8.1 Definiciones 379
b 1
3
Ix ϭ L0 [f(x)]3dx
b1 hx 3 Integre la expresión para (Ix)tira con
ϭ respecto a x desde x ϭ 0 hasta x ϭ b
L0 3 b dx
para determinar el Ix del triángulo.
ϭ 1 bh3.
12
Problema de práctica Determine Ixy para el área triangular mostrada. Hágalo deter-
minando el producto de inercia de la tira vertical dA para después integrar la expresión
resultante con respecto a x desde x ϭ 0 hasta x ϭ b.
Respuesta: Ixy ϭ 1 b2h2.
8
Ejemplo 8.2 Momentos de inercia de un área circular (᭤ Relacionado con el problema 8.21)
Determine los momentos de inercia y los radios de giro del área circular mostrada. y
Estrategia x
R
Primero se determinará el momento polar de inercia JO integrando en términos de
coordenadas polares. Por la simetría del área, se sabe que Ix ϭ Iy y como Ix ϩIy ϭ JO,
1
cada uno de los momentos de inercia Ix e Iy es igual a 2 JO. También se sabe, por la
simetría del área, que Ixy ϭ 0.
Solución
Si se deja que r cambie una cantidad dr, se obtiene un elemento anular de área
dA ϭ 2pr dr (figura a). El momento polar de inercia es
JO = r 2 dA = R = r4 R = 1 pR4,
LA 2pc d 2
2pr 3 dr
L0 40
y el radio de giro respecto a O es
kO = JO = 11>22pR4 = 1 R. y
CA C pR2 22
dA
Los momentos de inercia respecto a los ejes x e y son dr
Ix = Iy = 1 = 1 pR4, r
2 JO 4
x
y los radios de giro respecto a los ejes x e y son
kx = ky = Ix = 11>42pR4 = 21 R.
CA C pR2
El producto de inercia es igual a cero:
Ixy = 0. (a) Elemento anular dA.
Razonamiento crítico
Por la simetría de este ejemplo, no hubo necesidad de integrar para determinar
Ix, Iy e Ixy. Se recomienda estar alerta respecto a simetrías que puedan reducir el
trabajo. En particular, recuerde que Ixy ϭ 0 si el área es simétrica respecto a algu-
www.FreeLibros.orgnodelosejes,xoy.
380 Capítulo 8 Momentos de inercia
Problemas 8.4 a) Determine el momento de inercia Iy de la sección trans-
versal de la viga rectangular mostrada con respecto al eje y.
᭤ 8.1 Use el método descrito en el ejemplo activo 8.1 para
determinar Iy y ky del área rectangular mostrada. b) Determine el momento de inercia IyЈ de la sección transversal
᭤ 8.2 Use el método descrito en el ejemplo activo 8.1 para
determinar Ix y kx del área rectangular mostrada. de la viga respecto al eje yЈ. Use sus valores numéricos
y para demostrar que Iy ϭ IyЈ ϩ d 2 A, donde A es el área de la
x
sección transversal.
8.5 a) Determine el momento polar de inercia JO de la sección
transversal de la viga rectangular mostrada con respecto al origen O.
b) Determine el momento polar de inercia JOЈ de la sección trans-
versal de la viga respecto al origen OЈ. Use sus valores numéricos
para demostrar que JO ϭ JOЈ ϩ (d 2 ϩ d 2y)A, donde A es el área de
x
0.6 m la sección transversal.
0.2 m 0.4 m
x y
yЈ
dx
Problemas 8.1/8.2
᭤ 8.3 En el ejemplo activo 8.1, suponga que el área triangular se 60 mm
reorienta en la forma mostrada en la figura. Use integración para
determinar Iy y ky. OЈ xЈ
dy
y
O x
40 mm
Problemas 8.4/8.5
h 8.6 Determine Iy y ky.
8.7 Determine JO y kO.
x 8.8 Determine Ixy.
b y
Problema 8.3
0.3 m 0.6 m
x
1m
Problemas 8.6–8.8
www.FreeLibros.org
8.9 Determine Iy. 8.17 Determine Iy y ky. Problemas 381
8.10 Determine Ix. 8.18 Determine Ix y kx.
8.11 Determine JO. y ϭ Ϫ 1 x2 ϩ 4x Ϫ 7
8.12 Determine Ixy. y 4
yϭ5
y
y ϭ 2 Ϫ x2
x
Problemas 8.17/8.18
8.19 a) Determine Iy y ky de la figura, considerando a dA como
una tira vertical de ancho dx.
b) El momento polar de inercia de un área circular con su centro
en el origen es JO = 1 pR 4. Explique cómo se puede usar esta
2
información para verificar su respuesta al inciso a).
8.20 a) Determine Ix y kx de la figura considerando a dA como
una tira horizontal de altura dy.
x b) El momento polar de inercia de un área circular con su centro
1
Problemas 8.9–8.12 en el origen es JO = 1 pR 4. Explique cómo se puede usar esta
2
información para verificar su respuesta al inciso a).
y
8.13 Determine Iy y ky. x
8.14 Determine Ix y kx. R
8.15 Determine JO y kO.
8.16 Determine Ixy.
y Problemas 8.19/8.20
1 x2 ϩ 4x Ϫ 7 ᭤ 8.21 Use el procedimiento descrito en el ejemplo 8.2 para
yϭϪ4 determinar los momentos de inercia Ix e Iy para el anillo que se
muestra en la figura.
y
x
Problemas 8.13–8.16 Ro x
Ri
www.FreeLibros.orgProblema8.21
382 Capítulo 8 Momentos de inercia 8.26 La placa vertical de área A que se muestra en la figura se
encuentra bajo la superficie de un cuerpo de agua en reposo. La
8.22 ¿Qué valores tienen Iy y ky para el área elíptica del ala de presión del agua somete a cada elemento dA de la superficie de
avión que se muestra en la figura? la placa a una fuerza ( pO ϩ gy)dA, donde pO es la presión en la
superficie del agua y g es la densidad del agua. Demuestre que
8.23 ¿Qué valores tienen Ix y kx para el área elíptica del ala de la magnitud del momento respecto al eje x debido a la presión
avión que se muestra en la figura? sobre la cara frontal de la placa es
y Meje x = pOyA + gIx,
x2 ϩ y2 ϭ 1 donde y es la coordenada y del centroide de A e Ix es el momento
a2 b2 de inercia de A respecto al eje x.
2m x x
5m A
Problemas 8.22/8.23
8.24 Determine Iy y ky. y
8.25 Determine Ix y kx. Problema 8.26
y
y ϭ x2 Ϫ 20
yϭx
x
Problemas 8.24/8.25
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8.2 Teorema de los ejes paralelos 383
8.2 Teorema de los ejes paralelos
ANTECEDENTES
Los valores de los momentos de inercia de un área dependen de la posición del sis- y yЈ
tema coordenado en relación con el área.
En algunas situaciones, los momentos de inercia de un área se conocen en
términos de un sistema coordenado particular pero se requieren sus valores en tér-
minos de un sistema coordenado diferente. Cuando los sistemas coordenados son A
xЈ
paralelos, los momentos de inercia deseados pueden obtenerse mediante los teo-
x
remas que se describen en esta sección. Además, estos teoremas hacen posible
determinar los momentos de inercia de un área compuesta cuando se conocen los
momentos de inercia de sus partes.
Suponga que se conocen los momentos de inercia de un área A en términos de
un sistema coordenado xЈyЈ con su origen en el centroide del área, y se desea deter-
minar los momentos de inercia con respecto a un sistema coordenado paralelo xy (a)
y yЈ
(figura 8.3a). Las coordenadas del centroide de A en el sistema coordenado xy se
denotan con (dx, dy) y d = 2d 2 + d 2 es la distancia desde el origen del sistema
x y
xy hasta el centroide (figura 8.3b).
Es necesario obtener dos resultados preliminares antes de deducir los teoremas xЈ dA
x
de los ejes paralelos. En términos del sistema coordenado xЈyЈ, las coordenadas del
centroide de A son dx
x¿ = LA x¿dA y¿dA yЈ
y¿ = LA . xЈ
,
dA d dy y
LA
x
dA (b)
LA
Figura 8.3
Pero el origen del sistema coordenado xЈyЈ está localizado en el centroide de A, por (a) Área A y sistemas coordenados xЈyЈ y xy.
lo que x¿ = 0 y y¿ = 0. Por lo tanto, (b) Elemento diferencial dA.
x¿dA = 0, y¿dA = 0. (8.8)
LA LA
Momento de inercia respecto al eje x En términos del sistema coordena-
do xy, el momento de inercia de A respecto al eje x es
Ix = y 2 dA, (8.9)
LA
donde y es la coordenada del elemento de área dA relativa al sistema coordenado
xy. En la figura 8.3b se observa que y ϭ yЈ ϩ dy, donde yЈ es la coordenada de dA
relativa al sistema coordenado xЈyЈ. Sustituyendo esta expresión en la ecuación
(8.9), se obtiene
Ix = 1y¿ + dy22 dA = 1y¿22 dA + 2dy LA y¿dA + d 2 dA.
LA LA y
LA
La primera integral a la derecha es el momento de inercia de A respecto al eje xЈ.
A partir de la ecuación (8.8), la segunda integral a la derecha es igual a cero. Por
lo tanto, se obtiene
www.FreeLibros.orgIx=Ix¿+d2 A. (8.10)
y
384 Capítulo 8 Momentos de inercia
yЈ y y
yЈ
A xЈ
xЈ
dy
Figura 8.4 x x
Teorema de los ejes paralelos para el momento
de inercia respecto al eje x. IxЈ ϩ dy2A ϭ Ix
Éste es un teorema de los ejes paralelos. Relaciona el momento de inercia de A
respecto al eje xЈ que pasa por el centroide con el momento de inercia respecto al
eje x paralelo (figura 8.4).
Momento de inercia respecto al eje y En términos del sistema coordena-
do xy, el momento de inercia de A respecto al eje y es
Iy = x 2 dA = 1x¿ + dx22 dA
LA LA
= 1x¿22 dA + 2dx LA x¿dA + dx2 LA dA.
LA
A partir de la ecuación (8.8), la segunda integral a la derecha es igual a cero. Por
consiguiente, el teorema de los ejes paralelos que relaciona el momento de inercia
de A respecto al eje yЈ que pasa por el centroide con el momento de inercia respec-
to al eje y paralelo es
Iy = Iy¿ + d 2 A. (8.11)
x
Producto de inercia En términos del sistema coordenado xy, el producto de
inercia es
Ixy = xy dA = 1x¿ + dx21y¿ + dy2 dA
LA LA
= x¿y¿dA + dy LA x¿dA + dx LA y¿dA + dx dy LA dA.
LA
La segunda y tercera integrales son iguales a cero por la ecuación (8.8). Se obser-
va que el teorema de los ejes paralelos para el producto de inercia es
Ixy = Ix¿y¿ + dx dy A. (8.12)
Momento polar de inercia El momento polar de inercia JO ϭ Ix ϩ Iy. Por lo
tanto, al sumar las ecuaciones (8.10) y (8.11), se obtiene el teorema de los ejes
paralelos para el momento polar de inercia,
JO = J¿O + 1dx2 + dy22A = J¿O + d 2A, (8.13)
www.FreeLibros.orgdonde d es la distancia desde el origen del sistema coordenado xЈyЈ hasta el origen
del sistema coordenado xy.
8.2 Teorema de los ejes paralelos 385
¿Cómo pueden usarse los teoremas de los ejes paralelos para determinar
los momentos de inercia de un área compuesta? Suponga que se desea determi-
nar el momento de inercia del área que se muestra en la figura 8.5a respecto al
eje y. Ésta puede dividirse en un triángulo, un semicírculo y un recorte circular,
que se llamarán partes 1, 2 y 3 respectivamente (figura 8.5b). Usando el teore-
ma de los ejes paralelos para Iy, es posible determinar el momento de inercia de
cada parte respecto al eje y. Por ejemplo, el momento de inercia de la parte 2
(el semicírculo) respecto al eje y es (figura 8.5c)
1Iy22 = 1Iy¿22 + 1dx222 A2.
Se deben determinar los valores de (IyЈ)2 y (dx)2. En el apéndice B se presentan
tablas con los momentos de inercia y las posiciones de los centroides de algunas
áreas simples. Una vez que se ha llevado a cabo este procedimiento para cada
parte, el momento de inercia del área compuesta es
Iy = 1Iy21 + 1Iy22 - 1Iy23.
Observe que el momento de inercia del recorte circular se resta.
Puede observarse que la determinación del momento de inercia de un área
compuesta en términos de un sistema coordenado específico implica la ejecución
de tres pasos:
1. Seleccionar las partes. Trate de dividir el área compuesta en partes cuyos
momentos de inercia se conozcan o puedan determinarse con facilidad.
2. Determinar los momentos de inercia de las partes. Determine el momento
de inercia de cada parte en términos de un sistema coordinado paralelo con
su origen en el centroide de la parte, y después use el teorema de los ejes
paralelos para determinar el momento de inercia en términos del sistema
coordenado dado.
3. Sumar los resultados. Sume los momentos de inercia de las partes (o reste en
caso de un recorte) para obtener el momento de inercia del área compuesta.
y
y x
1 (a)
yy
2
xx 3
(b) x
y yЈ
xЈ
x
(dx)2
(c)
Figura 8.5
(a) Área compuesta.
(b) Las tres partes del área.
www.FreeLibros.org(c) Determinaciónde(Iy)2
386 Capítulo 8 Momentos de inercia
RESULTADOS
y yЈ xЈ
x
dx A
d dy
Ix ϭ IxЈ ϩ dy2A, (8.10) Los teoremas de los ejes paralelos son relaciones
Iy ϭ IyЈ ϩ dx2A, (8.11) entre los momentos y el producto de inercia de
Ixy ϭ IxЈyЈ ϩ dx dy A, (8.12) un área, expresadas en términos de un sistema
JO ϭ JЈO ϩ d2A. (8.13) coordenado xЈyЈzЈ—con su origen en el centroide
del área—y un sistema coordenado xyz paralelo.
Los teoremas de los ejes paralelos hacen posible determinar los momentos y el
producto de inercia de un área compuesta en términos de un sistema coordenado
específico, xyz, cuando se conocen los momentos y los productos de inercia de
cada parte del área compuesta en términos de un sistema coordenado paralelo, con
su origen en el centroide de la parte. Los valores de los momentos y el producto de
inercia de las partes en términos del sistema coordenado xyz pueden sumarse (o
restarse en el caso de un recorte) para obtener los valores del área compuesta.
Ejemplo activo 8.3 Momentos de inercia de un área compuesta (᭤ Relacionado con el problema 8.27)
y Determine Ix para el área compuesta que se muestra en la figura.
1m
Estrategia
4m Esta área puede dividirse en dos rectángulos. Deben usarse los teoremas de los ejes
paralelos para determinar Ix de cada rectángulo en términos del sistema coordena-
1m do xy. Los valores pueden sumarse para determinar Ix del área compuesta.
x
Solución
3m
y
1 Divida el área compuesta
en dos rectángulos.
2
www.Freex Libros.org
8.2 Teorema de los ejes paralelos 387
y yЈ
0.5 m
Del apéndice B, el momento de inercia del área 1 1
xЈ
2m
x
respecto al eje xЈ es
(IxЈ)1 ϭ 1 (1 m)(4 m)3 ϭ 5.33 m4. Aplique la ecuación (8.10)
12 al área 1.
Aplicando el teorema de los ejes paralelos, el
momento de inercia del área 1 respecto al eje x es
(Ix)1 ϭ 5.33 m4 ϩ (2 m)2 (1 m)(4 m) ϭ 21.3 m4.
y
El momento de inercia del área 2 respecto al eje yЈ
2m
xЈ es
2
(IxЈ)2 ϭ 1 (2 m)(1 m)3 ϭ 0.167 m4. xЈ
12 x
Aplicando el teorema de los ejes paralelos, el momento 0.5 m
Aplique la ecuación (8.10)
al área 2.
de inercia del área 2 respecto al eje x es
(Ix)2 ϭ 0.167 m4 ϩ (0.5 m)2 (2 m)(1 m) ϭ 0.667 m4.
El momento de inercia del área Sume los valores para las partes.
compuesta respecto al eje x es
Ix ϭ (Ix)1 ϩ (Ix)2
ϭ 21.3 m4 ϩ 0.667 m4
ϭ 22.0 m4.
Problema de práctica Determine Ixy para el área compuesta.
www.FreeLibros.orgRespuesta:Ixyϭ6m4.
388 Capítulo 8 Momentos de inercia
Ejemplo 8.4 Momentos de inercia de un área compuesta (᭤ Relacionado con el problema 8.30)
y Determine Iy y ky para el área compuesta.
20 mm Estrategia
40 mm Esta área puede dividirse en un rectángulo sin el recorte semicircular, un semicírcu-
lo sin el recorte semicircular y un recorte circular. Puede usarse un teorema de los ejes
120 mm x paralelos para determinar Iy de cada parte en términos del sistema coordenado xy.
Después, sumando los valores para el rectángulo y el semicírculo y restando el valor
para el recorte circular, se puede determinar Iy para el área compuesta. Luego puede
usarse la ecuación (8.4) para determinar el radio de giro ky del área compuesta.
Solución
Selección de las partes Se divide el área en un rectángulo, un semicírculo y un
recorte circular, que se llamarán partes 1, 2 y 3 respectivamente (figura a).
Determinación de los momentos de inercia de las partes En el apéndice B, se
presentan los momentos de inercia de las partes con respecto a los sistemas coor-
denados xЈyЈ y la localización del centroide de la parte semicircular. En la tabla si-
guiente se usa el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia
de cada parte respecto al eje y.
Determinación de los momentos de inercia de las partes
dx 1mm2 A 1mm22 Iyœ 1mm42 Iy = Iyœ + dx2 A 1mm42
1121802112023 4.608 * 107
Parte 1 60 (120)(80)
41402 1 p14022 p 8 b 14024 4.744 * 107
Parte 2 120 + 3p 2 a-
y Parte 3 120 8 9p
(dx)1 yЈ
1 p12022 1 p12024 1.822 * 107
4
Suma de los resultados El momento de inercia del área compuesta respecto al
eje y es
x, xЈ Iy = 1Iy21 + 1Iy22 - 1Iy23 = 14.608 + 4.744 - 1.8222 * 107 mm4
= 7.530 * 107 mm4.
El área total es
y yЈ A = A1 + A2 - A3 = 1120 mm2180 mm2 + 1 p140 mm22 - p120 mm22
(dx)2 2
2 = 1.086 * 104 mm2,
por lo que el radio de giro respecto al eje y es
x, xЈ
Iy 7.530 * 107 mm4
ky = BA = B1.086 * 104 mm2 = 83.3 mm.
y yЈ Razonamiento crítico
(dx)3 La integración es un proceso aditivo, y ésta es la razón por la que los momentos
de inercia de las áreas compuestas pueden determinarse sumando (o restando en el
caso de un recorte) los momentos de inercia de las partes. Pero los radios de giro
3 de áreas compuestas no pueden determinarse sumando o restando los radios de
x, xЈ giro de las partes. Esto puede verse en las ecuaciones que relacionan los momen-
tos de inercia, los radios de giro y el área. Para este ejemplo, lo anterior se puede
(a) Partes 1, 2, y 3. demostrar en forma numérica. La operación
1Iy21 1Iy22 1Iy23
www.FreeLibros.org1ky21 + 1ky22 - 1ky23 = B A1 = 86.3 mm
+ -
B A2 B A3
no produce el radio de giro correcto del área compuesta.
8.2 Teorema de los ejes paralelos 389
Ejemplo 8.5 Secciones transversales de una viga (᭤ Relacionado con los problemas 8.81–8.84)
Las áreas iguales que se muestran en la figura son opciones para la sección trans- y
versal de una viga (una viga con la segunda sección transversal se denomina viga I).
Compare sus momentos de inercia respecto al eje x. 144.2 x
mm
Estrategia
El momento de inercia de la sección transversal cuadrada puede obtenerse del apén- 144.2
dice B. La sección transversal de la viga I se dividirá en tres rectángulos y se usará mm
el teorema de los ejes paralelos para determinar su momento de inercia.
Solución 40 mm y
120 mm
Sección transversal cuadrada De acuerdo con el apéndice B, el momento de 40 mm x
inercia de la sección cuadrada respecto al eje x es
40
Ix = 1 1144.2 mm21144.2 mm23 = 3.60 * 107 mm4. mm
12 200 mm
Sección transversal de la viga I El área puede dividirse en las partes rectangu-
lares que se muestran en la figura a. Introduciendo sistemas coordenados xЈyЈ con
sus orígenes en los centroides de las partes (figura b), se usa el teorema de los ejes
paralelos para determinar los momentos de inercia respecto al eje x (vea la tabla).
Su suma es
Ix = 1Ix21 + 1Ix22 + 1Ix23 = 15.23 + 0.58 + 5.232 * 107 mm4
= 11.03 * 107 mm4.
y y, yЈ y, yЈ y, yЈ
1 1
xЈ 2 x
2 x, xЈ 3
x 80 80
mm mm xЈ
3
x
(a) División en tres partes de la (b) Sistemas coordenados paralelos xЈyЈ con orígenes en los centroides de las partes.
sección transversal de la viga I.
Determinación de los momentos de inercia de las partes respecto
al eje x.
dy 1mm2 A 1mm22 Ixœ 1mm42 Ix = Ixœ + d2y A 1mm42
Parte 1 80 (200)(40) 1121200214023 5.23 * 107
Parte 2 0 (40)(120) 1121402112023 0.58 * 107
Parte 3 - 80 (200)(40) 1121200214023 5.23 * 107
Razonamiento crítico
El momento de inercia de la viga I respecto al eje x es 3.06 veces el de la sección
transversal cuadrada de igual área. Por lo general, una viga con un momento de
inercia más grande tiene mayor resistencia a la flexibilidad y mayor capacidad para
soportar cargas laterales. La sección transversal de las vigas I está diseñada para ob-
www.FreeLibros.orgtener momentos de inercia más grandes.
390 Capítulo 8 Momentos de inercia
Problemas
᭤ 8.27 Use el procedimiento descrito en el ejemplo activo 8.3 8.34 Si usted diseña la sección transversal de la viga mostrada de
para determinar Ix y kx del área compuesta que se muestra en la manera que Ix ϭ 6.4 ϫ 105 mm4, ¿cuáles son los valores resultan-
figura; para ello divida el área en los rectángulos 1 y 2 mostrados. tes de Iy y JO?
8.28 Determine Iy y ky del área compuesta que se muestra en la y
figura, para ello divida el área en los rectángulos 1 y 2 mostrados.
h
y
1m
1 x
4m
h
2
30 30
1m mm mm
x
Problema 8.34
3m 8.35 Determine Iy y ky.
8.36 Determine Ix y kx.
Problemas 8.27/8.28 8.37 Determine Ixy.
8.29 Determine Ix y kx. y y
0.8 m
0.2 m
0.6 m 160
mm
40 mm
0.2 m
x 200
mm 40
0.2 m x
0.6 m mm
40 mm
Problema 8.29
120
᭤ 8.30 En el ejemplo 8.4, determine Ix y kx para el área compuesta. mm
Problemas 8.35–8.37
8.31 Determine Ix y kx. 8.38 Determine Ix y kx.
8.39 Determine Iy y ky.
8.32 Determine Iy y ky. y 8.40 Determine Ixy.
8.33 Determine JO y kO. 0.8 m
0.2 m y
160
mm
0.6 m x 40 mm
200 x
mm 40
0.2 m
mm
40 mm
0.2 m 120
0.6 m
www.FreeLibros.orgProblemas8.31–8.33
mm
Problemas 8.38–8.40
Problemas 391
8.41 Determine Ix y kx. 8.50 Determine Ix y kx.
8.42 Determine JO y kO. 8.51 Determine Iy y ky.
8.43 Determine Ixy. 8.52 Determine JO y kO.
y y
4 pies 3 pies 120 20
mm 80 mm
3 pies
x mm x
Problemas 8.41–8.43 40 mm
80 mm
8.44 Determine Ix y kx.
8.45 Determine JO y kO. Problemas 8.50–8.52
8.46 Determine Ixy.
8.53 Determine Iy y ky.
y 8.54 Determine JO y kO.
4 pies 3 pies y
3 pies x 12 pulg x
20 pulg
Problemas 8.44–8.46
Problemas 8.53/8.54
8.47 Determine Ix y kx. 8.55 Determine Iy y ky si h ϭ 3 m.
8.48 Determine JO y kO. 8.56 Determine Ix y kx si h ϭ 3 m.
8.49 Determine Ixy. 8.57 Si Iy ϭ 5 m4, ¿qué valor tiene la dimensión h?
y y
120 20 1.2 m
mm 80 mm
mm
x
40 mm
80 mm
h
Problemas 8.47–8.49
www.FreeLibros.orgx
Problemas 8.55–8.57
392 Capítulo 8 Momentos de inercia 8.64 Determine Iy y ky.
8.58 Determine Iy y ky. 8.65 Determine Ix y kx.
8.59 Determine Ix y kx. 8.66 Determine Ixy.
8.60 Determine Ixy.
y
y
30 pulg
40 18 pulg
pulg
x
20 pulg
Problemas 8.58–8.60 x
6 pulg 6 pulg 6 pulg
Problemas 8.64–8.66
8.61 Determine Iy y ky. 8.67 Determine Iy y ky.
8.62 Determine Ix y kx. 8.68 Determine JO y kO.
8.63 Determine Ixy.
y
y
6 pulg
2 pulg
30 pulg x
x 8 pulg 8 pulg
40 Problemas 8.67/8.68
pulg
20 pulg
Problemas 8.61–8.63
www.FreeLibros.org
Problemas 393
8.69 Determine Iy y ky. 8.75 Determine Iy y ky.
8.70 Determine Ix y kx. 8.76 Determine JO y kO.
8.71 Determine Ixy.
y
y
5 mm
4 pulg 15 mm
50 mm
2 pulg
4 pulg
5 mm 5 mm
x
8 pulg 15 mm 15 mm
12 pulg x 10 15 15 10
16 pulg mm mm mm mm
Problemas 8.69–8.71 Problemas 8.75/8.76
8.72 Determine Iy y ky. 8.77 Determine Ix e Iy para la sección transversal de la viga
8.73 Determine Ix y kx. mostrada.
8.74 Determine Ixy.
y
4 pulg
8 pulg 2 pulg 5 pulg
y 8 pulg
4 pulg
x
2 pulg
x
3 5 pulg 3
pulg 5 pulg pulg
Problema 8.77
12 pulg
16 pulg
Problemas 8.72–8.74
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394 Capítulo 8 Momentos de inercia ᭤ 8.81 Determine el momento de inercia respecto al eje x de la
sección transversal de la viga mostrada. Compare su resultado con
8.78 Determine Ix e Iy para la sección transversal de la viga el momento de inercia de una sección cuadrada sólida de igual
mostrada. área (vea el ejemplo 8.5).
y
2 pulg 5 pulg y
x 20 mm
x
8 pulg
160 mm
3 5 pulg 3
pulg 5 pulg pulg
Problema 8.78 20 mm
100 mm
8.79 El área mostrada A ϭ 2 ϫ 104 mm2. Su momento de inercia
respecto al eje y es Iy ϭ 3.2 ϫ 108 mm4. Determine su momento Problema 8.81
de inercia respecto al eje yˆ.
yˆ y ᭤ 8.82 El área de la sección transversal de la viga mostrada es
A de 5200 mm2. Determine el momento de inercia de la sección
transversal de la viga respecto al eje x. Compare su resultado con
el momento de inercia de una sección transversal cuadrada sólida
de igual área (consulte el ejemplo 8.5).
y
x, xˆ x
100 mm 120 mm 20 mm
Problema 8.82
Problema 8.79
8.80 El área mostrada A ϭ 100 pulg2 y es simétrica respecto al
eje xЈ. Los momentos de inercia IxЈ ϭ 420 pulg4, IyЈ ϭ580 pulg4,
JO ϭ 11,000 pulg4 e Ixy ϭ 4800 pulg4. ¿Qué valor tienen Ix e Iy?
y yЈ
A
xЈ
OЈ
x
O
www.FreeLibros.orgProblema8.80
Problemas 395
᭤ 8.83 Si la viga de la figura a se somete a pares de magnitud M 8.85 El área de la figura a es la sección transversal de una viga
respecto al eje x (figura b), el eje longitudinal de la viga se dobla de canal estándar americano C230 ϫ 30. El área de su sección
en un arco circular cuyo radio R está dado por transversal es A ϭ 3790 mm2 y sus momentos de inercia respecto
a los ejes x e y son Ix ϭ 25.3 ϫ 106 mm4 e Iy ϭ 1 ϫ 106 mm4.
R = EIx, Suponga que dos vigas con secciones transversales C230 ϫ 30 se
M remachan entre sí para obtener una viga compuesta con la sección
transversal mostrada en la figura b. ¿Qué valores tienen los mo-
donde Ix es el momento de inercia de la sección transversal de la mentos de inercia respecto a los ejes x e y de la viga compuesta?
viga respecto al eje x. El valor del término E, que se denomina
módulo de elasticidad, depende del material del que esté hecha la yy
viga. Suponga que la viga con la sección transversal mostrada en
la figura c, está sometida a pares de magnitud M ϭ 180 N-m.
Como resultado, el eje de la viga se dobla en la forma de un arco
circular con radio R ϭ 3 m. ¿Qué valor tiene el módulo de elasti-
cidad del material de la viga? (Consulte el ejemplo 8.5).
x x
14.8 mm
yy
zx
(a) Sin carga.
MM (a) (b)
R
Problema 8.85
(b) Sometida a pares en los extremos.
y 8.86 El área de la figura a es la sección transversal de una viga
de ángulo L152 ϫ 102 ϫ 12.7. El área de su sección transversal
3 mm es A ϭ 3060 mm2 y sus momentos de inercia respecto a los ejes x
e y son Ix ϭ 7.24 ϫ 106 mm4 e Iy ϭ2.61 ϫ 106 mm4. Suponga que
9 mm x cuatro vigas con secciones transversales L152 ϫ 102 ϫ 12.7 se
remachan entre sí para obtener una viga compuesta con la sección
transversal mostrada en la figura b. ¿Qué valores tienen los mo-
mentos de inercia respecto a los ejes x e y de la viga compuesta?
y
y
3 mm 24.9 x
mm
3
mm x
9 mm
(c) Sección transversal de la viga.
Problema 8.83
᭤ 8.84 Suponga que desea diseñar una viga hecha de material 50.2 mm
cuya densidad es de 8000 kg/m3. La viga tendrá 4 m de longitud y (a)
una masa de 320 kg. Diseñe una sección transversal para la viga
tal que Ix ϭ 3 ϫ 10Ϫ5 m4 (consulte el ejemplo 8.5).
(b)
www.FreeLibros.orgProblema8.86
396 Capítulo 8 Momentos de inercia
8.3 Ejes girados y ejes principales
ANTECEDENTES
Suponga que la figura 8.6a es la sección transversal de una viga en voladizo. Si se
aplica una fuerza vertical al extremo de la viga, se obtendrá una deflexión mayor
si la sección transversal está orientada como en la figura 8.6b que si lo está como
en la figura 8.6c. La deflexión vertical mínima resulta cuando la sección transver-
sal de la viga está orientada de manera que el momento de inercia Ix sea máximo
(figura 8.6d).
En muchas aplicaciones de ingeniería se deben determinar los momentos de
inercia de áreas con diversas orientaciones angulares relativas a un sistema coor-
denado, y la orientación para la cual el valor de un momento de inercia es máxi-
mo o mínimo. En esta sección se analizarán estos procedimientos.
Ejes girados
Considere un área A, un sistema coordenado xy y un segundo sistema coordenado
xЈyЈ que está girado un ángulo u con respecto al sistema coordenado xy (figura
8.7a). Suponga que se conocen los momentos de inercia de A en términos del sis-
tema coordenado xy. El objetivo consiste en determinar los momentos de inercia
en términos del sistema coordenado xЈyЈ.
En términos de la distancia radial r a un elemento diferencial de área dA y al
ángulo a de la figura 8.7b, las coordenadas de dA en el sistema coordenado xy son
x ϭ r cos a, (8.14)
y ϭ r sen a. (8.15)
yy y
Figura 8.6
(a) Sección transversal de una viga. F F x
(b)–(d) Aplicación de una carga lateral con x x
diferentes orientaciones de la sección
transversal. F
y y y
x x x
(a) (b) (c) (d)
y A y
yЈ yЈ
dA
xЈ xЈ
Figura 8.7 ra
uu
(a) El sistema coordenado xЈyЈ girado un xx
ángulo u respecto al sistema
coordenado xy.
www.FreeLibros.org(b) ElementodiferencialdeáreadA.
(a) (b)
8.3 Ejes girados y ejes principales 397
Las coordenadas de dA en el sistema coordenado xЈyЈ son
xЈ ϭ r cos(a Ϫ u) ϭ r(cos a cos u ϩ sen a sen u), (8.16)
yЈ ϭ r sen(a Ϫ u) ϭ r(sen a cos u Ϫ cos a sen u), (8.17)
En las ecuaciones (8.16) y (8.17) se usan identidades trigonométricas para el coseno
y el seno de la diferencia de dos ángulos (apéndice A). Sustituyendo las ecuacio-
nes (8.14) y (8.15) en las ecuaciones (8.16) y (8.17), se obtienen otras ecuaciones
que relacionan las coordenadas de dA en los dos sistemas coordenados:
xЈ ϭ cos u ϩ y sen u, (8.18)
yЈ ϭ Ϫx sen u ϩ y cos u. (8.19)
Estas expresiones pueden emplearse para derivar relaciones entre los momentos de
inercia de A en términos de los sistemas coordenados xy y xЈyЈ.
Momento de inercia respecto al eje xЈ
Ixœ = 1y¿22 d A = 1-x sen u + y cos u22 d A
LA LA
= cos2u y 2 d A - 2 sen u cos u x y dA + sen2 u x 2 d A.
LA LA LA
De esta ecuación se obtiene (8.20)
IxЈ ϭ Ix cos2 u Ϫ 2Ixy sen u cos u ϩ Iy sen2 u.
Momento de inercia respecto al eje yЈ
Iyœ = 1x¿22 d A = 1x cos u + y sen u22 d A
LA LA
= sen2 u y 2 d A + 2 sen u cos u xy d A + cos2 u x 2 d A.
LA LA LA
Esta ecuación proporciona el resultado (8.21)
IyЈ ϭ Ix sen2 u ϩ 2Ixy sen u cos u ϩ Iy cos2 u.
Producto de inercia En términos del sistema coordenado xЈyЈ, el producto de
inercia de A es
IxЈyЈ ϭ (Ix Ϫ Iy)sen u cos u ϩ (cos2 u Ϫ sen2 u)Ixy. (8.22)
Momento polar de inercia Por las ecuaciones (8.20) y (8.21), el momento
polar de inercia en términos del sistema coordenado xЈyЈ es
JOœ = Ixœ + Iyœ = Ix + Iy = JO.
Así, el valor del momento polar de inercia no cambia por una rotación del sistema
coordenado.
Ejes principales
Se ha visto que los momentos de inercia de A en términos del sistema coordena-
do xЈyЈ dependen del ángulo u mostrado en la figura 8.7a. Plantéese la siguiente
www.FreeLibros.orgpregunta: ¿Para qué valores de u el momento de inercia IxЈ, es máximo o mínimo?
398 Capítulo 8 Momentos de inercia
Para contestar esta pregunta, resulta conveniente usar las identidades
sen 2u ϭ 2 sen u cos u,
cos 2u ϭ cos2 u Ϫ sen2 u ϭ 1 Ϫ 2 sen2 u ϭ 2 cos2 u Ϫ 1.
Con estas expresiones, se pueden escribir las ecuaciones (8.20)-(8.22) en las formas
Ix + Iy Ix - Iy (8.23)
Ixœ = 2 + 2 cos 2u - Ixy sen 2u,
Ix + Iy Ix - Iy (8.24)
Iyœ = 2 - 2 cos 2u + Ixy sen 2u,
Ix - Iy (8.25)
Ixœyœ = 2 sen 2u + Ixy cos 2u.
El valor de u para el cual IxЈ es máximo o mínimo se denotará con up. Para deter-
minar up se evalúa la derivada de la ecuación (8.23) con respecto a 2u y se iguala
a cero, de donde se obtiene
tan 2up 2Ixy . (8.26)
Ix
= Iy
-
Si la derivada de la ecuación (8.24) con respecto a 2u se iguala a cero para deter-
minar un valor de u para el cual IyЈ es máximo o mínimo, se obtiene de nuevo la
ecuación (8.26). Las segundas derivadas de IxЈ e IyЈ con respecto a 2u son opuestas
en signo; es decir
d 2Ixœ = d 2Iyœ
d12u22 - d12u22,
lo que significa que para un ángulo up para el cual IxЈ es máximo, IyЈ es un míni-
mo, y que para un ángulo up para el cual IxЈ es mínimo, IyЈ es máximo.
Un sistema coordenado girado xЈyЈ orientado de manera que IxЈ e IyЈ tengan
valores máximo o mínimo se denomina conjunto de ejes principales del área A.
Los correspondientes momentos de inercia IxЈ e IyЈ se llaman momentos de inercia
principales. En la siguiente sección se demostrará que el producto de inercia IxЈyЈ
correspondiente a un conjunto de ejes principales es igual a cero.
Como la tangente es una función periódica, la ecuación (8.26) no produce
una solución única para el ángulo up. Sin embargo, se puede mostrar que determi-
na la orientación de los ejes principales dentro de un múltiplo arbitrario de 90°.
Observe en la figura 8.8 que si 2u0 es una solución de la ecuación (8.26), entonces
2u0 ϩ n(180°) es también una solución para cualquier entero n. Las orientacio-
nes resultantes del sistema coordenado xЈyЈ se muestran en la figura 8.9.
tan 2u
tan 2u 0 2u 0 2u 0 ϩ 180Њ 2u 0 + 2(180Њ) 2u
2u 0 Ϫ 180Њ
Figura 8.8
Para un valor dado de tan 2u0, existen múltiples
www.FreeLibros.orgraíces2u0ϩn(180°).
8.3 Ejes girados y ejes principales 399
y y y y
yЈ x
xЈ u 0 ϩ 90Њ yЈ
xЈ u 0 ϩ 180Њ x
u0
xx
yЈ xЈ
yЈ xЈ
u 0 ϩ 270Њ
Figura 8.9
La orientación del sistema coordenado xЈyЈ se
determina en función de un múltiplo de 90°.
RESULTADOS
y A
yЈ xЈ
u
x
IxЈ ϭ Ixcos2u Ϫ 2Ixy sen u cos u ϩ Iy sen 2u, (8.20) Los momentos y el producto
IyЈ ϭ Ix sen2 u ϩ 2Ixy sen u cos u ϩ Iycos2u, (8.21) de inercia de un área en
IxЈyЈ ϭ (Ix Ϫ Iy) sen u cos u ϩ (cos2u Ϫ sen2u)Ixy. (8.22) términos de un sistema de
coordenadas girado xЈyЈ puede
expresarse en términos de los
momentos y los productos de
inercia respecto al sistema
coordenado xy y el ángulo u.
Las ecuaciones (8.20) a (8.22) pueden
expresarse en formas alternativas útiles:
IxЈ ϭ Ix ϩ Iy ϩ Ix Ϫ Iy cos 2u Ϫ Ixy sen 2u, (8.23)
2 2
IyЈ ϭ Ix ϩ Iy Ϫ Ix Ϫ Iy cos 2u ϩ Ixy sen 2u, (8.24)
2 2
Ix Ϫ Iy
2
www.FreeLibros.orgIxЈyЈϭ
sen 2u ϩ Ixycos 2u, (8.24)
400 Capítulo 8 Momentos de inercia
Un valor de u para el cual el momento de inercia IxЈ obtenido de la ecuación (8.23)
es un máximo o un mínimo, se denota por up. Si IxЈ es un máximo en u ϭ up, Iy' es un
mínimo en u ϭ up, y si IxЈ es un mínimo, IyЈ es un máximo. El sistema coordenado
girado xЈyЈ correspondiente a u ϭ up define los ejes principales del área A, y los
momentos de inercia respecto a los ejes principales son los momentos de inercia
principales. El producto de inercia IxЈyЈ correspondiente a u ϭ up es igual a cero.
Para valores dados de Ix, Iy, y Ixy, el ángulo up puede determinarse mediante la
ecuación
tan 2up ϭ 2Ixy (8.26)
IyϪIx .
Esta ecuación define de manera única los ejes principales, y determina la orientación
del sistema coordenado xЈyЈ sólo en función de un múltiplo de 90°. Por ejemplo, si
u0 es una solución de la ecuación (8.26), entonces u0 ϩ 90Њ, u0 ϩ 180Њ, y u0 ϩ 270Њ
también son soluciones, lo que resulta en cuatro orientaciones válidas del sistema
coordenado.
y y y y
yЈ x
xЈ u0 ϩ 90Њ yЈ
xЈ u0 ϩ 180Њ x
u0
xx
yЈ xЈ
yЈ xЈ
u0 ϩ 270Њ
La determinación de los ejes principales y los momentos principales de inercia para
un área A y un sistema coordenado xy dados implica la realización de tres pasos:
1. Determine Ix, Iy, y Ixy.
2. Use la ecuación (8.26) para determinar up en función de un múltiplo de 90°.
3. Elija la orientación del sistema coordenado xЈyЈ use las ecuaciones (8.23) y
(8.24) para determinar los momentos de inercia principales.
Ejemplo activo 8.6 Ejes principales y momentos de inercia (᭤ Relacionado con el problema 8.87)
y Determine un conjunto de ejes principales y los correspondientes momentos de iner-
cia principales del área triangular que se muestra en la figura.
Estrategia
3 m Los momentos de inercia y el producto de inercia del área triangular en términos
del sistema coordenado xy pueden obtenerse del apéndice B. Después puede usarse
la ecuación (8.26) para determinar la orientación de los ejes principales y evaluar los
x momentos de inercia principales con las ecuaciones (8.23) y (8.24).
www4m .FreeLibros.org
Solución 8.3 Ejes girados y ejes principales 401
Ix ϭ 1 (4 m)(3 m)3 ϭ 9 m4, Determine los momentos y los productos
12 de inercia a partir del apéndice B.
Iy ϭ 1 (4 m)3(3 m) ϭ 48 m4, Determine up de la ecuación (8.26).
4
Ixy ϭ 1 (4 m)2(3 m)2 ϭ 18 m4.
8
tan 2up ϭ 2Ixy ϭ 2(18) ϭ 0.923.
IyϪIx 48 Ϫ 9
Lo anterior resulta en up ϭ 21.4Њ.
y
yЈ
xЈ
21.4Њ
x
IxЈ ϭ Ix ϩ Iy ϩ Ix Ϫ Iy cos 2u Ϫ Ixysen 2u,
2 2
9 ϩ 48 9 Ϫ 48
2 2
ϭ ϩ cos[2(21.4Њ)] Ϫ (18) sen [2(21.4Њ)]
ϭ 1.96 m4, Calcule los momentos de
inercia principales a partir de
IyЈ ϭ Ix ϩ Iy Ϫ Ix Ϫ Iy cos 2u ϩ Ixy sen 2u, las ecuaciones (8.23) y (8.24).
2 2
9 ϩ 48 9 Ϫ 48
2 2
ϭ Ϫ cos[2(21.4Њ)] ϩ (18)sen[2(21.4Њ)]
ϭ 55.0 m4,
Problema de práctica Los momentos y el producto de inercia del área triangular
mostrada son Ix ϭ 9 m4, Iy ϭ 16 m4, e Ixy ϭ 6 m4. Determine un conjunto de ejes prin-
cipales y los momentos de inercia principales correspondientes.
y
3m
x
4m
www.FreeLibros.orgRespuesta: up ϭ 29.9°, IxЈ ϭ 5.55 m4, IyЈ ϭ 19.4 m4.
402 Capítulo 8 Momentos de inercia
Ejemplo 8.7 Ejes principales y girados (᭤ Relacionado con los problemas 8.88, 8.89)
Los momentos de inercia del área mostrada, en términos del sistema coordenado xy
que se muestra en la figura, son Ix ϭ 22 pies4, Iy ϭ 10 pies4 e Ixy ϭ 6 pies4. a) Deter-
mine IxЈ, IyЈ e IxЈyЈ para u ϭ 30°. b) Determine un conjunto de ejes principales y los
correspondientes momentos de inercia principales.
y
yЈ 1 pie
xЈ
4 pies u
3 pies
1 pie
x
Estrategia
a) Los momentos de inercia en términos del sistema coordenado xЈyЈ se pueden de-
terminar sustituyendo u ϭ30° en las ecuaciones (8-23) a (8.25).
b) La orientación de los ejes principales se determina al despejar up de la ecuación
(8.26). Después de haber determinado up, los momentos de inercia respecto a los ejes
principales pueden determinarse a partir de las ecuaciones (8.23) y (8.24).
Solución
a) Determinación de IxЈ, IyЈ e IxЈyЈ Haciendo u ϭ 30° en las ecuaciones (8.23)a
(8.25) se obtienen los momentos de inercia en pie4:
Ix + Iy Ix - Iy
Ix¿ = 2 + 2 cos 2u - Ixy sen 2u
= a 22 + 10 b + a 22 - 10 b cos32130°24 - 162 sen32130°24 = 13.8 pies4,
22
Ix + Iy Ix - Iy
Iy¿ = 2 - 2 cos 2u + Ixy sen 2u
= a 22 + 10 b - a 22 - 10 b cos[2130°2] + 162 sen[2130°2] = 18.2 pies4,
2 2
Ix - Iy
Ix¿y¿ = 2 sen 2u + Ixy cos 2u
a 22 - 10 b sen32130°24 + 162 cos32130°24 = 8.2 pies4.
www.FreeLibros.org= 2
8.3 Ejes girados y ejes principales 403
b) Determinación de up Se sustituyen los momentos de inercia en términos
del sistema coordenado xy en la ecuación (8.26), para obtener
2Ixy 2162
tan 2up = Iy - Ix = 10 - 22 = - 1.
Así, up ϭ Ϫ22.5°. Los ejes principales correspondientes a este valor de up se mues-
tran en la figura a.
Cálculo de IxЈ e IyЈ Se sustituye up ϭ Ϫ22.5° en las ecuaciones (8.23) y (8.24) para
obtener los momentos de inercia principales:
Ix¿ = 24.5 pies4, Iy¿ = 7.5 pies4.
y
yЈ
x
Ϫ22.5Њ
xЈ
(a) Conjunto de ejes principales
correspondiente a up = - 22.5°.
Razonamiento crítico
Recuerde que la orientación de los ejes principales se determina sólo en función
de un múltiplo arbitrario de 90°. En este ejemplo se elige designar los ejes de la
figura a como los ejes positivos xЈ e yЈ, pero cualquiera de estas elecciones es
igualmente válida.
y yЈ y xЈ y y
yЈ xЈ 22.5Њ x 22.5Њ x
22.5Њ x yЈ
22.5Њ x
xЈ
yЈ xЈ
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404 Capítulo 8 Momentos de inercia
Problemas
᭤ 8.87 En el ejemplo activo 8.6, suponga que la dimensión ver- 8.90 Los momentos de inercia del área mostrada son
tical de 3 m en el área triangular se incrementa a 4 m. Determine
un conjunto de ejes principales y los momentos de inercia princi- Ix ϭ 1.26 ϫ 106 pulg4, Iy ϭ 6.55 ϫ 105 pulg4, e Ixy ϭϪ1.02 ϫ 105
pales correspondientes. pulg4. Determine los momentos de inercia del área IxЈ, IxЈyЈ si u ϭ 30°.
᭤ 8.88 En el ejemplo 8.7, suponga que el área se reorienta como 8.91 Los momentos de inercia del área mostrada son
lo muestra la figura. Si u ϭ 30°, determine los momentos de iner- Ix ϭ 1.26 ϫ 106 pulg4, Iy ϭ 6.55 ϫ 105 pulg4, e Ixy ϭϪ1.02 ϫ 105
cia IxЈ, IyЈ e IxЈyЈ pulg4. Determine un conjunto de ejes principales y los momentos
de inercia principales correspondientes.
y
yЈ
᭤ 8.89 En el ejemplo 8.7, suponga que el área se reorienta xЈ
como lo muestra la figura. Determine un conjunto de ejes princi-
pales y los momentos de inercia principales correspondientes. Con u
base en los resultados del ejemplo 8.7, ¿es posible predecir un x
valor de up sin usar la ecuación (8.26)?
y
1 pie
Problemas 8.90/8.91
3 8.92* Para el área mostrada, determine un conjunto de ejes prin-
pies cipales y los momentos de inercia principales correspondientes.
1 pie y
4 pies
Problemas 8.88/8.89 x
160 mm
40 mm
200 mm x
40 mm
40 mm
120 mm
Problema 8.92
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8.4 Círculo de Mohr 405
8.4 Círculo de Mohr
ANTECEDENTES y
yЈ
Dados los momentos de inercia de un área en términos de un sistema coordenado A
xЈ
particular, se han presentado ecuaciones para determinar los momentos de inercia
u
con respecto a un sistema coordenado girado, la orientación de los ejes principa- x
les y los momentos de inercia principales. También es posible usar un método grá-
fico llamado círculo de Mohr, que es muy útil para visualizar las soluciones de las
ecuaciones (8.23) a (8.25).
Sistema coordenado xy y sistema coordenado girado xЈyЈ. Figura 8.10
Sistema coordenado xy y sistema coordenado
Primero se describirá cómo construir el círculo de Mohr y después se explicará girado x¿y¿.
cómo funciona. Suponga que se conocen los momentos de inercia Ix, Iy e Ixy de un
área en términos de un sistema coordenado xy, y que se desean determinar los
momentos de inercia para un sistema coordenado girado xЈyЈ (figura 8.10). La
construcción del círculo de Mohr implica la realización de tres pasos:
1. Establecer un conjunto de ejes horizontal y vertical, y graficar dos puntos: el (ϩ) 1
punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) y el punto 2 con coordenadas (Iy, ϪIxy), (Ix, Ixy)
como se muestra en la figura 8.11a. 2
(Iy, ϪIxy) (ϩ)
2. Dibujar una línea recta que conecte los puntos 1 y 2. Usando la intersección
de esta línea recta con el eje horizontal como centro, se dibuja un círculo que (a) 1
pase por los dos puntos (figura 8.11b). (ϩ) (ϩ)
3. Dibujar una línea recta que pase por el centro del círculo en un ángulo 2u 2
medido en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el punto 1. (b)
Esta línea interseca al círculo en el punto 1Ј con coordenadas (IxЈ, IxЈyЈ) y en el
punto 2Ј con coordenadas (IyЈ, ϪIxЈyЈ), como se muestra en la figura 8.11c.
Así, para un ángulo u dado, las coordenadas de los puntos 1Ј y 2Ј determinan
los momentos de inercia en términos del sistema coordenado girado. ¿Por qué fun-
ciona esta construcción gráfica? En la figura 8.12 se muestran los puntos 1 y 2 y
el círculo de Mohr. Observe que la coordenada horizontal del centro del círculo es
(Ix ϩIy)/2. El seno y el coseno del ángulo b son
Ixy Ix - Iy
sen b = , cos b = 2R ,
R
donde R, que es el radio del círculo, está dado por (ϩ)
1Ј (IxЈ, IxЈyЈ)
R = Ix - Iy 2 + 1Ixy22. 2u 1
Ca 2 b
(ϩ)
En la figura 8.13 se muestra la construcción de los puntos 1Ј y 2Ј. La coordenada 2
horizontal del punto 1Ј es
Ix + Iy 2Ј
+ R cos1b + 2u2 (IyЈ, –IxЈyЈ)
2 (c)
Ix + Iy Figura 8.11
= 2 + R1cos b cos 2u - sen b sen 2u2 (a) Graficación de los puntos 1 y 2.
(b) Dibujo del círculo de Mohr. El centro del
círculo está en la intersección de la línea
que va de 1 a 2 con el eje horizontal.
(c) Localización de los puntos 1Ј y 2Ј.
Ix + Iy Ix - Iy
www.FreeLibros.org= 2 + 2 cos2u - Ixysen2u = Ix¿,
406 Capítulo 8 Momentos de inercia
(ϩ) y la coordenada horizontal del punto 2Ј es
Ix ϩ Iy R 1 (Ix, Ixy) Ix + Iy
2 b (ϩ) - R cos1b + 2u2
2 Ix Ϫ Iy 2
(Iy, ϪIxy) Ix + Iy
2
= 2 - R1cos b cos 2u - sen b sen 2u2
Figura 8.12 Ix + Iy Ix - Iy
Puntos 1 y 2 y círculo de Mohr.
= 2 - 2 cos 2u + Ixy sen 2u = Iy¿.
La coordenada vertical del punto 1Ј es
(ϩ) 1Ј R sen (b ϩ 2u) ϭ R(sen b cos 2u ϩ cos b sen 2u)
Ix - Iy
Ix ϩ Iy R 2u 1
2 b = Ixy cos 2u + 2 sen 2u = Ix¿y¿,
2 (ϩ) y la coordenada vertical del punto 2Ј es
2Ј ϪR sen (b ϩ 2u) ϭϪIxЈyЈ.
Figura 8.13 Se ha mostrado que las coordenadas del punto 1Ј son (IxЈ, IxЈyЈ) y las del punto 2Ј
Puntos 1Ј y 2Ј. son (IyЈ, ϪIxЈyЈ).
(ϩ) 2up 1 Determinación de ejes principales y de momentos
(Ix, Ixy) de inercia principales
(IxЈ, IxЈyЈ)
1Ј (ϩ) Como los momentos de inercia IxЈ e IyЈ son las coordenadas horizontales de los
2 2Ј puntos 1Ј y 2Ј del círculo de Mohr, sus valores máximo y mínimo se presentan
(IyЈ, ϪIxЈyЈ) cuando los puntos 1Ј y 2Ј coinciden con las intersecciones del círculo con el eje
(Iy, ϪIxy) horizontal (figura 8.14) (la intersección que se designa como 1Ј es arbitraria; en
la figura 8.14 se ha designado el momento de inercia mínimo como punto 1Ј). La
orientación de los ejes principales puede determinarse midiendo el ángulo 2up del
punto 1 al punto 1Ј, y las coordenadas de los puntos 1Ј y 2Ј como los momentos
de inercia principales.
Observe que el círculo de Mohr demuestra que el producto de inercia IxЈyЈ
correspondiente a un conjunto de ejes principales (la coordenada vertical del punto
1Ј en la figura 8.14) siempre es igual a cero. Además, es posible utilizar la figura 8.12
para obtener una expresión analítica para las coordenadas horizontales de los pun-
tos en que el círculo interseca al eje horizontal, que son los momentos de inercia
principales:
Ix + Iy
Momentos de inercia principales = 2 ; R
Figura 8.14
Para determinar la orientación de un conjunto Ix + Iy Ix - Iy 2 1Ixy22.
de ejes principales, sean 1Ј y 2Ј los puntos en 2 Ca 2 b
= ; +
www.FreeLibros.orgque el círculo interseca al eje horizontal.
RESULTADOS y 8.4 Círculo de Mohr 407
yЈ A
xЈ
Cuando se conocen los valores Ix, Iy, e Ixy para un u
área A, el círculo de Mohr puede usarse para x
determinar los valores de IxЈ, IyЈ, e IxЈyЈ para un
ángulo u dado:
Establezca un conjunto de ejes horizontal y vertical (ϩ) 1
y grafique dos puntos: el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy)
(Ix, Ixy) y el punto 2 con coordenadas (Iy, ϪIxy). 2
(Iy, ϪIxy) (ϩ)
Dibuje una línea recta que conecte los puntos 1 y (ϩ)
2. Usando la intersección de esta línea recta con el 1
eje horizontal como centro, dibuje un círculo que 2 (ϩ)
pase por los dos puntos.
Dibuje una línea recta que pase por el centro del círcu- (ϩ) 1Ј (IxЈ, IxЈyЈ)
lo en un ángulo 2u medido en sentido contrario al de 2u 1
las manecillas del reloj desde el punto 1. Esta línea 2
interseca al círculo en el punto 1Ј con coordenadas 2Ј (ϩ)
(IxЈ, IxЈyЈ) y en el punto 2Ј con coordenadas (IyЈ, ϪIxЈyЈ).
(IyЈ, –IxЈyЈ)
El círculo de Mohr también puede usarse para determinar la orientación de los ejes
principales y los momentos de inercia principales.
(ϩ)
Coloque el punto 1Ј en uno de los puntos donde el círcu-
lo de Mohr interseca al eje horizontal. Entonces los valo- 2up 1
(Ix, Ixy)
res de IxЈ e IyЈ obtenidos de los puntos 1Ј y 2Ј son los (IxЈ, IxЈyЈ) (ϩ)
momentos de inercia principales. El ángulo medido en 1Ј 2Ј
sentido contrario al de las manecillas del reloj desde el 2 (IyЈ, ϪIxЈyЈ)
punto 1 hasta el punto 1Ј es 2up, por lo que es posible (Iy, ϪIxy)
www.FreeLibros.orgdeterminar la orientación de los ejes principales.
408 Capítulo 8 Momentos de inercia
Ejemplo activo 8.8 Círculo de Mohr (᭤ Relacionado con los problemas 8.94, 8.95)
Los momentos y el producto de inercia del área mostrada en términos del sistema
coordenado xy son Ix ϭ 22 pies4, Iy ϭ 10 pies4 e Ixy ϭ 6 pies4. Utilice el círculo de Mohr
para determinar los momentos de inercia IxЈ, IyЈ e IxЈyЈ para u ϭ 30°.
y
yЈ 1 pie
xЈ
4 1 pie u
pies x
3 pies
Estrategia
Usando los valores dados de Ix, Iy e Ixy para construir el círculo de Mohr, es posi-
ble determinar IxЈ, IyЈ e IxЈyЈ para u ϭ 30°.
Solución
Grafique el punto 1 con coordenadas (Ix, Ixy) ϭ (22, 6) pies4 10 1
y el punto 2 con coordenadas (Iy, ϪIxy) ϭ (10, Ϫ6) pies4. 0 (22, 6) pies4
2
Ϫ10 (10, Ϫ6) pies4 20 30
0 10
Dibuje una línea recta que conecte los puntos 1 y 10 1 6) pies4
2. Utilizando como centro la intersección de la (22,
línea con el eje horizontal, dibuje un círculo que 0
pase por los dos puntos. 2
Ϫ10 (10, Ϫ6) pies4 20 30
0 10
Dibuje una línea recta a través del centro del círculo 10 1Ј 1
(IxЈ, IxЈyЈ)
en un ángulo 2u ϭ 60Њ, medido desde el punto 1 en
60Њ
sentido opuesto al de las manecillas del reloj. De las
coordenadas de los puntos 1Ј y 2Ј, IxЈ ϭ 14 pies4, 0
IyЈ ϭ 18 pies4, y IxЈyЈ ϭ 8 pies4.
2
2Ј (IyЈ, ϪIxЈyЈ)
Ϫ10
0 10 20 30
Problema de práctica Use el círculo de Mohr para determinar la orientación de los ejes
principales del área mostrada y los momentos de inercia principales correspondientes.
www.FreeLibros.orgRespuesta: up ϭ 67.5°, IxЈ ϭ 7.5 pies4, IyЈ ϭ 24.5 pies4.
Problemas 8.5 Objetos simples 409
8.93 Resuelva el problema 8.87 usando el círculo de Mohr. 8.97 Resuelva el problema 8.91 usando el círculo de Mohr.
᭤ 8.94 Resuelva el problema 8.88 usando el círculo de Mohr. 8.98* Resuelva el problema 8.92 usando el círculo de Mohr.
᭤ 8.95 Resuelva el problema 8.89 usando el círculo de Mohr. 8.99 Obtenga la ecuación (8.22) para el producto de inercia
8.96 Resuelva el problema 8.90 usando el círculo de Mohr. usando el mismo procedimiento que se empleó para obtener las
ecuaciones (8.20) y (8.21).
MASAS
8.5 Objetos simples (a) LO
ANTECEDENTES dm
r
La aceleración de un objeto, que resulta de las fuerzas que actúan sobre él, depende
de su masa. La aceleración angular, o aceleración rotatoria, provocada por las fuerzas (b) LO
y pares que actúan sobre un objeto, depende de cantidades llamadas momentos de Figura 8.15
inercia de masa del objeto. En esta sección se analizarán métodos para determinar (a) Un objeto y el eje LO.
momentos de inercia de masa de objetos particulares. Se mostrará que para clases (b) Elemento diferencial de masa dm.
especiales de cuerpos, sus momentos de inercia de masa pueden expresarse en tér-
minos de momentos de inercia de áreas, lo que explica cómo se originaron los nom-
bres de esas integrales de área.
En la figura 8.15a se muestran un cuerpo y una línea o “eje” LO. El momento
de inercia de masa del objeto respecto al eje LO se define como
IO = r 2 dm, (8.27)
Lm
donde r es la distancia perpendicular desde el eje hasta el elemento diferencial de
masa dm (figura 8.15b). A menudo, LO es un eje alrededor del cual gira el objeto,
y se requiere el valor de IO para determinar la aceleración angular, es decir, la
razón de cambio de la velocidad angular causada por un par respecto a LO. Las
dimensiones del momento de inercia de un objeto son (masa) ϫ (longitud)2.
Observe que la definición implica que su valor debe ser positivo.
Barras delgadas L
A continuación se determinará el momento de inercia de masa de una barra recta
y delgada respecto a un eje perpendicular L que pase por el centro de masa de
la barra (figura 8.16a). “Delgada” implica el supuesto de que la longitud de la
barra es mucho mayor que su ancho. Sea l la longitud de la barra, A el área de su l
sección transversal y m su masa. Se supone que A es uniforme a lo largo de la lon-
gitud de la barra y que el material es homogéneo. (a)
Considere un elemento diferencial de la barra de longitud dr a una distancia r dm
del centro de masa (figura 8.16b). La masa del elemento es igual al producto de su
volumen y su densidad: dm ϭ rA dr. Sustituyendo esto en la ecuación (8.27), se
obtiene el momento de inercia de masa de la barra respecto a un eje perpendicular r dr
que pasa por su centro de masa: (b)
l>2 1 rAl 3. Figura 8.16
(a) Barra delgada.
rAr 2 dr = (b) Elemento diferencial de longitud dr.
I=www.FreeLibros.orgLm L-l>2r 2 dm =12
410 Capítulo 8 Momentos de inercia
yy La masa de la barra es igual al producto de la densidad y el volumen de ésta,
m ϭ rAl, por lo que el momento de inercia de masa es
T I = 1 ml 2. (8.28)
12
xz Para obtener este resultado se han ignorado las dimensiones laterales de la barra.
(a) Es decir, el elemento diferencial de masa dm fue tratado como si estuviera concen-
trado sobre el eje de la barra. En consecuencia, la ecuación (8.28) es sólo una apro-
yy ximación para el momento de inercia de una barra. En la siguiente sección se
determinarán los momentos de inercia de masa para una barra con dimensiones
dA dm laterales finitas, y se demostrará que la ecuación (8.28) permite una buena aproxi-
mación cuando el ancho de la barra es pequeño en comparación con su longitud.
yr xz
x (b)
Figura 8.17 Placas delgadas
(a) Placa de forma arbitraria y espesor
Considere una placa plana homogénea con masa m y espesor uniforme T. No se
uniforme T. especifica la forma del área de la sección transversal de la placa. Sea el sistema
(b) Elemento de volumen obtenido al coordenado cartesiano orientado de modo que la placa quede sobre el plano x–y
(figura 8.17a). El objetivo es determinar los momentos de inercia de masa de la
proyectar un elemento de área dA a placa respecto a los ejes x, y y z.
través de la placa.
Es posible obtener un elemento diferencial de volumen de la placa proyectan-
do un elemento de área dA a través del espesor T de la placa (figura 8.17b). El
volumen resultante es T dA. La masa de este elemento de volumen es igual al pro-
ducto de la densidad y el volumen: dm ϭ rT dA. Al sustituir esta expresión en la
ecuación (8.27), se obtiene el momento de inercia de masa de la placa respecto al
eje z en la forma
Ieje z = r 2 dm = rT r 2 d A,
Lm LA
donde r es la distancia desde el eje z hasta dA. Como la masa de la placa es m ϭ rT
A, donde A es el área de la sección transversal de la placa, rT ϭ m/A. La integral
a la derecha es el momento polar de inercia JO del área de la sección transversal de
la placa. Por lo tanto, el momento de inercia de masa de la placa respecto al eje z
puede escribirse como
m (8.29)
Ieje z = A JO.
En la figura 8.17b se observa que la distancia perpendicular desde el eje x hasta el
elemento de área dA es la coordenada y de dA. Por lo tanto, el momento de iner-
cia de masa de la placa respecto al eje x es
Ieje x = y 2 dm = rT y 2 dA = m (8.30)
Lm LA A Ix,
donde Ix es el momento de inercia del área de la sección transversal de la placa res-
pecto al eje x. El momento de inercia de masa de la placa respecto al eje y es
Ieje y = x 2 dm = rT x 2 dA = m (8.31)
Lm LA A Iy,
donde Iy es el momento de inercia del área de la sección transversal de la placa res-
pecto al eje y.
Como la suma de los momentos de inercia de área Ix e Iy es igual al momento
polar de inercia JO, el momento de inercia de masa de la placa delgada respecto al
eje z es igual a la suma de sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y:
www.FreeLibros.orgIejezϭIejexϩIejey
Placa delgada (8.32)
8.5 Objetos simples 411
Se han expresado los momentos de inercia de masa de una placa delgada homo-
génea de espesor uniforme en términos de los momentos de inercia del área de la
sección transversal de la placa. De hecho, estos resultados explican por qué las inte-
grales de área Ix, Iy y JO se llaman momentos de inercia. El uso de la misma termino-
logía y símbolos similares para los momentos de inercia de áreas y los momentos de
inercia de objetos puede resultar confuso, pero está muy arraigado en la práctica
de la ingeniería. El tipo de momento de inercia al que se hace referencia puede deter-
minarse a partir del contexto o con base en las unidades: (longitud)4 para los momentos
de inercia de áreas y (masa) ϫ (longitud)2 para los momentos de inercia de masas.
RESULTADOS
Momento de inercia de un objeto dm
El momento de inercia de un objeto respecto a un eje r
LO está definido por LO
IO ϭ r2dm, (8.27) dm
Lm r dr
donde r es la distancia perpendicular desde LO hasta L
el elemento diferencial de masa dm.
l
Barras delgadas
El elemento diferencial de masa dm ϭ rAdr, donde r
es la densidad de la barra homogénea y A es el área de
su sección transversal uniforme. El momento de inercia
de la barra de longitud l respecto al eje perpendicular L
a través de su centro de masa es
Iϭ r2dm ϭ l/2 ϭ 1 rAl3.
rAr2dr 12
Lm LϪl/2
En términos de la masa de la barra m ϭ rAl,
I ϭ 1 ml2. (8.28)
12
Placas delgadas
Los momentos de inercia de una placa homogénea delgada
de grosor uniforme y masa m que se encuentra en el plano
x–y puede expresarse en términos de los momentos de iner-
cia del área A de la sección transversal de la placa: yy
A
Ieje x ϭ m (8.30) xz
Ieje y ϭ A Ix , (8.31)
m
A Iy ,
m (8.29)
Ieje z ϭ A JO ϭ Ieje x ϩ Ieje y.
Aquí Ix es el momento de inercia de A respecto al eje x, Iy
es el momento de inercia de A respecto al eje y y JO es el
www.FreeLibros.orgmomento polar de inercia de A respecto al origen.
412 Capítulo 8 Momentos de inercia
Ejemplo activo 8.9 Momento de inercia de una placa triangular (᭤ Relacionado con el problema 8.104)
La placa homogénea delgada que se muestra en la figura tiene espesor uniforme y
masa m. Determine sus momentos de inercia de masa respecto al eje x.
y
h
x
b
Estrategia
El momento de inercia de la placa respecto al eje x está dado por la ecuación (8.30)
en términos del momento de inercia del área de la placa respecto al eje x. El
momento de inercia del área puede obtenerse a partir del apéndice B.
Solución
Del apéndice B, Determine el momento de
inercia del área de la placa
Ix ϭ 1 bh3. respecto al eje x.
12
El momento de inercia de la placa respecto al eje x es
m
Ieje x ϭ A Ix
ϭ m 1 bh31 Aplique la ecuación (8.30).
2 bh 12
ϭ 1 mh2.
6
Problema de práctica Determine el momento de inercia de la placa respecto al eje y.
Respuesta: Ieje y = 1 mb2.
2
www.FreeLibros.org
8.5 Objetos simples 413
Ejemplo 8.10 Momentos de inercia de una barra delgada (᭤ Relacionado con el problema 8.100)
Dos barras homogéneas esbeltas, cada una con longitud l, masa m y área de sección l
transversal A, están soldadas entre sí para formar el objeto en forma de L que se
muestra en la figura. Determine el momento de inercia de masa del objeto respec-
to al eje LO que pasa por el punto O (el eje LO es perpendicular a las dos barras).
Estrategia
Usando el mismo procedimiento de integración empleado para una sola barra, se
determinará el momento de inercia de masa de cada barra respecto a LO y se suma-
rán los resultados.
Solución Ol
El primer paso consiste en introducir un sistema coordenado con el eje z a lo largo LO
de LO y el eje x colineal con la barra 1 (figura a). La masa del elemento diferencial de
la barra 1 de longitud dx es dm ϭ rA dx. El momento de inercia de la barra 1 res-
pecto a LO es
l y
1IO21 = r 2 dm = rAx 2 dx = 1 rAl 3.
Lm L0 3
En términos de la masa de la barra, m ϭ rAl, este resultado puede escribirse como 2
1IO21 = 1 ml 2. dm
3 1
O
x
x dx
La masa de un elemento de la barra 2 con longitud dy, que se muestra en la
(a) Elemento diferencial de la barra 1.
figura b, es dm ϭ rA dy. En la figura se observa que la distancia perpendicular de
LO al elemento es r = 2l2 + y2. Por lo tanto, el momento de inercia de la barra y
2 respecto a LO es dy
1IO22 = r 2 dm = l + y 22 dy = 4 rAl 3. dm
Lm 3
rA1l 2
L0
En términos de la masa de la barra, se obtiene
1IO22 = 4 ml 2. ry
3 2
El momento de inercia del objeto en forma de L respecto a LO es O x
1
1 ml 2 4 ml 2 5 ml 2. (b) Elemento diferencial de la barra 2.
3 3 3
IO = 1IO21 + 1IO22 = + =
Razonamiento crítico
En este ejemplo se usó la integración para determinar un momento de inercia de
un objeto consistente en dos barras rectas. El mismo procedimiento puede aplicar-
se para objetos más complicados hechos con barras de este tipo, pero obviamente
lo anterior sería tedioso. Una vez que se ha usado la integración para determinar
un momento de inercia de una sola barra, como en la ecuación (8.28), sería conve-
niente usar ese resultado para determinar momentos de inercia de objetos com-
puestos hechos de barras sin tener que realizar de nuevo la integración. En la si-
www.FreeLibros.orgguiente sección se mostrará cómo hacer esto.
414 Capítulo 8 Momentos de inercia ᭤ 8.104 La placa homogénea delgada que se muestra en la figura
tiene una masa m ϭ 12 kg y dimensiones b ϭ 2 m y h ϭ 1 m. Use
Problemas el procedimiento descrito en el ejemplo activo 8.9 para determinar
los momentos de inercia de la placa respecto a los ejes x e y.
᭤ 8.100 El eje LO es perpendicular a los dos segmentos de la
barra en forma de L que se muestra en la figura. La masa de y
la barra es de 6 kg y el material es homogéneo. Use el método
descrito en el ejemplo 8.10 para determinar el momento de
inercia de la barra respecto a LO.
1m
h
x
LO 2 m b
Problema 8.100 Problema 8.104
8.101 Dos barras homogéneas esbeltas, cada una con masa m y 8.105 La placa homogénea delgada que se muestra en la figura
longitud l, están soldadas entre sí para formar un cuerpo en forma tiene espesor uniforme y masa m.
de T. Use integración para determinar el momento de inercia de (a) Determine su momento de inercia de masa respecto a los
masa del cuerpo mostrado respecto al eje que pasa por el punto O ejes x y z.
y que es perpendicular a las barras. (b) Considere que Ri ϭ 0 y compare sus resultados con los valo-
res dados en el apéndice C para una placa circular delgada.
y
O l Ro
l Ri
x
Problema 8.101
8.102 La barra delgada que se muestra en la figura se encuentra en Problema 8.105
el plano x-y. Su masa es de 6 kg y el material es homogéneo. Use in-
tegración para determinar su momento de inercia respecto al eje z. 8.106 La placa homogénea delgada que se muestra en la figura
tiene espesor uniforme y pesa 20 lb. Determine su momento de
8.103 Use integración para determinar el momento de inercia res- inercia respecto al eje y.
pecto al eje y de la barra delgada de 6 kg que se muestra en la figura.
8.107 Determine el momento de inercia de la placa mostrada
y respecto al eje x.
2m y 1 x2
4
yϭ4Ϫ pies
50Њ
xx
1m
www.FreeLibros.orgProblemas 8.102/8.103
Problemas 8.106/8.107
8.6 Teorema de los ejes paralelos 415
8.6 Teorema de los ejes paralelos
ANTECEDENTES L
LO
El teorema de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia de un (a)
objeto respecto a cualquier eje si se conoce el momento de inercia respecto a un eje
paralelo que pasa por el centro de masa. Este teorema puede usarse para calcular y
el momento de inercia de un objeto compuesto respecto a un eje, dados los momen- yЈ
tos de inercia de cada una de sus partes respecto a ejes paralelos.
Suponga que se conoce el momento de inercia I respecto a un eje L que pasa
por el centro de masa de un objeto, y que se desea determinar su momento de iner-
cia de masa IO respecto a un eje paralelo LO (figura 8.18a). Para determinar IO se
introducen sistemas coordenados paralelos xyz y xЈyЈzЈ con el eje z a lo largo de LO
y el eje zЈ a lo largo de L, como se muestra en la figura 8.18b (en esta figura los
ejes LO y L son perpendiculares a la página). El origen O del sistema coordenado
xyz está contenido en el plano xЈ ϪyЈ. Los términos dx y dy son las coordenadas del
centro de masa relativas al sistema coordenado xyz.
El momento de inercia del objeto respecto a LO es
IO = r 2 dm = 1x 2 + y 22 dm, (8.33)
Lm Lm
donde r es la distancia perpendicular de LO al elemento diferencial de masa dm, mien- dx dm
tras que x, y son las coordenadas de dm en el plano x-y. Las coordenadas de dm en rЈ
r
los dos sistemas coordenados se relacionan mediante las siguientes expresiones: d dy
O
x ϭ xЈ ϩ d x, y ϭ yЈ ϩ d y. xЈ
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (8.33), es posible escribir x
IO = 31x¿22 + 1y¿224dm + 2dx Lm x¿dm + 2dy Lm y¿dm
Lm
(b)
+ 1d 2 + dy22 dm. (8.34)
x Figura 8.18
Lm (a) Eje L a través del centro de masa de un
Como (xЈ)2 ϩ (yЈ)2 ϭ (rЈ)2, donde rЈ es la distancia perpendicular de L a dm, la objeto y eje paralelo LO.
primera integral en el lado derecho de esta ecuación es el momento de inercia I del (b) Sistemas coordenados xyz y xЈyЈzЈ.
objeto respecto a L. Recuerde que las coordenadas xЈ y yЈ del centro de masa
del objeto relativas al sistema coordenado xЈyЈzЈ están definidas por
x¿ = Lm x¿dm y¿ = Lm y¿dm
, .
dm dm
Lm Lm
Como el centro de masa del cuerpo está en el origen del sistema xЈyЈzЈ, x¿ = 0 y
y¿ = 0. Por lo tanto, las integrales en el segundo y el tercer términos del lado dere-
cho de la ecuación (8.34) son iguales a cero. En la figura 8.18b se observa que
dx2 ϩ dy2 ϭ d2, donde d es la distancia perpendicular entre los ejes L y LO. Por lo
tanto, se obtiene
IO ϭ I ϩ d 2m. (8.35)
Éste es el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia de objetos. La ecua-
ción (8.35) relaciona el momento de inercia I de un objeto respecto a un eje que pasa
por el centro de masa con su momento de inercia IO respecto a cualquier eje parale-
www.FreeLibros.orglo, donde d es la distancia perpendicular entre los dos ejes y m es la masa del objeto.
416 Capítulo 8 Momentos de inercia
Por lo general, la determinación del momento de inercia de un objeto respec-
to a un eje dado LO requiere de tres pasos:
1. Seleccionar las partes. Trate de dividir el objeto en partes cuyos momentos de
inercia de masa se conozcan o puedan determinarse con facilidad.
2. Determinar los momentos de inercia de las partes. Primero debe determinar el
momento de inercia de cada parte respecto al eje que pasa por su centro de
masa y es paralelo a LO. Luego se puede usar el teorema de los ejes paralelos
para determinar su momento de inercia respecto a LO.
3. Sumar los resultados. Sume los momentos de inercia de las partes (o reste en
el caso de un agujero o recorte) para obtener el momento de inercia del obje-
to compuesto.
RESULTADOS
Teorema de los ejes paralelos d
El momento de inercia de un objeto con masa m
respecto a un eje LO está dado por
IO ϭ I ϩ d2m, (8.35)
donde I es el momento de inercia del objeto respecto _
x1
a un eje paralelo que pasa por su centro de masa y d L
LO
es la distancia perpendicular entre los dos ejes.
Objetos compuestos
El teorema de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia de un objeto compues-
to respecto a un eje dado LO. El momento de inercia de cada parte puede determinarse respecto a
un eje que pasa por el centro de masa de la parte y que es paralelo a LO. Entonces el teorema de
los ejes paralelos puede aplicarse a cada parte para determinar su momento de inercia respecto a
LO. Al sumar los resultados se obtiene el momento de inercia del objeto compuesto respecto a LO.
Ejemplo activo 8.11 Teorema de los ejes paralelos (᭤ Relacionado con el problema 8.111)
La barra homogénea delgada que se muestra en la figura tiene masa m y longitud l.
El eje LO es perpendicular a la barra.
(a) Use integración para determinar el momento de inercia de la barra respecto a LO.
(b) El momento de inercia de la barra respecto a un eje que pasa por su centro de
masa y que es perpendicular a dicha barra es I ϭ (1/12)ml2. Use este resultado y el
teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia de la barra res-
pecto a LO.
Ol
LO
www.FreeLibros.org
8.6 Teorema de los ejes paralelos 417
Solución
El elemento diferencial de masa dm ϭ rA dr, l
O dm
donde r es la densidad de la barra homogénea y
r dr
A es el área de su sección transversal. El
(a) Integre para
momento de inercia es determinar el momento
de inercia respecto a LO.
IO ϭ r2dm l ϭ 1 rAl3.
Lm 3
ϭ rAr2dr
LO
En términos de la masa de la barra m ϭ rAl,
IO ϭ 1 ml2.
3
l L
2
O
LO
IO ϭ I ϩ d2m
ϭ 1 ml2 ϩ 12 (b) Aplique el teorema de
lm los ejes paralelos.
12 2
ϭ 1 ml2.
3
Problema de práctica Dos barras homogéneas delgadas, cada una de longitud l y
masa m, se sueldan entre sí para formar el objeto en forma de L que se muestra en la fi-
gura. Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el momento de inercia del
objeto respecto al eje LO (el eje LO es perpendicular a las dos barras).
l
Ol
LO
5ml2.
3
www.FreeLibros.orgRespuesta:IO=
418 Capítulo 8 Momentos de inercia
Ejemplo 8.12 Momento de inercia de un objeto compuesto (᭤ Relacionado con el problema 8.127)
El objeto que se muestra en la figura consiste en una barra de 3 kg soldada a un
disco delgado circular de 2 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje L
que pasa por su centro de masa (el eje L es perpendicular a la barra y al disco).
0.2 m
0.6 m
L
Estrategia
Primero se debe localizar el centro de masa del objeto compuesto, y luego aplicar
el teorema de los ejes paralelos a las partes por separado y sumar los resultados.
Solución
Selección de las partes Las partes son la barra y el disco. Introduciendo el sis-
tema coordenado de la figura a, la coordenada x del centro de masa del objeto
compuesto es
x = xbarra mbarra + xdisco mdisco
mbarra + mdisco
10.3 m213 kg2 + 10.6 m + 0.2 m212 kg2
= 13 kg2 + 12 kg2 = 0.5 m.
y
x
0.3 m
_
x
0.8 m
(a) Coordenada x del centro de masa del
objeto.
Determinación de los momentos de inercia de masa de las partes La distan-
cia desde el centro de masa de la barra al centro de masa del objeto compuesto es
0.2 m (figura b). Por lo tanto, el momento de inercia de masa de la barra respecto
a L es
Ibarra = 1 13 kg210.6 m22 + 13 kg210.2 m22 = 0.210 kg-m2.
12
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8.6 Teorema de los ejes paralelos 419
y
x
0.2 m
(b) Distancia de L al centro de masa
de la barra.
La distancia desde el centro de masa del disco al centro de masa del objeto com-
puesto es 0.3 m (figura c). El momento de inercia del disco respecto a L es
Idisco = 1 12 kg210.2 m22 + 12 kg210.3 m22 = 0.220 kg-m2.
2
y
x
0.3 m
(c) Distancia desde L hasta el centro de masa
del disco.
Suma de los resultados El momento de inercia del objeto compuesto respecto
a L es
I = Ibarra + Idisco = 0.430 kg-m2.
Razonamiento crítico
En este ejemplo se muestra el procedimiento más común para determinar momen-
tos de inercia de objetos en aplicaciones de ingeniería. Por lo general, los objetos
consisten en ensambles de partes. Se debe determinar el centro de masa de cada
parte y su momento de inercia respecto al eje que pasa por dicho centro de masa
(puede ser necesario determinar esta información de manera experimental, o en
ocasiones los datos son proporcionados por los fabricantes de subensambles).
Después se determina el centro de masa del objeto compuesto y se usa el teorema
de los ejes paralelos para encontrar el momento de inercia de cada parte respecto al
eje que pasa por el centro de masa del objeto compuesto. Por último, los momen-
tos de inercia individuales se suman para obtener el momento de inercia del objeto
wwcompuesto.w.FreeLibros.org
420 Capítulo 8 Momentos de inercia
Ejemplo 8.13 Momentos de inercia de un cilindro (᭤ Relacionado con los problemas 8.122, 8.123,
8.125, 8.126)
El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene masa m, longitud l y radio R.
Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z.
y
x
R
l
z
Estrategia
Primero se determinan los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z de un
elemento infinitesimal del cilindro, que consiste en un disco de espesor dz.
Después se integran los resultados con respecto a z para obtener los momentos de
inercia del cilindro. Se debe aplicar el teorema de los ejes paralelos para determi-
nar los momentos de inercia del disco respecto a los ejes x e y.
Solución
Considere un elemento del cilindro de espesor dz a una distancia z del centro del ci-
lindro (figura a) (es posible imaginar que este elemento se obtiene al “rebanar” el
cilindro perpendicularmente a su eje). La masa del elemento es igual al producto de
la densidad de masa y el volumen del elemento, dm ϭ r(pR2dz). Se obtienen los
momentos de inercia del elemento usando los valores para una placa circular del-
gada dados en el apéndice C. El momento de inercia respecto al eje z es
dIeje z = 1 dmR2 = 1 1rpR2 dz2R2.
22
y
x
xЈ
z z
dz
(a) Elemento diferencial del cilindro en la
www.FreeLibros.orgformadeundisco.
8.6 Teorema de los ejes paralelos 421
Al integrar este resultado con respecto a z de Ϫl/2 a 1/2, se suman los momentos
de inercia de los elementos infinitesimales de disco que forman el cilindro. El
resultado es el momento de inercia del cilindro respecto al eje z:
Ieje z = l>2 1 rpR4 dz = 1 rp R4l.
L-l>2 2 2
Este resultado puede escribirse en términos de la masa del cilindro, m ϭ r(pR2l),
como
Ieje z = 1 mR 2.
2
El momento de inercia de masa del elemento de disco respecto al eje xЈ es
dIeje x¿ = 1 dm R2 = 1 1rpR2 dz2R2.
4 4
Puede usarse este resultado y el teorema de los ejes paralelos para determinar el
momento de inercia de masa del elemento respecto al eje x:
dIeje x = dIeje x¿ + z2 dm = 1 1rpR 2 dz2R2 + z21rpR2 dz2.
4
Integrando esta expresión con respecto a z desde Ϫl/2 a l/2, se obtiene el momen-
to de inercia de masa del cilindro respecto al eje x:
Ieje x = l>2 a 1 rpR4 + rpR2z2 b dz = 1 rpR4l + 1 rpR2l 3.
L-l>2 4 4 12
En términos de la masa del cilindro,
Ieje x = 1 mR2 + 1 ml 2.
4 12
Debido a la simetría del cilindro,
Ieje y ϭ Ieje x.
Razonamiento crítico
Cuando el cilindro es muy largo en comparación con su ancho, l ϾϾ R, el primer
término en la ecuación para Ieje x se puede ignorar y se obtiene el momento de iner-
cia de una barra delgada respecto a un eje perpendicular, ecuación (8.28). Por otro
lado, cuando el radio del cilindro es mucho mayor que su longitud, R ϾϾ I, el
segundo término de la ecuación para Ieje x se puede ignorar y se obtiene el momen-
to de inercia de masa para un disco circular delgado respecto a un eje paralelo al
disco. Esto indica los tamaños de los términos que se desprecian cuando se usan
las expresiones aproximadas para los momentos de inercia de una barra “delgada”
www.FreeLibros.orgy de un disco “delgado”.
422 Capítulo 8 Momentos de inercia
Problemas
8.108 La masa del objeto mostrado es de 10 kg. Su momento 8.112 La masa de la barra delgada homogénea que se muestra en
de inercia respecto a L1 es de 10 kg-m2. ¿Qué valor tiene su mo- la figura es de 20 kg. Determine su momento de inercia respecto
mento de inercia respecto a L2? (Los tres ejes se encuentran en el al eje z.
mismo plano).
8.113 Determine el momento de inercia de la barra de 20 kg que
se muestra en la figura, respecto al eje zЈ que pasa por su centro de
masa.
y yЈ
0.6 m 0.6 m xЈ
1m
L L1 L2
Problema 8.108
x
8.109 Un ingeniero recaba datos para el diseño de una unidad de 1.5 m 1m
maniobras y determina que el centro de masa del astronauta que
aparece en la figura está en x ϭ 1.01 m, y ϭ 0.16 m, y que su mo- Problemas 8.112/8.113
mento de inercia respecto al eje z es de 105.6 kg-m2. Su masa es
8.114 La barra delgada homogénea que se muestra en la figura
de 81.6 kg. ¿Qué valor tiene su momento de inercia respecto al pesa 5 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje z.
eje zЈ que pasa a través de su centro de masa?
8.115 Determine el momento de inercia de la barra de 5 lb que
y yЈ se muestra en la figura, respecto al eje zЈ que pasa por su centro de
masa.
xЈ
x y yЈ
Problema 8.109 4 pulg
8.110 Dos barras delgadas homogéneas, cada una con masa m y xЈ
longitud l, se sueldan entre sí para formar el objeto en forma de T
que se muestra en la figura. Use el teorema de los ejes paralelos x
para determinar el momento de inercia del objeto respecto al eje
que pasa por el punto O y es perpendicular a las barras. 8 pulg
Problemas 8.114/8.115
᭤ 8.111 Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el
momento de inercia del cuerpo en forma de T que se muestra en la
figura, respecto al eje que pasa por el centro de masa del objeto y
que es perpendicular a las dos barras (vea el ejemplo activo 8.11).
O l
l
www.FreeLibros.orgProblemas 8.110/8.111
Problemas 423
8.116 El cohete mostrado sirve para investigaciones atmosféri- 8.121 El radiador térmico de la figura (usado para eliminar el
cas. Su peso y su momento de inercia de masa respecto al eje z exceso de calor en un satélite) puede modelarse como una placa
homogénea rectangular delgada. Su masa es de 5 slugs. Determine
que pasa a través de su centro de masa (incluido el combustible) sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z.
son 10 kip y 10,200 slug-pie2, respectivamente. El combustible
pesa 6000 lb, su centro de masa está en x ϭ Ϫ3 pies, y ϭ 0, y
z ϭ 0, y el momento de inercia del combustible respecto al eje
que pasa por el centro de masa y que es paralelo al eje z es de 3 pies 6 pies
2200 slug-pie2. Si el combustible se agota, ¿qué valor tiene
el momento de inercia del cohete respecto al eje que pasa por el
nuevo centro de masa paralelo a z?
y
3 pies
x 2 pies
x
Problema 8.116 Problema 8.121
8.117 La masa de la placa delgada homogénea de la figura es de ᭤ 8.122 El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene
36 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje x. masa m, longitud l y radio R. Use la integración como se describió
en el ejemplo 8.13 para determinar su momento de inercia respec-
8.118 Determine el momento de inercia de masa de la placa de to al eje x.
36 kg mostrada, respecto al eje z.
y
0.4 m 0.4 m
0.3 m y
x
0.3 m
x
Problemas 8.117/8.118
8.119 La placa delgada homogénea que se muestra en la figura l R
pesa 10 lb. Determine su momento de inercia respecto al eje x. Problema 8.122 z
8.120 Determine el momento de inercia de la placa de 10 lb
mostrada, respecto al eje y.
y
5 pulg 5 pulg
10 pulg
5 pulg
x
www.FreeLibros.orgProblemas 8.119/8.120
424 Capítulo 8 Momentos de inercia
᭤ 8.123 El cono homogéneo mostrado tiene masa m. Determine 8.128 La parte de máquina en forma de L que se muestra en la
su momento de inercia respecto al eje z y compare su resultado
con el valor dado en el apéndice C (vea el ejemplo 8.13). figura está compuesta por dos barras homogéneas. La barra 1 es
de una aleación de tungsteno con densidad de 14,000 kg/m3, y la
8.124 Determine el momento de inercia del cono homogéneo de barra 2 es de acero con densidad de 7800 kg/m3. Determine su
masa m mostrado, respecto a los ejes x e y, y compare su resultado
con el valor dado en el apéndice C. momento de inercia respecto al eje x.
y
y 240 mm 1 40 mm
x 80 mm 2
z 80 mm
R 240 mm
hz x
Problemas 8.123/8.124 Problema 8.128
8.129 El objeto homogéneo que se muestra en la figura es un
᭤ 8.125 La masa de la cuña homogénea que se muestra en la fi- cono con un agujero cónico. Sus dimensiones son R1 ϭ 2 pulg, R2
gura es m. Use la integración como se describió en el ejemplo ϭ 1 pulg, h1 ϭ 6 pulg y h2 ϭ 3 pulg. Está hecho de una aleación
8.13 para determinar su momento de inercia respecto al eje z (su de aluminio con densidad de 5 slug/pie3. Determine su momento
respuesta debe estar en términos de m, a, b y h). de inercia respecto al eje x.
y
x
᭤ 8.126 La masa de la cuña homogénea que se muestra en la fi- R1
gura es m. Use la integración como se describió en el ejemplo
8.13 para determinar su momento de inercia respecto al eje x (su R2 z
respuesta debe estar en términos de m, a, b y h).
h1 h2
y
x Problema 8.129
h
a 8.130 El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio (Al) con
densidad de 2700 kg/m3 y hierro (Fe) con densidad de 7860 kg/m3.
b Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes xЈ e yЈ.
z
y
Problemas 8.125/8.126 yЈ
Al
᭤ 8.127 En el ejemplo 8.12, suponga que una parte de la barra
de 3 kg se corta, de manera que ahora su longitud es de 0.4 m y su z Fe
masa es de 2 kg. Determine el momento de inercia del objeto 600 mm 200 mm
compuesto respecto al eje perpendicular L que pasa por el centro
de masa del objeto modificado. zЈ 600 mm
x, xЈ
www.FreeLibros.orgProblema8.130
Problemas de repaso 425
8.131 La mitad de cilindro homogéneo mostrado tiene masa m. 8.134 El objeto mostrado está hecho de acero con densidad
Determine su momento de inercia de masa respecto al eje L que r ϭ 7800 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto
pasa por su centro de masa.
al eje LO.
RL 8.135 Determine el momento de inercia de masa del objeto del
problema 8.134 respecto al eje que pasa por su centro de masa y
T es paralelo al eje LO.
Problema 8.131 20 mm
O
8.132 La parte de máquina homogénea que se muestra en la figura 100 mm
está hecha de aleación de aluminio con densidad r ϭ 2800 kg/m3.
Determine su momento de inercia respecto al eje z. 10 mm 30 mm
8.133 Determine el momento de inercia de la parte de máquina LO
descrita en el problema 8.132 respecto al eje x. Problemas 8.134/8.135
yy 8.136 La placa gruesa que se muestra en la figura está hecha de
acero con densidad r ϭ 15 slug/pie3. Determine su momento de
20 mm inercia respecto al eje z.
xz
8.137 Determine el momento de inercia de la placa del problema
40 mm 8.136 respecto al eje x.
120 mm 40 yy
mm
Problemas 8.132/8.133 4 pulg 2 pulg
4 pulg
2 pulg
xz
4 pulg 8 pulg 4 pulg 4 pulg
Problemas 8.136/8.137
Problemas de repaso 8.142 Determine Iy y ky.
8.143 Determine Ix y kx.
8.138 Determine Iy y ky. 8.144 Determine Ixy.
8.139 Determine Ix y kx.
8.140 Determine JO y kO. y
8.141 Determine Ixy.
y
(1, 1) y ϭ x Ϫ 1 x2
4
y ϭ x2 x
Problemas 8.142–8.144
x
www.FreeLibros.orgProblemas 8.138–8.141
426 Capítulo 8 Momentos de inercia 8.152 Determine Iy y ky.
8.153 Determine JO y kO.
8.145 Determine IyЈ y kyЈ.
8.146 Determine IxЈ y kxЈ. y
8.147 Determine IxЈyЈ.
y
yЈ 2 pies
y ϭ x Ϫ 1 x2
4 x
xЈ 4 pies
x Problemas 8.152/8.153
Problemas 8.145–8.147
8.148 Determine Iy y ky. 8.154 Determine Ix y kx.
8.149 Determine Ix y kx. 8.155 Determine Iy y ky.
y y
3 pies 3 pies
40
mm
160 6 pies
mm
x
x 2 pies 2 pies
Problemas 8.154/8.155
80 40 80
mm mm mm 8.156 Los momentos de inercia del área mostrada son Ix ϭ 36 m4,
Iy ϭ 145 m4 e Ixy ϭ 44.25 m4. Determine un conjunto de ejes
Problemas 8.148/8.149 principales y los momentos de inercia principales.
8.150 Determine Ix y kx. y
8.151 Determine JO y kO.
3m 4m
y
3m
40 x
mm
Problema 8.156
x
160
mm
80 40 80
mm mm mm
www.FreeLibros.orgProblemas 8.150/8.151
Problemas de repaso 427
8.157 El momento de inercia del bate de 31 onzas mostrado res- 8.160 La pirámide homogénea mostrada tiene masa m. Determi-
pecto a un eje perpendicular que pasa por el punto B es de 0.093 ne su momento de inercia respecto al eje z.
slug-pie2. ¿Qué valor tiene el momento de inercia del bate respec-
to a un eje perpendicular que pasa por el punto A? (El punto A es 8.161 Determine el momento de inercia de la pirámide homogé-
el “centro instantáneo” del bate, o centro de rotación, en el instan- nea de masa m que se muestra en la figura, respecto a los ejes x e y.
te mostrado).
y
x
C h
12 pulg z
B Problemas 8.160/8.161
14 pulg 8.162 El objeto homogéneo mostrado pesa 400 lb. Determine su
momento de inercia respecto al eje x.
A 8.163 Determine el momento de inercia de masa del objeto de
Problema 8.157 400 lb que se muestra en la figura, respecto a los ejes y y z.
y
y
8.158 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en z 6 pulg x
la figura es de 4 kg. Determine su momento de inercia respecto al 9 pulg
eje y.
8.159 Determine el momento de inercia de la placa de 4 kg mos- 36 pulg x 36 pulg
trada respecto al eje z. 46 pulg 46 pulg
Vista lateral
y
Problemas 8.162/8.163
100 mm 140 mm 8.164 Determine el momento de inercia de masa del volante de
14 kg mostrado respecto al eje L.
x
140 mm
50 mm
200 mm 70 mm 120 mm L
Problemas 8.158/8.159 100 mm
440 mm 150 mm
500 mm
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- 51 - 100
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