Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Problemas 29

2.10 Las fuerzas que actúan sobre el planeador están represen- 2.12 La cuerda ABC ejerce fuerzas FBA y FBC de igual magnitud
tadas por tres vectores. El empuje L y el arrastre D son perpen- sobre la polea en B. La magnitud de la fuerza total ejercida sobre
diculares. La magnitud del peso W es de 500 lb. La suma de las la polea por las dos fuerzas es de 200 lb. Determine gráficamente
fuerzas W ϩ L ϩ D ϭ 0. Determine gráficamente las magnitudes ͉FBA͉.
del empuje y el arrastre.
C FBC

BB

FBA
A

L Problema 2.12
25Њ
D 2.13 Dos tractores para nieve remolcan un refugio de emergencia
hacia una nueva ubicación en la base McMurdo de la Antártica (se
W muestra una vista aérea; los cables son horizontales). La fuerza
Problema 2.10 total FA ϩ FB ejercida sobre la unidad tiene una dirección paralela
a la línea L, y su magnitud es de 400 lb. Determine gráficamente
las magnitudes de FA y FB.

L

FB
FA

2.11 Un tanque de almacenamiento esférico está soportado Vista Superior
por cables. El tanque está sometido a tres fuerzas: las fuerzas FA y
FB ejercidas por los cables y el peso W. El peso del tanque es Problema 2.13
͉W͉ ϭ 600 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre
el tanque es igual a cero. Determine gráficamente las magnitudes 2.14 Un topógrafo determina que la distancia horizontal del
de FA y FB. punto A al punto B de la figura es de 400 m y que la distancia
horizontal de A a C es de 600 m. Determine gráficamente la
FA FB magnitud del vector rBC y el ángulo a.
40Њ 20Њ 20Њ
Norte
B
a

OXÍGENO LÍQUIDO rBC
C

W

60Њ

20Њ

A Este
Problema 2.14
www.FreeLibros.orgProblema2.11

30 Capítulo 2 Vectores

2.15 El vector r se extiende desde el punto A de la figura hasta el 2.16 Por medio de un bosquejo de los vectores, explique por qué
punto medio entre los puntos B y C. Demuestre que U + 1V + W2 = 1U + V2 + W.

r = 211rAB + rAC2.

C

rAC
r

rAB
B

A
Problema 2.15

2.2 Componentes en dos dimensiones

ANTECEDENTES

U Es más fácil trabajar con vectores cuando se pueden expresar en términos de com-
ponentes vectoriales perpendiculares. Aquí se explicará cómo descomponer vecto-
(a) res en componentes cartesianas y se darán ejemplos de manipulaciones de vectores
usando componentes.
y
Considere el vector U de la figura 2.11a. Al colocar un sistema coordenado
cartesiano de modo que el vector U sea paralelo al plano x-y, es posible escribirlo
como la suma de los componentes vectoriales perpendiculares Ux y Uy que son
paralelas a los ejes x e y (figura 2.11b):

U = Ux + Uy.

U Uy Luego, si se introduce un vector unitario i que señale en la dirección positiva del
eje x y un vector unitario j que señale en la dirección positiva del eje y (figura
Ux x 2.11c), se puede expresar el vector U en la forma
(b)
U = Ux i + Uy j. (2.7)
y
Los escalares Ux y Uy se llaman componentes escalares de U. Cuando se nombran
U Uy ϭ Uy j simplemente las componentes de un vector, se hace referencia a las componentes
escalares. Se llamará a Ux y Uy las componentes x e y de U.
j Uxϭ Uxi x
i (c) Las componentes de un vector especifican tanto sus direcciones relativas al
sistema coordenado cartesiano como sus magnitudes. En el triángulo rectángulo
Figura 2.11 formado por el vector U y sus componentes vectoriales (figura 2.11c), se observa
(a) Vector U. que la magnitud de U está dada en términos de sus componentes por el teorema de
(b) Componentes vectoriales Ux y Uy. Pitágoras:
(c) Las componentes vectoriales se pueden
ƒ U ƒ = 2U2x + U2y. (2.8)
expresar en función de i y j.
Con esta ecuación se podrá determinar la magnitud de un vector cuando se conoz-
can sus componentes.

Manipulación de vectores en términos de sus componentes

La suma de dos vectores U y V en términos de sus componentes es

www.FreeLibros.orgU + V = 1Uxi + Uyj2 + 1Vxi + Vyj2 (2.9)
= 1Ux + Vx2i + 1Uy + Vy2j.

2.2 Componentes en dos dimensiones 31

yy

UϩV V UϩV Vy j UϩV

U Uy j Vx i x (Ux ϩ Vx)i (Uy ϩ Vy)j
(a) Ux i (c)
x
(b)

Figura 2.12
(a) Suma de U y V. (b) Componentes vectoriales de U y V. (c) La suma de las componentes
en cada dirección coordenada es igual a la componente de U ϩ V en esa dirección.

Las componentes de U ϩ V son las sumas de las componentes de los vectores U y V. y B
Observe que para obtener este resultado se usaron las ecuaciones (2.2), (2.4) y (2.5). (xB, yB)
rAB
Es instructivo derivar gráficamente la ecuación (2.9). La suma de U y V se A x
muestra en la figura 2.12a. En la figura 2.12b se introduce un sistema coordenado
y se muestran las componentes de U y V. En la figura 2.12c se suman las compo- (xA, yA)
nentes x e y y se obtuvo la ecuación (2.9). (a)

El producto de un número a y un vector U en términos de las componentes de y
U es
yB B
aU ϭ a(Uxi ϩ Uy j) ϭ aUxi ϩ aUy j.

La componente de aU en cada dirección coordenada es igual al producto de a
y la componente de U en esa dirección. Se usaron las ecuaciones (2.3) y (2.5) para
obtener este resultado.

Vectores de posición en términos de sus componentes rAB (yB Ϫ yA)j

El vector de posición de un punto relativo a otro punto se puede expresar en tér- yA A
(xB Ϫ xA)i
minos de las coordenadas cartesianas de ambos puntos. Considere el punto A con
xA (b) xB x
coordenadas (xA, yA) y el punto B con coordenadas (xB, yB). Sea rAB el vector que
especifica la posición de B en relación con A (figura 2.13a). Esto es, mediante rAB Figura 2.13
se denota el vector que va de un punto A a otro punto B. Se observa en la figura (a) Puntos A y B, y el vector posición rAB de A

2.13b que rAB está dado en términos de las coordenadas de los puntos A y B por a B.

rAB ϭ (xB – xA)i ϩ (yB – yA)j. (2.10) (b) Las componentes de rAB se pueden determi-
nar a partir de las coordenadas de los pun-
Observe que la componente x del vector de posición que va del punto A al punto
B se obtiene restando la coordenada x de A de la coordenada x de B, y la compo- tos A y B.
nente y se obtiene restando la coordenada y de A de la coordenada y de B.

RESULTADOS

Un vector U que es paralelo al plano x–y puede expresarse como

U ϭ Uxi ϩ Uy j, (2.7)

y donde i es un vector unitario que apunta en la dirección positiva
U
del eje x y j es un vector unitario que apunta en la dirección

positiva del eje y.

La magnitud de U está dada por

x
www.FreeLibros.org͉U͉ϭ U2xϩU2y.
(2.8)

32 Capítulo 2 Vectores

Manipulación de vectores en términos de sus componentes

La suma (o resta) vectorial y la U ϩ V ϭ (Uxi ϩ Uy j) ϩ (Vxi ϩ Vyj) (2.9)
multiplicación de un vector por ϭ (Ux ϩ Vx)i ϩ (Uy ϩ Vy)j,
un número puede realizarse en
términos de sus componentes. aU ϭ a(Uxi ϩ Uy j)
ϭ aUxi ϩ aUy j.

Vectores de posición en términos de sus componentes

y

rAB B El vector de posición de A a B está dado por
(xB, yB) rAB ϭ (xB Ϫ xA)i ϩ (yB Ϫ yA)j. (2.10)
A
(xA, yA)

x

Ejemplo activo 2.3 Determinación de componentes (᭤ Relacionado con el problema 2.31)

A El cable entre los puntos A y B ejerce una fuerza de 900 N sobre la parte superior
de la torre de televisión que se muestra en la figura, la fuerza está representada por
el vector F. Exprese F en términos de sus componentes usando el sistema coorde-
nado que se indica.

80 m Estrategia
40 m B Se determinarán las componentes del vector F de dos maneras distintas. En el pri-
mer método se encontrará el ángulo entre F y el eje y, y después se usará trigono-
metría para determinar las componentes. En el segundo método se usará la pendiente
dada para el cable AB y se aplicarán triángulos semejantes para determinar las com-
ponentes de F.

y Solución

Primer método

A

Fuerza y
A
ejecida

sobre la

torre por

80 m el cable Determine el ángulo entre F
AB

F y el eje y: a

a ϭ arctan ΂ ΃40 ϭ 26.6Њ. F
80 80 m

Bx

40 m

Bx

www.FreeLibro40sm .org

2.2 Componentes en dos dimensiones 33

Use trigonometría para determinar F en y
términos de sus componentes: A

F ϭ ͉F͉sen ai Ϫ ͉F͉cos aj a
ϭ 900 sen 26.6Њ i Ϫ 900 cos 26.6Њ j (N) F
ϭ 402i Ϫ 805j (N).
Bx
Segundo método
y
A

Usando las dimensiones dadas calcule 80 m
la distancia desde A hasta B:

(40 m)2 ϩ (80 m)2 ϭ 89.4 m.

B x

40 m
y

Use triángulos semejantes para
determinar las componentes de F:

͉Fx͉ ϭ 40 m y ͉Fy͉ ϭ 80 m , ͉Fy͉ ͉F͉
͉F͉ 89.4 m ͉F͉ 89.4 m 80 m 89.4 m

entonces

F ϭ 40 (900 N)i Ϫ 80 (900 N)j ͉Fx͉
89.4 89.4 40 m

ϭ 402i Ϫ 805j (N). x

Problema de práctica El cable que va del punto A al punto B ejerce una fuerza de
900 N sobre la parte superior de una torre de televisión; la fuerza se representa median-
te el vector F. Suponga que se puede cambiar la colocación del punto B de manera que
la magnitud de la componente y de F sea tres veces la magnitud de la componente x de
F. Exprese F en términos de sus componentes. ¿Qué tan lejos del origen del sistema co-
ordenado debería colocarse B a lo largo del eje x?

www.FreeLibros.orgRespuesta:F = 285i - 854j(N).ColoqueelpuntoBa26.7mdelorigen.

34 Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.4 Determinación de componentes en términos del ángulo (᭤ Problema relacionado 2.33)

Muchos dispositivos mecánicos utilizan cilindros hidráulicos para ejercer fuerzas.
La fuerza se ejerce mediante un líquido a presión (fluido hidráulico) que empuja un
émbolo contra un pistón dentro del cilindro. El cilindro hidráulico AB de la figu-
ra ejerce una fuerza F de 4000 lb sobre la caja del camión de volteo en B. Exprese
F en términos de componentes usando el sistema coordenado que se muestra.

y

B B A
30Њ A F x

30Њ

y Estrategia
Cuando la dirección de un vector se especifica por medio de un ángulo, como en este
Fx ejemplo, es posible determinar los valores de las componentes con ayuda del trián-
gulo rectángulo formado por el vector y sus componentes.
Fy 30Њ F
x Solución
La figura a muestra el vector F y sus componentes vectoriales. En el triángulo rec-
(a) La fuerza F y sus componentes tángulo resultante se observa que la magnitud de Fx es
forman un triángulo rectángulo.
ƒFxƒ = ƒFƒ cos 30° = 14000 lb2cos 30° = 3460 lb.

Fx apunta en la dirección x negativa, por lo que

Fx = - 3460i 1lb2.

La magnitud de Fy es

͉Fy͉ Ϫ ͉F͉ sen 30° ϭ (4000 lb) sen 30° ϭ 2000 lb.

La componente vectorial Fy apunta en la dirección y positiva, por lo que

Fy = 2000j 1lb2.

El vector F, en términos de sus componentes, es

F = Fx + Fy = - 3460i + 2000j 1lb2.

La componente x de F es –3460 lb y la componente y es 2000 lb.

Razonamiento crítico
Cuando se han determinado las componentes de un vector dado se debe verificar
que los resultados sean razonables. En este ejemplo se puede observar, a partir de
la dirección del vector, que la componente x debería ser negativa y la componen-
te y positiva. También se puede verificar que las componentes tengan la magnitud
correcta. En este ejemplo,

ƒ F ƒ = 21 - 3460 lb22 + 12000 lb22 = 4000 lb.

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2.2 Componentes en dos dimensiones 35

Ejemplo 2.5 Determinación de una magnitud vectorial desconocida (᭤ Relacionado con el

Los cables A y B de la figura ejercen fuerzas FA y FB sobre el gancho. La magnitud problema 2.47)
de FA es de 100 lb. La tensión en el cable B se ha ajustado para que la fuerza total
FA ϩ FB sea perpendicular a la pared a la que está unido el gancho.

a) ¿Cuál es la magnitud de FB? A
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total ejercida por los dos cables sobre el gancho? 40Њ

Estrategia
La suma vectorial de las dos fuerzas es perpendicular a la pared, por lo que la suma
de las componentes paralelas a la pared es igual a cero. A partir de esta condición
puede obtenerse una ecuación para la magnitud de FB.

Solución 20Њ
a) En términos del sistema coordenado de la figura a, las componentes de FA y B
FB son

FA = ƒ FA ƒ sein 40°i + ƒ FA ƒ cos 40°j,

FB = ƒ FB ƒ sein 20°i - ƒ FB ƒ cos 20°j. 40Њ FA

La fuerza total es

FA + FB = 1 ƒ FA ƒ sein 40° + ƒ FB ƒ sein 20°2i
+ 1ƒFAƒ cos 40° - ƒFBƒ cos 20°2j.

Ahora, la componente de la fuerza total paralela a la pared (la componente y), se igua- 20Њ
la a cero FB

ƒFAƒ cos 40° - ƒFBƒ cos 20° = 0,

así se obtiene una ecuación para la magnitud de FB:

ƒ FB ƒ = ƒFAƒ cos 40° = 1100 lb2cos 40° = 81.5 lb.
cos 20°
cos 20°

b) Como ahora se conoce la magnitud de FB, es posible determinar la fuerza total
que actúa sobre el gancho:

FA + FB = 1 ƒ FA ƒ sein 40° + ƒ FB ƒ ssein 20°2i y

= [1100 lb2seinn 40° + 181.5 lb2seinn 20°]i = 92.2i 1lb2.

La magnitud de la fuerza total es de 92.2 lb. FA
40Њ
Pensamiento crítico
La solución del inciso a) se puede obtener de una manera menos formal. En la fi- x
gura a se observa que, si la componente de la fuerza total paralela a la pared es cero,
la magnitud de la componente vertical de FA debe ser igual a la magnitud de la com-
ponente vertical de FB:

ƒFAƒ cos 40° = ƒFBƒ cos 20°. 20Њ FB

Por lo tanto, la magnitud de FB es a) Resolución de FA y FB en
componentes paralelas y per-
ƒ FB ƒ = ƒFAƒ cos 40° = 1100 lb2 cos 40° = 81.5 lb.
cos 20° pendiculares a la pared.
cos 20°
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36 Capítulo 2 Vectores

Problemas

2.17 Una fuerza F ϭ 40i – 20j (N). ¿Cuál es la magnitud ͉F͉? 2.24 Un hombre ejerce una fuerza F de 60 lb para meter un cajón
Estrategia: La magnitud de un vector en términos de sus en un camión. a) Exprese F en términos de sus componentes usan-
do el sistema coordenado que se muestra en la figura. b) El peso
componentes está dada por la ecuación (2.8). del cajón es de 100 lb. Determine la magnitud de la suma de las
fuerzas ejercidas por el hombre y el peso del cajón.
2.18 En la estimación de las componentes de una fuerza
F ϭ Fxi ϩ Fy j que actúa sobre el empotramiento de un puente, y
un ingeniero ha determinado que Fx ϭ 130 MN, ͉F͉ ϭ 165 MN,
y Fy es negativa. ¿Cuál es el valor de Fy?

2.19 Un soporte está sometido a una fuerza F ϭ Fxi ϩ 80j (N). F 20Њ
Si el soporte resiste con seguridad una fuerza de 100 N, ¿cuál es el

intervalo permisible para la componente Fx?

2.20 Si FA ϭ 600i Ϫ 800j (kip) y FB ϭ 200i – 200j (kip), ¿cuál es x
la magnitud de la fuerza F ϭ FA – 2FB? Problema 2.24

2.21 Las fuerzas que actúan sobre el planeador de la figura son 2.25 El motor de un misil ejerce una fuerza F de 260 kN. a) Ex-
su peso W ϭ –500j (lb), el arrastre D ϭ –200i ϩ 100j (lb), y el prese F en términos de sus componentes usando el sistema coor-
empuje L. La suma de las fuerzas W ϩ L ϩ D ϭ 0. Determine denado que se muestra en la figura. b) La masa del misil es de
las componentes y la magnitud de L. 8800 kg. Determine la magnitud de la suma de las fuerzas ejerci-
das por el motor y el peso del misil.
y

L

y
DF

3
W4

x

Problema 2.21 x

2.22 Dos vectores perpendiculares U y V se encuentran en el Problema 2.25
plano x-y. El vector U ϭ 6i Ϫ 8j y ͉V͉ ϭ 20. ¿Cuáles son las com-
ponentes escalares de V? 2.26 Para la armadura que se muestra en la figura, exprese el
vector de posición rAD, del punto A al punto D, en términos de sus
2.23 Un pez ejerce una fuerza de 10 lb sobre la línea representa- componentes. Use su resultado para determinar la distancia que
da por el vector F. Exprese F en términos de sus componentes hay desde el punto A hasta el punto D.
usando el sistema coordenado que se muestra en la figura.
yB
y

0.6 m A

7

11 D 0.7 m
F 0.4 m

Cx

x 0.6 m 1.2 m

www.FreeLibros.orgProblema2.23
Problema 2.26

Problemas 37

2.27 Los puntos A, B, ..., son las juntas del elemento estructural ᭤ 2.31 En el ejemplo activo 2.3, el cable AB ejerce una fuerza
hexagonal. Sea rAB el vector de posición de la junta A a la junta B, de 900 N sobre la parte superior de la torre. Suponga que la unión
rAC el vector de posición de la junta A a la junta C, etcétera. Deter- en el punto B se mueve alejándolo más de la torre en dirección
mine las componentes de los vectores rAC y rAF. horizontal, y suponga que la magnitud de la fuerza F que el cable
2.28 Determine las componentes del vector rAB – rBC. ejerce sobre la parte superior de la torre es proporcional a la longi-
tud del cable. a) ¿Cuál es la distancia desde la torre hasta el punto
y B si la magnitud de la fuerza es 1000 N? b) Exprese la fuerza F de
1000 N en términos de sus componentes usando el sistema coor-
E D 2m denado que se muestra.

FC 2.32 Determine el vector de posición rAB en términos de sus
componentes si a) u ϭ 30° y b) u ϭ 225°.

y

60 mm 150 mm

x rAB B rBC
AB
␪ C x
Problemas 2.27/2.28 A

2.29 Las coordenadas del punto A son (1.8, 3.0) pie. La coorde-
nada y del punto B es 0.6 pie. El vector rAB tiene la misma direc-
ción que el vector unitario eAB ϭ 0.616i – 0.788j. ¿Cuáles son las
componentes de rAB?

y

A Problema 2.32

rAB ᭤ 2.33 En el ejemplo 2.4, las coordenadas del punto fijo A son
(17, 1) pie. El conductor baja la caja del camión a una nueva posi-
B ción en la que las coordenadas del punto B son (9, 3) pies. La
x magnitud de la fuerza F ejercida sobre la caja por el cilindro hi-
dráulico cuando la caja está en la nueva posición es de 4800 lb.
Problema 2.29 Haga un bosquejo de la nueva situación. Exprese F en términos de
2.30 Exprese el vector de posición del punto A al punto B de la má- sus componentes.
quina que se muestra en la figura en términos de sus componentes.
b) Exprese el vector de posición del punto B al punto C en términos 2.34 Un topógrafo mide la posición del punto A y determina que
de sus componentes. rOA ϭ 400i ϩ 800j (m). El topógrafo desea determinar la posición
c) Use los resultados de los incisos a) y b) para determinar la distan- de un punto B de manera que ͉rAB͉ ϭ 400 m y ͉rOA ϩ rAB͉ ϭ 1200 m.
cia del punto A al punto C. ¿Cuáles son las coordenadas cartesianas del punto B?

y

BN
A rAB

y

98 pulg B rOA
45 Camino
pulg
propuesto
C
A

55 pulg 50 pulg
35 pulg

xx
50 O
pulg

www.FreeLibros.orgProblema2.30
Problema 2.34

38 Capítulo 2 Vectores

2.35 La magnitud del vector de posición rBA del punto B al 2.38 La longitud de la barra AB es 0.6 m. Determine las compo-
punto A es de 6 m y la magnitud del vector de posición rCA nentes de un vector unitario eAB que apunte desde el punto A hacia
del punto C al punto A es de 4 m. ¿Cuáles son las componentes el punto B.
de rBA?
y
2.36 En el problema 2.35 determine las componentes de
un vector unitario eCA que apunta desde el punto C hacia el B
punto A.
A 0.4 m
Estrategia: Determine las componentes de rCA y después divi- 0.3 m
da el vector rCA entre su magnitud.

y

3m x x
BC

Problema 2.38

A 2.39 Determine las componentes de un vector unitario que
Problemas 2.35/2.36 sea paralelo al actuador hidráulico BC y que apunte desde B
hacia C.
2.37 Se muestran las coordenadas x e y de los puntos A, B y C
del velero. 2.40 El actuador hidráulico BC ejerce una fuerza F de 1.2 kN
a) Determine las componentes de un vector unitario que sea pa- sobre la junta en C, la fuerza es paralela al actuador y apunta
ralelo al cable AB y que apunte de A a B. desde B hacia C. Determine las componentes de F.
b) Determine las componentes de un vector unitario que sea pa-
ralelo al cable BC y que apunte de C a B. y
1m
y D
B (4, 13) m
C

0.6 m 1m
x
A B

0.15 m 0.6 m Pala

Problemas 2.39/2.40

A C x
(0, 1.2) m (9, 1) m

Problema 2.37

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Problemas 39

2.41 Un topógrafo determina que la longitud de la línea OA es de 1500 m y que la longitud de la línea OB es de 2000 m.
a) Determine las componentes del vector de posición desde el punto A hasta el punto B.
b) Determine las componentes del vector unitario que apunta desde A hacia B.

yN

A Puente propuesto
B

60Њ Río
30Њ
x
O

Problema 2.41

2.42 Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los cables son ͉T1͉ ϭ 2800 lb, ͉T2͉ ϭ 3200 lb, ͉T3͉ ϭ 4000 lb y ͉T4͉ ϭ 5000 lb. ¿Cuál
es la magnitud de la fuerza total ejercida por los cuatro cables?

2.43 Las tensiones en los cuatro cables son iguales: ͉T1͉ ϭ ͉T2͉ ϭ ͉T3͉ ϭ ͉T4͉ ϭ T. Determine el valor de T tal que los cuatro cables
ejerzan una fuerza total de 12,500 lb de magnitud sobre el soporte.

y
T4 T3

51Њ 40Њ

T2
29Њ

T1
9Њ

x

Problemas 2.42/2.43

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40 Capítulo 2 Vectores

2.44 La cuerda ABC ejerce las fuerzas FBA y FBC sobre la polea 2.46 Cuatro grupos se enfrentan en una competencia de jalar la
en B que se muestra en la figura. Sus magnitudes son iguales: cuerda. Las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los grupos B,
C y D son ͉FB͉ ϭ 800 lb, ͉FC͉ ϭ 1000 lb, y ͉FD͉ ϭ 900 lb. Si la
͉FBA͉ ϭ ͉FBC͉. La magnitud de la fuerza total ejercida sobre la suma vectorial de las cuatro fuerzas es igual a cero, ¿cuál es
polea en B por la cuerda es ͉FBA ϩ FBC͉ ϭ 920 N. Determine la magnitud de FA y el ángulo a?
͉FBA͉ expresando las fuerzas FBA y FBC en términos de sus compo-
nentes.

C FBC y FC
B 20Њ FB
30Њ
B 70Њ 20Њ

a

FD

FBA FA

Ax
Problema 2.46

Problema 2.44 ᭤ 2.47 En el ejemplo 2.5, suponga que el punto de unión del
cable A se mueve de tal forma que el ángulo entre el cable y la
2.45 La magnitud de la fuerza horizontal F1 es de 5 kN y pared se incrementa de 40° a 55°. Haga un bosquejo que muestre
F1 ϩ F2 ϩ F3 ϭ 0. ¿Cuáles son las magnitudes de F2 y F3? las fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el gancho. Si se
desea que la fuerza total FA ϩ FB tenga una magnitud de 200 lb y
y F3 que su dirección sea perpendicular a la pared, ¿cuáles son las
F1 30Њ magnitudes necesarias de FA y FB?

45Њ x 2.48 La ménsula de la figura debe soportar las dos fuerzas que
F2 se muestran, donde ͉F1͉ ϭ ͉F2͉ ϭ 2 kN. Un ingeniero determina
que la ménsula soportará de manera segura una fuerza total con
Problema 2.45 una magnitud de 3.5 kN en cualquier dirección. Suponga que
0 Յ a Ն 90°. ¿Cuál es el intervalo seguro del ángulo ␣?

F2

a
F1

Problema 2.48

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2.4 Productos punto 61

El producto punto de dos vectores U y V expresado en términos de sus com-
ponentes es

# #U V = 1Ux i + Uy j + Uz k2 1Vx i + Vy j + Vz k2
= UxVx1i # i2 + UxVy1i # j2 + UxVz1i # k2
+ UyVx1j # i2 + UyVy1j # j2 + UyVz1j # k2
+ UzVx1k # i2 + UzVy1k # j2 + UzVz1k # k2.

Para obtener este resultado se usan las ecuaciones (2.20) y (2.21). Sustituyendo las L
ecuaciones (2.22) en esta expresión, se tiene una ecuación para el producto punto
en términos de las componentes escalares de los dos vectores: U
(a)
#U V = UxVx + UyVy + UzVz. (2.23)
L
Para obtener una ecuación para el ángulo u en términos de las componentes de los
vectores, se iguala la expresión para el producto punto dada por la ecuación (2.23) Up
con la definición del producto punto, ecuación (2.18), y se despeja cos u: Un

cos u = #U V UxVx + UyVy + UzVz . (2.24) u
U
=
(b)
ƒUƒ ƒVƒ ƒUƒ ƒVƒ Figura 2.22
(a) Vector U y línea L.
Componentes vectoriales paralela y normal a una línea (b) Descomposición de U en sus componentes

En algunas aplicaciones de ingeniería es necesario expresar un vector en términos paralela y normal a L.
de las componentes vectoriales paralela y normal (perpendicular) a una línea dada.
La componente de un vector paralela a una línea se denomina proyección del vec- L
tor sobre la línea. Por ejemplo, cuando el vector representa una fuerza, la proyec-
ción de ésta sobre una línea es la componente de la fuerza en la dirección de la
línea.

Las componentes de un vector paralela y normal a una línea pueden determi-
narse usando el producto punto. Considere un vector U y una línea recta L (figura
2.22a). Es posible expresar U como la suma de las componentes vectoriales Up y
Un paralela y normal a L (figura 2.22b).

Componente paralela En términos del ángulo u entre U y la componente
vectorial Up, la magnitud de Up es

ƒUpƒ = ƒUƒ cos u. (2.25)

Sea e un vector unitario paralelo a L (figura 2.23). El producto punto de e y U es

e # U = ƒeƒ ƒUƒ cos u = ƒUƒ cos u.

Comparando este resultado con la ecuación (2.25) se observa que la magnitud de e
Up es u

ƒUpƒ = e # U. U

Por lo tanto la componente paralela, o proyección de U en L es Figura 2.23
El vector unitario e es paralelo a L.
Up = 1e # U2e. (2.26)

(Esta ecuación se cumple aun si e no apunta en la dirección de Up. En este caso, el
ángulo u Ͼ 90° y e и U es negativo.) Cuando se conocen las componentes de un
vector y las componentes de un vector unitario e paralelo a una línea L, se puede

usar la ecuación (2.26) para determinar la componente del vector paralela a L.

Componente normal Una vez que se ha determinado la componente pa-

ralela, se puede obtener la componente vectorial normal mediante la relación

U ϭ Up ϩ Un:

www.FreeLibros.orgUn = U - Up. (2.27)

62 Capítulo 2 Vectores

RESULTADOS

Producto punto V
El producto punto de dos vectores U y V está definido por u

UؒV ϭ ͉U͉͉V͉cos u, (2.18) U

donde u es el ángulo entre los vectores cuando éstos se
colocan cola con cola. Observe que UؒU ϭ ͉U͉2.
Si ͉U͉ 0 y ͉V͉ 0, UؒV ϭ 0 si y sólo si

U y V son perpendiculares.

Producto punto en términos de componentes
El producto punto de U y V está dado en términos de las
componentes de los vectores por

UؒV ϭ UxVx ϩ UyVy ϩ UzVz. (2.23)

Componentes vectoriales paralela y normal a una línea L

Un vector U puede descomponerse en una componente vectorial Up Un
u
Up que sea paralela a una línea dada L y una componente U
vectorial Un que sea normal a L. Si e es un vector unitario que
es paralelo a L, la componente paralela de U está dada por

Up ϭ (eؒU) e. (2.26)

La componente normal puede obtenerse de la relación

Un ϭ U Ϫ Up. (2.27)

Ejemplo activo 2.11 Productos punto (᭤ Relacionado con el problema 2.99)

Las componentes de dos vectores U y V son U ϭ 6i – 5j – 3k y V ϭ 4i ϩ 2j ϩ
2k. a) ¿Cuál es el valor de UиVи b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando se colo-
can cola con cola?

Estrategia
Como se conocen las componentes de U y V, puede usarse la ecuación (2.23) para
determinar el valor de UиV. Después se puede emplear la definición del producto

www.FreeLibros.orgpunto, ecuación (2.18), para calcular el ángulo entre los vectores.

2.4 Productos punto 63

Solución Use las componentes de los vectores
UؒV ϭ UxVx ϩ UyVy ϩ UzVz para determinar el valor de UؒV.

ϭ (6)(4) ϩ (Ϫ5)(2) ϩ (Ϫ3)(2)
ϭ 8.

UؒV ϭ ͉U͉͉V͉cos u, Use la definición de
UؒV para determinar u.
entonces
cos uϭ UؒV (4)2 ϩ (2)2 ϩ (2)2

͉U͉͉V͉
8

ϭ
(6)2 ϩ (Ϫ5)2 ϩ (Ϫ3)2

ϭ 0.195.
Por lo tanto u ϭ 78.7Њ.

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U ϭ 6i – 5j – 3k
y V ϭ Vxi ϩ 2j ϩ 2k. Determine el valor de la componente Vx tal que los vectores U y
V sean perpendiculares.

Respuesta: Vx = 2.67.

Ejemplo 2.12 Uso del producto punto para determinar un ángulo (᭤ Relacionado con el problema 2.100)

¿Cuál es el ángulo u entre las líneas AB y AC de la figura? y
C
Estrategia
Se conocen las coordenadas de los puntos A, B y C, por lo que es posible determi- (8, 8, 4) m

nar las componentes del vector rAB de A a B y del vector rAC de A a C (figura a). Des- u B
pués puede usarse la ecuación (2.24) para determinar u. A (6, 1, Ϫ2) m
(4, 3, 2) m
x
Solución
Los vectores rAB y rAC, con las coordenadas en metros son z

rAB = 16 - 42i + 11 - 32j + 1 - 2 - 22k = 2i - 2j - 4k 1m2, y
rAC = 18 - 42i + 18 - 32j + 14 - 22k = 4i + 5j + 2k 1m2.
C

Sus magnitudes son rAC (8, 8, 4) m

ƒ rAB ƒ = 212 m22 + 1 - 2 m22 + 1 - 4 m22 = 4.90 m, u B
ƒ rAC ƒ = 214 m22 + 15 m22 + 12 m22 = 6.71 m. (6, 1, Ϫ2) m
A rAB
(4, 3, 2) m
x

El producto punto de rAB y rAC es z

#rAB rAC = 12 m214 m2 + 1 - 2 m215 m2 + 1 - 4 m212 m2 = - 10 m2. (a) Vectores de posición rAB y rAC.

Por lo tanto, cos u
1
#cos u - 10 m2
= rAB rAC = 14.90 m216.71 m2 = - 0.304.

ƒ rAB ƒ ƒ rAC ƒ

El ángulo u ϭ arccos (–0.304) ϭ 107.7°. 0

Razonamiento crítico Ϫ1
¿Cuál es el significado de que el producto punto de dos vectores sea negativo? De

la ecuación (2.18) y la gráfica del coseno (figura b), puede observarse que el pro- 0 90Њ 180Њ

ducto punto es negativo, como en este ejemplo, sólo si el ángulo incluido entre los u

dos vectores es mayor de 90°. (b) Gráfica de cos u.
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64 Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.13 Componentes vectoriales paralela y normal a una línea (᭤ Relacionado con el

problema 2.111)
y Suponga que usted jala el cable OA que se muestra en la figura ejerciendo una fuer-

za F de 50 N en O. ¿Cuáles son las componentes vectoriales de F paralela y normal

A (6, 6, –3) m al cable OB?

F Estrategia
Al expresar F como la suma de sus componentes vectoriales paralela y normal a OB

x (figura a), es posible determinar éstas usando las ecuaciones (2.26) y (2.27). Sin
O (10, Ϫ2, 3) m embargo, para aplicar tales ecuaciones primero debe expresarse F en términos de sus

z componentes escalares y luego determinar las componentes de un vector unitario pa-
B ralelo a OB. Es posible obtener las componentes de F determinando las compo-

nentes del vector unitario que va de O a A y multiplicándolas por ͉F͉.

Solución
y Los vectores de posición de O a A y de O a B son (figura b)

A rOA = 6i + 6j - 3k 1m2,

rOB = 10i - 2j + 3k 1m2.

F x Sus magnitudes son ͉rOA͉ ϭ 9 m y ͉rOB͉ ϭ 10.6 m. Dividiendo estos vectores entre
O Fn sus magnitudes se obtienen vectores unitarios que van del origen hacia A y hacia B

Fp (figura c):

z B 6i 6j - 3k 1m2
9m
rOA +

eOA = ƒ rOA ƒ = = 0.667i + 0.667j - 0.333k,

(a) Componentes de F paralela y nor- rOB 10i - 2j + 3k 1m2
mal a OB. 10.6 m
ƒ rOB ƒ
eOB = = = 0.941i - 0.188j + 0.282k.

y La fuerza F en términos de sus componentes escalares es

A F = ƒ F ƒ eOA = 150 N210.667i + 0.667j - 0.333k2
(6, 6, Ϫ3) m
= 33.3i + 33.3j - 16.7k 1N2.
rOA
Tomando el producto punto de eOB y F se obtiene
Ox
z rOB (10, Ϫ2, 3) m eOB # F = 10.9412133.3 N2 + 1-0.1882133.3 N2 + 10.28221-16.7 N2

B = 20.4 N.
(b) Vectores de posición rOA y rOB.
La componente paralela de F es
y
#Fp = 1eOB F2eOB = 120.4 N210.941i - 0.188j + 0.282k2

= 19.2i - 3.83j + 5.75k 1N2,

A y la componente normal es
eOA Fn = F - Fp = 14.2i + 37.2j - 22.4k 1N2.

O x Razonamiento crítico
B ¿Cómo se puede confirmar que los dos vectores son perpendiculares? Resulta
eOB claro, de la ecuación (2.18), que el producto punto de dos vectores diferentes de
z cero es cero si y sólo si el ángulo incluido entre ellos es 90°. Este diagnóstico
puede usarse para confirmar que las componentes de F determinadas en este ejem-
(c) Vectores unitarios eOA y eOB. plo son perpendiculares. Evaluando el producto punto de Fp y Fn en términos de
sus componentes en newtons, se obtiene

www.FreeLibros.orgFp #Fn = 119.22114.22 + 1-3.832137.22 + 15.7521-22.42 = 0.

Problemas 65

Problemas 2.106 Evaluando el producto punto U и V, demuestre la identi-
dad cos(u1 – u2) ϭ cos u1 cos u2 ϩ sen u1 sen u2.
᭤ 2.99 En el ejemplo activo 2.11, suponga que el vector V se
cambia a V ϭ 4i – 6j – 10k. Estrategia: Evalúe el producto punto usando las ecuaciones
a) ¿Cuál es el valor de UиV? (2.18) y (2.23).
b) ¿Cuál es el ángulo entre U y V cuando éstos se colocan cola
con cola? y

᭤ 2.100 En el ejemplo 2.12, suponga que las coordenadas del UV
punto B se cambian a (6, 4, 4) m. ¿Cuál es el ángulo u entre las
líneas AB y AC?

2.101 ¿Cuál es el producto punto del vector de posición u1 x
r ϭ –10i ϩ 25j (m) y la fuerza F ϭ 300i ϩ 250j ϩ 300k (N)? u2

2.102 Suponga que el producto punto de dos vectores U y V es Problema 2.106
U и V ϭ 0. Si ͉U͉ ≠ 0, ¿qué se sabe acerca del vector V?
2.107 Use el producto punto para determinar el ángulo entre el
2.103 Dos vectores perpendiculares están dados en términos de cable AB y el cable BC del velero que se muestra en la figura.
sus componentes por U ϭ Uxi 4j ϩ 6k y V ϭ 3i ϩ 2j – 3k. Use
el producto punto para determinar la componente Ux. y
B (4, 13) m

2.104 Los tres vectores
U = Uxi + 3 j + 2k,

V = - 3 i + Vy j + 3k,

W = - 2 i + 4 j + Wzk
son mutuamente perpendiculares. Use el producto punto para de-
terminar las componentes Ux, Vy y Wz.

2.105 Se tienen las magnitudes ͉U͉ ϭ 10 y ͉V͉ ϭ 20. A C x
a) Use la ecuación (2.18) para determinar U и V. (0, 1.2) m (9, 1) m
b) Use la ecuación (2.23) para determinar U и V.
Problema 2.107

2.108 Determine el ángulo u entre las líneas AB y AC
y a) usando la ley de los cosenos (vea el apéndice A);

V b) usando el producto punto.

U x y B
45Њ 30Њ (4, 3, Ϫ1) m
A
Problema 2.105 u x

z (5, Ϫ1, 3) m

www.FreeLibros.orgC
Problema 2.108

66 Capítulo 2 Vectores

2.109 El barco O mide las posiciones del barco A y del avión B 2.112 Una persona ejerce una fuerza F ϭ 60i – 40j (N) sobre la
y obtiene las coordenadas que se muestran. ¿Qué valor tiene el án- manivela de la máquina para hacer ejercicio que se muestra en la
gulo u entre las líneas de vista OA y OB? figura. Use la ecuación (2.26) para determinar la componente de F
que es paralela a la línea que va desde el origen O hasta donde la
yB persona empuña la manivela.
(4, 4, Ϫ4) km
y 150 mm

u x
O

O F

A z 200 mm
z (6, 0, 3) km 250 mm

Problema 2.109

x

2.110 En el trasbordador espacial, los astronautas usan radar Problema 2.112
para determinar las magnitudes y los cosenos directores de los
2.113 En el instante mostrado, el vector de empuje del Harrier es
vectores de posición de dos satélites A y B. El vector rA del tras- T ϭ 17,000i ϩ 68,000j – 8,000k (N) y su vector de velocidad
bordador al satélite A tiene una magnitud de 2 km y cosenos direc- es ␷ ϭ 7.3i ϩ 1.8j – 0.6k (m/s). La cantidad P ϭ ͉Tp͉͉␷͉, donde
tores cos ux ϭ 0.768, cos uy ϭ 0.384, cos uz ϭ 0.512. El vector rB Tp es la componente vectorial de T paralela a v, es la potencia
del trasbordador al satélite B tiene una magnitud de 4 km y cose- que en este instante transfiere el motor al avión. Determine el
nos directores cos ux ϭ 0.743, cos uy ϭ 0.557, cos uz ϭ –0.371.
¿Cuál es el ángulo u entre los vectores rA y rB? valor de P.

B rB y
x u v

A rA y
z
T x
Problema 2.110 Problema 2.113

᭤ 2.111 En el ejemplo 2.13, si usted cambia su posición y las
coordenadas del punto A donde aplica la fuerza de 50 N se con-
vierten en (8, 3, –3) m, ¿cuál es la componente vectorial de F pa-
ralela al cable OB?

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Problemas 67

2.114 Dos cables se extienden de A a B y de A a C. El cable AC 2.117 La cuerda AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el colla-
ejerce una fuerza F de 1000 lb en A. rín A. Determine la componente vectorial de T que es paralela a la
a) ¿Qué valor tiene el ángulo entre los cables AB y AC? barra CD.
b) Determine la componente vectorial de F paralela al cable AB.
2.118 En el problema 2.117, determine la componente vectorial
2.115 Sea rAB el vector de posición que va del punto A al punto de T que es normal a la barra CD.
B. Determine la componente vectorial de rAB paralela al cable AC.
y

y 0.15 m 0.4 m
A (0, 7, 0) pies B C

F T
0.2 m 0.3 m

A

x 0.5 m

O x

B D 0.25 m

(0, 0, 10) pies C 0.2 m
z

z (14, 0, 14) pies Problemas 2.117/2.118

Problemas 2.114/2.115

2.116 Se tiene la fuerza F ϭ 10i ϩ 12j – 6k (N). Determine las 2.119 El disco A está en el punto medio de la superficie inclina-
componentes vectoriales de F paralela y normal a la línea OA. da que se muestra en la figura. La cuerda que va de A a B ejerce
una fuerza F de 0.2 lb sobre el disco. Si F se expresa en términos
y de las componentes vectoriales paralela y normal a la superficie
inclinada, ¿cuál es la componente normal a la superficie?

2.120 En el problema 2.119, ¿cuál es la componente vectorial de
F paralela a la superficie?

A F y
(0, 6, 4) m x B (0, 6, 0) pies

O

z F
Problema 2.116
2 pies
x

A 8 pies

10 pies
z

Problemas 2.119/2.120

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68 Capítulo 2 Vectores

2.121 Un astronauta se aproxima a una estación espacial en una 2.123 El punto P se encuentra a 30°W de longitud y a 45°N de
unidad de maniobras. En el instante presente, la estación informa latitud sobre el Océano Atlántico, entre Nueva Escocia y Francia.
que la posición relativa del astronauta al origen del sistema coor- El punto Q se encuentra a 60°E de longitud y a 20°N de latitud en
denado de la estación es rG ϭ 50i ϩ 80j ϩ 180k (m) y su veloci- el mar de Arabia. Use el producto punto para determinar la distan-
dad es v ϭ –2.2j – 36k (m/s). La posición de la entrada a un cia más corta sobre la superficie de la Tierra entre P y Q en térmi-
compartimiento es rA ϭ –12i ϩ 20k (m). Determine el ángulo nos del radio terrestre RE.
entre el vector de velocidad del astronauta y la línea que va de su
posición a la ubicación de la entrada del compartimiento. Estrategia: Use el producto punto para determinar el ángulo
entre las líneas OP y OQ; después use la definición de un ángulo en
2.122 En el problema 2.121, determine la componente vectorial radianes para determinar la distancia sobre la superficie de la tierra
de la velocidad del astronauta paralela a la línea desde su posición desde P hasta Q.
hasta la ubicación del compartimiento.
y

N

P
Q

z 45Њ O 20Њ
Ecuador 30Њ 60Њ

G

Problemas 2.121/2.122 x
Problema 2.123

2.5 Productos cruz

ANTECEDENTES

Igual que el producto punto, el producto cruz de dos vectores tiene muchas aplica-
ciones, entre otras la determinación de la velocidad de rotación de una partícula de
fluido y el cálculo de la fuerza ejercida sobre una partícula cargada por un campo
magnético. Debido a su utilidad en el cálculo de momentos de fuerzas, el producto
cruz es una herramienta indispensable en la mecánica. En esta sección se mostrará
cómo evaluar los productos cruz y se darán ejemplos de aplicaciones sencillas.

Definición

Considere dos vectores U y V (figura 2.24a). El producto cruz de U y V, denota-
do por U ϫ V, se define como

U ϫ V ϭ ͉U͉͉V͉ sen u e. (2.28)

El ángulo u es el ángulo entre U y V cuando los vectores se colocan cola con cola
(figura 2.24b). El vector e es un vector unitario definido como perpendicular a U
y a V. Como esto implica dos posibles sentidos para e, los vectores U, V y e se
definen como un sistema derecho. En la figura 2.24c se muestra la regla de la
mano derecha para determinar la dirección de e. El pulgar de la mano derecha
apunta hacia e cuando los cuatro dedos restantes, que apuntan hacia el vector U (el
primer vector en el producto cruz), se doblan hacia el vector V (el segundo vector
en el producto cruz).

www.FreeLibros.orgDebido a que el resultado del producto cruz es un vector, se le suele llamar
también producto vectorial. Las unidades del producto cruz son el producto de las

2.5 Productos cruz 69

unidades de los dos vectores. Note que el producto cruz de dos vectores diferentes VU
de cero es igual a cero si y sólo si los dos vectores son paralelos.
(a)
Una propiedad interesante del producto cruz consiste en que no es conmuta-
tivo. La ecuación (2.28) implica que la magnitud del vector U ϫ V es igual a la V
magnitud del vector V ϫ U, pero la regla de la mano derecha indica que estos vec- U
tores son opuestos en dirección (figura 2.25). Esto es,
u
U * V = - V * U. El producto cruz no es conmutativo. (2.29)
(b)
El producto cruz también satisface las relaciones
V
a 1U * V2 = 1aU2 * V = U * 1aV2 El producto cruz es U
asociativo con respecto (2.30)
e
a la multiplicación
escalar. (c)
Figura 2.24
y (a) Vectores U y V.
(b) Ángulo u entre los vectores cuando se
U * 1V + W2 = 1U * V2 + 1U * W2 El producto cruz es
distributivo con colocan cola con cola.
respecto a la suma (2.31) (c) Determinación de la dirección de e me-
vectorial.
diante la regla de la mano derecha.
para todo escalar a y vectores U, V y W cualesquiera.

Productos cruz en términos de sus componentes

Para obtener una ecuación para el producto cruz de dos vectores en términos de
sus componentes, se deben determinar los productos cruz formados con los vecto-
res unitarios i, j y k. Como el ángulo entre dos vectores idénticos colocados cola
con cola es igual a cero, se deduce que

i ϫ i ϭ ͉i͉͉i͉ sen (0) e ϭ 0.

El producto cruz i ϫ j es

i ϫ j ϭ ͉i͉͉j͉ sen 90° e ϭ e,

donde e es un vector unitario perpendicular a i y j. e ϭ k o bien e ϭ –k. Aplicando
la regla de la mano derecha, e ϭ k (figura 2.26). Por lo tanto,

i * j = k. UϫV

V

Continuando de la misma manera se obtiene U

i * i = 0, i * j = k, i * k = - j, (2.32)
j * i = - k, j * j = 0, j * k = i,
k * i = j, k * j = - i, k * k = 0.

Para recordar estos resultados con facilidad, se disponen los vectores en círculo V

como se muestra en la figura 2.27a. El producto cruz de vectores adyacentes es

igual al tercer vector con un signo positivo si el orden de los vectores en el pro- U

ducto cruz es el orden indicado por las flechas, y con un signo negativo en caso

contrario. Por ejemplo, en la figura 2.27b se ve que i ϫ j ϭ k, pero i ϫ k ϭ Ϫj.

El producto cruz de dos vectores U y V expresado en función de sus compo- VϫU
nentes es

U * V = 1Ux i + Uy j + Uzk2 * 1Vx i + Vy j + Vz k2 Figura 2.25
Direcciones de U ϫ V y V ϫ U.

= UxVx1i * i2 + UxVy1i * j2 + UxVz1i * k2

+ UyVx1j * i2 + UyVy1j * j2 + UyVz1j * k2

www.FreeLibros.org+ UzVx1k * i2 + UzVy1k * j2 + UzVz1k * k2.

70 Capítulo 2 Vectores

y Al sustituir la ecuación (2.32) en esta expresión se obtiene la ecuación
j
U * V = 1UyVz - UzVy2i - 1UxVz - UzVx2j (2.33)
i + 1UxVy - UyVx2k.

Este resultado se puede escribir en forma compacta como el determinante

z i jk (2.34)
k U * V = 3 Ux Uy Uz 3 .

Vx Vy Vz

x Esta ecuación se basa en las ecuaciones (2.32) que se obtuvo usando un sistema
coordenado derecho. Da el resultado correcto para el producto cruz sólo si se usa
un sistema coordenado derecho para determinar las componentes de U y V.

Figura 2.26 Evaluación de un determinante de 3 ؋ 3
La regla de la mano derecha indica que
i ϫ j ϭ k. Un determinante de 3 ϫ 3 se puede evaluar repitiendo sus dos primeras columnas
y evaluando los productos de los términos en las seis diagonales:

i i jk i j
3 Ux Uy Uz 3 Ux Uy

Vx Vy Vz Vx Vy

1-2 1-2 1-2 1+2 1+2 1+2

j k Sumando los términos obtenidos con las diagonales que van de arriba hacia abajo
iϫjϭk a la derecha (flechas azules), y restando los términos obtenidos con las diagonales
(a) que van de arriba hacia abajo a la izquierda (flechas negras), se obtiene el valor del
i determinante:

i ϫ k ϭ Ϫj i jk Uy Vz i + Uz Vx j + UxVy k
- UyVx k - UzVy i - UxVz j.
3 Ux Uy Uz 3 =
Vx Vy Vz

Un determinante de 3 ϫ 3, también puede evaluarse expresándolo como

jk i jk = i ` Uy Uz ` - j ` Ux Uz ` + k ` Ux Uy ` .
Vy Vz Vx Vz Vx Vy
(b) 3 Ux Uy Uz 3
Vx Vy Vz
Figura 2.27
(a) Disponga los vectores unitarios en un círcu- Los términos de la derecha se obtienen multiplicando cada elemento de la prime-
ra fila del determinante de 3 ϫ 3 por el determinante de 2 ϫ 2 que se obtiene
lo con flechas que indiquen su orden. tachando la columna y la fila en que se encuentra ese elemento. Por ejemplo, el
(b) El círculo se puede usar para determinar primer elemento de la primera fila, i, se multiplica por el determinante de 2 ϫ 2

sus productos cruz.

i jk
3 Ux Uy Uz 3 .
Vx Vy Vz

Recuerde que el segundo término se resta. Desarrollando los determinantes de 2 ϫ 2
se obtiene el valor del determinante:

i jk
3 Ux Uy Uz 3 = 1UyVz - UzVy2i - 1UxVz - UzVx2j + 1UxVy - UyVx2k.
Vx Vy Vz

Productos triples mixtos

En el capítulo 4, cuando se analice el momento de una fuerza respecto a una línea,

www.FreeLibros.orgse usará una operación denominada producto triple mixto definido por (2.35)
U # 1V * W2.

2.5 Productos cruz 71

En términos de las componentes escalares de los vectores,

i jk

# #U 1V * W2 = 1Ux i + Uy j + Uz k2 3 Vx Vy Vz 3

Wx Wy Wz

#= 1Ux i + Uy j + Uz k2 [1VyWz - VzWy2i

- 1VxWz - VzWx2j + 1VxWy - VyWx2k]
= Ux1VyWz - VzWy2 - Uy1VxWz - VzWx2

+ Uz1VxWy - VyWx2.

Este resultado se puede expresar como el determinante

Ux Uy Uz (2.36) V

#U 1V * W2 = 3 Vx Vy Vz 3 .

Wx Wy Wz

Si se intercambian dos vectores cualesquiera en el producto triple mixto, se cam- U
bia el signo pero no el valor absoluto del resultado. Por ejemplo,
W
U # 1V * W2 = -W # 1V * U2.
Figura 2.28
Si los vectores U, V y W en la figura 2.28 forman un sistema derecho, puede Paralelepípedo definido por los vectores U, V
demostrarse que el volumen del paralelepípedo es igual a U и (V ϫ W). y W.

RESULTADOS

Producto Cruz V
El producto cruz de dos vectores U y V está definido por U

U ϫ V ϭ ͉U͉͉V͉sen u e. (2.28) u

Como en el producto punto, u es el ángulo entre los vectores V
cuando éstos se colocan cola con cola. El vector unitario e U
se define perpendicular a U, perpendicular a V, y dirigido de
tal manera que U, V, e forman un sistema derecho. Si
͉U͉ 0 y ͉V͉ 0, U ϫ V ϭ 0 si y sólo si U y V son
paralelos.

Producto cruz en términos de sus componentes e
El producto cruz de U y V está dado en términos de
las componentes de los vectores como

U ϫ V ϭ (UyVz Ϫ UzVy)i Ϫ (UxVz Ϫ UzVx)j

ϩ (UxVy Ϫ UyVx)k (2.33)

i jk

ϭ Ux Uy Uz (2.34)

wwwVx Vy.VFz reeLibros.org

72 Capítulo 2 Vectores

Producto triple mixto
La operación Uؒ(V ϫ W) se llama el producto triple mixto de
los vectores U, V y W. Puede expresarse en términos de las
componentes de los vectores mediante el determinante

Ux Uy Uz (2.36)
Uؒ(V ϫ W) ϭ Vx Vy Vz .

Wx Wy Wz

Cuando U, V, W forman un sistema V
derecho, el volumen del paralelepípedo W
mostrado es igual a Uؒ(V ϫ W).

U

Ejemplo activo 2.14 Productos cruz (᭤ Relacionado con el problema 2.124)

Las componentes de dos vectores U y V son U ϭ 6i Ϫ 5j Ϫ k y V ϭ 4i ϩ 2j ϩ 2k.
a) Determine el producto cruz U ϫ V. b) Use el producto punto para probar que
U ϫ V es perpendicular a U.

Estrategia
a) Como se conocen las componentes de U y V, se puede usar la ecuación (2.33) para
determinar U ϫ V. b) Una vez determinadas las componentes del vector U ϫ V,
puede probarse que éste es perpendicular a U al demostrar que (U ϫ V) и U ϭ 0.

Solución (a) Use las componentes de los
vectores para determinar U ϫ V.
U ϫ V ϭ (UyVz Ϫ UzVy)i Ϫ (UxVz Ϫ UzVx)j
ϩ (UxVy Ϫ UyVx)k (b) Demuestre que (U ϫ V)ؒU ϭ 0.

ϭ [(Ϫ5)(2) Ϫ (Ϫ1)(2)]i Ϫ [(6)(2) Ϫ (Ϫ1)(4)]j
ϩ [(6)(2) Ϫ (Ϫ5)(4)]k

ϭ Ϫ8i Ϫ16j ϩ 32k.

(U ϫ V)ؒU ϭ (U ϫ V)x Ux ϩ (U ϫ V)y Uy ϩ (U ϫ V)z Uz
ϭ (Ϫ8)(6) ϩ (Ϫ16)(Ϫ5) ϩ (32)(Ϫ1)
ϭ 0.

Problema de práctica Las componentes de dos vectores U y V son U ϭ 3i ϩ 2j Ϫ k
y V ϭ 5i Ϫ 3j Ϫ 4k. Determine las componentes de un vector unitario que sea perpen-
dicular a U y perpendicular a V.

www.FreeLibros.orgRespuesta: e ϭ Ϫ0.477i ϩ 0.304j Ϫ 0.825k o bien e ϭ 0.477i Ϫ 0.304j ϩ 0.825k.

2.5 Productos cruz 73

Ejemplo 2.15 Distancia mínima de un punto a una línea (᭤ Relacionado con el problema 2.133)

Considere las líneas rectas OA y OB de la figura. y
a) Determine las componentes de un vector unitario que sea perpendicular a OA y
OB. B
b) ¿Cuál es la distancia mínima del punto A a la línea OB? (6, 6, Ϫ3) m

Estrategia O x
z A (10, Ϫ2, 3) m
a) Sean rOA y rOB los vectores de posición de O a A y de O a B (figura a). Como el
producto cruz rOA ϫ rOB es perpendicular a rOA y a rOB, dicho producto será deter- y
minado para después dividirlo entre su magnitud para obtener un vector unitario B

perpendicular a las líneas OA y OB. rOB

b) La distancia mínima de A a la línea OB es la longitud d de la línea recta que va

desde A hasta OB que es perpendicular a OB (figura b). Se puede ver que d ϭ ͉rOA͉
sen u, donde u es el ángulo entre rOA y rOB. De la definición del producto cruz, la
magnitud de rOA ϫ rOB, es ͉rOA͉͉rOB͉ sen u, por lo que es posible determinar d divi-
diendo la magnitud rOA ϫ rOB entre la magnitud de rOB.

Solución O x
a) Las componentes de rOA y rOB son rOA

rOA = 10i - 2j + 3k 1m2, zA
rOB = 6i + 6j - 3k 1m2. (a) Vectores rOA y rOB.

Usando la ecuación (2.34) se obtiene rOA ϫ rOB: y
B
i jk
rOA * rOB = 3 10 - 2 3 3 = - 12i + 48j + 72k 1m22. rOB

6 6 -3

Este vector es perpendicular a rOA y a rOB. Al dividirlo entre su magnitud se obtie-
ne un vector unitario e que es perpendicular a las líneas OA y OB:

e = rOA * rOB = - 12i + 48j + 72k 1m22

ƒ rOA * rOB ƒ 21 - 12 m222 + 148 m222 + 172 m222 Od x

= - 0.137i + 0.549j + 0.824k. u
rOA
b) De la figura (b) se sabe que la distancia mínima d es
zA

d ϭ ͉rOA͉ sen u. (b) Distancia mínima d de A a la
La magnitud de rOA ϫ rOB es línea OB.

͉rOA ϫ rOB͉ ϭ ͉rOA͉͉rOB͉ sen u.

Despejando sen u de esta ecuación se obtiene que la distancia d es

a ƒ rOA * rOB ƒ b ƒ rOA * rOB ƒ
ƒ rOB ƒ
d = ƒ rOA ƒ ƒ rOA ƒ ƒ rOB ƒ =

21 - 12 m222 + 148 m222 + 172 m222
= = 9.71 m.

216 m22 + 16 m22 + 1 - 3 m22

Razonamiento crítico
Este ejemplo es una ilustración del poder de los métodos vectoriales. La determi-
nación de la distancia mínima del punto A a la línea OB puede formularse como un
problema de minimización en cálculo diferencial, pero la solución vectorial que se

www.FreeLibros.orgpresenta aquí es mucho más simple.

74 Capítulo 2 Vectores

Ejemplo 2.16 Componente de un vector perpendicular a un plano (᭤ Relacionado con el problema 2.139)

y E (0.2, 0.4, Ϫ0.1) m La cuerda CE que se muestra en la figura ejerce una fuerza T de 500 N sobre la puer-
ta ABCD. ¿Cuál es la magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta?

T D Estrategia
Se dan las coordenadas de las esquinas A, B, y C de la puerta. Si se toma el producto
C (0.5, 0, 0) m cruz del vector de posición rCB de C a B y el vector de posición rCA desde C hasta
(0, 0.2, 0) m Ax A, se obtendrá un vector que es perpendicular a la puerta. Se puede dividir el vec-
tor resultante entre su magnitud para obtener un vector unitario perpendicular a la
B puerta y después aplicar la ecuación (2.26) para determinar la componente de T
(0.35, 0, 0.2) m perpendicular a la puerta.

z Solución
Las componentes de rCB y rCA son

rCB = 0.35i - 0.2j + 0.2k 1m2,
rCA = 0.5i - 0.2j 1m2.

Su producto cruz es

y i j k
rCB * rCA = 3 0.35 - 0.2 0.2 3 = 0.04i + 0.1j + 0.03k 1m22.
e - 0.2
D 0.5 0

C rCA A x Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene un vector e unitario que es per-
rCB pendicular a la puerta (figura a):

B e = rCB * rCA = 0.04i + 0.1j + 0.03k 1m22
z

ƒ rCB * rCA ƒ 210.04 m222 + 10.1 m222 + 10.03 m222

(a) Determinación de un vector unitario per- = 0.358i + 0.894j + 0.268k.
pendicular a la puerta

Para usar la ecuación (2.26) es necesario expresar T en términos de sus compo-
nentes escalares. El vector de posición de C a E es

rCE = 0.2i + 0.2j - 0.1k 1m2,

entonces, la fuerza T puede expresarse como

T = ƒ T ƒ rCE = 1500 N2 0.2i + 0.2j - 0.1k 1m2

ƒ rCE ƒ 210.2 m22 + 10.2 m22 + 1 - 0.1 m22

= 333i + 333j - 167k 1N2.

La componente de T paralela al vector unitario e, que es la componente de T per-
pendicular a la puerta, es

1e # T2e = [10.35821333 N2 + 10.89421333 N2 + 10.26821-167 N2]e

= 373e 1N2.

La magnitud de la componente de T perpendicular a la puerta es 373 N.

Razonamiento crítico
¿Por qué resulta útil determinar la componente de la fuerza T perpendicular a la

puerta? Si el eje y es vertical y la cuerda CE es lo único que evita que la puerta

caiga, puede verse de manera intuitiva que es la componente de la fuerza perpen-

dicular a la puerta la que la mantiene en su lugar. En el capítulo 5 se analizan pro-

www.FreeLibros.orgblemasdeestetipo.

Problemas 75

Problemas

᭤ 2.124 En el ejemplo activo 2.14, suponga que el vector V 2.130 Se tienen las magnitudes ͉U͉ ϭ 10 y ͉V͉ ϭ 20.
se cambia a V ϭ 4i Ϫ 6j Ϫ 10k. a) Determine el producto cruz a) Use la definición del producto cruz para determinar U ϫ V.
U ϫ V. b) Use el producto punto para probar que U ϫ V es per- b) Use la definición del producto cruz para determinar V ϫ U.
pendicular a V. c) Use la ecuación (2.34) para determinar U ϫ V.
d) Use la ecuación (2.34) para determinar V ϫ U.
2.125 Se tienen los vectores U ϭ 3i ϩ 2j y V ϭ 2i ϩ 4j.
a) ¿Qué valor tiene el producto cruz U ϫ V? y V
b) ¿Qué valor tiene el producto cruz V ϫ U? U

2.126 Los dos segmentos de la barra en forma de L que se 30Њ x
muestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda AB 45Њ
ejerce una fuerza de magnitud ͉F͉ ϭ 500 lb sobre la barra en A.
Determine el producto cruz rCA ϫ F, donde rCA es el vector de Problema 2.130
posición del punto C al punto A.
2.131 Se tiene la fuerza F ϭ 10i Ϫ 4j (N). Determine el produc-
2.127 Los dos segmentos de la barra en forma de L que se to cruz rAB ϫ F.
muestra en la figura son paralelos a los ejes x y z. La cuerda AB
ejerce una fuerza de magnitud ͉F͉ ϭ 500 lb sobre la barra en A. y
Determine el producto cruz rCB ϫ F, donde rCB es el vector de
posición del punto C al punto B. Compare su respuesta con la que (6, 3, 0) m
obtuvo para el problema 2.126.
A
y

4 pies rAB
C

z x
(6, 0, 4) m
5 pies B
x
F

4 pies Problema 2.131
A
F

B 2.132 Demuestre la identidad sen (u1 Ϫ u2) ϭ sen u1 cos u2 Ϫ
(6, 0, 4) pies cos u1 sen u2, evaluando el producto cruz U ϫ V.

z y
Problemas 2.126/2.127

2.128 Suponga que el producto cruz de dos vectores U y V es U V
U ϫ V ϭ 0. Si ͉U͉ 0, ¿qué se sabe acerca del vector V?
u1 x
2.129 El producto cruz de dos vectores U y V es U ϫ V ϭ Ϫ30i u2
ϩ 40k. El vector V ϭ 4i Ϫ 2j ϩ 3k. El vector U ϭ 4i ϩ Uy j ϩ
Uz k. Determine Uy y Uz.

Problema 2.132

www.FreeLibros.org᭤2.133 Enelejemplo2.15,¿cuálesladistanciamínimadel
punto B a la línea OA?

76 Capítulo 2 Vectores

2.134 a) ¿Cuál es el producto cruz rOA ϫ rOB? b) Determine un 2.138 La cuerda AB ejerce una fuerza T de 50 N sobre el colla-
vector unitario e que sea perpendicular a rOA y rOB. rín en A. Sea rCA el vector de posición del punto C al punto A. De-
termine el producto cruz rCA ϫ T.
2.135 Use el producto cruz para determinar la longitud de la
línea recta más corta del punto B a la línea recta que pasa a través y
de los puntos O y A. 0.15 m

y 0.4 m
B (4, 4, Ϫ4) m BC

rOB T
0.2 m 0.3 m
Ox
A
rOA
z A (6, Ϫ2, 3) m 0.5 m

Problemas 2.134/2.135 O x
2.136 El cable BC ejerce una fuerza F de 1000 lb sobre el gan-
cho en B. Determine rAB ϫ F. D 0.25 m

y 0.2 m
z

Problema 2.138

6 pies B ᭤ 2.139 En el ejemplo 2.16, suponga que el punto de unión E se
F mueve a la ubicación (0.3, 0.3, 0) m y la magnitud de T se incre-
menta a 600 N. ¿Cuál es la magnitud de la componente de T per-
rAB pendicular a la puerta?

x 2.140 La barra AB tiene 6 metros de largo y es perpendicular a las
barras AC y AD. Use el producto cruz para determinar las coorde-
8 pies C A nadas xB, yB y zB del punto B.
rAC
4 pies 12 pies y
4 B (xB, yB, zB)
pies

z

Problema 2.136

2.137 El vector de fuerza F apunta a lo largo de una línea recta (0, 3, 0) m A
desde el punto A hasta el punto B. Su magnitud es ͉F͉ ϭ 20 N. Las
coordenadas de los puntos A y B son xA ϭ 6 m, yA ϭ 8 m, zA ϭ 4 m
y xB ϭ 8 m, yB ϭ 1 m, zB ϭ Ϫ2 m.

a) Exprese el vector F en términos de sus componentes.

b) Use la ecuación (2.34) para determinar los productos cruz rA ϫ

F y rB ϫ F. y

A D (0, 0, 3) m C
F z (4, 0, 0) m x

rA B Problema 2.140

rB
x

z

www.FreeLibros.orgProblema2.137

Problemas de repaso 77

2.141* Determine la distancia mínima del punto P al plano defi- 2.143 Para los vectores u ϭ 6i ϩ 2j Ϫ 4k, V ϭ 2i ϩ 7j y W ϭ
nido por los tres puntos A, B y C. 3i ϩ 2k, evalúe los siguientes productos triples mixtos:

y a) U # 1V * W2;
b) W # 1V * U2;
B (0, 5, 0) m c) V # 1W * U2.

P 2.144 Use el producto triple mixto para calcular el volumen del
(9, 6, 5) m paralelepípedo.

A x
(3, 0, 0) m

C y
(0, 0, 4) m
(140, 90, 30) mm
z
Problema 2.141 (200, 0, 0) mm
x
2.142* El vector de fuerza F apunta en dirección de la línea recta
que va del punto A al punto B. Use las ecuaciones (2.28)Ϫ(2.31) z (160, 0, 100) mm
para demostrar que Problema 2.144

rB * F = rA * F. 2.145 Usando las ecuaciones (2.23) y (2.24) demuestre que
Ux Uy Uz
Estrategia: Sea rAB el vector de posición del punto A al punto
B. Exprese rB en términos de rA y rAB. Observe que los vectores #U 1V * W2 = 3 Vx Vy Vz 3 .
rAB y F son paralelos.
Wx Wy Wz
y
2.146 Los vectores U ϭ i ϩ Uy j ϩ 4k, V ϭ 2i ϩ j Ϫ 2k, y
A W ϭ –3i ϩ j Ϫ 2k son coplanares (se encuentran en el mismo
F plano). ¿Qué valor tiene la componente Uy?

rA B
rB x

z
Problema 2.142

Problemas de repaso 2.148 La magnitud de la fuerza vertical W que se muestra es
de 600 lb y la magnitud de la fuerza B es de 1500 lb. Si A ϩ B ϩ
2.147 En la figura, la magnitud de F es de 8 kN. Exprese F en W ϭ 0, determine la magnitud de la fuerza A y el ángulo a.
términos de sus componentes escalares.

y
(3, 7) m

F

(7, 2) m W

B 50Њ

x a

A
Problema 2.148
www.FreeLibros.orgProblema2.147

78 Capítulo 2 Vectores

2.149 La magnitud del vector de fuerza vertical A es de 200 lb. 2.157 a) Escriba el vector de posición rAB del punto A al punto B
Si A ϩ B ϩ C ϭ 0, ¿qué valor tienen las magnitudes de los vecto- en términos de sus componentes.
res fuerza B y C? b) El vector R tiene magnitud ͉R͉ϭ200 lb y es paralela a la línea
que va de A a B. Determine el vector R en términos de sus compo-
2.150 La magnitud del vector de fuerza horizontal D es de 280 lb. nentes.
Si D ϩ E ϩ F ϭ 0, ¿qué valor tienen las magnitudes de los vecto-
res fuerza E y F? 2.158 La cuerda que se muestra en la figura ejerce una fuerza de
magnitud ͉F͉ ϭ 200 lb sobre la parte superior del poste en B.
70 pulg 100 pulg a) Determine el vector rAB ϫ F, donde rAB es el vector de posición
de A a B.
50 pulg C E b) Determine el vector rAC ϫ F, donde rAC es el vector de posi-
ción de A a C.
B D
A F y B (5, 6, 1) pies

Problemas 2.149/2.150 F

Para resolver los problemas 2.151 a 2.157 consulte el Ax
siguiente diagrama.
C (3, 0, 4) pies
y F ϭ 20i ϩ 10j Ϫ 10k (lb) z
A
Problema 2.158
(4, 4, 2) pies u

B (8, 1, Ϫ2) pies 2.159 El poste que soporta el letrero es paralelo al eje x y tiene 6
x pies de longitud. El punto A está contenido en el plano y–z. a) Ex-
prese el vector r en términos de sus componentes. b) ¿Cuál es el
z valor de los cosenos directores de r?
Problemas 2.151–2.157
y
2.151 ¿Qué valor tienen los cosenos directores de F?
A
2.152 Determine las componentes de un vector unitario paralelo
a la línea AB que apunta desde A hacia B. Cataratas
Bedford

2.153 ¿Qué valor tiene el ángulo u entre AB y la fuerza F. r x
45Њ
2.154 Determine la componente vectorial de F paralela a la 60Њ
línea AB.
O

2.155 Determine la componente vectorial de F que es normal a
la línea AB.

z
2.156 Determine el vector rBA ϫ F, donde rBA es el vector de po-

www.FreeLibros.orgsicióndeBaA.
Problema 2.159