Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Problemas 553

Determinación del trabajo virtual El trabajo virtual realizado por la fuerza F D
cuando el punto C experimenta un desplazamiento virtual dx hacia la derecha (figu-
ra b) es ϪF dx. Para determinar el trabajo virtual que realiza el peso W, es necesa- h
rio determinar los desplazamientos verticales del punto D en la figura b cuando el
punto C se mueve una distancia dx hacia la derecha. Las dimensiones de b y h están A FC
relacionadas por b
dx
b2 + h2 = L2,
(b) Desplazamiento virtual en el que A
donde L es la longitud de la viga AD. Derivando esta ecuación con respecto a b, se permanece fijo y C se mueve
obtiene horizontalmente.

dh
2b + 2h = 0,

db

que puede resolverse para dh en términos de db:

b
dh = - db.

h

Así, cuando b crece una cantidad dx, la dimensión h decrece una cantidad (b͞h) dx.
Como hay tres pares de vigas, la plataforma se desplaza hacia abajo una distan-
cia (3b͞h) dx, y el trabajo virtual realizado por el peso es (3b͞h)W dx. El trabajo
virtual total es

dU = c -F + a 3b bW ddx = 0,
h

y se obtiene F = 13b>h2W.

Razonamiento crítico
Se diseñó este ejemplo para demostrar qué tan ventajoso puede ser el método del
trabajo virtual para cierto tipo de problemas. Se puede ver que sería muy tedioso
dibujar los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales del bastidor
que soporta a la plataforma y resolver las ecuaciones de equilibrio para determinar
la fuerza ejercida por el cilindro hidráulico. En contraste, fue relativamente simple
determinar el trabajo virtual realizado por las fuerzas externas que actúan sobre el
bastidor.

Problemas

Los siguientes problemas deben resolverse usando 11.2 a) Determine el trabajo virtual realizado por la fuerza de 2 kN
el principio del trabajo virtual. y el par de 2.4 kN-m cuando la viga se gira un ángulo du ( respecto al

11.1 Determine las reacciones en A. punto A en sentido contrario al de las manecillas del reloj.

Estrategia: Someta la viga a tres movimientos virtuales: 1. un b) Use el resultado de a) para determinar la reacción en B.
desplazamiento horizontal dx; 2. un desplazamiento vertical dy, y

3. un giro du respecto a A. 2 kN

y 2.4 kN-m B 30Њ

800 N-m 300 N A
A x

400 mm 800 mm 400 mm

2m 2m
www.FreeLibros.orgProblema11.1
Problema 11.2

554 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.3 Determine la tensión en el cable mostrado. 11.7 El mecanismo mostrado está en equilibrio. Determine la
fuerza R en términos de F.
60Њ A 200 N
FF

BD
60Њ

R

0.8 m 1.6 m 60Њ 60Њ
A C

Problema 11.3

Problema 11.7

11.4 La barra en L mostrada está en equilibrio. Determine F. 11.8 Determine la reacción en el soporte de rodillos mostrado en
F la figura.

200 N A F

600 mm 60 N

100 N-m 1.5 m 1m
E
500 mm 500 mm B
1m 1.5 m
Problema 11.4 D
C

11.5 La dimensión L ϭ 4 pies y w0 ϭ 300 lbրpie. Determine las 1.5 m
reacciones en A y B. Problema 11.8
11.9 Determine el par M necesario para que el mecanismo mos-
Estrategia: Para determinar el trabajo virtual realizado por la trado esté en equilibrio.
carga distribuida, represéntela mediante una fuerza equivalente.
0.5 m
w0

A
B

L/2 L/2 0.3 m
Problema 11.5

11.6 Determine las reacciones en A y B.

0.4 m

0.9 m

y 300 lb/pie M
600 lb
100 lb/pie
A x

B

www.FreeLibros.org3pies3 pies 2 pies
600 N/m
Problema 11.6 Problema 11.9

Problemas 555

11.10 El sistema mostrado está en equilibrio. La masa total de la ᭤ 11.12* En la figura, demuestre que dx está relacionada con d␣
carga suspendida y el dispositivo A es de 120 kg. por medio de

a) Usando la condición de equilibrio, determine la fuerza F. dx ϭ (L1 tan b) d␣.

b) Usando el resultado del inciso (a) y el principio del trabajo (Vea el ejemplo activo 11.1).
virtual, determine la distancia que la carga suspendida se eleva si
el cable es jalado hacia arriba 300 mm en B.

L1
b L2

F
B

da

A

dx

Problema 11.10 Problema 11.12

11.11 Determine la fuerza P necesaria para que el mecanismo de ᭤ 11.13 La superficie horizontal de la figura es lisa. Determine
la figura esté en equilibrio. la fuerza horizontal F necesaria para que el sistema esté en equili-
brio. (Vea el ejemplo activo 11.1).

200 mm P 9 pulg 6 pulg
400 mm 400 pulg-lb 50Њ
400 mm
F M 600 mm F

400 mm Problema 11.13

400 mm 400 mm
Problema 11.11

www.FreeLibros.org

556 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

᭤ 11.14* En la figura, demuestre que dx está relacionada con d␣ 11.17 La barra AC está conectada a la barra BD mediante un
por medio de pasador que se ajusta a una ranura vertical lisa como se mues-
tra en la figura. Las masas de las barras son despreciables. Si
dx = x L1x sen a a da. MA ϭ 30 N-m, ¿cuál es el par MB necesario para que el sistema
- L1 cos esté en equilibrio?

Estrategia: Escriba la ley de los cosenos en función de a y D

derive la ecuación resultante con respecto a a. (Vea el ejemplo

activo 11.1).

C

L1 L2 0.4 m
a x
A MA MB
da B

0.7 m
Problema 11.17

dx 11.18 El ángulo a ϭ 20° y la fuerza ejercida sobre el pistón en
reposo por la presión es de 4 kN hacia la izquierda. ¿Qué par M es
necesario para mantener el sistema en equilibrio?

Problema 11.14

᭤ 11.15 El mecanismo mostrado está en equilibrio. ¿Qué valor 130 240
tiene la fuerza F? (Vea el ejemplo activo 11.1). mm mm

F a
M

200 mm Problema 11.18

2 kN 11.19 La estructura de la figura está sometida a una carga de
400 N y se mantiene en posición mediante un cable horizontal.
200 mm 400 mm Determine la tensión en el cable.

Problema 11.15 400 N

᭤ 11.16 El mecanismo mostrado está en equilibrio. ¿Qué valor 2m
tiene la fuerza F? (Vea el ejemplo activo 11.1). 60Њ 60Њ

2m

400 lb F

3 pies

Problema 11.19

46 4 8

pies pies pies pies
www.FreeLibros.orgProblema11.16

Problemas 557

11.20 Si la carga sobre el gato de la figura es L ϭ 6.5 kN, ¿cuál 11.23 Determine la fuerza P necesaria para que el mecanismo
es la tensión en el tornillo roscado entre A y B? mostrado esté en equilibrio.

L P
F

65 mm B A 600 mm
65 mm
F

120
mm 600 mm

Problema 11.20 800 mm 400 mm 400 mm
᭤ 11.21 Determine las reacciones en los puntos A y B mostrados.
(Use las ecuaciones de equilibrio para determinar las componentes Problema 11.23
horizontales de las reacciones y utilice el procedimiento descrito
en el ejemplo 11.2 para determinar las componentes verticales). 11.24 El collarín A se desliza sobre la barra vertical lisa que se
muestra en la figura. Las masas son mA ϭ 20 kg y mB ϭ 10 kg.
A a) Si al collarín A se le da un desplazamiento virtual hacia arriba
60Њ dy, ¿cuál el desplazamiento resultante hacia debajo de la masa B?
b) Use el principio del trabajo virtual para determinar la tensión
300 lb en el resorte.

0.25 m

60Њ

B 6 0.2 m
12 pulg A
pulg
B
Problema 11.21
Problema 11.24
11.22 El mecanismo mostrado eleva una carga W extendiendo el
actuador hidráulico DE. Las barras AD y BC tienen cada una 2 m
de longitud. Las distancias son b ϭ 1.4 m y h ϭ 0.8 m. Si W ϭ 4
kN, ¿qué fuerza debe ejercer el actuador para mantener la carga en
equilibrio?

b

W

AB

h
DE
C

www.FreeLibros.orgProblema11.22

558 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.2 Energía potencial

ANTECEDENTES

El trabajo de una fuerza F debida a un desplazamiento diferencial de su punto de
aplicación es

dU = F # dr.

Si existe una función V de posición tal que para cualquier dr,

dU = F # dr = -dV, (11.10)

la función V se llama energía potencial asociada con la fuerza F, y se dice que F
es conservativa. (El signo negativo en esta ecuación es consistente con la inter-
pretación de V como energía “potencial”: Una disminución de V origina un traba-
jo positivo). Si las fuerzas que trabajan sobre un sistema son conservativas, se
puede usar la energía potencial total del sistema para determinar sus posiciones de
equilibrio.

Ejemplos de fuerzas conservativas

Los pesos de los objetos y las fuerzas ejercidas por resortes lineales son conserva-
tivos. En las secciones siguientes se deducen las energías potenciales asociadas
con esas fuerzas.

Peso En términos de un sistema coordenado con su eje y dirigido hacia arriba,
la fuerza ejercida por el peso de un cuerpo es F ϭ ϪWj (figura 11.8a). Si se le da
al cuerpo un desplazamiento arbitrario dr ϭ dxi ϩ dyj ϩ dzk (figura 11.8b), el tra-
bajo realizado por su peso es

dU = F # dr = 1-Wj2 # 1dxi + dyj + dzk2 = -W dy.

y

Se busca una energía potencial V tal que

dU = - W dy = - dV (11.11)

o bien

ϪWj dV
= W.
x
dy

z (a) Si se desprecia la variación que se da en el peso con la altura y se integra, resulta
y dr
V ϭ Wy ϩ C.

La constante C es arbitraria. Como esta función satisface la ecuación (11.11) para
cualquier valor de C, se hará C ϭ 0. La posición del origen del sistema coorde-
nado también se puede escoger arbitrariamente. Así, la energía potencial asociada
con el peso de un cuerpo es

V ϭ Wy, (11.12)

ϪWj donde y es la altura del objeto sobre algún nivel de referencia o datum.

Resortes Considere un resorte lineal que conecta un cuerpo a un soporte fijo
x (figura 11.9a). En términos del alargamiento S ϭ r – r0, donde r es la longitud del

z resorte y r0 es su longitud sin estirar, la fuerza ejercida sobre el cuerpo es kS (figu-

(b) ra 11.9b). Si el punto en el cual el resorte está unido al cuerpo experimenta un
desplazamiento diferencial dr (figura 11.9c), el trabajo realizado por la fuerza

Figura 11.8
(a) Fuerza ejercida por el peso de un cuerpo.

www.FreeLibros.org(b) Desplazamientodiferencial.
sobre el objeto es
dU ϭ ϪkS dS,

11.2 Energía potencial 559

k kS

(a) (b)

dr dS Figura 11.9
(c) dr kS (a) Resorte conectado a un objeto.
(b) Fuerza ejercida sobre el objeto.
(d) (c) Desplazamiento diferencial del objeto.
(d) El trabajo realizado por la fuerza es

dU ϭ ϪkS dS.

donde dS es el incremento en el alargamiento del resorte que resulta del desplaza-
miento (figura 11.9d). Se busca una energía potencial V tal que

dU ϭ ϪkS dS ϭ ϪdV. (11.13)

o bien

dV
= kS.

dS

Integrando esta ecuación e igualando a cero la constante de integración, se obtie-
ne la energía potencial asociada con la fuerza ejercida por un resorte lineal:

V = 1 kS2. (11.14)
2

Observe que V es positiva si el resorte está estirado (S es positiva) o comprimido
(S es negativa). La energía potencial (potencial de realizar trabajo) se almacena en
un resorte al estirarlo o comprimirlo.

Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas

Como el trabajo realizado por una fuerza conservativa se expresa en términos de
su energía potencial a través de la ecuación (11.10), se puede dar un enunciado
alternativo del principio del trabajo virtual cuando un objeto se somete a fuerzas
conservativas:

Suponga que un cuerpo está en equilibrio. Si las fuerzas y pares que
realizan trabajo como resultado de una traslación o giro virtual son
conservativas, el cambio en la energía potencial total es igual a cero:

dV ϭ 0. (11.15)

Es necesario enfatizar que no es necesario que todas las fuerzas actuando sobre el
objeto sean conservativas para que este resultado sea válido; sólo deben serlo las
fuerzas que realizan trabajo. Este principio también se aplica a un sistema de obje-
tos interconectados si las fuerzas externas que realizan trabajo son conservativas
y las fuerzas internas en las conexiones entre los cuerpos no trabajan o bien son con-

www.FreeLibros.orgservativas. Tal sistema se denomina sistema conservativo.

560 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Si la posición de un sistema se puede especificar con una sola coordenada u,
se dice que el sistema tiene un grado de libertad. La energía potencial total de
un sistema conservativo de un grado de libertad se puede expresar en términos
de u, y es posible escribir la ecuación (11.15) como

dV 0.
dV dq
= dq =

Así, cuando el cuerpo o sistema está en equilibrio, la derivada de su energía poten-
cial total con respecto a u es igual a cero:

dV (11.16)
dq = 0.

Esta ecuación puede utilizarse para determinar los valores de u para los cuales el
sistema está en equilibrio.

Estabilidad del equilibrio

Suponga que una barra homogénea de peso W y longitud L está articulada en un

extremo. En términos del ángulo a de la figura 11.10a, la altura del centro de masa
1
relativa al extremo articulado es - 2 L cos a. Por lo tanto, escogiendo como refe-

rencia el nivel de la articulación, se puede expresar la energía potencial asociada

con el peso de la barra como

V = - 1 WL cos a.
2

Cuando la barra está en equilibrio,

dV = 1 WL sienn aa ϭ= 00..
da 2

Esta condición se satisface cuando a ϭ 0 (figura 11.10b) y también cuando a ϭ 180°
(figura 11.10c).

Hay una diferencia fundamental entre las dos posiciones de equilibrio de la
barra. En la posición mostrada en la figura 11.10b, si se desplaza la barra ligera-
mente de su posición de equilibrio y se suelta, permanecerá cerca de la posición de
equilibrio. Se dice entonces que esta posición de equilibrio es estable. Cuando la
barra está en la posición mostrada en la figura 11.10c, si se desplaza ligeramente
y se suelta, se alejará de la posición de equilibrio. Esta posición de equilibrio es
inestable.

Nivel de a ϭ 180Њ
referencia

Figura 11.10 aϭ0

(a) Barra suspendida de un extremo.
(b) Posición de equilibrio a ϭ 0.

www.FreeLibros.org(c) Posicióndeequilibrioaϭ180°.
a
(a) (b) (c)

11.2 Energía potencial 561

En la figura 11.11a se muestra la gráfica de la energía potencial V de la barra V Equilibrio
en función de a. La energía potencial es un mínimo en la posición de equilibrio inestable
estable, a ϭ 0, y un máximo en la posición de equilibrio inestable, a ϭ 180°. La
derivada de V (figura 11.11b) es igual a cero en ambas posiciones de equilibrio. (a) p a
La segunda derivada de V (figura 11.11c) es positiva en la posición de equili-
brio estable, a ϭ 0, y negativa en la posición de equilibrio inestable, a ϭ 180°. Equilibrio
estable
Si un sistema conservativo de un grado de libertad está en equilibrio y la
segunda derivada de V evaluada en la posición de equilibrio es positiva, el equili- dV
brio es estable. Si la segunda derivada de V es negativa, el equilibrio es inestable da Equilibrio
(figura 11.12).
(b) p a
Equilibrio
dV d2V
= 0, dq2 7 0: Equilibrio estable

dq

dV d2V Equilibrio inestable d2V
= 0, dq2 6 0: da2 Estable

dq (c) p a
Inestable
La demostración de estos resultados requiere un análisis del movimiento del siste-
ma cerca de una posición de equilibrio. Figura 11.11
Gráficas de V, dVրda, y d2Vրda2.
Por lo general, el uso de la energía potencial para analizar el equilibrio de sis-
temas con un grado de libertad, implica la realización de llevar a cabo tres pasos:

1. Determinar la energía potencial: Exprese la energía potencial total en térmi-
nos de una sola coordenada que especifique la posición del sistema.

2. Encontrar las posiciones de equilibrio: Calcule la primera derivada de la ener-
gía potencial para determinar la posición o las posiciones de equilibrio.

3. Examinar la estabilidad: Use el signo de la segunda derivada de la energía
potencial para determinar si las posiciones de equilibrio son estables.

V

Equilibrio Equilibrio
estable inestable

q

Figura 11.12
Gráficas de la energía potencial V en función de la
coordenada u que muestran posiciones de equilibrio
estable e inestable.

RESULTADOS
Energía potencial

Si existe una función de posición V tal que para cualquier desplazamiento infini-
tesimal dr el trabajo realizado por una fuerza F es

dU = F # dr = -dV,

entonces V se denomina la energía potencial asociada con la fuerza F y se dice

www.FreeLibros.orgque es conservativa.

562 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

y

ϪWj

x

z

V ϭ Wy. (11.12) Energía potencial asociada con el peso de un
objeto. La coordenada y es la altura del centro
de masa sobre un punto de referencia arbitrario
o datum.

k

V ϭ 1 kS2. (11.14) Energía potencial asociada con un resorte,
2 donde S es el alargamiento, la longitud
del resorte respecto a su longitud sin carga.

Principio del trabajo virtual para fuerzas conservativas

Considere un objeto que está en equilibrio. Si las fuerzas y
pares que realizan trabajo sobre el objeto como resultado de
una traslación o rotación virtual son conservativos, el cambio
en la energía potencial total es igual a cero:

dV ϭ 0. (11.15)

Este principio también se aplica a un sistema de objetos interconectados si las fuer-
zas externas que realizan trabajo son conservativas y las fuerzas internas entre los
objetos no efectúan trabajo o son conservativas. Un sistema de este tipo se llama
sistema conservativo.

Si la posición de un sistema puede especificarse mediante una sola
coordenada q, se dice el sistema tiene un grado de libertad. Cuando un
sistema conservativo de un grado de libertad se encuentra en equilibrio,

dV ϭ 0. (11.16)
dq

www.FreeLibros.orgSi la segunda derivada de V con respecto a q es positiva, la posición de
equilibrio es estable; si es negativa, la posición de equilibrio es inestable.

11.2 Energía potencial 563

Ejemplo activo 11.3 Estabilidad de un sistema conservativo (᭤ Relacionado con los problemas 11.27 a 11.29)

En la figura se muestra una caja de peso W, la cual está suspendida del techo me-
diante un resorte. La coordenada x mide la posición del centro de masa de la caja
con respecto a la posición en que el resorte no está estirado. Determine la posición
de equilibrio de la caja respecto a su posición cuando el resorte está sin estirar.

k

x

Estrategia
Las fuerzas que actúan sobre la caja —su peso y la fuerza ejercida por el resorte—
son conservativas. Se puede expresar la energía potencial total en términos de la
coordenada x y usar la ecuación (11.16) para determinar la posición de equilibrio.

Solución Energía potencial asociada con
el peso.
Sea x ϭ 0 el nivel de referencia.
Como x es positiva hacia abajo, la
energía potencial es ϪWx.

El alargamiento del resorte es igual Energía potencial asociada con
a x, por lo que la energía potencial es el resorte.

1 kx2.
2

La energía potencial total es Aplique la ecua-
ción (11.16).
V ϭ 1 kx2 Ϫ Wx.
2

Cuando la caja está en equilibrio,
dV ϭ kx Ϫ W ϭ 0.
dx

La posición de equilibrio es
xϭW.
k

Problema de práctica Determine si la posición de equilibrio de la caja es estable.

www.FreeLibros.orgRespuesta:Sí.

564 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Ejemplo 11.4 Estabilidad de una posición de equilibrio (᭤ Relacionado con los problemas 11.31, 11.32)

Una semiesfera homogénea está en reposo sobre una superficie plana. Demuestre
que, en la posición mostrada, la semiesfera se encuentra en equilibrio. ¿Es estable
la posición de equilibrio?

R

Estrategia
Para determinar si la semiesfera está en equilibrio y para ver si este equilibrio es
estable, se debe introducir una coordenada que especifique su orientación y exprese
su energía potencial en términos de esa coordenada. Se puede usar como coordenada
el ángulo de giro de la semiesfera respecto a la posición mostrada.

Solución

Determinación de la energía potencial Suponga que la semiesfera ha girado un
ángulo a con respecto a su posición original (figura a). Así, a partir del nivel de re-
ferencia mostrado, la energía potencial asociada con el peso W de la semiesfera es

V = - 3 RW cos a.
8

a

Nivel de
referencia
3
R
8

(a) Semiesfera girada un ángulo a.

Localización de las posiciones de equilibrio Cuando la semiesfera está en
equilibrio,

dV = 3 RW sen a = 0,
da 8

lo cual confirma que a ϭ 0 es una posición de equilibrio.

Examen de la estabilidad La segunda derivada de la energía potencial es

d2V 3
RW cos a.
da2 = 8

Esta expresión es positiva en a ϭ 0, por lo que la posición de equilibrio es estable.

Razonamiento crítico
Observe que se despreció la fuerza normal ejercida por la superficie plana sobre la

www.FreeLibros.orgsemiesfera. Esta fuerza no trabaja y por ello no afecta a la energía potencial.

11.2 Energía potencialy 565

Ejemplo 11.5 Estabilidad de una posición de equilibrio (᭤ Relacionado con los problemas 11.41, 11.42)

Las barras articuladas se mantienen en posición mediante el resorte lineal mostrado. A B k
Cada barra tiene peso W y longitud L. El resorte no está estirado cuando a ϭ 0, y L
las barras están en equilibrio cuando a ϭ 60°. Determine la constante de resorte k aa
y determine si la posición de equilibrio es estable o inestable.

Estrategia
Las únicas fuerzas que realizan trabajo sobre las barras son sus pesos y la fuerza ejerci-
da por el resorte. Expresando la energía potencial total en función de a y usando la
ecuación (11.16), se obtendrá una ecuación de la que es posible despejar la constante k.

Solución

Determinación de la energía potencial Si se utiliza el nivel de referencia mos-
trado en la figura a, la energía potencial asociada con los pesos de las dos barras es

W a - 1 L sen ab + W a - 1 L sen ab = - WL sen a.
2 2

Nivel de 2L cos a
referencia
1 L sen a A B k
2 a a

L (a) Determinación de la energía potencial total.

El resorte no está estirado cuando a ϭ 0 y la distancia entre los puntos A y B es 2L

cos a (figura a), por lo que el alargamiento del resorte es 2L Ϫ 2L cos a. Así, la
1 a22,
energía potencial asociada con el resorte es 2 k12L - 2L cos y la energía

potencial total es

V ϭ ϪWL sen a ϩ 2kL2(1 – cos a)2.

Cuando el sistema está en equilibrio,

dV = - WL cos a + 4kL2 1sen a211 - cos a2 = 0.
da

Como el sistema está en equilibrio cuando a ϭ 60°, es posible despejar de esta

ecuación la constante de resorte en función de W y L:

k = W cos a cos a2 = W cos 60° = 0.289W
4L 1sen a211 - 4L 1sen 60°211 - cos 60°2 L

Análisis de la estabilidad La segunda derivada de la energía potencial es

d2V = WL sen a + 4kL2 1cos a - cos2 a + sen2 a2
da2

ϭ WL sen 60° ϩ 4kL2(cos 60° Ϫ cos2 60° ϩ sen2 60°)
= 0.866WL + 4kL2.

Éste es un número positivo, por lo que la posición de equilibrio es estable.

Razonamiento crítico
¿Cómo se sabe cuándo aplicar a un sistema el principio de trabajo virtual para fuer-
zas conservativas? El sistema debe ser conservativo, lo que significa que son con-
servativos las fuerzas y pares que realizan trabajo cuando el sistema experimenta un
movimiento virtual. Las fuerzas conservativas son fuerzas para las cuales existe una
energía potencial. En este ejemplo, el trabajo es realizado por los pesos de las barras

www.FreeLibros.orgy la fuerza ejercida por el resorte, que son fuerzas conservativas.

566 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

Problemas

11.25 La energía potencial de un sistema conservativo está dada ᭤ 11.29 La masa de 1 kg de la figura está suspendida del re-
por V ϭ 2x3 ϩ 3x2 Ϫ l2x. sorte no lineal descrito en el problema 11.28. Las constantes
a) ¿Para qué valores de x el sistema está en equilibrio? k ϭ 10 y e ϭ 1, donde x está en metros.
b) Determine si las posiciones de equilibrio obtenidas en el inci-
so a) son estables o inestables. a) Demuestre que la masa está en equilibrio cuando x ϭ 1.12 m y
cuando x ϭ 2.45 m.
11.26 La energía potencial de un sistema conservativo está dada
por V ϭ 2q3 Ϫ 21q2 ϩ 72q. b) Determine si las posiciones de equilibrio son estables o
a) ¿Para qué valores de u el sistema está en equilibrio? inestables. (Vea el ejemplo 11.3).
b) Determine si las posiciones de equilibrio obtenidas en el inci-
so a) son estables o inestables.

᭤ 11.27 En la figura, la masa m ϭ 2 kg y la constante del resorte x
k ϭ 100 N/m. El resorte no está estirado cuando x ϭ 0. Problema 11.29

a) Determine el valor de x para el cual la masa está en
equilibrio.

b) Determine si la posición de equilibrio es estable o inestable.
(Vea el ejemplo 11.3).

11.30 Cada uno de los dos segmentos rectos de la barra

mostrada tiene peso W y longitud L. Determine si la posición

de equilibrio mostrada es estable cuando: a) 0 Ͻ a0 Ͻ 90°; b)
k 90° Ͻ a0 Ͻ 180°.

m a0 a0
x

Problema 11.27

Problema 11.30

᭤ 11.28 El resorte no lineal mostrado ejerce una fuerza Ϫkx ϩ ex3 ᭤ 11.31 El objeto compuesto homogéneo consiste en una semies-
sobre la masa, donde k y e son constantes. Determine la energía fera y un cilindro, y descansa sobre una superficie plana. Demuestre
potencial V asociada con la fuerza ejercida por el resorte sobre la que esta posición de equilibrio es estable sólo si L 6 R> 22.
masa. (Vea el ejemplo 11.3). (Vea el ejemplo 11.4).

x

L
R

Problema 11.28

Problema 11.31

www.FreeLibros.org

Problemas 567

᭤ 11.32 El objeto compuesto homogéneo consiste en un medio 11.35 La barra AB mostrada tiene masa m y longitud L. El re-
cilindro y un prisma triangular sobre una superficie plana. Demues- sorte no está estirado cuando la barra se encuentra en posición
tre que esta posición de equilibrio es estable sólo si h 6 22 R. vertical (a ϭ 0). El collarín ligero C resbala sobre la barra lisa ver-
(Vea el ejemplo 11.4). tical por lo que el resorte permanece horizontal. Demuestre que
la posición de equilibrio a ϭ 0 es estable sólo si 2kL Ͼ mg.

h 11.36 La barra AB del problema 11.35 tiene una masa m ϭ 4 kg,
R su longitud es de 2 m, y la constante del resorte k ϭ 12 Nրm.

a) Determine el valor de a en el intervalo 0 Ͻ a Ͻ 90° para el
cual la barra está en equilibrio.

b) Determine si la posición de equilibrio encontrada en el inciso
a) es estable.

Problema 11.32 k B
C
11.33 La barra homogénea mostrada tiene peso W, y el resorte
no está estirado cuando la barra se encuentra en posición vertical a
(a ϭ 0). A
a) Utilice la energía potencial para demostrar que la barra está en Problemas 11.35/11.36
equilibrio cuando a ϭ 0.
b) Demuestre que el equilibrio a ϭ 0 es estable sólo si 2kL Ͼ W.

11.34 Suponga que la barra del problema 11.33 está en equili-
brio cuando a ϭ 20°.
a) Demuestre que la constante del resorte k ϭ 0.490 WրL.
b) Determine si la posición de equilibrio es estable.

k

a
L

Problemas 11.33/11.34

www.FreeLibros.org

568 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.37 La barra AB mostrada tiene peso W y longitud L. El re- ᭤ 11.41 Las barras articuladas de la figura se mantienen en
sorte no está estirado cuando la barra se encuentra en posición posición mediante el resorte lineal. Cada barra tiene peso W y
vertical (a ϭ 0). El collarín C se desliza sobre la barra lisa hori- longitud L. El resorte no está estirado cuando a ϭ 90°. Deter-
zontal, por lo que el resorte permanece vertical. Demuestre que mine el valor de a en el intervalo 0 Ͻ a Ͻ 90° para el cual el
la posición de equilibrio a ϭ 0 es inestable. sistema está en equilibrio. (Vea el ejemplo 11.5).

11.38 La barra AB descrita en el problema 11.37 tiene una masa ᭤ 11.42 Determine si la posición de equilibrio encontrada en el
de 2 kg y la constante de resorte k ϭ 80 Nրm. problema 11.41 es estable o inestable. (Vea el ejemplo 11.5).
a) Determine el valor de a en el intervalo 0 Ͻ a Ͻ 90° para el
cual la barra está en equilibrio. L k
b) Determine si la posición de equilibrio encontrada en el inciso aa
a) es estable.

C

k Problemas 11.41/11.42
B
11.43 La barra mostrada pesa 15 lb. El resorte no está estirado
a 1m cuando a ϭ 0. La barra está en equilibrio cuando a ϭ 30°. Deter-
A mine la constante k del resorte.

11.44 Determine si las posiciones de equilibrio de la barra del
problema 11.43 son estables o inestables.

Problemas 11.37/11.38 k 4 pies
11.39 Cada una de las barras homogéneas mostradas tienen a
masa m y longitud L. El resorte no está estirado cuando a ϭ 0.
Si mg ϭ kL, determine el valor de a en el intervalo 0 Ͻ a Ͻ 90° 2 pies
para el cual el sistema está en equilibrio.

11.40 Determine si la posición de equilibrio encontrada en el
problema 11.39 es estable o inestable.

k

a
Problemas 11.43/11.44

a

www.FreeLibros.orgProblemas 11.39/11.40

Problemas de repaso 569

Problemas de repaso 11.48 Suponga se debe calcular la fuerza ejercida sobre el
perno por las tenazas cuando los mangos de sujeción están so-
11.45 a) Determine el par ejercido sobre la viga en A. metidos a fuerzas F como se muestra en la figura a, se podrían
b) Determine la fuerza vertical ejercida sobre la viga en A. medir cuidadosamente las dimensiones, dibujar los diagramas
de cuerpo libre y usar las ecuaciones de equilibrio. Pero existe
200 N-m 100 N otro procedimiento que consiste en medir el cambio en la dis-
A 30Њ tancia entre las mordazas cuando la distancia entre los mangos
cambia un poco. Si las mediciones indican que la distancia d
2m de la figura b disminuye 1 mm cuando D se reduce 8 mm,
Problema 11.45 ¿cuál es el valor aproximado de la fuerza ejercida sobre el
perno por cada mordaza al aplicar las fuerzas F?

11.46 La estructura mostrada está sometida a un par de 20 kN-m. F
Determine la reacción horizontal en C.

y B
20 kN-m
2m

40Њ 40Њ x F
A C (a)

Problema 11.46 d

11.47 El mecanismo de “engrane y cremallera” de la figura se D
usa para ejercer una fuerza vertical sobre una muestra en A en una
operación de estampado. Si se ejerce una fuerza F ϭ 30 lb sobre (b)
el mango, use el principio del trabajo virtual para determinar la Problema 11.48
fuerza ejercida sobre la muestra.

2 pulg

8 pulg
A

F

www.FreeLibros.orgProblema11.47

570 Capítulo 11 Trabajo virtual y energía potencial

11.49 El sistema mostrado está en equilibrio. El peso total de la 11.52 En una máquina de inyección para fundido, un par M apli-
carga suspendida y del dispositivo A es de 300 lb. cado al brazo AB ejerce una fuerza sobre el pistón de inyección
en C. Dado que la componente horizontal de la fuerza en C es de
a) Usando el equilibrio, determine la fuerza F. 4kN, use el principio del trabajo virtual para determinar M.

b) Empleando el resultado del inciso (a) y el principio del trabajo
virtual, determine la distancia que se eleva la carga suspendida si
el cable se jala en B un pie hacia abajo.

B 350 mm

300 mm

A 45Њ C
M

B

F Problema 11.52

11.53 Demuestre que si la barra AB está sometida a un giro virtual
A d␣ en el sentido de las manecillas del reloj, la barra CD experimenta

una rotación virtual (bրa)d␣, en sentido contrario al de las maneci-
llas del reloj.

Problema 11.49 11.54 El sistema mostrado está en equilibrio, a ϭ 800 mm
y b ϭ 400 mm. Use el principio del trabajo virtual para determi-
11.50 El sistema mostrado está en equilibrio. nar la fuerza F.

a) Dibujando diagramas de cuerpo libre y usando las ecuaciones B
de equilibrio, determine el par M.
400 mm F
b) Empleando el resultado del inciso a) y el principio del trabajo A D
virtual, determine el ángulo que gira la polea B si la polea A gira
un ángulo a.

6 kN-m C

200 mm a b 600 mm
200 Problemas 11.53/11.54

N-m M

100 A 100 mm 200
mm Problema 11.50 B mm

11.51 El mecanismo mostrado está en equilibrio. Ignore la fricción
entre la barra horizontal y el collarín. Determine M en términos de
F, a y L.

L 2L
Ma

F

www.FreeLibros.orgProblema11.51

Problemas de repaso 571

11.55 Demuestre que si la barra AB está sometida a un giro virtual 11.59 El resorte no está estirado cuando a = 90°. Determine el
d␣ en el sentido de las manecillas del reloj, la barra CD experimenta valor de a en el intervalo 0 Ͻ a Ͻ 90° para el cual el sistema está
un giro virtual [adր(ac ϩ bc Ϫ bd)]d␣, en el sentido de las maneci- en equilibrio.
llas del reloj.
11.60 Determine si la posición de equilibrio obtenida en el pro-
11.56 El sistema mostrado está en equilibrio, a ϭ 300 mm, b ϭ 350 blema 11.59 es estable o inestable.
mm, c ϭ 350 mm y d ϭ 200 mm. Utilice el principio del trabajo vir-
tual para determinar el par M. 1
L
C
2

m

cB 1 1
L 2L

2

d 24 N-m ak
A
MD

ab Problemas 11.59/11.60
Problemas 11.55/11.56 11.61 El cilindro hidráulico C de la figura ejerce una fuerza
horizontal en A, elevando el peso W. Determine la magnitud de
11.57 La masa de la barra mostrada es de 10 kg y tiene 1 m de la fuerza que el cilindro hidráulico debe ejercer para soportar el
longitud. Ignore las masas de los dos collarines. El resorte no peso en términos de W y a.
está estirado cuando la barra se encuentra en posición vertical
(a ϭ 0), y la constante de resorte k ϭ 100 N/m. Determine los W
valores de a para los cuales la barra está en equilibrio.
a
11.58 Determine si la posición de equilibrio obtenida en el pro- AC
blema 11.57 es estable o inestable.
a
k

a 1
Problemas 11.57/11.58 b b 2b

Problema 11.61

11.62 El cuerpo compuesto homogéneo consiste en una se-
miesfera y un cono sobre una superficie plana. Demuestre que
esta posición de equilibrio es estable sólo si h 6 23R.

h
R

www.FreeLibros.orgProblema11.62

www.FreeLibros.org

APÉNDICE

A

Repaso de matemáticas

A.1 Álgebra

Ecuaciones cuadráticas

Las soluciones de la ecuación cuadrática
ax2 ϩ bx ϩ c ϭ 0

son
- b ; 2b2 - 4ac

x= .
2a

Logaritmos naturales

El logaritmo natural de un número real positivo x se denota con ln x y se define
como un número tal que

eln x ϭ x,
donde e ϭ 2.7182 . . . es la base de los logaritmos naturales.

Los logaritmos tienen las siguientes propiedades:
ln1xy2 = ln x + ln y,
ln1x>y2 = ln x - ln y,
ln yx = x ln y.

www.FreeLibros.o5r73 g

574 Apéndice A Repaso de matemáticas

A.2 Trigonometría

Las funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo son

c a 1 a, 1 b, 1 a.
csc a c sec a c cot a b
a sen a = = cos a = = tan a = =
b

El seno y el coseno satisfacen la relación
sen2 a ϩ cos2 a ϭ 1,

y el seno y el coseno de la suma y la diferencia de dos ángulos satisfacen
sen1a ϩ b2 ϭ sen a cos b ϩ cos a sen b,
sen1a Ϫ b2 ϭ sen a cos b Ϫ cos a sen b,
cos1a ϩ b2 ϭ cos a cos b Ϫ sen a sen b,
cos1a Ϫ b2 ϭ cos a cos b ϩ sen a sen b.

c ab La ley de los cosenos para un triángulo arbitrario es
a c2 ϭ a2 ϩ b2 Ϫ 2ab cos ac,

ac y la ley de senos es
sen aa = sen ab = sen ac .
aa abc
b

A.3 Derivadas d sen x = cos x d senh x = cosh x
dx dx
d x n = nx n - 1
dx d cos x = -sen x d cosh x = senh x
d ex = ex dx dx
dx
d ln x = 1 d = 1 d = 1
dx x tan x cos2 x tanh x cosh2 x

dx dx

www.FreeLibros.org

A.4 Integrales 575

A.4 Integrales

x n dx xn+1 dx 1 1
L = n+1 1n Z - 12 = arcsen ax o - arccos ax
L 11 - a2x 221>2 a a

x-1 dx = ln x sen x dx = -cos x
L L

1a + bx21>2 dx = 2 1a + bx23>2 cos x dx = sen x
L 3b L

x1a + bx21>2 dx = 212a - 3bx2 1a + bx23>2 sen2 x dx = - 1 + 1
L - 15b2 L 2 sen x cos x 2x

11 + a2x 221>2 dx = 1 e x11 + a2x 221>2 cos2 x dx = 1 + 1
L 2 L 2 sen x cos x 2x

+ 1 cx + a 1 + 1>2 sen3 x dx = - 1 cos x1sen2 x + 22
ln a2 L 3
x2b d f
a

x11 + a2x 221>2 dx = a a 1 + 3>2 cos3 x dx = 1 sen x1cos2 x + 22
L 3 a2 L 3
x2b

x 211 + a2x 221>2 dx = 1 a 1 + 3>2 cos4 x dx = 3 + 1 sen 2x + 1 sen 4x
L ax a2 x 32
x2b L 84
4

- 1 + a2x 221>2 1 + 1 + 1>2 senn x cos x dx = 1sen x2n+1 1n Z - 12
8a2 x11 - 8a3 ln c x a a2 L n+1
x2b d

11 - a2x 221>2 dx = 1 c x11 - a2x 221>2 + 1 arcsen axd senh x dx = cosh x
L 2a L

x11 - a2x 221>2 dx = - a a 1 - 3>2 cosh x dx = senh x
L 3 a2 L
x2b

x 21a2 - x 221>2 dx = - 1 x1a2 - x 223>2 tanh x dx = ln cosh x
L 4 L

+ 1 a2 c x1a2 - x 221>2 + a2 arcsen x d eax dx = eax
8a La

L 11 + dx = 1 cx + a 1 + 1>2 xeax dx = eax 1ax - 12
a2x 221>2 a ln a2 L a2
x2b d

www.FreeLibros.org

576 Apéndice A Repaso de matemáticas

A.5 Series de Taylor

La serie de Taylor de una función f1x2 es

f 1a + x2 = f 1a2 + f ¿1a2x + 1 f –1a2x 2 + 1 f ‡1a2x 3 + Á ,
2! 3!

donde las primas indican derivadas.
Algunas series de Taylor útiles son

ex = 1 + x + x2 + x3 + Á,
2! 3!

sen1a + x2 = sen a + 1cos a2x - 1 1sen a2x2 - 1 1cos a2x 3 + Á,
2 6

cos1a + x2 = cos a - 1sen a2x - 1 1cos a2x2 + 1 1sen a2x3 + Á ,
26

tan1a + x2 = tan a + 1 + a sen a b x 2
a cos2 a b x cos3 a

+ a sen2 a + 1 b x 3 + Á.
cos4 a cos2
3 a

www.FreeLibros.org

APÉNDICE

B

Propiedades de áreas y líneas

B.1 Áreas y

Las coordenadas del centroide del área A son y–
O –x
x = LA x dA y dA A
y = LA . x
,
dA
dA LA
LA

El momento de inercia Ix respecto al eje x, el momento de inercia Iy respecto al eje y,
y el producto de inercia Ixy son

Ix = y 2 dA, Iy = x 2 dA, Ixy = xy dA.
LA LA LA

El momento polar de inercia respecto a O es

JO = r 2 dA = 1x 2 + y 22 dA = Ix + Iy.
LA LA

Área ϭ bh y yЈ
b

Ix = 1 bh3, Iy = 1 hb3, Ixy = 1 b2h2 1h xЈ
3 3 4 2 h
1b x
O 2

Ix¿ = 1 bh3, Iy¿ = 1 hb3, Ix¿y¿ = 0 Área rectangular
12 12

www.FreeLibros.o5r77 g

578 Apéndice B Propiedades de áreas y líneas

1 y yЈ AÁrea = 1 bh
h 2

3h
xЈ

O 2 x Ix = 1 bh3, Iy = 1 hb3, Ixy = 1 b2h2
b 12 4 8
3b

Área triangular 1 bh3, 1 hb3, 1 b2h2
36 36 72
Ix¿ = Iy¿ = Ix¿y¿ =

y AÁrea = 1 bh Ix = 1 bh3, Ix¿ = 1 bh3
a 2 12 36

h

O 1 (a ϩ b) 1 h xЈ
3 3x
b

Área triangular

yЈ Área ϭ pR2 Ix¿ = Iy¿ = 1 pR 4, IxЈyЈ ϭ 0
R 4

xЈ

Área circular

y yЈ AÁrea = 1 pR2 Ix = Iy = 1 pR 4, Ixy ϭ 0
2 8 IxЈyЈ ϭ 0
R
O x, xЈ Ix¿ = 1 pR 4, Iy¿ = ap - 8 b R4,
8 8 9p
4R
3p
Área semicircular

y yЈ AÁrea = 1 pR2 Ix Iy 1 pR4, Ixy 1 R4
4 16 8
= = =

R xЈ ap 4 b R 4, a1 4 bR4
16 9p 8 9p
Ix¿ = Iy¿ = - Ix¿y¿ = -

O 4R x

3␲

www.FreeLibros.orgÁreadeuncuartodecírculo