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Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

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Published by Marvin's Underground Latino USA, 2018-08-25 14:30:16

Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Problemas 129

4.17 Las fuerzas F1 = 30 N, F2 = 80 N y F3 = 40 N. ¿Cuál es la 4.22 Cinco fuerzas actúan sobre la tubería que se muestra en la
suma de los momentos de las fuerzas respecto al punto A? figura. La suma vectorial de las fuerzas es igual a cero y la suma
de los momentos de las fuerzas respecto a P también es cero.
4.18 La fuerza F1 = 30 N. La suma vectorial de las tres fuerzas es
igual a cero. ¿Cuál es la suma de los momentos de las fuerzas (a) Determine las fuerzas A, B y C.

respecto al punto A? (b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al
punto Q.
y
A F3 C 80 lb
30Њ

F1 45Њ
2m
y
B 20 lb 2 pies
45Њ
Q
F2 x

8m x AP C
B 2 pies
Problemas 4.17/4.18 2 pies 2 pies

4.19 Las fuerzas FA ϭ 30 lb, FB ϭ 40 lb, FC ϭ 20 lb y FD ϭ 30 Problema 4.22
lb. ¿Cuál es la suma de los momentos de las fuerzas respecto al
origen del sistema coordenado? ᭤ 4.23 En el ejemplo 4.3, suponga que la unión en el punto B
se mueve hacia arriba y el cable se alarga de tal manera que la
4.20 La fuerza FA ϭ 30 lb. La suma vectorial de las fuerzas sobre distancia de C a B es de 9 pies. (Las posiciones de los puntos C
la viga es igual a cero, y la suma de los momentos de las fuerzas y A no cambin.) Trace un bosquejo del sistema con el cable en
respecto al origen del sistema de coordenadas es cero. a) Determine su nueva posición. ¿Cuál es la tensión en el cable?
las fuerzas FB, FC y FD. b) Determine la suma de los momentos
de las fuerzas respecto al extremo derecho de la viga. 4.24 La tensión en el cable es la misma en ambos lados de la
polea. La suma de los momentos respecto al punto A debidos a
y la fuerza de 800 lb y a las fuerzas ejercidas sobre la barra por el
cable en B y C es igual a cero. ¿Cuál es la tensión en el cable?
30Њ FD
FA x

FB FC

6 pies 4 pies AB 30° C

Problemas 4.19/4.20 30 pulg

4.21 Tres fuerzas actúan sobre el automóvil que se muestra en 800 lb
la figura. La suma de las fuerzas es igual a cero y la suma de los 30 pulg 30 pulg
momentos de las fuerzas respecto al punto P también es cero.
Problema 4.24

a) Determine los valores de las fuerzas A y B.

b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al
punto Q.

y

6 pies 3 pies

x

P2800 lbQ
A
www.FreeLibros.orgB
Problema 4.21

130 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.25 Los pesos de 160 N de los brazos AB y BC del manipulador 4.28 Cinco fuerzas actúan sobre un eslabón en el mecanismo de
robótico mostrado actúan en sus puntos medios. Determine la cambio de velocidad de una podadora de césped. La suma vecto-
suma de los momentos de los tres pesos respecto a A. rial de las cinco fuerzas sobre la barra es igual a cero. La suma de
sus momentos respecto al punto en que actúan las fuerzas Ax y Ay
150 también es cero.
mm
a) Determine las fuerzas Ax, Ay y B.
600 mm 40 N b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al
punto en que actúa la fuerza B.
C
20Њ

B Ay
Ax
600 mm 40Њ 160 N 25 kN
20Њ

650 mm

A 160 N 30 kN 450 mm
45Њ B

Problema 4.25 650 mm 350 mm

4.26 Los impulsores de posición del trasbordador espacial mostra- Problema 4.28
do en la figura ejercen dos fuerzas de magnitud F ϭ 7.70 kN. ¿Qué
momento ejercen los impulsores respecto al centro de masa G? 4.29 Cinco fuerzas actúan sobre el modelo de una armadura
construida por un estudiante de ingeniería civil. Las dimensiones
2.2 m son b ϭ 300 mm y h ϭ 400 mm; F ϭ 100 N. La suma de los mo-
mentos de las fuerzas respecto al punto en que actúan Ax y Ay es
2.2 m F igual a cero. Si el peso de la armadura es insignificante, ¿qué
F 6Њ valor tiene la fuerza B?

5Њ G

18 m 12 m 4.30 Las dimensiones en la figura son b ϭ 3 pies y h ϭ 4 pies;
F ϭ 300 lb. La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre
Problema 4.26 la armadura es igual a cero, y la suma de los momentos de las
fuerzas respecto al punto en que actúan Ax y Ay también es cero.
4.27 La fuerza F ejerce un momento en sentido contrario al mo-
vimiento de las manecillas del reloj de 200 pies-lb respecto a A y a) Determine las fuerzas Ax, Ay y B.
un momento en sentido del movimiento de las manecillas del reloj
de 100 pie-lb respecto a B. ¿Qué valor tienen F y u? b) Determine la suma de los momentos de las fuerzas respecto al
punto en que actúa la fuerza B.

A y F 60Њ F 60Њ
(Ϫ5, 5) h
F
pies u

(4, 3) pies

Ax

x Ay b b b b b b
B

Problemas 4.29/4.30

B
(3, Ϫ4) pies

www.FreeLibros.orgProblema4.27

Problemas 131

4.31 La masa m = 70 kg. ¿Qué valor tiene el momento respecto a 4.34 A un participante en una competencia de lanzamiento de cebos
A debido a la fuerza ejercida por el cable sobre la viga en B? artificiales se le engancha en el césped el hilo de la caña de pescar.
Si la tensión en el hilo es de 5 lb, ¿qué momento ejerce la fuerza
AB del hilo sobre la vara respecto al punto H, donde el participante
sostiene la vara?

30Њ 45Њ
3m

H
m 6 pies

4 pies

Problema 4.31 7 pies 15 pies

4.32 Los pesos W1 y W2 están suspendidos por el sistema de Problema 4.34
cables que se muestra en la figura. El peso W1 ϭ 12 lb. El cable
BC es horizontal. Determine el momento respecto al punto P 4.35 Los cables AB y AC ayudan a sostener la torre mostrada. La
debido a la fuerza ejercida sobre el poste vertical en D mediante tensión en el cable AB es de 5 kN. Los puntos A, B, C y O están
el cable CD. contenidos en el mismo plano vertical. a) ¿Cuál es el momento
respecto a O debido a la fuerza ejercida sobre la torre por el cable
AD AB? b) Si la suma de los momentos respecto a O debidos a fuerzas
ejercidas sobre la torre por los dos cables es igual a cero, ¿cuál es
la tensión en el cable AC?

A

50Њ B C 6 pies

W1 W2 P 20 m
Problema 4.32
45Њ 60Њ
4.33 La barra AB que se muestra en la figura ejerce una fuerza C OB
en B que ayuda a soportar el muro vertical de retención. La fuer-
za es paralela a la barra. El ingeniero civil quiere que la barra Problema 4.35
ejerza un momento de 38 kN-m respecto a O. ¿Cuál es la magni- 4.36 El cable que va desde B hasta A en el velero mostrado en la
tud de la fuerza que debe ejercer la barra? figura ejerce una fuerza de 230 N en B. El cable de B a C ejerce
una fuerza de 660 N en B. La parte inferior del mástil del velero
B está ubicado en x ϭ 4 m, y ϭ 0. ¿Cuál es la suma de los momen-
tos respecto a la parte inferior del mástil debido a las fuerzas ejer-
cidas en B por los dos cables?

y
B (4, 13) m

4m

A

1m

O

1m 3m

A C
(0, 1.2) m (9, 1) m x
www.FreeLibros.orgProblema4.33
Problema 4.36

132 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.37 El cable AB de la figura ejerce una fuerza de 290 kN 4.39 La masa combinada del carrito para equipaje y la maleta
sobre el larguero de la grúa en B. El cable AC ejerce una fuerza que se muestran en la figura es de 12 kg. Su peso actúa en A. La
de 148 kN sobre el larguero en C. Determine la suma de los mo- suma de los momentos respecto al origen del sistema coordenado
mentos respecto a P debidos a las fuerzas que ejercen los cables debidos al peso que actúa en A y la fuerza vertical F aplicada en
AB y AC sobre el larguero. el asa del cargador es igual a cero. Determine la fuerza F (a) si
a ϭ 30°; (b) si a ϭ 50°.
4.38 La masa del larguero de la grúa que se muestra en la figura
es de 9000 kg. Su peso actúa en G. La suma de los momentos x
respecto a P debidos al peso del larguero, a la fuerza ejercida en F
B por el cable AB y a la fuerza ejercida en C por el cable AC es
igual a cero. Suponga que las tensiones en los cables AB y AC
son iguales. Determine la tensión en los cables.

A

B C 8m y 0.14 m
Larguero G 16 m 0.28 m

38 m P A 1.2 m
56 m
a
C

Problema 4.39

4.40 El cilindro hidráulico BC que se muestra en la figura
ejerce una fuerza de 300 kN sobre el larguero de la grúa en C.
La fuerza es paralela al cilindro. ¿Cuál es el momento de la
fuerza respecto a A?

C

2.4 m A

Problemas 4.37/4.38 1m B

1.8 m 1.2 m
7m

Problema 4.40

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Problemas 133

4.41 El pistón hidráulico AB que se muestra en la figura ejerce 4.42 El cilindro hidráulico que se muestra en la figura ejerce una
una fuerza de 400 lb sobre la escalera en B en la dirección paralela fuerza de 8 kN en B que es paralela al cilindro y apunta desde C
al pistón. La suma de los momentos respecto a C debidos a la hacia B. Determine los momentos de la fuerza respecto a los
fuerza ejercida sobre la escalera por el pistón y el peso W de la puntos A y D.
escalera es igual a cero. ¿Cuál es el peso de la escalera?

Cilindro 1m
hidráulico D

C

6 pies

1m

W 0.6 m
3 pies
A B
A
B
C Pala

6 pies 3 0.6 m
pies 0.15 m

Problema 4.42

Problema 4.41

4.43 La estructura mostrada en el diagrama es una de dos estructuras idénticas que soportan la pala de una excavadora. La barra BC
ejerce una fuerza de 700 N en C que apunta desde C hacia B. ¿Qué valor tiene el momento de esta fuerza respecto a K?

4.44 La barra BC de la figura ejerce una fuerza en C que apunta desde C hasta B. El cilindro hidráulico DH ejerce una fuerza de
1550 N en D que apunta desde D hacia H. La suma de los momentos de estas dos fuerzas respecto a K es igual a cero. ¿Cuál es la
magnitud de la fuerza que ejerce la barra BC en C?

320
mm

Eje C Pala

100 260 B
mm H mm 180

D 260 mm
mm
160 J
mm L
K

1040 380

mm 1120 mm

mm

Problemas 4.43/4.44

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134 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

F 4.2 Vector de momento

P ANTECEDENTES
(a)
El momento de una fuerza respecto a un punto es un vector. En esta sección se
define dicho vector y se explica la forma de evaluarlo. Después se demuestra que
al usar la descripción bidimensional del momento según la sección 4.1, se especi-
fican la magnitud y la dirección del vector de momento.

Considere un vector de fuerza F y un punto P (figura 4.4a). El momento de F
respecto a P es el vector

MP = r * F, (4.2)

F donde r es un vector de posición de P a cualquier punto sobre la línea de acción
de F (figura 4.4b).

Pr Magnitud del momento

(b) A partir de la definición del producto cruz, la magnitud de MP es

F ͉MP͉ ϭ ͉r ͉͉F ͉ sen u,

donde u es el ángulo entre los vectores r y F cuando se colocan cola con cola. La
distancia perpendicular de P a la línea de acción de F es D ϭ ͉r͉ sen u (figura
4.4c). Por consiguiente, la magnitud del momento MP es igual al producto de la
distancia perpendicular de P a la línea de acción de F y la magnitud de F:

Pr u
u
ƒMPƒ = DƒFƒ. (4.3)
D
Observe que si se conocen los vectores MP y F, con esta ecuación se puede encon-
(c) trar la distancia perpendicular D.

Figura 4.4 Dirección del momento
(a) La fuerza F y un punto P.
(b) Vector r de P a un punto sobre la línea de Se sabe, por la definición del producto cruz, que MP es perpendicular a r y a F.
Esto significa que MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F (figura
acción de F. 4.5a). Observe en esta figura que un momento se denota con una flecha circular
(c) El ángulo u y la distancia perpendicular D. alrededor del vector.

MP F MP F

rr

PP

Figura 4.5 Plano que contiene a

(a) MP es perpendicular al plano que contiene ryaF

a P y a F.
(b) La dirección de MP indica la dirección
(a) (b)
www.FreeLibros.orgdelmomento.

4.2 Vector de momento 135

F F F

Pr P Pr Figura 4.6
rЈ rЈ (a) Vector r de P a la línea de acción de F.
(b) u (b) Vector rЈ diferente.
(c) r ϭ rЈ ϩ u.

(a) (c)

La dirección de MP también indica el sentido del momento: si el pulgar de su
mano derecha apunta hacia MP, el “arco” de sus dedos indica el sentido del giro
que F tiende a generar alrededor de P (figura 4.5b).

El resultado que se obtiene con la ecuación (4.2) no depende de dónde inter-
seca el vector r a la línea de acción de F. En vez del vector r de la figura 4.6a,
podría usarse el vector rЈ de la figura 4.6b. Se tiene el vector r ϭ rЈ ϩ u, donde u
es paralelo a F (figura 4.6c). Por lo tanto,

r * F = 1r¿ + u2 * F = r¿ * F

porque el producto cruz de los vectores paralelos u y F es igual a cero.
En resumen, el momento de una fuerza F respecto a un punto P tiene tres

propiedades:

1. La magnitud de MP es igual al producto de la magnitud de F y la distancia
perpendicular de P a la línea de acción de F. Si la línea de acción de F pasa
por P, MP ϭ 0.

2. MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F.
3. La dirección de MP indica el sentido del momento dado por la regla de la

mano derecha (figura 4.5b). Como el producto cruz no es conmutativo, se
debe tener cuidado con la secuencia correcta de los vectores en la ecuación
MP ϭ r ϫ F.

A continuación se determinará el momento de la fuerza F en la figura 4.7a
respecto al punto P. Como el vector r de la ecuación (4.2) puede ser un vector
de posición de cualquier punto sobre la línea de acción de F, se puede utilizar un
vector de P al punto de aplicación de F (figura 4.7b):

r ϭ (12 Ϫ 3)i ϩ (6 Ϫ 4)j ϩ (Ϫ5 Ϫ 1)k ϭ 9i ϩ 2j ϩ 6k (pie),

El momento es

ij k
MP = r * F = 3 9 2 - 6 3 = 38i - 87j + 28k (1pfti-el-bl2b.).

44 7

La magnitud de MP,

www.FreeLibros.orgƒMPƒ = 213822 + 1-8722 + 12822 = 99.0pfti-elsb-,lb,

136 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

y y y
F ϭ 4i ϩ 4j ϩ 7k (lb)

F F Plano que
contiene a
(12, 6, Ϫ5) pies r (12, 6, Ϫ5) pies P MP PyaF
P P (c)
x
(3, 4, 1) pies (3, 4, 1) pies

x x

z z z
(a) (b)

Figura 4.7
(a) Una fuerza F y un punto P.
(b) Vector r de P al punto de aplicación de F.
(c) MP es perpendicular al plano que contiene a P y a F.

La regla de la mano derecha indica la dirección del momento.

es igual al producto de la magnitud de F y la distancia perpendicular D del punto
P a la línea de acción de F. Por lo tanto,

D = ƒMPƒ = 99.0 pies-lb = 11.0 pies.
ƒFƒ 9 lb

La dirección de MP indica la orientación del plano que contiene a P y a F, así
como la dirección del momento (figura 4.7c).

Relación con la descripción bidimensional

Si se observa en dirección perpendicular al plano que contiene al punto P y a la
fuerza F, la descripción bidimensional del momento que se usó en la sección 4.1
especifica tanto la magnitud como la dirección de MP. En esta situación, MP es
perpendicular a la página, y la regla de la mano derecha indica si apunta hacia
afuera o hacia adentro de la página.

Por ejemplo, en la figura 4.8a el punto de vista es perpendicular al plano
x–y y la fuerza de 10 N está contenida en el plano x–y. Suponga que se desea

y yy

10j (N) 10j (N) 10j (N)

(4, 2, 0) m (4, 2, 0) m r (4, 2, 0) m
(c)
O xO xO x
(a)

(b)

Figura 4.8
(a) La fuerza está contenida en el plano x–y.
(b) La dirección antihoraria del momento indica que MO apunta hacia el afuera de la página.

www.FreeLibros.org(c) VectorrdesdeOhastaelpuntodeaplicacióndeF.

4.2 Vector de momento 137

determinar el momento de la fuerza respecto al origen O. La distancia perpen-
dicular de O a la línea de acción de la fuerza es de 4 m. La descripción bidimen-
sional del momento de la fuerza respecto a O establece que su magnitud es (4 m)
(10 N) ϭ 40 N-m y su dirección es contraria al sentido del movimiento de las
manecillas del reloj, o

MO = 40 N-m.

Lo que indica que la magnitud del vector MO es de 40 N-m, y por la regla de la
mano derecha (figura 4.8b), éste apunta hacia afuera de la página. Por lo tanto,

MO = 40k 1N-m2.

Es posible confirmar este resultado usando la ecuación (4.2). Si r es el vector de
O al punto de aplicación de la fuerza (figura 4.8c),

MO = r * F = 14i + 2j2 * 10j = 40k 1N-m2.

Como lo ilustra este ejemplo, la descripción bidimensional del momento deter-
mina el momento vectorial. El enunciado opuesto también es verdadero. La
magnitud de MO es igual al producto de la magnitud de la fuerza y la distancia
perpendicular de O a la línea de acción de la fuerza, 40 N-m, y la dirección del
vector MO indica que el sentido del momento es en sentido contrario al movi-
miento de las manecillas del reloj (figura 4.8b).

Teorema de Varignon

Sea F1, F2, . . . , FN un sistema concurrente de fuerzas cuyas líneas de acción se
intersecan en el punto Q. El momento del sistema respecto al punto P es

1rPQ * F12 + 1rPQ * F22 + Á + 1rPQ * FN2

= rPQ * 1F1 + F2 + Á + FN2,

donde rPQ es el vector de P a Q (figura 4.9). Este resultado, conocido como el
teorema de Varignon, se deriva de la propiedad distributiva del producto cruz,
ecuación (2.31), y confirma que el momento de una fuerza respecto a un punto
P es igual a la suma de los momentos de sus componentes respecto a P.

F1 F2 FN

Q
P rPQ
Figura 4.9

www.FreeLibros.orgUn sistema de fuerzas concurrentes y un punto P.

138 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos
RESULTADOS

Momento

El momento de una fuerza F respecto a un punto P se F

define mediante

MP ϭ r ϫ F, (4.2) Pr

donde r es un vector de posición desde P hasta

cualquier punto sobre la línea de acción de F.

Magnitud del momento
La magnitud del vector MP es

͉MP͉ ϭ D͉F͉, (4.3)

donde D es la distancia perpendicular desde P
hasta la línea de acción de F.

Dirección del momento MP F

El vector MP es perpendicular al plano que contiene r
el punto P y el vector F. Apuntando el dedo pulgar P

hacia la derecha en la dirección de MP, los dedos
apuntan en la dirección de la rotación que F tiende a

causar alrededor de P.

Ejemplo activo 4.4 Determinación de un momento (᭤ Relacionado con el problema 4.45)

Determine el momento de la fuerza F de 90 lb que se muestra en la figura res-
pecto al punto A.

y

A C (7, 7, 0) pies
(0, 6, 5) pies
F
x

B (11, 0, 4) pies

z

Estrategia
Para aplicar la ecuación (4.2), se debe expresar la fuerza F en términos de sus com-
ponentes. El vector r es un vector desde el punto A hasta cualquier punto sobre la
línea de acción de F, entonces se puede usar el vector desde el punto A hasta el

www.Frpeunto B. eLibros.org

4.2 Vector de momento 139

Solución

y C (7, 7, 0) pies
A
(0, 6, 5) pies x
eBC
z B (11, 0, 4) pies

rBC ϭ (xC Ϫ xB)i ϩ (yC Ϫ yB)j ϩ (zC Ϫ zB)k Obtenga un vector unitario que
ϭ Ϫ4i ϩ 7j Ϫ 4k (pies). tenga la misma dirección que la
fuerza F al dividir entre su
eBC ϭ rBC ϭ Ϫ 4 i ϩ 7 j Ϫ 4 k. magnitud el vector de posición
͉rBC͉ 9 9 9 desde el punto B hasta el punto C.

F ϭ (90 lb)eBC Exprese la fuerza F en términos de
sus componentes al escribirla
΂ ΃ϭ (90 lb) Ϫ 4 i ϩ 7 jϪ 4 k como el producto de su magnitud
9 9 9 y el vector unitario eBC.

ϭ Ϫ40i ϩ 70j Ϫ 40k (lb).

y

C (7, 7, 0) pies

A F x
(0, 6, 5) pies rAB

z B
(11, 0, 4) pies

rAB ϭ (xB Ϫ xA)i ϩ (yB Ϫ yA)j ϩ (zB Ϫ zA)k Aplique la ecuación (4.2) para
ϭ 11i Ϫ 6j Ϫ k (pies). determinar el momento de F
respecto al punto A.
MA ϭ rAB ϫ F
i jk

ϭ 11 Ϫ6 Ϫ1
Ϫ40 70 Ϫ40

ϭ 310i ϩ 480j ϩ 530k (pies-lb).

Problema de práctica a) Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de F res-
pecto al punto A, donde r es el vector de posición del punto A al punto C. b) Determine
la distancia perpendicular desde el punto A hasta la línea de acción de F.

www.FreeLibros.orgRespuesta: a) MA ϭ 310i ϩ 480j ϩ 530k (pie-lb). b) 8.66 pies.

140 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.5 Aplicación del vector de momento (᭤ Relacionado con el problema 4.57)

y Los cables AB y AC se extienden del punto de unión A sobre el piso a los puntos
C(6, 3, 0) m de unión B y C en las paredes. La tensión en el cable AB es de 10 kN y la del cable
AC es de 20 kN. ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a O debidos
a las fuerzas ejercidas sobre A por los dos cables?

B O x Estrategia
(0, 4, 8) m Las fuerzas ejercidas sobre el punto de unión A por los dos cables deben expre-
sarse en términos de sus componentes. Después se puede usar la ecuación (4.2)
para determinar los momentos que ejercen las fuerzas respecto a O.

A Solución
(4, 0, 6) m
z Sean FAB y FAC las fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el punto A de
conexión (figura a). Para expresar FAB en términos de sus componentes, se
determina el vector de posición de A a B,

y 10 - 42i + 14 - 02j + 18 - 62k = - 4i + 4j + 2k 1m2,
C
(6, 3, 0) m y se divide entre su magnitud para obtener un vector unitario eAB con la misma
dirección que FAB (figura b):
B O x
(0, 4, 8) m r FAC
- 4i + 4j + 2k 1m2 221
z FAB A eAB -i j 3 k.
(4, 0, 6) m = 21 - 4 m22 14 m22 12 m22 = 3 + 3 +

+ +

(a) Las fuerzas FAB y FAC ejercidas en A por Ahora se escribe FAB como
los cables. FAB = 10eAB = - 6.67i + 6.67j + 3.33k 1kN2.

B y Se expresa de la misma manera la fuerza FAC en términos de sus componentes:
(0, 4, 8) m C FAC = 5.71i + 8.57j - 17.14k 1kN2.
(6, 3, 0) m
z Selección del vector r Como las líneas de acción de ambas fuerzas pasan por el
O x punto A, se puede usar el vector desde O hasta A para determinar los momentos de
eAB ambas fuerzas respecto al punto O (figura a):

A (4, 0, 6) m r = 4i + 6k 1m2.

(b) El vector unitario eAB tiene la misma Evaluación de r ϫ F La suma de los momentos es
dirección que FAB.

©MO = 1r * FAB2 + 1r * FAC2

i jk ij k
63
= 3 4 0 63 + 3 4 0

-6.67 6.67 3.33 5.71 8.57 - 17.14

= - 91.4i + 49.5j + 61.0k 1kN-m2.

Razonamiento crítico
Las líneas de acción de las fuerzas FAB y FAC se intersecan en A. Observe que, de
acuerdo con el teorema de Varignon, se podrían haber sumado primero las fuerzas,
para obtener

www.FreeLibros.orgFAB + FAC = -0.952i + 15.24j - 13.81k1kN2,

Problemas 141

y después haber determinado la suma de los momentos de las dos fuerzas respec-
to a O calculando el momento de la suma de las dos fuerzas respecto a O.

©MO = r * 1FAB + FAC2

i j k
=3 4 0 63
15.24
-0.952 - 13.81

= - 91.4i + 49.5j + 61.0k 1kN-m2.

Problemas

᭤ 4.45 En el ejemplo activo 4.4, ¿Cuál es el momento de F 4.48 Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de la
respecto al origen de sistema coordenado? fuerza de 100 kN que se muestra en la figura a) respecto a A y
4.46 Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de la b) respecto a B.
fuerza de 80 N respecto al origen O. Considere que r es el vector
a) de O a A; b) de O a B. y
A
y
80j (N) 6 m 100j (kN)

B (6, 4, 0) m Bx

x 8m
O A (6, 0, 0) m 12 m

Problema 4.46 Problema 4.48

4.47 Un ingeniero biomédico que estudia una lesión producida 4.49 El cable AB ejerce una fuerza de 200 N sobre el soporte en A
al lanzar la jabalina estima que la magnitud de la fuerza máxima que apunta desde A hacia B. Use la ecuación (4.2) para determinar
ejercida fue de ͉F ͉ ϭ 360 N y que la distancia perpendicular de el momento de esta fuerza respecto al punto P, a) considere que r
O a la línea de acción de F fue de 550 mm. El vector F y el es el vector de P a A y b) considere que r es el vector de P a B.
punto O están contenidos en el plano x–y. Exprese el momento
de F respecto a la articulación del hombro en O como un vector. y

P (0.9, 0.8) m

y
(0.3, 0.5) m

A
F

B

Ox (1, 0.2) m
Problema 4.49
x

www.FreeLibros.orgProblema4.47

142 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.50 La línea de acción de F que se muestra en la figura está 4.53 Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Use la
contenida en el plano x–y. El momento de F respecto a O es de ecuación (4.2) para determinar la suma de los momentos de
140k (N-m), y el momento de F respecto a A es de 280k (N-m). las tres fuerzas respecto al punto P.
¿Cuáles son las componentes de F?
y
y 4 kN

A (0, 7, 0) m 45Њ

F

(5, 3, 0) m 0.18 m P 3 kN
30Њ
x
O 0.10 m
20Њ x
Problema 4.50 0.12 m 12 kN
0.28 m

Problema 4.53

4.51 Use la ecuación (4.2) para determinar la suma de los momen-
tos de las tres fuerzas mostradas, a) respecto a A y (b) respecto a B.

y 4.54 a) Determine la magnitud del momento de la fuerza de
150 N que se muestra en la figura respecto a A calculando la
6 kN distancia perpendicular de A a la línea de acción de la fuerza.

3 kN 3 kN b) Use la ecuación (4.2) para determinar el momento de la fuerza
de 150 N respecto a A.

A B
x

y

0.2 m 0.2 m 0.2 m 0.2 m

Problema 4.51 (0, 6, 0) m

150k (N)

4.52 Las tres fuerzas mostradas se aplican a la placa. Use la A x
ecuación (4.2) para determinar la suma de los momentos de (6, 0, 0) m
las tres fuerzas respecto al origen O.
z
y Problema 4.54

200 lb

3 pies

200 lb 3 pies

O x
6 pies
4 pies

500 lb

Problema 4.52

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Problemas 143

4.55 a) Determine la magnitud del momento de la fuerza de 600 N 4.59 Se tiene la fuerza F ϭ 30i ϩ 20j Ϫ 10k (N).
que se muestra en la figura respecto a A, calculando la distancia
perpendicular desde A hasta la línea de acción de la fuerza. a) Determine la magnitud del momento de F respecto a A.
b) Use la ecuación (4.2) para determinar la magnitud del momen-
to de la fuerza de 600 N respecto a A. b) Suponga que se puede cambiar la dirección de F manteniendo
su magnitud constante, y se desea elegir una dirección que maxi-
y mice el momento de F respecto a A. ¿Cuál es la magnitud del
momento máximo resultante?

A (0.6, 0.5, 0.4) m y
F

0.8 m 600i (N) A (8, 2, Ϫ4) m
z Problema 4.55 x (4, 3, 3) m

x

z
Problema 4.59

4.56 ¿Cuál es la magnitud del momento de F respecto al punto B? 4.60 Los cosenos directores de la fuerza F que se muestra en la
y figura son cos ux ϭ 0.818, cos uy ϭ 0.182 y cos uz ϭ Ϫ0.545. El
soporte de la barra en O fallará si la magnitud del momento de F
F ϭ 20i ϩ 10j Ϫ 10k (lb) respecto a O excede de 100 kN-m. Determine la magnitud de la
máxima fuerza F que puede aplicarse con seguridad a la barra.
A
(4, 4, 2) pies

B (8, 1, Ϫ2) pies y
x
O F
z z x

Problema 4.56 3m

᭤ 4.57 En el ejemplo 4.5 suponga que el punto de unión C se Problema 4.60
mueve a la ubicación (8, 2, 0) m y la tensión en el cable AC cambia
a 25 kN. ¿Cuál es la suma de los momentos respecto a O debidos a
las fuerzas ejercidas por los dos cables sobre el punto de unión A?

4.58 La cuerda que se muestra en la figura ejerce una fuerza
de magnitud ͉F ͉ ϭ 200 lb sobre la parte superior del poste en B.
Determine la magnitud del momento de F respecto a A.

y B (5, 6, 1) pies

F

Ax

C (3, 0, 4) pies
z

www.FreeLibros.orgProblema4.58

144 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.61 La fuerza F ejercida sobre el mango de un aparato para 4.64 Los pesos de los brazos OA y AB del manipulador
robótico que se muestra en la figura actúan en sus puntos medios.
hacer ejercicio apunta hacia el vector unitario e = 2 i - 2 j + 1 k,
3 3 3 Los cosenos directores de la línea central del brazo OA son
cos ux ϭ 0.500, cos uy ϭ 0.866 y cos uz ϭ 0, mientras que los del
y su magnitud es de 120 N. Determine la magnitud del momento brazo AB son cos ux ϭ 0.707, cos uy ϭ 0.619 y cos uz ϭ Ϫ0.342.
¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a O debidos
de F respecto al origen O.
a las dos fuerzas?
4.62 La fuerza F que se muestra en la figura apunta hacia el

vector unitario e = 2 i - 2 j + 1 k. El soporte en O resistirá con
3 3 3

seguridad un momento de 560 N-m de magnitud. a) Con base

en este criterio, ¿cuál es la máxima magnitud segura de F? b) Si

la fuerza F puede ejercerse en cualquier dirección, ¿cuál es su y 600 mm B

máxima magnitud segura?

y 150 mm 160 N
A

O F 600 mm 200 N

z 200 mm O x
250 mm z

x
Problemas 4.61/4.62

4.63 Un ingeniero civil en Boulder, Colorado, estima que bajo Problema 4.64
los vientos Chinook más severos esperados, la fuerza total sobre
la señal de tránsito para carretera que se muestra en la figura, será 4.65 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es de
de F ϭ 2.8i Ϫ 1.8j (kN). Sea MO es el momento debido a F res-
pecto a la base O de la columna cilíndrica que soporta la señal. La 100 lb. Si se desea que la magnitud del momento respecto a la
componente y de MO se llama torsión ejercida sobre la columna
cilíndrica en la base, y la componente de MO paralela al plano x–z base O del árbol, debido a las fuerzas ejercidas sobre éste por los
se llama momento flexionante. Determine las magnitudes de la
torsión y el momento flexionante. dos cables, sea de 1500 pie-lb, ¿cuál es la tensión necesaria en la

y cuerda AC?

F y

8 m A (0, 8, 0) pies

8m O x
x O

B (0, 0, 10) pies (14, 0, 14) pies

z

www.FreeLibros.orgProblema4.63
zC
Problema 4.65

Problemas 145

4.66* Una fuerza F actúa en el extremo superior A del poste 4.69 La torre que se muestra en la figura tiene 70 m de altura.
que se muestra en la figura. Su magnitud es ͉F ͉ ϭ 6 kN y su Las tensiones en los cables AB, AC y AD son de 4 kN, 2 kN y
componente x es Fx ϭ 4 kN. Se muestran las coordenadas del 2 kN respectivamente. Determine la suma de los momentos
punto A. Determine las componentes de F de tal manera que la respecto al origen O debidos a las fuerzas ejercidas por los
magnitud del momento debido a F respecto a la base P del cables en el punto A.
poste sea la máxima posible.
4.70 Suponga que la tensión en el cable AB de la figura es de
y 4 kN, y que las tensiones en los cables AC y AD se deben ajustar
F para que la suma de los momentos respecto al origen O debidos a
las fuerzas ejercidas por los cables en el punto A sea igual a cero.
A Determine las tensiones.

(4, 3, Ϫ2) m y

A

Px

D

35 m B
x
z 40 m 35 m
Problema 4.66 C O
40 m
4.67 La fuerza F ϭ 5i (kN) actúa sobre el anillo A donde se unen 40 m
los cables AB, AC y AD. ¿Cuál es el valor de la suma de los mo-
mentos respecto al punto D debidos a la fuerza F y a las tres fuer- z
zas ejercidas por los cables sobre el anillo?
Problemas 4.69/4.70
Estrategia: El anillo está en equilibrio. Use su conocimiento
acerca de las cuatro fuerzas que actúan sobre él. 4.71 La tensión en el cable AB es de 150 N, y en el cable AC
es de 100 N. Determine la suma de los momentos respecto a D
4.68 En el problema 4.67, determine el momento respecto al punto debidos a las fuerzas ejercidas sobre la pared por los cables.
D debido a la fuerza ejercida sobre el anillo A por el cable AB.
4.72 La fuerza ejercida por los dos cables en la dirección per-
y pendicular a la pared es de 2 kN. La magnitud de la suma de
los momentos respecto a D debidos a las fuerzas ejercidas
por los cables sobre la pared es de 18 kN-m. ¿Cuáles son las
tensiones en los cables?

D (0, 6, 0) m

AF y
5m

C (12, 4, 2) m x 5m B
(0, 4, 6) m B (6, 0, 0) m C 4m

z 8m
Problemas 4.67/4.68

D 8m
A

www.FreeLibros.orgz x
Problemas 4.71/4.72

146 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.73 La tensión en el cable BD es 1 kN. Como resultado, el cable 4.76 Para evaluar qué tan bueno es el diseño del poste de
BD ejerce una fuerza de 1 kN sobre la rótula en B que apunta de B acero vertical que se muestra en la figura, usted debe determi-
hacia D. Determine el momento de esta fuerza respecto al punto A. nar el momento respecto a la base del poste debido a la fuerza
ejercida sobre el punto B por el cable AB. Una celda de carga
4.74* Suponga que la masa del objeto E suspendido es de 100 kg montada sobre el cable AC indica que la tensión en dicho cable
y que la masa de la barra AB es de 20 kg. Considere que el peso es de 22 kN. ¿Cuál es el valor del momento?
de la barra actúa en su punto medio. Si la suma de los momentos
respecto al punto A debidos al peso de la barra y a las fuerzas y 5m
ejercidas por los tres cables BC, BD y BE sobre la rótula en B es 5m
igual a cero, determine las tensiones en los cables BC y BD.

y C
C D
(0, 4, Ϫ3) m
4m
D B 8m
(0, 5, 5) m (4, 3, 1) m
(6, 2, 0) m B
x OA
A z 3m

E 12 m
x
z
Problemas 4.73/4.74 Problema 4.76

4.75 El collarín de 200 kg en A se mantiene en su lugar sobre
la barra vertical lisa por medio del cable AB. Determine el mo-
mento respecto a la base de la barra (punto C con coordenadas
x ϭ 2 m, y ϭ z ϭ 0) debido a la fuerza ejercida por el cable
sobre el collarín.

y

2m
B

5m A
2m

2m C x
z

Problema 4.75

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4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 147

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea

ANTECEDENTES

El dispositivo de la figura 4.10, llamado cabrestante, se usó en los barcos de vela.
Lo hacían girar empujando las manijas como se muestra en la figura 4.10a para
generar energía en tareas como elevar las anclas e izar las velas. Una fuerza verti-
cal F aplicada a una de las manijas como en la figura 4.10b, no hace girar al
cabrestante, aun cuando la magnitud del momento respecto al punto P sea d͉F͉ en
ambos casos.

La medida de la tendencia de una fuerza a causar un giro alrededor de una
línea o eje se denomina momento de la fuerza respecto a la línea. Suponga que
una fuerza F actúa sobre un objeto como una turbina que gira alrededor de un eje
L, y que se descompone F en componentes con base en el sistema coordenado de
la figura 4.11. Las componentes Fx y Fz no hacen girar la turbina, así como tam-
poco la fuerza paralela al eje del cabrestante la hacía girar. Es la componente Fy
la que tiende a causar giros al ejercer un momento de magnitud aFy respecto al
eje de la turbina. En este ejemplo se puede determinar con facilidad el momento
de F respecto a L porque el sistema coordenado está convenientemente situado.
A continuación se introducirá una expresión que sirve para determinar el momen-
to de una fuerza respecto a cualquier línea.

d d F
P P

F

(a) (b)
Figura 4.10
(a) Giro de un cabrestante.
(b) Una fuerza vertical no hace girar el cabrestante.

y

Fy F
a

P

L Fz Fx x

Figura 4.11
Aplicación de una fuerza a una turbina con eje

www.FreeLibros.orgz degiroL.

148 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

F Definición

L Considere una línea L y una fuerza F (figura 4.12a). Sea MP el momento de F
(a) respecto a un punto arbitrario O sobre L (figura 4.12b). El momento de F respecto
a L es la componente de MP paralela a L, que se denota con ML (figura 4.12c).
MP ϭ r ϫ F La magnitud del momento de F respecto a L es ͉ML͉, y cuando el pulgar de la
mano derecha apunta en la dirección de ML, el arco de los dedos indica el sentido
P del momento respecto a L. En términos de un vector unitario e a lo largo de L
r (figura 4.12d), ML está dado por

L F ML = 1e # MP2e. (4.4)

(El vector unitario e puede apuntar en cualquier dirección. Vea el análisis de las
componentes vectoriales en la sección 2.5). El momento MP ϭ r ϫ F, por lo que
también se puede expresar ML como

ML = [e # 1r * F2]e. (4.5)

(b) El triple producto escalar mixto en esta expresión está dado en términos de las com-
MP ponentes de los tres vectores por

P ex ey ez (4.6)

#e 1r * F2 = 3 rx ry rz 3 .

Fx Fy Fz

L ML Observe que el valor del escalar e ؒ MP ϭ e ؒ (r ϫ F) determina tanto la magnitud
como la dirección de ML. El valor absoluto de e ؒ MP es la magnitud de ML. Si
(c) e ؒ MP es positivo, ML apunta hacia e, y si e ؒ MP es negativo, ML apunta en la
dirección opuesta a e.
MP
Pe El resultado obtenido con la ecuación (4.4) o la ecuación (4.5) no depende del
punto sobre L elegido para determinar MP ϭ r ϫ F. Si se usa el punto P de la figu-
L ML ra 4.13 para determinar el momento de F respecto a L, se obtiene el resultado
mediante la ecuación (4.5). Y usando el punto PЈ se obtiene el mismo resultado,
(d)
[e # 1r¿ * F2]e = 5e # [1r + u2 * F]6e
Figura 4.12
(a) La línea L y la fuerza F. = [e # 1r * F2 + e # 1u * F2]e
(b) MP es el momento de F respecto a
= [e # 1r * F2]e,
cualquier punto O sobre L.
(c) La componente ML es el momento de F porque u ϫ F es perpendicular a e.

respecto a L. Aplicaciones
(d) Vector unitario e a lo largo de L.
Para demostrar que ML es la medida de la tendencia de F a ocasionar giros alre-
P e F dedor de L, se considerará de nuevo la turbina de la figura 4.11. Sea Q un punto
u sobre L a una distancia arbitraria b del origen (figura 4.14a). El vector r de Q a P
PЈ r es r ϭ ai Ϫ bk, por lo que el momento de F respecto a Q es
L rЈ
ijk
MQ = r * F = 3 a 0 - b 3 = bFy i - 1aFz + bFx2 j + aFy k.

Fx Fy Fz

Como el eje z coincide con L, el vector unitario k está dirigido a lo largo de L. Por

Figura 4.13 lo tanto, el momento de F respecto a L es

Uso de diferentes puntos P y PЈ para determinar

www.FreeLibros.orgelmomentodeFrespectoaL.
#ML = 1k MQ2k = aFy k.

y 4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 149

y

ba Fy F Figura 4.14
P Fx x (a) Un punto Q arbitrario sobre L y el vector r
Q x de Q a P.
r ML ϭ a Fy k (b) ML y la dirección del momento respecto
(b)
L a L.
Fz

z z
(a)

Las componentes Fx y Fz no ejercen momento respecto a L. Si se supone que Fy es
positiva, ésta ejerce un momento de magnitud aFy respecto al eje de la turbina en
la dirección mostrada en la figura 4.14b.

Ahora se determinará el momento de una fuerza respecto a una línea arbitra-

ria L (figura 4.15a). El primer paso es elegir un punto sobre la línea. Si se escoge

el punto A (figura 4.15b), el vector r de A al punto de aplicación de F es

r = 18 - 22i + 16 - 02j + 14 - 42k = 6i + 6j 1m2.

El momento de F respecto a A es

i jk
MA = r * F = 3 6 6 03

10 60 -20

= - 120i + 120j + 300k 1N-m2.

El siguiente paso es determinar un vector unitario a lo largo de L. El vector de A a
B es

1-7 - 22i + 16 - 02j + 12 - 42k = - 9i + 6j - 2k 1m2.

y y
F ϭ 10i ϩ 60j Ϫ 20k (N)

B (Ϫ7, 6, 2) m B (Ϫ7, 6, 2) m F

(8, 6, 4) m (8, 6, 4) m
Lx
r x
A (2, 0, 4) m L
z
A (2, 0, 4) m
(a)
z

(b)

yy

B (Ϫ7, 6, 2) m F B F
Figura 4.15

eBA (a) Una fuerza F y una línea L.

(b) Vector r de A al punto de aplicación de F.

eAB x x (c) eAB apunta de A a B.
A (2, 0, 4) m
A (d) La regla de la mano derecha indica la
dirección del momento.

wwzw(c) .Frez e(d) Libros.org

150 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Al dividir este vector entre su magnitud, se obtiene un vector unitario eAB que
apunta desde A hacia B (figura 4.15c):

962
eAB -i j k.
= 11 + 11 - 11

El momento de F respecto a L es

#ML = 1eAB MA2eAB

= c a - 9 b1- 120 N-m2 + a 6 b1120 N-m2 + a - 2 b 1300 N-m2 d eAB
11 11 11

= 109eAB 1N-m2.

La magnitud de ML es 109 N-m; la dirección se indica apuntando el pulgar de la
mano derecha hacia eAB.

Si se calcula ML usando el vector unitario eBA, que apunta desde B hacia A, se
obtiene

ML = - 109eBA 1N-m2.

Se obtiene la misma magnitud, y el signo menos indica que ML apunta en la direc-
ción opuesta a eBA, por lo que la dirección de ML es la misma. Por consiguiente, la
regla de la mano derecha indica la misma dirección (figura 4.15d).

En los ejemplos precedentes se demostraron tres resultados útiles que pueden
establecerse en términos más generales:

• Cuando la línea de acción de F es perpendicular a un plano que contenga a L
(figura 4.16a), la magnitud del momento de F respecto a L es igual al produc-
to de la magnitud de F y la distancia D perpendicular desde L hasta el punto
donde la línea de acción interseca al plano: ͉ML͉ ϭ ͉F͉D.

• Cuando la línea de acción de F es paralela a L (figura 4.16b), el momento de
F respecto a L es igual a cero: ML ϭ 0. Como MP ϭ r ϫ F es perpendicular
a F, MP es perpendicular a L y la componente vectorial de MP paralela a L es
igual a cero.

• Cuando la línea de acción de F interseca a L (figura 4.16c), el momento de F
respecto a L es igual a cero. Como es posible elegir cualquier punto sobre L
para evaluar MP, se puede usar el punto donde la línea de acción de F inter-
seca a L. El momento MP respecto a ese punto es igual a cero, por lo que su
componente vectorial paralela a L también es cero.

F P r P F
L F L
L
D

(a) (b) (c)

Figura 4.16
(a) F es perpendicular a un plano que contiene a L.
(b) F es paralela a L.

www.FreeLibros.org(c) LalíneadeaccióndeFintersecaaLenP.

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 151

RESULTADOS
Determinación del momento de una fuerza F respecto a
una línea L

MP ϭ r ϫ F

Elija cualquier punto P sobre la F
línea y determine el momento
MP de F respecto a P. P

r
L

La componente de MP paralela a L, MP P
denotada por ML, es el momento de F L ML
respecto a la línea. (Si se apunta el pulgar

de la mano derecha en la dirección de ML,
los otros dedos apuntarán en la dirección

del momento respecto a la línea).

Si e es un vector unitario paralelo a L,

ML ϭ (eؒMP) e. (4.4)

Casos especiales F
L
Cuando la línea de acción de F es perpendicular al
plano que contiene a L, ͉ML͉ ϭ ͉F͉D, donde D es la D
distancia perpendicular desde L hasta el punto en que la
línea de acción interseca al plano. F
L
Cuando la línea de acción de F es
paralela a L, ML ϭ 0.

Cuando la línea de acción de F P
interseca a L, ML ϭ 0.

F

www.FreeLibrL os.org

152 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo activo 4.6 Momento de una fuerza respecto a una línea (᭤ Relacionado con el problema 4.87)

¿Cuál es el valor del momento de la fuerza F respecto al eje de la barra BC?

y

C (0, 4, 0) m
F ϭ Ϫ2i ϩ 6j ϩ 3k (kN)

A (4, 2, 2) m

B x
z
(0, 0, 3) m

Estrategia
Como se conocen las coordenadas de los puntos A, B y C, es posible determinar el
momento debido a F respecto a un punto sobre el eje de la barra. Se determinará
el momento respecto al punto B. La componente de ese momento paralelo al eje
BC es el momento de F respecto al eje. Mediante la obtención de un vector unita-
rio paralelo al eje, se puede usar la ecuación (4.4) para determinar la componente
paralela.

Solución y

C
F

A
r

x

zB

r ϭ (xA Ϫ xB)i ϩ (yA Ϫ yB)j ϩ (zA Ϫ zB)k Determinación de las componentes
ϭ 4i ϩ 2j Ϫ k (m). del vector desde el punto B hasta
el punto de aplicación de F.

MB ϭ r ϫ F

i jk Cálculo del momento de F
ϭ4 2 Ϫ1 respecto al punto B.
63
Ϫ2

www.FreeLibros.orgϭ12iϪ10jϩ28k(kN-m).

rBC ϭ (xC Ϫ xB)i ϩ (yC Ϫ yB)j ϩ (zC Ϫ zB)k 4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 153
ϭ 4j Ϫ 3k (m).
La obtención de un vector unitario
eBC ϭ rBC ϭ 0.8j Ϫ 0.6k. paralelo al eje BC se logra dividien-
͉rBC͉ do el vector de posición del punto
B al punto C entre su magnitud.

y

C

eBC x
zB

MBC ϭ (eBCؒMB) eBC Aplicación de la ecuación (4.4) para
ϭ [(0)(12) ϩ (0.8)(Ϫ10) ϩ (Ϫ0.6)(28)]eBC determinar el momento de F respecto
ϭ Ϫ24.8eBC (kN-m). al eje BC. Observe el resultado
negativo. Si se apunta el pulgar de la
mano derecha en la dirección opuesta
a la del vector unitario eBC, los otros
dedos apuntan en la dirección del
momento de F respecto al eje BC.

y

C F

eBC A
B x
z

Problema de práctica Determine el momento MC de la fuerza F respecto al punto C.
Úselo para calcular el momento de F respecto al eje BC determinando la componente de
MC paralela al eje.

www.FreeLibros.orgRespuesta:MBCϭϪ24.8eBC(kN-m).

154 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.7 Momento de una fuerza respecto al eje x (᭤ Relacionado con el problema 4.77)

y 50j (lb) ¿Qué valor tiene el momento de la fuerza de 50 lb respecto al eje x?
O x
z Estrategia
(4, 0, 3) pies El momento puede determinarse en dos formas:

Primer método Se pueden usar las ecuaciones (4.5) y (4.6). Como r se puede
extender desde cualquier punto sobre el eje x a la línea de acción de la fuerza,
puede usarse el vector de O al punto de aplicación de la fuerza. El vector e debe
ser un vector unitario a lo largo del eje x; entonces es posible utilizar i o Ϫi.

Segundo método Este ejemplo es el primer caso especial que se estudió, pues la
fuerza de 50 lb es perpendicular al plano x–z. La magnitud y la dirección del
momento se pueden determinar directamente de la información dada.

Solución

Primer método Determinar un vector r. El vector de O al punto de aplicación
y de la fuerza es (figura a)

50j (lb) r ϭ 4i ϩ 3k (pie).

O x Determinar un vector e. Se puede utilizar el vector unitario i.
r (4, 0, 3) pies Evaluar ML. De acuerdo con la ecuación (4.6), el triple producto escalar es

z 1 00

(a) Vector r de O al punto de #i 1r * F2 = 3 4 0 3 3 = Ϫ- 15500 pfti-elsb-.lb.
aplicación de la fuerza.
0 50 0

De la ecuación (4.5), el momento de la fuerza respecto al eje x es

y

M eje x ϭ [i ؒ (r ϫ F)]i ϭ Ϫ150i (pies-lb).

x La magnitud del momento es de 150 pies-lb y su dirección es como se muestra en
la figura b.
Ϫ150i (pies-lb) Segundo método Como la fuerza de 50 lb es perpendicular a un plano (el plano
z x–z) que contiene al eje x, la magnitud del momento respecto al eje x es igual a la
distancia perpendicular del eje x al punto en que la línea de acción de la fuerza
(b) Dirección del momento. interseca al plano x–z (figura c):

͉Meje x͉ ϭ (3 pies)(50 lb) ϭ 150 pies-lb.

y Apuntando con el arco de los dedos en la dirección del momento respecto al eje x
50j (lb) (figura c), la regla de la mano derecha indica que Meje x apunta en la dirección
negativa del eje x. Por lo tanto,

M eje x ϭ Ϫ150i (pies-lb).

x

3 pies Razonamiento crítico

La puerta con bisagras de este ejemplo está diseñada para girar respecto al eje x.
z Si no actúan otras fuerzas sobre la puerta, puede verse que la fuerza ascendente

(c) La distancia del eje x al punto donde la de 50 lb tendería a causar que la puerta girase hacia arriba. Es el momento de la

línea de acción de la fuerza interseca al fuerza respecto al eje x, y no el momento de la fuerza respecto a algún punto, el

plano x–z es igual a 3 pies. La flecha que mide la tendencia de la fuerza a ocasionar que la puerta gire sobre sus bisa-

indica la dirección del momento gras. Aún más, la dirección del momento de la fuerza respecto al eje x indica la

www.FreeLibros.orgrespectoalejex.
dirección en la que la fuerza tiende a causar que la puerta gire (vea la figura b).

4.3 Momento de una fuerza respecto a una línea 155

Ejemplo 4.8 Máquinas giratorias (᭤ Relacionado con el problema 4.100)

El tripulante que se muestra en la figura ejerce las fuerzas indicadas sobre las ma-
nijas de un cabrestante, donde F ϭ 4j ϩ 32k N. Determine el momento total que
ejerce a) respecto al punto O y b) respecto al eje del cabrestante, el cual coincide
con el eje x.

y

(Ϫ0.18, 0.28, 0.1) m

F
O
x

z
؊F

(0.18, Ϫ0.28, Ϫ0.1) m

Estrategia y
a) Para obtener el momento total respecto al punto O, se deben sumar los momen- ©MO
tos de las dos fuerzas respecto a O. Denote la suma mediante ͚MO.

b) Como el punto O está sobre el eje x, el momento total respecto al eje x es la com-
ponente de ͚MO paralela al eje x, que es la componente x de ͚MO.

Solución O
a) El momento total respecto al punto O es
Eje ©Mx x

z

i jk i j k
-0.28 - 0.1 3
©MO = 3 - 0.18 0.28 0.1 3 + 3 0.18
-4 - 32
0 4 32 0

= 17.1i + 11.5j - 1.4k 1N-m2.

(a) Momento total respecto al eje x.

b) El momento total respecto al eje x es la componente x de ͚MO (figura a):

͚Meje x ϭ 17.1 (N-m).

Observe que éste es el resultado dado por la ecuación (4.4): Como i es un vector
unitario paralelo al eje x,

www.FreeLibros.org͚Meje x ϭ (i ؒ ͚MO)i ϭ 17.1 (N-m).

156 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Problemas

᭤ 4.77 La fuerza F ϭ 20i ϩ 40j Ϫ 10k (N). Use los dos proce- 4.81 La persona de la figura ejerce una fuerza
dimientos descritos en el ejemplo 4.7 para determinar el momento F ϭ 0.2i Ϫ 0.4j ϩ 1.2k (lb) sobre la puerta en el punto C.
debido a F respecto al eje z. El punto C pertenece al plano x–y. ¿Qué momento ejerce
la fuerza respecto al eje AB de las bisagras, que coincide
y con el eje y?

y

F A
C
x
3.5 pies
(8, 0, 0) m

z B 2 pies x
Problema 4.77 Problema 4.81

4.78 Use las ecuaciones (4.5) y (4.6) para determinar el momen- 4.82 Cuatro fuerzas actúan sobre la placa mostrada en la figura.
to de la fuerza de 20 N mostrada respecto a a) al eje x, b) al eje y Sus componentes son
y c) al eje z. (Primero determine si puede escribir los resultados
sin usar las ecuaciones.) FA = - 2i + 4j + 2k 1kN2,

y FB = 3j - 3k 1kN2,

(7, 4, 0) m FC = 2j + 3k 1kN2,

20k (N) FD = 2i + 6j + 4k 1kN2.
x
Determine la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto al
z eje x y b) respecto al eje z.
Problema 4.78
y
4.79 Tres fuerzas paralelas al eje y de la figura actúan sobre la
placa rectangular. Use las ecuaciones (4.5) y (4.6) para determinar FA FB
la suma de los momentos de las fuerzas respecto al eje x. (Primero FD
determine si puede escribir los resultados sin usar las ecuaciones). x
4.80 Las tres fuerzas de la figura son paralelas al eje y. Deter- FC 2 m
mine la suma de los momentos de las fuerzas a) respecto al eje y
y b) respecto al eje z. 3m
z
y
Problema 4.82

3 kN

2 kN 6 kN x
600 mm

900 mm
z

www.FreeLibros.orgProblemas4.79/4.80

Problemas 157

4.83 Se tiene una fuerza F ϭ 30i ϩ 20j Ϫ 10k (lb). ᭤ 4.87 En el ejemplo activo 4.6, suponga que la fuerza cambia a
F ϭ Ϫ2i ϩ 3j ϩ 6k (kN). Determine la magnitud del momento de
a) ¿Qué valor tiene el momento de F respecto al eje y de la figura? la fuerza respecto al eje de la barra BC.
4.88 Determine el momento de la fuerza de 20 N mostrada respec-
b) Suponga que la magnitud de F se mantiene fija, pero cambia su to a la línea AB. Use las ecuaciones (4.5) y (4.6) y considere que el
dirección de manera que el momento de F respecto al eje y sea lo vector unitario e apunta a) desde A hacia B y b) desde B hacia A.
más grande posible. ¿Cuál es la magnitud del momento resultante?
y
4.84 El momento de la fuerza F respecto al eje x de la figura es
Ϫ80i (pie-lb), el momento respecto al eje y es igual a cero, y el A (0, 5, 0) m (7, 4, 0) m
momento respecto al eje z es 160k (pie-lb). Si Fy ϭ 80 lb, ¿cuáles
son los valores de Fx y Fz?

y

20k (N)

B x
(Ϫ4, 0, 0) m

F z
Problema 4.88
(4, 2, 2) pies
4.89 Se tiene la fuerza F ϭ Ϫ10i ϩ 5j Ϫ 5k (kip). Determine el
x momento de F respecto a la línea AB mostrada. Trace un bosquejo
z para indicar la dirección del momento.

Problemas 4.83/4.84 y
B
4.85 El manipulador robótico que se muestra en la figura es (6, 6, 0) pies
estacionario. Los pesos de los brazos AB y BC actúan en sus
puntos medios. Los cosenos directores de la línea central del F
brazo AB son cos ux ϭ 0.500, cos uy ϭ 0.866 y cos uz ϭ 0,
mientras que los del brazo BC son cos ux ϭ 0.707, cos uy ϭ 0.619 A x
y cos uz ϭ Ϫ0.342. ¿Qué valor tiene el momento total respecto (6, 0, 0) pies
al eje z debido a los pesos de los brazos?

4.86 En el problema 4.85, ¿cuál es el valor del momento total
respecto al eje x debido al peso de los brazos?

y 600 mm C z
Problema 4.89

600 mm B 160 N 4.90 Se tiene la fuerza F ϭ 10i ϩ 12j Ϫ 6k (N). ¿Cuál es el
200 N momento de F respecto a la línea AO de la figura? Trace un
bosquejo para indicar la dirección del momento.

y

A A F
z (0, 6, 4) m x

O

x

(8, 0, 6) m
z
Problema 4.90
www.FreeLibros.orgProblemas4.85/4.86

158 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.91 La tensión en el cable AB mostrado es de 1 kN. Determine 4.94 Las coordenadas de A son (– 2.4, 0, – 0.6) m y las de B
el momento respecto al eje x debido a la fuerza ejercida sobre la son (Ϫ2.2, 0.7, Ϫ1.2) m. La fuerza ejercida en B por la escota
compuerta por el cable en el punto B. Trace un bosquejo para principal AB del bote de vela es de 130 N. Determine el momen-
indicar la dirección del momento. to de la fuerza respecto a la línea central del mástil (el eje y).
Trace un bosquejo para indicar la dirección del momento.
y
y
A (400, 300, 0) mm

x x

600 mm B
B

1000 mm
z

Problema 4.91

4.92 Determine el momento de la fuerza aplicada en D respecto A z
a la línea recta que pasa a través de las bisagras A y B de la figura. Problema 4.94
(La línea que pasa por A y B pertenece al plano y–z).

4.93 La tensión en el cable CE que se muestra en la figura es
de 160 lb. Determine el momento de la fuerza ejercida por el
cable sobre la cubierta en C respecto a la línea recta que pasa
por las bisagras A y B.

y 20i Ϫ 60j (lb) 4.95 La tensión en el cable AB mostrado es de 200 lb. Determine
6 pies D los momentos respecto a cada uno de los ejes coordenados debi-
EA dos a la fuerza ejercida en B por el cable. Trace bosquejos para
indicar las direcciones de los momentos.

y

A (2, 5, Ϫ2) pies
x

2 pies B 4 pies x
z C

20Њ 4 pies

Problemas 4.92/4.93 z B (10, Ϫ2, 3) pies
Problema 4.95

www.FreeLibros.org

Problemas 159

4.96 La fuerza total ejercida por la manguera de vapor sobre 4.98 La tensión en el cable AB mostrado es de 80 lb. ¿Cuál es
las hojas de la turbina es F ϭ 20i Ϫ 120j ϩ 100k (N), y actúa el momento respecto a la línea CD debido a la fuerza ejercida
efectivamente en el punto (100, 80, 300) mm. ¿Qué momento por el cable sobre la pared en B?
se ejerce respecto al eje de la turbina (el eje x)?
y B
y
Fijo 8 pies
Giratorio 3 pies

C

x 6 pies

x
D

z Problema 4.96 z A (6, 0, 10) pies
Problema 4.98
4.97 El soporte neumático AB sostiene la tapa de un portae-
quipaje en su lugar. Ejerce una fuerza de 35 N sobre el montaje 4.99 La magnitud de la fuerza F es de 0.2 N y sus cosenos
en B que apunta en la dirección desde A hacia B. Determine la directores son cos ux ϭ 0.727, cos uy ϭ Ϫ0.364 y cos uz ϭ 0.582.
magnitud del momento de la fuerza respecto al eje de la bisagra Determine la magnitud del momento de F respecto al eje AB de
de la tapa, que es el eje z. la bobina.

y

A B
(Ϫ100, 500, 400) mm (200, 400, 0) mm

y (160, 475, 290) mm
B (60, 100, Ϫ30) mm P

O F
x

z
Problema 4.99

z

x

www.FreeLibros.orgProblema4.97A
(480, Ϫ40, 40) mm

160 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos 4.102 El eje de una rueda de un automóvil pasa a través del
sistema coordenado que se muestra en la figura y sus cosenos
᭤ 4.100 Un conductor aplica las dos fuerzas mostradas directores son cos ux ϭ 0.940, cos uy ϭ 0, cos uz ϭ 0.342. La
para aflojar una tuerca. Los cosenos directores de F son fuerza ejercida sobre la llanta por el camino actúa de manera
cos ux = 143, cos uy = 1123, y cos uz = 133. Si la magnitud del efectiva en el punto x ϭ 0, y ϭ Ϫ0.36 m, z ϭ 0 y tiene compo-
momento respecto al eje x debe ser de 32 pie-lb para que nentes F ϭ Ϫ720i ϩ 3660j ϩ 1240k (N). ¿Cuál es el momento
se afloje la tuerca, ¿cuál es la magnitud de las fuerzas que se de F respecto al eje de la rueda?
deben aplicar? (Vea el ejemplo 4.8).

y

؊F F

z
y

16 16 x
pulg pulg
x
Problema 4.100

4.101 La tensión en el cable AB mostrada es de 2 kN. ¿Cuál es z
la magnitud del momento respecto al eje CD debido a la fuerza
ejercida por el cable en A? Trace un bosquejo para indicar el Problema 4.102
sentido del momento respecto al eje.
4.103 Los cosenos directores de la línea central OA son cos
2m ux ϭ 0.500, cos uy ϭ 0.866 y cos uz ϭ 0, y los de la línea AG
C son cos ux ϭ 0.707, cos uy ϭ 0.619 y cos uz ϭ Ϫ0.342. ¿Cuál
es el momento respecto a OA debido al peso de 250 N? Trace
A un bosquejo para indicar el sentido del momento respecto al eje.

2m

D y 750 mm G
B 1m A 250 N

3m
Problema 4.101

600 mm

O
z

x

www.FreeLibros.orgProblema4.103

Problemas 161

4.104 El radio del volante mide 200 mm. La distancia de O a C 4.106 En la figura, el peso W causa una tensión de 100 lb en
es de 1 m. El centro C del volante se encuentra en el plano x–y. el cable CD. Si d ϭ 2 pies, ¿cuál es el momento respecto al eje z
El conductor ejerce una fuerza F ϭ 10i ϩ 10j Ϫ 5k (N) sobre debido a la fuerza ejercida por el cable CD en el punto C?
el volante en A. Si el ángulo a ϭ 0, ¿cuál es la magnitud del
momento respecto al eje OC? Dibuje un bosquejo para indicar la y
dirección del momento respecto al eje.

y (12, 10, 0) pies

D
(0, 3, 0) pies

CF W
A C

O 20Њ d x
z a
z
x (3, 0, 10) pies
Problema 4.106

Problema 4.104

4.105* La magnitud de la fuerza F es 10 N. Suponga que desea 4.107* El eje y apunta hacia arriba. El peso de la placa rectangu-
elegir la dirección de la fuerza F de manera que la magnitud de su lar de 4 kg que se muestra en la figura actúa en el punto medio G
momento respecto a la línea L sea máxima. Determine las compo- de la placa. La suma de los momentos respecto a la línea recta que
nentes de F y la magnitud de su momento respecto a L. (Existen pasa por los soportes A y B debidos al peso de la placa y la fuerza
dos soluciones para F). ejercida sobre la placa por el cable CD es igual a cero. ¿Cuál es la
tensión en el cable?
y
A (3, 8, 0) m y

(100, 500, 700) mm A
(100, 250, 0) mm

D

L F G x
P (12, 4, 4) m B
B
(0, 2, 6) m

x (0, 180, 360) mm C (200, 55, 390) mm
z z Problema 4.107

Problema 4.105

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162 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.4 Pares

ANTECEDENTES

Ahora que se ha descrito cómo calcular el momento debido a una fuerza, conside-
re esta pregunta: ¿es posible ejercer un momento sobre un cuerpo sin someterlo a
una fuerza neta? La respuesta es sí, y sucede siempre que se toca un disco com-
pacto, se pone en marcha el rotor de un motor eléctrico o se aprieta un tornillo con
un desarmador. Sobre esos cuerpos se ejercen fuerzas, pero en una forma tal que
la fuerza neta es nula mientras que el momento neto no lo es.

Dos fuerzas que tienen igual magnitud, direcciones opuestas y líneas de
acción diferentes se denominan par (figura 4.17a). Un par tiende a generar rotacio-
nes aún cuando la suma vectorial de las fuerzas sea nula, y tiene la notable propie-
dad de que el momento que ejerce es el mismo respecto a cualquier punto.

El momento de un par es simplemente la suma de los momentos de las fuerzas
respecto a un punto P (figura 4.17b):

M = [r1 * F] + [r2 * 1 - F2] = 1r1 - r22 * F.

El vector r1 Ϫ r2 es igual al vector r mostrado en la figura 4.17c, por lo que es
posible expresar el momento como

M = r * F.

Como r no depende de la posición de P, el momento M es el mismo para cual-
quier punto P.

Debido a que un par ejerce un momento pero la suma de las fuerzas es nula,
se suele representar en los diagramas simplemente el momento (figura 4.17d).
Como el gato Cheshire en Alicia en el país de las maravillas, que desaparece
excepto su sonrisa, las fuerzas no aparecen; sólo se ve el momento que ejercen.
Sin embargo, se reconoce el origen del momento al hacer referencia a él como
momento de un par o simplemente par.

F F F

؊F r1 ؊F r
(a) r1
P r2 P r2 ؊F
(b)
(c)

FF

M D M ؊F
(d) (f)
؊F
(e)

Figura 4.17
(a) Un par.
(b) Determinación del momento respecto a P.
(c) Vector r ϭ r1 Ϫ r2.
(d) Representación del momento del par.
(e) La distancia D entre las líneas de acción.

www.FreeLibros.org(f) MesperpendicularalplanoquecontieneFyϪF.

yy 4.4 Pares 163

y 8 kN-m
x
(3, 7, 0) m (3, 7, 0) m
(c)
2j (kN) Ϫ2j (kN) 2j (kN)
Ϫ2j (kN)
r2
(7, 2, 0) m (7, 2, 0) m
x
r1 x
(a)
O
(b)

Figura 4.18
(a) Par consistente en fuerzas de 2 kN.
(b) Determinación de la suma de los momentos de las fuerzas respecto a O.
(c) Representación de un par en dos dimensiones.

Observe en la figura 4.17c que M ϭ r ϫ F es el momento de F respecto a
un punto sobre la línea de acción de la fuerza ϪF. La magnitud del momento de
una fuerza respecto a un punto es igual al producto de la magnitud de la fuerza
y la distancia perpendicular del punto a la línea de acción de la fuerza, es decir,
͉M ͉ ϭ D͉F͉, donde D es la distancia perpendicular entre las líneas de acción de
las dos fuerzas (figura 4.17e). El producto cruz r ϫ F es perpendicular a r y a
F, lo cual significa que M es perpendicular al plano que contiene a F y a ϪF
(figura. 4.17f). Si el pulgar de la mano derecha apunta hacia M, los arcos de los
otros dedos indican el sentido del momento.

En la figura 4.18a, el punto de vista es perpendicular al plano que contiene las
dos fuerzas. La distancia entre las líneas de acción de las fuerzas es de 4 m, por lo
que la magnitud del momento del par es ͉M͉ ϭ (4 m)(2 kN) ϭ 8 kN-m. El momen-
to M es perpendicular al plano que contiene las dos fuerzas. Con el arco de los dedos
de la mano derecha indicando el sentido contrario al movimiento de las maneci-
llas del reloj, se encuentra que la regla de la mano derecha señala que M apunta
hacia afuera de la página. Por lo tanto, el momento del par es

M = 8k 1kN-m2.

También es posible determinar el momento del par calculando la suma de los
momentos de las dos fuerzas respecto a cualquier punto. La suma de los momen-
tos de las fuerzas respecto al origen O es (figura 4.18b)

M = [r1 * 12j2] + [r2 * 1 - 2j2] (a)
= [17i + 2j2 * 12j2] + [13i + 7j2 * 1- 2j2]

= 8k 1kN-m2. F

En una situación bidimensional como la de este ejemplo, no es conveniente M
representar un par mostrando el vector de momento, puesto que el vector es per-

pendicular a la página. En vez de esto, se representa el par mostrando su magni-

tud y una flecha circular que indica su sentido (figura 4.18c). F
Si se sujeta una barra y se tuerce (figura 4.19a), se ejercerá un momento res-

pecto a su eje (figura 4.19b). Aunque el sistema de fuerzas sobre la barra está dis- (b) (c)

tribuido de manera complicada sobre la superficie, el efecto es el mismo que si se Figura 4.19
ejercieran dos fuerzas iguales y opuestas (figura 4.19c). Al representar un par (a) Torcimiento de una barra.

como en la figura 4.19b, o mostrar el vector de momento M, se implica que algún
sistema de fuerzas ejerce ese momento. El sistema de fuerzas (como las que se

www.FreeLibros.orgejercen al torcer la barra, o las fuerzas sobre un cigüeñal que ejerce un momento
(b) El momento respecto al eje de la barra.
(c) Se obtiene el mismo efecto aplicando dos

fuerzas iguales y opuestas.

164 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

sobre el eje de transmisión de un automóvil) casi siempre es más complicado que
dos fuerzas iguales y opuestas, aunque el efecto es el mismo. Por ello, es posible
modelar el sistema real como un sistema simple de dos fuerzas.

RESULTADOS F

Dos fuerzas con magnitudes iguales, ؊F
direcciones opuestas y líneas de F
acción diferentes se llama un par.
D
El momento respecto a un punto debido a ؊F
un par es la suma de los momentos de sus
dos fuerzas respecto a ese punto. El
momento M debido a un par es el mismo
respecto a cualquier punto. Su magnitud es
D͉F͉, donde D es la distancia perpendicular
entre las líneas de acción de las fuerzas. El
vector M es perpendicular al plano que
contiene las líneas de acción.

Debido a que la fuerza total ejercida por un par es igual a cero, M
a menudo un par se representa mediante el momento que ejerce.

y

Cuando las líneas de acción de las fuerzas de M
un par se encuentran en el plano x–y, el par
puede representarse mediante su magnitud y
una flecha circular que indica su dirección.

x

Ejemplo activo 4.9 Momento de un par (᭤ Relacionado con el problema 4.108)

La fuerza F ϭ 10i Ϫ 4j (N). Determine el momento debido al par y represéntelo
mediante su magnitud y una flecha circular que indique su dirección.

y

(6, 6, 0) m
؊F

(8, 3, 0) m

F
x

Estrategia
Se usarán dos métodos para determinar el momento. En el primer método, se ele-
girá un punto y se calculará la suma de los momentos de las fuerzas respecto a ese
punto. Como el momento debido a un par es el mismo respecto a cualquier punto,
se puede elegir cualquier punto conveniente. En el segundo método, se sumarán

www.FreeLibros.orglos momentos de los dos pares formados por las componentes x e y de las fuerzas.

4.4 Pares 165

Solución
Primer método

y

؊F (6, 6, 0) m
r
(8, 3, 0) m

F

x

M ϭ r ϫ (ϪF) Cálculo de la suma de los momentos
ϭ (Ϫ2i ϩ 3j) ϫ (Ϫ10i ϩ 4j) de las dos fuerzas respecto al punto de
ϭ 22k (N-m). aplicación de la fuerza F.

La magnitud del momento es 22 N-m. Si se y
apunta el pulgar de la mano derecha en la
dirección del vector unitario k, se deduce 22 N-m
que la dirección del momento en el plano
x–y es en sentido contrario al movimiento x
de las manecillas del reloj.
4N
Segundo método y y (6, 6, 0) m
10 N (6, 6, 0) m ؉
Las componentes de las x (8, 3, 0) m
dos fuerzas forman dos (8, 3, 0) m 4N
pares. 10 N

x

La magnitud del momento debido al par de 10 N es
(3 m)(10 N) ϭ 30 N-m, y su sentido es en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
La magnitud del momento debido al par de 4 N es
(2 m)(4 N) ϭ 8 N-m, y su sentido en dirección del
movimiento de las manecillas del reloj. Por lo tanto,
el momento en sentido contrario al movimiento de las
manecillas del reloj total es 30 Ϫ 8 ϭ 22 N-m.

Problema de práctica Use el producto cruz para calcular la suma de los momentos
F y ϪF respecto al punto P con coordenadas (10, 7, 3) m. Represente el momento me-
diante su magnitud y una flecha circular que indique su dirección.

www.FreeLibros.orgRespuesta: 22k (N-m), o 22 N-m en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.

166 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.10 Determinación de fuerzas desconocidas (᭤ Relacionado con el problema 4.113)

Dos fuerzas, A y B, y un par de 200 pies-lb actúan sobre la viga mostrada. La suma
de las fuerzas es igual a cero, y los momentos respecto al extremo izquierdo de la
viga también suman cero. ¿Qué valor tienen las fuerzas A y B?

y
200 pies-lb

AB

4 pies 4 pies

x

Estrategia
Al sumar las dos fuerzas (el par no ejerce fuerza neta sobre la viga) y al sumar los
momentos debidos a las fuerzas y el par respecto al extremo izquierdo de la viga,
se obtendrán dos ecuaciones en términos de las fuerzas desconocidas.

Solución
La suma de las fuerzas es

͚Fy ϭ A ϩ B ϭ 0.

El momento del par (200 pies-lb, en sentido del movimiento de las manecillas del
reloj) es el mismo respecto a cualquier punto, por lo que la suma de los momen-
tos respecto al extremo izquierdo es

͚Mextremo izquierdo ϭ (4 pies) B Ϫ 200 pies-lb ϭ 0.

Las fuerzas son B ϭ 50 lb y A ϭ Ϫ50 lb.

y
200 pies-lb

50 lb 50 lb x
4 pies 4 pies

Las fuerzas sobre la viga forman un par.

Razonamiento crítico
Observe que el momento total respecto al extremo izquierdo de la viga es la suma
del momento debido a la fuerza B y el momento debido al par de 200 pies-lb. Como
se observará en el capítulo 5, si un objeto sometido a fuerzas y pares está en equi-
librio, la suma de las fuerzas es igual a cero y la suma de los momentos respecto
a cualquier punto, incluyendo los momentos debidos a pares, también es igual a
cero. En este ejemplo se necesitaron ambas condiciones para determinar las fuer-

www.FreeLibros.orgzas desconocidas A y B.

4.4 Pares 167

Ejemplo 4.11 Suma de los momentos debidos a dos pares (᭤ Relacionado con el problema 4.119)

Determine la suma de los momentos ejercidos por los dos pares sobre el tubo que
se muestra en la figura.

y

20 N 2m 30 N 30 N
20 N 4m 4m

60Њ x

60Њ

z

Estrategia
Se expresará el momento ejercido por cada par como un vector. Para expresar el par
de 30 N en términos de un vector, se expresarán las fuerzas en términos de sus com-
ponentes. Después se pueden sumar los vectores de momento para determinar la
suma de los momentos ejercidos por los pares.

Solución
Considere el par de 20 N. La magnitud del momento del par es (2 m)(20 N) ϭ 40
N-m. La dirección del vector de momento es perpendicular al plano y–z, y la regla
de la mano derecha indica que el vector apunta en la dirección positiva del eje x. El
momento del par de las fuerzas de 20 N es 40i (N-m).

Descomponiendo las fuerzas de 30 N en sus componentes y y z, se obtienen
los dos pares mostrados en la figura a. El momento del par formado por las com-
ponentes y es Ϫ(30 sen 60°)(4)k (N-m), y el momento del par formado por las
componentes z es (30 cos 60°)(4)j (N-m).

Por lo tanto, la suma de los momentos es

͚M ϭ 40i ϩ (30 cos 60°)(4)j Ϫ (30 sen 60°)(4)k (N-m)

ϭ 40i ϩ 60j Ϫ 104k (N-m).

y

30 sen 60Њ N 30 sen 60Њ N

4m
x

30 cos 60Њ N 30 cos 60Њ N (a) Descomposición de las fuerzas de 30 N en
componentes y y z.
z

Razonamiento crítico
Aunque el método usado en este ejemplo ayuda a reconocer las contribuciones de
los pares individuales en la suma de los momentos, sólo es conveniente cuando las
orientaciones de las fuerzas y sus puntos de aplicación relativos al sistema coorde-
nado son suficientemente simples. Cuando no es éste el caso, la suma de los
momentos se puede determinar escogiendo cualquier punto y calculando la suma

www.FreeLibros.orgde los momentos de las fuerzas respecto a ese punto.

168 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Problemas

᭤ 4.108 En el ejemplo activo 4.9, suponga que el punto de apli- 4.112 Se aplican tres fuerzas de igual magnitud paralelas a los
cación de la fuerza F se mueve de (8, 3, 0) m a (8, 8, 0) m. Trace lados de un triángulo equilátero. a) Demuestre que la suma de
un bosquejo que muestre la nueva posición de la fuerza. Con base los momentos de las fuerzas es el mismo respecto a cualquier
en su bosquejo, ¿el momento debido al par será en dirección del punto. b) Determine la magnitud de la suma de los momentos.
movimiento de las manecillas del reloj o en sentido contrario?
Calcule el momento debido al par. Represente el momento me- FL
diante su magnitud y una flecha circular que indique la dirección. F

4.109 Las fuerzas están contenidas en el plano x–y. F
Problema 4.112
a) Determine el momento del par mostrado en la figura y repre-
séntelo como en la figura 4.18c.

b) ¿Qué valor tiene la suma de los momentos de las dos fuerzas
respecto al punto (10, Ϫ40, 20) pies?

y

1000 lb 1000 lb ᭤ 4.113 En el ejemplo 4.10, suponga que el par de 200 pies-lb
60Њ 60Њ es en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj.
20 pies 20 pies Trace un bosquejo de la viga que muestre las fuerzas y el par que
x actúan sobre ésta. ¿Cuál es el valor de las fuerzas A y B?

Problema 4.109 4.114 En la figura se muestran los momentos de dos pares.
¿Cuál es el valor de la suma de los momentos respecto al punto P?
4.110 El momento del par es 600k (N-m). ¿Cuál es el valor del
y
ángulo a? 50 pies-lb

y

(0, 4) m 100 N P x
a (Ϫ4, 0, 0) pies 10 pies-lb
100 N
a
(5, 0) m x

Problema 4.114

Problema 4.110 4.115 Determine la suma de los momentos ejercidos por los dos
pares sobre la placa que se muestra en la figura.
4.111 El punto P está contenido en el plano x–y, ͉F ͉ ϭ 100 N, y
el momento del par es Ϫ500k (N-m). ¿Cuáles son las coordenadas

de P? y y
P 3 pies
30Њ 30 lb

F

30 lb

؊F 2 pies
70Њ 20 lb

x x

20 lb

5 pies 4 pies

www.FreeLibros.orgProblema4.111
Problema 4.115

Problemas 169

4.116 Determine la suma de los momentos ejercidos respecto a 4.120 a) En la figura, ¿cuál es el momento del par?
A por el par y las dos fuerzas. b) Determine la distancia perpendicular entre las líneas de acción
de las dos fuerzas.
100 lb 400 lb
y
900 pies-lb

AB

(0, 4, 0) m

3 pies 4 pies 3 pies 4 pies

Problema 4.116 2i Ϫ 2j Ϫ k (kN)

Ϫ2i ϩ 2j ϩ k (kN)

4.117 Determine la suma de los momentos ejercidos respecto a x
A por el par y las dos fuerzas.

100 N (0, 0, 5) m
30Њ z

200 N 0.2 m Problema 4.120
A
4.121 Determine la suma de los momentos ejercidos por los tres
300 N-m pares sobre la placa que se muestra. (Las fuerzas de 80 lb están
contenidas en el plano x–z).
0.2 m 0.2 m 0.2 m

Problema 4.117 y

3 pies 3 pies

4.118 La suma de los momentos respecto al punto A debidos a 20 lb 20 lb
las fuerzas y pares que actúan sobre la barra es igual a cero.
40 lb x
a) ¿Cuál es la magnitud del par C? 8 pies

b) Determine la suma de los momentos respecto al punto B
debidos a las fuerzas y pares que actúan sobre la barra.

B z 60Њ 80 lb 40 lb
3m 60Њ 80 lb

4 kN Problema 4.121
C
20 kN-m

4 kN A 4.122 ¿Cuál es la magnitud de la suma de los momentos ejer-
5 kN cidos por los dos pares sobre el dispositivo en forma de T que
se muestra en la figura?

2 kN 3 kN

5 m 3m 3 pies 3 pies 50i ϩ 20j Ϫ 10k (lb)
y

Problema 4.118 50j (lb)

᭤ 4.119 En el ejemplo 4.11, suponga que en vez de actuar en z 3 pies
la dirección positiva del eje z, la fuerza superior de 20 N actúa x
en la dirección positiva del eje x. En lugar de actuar en la direc- Ϫ50j (lb)
3 pies

ción negativa del eje z, considere que la fuerza inferior de 20 N

actúa en la dirección negativa del eje x. Trace un bosquejo del Ϫ50i Ϫ20j ϩ 10k (lb)

tubo donde se muestren las fuerzas que actúan sobre él. Deter- Problema 4.122
mine la suma de los momentos ejercidos por los dos pares sobre

www.FreeLibros.orgeltubo.

170 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.123 La tensión en los cables AB y CD es de 500 N. 4.125 La barra que se muestra está cargada por las fuerzas
a) Demuestre que las dos fuerzas ejercidas por los cables sobre la
compuerta rectangular en B y en C forman un par. FB = 2i + 6j + 3k 1kN2,
b) ¿Cuál es el momento ejercido por los cables sobre la placa? FC = i - 2j + 2k 1kN2,
y el par
y
A (0, 2, 0) m MC = 2i + j - 2k 1kN-m2.
Determine la suma de los momentos de las dos fuerzas y el par
respecto a A.

4.126 Se tienen las fuerzas

3m B FB = 2i + 6j + 3k 1kN2,
z x FC = i - 2j + 2k 1kN2,

3m y el par

C MC = MCy j + MC z k 1kN-m2.

Determine los valores de MCy y MCz tales que la suma de los mo-
mentos de las dos fuerzas y el par respecto a A sea igual a cero.

y

(6, –2, 3) m FB
D

Problema 4.123 MC

AB C

4.124 Los cables AB y CD ejercen un par sobre el tubo vertical. 1m x
La tensión en cada cable es 8 kN. Determine la magnitud del z
momento que ejercen los cables sobre el tubo. 1m

FC

(Ϫ1.6, 2.2, Ϫ1.2) m y Problemas 4.125/4.126

D 4.127 Se usan dos llaves para apretar un codo hidráulico. La
fuerza F ϭ 10k (lb) se aplica en (6, Ϫ5, Ϫ3)pulg sobre la llave
C de la derecha, y la fuerza ϪF se aplica en (4, Ϫ5, 3) pulg sobre
(Ϫ0.2, 1.6, Ϫ0.2) m la llave de la izquierda.

a) Determine el momento respecto al eje x de la fuerza ejercida
sobre la llave derecha.

b) Determine el momento del par formado por las fuerzas que se
ejercen sobre las dos llaves.

c) Con base en esos resultados, explique por qué se usan dos llaves.

y

A (0.2, 0.6, 0.2) m

x

z x
F
zB (1.6, 0, 1.2) m
Problema 4.124

؊F

www.FreeLibros.orgProblema4.127

4.5 Sistemas equivalentes 171

4.5 Sistemas equivalentes

ANTECEDENTES

Un sistema de fuerzas y momentos es simplemente un conjunto particular de fuer-
zas y momentos de pares. Los sistemas de fuerzas y momentos que se estudian en
ingeniería pueden ser complicados. En especial, esto es cierto cuando se tienen
fuerzas distribuidas, como las fuerzas de presión ejercidas por el agua sobre una
presa. Pero si sólo interesan la fuerza total y el momento total ejercidos, un siste-
ma complicado de fuerzas y momentos se puede representar mediante un sistema
mucho más sencillo.

Condiciones de equivalencia

Se definen los dos sistemas, 1 y 2, como equivalentes si las sumas de las fuerzas
son iguales, o

1©F21 = 1©F22, (4.7)

y si las sumas de los momentos respecto a un punto P son también iguales, o

1©MP21 = 1©MP22. (4.8)

Para ver qué significan las condiciones de equivalencia, considere los sistemas
de fuerzas y momentos de la figura 4.20a. En el sistema 1, un cuerpo está someti-
do a las fuerzas FA y FB y a un par MC. En el sistema 2, el objeto está sometido a
la fuerza FD, y a dos pares ME y MF. La primera condición para la equivalencia es

1©F21 = 1©F22: (4.9)
FA + FB = FD.

Sistema 1 Sistema 2
FB ME

MC
FD

FA
MF

(a)

Sistema 1 Sistema 2
FB ME

MC

FD

FA rA rB rD Figura 4.20

(a) Diferentes sistemas de fuerzas y momentos

P P MF aplicados a un objeto.
(b) Determinación de la suma de los momentos
www.FreeLibros.org(b) respectoaunpuntoPencadasistema.

172 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Si se determinan las sumas de los momentos respecto al punto P de la figura 4.20b,
la segunda condición para la equivalencia es

Sistema 1 1©MP21 = 1©MP22:
FB
1rA * FA2 + 1rB * FB2 + MC = 1rD * FD2 + ME + MF. (4.10)
MC
Si estas condiciones se satisfacen, los sistemas 1 y 2 son equivalentes.
rЈB Se usará este ejemplo para demostrar que si las sumas de las fuerzas son igua-

FA rЈA les para dos sistemas de fuerzas y momentos y las sumas de los momentos respecto
a un punto P son iguales, entonces las sumas de los momentos respecto a cualquier
punto son iguales. Suponga que se satisface la ecuación (4.9) y que la ecuación
(4.10) se satisface para el punto P en la figura 4.20b. Para un punto diferente PЈ
(figura 4.21), se demostrará que

Pr PЈ 1©MP¿21 = 1©MP¿22 :
1rAœ * FA2 + 1rBœ * FB2 + MC = 1rDœ * FD2 + ME + MF.
(4.11)

Sistema 2 En términos del vector r de PЈ a P, las relaciones entre los vectores rЈA, rЈB y rЈD de
ME la figura 4.21 y los vectores rA, rB y rD de la figura 4.20b son

rAœ = r + rA, rBœ = r + rB, rDœ = r + rD.

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (4.11), se obtiene

FD

rЈD [1r + rA2 * FA] + [1r + rB2 * FB] + MC
MF = [1r + rD2 * FD] + ME + MF.

Pr PЈ Reordenando los términos, esta ecuación puede escribirse como

Figura 4.21 [r * 1©F21] + 1©MP21 = [r * 1©F22] + 1©MP22,
Determinación de la suma de los momentos
respecto a un punto diferente PЈ. que se cumple en vista de las ecuaciones (4.9) y (4.10). Las sumas de los momentos
de los dos sistemas respecto a cualquier punto son iguales.

Sistema 1 Representación de sistemas mediante sistemas
equivalentes
F1 M1
F2 M2 Si sólo interesan la fuerza y el momento totales ejercidos sobre un cuerpo por un
MK sistema dado de fuerzas y momentos, este sistema se puede representar con uno
FN equivalente. Esto significa que en vez de mostrar las fuerzas y los momentos
P M reales que actúan sobre un cuerpo, se puede mostrar un sistema diferente que
Sistema 2 ejerza la misma fuerza y el mismo momento totales. De esta manera, un sistema
dado se reemplazaría por otro menos complicado para simplificar el análisis de las
fuerzas y momentos que actúan sobre el cuerpo, así como para comprender mejor
sus efectos sobre el objeto.

Representación de un sistema mediante una fuerza y un par Considere
un sistema arbitrario de fuerzas y momentos y un punto P (sistema 1 de la figura
4.22). Este sistema se puede representar con otro sistema que consista en una sola
fuerza actuando en P y un solo par (sistema 2). Las condiciones de equivalencia son

F 1©F22 = 1©F21:
P F = 1©F21

Figura 4.22 y

(a) Un sistema arbitrario de fuerzas y
momentos.

www.FreeLibros.org(b) UnafuerzaqueactúaenPyunpar.
1©MP22 = 1©MP21:
M = 1©MP21.

4.5 Sistemas equivalentes 173

Estas condiciones se satisfacen si F es igual a la suma de las fuerzas del sistema 1 Sistema 1 Sistema 2
y M es igual a la suma de los momentos respecto a P en el sistema 1. FP

Por consiguiente, no importa la complejidad de un sistema de fuerzas y P PF M
momentos, siempre se podrá representar con una sola fuerza actuando en cierto
punto y un solo par. QQ
(a)
Representación de una fuerza mediante una fuerza y un par Una fuerza
FP que actúa en un punto P (sistema 1 en la figura 4.23a), puede representarse por Sistema 1
medio de una fuerza F actuando en un punto Q diferente y un par M (sistema 2). El FP
momento del sistema 1 respecto al punto Q es r ϫ FP, donde r es el vector de Q a
P (figura 4.23b). Las condiciones de equivalencia son P

1©F22 = 1©F21: r

F = FP Q
y (b)

1©MQ22 = 1©MQ21: Figura 4.23
(a) El sistema 1 es una fuerza FP que actúa
M = r * FP.
en el punto P. El sistema 2 consiste en
Los sistemas son equivalentes si la fuerza F es igual a la fuerza FP y el par M es una fuerza F que actúa en el punto Q y
igual al momento de FP respecto a Q. un par M.
(b) Determinación del momento del sistema 1
Fuerzas concurrentes representadas por una fuerza Un sistema de fuerzas respecto al punto Q.
concurrentes cuyas líneas de acción se corten en un punto P (sistema 1 en la figura
4.24) se puede representar con una sola fuerza cuya línea de acción interseque a P Sistema 1 Sistema 2
(sistema 2). Las dos sumas de las fuerzas en los dos sistemas son iguales si F2 FN F
F1
F = F1 + F2 + Á + FN. P
P
La suma de los momentos respecto a P es igual a cero en cada sistema, por lo tanto
los sistemas son equivalentes si la fuerza F es igual a la suma de las fuerzas en el Figura 4.24
sistema 1. Un sistema de fuerzas concurrentes y un
sistema que consiste en una sola fuerza F.
Fuerzas paralelas representadas por una fuerza Un sistema de fuerzas
paralelas cuya suma no sea cero puede representarse mediante una sola fuerza F
(figura 4.25). En el ejemplo 4.14 se demostrará este resultado.

Representación de un sistema mediante una llave de
torsión

Se demostró que cualquier sistema de fuerzas y momentos se puede representar
con una fuerza actuando en un punto y un par. Lo anterior hace surgir una pregun-
ta interesante: ¿Cuál es el sistema más simple equivalente a cualquier sistema de
fuerzas y momentos?

Sistema 1 Sistema 2
F
F1 F3
F2

Figura 4.25

www.FreeLibros.orgUn sistema de fuerzas paralelas y un sistema que consiste en una sola fuerza F.

174 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos Sistema 1 F
F
F

M Q Q

P P r
(a) (b) P

(c)

Sistema 1 Sistema 2
y y F ϭ Fj
F ϭ Fj

My j M My j

P Mx i x Q
z D
Px
(d) z
(e)

Figura 4.26
(a) El sistema 1 es una sola fuerza y un solo par.
(b) ¿Puede representarse el sistema 1 con una sola fuerza y ningún par?
(c) El momento de F respecto a P es r ϫ F.
(d) F actúa a lo largo del eje y y M está contenido en el plano x–y.
(e) El sistema 2 es la fuerza F y la componente de M paralela a F.

Para considerar esta pregunta, se comenzará con una fuerza arbitraria F que
actúa en un punto P y un par arbitrario M (sistema 1 en la figura 4.26a) y se verá
si es posible representar este sistema con otro más simple. Por ejemplo, ¿podría
representarse con la fuerza F actuando en un punto Q diferente y ningún par (figu-
ra 4.26b)? La suma de las fuerzas es igual que en el sistema 1. Si se elige un punto
Q tal que r ϫ F ϭ M, donde r es el vector de P a Q (figura 4.26c), la suma de los
momentos respecto a P será igual que en el sistema 1 y los sistemas serán equiva-
lentes. Pero el vector r ϫ F es perpendicular a F, por lo que puede ser igual a M
sólo si M es perpendicular a F. Esto significa que, en general, no es posible repre-
sentar el sistema 1 sólo con la fuerza F.

Sin embargo, el sistema 1 puede representarse por medio de la fuerza F
actuando en un punto Q y la componente de M que es paralela a F. En la figu-
ra 4.26d se muestra el sistema 1 con un sistema de coordenadas ubicado de
modo que F está sobre el eje y y M está contenido en el plano x–y. En términos
de este sistema coordenado, es posible expresar la fuerza y el par como F ϭ Fj
y M ϭ Mx i ϩ My j. El sistema 2 de la figura 4.26e consiste en la fuerza F
actuando en un punto sobre el eje z y la componente de M paralela a F. Si se
elige la distancia D tal que D ϭ Mx͞F, el sistema 2 es equivalente al sistema 1.
La suma de las fuerzas en cada sistema es F. La suma de los momentos respecto
a P en el sistema 1 es M, mientras que en el sistema 2 es

1©MP22 = [1 - Dk2 * 1F j2] + My j = Mx i + My j = M.

www.FreeLibros.orgUna fuerza F y un par Mp paralelo a F se denominan llave de torsión. Es el
sistema más simple que puede ser equivalente a un sistema arbitrario de fuerzas
y momentos.

4.5 Sistemas equivalentes 175

FF
Mp

M

M
PP

Mn
(a) (b)

FF

Mp Mp Figura 4.27
(a) Si es necesario, represente primero el

sistema con una sola fuerza y un solo par.

(b) Componentes de M paralela y normal a F.

P P Q (c) Llave de torsión.
Q rPQ (d) Escoja Q tal que el momento de F

respecto a P sea igual a la componente

(c) (d) normal de M.

¿Cómo se puede representar un sistema dado de fuerzas y momentos por
medio de una llave de torsión? Si el sistema consta de una sola fuerza o un solo
par, o si consta de una fuerza F y un par que es paralelo a F, se tendrá una llave de
torsión y no podrá simplificarse más. Si el sistema es más complicado que una sola
fuerza y un solo par, se comienza escogiendo un punto P conveniente y represen-
tando el sistema mediante una fuerza F actuando en P y un par M (figura 4.27a).
Luego, la representación de este sistema mediante una llave de torsión requiere de
dos pasos:

1. Se determinan las componentes paralela y normal a F de M (figura 4.27b).

2. La llave de torsión consiste en la fuerza F actuando en un punto Q y la com-
ponente paralela MP (figura 4.27c). Para lograr la equivalencia, se debe
escoger el punto Q de manera que el momento de F respecto a P sea igual
a la componente normal Mn (figura 4.27d); es decir, tal que rPQ ϫ F ϭ Mn.

RESULTADOS
Sistemas equivalentes de fuerzas y momentos

Un sistema de fuerzas y momentos es simplemente un conjunto particular
de fuerzas y momentos debidos a pares. Se define que dos sistemas de
fuerzas y momentos, designados como sistema 1 y sistema 2, son
equivalentes si se satisfacen dos condiciones:
1. La suma de las fuerzas en el sistema 1 es igual a la suma de las

fuerzas en el sistema 2.
2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto P debidos a

las fuerzas y a los momentos en el sistema 1 es igual a la suma
de los momentos respecto al mismo punto P debidos a las fuerzas

www.FreeLibros.orgy momentos en el sistema 2.

176 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos Sistema 1

Representación de sistemas de fuerzas y momentos F1 M1
mediante sistemas equivalentes F2 M2
MK
Representación de un sistema arbitrario FN P
mediante una fuerza y un par Sistema 2 M
Cualquier sistema de fuerzas y momentos (sistema 1) puede
representarse mediante un sistema equivalente, el cual consiste
en una fuerza F que actúa en cualquier punto P y un par M
(sistema 2). Los sistemas son equivalentes si F es igual a la
suma de las fuerzas en el sistema 1 y M es igual a la suma de
los momentos respecto a P debidos a las fuerzas y momentos
en el sistema 1.

F
P

Representación de una fuerza Sistema 1 Sistema 2
F
mediante una fuerza y un par PF M
Una fuerza F que actúa en un punto P (sistema 1) puede P Q
representarse mediante un sistema equivalente que consis-
te en la fuerza F que actúa en un punto diferente Q y un Q
par M (sistema 2). Los sistemas son equivalentes si M es
igual al momento respecto al punto Q debido al sistema 1.

Representación de fuerzas concurrentes Sistema 1 Sistema 2
mediante una fuerza F2 FN F
Un sistema de fuerzas concurrentes cuyas líneas de F1
acción se intersecan en un punto P (sistema 1) puede P
representarse mediante un sistema equivalente que P
consiste en una fuerza F cuya línea de acción pasa a
través de P (sistema 2). Los sistemas son equivalentes
si F es igual a la suma de las fuerzas en el sistema 1.

Representación de fuerzas paralelas

mediante una fuerza

Un sistema de fuerzas paralelas cuya suma no Sistema 1 Sistema 2

es cero (sistema 1) puede representarse me- F1 F3 F
diante un sistema equivalente que consiste de F2
una fuerza F que actúa en un punto (sistema 2).

Los sistemas son equivalentes si F es igual a la

suma de las fuerzas en el sistema 1 y la suma P
de los momentos respecto a cualquier punto de-

bidos a las fuerzas en el sistema 1 es igual a

la suma de los momentos respecto al mismo

www.FreeLibros.orgpunto debido a las fuerzas en el sistema 2.

4.5 Sistemas equivalentes 177

Ejemplo activo 4.12 (᭤ Relacionado con el problema 4.151)

El sistema 1 consiste en las siguientes fuerzas y pares:

FA = - 10i + 10j - 15k 1kN2,
FB = 30i + 5j + 10k 1kN2,
MC = - 90i + 150j + 60k 1kN-m2.

Suponga que se desea representar el sistema 1 mediante un sistema equivalente, el
cual consiste en una fuerza F que actúa en el punto P con coordenadas (4, 3, Ϫ2) m
y un par M (sistema 2). Determine F y M

Sistema 1 Sistema 2
y y

(4, 3, Ϫ2) m F
P M

FA FB P (4, 3, Ϫ2) m

x x

(6, 0, 0) m z

z MC

Estrategia
Las condiciones para la equivalencia se satisfacen si F es igual a la suma de las
fuerzas en el sistema 1 y M es igual a la suma de los momentos respecto al punto
P debidos a las fuerzas y momentos en el sistema 1. Estas condiciones pueden
usarse para determinar F y M.

Solución

F ϭ FA ϩ FB La fuerza F debe ser igual a la
ϭ 20i ϩ 15j Ϫ 5k (kN). suma de las fuerzas en el sistema 1.

i jk i jk El par M debe ser igual a la suma de
M ϭ Ϫ4 Ϫ3 2 ϩ 2 Ϫ3 2 los momentos respecto al punto P
debidos a las fuerzas y momentos
Ϫ10 10 Ϫ15 30 5 10 en el sistema 1.

ϩ (Ϫ90i ϩ 150j ϩ 60k)
ϭ Ϫ105i ϩ 110j ϩ 90k (kN-m).

Problema de práctica Suponga que se desea representar el sistema 2 mediante un
sistema equivalente, el cual consiste en una fuerza FЈ que actúa en el origen del sistema
de coordenadas y un par MЈ (sistema 3). Determine FЈ y MЈ.

www.FreeLibros.orgRespuesta: FЈ ϭ 20i ϩ 15j Ϫ 5k (kN), MЈ ϭ Ϫ90i ϩ 90j ϩ 90k (kN-m).

178 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.13 Representación de un sistema mediante un sistema equivalente más simple

(᭤ Relacionado con el problema 4.137)

Sistema 1 El sistema 1 de la figura consiste en dos fuerzas y un par que actúan sobre un tubo.
y Represente el sistema 1 mediante a) una sola fuerza que actúe en el origen O del
sistema coordenado y un solo par, y b) una sola fuerza.
30j (kN) 20i ϩ 20j (kN)
Estrategia
O 2m x a) El sistema 1 puede representarse por medio de una fuerza F que actúe en el
3m 210 kN-m origen y un par M (sistema 2 de la figura a), y utilizar las condiciones de equi-
valencia para determinar F y M. b) Suponga que la fuerza F se coloca con su
punto de aplicación a una distancia D del origen a lo largo del eje x (sistema 3
de la figura b). Las sumas de las fuerzas en los sistemas 2 y 3 son iguales. Si es
posible escoger la distancia D de manera que el momento respecto a O en el sis-
tema 3 sea igual a M, el sistema 3 será equivalente al sistema 2 y, por lo tanto,
equivalente al sistema 1.

Sistema 2 Sistema 3
y
y
F
F
M x O x
D
O

(a) Una fuerza F que actúa en O y un (b) Un sistema consistente en la fuerza F
par M. que actúa en un punto del eje x.

Solución
a) Las condiciones de equivalencia son

1©F22 = 1©F21:
F = 30j + 120i + 20j2 1kN2 = 20i + 50j 1kN2,

y

1©MO22 = 1©MO21:
M = 130 kN213 m2 + 120 kN215 m2 + 210 kN-m

= 400 kN-m.

b) Las sumas de las fuerzas de los sistemas 2 y 3 son iguales. Igualando las sumas
de los momentos respecto a O, se obtiene

1©MO23 = 1©MO22:
150 kN2D = 400 kN-m,

y se encuentra que el sistema 3 equivale al sistema 2 si D ϭ 8 m.

Razonamiento crítico
En el inciso b), ¿por qué se supuso que el punto de aplicación de la fuerza está
sobre el eje x? Para representar el sistema en la figura a mediante una sola fuerza,
es necesario colocar la línea de acción de la fuerza de manera que ésta ejerza
un momento en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de
400 kN-m respecto a O. La colocación del punto de aplicación de la fuerza a

www.FreeLibros.orguna distancia D a lo largo del eje x fue sólo una manera conveniente de lograr esto.


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