Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

54Ü Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

( ^ E J E M P L ^ 2 j Aplicar el T.V.M. a las funciones dadas en c) intervalo indicado y. hallar
los valores de c que satisfacen su conclusión

a) f (x) = x*-xl - 2x> x e [-1, 1| b ) / U ) = Jf 4 , x e f—1,4]

Solución a) La función polinomial / es continua y derivable en toda la recta real, en
ecuación: particular lo es en [-1, 11. Luego, hallaremos los valores de c resolviendo la

f{c) = /(!)-/(-!)
l-(-l)

Esto e s : 3c?- 2 c - 2 = (1 1 2) ( 1 1+ 2 ) & 3c* - 2c -1 = 0

1+ 1

Resolviendo la ecuación obtenemos: c, = -1/3 e < -I, l> y c2= 1 £ <-1, 1> por tanto,

el único c que satisface la conclusión del Teorema es c = -1/3

b) f { x ) = -x--1-----3---x —- 4 es continua y derivable V x e IR - {- 5}, y en particular lo es en
x+ 5

1-1,4].

x2 + 1 0 x -ll
Derivando la función obtenemos: / ' (x ) =

(x + 5)2

Lfuego, si■ / fe)* = J/-(^—4 £)—- /—( ——1-) =¡>c--2--+--1--0--c--—=—11 = -0-----0---= 0_
6 J1 4 —(—1) (c + 5) 4+1

Si c2 + 10c -11 = 0 <=> c, = 1 g <-1, 4> ó c2= 11 g < -l, 4>
Por lo que, el único c que satisface la conclusión del Teorema de Lagrange es c, = I .

[ EJEM PLO 13) S e a /(x ) una función continua en el intervalo [3, 7] con/(3) = 10.
Si f'(x) = 5 para x e <3, 7>, demostrar que/ (jt) = 5x - 5.

Demostración' 1. En efecto, sea el intervalo [3, x] c f3, 7]
2. Por hipótesis:

/e s continua en [3, 71 => también lo es en (3, x]
/e s derivable en <3, 7> => también lo es en <3, x>

3. Luego, por el Teorema de Lagrange: 3 c € < 3, x> I / ' (c) = —fO )
x -3

4. Pero como / ( 3 ) = 1 0 y / '(jt) = 5 => f'(c) = 5, V x e <3, 7>

5. Por lo tanto, en (3): 5 = x -3 <=> / ( x ) = 5 x - 5 ■

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Sección 5.3: E l teorema del valor medio y sus aplicaciones 541

( E J E M P L O 14^ Usando el Teorema de Lagrange, dcmostrai que

■JT+x < 1 + . s i Jt > 0

Demostración 1. En efecto, sea la función f(x)=-J\ + x definida en el intervalo

ro, x] c i - 1, + °°>

2. Entonces por el T.V.M.: 3 c e < 0 , ,r > 1f (t ) = ,a = 0 y b = x
b —a

3. Luego, — -i1-------- --vJ--il--++---jx ---—l i = > VrI.-+---a- - 1. = — r* =
2VÍ+7 x -0 2-J\+c

4. Pero como,— . T < —X , V c e < 0 , x > ; entonces en (3) se tiene
2V Í+7
2

Vl + Jc - ! < — <=> v l + x < 1 + 2 '» si x > 0

[ EJEMPLO 15) Demostrar que

tffTI < I + - , V a g r n e Z 1

Onworfrucidn 1. En efecto, sea la función / ( x ) = Vi + x

cuyo dominio = [ - 1 , + V« * > > , n e 7 /

i) / es continua en 10, jcJ c [-1, +«>>

ii-) f es derivable en <0, x> <z [-1, + ~ >

2. Entonces por el teorema del valor medio

3 C G <0, X > I f (c) = / ( * > - / ( o) v m - i
x —0 x

3. Pero, si f ( x ) = 1 =>/(<•)=• 1

4. Luego, en el paso (2): 1 ( VT+Jc- 1
= =«
X
Vo+cr

5. Si c > 0 = ^ l + c > l y como /? > 1 ^ — * > 0
n

n—I «i-l j

Por lo que : (I + c) " > 1 " => - — - - - < 1

V(1 + c)"-'

6. Entonces en el paso (4): n \ —L| < [

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542 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada
siendo x y n positivos => V i + x < I + —

(^ E J E M P L 0 ^ 1 6 ) Demostrar que -JT+x < 4 + ^(x-t-15), si x > 15

Demostración 1. Sea la función / ( x ) = V i + x ^ Dom( f ) = (-1 , +<»>
i ) / e s c o n t i n u a e n [ 15, x] c [ - 1, + > , p u e s x > 15
i i ) / e s d e r i v a b l e e n <15, j o

2. Entonces por el T .V .M .: 3 c e < 1 5 ,x > I /'(< :)= ^ x -1 5 -- = —--x----1- —5 —
3. De donde obtenemos : V l + x = 4 + (x - 15). f'(c)

4. Si / ( x ) = Vi + x => / ' ( x ) = — } ; luego, f ‘( c ) = *
2-VÍ + x ’ B ’ J 2-JV+t

5. Parax > 15 se tiene que: f \ c ) < 1/8

6. Por tanto, en el paso (3 ): Vi + x < 4 + ^-(x - 15)

[E JE M P L O 17] Demnstrarque la fórmula del teoremadel valor medio puede expresarse

en la forma:

f(x + h) = f(x) + h.f'ix + 0/z), donde 0 < G< I

Demostración l . Por la fórmula del teorema del valor medio

f{c )= fih)~f{a)^f{b)-fUi) = {b-a).f{c)
b —a

2. Si a < c < b, hagamos ~b—- a—= 0, 0 < 0 < I ■
=> c = a + Q(b - a), O < 0 < I

3. Entonces en ( I) : f ( b) - f (a) = (b - a). f ' [ a + Q(b - a)J, 0 < 0 < l
4. Hagamos ahora : a = x, b - a = h, de donde, b = x + h
5 . L uego, en el paso ( 3 ) : /( x + h) - / ( x ) = h ./ ' ( x + Qh), 0 < 0 < l

Por lo tanto, / ( x + h) = / ( x ) + h. f'(x + Qh), 0 < 0 < I

blata L a fórm ula obtenida en el paso ( 5 ) , así como las fórmulas equivalentes de los
pasos ( l ) y (3) se llaman fórmulas de los incrementosfinitos de Lagrange, a dife­

rencia de la aproximación

f ( x + h) = / ( x ) + / ' ( x ) . dx
la que se llama a veces fórmula de los incrementos infinitesimales

(E J E M P L O 18) Usando la fórmula del Ejemplo 17, determinar 0 en términos de
x y h para la función /( x ) = x \

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Sección 5.3: E l teorema del valor medio y sus aplicaciones 543

Solución Si / ( a ) = a 3 => f' (x) = 3 a 3

h) (x/ ( a + = + h ) 2 - x } + h ( 3 a 2 + 3 x h + / i 1)

/'(a + B /í) = 3 (a + 0 /i)2 = 3 a - + 6 t7 í6 + 3 /r 0 -

Ahora, si / ( a + /i) = / ( * ) + h . f \ x + 0A), entonces

a 1 + A ( 3 a 2 + 3 a / í + Ii2) = x' + h( 3 a ’ + 6 r / j 0 + 3 / r 0 : )

de donde obtenemos: 3 h 0 2 + 6 t 0 —3x + h

y completando el cuadrado se tiene : [ 0 + x- ) = 4 r ( x2 + xh + — )
\ h ) h2 K
3

0 = U -x ± J x * T x h + hr ñ )

(j£JEM PL0^19j Si / ' ( a ) > # ’ ( a ) , V a g IR y f(u) = g(a), demostrar que
/ >( a ) g ( A ) , V A 6 <fl. + «»>

Demostración 1. Sea h(x) una función continua V a g <a, a , ] ci <a, + <»>

tal que : h(x) = f (x) - g(x)
2. h(a ) es derivable , V x < a, a , > , por ser / y g derivables V x e IR

h(xt ) - h(ci)
3. Por el Teorema de Lagrange : 3 c g <a, x,> I /i'(c) =

x,-a

[/(-^ 1) - g ( A |) l- [ /'( a ) - g ( a ) ]
4. Como h ’(c) = f'(c) - g’(c) => f (c) - g' (c) =

A, - f l

5. Por hipótesis:/ ( a) = g(a) =¡> f (c)-g' (c) = / U | ) “ g U |)
Xj ” Cl

6. También por hipótesis : f ’(x) > g '(*) =>f'(c) > g ’(c)<=> f'(c) - g ‘(c) > 0

7. Luego, en el paso (5): \ > 0, y comoa , - a > 0 .se sigue que :
a , -a

f g e fl,( a , ) - £ { a , ) > 0 <=> / ( a , ) >
V( a , ) , a, < + oo >

V/ ( a ) > £ ( a ) , A G < fl, + oo>

( E J E M P L O 2 0 ) Usando el teorema del valor medio, demostrar que
Tg X > A , V A G <0, 7U /2>

Demostración 1. Sea la función /( a ) = Tg x - a, V a g <0, a,1 c < 0 ,7t/2>.

Entonces: i) /e s continua V a g <0, a,]

ii)/e s derivable V a g < 0, a, >

2. Por el Teorema de Lagrange: 3 c g <0, a , > I / ’ (c) = A[ “ 0
3. Si / ' ( a ) = Sec2a - 1 = Tg7x = > f'(e) = Tgz c

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544 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

4. Luego, en el paso (2): Tg3c = Xy— —
■*i

5. Como jc, > 0 y T g 2 c > Q , V c e < 0, x,>, entonces en (4) se sigue que:

> 0T g x t - jc, <=> T g x, > x y

6. Por tanto, siendo x , e <0, n/2> => T g x > x , V * e <0, n!2>

[ E JE M P LO 21 ) Mediante la fórmula de Lagrange, demostrar las desigualdades:

^ a b< T g - T g a < ^ 2° , siendo Q < a < b < n¡2
Cos a Cos a

DewtoHración I . Sea la función f ( x ) = Tg x, continua y derivable V x e < 0 , r c / 2 > .
Entonces, por el Teorema de Lagrange :

3 c 6 <a,h> I f ( c ) = / ( * > - / ( ” ) = , Sec2 c = /? - a

' b- o

2 . De donde: Tg b - Tg a = ^ f

3. Si c e <ü, b> <=$ a < c < b ^ Cos a < Cos c < Cos b

l I I
2C o s b
C os1 a C os2 c

4. Como h > a , implica que b - a > 0. entonces si multiplicamos las disigualdades en (3)
por b - a obtenemos:

b -a ^ b -a < b -a

Cos1 a Cos1 c Cos2 h

5. Por tanto, de (2) y (4) se sigue que:

b -a „~ ~ b -a ®
C os’ a Tg a <
< Tg b -
C os2 b

[ E JE M P LO 22 J Demostrar que la función f ( x ) = x5- x - 20 es creciente en el intervalo

[ 1, 3] y halle sus valores máximo y mínimo

|[ D e m o s t r a c i ó n Por el corolario 3, debemos probar que f ' ( x ) > 0 , V x e <1, 3>
En efecto, si f \ x ) = Óx4- 1, y x e <1, 3>, entonces

1 < x < 3 => 1 < X4 < 81

=> 5 < 5x* < 405

=> 4 < 5X4 - I < 404 <=> f \ x ) e < 4, 404 >

Luego, f \ x ) > 0, V x e < 1 ,3 > y p o rlo ta n to /e s creciente V x e [1,31 .Comoelmínimo
y el máximo de / se encuentran en los exteriores de este intervalo, ocurre que

/ ( 1 ) < /( x ) < /( 3 ) , V x e [1,3] ■

<=>-20 < /(x ) < 220 => Min(/") = -20 y Max(f) = 220

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Sección 5.3: E l teorema del valor medio y sus aplicaciones 545

( EJEM P LO 2 3^ Demuestre que la función fix) = -J5 - x —2. para x e [-11, 4|, alean/»

su valor máximo en -11 y su valor mínimo en 4.

bemmtraciún * Bastará probar que / es decreciente V r e [-11.4], esto es.

/ ' ( j c ) < 0, V jc e <-11, 4>

En efecto, si f(x) - -J5-X - 2 => f ( * ) = -
2-JT-.

y si -11 < jc < 4 => -4 < - * < 11
=> 1 < 5 - x < 16

-I < I 1

8 " 2 V 5 - jc < 2

2< l < — - Z1(x) g < - l / 2 , - 1 / 8 >

Luego, / ' ( jc) < 0, V x e <-11, 4>,porloque
/(4) < f(x) < / (-II)

-I < / ( jc) < 2 => Min (/■) = -1 y M a x (f) = 2

TEOREMA 5.5: Teorema del Valor Medio Generalizado o de Cauchy

Sean / U ) y /(.c) dos funciones tales que
i) Son continuas en el intervalo [o, /;]
ii) Son derivables en el intervalo <a, b>
iii) Si g'(c) 0 en cada punto de <íj. b>. entonces
33 r e <íi, I,» II /* U 0 / ( / ? ) - /( a—)
g (r) g(b)-giu)

Demostración 1. Analicemos la función auxiliar F(x) = f ( x ) - X g(x)
donde el número X se ha elegido de tal forma que F(a) = F(b), estoes:

2. /( o ) - Xg{a) = f {h) - X g(h) » X =

3. Las funciones/ y g y por ende F, satisfacen todas las condiciones del Teorema de Rolle,
entonces: 3 c e <a, h > I F'(c) = 0

4. En el paso ( 1 ) : F '(jc ) = / ' ( j c ) - X g'(x) = > f '(c) = / ’(c )- X g’(c)

5. Si ^ '(c ) = 0 /'(£•) - X g V ) = 0 « X = ^
g (<■)

6. En Consecuencia, de los pasos (2) y (5) se sigue que:

f ic ) = f(b)~f(a)
g’(c) g(b)-g(a)

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546 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

[E J E M P L O 2 4 ) Hallar el valor de c que cumpla el Teorema de Cauchy para las funciones
f ( x ) = x2 - 2x + 5 y g(x) = a - + 2 a - 6 , en el intervalo [-1, 2J.

Solución Las funciones / y g son continuas en f-1, 2) y derivables en < -1, 2 >,
entonces:

f ' [ c ) = 2 c - 2 = 2(c - 1) , / M ) = 1 + 2 + 5 = 8 . / ( 2 ) = 4 - 4 + 5 = 5

g'(c) = 2 c + 2 = 2(c + 1) , £(-1) = 1 - 2 - 6 = - 7 , *(2 ) = 4 + 4- 6 = 2

1T « . 2 (c —I) / ( 2 ) - / ( - l ) . r - l 5 - 8 I
Luego, por el Teorema Cauchy : ¿ — - - g (2 )_ g(_ n => — | - ^ - -3

de donde obtenemos : r = l / 2 e < -l,2 > u

[^ E JE M P L 0^ 2 5^ Si / (jc) es continua en [a, b\, 0 C [a, b], y si / (a) es derivable
en <a, b>, demostrar que existe un número r e <a, b> tal que:

f(b)-f(a) _ f(c )

bz —a2 2c

Demostración 1. Sea g(x) = x2 una función continua en [a, h] y derivable en <11, b>

y como x * Ü =* g\x) = 2a # 0

2. Por hipótesis/ es continua en [a, b] y derivable en <a.b>, entoncespor el Teorema de

Cauchy: / í f c f í t i =
g(b)-g(a) g'(c)

3. Dado que g(a) = a.2, g(b) = bz y g ’(c) = 2c, entonces en el paso (2):

fib)-f(a) _ f{c) _

b2- a 2 2c

(<•E_ JEM P LO 26 1 „ Cos a —Cos b ^ , donder e <a, b>
Demostrar que —S--e--n---a------S-e—n b—= —Tg c

Demostración 1. Sean las funciones /( a ) = Cosx y #(jc) = Sen a, tales que
i) Son continuas en [a, b\
ii) Son derivables en <a, h>
iii) Si g‘(x) ± 0, V a e <a, b>, entonces por el teorema de Cauchy:

r ic e <«, b> II —f i b7-)----f--í-a- —) =f- í- e ) •
g(b)-g(a) 8 (f)

o 1 Cos b —Cos a —Sen c =_ 70 q Cos a - Cos b — — 7„ p ■
L u e g o . -------------------------------- = ^ ------------------------
Sen b —Sen a Cos c
Sen a —Sen b

[ EJEMPLO~27 j Demostrar' que : ^ I - a Ln ( 1 + A ) . <0, 1>
< -a--r--e---Sen x < I , si a e
I+ a

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E JE R C IC IO S. G rupo 41: E l 71V.M. y sus aplicaciones 547

Demostración 1. Sean f { x) = Ln{ 1 + x) y g(x) = are Sen x, dos funciones continuas

en [0 , x] y derivables en <0 , x> y si g’(x) # 0 en <0 , x>, enlonces por

el teorema de Cauchy

3 c e <0, x>, x 6 <0, 1> I ^
g' (c)g ( x ) - g ( 0 )

2. / '(jc ) = y - ^ = > / ( c ) = y | - , / ( 0) = L n (l + 0 ) = 0

g' (X) = . 1 => g' (c )= ■ 1 , * (0 ) = are Sen 0 = 0

V I-.* 2 yll-c1

3. Luego, en ( I ): Ü Z Z = M H - x ) - 0 JEI = + . c e < fí, x >

1+ c a/c x —0 V 1+ c a r e Sen x

4. Como c < x =* 1 + c < 1 + x =» 0 < yl +- —x < l. +* r
5. También ¿¡i c < x = * - x < - c ^ 0 < I - x < l - c

de modo que al multiplicar (4) y (5) obtenemos.

, _ 1 - x l —c l l —X í l —c
6■ < T+7 < TTc ^ v í+jt ví+7
7. Dado que:

c > 0 => —c < 0 => 1—c < 1 1 iy——

c >o=>i+c> i ^ I+c <i nvi+c-

J

8 . Por lo tanto, de (3) y (6 ) y (7) se sigue que:

[ E * < -L--n---(I +x) < I , si. x e <0 , l>
V \1+x are Sen x

EJERCICIOS . Grupo 41

❖ En los ejercicios l al 10, verificar que la función dada satisface la hipótesis del Teorema
de Rolle. Hallar todos los valores de c que cumplan ia conclusión de ese teorema.

1. / ( jc) * x2- 4 x + 3 , [ 1, 3 ] 2 . / ( * ) = x ’ - 2.x2 - x + 2 , [ - 1 , 2 ]
4 . f U ) = x 4 - 2 x 2 + 1, [ - 2 , 2 ]
3. / ( x ) = x J - * + 2. [-1, n
6 . / < * > = x 4'* - 3 x i;\ [ 0 , 3 ]
5 . / (x) = 5 x 2M - x s/\ [ 0 , 51

7. f ( x) = xm - 2xm. [ 0 . 4 ] 8. x2- x -!2 ^[ 3

f(x) =
x -3

9. / « - j [ 2 - 5 j : + 4 , L 1, 4] Í 4 - 2 x - x 2 , x g [ —3 , 0
1 0 . / ( j0 =
X+ 1
‘ [ x 2 - 4 x + 4 , x e [ 0 , 3]

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548 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

En los ejercicios 11 al 20, hallar los intervalos en los que f(a) =f{b) = 0 y el teorema de
Rolle es aplicable. Para cada uno de ellos hallar los valores de c en que f ‘(c) = 0

I I . / (JC ) = JC ( jc2 - Jt - 2) 12. /(x ) = x2 - 2 x - 3
13. / (x) = x’ -x 2 - 5 x - 3
a: + 2
15- / W = ^
17. / ( jc) = ( jc + 2)z,‘ ( jc - 2)“, jc e Z1 14. / ( x ) = x 3- 2x*-5x + 6

19. f ( x ) =X 2 ~-S e nf \Tt—X x -4x
16. / ( x ) =

x+2
18. / ( x ) = (x - 3) (x +2)yí

20. .//(vx /) = —71 -4 S í> n 2x

•3* En los ejercicios 21 al 34, verificar que la hipótesis del teorema del valor medio se satis­
face para la (unción dada en el intervalo indicado, luego hallar el valor de c que satisfaga
la conclusión de dicho teorema.

21. / (x) = x3 - 6 x* + lOx, [1,41 22. / ( x ) = jt5 -5 x 2 -3x, [1. 3]
23. / (x) = x1 + 3x2 + x + 1, [-4, 51 24. f (x) = x* - 2a'1+ x5 - 2x, [-1, 2]

25. / ( x ) = ^ | , [1,4] 26. f ( x ) = x ' +6x + 5 , [ 1. 51
3 x -2 x- 6

27. /(* ) = x 2 —3x —4 1-1,4] 28. / ( x ) = x - l + - - ™ , [3/2, 3]
x+5 , 30. / ( x ) = 4 + 1 x 1 . M , 2 ]

29. / ( x ) = x2 + 4 x b
x —7

IV -x 2+ X 4 - x ,[ - 2 ,0>
32. / ( x ) = 4 Vx + 1 , [0, 3 >
31. / ( * ) = X ,< 1 ,3 /2 1
2 —x x 2 - 2 x + 5 , [3, 51

33. f ( x ) = 2x3 - x2 - 3x + 5, [-2, 2] 34. f ( x ) = x - S e n x, [-Jt. n]

35. Aplicar el teorema de Rolle para demostrar que x' - 3x + b = 0 no puede tener más de una
raíz en [-1, 1], cualquiera que sea el valor de b.

36. Si a > 0 y n entero, probarque /( x ) = x 2n+l+ a x +b no puede tenerdos raíces reales.

37. Sea f(x) = Ax2 + Bx + C. Probar que en cualquier intervalo [a, b]> el valor de c
garantizado por el T.V.M. es punto medio del intervalo.

38. Dada la función / ( x ) = Ax3 + Bx1+ Cx + D, definida en el intervalo [a, b\ y c es el
valor que satisface el T.V.M.; mostrar que:

c2 = (a2+ah+h2)

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E JE R C IC IO S. Grupo 41: E l T.V.M. y sus aplicaciones 549

39. Haciendo uso del Teorema de Rolle, pruebe que la ecuación dada f(x) = 0, tiene una y
solamente una raíz en el intervalo indicado

a) /(jc) = jc5 + 2.c - 3, [0, I] b) f ( x ) = x*- 3x-20, [2,3]

c) f(x) = xw- 1000, [ 1, 2 ] d) f ( x ) = xs - xr + 2x- 3, <0, J>

(Sugerencia: En cada caso, seguir los pasos del Ejemplo 10)

40. Indicar el número de raíces reales de la ecuación 3jc5 + I5 r - 10 = 0, usando métodos
analíticos (sin resolver la ecuación)

41. Mostrar que la función f (x) = je"+px + q no puede tener más de dos raíces reales siendo
n par. y más de tres siendo n impar.

42. Usando el Teorema de Rolle, probar que la ecuación Tg(x* - 5x + k) = 0 tiene a lo más
una solución real en el intervalo <-n/3, tc/3 >, siendo k una constante arbitraria en IR.

43. Sea / una función dos veces derivable en un intervalo abierto. Si f (a) = f ( h ) = f(c),
donde a < h < c son tres puntos del intervalo, demostrar que 3 d e <a, o / f"(d) = 0

(Sugerencia; sean c, e <a, b> y c2e <b, c> / / ' (c,) = f'(c2) = 0 y aplique el Teorema
de Rolle. Luego, use nuevamente el Teorema de Rolle a / ' sobre [ct, c2] a [a, r] =>
d e [c„ c2\ i f"{d) = 0

44. Mostrar que el polinomio P{x) = x* - 6-r2 + 9x ~ 1, tiene exactamente una raíz en el
intervalo <1, 3>

❖ En los ejercicios 45 al 60, usando el teorema del valor medio, demostrar las desigualda­
des dadas.

45. 46. Zj i(jc+ 1 ) > - ^ - j , V * > Ü

47. I + Í2 - 48r < V l + * < 1 +24 . V jc>0

50.
2

51. --- < x < x, si jc e [0 ,7t/2 ] 52.
n 54. Sen x + Tg x > 2x, si x e < 0, nl2>

Cos ax - Cos bx < I h - a \ , x * 0
x

5555. li _- £í ^ ^i ----------- í ------- si x ee < -l1,, ü>

56. n f ' ( r - y ) < x” - y” < n x"1(x - y), si y e < 0, jc] . n e Z*

57. I + ¡ L - < V T + 7 < I + 4 . si -1 < x < 0, x > 0
2-Jl+x 2

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550 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

5—8. h tjí < are TTgÍb - are TTg a < b -'fl , si a < bI
t
I +h l+«"

59. •/ .< arcTg x < j.V j> 0 60. are Tg x < ^ ( x - 1 ) , si x > I
x + 1 42

61. Demostrar que: í + A < < í. + í

62. Dada / ( x ) = «re Tg x - x + . use la derivada para probar que:
3

x — x—* < are Tg x,si x > 0

63. Usando el Corolario 2 del T.V.M., resolver la ecuación diferencial

í / ' ( x ) = 6 Cos2 x Sen x + 2x —5
1/ ( 0) = I

64. Usando el T.V.M. o de Rolle, demostrar: Si / y g son dos funciones continuas en
[a, h] y derivables en <a, b> y cumplen, f ( a) = g{a) y f ' ( x) < g'(x), V r e <Ut, I».
entonces f ( b) < g(b)

65. Si / y g son funciones continuas en [«. b], a < b que satisfacen:
f { á) < g(a) y f ( b ) > #(/>), entonces demostrar que 3 r e <a, b> / f ( c ) = g(c)

6 6 . a) Aplique el T .V .M . a / (x) = -Jx en [100, 101] para demostrar que

J U ñ = 10 + —1=
2 VF

para algún número c e < 100, 101>

b) Demuestreque 1 0 0 < c < 1 0 l. entonces I0 < -Je < 10.5 y use esto para concluir
de la parte (a) que 10.0475 < -Jl üT < I0.05CX)

67. Use el teorema del valor medio para demostrar que:

3+¿<V28<3+Í7

6 8 . Sean / y g dos funciones reales continuas en [a, b\. derivables en <a. b> y tales
que f ( a ) = -Jb, f (b) =yf ^( j , g(a) —-a, g(b) = b. Demostrar que existe un c e <a,b>
tal que g ‘(c) = -2 /( c ) .f'(c)

69. Aplicando el Teorema de Rolle a f (x) = x Sen x, pruebe que existe un a e <0, ti>
tal que Tg a = —a

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Sección 5.4: Criterios para ¡asfu n cio n es crecientes y decrecientes 551

[5 .4 ) CR ITER IO PARA LAS FUN CIO N ES CR ECIEN TES
Y D ECR ECIEN TES

TEOREM A 5.6 : Funciones crecientes y decrecientes

Sea / [«./>! —» IR una función derivable sobre el inlcivalo<cí 1

i) Si 1 •. <n h>. entonce.' t C' creciente en <a, h>

ii) Si f \ x i < 0, t € <a, b>, entonces f es decreciente en <u, b>

iii) Si f'(x) ~ 0. x e <ti. b>. entonces f es constante en <a, b>

Demostración Probaremos el primer caso

1. En efecto, sean x„ x7 e Dom (f), tales que a <x¡, < x2< b

2. Por el T.V.M. sabemos que 3 jtg f ( x2) - f(xt) - ( x 7- x {) .f' (c)

3. Por hipótesis f \ x ) > 0, V x e <a, b> => f \c) > 0 y como a , < x2 =$x2- a, > 0

4. Lo cual implica en (2) que f ( x 2) - f ( x t) > 0 =>f ( x x) < f ( x 7)

5. Por tanto, de (1) y (4) se sigue que:

/ es creciente V x e <a, b> ■

La demostración del segundo caso es similar y el tercero se vio en el Corolario del teorema del
valor medio.

OBSERVACIÓN 5.9 Nótese en las Figuras 5.15 y 5.16 pata funciones continuas que
/ ’(-*) sólo cambia de signo en los números críticos, por lo tanto,

para determinar donde/es creciente o decreciente es conveniente seguir los pasos siguientes:

1. Localizar los números críticos
2. Observar el signo def \ x ) en un punto de cada intervalo determinado por dos números

críticos consecutivos

3. Según el Teorema 5.6, decidir si / es creciente o decreciente en cada no de esos interva­
los prueba.

FIGURA 5.15 FIGURA 5 16

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552 C apítulo 5: A plicaciones de Ui Derivada

(E J E M P L O _ 1 _ J Hallar los intervalos en que f ( x) = 2ji-3 + 3x2 - 12*
es creciente o decreciente.

Solución I. Localización de los números críticos:

/ X * ) = fx*2 + 6 * - 12 = 6(a" + 2 ) (jr - 1)

Si f \ x ) = 0 => (;r + 2) (jc - I ) = 0 <=> jt= -2 v i = l
Como f está definida en IR, x =-2 y x —1 son los únicos números críticos que dividen al
eje X en tres intervalos abiertos: <-«», -2>, <-2. I>. < 1.+«»>
2. La Tabla 5.2 resume el comportamiento de / en cada uno de estos intervalos

TABLA 5.2

Intervalo <-oo, -2 > <-2 . I> < l. +»>

Valor prueba x = -3 x = l) x=2

Signo d e f *(x) 1 f ' ( 0 ) = 6 (2 )(-l) f’(2) = 6(4) (1)
1!

0

1
£1

f'(x) = 6(x + 2)[x- 1) = 24 > 0 = -12<0 = 24 > 0

Conclusión creciente decreciente creciente

Trazamos los puntos críticos (-2.20), (1,-5) y el punto (0,0), (la curva pasa por el origen), luego
usando la información de la Tabla 5.2, obtenemos la gráfica de f mostrada en la Figura 5 .17

Nata Los valores prueba de la Tabla 5.2 se han escogido por conveniencia, pues,
podrían haberse usado otros. Además, para determinar el signo de f'{x) no es nece­

sario evaluar f \ x ) en los valores prueba, sino por intermedio de la regla de los signos. Así,
podemos determinar que /'(-3 ) es positivo de la siguiente manera:

/'( - 3 ) = 6 (negativo)(negativo) = positivo

FIGURA 5.17 F IG U R A S .18

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Sección 5.4: Criterios para las funciones crecientes y decrecientes 553

(E J E M P L O 2 ) Hallar los intervalos en que / ( a ) = x m (a- - 5) es creciente o decreciente
Solución 1. Localización de los números críticos

f ( x ) = A2” (1) + U - 5 ) ( | A - " ’ ] =

Como / '(a) = 0 en x = 2 y f \ x ) no está definida en x = 0, los números críticos son
a = 0 y k = 2, que determinan en el eje X los intervalos <-«>, 0>, <0, 2> y < 2 .-H>o>
2. La Tabla 5.3 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo recitante

TABLA 5.3

intervalo < -oo, 0 > < 0 . 2> <2. + °°>
Valor prueba A = -1 A= 1 •’ A = 3

Signo def *(x) /■h > = * _ ; = + ™ - £ } ~ J K } 3(+)

Conclusión /■(- o * ) ro )< 0 / ‘(3 )> 0
creciente decreciente creciente

La figura 5.18 muestra la gráfica de / donde las flechas indican el crecimiento y decreci­
miento de la función en los intervalos prueba.

Nota Los Ejemplos I y 2 muestran a funciones que eran continuas en todo el eje real.
Si el dominio de una función / incluye puntos de discontinuidad, estos puntos

deben usarse junto con los números críticos para determinar los intervalos prueba, como se
indica en el ejemplo que sigue.

(E J E M P L O 3 ) Hallar los intervalos en los que la función /( a ) = — —
N* x' —9

es creciente o decreciente

Solución 1. Localización de los números críticos

(a 2 - 9 ) ( 2 a) - a 2 (2a ) 18a
( a 2 —9 )3
f(x) =
( a 2 —9 ) z

Como / ‘(a ) = 0 en a = 0 y / es discontinua en a = ± 3, entonces a = 0 es un número
critico y a = ± 3 son puntos de discontinuidad.
Utilizaremos estos valores para determinar los intervalos prueba

<-00. -3>, <-3, 0>, <0, 3> y <3, +~>
2. Determinar el signo de f \ x ) mediante la construcción de la Tabla 5.4 que resume lo que

ocurre en cada uno de estos puntos.

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554 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Intervalo <-©», -3> TABLA 5.4 <0 . 3> <3.+oo>
Valor prueba jc = -4 <-3,0> x= 1 x=4
x = -l

Signo ¡te f '(x) / ■ ( - 4 ) = ^ = + / ' H ) - + / ' t D - C++ )

18c /'(-4) > 0 /■<- d > o /'(■1X 0 /'(4) <0

Conclusión creciente creciente decreciente decreciente

La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.19 donde se puede notar las asíntotas

verticalesx = ± 3 y la asíntota horizontal y = L pues lim f ( x ) = I ■

Cabe señalar que las condiciones /'( x ) > 0 y /'(-*) < 0 no son necesarios para el crecimiento
y decrecimiento alternativo de la función diferenciable en los intervalos prueba adyacentes. El
siguiente ejemplo muestra que tal cosa no es cierta en general.

[E J E M P L O 4 ) Hallar los intervalos en los que f (x) = (2 - jr)-’ es creciente o
decreciente.

Solución 1. Localización de los números críticos; / ' ( * ) = -3 (2 -jr)2

Si f \ x ) = 02 - x —0 <=> x —2 es un número crítico

2. Como (2 - jc) 2 > 0, V x e IR - {2} => / ' ( * ) < 0, V jc g Dom ( / ) - { 2 }

3. Luego, / es decreciente en <- 2> y en <2, +°°>

En la figura 5.20 podemos observar que la función es realmente decreciente en toda la

recta real. _

FIGURA 5.19 FIGURA 5.20

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Sección 5.5: E l criterio de la primera derivada 555

(E JE M P L O 5 ^ Si g'fx) < h'(x), V x e <a, b>, demostrar que si
a,. x¡ e <a. b> y si x, < a2 =* g(x2) - g(x{) < hU2) -hixf

Demostración i . En efecto, sea la función

/ (a) = * (a) - h(x) => / '(a) = g'( r) - /j’(a)

2. Por hipótesis, f>'(a) < h '(a) => g '(a) - h '(a) < 0, V a e <a , b>

3. Entonces ene! paso ( l), / ’(a ) < 0 . que por el Teorema 5.6, / es decreciente, V a g < zi.

b>

Luego, por la definición de función decreciente:

Si a„ x2 g <a, b> y si x2 >x, => f ( x2) < f ( x ,)

=> ¿ (a2) - /i(a;) < £(A|) - /í(x,J

* U a ) - # U i ) < h ( x 2) - h ( X t ) u

( 5 . 5 ) EL CRITERIO DE LA PRIMERA DERIVADA

Si se conoce los intervalos en los que una función es creciente o decreciente es fácil
localizar sus extremos relativos. Un máximo relativo o local aparece cuando la función deja
de crecer y empieza a decrecer. Un mínimo relativo o local aparece cuando la función deja de
decrecer y empieza a crecer. El procedimiento se explica en el siguiente teorema.

TEOREM A 5.7 : E l criterio de la primera derivada

Seac un númerocrítico de una función / continua en un intervalo abierto I que contiene
a r.S i f es derivable en el intcivalo excepto a lo sumo ene, /• |pucdccIaoficar:v., v«'imv
'iguc:
1. Si / ’ cambia de positiva a negativa en c ; »i.) os un n u n i m o relativo o local de i
2. Si / “cambia de negativa a positiva en t. f(>.) e-un mínima relamo ¡ local de /
3. Si / ' no cambia su signo en c, f i e ) no es ni máximo ni mínimo relativo.

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556 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Demostración ' Probaremos el primer caso

1. Supongamos que /'( x ) cambia de (+) a (-) en c.

2. Entonces existen a, b e I, tales que

/ ' ( a ) > 0 , x e <a,c> y / ’(jc)<0 . V x e <c,b>

3. Por el Teorema 5.6, / es creciente en <a,c> y decreciente en <c,b>

4. Luego,/(c) es un máximo para / en el intervalo abierto <a, b>, y en consecuencia, un

máximo relativo de /. ■

El siguiente ejemplo ilustra la representación gráfica de una función polinómica

( E J E M P L 0 6 J Hallar los máximos y mínimos de la función
/ ( x ) = X*+ Ax^-lx2- I2x. Esbozar su gráfica

polución I . Por ser / una función polinómica, está definida V x e IR

2. Nótese que para x - 0, /(O ) = 0, es decir, lacurva pasa por el origen
3. Localización de los números críticos

/ ' ( * ) = 4x’ + l2x2 - 4 x- 12 = 4(x + 3) (x + I) (jc - 1)
Si f ‘(x) = 0 => x = -3, x = * I y x = I son los números, pues / estádefinida V x e IR
4. En estos números críticos la función tiene por valores:

/ ( - 3 ) = (-3)4 + 4(-3)’ - 2(-3)~ - 12(-3) = -9 A(-3, -9)
/ ( - ! ) = (-1 ) 4 + 4(-1)s - 2 ( - 1>2 - 12 (-1) = 7 => B (-l, 7)
/ ( l ) = ( l )4 + 4 (1 )’ - 2 ( t ) 2 - 12(1) = -9 => C (l, -9)
5. Ahora examinaremos el signo de/ ' ( a ) .construyendo la Tabla 5.5 que muestra un formato
práctico para aplicar el criterio de la primera derivada

TABLA 5.5

intervalo <-«■», -3 > 1 IuA> < -l, l> < 1, +o° >
Valor prueba A = -4 V A =2
Signo de f '(x) A = í)
Conclusión A = -2

Extremos (-)(-)<-) = - <+)(-)(-)= + (+ )(+ )(-)= - (+)(+)(+) = +

Decreciente Creciente Decreciente Creciente

Mínimo en x=~3 i Máximo en x=-¡ Mínimo cu x~ l

6 . De la tabla deducimos que existe un mínimo relativo en A(-3, -9) y C (l, -9), y un máximo
relativo en B (-l, 7)

7. Con esta última información dibujamos la gráfica de / mostrada en la Figura 5.21

Los dos ejemplos siguientes ilustran la representación gráfica de una función seccionada.

(Te j e m p l o 7 ) Hallar los máximos mínimos y esbozar la gráfica de la función:

y (jt) = U 2 5 - ( x + 4)2 , si x < O
17 —(x —2 )a , si x > 0
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Sección 5.5: E l criterio de la prim era derivada 557

FIGURA 5.22

Solución I. Designemos por /,( x ) = ^ 2 5 - ( x + 4 )2 , si x < 0
y por f 2(x) = 7 - (x - 2)2, si x > 0

2. El dominio de f 2está dado V x e [0, + «], mientras que el dominio de / , está restringido
por el radical, esto es

3 / , <=*• [25 - (x + 4)2 > ()| a (x < 0)

<=> (-5 < x + 4 < 5 ) a (x < 0) <=> -9 < x < 0 => Dom (/j) = [-9, 0>
3. Se debe advertir que en las l'unciones seccionadas es necesario estudiar la continuidad en

los exiremos contiguos de los intervalos de definición de cada subfunden, pues éstos
pueden llegar a ser números críticos.

En este caso debemos averiguar como se comporta la función en x = 0

Como *li-m.cr f ( x ) = A/2 5 - ( 0 + 4 )2 = 3 y *l—im►o* / , ( x ) = 7 - ( 0 - 2 ) 7 = 3 ,
podemos afirmar la continuidad de / en x = 0 , luego éste es un número crítico.
4. Localización de otros números críticos:

/'(*) = — . x + 4 = , si x e [-9 , 0 >
V 25-(x + 4)2

—2 (x —2 ) , si x € [0 , +«* >

Si / • ( * ) = 0 => (x + 4 = 0 ) a (x - 2 = 0) <=> x = -4, x = 2
5. En estos números críticos la función tiene por valores

/( - 4 ) = J 2 5 - M + 4 )2 = 5 ; / ( 0 ) = 7 - (0 - 2)2 = 3; / ( 2 ) = 7 - (2 - 2)3 = 7

6 . Ahora examinaremos el signo de f \ x ) para saber donde / es creciente y donde decre­
ciente, constituyendo para ello la siguiente tabla.

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558 Capítulo 5: Aplicaciones tic la Derivada

Intervalo TABLA 5.6
Valor prueba
Signo de f '(x) rA <-4, 0 > <0, 2 > < 2 , +«■ >
Conclusión NO A= 3 1 A —3
1
Extremos V

Y = -5

+ + -2 (-> = + —2 ( + ) = -
creciente decreciente decreciente
creciente

Máximo en x=-4 Mínima en x=0 Máximo en x—2

7. De la Tabla 5.6 se deduce que hay un máximo relativo o local en A(-4, 5), un máximo
global en B(2, 7) y un mínimo local en C(0, 3)

8 . Con toda esta información dibujamos la G r(f) mostrada en la Figura 5.22

, si x e < —<», 2 ] (/.)
[ E JE M P L O 8 J Sea la función f ( x ) = \ + x ‘ (fi)

x 1 1-1 , si x e < 2 , +<» >
x

I) Hallar todas las asíntotas
II) Hallar los extremos relativos e intervalos donde la función es estrictamente creciente y

decreciente, y hacer un dibujo de su gráfica

Solución I) Determinación de las asíntotas

a) Asíntotas horizontales: y = lim f,(x) = lim í — ^ - 1 = 0

\ I+ x ' )

=> y = 0 es una asíntota horizontal izquierda

y = lim Jf-i, (x) = jrl-i»m— ^( x —x- + 1)1 = +«” ^ asíntota horizontal derecha

b) No hay asíntotas verticales, pues no existe un número jc0 lim f { x ) —+oo

c) Asíntotas-oblicuas: En / , no existe asíntota oblicua pues se trata de una función racional
propia.(el grado del numerador es menor que el grado del denominador). En cambio en

f 2 si existe asíntota oblicua, pues cuando a- —» -h», 0 , entonces y = x + 1 es una

asíntota oblicua derecha.

II) Determinación de tos extremos relativos 1' 5
1. Analicemos la continuidad de /e n x —2

2 2 lim *

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Sección 5.5: E l criterio de la primera derivada 559

Como lim / ( a ) * lim f->(x) => / es discontinua en a = 2, de modo que a = 2 no
t-»2" r-*24

es un número crítico.

2. Localización de los números críticos

,2 ~ >
I — Xv-*- . s i r e
(l+ J T ) 2

fix) =

a 2 + 1 . si A 6 < 2 , +o®>

Si / ' ( a ) s 0 ^ I - a 2 = 0 <=> a = - L a = 1 son dos números críticos pues / , está
definida V x e <-°°, 2]
Nótese que / 2 no está definida en x = 0, pero como 0 g <2, +<*>, entonces a = 0
no es un número crítico.
3. En estos números críticos la función toma valores:

-I I
I+ l

4. Examinaremos el signo de }\'{x) - mediante la construcción de la si-

( 1+ X )

guíente tabla:

TABLA 5.7

intervalo <-oo, - 1> <-l, l> < 1, 2>
x- 0 x = 3/2
Valor de prueba x = -2

Signo de f '(x) (-)(+) _ (+)(+) _ + (+)(-) _
+ + +
Conclusión
Extremos decreciente creciente decreciente

Mínimo en x = -1 Máximo en x = l

5. De la tabla 5.7 se deduce que la función es decreciente en
a g <-«■», - 1 > u < i , 2 > y creciente en a g <-1, 1>. Además hay un mínimo relativo en
A ( - l,- l/2 ) y un máximo relativo en B (l, 1/2).

6 . Como / 2’(x) > 0 , V a g <2, +<»>, no existen extremos para es decir / 2 es creciente en
todo su dominio.

7. Finalmente con toda esta información dibujamos la gráfica de / . mostrada en la
Figura 5.23

El siguiente ejemplo muestra una función cuya derivada no está definida en un punto

( E JE M P LO 9 ] Hallar las extremos relativos de la función / (.t) = a 20 ( a - 4)- por

el criterio de la primera derivada.

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560 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Solución 1. La función está definida V x e IR
Obsérvese que /( ( ) ) = Ü y /'(4) = 0, es decir, la curva intercepta al eje X

en los puntos (0, 0) y (4, 0)
2. Localización de los números críticos

f C x ^ ’l 2 U —4)1 + U - 4 ) 2 * - ■ " ] = 8 ( J t ~3 '1)| / r 4 )

Si / ’(*) = 0 = > (.r - I )(x - 4) = 0<=> a ' = 1 v x = 4
Como f(x) no está definida en x = ü,los números críticos son jc = 0, =jc I y x = 4.
3. En estos números críticos la función toma valores:

/ ( 0 ) = 0 , / ( 1 ) = 9 y / ( 4 ) —l)

4. Determinaremos el signo de f'(x) mediante la construcción de la siguiente tabla.

TABLA 5.8

Intervalo <-°o, 0> <0, l> <1, 4> . < 4 , -h=o>
Valor prueba X = -1 x= 5
x = 1/2 x= 2
Signo de f '(x)
Conclusión (-)(-) (-)(-) . (-)(+ ) (+ X + )
Extremos (+ ) (+ )
Í-) (+ )

d e c re c ie n te creciente d e c re c ie n te c re c ie n te

Mínimo en x=4) Máximo en x - I Mínimo en x -4

4. De la Tabla 5.8 se deduce que la función tiene un mínimo global en (0, 0) y B(4, 0), y un
máximo relativo en A( 1, 9)

5. Con esta última información dibujamos la gráfica de f mostrada en la Figura 5.24
6 . Nótese que en x = 0, al no estar definida / ' ( jc) , la gráfica presenta un punto anguloso.

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Sección 5.5: E l criterio de la primera derivada 561

( EJE M P LO 1 0 ) Si la fu n c ió n /(a ) = a a1 + bx~ + ex + d tiene extremos relativos
e n A (l, 17) y B (-2 ,-10), hallara,/;, c, y d.

Solución La definición de extremo relativo implica que / ' ( I ) — f \ ~ 2 ) = 0

\ P a r a x = \ ■ 3« + 2b + c = i ) (I)
Luego.S, / W = 3nt =+ 2 /« + c=> \ Para x=_ 2 : |2 u- 4 / , + r = 0 (2)

Además, si A (l, 17) e Gr ( / ) ^ a + b + r + d = 17 (3)
B(-2, -10) e G r(/) =» - 8« + 4 b - 2 c + d = -10 (4)

Resolviendo simultáneamente las ecuaciones (1). (2), (3) y (4), obtenemos:
a = -2, b = -3, c = 12 y d ~ 10

[ EJE M P LO 1 1 ^ Sea la función / ( a ) = ajd + b r + ct si se conoce que la función /
tiene un extremo relativo en x —2 y que la ecuación de la tangente en el

punto de abscisa x = I esfef: 12x + 4y = 13, hallar los extremos relativos de /.

Solución Como / tiene un extremo relativo en x = 2 =* /'( 2 ) = 0

y si f'(x) = 4ax* + 2bx 32a + 4£ = 0 « 8« + /; = 0 (1)
El punto de tangencia P (!,y ) e 9f=> 12(l) + 4.v= 13 <=> y = 1/4 => P(L 1/4)

Además: P(l. 14) e Gr(f) => ■— = a + />+c (2)
(3)
y s i/'( 1 ) = -3 (pendiente de la tangente) = * 4 « + 2Z>= -3
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1), (2) y (3). obtenemos

a = W, b = -2 y c = 2 => f ( x) = ^ xJ- 2 a 2 + 2

1. Localización de los pumos críticos; f'{x) = x* - 4a = x ( a + 2) ( a - 2)
Si / ' ( a) = 0 ^ x = -2, x = 0. a = 2 son losnúmeros críticos, pues la función
está definida V x e IR

2. En estos números críticos la función toma los valores:

/ ( —2) = | ( - 2 ) * —2 ( - 2 ) z + 2 = - 2 => A(-2, -2)

/ ( 0 ) — (O)4 - 2 ( 0 ) z + 2 = 2 => BÍ0.2)

/ ( 2 ) = ~ ( 2 ) 4 - 2 ( 2 ) 2 + 2 = - 2 => C (2, -2)

3. La Tabla 5.9 resume las pruebas realizadas en cada intervalo para hallar el signo de

/ ’( x ) = x ( a + 2 ) ( a - 2 )

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562 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Intervalo TABLA 5.9
Valor prueba
Signo d c f ’(x) <-oo<-2 > <-2 , 0> <0 , 2> <2 ,+«>>
Conclusión
x=-3 x= - 1 X=1 x=3
Extremos
(-)(-)(-)=- (-)(+)(-)=+ (+)(+)(-)=- (+)(+)(+)=+
decreciente creciente decreciente creciente

Mínimo en x=-2 Máximo en x=0 Mínimo en x=2

4. De la labia concluimos que la función / liene un mínimo relativo en A(-2, -2) y en

C(2, -2), y un máximo relativo en B(ü, 2). m

( E J E M P L ^ ^ ^ y Hallar todos los extremos relativos de la función (a)
/ (x) = Sen2x + Sen x. en el intervalo [0, 2n]

Solución 1. Localización de los números críticos
/ ’(*) = 2 Sen x Cos x + Cos x = Cos x (2 Sen x + 1 )

S i / ’(x) = 0 => Cosx (2 Sen x + 1) = 0 <=> Cosx = 0 v Sen x = -1/2

<=>

,Lueeo, ,los números críticos son: x =rt 7 —,3 1—1 Jt, —rt, — Jt
26 2 6

2. Determinación del signo de/'(x)
La tabla 5.10 resume las pruebas realizadas en cada intervalo que los números críticos
determinan.

TABLA 5.10

Signo def ^ x )
Intervalo Valor Prueba ( a ) Conclusión Extremos:

< 0 , 7t/2> II <+)(+) = + creciente
1 (-)(+) = - decreciente
<7t/2, 7rt/6> (-)(-) = +
<7tc/6, 3rt/2> x = 2n/3 (+)(-) = - creciente } Max. en x = n/2
<3n/2, 11n/6> x = 4nf3 decreciente } Min. en x = 7rc/6
< 1J7c/6, 2 ji> x = 5tc/3 ) Max. en x = 3n/2
x = 350° creciente } Min. en x = 11rt/6

+

ti

3. De la Tabla 5.10 concluimos que la función f liene dos máximos relativos en A(7i/2 . 2) y
C(37i/2 ), y dos números relativos en B(7rc/6, -1/4) y D( 1ln/6 , -1/4)

5. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.25 _

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Sección 5.5: E l criterio de la primera derivada 563

(E J E M P L O 1 3 ) Sea la función / ( jc ) = Ln x ' - 3 a + 2
x2+ l

Hallar el dominio de la función, interceptos con los ejes coordenados, asíntotas, los intervalos
de crecimiento y decrecimiento, los máximos y mínimos relativos si existen.

Solución 1. Dominio de lafunción: f ( x ) = L n a" +1

La función real o (jc - 1) ( j c - 2) > 0 > ^ jr< I v x > 2

Dom (/') = x e < « , |> u <2,+«>>

2. Interceptos con los ejes coordenados

Eje X: Si y - 0 =* 0 = Ln ' x2 —3 jc + 2 x -3x + 2
x1+ 1 x +1

De donde; x2+ I = x ^ 3 x + 2 <=> = 1/3 =* A (I/3 ,0 )
Eje Y: Si x = 0 ^ Ln 2 B(0, Ln 2)

3 . Asíntotas.

a ) Asíntotas horizontales: y = lim / ( jc ) = Ln ljm f x~ - 3 x + 2 V = Ln( I ) = 0
*-»±~ ^ Jf + 1 J

Luego, y = 0 es una asíntota horizontal en ambos sentidos

b) Asíntotas verticales : lim f ( x ) = Ln ^ ^ ^ - Ln (0) = -«>
»-»r (1+ 1)

lim / ( ^ ) = ¿ , [ i L ^ = Z 7I (0 ) = - «
jt—*2+ (4+1)

Entonces x = 1 y x = 2 son dos asíntotas verticales hacia abajo

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564 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

4. Intervalos de crecimiento y decrecimiento
f (a) = Ln (x1- 3 x + 2) - Ln (x1+ l )

"=> f ( x )s = —7.-2--a-----3------------ 2i--x--- = -------3--x--2-----2--a------3 i------

a2 - 3 a + 2 a '+ 1 (x - I ) ( a - 2 ) ( a 2 + I)

Si f'(x) = 0 ^>3j t- 2 x - 3 = 0 <-> JCj = ^ ( i - V í o ) v a, = ~ ( l + V í o )

Pero a2 ~ 1-38 £ Dom (f), luego x, = U.72 es el único número crítico, con el que
formaremos los intervalos pruebajunto con los números x = ! y a = 2
La Tabla 5.11 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo resultante

TABLA 5. II

Intervalo < - 00, -0 .7 2 > < -0 .7 2 , 1> <1. 2> < 2 , +°=>
Valor prueba A —- 1 A =0
No d e f i n i d a x= 3
Signo d e f ’(x) +, —
Conclusión (-)(-)( +) ' <-)(-)(+) No d e f i n i d a +r
No d e f i n i d a (+)(+)(+) ‘
c re c ie n te d e c re c ie n te
c re c ie n te

5. Observando las conclusiones de la Tabla
5.11 podemos afirmar que en a = -0.72,
la función tiene un máximo relativo cuyo
valor es

/ f ^ 7 2 ) = Ot (- ° - 72)2- V 72^ 2
J (-0.72) + 1

, 4.6784

^ '1 5 1 8 4

= Ln (3.08) *= 1.12

6 . La Figura 5.26 muestra la gráfica de f don­

de las flechas indican el crecimiento y

decrecimielo de la función en los interva­

los prueba. ■

EJERCICIOS . Grupo 42

♦> En los ejercicios I al 36, hallar los números críticos de/(s¡ los hay), los intervalos de
crecimiento y decrecimiento y localizar los extremos relativos o globales. Hacer un bos­
quejo de la gráfica de cada función y marque los máximos y mínimos locales.

1. / ( a ) = a 3 - 6 a 2 + 15 2. / ( a ) = A4 - 2a1
3. / ( a ) = 1/5 xs- a 4. / ( a ) = a 4 - 8*2+ 10
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EJERCICIOS. Grupo 42: E l criterio de la primera derivada 565

5 . f { X) = 3xJ- Sx1 - 6 ** + 24x + 2 6 . /( x ) = 3v* - 25t* +60y +10
7. /(x ) = (2 + i )2 (1 - x f 8 . f(x) = 3xi - 5v'
9. / ( x ^ x 4 - 8x^ + 7 10. / ( x ) = 3 ^ - 4 v ‘ - I 2 t 3 + 8
11. / ( jc) = 3.r' - 2CUr; 12. f(x) = 3x' - 25xl +fiOx
13. /( x ) = 2 r '+ 3 .r + fa 14. f{x) = 3aj + 4x’ - 3íh2 + 36x - 8
15. /( a ) = 8x *-x * 16. / ( x ) = x''’ (4 -x )
18. / { x ) = xj/ , (jc2- 16)
17. /( x ) = x ( x - l) " 1 2 0 . /( x ) = (x + I )271(r - 2 ),/T
22. /(x) = (x-3)3 (x -I)*'
19. / ( x ) = j r in(2 -A )2/1
21. /ÍA ) = f4A -fl)l/l ( 2 r - « ) M 24. / ( JC) = _ Jtt 2 ...
x +2x+4
23. / ( x ) = — l ~ X
x* - x + 4 -2J6A. //(-x/ X) = —x 2--+--x--+--l

25. / ( x ) = A~ + X + 4 x —X + I
x2+2x + 4
28. f ( x ) = x —
„„ ,, . x2 - x +1 x2 - 2x+ 2
27* / W = ^ 7 T ,
4 - í x + 5) , si v < —4
X + X +I 30. / ( x ) =

í2x + 9 ,si x < - 2 1 2 -íx + l )2 . si x > —4
29- ^ = | ^ + .,.W , > - 2
3x + 5 , si x < - 1
32. / í * ) « x 2 + 1 . si —I íá x < 2

7 - x . si x > 2

2 + x" , si x < —7 x —6 , x e < —“ ,6 >

33. / ( x ) = 2 .« 0<x < 3 34. / ( x ) = - J 4 - ( x - & y , x e [ 6 , 10]

2 —( x - 3 ) 2, x > 3 20- 2x , x e < ! 0 ,+«»>

(x + 9 ^ -1 , sr x < - 7 12 —(x + 5 )‘ ' , s ix < - 3

35. / ( x ) = —y¡25 —(x •4) 2 , .« - 7 < x < 0 36./(x ) = 5 -x , jí -3< x<-l

(x -2 )2 - 7 ,.« x > 0 ^ÍCX) —( x - 7 )2 , Ji x > - l

37. Hallar a, b, c y d lales que/ (x) = ex* + bx- + ex + d tengaunmínimo relativo
en (0 , 0 ) y un máximo relativo en (2 , 2 ).

38. Hallar a, b y c tales que / ( x ) = ax2 + bx + c tenga un extremo relativo en (5, 20)
y pase por (2 , 10).

39. Hallar las constantes a, b y c tales que el gráfico de la función/(x) = ax2 + bx + c
tenga un extremo relativo en (5, 12) y corte el eje Y en (0, 3).

40. Dada la función / (x) = (x* + 5x2 + 3x - 9 )2/51 hallar los intervalos decrecimiento y
decrecimiento, los extremos relativos y bosqueje el gráfico.
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566 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

41. Hallar a, b, c y d de tal manera que / ( jc ) - ax* + bx2+ cx + d tenga extremos relativos
en los puntos (1. 2) y (2, 3).

42. Hallar una función polinómica / ( jc) = ax4 + bxx + ex2 + dx + e (donde no todos los
coeficientes son nulos) que satisfaga:

i) El gráfico de / pase por el origen de coordenadas de tal manera que la tangente en
dicho punto sea horizontal.

i i ) / t e n g a u n e x t r e m o r e l a t i v o e n jc„ = - 1

iii) *..= I sea un punto crítico d e /.

43. Una función y = / ( jc) está definida por = c . donde a. h y t: son

constantes positivas. Demostrar que esta función no tiene máximo o mínimo relativo en
<£>, +~>, si c > 80 / 21b.

44. Graficar f ( x) = ax3+ bx1+ ex + d de modo que la gráfica de/tenga un extremo relativo
en ( - 1, 5) y que la ecuación de la tangente en =jc 3 sea la recta Sí: 24* + y - 83 = G

45. La venta de fertilizantes de una fábrica sigue el esquema cíclico

F —100,000

con F medido en libras y 7 en días. Si t =1 representa el 1 de Enero, qué día del año se
produce la máxima venta?

46. Para qué valores de a, la función / ( jc) = a Sen x + ^ Sen 1c tiene el extremo relativo en
jc= 7c/3 . Será un valor máximo o mínimo.

K* En los ejercicios 47 al 54. hallar los números críticos de /(s i los hay), los intervalos de
crecimiento y decrecimiento, localizar los extremos relativos y globales. Hacer un bos­
quejo de la gráfica de cada función y marque los máximos y mínimos.

47. / ( x ) = ~ + Cos x, x e [0, 27t] 48. /(jr ) = * - Sen x , x e <0, 27i>

49. / ( x ) = Sen x Cos x, x e [0, 2rt] 50. f(x) = Sen x ( l + Cos jcJ, x e <0, 270
51. / ( jc) = Sen3x + Cos3, x e [0, 2k \ 52. / (jc) - 2Sen x + Cos 2x, x e [0, 2te]
53. /( x ) = Sen 2x + 2 Cos x, x e 10, 2tcJ 54. / ( x) —Sen 3x - 3 Sen x, x € [0, 27ü>

( 5 . 6 ) EL C R ITE R IO DE LA S EG U N D A DERIVADA

Ya hemos visto que la determinación de los intervalos en que una función/crece o
decrece es útil para trazar, con relativa exactitud, su gráfica. En esta sección veremos que hay
otros aspectos de la gráfica de una curva que requiere el estudio más detallado de la derivada,
es decir, la localización de los intervalos donde/* crece odecrece. En tal sentido, los conceptos
de concavidad y punto de inflexión están en juego.

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Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 567

Sea entonces una función/ : IR —»IR, diferenciable en algún intervalo abierto I que
contiene ul punto c e Dom (/). Consideremos ia ecuación de la recta tangente Tque pasa por
(c,f(c)). con pendiente / ' ( c):

T (t) - f ( c ) = f \ c ) . ( x- c ) => T ( x ) = f ( 0 + U • O f (c)
y la función auxiliar: E(x) = f (x) - T(.v)

=> E(x) = f(x) - f (c) - (x - c ) . /'(c )

Definición 5.4: CONCAVIDAD HACIA ARRIBA •>

Se dice que la gráfica de una función f { i) es cóncava hacia arriba en el punto ú \
si se cumplen las condiciones «.iguientes:

i) / t » derivable en el intervalo abierto <a. h> c Dom ( /)
ii) / ' es creciente en <u, b>, es decir, / ‘(.r) > 0 , V x e < a . b>
iii) Existe una función E (v j> 0 . V .\ e <a, b> - { r |. en un entorno

de c para el cual E(x) = /(.v) - T(x), y
T (a )= /( c } + f'(c) (a - c). Esto es

f 00 > T(j:) = > /(.\) >f'{c) . U - c) + /(c ). v G <n, b> - f

Geométricamente significa que la gráfica de festálocalmenle por encima de la tangente T que

pasa por (c, La figura 5.27 muestra esta propiedad. (Lo denotaremos por v±/)

Definición 5.5: CONCAVIDAD HACIA A B AJO

So dice que la gráfica de una función f(x) es cóncava hacia abajo en el punto (c ./(c )j si
cumplen las condiciones siguientes
t) /e s derivable en el intervalo abierto <a. b> c Dom íjO
ii> / ' . » decreciente en <«, b>. es decir, ¡' ( t j <0, V t e <a. h>
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568 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

iii) Existe una función E(x) < O, V x e <a, b> - (¿}. en un entorno de
c para el cual E(.v) - T(x) - f ( x) y T(x) - f ( c ) - f f e ) . (x - c )
Esto es:
f í x) < f'(c i . (jc - cT+ / (x), V x e <a, b> - {c 1

Geométricamente significa que la gráfica de f está localmente por debajo de la tangente que
pasa por (c, f(c)). La figura 5.28 ilustra esta propiedad. (Lo denotaremos por O ')

Para determinar la concavidad sin ver la gráfica de f podemos usar la segunda
derivada para saber donde crece o decrece en idéntica forma que usábamos la primera
derivada para conocer donde crecía o decrecía / .
El siguiente teorema establece la relación entre la concavidad y el signo de la segunda
derivada.

TEOREMA 5.8: Criterio de concavidad

Sea / : IR —»IR una función cuya segunda derivada existe en un intervalo abierto I, que
contiene al punto c, y que /"(< ) ^ 0. Se cumple;
i) Si/"(c) > 0, V x g I. entonces la gráfica de/es cóncava hacia arriba en el punto (c,f(c))
ii) S¡/"(c) < 0 , V x e I. entonces la gráfica de/es cóncava hacia abajo en el punto ír \/c ) )

Demostración i) Según la Definición 5.4 debemos probar que
f(x) > / ' (c ). (x - c) +f(c), V X G I -{c}

1. En efecto, si E(x) =f (x) - f ( c ) . ( x - c ) + /( c ) =* (°

2. Si E" (x) = f"(x) => E" (c) = f"(c)
Pero como, por hipótesis, f"(c) > 0 => E"(c) > 0

, Además, en (1): { ^ = / ^ J £(c,=iO * )

4. Por la definición de derivada:

E ' ( c ) = lim £ ’ (-y) ~ £ ,(c) = / " ( c ) > 0 (Paso 2 y por hipótesis)

X-*' X — C

5. Luego, por el paso 3, si E’ (c )= ü , V x e V 6*(c), existe una 6 > 0, tal que si

0 < Ix - c ! < 8 => x-c >0

<=> < c —6 , c+ 8 > —{c} => — ■—- >0
x —c.

_ , , [ a ) Si c —6 < x < c, es decir, x —c < 0 => E (x) < 0
6 . De donde: [£>) Si c < x < c + o, es decir, x —c > 0* =>rE-,, (xk) > 0*

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Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 569

7. Luego, por el Teorema 5.7, E(x) es:
a) Decreciente en el intervalo [ c - 8 , o , pues en particular, si
x < c =$ E(jc) > E(c)
b) Creciente en el intervalo <c, c + 5), pues en particular, si
x > c => E(a)>E(c)

8 . En conclusión, Vare Vfi (c) se cumple que E(.r) > E (í)
Pero como E(c) = 0 (paso 3) => E(.v) > 0

= > /(*)> / '(i).! v -r)+ /(r)

lo que queríanlos probar,
ii) La demostración es similar.

Nota El sentido de la concavidad es un instrumento eficaz al eslio/ar la gráfica de
una función continua o discontinua. Es por ello que es muy importante seguir los

siguientes pasos para hallar los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.

1. Localizar los valores de xen que/"(v) = 0 o f"{\) no está definida.

2. Utilizarlos para delimitar los intervalos prueba.

3 Hallar el signo de f "(a) en estos intervalos y concluir aplicando el criterio de con­
cavidad (Teorema 5.8)

El ejemplo que sigue ilustra esle proceso para una función continua.

[E JE M P L O 1 ) Hallar los intervalos donde la gráfica de /'(a ) = —4.v
^^ “■ v' +4

es cóncava hacia arriba o hacia abajo.

Solución I. Cálculo de la segunda derivada:

/.,( v )^ 4 ( a1 + 4 i( , ) - a (2a ) = 4(4 —.i' l

A ( -V* + 4 ) “ (a; +4)-

........... (.v‘ + 4 ) ' ( —2 .v ) - ( 4 - v2 )2(a" +4)(2.v)Ka{.vj -1 2 )
J 1^) ' r»|+ 4' i •“* *» - 1
( . )4
(X-+4)

2. Como f"(x) está definida en toda la recta real, hacemos / "(\) = 0 y obtenemos:

x (x~ - 12) = 0 <=> a = 0 , x - ± 2>/3

3. Ahora probamos e! signo de f ' i x ) en los intervalos <-<». - 2-Jl>. < - 2 - J l . ()>.

<0 . 2if$> y < 2 V 3 . +oe>
Los resultados se dan en la Tabla 5.12 y en la Figura 5.29

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570 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

TABLA 5.12

Intervalo <-«®, -2-\/3 > <-2-j3,0> <0 , 2^3> <2-j3 , +“ >
Valorprueba x —-4 x = -l x —1 x- 4

Signo de/"(x) (-K + > <->(-) (+X -) (+>(+> = 1±/
Conclusión + + + +
Cóncava Cóncava Cóncava Cóncava

hacia abajo hacia arriba hacia abajo hacia arriba

FIGURA 5.29 FIGURA 5.30

Para funciones discontinuas, los intervalos prueba han de formarse usando los pun­
tos de discontinuidad junio con los puntos en que/"(•*) es cero o indefinida.

^ E J E M P L O ^ ^ J Hallar los intervalos de concavidad de la gráfica de

[Solución Cálculo de la segunda derivada

f { x ) = ( ^ - l ) - * ( 2 *_ )= _ ^ ± ^

J K' (jc - 1) (JC3 - 1)2

—1 ) 2 ( 2 x ) - ( j :2 + l)2 (x 2 —I )(2 j t ) 2 j c ( j c 2 + 3 )

1 (jc2 — I ) 4 (jc2 — I)*

2. Dado q u e / ”(jc) = 0 cuando =jc 0 y la función es discontinua en x = ±1, tomamos
como intervalos prueba: <-=*, - I >, < - 1, 0 >, <0 , l>, < 1, +°°>

3. La Tabla 5.13 muestra el comportamiento de f " en cada uno de estos intervalos, y su
gráfica se muestra en la Figura 5.30

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Sección 5.6: E l criterio de la secunda derivada 571

TABLA 5.13

Inten'alo <-00, -l> x = - l/2 <0 , l> <1, -H»>
Valor prueba x = -2 x = 1/2 x= 2

Signo d e f "(x) < -X + > (-)(+ ) <±Kt> = ^ (+)(+)
Conclusión (+) (-> ^ (-) <+) ^
Cóncava Cóncava
Cóncava Cóncava
hacia abajo hacia arriba hacia abajo hacia arriba

Definición 5.6: PU N TO D E INFLEXIÓN

Sea / una función y ■ un numero. Supongamos que existen números a y b tales que
« < c < b y además

i) f e s continua en el intervalo abierto <a. h>
ii) f' l x) < 0 en <t¡. o y / " ( \ ) > 0 en <c. b> o

f"(x) > 0 en <a, o y f"(x) < 0 en <r, /;>
Entonces el punto (c,f (c)) se llama a punto de inflexión
El número o se llama número de inflexión

Obsérvese que si la segunda derivada cambia de signo en el número c. entonces c es

un número de inflexión, tal como ocurre para la función del Ejemplo 1. donde x = - 2-/3,

x = Q y * = 2^3 son números de inflexión.
Si la segunda derivada existe en un punto de inflexión, debe ser cero. Pero puede no existir, c
incluso no estar definida en el. como muestra el siguiente ejemplo.

( E JE M P L O 3 ) Examinar la concavidad de ia función f{x) = jcim
Solución 1. Hallemos la primera y segunda derivada tic / :

/•(.*> = -4 , =>r u > = - £ ñ

2. Nótese que tanto /'(jc) como f ”(x) no están defini­

das en jc = . 0 , sin embargo el signo de

f'íx) cambia enx = 0 , puessi tomamos como inter­

valos prueba <-«>, 0 > y <0 , +«> veremos que si

x < 0 => f ' ( x ) > 0 <¿>

x > 0 =* /"(jc) < 0 o

La concavidad cambia de sentido en x = 0, luego

éste es un número de inflexión y (0 ,0 ) es el punto

de inflexión.

3. La gráfica de / se muestra en la Figura 5.31 FIGURA 5 31

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572 Capitula 5: Aplicaciones d e la D erivada

TEOREM A 5.9: Puntos de Inflexión

Si una función/, derivable en el número c. es do¡» veces derivable en alguna vecindad
reducida V fi’(í i de es-te número, entonces
i) / “(•*) = 0 ó /"(.t) no está definida
ii) /" (a ) cambia de signo al pasar el argumento por r. es decir, f"(x) tienes signos

opuestos en <c - 8 , O y en <c, c + 6>. entonces (c,/íc )) es un punto de inflexión de
la función /

Demostración i) Si /" (c ) está definida, probaremos que/" (e) = 0
En efecto:

1 . Sea la función g(x) = / ' g(a) = s '( jc) = / " ( a )
2. Por la definición de puntode inflexión,/ " ( a ) y por ende #'(*) cambian de signo en x = c
3. Luego, g(x) tiene un extremo relativo en x = c, esto es, g'(c) = 0 y como g'(c) = f

existe, entonces/"(c) = 0
Si f"{c) no está definida, no hay nada que demostrar,
ii) Se sigue de la demostración del Teorema 5.8 (Queda como ejercicio)

( E JE M P LO 4 ) Hallar los puntos de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica
de f ( a ) = 3 a 1* - 6 a 2

Solución l . Derivamos dos veces la función y obtenemos
/ '( x ) = 12a3- 12a = 12x (a + 1) ( x - l)
/ ”(*) = 36x? - 1 2 = 12 (i/3 a + 1) (-JSx - 1)

2. Para f'(x) = 0, los posibles números de inflexión son x = + V3/3
3. Construimos una tabla con los intervalos que estos números delimitan

TABLA 5.14

Intervalo <-00, -V3/3> <-V3/3, V3/3> <V3/3, +™>

Valorprueba x = -1 x=0 x= 1
Signo de f ' ( x ) / " ( '! ) = (-)(-) —+ /"(O) = (+)(-) = -
+
Concavidad O
11

+
X+_

II

Conclusión Existe punto Existe punto
de inflexión de inflexión

La Tabla 5 .14 nos confirma que existen dos puntos de inflexión:

P,(-V3/3, -5/3) y P2( V3/3, -5/3). La gráfica de la función, simétrica respecto al eje Y (Función

par), se muestra en la Figura 5.32 ■

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Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 573

( E JE M P L C Ü T ) Hallar los punios de inflexión y discutir la concavidad de la gráfica
de la función f ( x ) = bx
x2+3

Solución 1 Siendo la función continua V x e IR, halluinos/'U) y f ”(x)

f ( x ) ~ b [x2+3 ) ( \ ) - x( 2x) b ( 3 - x 2)
(x2+ 3)2 Cjc2 + 3 ) 2

f " ( x ) = b (x 2 + 3 ) 2 (—2x>—(3—x z)2(x2 + 3 )(2 x ) 12*(jc + 3 )(x -3 )
(x3 +3)4 U 2 +3)3

2. Para } "{x) = 0, los candidatos a números de inflexión son x = -3, x = 0 y x = 3

3. Probamos en los intervalos que estos números delimitan

<-«>, -3>, <-3, 0>, <0, 3>, <3, +™>
Un resumen de los resultados se da en la siguiente tabla

TABLA 5.15

Intervalo <-oo, -3> <-3,0> <0, 3> <3, “ >
Valorprueba x = -4 x = -2 x= 1 x=4

Signo d e f ”(x) (-J (-)Í-) (-)(+ )(-) , (+>(+)<-)_ (+X+X+) +
Concavidad + ++ +
Conclusión \±/ o>
o

| Existe P.l. Existe P.I. Existe P.I.

La Tabla 5.15 muestra la existencia de tres puntos de inflexión: P,(-3,-3/2), 0(0,0) y P2(3 ,3/3).

Lagráfica de la función, simétrica respecto del origen (Función impar), se muestra en la Figura

5.33. '■

FIGURA 5.32 FIGURA 5.33

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574 Capítulo 5: Aplicaciones d e la Derivada

[ EJEM P LO 6 ) Si f (x ) = ax4 + bx* + ex1 + dx + e, hallar a, b, c , d y e del tal tnodo

que la gráfica de / tenga un punto de inflexión en I{ 1 1 ), tenga al origen
ella y sea simétrica respecto al eje Y.

Si l a gráfica de / pasa por el origen, entonces e = 0; además si / (jc) =f(-x),
V x e Dom (f), es decir, si / es una función par, su regla de correspondencia
no debe contener potencias impetres de jc, por los que si

b = d = 0 =* f (x) = ax4+ cx-

y= > / ' ( j c ) = 4 a x * + 2 c x / " ( x ) = 12a x 2 + 2c

Ahora,si 1(1,- I ) e G itf) => -I = a ( l)4 + c (l)2 <=> a + c = -\ (1)

En j c = 1 ,/ " ( j c ) = 0 = * 12a + 2c = 0 c=> 6 a + c = 0 (2 )

Luego, resolviendo ( I ) y (2) obtenemos: a =1/5, c = -6l5 ■

¡OBSERVACION5.10 La segunda derivada es también útil para comprobar si un número
crítico es un máximo o un mínimo relativo. Por ejemplo, sea c un

número crítico para una función/y supongamos q u e/"(c) < 0 . S i / " es continua es una
vecindad que contenga a c, entonces / " permanece negativa en dicha vecindad. Esto significa
que la gráfica d e/es cóncava hacia abajo cerca de (c, / (c)), luego queda por debajo de sus
tangentes. En particular, queda debajo de la tangente horizontal en el punto crítico (c ,/(c )),
como en la Figura 5.34. De modo que/tiene un máximo relativo en el número crítico c.
Análogamente, s i/( c ) es un mínimo relativo, la gráfica d e /e s cóncava hacia arriba en
una vecindad que contiene al número c. En este caso la gráfica dc/cstá por encima de sus
tangentes.
Esta observación sugiere el siguiente criterio

TEOREM A 5.10: El criterio de la segunda derivada

Sea / una función derivable en una vecindad Vs(c) del número e
Suponiendo que f"(c) está definida, tenemos lo siguiente:
i) Si /'(c ) = 0 y f"(c)< 0 =3>j(c) es un máximo relativo
ii) S i / ’(c) = 0 y /" (c ) > 0 = ^ /(c ) es un mínimo relativo
iii) Si /" ( c ) = 0. entonces el criterio no decide

[Demostración j i) Supongamos que / ’(c) = 0 y que f"(c) < 0

1. Según la definición de derivada:/"(jr) = “ J| I x _ c J

2. Por hipótesis /'(c ) = 0 => / " ( x ) = hm
3. También por hipótesis, f"(c)< 0, entonces la gráfica de/es cóncava hacia abajo, luego:

V x e V 6(c), 3 5 > 0 l s i 0 < l x - c l < 8 =* ^ ^ < 0
x-c

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Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 575

4. De aquí se deduce que si:
c - 8 < x < c =>x - c < 0
c<x <c + 8 ^ a- c > O

5. De (3) y (4), por la regia de los signas se
sigue que:
/'(a ) > 0, V jce <c - 5 ,o
f'(x) < 0. V jce<£, c + 5>

6 - Como el signo de / ' cambia de positivo
a negativo, por el criterio de la primera
derivada, resulta que / (c) es un valor
máximo local o relativo de/,

ii) Un argumento similar prueba que si
/'(c ) = 0 y f \ c ) < 0 , entonces,/(c) es un
valor mínimo local o relativo de/. ■

[E JE M P L O 7 ) Uso del criterio de la segunda derivada

Hallar los extremos locales de la función f(x) - 3*^ - 20a3

Solución I. Localización de los números críticos
f \ x ) = 15a4 - 6 0 a 2 = 15a2( a + 2) (a - 2)

Si / ' ( r ) = 0 = $ j t ( a + 2) ( a - 2) = 0 O a = 0, a = -2, a = 2
Como el Dom ( /) = IR y / ’ también existe en IR. esos son los números críticos, en donde
la función tiene por valores:
2 / ( - 2 ) = 3(-2)5 - 20(-2)J= 64 => A(-2, 64)

/(0 )= 3(0y-20(()/ = 0 =>0(0,0)
/ ( 2 ) = 3(2)s - 20(2)3 =-64 =>B(2,-64)
3. Aplicación de la segunda derivada

/" (a ) = 60a1 - 12 0 a = 60a (a + -J l )(a - 4 Í )

Entonces:

Número critico Signo def "(x) Conclusión

jc = -2 /"(-2)=(-)(-X*)=- <0=>Máximo local = A(-2,64)

a =0 /*(0) = 0 =3 El criterio no decide

x= 2 /" (2 ) = (+)(+)(+) = + > 0 ^ Mínimo local = B(2,-64)

4. Al ser /" (0 ) = 0, el criterio de la segunda derivada no decide nada sobre el número crítico

a = 0. En este caso se debe recurrir al criterio de la primera derivada y examinar el signo

de f'(x)= 1 5 a 2 ( a + 2)(x - 2) para x próximo a cero. Asi, si x e <-2, 0 > = > /'(x) < 0

t e <0 , 2 > => /'(a ) < 0

En consecuencia,/ es decreciente V x e <-2, 2>. de modo que el punto (0, 0) no es un

extremo local.

5. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.35 —

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576 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

^8 6
( E JE M P LO 8 J Esbozar la gráfica de la función / ( a ) = — , explicitando

Solución sus extremos locales, puntos de inflexión, los intervalos de concavidad.

1. Localización de los números críticos teniendo en cuenta que
el Dom ( f ) = IR - {0}

/ ( * ) = Sat’ - 6 j t ! f\x) = f \ x ) =- 2 4 a - 4 + ú j r 2 <=> 6 (* + 2 ) ( * - 2 >

x

Si /'(a ) = 0 = * (a+2) (a - 2) = 0 x = -2, a = 2 son números críticos

a = 0 es u n p u n to d e d is c o n tin u id a d

2. Valores de la función en los números críticos

/ ( - 2 ) = ? Í 7 - ^ ) = “ ' + 3 = 2 = i A ( -2’ 2)

f m = w - J ) = - ' - 3 = - 2 =» B{2' ‘ 2)
3. Aplicación de la segunda derivada

f"(x) = 9 6 a 5 - I2JT 1 = > / " ( a ) = 1 2 (2 V 2 -x )(2 j2 + x )

Número crítico Signo de f ”(x) xs
Conclusión

x - -2 y ’(-2) = = —< 0 Máximo local en A(-2,2)

x= 2 / ' 1(2 ) = ~+ >0 Mínimo local en B(2,-2)

4. Intervalos de concavidad

Dado que/"(a) = 0 cuandox = -2^2 y x ~ 2*j2, y la función es discontinua en x = 0,
tomaremos como intervalos prueba

< - ~ ,- 2 V2 >, <-2 V 2 , 0 >, <0 ,2 V 2 >, <2 V 2 ,+°°>
y como valores prueba: a = -3, a = -1, a = I y a = 3, respectivamente. Entonces

Intervalos Signo de f "(x) Conclusión

a e -2-J2 > / ,,(-3) = (± K z )= + > n Cóncava hacia arriba

x e <-2-j2 ,0 > / " C_ I ) = ( ± I ± ) = _ < 0 Cóncava hacia abajo

x e <0 , 2 a/2 > / " (I)= m ( ± i= + >o Cóncava hacia arriba

xe <2j2,+~> 0
V
1

sII

+.
+

1w

II

(*-,
Cóncava hacia abajo
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Sección 5.6: E l criterio de la segunda derivada 577

5. Punios de inflexión

Si /"(■*) = 0 => x = -2 y¡2 , j¡= 2-Jl son dos posibles números de inflexión. Los cambios
en el sencido de concavidad obtenidos en el paso (4) aseguran la existencia de dos puntos
de inflexión:

I,( 2 V 2 ,- 5 V 2/4) y I, (-2^2 , 5 V2/4)
Finalmente la Figura 5.36 indica la gráfica de f conteniendo toda esta información. ■

FIGURA 5.35

[ E J E M P L O 9 ) Sean tí,, ü2, t í , , tí„, números reales. Hallar el numero x para.
que la expresión

(o, - jc)2 + (tí2 - jc)3 + («, - jc) 2 + ...... + (aH- jc)2 sea mínima

Solución 1. Sea / ( x ) = (ci, - x) 2 + (a, - x)2 + (tí, - jc) 2 + + («„ - x)2

=*/'(■*> = -2 (tí, - x) - 2 (tí, - x) -2 («, - x) - .... - 2 (tí„ - x)

= - 2 ( « , + tí2 + tí, + .... t í j + 2hx

2. Si/ '( x ) — 0 => -2(tí, + a2 + a, + .... a„) + 2wx = 0

=> x = ~ ( t í , + a; + tí, + ....+ a(l) es un numero crítico.

3. Como f ' \ x) - 2n > ü, V n e N. entonces x = —(tí, + « 2 + «, + ....+ aH) es un número

para el cual la expresión dada es mínima. m

( E J E M P L C M O ) Si / (x ) = (« , - x2) 2 + ( « 2 - x 2) 2 + .... + (a , - x2)2, siendo
o„ «2»—an números positivos, hallar los valores de x para los cuales

la función f presenta máximos y mínimos.

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578 Capitulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Solución I . La primera derivada de la función/ es:
f \ x ) = 2 ( f l , - a 2) ( - 2 x ) + 2 ( a 2 - a-2) ( - 2 a ) + ............. + 2(a„ - x 2) ( - 2 x )
= -4a L(íí, - a 2) + {a2 - a 2) + .... + (a„ - a 2)]
= -4a [(ii, 4■a2 + .... + a„) - n a2]

2 . Si / ' ( a ) = 0 => a — 0 y A — ± J — (a, + a 2 + . . . . + a n)

son los números críticos
3. La segunda derivada de la función f es:

/ " ( a ) = - 4 a 1 - 2 m a 1 + f ( a , + a2 + ... + a H) - h a 2] (-4 )
= 12 nx2 - 4 (a, + a 2 + ... + a„)

4. Ahora usemos el criterio de la segunda derivada para decidir si en alguno de esos núme­
ros críticos existe extremo local.
/" (O ) = I2n (O)2 - 4(a, + a2 + ... + a„) = -4 (a, + az + ... + «„) < 0

/ " ^ ± (ai + ° 2 + - - + « „ ) j = 12(a, + a 2 + ... + a .) - 4(a, + 4- ... + a„)

= 8 (a, + a2 + ... + a„) > 0
5. Por tanto, en x = 0 la función presenta un máximo local y en los números

2 + ....+ £/„) , un mínimo local.

EJERCICIOS . Grupo 43

❖ En los ejercicios 1 al 14, indicar todos los puntos críticos y de inflexión. Aplique el
criterio de la segunda derivada a cada punto crítico. Muestre la estructura de concavidad
coiTecta mediante un diseño de la gráfica de las funciones dadas.

1. / (A ) = A 5 -9jt + 2 7 a -2 6 ' 2 . / ( a ) = A4 - 4 a 3 + 2
3. / { x ) = 2 x 3 -3 x 2 - I2 a + 3 4. / ( a ) — a4 - 8a 2
6 . / ( a ) = 3 a4 - 4 a - '- 12a2 - í
5. / ( a ) = 6 + 8x 2 - a 4
8 . 1 2 / ( a ) = ( a - l )4 - 2 4 ( x - l>
7. / ( a ) = 3 a 5 - 2 5 a ' + 6 0 a
9. 6 / ( a ) = 12 - 2 4 a - I S a 2 ^ 10. / ( x ) = x5 -3 0 x ' + 160a
11. / ( a ) = 6a 5 - 5 a3 + 2 12. / ( a ) = a '( a + 3 )3

A4+3 1 4 . ¿•/ •. 6a
1 3 ./ (A ) =
/ w =7^3
A

15. Hallar un polinomio cúbico con un máximo relativo en (3,3), un mínimo relativo en (5, I)
y un punto de inflexión en (4, 2).

16. Hallar un polinomio cúbico con un máximo local en (2,4), un mínimo local en (4,2) y un
punto de inflexión en (3, 3).

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EJERCICIO S. Grupo 43: E l criterio de la segunda derivada 579

17. S ea/(x) = cu' + bx: + c una función cuya
gráfica se muestra en la Figura 5.37.
Si I es el punto de inflexión y la recta ££
tiene por ecuación x + 2y - 9 = 0, hallar los
coeficientes a, b y c.

18. Sea la función f ( x) = ax' + bx1+ 2c cuyo
punto de inflexión es I( I .-2 ) y cuya recta
normal en I es : x - 2y - 5 = 0. Hallar a,
b, y c.

19. Sea la función / (x) = ax' + bx2 - ex que
tiene un extremo local en x = 2. Si
>£ : 3x + y -10 = 0 es la ecuación de la tan­
gente en el punto de inflexión I ( - I , y), hallar los coeficientes a. b y c.

20. Demostrar que la gráfica de la función f(x) = A, + * tiene tres püntos de inflexión que
x~ + 1

son colineaJes. Dibujar su gráfica.

21. Si / ( t) = ax1 + bx2+ ex, determinar a, b y c tales que la gráfica de f tenga un punto
de inflexión en ( 1, 2), y tal que la pendiente de la tangente en dicho punto sea -2 .

22. Si f (x) - ax' + bx1 + ex + ti, determinar a, b, c y el tales que / tenga un extremo
relativo en (0, 3) y tal que la gráfica de f tenga un punto de inflexión en ( 1, - 1).

23. a) Sea / una función continua en [a, b] cuatro veces derivable en <a, b> y sea
xu e <a, b>

i) Demostrar que (xu,/(xo)) es un punto de inflexión de / si f"(xv) = 0 y
/" 'ÍX o ^ O

ii) Demostrar que f posee un valor extremo en Xosi

/■Uo) = / " f x o ) = / ,',U«) = 0 y / <41(vo) * 0

b) Aplicar la parte (a) para hallar los valores extremos y lospuntosde inflexión de
f ( x) = 3x* + Axy - 30.\: + 36* - 8 . si existen.

24. Si / (x) = axA+ bx3 + ex2 + dx + e, hallar a, b, c. d y c de tal modo que la gráfica
de / tenga un punto de inflexión en ( 1, - 1), tenga el origen en él y sea simétrica
respecto al eje Y.

25. Analizar la concavidad de la función /( x ) = x7- 3* I x I

26. Halle, si es que existen, los extremos relativos de la función/( x ) = 1*1' + I4x - 5I3

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580 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

( ¿ 7 ) RESUM EN DE TÉCN ICAS PARA GRAFICAR UN A FUNCIÓN

Hasta ahora hemos discutido en el texto varios conceptos útiles al momento de
dibujar la gráfica de una función. El aparato analítico comprende:

- Dominio y rango
- Intersecciones con los ejes coordenadas
- Simetría
- Asíntotas horizontales, verticales y oblicuas
- Puntos en que no existe derivada (puntos angulosos)
- Extremos relativos o locales y absolutos
- Sentidos de concavidad
- Punto de inflexión

El estudio de una función dada y ia construcción de su gráfica con ayuda del aparato analítico
desarrollado es racional llevarlo a cabo en el siguiente orden.

SUGERENCIAS PARA ESBOZAR LA GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN

1. Determinar el dominio de existencia de la función, intersecciones, la región de con­
tinuidad y los puntos de discontinuidad

2. Hallar las asíntotas.
3. Trazar aproximadamente, a grandes rasgos, la gráfica de la función que inpluyucual-

quier intersección con los ejes o asíntotas fáciles de determinar.
4. Localizar los valores de x en los que f ‘(x) y/ " ( x) son nulas o no están definidas.
5. Estudiar el comportamiento de la función construyendo una tabla de variación del

signo dei a primera y segunda derivadas. Determinar los intervalos de crecimiento,
decrecimiento y concavidad, luego hallar los puntos extremos locales y puntos de
inflexión.
6 . Finalmente trazar la gráfica señalando los extremos locales, los puntos de inflexión
| y si es necesariü hallar más puntos sobre ella.

Naturalmente, no todos estos pasos se aplicaran a cada función. Por ejemplo,
puede no haber intersecciones con los ejes o asíntotas. Un número crítico puede
.investigarse por el criterio de la primera derivada o por el de la segunda derivada para
saber si se trata de un máximo o de un mínimo relativo. El método que será preferible
defiende de la función.

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN POLINÓMICA

f E JE M P L O 1 ) Dibujar la gráfica de la función
f ( x) - x4 - 4jr3 + 16* - 16

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Sección 5 .7: R esu m en d e técnicas para graficitr u na función 581

Solución I.E1 Dom(/‘) = IRy es continua V x e IR
f (x) = j d - 4 r '+ 1 6 * - 16 = ( x - 2 ) ' ( x + 2 )

intersecciones con los ejes coordenadas
a) Eje X: y = 0 => (x - 2)' (x + 2) = 0 <=> x = 2, v= -2 => A(-2, 0). B(2, 0)
b) Eje Y: x = 0 => y = 0 - 4 ( 0 ) + 1 6 (0 )-1 6 = -16 =>C(0,-16)
2. La gráfica de la función no tiene asíntotas
3. Las intersecciones con los ejes coordenadas pueden usarse para hacer un dibujo prelimi­
nar de la gráfica de /.
4. Determinación de la primera y segunda derivadas

/ ’(*> = Ax1- I2x2+ 16 = 4(.v + I ) (a* - 2)2
/ " ( * ) = 12* 2 - 24.t = I2x(x - 2)
Si / '(x) = 0 =* (x + I )(x - 2)2= 0 O x = -1, x = 2 son números críticos
/ " ( * ) = 0 =* x(x - 2 ) = 0 <=> x = 0 , x = 2 son posibles números de inflexión
Valores de la función en estos números:
/ ( - 1 ) = (-])4 - 4 ( - i) ?+ 16(-l) - i 6 = -27
/ ( 2 ) = (2)4- 4 (2 )'+ 1 6 (2 )- 16 = 0
Intervalos prueba: <-«>, -1>, < -l,0 > . <0, 2>, < 2 ,-h»>
6 . Con estos datos construimos la Tabla 5.16 para estudiar el comportamiento de la función
en los intervalos prueba.

TABLA 5.16

m f'U) ro o Forma de la gráfica
- + Decreciente
x = -l -27 +
< -l.0> -16 0 + cóncava hacia arriba
0 + 0
x= 0 + Mínimo local y global
<0, 2> + -
x=2 0 Creciente
<2 , +»> + 0 cóncava hacia arriba
+
Punto de inflexión

Creciente
cóncava hacia abajo

Punto de inflexión

Creciente
cóncava hacia arriba

En esta tabla se observa que la función tiene un mínimo relativo en (-1. -27), no tiene
máximo relativo, tiene dos puntos de inflexión en C(0, -16) y en B(2,0)

7 De este modo hemos hallado el carácter general del comportamiento de la función, cuya
gráfica se muestra en la Figura 5.38

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582 Capítulo 5: A plicaciones de la D erivada

[E J E M P L O 2 ) Dibujar la gráfica de la función
f ( x) —3x5—25xJ+ 60*

Solución 1. El D om ^) = IR. No hay discontinuidades
La curva pasa por el origen, pues para x = 0 => y = 0

No existe otra intersección con los ejes coordenados
2. La gráfica de la función no tiene asíntotas.
3. Obsérvese quef es una función impar, pues f ( x ) = - /( - * ) .

La gráfica es simétrica respecto del origen de coordenadas.
4. Determinación de la primera y segunda derivadas

/ ’( * ) = ISx4 - 75* 2 + 60 = 15(jc + ! ) ( * - l ) ( * + 2 ) ( * - 2 )

/ " (*) = 6Q* 1- 150* = 60* ( * + V572 ) (* - V572 )

Números críticos:/ ' ( * ) = 0 = > * = -2, * = -1. * = I, x —2
Valores de la función en estos números críticos

/( - 2 ) = - l 6 . / ( - l ) = - 3 8 . / ( l ) = 38 y / ( 2 ) - 16
Posibles números de inflexión:

r ( x ) = 0 = * x = 0 , x = ± j 5 7 2 = 1.58
Intervalos prueba: <-«w, -2>, < -2 ,-l.58>, <-1.58,-1>, < -l,0 >

<0, 1>, <1, LS8 >, <1.58, 2>, <2, +t»>
5. Comportamiento de la función en los intervalos prueba.

<-», -2> /(O TABLA 5.17 Forma de la gráfica
x = -2
-16 /'(O n x ) Creciente
<-2, -l.58> -25.7 +- cóncava hacia abajo
x = -1.58 -38 0-
-- Máximo relativo
<-1.58,.-l> 0 Decreciente
x= -1 -0
< - 1, 0 > 38 -+ cóncava hacia abajo
x=0 0+ Punto de inflexión
<0, l> ++
x= 1 +0 Decreciente
+- cóncava hacia arriba
0—
Mínimo relativo
Creciente

cóncava hacia arriba
Punto de inflexión

Creciente
cóncava hacia abajo

Máximo relativo

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Sección 5 .7: R esum en de técnicas para graficar u n a función 583

<1, 1.58> 25.7 - Decreciente
x = L58 16 - cóncava hacia abajo
<1.52, 2> — 0 Punto de inflexión
- +• Decreciente
x=2
<2 , -H«> 0 cóncava hacia arriba
+ + Mínimo relativo
+ Creciente

cóncava hacia arriba

6 . De esta tabla rescatamos lo siguiente: la función tiene un máximo relativo en (-2, -16) y

(1,38), y un mínimo relativo en (-1,-38) y (2,16). Además tiene tres puntos de inflexión

en (± 1.58, ±25.7) y (0.0).

7. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.39 H

FIGURA 5.38 FIGURA 5.39

Nota En general, una función polinómica de grado n puede tener a lo sumo
n - 1 extremos relativos. Además, las funciones polinómicas de grado par tienen

al menos un extremo relativo.

GRAFICA DE UNA FUNCION RACIONAL

[ EJEM P LO 3 1 Diseñar la gráfica de la función f(x) = 2 + x - x *

■ I-2 .v + ± “
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584 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Solución 1. f{x) = ~ => Dom ( f ) = I R - {1}

U -l)

La Gr( / ) presenta una discontinuidad en x = 1

Intersecciones con los ejes coordenados
Eje X: y = Q=$2 + x~x2= Q <=> * = -1, t = 2 —> A(0, -1), B(2, Ü)

Eje Y: x = 0 = > y = = 2 = » C (0,2) g Gr(f)

2. Asíntotas:

a) Asíntotas verticales: lim f ( x ) = ^ * -j-—- =+<» => jc = I esunaA.V.
*-»• 0

b) Asíntotas horizontales: lim f (x) = - l = > > = - 1 es una A.H.

3. Con estos datos hacemos un bosquejo preliminar de la G r(/)
4. Determinación de la primera y segunda derivada d e j .

n ti - ' f"{' ) - ^ {l-x)

Números críticos: f'(x) = 0 x=5 u - l )4

Valor de la función en este número: f(5 ) = 2 + 5—(5)2 9
J (5-1)" 8

Posible número de inflexión: f ”(x) = 0 = > 7 -x = 0 x - 1

Intervalos prueba: < -« , 1>, <1,5>, <5, 7>, <7, + «>

Comportamiento de la función en los intervalos prueba

TABLA 5.18

f(x) / ’< * > fXx) Forma de la gráfica

<-«*>, 1> ++ Creciente

X— 1 cóncava hacia arriba
< 1, 5>
No definida No definida No definida Asíntota vertical
x= 5
< 5 , 7> Decreciente
x= 7 - + cóncava hacia arriba
<7, +oo>
-9/8 0 + Mínimo relativo

Creciente
+
+
cóncava hacia arriba

-1 0 /9 + 0 Punto de inflexión

+ - Creciente
cóncava hacia abajo

Refiriéndonos a esta tabla vemos que la gráfica de / tiene un mínimo relativo en (5, -9/8)
y un punto de inflexión en (7, -10/9).

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Sección 5.7:,R esum en d e técnicas para graficar u n a fu n c ió n 585

7. También con la ayuda de la Tabla 5.18 se halla la representación gráfica de la función

mostrada en la Figura 5.40 ®

Nota Recordemos que si / ( a ) = — —7 es una función racional en la que el grado de
<?(*)

p es mayor que el gradó de q en una unidad, entonces encontramos al dividir p(x) entre q(x)

que/(;c) liene la forma

f ( a ) = mx + b + g ( . v )

donde el ljti±m-- e (.t) = 0

Por lo que y = mx + b es una asíntota oblicua de y —f (a)

El ejemplo que sigue es una aplicación de esta nota.

[ E J E M P L O 4 ^ Dibujar la gráfica de / (a ) = — , +

Solución 1. / ( jc) = (a I) => Dom( f ) = IR - { 1 1

Intersecciones con los ejes coordenados

Con el eje X: y = 0 =* x(2a2 - 5x + 4) = 0 => x = 0 única solución real
Con el eje Y: x = 0 =$ v = 0. La curva pasa por el origen.
2. Asíntotas
a) Asíntotas verticales: lXim~t\ f (x) = +<» => x = I es una A.V.
b) Asíntota} horizontales: hm / ( x) = ±e° => No existe A. H.

c) Asíntotas oblicuas: f l x ) = ^X\ ^X + ^- = 2 a —1+ —-— r
J a —2 a + 1 ( a - 1)

Por lo dicho en la nota: y —2x - 1es una asíntota oblicua

3. Con la ayuda de las asíntotas y teniendo en cuenta que la curva pasapor el origen, pode­
mos hacer un dibujo preliminar de l a G ^ )

4. Determinación de la primera y segunda derivadas de f(x)

/ (x) = 2 x - I + ( a - l ) 2 => f ( a ) = 2 - 2 ( a - 1)3= I í ^ ^ X a ^ - a + D
fA- I)3

= *rw = 6 =^

Si / ' ( a ) = 0 a - 2 = 0 e=> a = 2 es el único número crítico
Valor de la función en este número: / ( 2 ) = 4 =* (2, 4) e Grif)
Como / ‘( a ) y /" (a ) no están definidas en x = 1, los intervalos prueba son

<-«», 1> , < 1, 2> y <2 ,+oo>
5. Comportamiento de la función en los intervalos prueba.

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586 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

TABLA 5.19

m /"(.V) : r o o Fonna de la gráfica

<-«>, 1> ++ Creciente
x= 1
< 1, 2> cóncava hacia arriba
x= 2
No definida No definida No definida Asíntota vertical
<2, +»>
- + Decreciente
cóncava hacia arriba

4 0 + Mínimo relativo

++ Creciente

cóncava hacia arriba

6 . Según ia tabla, la gráfica de la función / tiene un mínimo relativo en (2, 4). no tiene

puntos de inflexión pues la curva es cóncava hacia arriba V x e Dom {f). Apoyada en esta

información se dibuja la gráfica de la función mostrada en la Figura 5.41 ■

Nota Supóngase q u e /(a ) - g(x) ± h(x)
donde h(x) es una función racional en la que el grado del numerador es menor que el

grado del denominador. Si evaluamos el límite
Km [ / ( * ) - , ? ( * ) ] = ± lim ftU )

J X-»±o°

Encontramos que: lim [/■ (*)-/? (*)! = 0
Esto significa que la curva y —f { x ) se aproxima a la curva y = £ ( * ) cuandoa —» + <*>, por loque
la gráfica def tiene como asíntota a la gráfica de g.

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Sección 5 .7: R esum en de técnicas para graficar u na fu n ció n 587

f EJEM P LO 5 ) Dibujar la gráfica de la función = jc3 + 2

Solución l.f(x) = xr+ — =* Dom (/■)= IR-[0}
x

Como lim | / ( j : ) —-t2| = 0, la gráfica de j se aproxima a la gráfica de la

parábola £(x) = x7
2. Intersecciones con los ejes coordenados

a) Con el eje X: y = 0 => jc3 + 2 = 0 <=> x = -^¡2 = » A (-V 2 ,0 )g G r(/)
b) No hay intersección con el eje Y.
c) La gráfica de/tiene como asíntota a la gráfica de la parábola y = x~
3. Localización de los números críticos y de inflexión

f { x ) = 2 x - \ = 2 {x ~ ]){x2 + Jr+ 1> . f " ( x ) = 2 + \ =

XX X V. X ,

Si / ' ( x ) = 0 => jc - 1 = 0<=> x = 1 es un número crítico => (1, 3) g Gr (f)

Si f"(x) = 0 => X3 + 2 = 0<=* x = - \¡2 es un posible número de inflexión

Valor de la función: / (-V 2 )= — —0 =* (- V 2 , 0) g Gr(f)

-Mi

Intervalos prueba: <-<»,-V2 >, < -V 2 ,0 > , <0, 1>, <!,+<»>
4 Comportamiento de la función en estos intervalos prueba.

TABLA 5.20

<-«, - V 2 > Hx) /'(*> ru ) Furnia de la gráfica
x = ~\f2 +
0 - Decreciente
- 0 cóncava hacia arriba

Punto de inflexión

< —\P l, 0 > - - Decreciente
x=0 cóncava hacia abajo
<0 , 1>
x= 1 No definida No definida No definida Asíntota vertical

< 1, -K»> - + Decreciente
cóncava hacia arriba

3 0 + Mínimo relativo

++ Creciente

cóncava hacia arriba

5. Según esta tabla la gráfica de / tiene un mínimo local en (1. 3) y un punto de inflexión en

(-V2 .Ü), es creciente en x e <-«>, -ij2 > u <- \¡2 , 0 > U <0 . 1> y creciente en vg <!,+«>>
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588 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

6 . Un dibujo preciso de la Gr( f ) se muestra en la Figura 5.42. donde se puede observar el

comportamiento asintólico entre las gráficas de/ y g. ■

^E J E MPLO 6 ^ Diseñar la gráfica de la función / ( x ) = a ’ + *

Solución Como el lim [ / ( a ) - x 3 ] = 0. usaremos e l método del Ejctnpo 5 para d ib u ja r

la gráfica de/
1. D om (f) = IR - {1}

Sólo hay una intersección con el eje Y, esto es: A(0, -12) e Gr{j )
2. Asíntotas

a) Asíntotas verticales: lri-mtl f ( x) = ±<» => a = 1 es una A.V.
b) No hay asíntotas horizontales ni oblicuas.
e) La gráfica d e / tiene como asíntota la gráfica de #( 0 =
3. Localización de los números críticos y de inflexión.

/ U ) = 3.v2 —• 12 3 (a + 1 )(a - 2 ) ( x - a + 2 ) • / ” U ) = 6 x+-
(X ~ \)2
(A -I)' 'J ‘ ' (A-I)'

S í / ' ( a ) = 0 = > ( a + 1 ) ( a - 2) = 0 «=> a = - 1 , A =2son los números críticos

Valores de la función: / ( - l ) = -7 => B í-1,-7) e G r(f)

/ ( 2 ) = 20 => C(2, 20) e Gr ( f )

No existe números inflexión. p u e s /"(x )*0

Intervalos prueba: < - l, |>, < I,2 > , <2, -h»>

4. Comportamiento de la función en los intervalos prueba.

TABLA 5.21

f(x) f ' M f"U) Forma de la gráfica

<-00, - 1> Creciente
X = ~1 +-
< - 1. 1>
cóncava hacia abajo
X= 1
-7 0 - Máximo local
< L 2>
x=2 - - Decreciente
< 2 , +“ > cóncava hacia abajo

No definida No definida No definida Asíntota vertical

Decreciente
- + cóncava hacia arriba

2 0 0 + Máximo local

++ Creciente

cóncava hacia arriba

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Sección 5.7: Resum en de técnicas para graficar una función 589

5. Según esta tabla la función / tiene un máximo local en B (-1, -7) y un mínimo local

en C(2, 20). No hay puntos de inflexión

6 . La Figura 5.43 muestra la gráfica de / y el comportamiento asintótico con la gráfica

deg. ■

FIGURA 5.42 FIGURA 5.43

GRAFICA DE UNA FUNCION CONTENIENDO
UN R A D IC A L DE IN D IC E PAR

[ EJEM P LO 7 ) Dibujar la eráfica de la función f ( x ) = . 4.\

'“ " yjx2 + 15

Solticwn 1. La función está definida V x e IR
La curva intercepta a los ejes coordenadas en el origen

2. Asíntotas
a) No hay asíntotas verticales

b) Asíntotas horizontales: f ( x ) = 4x

lxl-s/l + 1 5 / x 2

lim / ( x ) = lim 4x = 4
*-*+«»
x-Jl + 15 / x :

lim f ( x ) = lim Ax = - 4

- x V 1+ 1 5 / x 2

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