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Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-25 14:30:16

Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

5.3 Aplicaciones tridimensionales 229

RESULTADOS
Ecuaciones de equilibrio

Si un objeto está en equilibrio, la suma de las fuerzas externas que actúan sobre él
es igual a cero.

⌺F ϭ 0 ⌺Fx ϭ 0, (5.9)
⌺Fy ϭ 0, (5.10)
⌺Fz ϭ 0, (5.11)

y la suma de los momentos respecto a cualquier punto debidos a las fuerzas y pares
que actúan sobre éste es igual a cero.

⌺Mcualquier punto ϭ 0 ⌺Mx ϭ 0, (5.12)
⌺My ϭ 0, (5.13)
⌺Mz ϭ 0. (5.14)

Soportes

yy

Ay

x x
Az Ax
z z
Soporte de bola y cuenca Tres componentes de fuerza

y y

Ejemplos de soportes usados en x A
aplicaciones tridimensionales z
(vea la tabla 5.2). Soporte de rodillo x
z
y
Una fuerza normal
y

Ay

MAy

x MAz x
Az Ax
MAx
z

z
www.FreeLibros.orgSoportefijo(empotrado)
Tres componentes de fuerza,
tres componentes de par

230 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo activo 5.7 Determinación de las reacciones en tres dimensiones (᭤ Relacionado con

el problema 5.86)

La barra AB de la figura está soportada por los cables BC y BD y por un soporte de
bola y cuenca en A. El cable BC es paralelo al eje z y el cable BD es paralelo al eje x.
La fuerza de 200 N actúa en el punto medio de la barra. Determine el valor de las
tensiones en los cables y las reacciones en A.

y 1000 mm C
400 B
mm
D 600 mm

600 A x
mm
Ϫ200j (N)
z

Estrategia
Se debe obtener el diagrama de cuerpo libre de la barra aislándola y mostrando las
reacciones ejercidas por los cables y el soporte de bola y cuenca. Luego pueden
aplicarse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones.

Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre de la barra

y Fuerzas ejercidas
por los cables

TBD TBC
B

Aísle la barra y muestre las reacciones Ay
ejercidas por los cables y el soporte de
bola y cuenca. A Ax x
Az
Ϫ200j (N)

z Reacciones debidas al
soporte de bola y cuenca

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio

⌺Fx ϭ Ax Ϫ TBD ϭ 0,

⌺Fy ϭ Ay Ϫ 200 N ϭ 0, Las sumas de las fuerzas en cada di-
rección coordenada son iguales a cero.

www.FreeLibros.org⌺FzϭAzϪTBCϭ0.

5.3 Aplicaciones tridimensionales 231

΄ ΅⌺Mpunto A ϭ [rAB ϫ (ϪTBCk)] ϩ [rAB ϫ (ϪTBDi)] ϩ1
2 rAB ϫ (Ϫ200j)

ijk ijk i jk La suma de los
momentos respecto
ϭ 1 0.6 0.4 ϩ 1 0.6 0.4 ϩ 0.5 0.3 0.2 a cualquier punto es
igual a cero.
0 0 ϪTBC ϪTBD 0 0 0 Ϫ200 0

ϭ (Ϫ0.6TBC ϩ 40)i ϩ (TBC Ϫ 0.4TBD)j ϩ (0.6TBD Ϫ 100)k.

Las componentes de este vector (las sumas de los momentos
respecto a los tres ejes coordenados) deben ser iguales a cero.

⌺Mx ϭ Ϫ(0.6 m)TBC ϩ 40 N-m ϭ 0,
⌺My ϭ (1 m)TBC Ϫ (0.4 m)TBD ϭ 0,
⌺Mz ϭ (0.6 m)TBD Ϫ 100 N-m ϭ 0.

Al resolver las seis ecuaciones de equilibrio escalares se obtiene
Ax ϭ 166.7 N, Ay ϭ 200 N, Az ϭ 66.7 N, TBC ϭ 66.7 N,
y TBD ϭ 166.7 N.

Problema de práctica Suponga que los cables BC y BD se remueven y que la
unión de bola y cuenca en A se remplaza por un soporte fijo. Determine las reaccio-
nes en A.

y

B
(1000, 600, 400) mm

A x
z
Ϫ200j (N)

www.FreeLibros.orgRespuesta: Ax ϭ 0, Ay ϭ 200 N, Az ϭ 0, MAx ϭ Ϫ40 N-m, MAy ϭ 0, MAz ϭ 100 N-m.

232 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo 5.8 Reacciones en un soporte de articulación (᭤ Relacionado con el problema 5.104)

y La barra AC tiene 4 pies de largo y la soportan una articulación en A y el cable

BD. El eje de la articulación corre a lo largo del eje z. La línea central de la barra

D (2, 2, Ϫ1) pies está en el plano x–y, y el punto B de conexión del cable es el punto medio de la
barra. Determine la tensión en el cable y las reacciones generadas en la barra por

la articulación.

x

A 30Њ Estrategia
C Se obtendrá un diagrama de cuerpo libre de la barra AC aislándola del cable y la
B articulación (las reacciones que la articulación puede ejercer sobre la barra se
z muestran en la tabla 5.2). Después se pueden determinar las reacciones aplicando

Ϫ100j (lb) las ecuaciones de equilibrio.

Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se aísla la barra del soporte de articu-
lación y del cable y se muestran las reacciones que ejercen (figura a). Los tér-
minos Ax, Ay y Az son las componentes de fuerza generadas por la articulación y
los términos MAx y MAy son los pares ejercidos por la articulación respecto a los
ejes x e y (recuerde que la articulación no puede generar un par sobre la barra res-
pecto al eje de la articulación). El término T es la tensión en el cable.

Reacciones y

debidas a la Ay
articu-
Fuerza ejercida
lación por el cable BD

MAy T
x
MAx Ax
B
A
Az C
Ϫ100j (lb)
z

(a) Diagrama de cuerpo libre de la barra.

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Para escribir las ecuaciones de equi-
librio, primero se debe expresar la fuerza en el cable en términos de sus compo-
nentes. Las coordenadas del punto B son (2 cos 30°, Ϫ2 sen 30°, 0) pie, de manera
que el vector de posición de B a D es

rBD ϭ (2 Ϫ 2 cos 30°)i ϩ [2 Ϫ (Ϫ2 sen 30°)] j ϩ (Ϫ1 Ϫ 0)k
ϭ 0.268i ϩ 3j Ϫ k (pie).

Este vector se divide entre su magnitud para obtener un vector unitario eBD que
apunta del punto B al punto D:

eBD = rBD = 0.084i + 0.945j - 0.315k.

ƒ rBD ƒ

Ahora es posible escribir la fuerza del cable como el producto de su magnitud y eBD:

TeBD = T10.084i + 0.945j - 0.315k2.
Las sumas de las fuerzas en cada dirección coordenada deben ser iguales a cero:

©Fx = A x + 0.084T = 0,

©Fy = A y + 0.945T - 100 lb = 0, (1)

www.FreeLibros.org©Fz = Az - 0.315T = 0.

5.3 Aplicaciones tridimensionales 233

Si se suman momentos respecto a A, las ecuaciones resultantes no contienen las
reacciones desconocidas Ax, Ay y Az. Los vectores de posición de A a B y de A
a C son

rAB ϭ 2 cos 30°i Ϫ 2 sen 30°j (pie),

rAC ϭ 4 cos 30°i Ϫ 4 sen 30°j (pie).

La suma de los momentos respecto a A, con fuerzas en lb y distancias en pie, es

͚Mpunto A ϭ MAxi ϩ MAyj ϩ [rAB ϫ (TeBD)] ϩ [rAC ϫ (Ϫ100j)]

i j k
= MAx i + MAy j + 3 1.732 -1 03
0.945T
0.084T - 0.315T

i j k
+ 3 3.464 -2 03
-100
0 0

= 1MAx + 0.315T2i + 1MAy + 0.546T2j

+ 11.72T - 3462k = 0.

A partir de esta ecuación vectorial se obtienen las ecuaciones escalares

͚Mx ϭ MAx ϩ (0.315 pie)T ϭ 0,
͚My ϭ MAy ϩ (0.546 pie)T ϭ 0,
͚Mz ϭ (1.72 pie)TBD Ϫ 346 pies-lb ϭ 0.

Al resolver estas ecuaciones se obtienen las reacciones

T ϭ 201 lb, MAx ϭ Ϫ63.4 pies-lb, MAy ϭ Ϫ109.8 pies-lb.

Después, de las ecuaciones (1) se obtienen las fuerzas ejercidas por la articulación
sobre la barra:

Ax ϭ Ϫ17.0 lb, Ay ϭ Ϫ90.2 lb, Az ϭ 63.4 lb.

Razonamiento crítico
Observe en la tabla 5.2 que existen tres posibilidades para las reacciones ejerci-
das por una articulación o cojinete. ¿Cómo se sabe cuál elegir? Bajo ciertas cir-
cunstancias, una articulación puede no ejercer pares significativos sobre el obje-
to con el que está conectado, y también puede no ejercer una fuerza significativa
en la dirección del eje de la articulación. Por ejemplo, cuando un objeto tiene dos
soportes de articulación y sus ejes están alineados (vea el ejemplo 5.9), con fre-
cuencia puede suponerse que cada articulación individual no ejerce pares sobre el
objeto. Pero en general, se requiere experiencia para hacer ese tipo de juicios. En
los ejemplos y problemas siguientes se indicarán las reacciones que pueden supo-
nerse son ejercidas por una articulación. Siempre que tenga duda, debe suponer
que una articulación puede ejercer el conjunto de reacciones más general que se

www.FreeLibros.orgmuestra en la tabla 5.2 (tres componentes de fuerza y dos componentes de par).

234 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo 5.9 Reacciones en articulaciones alineadas en forma apropiada (᭤ Relacionado con el

problema 5.112)

y

100 La placa de la figura está soportada por bisagras en A y B y por el cable CE. Las bi-
mm sagras, alineadas en forma apropiada, no generan pares sobre la placa, y la bisagra
en A no genera una fuerza sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra. De-
E termine las reacciones en las bisagras y la tensión en el cable.

80 mm B Estrategia
A Se dibujará el diagrama de cuerpo libre de la placa usando la información dada res-
z C pecto a las reacciones ejercidas por las bisagras en A y B. Antes de poder aplicar las
200 mm 200 mm ecuaciones de equilibrio, es necesario expresar la fuerza ejercida sobre la placa por
el cable en términos de sus componentes.
D
x Solución

Ϫ400j (N) Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se aísla la placa y se muestran las reac-
ciones en las bisagras y la fuerza ejercida por el cable (figura a). El término T es la

fuerza ejercida sobre la placa por el cable CE.

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Como se conocen las coordenadas
de los puntos C y E, se puede expresar la fuerza en el cable como el producto de
su magnitud T y un vector unitario dirigido desde C hacia E. El resultado es

T(Ϫ0.842i ϩ 0.337j ϩ 0.421k).

Las sumas de las fuerzas en cada dirección coordenada deben ser iguales a cero:

Racciones y ©Fx = Ax + Bx - 0.842T = 0, (1)
Reacciones ©Fy = Ay + By + 0.337T - 400 = 0,
debidas a la
debidas

bisagra A. a la bisagra B ©Fz = Bz + 0.421T = 0.
By
No ejerce Fuerza Si se suman los momentos respecto a B, las ecuaciones resultantes no contendrán
Ay
fuerza Bz B ejercida las tres reacciones desconocidas en B. La suma de los momentos respecto a B, con
Bx
axial. A por el fuerzas en N y distancias en m, es
z Ax cable CE

T i jk ijk

C ©M puonintot B = 3 0.2 0 0 3 + 3 0 0 0.2 3

D x - 0.842T 0.337T 0.421T Ax Ay 0

Ϫ400j (N) i jk
(a) Diagrama de cuerpo libre de la placa. + 3 0.2 0 0.2 3

0 -400 0

= 1 - 0.2Ay + 802i + 1 - 0.0842T + 0.2Ax2j

+ 10.0674T - 802k = 0.

Las ecuaciones escalares son

©Mx = - 10.2 m2Ay + 80 N-m = 0,
©My = - 10.0842 m2T + 10.2 m2Ax = 0,
©Mz = 10.0674 m2T - 80 N-m = 0.
Al resolver estas ecuaciones se obtienen las reacciones

T = 1187 N, Ax = 500 N, Ay = 400 N.
Luego, a partir de las ecuaciones (1), las reacciones en B son

www.FreeLibros.orgBx = 500N, By = -400N, Bz = -500N.

Problemas 235

Razonamiento crítico
“Articulaciones alineadas en forma apropiada” significa articulaciones montadas
sobre un objeto de manera que sus ejes queden alineados. En casos tales, como el
de este ejemplo, generalmente puede suponerse que ninguna articulación indivi-
dual ejerce pares sobre el objeto. Observe que también se supone en este ejemplo
que la articulación en A no ejerce reacción paralela al eje de la articulación, pero
la bisagra en B sí lo hace. Las articulaciones pueden diseñarse intencionalmente
para que se dé este caso, o puede resultar de la forma en que están instaladas.

Si el único objetivo hubiese sido determinar la tensión T, se podría haber
logrado con facilidad evaluando la suma de los momentos respecto a la línea AB
(el eje z). Como las reacciones en las articulaciones no ejercen momento respecto
al eje z, se obtendría la ecuación

(0.2 m)(0.337T) Ϫ (0.2 m)(400 N) ϭ 0,

que da como resultado T ϭ 1187 N.

Problemas

5.77 La barra AB tiene un soporte fijo en A cargada por las 5.78 La barra AB de la figura tiene un soporte fijo en A. La tensión
fuerzas en el cable BC es de 8 kN. Determine las reacciones en A.

FB = 2i + 6j + 3k 1kN2, y
FC = i - 2j + 2k 1kN2.
A C
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra. z B (3, 0.5, Ϫ0.5) m
b) Determine las reacciones en A.
2m
Estrategia: a) Dibuje un diagrama de la barra aislada de su
soporte. Complete el diagrama de cuerpo libre de la barra agre- x
gando las dos fuerzas externas y las reacciones debidas al soporte
fijo (vea la tabla 5.2). Use las ecuaciones de equilibrio escalares Problema 5.78
(5.9)-(5.14) para determinar las reacciones.
5.79 La barra AB de la figura tiene un soporte empotrado en A.
y El collar en B está fijo a la barra. La tensión en la cuerda BC es de
300 lb. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra y b) de-
A C termine las reacciones en A.
FB
5.80 La barra AB de la figura tiene un soporte empotrado en A. El
z collar en B está fijo a la barra. Suponga que no se desea que el so-
1m B porte en A esté sujeto a un par de magnitud mayor a 3000 pies-lb.
¿Cuál es la tensión máxima permisible en la cuerda BC?
1m
y
B (6, 6, 2) pies

FC x
Problema 5.77

A
x

C (8, 0, 3) pies

www.FreeLibros.orgz
Problemas 5.79/5.80

236 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.81 La fuerza total sobre el señalamiento de carretera que se 5.83 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es
muestra en la figura, ejercida por su peso y los vientos más severos de 24 kN. Determine las reacciones en el soporte fijo D.
que se anticipan es F ϭ 2.8i Ϫ 1.8j (kN). Determine las reacciones
en el soporte fijo. y
2m
y
F C
A

2m

8m D x
z
8m O B 1m
x 3m
Problema 5.83

z 5.84 El operador robótico mostrado está en reposo y el eje y
Problema 5.81 es vertical. Los pesos de los brazos AB y BC actúan en sus puntos
medios. Los cosenos directores de la línea central del brazo AB
5.82 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es son: cos ux ϭ 0.174, cos uy ϭ 0.985, cos uz ϭ 0, y los cosenos
de 800 lb. Determine las reacciones en el soporte fijo C. directores de la línea central del brazo BC son: cos ux ϭ 0.743,
cos uy ϭ 0.557, cos uz ϭ Ϫ0.371. El soporte en A se comporta
y como un soporte fijo.
C
a) ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a A debido
a los pesos de los dos brazos?

b) ¿Qué valor tienen las reacciones en A?

4 pies

y 600 mm C

4 pies 5 pies B 160 N
A x
F
600 mm

B 200 N
(6, 0, 4) pies A

z
Problema 5.82

zx

Problema 5.84

www.FreeLibros.org

Problemas 237

5.85 La fuerza ejercida sobre la manija del aparato para hacer 5.89 La carga suspendida que se muestra en la figura ejerce una
ejercicio que se muestra en la figura es F ϭ 260i Ϫ 130j (N). fuerza F ϭ 600 lb en A, y el peso de la barra OA es insignificante.
¿Qué valor tienen las reacciones en el soporte fijo en O? Determine las tensiones en los cables y las reacciones en el soporte
de bola y cuenca O.
y 150 mm
5.90 La carga suspendida que se muestra en la figura ejerce una
O F fuerza F ϭ 600 lb en A y la barra OA pesa 200 lb. Suponga que el
peso de la barra actúa en su punto medio. Determine las tensiones
z 200 mm en los cables y las reacciones en el soporte de bola y cuenca en O.
250 mm
yC
(0, 6, Ϫ10) pies

B A
(0, 10, 4) pies (8, 6, 0) pies

x ϪF j
x
Problema 5.85

᭤ 5.86 En el ejemplo activo 5.7, suponga que el cable BD se O
alarga y que el punto de unión D se mueve de (0, 600, 400) mm a
(0, 600, 600) mm (el extremo B de la barra AB permanece donde z
estaba). Trace un bosquejo de la barra y sus soportes mostrando el
cable BD en su nueva posición. Dibuje el diagrama de cuerpo libre
de la barra y aplique el equilibrio para determinar las tensiones en
los cables y las reacciones en A.

5.87 La fuerza F, que actúa en C sobre el aguilón ABC mos- Problemas 5.89/5.90
trado en la figura, apunta en la dirección del vector unitario
0.512i Ϫ 0.384j ϩ 0.768k y su magnitud es de 8 kN. El aguilón 5.91 El avión de 158,000 kg que se muestra en la figura está
tiene un soporte de bola y cuenca en A y también está soportado en reposo sobre el piso (z ϭ 0 es el nivel del piso). Su tren de
por los cables BD y BE. El collar B está fijo al aguilón. aterrizaje está apoyado en los puntos A, B y C. Las coordenadas
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del aguilón. del punto G donde actúa el peso son (3, 0.5, 5) m. ¿Qué valor
b) Determine las tensiones en los cables y las reacciones en A. tienen las reacciones normales ejercidas por el piso sobre el tren
de aterrizaje del avión?
5.88 Cada uno de los cables BD y BE en el problema 5.87 sopor-
tará con seguridad una tensión de 25 kN. Con base en este criterio, 21 m
¿cuál es la magnitud máxima aceptable de la fuerza F?

y

1.5 m 2m 6m
B
D x
E G A
C
1m 6m

2m A

B

z 2m y

C

2m

x Problema 5.91

F

www.FreeLibros.orgProblemas5.87/5.88

238 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.92 La placa triangular horizontal que se muestra en la figura 5.95 La barra en L de la figura está soportada por un cojinete
está suspendida por los tres cables verticales A, B y C. La tensión en A y descansa sobre una superficie horizontal en B. La fuerza
en cada cable es de 80 N. Determine las coordenadas x y z del vertical F ϭ 4 kN y la distancia b ϭ 0.15 m. Determine las
punto donde el peso de la placa actúa de manera efectiva. reacciones en A y B.

y 5.96 En la figura se muestra la fuerza vertical F ϭ 4 kN y la
distancia b ϭ 0.15 m. Si las reacciones ejercidas en A y B se
A representan con una sola fuerza equivalente, ¿qué valor tiene la
fuerza y en qué punto interseca su línea de acción el plano x–z?
B
5.97 En la figura se muestra la fuerza vertical F ϭ 4 kN. El
C 0.3 m cojinete en A soportará con seguridad una fuerza de 2.5 kN y un
0.4 m (x, 0, z) par de 0.5 kN-m de magnitud. Con base en esos criterios, ¿cuál
es el intervalo permisible para la distancia b?
z x
y
Problema 5.92

5.93 La sección de pared horizontal de 800 kg que se muestra Fb
en la figura está soportada por los tres cables verticales A, B y C.
¿Qué valores tienen las tensiones en los cables? A
0.2 m
x

B B 0.3 m
z

A 7m Problemas 5.95–5.97
6m C 7m
5.98 La barra de 1.1 m de longitud que se muestra en la figura
4m 7m está soportada en A por un soporte de bola y cuenca y las dos pa-
redes son lisas. La tensión en el cable vertical CD es de 1 kN.
8m a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra.
mg b) Determine las reacciones en A y B.

Problema 5.93 y

5.94 La barra AC que se muestra en la figura está soportada por B 400 mm
el cable BD y un cojinete en A que puede girar respecto al eje z.
La persona ejerce una fuerza F ϭ 10j (lb) en C. Determine la D
tensión en el cable y las reacciones en A.

y

C x
700 mm
A 600 mm

A

x z

B C Problema 5.98
8 pulg
14 pulg

z

D (18, Ϫ8, 7) pulg

Problema 5.94

www.FreeLibros.org

Problemas 239

5.99 La barra de 8 pies de longitud que se muestra está sostenida 5.103 La armadura espacial que se muestra en la figura tiene
por un soporte de bola y cuenca en A, por el cable BD y por un so- soportes de rodillo en B, C y D y está sujeto a una fuerza vertical
porte de rodillo en C. El collar en B es el punto medio de la barra. F ϭ 20 kN en A. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes
La fuerza F ϭ Ϫ50k (lb). Determine la tensión en el cable BD y de rodillo?
las reacciones en A y C.
y
5.100 La barra que se muestra tiene 8 pies de longitud. La fuerza F
F ϭ Fy j Ϫ 50k (lb). ¿Cuál es el valor máximo de Fy para el cual
el soporte de rodillo en C permanecerá en el suelo? A (4, 3, 4) m

y B
D (6, 0, 0) m
x

A z C (5, 0, 6) m

3 pies

BF Problema 5.103

z 4 pies D C ᭤ 5.104 En el ejemplo 5.8, suponga que el cable BD se alarga
2 pies x y el punto de unión B se mueve al extremo de la barra en C.
Las posiciones del punto de unión D y de la barra no cambian.
Problemas 5.99/5.100 Trace un bosquejo de la barra mostrando el cable BD en su
nueva posición. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra
5.101 La torre de la figura tiene 70 m de altura. La tensión en y aplique el equilibrio para determinar la tensión en el cable y
cada cable es de 2 kN. Considere la base de la torre A como un las reacciones en A.
soporte fijo. ¿Qué valores tienen las reacciones en A?
5.105 La puerta de 40 lb está soportada por bisagras en A y B.
5.102 La torre de la figura tiene 70 m de altura. Si la tensión en El eje y es vertical. Las bisagras no generan pares sobre la puerta
el cable BC es de 2 kN, ¿cuáles deben ser las tensiones en BD y BE y la bisagra en B no genera una fuerza paralela al eje de la bisagra.
para que el par generado sobre la torre por el soporte fijo en A sea El peso de la puerta actúa en su punto medio. ¿Qué valor tienen
igual a cero? ¿Qué valor tienen las reacciones resultantes en A? las reacciones en A y B?

y y

4 pies

1 pie
B

B
5 pies

C A
40 m 1 pie

x

50 m A E 40Њ
D 40 m
z
Problema 5.105

z 20 m 50 m x

www.FreeLibros.orgProblemas 5.101/5.102

240 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.106 El cable vertical que se muestra en la figura está conec- 5.110 Considere el lanzador de cohetes descrito en el problema
tado en A. Determine la tensión en el cable y las reacciones en 5.109. Los cojinetes en A y B no ejercen pares, y el cojinete B no
el cojinete B debido a la fuerza F ϭ 10i Ϫ 30j Ϫ 10k (N). ejerce ninguna fuerza en la dirección x. Determine las reacciones
en A y B.
5.107 Suponga que la componente z de la fuerza F es igual a
cero, pero en otro caso F es desconocida. Si el par ejercido sobre y
el eje por el cojinete en B es MB ϭ 6j Ϫ 6k N-m, ¿Qué valores
tienen la fuerza F y la tensión en el cable?

y AB WE
200 mm 3 pies 3 pies xD

100 mm
100 mm

B 200 mm Problemas 5.109/5.110

z F 5.111 El cable CD de la grúa de la figura está unido a un
A x objeto en reposo en D. La grúa está soportada por los cojinetes
E y F y el cable horizontal AB. La tensión en el cable AB es de
Problemas 5.106/5.107 8 kN. Determine la tensión en el cable CD.

5.108 El dispositivo del problema 5.106 está mal diseñado Estrategia: Como las reacciones ejercidas sobre la grúa por
porque los pares que deben ser soportados por el cojinete en B los cojinetes no generan momentos respecto al eje z, la suma
ocasionan que éste se “amarre” (imagine que trata de abrir una de los momentos respecto a este eje, debidos a las fuerzas
puerta soportada por una sola bisagra). En el diseño mejorado ejercidas sobre la grúa por los cables AB y CD, es igual a cero.
que se muestra enseguida, los cojinetes en B y C no soportan
pares y el cojinete en C no genera una fuerza en la dirección x. Si y
la fuerza F ϭ 10i Ϫ 30j Ϫ 10k (N), ¿qué valor tienen la tensión C
en el cable vertical y las reacciones en los cojinetes B y C?
A
y
B

200 mm 50 mm E F
z
100 mm 2m 2m
y
50 mm D

200 mm 3m

B x
C C

z F AB
A x

Problema 5.108 6m
4m

5.109 El lanzador de cohetes está soportado por el gato hidráu- Dx
lico DE y los cojinetes A y B. Dichos cojinetes están sobre el

eje x y soportan árboles paralelos a él. El cilindro hidráulico DE 3m 3m
ejerce una fuerza sobre el lanzador que apunta a lo largo de la línea

de D a E. Las coordenadas de D son (7, 0, 7) pies y las de E son Problema 5.111

(9, 6, 4) pies. El peso W ϭ 30 kip actúa en el punto (4.5, 5, 2) pies.

www.FreeLibros.org¿Cuál es la magnitud de la reacción sobre el lanzador en E?

Problemas 241

᭤ 5.112 En el ejemplo 5.9, suponga que el cable CE se acorta y 5.117 Los cojinetes en A, B y C no ejercen pares sobre la barra
su punto de unión E se mueve al punto (0, 80, 0) mm. La placa que se muestra en la figura, ni fuerzas en la dirección del eje de
permanece en la misma posición. Trace un bosquejo de la placa y dicha barra. Determine las reacciones en los cojinetes debido a las
sus soportes donde muestre la nueva posición del cable CE. Dibuje dos fuerzas que actúan sobre la barra.
el diagrama de cuerpo libre de la placa y aplique el equilibrio para
determinar las reacciones en las bisagras y la tensión en el cable. y

5.113 La placa de la figura está soportada por bisagras en A y 200i (N)
B y por el cable CE, y está cargada por una fuerza en D. El
borde de la placa al cual están unidas las bisagras se encuentra 300 mm x
en el plano y–z, y los ejes de las bisagras son paralelos a la línea C
que pasa por los puntos A y B. Las bisagras no ejercen pares z 180 mm
sobre la placa. ¿Qué valor tiene la tensión en el cable CE? B

5.114 En el problema 5.113, la bisagra en B no ejerce una fuerza A 150 mm
sobre la placa en la dirección del eje de la bisagra. ¿Qué valores
tienen las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre la placa por 100k (N)
las bisagras en A y B?
Problema 5.117 150 mm
y

3m 2i Ϫ 6j (kN) 5.118 El soporte que conecta el mástil del bote de vela de la fi-
EA D gura a la cubierta se comporta como un soporte de bola y cuenca.
2m La cuerda que une la pértiga (la vela) a la parte superior del mástil
x ejerce una fuerza de 200 lb sobre éste. La fuerza está en un plano
C horizontal a 15° del eje central del bote (vista superior). La pértiga
1m B de la vela ejerce una fuerza de 50 lb sobre el mástil en P. Esta
z fuerza se ubica en un plano horizontal a 45° del eje del bote (ob-
2m serve la vista superior). El mástil está soportado por los cables AB
20Њ y ACD (los cables AE y AFG están flojos y sus tensiones se pue-
den ignorar). Determine las tensiones en los cables AB y CD y las
reacciones en la base del mástil.

y

Problemas 5.113/5.114 A A
Vela
5.115 La barra ABC de la figura está sostenida por soportes de
bola y cuenca en A y C y por el cable BD. La masa suspendida es 50 pies C CF
de 1800 kg. Determine la tensión en el cable. xE
P6 pies P
5.116* En el problema 5.115, suponga que el soporte de bola y D
cuenca en A está diseñado para que no ejerza fuerza paralela a la BD G
línea recta de A a C. Determine las reacciones en A y C.

(Ϫ2, 2, Ϫ1) m y
D

2m Vista lateral 21 pies 15 pies
B Vista posterior
4m

A
C

www.FreeLibros.orgz
x Vista superior z (La vela no se muestra)
F
200 lb
4m G
x 15Њ A B
Problemas 5.115/5.116 E P
50 lb C
45Њ D

Problema 5.118

242 Capítulo 5 Objetos en equilibrio y

5.119* La barra AC está soportada por el cable BD y un cojinete (0.3, 0.5, 0) m C
en A que puede girar respecto al eje AE. La persona ejerce una E
fuerza F ϭ 50j (N) en C. Determine la tensión en el cable.
(0.3, 0.4, 0.3) m A (0.82, 0.60, 0.40) m
Estrategia: Use el hecho de que la suma de los momentos B (0.46, 0.46, 0.33) m
respecto al eje AE debidos a las fuerzas que actúan sobre el
diagrama de cuerpo libre de la barra debe ser igual a cero. x

5.120* En el problema 5.119, determine las reacciones en el z
cojinete A.
D
Estrategia: Escriba el par ejercido sobre el diagrama de cuerpo (0.7, 0, 0.5) m
libre de la barra por el cojinete como MA ϭ MAxi ϩ MAy j ϩ MAzk.
Entonces, además de las ecuaciones de equilibrio, obtenga una Problemas 5.119/5.120
ecuación estableciendo que la componente de MA paralela al
eje AE sea igual a cero.

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas

ANTECEDENTES

Se ha mostrado cómo se usan las ecuaciones de equilibrio para analizar objetos
soportados y cargados de diferentes maneras. Aquí se analizarán dos casos particu-
lares que ocurren con tanta frecuencia que es necesario prestarles una atención
especial. El primer tipo, el elemento sometido a dos fuerzas, es especialmente
importante, y en el capítulo 6 tiene un papel central en el análisis de estructuras.

Elementos de dos fuerzas

Si el sistema de fuerzas y momentos que actúa sobre un objeto equivale a dos
fuerzas actuando en puntos diferentes, el cuerpo es un elemento de dos fuerzas. Por
ejemplo, el objeto de la figura 5.19a está sometido a dos conjuntos de fuerzas
concurrentes cuyas líneas de acción se intersecan en A y B. Como es posible
representarlas con fuerzas únicas que actúan en A y B (figura 5.19b), donde
F ϭ F1 ϩ F2 ϩ ؒ ؒ ؒ ϩ FN y FЈ ϭ FЈ1 ϩ FЈ2 ϩ ؒ ؒ ؒ ϩ FЈN, este objeto es un ele-
mento de dos fuerzas.

F1
FЈ1

F2 B FЈ2 FЈ

F3 A B

FA

FЈM
FN

Figura 5.19 (a) (b)

(a) Objeto sometido a dos conjuntos de ؊F
fuerzas concurrentes.

(b) Representación de las fuerzas concurrentes B

mediante dos fuerzas F y FЈ. F ؊F B

(c) Si el cuerpo está en equilibrio, las fuerzas A A

deben ser iguales y opuestas.
www.FreeLibros.orgtengan la misma línea de acción.
(d) Las fuerzas forman un par a menos que F

(c) (d)

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas 243

B BT B Figura 5.20
T (a) Cable unido en A y en B.
A A AT (b) El cable es un elemento de dos
(a) T
(c) fuerzas.
(b) (c) Fuerzas ejercidas por el cable.

Si el cuerpo está en equilibrio, ¿qué puede inferirse acerca de las fuerzas F y
FЈ? La suma de las fuerzas es igual a cero sólo si FЈ ϭ ϪF (figura 5.19c). Además,
las fuerzas F y ϪF forman un par, por lo que la suma de los momentos no es cero
a menos que las líneas de acción de las fuerzas se encuentren a lo largo de la línea
que pasa por los puntos A y B (figura 5.19d). Por lo tanto, la condición de equili-
brio indica que las dos fuerzas son iguales en magnitud y opuestas en dirección, y
que tienen la misma línea de acción. No obstante, sin información adicional no es
posible determinar su magnitud.

Un cable unido en dos puntos (figura 5.20a) es un ejemplo común de un ele-
mento de dos fuerzas (figura 5.20b). El cable ejerce fuerzas sobre los puntos de
conexión, las cuales están dirigidas a lo largo de la línea entre ellos (figura 5.20c).

Una barra que tiene dos soportes que ejercen sólo fuerzas sobre ella (ningún
momento), y que no está sometida a ninguna carga intermedia, es un elemento
de dos fuerzas (figura 5.21a). Tales barras suelen usarse como soportes para
otros objetos. Como la barra es un elemento de dos fuerzas, las líneas de acción
de las fuerzas ejercidas sobre la barra deben coincidir con la línea entre los
soportes (figura 5.21b). Observe que, a diferencia de un cable, la barra puede
ejercer fuerzas en A y B en las direcciones mostradas en la figura 5.21c o en las
direcciones opuestas (en otras palabras, el cable sólo puede jalar sus soportes,
mientras que la barra puede jalarlos o empujarlos).

En estos ejemplos se ha supuesto que los pesos del cable y de la barra se
pueden ignorar en comparación con las fuerzas ejercidas sobre ellos por sus
soportes. Cuando no se da este caso, resulta claro que no son elementos de dos
fuerzas.

B BT B

T

A A AT
T

(a) (b) (c)

Figura 5.21
(a) La barra AB conecta el objeto al soporte de pasador.
(b) La barra AB es un elemento de dos fuerzas.

www.FreeLibros.org(c) Fuerza ejercida sobre el objeto soportado por la barra AB.

244 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

F3 F2 Elementos de tres fuerzas
F1
Si el sistema de fuerzas y momentos que actúan sobre un objeto equivale a tres
(a) P fuerzas actuando en puntos diferentes es un elemento de tres fuerzas. Es posible
F3 F2 demostrar que si un elemento de tres fuerzas está en equilibrio, las fuerzas son
P coplanares y además paralelas o concurrentes.
F1 r L
e Se demostrará primero que las fuerzas son coplanares. Considere que éstas
son F1, F2 y F3; sea P el plano que contiene los tres puntos de aplicación (figura
(b) 5.22a). Sea L la línea que pasa por los puntos de aplicación de F1 y F2. Como los
momentos debidos a F1 y F2 respecto a L son iguales a cero, el momento debido
F3 a F3 respecto a L debe también ser igual a cero (figura 5.22b):

F1 F2 [e ؒ (r ϫ F3)]e ϭ [F3 ؒ (e ϫ r)]e ϭ 0.
Q
Esta ecuación requiere que F3 sea perpendicular a e ϫ r, de modo que F3 está con-
(c) tenida en P. El mismo procedimiento puede usarse para mostrar que F1 y F2 están
contenidas en P, así que las fuerzas son coplanares (la demostración es diferente
Figura 5.22 si los puntos de aplicación están sobre una línea recta, pero el resultado es el
(a) Las tres fuerzas y el plano P. mismo).
(b) Determinación del momento debido
Si las tres fuerzas coplanares no son paralelas, habrá puntos en que sus líneas
a F3 respecto a L. de acción se intersequen. Suponga que las líneas de acción de dos de las fuerzas se
(c) Si las fuerzas no son paralelas, éstas intersecan en un punto Q. Entonces los momentos de esas dos fuerzas respecto a Q
son iguales a cero y la suma de los momentos respecto a Q también es cero sólo si
deben ser concurrentes. la línea de acción de la tercera fuerza pasa por Q. Por lo tanto, las fuerzas son para-
lelas o bien son concurrentes (figura 5.22c).

Con frecuencia, el análisis de un objeto en equilibrio puede simplificarse
reconociendo si es un elemento de dos o tres fuerzas. Sin embargo, al hacer esto
no se obtiene algo a cambio de nada. Una vez que se ha dibujado el diagrama de
cuerpo libre de un elemento de dos fuerzas, como se muestra en las figuras 5.20b
y 5.21b, no puede obtenerse más información a partir de las ecuaciones de equili-
brio. Y cuando se requiere que las líneas de acción de fuerzas no paralelas que
actúan sobre un elemento de tres fuerzas sean coincidentes, se ha usado el hecho
de que la suma de los momentos respecto a un punto debe ser cero y no puede
obtenerse más información a partir de esta condición.

RESULTADOS

Elemento de dos fuerzas ؊F
Si un objeto en equilibrio está sometido a
dos fuerzas que actúan en puntos diferentes y B
ninguna otra fuerza o par, se denomina A
elemento de dos fuerzas. El equilibrio F
requiere que las dos fuerzas sean iguales y
opuestas entre sí, y paralelas a la línea
entre los dos puntos.

Elemento de tres fuerzas
Si un objeto en equilibrio está sometido a
tres fuerzas que actúan en puntos diferentes
y ninguna otra fuerza o par, se denomina
elemento de tres fuerzas. El equilibrio
requiere que las tres fuerzas sean coplanares

www.FreeLibros.orgy ya sea paralelas o concurrentes.

5.4 Elementos sometidos a dos y tres fuerzas 245

Ejemplo activo 5.10 Elementos de dos y tres fuerzas (᭤ Relacionado con el problema 5.121)

El peso de 100 lb de la placa rectangular que se muestra en la figura actúa en su punto
medio. Ignore el peso del eslabón AB. Determine las reacciones ejercidas sobre la
placa en B y en C.

45° C
AB

4 pies

Estrategia
La placa está sometida a su peso y a las reacciones ejercidas por los soportes de
pasador en B y en C, por lo que es un elemento de tres fuerzas. El pasador BC es
un elemento de dos fuerzas, por lo que la línea de acción de la reacción que ejerce
sobre la placa en B está dirigida a lo largo de la línea de A a B. Se puede usar esta
información para simplificar el diagrama de cuerpo libre de la placa.

La reacción ejercida sobre la placa mediante el elemento de dos fuerzas AB
debe dirigirse a lo largo de la línea entre A y B.

Solución

y P

La fuerza ejercida sobre la placa por la barra AB 45Њ 100 lb x
debe estar dirigida a lo largo de la línea entre B C
A y B, y la línea de acción del peso de la placa
es vertical, por lo que las tres fuerzas que
actúan sobre la placa no son paralelas. Por lo
tanto deben ser concurrentes.

⌺Fx ϭ B sen45Њ Ϫ C sen45Њϭ 0, Aplique las ecuaciones de equilibrio
⌺Fy ϭ B cos45Њ ϩ C cos45ЊϪ 100 lb ϭ 0.
Se obtienen las reacciones B ϭ C ϭ 70.7 lb.

Problema de práctica Suponga que la placa se reemplaza con una placa de 100 lb
cuyo espesor (la dimensión perpendicular a la página) no es uniforme. La línea de acción
del peso de la placa no uniforme es 3 pies a la derecha del punto B. Determine las reac-
ciones ejercidas sobre la placa en B y C.

www.FreeLibros.orgRespuesta:Bϭ35.4lb,Cϭ79.1lb.

246 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo 5.11 Un elemento de dos fuerzas (᭤ Relacionado con el problema 5.122)

6 kN La barra en L de la figura tiene un soporte de pasador en A y una carga de 6 kN en

a B. El peso de la barra se puede ignorar. Determine el ángulo a y las reacciones en A.
B

Estrategia

400 mm La barra es un elemento de dos fuerzas, ya que está sometida sólo a la fuerza de

6 kN en B y a la fuerza ejercida por el soporte de pasador (si no se pudiera ignorar
A el peso de la barra, ésta no sería un elemento de dos fuerzas). Se determinará de

700 mm dos maneras el ángulo a y las reacciones en A, primero aplicando las ecuaciones
de equilibrio y luego aprovechando el hecho de que la barra es un elemento de dos

fuerzas.

y 6 kN Solución
a Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Se dibuja el diagrama de cuerpo libre
de la barra de la figura a, mostrando las reacciones en el soporte de pasador. Sumando
B momentos respecto al punto A, las ecuaciones de equilibrio son

A x ͚Fx ϭ Ax ϩ 6 cos a kN ϭ 0,
͚Fy ϭ Ay ϩ 6 sen a kN ϭ 0,
Ax ͚Mpunto A ϭ (0.7 m)(6 sen a kN) Ϫ (0.4 m)(6 cos a kN) ϭ 0.
Ay
A partir de la tercera ecuación se ve que a ϭ arctan(0.4͞0.7). En el intervalo 0 Յ a
(a) Diagrama de cuerpo libre de la barra. Յ 360°, esta ecuación tiene dos soluciones a ϭ 29.7° y a ϭ 209.7°. Conociendo
a, se puede determinar Ax y Ay de las dos primeras ecuaciones de equilibrio. Las
y 6 kN soluciones para los dos valores de a son
Ba
a ϭ 29.7°, Ax ϭ Ϫ5.21 kN, Ay ϭ Ϫ2.98 kN,
A x y
6 kN
a ϭ 209.7°, Ax ϭ 5.21 kN, Ay ϭ 2.98 kN.
(b)
Tratamiento de la barra como elemento de dos fuerzas Se sabe que la fuerza
ya de 6 kN en B y la fuerza ejercida por el soporte de pasador deben ser iguales en
6 kN B magnitud, opuestas en dirección y dirigidas a lo largo de la línea que pasa por A y
B. En las figuras b y c se muestran las dos posibilidades. Reconociendo entonces que
6 kN la barra es un elemento de dos fuerzas, se conocen de inmediato las posibles direc-
A ciones de las fuerzas y la magnitud de la reacción en A.

x En la figura b se puede ver que tan a ϭ 0.4/0.7, por lo que a ϭ 29.7° y las
componentes de la reacción en A son
(c)
Ax ϭ Ϫ6 cos 29.7° kN ϭ Ϫ5.21 kN,
(b), (c) Posibles direcciones de las fuerzas.
Ay ϭ Ϫ6 sen 29.7° kN ϭ Ϫ2.98 kN.

En la figura c, a ϭ 180° ϩ 29.7° ϭ 209.7°, y las componentes de la reacción en
A son

Ax ϭ 6 cos 29.7° kN ϭ 5.21 kN

Ay ϭ 6 sen 29.7° kN ϭ 2.98 kN.

Razonamiento crítico
¿Por qué resulta valioso reconocer que un objeto es un elemento de dos fuerzas?
Al hacerlo se conocen las direcciones de las fuerzas que actúan sobre el objeto y
también se sabe que las fuerzas son iguales y opuestas. Como lo demuestra este

www.FreeLibros.orgobjeto, dicha información frecuentemente simplifica la solución de un problema.

Problemas 247

Problemas

᭤ 5.121 En el ejemplo activo 5.10, suponga que el soporte en 5.124 En la figura, el peso W ϭ 50 lb actúa en el centro del
A se mueve de manera que el ángulo entre la barra AB y la ver- disco. Use el hecho de que el disco es un elemento de tres fuerzas
tical decrece de 45° a 30°. La posición de la placa rectangular para determinar la tensión en el cable y la magnitud de la reacción
no cambia. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa en el soporte de pasador.
donde muestre el punto P en que las líneas de acción de las tres
fuerzas que actúan sobre la placa se intersecan. Determine las 60Њ
magnitudes de las reacciones sobre la placa en B y C.
W
᭤ 5.122 La magnitud de la reacción ejercida sobre el punto B de
la barra en L es de 60 lb (consulte el ejemplo 5.11).
a) ¿Cuál es la magnitud de la reacción ejercida sobre la barra por
el soporte en A?
b) ¿Qué valores tienen las componentes x y y de la reacción
ejercida sobre la barra por el soporte en A?

y Problema 5.124

14 pulg 5.125 El peso W ϭ 40 N actúa en el centro del disco mostrado.
B Las superficies son rugosas. ¿Qué fuerza F es necesaria para
levantar el disco del suelo?

17 pulg F
Ax 150 mm

Problema 5.122 W

5.123 En la figura, la carga suspendida es de 1000 lb. Si se 50 mm
desprecia su peso, la estructura es un elemento de tres fuerzas.
Use este hecho para determinar las magnitudes de las reacciones Problema 5.125
en A y B.
5.126 Use el hecho de que la barra horizontal mostrada es un
elemento de tres fuerzas para determinar el ángulo a y las magni-
tudes de las reacciones en A y B. Suponga que 0 Յ a Յ 90°.

A

5 pies a 2m 30Њ
B 3 kN 60Њ B

A 1m

10 pies

Problema 5.126

Problema 5.123

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248 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.127 La carga suspendida pesa 600 lb. Use el hecho de que el 5.129 El pistón hidráulico que se muestra en la figura ejerce
elemento ABC es de tres fuerzas para determinar las magnitudes una fuerza horizontal en B para soportar el peso W ϭ 1500 lb de
de las reacciones en A y B. la cubeta de la excavadora. Determine la magnitud de la fuerza
que debe ejercer el pistón hidráulico (la suma vectorial de las
3 pies 4.5 pies fuerzas ejercidas en B por el pistón hidráulico, el elemento de
B 30Њ dos fuerzas AB y el elemento de dos fuerzas BD, debe ser igual
a cero).
45Њ C
A Pistón
hidráulico

14 pulg 12 pulg
B

16 pulg A CD
4 pulg

Problema 5.127

5.128 a) ¿Es la barra en L mostrada un elemento de tres fuerzas? Cubeta
b) Determine las magnitudes de las reacciones en A y B.
c) ¿Son concurrentes las tres fuerzas que actúan sobre la barra W
en L?
88
2 kN pulg pulg

Problema 5.129

3 kN-m 300 mm 5.130 El elemento ACG de la cargadora frontal que se muestra
B en la figura está sujeto a una carga W ϭ 2 kN y está sostenido
mediante un soporte de pasador en A y el cilindro hidráulico BC.
150 mm Trate al cilindro hidráulico como un elemento de dos fuerzas.

700 mm a) Dibuje los diagramas de cuerpo libre del cilindro hidráulico y
el elemento ACG.

b) Determine las reacciones sobre el elemento ACG.

A 5.131 En el problema 5.130, determine las reacciones sobre el
elemento ACG usando el hecho de que es un elemento de tres
250 500 mm fuerzas.
mm
A
Problema 5.128

0.75 m C
B

1m

G

0.5 m

W

1.5 m
www.FreeLibros.org1.5m
Problemas 5.130/5.131

Problemas de repaso 249

5.132 Una placa rectangular está sometida a dos fuerzas, A y B 5.133 Un objeto en equilibrio está sometido a tres fuerzas
(figura a). En la figura b, las dos fuerzas están separadas en sus cuyos puntos de aplicación se encuentran sobre una línea recta.
componentes. Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en función Demuestre que las fuerzas son coplanares.
de las componentes Ax, Ay, Bx y By, demuestre que las dos fuerzas
A y B son iguales en magnitud y opuestas en dirección, y están di- F2
rigidas a lo largo de la línea que pasa por sus puntos de aplicación.

B

B F3
Ah F1

Problema 5.133

A
b

(a)
y

Ay By
Ax B Bx

A h

x

b

(b)

Problema 5.132

Problemas de repaso 5.135 Determine las reacciones en el soporte fijo que se muestra
en la figura.
5.134 El cable suspendido que se muestra en la figura pesa 12 lb.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cable (las tensiones en 4 kN
el cable en A y B no son iguales).
b) Determine las tensiones en el cable en A y B. 3m
c) ¿Cuál es la tensión en el cable en su punto más bajo?
A
B 20 kN-m

50Њ 2 kN 3 kN

A 5 m 3m
32Њ Problema 5.135

Problema 5.134

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250 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.136 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la placa de 50 lb 5.139 La constante del resorte mostrado es k ϭ 9600 N/m y la
y explique por qué es estáticamente indeterminada. longitud sin elongar del resorte es 30 mm. Trate al perno en A
b) Determine tantas reacciones en A y B como sea posible. como un soporte de pasador y suponga que la superficie en C es
lisa. Determine las reacciones en A y la fuerza normal en C.
y

A 5.140 El ingeniero que diseña el mecanismo de liberación
mostrado desea que la fuerza normal ejercida en C sea de 120 N.
12 pulg Si la longitud sin elongar del resorte es de 30 mm, ¿cuál es el
valor necesario de la constante k del resorte?

8 pulg B

x

20 pulg 50 lb A

Problema 5.136 24 mm B
30 mm
5.137 La masa del camión mostrado es de 4000 kg. Sus ruedas 15 mm C 30Њ
están bloqueadas y la tensión en su cable es T ϭ 10 kN.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del camión. k

b) Determine las fuerzas normales ejercidas por el camino sobre
las ruedas del camión en A y B.

30 mm 50 mm

30Њ T 3 m Problemas 5.139/5.140

A 2.5 m B 5.141 La armadura mostrada soporta un objeto suspendido de
2m 2.2 m 90 kg. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes A y B?

mg

Problema 5.137

5.138 En la figura, suponga que la fuerza ejercida por el martillo 400 mm 700 mm
sobre la cabeza del clavo es vertical e ignore el peso del martillo.
300 mm B
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del martillo. A

b) Si F ϭ 10 lb, ¿qué valor tienen la fuerza ejercida por el marti-
llo sobre el clavo y las fuerzas normal y de fricción ejercidas por
el martillo sobre el piso?

F Problema 5.141
65Њ
11 pulg

2 pulg

www.FreeLibros.orgProblema5.138

Problemas de repaso 251

5.142 El remolque de la figura está en una pendiente de 15°. Sus ruedas pueden girar. La conexión en H se comporta como un soporte
de pasador. Determine las reacciones en A y H.

y H x
1.6 pies
1.4
pies

870 lb

2.8 pies A 8 pies
15°

Problema 5.142

5.143 Para determinar la posición del punto en que actúa el peso 5.144 La barra de la figura está conectada mediante soportes de
del automóvil mostrado (el centro de masa o centro de gravedad), pasador a los collarines que se deslizan sobre las dos barras fijas.
un ingeniero coloca el automóvil sobre básculas y mide las reac- Su masa es de 10 kg, tiene 1 m de longitud y su peso actúa en su
ciones normales en las ruedas para dos valores de a, obteniendo punto medio. Ignore la fricción y las masas de los collarines. El
los siguientes resultados. resorte está sin elongar cuando la barra es vertical (a ϭ 0), y la
constante del resorte es k ϭ 100 N/m. Determine los valores de a
a Ay (kN) B (kN) en el rango 0 Յ a Յ 60° para los cuales la barra se encuentra en
10° 10.134 4.357 equilibrio.
20° 10.150 3.677

¿Qué valor tienen las distancias b y h?

k

y
hx

B a
Problema 5.144
W b
2.7 m
Ax
a Ay

Problema 5.143

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252 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.145 Con cada uno de los dispositivos mostrados se puede so- 5.147 La masa de 20 kg que se muestra en la figura está sus-
portar una carga R aplicando una fuerza F. Estos dispositivos se pendida por los cables unidos a tres postes verticales de 2 m.
denominan palancas de primera, segunda y tercera clases. El punto A está en (0, 1.2, 0) m. Determine las reacciones en el
a) La razón R͞F se llama ventaja mecánica. Determine la ventaja soporte fijo en E.
mecánica de cada palanca.
b) Determine la magnitud de la reacción en A para cada palanca 5.148 En el problema 5.147, el soporte fijo de cada poste ver-
(exprese sus respuestas en términos de F.) tical soportará con seguridad un par con magnitud de 800 N-m.
Con base en este criterio, ¿cuál es máximo valor seguro de la
F R RF masa suspendida?
A A
y
C

B D
A

LL LL 1m
Palanca de primera clase Palanca de segunda clase
FR E 1m
A 2m

0.3 m Problemas 5.147/148 x
z

LL 5.149 La barra de 80 lb está sostenida por un soporte de bola y
Palanca de tercera clase cuenca en A, por la pared lisa sobre la que se apoya y por el cable
BC. El peso de la barra actúa en su punto medio.
Problema 5.145 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra.
b) Determine la tensión en el cable BC y las reacciones en A.
5.146 La fuerza ejercida por el peso de la placa rectangular mos-
trada es de 800 N. El peso de la placa actúa en su punto medio. Si y
las reacciones ejercidas sobre la placa por los tres cables se repre-
sentan con una sola fuerza equivalente, ¿qué valor tiene la fuerza 3 pies 5 pies
y en qué punto interseca su línea de acción a la placa?

B
AC

C 4 pies
B

3 pies 3 pies x
A
2m

0.5 m z

1m Problema 5.149

Problema 5.146 5.150 La barra horizontal de peso W está sostenida por un sopor-
te de rodillos en A y por el cable BC. Use el hecho de que la barra
es un elemento de tres fuerzas para determinar el ángulo a, la ten-
sión en el cable y la magnitud de la reacción en A.

C
A Ba

W

www.FreeLibros.orgL/2 L/2
Problema 5.150

Problemas de repaso 253

Proyecto de diseño 1 La carretilla tradicional mostrada está Proyecto de diseño 3 La plataforma de un camión de volteo
diseñada para transportar una carga W mientras está soportada (figura a) se eleva mediante dos cilindros hidráulicos de tándem
por una fuerza ascendente F aplicada por el usuario sobre las AB (figura b). La masa de la plataforma del camión y su carga
manijas. a) Use la estática para analizar los efectos del rango de es de 16,000 kg y su peso actúa en el punto G (suponga que la
elecciones de las dimensiones a y b sobre el tamaño de la carga posición del punto G relativo a la plataforma no cambia cuando
que podría acarrearse. Asimismo considere las implicaciones se levanta la plataforma).
de estas dimensiones sobre la facilidad y practicidad de uso de
la carretilla. b) Sugiera un diseño diferente para este diseño a) Dibuje una gráfica de la magnitud de la fuerza total que los
clásico que logre realizar la misma función. Use la estática para cilindros hidráulicos deben ejercer para soportar la plataforma
comparar su diseño de carretilla respecto a su capacidad de en reposo para valores del ángulo a desde cero hasta 30°.
carga y facilidad de uso.
b) Considere otras opciones para las ubicaciones de los puntos
F de unión A y B que parezcan ser factibles e investigue cómo
afectan sus elecciones a la magnitud de la fuerza total que los
W cilindros hidráulicos deben ejercer cuando a varía desde cero
hasta 30°. Asimismo compare los costos de sus elecciones de
los puntos de unión con las opciones mostradas en la figura a,
suponiendo que el costo de los cilindros hidráulicos es pro-
porcional al producto de la fuerza máxima que deben ejercer
cuando a varía de cero a 30° y su longitud cuando a ϭ 30°.

c) Escriba un reporte breve donde presente sus investiga-
ciones y haga una recomendación para la ubicación de los
puntos A y B.

ab 0.5 m G B 0.3 m
C A 0.9 m
Proyecto de diseño 2 En la figura se muestra un ejemplo
de los populares dispositivos llamados “móviles”, los cuales 1.8 m 1.2 m
fueron introducidos como una forma de arte por el artista esta- 2.4 m (a)
dounidense Alexander Calder (1898-1976). Suponga que usted
desea diseñar un móvil que represente el sistema solar y ha GA
elegido esferas de colores para representar los planetas. Las
masas de las esferas que representan a Mercurio, Venus, Tierra,
Marte, Júpiter, Saturno, Urano, Neptuno y Plutón son de 10 g,
25 g, 25 g, 10 g, 50 g, 40 g, 40 g, 40 g, 10 g. Suponga que las
barras y cuerdas que utiliza son de masa insignificante. Diseñe
el móvil de manera que los planetas estén en su orden correcto
en relación con el Sol. Escriba un reporte breve que incluya
un dibujo de su diseño y el análisis que demuestre que su
móvil está balanceado.

a B
C

(b)

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CAPÍTULO

6

Estructuras en equilibrio

En ingeniería, el término estructura se puede referir a cualquier
objeto que tenga la capacidad de soportar y ejercer cargas. En
este capítulo se considerarán estructuras compuestas de partes
interconectadas o elementos. Para diseñar una estructura de este
tipo, o para determinar si una existente es adecuada, se deben
determinar las fuerzas y los pares que actúan sobre ella en su
totalidad así como en sus elementos individuales. Se demostrará
primero cómo llevar a cabo este análisis en las estructuras
llamadas armaduras, las cuales están compuestas enteramente
de elementos de dos fuerzas. Las estructuras comunes fabrica-
das con elementos de acero que soportan algunos puentes en
carreteras son armaduras. Luego se considerarán otras estructu-
ras, llamadas bastidores si están diseñadas para permanecer
estacionarias y soportar cargas, y máquinas si están diseñadas
para moverse y ejercer cargas.

᭣ Los ingenieros neolíticos que construyeron Stonehenge establecieron un
ejemplo para el diseño de estructuras resistentes. En este capítulo se describen
técnicas para determinar las fuerzas y pares que actúan sobre los elementos
individuales de las estructuras.

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256 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Figura 6.1 6.1 Armaduras
Una casa típica está soportada por armaduras
hechas de madera. ANTECEDENTES

La naturaleza de las armaduras, como las vigas que soportan una casa de madera
(figura 6.1), puede explicarse iniciando con ejemplos muy sencillos. Suponga que
los extremos de tres barras se conectan con pasadores para formar un triángulo. Si
se agregan soportes, como se muestra en la figura 6.2a, se obtiene una estructura
que soportará una carga F. Es posible construir estructuras más elaboradas agre-
gando más triángulos (figuras 6.2b y c). Las barras son los elementos de esas
estructuras y los lugares en que las barras se unen entre sí son las juntas de la arma-
dura. Aunque estos ejemplos son muy sencillos, en la figura 6.2c se puede ver que
la llamada armadura Warren comienza a parecerse a las estructuras usadas para
soportar puentes y techos de casas (figura 6.3). Si las estructuras están soportadas
y cargadas en sus juntas y los pesos de las barras se ignoran, cada una de éstas es
un elemento de dos fuerzas. Tales estructuras se denominan armaduras.

En la figura 6.4a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de un elemento de una
armadura. Como es un elemento de dos fuerzas, las fuerzas en los extremos, que
son las sumas de las fuerzas ejercidas sobre el elemento en sus juntas, deben ser
iguales en magnitud, opuestas en dirección y dirigidas a lo largo de la línea entre
las juntas. Se llama T a la fuerza axial en el elemento. Cuando T es positiva en la
dirección mostrada (es decir, cuando las fuerzas se alejan una de otra), el elemen-
to está trabajando a tensión. Cuando las fuerzas se acercan entre sí, el elemento
está a compresión.

En la figura 6.4b se “corta” el elemento con un plano y se dibuja el diagrama
de cuerpo libre de la parte ubicada a un lado del plano. El sistema de fuerzas y
momentos internos ejercidos por la parte no incluida en el diagrama se representa
mediante una fuerza F que actúa en el punto P donde el plano interseca al eje del

F FF

F

(a) (b) (c)

Figura 6.2
Fabricación de estructuras al unir barras mediante pasadores para formar triángulos.

Armadura de puente Howe Armadura de puente Pratt

Armadura de techo Howe Armadura de techo Pratt

Figura 6.3
Ejemplos sencillos de estructuras para puentes y techos (las líneas

www.FreeLibros.orgrepresentan elementos y los círculos representan juntas).

6.1 Armaduras 257

TT

F T
PM

T T T T
(a) (b) (c)

Figura 6.4
(a) Cada elemento de una armadura es un miembro de dos fuerzas.
(b) Obtención del diagrama de cuerpo libre de una parte del elemento.
(c) La fuerza interna es igual y opuesta a la fuerza que actúa en la

junta, y el par interno es igual a cero.

elemento y un par M. La suma de los momentos respecto a P debe ser igual a cero,
de modo que M ϭ 0. Por lo tanto se tiene un elemento de dos fuerzas, lo cual sig-
nifica que F debe ser igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza T que
actúa en la junta (figura 6.4c). La fuerza interna es una tensión o compresión igual
a la ejercida en la junta. Observe el parecido con una cuerda o un cable, en el cual la
fuerza interna es una tensión igual a la tensión aplicada en los extremos.

Aunque muchas estructuras reales, incluidas las “armaduras de techo” y las
“armaduras de puente”, consisten en barras conectadas en los extremos, muy pocas
de ellas tienen juntas articuladas con pasadores. Por ejemplo, en la figura 6.5 se
muestra la junta de una armadura de puente. Los extremos de los elementos están
soldados en la junta y no tienen la capacidad de girar. Resulta claro que una junta
como ésta puede ejercer pares sobre los elementos. ¿Por qué las estructuras de este
tipo se llaman armaduras?

La razón es que están diseñadas para funcionar como tales, lo que implica
soportar cargas sometiendo sus elementos a cargas axiales. Por lo general se pue-
den modelar como armaduras tratando sus juntas como conexiones articuladas
bajo el supuesto de que los pares ejercidos por las juntas sobre los elementos son
pequeños en comparación con las fuerzas axiales. Cuando en los problemas se
hace referencia a las estructuras con juntas remachadas como armaduras, se pre-
tende decir que éstas pueden representarse como armaduras.

Figura 6.5

www.FreeLibros.orgJunta de la armadura de un puente.

258 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio F
RESULTADOS FF

Armaduras
Las estructuras que consisten en barras rectas articu-
ladas con pasadores en los extremos y están soporta-
das y cargadas sólo en las juntas donde están conec-
tados los elementos se llaman armaduras. Se supone
que los pesos de los elementos son insignificantes
en comparación con las cargas aplicadas.

Diagrama de cuerpo libre de F
un elemento individual T
Como cada elemento de una armadura es
un miembro de dos fuerzas, éste se encuen- T
tra sometido sólo a cargas axiales iguales y F
opuestas. La fuerza T se denomina fuerza
axial en un elemento. Cuando T es positi-
va en la dirección mostrada (es decir, cuan-
do las fuerzas están dirigidas alejándose
una de la otra), el elemento está en tensión
(T). Cuando las fuerzas están dirigidas
apuntándose entre sí, el elemento está en
compresión (C).

6.2 Método de las juntas

ANTECEDENTES

El método de las juntas implica dibujar diagramas de cuerpo libre de las juntas de
una armadura, una por una, y usar las ecuaciones de equilibrio para determinar las
fuerzas axiales en las barras. Por lo general, antes de comenzar se debe dibujar un
diagrama de toda la armadura (es decir, tratar a la armadura como un solo objeto)

www.FreeLibros.orgy calcular las reacciones en sus soportes. Por ejemplo, considere la armadura
Warren de la figura 6.6a; ésta tiene elementos de 2 m de longitud y soporta cargas

6.2 Método de las juntas 259

400 N 800 N
B D
y
400 N 800 N
B D

A x

AC E Ax Ay C E 400 N 800 N
1m 1m B D
2m 2m
(a) (b)

Figura 6.6 A C E
(a) Armadura Warren que soporta dos cargas. 500 N 700 N
(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura.

en B y D. En la figura 6.6b se dibuja su diagrama de cuerpo libre. A partir de las
ecuaciones de equilibrio,

͚Fx ϭ Ax ϭ 0, y
͚Fy ϭ Ay ϩ E Ϫ 400 N Ϫ 800 N ϭ 0,

͚Mpunto A ϭ Ϫ(1 m)(400 N) Ϫ (3 m)(800 N) ϩ (4 m)E ϭ 0, TAB

ese obtienen las reacciones Ax ϭ 0, Ay ϭ 500 N y E ϭ 700 N. 60
El siguiente paso es elegir una junta y dibujar su diagrama de cuerpo libre. En Ax

la figura 6.7a se aísla la junta A cortando los elementos AB y AC. Los términos TAB TAC
y TAC son las fuerzas axiales en los elementos AB y AC, respectivamente. Aunque 500 N
las direcciones de las flechas que representan las fuerzas axiales desconocidas se
pueden escoger de manera arbitraria, observe que se han elegido de manera que un (a)
elemento estará a tensión si se obtiene un valor positivo para la fuerza axial. Al
escoger consistentemente las direcciones de esta manera ayudará a evitar errores. 577 N
B
Las ecuaciones de equilibrio para la junta A son

͚Fx ϭ TAC ϩ TAB cos 60° ϭ 0,

͚Fy ϭ TAB sen 60° ϩ 500 N ϭ 0.

Resolviendo estas ecuaciones se obtienen las fuerzas axiales TAB ϭ Ϫ577 N A 289 N 289 N
y TAC ϭ 289 N. El elemento AB está a compresión y la barra AC a tensión (figura 577 N A C
6.7b). (b)

Aunque, para la junta de la figura 6.7a, se usó una figura realista a fin de

visualizar mejor el diagrama de cuerpo libre, es posible usar una figura sencilla

con sólo las fuerzas que actúan sobre la junta (figura 6.7c).

Enseguida se obtiene un diagrama de la junta B cortando los elementos AB,

BC y BD (figura 6.8a). A partir de las ecuaciones de equilibrio para la junta B, TAB TAB
͚Fx ϭ TBD ϩ TBC cos 60° ϩ 577 cos 60° N ϭ 0,

͚Fy ϭ Ϫ400 N ϩ 577 sen 60° N Ϫ TBC sen 60° ϭ 0, 60Њ 60Њ
A A
Ese obtiene TBC ϭ 115 N y TBD ϭ Ϫ346 N. El elemento BC está a tensión y el ele-
mento BD a compresión (figura 6.8b). Si se continúa con el dibujo de diagramas TAC TAC
500 N
500 N

de cuerpo libre de las juntas, es posible determinar las fuerzas axiales en todos los (c)

elementos. Figura 6.7
(a) Obtención del diagrama de cuerpo libre de
En dos dimensiones sólo pueden obtenerse dos ecuaciones de equilibrio

independientes de los diagramas de cuerpo libre de una junta. Al sumar los la junta A.

momentos respecto a un punto no se obtiene una ecuación independiente adi- (b) Fuerzas axiales sobre los elementos AB y

cional porque las fuerzas son concurrentes. Por lo tanto, al aplicar el método de
las juntas se deben escoger juntas sometidas a fuerzas conocidas y con no más

www.FreeLibros.orgde dos fuerzas desconocidas. En el presente ejemplo se analizará primero la
AC.
(c) Diagramas de cuerpo libre realista y

sencillo de la junta A.

260 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

y

400 N

B x
60Њ 60Њ TBD

577 N TBC

346 N 346 N
B D
115 N
400 N 800 N B
B D

Figura 6.8 AE
(a) Obtención del diagrama de cuerpo C

libre de la junta B.
(b) Fuerzas axiales en las barras BD y BC.

500 N 700 N C 115 N
(b)
(a)

T2 junta A porque está sometida a la reacción conocida, ejercida por el apoyo, y a
dos fuerzas desconocidas, TAB y TAC (figura 6.7a). Después se podría analizar la
T1 junta B porque está sometida a dos fuerzas conocidas y a dos desconocidas, TBC
(a) (b) y TBD (figura 6.8a). Si se hubiera intentado analizar primero la junta B, se habrían
Figura 6.9 tenido tres fuerzas desconocidas.
(a) Junta con dos elementos colineales y
sin carga. Al determinar las fuerzas axiales en los elementos de una armadura, con fre-
(b) Diagrama de cuerpo libre de la junta. cuencia la tarea se simplifica al estar familiarizado con tres tipos particulares de
juntas.
(a)
• Juntas de armaduras con dos elementos colineales y sin carga (figura 6.9).
y La suma de las fuerzas debe ser igual a cero, T1 ϭ T2. Las fuerzas axiales
son iguales.

• Juntas de armaduras con dos elementos no colineales y sin carga (figu-
ra 6.10). Como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser igual a
cero, T2 ϭ 0. Por lo tanto, T1 también debe ser cero. Las fuerzas axiales son
iguales a cero.

• Juntas de armaduras con tres elementos, dos de ellos colineales, y sin
carga (figura 6.11). Como la suma de las fuerzas en la dirección x debe ser
igual a cero, T3 ϭ 0. La suma en la dirección y debe ser cero, por lo que
T1 ϭ T2. Las fuerzas axiales en los elementos colineales son iguales y la
fuerza axial en el tercer elemento es igual a cero.

y

T2

T2
T3

x T1

T1 x

(b)

Figura 6.10 (a) (b)

(a) Junta con dos elementos no colineales
y sin carga.

www.FreeLibros.org(b) Diagramadecuerpolibredelajunta.
Figura 6.11
(a) Junta con tres elementos, dos de ellos colineales y sin carga.
(b) Diagrama de cuerpo libre de la junta.

6.2 Método de las juntas 261

RESULTADOS BD y D
B
Método de las juntas
A A Ex
Antes de comenzar, por lo E
general es necesario dibujar C Ax C
el diagrama de cuerpo libre
de toda la armadura conside- F Ay F E
rada como un solo objeto y
aplicar las ecuaciones de
equilibrio para determinar las
reacciones en los soportes.

Aísle una junta individual pasando TAB BD
planos a través de los elementos co-
nectados. Complete el diagrama de A TAC AE
cuerpo libre mostrando las fuerzas Ax Ax C
axiales en los elementos. Aplique
las ecuaciones de equilibrio Ay Ay F E
⌺Fx ϭ 0 y ⌺Fy ϭ 0 al diagrama de
cuerpo libre de la junta. Repita este
proceso para otras juntas hasta que
se hayan determinado todas las
cargas axiales deseadas.

Juntas especiales

Si una junta consiste en dos elementos colinea-
les y no se aplican cargas externas a la junta, las
fuerzas axiales en los elementos son iguales.

Si una junta consiste en dos elementos no
colineales y no se aplican cargas externas a la
junta, no existe fuerza axial en ninguno de los
elementos.

Si una junta consiste en tres elementos, dos
de los cuales son colineales, y no se aplican
cargas externas a la junta, las fuerzas axiales
en los elementos colineales son iguales y la

www.FreeLibros.orgfuerza axial en el tercer elemento es cero.

262 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.1 El método de las juntas (᭤ Problema relacionado 6.1)

A Determine las fuerzas axiales en los elementos AB y AC de la armadura que se pre-
3m senta en la figura.

3m C Estrategia
B 5m 5m
Primero se dibujará un diagrama de cuerpo libre de toda la armadura, tratándola

como un solo objeto, y se determinarán las reacciones en los soportes. Luego se
D pueden determinar las fuerzas axiales en los elementos AB y AC dibujando el dia-

grama de cuerpo libre de la junta A.

2 kN Solución y

Ay A
Ax

6m C

BB 10 m D
x

2 kN

⌺Fx ϭ Ax ϩ B ϭ 0, Dibuje el diagrama de cuerpo libre de toda la
⌺Fy ϭ Ay Ϫ 2 kN ϭ 0, armadura y aplique las ecuaciones de equilibrio.
⌺Mpunto B ϭ Ϫ(6m)Ax Ϫ (10 m)(2 kN) ϭ 0.
Resolviendo se obtiene Ax ϭ Ϫ3.33 kN, y
Ay ϭ 2 kN, y B ϭ 3.33 kN.

2 kN x
A 3.33 kN

3.33 kN TAC

TAB a

2 kN
A

C

D

3.33 kN B

El ángulo a ϭ arctan(5/3) ϭ 59.0Њ. 2 kN

⌺Fx ϭ TAC sen a Ϫ 3.33 kN ϭ 0,

⌺Fy ϭ 2 kN Ϫ TAB Ϫ TAC cos a ϭ 0. Dibuje el diagrama de
cuerpo libre de la junta
Resolviendo se obtiene TAB ϭ 0 y TAC ϭ 3.89 kN. A y aplique las ecua-
La fuerza axial en el elemento AB es igual a cero y ciones de equilibrio.
la fuerza axial en el elemento AC es 3.89 kN

en tensión, lo cual se escribe

www.FreeLibros.orgAB:cero,AC:3.89kN(T).

6.2 Método de las juntas 263

Problema de práctica Determine las fuerzas axiales en los elementos BC y BD de la
armadura que se muestra en la figura. Para hacer esto, use el hecho de que ya se sabe a
partir del análisis de la junta A que la fuerza axial en el elemento AB es igual a cero.

Respuesta: BC: cero, BD: 3.33 kN (C).

Ejemplo 6.2 Armadura de un puente (᭤ Relacionado con el problema 6.31)

En la figura 1 se muestran las cargas que la estructura de un puente debe soportar,
así como los soportes de pasador en los cuales se va a apoyar. Un estudiante de in-
geniería civil encargado del diseño de la estructura propone la estructura mostrada
en la figura 2. ¿Qué valor tienen las fuerzas axiales en los elementos?

Estrategia
Los elementos verticales, AG, BH, CI, DJ y EK están sujetos a fuerzas de compre-
sión de magnitud F. Debido a la simetría de la estructura, es posible determinar las
cargas axiales en los elementos restantes analizando las juntas C y B.

FFF F F
K
G HI J
2b
b bbb
15Њ 15Њ

FFF FF C

b b bb 2b a a
B D

AE

(1) (2)

Solución y
Se deja como un ejercicio demostrar, mediante el dibujo del diagrama de cuerpo
libre de la junta C, que los elementos BC y CD están sometidos a cargas de com- F
presión iguales con magnitud 1.93F. En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo
libre de la junta B, donde TBC ϭ Ϫ1.93F. TBC
15Њ x
A partir de las ecuaciones de equilibrio
aB
͚Fx ϭ ϪTAB cos a ϩ TBC cos 15° ϭ 0,
͚Fy ϭ ϪTAB sen a ϩ TBC sen 15° Ϫ F ϭ 0, TAB

se obtiene TAB ϭ Ϫ2.39F y a ϭ 38.8°. Por simetría, TDE ϭ TAB. Las fuerzas (a) Diagrama de cuerpo
axiales en los elementos se presentan en la siguiente tabla. libre de la junta B.

Fuerzas axiales en los elementos de la
estructura del puente

Elementos Fuerza axial

AG, BH, CI, DJ, EK F (C)

AB, DE 2.39F (C)

www.FreeLibros.orgBC,CD 1.93F (C)

264 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas

᭤ 6.1 En el ejemplo activo 6.1, suponga que además de la fuerza 6.5 Cada uno de los pesos suspendidos que se muestran en la
descendente de 2 kN que actúa en el punto D, se tiene una figura tiene una masa m ϭ 20 kg. Determine las fuerzas axiales
fuerza descendente de 2 kN actuando en el punto C. Trace un en los elementos de la armadura e indique si están en tensión (T)
bosquejo de la armadura donde muestre las nuevas cargas. Deter- o en compresión (C).
mine las fuerzas axiales en los elementos AB y AC de la armadura.
A
6.2 Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadu-
ra mostrada e indique si están en tensión (T) o en compresión (C).

20Њ 800 N 0.4 m
A CD
B
0.4 m
mm
C
0.16 m 0.16 m 0.32 m
B 0.7 m Problema 6.5
0.7 m

Problema 6.2

6.3 El elemento AB de la armadura que se muestra en la figura 6.6 Determine las máximas fuerzas a tensión y compresión que
está sometida a una fuerza a tensión de 1000 lb. Determine el se presentan en los elementos de la armadura mostrada, e indique
peso W y la fuerza axial en el elemento AC. los elementos donde ocurren si
a) la dimensión h ϭ 0.1 m;
A b) la dimensión h ϭ 0.5 m.
Observe cómo un cambio sencillo en el diseño afecta las cargas
60 pulg W axiales máximas.
B
B

60 pulg C h A
60 pulg D 1 kN 0.7 m
1.2 m
Problema 6.3

6.4 Determine las fuerzas axiales en los elementos BC y CD de 0.4 m
la armadura mostrada.

600 lb E C
0.6 m

3 pies Problema 6.6

CD

3 pies

AB

3 pies 3 pies
www.FreeLibros.orgProblema6.4

Problemas 265

6.7 La armadura de acero mostrada está en el Parque Nacional 6.11 Las cargas F1 = F2 = 8 kN. Determine las fuerzas axiales
Gallatin al sur de Bozeman, Montana, Estados Unidos. Suponga en los elementos BD, BE y BG.
que una de las armaduras tándem que soportan al puente está
cargada según se muestra en la figura. Determine las fuerzas D F1
axiales en los elementos AB, BC, BD y BE.

6.8 Determine las fuerzas máximas a tensión y compresión que 3m
se presentan en los elementos de la armadura de puente mostrada, B F2
también indique los elementos donde ocurren dichas fuerzas.
E
3m

AG
C

4m 4m

Problema 6.11

BDF 8 pies 6.12 Determine las fuerzas máximas a tensión y compresión que
se presentan en los elementos de la armadura mostrada, también
AH indique los elementos donde ocurren dichas fuerzas si
C EG
10 kip 10 kip 10 kip a) la dimensión h ϭ 5 pulg;
b) la dimensión h ϭ 10 pulg.
17 pies 17 pies 17 pies 17 pies
Observe cómo un cambio sencillo en el diseño afecta las cargas
Problemas 6.7/6.8 axiales máximas.

6.9 Las armaduras que soportan el puente en los problemas 6.7 y DB A
6.8 se denominan armaduras Pratt. Suponga que los diseñadores del h EC
puente han decidido usar en su lugar la armadura que se muestra
en la siguiente figura, que se llama armadura Howe. Determine las 20 pulg 20 pulg 20 pulg
fuerzas máximas a tensión y compresión que se presentan en los 800 lb
elementos, también indique los elementos donde ocurren dichas
fuerzas. Compare sus respuestas con las del problema 6.8. 30Њ

BDF Problema 6.12

A H 8 pies 6.13 La armadura mostrada recibe cargas en C y E. Si F ϭ 3 kN,
C EG ¿cuáles son las fuerzas axiales en las barras BC y BE?
10 kip 10 kip 10 kip

17 pies 17 pies 17 pies 17 pies

Problema 6.9

6.10 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y 1m 1m 1m
CE de la armadura mostrada. AB D

G

300 mm 1m

CE

F G
300 mm
CE
A

B D 6 kN F

400 400 400

2F
Problema 6.13
mm mm mm

www.FreeLibros.orgProblema6.10

266 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.14 Si no se desea que los elementos de la armadura mostrada 6.17 Determine las fuerzas axiales en los elementos de la arma-
estén sometidos a una carga axial (a tensión o compresión) mayor dura mostrada en términos del peso W.
a 20 kN, ¿cuál es la magnitud máxima aceptable de la fuerza
descendente F? BE

12 m A 1m D
B F W
A
1m

C
4m

C 0.8 m 0.8 m

D 0.8 m
3m

Problema 6.14 Problema 6.17

6.15 La armadura que se muestra en la figura es un diseño pre- 6.18 Considere las longitudes de los elementos de la armadura
liminar de una estructura que conectará un extremo de la camilla que se muestra en la figura. La masa de la caja suspendida es de
a un helicóptero de salvamento. Con base en simulaciones diná- 900 kg. Determine las fuerzas axiales en los elementos.
micas, el ingeniero de diseño estima que las fuerzas descendentes
que ejercerá la camilla no serán mayores a 1.6 kN en A y en B. A
¿Qué valor tienen las fuerzas axiales resultantes en los elementos
CF, DF y FG? 12 m

6.16 Después de saber de un ajuste en el motor del helicóptero, B 13 m
el ingeniero que está diseñando la armadura realiza nuevas simu- 5m
laciones y concluye que las fuerzas descendentes que ejercerá la
camilla en A y B, serán hasta de 1.8 kN. ¿Qué valor tienen las
fuerzas axiales resultantes en los elementos DE, DF y DG?

C

13 m

300 290 390 12 m
G mm mm mm

F 150 mm

D 40Њ

ED 480 mm Problema 6.18
B C

200 mm
A

Problemas 6.15/6.16

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Problemas 267

6.19 En la figura se tienen las cargas F1 ϭ 600 lb y F2 ϭ 300 lb. 6.24 La armadura Pratt para puentes que se muestra en la figura
Determine las fuerzas axiales en los elementos AE, BD y CD. soporta cinco fuerzas (F ϭ 300 kN). La dimensión L ϭ 8 m.
Determine las fuerzas axiales en los elementos BC, BI y BJ.
6.20 En la figura se tienen las cargas F1 ϭ 450 lb y F2 ϭ 150 lb.
Determine las fuerzas axiales en los elementos AB, AC y BC.

L L L LLL

F1 BC D EG
GD
L
A H

F2 I J K LM

6 pies B FFFF F
3 pies Problema 6.24
C A
E

4 pies 4 pies 6.25 Para la armadura de techo mostrada, determine las fuerzas
axiales en los elementos AD, BD, DE y DG. Modele los soportes
en A e I como soportes de rodillo.

Problemas 6.19/6.20

10 kN

6.21 Determine las fuerzas axiales en los elementos BC, CD y 8 kN E 8 kN
CE de la armadura mostrada. F
6 kN 6 kN
C

B H 3.6 m

CE AI

DG

4 pies 3m 3m 3m 3m 3m 3m

BG Problema 6.25
DF

12 kip 4 pies 6.26 La armadura Howe que se muestra en la figura soporta un
techo. Modele los soportes en A y G como soportes de rodillos.
AH Determine las fuerzas axiales en las barras AB, BC y CD.

4 pies 4 pies 4 pies

Problema 6.21 800 lb

6.22 La armadura Warren que soporta el puente peatonal de la 600 lb D 600 lb
figura está diseñada para soportar cargas verticales de 50 kN en C
B, D, F y H. Si la armadura está sometida a dichas cargas, ¿cuáles 400 lb 400 lb
son las fuerzas axiales resultantes en los elementos BC, CD y CE? E
8 pies
6.23 Para la armadura Warren del problema 6.22, determine las F
fuerzas axiales en los elementos DF, EF y FG. B

AG
H I J KL

444444
pies pies pies pies pies pies

Problema 6.26

BDFH

2m

ACEG I

6m 6m 6m 6m

www.FreeLibros.orgProblemas6.22/6.23

268 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.27 La armadura plana mostrada forma parte de los soportes de 6.29 a) Diseñe una armadura unida a los soportes A y B que
una grúa sobre una plataforma petrolera lejos de la costa. La grúa vaya sobre el obstáculo y resista la carga aplicada en el punto C
ejerce fuerzas verticales de 75 kN sobre la armadura en B, C y D. de la figura.
El soporte en A se puede representar como un soporte de pasador b) Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura
y el soporte en E como un soporte de rodillos que puede ejercer una que diseñó en el inciso a).
fuerza normal a la línea discontinua, pero que no puede ejercer
una fuerza paralela a ella. El ángulo a ϭ 45°. Determine las fuerzas Obstáculo
axiales en los elementos de la armadura.

4m C

AB 2m
10 kN

B CD 6 m 3.5 m 4.5 m
1m
1.8 m
Problema 6.29
2.2 m A F GH Ea
6.30 Suponga que se desea diseñar una armadura soportada en A
3.4 m 3.4 m 3.4 m 3.4 m y B (figura a) capaz de resistir una carga descendente de 3 kN en el
punto C. Si se usa el diseño más sencillo (figura b), el elemento AC
Problema 6.27 está sometido a una fuerza de tensión de 5 kN. Rediseñe la arma-
dura de manera que la máxima fuerza de tensión sea menor a 3 kN.
6.28 a) Diseñe una armadura unida a los soportes A y B que
resista las cargas aplicadas en los puntos C y D de la figura. AA
b) Determine las fuerzas axiales en los elementos de la armadura
que diseñó en el inciso a). 1.2 m

1000 lb C C

C 2000 lb B B
1.6 m
3 kN 3 kN

4 pies D (a) (b)
B 2 pies
A

Problema 6.30

5 pies 5 pies 5 pies ᭤ 6.31 La estructura de puente que se muestra en el ejemplo 6.2
puede tener un arco más grande aumentando los ángulos de 15° a
Problema 6.28 20°. Si se hace esto, cuáles son las fuerzas axiales en los elementos
AB, BC, CD y DE?

6.3 Método de secciones

ANTECEDENTES

Cuando sólo se requiere conocer las fuerzas axiales en ciertos elementos de una
armadura, es más rápido determinarlas con el método de secciones que con el de
juntas. Por ejemplo, considere de nuevo la armadura Warren que se usó para pre-
sentar el método de las juntas (figura 6.12a). La armadura soporta cargas en B y D
y cada elemento tiene 2 m de longitud. Suponga que se desea determinar sólo la
fuerza axial en el elemento BC.

400 N 800 N 400 N 800 N
B D B D

Figura 6.12 A EA E

(a) Armadura Warren que soporta dos cargas. C 500 N C 700 N
(b) Diagrama de cuerpo libre de la armadura2m (b)

www.FreeLibros.orgque muestra las reacciones en los soportes.(a)

6.3 Método de secciones 269

Como en el método de las juntas, se comienza por dibujar el diagrama de 400 N 800 N
cuerpo libre de la armadura entera y se determinan las reacciones en los soportes. B D
Los resultados de este paso se muestran en la figura 6.12b. El siguiente paso es
cortar las barras AC, BC y BD para obtener un diagrama de cuerpo libre de una A C E
parte, o sección, de la armadura (figura 6.13). Sumando momentos respecto al 500 N 700 N
punto B, las ecuaciones de equilibrio para la sección izquierda son
y 400 N
͚Fx ϭ TAC ϩ TBD ϩ TBC cos 60° ϭ 0, B TBD

͚Fy ϭ 500 N Ϫ 400 N Ϫ TBC sen 60° ϭ 0, 60Њ 60Њ

͚Mpunto B ϭ (2 sen 60° m)TAC Ϫ (2 cos 60° m)(500 N) ϭ 0. TBC

Al resolverlas se obtiene TAC ϭ 289 N, TBC ϭ 115 N y TBD ϭ Ϫ346 N. A x
Observe qué tan similar es este método al método de las juntas. Ambos impli- 500 N
TAC
can cortar elementos para obtener diagramas de cuerpo libre de las partes de una
armadura. En el método de las juntas se avanza de junta en junta, dibujando dia- Figura 6.13
gramas de cuerpo libre y determinando las fuerzas axiales en los elementos. En el Obtención del diagrama de cuerpo libre de una
método de las secciones se trata de obtener un solo diagrama de cuerpo libre que sección de la armadura.
permita determinar las fuerzas axiales en ciertos elementos específicos. En el
ejemplo presentado se obtuvo un diagrama de cuerpo libre cortando tres elemen-
tos, incluido aquél (elemento BC) cuya fuerza axial se deseaba determinar.

En contraste con los diagramas de cuerpo libre de juntas, las fuerzas sobre los
diagramas de cuerpo libre usados en el método de las secciones no suelen ser con-
currentes y, como en el ejemplo presentado, se pueden obtener tres ecuaciones de
equilibrio independientes. Aunque existen excepciones, por lo general se deben
escoger secciones que no requieran cortar más de tres elementos, porque de lo con-
trario se tendrían más fuerzas axiales desconocidas que ecuaciones de equilibrio.

RESULTADOS

Método de secciones

Cuando se deben determinar las fuerzas axiales en elementos particulares de una
armadura, a menudo el método de secciones puede proporcionar los resultados
necesarios de una manera más eficiente que el método de las juntas.

Antes de comenzar, por lo BD y D
general resulta ventajoso B
dibujar el diagrama de cuerpo AE
libre de toda la armadura como C A Ex
un solo objeto y aplicar las F Ax C
ecuaciones de equilibrio para
determinar las reacciones en Ay F E
los soportes.

Pase planos a través de un número y TBD
B

suficiente de elementos para aislar

una parte, o sección, de la armadura. A TBC y D
Al hacer esto, procure pasar planos Ax TAC B
a través de los elementos cuyas fuer-
zas axiales se deseen determinar. Ay
Complete el diagrama de cuerpo li-

bre de la sección mostrando las fuer- A Ex

zas axiales en los elementos. Aplique Ax C

Ay F E
las ecuaciones de equilibrio al dia-

www.FreeLibros.orggrama de cuerpo libre de la sección.

270 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.3 Método de secciones (᭤ Relacionado con el problema 6.32)

Los elementos horizontales de la armadura mostrada tienen 1 m de longitud. De-
termine la fuerza axial en los elementos CD, CJ e IJ.

ABCDE F M
1m 100 kN

GH I J KL

Estrategia
Al pasar planos a través de los elementos CD, CJ e IJ, se obtendrá una sección de
la cual se pueden obtener las fuerzas axiales deseadas.

Solución

AB C DE F

GHI J KL M
y 100 kN

Pase planos a través de los elementos
CD, CJ, e IJ y dibuje el diagrama de
cuerpo libre de la sección.

TCD D E F

TCJ
45Њ

TIJ J KL Mx
100 kN

⌺Fx ϭ ϪTCD Ϫ TCJ cos 45Њ Ϫ TIJ ϭ 0, Aplique las ecuaciones de equilibrio.

⌺Fy ϭ TCJ sen 45Њ Ϫ 100 kN ϭ 0,

⌺Mpunto J ϭ (1 m)TCD Ϫ (3 m)(100 kN) ϭ 0.

Al resolver se obtiene TCD ϭ 300 kN, TCJ ϭ 141 kN,
y TIJ ϭ Ϫ400 kN. Las cargas axiales son
CD: 300 kN (T), CJ: 141 kN (T),
IJ: 400 kN (C).

Problema de práctica Use el método de secciones para determinar las fuerzas
axiales en los elementos DE, DK y JK de la armadura.

www.FreeLibros.orgRespuesta: DE: 200 kN (T), DK: 141 kN (T), JK: 300 kN (C).

6.3 Método de secciones 271

Ejemplo 6.4 Elección de una sección apropiada (᭤ Relacionado con el problema 6.33)

Determine las fuerzas axiales en los elementos DG y BE de la armadura mostrada.

DG J

L

CI

L

A K
B EH
F 2F F

LLLL DG J

Estrategia CI
No es posible obtener una sección que corte los elementos DG y BE sin cortar más
de tres elementos. Sin embargo, al cortar los elementos DG, BE, CD y BC se obtiene Ax A K
una sección con la que se puede determinar las fuerzas axiales en DG y BE. K
Ay B EH
Solución F 2F F
Determinación de las reacciones en los soportes En la figura a se presenta el dia-
grama de cuerpo libre de toda la estructura. A partir de las ecuaciones de equilibrio, (a) Diagrama de cuerpo libre de
toda la armadura.

͚Fx ϭ Ax ϭ 0, DG J
͚Fy ϭ Ay ϩ K Ϫ F Ϫ 2F Ϫ F ϭ 0,
͚Mpunto A ϭ ϪLF Ϫ (2L)(2F) Ϫ (3L)F ϩ (4L)K ϭ 0, CI
se obtienen las reacciones Ax ϭ 0, Ay ϭ 2F y K ϭ 2F.

Elección de una sección A BEH K
En la figura b se obtiene una sección cortando los elementos DG, CD, BC y BE. 2F
Como las líneas de acción de TBE, TBC y TCD pasan por el punto B, es posible de- 2F F 2F F
terminar TDG sumando momentos respecto a B:

͚Mpunto B ϭ ϪL(2F) Ϫ (2L)TDG ϭ 0.

La fuerza axial TDG ϭ ϪF. Entonces, a partir de la ecuación de equilibrio D TDG
͚Fx ϭ TDG ϩ TBE ϭ 0,

se observa que TBE ϭ ϪTDG ϭ F. El elemento DG está a compresión y el miem- TCD
bro BE está a tensión.

TBC

Razonamiento crítico A TBE
Este es un ejemplo interesante, pero no es del tipo común que puede encontrarse B
en la práctica. La sección usada para resolverlo podría no ser obvia aun para una
2F F

persona con experiencia en el análisis de estructuras. Observe que el diagrama de (b) Sección de la armadura obtenida al

cuerpo libre de la figura b es estáticamente indeterminado, aunque puede usarse pasar planos por los elementos DG,
www.FreeLibros.orgpara determinar las fuerzas axiales en los elementos DG y BE.
CD, BC y BE.

272 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Problemas 6.37 Use el método de secciones para determinar las fuerzas
axiales en los elementos DF, EF y EG de la armadura mostrada.
᭤ 6.32 En el ejemplo activo 6.3, use el método de secciones
para determinar las fuerzas axiales en los elementos BC, BI y HI.

᭤ 6.33 En el ejemplo 6.4, obtenga una sección de la armadura 18 kN E G 24 kN
pasando planos a través de los elementos BE, CE, CG y DG. C D F H
Considere el hecho de que las fuerzas axiales en los elementos 300 mm
DG y BE ya han sido determinadas y use su sección para deter- A
minar las fuerzas axiales en los elementos CE y CG.
B
6.34 La armadura mostrada soporta una carga de 100 kN en J.
Los elementos horizontales tienen 1 m de longitud cada uno. 400 mm 400 mm 400 mm 400 mm
Problema 6.37
a) Use el método de las juntas para determinar la fuerza axial en
el elemento DG.
b) Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en
el elemento DG.

6.35 Los elementos horizontales de la armadura mostrada tienen 6.38 Una armadura Pratt para puentes está cargada en la forma
1 m de longitud cada uno. Use el método de secciones para deter- que se muestra en la figura. Use el método de secciones para
minar las fuerzas axiales en los elementos BC, CF y FG. determinar las fuerzas axiales en los elementos BD, BE y CE.

B DF
A
ABCD E G H 8 pies
1m C 10 kip 30 kip
20 kip
E F GH 17 pies 17 pies 17 pies 17 pies

Problemas 6.34/6.35 J Problema 6.38
100 kN

6.36 Use el método de secciones para determinar las fuerzas
axiales en los elementos AB, BC y CE de la armadura mostrada.

1m 1m 1m
A BD

1m

G

C E
F

2F
Problema 6.36

www.FreeLibros.org

Problemas 273

6.39 Una armadura Howe para puentes está cargada en la forma 6.43 El puente peatonal mostrado ejerce cargas verticales de
que se muestra en la figura. Use el método de las secciones para 50 kN sobre la armadura Warren en B, D, F y H. Use el método
determinar las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE. de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento CE.

6.40 Para la armadura Howe para puentes que se muestra en la
figura, use el método de secciones para determinar las fuerzas
axiales en los elementos DF, DG y EG.

BDF BDFH
2m
A 8 pies
C EG H ACEG I
6m 6m 6m 6m
10 kip 30 kip 20 kip
Problema 6.43
17 pies 17 pies 17 pies 17 pies

Problemas 6.39/6.40

6.44 Use el método de secciones para determinar las fuerzas
axiales en los elementos AC, BC y BD de la armadura mostrada.

6.41 La armadura Pratt para puentes que se muestra en la figura 600 lb E
soporta cinco fuerzas F ϭ 340 kN. La dimensión L ϭ 8 m.
Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en
el elemento JK.

6.42 Para la armadura de puente del problema 6.41, use el méto- 4 pies
do de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento EK. CD

L L L LLL 4 pies
B C D EG

L AB
A
H

I J K LM 3 pies 3 pies

FFFF F Problema 6.44
Problemas 6.41/6.42

www.FreeLibros.org

274 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

6.45 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos FH, GH y GI de la armadura mostrada.
6.46 Use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en los elementos DF, DG y EG de la armadura mostrada.

I

300 mm

C EG

H
300 mm

A

BD F

6 kN 4 kN

400 mm 400 mm 400 mm 400 mm

Problemas 6.45/6.46

6.47 La armadura Howe mostrada ayuda a soportar un techo. 6.50 Para la armadura de puente que se muestra en la figura,
Modele los soportes en A y G como soportes de rodillos. use el método de secciones para determinar las fuerzas axiales en
los elementos CE, CF y DF.
a) Use el método de las juntas para determinar la fuerza axial en
el elemento BI. 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN 200 kN
b) Use el método de secciones para determinar la fuerza axial en
el elemento BI. BDF HJ

6.48 Use el método de secciones para determinar la fuerza axial E G 7m
en el elemento EJ de la armadura mostrada. C

2 kN 3m 4m I
A

2 kN 2 kN D 2 kN 5m 5m 5m 5m
C
2 kN Problema 6.50
E 4m
6.51 La carga F ϭ 20 kN y la dimensión L ϭ 2 m. Use el método
B F de secciones para determinar la fuerza axial en el elemento HK.

AG Estrategia: Obtenga una sección cortando los elementos HK,
H I J KL HI, IJ y JM. Se pueden determinar las fuerzas axiales en los ele-
mentos HK y JM, aunque el diagrama de cuerpo libre resultante
2m 2m 2m 2m 2m 2m sea estáticamente indeterminado.
Problemas 6.47/6.48

6.49 Use el método de secciones para determinar las fuerzas LL
axiales en los elementos CE, DE y DF de la armadura mostrada. ABC
F

CE L
4 pies DE
FG

BG I L
DF H J

12 kip 4 pies L
A H

KM

4 pies 4 pies 4 pies
www.FreeLibros.orgProblema6.49
Problema 6.51

6.4 Armaduras espaciales 275

6.52 El peso de la cubeta mostrada es W ϭ 1000 lb. El cable 6.54 La armadura mostrada soporta cargas en N, P y R. Determi-
pasa sobre poleas en A y D. ne las fuerzas axiales en los elementos IL y KM.

a) Determine las fuerzas axiales en las barras FG y HI. 6.55 Determine las fuerzas axiales en las barras HJ y GI de la ar-
madura mostrada.
b) Dibuje diagramas de cuerpo libre de las secciones para expli-
car por qué las fuerzas axiales en las barras FG y HI son iguales.

6.53 El peso de la cubeta mostrada es W ϭ 1000 lb. El cable 6.56 Dibuje diagramas de cuerpo libre de las secciones para ex-
pasa sobre poleas en A y D. Determine las fuerzas axiales en las plicar por qué las fuerzas axiales en las barras DE, FG y HI son
barras IK y JL. iguales a cero.

2m 2m 2m 2m 2m

D A K MO Q
C 1m
2m J I L N P R
F
J H B G
3 pies 6 pulg 2 m H 1 kN 2 kN 1 kN
G
3 pies I E W E
3 pies L 35Њ 2m F
3 pulg

3 pies 2m C
K A D

B

Problemas 6.52/6.53 6m
Problemas 6.54–6.56

6.4 Armaduras espaciales

ANTECEDENTES

Una estructura tridimensional sencilla se puede construir conectando seis barras
en sus extremos para obtener un tetraedro, como se muestra en la figura 6.14a.
Agregando elementos es posible obtener estructuras más elaboradas (figuras
6.14b y c). Las estructuras tridimensionales como éstas se denominan armaduras
espaciales si tienen juntas que no ejercen pares sobre los elementos (es decir, las
juntas se comportan como soportes de bola y cuenca) y si están cargadas y sopor-
tadas sólo en sus juntas. Las armaduras espaciales se analizan con los mismos
métodos descritos para las armaduras bidimensionales. La única diferencia es la
necesidad de tratar con relaciones geométricas más complicadas.

Considere la armadura espacial de la figura 6.15a. Suponga que la carga
F ϭ Ϫ2i Ϫ 6j Ϫ k (kN). Las juntas A, B y C descansan sobre un piso liso. La
junta A está soportada por la esquina donde se unen las paredes lisas y la junta

Figura 6.14

www.FreeLibros.org(a) (b) (c) Armadurasespacialescon6,9y12elementos.

276 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

C descansa contra la pared posterior. A esta armadura se le puede aplicar el

método de las juntas.

Primero es necesario determinar las reacciones ejercidas por los soportes (el
y piso y las paredes). En la figura 6.15b se dibuja el diagrama de cuerpo libre de

F toda la armadura. La esquina puede ejercer tres componentes de fuerza en A, el
D (2, 3, 1) m piso y la pared dos componentes en C, y el piso una fuerza normal en B. Sumando
momentos respecto a A, se encuentra que las ecuaciones de equilibrio, con las

fuerzas en kN y las distancias en m, son

A

C (4, 0, 0) m ©Fx = Ax - 2 = 0,
x

z B (2, 0, 3) m ©Fy = Ay + By + Cy - 6 = 0,

(a) ©Fz = Az + Cz - 1 = 0,

͚Mpunto A ϭ (rAB ϫ By j) ϩ [rAC ϫ (Cy j ϩ Cz k)] ϩ (rAD ϫ F)

F i jk i j k i j k
y D (2, 3, 1) m = 32 0 33 + 34 0 0 3 + 3 2 3 1 3

0 By 0 0 Cy Cz - 2 - 6 - 1

Ay Cy = ( - 3By + 32i + 1 - 4Cz2j
A C (4, 0, 0) m
Cz x + 12By + 4Cy - 62k = 0.
Ax
Az B (2, 0, 3) m Resolviendo estas ecuaciones se obtienen las reacciones Ax ϭ 2 kN, Ay ϭ 4 kN,
Az ϭ 1 kN, By ϭ 1 kN, Cy ϭ 1 kN y Cz ϭ 0.
z
En este ejemplo, las fuerzas axiales en los elementos AC, BC y CD pueden
By determinarse a partir del diagrama de cuerpo libre de la junta C (figura 6.15c).
Para escribir las ecuaciones de equilibrio de la junta se deben expresar las tres
(b) fuerzas axiales en términos de sus componentes. Como el elemento AC se
encuentra sobre el eje x, la fuerza ejercida sobre la junta C por la fuerza axial TAC
F se expresa como el vector ϪTACi. Sea rCB el vector de posición de C a B:
D

4 kN rCB = 12 - 42i + 10 - 02j + 13 - 02k = - 2i + 3k 1m2.
A
1 kN
2 kN
1 kN C Al dividir este vector entre su magnitud se obtiene el siguiente vector unitario que
apunta desde C hacia B,
B
1 kN

eCB = rCB = - 0.555i + 0.832k,

ƒ rCB ƒ

TCD Cy ϭ 1 kN y se expresa la fuerza ejercida sobre la junta C por la fuerza axial TBC como el
C vector
TAC
TBC TBC eCB = TBC1 - 0.555i + 0.832k2.
(c)

Figura 6.15

(a) Armadura espacial que soporta una carga F. De la misma manera, se expresa la fuerza ejercida sobre la junta C por la fuerza

(b) Diagrama de cuerpo libre de toda la axial TCD como el vector

armadura.
(c) Obtención del diagrama de cuerpo libre de

www.FreeLibros.orglajuntaC.
TCD1 - 0.535i + 0.802j + 0.267k2.

6.4 Armaduras espaciales 277

Si la suma de las fuerzas sobre la junta se iguala a cero, resulta

- TAC i + TBC1 - 0.555i + 0.832k2
+ TCD1 - 0.535i + 0.802j + 0.267k2 + 11 kN2j = 0,

y se obtienen las tres ecuaciones de equilibrio

©Fx = - TAC - 0.555TBC - 0.535TCD = 0,

©Fy = 0.802TCD + 1 kN = 0,

©Fz = 0.832TBC + 0.267TCD = 0.

Resolviendo estas ecuaciones, las fuerzas axiales son TAC ϭ 0.444 kN, TBC ϭ 0.401
kN y TCD ϭ Ϫ1.247 kN. Los elementos AC y BC están a tensión y la barra CD a
compresión. Continuando con el dibujo de los diagramas de cuerpo libre de las
juntas restantes, es posible determinar las fuerzas axiales en todos los elementos.

Como lo demuestra este ejemplo, se pueden obtener tres ecuaciones de equi-
librio a partir del diagrama de cuerpo libre de una junta en tres dimensiones, por
lo que deben elegirse juntas que estén sometidas a fuerzas conocidas con no más
de tres fuerzas desconocidas.

RESULTADOS

Una armadura espacial es aquella cuyos elementos no son coplanares. Las
fuerzas axiales en los elementos de una armadura espacial estáticamente deter-
minada pueden obtenerse mediante la aplicación del método de las juntas.

Antes de comenzar, usualmen-
te es necesario dibujar el dia-
grama de cuerpo libre de toda
la armadura considerada como
un solo objeto y aplicar las
ecuaciones de equilibrio para
determinar las reacciones en
los soportes.

D

Aísle una junta individual pasando

planos a través de los elementos co- A
nectados. Complete el diagrama de

cuerpo libre mostrando las fuerzas C
axiales en los elementos. Aplique la B
ecuación de equilibrio ⌺F ϭ 0 al

diagrama de cuerpo libre de la junta.

Repita este proceso para otras juntas

hasta que hayan sido determiadas las TCD
cargas axiales deseadas.

www.FreeLTATCBC ibC ros.org

278 Capítulo 6 Estructuras en equilibrio

Ejemplo activo 6.5 Armadura espacial (᭤ Relacionado con el problema 6.57)

La armadura espacial tiene soportes de rodillo en B, C y D y soporta una carga ver-
tical de 1200 lb en A. Determine las fuerzas axiales en los elementos AD, BD y CD.

y 1200 lb
B A (5, 3, 2) pies
z
D (10, 0, 0) pies
x

C (6, 0, 6) pies

Estrategia
Primero se dibuja el diagrama de cuerpo libre de toda la armadura, tratándola como
un solo objeto, y se determinan las reacciones en los soportes. Después se pueden
determinar las fuerzas axiales en los elementos AD, BD y CD dibujando el diagra-
ma de cuerpo libre de la junta D.

Solución

y 1200 lb y
B A 1200 lb
z
A (5, 3, 2) pies

D B D (10, 0, 0) pies
x
x B
z D
C C (6, 0, 6) pies
C

⌺Fy ϭ B ϩ C ϩ D Ϫ 1200 lb ϭ 0, Dibuje el diagrama de cuerpo
⌺Mpunto B ϭ rBA ϫ [Ϫ1200j (lb)] ϩ rBC ϫ Cj ϩ rBD ϫ Dj libre de toda la armadura y apli-
que las ecuaciones de equilibrio.
i jk i jk i jk
ϭ 5 3 2 ϩ 6 0 6 ϩ 10 0 0

0 Ϫ1200 0 0 C 0 0 D 0
ϭ (2400 Ϫ 6C)i ϩ (Ϫ6000 ϩ 6C ϩ 10D )k ϭ 0.
Resolviendo se obtiene B ϭ 440 lb, C ϭ 400 lb y D ϭ 360 lb.

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