Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

640 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

x..., = x. — =a_ , 1 x. + A (D

2 a.,

Con esto hemos obtenido una fórmula de iteración para hallar la raiz cuadrada de un número
A > 0 como caso especial del método de Newton.

Ahora, para A = 10 y tomandojc, = 3 como la primera aproximación de J l 0 , en la fórmula ( I )
obtenemos:

Para „ = 1 => = i - L = I (3 + ^ = 3.1666 e [3 ,4 1

n = 2 => x, = —

’ 2 _ 2 a 2 J 2 \ 6 19) 228

A Í 7 2 1 + m i ^ l ( B 9 6 8 i _ = 3 162277
2 L 228 721 J 328776

Podemos suponer que VÍO = 3 .1622, con una aproximación de cuatro cifras decimales, ¡g

Obsérvese que en este ejemplo hemos obtenido una sucesión convergente a JTO
con cuatro iteraciones. Si hubiéramos comenzado con otra aproximación inicial de jc, = 3.2,
obtendríamos una sucesión distinta convergente a ^f\Q, esto es, aplicando la fórmula ( I ) se
tendría: x, = 3.J625. a ? = 3 . 162277
Podemos ver entonces, que la segunda sucesión tiende más rápidamente a -f\ O. Por lo tanto,
en general es ventajoso elegir xu lo más cerca posible de la raiz.

( E JE M P LO ~~2~) Para aproximar los ceros de/(x) = a' - 3 a + 4 . usar el método de Newton
Continuar las iteraciones hasta lograr que dos aproximaciones sucesivas

difieran en menos de 0.001.
Solución Un esbozo preliminar de la gráfica de } muestra que existe un cero de la

función en el intervalo [-3, -2]
Como la función es continua en [-3, -2] y derivable
en <-3, -2>, entonces:

J / ( - 3 ) = ( —3 ) 1 - 3 ( - 3 ) + 4 — — 1 4 < 0
*) j / ( - 2 ) = ( —2 ) * - 3 ( - 2 ) + 4 = 2 > 0

j c ) = 3 a -2 - 3 = 3 ( a + 1 ) ( a - 1 )

ü) J " ( x ) = 6x
Las funciones / ’ y / " nunca son cero en el intervalo
[-3, -2], luego, por el Teorema 5.10,

3 c e <-3, -2> / / (c) = 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 5.9: El M elado de Newton 641

De la fórmula iterativa, x„+l = x„ ——f—(■*—) y f(x) = x1- 3 * + 4, se tiene
F (-*u)

x 1 —3x + 4 Ix] - 4 (I)

***i = X» ~ \ 3 x2„ - 3~ => 3 x„2-~3Z

Ahora, tomando como aproximación lineal x, = -2.5 podemos calcular algunos términos de la
sucesión (x„), dando valores a n en la fórmua de iteración (1), esto es:

Para „ = , ^ = 2 *> “ 4 - ™
3xf - 3 3 (-2 .5 )2—3

n = 2 => x3 = 2 x j —4 _ 2(-2.238)1 - 4
3 x ; - 3 3(—2.23S)2 —3

n = 3o =4.- jc. = —“2 r' 3iJ - 4 =—A-2--.(-i—-w-2--./-1--9-6--)r='----4-- = -2._10. .5. c
4 3*5 —3 3 ( - 2 .106) —3

Por tanto, podemos estimar que el cero de J es c = -2.195, dado que dos aproximaciones

sucesivas difieren en la cota prefijada de 0.01 *

( j J E M P L O ^ J Usar el método de Newton para hallar la solución de la ecuación
x + Cos x = 0, en el intervalo [-2, 0], con una aproximación de cuatro

cifras decimales.

Solución Sea la función f (x) = x + Cos x, continua en [-2, 0] y derivable en <-2, 0>,
entonces:

í / ( —2) = - 2 + Cos { - 2) =- 2+Cos ( 2) <0
U j / ( 0 ) = 0 + Cos (0) = I > 0

i i ) / ’(*) = l - Scnx, f"(x) = - Cos x
Las funciones/1y f " nunca son cero en el intervalo í-2, 0], luego, por el Teorema 5.10.
3 c e <-2, 0 > / / ( c ) = 0

De la fórmula iterativa * = x„ - —f-(—x—) y /( x ) = x + Cos x, se tiene:
F (-*n)

xu+ Cos x„ x„ Sen x„ + Cos xn m
X~ ' - X" l - S e n x , l-Senx.

Ahora, tomando como aproximación inicial x, = -1, calcularemos algunos términos de la
sucesión {x„}, dando valores a n en la fórmula de iteración (1), esto es:

*, Se nx, + Cos x, (-1) Se«(-I) + C o j(-I)
Para n = 1 => x, = - I —Sen (-1 )

1 —Sen x,

Sen(\) +Cos(l) _ _ 0.8415 +0.54W _

1+Se«(l) “ 1+0.8415

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

642 Capitulo 5: Aplicaciones de la Derivada

x2 Sen x2+ Cos x2 (-0.7504) Sen (-0.7504) + C o s(-0 .7504)

Para ti = 2 = ---------- j— ------ ------------------------, - f e l ( - 0“ 7504)-----------------

0.7504 ( 0.6817 )+ 0.7313 1.2428 = - 0.7390
+ 0.6817 1.6817

a-, Sen x, + Cos a, (-0.7390) 5e«(-0.7390 ) + Cos(-O.739ü)

Para n ~ 3 => x4 --------- — - = -------------------- i-S e n ^ IY ^ ~ ' '

(0.7390) (0.6734) + 0.7392 1.2368
I + 0.6734 = - 0.7391

1.6734

En consecuencia, podemos estimar que la raiz de la ecuación dada es
c= -0.7391

( E JE M P L O 4 ) Usar el método de Newton para aproximar hasta tres lugares decimales,
el valor de x que satisface a ecuación x + Ln x = 0

Solución Sea la función f (x) = x + Ln x, continua en <0, l] y derivable en <0, l>,
entonces:

í / ( 0 ) = 0+ L n (0 ) = —~ < Q
0 \/( l) = 1+ /> (!) = l> 0

n) / ( x ) = l + - , f ' ( x ) = - ~

^X

Las funciones / ' y / " nunca son cero en x e <0, 11, por lo que según el Teorema 5.10,
3 x e <0. 1 > 7 /(c ) = 0

De lasfórmula iterativa, * = x„ — rf,\(X ] , uon f{x) = x + Ln x, se tiene
/' (*J

x„ + Ln xm _ _ x„ ( \ - L n x „ ) (I)

X «+\ ~ X n J ^ X „+\ ~ ,7

1+ — i+X*
X„

Tomando como aproximación inicial a , = 0 .5 = 1/2, calcularemos algunos términos de la suce­
sión {x„} dando valores a n en la fórmula iterativa (l), estoes:

Para „ = != > ,,= a , (1 + Im x .) = 0.5 ( 1 - Jm 1 /2 ) 0.5 (I + Ln 2)
[+ ^ _ ----= ------------ --------

n 2Para x 2 (1 + Im x , ) 0.564 ( l - L n 0.564)

— = > a , = ------------------------ — = -----------------------------------------------
1+0.564
1+ a ,

0.564 (1.5727) _ ■

^ = — r * ¡ — = 0 -567
Por lo tanto, podemos estimar que la raiz de la ecuación dada es c = 0.567

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 5.9: E l M étodo de Newton 643

OBSERVACION 5.11 Interpolación Lineal

Una forma común de obtener una aproximación inicial x. de c es
por interpolación lineal. En este método escogemos x, como el pumo en el que el segmento
que une R(«, f(a )) y S(b,f(b)) intercepta al eje X.

En la Figura 5.97. por la semejanza de los triángulos
RAP-y PBS. donde AR = f (a) es negativa y
BS = / ( b) es positiva, obtenemos la proporción:

AP PB a-, —a b - x x
A R ~ BS ^ - f ( a ) “ f(b)
de donde, despejando a , , se tiene:

Ai -= slS k lr t
f(b) - f(u)

[E J E M P L O 5 ) Use el método de Newton para hallar la solución de la ecuación
J ( a ) = a 3 - 4 a + l = 0 , en el intervalo [ 0 , 1 1 con una precisión de cuatro

cifras decimales.

Salación La función/ es continua en |0. 1] y derivable en <0, I > entonces:

f /( 0 ) = (0)?- 4 ( 0 ) + l = l > 0 \

l) [/■(!) = (I)-1 - 4(1) + I = —2 < 0 t'enen signos contrarios

ii) /'(a ) = 3 x3 - 4 = ( V 3 a + 2 ) ( - J 3 x - 2 ) y / " ( * ) = 6a

Las funciones / ' y f" nunca son cení en el intervalo <0. 1>, luego, por el Teorema 5.10,
3 c g <0, l > / / ( c ) = 0

Si x „ +l = a „ - a ’ -4a„+I 2 (a„)j -1 (I)
"+l " f ( x „ ) A_.. = A - 3 (a„ ) - - 4

3a¿ - 4

Escogemos la estimación inicial x,, de la solución usando la fórmula de interpolación lineal,
esto es, si

_ a f(b)-bf(a) _ 0(-2) —1(1) _ 1
f(b)-f{a)
-2 -1 3

Con este valor, la iteración (1) produce la siguiente sucesión

Para „ = , = , = « Í L ? = I = =
3(x,) - 4 3 (1 /3 ) —4 99

n=2 a, = -2--(-a- , -)t3--—---1 = —2 ( -0-.-2--5--2-5--)^3 — 1 = „ . 2541
= 0

3(A2r - 4 3(0.2525 )2 - 4

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

644 Capitulo 5: Aplicaciones de la Derivada

n = 3 => x., =_ 2 (x ,)?- l _ 2(0.2541 )3-1 = 0.2541
4 3 (*3)2 - 4 3(0.2541 )2 - 4

Así obtenemos la raíz c = 0.2541 con una exaelitud de cuatro cifras decimales.

(E J E M P L O _ 6 _ J Usar él método de Newton para aproximar el valor de x de la
intersección de las gráficas de las funciones/ ( a ) = Zr + 1y g{x) = -Jx + 4

Continuar el proceso hasta que las iteraciones difieran a lo sumo en 0 . 0 0 0 1 .

Solución Si f(x) - g(x) =>2 a + 1 = -J x + 4 <=> 2x + l - -J'x+4 = 0

Luego, hallaremos los ceros de la función h(x) = 2x+ \--Jx + 4
La fórmua iterativa de Newton para esta función da:

2 x „ + \ - < J x n+ 4 a„ + « - 2 ^ + 4
Xn+t “ . I------ —T .
~ Xn I (I)
2 rJU — 4V*« +4 - 1

Un esbozo de las gráficas de / y g (Fig.
5.98), nos revela que la abscisa del punto de
intersección se halla en el intervalo <0, l>.
En efecto:

-Ji)
= + = - I/ i ( 0 ) 2 ( 0 )
1- 0+4 <0

ft(l) = 2 ( I ) + l - y r Í 4 =3-^5 >0

ii) Las funciones fi y h" no son cero en el
intervalo<0, l> = > 3 c e <0, \>/h(c)=0

Tomando x ,= 1 / 2 como la primera estima­
ción y haciendo uso de la fórmula iterativa
(1) obtenemos los valores siguientes:

Para n = I => x2 = * , + 8 —2 -/x ,+ 4 S.5- 2J 4I
= 0 .5 6 8 7
4^+4 - 1 4 V 4 l"-l

x1 + & -2 1j x2 + 4 8 .5 6 8 7 -2 ^ 4 .5 6 8 7

4 ^/a2 + 4 - 1 = 0.5689

4 V 4 .5 6 8 7 -I

n= 3 => xA= x¡ + 8 -2 ^ /x , + 4 = 8.5689-2>/4.5689 = 0.5690
------ , --------- ,

4-^4.5689-1

Como dos aproximaciones sucesivas difieren en 0 . 0 0 0 1 . debemos suponer que el punto de
intersección aproximado a cuatro decimales es

a = 0 .5 6 9 0 .

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS. Grupo 46: E l Método Newton 645

EJERCICIOS . Grupo 46

*1* En los ejercicios I al 10 aproximar el cero o ceros de la función mediante el método de
Newton. Continuar iterando hasta lograr que dos aproximaciones sucesivas difieran a lo
sumo en 0.001.

1. f(x) = x' + x - I '-s
3. / ( x) = aj - I0x2- II V
5. m = x* - 3c2+ 3 II
7. f(x) = x*-3 <X-

9. / ( * ) = 1
i-!
2.
4. /(X ) = A-1+ 3
6. /( x ) = x1+ x ‘ + x + 2
8. /( x ) = x' + x + [

10. f ix) = x5+ x - 1

❖ En los ejercicios ! 1al 20, use el método de Newton para hallar la solución de la ecuación
dada/ (x) = 0 en el intervalo que se indica (tí. b], con una precisión de cuatro cifras
decimales. Escoja la estimación inicial de la solución, usando la fórmula de interpolación
lineal.

11. x2- 5 = 0 , [2, 3] (para hallar la raiz cuadrada positiva de 5)
12. xy-2 = 0, [1. 21 (para hallar la raiz cúbica de 2)
13. jc* -100 = 0, [2, 3] (para encontrar la raiz quinta de 100)
14. x™- 10 = 0, [4, 5J (para encontrar 102'3)
15. .v2+ 3* - 1= 0, [0. I ]
17. jc5+ jt* = 100, [2, 3] 16. jt*, + 7 jr - 4 = 0 , 1-1,01
19. xJ- 3 t - 1= 0 , (-1,0] 18. jc' - 5a - 10 = 0, [l, 2]

20. x1' + Ix1 - 4 = 0 . [0, l ]

21. a) Demuestre que el método de Newton, aplicado a la ecuación x* - A = 0, produce

la iteración: x_. = ti-1 2 x.. + A
fl+l 3 ^ " ( x „ ) \

para calcular la raiz cúbica aproximada de A.
b) Use esta iteración para encontrar \¡1 con una exactitud de cinco cifras decimales.

22. a) Demuestre que la fórmula de Newton produce iteración
A

Para la raiz A-esima aproximada del número positivo A.
b) Use esta iteración para encontrar “V i00 con una exactitud de cinco cifras

decimales.

En los ejercicios 23 al 26, use el método de Newton para encontrar todas las ratees reales
de la ecuación dada, con cuatro cifras decimales de exactitud.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

646 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

23. ^ - 2 0 = 0 24. x' - 5x + 2 = Q
26. jc5- 3** + jt2- 2 3 *+ 1 9 = O
25. x1 - 5 jt + 1 = 0

❖ En los ejercicios 2 7 al 3 2 , use el método de Newton pura hallar la solución de la ecuación
dada / (a ) = 0 en el intervalo que se indica |<3, £>], cor una precisión de cuatro cifras
decimales.

2 7 . / ( a ) = x - Coa x, [ 0 , 2 ] 2 8 . / ( x ) = A x - Sen x - 4 , [ 1 . 2 ]
29. /(jc) = x + Tgx, [ 2 , 3 } 30. / ( x ) = x + Cos jc , [ - 2 . 0]
31. f i x) = 4x - Sen x + 4, [ - 2 , -11 32. /( x ) = 5x - C«.v x + 5, [1,01

33. Aplicar el método de Newton para aproximar el valor de x de la intersección de dos
gráficas:

a) f (x) = x , g(x) = 2 Sen x b) f ’(x) = x' , g(x) = Cos x

34. Aproximar el número crítico de la función /(jc ) = x Cos x en el intervalo [0 ,7t]. Con este

resultado esbozar la gráfica de/.

35. Aproximar el número crítico de la función / (a) =xSe nx en el intervalo [0, TtJ. Con este
resultado esbozar la gráfica de/.

36. Demostrar que la función/ ( a ) = Sen (x2+ Cosx) - Hx + 100 ^3 - Cos x tiene algún punto

crítico en <0, n/4>

37. Usar el método de Newton para aproximar, hasta tres lugares decimales la coordenada x
del punto de intersección de las gráficas de y = 3 • x e y = Lux.

38. Explique porqué la ecuación xJ- 3 a 3 + 1= 0 debe tener por iu menos una solución. Use
después el método de Newton para encontrarla.

39. Sea / (a ) = a ' - 5 a , y escoja a , = 1. Trace la gráfica y determine a qué converge {a„}.
Porqué no es aplicable el Teorema 5.10 en este caso.

40. Aplicar el método de Newton para aproximar el valor de a de la intersección de las gráfi­

cas de / ' ( a ) = 3 - a y g(x) = + ^• Continuar el proceso hasta que las iteraciones su­
cesivas difieran a lo sumo en 0.001.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

ECUACIONES
PARAMETRICAS

( g a ) c u rv a p a ra m é tric a

Hasta ahora se a vista la forma en que las funciones reales de variable real especifi­
can conjuntos de puntos en el plano IR', esdecir, hemos representado una gráfica por medio de
una sola ecuación que contiene dos variables x e v, de la forma >' ~ fix) o x = gfy). En este
capitulo veremos la situación en la cual es útil introducir una tercera variable oparámetro para
representar una curva en el plano.

Definición 6 .1 : CURVA PARÁM ETRICA

Seanf y g dos funciones reales de variable real con dominios Dyy Dsrespectivamente.
Entonces si D, n D s# 0 „el conjunto

¿’M U W , £ ( ' ) ) ’ ' e D , n D , | (1)
se denomina curva plana o paramétrica Las ecuaciones
(2)
.v- fitj v=g{t)
se denominan ecuaciones paramétricas de & en los que t es elparámetro.

Cada valor del parámetro t da un punto (/(/), g(t)). y el conjunto de todos los puntos es la
gráfica de la curva cuyas coordenadas cartesianas son

G= RxK | t I) (3)

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

648 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

Asi. en la figura 6.1 se muestra que para un valor de / e I se
obtiene un punto P(.t. v) € G.
Con Frecuencia no se hace distinción entre el conjunto de
todos los pares coordenados de la curva (1) y la gráfica (3).
Por !o tanto unas veces nos referimos a la curva y otras a la
gráfica, en forma intercambiable.
El intervalo I es de la Forma \a, /;], donde los puntos
P„ g(cí)) y P¿ (J(b). g(b) se llaman extremos de la
curva Si estos dos puntos coinciden, se dice que la curva
0 es cerrada. Si no hay pares distintos de valores de í, con
la posible excepción de los valores t —a y t = h, que dan
lugar íü mismo punto de la gráfica, entonces la curva (■no
se autointerseca, y se dice que la curva es simple. La figura
6.2 muestra cada uno de estos conceptos.

(^ E J E M P L O ^ IJ Representación paramétrica

Solución Dibujar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas:

2jc = t + 2t . y = / + 2 , l e [-3.2]

Para valores de l del intervalo dado, las ecuaciones parainétricas conducen a los
seis puntos (.t, y) que se muestran en la Tabla 6 .1.

TABLA 6 1

/ -3 - 2 -1 0 1 2

X 3 0 -1 0 3 8

y -1 0 I 2 3 4

Dibujando estos puntos en orden creciente de t
y usando la continuidad de las (unciones x =
j[t) e y =g{t) obtenemos la curva:
C = [ { f + 2t, f + 2 ) l r e 1-3.2]}
que semuestraen la Figura 6.3. La flechaen la curva indica suorientación cuando/ crecede -3 a 2.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6.1 : Curva puramétrica 649

Sota Ocurre con frecuencia que una curva en el plano puede lencr distintas
paramctrizaviones. Por ejemplo e! conjunto de ecuaciones paramétrieas.
x - f- - 4r+ 3, y = r - l , /€ [ ( ) , 51

tiene la misma gráfica que el conjunto del Ejemplo 1. Como ejercicio construya el conjunto de
coordenadas (x, y) para cada valtn en orden creciente de t, elegido del inteivalo [0. 5j. luego
trace la curva en una dirección específica y obtendrá así la griHiea de la Figura 6.3

OBSERVACIÓN 6.1. Eliminación del parámetro

Hemos visto que dadas dos ecuaciones parainétricas de lin a curva

(', con dominio común I = D, r> Dx

r=/T0 . y=g(t) (1)

al trazar su gráfica usarnos el método simple del dibujo punto a punto. Este proceso laborioso

puede simplificarse a veces hallando una ecuación rectangular, de la forma

E (x. y) = 0 (2)

que tenga la misma gráfica. A este proceso se le llama eliminación del parámetro.

( ^ E J E M P L ^ ^ J Hallar la ecuación cartesiana de la curva representada por las ecuaciones
paramctricas.

x ~ 1+ — ■.)• = / - 1
r

Identifiqúese y luego dibújese la gráfica de la curva.
Solucwrt Si y —t - I => / = 1 + y, sustituyendo en laprimera ecuación se tiene:

r = 1+ - L ^ (x- 1)0’ - i)= l
I+ y

Es la ecuación de una hipérbola equilátera con centro en ( I . - 1) y asíntotas las rectas x —l :

y = -1. Su gráfica se muestra en la figura 6.4 ■

Nota Una cierta precaución debe tenerse en cuenla alpasar una ecuación de la forma
paramétrica a la rectangular, pues como sabemos lodo punto obtenido en í l ) es

punto de la gráfica de (2); sin embargo, la reciproca no siempre se cumple. En todos los casos
es necesario restringir el dominio de la ecuación rectangular de forma que su gráfica se ciña a
la gráfica de las ecuaciones paramétricas.

( E JEM P LO 3 J Restringir el dominio tras eliminar el parámetro

Dibujar la curva representada por las ecuaciones paramctricas

x = 2Senr + 3 , y=3Sen/

mediante la eliminación del parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente.

Solución Despejando Sen fde ambas ecuaciones obtenemos

Sen t - (a)
2
3

de donde : 3 (x - 3) = 2y <=> 3x - 2y - 9 = 0
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

650 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

Es la ecuación cuya gráfica es una recta en IR. Sin embargo, las ecuaciones en (a ) indican
que V / e IR :

jc - 3 <1 A y <1 « jc— 3 < i) a {-i < y < i >
2 3
3

o (l < X < 5) A (-3 < .y < 3 )

cuya gráfica es el segmento de extremos A (1, -3) y B (5, 3), mostrada en la figura 6.5. En

consecuencia, la ecuación cartesiana correspondiente a las ecuaciones paramétricas dadas es:

3 x - 2 y -9 = 0 . x e [1,5] ■

{ E J E M P L 0 ^ 4 j Elimine el parámetro para dibujar la gráfica de la curva paramétrica:

jc - 1= -Jt - ! , y = 5 --1

Solución Despejando íde la segunda ecuación setiene: t = 5 - y. Sustituyendo en la primera
ecuación para x, obtenemos:

x - l = J ( 5 - y ) - l = y¡4^J’ =*í x- l)s= 4-;y

y = 3 + 2 jc - x7

La gráfica de la ecuación rectangular obtenida es la de la

parábola con vértice en V( 1,4), definida en V x € IR. Pero

de la ecuación paramétrica de x vemos que la curva esta

definida solamente cuando t > 1. Esto implica la restricción

del dominio de x a x - I > 0, estos es, jc > 1. Por lo tanto,

la gráfica de la curva es una parte de la parábola >’= 3 + 2jc

- x2, jc e f 1, -h»>, mostrada en la figura 6.6 ■

En el siguiente ejemplo, se hace uso de las identidades FIGURA 6.6
trigonométricas para eliminar el parámetro.

fE JE M P L O 5 ) Dibujar las curvas representadas por

a)jc = 2 + 3 C o s f , y = * !+ 4 S e n r , f € [0, 2n]
b) x = - 1 + 2 Sec f , y = 2 + 3 Tg f, r e IR
mediante la eliminación del parámetro y hallar la ecuación cartesiana correspondiente.

ISgfocz'dn l En (a) empezamos por despejar Cos t y Sen t de las ecuaciones paramétricas
dadas, esto es
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6. / : Curva param étrica 651

Cos t = x - 2 Sen t = v+1

3

Ahora, como Cos21 + Sen- t = 1 => U------2--?— + ( > + i r

9 16
que corresponde a la ecuación de una elipse con centro en C(2, -1), de eje mayor 2a = 8.
paralelo al eje Y, y eje menor 2b = 6, cuya gráfica se muestra en la Figura 6.7

Análogamente en (b): Sec t = x + I y-2
2 Tg t =

y dado que, Sec21 - Tg21= 1 (A + l ) 2 ( y —2)
9
4

que corresponde a la ecuación de una hipérbola con centro en C (-1, 2), eje real 2a = 4.

paralelo al eje X . eje conjugado 2b —6, y cuya gráfica se muestra en la figura 6.8. ■

(
3
¡>

i J

fw¡ 3 M x

FIGURA 6.7

Los ejemplos 4 y 5 son curvas paramétricas en los que se puede eliminar el parámetro para
obtener asi una ecuación explícita y = F(x) o F.(x, y) = 0. Reciprocamente, cualquier curva
explícita puede ser representada mediante un elimitado número de ecuaciones paramétricas,
una de ellas puede ser

x = r , y - F(r)
en las que t recorre los valores del dominio original de F.

( EJEM P LO 6 J Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la

gráfica de y = + 1 usando los parámetros siguientes:

a) t = x . b) la pendiente m = {^) en el punto (x, y).
dx

Solución a) Haciendo t = jr. obtenemos las ecuaciones paramétricas
x = t , y = 4 F - 8r + I

Ahora, si escribimos las ecuaciones cartesianas en la forma

y = 4 (jt - 2jc + 1) - 3 « y + 3 = 4(» - [)2
obtenemos otra parametrbación más simple con t ~ x - I. Esto da:

x ~ t + \ . y = -3 + 4r2
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

652 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

b) Si m = — => m = 8x - 8 = 8 (x - I) => jc- l = in
¿/jc 8

y si >' = -3 + 4 (jc - 1)2 => y = -3 + 4 (m/8)2 <=> y = -3 + —
16

Por tanto, las ecuaciones paramétricas son:

8 16

El uso de ecuaciones paramétricas x =f(t) , y = g(t) para describir una curva
es más ventajosa cuando la eliminación del parámetro es, ya sea imposible o cuando
conduce a una ecuación E(x, y) = 0 considerablemente más complicada que las ecuaciones
paramétricas originales. Esto ocurre con frecuencia cuando la curva es un lugar geomé­
trico o es la trayectoria de un punto que se mueve bajo condiciones especificadas.

(E JE M P L O 7 ) Ecuaciones paramétricas de una cicloide

Determinar la curva trazada por un punto P de una circunferencia de
radio a, cuando dicha circunferencia rueda sin resbalar sobre una recta en el plano. Dicha
trayectoria se denomina cicloide.

Solución Sea el parámetro t, que mide la rotación de la circunferencia y sea P(x, y) las
coordenadas del punto fijo después de haber girado la circunferencia sobre el eje

X un ángulo t, desde que P comienza en el origen. Como la circunferencia rueda lihremente sin
resbalar, entonces:

OT = TP = a t
de modoque el centro C tiene como coordenadas (a t , a ) en el momento r. El triángulo rectángulo
PBC de la Figura 6.9 nos proporciona las relaciones: PB = a Sen t y BC = a Cos t

Luego, si OA = OT - AT = O T - PB ^ x = a t - a Sen t
AP = TB = TC - BC => y —a - a Cos t

Por tanto, las ecuaciones paramétricas de la cicliodc. trayectoria del punto móvil P, son:

x = a ( /- Sen t), y = a ( ] - C o s t ) ■

^

Yi

0A T ►X
FIGURA 6.9
2 Ttcl
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

E JERCICIO S. Grupo 47: Curva paramétrica 653

EJERCICIOS . Grupo 47

En losejercicios 1al 26, dibújese las curvas representadas por lasecuaciones paramélrieas
y escribase la ecuación rectangular correspondiente al eliminar el parámetro.

x = -Jt , yv = 3/ - 2 2.. x -~ 22t/ +\ 22 . v = 2/: + 4/

3. x = pl2+ b, y = 2/ + « 4. x = 4 ,j t -1 . J = 2 -J5 —t

5. x = 2 + ^ , y = / + 3 6. x _— 2at , _ « U -7 )
> _ 1+Í3
7. x = ! - / , y = 1 + / 7+7
tt
4/2 4í3
9. x = t l + t, y = f - t 4+C ’ • 4+r
11. x = Sec t. y = Cos t 10. x = ci( 1 - r) , y = b t
13. *= < ? ', y = e i ' 12. x - Cos t , y = 2 Sen3 /
15. x - 2 Cos / , y = Cos (t/2) 14. x = S en (//2) , y = Cos/
17. jc=tfScn3f , y = £iCos-'/ 16. x = 4 Cos / , y = -Cos 2 /
19. x = 2(1 + Cost) . y = 2 S e n t 18. x = 2 Sen t - Cos / , y = Sen / + 2 Cos /
21. x = -1 + 2 Sec / , y = 2 + T g / 20. x = 2 + 3 Cos / , y = -3 + 2 Sen /
23. x = a Tg / , v = b Sec2/ 22. x = -3 + 2Sen / , y = -4 + Cos /
25. x - Cos 3 / , y = 2 Cos t 24. x = Sen / , y = Sen 3 t
26. x = 2 + 3 Tg t , y = l + 4 Sec /

❖ En los ejercicios 27 y 28, determínese en qué difieren una de otra las curvas planas

2 7 . a) x = / , y = 2 / + 1 c) j t = e~' , y = 2 e "' + 1
b) x = Cos t , y = l + 2 Cos / d )x -^ , y = 2e,+ l

28. a)x = 2 C o s /, v = 2S en / c) x = y[J . y = >/4- /

J 4 z2- ! d) x = - - ^ 4 - c2f , y = e*.

❖ En los ejercicios 29 al 34, dibuje la curva representada por las ecuaciones paramélrieas.
29. Cicloide: x = 2 ( /- S e n /) , y = 2 (1 -C o sí)
30. Cicloide: x = t + Sen / , y = 1 - Cos /
31. Bruja de Agnesi: x = 2 C o l g / , y = 2 Sen2/
32. Cicloide Cúrtala: x = 2 / - S e n / , y = 2 -C o s /
33. Cicloide Prolata: x = t - ^3 S en /, y = I - ^3 Cos/

34. Folium de Descartes: x - ^ , y = - 3 í _

7 + 7 * 1+7

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

654 Capítulo 6: Ecuaciones param étricay

35. Una parábola de eje horizontal y vértice en ( - 1,2 ) pasa por el punió A ( 1,4). Panunelricc
su ecuación, expresando x e > como funciones de la pendiente m de la recta tangente, en
el punto P(x, y) de la parábola.

36. Hállese el conjunto de ecuaciones paramen icas para la gráfica dada
a) Recta: pasa por (1,4) y (5, -2)
b) Cincuntérencia: Centro en (-3. I ) y de radio 3
c) Elipse: Vértices en (4, 7) y (4, -3). focos en (4, 5) y (4, -1)

37. Una rueda de radio a rueda sin deslizar sobre una recta. La curva trazada por un punto P
que está a b unidades del centro (b < á) se denomina cicloide corta, siendo como aparece
en la Figura 6.10. Usese el ángulo t mostrado en la figura para hallar el conjunto de
ecuaciones paramétncas para la curva.

38. Una circunsfercncia de radio 1rueda sin deslizarse sobre el exterior de una circunsfcrcncia
de radio 2. La curva trazada por un punto de la circunferencia menor se llama epicicloide,
y es como se ve en la Figura 6.11. Use el ángulo / mostrado en la paramétrica para la
curva.

39. Si una cuerda, enrrollada al rededor de un círculo de radio íí, comienza a desarrollarse de
manera que la cuerda se mantenga siempre linante y en el mismo plano del círculo, enton­
ces el extremo libre de la cuerda describe una curva llamada invohita del círculo. Deter­
minar sus ecuaciones paramétricas.

40. OB es la manivela y AB es la biela de una máquina y AB > OB. B se mueve en la circunfe­
rencia de la manivela cuyo centro es O y A se mueve sobre la recta fija OX. Hallar las
ecuaciones paramétricas del lugar geométrico de un punto P sobre AB considerando
a) t = A AOB como parámetro y supuesto que BP = b, PA = a y t—o + b
b) t = A XOB como parámetro.

41. Un círculo de radio b rueda sin deslizarse dentro de un círculo de radio a > b. La trayec­
toria que describe un punto P fijo en el borde del círculo que rueda se llama hipocicliode.
Si P comienza su viaje en el punto A {a, 0) de la Figura 6.12 y t es el ángulo AOC, donde
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6.2 : Derivación paramétrica 655

C es el centro del círculo que rueda, de­
muestre que las coordenadas de P están
dadas por ecuaciones paramétricas:

jc = ( a - b) Cos t + b Cos - ^ r ^

y = (a - b) Sen / - b Sen tJ

42. Si b = a!4 en el Ejercicio 41, demuestre
que las ecuaciones paramétricas de la
hipvcicloide se reducen a:

jts a C o s ’1/ , v = a S e n , í

(1 ^2 ) D ERIVACIÓN PARAM ÉTRICA

Sean f y g dos funciones derivables con un dominio común I = [a, b], cuyas repre­
sentaciones paramétricas son:

x = Jit), y = g(t), í g I (1)

Si f es continua a /( r ) * 0 para r e í , entonces/ es creciente o decreciente en I. Por lo que,/
tiene una inversa continua f* tal que i = /* ( jc), V x e \f(a),f(b)]. Entonces

>' = gU) = 8 [/* (* )] = FW (2)

donde F = 8(f*) es una función continua V jc e [f(a),j{b)]. De aquí que las ecuaciones

paramétricas (1) definen a y como una función continua y derivable de Jt, cuya ley de corres­

pondencia viene dada por (2).

Ahora, si g(t) = F(x), obtenida en (2), sustituimos r por/fr) obtenemos

í( 0 = F[/(/)] (3)

Derivando respecto a t se obtiene

g’(0 = F *[/íf)]./(f)

que según las ecuaciones (1), puede transcribirse como

(ÉL\
dt \ d x ) \ d t )

Por lo tanto, si — = f ' ( t \ * 0 => — = ^ — = % -f-
dt J 1 ' dx dxi dt f ( t )

o también: _____________

d\ 8'<0
dx f ( t )

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

656 Capítulo 6: Ecuaciones param ettieas

TEO R EM A 6.1: Form a param étrica de la derivada

S ean /y >• funciones domables con un dominio común l a /;] S i / ' <■;--continua v
(’ í f ) * 0 , para f e [<j//|. entonces las ecuaciones paramen icu.s * = f t ) . • —s1’ 1
definen a \ como una función dcri\able de a, i .

d/ _ Jv ' / d± | _ >?*</>
dx \ dt í/f J g (t)

( E J E M P L O 1 1 Sea la curva paramétrica : x = f'fn * , y — ? en *
,/Co.s 2 1
tJ C p s 2 1

Calcular una expresión simplificada para
dx

Solución Si x = C os'f (Cos 2 í ) 1/2 e y = Sen31 (Cos 2 t yU2, entonces aplicando la

regla del producto de ambos casos se tiene

J =f(t) = Cos' 1 1-1/2 ÍCos 2 0 w (-2 Sen 2 f)J + {Cos 2 f>1/31-3 Cos: t Sen fl

= (Cos 2 O 3'2Cos2í [Sen 2 f Cos f - 3 Sen f Cos 2 f]
= (Cos 2 f)-V2Cos2f [Sen (2f - f) - 2 Sen t Cos 2 f]
= (Cos 2 í)*'2Cos2/ Sen f ( I - 2 Cos 2 f]

^ = g'(f) = Sen' f [- 1/2 (Cos 2 f) w {-2 Sen 2 f)] + (Cos 2 f)-|C [3 Sen2f Cos fl

= Sen2f (Cos 2 f)-V2 [Sen 2 f Sen f + 3 Cos 2 f Cos fj

= Sen2 f (Cos 2 t)mV1 [Cos (2f - /) + 2 Cos 2 ¡ Cos fJ

= Sen2f (Cos 2 f)‘V2 Cos f (1 + 2 Cos 2 f]

Luego, si ¿ 1 = = ^ n U l + 2 Coy 2f)

c/x / ’ (f) Cos f (I —2 Cos 2t)

Sen t [1 + 2 ( 1—2 5 en2 f/] _ 3 Sen t - 4 Sen* f
= Cos f [ 1 - 2 ( 2 Coi2f - l ) ] ” - ( 4 Co J t - 3 Cos f)

=> = Sen 3 1 = - Tg 3 t ■
dx —C o¿3f

( 6 . 3 ) RECTAS TA N G EN TES A CURVAS PARAMÉTRICAS

Una curva é representada por x = / » , y = g(t) en un intervalo I se llama suave
si las derivadas/(f) y g'(t) son continuas y nunca son cero simultáneamente, excepto
quizas en los puntos extremos de I

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6.3 : Rectas tangentes a curvas paramétricas 657

a) La pendiente de la tangente a una curva suave en cada punto P(jt, y) de su gráfica está
dada por

En particular cuando t = t„, esta pendiente es

m= T < é ’ r i K ) *0
b) Tangentes Horizontales. Una recta tangente es horizontal cuando la pendiente m = 0,

esto es, en el punto donde g'(t) = 0 y f ( t ) * 0.
c) Tangentes Verticales. Una recta tangente es vertical cuando la pendiente m no está

definida, esto es, en el punto donde/'(/) = 0 y g’( 0 * 0 *

(^ E J E M P L O _ 2 j Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la curva x = f + I.
y = /•’ + 2f. en el punto para el cual t = 2

Solución El punto de la tangencia para r = 2, es:

jc = (2)¡ + I = 5 , y = (2)J+ 2(2) = 12 => P(5, 12)

Si ^dt = f ( t ) = 2/ => f (2 )= 4 . &dt = ¿ ( 0 = 3 ? + 2 => g'(2) = 14

Por lo que : m, = ^ ^ = H . = 7 —
4 V f(2) 4 2 "7

Ecuación de la tangente : > '-1 2 = ^ ( jc —5) <=> 2,17*—2 y - l 1=0

Ecuación de la normal : y - 1 2 = — y ( jc —5 ) : 2jc + 7 y -9 4 = 0 ■

(^ E J E M P L O ^ J Hallar las ecuaciones de la tangente y normal a la curva C \ x = 2 t - 2. ,

y = 2 1+ —, en el punto P(-1, 5).

Solución Conocido el punto de tangencia P (-l, 5), necesitamos hallar el valor del parámetro
r en este punto, esto es, si

( - l = 2 r - l ) * ( S= 2,+ l )
<=> ( r = | v í = - 3 / 2 ) a ( i = 1 v f = 3 / 2 ) = > / = l

Ahora: &di = 2 + 4t =» f ( 0 =' —dt »=i = 2 + 3 = 5

= 2 - 3 = —l

i/=i
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

658 Capítulo 6: Ecuaciones param étricas

Por lo tanto, m, = => m,, = 5

Ecuaciones de la tangente : y - 5 = - ^5 (jc + I ) o L,: x + 5>- - 24 = 0

Ecuación de la normal : y - 5 = 5(x + l) <=> L„: 5x + y - 10 = 0

t E JE M P L O 4 ) Dada la curva 6\ x = f2- 2/, y = - 121, hallar los puntos de contacto

de las tangentes horizontales y verticales.

Solución Si f ( t ) = - ~ = 2 / —2 , g'(t) = = 3/J -1 2
fl/ at

_g'(t) 3 (/2—4)

y / ’ ( 0 =>'” 2 ( /- l)

a) Cuando m = 0 =* r2- 4 = 0<=>/ = -2 y í = 2

Para / = -2 = > * = (-2)2-2(-2) = 8, y = (-2 )í -12(-2)= 16 => A(R,16)

t —2 => x = (2)2- 2(2) = 0 , y = (2)?- 12(2) = -16 => B(0,-16)

Luego, A y B son dos puntos de contacto de las tangenteshorizontales.

b) m no está definida cuando r - I = 0 <=> ¡ = 1

para / = 1 => x = ( I) 2- 2(1)= -I , y = ( 1 ) ’ - 12(1)= 11 => C (-l, - l l )

Por lo que, C es el único punto contacto de la tangente vertical. ■

[E J E M P L O 5 ) Demostrar que los normales a la curva

(7t : x = «(Cos / + / Sen /), y = a (Sen t - / Cos /)

son tangentes a la circunferencia (>2 : ¡d + y2= d1

Demostración En efecto, sea rn„ la pendiente de la recta normal a la curva C, en el
punto P,(4 /), y(f)).

Si ~at^-=f (/) = a(-Sen t + t Cos t + Sen /) = at Cos t
d—y = g' (t) = a (Cos t + t Sen t —Cos t) = a t Sen t

Entonces, mr •= implica que mn ~ —^ = —Cotg t

Luego, la ecuación de la normal a la curva en el punto P, es:

y - >(0 = mm(x - x(-t))

=> y - a (Sen t ■t Cos t) = - Cotg t [ x - a (Cos t + t Sen /)]

de donde obtenemos, L„: x Cotg t + y = a Cosec / (1)

Ahora, la pendiente de la recta tangente a la circunferencia x2 + y¿ = a1, de ecuaciones

paramétricas 6,: x = a Cos /, y = a Sen t. en el punto P2(.r (/), >’(/)). es:

d y / d t a Cos t „

m' =17771,= ^ I s l i l = - Co« '

Entonces su ecuación es : y - a Sen i = - Cotg t(x • a Cos t)

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS. Grupo 48: Rectas tangentes a curvas paramétricas 659

de donde se tiene, L,: x Cotg / + y = a Cosec / (2)

Por lanío, de (1) y (2) se concluye que la recta normal L,, a coincide con la recta tangente

a 6 *2, esto es, las normales a la curva (r , son tangentes a la curva 6\ . ■

( EJE M P LO 6 J Demostrar que si las lincas OT y ON son las perpendiculares bajadas

desde el origen de coordenadas hasta la tangente y normal a la aslroidc
x = a Cos;* /, y = a Sen' / . / € IR

en cualquiera de sus puntos se tiene: 4 OT3 + ON: = a-

Demostración En efecto, las derivadas de las ecuaciones paramétricas son
f ’( t ) - - 3 a Sen / Cos2/ y g ’(/) = 3a Sen2 /Cos/

o’ // ) 3a Sen2 / Cos t Sen t
de modo que si m, = 6 m =■ Cos í
f 3a Sen t Cos21
f {/)

Entonces la ecuación de la tangente en el punto P(x (/), y (/)) es:

y —a Sen7t = ~ ^ ^ -^ (x —aCos7t)t=> Lf:xSen t +yCos t = 2/

y la ecuación de la normal en el mismo punto P es:

y - a Sen1 1=■S*!e—n ■t*(x —aCos7/)e=> L„:xCos / - y Sen t= a Cos 2/

\C \

Recuerde que si L: A_t + By + C = 0 => d (0, L) = -Ja2+ b 2

Luego, haciendo uso de esta fórmula en las ecuaciones de la tangente y de la normal, obtendre­
mos:

IOTI = ¿Í0. L, ) = ) a/2¡ Sen2ri= = ^ \ Scn 2/1 4 O r 2 = a2Sen22 1
■^Sen2t + Cos21 ^

IÓÑI =d(0, Ln) = laCos2tl = = a {Cos 2/| ^ OÑ2= a 2Cos22/
V Cos2t+Scn~ t

4 0 T 2 + ÓÑ2 = a 2{Sen22t + Cos22t ) =a2

EJERCICIOS . Grupo 48

❖ En los ejercicios 1 al 10, hallar y = ^ para las ecuaciónes paramétricas dadas
dx

L^ ' '" (t íí) 2. x = 2at v _ ü 0 ~ £ )

1+ r > _ l + f 2

3. x = J Í + r , y= / - I 3at 3íí/ 2

Vi + /2 4. X =

1+tJ ’ } ~ l+t'

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

660 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

5. x = a Cos' t . y = b Sen31 6. x = Ij i { 1 + t:) , y = t - a r e Tg t

7. x = a (t - Sen t) , y = a ( J - Cos t)

8. x ~ a (Cos t + Sen /) , y = a (Sent - 1 Cosl)

9. x = Tg ^ + Cost -Sent j ,y =a(Sen t + Cos /)

10. x = are Cos , y =arc Sen

IVT + r 1+ f )

*i* En los ejercicios 11 al 14, hallar y’ = — para el valor dado del parámetro
dx

11. x = a (t - Sen t) , y = a ( I - Cos t ) , en t = Títl

12. x = t L. n l, y = -L--n---t- , en / = 1
t

13. x = eJCos t, y = e' Sen t . en t = 7t/4
14. x = t Cos t, y = r Sen /, en r= ju/4

En los ejercicios 15 al 23, hallar en cada caso las ecuaciones de la tangente y normal a la

curva especificada en el punto correspondiente al valor dado del parámetro.

15. x = 4 Cos t , y = 2 Sen2/ ; f = n/2 16. * = 3(f - Sen t) . y = 3 (1 - Cos f) ; t = 71/2

17. jc = 2 Sen /, y = 5 CV?s / ; f = 71/3 18. x —a é Cos t .y = a é Sen t ; t = 0

19. x = e-' Cos 2 t , y = e 2' Sen í ; t - 0 20. x —a CosAt . y = a Sen* t ; t = 7t/4

21. jc = 3er 3a t 2 , t-2 22. x - 2 Cos' t \ y = 2 Sen’ i ; r = tc/4
l+tz ' y
1+r2

23. x = t (t Cos t - 2 Sen /) . y = t ( r Sen t + 2 Cos f ) , para t = 71/4

En los ejercicios 24 al 27, hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la curva

dad en el punto indicado.

24. 1+ t ,y 3 + 21t -,PD(/2_, l ) 25. x = /2 , y = /’ + 3 r ; PCI.4
x =-¡ r =- i

26. jc = f3+ 4 ; y = 2 í 2- 3 / + 1 ;P<8, 3) 27. jc = i1 + 2 / , y = /> + t ; P(3, 2)

28. Hallar el valor del parámetro í que corresponde a las coordenadas del punto P(2,2) de
la curva x - 2 Tg t , y = 2 Sen2/ + Sen 2 f.

29. Para la línea dada paramétncamente mostrar la relación entre el paramero / y el ángulo
a que forma la tangente a la línea con el eje de abscisas.

a) x = Cost + t Sen t - - t 2 Cosí , y =Se nt - r Cos t - * r2 Sen t

22

b) x = a Cos* i , = a Sen* t

c) x = a Cos 11¡2Cos2t , y = Sen t ^ 2 Cos 21

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS. Grupo 48; Rectas tangentes a curvas paramétricas 661

3(1. Hallar los punios de contado de las tangentes horizontales y verticales para las

siguientes curvas paramétricas

a) x = 2 f - 6t , y = Z2 + 4t c) x = 4t - Z2 . y = 4 11-

•> **

b) x = 3 - 4 Sen t, y = 4 + 3 Cas t d) x ' í'= ~j—

31. Hallarlas longitudes de la tangenle, la normal, la subtangentey la subnormal a lacardiodc

x = a (2 Cos t - Cos 21) , y = a (2 Sen t ■Sen 21)

en un punto cualquiera de ésta.

32. Hallarlas longitudes de la tangente, la normal, la subtangentc y la subnormal a la evolvente
de un círculo:

x —a {Cos t+ tS e n t) , y —a {Sen t -1 Cos t)

en un punto cualquiera de ésia.
33. Hallar los ángulos que se forman al cortarse las líneas

£v■,: x - a yC.os t , y = a Scen r y 6. » : x = --a--t-1--=-, v =a--t--j 3=-

1+ r I + r
34. Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones:

x = v = —i - + —• satisface la relación:
2f /

x (y')3 = I + y' , donde y' = ~
35. Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones

x —• , l— ■— Ln 1+ V i + r >■= , t . satisfacen la relación:
VTT7

dy
y-Ja + (y‘)2 = >-', donde y’ = dx
3 6 . Comprobar que la función dada en forma paramétrica mediante las ecuaciones

x_ ^ 1, satisfacen la relación:
r
* t2 ’ y

y y ‘ = 2x (y’)2 + 1 . donde y ' = ^

3 7 . Demostrar que el segmento de la normal a la curva:

x = 2a Sen i + a Sen t Cos21 , y - - a Cos' t
limitada por los ejes coordenados, es igual a 2a.

3 8 . Mostrar que en los dos puntos de la cardiode (véase el Ejercicio 3 1 ) . los cuales corres­
ponden a los valores del parámetro que se diferencian en 2tc/3, las tangenetes son
paralelas.

3 9 . Hallar la longitud de la perpendicular bajada desde el origen de coordenadas hasta
ia tangente ala línea
2.t = a{3 Cos t + Cos 3 i) , 2y = a{3 Sen r + Sen 3¡ )

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

662 Capítulo 6: Ecuaciones pam m étricas

Mostrar que 4 p: = 3 pr + 4a2, donde p es el radio polar del punió dado y p es la
longitud de dicho radio polar.
40. Hallar la ecuación de la tangente ala curva x = a Cas' t ,y = a Sen' t en un punto P{x, y).
Demostrar que la longitud del segmento de tangente interceptada por los ejes coordenados
es igual a a.

41. Para y = yOr), una función derivable en <a, b> se define T(jc) = ¡ l + ( C f • <a- h>-

si x = 2 Cns* t, y = 2 Sen* /. t e <7t. 3 n/2>, hallar T(x) en términos de í y dar el valor
de T(-l/4).

42. Suponga que las ecuaciones: x = 3 í2 +ht + b ll^ y - í1- 2 1 + a. í> 0 ; definen una función

diferenciable y —f{x). Si la gráfica de / admite en el punto ( - 1,5) una recta tangente que
es perpendicular a la recta L: 5x + 2y - 2 = 0, determine los valores de las constantes a y b.

(6 -4 ) DERIVACIÓN PARAM ÉTRICA DE ORDEN SUPERIOR

Sean dos funciones/y g derivables en un intervalo 1. tales que

* = / ( ') . y = g(t)

Dado que:

v = Él. = ¿ s i l = F{1)
dx f (r)

es una función de /, podemos usar repetidamente el Teorema 6.1 para hallar derivadas de
orden superior.
Así, otra diferenciación con respecto a t de y’= F(t), usando de nuevo la regla de la cadena,
producirá la fórmula

di
dtri ( dx J { di J

De aquí: d ^ = d*y = rf/M r _ F ( t ) _

dx dx dx/ dt / ' ( / )

es la segunda derivada.

Ahora si >•":= CU) => =( ^ ) )■= G « )

de donde: ¿ÍLL^ = 9 Ü 1 = m t )
dx dx3 dx/ dt f { t )

es la tercera derivada.

Y así sucesivamente, si y"‘n = K(t), es una función derivable de /, entonces por la regla de
la cadena.

d y ^ " ' r 1] ^
dt . dx ) \ d t )

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6.4: Derivación paramétrica de orden superior 663

Luego, de aquí se tiene: d f* - Yw _ dy'"-"
es la n-ésima derivada. dx }
dt _ * '( ')
dx f ( t )
dt

í E J E M P L O 1 ] Sea lacurva 6 : , y a>0, t e IR
^ ■ ■■ l+r l+ r

Hallar ^dx2

|Solución] Por la regla del cociente se tiene:

dx .. (I + r 2) ( 2 r ) - r 2 (2 t) 2ut
dt / U
(|+ r2)2 (l + r2 )2

dx ( l + / 2)(3r2 ) - r 3(2 0 a /2(3 + r )

d r sí,) =a (TT7?--------= 0+ñ*

Si

Derivando v' respecto a t resulta : ——( i + r 2 ) = P ( r )
dt 2

Ahora, si >•"’ = —dxr2- = = F (/) — -— entonces: -
> f ( t ) K) f(t)

2 ri + r^ d + r )2 _ 3 (I+ * V
dx2 2 ( } - 2at
4 fít

[ ^ J E M P L ^ ^ J Si y = F(x) es una función definida paramélricamente por las ecuaciones

x = Sen t - 1 Cos t , y = Cos t + / Sen t, te. IR ; hallar F{x) y F\x).

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

664 Capítulo 6: E cuaciones param étricas

como >.. = Fr . . / j c )V= ~¿dryx~ = rd;fxyl/. rdf.tí = •fF (0

( (t)

=> F (.x). = ---C--o--s--e--c2 r =t1— Cose3c,/
/ Sen t

(E J E M P L O 3 ) Calcular la curvatura K de la curva £definida en el plano por los puntos
(x, y), tales que:
x - a (t - Sen t), y = a (1 - Cos t), t e IR

siendcK = [ 1J y )' f ^ d0"‘fc >' = f = / ' = $

ISolución | f ' ( t ) = i- ^ = a ( l - C o s t ) = 2 a S e n 2( t / 2)

dt
dx
g ( t ) =— = a Sen t = 2a Sen(t 12). Cos(tf 2 )
dt

Sí y = ^ = ¿CO Cosjfli)

7 rf* / ’ ( r ) > Se ni l ! 2 )

„ _ ¿ 2> _ í/ y _dy'dt — 1/2 C o s e c 2( r / 2 ) 1

y dix_22 ¿jxw jd~xi/jd. / ^ y' ~ 22*». . aSre<_n_.2(/t„/j2/s)* ~ 4^a_Sr-e...n4( t l 2 )

Luego, F = 4a Sen4( t i 2) , de donde : K — ^

l l + Cofg2 ( f / 2 ) ] W2 4a Sen ( / / 2 )

(EJE M P LO 4 J Sea la curva C \ x = Tgt + Cotg t, y = 2 Ln Cotg t

Hallar í * ! * .

dy3

Solución Si x = f = —----- ~ = 2 Cosec 2r
Cos / Sen t Sen t C ost

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS. Grupo 49: Derivación paramétrica de orden superior 665

.,, _ d yx _ d_>T_ _ dx¡' íd t _ —Cosec 2t Cotg 2t

dyy dy dy/dt —4 Cosec 2t

d yx 1 n -
" ~dy* = 4 ^

EJERCICIOS . Grupo 49

•> En los ejercicios I al 16, hallar la derivada que se indica.

1. x= a Cos t, y=aSen x ; £(y2 2. x= a Cos í, y = bSen t ; —d ' yí-
dx dx

i 4. x — Coi 2 r , >• =4 Coxr; —d \£-
3. x —a Cos} t , y~aSen* t ; — y dx'

dx

5. x = a Cos' í, y = aSeny t ; — ^ 6 . x = fl / Coi t , y = a t Sen t ; — 2
dx dx5

7 r _ ( '+ 2 )2 v _ í z 2, . £ y _ 8 x - f , + l y 1 d2y
i’ - l r - l ' dx1
t +1 ’ y r - 1 ’ dx2
IA 5or2 5af d 3y
0 _ 3/ _ 3i 2 d t y
j!
' X- l + t " y - i + t * ' d x 2 12. x~ e~' Cos t , y = e~' Sen r; — v

11. x = e' Cos t , y —e Sen /; -- d*
d~v
14. x = ¿n r , y = rm; ——
rf.l ' dx"

13. x = o Co.r r , > - = c í S e « / ; — \
dx

15. x= a ( t - Sen t), v = a (1 -C o s r); — £
dx

16. x = o (Sen t - t Cos /), y = a (C o í t + tSen f);ddx]ty22
17. Demostrar que la función y = / (x ) dada mediante las ecuaciones paramétricas

x - e ' S e n t , y = e' Cos /, satisface la relación

y"0c + y ¥ = 2 (x y' - y )

18. Demostrar que la función y = f[x) dada paramétricamente mediante las ecuaciones

x = 3/*, y = y - i * satisface la relación

36 y" (y - V 3 l) = x + 3

19. Demostrar que la función dada paramétricamente mediante las ecuaciones x = Sen t,

y = Sen k /, t e IR, satisface la relación

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

666 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

20. Sea una curva definida paramétricamentc por: x = a(t - Sen /), y = a( 1 - Cos /),

/ e [0 , 2k> , a > 0 (constante).

Si F(t) = -J[x (O] 2 + [y (01* , demostrar que F(í) = 2a S<?k (í/2), 0 < t < 2n.

21. Sea la curva £ definida paramétricamentc por x = ¿/i (5 - /), y = — , r < 5, t * -1.

a) Hallar los puntos P € £ por donde la recta tangente pasa perpendicularmentc a la

recta L:2y - 6x + 1 = 0 ; b) Hallar fty2
dx3

22. Un punto (*, y) se mueve en el plano según las leyes del movimiento: x —are Tg t,

y = Ln (1 + 11). a) Hallar la velocidad y la aceleración en cada eje; h) Calcular ÉL y É 2
dx dx2

23. a) Sean x y = g{t), hallar la fórmula correspondiente a ^ ■)’ en función de las

dx2

derivadas de x e y respecto a t.

,2

b) Sea x = a Sen t Cos /, a * 0),. yv = hb (Sen t + Coas t/)\., hb * 0. Calcular — L cuando
dx-

t = Jt/6 (Usar el resultado de la parte (a)).

24. Si C-: x y = g(t), t e I, es una curva representada paramétricamente; si además/y g

tienen tercera derivada en I, hallar en función de t,

dx*

[6 -5 ) A S ÍN TO TA S EN CURVAS PARAM ÉTRICAS

Cuando una curva 6 está definida por las ecuaciones paramétricas

x=M> y=a(0

las asíntotas de su gráfica se determinan del modo siguiente:

1. Asíntotas verticales

a) Si ¡j™ f W = a A Jí™ = “ => x = a es una A.V.
b) Si lim / ( f ) = flAlim g(f) = =>x = a es una A.V.

2. Asíntotas Horizontales

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6.5 : Asíntotas en curvéis paramétricas 667

3. Asíntotas Oblicuas

Si se cumplen simultáneamente que
lim f(t) = oo a lim c(r) = «»

»-»/. I-W»

entonces existe asíntota oblicua de la forma y = m x + b, donde:

m = ÜU1 ^ 7 ) y * “ ¡™ - m /(í)l

(jE J E M P L 0 ^ 1 _ J Hallar las asíntotas de la curva
2

Solución Para asegurar que esta curva paramétrica tiene asíntotas, escribimos

x = m =-^T,y=x(t)=- '
t - 1 ' ° ' (*+])</-!)

I Asíntotas verticales. Evaluamos el límite en t^ - 1

lirn f ( t ) =—j—-j- = —^ ; lirn g(r) =<» = $ x = - 112 es una A.V.

2.- Asíntotas horizontales: Evaluamos el límite cuando t —»«*>

üm / ( O =«» ; lim g (r)= 0 => v = 0 es una A.H.
j—#«o /-»*»

3.- Ajmfttfcur 0 ¿>/ícua¿7 l»im-*i / ( r ) = oo A l>im-»i e(r) = ©°
Entonces la curva (■tiene una asíntota oblicua de la forma í=£; y —ni x + b donde:

m = lim f(t) = lim (r+ ^í ~t 2^ - 1 = lim 1 = -1
»->i l)í/-l)l f(/ + l) 2
t )

fc= t a U ( o - » r « ) J = i t a [ ^ T ] í = IÍTnz 4 ~ 2 ) _ 3

l)(í-l 2<f —1) 2 (r+ l) 4

y=^x - ~ » a :2 j:-4 y -3 = 0

[ E J E M P L O T I En el plano, la curva ó está definida por los puntos (x, y) tales que

x = -*-2--+--l--, y - — =-*-2-----l------ .cont e mIR, uhanllar:
t - 2 } 2t - 5 t + 2

a) Las asíntotas de la gráfica de ('.
b) La ecuación de la recta tangente a 6 en su intersección con el eje X.

Solución a) x=/(/)= tt2-+2—l , y = e (/) = , r-l
2 J ' * 5 W ( t - 2 )(2/ - l )

I . Asíntotas verticales. Evaluamos el límite cuando to= 1/2

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

668 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

( l/2 )2 + l 5

,!i& / ( * ) - 1/2 - 2 = _ 6 : ,!Í? ? 2 g ( í ) = 0 0 = > x = ~ 5 / 6 e s u n a A V

2. Asíntotas horizontales. Evaluamos el límite cuando r —» «>

lim / ( / ) = oo ; lim g(r) = lim r2 - l v = —1 es una A.H.
2t -5 r + 2 2
2

3. Asíntotas oblicuas, l(i-m*2 / ( / ) = 00 y l/i-m*2 p(r) = oo
Entonces: existe una asíntota oblicua S£.* y —ni x + b, donde

m = lim 4 ^ = Ilim r -1 4-1

, ^ 2 / ( / ) ,-42 ( 2 í - l ) ( r +1) (4 -1 X 4 + 1)

b= liim.1 íLeu(r) - rn Jf ( t )- = l>i_mk? / 2- l lír +1
(2r—l)(r —2) 5 l r-2

= lim - 2 ( r 2 - r —1) - 2 ( 4 - 2 - I) 2
,-»2 5 (2 r-1 ) 5(4-1) 15

y - ;IX - 2 3x- 15y-2 = 0
15

b) Ecuación de la tangente a (■en el punto (x, 0)

S i y = 0 = > / Z- I = 0 e = > f = - I v t - I

Para cada uno de estos valores de / obtenemos x =-2/3 v x =-2, respectivamente. Luego,

los puntos de tangencia son A (-2/3,0) y B (-2,0)

dx v r - 4 r - l dy ,, . - 5 r + K i - 5

di = fM = ' d i = * <f' = u - 2 ? ( 2 , - 1)’

dx ¿SU ni = - 5 r + 8 / - 5
Si m = dy ( 2 /—l)~ (r2 —4r—1)
? (0

Para r = - i m, = -1/2, y para r = I m, = 1/2

Por tanto, las ecuaciones de las tangentes buscadas son:

y —0 = - ^ x + | j « ££,=3x + .v + 2 = 0 v y = ^ (x+ 2 ) « : x - 2y + 2 = 0

( 6.6 j TR A Z A D O DE CUR VAS PARAM ÉTRICAS*

Como ya sabemos representar una curva en el plano por un conjunto de ecuaciones
paramétricas.

G = { (x, y) g IR x IR I x =f{t)t y = g(r), r e í }
Cabe preguntarse como podemos aplicar técnicas del calculo, estudiadas en la Sección 5.7, en
la construcción de sus gráficas sin necesidad de obtener la ecuación cartesiana correspondien­
te. Las siguientes sugerencias responde esta cuestión, dándonos los pasos necesarios para un
desarrollo racional en la discusión y construcción de una curva paramétrica.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6 .6 : Trazo de curvas parainétricas 669

SUGERENCIAS PARA EL TRAZADO DE CURVAS PARAMÉTRIQAS

1. Determinare! universo o dominio de existencia del parámetro t. y las intersecciones
con los ejes coordenados.

2. Hallar, si existen. Jas asíntotas.

3. Hallar, si existen, las tangentes verticales y horizontales.

4. Localizar los valores de f (números críticos) en los que las derivadas f'(t) v g*(0,

son nulas o no están definidas. Formar con estos números críticaslos intervalos prue­

ba, estoes, si / = .......t„\ y r e ( a b]. entonces

<a, r,> , < /,, íj> . <!,„ b>

son los intervalos prueba.

5. Anali2arel signo de la primera derivada ^ . en cada uno de los intervalos

dy f (r)

prueba. De esta forma quedan determinados los intervalos de crecimiento o decreci­
miento.

6 Localizar los valores de t en los que la segunda derivada 6 v sea nula o no esté
dx"

definida. Formar intervalos prueba con el dominio y los valores de / obtenidos, para
analizar el signo de ." en cada intervalo. De este modo queda determinado el sentido

de concavidad de la curva

(^ E J E M P L 0 ^ 3 ^ Discutir y graficar la curva paramétrica

Solución 1. Dominio del parámetro t : IR - {1,2}
Entonces, sea G = (x, y ) e IR x IR I x=f(l ), y = g(r), / e IR - { I, 2}

Intersecciones de G con los ejes coordenados
Eje X : y = 0 => r = 0, para t = U. x = - 1 A (-1. 0) e G
Eje Y : * = 0=> t = -2, para t = -2, y = 2/3 => B(0, 2/3) e C

2. a) Asíntotas verticales

lim / ( / ) = = - 3 ; lim g(t) = - = <»=* x = - 3 es una A.V.
f-»i 1—2 »-»' 0

b) Asíntotas horizontales

lim /(/) = 2+ 2 ; lri-m*2 e(í) = 2 2 = 2 => y=2 es una A.H.
»-*2 (J —1

c) Asíntotas oblicuas

La gráfica G no tiene asíntotas oblicuas, pues no existe un t.„ tal que lim f { t ) = <»

y lim g(t) = oo.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

670 Capítulo 6: Ecuaciones param étricas

3. Tangentes verticales y horizontales

dx . 4 dy . . . I

“ ( r - 2)2

Com o/'(f) * 0 y g'(t) * 0 , no existen tangentes verticales y horizontales.
4. Localización de los números críticos

dy g'(t) = — ( -— —1 => / = 2 y / = I son los números críticos.
dx f ( t ) 4 U - U

Intervalos prueba: < -■ » ,!> . <1 . 2> , <2 , +~>
5. Análisis del signo de la primera derivada

En el paso (4) obsérvese que y' > 0, V / e I R - { l , 2} , luego, la gráfica de la curva 0
es creciente en todo el dominio del parámetro t.

La labia 6.2 nos muestra los intervalos prueba junto con los intervalos correspon­
dientes para r e y

Intervalo lntérvalo TABLA 6.2 Signo de Forma de
prueba para x Intervalo la gráfica
+
< -oo , l> < - 3 , l> para y + Creciente
+
<1, 2> < -o°, -3 > < -w , ]> Creciente
<2, +«>
<1, + < « > <2, +«>> Creciente
<1, 2>

[Nota | En el paso (3) se observa q u e/'(í) < 0 y g'(t) < 0, V t e IR - { I. 2}, es decir/y g
son funciones decrecientes, por lo que los intervalos para x e y se obtuvieron de la

siguiente manera:

Intervalo para t Intervalo para x Intervalo para y
<a, b> <f(b), f(a)> <g(b), g(a)>

6 . Intervalos-de concavidad

1 f t - 2 \ 2 dy' 1 - 2

J1 y 4 V í —1 ^ dt 2(t —l )3

dyjdt^ y = _

7 /(/) 7 8 W -1 /

Como y " = 0 cuando t = 2 e y" no está FIGURA 6.13.
definida cuando t —I, los intervalos prueba
son los mismos obtenidos en el paso (4).
Entonces:

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6 .6 : Trazo de curvas paramétricas 671

Intervalo prueba Signoy" Conclusión

/ = 0 6 <- *», I > y" = - ( + V = - Cóncava hacia abajo
t = 3/2 e <1, 2> /■ = - ( - ) ’ = + Cóncava hacia arriba
t = 3 € <2, +°°> y" = - ( + ) ’ = - Cóncava hacia abajo

Con toda esta información construimos la gráfica de la curva paramétrica mostrada en la
Figura 6.13.

[ E JE M P L O 4 ) Discutir y graficar la curva paramétrica
G : j r = 3 f * + l , y = 4í2 , ;ce[-2,41

Solución 1. Cálculo del intervalo de variación de t

Si x e 1-2, 4] <=>-2 < * < 4

<=>~2<3 + I < 4 <=>-l </■’ < 1 => / e [-1, I]

Entonces, sea G = {(jc, y) g IR2 1x = 3 i1+ 1 , y = 4 12 , / e f-1, l j }

Intersecciones de G con los ejes coordenados

Eje X: y = 0 => f = 0 , para este valor, x = l = > A ( l , 0 ) e G

Eje Y: x = 0=> / = - %/T7¥, para este valor, y = 4 ^¡\/9 = 1.92

=> B(0, 1.92) e G
2. Asíntotas. Por la restricción en el dominio del parámetro /, la curva 6 ' no tiene asíntotas.
3. Localización de los números críticos

{k = Q t2 íly ^P,r - d y ^ _8
dt ' dt dx / ' ( / ) 9r

Como la primera derivada no está definida en t = 0, éste es el único número crítico, con el

que formaremos los intervalos prueba < -1, 0 ) y <0 , 1>.

4. El signo de la primera derivada en cada uno de estos intervalos se muestra en la Tabla 6.3

íntérvalo Intervalo TABLA 6.3 Signo de Forma de
prueba para y y’ (x) la gráfica
Intervalo
< -l,0> <- 2, l> para x - Decreciente

<0 , 1> <2 , 4> <0, 4> + Creciente

<0, 4>

5. Intervalos de Concavidad

,. _ dy / dt ,, = - 8 / 9 12 _ 8

y d x / d t =>y 912 81?

Obsérveseque y"< 0, V t g [-1, I ] , por lo que la curva G es cóncava hacia abajo en el
intervalo de variación de t.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

672 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

6 . La gráfica de G se muestra en la Figura 6.14,

donde vemos que la curva tiene un mínimo ab­

soluto en el punto A (l, 0). ■

Nota Los ejemplos 3 y 4 muestran a dos cur­
vas paramétricas funcionales, pero como no es ne­
cesario que las ecuaciones paramétricas x = /(/),
y = g(t) definan y en función de x, se sigue que una
curva definida paramétricamente puede ser una
curva cerrada o puede formar un lazo y, por lo tan­
to, cruzarse en el piano.

(E J E M P L O 5 J Discutir y graficar la curva paramétrica

x - 4 t - 11 , y = 4 f2-

Solución 1. El dominio del parámetro t es IR
Sea G - { (* ,y )e IR2 I x=f{t) , y = g(t) , r e l }

Intervalo de variación de x. Despejamos t en función de x

f - - 4 t + 4 = 4 - x => (/ - 2)2 = 4 - jc « r = 2 ± V 4 - j c
/ es un número real <=> 4 - * ¿ 0 => x e <-<*>, 4]
Intersecciones de G con los ejes coordenados

Eje X : y = 0 => 4 f- - r* = 0 o í, = 0 v t2= 4

Eje Y : x = 0 =* 4 í - r2 = 0 <=> r, = 0 v /2 = 4

Obsérvese que a los valores de tt y t2( t l * t2) les corresponde elmismo punto (0,0).

Esto significa que la curva se cruza o se intersecta a si misma enelorigen (presenta un
lazo en dicho punto).
2. Asíntotas. La curva no tiene asíntotas de ninguna clase.
3. Tangentes horizontales y verticales

^ = 4 -2 f , & = 8f -3 r2 = r(8-3r)
at dt

a) Si / '( / ) = 0 => 4 - 2 r = 0 « t = 2
para í —2, x = 4(2) - (2)2 = 4 => x = 4 es una tangente vertical

b) Si g'(r) = 0 = > /( 8 - 3 0 = 0 <=> f = 0 v r = 8/3
256

Para t = 0, y = 0 ; para t = 8/3, y = 4(8/3)2 - (8/3)* -

Luego, y = 0, y = 256/27 son dos tangentes verticales

4. Localización de los números críticos

dy _ í ( 8 —3r)
dx /■ (/) 2 (2 - r )
=* r = 0 , / = 8/3 y t= 2 son los números críticos.
Intervalos prueba: <-«>, 0> , <0, 2> , <2, 8/3> , <8/3, +«>>'

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 6.6 : Trazo de curvas paramétricas 673

5. Determinamos el signo de la primera derivada mediante la construcción de la Tabla 6.4,
que resume lo que ocurre en cada uno de estos intervalos prueba.

TABLA 6.4

Intervalo intervalo Intervalo Signo de Forma de
prueba para x para y y' (\) la gráfica G

<-«», 0 > <-«», 0 > <0 . +dc> - Decreciente

<0 , 2> <0 . 4> <0 , 8> + Creciente

<2, 8/3> <32/9, 4> <8 , 256/27> - Decreciente

<8/3, +«,> <-~>, 32/9> <-oo, 256/27> + Creciente

6 . Intervalos de concavidad

_ d 1y _ dV Idt ,, _ 3f2 -1 2 r + 16
> thc d x l d t ^ y 4 (2 - t f
Como 3 f2 - 12 / + 16 > 0 , V t e Et e y" no está definida en f = 2, tomamos como
intervalos prueba <-«>, 2> y <2 , +«*>; entonces

Intervalos prueba Signo de y" Conclusión
í = 0 e <-«>, 2> y' 1= ^ = + Cóncava hacia arriba

t = 3 6 <2, +°°> y" = — Cóncava híicia abajo

Con toda la información obtenida, dibujamos la gráfica de la curva paramétrica mostrada

en la Figura 6 .15 _

FIGURA 6.15 FIGURA 6.16

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

674 Capítulo 6: E cuaciones param étricas

( E JE M P L O 6 J Parametrizar el Folium de Descartes: x*+ y5 - 3 a jc y = 0.

Discutir y esbozar su gráfica.

¡Solución Haciendo la sustitución y = i x, se tiene:

jc* + /3jtJ- 3 ax (/*) = 0 <=> I + /3) = 3 a t x2

de donde obtenemos las ecuaciones paramétricas: x — ^a{ y = ^aí

1+ / l + r

1. El dominio del parámetro / es: IR - { - 1}
Entonces, sea G = {(*, y) e IR2 \ x = f ( t ) , y = g(/), t e IR -{-1}
La gráfica G pasa dos veces por el origen de coordenadas, pues para y = 0se tiene
t = 0, y para / = 0 = > x = 0 , luego (0. 0) e G

2. Asíntotas
a) La gráfica G no tiene asíntotas verticales, pues no existe un tutal que

lim / ( / ) = a y Uní g(t) = ■»

b) También G no tiene asíntotas horizontales, pues

$ tBlim / ( / ) = eo y Jj™ s (0 = b

c) Como lim / ( / ) = lim g (/)= <*», la curva tiene una asíntota oblicuade laforma,
/—*—I r-*-l

Si: y = m x + b , donde

m = lim iíjyj / / ) = _ |

b = lim [ g ( f ) - m / ( / ) ] = *l-i»m-■ v l + r + -1r+^/ r l) = - «

Por lo que S£ ; y = -jc - a es una asíntota oblicua en ambos sentidos (derecha e
izquierda).
3. Tangentes verticales y horizontales

dx 30(1 —2 /*) _ dy 3 a f ( 2 - r 3)

a) Si / ' ( / ) = 0 => 1 - 2 / * = 0 <=> t = V T /2

Para t = $f\T2 x = = a ^ es una tangente vertical

b) Si g'(0 = 0 => / = 0 v r = l¡2

=0 v y = a ^ son tangentes horizontales

Dado que para t = 0, jc = 0 (tangente vertical), se sigue que la curva tiene dos
tangentes en el origen, es decir, se cruza en dicho punto.

4. Localización de los puntos críticos

dy _ g'(Q / ( 2 - / 3)
dx f ( t ) 1 - 2 /*
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS. Grupo 50: Trazo de curvas paramétricas 675

Como >•’ = 0 en f = 0 y i = \ I 2. e y' no está definida en t = ijl / 2 . éstos son los
números críticos que determinan los intervalos prueba

. < -1 ,0 > . <0 , V T /2 > . < \¡Ü 2 , \Í2 > . < V 2 , +£«>

5. La Labia 6.5 muestra las pruebas realizadas en cada intervalo resultante.

TABLA 6.5

Intervalo Intervalo Intérnalo Signo de Forma de
prueba para x para y y' (x) la gráfica

<-oo , - 1> <0. +~> <-oo , 0 > - Decreciente

< -l,0> <-«>, 0 > <0 , +«>> - Decreciente
<0 . a V4> <0 . a V 2 > + Creciente
<0 , -ifU2 >

<\¡U Z, V2 > < a \Í2 ,a \Í4> < a \ f í , a V4> Decreciente
Creciente
< \¡2 , +°°> < 0 ,a i¡2 > < 0, a \Í4> +

6 . Intervalos de concavidad

f y = = _2 0 ± r! /

dx2 V 3 « ( l - 2 r )

v" = 0 en t = - 1, e y" no está definida en / = y fíJ l . entonces tomamos como

intervalos prueba < - « » ,- l > < - l . Vi / 2 > , < V 1 / 2 . + « >

Las resultados de concavidad se recogen en laTabla 6 .6 y un resumen de los resultados se

muestra en la Figura 6 .16.

TABLA 6.6

Intervalo Intervalo Signo Conclusión
prueba para x de v" Cóncava hacia arriba
Cóncava hacia arriba
< - « , - 1> <0 , +oa> + Cóncava hacia abajo
<-L VT72>
<-“ . a \¡2 > -
+°°>
< 0 , a V2 > +

EJER C IC IO S . Grupo SO

❖ En los ejercicios I al 4, hallar las asíntotas de las líneas dadas paramétricamenle.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

676 Capítulo 6: Ecuaciones paramétricas

3 . x — 2 f ^ , y — ' 2 <% >. r ? at1 y= a i
I- /2 1- r 2 * i-r1 i-r
4*

5. En el plano, la curva <r está representada paramétricamente por las ecuaciones:

2 i 3Í
x=^r ±i , V= , t € IR. Hallar :
r-3 l +2 7 l- /3

a) Las asíntotas de la gráfica de (-
b) Los puntos, si existen, donde la tangente a (■ es paralela a los ejes X e Y res­

pectivamente.

6 . Sea la curva paramétrica ¿ : x —* , y = —— , t e IR
r+l / - I

a) Hallar las asíntotas de la curva C
b) Hallar las tangentes horizontales y verticales a C.
7. Sea la curva paramétrica definida por las ecuaciones

í-8 3
*=^r¡—- 4- > y - —r ( ^r—- 4;)r - í e I R
a) Hallar las asíntotas de la curva
b) Hallar las tangentes horizontales y verticales de la curva

8 . Sea la curva paramétrica (': xi= —+ 1— - , y = —1 — - , / e IR

a) Hallar los valores de t donde la curva tiene tangentes horizontales y verticales
b) Hallar, si existen, las asíntotas horizontales, verticales y oblicuas.

9o. Scea ila curva paramétrica 0/•■ \ x = 20/=r , y = —5(—4-+---r-2--) ; / e I_R
4 -r- r —4

a) Hallar las asíntotas de C
b) Hallar la ecuación de la recta tangente a é en el punto (20/3, -25/3)

10. Hallar las asíntotas de lacurva paramétrica definida por las ecuaciones

, 2/ 2i

l - ( / - l )3 ’ y I —(/ —l ) 3

❖ En los ejercicios 11al 17, analizar las funciones dadas en forma paramétrica y trazar sus
gráficas.

11.* = /•' + 3/ + I , y = i - 3/ + 12. * y = /•’ - 6 are Tg t
II

1
W

, , 3/ 3/ 2 14. x = t e1 , y = t e ~1

U - * 88 717+7/7’ •’ 7y = 1 + / 3

15. x = i - 2/ . y = i -1 2 / 16. /+ ! 1
X t-1 ’ r

17. x = 2a Cos t —a Cos 2/ , y = 2a Sen t - a Sen 2 t (Cardiode)

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

CAPITULO FORMAS
INDETERMINADAS

FORMULA DE TAYLOR

[ 7 ,l) IN TR O D U C C IÓ N

Unaforma indeterminada es un cierto tipo de expresión con un límite que no es
evidente por inspección. Por ejemplo, si lim / ( . t ) = 0 y |¿m g(jf) = 0 , entonces se dice
que el cociente fx)/g(x) tiene la forma 0 /0 parax = a.

En el capítulo 2 se describió las formas
—0 . -°-°- . UA.OO. 00 —c
0 00

como indeterminadas, ya que por ellos no se puedejuzgar si existe o no un límite, y tampoco
señalar cual es el límite, en caso de existir.

Junto con el método fundamental del cálculo de los límites dé las funciones, existen
otros métodos o técnicas de búsqueda de los límites. Algunos de estos, que tienen la denomi­
nación general de regia de L ’Hospital, se van a discutir en este capítulo.

[ 7 . 2 ) P R IM E R A R E G L A D E L’ H O S P IT A L : F o rm a O/O

El método general para calcular el límite de una función en un número a que tiene
la forma indeterminada 0/0 , seemplea un teorema que establece que bajo ciertas condiciones el
límite del cociente fx)/g(x) se halla determinado por el límite del cociente de f(x)/ g \x ).

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

678 Capitulo 7: Form as Indeterm inadas

TE O R E M A 7.1: La regla de V H osp ital

Sean las funcione* f IR —* IR y g: IR —»IR, tales que
i) Son derivahles en el intervalo <u, b>

lim / ( v) = lim efji) = 0

«—wú

iii) g’LcI í O , V r e < u.b>
/'Ir)

iv) Existe el límite, lim , = L (¿es finito o infinito)
• ‘ <?<r)

Entonces existe el límite
.lI.im -f (-x-) = l.i.m r -fc>- = L,
g(x\ g'i c)

DemostrtU'Um: Por las condiciones del teorema, las funciones/ y g no están definidas en
el punto a. Definámolas eligiendo dos nuevas funciones F y G, extensio­

nes d e /y g respectivamente

FU) = { sisxi =x a* a y CU) = 1[ 0 , sisix*=* a a
l U,

Ahora, F y G son continuas en el puntoa y satisfacen las condiciones del Teorema de Cauchy
(teorema del valor medio generalizado) sobre cualquier intervalo[a. .r], donde jc e <a, b>.
Por esto, para cada x e <a, b>, existe un número c = c(.c) e <u, x>, tal que:

F'jc) = F( x) - F( a) _ F ( x ) - 0 _ F(x) (I)
G ( c ) G( x) - GUi ) G(x)~ 0 G(.x)

Además, lim c( jc) = a

Ahora c depende de x, pero como está atrapado entre x y a, debe acercarse a a cuando x
lo hace, es decir, si

jc —»a \ entonces c —» a* o # . - »________________O

a cx b

Por esto, si existe lim —F*-(---X--)- = lim f-*--(-----= L, entonces la regla de cambio de varihle para
G ( jc) g'(x) & K

los límites de una función, se deduce que el

lim ?P M(c ) = lim £ ^ 1 = L
G' (c) g'(c )

Luego, en (1), se sigue que:

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 7.2 : Primera regla de L 'H o sp ita l: Form a 0/0 679

y concluimos que:

x—tu g(x) g'(x)

El teorema7.1 sigue siendo válido con las transformaciones naturales, tanto en el caso del límite

lateral izquierdo ( j c — * o') como en el caso bilateral (jc — » a ) .

Corolario Si lim / ’ ( j c ) = lim #’ ( * ) = 0 y f , g' satisfacen las condiciones del Teorema

x —k i* x-*a*

7.1, entonces

1¡m Z « = |im £ < í > = lin, r w

x->** g(x) x^„* g (x) g''(jr)

bajo el supuesto de que el último límite existe.

TEOREM A 7.2

Sean las funciones / : IR —» IR, g : IR —» IR, tales que
i] Son derivables cuando x > c

¡i) lim f ( x ) = 0 y lim g(x)- 0

iii) g'(•'•) * 0. V jc > c
fr

iv) Existeel lim ------ = L (Les Finito o infinito)
g'(x)

Entonces existe también el límite:
lim f ( x-) = l..im —j ' (—x )
£ ( ' ) *“*+“ g ( - 0

Demostración: ] Sin perder generalidad podemos considerar que c > 0 .

Realicemos el cambio de variable x = l/t
Las funciones F{t) = j{\h ) y G(i) = g(\lt) están definifas sobre el intervalo <0, l / o ;
si jc —» + *», entonces / —»0 * viceversa.
Sobre el intervalo <0, l / o existen las derivadas

= y G'(i) = - j g - ( i / t )

de modo que: ~ ( 1)
4 G (t) g-(\/t)

De lo dicho y de las condiciones del teorema se deduce que las funciones F{t) y G(t)

satisfacen sobre el intervalo <0,1 / 0 lascondiciones (i), (ii) y (iii) del Teorema 7.1

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

680 Capítulo 7: Formas Indeterminadas

Mostremos además, que la existencia del lim , el cual designamos p1or L. es decir,
H■ *-».♦«<*) ~

que se cumple también la condición (iv) del Teorema 7.1.

En efecto, utilizando lasexpresiones obtenidas en (l)para las derivadas P(t ) y hallamos:

lim —^ (—0 - lim.—y o-/--r-)- - .l.im / ( a i) = ,L (2)
r-.ü+ G (t) »-»o+g ( \ / ¡ ) *-»+*• £(a)

Ahora, del Teorema 6.1, aplicado a las funciones F(t) y G(t). se deduce que lim ~F(—i) —L.
oír)

Pero

F(t) _ / ( I /r ) _ / ( jt )
G (0 £ (1 /0 g(x)

donde x = l / / , por esto lim —F(—t)- = 1.h.m ■/ ( a ) = .L nt
y de (2) y (3) concluimos que:
,-»u* G(r) *->+~ g(x)

lim = bn f { X )

¿ (a ) * -* ♦ -£ '(* )

Este teorema sigue siendo válido si se hace la transformación correspondiente para a

EJEMPLOS ILUSTRATIVOS

(E J E M P L O 1 ) Calcular: lim 3 a - I 0 a + 3

vx* — 4 a 2 + A + 6 ,

‘Solución En este caso a = 3, f{x) = 3 a 2 - 1 0 a + 3 y g ( A ) = x?- 4 a 2 + x + 6

La sustitución directa nos lleva a la determinación 0/0 y como f y g son
continuas y derivables en una vecindad restringida de 3, entonces aplicamos la regla de
L’Hospital para obtener

L = lim -^7 7 -7 - lim . 6, a - 10 'i I8 -I0 - o

#(*) *-» -H 3 a - 8 a + I ■J)» —2 7 - 24 + J

(VEJEM P LO 2' *) Calcular: lxi-m>l I —x + Lnx

J-Jlx-x1

Solución La función J[x) = 1 - a + Ln x es continua y derivable V x > 0, y la función
g ( A ) = l - V 2 x - A 2 , es continua V x e [0 .2 ] y derivable V x e < 0 ,2 > . Todas las

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 7.2 : Primera regla de V H o sp ita l: Form a 0/0 681

condiciones de la regla de L'Hospital severifican. En particularcomo lim f ( x ) = lirn(g(jt) = 0.
entonces

¿ = lim = lim -] +

2 —2x

k 2 t¡ 2 x - x 2 ,

= lim (Algebra)

jr-»l

■J2 - Í

= -1
-1

( 1 - 2 are Tg
í EJEM P LO 3 1 Calcular: lim

V M i->+~

Solución Por simple inspección vemos que el límite tiene la forma indeterminada 0/0
Como todas las hipótesis del Teorema 7.2 son satisfechas, apliquemos la regla de

L’Hospital realizando un cambio de variables, x por l !u. Ahora las funciones F(u)=f[\/x) y
G(u) = g(\/x) están definidas en el intervalo <0, l / o ; si x —»+«>, entonces w—>0*. Luego:

L = lim f i 2- 2 are Tg u \ Forma —
l0
a-*n*

2 u—

L = lim = lim
«-*(•* G (w) „-»»♦

- Hm { 2u ^ r l = - 2

l. l + u 2 J
En algunas ocasiones es posible simplificar un límite antes de usar la regla de L’Hospital. El
siguiente ejemplo indica el método a seguir.

„ v ( \ - C o s J x - 2 ) \ e *'2+ S e n ( x - 2 ) - l ]
(E JE M P L O 4 J Calcular: lim ------------ 57;---------------- ¡7^-------------- ;—■
*» * ( x - 2 ) Sen(x—2) Ln ( x - l )

ISolución 1 La sustitución directa nos lleva a la indeterminación 0/0.
Como puede comprobarse, la aplicación inmediata e ingenua de la regla de

L’Hospital sería bastante laborioso. Sin embargo, ordenando convenientemente los términos
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

682 Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas

del límite, dándoles la forma de algunos límites trigonométricos conocidos tendríamos:

L = lim 1—CoSyJx- 2 \[7^1 W ‘2 + S « n (x -2 )-l
Sen y x - 2 I 3 Ln( x- l )
x-2

= 1 , entonces
Sen u

(1) lim e'~*+Sen(x-2)-l ^Forma ^

jr-» 2 + 3 L n ( x - 1)

Ahora intentamos con la regla de L’ Hospital, obteniendo:

L= 1 .. e*<-2*+ CV?í(jc —2 ) I f e" + Cos 0
lim ------------ =—
6 j —»2+ 1 6

jc—1

\Nuta 1 Aplicación repetida de la regla de L ’Hospital

En la evaluación de ciertos límites indeterminados es necesario aplicar la regla de
L’Hospital más de una vez para lograr que la indeterminación desaparezca. Sin embargo, debe
comprobarse las condiciones de su aplicabilidad en cada ocasión. Esto se ilustra en los si­
guientes ejemplos

(v E JE M■P LOi 5 ^] Evaluar el ,l_im»[i lf x _ $—en—x

Solución Como la sustitución directa nos lleva a la indeterminación de la forma 0/0,
aplicamos la regla de L'Hospital, esto es:

Iim 4 ^ = lim [ Sec\ x 1 | = lim Tg1* (Todavía 0/0)
g' (*) *-*111 1—Cos x J 1-Cos x

L=í¡m r w = limf l ^ s £ E ^ 1 (Regla de L’Hospital otra vez)
*-»o g (jc) *->o ^ Sen x (Simplificación trigonométrica)

~ Xli-m+f)(2 Sec* x)
= 2 (1)3 = 2

¿EJE M P LO 6 „} Calcular: Iim — —2)g + * + ^
h. J ,-mi (e* —1)

\Solucwn\ Cuando x —> 0, el numerador y denominador tienden a cero. Entonces por
la regla de L’Hospital se tiene:

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 7.2 : Primera regla de L 'H o sp ita l: Forma 0/0 683

*-»" 3 ( * * - l ) V (FormaO/O)
(Algebra)
= lim -3--(-e-;*x-*-e--*---—2--e-e*2=-*-+-+-í--e--x--)
,->•) (Aun de la forma 0/0)
(Algebra)
L = lim
*-•" g" ( * ) *-»'> 3(3eíx -A e 2* +e ' )

x

= l i m 3(3e2* - 4 e x + ])

L = lim = lim

1I
3(6-4) 6

Ñuta Uso incorrecto de la regla de L’Hospital
La regla L’Hospital aplicada indebidamente puede llevar a resultados falsos. Recuer­

de que la primera forma de la regla de L’Hospital puede aplicarse a cocientes que nos llevan a
indeterminaciones de la forma 0/0. Por ejemplo la aplicación siguiente de la regla de L’Hospital
es incorrecta.

í EJEMPLO 7) Sen 3x
Calcular: ,l_im*u { x -2 S e n 2 x

¡Solución | La sustitución directa nos lleva a la indeterminación 0/0. Ahora, si sólo
aplicamos dos veces sucesivas la regla de L’Hospital el resultado será un cálculo

incorrecto, pues

L = lim f 2- S 3jr— ) =lim 3 Cos3x
. \x en2x ) 2x —2 Cos 2x

= lim ( - -—9 Sen—3—x 'l = 0 , esfalso
^2 + 4 Sen2x )

( 3 Cos 3x ^
La razón de que este resultado esté equivocado es que el lim I —-----2 Cos2 I n° CS Una

forma indeterminada, por lo que no es aplicable la regla de L’Hospital. El cálculo correcto es:

L= lim I x 2,S-eSne3nx2-x;1)} =lim í 3 C ° S3X )
l x-*« l 2 x -2 Cos2x I

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

684 Capítulo 7: F orm as Indeterm inadas

_3(') _ _ 3

0 - 2 ( 1) 2 ■

El objetivo del Ejemplo 7 es hacer una advertencia. Verifique la hipótesis de la regla de

L’Hospital antes de aplicarla.

[ 7 .3 ) S E G U N D A R E G L A D E L’H O S P ITA L : FO R M A W

T E O R E M A 6 .3 : L a re g la d e L ’H o s p ita l

Sean las funciones / I R I R \ e: IR —» DL tales qut
i) Son dilercnciahlcs sobre el intervalo <c¿, ir>
ii) lim f ( x ) = *« . liin g(.v> = «

1 -.u*
iii) g'(x) * 0. V x e <«, b>

iv) Existe el límite; lim ^~r - L (¿esfinitooinfinito)
g (x)

Entonces existe también el límite

liiiimn t o r w = i
J g(x) .t*'U)

Demostración Supongamos en principio que el número L es Finito y, mostraremos
que si

g (x) lim /< '> = L
g(x)

En efecto, para esto, elijamos los puntos jq, y x tales que 0 < x < x o<,b

o-
a

Entonces sobre el intervalo [x, a„] las funciones/y g van a satisfacer las condiciones del
Teorema de Cauchy. Es decir existe un número c e <x, x„>, tal que

(H

g ( * ) - g ( x cl) g’ (c)

Es evidente que ei punto c depende de la elecciónxle los puños x y au, esto es, c = c (x, x(l).
Delafórmula (l)hallemos la relación f{x)/ ^(x)escribiendo:

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 7 .3 : Segunda regla de L 'H ospital: F arm a <*>/«» 685

, / ( * o) , g(xn)

\ M f(x) f ( c ) f(x) J f ( c ) ] g{x)

s‘ (c) «(•*) L ¿ < c ) i, /(-*■■)

*(*) /(*)

Si para unjc„dado, por la condición (ii) del teorema obtenemos

lim fg;(—x)t- _= I

♦flt 1. - / ( * „ )

/(J C )

Sin embargo, en la parte derecha de la fórmula (2) no se puede utilizar la propiedad sobre
el límite del producto de funciones, pues los límites de los factores que allí aparecen se
toman en diferentes condiciones; en un caso, el punto jr0 —» a, y en el otro el punto
Xf, es fijo, y x —» a. No obstante, V e > 0, siempre se puede escoger a„ tal que la relación
f'(c)tg'(c) sea tan cercana al número L, V r e <u, jcn>, y luego escoger 8 > 0. tal que la

¡ gUq)

relación f / X\ tan cercana a I V * e <a, a + 8>, que como resultado para todos los

■ )/ ( ■ * »
/U )

x señalados se cumplirá la desigualdad

f(x) _ L x~*a' Z(x)
g(x)

Con lo que el teorema está demostrado para el caso de un límite L finito.

Analicemos, ahora el caso del límite infinito

En efecto, supongamos que f1{x\ cuando x —> « + , entonces 3 n,. > 0 /

------ > «>
S (■*)

V jte <a, a, +n,>, tendremos

o

Z '(X )

Fijemos tamhién un xlte <a, a + n,> ya que tendremos que utilizar otra vez la fórmula (2).
Por último escojamos n2e <0, x,, - ií>/ V r € <a, a + n?> donde tenga lugar las desigualdades
IJ[x) I > 1,/Uo) I y lg(jc) I> lg(jc„) I, a consecuencia de los cuales

l_Zííü2>0 y |_líí«2> o (3)
/(-*) g(*)

Entonces, V x que satisfacen la condición a < x < a + n2, se cumplen las desigualdades (3),
también la desigualdad

f ,( c ) > ü , donde x < c<xa
g (c)

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

686 C apítulo 7: Form as Indeterm inadas

y es válida la fórmula (2). De ella se deduce que para los x señalados Z í ü l > 0 . es decir,

lim ¿ M = t .

*-»«+ £ (*)

De forma análoga se analiza el caso

f(x)_
xt-i>™„+ • s — OO
g
U)

El teorema 7.3 sigue vigente cuando se hacen las transformaciones naturales, y cuando
x —» a ',x —>-H>° y x —¥ -«a, asi como en el caso de los límites bilaterales.

[EJEM PLO 81 Calcular: lim Ln(Sen 3x)
Ln ( Sen x)

Solución Como la sustitución directa da al límite la indeterminación aplicamos la
regla de L'Hospital

L, = .li-«im-*« ¿fg-(--(x-x-)) = h..m 3 CoTg 3x (Todavía de la forma « /« )
CoTgx J
{

= lim 3 Tgx (Ahora de la forma 0/0)
Tg3x

L - lim ■f "..( x )- = lim ( 3 Sec1 x

( EJEMPLO 9) Calcular: lim e +3x2
Jj-—»>++e-- ^4er+ 2xJ

\Solució¡i\ Ya que el numerador y denominador tienden a +«>, podemos aplicar la regla
de L’Hospital. que nos conduzca a

L = lim - ^ = lim í 6 + ^X 1 (Forma “ /<»)

'-*«• í ( r ) *-++“[ 4e'<+ 4 x J

=^L= lim g^" ^ ) = lim í 4€e* + 4 1 (Todavíade la forma«/«»)
(* I

L, = lii-m / " ' ( •—*—) = „lim f
g''' (x) *-*+- [ 4e* ,

[E J E M P L O 1 0 ) Calcular: lim , n e N y ¿i> I

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

Sección 7.3: Segunda regla de L 'H ospital: Forma 687

Solución El límite tiene la forma indeterminada “ /«», y como n e N, aplicamos la regla
de L’Hospital n veces, para obtener

= * L = lim = ......
') *^+-\a'Lna) a*(Ln a)

= lim ------- -------= 0
,_+« a l ( Lna) n

De esta forma cuando x —» + ° o cualquier grado de jc" crece más lentamente, que la función
exponencial a',a > 1.

Nota: Uso incorrecto de la regla de UHospital

Se debe tener en cuenta que la realización de cálculos según el modelo del
Ejemplo 10, está justificado sólo en el caso cuando como resultado se obtiene un límite
finito o infinito.

(E J E M P L 0 1 1 ) Calcular lim í 2* Sen x \
»* *-**-\<x + Sen2x )

Solución Cuando x —»+**>, numerador y denominador tienden a +<». Sería erróneo
aplicar la regla de L’Hospital, puesel límite

2 —Cos x , no xiste
L = lim 4g t(«^*)= *l-i*m+•* x + 2 Cos 2x

¿Qué podemos concluir sobre el límite (1)? Nada en absoluto. La regla de L’Hospital dice que si

lim i f l g ) existe, entonces Xli-mt»1 ( / / g) existe. Nada dice para el caso en que lim ( f !g')
^^
I tw

no existe.

Sin embargo, la indeterminación 00/00 de (1) puede ser resultado directamente por la forma

elemental, como sigue

2 Sen x

L = lim í jc + Sen 2x J = |¡m ----- — ^ (Algebra)
^ Sen 2x

2 -0 (porque ISenxl< I)

1+0
=2

Otro caso incorrecto del uso de la regla de L’Hospital es que no simplifique el problema de
cálculo del límite de una función.

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

688 Capítulo 7: Form as indeterm inadas

( EJEM P LO 1 2 ) Calcular lirn ,_____

Solución Como el límite toma la forma «• /«., al aplicar la regla de L'Hospital resulta que

L = lim = lim = lim
g (*) *-*— X

'Jx2 + 4

esto es, se obtuvo el límite de una función inversa a la dada, de modo que el problema perma­
nece invariable, sin solución.
En estos casos el límite dado se halla fácilmente por el método elemental

L = lim x = .l.im x

\x\Jl+AJx2 -jtV i+ 4 /jT

= lim 1 = -l

-V i+ 4 /.

Como comentario final diremos que la regla de L’Hospilal también puede emplearse para
concluir que un límite es infinito.

E J E M P L 0 1 3 ) Calcular lim ( e‘ + 2 \

9 jc + 2 jt

^$ohtciótQ Dado que la sustitución directa nos conduce a una indeterminación de la forma
« / oo aplicamos la regla de L’Hospital, para obtener

L - lim /■ ( * ) lim Ir es +2 (Forma « /« )
g'(x)
*->+~ |^3jc2 + 4 *

= lim /" O O *l-i.m+« |í'^6-x +- 4l J (Aun la forma oo/»)
*-»+— g " ( x )

= jrl—im»+•» r 'w _ : *l-i*m+~ l 6J
g"(x)

E JE R C IC IO S . Grupo 51

4* En los ejercicios lal 30, calcúlese cada limite, usando la regla de L’Hospital cuando sea
necesario

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales

EJERCICIOS. Grupo 51: Formas indeterminadas 689

x are Tgx xli-m.ll e' +e~' —2
3. iim x Sen x

I -Cosx

5. ( x+Senx 6 . lim ■ J Z H '
Um y3-x--+--C--o--s-x--
J4x2- x j

7. Ili-m.0 2eA- x 2 - 2x - 2 8. xli-m»2 x —2 Cos KX
jr - 4 ~

9. H*-»m*> ^ x —Senx 10. lti-m»0 ( LnQ+x1)'
y e' - Cosx j

U“ .• ,ti-m»ti x - are Sen x 12. lim 1- x + Ln x
.1 -»! J —J l x - x 2 ,
Sen* x

13 ür-m.« eA—2 Cosx +e~* 14. Iim Sen 2 x + 2 Sen2x - 2 Sen x

x Sen x r-.ll Cos x —Cos2x

m Sen x —Sen mx 16. Tg nx - n Tg x
15. l*i-m*» x(Cos x —Cos mx) Uv-m.ll ^n Sen x - Sen nx j

A17/.' ,Xi—m*11 ex +Ln( 1 - jc) - 1 18. Iii-m.» ^x+Senx-- 4 Sen X ¡2
^3 + Cosx--4 Cos X
Tgx-x f2

19. lim m' Sennx—nASenmx 20. lTim-»l (Lnx)m + ( l - x 2y 14
\ Tg nx - Tg mx
Senv \ x - 1)

eu47x - 1 Sec(nxl 2)
2 1 . lim yjSen bx
22. lri-m*i Ln ( [ - x )2

23. lri-m*l x Tgx- bi(x + l)+x 24. l«im-.i Ln(\-x)+Tg(nx/2)
Cotg nx
Sen2 *

e * ' - l - x 3' Cos x . Ln( x- a)
25 lim 26. lim ----------- — i—— -

Sen6 2x Ln(e —e )

27. lxi-mWI e*-(x* / 6) - ( x 2 / 3 ) - x - l
Cosx+(x2 12)-1

Ln(I+ jQ 4 - 4 x + 2 x 2- ( 4x2I3) + x4

28. l'm
6 Scnx-6x +x3

Sólo fines educativos - LibrosVirtuales