140 Capítulo 2: Limites
K" •c >ls " fc. •>!
* *i ' MI* i • t* ; ' +r
s: f , \
1> s.t 1> . -S.I
* i
1
F IG U R A 2.1
Por ejemplo, son vecindades del número *„= 2 los siguientes intervalos
(2 - 1/5 , 2 + 1/5) V i/5(2) = ( 9 /5 . 11/5)
(2 - 1/2 , 2 + 1/2) .=> V in(2) = (3/2 , 5/2)
(2 - 1 / 8 . 2 + 1/8) - {2} ^ V i/b*(2) = (15/8 , 17/8) - {2}
| O B SER V A C IO N ES 2.1
a) Esta claro que con la disminución del número positivo e, las vecindades correspondientes
V,(jt0) dism inuyen, es d e c ir, si
0 < e , < e , < e 3 o V t (X() c c Vrj(*„)
b) Si E < E, < £ ,. la intersección de las vecindades de x n , V( (jCq) y V (x0) es una vecindad
de j c , es decir 12
=\(V n
c) P ara do s pun to s cu alesquiera de la recta real , .x0 , x , existen vecindades que no se
intersecan.
En realidad , si x fí e IR , e IR y jc0 < jct , existen £, > 0 y e, > O tales que
v ,(*„) n V J a:,) = «
Esto ocurre cuando se tom a : £ ,= £ ,= 1 (jc, - jc(>)
Definición 2 .2 : PUNTO D E ACUMULACIÓN
S ea el conjunto S e IR y j t , e IR . entonces x0se llama punto de acum ulación de S . si y solo
s i . todo intervalo abierto centrada en .^contiene por lomcnos un punto .ve S , distinto de
x 0. Esto es
jc(I es punto de acumulación de S <=> V Vf*(A(¡) y £ > 0 , se cumple
( ( * „ - £ , ) n 5*0
o equivalentemente
xu es punto de acumulación de S e=s ( V e > 0 , 3.x e S) / 0 < lx -jc0l < £
La Figura 2.2 muestra una ilustración geométrica de esta definición. Si x e S pero no es punto de
acumulación de S , entonces se dice que .v es un punto aislado de S. (Vease la Figura 2.3)
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Sección 2.1 : Introducción 141
EJEM P LO 1 J Sea el conjunto S = ( 3 , 7 ] , determinar si los siguientes puntos :
a) *0= 3 b) xa= l c) jc0= 8
son o no puntos de acumulación del conjunto S.
Solución Construyamos previamente un radio e > 0 .m uy pequeño, tomando
E = —17 -- —3 I , n € N y eligiendo n —I2obtenem os e = 1/3
Luego, construyamos vecindades reducidas para cadaxncon E = l/3 .A s i:
a) Para xf¡ = 3 e S : V in*(3) = (3 - I/3 , 3 + I/3) - {3} = (8/3 , (0/3) {3}
«=* ( <8/3 , 10/3) - {3}) n <3 , 7] = (3 , 10/3) *
b) Para í (|= 7 e S : V m*(7) = ( 7 - 1 / 3 , 7 + 1 / 3 ) - { 3 } = (20/3 , 22/3) - {7}
« ( (20/3 , 22/3) - {7} fl <3 , 7] = (20/3 , 7) * $
c) Para .tu= 8 i S : A quí tom am os e = I—8 *-7—1 y sí n = 5 ■=* e = 1/5 = 0.2
Vu2‘(8) = (8 - 0.2 , 8 + 0.2) - {8} = (7.8 . 8.2) - {8}
^ ( (7.8 , 8.2) - {8}) fl (3 , 7] = 0
En consecuencia, son puntos de acumulación de S , x B= 3 y jc0= 7. ■
No es punto de acumulación de S , x = 8
En la Figura 2.4 podemos observar que cualquier x e (3 , 7) es punto de acumulación de S
(Verificar para^lJ= 5). En general, todo xfíe (b, c) es punto de acumulación de (& .c),incluso
b ye.
"V
s
F IG U R A 2.4
E JE M P L O 2 ) Comprobar que el conjunto A = { 1 ,2 , 3 ,4.6} no tiene punto de acumu
lación.
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142 Capítulo 2: Límites
Solución En efecto , elegimos £ = d /2 , donde d e s ia menor distancia entredós elementos
consecutivos del conjunto A , esto es , £ = 2 ——^1 ^1 . Con e elegido cons
truimos las vecindades Ve*(jc(t)
( 1 - 0 . 5 , 1 + 0 .5 )- {1 } = (0.5, 1.5)- {1}
(2-0.5, 2 + 0.5)-{2}= (1.5,2.5)-{2}
(3 - 3.5 , 3 + 0.5) - ( 3 ) = (2.5 ,3 .5 ) - {3}
(4.6 - 0.5 , 4.6 + 0.5) - {4.6} = (4.1 ,5 .1 )-{ 4 .6 }
Luego: ((0.5 , 1.5) - {1}) fl A = 0 , ((2.5 , 3.5) - {3}) fl A = <J>
((1.5, 2.5)-{2}) n A = 0 , ((4.1 ,5 .1 ) - { 4 .6 } ) fl A = 0
Por tanto, el conjunto A no tiene punto de acumulación. ■
En g e n e ra l, todo conjunto finito S = { .r,, x 2 , jc3 jen} no tiene punto de acumulación.
(EJEMPLO 3 ^ Determinar las puntos de acumulación del conjunto
S = {jc l.r = 1/n , n e N}
Solución Al definir S por extensión , S = {1 , 1/2 , 1/3 , 1/4 , } , vemos que el único
punto de acum ulación posible es x = 0 , pues si x = 1/n sólo necesitam os cons
truir una vecindad reducida Ve* (l/n ) , donde £ = d í l , siendo d ía distancia entre dos elementos
consecutivos de S , entonces : e = < -1----- 1
n n -1
Dado que, para todo valor de e existirá siempre un valor de n suficientemente grande como para
que jc = 1/n < £ , entonces ,
(1/n) e (0 - £ , 0 + e ) - {0} , es decir , Vr*(0) n x e S * 0 ■
Por tanto , x = 0 es un punto de acumulación del conjunto S.
«*■ 1 1 . *•>*
o ■ i ■»
-e 0 je m n* i
t _____________________________ ,-j
FIGURA 2.5
Definición 2.3 : CONJUNTO ACOTADO
Se dice que un conjunto S c [R es acotado si está contenido totalm ente en una vecindad
V £ í), para algún «•> 0 y algún .x e R Es d ecir, existe un n ú m e ro a , llamado co ta , tal que
Formalmente7 I*1 < a <3t-a £ x £ o , V * e S
<=> V j cb S , 3 a > 0 7 1*1 á a
S esacotado si
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Sección 2.! : Introducción 143
Por ejem plo, el conjunto S = (-2 ,2 ) está contenido en la vecindad V ,(x), luego, está acotado
por 2 , pues : | jr I < 2 <=> -2 < x < 2 , Vx € S
1 Nota. Otra forma equivalente de definir un conjunto acotado es como sigue. Un conjunto S cIR se
dice que es acotado si existen números a y b tales que para cualquier x e S se cumple la
desigualdad a < x < b , donde a y b son las cotas inferior y superior de S . respectivamente.
Formalmente:
S c IR es acotado <=> 3 a , &e IR I a < x á fr , Vx e S
Es evidente que si algún número c es una cota superior o inferior de un conjunto S , entonces
cualquier número mayor o menor que c es también cota superior o inferior de S. Entonces la
existencia de una cota superior o inferior de un conjunto asegura la existencia de infinitas
cotas superiores o inferiores para dicho conjunto. oi_r C o ta s s u p e r io r e s d e S
< C otas inferiores d e S S
Porejem plo.parael conjuntos = { x e R | -1 < x < 3} = (-1,3] cuya representación en la recta
real es
-t
los n ú m e r o s , . . . , - 3 , - 2, - 1 son cotas inferiores de S .siendo *1 la m ayor de estas c o ta s, pues
x > -1 , V x e (-1 ,3 ], Del mismo m odo. los números , 3 , 4 , 5 , . . . son cotas superiores de S,
siendo 3 la m enor d e estas cotas, por que x < 3 . Vx (-1 , 3J.
Definición 2.4 : FUNCIÓN ACOTADA
Se dice que una función / : A —> B es acotado sobre un conjunto S c A , si el conjunto de
imágenes /( S ) está acotado, es decir, si existe un número real r> 0 , llamado co ta , tal que
|/fx ) I < r , V xe S e A
o equivalentemente
/( x ) es acotada sobre S < = > 3 m , M | m < /( x ) < M . V x e S
donde m y M son las cotas inferior y superior , respectivamente.
E JE M P L O 4 ] D eterm inar si la función /: x —> 1 + V5 + 4x - x3 es acotada sobre
----------------------- S = [ - 1 , 4 ] .
Solución R egla de correspondencia de / : y = 1 + V5 + 4 x - x 2
<=> y - 1 = V 9 - ( x - 2 ) 2 « ( x - 2 ) 2+ ( y - l ) 2 = 9
La gráfica de la función / (Figura 2.6) es una semicircunferencia de centro C ( 2 ,1 ) y radio 3.
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144 Cafjílulo 2; Limites
Dominio de la función: Y,k v= 4
/ esre a l 9 - ( x - 2 ) 2 > 0 ■=> ( * - 2 ) 2< 9 4
<=> - 1 < * < 5 4T ~ j K 1
Luego, S c D o m ( / ) = [-1 , 5 ] *
Us) / !
Obsérvese que la función es creciente para x e [-1,2] I. V ' *1
t* J ____
=> R a n ( / ) = [ / ( - I ) , / ( 2 ) ] = [ l , 4 ] -1 0 1 /V A..
l1 lC1 ( 1 5
12 3 4
Se concluye que Vx e S = [-1 , 4 ] , se tie n e : — s — -I
fc.
f( x) e [ 1 . 4 ] , por lo q u e , la función / es acotada inferior y
F IG U R A 2.6
superiormente. ■
( e j e m p l o 5 ) Hallar el m enor número M con la propiedad de que
4 x - 2jc2 < M , VjceíR
Solución Sea f ( x ) = 4 x - 2x2= 2 - 2(jc - 1)2 «=» y - 2 = -2(x - 1 ):
La gráfica de / es una parábola con vértice en
V ( 1 .2).
Si 2(x - l ) 2= 2 - f ( x ) y c o m o 2 ( x - 1)2> 0 , V x e IR , entonces
2 - / ( x ) > 0 <=> / ( x ) < 2
Esto es , f ( x ) < M «=> M e ( - » , 2 ]
Por lo q u e , M = 2 es la menor de las cotas superiores de / ( x) para
los cuales: 2 ( x - 1 ) 2 > 0 , V x e IR ■ F IG U R A 2.7
I Nota. Las propiedades de los números reales más usuales para la acotación de funciones,
son las siguientes.
N R .l: S¡a>O A |jc|<0<=>-o<jc<cr
a<b — > 4-
N R .2 : Si a y fe tienen el m ism o signo y s i : « ab
a > b <=> — < -J-
ab
N R 3 : V c e R , | a | 2= o 2
N R .4: Ve e R , I-a I = Ia !
N RJ: Va,be R , |a-M = |6-a|
N R .6 : V a .f c e [R , | a b \ = ] a \ \ b \
NR.7 : V a , b e i R , M
\b\
N R .8 : V a . f c e R , l a + fcl < | a | + | 6 | (Desigualdad triangular)
N R .9 : V f l e R , a 2> 0
NR. 1 0 : S i a < x < b «=> | x | < m a x { l a l , Ifcl}
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Sección 2.2 : Noción de límite de una función 145
E jem plos:
1. S i - 3 < x < l t = » | x l < 3 , porque 3 = max { I-3 1 , | 1 ! }
2. Si -5 < j r - 2 < 8 i=^ ia: - 2 I < 8 , porque 8 = max { I-5 I , 18 I }
3. SÍ -6 < 2jc - I < -4 | 2* - 1 I < 6 , pues 6 = max { I-6 ! , I -4 | }
N R .ll : S i f l < x < ¿ e = > j r < u 2 , u = max { la I . \b I }
Ejemplos :
1. Sí - 5 < 2 í + 3 < 2 —> (2x + 3)2< 53 , pues 5 = max {1-5 I J 2 1}
2. Si 2 < x + I < 7 t=> (x + 1)2< 72 , porque 7 = max { 12 1 . 17 1}
N R .12: S i l x í = n < = > n < x < n + l , V m e Z
D efinición de la fu n c ió n Valor A bsoluto
l/(x)l = s i / (.jc ) > 0
Ejemplos si /(x ) < 0
1. 3 x - 2 > Q t=$ 13x - 2 I = 3 x - 2
2 . jc2 - 1 < 0 I jc2 - 1 I = - ( jc2 - 1 )
jt + l x+ 1 JC+ 1
3. < 0 «=i>
x- 3 x —3 x —3
(2 .2 ) NOCIÓ N DE LÍM ITE DE UN A FUNCIÓN
Hasta aquí se ha visto todo lo concerniente para tener una idea de límite de una
función. Para introducir esta idea comencemos con un número L y una función / definida en
las proximidades de un número xQ(punto de acum ulación), aunque no necesariam ente en x0
m ism o.
A hora, una traducción de
lim f(x) = L (2.1)
podría s e r :
“ Cuando x se aproxima a x0, /(x ) se aproxima a L ”
“ Para x próximo a x0, f(x) tiende a L ”
“ Cuando x tiende a x , f( x ) tiende a L ”
Como en la mayor parte, nuestro interés está relacionado con los valores de /(x ) en los
puntos x cercanos a x0(traducción m atem ática de una vecindad d e x 0), las vecindades des
empeñan un papel im portante en la noción de lím ite de una función.
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146 Capítulo 2: Límites
Luego, si deseamos considerar lo que sucede a/(jc) cuan
do * —»;c , podem os usar vecindades para describir el movi
miento del punto ( j c , /(jc)).
Dada una vecindad N y una función / , podemos construir
una-faja horizontal en el plano XY que contenga a todos los
puntos (jc, y) tales que y e N (Figura2.8). Un caso importante
se presenta cuando existe una vecindad M de x0tal que todos
los puntos (jc , y) están en la faja con tal que jc € M. En este
caso cuando x —».c0, el punto (jc , /(x )) quedará finalm ente en
la faja horizontal determinada porN .
[ e j e m p l o 6 ) Sea la función /( x ) = — ^ -^ + -2 , x * 2
a) Para qué valores de x se tiene que /(x ) € V (3)
b) Para qué valores de x , /( x ) e V£(3)
Solución S i / ( x ) = ^ - ^ 2* ^ ^ /( x ) = 2 x - l , x * 2
a) Com o el D o m (/) = IR - {2} , se trata de hallar una vecindad
re d u c id a en x 0 = 2 , e sto e s , M = V£* ( 2 ) , p a ra el cual
/ W e N = V K(3).
En el diagram a de / ( Fig. 2.9) se observa que /( a ) = c y
f{b)=d.
Dado que: c e V |r,(3) i=s c = 3 - 1/2 = 5 /2
< J e V ¿ 3 ) o d = 3 + l / 2 = 7/2
A h o ra s i, f ( a ) = 2 a - 1 *=> 5 /2 = 2 a - 1 <=> « = 7/4 = 2 - 1/4
f ( b ) = 2 b - 1 => 7/2 = 2 6 - 1 <=> 6 = 9/4 = 2 + l / 4
L u eg o , V x e V |/4*(2) = (7 /4 ,9 /4 ) - {2} , se tiene que /(x ) € V 1/2(3)
b) Si / ( a ) = c «=> 2« - 1 = 3 - e o a = 2 -E/ 2
f ( b ) = d ■=> 2fc- 1 = 3 + e 6 = 2 + e/2
L uego, / ( x ) e-Vt(3) , V x e V^*<2) = < 2 - £ / 2 , 2 + e /2 > -{2}
[EJE M P LO 7 ) Para la función /( jc ) = x + 2
a) Trace su gráfica y lea lím ite de / cuando x —>x0 , siendo x0= 4
b) Construya la figura geométrica que ilustre los entornos
c) Para qué valores de x se tiene que el valor funcional de x esté en la vecindad N = Ve(L).
Solución a) Sea L e í límite de / cuando x —»x0, entonces por la notación (1 .1)
L = lim /( x ) = 4 + 2 = 6
J -* 4
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Sección 2.2: Noción de límite de unafunción 147
b) La gráfica de la función junto con los entornos se muestra
en la Figura 2.10, en donde el número x = 4 aparece sobre
el eje X en la vecindad M = V£(x0) , el número L sobre el eje
Y en la vecindad N = Vc(L). A dem ás se tiene la vecindad
- M, = VÉ(r(|) c M .
c) Deseamos calcular los puntos extremos de una vecindad
M = (fl . b) tal que f ( x ) e N . Luego, si
f ( a ) = c «=>a + 2 = 6 - £ < = > a = 4 - e
» c=> x e V c(4)
f ( b ) = d ■=> 6 + 2 = 6 + £ <=> t - 4 + £
Por lo q u e , /(x ) e V (L) , Vxe VY4)
Definición 2.5 : FUNCIÓN ACOTADA EN UNA VECINDAD N
Dada una función / : R —» R y una vecindad N = V(*(L) o N = Vr(L ), se diee que f ( x ) quedará
en N cuando x se aproxím e a x0, si existe una vecindad M = V 4*(x^ o M = V ^ x J tal que
/( x ) e N , Vxe M.
Formalmente:
/( x ) quedará en N , cuando x —>xn. s i 3 M = Vi(x0) | f(x ) e N , V r e M
El Ejemplo 7 m uestra que las condiciones de la Definición 2.5 se cum ple si se tom a r = s .
Al elegir r = s se halló la m áxim a vecindad posible M = Vr(4). Si se elige otra vecindad más
pequeña se sigue cum pliendo la definición. E sto es , si s < r *=> Vv(4) c V (4) y , por tanto,
se puede elegir a s = r / 2 o s = r/3 o cualquier otro núm ero m enor que r , y la definición se
sigue cumpliendo.
[EJEM PLO 8^ Sea la función f(x ) = 2 - ^ x 2
a) Trace su gráfica y lea límite d e f c u a n d o x —>x0, six o= 0
b) Determine los valores de x tales que f ( x ) quede en la vecindad de N = Vr(L)
Solución a) Haciendo uso de la notación (1.1), se tiene q u e :
L - lim /(x ) = 2
x -» 0
b) L a gráfica de la función junto con las vecindades M y N se muestra en la Figura 2.11.
Cualquier vecindad N de 2 debe ser de la forma N = (c , d ) , donde c < 2 < d . Buscaremos los
puntos extremos de una vecindad M = ( a , b) tal que / (x) e N , siempre que x g V%(x0).
Si y = c i=*c = 2 - i-x 2 <=> x = ± V4 - 2c <=$ a = - V4 - 2c y b = V 4- 2c
En la F ig u ra 1.11 se o b s e rv a q u e si x e <- V4 ^ 2 c , V4 - 2c ) = Vs( 0 ) , en to n c es
/ ( x ) e ( c , d ) = V r( 2 ) . V x g V s(0 ) ■
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148 Capítulo 2: Límites
jÚ E M P L O 9~J S e a la f u n c i ó n g : x —* x + S gn x. Q u e d a rá g (x ) en la v e c i n d a d
N = (- 1/2 , 1/2) cuando x se aproxim e a 0?
x - 1 , si x < 0
. g(x) = x + Sgn* * < x , si r = 0
x + 1 , si x > 0
El D o m ( /) = IR y g (0 ) = 0 + Sgn = 0. S ea M = (a , b ) c u a lq u ie r v ec in d ad d e c e ro ,
esto es M = V5(0). L a g ráfica de g , m ostrada en la F igura 2 .1 2 , pone de m anifiesto q ue
cu a n d o x —» 0 , g(x ) no q u e d a en la v ec in d a d N = (- 1/2 , 1 / 2 ) , pues te n e m o s :
( & /2 ) e M y g(&/2) e N . ■
E JE R C IC IO S . Grupo 8
1. Sea la función f ( x ) = I x + 11 , donde el D o m (/) = { x e (R IV8 -11-x2! ( 6 + x - x 2< 0 ) }.
H allar todos los puntos de acumulación del D om (/) y com probar que existe un único
x0e D om (/) que no es punto de acumulación del D om (/).
2. Sea A = { 1/n | n e Z } , hallar un punto de acumulación de A
3. Determ inar el m enor número M con la propiedad d e que Vx e IR
a) 3 + 3 6 x - 12x2 < M b) 2 - j ^ ~ x ,n < M
4. Determinar el m ayor número m con la propiedad de que Vx e IR
a) m < 9 x I - 4 8 x - 3 6 b) m < 5 x 2 - 2 0 x + 1 6
5. Sea / ( x ) - 4x3 + x 2 + 8 x + 2 , hallar el m enor número M y el m ayor número m , tal
2x + 4x
que Vx e [2 , 5 ], entonces , m < /( x ) < M
6. Determ inar sí las funciones dadas son acotadas inferiormente, superiormente o no son
acotadas.
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Sección 2.3: El límite de unofunción 149
a) /(x ) = | x - 2 | - 3 , x e l R e) /( x ) = - I + V3 + 2 X - X 2 , x e [ - 1 , 2 ]
f) /( x ) = | x - 2 | - | x + 1 1 , x e IR
b) /(x ) = 4 - 2x - x? , x e R
g) /( x ) = 8 - Vx2 + 8x - 7 T x e (-«> ,9]
c) /(x )= x 2+ Z x-6 , x e [2, + ~ )
i» r, . x* +• 5.x3+ 5a2- 5x - 6
. j \ xí » 2 r> í 11 h> f<*>= ------ j ? + 4 x + 3-------
d) «*> = ( F T F •
7, Establecer si f ( x ) quedará finalm ente en la vecindad N cuando x —>xQ. Si la respuesta es si,
producir una vecindad M de x0 tal que x e M = \ ( x (1) implica que f (x) e Vf(L ); si la respuesta
es n o , mostrar porque n o , utilizando un dibujo o un argumento algebraico.
a) / : x —» ( I/x) , N = ( 0 , 2 ) , x n= l
b) / : x —> (1/x) , x0= 1/2
c) / : x —> (1 - 2x) , N = (-5 /2 ,-3 /2 ) , xn= 2
d) rVT -j lV) , N = (1 /4 ,3 /4 ) , *„=1
e) / : x Ix I , N = ( a , b ) , a < 1 <b , xD= l
0 / : * —>l l / x l , N = ( a , b) , x0= 0
g ) / : x - > 3 x ; N = { 2 , 4 ) , x()= l
8. D em ostrar que / : x -» fm x + b) , m > 0 , quedará finalmente en toda la vecindad
de mx„ + b cuando x —» x (1. (S u g e re n c ia : O b se rv esi N = (c , d ) es u na vecindad
de n u 0 + b , entonces (c - b , d - b) es una vecindad demx(1, luego ^ c ^ , ^ ^ b ^ es
una vecindad de x 0).
9. Demostrar que si (fl ,b) es una vecindad de 0 y si (c , d ) es una vecindad de I ,y además,
si / es una función / : x —»(1 - i r 5+ m x) , m > 0 , entonces /( x ) quedará finalm ente
en (c + a , d + b) cuando f ( x ) tiende a cero.
10. Se supone que cuando x tiende a x 0 , /(x ) queda finalm ente en (c , d ) . D em ostrar que
!/(-*)! queda finalm ente en (-1 , m a x ( l c | , \ d I)) cuando x —>x0
(2^3) EL LÍM ITE DE UN A FUNCIÓN
Empezaremos en esta sección con la definición formal de límite de una función
numérica. Dos ejemplos previos introducirán una idea clara de esta definición.
EJEM PLO T ) Sea la función /(x ) = x2- 1 . Qué ocurre c o n /(x ) al to m arx valores muy
próximos a 2?
Solución Para tener una idea del comportam iento de la gráfica de / próximo a x = 2 ,
Sólo fines educativos - LibrosVirtuales
150 Capítulo 2: Límites
podríamos usar dos conjuntos de valores de x , uno que se aproxime a 2 por la derecha y
p o r la izquierda. L a T abla 2.1 m uestra lo s co rresp ondientes valores de f ( x ) p ara varias
elecciones de x próximos a 2. Al m arcar estos puntos se observa que la gráfica de / es una
parábola (Figura 2.13) con un hueco en el punto (2 , 3). Se observa además que, en la
medida que x es un núm ero cercano a 2 ; f ( x ) está muy próxim o al número 3. Decimos
entonces que “ el lím ite d e x* - 1 , cu an d o x —» 2 , es 3 ” y escribim os , según la notación
(2.1)
!im(jc2- l ) = 3 ■
x-*2
TABLA 2.1
[ - " 'S -s e 'íp f^ ñ íá ie! p o rtg jtcttfcráa. > < * x s t apWDMma p o r la •'
’■*-tJti -¡.»i11■ 1.8 1 95 1.99 1.999 2 2.00) 2.01 2.05 | 2.1
2.8025 2.9601 2.996 i 3.004
fix ) 2.240 3.041 3.202 | 3.410
J'CXy gc'Sprfrvxiroa se apróyirfTa *•— ~^j
E JE M P L O 2 I Sea la función f(x ) = , - l l r
^ .............................* J '17+2-2
Cómo se comporta la función / cuando x está próximo a 2 pero no es exactamente 2?
Solución Notamos que la función f no está definida para x = 2 , porque cuando x = 2 ,
ambos , numerador y denominador son cero. Pero racionalizando el denom i
nador encontramos que
f ( x ) = ' J x + 2 + 2 , x * 2 => D o m (/) = [-2 , + co>-{2}
Como en el Ejemplo 1 , hagamos una tabla de valores de f{x) para variar elecciones de x
cercanos a 2 por la derecha y otras por ia izquierda. La tabla 2.2 y la Figura 2.14 muestran que
cuando x está próximo a 2 , /(x ) está próximo a ^2 + 2 + 2 = 4 . Por tanto, el comportamiento de
^ x - 2— —para x próxim o a 2 , pero distinto de 2 , es el m ism o que el com portam iento de
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Sección 2.3 : El límite de una función. 151
Vx + 2 + 2 . A sí pues , estim am os que
x-2
iim = lim (V *+2 + 2) = 4
x - * 2 ->/•*+ 2 + 2 x-*2
TABLA 2.2 | ' ' 1.999 ' ' í 1 l ó r n T ^ r - ~ 2 ;o ¿ T 2.10
**-■ 3.9748 3.9974 3.9997 7 4.0003 | 4.0025 4.0124 4.0248
X ' 1.5 '
m 3.8708
De la tabla 2.2 podemos rescatar lo siguiente
f ( 1.999) = 3.9997 y /(2.001) = 4.0003
de modo que s i : 3.0007 < /(x ) < 4.0003
<=>4 - 0.0003 < / ( x ) < 4 + 0.0003
1.999 < x < 2.001
o bien , si :
2 -0 .0 0 1 < jc < 2 + 0.001
-0.001 < x - 2 < 0.001 cz? -0.0003 < /(x ) - 4 < 0.0003
Entonces basándonos en la propiedad : \x \ < a -a < x < a
podemos escribir
0 < | jc- 2 1 < 0.001If ( x ) - 4 1 < 0.0003 (2.2)
La desigualdad l x - 2 | < 0.001 asegura que si x di sta de 2 en menos de 0.001 entonces /(x ) dista
de 4 en menos de 0.003. Lo cual significa que podemos hacer que If(x) - 4 1 sea tan pequeño
como se quiera haciendo que Ix - 2 1sea lo suficientemente pequeño.
Una forma más precisa para describir este hecho es usando dos símbolos para estas pequeñas
diferencias. Generalmente se emplean e (epsilon) y 8 (delta). Entonces dado cualquier número
positivo E , podem os hacer que l / ( x ) - 4 ! < £ tomando Ix - 2 1lo suficientemente pequeño, es
d e c ir, existe un núm ero positivo 8 , tan pequeño como se qu iera, tal q u e , si
0< |x-2l < 8 ^ I /(x)-4l < e (2.3)
Esta es la afirmación (2.2) con £ = 0.0003 y 8 = 0.001
Por tanto , si asignamos a £ cualquier valor positivo , por pequeño que sea , encontramos un
valor apropiado para 8 , de modo tal que (2.3) se cumpla y decir que el límite de /(x ) cuando x se
aproxima a 2 es igual a 4, que expresado en símbolos se denota
Iim /(x ) = 4
jr —*2
La discusión previa conduce a la siguiente definición formal del límite de una función.
Definición 2.6 : UNA DEFINICION RIGUROSA DEL LIM ITE
S e a /: IR—>IR unafunción definida encada número de algún intervalo abierto que contiene
a x 0, excepto posiblemente en el número x0mismo. Se dice que L es el límite de la función
/ en x0, si y sólo si para cada número £ > 0 existe un número 5 > 0 tal que si x e D o m (/) y con
la propiedad de que si
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152 Capitulo 2: Limites
O < l x - x (ll < 8 entonces l . / ( x ) - L | < E
F orm alm ente:
V £ > ü . 3 8 > f l l s i x e Dom í/) y
Jim f ( x ) = L <=> <
* - » i.
0 < U - x „ | < 8 => ! / ( x ) - L | < £
I OBSERVACIÓN 2.2 El antecedente de la Definición 2.6 nos dice que existe una 8 > 0,
tal que
0 < Ix - xn I < 8 <=> ( x * xH) a ( - 8 < x - x n< 8 )
<=> (x * x(J) a (x0 - 8 < x < x 0 + 8)
« x € (x0 - S . +
es decir tju ex pertenece a la vecindad reducida V8*(x()) y cuya interpretación geom étrica es
V ariación de x
x„-8 x„ xfl + 8
ü < I x - x J < 8 = V5*(x())
I O B SER V A C IÓ N 2.3 x e D o m ( / ) a x e V * ( x ()
o x e Dom ( / ) a ( <x„ - 8 , x„ + 6> - {xu})
De aquí se desprende dos alternativas
a) S i x e D o m (/) D ((x0- 8 , x0+ 8 ) - { x n}) * «j>, entonces xHes un punto de acumulación del
Dom(/).
b) S i x e D o m ( / ) fl ((*n- 8 . x„+ 8 ) - {x,,}) = ó -en to n ces x(lno es punto de acumulación del
D o m (/), es un punto aislado, y ocurre que el límite de la función en x„ no es ú n ico , toda vez
que siendo el antecedente falso, la implicación es verdadera para cualquier valor real de L.
Como los dominios de las funciones son intervalos y sabiendo que todo punto de un intervalo
es un punto de acumulación, nuestro estudio de límites se basará únicamente en el caso de que
x0sea un punto de acumulación del dominio de / .
I O B SER V A C IÓ N 2-4 El consecuente de la Definición 2.6 nos dice que existe un número
muy pequeño e > 0 , tal que
If ( x ) - L | < e « - e < /(x ) - L < E
<=> L - £ < /( x ) < L + £ <=> /( x ) e (L - e , L + e)
es decir, /(x ) pertenece a la vecindad V (L) y cuya interpretación geométrica es
V ariación de f(x )
o ■ ■ — » i. - o
L -e L L+é
|/( x ) - L l < E = Vf(L)
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Sección 2.3 : El límite de una función 153
| O BSERV A CIÓ N 2.5 Para que la fu n ció n /ten g a 1ímite L en xu, esto es, si lim f{x) = l,
existe, se concluye que: '~ * A°
a) La función / debe estar definida para todos los números suficientemente próximos a x(I,
aunque no necesariamente f ( x n) — L
b) La magnitud del número 8 depende del valor del número £ y cuanto menor sea £ . menor
habrá de ser 8.
c) Si se elige cualquier 8, > 0 tal que 8, < 8 , el límite L no varía . sigue existiendo. En efecto,
según la Definición 1.6 íe - 8 ):
Si 8, < 8 , se tiene : 0 < U-jc„I < 8 ^ > If{x) - LI < e
0 < I x - x J < 8, implica que 0 < |x - x0 l < 8
yportransitividad: 0 < | x - x (ll < 8, «=í> l / ( x ) - L l < e
es d e c ir, con 8 también se puede usar la Definición (e - 8).
| OBSERVACIÓN 2.6 La imagen geométrica de la Definición 2.6 es la siguiente
a) Dado un número pequeño £ > 0 . entonces
If ( x ) - LI < e «=> f ( x ) e (L - e . L + e)
Significa que el conjunto de imágenes /(.r) se encuentra
en la zona acotada por las líneas horizontales y = L - £ ,
y = L + e , es d e c ir, en la vecindad Vf( L ) .
b) Se debe elegir 8 > 0 tal que aquellos puntos (x . f(x)) sobre F IG U R A 2.15
la G r ( / ) . determinen a su vez el intervalo (xn - 8 . xfl+ 8)
sobre el eje X , de manera que para cada x * x (t, la función
esté dentro de la zona horizontal limitada por las rectas
> = L - E , > = L + E ,y d o n d e . D om (/) H Vg*(xw) * <¡>
c) Com o todas las x e (D om (/) H Ve*(x0)J deben tener sus
im ágenes/(x) en la vecindad Vf(L) = ( L - E , L + e ) . se debe cumplir
/ [ D o m (/) n V6*fxu) ] c V((L)
d) En términos de vecindades. la Definición 2 6 se puede expresar de la siguiente manera.
" Lim /(x ) = L <=> V V Í L ) . 3 I /[D om f/) n V ^ ) ] c V(L)
X^ Xf
o equivalentemente:
Lim /( x ) = L <=> V e >C) . 3 S > 0 :| V x e VaV „ ) ■=* /(* ) e V /L )
X
OBSERVACIÓN 2.7 La elección de la 8 apropiada
En general . como ya sabemos . la elección de 8 depende de la
elección previa de £. Para dem ostrar la existencia de un límite necesitamos probar que dado
cualquier e > 0 , podemos encontrar una 8 > 0 . tal que
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154 Capítulo 2: Límites
0 < U - J t 0l < 8 i = > | f(x) - LI < E
Los pasos a seguir son los siguientes :
1. Se descom pone If ( x ) - L I en dos facto res, uno de los cuales necesariamente tiene que ser
U - x 0| , estoes
l/(> )-L | = I x - x 0\ [gU)I
2. En seguida se busca que acotar o m ayorar la función g(jr) hallando dos números positivos
8, y M , para los c u a le s , se
0 < U - jJ < 8, ^ lg(jc)| < M
Ahora el valor de M lo hallamos asignándole a 8 un valor 8 = 8, según la forma que tenga la
función / .
a) Si la función / es un polinomio de variable real hacemos 8, = 1
b) Si f e s una función racional de la form a: f ( x ) = -E Ííl
g(*)
tal que g(x) = (x -c)(jc-& ) . . . , donde x = a , x = b , e tc ., son asíntotas d e / s e elige la
más cercana a Suponiendo que es x = a , hacemos
c) Si f ( x ) es una función que contiene radicales de índice p a r , el acotamiento de g(Jt) se
hará a partir del dominio de / .
3. Elegido 8 ,, construim os g(.x) de la siguiente manera
Si 0< |jt-jc 0l < 8( , entonces
U - 1 1gU ) I im plica l / ( x ) - L l <Ijc - jc0 I M
L uego, si I/ ( x)- L | < e , por transitividad se sigue que :
Ijt- jc0 | M < e siem pre que Ijt- jcJ c = 82
4. A hora si escogem os 8 com o el menor o mínimo entre 8, y 8 ,, e sto es, si S ^ m i n f S , ,e/M },
entonces para 0 < Jx - I < 8 se cum plen las desigualdades :
0 < U - jcdI < 8, , l g U ) | < M , 0 < I j e - j c J < S2
y es cierto que si
0 < \x - x 0\ < 8 \ f t x ) - L \ = Ijc - jc0 11 g ( j c ) I < U - j t 0| M < e
con lo cual el lim f( x ) = L , queda demostrado.
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
E JE M P L O 1 j Utilice la definición delim ite para demostrar que
lim (4x + 3) = 7 , * e I R - { l }
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EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 155
Dem ostración Puesto que / (x ) = 4x + 3 está d efinida Vx e (R - {1} , cualquier intervalo
abierto que contenga a 1, excepto posiblemente 1, satisface el primer requi
sito de la Definición 2.6.
Ahora se debe dem ostrar que VE > 0 , 3 6 > 0 , tal que si
0 < | x - l | ^ 5 =* l ( 4 x + 3 ) - 7 | < E (a)
« 0 < l x - l | < 8 ■=> 4 | x - l | < £
0 < Ix - 11 < 8 | x - l | < e / 4
Esta proposición denota que 8 = e/4 es satisfactoria , pues con esta elección de 8 se tiene el
argumento siguiente
0<|x-l|<8=>4|x-l|<45
e=> 14x - 4 1< 4 8
=> í (4x -+ 3) - 7! < e (porque 48 = e)
Por tanto , se ha demostrado que si 5 = 6/4 , entonces se cumple la proposición (a). Esto
demuestra que lim (4x + 3) = 7 ■
X ->|
E JE M P L O 2M D em ostrarque: lim (x3+ 2x - 1) = 7
J -t 2
Demostración Según la Definición 2 .6 , debemos probar que
( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e D o m (/) = !R- {2} ,y si
0 < lx - 2 l < 8 ^ |(x2+ 2 x - 1 ) - 7 | < e (a)
Como la elección de 8 depende de e , partiremos del valor absoluto I/(x ) - LI para transformarla
en otra que contenga a los factores Ig(x) I y Ix - 2 1 , esto es :
1. \ t f + 2 x - l ) - l \ = \j¿ + 2x -%\ = |x + 4 | I x - 2 | = fg(x)| | x - 2 |
Luego, la proposición (a) se puede escribir
0 < l x - 2 | < S i = > I g(x) I Ix - 2 1 < E (1)
2. Por hipótesis el término Ix - 2 1 está acotado por 8 , esto es Ix - 2 1 < 8
Falta por acotar el factor Ig(x) I = Ix + 4 i , es d e cir, hallar un número M > 0 , tal que
| x + 4 | <M .Parataléfecto,serestringela8queserequiereeJigiendo8| < l,yaque/(x)
es una función polinomial.
3. E s t o e s , s i : l x - 2 | < 8 < 8, >=* í x - 2 | < 1 <=> -1 < x - 2 < 1 (NR.I)
5<x + 4< 7
o lx + 4 | < 7 (NR.10)
o Ig(x) I < 7 = M
4. Recuerde siempre que la proposición (1) es el objetivo por lo que debe pedirse que
Ü< | x - 2 | < 8 ^ 7 | x - 2 | < e
=>|x-2 [< £ /7 = 8 2
De esta forma se han impuesto dos restricciones a 8 : 8, < 1 y 82< £/7. Para que ambas
restricciones se cumplan debe tomarse 8 como el menor de los dos números 1 y e/7 ,esto se
puede escribir con sím bolos: S = m in { l , e/7}
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156 Capítulo 2: Límites
Si se utiliza esta 5 , entonces se tiene el siguiente argumento
0 < lx -2 l< 8 cz>U + 4 l < 7 y l x - 2 l< £ /7
Multiplicando miembro a miembro el consecuente obtenemos
0 < l x - 2 l < 8 ■=> U + 4 | | x - 2 | < 7 (e /7 )
■=> Ijc2+ 2* - 8 1< €
i=> I(x2+ 2 x - 1 ) - 71 < e
En consecuencia se ha demostrado que para cualquier £ > 0 , la elección de 8 = min { 1 , e/7}
hace verdadera la proposición (a). Esto dem uestra que : lim (x2+ 2x - 1) = 7 ■
A-* 2
(EJEMPLO 3^ Demostrar q u e : lim ( ^ - 7 ^ ) = - 3
D em ostración Según la Definición 2.6 , debemos probar que
( V e > 0 , 3 8 > 0)1 s i x e D o m (/)= IR - { 0 ,1 /2 } , y si
0< Ix-0| < 8 2x+3 -(-31 < £ (a)
2x-1
1. Para hallar 8 en términos de £ partiremos de l/( x ) - L I para transform arla en otra que
contenga a los factores Ig(x) I y Ix - 0 1
I ^ T J + 3 | = 8 ] 23TT11 ljcl = 8 | g W ! U l
Luego, en (a): 0 < Ixl < 8 <=>8 l g (x ) | | x | (1)
2. Por hipótesis Ixl < 8 , falta por acotar la función g(x) = , esto es, hallar un núme
ro M > 0 tal que Ig(x) I < M . C om o la gráfica de f ( x ) tiene una asíntota en x = 1/2 cercano
a x0 = 0 , se debe imponer una restricción a 8 con el fin de obtener una desigualdad que
contenga el factor Ig(x) I . Esto se logra eligiendo
8, = i | a - * J = i | i - o | = 1
3. Si | x | < 8 < 18. =* | x | < 41 <=> - 44- < -*< 44- <=> - 42 < - 1 <.-24
c=> - 2 < — L _ < - | r=> | - j — I < 2 (N R .1 0 )
2x - 1 3 I 2x- 11
■=> Ig(x) I < 2 = M
4. A h o r a , e n ( l ) ; 0 < | x | < 8 «=> 8(2>IxI < e
■=> | x | < e/16 = 82
Pbr tanto, eligiendo 8 = min {1/4, e/16} se tiene el argumento
0 I x l < 8 «=> - ^1- r < 2 y Ix l < £/16
I 2 x - 1I J
2^ - i | 1*1 < 2 (e/16)
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Sección 2.3: El límite de unafunción 157
IjcI < 1 6 (e/16)
2x- 1
v—
Ir+3 -(-3) <e
2x- 1
lo que hace verdadera la proposición (a ) ■=?• Mli—m»0(' ¿X- *" 1r *) = - 3
(EJE M P LO 4) Demostrar que lim ^ 3) = - 1
Demostración Sif(x) = 9r 9r
~ = ------- rr^r— — , x * -1, x * 3 /2 , debemos probar que:
2x3 - x - 3 ( x + l X 2 x - 3 ) K1
( V c > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e Dom( / ) = R - { - l , 1 ,3 /2 } y si
0 < | jc- l| < 8 c=> 2r
2x2-x -3 (a)
I. Para determ inar 8 en térm inos de E partiremos de If ( x) - LI para transformarla en otra que
contenga a los factores Ig(x) I y I x - l | .
2x +1 = (2x + 3 ) ( x - 1 ) l2x + 3| \ x -11
2x2- x - S (x + 1 ) (2x- 3) j
|x+ 11|2x-3l
= lg(x)||x-l|
L u e g o .e n ( a ) : 0 < | x - l l < 8 (=> lg (x )l I x - 1 | < £ ( 1)
2. Búsqueda de una 8 apropiada para acotar | g(x) I
Com o x + l = 0 y 2 x - 3 = 0 son dos asíntotas verticales de la gráfica de f . siendo x = 3/2 el
1 I IQ I 1
punto m ás cercano de x0 = 1, el supuesto 8 lo elegimos d c : 8 = ^ l a - x 0l = - ^ | - i | - l | = ^ -
3. Si | x - 1 1 < 8 < 8. ■=> | x - | | < | « - i c x - l < i <=> — < x < 4
1 44 44 4
De aqui acotaremos cada uno de los términos de g(x)
a) |3< . 2 x <. f5 «_ 9 <^ 2 x +. 3i <^ ^11 _ | 2x +. 301| <. -IüI
b) 1 < 2 x < 1 o - —< 2 x - 3 < - — <¿> - 2 < . ..1 - < - 1 <2
2 22 2 2x- 3 3
2x- 3
c) 24 < x + l < %4 c * £9 < —x +L1- < %7 ^ II—x + I < 1
Entonces : Ig(x) I = l2x + 3l
Ix + lll2 r-3 l
4. L u e g o e n ( l) : 0 < | x - 1 | < 8 1=0 | ^ } | x - l | < £
= * | x - 1| < 7e/44 = 5,
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158 Capítulo 2: Límites
Por tanto, eligiendo 5 = tnin {1/4, 7e/44} se tiene el argumento
1o < I * - 1 < 5 ■=> l2 f , + 31 , < — y U-il< —
I jc - ]| 1 2 x - 3 1 7
44
12x+ 3 1
U -lll2 x-3 l
I 2 ¿ -^x - 3 -(-1)1 < e
En consecuencia, se ha probado que si se elige 5 = min{ 1/4,7e/44} se cumple la proposi
ción (a). Esto dem uestra que lim /(jr) = -1 ■
(E JE M P L O 5 i D em ostrar que lím ( $ \ 9z / X ++S ) = T
r\ ^ ■- c-- s , , ( x - 2)2(x2+ 4x + 3) = xa + 4+x2+ 3 • ^
Demostración S. / « = {x_2y (x + 2) , -2 , **2
Ahora aplicando la definición de límite se tiene:
jl-i4m2 [»~ ~X^ Z * = ~4 e=> ( V £ > 0 , 3 S > 0 ) | s i x e D o m (/) = R - { - 2 , 2 } , y si
0 < l x - 2 l < 8 ^ \I ’f +x A+ x2* 3 - 4j |1l < £ (a)
1. Para determ inar 5 en térm inos de e , partiremos de I/(x ) - LI y convertirla en los factores
Ig(x) I y Ix - 2 1 , esto es
x 2+ 4x + 3 15 I _ X I 4x + 9
x+2 4 I 4 I x+2
L u e g o e n (a ): 0 < | x - 2 | < 5 «=> ^ lg(x)l Ijc - 2 1 < e (1)
2. Búsqueda de una S apropiada para acotar Ig{x) I
Obsérvese que la gráfica de g presenta una asíntota vertical en x = -2 , no muy próxima
a x0= 2 , es decir Ia - x 0| e <0 , 1 ] , por lo que eligiendo 8 , < 1 acotaremos Ig(x) I.
3. S i | x - 2 | < l < = > - l < x - 2 < l « 3 < x + 2 < 5 < = > - ^ < x + 2 < "3
« T <4+7 T 2 < T ^
■=> Ig(AT) | < ~ = M
4. L u e g o , e n ( 1 ) : 0 < I x - 2 | < 5 <=> ~ \x-2 \ < e
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Sección 2.3: El límite de unafunción 159
*=> U - 2 | < | | e = Sj
Eligiendo 8 = min{l , 12e/13} se tiene el argumento
0 < | jc- 2 1 < 8 i=> 4+ < f y U -2l < l § e
x+2
4 + 1 I ^ 13 | jc- 2 | < i | E
í í í r i2 y
4+
x+2
x2+ 4x + 3 15 | ^ ^
x+2 4I
XJ^ 2 ) =
EJEM P LO € J Demuéstrese q u e : lim =1
* * - * 4 ' VVvx.^ 3V J
Demostración Sea /(x ) = D om (/) = <3, + oo)
Vx-3
Entonces , probarem os que si
lim = 1 <=> ( V £ > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x € D om (/) — {3, + o ° ) , ys i
x —*4 W r .
ü< |x -4 1<8 -1 < £ (ot)
VT3
1. Para determinar 8 en térm inos de £ partirem os de I/(x ) - LI
! / ( * > - II = 1 -1 1-V3x-3 4 -x
Vx"^"3 Vx^3(l +Vx+3)
Como el denominador es positivo V x e D o m (/), podemos prescindir de las barras de valor
absoluto y escribir
1 * - 4 | = g(x) Ix - 4 1
V -T 3 (1 + V x^3)
Luego >en ( a ) : 0 < Ix - 4 1 < 8 g(x) Ix - 4 1< e 0)
2. Búsqueda de una 8 apropiada para acotar g(x)
Obsérvese que g(x) es el producto de f(x) = 1 y h(x) = i y como f(x)
Vx-3 1+ Vx-3
es una función que contiene un radical de índice p a r, el acotamiento de h(x) lo haremos a
partir del D o m (/), esto e s , si
x >3 *=> Vx-3 >0 => 1+Vx-3 > 1 => 0 < 1 <1 (2)
1 +Vx^3
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160 Capítulo 2: Límites
La gráfica de / presenta una asíntota vertical en x = 3 , muy cercana al punto x0= 4 , es decir,
Ia - xQ1 e ( 0 , 1 ] , entonces restringirem os la 6 que se requiere eligiendo :
8 ,= \ \ a - x ü\ = ^ | 3 - 4 | = ^
3. Si Ijc- 4! < | <=> - I < x - 4 < 1
22 2
« i <2 x - 3 < |2 « V > 3t < ^ £ 7 3 ^ (3)
■
El producto de (2) por (3) d a : g(x) = = — -— < V2 = M
Vx-3 (1+Vx^3)
4 . En ( 1 ) se tie n e : 0 < I j c - 4 1 < S »=> V2^| j c - 4 1 < e ■=> Ijc - 4 1< e/V2 = S 2
Por lo q u e , eligiendo 5 = min{ 1/2, e/V2} se tiene la proposición
0 < Ijc- 4 | < 8 = m i n { l / 2 , £ / V 2 } ! / ( * ) - lj < e
En consecuencia se ha demostrado que : lim ( . * ) = 1
'V x- y
E JE M P L O 7 | D em ostrar q u e : lim ( , x " *— ) = 2
—9 4 ,-.i 'V 7 + 3 - 2 7
D em o stración Sea f ( x ) — ■, ■— = Vx + 3 +_2 _ | x -¿- j
V ^T3 -2 x+1
Entonces, probaremos que si
lim p E ± Í ± 2 \ _ 2 « (V e > 0 , 3 8 > 0 ) | s i x e D om (/) = R - {-1,1} ,y
x -» l * X + I '
« i ,i s Vx3+ 3 + 2 - 2 <e (a)
------x-- +—:1-------
0 < X - l < 8 =>
1. Para determ inar una S e n función de £ , nos apoyarem os en | / ( x ) - L |
1 Vx2+ 3 + 2 0 | I Vx2+ 3 - 2x I * I x - l| = 3 |g ( x ) | |x - ll
1* '•* | x + |1 I“ ¿ “ II x + «1 II ™ J Vx2+ 3 + 2 x (1)
En (a): 0 < | jc- 1 1 < 8 ^ 3 l g ( x ) | | x - l | < £
2. Búsqueda de una 8 apropiada para acotar I g(x) I
Por hipótesis el término Ix - ll está acotado por 8 ,, entonces para acotar lg (x )| elegimos
8, = 1
3. Construcción de g(x) a partir de la hipótesis 0<2x<4 (2)
Si |x -1 | < 1 <=> - 1 < x - 1 < 1 <=> 0 < x < 2
S i 0 < x < 2 <=> 0 < x * < 4 <=> 3 < x 2+ 3 < 7 <=>V3 < Vx2+ 3 < V7
Sumando ( 2 ) + (3) se tie n e : V3 < Vx3 + 3 + 2 * < 4 + V7
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Sección 2.3 : El límile de una función 161
(NR.IO)
I < -L = M
4 + ^ / 7 ■y]x1 + 3 + 2 x ^ 3 I V*2 + 3 + 2.t ^/3
4. Luego en ( I): 0 < l x - l | < 5 i = > 3 (
) |x - l| < £
Ijc- iI < e = 52
Por tanto, eligiendo 6 = min{l , V3 e/3 ) se cumple la proposición (a )
0 < I x - ll < 8 = m in{l , V 3e/3} l/(x)-2[ <e
con lo cual se ha dem ostrado que : Iim f ( x ) = 2
i -* 1
EJEMPLO 8 ) Demostrar que: xl-i^m1 ( —— \ = 14
v I5x_n /
J
Dem ostración Previamente, determ inem os el valor de [ x - 1/5] enx(1= 1 s=> [ l - 1/5] = 0 :
lu e g o . busquemos el intervalo en el cual varía x (entorno de x „). Esto e s . si
[ x - 1/5] = 0 <=> 0 < x - 1/5< 1 <=> 1/5 < x < 6/5
Pero com o x * 1/5 , entonces x e (1/5 ,6 /5 ). Además , si
l < 5 x < 6 e ^ 0 < 5 x - l < 5 «=> | 5 x - l | = 5 x - l
L u e g o , la regla de correspondencia de / e s : f ( x ) = —- — , x e ( l / 5 , 6 / 5 )
5x - 1
Demostraremos entonces que : lim f ~ -— - ) = — , si x e (1/5 , 6 /5 )
x-»i ' 5x - 1 ' 4
En e fe c to . según la Definición 2 .6 . debemos probar que
( V e > 0 , 3 8 > 0) I si x e D o m (/) = (1/5 . 6 /5 ). y sí
0 < I x — II < 5 ■=> I t - ! —r — 4- I < e (o)
I 5 jc — 1 41
I . Determinaremos una 8 en términos de e, apoyándonos en la expresión If(x) - LI y conver
tirla en otra que contenga como factores a |g (x )| y I x - l l .E sto e s.
1 1 I I . 5 I 1 | | Jf_ 1| = | | g ( x ) U x - 11
I 5x - I 4 1 4 I 5 jc — 1 I
4
L u e g o , e n ( a ) : 0 < Ijc - ll < S >=> ^ [g(x) | | x - l | < E (1)
2. La cota superior M = Ig(x) I lo hallaremos a partir del D o m (/), es d e c ir, s i :
" < x < f « l < 5 x < 6 o 0 < 5x - I < 5 «=> < _ * . < «>
55 5 5x - 1
Significa que no hay cota superior para g(x), pues cuando x está muy próxim o a 1/5, g(x)
crece sin límite. Luego, necesitamos restringir aun más el D om (/) alrededor de x0= 1. tal que
l x - l l < - - = Sl « - J < ~ < ^ ^ J < x < f C" ’ 6/5)
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162 Capitulo 2: Límites
3. Construcción de g(jc) a partir de 5, = 1/5
Si 4 < 5 a < 6 «=> 3 < 5 a - 1 < 5 <=> -5i < e *. < 4-3 «=> I15 - ^ ,I I < 3
5a -1 a -1
=>ig(*)l< í = M
4. L u e g o , e n ( 1): 0 < Ijc- ll < S ( y ) Ia - 1 1 < £
■=> Ia - ll < y12 £ = 5,
5
Por tan to , eligiendo 8 = mi n { 1/5, 12e/5} se cum ple la proposición (a)
0 < | a - ll < 8 = m in { l/5 , 12e/5} ■=> - —1 - - —1 < e
I 5 ar - 11 ' 4- 1
De este m odo queda dem ostrado que l i m / (a ) = 1/4
x-t I
EJEM PLO 9 l Sea /(a)= - | -x + 21 , s í e = 7 / 5 , h a l l a r u n a 8 tal q u e
v* Ijc-4 1
Ml i->m2 f(a ) = - 3 / 2
Solución Dado que a * 4 y a0 = 2 , hallaremos el dominio de la función en el entorno del
núm ero a ()= 2 imponiendo una restricción a 8 = 1. Esto e s , si
0 < I j c - 2 1 < I <=> - 1 < a - 2 < 1 <=> 1 < a < 3
En este intervalo, por definición de valor absoluto
Ia - 3 1 = - ( a - 3 ) , | a + 2 | = a + 2 y 1a - 4 | = - ( a - 4)
Entonces, regla de correspondencia de /(a ) se reduce a
x, , - ( a - 3 ) - ( a + 2) ,, . 2 a -1 /, 1 .
f{ x ) = ------ 7 ^ 7 4 ) ** /^ ') = 7 7 4 - • siA 6 <1,3)
Luego, si lim ( ) = - y , por la Definición 1.6, probaremos que
( V e > 0 , 3 8 > 0) I s i x e D o m (/) = (l , 3 ) , y si
0< Ia-2| < 8 ~(--|)| < e <a >
1. Como nuestra elección de 8 depende de e , partiremos de I/( a ) - LI para transformarla en otra
que contenga com o factores a I g(A ) I y Ia - 2 1 . esto es
2a - 1 + 3 1 7 I a -2
2 I a -4
I a -4 21
Por tanto la proposición (a) se puede escribir:
0 < |a - 2 | < 8 ^ lg (A )l |a - 2 | < e (1)
2 . La acotación de Ig(A ) I la haremos a partir del D om (/)
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Sección 2.3: El límite de unafunción 163
Si 1 < j c < 3 =?►- 3 < j c - 4 < - I <=> -1< —x -^—4r <- \
3
■=> | J < 1 I g(jc) I < 1 = M
3. L u e g o , e n ( l ) : 0 < | x - 2 | < 8 ■=> ^ ( l ) U - 2 | < e
^ U - 2 | < 2e/7 = S2
44. Eligiendo 8 = m in{I ,2e/7} se ha demostrado que lim f ( x ) = - -
x-* 1 í
Por l o q u e , s i e = 7/5 <=> 5 = m in -|l , y ( y ) } = ^
E JE M P L O 1 0 ^ Usando !a definición de lím ite, demostrar que
lim (V 5 Í+ 6 ) = 4
Demostración Por la Definición l .6 , debemos probar que (a)
(V e > 0 , 3 S > 0 ) I sijre Dom (/)= (-6/5, + “ ) , ysi
0 < U - 2 | < 8 ■=> | VSjT + 6 - 4 | < e
l. Dado que la elección de 5 depende de e , partiremos del valor absoluto I f{x) - L I para
transformarlo, mediante el proceso de racionalización, en otro que contenga a los factores
!g(jc)| y U - 2 | . E stoes
I V5jt + 6 - 4 | = (S ^ 6 ) - I 6 l ( 5 . ) Ix - 2 1 = 5 g(jr) Ijr - 2 1
Luego, en ( a ) : ~■v^í5í x _+l 6A +_i_4A ] '' mVC5jc +l A6 +t 4A f
0 < Ix - 2 1 < 5 «=> 5 g(x) l x - 2 1 < e (!)
2. La acotación de g(x) se hará a partir del D o m (/), esto es
Si 5 x + 6 > 0 >=> V 5 a + 6 + 4 > 4 1 <—=M
'¡5x + 6 + 4 4
=> gt*) < \
3. E n ( l ) s e t i e n e : 0 < U - 2 l < 6 ■=> 5 ( ¿ ) U - 2 | < £ =í> I x - 2 | < 4e/5
4 . Eligiendo 8 = 4e/5 se tiene el argumento
0 < Ijc- 2 1 < 5 => g(jc)< 1/4 y U - 2 | < 4 e / 5
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164 Capítulo 2: Límites
5 |x -2 | (5_\(4e \
U A si
V5IT6+4
'v'
<=> |V5x + 6 - 4 1 < e
Por tanto , se ha probado que si se elige 8 = 4e/5 se cumple la proposición (a). Esto
demuestra que lirn V5x + 6 = 4 ■
I OBSERVACIÓN 2.8 Límites que no existen
Los problemas más comunes que conducen a la no existencia del
límite de una función /( x ) cuando x —»x0 . son los siguientes
1. Distinto com portam iento de /(x ) a la derecha y a la izquierda de x 0. Por ejem plo. discutir la
existencia del lím ite: L = lim . Sea f (x) = l ü _ l i . En la Figura 2.16 se observa que
x - f 1 A- 1 A- 1
si a > 1 ,/(x ) = 1 y p a ra x < I , /(x ) = - 1. Esto e s. f( x) tiene distinto comportamiento cuando
a se aproxima a 1 por la derecha y por la izquierda. Esto significa que no existe el lim /(a )
x —»I
2. Comportamiento no acotado.
Por ejem plo, discutir la existencia del lim ( ^ - j )
Sea /(a ) = — y . En la Figura 2.17 vemos que cuando x se acerca a 1 por la derecha, /(a )
crece sin limite o co ta, mientras que si se acerca a 1 por la izquierda, f(x) decrece sin cota
y co m o lim /( a ) no se aproxim a a un núm ero real L c u a n d o x —» 1 , se dice que no existe el
límite. x~*1
F IG U R A 2.16 F IG U R A 2.17
^EJEM P LO 1 2 ) Demostrar q u e : lim (^ * 4 ) no existe.
D em ostración Supongamos que existe el límite y que si
lim ( +,^ ) = L ( V E > 0 ) I s i x e D o m (/)y si
*-»4 ' X - 4 ¡
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Sección 2. ¡ : El límite de unafunción 16S
0 < Ijc- 4 1 < 8 'G + 2 -L <£
x-4
1. Haciendo uso de la propiedad NR.9 :|<z! - 161 < | c - 6 1 , se tiene
Si <E ■=}> ■JI + 2 - | L | < £ <=> x-4 < | L | +£
x-4
I jc- 4
<=> 1 I j c - 4 1 > *¡ r — * * | g U ) | I jc - 4 1 > — / — ( 1 )
■nÍT + 2 Il | + e iLl+e
2. Acotaremos la función g(x) a partir del D o m (/). esto es
Si 0 < x < 4 <=5 0 < V x < 2 < = > 2 < - \ / x + 2 < 4
* < yfx + 2 2 1 < -| = M (NR.IO)
■Jx + 2
3. L u eg o , en (1): ^ j x - 4 1 > -r—r— <=> \x - 4 1 > -¡— p — = 8,
2 |L| + £ lL| + e
Contradice la hipótesis: Ijc - 4 1 < 5
4. Entonces lo supuesto es fa lso , por lo tanto , no existe lim
E JE R C IC IO S . Grupo 9
•> En los ejercicios del 1 al 6 , aplicando la D efinición (£ - 5) del lím ite , determ inar los
números 5 > 0 para los valores de £ dados.
rI . *-l»im3 {lx + 2) = 23 , £ = 0.07 / 2. i-l*i-m3 (2r>- 1) = 17 . £ = 0.02
3. lim (x2- 3x + 5) = 3 , £ = 0.04 /». lirn^ (4x2+ x - 4 ) = 10 , £ = 0.033
/ x-* l • ¡ i ™ , ( i r ) = i • E = 001.013
A .!va ( f n 1) = 2 ■ t = 0027
•> En los ejercicios del 7 al 4 0 . d em u estre, aplicando la Definición 2.6 que el límite es el
número indicado.
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166 Capítulo 2: Límites
13. Jim í 2x4 - 6x3+ x2- 9 ) = -28 14. lim ( — — - ) = 5
x-*4/7 V 2jc - 1 '
Jr—>—J ' x+1 '
16. | t a ( - l I ) = 4
15. lim ( 2x4 - 6x3+ x2 + 3 )= -8
x-*l ' x +1
1 7 . l i m [ -- —4 x ) = 3 18. liimm ( - * - ) > -
x-»-i ' x • X-»-—11//2 ' JC + i f
19. lim ( )= 3 20. lim ( 2 x 3 - 3 jc2 + jc - 1
*-*-i ' 5a + 6 * x-*0 ' x 2 - jc + 2
21. lim ( 2 x ~ i ) = O 22. lim ( ) = -±
it-»*1i//72'' jrr —— 1/ A4 f >i x —5 4
23. lim ( 2 x - 3 ) = 0 24. lim ( « ^ 1 5 * ) _ _ 5 3
*-*3/2 H O x - 4 4 /3 *— 4/5' 25x + 10 5
25. lim ( )=O 26. lim [ — — ~ ) =
x-*0 ' 64JC- 1 ' x-»4 ' x - 4 '
27. lim (x 2J \ x (4 - jc)I ) = O 28. lim ( J 4 - x 2 ) = V3
^ x-*l V
JT-*0
29. lim ( 1 " ^ )= - — 25 30. l i m f — — ) = —
x-»4 * (1 + jc)
31. lim í- 3* ~ 6 ) = - 3 32 lim _|
x -» l/2 ' 2 - l x + ll '
J44*x - 7 1 2
33. lim ( [x ] + 2 \ 16 34. lim ( Ix - 51 - Ix + 21 j = J
jr-*5/2 ' x 2 1 " 25 r_i1 V I 2 x - ll
- 2 +[ ^ ] 2- x
35. lim ( l.« - 21 )=5 36. x—l i*m3/2 (VI-j-c-I-----[—x] ) = 1
1
x —» 3 /2 '
37. lim ( jXc + 1 )=- 6 38. lim ( — —— ] = —5
+ 1 x-»-i' 3x + 2 '
x -,1 /2 jc — 3 jc + 1 1
39. lim [ ~ A ± L ) = - 40. lim f — - — ) = 1
x-h M 5 x - l l ' 2
r ^ l V I'ív — A \ i
41. H allar una 5 > 0 , tal que si 5x~ + 4 x _ l < —1
O < Ijc - 21 < 8
25xz -1 6 3 6
42. Sea / una función definida por /(x ) = jc2 - x + 3
a) C alcular L =. lim f (x )
x2
b) Encontrar un valor de 8 > 0 t a l que
0 < l x - 2 | < 6 => | / ( x ) - 4 | < 0 .2 . Ilustrar gráficam ente
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Sección 2.4 : Teoremas sobre límites 167
(2.4) TEO R EM A S SO BR E LÍM ITES
La demostración del límite de una función utilizando la definición de límite resulta
muy laboriosa. A fin de calcular Límites de manera más fácil se emplean teoremas, cuyas demos
traciones están basadas en la Definición (e - 8). Estos teorem as. así como otros que aparecen
a lo largo de este capítulo . están señalados con la etiqueta teorema de limites.
Te o re m a 1 de lím ite s : UNICIDAD DEL LÍMITE
El límite de una función, si existe, es único. Es decir, si
lim f ( x ) = L y lim f ( x ) = L , => L, = L
X —iX 0 -V-Mj,
D em ostración En efecto, si VE, =E2= t¡ 2 , 3 8, > 0 , 82> 0, entonces de las hipótesis tenemos
lim f ( x ) = L. VE. > 0 , 3 8. > 0 , Isi x e D om tf) y si
0 < Ix - jcJ < 8, <=> | / ( jc) - L, I < £ , (1)
Jim f ( x ) = L , <=> Ve2> 0 . 3 8 2> 0 I s i x e D o m ( / ) y s i
0 < U - . * c l < 82 => |/ ( j t ) - L 2! c E j (2)
Como xj, es ud punto de acumulación del D o m ( /) , f está definida en algún punto x f = x0 del
intervalo <x0- 8, f.v0+ 8j) 1 (x0- 8 ,, x0+ 8 ,) , entonces si para este punto x ,e D o m l/) se satisface
0 < \ x - x j < 5 = in in { 8 ,,8 2}
tenemos que
! L] - L 1| = |L I - / ( j r 1) + /( je 1) - L Jl
q u e, por conveniencia, escribimos de la tbnna
| L 1- L 2l = | - ( / ( . t , ) - L l) + ( / ( x |) - L 2)l
y por la propiedad triangular
IL.-L.I <l/(*,)-L,l +l/(Jr,)-L,l
Ahora , de (1) y (2) se deduce que
| L , - L j l < e, + e2 « = > | L , - L j < e
y haciendo uso de la propiedad de los números reales
S i l x l < e y £ > 0 =» x = 0
se concluye que : L, - L , = 0 «=> L, = L , ■
Nota. Es importante darse cuenta de que al estar o no definido el valor de f(x) en no tiene nada que
ver con el hecho de que existe o no el límite de f(x) cuando x — No obstante, si ocurre que
el límite es precisamente /(xQ) se dice que el límite puede evaluarse por sustitución directa Es decir
lim /(*) = /(*„)
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168 Capitulo 2: Limites
Una aplicación interesante de la sustitución directa se ofrece en los teoremas 2 al 11 de límites, que llevan
el nombre d e propiedades d e lo s lím it e s .
Te o re m a 2 de lím ites : LÍMITE DE UNA FUNCIÓN CONSTANTE (1)
■
Si c es una constante, entonces para cualquier x0
lim (c) = c
s~*x0
D em ostración En efecto , si
lim (c) = c <=> V e > 0 . 3 8 > 0 , tal que si
0 < I x - x J < 8 «=> 1/ ( jc) - c 1 < e
P e ro , co m o f ( x ) = c «=> | c - c | < £ ■=> e > 0 ,
L uego, para cualquier 8 > 0 se cumple la proposición (1). Por tanto, se tiene que :
lim (c) = c
*-* *0
Te o re m a 3 de lím ite s : LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LINEAL
Si m y b son dos constante cualesquiera, entonces
lim (m x+ 6) —n u +6
Demostración En e fecto , si
lim (m x + 6) = raxn+ 6 <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0) I s i x e D o m (/)y s i
0< Ix-xJ <8 l/(x)-L| < e H)
«=> I (mx + 6) - (rax0+ 6) I < £
«=> I m l l x - x 0l < £
Para hallar la 8 apropiada consideramos dos casos
a) S i m * 0 0 < I x - x J < 8 «=> | x - x 0l < e / | m |
Este argum ento es válido si tom am os 8 = [m i , y así concluimos que :
l( rru-6)-(m x0+ 6)l < e siempre que 0 < U - * 0I < 6 = e / I m l
b) S i m = 0 <=> f ( x ) - b (constante) <=> / ( ^ = b = L
>=> | / ( x ) - L | = ! 6 - 6 | = 0 , V x e D o m (/); luego V 8 > 0 , la proposición (1)
siempre será válida.
Esto demuestra el teorema para el caso (b). ■
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Sección 2.4: Teoremas sobre límites 169
Te o re m a 4 de lím ite s : LÍMITE DEL MULTIPLO ESCALAR
Si c es una constante y / es una función re a l, entonces
Lim [ c f(x) ] = c[ lim / ( jc )] = c L
x -* x „ x -tx n
Demostración En efecto, por definición de límite
lim f{ x ) = L <=* ( V e > 0 , 3 8 > 0) I Si x e D o m (/), y si
x - » x fl
0 < U - * 0 I < 8 ■=> 1/ ( jc) - L I < £ ,
Si escogemos e. = -¡—¡- , entonces
0 < < 8 >=> I/(JC) - L | < jy y
«=> l c / ( x ) - c L | < e
que es la definición d e: lim [ c / ( jc) ] = cL
T e o re m a 5 d e lím ite s : LÍMITE DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE
DOS FUNCIONES
Si lim /(jc) = L y lim g(x) = M «=> lim [ f {x) + g(x) ] = L ± M
x -.x „ x -» * ;,
D em ostración lim [ / ( a ) + g(x) ] = lim / ( jc ) + lim g(jc) = L + M
*-**0 *->*0 *-**V
Para cualquier e > 0 , probaremos que 3 8 > 0 , tal que si
0 < \ x - x 0\ < 8 ■=> I [ f ( x ) + g(x) ] - (L + M )l < e
=> l [ / W - L ] + [ g ( x ) - M ] | < e (1)
entonces por la desigualdad triangular (2)
I í f {x ) + g(jr)] - (L + M) I < If ( x ) - L | + | g(jr) - M |
conseguiremos que I [ f ( x ) + g(jc) - (L + M) I sea m enor que £ haciendo
If ( x ) - L | < e/2 y | g(jc) - M | < e/2
Dado q u e : lim / ( jc ) = L y lim g(x) = M
x -» * 0 x -» x 0
sabemos que existen núm eros positivos 8, y 82 tales que si
0 < Ijc-jc0I < 8, <=> I / ( j c ) - L | < e / 2
0 < I jc-jc0I<82 ■=> Ig(jr) - M I < e/2
Tomando ahora 8 = m in JS ,, 82} , observam os que si
0 < Iat- jcJ < 8 «=> I / ( jc) - L | < e/2 yl g ( j : ) - M l < e/2
=>l/(*)-L| + |g(jc)-M|<| + | = e
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170 Capítulo 2: Límites
y en virtud de ( 2) : 0 < Ix - I 8 => I [ / ( jc ) + g(jr)] - (L + M) I < £
que es precisamente la definición d e : lim [/( x ) + g(jr)] = L + M
En forma similar se demuestra que lim [/(Jc)-g(Jc)) = L -M
Por ejem plo, hallar lim (^ - 3 * + 5 )
i -* 2
Usando las propiedades hasta aquí dem ostradas, obtenemos
L = lim (jc2- 3jc+ 5> = lim 0**) + lim (-3a:)+ lim (5) (T.5L)
x-*2 i-* 2 x-t 2 x->2
= lim (jc* )-3 lim (jt)+ lim (5) (T.4L)
x-* 2 i —* 2 jc -» 2
= 22- 3(2) + 5 = 3
La propiedad de la sustitución directa es válida para toda función polinóm ica, tal como se
establece en el siguiente corolario
C o ro la rio 2.1 LÍM ITE P E UN A FUNCIÓN POL1NOMIAL__________________
Si / es una función polinómica y x0es un número real entonces
lim f(x) =
Dem ostración En e fe c to , sea f ( x ) = a nx n+ + a tx + a 0
una función polinómica donde a 0 , a , , . - , a„eIR (constantes)
Entonces las sucesivas aplicaciones de las propiedades de la suma y del múltiplo escalar llevan
a que
lim f ( x ) = a ( lim x ] + . . . . + a . i lim x) + lim ( a j
= « . V + ---------+ a i *o + a o = ■
Te o re m a 6 de lím ites : LÍMITE DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES
Si Sl-i4mX, f ( x ) = JL y lim g(x) = M *=> Mli-miXp [/(.v)*g(x)] = L • M
Dem ostración Probarem os que V e > 0 , 3 8 > U , tal que si ( I)
ü < \ x - x 01 < 8 <=> If ( x ) • g(x) - LM I < e (2)
(3)
En efecto : I/ ( jc) • g(*) - L - M I = If ( x ) • g(jc) - M / ( j ) + M /(x ) - L ■ M I
í I/U ) *g(-0 - M /(jc) I + IM/(jc) - L - MI
< l / U ) l I g W - M l + IM11 f(x) - LI
D a d o q u e : lim f(x) = L <=> ( V e , > 0 , 3 8. > 0 ) I s i x e D o m (/)y si
0 < Ijc - jc0I < 8 , «=> I /(j c ) - L | < e ,
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Sección 2.4 : Teoremas sobre límites 171
y lim g(x) = M <=> ( V e , > 0 , 3 8 > 0 I si x e Dom(g) y si (4)
(5)
0 < | x - x01 < Sa <=> | g(x) - M I < Ej
Entonces, relacionando (3) y (4) con (2) obtenemos
l / ( x ) - g ( x ) L - M | < l/( x ) l e2+ 1MI e,
Acolaremos If ( x ) I partiendo de lim /(x ) = L para e. = I , es decir:
Para e 3= 1 , 3 83> 0 I si x e D o m (/) y si 0 < Ix - x01 < 8, «=> I/(x ) - LI < 1 (6)
Esto e s , en (5 ): I/( x ) • g(x) - L • M | < (1 + | L | ) £j + | M I e,
Para que la suma del segundo miembro de (6) sea igual a e conviene elegir
£i = 2 ( r r í ü ) £ y E| = 2 ] l í
Podemos hacer ahora que 8 = m in íS ,, 8a , 83} y observar en (6) que si
0 < Ix - x01< 8 ^ 1 / ( x ) . g ( x ) - L - M | < ( 1 + | L | ) | ( y - ^ J e + iM l ( ^ ^ ) = £
con lo cual se cumple la proposición (1) y así queda demostrado que ■
lim /(x )-g (x ) = L -M
C o r o l a r i o 2 . 2 Si existe lim /¡(x) = L: , para ¡ = 1 . 2 * 3 . . . . , n , entonces:
nn
lim Fl (x) = n L¿
X - * * 0 i= I i=1
C o r o l a r i o 2 . 3 LÍMITE PE UNA POTENCIA__________________________________
Si existe lim /¡(x) = L¡, para i = 1 , 2 , 3 , . . . , n
y si /j(x) - /(x ) , V i = l , 2 , 3 , . . . . , n y L | = L2 = L J = . . . . = Ln = L , entonces
lim [ f n(x)} = [ lim /(x )] " = L " , n e
Te o re m a 7 de lim ites : LÍMITE DEL RECIPROCO DE UNA FUNCION
Si lim e(x) = M «=> lim ( —— \ = ------ = — . siempre que M * 0
’- * V g ( x ) ' jim g(x) M
Demostración En efecto, por la definición de límite se tiene
*li-m» V(—g r( xr ))' = ~Mr <=> V e > 0 , 3 8 > 0 I s í x e D o m (l/^g ),y s i
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172 Capítulo 2: Límites
0 < Ijc- jcJ < 8 «=* 1 1 <e (1)
g(x) M (2)
(3)
Como 1 1 M -g(*) 1g(.t) - M |
M ■g(jc) IM M g(jc) |
gU) M
En(l): 0 < | jc-*o 1 < 8 ■=> - 1 Ig(*) - M I < e
Mi IgWl
A h o ra, si lim g(;c) = M <=> V e ^ Ü . B S ^ O Í jte Dom (g) y si
0 < U - j c 01 < 8, l g(jc) - M I < e,
Dado que Ig(*) - M | < e | < ^ > M- £ , < g(jc) < M + e,
1 < 1 < ' <1 < 2
M +e g(jc) M - e MM
Ig(x) | | M | 1
| M | | g(x) I IM I:
Entonces en ( 2 ) : 0 < Ijc - jcq I < S ■=> ^ | g ( j r ) - M | < £
I M 12
Ig(x) - M I < j I M21 e = S2
Luego, eligiendo 8 = m in{8 , 8,} , tendremos el argumento
11 I g t o - M l g 2 |g ( * ) - M l c 2(1/2)M 2e < c
gU) M
IM | I g(x) | lM | Im I:
E ntonces, si x e Dom( 1/g) y si 0 < | x - x n\ < 8 <£
g(*) M
Esto dem uestra q u e : lim ( —— ) = —— ----- = - ^ 7
*-*V g(x)' lim gU) M
Te o re m a 8 d e lím ite s : LIMITE DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES
Si lim f ( x ) = L y lim g(x) = M ■=* lim = — , si M * 0
x-*X, x->x„ g (x ) M
D emostración En e fecto , haciendo uso de los teoremas T.L.6 y T.L.7 se tiene
l i r nA( ^m7xTi t) =x—*»x_- » V « vxlg-i»mj(t-(*\t—T)ÍMr'W = x-li*mx.. f ( x ) - \ ( lim 1go (l x*\)l‘)
= L (w) = w
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Sección 2.4 : Teoremas sobre límites 173
Como consecuencia inm ediata de esta propiedad se puede observar que si f ( x ) y g(x) son
funciones potinóm icas. entonces
m g g .- ™ e g ( V *0
Por ejem p lo . si f ( x ) = 3jc2- 2x + 6 y g(x) = x 2 + 3 , ocurre que
l i m | / W \ = f V ) = 3(2 )2 —2(2) + 6 = 1 2 - 4 + 6 = 2
*-»2 ' g(x) / g(2) (2)2 + 3 4+3
Cuando g(x) = 0 , se dice que el límite del cociente no existe (se simboliza « ). El siguiente
corolario da una condición cuando se presenta este caso.
C o ro la rio 2 .4 Dadas dos funciones f(x) y g(x) tales que lim f(x) = L , L ^ 0
y lim g(x) = 0 => lim ( ) no existe,
jr—►*.. *-**() fit-*-) '
Demostración Supongam os, por el contrario, que existe un número real M tal que
M
g(x)
Entonces: L = lim / ( x ) = lim ( g(x) . ) = lim g(x) ( lim
g(*) ' *-**„ * *-**a Z(x) '
= 0 (M) = 0
Lo cual contradice la hipótesis de que L * 0 . P o r ta n to . lim, / W no existe .
Por ejemplo , aplicando el corolario 2.4 , se puede observar que lim f X + ^ ) no existe .
*-»3/2\ [ x ] - I /
pues si g(x) = [ x ] - l => g(3/2) = [3 /2 ] - 1 = 1 - 1 = 0
Teorem a 9 de lím ite s : REDUCCIÓN DE UN LÍM ITE EN x0 , A UN LÍM ITE
ENO
Si l¡m /(A ) = L . entonces lim f ( x + h l = L
• -Jo h -» 0 '
Demostración En efecto , según la Definición (e - 8) de límite :
lim /(x) = L <=> ( V e > 0 , 3 S > 0 ) I s i x e D om (/)y si
0 < Ix - x„ I < 8 I/(x) - LI < £ (1)
(2)
Para la sustitución x - xn= h se tien e:
<=> ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) | s i x e D o m (/)y si
U< I h - O l < 5 ■=? I/(x n+ h ) - L | < e
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174 Capítulo 2: Límites
que es la definición de lim /(x + h ) = L
h —»O
P o r ta n to d e ( l) y ( 2 ) : lim /(x ) = hl-i*mQ/ ( x nu+ h)
T e o re m a 10 d e lim ite s : REDUCCIÓN DE UN LÍMITE EN hx„ A UN LÍMITE
Jim /( x ) = lim /( h x ) , siempre que h * 0
D em ostración En e fe c to , si lim f ( x ) = L (1)
<=* ( V e > 0 , 3 8 > 0) I si x e D o m (/) y si
O< | x - hx01 < 8 /(x ) - L | < e
Ahora s i , 0 < Ix - x | < -— r «=> 0 < | h x - h x I < 8 , implica que | /(h x ) - L í < E
Ih I
Entonces , para 8. = t^-t se tiene (2)
1 Ihl
0 < l x - x 0l < 8 , "=> I / í h x ) - LI < e
que es la Definición (e - 8) de lim /(h x ) = L
L u e g o ,d e (l) y (2) se sigue q ue:lim /(x ) = lim /(h x ) ■
T e o re m a 11 d e lim ite s : lím ite d el v a lo r a b s o lu to d e u n a fu n c ió n
Si lim /( x ) = L =t> lim l / ( x ) | = |L |
Demostración En efecto
lim /(x ) = L <=> ( V E > 0 , 3 8 > U ) |s i x e D om (/) y si
0 < Ix - x01 < 8 ■=> I/(x ) - L I < £ (1)
Por la propiedad de los números reales ; | l < z | - I M | ¿ | a - ¿ > | , s e tiene
I |/(x )| - iL l I < I/(x )- LI <£
Luego, en ( l ) : ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I six D o m (/) y si
0 < |x - x 0l < 8 I 1/(x)l - ILI I < e
que es la Definición (E - 8) d e : lim l/(x )l = lL l
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Sección 2.4 : Teoremas sobre limites 175
TEOREMA 2.1. Si lim f( x ) = L y s i ¿ j < L < 6 . entonces existe un número
8> 0 I a < /(x)< b , Vjre Dom(/), que satisfaga: 0 < Ix -x J < 8
Demostración En efecto , por una de las hipótesis : si lim f ( x ) = L
<=> ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s i x e D o m (/)y si 0 < | x - x R| < 5 => |/ ( x ) - L l < E
Esto e s , si l / ( x ) - L | < e «=> - e < / ( x ) - L < e <=> L - e < / ( x ) < L + e (1 )
Si e le g im o s : a < L - £ y & > L + e = > ( E < L - a ) y ( e < 6 - L )
De la otra h ip ó te s is : a < L < 6 < = > ( a < L ) a (L < 6 )
» (L - a > 0 ) a (b - L > 0 )
De donde , tomando el número positivo e = min{L - a , b - L} , podemos definir :
lim /( x ) = L <=> ( V e = min{L - c , ¿ > - L } > 0 , 3 8 > 0 | s i x e D o m ( /) , y si
0 < | x - x (ll < 8 i=> L - e < / ( x) < L + e (2)
Ahora combinando ( I) y (2) obtenemos
0 < | x - x j < 8 a< L - e < f ( x ) < L + e < b => a < f ( x ) < b
Te o re m a 1 2 de lím ite s : LIM ITES QUE CONTIENEN RADICALES
Si existe lim f ( x ) = L *=> lim f (x) = í / lim f ( x ) = >/L
d o n d e . L e IR,* y n e Z4 o L e IR^' y n e Z* impar
Demostración En e fe c to , de la Definición (£ - 8) del lím ite se tiene
lim W /(x ) = K¡L <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0) I si x e D o m (/) y si
*-**0 ____
0 < l x - x o l < 8 <=> \ l ¡ ñ x ) - S /L l < E
C aso 1. Si n e Z* y L > 0
Por el Teorema 2.! » a < L < h , tomando a = 172. entonces existe un número 5 > 0,
tal que f ( x ) > y > 0 , V x e Dom( / ) y 0 < l x - x (ll < 8 ,
De la identidad : a- b = a r —bLfi
a «-l + a a-2h + ____+ ^ , . - 2 + h n-l
con 12 = V/(x) y b = V H , se tiene
V T o o -*!/l = /W - L
L + ____+
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176 Capítulo 2: Límites
Perocom o V IT 1 < > /((/(x ))"-' + > /(/U ))n 7 L + . .+ VTT7*
cu an d o /(x )> 0 y L > 0 , entonces
14 m - d < W f ~ LJ < e tu
\ L n_ (2)
Por hipótesis , lim /(x ) = L , para e > 0 dado => 3 5 , > 0 , tal que
*~**0
0 < I x - x 0! < S2 ■=> If ( x ) - L I < e, = VÍT77 e
Tomando 5 = mi n { 5 ,, 82} y si 0 < | x - x nl < 5 , entonces se cumplen (1) y (2) simultáneamente,
luego Ii W„ f7/(7xT) - Vn/LT I. < '/(■*)—“ L—i < —j e = e
W "1
Por ta n to , queda demostrado que : lim V /(x) = Vl
x -* x 8
C aso 2. Si n e Z+ im par y L < 0
Entonces L > 0 y por el Caso 1 : lim - /(x ) = \í- L
x -» ^
Como n es un número impar : - lim ^ f ( x ) = - VÜ i=* lim >//(x) = Vl"
C aso 3. Si n e Z* impar y L = 0
Probaremos que : lim >//(x) = Vo = 0
En efecto , sea el n ú m ero e> O. Como lim f ( x ) = L = O, entonces para e” > Oexiste 8 > 0 ta l
x -» x 0
que si x e Dom ( / ) y si
O < Ijc - jc0 | < 6 o | / ( . v ) - 0 | < E " R /(r) - O [ < E
que es la Definición (e - 5) de : lim ^Jf(x) = O
C aso 4, Si n e Z* par y L = O
Probaremos directamente q u e : lim >//(jr) = V(í = O
x -» x 8
En efecto , dado e > Oy como lim /(x ) = L , entonces para
E" > 0 , 3 5 < O I s i x e Dom (J) y si O < Ix - xDI < 8 => I/(x ) - OI > E"
(T om andolaraizn-ésim a) => I a//( x) -O l < e
lo que demuestra q u e : lim V/(x) = 0 ■
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Sección 2.5: Limite de unafunción intermedia 177
(2T5I L ÍM ITE DE U N A FU N C IÓ N IN TE R M E D IA
Como ya se indicado anteriormente el que
lim f( x ) - L
exista o n o . y su valor numérico L , si existe, depende
únicamente del comportamiento de / para x en la ve
cindad V fi* (jfy).
Si para x próximo a x 0 , f está comprendida entre dos
funciones g y h que tienden al mismo límite L (Figura
2.18) ha de tender también a L . Este hecho queda ex
presado en lo que se llama el Teorema del “sandwich”
o de! “emparedado”
TEOREMA 2.2 : T e o re m a d e l s a n d w ic h
Sea una vecindad restringida en . y sean / , g y h tres funciones tales
q ue V x e V 8* (x ^ , 8 > 0 . se cum ple que
i) híx) < / ( je) í gíx)
ii) lim h(x) = lim g(x) = L ■=>lim f ( x ) = L
X -tt0 z-* xe
Demostración En efecto , de la hipótesis i ) :
V Jte W * ( x0) , h(x) < f ( x ) < g(jr)
1. Sean e > 0 , 8 > 0 tales q u e si 0 < Ix - x QI < 8 satisface h(x) < /(jc) < g(x)
2. Para cada £ > 0 , existe un 8, tal que
lim h(jc) = L <=* V e > 0 , 3 8. > 0 I si x e V * (jc jy s i
fil
0 < ]jc - j iJ < 8, ■=? | h(jc) - LI < e
3. También para cada e > 0 , existe un 82> 0 tal que
lim g(jc) = L <=> V e > 0 , 3 8 , > 0 I s ix e V *(jrn) y s i
0 < I x - x 0 l < 8 2 <=> i g ( x ) - L I < E
4. S u p o n ien d o q u e 8, y 82 se h an e le g id o tan p eq u e ñ o s que la s v e c in d a d e s V6 *(x0)
y e stá n c o n te n id a s en la v e c in d a d V8*(x0) y si 8 es el m ás p e q u e ñ o d e 8,
y 82 , esto e s , 8 = m in { 8 ,, 82} , en to n ces p ara x tal que 0 < l x - x 0l < 8 se cum plen
(2) y (3 ), tenem os que
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178 Capítulo 2: Límites
5. (|h (jr)-L l < £ ) a (|g(jc)~L | < e ) , lo cual implica que ■
(-e< h U )-L < e) a f-e < g (x )-L < e) o (L -e< h(x) a (g(x)<L + £ )
6. Ahora bien , puesto que h(x) < f( x) < g (x ), entonces
L - £ < h ( x ) < / ( jc) < g(jc) < L + e = ^ - L - e < f ( x ) < L + e e s l / ( x ) - L | < £
Por lo tanto : lim /( x ) = L
Un ejemplo sencillo de la aplicación del Teorema del sandwich es el siguiente.
Supongam os que : 3X2- 5x + 4 < /(*) < 9a2+ 3 , V x * 1/2
D a d o q u e , lim (3a3 -5 a + 4 ) = 3(l/2)2-5 (l/ 2 ) + 4 = 21/4
x —» 1 /2
y lim (9a2+ 3 ) = 9(l/2)2 + 3 = 21/4
*-* 1/2
tendremos que : lim / ( a ) = 21/4
j-* 1/2
TEOREMA 2.3 : L ím ite d e u n a c o m p o s ic ió n de fu n c io n e s
Si lim /(a ) = L y lim g(z) = x y se cumple que
i) Zg es un punto de acumulación del Dom ( / o g)
ii) y si existe un n ú m e ro o O tal que
0 < Iz - zQI < c , im plica que g(z) * xQ
entonces: lim /(a ) = lim /[ g ( z ) j = L
Demostración En e fe c to , si
lim / ( a ) = L <=> ( V e > 0 , 3 8 . > 0 ) I s i x e D o m (/)y s i (1)
JC-*JCD
(2 )
0 < IA - A01 < 8 , >=>| / ( a) - L | < e
(3)
S ¡ A = g ( z ) g ( z) e D o m (/)y sÍ 0 < |g ( z ) - A 0 l < 8, -^ |/[ g (z) ] - Ll< e
(4)
Si lim g ( z ) = An <=> ( V e . > 0 , 3 8 7> 0 ) I s i z e D o m (g )y si
0 < | z - z 0l < S2 c * lg (z )-A 0 l < E,
Además, p or hipótesis : 0 < | z - z 0 l < c = ^ g (z ) * xn => Ig(z) - a 0I > 0
Entonces eligiendo 8 = m in { c ,8 2} , el m enor de 52 y c , y por (2) , £ ,= 8,
tenemos en (3): V z€ Dom(g) a 0 < I z - z01 < 8 lg ( z )-A 0l < 8,
De la combinación de (2) y (4) se sigue que
0< Iz-zJ <8 | / [ g(z)]-L| < e
donde g(z) € D o m (/), es decir
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EJEMPLOS ILUSTRATIVOS 179
lim / [ g(z) ] = L = lim /(* )
X~*X0
Por ejem p lo , si /(* ) = 2x - 3 y g(z) = 6zJ - z + 3 , hallar
a) lim g(z) = b) lim f(x) c) lim / [ g(z) ]
z - * l /2 2 —* 1/2
Solución. Aqui zu= 1/2 es el punto de acumulación del D o m (/ o g). Entonces
a) lim g(z) = lim (6z2- z + 3) = 6 (l/2 )2- ( l/2 ) + 3 = 4 = > x .= 4
2-+1/2 z —*1/2
b) lim f{ x ) - lim (2jc-3) = 2 (4) - 3 = 5
* 4 ; r —» 4
c) lim / [ g(z) 1 = / [ g (l/2 ) ] = /(4 ) = 2(4) -3 = 5
z —* 1/2
EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
(e je m p lo 1 ) Sea / y g dos funciones que cumplen lo siguiente
i) m < f(x) < M ,V x e ( a - r , £ í + r ) , r > 0
ii) lim g(;c) = 0
x —*a
Qué puede afirmar de lim f ( x ) • g(-r) = 0 . Probar su afirmación
x -ta
Solución Por el Teorema 6 de límites (T.6L):
lim / ( * ) . g(x) = [ lim / ( jc) ] [ lim g(jr) ]
x —* a x —* a x~+a
De la condición ii) ,s i lim g(j:) = 0 >=> lim f ( x ) ■g(jc) = 0
x —>a x -* o
Demostración. En efecto , si
1. lim g(jr) = 0 <=> V e ^ O . B S ^ O | s i* € D om (g)ysí
x —*a
0 < l j c - a | < 5 ] *=í| g(jc) I < e ,
2. Si m < /( ;t) < M , V j c e ^ z - r , a + r) , r > 0 , entonces para
0 < | j c - a l < r c ^ | f(x) I < k , donde k = max{ | m | , | M | }
3. Como (1) se cum ple V e , > 0 , si elegim os e, = e/k t entonces
38|>o|si0<|x-a| 5, «=>Ig(jr)I< £/k
4. L uego, si tomamos 8 = m in {r, 8,} se cumplen a la vez
!/(* )! < k y [g(jt)| < E/k l/( * ) - g ( * ) l < e
5. P ortanto, v e > 0 , 3 8 = m in{r,8,} talque
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180 Capítulo 2: Límites
0 < U - g | < 8 < = > | / ( jc) • g O ) | < £
que es la definición (£ - 8) de lim f( x ) • g(jt) = 0
x -* a
Por lo que queda demostrado la afirmación.
[E JE M P L O 2 ] Sea f(x) una función real no nula con dominio D = ( 0 , y tal que :
f ( x y ) = f ( x ) + f ( y ) , V x e D.
a) Calcular lim f(x) b) Demostrar que lim f(x) existe Va e D
X—*1 *-*<»
Solución
a) Como x * 0 , entonces si y = l / x , se tiene
= /W + /( j) « /(D = /W + /(~ ) « /« = /( ! ) - /( } )
Aplicando lím ites: lim f(x ) = l i m / ( l ) - lim /(1 )
X —♦l X—* | Xl
= /(1 )-/(1 )= 0
b) En efecto, si a e D , entonces por la definición dada
fiax) = f(a) +f(x) lim }{ax) = lim f(a ) + lim f(x)
X-» I X—í I X—» 1
y por el Teorema 10 de lím ites (T. 1 0 L ): lim f ( x ) = lim /(lu ro) , h ^ 0
x-*hx0 X-»X„
se sigue q u e : lim f(x) = lim f ( a ) + lim /( x)
x —y a x —* I x —» l
P ero , por (a ), lim f( x ) = 0 y según el T.2 L ; lim f(a) = f(a)
X —* I X—>1
lim f( x ) = f ( a ) , existe Va e D ■
x~*a
E J E M P L O 3 J D em ostrar que si / es una función con dom inio ER, tal que I/ ( a ) I < M .
V x g IR , M > 0 constante y lim /(* ) = L => |L | < M.
Demostración En efecto, sil f( x) \ < M M -|/(jc)1 > 0 (1)
lim f( x ) = L « V e > 0 , 3 8 > 0 | s i j r e D om (/) y si
x-+x0
0 < U - j t 0l < 8 If( x ) ~LI < £
^ lL - /( x ) |< £ (2)
Pero com o |L | - I/ ( j c ) I < IL - f ( x ) I ■=> I L l - \ f ( x ) \ < £
De (1 ), M -1 f ( x ) | > Oy dado que 3 L , V e > 0 , eligiendo e = M - 1f ( x ) I , tenemos en (2 ):
|L | - I/(jc)I < M - 1/(jc)I =* |L | < M ■
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EJERCICIOS Grupo 10 : Ftmctutun nspctiutes 181
[E J E M P L O 4 ) D em ostrar que si lim [ ) = L y M es una constante no nula .
D em ostración entonces : l i m ( ® ^ ) = ML
x-»n' x f
Por la Definición (E - 8) del límite se tiene
lim í( /< * ) ) = L « V e > 0 , 3 8 > 0 | s í j c € D o m (f)y si
xx ——**00 V JC *
0 < Ijc- O I < 8 =* I ^ - L <e (O
Si x = 0 implica que M x - > 0 , siendo M * 0 ; luego en ( I ), podemos sustituir* por M e , esto
e s : <=> O c I M x l < 8 /(M x)
- L <E
M*
« 0 < l x l < ¡m í ~ / ( M x) - ML < IMI e
Si E, = |M I £ y 8, = S / l M I , se tiene : 0 < U l < 8 , e=> / ( M x ) M L < E,
que es la Definición (e - 8) de lim ( *- ) = ML
»-»n \ X i
EJERCICIOS . Grupo 10
1. S e a n / : IR —> IR , g : DR -> IR dos funciones reales tales que
i ) / 2(* ) + g 2( x ) = 1 , V * e R iii) lim /(* ) = 0
x ->0
ii) g(2*) = g 2( x ) ~ f 2(x) . V j r e R iv) Existe lim g(x)
T-»0
Demostrar que : lim g(*) = l
x0
2. Sea / : IR —> [R | / ( * + y) = f ( x ) */( * ) , V* , y e IR . Demostrar que
lim / ( * ) = — ( lim / ( * ) \
*-**0 f í a ) \ x~*a 1
3. S e a /u n a función real, xnun punto de acumulación del D om (/) tal que lim /(* ) = L , L e [R.
, g _____ x —*0
Demostrar que lim V /2(*) = v U , n e Z*
x -» x u
4. Sea / una fu n c ió n , *0e R , a e IR - {0} son núm eros fijos. U sando la D efinición (£ - 8),
demostrar q u e : lim / ( * ) = L «=> lim / ( * + *ÍL ) = L
x-*1q/o Sólo fines educx-a*t0ivos -\ LibírlosVirl tuales
182 Capítulo 2: Límites
5. Dem ostrar que lim /(x ) = L <=> ( ——) es acotada en un cierto intervalo de centro
*-»*o ' X ' X0
en x0, es decir, existen k > 0 y n > 0 e n R , tales queV x e D o m tf) que cumple 0 < Ix - x01< n,
/(x )-L <«. Kk . Ciaojinissiíudecrianiidu ou lido a nnitcenriuoi r, mi n ou sturaalr qquuee lim = -|-
se tie n e :
x~*2
6. Sean / y g dos funciones reales definidas en todo R , tal que V x , y e R , se cu m p le:
i) / [ g(x) ] = /(x ) + g(x)
ii) g(x+ y) = g(x) • g( y)
iii) lim g(x) = L. y lim /(x ) = L
x -*a ‘ x —t a
*
a) Hallar lim ( /o g ) ( x ) b) Demostrar que L > 0
x-^a
7. Si lim f ( x ) = L , dem ostrar que 3 5 > 0 tal que para 0 < I x - a l < 5 se tiene que
x —*a
I/(x ) I < k , donde k es una constante positiva
8. Si / : IR - » IR es una función tal que /( x ) * 0 y / ( x + y) = /(x ) • / ( x ) ,V x , y e IR. Demostrar
que si lim /(x ) = L , entonces, lim /(x ) = L f(a)
x —* 0 *-*«
9. Sean / y g dos funciones tales que lim f(x) = 0 y 3 M > 0 para el cual existe 5 > 0 tal que
x —t a
I g(x) I < M siempre que 0 < l x - n l < 6 , x * a . D em ostrarque lim /(x)«g(x) = 0
x —ta
10. Sea / y g funciones reales de variable real. Si lim /(x ) = L .e R+y lim g(x) = L ,e IR +,
x —> 0 1 ¿
x -íO
dem ostrar que existen a , b , 8 € IR tales que, si
0 < Ix - x01 < 8 , x e D om (//g) a< <b
(2 .6 ) TÉC N IC A S PARA EVALUAR EL LÍM ITE DE UNA FUNCIÓN
En las secciones 2.4 y 2 .5, el estudio de los límites se basó fundamentalmente en el
empleo de la Definición (£ - 8) para demostrar teoremas y también de la existencia o no de un
determinado límite. Ahora el reto se presenta un poco más difícil: es analizar el comportamiento
de una función / en un punto próximo axj, (punto de acumulación) perteneciente al entorno
Además en ejemplos anteriores hemos señalado límites calculables por sustitución
directa. En esta ocasión se presenta técnicas para reducir otros límites a esa forma, mediante la
aplicación del siguiente teorema.
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Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unafunción 183
TEOREMA 2 .4 : L ím ite c o m o p ro p ie d a d lo ca l d e la fu n ció n
Sea x0€ IR un punto de acumulación de las funciones f y g , y /(x ) = g(x) ,V x e
Si existe el lím ite de g(x) cuando x -> x0, entonces el límite de f ( x ) también existe y e s :
lim f ( x ) - lim g(x) = L
Demostración En efecto, supongamos que existe lim g(x) = L , entonces por la Definición
(e -8 ) de límite
lim g(x) = L <=> ( V e > 0 , 3 8 > 0 ) I s ix e D om (g)ysi
0 < l x - x 0l < 8 => | g ( x ) - L l < E (1)
Dado que por hipótesis /(x ) = g(x) , V x e Vg*(x0) , se sigue que
0 < Ix - x01 < 8 ■=> | /(x ) - L t < £ (2)
■
Por tanto, de (1) y (2) concluimos que
lim f(x ) = lim g(x) = L
a r - » j !0 x ->Xq
Pasamos ahora a clasificar los casos que se presentan respecto ai punto de acumulación x0.
1. x0e D om (/) y existe el límite d e / . ento n ces: L = /(x 0)
2. x0e Dom( /) y no existe el lím ite de / ( es indeterm inado)
3. x0í D om (/) y no está definido el límite d e / , es d e c ir, cuando se tiende a x0, entonces /(x )
tiende a
(Este tercer caso lo estudiaremos en la sección de límites infinitos.)
CASO I. Cuando xce Dom (/)
El problema se resuelve evaluando el límite por sustitución directa, es decir:
L = lim /(x ) = /(x 0)
¡EJEM PLO l l Sea la función /(x ) = ^J 2*2* 3* - 2 ha],ar Um ^
v* x ' ¿- jt-» 3
Solución Comencemos determinando el dominio de / , esto es
/ e s r e a l « 2*2+ 3* ~ 2 > 0 o (2 x ~ l X* + 2> > o
x-2 x -2
<=> x e [-2 , 1/2] U (2 ,+ ° ° )
Resulta que x0= 3 e D o m (/), entonces
a/2(3)?+ 3 (3)-2 ,
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184 Capítulo 2: Límites
i N o t a . N o siem pre o c u rre q ue / (x 0) = L . E l siguiente e je m p lo pone énfasis en e llo .
[E JE M P L O 2 ) D ada la función f ( x ) = <| x2- 2 , si x * 2 , hallar lim /(x)
4 ,six= 2 '-* 2
Solución O b sé rv e se q u e el D o m (/) = ÍR , e n to n ce s
x0- 2 e Dom ( /)
Como estam os considerando valores de x próxim os a xn = 2 ,
entonces para x0* 2 se tiene
L = lim f ( x ) = lira (x*-2) = (2)2- 2 = 2
x —* 2 x —* 2
Por definición /(2 ) = 4 , luego:
lim /(x ) * /(2 ) ■ F IG U R A 2 19
* -* 2
t----------------------- v í 3 + x ,S ix < -2
[EJEM PLO 3 ] Sea la función /(x ) = <¡
, hallar lim /(x )
[ 3 -x , s ix > -2 jc —» 2
Solución Com o el D o m (/) = R <=> x n= - 2 e D o m (/) y en la
G r(/), Figura 2.20, se observa que
1. Cuando x se aproxim a a x0 = -2 por la izquierda , es decir .
cuando x < -2 , entonces / ( x) = x + 3 , y
L ,= lim f(x) = /(-2 ) = 3 - 2 = 1
jt—»-2
2. Cuando x se aproxim a a x0= -2 por la derecha, esto es x £ -2 ,
entonces /(x) = 3 - x , y
1^= lim f(x) = /(-2 ) = 3 -1-2)=5
x-»-2
Se obtiene dos límites L, * L2 , por tan to , no existe lim /(x )
x-* -2
CASO 2. Regla de resolución de ¡as indeterminaciones
Cuando x0 «? D o m (/)
L Si /(x ) es una función racional de la forma /(x ) = P(*) , donde p(x) y q(x) son polino
<K*)
mios y si el límite de f( x) cuando x x0, toma cualquiera de las formas indeterminadas
ü 00 - 00 o • 00
0 ’ =»
entonces la indeterminación se elimina tan solo factorizando los polinomios p(x) y q(x)
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Sección 2.6: Técnicas para evaluar el límite de unafunción 185
O bviam ente, si x —»x0, entonces (x - x j —» 0 , es d e c ir, si p(x) = q(x) = 0 <=> ( x - x j e s u n
factor tanto de p(x) como de q(x).
E JE M P L O 4 Í Sea la función f( x ) = r . hallar lim f(x)
'* JT-4 x_»2
Solución Dado que / es una función racional en la que
p (x )= x 3- 8 => lim p(xj = p(2) = 0
q(x) = x2- 4 => lim q(x) = q(2) = 0
j —>2
Ocurre que el límite L d e /to m a la forma indeterminada 0 /0 . Ahora la pregunta e s , cuál es el
valor real de f ( x ) cuando x está próximo a 2 pero no es exactamente 2.
Las identidades algebraicas: x3- 8 = (x - 2) (x2+ 2x + 4) y x2- 4 = (x - 2) (x + 2 ) nos permiten
responder la pregunta.
(x - 2)(x2+ 2x + 4) ,x * 2
Reescribimos la función : f ( x ) = — -— -----------
(x-2)(x+2)
Entonces, Vx * 2 podemos cancelar el factor (x - 2) y obtener
sw = . x#z
En consecuencia, el comportamiento de /(x ) para x próximo a 2 , pero distinto de 2 , es el mismo
que el comportamiento deg(x).
A s i, en esta situación , por el Teorema 2 .4 , se sigue q u e :
xl-im*2 /(x ) = xli-m*2 g(x) = g(2) = ^ 72 ++ 22' =3 "
II. Si /(x ) = y en Pt-1) yA) qU ) intervienen radicales de índice par o impar y si el límite
d e / ( x ) , cuando x —>x0, es indeterm inado, la indeterminación se elim ina racionalizando
p(x) y/o q(x).
El factor racionalizando se busca a través de las identidades
1. a2- b 2 = { a + b ) ( a - b )
2. a 3-fe3 = ( a - b ) ( a 2+ a b + b 2)
3. a 3+fe3 = (a + b) ( a2- a b + b 2)
4. a*-bA= (a -fe )(a 3+í23b+ afe2+ fe3) = ( a - fe)«Fía,fe)
5. a 3-fe5= ( a - 6 ) ( a 4+ a 36 + a :ife2+ afe3+ fe4) = ( a -6 )• F ( a , fe)
En general
6. a ° - b n = (a - 6 ) (a" ' + a " ‘2fe + a " 3feJ + . . . . +afen' 2+ fen' ’)
>------------------------------- v,-------------------------------'
n términos
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186 Capitulo 2: Límites
— ( a - b ) ‘ F (a , b ) , para n par o impar
7. a n+ bn = (c + b)J a n' 1- a n 2b + a n' ,b2 + . . . . - a b B' 2 + b”' 1)^
n términos
= (a + b) • F (a , b) , para n impar.
En el caso 1 cualquiera de los dos factores es el factor racionalizante, en los demás case» es el
segundo factor denotado por F(<3 , fc). Se puede decir que F es una función de dos variables a
y b , pero como estas variables son funciones de * , en realidad F es una función de x . Ahora
bien , si evaluam os el límite de F(c , b)c u a n d o x —»x0 , obtendremos
lim F ( n ,b) = lim ( a " '1+ a n'^b + a',' 3b2+ .............. + a 6 n' 2+ & "'')
La homogeneidad de los términos de F (sus exponentes suman n - 1) permite que los n sumados
tengan un mismo valor al sustituir* por*0, entonces para mayor comodidad podemos escribir
lim F(a,& ) = n . lim (a )" '1 ó lim F(a,í>) = n . lim (fe)"'1
EJEM PLO 5J Si /(x ) = y^2 xx +- i'¡ ~x , hallar ,l_i*m■»/(* )
Solución I. La sustitución directa lleva al límite a la forma indeterminado 0/0
2. C om o * 3 , en to n ce s (x - 3) - » 0 , lu eg o b u scarem o s el fa c to r (x - 3)
racionalizando el num erador, esto es
(V 2x+3 -x)(V 2* + 3 + x) (V2x + 3 ) 2- x 2 -(x -3)(x+ l)
3. /(x ) = (x -3 ) (V2x + 3 + *) (x-3)(V 2x + 3 + x)
(x-3)(V2x + 3 +x)
Si x * 3 , podemos cancelar factores iguales, obteniendo
g(x) = - * + .11------ , x * 3
\2x+ 3 +x
4. A h o r a ,s i/( x ) = g ( x ) ,V x e Vg* (3 ), entonces p o r el Teorema 2.4
L = lim /(x ) = Iim g(x) = g(3) = - 3 + 1 - = - ■
i —♦3 i —>3 V6 + 3 + 3 3
[ e j e m p l o 6 ) Calcular: lim ( 3 -V 5 x - l \
s ^ 'V 3 x T 2 - 2 '
Solución 1. Sea f ( x ) = c* /(2) = —
SÍ3x + 2 - 2 0
2. S ix - » 2 , e ntonces (x - 2) —» 0. B uscarem os el fa cto r (x - 2) efectuando doble raciona
lización. En el num erador el factor racionalizante es 3 + v5x -1 y en el denom inador,
F(a ,b ) = a 2+ ab + t r , donde a = >/3x + 2 y b = >Í8
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Sección 2.6: Técnicaspara evaluar el límite de unajunción 187
3. Si lim F(<z,¿) = n . lim (¿)" ‘ =? lim F ( a ,b) = 3 (V 8 )2 = 12
*-»*<> *-*2
4. Multiplicando el numerador y denominador de / por el factor racionalizante correspondien
te , se tiene
[ (3 - y}5x - 1)(3 + V 5 x - 1 ) ] .F ( a , b ) [32- ( V sjT T )2] . F{a, b)
m=
[ ( f o x + 2 ) s - 2 3] ( 3 + V 5 j c - 1 )
[ ( f o t + 2 - 2 ) * F ( a , b) ] ( 3 + f o T Í )
-5 (*-2 ).F (a ,6 ) «=> g(x)v = —5 i( ,1 \1Fr t( a , ols)
= ------------------ .
3(*-2)(3 + f o t - 1) 3 ' 3+ fot -1 '
5. Portanto: L = lim / ( jc) = g(2) = - 3 ( 3^ 3 ) (12) = - - y
OTROS EJEMPLOS ILUSTRATIVOS
En esta ocasión se presenta varías técnicas para reducir un límite que tiene la forma
indeterminada a oro límite calculable por sustitución directa. A parte de las reducciones por
factorización o por racionalización veremos otros por medio de artificios de cálculo.
7)EJEMPLO Calcular Em
— J n-.3 V4X3-1 3 x 2+ 4 x - 3 /
' ■ Sea ~ í<3) ■ §
2. Para elim inar la indeterminación debemos factorizarel numerador y el denominador cono
ciendo que un factor es (x - 3) y con la ayuda del teorema del factor (Método de Ruffini),
tendremos
<*1 x, * ( x - 3 ) ( 2 x 1+ x + 1) 2x* + x + l
1 fíX) = (x-'i)(4x"i - x + 1) ° g W = - 4 1 ^ 7 7 1 •
4. Si f ( x ) = g(x) ,V x e Vg* (3 ), entonces por el Teorema 2.4
L = lim f( x) = lim g(x) = g(3) = 2(3)2+ 3 + 1 11
17
x—* 3 x—»3 4(3) -3 + 1
[EJEM PLO 2 ) Si / « = ^ . _ | L _ , M a r lirn /U)
Solución 1. Por sim ple inspección vemos que /( 4 ) = 1 8 = 0 0 - 0 0
2. Efectuando la operación in d icad a: / ( jc) = 2(x 4) (3 + 4)
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188 Capítulo 2: Límites
3. Ahora el lím ite toma la forma indeterminada 0/0. Entonces , cancelando factores iguales
obtenem os: g(jc) = t
2(3* + 4)
4. Si / ( jc) = g (x ), V x e V6* (4 ), e n to n c e s, por el Teorema 2.4
L = lim f ( x ) = lim g(x) = g(4) = - ^
x4 x—*4
E J E M P L O 3 ) Si f (jc) = - x - (n + l)jcn + I , n ,p € Z+ ; hallar lim f (x )
, p + i - -jcp x + I X—» I
Solución 1. Por sim ple inspección : / ( I ) = 0
2. Com o ( jc - 1) — >0 , el binomio -( jc I) debe ser un tactor del num erador y del denom inador de
/ . Entonces:
3 . x f * ' - x P - jc + 1 = x{x* - I ) - ( jc*>- 1) = (j c - l) ( jr p - I)
= (j c - 1) ( j c - 1) (jcp ' 1 + jcp ' 2 + jcp' 3 + . . . . + jc* + jc + 1)
= ( x - I)2 (JCp*1+ jcp-2+ ;cp-3 + . . . . +jc2+ jc + l)
4. En el numerador aplicamos dos veces , para la regla de R uffini, x = l
n - (n + 1) 0 0 0 ....ü 0 0
I n -1 -1 -1 -1 -1 -1
n -1 -1 -1 -1 . . .- I -1 -1
1 n n- 1 n-2 n-3 . . . . 3 2 1
n n - 1 n - 2 n-3 n -4 . . . . 2 1 0
^ N u m e r a d o r = ( x - I)2 [n x n 1+ (n - 1) jrn-2+ (n - 2) x n 3 + . . . + 3 j t + 2 jc + I]
5. L uego: f ( x ) = ( x ~ 1)2 tn ^ + (n ~ + (n ~ 2)jrl>"3 + + 3jc2 + 2x + i]
( j c - 1 ) 2 ( j c p _ 1 + x p~2 + x p“ 3 + . . . . + j c 2 + jc + 1 )
6. De m odo que si jc * 1, podemos cancelar factores iguales. obteniendo
g(*) = n-l + (n - 1)jc" - 2 + (n - 2 ) x nn~-3i + . . . . + 3 jc¿ + 2 jc + 1
x p~x + x p~z + JCp-3+ ____+ Jt + JC+ I , jc * l
7. Por lo que: L = limgOr) = ü ± ( ? - D + (n - 2) + . . . . + 3 + 2 + 1 f (n + 1)
1+ 1 + 1 + .... +1+1+1 p veces 1
. L _ n (n + 1)
2p
(e je m p lo 4 ) Sea f ( x ) = ~ ^ ha|,ar |¡m m
V 3 6 - 4 jc2 -*-»3
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Sección 2.6: Técnicaspara evaluar el límite de unaJunción 189
Solución 1. Por sustitución directa : /( 3 ) = ^ ^ ^ ^
Obsérvese que en el numerador aparecen dos ceros, lo que indica que debe
mos descomponer f(x) en dos sumandos , cada uno con un límite indeterminado , esto es
Z fe) = + V6-2a: = ( < 6 - < 2 x ) ( ' Í 6 + tJ2x ) + S6-2x
V 36-4*2" y¡36-4x2 V(6 + Zx)(6- 2x) (Vó + y¡2x) V(6 + 2x) ( 6 - 2 x )
6-2x 1_ V ó-2x 1
V (6 -2 )(6 + I* )(V ó +>¡2x) S6 + 2x
y¡6 + 2x Vó + 2 l (V ó+ V 2x)
3. Si g W = ----- h = ~ + - f J = , x r í . y á H x ) = g(A), V i e Vg*(3)
V6 + Zr ( V 6 + " ^ x ) v 6 + 2x
L = lim g(*) = g(3) = 0 + 1 1
*->3 -¿6 + 6 2^3
E JE M P L O 5 ) Si f ( x ) = ~3 , evaluar lim f(x)
»■ I \V/ r7xT¡fÍt6 _- 29 ’ ji»—_*»0n
Solución 1. Por sustitución d irecta: /(O ) = ~
2. C om o* —» 0 , buscaremos el factor x racionalizando el numerador y el denominador de f ,
cuyos factores racionalizantes so n , respectivamente:
F(a ,6 ) = a 2+ ab + b2 , donde a = ^ * + 27 y b = ^/27
G(a ,b ) = a 3+ a 2í>+ <z&2+ b3 , donde a = >íx+ 16 y ¿ = Vl6
3. Según la notación : lim F ( a , b) = n • lim (b) " '1 , para cada caso se tiene
*-»*o *-**0
lim F ( c ,¿ ) = 3 lim ( ^ 2 7 )2 = 27 ; lim G(a ,b) = 4 lim (VTó)? = 32
j —>0 * —»0 x—»0 x —»0
4. Racionalizando: M = K « Í Z 7 - 3 ) . F < M ) ] - C * . » )
[(l/x+16 -Z)-G (a,b)]’ Ha,b)
[ ( > / j c + 2 7 ) 3 - ( V27 ) 3 ] • G(<z, ¿>) [(jc + 27) - 2 7 ]. G (a , b )
[(Í/J+ T ó )4- (VT6)4] - F ( a , 6 ) [(jt + 1 6 )-1 6 ] • F ( a ,¿ )
Para x * 0 , cancelando factores iguales, obtendremos
g(*) = , * * 0 , y s i / ( x ) = g ( x )t V x e Vfi* (0 ), entonces
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Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa
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