Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Área ϭ a R2 y B.2 Líneas 579

Ix = 1 R 4 aa - 1 sen 2ab , Iy = 1 R 4 aa + 1 sen 2ab , R x
4 2 4 2 a
Oa
Ixy ϭ 0

2R sen a
3a
Sector circular

ÁArea = 1 y x2 y2
pab a2 b2
4 ϩ ϭ 1

Ix = 1 pab3, Iy = 1 pa3b, Ixy = 1 a2b2 b 4b
16 16 8 3p O
4a
x
3p
a

Área de un cuarto de elipse

AÁrea = cbn+1 y
n+1
c3b3n + 1 y ϭ cxn

Ix = 9n + 3 , cbn + 3 c2b2n + 2 (n ϩ 1)cbn
Iy = n + 3 , Ixy = 4n + 4 4n ϩ 2

(n ϩ 1)b x
nϩ2
b

Enjuta

B.2 Líneas y
z –x
Las coordenadas del centroide de la línea L son

x dL y dL z dL L
x = LL , y = LL , z = LL .
y–
dL dL dL –z x
LL LL LL

y y

Ry R

x a
2R R x

a

px
2R 2R R sen a
a
Arco circular
p

www.FreeLibros.orgArcosemicircular
p
Arco de un cuarto de círculo

APÉNDICE

C

Propiedades de volúmenes
y objetos homogéneos

y Las coordenadas del centroide del volumen V son
z –x
V x = LV x dV y = LV y dV z = LV z dV

–y , , .
z– x
dV dV dV
LV LV LV

El centro de masa de un objeto homogéneo coincide con el centroide de su volumen.

dm
r

L0

El momento de inercia del objeto respecto al eje L0 es

I0 = r 2 dm.
Lm
y
1 yЈ Ieje x = 0, Ieje y = Ieje z = 1 ml 2
2l Ieje xЈ = 0, 3

O l
z
1 ml 2
zЈ x, xЈ Ieje yЈ = Ieje zЈ = 12
Barra esbelta

yЈ 1 1
4 2
Ieje xЈ = Ieje yЈ = mR 2, Ieje zЈ = mR 2

R xЈ
zЈ

Placa circular delgada
www.FreeLibros.org580

Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos 581

Ieje x = 1 mh2, Ieje y = 1 mb2, Ieje z = 1 m1b2 + h22 y yЈ
3 3 3

1
b

2

h1 h b
2O
Ieje x¿ = 1 mh2, Ieje y¿ = 1 mb2, Ieje z¿ = 1 m1b2 + h22
12 12 12

xЈ

z zЈ

x

Placa rectangular delgada

m m Ieje z = Ieje x + Ieje y y
Ieje x = A Ix , Ieje y = A Iy ,
A
Los términos Ix e Iy son los momentos de inercia del área de la sección transversal
de la placa A respecto a los ejes x e y. zx
Placa delgada

Volumen ϭ abc yЈ
b
Ieje x¿ = 1 m1a2 + b22, Ieje y¿ = 1 m1a2 + c22,
12 12

Ieje z¿ = 1 m1b2 + c22 zЈ c a xЈ
12

Prisma rectangular

Volumen ϭ pR2l

Ieje x = Ieje y = ma 1 l2 + 1 R2b, Ieje z = 1 mR 2 y 1
3 4 2 yЈ l

O 2

Ieje x¿ = Ieje y¿ = m a 1 l 2 + 1 R 2 b , Ieje z¿ = 1 mR2 R x
12 4 2 z, zЈ
l xЈ
Cilindro circular

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582 Apéndice C Propiedades de volúmenes y objetos homogéneos

y Volumen = 1 pR2h
yЈ 3

R O x Ieje x = Ieje y = m a 3 h2 + 3 R2 b , Ieje z = 3 mR2
z, zЈ 3h 5 20 10
4xЈ h
3 h2 3 R2 3 mR2
Cono circular 80 20 10

Ieje x¿ = Ieje y¿ = m a + b , Ieje z¿ =

yЈ Volumen = 4 pR3
R 3

zЈ Ieje x¿ = Ieje y¿ = Ieje z¿ = 2 mR2
Esfera 5

xЈ

yЈ Volumen = 2 pR3
y 3

Ieje x = Ieje y = Ieje z = 2 mR2
5

R 3R Ieje x¿ = Ieje y¿ = 83 mR2, Ieje z¿ = 2 mR2
O 320 5
8
z, zЈ xЈ
Semiesfera
x

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Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 1.1

Convierta pies a millas.

Convierta segundos a horas.

10 pies/s ϭ 10 pies/s 1 mi 3600 s
΂ ΃ ΂ ΃5280 pies 1 h

ϭ 6.82 mi/h.

Ejemplo activo 1.4 Use la ecuación (1.6) para
W ϭ mg ϭ (0.397 kg)(9.81 m/s2) ϭ 3.89 N. calcular el peso en newtons.

Ejemplo activo 2.1 8
U
Dibuje los vectores U y 2V a escala
y colóquelos cabeza con cola.

6

45Њ
Ϫ2V

El valor medido de U Ϫ2V
͉U Ϫ 2V͉ es 5.7. 5.7

www.FreeLibros.o5r83 g

584 Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 2.3 Se requiere que la magnitud de la
componente y de F sea tres veces
͉Fy͉ ϭ 3͉Fx͉. la magnitud de la componente x.
La magnitud de F es

900 N ϭ F2x ϩ F2y

ϭ F2x ϩ (3Fx )2.
Resolviendo se obtiene
Fx ϭ 285 N. El vector F en
términos de sus componentes es

F ϭ 285i Ϫ 3(285)j (N)
ϭ 285i Ϫ 854j (N).

y

A

͉Fy͉ F Use triángulos semejantes para de-
terminar la ubicación del punto B:
ϭ 3͉Fx͉
xB ϭ ͉Fx͉ :
80 m 80 m 3͉Fx͉

͉Fx͉ xB ϭ 26.7 m.
xB
B x

Ejemplo activo 2.6

y
D (2, 3, 1) m

rBD

x

B (2.4, 0, 3) m
z

rBD ϭ (xD Ϫ xB)i ϩ (yD Ϫ yB)j ϩ (zD Ϫ zB)k Determine el vector de posición rBD

ϭ (2 Ϫ 2.4)i ϩ (3 Ϫ 0)j ϩ (1 Ϫ 3)k (m) en términos de sus componentes.
www.FreeLibros.orgϭϪ0.4iϩ3jϪ2k(m).

͉rBD͉ ϭ r2BDx ϩ r2BDy ϩ r2BDz Soluciones a los problemas de práctica 585
ϭ (Ϫ0.4 m)2 ϩ (3 m)2 ϩ (Ϫ2 m)2 Calcule la magnitud de rBD.
ϭ 3.63 m.
Divida rBD entre su magnitud para obtener
eBD ϭ rBD eBD en términos de sus componentes.
͉rBD͉

Ϫ0.4i ϩ 3j Ϫ 2k (m)
ϭ 3.63 (m)

ϭ Ϫ0.110i ϩ 0.827j Ϫ 0.551k.

Ejemplo activo 2.11

Los vectores U y V son perpendiculares si U ؒ V = 0. Use esta condición para
determinar Vx.

UؒV ϭ UxVx ϩ UyVy ϩ UzVz Calcule U·V en términos de las
ϭ (6)Vx ϩ (Ϫ5)(2) ϩ (Ϫ3)(2) componentes de los vectores.
ϭ 6Vx Ϫ 16.

UؒV ϭ 6Vx Ϫ 16 ϭ 0, Iguale U·V a cero y despeje Vx.
Vx ϭ 2.67.

Ejemplo activo 2.14

El producto cruz U * V es perpendicular a U y perpendicular a V. Al determinar el
vector U * V en términos de sus componentes y dividirlo entre su magnitud ƒ U * V ƒ,
se pueden obtener las componentes de un vector unitario que es perpendicular a U y
perpendicular a V.

U ϫ V ϭ (UyVz Ϫ UzVy)i Ϫ (UxVz Ϫ UzVx)j Calcule U ϫ V en términos de
ϩ (UxVy Ϫ UyVx)k las componentes de los vectores.

ϭ [(2)(Ϫ4) Ϫ (Ϫ1)(Ϫ3)]i Ϫ [(3)(Ϫ4) Ϫ (Ϫ1)(5)]j
ϩ [(3)(Ϫ3) Ϫ (2)(5)]k

ϭ Ϫ11i ϩ 7j Ϫ 19k.

͉U ϫ V͉ ϭ (Ϫ11)2 ϩ (7)2 ϩ (Ϫ19)2

ϭ 23.0. Divida el vector U ϫ V
entre su magnitud.
U ϫ V ϭ Ϫ11i ϩ 7j Ϫ 19k
͉U ϫ V͉ 23.0

ϭ Ϫ0.477i ϩ 0.304j Ϫ 0.825k.

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586 Soluciones a los problemas de práctica
Ejemplo activo 3.1
Dibujo del diagrama de cuerpo libre del automóvil

Trace un bosquejo del automóvil aislado.

Complete el diagrama de cuerpo libre T
mostrando las fuerzas ejercidas sobre el
automóvil por su peso, el cable y la rampa. N
mg

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

yT ⌺Fx ϭ T Ϫ mg sen 20Њ ϭ 0,
⌺Fy ϭ N Ϫ mg cos 20Њ ϭ 0.
x Despejando T se obtiene
T ϭ mg sen 20Њ
N
20Њ ϭ (1440 kg)(9.81 m/s2)sen 20Њ
mg ϭ 4830 N.

Ejemplo activo 3.5 y

Dibujo del diagrama de cuerpo libre y aplicación del equilibrio

C

Aísle una parte del sistema de cables cerca D x
del punto A y muestre las fuerzas ejercidas de- z B TAC
bido a las tensiones en los cables. La suma
de las fuerzas debe ser igual a cero: TAD TAB

⌺F ϭ TAB ϩ TAC ϩ TAD Ϫ (981 N)j ϭ 0. A A

Ϫ(100 kg)(9.81m/s2)j

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Expresión de las fuerzas en términos de sus componentes Soluciones a los problemas de práctica 587

D y
z C

x
B
rAB (4, 0, 2) m

A (0, Ϫ6, 0) m

rAB ϭ (xB Ϫ xA)i ϩ (yB Ϫ yA)j ϩ (zB Ϫ zA)k Obtenga un vector unitario que
tenga la misma dirección que la
ϭ 4i ϩ 6j ϩ 2k (m). fuerza TAB dividiendo el vector
de posición rAB del punto A al
eAB ϭ rAB ϭ 0.535i ϩ 0.802j ϩ 0.267k. punto B entre su magnitud.
͉rAB͉
Exprese la fuerza TAB en términos
TAB ϭ TABeAB de sus componentes, escribiéndola
ϭ TAB(0.535i ϩ 0.802j ϩ 0.267k), como el producto de la tensión TAB
en el cable AB y el vector unitario
TAC ϭ TAC (Ϫ0.302i ϩ 0.905j Ϫ 0.302k), eAB. Exprese las fuerzas TAC y TAD
TAD ϭ TAD(Ϫ0.408i ϩ 0.817j ϩ 0.408k). en términos de sus componentes
usando el mismo procedimiento.

Sustituya estas expresiones en la ecuación de equilibrio

TAB ϩ TAC ϩ TAD Ϫ(981 N)j ϭ 0.
Como cada una de las componentes i, j y k debe ser igual
a cero, lo anterior resulta en tres ecuaciones:

0.535TAB Ϫ 0.302TAC Ϫ 0.408TAD ϭ 0,
0.802TAB ϩ 0.905TAC ϩ 0.817TAD Ϫ 981 N ϭ 0,
0.267TAB Ϫ 0.302TAC ϩ 0.408TAD ϭ 0.

Al resolver estas tres ecuaciones se obtiene TAB = 432 N, TAC = 574 N y
TAD = 141 N.

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588 Soluciones a los problemas de práctica
Ejemplo activo 4.1

y 40 sen 30Њ kN 40 kN

A 30Њ x Descomponga la fuerza de 40 kN en
6m 40 cos 30Њ kN sus componentes horizontal y vertical.

La magnitud del momento de la componente horizontal Calcule la suma de los momentos
respecto a A es igual a cero. La magnitud del momento de de las componentes respecto a A.
la componente vertical es (6 m)(40 sen30Њ N) ϭ 120 kN-m.
Su sentido es contrario al de las manecillas del reloj, por
lo que la suma de los momentos es
MA ϭ 120 kN-m.

Ejemplo activo 4.4

y

rAC C (7, 7, 0) pies

A F
(0, 6, 5) pies x

z B
(11, 0, 4) pies

rAC ϭ (xC Ϫ xA)i ϩ (yC Ϫ yA)j ϩ (zC Ϫ zA)k a) Aplique la ecuación (4.2) para
ϭ 7i ϩ j Ϫ 5k (pies). determinar el momento de F res-
pecto al punto A.
MA ϭ rAC ϫ F

i jk
ϭ 7 1 Ϫ5

Ϫ40 70 Ϫ40

ϭ 310i ϩ 480j ϩ 530k (pies-lb).

D ϭ ͉MA͉
͉F͉
b) Use la relación ͉MA͉ ϭ D͉F͉, donde D
(310)2 ϩ (480)2 ϩ (530)2 pies-lb es la distancia perpendicular desde A
ϭ
hasta la línea de acción de F.
90 lb
ϭ 8.66 pies.

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Ejemplo activo 4.6 Soluciones a los problemas de práctica 589

r ϭ (xA Ϫ xC)i ϩ (yA Ϫ yC)j ϩ (zA Ϫ zC)k Determine las componentes del
ϭ 4i Ϫ 2j ϩ 2k (m). vector desde el punto C hasta el
punto de aplicación de F.
MC ϭ r ϫ F
i jk Calcule el momento de F respecto
al punto C.
ϭ 4 Ϫ2 2
Ϫ2 6 3 Aplique la ecuación (4.4) para
determinar el momento de F res-
ϭ Ϫ18i Ϫ 16j ϩ 20k (kN-m). pecto al eje BC. Aunque el momen-
to de F respecto al punto C no es el
MBC ϭ (eBCؒMC)eBC mismo que el de F respecto a B,
ϭ [(0)(Ϫ18) ϩ (0.8)(Ϫ16) ϩ (Ϫ0.6)(20)]eBC sus componentes paralelas al eje
ϭ Ϫ24.8eBC (kN-m). BC son iguales.

Ejemplo activo 4.9

y

r2 P
؊F (10, 7, 3) m

(6, 6, 0) m r1

(8, 3, 0) m

F

x

M ϭ (r1 ϫ F) ϩ [r2 ϫ (ϪF)]

i jk i jk Calcule la suma de los momentos de
las dos fuerzas respecto al punto P.
ϭ Ϫ2 Ϫ4 Ϫ3 ϩ Ϫ4 Ϫ1 Ϫ3

10 Ϫ4 0 Ϫ10 4 0

ϭ 22k (N-m).

y

La magnitud del momento es 22 N-m. Si 22 N-m
se apunta el pulgar de la mano derecha en
la dirección del vector unitario k, el
sentido del momento en el plano x-y es
contrario al de las manecillas del reloj.

x

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590 Soluciones a los problemas de práctica La fuerza FЈ debe ser igual a la
suma de las fuerzas en el sistema 2.
Ejemplo activo 4.12
FЈ ϭ F El par MЈ debe ser igual a la
ϭ 20i ϩ 15j Ϫ 5k (kN). suma de los momentos respec-
to al origen debidos a las fuer-
ijk zas y momentos del sistema 2.
MЈ ϭ 4 3 Ϫ2 ϩ (Ϫ105i ϩ 110j ϩ 90k)

20 15 Ϫ5
ϭ Ϫ90i ϩ 90j ϩ 90k (kN-m).

Ejemplo activo 5.1 y 4 kN

a) Dibuje un diagrama de la viga 2m
aislada de sus soportes de pasa- 3m
dor y rodillo, y muestre las
reacciones debidas al soporte.

Ax x
B
b) Escriba las ecuaciones de equilibrio, Ay
⌺Fx ϭ Ax ϭ 0,
⌺Fy ϭ Ay ϩ BϪ 4 kN ϭ 0,

⌺Mextremo izquierdo ϭ (3 m)B Ϫ (2 m)(4 kN) ϭ 0,
y resuélvalas para obtener

Ax ϭ 0, Ay ϭ 1.33 kN, B ϭ 2.67 kN.

Ejemplo activo 5.5

y 2 kN Dibuje el diagrama de cuerpo
libre. Existen cinco reacciones
MA A B desconocidas.
x
Ax
Ay Bx
3m By

5m

⌺Fx ϭ Ax ϩ Bx ϭ 0, Escriba las ecuaciones de equilibrio.
⌺Fy ϭ Ay ϩ By Ϫ 2 kN ϭ 0,
⌺Mpunto A ϭ MA ϩ (5 m)By Ϫ (3 m)(2 kN) ϭ 0.

Existen tres ecuaciones de equilibrio independientes, por lo que la viga es está-
ticamente indeterminada y el grado de redundancia es 5 Ϫ 3 ϭ 2. No es posible
determinar ninguna de las reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio.

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Soluciones a los problemas de práctica 591

Ejemplo activo 5.7 y

Dibujo del diagrama de cuerpo libre de la barra Ay B

Aísle la barra y muestre las reacciones MAy MAx Ϫ200j (N)
ejercidas por los cables y el soporte de
bola y cuenca. MAz x
Az Ax
Aplicación de las ecuaciones de equilibrio
⌺Fx ϭ Ax ϭ 0, z Reacciones debidas al
⌺Fy ϭ Ay Ϫ 200 N ϭ 0, soporte fijo
⌺Fz ϭ Az ϭ 0.
Las sumas de las fuerzas en cada direc-
ción coordenada deben ser iguales a cero.

1΄ ΅⌺Mpunto A ϭ MAxi ϩ MAyj ϩ MAzk ϩ
2 rAB ϫ (Ϫ200j)

i jk La suma de los momentos
respecto a cualquier punto es
ϭ MAxi ϩ MAyj ϩ MAzk ϩ 0.5 0.3 0.2 igual a cero.
0 Ϫ200 0

ϭ (MAx ϩ 40)i ϩ MAyj ϩ (MAz Ϫ 100)k.

Cada una de las componentes de este vector (las sumas de los mo-
mentos respecto a los tres ejes coordenados) debe ser igual a cero,

⌺Mx ϭ MAx ϩ 40 N-m ϭ 0,
⌺My ϭ MAy ϭ 0,
⌺Mz ϭ MAz Ϫ 100 N-m ϭ 0.

Al resolver las seis ecuaciones de equilibrio se obtiene
Ax ϭ 0, Ay ϭ 200 N, Az ϭ0, MAx ϭ Ϫ40 N-m,
MAy ϭ 0, y MAz ϭ 100 N-m.

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592 Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 5.10

P
ya

La fuerza ejercida por la barra AB sobre la pla- 45Њ 100 lb x
ca debe estar dirigida a lo largo de la línea B C
entre A y B. La línea de acción del peso de la
placa es vertical, de manera que las tres fuerzas 31
sobre la placa no son paralelas. Por lo tanto,
éstas deben ser concurrentes.

pies pie

El ángulo a ϭ arctan(1/3) ϭ 18.4Њ. Aplique las ecuaciones de
⌺Fx ϭ B sen45Њ Ϫ C sena ϭ 0, equilibrio.
⌺Fy ϭ B cos45Њ ϩ C cosa Ϫ 100 lb ϭ 0.

Resolviendo se obtienen las reacciones B ϭ 35.4 lb, C ϭ 79.1 lb.

Ejemplo activo 6.1

2 kN
A

3.33 kN

C

3.33 kN B D
2 kN

y TBC x
a TBD

3.33 kN B

El ángulo a ϭ arctan(5/3) ϭ 59.0Њ.

⌺Fx ϭ TBCsena ϩ TBD ϩ 3.33 kN ϭ 0,
⌺Fy ϭ TBCcosa ϭ 0.

Resolviendo se obtiene Dibuje el diagrama de
TBC ϭ 0 y TBD ϭ Ϫ3.33 kN. La fuerza axial en cuerpo libre de la junta
el elemento BC es cero y la fuerza axial en el B y aplique las ecua-
elemento BD es 3.33 kN en compresión o ciones de equilibrio.

BC: cero, BD: 3.33 kN (C).

(Observe que la junta C es una de las “juntas

especiales” que se analizaron. Mediante

observación, podría haberse determinado que
TBC ϭ 0).

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Soluciones a los problemas de práctica 593

Ejemplo activo 6.3

ABC DE F

1m

GH I J KL M
y 100 kN

Corte los elementos DE, DK y JK
mediante planos y dibuje el diagra-
ma de cuerpo libre de la sección.

TDE E F Mx
TDK L 100 kN

45Њ

TJK K

⌺Fx ϭ ϪTDE Ϫ TDK cos45Њ Ϫ TJK ϭ 0, Aplique las ecuaciones de
⌺Fy ϭ TDK sen45Њ Ϫ 100 kN ϭ 0, equilibrio.

⌺Mpunto K ϭ (1 m)TDE Ϫ (2 m)(100 kN) ϭ 0.

Resolviendo se obtiene TDE ϭ 200 kN, TDK ϭ 141 kN,
y TJK ϭ Ϫ300 kN. Las cargas axiales son

DE: 200 kN (T), DK: 141 kN (T),
JK: 300 kN (C).

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594 Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 6.5

Se pueden determinar las fuerzas axiales en los elementos AB y AC analizando la
junta A.

1200 lb

TAB TAD
TAC

Dibuje el diagrama de cuerpo
libre de la junta A.

y 1200 lb
A (5, 3, 2) pies
B
440 lb D (10, 0, 0) pies
z x

360 lb
C (6, 0, 6) pies

400 lb

rAB ϭ Ϫ5i Ϫ 3j Ϫ 2k (pies). Divida el vector de posición de A
a B entre su magnitud para obtener
eAB ϭ rAB ϭ Ϫ0.811i Ϫ 0.487j Ϫ 0.324k. un vector unitario eAB que apunta
͉rAB͉ desde A hacia B. Exprese la fuerza
axial en el elemento AB en términos
TAB eAB ϭ ϪTAB (0.811i ϩ 0.487j ϩ 0.324k), de sus componentes escribiéndola
como TAB eAB. De la misma manera,
TAC eAC ϭ TAC (0.196i Ϫ 0.588j ϩ 0.784k), exprese las fuerzas axiales en los
elementos AC y AD en términos de
TAD eAD ϭ TAD (0.811i Ϫ 0.487j Ϫ 0.324k). sus componentes.

TAB eAB ϩ TAC eAC ϩ TADeAC Ϫ (1200 lb)j ϭ 0. Aplique el
equilibrio.
Cada una de las componentes i, j y k de esta ecuación
debe ser igual a cero, de donde resultan las tres ecuaciones

Ϫ0.811TAB ϩ 0.196TAC ϩ 0.811TAD ϭ 0,
0.487TAB ϩ 0.588TAC ϩ 0.487TAD ϩ 1200 lb ϭ 0,

Ϫ0.324TAB ϩ 0.784TAC Ϫ 0.324TAD ϭ 0.
Resolviendo se obtiene TAB ϭ Ϫ904 lb, TAC ϭ Ϫ680 lb,
y TAD ϭ Ϫ740 lb. Las fuerzas axiales son

AB: 904 lb (C), AC: 680 lb (C).

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Soluciones a los problemas de práctica 595

Ejemplo activo 6.6

Ay B 200 N-m
Ax A 1000 mm
C
400 mm Cx

Cy

⌺Fx ϭ Ax ϩ Cx ϭ 0, Dibuje el diagrama de cuerpo
⌺Fy ϭ Ay ϩ Cy ϭ 0, libre de todo el bastidor y
aplique las ecuaciones de
⌺Mpunto A ϭ Ϫ200 N-m ϩ (0.4 m)Cx ϩ (1 m)Cy ϭ 0. equilibrio.

A partir de estas ecuaciones no se puede determinar
ninguna reacción. El diagrama de cuerpo libre de todo
el bastidor es estáticamente indeterminado.

Ay By
Ax A B Bx

600 mm

Ay B By Dibuje los diagramas
Ax A 200 N-m Bx B de cuerpo libre de los
elementos individuales.
400 mm
200 N-m

C 400 mm C

Cx Cx
Cy Cy

⌺Fx ϭ Ax Ϫ Bx ϭ 0, Aplique el equilibrio al
⌺Fy ϭ Ay Ϫ By ϭ 0, elemento AB.

⌺Mpunto A ϭϪ (0.6 m)By ϭ 0.

Resolviendo se obtiene Ay ϭ 0, By ϭ 0,
y Ax ϭ Bx. (Observe que AB es un elemen-
to de dos fuerzas. Estos resultados podrían
haberse obtenido por observación.)

⌺Fx ϭ Bx ϩ Cx ϭ 0,

⌺Fy ϭ By ϩ Cy ϭ 0,

⌺Mpunto B ϭ Ϫ200 N-m ϩ (0.4 m)Cx ϩ (0.4 m)Cy ϭ 0. Aplique el equilibrio al elemento BC.

Como ya se había determinado que By ϭ 0, estas ecuacio-

nes pueden resolverse para Bx, Cx y Cy. Los resultados son
Bx ϭ Ϫ500 N, Cx ϭ 500 N, y Cy ϭ 0, con lo que se

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596 Soluciones a los problemas de práctica
Ejemplo activo 7.1

y

b 1 h 2 x3 b dA
ydA 1 h x h xdx 1 hx
΂ ΃΂ ΃ ΂ ΃ ΄ ΅y ϭLA 2b x
ϭ L0 2 b b ϭ 2b 3 0 ϭ 1 h.
h x2 b 3 x
b
dA h xdx El área de la franja es dA ϭ (h/b)xdx.
΄ ΅LA L0 b La altura del punto medio de la tira es
b 20 y ϭ (1/2)(h/b)x. Use estas expresiones
para evaluar la ecuación (7.7).

Ejemplo activo 7.3 y 1 23
1 (2R)
Elección de las partes 3 R
Divida el área en partes sencillas. Se x
muestran las coordenadas y de los
centroides de las partes. bc

Determinación de los valores para las partes
Tabule los términos necesarios para aplicar la ecuación (7.9)2.

yi Ai yiAi

1 1 ΄ ΅΄ ΅1
3 2 3
Parte 1 (triángulo) (2R) b(2R) (2R) 1
b(2R)

2

Parte 2 (rectángulo) R c(2R) R[c(2R)]

1 pR2 ΂ ΃R 1
Parte 3 (semicírculo) R 2 2 pR2

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y ϭ y1A1 ϩ y2A2 ϩ y3A3 Soluciones a los problemas de práctica 597
A1 ϩ A2 ϩ A3
Cálculo del centroide
1 1 b(2R) ϩ R[c(2R)] ϩ R 1 pR2 Use la ecuación (7.9)2 para
3 2 2. determinar la componente
΄ ΅΄ ΅ ΂ ΃ϭ(2R) y del centroide.

1 b(2R) ϩ c(2R) ϩ 1 pR2
22

Ejemplo activo 7.5 Escriba w como una función
lineal arbitraria de x.
(a)

w ϭ ax ϩ b.

0 ϭ a(0) ϩ b, Use los valores conocidos de w en x ϭ 0 y en
100 N/m ϭ a(12 m) ϩ b. x ϭ 12 m para determinar las constantes a y b.
Resolviendo se obtiene
a ϭ (100/12) N/m2 y b ϭ 0. Por lo tanto
w ϭ100 x N/m.

12

(b)

F ϭ wdx Aplique la ecuación (7.10) para determinar la
LL fuerza hacia abajo ejercida por la carga distribuida.

ϭ 12 100 xdx
L0 12

ϭ 600 N.

M ϭ xw dx Aplique la ecuación (7.11) para determinar el mo-
LL mento alrededor del origen, con sentido contrario
al de las manecillas del reloj, ejercido por la carga
ϭ 12 100 x2 dx distribuida.
L0 12

ϭ 4800 N-m.

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598 Soluciones a los problemas de práctica
Ejemplo activo 7.8

y

El volumen de un disco

r de grosor dx es
x
dV ϭ pr2dx

1ϩ 1x 2
΂ ΃ϭ p 4
dx.

x dx
4 pies

4 1 2
x
xp dx
x dV΂΂ ΃΃x ϭ 1ϩ
LV L0 4 Aplique la ecuación
ϭ 1 2 ϭ 2.43 pies. (7.15)1.
dV 4
LV 1ϩ x dx
p

L0 4

Ejemplo activo 7.11 y x

Elección de las partes 12
Divida el volumen en partes sencillas. Se
muestran las coordenadas x de los cen- 1b
troides de las partes. Vea el apéndice C. 2

Determinación de los valores para las partes bϩ 3R
Tabule los términos necesarios para aplicar la ecuación (7.17)1. 8

xi Vi xiVi

Parte 1 (cilindro) 1 b pR2b ΂ ΃1 b (pR2b)
Parte 2 (semiesfera) 2 2

3 2 3 2 pR3
8 3 8 3
b ϩ R pR3 ϩ΂ ΃ ΂ ΃bR

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x ϭ x1V1 ϩ x2V2 Soluciones a los problemas de práctica 599
V1 ϩ V2
Cálculo del centroide
1 3 2 pR3 Use la ecuación (7.17)1 para
R determinar la componente
΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃b x del centroide.
΂ ΃ϭ 2 pR2b ϩ b ϩ
83
.
pR2b ϩ 2 pR3
3

Ejemplo activo 7.14

Haciendo girar esta área triangular alre- y
dedor del eje x se genera el volumen del
cono. Se muestra la coordenada y del _ 1 R
centroide del área. El área del triángulo es yT ϭ 3R x

A ϭ 1 hR. El volumen del cono es
2

V ϭ 2pyT A ϭ 1 phR2. h
3

Ejemplo activo 7.16

BB

1m

A

Ax x
Ay (80)(9.81) N

2(1 m)
p

⌺Fx ϭ Ax Ϫ B ϭ 0, Coloque el peso de la
barra en su centro de
⌺Fy ϭ Ay Ϫ (80)(9.81) N ϭ 0, masa (el centroide de su
eje; vea el Apéndice B.2)
2(1 m) y aplique el equilibrio.
⌺Mpunto A ϭ (1m)B Ϫ p [(80)(9.81) N] ϭ 0.
Resolviendo se obtiene Ax ϭ 500 N, Ay ϭ 785 N, y
B ϭ 500 N.

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600 Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 7.18

El centro de masa coincide con
el centroide del volumen de la

barra, por lo tanto Centro de masa de la barra 1.

y1 ϭ 1 (240 mm) ϭ 120 mm.
2

La coordenada y del centroide del

volumen es Centro de masa de la barra 2.

y2 ϭ 1 (80 mm) ϭ 40 mm.
2

y ϭ y1m1 ϩ y2m2
m1 ϩ m2

(120 mm)(10.8 kg) ϩ (40 mm)(5.99 kg) Aplique la ecuación (7.27)2.
ϭ 10.8 kg ϩ 5.99 kg

ϭ 91.4 mm.

Ejemplo activo 8.1

y

dAs x
dy

f(x)
y

x
dx

(Ixy)franjaϭ Lfranja xydAs Considere que dAs es un elemento de la
franja vertical dA y aplique la ecuación (8.5).
f(x)

ϭ (xydx)dy
L0

ϭ 1 [f(x)]2xdx.
2

Ixy ϭ b 1 [f(x)]2xdx
2
L0 Integre la expresión para (Ixy)franja con
respecto a x desde x ϭ 0 hasta x ϭ b a
b1 hx 2
΂ ΃ϭ fin de determinar Ix para el triángulo.
L0 2 b xdx

ϭ 1 b2h2.
8

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Soluciones a los problemas de práctica 601

Ejemplo activo 8.3 y yЈ

A partir del Apéndice B, el producto de inercia del 0.5 m
área 1 en términos del sistema coordenado xЈyЈ es
1
(IxЈyЈ)1 ϭ 0. xЈ
Por lo tanto, el producto de inercia del área 1
respecto al sistema coordenado xy es 2m
x
(Ixy)1 ϭ 0 ϩ (0.5 m)(2 m)(1 m)(4 m) ϭ 4 m4.
Aplique la ecuación (8.12)
El producto de inercia del área 2 en términos del al área 1.
sistema coordenado xЈyЈ es
y
(IxЈyЈ)2 ϭ 0.
El producto de inercia del área 2 en términos del yЈ
sistema coordenado xy es 2m

(Ixy)2 ϭ 0 ϩ (2 m)(0.5 m)(2 m)(1 m) ϭ 2 m4. 2
xЈ
El producto de inercia del área compuesta, x
en términos del sistema coordenado xy, es
0.5 m
Ixy ϭ (Ixy)1 ϩ (Ixy)2
ϭ 4 m4 ϩ 2 m4 Aplique la ecuación (8.12)
ϭ 6 m4. al área 2.

Sume los valores para las partes.

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602 Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 8.6

tan 2up ϭ 2Ixy ϭ 2(6) ϭ 1.71. Determine up a partir de la
Iy Ϫ Ix 16 Ϫ 9 ecuación (8.26).

De aquí se obtiene up ϭ 29.9Њ.

y
yЈ

xЈ
29.9Њ

x

IxЈ ϭ Ix ϩ Iy ϩ Ix Ϫ Iy cos 2u Ϫ Ixysen 2u
2 2

9 ϩ 16 9 Ϫ 16
2 2
΂ ΃ ΂ ΃ϭ ϩ cos[2(29.9Њ)] Ϫ (6)sen[2(29.9Њ)]

ϭ 5.55 m4, Calcule los momentos de
inercia principales a
IyЈ ϭ Ix ϩ Iy Ϫ Ix Ϫ Iy cos 2u ϩ Ixysen 2u partir de las ecuaciones
2 2 (8.23) y (8.24).

9 ϩ 16 9 Ϫ 16
2 2
΂ ΃ ΂ ΃ϭ Ϫ cos[2(29.9Њ)] ϩ (6)sen[2(29.9Њ)]

ϭ 19.4 m4.

Ejemplo activo 8.8

Coloque el punto 1Ј en uno de los puntos donde el círcu- 10 1
2up
lo de Mohr interseca al eje horizontal. Los momentos de 0 1Ј
inercia principales son IxЈ ϭ 7.5 pies4, IyЈ ϭ 24.5 pies4. El (IxЈ, IxЈyЈ) 2Ј
ángulo medido en sentido contrario al de las manecillas (IyЈ, ϪIxЈyЈ)

del reloj desde el punto 1 hasta el punto 1Ј es 2up ϭ 135Њ, 2
por lo que up ϭ 67.5Њ. Ϫ10

0 10 20 30

y xЈ

up ϭ 67.5Њ

yЈ

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Ejemplo activo 8.9 Soluciones a los problemas de práctica 603

Con base en el Determine el momento de
inercia del área de la placa
Apéndice B, respecto al eje y.

Iy ϭ 1 hb3. Aplique la ecuación (8.30).
4

El momento de inercia de la

placa respecto al eje y es

Ieje y ϭ m Iy
A

m 1 hb3
1 4
΂ ΃ϭ
bh
2

ϭ 1 mb2.
2

Ejemplo activo 8.11

2

Trate al objeto como a un cuerpo compuesto por ( )l2ϩ 1 2 1/2
las barras 1 y 2. Se muestra la distancia entre el 2l
eje LO y los ejes que pasan por los centros de
masa de las dos barras. 1
1
LO 2l
O

(IO)1 ϭ I ϩ d2m

΂ ΃ϭ 1 ml2 ϩ 12 Aplique el teorema de los
lm ejes paralelos a la barra 1.
12 2

ϭ 1 ml2.
3

(IO)2 ϭ I ϩ d2m

12
l
΄ ΂ ΃ ΅ϭ 1 ml2 ϩ Aplique el teorema de los
l2 ϩ m ejes paralelos a la barra 2.
12 2

ϭ 4 ml2.
3

IO ϭ (IO)1 ϩ (IO)2

ϭ 1 ml2 ϩ 4 ml2 Sume los resultados.
33

ϭ 5 ml2.

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604 Soluciones a los problemas de práctica y

Ejemplo activo 9.1 Tx

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja. Se supo- W N
ne que el deslizamiento de la caja hacia arriba de la f ϭ msN
rampa es inminente, por lo que la dirección de la fuer-
za de fricción sobre la caja es hacia abajo de la rampa Aplique el equilibrio.
y su magnitud es msN.
a
⌺Fx ϭ T Ϫ N sen 20Њ Ϫ msN cos 20Њ ϭ 0,
⌺Fy ϭ N cos 20Њ Ϫ msN sen 20ЊϪ W ϭ 0. N N
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene T ϭ 161 lb. msN msN

Ejemplo activo 9.4

Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cuña supo-
niendo que F ϭ 0 y que el deslizamiento de la cuña
fuera del tronco es inminente.

La suma de las fuerzas en la dirección vertical es

΂ ΃ ΂ ΃a a ϭ 0.
2
2N sen
2
Ϫ 2msN cos

La cuña está en equilibrio si Aplique el
equilibrio.
΂ ΃ ΂ ΃ms ϭ tana10Њ
2 ϭ tan 2 ϭ 0.0875.

Éste es el coeficiente de fricción estática mínimo nece-

sario para que la cuña permanezca en su lugar en el

tronco, por lo que ésta no se deslizará hacia fuera.

Ejemplo activo 9.5 Aplique la ecua-
ción (9.11).
La fuerza F ϭ 200 lb, la pendiente de la rosca es
a ϭ 1.14Њ, y el ángulo de fricción es

uk ϭ arctan mk ϭ arctan (0.22) ϭ 12.4Њ.
Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.11),

M ϭ rF tan(uk Ϫ a)
ϭ (1.6 pulg)(200 lb) tan(12.4Њ Ϫ 1.14Њ)
ϭ 63.8 pulg-lb.

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Ejemplo activo 9.6 Soluciones a los problemas de práctica 605
M ϭ (6 pulg)(W Ϫ T).
La polea se mueve en el sentido contrario al de las manecillas
del reloj. Exprese el par que actúa sobre la polea en dirección
inversa a la de las manecillas del reloj en términos de T y W.

El ángulo de fricción cinética es Aplique la ecua-
uk ϭ arctan mk ϭ arctan(0.2) ϭ 11.3Њ. ción (9.12).

La ecuación (9.12) es
M ϭ rF sen uk:
(6 pulg)(W Ϫ T) ϭ (0.5 pulg) (W ϩ T sen 45Њ)2 ϩ (T cos 45Њ)2 sen11.3Њ.

Estableciendo W ϭ 1000 lb y resolviendo se obtiene
T ϭ 970 lb.

Ejemplo activo 9.7

Los radios ro ϭ 1.75 pulg y ri ϭ 0.5 pulg. Determine el ángulo a.
a ϭ arctan[b/(ro Ϫ ri)] ϭ arctan[5/(1.75 Ϫ 0.5)] ϭ 76.0Њ.
Aplique la ecua-
M ϭ 2mkF ro3 Ϫ r3i ción (9.13).
3 cos a ro2 Ϫ r2i

(1.75 pulg)3 Ϫ (0.5 pulg)3
(1.75 pulg)2 Ϫ (0.5 pulg)2
2(0.18)(200 lb)

΄ ΅ϭ 3 cos 76.0Њ

ϭ 184 pulg-lb.

Ejemplo activo 9.9 Aplique la ecuación (9.17) al cilindro izquier-
T ϭ Wemsb ϭ (100 lb)e(0.2)(p/2) ϭ 137 lb. do. Suponga que el deslizamiento de la cuer-
da en la dirección de la fuerza T es inminente.
F ϭ Te(0.4)(p/2) ϭ (137 lb)e(0.4)(p/2) ϭ 257 lb.
Aplique la ecuación (9.17) al cilindro derecho.
Suponga que el deslizamiento de la cuerda en
la dirección de la fuerza F es inminente.

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606 Soluciones a los problemas de práctica
Ejemplo activo 10.1

y

VC 1F
2L

PC x
MC C 3
4F

3
4L

⌺Fx ϭ ϪPC ϭ 0,

3 Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la parte
⌺Fy ϭ VC Ϫ F ϩ 4 F ϭ 0, de la viga a la derecha de C (observe las direc-
ciones positivas definidas de PC, VC, y MC.)
1 3 3 Aplique el equilibrio para determinar las
L L F fuerzas y el momento internos.
΂ ΃ ΂ ΃΂ ΃⌺MpuntoC ϭ ϪMC Ϫ
2 Fϩ 4 4 ϭ 0.

Resolviendo se obtiene PC ϭ 0, VC ϭ 1 F, y MC ϭ 1 LF.
4 16

Ejemplo activo 10.3

a) Pase un plano a través de la viga en
una posición arbitraria x entre B y C.
El diagrama de cuerpo libre más senci-
llo se obtiene aislando la parte de la
viga a la derecha del plano.

y 40 kN/m 60 kN

A B x
100 kN 80 kN C

y
V 60 kN

M
Px

C
x 4Ϫx

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⌺Fx ϭ ϪP ϭ 0, Soluciones a los problemas de práctica 607
⌺Fy ϭ V ϩ 60 ϭ 0,
Aplique el equilibrio para
⌺Mextremo izquierdo ϭ ϪM ϩ 60(4 Ϫ x) ϭ 0. determinar V y M.
Resolviendo se obtiene
60 kN
V ϭ Ϫ60 kN 2 Ͻ x Ͻ 4 m. x
M ϭ 60(4 Ϫ x) kN-m
C
y
x
A 40 kN/m
100 kN
B
V 80 kN
100 kN
2m 2m
20 kN
0

Ϫ 60 kN

M
120 kN-m

0x

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608 Soluciones a los problemas de práctica

Ejemplo activo 10.4 V B x
100 kN C
No se aplica ningún par en A, por lo 20 kN 2m 2m
que el momento flector en A es igual
a cero. La fuerza cortante entre A y A x
B es V ϭ 100 Ϫ 40x kN. Con esta Ϫ60 kN
expresión, la ecuación (10.6) puede
integrarse para determinar el mo- M
mento flector entre A y B: 120 kN-m

Mx

dM ϭ (100 Ϫ 40x)dx :
L0 L0

M ϭ 100x Ϫ 20x2 kN-m.
El valor de M en B es

100(2) Ϫ 20(2)2 ϭ 120 kN-m.

La fuerza cortante entre B y C es V B x
V ϭ Ϫ60 kN. Como V es constante, la 100 kN C
ecuación (10.6) indica que la pendien- 20 kN 2m 2m
te del momento flector es constante: el
diagrama es una línea recta. Debido a A Entre B y C,
que no se aplica ningún par sobre la vi- Ϫ60 kN
ga en C, el momento flector en C es dM ϭ const.
igual a cero. Por lo tanto, M disminuye M dx
linealmente desde 120 kN-m en B hasta 120 kN-m
cero en C. Este resultado también puede
obtenerse integrando la ecuación (10.6):

Mx MC ϭ 0
x
L120 dM ϭ Ϫ60dx :
L2
4m
M ϭ 240 Ϫ 60x kN-m.

Ejemplo activo 10.6 Aplique la ecuación (10.11) para
determinar la tensión máxima.
La tensión está dada por la ecuación (10.11) en
términos de la tensión en el punto más bajo y la
coordenada horizontal respecto al punto más
bajo. A partir de la ecuación (10.11), resulta
claro que la tensión máxima ocurre en la distan-
cia horizontal máxima desde el punto más bajo,
que en este ejemplo es el punto de unión izquier-
do. La tensión máxima es

T ϭ T0 1 ϩ a2x2L

ϭ (686 lb) 1 ϩ (0.146 piesϪ1)2 (Ϫ23.4 pies)2

ϭ 2440 lb.

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Soluciones a los problemas de práctica 609

Ejemplo activo 10.8 Aplique la ecua-
ción (10.21)
La tensión máxima ocurre donde la distan-
cia horizontal desde el punto más bajo
hasta el punto más alto, en x ϭ 10 m:

T ϭ T0 coshax
ϭ (50 N)cosh[(0.196 mϪ1)(10 m)]
ϭ 181 N.

Ejemplo activo 10.9

Tv 1 m
Th

El ángulo a es 1m T2
a
h2 Ϫ 1 m
1m m1g
΂ ΃a ϭ arctan

΂ ΃ϭ arctan 1.25 m Ϫ 1 m Corte el cable en el punto de
1m unión izquierdo y en un pun-
to perteneciente al segmento
ϭ 14.0Њ. 2 y sume las fuerzas en la
dirección horizontal.
La suma de las fuerzas horizontales es
T2cosa Ϫ Th ϭ 0,

de donde resulta

T2 ϭ Th
cosa

ϭ 131 N
cos14.0Њ

ϭ 135 N.

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610 Soluciones a los problemas de práctica z
2 (2 pies) ϭ 1.33 pies
Ejemplo activo 10.10 3

La presión manométrica pg ϭ gx au- 2 pies
menta linealmente desde pg ϭ 0 en la
superficie del agua pg ϭ (2 pies)g en la
parte baja de la compuerta. Se muestra
el centroide de la distribución.

x (2 pies) g

F ϭ 1 (2 pies)[(2pies)(62.4 lb/pies2)](3 pies) Determine la fuerza total ejercida por la
2 presión manométrica calculando el
“volumen” de la distribución de presión.
ϭ 374 lb. El “volumen” es el producto del “área”
del triángulo en la figura anterior por la
dimensión de la compuerta que es per-
pendicular a la página.

B
1 pie

z

100 lb 1.33 pies
2 pies 374 lb

Az
Ax

x

⌺Fx ϭ Ax ϩ 100 lb ϭ 0, Dibuje el diagrama de cuerpo
⌺Fz ϭ Az ϩ B Ϫ 374 lb ϭ 0, libre de la compuerta,colocan-
do la fuerza total ejercida por
⌺Meje y ϭ (1 pie)B Ϫ (2 pies)Az ϩ (1.33 pies)(374 lb) ϭ 0. la presión manométrica en el
centro de presión. Aplique
Resolviendo se obtiene Ax ϭ Ϫ100 lb, Az ϭ 291 lb, y el equilibrio para determinar
B ϭ 83.2 lb. las reacciones en A y B.

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Soluciones a los problemas de práctica 611

Ejemplo activo 11.1 Determine el trabajo virtual.

El trabajo realizado por la fuerza de 400 N es (400 sen 40Њ N)(1 m)da.
La barra BC experimenta una rotación da en el sentido de las manecillas del
reloj, por lo que el trabajo realizado por el par es Ϫ(500 N-m)da. El trabajo
efectuado por la reacción Cy es ϪCy 2(2 cos 40Њ)da. El trabajo virtual total es

dU ϭ (400 sen 40Њ N)(1 m)da Ϫ (500 N-m)da ϪCy 2(2 cos 40Њ)da ϭ 0.

Resolviendo se obtiene Cy ϭ Ϫ79.3 N.

Ejemplo activo 11.3

La derivada de la energía potencial
con respecto a la coordenada x es

dV Determine si la segunda derivada de V es
dx ϭ kx Ϫ W. positiva (estable) o negativa (inestable).

La segunda derivada es

d2V ϭ k,
dx2

que es positiva. La posición de

equilibrio es estable.

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Respuestas a los
problemas con número par

Capítulo 1 2.54 ƒ FA ƒ = 68.2 kN.
2.56 ƒ FAC ƒ = 2.11 kN, ƒ FAD ƒ = 2.76 kN.
1.2 (a) e = 2.7183; (b) e2 = 7.3891; (c) e2 = 7.3892.
1.4 17.8 m2. 2.58 x = 75 - 0.880s, y = 12 + 0.476s.
1.6 La llave de 1 pulg se ajusta a la tuerca de 25 mm.
1.8 (a) 267 mi/h; (b) 392 pies/s. 2.60 r = (0.814s - 6)i + (0.581s + 1)j (m).
1.10 310 N-m.
1.12 g = 32.2 pies/s2. 2.62 ez = 2 o bien ez = - 23.
3

2.64 Ux = 3.61, Uy = - 7.22, Uz = - 28.89

1.14 (a) 0.0208 m2; (b) 32.2 pulg2. o bien Ux = -3.61, Uy = 7.22, Uz = 28.89.
1.16 2.07 * 106 Pa. 2.66 (a) ƒ U ƒ = 7, ƒ V ƒ = 13;

1.18 27.4 lb/pie. (b) ƒ 3U + 2V ƒ = 27.5.

1.20 (a) kg-m/s; (b) 2.70 slug-pie/s. 2.68 (a) cos ux = 0.333, cos uy = -0.667,

1.22 (a) 0.397 kg; (b) 0.643 N. cos uz = -0.667;
1.24 (a) 4.60 * 1019 slugs; (b) 6.71 * 1020 kg. (b) e = 0.333i - 0.667j - 0.667k.

1.26 163 lb. 2.70 F = - 0.5i + 0.2j + 0.843k.

1.28 32.1 km. 2.72 rBD = - i + 3j - 2k 1m2, ƒ rBD ƒ = 3.74 m.
1.30 345,000 km. 2.74 eCD = - 0.535i + 0.802j + 0.267k.
2.76 F = 300i + 477j + 205k (lb).

Capítulo 2 2.78 (a) ƒ rAB ƒ = 16.2 m;
(b) cos ux = 0.615, cos uy = -0.492,
2.2 ƒ FAB + FAC ƒ = 146 kN, la dirección es a 32° sobre la cos uz = -0.615.
horizontal.
2.80 rAR: cos ux = 0.667, cos uy = 0.667,
2.4 ƒ FA + FB + FC ƒ = 83 N. cos uz = 0.333. rBR: cos ux = - 0.242,
2.6 ƒ rAC ƒ = 181 mm. cos uy = 0.970, cos uz = 0.
2.8 ƒ FB ƒ = 86.6 N, ƒ FC ƒ = 50.0 N.
2.10 ƒ L ƒ = 453 lb, ƒ D ƒ = 211 lb. 2.82 h = 8848 m 129,030 pies2.
2.12 ƒ FBA ƒ = 174 lb.
2.14 ƒ rBC ƒ = 390 m, a = 21.2°. 2.84 ƒ FA + FB ƒ = 217 lb.
2.18 Fy = - 102 MN. 2.86 F = 474i + 516j + 565k (N).
2.20 ƒ F ƒ = 447 kip.
2.22 Vx = 16, Vy = 12 o bien Vx = -16, Vy = -12. 2.88 (a) eBC = - 0.286i - 0.857j + 0.429k;
(b) F = - 2.29i - 6.86j + 3.43k 1kN2.

2.90 ƒ F ƒ = 424 lb.

2.92 259 lb.

2.24 (a) F = 56.4i + 20.5j (lb); (b) 97.4 lb. 2.94 ƒ FAC ƒ = 1116 N, ƒ FAD ƒ = 910 N.
2.96 T = - 15.4i + 27.0j + 7.7k 1lb2.
2.26 rAD = - 1.8i - 0.3j 1m2, ƒ rAD ƒ = 1.825 m. 2.98 T = - 41.1i + 28.8j + 32.8k 1N2.
2.28 rAB - rBC = i - 1.73j 1m2. 2.100
2.30 (a) rAB = 48i + 15j 1pulg2; 2.102 32.4°.

(b) rBC = -53i + 5j 1pulg2; ƒ V ƒ = 0 o bien V es perpendicular a U.

(c) ƒ rAB + rBC ƒ = 20.6 pulg. 2.104 Ux = 2.857, Vy = 0.857, Wz = - 3.143.
2.32 (a) rAB = 52.0i + 30j 1mm2; 2.108 u = 62.3°.

(b) rAB = - 42.4i - 42.4j 1mm2. 2.110 u = 53.5°.

2.34 xB = 785 m, yB = 907 m o bien xB = 225 m, 2.112 14.0 i + 11.2j - 8.40k (N).

yB = 1173 m. 2.114 (a) 42.5°; (b) -423j + 604k 1lb2.
2.36 eCA = 0.458i - 0.889j. 2.116
2.38 e = 0.806i + 0.593j. Fp = 5.54j + 3.69k 1N2,
2.118 Fn = 10i + 6.46j - 9.69k 1N2.
2.40 F = - 937i + 750j 1N2. 2.120 Tn = - 37.1i + 31.6j + 8.2k 1N2.
2.122 Fp = - 0.1231i + 0.0304j - 0.1216k 1lb2.
2.42 14,500 lb. 2.124 vp = - 1.30i - 1.68j - 3.36k 1m/s2.
2.126 (a) U * V = 44i + 56j - 16k.
2.44 ƒ FBA ƒ = 802 N.
2.46 ƒ FA ƒ = 1720 lb, a = 33.3°. 2180i + 1530j - 1750k (pie-lb).
2.48 57.9° … a … 90°.

2.50 ƒ FA ƒ = 10 kN, ƒ FD ƒ = 8.66 kN. 2.128 ƒ V ƒ = 0 o bien V es paralelo a U.

www.FreeLibros.org2.52 ƒLƒ = 214lb, ƒDƒ = 85.4lb.
2.130 (a), (c) U * V = - 51.8k; (b), (d) V * U = 51.8k.
613

614 Respuestas a los problemas con número par

2.134 (a) rOA * rOB = - 4i + 36j + 32k 1m22; 3.64 TAB = 405 lb, TAC = 395 lb, TAD = 103 lb.
(b) -0.083i + 0.745j + 0.662k 3.66 TAB = 1.54 lb, TAC = 1.85 lb.
2.136 3.68 Dos en B, tres en C, y tres en D.
2.138 o bien 0.083i - 0.745j - 0.662k. 3.70 TAB = 9390 lb, TAC = 5390 lb, TAD = 10,980 lb.
2.140 3.72 D = 1176 N, TOA = 6774 N.
2.144 rAB * F = -2400i + 9600j + 7200k 1pie-lb2. 3.74 TBC = 1.61 kN, TBD = 1.01 kN.
2.146 rCA * T = - 4.72i - 3.48j - 7.96k 1N-m2. 3.76 TEF = TEG = 738 kN.
2.148 xB = 2.81 m, yB = 6.75 m, zB = 3.75 m. 3.78 (a) La tensión = 2.70 kN;
2.150 1.8 * 106 mm2.
2.152 (b) La fuerza ejercida por la barra = 1.31i - 1.31k (kN).
2.154 Uy = - 2. 3.80 TAB = 357 N.
2.156 3.82 F = 36.6 N.
2.158 ƒ A ƒ = 1110 lb, a = 29.7°. 3.84 W = 25.0 lb.
2.160 3.86 (a) 83.9 lb; (b) 230.5 lb.
ƒ E ƒ = 313 lb, ƒ F ƒ = 140 lb. 3.88 T = mg>26.
2.162 3.90 F = 162.0 N.
eAB = 0.625i - 0.469j - 0.625k. 3.92 TAB = 420 N, TAC = 533 N, ƒ FS ƒ = 969 N.
2.164 Fp = 8.78i - 6.59j - 8.78k 1lb2. 3.94 N = 2580 lb, f = 995 lb.
2.166 rBA * F = -70i + 40j - 100k 1pie-lb2. 3.96 TAC = 16 .7 lb, TAD = 17 .2 lb, TAE = 9 .21 lb.
(a), (b) 686i - 486j - 514k 1pie-lb2. 3.98 Fuerza normal = 12.15 kN, fuerza de fricción = 4.03 kN.

(a) F = 139i + 58.2j + 80k (lb); (b) ux = 35.5°, Capítulo 4
uy = 70°, uz = 62.0°.
Fp = 1.29i - 3.86j + 2.57k 1kN2,
Fn = - 1.29i - 2.14j - 2.57k 1kN2.
rAG * W = - 16.4i - 82.4k 1N-m2.
rBC * T = 33.3i - 125j - 183k 1N-m2.

Capítulo 3 4.2 134 N-m.
4.4 F = 36.2 N.

3.2 F2 = 4.77 lb, a = 35.2°. 4.6 25.0 kN-m en el sentido de las manecillas del reloj.

3.4 TAB = TAC = 1.53 kN. 4.8 L = 2.4 m.

3.6 T = 785 N, P = 823 N. 4.10 15.8° … a … 37.3°.

3.8 k = 1960 N/m, mA = 4 kg, mB = 6 kg. 4.12 0.961 kN-m en sentido contrario al de las manecillas del

3.10 (a) ƒ Ngrúa ƒ = 197 kN, ƒ fgrúa ƒ = 0.707 kN; reloj.

(b) ƒ Nbloque ƒ = 3.22 kN, ƒ fbloque ƒ = 0.707 kN; 4.14 MS = 611 pulg-lb.
3.12 (a) ƒ N ƒ = 11.06 kN, ƒ f ƒ = 4.03 kN; 4.16 MP = 298 N-m.
4.18 410 N-m en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
(b) a = 31.0°.

3.14 (a) 254 lb; (b) 41.8°. 4.20 (a) FB = 37.5 lb, FC = 22.5 lb, FD = 26.0 lb;
3.16 5.91 kN. (b) Cero.

3.18 (a) 128 N; (b) 98.1 N. 4.22 (a) A = 56.6 lb, B = 24.4 lb, C = 12.2 lb;

3.20 Tizquierdo = 299 lb, Tderecho = 300 lb. (b) Cero.

3.22 188 lb. 4.24 640 lb.

3.24 (a) 66.1 lb; (b) 12.3 lb. 4.26 M = 2.39 kN-m.

3.26 TAB = 2.75 kN, TBC = 2.06 kN. 4.28 (a) Ax = 18.1 kN, Ay = -29.8 kN, B = -20.4 kN;
3.28 La tensión en el cable superior es de 0.828W, la tensión (b) Cero.

en el cable inferior es de 0.132W. 4.30 (a) Ax = 300 lb, Ay = 240 lb, B = 280 lb;
(b) Cero.
3.30 TAB = 1.21 N, TAD = 2.76 N.
3.32 m = 12.2 kg. 4.32 60.4 pie-lb.

3.34 FB = 3680 lb, FC = 2330 lb . 4.34 -22.3 pies-lb.

3.36 h = b. 4.36 M = - 2340 N-m.

3.38 TAB = 688 lb. 4.38 TAB = TAC = 223 kN.
3.40 TAB = 64.0 kN, TBC = 61.0 kN. 4.40 617 N-m.

3.44 a = 79.7°, TAB = 120 N, 4.42 MA = - 3.00 kN-m, MD = 7.50 kN-m.
TBC = 21.4 N, TCD = 62.6 N. 4.44 796 N.

3.46 W1 = 133 lb. 4.46 (a), (b) 480k (N-m).

3.48 (b) Superficie izquierda: 36.6 lb; superficie derecha: 4.48 (a) 800k (kN-m);

25.9 lb. (b) -400k (kN-m).

3.50 k = 1420 N/m. 4.50 F = 20i + 40j 1N2.

3.52 T = mgL>(h + R). 4.52 MO = -5600k 1pie-lb2.

3.56 m2 = 12.5 kg. 4.54 (a), (b) 1270 N-m.

3.58 (a) T = W>2; (b) T = W>4; (c) T = W>8. 4.56 128 pies-lb.
3.60 L = 131.1 kN, D = 36.0 kN. 4.58 985 pies-lb.
4.60 58.0 kN.
www.FreeLibros.org3.62 (a)g = -14.0°; (b)4km.

Respuestas a los problemas con número par 615

4.62 (a) ƒ F ƒ = 1586 N; 4.156 F = 100j + 80k 1N2, M = 240j - 300k 1N-m2.

(b) ƒ F ƒ = 1584 N. 4.158 (a) F = 0, M = rAi;

4.64 -16.4i - 111.9k 1N-m2. (b) F¿ = 0, M¿ = rAi.

4.66 F = 4i - 4j + 2k 1kN2 o bien F = 4i - 3.38j + 2.92k 1kN2. 4.160 (a) F = 0, M = 4.60i + 1.86j - 3.46k 1kN-m2;

4.68 MD = 1.25i + 1.25j - 6.25k 1kN-m2. 4.162 (b) 6.05 kN-m.
4.70 TAC = 2.23 kN, TAD = 2.43 kN. 4.164 F = -20i + 20j + 10k 1lb2,
4.72 TAB = 1.60 kN, TAC = 1.17 kN. M = 50i + 250j + 100k 1pulg-lb2.
4.74 TBC = 886 N, TBD = 555 N. (a) F = 28k 1kip2, M = 96i - 192j 1pie-kip2;
4.76 M = 482k 1kN-m2. (b) x = 6.86 pies, y = 3.43 pies.

4.78 (a) Meje x = 80i 1N-m2; 4.166 F = 100i + 20j - 20k 1N2, z = 2 pies.
(b) Meje y = -140j 1N-m2; M = -143i + 406j - 280k 1N-m2.
(c) Meje z = 0. 4.168
4.170 Mp = 0, la línea de acción interseca en y = 0,
4.80 (a) Cero; (b) 2.7k (kN-m). x = 2.41 m, y = 3.80 m.

4.82 (a) Meje x = -16i 1kN-m2; 4.172 F = 40.8i + 40.8j + 81.6k 1N2,
(b) Meje z = 15k (kN-m). M = - 179.6i + 391.9j - 32.7k 1N-m2.

4.84 F = 80i + 80j + 40k 1lb2. 4.174 (a) 320i (pulg-lb);

4.86 -16.4i 1N-m2. (b) F = -20k 1lb2, M = 320i + 660j 1pulg-lb2;

4.88 (a), (b) MAB = - 76.1i - 95.1j 1N-m2. 4.176 (c) Mt = 0, x = 33 pulg, y = -16 pulg.
4.90 MAO = 119.1j + 79.4k 1N-m2. 4.178 ƒ MP ƒ = 244 N-m.
4.92 MAB = 77.1j - 211.9k 1pie-lb2. (a) -76.2 N-m;
4.180
4.94 Meje y = 215j (N-m). 4.182 (b) -66.3 N-m.

4.96 Meje x = 44i (N-m). ƒ F ƒ = 224 lb, ƒ M ƒ = 1600 pies-lb.
4.98 -338j 1pie-lb2.
501 lb.

4.100 ƒ F ƒ = 13 lb. 4.184 - 228.1i - 68.4k 1N-m2.

4.102 Meje = -478i - 174k (N-m). 4.186 Meje x = -153i (pie-lb).
4.104 1 N-m. 4.188 MCD = -173i + 1038k (pie-lb).
4.106 124k (pie-lb). 4.190 (a) TAB = TCD = 173.2 lb;
4.108 28 N-m en el sentido de las manecillas del reloj. (b) F = 300j (lb) en x = 4 pies.

4.110 a = 30.9° o bien a = 71.8°. 4.192 F = - 20i + 70j 1N2, M = 22 N-m.

4.112 (b) FL cos 30°. 4.194 F¿ = -100i + 40j + 30k 1lb2,

4.114 40 pie-lb en el sentido de las manecillas del reloj, o bien M = -80i + 200k (pulg-lb).

-40k (pie-lb). 4.196 F = 1166i + 566j 1N2, y = 13.9 m.

4.116 2200 pie-lb en el sentido de las manecillas del reloj. 4.198 F = 190j 1N2, M = - 98i + 184k 1N-m2.

4.118 (a) C = 26 kN-m; (b) Cero. 4.200 F = - 0.364i + 4.908j + 1.090k 1kN2,

4.120 (a) M = - 14i - 10j - 8k 1kN-m2; (b) D = 6.32 m. M = - 0.131i - 0.044j + 1.112k 1kN-m2.

4.122 356 pies-lb.

4.124 ƒ M ƒ = 6.13 kN-m. Capítulo 5
4.126 MCy = 7 kN-m, MCz = - 2 kN-m.
4.128 Sí. 5.2 Ax = - 1 kN, Ay = - 5.73 kN,
4.130 Los sistemas 1, 2 y 4 son equivalentes. MA = - 22.9 kN-m .
4.134 F = 265 N.
4.136 F = 70 lb, M = 130 pulg-lb. 5.4 La tensión es 386 lb, Bx = 493 lb, By = 186 lb.
4.138 (a) F = -10j 1lb2, M = -10 pies-lb; (b) D = 1 pie. 5.6 (b) Ax = 0, Ay = - 1.85 kN, By = 2.74 kN.
4.140 F = 200i + 180j 1N2, d = 0.317 m. 5.8 (b) Ax = 0, Ay = - 5 kN, By = 15 kN.
5.10 (b) A = 100 lb, B = 200 lb.

4.142 (a) Ax = 12 kip, Ay = 10 kip, B = - 10 kip; 5.12 (b) Ax = 502 N, Ay = 870 N.
(b) F = -12i (kip), interseca en y = 5 pies; 5.14 (b) Ax = 4 kN, Ay = - 2.8 kN, By = 2.8 kN.
5.16 Sobre cada mano, 66.3 lb. Sobre cada pie, 23.7 lb.
(c) Ambos son iguales a cero.

4.144 F = 104j (kN), M = 13.2 kN-m en sentido contrario al 5.18 Ax = - 100 lb, Ay = - 225 lb, E = 625 lb .
de las manecillas del reloj. 5.20 k = 3380 N/m, Bx = - 188.0 N, By = 98.7 N.
5.22 5.93 kN.
4.146 F = 100j (lb), M = 0.

4.148 (a) F = 920i - 390j 1N2, M = - 419 N-m; 5.24 R = 12.5 lb, Bx = 11.3 lb, By = 15.3 lb.
(b) interseca en y = 456 mm. 5.26 (a) 21.2 lb; (b) 30 lb.

4.150 F = 800j 1lb2, interseca en x = 7.5 pulg. 5.28 WL = 1125 lb.
4.152 (a) -360k 1pulg-lb2; 5.30 6.23 lb.

(b) -36j 1pulg-lb2; 5.32 T = 3.68 lb.
(c) F = 10i - 30j + 3k 1lb2, M = -36j - 360k 1pulg-lb2.

www.FreeLibros.org4.154 x=2.00pies, z=-0.857pie.
5.34 TAE = 31.0 lb, Dx = - 29.9 lb, Dy = 34.0 lb.
5.36 Ax = - 1.83 kN, Ay = 2.10 kN, By = 2.46 kN.

616 Respuestas a los problemas con número par

5.38 Ax = -200 lb, Ay = -100 lb, MA = 1600 pies-lb. 5.104 T = 139 lb, Ax = 46.4 lb, Ay = -26.8 lb, Az = 31.7 lb,
5.40 k = 3.21 lb/pie. 5.106 MAx = -63.4 pies-lb, MAy = -110 pies-lb.
5.108 La tensión es de 60 N, Bx = -10 N, By = 90 N,
5.42 Ax = 3.46 kN, Ay = -2 kN, 5.110 Bz = 10 N, MBy = 1 N-m, MBz = -3 N-m.
Bx = -3.46 kN, By = 2 kN. 5.112 La tensión es de 60 N, Bx = -10 N, By = 75 N,
Bz = 15 N, Cy = 15 N, Cz = -5 N.
5.44 F = 28.3i + 58.3j (lb), D = 7.03 pies, Ax = -28.3 lb, Ax = - 2.86 kip, Ay = 17.86 kip, Az = - 8.10 kip,
Ay = -58.3 lb, MA = -410 pies-lb. By = 3.57 kip, Bz = 12.38 kip.
Ax = 0, Ay = 400 N, Bx = 1000 N,
5.46 Ax = - 1.57 kN, Ay = 1.57 kN, Ex = 1.57 kN. By = - 400 N, Bz = 0, T = 1080 N .
5.48 Ax = 0, Ay = 200 lb, MA = 900 pies-lb.
5.50 Ax = 57.7 lb, Ay = - 13.3 lb, B = 15.3 lb.
5.52 W = 15 kN.

5.54 (b) Cx = 500 N, Cy = - 200 N. 5.114 ƒ A ƒ = 8.54 kN, ƒ B ƒ = 10.75 kN.
5.56 TBC = 5.45 lb, Ax = 5.03 lb, Ay = 7.90 lb. 5.116
5.58 20.3 kN. 5.118 Ax = 3.62 kN, Ay = 5.89 kN, Az = 5.43 kN,
5.120 Cx = 8.15 kN, Cy = 0, Cz = 0.453 kN.
5.60 W2 = 2484 lb, Ax = - 2034 lb, Ay = 2425 lb. TAB = 488 lb, TCD = 373 lb, la reacción es
5.62 W = 46.2 N, Ax = 22.3 N, Ay = 61.7 N. 5.122 31i + 823j - 87k (lb).
5.64 F = 44.5 lb, Ax = 25.3 lb, Ay = - 1.9 lb.
5.66 W = 132 lb. Ax = - 76.7 N, Ay = 97.0 N, Az = - 54.3 N,
MAx = - 2.67 N-m, MAy = 6.39 N-m,
5.68 MAz = 2.13 N-m.
(a) 60 lb;

0.19 (b) Ax = 38.1 lb, Ay = 46.3 lb o bien Ax = -38.1 lb,

F/W 0.18 Ay = -46.3 lb.
0.17 5.124 La tensión es de 33.3 lb; la magnitud de la reacción es
0.16
0.15 de 44.1 lb.

0.14 5.126 a = 10.9°, FA = 1.96 kN, FB = 2.27 kN.
0.13 5.128 (a) No, debido al par de 3 kN-m; (b) La magnitud en A

24 26 28 30 32 34 36 es de 7.88 kN; la magnitud en B es de 6.66 kN; (c) no.

h, pulg 5.130 (b) Ax = - 8 kN, Ay = 2 kN, Cx = 8 kN.
5.134 (b) TA = 7.79 lb, TB = 10.28 lb; (c) 6.61 lb.
5.136 (a) Existen cuatro reacciones desconocidas y tres ecua-

5.76 (1) y (2) están impropiamente apoyados. Para (3), las ciones de equilibrio; (b) Ax = -50 lb, Bx = 50 lb.
5.138 (b) Fuerza sobre el clavo = 55 lb, fuerza normal = 50.77 lb,

reacciones son A = F>2, B = F>2, C = F. fuerza de fricción = 9.06 lb.

5.78 (b) Ax = - 6.53 kN, Ay = - 3.27 kN, 5.140 k = 13,500 N/m.
Az = 3.27 kN, MAx = 0, MAy = - 6.53 kN-m, 5.142 Ay = 727 lb, Hx = 225 lb, Hy = 113 lb.
MAz = - 6.53 kN-m. 5.144 a = 0 y a = 59.4°.
5.146 La fuerza es de 800 N hacia arriba; su línea de acción
5.80 374 lb.

5.82 Cx = -349 lb, Cy = 698 lb, pasa por el punto medio de la placa.
Cz = 175 lb, MCx = -3490 pies-lb, 5.148 m = 67.2 kg.
MCy = -2440 pie-lb, MCz = 2790 pies-lb. 5.150 a = 90°, TBC = W>2, A = W>2.

5.84 (a) -17.8i - 62.8k 1N-m2;

(b) Ax = 0, Ay = 360 N, Az = 0, Capítulo 6
MAx = 17.8 N-m, MAy = 0, MAz = 62.8 N-m.
6.2 AB: 915 N (C); AC: 600 N (C); BC: 521 N (T).
5.86 Ax = 166.7 N, Ay = 200 N, Az = 66.7 N, 6.4 BC: 800 lb (T); CD: 600 lb (C).
TBC = 100 N, TBD = 170 N . 6.6 (a) Tensión: 2.43 kN en AB y BD.

5.88 ƒ F ƒ = 10.9 kN.

5.90 TAB = 553 lb, TAC = 289 lb, Compresión: 2.88 kN en CD.
Ox = 632 lb, Oy = 574 lb, Oz = 0. (b) Tensión: 1.74 kN en BD.
Compresión: 1.60 kN en CD.
5.92 x = 0.1 m, z = 0.133 m.

5.94 TBD = 50.2 lb, Ax = - 34.4 lb, 6.8 Tensión, 31.9 kip en AC, CE, EG y GH. Compresión,
Ay = 17.5 lb, Az = - 24.1 lb, 42.5 kip en BD y DF.
MAx = 0, MAy = 192.5 pulg-lb.
6.10 BD: cero; CD: 10 kN (T); CE: 16 kN (C).
5.96 F = 4j (kN) en x = 0, z = 0.15 m. 6.12 (a) Tensión: 5540 lb en BD. Compresión: 7910 lb en CE.

5.98 (b) Ax = - 0.74 kN, Ay = 1 kN, Az = - 0.64 kN, (b) Tensión: 2770 lb en BD. Compresión: 3760 lb en CE.

Bx = 0.74 kN, Bz = 0.64 kN. 6.14 F = 8.33 kN.

5.100 Fy = 34.5 lb.
5.102 TBD = 1.47 kN, TBE = 1.87 kN,

www.FreeLibros.orgAx = 0, Ay = 4.24kN, Az=0.
6.16 DE: 3.66 kN (C); DF: 1.45 kN (C); DG: 3.36 kN (T).
6.18 AB: 10.56 kN (T); AC: 17.58 kN (C); BC: 6.76 kN (T);

BD: 1.81 kN (T); CD: 16.23 kN (C).

Respuestas a los problemas con número par 617

6.20 AB: 375 lb (C); AC: 625 lb (T); BC: 300 lb (T). 6.114 Kx = 847 N, Ky = 363 N.
6.22 BC: 90.1 kN (T); CD: 90.1 kN (C); CE: 300 kN (T). 6.116 TAB = 7.14 kN (C), TAC = 5.71 kN (T),
6.24 BC: 1200 kN (C); BI: 300 kN (T); BJ: 636 kN (T). TBC = 10 kN (T).
6.26 AB: 2520 lb (C); BC: 2160 lb (C); CD: 1680 lb (C). 6.118 BC: 120 kN (C); BG: 42.4 kN (T); FG: 90 kN (T).

6.32 BC: 400 kN (T), BI: 141 kN (T), HI: 500 kN (C). 6.120 AB: 125 lb (C); AC: cero; BC: 188 lb (T);

6.34 (a), (b) 141 kN (C). BD: 225 lb (C); CD: 125 lb (C); CE: 225 lb (T).

6.36 AB: 1.33F (C); BC: 1.33F (C); CE: 1.33F (T). 6.122 TBD = 13.3 kN (T), TCD = 11.7 kN (T),
6.38 BD: 95.6 kip (C); BE: 41.1 kip (T); CE: 58.4 kip (T). TCE = 28.3 kN (C).
6.40 DF: 69.1 kip (C); DG: 29.4 kip (C); EG: 95.6 kip (T).
6.124 AC: 480 N (T); CD: 240 N (C); CF: 300 N (T).

6.42 96.2 kN (T). 6.126 Tensión: elemento AC, 480 lb (T);

6.44 AC: 2000 lb (C); BC: 800 lb (T); BD: 1000 lb (T). Compresión: elemento BD, 633 lb (C).

6.46 DF: 16 kN (T); DG: 6.67 kN (C); EG: 26.7 kN (C). 6.128 CD: 11.42 kN (C); CJ: 4.17 kN (C); IJ: 12.00 kN (T).

6.48 2.50 kN (C). 6.130 AB: 7.20 kN (C); AC: 4.56 kN (C).

6.50 CE: 680 kN (T); CF: 374 kN (C); DF: 375 kN (C). 6.132 Ax = -1.57 kN, Ay = 1.18 kN,
6.52 (a) 1160 lb (C). Bx = 0, By = - 2.35 kN, Cx = 1.57 kN,
6.54 IL: 16 kN (C); KM: 24 kN (T). 6.134 Cy = 1.18 kN.
6.58 AD: 4.72 kN (C); BD: 4.16 kN CD (C); 6.136 Bx = 3820 lb, By = 6690 lb, C = 9020 lb,
6.138 Dx = - 1390 lb, Dy = - 1930 lb .
CD: 4.85 kN (C). 973 N.
6.60 AB, AC, AD: 0.408F (C).
6.62 AB: 379 lb (C); AC: 665 lb (C); AD: 160 lb (C). Ax = - 52.33 kN, Ay = - 43.09 kN,
6.64 BC: 32.7 kN (T); BD: 45.2 kN (T); BE: 112.1 kN (C). Ex = 0.81 kN, Ey = - 14.86 kN.
6.66 P3 = -315 kN.
6.68 5.59 kN (C) en cada elemento.

6.70 Ax = 400 N, Ay = - 900 N, Bx = - 400 N, Capítulo 7

By = 900 N, MA = - 540 N-m . 7.2 –x = 3>8.
6.72 Cx = 736 N, Cy = 2450 N, Ex = 245 N, 7.4 x = 1.25, y = 0.825.
7.8 –x = 0.711 pie, y = 0.584 pie.
Ey = - 1720 N . 7.10 –x = 0. y = 1.6 pie.
6.74 Cx = 66.7 lb, Cy = 24 lb .
6.76 Ax = 0, Ay = - 400 N, Cx = - 600 N, 7.12 x = 8, y = 3.6.
7.14 –x = 0.533.
Cy = - 300 N, Dx = 0, Dy = 1000 N. 7.16 –x = 1.
6.78 Dx = - 1475 N, Dy = - 516 N, Ex = 0,
7.18 y = - 7.6.
Ey = - 516 N, ME = 619 N-m. 7.20 y = 2.53.
6.80 Ax = - 2.35 kN, Ay = 2.35 kN, 7.22 a = 0.656, b = 6.56 * 10-5 m-2.
7.24 x = y = 4R>3p.
Bx = 0, By = - 4.71 kN, 7.26 x = 3.31.
Cx = 2.35 kN, Cy = 2.35 kN. 7.28 x = 116 mm.
6.82 Tensión = 62.5 lb, Fx = -75 lb, Fy = 25 lb. 7.30 –x = 9.90 pulg, –y = 0.
7.32 –x = 23.9 pulg, –y = 33.3 pulg.
6.84 Bx = - 400 lb, By = - 300 lb, Cx = 400 lb, 7.34 –x = 2.88 pies, –y = 3.20 pies.
Cy = 200 lb, Dx = 0, Dy = 100 lb.
7.36 x = 3.67 mm, y = 21.52 mm.
6.86 Ax = - 150 lb, Ay = 120 lb, Bx = 180 lb, 7.38 b = 39.6 mm, h = 18.2 mm.
By = - 30 lb, Dx = - 30 lb, Dy = - 90 lb. 7.40 x = 9.64 m, y = 4.60 m.
7.44 –x = 6.47 pies, –y = 10.60 pies.
6.88 Ax = - 310 lb, Ay = - 35 lb, Bx = 80 lb,
By = - 80 lb, Cx = 310 lb, Cy = 195 lb, 7.46 Ax = 0, Ay = 160 N, B = 200 N.
Dx = - 80 lb, Dy = - 80 lb. 7.48 Ax = - 1200 N, Ay = 800 N, B = 2200 N.
7.50 Ax = 0, Ay = 10 kN, MA = - 31.3 kN-m.
6.90 Ax = 170 lb, Ay = 129 lb,
Bx = - 170 lb, By = - 209 lb.

6.94 Ax = - 22 lb, Ay = 15 lb,
Cx = - 14 lb, Cy = 3 lb.

6.96 300 lb (C).

6.98 B: 73.5 N; C: 88.8 N. 7.52 Ax = 0, Ay = 4.17 kN, By = 8.83 kN.

6.100 TBC = 1410 N, TDF = 625 N. 7.54 Ay = 3267 lb, Bx = - 800 lb, By = - 1267 lb.
6.102 Ax = 2 kN, Ay = -1.52 kN, 7.56 BD: 21.3 kN (C); CD: 3.77 kN (C); CE: 24 kN (T).

Bx = -2 kN, By = 1.52 kN. 7.58 Ax = -18 kN, Ay = 20 kN,
6.104 Ex = 604 lb, Ey = 179 lb, la fuerza axial es de 616 lb. Bx = 0, By = -4 kN,

6.106 100 N. Cx = 18 kN, Cy = -16 kN.

6.108 En B: 1750 N. DE: 1320 N (C). 7.60 V = 275 m3, altura = 2.33 m.
6.110 742 lb.

www.FreeLibros.org6.112 1150lb.
7.62 V = 4.16 m3, x = 1.41 m.
7.64 x = 0.675R, y = 0, z = 0.

618 Respuestas a los problemas con número par

7.66 –y = 0.410. 8.30 Ix = 6.00 * 106 mm4, kx = 23.5 mm .
7.68 –x = 3.24. 8.32 Iy = 0.0125 m4, ky = 0.177 m.
7.70 –x = R sen a>a, –y = R11 - cos a2>a. 8.34 Iy = 3.6 * 105 mm4, JO = 1 * 106 mm4.
7.72 –x = 38.3 mm. 8.36 Ix = 2.65 * 108 mm4, kx = 129 mm.
7.74 x = - 128 mm, y = z = 0. 8.38 Ix = 7.79 * 107 mm4, kx = 69.8 mm.
7.76 x = 0, y = 43.7 mm, z = 38.2 mm.

7.78 x = 229.5 mm, y = z = 0. 8.40 Ixy = 1.08 * 107 mm4.
8.42 JO = 363 pies4, kO = 4.92 pies.
7.80 x = 23.65 mm, y = 36.63 mm, z = 3.52 mm. 8.44 Ix = 10.7 pies4, kx = 0.843 pies.
8.46 Ixy = 7.1 pies4.
7.82 x = 6 m, y = 1.83 m. 8.48 JO = 5.63 * 107 mm4, kO = 82.1 mm.
8.50 Ix = 1.08 * 107 mm4, kx = 36.0 mm.
7.84 x = 65.9 mm, y = 21.7 mm, z = 68.0 mm.

7.86 A = 3 pR 2h2 + R2.
4
–yys==0.44R10>.3p.
7.88
7.90

7.92 A = 138 pies2. 8.52 JO = 1.58 * 107 mm4, kO = 43.5 mm.
7.94 V = 0.0377 m3. 8.54 JO = 2.35 * 105 pulg4, kO = 15.1 pulg.
7.96 V = 2.48 * 106 mm3.
7.98 8.56 Ix = 49.7 m4, kx = 2.29 m.
7.100 Volumen = 0.0266 m3.
7.102 8.58 Iy = 2.55 * 106 pulg4, ky = 27.8 pulg.
7.104 Ax = 0, Ay = 294 N, By = 196 N.
8.60 Ixy = 2.54 * 106 pulg4.
–xAx= = 0, Ay = 316 N, B= 469 N.
6.59 pulg, –y = 2.17 pulg, –z = 6.80 8.62 Ix = 1.26 * 106 pulg4, kx = 19.5 pulg.
pulg.

7.106 Ax = 0, Ay = 3.16 kN, MA = 1.94 kN-m. 8.64 Iy = 4.34 * 104 pulg4, ky = 10.5 pulg.

7.108 x = 121 mm, y = 0, z = 0. 8.66 Ixy = 4.83 * 104 pulg4.
7.110 8.68 JO = 4.01 * 104 pulg4, kO = 14.6 pulg.
7.112 x3 = 82 mm, y3 = 122 mm, z3 = 16 mm. 8.70 Ix = 8.89 * 103 pulg4, kx = 7.18 pulg.
(a) x = 5.17 m; (b) Ax = - 50 kN, Ay = - 25.0 kN, 8.72 Iy = 3.52 * 103 pulg4, ky = 4.52 pulg.
7.114 G = 33.8 kN . 8.74 Ixy = 995 pulg4.
7.116 Masa = 408 kg, –x = 2.5 m, –y = -1.5 m.
–x = 20.10 pulg, –y = 8.03 pulg, –z = 15.35 pulg.

7.118 x = 3>8, y = 3>5. 8.76 JO = 5.80 * 106 mm4, kO = 37.5 mm.
7.120 8.78 Ix = 1470 pulg4, Iy = 3120 pulg4.
7.122 x = 87.3 mm, y = 55.3 mm. 8.80 Ix = 4020 pulg4, Iy = 6980 pulg4, o
7.124
917 N (T). Ix = 6820 pulg4, Iy = 4180 pulg4.
7.126 8.82 Ix = 4.01 * 106 mm4.
7.128 Ax = 7 kN, Ay = - 6 kN, Dx = 4 kN, Dy = 0. 8.86 Ix = 59.8 * 106 mm4, Iy = 18.0 * 106 mm4.
7.130 –x = 1.87 m. 8.88 Ix¿ = 7.80 pies4, Iy¿ = 24.2 pies4, Ix¿y¿ = -2.20 pies4,
7.132 A = 682 pulg2. 8.90 Ix¿ = 1.20 * 106 pulg4, Iy¿ = 7.18 * 105 pulg4,
7.134 –x = 110 mm.
7.136 –x = 1.70 m. Ix¿y¿ = 2.11 * 105 pulg4.
7.138
x = 25.24 mm, y = 8.02 mm, z = 27.99 mm. 8.92 up = -12.1°, los momentos de inercia principales son
80.2 * 10-6 m4 y 27.7 * 10-6 m4.
(a) x = 1.511 m; (b) x = 1.611 m.

A = 80.7 kN, B = 171.6 kN.

Capítulo 8 8.94 Ix¿ = 5.96 * 106 mm4, Iy¿ = 3.89 * 106 mm4,

8.2 Ix = 0.0288 m4, kx = 0.346 m . Ix¿y¿ = 3.27 * 106 mm4.

8.4 (a) Iy = 12.8 * 105 mm4; (b) Iy¿ = 3.2 * 105 mm4. 8.96 Ix¿ = 1.20 * 106 pulg4, Iy¿ = 7.18 * 105 pulg4,

8.6 Iy = 0.175 m4, ky = 0.624 m. Ix¿y¿ = 2.11 * 105 pulg4.

8.8 Ixy = 0.0638 m4. 8.98 up = -12.1°, los momentos de inercia principales son
80.2 * 10-6 m4 y 27.7 * 10-6 m4.
8.10 Ix = 1.69. 8.100
8.102 IO = 14 kg-m2.
8.12 Ixy = 0.583. 8.104
8.106 Ieje z = 15.1 kg-m2.
8.14 Ix = 1330, kx = 4.30. 8.108 Ieje x = 0.667 kg-m2, Ieje y = 2.67 kg-m2.
8.110
8.16 Ixy = 2070. Ieje y = 1.99 slug-pie2.
20.8 kg-m2.
8.18 Ix = 953, kx = 6.68.

8.20 (a) Ix = 1 pR4, kx = 1 R. 17
8 2 12
IO ml2.
8.22 Iy = 49.09 m4, ky = 2.50 m. =

8.112 Ieje z = 47.0 kg-m2.
8.114 Ieje z = 0.0803 slug-pie2.
8.24 Iy = 522, ky = 2.07.

www.FreeLibros.org8.28 Iy = 10m4, ky = 1.29m.

Respuestas a los problemas con número par 619

8.116 3810 slug-pie2. 9.52 F/2.

8.118 Ieje z = 9.00 kg-m2. 9.54 333 N.
8.120 Ieje y = 0.0881 slug-pie2. 9.56 F = 74.3 lb.
8.122 9.58 (a) f = 24.5 N; (b) ms = 0.503.
8.124 Ieje x = m A–31 l2 + –41 R2B. 9.60 (a) f = 8 kN; (b) ms = 0.533.
Ieje x = Ieje y = m A –230 R2 + –35 h2B. 9.62 ms = 0.432.
8.126 9.64 ms = 0.901.
Ieje x = –1 mh2 + –1 ma2 . 9.66 F = 139 lb.
8.128 9.68 F = 102 lb.
8.130 6 3 9.70 F = 1360 lb.
8.132 9.72 F = 156 N.
8.134 Ieje x = 0.0221 kg-m2. 9.74 343 kg.
8.136 Ix¿ = 0.995 kg-m2, Iy¿ = 20.1 kg-m2. 9.76 No. El valor mínimo requerido de ms es 0.176.
8.138 Ieje z = 0.00911 kg-m2. 9.78 F = 1160 N.
IO = 0.00367 kg-m2. 9.80 1.84 N-m.
8.140 Ieje z = 0.714 slug-pie2. 9.82 (a) 0.967 pulg-lb; (b) 0.566 pulg-lb.
8.142 9.84 (a) 2.39 pies-lb; (b) 1.20 pies-lb.
8.144 Iy = 51, ky = 253. 9.86 11.8 pies-lb.
8.146 9.88 108 pulg-lb.
8.148 2JO = 12065, kO = 2356. 9.90 27.4 pulg-lb.
8.150 9.92 4.18 N-m.
8.152 Iy = 12.8, ky = 2.19. 9.94 4.88 N-m.
8.154 9.96 17.4 N-m.
8.156 Ixy = 2.13. 9.98 W = 1.55 lb.
8.158 9.100 106 N.
8.160 Ix¿ = 0.183, kx¿ = 0.262. 9.102 51.9 lb.
8.162 Iy = 2.75 * 107 mm4, ky = 43.7 mm. 9.104 T = 40.9 N.
8.164 Ix = 5.03 * 107 mm4, kx = 59.1 mm. 9.106 FB = 207 N.
9.108 M = 1.92 pies-lb.
Iy = 94.2 pie4, ky = 2.24 pies.

Ix = 396 pie4, kx = 3.63 pies.
up = 19.5°, 20.3 m4, 161 m4.

Ieje y = 0.0702 kg-m2.
Ieje z = 1–10 mw2.
Ieje x = 3.83 slug-pie2.
0.537 kg-m2.

9.110 T = 346 N.

Capítulo 9 9.112 M = 160 pulg-lb.
9.114 M = 12.7 N-m.

9.2 1.04 lb. 9.116 M = 7.81 N-m.

9.4 (a) a = 38.7°; (b) a = 11.3°. 9.118 M = 5.20 N-m.

9.6 (a) No; (b) 20.4 lb. 9.120 (a) M = 93.5 N-m; (b) 8.17 por ciento.

9.8 177 N. 9.122 9.51 pies-lb.

9.10 20 lb. 9.124 80.1 lb.

9.12 a = 14.0°. 9.126 TC = 107 N.
9.14 (a) T = 56.5 N. 9.128 M = rW1epmk - 12.

9.16 (a) Sí. La fuerza es msW; (b) 3msW. 9.130 (a) 14.2 lb; (b) 128.3 lb.
9.18 89.6 … T … 110.4 lb. 9.132 13.1 lb.

9.20 F = 267 N. 9.134 MA = 65.2 N-m, MB = 32.6 N-m.
9.22 M = hrFmk/32(h + bmk)4. 9.136 (a) f = 10.3 lb.
9.24 9.40 pie-lb.
9.138 F = 290 lb.

9.26 a = 33.4°. 9.140 a = 65.7°.

9.28 a = 28.3°. 9.142 a = 24.2°.

9.30 (a) M = 162 pulg-lb; (b) M = 135 pulg-lb. 9.144 b = 1h>ms - t2>2.
9.32 M = msRW3sen a + ms11 - cos a24>311 + m2s2sen a4. 9.146 h = 5.82 pulg.
9.34 a = 39.6°.
9.148 286 lb.

9.36 (a) T = 9.42 lb; (b) T = 33.3 lb. 9.150 1130 kg, par de torsión = 2.67 kN-m.

9.40 y = 234 mm. 9.152 f = 2.63 N.

9.42 a = 9.27°. 9.154 ms = 0.272.
9.44 F = 44 lb. 9.156 M = 1.13 N-m.

9.48 a = 1.54°, P = 202 N. 9.158 P = 43.5 N.
9.50 (a) F = msW;

www.FreeLibros.org(b)F = 1W>221msA + msB2>[1 + 1h>b21msA - msB2].
9.160 146 lb.
9.162 (a) W = 106 lb; (b) W = 273 lb.

620 Respuestas a los problemas con número par

Capítulo 10 10.36 V = -100x2 lb, M = -33.3x3 + 1800 pies-lb.
10.38
10.2 PA = 0, VA = 100 N, MA = 40 N-m.
10.4 PA = 0, VA = 400 lb, MA = -1900 pies-lb. V
10.6 (a) PA = 0, VA = 4 kN, MA = 4 kN-m; 4.4 m x
(b) PA = 0, VA = 2 kN, MA = 3 kN-m.
10.8 PB = 0, VB = 40 N, MB = 373 N-m. Ϫ245 kN
10.10 PA = 0, VA = -400 lb, MA = 267 pies-lb.
10.12 (a) PB = 0, VB = -31 lb, MB = 572 pies-lb. Ϫ465 kN
(b) PB = 0, VB = 24 lb, MB = 600 pies-lb. M
10.14 PA = 0, VA = - 2 kN, MA = 6 kN-m.
10.16 PA = 300 N, VA = - 150 N, MA = 330 N-m. 2970 kN-m
10.18 PA = 4 kN, VA = 6 kN, MA = 4.8 kN-m.
10.20 PA = 0, VA = - 6 kN, MA = 6 kN-m. 1408 kN-m
10.22 V = 400 lb, M = 400x pies-lb.
10.24 (a) V = 15>22112 - x22 lb,

10.26 M = -15>62112 - x23 pies-lb.
10.28
V = - 600 N, M = - 600x N-m.
x
(a) 0 6 x 6 6 pies, P = 0, V = 50 lb,
4.4 m
M = 50x pies-lb; 6 6 x 6 12 pies,
P = 0, V = 50 - 125>321x - 622 lb,
M = 50x - 125>921x - 623 pies-lb;

(b)

y

100 lb/pie 10.40

x

50 lb 250 lb y
20 kN-m
V 4kN/m x
6kN 23.3 kN
50 lb x
0

18.7 kN

Ϫ250 lb x V x
M 20 kN x
10 kN
400 pies-lb
0
200 pies-lb Ϫ10kN

0 M
0
10.30 No. La magnitud del momento flector máximo es de Ϫ20 kN-m
8 kN-m. Ϫ40 kN-m
10.32 M = 54.2 N-m en x = 233 mm. Ϫ60 kN-m
10.34

y

200 lb 1500 lb 100 lb/pie
x

700 lb

V
900 lb
700 lb

0 x
Ϫ200 lb

Ϫ600 lb

M
0x

www.FreeLibros.orgϪ1600pies-lb

Respuestas a los problemas con número par 621

10.42 10.48

y

3600 N-m y
20 kN-m
600 N x 4 kN/m 18.7 kN x
V 600 N 6 kN 23.3 kN x
x
0 x V
Ϫ600 N 20 kN
x
M 10 kN
2400 N-m
0
0
Ϫ1200 N-m Ϫ10 kN

M
0
Ϫ20 kN-m
Ϫ40 kN-m
Ϫ60 kN-m

10.44 10.50 759 kip.
10.52 (a) Tmáx = 86.2 kN; (b) 36.14 m.
y 10.54 AC: 1061 N (T), BC: 1200 N (C).
10.56 Longitud = 108.3 m, h = 37.2 m.
10.58

72 kN-m 4 kN/m
24 kN x

V (587.5, 620.5) pies x
24 kN 2 600

1 400
(287.5, 148.6) pies 200

0 x y0
600 400 200

M
0x

10.60 22.8 m.

Ϫ72 kN-m 10.62 (a) h1 = 4.95 m, h2 = 2.19 m;
(b) TAB = 1.90 kN, TBC = 1.84 kN.
10.46 10.64 T1 = 185 N, T3 = 209 N.
10.66 (a) h2 = 4 pies; (b) 90.1 lb.
y 10.68 h1 = 1.739 m, h3 = 0.957 m.
10.70 h2 = 464 mm, h3 = 385 mm.
100 lb/pie 10.72 h2 = 8.38 pies, h3 = 12.08 pies.
10.76 xp = 3>8 m, yp = 3>5 m.
x 10.78 Ax = -100 lb, Az = 562 lb, B = 281 lb.
10.80 1.55 m.
50 lb 250 lb 10.82
6.67 m.
V x
50 lb

0

10.84 A: 257 lb a la derecha, 248 lb hacia arriba; B = 136 lb.

10.86 d = 1.5 m.

Ϫ250 lb 10.88 Ax = 2160 lb, Ay = 2000 lb, Bx = 1830 lb.

M 10.90 (a) 376 kN; (b) xp = 2.02 m.

400 pies-lb 10.94 (a) PB = 0, VB = -26.7 lb, MB = 160 pies-lb;

(b) PC = 0, VC = -26.7 lb, MC = 80 pies-lb.

x
200 pies-lb

www.FreeLibros.org0

622 Respuestas a los problemas con número par

10.96 Capítulo 11

y 11.2 (a) Trabajo = -3.20 du kN-m; (b) B = 2.31 kN.
11.4
360 lb/pie 11.6 F = 217 N.
x 11.8
180 lb/pie 11.10 Ax = 0, Ay = -237 lb, By = 937 lb.
450 lb 11.16 F = 450 N.
11.18
360 lb x 11.20 (a) F = 392 N; (b) 100 mm.
11.22
V 11.24 F = 360 lb.
360 lb 11.26
M = 270 N-m.
0 11.28
Ϫ450 lb 11.30 12 kN.
11.34
11.36 9.17 kN.
11.38
11.40 (a) 0.625 dy; (b) 216 N.
11.42
11.44 (a) q = 3, q = 4;
11.46
11.48 (b) q = 3 es inestable y q = 4 es estable
11.50 1 1
11.52 V = 2 kx2 - 4 ex4.
11.54
M 11.56 (a) Estable; (b) Estable.
400 pies-lb 11.58
200 pies-lb 11.60 (b) Es estable.
11.62
0 (a) a = 35.2°; (b) No.

x (a) a = 28.7°; (b) Sí.

Estable.

Inestable.

a = 0 es inestable y a = 30° es estable.

10.98 0 6 x 6 2 m, P = 0, V = 1.33 kN, Cx = -7.78 kN.
8F.
10.100 M = 1.33x kN-m;
10.102 (a) M = 800 N-m; (b) a>4.
2 6 x 6 6 m, P = 0, V = -2.67 kN,
10.104 M = 2.6716 - x2 kN-m. M = 1.50 kN-m.
10.106 PA = 0, VA = 8 kN, MA = -8 kN-m.
10.108 (a) PB = 0, VB = -40 N, MB = 10 N-m; F = 5 kN.
10.110 (b) PB = 0, VB = -40 N, MB = 10 N-m.
P = 0, V = -100 lb, M = -50 pies-lb. M = 63 N-m.
(a) w = 74,100 lb/pie; (b) 1.20 * 108 lb.
a = 0 es inestable y a = 59.4° es estable.
84.4 kip.
Inestable.
A: 44.2 kN a la izquierda, 35.3 kN hacia arriba;
a = 30°.
B: 34.3 kN.

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Índice

A semicircular, propiedades de un, 578
triangular
Aceleración, 5-7
angular, 409 momento de inercia de un, 397-398
debida a la gravedad, 15-19 propiedades del, 578
giratoria, 409 Áreas
centroides de, 312-320
Álgebra, 573 con un recorte, 324
Análisis de fuerzas, 87-89 por integración, 315
Analogía momentos de inercia de, 376-382
propiedades de, 577-579
del área, 329 Áreas compuestas
del volumen, y fuerza/momento debido a la presión, 533 centroides de, 329-327
Ángulo determinación de, pasos para la, 321
conversiones de unidades, 9 definición de, 320
de fricción, 433 momentos de inercia de, 386-388
Armaduras, 210, 256-258
cinética, 433 a compresión, 256, 258
estática, 433 a tensión, 223, 256-258
de trayectoria de vuelo, 95 de puente, 257, 263
determinación de componentes en términos de un, 34 de techo, 257
expresados en grados, 8 definición de, 258
Aplicaciones bidimensionales, 194-215 espaciales, 275-279
diagramas de cuerpo libre, 198-199 fuerza axial en, 256, 258, 486-487
ecuaciones de equilibrio, 87, 199, 227 Howe, 256, 265, 273
escalar, 194 para techo, 257
soportes, 194-198 Pratt, 256, 265, 273
de pasador, 195 Warren, 256, 258-259, 268
de rodillo, 195-196, 197 Articulación, 222-223
fijos (empotrados), 196-198 reacciones en, 230-231
impropios, 215, 217, 219 Articulaciones
propios, 219 alineadas adecuadamente, reacciones en, 225
redundantes, 215-216 apropiadamente alineadas, reacciones en, 232-233
Aplicaciones tridimensionales, 221-240 Asperezas o rugosidades, 431
ecuaciones de equilibrio escalar, 221 Avión, en equilibrio, fuerzas sobre un, 95
reacciones, 228-229
soportes, 221-226 B
articulados, 222-223, 230
de bola y cuenca, 221-222 Bandas y poleas, 84-85
de cojinete, 223-224 Barra delgada
de rodillo, 222
fijos, 224-225 momento de inercia de una, 409-410, 413
Área propiedades de una, 580
circular Bastidores, 255, 282-295
momento de inercia de un, 379 análisis de, 282-283, 290-291
propiedades de un, 578 cargas aplicadas en juntas, 285-288
de un cuarto de círculo, propiedades de un, 578 definición de, 282, 288
de un cuarto de elipse, propiedades de un, 579

www.FreeLibros.o6r23 g

624 Índice

determinación de fuerzas que actúan sobre elementos de, de un cilindro con densidad no uniforme, 360

282-283, 292-293 de un objeto compuesto, 363-365
elementos de vehículos, 366-367
definición de, 311, 355
análisis de, 283-288, 294-295 que representa el peso de una barra con forma de L,
de dos fuerzas en, 285
estructura completa, análisis de la, 283 358-359
fuerzas y pares sobre elementos de, 288 y densidad, 356-357
reensamblaje de diagramas de cuerpo libre de elementos y peso específico, 356
individuales, 286 Centro de presión, 529-531, 533
Burj Dubai, 12 definición de, 529-530, 533

C y fuerza de presión, 536
Centroides, 311-373
Caballos de fuerza (hp), 14
Cables, 84-85, 90, 511-518 áreas definidas por dos ecuaciones, 316
cargas distribuidas, 327-335
cargados por su propio peso, 521
cargas discretas en, 523-528 analogía del área, 329
cargas distribuidas uniformemente a lo largo de líneas rectas, descripción de, 328
ejemplos de, 327
512-518, 561-562 fuerza y momento, determinación de, 328
forma del cable, 512-513 viga con una carga triangular, 330
longitud del cable, 513 viga con, 330, 332
tensión del cable, 513 viga sometida a, 331
con una carga distribuida horizontalmente, 515-517 de áreas, 312-320, 577
sometidos a cargas discretas, 526-527 compuestas, 320-327
suspendidos con un recorte, 324
carga vertical en, 520 por integración, 315
curva en, 22 de líneas, 336-343, 579
Cabrestantes, 147, 476 compuestas, 343-347
Calder, Alexander, 251 por integración, 339-340
Calzas, 429, 448-452 de un cono por integración, 338-339
Cargas, 195-196, 217-219, 255 de una línea semicircular, por integración, 340
definición de, 196 de volúmenes, 335-343, 580
discretas, 523-528 compuestos, 343-347
cable sometido a, 526-527 que contienen un recorte, 345-346
configuración/tensiones, determinación de, 523-524 y líneas compuestas, 343-347
modelos continuos y discretos, 524-525 definición de, 311, 314
distribuidas teoremas de Pappus-Guldinus, 350-355
analogía del área, 329 determinación de un centroide con los, 353
descripción de las, 328 primer teorema, 350, 352
ejemplos de, 327 segundo teorema, 351-352
fuerza y momento, determinación de, 328 Cifras significativas, 5
relaciones entre fuerza cortante, momento flector y, Cilindro
con densidad no uniforme, 360
498-511 fijo, cuerda enrollada alrededor de un, 473
viga con una carga triangular, 330 momento de inercia de un, 420-421
viga con, 330, 332 Círculo de Mohr, 405-409
viga sometida a, 331 construcción del, pasos para la, 405
Catenaria, 520 definición del, 405
Centro de masa, 249, 311, 355-362, 580 determinación de ejes principales y momentos de inercia
coordenadas del, 357

de objetos, 355-356 principales, 406

homogéneos, 356-358, 580 momentos de inercia por el, 407

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Índice 625

Claro, en puentes, 39 Densidad, 356

Coeficiente(s) peso específico, 364, 532-534, 536-537

de fricción, 432-433, 434 definición de, 356

cinética, 432-433, 434 Derivadas, 574

estática, 432, 434 Desplazamiento, 22-23
Cojinetes, 225-226, 245, 459 inminente, 432
virtual, 547, 550
chumaceras, 459-463
de empuje, 464-467 Determinación del vuelco potencial, 437
Collar roscado, giratorio, 454-455 cuerda enrollada alrededor de dos cilindros fijos, 473
Componentes en un disco de esmeril, 468
cartesianas, 30-45, 223 fricción seca. Vea fricción de Coulomb
en dos dimensiones, 30-32
en tres dimensiones, 43-59, 223 Diagramas de cuerpo libre, 81, 87-89, 91
aplicaciones bidimensionales, 198-199
determinación de, 50-55 de fuerza cortante, construcción de un, 500-501
vectores de posición, 233 de momento flector, construcción del, 501-504
de objetos libres (aislados), 87-88
en términos de sus componentes, 31-32, 46, 48 elección de, 93
determinación de, 32-33 pasos para dibujar, 87

en términos de un ángulo, 34 Dinámica, 4
escalares, 30 Dirección del momento, 123, 134-136, 138
paralelas a una línea, 46-48 Disco de esmeril, fricción en un, 468
perpendiculares a un plano, 74 Diseño e ingeniería, 5
vectoriales, 30 Distribución de presión, compuerta cargada por una, 534-535
Compresión, 86, 256-258

Compuestas (compuestos)

áreas, 320-327 E
líneas, 343-347

objetos, 362-365 Ecuaciones

volúmenes, 343-347 cuadráticas, 573

Conexiones roscadas, 429 determinación de unidades en, 11

Constante dimensionalmente homogénea, definición de, 11

de resorte, 86, 91, 565 que contienen ángulos, 8
gravitatoria universal, 15 de equilibrio, 87, 227
Convenciones de soporte, 194-195
Coordenadas cartesianas, 31 aplicaciones bidimensionales, 194, 199, 227
Cosenos aplicaciones tridimensionales, 221, 227
directores, 45, 47-49 Ejes
ley de los, 574 de articulación, 224-225
Cuerdas/cables, 84-85, 90 girados, 396-397, 402-403
Cuñas (calzas), 429, 448-452 momento de inercia respecto al eje xЈ, 397
definición de, 448 momento de inercia respecto al eje yЈ, 397
fuerzas sobre, 449 principales, 397-399, 400, 402-403
Curva de carga, 328-329 definición de, 398
Chumaceras, 459-463 y momentos de inercia, 400-402
definición de chumaceras, 459 Elementos, 255
poleas soportadas por, 460-461 de dos fuerzas, 24-241, 242
ejemplos, 243-244
en bastidores, 285

de tres fuerzas, 242-244

D ejemplo, 243

Embragues, 464-467

Datum, nivel de referencia, punto de referencia, 558, 562 acoplados, 465

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626 Índice

definición de, 465 cinética, ángulo de, 433

desacoplados, 465 coeficientes de, 434

Energía coeficiente cinético, 432-433, 434

cinética, definición de, 13 coeficiente estático, 432, 434

potencial, 558-568 de Coulomb, teoría de la, 430-447

conservativa, 558 en bandas, 471-472

definición de, 558 y poleas, 474-475

estabilidad del equilibrio, 560-561 en frenos, análisis de, 436

fuerzas conservativas, ejemplos de, 559-560 estática

grado de libertad, 560, 562 ángulo de, 433

peso, 558 coeficiente de, 432

resortes, 558-559 Fuerzas, 7, 9, 81-119

Enjuta, propiedades de, 579 análisis de, 87-89

Equilibrio, 86-87, 91 carrito de equipaje, 202-203

aplicación a un sistema de poleas, 94 axiales, 256, 258, 486-487

aplicaciones bidimensionales, 82, 89, 122-133

bidimensionales, 87, 199, 227 como cantidad vectorial, 22

tridimensionales, 221, 228-229 conservativas

elementos de dos fuerzas, 240-244 ejemplos de, 559-560

ejemplos, 243-244 en resortes, 558-559
elementos de tres fuerzas, 242-244 peso, 558
estabilidad del, 560-561 principio del trabajo virtual para, 562

estructuras en, 255-309 concurrentes, representadas mediante una fuerza,
fuerzas sobre un avión en, 95 173, 176
objetos en, 193-251
objetos estáticamente indeterminados, 215, 217 conversión de unidades, 9
uso del, para determinar fuerzas sobre un objeto, 92 contacto, 83-86, 90
Escalares
definición de, 22, 25 en cuerdas y cables, 84-85, 90
producto de un vector y un escalar, 25 en resortes, 85-86
Espacio, 5-6 en superficies, 83-84
Estadio por quincena, definición, 13 coplanares, 41, 82, 108, 244
Estáticas, 4 cortante, 485-487
Estiramiento, 562 relaciones entre cargas distribuidas, momento flector y,
Estrategias para la resolución de problemas, 4
Estructuras 498-511
de equilibrio, 255-309 y momentos de diagrama flector, 493-498, 508-509
para techo, ejemplos de, 256 cuerdas/cables, 84-85, 90
cuerpo, 82
de presión
determinación de la, 537
y centro de presión, 536

desconocidas, determinación de, 166

F determinación de componentes de, 54-55

determinación del momento de, 151

Fricción, 429-483 diagramas de cuerpo libre, 87-89, 91

ángulos de, 433-434 distribuidas, 171, 375, 485

evaluación de, 434 ejemplos de, 327

aplicaciones de la efectos de, 121

a cojinetes de empuje, 464-467 electromagnéticas, 83

a chumaceras, 459-463 en resortes, 85-86

a embragues, 464-467 equilibrio de, 82, 86-87

a roscas, 452-455 uso del, para determinar, 92

cuñas (calzas), 429, 448-452 externas, 82, 89

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Índice 627

fricción, 83-84, 429, 465 K
determinación de, 435
evaluación de, 434 kilo-, 7
Kilogramo (kg), 7, 9
gravitatorias, 82-83, 90 Kilolibra (kip), 9
internas, 82, 89 Kilómetro (km), 7
línea de acción de, 82, 89 Kilonewton-metros, 122
medición de, 7 Kilonewtons (kN), 7
momento de un sistema de, 124-125
momento flector, 144, 486-487 L
normales, 83
paralelas, 82, 219 Ley
de los cosenos, 574
que representan una sola fuerza, 179 de los senos, 574
representadas mediante una fuerza, 173, 176
representadas mediante una fuerza y un par, 173 Leyes
sistema concurrente de, 82 de Newton, 6-7
sistemas de, 82, 89 del movimiento, 7
superficiales, 82
terminología, 82-83 Libra (lb), 7-9
tipos de, 82-86 Libras
tridimensionales, 82, 89. 108-111
y momento internos, 485-543 por pie, 328
determinación de, 488-489 por pie al cuadrado, 10, 529
fuerza cortante y diagramas de momento flector, 493-498 por pulgada al cuadrado (psi), 529
Línea de acción, 82, 89
G determinación del momento y de la distancia

Gallatin National Forest (Montana), puente de armadura perpendicular a la, 124-125
de acero en, 265 Líneas

giga-, 7 centroides de, 336-343
Grado compuestas, 343-347
por integración, 339-340
libertad, 560, 562
redundancia, 216, 217 momento de una fuerza respecto a, 147-161
Gravitación newtoniana, 15-16 aplicaciones, 148-150
definición de, 148
H determinación de, 151
ejemplo de, 152-152
Hora (h), 5
propiedades de las, 579
I Líquidos

Ingeniería y mecánica, 4-14 en reposo, 485, 529, 541
Ingenieros presión en, 531-534
Líquidos y gases, 529-543
aeroespaciales, 4 centro de presión, 529-531
civiles, 4 líquido en reposo, presión en un, 531-534
mecánicos, 4 presión, 529
Integrales, 575 Logaritmos naturales, 573
Longitud, conversiones de unidades, 9
J Llave de torsión, 13
bloqueo de una, 303
representación de un sistema mediante una, 173-175
representación de una fuerza y un par mediante una, 180

Juntas, 256 M
cargas aplicadas en, 285-288

especiales, 261 Magnitud, 22

método de las, 258-262 de momentos, 122-123, 134, 138

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628 Índice

de un vector en términos de sus componentes, 44-45 micro-, 7

vectorial desconocida, determinación de una, 35 mili-, 7

Máquinas, 282-295 Milla (mi), 8

análisis de, 282-283, 290-291, 294-295 Millas por hora (mi/h), 8

definición de, 282, 288 Minuto (min), 5

fuerzas y pares sobre los elementos de, 288 Módulo de elasticidad, 395

giratorias, 155 Momentos

Marco de inercia, 375-427, 577

newtoniano, 87 “Cono de Morse,” 470

referencia inercial, 87, 91 círculo de Mohr, 405-409

Masa, 7, 22 de barras esbeltas, 409-410, 413

centro de, 249, 355-362 de placas delgadas, 410-411

como una cantidad escalar, 22 de un área circular, 379

conversión de unidades, 9 de un área compuesta, 386-388

de barras esbeltas, 409-410 de un área triangular, 378-379

de objetos sencillos, 409-414 de un área, 376-382

de placas delgadas, 410-411 de un cilindro, 420-421

en unidades de uso común en Estados Unidos, 9 de un objeto compuesto, 418-419

teorema de los ejes paralelos, 375, 384 momento polar de inercia, 377, 384-385, 577

Mecánica producto de inercia, 377, 384

aprendizaje de la, 4-5 respecto al eje x, 376, 383-384

como ciencia, 4 respecto al eje y, 376, 384

conceptos fundamentales, 5-8 secciones transversales de vigas, 389

cifras significativas, 5 y ejes principales, 400-403, 406

espacio y tiempo, 5-6 de un par, 162, Vea también Pares

leyes de Newton, 6-7 determinación del, 164-165

números, 5 de una fuerza respecto a un punto, 134-135, 137, 163-164

cronología de desarrollos en mecánica, hasta el de una fuerza respecto a una línea, 147-161

Principio de Newton, 6 aplicaciones del, 148-150

cuántica, 7 definición del, 148

e ingeniería, 4-14 determinación del, 151

elemental, 4, 6-7 ejemplo de, 152-153

espacio, 5 de una fuerza respecto al eje x, 154

gravitación newtoniana, 15-16 de un sistema de fuerzas, 124-125

principios de la, 4 definición de, 138

resolución de problemas, 4-5, 9 descripción bidimensional de, 122-133

tiempo, 5 determinación de, 124, 138-139

unidades dirección de, 123, 134-136, 138

angulares, 8 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, 122

conversión de, 8-10 flector, 144, 486-487

mega-, 7 relaciones entre fuerza cortante, cargas distribuidas y,

Megagramo (Mg), 7 498-511

Método magnitud de, 122-123, 134, 138

de las juntas, 258-262 máquinas giratorias, 155

aplicación del, 262-263 momento de una fuerza respecto a una línea,

de las secciones, 268-271 147-161

aplicación del, 271 momento de una fuerza respecto al eje x, 154

Metro (m), 5, 7, 9 polar de inercia, 377, 384-385, 397, 577

Metros principales de inercia, 398

por segundo (m/h), 5 relación con la descripción bidimensional, 136-137

por segundo al cuadrado (m/s2), 5 selección del punto respecto al cual evaluar, 202

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