Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

440 Capítulo 4: La derivada

iii) C alcular, si existe , lim ( u . + u , + . . . + u ) . en función de a
X - » Oo 1 1 n

60. Hallar la derivada de orden n para la función :

n\ _______1 , 1 M _ C os3x ,
' y xv22 x+ xv - li2o + Cosec j_c “) yJ — 1i -Sce„n jc + jc2 - 3 j c + 2

61. Si y = A Sen(kjr) + B C os(kjc), donde A , B y k son constantes ; demostrar que :

y i M = ( . | ) " k !" ) ', V n e Z+
¿J

62. S i/( x ) = [ x * ^ ] Sen (* + l) + |jf + I |V2-\/|jc3 -jc2-jc + I I , hallar , si existe , / '( - l ) .

63. Si f ( x ) = [ *2 + 3 ] C o s ( | jc2) + V U J - x 2 - Hx - 4 | • \ x + 2 | w . h a lla r, si existe .

/ ’<-2)-
x2

64. Demostrar que la función / definida por / ( x) = Sen x + — , x e [0 , + ~ ) posee inversa

/ * y hallar 8

65. S Í /( jc) = [ Sen (Sen (Sen (S en jc)))]s , h allar, sí existe , / ’(O)

66. Si /(jc) = a Sen 3x +b Cos 3jc , hallar los valores de a y b tales que se cum pla la igualdad:
/ ” (*) + 4 / ’(*) + 3 /C 0 = I0 C o s 3 x .

í x 2 S e n (l/x 2) , jc^O
67. Dada la función / ( jc) = s

[o , six= 0

a) Es / derivable en jc = 0 ?
b) Si lo fuese , es / ’ continua en x = 0 ?

68. Sea f ( x) = Cos 2x + C o s2 ( y + jc) - Cos x • Cos ( y + r ) , x e (R , dem ostrar que / es

constante y hallar el valor de dicha constante.
69. Si /(jc) = ' a Cosnjr + b Sen njc , siendo a , b y n constantes , dem ostrar que :

/ ” ( * ) + n / ’(*) = 0

70. Sea / ( jc) = Cos2jt- l síjc^O
, síjc = 0
JC
«

a

a) H a lla ra para q u e / s e a continua en todo IR
b) Hallar / ’(*) usando sólo la definición
c) H a lla r /’(0 ).

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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes 441

❖ En el teorema siguiente se dan las derivadas de cada una de las seis funciones trigonométri­
cas inversas. donde se puede observar que estas son simples funciones algebraicas, y también
que las derivadas de arco Cosa-, are Cotg x y are Cosec a difieren solo en el signo de las de sus
respectivas cofunciones.

TEO R EM A 4.14 : Derivadas de las funciones trigonométricas inversas

Sea u una función derivable d e x ,entonces.

1. (are Sen u) ^ ~ = ~ 4. (are Cotg u) ------
dx V T-ií7 dx * i+ u 7

2. - 7- (are Cos u) = - ■. 11 - 5. i (arc,Sec i ) . = r r ü= = = -
d x Vi - u2
dx luíV u2- 1

3- 4 ~ (are Tg u) = 6. - 7 - (arc Cosec x) = - ; ■■■- iL ;
dx 1 + ua dx f u W

Demostración (la)
(Ib)
1, En efecto , la función Seno inversa o arco Seno se define como (le)
y = are Sen x e=> Sen y = x
(Id)
donde a e [ - 1 ,1 ] e y e [-nt2 t Jt/2] (le)
E ntonces, de (1 a) se infiere que

Sen (are Sen a ) = a , si a € [ - 1 , 1]
are Sen(Sen a ) = a , si a € [-Jt/2 , ti/2]

Com o la derivada de Sen x es positiva para a € (-Jt/2 , nJ2) , se
deduce que el are Sen a es derivable en x e (-1 , I) , (Teorema
4.11). Entonces , se puede derivar ambos miembros de la ecua­
ción (la ) escribiéndola de la forma Sen y = a , donde y = are
Sen a . Esto es :

1
Cos y

y como Cos y > 0 ,V y e {- ti/ 2 , jt/2) , se sigue que

Cos y = Vi - S en2y «=> -7 ^ = , ^ —
d x Vi - Sen2y

/. 4 ~ (are Sen a) =r 1 .
d x Vi - a 2

Cuando se combina este resultado con la regla de la cadera se obtiene

4 ~ (are Sen u) = — , u e ( - 1 , 1)
dSxólo fines educativoVsi --Luib2rosVirtuales

442 Capítulo 4: La derivada

donde u’ = ~d x

2. La función coseno inverso es decreciente y se define mediante la regla:

y = are Cos x $=> C os y = x (2a) f
d o n d e x g [ - 1 ,1 ] e y e [ 0 , Ti] I

Los cálculos para determinar D ^arc Cos x ), son semejantes a í

los D x(arc Sen x ) , esto es . s i : Cos y = x y = are Cos x i

«-Sen,( £ ) = . « Sen y
dx

y com o Sen y = Vi - C os2y = Vi - x 2

^ fx (a rc C o s X Í = ' ’ Jfe 1 ^ (2 b í F IG U R A 4.7: , * » r C o f i

y si u designa una función d ex d iferen ciab le en (-1 , 1) , por la regla de cadena se obtiene :

- j - (a re C o s u ) = - - = = , u e <-1 , l ) , u ’ = (2c)
dx VÑÜ2
dx

3. La función tangente inversa es creciente y se define como :

y = a rc T g x <=> T g y = x (3a)

donde x e IR e y e { -n /2, n/2)

Entonces de la fórmula (3a) se infiere que (3b) -> x
T g (arcT g x ) = x , s i x e IR (3c)

are Tg (Tg x) = x , si e {-n /2 , n /2)

Como laderivada de Tgx es positiva V x e {-n/2 , n /2 ),
se deduce por el Teorema 4 .1 1que are Tg x es derivable
para to d a x . Entonces derivando ambos miembros de la
identidad (3 a), se tien e:

(Sec2y ) - ± = 1 ^ - 1 - = - ^ - L - = 1 + j g ^ ,

(a rc T g x ) = 1 +1x , x e IR (3d)

y si u es una función derivable d e x , entonces por la regla de la cadena

. . ~ fO _ du

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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes 443

4, La definición de la función cotangente inversa es simi- f

la r , excepto que su rango está restringido al intervalo 1
{0, n) en donde es una función decreciente que alcanza
todo valor real. Luego, la función cotangente inversa se
define com o:

y = are Cotg x c=> Cotg y = x (4a)

donde x e (R e y e ( 0 , 7t)

La diferenciación de la identidad (4a) conduce a : F IG U R A 4.9 : y are Coif; x
- C o s e c * \Wd x^ )I = l ~ £d x = . —C os1ec-25}--
1

I + C otg2}’

— (are Cotg x) = - - r , JC 6 ÍR (4b)
dx l+x-

Si u es una función derivable de x , la regla de la cadena da

-j j (are Cotg u) = - -¡ Y >u e R ’ u’ = du (4c)
dx
1 + U2

5. La función secante inversa o arco secante es una función creciente en todo su dominio y se

define como

} = are Sec jc <=> Sec y = x (Sa) YtV
donde Ixl > I e y e [0 , Jt] - {n/2 } TI
Se define de la identidad (Sa) que

Sec(arc Sec x) = x , si Ix I >1 (5b) 7172

are SecfSec x) = x , si x € [ 0 , rc] - {n/2} (5c) rr,

Ahora si derivamos ambos miembros de (5a) obtenem os: * /X
•1 O
1
( S e c y T g ,) £ = 1 « £ = Sec>, T g, .

F IG U R A 4.10 : >' = are Sec x

C o m o T g y ± V Sec2y - 1 = ± V x 2 - I «=> — = ------ 1
d x ± x Vx2 - 1

Pura elegir el signo correcto, observe la Figura 4.10
Cuando x > I y e [0 , nJ2) y Tg y > 0 , por eso se escoge el signo +
Cuando x < 1 «=> y e (ít/2] y Tg y < 0 , por eso se elige el signo -
En coasecuencia:

- y - (are S ecx ) = ■— , Ixl > I (5d)
dxy |x |V x * n

Si u es una función derivable dexcon valores que exceden a uno en m agnitud. y por la regla
de lacadena, tenem os:

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444 Capítulo 4: La derivada

6. La función cosecante inversa o arcocosecante es decreciente en todo su dominio y se define

como:

y = are C ose c <=> Cosec y = x (6a) Y.> *

donde U l > ! e y e [-n/2 , n!2 ] - {0} n ¡2

AI derivar ambos extremos de (6a) obtenemos

_ _ dv dv I i >K
(- Cosecy ■--- Cotgy) - = ! « - = - - ------- — —
dx d x Coscc y ■Cotg y -m i

Com o C otg y = ± C osec2y - 1 = ± Vx 1 - l J
F I G U R A 4.11 : y = u n C o s e c x

>=í> (are Cosec a ) = - ------ }
dx ± a V a ^ H

I , íU I > i (6b)
Ul í -

Si u es una función derivable en * con valores que exceden a uno en m agnitud, y por la regla

de la cadena se sigue que

~ (are Cosec u) = -— ^ , Iu I > l (6c)
d x lu lV ü 7^ !

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

[ EJEMPLO 1 ] Hallar la derivada de la función / ( a ) = are Sen ( y ^ ^ r )

Solución H aciendo de la fórm ula ( l) del Teorema 4 .14 se tie n e :

f'(x) = i r ( i + * 3 ) ( - 2 * ) - ( i - A - 2 ) ( 2 * ) -i

___l + a 2___________ r - 4 a i _ 1 f Ax i

V ( | + a 2) 3 - ( 1 - a 2) 2 ( 1 + a 2) 3 V 4 7 1 L " i + * 3 -i

2 x <=> f ' ( x ) = < 2
U l < I + a 2) I + x 2 , si A' > 0

2 , si x < 0
1+x2

Teniendo en cuenta la definición de la función sig n o , podemos escribir

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Sección 4.12 : Derivadas de ¡as funciones trascendentes 445

E JE M P L O 2 j Derivar la función y = arc Cos ( + )

Solución Por la fórmula (2) del Teorema 4.14 se tien e:

dy_ _ ________ i r (*2a + \ ) ( 2 n x 2a-,) - ( x lD- I) (2 n * 2 n l)

dx ~ ’ V ' - i ^ r r F (x2" + l ) :
_________ * 2n+ l f 4 n * 2"~l 1
V(*3n + l) 3 - ( * 3n- l ) 2 L(*2n+ I ) 1 J

_ I r 4 n * 3" ‘ 1 1 2 n * 2n 1
' V 4*3" L * 2n + IJ l * f ( * 3n + I)

= 2 n Ijct 2" = _ 2 n | * | "
’ x \ x \ n(x2° + \ ) " * (* 2n + l)

EJEMPLO 3 I Hallar la derivada de >• = arcT g ( ^ Sen* \
J \ a + b Cos x i

Solución Haciendo uso de la fórmula (3) del Teorema 4 .14 se tie n e :

dy _ | r \ a - - b z [ ( b + a Cos a ) Cos x - Sen x ( - a Sen * ) J -i
dx ~
(a 2 - b 2) Sen2* <■ (fc+aC os*)3 J

+ (b+a Cos a)3

_ _______ ( b + a Cos x f _________ r V a3 - ¿ 2 [a (C o s 2* + S en 3* ) +b C os *] -i
( b + a C o s a ) 3 + ( a 2 - b 7) S e n 3* L
(¿+aC os*)3 J

_ V a 2 - fe2 ( a + b Cos a )
6 2 + 2 a ¿ C o s a + a 2 C o s 2a + a 2 S en 2* - b 2 S e n 2*

Ve2- b 2 (a + b Cos *) Va2~ b 2 (a + b Cos a)
a 2 + l a b C o sx + b2 (1 - Sen2* ) a 2 + 2oé Cos x + b2 C os3*

. y*=
' a+b Cos*

EJEMPLO 4 ) Si /( * ) = Sen (k are S e n * ) , donde k es una constante en IR dem os-

tr a r q u e : (a 2 - l ) / " ( * ) + * f ( * ) - k 3/ ( * ) = 0

Demostración En efecto, hallando la primera derivada de / se tiene

/ ’(*) = k Cos(k arc Sen *) * ~ (are Sen*)

= k Cos (k are Sen a) ( _ L _ ]
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446 Capítulo 4: La derivada

dedonde: Vi - x 2 f'(x ) = k Cos (k are Sen x)
Derivando nuevamente esta ecuación obtenemos

Vi - X 2 / ” (x) + f ' ( x ) ( . * ) = - k 2 Sen (k are Sen x) ( , 1 , )

' Vi - x 2 ' ' V i-x2 ‘

■=> 0 - x 2) f " ( x ) - x f \ x ) = - k 2 S e n (k arc S e n x )
«=> d - ^ r w - í f w = - k
Finalm ente, multiplicando por (-1) nos queda:

(*a - i ) r w + * / ’( * ) - k * / w = o

( E JE M P L O 5 ) Probar que la función /( x) = 2 are Tgx + are Sen ^ 2x } es constan-
te cuando a: > 1.

D em ostración Probaremos que si / ’(x) = 0 ■=> /(x ) = k , cuando x > 1 .
En efecto, haciendo uso de las fórmulas (3) y (1) del teorema 4.14 se tien e:

,,, . 2 . I r (I + x 2) (2) - 2x (2 x ) -i

,+*! V'-(t&)’ ( , + " )2

2 . ,_____l +__x__2_____ r r 2 - 2 x 2 i
l + x 2 V(l + x 2)2 - 4 x 2 (1 + x 2)2

_2 1 r 20 - x 2) 1 _ ^ ^ U - x 2) { 2 cu
l+ x 2 1+*2 íl- x 2l l+x í )
V(I - x 2) 2 I + x 2

Pero si x > I x 2> 1 e=> I - x 2 < 0 t=> 11 - x 2 1 = - ( I - x 1)

L uego,e„(,) : r W = - ■ ^ ( T^ ? ) = 0

Por lo tanto , si f ( x ) = 0 e=> f ( x ) = k , es constante c u a n d o x > I

E JE M P L O 6 ] Usar la derivada para probar que :

{ti/2 , s¡x > 0
- it/2 , si x < 0

Demostración En efecto , sea función :
/(x) = arcT gx + arcTg(l/x) , x?*0

= __ !__ + _____ 1— ( . _ L ) - — 1— !— = o

f { ) l + x 2 I + ( l / x ) 2 * X2 / l + x 2 l + x 2

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EJERCICIOS . Grupo 3 3 : Derívtuius de los funciones trigonométricas inversas 447

[ /(x ),= k , , si x > 0
L u eg o , s i / ’(•*) = O .V x e IR -{0 } => <

1 / ( jc) = k 2 , s i x c O

Por ta n to ,/e s una función constante V x e IR- {0} , entonces dando valores a x que cumplan
las condiciones establecidas obtendremos lo siguiente

s¡ *= i>o « m = f + f = f

* =- 1<o « / « = - f - f = - f

f Jt/2 , si x > 0 m
En consecuencia: are Tg jc + are T g( l/x) = <j

[ - i ü l , si jc < 0

( EJEMPLO 7 ) Hallar la derivada de are Sen J respecto de are Tg |^x J

Solución Sean : y = are Sen f r- x ) , u= are Tgf .x :3
' VTTx2 ' *U + 3x i

Por la regla de la cadena: = í— ) f— ) (1)
d u ' d x • \ ciu /

Dado que are Sen ( . x ) = arcT g jc «=> — =(are T g x )’ = , *, (2)
' Vi + x 2 ' dx 1 + x*

d}L = I r (1 + 3 x ) (1) - (x - 3) (3) -■ = (l+ 3 x )z r 10 i

dx l \ 1 X’ 3 ' (1 + 3 x ) 2 -I ( l + 3 x ) 2 + ( x - 3 ) 2 L ( l + 3 x ) 2 J

Simplificando obtenem os: = j ~+ j c* ■=? ~ = 1 +x2 (3)

Sustituyendo (2) y (3) en (1) se sigue q u e :

dy
dx \ I +jc2 i K

E JE R C IC IO S . Grupo 33

En los ejercicios 1 al 48 , hallar la derivada de la función simplificando tanto como sea
posible la respuesta

1. y = c 2 are Sen(x/a) - x V a2 - x 2 2. y = arcCotg(2/x) + arcTg(2x)

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448 Capítulo 4: La derivada

3. y = a are Sen(x/a) + V e2 - x 2 4. y = are Cos(Senx)
5. y = are Tg | \ + a x ) , a > ® 6. y = 4 Sen ( ) + x V4 - x 2

7. y = x + V 1 - x 2 areC o sx 8- y = are Sen (Sen x - C os jc)

9. v = are Cos f ) + V2x -x 2 10. y = x a rc Sen \ f , x + are Tg >/x - Vx
' I +x2/ Vl+jr e

11. y = areC o tg f j 12 , y = a rc T g x + are x i
' Senx- Cosx / 3

13. >• = - are Cotg 14. ,■ = a rc T g ( | + y* t J

15. y = are Cotg ( '^ y ~ ^'*=T ) ■ a > ^ 16. y = are Tg (x + V 1 + x ! )
ax -x

17. y = are Cos (S enx2 - C o sx 2) 18. y = ~*2 - are T g ( - p ^ ~ )
l + x 2 V2

19. y = are S en(S enx2) + areC o s (C o sx 2) 20. y = a rc T g ( _ —)
'3 + 5 Cos x •

21. y = ■— are Tg ( ^ Tg •— ) 22. y = V F ^ 4 - 2 are Tg ( 1 )

23. y = areC os ( Á ± ^ x ) 24. y = are Sen ( f ± Í g o s £ )
\ a + b Cos x / \ b + a Cos x /

25. y = x S e n 2 x + -^-Vl - 4 x 2 26. y = are Sec ( )

27- >■■ arcT” ( x r f ü s i ) 28- >' = -C osx

V ü Cosx

29. y = ■2 are Tg ( *a x + b ) 30. y = - i are Cosec ( - )
V4ac - b2 v M ac-b71 x2 a \a I

31. y = arcT g (x y ) = areC otg (x + y) 32. are Cos (xy) = arcS en(x + y)

33. 3 arcT g(x + y) = arcT gx +are Tgy 34. xy = are Cotg (x /y )

35. Vx2 + y 2 = c are Tg (y /x ) 36. are Sec (xy) = x y 2 + are Tg (x/y)

37. y = are Cosec (Vxy + S e n y ) 38. x y = arcT g (x/y)

39- > = ( vA t ) arcTg( V f t i T g f ) •“

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EJERCICIOS G rupo 33 : Drrivailirs tle los J'tuuinncs iri)itm om t:riiM im vrxtu 449

40. y = ^ Va2 - x2 + are Sen ( J , a > 0
41. y = jc (are Sen x)2+ 2 V l - jc 2 a r c S e n x - 2 x
42. y = ( ^ ) V i- 2 x - x 2 + 2 are Sen ( • ^ í )

43. y = are Tg ( _ are Cotg ( 3 f e 1* )
v 4 + 5 Cos x l \ 4 + 5 Cos jc /

44. y = 3 a 2 arcTg &a + 2x)V ax - x 2 y a> 0

45. y = Sen [are Sen (Sen (are S e n x 2))]

46. y = are Sen '+x 2 ) + are Cos )

ai v - I r a Senx b T„ / Va2- b1 Senx \ 1
Va2- b3 ' b + a C o s x / -I
a 2+ 62 l-a+ 6C osx

4, 80. y = -2 are Tg /( -4--+---5---T1g-(--x--/-2--) j\ - are C^otg (/--4--+---5--T- ^g ( x---/-2--) J\

❖ En los ejercicios 49 al 5 4 , hallar la derivada del orden que se indica

49. y = are Tg ( °+ *x ) . y” 50. y = x + a r c T g y , y"

51. y = ( a 7 + x 2) are Tg ( - £ ) , y ” ’ 52. y = arcTg ( ^ 2 ^ 2 ) ’ y"

53. y = are Tg (n Tg x) . y " 54.y = (x + a) are Tg (Vx/a ) - V ax . y "

❖ En los ejercicios 55 al 58 , hallar el valor de la derivada de la función dada . en el punto
indicado.

55. /(x) = + ( y ~ r + are Tg x ) are Tg x , en x = I

56. Vx3 + y 2 = 2 are Tg ( ~ ) , en (-3 ,4 )

57. f ( x ) = x are Cosec ( y ) + Vi - x 2 , e n x = 1/2

58. /( x ) = x a r c C o s 2 x - ( y ) V l - 4 x 2 . e n x * - 1/2
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450 Capítulo 4: La derivada

59. Sean u y v las funciones derivables respecto a x . D em ostrar que la derivada de
y = are T g ( u /v ) , v * 0 , con respecto a jc , es

v . Dxu - u . D*v
Dxy =

+ V"

60. Demostrar que las funciones siguientes son constantes y hallar en cada caso , el valor de
dicha constante.

a) /(* ) = 2 are Tg ( ) + ^ Sen ( 2x - 1)

b) / ( j:) = a rc T g ( ^ ~ p ) + a rc S e n ( ^ - y )

c) m = arcCcs ( ) -ZarcTg Tg f )

61. S e a ^ a r c T g f ^ ^ i J - a r c T g l - Í ^ ^ J . d o n d e l a l í l . l A r l í t ó

Probar que y = x + k , donde k es una constante r e a l. Hallar e! valor de k .
(S ugerencia: H acer f ( x ) = y - x , luego probar q u e / ’(•*) = 0 ■=> /(* ) = k)

62. Si y = Cos (m are Sen * ), demostrar que
(I - x 2) y ” - x y ' + m2y = 0

63. Si y = Cos (m are Sen x ) , demostrar que
(1 -jc2) y ,,l+21- ( 2 n + l)jr>'ln+l ,+ (m 2 - n :!) y (nl = 0

64. Si y = flarcTg(jf/í2),dem ostrarque

—d"—y - —a (.n. -, l ) (-- 1)"—- 1 Sc en I n are T^ g —a \

dx" V(ü + jc )" ' x>

65. Sea / : IR - » IR una función definida por

m = j r f } + 2arcTg ) , JTE R - {-1}

P (.*)
Dem ostrar que / ln ‘u(jr) = — f 1——— , n > 1 , siendo P n(.x) un polinom io de grado n .

(Sugerencia: Usar inducción matemática)

66. Si -^ = are Tg .p ro b a rq u e : y’” = - | Cos + ji) Cos3 (-£ )

67. D em ostrar que y = ^£U“C S p n^jc- .satisface la ecuación diferencial

( I - x 2) y ' - x y - 1 = 0
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Sección 4.12: Derivadas de la funciones Irascentí' rites 451

TE O R E M A 4.15 s Derivación de las funciones lagarítm icas
Si u es una tunción d e x . derivable en todo su dom inio, entonces *

i) - j L (L n x) = , Vjt > 0

»> ^ í L n u > = ( í ) T i ■ V u > 0

Demostración

i) E fectuarem os la dem ostración siguiendo la regla de los cuatro pasos . En efecto , sea
f ( x ) = Ln x , entonces
1. f ( x + h) = Ln Or + h)

2. f ( x + h ) - f ( x ) ~ LnfJC + h ) - L n j r = L n ) (L-2)

- R . S £ Ít M - «?. M ^ ('^ f ]

Por lo q u e: f'{x)= rLn / lim h \ x,hi( 1If+t — )(Potenciade una potencia)
y por la definición del Lh -»o ' x / J
número e

/'(jc) = Ln [e ]*" = ^ L n e = ¿ , V jc>0

ii) A h o ra ,s i y - L n u ,d o n d e u = g(.x), entonces por ( i ) , d y = —l que al com binar con

la regla de la cadena, = (■— J ( — ■J obtenemos :

I \ du
T (Lnu>= ( i ) T - V u > 0

N o ta A l no estar definido el logaritm o natural para núm eros negativos , es frecuente encontrar
expresiones de la fo rm a L n 1u I . E l teorem a que sigue nos d ice q u e po d em o s d e riv a r fu n c io ­

nes de la fo rm a y ~ L n |u I c o m o si las barras de va lo r absoluto n o estuvieran presente .

TE O R E M A 4.16
Si u es una función derivable dex tal que u 0 , entonces

■ f ( L„|d |) = ( i ) od'au

dx ' u / dx
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452 Capítulo 4: La derivada

Demostración En efecto:
1. S i u > 0 «=> I u l = u , y por el Teorem a 4.15 :

¿ (Ln l u í ) = £ ( L „ U) = ( ± ) £

2. Si u < 0 «=> Iu | = - u , entonces
£ ( Lnl«l,= ¿ [ L „ M ] = ( - i ) ( . ^ ) = ( ± ) ^ .

TE O R E M A 4.17 : Derivada de una función logaritm o de base b
Si u es una función derivable de x , en todo su dom inio, y si y - Logbu . entonces :

i. £ a p g bu , = (Logbe) ( ¿ ) £

o también: 2. A . (U ,Bbu) = ( (}) M

Demostración En efecto, haciendo uso de la propiedad : (Logeu = L nu)
L ogbN = (L ogba ) ( L o g flN )

podemos escrib ir: y = L ogbu = (L ogbe ) (Logeu )
E ntonces, por el Teorema 4 . 15 se sigue que

'■ ^ (L o«b“ ) = (L ogbe ) ( i ) ^

y como (L o g be ) (L n b ) = I *=> L o g he =

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS (L.2)

¡! e j e m p l c T P J H allar la derivada de (L.3)
S o lu c ió n D a d o q u e :y = - j [ L n (* - I)2 - L n ( * 2 + x + 1)]

= ^ L n ( x - 1 )- Ln(jc2 + x + 1)
Entonces, haciendo uso del Teorema 4.15 se tiene:

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Sección 4. ¡2 : Derivadas de ¡as funciones trascendentes 453

2 (x2 + x + 1) - ( jc - I ) (2 x + 1 ) 3(jr + I)

“ 3(jc- l ) ( .t 3 +jc + I) “ 3 U 1 - I)

x+ l

Nota A segúrese siem pre de a p lica r las propiedades de los lo ga ritm o s correspondientes antes de
efectuar la derivación . (R evise el capítulo 2 . sección 2.13)

E JE M PL O 2 ) D erivar. y = 4 Ln ( , Jr+ 1 ) + are Tg ( )
k----------------------- * 3 WAJ - r + 1 ' 43 43 1

Solución Aplicando las propiedades L.2 y L.5 , se tiene :

y - ^ L n ( x + I) - L n(jc2 - x + l) + -^L arc T g ( J
ra, efectuando la den vación obtenemos

r = 3 (7 b ) ' 6 ( + 1) (2x ' 0 + w ( | + [(2x - IVNÍ3 F H w )

l 2x - I 3 [ 3 + ( 2 j c - l ) 2]
3 (jr+ l) 6(xl - x + \ )

2 (.r2 ~ x + ! ) - ( * + 1> ( 2 jc - I ) | ( 1 - jc) + (jc + I)
6 ( j c + l)(je2 - jr + I) 2 (x+ I) {xl - x + I)
2 (r-x + i)

Por lo tanto; y' = I
x3+ I

( E JE M P L O 3 ] Derivar la función ; y = *— Ln VTg (íi/4 - x/2)

Solución y = Sen x Sec:x - Ln T g (7 i/4 , xíT) (L.5)

y' = Derivando se tiene:

1 4•- S e n .r(2 S ecjr ■ S c c .v T g jr ) + S cc3jt •C os.v * ----------
L 2Tg

Sec a: Sec2* ( | ^ ) + \ S ec.«+ ---------¡------------r ------- ;------------r
\C osx) 2 4Sen( ^ „ i ) Cos( E . | )

Sen2* Sec3* + 4 S e c * + ---------^ --------- ÍSen -x) = Cos*)
2 2 Sen ( ^ " JC) V 1

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454 Capítulo 4: La derivada

= (1 - C os2* ) Sec3* + j Sec * + -^ Sec *
= Sec3* - C o s2* S ec3* + S e c * = Sec3* - S ec* + S ec*

.\ y ' = S ec3*

E J E M P L O 4 ) D erivar: y = Ll1 ( ¿ « C os* + Vfe2 - a 2 Sen * \ ()< )f l | < |fr|
J
\ 7\ a+fcC os* /

Solución y = Ln(fe + a C o s* +Vfc2 - a 2 S e n * ) - L n ( a + fcCos*) (L.2)
Derivando se tiene:

y ' = --------------------^ ( - a S e n * + Vfe2- a 2C o s * ) -------------- (-fcSen*)
b + a C os* + Vfe2 - a 2 Sen* a + fcCos*

_ - a Sen* + Vfe2 - a 2 C os* b Sen*
b + a C o s* + Vfc2 - a 2 Sen* a + b Cos*

_ (a + b C o s* ) (Vfe2 - f l 2 C os* - a S en * ) + b Sen* (b + a C os* + Vfe2 - o 2 Sen*)
(a + b C o s* ) (6 + a C os* + Vfe2 - a 2 S en*)

Simplificando términos en el numerador se tien e:

, _ feVfe2 - a 2 (S en2* + C o s2* ) + a Vfc2 - a 2 C o s* + (fe2 - a 1) Sen*
^ (a + fe C o s* ) (fe + a C o s* + Vfe2 - a 2 Sen*)

_ Vfe2 - a 2 (b + a C os* + Vfc2 - a 2 S en * ) Vfe2 - a 2
(a + fe C os*) (6 + a C os* + Vfe2 - a 2 S en * ) c + fe Cos*

fl E JE M P L O 5 ) D erivar: y = (arcC o s* )2 [ L n 2(a rc C o s* ) - L n (a rc C o s * ) + 1/2]

Introduciendo la variable intermedia u = are Cos * , se tiene :
y ss u 2 (L n 2u - L n u + 1/2)

^ 7 x = “ 2 [ ( 2 L n u ) "u - u~ ] + 2 u ( L n 2u - L n u + 1/2)
= u ( 2 L n u - l ) + u ( 2 L n 2u - 2 L m u + 1) = 2 u L n 2u

Si u = are Cos * <=> ^
dx V i-* 2

L uego, por la regla de la cadena: ( )
\ d x t ' r/u / ' d x f

i^=> —d y = /(o2 u Li n 2¿u )\ tI ■- I )I ----2---(-a-r-e---C--o--s--*-)¡-L n 2(-a--r-c--C--o--s--*--)
dx v ^ v rr? ' vññ

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Sección 4.12 : Derivadas de las funciones trascendentes 455

EJEMPLO 6 J Si y = Ln (ia x + b) , hallar y,ní

Solución Las derivadas sucesivas de la función dada son

= j=

= - a ( a x + b ) 2(a) = - a - ( a x + b) 2

y ”’ = 2 a 2 (ax +by*(a) = 2 a * ( a x + b )'3
y « j _ _ 2.3 ( ax + 6) '4( a ) = - 2 .3 a * (a x + b y 4

Analizando cada una de las derivadas sucesivas podemos establecerla siguiente fórmula para

>,in' , esto es

yir,} _ (_i)« + i(n . |) Ja " (ax + b y n ■

Nota Hay ocasiones en que es conveniente usar logaritmos como ayuda para la derivación de
funciones no logarítmicas . Este procedimiento es un tipo especial de derivaciónimplícita

llamado derivación logarítmica, y se emplea para derivar una función cuyologaritmo es más sencillo

que la propia función. Ilustraremos su empleo con los ejemplos siguientes.

í EJEMPLO 7 } Derivar la función: f ( x ) = (* + 2 H 2* - l

v* V 3*-2

Solución Empezamos tomando logaritmo natural en ambos lados de la ecuación y aplicando
propiedades logarítmicas nos lleva a :

Ln f(x) = 2 L n (jr+ 2 )+ ^ L n (2 * -3 )- ^ L n (3 jt-2 )

A hora, derivamos la ecuación implícitamente, estoes

/ ’(*) « _ L2 _ +. I / 2 \ ±1 f/ _3 3_ )\ „ _ 22_ . + 1 I
f ( x ) jtr + 2 2 \ 2 xx - 33 l1 3 \\33xx--22 ¡l x + 2 2 x - 3 3 * -2

De aquí despejamos f' (x ) y obtenemos

_ f(x) I _ 2 _ + __ !_______ ! _ ) = (x + 2 )= V 2 7 T 3 i _ 2 _ ____ !______ !___)

n ) \x+ 2 2x-3 3x-2 I y[J7T2 ' x + 2 2 v - 3 3.v - 2 )

Finalmente simplificando queda:

f ' j x ) = (* + 2) (7 * ;-3 !* + 22) , V j > 3/2
V 2 * -3 Sí(3x - 2 )4

Se invita al lector calcular directamente f' ( x ) para que comprenda la ventaja de la derivación

logarítmica.

EJEMPLO 8 ] Derivar la función: f ( x ) = ( — i ) e**7**

* J v 2> íT T P ;
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456 Capítulo 4: La íterivailu

Solución Aplicando logaritmo natural en ambos lados de la función , se tiene
L n /( x ) = L n ( x - 1 ) - L n 2 - ^ L n ( l + x 2) + a rc T g x

• f w - 1 - o - i ( T 2 ¿ - ) + T - L- ; =
2 ' I +x-1 I +jr-
ftx) X-\ (.X - l ) ( l + X 2 )

Tg*

- f W ■ (Ux--Ol )U( l + ,x. 2)) « * > ■ t r - o u ^ x » ) ( ^ f c )

Kx) = g «reTgx

V ( l + X 2) 3

E JE R C IC IO S . Grupo 34

❖ En los ejercicios I al 4 0 , hallar la derivada de las funciones dadas expresando el resultado
en la forma más simple

1. y = Ln (L n (Ln x)) 2' y 4(1 + x<) + 4 L n ( I + x 4 )

* I T / jcV3-V2 \ 4. >• = x L n (x + NÍI +x - ) - Vi +X1

5. y = ^ -L n d +jT T S í)

7. , . ( ^ ) V T 7 + 3 L „ ( 1 ± 4 ^ ) a , = l„ ( V / Ü H )

9. )’ = Ln Tg(x/2 + it/4) 10. , = - J ^ 4 - + Ln N ' t C o S X )
2 S e n 2x V ’ Senx I

11. y - (L n 3x + 3 L n 2x + 6 L n x + 6 ) 12. >’ = L n + L n ( -j + L n J]

13. y = j ( l - Í Í T + ? )2+ 3 L n (I+ ^ T T 7 2 ) 14. y = x [Sen(Ln x) - C os (Ln x)]

15. > = L n (T g ^ ) - C o sx -L n (T g x ) 16. y = Ln ( .x + a ) +£ arcT g ( £ )
'V T + ó 2' b c \bl
17. y = are T g V F o -
■vx2- I 18. y s s are Sen jt + l L n ( J _ ^ )
2 \i+*¿

« .y .-L u , 20. y * are C o s x A J_ f n ( I - Vi - x 2 \
V3 ’ T g x /2 + 2 + V3 2 * 2 n ' I + -JT7¿ '

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E JE R C IO O S . G rupo 3 4 ■D trivu c itm d e U¿%fu n c io n e* lugtiritm tiw . 457

21. >
22. y = x L n z (x + Vi + jc- ) - 2 V I + x ! L n ( jc + V l + x 2 ) + 2 x
23. y = Ln (l + Sen2x ) - 2 Senx - a rc T g (Senx)

24. y

25. y

26. y

= T Il"(p ^ ) - I W ^ ( # 7 )

27. y

= L" ( v n C T ) +V5arcTg^ )

28. y 1 , / >fl + X 4 + X \ I rj, í n T T + X 3 \

= 4 L n ( ? r r r 7 ) - í “ llg( — i7 - )

29. y = V T ^ L n V l ! ^ | Ln ( l'J ^ -2 ) + aJTT7 + areSenx

30. y = x a r o T g x « L n (I + x 2) - ^ (a rc T g x )2

3 1. y 2 2I L» _n —V=x =+=2 - x V=3- +. —I a_r_e_T-rs V x + 2
4 V3 V T T 2 + xV3 2 BX

32. y 1 K T g j£ --L u
2 V2 Vi + x4 4 V2
Vi + x 4 +xV 2

33. y = ■§ (2 x 2 + 5) Vx2 + I + I L n (x + Vx2^ 1 )
O• O

34. y = Ln + 2 arcTg
1V T T 7 + V T T x
v +■*

35. y [ - T ^ J - T g( ^ ]

36. y = Ln Tg(x/2)-C otgx*L n(l + S en x )-x

37. y = Ln —- + 2 are Tg (V S en x )
i-Vsií^ 6

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458 Capítulo 4: La derivada

38. y = -?■ L n + ~ Ln
J2 2a ' x +a '

39. j.= + J L Ln(l±2£±á¿)+J- ÜjU L a r r T o I Í
* I + 8 * 3 12 \ l - i c + 4*2 / 6 6 \ VV3I '

40. y = * L n ( a 2 + * 2) - 2 * + 2 a arcT g(*/a)

❖ En ios ejercicios 41 al 5 1 , calcular y’ usando la derivación logarítmica

41 v = C * * 1? 42. v =

(x + 2 Y (*+ 3)4 ^3^

45. U + V T T 7 )" 46. „ =

2 1(V * + ) ( $ 3 x + 2 ) „0 ( j c + 1 ) 3 . ^ 2
4o* V “ g,.
4/* V ™
(x 2 + l )5/2

«*’ - V t ü h s° > = ( t r e r i f ) 4

51. y = { r - a . r ' í x - f l / » .... (J c -a .)° -

52. Hallar la derivada de las funciones siguientes introduciendo una variable intermedia ade­
cuada.

a) y = L n (C os2* + Vi + C o s4* ) (Sug. H acer u = C o s1*)

b) y = 4- are Tg (V T T *4 ) +1 L n ^,l 4 , -*a + 1 (S u g .H ace ru = 4V T + 77 )
4 4 V l+ *4-l

53. Empleando la fórmula de Leibniz, hallar y ín), si y = * 3 L n*

54. Hallar / tB,( 0 ) , si /( * ) = L n ( - ^ - j - )

55. Sea /(* ) una función que admite derivadas hasta el tercer orden.
Hallar y ” e y’” , si y = /(L n * ).

56. H allar y’ e y ” , si y 2 + 2 L n y = x*

57. Comprobar que la función y = * " [c, C os(L n.r) + c, Sen(L n*)] dondec, y c, son constan­
tes arbitrarías y n es una constante, satisface la ecuación :
* 2y ” + (I - 2 n ) * y ’ + ( I + n 2)y = 0.

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Sección 4.12 : Derivadas de tas funciones trascendentes 459

TE O R E M A 4.18 : D erivación de la función exponencial
Sea a un número real positivo (a * I ) . y sea u una función d e * derivable en todo su
dominio, entonces:

i) ~ (a^) = (L n a ) ¿i*

■Demostración
i) Si y = a r , aplicando logaritmo natural en am bos extremos obtenemos

Lny = *(Lntz)
y por derivación implícita : -y - = Ln a i=> y ' = (L n a )y

- f ( O = (L na)a'
ii) A nálogam ente, si y = a ti »=> L n y = u L n a , y derivando respecto de u

( 1 ) - ^ = Lna ° ^ = (L " a )>-

Por la regla de la cadena: )
dx t du < ' dx >

T E O R E M A 4.19 : Derivada de la función exponencial natural
Si u es una función d e* derivable en todo su dominio entonces

o -t (o = ¡o )

Demostración (0
i) Sean g(x) - e* y f(x) = L n * . Como / y g son funciones inversas , entonces :

^ [g(J:)l = T T g W = j b ñ

P e ro , / ’(*) = j *=> f ( e x) = — ■

Por tanto, en ( I): (ex) - e*
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460 Capítulo 4: Lu derivada

ü) Análogam ente, si y = g(u) = e u y /(u ) = L nu .entonces
1

OBSERVACIONES
1. U na de las características más intrigantes de la función exponencial natural es que es su

propia derivada . Es d e c ir, es solución de la ecuación diferencial y ' = >'
2. Podemos interpretar geométricamente el Teorema 4.19 diciendo que la pendiente de la gráfi­

ca d e /(jt) = e ' en cualquier punto (jc ,e* ) es numéricamente igual a lu ordenada del punto.

S íu = f ( x ) y v = g(jc) son dos funciones derivables respecto de x . y sí y = u ' entonces:

D em ostración Si y = u v i=> L n y = v L n u
obtenem os: Derivando im plícitam ente , respeto de a: . ambos extrem os de la igualdad

y por la regla de la derivada de un producto:

EJEMPLO 1 I Hallar la derivada de las siguientes funciones

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Sección 4.12 : Derivadas de las Junciones trascendentes 461

a) f ( x ) = e 3r2+2v b) / ( x) = (9 x 2 - 6 x + 2 ) e 3x
c) f ( x ) = e ^ - e ' 2* d) f ( x ) = (2 S') ( 3 4*2)

e 2x + e ' 2x

Solución a) / ’( ,) = ( e ix2 + 2x) = e 3*2+ 2c. - 4 - (3jc3 + 2 j t ) (T 4.19)

«=> f { x ) = 2 ( 3 * + 1) e 3*2* 2*

b) r (x) = (9x2 - 6* + 2) (e ) + « ■ - J j <9 * 2 - 6* + 2) (Regla del producto)

» ( 9 a :1 - 6 jc + 2 ) (3 < ? 3 t ) + e 3 r ( I fo t - 6 )

= (2 7 x 2 - 18jc + 6 + 18jc - 6) e 3x = 21 x 2 e 3x

( g 2 * + g - 2 x ) ( g 2 * _ g - 2 * ) > _ ( g 2 x _ g - 2 x ) ( g 2 ;r + ¿ 1 x y

C) f (*) =

(e"+ e« )3

(g2x + e -2x) (2 g 2x + 2 g -Zx) _ (g2x _g -2x) (2g2c - 2 e ' lx)

( e 2x + e ~2x) 2 (T4.19)
(Algebra)
2[ ( e2x + e 2xf - ( e 2* - e '2*)1 ] 2[ 4fe2' ) ( * '2*) ]
i e 2x + e ■.¿2xx}y ■
( gJ22 x* + g - 2 x ) 2

A f ( x ) = 8 ( e 2x + e '2x) '2

d) / ’« = (25^ ~dx (3 4j:3) + (34*2) (25*) (Regla del producto)

25* (L n 3 ) (3 4*2) (8jc) + 3 4x2 (L n 2 ) (2 5*) (5) (T 4.18)
(8jc L n 3 ) (2 5)r. 3 4*2) + (5 L n 2 ) (25jt. 3 4*2)
(2 5* » 3 4*2) ( 8 .x L n 3 + 5 L n 2 )

EJEMPLO 2 ) Calcular la derivada de las funciones

Solución a) f ( x ) = <?J b) f ( x ) = x>

a) Por el T eo rem a4 .I9 i i ) : f ' ( x ) = e x' [ (x ‘) ]

y por el Teorema 4 .2 0 : /'(jc) = e x' [x* • (a ■L n * )]
A hora, por la regla del producto se tiene:

/ ’(*) = e ** ’ X* [ x ( + Lnjc ] = e 1* - x x (1 + Lnjc)

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462 Capitulo 4: La derivada

b) Si f ( x ) = x *2 f (jc ) = x * [ j ¿ i * 2 *L n j c ) ] (T 4.20)
y por la regla del producto : f' ( x ) = x x~ [ x - (-■) + L n * (2jc)]
/ ’(*) = x*2 ' X ( ¡ + 2 L n * ) = * r2 +l ( l + 2 L n * )

[ E JE M P L O 3 ] H allarladerivadade/(*) = x x*

S o lu c ió n Por el Teorem a 4 .2 0 : / ’(*) = x x‘ [ (*** - L n * ) ]
Aplicando la regla del producto y nuevamente el Teorema 4.20, se tiene:

/ ’(*) = x x* { ^ ( 7 ) + L n * •*** [ (ex L n * )]}-

= x x* ■[ + (L n * ) [ ex ( ~ ) + e x L n * ] }

= *■** ' X e* { (Ln*) [l+ * L n * ]} -

= x z' - x e* ’ 1 [1 + e x (1 + * L n * ) L n * )

[ EJEMPLO 4 ) H a lla r/, si: y = 2 - , -.2. )

arcS en (eJ _ ) + _|_ L n ( , ^

K“ 1 ,J V l - e * 2x 2

■Solución Sea u *= e ' * 1 ^ y = u ’v r rS^en u + i2 L n (1 - u 2)
Derivando y respecto de u , se tien e:

= -= £ = ( ) + « c & n u M - ( - ,= & = ) U i ( f
2 2 2 -2 1d ‘ d^ ‘

u Vi - u * Vi - u u ' VT - u ' '

u + a r e Sr’e—n u■[r , 11 ]1 - —u^ - r = are Sen u
1 - U2 LL V, f(71i .-, U2 2\)33 JJ l -. IU¡ 22 V("i- U2) 3

Dado que u = e x‘ *=> riii 9 5
= e x (-2 * ) = - 2 * e ’x

Aplicando la regla de la cadena, í - ^ - ) .obtenemos
dx ' d\i i ' d x i

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Sección 4.12 : Derivación de las funciones trascendentes 463

( E JE M P L O 5 ) SÍ e* + e-v = e**> , h a l l a r / ’

Solución Por derivación im p lícita: e x + e >y ' = e * * y (1 + > ')
t=> e * + e yy ' = (e* + e v) (1 + / ) , de donde : y' = - e y ’*

Derivando nuevamente, y respecto d e x .s e tiene:
/ ’ = - e y - * ( y ' - 1) = (I - y ’)e-v'* «=* y’ = ( | + e y x) e y -x

Sy
eJ
Pero como e* + e y = e J +v o y ” = ( — t ? ) ¿J-* -

( E JE M P L O 6 ) Hallar la derivada n-ésim ade y = ex C osx (1)

Solución La primera derivada de la ecuación e s : (i)
/ = e*(-Senx) + Cosx(e*) = (Cos x - Sen x)ex (2)
(T1.2)
Como Cos x = Sen(rc/2 - x ) «=> C os x - Sen x = 2 C o s ( j i / 4 ) Sen (71/4 - x) (ii)
(3)
2 / L2
= V2Cos (n/4+x) (iii)
■
Luego . en ( 1 ), se tie n e : y’ = V2 e x Cos( x + ^ )

Hallemos la segunda derivada a partir de ( I)
y ” = (Cos x - Sen x )e x + e x (- Sen x - Cos x ) «=> y ” ® -2 ex Sen x

P eroS enx = - Cos (x + n/2) = - Cos [x + 2 (it/4)]
>=> y " = 2 e x C os [jc + 2(ji/4>]

Hallemos la tercera derivada a partir de (2)
y " ’ = - 2 {ex C os x + e* Sen x) => / ” = - 2 e* (Cos x + Sen x)

Pero : Cos x + Sen x = Sen(rt/2 - x) + Sen x = 2 Sen (rc/4) Cos(Jt/4 - x)

= V2 C o s ( - J - x ) = -V 2 Cos [ t i - ( - J - x ) ]

= -V2 Cos [ x + 3(n/4) ]

L u e g o ,e n (3 ) / " » 2 ^ 2 e* Cos [ x + 3 ( | ) ]

Por tanto, de (i) , (ii) y (iii), obtenemos por simple inspección

/ " > = 2 n/2 e x C o s[x + n ( n /4 ) ]

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464 Capítulo 4: La derivada

g EjJE M P L O 7 I Hallar la derivada de la función

y = ( * T 6 * + T g x ) ( é ' T g J + T g x ) z (e Tg jr + T g x ) 3 . . . (c"*"®* + T g - x ) ’1" * (c*-®* + T g x ) n

Solución S e a u = eT£jr + T g x i=>= eTs* - Sec2jc + S ec2x = (eTg* + 1) Sec2x
L uego: y = u . u 2 . u 3 . . . u "* 1u n = u l+2 +3- - +n

D a d o q u e : I + 2 + 3 + . . . + 4 = ^-(n + 1) c=¡> y = u n(n + l)/2

Derivando, respecto de x , se tiene: ^ (n + I) un(n * 11/2 ’ 1 J

*'■ = T (n + O (£TgJr + T gjc)ín+ IXn" 1,/2 (eTfi* + I) Seczx

E JE R C IC IO S . Grupo 35

*** En los Ejercicios 1al 2 0 , hallar la derivada de la función d a d a .

1. y = g*2-3*+i 2. y = e 2* L n x

3. y = e ^ ^ C o s S jt + SSenSx) 4. y =e* ( x2 - 2x + 2)

5. y = [ ( i ^ í i ) S e n ,- \ ( I C e * * ] . - 6 . y = (■“ S e n tjí -' bb CC oosspbjxc \\ e "
2I 2 Vü2 + b 2 *

7. y = e* + e 'A+ £'* 8. y = jr“u + a x“ + a a* , a > 0
9. y = jc + jc* + x**, jc > 0 10. y = x*a + x 4‘*+a** , a > Q , x > 0

11. y = a r c T g ^ - L n 12. y - (L n jr)Lnj

13. y = x - L n ( 2 e * + l + ' 4 e 2*~+4e*~+\ ) 14. y = ea i ( a Sen x - Cosjc)
15. y = Ln C os arc Tg ( e '^ * ) 16. y x - S e c (x y )-T g (x y ) = 0

17. Tg(jc2 + y 2) - e *1 + e y2 = 0 18. y = are Tg ( gJ *)

19. y = ¿miucswiJt [Qos (m are Sen jc) + Sen(m arc Senx) ]

2a » = 1 - a 21 (Sugerencia: Hacer u = ax)
- ( l 7 ^ ) a rc C ° ‘s< “ '>

21. Si y = e ^ 'C o s í S e n x ) , h a lla r: y(0) , y ’(0) , y ” (0)
22. S e a /u n a función que admite derivadas hasta el tercer orden. H allar y” e y ’” , s iy = /(e*)

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EJER C IO O S . Grupo 3 5 : Derivadas de las Junciones exponenciales 465

23. H allar y* c y n . si V*2 + y 2 = a , a >0

24. Hallar las derivadas del orden indicado b ) y = e 2' C o s jc , y ,4)
a ) y = x 7 e 21 .y (20>

25. C om probarquelafunción y = C xe n'* + C2e""1 , donde C, y C2son constantes arbitrarias
y a t , a 2 son constantes, satisface la ecuación
y " - { a i + a 2) y ' + a la2y = 0

26. Hallar y '" ', s i :

a) y = (jr2 + 2 x +2) e~x c) y = e* S en x

b) y = •— d) y = e nxY ( x ) , P(x) es un polinomio

27. Demostrar las igualdades
a) [eax Sen (bx c )](n> = e ax(a 2 + b 2)nfl Ser\(bx +c + ntp)
b) [e "' Cos (bx + c )](n, = e ax(a 2 + b 2) ntl Cos (bx +c + ntp)

donde : Sen <p = , b y Cos <p = ■-

va-+bm v a 2 +b2

28. Si f ( x ) = x? e ox , hallar /*-> (0)

i-\ V

29. Demostrar la igualdad : ( x n' t e >lx)ia) = —¡^-¡- e Ul

30. Si y = e 4x + 2 e x . probar que : y ' " - I3y’ - I 2 y - 0

ALGUNOS PROBLEM AS SOBRE LA TA N G EN TE

En la Sección 4.3 analizamos que el problema de hallar la ecuación de la recta
tangente en un punto de una curva se reducía al de hallar su pendiente mediante la definición

/(X„ + h )-/(* „ )
m = lim

h-*0

En esta sección repetiremos dicha definición pero sin la aplicación de limites, pues conocidas
las técnicas de derivación nos será fácil determinar f ’(x{) para cualquier tipo de funciones,
incluso las funciones im plícitas. Presentaremos, adem ás, otros elementos de carácter geométri­
co vinculados a las gráficas de una curva.

Definición 4.6 : LA RECTA TANGENTE Y LA RECTA NORMAL

S i / es una función derivable en el punto P(^0..y 0>, entonces
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466 Capítulo 4: La derivada

1. Se llam a recta ta n g e n te a la g ráfica d e y = / ( jc) a l a recta que pasa p o r e l p unto
P(jrfl. y0) , con pendiente m = f ( x ¡ ) y tiene por ecuación
(33)

2. Se llama recta n o rm a l a la gráfica de y = f ( x ) a la recta que pasa por P(xtí, yn) , con
pendiente m = Xff’i x J , y tiene por.ecuación

K : y - yv = ' &-*<) W

Nota Si en la ecuación de la tangente despejamos F ( x J obtenemos

fj t vy v\ - x - x ü

Cuando y = yu . es decir . si y - y0 - 0 ■=> f ' ( x J = 0

y cuando x , esto es , si (x - x j —y 0 , entonces ; / ’(jt0) —» «■

Para tales casos tenemos las siguientes definiciones.

Definición 4.7 s TANGENTE HORIZONTAL

La gráfica d e >* = /(x ) tiene una tangente horizontal en el punto (;cfi . y j siem pre que
f'iXf) = 0 cuando (y-y„) = 0

Definición 4.8 : TANGENTE VERTICAL
La gráfica de y = f ( x ) tiene una tangente vertical en el punto (xn tyn) siem pre que

i r « i — cuando . t —»jc(I

Las figuras 4.12 y 4.13 ilustran .respectivam ente, estas dos definiciones.

F IG U R A 4.12 : Tangente Horizanhtl F IG U R A 4.13 : Tangente Mrtital

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Sección 4.13 : Algunos problemas sobre la tangente 467

Definición 4.9 : LONGITUD DE LA TANGENTE Y NORMAL
S e a n : P(j^, , y j , el punto d e tangencia a fa curva y = /(* )

T = punto en el cual la tangente 2? ( interseca al eje X
N = punto en el cual la normal ! f n interseca al eje X
H - proyección de P0 sobre el eje X
Entonces se dice que la longitud de la :

Subtangentees: S ( = c/(T ,H ) = | T H |
Subnormal es : S n = d(H , n) - IHN I
Tangente es : t = d ( T , P^) = IT P UI
Normal es : n = d ( N , P(1) = I.N P J

Cálculo de los segm entos:

Si en las ecuaciones (33) y (34) hacemos y = 0

obtenemos, respectivamente:

y

^ X = X0 -

" > o = " 7 o g i x ' Xo) ^ x = ^ v M >
Entonces las coordenadas de T y N son

F IG U R A 4.14

L u eg o , si S, = ITH | = | H - T |

« S, = | x„- (* „ - )| « S, = |- w , (35)

*=> S„ = J HN I = IN - HI = l^o + J o / ’C^o) - *„! <=> S B = I > * ../’(*„) I (36)

• ■ = V ( t ^ > ) 3 + >u2

d e d o n d e : t = V (S t)2+ y fí2 <=> t = ^ T j - j ^ + f f ( \ ) ? (37)

n - £ / ( N . P 0) = 1 [ x a - x a - y a f < x , ) F + i y a - 0 f = ' f [ y a . f ( x j V - + y * (38)

n = y» » n “ +í f (*«)}*

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468 Capítulo 4: La derivada

Se llama ángulo entre dos curvas : > '= /,(x ) , y = fA x) en su punto de intersección
P (x0 ,Jjj) , al ángulo 0 formado por las tangentes a dichas curvas en el punto P n. Entonces

m2- m,
I + ni, .in 2

En efecto, por la geometría elemental sabemos que en todo triángulo, el ángulo exteriores igual

a suma de los ángulos interiores no adyacentes, esto es ,en la Figura 4.15 vemos q u e :

= 0 + ct, i=> 0 = a , - a , ___
Aplicando tangentes se tiene
f

Si desig n am o s: Tgct! = m, = / , ’(*„) F IG U R A 4.15
Tgctj = m , =

t=^ ‘TgO =

Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva definida por la ecua­
ción y2 = x y - 2j ? y + 1 en el punto de abscisa 2 situado en el cuarto

cuadrante.

Solución Hal lemos el punto de tangencia.
Para x = 2 »=> y 2 = 8 - 8y + 1 «=> y 2 + 8y - 9 = Ó <=> y = -9 v y = 1

Como P está en el cuarto cuadrante , su ordenada es y = -9 o P(2 , -9)
Derivando implícitamente la ecuación dada se tiene :

Para el punto P(2, -9 ), m ( = y’( 2 ,- 9 ) = = - 4f

L uego, la ecuación de la tangente, por la fórmula (33), es :
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Sección 4.13 : Algunas problemas sobre la tangente 469

>• + 9 = - 42 (jt - 2) <=> «2? : 4 2 r + 5> - 39 = O

-y

EJEMPLO 2 ) La ecuación de una curva es el piano XY e s :

* 2y 2 - x 2y + x y 2 + x y - x + y = 0 ,J c y 6 lR +
Sean S" la recta tangente a la curva dada en el punto cuya abscisa es I , SP la recta normal que
pasa por el punto referido . Calcular el área limitada por los ejes X e Y y las rectas y «S?.

Solución Para x - I obtenemos : 2 y 2 - y - 1 = 0 <=> yQ = 1 v y0= -1/2 e 1R+

Entonces el punto de tangencia es P( 1, 1)
Derivando implícitamente la ecuación dada se tiene:

2 x 1 y y ' + 2 x y 1' - (x2y ' + 2 x y ) + (2x y y ' + y 2) + ( xy ' + y ) - I + y' = 0

dj e d^o n^d e . y+ = —22xx^2yy------x2,x y+202-x-y—y2 +- yx-+l\ ■=> m1 , = y (1 , ) = - —I y m = 5
J * 5J "

Ecuación de la tangente : y - 1 = - y (x - 1) c=> ^ : x + 5y - 6 = 0

Ecuación de la n o rm a l: y - 1 = 5(jt - I) SP : S x - y - 4 = 0
El área pedida S es la región sombreada mostrada en la Figura
4.16 , en donde :

O Á = ( . P J fl (Eje X) = 4/5
O B = (.5?,) n (Eje Y) = 6/5

Luego,si S = a(A BO C) - a(APC)

S = { ( O C ) ( O B ) - l ( A C ) ( y (1)

= i <6) ( 4 ) - 4 ( 6 - 4 ) o = Iu!

EJEMPLO 3 j Hallar los puntos de contacto de la tangentes horizontales y verticales de

la curva j r + 4jty + lóy2 - 27 = O

Solución Derivando implícitamente la ecuación de la curva se tiene:

2x +4 ( x y ‘ + ,0 + 3 2 ,y = 0 ■ = > / = -

Según la Definición 4.7 , las tangentes son horizontales si y sólo si v’ = 0
Luego , s ix + 2y = 0 t=> x = - 2 y
Por lo que : (x = -2 y) n ( ^ : x1 + 4xy + I6y2 - 27 = 0) = ( + 3 , ±3/2)
son los puntos de contacto de las tangentes horizontales.
A h o ra , por la D efinición 4.8 , las tangentes son verticales e=> I y’ I —»<» esto es , cuando

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470 Capítulo 4: La derivada

x + S y = 0 t=> x = - S y
Por tanto, (x = - 8 y ) fl (W:x2 + 4 x y + I6y2 = 27) = ( ? 6 ,± 3 /4 ) son los puntos de contacto
de las tangentes verticales.

EJEMPLO 4 ) Hallar las ecuaciones de las tangentes a la curva

x1 + 2 x y + y 2 + 2 x + 2 y + 1 = 0 , trazadas desde el punto A(4 , -2)

Solución Las rectas que pasan por A (4 , -2) tienen por ecuación

>+ 2 (1 )
y + 2 = m (x - 4 ) => m =

x-4

y +2
Si P0UH,.yn) es el punto de tangencia, entonces : m = f ( x 0) = — ——

*o"4

¡Derivando implícitamente la ecuación de se tie n e :

2x + 2 ( x y ’ + y ) + 2 y y ' + 2 + 6 y ' = 0 .=> y ’ = 1 (2)
•*«

Como ( ! ) = (2) .=> ^ - ^ = = - 7 — ^ <=> x 01 + 2 x By a + y 02 + x ü + y a + 2 ^ 0 (3)

y si P0e «■ o jc02 + 2-*ny0 + y ,,2 + 2 x tl + 6y a + 1 = 0 (4)
Restando (4) - (3) resulta : 3jcu+ 5y0- 1 = 0
Entonces : (3 x u + 5 y 0 -1 = 0) D Ecuación (4) = Pu( 2 , -1) o Pu(7 , -4)
L u eg o , en ( I ) , p a ra P ()(2 , - 1 ) , m, = - 1/2 y p araP (J( 7 ,- 4 ) , m 2 = -2 /3
Por tan to , las ecuaciones de las tangentes trazadas desde A (4 , -2 ), son :

y + 2 = - ^ (x - 4) v y + 2 = - ~ (x - 4 ) <=> : x + 2 y = 0 v : 2 x + 3y - 2 = 0 ■

EJEM PLO 5 ] Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y norm al, las longitudes de

la subtangente, subnorm al, tangente y normal en el punto P ( a , a) de la
curva ‘f?:x3 + x y 2 - 2 a y 2 = 0

iSolució n D erivando im plícitam ente la ecuación de r$ , se tie n e :
3*2+ y 2

3 x 2 + 2 x y y ' + y 2 - 4 a y y ’ = 0 i=> y ' = 4 a y - 2 x y
c=> m( = y'{a ,á ) - 2

L uego, para el punto la tangencia P(a , a) obtenemos lo siguiente :
Ecuación de la tangente : y - a = 2(x - a ) <r=> : 2 x - y - a = 0

Ecuación de la normal : y - a = - £ ( * - a) o «2?n : x + 2y - 3 a = 0
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Sección 4.13 : Algunos problemas sobre la tangente 471
■
Longitud de la subtangente : S, = I j^/m I = l a / 2 |

Longitud de la subnorm al: S = I' ay . • mI I = 12a I
*- n

Longitud de la tangente : t = V (S l) 2+ y (l2 = V ( a /2 ) 2 + a 2 = Ia /2 |V 5

Longitud de la normal : n = V (S n) 2 + >'(l2 = V ( 2 a ) : + a 2 = |a |V 5

( E JE M P L O 6 ) Sea f(x) - a g ( a + ° ^ ~ X ) - V a2- j t , x e <0, a ] . donde g es una

función tal que Vx . y e IR: g ( - j ) = g (Jc )-g O ’) y g ’(*) = V x . Probar
que el segmento de cualquier tangente comprendido entre el punto de tangencia y el eje Y es a.
Demostración En efecto , según la definición de g :

f(x) = a [g (a + V a 2 - x 2) -g(x) ] -V a2 - x 2

Designemos por u = a + V a 2 - x 2 i=> —t— = — . .

S\f ( x) =ag{ u) - ag{ x) - ' ¡ aT7xI ^ /’(*) = a g’(u) •~ -a g\x) + (0

Pero como g ’(*) = ^ *=> g ’(u) = -L = -L = = » g'(u) = x~
x u a + Va2- jt

Entonces en (1): a - ^a2-x1 \ I x \ a. x "Ja2^ x~

Va2- .t 2
Ecuación de la tangente en el punto P(x0 , y() : y - y{t ------- --— - (x - x(()
Intersección con el eje Y : x = 0 ■=> y = y u + 'Ja2 - x 2 ■=> A(0 , yu + 'Ja2 - x 2 )
Longitud del segmento de tangente IPAI = V ( 0 - x u2) 2 + (y () + V a2 - x 2 - y ¿ 2

IPÁÍ « a

( EJEM PLO 7 ) Se traza una circunferencia de centro C (2 a ,0 )co n radio r tal que la cir­
cunferencia corta en ángulo recto a la elipse f : b 2x 2 + a 2y 2 * a 2b 2 .

Demostrar que r2 = ^ ( 3 a 2 + b l)

Demostración Ecuación de la circunferencia, V: [ x - 2 a )2 + y 2 = r 2
D erivando ambas ecuaciones implícitas respecto de x , obtenemos para la

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472 Capítulo 4: La derivada

circunferencia, y' = — —— ,> 'para la e lip s e , y * =

Si designamos por P(jc((, y j el punto de intersección de ambas c u rv a s, entonces

2a - x u b2 x tl
m, = — y m = — 5—
1 y0 J 2 a2 y0

La condición de perpendicularidad establece que m, .m 2 = - 1 .e sto e s:

m .1 = - —m. 2a - x , aVy£ (O
>ü <=> b2x 2 + a 2y f 2 = 2 a b 2x 0 (2)

-b 2 x"0r

Pero com o P(jc0 e $ •=> b 2x 02 + a 2y 2 = a 2b 2

De ( 1 ) y (2 ) , portransitividad : 2 a b 2x 0 = a 2b 2 t=> xu = a f l

Sustituyendo en la ecuación d e la elipse obten em o s: y0 = V3&/2

Finalm ente, en la ecuación de la circunferencia: | ~ - 2 a j + £>J =

r 2 = ± Q a 2 + b 2)

[ EJEMPLO 8 j Hallar el área del triángulo limitado por las ecuaciones de la tangente y

de la norm al a la gráfica de la ecuación 4x3- I x y2 + 6.x2 - 5x y - 8^ + 9x +
14 = 0 en el punto P ( - 2 , 3) y el eje X

{Solución I Derivando la ecuación implícita respecto d e x , se tien e:
\ 2 ¿ - 3 ( 2 x y y ' + y 2) + 12* - 5 (x y ' + y ) - 16yy*+ 9 = 0
[=> y* = --I--2--x---2------3--iy.-2---+-----1---2---x------5--v1---+----9--
6x y + 5 jc + 1 6 y

Para el punto P(-2 ,3 ) obtenemos : m t = >’(-2 ,3 ) = - 9/2

Ecuación de la tan g en te: >•- 3 = - j (x + 2) <=> J2?,: 9 x + 2y + 12 = 0

Ecuación de la norm al : y - 3 = ^ +(jc 2) \ 2x - 9y + 3 1 = 0

fl (E je X ) : y = 0 .=> 9x + 12 = 0 <=> jc( = -4/3

fl ( E je X ) : y = 0 =* 2x + 31 = 0 <=> x2 = -31/2
Base del triángulo: 6 = |jc,-ji:2I

i=> b —

a (A) = | ( 6h) = \ ( ^ ) ( 3 ) = ^ - u 2
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Sección 4.IS : Algunos problemas sobre la languue 473

EJEM PLO 9 ) Hallar el ángulo de intersección de las curvas

dP^ ■ y = ( x - 2 ) 2 y : y = -4 + 6jc-xj

Solución Los pasos a seguir son los siguientes :

1. Cálculo de los puntos de intersección

Si (.r * 2)- = - 4 + 6* - j r => j t - 5 x + 4 = 0
<=> x t = 1 v jCj = 4

Luego. P ( l , 1) y P ,(4 ,4 ) son los puntos de intersección

2. Cálculo de las pendientes en P,( I , I)
d »x: y = 2 ( x - 2 ) . para x = 1 «=> m, = -2
dP2 : y ' —6 - 2x , para x = 1 «=> m , = 4

3. Cálculo del ángulo de intersección

in?* I 4-(-2)
Tg0 = 1-8

1 + m, • m, 1

o 6 = are Tg(6/7) = 40° 36’

4. Para el punto P ,(4 .4 ) se obtiene el mismo resultado (verificar), esto se debe a la simetría de

ambas curvas en los puntos de intersección. ■

^ E J E M P L O 1 o ) Hallar el polinomio de segundo grado P(.v), tal q u e :

a) Pase por A(3 ,5 ) y que la recta tangente a la curva en este punto se paralelo a la recta
7, : 3* + y - I = 0

b) La recta SC2perpendicular a la tangente la curv a en el punto B(-1 , >') tenga un ángulo de 45°

Solución Sea el polinom io de segundo grado : P(.r) = a x 2+ b x + c ( I)
(2)
a) Si A(3 , 5) e P(*) o 9 a + 3b + c = 5 (3)

S?xAdemás II .2?, t=^ P ’(3) = m , , esto e s , P ’(3) - -3

Como P ’(x) = 2 a r + b ■=$>2a (3) + b - - 3 <=> 6 a + b = - 3

b) m2 = T g 45° = I ; pero si _L t=> = - l ,en x = - l
P '(-|) = - 1 « - 2a +b = - i

Lasolución común de ( I ) . (2) y (3) es : a = -1/4 , ¿>=- 3/ 2 y c - 47/4

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474 Capítulo 4: La derivada

I Tfi-C+ Sen x
EJEM PLO 11 I Si f(x) = v -=-------=------ , hallar las ecuaciones de las rectas tangen-
J ’ Tg jc - Sen x °

te y normal en el punto de abscisa x = n/4

Solución Para x = n/4 , >• = a / 1 + ^ /2 = = | + V2
* 1-V2/2 v 2-V2

L u e g o , el punto de tangencia es P (te/4 , I + V2 ) .
Antes de efectuar la derivación es conveniente reescribir la función haciendo uso de las identi­
dades trigonométricas correspondientes, esto es

* / T g x + Sen x / Senx(l +Cusx) / 2 Cos2 (x/2) ix \
g (2 )
/( * ) “ \ T g j: - Sen x “ > Senjc (I - C osjc) ~ > 2 S e n ! (jr/2)

<=» / (*) = - y Cosec' ( J ) 2 Sen!(*/2) = " I - Cos jc

Sim, = f(n /4 ) ^ m, = - - ^ = - (2 + V2) y , m n = = 4 (2 - ^ 2 )

Ecuación de la tangente : y - ( l + V 2 ) = - ( 2 + V 2 ) ( x - Tt/4) ■
=> y = - ( 2 + V 2 )(jc -rc /4 )+ (l + V2)

Ecuación de la normal : y = 4 (2 - V2 ) (;r-n /4 ) + (I + V2 )

EJEMPLO 1 2 j H allar la tangente del ángulo agudo de intersección entre las curvas

f ( x ) = arcT g jc y g(;c) = arcSen(jc/2)

Solución I. Intersección de las curvas
Sean A = are Tg jc <=> T g A = jc
B - are Sen (x íl) <=> Sen B = x!2

Luego , si A = B i=> Sen A = Sen B o —r — ^ - = Sen B
Vi + T g 2A

<=> ' r-'=~ ~ = — , de donde : jr = V3
VTT? 2

A h o ra, si y = are T g x r=> y - a rc T g (V 3 ) = y

Por lo q u e , el punto de intersección de am bas curvas es P(V3 , rc/3)
2. Cálculo de las pendientes

r h « mi = ^ ) = i T 3 = i

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EJERCICIOS . G rupo 3 6 : Algunos problemas sobre la fungente 475
=!
1 = <47x* «=> m , = g’0 / 3 ) =
g ’W = VI - (x/2)r ( i )

m, - m, Tge = 1 - 1/4
3. Si T g0 = 1 + 1/4

I + m, • m ,

E JE R C IC IO S . Grupo 36

En los ejercicios I al 16. hallar la ecuación de la recta tangente y la recta normal a la curva
dada en el punto indicado.

1. x* + x y + 2 y 2 = 28 , ( 2 ,3 ) 2. *3-3 x y 2 +y3 = 1 , (2 ,-1 )

3. j r - 2 ^ x y - y 2 = 52 , (8 ,2 ) 4. jc5- a x y + 3 a y2 = 3 a 3 , ( a , a )

5. x 2 - x ' f x ^ - 2 y l = 6 , ( 4 , 1 ) 6. jc2 - 2 x y + y + 2 x + y - 6 = 0 . ( 2 , 2 )
8. y = 2 * + I , e n * = 1/2
7. * 8a3 , enx = 2a
4 a 2+ x2

9. x 3 + y 2 + 2 x - 6 = 0 , en y = 3 10. y = x % 2 + 3 x . e n * = 2
12. y 3 + 3 x y - x 3 + 1 = 0 , e n * = 2
11. x 3 - 2 x 2y 2 + 5x +)• - 5 = 0 , en * = I

13. x 2}’ -*C os(7t> ) = 2 , (1 , 1) 14. 3*2 - 2 x y + 3 y s + 14*- 10) = 8 , (I . I)

15. t f + y 2)2 = - 4 x y , ( - 1 , 1 ) 16. >■ = T g (n x ) , en x = 1/4

❖ En los ejercicios 17 al 22 , hallar una ecuación de la recta tangente a la curva dada y que
cumpla la condición indicada.

17. 3** + y 2 + 4 x - 2y - 3 = 0 , perpendicular a la recta W: 2 x + 2y - 5 = 0
18. x 2- x y + y 2 + 2 x - 2 y ~ 1 = 0 , paralela a la recta SF\ 3 x - y + 2 = 0

19. 3 * ) - 2 x + y - I = 0 , perpendicular a la recta Sí1: 2 x - 2 ) + 7 = 0

20. 3 ) = x3 - 3x* + 6* + 4 , paralela a la recta 2 x - y + 3 = 0
21. 5.x2 + 5>4 - 40* - 40y + 144 = 0 , pasa por el origen de coordenadas

22. x l + y 2 + 4 * - 1 0 ) + 21 = 0 , forma un ángulo de 45° con el eje X

❖ En los ejercicios 23 al 3 0 , hallar los puntos en que la gráfica de la ecuación dada tiene recta
tangente vertical u horizontal.

23. y = 3x + 4 V l - x 3 24. j ? - b x y + 2 5 y 2 = 16

25. x2 - 8*v + 2 5 )2 = 81 26. x2- 24*) + I 6 9 ) J = 25
27. 169x2+ I 0 x ) + ) 2 = 144 28. y = V(1 - * 2) ( 4 - * 2)

29. 30. y 2 = * ( * - 4 f
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476 Capítulo 4: La derivada

<• En los ejercicios 31 al 4 0 , hallar las ecuaciones de las tangentes a fas gráficas de las curvas
dadas y que pasan por el punto P indicado.

31. x2 + 4 y 2 =I , P(5 , 0) 32. y = -xa - x + 1 , P (l ,2 )

33. y = 3.x2- 8 , P(2 ,-6 ) 34. x2+ 4 y 2- 4* - 8y + 3 = 0 ,P ( - l ,3 )

35. y2- 3x - 8y + 10 = 0 . P(-3 ,3 ) 36. x2- 2 x y + / + 2 x - 6 = 0 , P(-3 ,-7)

37. 4x2 + y = 72 . P (4 ,4 ) 38. 2x 3 + 3y2 + x - y - 5 = 0 , P(3 . -1)

39. x2+ 4 y 2 - 4x - 8y + 3 = 0 , P (-1 , 3) 40. y = -Xa + 4 x - 3 , P(5/2 . 3)

❖ Enlosejercicios41 al 48 .hacer un esquema y hallar el ángulo agudo de intersección de las

curvas dadas.

41. Jt3 + y 2 - 2 x - 3 = 0 , y 2 = 4 x 42. x2+ y2 = 25 .x 2- 4y - 4 = 0

43. x2 = 2 (y + 1) , y ( x 2 + 4) = 8 44. x2- 4x+ 3y = 0 . x2 - 4 x+ 4 - y1 = 0

45. 4y2 - 3 x 2 = 4, y 2(4 -x )= x 3 46. y2 = 4 - 2 x , y 2( 2 - x ) = 8

47. x2 + y 2 - 2 x = 9 , x 2 + y 2-4y = I 48. x2+ y2 = 8 a x , (2a - x ) y 2 = x 3

49. Hallar la tangente del ángulo agudo en el punto de intersección de las curvas dadas :
a) y= are Sen x , y =are Cos x
b) y- are Cotg x . y =1/2 are Sen x

50. Hallar en cada caso el punto o puntos de intersección de las curvas dadas y encontrar la
tangente del ángulo agudo entre las curvas en esos puntos de intersección.
a) y= xe* , y = x 2e*
b) y= x e'* , y = x 2e 'x

51. Sea la curva are T g (x + y ) - Sec2x + V4 Sen2x + I = 0 , donde x e {-tc/2 , 0] ,
y e [0 , tc/2) . H allar la ecuación de la recta tangente a í?en el punto ( 0 ,0 ).

52. Hallar las ecuaciones de las rectas tangente y normal a la curva dada en el punto indicado,

a) 2 x y + n Sen y = 2rc , (1 , n/2) b) y = V S e n n x + C o s7 tx , x = 1/2

/ ^ 2 + V1 + Sen2x \ ^ n

C) y = U - V l + S e n J COS" ’ * = 4 «D > - •* -1

53. Determinar los coeficientes A , B , C y D de manera que la curva de ecuación y = A x 3 +
B x 2+ Cx + D sea tangente a la línea y = 3 x - 3 n el punto (1 .0 ) y tangente a la línea
y = 18x - 27 en el punto ( 2 ,9 ) .

54. Hállense las contantes a , b y c de modo que las gráficas de ecuaciones y = x J + a x + í » e
y = ex - x 2 sean tangentes entre si en el punto (I ,0).

55. Con referencia a la curvax2+ 3y2+ 3x - 4y - 3 = 0 hallar el valor de k tal que la recta
& : 5x + 2y + k = 0 sea tangente a la curva indicada.

56. Demostrar que las parábolas y 2 = 2 p x + p 2 y y 2 = p2 - 2 p x son ortogonales en sus
puntos de intersección.
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EJERCICIOS G rupo 36 : D erm ukix tic las fitnt iones exponcncutlc\ 477

57. Dadas las ecuaciones 3>- = 2x + x * y s y 2 y + 3 x + y 5 = x Jy , m ostrar que las tangentes
a las curvas dadas en el origen son perpendiculares.

58. Demostrar que la familia de parábolas y 7 = 4 a ( a - x ) . a > 0 e y 7 — 4 b(b + x ) , b > 0
forman una red ortogonal, es decir .estas curvas se cortan en ángulos rectos.

59. H allar la ecuación de la tangente a la curva y = kx2+ 3 (k - 1) x + 3 en el pu nto de absci sa
x = I y determ inar k de modo que dicha tangente pase por el origen.

60. Para el punto (I , l) de la curva f \ x2 + 2xy+>’2 + 2x - 6 y = 0 , hallar las ecuaciones de
la tangente y de la n o rm al, y las longitudes de la subtangente , subnorm al, tangente y
normal.

61. Parar el punto P indicado y la curva d ad a, hallar el área del triángulo formado por la recta

tangente . la recta normal en P y el eje X .

a) x3- 2xv + y 2+ 4x - y - 3 = 0 . P(l ,2 ) b) 4 x 2 + y 2 = 12 . P(3 . 6)

62. Para el punto P indicado y la curva d a d a , hallar e) área de! triángulo formado por la recta
tangente. la recta normal en P y el eje Y

a) j r - 4 x - 4 y + 20 = 0 .P (6 ,8 ) b) 4 x 2 + 9 y 2 = 72 . P(-3 . 2)

63. Probar que la recta tangente a la curva y = - x 4 + 2 x 2+ x en el punto P( I ,2 ) es también
tangente a la curva en otro punto Q y hallar su valor.

64. Dadas las funcio n es/(x ) = x 2g ( 2 ) + 3 6 (2 x + l ) g ’(2) y g(x) = ^\j .h a lla rla

ecuación de la recta tangente a la gráfica de / y que es paralela a la recta 4x + 2y + 1= 0 .

65. Si /(x ) = x1+ x , hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de y = /*(x) en el punto
de abscisa 10.

66. Dada la función /(x ) = ^ ^ , x S O .h allarlaecu ació n d elarectatan g en tealag ráfi-

ca de / * en el punto (3 /2 , c).

67. Hallar la ecuación de la tangente a la curvay = /*(x) en el punto de tangencia (c, 3) .si se
sabe que la recta tangente a la curva y = /(x ) en el punto de abscisa 3 tiene por ecuación
3x + 2>‘ - l = 0

68. La curva y = x(x - o)2, a > 0 , es interceptada en tres puntos por la recta y = m2x , m *■0.
a) Hallar las ecuaciones de las rectas tangentes de dichos puntos.
b) Estas rectas tangentes a su vez interceptan a la curva en los puntos P . Q y R respectiva­
mente , los cuales son diferentes a los puntos de tangencia. Demostrar que P , Q y R
están en una misma recta.

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478 Capítulo 4: La derivada

¡4 .1 4 ) LA DERIVADA COM O RAZÓN DE VAR IACIÓ N

Aparte del uso de la derivada para hallar pendientes, ya visto en la Sección 4 .3 , en
esta sección estudiaremos la interpretación igualmente importante de la derivada de una función
como una razón de cambio. Vista de este m odo, una derivada puede representar, entre o tras,
cantidades tales com o.
1. El ritmo que crece una población (personas, anim ales, bacterias, etc.)
2. El número de dólares de una cuenta bancaria.
3. La velocidad de un objeto que se mueve.
4. El ritmo de inflación.
5. El ritmo de producción, etc.

Como ya debe haberse percibido la conexión entre derivada y razón de cam bio, comence­
mos por establecer su definición para una función y = /(x).

Definición 4.11 : RAZÓN PROMEDIO DE CAMBIO

Sea / una función d e x , si x cambia d ex0a x 0+ A x , entonces a la función / le corresponde
un cam bio de f ( x v) a f ( x (¡+ Ax) AI cociente de las diferencias

/( x f)+ A x) - f ( x ti) _ Cambio de ordenarlas = ^y_

(xfl + A x ) - x ü Cambio de abscisas Ax

se llanta razón de promedio de cambio de y con respecto ax

[ EJEMPLO 1 j Hallar la razón promedio de cambio de la función /(x ) = x2- 4x c u an d o :
a) x cambia de 4 a 4 .1
b) x cambia de 4 a 4.01
c) xcam biade4a4.00l

Solución Cam bio de ordenadas : Ay = /( x n+ A x ) - /( x u)

éj> Ay = (xn + A x )2-4 (x u+ Ax) = Ax (2x0 - 4 + Ax)

Cambio de abscisas: Ax = x - xfl

Razón de cambio: Ay
= 2x0 - 4 + Ax

a) P a ra x n =4 y Ax = 4 . I - 4 = 0.I .=> ^ = 2 ( 4 ) - 4 + 0 .l = 4.I

b) Parax^ = 4 y Ax » 4 . 0 I - 4 = 0.0I <=> = 2 (4 )-4 + 0.0l = 4.0]

c) P arax () =4 y Ax = 4.001 - 4 = 0.001 .=> ^ = 2 ( 4 ) - 4 + 0.00l = 4.00I ■
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Sección 4.14 : La derivada como razón de variación 479

O bsérvese que cuando Ax se hace m uy pequeño , es d e c ir , cuando A x tiende a cero , la
razón prom edio de cam bio d e /( x ) para un valor fijo dex ()= 4 es muy significativo, pues es el

lim (2x,. - 4 + a x ) = lim [■ ^■ J pero este últim o lím ite no es m ás q ue la derivada de
A x -» 0 * A x t
A.t - * 0

f( x ) en xu. Para esta relación tenemos la siguiente definición.

Definición 4.12 : RAZÓN DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA

Si y = f( x ) , la razón de variación instantánea de y con respecto a x viene dada por la
derivada de / e n a* = x u , si éste exista a h í, esto es

Razón de variación instantánea = lim - — + — - - - - - = - f'(x,)
Aa -»o Ax dx "

La razón o tasa de variación instantánea de y con respecto a x puede interpretarse como la

variación en y ocasionada por un cam bio de una unidad e n x si la razón de variación permanece

constante. La interpretación geométrica de esto de muestra en la Figura 4 . 19

En efecto , sea f ' ( x a) la razón de variación instantá­ YA
nea de y con respecto a x e n xn . Si se m ultiplica / ’(*„)

por Ax (el cambio de x ) , se tiene el cambio que ocu­ /K lajf
rriría en y si el punto (x , y) se desplazara por la recta

tangente a la G r ( /) en (x0 , y0) . L a razón prom edio de

cambio de y con respecto a x está dada por la frac­

ción en la Definición 4 .1 1 , y si ésta se multiplica t. * Aí
por Ax , se tiene : F IG U R A 4.19

Ay
Ax

que es la variación real de y ocasionada por un cambio de Ax en x cuando el punto genérico

(x, y) se mueve por la gráfica d e /. ■

EJEMPLO 2 J Seestim aquedentrodexm eseslapoblacióndeciertacom unidadseráde

P(x) = x2+ ICU + 6,000
a) A qué ritmo cambiará la población dentro de 20 meses?
b) Cuánto cambiará realmente la población durante el vigésimo primer mes ?

Solución a) El ritmo de cambio de la población es la derivada de la función población :
P*(x) = 2 x + 10

Com o P ’(20) = 2(20) + 10 = 50 , se sigue que dentro de 20 meses la población habrá
crecido a razón de 50 personas por mes.

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480 Capítulo 4: La derivada

., „ .• , . .. Cambio en P(x) P(2I)-P(20)
b) Cambio real en la población = ——— —---------- = — - — - - - - -
Cambio en x 21-20

=* Cam bioreal = P (2 I)-P (2 0 ) = (2 I)2+ 10(21) + 6 0 0 0 -(2 0 )2- l0 (2 1 )-6 0 0 0

= (21 + 2 0 )(2 I - 2 0 ) + 10(21 -2 0 ) = 51 personas

La razón para la diferencia de los resultados en (a) y (b) se debe a que el ritmo de cambio de

la población variaba durante el mes . El ritmo de cambio instantáneo de la parte (a) puede ser

considerado com o el cambio de la población que sucedería durante el vigésimo mes si el ritmo

de cambio de la población permaneciera constante. ■

N ota Hay dos importantes conclusiones adicionales que podemos inferir acerca de la razón
de variación instantánea. Si suponemos que Q es una cantidad que varía con el tiempo

y si escribimos Q = /(t)p a ra re p re se n ta rsu v a lo re n e ltie m p o t.y b a sá n d o n o se n la propiedad
geométrica de la tangente diremos que la razón de variación instantánea de Q en el tiempo es la
pendiente de la tangente a la curva Q = / ( t) e n e l punto (tu , / ( t ft) ) .
Va que una pendiente positiva corresponde a una tangente ascendente y una pendiente negativa
a una tangente descendente, diremos que

dQ
i) Q es creciente en el instante t , si —r~ > 0

d\

ii) Q es decreciente en el instante t , si -j=- < 0
dt

E JE M P L O 3 j Un tanque cilindrico con 1eje vertical está al principio lleno con 200,000
galones de agua. Este tanque tarda 50 minutos en vaciarse después que se

abre el desagüe en el fondo. Suponga que el desagüe se abre en el tiempo t = 0 . Si el volumen

de agua que queda en el tanque después d e t minutoses V (t) = 200,000 (i - .encuen-

encuentre la razón instantánea a la que fluye hacia afuera el agua del tanque cuando t = 30.

Solución Desarrollando el cuadrado obtenem os: V(t) = 200,000 - 8000t + 80t2

Sólo necesitamos hallare! valor de V ’(0 cuando t = 30 m inutos.

Pero como V 'ft) = -8 0 0 0 + I6 0 tes para todoel tiempo que fluya el a g u a y e l v a lo rd e V ’(t)en

el momento t = 30 no es más que

V ’(30) = -8 0 0 0 + 1 6 0 (3 0 ) = -3 2 0 0

El que V ’(3ü) sea negativo significa que V está decreciendo en el tiem po t = 30.

Por lo tanto , treinta minutos después de que se abra el desagüe, el agua fluirá hacia afuera a

razón de 3200 gal/min. ■

EJEMPLO 4 J C uando se funde una bola de nieve cuyo radio inicial es de 12 c m ., su
radio decrece a una razón constante . Comienza a fundirse cuando t = 0

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Sección 4.14 : La derivada como razón de variación 481

(horas) y larda i 2 horas en desaparecer.
a) Cuál es la razón de variación instantánea de su volunten cuando t = 6 ?
b) Cuál es la razón promedio de cambio de su volumen desde t = 3 hasta t = 9.

Solución El volumen de la bola de nieve es V = 7tri

En el instante t el radio decrece en (12- t)cm , luego en este tiem po.

V(t) = j r c ( I 2 - t) '

a) Razón de variación instantánea del volumen de n ie v e: V’(t) = 4rc( [2 - 1)2(-1)
Entonces , para t = 6 : V’(6) = - 4 7 t( l2 - 6 ) 2 - -I4 4 n cm 7 h

b) Razón promedio de cambio del volumen de nieve:

Y = Cambio en el volumen = V (9 )-V (3 ) = (4ti/3) (12 - 9 )' - (4n/3) (12 - 3)=

Cambio en el tiempo 9 -3 6

de donde obtenemos : V = - 156rc cm V h ■

OBSERVACIÓN 4A En muchas situaciones practicas, la razón de cambio de una cantidad
Q no es tan significativa como su razón porcentual de cam bio, pues

ésta compara el ritmo de cambio de la cantidad Q con el tamaño de dicha cantidad, esto es
„Razó, n porcentual, d.e cam,b•io d.e «Q = .1™00 /^ -R--i-t-m---o--d--e--c—am---b--i-o--d--e--O-- J\

L uego, una fórmula para la intensidad relativa y la razón porcentual de cambio en términos de la
derivada nos da la siguiente definición.

Definición 4.13 : INTENSIDAD RELATIVA Y RAZON PORCENTUAL

Si Q = / ( t ) ,,entonces la m edida qué se uti Iiza para com parar el ritmo de cainbió de Q con
la cantidad sometida a variación Q , se denomina intensidad relativa y-e$tádada por

r a 0, \_ / d Q (39)
I=
oQ \' (di) )
/ ü u)

y la razón porcentual de cambio por

R_pe s io o í^ M = mlo oi /m ¿ Q. ) • (40)
W cg /
q'

evaluadas en t = t ti

^ E J E M P L O S j Suponga que la población de una cierta ciudad t años después del 1 de
ju lio d e 1991 será 40t2+ 200t + 10000. a) Calcular la intensidad a la cual

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482 Capítulo 4: La derivada

crecerá la población para el l de Julio del 2000, b) Obtener la razón a la cual crecerá la
población para el I dejuliodel2006.c) Determinarla intensidadrelativaylarazón porcentual
de crecimiento de la población para el I de julio del 2000. d) Hallar la intensidad relativa y la
razón porcentual de crecimiento de la población para el I de julio del 2006.

Solución Sea P ( t) = 4 0 t 2 + 2 0 0 t + 10000

a) Al 1 de ju lio del 2000 se tiene t = 9 años ; lu e g o , se desea obtener P ’( 9 ) .
S iP ’(t) = 80t + 200 ■=> F ( 9 ) = 8 0 (9 )4 -2 0 0 = 920
Por tanto , para el l de julio del 2000 se espera que la población crezca a razón de 920
personas al año.

b) Al I de ju lio del 2006 se tiene t = 15 años . Luego P’( 15) = 80(15)4-200 = I4 0 0 p o rlo
q u e ,p a ra e l 1 d eju lio del 2006 se espera que la población crezca razón de1400 personas al
año.

c) La población que habrá para el l de ju lio del 2000 está dada por P (9 ), entonces :
P (9 ) = 40(9)24-200(9) + 10,000 = 15.040 personas.
L u eg o , para el I de julio del 2000 , la intensidad relativa de crecimiento de la población
debe ser:

P’(9 ) non

- W = T Ü ¡ > = 0 051 “ R - = 6 I%

d) La población que habrá para el I de ju lio del 2006 debe ser P( 15)
«=* P(15) = 40(15)24- 200(15) + 10000 = 22,000 personas

Por lo tan to , para el I de julio del 2006. la intensidad relativa de crecimiento de la población
debe ser

= - w = ^ ) = aü64 ~ R - " 6A%

(4 .1 5 ) M O VIM IEN TO R E C TILÍN E O

Si un móvil se desplaza en línea recta , hablamos de movimiento rectilíneo y se
puede usar una recta horizontal o vertical con un origen designado como la recta del movimiento
. La dirección será positiva si el movimiento es hacia la derecha y negativa si es hacia la izquier­
da. La función s queda la posición, respecto del origen, del móvil como función del tiempo t se
Wtumafunción de posición . S i , sobre un cierto lapso tiempo A t, el objeto cambia su posición
una cantidad

As = s(t 4- A t) - s ( t )
entonces, la razón prom edio de cam bio de la distancia respecto al tiempo viene dada p o r :

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Sección 4. i 5 : Movimiento rectilíneo 483

Cam bio de Distancia _ As

Cambio de tiempo Al

Definición 4.14 : VELOCIDAD PROMEDIO E INSTANTANEA

S is ( t) da la posición en el tiempo t de un objeto que se mueve por una recta, la velocidad
promedio del objeto en el intervalo [t , t + At] viene dada p o r:

&(l + A t ) - s ( t ) (41)
V= — =

At Al
y la velocidad instantánea del objeto en el instante te s •

v (t) = lim s ( t 4- A t) “ S (t) = s ’(t) (42)

At

OBSERVACIONES 4.5

a) La velocidad de un objeto móvil es positiva o negativa según que se mueva en dirección
positiva o negativa a lo largo de la línea del movimiento.

b) La rapidez de un objeto en cualquier tiempo es el valor absoluto de la velocidad instantánea,
es un número no negativoque indica sólo cuán rápido se mueve el objeto, no en que direc­
ción.

E JE M P L O 6 J La altura s en el instante t de una moneda que se deja caer desde un
ed ificio viene dada por s(t) = - 16t2 + 1350, con s m edida en pies y t

en segundos.
a) Hallar la velocidad prom edioen el intervalo [1 ,2 ] •
b) Hallar la velocidad instantánea para t= I y t = 2
c) Cuánto tarda en llegar al suelo
d) Hallar ia velocidad de la moneda al golpear el suelo.

Solución As = s(t + A t) - s ( t) = - 16 (I + A t)2 + 1 3 5 0 -(- I6t2+ 1350)
=> As = - l6 A t(2 t + At)

a) Velocidad prom edio: V V = - 16(2t+A t)

Para t = e [ I , 2] t=> At = 2 - 1 = 1 «=* V = - I6 (2 + 1 ) = - 48 pies/seg.

b) Velocidad instantánea : V (t) = s’(t) = - 32t

Entonces: V (l) = - 3 2 pies/seg. y V(2) = - 6 4 pies/seg.

c) La moneda llegará al suelo cuando s = 0

Luego.si s(t) = 0 - 16t: + 1 3 5 0 = 0 <=> t = 9.185 seg.
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484 Capítulo 4: La derivada

d) La velocidad de la m oneda al golpear el suelo es ■
V (9 .185) = -32(9.185) = - 293.9 pies/seg.

Las velocidades negativas nos indican que el objeto se mueve hacia abajo.

E JE M P L O 7 j Un objeto se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo con la ecua­
ción de movimiento :s (t) = t5+ 3 t2-9t + 4 Determinarlos intervalos de

tiempo cuando se mueve el objeto a la derecha y cuando lo haga a la izquierda. También deter­
minar el instante cuando el objeto cambia de dirección.

Solución Según la fórmula (4 2 ): v(t) = s’(0 = 3 t5 + 6 t - 9 = 3(t + 3 ) ( t - l )
La velocidad d instantánea es cero cuando t = - 3 y t = I

Significa que el objeto está en reposo en estos tiempos. El objetóse mueve a la derecha si v(t)es
positiva y se m ueve hacia la izquierda si v ( t) es negativa. Entonces determinaremos el signo de
v (t) para diferentes intervalos de t= - 3 y t= 1 en el siguiente cuadro

Intervalos (t+ 3 )(l-l) Conclusiones
t < -3 (->< -)
t = -3 (0 .)(-) v(t) = + , el objeto se mueve a la derecha
v(t) = 0 , e! objeto está cam biando de dirección de
-3 < t< 1 (+ )(-)
t= 1 < + )(0) derecháa izquierda.
v(t) = - , el objeto se mueve a la izquierda
t> I ( + )(+-> v(t) = 0 , elobjetoestácam biandodedirecciónde

izq uierda a derecha
v(t) = + , el objeto se mueve a la derecha.

F IG U R A 4.20

La tabla adjunta determina los valores de s y v para valores particulares de l . El movimiento del
objeto indicado en la Figura4.20 es a lo largo de la recta horizontal, pero el comportamiento del
movimiento esta indicado arriba de la recta.

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Sección 4.15 : Movimiento rectilíneo 485

t -l -3 -2 -I 0 1 2
s 24 31 26 15 4 -I 6
V 15 0 -9 -12 -9 0 15

[E JE M P LO 8 j Una pelota se lanza verticalmente haia arriba desde lo alto de una casa de

112 pies de altura. Su ecuación de movimientos es s = - 16t2+ 96t donde
s pies es la distancia dirigida de la pelota desde el punto de partida en t seg. Hallar : a) La
velocidad instantánea de la pelota en 2 seg. b) La altura máxima que alcanza, c) Cuánto tarda
la pelota al llegar al suelo, d) La velocidad instantánea cuando la pelota llega al suelo.

Solución a) La velocidad instantáneaen tse g u n d o ses : v ( t) = s’(t) = - 3 2 t + 9 6
Para I = 2 e} v(2) = -6 4 + 96 = 32 pies/seg.

b) La pelota alcanza su punto más alto cuando la dirección del
movimiento cam bia,es d e c ir,c u a n d o v (t) = 0 : Haciendo
s ’(t) = Ose tiene:
- 32t + 96 = 0 <=> t = 3 seg.
Entonces cuando t = 3 , el punto más alto que alcanza la pelo­
ta sobre el punto de partida es
h = s(3) = - 16(3)2 + 93(3) = 144 pies
Luego , la máxima altura que alcanza la pelota al nivel del
suelo e s : sm_u = 144+ 112 = 256 pies

c) A nivel del suelo : s(t) = - 16 t2 + 96 + 112
Entonces , si s = 0 , la pelota toca al su e lo . L u e g o , si
- 1 6 t2 + 9 6 t + 112 = 0 ^ t 2 - 6 t - 7 = 0 <=> t =
Por ta n to , la pelota tarda 7 segundos en llegar al suelo

d) Para y = 7 , v(7) = - 32(7) + 9 6 = - 128 pies/seg es la velocidad instantánea cuando la

pelota llega al suelo. ■

Del mismo modo que hemos obtenido la velocidad derivando la función posición, obten­
dremos la aceleración derivando la función velocidad.

Definición 4.15 : LA ACELERACIÓN INSTANTÁNEA

Si s es la función de posición de un objeto en movimiento rectilíneo, su aceleración en el

instante, viene dada por

a ( t) = v’(t) (43)

donde v (t) es la velocidad en el instante L

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486 Capítulo 4: La derivada

[ EJEMPLO 9 j Calcular la aceleración de un objeto en caída libre cuya función de posi­

ción es s (t) = - I6 t2 + 5t + 200

Solución Por la ecuación (4 2 ): v ( t) = s’(t) <=> v ( t) = - 3 2 t + 5 ■

Luego, la aceleración es : a ( t) = v ‘ (t) = -32pies/seg2
Esta aceleración constante se debe a la fuerza de la gravedad.

Nota En caso del movimiento vertical bajo la influencia de la gravedad, la posición de un objeto en
caída libre puede representarse por la ecuación

s(t) = y g t 2 + vui + ^

Aquí, g designa la aceleración gravilacional (g = - 32 pies/seg2 o g = - 980 cm/seg2) , s0es la altura

inicial del objeto y vu la velocidad inicial con que se suelta. De modo que tenemos como función de

posición.

s(t) = - 16t2 + v y + sQ (44)

^

EJEM PLO 10 J H allar la máxima altura que es alcanzada por una bola que es lanzada

hacia arriba desde el suelo con una velocidad inicial de v = I28 pies/seg.

Solución La función de posición es s (t) = - I6 t2 + I28t + s0 (l)
Perocom o s0 = 0 (altura inicial) s(t) = - I6 t2 + I28t ■

Velocidad instantánea de la b o la : v (t) = s ’ ( t) = - 3 2 t+ l2 8
Alcanza su máxima altura en el instante en que v(t) = 0 , esto e s , cuando

- 32t + 128 = 0 c * t = 4
Con la sustitución en (I) encontramos la máxima altura alcanzada por la b o la, que es :

sm¡ut = - 1 6 (4 )2 + 128(4) = 256 pies.

E JE R C IC IO S . Grupo 37

1. Demostrar que la razón de variación instantánea del volumen de un cubo, con respecto a la
longitud de su arista es igual a la mitad del área total del cubo.

2. Cierta población de roedores asciende a P = 100[ I + 0.3t + (0.04)t2j después de t meses.
a) Cuánto tardará esta población en duplicar su tamaño inicial (I = 0) ?
b) Cuál es la razón de crecimiento de la población cuando P = 200 ?

3. El peso de un cilindro variable es siempre el doble de su radio. Demuestre que la razón de
cambio de su volumen con respecto a su radio es igual a su área to tal.

4. Un balón esférico con radio inicial de 5 pulg. comienza a desinflarse en el instante t = 0 y

su rad io , t segundos después , e s r = ( 6 0 - t) /i2 p u lg . A que razón (en pulg3/seg.) salee!
aire del balón cuando t = 30 seg.

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EJERCICIOS G rupo3 7 : dcrntula tom o razón <¡t vuriuiion 487

5. La ecuación de ia oferta de una cierta clase de focos es
jr = 1000(4+ 3p + 2p3)

donde se ofrecen x focos cuando el precio unitario es de p centavos (de dolar).
a) Halle la razón prom edio de cambio de !a oferta con respecto al precio cuando éste se

incrementa de 90 a 93 centavos.
b) Calcule la razón de variación instantánea de la oferta con respecto al precio cuando éste

es de 90 centavos.

6. Una nave espacial se aproxima al “aterrizaje” en un planeta distante ; su altura “y ” (en
metros) en el momento t(segundos) está dado por la fórmula y = 100 - lOOt + 2 5t2 .
Cuándo y con qué velocidad golpeará el suelo ?

7. En 1995 , cierta ciudad tenía una población (en m illones) dada por la fórm ula

P = 100[l + (0 .0 4 )t + (0.03)t2] .c o n t e n años y t = 0 correspondiente a 1995.
a) Cuál es la razón de cambio de P en el 2000?
b) Cuál es la razón promedio de cam bio de P de 1998 al 2003?

8. Una partícula se mueve a lo largo de una línea recta de acuerdo a la ecuación de movimiento
dado . Determinar los intervalos de tiempo cuando se mueva la partícula a la derecha y
cuando lo haga a la izquierda. También determinar el instante cuando la partícula cambia de
dirección. Mostrar el comportamiento del movimiento mediante una gráfica.

a) s = 2 t 5 - 3 t 2 - 121 + 8 b) s = c) s = y ^ T

9. Una bola se empuja de tal forma que tiene una velocidad inicial de 24 pies/seg. hacia abajo
de un plano inclinado , entonces s = 24t + 100t*, donde s pies es la distancia de la bola
desde su punto de partida en t seg. y ladirección positiva es hacia abajo del plano inclinado.
a) Cuál es ia velocidad instantánea de la bola en t, seg.
b) Cuánto tiempo tarda la velocidad en incrementarse en 48 pies/seg.

1 0 . Un o b jeto se m ueve en una recta de acuerdo a la ecuación de m ovim iento
s = t 3 - 1112 + 2 4 t + 100 , donde s pies es la distancia dirigida del objeto desde el
punto de partida en t segundos, a) El objeto está en su punto de partida cuando t = 0.
Para qué otros valores de t se encuentra el objeto en su punto de parida? b) Determinar
la velocidad del objeto en cada instante en el que esté en su punto de partida e interpre­
tar el signo de la velocidad en cada caso.

❖ En los ejercicios 11al 15, usar la función de posición para objetos en caída lib re :
s(t) = - I6t2 + v 0t + su

1 1 . Se deja caer una piedra desde 600 pies de altura, cuál es su velocidad al llegar al suelo?

1 2 . Para estimar la altura de un edificio se deja caer desde lo alto una p ied ra. H allar la altura
del edificio supuesto que la piedra golpea el suelo 6.8 segundo después de soltarla.

13. Se deja caer una piedra (vü = 0) desde lo alto de un edificio de 144 pie de altura, a)
Cuándo golpeará el suelo la piedra? b) Con qué velocidad golpeará la piedra el suelo ?
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488 Capítulo 4: La derivada

14. Un hom bre, de pie en lo alto de un edificio, lanza una bola verticalmente hacia arriba .
Después de 2 segundos la bola pasa ante él en su camino hacia abajo. y 2 segundos después
de esto golpea el suelo, a) Cuál es la velocidad inicial de la bala . b) Cuál es la altura del
edificio. c) Cuál es la velocidad de la bola cuando pasa ante el hombre en su camino hacia
abajo, d) Cuál es la velocidad de la bola cuando golpea el suelo ?

15. Una bola es lanzada verticalmente hacia arriba desde el suelo (su= 0) con una velocidad
inicial de 160 pies/seg.
a) Cuándo golpeará la bola el suelo ? b) Con que velocidad golpeará la bola el suelo ?
c) Cuándo alcanza la bola su máxima altura? d) Qué altura alcanzará desde el su elo .

(4 .1 6 ) RAZO NES DE VAR IACIÓ N RELACIONADAS

Un problema de razones o tasas de variación relacionadas implica dos cantidades
x e y que varían con respecto al tiempo i y una ecuación (modelo matemático) que expresa
alguna relación entre ellas. Lo usual es que den los valores de esas dos cantidades en algún
instante .junto con la razón de cam bio de una de ellas para determinar la razón de cambio de la
otra variable. Un método común de resolución de dicho problema consiste en comenzar con la
derivación implícita de la ecuación que relaciona las cantidades propuestas. Mediante un ejem­
plo ilustrativo mostraremos el camino paso a paso de como se resuelven la mayoría de estos
problemas.

( e j e m p l o ! Una cuerda está atada a un bote sobre la superficie del agua y un hombre ,

en el m uelle, tira del bote a una razón de 48 pies/min . Si sus manos están a
16 pies sobre el nivel del agua , qué tan rápido se aproxima el bote al muelle cuando la longitud
de la cuerda es de 20 pies?

Solución Los pasos a seguir son los siguientes :

1. Dibujar una fig u ra , si es factible, y definir cada una de las variables
x : el número de pies de la distancia del bote al muelle en t minutos
z : el número de pies de la longitud de la cuerda en t minutos.

2. Escribir cualquier situación numérica acerca de las va- (~~
riables x , z y sus derivadas respecto a t.
Com o el bote es jalado a razón 48 pies/m in hacia el

muelle (izquierdo): — = - 4 8 pies/min

Para z = 20 =jc V202 - 161 = 12 pies FIGURA 4 22

3. Escribir el modelo matemático que relaciona a* y z.
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Sección 4.16 : Razones de variación relacionadas 489

Esta ecuación lo obtenemos del teorema de Pitágoras : z 2 = jc2 + I6 3
4. Derivar los dos miembros de esta ecuación con respecto al tiempo

5. Sustituir los valores conocidos de x , z y■— (Paso 2)

20 ( - 4 8 ) = 12 ( — ) <=> ~ = - 8(fpies/min

' dX • at

El signo negativo nos indica que* decrece conforme t aumenta

6. Conclusión . La rapidez con que el bote se aproxima al muelle es de 80 pies/m in, cuando

éste está a 12 pies del muelle. ■

Ahora haremos un resumen de los pasos del ejemplo ilustrativo anterior.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TASAS RELACIONADAS

1. Dibujar un diagrama y m arcarcom o variable las diversas cantidades dadas y las cantida­
des a determinar.

2. Leer en el diagrama un modelo matemático que relacione a las variables cuyas razoneso
tasa de cambio están dadas o han de determinarse.

3. Usando la regla de la cadena derivar implícitamente la ecuación hallada con respecto al
tiempo t.

4. Sustituir los valores de las cantidades conocidas en la ecuación del paso 5 y despejar la
cantidad requerida.

5. Escribir una conclusión que responda las preguntas del problemas.

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS id

E JE M P L O 1 ] Un hombre de 6pies de estatura camina a una tasa de 5 pies/seg, alejándo­
se de una farola de 15 pies de altura. Cuando el hombre está a 10 pies de

la faro la: a) A qué velocidad mueve el extremo de su sombra? b) A qué velocidad cam bia la
longitud de su sombra?

Solución Refiérase a la Figura 4.23

1. S e a n : x la distancia del hombre a la farola en el tiempo t segundos
z la distancia del extremo de la sombra a la base de la farola en t seg.
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