E M P L O 3 ] H allarla derivada de la fu n c ió n /(jc) = (5 * -2 * 3)4

Solución Si u = 5* - 2*’ , por la fórmula (23) se tiene
/ ’(*) = 4(5* - 2*3)3 (5* - 2*s) = 4(5* - 2*3)1 (5 - 6*2)

II. Si r = - n , es un entero negativo, entonces
/( * ) ] r = Da. ( ^ ^ ^ ) . y por la regla de la recíproca

D*[ /(*? ]n n [ f t x ) ]" ■ • /’(*)
i f ( x ) ] lu ' [ / ( x ) ] 2"

= - I ^ F = - [/ w r ' . f w

| EJEM PLO 4 ) Hallar la derivar de /(*) = (8 + 2* - *2)"3

Solución Si u - 8 + 2* - * - , por la fórmula (23), se tiene :

r ur' ‘ u’

/ ’( * ) = - 3 (8 + 2 * - * 2)‘4 ( 2 - 2 * )

= /0 — —, . 4 , siempre que 8 + 2 r - * 2 í 0 » r # - 2 ó x * 4 ■
(o + ¿x - *-)

III. Si r = p/q , para un entero q * 0 , entonces
DA.[ / ( * ) ] r = Dx[/(* ) = D, ( [ / ( * ) J1'4)»

= p ( [ / ( x ) ] l/4)p 1 ■ Da. [ /(* ) I 1'*1

= p [/(* )]'p -,> ''i . ^ [ / ( * ) ] « ^ '. f ( * )

= ^ E g ( x ) ] ‘p - [ + . / ’(*) = ^ [/(*)!'■*•»-' -/* (* )

= r [ / ( * ) ] - ' ■ / ’(*)
para valores racionales de r (sujeta a la restricción mencionada en la proposición del Teo­
rema 4.9)

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Sección 4.7 : Regla de la Potencia generalizada 393

O BSERV A CIO N ES 4.3
1. Para el caso r = l/q , y un entero q * 0 , tendremos la fórmula

Dx [ / ( j c ) ]'* = i [ /(JC) ]»*> ■1 . f (x) (25)

Dado que [ /(x ) ] 1/11= >//(*), a la fórmula (25) se le llama reglade Lis rafees generalizada.

2. En particular si q = 2 ■=> (V /(jr) ) = ~ * ■fO*)

y s i / ( x ) = x «=> Dx (V x) =
2 \x

3. De la equivalencia Ixl = >/P y haciendo uso de la fórmula (26) podemos obtener una
fórmula que nos perm ita derivar funciones que involucran valor absoluto, esto e s , si

\m \ = f l w í « D j/w i =

^ D-‘ l í w l = I n x y \ m (27)

E JE M P L O 5 J H allarladerivadade/(x) = V2x3- 3x2 + 6

Solución Haciendo uso de la fórmula (26) se tiene :

r u ) = Dx ( 2 r ' - & + (>) óx2 - 6x 3(x*-x)
2V2x?-3x2+ 6 2 V2x3- 3x* + 6 < 2x^3pT6

E JE M P L O 6 ) Derivar la función : /(x ) = V12x?- 5 1 + 3

Solución Reescribiendo : /(x ) = ( 12x3 - 5 1 + 3 )’° (Teorema4.9)
■=> f ' ( x ) = ^ ( I 2 x 3 - 5 | + 3 )- 2íi-D Jt( |2 x 3- 5 l + 3 ) (Fórmula 27)
= j ( 12x3 - 5 I + 3X2IÍ ( |2 ^ ^ 5 | + 0 )

Simplificando: / ’(x) = -— :----- ¡— r ~ ¡ — ■
F |2x3- 5 | (|2 x 3- 5 |+ 3 )“

Los ejemplos dados ahora son sim ples, pero representativos para cada caso . Los ejem­
plos que siguen enseñan algunas técnicas de simplificar derivadas de funciones que contienen
productos, cocientes y algunas otra aplicaciones.

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394 Capitulo 4: La derivada

f EJEMPLO 7 ) Hallar la derivada de y =

Solución ^ = 4 ( - ^ 7 7 )' D* ( ) (Teorema 4.9)

■- m r [ ^ ,)(3S ; í ; - i)W)]

W jc3 - U 3 r 3Jt>(jt) + I - * 3 + l) 24jc2(jc3 - I)3
(jt3 + i > s
W + \) l (jc3 + ir - J

Intente hallar y ’ mediante lareg lad el cociente aplicadaen y = (jc33^- I^)4 o la regla el pro­
ducto aplicada en y = (jc1- I)4 (jc1 + I)'4 y com pare resultados .

^ E J E M P L O ^ J D erivar la función : _f(jc) — (3x2 - 2 a 3) V(jc2 + a 2)3

S o lu ció n R eescribiendo la función : / ( j c ) = (3jc2 - 2 a 3) ( ;c 2 + a r ) y n

/ ’(jc) = (3jc2 - 2 a 3) [ \ ( jc 3 + a 2) ,n (2 x ) ] + ( x 2 + a 2)™ [ 6 j c ] (T.4.6)

Factorizar: 6= (3X3 - 2 a2) [ 3*0? + a2) m ] + (jc2 + a 2)m [ jc ]
S im plificar:
/ ’(x) = 3jc(jc2 + a 2)'12 [ (3jc2 - 2 a2) + 2(x2+ a 2) ]

/ ’(•*) = 3jc3 Vx 2 + a 3

í EJEMPLO 9 ) Hallar la derivada de f(x) =

^J > /o T W

Solución Reescribiendo la función : f ( x ) = jc2 (1 + jc3) Ji

■=> f t o =JC2[- ^ (1 + JC3) ' 2' 3 ] + (I + x 'Y m [ J L (JC2)]. (T.4.6)
(T.4.9)
[= jc2 ( I + jc3) '5/s ( 3 j c 2) ] + (1 + x * Y m [ 2 j c ]
■
Factorizar: = x 2 [ -2 jc2 (I + x 3) '5n ] + (1 + * 3) '2'-’ [2jc]
Sim plificar: = 2 jc( I + x 3) 5' 3 [ -jc(jc2) + ( I + x 3) ]

fEJEM PLO 10^ Derivar la función : f ( x ) = ’f? ~

V 2 jc - 7

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Sección 4.7 : Regla de la potencia generalizada 395

Solución R e e s c r i b i e n d o / s e t ie n e : /( a ) = ( 5 - 8 a ) ,/3 ( 2 x - 7 ) ' ,n (T. 4.6)
e=> f
= (5 - 8 a ) 1'2 [ — ( 2 a - i y ' n] + (2 t - 7)-1'1 [ (5 _ 8a ) 1* ]

= (5 - 8 a),n [ - ^ (2a- - 7 Y m (2)] + (2x - 7 ) 1'3 [ \ (5 - 8 a )'1'2(-8)] ÍT. 4.9)

= ( 5 - 8 * ) 1'2 [ - | ( 2 a - 7 ) - 4'3] + ( 2 a - 7 ) - ' ° [ - 4 ( 5 - 8 a ) i/2]

= - 2 ( 2 a - 7 ) ' 4í3( 5 - 8a ) ' " 2 [ ^ (5 - 8a ) + 2 ( 2 a - 7 ) ] (F a c to riz a r)

= - ( 2 a - 7 ) ' 4'3 ( 5 - 8 a ) - |/2 [ ( 5 - 8 a ) + ( I 2 a - 4 2 ) ] (S im plificar)

= ------------2 ( 3 7 - 4 a ) ----------- , s i e m p r e q u e a < 5 / 8 ■
3 (2 a - 7 ) 4,JV 5 ^ 8 Á

E n los eje m p lo s 9 y 1 0 , intente d e riv a r p o r la re gla del cociente y c o m p a re los resultados.

[ e j e m p l o 1 1 ) Hallar laderivadade f(x) = — * • - -
* -& T Í -

Solución En estos casos es conveniente reescribir la función racionalizando el denomina­
dor . esto es

™ 1 (^ + I+2 ^ T I + ,)
de donde obtenemos la función equivalente (Fórmula 26)

/ ( a) = a 2 + Va4 - I t=> / ’(a) = 2a + — 5*
2 va4 - 1

, 2 a (a- + V a4 - I )

■=> / (*) = -------- p = ------
\A - I

E JEM P L0 1 2 ) Sea q una función derivable en a = 2 co n g ’(2) = 4 . Se define

fg (A ) , SÍ A < 2

/ ( a) = <! 3 , si a = 2

[ üa3 + 6 , si > 2

Sabiendo q u e / ’(2) e x iste, hallar los valores d e a y b .

Solución Si f ’(2) existe i= » /+’(2) = /_ ’(2)

f g ’(A) , SÍA < 2
y dado que : f ( x ) = s /'(a ) , s ía = 2

[ 3flA2 , s i a > 2

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396 Capítulo 4: La derivada

la derivabilidad de g en x = 2 im plica que /_ ’(2) = / +’(2) = g’(2) = 4

L u e g o , s i / +’(2) = 3ü(2)a = 12a <=? 12a = 4 a = 1/3

A dem ás, c o m o /e s derivable en x = 2 , por el Teorema 4.1 , también es continua en x = 2 .esto

es , /(2 ) = lim / ( x ) . Por lo que

3 = a ( 2 f + b .=> 3 = ^ ( 8 ) + í> « - 1/3 ■

[EJEM P LO 1 3 ) Supóngase que en lugar de la definición usual de derivada DXf ( x ) , se

define una nueva clase de derivada DA.*/(x) por la fórmula

P í x + h) - f \ x - h)
D / / ( x ) = lim h

h -» 0

donde / 2(x) significa [ f ( x ) ]2 . Hallar Dx * ( f + g) en función de / , g ,Dx* f y DA*g

Solución P ( x + h í - f 2(x) , se sigue que si
Dado que D _ /2(x) = lim -----------
h-* o n

D *f(x\ (!)
D/ / ( x ) » DJ 2( X ) = 2 / ( x ) . / ’(x) ■=> f ' ( x ) =

Análogamente : DA* ( / + g)(x) = DA[ ( / + g ) ( x ) P = 2 ( / + g)(x) [/* (* ) + g’(x) ] (2)
Sustituyendo en (2) la expresión obtenida en ( I) obtenem os:

= [ ‘y ] ■

íüÉJEMPLO 1 4 ) Si /(x ) = ( lx - 11 - [2x] )3, hallar el valor de

a) f (7/2) b) f (2/3)

Solución a) Como (7/2) e [7 /2 ,4 ). se tien e:

_ í 5 / 2 < x - I < 3 ■=* l x - ll = x - l
• l ú x < 4 «=>

[ 7 < 2 x < 8 *=> [ 2 x ] = 7

Luego,/(x) = (x- l -7 )’ = (x -8 )’ ^ f ( x ) = 3(x-8)2

.=? f (7/2) = 3(7/2) = 3(7/2 - 8)- = 243

b) Dado que (2/3) e [ I/2 , l) , se tien e:

í - l / 2 < x - I < 0 *=> |x - 1 I == - ( x - l)
|< x < I ^ ^

{ 1 < 2 r < 2 e* [2x] = 1

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EJERCICIOS C nipti 2fi 397

L u e g o ,/(x ) = (-x + I - I ) ' = -x ' >=> f ’(x) = -3x3
e* f ( 2/3) = -3 (2 /3 )3 = -4 /3

E JE R C IC IO S . Grupo 28

•> En los ejercicios 1al 3 6 , hallar (a derivada de las funciones dadas

I. /(x ) = - i >/(! + x 3)* - i - V ( l+ x J)J 2. y = (3jt + 2) VI + 5x3

3. /(x) = x3V 5-2x 4. y = (1 + Vx )3
5. /(x ) = (2x - l)" 2( 7 j t - 3)*
6. /(x) = ( 3 .r + 4 x + 8 ) ^ n

8. /(*) = x+

/(JC) = +4

9- / « - '"• -■ lífS

"■ ñx) ■ ( f ^ ) ” * a2 Va3 + x3
14. , =
13. v = ( ------5 = ) "
M+Vl-x2' V3x - 4

15. /(x ) = ^ + 3x2 16. /(x ) =
(a + x )m(b + x)"
17- «*> ■ V i ü a*
18. /(x) = x - V P T ?
19. / ( j c ) = .Va3 - jc2 + a-x

,.3/2 20I. /(x ) = ( 2 a ' + x 2 ) Vx3 - a 2
21. / ( jc) = jc3 Vx3~ a 3 - y (x3 - a2)
22. y = (a 2+ x3) Va3- x 2 - y (a2- x3)^

23. 6 (jc) = Vx + q - V x -a 24. /(x ) = Vi + x + Vi - x
Vi + x - Vi -x
Vx + a + V x-a
26. /(* ) = 2x Vi - 4x + -í- (1 - 4x)V3
25. / ( j c ) = >/l + x 3 + Vi - x 3 6
VTTx3 - V Ñ x3

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398 Capitulo 4■ La derivada

27- / w = 7 w f c ? 28‘> = l ñ w Í T 7 W ^ y

29.f ( x ) = x ' J x ' - a - -- ¡ 4 = 30. f(x) =
Var - a - V3x + 4

,, , (I-JO p „ x " ( l - x ) ‘'
3L / w = TTTTvT 32- > = , +x

33‘ * = V Í 5 " 34- >' = ^ n r ? (J:- i v T T ^ 7

35. y = i[rrvrn¡x y=36. '"*nv( i - ¿ r <i +*)■

❖ En los ejercicios 37 al 50 . hallar el valor de f ( x {) p a ra x {}dado

37. m = V ^ T ■* „ = 2 3S- / w = V - j f r ? • *»= 3

39. / « = , Xu= 2 40. /(JC) = . A„ = 1/2

41. /(a ) = $ 5 x ^ 1 (x2 -6 ) , x„ = 3 42. /(x) = x2V T T j? , xn = 2

43. /(x) = ^ 16 + 3* , x„ = 344./(x ) = (2x)w + (2x)w .x0 = 4

45. /(x) = (|x l-x )^ ,x = -346./(x ) = [ x + 1/23 ) . x = 3
' VI - 3x '
47. /(x ) = ( l x - 2 | + [ 3 x J . x1(= 5/3 48. /(x) =
49. /(x ) = > í |x - 4 | - x 2 , x0= 3 50. /(x) = V lx l - x $ 2 ^ ) , x „= -2

( x - |x l ) 2V fT sF . x„= -2

51. Derivar la función f(x) = *“ ,+ x ' \ + *'* + ■ ~ + ^ + x+1
X +X +X + . . . +x+ l

(Sugerencia : Reescribir la función teniendo en cuenta que el numerador es el desarrollo de

-.12 I _22 _ 1
—------ - , y el denom inador de —------ - ) .
x2- I x-I

52. Si f ( x - 2) = (x - 2) Vx3 - 6x + 8 , hallar el valor de / ( 4 ) + / ’(4)

53. Si /(x + 3) = (x2 + 3x) V2x + 3 . hallar f ( 2 ) - / ’(2 ).

54. Sea la función /(x ) = l x + 2 l + 13 - x I + x , x e IR

a) D efinir/’(x),indioandosudom in¡o. b) Trazar las gráficas de / y / ’

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Sección 4.8 : La derívenla de una función compue.s'a 399

55. Si se define una nueva clase de derivada que denotamos D* como

D V ) = ,im n * + h ) - r u )

h —»o n

a) hallar una fórmula para D* (/* g )
b) expresar D* [ f( x) ] en función de D [ /(x ) ]
c) Paruque funcioneses D*[ f ( x) ] = D[ /(x ) ]

56. S e a n / y g continuas en [a ,¿ ] y derivablesen (a , b ) , donde O e [a ,£>]. Si se cum ple que:
i) / ’(*) = g(x) ,V x e <a . ii) g ’(x) = -/(jc ) , V x e < a, b) . iii) /(O) = 0 ,g ( 0 ) = I
Demostrar que : p ( x ) + g 2(x) = I , V x e [a ,b] .

57. Sea la fu n c ió n / ( jc) = y—¡3 -—x , determinar el valor de m si se cumple que
(m + 5 /2 )/(-l) - 2 m /’(-l) = /(-6)

58. Si / ( jc) = jc V25 - x 2 y L = lim í i 2jcí + 6jc2 - 3 + -7 x ) .hallar
2x2 + 7

n l)

59. Sea la fu n ció n /(x ) = ^6x + 8_ ^ ^ Vx + 3 - Vx + 7 hallar la ecuación
x->i x - i
h e x 2+7 y

de la tangente a la gráfica d e / e n el punto de abscisaxQ= L

60. Dadas las funciones/(x) = g(x - 2) - (x -2 )g ’(x -2 ) y g(x) = x V2x -1 , hallar la ecuación
de la tangente a la gráfica d e / e n el punto de abscisax(1= 3

m+Ii -
61. Hallar la derivada de la fu n c ió n /(x ) = —\ ;X--m--'--

62. S i/( x + 2) = 2x2 + 8 y g (x+ l) = / ( x - 2 ) ,h a lla rg ’(4)
63. Si /(x ) = m x2 - 6x y /( x - 2) = g(x - 5 ) ; hallar el valor de m tal que g ’(- 1) = 6
64. S i/(x ) =. 2 x 3+ mx2 y / ( x - 1 ) = g(x + 2) .detenninarel valor de m tal q u e / ’(-2) = g'(2)
65. Sean /(x ) = m x2+ 8x y /(2 x + 3) = g(3x - 2 ) , hallar el valor de m si g’(4) = 10

[4 .8 ) LA DERIVADA DE UN A FUNCIÓN COM PUESTA

TEOREMA 4.10 : La regla de la cadena

Sean / y g dos funciones IR —> IR . Supóngase que g es derivable en x y / es d en vable
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400 Capitulo 4: La derivada

en u - g(jr0). (28)
Entonces la com posición Htjc) = / lg(-r)] es deri vable en xny su derivada es

= (/* > R )'(jc b) = f ’ [u{x0) ] . g ' ( x a)

DemostraciónPara probar la regla de la cadena, necesitamos demostrar que si g es deri vable
en xQy / es deri vable en g(xu) , entonces

, lim / t g ( * . + h ) ] - / i g (,„)] = .

h-»o n

2. En efecto , si las cantidades : h * 0 y k(h) = g(x0 + h ) - g(xu) * 0 podem os escribir el
cociente de la diferencia de ( I) com o:

, /[g W + h ) ] - M ] J [g U i? + k(h)] - f [ gíAp)] k(h)

h k(h) ’ h

4. Para investigar el primer factor del segundo miembro de (3) definamos una función auxiliar
F sobre el dominio de / haciendo

/ [ g ( X (|) + k] - f [ g < A 0> ] > s i k ; f c 0

F (k ) = <! k

/ ’ [ g ( * u) ] , si k = 0

5. Según la definición de derivada de / , vemos de (4) que F es continua para k = 0 , es decir :

lim F (k ) = f ' [ g ( x ) ]
k-»0

6. De ( 2 ), se observa enseguida que : lim k(h) = lim [g(jcM+ h) - g(x0)) = 0 porque g es
k0 h0

continua p ara* = xtí y F(0) = / ’ [g(.r(})]

7. Por tanto , se sigue de (5) que : lim F [k (h )] = / ’ [g(jrM>]
h —»0

8. Nótese de (3) que si h * 0 , entonces

J [ g ( « o + h ) 1 - / [ g ( - Q ] = r [ l ; ( h ) ] ( gtA‘1+ h) " g(X|>) )

aun si k (h ) = 0 , en cuyo caso ambos m iembros de (8) son cero .

9. En consecuencia, la regla del producto de límites indica

|¡m / l g ( ^ h ) ] -/[g (,-,,)] _ ljm p [k (h )] _ |¡m g ( ^ h ) - g(x„)

h-*o n h-+ o h -> o n

= r í g ( \ ) ] ■ g’t \ )

como consecuencia de la ecuación (7) y de la definición de derivada de la función g . Por

consiguiente hemos establecido la regla de la cadena en la forma de la ecuación (1) ■

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Sección 4.8 : La derivada de una función cotn/uteua 401
(I)
OTRA FORMULACIÓN DE LA REGLA DE LA CADENA

Si se expresa y en función de u : y = / ( u)
y si u se expresa en función de x : u = g(*)
entonces y puede expresarse en función de x : y = / ( u) = /íg(.v)]

D em odoque,env¡rtuddelTeorem a4.lü: = /M'gí-*)] *g'(A*)

Pero como = / ’(u) = ^ , y g'(x) = ^ ; entonces en ( I ):

= (dy W d u j K’

d x \ du / \ d* /

N o t a L a c la v e ü c la aplica ció n exitosa de la regla de la cadena para h a lla r unade riva d a está en la
identificación correcta de las funciones más sim p le s/ y g a partir de las cuales se construye

ia com posición / o g . A s í resulta útil pensar en / o g com o construida por dos partes , una interior y
otra exterior . co m o sigue :

y= interior extenor
f { g(AT) ] = T Íy

u = g(.t)

El ejemplo ilustrará varios casos.

EJEMPLO 1 ] Descomposición de funciones compuestas

y = /[gu)l u = gu) >• = / ( u)
,= f
a), = ^ _ U=l+A,
y = Vi7
b) y = V2jt2 + 3 u = Zt3 + 3

d) y = Sen 3x2 u = 3.r y = Sen u

EJEMPLO 2 J Derivar f(x) = por la regla de la cadena

Solución S e a / = g o h e=> f ( x ) = g [ h ( jc) ]
Si u = h[jc) = 3 a ? + 6* «=>>’ = /(* ) = g(u) = tfü

Entonces: = h’(jr) = 9 a 1+ 6 ; = g’(u) = *

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402 Capítulo 4: La derivada

L u e g o . p o r (2 8 ): /’(a) = g ’ [ h U ) ] . h ’ U ) = g ’ ( u ) . h ’ ( x ) = - = = = = =
V (3 a 5 + 6a )2

ypor(29): ( ^ u ) ( 4 > L ) = (9x>+ 6) ( > ) = , *
' 3VÜ2 ' $ ( 3 a-' + 6a )2
^ dx \d x l\d u i

Nota U fórm ula (2 9 ): 4 L - f M . W j h i )
d x W /u 1 ' d x >

puede extenderse con facilidad al caso de varias variables. P o r ejem plo . si x depende de v,
te ndrem o s

dy ( dy \l d u ) I dx \
dv lí/ J lí/ J ií/ v l
y se v depende de t . entonces

d>' = ( d}' \ ( d u \ ( d x \ ( d \ \

1d it \\ d u 1) \ d x lI \' d \ I \ d t I

y así sucesivamente , cada nueva dependencia añade un nuevo eslabón a la cadena.

E JE M P L O 3 J D erivar/(.v) = Va + 'Jx2 + I aplicando la regla de la cadena

Solución Aquí podemos considerar que / es la composición de 3 funciones

x ? » j~ + I — a + Va2 + 1 — VíT^Va^+T

d o n d e : g(A) = a 2 + 1 , h(u) = a + Vu , k (v ) = Vv

O rden de derivación

Entonces: / ’( * ) = k ’ [h(g(jr))] • h ’[g(x)] • g ’(.t)

d o n d e : y = -Vv , v = a + V ü , u = a 2 + I

Nótese que el orden de derivación de las funciones se van sucediendo desde lafunción más
externa hacia la más interna.

,=> M . = f W = ( _ L ) (-1 = ) 2* - ( , 1 ) ( — ;= !)(2 X >
d* -

' 2 V v ' ' 2 V ij ' ' 2 "v/a + V a 2 + l 2 V a 2 + 1 '

~ —; f- - ~ — ■

2Va2 + 1 • Vo + V j^ + T

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Sección 4.X : La derivada de ana [tinción cm/nicsía 403

f E JE M PL O 4 ] S i/(u j = u‘ + 5u + 5 y « ( a ) = ^ . hallar ( f o g ) ’ (A ") (I)
<2)
Solución Según la fórm ula(2 9 ): ( / o g ) ’( a ) = / ’[g(.v)] - g ’U) (3)
S i/( u ) = u2+ 5u + 5 c=> / '( u ) = 2u + 5
■
y si u = g ü ) «=> /'[g U > ] = 2 g ír ) + 5 = 2 ( y y ) + 5 = 7*_ ¡*
(I)
Derivando gU ) se tiene : g ’Cr) = —— - ~ y ^ ^
(2)
Luego,sustituyendo(2 )y (3)3n ( I) obtenemos : ( /o g ) 'f .r ) = (3)
U " 1)

EJEM PLO 5 J dy
S i / ’U) = Sen(.v + 1) e y = / ( y y ) .h allar ~

Solucián Sea g (jr ) = *=> » ’ ( a ) = ~ 2 )(|^~ 2 )( 1} = -

Si y = J lg tO ] ^ = .f'Ig(-t)] ■g’(.r)

Pero f ' ( x ) = Sen(.v + I) ■=> /'[ » ( * ) ] = Sen ( y y + I ) = Sen ( y y )

L uego, de la sustitución de ( l ) y (3) en (2) se obtiene :
dy
d x (x - 2)’

E JE M P L O 6 j Si /( .r) = (g o h)(.v) , h(.r) = ( a - I) Va? - 2 x + 9 yla ecuación de la
tangente a la curva y = g(A), en el punto de abscisa x=3 es 3a - 2y

+ 5 = 0 , hallar el valor el / '( 2 )

Solución Si = g ’[h (x )]-h ’(A) t=* f ' ( 2 ) = g'[h(2)] ■h’(2) (1)

h(x) = (x- I)(*2 - 2 a + 9 ) ,/2 ■=> h’(A)= 2f ~ 4x + 10 (Verificar)
Va2 - 2x + 9

L u e g o ,h (2 ) = ( 2 - I ) V 4 - 4 + 9 = 3 y h’(2) = + *9 =

V4-4 + 9 3

Entonces en {I) : / '( 2 ) = g’(3) ■( 10/3); pero g '(3 ) = m [ = 3/2

••• m - ( | ) ( f ) - S
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404 Capítulo 4: La derivada

Nota U sa re m o s ahora la regla de la cadena para c o m p le ta r la de m ostración de la regla de las raíces
generalizada (2 5 ) para el caso r = l/q

D j / ( x ) ] ''‘< = ^ '/■ (* )

E n efecto . sea u = / ( a ) , entonces por la regla de la cadena

(4 .9 ) LA DERIVADA DE UNA FUNCIÓN INVERSA

Recordemos q u ed o s fu n c io n e s/ y g son inversas una de otra si
/[g(x)] = jc , V x e Doin(g)
g [/U )] = jc . V x e D om (/)

Sabemos también que una función dada / tiene una función inversa g , denotada como / * , si y
sólo si / es univalente . El siguiente teorema nos dice como derivar g , una vez que sepamos
d e riv a r/.

TEOREM A 4.11 : Derivación de una función inversa

S i'/e s una función univalente y derivable, que,tiene función inversa g , entonces la función
g es también derivable, y

s ’M = • ftg M i* o (JO)

Demostración Dem ostrarem os la derivabilidad de g(x) es una vecindad del punto xny
supondremos que cuando x —»x0 existe la derivada f ' ( x ) * 0 , entonces la

función inversa x = /* ( y) = g(x) también tiene derivada en el punto y = /( x (|) . En efecto ,
supongam os que x06 D o m (g ), entonces por definición : V E > 0 , 3 5 > 0 tal q u e , si

0 < Ix - x„ I < 5 g(*) - g(*b) <£
X-A' rig u ,,)]

como / es derivable en g(xtl) y / ’[g(x)j * 0 , existe un 8 ( > 0 tal que si

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Sección 4.9 : La derivada de una función inversa 405
0 < b ' - g K ) l < 5 i *=* <e

/( r ) '/[ g U „ ) l <E

/ ’ [g U n)J

Por el Teorem a de la continuidad (T .3.14), g es continua e n x n y , por tanto , existe una
8 > 0 tal que si

0 < U - x ()| < 8 >=> 0 < Ig(*) - g(.rn) I < 8,

Se deduce de la propiedad especial de 8 {que

g(Jf) - g(*«.) <E
x-x.. í ’ [g U 0)]

lo que demuestra la derivabilidad de g(x) en xtí

Nota La fórmula (30) puede ser obtenida del modo siguiente .
Partimos de la ecuación /IgU )] = jc . que como sabemos, es derivable Vx e Dom(g). Usando

la regla de la cadena derivamos ambos miembros y obtenemos :

d ( / h(x)]) =
dx

C o m o /y g sonderivables .entonces : / ’ tgOOl • g ’W = I

y puesto que / ’[gU >] # 0 ■=> g'(jr) = -j..

Geométricamente, el Teorema 4.11 nos dice que las gráficas de las funciones inversas tienen
pendientes inversas en los puntos (a ,b ) y (b ,a) como ilustra el ejemplo siguiente.

Si escribimos , x = /(>■ ) e y = g(jr), entonces : = g’U ) y = /*(> ) . luego en

la fórmula (30) se obtiene la ecuación

dy (31)
d x dxldy

que nos proporciona una forma fácil de recordar esta relación de reprocidad . Es importante re­

cordar que se evalúa p a ra * . mientras que se evalúa para el correspondiente valor

d e,.. áx d>

jr0e Dom( /)
Ahora si designamos g = / * y si P0(x0 , yQ) e Gr( /) i=>

yne Dom(/*)

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406 Capítulo 4: La derivada

EJEM PLO 7 ] Sean /(.r> = •I +1X,' y f*(x) = g(.v) = \ " —.v - . M o stra r que las
pendientes de las tangentes a las gráficas de / y g son inversas en los puntos A( I , 1/2) y
B fl/2 , I) respectivamente.

D em ostración En efecto f („v) = - -----— —- , g'(jr) = - *

( I + X 2y ' e 2x^x - X2

o ?I
E n A (l . 1/2), la pendiente de la tangente a la G r(/) es : / '( I ) = - ^ +

En B( 1/2 , I ) , la pendiente de la tangente a la G r(/* ) es ;

g '( l/2 ) = ---------------------------- = - 2
2( 1/2) V1/2 - 1/4

[ E JEM P LO 8 ] A nalizar la e x is te n c ia /* pura f ( x ) = +_^ , indicar su dom inio y

hallar (/*)’. x

Solución Analicemos la inyectividad de / reescribiendo : f ( x ) = 2 + —1-—
x^2

Sean x i , .t, e D om (/)

/(,,) = « 2+ - 2 ^ « 2* - « -Z _ = -Z ^ « ^

luego, / es inyectiva , por lo que ex iste/* .

Despejando x = f(x) se tiene : x = *=> R an (/) = D om (/*) = IR - {2}

Si f{x) = 2 + c=> f ' ( x ) = - 7 , y como (/* )’(a) = —
x -2 J ' ' (.r- 2) w w ' w f'(x)

se sigue que : (/* )’(*) = - y (* - 2)2

EJEM P LO 9 ] Sea f ( x ) = J*1* ^ , calcular D /* (2 ) suponiendo que D /* (2 ) > 0 .

Solución Derivando / obtenem os : D /( - r ) = \X~ + o)

Si D f *í y "> - w ~ = ““ 32,

Para y((= 2 «=i> 2 = ^ ■=> j r - 4* + 3 = 0 t=> -c(| = I v jr0 = 3

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EJERCICIOS Grupo 29 : D eriuuki de una función compuesta 407

Obsérvese que para x(| = I . D / * ( y 0) > 0 *=> D/*(2) = d-J-3)2
8(3-1)

EJEMPLO 10 j Hallar la derivada d e / ( j t ) = Vx2 + 16 respectode — , en el punto de

abscisa x = 3

Solución Sea u = du
x -\ d x (x - I)2

Por la regla de la cadena: ^ = ( ^ ) ( i £ ) (I)

Por la fórmula (26): d ¿ 2x
y por la fórmula (31): d x 2-Jx2 + 16 Vx 2 + 16

dx = I ■=> 4d ^u = - o* - o 2
d, u /. d. x

Luego, en ( I) se tiene: - - 4 * —■ , y para x = 3 (=> 4 ^ = * ■
d u Vx2+ 16 du 5

Nota Si / es una función que posee inversa . entonces se cumplen las propiedades siguientes

1. Si / es continua entonces f* es continua (Teorema de continuidad T.3.10)
2. Si / es creciente (decreciente) . entonces /* es creciente (decreciente).
3. Si / es derivable en xtí y / ’( x j * 0 , entonces f * es derivable en /(x<t) (Por el teorema de la

deferenciabilidad : T.4.11)

E JE R C IC IO S . Grupo 29

❖ En los ejercicios I al 4 . h allar/ ’(*) si f ( x ) = g [h (x)]

1. g(u) = u2 - 3u + 2 , h(x) = 2. g(u) = , h (x) = I x2 - 2x

3. g(u) = ,h (x ) = Vx2 - 4 4. g(u) = Vu2 - 2u + 3 , h(x) = x - 2 , x < 2

*> En los ejercicios 5 al 1 0 , s i / ( x ) = g [h (x )], c a lc u la r /’(x()) para los valores especifica­
dos de x0

5. g(u) = I/u2 , h(x) = 1 - Vx + 1 , xu = 15
6. g(u) = 2u3- u2 + 5 , h(x) = Vx + I , xu = 8
7. g(u) = (4 + u3)*2 . h(x) = V 2x- 1 , x = 3

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408 Capítulo 4: La derivada
8. g(u) = u2- 3u + 2 , h(x) = ,x 1( = 1

9 . g (u - 2 ) = ” " ^ , h (x - I ) = x 2 - 2 x , x u = -I

10. g(u) = , h(x) = 3 - x 2 , = 2

❖ En los ejercicios 11 al 18, calcular ia derivada que indica

11. Si f ' ( x + 1) = Vx2- I , y = f ( x 2) ,hallar ■—

12. S i / ’(*) = x - ■-*§• . y = / ( U P ) , hallar a x
13. Si / ( j c + 2) = jc2 - jc y g(x) = /( x 2) , hallar g ‘(> fí )

14. S i / ’(x) = T g(l - jc1) e y = / ( - f = ) , hallar ^

15. Si / ( x - I) = Vx2 - 2x y g(x) = /( V T ) . h a lla rg ’(x + I)
16. S ig (x ) = x 4* y /( x 7) = gfx3) , hallar / V )
17. Si f ( 2 x + 3) = 2x2 - 6 x + 3 y g (x 2) = / ( 2 x - 3) , hallar g ’(9)

18. Si f W = V2jtj + 3 x - 2 e y = f ( ^ r ¡ ) ■ hallar ^

19. Sea g(x) = f ( x + 2)2, Vx 2+ 4 ) , si / es una función derivable en todo D R con/’(8) = 1/4,

hallar la ecuación de la tangente a la G r(g) en el origen .

20. S ea / una fu n ció n y d e riv a b le en 1 . 1) y de ra n g o (-1 , a) , con a e (0 ,1) tal

q u e /(O ) = 0 y /'(O ) = m , m > 0 . S e a n , p(x) = ^ , q(x) =Vp(.t) y

Va” - q(x)
g(x) = ------ ¡=-------- .H allar g ’(x) en térm inos de /(x ) y determ inar que es falso que

I - Va q(x)

g ’(0 )< ;.f(0 )

21. H allar h ’(2) si h = / o g , g(x) = 3x*~ 8 y laecuación de la tangente a la g r á f ic a d e /e n
el punto de abscisa x = 4 es x - 2 y + 2 = 0

22. Sea f(x) = V x 7- 2x , derivar la fu nción/con respecto a j

23. Si h(x) - ( / o g)(x) , g(x) = (x2 - 2x + 4) y la ecuación de la tangente a la gráfica de

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Sección 4.10 : Derivados de orden superior 409

y = f ( x ) en el pumo de abscisa x = 1 es 3x + 2y - 6 = 0 , calcular h’( 2 ) .
i y. 2

24. Hallar la derivada de /(x ) = x \ 3 + 2x .respecto de ■ . en el punto x - 3

2 5 . H allar la derivada de /(x ) = \ " 1 , respecto de Vx2 + 1 .
x* + 1

26. S e a n /( u ) = m u2+ 2u y g{x) = ——r , determ inar el valor de m de m odo tal que

( / o g ) ’(2) = -3 0 . A' “

27. S i / ( V 7 + 4 ) = V 7 + 4 + ^ 1 6 ^ + 4) y Z(x’ - 3x) = gtx2 + 2 x ) , hallar g ’( 8 ) .

28. Dadas las funciones reales/(x ) = (x2- l)‘! y g(x) = 2x+ I , hallar la derivadadela función
( / ° g)W indicando su dominio y determine la ecuación de la recta tangente a la gráfica de
y = ( / o g)(x) que pasa por ( 1 , 1/8)

2 9 . Sea la función /(x ) = -x-----+-- —2 , x e [I ,+ ° ° ). D em ostrar la existencia de la función

in v ersa/* y h allar(/'*)*( 11/4).

30. Si /(x ) = —1~~ , x g (1 .+<*>) .D em ostrar que existe la función inversa d e / y calcu­

lar D /* (4 /3 ) y D2/* (4 /3 )

31. Dadas las funciones re a le s/(x ) = x* + 2 , x e IRy g(x) = x + 1 , x e [3/4 . -h» ) ; hallar la
derivada de la función Cf/g)* paray(| = 3/2

32. Demostrar que si / es continua y decreciente en [a , 6] entonces :
a) /* tienen dominio [f(b) , /(«)} y es decreciente en su dominio
b) /* es continua en [/(6 ),/ ( a ) ] .

33. Sea / una función derivable sobre un intervalo I tal que / ’(x) > 0 , V x g I . Demostrar que

la fu n ció n /* esd eriv ab leso b reel intervalo /(I) y además si I , y = / ( x u) <=>

\ = O ’-D /n y ^ = = D / [ / * ( y u)]

[4 .1 0 ) DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR

Supongamos que la función / esta definida sobre el conjunto A = {x g IR If ' ( x )
existe} , A * (]> , esto e s , / es derivable en cada punto x g A y x(l e A.
Si p arax = x 0existe derivada de la g función /( x ) , entonces ella se llama segunda derivada de
la función / en x„ y se denota por

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410 Capítulo 4: La derivada

De esta forma / ” (-*„) = [/'(-*„)]' en x = xtí

A nálogam ente, si f " ( x J existe entonces / ’” (•*„) = [ / ’’(*u)] ’ en a = a q es la tercer derivada de
la función / en jr y se denota

, DSfO cJ ; £ f ( x , )

Para derivadas más allá del tercer orden se utilizan las notaciones

f 4Kx) , f ° \ x ) --------------/ ,(,1( a )

L u e g o , s i / l n l , (Au) e x iste , en to n ces/ ,n)(A u) = [/• " ■ I}(a0)J’ en a = a (( es la n-ésim a derivada
de la función / en el punto a = a u
Recordando la definición de derivada , la definición de la derivada n-ésima en el punto a b se
puede escribir en forma de límite

r , ( v . ,¡m ( . f - ' f r + W - f ' - ’ M )
h-»ov n /

o también por la forma alternativa :

= lim ( (a ) - / ' " ' 1 (a 0)

x —» x.. V

En la notación de L eibniz, las derivadas de orden superior se escriben :

Segunda derivada: = -■ \
dx ' dx f dx-

Tercera derivada:
d x '\ d x 2 i/ ddx -x 2

Derivada n-ésim a: ~j Lí L (i —d —" ' *>’ \ = ^i
d x V\ dxx"" ‘ / dx"

Otras notaciones para estas derivadas son

< V > ■ D / y ................... D / y

EJEM P LO J Hallar las derivadas sucesivas de / ( a ) = 2 a 5 + 3a2 - 5a + 1 0

Solución Primera derivada : / ’ (a ) = 6 a 2 + 6 a -5
Segunda derivada : / ” = 12a+ 6
Tercera deri v a d a : ( a ) = 12

Todas las demás derivadas son nulas, esto es
/"•(a) = 0 , p a ra n = 4 , 5 , 6 ................ ( n - l ) . n

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Sección 4 10 : Derivadas de orden superior 411

Sean u = f ( x ) y v = g(.t) dos funciones que tienen derivadas n-CMinas en el punto in ,
entonces las funciones u + v = / (a) + gfa) y u*v = ./'(*) *g(A.) también tienen derivadas n-
ési mas en el punto jc0, además :

i) D " ( u + vi = D "(u ) + D n(v )

(Fórmula de Leibniz)

D emostración Demostraremos la fórmula de Leibniz
En efecto,sea y = uv .entonces las derivadas sucesivas son

1. y’ = uv* + u’v
2. y ” = ( u v " + u V ) + ( u V + u"v) = uv” + 2 u V + u "v
3. y ” = ( u v ’*’ + u V ’) + 2 ( u ,v” + u ’V ) + (u’V + u’” v)

= u v , , , + 3 u ’v” + 3 u ’V + u” ,v
4. y l4> = ( u v '4,+ u V ” ) + 3 ( u V " + u * V ’) + 3(u” v” + u ” V ) + ( u " V + u‘4,v)

= u v 141+ 4 u * v "’ + 6 u ” v’’ + 4 u ’" v ’ + u (4)v
5. Obsérvese la similitud con el desarrollo del binomio

(a + fc)4 = fe4 + 4 a b l + 6 a 2b 2 + 4 a 3b + a 4

sólo que las potencias de las funciones se sustituyen por sus derivadas respectivas.

6. e* y « = { ^ ) u,ü) v*"1+ ( ’j j u ’ v ' " ' ^ ( | ¡ ) u " v í“*1,+ ( " ) u,Mv,- * + . .

donde : u10’ = u , vro‘ = v ; en g e n e ra l, la notación D "‘'( / ) = /

n

o también:

k=0

Ahora demostraremos el T eorem a4.12 por inducción

i) D "(u + v) = D ''(u ) + D"(v)

1. Para n = I i=> D ’(u + v) = u’ + v’ , es verdad por el Teorema 4 5
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412 Capítulo 4: La derivada

2. Supondremos que para n = h es válida la fó rm u la, D h(u + v) = D h(u) + D h(v)
3. Dem ostrarem os que para n = h + I es también válida la fórmula

D h* '(u + v) = D b+I(u) + Dh+l(v)
4. En e fe c to : (u + v)"'*1’ = [(u + v),h’]* = [u<h’ + v<hl] ’

= [u«,], + [v‘hT = u‘h+l) + v<ht,J
t=> D l, +‘(u + v) = D h+I(u) + D h*'(v)
En consecuencia, la fórmula (i) queda demostrada

n

Ahora dem ostrarem os la fórmula ( ii ) : ( u . v ) ln)= X ( k ) ulkl *vlnkl

k=0

I . Para n = I : (u - v)’ = ( ¿ J u"" v’ + ( j ) u* v(Ul

= u v ’ + u’v , es verdad
2. Supondremos que para n = h , es válida la fórmula

h

(u . v),fl) = X ( k ) ulkl. víh tl
k=o

3. Probaremos que para n = h + l . es también válida la fórmula
h+i

( u - v ) lh t" = X ( h k * ) u(k,-v th+l kt (T.4.6)

k= 0
4 . E n e fe c to :

h

( u . v ) ,h+" = [ ( u .v ) ,w]’ = [ X ( k ) u' k' . v ' h-k*]

k =0

h

= X ( k ) [u"‘, - v th+T-L| + u U - o . y ' h - u ]

k = ()

hh

= X ( k ) u 'w .y * "* 1-» + X ( k ) u‘fc* 11- vIfc- kl (T.4.5)

k= 0 k= 0

h h-1

= ( q ) u 1" ’ - v * h * " + X ( k ) U| k , v " ' + I k» + Y j ( k ) u ' k■* O . v<h•

k= 1 k = l)

+ ( ¡¡) u 'V '.v " »

5. ® ' ( o ) = ( h ) = * . cambiemos el índice de las sumas haciendo k = p en la primera y

k = p - I en la segunda , de m odo que el nuevo índice de esta segunda suma variará de
Iah

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Sección 4. ¡O : Derivadas de onlen superiut 413

Ii h

( u*v) lü+l> = u " ''. v ‘h* ') + ( p ) u {p,- v " ,+ | -p’ + ^ | ) Ulp>-V*^ 1 P>+

p=l p=I

+ u,h + ° . v,u'

ll

= um . v* * n + [ ( p ) + ( p - | ) ] u ' pW h + | -p' + u lh* l»- v ,u'

P=l

De a q u í, sabiendo que ( p ) + ( ph ,) = .( ^ ' ) y que ( h Q ’ ) = ( h t 1) = ' '

se tiene h

(u ■v ),h+1) = ( h q 1) u"” - v " ' * 1' + ( h p 1) u"” . v 1h+ 1- p) + ( j j + | ) u 'h * " • v " ”

p= i

h+1

(u . v)lh* l> = ^ ^ + *) u,p' . v|h* 1 pl

p=0

Con lo que queda dem ostrado la fórmula de L eibniz.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

EJEMPLO 1 j Para qué valores d e a ,b ye , lu función

í jr5 , x < 2

f (x) = i «tiene segunda derivada en x = 2 ,

[ ax3+ bx + c , x > 2

Solución La diferenciabilidad implica continuidad, luego si / es continua en x = 2 , entonces

/(2 ) = lim f(x)

•2+

<=> (2)3 = o (2 )2 + b m +c <=> 4a + 2 b + c = S (D

Como /tie n e segunda derivada \ 3x2 , x <2
f ' ( x ) = <¡

[ 2ííjt + b , x > 2

Si f existe <=> f +'(2 ) = /_ ’(2 ) ■=> 2 a ( 2 ) + b = 3 (2 )2 » 4a + b = 12 (2 )

í 6*,x<2

/ ” (2)existe y si / ” (*) = < t=> / +”(2) = / . ”(2) «=* 2 a = 6 (2 ) « o = 6

[ 2a ,x >2

Sustituyendo este valor en ( I) y (2) obtenemos : fc = -12 y c = 8 ■

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414 Capitulo 4: La derivada

f EJEMPLO 2 ) H allar la n-ésima derivada'de la función >■= {ax +b)n ■

Solución Las derivadas sucesivas de la función dada son
y* = n(ajr + fc)n l (a)
y ” = n(n - 1) (oc + fe)"'2 (a)2
y " ’ = n(n - 1) (n - 2) (ax+ fc)"'3(a)3

Analizando las tres derivadas se deduce fácilmente que
y nl = n ( n - 1) ( n - 2 ) . . . 2 x 1 (ax + fc)n■'"(a)n
= n!(ajr + é)°a" = n!a"

[ EJEM PLO 3 ] H allar la n-ésima derivada de f( x) = (a - bx)* , k e Z+

Solución Las tres primeras derivadas de la función / son :
f ' ( x ) = k ( a - b x ) k l(~b) = - k b ( a - b k f ’ 1
f ' ( x ) = - k ( k - \ ) b ( a - b x ) k 2 (-b) = k ( k - l ) b 2 ( a - b k ) * 2
r \ x ) = k (k - l)(k -2 )fc 3 (a -fc x )k M-fc) = - k ( k - l)(k - 2)fc3(a -fc k )k' 3

Obsérvese lo siguiente:

1. Los signos de las derivadas se van alternando : ( - ) , ( + ) , ( - ) , . . ,

E stose simboliza por : (-1)" j

2. Los exponentes de fc y de la (a - bx) corresponden a la derivada hallada . esto es :

/ ’t» roo r'oo— no

Exponente de ¿ : l 2 3 n

Exponente de (a -fcjr): k - I k-2 k-3 k -n

3. Los coeficientes : k . k ( k - l ) , k ( k - l ) ( k - 2 ) , . . . , se obtienen de — ——
(k-n)!

En efecto

Primera derivada: n = I ■=> k ’ ■= =k
(k-l)! (k-I)!

Segunda derivada: n = 2 o ( k ^ ) ! = ^ (k^ 2 ^ ^ = k <k l >

Tercera derivada: n=3<=* (k -3 )! = ^ ~ ^ ( k - l ) ! ^ " ^ = k ( k - l ) ( k - 2 )

f( b)(x) = (-!>" b*(a - b x ) k n

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Sección 4.10 : Derivadas de orden superior 415

f E J E M P L O 4 ) Dada la función / ( jc) = .dem ostrarporinducciónquela n-ésima

derivada d e / e s : ) = ( - 1)° 2a n ! (a + a ) ',d * n

D emostración Si f(x) = - -*■ ■=> /* ( a) = - 2a (a + ,t)‘2
a +x

Sea la proposición P (n ): f ,n'(x) = ( - l) n2an ! (a + A ) ln + I)

1. P a r a n = I i=> P ( l ) : / ’ ( a ) = - 2 a ( I )! (a + a ) : = - 2 a ( a + a ) ' 2 . es V,

2. Para n = h , supondremos que es válida la proposición (Hip. Inductiva)
P ( h ) : / (h*(A) = {-l)h 2ah! (a + h V ,h t"

3. Demostraremos que para n = h + 1 , también es válida la proposición

P ( h + 1): / lh* "(a) = ( - l) h*' 2a (h + 1)! (a + h)-"’*21
En efecto , P(h + 1): / lh*'>(*) = [ /«"(* )]’

= [(-I)h2a h! + (hip. Inductiva)

- [(-I)h2a (-1) (h + l)h! (a+x)-«h*l> ']

= ( - l) h*‘ 2a ( h + 1)! (a + * )-‘h+2>

Por lo tanto , se ha probado que P( I ) es V y P(h) es V t=> P(h + I) es V ■

( E JE M P L O 5 ) Hallar la n-ésima derivada de /( a ) = jc(a - 3)a , k e Z+

Solución Las derivadas sucesivas de la función / son :

/ ’ ( a ) = a [ - k ( A - 3 ) ' k l ] + ( a - 3 ) '1 ( I ) = - ( k A - a + 3 ) ( a - 3 ) ck* u

f \ x ) = - { ( k v - A - 3 ) [ - ( k + l)(A --3 )''t * « + ( A - 3 ) - ^ " ( k - D I}

= - { ( a - 3 ) - , W 2 ' [ ( K + l ) í k A - A + 3 ) + í k - l ) ( . t - 3 ) ] } = k ( k A ~ x + 6 X a - 3 ) tL

/ ” * ( a ) = k { ( l a r - a + 6 ) [ - í k + 2 ) ( a - 3 ) u + , > ] + ( a - 3 ) " l k * 2,( k - 1 ) }

= k{(A - 3 )'ík*3’ [- (k + 2) ( k r - a + 6) + (k - I) (jc- 3)]}

= k ( x - 3 ) - ‘k + 1, [ - k 2A + A - 9 k - 9 ] = - k ( k + l ) ( k A - A + 9 ) ( A - 3 ) (1¡* 3t

^ / (41( a ) = k ( k + I ) ( k + 2) ( I í a - a + 12) ( a - 3 ) ' l k * J 1 , etc.

Analizando cada uno de los términos de las derivadíts halladas podemos deducir fácilmente que

/ ' ■ ' ( a ) = ( - l ) " k ( k + l)(k + 2 ) . . . (k + n - 2) (k.r - a + 3n) ( a - 3 ) lk*">, n > 2 (1)

Ahora hallaremos una fórmula para k ( k + l ) ( k + 2 ) .............., a partir de n = 2 ,d e la siguiente
manera:

[ (k + 2) - 2 ]! = k! = k ( k - l ) ! .=> - - k(^ r l! = k

[ (k + 3) - 2 ]! = ( k + l ) ! = ( k + l ) k ( k - 1)! ^ = k(k+l)
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416 Capítulo 4: La derivada

t ( k + 4 ) - 2 ] ! = (k + 2)! = (k + 2 ) ( k + l ) k ( k - !)! [ ]! = k ( k + l ) ( k + 2)

Por lo que: k(k+i)(k+2) = ^ ° ^'
(K - I),

ík + n - 2V
L u e g o .e n ( I ) f l”>(x) = (-1)" , (k.x - * + 3 n) ( x - 3)•(kt,,,. n > 2 i
\K I )t

EJEMPLO 6 j Hallar la n-ésima derivada de f(x) = jr(l +x)n

Solución Sea n = k , entonces si / ( x) = jc2 ( J + x) k , hagamos

u - j r y v = (I + jc)k

■=> u’ = 2x v* = k( 1 + * ) “' '

u” = 2 v” = k(k - l) ( l +jc)k' 2

u”* = 0 v” ’ = k(k - l ) ( k - 2 ) ( l + x ) k ~3

u'<> = 0 v » ’ = kT ( I +*)*-"
Por la fórmula de Leibniz: \K ~ I) •

f ' ( x ) = ( u . v ) ln> = u . v w + n u ’ v1" ' + n(í>~ u” v,n-2' + 0 + 0 + . .

^ /<■>(*) = (I + k ) h- + 2njc ( k . nk^ . 1), (I + ^ ) tk-n+n +

^ <2> < -> '

Teniendo en cuenta que n = k y que 0 = 1 , se tiene :

/ “ " ( j c ) = n! j t + 2n n! a(1 + j c ) + y (n - l)n! (1 +Jt)2 .

[ E JE M P LO 7 j Hallar la derivada de orden n para la función f ( x ) = -y ■

Solución Descomponiendo la función racional en fracciones simples se tiene :

= 7 7 2 + ^ 2 ^ 5" - 2 = A(*-2) + B(* + 2,

En p articu lar. para x - -2 => -10 - 2 = A (-2 - 2) + B(0) <=* A = 3
y x = 2 c í 1 0 - 2 = AíO) + B(2 +2) « B = 2

Por lo q ue: f(x) = = 3(jc + 2 ) - + 2(jc- 2)L-l

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Sección 4.10 : Derivarías ríe orden su¡>erior 417

^ f ( x ) = -3(l)U + 2 )---2 (l)(*-2 )-2
f \ x ) = 3CI )(2)Cat 2)_i +2(1)(2)(a - 2 ) '
/ * " ( - » ) = - 3 ( I ) ( 2 ) ( 3 ) ( , r + 2 ) 4 - 2 ( 1) ( 2 K 3 ) ( . r - 2 )‘4
/'" '( * ) = (-1)° 3n!(* + 2 )'l"+l, + ( - l ) n2 n! (* - 2)',I,+ M

EJEMPLO 8 ) Hallar la derivada de orden n para /(a ) = ~x + \
............................* x~ + x - 2

Solución Cuando en una función racional el grado del numerador es mayor que el grado del
denom inador, se efectúa la división indicada a antes de descomponer la función

en fracciones sim ples. Eslo e s :

x* - x + 2 _ , 2x 2x _ A B
x1 + x - 2 ( a + 2)(x - l ) jc - I
( a + 2)(jc - I ) x +2

.=> Z t = A(a - I) + B(a + 2)

Para x = -2 y x — Iobtenem os, respectivamente : A = 4/3 y B = 2/3

/ (a ) = (a + 2 ) 1+ (a : - I )* '

A hora. las derivadas sucesivas de f(x) so n :

2f ( x ) = I - | (l)(A + ) 3 - | { I ) ( a - I )'1

r w = 0 + 1 ( | ) ( 2 )(a-+2 ) - '+ j 1 1 x 2 )(a- i r

/ ’"(*) = - \ (■I>(2)(3)ÍJC + 2)"* - j ( I )(2)(2)(a - 1r

= ( - i r ^ n Hx + 2 y ia*i> + ( - i r | n ! ( A - i r n+,>

La fónnula de / (n>(x) es válida para n < 2 porque en la primera derivada existe un término
constante que no se repite en las demás derivadas.

( EJEMPLO 9 j Hallar (/* )’” en términos de f \ f ' y sabiendo que / es una función

estrictamente creciente y tres veces derivable.

Solución Si / es una función estrictamente creciente y tres veces derivable, entonces tiene
in v ersa. L u e g o , si y - f ( x ) «=> f * ( y ) = x

Usando la regla de la cadena derivamos ambos miembros de la ecuación :
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418 Capítulo 4: La derivada

[/*(>')]’ ' / = 1 .p e ro c o m o y' = / ’(x) =* [/* (> )]’ = -7 ?
/ ’(*)

f" j

Derivando nuevamente se tiene: t / * ( j ) ] ” y ' - - y (T 4.IO yT 4.7)

, t/'M P

ir m i5 ir w v

(EJEM PLO 1 o ) Dada la fórmula : l + x + x2+ . . . + / = —----------- , x * I d e te r m i­
nar , por derivación, una fórmula para la siguiente suma
2( I )jc- + 3 (2 )x s + 4 (3 )x 4 + . . . + n ( n - l ) x "

Solución Sea la función : /(x ) = l + x + x2+ x3 + . . . + x n

^ / ’(*) = I + 2x + 3x2+ 4x3+ . . . + nx” '

f ( x ) = 2 (I) + 3 (2 )x + 3 (4 )x 2+ . - . + n(n - l)x""2

Multiplicando ambos miembros por j t se tiene

x2/" ( x ) = 2( l )x2 + 3(2)x3 + 3(4)x4+ . . . + n(n - I)x" ( I)

que la suma cuya fórmula se desea hallar. L uego, partiendo de

jc" * 1 - I x nx“+1 - ( n + I)*"*'
/ w = -i r T - = ---------

. n(n - l) x n+l - 2(n + l) ( n - l)x" + n(n + l)jcn 1 - 2
- / W » ------------------------------ j T i j i ----------------------------

Multiplicando ambos miembros por a2obtenemos :

7 r , n ( n - l ) x B+3- 2 (n + l) ( n - l ) x " * 2 + n(n + l ) x B* l - 2 x 2

■ JW (jc- I) 3

Según (1), es la fórmula pedida. _

(E JE M P L O 1 1 ) Sea / : IR+ —> ÍR | / ’(x) = 1/a . Se define : g(x) = / ( a + Vx? + I )

a) Demostrar que se cumple la relación
(x3 * I) g 'n)(x) + (2n - 3)a g ,""l,(x) + ( n - 2 )2g tn' 2,(x) = 0

b) H allar g15>(0).

D em ostración a) Sea u = a + Va2+ 1 ■=> g(x) = /( u ) y g ’(x) = / ’(u) ( t j t ) (O
dx

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EJERCICIOS Grupo X I : D em udas de urden superior 419

Pero: iÜL = | + ^ = %£5T j j - * Q ¿ u = _ u (2)
(3)
dx 2 Vx?+ I VxÑH Vx* + I (4)
(5)
A dem ás, como f ' ( x ) = l/x c^> / ’(u) = 1/u
■
L u e g o ,e n ( I ) : g ’(x) = ( - 1 ) = ( x - + l ) 1'2

' u ' vx2+ l

^ g " W = - ■ ¡ r t x ' + i r * H l2x ) = -
2 {xr + l ) Vx’ + l

d e d o n e ifx 2 * l)g "(x ) = - x g ’(x) c* ( x ^ l ) g ” (x) + x g ’(x) = 0
Ahora derivando sucesivamente la ecuación (2) se tiene:

(xJ + l)g ”,(x) + 2xg"(x) + xg ”(x) + g'(*) = 0
(x2+ I) g " ’(x) + 3x g‘” (x) + g*(x) = 0

(x2+ i )g,4’(x) + 2xg’” (x) + 3xg” (x) + 3g”(x) + g"(x) = 0
<=> (x2+ I) g(4)(x) + 5x g ’’’(x) + (2)2g”(x) = 0

(x2+ 1) g ,5,(x) + 2x g |4,(x) + 5xg‘4í(x) + 5 g ’"(x) + 4 g '”(x) + = 0
t=> (x2+ I ) g‘s>(x) + 7x g|41(x) + (3): g’”(A)

Analizando los términos (3), (4) y (5) se deduce la fórmula
(x2+ 1) gInl(x) + (2n - 3)x gl"■,J(x) + (n - 2)2g(" ' 2,(x) = 0 ,p a r a n > 3

b) En (5) , para x = 0 se tiene : gl5,(0) + 7(0) g'4,(0) + 9 g ’"(0) = 0
^ g,5>(0) = - 9 g ’"(0)

Si g"(x) = -AÍJT+ l) w ^ g” ’(x) = (2 .^ - l ) 0 r + l)m
L u eg o , g” '(0) = -1 ; por lo ta n to : g(5>(0) = 9

E JE R C IC IO S • Grupo 30

*•* En los ejercicios I al lü h a lla rla d e riv ad a q u e se in d ica

1. /(x ) = V 4 x + I , / ’” (x) 2. /(x ) = x ( l - x Y 2 , f ' \ x )
3. /fx ) = xVT^Y . r \ x ) 4. /(x ) = I x l 3 , / ” ’(x)

5. /(x ) = ^ + 4 , / ” (2) 6. /(x ) = x V 3 x -2 , / ” (2)

7- = i f + 7+ \ • ™ «■ «*> - i r t ■ ™

9- /(X ) = .W 1 0 . / ( X ) = ^ ’ 2f , /-(X )

<* En los ejercicios 11al 24 establecer una fórmula para la drivadn n-ésima de la función dada.
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420 Capítulo 4: La derivada
U. m =\ * f 12. / ( , ) - ^

13- ■ ü t W 14- / w = i ^ r h

1S- «*>= f f r z I6- / w =

17- / w = 18- = t t Í t í

1 9 - /O O = 20. /(a) = ^
a2 - 9a + 20 '' ' a2 - 4

2i- w = 2P + T 3 22* ^ = ; í ^ ; 52

23. /( a) = 24. / ( a) = ,"
*-*• v t+ a

25. Para cada una de las funciones dadas, hallar /(n,(0)

a) f (x) = ; 4 - T b) f M = ~ rr= c > Í W = SLlJL
1 - a - 2a2 \ 1 -a a +a

26. D em ostrar que si ( a + ¿ a ) / ( ^ - ) ^ A . d o n d e / ’ fA) = / ( a ) , se cum ple

27. Hallar una fórmula para la derivada n~ésima de / ( a) = j , k e [R y probarla por
inducción matemática.

28. Si g es una función no constante con dominio en R y es continua en 0 y cumple : £ ( a + y ) =
g O O * g ( > ’) . V a , y e IR ; probar que g es continua en todo R y g ” (A ) = g ( A ) , V a s R .

29. Sea / : I —>CRdos vecesdiferenciableena e I ( I e s u n intervalo abierto) Demuéstrese que:

f ( a ) = lim / ( a + h) + -f ( ° - h ) - 2 / ( a )
h-» 0 h

30. Si / y g son funciones reales tales que V a e [R , /( a ) • g(A) = 1 y existen / ” (a) y g ” (A );
demostrar que

r * ( * ) _ 3 r t A ) > g” (A) r o o _ g - ’w
/ ’W / W - g ’ÍA) /(A) g” (A)

31. Hallar los valores de las constantes a ,b y c tales q u e / ” (!) existe, siendo :

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EJERCICIOS Crup» JO DertvtHÍwt ti orden superior 421

, six<
/(*) = ;

a x7+bx + c , six> I

32. Si existe y es diferente de c e ro , demostrar que :

d 7y i < t h \ u. / d x )
dx7 ' dy- f ‘ \ dy ¡

33. Sea g(x) una función definida en R + tal que g ’(x) = \!x . H allar f " ( x ) sabiendo que

f { x ) = g{x + V*2+ i ) .

34. Si / es una función d eriv ab le hasta el segundo orden y f { x ) * 0 , V * e [R , siendo
g{x) = !//(* ), V xe I R y /( I ) = 2 , / ’( l ) s = 3 , / ” ( l) = 4 ;h alla rlo sv a lo re sd e g ’( l) y g” f 1)

yltl I

35. Dada la formula : 1 + x + x 1 + x* + . + jc° = x- 1 j—. x * I ; determinar , por

derivación , una fórmula para las siguientes sumas :

a) i 2x + 2 2x 7 + ¥ x 2 + . . . + n - x “

b) 3.22+ 6 .2 ' + 9.2* + . .+ (3n)2í"‘1

36. gSea una función derivable tal que g*U) = g W , Vjcg IR .sed efin e

y - (I -jc)'“ g (-í7 x ),^ G IR, a constante
a) Halle y* en función d e a , x e y .

b) Usando la regla de L eibniz, probar que

(I - x ) y ‘,,* , , - ( n + a x ) y ,Ml- n a y n “ = 0

37. Si y = / ( u) y u = g(jr), demostrar que

£-(£)(£)*(& )(& )*

38. Utilizando la regla de L eibniz: D ”[ / ( j:) ■g(jc) ] = X ( k ) D " 'k/(jc)* D kg(x)

k=0

a) Hallar D"[ * ./ ( * ) ] en términos de D "/p :) y D " '/( .c ) únicamente
b) H a lla rD n[ ( x - l ) f ( x ) ] en térm inos de D n/(jt) , D n l /(jt) y D n' 2/(jr)
c) Si upr) = -( jc 1)" dem ostrar que : pr2- I ) u’(jc) = 2r\xn{x)
d) Demostrar q u e:

0 -**)- ^ - 2x dx„ , =0

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422 Capítulo 4: La derivada

39. Demostrar que si una función /(x ) admite derivada de n-ésimo orden se tie n e :
[ f ( a x + b) l 1"' = a n [ f ( a x + b ) ]tel

40. Si /(x ) = ( i x - 2) " , hállese r)

41. Sea y = (I + x)/V jc , usando la fórm ula d e L e ib n iz , hallar una expresión sim p lifica­
d a p ara y <n1.

42. Demostrar que la función y = (x2- l ) " , n e Z satisface la ecuación
(x2 - I) y<"+2' + 2 x y t''*" - nín + 1) y tai = 0

43. Sea guna función tal que g ’(x) = I/V 1 - x2 , Vx , I* I < I y sea / unafunción
tal que / ’(x) = f ( x ) , Vx e IR. se define y = / [ cg(x) ]; demostrar que :

a) (1 - x y ’ - a 2y = 0

b) (1 - x 2) y ln+2,- ( 2 n + I)x n(n + I)y '" ’ = 0

44. Sea >•= /(x ) una función que tiene una recta tangente horizontal en (I ,0 ) , g’(I ) = 0 ,

g ” ( l ) = k y /( x ) = g [ x + g ( x ) ] .H a lla r : lim <R- 1) / " W + [ / " ( O - 1 ]

x -» k X- 1

45. Si y = (x + Vx2- I ) " , hallar el valor de E = (x2- !)>•’ ’ + x y ’ - n 2y

46. Hallar la n-ésima derivada de la función

^ (m x)(m -cx) + (m x)(m +cx) = / ,4>

47. Si / es 4 veces derivable . /'( x ) > 0 , y satisfacen además : / ’ = / ” =
Expresar (f*)w (y) en términos / ’(x ).

Í 4 J J J DERIVADA IM P LÍC ITA

Una ecuación con dos variables E (x, y) = 0 puede tener una o más soluciones de y
en términos d e x o dexen términos de y . Estas soluciones son funciones de las que decimos que
están definidas implícitamente por la ecuación E (x , y) = 0

En esta sección estudiaremos la derivada de tales funciones, la cual está basada en
la regla de la cadena. Por ejem plo, la ecuación de la circunfetencia Xa + y2= 4 es la definición
implícita de cuatro funciones

y = ± V 4 -jr , V xe [-2,2] ; x = ± V 4 -y 2 , V y e [-2,2]
Sin em bargo, no todas las funciones pueden ser definidas explícitamente mediante una
ecuación . Por ejem plo, no se puede resolver la ecuación

3x6+ x2-x = 2y2-y2+ 8

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Sección 4.11 : Derivación implícita 423

Cuando no existe condiciones que garanticen que una función definida implícitamente sea en
verdad derivable , aquí procederemos bajo la hipótesis de las funciones implícitas dadas son
deri vables en la mayoría de sus puntos de su dominio.
Cuando se presupone que y es una función dexpodem os usar la regla de la cadena para derivar
la ecuación d a d a , pensando en x como variable independiente . Podemos resolver después la
ecuación la ecuación resultante despejando la derivada y ' = / ’(x) de la función implícita. Este
proceso se llama derivación im plícita.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

E JE M P L O 1 | Derivar respecto de x las siguientes expresiones

a) x 2+ 2y b) 3y4 c) x 2y 3

Solución

a) = +
dx

u" n u1 u’

b) £ ( 3 , 4) = 3 (4 ) jr- ( £ ) = l2? ( % ) (Regla de la cadena)

(Regla del producto)

■+ (Regla de ia cadena)
= 3 , V ( ^ ) + 2x,>

Nota Pura ecuaciones que contengan las variables x e y . se requiere el siguiente procedimiento
pura hallar y’ implícitamente

1. Derivar ambos extremos de la ecuación respecto de x
2. Coleccionar todos los términos que contengan y' a lu izquierda de la ecuación y todos los demás

a la derecha.
3. Factorizar y ’ en el lado izquierdo.

4. Despejar y ' .

[ E J E iq p C O 2 ) Dada la ecuación x 1- 3a x y + >,J = a i , hallar y’

Solución 1. (x3- 3 c x y + y 1) = ( a 3)

(x3) - 3 a (xy)+ (y J) = 0 (a es constante)

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424 Capítulo 4: La derivada

>=5 3jt - 3 a ( x y ’ +>■)+ 3y2 -j j = 0
2. Coleccionamos los térm inos con u ’ en la izquierda : - a x y ' + y 2y ’ = a y - x 1

a y _ Jl

3. Factorizando : ( y 2 - a x ) y ' — a y - x r t=> y' = —;-------
' y2-ax

( E J E > y L O 3 | H a lla r la p e n d ie n te de la g rá fic a de x 2 - 2 jr2y + 3 jry 2 = 38 , en el

. punto (2 ,3 ).

Solución Al diferenciar implícitamente con respeto a x se tiene
1. 3jc3 - 2(jc2 y ’ + 2jry) + 3(2xy y* + y 2) = 0
2. 6x y y ' - 2x2 y ' = 4 x y - 3X2- 3 y 2
3. y ’ (6jry -2X2) = A x y - 3 x 2 - 3 y 2

4. y’ = 4 x> - 3 x 2 - 3y 2
6xy - 2x 2

Por lo tan to : 4(2X3) - 3(2)= - 3(3)2 15
6(2X3) - 2(2)2 28

( E J E M p t t ) 4 ) Si V f + V ? = 66 , hallar d x

Solución O bsérvese que los radicandos son expresiones recíprocas cuyo producto es la
unidad . L uego, reexpresamos la ecuación elevando al cuadrado , esto e s :

f + 2 + T = 36 ^ y + T = 3 4

Derivando implícitamente: ^^ 1^ = 0

<=> x 2{y - x y ' ) + y 2( x y ' - y ) = 0 ■=* y ’ (y 2x - x J) = y J - x 2y

dedonde: v ív z - jr 2) v ■
y ’ = x ( y 2 ^ 2) / =T

f E JE M P L O 5 j Obtener la segunda derivada de la función implícita
x2+ axy - y 2 = a2

Solución Derivando cada término respecto de x se tien e:
2x +a y

2 x + a ( x y ' + y ) - 2 y y ’ = 0 *=> y ’ =

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Sección 4.11 : Derivación implícita 425

^. ... (2 y - a x ) { 2 + a y ' ) - { 2 x + a y ) ( 2 y ' - a )
Derivando nuevamente: y = --------------
(2y - a x f

de donde obtenemos: (a2 + 4 ) { y - x y ' )
y” —

{2 y - a x )2

2(a2 + 4 ) ( x 2 + a x y - y 2)
Sustituyendo el valor v’ se llega a : y" = -

(2y- a x f

Obsérvese que el segundo paréntesis del numerador es el primer miembro de la ecuación origi­
nal que puede ser sustituido por su valor para expresar la segunda derivada en su forma más
sim ple, esto es

2(a2+ 4)a 2
>• = - (2y - a x )2

Nota Esta técnica de sustituir el primer miembro de la ecuación original por su valor , puede
utilizarse para hallar y simplificar derivadas de orden superior obtenidas implícitamente .

( EJEM P LO 6 ) Hallar y*" de la ecuación : b 2x 2 + a 2y 1 = a 2b 2
Solución Derivando cada término respecto d e* se tiene

2 b 2x + 2 a 2y y ’ = 0 •=* y ' = - ^ ( y )
D^ erivando nuevam en.te: y.. = - yb2r r[ ->---0--)---'--*p(>--’-*--)- 1J
y sustituyendj o y , p orsu va,loro.btenem os: y .. = - b 2 IJ c 2y2 + b 2x 2 }\
El numerador es el prim er miembro de la ecuación o riginal, lu e g o :

E J E M P L O 7 j S i* 3-x y + 2 y 2 = a 2/7 , hallar y ” ’ mediante derivación implícita

Solución 1. Cálculo de la prim era derivada

22*-(*>■’ + y) + 4 y y* = 0 «=> y’ = x - y
x-4y

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426 Capítulo 4: La derivada

„2. PD or l, a reg.la d. e. l coci. entte : y„ = (x-4y -)--(-2------y--’-)-----(-2--x----y- ) (1 - 4 y—’)
-------
(x-4y)-

Ahora sustituimos la expresión obtenida en (1) para y ' , estoes :

' jc-4y ! *\ x - 4 y • I4(x2- x y + 2 y 2)
" (x-4 y)3
*“ (ar-4 y )2

3. Nótese que el paréntesis del numerador es el primer miembro de ia ecuación original

1 4(a2/7 ) „ , „ vl
~ > = T T W = 2 a 2 ix ~4 >yi

4. y '" = - 6 a 2 (x - 4 y ) '4(I -4 y * J = - 6a 2{x - 4 y ) * ( 1 - 8* ~ 4> )
x -4y

4 2 a 2x
y = (X-4y?

EJEMPLO 8 I Si y = Vx2 - x + ^ - x + V x ^ x + f" . . + « , hallar
* dx

Solución Obsérvese que la función dada está definida explícitamente y su derivación por la
regla de la cadena sería infinita , sin embargo , mediante un artificio podemos

definirla implícitamente , esto es , si elevamos al cuadrado ambos miembros de la ecuación
obtenem os:

y 2 = x2 - x + V * 2 - x + V j r - x + V x 2 ~ x + . . . . + «>' *=> y 2 = x 2 - x + y

Ahora derivam os im plícitam ente: 2y y ’ = 2x - 1 + y ’ ^ v’ = 2x —- 1j- . )’ * 1/2

Ejercicio. Verificar q u e : y " = —( 2 y ^ l )* — ~ ™

E JE R C IC IO S . Grupo 31

*> En los ejercicios 1al l2 ,h allary en fu n ció n x ey m ed ian ted eriv ació n im p lícitasu p o n ien d o
que y es una función derivable d e x.

1. 2 x 2 - 3 x y + y 2 + x + 2 y = 8 2. x 3 + 6 x y + 5 y 3 = 3
3. x* + 3 x 2y + y 3 = a 3 4. a x 3 - 3fc2x + c y 3 = 4

5. C*+ y ) 3 + ( * - y ) 3 = * 4 + > ’ 4 6 - x y 2 + Vxy = 2

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EJERCICIOS G rupo 31 • La derivación unpliciHi 427

7. x 4+ 4x3y + y4= 20 8. x2+ 15Vxy + y* = 36

9. (jc+ y)2 - Or - y^2« jc5 + 10. y 1 = xX+' yy

11. y4- + At J- = 24 12. Jt Vjo " + y' Vxv = 10

❖ Enlosejercicios 13 ai IK. hallar y* por derivación implícila y evaluar la derivada en el punto
indicado.

13. x 2- 3 y 2 + y J = I .P C 2 .-I) 14. x - - 2V x7 - y 2 = 52 . P(8 . 2)

15. x 1- a x y + 3<zy2 = 3 c 3 ,P ( a ,ü ) 16. x2-xVx7 - 2 y 2 = 6 , P(4 , I)

17. x 3 - x y 2 + y 3 = 8 . P(2 . 2) 18. xJ + 3 i 2v - 6 x v 2 + 2_i ’ = 0 , P(l . I)

❖ En los ejercicios 19 al 2 6 , hallar D ^1)* .expresando la respuesta en su forma más sencilla.

19. b zx 2 ~ a 2y 2 ~ ú - b 2 20. x 1+ y ' - 3ax y = a *

21. x 2+ 2xy + y3 - 4 r + 2y = 2 22. -)f ’ i•* = 1
23. x m + y 2l' = a 2l} 24. ax- + 2bxy+ cy 2 = I

25. * + 3 r ~ í — j- = 3 26. Vx + y + =a
x x+ 3y2 * *

27. S i x " ) " ' = ( x + y ) a*'a , dem ostrar que : x D j = y

428. ^
Si y = V z « - I - V í x - I V 2 x - I . . . . + « , calcular
dx

29. Si x 2 + y 2 = r 2 . hallar en función sólo de r el valor de y

(\ + y 2p

30. Hallar la ecuación de la tangente a la c u rv a x my" = a™*" en un punto (x,,, y ) cualquiera.
Demostrar que la parte de tangente comprendida entre los ejes queda dividida en la razón
m /n porel punto de contacto.

31. Si m es la pendiente de una tangente a la hipérbola b 2x ' ~ a 2y 2 = a 2b 2 . dem ostrarque.su
ecuación es y = m x ± V a2m 2- b 2 , y que el lugar geométrico de los puntos de intersec­
ción de las tangentes perpendiculares está dado por la ecuación x 2 + y 2 = a 2 - b 2

32. Demostrar que la recta Bx + Ay = AB es tangente a la elipse ¿ 2x 2+ a :y- = a 2A2 únicamen­
te si se verifica que B 2c 2 + A 26 2= A ?B 2

33. El vértice de la parábola y 2 = 2 p x es el centro de una elipse. El foco de la parábola es un
extremo de uno de los ejes principales de la elipse y la parábola y la elipse se cortan en
ángulo recto. Hallar la ecuación de la elipse.
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428 Capítulo 4: La derivada

34. Demostrar que las sumas de las intersecciones con los ejes coordenados de cualquier recta
tangente a la curva Vx + Vy^ = Vk es constante e igual a k.

35. Dem ostrar que para la curva Vx* + Vy^ = Vk* . el segmento de tangente comprendido
entre los ejes coordenados, tienen longitud constante e igual a k.

36. Dem ostrar que la tangente a la curva Vx*" + Vy2 = Vk* en cualquier punto P(xt|, y ) de la
curva satisface O A 2+ O B 2 = k 2 . siendo A y B las intersecciones de la recta tangente con
los ejes X e Y respectivamente y O el origen de coordenadas.

(4 .1 2 ) D ER IV A D A S D E LA S F U N C IO N E S TR A S C E N D E N TE S

En esta sección iniciamos el estudio de las derivadas délas funciones no algebraicas
a las que se denominan fu n cio n es trascendentes , entre los que se encuentran las funciones
trigonométricas, trigonométricas inversas, exponenciales, logarítmicas e hiperbólicas Una revi­
sión de sus gráficas, propiedades y límites de las cuatro primeras funciones los puede hacer en
los capítulos ] y 2 respectivamente.

TE O R E M A 4.13 : D erivación de las funciones trigonom étricas
Las funciones trigonométricas son derivnbles en cualquier punto de su domino. Esto es :

L (Sen x) = C osx IV. ~ ~ (C o tsx ) = - C usetr x
dx dx

II. (Cos x) = - Sen x V. (Secx) = S e c x -T g r

III. ^ (Tg x) = Sec: x V I. (Cosec x) = -jC osecx • Cotg x

Demostración En efecto, haciendo uso de la regia de derivación de los cuatro pasos
se tiene :

I. Si /(x ) = Sen x . entonces
I • /(•* + h) = Sen (x + h) = Sen x • Cos h + Sen h • Cos x
2. /(x + h) - /(x) = Sen x • Cos h + Sen h • Cos x - Sen x
= Cos x ■Sen h - (1 - Cos h) Sen x

3 f l r + h l l - f W _ Co„ ( £ a h ) . ( - L ^ j - í l ) SenI

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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes 429

4 |¡,n t o + V - M . 1¡nl ( S f f i h ) . CoSA. 1¡m ( - L J ^ s h ) S e n x

h -*0 h h -»O' n / |) _ » o ' n1

t=> f ' (x) = ~4~ (S en x ) = ( I ) C o sx - (0) S e n x = C osx
ax

II. Si f(x) ~ C o s x , entonces :
1. / ( x + h ) = Cos(x + h) = C o s x -C o s h - S e n x -S e n h
2. /( x + h) - /(x ) = Cos x ■Cos h - Sen x • Sen h - Cos x
= - Sen x • Sen h - C os x (1 - Cos h)

3 = _ Sen;t. ( S e a h | _ CosJr( N ^ h )

4 |¡m & * " > - & > = _S mx. ,im ( S e n h ) . e o s , . lin, ( ’ ^ L )

h -»o h h -+o n f h-»ov n >

i=> / ’(x) = (Cosx) = - Sen x ( I ) - C o s x (0) = -S en x

III. S i/(x ) = T g x , entonces
Tgx + Tgh

I. /(x + h) = T g (x + h) = I -T g x * T g h

2. / ( x + h ) - / ( x ) = T g ( x + h ) - T g x

( l + T g 2x ) T g h S etrx.T gh
1-Tgx*T gh l-T gx*T gh

3. /( x + h ) - / ( x ) Sec2x / Tg h
I - T g x * T g- hh í\ - ^h 1 /

4 |¡m í í i M = ,im * * * ( T£h J _ •,

h_0 h h -»o I - T g x T g h \ h ¡ I - 0

/'(x ) = (Tgx) = Sec2x

Nota A partir de las derivadas de Seno y Coseno se puede probar la derivada de la tangente
aplicando la regla del cociente , esto es

A . (Tt , \ = j L ( S e n x \ C o s x ( C o s x )- S e n x (-S e n x )

d x v 5 ' d x \l C ossx ¡/ C o s :2x

Cos2x + Sen2x 1 = Secrx
Cos2x C o s 2x

Del m ism o, m odo. es fácil diferenciar las otras tres funciones trigonométricas porque cada una
de ellas se define en términos de Seno y Coseno. Se deja como ejercicio.

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430 Capítulo 4: La derivada

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

EJEMPLO i " ) Hallar la derivada de la función

/(jc) = x2Sen jc + 2jc C o s x - 2 Sen x

Solución Como los factores de los dos primeros sumandos son variables usaremos la regla
del producto en forma indicada, esto es

f U ) = X? - j - (Sen x) + Sen x - ~ (jc2) + 2 [ x . (Cos jc) + Cos jc - (jc) ] - 2 Cos x
a x cía cix gx

= j r Cos jc + Sen x (Z t) + 2[ jc(- Sen a:) + Cos x] - 2 Cos jc ■
= jc2 Cos x + 2x Sen x - 2x Sen jc + 2 Cos x - 2 Cos x
de donde, al elim inar los térm inos semejantes son queda

/ ( jc) = jr Cos jc

OBSERVACIÓN 4.4 Cuando u = /(* ), y se combinan las seis fórmulas básicas con la regla
de la cadena, se obtienen los siguientes resultados

I. ■— (Sen u) = Cos U ( ^ 7 ) IV. _d_ (Cotg u) = - Cosec2u ^ j

dx

II. £ (Coso) = - Se« „ ( £ ) V. J _ (Secu) = S ecu T g u ( ^ 7 )
dx

m . J - (Tg u) = s « ? u m V I. _d_ (Cosec u ) = - C osec u Coig u ( da
dx dx

EJEMPLO 2 ] Usando la regla de la cadena, diferenciar la función

>• = S en5 (x 5 + 3jc)

Solución Sean y = z s , z = Sen u y u = jc3 + 3 jc
Usaremos la notación de Leibniz para la regla de la cadena

£ = ( £ ) ( £ ) ( £ ) = c ^ x e - o c t f + s)

= 15 (Sen u )4 (Cos u) (jc2 + I)
= 1 5 (jc2 -t- l ) Sen4(jc3 + 3 jc) +C o s ( jc3 3 * )

( EJEMPLO 3 ) Usando la regla de la cadena, derivar la función

FU ) = Sen2 (Zc3 + 1)

Solución En este caso expresamos la función F como una composición de tres funciones,
esto e F = / o g o h

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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes 431

donde : / ( jc) = a 2 , g(x) = Sen x , h(jc) = 2 x i + I

«=> f ( x ) = 2 x , g ’(Jf) = < h ’(jt) = 6 x 2

Recordemos que la derivada de una com posición de dos funciones / y g es ( / o g)’(x) =

/*(gt*)J ' g ’O O .y cuando se trata de tres funciones / , g y h e s :

F (x ) = ( / o g o h )’(x) = f ( g [ h ( x ) ] } *g’[ h ( x )] . h ’(jc) (1)

L ueg o , si

f ' ( x ) = 2 x i=> / ’{ [ g th ( x ) ] } = 2 g [ h ( x ) ] = 2 S e n [h (x )]

= 2 Sen (2 x 2+ I) (2)
g ’ ( x ) = C o s a ■=* g ’ [ h ( x ) ] = C o s [ h ( x ) ] = C o s ( 2 jc3 + l)
Por lo tanto, sustituyendo (2) y (3) en (1) obtenemos (3 )

2 Sen - C osF ’ ( jc) =
(2 a 1+ I ) (2 c 2 + I ) - ó x 2

* l2*3Sen(2xJ + l)C o s(2 x ' + I) = 6 r2S e n -(2 r'+ I) ■

Naturalmente , con un poco de p ráctica, los cambios de variables u , v , etc, se pueden evitar
efectuando directamente la derivación . El próximo ejemplo desarrolla una idea para su uso
posterior.

EJEMPLO 4 j Hallar la derivada de la función y = Tg[Sec2(jr + 2x)]

Solución Sin entraren todos los detalles, el cálculo de la derivada viene a ser el que sigue:

4 ^ - = Sec2 [Sec2 (jc2 + 2*)] • 4 ~ tSec2 C*3+ 2*)1

= Sec2 [Sec2 (x2 + 2c)] ■2 Sec ( jc2 + 2x) • dx [Sec ( jc2 + 2x)]

= 2 Sec2 [Sec2(.x2 + 2 jc ) ] • Sec (x2+2x) [Sec ( j t + 2 a ) • T g ( a 2 + 2 a ) ] ( 2 a + 2)

= 4 ( a + 1) Sec2 [Sec2 (a 2 + 2 a ) ] • Sec2 (x2 + 2x) • Tg ( a 2 + 2 a )

EJEMPLO 5 j Hallar la derivada de las siguientes funciones

1- /(■*) = '5® ec5jr- Sec3x + Secx 3. / ( a ) = S e n (n A ).S e n nA

_ 1+ Cos 2 a S ed e + Sec a
I - Cos 2 a

Solución I . / ( a ) = j Sec5x -

*=? / '( a ) = (5 S e d e ) (Sec a ) - y (3 Sec2A) (Sec a) + Sec x Tg a

= Sec4A (Sec a Tg a) - 2 See3A (Sec x Tg x) + Sec a Tg a
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432 Capitulo 4: La derivada

= S e c * T g jr(S e c 4* - 2 S e c 2Jc + 1) = S e c * T g jc (S e c 2* - I ) 2 ■
= Sec jc T g x (T g 2Jc)2 = T g Jjc S e c *

9 f(*\ - I + Cos 2*
" I - Cos 2*

En este caso , antes de aplicar la regla del cociente , es conveniente reescribir la función
haciendo uso de las identidades

1 + Cos 2A = 2 Cos2A y 1 - C os 2A = 2 Sen2A

Luego,si /(*) = ^ ” C otg2* ■=* /'(■*) = 2 C o tg * ■ - j - (C otg*)

Pbr lo q u e : /*(*) = 2 C o tg * (-C o s e c 2* ) = - ^ 5 “° ^ x m
j6n x

3. /(* ) = S en(n*) ■Sen"*
Por la regla de derivar un producto se tiene:

/ ’(*) = S en(n*) (Sen"*) + Sen"* [Sen(n*)]

= Sen(nx) [n S e n " 1* - (S e n * )] + Sen"* [C os(nx) (njc)] ■

= n Sen(nx) •S e n ,,' lx C o s x + n Sen”* • C os(n*)
= n S e n " '1* [Sen(nx) - Cos jc + C os(n*) «Sen*]
El corchete es el desarrollo de Sen(A + B) .donde A = n* y B = jc

/ ’(*) = n S en "' lx • Sen(nx + x) = n S e n " '1** Sen(n + l)x

. . Sec 2 x VCotg2* -1

4- ííx) = --------

En primer lugar, reescribir la función en términos de Seno y Coseno

fivi = Sen3* Cos2 x j _ Sen3* / VCos 2 x \
2J W C o s jc V S e n 2 jc
C os 2 jc \ Sen jc /

= Sen2jc (Cos 2 x ) ' in
A hora, derivar la función por la regla del producto

/•(jc) = Sen2jc • ~ ~ (Cos 2 x ) m + (Cos 2 x ) 'ia • ~ (Sen2*)

a x ax

= Sen2* [- i (Cos 2 x ) '3/2(-2 Sen 2 jc) ] + (Cos 2 x ) ' tn [2 Sen x - C o s x]
= S en2* [Sen 2 jc (Cos 2 x ) ' yn] + (Cos 2 x ) ’,/2 (Sen 2 x )
= Sen 2 * ( Cos 2x)~V2 [ Sen2* + C o s 2 x ]

Sen 2 x [Sen2* + (C os2* - S en 2* )]
(Cos 2 x ) 3/2

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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes 433

. f t ( \ _ Sen 2* • C os2* ■
. . J W - (Cos 2 x ) Vi

Nota Para hallar derivadas n-ésimas de las funciones Seno y Coseno , son de uso frecuente las
siguientes identidades

1. Sen [A + n(rc/2)3 = ± Cos A , para n entero impar
2. Sen [A + n(rc/2)] = ± Sen A . para n entero par
3. Sen (A + n7t) = Sen A , para n entero par
4. Sen(A + n n ) = - Sen A , paran entero impar

( EJEMPLO 6 ) Hallar laderivadn n-ésima las siguientes funciones

Solución 3) /(* ) — Sen 2x b) f ( x ) = S en4* + C os4*

a) Si /(* ) = Sen 2* ^ /*(*) = 2 C os2x = 2 Sen[2x + I (n/2) ] (1)
/"(* ) = - 2 2 Sen2* = 2 ! Sen[2* + 2 (n/2)] (2)
/* ” (*) = - 2 3 S en2* = 2* Sen [2 * + 3 (n/2)] (I)
/ ,4,(*) = 2 4 Sen-* = 2 4 S en[2* + 4 (n/2) ] (3)

Por consiguiente : / ,n)(x) = 2" Sen [2 * + n(7 t/2)], n 6 Z ■

b) /(* ) = Sen4* + C os4* = (Sen2* + C os2* ) 2 - 2 S en2* C os2* (2)
(I)
= l 2 - 2 ( Sen 2 x )2 = I - ^ S e n 22* (3)
(1)
A hora, derivando sucesivamente la función / , se tien e:
■
/ ’(*) = 0 - ± (2 Sen 2 * Cos 2 * ) (2)

= -Sen 4 * = 4°Sen[4n+2(n/2)3
/ ” (jt) = - 4 C o s 4 * = 4 ' Sen [4 n + 3(rt/2)]
/ ” ’(* )= 4 2 Sen 4 * = 4 2 Sen [4tc + 4 (n /2 ]

= 4 5 Cos 4 * = 4 3 S en [4 n + 5(7t/2)]
/ In)(x ) = 4 " '1Sen [4 n + (n + I) (71/2)], n e Z+

EJEMPLO 7 ] Calcular la n-ésima derivada de la función

/(* ) = S en2* ■Sen 2*
Solución D adoque I -C o s 2* = 2 S en2* c=> S en2* = (I -C o s 2 x )

Luego ,/ ( * ) = -^ (1 - Cos 2 * ) Sen 2 * = -^ Sen 2* - ^ Sen 4*
Derivando sucesivamente la función se tiene:

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434 Capítulo 4: La derivada

f ' ( x ) = Cos 2 x - Cos 4 x = Sen [ 2 a - + 1(n/2)] - Sen [ 4 a + I(rc/2)]
/ ” ( a ) = - 2 Sen 2 a + 4 Sen 4 a = 2 Sen [ 2 a + 2 ( t i / 2 ) ] - 4 Sen [ 4 a + 2 (7C/2)]
/ ” ’ ( a ) = - 22Cos 2 a + 4 2 Cos 4 a = 2 2 S en[2A + 3 ( tc/ 2 )] - 4 2 Sen [ 4 a + 3 (n/2)]
/ ' 41 ( a ) = 2 3 Sen 2 a - 4 3 Sen 4 a = 2 3 Sen [ 2 a + 4 (n/2)] - 4 3 Sen [ 4 a + 4 (7t/2)]
Analizando cada una de las derivadas se deduce fácilmente que

/ ‘" '( a ) = 2 " - ' Sen [ 2 a + n ( tc/ 2 ) ] - 4 " ' Sen [4 n + n (n/2)]

( E JE M P L O 8 ) Usando la fórmula de L eibniz, hallar la derivada n-ésima de la función
/( a)= a 3Sen a

■Solución Designem os por : u = Sen a y v = a 3
Entonces: u ’ = Cosa = Sen [a + l(7t/2)] , v ’ = 3a2
u” = - Sen a = Sen [ a + 2(71/2)] , v ” = 6 a
u’” = - Cos a = Sen [a + 3(7t/2)] , v ’ ” = 6
u ,4) = Sen a = Sen [a + 4(7t/2)] , vl4í = 0

Por lo q u e : u "1’ = Sen [a + n (7t/2)] , v(n) = 0
L u e g o , d esarrollam os la fórm ula de L eibniz hasta el cuarto térm ino , v (4) = ví31 = . . . .
s v<n> = 0 , esto es :

/'" '( a ) = (u ■v)l0) = u |n). v + n u ,n"11v’ + P ^ u ln 2>v " +

n (n -0 (n -2 ) v- + p + u + .............

t=$ / [n,(a) = Sen [a + n (71/2)] (a 3) + n Sen [a + (n - 1)71/2] (3a 2) +

^ Sen [a + (n - 2) y ] (6a) + Sen [a + (n - 3) y ] (6)

Pero : Sen [a + (n -I) 71/2] = Sen [a + n (ti/2) - 7t/2) = - Cos [a + n (7t/2)]*
Sen [a + (n -2) ti/ 2] = Sen [a + n (tt/2) - tt] = - Sen [a + n (ít/2)]

Sen [ x + ( n - 3) y ] = Sen [x + n ( y ) ' 4 ^ = Cos[x + n ( y ) ]

.*. /<">(x) = a 3 Sen [a + n (7t/2)] - 3nA2 Cos [a + n (tc/2)] -
3An (n - 1) Sen [a + n (7t/2)] + n (n - 1) (n - 2) Cos [a + n (7C/2)]

= x [ x 2 - 3 n ( n - 1)] Sen [a + n (n/2)] + n [(n - I)(n - 2) - 3a 2] Cos [a + n (tl/2)] ■

( E JE M P L O 9 ) Hallar la derivada de las siguientes funciones

a) Sen (a + y) + Sen (a - y) = 1 b) Sen ( y 2 - y + 2) = Ay

Solución Nótese que las dos funciones están dadas im plícitam ente, por lo que usarem os ln

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Sección 4.12 : Derivadas de las Junciones trascendentes 435

regla de la cadena en cada caso para hal lar y :
a) Sen ( a + >’) + Sen ( a - y) = 1

C o s í a + y ) - ( 1 + / ) + C o s (a - ) • ) • ( I - y ’ ) = 0

[Cos [x + y) - C o s (a - >’)] y ’ » - [Cos (a + y) + Cos (a - y)]
Transformando a producto los términos entre corchetes se tiene:
[-2 SenA*Cosy] y’ = - [ 2 C o s a C o s >’]

dj e dj onjde: y . = C—o--s-a---C-o--s--y---- ■=>y, - C ote a «Cote y
Sen a Sen y fc

b) Sen ( y 1 - y + 2) = Ay
=> C o s ( y I - y + 2 ) . ( 2 y y ’ - y ’ + 0 ) = x y ' + y
*=> >’’(2y - I) Cosí y 2 - y + 2) - Ay’ = y

y
y = (2 y -l)C o s(y 2-y + 2 )-A

( EJEMPLO 1p) Derivar: y =

V Sen a +

Solución Elevando al cuadrado : y 2 = — ________ ^

Sen a + v Sen a + V Sen x + . . . + <»

El segundo sumando del denominador es la recíproca de la función d ad a, luego, s i :

y 2 = ------- ------— i=? y 2 Sen a + y = l
SenA+ y

Entonces por derivación implícita obtenemos

y 3 C o s A + 2 y y ’ S e n A + y ’ = 0 *=> y ’ = , ¿— - ■
J JJ J l+ 2 y S e n A

EJEM PLO 11 ] Demostrar que Sen a x + Sen bx es periódica si , y sólo si a /b es un

número racional.

Demostración Supongamos que la función

/ ( a ) = Sen a a + Sen 6 a

es p erió d ica, de período T , en to n ces; / ( a + T) = / ( a ) , V T e IR

En particular, si a = 0 «=> /( T ) = /(O)

es decir: SenaT + Sen6T = 0 (!)

Derivando la función obtenemos : f' (x ) = a Cos a a + b Cos ¿ a

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436 Capítulo 4: La derivada

/ ” (*) = - a - Sen a x - b 2 Sen b x

C o m o /U + T ) = / ( x) ■=>/ ” (x + T) = f ’(x)

ys¡x=o => r e o = r (0)

<=> - a 2 Sen a T - b 2 S e n b T = 0 (2)

Resolviendo (1) y (2) se tiene: ( a2 - b 2) Sen& T = 0

( a 2 - b 2) S e n a T = 0

S e n 6 T = 0 <=> fcT = k,7t
Puesto que a * b <=> «

S e n a T = 0 <=> a T = k,rt

A! dividir estas dos igualdades se o b tie n e : a _ k; n
bk - ik. €
aT _ k^n
bT k ,n

EJEMPLO 1 2 j Analizar 1a deri vubiiidad de las funciones

a) f ( x ) = 2 1Cos x I + Cos x , en x e [ 0 , rt]
b) g(Jt) = x - 1Sen jc I , en [ 0 , 2rt]

Solución
a) En jc € [ 0 , rt/2) C o s jc > 0 <=> f ( x ) - 2 Cos x + Cos x = 3C osjc

y en x e [rt/2 , n ] , Cos jc < 0 = > f ( x ) = * 2 Cos jc + C os jc = - Cos jc
De modo que la regla de correspondencia de / es

f(x) = 3 Cos jc .jc e [0 . rt/2) - 3 Sen jc , 6jc [ 0 , rt/2)
4
«=* / ’(*) = <
[ - C o s j c .x e [rt/2,rt] Sen jc , x € [rt/2 , rt]

Ahora : /_ '( n/2) = - 3 Sen (rt/2) = - 3 y / +’(rt/2) = Sen (rt/2) = 1
C o m o /_ ’(rt/2) * / +’(rt/2) => / n o es derivable en x = rt/2 e [ 0 ,n ]

b) En jc e [ 0 , r t ) , Sen x > 0 => g(x) = x - S e n x
x e [ r t , 2 r t] , Sen jc < 0 t=> g(x) = x + Sen x

Luego, la regla de correspondencia de g e s :

l(x) = x - Senjc , jee [ 0 , rt) => g ’W = 1 - C o s X , X € [0 , rt)
x + Senx ,x e [rt, 2n) 1 + C o s x . x e [r t, 2rt]

Las derivadas laterales de g e n x — rt tienen por valor
g . ’írt) = 1 -C o s(rt) = I - ( - I ) = 2 y g +’(n) = 1 + C os(rt) = 1 + (-1 ) = O
C o m o g .’ (rt) * g + ’(K) *=> g no es derivable en x = n e [0 ,2 rt]

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EJERCICIOS Grupo J2 : D em uda t de los funciones miscendenie.s 437

n(x - l)3+ 3 + íi , x<0

EJEMPLO 13J Sea la función/(x) = x Sen x + P(x) , 0 < x < n

- - ~ r ~ - 3 Cos X , X > 71
.2 2

donde P(x) es un polinomio degrado 3 con coeficientes reales. Hallar P(x) de modo que f(x) y
/ ’(x) sean continuas , Vx e IR

Solución Si / es continua en todo su d o m in io , entonces

lim /(x ) = lim f ( x ) <=* 7i(0- l)3+ 3 + n = 0 S e n 0 + P(ü) <=> P(0) = 3

A- i 0' x - * 0*

lim f ( x) = lim /( x ) <=> 7t Sen 7t + P(7t) = - 3 C o s n <=> P(7t) = 3

X —»n" i —♦TT+ ¿ ¿

f 3n (x-1 )3 , x <0

D e riv a n d o /s e tiene : / ’(x) = < x C o s x + S e n x + P ’(x) , 0 < x < 7 t

[ -x + 3 Senx , x>7t

Si/*(x) es co n tin u a, V x e IR , entonces

/ . ’(0) = /+ ’(0) >=> 3 n ( 0 - l) 2 = 0 Cos 0 + Sen 0 + P’(0) « P ’(0) = 3n

f . ' ( n ) = f +'(n) c=» 7t Cos ti + Sen n + P’(ti) = -7t + 3 S en rc <=> P‘(n) = 0 _ _

Sea el polinomio :P(x) =a x 3 + b x 2 + c x + d P’(x) = 3 a x 2 +2fcx + c

A h o ra , si P(0) = 3 e=>3 = 0 + 0 + 0 + ¿/«= > d = 3 (1)
P(7t) = 3 «=> 3 = a n 3 + b n 2 + c n + 3 <=* a n 2 + b n + c = 0 (2)

P’(0) = 3 n «=> 3 7 t = 0 + 0 + c< = > c = 37t ■

P’(n) = 0 3a7t2 + 2fc7i+ 3n = 0 3 a?c+ 2& + 3 = 0

Sustituyendo el valor de c en ( I) obtenemos

( a n +b + 3 = 0) a (3a n + 2b + 3 = 0) g* a = 3 / n , b = - 6

P(x) = x 3 - 6x2 + 3 n x + 3

E JE R C IC IO S . Grupo 32

❖ En los ejercicios 1 al 3 0 , hallar la derivada de la función dada expresando la solución en la
forma más simple.

1. y - Sen(x + a ) C o s ( x - a ) 2. y =(x Senfc + C os6) ( xC osfc - Sen b)

3. y = Sen 2x - -j Sen32x 4. y = Sen [Cos2 (Tg3x)]

5. y= Sen 2x 6. y = + Sen2x
l + Cos 2x - S en2x

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438 Capítulo 4: La derivada

7. y = 3 + 4 Sen x 8. >’ = Sen * - * Cos *
4 + 3 Sen jc Cos * + * Sen *

9. y - T g j c - ^ T S 5J t+ j Tg** 10. y = 4>fCotg2* + ^C otg **

11. >• = Sen 5 jc - - j S*n35* 12. y = C o s(n * ) Sen"*

13. y = S en (n * ) Cos"* 14. y = C o s(n * ) C osn*

15. y= Sen 2 x + Sen 5jc - Sen x 16. y= (Senn*)"
Cos 2 jc + Cos 5 x + Cos x (Cos ni*)"

17. >’ * Sen(Cos (Tg2x)] 18. y = |S en (C os2* )* Cos (S en 2*

19. y * I-C os3x 20. > ~ Ll x.° r n 3 f ( X+2 \* 13x\
V | + Cos 3* ~cn j/

21. y = Cos jc Tg jc - Sen jc T g jc 22. y - Cos* 4r

Cosec jc + Sec jc 3 S en3* 1 3 C° lgJC

23. y * (T g2* - l) ( T g 4* + IO T g2* + 1) T g x - T g 3*
24. y = 1 - 6 T g 2* + T g 4*
3 T g 3jc

25. y * - y - C os1 ( j ) - 5 Cos ( y ) - Cos5 ( j )

y26. ~ j C o tg 5* - y C otg3* + C otg* + *

27. y * * ( 1 C o i3** - C o i* ) + 1 S en 39* + - j Sen *
y

28. y = y Cos * ( -j Sen5* + ~ S en3* + Sen * ) -

29t y * V * 3+ V x 1+ V* + Sen [Cos(* + Sen (jc + Cosjc))]

30. y = (Sen * C os x Cos 2 x Cos 4 * ) (Cos 8 * • C os 16jc • Cos 3 2* )

❖ En los ejercicios 31 al 3 8 . hallar la derivada de las funciones implícitas dadas.

31. *C os> ' - Sen(* + >')' 32. y Sen x = Cos(* + y)

33. Sen (xy) + 3*2+ y 1 = Tg(x + y) > 34. y = Cos (V*2 + ) • + ! * ! )

3S. y = Cos (V*2 + y 2 +1 xy | ) 36. >■ == Sen [Cos(*2+ > 2)] + xy2
38. y = Cos (V*2+ y 2 ) + |* y I
37. y = *2Cos (V + y 3 + U - y l )

❖ En los ejercicios 39 al 5 4 , hallar las derivadas del orden indicado

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EJERCICIOS . Crup» 3 2 . Derivadas dv las funciones in isivn tk n tet 439

39. >’ = Cos 3x ... 40. y= Cos 2x Sen 2x
>fl - 3 x Secx Cosecx ’ ^

41. > = x 2 Sen 2 x , y <5ll> 42. y = S e n x Sen 2 x S e n 3 x , >*,lm
43. >' = (x2 + 1) S e n x , y <30)
45. y = C os2x , >,tn) y44. = ( l - x z) C o s x , y ln)

46. y = S enV , y ín)

47. y = Cos^x , y (n' 48. y = S e n a x S e n & x . y ‘nl

49. y = C o s a x C o s fe x , y (nI 50. y = S e n a x C o sfc x , y ín,
51. >■ - S en2a x C o s 6 x , y <B) 52. y = x - C o s a x , y(n)
53. y = x 2 S e n o x , y (n)
54. y = x Sen a x , y ln)

55. Sea /(x ) = Sen 2x , hallar una expresión simplificada para f(x) donde/(n) es la de-

J «I

rivada de orden n de / ,y h allarxe {ü , n/2) en el cual / ( * ) 1
/<">(*)

56. Calcular las derivadas laterales en x = 0 ,d e

X2 ICotg X I + -~ ~ r , X * 0
\x\
/W = <

. 0 , x=0

57. Analizar la e x is te n c ia d e /’( l) d o n d e /(x ) = Sen [ ^ g(x)] y ,

U - [■* ] I , si [ x ] es par
gW = •

Ix - [ x + 1] I , si [ x ] es impar
58. Probar por inducción matemática q u e :

(x 2 S en x ) = [x 2 - n(n - I)] Sen (x + -Ij-Jt) - 2 n x Cos (x + y rt)

59. Sean a ,b y c tres números reales y / una aplicación de IR entR , definida por

/(x ) = a Cos ( y x ) + b Sen ( y - * ) + c , V x e IR

a ) Dem ostrar por inducción que V n e Z+ , V x e [R

/ ,B,(JO = ( f ) n[ a C o s ( - 5 x + n ) + f e S e n ( ^ x + n ) ]

b) Se definim os V n e Z + , u (= ■ ^■ /(2nl(0)
i) Calcular u (
ii) M ostrar que la sucesión { u J . n e N e s una serie geométrica de razón - n 2/l6 .
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