Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

290 Capítulo 2: Límites

Solución Una función es sim étrica respecto al origen cuando es im p ar, esto e s , cuando
f(x) = -/(-x ),V x e Dom(/)

_, i—5— - (Vjt3 + 1 - x ) ( V^ 3+ l + x )
E ntonces: /(-x ) = Log (-x + Vx2+ 1 ) = Log ------------ , ----------------

a Vx^+l +x

= Log * = Log (\íx2+ 1 + x ) 1 = - Log (x + Vx2+ T )

"VX2 + 1 + x

Luego,si /(-x) = -/(x ) o /(x) = -/(-x ).V x e Dom(/)

Para hallar la función inversa def. intercambiamos las variables:

x = Logfl( y + Vy2+ 1 ) <=> y + Vy2 + 1 = a1 c=> Vy2 + 1 - - y

Elevando al cuadrado ambos miembros de esta ecuación, obtenemos

2a*y = a 2*- 1 , de d o n d e : /* (x ) = ^ (ax - a ’) m

EJEMPLO 5 J Representar gráficamente el área de la región determinada por la relación

R = { ( x - y ) e lR2lx > L o g 3y , x 2 + y 2 < 9 , y £ (1 /3 )“ }

Solución 1. Sea R, = { ( x , y) e fR21x > Log, y }

Si x > Log, y <=> 3* > y (=> y < 3“

Dibujamos, con trazo continuo, la gráfica de la fron­
tera y = 3*. Para comprobar la verdad de la desigual­
dad tomamos como punto dereferencia al origen, esto
es:

( 0 ,0 ) e R, ? ¡=> 0 < 3o , es cierto

Luego, laG r(R,) es la totalidad de puntos de la región
ubicada en el semiplano inferior de la frontera y =3*.

2. S ea R 2= { ( x ,y ) e (R2|x 2 + y 2< 9 }

Dibujamos con trazo no continuo, la gráfica de la
circunferencia x2+ y2 = 9
Obsérvese que (0 , 0) e R2 , entonces su gráfica es la totalidad de puntos de la región
ubicada en el interior de la circunferencia, sin incluir la frontera <¡8.

3. S e a R 3= { ( x , y ) G lR2|y < ( l / 3 y }

Es ( 0 ,0 ) e R3 «=> 0 < (1/3)°, es c ie rto ; lu e g o , la G r(R,) es el conjunto de puntos ubicados
en la región del semiplano inferior de la frontera y = (1/3)“ .

4. L a G r(/) = G r ( / , ) I G r ( / 2) I G r ( / 3) se muestra en la Figura 2.63 ■

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Sección 2.13: Lasfunciones exponenciales y logarítmicas 291

E JE R C IC IO S . Grupo 18

En los ejercicios 1 al 8 , trazar la gráfica para cada una de las funciones dadas. Indicar el
dominio y el rango.

1. / = { ( jc .y )e tR 3| v = | ( 3 0 } 2. f = { ( r , y ) , e (R? I y = 2I+3

3. f ( x) = 1 - exp2(.í + 1) 4. /(x) = - 1 + e x p ^ í U + l l )
5. f ( x) = 2 + expJ/1( | x - 2 | )
7. f ( x) = exp2¡ x ¡ 6. f ( x ) = 5 + e x p ^ t 12x + 7 1)

8.

9. Sabiendo que L o g ^ t a(V2 - l) ] 2 = 0 .6 , calcular el valor de x = Loga ‘n/[c(V2- 1)]1

10. Demostrar que V x > 1: Loga(x + Vx2 - 1 ) = - Logo(x -V x 2 - 1 )
11. Hallar el dominio de la función /(x ) = L o g J Log|/J(LogJxl]
12. Una función / viene dada por la ecuación y 2 - 1 + Log2(x - 1) = 0

Hallar el dominio de / y escribir la función inversa.

En los ejercicios 13 al 18 , trazar la gráfica para cada una de las funciones dadas

13. / = { < x , y ) e [ R 2 i>' = Log2/ x /} 14. / = { (x , v )e IR21>*= L o g jtl/r) }

15. f = { ( * . >')e 1R3I v — Log7U - 11} 16. / = { U ,> ’) e 1RJÍ y = 1 + Log(x+i>)}
17. / = { { x , y ) s ÍR2\ y = \ L o & x \ 18. / = { < x , y ) e IR2I >•= |L o g ,lx ||}

Log2(x -1 ) , s i 3 £ x ^ 9

19. D ada la fu n ció n : / (x) = \ ( * - u j .si 1< x<3

-1 + Vx(2 -x ) , s i 0 < x < 1

a) H allar, si existe, /*(x)
b) G raficar/(x) y /* (x ) en el mismo sistema de coordenadas.

20. Sean / y g funciones de variables real, definidas por

VTxí+T , s i x e [-7,-2) í 2l fx/ ,xe[3,-M»)

/(*) = í g(*) = i (_____
/ x f l / + X 3 , si x e [0 , 2)
[ Ln Vx2+ 2 , x e [7 /2 ,4 )

H allar, si existe, la función (g o f ) (x) y su dominio.

•> En los ejercicios 21 al 2 4 , representar gráficamente el área de ia región determinada por las
relaciones dadas.

21. R = { ( x , y)e K M y á l ^ + y ^ . y a L o g ^ x - l ) }

22. R = { ( x , y ) e IR21y < L o g 2l x - l l ,4 x 2+ 9y2< 3 6 }

23. R = { ( x , y) e IR21y + 1 < iLog^xl , > < l + ( l / 2 ) * ' }

24. R = { ( x , y ) e t R 2l > > - 2 + e x p J x - l l , x 2+ y2< 9 , v < 3 / 2 ( x + 2 ) }
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292 Capítulo 2: Límites

(2.14) EL NÚMERO e

El número e es de los más importantes números especiales en las m atem áticas, pero
antes de dar su definición examinaremos previamente los siguientes teoremas.

TEOREMA 2 . 1 5 : Te o re m a de W eierstra ss

Cualquier sucesión creciente {a } tiene límite, finito si está acotado superiormente , e
infinito igual a + si no está acolado superiorm ente, con la particularidad de que

Iim a a = L = Sup {an}
n—»»
C ualquier sucesión decreciente {an} tiene lím ite , finito si está acotado inferiormente , e
infinito igual a - <*>si no está acotado inferiorm ente, con la particularidad de que

lim a n = L = ln f {fl(|}
n-»°°

Demostración Supongamos que la sucesión {an} crece , está acotada superiormente , es
Sea P = Sup decir, tiene una cota superior finita.

Probaremos que p = lim aa

En e fe c to , fijemos un e > 0 arbitrario . De p = Sup { a n} se deduce que Vn e «/fes válida la
desigualdad a p <, p y que existe un núm ero n£tal que a n > P - e

+ oo

p-e P

Entonces por el crecim iento de la sucesión {an} , para todos los números n > ng tendremos
p - E < a nE< a n< p

P o reso V n > n E, n e «/f, secu m p le la desigualdad l a n - p l < E . Esto significa q u e :
P = Iim a r

n—

Si la sucesión {an} no está acotada superiorm ente, entonces S u p { a n} =+<*>.
Mostraremos que en este caso : lim a = +

n-*»
En efecto , elijam os un e > 0 de form a arbitraria . D e que la sucesión {on} no está acotada
superiormente se deduce que existe un número nt tal que > e . Entonces por el crecimiento

de la sucesión {an} V n > n£ , tendrem os: a n> a m > e . Esto significa q u e : lim a n = +

n—

De forma análoga, se analiza el caso de las sucesiones decrecientes.

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Sección 2.14 : El número e 293

TEOREMA 2.16

La sucesión ■¡f) } es m onótona creciente y acotada superiorm ente.

Demostración 1. Probaremos que la función es creciente.
En efecto:

U na sucesión {La fl}} es creciente <=> aU< añ+l, ,f V n e Z*

Entoncessi a n = (1 + J ,poreldesaiTol!odelbinom iodeN ew ton

“. = ' + ( í ) l + (2n) i + ( 3 ) l ? + - + ( " ) l F

=t o- ^ n(n' i ) - : r <n' l)1( 7 )

= , + 1 + ¿ ( 1 . 4 ) + ^ ( , . i ) ( , . | ) + ... + J I [ ( , L d ) ] ( „

(1 + ----i--1 \1 n+1, es
n+ 1 /

+ (Í TT ) i[ ( 1- 7 r h ) ( 1- ITT.) í ' - i t i ) ] ®

En (1) observam os que a nconsta de n + 1 sum andos positivos y en ( 2 ) , q u e a n+1 consta de
n + 2 sumandos positivos tales que los primeros n + I términos de a nson m enores que los
n + 1 primeros términos d e a n t , .
Esto significa que:

a „ < ü „*i ■ " = 1 - 2 , 3 .............
lo que dem uestra que la sucesión {an} es creciente.

2. Probaremos ahora que la sucesión {an} es aco tad a. . , de (1) se hacen cero,
En efecto:

D adoque nJ—i>moo (\ £11)/ = 0, las expresiones n , c = 1 , 2 , 3 ,
entonces

Ü" < 1 + TT + 2Í + 3 Í + 4 ! + ' + n! ^

y si 3 ! > 2 2 , 4 ! > 23, . . . , n ! > 2 " - ' , (n * 2 ) » -^Jtt < -¿7
entonces la desigualdad (3) puede escribirse

¿ f „ < l + l + i2+ 422r + 433r + . . . + 2r1," ,

r=* an < 2 + 1 -- + A r + \ + . . . + ~ T )
" V 2 ? 2 33 21,-1 /

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294 Capítulo 2: Límites

La suma de los términos entre paréntesis es la de una progresión geométrica cuyo primer
térm inoes 1/2 y cuya razón tam bién es 1/2.

k [ 1 - (1/2)"] i
1-1/2

y com o i # 0 i = > a n< 3 , V n e Z * lo que nos asegura que { a n} es acotada superiormente.

A dem ás, si n = 1 •=> ( 1 + "¡^ ) - 2 , y ocurre que

2 s ( l + | ) < 3 , V n e Z *, cu an d o n —>©o

Se concluye a s í, que la sucesión { ( l + p ) j- es creciente y acotada superiorm ente ,
lo que quiere decir, que por el Teorema 2.15 tiene límite. Este límite se denota por la letra e.

Definición 2.24 : EL NUMERO e

E! núm ero e , llam ado número neperiano , se define com o el lím ite de la sucesión

{ (l + cuando n crece indefinidamente. Es decir

e = ^ ( , + -i)-=SuP { ( , + ±)’ }
cuya aproximación decimal e s : e = 2.7182818284. . . .

Como se puede observar el número e es irracional y aún m ás, trascendente, es d ecir, no es raíz
de ninguna ecuación algebraica con coeficientes enteros. El número e en el análisis matemático
juega un papel im portante. En particulares la base de los logaritmos naturales.

Al L o g eN se le llam a logaritmo natural o neperiano del número N y se le denota por
LnN.

La relación entre el logaritmo natural y el logaritmo decimal de un número (Log N ), es el
siguiente:

De la propiedad L.6 (cambio de base), se tiene que

LnN = I S N o Log N = L «N (])
Log e Ln 10

Como — -— = 2.3026 3y - —Í-— = 0.4343 , las relaciones (1) toman la forma
Loge L n 10

Ln N= 2.3026 Log N o Log N = 0.4343 Ln N

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Sección 2. ¡4: Ei número e 295

D efinición 2.25 : FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL

Es la función exponencial de base e y se define para iodo x como
e x p : IR—>(R+
x —> e'

cuya regia de correspondencia e s : exp = { (* , y) e iRx 1R+ | y=e*}

C o m o sep u ed eo b serv arelD o m (ex p ) - IR y elR an (ex p ) = (R+ . es d ecir, su gráfica (Figura
2.64) se extiende sobre el eje X , y dado que e > 1 , la función exponencial es inyectiva y
creciente en todo su dominio. Además se cumple q u e :

a) lim í* = +oo b) lim e* = 0
,T—*+«*>

Definición 2.26 FUNCIÓN LAGARITMO NATURAL

Es la función logaritmo de base e , denotada por L n y se define para lodox > 0 com o:

L n : (R+ (R
x —» Lnjc

cuya regla de correspondencia e s : Ln = {( x , y) e IR+ x IR i y = Ln x}

La función logaritmo natural es inyectiva y creciente en todo su dominio ( 0 , + °q) y rango IR.
Además se cumple que

a) x l-i>m+ ° cLn x = + 00 b) j rl—i»mo * Ln x = - 00

Una consecuencia inmediata de la propiedad

es q u e : e‘ = y <=> L n y = x
L n (e x p x ) = Ln(e*) = x , V x e ÍR

exp(L nx) = eLta = x , V x e tR+

y de la propiedad de reflexión de las funciones inversas, FJG U R A2.64
se sigue que las gráficas y = e* e y = L n * son reflexiones
una de la otra con respecto a la recta y = x , como se
muestra en la Figura 2.64.

Ahora veamos la influencia que tiene el número e
sobre dos funciones reales f y g , definidas p o r:

/( * ) = (I + l/x)x .c o n d o m in io x e < -*»,- 1) U ( 0 , + 00)
g(jc) = (1 + jt)Uz,c o n dominio x e ( - 1 , 0) U (0 , + «»)
Tracemos una gráfica de cada una de ellas.

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296 Capítulo 2: Límites

En la Figura 2.65 podemos observar que cuando x crece sin límite a + °°o decrece sin límite
a - la función tiende a la recta y = e , esto e s :

i) lim ( l + --jXrI) = e 4ii) Xl—im»- oo('l + x )> = e

Como los límites laterales a la derecha e izquierda son iguales, es válido el enunciado

lim (l + -L) - e

Análogamente, en la Figura 2.66, los límites laterales en x = 0 son iguales, esto e s :

i) lim ( l + x ) l/J; = e ¡> •=> l i m (1 + X ) 1'* = e
x -*0
* —»o+
ii) lim (1 +x),ta= e

x-*0"

A continuación trataremos de probar estos límites mediante el siguiente teorema.

TEOREMA 2.17
Sean las funciones / : (R —» ÍR y g: ÍR —» IR , definidas por

entonces : /(x ) = ( l + 4 r y g(x) = (l+ x )‘*

lim (1 + 4 ) ' = e y bm (1 + x )lí* - e
j —»0

D em ostración i) Probarem os que lim f ( x ) = e , r e ( 0 , + <»)
En efecto:

1. Com o cada valor de x e ( 0 , + «>) está com prendido entre dos números naturales consecu­
tivos , esto es

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Sección 2.14: El número e 297

2. Si elevamos cada extremo de esta expresión a una potencia correspondiente tal que no altere
el sentido de la desigualdad , obtenemos :

3. Cuando x —» + o®, entonces n —» + « > , pues x e [ n , n + 1)
A hora, evaluando los límites de los términos extrem os, se tien e:

4. lim ( l + — M ‘ = lim ( l + — -— ) n* ' ( l + — ■— ) ' = ( e ) ( 1 + 0 ) = e
n->+~' n + F n-»+~' n + F ' n + F

5. lim ( ] + - í - ) " + l = lim ( l -f J - ) " ( l + -M = é Í I + 0 ) = e
n—»+<*>v n / n—♦♦oo v n / ' n *

6. Luego, de (2 ), (4) y (5 ), por el teorema del “sandwich” , se sigue que

lim fl + -i) - e

ii) Probaremos que : lim (l + -Jr)* = e , x e -1)
E_n e-fecto : 00

1. En este caso conviene hacer un cambio de variables .e s to e s si x + 1 = - u =* x = - ( u + 1).
Cuando x —>- 00, e n to n ces, u —>+ <*>

2. Luego: U m ( l + - * - ) '= |im ( 1 - = lim í u + 1 ) " '

x t u-* +~ ' U + l ' u-» +« \ U I

~ „]“ „ ( > + ¿ ) " ( , + t i) = « o +°> = *
iii) Probaremos q u e : lim ( l + x ) l/x = e

Jr-i0
En e fecto , sea x = 1/u «=> u = M x . C u a n d o * —» 0 . entonces u —»«*>

Luego: l im ( l+ j c ) lfa= l i m í l + - i ) = e

x -* 0 u-»«» ' u '

[2 .1 4 .1 ) PROPIEDADES DE LOS LÍMITES EXPONENCIALES Y
LA G A R ITM IC O S

L .E .1 : lim ( l + - ^ ) ' = e L .E .3 : lim ( l + £)* = ea
A «•_____ kx m A
X—*+«

L .E .2 : lim ( l + x ) ,ta - e L .E .4 : lim (1 + a x ) l' * - e a
x-*0 *-*0

L .E .5 : Si lim f ( x ) = 0 , con / ( j c ) * 0 , para r í a t=> Hm [1 + f ( x ) ] UfM = e

x —*a x -* a

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298 Capítulo 2: Límites

L. E . 6: Si a > O y fl * 1 lim ( a r * ) = Ln (a)
x —*0 ' ■* '

L. E . 7: Si lim / ( jc) = L , L > O *=> lim [L n / ( jc) ] = Ln [ lim /(jc) ] = L n (L)

x-*a x —*a x —*a

Ln (1 +JC)
L .E . 8: lim ( , ) = 1

*-»o * x •

(2 .1 4 .2 ) l í m i t e s d e l a f o r m a : i,m [ / « ] » ” = l

x -* a

Al evaluar límites de este tipo se debe tener en cuenta 3 caso s:

C a s o lSi existen los límites finitos

lim / ( jc) = A y lim g(jc) = B «=> L = AB

x —*a x —>q

Caso 2 Si lim / ( jc) = A * 1 y lim g(jc)= ± ° ° , el pro b lem a de h allar L se resuelve

i —» o x-* a

d irectam ente, pues al tener L la form a indeterm inada 1*'", ocurre que :

a) Si A > 1 ¡=> L = A*“ = +oo y L = A “ = 0

b) Si 0 < A < 1 o L = A ‘“ = 0 y L = A " = +<*>

C aso 3 Si l i m / ( jc) = 1 y lim g(;c) = ± ° ° , tendrem os la indeterminación l +~

i — x —* a

El problem a se resuelve suponiendo que f ( x ) = 1 + h(jt) donde lim h(jc) = 0 ,

x —* a

en to n ces: L = lim {[ 1 + h(jc) ] l/hw} ~

x —»o

donde u = lim h (jt)« g(jt) = lim [ f ( x ) - 1 ] g(jc)

x —* a x —> a

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

2 .-5

[EJEM P LO l l Calcular: lim ( - , ? ~ A x ) 8-3.»

x _»2 ' X' - 3jc + 2 •

Solución Sean f(x) = y 8^ § f

o- A* = lim f.(r,x ), «=>. A. = il-im -(—X + 2 )(xr-2 ) = U m ( * ± l ) = 4
x-*2 (x -l)C * -2)
Si

x-*2 X -\ /

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Sección 2.14: El número e 299

Como A y B son números finitos, tenemos el Caso 1, por lo que
L = A B = 4-M = 1/2

EJEMPLO T ) Calcular: *_l»im+0oVf 3jt + 2 /

*7>,2 1 j.
Solución Seanlas funciones : f ( x ) = 2^ y g(jc) = 2x + 3

SI A= Hm f ( x ) o A = lim í ^ + f ~ 3 ) = I

2— X —*i oo ' J A T Z ' J

B = lim g(x) c=> B = lim (2x + 3) = +00

( _» +oo £ —»+eo

Tenemos el c a s o , 2 donde 0 < A < 1 y B = + «*•

L = (1/3)-“ = 0

EJEMPLO 3) Evaluar: x-l*i+m°° \( x^ +4 3)l

•

Solución Por el cálculo directo del límite obtenemos al forma indeterminada 1*“ . Tenemos
el Caso 3.

E nto n ces,si f ( x ) = 1 + h (x ) ■=> h(x) - f ( x )~ 1 = jxt +~ \3 - 1 = - jc+ 3

Luego, L = lim f X~^ ) =es , donde u = lim h(jr). g(x)

x —>+ 00 * X + i / ¿ —>+ 00

<=$1 1 = lim (- —4 t ) ( x + 2) = lim (-' ^ " 8 ) = - 4 L =e

X—>+« * a T J / AT J /

[EJEMPLO 4 ) C alcular: lim ( C o s jt+ a S e n k c )1'1

* *-»0

Solución Al sustituir x = 0 , el lím ite tom a la form a indeterminada 1“ . Tenemos el Caso
3 . L uego, si

f ( x ) = 1 +h(Jt) «=> h(jc) = (C o sjt+ S en bx) -1 = a S en b x - (1 -C osjr)

<=$ L = lim (C o s x + a S e n fc * )l/r = eu (1)

x —>0

d,ond, e u = lim h(jc) ■g(jc,) = .• /a S e n f t j cl-im( l -{C--o--s--x--)-\- 1
jt —»o j-* o v ■* ’

= i™ ( “ S o r b x \ 1¡m ( l - C o ü x \

j i —» 0 \ X/ JC-+0 \ X t

= (ab) lim ( Se.nfcx ) - lim í 1 " * ? 5 * ) = a b ( l ) - 0 = ab
x_»o' bx 1 x^ o ' x 1

Por tanto, en (1): L = e06 ■

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300 Capítulo 2: Límites

[ e j e m p l o 5 ) Calcular: lim (1+ C osjr)

V. - «0 x-* n T 2

Solución Obsérvese que si f ( x ) — Cos x <=> lim f {x ) = 0 , luego , haciendo uso de la

propiedad L .E .5, se tiene x-*n/2

L = lim [ (1 + C o s jr)l/c“ * ] 3 = [e ]J = e 3 ■

X —►jc/2

E JE M P L O 6 | Calcular: lim ( a ~ M (PropiedadL.E.6)

—^ x - * o ' x '

Solución Un cambio de variables es necesario en estos casos
Sea u = fi‘ - l c í a ‘ = 1 + u

«=> jc L n a = L. n (1 + u )•. <=> x = —L n;(--l-+---u--)-
Lna

Cuando x —» 0 , entonces u —>0

U » . L . ^ ) . « n .J J Ü iL ,)

E JE M P L O 7 ) Calcular: lim í - ^ r ^ , a > 0

S * x-»fcV X -B •

Solución Hacem os el c a m b io : x - b = u ■=> x = fc + u
Si jc —» b , en to n ces, u —»0

Luego, L = lim ( - — ~ a b lim í ^ f ^ )

u -» 0 ' U ' u-»0 V U ‘

y por la propiedad L.E.6: L = a*Lna

(e j e m p l o 8 ) Calcular: lim X•
s * x—»0 '

Solución Con el artificio de sumar y restar 1 en el num erador, se tiene :

L = | m 1( fe", - | ) - (e‘, - i ) ) = lim ( í ^ I ) . , ¡m ( 4 ^ i )

x -» 0V X 1 x —> 0 ' X • x - t 0 ' X •

Para aplicar la propiedad L.E.6, escribim os:

L = a lim ( M - b lim — - ) - a Lne - b Lne = a - b
x —*0 v a x • x—»0 V b x •
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Sección 2.14: El número e 301

(e j e m p l o 9 | C alcular: lim (C os*)’" '

^■ - - * x —» 0

Solución Por sustitución directa, el límite tiene la forma indeterminada 1"°. Tenemos el Caso
3.

L u eg o . s i f ( x ) = 1 + h(x) >=> h(je) = Cos x - 1 = -(1 -C o sx )

«=> L = lim (C o sx ),,z2 = e“ (1)

x —» 0

donde u = lim h(x)*g(x) = - lim (1 -C o s x ) ( - 4 r ) = - lim ( * ' ^'^>sx)

x —» 0 x —» 0 V-^ ' x-»0 * X- I

Por lo tanto, en (1 ): L = e in = 1/Ve

(EJEMPLO 1o ) C alcular: lim jr[ Ln (x + l ) - L n x ]

Solución Elim inaremos la indeterminación <»(©° - ©o) , aplicando la propiedad L.2 de los
logaritm os, esto es

L = Jm x L n (í± I) = lim L n (l+ I)'

y por la propiedad L.E.7: L = Ln [ lim ( l + 4 - / ] = Ln (e) = l ■

EJEMPLO 11 ) Calcular: lim ( ~ ) L n
J x—»o ' o x ' y l-ax

Solución L = lim Ln ( ! + a x j = Ln [ lim ( - - 1 ) j
Vi - a x l Lx-»oVl - flX ' J

El límite del corchete tiene la form a indeterminada 1°*

Luego, si/(x ) — 1 + h(x) o híx) = -1=

Entonces:L = Ln (lim ( \ + g x ) 1 = L nl«u]= u ( 1)
L*_»ov l - a x • J v'

donde , u = üm h(x)*g(x) = lim ( ^ a x ) ) = lim \ (-¡—í— ) = \ ■
x_ o x - » o 'l - a x ! \ 3 a x l X^ 0 3 \ l - u x ¡ 3

Por lo tanto, en (1 ): L = 2/3

EJEM PLO 12) Evaluar : lim (T gx)7*2'

x -* n /4

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302 Capítulo 2: Límites

Solución El límite tiene la form a indeterminada 1“ (1)
E n to n ces: L u e g o , si / ( jc) = 1 + h(jc) <=> h(x) = T g x - 1 u

L = lim (Tgjr)1*2’ = e u
x-*JÜ4

d o n d e ,u = lim h(x)*g(x) = lim (T g x -I)T g 2 x

x - » JÜ4 x -tití4

, ,lm ( T g ^ - O Í - ^ ) = - lim ( 2 S £ . ) = . ( ^ ) = . !

x-+nM ' 1 -Tg'X f j - ^ 'l + T g X¡ V| + W

Portanto,en (1): L = e 1 = Me

(E JE M P L O 1 3 ) Calcular: lim ( '°S(* + U + l * g ( * - V - 2 |o g ^ ^

v h —» o ' n i

Solución Haciendo uso de las propiedades de los logaritm os, el límite se reduce a :

L = lim — 6 ^ x 1 ^ = lim L o g f l - • í4 ) l'h3= Log [ l i m ( l - - ^ ) l/h2]
h-»o h2 h _»o V x2i fcLh-»ov X1/ j

La sustitución directa da al límite la forma indeterminada 1" (Caso 3)

L u e g o ,si /( * ) = 1 + h (x ) «=> h(x) = ( l - -1= -

r=> L = Log [ e u] = u L og e (1)

donde , u = lim h(x). g(x) = lim = —V
h_»o h -» o ' /vn / x

Por lo q ue, en ( I ) : L = (--\-)L o g e ■

[ e j e m p l o 1 4 ) Calcular: lim ( a’^ + ^ ' h - 2 g J ) , f l > 0

s ^ h -» n ' ir •

Solución Por la regla de los exponentes se tiene

L = lim ( . < - ^ ± ^ 1 - lim a » ( a > t ; !" - 2
h—*0 ' nn '• hh -*» 0o '
ir

i= iL == ax / a 2h- 2 c h + 1 \ ,• a * f a h- 1\2
hli_m>0 -a4" (\ g ?hg2 ■ /) = hi_™,0 4flh( V4 ^h ) /

y por la propiedad L .E .6: L = Ql* (L n a )2 = a xL n2a

(E JE M P L O 1 5 Í Evaluar : lim .C o f o O - C o s f r r Q

V * Jt-»0 JT

Solución Transformando a producto la diferencia de cosenos , se tiene
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Sección 2.14: El número e 303

L = lún( 2 ) [ s e n ( * ™ ) Scn( ~ l ^ i ) ]
x-»0

H agam os: A = ^ (e" + e 1) y B = ^ (e* - e'”) «=> AR = jtV 2* ( - )

- l =j™(- ? ) t i ^ i m i a b = j ™ ( m x . ) ] ^ ( ^ i )

y por la propiedad L .E .6: L = - 2(1) (Lne) =--2

( e j e m p l o 1 6 ) Calcular: lim j a * +b^ + c* t a . b , c e IR*

Solución Por el cálculo directo vemos que el límite toma la forma indeterminada l " ,
(Caso 3)

L uego,si f M = l + h U ) « h W = a ‘ +b ' + c ' - 1 = “' + b- + c - - 3

« L = lim ( ^ ± i l ) ' “ = c. (l)

x_»0x 5 > (L .E .6 )
u
donde u = lim h(jr)*g(jr) = lim ( a + c ~3' ) ( - ] ; )
*-»o *-»o' 3 i \x /

= y lim ^ ( Lnn + Ln6 + Lnc)

y por las propiedades de los logaritmos : u = Ln(ylabc )

Por tan to , en (1) se tiene L = éw 1 S i = tfabc

EJEM PLO 1 7) Calcular: lim1 ----L--n---(-l--+. x..e. *)

' oX-* L n (jr + \ l + x 2 )

Solución Por el artificio de multiplicar y dividir por l/x se tiene:

(1/jr) L n (l + x e x)
L - lim

x-»o (1/jr) L n ( x W l + jc2)

L n ( J + x e J‘ ) ,. /L n(i+ xe*M c/l. .
Sea L = lim = tim e x( ---------- ] = e (1) = 1 (LEÜ)
x —>o x x-*o ' xe /

Sea L2 = lim L n(x + Vl +x2),ír = Ln [ lim ( r + Ü T ? ) 1'1]

x -» 0 x —9 o

Aquí el límite L 2tiene laform a indeterminada l“ (Caso 3)

L uego, s if ( x ) = 1 + h (x ) «=> h(x) = x + V l + x 2 - 1
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304 Capítulo 2: Límites

i=> L 2 = Ln [ ev ] = u

donde u = lim h(x) • g(x) = lim (x + Vi +X2 - 1 ) )
-r-»0

L = lim (1 + VVi1 ++Xx2^ -' 11 ) = lim (1 + , * ------ ) = 1 + 0 = 1

1 ,-» o v * ' jt- * o V í+ j? + l ;

Por lo ta n to , si L = -r^~ <=* L = 1
L2

EJEM PLO 18} C alcular: lim (Cos V5a ix )*“

* » i-»—
Solución Un cambio de variables es aconsejable en estos casos.

Sea 2 = «2=5“

>X Zz

Si x —><x>, entonces z —» 0 , lu e g o : L = lim (Cos z )Sohtl2

z-»0

La sustitución directa da al límite la forma indeterminada l“ . (Caso 3)

Si / ( z) = 1 + h(z) i=^ h(z) = / ( z) - 1 = C os z - 1 = - (1 - Cos z)

=> L = lim (Cos = eu (1)

z ->0 (Ejemp1o9)
■
donde u = lim h (z )-g (z ) = - lim (1 - Coz) í - ^ r )

z ~»0 z~»o 2/

= . 5ab lim ( J _ i ^ s z \ = _5ab n )

z-* o ' z / '2 /

Por tanto, en (1) se tiene : L = e '5abf2

Nota Cuando el límite de una función toma una de las formas indeterminadas 0 ° o to°, éstas pueden
ser reducidas a la forma 0 - , hallando el límite del logaritmo natural de la función dada.

EJEM PLO 1 9 ] C alcular: lim (3 + 2 eT^ ) K■21

a—»n/2

Solución M ediante el cálculo directo del lím ite obtenemos la form a <»0
Para reducirla a la form a 0 . 00, procedemos del m odo siguiente

1. S e a /(x ) = (3 + 2 e T*‘)’“ 2* <=> L n /( x ) = (n - 2x) L n (3 + 2eT* )

2. Tomando límites en ambos extremos de la igualdad se tien e:

Ln [ lim / ( x ) ] = lim [ (7 t-2 í) L n (3 + 2 e T&I) ]

x-* x/2 i-»n/2

= lim [ (n - 2x) Ln (3 e~Je*+ 2) eTv ]

X -* 7 l/2

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EJERCICIOS . Grupo 19 305

= lim {(7t - 2x) [ L n (3e TBX+ 2) + Ln (el v j \ }
x —» ic/2

= lim [ (ic- 2 x ) L n ( 3 e'Tt*+ 2 )] + lim (7 t-2 x )T g x

x -trt/2 x —»n/2

= [(0) Ln (0 + 2) ] + lim (jc- 2x) Cotg ( - | -x)
x —»rt/2

. % Cos (ti/2 - jr )
= lim (tc-2jc) ; — f
x-*nn Sen(7t/2-x)

-2

= 2(1) (1) = 2

3. L u eg o ,si Ln [ lim / ( x ) j = 2 «=> lim /(x ) = e 2

x-* n íl x -* n í2

E JE R C IC IO S . Grupo 19

❖ C alcular, si existen, los límites propuestos

lim |1 . 2.
2X —* 1 1
+ jc /

3. lim |f 2 x - l \ " 2 4. j m f f i r
l 2x - 3 /

5. lim / x 2 + 2x - 1 6. lim ( s -2++*x v T
l 2x2- 3x - 2 /
* _»+ «' /

+7 / X f l \ * 8. 1 1ll ii mm
lim/ , / a >T + Í LJ ' \ • cM "> 1i
. 1x _ » + « v a ^ + b j 1
X —*<■> l ' x - J

9. lim (1 + x 2) Ct**2' 1 0 . lim (1 + Sen Ttx) Cc,í*
iX - *
1 1 . lim [1 + 6 T g 2(V 2 x )],,4x
x—»0 12. lim (x + C o s 2 x ) c<*“ 31
x-»0
13. lim / l + Tgx \ l/s*nx
x-M) \ 1+Senx 1 / 1 + T g x \ 1/s' n2*
14. lim 1——=------)

x_»o * 1 + S e n x 1

15. lim / S e n x \ I/Jr fl 16.
*-»o ' S e n a /

17. lim (Sen x ) T&r 18. n m [ T g ( | - , ) ] -

x —» h /2

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306 Capítulo 2: Límites

areTgZ« 20. lim (s e n — + C o s —)

19. * —* o v ■* x'
**—_ ►» n0\ «* /

21. lim (VCos Vjr) 22. lim (Vi - 2 x )
x-»0
x-* 0
23. nl_im»»\( Jn1 ±- f1 )/ n
24.
*-> +« ' ■* '

25. lim C o s " ( ) 26. lim ( l n * - L n a ) ,o >0
'\n '
n—*«■= *-a l

27. lim [S e n L n ( x + l) - S e n L n x 28. y { Ln(.y2- x + l ) \
X—t +oo x “ T J L n ( x l0+ x + l ) ^
Ln ( 2 + e 3j)
30. lim Ln (1 + Vx + 4V<—x)
29. ^i—
*-»+« L n (3 + e2*) *-»+«- L n ( l + \ x + \ x )

31. lim Ln Tg(7t/4 + ax) 32.
x->0 Sen bx

Ln (nx + Vi - n2x2) 34.
33. lim

ir—»0 Ln (x + V i - x 2 )

35. lim 36. *l-im»0 (x + e*)17'
x —>a

37. lim ( 1 + x . 2 x \ u* 38. üm ( l + S e n x C g s g ^ \ CoigJi
x—*0 V1 + x • 3x / x_»o ' 1 + Sen x Cos px /

39. lim / Sen nx* \ 40. lim Sen2( t i • 2x)
x-> 1 v Sen Ti x* /
j Ln Cos ( t i • 2x)

41. lim 42. lim ( ea* - ebax
n—»= r * i j + i )
.i\ \ Sennx-Senfcx )

43. lim 'I>i xxap - a° \ / (x + a y * a (x + b y* b\
x-*a - a* /
44. x T » l (x + c + fc )2**” * ’

45. lim n ( Vx - 1 ) , x > 0 46. lim n2( V x - n+Vx) , x > 0
n-»««

47. lim ( o - i + 7 ¿ ) n a > o ' ¿ > o 48. lim ( ^ i ^ ) " , a > 0 , 6 > 0
n-»«

49. lim 1>a **' +b*, *} + c r+l \ilh , a_ , oL , c , c IR+ 50. lim ( ‘? l ± £ l ) ,\ o > 0 , f , > 0
x-*0 ' a + b + c / x-»0 ' fl'+ P * /

51. lim ín’ - b‘ 12 . a > 0 , b > 0 52. lim ( aa2- a’2 ) , a > 0

*_>a V a 1 -X a /

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(3-1J IN TR O D U CCIÓ N

En el lenguaje ordinario decimos que un proceso es continuo cuando éste ocurre sin
interrupción o cambios abruptos. En matemáticas lapalabra continuo tiene el mismo significado.
En efecto, si consideramos una fu n c ió n / definida sobre un intervalo, intuitivamente diremos
que la función / es continua si su gráfica no presenta interrupciones o rupturas sobre dicho
intervalo.

F I G U R A 3.1

La Figura 3 .1 nos muestra tres formas diferentes de! comportamiento de una función en las
proximidades del punto xn

En (a) se observa que la G r(/) es continua en jr0e D o m (/), es d e cir, /(jc0) está definida y existe

L = lim f(x) y se cumple que L = f(x..)

XX y

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308 Capítulo 3: Continuidad

En (b) y (c) se muestran funciones no continuas en x0 e D om (/) por una de las dos siguientes
razones: en (b ), f(x) carece de límite cuando x tiende a * . , es d ecir, no existe lim / ( x ) , por

x-*x0
lo qu e no se puede afirm ar q u e L * f ( x ¡ ) , y en ( c ) , f ( x ) tiene lím ite cuando x —»x0 , pero
que, L
En consecuencia una traducción muy simple de todo lo dicho se sintetisa en la siguiente
definición.

Definición 3.1 : CONTINUIDAD EN UN PUNTO

Se dice que una función / es continua en x0 e D om ff) s i , y sólo si
lim /(x ) = f ( x a)

Por ejemplo , son funciones continuas en cada uno de los puntos de sus dominios
1. Las funciones polinóm icas pues : lim P(x) = P(x )

2. Las funciones racionales, o sea los cocientes de polinomios

3. Las funciones trigonométricas
a) Sen x y Cos x en todo punto x

b) Tea = -J r ~ *- , en todo x tal q ue Cos x * 0 <=> x * 2kK + ^2 , k = 0,±l,±2,..
Cos x

c) C otg x — — - ^ , en todo x tal que Sen x * 0 <=> x * 2krc , k = 0 , ± l , + 2 , . . .

o € n jc

Recordando la definición del límite de una función en un punto x a , una traducción directa de

lim f ( x ) = /( x u)

Y-

en términos de e y 8 es la siguiente: t
Para cada e > 0 , existe 8 > 0 tal que si
/w 1
0 < I x - x J < 8 <=> | / ( x ) - / ^ ) ! < e
JU ,) ■ E :
pero en este caso , si x0 e D o m (/) y es un punto de 0 x„ xs+ S
acumulación , la restricción 0 < Ix - x01es innecesaria,
puesto que si tomamos lx - x 0 l = 0 , entonces x = x 0 y 1*— *j
/ ( x ) = / ( x 0) ,p o r l o q u e l / ( x ) - / ( x tl)! = 0 , ciertamente FIG U R A 3.2
es menor que £.

En consecuencia, una caracterización £ , 5 de la continuidad en xü está en la siguiente definí

ción.

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Sección 3. / : Introducción 309

Definición 3.2 s DEFINICIÓN (z - 8) DE LA CONTINUIDAD

Se dice que una función f es continua en x Q€ D o m (/) s i , y sólo sí
V e > 0 , 3 5 > G l si Ijt - A'p I < 6 o I / ( a ) - /(*„) I < e

Una nueva definición, en términos de vecindades, en un lenguaje intuitivo simple lo obtenemos
d é la Figura 3.2.

Definición 3.3 : CONTINUIDAD EN TÉRMINOS DE VECINDADES

Una función / e s continua en x Qs i , y sólo s i , para a próximo a x 0 , /(a ) es próximo a / ( x 0).

Formalmente:

V£>0,3S>0|sixe o /fx)e V, l/(xc)]

OBSERVACIÓN 3.1 Si x(|es un puntode acumulación del D o m (/) entonces las Definicio­
nes 3 .1y 3.2 son equivalentes , lo cual implica una nueva definición

más explícita de función continua en un punto, que es la siguiente.

Definición 3.4 : CONDICIONES DE CONTINUIDAD

Se dice que una función es continua en el punto x , e Dom (/) s i ,} sólo s i . bt satisfacen
las tres condiciones siguientes :

■) / ( a„) está d efin id a, es d e c ir, existe /( x uj

¡i) Existe lim /(x )

X -* Í%

iii) lim /( x ) = /( x (|)

X -»*,

TE O R EM A 3.1

Suponer que / es una función continua en x (] y q u e /(x tí) > 0 , entonces existe un núm ero
5 > 0 tal q u e /(x )> Ü para todo x que satisface I x - x J < 5

Demostración En efecto:
1. Como / es continua en x uentonces por la Definición 3.2

V e > 0 , 3 5 > 0 | V x que satisface | x - xDI < 8 t=> I/(x ) - /( x H) I < £
2. Por hipótesis/(Xp) > 0 y com o e > 0 es arbitrario podemos elegir £ = /( x 0) , de m odo que :

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310 Capítulo 3: Continuidad

3. Si l/C*) -/( * „ ) I < /(* „) <=> "/(* ,.) < W “ /(^o ) < /t*n)
<=> 0 < / C * ) < 2 / ( jc„)

4. De donde ,/(x ) > Ose cumple Vx que satisface I x - x J < £

C o ro la rio ' Suponer que / es una función continua en x0y que / ( x ,) < 0 , entonces existe un
número 8 > Otal que f ( x ) < 0 para to d o x que satisface U - x u I < 8.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

¡^EJEMPLO 1 ) Dada la función /(x ) = x3- x2+ 2x - 2 , si x e ( - 1 , 2) , x * l
x- l , si X= I
Determinar s i / e s continua en x = l .

Solución En x e {-1 ,2 ) , /(x ) = —— ^ = x3+ 2 , x * l

Veamos si para x = I se cumplen las condiciones de la Defi­
nición 3.4:

i) / ( l ) = 3 , existe por definición

ii) lim /(x ) = lim (x2+ 2) = i + 2 = 3

X —» l X —►l

iii) De (i) y (ii) se sigue que :

lim /(x ) = / ( l )

X —» I

Luego , / es continua en x = l , cuya gráfica se muestra en la F IG U R A 3.3

Figura 3.3 ■

(j EJEMPLO '2 ] Para qué valoras de x la función definida por

m= x2- 3 , si - I < x < l
2 x - 4 , si I < x < 2 , es continua. Trace su gráfica
5 - x 2 , si 2 < x < 3

Solución Siendo / una función seccionada, los posibles puntos de continuidad se presen­
tan en la unión délos intervalos de definición, esto e s , en x = I y x « 2 . Analice­

mos la continuidad en cada caso.

1. Continuidad e n x = I
i) / está definida en x = I , pues en x € (-1 , ! ) : / ( ! ) = ( l)2 - 3 = -2

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Sección 3.1 : Continuidad en un punto 311

ii) Si a: está en la vecindad de I y x < 1 , entonces los valores d e / se acum ulan c erca de

lim (x2 - 3 ) = I2 - 3 = *2
i-» r

S¡ x está en la vecindad d e I y x > 1 , entonces los valores de / se acum ulan cerca de

lim (Z x-4) = 2( 1 )-4 = -2
*-» i+

Como lim /(x ) = lim /(x ) *=$ existe lim /(x ) = -2

* _ ,r *-»i+

¡ii) S ecu m p leq u e: lim /(x ) = / ( I ) = -2 , lu e g o /e s continua en x = I

x-* i

2. Continuidad en x = 2
i) E n x e [ 2 , 3 ) , / ( 2 ) = 5 - ( 2 ) 2 = 1 existe.

ii) Si jc está cerca de 2 y x < 2 , los valores d e / se acumulan

cerca de lim (2a:-4 ) = 0

x-* 2 ‘

En tanto que si x está cerca de 2 y x > 2 , los valores de /

se acumulan cerca de lim ( 5 - x 2) = 1

x-* 2 *

Com o lim /( x ) * lim /( x ) => 2 lim / ( jc)

a-»2* x -*2+ x -*2

iii) No se cumple la condición : lim /(x ) = /(2 )

x -*2

Entonces la función / no es continua en x » 2

En consecuencia, la función es continua en todo su dom ino, excepto enx = 2 ,u cuya

gráfica se muestra en laFigura3.4 ■

( EJEMPLO 3 ) Para qué valores d ex es continua la función

ñ x ) = <j 2L+3— , Vx , excepto x = -3 y x = 2
x2+ x-6
, si x » -3
4 , si x » 2

I

Solución Si /(x) = x+3 1 , x*-3 , x *2
x -2
(x + 3)(x - 2)

podemos observar que el denominador de la función / es nula en x « -3 y x » 2 , por esta razón
daremos una definición separada en estos puntos, esto es :

1. Continuidad en x * -3

0 /(-3 ) = 4 , existe por definición

ii) lim /(x ) = lim ( ~ - ^ ) = - ~
x-t-i *-*-3' x - 2 > 5

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312 Capítulo 3: Continuidad

iii) C om o lim / ( jc) * / ( - 3 ) , la función es discontinua

x-* -3

en x - - 3

2. Continuidadenx—2

i) /(2 ) = 1 , existe por definición

ii) En la Figura 3.5 podem os observar que si jc —>2 por

la derecha la función crece sin c o ta , en tanto que si

x —» 2 p o r la izquierda la función decrece sin cota ;

es decir lim /(jc) = +©» y lim f ( x ) = - » .

x-* 2 + x-* 2 '

S ig n ifica que lim f ( x ) no existe. N o se cum ple que lim /(jc) —/ ( 2 ) , p o r lo que la

x —» 2 x -*2

función también es discontinua en x = 2.

P or lo ta n to , la función es continua en todo su dom inio excepto en jc= -3 y jc= 2 ■

\x>-4\ , s ix * ± 2

lÉJEMPLO 4 j Sea la función: f(x) = *

3 , six = ± 2

Analizar la continuidad de / en los puntos x = -2 y jc = 2

Al eliminar las barras de valor absoluto obtenemos

/w - x2-4 ,s ix < -2 v x > 2
4 -x 2,si-2 < x < 2 ,x * + 2

3 , si x = ± 2

Continuidad en x = -2

i ) /(-x ) = 3 .existe por definición

i i ) lim / ( j c ) =s lim (4 - x 2) = 0

jr—»- 2 •-2

lim /(x ) = lim (jc2 - 4) = 0

x -*-r x -*-r

L uego . existe lim / ( jc) = 0
x -*-2

i i i ) C om o lim / ( jc) * / ( - 2 ) , la f u n c ió n e s
x^ -2

d is c o n t in u a e n jc = - 2

2. Análogamente se determina que también / es discontinua en x = 2.
La gráfica de / se muestra en la Figura 3.6

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Sección 3. : Continuidad en un punto 313

_______ f a [2 x - 11, si x 6 [ - 1 ,3 )

E JE M P L O 5 ] Sea la función: /(x ) = xV¿ - x , s ix e [3 , 5)

l 12 , six = 3

Hallar los valores d e a y ¿ d e m odo q u e / s e a continuaen ¿ 2=3

Solución C o m o x = 3 e D o m (/)e s un punto de acumulación .aplicaremos las condiciones
de continuidad en este punto.

*) / ( 3 ) = 12 , existe po r definición

ii) Para calcular el lim /( x ) , examinaremos los límites laterales:

x-* l

lim /(x ) = lim a [ 2 x - 1] = a [6 - I] = a [ 5 '] = 4 a

x-* y x -* 3 m

lim /(x ) = lim (x - x ) = 3V¿ -3

x -» 3+ x - * 3+

Existe lim /(x ) <=> 4a = 3 V¿ - 3

x -* 3

iii) P a ra q u e /se a c o n tin u a e n x = 3 s e d e b e c u m p Iirq u e : lim /(x ) = /(3 ) ■

* —>3

L u eg o . 4 a = 3V¿> - 3 = 12 , de donde obtenemos : c = 3 y ¿ = 19

x3- x2- 4x + 4 , six < -2
x+2

^ E JE M P L O 6 ) Sea la función : / ( a) = ax1 - 2bx + 1 ,s i - 2 < x < 2

x- - 13x + 22 ^ si x > 2
x- 2

H allara y b de manera que la función sea continua en todo su domino.

Solución Analizaremos la continuidad de la función en los puntos de acumulación x = -2
yx= 2

1. Continuidad en x = -2
i) /(-2 ) = a (-2 )2 - 2¿(-2) + 1 = 4a + 4¿ + 1

lim f ( x ) = lim ( ^ - ^ - 4^ + 4
x+2

ii) lim /(x ) = lim (ax2-2 ¿ x + 1) = a ( - l) 2- 2¿(-2) + 1 = 4a + 4¿ + 1

x -* -2 + x -> -2+

iii) Existe lim /(x) o 4 = 4a + 4¿ + 1 i=* 4a + 4¿ = 3 (1)
x -*~2

2. Continuidad en x = 2
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314 Capítulo 3: Continuidad

i) /( 2 ) = a ( 2 )2- 26(2) + 1 = 4a - 46 + 1

¡i) lim f ( x ) = lim (a x2 - 2bx + 1) - 4a - 46 + 1

x - * 2* x - » 2-

l¡m / w = lim ( ^ - ^ 2 2 ) = Bm ( * - 2 X * - M ) = 2 . u = s

• s2+ x-* 2+ xX - 21 /• - -•>+ x - 2L

iii) Existe lim f ( x ) o 4a - 4 6 + 1 = -9 *=» 4 a -4 6 = -10 (2)
■
x -» 2

La solución com ún del sistem a (1) y (2) e s : a = - 7/8 y 6 = 13/8

[ E J E M P L O 7 ) Si el D o m (/) = IR y f ( x ) = x [jc ] , hallar el conjunto
A = {n e ZI / es continua en n}

Solución Dado que el D om (/) = IR, cualquier* 6 D om (/) es un punto de acumulación .

Luego , x = n e Z c : IR es un punto de acumulación y si / es continua en n , se

debe verificar que : lim /(x ) = f(n) (Def. 3.1)

x-» n

Entonces redefinam os/alrededor del punto * = n

Si ( jc ] = n - 1 <=>n - l < x < n , y s i [ x ] = n <=> n < x < n + 1

í (n - l ) x , si n - I < x < n
^ /(*) = x [ x ) = <

I, n x , si n < x < n + 1

Los límites laterales en * = n deben coincidir, esto es

lim /(x ) = (n - l)n = n2 - n y lim /(x ) = n . n = n2

x —> n* x - » n+

Entonces , s i : n 2 - n = n2 <=>n = 0 . L u e g o , / es continua en n = 0

A = {0} ■

E J E M P L O 8 j D em ostrar que si la función / es continua en xn y [/(x„) I < M (M > 0 ) ,
en to n ces3 8 > 0 1 s i | x - x 0 l < 8 t=> | / ( * ) | < M

d em o stra ció n En e fecto , si / es continua en xfí, entonces por la Definición 3.2 , se tiene :
1. V e > 0 , 3 8 > 0 | s i | x - x j < 8 1=* I/( x ) - f ( x t) I< £
2. Por hipótesis. l/(x n) | < M «=> M - / ( x o) > 0 , luego, s ie le g im o s £ > O ta lq u e £ = M -/( x 1J).

entonces:

3. V e = M - / ( x 1() > 0 , 3 8 > 0 | s i | x - x 0l < 8 <=> I / ( x ) - /( » ¿ ) l < M - | / ( x j l
4. Pero . por la desigualdad trian g u lar: If ( x ) ! - I/( x 0) I < If ( x ) - f ( x {) I

Luego en (3 ): !/(* )! - I /( x (J) I < M - I | , de donde , | f ( x ) \ < M ■

5. Por ta n to , 3 8 < 0 1si l x - x 0l < 8 => f(x) < M

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Sección 3.2 : Puntos de discontinuidad 315

(3.2) P U N TO S DE D ISCO N TIN UID AD

Generalm ente, en términos de la gráfica de una función, las discontinuidades impli­
can una interrupción , un salto o ruptura en el trazado de dicha gráfica , originadas por dos
motivos: Primero, que lim /(x ) exista pero nocoincida c o n /( x j. Segundo, que lim f{x) no
exista (ver ejemplos 2 y 3 ). Estos motivos nos sugiere las siguientes definiciones.

Definición 3.5 s DISCONTINUIDAD EVITABLE

Un punto j?0€ (R se dice que es de discontinuidad nm ovible o e\'itable si se cum ple alguna
de las siguientes condiciones'

i) ;t e D o m (/) y existe 1. = lim f ( x ) , pero lim f ( x ) */(.*„) (Figura3.7)

ii) x e D om (/) y existe L = lim f(x) (Figura 3.8)

FIG U R A 3.7 R G U R A 3.8

Si designamos p o r / r a la fu n c ió n re d e fin id a d e /y si a través de la gráfica de ésta trazamos la
G r(/r) de modo que cubra el hueco en xQ, entonces habremos logrado que ’/ r sea la extensión
continua de / en x0, para tal efecto basta definir la función / r de la siguiente m anera:

f ( x) , si x e D om (/)

<) f T(x) - ^ ; Dof^Cfr) = D om (/)
lim f(x) , s i x = xü

f ( x) , si x € Dom( / ) - {*„} ;

Ü ) /r(*> = * ; D o m (/r) = Dom ( / ) U {*„}

lim / ( jc) , s ¡ x = jc0

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316 Capítulo 3: Continuidad

Definición 3.6 : DISCONTINUIDAD INEVITABLE

Un p u n t ó l e IR se dice q u e es de discontinuidad esencial o inevitable sí se cum ple que :
í) jr,y€ D o m (/) y no existe Iim f ( x ) , donde los lím ites laterales existen pero q u e ,

lim f ( x ) * lim /(jc) (Figura 3.9)
i-* * * jr^ v (Figura3-I0)

ii) jc e Dom( / ) y Iim f ( x ) = , (puede ser -»-<*>o -«.)

F IG U R A 3.9 F IG U R A 3.10

x 2Sgní*2 - 2) + 3 x . si jc < - 2

E JE M P L O <T) Sea la función : f( x ) = < | x + S g n (x + 3) , si -2 < x < I
2xi -7x- + 2x + 3 ,síjc > I
x2 - 4 x + 3

A nalizarla continuidad d e /e n todo su dom inio. En caso de haber discontinuidad indicar de
que tipo es.

¡Solución Teniendo en cuenta que : 2 x ' - 7 x 1 + 2x + 3 (2x+l)(x-3)(x-\)
x1 -4x+3 (jc - 3)(x - 1)

SgnCr2^ ) = 1 , si x2> 2 « x < - V2 v * > V 2 y Sgn(x + 3) =
0 ,s ix 3= 2<=>x = ±V2
- I , si jc2 < 2 « -V 2 < x < V 2

Entonces: f(x) - x 2 + 3x , si x < - 2
| x + I , si - 2 < x < I

2x+l ,six> l,x^lyx¿3
Analicemos ahora las condiciones de continuidad e n x = - 2 , x = l y x = 3
1. Continuidad en x = - 2

r , ^ 3 / «v •

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Sección 3.2 : Puntos de discontinuidad 317

ii) lim /(x ) = lim (jir + 3x) = - 2 ; lim /(x ) = lim ( ¿ x + 1) = - 2

i-* -Y x ^-T x-» -2 + x~ > -2+

Dado que lim /(jc) = lim /(x ) => existe lim /(x ) — ~2

x -t-T x -* -2 * X -* '2

iii) Se cumple q u e : lim f ( x ) - / ( - 2 ) , por ta n to , / es continua en x = -2

x —* 2

2. Continuidad en x = 1

¡) / ( I ) = § 0 ) + I = j , existe

ii) lim f(x) = lim (2x + I) = 3 ; lim ( y * + 0 = y

x —» j + x —t i + x-* r

Com o lim /( x ) * lim / ( jc) =* no existe lim /(x )

* -» l+ * -* r *-»>

iii) No se cum ple que : lim / ( jc) = / ( l ) , p o rta n te , jc= I es un punto de discontinuidad
x-> i

esencial o inevitable.

3. Continuidad en x = 3

Como /( 3 ) no está definida , pues x * 3 , y lim f( x) = lim ( 2 x + l) = 7 , si existe,

x —» 3 x -» 3

significa q u e x = 3 es un punto de discontinuidad evitable.

L uego, la extensión continua de la función / en x = 3 es

/ ( x ) , si x € D o m (/) - {3} ; D o m (/r) = D o m (/) U {3}

SM) = i
7 , six = 3

Í^E JE M P L O ^ lo J Analizar , enjc = 0 , la continuidad de la función

*Sen(I/jc) , six ^ O

m =<

I , si x = 0

En caso de ser discontinua, indicar de que tipo es y redefmir la función , si es necesario, para
que sea continua en todo su dominio.

Solución i) /(O) = 1 , existe por definición

ii) Ahora veamos sí existe el lim /(x )

x-* 0

Como S en (l/x ) es una función acotada , es decir I < Sen(l/jc) < I , entonces

0 < | Sen (1/x) I < 1 , m ultiplicando por Ix I se tiene : 0 < Ix S en (l/x ) I < Ix I

Si lim Ix I = 0 y lim 0 = 0 , entonces por el teorema del “sandwich”

x —> 0 j t —» 0

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318 Capítulo 3: Continuidad

lim U S e n ( l/x ) l = O «=* lim x S e n (l/x ) = O

x —►O x —►O

iii) No se cumple que lim f( x ) = /(O) . Luego , / e s discontinua en x = 0
A-»0

Siendo ^ = 0 6 D o m (/) y lim /(* ) * /( O ) , la discontinuidad es removible , y la
extensión continua d e /e s : x

/rto =

(EJE M P LO 11 ] D em ostrarquelafuncióndeD irechlet

m f l , si x es un número racional
no es continua en ningún punto. =<

[ 0 , si jres un número irracional

Í)em ostracw n Probaremos por reducción al absurdo.

En e le c to . supóngase que / es continua en el punto jc() . o s e a . por la Defini­

ción 3 .1 , se cumple q u e : lim f(x) = f { x ^ (l)

i=> Ve > 0 , 3 5 > 0 | si 1jc- jc0 I < 8 => I / 0 0 -/(*,>) I < £ (Definición 3.2)
Luego , si elegimos E = 1/2, se tien e:

3 5 > 0 1 si U - x J < 5 >=> I /C * ) - /1 *q)1 < 1/2 (2)

A h o r a ,s i : \ x - x ü \ < 8 o - 8 < x - ; t ü < 8 <=> x e ( x 0- 5 , x u+ S )

Elijamos un número racional a y un número irracional b en este intervalo.

# o

ab xu+ 5

Si suponemos el hecho de que entre dos números cualesquiera existen números racionales e
irracionales, ocurre q u e:

i) Si a e <x0 - 8 , x 0 + 8 ) <=* f ( a ) = I

En (2 ): If ( a ) - /(■*,,) I < I/2 1 1 - f ( x t¿ \ < l/2 « £ < / ( x t) < ± (3)

ii) S i b e ( x 0 - 5 , x q+ S> ■=> /(&) = 0

En (2 ): I/(&) - /<xü) I < 1/2 ■=> !-/(* „ ) | < 1/2 « - \ < f { x i) < \ (4)

D e (3) y (4) obtenem os la contradicción : f ( x ^ > I/2 y f ( x 0) < \I2 ■
En consecuencia, f( x) no es continua en ningún punto.

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Sección 3.2 : Punios de discontinuidad 319

{ EJEMPLO 12) Sea la fu n c ió n : / ( jc) = *I + 2* - 3 , S Í X < - l
(jc+ 2) Vx3 + l

x4 - x 3 , si JO - l
. J^ + X2- * - I

Dibujar la G r ( /) mostrando todas las asíntotas existentes e indicando los puntos de discontinui­

dad y redeñniendo la función en estos puntos.

Solución 1. Intersecciones con tos ejes coordenados
E n x e {-*»,-!]: a) E jeX : y = 0 «=> x 2+ 2 x - 3 = 0 í=> x = -3 v x = I e (-“ ,-1 ]
b) Eje Y :x = 0 e (-00 , - 1 ] . N o hay intersección
E n x e (-1 ,+««): E j e Y : x = 0 «=» y = 0 . La curva pasa por el origen.

2. Asíntotas vertica les. /.(x ) — — ¿ljLZí = = ■ * — — ,jí6 (-« ,-1 ]
1 (x + 2) Vx2+ I (x + 2) Vx2+ 1

lim f.(x) = = + ~ ; lim /.(x ) = (1)C_3) -

|V,/ (0-)(V5) ’ x —»-2* 1 (0+)(V 5 )

Luego, x = -2 es una asíntota vertical en ambos sentidos

X 3( X - I) r5

Para f *( x ) = ( x - i ) ( x t i)2 = Ü T T 7

lim /,(x ) = -jfr = - ° ° => x = - l es una A.V. hacia abajo

x -» -i+ 0*

3. Asíntotas horizontales

lim / (jc) = lim [ X ^ + ^ X ■ ■] = -I (P ara x < 0 ,lx l =-x)
x-*-oo'- X(\ + 2 /x )Ix I VI + 1/x2

E ntonces, y = -1 es una asíntota horizontal

lim / 2(x) - lim [ ■ x ¿ 1 = ±00 c> N o existe A. H.
X - » ± « «1 x-»±«® (•* "t" I)

4. Asíntotas oblicuas . y = mx + b

E n / .■: m.*= | ^li.m« \ A / = 0 (Verificar) => No existe A.O.I

En / • m = lim ( — — ] = lim ( , x , 'r — - ) = I
2 ' 2 x-*+~' X / ,-» + * ' xJ + x2- x - I /

62 = lim [ / j f x J - m ^ ] = lim ( , f ~** - x ) = -2 \

X - + + 00 “ ' A t J T *A “ I 9 X

Luego, y = x - 2 es una asíntota oblicua derecha

5 . Puntos de discontinuidad
En x = -2 y x = -I la discontinuidad es esencial ya que ambas rectas son asíntotas
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320 Capítulo 3: Continuidad

verticales, sin em bargo en jc« - 1 '€ D o m ( / ) :

/ ,( - ! ) = ----- 1 - 2 ~3— = _ 2y¡2 ex¡sle
1 (.i +2)V5TT

A dem ás c o m o / , (1) no e x is te , pues jc * I y lim /,(jc) = lim JC , , existe,

j -» i ‘ * - » i (jc+ l r

entoncesjc= 1 es un punto de discontinuidad evitable y podemos redefinir

SM ) = / ( jc) , si jc€ D o m (/) - {1}
1/4 , si jc—I

EJERCICIOS . Grupo 20

1. Suponer que / ( jc) es continua en xu y / ( jCq) < 0 . Dem ostrar que :
3 6 > 0 1/(jc) < 0 , Vjc que satisface Ijc - jc(]I < 8 .(Corolario del Teorema 3.1)

2. S ea / una fu n c ió n c o n tin u a en jcn y f ( x 0) > 0 . P ro b a r q u e e x iste u na 8 > 0 tal q ue
Vjc e D o m (/) , si U - j c J < 8 t=j /(jc )> 0

3. S e a / una función continua en IR tal que lim [ 1 = lim [ 1 = 0 donde n es
x-* +« Xn J jr-».ooL jc" j

es un número positivo p a r. Demostrar que

3 e ÍR | Vjc e IR : x ° + /(*„) í jc" + /(jc)

4. S e a / u n a función tal que

V e > 0 , 3 S > 0 1si0 < I hl < 6 *=> I/(x^ + h ) - f(x0- h)I < e
A nalizar la continuidad de / en xv.

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EJERCICIOS . G ntpo 2 0 : P u n to s d e d is c o n tin u id a d 321

❖ Gn los ejercicios 5 al 1 0 , está definida una función en un cierto dominio, establecer si la
función e s , o no continua en el punto indicado. Si es discontinua indicar de que tipo es .
Dibujar la gráfica de cada función.

¿ - 2 ¿ - \ l x + 12 , x * l , 4 x2-6x+ l ,s i-l <jc<2
6. f ( x ) = *i 2 c - 6 , s í 2 < j c < 3 , j c () = 2
jc*-5jc + 4
-jc2+ 4x - 3 , si 3 <*jc < 5 , ;c = 3
5. /( jc ) = 4 2 »si jc = 1

7 , si x = 4

7- m x1- 1 . si I < jc< 2 , jc., = 1 8. f(x ) = 4 U l -2
= < jc4 - 1
I , síjc = 2
jt + 3 j c - 2 , si 2 < jc< 5 , -^ = 2

3 + U - 2 I , jc* - 4 , 2 3 - jc Sgn(jc + 3 ) , si x < - 2
Ijc+ 1 I - 3

9. f(x) = < -2 . si jc = -4 10. f( x ) = 2 -jc , si -2 < jc < 2

2 , si jc= 2 jc2 - 4 j c + 4 ,s íjt> 2

❖ En los ejercicios 11 al 18 , hallar los valores d e las constantes a y b que posibiliten la
continuidad, en todo su dom inio, en las funciones dadas

x + 2a ,síjc<-2 12. m = b [ 3 x + 4 ] . si jc e [ 1 . 2 )

11. f(x) = 4 3ax + b ,si ~2 < x < I 5 jc V a - 2 c , s i j c e ( 2 , 3 ]
3x - 2b , si jc > 1 2 0 , si jc = 2

jc3 - jc2 - 4 j c + 4 , jc< - 2 x 3 + a x 1+ j c - xI , £ - 1
jc + 2

1 3 . / ( j c ) = 1 ax1- 2b x + I , -2 < jc< 2 14. f( x ) = < , -I < jt< I
, jc> 2 ,l<jc<3
x2- l 3 x + 22 X- + I
jc- 2
arx1- IOjc-4

V x3 + 3 Vjc - 3 jc - 1 , jc < I Vj^ + 9 - 6
,s í0 < jc < 3
jc + 3 V j c - 3 \ f j ? - I , síjc = 1 V3T*

15. f ( x ) = < a 16. / ( jc) = < b , si x = 3

M - l + 19 ,J C > I Sen(3 - jc)
l x 2+ 1 ■» 8 ,six > 3

v jn

Vjc4 + 1 - Vx2 + I , si jc> 0 , si x < 8
JC

17. f ( x ) = 4 a , s¡ jc= 0 18. /(* ) = 4

VCos2x - Cos jc , si jc< 0 , si x > 8
Sen2jc
¿> | 2 jc - 7 1

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322 Capítulo 3: Continuidad

3a- ,x <a
x-
19. Dada la función /(x ) = <

( x - 2 a )2
,x>a

A nalizar ia continuidad de / , V a e IR y graficar la función si a = 2

20. Determinar el valor de a € ( 0 , nI2 ) para que la función

Sen2x - Serna , x * a
x2 - a 2
/<*) = < , sea continua en x = a .

(1/2)a , x =a

21. Como deben redefinirse las siguientes funciones de manera que resulten continuas en el
punto que se indica.

a) m m V T ^ - 3 , , = g c) í w , 2'Í2x*~+ \ + _x = 2
x- 8 jc- 2 _j = 2

b) ñ x) = , ^ =32 d) m . +
x-32 4<x - ( 2 + x)>¡2

TffTg + j p F - 2 )

22. Sean las funciones : g(x) = < 3( X- 1 /

6c x + c7 , six = 1

y /(x) = Ar " C , si Ix I < 4 . D eterm in ar el valo r d e c para que las funciones / y g sean

continuas.

23. Dadas las funciones

f(x) = — — , s i 2 < | x | <1 y g(x) = * ' 1
x-c , si JC= -1

cx + c2

Hallar la constante c para que las funciones/ y g sean continuas

24. Sean m , n e Z+ y sea f(x) = ( — ^ ,'** ) ( —) . E s p osible re d e fin irf(x )

' 3 - Vx2+ 5 ‘ v v x - 1 - 1*

para que la nueva función sea continua en 2 y/o - 2 ? Justifique y redefina /(x ) en los casos

posibles.

«I* En los ejercicios 25 al 3 6 , a n alizar; intercep to s, asíntotas , puntos de discontinuidad y el
tipo de discontinuidad para la función d ad a. Esbozar un gráfico de cada función.

25. f{x) = I x - U + 1 26. /(x) = |x + 4 | +
lxl-2 Ijc i - 3

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Sección 3.2 : Puntos de discontinuidad 323

^ ( x - 1) ,six>0 v X '-X en su dominio

27. m = < x+3 28. /(x ) =

x2 + 2 x - 3 + 2 , si x < O —x +" rI - 43 , S Í - I < X < 2

^x"+2x + 1 , S¡ X < - I

2 9 . /(x ) = <¡ x* + 8 30. /(x) = * x3- 9x

3x + 3 , s i x > - l . / 2x + 4 . «.
2x+ 1 y - —T- ,x> s

x2/3- x >” - 2 , x < - l x2 + 2x - 3

31. /(x ) = <! n'x1 + 1 32. /(x) = , x < -1

( x + 2 ) Vxz+ I

2X* - lOx3+ 5x2 + 35x - 42 , x h - i Xa -X 2 ,x > 1
x3- íx 2+ 6x . X 3 + X2 - X - 1

Vx2 + 2 [ 1/x] , x < - 4 ,x<-2

33. /(x) = < -4 < * < 3 /2 34. f M — < ^ + 3 * + ' + -2 < j: < 3
, x > 3/2 ,x>3
2x + 5 X- - X - O
x+ I
3x + 3
x+2

30- 4x - 2X2 x4- 7x3+ 15x-7- 9x ,x> 1
x3-2x2- x + 2
x+6
35. /(x ) = i 8 - 2x , x e {-6 . -4} 36. /(x) = <

ní(x -5 )(x - 8)2 . x e ( 4 . + ~ ) Vx2 - 4x + 3 - 2 , x < l

TE O R E M A 3 .2 : Propiedades de preservación de la continuidad

Si las funciones reales / y g son continuas en xu tal que x0 € Dom(jf fl g ) . en to n ce s:
1. La función sum a /(x ) + g(x) ex continua en x0
2. L a función diferencia /( x ) - g(x) es continua en xfl
3. L a función producto f ( x ) • g(x) es continua en x()

f\x)
4. La función cociente ^ es continua en xt| .siem pre que g(r) * 0

D em o stración 1. En efecto , dado que D o m (/ + g) = D o m (/) fl Dom(g) y por ser / y g
continuas en xfl se tie n e :

i) x# e D o m (/) y xue D om (g), es d ecir, xu e D o m (/ (1 g) «=*• ( / + g)(-*„) existe

¡i) lim f ( x ) = f ( x j y lim g(x) = g ( x )
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324 Capítulo 3: Continuidad

y com o lim ( / + g)(x) = lim f ( x ) + lim g(x) = f ( x {) + g(*0) *=> 3 lim ( / + g)(x)

•*-»*„ x-*xc X-*Xa

iii) De (i) y ( i i ) : lim ( / + g)(*) = ( / + g)(xn)

En consecuencia, se concluye que / + g es continua en x 0
De la misma forma se demuestra (2 ), (3) y (4 ).

OBSERVACIONES

1. Evidentemente los resultados del Teorema 3.2 pueden extenderse a cualquier número finito
defunciones.

2. Los recíprocos del Teorema 3.2 no necesariamente se cum plen, puede suceder q u e / + g sea
continua en xti, sin que / y g lo sean.

f - x , si x < 0 f I , si jc < 0
Por ejem plo , las funciones: f ( x ) = <1 , g(x) = s

L 1 , s i jc > 0 (j i, s íx > 0

no son continuas en xa= 0 , sin embargo la función

tf+ g)to = 1- x , si x < 0 . es continua en x0= 0
1 + x , si jr > 0

(3.31 C O N TIN U ID A D LA TER A L

Definición 3.7 : CONTINUIDAD POR LA IZQUIERDA Y DERECHA

Una función / se diée que e s : y soló s i :
a) Continua p o r lá izquierda de

i) -/(*_) existe

ii) lím / ( * ) -

b) Continua p o r la derecha de x Qs i , y sólo Si

i) /(*„) existe:

ii) lim f( x ) =

Formalmente, la definición 3.7, en términos de £ y 6 es equivalente a la :
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Sección 3.3 : Continuidad lateral 325

Definición 3.8 : DEFINICIÓN (z ■ 8) DE LA CONTINUIDAD LATERAL

Una función / se dice que es •
a) Continua p o r la izquierda de x , s i , y sólo si

V E > 0 , 3 S > 0 1 si * e D o m (/) y xt= i=> - / U 0) 1 < £

b) Continua p o r la derech- <de xn s i , y sólo si

V e > 0 , 3 6 > 0 | si a g D om (/) y j e [x^ , x ü+ ó) If ( x) - /(x^)! < z .

Esta definición es muy usada en las demostraciones de teoremas o proposiciones.
Es evidente que los límites laterales nos induce a afirmar que una función / es continua

en el punto de acumulación jr()si .y sólo s i . es continua por la derecha y por la izquierda de este
punto.
Por ejem plo, la función mayor entero o función parte entera de x :

f(x) = [x ]
es continua por la derecha pero discontinua por la izquierda de cada valor entero (Figura 3.12),
en efecto, si

[ x ] = n <=> n < x < n + 1 , n e Z
Entonces para xu= n £ 2 : i) f ( x t) = f ( n) = n , está definida

¡i) lim /(x ) = [ n ] = n , existe

iii) Se cum ple que lim /(x ) = /( x (J)

L uego, / es continua por la derecha

En cambio la función g(x) = Vi - x , con d o m in io x e (-«», I ] , cuya gráfica se m uestra en la
Figura 3 .13 , es continua por la izquierda de x0= 1 , toda vez q u e :

i) g (I) = Vi - 1 = 0 , existe

ii) lim g(x) = Vi - I" = V0+ = 0
r

iii) S e c u m p le q u e : lim g(x) = g (I)
x-t r

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326 Capitulo 3: Continuidad

[3 .4 ) COMPOSICIÓN DE FUNCIONES CONTINUAS

TEO R EM A 3.3

Si / es una función continua en ,r„ y si lim g(c) = , donde c0es un punto de acumulación
del D orn(/o g ) , entonces

lim /[g (c)] = f [ cl—im»r, g(c)l = f ( x ”ü)

Dem ostración En e fe c to , si / es continua en x fí e D o m (/), por la Definición 3 .2 , se tie n e :

1. V e > 0 , 3 5| > 0 | s i j : e D o m (/) y U - * 0I < 6, «=> l/(x ) - /(*„) I < E

2. Si lim g(c) = , entonces por la definición de límite
c -»co

V5, > 0 , 3 5 > 0 l sic e Dom(g) y 0 < l c - c 0l < 8 lg<c)-j^,l < 8¡

3. A dem ás, si c e D om (/ o g ) y 0 < k - c 0 l < 8 , entonces

D o m (/o g ) = {c i c e Dom(g) A g(c)e Dom(/)}

4. Com o g(c) g D o m (/) , entonces en (1): I/(g (c )] - f ( x ü) I < e

5. Se ha demostrado que para cualquier e > 0 , existe un número 8 > 0 , talque s i :
c e D o m t/o g ) y 0 < | c - c (|i < 8 r=>I( J o g)(c) - f ( x ü) I < e

E s to e s : lim /[g (c )] = / [ lim g(c)] = f ( x ü) m

c -* c B e ~ * c9

El Teorema 3.3 es utilizado con mucha frecuencia en funciones que pueden ser consideradas

como el resultado de una composición de funciones.

[EJEM PLO 1 ] Dada la función h (i) = [jc: - 2 x] ,hallar si existen

a) lim h(jr) b) lim h(x)

x -» 5/2 * -» 3

Solución Sean las funciones : /(c) = [ c ] y g(x) = x2 - 2x
Entonces : h(x) = ( / o g) (x) = /[g(x>] = [x2 - 2 x ]

L u eg o , lim g(x) - lim {x1 - 2x) = - 5 = -7-
44
x-* sn x-> $ n

Se sabe que una función máximo entero es continua en todo ^ e (R - Z ), luego si la fu n ció n /
es continua en x(| = 5/4 , p o r el Teorema 3.3 , concluim os q u e :

a) lim (/o g )(x ) = f [ lim g(x)] = /<5/4) = [5 /4 ] = I

x -* S Í2 x -* S I2

lim h(x) = lim [jc 2 - 2x \ - 1

x -* 5/2 X - » 5/2

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Sección 3.4 ; Composición de funciones continúen 327

b) Como x0= 3 e Z , la función h no es una continua en 3 , por lo que no se puede utilizar el
Teorema 3.3 . El límite se calcula directam ente, esto e s :

lim h(x) = lim [x7-2x] = [ 9 - 6 J = 3 ■

x —* 3 x-* 3

El siguiente teorema nos permite decidir la continuidad de las funciones compuestas.

TEOREM A 3.4

Si g es una función continua en.r(|y / es continua en g(r(l) , entonces la composición / o g es
continua en a0

Demostración Probaremos q u e : V e > 0 , 3 8 > 0 | si Ijc-x0 1< 8 , entonces

l / [ g ( * ) ] - / [ g U „ ) ] l< e .e s to e s q u e : lim /[g ( x ) ] = f [ g ( x a)]
*-»*0

1. En e fe c to , por la continuidad de / en g(*„) se tie n e :

V e > 0 , 3 5 , > 0 1 s i I > - p(Afl)I < 8 , *=> l/O O -Z ígC *,,)] l < £
2. Con 8 , > 0 , la continuidad de y = g(jt) en jcqimplica que existe un número 8 > 0 tal que s i :

\ x - x n\ < 8 c=* IgCv)■gC*(,)I < 5,

3. Combinando las expresiones (1) y (2 ), por transitividad, vemos que si

U - * J < 8 «=> l / [ g ( x ) ] - /[ g í* ,,) ]! < £
4. A sí hemos demostrado q u e : lim /[ g ( .t) J = f [ g ( x )]

y , por lo tanto , q u e /[g (¿ )} es continua en el punto ■

Geométricamente esta demostración se ilustra en la Figura 3.14.

Nota La demostración del teorema 3.4 confirma lo siguiente : “ L«i composición de dos funciones
continuas es otra función continua" . pero no afirma ni niega lo siguiente

a) Que g sea continua en xj, y / discontinua en g{x(1)
b) Que g sea discontinua en x() y / sea continua en g(x„)
c) Que g sea discontinua en x0 y / sea discontinua en g(x(>)

Si se presentara cualquiera de estos casos al analizar la continuidad de / o g en , estos deberán

ser analizados por separado para dar una respuesta afirmativa o negativa.
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328 Capítulo 3: Continuidad

3 jc + 1 , jc > - 2 y g(*) =

f. EJEMPLO 2 ) Seanf(x) = |

jc* - 1 , j c < - 2

Analizar la continuidad de / o g en los puntos jc = 0 y jc = - 2

Solución C o m o jc= 0 y jc= -2 son puntos de acum ulación del D om (g),g(jc) es continua en
tales puntos, esto es

g(0 ) = 1 - V2(0f + 1 = 0 y g(-2) = I -V2(-2j"1 +“ l = -2

A hora, 0 es punto de acumulación del D o m (/), pues /(O) = 3(0) +1 = 1, luego,/ es también
continuaenjc= 0 , y por el T eorem a3.4, / o g e s continua enjc = 0.

Veamos la continuidad d e / e n el punto de acumulación x = - 2 e D om (/)

i) / ( - 2 ) = (-2 ) 2 - 1 = 3 , existe

ii) lim f ( x ) = lim (3jc + 1) = - 5 ; lim f ( x ) = lim (jc2 - 1) = 3

x -* -2 * x -* -2 + x-* -2 - x-* -Z

Los límites laterales son diferentes «=> no existe el lim f(x)

x -t-2

- » - 2iii) No se cum ple que f (- 2) = lim / ( jc) , entonces / es discontinua en x = - 2 , por ta n to , no se
x

puede aplicar el Teorema 3.4 para afirm ar que / o g sea continua o discontinua en jc = -2.

El siguiente paso es hallar la regla de correspondencia de / o g (Verificar)

(1-V2jc3 + 1 Y - 1 , s i x e < -~ ,-2 ]

=h(Jc) (/ o g )(jc ) = i 4 - V2jc2 + 1 , si jc e (-2 , I ]

11 5 j c + , si jce (I , +<»)

La condiciones de continuidad en jc = - 2 son

i) h(-2) = (1 - V2(-2)2+ I )* - I = 3 ; existe

ii) lim h ( j c ) = 3 y lim h ( j c ) = lim (4 - V 2 jc 2 + 1 ) = 1

x-* -2 * x-* -T x -*-2‘

Como los límites laterales son diferentes, no existe lim h (j c )

x - * -2

iii) N o se cum ple que : h ( - 2 ) = lim h(jc)
x-*-2

En consecuencia, / o g es discontinua en jc = - 2

[ jE J E M P L £ 3 j S í/ (jc ) = [jc],jce [ - 3 , 4 ] y g(jc) = , * € ( - 2 , 1) : determ inar

los puntos de discontinuidad de la función / o g.

Solución 1 1. Hallem os el Ran(g) escribiendo g(jc) = ■f e * 1 = 3 +
jc -1 x - 1

E n to n c e s, s i x e ( - 2 , 1> « - 2 < j c < 1 « - 3 < j c - 1 < 0 ■=> <_1

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Sección 3.5 : Cntinuidad en intervalos 329

<=> “ y < - - j « • 3 + < | t j Ran(g) = <-«>, 5/3)

Como Ran(g) O D om (/) * 0 , entonces existe/ og
2. Determinación del D o m (/o g )

Ran(g) <z D o m (/) e* D o m ( /o g ) = {jc Ijc e Dom(g) A g ( j ) e D o m (/)}

<=* x e (-2 , I) a ( 3 + — y ) g [ - 3 ,4 ] « (-2 < * < I) a (-3 < 3 + -y^-y < 4 )

« (-2 < x < I)a[(^> -6 ) a <l)]

« (-2 < j c < 1) a [ (j c < -1/3 v j c > I ) a (j c < 1 v x > 5) ] » x e ( - 2 , 1/3]

Entonces : ( / o g){x) = f[(x)] = f ( 3 + - ^ y ) = [ 3 + -y ^y ] = 3 + [ ]

3. Determinación de los puntos de discontinuidad de / o g

/ o g s e r á discontinua V x e D o m (/o g ) tal que ( —^ y ) e Z

L uego, si - 2 < x < ~ «=> - 3 < j r - 1 < - - | ^ <- 4
33 2 x- I 3

■=> - 6 < < - 4 <=> ( — ^ - r ) e [ - 6 , 4 / 3 )

jc - I 3 ' jr- 1/ '

Los números enteros que cubren este intervalo son : n = -6 , -5 , -4 , -3 , -2

4- s i (lT T = - 6 « J:= Í ) - ( í T T = - 5 « ^ = 5 ) ; ( é r = - 4 « * = ° )

5. P or tanto , j o g es discontinua si x g {-1 ,-1 /3 , 0 , 1/5 , 1/3} ■

❖ Hasta aquí nuestro objetivo se había centrado en el estudio de la continuidad de una función
en un punto .ahora nuestro interés será averiguare! comportamiento de la continuidad de dicha
función en un intervalo.

(3.5) C O N TIN U ID A D EN IN TERVALO S

Definición 3.9 : CONTINUIDAD SOBRE UN CONJUNTO

Una fu n ció n / se dice es continua sobre un conjunto S c D o m ( /), si la función restringida,
denotado por / s , es continua en cada punto de S.

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330 Capitulo 3: Continuidad

En la mayoría de los casos de interés que se presentan, S es (Definición 3.1)
un intervalo. Según la forma de S , estos pueden s e r:

I. Si S = {a , b ) , es un intervalo abierto , la D efinición 3.9
es equivalente a d ecir: “ La función / es continua sobre
S = (a , b) c D o m ( / ) , si / es continua Vjc € (a , b) ”
(Figura 3.15). Lo cual es cierto , toda vez que s i x ^ s S
c D o m ( /) , entonces f ( x ) está definida Vx06 (a , b) y
dado q u e d e s un punto de acumulación del D o m (/), se
cumple que

lim /(* ) = f ( x t)

II. Si S = [ a , 6 ] , la Definición 3.9 equivale a decir

“ / es continua sobre el intervalo cerrado S = [ a , fe] c. D o m (/) ” , s i :

a) / es continua sobre (a , b)

b) lim /(jc) = f(a) ( / es continua por la derecha de tí)
x-»a+

c ) l i m / ( jc) = f ( b ) ( / e s c o n t i n u a p o r l a i z q u i e r d a d e b)
x-*b~

III. Si S = [a , b ) , la definición 3.9 equivale a decir

“ / es continua sobre el intervalo [a , 6) c D om (/) ” s i :

i) / es continua sobre {a , b)

ii) lim /(x ) = f(a ) ( /e s continua por la derecha de a)

X -* a *

IV. Si S = ( a , b] , la definición 3.9 equivale a decir
“ / es continua sobre el intervalo {a , £>] c D om (/) ” , s i :

i) / e s continua sobre { a , b)

ii) lim / ( jc) = f ( b ) ( / es continua por la izquierda de b)
x-*b~

' • * ■ —\ 1^ 2 ]
■E JE M P L O 4 J D eterm inarlacontinuidaddelafunción f ( x ) = ^ ^

en el intervalo [0 ,4 ]

Solución L a función / es discontinua e n x = 2 , pues para

x>2 lim f( x ) = * ^ = 1 ;

*-»2+ x -2

x < 2 «=> lim / ( jc) = ^ = -I

x-»r x ~l

Sin embargo / es continua sobre el conjunto

A = [0 ,2 ) c D om (/) y también sobre el conjunto

B a (2 ,4 ] c D o m (/), porque en ambos conjuntos F IG U R A 3.16

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Sección 3.5 : Continuidad en intervalos 331

se cumple las condiciones de la Definición 3.9 (III y IV respectivamente).
Además vemos que si S = [0 ,2 ) U (2 ,4 ] ,1a fu n ció n /es continua sobreS porque es continua
sobre cada punto de S. En consecuencia, la función / es continua en x e [ 0 ,2 ) U (2 ,4 ] ■

( EJEMPLO 5 ) Lafuncióndefmidapor f(x) = , es continua sobre (0 , I).

Es posible redefinirla función de modo que sea continua sobre [0, 1]

Solución Dado que / es continua en ( 0 , 1), lo será en [ 0 , 1 ] si se cumplen las otras dos
condiciones establecidas en la Definición 3.9 (II) esto e s ,

/(0 ) = lim /(x ) y / ( I ) = lim f(x) .Entonces
*-» r

¡i) /( 0 ) = lim 1 -; f " s2y = lim = ,im 2 n =( SéD M W ! _ ) ’

= 2" ! ( l) ! ( T1 o ) , = 2 rf

iii) / ( l ) = lim = lim

jc —» I ' X ^ l - X ) x -» |* a ( I - x )

Sea u = I - jc i=> jc = I - u . Si jc —» 1“ , entonces u —>0 +

Luego, / ( I ) = lim [ — , pero com o Sen ti( I - u) = Senitu

u-»G+ (1 “u)" u

« m = u« ^ [ ( ^ H y ^ ) 1 ] = ■
P or lo tanto , / s e r á continua en [ 0 , I] si definimos : /( 0 ) = / ( l ) = 2 tc2

EJEMPLO 6 ) Determinar los intervalos en los cuales la función

/ ( x) —I - j c + I j c ] - |1 - j c ] ,esco n tin u a

JSoluciónD e la propiedad [x + h) [ x ] + h , se sigue que
/(x) = l - x + [x ] -(1 + [-x]) - -jch-[jc] - l--c]

A h o ra , si [ x ] = n » n S r < n + l <=> -n - 1 < -x < -n

í -n - ! , si - n - 1 < - x < -n ó n < x < n + I

^ [-x] = <
[ -n , si - x = - n ó x = n

Luego , si n < x < n + I “

f ( x ) = -x + n - (-n - I) = 1 + 2n - x

Si x = n i=> /(x ) = -n + n - (-n) = n

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332 Capítulo 3: Continuidad

I + 2n - x , si n < x < n + I
Esto e s , / ( jc) = <

n , six= n
Recordemos que si

Continuidad en el punto xn= n
i) / ( n) = n , está definida
ii) lim / ( jc) = [1 + 2 ( n - I ) - n] = n - I

lim / ( jc) = [ l + 2n - n] = n + I

x - * n*

C o m o /(n ) vi lim / ( jc) y tam b ié n /(n ) ^ lim /( ; t ) , se concluye afirmando q u e / ( jc) es continua

x-* n ' x-»n+

sólo en cada intervalo abierto ( n , n + l) y cuya gráfica se muestra en la Figura 3.17. ■

EJEM PLO 7 ) Sean las funciones : /(jc) = Vx + 2 y g(jc) = , hallar todos los

puntos en los cuales la función ( / o g) es continua.

Solución La función y = g(jc) = 3jc , es continua Vjce ÍR - {-1 , I }

jc2 - 1

La función / ( x ) = Vy + 2 es continua en todos los puntos y > -2 .
Por el Teorema 3 .4 , la función ( / o g)(jc)es continua en todos los puntos tales queje * ± 1
y g(jc) > - 2 , esto e s , si

3 ^ 5 -2 , x * ± 1 « (,2 X - ¡ y * , ? > 0 , x * ± l
(x + l ) (x - I)
X2 - 1

Por el método de valores críticos encontramos que ( / o g) (jc) es continua en todos los puntos:

Jt e < -» , -2] U (-1 , 1/2] U <1 , + « ) ■

EJEM PLO 8 ) Si h ( x ) = | j c + 2 | + 1 , k ( j c ) = V2x2 - x - 6 y g(jc) = x 1 + I

VVTs
indicaren qué intervalos es continua/(x) = (gokoh)(x)

Solución La función u = h(x) = |x + 2 | + I es continua Vx e IR

La función y = k(u) = V 2 u 2 - u - 6 es continua en todos los puntos de
2 u 2 - u - 6 > 0 <=> u < - 3 /2 a u < 2

Lafunción / ( y ) = g (y ) = ^ + * • , es continua en todos los puntos de
\V l5 -y

< 15 - y > 0 <=> y < VT5
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Sección 3.5 : Continuidad en intervalos 333

Si y =V2u2 - u - 6 *=> V2u2- u - 6 < VÍ5 (2u2 - u - 6 > 0) a [2u2 - u - 6 < (VT5^)2]

de d o n d e: u € (-3 , -3/2] U [2 , 7/2) , pero u = Ix + 2 1 + I

t* (-3< \x + 2\ + I <-3/2) v (2 < \x + 2 \ + I <7/2)

« (-4< U + 2 | < -5 /2 ) v ( [ < \x + 2\ <5/2)

« ( 4 » ) v ( U + 2 | > 1 a U + 2 | < 5 /2 )

o U + 2 S I v j r + 2 5 - 1 ) a ( - 5 / 2 < jc + 2 < 5 / 2 )

« ( x > - I v x < - 3 ) a (- 9 /2 < jc < 1/2)

Luego , f (x ) es continua V x e (-9 /2 ,-3 ] U [-1 , 1/2) ■

((--E---J-E--M----P--L O 9 )J Determ inar ia continui.dad de la función f ( x ) = -[--^---l-;-—í x¡--l--1- en el in­

tervalo [-1,1] X

Solución Como la función / n o es continua en x = -I y x = 1 .extrem os del intervalo
[ - 1 , 1 ] , obtendremos una expresión más simple de f (x ) eliminando el máximo

entero, del modo siguiente

- 1 < * < 0 *=> [ x ] = - I 1 0-(-l)2 1
0 <->r < I => [ jc1 ] = 0 ' • f(x) =
X2 - I
JC1 - \

0Sr<! o [r] = 0 | nfV

«=* / M = ~ T i = 0

0 < x a < I «=> [ x 1 ] = 0

Por lo que : f(x) = < , 1 1, , sí-I < jc < 0
-
jc

0 , S¡0<AT< I

Continuidad en x = 0

a) Para x < 0 , lim f ( x ) = lim ( — - ) = - 7^-7 - 1
jt —*0" *r- \ ' ü- 1

b) P a r a x > 0 , lim / ( jc ) = lim (0) = 0

*-►0* *-*0+

Como lim f[x) * lim f(x) , no existe lim f{x) , y la función no es continua en x = 0
¿-♦O' ji -+0+ * -»o

(discontinuidad esencial en x = 0)

Continuidad en x =

lim f ( x ) = lim f - ----- — — 1 = - . - 1.; = +°°
,-».]+ x^-i+l ( * + l ) ( x - l ) J ( 0 +) ( - l )

(p u e s , si x —» - l + , entonces x + I > 0 , lu e g o : x + 1 —»0+)
Por ta n to , f ( x ) presenta una discontinuidad esencial en x = -1

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334 Capítulo 3: Continuidad

Continuidad en x = I

lim /(jc) * lim ( 0 ) = 0 , e x is te , lu e g o e n jc = 1 la f u n c ió n / (x ) p re se n ta un a d is c o n tin u i-

jr-> r x -» r

d a d re m o v ib le y u n a e x te n sió n c o n tin u a d e f(x) e n este p u n to está d a d a p o r :

1
/ SW = i 7 ^ 1

[ o . s í 0 £ jc£ 1

d o n d e la fu n c ió n re s trin g id a f J x ) es c o n tin u a s o b re { - I , 0 ) y [ 0 , 1 ]

[ e j e m p l o 1 0 ) Analizar la continuidad y dibujar la gráfica de la función

Ijc - I jc ] I , si |> ] e s p a r

/(■*) =

Ij c - [ x + l ] I , si [ jc ] es im par

f5ofac/¿m] 1.Sea //jc ) = \x - [ x ] I .ta l que [ x ] es par
Si [ jc ] = 2n , núm ero p ar e=> 2 n < j r < 2n + 1 «=> / / jc) = I jc - 2n I

C om o jc > 2n e=> jc - 2n > 0 «=> | jc - 2n I = x - 2n
^ /,(* ) = JC-2n , si 2n < x < 2 n + I

2. Sea / / jc) = I j c - ( [ j c ] + 1 )I = Ijc-1 - [j c] | , tal que [ x J es impar I <jc < 2 n
Si [jc] = 2n - l , im par «=> / / x) = Ja: - I - (2n - 1) I = Ijc - 2n I , si 2n -
Como j c < 2 n e ^ j c - 2 n < 0 es. f 2(x) — -(x - 2n) = 2n - x , si 2n - I < x < 2n

3. Luego, una expresión más simple de la regla de correspondencia de / e s :

í jc - 2n , si 2n <j c< 2n + I ( f t)
( / 2)
m =^
[ 2n - jc , si 2n - 1 < jc< 2 n

Como / j y f 2 son funciones lineales , éstas son continuas en cada puntode sus
dominios , por tanto , f(x) es , en particular , continua en cada punto de los intervalos
[2n , 2n + I ) y [2n - I , 2n) , Vn € Z.
Se deja al lector la tarea de com probar la continuidad de la función / ( jc) en el número p ar 2n
y en el número im par2n - I .

4. Para algunos valores de n , en el paso (3 ), obtenem os;

jc + 4 , s i - 4 < j c < - 3 1n » - 2 -2 - jc , si -3 < x <-2 . n = -2

x + 2 , si - 2 < j c < - 1 . n = - l -jc , s í - 1 < j c < 0 , n = -i

/,(*) = i jc , si 0 < j c < 1 , n = 0 /,(*) = < 2 - j c , s i l á x < 2 ,n= 0
,n= 1
j c - 2 , si 2 < j c < 3 , n = 1 4 - jc . si 3 <■ % < 4

jc-4 ,s i4 < ;c < 5 ,n = 2 6 - j c , si 5 < jc < 6 , n = 2

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Sección 3.5 : Continuidad en intervalos 335

5. Dibujando cada recta en el intervalo indicado obtenemos la G r(/) = G r ( /() U G r(/,)

mostrada en la Figura 3.18 l

( e j e m p l o 1 1 ) Analizar lacontinuídad de la función f ( x ) = [ y J en IR y dibujar s u
gráfica.

Solución Si ii- x 1J = n n < x < n l <=> —n +*—l7 < x < n

~ '* < 1 T Í7 . ^].n«Z-{-l.O}

Obsérvese que cuando n = 0 e=> x e 0 ,+«») y cuando n = -l c j r e ( ■ « ,- ! ]
Luego, una expresión más simple de la fu n c ió n /e s :

- I ,SÍ 6 ( - ~ , - l ]

/(*) = n , si x e / — r , — l , n e Z - 1 , 0}
\ n+ l n J

0 , si x € (l , +«»)

Ahora debemos analizar la continuidad d e / e n x - - \ , x = I y x = l/n

Continuidad en x = - 1
La función restringida a un intervalo que contenga a xn= - 1es :

f(x) = -! , si x e (-00, - 1]
-2 , si x e (-I , -1/2]

0 /(-O = -l . existe

¡i) lim / ( jc ) - lim( - 1) = - l ; lim f ( x ) - lim ( - 2 ) = - 2 «=¡> B lim / ( jc )

x~ *-V x -* -r x -» -l

¡ii) N o se c u m p le q u e : lim /( * ) = / ( - l ) , por ta n to , / n o e s continua en jc= - I
X-»-l

Continuidad en ~ 1

En forma sim ilar, la función restringida a un intervalo que contenga a xn= 1e s :
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336 Capítulo 3: Continuidad

m= O , s i x e <1 ,+«>)
1 , s ix e (1/2 ,1 ]

i) / ( l ) = 1 , e x iste

ii) lim / ( jc ) = lim ( I ) = I ; lim / ( jc ) = lim (O ) = O « í lim f{x)
jt-»i
n r »-*r *-*]+ jt —»i+

i i i ) N o s e c u m p l e q u e l i m / ( jc ) = / ( l ) <=> / ( jc) n o e s c o n t i n u a e n x 0 = I

X-i i

Continuidad en jcu = 1/ n , n e Z - { - l , 0 }

U n a f u n c i ó n r e s t r i n g i d a a u n i n t e r v a l o q u e c o n t e n g a a jc0 = 1/ n l o o b t e n e m o s d e l a s i g u i e n t e
m an era:

I" — 1 = n < => n < — < n + I <=> — -— - < j c < — e=> j c e / — — - , 1
Lx i x n +1 n \n + 1 nJ

FU - fJl = n- l < ^ n - l < ~ c n e=* —n < j c < —n - l x e (\ —n , —n ^- -1r Jl
jc

n , s ijc e { — ^-7 , — 1

' n+ 1 nJ

Lu ego: f(x)= <

n - 1 , s i e ( - * - , — l— ]

'n n+ 1 J

i) / ( 1/ n ) = n , e x i s t e

ii) lim /(jc ) ss n y lim /(jc ) = n - 1 «=* J lim f(x)
x -*ltn jc —* l / o +
x - » l/n

i i i ) N o s e c u m p l e q u e : l i m / ( jc ) = / ( 1/ n )
x - * 1/n

P o r t a n t o , l a f u n c i ó n / n o e s c o n t i n u a e n jch = I / n

E n c o n c l u s i ó n , l a f u n c i ó n e s c o n t i n u a e n s u d o m i n i o , e s t o e s , e n I R - { - 1 , 0 , l , 1/ n ) , n e Z

- { - 1 . 0 } y c u y a g rá fic a s e m u e stra en la F ig u ra 3 . 19. ■

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F IG U R A 3.19

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Sección 3.5 : Continuidad en intervalos 337

E JE M P L O 1 2 ) S eala función /(x ) = x1 - 2 x + 2 , s i x e (1 ,+ « ) (/,)
x- 1 t f 2)

| [ 4 ] , si x e [-10 , 1] - {0}

a) Hallar todas las asíntotas de la gráfica de /
b) Analizar la continuidad de / en [-1 0 , +o°)
c) Dibujar la gráfica d e / .

Solución a) Determinación de las asíntotas

1. Asíntotas h orizontales: E n / , , lim /,( * ) = +°° £ asíntotas horizontales

x - »+«

La G r(/2) tam poco tiene A. H. por su dom inio restringido.

2. Asíntotas verticales

E n / : lim / . ( jc) = lim (-jó - 2 x+ 2 J = +00 e=> x = I es una A. V. hacia arriba
1 r _ » 1+ ' r _ * 11++ ' x - 1 /

E n / , ; lim /,( * ) = lim ( | [ # 1 ) = 4 (-1) = (-“ )(-!) = +00
’ *-»0- *-*0' x 2 O

Entonces x = 0 es una asíntota vertical hacia arriba

3. Asíntota oblicuas : = m x + b

E n / : m = lim [ 1 = lim ( ** + 2 ) = 1
1 X-»4«L x J *-♦+«' X - ~ X l
►c=> > = x - I es una A.O.D.

b = lim [ / . ( x ) - m x ] = lim ( —2 -- xy ) = -1
xw -*+■-~- xr —^» »Xa> Vx -- 1l /

b) Continuidad d e / e n x e [-10,+«>)

Continuidad en x = 1 : i) /(1 ) = y [ y ] = 3(0) = 0 , existe

ii) lim /(x ) = lim ( ~ [ í ] ) = 0

X —> I" X-» í - ' ¿'

Luego, / es continua por la izquierda de x = 1 y discontinua en x = 0

Por s e r / , una función racio n al, es continua V x e (1 , -h» )

Continuidad e n x s [-1 0 , 1] - {0}

f z presenta discontinuidades esenciales en ) e Z f| D o m (/2) , o en (x es par)
e D o m (/2) , esto se debe a que s i :

= n o n < 7f < n + l <=> 2n < x < 2 ( n + 1)

E n tonces, s i x € [-1 0 , 1] « - 1 0 < x < 1 <=> - 5 ¿ y S ~
ZZ

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338 Capítulo 3: Continuidad

L uego, podemos graficar f 2teniendo en cuenta q u e :

f 2(x) = ■— n , si n e Z f U e [2n , 2(n + l ) ) | n = -5 , - 4 , -3 ,- 2 , -1 , 0

Obsérvese que si k = 2n , número par .entonces

lim /,( * ) = lim f J x ) = —3n = - (Constante)
2n
x-»k+ - x - » 2n+

lim /,( * ) = lim / = 3n t=> t lim / ( x ) , V k p a r e Do m( J )
x-»k- " x-* 2n- " 2 ( n + I ) x _^k. -

Por tanto , / 2(x) es discontinua Vx e D o m (/2) Ix = k = 2n , número par
Por ejem plo , si n = 0 t=> x e [ 0 , 2 ) . pero com o 2 e D om (/2) se restringe el intervalo a

0 < x < I c=> 0 < ^ e=> [x /2 ] = 0 r t / 2(x) = 0

Para n = 1 : -2 < x < 0 e=? -1 < y < 0 ^ \x l2 ] “ -!<=> / 2(x) = - -j- , etc. i
c) Con toda esta información se dibuja laG r{/) mostrada en la Figura 3.20

E JE R C IC IO S . Grupo 21

1. Sean / y g dos funciones reales y continuas tales q u e :

>) gGO > / W > 0 , V x e IR- (a} ¡i) f i a ) = g(fl)

* /(■*) + g(*) , si x * a
Definimos la función real : H(x) = /(* ) - g(*)

0 , si x = a

Usando propiedades , demostrar que H tiene discontinuidad esencial enx=f l

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EJERCICIOS . Grupo 21 : CiHUinuidatl en ineirvulin 339

2. Sea / una función real cuyo dom inio es todo IR y tal que

0 / ( * + >') = /(■*) + / ( j ) t V x ,>■£ IR ii) f ( K x ) = X /(x ), V X , x g IR

iii) lim /(x ) = 0

x -*Q

Probar q ue: a) / e s continua en todo IR

b) V r > 0 , 3 8 > 0 1si Ixl < r <=> l/(x )l < 5 r

í 2 -Xa , si l x| < 2
3. Sean las funciones : /(x ) = ^ ( x - | x | ) y g(x) =■ <J

l 2 , si lx | > 2
a) Definir la función / o g

b) Analizar la continuidad / o g justificando adecuadamente cada afirmación.

fjia+ jc-2,síji:<l j - V |x - 1 1 , si x < 1
4. Sean las funciones : f(x ) = < , g(x) = s

[ x + 1 .six>l ( x-4 , six>I

A nalizar la continuidad de las fu n c io n e s /, g y / o g e n x (l= I
jI

5. Dadas las funciones : /(x ) = (h o k )(x ), donde k(x) = \ x - l! y h(x) = ^ [ ;

g(x) = [ x ] + Vx - [ x ]

a) Estudiar la continuidad de las funciones / y g
b) En los puntos de discontinuidad, si ex isten , de las funciones anteriores, determ inar el

tipo o clase de discontinuidad

6- Si /W t t t ) = x+l y bíx) = x + —— , s i x < 1
x- 1
X+1
[ ^ ] .ÉXil

Analizar la continuidad de / o g y g o / .

7. A nalizar la continuidad de la función : g(x) = Tg (‘ft r í + 1 J1 ^4 ) .»& ¡ x £ 0
(Sugerencia: Recuerde que (x - I)2> 0 , Vx g IR)

8. Analizar la continuidad de las siguientes funciones :

a) /( * ) = (H o g)(x) , donde h(x)= \(x , g(x) =V x + Í
b) /(x ) = (x - l ) [ x j , x e 1R+

9. Sea / lafunción m ayor entero restringida al intervalo [-5 /2 ,7 /2 ] y sea la función racional

g(x) = | restringida al intervalo ( - 2 ,I/2).D eterm inarlospuntosdediscontinuidad

de la fu n c ió n /o g.

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