Analisis_Matematico_1_-_Ricardo_Figueroa

590 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Luego, y = 4 e y = -4 son asíntotas horizontales a la derecha e izquierda, respec­
tivamente.
3. Localización de los números críticos y de inflexión

60 180X

4. Nótese que los denominadores de ambas derivadas son siempre positivos,luego/ ’( v) > 0,

V x e IR, es decir, la gráfica d e /e s creciente en todo su dominio, no tiene extremos

relativos.

Si / “(jc) = 0 => x = 0 es un posible número de inflexión

Ahora si x < 0 / “(x )> 0 , la G r^ ) es cóncava hacia arriba, y si x > 0 = > / ”(a) < 0,

la Gr(f ) es cóncava hacia abajo; de modo que el cambio de sentido de concavidad en

x —0 , asegura que (0 . 0 ) es un punto de inflexión.

5. Con toda esta información dibujamos la Gr(/") representada en la Figura 5.44 ■

(j= J E M P L O _ 8 _J Dibujar la gráfica de la función f(x) = x - Jü-x2

Solución I. Una raíz de índice par anuncia a menudo un dominio restringido para una

función. Así, en este ejemplo, la función es real <=> 8 - .t2 > 0 *-<8

- i j l < x < 2 i/2 => Dom (/) = [-2J 2 , 2V2 1

Intersecciones con los ejes coordenados

a) Con el eje X: y = 0 => x-JS —x 2 = 0 <=> x = 0, x ~ ±2-j2
b) Con el eje Y: x = 0 ^ y = 0; la curva pasa por el origen
2. La gráfica de la función no tiene asíntotas
3. Localización de los números críticos y de inflexión

Si /'(jc) = 0 = > 4 - a 4 = 0<=>at = ± 2 son los números críticos

/ " ( jc ) = 0 jc = 0, x = ± 2-J3 e Dom(f), entonces jc = 0 es un posible número de
inflexión.
Valores de la función en estos números:

/ ( - 2) = - 2 V 8 ^ 4 = - 4 ; /( 2 ) = 4 ; /( 0 ) = 0

Intervalos prueba: <-2y¡2 , -2> , < -2 ,0> , <0, 2> , <2, 2-^2 >
4. Comportamiento de la función en estos intervalos

TABLA 5.22

/( v ) f \ x ) /" (a ) Forma de la gráfica

<-2y¡2 ,-2> Decreciente
cóncava hacia arriba

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Sección 5.7: Resumen de técnicas para graficar una función 591

x = -2 -4 0 + Máximo relativo
<-2 , 0 > 0
4 ++ Creciente
x=0
<0, 2> cóncava hacia arriba
x= 2
+ 0 Punto de inflexión
<2, 2 V2 >
+- Creciente

cóncava hacia abajo

0 - Máximo relativo

- - Decreciente
cóncava hacia abajo

5. Según la tabla, la gráfica de / tiene un mínimo global en A('2„-4}, wi-máximo global en

B (2,4) y un punto de inflexión en (0, 0). ~•

6 . La figura 5.45 muestra la grállca de / .

J

Y'
4

lVi-// )
A
V

GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN CONTENIENDO
UN RADICAL DE ÍN DIC E IMPAR

(^ E J E M P L O J J ^ Dibujar la gráfica de la función: f { x ) = 3x2/-1—j c

Solución 1. La función está definida en toda la recta real.
No existen puntos de discontinuidad

Intersecciones con los ejes coordenados
a) Ejc X : y = 0 => ^ - x1= 0 => (3 - j O = 0

<=>* = 0 , * = ±S/27 = ±2.28
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592 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

b) Eje Y: x = O => y = 0. La curva pasa por el origen
Además com o/(x) ~ / ( - jc) , la Gr(f) es simétrica respecto del eje Y.

2. No existen asíntotas de ninguna especie
3. Localización de los números críticos y de inflexión

4/3i. o / il +. 3->x..4/3
ru ) =- f
x 4n

Si/'(jc) = 0 => X**= 1 x = ±1 son números críticos
Obsérvese que tanto/'(;r) como /"(jc) no están definidas en jc= 0, entonces éste puede ser
un número crítico o un número de inflexión. Pero dado quc/"(x) < 0, V x e Dom (/), pues
la expresión entre paréntesis es siempre positivo, entonces la Gr(/) es cóncava hacia ahajo
en toda la recta real, por lo que no existe puntos de inflexión, luego jc= 0 es un número
crítico.
Valores de la función en los números críticos

/ (± I ) = 3 (± )^ - (± I )2 = 2 => (± 1,2) g Gr( /)
/(O ) = 3(0) - (0) = 0 => (0, 0) g Grtf)
Comportamiento de la función en los intervalos prueba

<-oa, - 1 > , < - ] , 0 > , < 0 , 1 > , < l,+ © o >

TABLA 5.23

f(x) /'OO / Mu > Forma de la gráfica

-l> Creciente
+ cóncava hacía abajo
X = -1
2 0 - Máximo relativo
< -l,0>
x= 0 Decreciente
<0 , 1> - - cóncava hacia abajo
x= 1
0 No definida No definida Máximo relativo
< 1, -K»>
+- Creciente

cóncava hacia abajo

2 0 - Máximo relativo

- - Decreciente
cóncava hacia abajo

5. En esta tabla se observa que la función tiene un máximo local en (-!, 2) y (1, 2), un
mínimo local (punto anguloso) en (0, 0). Además la Gr(/") es creciente en <-«>, -1> y
<0, 1>, es decreciente en < -1 ,0> y <1, -h»>, es cóncava hacia abajo V x e Dom ( f ).

6 . La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.46

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Sección 5.7: Resumen de técnicas para graficar una función 593

( EJEM P LO 10 ^ Dibujar la gráfica de f ( x ) = y¡2a \ 2- jt* , a > 0

Solución I . La función está definida en toda la recta real

Intersecciones con los ejes coordenados
a) Eje X: y = 0 => lux2- ,r' = 0 <=> x = 0. x = la
b) Eje Y: x = 0 => y = 0. I*a curva pasa por el origen
2. Asíntotas. No hay asíntotas verticales ni horizontales
Asíntotas oblicuas: y = mx + h

m = lim /-(-*--)-- = l..im í í a T V ] = —I
x-*±- x *-»±~ ^ x j

b = lim \ f { x ) - n i x = lim t fl ax2 - x * +.

b= «li-m*+- lax7
j j ( l a x 2~ x y)2 - xiflax2 - x
y+x2¿

= lim 2a la
’
fcFí-W7'*'~

Entonces SE: y = ~x + es una asíntota oblicua en ambos sentidos

3. Localización de los números críticos y números de inflexión

f ( x ) = 4ax~3x2 4 íi-3 .v

3(2 ax2 - x yf n 3 M I [ l a - x ) 2n

f'(x) = - 8« V 8 rí2
9 Jy 7 { 2 a - x ) m
9(2ax2 - x i )yn

Si f'(x) = 0 => 4 « - 3 jc = 0 => 4a/3 es un número crítico

Como f'(x) y f"(x) no están definidas en x = 0 y x = 2a, ambos son candidatos a
números críticos o a números de inflexión

Al recurrir al criterio de la primera derivada encontramos que x = 0 es un número crítico
y x = l a es un número de inflexión.

Valores de la función en estos números

/(4a/3) = ^ £ ) V4 . / ( 0 ) = 0 . f(2á) = 0

4. Comportamiento de la función en los intervalos prueba
<-=*=, 0 > , <0, 4o/3> , <4o/3, Ico , <2«, +°°>
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594 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

TABLA 5.24

J (0 Av) f"(x) Forma de la gráfica
- -
<-», 0> Decreciente
cóncava hacia abajo

x=0 0 No definida No definida Mínimo relativo

<0, 4a/3> +- Creciente

cóncava hacia abajo

x = 4a/3 ( 2a/ 3) \¡4 0 — Máximo relativo
<4fl/3, 2a>
0 Decreciente
x = 2a
<2a, -h»> --

cóncava hacia abajo

No definida No definida Punto de inflexión

- + Decreciente
cóncava hacia arriba

5. De la labia concluimos que la función tiene un mínimo relativo en (0,0), punto anguloso.
(4a 2aif7\

un máximo relativo en \ -j-» ^ -v 4 l y un punto de inflexión en (2a. 0).

6 . La figura 5.47 muestra la gráfica de la función apoyada en la información de la
Tabla 5.24

G RÁFICAS DE FUNCIONES SECCIONADAS______________________________

Para dibujar gráficas de funciones seccionadas, el análisis de su comportamiento
debe hacerse en cada subfunción sobre su respectivo domonio. Si se presenta el caso en que las

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Sección 5.7: R esum en de técnicas p ara tra fic a r una fu n c ió n 595

expresiones para hallar la segunda derivada sean muy voluminosas, a veces es necesario redu­
cir el análisis de las propiedades de las gráficas al criterio de la primera derivada.

( ^ E J E M P L O ^ lj Dibujar la gráfica de la función

yjx1- 9 . si x e -3 ] (f )
(/,)
f(x) = A+I
X~ — 1
, si X e < - 3 , + « > - { 0}

Solución i) En x e <-«>, -3]

1. La función/ , es continua V x g <-<», -3]

Intersecciones con los ejes coordenados

a) Con el eje X: y = 0 => x2 - 9 = 0 <=>* = -3 ó x = 3 g Dom (J ,)
b) Con el eje Y: x = 0 => y = V —9 imaginario, no hay interceptos
2. Asíntotas
a) Asíntotas horizontales: y = lim f { x )

lim -V--x--2--- -—9 = um Ixl V i - 9 / x2 ' - V l - Ü
x + l *-»— x ( l + ! / x ) 1+0

Entonces y = - 1es una asíntota horizontal izquierda
b) No hay asíntotas verticales ni oblicuas.

3. Localización de los números críticos: f x' (x) = x +9

(x + l ) 2 Vx 2—9

Si fi(x) = 0 => x + 9 = 0 <=> x = -9 es un número crítico
f \ x ) no está definida en x = - l, x = 3 y x = -3, los dos primeros números no pertenecen
ai Dom(/!), y el tercero es un extremo de su dominio; luego, x =-9 es el único número

crítico.

Valor de la función: / ( - 9 ) = - ^ V2 « -1.06

4. Comportamiento de la función / j en los intervalos prueba <-<», -9> y < -9 ,-3>

En x e <-«>, -9>, sea x = -10 / , (-10) = — = - decreciente.

En x e <-9. -3>, sea x = -8 => /i'(-8) = ^ = + creciente

Luego, la función f¡ tiene un mínimo relativo en (-9, -1.06)
5. Con toda esta información ya podemos dibujar la gráfica de

ii) En x e <-3, -H*>> - {0}
1. La función/ 2 es continua en todo su dominio.

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596 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

En x = Opresenta una discontinuidad inevitable
Intersecciones con los ejes coordenados
EjeX:>' = 0 => a2 - I - () <=> x = ± I
Eje Y: No existe intersecciones
2. Asíntotas
a) Asíntotas horizontales: y — lim f 2(x)

lim f x 2( l - l / x 3) ' l-O
^ x 3 \ ( l + 1 / Jt"
jX t J X ~ + l V i+0

Entonces: y = 1 es una horizontal derecha

b) Asíntotas verticales: lim f2(x) = ± => x = 0 es una asíntota vertical en ambas

*—*0
direcciones.
c) No existe asíntotas oblicuas.

3. Localización de los números críticos: / , ’ (jc) = 3a2 +1
~ 2^~ 3 + |)vj

Como f 2'(x) > O, V x e Dom(/2), la función f z es estrictamente creciente en todo su

dominio. No presenta extremos

4. Con toda esta información se traza la gráfica de f 2. La figura 5.48muestra la

G r(/) = Gr(f,) u G r(f,) ■

[ E JE M P LO 1'2J Dibujar la gráfica de la función

, si X < —l (í)

/(*)= (/O
2( x - l )

[ (x + l)

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Sección 5.7: Resum en de técnicas para graficar una función 5‘>7

Solución i) En x e -i>

J. f es continua en todo su dominio. Su gráfica no intercepta a los ejes coordenados.

2. Asíntotas

a) Asíntota vertical: lim / j { * ) = + 00 =* x = - 1 csunaA.V.

b) No tiene asíntota horizontal, pues túri / , ( * ) = - 0,3
c) Asíntotas oblicuas: y = nix + b

ni = lim = lim = -1

U\ yjl —i f x 2 j

b - lim f/i(jr)-n u rl = lim + x = lim x
L J C->-« , V x ^ t - í — . V * 2 - i ,

= lim x x2- ( x 7- \) =0

„ V jc2 - 1 ( x - t J x 2 - l ) j

Entonces y = -x es una asíntota oblicua izquierda

3. Localización de ¡os números críticos y de inflexión

(x ¿- ¡ ) v< x2+2

•” ' ' ( x ^ - l )5' 2

Si /■,’(jc) = 0 jt= 0, x = 1/ 2 , x~- y[ 2. I,os dos primeros númerosno pertenecen al

Dom (/j). por lo que x = -yÍ2 es el único número crítico

Valor de la función: f ( - J 2 ) = 2 2 , 2) es un punto crítico.

Como /i"(.*) > 0 , V x e Dom (f,), la Gr(/¡) es cóncava haciaarriba en todo su

dominio. No existe puntos de inflexión.

4. Intervalos prueba: <-*», -■I2>.<--J2, -l>

ii) En r € <1, -N»>

1. / 2 es una función racional continua en todo su dominio. Su gráfica intercepta a los ejes
coordenados en ( 1, 0 ) y (0 , 2 )

2. Asíntotas
a) Asíntota vertical: lim / , (jc) = +«» x = —I es una A. V.
JC-*-l+
b) Asíntota horizontal: lim f 2(x) = 2 => y = 2 es una A. H. derecha.

3. Localización de los números críticos y de inflexión

f 2'(x ) = *-i x ~ l¡ ; / 2m(jc)= 16<2 ~*>
32 ’ (x + 1)3 31 ( a + 1)4

Si f f (x) = 0 x - ! = 0 <=> x —1es un número crítico
fi'ix) = 0 => 2 - x = 0 <=> x = 2 es un posible número de inflexión
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598 Capítulo 5: Aplicaciones de la D erivada

Valores de la funciónf¡ en estos números
fc(\) = 0 =*■ ( 1, 0 ) es un punto crítico
f¡(2) = 2/9 ^ (2. 2/9) es un candidato a punto de inflexión

Intervalos prueba: <-1, l>, < l,2 > , <2, -h»>
4. Comportamiento de las funciones /, y f2 en sus respectivos intervalos prueba

y ¡2 > fyU) TABLA 5.25 Forma de ¡a gráficaf ,
//(.O
X 2 Decreciente
-+ cóncava hacia arriba
fe! l1
0+ Mínimo relativo
1 NJ] ++
Creciente
V flix) cóncava hacia arriba
-+ Forma de la gráfica f 3
• f 2(x) 0+
< -1, I> ++ Decreciente
X= 1 0 +0 cóncava hacia arriba
< 1, 2 > 2/9 +-
x= 2 Mínimo relativo
<2 ,+®°> Creciente

cóncava hacia arriba
Punto de inflexión
Creciente
cóncava hacia abajo

5. Apoyada en la información de la Tabla 5.25 se observa que la función / tiene un mínimo

local en (-*>¡2 , 2) y ( I, 0), un punto de inflexión en (2, 2/9) ■
6 . Finalmente la G r ( f ) = G r(/,) t j G r(/2) se muestra en la Figura 5.49

FIGURA 5.49
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Sección 5 .7: Resum en de técnicas para tra fic a r u n a fu n c ió n 599

(E JE M P L O 1 3 ] Dibujar la grafía de la función

, ai x < 0

/(*) =

Mr '- 3 jc 2 , si x > 0

Solución Según la definición del valor absoluto

be2 - 1 1 = + ÍA 2 - I ) , si j r > I « x <-1 v jc > 1

U 2 - 1 \ = -(x2 - 1), s i . t s < 1 -1 < j c < 1

Dado que el dominio de / para x < 0 es <-e°. -I> vj <-1, 0>, volveremos a redefinir/ de la

siguiente manera:

, Si X < - 1 < /)

/< *) = , si - 1 < x < 0 ( / 3)

V x3 —3x2 , si x > 0 (/,)

1. En / , y f 2, debido a la restricción de sus dominios, no hay intersecciones con los ejes
coordenados.
En si y = 0 => r * - 3 r 2 = 0 <=> x = 0, * = 3
si x = 0 => y = 0. La Gr (/"O empieza en el origen

2. Asíntotas
a) Asíntotas verticales

Comoel lim / ¡ ( * ) = lim
^ x + l ) { x - \ ) J J( 0- )(—2)

y el lim f 2(x) = lim

+ ) Joño*)

Entonces x = - 1 es una asíntota vertical hacia abajo para las gráficas de/ , y f 2.

b) Asíntotas horizontales

\/ \
U/V\x\VJT-[fx2 / 1
lim f . ( x ) = lim — lim
\-\/x2

Luego, y = - 1es una síntola horizontal izquierda para la Gr (/,)
En f i y / , no existen asíntotas horizontales
c) Asíntotas oblicuas: y - mx + b
En / , y f 2 no hay asíntotas oblicuas. pues en / „ m = 0 y en f 2, por la restricción de
su dominio.

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600 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Et - n , ni = lim —M --x--)-- = ,.lira -V---a--3-----3--a--2-- =

*-*+“ X r-VH» x

b = lim [Lf , ( x ) - m x ]J = tl-»im+<*> (VV a 3 - 3 a :2 - a )/

_ lira -3 a

^ ’ - 3 x ! )J + x ,yl x' - 3x* + x \

Entonces y = x - 1 es una asíntota oblicua derecha.

3. Localización de los números críticos y los números de inflexión

, A < -1 3a A < -l

(a 2 - I )3' 2 (a - 1)SV2 -1 < A < 0

/U ) = 2\V2 , — 1 < X < 0 3a A > (J

0 -* ') f'ix) = \
(1 - a 2 ) 5/2
A —2
,A> 0 -2

yjx(x —3)2 V a 4( a - 3 ) s

Obsérvese que e n / , y / , no existen números críticos ni números de inflexión.
En /,: si fi'(x) = 0 ^ x - 2 = 0 < = > x = 2esun número crítico
Comofi'(x) y /j" (x ) no están definidas en x = 0 y a = 3, estos pueden ser números
críticos o números de inflexión
Valores de la función en estos números:

/( 0 ) = 0, / ( 2 ) = - 4 y / ( 3 ) = 0 = > (0, 0), (2. - V 4 ), (3,0) e Gr(f)

Intervalos prueba: < -« , -1>, <-1, 0>, <0, 2>, <2, 3>, <3, -n»>

/ , ’(* ) < 0 , x e <-■», - 1> = > /, es decreciente en todo su dominio

/,"(a) < 0, a £ =$ La Cr (ff es cóncava hacia abajo

/ 2’(a) > 0 , a e < - l , 0 > = » /, es creciente en todo su dominio

f 2"(x) < 0, a e < - 1, 0> => La Gr( / 2 ) es cóncava hacia abajo

Con estos datos podemos hacer un dibujo preliminar de las gráficas de / , y f 2.

Para analizar el comportamiento de/, en los intervalos prueba
<0, 2>, <2, 3>, <3, +«>>

construyamos la siguiente tabla

TABLA 5.26

.. w , / A *) - fy'ix) Forma de la gráfica
- + Decreciente
<0, 2> +
0 cóncava hacia arriba
x=2 -\Í4
Mínimo relativo

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Sección 5.7: Resum en de técnicas para graficta- una función 601

<2, 3> + + Creciente
x= 3 cóncava hacia arriba
<3, +«*>>
0 No definida No definida Punto de inflexión

+ Creciente
- cóncava hacia abajo

5. En esta tabla se observa que la (unción / , tiene un mínimo relativo en (2, -\Í4) y un

punto de inflexión en (3, 0). Además nótese que/, es creciente en <-1, 0> y / es

decreciente en <0 , 2>, y como / es continua en x = 0 , éste es un número crítico para /

y en (0 , 0 ) tiene un máximo relativo.

6. La G r(f) = G r(f,) u Gv(f¿ u G r(/\) se muestra en la Figura 5.50 ■

GRÁFICAS DE FUNCIONES TRASCENDENTES ^

^ J E M P L O _ 1 ^ Hallar los extremos relativos, puntos de inflexión y dibujar la gráfica
de la función f (x) = x - Sen x, x e [0, 4ítJ

Solución 1. Búsqueda de los números críticos
f ( x ) = x - Sen x => f ' ( x ) = 1 - Cos x, V x e [0, 4jt|

Si f'(x) = 0 => Cos x= I <=> x = 0, 2 tt, 4rt son los posibles números críticos.
2. Usaremos el criterio de la segunda derivada para decidir si existe un extremo local en

cada uno de ellos.
/"(jc) = Sen x, V x e [0, 4rc]

Nótese que / M(x) = 0 paracada uno de los posibles números críticos, por lo que el criterio
de la segunda derivada no es aplicable

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602 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

3. Recurrimos entonces al criterio de la primera derivada

Si /'(•*) < 0 => 1 - C o s x < 0 C-osx> I

Lo cual es absurdo, puesto que - 1< Cos x < I

Si /'(•*) > 0 1 - Cos x > 0 <=> Cos x < 1

Luego, la función es creciente V x e <0, 470, no existe extremos locales

4. Puntos de inflexión

/ ‘■(jc) = O => Senx = O x~kp, k e Zo+ , Ae {O, 1,2, 3, 4}

<=> x e { O , 7 t, 2 n , 3 n , 4 n )

.*. (O, 0), (te, 7t), (27t, 27t), (371, 37t), (47t, 47t) son puntos deinflexión.

5. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.51

f E JE M P L O 1 5 ] Hallar los extremos relativos, puntos de inflexión y dibujar la

gráfica de la función f(jc) = —^e—x—
1+ 2 Cos x

\Solución' 1. La función no tiene sentido si 1 + 2 Cos x = O, esto es, si Cos x = -1/2
=> x = 2kn ± 2n/3, k e Z

Geométricamente significa que la gráfica de / tiene asíntotas verticales en jc = -27t/3,
x = 2tü/3, jc = 47r/3.....

2. Localización de los números críticos: f ( jc) = --------- x )2=-
J (1 + 2 Cos

Como/ ' ( * ) > O, x e D om (/) = IR - |x = 2kn ± 27E/3, k e Z }, la función es creciente y
por lo tanto no existe extremos locales.

3. Puntos de inflexión: f ' (x) = — 5g” X , ■
J (I + 2 Cosx)

Para f"(x) = O =^> Sen x = O => x ~ Alt, k e Z
Por lo que, son puntos de inflexión: (-7t, 0), (0, 0), (n, 0), etc.
4. Con toda esta información dibujamos la G r(/) mostrada en la Figura 5.52

FIGURA 5.51 FIGURA 5.52

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Sección 5.7: Resumen de técnicas para grajicar una función 603

( EJEM P LO 1 6 j Dibujar la gráfica de la función / ( a) = are Tg ^

Indicando dominio, asíntotas y extremos relativos, si existen.

Solución l . Dominio de la función

/e s real <=> * + l > 0 Dom ( / ) = < -!. +°°>
2. Asíntotas

a) Asíntotas horizontales: v = lim f ( x ) = lim are 7# - I = are Tg(+<*>) = —
\-Jx+l)
2

Luego, y - n/2 es una asíntota horizontal hacia la derecha
b) Asíntotas verticales:

lim f { x ) = lhn are Tg\ | = are "10* J arcTg(-'*>) = -™
'\yjx + )j
2

Por la restricción del dominio, no existe asíntota vertical. P (-l, -n/2) es un
punto ciego,
c) No existe asíntota oblicua, pues

\ are Tg (+ ~ ) n/2 = 0

are Tg - .-----
m - l.i.m -f—( x ) - lim ----------W * + l ,-

3. Extremos relativos: / ' (.*■) = I Ix + l ~
2^v+í

x+\

>,>¡X+\ ,

x+2
2 + (x2+ x +1 )J v+1

Si f'(x) = 0 =? * + 2 = 0 <=> x = -2 € < -1 ,-h »>

La función no tiene extremos relativos, además como f \ x ) > 0, V x e Dom(f), la función

es creciente en todo su dominio.

4. La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.53 ■

(^EJEMPLO_17j Graficar la función f ( x ) = are Sen yj ’ indicando dominio,

asíntotas, intervalos de crecimiento y decrecimiento, concavidad y valo­

res extremos.

Solución 1. Dominio de la función

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604 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

- 2 ) 2U + l) 2 ^ n (X > 0 = > X e IR

<=* — 5— — > 0 A i — =— —

X +1 X +1

2. Asíntotas horizontales: v = *l_im►+«/ ( x ) = lim arcSeVníx- y+- -1/\ = areSen(0*) = 0

y = lim / ( x ) = lim arcSení —y - - ) = areSen(0~) = 0
*-*— *-»— V.JC + w

Luego, y = 0 es una asíntota horizontal hacia la derecha e izquierda.
3. Intervalos de crecimiento y decrecimiento

/(*) = ( jc2 + 1 ) - x ( 2 x ) . 2{ \ - x 2)

1+ (x2 + l)2 Ix 2 - II (x 2 + 1)

Si jc2 >1 => f ' ( x ) = — ----- = ------ t~— >•* 1 v jc > I
J V ' (jc — 1 ) (jc + 1 ) x +1

x*< 1 =* f( x ) = - ( x 2-2-(1l ~) (*x ]------- = -3 — , -1 <x<1
J z + \) x2+\

Luego,/ es creciente V x e -1> u <1, +«>> y creciente V x e <-1, 1>
4. Intervalos de concavidad

Si x2 > 1 => f ( x ) = — 2* 2x \ = —r ^ —r , * < - \ v x > I
(x 2 + l )2 (x 2 + 1)

Para x e <-o°,-l>, /" ( x ) < 0 , y para x e <!,+«>>, /" (x ) > 0

Si x2 < 1 => /" (x) = — (^x-2¿-+^ *l 2 = ---(--x-2y -* ) 2 '“ ^< * <*
J )2 +l
2

Para x e < -l,0 > , /" ( x ) > 0 , y para x e <0, I>, /" (x ) < ()
Por tanto, la Gr(/") es cóncava hacia abajo V x e < - « , -1> <0, 1>, ycóncava hacia
arriba V x e < -1, 0 > u < 1, +<»>
5. Valores extremos
Dado quc/'(x) no está definida en los números x = +1, y com o/’(x) cambia de signo en

x = -1 de (-) a (+), y en x = l de (+) a (-), la función presenta extremos relativos en tales

números cuyos valores son:

/ ( - l ) = are Sen (-2/2) = -n/2 = * M in (-I,-n /2 )

/( 1 ) = are Sen (2/2) = n/2 =* M ax(l,n/2)

Ademas, como en x = 0 f"(x) cambia de signo, el punto de inflexión ocurre en (0, 0).

6 . La gráfica de/se muestra en la Figura 5.54 ■

QEJÉMPLO^^ISj Hallar los extremos relativos, los puntos de inflexión y dibujar la
gráfica de la función v =
y Ln x
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Sección 5.7: R esum en de técnicas para graficar u n a fu n ció n 605

FIGURA 5.53 FIGURA 5.54

Solución I . Dominio de lafunción

La función liene sentido V x > 0, x ^ 1 => Dom (f )= D£+ -{ 1)

2. Asíntotas. Como lim / ( x ) = +«° y lim / ( x ) =-«=< la recta x = I es una asíntota

i-* i

vertical en ambos sentidos.
3. Localización de los números críticos

r M = D ,x - * ( U x ) = ü,x-y f .M = 2 -Ui*

(Ln x )2 (Ln x )2 ’ x(Ln X)*

Si /'(x ) = 0 => L n x = I => x = e, único número crítico

£

Valor de la función para* = e: y = = e => (e, e) es un punto crítico.

4. Extremos de lafunción. Por el criterio de la segunda derivada.

Para x = e , f " ( e ) = -2------/v--i--€-------1----- 0 ^ (e, e) es un mínimo relativo
e(L/i e) e

5. Puntos de inflexión. Si f"(x) ■=Q=>2-Lnx = (]=>Lnx=2<=sx = e¿

Valor de la función: x = él e2 =- = e—2

Ln e l

Luego, el punto de inflexión es I(<?2, ¿IT)
6 . La gráfica de la función se muestra en la Figura 5.55

[E JE M P LO 1 9 ) Si / ( jc) = 2x e^72, hallar los máximos y mínimos relativos, puntos

de inflexión y dibujar su gráfica.

Solución i. Dominio de lafunción

La función está definida V x e IR
Si x = 0 => y = 0, la curva pasa por el origen. Como /( x ) = -/(-x ),/e s una función impar,
es decir, su gráfica es simétrica respecto al origen.

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606 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

2. Asíntotas. Dado que lim / ( jr ) = 0 => y = 0 es una asíntota horizontal.

3. Localización de los números críticos

f\x:) = 2e^a( \ - x í) 2; /"(jc) = * e*a (x + S ) (x - -J3)

Si f'(x) = 0 => 1 - jc2 = 0 « x = -1 v x = I son números críticos
Valores de la función en estos números

f ( - \ ) = - 2 e m => P , ( - l . - 2 r OT) ; / ( l ) = 2«-“ =» P, (1, 2 c "2)
4. Extremos de ¡afunción. Por el criterio de la segunda derivada

/ " ( - l ) ~ -2 (+) (+) (-) = + > 0 => Mínimo relativo = P,
/ " ( l ) = 2 (+) (+) { - ) = - < 0 => Máximo relativo = P2

5. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Si f"(x) = 0=>.r = 0, jr = - 3 ,jr = 3 son posibles números de inflexión

En x e -J3> , síjc=-2 = * /"(-2) = (-4)(+)(-)(-)= O

xe t— , si xj:= -1I Js* 3 P. I.
<-V 3,0> => / " ( - 1) = (-2 )(+)(+)(-) = v+/ CT ^ , j

x e <0 , V3 > , si x = I / " ( I ) = (2 )(+)(+)(-) = 3p i

x e + s í j t = 2 r \ D = (4)(+j(+K+) =
Luego existen tres puntos de inflexión

\ , ( - & , - 2 S e™), 1,(0, 0), U 4 3 , 2 & e ™)
6 . La Figura 5.56, muestra la gráfica de la función

( E J E M P L O 20~} GraFicar la función / ( x) = (2 + jr2) e'*2, indicando, si existe, máximos
y mínimos, puntos de inflexión, asíntotas.

¡Solución I . Dominio de lafunción

La función es continua en toda la recta real, es decir. Dom (/) = EL
Si x = 0 ^ y = 2, la Gr(f) intercepta al eje Y en (0, 2). Como/(jc) = /(-.t), la función es
par, esto es, su gráfica es simétrica respecto a eje Y.

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Sección 5 .7: R esum en de técnicas para grajtcar u n a fu n c ió n 607

2. Asíntotas. lim / ( * ) = () => y = 0 es una A.H. en ambos sentidos

No tiene asíntotas verticales ni oblicuas
3. laicalización de los números críticos y de extremos relativos

= +aj ) í ' í ; f"(x) = 2 {2x2+ l)(.t2- l ) e '2

Si f \ x ) = 0 => x = 0, es el único número crítico
Dado que /"(O) = -2 < 0 => (0. 2) es un máximo relativo
4. Intervalos de concavidad y puntos de inflexión
Si /" (x ) = 0 .rz= l <=>jr = ± 1 son dos posibles números de inflexión
Intervalos prueba: <-«>, - ! > ,< -!, !> ,< !, +°°>

En x e <-<»,-1>, si x = -2 => /" (-2 ) = 2 (+ )(+ )(+ ) = ^ \ 3 p[
jte si x = 0 =-> /"(O ) = 2 ( + ) ( + ) ( - ) = O ^ ^ P*

x g < 1, +™>, si x = 2 —> / " ( 2 ) = 2 f+) (+) (+) = vi»

Luego, existen dos puntos de inflexión I|f-l, 3 e '), L (l, 3 e ')

5. A partir de toda esta información se dibuja la gráfica de la función mostrada en la

Figura 5.57 B

( E J E M P L O 21 ^ Graficar la función f(x) = are Sen (e2*) indicando, si existen, asíntotas,
extremos relativos, intervalos de concavidad, puntos de inflexión.

Solución I . Dominio de laJunción 0<é1,í 1
Dado que e2*e [-1, l ] y c1j,> 0 - « < Ix á 0 => t e <-«», 0]

Tomando logaritmos: Ln 0* < 2x ^ Ln 1

2. Asíntotas. lim f ( x ) = are Sen (e~~) = are Sen (0) = U

Entonces y = 0 es una asíntota horizontal hacia la izquierda
No existen asíntotas verticales ni oblicuas

3. Localización de los números críticos v números de inflexión

f ( x ) = ~ i 1 ¿ L = ; f ' ( x ) = 4í,_I
^ d -^ r2

f ‘(x) > 0 ,V jc é Dom(J) y f “(x) > 0 ,V .r e Dom (/')

Por lo que no hay extremos relativos ni puntos de inflexión. La curva es creciente y
cóncava hacia arriba en todo su dominio.

4. Valores extremos. Si x = 0 => y = are Sen (e°) = 7t/2 => (0, 71/2) es un máximo absoluto
de la función.

5. La Figura 5.58 nos muestra la representación gráfica de la función. B

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608 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

/■
Y

»n/2

y=0 0 _
X
V J
FIGURA 5.58

EJERCICIOS . Grupo 44

En los ejercicios I al 46. dibujar la gráfica de la Función correspondiente, indicando en
cada caso, el dominio, continuidad, puntos de discontinuidad, las intersecciones con los
ejes, las asíntotas, los extremos relativos, puntos de inllcxión, los intervalos donde la
función es creciente y decreciente, y los intervalos de concavidad.

I. / ( x ) = 2x’ - 3x* - I2 x + 8 2. / ( x ) = 4 S - 2.X-

3. 3 /( x ) = 3x‘, + 4x^-12v2- 4 4. f(x) = 2\A- Kx + 3
5. _/ (x) —j :2 (x + I )2 6. / ( x ) =xA- 3xl + 3x- + 1
7. f(x) = jc'{x- 2?
8. / ( x ) = (x - 1)J(x + 2):'
9. f(x) = 6x5 - 10*’ + 2
10. / ( x) = 3x5-5x'
I I . / ( a ) = x 2 + —,
12. / ( * ) = - x
13. / ( * ) = x ' - 2
x* + \
( x - l )2
X
14. / ( x ) =

3 -x

15. J U ) = XU;3 16. x2 +3x
/(*)= x + I
X

17. / ( * ) = x 2 - 3 x 18. /U )= 2 x * -5 x 2+4x

X+ I (x-l)?

19. fU)= 2x2 - 5 x + 15 20. / ( * ) = a2 —6x + 12
x —2
x -4

21. , 2x 22. 2x2 +1
/(*)= - 5— /(•*) =
x ¿+ \ x2-2 a

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EJERCICIOS. Grupo 44 609

23. / < x ) = x V 4 - x 2 24. / ( r ) = a >/a - 3
25. f ( X)= x j A - x 26. / ( * ) = jrJ V T + 5
28. / ( x ) = V 4 7 ^ V
27. / ( * ) = V « 3 - 6 j f 2
2 9 . / ( j c ) = a 1" ( 6 - j c ) 2'1 3 0 . / ( x ) = A ( A + 3 ) 2n
3 2 . / ( x ) = A , , 1 (Jc + 2 ) - 2n
3 1 ./(x ) = x (jt-2 )‘2/?
34. / ( x ) = - = L =
33. / ( a )

35. / ( a ) = - 3 a 4 - 5 x 3 + 15a 2 + 4 x - 12 36. f{ x )= x 2 <Jx2 - l
a 2- 4
v

2a 2 - I

VóA2 - A3, X < 8 38- /(*) = a , , 3 - a - 2' 3 , a < O
=3 7 . / ( a )
, jt > O
1 . A> 8

a -8

39. f(x) = 5 a 2' 3 - a 5" ,X<I a2 + 2 a - I
,A > I ,A <0
a3- 2
40. / ( a) =
(x-\y
V3x2 - x J , a > O

41. / ( a ) = + 1 ,—4 < x < 0 4t , A<0
3 -a‘ +3 ,A> O

42. / ( a) = 1+ A2

( a + 1)2 .X> 0 V i a — 3 )2 ( a + 3 )
A2 + I

rzi , a € [0. 2] Vv -3a ,a > -I

43. / ( a ) = Vx- 2 ’ 44. / ( a ) =

2a , a e [0,2 > -(!} : a < -1

A3- 1

x 3- 6 x 2 + 4 x -4 , a < 4 a 3—6 a 2 + 9 a , a <4
a' - x - 2
45. / ( a ) = 46. /(a) =
72 a - 4 '
,a > 4 a -4 2 ..
a+4 a 2- 4 a +3 + _ ,A> 4

5

4 7 . Estudiar los valores extremos relativos y absolutos de la función y = -l--+--C--O--S---A--. Gralicar
l-S e n x

la función indicando sus asíntotas.

4 8 . Dibujar la gráfica de la función/ ( a ) = Sen x Cos2x . x e [0. 2it], indicando: rango de la

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610 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

función, máximos y mínimos relativos, crecimiento y decrecimiento, concavidad y pun­
tos de inflexión, justificando rigurosamente su proceso.
49. Dada la función

—Cos x Cos x>U

Dibujar la gráfica indicando asíntotas, intervalos de crecimiento, extremos relativos, con­
cavidad, puntos de inflexión.

50. Demostrar que:
i ) La gráfica de la función y = x Sen x , x e IR, tiene puntos de inflexión.
j ) Si / es creciente en el intervalo [a, b] y derivable en <a, h>, entonces
/ ' ( jc) > 0 , V jc 6 <a, b>.

*•> En los ejercicios 5 1 al 54, graOcar la función dada indicando: dominio, asíntotas, interva­
los de crecimiento y decrecimiento, concavidad y valores extremos, si existen.

51. / ( jc) - are Sec (x - 1)

53. / ( * ) = (are Tg x f

❖ En los ejercicios 55 al 58, hallar los extremos relativos, puntos de inflexión, si existen y
dibujar la gráfica de la función.

55. y = x*n- Lnx 56. y —x Lnx

57. y = L n (8* - * i ) 58. y - x2Ln x

❖ En los ejercicios 59 al 64, hallar en cada caso los máximos y mínimos relativos, los
puntos de inflexión, los intervalos en que/es creciente o decreciente, los intervalos de
concavidad. Trazar un esquema de cada curva.

59. f ( x ) ~ x e ' 60. / ( x) = x2e JI

61. / ( jc) = e * 2 62. / ( x) = x*e'
64. f(x) = e *Cos x
63. f(x) = x2 e'**

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Sección 5.8: Problemas de optimización 611

[ 5.8 ) PR O B LEM AS DE O P TIM IZ A C IÓ N

Una de las aplicaciones más importantes del análisis matemático es obtener el dise­
ño óptimo de un producto. El problema de minimizar costos o maximizar el volumen de un
objeto se reduce con frecuencia a hallar mínimos y máximos de funciones. En cuyo caso* el uso
de tos puntos críticos y los criterios de la primera y segunda derivada adquieren relevancia
especial. Recordemos que para minimizar o maximizar una función sobre un intervalo ccirado
es esencial tomar en consideración también los valores de esa función en los puntos terminales
del intervalo.

Antes de exponer un método general de resolución para tales problemas, se mostra­
rá un ejemplo que es típico. El único reto nuevo es como traducir el problema en lenguaje de
funciones.

[ e j e m p l o O Un pedazo rectangular de lámina metálica mide 5 pies de ancho y 8
pies de largo. Se van a cortar cuadrados congruentes en las esquinas,

para doblar la pieza metálica resultante y soldarla para formar una caja sin tapa, como se
muestra en la Figura 5.59. Qué dimensiones producirán una caja de volumen máximo?

Solución 1. Designemos por V la cantidad por optimizar (la variable dependiente), esto es,

el volumen de ln caja que se va a construir y, por x, la longitud de la arista de

cada esquina cuadrada que se va a suprimir.

2. Para escribir el volumen como una función de .v, nótese que la caja tiene una altura t y el

área de su base mide b.h, entonces

V = b.h.x Ecuación primaria

3. Dado que b - 8 - 2x y /?= 5 - 2x, entonces

V(x) = (8 - 2x) (5 - 2x) x Ecuación secundaria

<=> V(.t) = 4x* - 26x2+ 40* Función de una variable

4. Como el ancho de la lámina tenía 5 pies, los únicos valores de x que tienen sentidos son

los del intervalo <0, 5/2> . Pero hagamos que el dominio admisible sea el intervalo cerra­

do [0, 5/2] para asegurar que exista el máximo de V (r) y podamos aplicar el método de

máximos y mínimos en un intervalo cerrado. Obviamente los valores x = 0 y x = 5/2

corresponden a cajas “degeneradas”.

5. Ahora bien, para maximizar V hallemos los números críticos mediante la derivada de

V(x). esto es

V'(x) = I2x2-52x + 40=; 4(3* - 10)(* - I )

Si V '(*) = 0 => (3* - 10) (* - I ) = 0 <=> * = 10/3 v * = l son los números críticos.

Vemos que sólo * = 1 se encuentra en el intervalo relevante [0, 5/21. Por lo tanto, el

máximo de V(x) se alcanza en * = 1 o en los terminales del intervalo [0, 5/2], luego los

valores de V que debemos examinar son

V(0) = 0, V( 1) = 18, V(5/2) = 0

6 . Concluimos que V es máximo cuando* = 1 e [0, 5/2], es decir, para una caja de dimen­

siones 6 x 3 x l y V = l 8 pies’. ■

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612 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Lineas de doblez

FIGURA 5.59

El Ejemplo 1esclarece el procedimiento general para resolver problemas aplicados
de máximos y mínimos en cinco pasos.

PROCEDIMIENTO PARA RESOLVER PROBLEMAS DE OPTIMIZACIÓN

1. demostrar las diversas magnitudes del problema con letras, tales como x, y, I,
V. A, S, etc. si es posible hágase un dibjo esquemático.

2. Escribir una ecuación primaria para la magnitud u optimizar.
3. Por eliminación de variables, reducir la ecuación primaria a otra que contenga

una sola variable independiente. Esto puede exigir el liso de ecuaciones secunda­
rias que relacionen la variables independientes de la ecuación primaria.
4. Determinar el domino de la ecuación primaria. Esto es, aquellos valores por los
que el problema propueslo tenga sentido.
5. Optimizar la función así obtenida por medio de las técnicas expuestas en las sec­
ciones 5.5, 5.6 y 5.7

[ E J E M P L O ^ ] El producto de dos números positivos es 192. Qué números hacen

mínima la suma del primero más tres veces el segundo.

[Solución 1. Sean x e y los dos números buscados, y sea S la suma que debemos
optimizar.

2. Si deseamos hallar el mínimo de S, escribimos como ecuación primaria:
S = * + 3y

3. Como el producto de ambos números es 192, entonces

x y —192, de donde: y = -1-9--2- Ecuación secundaria

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Sección 5.8: Problemas de optimización 613

Ahora podemos rcexpresar ta ecuación primaria en términos de x, esto es

576 Modelo matemático
S(jt) = x + -----

4. Siendo x positivo, el dominio admisible de S es <0, -H»>

2 _ C7A
5. Localización de los números críticos: S ' (a ) = --------- -—

x

Si S'U) = 0 => x2 - 576 = 0 <=> jc= ± 24

Así pues, x = 24 es el único número crítico. Se trata en realidad de un mínimo?

Recurrimos al criterio de la segunda derivada: S"(x) = 11S9
x'

y como S”(x) > 0, V x e Dom (S) se trata, en efecto, de un mínimo global o absoluto,

pues un punto crítico sobre una curva cóncava hacia arriba en todas partes es un mínimo

global de esa curva.

192 ■
Por tanto, los dos números son: x = 24 e y = = 8

( EJE M P LO 3 ) Hallar tos puntos de la parábola y = 8 - x2que están más próximos

al punto A(0, 3).

Solución I. La Figura 5.60 muestra que existe dos puntos P(x, y) de la parábola a una
distancia mínima del punto A(0, 3). Designemos por d dicha distancia.

2 . La fórmula de la distancia entre dos puntos nos da la ecuación para d:

d = d (A, P) = +(>•—3) 2 Ecuación primaria

3. Usando y = 8 - xr como ecuación secundaria podemos reescribir la ecuación primaria
como:

d(x) = ijx2+<8 - a 2 - 3 )2 = <jx4- 9x2+25 Modelo matemático

Ahora, la función d será mínima cuando lo sea la expresión que está bajo el radical,

por lo que necesitamos tan sólo hallar los números \
críticos de la función: / (a) = jc4 - 9 a 2 + 25 para /
minimizar d. Y-

El dominio de / es IR /1
Localización de los números críticos
/ 6'
/ ' ( x) = 2 r (2X2 - 9), / " ( * ) = 1 2 r - 18
/5

Si f'(x) = 0 = > * = 0,jc = ± 3 v /2 /2 p/ í ' p (*. y)

El criterio de la segunda derivada da el siguiente A\

resultado para estos números críticos / 2'
/" (0 ) = 12 (O)2 - 18 = -18 < 0 Máximo
/1

/ ’’<±3 J 2 12) = 12 (±3 y¡2 t l f -! 8 = 36 > 0, Mínimo í ¡0 1 2 3 x
Por lo tanto, los puntos P de la parábola v = 8 - x7, /

más cercanos del punto A son: ( ±3 V2/2, 7/2). g FIGURA 5.60

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614 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivatla

[EJEM PLO La esquina interior derecha de una página se dobla hasta alcanzar el

lado izquierdo. Si el ancho de la página es de 6 pulgadas: a) Hallar la

longitud mínima del pliegue

b) Qué ángulo forma el pliegue mínimo con el lado mayor derecho de la página?

Suponer que la página es lo suficientemente larga para evitar que el pliegue alcance la parle

superior de la página.

|Soíüciim | 1. Sean, y la longitud del pliegue y a el ángulo formado por el pliegue y el
lado mayor derecho de la página.

En la figura 5.61 se observa que los triángulos rectángulos ABC y AEC son simétricos,
por lo que la m ACE) = m ACB)
Entonces: 0 = 180 - 2m ACE) = 180 - 2 (90 - a ) <=>G = 2a

2. En el A AEC: Sen a = — y = ~z—— Ecuación primaria
y Sen a FIGURA 5.61

3. En el A BDC: Cos 2 a = PC _ 6—x

BC x
a=l a=JSi Sen
1- Cos 2a Sen x-3
2 V*

Usando esta ecuación secundaria, rccscribimos

la ecuación primaría en términos de a

IX vz

y X

y/x-3

4. Dominio de la función: x 6 <3, 6]
5. Localización de los números críticos

dy -Jx(2x-9)

dx ( x - 3 ) M1

Para ^ = 0 => r = 0 v x = 9/2; pero como j r * 0 y 3, el único número crítico
dx

es Jt = 9/2.

Usaremos el criterio de la primera derivada como test para minimizar la función tomando

como intervalos <3, 9/2> y <9/2, 6 >

En x e < 3 ,9/2>, si x = 4 => y' = — ^ ^= - decreciente 3 mínimo
+

En x e <9/2, 6>, si x = 5 => y* = (+ )(+ ) = + creciente

Por tanto, x = 9/2 produce un mínimo global para la función cuyo valor es:

9 n r 9R

y = 2 Í 9 ^ = 2^

b) C o s l a = = = ^ are Cos{M3) =35° 16'
jt 9 /2 3 2

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Sección 5.8: Problemas de optimización 615

( j J E M P L O ^ S j Dos postes de 15 y 20 pies de allura, distan 21 pies entre si. El
extremo superior de cada uno está unido mediante un tirante a una estaca

situada en el suelo y en línea recta entre los postes. En qué lugar debe colocarse la estaca para
que el tirante tenga longitud total mínima?

Solución 1. Designemos por L la longitud del tirante, y por a la distancia de la estaca

al poste más pequeño.

2. En la Figura 5.62 se tiene: L = y + z Ecuación primaria

El siguiente paso es expresar las variables y y z en términos de la variable a, haciendo

uso del teorema de Pitágoras, esto es:

3. En el ABAE: xz + I51 = y1

=> y = y } x 2+225

EnelA EC D : 202 + (21 - x) = z2

=>z=yl x2—42a + 841

Luego en la ecuación primaria se obtiene

el modelo matemático:

L(a) = i jx2 +225 W * 2 —4 2 a + 84I

4 . El dominio de la lunción es: x e [0, 21]
5 . Localización de los números críticos

L'U) = + —21

If:a ' + 2 2 5 V a2 -4 2 a+ 8 4 1

Si L ' ( a ) = 0 => a 2 ( a 2 - 4 2 a + 8 4 1 ) = ( 2 1 +- a ) 1 ( x 2 2 2 5 )

de donde: .r + 5 4 . r - 5 6 7 = 0 e=> x = 9 v a = -63 é [0. 2 1 ]

Usaremos el método para hallar extremos e n un intervalo cerrado, esto es, si a 6 [ 0 , 2 1 ]
y como a = 9 es el único número crítico, entonces

L(0) = J 0 + 225 + V 0 - 0 + 841 = 44

L(9) = -Jü\ +225 + V 8 I-3 7 8 + 841 = 40.8 Mínimo

L ( 2 I) = V44I+225 + ^441-882 + 841 = 47.8 g
Se concluye que el Lirante debe lijarse a 9 pies del poste de 15'.

[ E J E M P L 0 6 J Un granjero dispone de 200 pies de valla para delimitar dos corrales

adyacentes rectangulares (Figura 5.63). Que dimensiones se debe elegir
para que e l área encerrada sea máxima.

Solución I . Sea A el área total de los dos corrales

2. Entonces: A = 2xy Ecuación primaria
3. Perímetro de la valla: 200 = 4 a + 3y Ecuación secundaria

=> > = | ( 5 0 - a )

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616 Capítulo 5: Aplicaciones de ¡a D erivada

Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene el
modelo matemático:

A ir } - | (50* - x1)

4. Dominio de la función A:
como A > 0 ^ 50a - r > 0 <=>x e <0. 5<)>

5. Localización de los números críticos

A'(x) = | ( 5 0 - 2 a )

Si A ’(a ) = 0 => 50 - 2a = 0 <=>x = 25 FIGURA 5.63
Nótese que A"(x) —-16/3 < 0, V a e <0, 50>;

luego, el número crítico x = 25 produce un máximo absoluto en lalunción A. Por tanto,

las dimensiones que debe elegir el granjero son:

a = 2 5 pies, y = — ( 5 0 - 2 5 ) = pies ■

(E J E M P L O 7 J Hallar el área del mayor trapecio comprendidola cui va
v = 4x - x- y el eje X.

Solución l . Sea S el área del trapecio de bases B = 4 y b, altura h = y

2. Entonces: S = ~ (4 + t ) y Ecuación primaria

3 . Como ~ = 2 - A =* b = 2 ( 2 - x ) e y = 4 a - x2, la ecuación p r i m a r i a s e convierte e n e l
modelo matemático:

1S ( * ) = ^ (4 + 4 - 2 a ) ( 4 a - a2) = x ' - Sx + 1 6 a = a ( v - 4 ) :

4. Dominio admisible de la función; a e (0, 2]
5. Localización de los números críticos:

S’(x)= 3a2- 16a + 16, S"(a)= 6 a - 16
Si S’(x) = 0 => 3 a 2 - I 6 a + 16 = 0

<=> a = 4/3 v a = 4 í [0. 2]
Al ser a = 4/3 el único número crítico y S"(4/3) < 0.
se trata, en efecto, de un máximo global cuyo valoi
es:

4 ( 4 A 2 25(i 2

S<4/3>= 3 l 3 - 4 J

FIGURA 5.64

(EJEMPLO~8~) Hallar el área del mayor rectángulo, con lados paralelos a los ejes

coordenados que pueda inscribirse en la región limitada por las parábo­
las <T»t: 3y = 12-a 2 y <P3: 6 y = Xa- 12.

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Sección 5.8: Problemas de optimización 617

Solución i. Sea S el área de) rectángulo inscrito de dimensiones, b = 2x y h = \ t + (-y,).

representado en la Figura 5.65

2. Entonces: S = b. h = 2_v(v, - y>) Ecuación primaria

En dicha figura se observa que _v, corresponde a las ordenadas positivas de CP, e y . a las

ordenada negativas de rP2. Por lo que:

3. SU) 12)

de donde obtenemos el modelo matemático

S(jc) = 12 v- x'
4 . Dominio de la función S

Como SU) > 0 ^ I2x - a' > 0

0=) t e < . -J\2 > FIGURA 5.65

5 . Localización de los números críticos

S'( \ ) = J2 - 3 ,r. S"U) —-fi*v

Si S'U) = 0=í> 12 - 3 a 2= 0 o j : = 2 v x = - 2 g <0. tíl2 >

Dado que x =2 es el único número crítico de S y S"U ) = -12 < 0, se concluye

que el valor máximo relativo de S es su valor máximo absoluto, cuyo valor es:

S(2) = I2 í2 )2 - Í2 ) 5= Ifin2 ■

[E J E M P L O 9 ) Una página rectangular debe contener 432 cm: de material impreso.

Los márgenes superior e interior debe tener 4 cm de anchura y los latera­
les 3 cm. Qué dimensiones de la página minimizan la cantidad de papel requerida?

Solución I . Sean a y b las dimensiones de la página y x e v las dimensiones del material
2. impreso. Si A es el área que debemos optimizar, entonces:

A - ( r + 6 ) (y + 8 ) Ecuación primaria

3. El área impresa es: 432 = x y =* y = 4 3 2 f \
x ♦

Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene ____ u _ _

A U) = U + 6 ) 4P . + 8 j = 480 + 8 a + 2592 3 Im preso y i
'
x
4. Sólo interesa los valores de A con x>0
5. Localización de los números críticos

A'U) = g—2592 , An ."(.v) =— - X
X M argen

Si A'U) = 0 => 8 a 2 - 2592 = 0 <=> x - ±18 ti

Dado que x = - I 8 e Dom (A), elegimos x = 18 como \ FIGURA 5.66 )
único número crítico y siendo A"U) > 0, V x > 0, el
criterio de la segunda derivada confirma que A es

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618 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

432
mínima en jc = 18. Luego, v = “nI Or = 24. y las dimensiones de la página deben ser:

a = jc+ 6 = 24 cm, b = y + 8 = 32 cm. ■

( E JE M P L O 10 ) Hallar las dimensiones y el área del mayor rectángulo que tiene uno

de sus lados sobre la recta ¿£: x = 9 y los vértices del lado opuesto sobre

la parábola 'P: y1 - 4v - x + 7 = 0

Solución 1. Sean b y h las dimensiones del rectángulo Ecuación primaria
En la Figura 5.67: b = 9 - jc, h = y, - y3

2. Area del rectángulo; S = b.h - (9 - jc) (y, - y2)
3. De la ecuación de la parábola obtenemos

{y - 2)2= x - 3 <=> y - 2 = ±-Jx —3

de donde: y , = 2 + J x —3 , y2 = 2 - J x —3

=$h = y] -y2= l V jc-3

Sustituyendo en la ecuación primaria se tiene:

S ( jc) - 2 (9 - x) 3

4. Dominio de la función S : r e [3, 9]

5. Localización de los números críticos

S‘(jc) = 3 (5 - . c ) c l l/^ _= - 3 (jc- I )
y¡X-3
S " (X )

2V (*-3)’

Si S'(jc) = 0 => 5-.c = 0 <=> x = 5 es el único número crítico
Dado que S"(5) < 0, el número crítico jc = 5 produce un máximo absoluto para la función
S. Por tanto, las dimensiones y el área máxima del rectángulo son:

b = 4, h = 2^2 y S = 4 (2y¡2) = 8 y}l u2 ■

( E J E M P L O j T j En la Figura 5.68, la longitud del FIGURA 5.68
segmento AB es a, la longitud

del segmento AC es b y la medida del ángulo CAB es
a (n, b y a son constantes), -Si EXT II AB, hallar la
longitud del segmento DC para que el área
sombreadasca mínima.

Solución 1. Sean: x la longitud del segmento DC,
S[ el área del ADEC de altura ht y S2

el área del AAEB de altura h-,.

2. Si S = S, + S2 =» S = ^ ( x . /i, + o. h2) = ^ ( x. y Sena + a .z Sen a )

de donde se tiene: S = ^( xy+az) Sen a Ecuación primaria
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Sección 5.8: Problemas de optimización

3. Expresaremos las variables y y z en función
de la variable x, por la semejanza de triángu­
los, esto es:

AAEB « ADEC

a+x ~ z+y - k
x yy

de donde: y = bx a z = b, - y' = ah
a+x a+x

Ahora, sustituyendo en la ecuación primaria se tiene:

S W = i Ü Í - t i l J « „ a j £ ü Sen a Modelo matemático
2 l a+x a+x ) 2 l fl + .r

4. Para minimizar esta función sólo interesa los valores de S con x > 0
5. Localización de los valores críticos

S\ x.) = -b ( —x +--2---c-i-x^—a- i S0en a S"(.v) = 2a'b Sen a
21 (fl + jc)' (« + *)

Si S'(a) = 0 => x2+ 2ax • ar = 0 => x = a(-J2 - 1), único número crítico. Como S"(.v) > 0,

V x > 0. S tiene un único extremo relativo en su dominio, por lo que el valor mínimo

relativo es un valor mínimo absoluto cuando .«= DC = «(V2 - J). ■

(E JE M P L O 1 2 ) Hallar el volumen máximo de un cono circular recio inscrito en una
esfera de radio r.

Solución I . Sean: x (radio) e y (altura) las dimensiones del cono circular recto de volumen
V inscrito en la esfera de radio r.

2. Volumen del cono: V = » x l y Ecuación primaria

3. Una relación entre jt c y lo tendremos por seme­
janza de triángulos.

ABHC * A DHC = BH _ HC
HC HD

^ y- 'X2 = y(2r-y)
x 2 r —y

Ahora podemos reescribir la ecuación primaria AH V
en términos de una sola variable:

V (v )= f V (2r - y ) y = * (2ry2- / )

4. El volumen V tiene sentido sólo para v > 0 "~l
5. Localización de los números críticos FIGURA 5.69

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620 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

V (y) = j (4 iy -3 /) V"(y) = y ( 4 r - 6 y )

Si V ‘(>’) = 0 => y (4r - 3y) = 0 ^ y = 4r/3 es el único número crítico y como
V" (4rí3) < 0, se concluye que el volumen máximo ocurre cuando

4r 2 4r ( . 4r 9r
>= 3 =** = T i 3

• V - * ( n 2^ 4 32 j

- " ' i 9r 3r r H ,r

[E J E M P L O 1 3 ) Determinar el máximo volumen del recipiente cónico que se obtiene

extrayendo un sector circular de un círculo de hojalata de radio R.

Solución I. La Figura 5.70 muestra el sector circular ACB de radio R y longitud de
arco AB junto con el cono de radio r y altura h obtenido de este sector. Si 0es

el ángulo central de este sector => AB = R0

2. Volumen del recipiente cónico

V = - - r2h Ecuación primaria
3

3. Busquemos ecuaciones secundarias que expresen r y h

en términos de 0 . __ _

Como la longitud de arco ACB es igual a la longitud de

la circunferencia de la base del cono, entonces:

R0 = 2itr e=s>r =
2 tc

h = yjR2- r 2 =*h = J R 2 - R¿2eo 2 = —2n J 4 n 2- B !

4n*

(SLuego, en la ecuación primaria tendremos
V(0)= 3 • ^ ,/4 ,i2 “ 03

^-2^4nV )) o2 J 4 ^ e r FIGURA 5.70

4. Dominio de la función V.

V es real o 0 > 0 a 4n2- 02 > 0 « 0 e [0, 2n\

5. Localización de los números críticos

R - 2 + 2QtI4k2- Q 2 _ R'QjXn2- 3Q2)

V ( 0 ) = 24 n7 2^47r - 0 2 , 24k2V47C2 - 0 2

Si V'(0) = 0 =* 0 (8n2- 302) = 0 <=> 0 = 0 v 0 = 2rt J 2J 3
V'(0) no está definida si 4k2- 02= 0 <=> 6 = 2n

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Sección 5.8: Problemas de optimización 621

Nótese que 0 = O y 0= 2rc son los extremos del intervalo que define el dominio.de la
función V. En consecuencia, el valor máximo de V(0) es el mayor de los números V(0),

V(2jc) y V(2te^/2 /3 ) . Un sencillo cálculo en V(0) nos revela que V(0) = Oy V(2rc) = 0.

Por tanto, el máximo ocune en el número crítico 0=2x1^/273. cuyo valor correspondien­
te de V es:

( R % \ ( 8xc3'l I. 2 8xc2 2tcV3 R* _

v= M l T j r ir -

[ E JE M P LO 14) Elegir el radio de unaesfera de tal manera que al introducirla en una copa
cónica (profundidad m y ángulo cónico 2a ) llena de agua, sederrame la

mayor cantidad posible de líquido.

ISobicióti] 1. Sean, reí radio de laesfcra, BC = x y h = m -x la altura del segmento esférico
interior a la copa cónica.

La cantidad de líquido derramado es igual al volumen del segmento esférico de altura h,
esto es:

2. V Ecuación Primaria

3. En el A OAB: Sen a. = OA r
OB r+x

f Sen a \

Jde donde obtenemos’ r ~ 1—Sen a

Hagamos k = ^er>a , constante =$ r —kx
l - Sen a

de modo que, en la ecuación primaria se
tiene:

V=

= n kx(m —x)2 - - (m - jc) 3

V (* )= x t k (m2jc - 2mx1 + x 1 ) —^ (m - x ) 3

4. Dominio de la función V : r e <0, m>
5. Localización de los números críticos:

V'(jc) = n [k (m2 - 4mx + 3x*) + (m - x)2]

= n [(l +3k)x2- 2 m( l +2 k ) x +m2(k+ I)]
Si V(jc) = 0 = * ( l - t 3k) x7- 2m ( I + 2 k ) x + m 20 -k) = 0 '

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622 Capitulo 5: Aplicaciones de la Derivada

m( \ +2k) ±y ¡ n7( i +2k) 2 - ( l + 3k)m2( \ +k)

1+3k

m(l + 2 k ) ± -Jm2[ ( l +4k + 4k2) —(3k2+4fc + 1)]

1+3k

=> x ~ -m---(-\--+-—2k—) -±---r-r-k- x - m v x = -(1- +- k- )-m-
1+3*
1+3k

Como V"(jc) = n[2 (J + 3A:)x- 2m (1 + 2*)], entonces:

V"(wt) = Jt[2 (1 + 3k) m - 2 m ( l + 2&)] = 2m k n > Q =$3 mínimo
+ k)m = 7i [ 2 m (l + A) —2m(l + 2* )1 ——4m kn < 0 => 3 máximo
1+3A

Sen a
1+ -1i—- Sc en ct Im
Luego, si x = m , el radio de la esfera que maximiza el
3 Sen a I + 2 Sen a
1+
1- Sen a

volumen del segmento esférico es

r = k x = Sen C t ' m m Sen a
Sen Ct + Cos 2a
1- Sen a I + 2 Sen a

f E JE M P L O 15) Un sólido de revolución se ha obtenido haciendo girar un rectángulo

alrededor del eje Y tal que su base está en el eje X, y todo el rectángulo

está contenido en la región comprendida entre la curva >’= -j—X j , y el eje X. x > 0. Halle las

dimensiones del rectángulo generador del sólido de volumen máximo.

Solución 1. Sean b e y las dimensiones
del rectángulo generador

mostrado en la Figura 5.72.
Si v = 'x =* y x —x + y = 0

* 2 +1

<s=> x = 2y

=> x, = 2 y Vi - 4yJ 2y 2y
2y

Luego, b —x2-x, =

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Sección 5.8: Problemas de optimización 623

2. Volumen del sólido de resolución Ecuación primaria
\=n(x*-x*)y

3. De la identidad (o + b)2- (a - b)2= Aab, se sigue que:

'lZl —4>'2 ) J \ - 4 y 2

xl - X' = A ( i ) 2y y

Sustituyendo en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático

V(y) = ti y = 71

4. Dominio de la función V: (y > 0) a ( I - Ay1 > 0) => y e <(), V2}

rc(l-8y )
5. Localización de los números críticos: V'(y) =

r - J l - 4 y2

Si V ’(y) = 0 = > l - 8 y 2= 0 < = > y = -Jl /4 = 0.35 único número crítico

En y e <0. 0.35>, si y = I /4 V ( l/4 ) = = + creciente 3 Máximo
En y g <0.35, l/2>, si y = 2/5 V ‘(2/5) = ( - ) = — decreciente

Por tanto, el número crítico produce un máximo absoluto en la función V.

Luego, si b = 1

Obsérvese que el VfW„= 7t b ■Jl / 4
V _ = 2 n u>

[E J E M P L O 16^ Una isla A está a 10 km del punto B más cercano sobre una playa

recta. Una tienda está en el punto C, a 26 km de B sobre la playa. Si un
hombre rema a razón de 5 km/h y camina a razón de 13 km/h. en que punto deberá desembar­
car para ir de la isla a la tienda en el menor tiempo posible?

Solución I. Sea el punto P, a x km del punto B. donde termina la parte marítima de
la trayectoria. La Figura 5.73 muestra la trayectoria que se supone demanda

menos tiempo, es decir. AP remando y PC caminando.

£

2. Como t = - entonces el tiempo empleado por el hombre hasta llegar al punto C es

l = A P + PC Ecuación primaria
5 13

3. Pero, AP = -^x2+100 y PC = 2 6 - *

De modo que en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático:

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624 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

, U )= V Z±im

4. Podemos elegir coijio dominio de t el in­
tervalo [0,26J^)orque el mínimo de t debe
ocurrir en algún punto interior de este in­
tervalo.

5. Localización de los números críticos:

r.(/x )^= — = x = - —I
5-Jx +100 13

Si f ( x ) = 0 — —t ——I , de donde, x = —25 es el único número crítico
5 ^x 2+100 13
6

en [0 , 26]

Ahora, evaluemos t en este número y en los dos extremos de! intervalo [0. 261 para

encontrar que:

t(0 ) = ^ÓTTÓ0 + 26- ü = 4
5 13

((26/5) = ^ 7^ + 26^ p = « =385 Mínimo

,(2fi) = V(26)^ + 100 + 26 - 26 = S 5 7

Por tanto, el hombre debe desembarcar en el punto P a 25/6 km del punto B. recorriendo

toda la trayectoria hasta llegar al punto C en el tiempo mínimo de t = 3.85 horas. ■

( E JE M P L O 17 ) Los puntos A y B están opuestos uno al otro en las riberas de un río recto

que tiene un ancho constante de 3 km. El punto D está en la misma ribera
que B. Se desea tender un cable de A a D. Si el costo del cable por agua es un 25% más caro
que el costo del cable por tierra, que línea de cable sera la menos costosa?

[Solució n 1 l.Sca /ce! costo del cable por tierra y 1.25 kel costo del cable por agua. (El valor
de k es irrelevante)

2. Entonces al expresar el costo total C en térmi­
nos de las longitudes AE y ED obtenemos la
ecuación primaria
C = 1.25A(ÁE) + *(E D )

3. En la Figura 5.74 se tiene

ÁÉ = i] x 2 + 9 y ED = 6 - x

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Sección 5.8: Problema? de optimización 625

Usando estas ecuaciones secundarias podemos reescribir la ecuación primaria en térmi­
nos de la variable x, esto es:

CU) = 1.25k 4 x ^ + 9 + k (6-x)

4. Dominio de la íunción C: x e [0, 6 ]
5. Localización de los números críticos con C"(a) = 0

C~,fU), = 1.25 kx - k, = k, 1.25a - y j x 2+ 9

V779 ■¿r+9

Si C'(.r) = 0 ^ 1 .2 5 x = J x 2 + 9 , de donde x1 = 16 => x = 4 e [0, 6 ] es el único número

crítico. Entonces siguiendo el método de hallar el mínimo de una función continua sobre
un intervalo cerrado tendremos:

Si x = 0 = > C (0 )= 1.25Jfe V Ó +9 + * (G - O) = 9.75 Jt

x = 4 => C(4) = 1.25 k yj16+9 + k. (6 - 4) = 8.25 k <= Mínimo

x = 6 =>C{6) = 1 .2 5 *^ 3 6 + 9 + * (6 - 6 ) = 8.38 *

Por tanto, la línea del cable deberá tenderse a 4 km del punto B para un costo

mínimo. ■

Deseamos hacer una lata cilindrica con 100 pulgadas cúbicas de
capacidad. El material del l'ondo y de la tapa cuesta dos veces más Caro
que el del lateral. Que relación debe existir entre la altura y el radio de la lata más económica?

Solución l. Sea k el costo de una pulg2 del material lateral y 2k en el caso de la tapa o

el fondo de la lata cilindrica de radio r y altura h.

Area total de la lata cilindrica = Area de las bases + Area lateral

=> S = 2n r + 2mh

2. El costo total es: C = 2A (2nr2) + k (2nrh) Ecuación primaria

=> C = 4knr2 + 2knrh

3. Si V = 100 pulg* rVi = 100, de donde: h =
Jtr

Sustituyendo en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático

C (r) = 4 knr1 + 200k í 1/r)

4. La función C sólo tiene sentido para r > 0

5. Para estos valores hallamos los números críticos con C (r) = 0

C ( r ) = 8 * J t r - 2 0 0 * ^ 4 ) ; C" (r) = H *tc

Si C'(r) = 0 => 8* -j2 5 = 0 «=> r = i j 25f n , es el único número crítico y como

C"(r)>(), V r> 0 , el criterio de la segundaderivada garantiza que para este número crítico
la función C tiene un mínimo absoluto.

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626 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

tooLuego, en el paso (3): h = nV \ 4(25)
7T 25) n ^25 2/3 = 4 V25/7C = 4r

Por lanto, la relación que debe existir entre la altura y el radio de la lata es:

A =4
r

[E J E M P L O 1 9 ) Se va a construir un tanque de concreto para agua, con base cuadrada

y sin tapa. El tanque ha de tener una capacidad de 192 m'. Si los lados
cuestan $4 por m2 y la bse cuesta $3 por m2;cuáles han de ser las dimensiones para que el costo
total sea mínimo. Cuál es dicho costo mínimo?

Solución l . Sean x e y las dimensiones del tanque (Figura 5.75)

El área de la base = jt2, y el área latera! = 4xv y si C es el costo total, entonces

2. C = 3 (Area de la base)+ 4 (área lateral)

=» C = 3X2 + \6xy Ecuación primaria

3. Dado que la capacidad del tanque es 192 m \

indica que: 192 = x2y ^ y = I92

Sustituyendo en la ecuación primaria obtene­
mos el modelo matemático buscado, esto es:

Ahora el objetivo es hallar el mínimo absoluto
de C(x) en el intervalo x > 0

5. Localización de los números críticos

C'(x) = 6 x 307-22- = -6J(-x--l--- 5 I2 ) C”(x) = 6 + 6144
2- -----
X"
XX

Si C (x) = 0 = > x 3 -5 l2 = 0<=>x = 8 , único número crítico

Como C"(x) > 0 , V x > 0, entonces x = 8 corresponde en realidad al mínimo absoluto de

C(x) en el intervalo x > 0.

Luego, si y = —19j2- = 3. las dimensiones del tanque son 8 x 8 x 3 m' y su costo mínimo
8*

es: C = 3 (8)2 + _ $ 576 ■

( E J E M P L O 20J En la Figura 5.76, el radiode la circunferencia es l() cm, PT es tangente

a la circunferencia en P; MS _LPT. Haciendo uso de la derivada, determi­
nar el valor máximo que puede alcanzar el área del A PMS.

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Sección 5.8: Problemas de optimización 627

Solución I . Sea A el área del A PMS

A = j (PS) (MS) = -2 (PM . Sen 6 ) (M3)

(Ec. primaria)
2. En el A PMR : PM = 2r C o s 6

En el A PSM: MS = PM Cos 0
= (2r Cos 0) Cos 0 = 2r Cos■0

3. Usando estas ecuaciones secundarias en la ecuación
primaria se tiene:

A(0) = (2r Cos 0 Sen 0) (2r Cos20) <=> A(0) = 2r Sen 0 Cos* 0

4. El dominio admisible para la función A e.sel intervalo [0.90° |
5. Localización de los números críticos

A'(0) = 2r2 (-3Ct>.r0 Sen20 + Cos'Q C o s 0) = 2 r Cos20 ( 1 - 4 Sen1 0)

Cos20 = 0 « 0 = 7t / 2
Si A'(0) = 0 => l - 4 Sen20 <=> 0 = ji / 6

Dado que 0 = 0 y 0 —rc/2 son los extremos del intervalo que define el DomíA), el valor

máximo de A(0) es el mayor de los números A(0), A(n/6) y A ( je/ 2). Un sencillo cálculo

de A(0) nos revela que A(0) = 0 y A(n/2) = 0. Por tanto, el máximo absoluto ocurre en el
número crítico 0 = n/6 , donde la función tiene por valor

A(n/6) = 2( 10)’ Sen (n/6) Cos' (tc/6 ) = cm- ■

( E JE M P LO 21 ) Se tienen arcos de circunferenciatodos delongitud 2a.Hallar el

radio de la circunferencia que contiene auno de éstos y talqueel seg­
mento circular es de área máxima.

Solución I. Sea A el área del segmento circular (parte sombreada de la Figura 5.77)

de radio r y ángulo central 0 .

Sean: A, = área del sector circular

• Aj = área del triángulo MON

Entonces: A = A, - A-: Ecuación primaria

2. Longitud del arco MN; S = 2a (dato)

Por lo que: /• 0 = 2a o r = 2a

A ,= -2L 8 r 2 = ~2 e f -0^ TJ = 0

A2= ^ (M Ñ ) (OP) = (PÑ) (OP) = (rSen | ) ( r C r w | ) = ^ r 2Sen 6

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628 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

Sen 0 = 2ai \ = Sen 0

e2

3. Luego, en la ecuación primaria obtenemos el modelo matemático-.

4. Dominio admisible de la función A: 0 e [0, n]

5. Localización de los números críticos: A’(0) = 2 SenQ-QO+CosQ)

0’
Si A'(0) = 0 => 2 Sen 0 = 0 ( l + Cos 0)
La ecuación tiene una solución real en 0 = 7t, que es el único número crítico, y dado que:

¡im A(0) = O y A { n ) = 2^L
n

se sigue que el área máxima ocurre cuando 0 = rt, es decir, cuando los arcos de circunfe­
rencia tienen por longitud una semicircunferencia. Por tanto, en el paso (2): r = 2tiln ■

(E JE M P L O >2 2 j Sea P = (a, b) un punto del primer cuadrante. Trócese por P una

recta que corte a las partes positivas de los ejes en A y B. Si 0 es el
origen de coordenadas, calcular I OA I y IOB I cuando la longitud AB es mínima.

Solución I . Sean 1OA I = jc, I OB I = y, C= t AB I y 0 el ángulo agudo que forma el
segmento de recta AB con el eje X.

2. fl= I AB I= I AP I +! PBI Ecuación primaria
Pero I AP I = b Cvsec 0 y l PB I = a Sec 0

3. Luego, en la ecuación primaria se tiene:

fl = a Sec 6 + b Coxec 0

4. Dominio de la función fl; 0 e <0. n/2>
5. Localización de los números críticos:

4JL = a Sec 0 Te 0 - b Coxec 0 Cote 0 FIGURA 5.78
¿0 •

= a Sec 0 (Sec2 0 + Tg26) + b Cosec 0 {Cvsec1 0 + Cvtg1 0)

Si = 0 => a Sec 0 Tg 0 = b Coxec 0 Cotg 0 <=> Tg 0 = ^JaJb
u6

Nótese que d—dG1 í2r > 0 , V 0 e < 0 ,1Ü2>; por tanto la función fl tiene un mínimo

absoluto para el número crítico 0 = arc Tg ( \Ja / b )

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Sección 5.8: Problemas de optimización 62!)

6 . Ahora, como- I CA I = b Cotg 0 = b{\j al b ) = ^jab

Entonces: IDBI -aTgQ=a(^¡b7^) = \& b

I OA l = a + I CA I = a + ]¡ab7

ll)B I = />+ IDB I = b + ^fa^b

( E JE M P LO 2 3 ) Por el centro de una calle de 20 m de ancho entre veredas, circulan

continuamente en un mismo sentido camiones de 2.5 m de ancho separa­
dos entre si por un espacio libre de 10 m y con una misma velocidad de 10 m/seg. Calcular el
tiempo necesario para que un peatón pueda cruzar la pista en línea recta con la mínima veloci­
dad constante posible.

Solución I. La interpretación geométrica del problema se muestra en la Figura 5.79,
junto con los dalos del mismo.

Sean V la velocidad del peatón y

V, la velocidad de cada camión

El tiempo que tarda e! peatón en reco­
rrer AD debe ser el mismo que emplea
el camión en recorrer ÜD. Como
í = c/V, se tiene:
2. En el A ABD:

2.5
A D = AB Cosec 6 => AD = Sen 0
BlX=ÁB Cotg 0 => BD = 2.5 Colg 0
SiC D = CB + B D = > C D = 10+2.5 CotgQ
3. Luego, en la ecuación primaria

V (6 ) = |() 2.5 25
10~S¿/7e+~ 2.5 C»,y0
Sen 0 (10 + 2.5 Cotg 0)

4. El dominio admisible de la función V es. G e [0, ic/2]
5. Localización de los números críticos

V (tí) = ----2--5-(--1-0---C--o--s--0-----2---.-5---Sen 0T)
(10 Sen 0 + 2.5 Cos 0)

Si V (0 ) = 0 =>10 Cos 6 - 2.5 Sen 0 = 0 « Tg 0 = 4
0 = are Tg(A) es el único número crítico

De la ecuación Tg 0 = 4 obtenemos, Sen G= 4 /-/Í7 y Cos 0 = \/y[\7
Ahora un sencillo cálculo de V en los extremos del intervalo [0. ni2] y en el único número

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630 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

ftñ
crítico nos revela que: V(0) = 10, V(tc/2) = 2.5 y W(urc Tg 4) = ^ = 2.425

Por tanto, el valor mínimo de V ocurre en el número crítico 0 = are Tg(4)
2Q

Como la trayectoria que sigue el peatón es PQ = —— —= 5-Jü , el tiempo necesario
Sen 0

para cruzar la pista será de

J= PQ= J 5JÍ7 = 8.5 Seg.
V
Í T / 1.7

( E JE M P L O 24 J Una tablilla de 7 pies de altura se halla colocada sobre un muro con

su base de 9 pies por encima del nivel de los ojos de un observador. A
qué distancia del mismo deberá colocarse el observador para que el ángulo visual bajo el cual
contempa la tablilla sea máxima?

Solución 1. En la Figura 5.80 hacemos que 0 sea el ángulo que deseamos máxímizar.
y x sea a distancia del observador al muro.

2. Si 0 = a —p, aplicando tangentes obtene­
mos:

7 > 0 = TS a ~ Tg a Ecuación primaria
I + Tg a . Tg a

3. En el A OAM: Tg p = m 9

DA ~ x

En el A 0 A T :7 g a = AT = 16
0A x

Entonces en la ecuación primaria se tiene:

Ix

■*(X) + 144

'

0 = are Tg{ — — FIGURA 5.80
* \ x ‘Z+144

4. La función 0 sólo tiene sentido para x > 0

dQ 7(144 —x )

5. Localización de los números críticos: dx (x 2 + 144 )2 +49 jc2

Si ^ = 0 => x2 = 144 <=* x = ±12

dx
Dado que -12 g <0, +°°>, usaremos el criterio de la primera derivada para maximizar la
función 0 lomando como intervalos prueba <0 , 12> y < 12, +°=>

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EJERCICIO S. Grupo 45: Problemas de optimización 631

En x € <0, 12>. si x = I => / ’( ! ) = (^+) —+ crecien le »
En x G < 1 2 , -h » > . s í x =13 = * / ' ( ! 3) = ^< -) = ~
y 3 máximo
decreciente

Por tanto, concluimos que la distancia x = 12 produce un valor máximo absoluto para el

ángulo 0 . B

EJERCICIOS. Grupo 45

1. La suma de un número positivo y el doble de otro es 100. Hallarlos de manera que su
producto sea mínimo.

2. Hallar dos números positivos cuyo producto sea 192 y cuya suma sea mínima.

3. Un número y el cuadrado de otro suman 50. Elegir los números de modo que su producto
sea el mayor posible.

4. Hallar las coordenadas del punto o puntos de la curva x- - y1- 16 que están más cerca del

punto (0 , 6 ).

5. Hallar el punto de la curva x1- \r = 9 que está más próxima a la recta ¡4’: 2* - y - 2 = 0

6. Entre todos los segmentos del plano que pasan por («. b). a. b 6 IR+ y que tienen sus
extremos en los ejes coordenados, determinar aquel cuyo cuadrado de su longitud sea
mínimo.

7. Se forman triángulos rectángulos en c! primer cuadrante con los ejes y una recta cualquie­
ra que pase por el punto P( 1,2). Hallar los vértices del triángulo que minimiza la longitud
de la hipotenusa.

8 . En el plano cartesiano se fija un punto P (a, b) situado en el primer cuadrante. Hallar la
ecuación de la recta que pasa por P y forma con los semiejes positivos de coordenadas un
triángulo de área máxima.

9. Dos postes de 12 y 28 pies de altura, distan 30 pies entre si. Desea tenderse un cable,
fijado en un único punto del suelo, entre las puntas de ambos postes. En qué punto del
suelo hay que fijar el cable para usar el mínimo cable posible?

10. Hallar las coordenadas de los puntos P = (x. y), ___________________________
con y < 1, sobre la parábola -T: >' = x3, que:
Y /
a) minimizan PA 2 + PB 2 \

b) maximizan PA2 + PB 2 H -1 /;
•i
11. Un rectángulo está acotado por los ejes X e Y y 01
por la gráfica de una recta ££ (Figura 5.82). Que
longitud y anchura ha de tener el rectángulo para FIGURA 5.81
que su área sea máxima.

12. Un espejo plano rectangular de dimensiones 80

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632 Capitulo 5: Aplicaciones de la Derivada

cm y 90 cm se rompe en dos partes. La menor de dichas panes tiene lbrma de un triángulo
rectángulo y es una de las esquinas, siendo sus catetos de 10 cm y 12 cm correspondientes
a las dimensiones menor y mayor del espejo, respectivamente (Figura 5.83). hallare! área
máxima del espejo rectangular con lados paralelos al original, que se puede construir con
la parte mayor que queda

90

T

10

1

FIGURA 5.82 FIGURA 5.83

13. Halle la recta que pase por (1/2,2), de modo que el área del triángulo que forme con los
semiejes positivos sea mínimo.

14. La suma de perímetros de un cuadrado y un triángulo equilátero es 10. Hallar las dimen­
siones de ambos para que el área total sea mínima

15. La suma de perímetros de un círculo y un cuadrado es 16. Hallar las dimensiones de
ambos para que el arca total sea mínima.

16. En el plano cartesiano se toma un punto M(xo, yo) situado en el primer cuadrante. Hallul­
la ecuación de la recta que pasa por M . de manera que el triángulo formado por la recta y
los semiejes positivos de coordenadas tenga la menor área posible. También hallar el área
mínima.

17. Hallar el rectángulo de área máxima, con los lados paralelos a los ejes coordenados, que

se puede inscribir en la elipse £: b- x2+a2y2= a2b2.
18. Hallar un punto de la paráhola y = 4 - x2 en el que la tangente determina con los ejes

coordenados (primer cuadrante) un triángulo de área máxima.

19. Hallar las dimensiones del rectángulo de área máxima que puede ser inscrito en la región
del plano XY limitado por la parábola y2 = Apx, p > 0, y la recta lJ!: x = a. a >J¿

20. Hallar las dimensiones del rectángulo de ára máxima que se puede inscribir en la región
comprendida entre las curvas y = 8 - x \ ^ 2: y = I x l,dc manera que los lados de
dicho rectángulo sean paralelos a los ejes coordenados.

21. En una página de un libro el texto impreso debe ocupar 5 cm2. Los márgenes superior c
inferior deben ser iguales a p cm, los de izquierda y de derecha a q cm. Tomando en
consideración sólo la economía del papel, que dimensiones de la página serían las más
ventajosas?

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EJE R C IC IO S. G rupo 45: Problemas (te optimización 633

22. Dos recias paralelas son cortadas por una recta dada AB. como se muestra en la Figura
5.84. Del punto C trazamos una recta CQ que intersecla a AB en el punto P. Si I AC I = a.
I AB I = b. a y b son constantes, hallar el valor de IAP I de tal manera que la suma de las
jreas de los triángulso APC y QPB sea mínima.

23. Se va a construir la estructura de un papalote con 6 trozos de madera como se muestra en
la Figura 5.85. ya se cortaron las cuatro piezas exteriores con las medidas indicadas. Cuál
debe ser ia longitud de las dos pie/as diagonales para maximizar el área del papalote.

FIGURA 5.84 FIGURA 5.85

24. Considere el triángulo de vértices (0. 0), (a. 0) y (b. c). donde a > 0. b > 0 y <• > 0.
Determine el área del mayor rectángulo que puede inscribirse dentro de triángulo de tal
manera que uno se sus lados descanse sobre el eje X.

25. Las curvas v2 = x. y2 = jr\ limitan una superficie en el primer cuadrante. Se construye

dentro de la superficie un rectángulo con los lados paralelos a los ejes, la dimensión
horizontal del rectángulo es de t/3; además una de las diagonales tiene sus extremos uno
en cada curva. Hallar el área máxima del rectángulo que puede construirse de esta forma.

26. Hallar la base y la altura del triángulo isósceles de área mínima circunscrito a la elipse

b2x2 + a2y2 = cr b1, y cuya base es paralela al eje X.

27. Una ventana está formado por un rectángulo coronado por un semicírculo. Hallar las
dimensiones de tal ventana que admitirá la mayor cantidad de luz. para un perímetro dado.

28. Un cono recto circular va a ser inscrito en una esfera de radio conocido. Hallar la razón de
la altura al radio de la base del cono de volumen máximo

29. Un cono recto circular va a ser circunscrito a una esfera de radio conocido. Hallar la razón
de la altura al radio de la base del cono de volumen mínimo.

30. Debe construirse una lámina triangular isósceles de 60 cm de perímetro, de tal manera
que al rotar sobre su lado común a los ángulos congruentes, determine un sólido de revo­
lución de volumen máximo. Cuáles dehen ser las dimensiones de los lados de la lámina
triangular.

31. Se va a construir una carpa en forma de pirámide rectangular euadrangular. Para una
superficie lateral S dada, hallar la razón de su altura a la de su base cuando el aire conte­
nido dentro de la tienda sea máxima (sin deformarse la carpa)
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634 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

32. Un embudo cónico de radio de base R y altura H está lleno de agua. Una esfera pesada
esta sumergida en e! embudo. Cuál ha de ser el radio de la esfera para que el volumen de
agua expulsada del embudo por la parte sumergida de la esfera, sea la mayor posible.

33. Hallar las dimensiones del cono circular recto de volumen mínimo que se puede circuns­
cribir a un hemisferio de radio R.

34. Hallar las dimensiones del cilindro recto circular de volumen máximo que se puede ins­
cribir en una esfera de radio 12 cm.

35. Hallar la relación entre el radio R y la altura H del cilindro que tiene la menor superficie
total posible conociendo su volumen.

36. Se va a inscribir un cono circular recto dentro de otro cono circular recto de volumen
dado con el mismo eje y con el vértice del cono interior locando la base del exterior. Cuál
debe ser la razón de sus alturas para que el cono inscrito tenga el máximo volumen.

37. Hallar la base mayor y la altura de un trapecio isósceles cuya base menor y los lados no

paralelos miden 3m y -JÍ2 m, respectivamente, si al girar sobre su base mayor genera un
sólido de volumen máximo.
38. Hallar las dimensiones del paralelepípedo rectangular de volumen máximo, con base cua­
drada. que puede inscribirse en una esfera de área S.
39. Se quiere construir un tanque en forma de cilindro circular recto abierto por la parte
superior y con una capacidad de 300 m \ Si el material a usarse para la base cuesta el
doble por metro cuadrado que el que debe emplearse para la pared lateral; qué relación
debe existir entre la altura del tanque y el radio de la base para que la construcción resulte
la más económica posible.

40. Una viga de madera tiene sección rectangular. La resistencia de la viga es direciantemc
proporcional a la anchura b y al cuadrado de la altura h. Cuales son las dimensiones de la
viga más resistente que puede cortarse de un tronco de 24 pulgadas de diámetro.

41. Un hombre está en un bote a 2 millas del punto más próximo de la costa. Ha de ir a un
punto Q, 3 millas costa abajo y 1 milla costa adentro, como indica la Figura 5.86. Se
puede navegar 2 millas por hora y caminar 4 millas por hora; hacia que punto de la costa
debe remar para alcanzar el punto Q en el menor tiempo posible.

42. Mismas condiciones que el Ejercicio 41, excepto que el hombre puede rcmai a V , millas

por hora y-caminar a V 2 millas por hora. Si a, y a7son las magnitudes de los ángulos de la

Figura 5.86, probar que el hombre alcanzará Q en el tiempo mínimo cuando V 2 Sen ix, =
V [ Sen Ctj
43. Cuando las ondas luminosas, viajando de un medio transparente, llegan a la superficie de
un segundo medio transporte, tienden a desviarse. Esta tendencia se llama refracción y
viene determinada por la ley de Snell dé ¡a refracción:

Sen a , _ Sen a 2

donde a, y ce, son los ángulos de laFigura5.87y V,, V 2 las velocidades de la luz en los

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EJE R C IC IO S. G rupo 45: Problemas ele optimización 635

dos medios. Probar que este problema es equivalente al Ejercicio 42 y que las ondas de
luz viajan de P a Q siguiendo el camino de tiempo mínimo.

44. Una pequeña isla está a 2 km de la costa de un gran lago. Un hombre de la isla puede
remar en su bote a 10 km/h y correr a 20 km/h. Donde debe desembarcar para alcanzar
con mayor rapidez una villa, sobre la playa rectilínea del lago, que está a 6 km sobre la
playa del punto más cercano a la isla?

45. Un corredor tiene que irse desde el punto A, que se encuentra en una de las orillas de
un río, al punto B. que se halla en la otra. La velocidad del movimiento por la orilla
(caminando) es k veces mayor que la del movimiento por el agua (nadando). Detei -
minar bajo qué ángulo deberá atravesar el río pura llegar al punto B en el menor
tiempo posible. La menor distancia de A a la otra orilla corresponde al punto P y es
h. La distancia de P a B es d.

46. Una fábrica está situada en la margen de un río rectilíneo de 2000 m de ncho. En la
margen opuesta y 4500111 no abajo hay una planta de energía en la que la fábrica dehe
obtener su electricidad. Suponga que el costo por metro es el triple si el cable va por el
agua que por tierra. Qué recta debe seguir el cable que conecta la planta de energía con a
fábrica para minimizar el costo de tenderlo.

(Cuidado: No es lo mismo minimizar la longitud del cable que minimizar su costo)

47. El costo-de construcción de un edificio es de $50,000 el primer piso, $52,500 el segundo.
$55,000 el tercero y así sucesivamente. Otros gastos generales suman $320,000. Se pien­
sa que una vez construido el edificio va a ser alquilado, produciendo una renta anual de
$5,000 por piso. Cuál es el número de pisos que producirá el máximo porcentaje del
capital invertido.

{Sugerencia: Porcentaje = 100 (•£). I = renta anual, C = Capital).

48. En la vertical del centro de un terreno circular de 30 m de radio se quiere situar un foco de
luz a una altura tal que la iluminación en el perímetro sea máxima. Sabiendo que la inten­
sidad en un punto cualquiera del contomo es directamente proporcional al coseno de!

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636 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

ángulo üc incidencia (ángulo entre el rayo luminoso y la vertical), e inversamente propor­
cional al cuadrado de la distancia al l:oco, hallar la altura que debe tener éste.

49. Usted tiene una pieza de meta! de 30 m de largo 6 m de ancho, que se va a doblar para
formar un abrevadero como se indica-en la Figura 5.88. qué ángulo deben formar los
lados para que el volumen del abrevadero sea lo más grande posible.

50. Los dos lados y la base de un trapecio isósceles tienen 5 pulgadas de largo cada uno de
ellos. Qué ángulo deben formar los lados con el techo horizontal para maximizar el área
del trapecio? (Véase la Figura 5.89)

FIGURA 5.88 FIGURA 5.89

51. Halle la longitud del tubo de mayor longitud que puede ser transportado horizontal mente

por una esquina rectangular que une dos pasillos que tienen 2>/2 P'es ^ ancho (Figura
5.90)

52. Se va a construir un canal de agua con una larga tira de lámina de 6 pies de ancho doblan­
do un ángulo 0 una banda de 2 pies a cada lado, como se ve en la Figura 5.91. Cuál debe
ser el valor del ángulo 0 para maximizar el área de la sección transversal y, por lo tanto, el
volumen del canal.

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Sección 5.9: E l M étodo de Newton 637

53. Hallarel áreamaxima posible A del trapecio inscrito en un semicírculo de radio I como
se muestra en la Figura 5.92. Comience por expresar A en lunción de Ü.

54. Un andarín parte del punto P sobre una carretera rectilínea y quiere llegar a una cabaña en
el bosque que está a 2 km del punto 0 . que a su ve/ está 3 km cartelera abajo de P. como
se indica en la Figura 5.93. Puede caminar 8 km/h por la carretera, |iero sólo 3 km/h a
través del bosque. Quiere minimizare! tiempo que necesita para llegar a (acabaña. Cuán­
to debe caminar por la carretera antes de internase en línea recta por el bosque hacia la
cabaña? (Sugerencia: Use el ángulo que forma lacanctcracon la meta que tomará por el
bosque, como variable independiente).

FIGURA 5 92 FIGURA 5.93

55. Un cartel tiene por bordes superior e inferior a la altura ;uy m/3 con respecto a la visual de
un observador. A qué distancia debe colocarse el observador para que el ángulo determi­
nado por los ojos y los bordes sea máxima.

56. Una estatua de 3 m de alto tiene su base de 0.5 m amiba del nivel de los ojos de un
observador. A qué distancia de la base debe colocarse el observador para que el ángulo
que subtiende sus ojos debido a la estatua sea máxima

57. Una isla está ubicada en el punto A, 6 km mar adentro del punto más cercano B en una
playa recta. Una mujer que se encuentra en la isla desea ir al punto C, 9 km playa a bajo
de B. La mujer puede rentar un bote por 15 soles el km y viajar por agua hacia el punto P
entre B y C; entonces puede alquilar un auto con chofer a un costo de 12 soles por kin y
recomerían camino recto de P a C. Determinar la ruta menos costosa a seguir del punto A
al punto C.

Í5 .9 ) EL M ETODO DE NEW TON

En este capítulo hemos necesitado con mucha frecuencia calcular los ceros de una
función, es decir, las funciones fueron dadas de manera que los ceros d e /(x ) = 0 , / '(ar) = 0 y
f"(x) = 0 pudieran obtenerse con facilidad y exactitud. Asi los ceros de

f(x) = x1- ld x -1 6 , *U ) = 6x2 + 7 * - 3 y A (v )= 2 r’ + 3.r - 3.v-2
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638 Capítulo 5: Aplicaciones de la Derivada

se pueden calcular por la fórgiula cuadrática o por factorización. Sin embargo, en el mundo
real las soluciones de / ( x) = 0 , no siempre son fáciles de calcular, sobre todo cuando/es una
función polinómica no factorizable de grado mayor que 3. Por ejemplo, los ceros de la función
f ( x ) =x*+x- I no se pueden hallar por métodos algebraicos elementales. No obstante, existen
muchos métodos para aproximar los ceros de tales funciones. Uno de estos métodos es el
llamado método de Newton, el cual emplea la derivada y la recta tangente.
Para ilustrar el método, supongamos que
queremos calcular un cero de una función
/ continua en [a, b] y derivable en <a, b>.
Si /(o ) y f ( b) tienen signos distintos, el
Teorema del Valor Intermedio afirma que
/ tiene al menos un cero (x = c) en <a, b>.
Sea jc = jc, una aproximación de ese cero
(Figura 5.94), donde se construye la recta
tangente que pasa por (xt,/(x ,)), con pen­
diente /'(x ,) y que tiene por ecuación:

y =/ "(*■)
Interceptando esta tangente con el eje X
obtenemos una nueva aproximación para
c, x = x¡; luego haciendo y = 0 y despe­
jando x se tiene:

x, = x. - / ( * . )
f Cx.)

Podemos mejorar aún más esta aproximación construyendo una nueva tangente en (x2, / ’(x2))
que al interceptar al eje X se obtiene

x, = x, / ( * 2)
f ( x 2)

Continuando de esta manera se obtiene los puntos x4, xSt ....x„. Puede verificarse fácilmente
que para cada n, se tiene lafórmula iterativu del método de Newton:

x _ , = x.. -
/• (* .)

Lo que parece indicar que la sucesión {x„} de­
finida recurrentemente tiene límite o converge
a la raiz c. Pero en general deben satisfacerse
ciertas condiciones para garantizar que {x„}
tiene límite.
Por ejemplo, para la función f, cuya gráfica se
muestra en la Figura 5.95, que tiene un punto de
inflexión en x = 0 , se obtiene sucesivamente que:

y x, = x, = x, = .....
x2 = x4 = x„ = ......
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Sección 5.9: E l Método de NewUm 639

de modo que {x„} no tiene límite y el método de Newton falla..
El teorema siguiente da un conjunto de condiciones que implican que {xn} tiende a una
raíz de f i x ) = 0

TEO R EM A 5.10: E l m étodo de New ton

Sea fuña función continua en [fl, b\ > dcri\ab!een <a. . Supongamos que r' existe es
continua en [o. b\ y:

n) f i o ) •; f(b) Llenen sienos contrarios
*•0 / ’ >' J nunca son cero en \a, >?|
Entonces existe exactamente una raiz*- de f(x) = Qei\<a,b>. si se escoge de manera
que a < x t — /—( *—\)- < b . entonces la sucesión {x,} definida recurrentemente por
t ( •*! I

v = v - /( -V
'"l '■ t ' M

tiene límite igual a c.

Mota Al aplicar el Teorema 5.10. a y b deben escogerse lo sulidénlemcnte cercanos a

la raíz c para que satisfagan las condiciones (i) y (ii). Además x, debe elegirse de

modo que x2e [a, b], esto es. la tangente en x,. debe interceptar al eje X dentro del intervalo

[fl. b |. Geométricamente la condición (ii) significa que la función es creciente o decreciente en
[a. b] y es cóncava hacia arriba o cóncava hacia abajo en [a, />|

[ E JE M P LO 1 ) Use el método de Newton para encontrar >/TÍ) con una precisión de

cuatro cifras decimales.

Solución Con mayor generalidad, consideremos la raiz cuadrada de ,un número positivo
A como la raiz positiva de la ecuación
/ (a) = r -A

Entonces puede aplicarse el método de Newton para hallar una raiz de f(x)=0,es decir, una

aproximación decimal de V í0 .

Como VÍO e [3, 4] y puesto que

i.) <f / ( 3 ) = (3 )2, - 10 = - 1 < o ]> ti.enen signos contrarios
|/( 4 ) = (4) -10 = 6 > 0 J

ii) f ( x ) = 2x,f"(x) = 2, ni/ 1y ni son cero en [3, 4]
Entonces existe un cero c e <3, 4> tal que / ( x ) = 0

De la fórmula iterativa, xn+1 = x„ - / \*n / y f (■*) = x?- A, se tiene

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