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## Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

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TIEMPO ACELERACIÓN

1 min = 60 s 1 m/s2 = 3.281 pies/s2 = 39.37 pulg/s2
1 h = 60 min = 3600 s 1 pulg/s2 = 0.08333 pie/s2 = 0.02540 m/s2
1 día = 24 h = 86,400 s 1 pie/s2 = 0.3048 m/s2
1 g = 9.81 m/s2 = 32.2 pies/s2
LONGITUD
MASA
1 m = 3.281 pies = 39.37 pulg
1 km = 0.6214 mi 1 kg = 0.0685 slug
1 pulg = 0.08333 pie = 0.02540 m 1 slug = 14.59 kg
1 pie = 12 pulg = 0.3048 m 1 t (tonelada métrica) = 103 kg = 68.5 slug
1 mi = 5280 pies = 1.609 km
1 milla náutica = 1852 m = 6080 pies FUERZA

ÁNGULO 1 N = 0.2248 lb
1 lb = 16 oz = 4.448 N
1 rev/min (rpm) = 0.1047 rad/s TRABAJO Y ENERGÍA

ÁREA 1 J = 1 N-m = 0.7376 pie-lb
1 pie-lb 1.356 J
1 mm2 = 1.550 ϫ 10Ϫ3 pulg2 = 1.076 ϫ 10Ϫ5 pies2
1 m2 = 10.76 pies2 POTENCIA
1 pulg2 = 645.2 mm2
1 pie2 = 144 pulg2 = 0.0929 m2 1 W = 1 N-m/s = 0.7376 pie-lb/s = 1.340 ϫ 10Ϫ3 hp
1 pie-lb/s = 1.356 W
VOLUMEN 1 hp = 550 pies-lb/s = 746 W

1 mm3 = 6.102 ϫ 10Ϫ5 pulg3 = 3.531 ϫ 10Ϫ8 pies3 PRESIÓN
1 m3 = 6.102 ϫ 104 pulg3 = 35.31 pies3
1 pulg3 1.639 ϫ 104 mm3 = 1.639 ϫ 10Ϫ5 m3 1 Pa = 1 N/m2 = 0.0209 lb/pie2 = 1.451 ϫ 10Ϫ4 lb/pulg2
1 pie3 = 0.02832 m3 1 bar = 105 Pa
1 lb/pulg2 (psi) = 144 lb/pie2 = 6891 Pa
VELOCIDAD 1 lb/pie2 = 6.944 ϫ 10Ϫ3 lb/pulg2 = 47.85 Pa

1 m/s = 3.281 pies/s = 39.37 pulg/s
1 km/h = 0.2778 m/s = 0.6214 mi/h = 0.9113 pie/s
1 mi/h = (88/60) pies/s = 1.609 km/h = 0.4470 m/s
1 nudo = 1 milla náutica/h = 0.5144 m/s = 1.689 pies/s

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y y x2 y2
a2 b2
ϩ ϭ1

R b
4b
3π O x

O 4R x 4a
3π 3π
a

Área de un cuarto de círculo Área de un cuarto de elipse

Área = 1 ␲R2 Ix = Iy = 1 ␲R4 , I xy = 1 R4 Área = 1 ␲ab
4 16 8 4

y Ix = 1 ␲ab3 , Iy = 1 ␲a3b, I xy = 1 a2b2
16 16 8

R y

α x y ϭ cxn

(n ϩ 1)cbn
2R sen α 4n ϩ 2

Sector circular (n ϩ 1)b x
nϩ2
b

Enjuta

Área = ␣R2

Ix = 1 R4 ⎜⎝⎛ ␣ − 1 sen 2␣⎟⎠⎞ , Iy = 1 R4 ⎝⎜⎛ ␣ + 1 sen 2␣⎞⎟⎠ , Área = cbn+1
4 2 4 2 n +1

Ixy = 0 Ix = c3b3n+1 , Iy = cbn+3 , I xy = c2b2n+2
9n + 3 n+3 4n + 4

Líneas

y Las coordenadas del centroide de la línea L son
z
L x = ∫L x dL , = ∫L y dL z = ∫L z dL .
x ∫L dL , ∫L dL
y y
zx
∫L dL

yy

Ry R

α
xx

2R R α

π
x

2R 2R sen α
π α

www.FreeLibros.orgArcosemicircular Arco circular
2R
π
Arco de un cuarto de círculo

Mecánica para ingeniería

ESTÁTICA

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Mecánica para ingeniería

ESTÁTICA

QUINTA EDICIÓN

Anthony Bedford • Wallace Fowler

University of Texas at Austin

Jesús Elmer Murrieta Murrieta
Maestro en Investigación de Operaciones
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Morelos

REVISIÓN TÉCNICA

Miguel Ángel Ríos Sánchez Alex Elías Zúñiga
Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica Departamento de Ingeniería Mecánica
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Estado de México de Monterrey, Campus Monterrey

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Datos de catalogación bibliográfica

BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T.

Mecánica para ingeniería. Estática
Quinta edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008

ISBN: 978-970-26-1215-5
Área: Ingeniería

Formato: 20 ϫ 25.5 cm Páginas: 656

Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Statics 5th edition by Anthony M. Bedford and Wallace T.
ISBN 0136129153

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Engineering mechanics: Statics 5th edition por Anthony M. Bedford y Wallace T. Fowler,

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en español
Editor: Luis Miguel Cruz Castillo

e-mail: [email protected]
Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos

Edición en inglés Creative Director: Juan Lopez
Art Director: Jonathan Boylan
Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. Horton Interior Designer: Kenny Beck
Acquisitions Editor: Tacy Quinn Cover Designer: Jonathan Boylan
Associate Editor: Dee Bernhard Art Editor: Xiaohong Zhu
Managing Editor: Scott Disanno Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long
Media Editor: David Alick Manufacturing Buyer: Lisa McDowell
Marketing Manager: Tim Galligan
Production Editor: Craig Little
Director of Creative Services: Paul Belfanti

QUINTA EDICIÓN, 2008

D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.

Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación
de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o
cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 10: 970-26-1215-2
ISBN 13: 978-970-26-1215-5

Impreso en México. Printed in Mexico.

www.FreeLibros.org1234567890- 11100908

Contenido

Prefacio xiii
Acerca de los autores xix

1 Introducción 3

1.1 Ingeniería y mecánica 4 8
Resolución de problemas 4
Números 5
Espacio y tiempo 5
Leyes de Newton 6

1.2 Gravitación de Newton 15

www.FreeLibros.orv g

vi Contenido

2 Vectores 21

2.1 Escalares y vectores 22
Suma vectorial 22
Producto de un escalar y un vector 24
Resta vectorial 24
Vectores unitarios 24

2.2 Componentes en dos dimensiones 30
Manipulación de vectores en términos de sus componentes 30
Vectores de posición en términos de sus componentes 31
Manipulación de vectores en términos de sus componentes 32
Vectores de posición en términos de sus componentes 32

2.3 Componentes en tres dimensiones 43
Magnitud de un vector en términos de sus componentes 44
Cosenos directores 45
Vectores de posición en términos de sus componentes 46
Componentes de un vector paralelo a una línea dada 46
Cosenos directores 47
Vectores de posición en términos de sus componentes 48
Componentes de un vector paralelo a una línea dada 48

2.4 Productos punto 60
Definición 60
Productos punto en términos de sus componentes 60
Componentes vectoriales paralela y normal a una línea 61

2.5 Productos cruz 68
Definición 68
Productos cruz en términos
de sus componentes 69
Evaluación de un determinante de 3 * 3 70
Productos triples mixtos 70
Problemas de repaso 77

3 Fuerzas 81

3.1 Fuerzas, equilibrio 82
y diagramas de cuerpo libre
Terminología 82
Fuerzas gravitatorias 82
Fuerzas de contacto 83
Equilibrio 86
Diagramas de cuerpo libre 87

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 91

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 108
Problemas de repaso 116

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Contenido vii

4 Sistemas de fuerzas y momentos 121

4.1 Descripción bidimensional
del momento 122

4.2 Vector de momento 134
Magnitud del momento 134
Dirección del momento 134
Relación con la descripción bidimensional 136
Teorema de Varignon 137

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 147
Definición 148
Aplicaciones 148
Determinación del momento de una fuerza F
respecto a una línea L 151
Casos especiales 151

4.4 Pares 162

4.5 Sistemas equivalentes 171
Condiciones de equivalencia 171
Representación de sistemas mediante sistemas equivalentes 172
Representación de un sistema mediante una llave de torsión 173
Sistemas equivalentes de fuerzas y momentos 175
Representación de sistemas de fuerzas y momentos mediante
sistemas equivalentes 176
Problemas de repaso 189

5 Objetos en equilibrio 195

5.1 Aplicaciones bidimensionales 196
Ecuaciones de equilibrio escalares 196
Soportes 196
Diagramas de cuerpo libre 200
Ecuaciones de equilibrio 201
Soportes 201

Soportes redundantes 217
Soportes impropios 219

5.3 Aplicaciones tridimensionales 223
Ecuaciones de equilibrio escalares 223
Soportes 223
Ecuaciones de equilibrio 229
Soportes 229

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas 242
Elementos de dos fuerzas 242
Elementos de tres fuerzas 244

www.FreeLibros.orgProblemasderepaso 249

viii Contenido

6 Estructuras en equilibrio 255

6.2 Método de las juntas 258
Método de las juntas 261
Juntas especiales 261

6.3 Método de secciones 268
Método de secciones 269

6.5 Bastidores y máquinas 282
Análisis de la estructura completa 283
Análisis de los elementos 283
Problemas de repaso 306

7 Centroides y centros de masa 311

7.1 Centroides de áreas 312 362

7.2 Áreas compuestas 320

7.3 Cargas distribuidas 327
Descripción de una carga distribuida 328
Determinación de la fuerza y el momento 328
Analogía del área 329

7.4 Centroides de volúmenes y líneas 335

7.5 Volúmenes y líneas compuestos 343

7.6 Teoremas de Pappus-Guldinus 350
Primer teorema 350
Segundo teorema 351
Primer teorema de Pappus-Guldinus 352
Segundo teorema de Pappus-Guldinus 352

7.7 Centros de masa de objetos 355

7.8 Centros de masa de objetos compuestos
Problemas de repaso 369

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Contenido ix

8 Momentos de inercia 375

Áreas 376

8.1 Definiciones 376

8.2 Teorema de los ejes paralelos 383

8.3 Ejes girados y ejes principales 396
Momento de inercia respecto al eje xЈ 397
Momento de inercia respecto al eje yЈ 397
Ejes principales 397

8.4 Círculo de Mohr 405
Determinación de ejes principales y de momentos
de inercia principales 406

Masas 409 415

8.5 Objetos simples 409

8.6 Teorema de los ejes paralelos
Problemas de repaso 425

9 Fricción 429

9.1 Teoría de la fricción seca 430
Coeficientes de fricción 432
Ángulos de fricción 433

9.2 Cuñas 448

9.3 Roscas 452

9.4 Cojinetes 459

9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues 464

9.6 Fricción en bandas 471
Problemas de repaso 479

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x Contenido

10 Fuerzas y momentos internos 485

Vigas 486

10.1 Fuerza axial, fuerza cortante
y momento flector 486

10.2 Diagramas de fuerza cortante
y de momento flector 493

10.3 Relaciones entre carga distribuida,
fuerza cortante
y momento flector 498 500
Construcción del diagrama de fuerza cortante 501

Construcción del diagrama de momento flector

Cables 511

10.4 Cargas uniformemente distribuidas
a lo largo de líneas rectas 512
Forma del cable 512
Tensión en el cable 513
Longitud del cable 513

10.5 Cargas distribuidas uniformemente
a lo largo de cables 518
Forma del cable 519
Tensión en el cable 520
Longitud del cable 520

10.6 Cargas discretas en cables 523
Determinación de la configuración y las tensiones 523
Comentarios sobre modelos continuos y discretos 524

Líquidos y gases 529

10.7 Presión y centros de presión 529
Centro de presión 529
Presión en un líquido en reposo 531
Problemas de repaso 541

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Contenido xi

11 Trabajo virtual y energía potencial 545

11.1 Trabajo virtual 546
Trabajo 546
Principio del trabajo virtual 547
Aplicación a estructuras 548
Trabajo 549
Principio del trabajo virtual 550

11.2 Energía potencial 558
Ejemplos de fuerzas conservativas 558
Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas 559
Energía potencial 561
Problemas de repaso 569

APÉNDICES 573

A Repaso de matemáticas

A.1 Álgebra 573
Logaritmos naturales 573

A.2 Trigonometría 574
A.4 Integrales 575
A.5 Series de Taylor 576

B Propiedades de áreas y líneas 577

B.1 Áreas 577
B.2 Líneas 579

C Propiedades de volúmenes y objetos

homogéneos 580

Soluciones a los problemas de práctica 583

Respuestas a los problemas
con número par 613

Índice 623

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Prefacio

El desarrollo de la quinta edición de Mecánica para Ingenie- ficiente de los resultados necesarios para entender los ejemplos
ría: Estática y Dinámica comenzó al preguntarnos de qué ma- y problemas siguientes. Para una comprensión más fácil, se pre-
nera podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar sentan en el mismo formato de ilustraciones y texto integrados
a los estudiantes a aprender mecánica de manera más eficaz y que se usa en los ejemplos activos y se puede consultar de ma-
eficiente. nera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el ejem-
plo y trabaja con los problemas.
Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido
presentar el material de una forma que emule el desarrollo de Conjunto de problemas
los conceptos por parte del profesor en el salón de clases y en-
fatice el análisis visual para mejorar la comprensión del estu- En este texto de estática, treinta por ciento de los problemas
diante. son nuevos. Se han marcado con un asterisco los que son re-
lativamente más largos o difíciles. También es posible gene-
Ahora, con base en nuestras experiencias a través de mu- rar problemas adicionales usando el sistema de tareas en línea
chos años en el salón de clases y los comentarios de colegas y con sus capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de este
estudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegarnos a libro).
la manera en que los estudiantes actualmente usan los libros de
texto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de los nue- Elementos especiales de este texto
vos elementos descritos anteriormente seguimos apegados a
nuestros objetivos originales de enseñar procedimientos efica- Ejemplos
ces para la resolución de problemas y la importancia central de
los diagramas de cuerpo libre.

Novedades en esta edición Además de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los que si-
guen una estructura con tres partes —Estrategia/Solución/Ra-
Ejemplos activos zonamiento crítico— diseñados para ayudar a los estudiantes
a desarrollar sus habilidades en la resolución de problemas de
Un nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estu- ingeniería. En las secciones de estrategia, demostramos cómo
diantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la com- planear la solución de un problema, la cual presenta los pasos
prensión de los mismos. Los análisis se relacionan de manera detallados necesarios para llegar a los resultados requeridos.
visual con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustraciones
y texto integrados para una lectura eficiente. Al final del ejem- Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y pro-
plo activo se proporciona un “problema de práctica” de manera porcionan análisis detallados de aplicaciones de la estática al
que los estudiantes se vean motivados a verificar si compren- diseño de ingeniería.
dieron el material; y pueden evaluar fácilmente sus conoci-
mientos al consultar la respuesta, que se proporciona en la Mecánica en computadoras
misma página, o estudiando la solución completa que se pre-
senta en el apéndice, con el mismo formato de ilustraciones y Algunos profesores prefieren enseñar estática sin dar énfasis al
texto integrados. uso de la computadora. Otros usan la estática como una opor-
Problemas con enfoque en ejemplos ras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus propios
programas en un lenguaje de nivel básico o que utilicen softwa-
Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incenti- re de nivel superior para la resolución de problemas. Nuestro libro
var a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su es compatible con ambos enfoques. Existe material opcional de
comprensión de los conceptos. Los números de estos proble- mecánica en computadoras en el sitio Web Companion, donde se
mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que los incluyen tutoriales en MathCad y MATLAB. Para mayor infor-
profesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu- mación, vea la sección de suplementos.
Programa de ilustraciones

Resultados Reconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a vi-
sualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren y

se sienten más motivados con situaciones reales. Nuestros tex-
tos incluyen muchas fotografías y figuras realistas que ayudan

xiii
La mayoría de las secciones del libro ahora concluye con una

www.FreeLibros.orgnueva subsección de resultados, una descripción completa y su-

xiv Prefacio

a visualizar las aplicaciones y proporcionar una conexión más Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos y
fuerte con la práctica de la ingeniería. los problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue
Uso del segundo color mos la comunicación de estudiantes y profesores en relación
con yerros o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de co-
Para ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figu- rreo es Department of Aerospace Engineering and Enginee-
ras, hemos usado ciertos valores de identificación: ring Mechanics, University of Texas at Austin, Texas 78712.
Nuestra dirección de correo electrónico es:
Vectores unitarios [email protected]

Fuerzas Recursos para el estudiante
Posiciones
El paquete de estudio Statics está diseñado para pro-
porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus
habilidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para re-
pasar los temas antes de los exámenes. Contiene una ayuda
para los diagramas de cuerpo libre con cincuenta problemas
de práctica de dificultad ascendente, los cuales incluyen so-
luciones completas. Las estrategias y recomendaciones adi-
cionales ayudan a los estudiantes a comprender cómo utilizar
los diagramas en la resolución de problemas relacionados.
capítulo fue preparado por Peter Schiavone de la University
of Alberta.

Pares Evaluación en la red y tutoriales: Los estudiantes pueden
acceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prácti-
ca complementarios, en el sitio Web de este libro.

www.pearsoneducacion.net/bedford

Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en línea

a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas y los

resultados se califican y registran de manera electrónica.

Triple verificación de la exactitud: En cada tutorial se analiza un concepto básico de mecáni-
Compromiso con los estudiantes ca, y después se muestra cómo resolver un problema relaciona-
y profesores do con este concepto usando MATLAB y MathCad. Estos
archivos están disponibles en formato PDF para que los profe-

Nuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomar sores las distribuyan entre los estudiantes. Las hojas de trabajo

precauciones para asegurar la exactitud del texto hasta donde fueron desarrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la

nuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple Montana State University-Bozeman.

verificación de la exactitud en el cual tres participantes, ade-

más de los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por Recursos para el profesor
asegurar que las respuestas son correctas y que tienen un nivel

de dificultad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se com- Manual de soluciones para el profesor: Este suplemento,
pone de: disponible para los profesores en la página Web, contiene solu-

• Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University ciones completas. Cada solución viene con el enunciado del

• Karim Nohra de la University of South Florida problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos estos

• Kurt Norlin del Laurel Technical Services complementos están en idioma inglés.

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Prefacio xv

Centro de recursos para el profesor: Contiene diaposi- Glenn Beltz
tivas en PowerPoint y archivos JPEG de todas las ilustraciones University of California–Santa Barbara
del texto. También contiene series de diapositivas en Power-
Point que muestran cada ejemplo. Mary Bergs
Marquette University

Evaluación en la red y recursos adicionales: A través Don L. Boyer
de PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea para Arizona State University
los estudiantes usando problemas del texto, los cuales están en
un formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje con Spencer Brinkerhoff
problemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas se Northern Arizona University
registran en un libro de calificaciones en línea que puede ba-
jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web L. M. Brock
del libro, donde encontrará series de problemas complementa- University of Kentucky
rios y demás información. Para mayores detalles contacte a su
representante de Pearson Educación. William (Randy) Burkett
Texas Tech University

Donald Carlson
University of Illinois

Reconocimientos Major Robert M. Carpenter
Los siguientes colegas realizaron revisiones con base en su co-
nocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron de Douglas Carroll
gran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores. University of Missouri, Rolla

Paul C. Chan
New Jersey Institute of Technology

Shaaban Abdallah Namas Chandra
University of Cincinnati Florida State University

Michigan Technological University University of California, Davis

Northeastern University Texas A & M University

Raid S. Al-Akkad Daniel C. Deckler
University of Dayton The University of Akron Wayne College

Jerry L. Anderson Anthony DeLuzio
Memphis State University Merrimack College

Mitsunori Denda
Rutgers University

James G. Andrews James F. Devine
University of Iowa University of South Florida

Robert J. Asaro Craig Douglas
University of California, San Diego University of Massachusetts, Lowell

Leonard B. Baldwin Marijan Dravinski
University of Wyoming University of Southern California

Haim Baruh S. Olani Durrant
Rutgers University Brigham Young University

Gautam Batra Estelle Eke
University of Nebraska California State University, Sacramento

Bogdan I. Epureanu
University of Michigan

David M. Bayer William Ferrante

University of North Carolina University of Rhode Island

www.FreeLibros.org

xvi Prefacio

Robert W. Fitzgerald Yohannes Ketema
Worcester Polytechnic Institute University of Minnesota

George T. Flowers Seyyed M. H. Khandani
Auburn University Diablo Valley College

Mark Frisina Charles M. Krousgrill
Wentworth Institute Purdue University

Robert W. Fuessle B. Kent Lall

University of New Mexico Rice Unversity

William Gurley Kenneth W. Lau
University of Tennessee, Chattanooga University of Massachusetts, Lowell

John Hansberry Norman Laws
University of Massachusetts, Dartmouth University of Pittsburgh

Mark J. Harper William M. Lee

W. C. Hauser Donald G. Lemke
California Polytechnic University, Pomona University of Illinois, Chicago

Linda Hayes Richard J. Leuba
University of Texas–Austin North Carolina State University

R. Craig Henderson Richard Lewis
Tennessee Technological University Louisiana Technological University

Paul R. Heyliger John B. Ligon
Colorado State University Michigan Tech University

James Hill Bertram Long
University of Alabama Northeastern University

Robert W. Hinks V. J. Lopardo
Arizona State University U.S. Naval Academy

Allen Hoffman Frank K. Lu
Worcester Polytechnic Institute University of Texas, Arlington

Edward E. Hornsey Mark T. Lusk
University of Missouri, Rolla Colorado School of Mines

University of Notre Dame Christian Brothers College

University of Tennessee, Knoxville Auburn University

Ali Iranmanesh James R. Matthews
Gadsden State Community College University of New Mexico

David B. Johnson Gary H. McDonald
Southern Methodist University University of Tennessee

E. O. Jones, Jr. James McDonald
Auburn University Texas Technical University

Serope Kalpakjian Jim Meagher
Illinois Institute of Technology California Polytechnic State University, San Luis Obispo

Kathleen A. Keil Lee Minardi

California Polytechnic University, San Luis Obispo Tufts University
www.FreeLibros.org

Prefacio xvii

Norman Munroe Brian Self
Florida International University U.S. Air Force Academy

Shanti Nair William Semke
University of Massachusetts, Amherst University of North Dakota

Saeed Niku Patricia M. Shamamy
California Polytechnic State University, Lawrence Technological University
San Luis Obispo
Sorin Siegler
North Carolina State University
Peng Song
Harinder Singh Oberoi Rutgers State University
Western Washington University
Candace S. Sulzbach
James O’Connor Colorado School of Mines
University of Texas, Austin
L. N. Tao
Samuel P. Owusu-Ofori Illinois Institute of Technology
North Carolina A & T State University
Craig Thompson
Venkata Panchakarla Western Wyoming Community College
Florida State University
John Tomko
Assimina A. Pelegri Cleveland State University
Rutgers University
Kevin Z. Truman
Noel C. Perkins Washington University
University of Michigan
John Valasek
Corrado Poli Texas A & M University
University of Massachusetts–Amherst
Christine Valle
David J. Purdy Georgia Institute of Technology
Rose-Hulman Institute of Technology
Dennis VandenBrink
Yitshak Ram Western Michigan University
Louisiana State University
Colin E. Ratcliffe University of Hartford
Mark R. Virkler
University of Missouri, Columbia

Daniel Riahi William H. Walston, Jr.
University of Illinois University of Maryland

Charles Ritz Andrew J. Walters
California Polytechnic State University, Pomona Mississippi University

George Rosborough Reynolds Watkins
University of Colorado, Boulder Utah State University

Edwin C. Rossow Charles White
Northwestern University Northeastern University

Kenneth Sawyers Norman Wittels
Lehigh University Worcester Polytechnic Institute

Robert Schmidt Julius P. Wong
University of Detroit University of Louisville

Robert J. Schultz T. W. Wu
Oregon State University University of Kentucky

Richard A. Scott Constance Ziemian

University of Michigan Bucknell University
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xviii Prefacio

Los elementos nuevos que diferencian esta edición de las chein proporcionó apoyo editorial y de producción. David Alick,
anteriores, particularmente la integración de texto e ilustra- Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los re-
ciones, fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas cursos en línea que se han convertido en herramientas tan esen-
y editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivaron ciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las portadas.
y sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecido Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los paquetes de
el nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en el estudio que acompañan a los libros, y a Stephen Hunt y Ronald
desarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora Tacy Larsen por escribir los apoyos en MATLAB y MathCad. Scout
Quinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los li- Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, valiosos colegas de
bros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejos nuestras campañas anteriores, nos dieron consejos con respec-
valiosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisión to al estilo y la claridad, corrigieron muchos de nuestros errores
más importante desde las conversaciones iniciales acerca de y revisaron los manuales de solución. Somos responsables por
nuestras ideas hasta la publicación del libro. Craig Little con- los errores que aún quedan. Nancy Bedford nos ofreció conse-
tinuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y fue jo editorial y nos ayudó con la revisión. Muchas otras per-
el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendario sonas talentosas y profesionales tanto de Prentice Hall como de
establecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyo otras partes también contribuyeron en la revisión de este texto, por
consumado en los aspectos relativos a ilustraciones y fotografías. lo que les estamos agradecidos. Y una vez más agradecemos a
Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra comu- nuestras familias, especialmente a Nancy y Marsha, por su pa-
nicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer Lons- ciencia y comprensión en la realización de las nuevas ediciones.

Anthony Bedford and Wallace Fowler
Austin, Texas

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Acerca de los autores

Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler

Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aero- Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & Betty
espacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas at Robertson de ingeniería en la University of Texas y es director
Austin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de la del Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-
Academia de Maestros Distinguidos de la University of Texas. rican Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAAs) y a la
Su actividad profesional principal ha sido la educación y la in- American Society for Engineering Education (ASEE). El
vestigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículos Dr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza de
sobre teoría mixta, propagación de ondas y la mecánica de im- dinámica general en 1976, el premio John Leland Atwood
pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio de de AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-
Hamilton en Mecánica Continua, Introducción a la Propagación niería aeroespacial), el premio a la enseñanza del consejo de
Elástica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecánica de Ma- maestros de la University of Texas en 1990-1991, además
teriales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial en del premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEE
Douglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laborato- en 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-
ries. mia de profesores distinguidos de la University of Texas. El
Dr. Fowler también se desempeñó como presidente de la Ame-
rican Society for Engineering Education (ASEE) de 2000 a
2001. Los intereses del Dr. Fowler relativos a la investigación
y la enseñanza en la UT, en Austin, se enfocan en la ingenie-
ría y el diseño de sistemas espaciales.

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Mecánica para ingeniería

ESTÁTICA

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CAPÍTULO

1

Introducción

¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los dispositivos
que se usan en la vida diaria, desde objetos simples como sillas
y sacapuntas hasta estructuras complicadas como presas,
automóviles, aviones y naves espaciales? Ellos deben tener un
conocimiento profundo de la física subyacente al diseño de tales
dispositivos y ser capaces de usar modelos matemáticos para
predecir su comportamiento. Al estudiar mecánica, los
estudiantes de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar y
predecir los comportamientos de los sistemas físicos.

᭣ Los ingenieros utilizan los principios de la estática en cada paso del diseño y
ensamble de una estructura. La estática es una de las ciencias sobre las que se
basa el arte del diseño estructural.

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4 Capítulo 1 Introducción

1.1 Ingeniería y mecánica

ANTECEDENTES

¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus caracte-
rísticas antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su cono-
cimiento de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para
producir nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosa téc-
nica: desarrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de los
objetos que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento de
sus diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real: los ingenie-
ros aeroespaciales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá un
trasbordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos mate-
máticos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.

En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.
La mecánica elemental se divide en estática, que es el estudio de los objetos en
equilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-
tados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos cam-
pos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructuras
usan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Tanto los inge-
nieros civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos, como los
ingenieros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan las
ecuaciones de movimiento obtenidas de la dinámica.

La mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos funda-
mentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran casi
en todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléc-
trica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos,
como el equilibrio, la energía y la estabilidad al aprenderlos en sus contextos
mecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollo
histórico de esas ideas.

La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento de
los objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplos
que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudiante
resuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemas
de este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficiente-
mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada gene-
ración de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.

Resolución de problemas

En el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver pro-
blemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-
rentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se apli-
can a muchos de ellos:

• Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe deter-
minarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propias
palabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico o

• Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios
y ecuaciones aplicables, y plantéese cómo los usará. Cuando sea posible,
dibuje diagramas para visualizar y resolver el problema.

• Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intui-
ción y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta.

• Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados y

www.FreeLibros.orgcompárelos con su predicción. El último paso se llama verificación en la rea-

1.1 Ingeniería y mecánica 5

Números

Las mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería se expresan en núme-
ros. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y proble-
mas de este libro, y cómo deberá expresar los resultados de sus propios cálculos.

Dígitos significativos Este término se refiere al número de dígitos significati-
vos (o sea, exactos) en un número, contando hacia la derecha a partir del primer
dígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cua-
tro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del núme-
ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notación
científica como 7.630 ϫ 106.

Si un número es el resultado de una medición, los dígitos significativos que
contiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de una
medición es 2.43, esto significa que el valor real estará más cercano a 2.43 que a
2.42 o a 2.44.

Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos.
Por ejemplo, el valor de p puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14,
o con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una
cifras significativas que la máquina puede manejar según su diseño.

Uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben
tratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos contie-
nen. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponer
que su valor es 32.200... Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos signifi-
cativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejemplos,
así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados deben
tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redondear
resultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de esto,
efectúe sus cálculos con la exactitud disponible al retener los valores en su

Espacio y tiempo

El espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Las
experiencias diarias proporcionan una noción intuitiva del espacio y de las ubica-
ciones, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en el
espacio es la longitud de la línea recta que los une.

Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad de
longitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,
de longitud es el pie (ft).

Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Los
ciclos diarios de luz y oscuridad y las horas, minutos y segundos medidos por un
reloj proporcionan una noción intuitiva del tiempo. Éste se mide mediante los in-
tervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o las
vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI como en las de
uso común en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s); también se
utilizan los minutos (min), las horas (h) y los días.

Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de refe-
rencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama veloci-
SI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleración en metros

6 Capítulo 1 Introducción

velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies sobre

Leyes de Newton

La mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en
1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunque
sumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrolla-
dos durante una lucha larga y difícil hacia el conocimiento (figura 1.1).

Guerra del Peloponeso 400 a. C. Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámica
Invasión de Roma a Bretaña 0 Arquímedes: Estática de palancas, centros de masa, flotación

d. C. 400 Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleas
Papo: Definición precisa del centro de masa

Juan Filopono: Concepto de inercia

Coronación de Carlomagno 800

Conquista normanda de Bretaña 1200 Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio
Firma de la Carta Magna 1400
1600 Alberto de Sajonia: Velocidad angular
Peste bubónica en Europa 1650 Nicola d’Oresme: Cinemática gráfica, coordenadas
Impresión de la Biblia de Gutenberg William Heytesbury: Concepto de aceleración
1700
Viaje de Colón Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solar
Dominic de Soto: Cinemática de objetos que caen
Fundación de la colonia de Jamestown Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios
Guerra de los treinta años Simon Stevin: Principio del trabajo virtual
Johannes Kepler: Geometría y cinemática de
Llegada de los peregrinos a Massachussets movimientos planetarios
Fundación de la Universidad de Harvard Galileo Galilei: Experimentos y análisis en estática
y dinámica, movimiento de un proyectil
Establecimiento en Carolina René Descartes: Coordenadas cartesianas
Evangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinámica
Cesión de Pennsylvania a William Penn Blaise Pascal: Análisis en hidrostática
Juicios por brujería en Salem
John Wallis, Christopher Wren, Christian Huyghens:
Impactos entre objetos

Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de
universal, análisis de movimientos planetarios

Figura 1.1
Cronología de sucesos fundamentales en el desarrollo de la mecánica hasta la publicación

www.FreeLibros.orgde Principios de Newton, en relación con otros eventos en la historia.

1.1 Ingeniería y mecánica 7

Newton estableció tres “leyes” del movimiento que, expresadas en términos
modernos, son:

1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero,
su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partícula se encuen-
tra en reposo, permanecerá en reposo.

2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no es igual a
cero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad de
movimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de las
fuerzas es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración.

3. Las fuerzas ejercidas por dos partículas entre si son iguales en magnitud y
opuestas en dirección.

Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton.
La visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Para
demostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tiene
masa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte a
esta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posible
determinar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide
la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. También
se puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unita-
ria, se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la
fuerza.

De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisos
a los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo
(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para impar-
tir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al cuadra-
es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa acelera-
da a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.

Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos de
los problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la validez
de las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un proble-
(3 ϫ 108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a tales pro-
blemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican dimensio-
nes que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para describir
los fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.

En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). Tabla 1.1 Prefijos comunes usados en
El tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente también se usan las unidades SI y los múltiplos que
los minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos se representan.
les llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que
esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la
fuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-

1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2. Prefijo Abreviatura Múltiplo

Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama nano- n 10-9
micro- m 10-6

Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los mili- m 10-3

múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 1.1 se mues- kilo- k 103

tran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan.mega-M106
Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que songiga-G109

www.FreeLibros.org106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).

8 Capítulo 1 Introducción

En las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies (pie)
y la fuerza se mide en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). Éstas son las
masa es una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de mate-
segunda ley de Newton establece que

1 lb = (1 slug)(1 pie/s2).

A partir de esta expresión se obtiene

1 slug = 1 lb-s2/pie.

En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi = 5280 pies) y
la pulgada (1 pie = 12 pulg). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a
1000 lb.

u En ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes
(rad). En la figura 1.2 se muestra el valor de un ángulo u en radianes. Se define
u ϭ s como la razón de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del círcu-
R lo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) en
R un círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2pR, 360° son
Figura 1.2
Definición de un ángulo en radianes. Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendo
que los ángulos se expresan en radianes. Por consiguiente, cuando en una ecuación
se desee sustituir el valor de un ángulo expresado en grados, primero deberá con-
vertirse a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculado-
nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.

Tabla 1.2 Conversión de unidades. En la práctica de ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertir
Tiempo 1 minuto = 60 segundos ejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dados
1 hora = 60 minutos en unidades SI y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos se
1 día = 24 horas deben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-
dos en la ecuación. La conversión de unidades es sencilla pero debe hacerse con

Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos de pie por
segundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-
dos, se pueden emplear las expresiones

Long. 1 pie = 12 pulg ⎛ 5280 pies ⎞ y ⎛ 1h ⎞
1 milla = 5280 pies ⎝ 1 mi ⎠ ⎝ 3600 s ⎠
1 pulg = 25.4 milímetros
1 pie = 0.3048 metros como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene

Ángulo 2p radianes = 360 grados ⎛ 5280 pies ⎞ ⎛ 1h ⎞
⎝ 1 mi ⎠ ⎝ 3600 s⎠
Masa 1 slug = 14.59 kilogramos 11mmi/h = (1 mi/h) = 1.47 pies/s .

Fuerza 1 libra = 4.448 newtons
www.FreeLibros.orgEn la tabla 1.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades.

RESULTADOS 1.1 Ingeniería y mecánica 9

Identifique la información dada y la información Resolución de problemas:
que debe determinarse. Estos pasos se aplican
Desarrolle una estrategia; identifique los principios a muchos tipos de problemas.
y ecuaciones aplicables y plantéese cómo los usará.
Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta. Sistemas de unidades.
Obtenga la respuesta y, cuando sea posible,
interprétela y compárela con su predicción. Definición de un
segundos (s), la longitud en metros (m) y la masa
en kilogramos (kg). La unidad de fuerza es el newton (N),
que es la fuerza requerida para acelerar una masa de un

básicas son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies
y la fuerza en libras (lb). La unidad de masa el slug, que
mediante una fuerza de una libra.

s

u

u ϭ s
R
R

Las cantidades equivalentes, como 1 hora = 60 minutos,
pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:

1h ϭ 1, Conversión de unidades.
60 min

y usarse para realizar la conversión de unidades. Por ejemplo,

15 min ϭ 15 min 1 h ϭ 0.25 h.
60 min

de la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en línea
en www.unc.edu/~rowlett/units.

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10 Capítulo 1 Introducción

Ejemplo activo 1.1 Conversión de unidades (᭤ Relacionado con el problema 1.11)

Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).
¿Qué tan rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)?

Estrategia
Un kilómetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos ϫ 60 segundos = 3600
segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su velo-
Solución

Convierta de metros a kilómetros.

Convierta de segundos a horas.

΂ ΃ ΂ ΃1 km 3600 s

6 m/s ϭ 6 m/s
1000 m 1 h

ϭ 21.6 km/h.

Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies por
segundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)?
Respuesta: 6.82 mi/h.

Ejemplo 1.2 Conversión de unidades de presión (᭤ Relacionado con el problema 1.16)

La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de
3.00 ϫ 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine la

Estrategia
A partir de la tabla 1.2, 1 libra = 4.448 newtons y 1 pie = 0.3048 metros. Con estas

Solución
La presión (con tres dígitos significativos) es

3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22 a 1 lb 0.3048 m 2
ba b
4.448 N 11pfite

ϭ 62,700 lb/pie2

Vehículo de sumersión profunda Razonamiento crítico
¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa? Obser-

ve en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro que
1 Pa = 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,

⎛ 0.0209 lb/pie 2 ⎞
⎜⎝ 1 N/m2 ⎠⎟
3.00 × 106 N/m2 = (3.00 × 106 N/m 2 )

= 62,700 lb/pie2.

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1.1 Ingeniería y mecánica 11

Ejemplo 1.3 Determinación de unidades a partir de una ecuación (᭤ Relacionado con el problema 1.20)

Suponga que en la ecuación de Einstein
E = mc2,

la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.
a) ¿Cuáles son las unidades SI de E?
b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidades
básicas de uso común en Estados Unidos?

Estrategia

a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las uni-
b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas en
Unidos.

Solución
a) De la ecuación para E,

E = 1m kg21c m/s22,

las unidades SI de E son kg-m2/s2.
b) De la tabla 1.2, 1 slug ϭ 14.59 kg y 1 pie ϭ 0.3048 metros. Por lo tanto,

1 kg-m2/s2 = (1 kg-m 2/s2 ) ⎛ 1 slug ⎞ ⎛ 1 pie ⎞ 2
⎜⎝ 14.59 kg ⎟⎠ ⎝ 0.3048 m ⎠

= 0.738 slug-pie2/s2.

El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es
E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.

Razonamiento crítico
En el inciso a), ¿cómo se supo que era posible determinar las unidades de E al
una ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a ϩ b ϭ c, las
dimensiones de cada uno de los términos a, b y c deben ser las mismas. Se dice
que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresa
mediante la frase coloquial. “No se pueden comparar peras con manzanas”.

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12 Capítulo 1 Introducción

Problemas

1.1 El valor p es 3.14159265… C es la circunferencia de un círcu- 1.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 de alto, por
lo y r su radio. Determine el valor de r/C con cuatro dígitos signi- lo que el área es 24 ϫ 8 pies ϭ 192 pies2. ¿Cuál es el área en m2
ficativos.
con tres dígitos significativos?

r

C

Problema 1.1 Problema 1.4

1.2 La base de los logaritmos naturales es e = 2.718281828.... 1.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, será el edifi-
cio más alto del mundo con una altura de 705 m. El área de su base
a) Exprese e con cinco dígitos significativos. será de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base en unidades
b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos. de uso común en Estados Unidos con tres dígitos significativos.

c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar el
valor de e2 con cinco dígitos significativos.
[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-
rante los cálculos].

1.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con un
radio nominal r = 5 mm. El radio real del agujero está en el rango
r = 5 ± 0.01 mm.

a) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar el

b) ¿Hasta cuál número de dígitos significativos puede expresar el
área del agujero?

5 mm

Problema 1.3

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Problemas 13

1.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 Coupé y 1.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pies-lb
desea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de uso (pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión en
común en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene llaves N-m (newton-metros).
con anchos v = 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automóvil
tiene tuercas con dimensiones n = 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm
y 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si v no es 2% mayor
que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?

wn

Problema 1.6

Problema 1.10

1.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest está ᭤ 1.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo 1.1 se
entre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿a
cuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en pies define mediante 1 mv2, donde m es su masa y v es su velocidad.
y b) en metros? 2

1.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shangai al La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que su
aeropuerto en Pundong alcanza una velocidad de 430 km/h. Deter-
mine su velocidad a) en mi/h y b) en pie/s. energía cinética es 21(68 kg)(6 m/s)2 = 1224 kg-m2/s2. ¿Cuál es

1.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en uni-
dades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades,
use este valor para determinar la aceleración debida a la gravedad
al nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos.

broma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satí-
rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar los
ingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-
cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo a
su clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincena
con tres dígitos significativos?

Problema 1.8 1.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) en
m2 y b) en pulg2.

y

40 mm

1.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera de 120 mm x

ski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu de

Estonia en un tiempo de 38 minutos 1.3 segundos. Determine su 40 mm

con tres dígitos significativos a) en km/h y b) en mi/h. mm
www.FreeLibros.org200mm
Problema 1.14

14 Capítulo 1 Introducción

1.15 El área de la sección transversal de la viga de acero Canal 1.18 En el capítulo 7 se analizan las cargas distribuidas, que se
Estándar Americano C12 * 30 es A = 8.81 pulg2. ¿Cuál es el área expresan en unidades de fuerza por unidad de longitud. Si el valor
de su sección transversal en mm2? de una carga distribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor en
lb/pie?
y
A 1.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto al
eje x está dado por la ecuación
x
I = 1 bh3.
3

Las dimensiones del área son b = 200 mm y h = 100 mm. Deter-
mine el valor de I con cuatro dígitos significativos en términos de
a) mm4, b) m4 y c) pulg4.

y

Problema 1.15 h

᭤ 1.16 Un transductor de presión mide un valor de 300 lb/pulg2. x
Determine el valor de la presión en pascales. Un pascal (Pa) es
Problema 1.19

1.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt es ᭤ 1.20 En el ejemplo 1.3, en vez de la ecuación de Einsten con-
igual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por los sidere la ecuación L = mc, donde la masa m está en kilogramos y
motores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos de la velocidad de la luz c está en metros por segundo. a) ¿Cuáles
fuerza. son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unidades SI es 12,
¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común en Estados
Problema 1.17 Unidos?

1.21 La ecuación

My
s=

I

se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos nor-
males en vigas.
a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades bási-
cas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (m) e I
está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidades
SI de s?
b) Si M ϭ 2000 N-m, y ϭ 0.1 m e I ϭ 7 ϫ 10Ϫ5 m4, ¿cuál es el
valor de s en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?

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1.2 Gravitación de Newton 15

1.2 Gravitación de Newton

ANTECEDENTES m1

Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos de masas m1 y m2 que están
separadas por la distancia r (figura 1.3) es

F = Gmr12m2, (1.1) F

donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unida- r F m2
des SI es 6.67 ϫ 10–11 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calculó la

fuerza gravitatoria entre una partícula de masa m1 y una esfera homogénea de masa
m2, y encontró que también está dada por la ecuación (1.1), donde r expresa la dis-
tancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esfera

homogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de un

cuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene

W = Gmr 2mE, (1.2) Figura 1.3
Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas
donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje- son iguales en magnitud y están dirigidas a lo
to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al cen- largo de la línea que las une.

tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad de

materia que contiene y que no depende de su posición.

Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la acelera-

ción resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso la
segunda ley de Newton establece que W ϭ ma, y de la ecuación (1.2) se observa
que la aceleración debida a la gravedad es

a = Grm2E. (1.3)

La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se expresa con g. Si el

radio de la =TiegrRraE2 .seSruesptirteusyeenntdaomeesdteiarnetseuRltEa,dsoe observa a partir de la ecuación (1.3)
que GmE en la ecuación (1.3), se obtiene una

expresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r del centro de

la Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar:

a = g Rr 2E2 . (1.4)

Como el peso del cuerpo es W ϭ ma, el peso de un cuerpo a una distancia r
del centro de la Tierra es

W = mg R2E . (1.5)
r2

Al nivel del mar (r ϭ RE), el peso de un cuerpo está dado en función de su
masa mediante la simple relación

W = mg. (1.6)

El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-
res que se usarán en los ejemplos y problemas son g ϭ 9.81 m/s2 en unidades SI

www.FreeLibros.orgy g ϭ 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.

16 Capítulo 1 Introducción

La fuerza gravitatoria entre dos partículas de masas

m1 y m2 que están separadas por la distancia r es

F ϭ Gm1m2 , (1.1) Gravitación de Newton.
r2
Aceleración debida a la
donde G es la constante de gravitación universal. gravedad de la tierra.

El valor de G en unidades SI es Peso de un objeto
al nivel del mar.
6.67 ϫ 10 Ϫ11 N-m2/kg2.

Cuando la Tierra se modela como una esfera

homogénea de radio RE, la aceleración debida a la
gravedad a una distancia r desde el centro es

a ϭ g R2E , (1.4)
r2

donde g es la aceleración debida a la gravedad

al nivel del mar.

W ϭ mg, (1.6)

donde m es la masa del objeto y g es la aceleración

debida a la gravedad al nivel del mar.

Ejemplo activo 1.4 Peso y masa (᭤ Relacionado con el problema 1.22)

La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar [16 oz (onzas)ϭ
1 lb]. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g ϭ 32.2 pies/s2. ¿Cuál
es la masa de la prensa C en slugs?

Estrategia
Primero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarse
la ecuación (1.6) para determinar la masa en slugs.

Solución

΂ ΃14 oz ϭ 14 oz 1 lb ϭ 0.875 lb. Convierta el peso de
16 oz onzas a libras.

mϭ W ϭ320.2.87pi5eslb/s2 ϭ 0.0272 slug. Use la ecuación (1.6) para
g calcular la masa en slugs.

Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debi-
da a la gravedad al nivel del mar es g ϭ 9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa C
al nivel del mar en newtons?

Respuesta: 3.89 N.

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1.2 Gravitación de Newton 17
Ejemplo 1.5 Determinación del peso de un objeto (᭤ Relacionado con el problema 1.27)
Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Rover) se ensambló por completo, su
masa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte
es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.
a) ¿Cuál era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?
b) ¿Cuál es el peso del Rover sobre la superficie de Marte?
c) La fase de ingreso comenzó cuando la nave espacial alcanzó el punto de inter-
faz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era el
peso del Rover en ese punto?

Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Marte (Rover)

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18 Capítulo 1 Introducción

Estrategia
El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (1.6) con
g ϭ 9.81 m/s2.

El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecua-
ción (1.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.

Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede es-
cribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (1.5).

Solución
a) El peso al nivel del mar en la Tierra es

W = mg
= 1180 kg219.81 m/s22
= 1770 N 1397 lb2.

b) Sea gM ϭ 3.68 m/s2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte.
Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es

W = mgM
= 1180 kg213.68 m/s22
= 662 N 1149 lb2.

c) Sea RM ϭ 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (1.5), el peso del
Rover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es

W = mgM R2M
r2

= 1180 kg213.68 m/s22 13,390,000 m22
13,522,000 m22

= 614 N 1138 lb2.

Razonamiento crítico
En el inciso c), ¿cómo supo que la ecuación 1.5 podía aplicarse a Marte? La ecua-
ción 1.5 se aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera homo-
génea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismo
supuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y no
homogéneo sea el objeto.

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Problemas 19

Problemas

᭤ 1.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la 1.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, la varia-
Luna es 1.62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del ejem- ción de su peso debida a su distancia desde el centro de la Tierra
plo activo 1.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería el frecuentemente se omite. La aceleración debida a la gravedad al
peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna? nivel del mar es g ϭ 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370
km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es su
1.23 El cubo de hierro de 1 pie ϫ 1 pie ϫ 1 pie pesa 490 lb al masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objeto
nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de se reduce a 0.99mg?
1 m ϫ 1 m ϫ 1 m del mismo material al nivel del mar.
1.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532 km
1 pie y su masa es 1.0247 ϫ 1026 kg. Si el planeta se modela como una es-
fera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a la gravedad en su
superficie? (La constante gravitatoria universal es G ϭ 6.67 ϫ 10–11
N-m2/kg2).

1 pie 1 pie

Problema 1.23

y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga que el
peso por unidad de volumen del agua del océano es 64 lb/pie3.
Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en kilo-
gramos.

1.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es
g ϭ 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constante
gravitatoria universal es G ϭ 6.67 ϫ 10–11 N-m2/kg2. Use esta in-

formación para determinar la masa de la Tierra.

1.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la Tie- Problema 1.29
rra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitatoria
de la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una estación 1.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de la
espacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la Tierra? fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra es
igual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por la
᭤ 1.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la gravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro de
Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM ϭ 1738 km (consul- la Tierra hasta ese punto, con tres dígitos significativos? La dis-
te el ejemplo 1.5). tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna es
a) ¿Cuál es el peso en Newtons en la superficie de la Luna de un 383,000 km, y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de la
objeto que tiene una masa de 10 kg? Luna es 1738 km, y la aceleración debida a la gravedad en su
b) Usando el método descrito en el ejemplo 1.5, determine la fuer- superficie es 1.62 m/s2.
za ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste se
encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.

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CAPÍTULO V

2

Vectores

Si un objeto está sometido a varias fuerzas que tienen diferentes
magnitudes y actúan en distintas direcciones, ¿cómo pueden de-
terminarse la magnitud y la dirección de la fuerza total resultante
sobre el objeto? Las fuerzas son vectores y deben sumarse de
acuerdo con la definición de la suma de vectores. En ingeniería
se trata con muchas cantidades que tienen tanto magnitud como
dirección y que pueden expresarse y analizarse como vectores.
En este capítulo se revisan las operaciones con vectores, se ex-
presan los vectores en términos de sus componentes y se presen-
tan ejemplos de aplicaciones de los vectores a la ingeniería.

᭣ Los campos de vectores muestran las velocidades y direcciones de un flujo
de gas en tres posiciones verticales. Los vectores se utilizan para describir y
analizar cantidades que tienen magnitud y dirección, incluyendo posiciones,

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22 Capítulo 2 Vectores

2.1 Escalares y vectores

B ANTECEDENTES
A
Una cantidad física que puede describirse mediante un número real se denomina
(a) escalar. El tiempo es una cantidad escalar; la masa también lo es. Por ejemplo, se
puede describir la masa de un automóvil al decir que su valor es 1200 kg.
BB
rAB Por otro lado, para describir una cantidad vectorial se debe especificar tanto
un número real no negativo, o magnitud, como una dirección. Dos cantidades vec-
AA toriales son iguales sólo si sus magnitudes y direcciones son iguales.

(b) La posición de un punto en el espacio en relación con otro es una cantidad
Figura 2.1 vectorial. Para describir la localización de una ciudad con respecto a su casa, no es
(a) Dos puntos, A y B, de un mecanismo. suficiente decir que está a 100 millas; debe decir que está 100 millas al oeste de su
(b) Vector rAB de A hacia B. casa. La fuerza también es una cantidad vectorial: cuando usted empuja un mue-
ble sobre el piso, aplica una fuerza de magnitud suficiente para moverlo en la

Los vectores se representarán mediante letras en negritas, U, V, W, ..., y la
magnitud de un vector U se denotará por medio de ͉U͉. Un vector se representa
gráficamente por medio de una flecha: su dirección indica el sentido del vector y
su longitud se define como proporcional a la magnitud. Por ejemplo, considere los
puntos A y B del mecanismo de la figura 2.1a. La posición del punto B respecto
al punto A puede especificarse mediante el vector rAB de la figura 2.1b. La direc-
ción de rAB indica la dirección del punto A hacia el punto B. Si la distancia entre
los dos puntos es 200 mm, la magnitud ͉rAB͉ ϭ 200 mm.

En la figura 2.2, el cable AB ayuda a soportar la torre de transmisión de tele-
visión. La fuerza que ejerce el cable sobre la torre se puede representar por medio
de un vector F, como se muestra en la figura. Si el cable ejerce una fuerza de
800 N sobre la torre, ͉F͉ ϭ 800 N (un cable tal mostraría algún pandeo, o curva-
tura, y la tensión variaría junto con su longitud; por ahora, supondremos que la
curvatura en los cables y cuerdas suspendidas y las variaciones en sus tensiones
pueden ignorarse, supuesto más o menos válido si el peso de la cuerda o el cable
es pequeño en comparación con la tensión. En el capítulo 10 se estudiarán y ana-
lizarán los cables y las cuerdas suspendidas con mayor detalle).

Los vectores son un medio conveniente para representar cantidades físicas
que tienen magnitud y dirección, aunque eso es sólo el principio de su utilidad. Así
como los números reales se manipulan con las reglas conocidas para la suma, la
resta, la multiplicación, etcétera, existen reglas para operar con vectores. Esas
reglas proporcionan herramientas poderosas para el análisis en ingeniería.

Suma vectorial

F

Cuando un objeto se mueve de un lugar a otro en el espacio, se dice que expe-

rimenta un desplazamiento. Si se mueve un libro (o, hablando de manera más

precisa, algún punto de un libro) de un lugar de la mesa a otro, como muestra la

figura 2.3a, es posible representar el desplazamiento mediante el vector U. La

B dirección de U indica la dirección del desplazamiento y |U| es la distancia recorri-
da por el libro.

Figura 2.2 Suponga que al libro se le da un segundo desplazamiento V, como se mues-

Representación de la fuerza que ejerce el cable tra en la figura 2.3b. Los desplazamientos U y V equivalen a un solo desplaza-

AB sobre la torre, por medio de un vector F. miento del libro de su posición inicial a su posición final, que se representa

mediante el vector W en la figura 2.3c. Observe que la posición final del libro

es la misma si primero ocurre el desplazamiento U y después el desplazamiento

V que si primero ocurre el desplazamiento V y luego el desplazamiento U (figu-

ra 2.3d). El desplazamiento W se define como la suma de los desplazamientos

www.FrUeyV: eUϩVLϭW. ibros.org

2.1 Escalares y vectores 23

U UV

(a) (b)

U V U V Figura 2.3
W W U (a) Desplazamiento representado por el vector U.
(b) El desplazamiento U seguido por el desplaza-
V
miento V.
(c) (d) (c) Los desplazamientos U y V son equivalentes al

desplazamiento W.
(d) La posición final del libro no depende del orden

de los desplazamientos.

VV

U U U
V UϩV

(a) (b) (c)
V
Figura 2.4
U U U (a) Dos vectores, U y V.
(b) La cabeza de U colocada en la cola de V.
UϩV UϩV (c) Regla del triángulo para obtener la suma de U y V.
(d) La suma es independiente del orden en que se sumen los
V V
(d) (e) vectores.
(e) Regla del paralelogramo para obtener la suma de U y V.

W

La definición de suma vectorial está basada en la suma de desplazamientos. V
Considere los vectores U y V de la figura 2.4a. Si se colocan cabeza con cola (figu- UϩVϩW
ra 2.4b), su suma se define como el vector que va de la cola de U a la cabeza de V
(figura 2.4c). Esto se llama regla del triángulo para la suma vectorial. La figura U
2.4d demuestra que la suma es independiente del orden en que los vectores se colo-
can cabeza con cola. De esta figura se obtiene la regla del paralelogramo para la
suma vectorial (figura 2.4e).

La definición de la suma vectorial implica que

U ϩ V ϭ V ϩ U La suma vectorial es conmutativa. (2.1) Figura 2.5
Suma de tres vectores U, V y W.

yV

(U ϩ V) ϩ W ϭ U ϩ (V ϩ W) La suma vectorial es (2.2)

asociativa. U
W
para cualesquiera vectores U, V y W. Estos resultados indican que al sumar dos o

más vectores, el orden en que se sumen no importa. La suma puede obtenerse colo-

cando los vectores cabeza con cola en cualquier orden. El vector que va de la cola

del primer vector a la cabeza del último es la suma (figura 2.5a). Si la suma de dos
o más vectores es igual a cero, los vectores forman un polígono cerrado cuando se

www.FreeLibros.orgcolocan cabeza con cola (figura 2.6).
Figura 2.6
Tres vectores U, V y W cuya suma es igual a
cero.

24 Capítulo 2 Vectores

C Una cantidad física se denomina vector si tiene magnitud y dirección y obe-
dece la definición de la suma vectorial. Se sabe que un desplazamiento es un vec-
B rBC tor. La posición de un punto en el espacio respecto a otro punto también es una
rAB rAC cantidad vectorial. En la figura 2.7, el vector rAC de A a C es la suma de rAB y rBC.
Una fuerza tiene dirección y magnitud pero, ¿obedecen las fuerzas la definición de
A la suma vectorial? Por ahora se asumirá que sí. Cuando se estudie la dinámica, se
mostrará que la segunda ley de Newton implica que la fuerza es un vector.
Figura 2.7
Las flechas que denotan las posiciones Producto de un escalar y un vector
relativas de los puntos son vectores.
El producto de un escalar (número real) a por un vector U es un vector que se
escribe como aU. Su magnitud es ͉a͉͉U͉, donde ͉a͉ es el valor absoluto del escalar
a. La dirección de aU es igual que la de U cuando a es positivo y es opuesta a la
dirección de U cuando a es negativo.

El producto (–1)U se escribe –U y se llama “negativo del vector U”. Tiene la
misma magnitud que U pero dirección opuesta. La división de un vector U entre
un escalar a se define como el producto

U = a 1 bU.
aa

U 2U ϪU ϭ (Ϫ1)U U 1 U En la figura 2.8 se muestran un vector U y los productos de U con los escalares
2ϭ 2 2, –1 y 1/2.

Figura 2.8 Las definiciones de la suma vectorial y del producto de un escalar y un vec-
Un vector U y algunos de sus múltiplos escalares. tor implican que

a1bU2 = 1ab2U, El producto es asociativo con respecto (2.3)

a la multiplicación escalar.

1a + b2U = aU + bU, Los productos son distributivos con (2.4)

UV respecto a la suma escalar.

(a) y
V
(Ϫ1)V a1U + V2 = aU + aV, Los productos son distributivos con (2.5)
(b)
(Ϫ1)V respecto a la suma vectorial.

para cualesquiera escalares a y b y vectores U y V. Estos resultados serán necesa-
rios cuando se estudien las componentes de los vectores.

Resta vectorial

La diferencia de dos vectores U y V se obtiene sumando U al vector (–1)V:

U - V = U + 1- 12V. (2.6)

UϪV U Considere los dos vectores U y V que se muestran en la figura 2.9a. El vector
(–1)V tiene la misma magnitud que el vector V pero dirección opuesta (figura
2.9b). En la figura 2.9c se suma el vector U al vector (–1)V para obtener U – V.

Vectores unitarios

Un vector unitario es simplemente un vector cuya magnitud es igual a la unidad. Un
(c) vector unitario especifica una dirección y permite expresar en forma conveniente

Figura 2.9 un vector que tiene una dirección particular. Si un vector unitario e y un vector U

(a) Dos vectores U y V. tienen la misma dirección, se puede escribir U como el producto de su magnitud

(b) Vectores V y (–1)V. ͉U͉ y el vector unitario e (figura 2.10),

(c) La suma de U y (–1)V es la diferenciaU = ƒUƒe.

www.FreeLibros.orgvectorialU–V.

2.1 Escalares y vectores 25

Cualquier vector U puede verse como el producto de su magnitud y un vector uni- ͉U͉
tario que tiene la misma dirección de U. Dividiendo ambos lados de esta ecuación U e1
entre ͉U͉ se obtiene
͉U͉e ϭ U
U
= e, Figura 2.10
Como U y e tienen la misma dirección, el vec-
ƒUƒ tor U es igual al producto de su magnitud y e.

entonces, al dividir cualquier vector entre su magnitud se obtiene un vector unita-
rio que tiene la misma dirección.

Una cantidad física que está completamente descrita por un número real se llama
escalar. Un vector tiene tanto magnitud como dirección y satisface una regla defi-
nida para la suma. Un vector se representa gráficamente mediante una flecha cuya
longitud se define como proporcional a la magnitud.

V

Suma vectorial U
La suma de dos vectores U y V se UϩV
define mediante la regla del
triángulo o su equivalente, la regla Regla del triángulo
del paralelogramo.
U
UϩV

V
Regla del paralelogramo

Producto de un escalar y un vector U 2U ϪU ϭ (Ϫ1)U Uϭ1U
El producto de un escalar a y un vector U se define 22
como un vector aU con magnitud ͉a͉͉U͉. Su dirección
es la misma que la de U cuando a es positiva y opuesta
a la de U cuando a es negativa. La división de U entre
a se define como el producto (1/a)U.

UV

Resta vectorial (Ϫ1)V
La diferencia de dos vectores U y V se
define por medio de

U Ϫ V ϭ U ϩ (Ϫ1)V.

UϪV U

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26 Capítulo 2 Vectores ͉U͉
U e1
Vectores unitarios
Un vector unitario es aquel que tiene una magnitud ͉U͉e ϭ U
de 1. Cualquier vector U puede expresarse como
|U|e, donde e es un vector unitario con la misma
dirección que U. Al dividir un vector U entre su
magnitud se obtiene un vector unitario con la misma
dirección de U.

Ejemplo activo 2.1 Operaciones vectoriales (᭤ Relacionado con el problema 2.1)

U Las magnitudes de los vectores que se muestran son ͉U͉ ϭ 8 y ͉V͉ ϭ 3. El vector V
45Њ es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U ϩ 2V.

V

Estrategia
Al dibujar los vectores a escala y aplicar la regla del triángulo para la suma, es po-
sible medir la magnitud del vector U ϩ 2V.

Solución

Dibuje los vectores U y 2V a escala,
colóquelos cabeza con cola.

6 2V

8
U

45Њ

El valor medido de
͉U ϩ 2V͉ es 13.0.

2V
13.0

U
45Њ

U V Problema de práctica Las magnitudes de los vectores que se muestran son ͉U͉ ϭ 8 y
͉V͉ ϭ 3. El vector V es vertical. Determine gráficamente la magnitud del vector U – 2V.

45Њ

www.FreeLibros.orgRespuesta:|U - 2V| = 5.7.

Problemas 27

Ejemplo 2.2 Suma de Vectores (᭤ Relacionado con el problema 2.2)

cables AB y AC. Las fuerzas que ejercen los cables sobre la pila a la que están uni-
dos se representan con los vectores FAB y FAC. Las magnitudes de las fuerzas son
͉FAB͉ ϭ 100 kN y ͉FAC͉ ϭ 60 kN. Determine la magnitud y la dirección de la suma
de las fuerzas ejercidas sobre la pila por los cables.

B FAB

A 30Њ 30Њ

C FAC

Estrategia FAB FAB ϩ FAC
Al dibujar el paralelogramo, con los vectores a escala, para sumar las dos fuerzas
se puede medir la magnitud y dirección de su suma. 100 kN

Solución 19Њ
Se construye gráficamente el paralelogramo para obtener la suma de las dos fuer-
zas con las longitudes de FAB y FAC proporcionales a sus magnitudes (figura a). Mi- 60 kN FAC
diendo la figura, se estima que la magnitud del vector FAB ϩ FAC es de 155 kN y su (a) Solución gráfica.
dirección es de 19° sobre la horizontal.

Razonamiento crítico
En las aplicaciones de ingeniería, las operaciones con vectores casi siempre se
hacen de manera analítica. Entonces, ¿por qué es importante adquirir experiencia
con los métodos gráficos? Al hacerlo se mejora la intuición acerca de los vectores
y ayuda a entender las operaciones vectoriales. Asimismo, el bosquejo de una solu-
ción gráfica puede ayudar frecuentemente a formular una solución analítica.

Problemas

᭤ 2.1 En el ejemplo activo 2.1, suponga que los vectores U y V ᭤ 2.2 Suponga que la pila del ejemplo 2.2 se coloca más cerca
se reorientan como lo muestra la figura. El vector V es vertical. del estadio de manera que el ángulo entre las fuerzas FAB y FAC
Las magnitudes son ͉U͉ ϭ 8 y ͉V͉ ϭ 3. Determine en forma gráfi- es de 50°. Dibuje un bosquejo de la nueva situación. Las magnitu-
ca la magnitud del vector U ϩ 2V. des de las fuerzas son ͉FAB͉ ϭ 100 kN y ͉FAC͉ ϭ 60 kN. Determine
gráficamente la magnitud y la dirección de la suma de las fuerzas

ejercidas por los cables sobre la pila.

45Њ V
U

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28 Capítulo 2 Vectores

Al resolver los problemas 2.3 a 2.5 consulte el siguiente 2.7 Los vectores FA y FB representan las fuerzas ejercidas
diagrama. Los vectores de fuerza FA, FB y FC pertenecen por la banda sobre la polea. Sus magnitudes son ͉FA͉ ϭ 80 N y
al mismo plano. ͉FB͉ ϭ 60 N. Determine gráficamente la magnitud de la fuerza
total que ejerce la banda sobre la polea.
FC FB
␤ FB
a
45Њ
FA

FA
10Њ

Problemas 2.3–2.5 Problema 2.7

2.3 La magnitud ͉FA͉ ϭ 80 lb y el ángulo a ϭ 65°. La magni- 2.8 La suma de las fuerzas FA ϩ FB ϩ FC ϭ 0. La magnitud
tud ͉FA ϩ FB͉ ϭ 120 lb. Determine gráficamente la magnitud ͉FA͉ ϭ 100 N y el ángulo a ϭ 60°. Determine gráficamente las
de FB. magnitudes ͉FB͉ y ͉FC͉.

2.4 Las magnitudes ͉FA͉ ϭ 40 N, ͉FB͉ ϭ 50 N y ͉FC͉ ϭ 40 N. Los 2.9 La suma de las fuerzas FA ϩ FB ϩ FC ϭ 0. Las magnitudes
ángulos a ϭ 50° y b ϭ 80°. Determine gráficamente la magnitud ͉FA͉ ϭ 100 N y ͉FB͉ ϭ 80 N. Determine gráficamente la magni-
tud ͉FC͉ y el ángulo a.
de FA ϩ FB ϩ FC.

2.5 Las magnitudes ͉FA͉ ϭ ͉FB͉ ϭ ͉FC͉ ϭ 100 lb, y el ángulo FB
a ϭ 30°. Determine gráficamente el valor del ángulo b para el 30Њ

cual la magnitud ͉FA ϩ FB ϩ FC͉ es mínima y el valor mínimo de
͉FA ϩ FB ϩ FC͉.

2.6 El ángulo u ϭ 50°. Determine gráficamente la magnitud del a FA
vector rAC.

60 mm 150 mm FC
Problemas 2.8/2.9

B

rAB rBC C
␪ rAC

A

Problema 2.6

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