Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

6.4 Armaduras espaciales 279

y TAD
1200 lb TBD

A (5, 3, 2) pies TCD

D (10, 0, 0) pies D Dibuje los diagramas de
x 360 lb cuerpo libre de la junta D.

440 lb 360 lb
z C (6, 0, 6) pies

400 lb

rDA ϭ Ϫ5i ϩ 3j ϩ 2k (pies). Divida el vector de posición desde D
hasta A entre su magnitud para obte-
eDA ϭ rDA ϭ Ϫ0.811i ϩ 0.487j ϩ 0.324k. ner un vector unitario eDA que apunte
͉rDA͉ desde D hacia A. Exprese la fuerza
axial en el elemento AD en términos
TADeDA ϭ TAD (Ϫ0.811i ϩ 0.487j ϩ 0.324k), de sus componentes, escribiéndola
como TADeDA. Exprese las fuerzas
TBDeDB ϭ ϪTBDi, axiales en los elementos BD y CD
en términos de sus componentes de
TCDeDC ϭ TCD (Ϫ0.555i ϩ 0.832k). la misma manera.

TADeDA ϩ TBDeDB ϩ TCDeDC ϩ (360 lb)j ϭ 0. Aplique el equilibrio.

Cada una de las componentes i, j, y k de esta ecuación deben
ser iguales a cero, lo que resulta en las sigs. tres ecuaciones

Ϫ0.811TAD Ϫ TBD Ϫ 0.555TCD ϭ 0,
0.487TAD ϩ 360 lb ϭ 0,

0.324TAD ϩ 0.832TCD ϭ 0.
Al resolver se obtiene TAD ϭ Ϫ740 lb, TBD ϭ 440 lb,
y TCD ϭ 288 lb. Las fuerzas axiales son AD: 740 lb (C),
BD: 440 lb (T), CD: 288 lb (T).

Problema de práctica Determine las fuerzas axiales en los elementos AB y AC de la
armadura mostrada.
Respuesta: AB: 904 lb (C), AC: 680 lb (C).

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280 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas

᭤ 6.57 En el ejemplo activo 6.5, dibuje el diagrama de cuerpo 6.63 La armadura espacial mostrada representa el tren de aterri-
libre de la junta B de la armadura espacial mostrada y utilícelo zaje de un avión. Tiene soportes de bola y cuenca en C, D y E. Si
para determinar las fuerzas axiales en los elementos AB, BC y BD. la fuerza ejercida en A por la rueda es F ϭ 40j (kN), ¿qué valor
tienen las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD?
6.58 La armadura espacial mostrada soporta una carga vertical de
10 kN en D. Se muestran las reacciones en las juntas A, B y C. ¿Qué 6.64 Si la fuerza ejercida en el punto A de la armadura del
valor tienen las fuerzas axiales en los elementos AD, BD y CD? problema 6.63 es F ϭ 10i ϩ 60j ϩ 20k (kN), ¿qué valor tienen
las fuerzas axiales en los elementos BC, BD y BE?
6.59 Las reacciones en las juntas A, B y C se muestran en la figura.
¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD? y
E (0, 0.8, 0) m
y

10 kN
D (4, 3, 1) m

Ay Cy D
Ax A C (6, 0, 0) m
Cz x 0.4 m Bx
Az By B (5, 0, 3) m 0.6 m (1, 0, 0) m

z C A
z (1.1, Ϫ0.4, 0) m
Problemas 6.58/6.59
F
6.60 La armadura espacial mostrada soporta una carga vertical F
en A. Cada elemento tiene una longitud L, y la armadura tiene so- Problemas 6.63/6.64
portes de rodillo en B, C y D. Determine las fuerzas axiales en los
elementos AB, AC y AD. 6.65 La armadura espacial mostrada se sostiene mediante sopor-
tes de rodillo sobre la superficie horizontal en C y D, y por medio
6.61 Para la armadura del problema 6.60, determine las fuerzas de un soporte de bola y cuenca en E. El eje y apunta hacia arriba.
axiales en los elementos AB, BC y BD. La masa del objeto suspendido es 120 kg. Las coordenadas de las
juntas de la armadura son A: (1.6, 0.4, 0) m, B: (1.0, 1.0, Ϫ0.2) m,
F C: (0.9, 0, 0.9) m, D: (0.9, 0, Ϫ0.6) m, y E: (0, 0.8, 0) m. Determi-
A ne las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD.

B y
D EB

C

Problemas 6.60/6.61 C D
z A
6.62 La armadura espacial mostrada tiene soportes de rodillo en x
B, C y D y sostiene una carga vertical en A de 800 lb. ¿Qué valor
tienen las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y AD? Problema 6.65

y
800 lb
A (4, 3, 4) pies

B
D (6, 0, 0) pies
x

z C (5, 0, 6) pies

www.FreeLibros.orgProblema6.62

Problemas 281

6.66 En la figura se muestra el diagrama de cuerpo libre de la 6.68 La caja del espejo de telescopio que se muestra en la figura
parte de una grúa para construcción que se encuentra a la izquierda está soportada por una armadura espacial de seis barras. La masa
del plano. Las coordenadas (en metros) de las juntas A, B y C son de la caja es de 3 Mg (megagramos), y su peso actúa en G. La
(1.5, 1.5, 0), (0, 0, 1) y (0, 0, Ϫ1) respectivamente. Las fuerzas distancia del eje del telescopio a los puntos A, B y C es de 1 m,
axiales P1, P2 y P3 son paralelas al eje x. Las fuerzas axiales P4, P5 y a los puntos D, E y F es de 2.5 m. Si el eje del telescopio es
y P6 apuntan en la dirección de los siguientes vectores unitarios vertical (a ϭ 90°), ¿qué valor tienen las fuerzas axiales en los
elementos de la armadura?
e4 = 0.640i - 0.640j - 0.426k,
6.69 Considere el telescopio descrito en el problema 6.68. Deter-
e5 = 0.640i - 0.640j + 0.426k, mine las fuerzas axiales en los elementos cuando el ángulo a entre
la horizontal y el eje del telescopio es de 20°.
e6 = 0.832i - 0.555k.
VISTA DEL
La fuerza total ejercida en el diagrama de cuerpo libre por el peso EXTREMO y
de la grúa y la carga que ésta soporta es ϪFj ϭ Ϫ44j (kN) y actúa
en el punto (Ϫ20, 0, 0) m. ¿Cuál es el valor de la fuerza axial P3?

Estrategia: Use el hecho de que el momento respecto a la
línea que pasa por las juntas A y B es igual a cero.

6.67 En el problema 6.66, ¿qué valor tienen las fuerzas P1, P4 y P5? 60Њ 60Њ
Estrategia: Escriba las ecuaciones de equilibrio para todo el DA F
60Њ G 60Њ
diagrama de cuerpo libre. BC

E 60Њ x
60Њ

Caja del espejo y F
z D

A
GC

B a
1m

4m
E

x

Problemas 6.68/6.69

y

A

F P5 P1
P4
C P3
z B PP2 6

x

Problemas 6.66/6.67

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282 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.5 Bastidores y máquinas

ANTECEDENTES

Muchas estructuras, como el bastidor de un automóvil y la estructura humana de
huesos, tendones y músculos (figura 6.16), no están compuestas completamente
de elementos de dos fuerzas y no pueden modelarse como armaduras. En esta sec-
ción se considerarán estructuras de elementos interconectados que no satisfacen
la definición de una armadura. Estas estructuras se denominan bastidores si están
diseñados para permanecer en reposo al soportar cargas, y máquinas si están dise-
ñadas para moverse y aplicar cargas.

Cuando se analizan armaduras cortando barras para obtener diagramas de
cuerpo libre de juntas o secciones, las fuerzas internas que actúan en los “cortes”
son simples fuerzas axiales (vea la figura 6.4). Esto no es generalmente cierto para
bastidores o máquinas, y se requiere un método diferente para su análisis. En lugar
de cortar elementos, se aíslan de la estructura elementos completos o en algunos
casos combinaciones de elementos.

Para analizar un bastidor o una máquina, se dibuja un diagrama de cuerpo libre
de toda la estructura (es decir, tratándola como un solo objeto) y se determinan la reac-
ciones en sus soportes. En algunos casos, la estructura entera será estáticamente inde-
terminada, pero se debe determinar tantas reacciones como sea posible. Luego se
dibujan diagramas de cuerpo libre de elementos individuales, o de combinaciones de
elementos seleccionados, y se aplican las ecuaciones de equilibrio para determinar las
fuerzas y los pares que actúan sobre ellos. Por ejemplo, considere la estructura en

www.FreeLibros.orgFigura6.16
La estructura interna de una persona y el bastidor de un automóvil no son armaduras.

6.5 Bastidores y máquinas 283

reposo de la figura 6.17. El elemento BE es un elemento de dos fuerzas, pero los otros 1m 1m 1m
tres miembros, ABC, CD y DEG, no lo son. Esta estructura es un bastidor. El objeti- AB
vo consiste en determinar las fuerzas en sus elementos. 6 kN
C
Análisis de la estructura completa
1m
En la figura 6.18 se presenta el diagrama de cuerpo libre del bastidor completo.
Es estáticamente indeterminado: tiene cuatro reacciones desconocidas, Ax, Ay, Gx 8 kN
y Gy, mientras que sólo se puede escribir tres ecuaciones independientes de equi-
librio. Sin embargo, observe que las líneas de acción de tres de las reacciones 1m
desconocidas se intersecan en A. Al sumar momentos respecto a A se obtiene
GE D
⌺Mpunto A ϭ (2 m)Gx ϩ (1 m)(8 kN) Ϫ (3 m)(6 kN) ϭ 0,
Figura 6.17
y se obtiene la reacción Gx ϭ 5 kN. Después, a partir de la ecuación de equilibrio Bastidor que soporta dos cargas.

͚Fx ϭ Ax ϩ Gx ϩ 8 kN ϭ 0,

se obtiene la reacción Ax ϭ Ϫ13 kN. Aunque no es posible determinar Ay o Gy con
base en el diagrama de cuerpo libre de la estructura, sí puede lograrse analizando
los elementos individuales.

Análisis de los elementos

El siguiente paso consiste en dibujar los diagramas de cuerpo libre de los elementos.
Para ello, se considera la unión de un elemento con otro como si fuera un soporte.
Visto de esta manera, cada elemento puede considerarse como un objeto soportado
del tipo analizado en el capítulo 5. Además, las fuerzas y los pares que los elemen-
tos ejercen entre sí son iguales en magnitud y opuestos en dirección. Una simple

1m 1m 1m
AB 6 kN
C

1m

8 kN 1 m

GED

3m

Ay B 6 kN
A C
Ax
1m
2m
Gy 8 kN

Gx G E D

Figura 6.18
Obtención del diagrama de cuerpo libre

www.FreeLibros.orgdelbastidorcompleto.

284 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

F

F

(a) (b)

Figura 6.19
Demostración de la tercera ley de Newton:
(a) Sujete sus manos y jale su mano izquierda.
(b) Sus manos ejercen fuerzas iguales y opuestas.

demostración resulta ilustrativa. Si usted sujeta sus manos como se muestra en la
figura 6.19a y ejerce una fuerza sobre su mano izquierda, su mano izquierda ejerce
una fuerza igual y opuesta sobre su mano derecha (figura 6.19b). De manera similar,
si usted ejerce un par sobre su mano izquierda, su mano izquierda ejerce un par igual
y opuesto sobre su mano derecha.

En la figura 6.20 se “desarma” el bastidor y se dibujan los diagramas de cuerpo
libre de sus elementos. Observe que las fuerzas ejercidas entre sí por los elementos
son iguales y opuestas. Por ejemplo, en el punto C del diagrama de cuerpo libre del
elemento ABC, la fuerza ejercida por CD se denota mediante las componentes Cx
y Cy. Las fuerzas ejercidas por el elemento ABC sobre CD en C deben ser iguales y
opuestas, como se muestra en la figura.

Ay B 6k N
A T
C
Ax Cx

T Ay Cy Cx C
AB 6 kN Cy

B C
Ax

Gy 8 kN 8 kN

E Dx D
Gx G E D Dy

T

Gy T Dy

Gx G E D Dx
Figura 6.20

www.FreeLibros.orgObtención de los diagramas de cuerpo libre de los elementos.

6.5 Bastidores y máquinas 285

Antes de completar el análisis es necesario analizar dos aspectos importantes By T
de esos diagramas de cuerpo libre. Bx B B

Elementos de dos fuerzas BE es un elemento de dos fuerzas, y se ha tomado Ex E
en cuenta esto al dibujar su diagrama de cuerpo libre en la figura 6.20. La fuerza T E
es la fuerza axial en el elemento BE, y una fuerza igual y opuesta está actuando
sobre ABC en B y sobre GED en E. Ey T
(a) (b)
Si se reconocen los elementos de dos fuerzas en los bastidores y máquinas y se
dibujan sus diagramas de cuerpo libre como ha ocurrido aquí, se reduce el número Figura 6.21
de incógnitas por determinar y el análisis se simplifica en gran medida. En este Diagrama de cuerpo libre del elemento BE:
ejemplo no se trata al miembro BE como un elemento de dos fuerzas; su diagrama (a) Sin tratarlo como elemento de dos fuerzas.
de cuerpo libre tendrá cuatro fuerzas desconocidas (figura 6.21a). Tratándolo como (b) Tratándolo como elemento de dos fuerzas.
un elemento de dos fuerzas (figura 6.21b), el número de fuerzas desconocidas se
reduce en tres.

Cargas aplicadas en las juntas Cuando una carga se aplica en una junta surge
la siguiente pregunta: ¿Dónde aparece la carga en los diagramas de cuerpo libre de
los elementos individuales? La respuesta es: la carga puede colocarse en cualquiera
de los elementos unidos en la junta. Por ejemplo, en la figura 6.17, la carga de 6 kN
actúa en la junta donde se conectan los elementos ABC y CD. Al dibujar los dia-
gramas de cuerpo libre de los elementos individuales (figura 6.20), se supuso que
la carga de 6 kN actúa sobre el elemento ABC. Las componentes de fuerza Cx y Cy
sobre el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC son las fuerzas ejercidas por el
elemento CD.

Para explicar por qué los diagramas de cuerpo libre pueden dibujarse de esta
manera, suponga que la fuerza de 6 kN actúa sobre el pasador que conecta los ele-
mentos ABC y CD, y dibuje diagramas de cuerpo libre separados para el pasador
y los dos elementos (figura 6.22a). Las componentes de fuerza CЈx y CЈy son las
fuerzas ejercidas por el pasador sobre el elemento ABC, y Cx y Cy son las fuerzas ejer-
cidas por el pasador sobre el elemento CD. Si se superponen los diagramas de cuer-
po libre del pasador y del elemento ABC, se obtienen los dos diagramas de cuerpo
libre de la figura 6.22b, que tienen la forma del diagrama de la figura 6.20. De
manera alternativa, si se superponen los diagramas de cuerpo libre del pasador y
el elemento CD, se obtienen los dos diagramas de cuerpo libre de la figura 6.22c.

Entonces, si en una carga actúa una junta, ésta se puede colocar sobre cual-
quiera de los elementos unidos en la junta cuando se dibujen los diagramas de
cuerpo libre de los elementos individuales. Sólo asegúrese de no colocarla en más
de un elemento.

CЈx 6 kN 6 kN Cx
CЈy CЈx Cx
6 kN
Cx Cy Cy
CЈy Cy (b)

6 kN Figura 6.22

Cx CЈx CЈx (a) Dibujo de los diagramas de cuerpo libre
del pasador y de los dos elementos.

(b) Superposición del pasador sobre el

CЈy elemento ABC.
(c) Superposición del pasador sobre el

elemento CD.
CyCЈy
(c)
www.FreeLibros.org(a)

286 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ay B 6 kN
A C

Ax Cx
T Cy

6 kN

T Ay T C Cx C
AB

B Ax Cx Cx
Cy Cy
T Cy

Gy T 8 kN 8 kN
Dy

E Gx G E Dx D Dx Dx D

T T Dy Dy

Gy T Dy

Gx G E D Dx
(a)
6 kN
Ay B C
A

Ax

Gy 8 kN

Gx G ED
(b)

Figura 6.23
(a) “Reensamble” de los diagramas de cuerpo libre de los elementos

individuales.
(b) Se ha recuperado el diagrama de cuerpo libre del bastidor completo.

Para detectar errores en los diagramas de cuerpo libre de los elementos, resulta
útil “reensamblarlos” (figura 6.23a). Las fuerzas en las conexiones entre elementos
se cancelan (son fuerzas internas una vez que los elementos se reensamblan) y se
recupera el diagrama de cuerpo libre de la estructura completa (figura 6.23b).

El paso final consiste en aplicar las ecuaciones de equilibrio a los diagra-
mas de cuerpo libre de los elementos (figura 6.24). En dos dimensiones, es
posible obtener tres ecuaciones de equilibrio independientes del diagrama de
cuerpo libre de cada elemento de una estructura que no se trate como un ele-
mento de dos fuerzas (al suponer que las fuerzas sobre un elemento de dos fuer-
zas son fuerzas axiales iguales y opuestas, ya se han usado las tres ecuaciones
de equilibrio para ese elemento). En este ejemplo, hay tres elementos además del
elemento de dos fuerzas, por lo que se tienen 3 ϫ 3 ϭ 9 ecuaciones de equili-
brio independientes y hay nueve fuerzas desconocidas: Ax, Ay, Cx, Cy, Dx, Dy,
Gx, Gy y T.

www.FreeLibros.orgRecuerdequesedeterminóqueAx ϭ Ϫ13kNyGx ϭ 5kNapartirdelanálisis
de la estructura completa. Las ecuaciones de equilibrio obtenidas del diagrama de
cuerpo libre de la estructura no son independientes de las ecuaciones de equilibrio

6.5 Bastidores y máquinas 287

Ay 6 kN Gy T Dy
A C
B Gx G E D Dx
Ax T Cx
Cy
1m 2m 1m 1m
Cx (b)
(a)
C

Cy 1 m

Dx 8 kN
D 1m
Dy

1m

Figura 6.24 (c)
Diagramas de cuerpo libre de los elementos.

obtenidas a partir de los diagramas de cuerpo libre de los elementos, pero al usarlas
para determinar Ax y Gx, se adelanta en la solución de las ecuaciones para los ele-
mentos. Considere el diagrama de cuerpo libre del elemento ABC (figura 6.24a).
Como ya se conoce Ax, es posible determinar Cx a partir de la ecuación

͚Fx ϭ Ax ϩ Cx ϭ 0,

y se obtiene Cx ϭ ϪAx ϭ 13 kN. Ahora considere el diagrama de cuerpo libre de
GED (figura 6.24b). Es posible determinar Dx a partir de la ecuación

͚Fx ϭ Gx ϩ Dx ϭ 0,

de donde se obtiene Dx ϭ ϪGx ϭ Ϫ5 kN. Ahora considere el diagrama de cuerpo
libre del elemento CD (figura 6.24c). Como ya se conoce Cx, es posible determi-
nar Cy sumando momentos respecto a D:

͚Mpunto D ϭ (2 m)Cx Ϫ (1 m)Cy Ϫ (1 m)(8 kN) ϭ 0.

Se obtiene Cy ϭ 18 kN. Entonces, a partir de la ecuación

͚Fy ϭ ϪCy Ϫ Dy ϭ 0,

se encuentra que Dy ϭ ϪCy ϭ Ϫ18 kN. Ahora es posible regresar a los diagramas
de cuerpo libre de los elementos ABC y GED para determinar Ay y Gy. Sumando
momentos respecto al punto B del elemento ABC, resulta

www.FreeLibros.org͚Mpunto B ϭ Ϫ(1 m)Ay ϩ (2 m)Cy Ϫ (2 m)(6 kN) ϭ 0,

288 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

36 kN

B 13 kN C
E
24 kN 6 kN 36 kN
A
B C 18 kN GE D
13 kN 36 kN 13 kN
18 kN 18 kN 8 kN 5 kN 5 kN
18 kN 18 kN

D 5 kN

36 kN

Figura 6.25
Fuerzas sobre los elementos del bastidor.

y se obtiene Ay ϭ 2Cy Ϫ 12 kN ϭ 24 kN. Después, sumando momentos respecto
al punto E del elemento GED, se tiene

͚Mpunto E ϭ (1 m)Dy Ϫ (1 m)Gy ϭ 0,

de donde se obtiene Gy ϭ Dy ϭ Ϫ18 kN. Por último, a partir del diagrama de cuer-
po libre del elemento GED se usa la ecuación de equilibrio

͚Fy ϭ Dy ϩ Gy ϩ T ϭ 0,

lo que da como resultado T ϭ Ϫ Dy Ϫ Gy ϭ 36 kN. Las fuerzas sobre los ele-
mentos se muestran en la figura 6.25. Como lo demuestra este ejemplo, con fre-
cuencia la determinación de las fuerzas en los elementos se puede simplificar si se
escoge con cuidado el orden en que se resolverán las ecuaciones de equilibrio.

Se ha visto que la determinación de las fuerzas y los pares que actúan sobre
los elementos de bastidores y máquinas implica dos pasos:

1. Determinar las reacciones en los soportes. Dibuje el diagrama de cuerpo libre
de la estructura completa y determine las reacciones en los soportes. Aunque
este paso no es esencial, puede simplificar en forma considerable el análisis
de los elementos. Si el diagrama de cuerpo libre es estáticamente indetermi-
nado, determine tantas reacciones como sea posible.

2. Analizar los elementos. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elemen-
tos y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas que
actúan sobre ellos. Este paso se puede simplificar identificando los elementos
de dos fuerzas. Si una carga actúa sobre una junta de la estructura, la carga se
puede colocar en el diagrama de cuerpo libre de cualquiera de los elementos
unidos a esa junta.

RESULTADOS

Una estructura de elementos interconectados que no puede modelarse como una
armadura se denomina bastidor si está diseñada para permanecer estacionaria y
soportar cargas, y se llama máquina si está diseñada para moverse y aplicar cargas.
Las fuerzas y pares que actúan sobre los elementos individuales de un bastidor o

www.FreeLibros.orgmáquina en equilibrio puede determinarse frecuentemente aplicando las ecuaciones
de equilibrio a los elementos individuales.

6.5 Bastidores y máquinas 289

A menudo resulta ventajoso comenzar dibujando el diagrama de cuerpo li-
bre de toda la estructura considerada como un solo objeto y aplicando las
ecuaciones de equilibrio. Aunque el diagrama de cuerpo libre de toda la
estructura sea estáticamente indeterminado, es posible determinar las
reacciones a partir del subsecuente análisis de los elementos individuales.

AA

F D F D
B E B E

C C E
Cx

Cy

Dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales y aplique en ellos
las ecuaciones de equilibrio. Observe que en los puntos donde están conectados dos
elementos, las fuerzas que éstos ejercen entre sí son iguales y opuestas. Observe
que el elemento BD es un elemento de dos fuerzas. El reconocimiento de los
elementos de dos fuerzas simplificará el análisis de una estructura.

Ay A D E
A Ax T E

Ax Ay D
F A E

T F E
C B
Cx
Cy C
Cx

Cy

BD

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290 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.6 Análisis de un bastidor (᭤ Relacionado con el problema 6.70)

Determine las fuerzas y los pares que actúan sobre los elementos del bastidor
mostrado.

A B
400 mm 200 N-m

600 mm C

400 mm

Estrategia
Primero se dibujará un diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor, tratándolo
como un solo objeto, y se intentará determinar las reacciones en los soportes.
Después se dibujarán diagramas de cuerpo libre de los elementos individuales y
se aplicarán las ecuaciones de equilibrio para determinar las fuerzas y los pares
que actúan sobre ellos.

Solución

MA A B
Ax 200 N-m

Ay
400 mm

1000 mm C
C

⌺Fx ϭ Ax ϭ 0, Dibuje el diagrama de cuerpo li-
bre de todo el bastidor y aplique
⌺Fy ϭ Ay ϩ C ϭ 0, las ecuaciones de equilibrio.

⌺Mpunto A ϭ MA Ϫ 200 N-m ϩ (1.0 m)C ϭ 0.

La reacción Ax ϭ 0, pero Ay, C, y MA
no pueden determinarse a partir de estas ecuaciones.
El diagrama de cuerpo libre del bastidor completo
es estáticamente indeterminado.

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6.5 Bastidores y máquinas 291

MA By
A B

Ax 600 mm Bx
Ay

MA B B Dibuje los diagramas
A 200 N-m de cuerpo libre de los
Bx elementos individuales.
Ax 400 mm By
Ay 200 N-m

CC
CC

⌺Fx ϭ ϪBx ϭ 0, 400 mm
⌺Fy ϭ ϪBy ϩ C ϭ 0,
Aplique el equilibrio al elemento BC.
⌺Mpunto B ϭ Ϫ200 N-m ϩ (0.4 m)C ϭ 0.
Resolviendo se obtiene Bx ϭ 0, By ϭ 500 N, y
C ϭ 500 N.

⌺Fx ϭ Ax ϩ Bx ϭ 0, Aplique el equilibrio al elemento AB.

⌺Fy ϭ Ay ϩ By ϭ 0,

⌺Mpunto A ϭ MA ϩ (0.6 m)By ϭ 0.

Como Ax, Bx, y By ya se han
determinado, es posible despejar
Ay y MA de estas ecuaciones. Los
resultados son Ay ϭ Ϫ500 N
y MA ϭ Ϫ300 N-m, lo cual
completa la solución.

Problema de práctica El bastidor mostrado tiene soportes de pasador en A y C.
Determine las fuerzas y pares sobre el elemento BC en B y C.

A B
400 mm 200 N-m

C

600 mm 400 mm

Respuesta: Bx ϭ Ϫ500 N, By ϭ 0, Cx ϭ 500 N, Cy ϭ 0. (En las respuestas, las componentes x
son positivas hacia la derecha y las componentes y son positivas hacia arriba).

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292 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo 6.7 Determinación de fuerzas sobre elementos de un bastidor (᭤ Relacionado con el

problema 6.74)

El bastidor de la figura soporta un peso suspendido W ϭ 40 lb. Determine las fuer-
zas en los elementos ABCD y CEG.

D

6 pulg 3 pulg
G
C E
6 pulg
W
B
6 pulg 8 pulg

A

8 pulg

Estrategia
Se dibujará un diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor y se intentará determi-
nar las reacciones en los soportes. Después se dibujarán los diagramas de cuerpo libre
de los elementos individuales y se usarán las ecuaciones de equilibrio para determinar
las fuerzas y los pares que actúan sobre ellos. Para hacer esto, se tomará ventaja del
hecho de que la barra BE es un elemento de dos fuerzas.

Solución
Determinación de las reacciones en los soportes En la figura (a) se presenta el
diagrama de cuerpo libre de todo el bastidor. A partir de las ecuaciones de equilibrio

͚Fx ϭ Ax Ϫ D ϭ 0,
͚Fy ϭ Ay Ϫ 40 lb ϭ 0,
͚Mpunto A ϭ (18 pulg)D Ϫ (19 pulg)(40 lb) ϭ 0,
se obtienen las reacciones Ax ϭ 42.2 lb, Ay ϭ 40 lb y D ϭ 42.2 lb.

DD Análisis de los elementos En la figura (b) se obtienen los diagramas de cuerpo
libre de los elementos. Observe que BE es un elemento de dos fuerzas. El ángulo
C G a ϭ arctan(6͞8) ϭ 36.9°.
18 pulg E
El diagrama de cuerpo libre de la polea tiene sólo dos fuerzas desconocidas.
De las ecuaciones de equilibrio

͚Fx ϭ Gx Ϫ 40 lb ϭ 0,
͚Fy ϭ Gy Ϫ 40 lb ϭ 0,

B se obtiene Gx ϭ 40 lb y Gy ϭ 40 lb. Hay ahora sólo tres fuerzas desconocidas en el
Ax diagrama de cuerpo libre del elemento CEG. A partir de las ecuaciones de equilibrio

A 40 lb
Ay
͚Fx ϭ ϪCx Ϫ R cos a Ϫ 40 lb ϭ 0,
19 pulg
͚Fy ϭ ϪCy Ϫ R sen a Ϫ 40 lb ϭ 0,

͚Mpunto C ϭ Ϫ(8 pulg)R sen a Ϫ (16 pulg)(40 lb) ϭ 0,

(a) Diagrama de cuerpo libre del bastidor se obtiene Cx ϭ 66.7 lb, Cy ϭ 40 lb y R ϭ Ϫ133.3 lb, lo que completa la solución
www.FreeLibros.orgcompleto.
(figura c).

6.5 Bastidores y máquinas 293

8 pulg 8 pulg
Cx C E G Gx

a Gy
R
D 42.2 lb Cy
6 pulg 40 lb
D 42.2 lb
Cx C
6 pulg Cy R 40 lb 3 pulg
a Gx
6 pulg G
B C

E

B Gy
40 lb
42.2 lb
42.2 lb A A 40 lb
40 lb
40 lb
R
E

6 pulg
Ba

R 8 pulg (b) Obtención de los diagramas de cuerpo libre
de los elementos.

Razonamiento crítico
En los problemas de este tipo, las reacciones sobre los elementos individuales del
bastidor pueden determinarse a partir de los diagramas de cuerpo libre de los ele-
mentos. ¿Por qué se dibujó el diagrama de cuerpo libre del bastidor completo y se
resolvieron las ecuaciones de equilibrio asociadas? La razón es que esto proporcio-
na el inicio de la solución de las ecuaciones de equilibrio para los elementos. En
este ejemplo, cuando se dibujaron los diagramas de cuerpo libre de los elementos
ya se conocían las reacciones en A y en D, lo que simplificó el análisis restante. El
análisis de todo el bastidor también puede proporcionar una forma de verificar
el trabajo realizado. Observe que en este caso no se usaron las ecuaciones de equi-
librio para el elemento ABCD. El análisis realizado puede verificarse al confirmar
que este elemento está en equilibrio (figura c):

͚Fx ϭ 42.2 lb Ϫ 133.3 cos 36.9° lb ϩ 66.7 lb ϩ 40 lb Ϫ 42.2 lb ϭ 0,
͚Fy ϭ 40 lb Ϫ 133.3 sen 36.9° lb ϩ 40 lb ϭ 0,
͚Mpunto A ϭ (6 pulg)(133.3 cos 36.9° lb) Ϫ (12 pulg)(66.7 lb)

Ϫ(15 pulg)(40 lb) ϩ (18 pulg)(42.2 lb) ϭ 0.

D 42.2 lb

40 lb

66.7 lb C 66.7 lb C E G
40 lb 40 lb
133.3 lb 36.9Њ
36.9Њ 133.3 lb 40 lb
B 40 lb

42.2 lb
A

www.FreeLibros.org40lb (c) FuerzassobreloselementosABCDyCEG.

294 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo 6.8 Análisis de una máquina (᭤ Relacionado con el problema 6.103)

¿Qué fuerzas se ejercen sobre la bola en E como resultado de las fuerzas de 150 N
que se aplican sobre las tenazas mostradas?

150 N

A

C

E 30 mm

BD

150 N 30 mm 70 mm 30 mm 30 mm

Estrategia
Un par de pinzas es un ejemplo de una máquina simple, una estructura diseñada
para moverse y ejercer fuerzas. Las interconexiones de los elementos están diseña-
das para obtener una ventaja mecánica, sometiendo un objeto a fuerzas mayores
que las ejercidas por el usuario.

En este caso no se puede obtener información del diagrama de cuerpo libre de
la estructura entera. Se deben determinar las fuerzas ejercidas sobre la bola dibu-
jando diagramas de cuerpo libre de los elementos.

Solución
En la figura a se “desarman” las pinzas para obtener los diagramas de cuerpo
libre de los elementos marcados como (1), (2) y (3). En los diagramas de cuer-
po libre (1) y (3), la fuerza R es ejercida por el elemento de dos fuerzas AB. El
ángulo a ϭ arctan(30͞70) ϭ 23.2°. El objetivo aquí es determinar la fuerza E
ejercida por la bola.

El diagrama de cuerpo libre del elemento (3) tiene sólo tres fuerzas descono-
cidas y la carga de 150 N, por lo que es posible determinar R, Dx y Dy a partir sólo
de este diagrama de cuerpo libre. Las ecuaciones de equilibrio son

͚Fx ϭ Dx ϩ R cos a ϭ 0,

͚Fy ϭ Dy Ϫ R sen a ϩ 150 N ϭ 0,

͚Mpunto B ϭ (30 mm)Dy Ϫ (100 mm)(150 N) ϭ 0.

Resolviendo estas ecuaciones se obtiene Dx ϭ Ϫ1517 N, Dy ϭ 500 N y R ϭ 1650 N.
Conociendo Dx se puede determinar E a partir del diagrama de cuerpo libre del ele-
mento (2) sumando momentos respecto a C,

͚Mpunto C ϭ Ϫ(30 mm)E Ϫ (30 mm)Dx ϭ 0.

La fuerza ejercida por las pinzas sobre la bola es E ϭ ϪDx ϭ 1517 N. La ventaja

www.FreeLibros.orgmecánica de las pinzas es (1517 N)͞(150 N) ϭ 10.1.

Problemas 295

30 100 mm 30
mm
mm Cy
150 N
Cx
A C
␣
E
R
C
150 N (1) Cy
␣
A Cx C

(2) E 30
mm
D
B D
(3) Dx

150 N Dy

30
mm

R Dy
␣ D Dx

B

100 mm 30
mm
150 N

(a) Obtención de los diagramas de cuerpo libre de los elementos.

Razonamiento crítico
¿Cuál es la motivación para determinar las reacciones sobre los elementos de las
pinzas? Este proceso resulta esencial para el diseño de herramientas y máquinas.
Para diseñar la configuración de las pinzas y elegir los materiales y dimensiones
de sus elementos, es necesario determinar todas las fuerzas que actúan sobre éstos,
como se hizo en este ejemplo. Una vez que se conocen las fuerzas, pueden usarse
los métodos de mecánica de materiales para evaluar qué tan adecuados son los
elementos para soportar dichas fuerzas.

Problemas

Suponga que los objetos están en equilibrio. Al escribir 6.71 En la figura, el objeto suspendido en E pesa 200 lb. Deter-
las respuestas, considere que las componentes x son mine las reacciones sobre el elemento ACD en A y C.
positivas hacia la derecha y que las componentes y
son positivas hacia arriba. 3 pies D E
C
᭤ 6.70 En el ejemplo activo 6.6, suponga que además de estar B A
cargado con el par de 200 N-m, el bastidor está sometido en C 5 pies
a una fuerza de 400 N, la cual es horizontal y apunta hacia la
izquierda. Trace un bosquejo del bastidor mostrando las nuevas
cargas. Determine las fuerzas y los pares que actúan sobre el
elemento AB del bastidor.

www.FreeLibros.org4pies 6 pies

Problema 6.71

296 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio
6.72 En la figura, la masa del objeto suspendido en G es de 100 kg. Determine las reacciones sobre el elemento CDE en C y E.

BE FG

800 mm D
A 200 mm

C

400 mm 400 mm 800 mm 400 mm

Problema 6.72

6.73 Se tiene la fuerza F ϭ 10 kN. Determine las fuerzas sobre 6.75 La tensión en el cable BD mostrado es de 500 lb. Determine
el elemento ABC mostrado, presentando las respuestas como se las reacciones en A para los casos (1) y (2).
ilustra en la figura 6.25.

G
E

F EG 6 pulg
D C D
1m
AB 6 pulg

AB 2m C
1m 1m 300 lb
8 pulg 8 pulg
Problema 6.73 (1)

G
E

᭤ 6.74 En el ejemplo 6.7, suponga que el bastidor se rediseñó 6 pulg
de manera que la distancia desde el punto C hasta el punto de D
unión E del elemento de dos fuerzas BE se incrementó de 8 pulg a
10 pulg. Determine las fuerzas que actúan en C sobre el elemento AB 6 pulg
ABCD.
C
8 pulg 8 pulg 300 lb
(2)

Problema 6.75

www.FreeLibros.org

Problemas 297

6.76 Determine las reacciones del elemento ABCD mostrado en 6.79 El bastidor mostrado soporta una carga vertical de 6 kN en
A, C y D. C. Las barras ABC y DEF son horizontales. Determine las reac-
ciones sobre el bastidor en A y D.
AB

0.4 m 0.4 m 1.0 m 6 kN
CE C
A B
0.5 m
600 N 0.4 m E
D 0.4 m

D F

0.8 m

Problema 6.79

0.6 m 0.4 m 0.4 m

Problema 6.76 6.80 Se tiene la masa m ϭ 120 kg. Determine las fuerzas sobre
el elemento ABC mostrado, presentando sus respuestas como se
6.77 Determine las fuerzas ejercidas sobre el elemento ABC ilustra en la figura 6.25.
mostrado en A y C.
ABC
D

2 pies 400 lb

1 pie A BC 300 mm
1 pie
100 lb Dm

E

2 pies 2 pies 2 pies Em
200 mm 200 mm
Problema 6.77
Problema 6.80
6.78 Una atleta se ejercita con el aparato de gimnasio que se
muestra en la figura. Para girar la barra ABD debe ejercer una 6.81 Determine las reacciones sobre el elemento BCD que se
fuerza vertical en A tal que la fuerza axial en el elemento BC sea muestra en la figura.
de 1800 N. Cuando la barra ABD está a punto de girar, ¿cuáles
son las reacciones sobre la barra vertical CDE en D y E?

30 lb

0.6 m 0.6 m
C
D FG

AB 0.42 m E 8 pulg
D 40 lb 8 pulg

C

8 pulg

AB

1.65 m 18 pulg 12 pulg 8 pulg

Problema 6.81

E

www.FreeLibros.orgProblema6.78

298 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.82 El peso del objeto suspendido que se muestra en la figura 6.85 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC que se muestra
es W ϭ 50 lb. Determine la tensión en el resorte y la reacción en la figura.
en F (el elemento ranurado DE es vertical).

AB E D 6 kN
1m C
E
W 4 pulg 1m
6 pulg
C A B 1m
10 pulg 2m 2m
F
D Problema 6.85
6.86 Determine las fuerzas sobre el elemento ABD mostrado.
8 pulg 8 pulg 10 pulg 10 pulg
8 pulg 8 pulg 8 pulg

Problema 6.82 A 60 lb 60 lb
8 pulg E
6.83 Se tiene la masa m ϭ 50 kg. La barra DE es horizontal. B
Determine las fuerzas sobre el elemento ABCD mostrado, pre- 8 pulg D
sentando sus respuestas como se ilustra en la figura 6.25. C

1m 1m

D E Problema 6.86
1m m
6.87 La masa m que se muestra en la figura es de 12 kg. Deter-
C mine las fuerzas sobre el elemento CDE.
1m

B

1m F A B E 100 mm
A 200 mm D

Problema 6.83 200 mm
C

6.84 Determine las fuerzas sobre el elemento BCD mostrado. 200 mm m

400 mm

6 pies 400 lb Problema 6.87
A B

4 pies 6.88 Se tiene el peso W ϭ 80 lb. Determine las fuerzas sobre el
elemento ABCD mostrado.
4 pies
C E 11 pulg 5 pulg 12 pulg
D
3 pulg

A BC D

8 pulg

W
8 pies

www.FreeLibros.orgProblema6.84
EF

Problema 6.88

Problemas 299

6.89 En la figura, la mujer que está utilizando el aparato para 6.91 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura
hacer ejercicio sostiene en reposo el peso de 80 lb en la posi- es m ϭ 50 kg. Determine las reacciones sobre el elemento ABC.
ción mostrada. ¿Qué valor tienen las reacciones en el soporte
fijo E y en el soporte de pasador F? (A y C son conexiones de 0.2 m
pasador.) AB

2 pies 2 pies 1 pie D 0.6 m
2 pulg B 6 pulg 60Њ

9 pulg A C D E C 0.2 m

0.8 m 0.6 m

m

6 pies Problema 6.91

80 lb

6.92 La longitud del resorte sin estirar es L0. Demuestre que
cuando el sistema está en equilibrio, el ángulo a satisface la

relación: sen a ϭ 2(L0 Ϫ 2F͞k)͞L.

EF F
Problema 6.89
1 L
6.90 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado 4
en A y en B.
1 L
4

1 k
L
2

80 lb

E aa

9 pulg Problema 6.92

BC 6.93 En la figura, el soporte de pasador en B resistirá con seguri-
dad una fuerza de 24 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es la
masa m máxima que el bastidor puede soportar de manera segura?

8 pulg C

AD 500 mm

13 pulg 4 pulg 100 mm E
B D
F
300 mm m
A
Problema 6.90

300 mm 400 mm 400 mm

www.FreeLibros.orgProblema6.93

300 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.94 Determine las reacciones en los puntos A y C mostrados. 6.97 Determine la fuerza ejercida sobre la bola por las tijeras y
encuentre la magnitud de la fuerza axial en el elemento de dos
AC fuerzas AB.

3 pies 20 lb
3 pies
72 pies-lb 36 lb
B
A
18 lb 20 pulg

B

4 pies 8 pies 36 4

pulg pulg pulg

20 lb

Problema 6.94 Problema 6.97
6.95 Determine las fuerzas sobre el elemento AD mostrado.

200 N 130 mm 6.98 La mujer ejerce fuerzas de 20 N sobre las pinzas según se
D muestra en la figura.

400 mm a) ¿Cuál es la magnitud de las fuerzas que ejercen las pinzas
sobre el perno en B?

b) Determine la magnitud de las fuerzas que los elementos de las
pinzas ejercen entre sí en la conexión de pasador del punto C.

A C 400 N
B

400 mm 400 mm

Problema 6.95

6.96 El bastidor mostrado se usa para soportar cables de alta ten-
sión. Si b ϭ 3 pies, a ϭ 30° y W ϭ 200 lb, ¿qué valor tiene la
fuerza axial en el elemento HJ?

A 25 mm 80 mm
B
B
D C
C aa

G E
F
W 50 mm
H W
45Њ
J 20 N
I aa

W

20 N
bbb b

www.FreeLibros.orgProblema6.96
Problema 6.98

Problemas 301

6.99 La figura a es un diagrama de los huesos y el músculo bíceps 6.100 En la figura a se muestran los huesos y los tendones de la
del brazo de una persona que soporta una masa. La tensión en el pata de un caballo. En la figura b se muestra un modelo biomecá-
bíceps mantiene el antebrazo en posición horizontal, como se ilustra nico de la misma pata. Si el caballo está en reposo y la fuerza nor-
en el sencillo modelo mecánico de la figura b. El peso del antebrazo mal ejercida por el suelo sobre su pata es N ϭ 1200 N, determine
es de 9 N y la masa m ϭ 2 kg. las tensiones en el músculo flexor digital superficial BC y en el li-
gamento patelar DF.
a) Determine la tensión en el músculo bíceps AB.

b) Determine la magnitud de la fuerza ejercida sobre la parte
superior del brazo por el antebrazo en la junta C del codo.

6 cm D C
6 cm F E
6 cm

40 cm

A B

3 cm

72 cm
B

(a) 290 N
mm
8 10 8
A cmcmcm
(a) (b)
C
50 Problema 6.100
mm
6.101 La fuerza de presión ejercida sobre el pistón mostrado es
9N de 2 kN hacia la izquierda. Determine el par M necesario para
m mantener el sistema en equilibrio.

200 mm 150 mm 6.102 En el problema 6.101, determine las fuerzas sobre el
(b) elemento AB en A y en B.

Problema 6.99

B

300 mm 350 mm

45Њ C
AM

400 mm
Problemas 6.101/6.102

᭤ 6.103 En el ejemplo 6.8, suponga que el objeto que está
sostenido por las pinzas se mueve hacia la izquierda de manera
que la distancia horizontal desde D hasta el objeto en E dismi-
nuye de 30 mm a 20 mm. Trace un bosquejo de las pinzas
donde muestre la nueva posición del objeto. ¿Qué valor tienen

www.FreeLibros.orglas fuerzas que se ejercen sobre el objeto en E como resultado
de las fuerzas de 150 N sobre las pinzas?

302 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.104 La pala de la excavadora que se muestra en la figura está sostenida mediante un soporte de pasador en E y el elemento de dos
fuerzas BC. El peso W de 300 lb de la pala actúa en el punto mostrado. Determine las reacciones sobre la pala en E y la magnitud de
la fuerza axial en el elemento de dos fuerzas BC.

6.105 La pala de la excavadora que se muestra en la figura tiene un soporte de pasador en E. La posición de la pala se controla
mediante el pistón hidráulico horizontal AB, que está unido a la pala a través de un eslabón de los elementos de dos fuerzas BC y BD.
El peso W ϭ 300 lb de la pala actúa en el punto mostrado. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer el pistón hidráulico
para mantener la pala en equilibrio?

Cilindro 15 pulg Pala
hidráulico B

A

3 pulg

C
12 pulg

E
D

12 7 W
20 pulg
pulg pulg

Problemas 6.104/6.105

6.106 La mujer de la figura ejerce fuerzas de 20 N sobre los mangos de las tijeras. Determine la magnitud de las fuerzas ejercidas
sobre la rama en A.

20 N

D
A BC

E

65 mm20 N

www.FreeLibros.orgProblema6.106

Problemas 303

6.107 La persona de la figura ejerce fuerzas de 40 N sobre los 6.110 El mecanismo que se muestra en la figura levanta una
mangos de las pinzas de presión. Determine la magnitud de las carga W al extenderse el actuador hidráulico DE. Las barras AD
fuerzas que ejercen las pinzas sobre el perno en A. y BC tienen 4 pies de longitud y las distancias son b ϭ 2.5 pies y
h ϭ 1.5 pies. Si W ϭ 300 lb, ¿qué fuerza debe ejercer el actuador
6.108 Determine la magnitud de la fuerza que los elementos de DE para mantener la carga en equilibrio?
las pinzas de presión mostradas ejercen entre sí en el punto B y
encuentre la fuerza axial en el elemento de dos fuerzas DE. b
W
h
AB E

CD

Problema 6.110

AB 40 N 6.111 En mecanismo de cuatro barras que se muestra en la figura
8 mm 40 mm opera la horquilla de un montacargas. La fuerza soportada por la
C horquilla es W ϭ 8 kN. Determine las reacciones sobre el elemento
D E CDE.

50 mm 30 mm 75 mm 0.7 m
0.15 m

40 N

Problemas 6.107/6.108 0.2 m

6.109 El mecanismo que se muestra en la figura está diseñado 0.15 m B C W
para ejercer una gran fuerza sobre la barra horizontal en A para DE Horquilla
una operación de estampado. Si el cilindro hidráulico DE ejerce una
fuerza axial de 800 N y a ϭ 80°, ¿qué fuerza horizontal se ejerce 0.2 m
sobre la barra horizontal en A?

A 0.3 m
F
90Њ

D

250 mm B 250 mm a 0.2 m
A 250 mm E Problema 6.111

C

400 mm

Problema 6.109

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304 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio
6.112 Si la fuerza horizontal sobre la cuchara mostrada es F ϭ 2000 lb, ¿cuál la magnitud de la fuerza axial en el actuador hidráulico AC?

C

38 pulg

28 pulg D B Cuchara
A F
10 pulg

10 pulg 20 pulg 12 pulg
Problema 6.112

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Problemas 305

6.113 Una fuerza horizontal de 10 kip actúa sobre la cubeta de la excavadora que se muestra en la figura. Determine las reacciones
sobre el elemento ACF en A y en F.

9 pies

1 pie 4 pulg 2 pies E
D F 2 pies

C

4 pies 4 pulg

A

1 pie 8 pulg

B

5 pies 6 pulg

Cubeta

2 pies 3 pies

10 kip

Problema 6.113

6.114 La estructura mostrada en el diagrama (una de las dos estructuras idénticas que sostienen la cuchara de la excavadora) soporta
una fuerza descendente F ϭ 1800 N en G. Los elementos BC y DH pueden tratarse como elementos de dos fuerzas. Determine las reac-
ciones sobre el elemento CDK en K.

320
mm

Eje C Pala

100 260 B
mm 180
mm H
D 260 mm G
mm
JF

160
mm L K

1040 380 200

mm 1120 mm mm

mm
www.FreeLibros.orgProblema6.114

306 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas de repaso 6.118 La armadura de puente Pratt que se muestra en la figura
soporta cargas en F, G y H. Determine las fuerzas axiales en los
6.115 En la figura, las cargas F1 ϭ 440 N y F2 ϭ 160 N. elementos BC, BG y FG.
Determine las fuerzas axiales en los elementos. Indique si están
en tensión (T) o en compresión (C).

F1 6.119 Para la armadura mostrada, determine las fuerzas axiales
F2 en los elementos CD, GD y GH.

A BC D

B 400 mm A 4m
C FGH E

200 mm

60 kN 80 kN 20 kN

4m 4m 4m 4m

700 mm Problemas 6.118/6.119
Problema 6.115

6.116 La armadura mostrada soporta una carga F ϭ 10 kN. 6.120 La armadura mostrada soporta cargas en F y H. Determine
Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y BC. las fuerzas axiales en los elementos AB, AC, BC, BD, CD y CE.

6.117 Cada elemento de la armadura soportará con seguridad una 6.121 Para la armadura mostrada, determine las fuerzas axiales
fuerza de tensión de 40 kN y una fuerza de compresión de 32 kN. en los elementos EH y FH.
Con base en este criterio, ¿cuál es la máxima carga descendente F
que puede aplicarse con seguridad en C? 200 lb

B 4 pulg F 100 lb
D H

4 pulg B E

3m C G J

4 pulg

A I

A CD

4m 3m 6 pulg 6 pulg 6 pulg 6 pulg
F Problemas 6.120/6.121

Problemas 6.116/6.117

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Problemas de repaso 307

6.122 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y 6.127 La armadura Howe que se muestra en la figura ayuda a
CE mostrados. soportar un techo. Modele los soportes en A y G como soportes de
rodillo. Use el método de las juntas para determinar las fuerzas
6.123 Determine las fuerzas axiales en los elementos DF, EF y axiales en los elementos BC, CD, CI y CJ.
EG mostrados.

10 kN A 6.128 Considere la armadura Howe que se muestra en la figura.
Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en
los elementos CD, CJ e IJ.

14 kN C 2m 6 kN
B E
D G 2m 4 kN D 4 kN
C
F 2m 2 kN 2 kN
E
2m 4m
I F
B

H AG
H I J KL

2m 2m 2m 2m 2m 2m

6m Problemas 6.127/6.128
Problemas 6.122/6.123
6.129 Un sistema de bocinas está suspendido de la armadura
6.124 La armadura mostrada soporta una carga de 400 N en G. mostrada mediante cables conectados en D y E. La masa del siste-
Determine las fuerzas axiales en los elementos AC, CD y CF. ma de bocinas es de 130 kg y su peso actúa en G. Determine las
fuerzas axiales en los miembros BC y CD.

6.125 Determine las fuerzas axiales en los elementos CE, EF y 0.5 m 0.5 m 0.5 m 1m 0.5 m
EH de la armadura mostrada.

6.126 ¿Cuáles de los elementos mostrados soportan las mayores C E
fuerzas de tensión y de compresión, y cuáles son sus valores?
A
400 N 1m
G
ACE

B D

300 mm

600 mm H

F G
D Problema 6.129
B

300 mm 300 mm 300 mm
Problemas 6.124–6.126

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308 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.130 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura 6.132 En la figura, la masa m ϭ 120 kg. Determine las fuerzas
es de 900 kg. Determine las fuerzas axiales en las barras AB y AC. sobre el elemento ABC.

Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la junta A. ABC

y

D (0, 4, 0) m 300 mm
A (3, 4, 4) m
Dm

B (0, 0, 3) m E

C (4, 0, 0) m
x

200 mm 200 mm

z Problema 6.132
Problema 6.130

6.131 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC mostrado y 6.133 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado
presente sus respuestas como lo hizo en la figura 6.25. Obtenga en B y en C.
los resultados de dos maneras:
4 kN A
a) Cuando dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos
individuales, coloque la carga de 400 lb en el diagrama de cuerpo 0.2 m D 2 kN-m
libre del elemento ABC. B

b) Cuando dibuje los diagramas de cuerpo libre de los elementos 0.2 m
individuales, coloque la carga de 400 lb en el diagrama de cuerpo
libre del elemento CD.

C E
0.2 m
1 pie 1 pie 0.2 m

200 lb

C D Problema 6.133
400 lb
6.134 Una camioneta y un remolque están estacionados sobre
1 pie una pendiente de 10°. El peso de 14,000 lb de la camioneta y el
peso de 8000 lb del remolque actúan en los puntos mostrados. Los
B frenos de la camioneta evitan el giro de sus ruedas traseras en B.
Las ruedas frontales de la camioneta en C y las ruedas del remol-
1 pie que en A pueden girar libremente, lo que significa que éstas no
ejercen fuerzas de fricción sobre el camino. El enganche del re-
E molque en D se comporta como un soporte de pasador. Determine
1 pie las fuerzas ejercidas sobre la camioneta en B, C y D.

F
A

Problema 6.131 y 14 pies 2 pies 9 pies 3 pies
4 pies D
8 kip B 5 pies 6 pulg
10Њ 3 pies
x

6 pies 14 kip C

A

www.FreeLibros.orgProblema6.134

Problemas de repaso 309

6.135 El peso de 600 lb de la cuchara mostrada actúa en un 6.136 Determine la fuerza ejercida por las pinzas cortadoras
punto que se encuentra 1 pie 6 pulg a la derecha de la línea mostradas en la figura sobre el perno.
vertical CE. La línea ADE es horizontal. El actuador hidráulico
AB puede tratarse como un elemento de dos fuerzas. Determine 6.137 Determine la magnitud de la fuerza que los elementos de
la fuerza axial en el actuador hidráulico AB y las fuerzas ejercidas
sobre la cuchara en C y en E. las pinzas cortadoras mostradas en la figura ejercen entre sí en la

conexión de pasador B y la fuerza axial en el elemento de dos

fuerzas CD.

B 100 N
C

2 pies 1 pie 6 pulg A 40 mm

75 mm B C 55 mm
D
A DE

5 pies 1 pie 2 pies 6 pulg Pala

Problema 6.135

90 mm 60 mm 65 mm 300 mm 100 N

Problemas 6.136/6.137

Proyecto de diseño 1 Diseñe una armadura para soportar la 300 290 390
base de un puente con un claro no soportado (ancho) de 8 m. G mm mm mm
Haga estimaciones conservadoras de las cargas que la estructura
necesitará soportar si el camino sostenido por la armadura está F 150 mm
hecho de madera. Considere dos opciones: 1) Su cliente quiere
que el puente esté soportado por una armadura por debajo del ED 480 mm
puente, de manera que la estructura no estorbe a la superficie B C
superior. 2) El cliente quiere que la armadura esté por encima
del puente y que esté diseñada de manera que sirva como pasa- 200 mm
manos. Para cada opción use la estática para estimar las fuerzas A
axiales máximas a las que estarán sometidos los elementos de la
estructura. Investigue diseños alternativos y compare las cargas
axiales resultantes.

8m

Proyecto de diseño 3 Vaya a un gimnasio y escoja un aparato

Zapatas de concreto para hacer ejercicio que parezca mecánicamente interesante (por
ejemplo, que emplee pesos, poleas y palancas). Mida dimensiones

(mientras el aparato no esté en uso), haga bosquejos e incluso

tome fotografías para recopilar la información necesaria y analizar

Proyecto de diseño 2 La armadura mostrada conecta un el aparato. Use la estática para determinar el rango de fuerzas que
extremo de una camilla a un helicóptero de rescate. Considere debe ejercer una persona al usar el aparato.
diseños alternativos para la armadura que sostiene la camilla
en A y B y que está soportada en E y G. Compare las cargas Sugiera cambios al diseño del aparato (diferentes a simplemente
máximas en tensión y compresión en los elementos de su diseño incrementar los pesos) que aumenten la fuerza máxima que debe
ejercer el usuario.

con las correspondientes de la armadura mostrada. Suponiendo Prepare un reporte breve en el que 1) describa el aparato original;

que el costo de una armadura es proporcional a la suma de las 2) presente su modelo y análisis del aparato; 3) describa sus

longitudes de sus elementos, compare los costos de sus diseños propuestas de cambio y cualquier análisis que las soporten, y 4)

con los de la armadura que se muestra en la figura. Escriba un recomiende el cambio de diseño que escogería para incrementar

reporte breve donde describa su análisis y recomiende el diseño

www.FreeLibros.orgqueescogería.
la fuerza máxima que debe emplear el usuario.

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CAPÍTULO

7

Centroides y centros de masa

El peso de un objeto no actúa en un solo punto; se encuentra distri-
buido sobre el volumen total del cuerpo. En cualquier caso, el peso
puede representarse mediante una sola fuerza equivalente que actúa
en un punto llamado centro de masa. Cuando se usan las ecuaciones
de equilibrio para determinar las reacciones ejercidas sobre un objeto
por sus soportes, la ubicación del centro de masa debe conocerse si se
desea incluir el peso del objeto en el análisis. Los comportamientos
dinámicos de los objetos también dependen de las ubicaciones de sus
centros de masa. En este capítulo se define el centro de masa y se
muestra cómo determinarlo para varios tipos de objetos. También
se presentan definiciones que pueden interpretarse como las posi-
ciones medias de áreas, volúmenes y líneas. Esas posiciones medias
se llaman centroides. Los centroides coinciden con los centros de
masa en clases particulares de objetos, pero también surgen en
muchas otras aplicaciones de la ingeniería.

᭣ Para estar en equilibrio, el centro de masa de la mujer —el punto en que
su peso actúa de manera efectiva— debe estar directamente por encima de
sus manos. En este capítulo se presenta el concepto de una posición media,
o centroide, y se muestra cómo localizar los centros de masa de los
objetos.

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312 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.1 Centroides de áreas

ANTECEDENTES

y Suponga que desea determinar la posición media de un grupo de estudiantes en un

(a) aula. Primero se introduce un sistema coordenado para poder expresar la posición
y
de cada estudiante. Por ejemplo, los ejes pueden alinearse con las paredes (figura

7.1a). Se numera a los estudiantes del 1 al N y se denota la posición del estudian-

te 1 con (qxu1,eys1e),dleanpootasricáiópnord–xeleessltaudsiuamntae 2 con (x2, y2), etcétera. La coordenada
x media, de sus coordenadas x dividida entre N;

esto es

x a xi
i,
x1 + x2 + Á + xN

x= = (7.1)
NN

donde el símbolo a significa “suma en el rango de i”. La coordenada y media es

i

y a yi (7.2)
y= i .
x
(b) N

Figura 7.1 x
(a) Grupo de estudiantes en un aula.
(b) Su posición media. La posición media se indica mediante el símbolo mostrado en la figura 7.1b.
Ahora suponga que se reparten entre los estudiantes algunas monedas. Sea c1 el

número de monedas entregadas al estudiante 1, c2 el número de monedas dadas al
estudiante 2, y así sucesivamente. ¿Cuál es la posición media de las monedas en el
aula? Resulta claro que no puede ser igual que la posición media de los estudiantes.
Por ejemplo, si los estudiantes ubicados al frente del aula tienen más monedas, la
posición media de las monedas estará más cerca del frente del aula que la posición
media de los estudiantes.

Para determinar la coordenada x de la posición media de las monedas, es
necesario sumar las coordenadas x de las monedas y dividirlas entre el número de
monedas. La suma de las coordenadas x de las monedas puede obtenerse al multi-
plicar el número de monedas que tiene cada estudiante por la coordenada x del
estudiante y luego sumar los productos parciales. El número de monedas se puede
obtener sumando los números c1, c2, . . . . Por lo tanto, la coordenada x media de
las monedas es

a xi ci (7.3)
x= i .

a ci

i

La coordenada y media de las monedas puede determinarse de la misma manera:

a yi ci (7.4)
y= i .

a ci

i

www.FreeLibros.orgSi se asignan otros significados a c1, c2,..., es posible determinar las posiciones
medias de otras medidas asociadas con los estudiantes. Por ejemplo, podría deter-
minarse la posición media de sus edades o sus estaturas.

7.1 Centroides de áreas 313

y y
A
AN
A2

x A1 x

(a) (b)
y
y

AA

dA _ x Figura 7.2
y y (a) Área A.
x (b) División de A en N partes.
x (c) Elemento diferencial de área dA con
_
x coordenadas (x, y).
(d) Centroide del área.

(c) (d)

De manera más general, las ecuaciones (7.3) y (7.4) pueden usarse para deter-
minar la posición media de cualquier conjunto de cantidades a las que se puedan
asociar posiciones. Una posición media obtenida a partir de esas ecuaciones se
denomina posición media de peso ponderado o centroide. El “peso” asociado con
la posición (x1, y1) es c1, el peso asociado con la posición (x2, y2) es c2, y así su-
cesivamente. En las ecuaciones (7.1) y (7.2), el peso asociado con la posición
de cada estudiante es 1. Al realizar censos nacionales, el centroide de la pobla-
ción de un país —la posición promedio de la población— se determina de esta
manera.

Considere ahora un área A arbitraria en el plano x–y (figura 7.2a). Divida
el área en las partes A1, A2, . . . , AN (figura 7.2b) y denote las posiciones de las
partes mediante sus coordenadas (x1, y1), (x2, y2), . . . , (xN, yN). El centroide o
posición media del área puede obtenerse usando las ecuaciones (7.3) y (7.4) con
las áreas de las partes como los pesos:

a xi Ai a yi Ai
x= i y= i
, . (7.5)

a Ai a Ai

i i

Al llevar a cabo este procedimiento, surge la siguiente pregunta: ¿Cuáles son las
posiciones exactas de las áreas A1, A2, . . . , AN?. La incertidumbre en sus posicio-
nes podría reducirse al dividir A en partes más pequeñas, pero aun así se obten-
drían sólo valores aproximados para –x y –y. Para determinar la ubicación exacta del
centroide se debe tomar el límite cuando los tamaños de las partes tiendan a cero.
Este límite se obtiene reemplazando las ecuaciones (7.5) con las integrales

x dA
x = LA ,
(7.6)
wwwLA.dAFreeLibros.org

314 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

y dA (7.7)
y = LA ,

dA
LA

donde x e y son las coordenadas del elemento diferencial de área dA (figura 7.2c).
El subíndice A en el signo de integral significa que la integración se efectúa sobre
toda el área. En la figura 7.2d se muestra el centroide del área.

RESULTADOS

y

A

_ x
y
xdA
_
x

x ϭ LA , (7.6)
(7.7)
dA Coordenadas del centroide, o posición
LA media de un área A en el plano x–y.

y ϭ LA ydA

,

dA
LA

Si se mantiene en mente que el centroide de un área es su posición media, a
menudo se facilita su localización. Si un área tiene simetría ìde espejo ”
respecto a un eje, su centroide se encuentra sobre el eje. Si un área es simétri-
ca respecto a dos ejes, el centroide se encuentra en la intersección de éstos.

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7.1 Centroides de áreas 315

Ejemplo activo 7.1 Centroide de un área por integración (᭤ Relacionado con el problema 7.1)

Determine la coordenada x del centroide del área triangular que se muestra en la
figura.

y

h

x
b

Estrategia
Se evaluará la ecuación (7.6) usando un elemento de área dA en la forma de una “tira”
vertical de ancho dx.

Solución

y

dA
bh– x

x
x dx

b h x3 b
xdA x h xdx
΂ ΃ ΄ ΅x ϭ LA b ϭb 3 2 La altura de una tira con ancho dx en la posición
ϭ L0 h x2 0 ϭ 3 b. x es (h/b)x, por lo que su área es dA ϭ (h/b)xdx.
b b Use esta expresión para evaluar la ecuación (7.6).
dA h xdx b
΄ ΅LA L0 b
20

Problema de práctica Determine la coordenada y del centroide del área triangular
mostrada. Evalúe la ecuación (7.7) usando un elemento de área dA en la forma de una
“tira” vertical de ancho dx, y sea y la altura del punto medio de la tira.

Respuesta: y = 1 h.
3

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316 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.2 Área definida por dos ecuaciones (᭤ Relacionado con los problemas 7.2, 7.3)

y Determine el centroide del área mostrada

yϭx (1, 1) Estrategia
y ϭ x2
Las coordenadas del centroide pueden determinarse usando un elemento de área en
x
la forma de una tira vertical, como se hizo en el ejemplo activo 7.1. En este caso la
tira debe definirse de manera que se extienda desde la curva inferior (y ϭ x2) hasta
la curva superior (y ϭ x).

Solución
Sea dA el área de la tira vertical de la figura a. La altura de la tira es x Ϫ x2, por lo
que dA ϭ (x Ϫ x2) dx. La coordenada x del centroide es

x dA 1 cx3 - x4 d1
3 4 1
x1x - x 22 dx x2 x3 .
LA L0
x= dA = = 0 = 2
1 1
LA
1x - x 22 dx c-d
L0 2 30

yy

(1, 1) (1, 1)

x Ϫ x2

x dx x 1 (x ϩ x2)
2
(a) Tira vertical de ancho dx.
La altura de la tira es x
igual a la diferencia de x
las dos funciones.
(b) Coordenada y del punto
medio de la tira.

La coordenada y del punto medio de la tira es x2 + 211x - x22 = 211x + x22
(figura b). Al sustituir esta expresión por y en la ecuación (7.7) se obtiene la
coordenada y del centroide:

y dA 11 + x 22 d 1x - x 22 dx 1 x3 x5 1
c 1x c-d
y = LA L0 2 23 5 2
= = x2 x3 0 = .
1 1
5
dA 1x - x 22 dx c-d
LA L0 2 30

Razonamiento crítico
Observe la generalidad del enfoque usado en este ejemplo. El procedimiento mos-
trado puede usarse para determinar las coordenadas x e y del centroide de cualquier

www.FreeLibros.orgárea cuyas fronteras superior e inferior estén definidas por dos funciones.

Problemas 317

Problemas

᭤ 7.1 En el ejemplo activo 7.1, suponga que el área triangular 7.5 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada.
está orientada de la manera que se muestra en la figura. Use inte- y
gración para determinar las coordenadas x e y de su centroide (ob-
serve que ya se conocen las respuestas con base en el resultado del
ejemplo activo 7.1).

y

6

2
3 9x
h
Problema 7.5

x 7.6 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada y
compare su respuesta con el valor dado en el apéndice B.
b
Problema 7.1 7.7 Determine la coordenada y del centroide del área mostrada y
compare su respuesta con el valor dado en el apéndice B.
᭤ 7.2 En el ejemplo 7.2, suponga que el área se redefine como lo
muestra la figura. Determine la coordenada x del centroide. y
y ϭ cxn
᭤ 7.3 En el ejemplo 7.2, suponga que el área se redefine como lo
muestra la figura. Determine la coordenada y del centroide. 0 bx
Problemas 7.6/7.7
y
yϭ1

(1, 1)

y ϭ x2 7.8 Suponga que un estudiante de arte quiere pintar un panel de
madera como se muestra en la figura, con las líneas horizontales y
x verticales pasando por el centroide del área pintada y le pide que
Problemas 7.2/7.3 determine las coordenadas del centroide. ¿Cuáles son éstas?
7.4 Determine el centroide del área mostrada
y y

y ϭ x ϩ x3

y ϭ x2 Ϫ x ϩ 1

x
0 1 pie

Problema 7.8

x
2

www.FreeLibros.orgProblema7.4

318 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.9 Determine el valor de la constante c de manera que la coor- 7.13 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada.
denada y del centroide del área sea –y ϭ 2. ¿Cuál es la coordenada
x del centroide? y

y yϭϪ 1 x2 ϩ 4x Ϫ 7
4
y ϭ cx2
yϭ5

x

x Problema 7.13
0 24
7.14 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada.
Problema 7.9 7.15 Determine la coordenada y del centroide del área mostrada.

7.10 Determine las coordenadas del centroide del área transversal y
de la placa de metal que se muestra en la figura.
y ϭ x3
y y ϭ 4 Ϫ 1 x2 pies
4

yϭx

x

Problema 7.10

7.11 Un arquitecto desea construir una pared con el perfil mostra-y (m) x
do. Para estimar los efectos de las cargas del viento, debe determinar
el área de la pared y las coordenadas de su centroide. ¿Cuáles son Problemas 7.14/7.15
estas coordenadas? 7.16 Determine la componente x del centroide del área mostrada.

4 y

3
y ϭ 2 ϩ 0.02x2

2

1

0
0 2 4 6 8 10
x (m)

Problema 7.11

7.12 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada.

y y ϭ x2 Ϫ x ϩ 1

1 x2 ϩ 4x Ϫ 7 2 x
yϭϪ4 Problema 7.16

www.FreeLibros.orgProblema7.12x

Problemas 319

7.17 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada. 7.21 Un ingeniero agrónomo quiere medir la precipitación pluvial
7.18 Determine la coordenada y del centroide del área mostrada. en el centroide de un campo arado entre dos caminos. ¿Cuáles son
las coordenadas del punto donde se debe colocar el medidor?
y
y

y ϭ x2 Ϫ 20 0.5 mi

yϭx 0.3 mi 0.3 mi
x x

0.5 mi 0.6 mi 0.2 mi

Problema 7.21

Problemas 7.17/7.18 7.22 En la figura se muestra la sección transversal de un relleno
7.19 ¿Cuál es la coordenada x del centroide del área mostrada? de tierra. Determine los coeficientes a y b para que la coordenada
7.20 ¿Cuál es la coordenada y del centroide del área mostrada? y del centroide de la sección transversal sea de 10 m.

y

y ϭ ax Ϫ bx3

y 1
yϭϪ6
x2 ϩ 2x x

100 m
Problema 7.22

2 x 7.23 El avión Supermarine Spitfire usado por la Gran Bretaña
en la Segunda Guerra Mundial tenía un ala con un perfil elíptico.
62 Determine las coordenadas de su centroide.
Problemas 7.19/7.20

y

x2 ϩ y2 ϭ1
a2 b2

2b x

a
Problema 7.23

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320 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.24 Determine las coordenadas del centroide del área mostrada. 7.25* Si R ϭ 6 y b ϭ 3, ¿cuál es la coordenada y del centroide
Estrategia: Escriba la ecuación para el borde circular en la del área mostrada?

forma y ϭ (R2 Ϫ x2)1͞2 y use una “tira” vertical con un ancho dx 7.26* ¿Cuál es la coordenada x del centroide del área mostrada
como el elemento de área dA. en el problema 7.25?

y y

R x R
Problema 7.24
x
b

Problemas 7.25/7.26

7.2 Áreas compuestas

ANTECEDENTES

Aunque los centroides de las áreas pueden determinarse por integración, el proce-
so se vuelve difícil y tedioso para áreas complicadas. En esta sección se describe
un enfoque más sencillo que puede usarse si un área consiste en una combinación
de áreas simples, la cual puede denominarse área compuesta. El centroide de un
área compuesta puede determinarse sin integración si se conocen los centroides de
sus partes.

El área compuesta de la figura 7.3a consiste en un triángulo, un rectángulo y
un semicírculo, que se llamarán partes 1, 2 y 3. La coordenada x del centroide del
área compuesta es

x dA x dA + x dA + x dA
x = LA LA1 LA2 LA3 .
= (7.8)

y dA dA + dA + dA
LA LA1 LA2 LA3

1 23 En la figura 7.3b se muestran las coordenadas x de los centroides de las partes. A

partir de la ecuación para la coordenada x del centroide de la parte 1,

x

(a) x 1 = LA1 x dA
y
,

1 23 dA
LA1

se obtiene

_ x
x_1
x_2 x dA = x1 A1.
x3 LA1

(b) Usando esta ecuación y expresiones equivalentes para las partes 2 y 3, se puede
escribir la ecuación (7.8) como

Figura 7.3
(a) Área compuesta por tres áreas simples.

www.FreeLibros.org(b) Centroidesdelaspartes
x = x1 A1 + x2 A2 + x3 A3.
A1 + A2 + A3

7.2 Áreas compuestas 321

yy

y
12

x x
_
(a) _ x2
x x1
Figura 7.4 (c)
(a) Área con un recorte. (b)
(b) Área triangular
(c) Área del recorte.

Se ha obtenido una ecuación para la coordenada x del área compuesta en términos
de las áreas de sus partes. Las coordenadas del centroide de un área compuesta con
un número arbitrario de partes son

a xi Ai a yi Ai
x= i y= i
, . (7.9)

a Ai a Ai

i i

Cuando un área se puede dividir en partes cuyos centroides son conocidos, es
posible usar esas expresiones para determinar su centroide. En el apéndice B se
tabulan los centroides de algunas áreas simples.

El análisis del centroide de un área se inició dividiéndola en partes finitas
y planteando ecuaciones para su posición de pesos ponderados. Los resultados,
ecuaciones (7.5), son aproximados debido a la incertidumbre en las posiciones de
las partes del área. Las ecuaciones (7.9) exactas son idénticas excepto porque las
posiciones de las partes son sus centroides.

El área de la figura 7.4a consiste en un área triangular con un agujero o
recorte circular. Si se designa el área triangular (sin el corte) como parte 1 del
área compuesta (figura 7.4b) y el área del recorte como parte 2 (figura 7.4c), se
obtiene la coordenada x del centroide del área compuesta:

x = LA1 x dA - x dA
LA2 = x1 A1 - x2 A2.
A1 - A2
dA - dA
LA1 LA2

Esta ecuación es idéntica en forma a la primera de las ecuaciones (7.9) excepto por-
que los términos correspondientes al recorte son negativos. Como lo demuestra este
ejemplo, se pueden usar las ecuaciones (7.9) para determinar los centroides de áreas
compuestas que contengan recortes, tratando éstos como áreas negativas.

Se observa que la determinación del centroide de un área compuesta requiere
de tres pasos:

1. Escoger las partes. Trate de dividir el área compuesta en partes cuyos cen-
troides se conozcan o puedan determinarse con facilidad.

2. Determinar los valores para las partes. Determine el centroide y el área de
cada parte. Vea si hay relaciones de simetría que puedan simplificar la tarea.

3. Calcular el centroide. Use las ecuaciones (7.9) para determinar el centroide

www.FreeLibros.orgdeláreacompuesta.

322 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

RESULTADOS

x ϭ x1A1 ϩ x2A2 ϩ иии ϭ ⌺i xiAi Las coordenadas del centroide de un
A1 ϩ A2 ϩ иии ⌺i Ai
área compuesta consistente en las
(7.9)
partes 1, 2, .... El término Ai es el
y ϭ y1A1 ϩ y2A2 ϩ иии ϭ ⌺i yiAi área de la i-ésima parte y xi, yi son las
A1 ϩ A2 ϩ иии ⌺i Ai coordenadas del centroide de Ai.

Si un área contiene un agujero o recorte, el centroide del área puede determi-
narse a partir de las ecuaciones (7.9) tratando al recorte como un área negativa.

y

Área triangular con un recorte circular.

El área triangular sin el recorte. Sea A1 y x
su área y x1 la coordenada x de su 1 x
centroide.
_
x1
y

El área del recorte circular. Sea A2 2
su área y x2 la coordenada x de su _
centroide. x2

x

La coordenada x del centroide del

área triangular con el recorte es

ϭ x1A1 Ϫ x2A2 .
A1 Ϫ A2
www.FreeLibros.orgx

7.2 Áreas compuestas 323

Ejemplo activo 7.3 Centroide de un área compuesta (᭤ Relacionado con el problema 7.27)

Determine la coordenada x del centroide del área compuesta que se muestra en la y
figura.

Estrategia R x
El área debe dividirse en partes sencillas (en este ejemplo las partes resultan obvias), bc
después se determinarán las áreas y las ubicaciones de los centroides de las partes y
se aplicará la ecuación (7.9)1.

Solución y
1 23
Selección de las partes
Dividida el área en partes sencillas. Se 2b x
muestran las coordenadas x de los
centroides de las partes. 31
b ϩ 2c
b ϩc
ϩ 4R

3p

Determinación de los valores de las partes
Tabule los términos necesarios para aplicar la
ecuación (7.9)1. Vea el apéndice B.

xi Ai xi Ai

Parte 1 (triángulo) 2 b 1 b(2R) ΂ 2 b΃ ΄ 1 b(2R) ΅
3 2 3 2

Parte 2 (rectánuglo) b ϩ 1 c c(2R) ΂ ΃1
2
b ϩ c [c(2R)]
2

4R 1 4R 1 pR2
3p 2 3p 2
Parte 3 (semicírculo) b ϩ c ϩ pR2 ΂ ΃΂ ΃bϩc ϩ

x ϭ x1A1 ϩ x2A2 ϩ x3A3 Cálculo del centroide
A1 ϩ A2 ϩ A3
Use la ecuación (7.9)1 para
bϩ 1c 1 pR2 determinar la componente x
2 2 del centroide.
21 b(2R) ϩ 4R
2 3p
΂ ΃ ΄ ΅ ΂ ΃ ΂ ΃΂ ΃b

ϭ3
[c(2R)] ϩ b ϩ c ϩ

1 b(2R) ϩ c(2R) ϩ 1 pR2
22

Problema de práctica Determine la coordenada y del centroide del área compuesta.

C 13(2R) D C 21b(2R) D + RCc(2R)D + R A 21pR2 B

21b(2R) + c(2R) + 21pR2
www.FreeLibros.orgRespuesta:y= .

324 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.4 Centroide de un área con un recorte (᭤ Relacionado con el problema 7.28)

y Determine el centroide del área mostrada.

100 mm 140 mm x Estrategia
140 mm En vez de intentar la división del área en partes, un método más simple es conside-
rarla como compuesta por un área rectangular con un recorte semicircular. Luego
puede aplicarse la ecuación (7.9) tratando el recorte como un área negativa.

Solución
Selección de las partes El rectángulo sin el recorte semicircular y el área del
recorte se llamarán parte 1 y parte 2, respectivamente (figura a).

200 mm y y
200 mm

1 2 100 mm
xx

(a) Rectángulo y recorte _ _
semicircular x1 x2

Determinación de los valores de las partes Según el apéndice B, la coordenada
x del centroide del recorte es

4R 411002
x 2 = 3p = 3p mm.

En la tabla siguiente se resume la información para determinar la coordenada x del
centroide. Observe que el recorte se trata como un área negativa.

Información para determinar –x

x–i (mm) Ai (mm2) x–i Ai (mm3)
(200)(280)
Parte 1 (rectángulo) 100 (100)[(200)(280)]

Parte 2 (recorte) 411002 - 1 p110022 - 411002 C 1 p110022 D
3p 2 3p 2

Cálculo del centroide La coordenada x del centroide es

x1 A1 x2 A2 11002[1200212802] - 411002 C 1 p110022 D
A1 A2 3p 2
+
x = + = 1 p110022 = 122 mm
2
1200212802 -

Debido a la simetría del área, –y ϭ 0.

Razonamiento crítico
Si se tratara de dividir el área en partes sencillas, se tendría un mayor aprecio por

el método que acaba de emplearse. El centroide se pudo determinar tratando con

dos áreas sencillas, el área rectangular sin el recorte y el área del recorte semi-

circular. A menudo, la determinación de centroides de áreas puede simplificarse

www.FreeLibros.orgdeestamanera.

Problemas 325

Problemas y

᭤ 7.27 En el ejemplo activo 7.3, suponga que el área se coloca 10 pulg
en la forma mostrada. Sean las dimensiones R ϭ 6 pulg, c ϭ 14
pulg y b ϭ 18 pulg. Use la ecuación (7.9)1 para determinar la
coordenada x del centroide.

y

x

R x

cb 20 pulg
Problema 7.27
Problema 7.30
᭤ 7.28 En el ejemplo 7.4, suponga que al área se le hace un se- y
gundo recorte semicircular como se muestra en la figura. Determi-
ne la coordenada x del centroide.

y

100 mm 140 mm 0.8 m
50 mm 140 mm
x

x

200 mm 0.6 m
Problema 7.28
1.0 m
En los problemas 7.29 a 7.36, determine las coordenadas Problema 7.31
de los centroides y

y

8 pulg 2 pulg 30 pulg
3 pulg
40 pulg
x x
20 pulg
4 pulg 6 pulg Problema 7.32
10 pulg
Problema 7.29

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326 Capítulo 7 Centroides y centros de masa 7.37 En la figura se tienen las dimensiones b ϭ 42 mm y
h ϭ 22 mm. Determine la coordenada y del centroide de la sec-
y ción transversal de la viga mostrada.
7.38 Si el área de la sección transversal de la viga mostrada es de
400 8400 mm2 y la coordenada y del centroide del área es –y ϭ 90 mm,
mm ¿qué valores tienen las dimensiones b y h?

300 mm y

Problema 7.33 300 300 x
mm mm 200 mm
h
y
120 mm

2 pies x
b
Problema 7.34 3 pies
4 pies Problemas 7.37/7.38

y x 7.39 Determine la coordenada y del centroide de la sección trans-
versal de la viga mostrada.

y

20 mm

2 pulg 5 pulg

30 mm

20 mm 10
mm
8 pulg

30 mm

x x

Problema 7.35 90 mm 3 3
y pulg pulg
5 pulg 5 pulg

Problema 7.39

7.40 Determine las coordenadas del centroide del estabilizador

5 mm vertical del avión que se muestra en la figura.

y

15 mm

50 mm

11 m

5 mm 5 mm 48Њ

x x 70Њ

15 mm 12.5 m

15 mm

www.FreeLibros.orgProblema7.3610 15 15 10
mm mm mm mm Problema 7.40

7.3 Cargas distribuidas 327

7.41 El área mostrada tiene bordes elípticos. Si a ϭ 30 mm, 7.43 Se muestran las tres velas de un velero New York. Las
b ϭ 15 mm y e ϭ 6 mm, ¿cuál es la coordenada x del centroide coordenadas de los puntos est·n en pies. Determine el centroide
del área? de la vela 1.
7.44 Determine el centroide de la vela 2.
7.42 Determine la coordenada x del centroide del área mostrada 7.45 Determine el centroide de la vela 3.
en el problema 7.41 en términos de a, b y e, y evalúe su límite
cuando e S 0; con esto demuestre que la coordenada x del cen- 12 3
troide de un cuarto de elipse es

4a1a + 2b2
x = 3p1a + b2 .

y

´ (a)
y yy

b (12.5, 23) (14, 29)
(3, 20) (3.5, 21)
(20, 21)

x

a´ 12 3
Problemas 7.41/7.42
(16, 0) xx (23, 0) x
(10, 0)

(b)

Problemas 7.43–7.45

7.3 Cargas distribuidas

ANTECEDENTES

La carga ejercida sobre una viga (larguero) que soporta el piso de un edificio
está distribuida sobre la longitud de la viga (figura 7.5a). La carga ejercida por
el viento sobre una torre de televisión está distribuida a lo largo de la altura de
la torre (figura 7.5b). En muchas aplicaciones de ingeniería, las cargas están
distribuidas en forma continua a lo largo de líneas. En esta sección se mostrará
que el concepto del centroide de un área puede ser útil en el análisis de objetos
sometidos a dichas cargas.

Figura 7.5
Ejemplos de fuerzas distribuidas:
(a) Carga uniformemente distribuida, ejercida

por el piso sobre una viga de la estructura
de un edificio.
(b) Carga del viento distribuida a lo largo de la

www.FreeLibros.org(a) (b) alturadeunatorre.

328 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

y Descripción de una carga distribuida

x Se puede usar un ejemplo sencillo para demostrar cómo se expresan de manera
analítica este tipo de cargas. Suponga que se apilan sacos de arena sobre una
(a) viga, como se muestra en la figura 7.6a. Resulta claro que la carga ejercida por
los sacos se distribuye sobre la longitud de la viga, y su magnitud en una posi-
y ción x dada depende de qué tan alto estén apilados los sacos en esa posición.
w Para describir la carga, se define una función w tal que la fuerza descendente
x sobre un elemento infinitesimal dx de la viga es w dx. Con esta función es posi-
ble representar la magnitud variable de la carga ejercida por los sacos de arena
(b) (figura 7.6b). Las flechas indican que la carga actúa hacia abajo. Las cargas dis-
Figura 7.6 tribuidas en líneas, desde los casos más simples como el del propio peso de una
(a) Carga de una viga con sacos de arena. viga, hasta los más complicados como la carga de sustentación distribuida a lo
(b) La carga distribuida w representa la carga largo del ala de un avión, se modelan mediante la función w. Como el producto
de w y dx es una fuerza, las dimensiones de w son (fuerza)͞(longitud), y w se
ejercida por los sacos. puede expresar en newtons por metros en unidades del SI y en libras por pie en
unidades de uso común en Estados Unidos.

Determinación de la fuerza y el momento

Suponga que se conoce la función w que describe una carga distribuida particular
(figura 7.7a). La gráfica de w se llama curva de carga. Como la fuerza actúa sobre
un elemento dx de la línea es w dx, es posible determinar la fuerza F ejercida por
la carga distribuida integrando la curva de carga con respecto a x:

F = w dx. (7.10)
LL

También es posible integrar para determinar el momento respecto a un punto ejer-
cido por la carga distribuida. Por ejemplo, el momento respecto al origen debido
a la fuerza ejercida sobre el elemento dx es xw dx, por lo que el momento total
respecto al origen debido a la carga distribuida es

M = xw dx. (7.11)
LL

y

x dx w Cuando sólo se tiene interés en la fuerza total y el momento total ejercidos por
w dx x una carga distribuida, ésta se puede representar con una sola fuerza equivalente F
(figura 7.7b). Para que sea equivalente, la fuerza debe actuar en una posición –x
sobre el eje x tal que el momento de F respecto al origen sea igual al momento de
la carga distribuida respecto al origen:

(a)

y F xF = xw dx.
_ LL
x
Por consiguiente, la fuerza F es equivalente a la carga distribuida si ésta se coloca
x en la posición

(b)

Figura 7.7 x = LL xw dx

(a) Una carga distribuida y la fuerza ejercida . (7.12)

sobre un elemento diferencial dx. w dx
LL
www.FreeLibros.org(b) Lafuerzaequivalente.