Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

4.5 Sistemas equivalentes 179

Ejemplo 4.14 Representación de fuerzas paralelas mediante una sola fuerza (᭤ Relacionado con el

El sistema 1 que se muestra en la figura consiste en fuerzas paralelas. Suponga que problema 4.154)

se desea representar este sistema mediante una fuerza F (sistema 2). ¿Qué valor Sistema 1
tiene F y dónde interseca su línea de acción al plano x–z? y

Estrategia 20j (lb) 30j (lb)
Es posible determinar F a partir de la condición de que las sumas de las fuerzas en (Ϫ3, 0, –2) pies
los dos sistemas deben ser iguales. Para que los dos sistemas sean equivalentes es x
necesario escoger el punto de aplicación P de manera que las sumas de los momen- O (6, 0, 2) pies
tos respecto a un punto sean iguales. Esta condición indicará dónde interseca la (2, 0, 4) pies
línea de acción al plano x–z.
z Ϫ10j (lb)
Solución
Las sumas de las fuerzas deben ser iguales Sistema 2
y
1©F22 = 1©F21:
F = 30j + 20j - 10j 1lb2 = 40j 1lb2.

Las sumas de los momentos respecto a un punto arbitrario deben ser iguales: Sean
(x, y, z) las coordenadas del punto P. Las sumas de los momentos respecto al ori-
gen O deben ser iguales.

1©MO22 = 1©MO21: F

O x
P
i jk i jk i jk ijk

3x y z3 = 36 0 23 + 32 0 4 3 + 3 -3 0 -23

0 40 0 0 30 0 0 -10 0 0 20 0 z

Desarrollando los determinantes, se obtiene

[20 pies-lb ϩ (40 lb)z]i ϩ [100 pies-lb Ϫ (40 lb)x]k ϭ 0.

Las sumas de los momentos respecto al origen son iguales si

x ϭ 2.5 pies,
z ϭ Ϫ0.5 pies.
Estos sistemas son equivalentes si F ϭ 40j (lb) y su línea de acción interse-
ca al plano x–z en x ϭ 2.5 pies y z ϭ Ϫ0.5 pies. Observe que no se obtuvo una
ecuación para la coordenada y de P. Los sistemas son equivalentes si F se aplica en
cualquier punto a lo largo de su línea de acción.

Razonamiento crítico
En este ejemplo, se podría haber determinado de una manera más sencilla las coor-
denadas x y z del punto P. Como las sumas de los momentos respecto a cualquier
punto deben ser iguales para que los sistemas sean equivalentes, las sumas de los
momentos respecto a cualquier línea también deben ser iguales. Igualando las
sumas de los momentos respecto al eje x, se obtiene

(͚Meje x)2 ϭ (͚Meje x)1:
Ϫ(40 lb)z ϭ Ϫ(30 lb)(2 pies) ϩ (10 lb)(4 pies) ϩ (20 lb)(2 pies),

y entonces z ϭ Ϫ0.5 pie. Asimismo, igualando las sumas de los momentos respec-
to al eje z, resulta

(͚Meje z)2 ϭ (͚Meje z)1:
(40 lb)x ϭ (30 lb)(6 pies) Ϫ (10 lb)(2 pies) Ϫ (20 lb)(3 pies),

www.FreeLibros.orgy se obtiene x ϭ 2.5 pies.

180 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.15 Representación de una fuerza y un par mediante una llave de torsión

(᭤ Relacionado con los problemas 4.170, 4.171)

y El sistema que se muestra en la figura consiste en la fuerza y el par
F F = 3i + 6j + 2k 1N2,
M = 12i + 4j + 6k 1N-m2.
M
Ox Represéntelo mediante una llave de torsión, y determine el punto en que la línea
de acción de la fuerza de la llave interseca al plano x–z.
z
Estrategia
La llave es la fuerza F y la componente de M paralela a F (figuras a, b). Se debe
elegir el punto de aplicación P de modo que el momento de F respecto a O sea
igual a la componente normal Mn. Si P es un punto arbitrario del plano x–z, es
posible determinar dónde interseca la línea de acción de F a ese plano.

y Solución
F Al dividir F entre su magnitud, se obtiene un vector unitario e con la misma direc-
ción que F:
Mp
F 3i + 6j + 2k 1N2 = 0.429i + 0.857j + 0.286k.
O e= =
ƒ F ƒ 213 N22 + 16 N22 + 12 N22

M Se puede usar e para calcular la componente de M paralela a F:

x Mp = 1e # M2e = [10.4292112 N-m2+10.857214 N-m2+10.286216 N-m2]e

Mn = 4.408i + 8.816j + 2.939k 1N-m2.
z
La componente de M normal a F es
(a) Descomposición de M en sus
componentes paralela y normal a F. Mn = M - Mp = 7.592i - 4.816j + 3.061k 1N-m2.

y La llave se muestra en la figura b. Sean (x, 0, z) las coordenadas de P. El momento
de F respecto a O es
F
Mp i jk
rOP * F = 3 x 0 z 3 = - 6zi - 12x - 3z2j + 6xk 1N-m2.

362

O x Al igualar este momento a Mn, o bien
P (x, 0, z) -6zi - 12x - 3z2j + 6xk 1N-m2 = 7.592i - 4.816j + 3.061k 1N-m2,

z se obtienen las ecuaciones
-6z = 7.592,
(b) Llave de torsión que actúa en un
punto del plano x–z. -2x + 3z = - 4.816,
6x = 3.061.

Resolviendo estas ecuaciones se encuentran que las coordenadas del punto P son
x ϭ 0.510 m, z ϭ Ϫ1.265 m.

Razonamiento crítico
¿Por qué se colocó el punto P en un punto arbitrario (x, 0, z) en el plano x–z? El
objetivo era colocar la línea de acción de la fuerza F de la llave de torsión de mane-
ra que cumpliera con la condición de que el momento de F respecto a O fuese igual
a Mn. Al colocar el punto de aplicación de F en ese punto (x, 0, z) y luego usar esta
condición para determinar x y z, se tuvo una forma conveniente de determinar la
ubicación necesaria de la línea de acción. El punto (x, 0, z) ϭ (0.510, 0, Ϫ1.265)

www.FreeLibros.orgm es la intersección de la línea de acción con el plano x–z.

Problemas 181

Problemas

4.128 Dos sistemas de fuerzas actúan sobre la viga mostrada en 4.130 Cuatro sistemas de fuerzas y momentos actúan sobre una
la figura. ¿Estos sistemas son equivalentes? viga de 8 m de longitud. ¿Cuáles sistemas son equivalentes?

Estrategia: Verifique las dos condiciones para la equivalencia. 4.131 Los cuatro sistemas mostrados en la figura pueden hacerse
Tanto las sumas de las fuerzas como las sumas de los momentos equivalentes agregando un solo par a uno de los sistemas. ¿De qué
respecto a un punto arbitrario deben ser iguales. sistema se trata y qué par se debe añadir?

Sistema 1 Sistema 1 10 kN Sistema 2
y 8m 80 kN-m 10 kN

100 N 8m

50 N x
1m
1m Sistema 3 Sistema 4

Sistema 2 10 kN 20 kN 20 kN
y
50 N 8 m 80 kN-m 10 kN
2m x 4m 4m

Problema 4.128 Problemas 4.130/4.131

4.129 Dos sistemas de fuerzas y momentos actúan sobre la viga 4.132 El sistema 1 es una fuerza F que actúa en un punto O. El
mostrada en la figura. ¿Estos sistemas son equivalentes? sistema 2 es la fuerza F actuando en un punto OЈ diferente a lo
largo de la misma línea de acción. Explique por qué esos sistemas
Sistema 1 son equivalentes. (Este resultado sencillo se denomina, principio
50 pies-lb de transmisibilidad).

y 20 lb Sistema 1 Sistema 2
10 lb F

x

2 pies 2 pies F
OЈ

Sistema 2 OO
y Problema 4.132

20 lb 30 pies-lb

10 lb

x

2 pies 2 pies

Problema 4.129

www.FreeLibros.org

182 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.133 La suma vectorial de las fuerzas ejercidas por los cables 4.136 Dos sistemas equivalentes de fuerzas y momentos actúan
sobre el tronco que se muestra en la figura es la misma en los dos sobre la placa mostrada. Determine la fuerza F y el par M.
casos. Demuestre que los sistemas de fuerzas ejercidos sobre el
tronco son equivalentes. Sistema 1 Sistema 2
30 lb
A 10 lb 30 lb 100
pulg-lb
12 m 5 pulg 5 pulg
8 pulg 8 pulg 30 lb

50 lb M

B F

16 m Problema 4.136
C

12 m ᭤ 4.137 En el ejemplo 4.13, suponga que la fuerza vertical de
30 kN en el sistema 1 debe remplazarse por una fuerza vertical
D E de 230 kN. Trace un bosquejo del nuevo sistema 1. Si el sistema
1 se representa mediante una sola fuerza F como en el sistema 3,
6m 20 m ¿en qué nueva posición D sobre el eje x debe colocarse la fuerza?
Problema 4.133
4.138 Tres fuerzas y un par se aplican a una viga (sistema 1).
4.134 Cada uno de los sistemas 1 y 2 mostrados consiste en un a) Si el sistema 1 se representa mediante una fuerza aplicada en A
par. Si éstos son equivalentes, ¿qué valor tiene F? y un par (sistema 2), ¿qué valores tienen F y M?
b) Si el sistema 1 se representa por medio de la fuerza F (sistema 3),
¿qué valor tiene la distancia D?

Sistema 1 Sistema 2 y Sistema 1
y 200 N y 20 lb 40 lb

30Њ F A 30 lb

5 m 200 N 20Њ (5, 4, 0) m y 30 pies-lb
30Њ x 2m M x
x
4m 20Њ A 2 pies 2 pies x
F
Sistema 2

Problema 4.134

F

4.135 Dos sistemas equivalentes de fuerzas y momentos actúan
sobre la barra en forma de L que se muestra en la figura. Determine
las fuerzas FA y FB y el par M.

Sistema 1 40 N Sistema 2 y Sistema 3 x
120 N-m FB F
60 N 3m A
FA 3 m M D Problema 4.138

50 N

3m 3m 6m

Problema 4.135

www.FreeLibros.org

Problemas 183

4.139 Represente, mediante una fuerza F, las dos fuerzas y el 4.142 La suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la arma-
par que actúan sobre la viga mostrada. Determine F y el punto en dura mostrada y la suma de los momentos respecto al origen O
el cual su línea de acción interseca el eje x. son iguales a cero.
a) Determine Ax, Ay y B.
y 280 N-m 60i ϩ 60j (N) b) Si las fuerzas de 2 kip, 4 kip y 6 kip se representan mediante
Ϫ40j (N) una fuerza F, ¿qué valor tiene F y dónde interseca su línea de
x acción al eje y?
c) Si las fuerzas de 2 kip, 4 kip y 6 kip se reemplazan con la
3m 3m fuerza determinada en b), ¿qué valor tienen la suma vectorial de
Problema 4.139 las fuerzas y la suma de los momentos respecto a O?

4.140 La ménsula que se muestra en la figura está sometida a 2 kip
tres fuerzas y un par. Si este sistema se representa mediante una y
fuerza F, ¿cuál es el valor de F y dónde interseca su línea de
acción al eje x? 3 pies
4 kip
y
3 pies
6 kip

400 N Ax O 3 pies x
Ay
180 N B
0.4 m 6 pies
140 N-m Problema 4.142
200 N
0.2 m

x

0.65 m 4.143 La fuerza distribuida que ejerce el suelo sobre una parte de
Problema 4.140 la cimentación de un edificio está representada por cinco fuerzas.
Si éstas se representan por medio de una fuerza F, ¿qué valor tiene
4.141 Tanto la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre F y en qué punto interseca su línea de acción el eje x?
la viga mostrada, como la suma de los momentos respecto al
extremo izquierdo de la viga, son iguales a cero. y
a) Determine las fuerzas Ax y Ay y el par MA.
b) Determine la suma de los momentos respecto al extremo x
derecho de la viga.
c) Si la fuerza de 600 N, la fuerza de 200 N y el par de 30 N-m se 35 kN 30 kN 40 kN
representan con una fuerza F que actúa en el extremo izquierdo de
la viga y un par M, ¿qué valores tienen F y M? 80 kN 85 kN

y 3m 3m 3m 3m

Problema 4.143

MA 600 N x
30 N-m 200 N
Ax
Ay

380 mm 180 mm

www.FreeLibros.orgProblema4.141

184 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.144 En un instante particular, las fuerzas aerodinámicas dis- 4.148 La tensión en el cable AB que se muestra en la figura es de
tribuidas sobre un avión ejercen las fuerzas verticales de 88 kN 400 N y la tensión en el cable CD es de 600 N.
y 16 kN y el par en sentido contrario al movimiento de las a) Si las fuerzas ejercidas por los cables sobre el poste izquierdo se
manecillas del reloj de 22 kN-m que se muestran en la figura. representan mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un
Si las fuerzas y el par se representan mediante un sistema par M, ¿qué valores tienen F y M?
consistente en una fuerza F que actúe en el centro de masa G y b) Si las fuerzas ejercidas por los cables sobre el poste izquierdo
un par M, ¿cuáles son los valores de F y M? se representan con una sola fuerza F, ¿dónde interseca su línea de
acción al eje y?
4.145 Si las dos fuerzas y el par que actúan sobre el avión de la
figura se representan mediante una fuerza F, ¿cuál es el valor de 4.149 La tensión en cada uno de los cables AB y CD mostrados
F, y dónde interseca su línea de acción al eje x? es de 400 N. Si las fuerzas ejercidas por ellos sobre el poste
derecho se representan con una fuerza F, ¿cuál es el valor de F y
y dónde interseca su línea de acción al eje y?

88 kN y

16 kN
Gx

5m A
5.7 m
22 kN-m

9m 400 mm

C B

Problemas 4.144/4.145

4.146 El sistema mostrado se encuentra en equilibrio. Si las 300 mm D 300 mm
fuerzas FAB y FAC se representan mediante una fuerza F que actúa O x
en A y un par M, ¿qué valor tienen F y M?
800 mm

y Problemas 4.148/4.149
FAB
B 60Њ 40Њ C FAC

AA 4.150 Si las tres fuerzas que actúan sobre la sección transversal
de la viga mostrada se representan con una fuerza F, ¿cuál es el
valor de F y dónde interseca su línea de acción al eje x?

100 lb 100 lb y

x 500 lb

Problema 4.146

4.147 Tres fuerzas actúan sobre la viga que se muestra en la figura. 6 pulg 800 lb
a) Represente el sistema mediante una fuerza F que actúe en el 6 pulg x
origen O y un par M.
b) Represente el sistema mediante una sola fuerza. ¿Dónde z
interseca la línea de acción de la fuerza al eje x?

y

500 lb
30 N Problema 4.150

5m

᭤ 4.151 En el ejemplo activo 4.12, suponga que la fuerza FB se

O x cambia a FB ϭ 20i Ϫ 15j ϩ 30k (kN), y se desea representar el

sistema 1 mediante un sistema equivalente que consista en una

30 N 6m 4 m 50 N
www.FreeLibros.orgProblema4.147
fuerza F actuando en el punto P con coordenadas (4, 3, Ϫ2) m y
un par M (sistema 2). Determine F y M.

Problemas 185

4.152 Una ménsula de pared está sometida a la fuerza mostrada. ᭤ 4.154 En el ejemplo 4.14, suponga que la fuerza ascendente de
a) Determine el momento ejercido por la fuerza respecto al eje z. 30 lb en el sistema 1 se cambia a una fuerza ascendente de 25 lb.
b) Determine el momento ejercido por la fuerza respecto al eje y. Si se desea representar el sistema 1 mediante una sola fuerza F
c) Si la fuerza se representa mediante una fuerza F que actúa en (sistema 2), ¿dónde interseca la línea de acción de F al plano x–z?
O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?
4.155 Las fuerzas normales ejercidas por el camino sobre las
y 10i Ϫ 30j ϩ 3k (lb) llantas del automóvil mostrado son
12 pulg
O NA = 5104j 1N2,
z NB = 5027j 1N2,
NC = 3613j 1N2,
x ND = 3559j 1N2.

Si estas fuerzas se representan mediante una sola fuerza equiva-
lente N, ¿cuál es el valor de N y dónde interseca su línea de ac-
ción al plano x–z?

CA

Problema 4.152 0.8 m x
0.8 m
4.153 Un jugador de baloncesto realiza una “clavada” y luego
se cuelga momentáneamente del aro, ejerciendo las dos fuerzas D 1.4 m 1.4 m B
de 100 lb que se muestran en la figura. Las dimensiones son z
h ϭ 14.5 pulg y r ϭ 9.5 pulg, y el ángulo a ϭ 120°.
a) Si las fuerzas que el jugador ejerce se representan mediante una y
fuerza F que actúa en O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?
b) El tablero de vidrio se romperá si ͉M ͉ Ͼ 4000 lb-pulg. ¿Se
rompe?

x

y Ϫ100j (lb) Problema 4.155

O 4.156 Dos fuerzas actúan sobre la viga que se muestra en la
a figura. Si se representan mediante una fuerza F que actúa en C
y un par M, ¿qué valores tienen F y M?
r Ϫ100j (lb)
x y
h
z 100 N

Problema 4.153 80 N
z

Cx
3m

www.FreeLibros.orgProblema4.156

186 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.157 Una fuerza axial de magnitud P actúa sobre la viga 4.160 Dos ejes están sujetos a los pares de torsión mostrados.
mostrada. Si se representa mediante una fuerza F que actúa en a) Si los dos pares se representan mediante una fuerza F que
el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?
b) ¿Cuál es la magnitud del momento total ejercido por los dos
b pares?

y

h Pi 6 kN-m
O z 40Њ

x 4 kN-m

y 30Њ x
Problema 4.157 z

4.158 El berbiquí de la figura se está usando para quitar un tornillo. Problema 4.160

a) Si las fuerzas que actúan sobre el berbiquí se representan 4.161 Los dos sistemas de fuerzas y momentos que actúan sobre
mediante una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, la barra son equivalentes. Si
¿qué valores tienen F y M?
FA = 30i + 30j - 20k 1kN2,
b) si las fuerzas que actúan sobre el berbiquí se representan FB = 40i - 20j + 25k 1kN2,
mediante una fuerza FЈ que actúa en un punto P con coordenadas MB = 10i + 40j - 10k 1kN-m2,
(xP, yP, zP) y un par MЈ, ¿qué valores tienen FЈ y MЈ?
¿qué valores tienen F y M?
y

h h y
r
B FA MB
O A
B
z1 x
2A

1 z 2m A x
2A 2m B FB

Problema 4.158 Sistema 1
y
4.159 Dos fuerzas y un par actúan sobre el cubo de la figura. Si
se representan mediante una fuerza F que actúa en el punto P y un
par M, ¿qué valores tienen F y M?

yF

Pz

FB ϭ Mx
2i Ϫ j (kN)
Sistema 2

FA ϭ x Problema 4.161
Ϫi ϩ j ϩ k (kN)

MC ϭ

1m 4i Ϫ 4j ϩ 4k (kN-m)
z

www.FreeLibros.orgProblema4.159

Problemas 187

4.162 El punto G se encuentra en el centro del bloque mostrado. 4.165 La tensión en el cable AB de la figura es de 100 lb, la
Las fuerzas son tensión en el cable CD es de 60 lb. Suponga que se desea
reemplazar esos dos cables con un solo cable EF tal que la
FA = - 20i + 10j + 20k 1lb2, fuerza ejercida sobre la pared en E sea equivalente a las
FB = 10j - 10k 1lb2. dos fuerzas ejercidas por los cables AB y CD sobre las paredes
en A y C. ¿Cuál es la tensión en el cable EF y cuáles son las
Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa coordenadas de los puntos E y F?
en G y un par M, ¿qué valores tienen F y M?
yy
y
FB

FA 10 pulg C (4, 6, 0) pies
z (0, 6, 6) pies
x
G A x E x
D F

20 pulg (7, 0, 2) pies

30 pulg B (3, 0, 8) pies

Problema 4.162

4.163 El motor sobre el fuselaje del avión mostrado en la figura zz
ejerce un empuje T0 de 16 kip, y cada motor bajo las alas ejerce Problema 4.165
un empuje TU de 12 kip. Las dimensiones son h ϭ 8 pies, c ϭ 12
pies y b ϭ 16 pies. Si las tres fuerzas se representan mediante una 4.166 La distancia s ϭ 4 m en la figura. Si la fuerza y el par
fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen de 200 N-m se representan mediante una fuerza que actúa en el
F y M? origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

4.164 Considere el avión descrito en el problema 4.163 y supon- y
ga que el motor bajo el ala a la derecha del piloto pierde la fuerza
de empuje. (2, 6, 0) m

a) Si las dos fuerzas de empuje restantes se representan mediante s
una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores 100i ϩ 20j Ϫ 20k (N)
tienen F y M?

b) Si las dos fuerzas de empuje restantes se representan sólo me-
diante la fuerza F, ¿dónde interseca su línea de acción al plano x–y?

O x
200 N-m
y
T0 (4, 0, 3) m
z
z O c
h Problema 4.166

2 TU

y

Ox
bb

www.FreeLibros.orgProblemas 4.163/4.164

188 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.167 La fuerza F y el par M del sistema 1 mostrado son 4.173 El sistema 1 consiste en dos fuerzas y un par. Suponga que
se desea representar mediante una llave de torsión (sistema 2).
F = 12i + 4j - 3k 1lb2, Determine la fuerza F, el par Mp y las coordenadas x y z donde la
línea de acción de la fuerza interseca el plano x–z.
M ϭ 4i ϩ 7j ϩ 4k (pies-lb).
Sistema 1 Sistema 2
Suponga que se desea representar el sistema 1 mediante una llave y 1000i ϩ 600j (kN-m) y
de torsión (sistema 2). Determine el par Mp y las coordenadas x y
z donde la línea de acción de la fuerza interseca al plano x–z.

Sistema 1 Sistema 2 600k (kN) 300j (kN) Mp F
y y z 3m (x, 0, z) x

M F x
F x 4m

Mp z
xO
Problema 4.173
z (x, 0, z)
O Problema 4.167 4.174 Un plomero ejerce las dos fuerzas mostradas para aflojar
z un tubo.

4.168 Un sistema consiste en una fuerza F que actúa en el origen a) ¿Qué momento total ejerce el plomero respecto al eje del tubo?
O y un par M, donde
b) Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que
F ϭ 10i (lb), M ϭ 20j (pies-lb). actúa en O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

Si el sistema se representa mediante una llave de torsión que c) Si las dos fuerzas se representan mediante una llave de torsión
consiste en la fuerza F y un par paralelo Mp, ¿qué valor tiene que consiste en la fuerza F y un par paralelo Mp, ¿qué valor tiene
Mp y dónde interseca la línea de acción de F al plano y–z? Mp y dónde interseca la línea de acción de F al plano x–y?

4.169 Un sistema consiste en una fuerza F que actúa en el origen y 6 pulg
O y un par M, donde
12 pulg
F = i + 2j + 5k 1N2, M = 10i + 8j - 4k 1N-m2. O

Si el sistema se representa mediante una llave de torsión que z
consiste en la fuerza F y un par paralelo Mp, a) determine Mp, y x
encuentre el punto donde la línea de acción de F interseca b) al
plano x–z y c) al plano y–z. 16 pulg

᭤ 4.170 Considere la fuerza F que actúa en el origen O y el 16 pulg
par M dados en el ejemplo 4.15. Si este sistema se representa
mediante una llave de torsión, ¿en qué punto interseca la línea 50k (lb)
de acción de la fuerza al plano x–y?
Ϫ70k (lb)

Problema 4.174

᭤ 4.171 Considere la fuerza F que actúa en el origen O y el
par M dados en el ejemplo 4.15. Si este sistema se representa
mediante una llave de torsión, ¿dónde interseca la línea de ac-
ción de la fuerza al plano y ϭ 3 m?

4.172 Una llave de torsión consiste en una fuerza de magnitud
100 N que actúa en el origen O y un par de magnitud 60 N-m. La
fuerza y el par señalan en la dirección de O al punto (1, 1, 2) m. Si
la llave de torsión se representa mediante una fuerza F que actúa

www.FreeLibros.orgen el punto (5, 3, 1) m y un par M, ¿qué valores tienen F y M?

Problemas de repaso 189

Problemas de repaso

4.175 La torre inclinada de Pisa tiene alrededor de 55 m de 4.177 Tres fuerzas actúan sobre la estructura mostrada. La suma
altura y 7 m de diámetro. El desplazamiento horizontal de la parte de los momentos debidos a las fuerzas respecto a A es igual a
superior de la torre desde la vertical es de aproximadamente 5 m. cero. Determine la magnitud de la fuerza F.
Su masa aproximada es de 3.2 ϫ 106 kg. Si la torre se modela
como un cilindro y se supone que su peso actúa en el centro, 45Њ 30Њ
¿cuál es la magnitud del momento ejercido por el peso respecto 4 kN 2 kN
al punto en el centro de la base de la torre?

5m b
A F

b 2b b
Problema 4.177

Problema 4.175 4.178 Determine el momento de la fuerza de 400 N (a) respecto
a A y (b) respecto a B.
4.176 El cable AB ejerce una fuerza de 300 N sobre el soporte
A, la cual apunta desde A hacia B. Determine la magnitud del 220 mm 30Њ
momento que ejerce la fuerza respecto al punto P. 400 N

A

y
260 mm

B (0.3, 0.6) m B
A
500 mm
Problema 4.178

(Ϫ0.4, 0.3) m 4.179 Determine la suma de los momentos ejercidos respecto a
x A por las tres fuerzas y el par que se muestran en la figura.
P
(0.5, Ϫ0.2) m 4.180 Si las tres fuerzas y el par mostrados en la figura se
representan mediante un sistema equivalente que consiste en
una fuerza F actuando en A y en un par M, ¿qué valor tienen
las magnitudes de F y M?

Problema 4.176

300 lb A

5 pies
800 pies-lb

200 lb

200 lb

3 pies
www.FreeLibros.org6pies
Problemas 4.179/4.180

190 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.181 Tanto la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre la 4.183 La fuerza F ϭ Ϫ60i ϩ 60j (lb).
viga mostrada, como la suma de los momentos respecto a A, son
iguales a cero. a) Determine el momento de F respecto al punto A.

a) ¿Qué valor tienen las fuerzas Ax, Ay y B? b) ¿Cuál es la distancia perpendicular del punto A a la línea de
b) ¿Qué valor tiene la suma de los momentos respecto a B?
acción de F?

y

F

220 mm 30Њ (4, Ϫ4, 2) pies
Ay 400 N x

Ax A
(8, 2, 12) pies
260 mm
z
500 mm B
Problema 4.181 Problema 4.183

4.182 El pistón hidráulico BC que se muestra en la figura ejerce 4.184 Una masa de 20 kg está suspendida mediante cables unidos
una fuerza de 970 lb sobre el larguero en C en la dirección paralela a tres postes verticales de 2 metros de altura como se muestra en
al pistón. El ángulo a ϭ 40°. La suma de los momentos respecto a la figura. El punto A está en (0, 1.2, 0) m. Determine el momento
A debidos a la fuerza ejercida por el pistón sobre el larguero y al respecto a la base E debido a la fuerza ejercida por el cable AB
peso de la carga suspendida es igual a cero. ¿Cuál es el peso de la sobre el poste BE.
carga suspendida?
y
C

B
D

A

6 pies 1m 1m
2m
0.3 m E
z
9 pies x

C

Problema 4.184

a 4.185 ¿Cuál es el valor del momento total debido a los dos pares
AB mostrados en la figura?

6 pies a) Exprese la respuesta proporcionando la magnitud y estableciendo
si el momento está en dirección al movimiento de las manecillas del
Problema 4.182 reloj o es contrario a éste.

b) Exprese la respuesta como un vector

y
100 N

4m 100 N
2m

x

100 N 2m
4m

www.FreeLibros.org100N
Problema 4.185

Problemas de repaso 191

4.186 La barra AB que soporta la tapa del piano ejerce una fuerza 4.189 El sistema de cables y poleas mostrado en la figura sopor-
F ϭ Ϫ6i ϩ 35j Ϫ 12k (lb) en B. Las coordenadas de B son (3, 4, 3) ta el peso de 300 lb de la plataforma de trabajo. Si la fuerza ejerci-
pies. ¿Qué valor tiene el momento de la fuerza respecto a la línea de da hacia arriba en E por el cable EF y la fuerza ascendente
bisagras de la tapa (eje x)? ejercida en G por el cable GH se representan mediante una sola
fuerza equivalente F, ¿cuál es el valor de F y en dónde interseca
y su línea de acción al eje x?

B x 4.190 El sistema de cables y poleas mostrado en la figura
A z soporta el peso de 300 lb de la plataforma de trabajo.

a) ¿Qué valor tienen las tensiones en los cables AB y CD?

b) Si las fuerzas ejercidas por los cables en A y C se representan
mediante una sola fuerza equivalente F, ¿qué valor tiene F y
dónde interseca su línea de acción el eje x?

Problema 4.186 H
F
4.187 Determine el momento de la fuerza vertical de 800 lb que
se muestra en la figura respecto al punto C. EG
BD
4.188 Determine el momento de la fuerza vertical de 800 lb que y
se muestra en la figura respecto a la línea recta que pasa por los
puntos C y D. 60Њ 60Њ
A C
y
800 lb x
A (4, 3, 4) pies
8 pies
B
D (6, 0, 0) pies Problemas 4.189/4.190
x

z C (5, 0, 6) pies

Problemas 4.187/4.188

www.FreeLibros.org

192 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.191 Los dos sistemas mostrados en la figura son equivalentes. 4.195 Los remolcadores A y B de la figura ejercen fuerzas
Determine las fuerzas Ax y Ay y el par MA. FA ϭ 1 kN y FB ϭ 1.2 kN sobre el barco. El ángulo u ϭ 30°. Si
4.192 Si los sistemas equivalentes del problema 4.191 se repre- las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F que actúa
sentan mediante una fuerza F que actúa en el origen y un par M, en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M?
¿qué valores tienen F y M?
4.196 Los remolcadores A y B de la figura ejercen fuerzas
4.193 Si los sistemas equivalentes del problema 4.191 se repre- FA ϭ 600 N y FB ϭ 800 N sobre el barco. El ángulo u ϭ 45°.
sentan mediante una fuerza F, ¿qué valor tiene F y dónde inter- Si las dos fuerzas se representan mediante una fuerza F, ¿qué
seca su línea de acción al eje x? valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al eje y?

Sistema 1 4.197 Los remolcadores A y B de la figura desean ejercer dos
y fuerzas sobre el barco que sean equivalentes a una fuerza F de
2 kN de magnitud actuando en el origen O. Si FA ϭ 800 N,
20 N determine los valores necesarios de FB y u.

400 mm

Ax x y
Ay
30 N
600 mm 400 mm

Sistema 2 A
y FA

8 N-m O

400 mm 10 N 60 m FB x
x 60 m
MA

20 N

80 N 400 mm uB
600 mm

Problemas 4.191–4.193

4.194 Los dos sistemas mostrados son equivalentes. Si 25 m
F = - 100i + 40j + 30k 1lb2, Problemas 4.195–4.197

MЈ ϭ Ϫ80i ϩ 120j ϩ 40k (pulg-lb).
determine FЈ y M.

Sistema 1 Sistema 2
y
y
M

F 4 pulg 4 pulg

F؅

6 pulg 6 pulg M؅
x x

6 pulg 6 pulg

zz

www.FreeLibros.orgProblema4.194

Problemas de repaso 193

4.198 Si las fuerzas ejercidas por el piso sobre las patas de la Proyecto de diseño En la figura se muestra un dispositivo
mesa mostrada en la figura se representan mediante una fuerza F relativamente primitivo para ejercitar los bíceps. Sugiera una
que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores tienen F y M? configuración mejorada para el dispositivo. Pueden usarse
cuerdas elásticas (que se comportan como resortes lineales),
4.199 Si las fuerzas ejercidas por el piso sobre las patas de la mesa pesos y poleas. Busque un diseño tal que la variación del
mostrada en la figura se representan mediante una fuerza F, ¿qué momento respecto al codo cuando se use el dispositivo sea
valor tiene F y dónde interseca su línea de acción al plano x–z? pequeño en comparación con el diseño mostrado. Tenga en
consideración la seguridad de su dispositivo, su confiabilidad
y y el requisito de permitir a los usuarios tener un rango de
dimensiones y resistencias. Al elegir dimensiones específicas,
1m 2m determine el rango de la magnitud del momento ejercido
respecto al codo cuando se utiliza su dispositivo.

50 N x B
z 48 N 42 N

50 N 15 pulg
Problemas 4.198/4.199

4.200 Las bielas ejercen dos fuerzas sobre el cigüeñal de la figura. Ea
Los cosenos directores de FA son cos ux ϭ Ϫ0.182, cos uy ϭ 0.818
y cos uz ϭ 0.545, y su magnitud es de 4 kN. Los cosenos directores 10 pulg
de FB son cos ux ϭ 0.182, cos uy ϭ 0.818 y cos uz ϭ Ϫ0.545, y su
magnitud es de 2 kN. Si las dos fuerzas se representan mediante A
5 pulg
una fuerza F que actúa en el origen O y un par M, ¿qué valores

tienen F y M?

4.201 Si las dos fuerzas ejercidas sobre el cigüeñal del problema
4.200 se representan mediante una llave de torsión que consiste en
una fuerza F y un par paralelo Mp, ¿qué valores tienen F y MP y
en qué punto interseca la línea de acción de F al plano x–z?

y FB
FA
360 mm
O

z 160 mm 80 mm
Problemas 4.200/4.201 80 mm x

www.FreeLibros.org

www.FreeLibros.org

CAPÍTULO

5

Objetos en equilibrio

Con base en los conceptos desarrollados en los capítulos
3 y 4, primero se establecen las ecuaciones generales de
equilibrio y se describen las diferentes formas en que los
elementos estructurales pueden apoyarse o mantenerse
en su lugar. Después, mediante el uso de diagramas de
cuerpo libre y ecuaciones de equilibrio, se muestra cómo
determinar las fuerzas y pares desconocidos que ejercen
los soportes sobre los elementos estructurales. La moti-
vación principal para este procedimiento es que repre-
senta el paso inicial para responder una pregunta
esencial en el análisis estructural: ¿Cómo diseñan los
ingenieros elementos estructurales capaces de soportar
las cargas a las cuales están sometidos?

᭣ La viga está en equilibrio bajo las acciones de su peso y las fuerzas
ejercidas por las cadenas. En este capítulo se aplican ecuaciones de
equilibrio para determinar las fuerzas y pares desconocidos que actúan
sobre los objetos.

www.FreeLibros.org

196 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.1 Aplicaciones bidimensionales

ANTECEDENTES

Cuando un objeto sobre el cual actúa un sistema de fuerzas y momentos está en
equilibrio, se satisfacen las siguientes condiciones:

1. La suma de las fuerzas es igual a cero:

©F = 0. (5.1)

2. La suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero:

͚Mcualquier punto ϭ 0. (5.2)

A partir del análisis realizado para los sistemas equivalentes de fuerzas y momentos
en el capítulo 4, las ecuaciones (5.1) y (5.2) implican que el sistema de fuerzas y
momentos que actúan sobre un objeto en equilibrio es equivalente a un sistema en el
que no se incluyen fuerzas ni pares. Esto ayuda a comprender la naturaleza del equi-
librio. Desde el punto de vista de la fuerza total y el momento total ejercidos sobre
un objeto en equilibrio, los efectos son iguales que si no se aplicara ninguna fuerza
y ningún par sobre dicho cuerpo. Esta observación también aclara que si la suma de
las fuerzas sobre un objeto es igual a cero y la suma de los momentos respecto a un
punto también es nula, entonces la suma de los momentos respecto a cualquier punto
será igual a cero.

Ecuaciones de equilibrio escalares

Cuando las cargas y reacciones sobre un objeto en equilibrio forman un sistema
bidimensional de fuerzas y momentos, éstos se relacionan mediante tres ecuacio-
nes de equilibrio escalares:

͚Fx ϭ 0, (5.3)
͚Fy ϭ 0, (5.4)
͚Mcualquier punto ϭ 0. (5.5)

Una pregunta natural es: ¿Se puede obtener más de una relación a partir de la ecua-
ción (5.5) evaluando la suma de los momentos respecto a más de un punto? La res-
puesta es sí, y en muchos casos resulta conveniente hacerlo de esta manera. Pero
debe considerarse lo siguiente: las ecuaciones adicionales no serán independien-
tes de las ecuaciones (5.3)-(5.5). En otras palabras, no se pueden obtener más de tres
ecuaciones de equilibrio independientes a partir de un diagrama de cuerpo libre
bidimensional. Lo anterior implica que, cuando mucho, es posible resolver un sis-
tema de tres fuerzas o pares desconocidos. Este punto se analiza a mayor profun-
didad en la sección 5.2.

Soportes

Cuando una persona está de pie, el piso la soporta. Cuando alguien está sentado en
una silla con los pies en el piso, la silla y el piso lo soportan. En esta sección se
estudiará cómo los objetos pueden soportarse o mantenerse en su lugar. Las fuerzas
y pares ejercidos sobre un objeto por sus soportes se denominan reacciones, lo que
expresa el hecho de que los soportes “reaccionan” a las otras fuerzas y pares, o
cargas, que actúan sobre el objeto. Por ejemplo, un puente se sostiene gracias a las
reacciones ejercidas por sus soportes, y las cargas son las fuerzas ejercidas por el
peso del mismo puente, el tráfico que lo cruza y el viento.

www.FreeLibros.orgAlgunos tipos muy comunes de soportes se representan con modelos estiliza-
dos llamados convenciones de soporte. Los soportes reales a menudo se parecen a

5.1 Aplicaciones bidimensionales 197

Ménsula Pasador Cuerpo soportado

(a) (b) x

y

Ax

Ay
(c) (d)
Figura 5.1
(a) Soporte de pasador.
(b) Vista lateral que muestra el pasador que atraviesa la viga.
(c) Sujeción de una barra soportada.
(d) El soporte de pasador es capaz de ejercer dos componentes de fuerza.

los modelos estilizados, pero aunque no se parecieran, se representan por medio de
estos modelos si los soportes reales ejercen las mismas (o aproximadamente las
mismas) reacciones que los modelos.

Soporte de pasador En la figura 5.1a se muestra un soporte de pasador. En

el diagrama se representa una ménsula a la cual está unido un objeto (una viga, por

ejemplo) con un pasador liso que pasa por la ménsula y el objeto. La vista lateral

se muestra en la figura 5.1b.

Para entender las reacciones que puede generar un soporte de pasador resulta

útil imaginar la sujeción de una barra unida a un soporte de pasador (figura 5.1c).

Si se trata de mover la barra sin hacerla girar (es decir, trasladar la barra), el sopor-

te ejerce una fuerza reactiva que lo impide. Sin embargo, se puede hacer girar la

barra alrededor del eje del pasador. El soporte no puede generar un par respecto al

eje del pasador para impedir el giro. Así, un soporte de pasador no puede generar Soportes de pasador
un par respecto al eje del pasador, pero sí puede ejercer una fuerza sobre un cuerpo

en cualquier dirección, lo que comúnmente se expresa representando la fuerza en

términos de sus componentes (figura 5.1d). Las flechas indican las direcciones de

las reacciones si Ax y Ay son positivas. Si se determina que Ax o Ay son negativas, la
reacción tendrá la dirección opuesta a la de la flecha.

El soporte de pasador se usa para representar cualquier soporte real capaz

de ejercer una fuerza en cualquier dirección sin generar un par. Hay soportes de

pasador en muchos dispositivos comunes, particularmente los diseñados para Figura 5.2
permitir que partes conectadas giren una respecto a la otra (figura 5.2). Soportes de pasador en una tijera y una

Soporte de rodillo La convención llamada soporte de rodillo (figura 5.3a) es engrapadora.

un soporte de pasador montado sobre ruedas. Como el soporte de pasador, éste no

puede generar un par respecto al eje del pasador. Dado que puede moverse libre-

mente en la dirección paralela a la superficie sobre la que rueda, no puede generar

una fuerza paralela a la superficie, sino sólo una fuerza normal (perpendicular) a

ella (figura 5.3b). En las figuras 5.3c-e se muestran otras convenciones usadas

comúnmente como equivalentes al soporte de rodillo. Las ruedas de vehículos y

que soportan partes de máquinas son soportes de rodillo si las fuerzas de fricción
ejercidas sobre ellas son insignificantes en comparación con las fuerzas normales.

www.FreeLibros.orgUna superficie plana y lisa también se puede representar por medio de un soporte

198 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Cuerpo soportado
Pasador

Ménsula

Figura 5.3 Soportes (a) A
(a) Soporte de rodillos. equivalentes (c) (b)
(b) La reacción consiste en una fuerza normal
(d)
a la superficie.
(c)–(e) Soportes equivalentes al soporte de

rodillos.

(e)

Figura 5.4 de rodillo (figura 5.4). Las vigas y los puentes a veces están soportados de esta
Soporte de un objeto por medio de una super- manera, para que absorban dilataciones y contracciones térmicas.
ficie plana y lisa.
Los soportes de la figura 5.5 son similares al soporte de rodillo en que no
pueden generar un par sino sólo una fuerza normal a una dirección particular (la
fricción se ignora). El cuerpo soportado está unido a un pasador o collarín que se
mueve libremente en una dirección pero no en la perpendicular (la fricción es
insignificante.) En estos soportes, el objeto soportado está unido a un pasador o
collarín que puede moverse libremente en una dirección pero está restringido en
la dirección perpendicular. A diferencia de los soportes de rodillo, estos soportes
pueden ejercer una fuerza normal en cualquier sentido.

Soporte fijo El soporte fijo presenta el objeto soportado literalmente empo-
trado en la pared (figura 5.6a). Esta convención también se denomina soporte
empotrado. Para entender sus reacciones, imagínese sujetando una barra unida a
un soporte fijo (figura 5.6b). Si intenta trasladar la barra, el soporte genera una

Figura 5.5 (a) (b) (c) A
Soportes similares al soporte de rodillo excepto
que la fuerza normal se puede ejercer en cual- (a) Pasador en (b) Pistón en (c) Collarín sobre
quier dirección. una ranura. una ranura. un eje.

Cuerpo soportado (b)
(a)
y

MA

Figura 5.6 x
(a) Soporte fijo. Ax

(b) Sujeción de una barra empotrada.

(c) Reacciones que es capaz de ejercer un Ay
(c)
www.FreeLibros.orgsoportefijo.

5.1 Aplicaciones bidimensionales 199

fuerza reactiva que lo impide; si trata de hacerla girar, el soporte genera un par
reactivo que lo impide. Un soporte fijo puede generar dos componentes de fuerza
y un par (figura 5.6c). El término MA es el par generado por el soporte y la flecha
curva indica su dirección. Los postes de bardas y los del alumbrado público tienen
soportes fijos. Las uniones de partes conectadas que no pueden moverse una con
respecto a la otra, como la cabeza y el mango de un martillo, pueden modelarse
como soportes fijos.

En la tabla 5.1 se resumen las convenciones de soportes usadas comúnmente
en aplicaciones bidimensionales, incluidas las del capítulo 3. Aunque el número de

Tabla 5.1 Soportes usados en aplicaciones bidimensionales.

Soportes Reacciones

Cuerda o cable Resorte T
Una fuerza colineal

Contacto con una superficie lisa A
Contacto con una superficie rugosa Una fuerza normal
a la superficie de soporte
Soporte de pasador
y

Ax x
Ay

Dos componentes de fuerza

y

x
Ax

Ay
Dos componentes de fuerza

Soporte de rodillo A
Equivalentes
Una fuerza normal
a la superficie de soporte

Pasador guiado o collarín A

Una fuerza normal

y
MA

Ax x

Ay

www.FreeLibros.orgSoportefijo(empotrado)Dos componentes
de fuerza y un par

200 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

convenciones puede parecer muy grande, los ejemplos y problemas ayudarán a
familiarizarse con ellas. También se recomienda observar cómo están soportados
algunos de los objetos que se ven en la vida diaria e intentar representar sus sopor-
tes con algunas de las convenciones.

Diagramas de cuerpo libre

En el capítulo 3 se presentaron los diagramas de cuerpo libre y se usaron para deter-
minar las fuerzas que actúan sobre cuerpos simples en equilibrio. Mediante las con-
venciones de soportes es posible representar cuerpos más elaborados y construir en
forma sistemática sus diagramas de cuerpo libre.

Por ejemplo, la viga de la figura 5.7a tiene un soporte de pasador en su extre-
mo izquierdo y uno de rodillo en el derecho, y está cargada con una fuerza F. El
soporte de rodillo descansa sobre una superficie inclinada 30° respecto a la hori-
zontal. Para obtener el diagrama de cuerpo libre de la viga se aísla de sus soportes
(figura 5.7b), dado que el diagrama no debe contener más cuerpos que la viga. Se
completa el diagrama con las reacciones que pueden generar los soportes sobre la
viga (figura 5.7c). Observe que la reacción B generada por el soporte de rodillo es
normal a la superficie sobre la que descansa.

El objeto de la figura 5.8a tiene un soporte fijo en su extremo izquierdo. El
cable que pasa por una polea está unido al cuerpo en dos puntos. Se aísla el cuerpo
de sus soportes (figura 5.8b) y se completa el diagrama de cuerpo libre con las
reacciones en el soporte fijo y las fuerzas ejercidas por el cable (figura 5.8c). No
olvide el par en el soporte fijo. Como se supuso que la tensión en el cable es la
misma en ambos lados de la polea, las dos fuerzas ejercidas por el cable tienen
la misma magnitud T.

Después de haber obtenido el diagrama de cuerpo libre de un objeto en equi-
librio mostrando las cargas y reacciones que actúan sobre él, se pueden aplicar
las ecuaciones de equilibrio.

F F
AB AB

30Њ (b)

(a)

y F
A
Ax Ay B
x

B

30Њ

Reacciones debidas Reacciones debidas
al soporte de pasador al soporte de rodillo

(c)

Figura 5.7
(a) Viga con soportes de pasador y de rodillo.
(b) La viga se aísla de sus soportes.

www.FreeLibros.org(c) Diagramadecuerpolibrecompleto.

5.1 Aplicaciones bidimensionales 201

Reacciones debidas

al cable T

y

MA T
A
AA x
Ax

Ay

(a) (b) Reacciones debidas
al soporte fijo
Figura 5.8
(a) Objeto con un soporte fijo. (c)
(b) Aislamiento del objeto.
(c) Diagrama de cuerpo libre completo.

RESULTADOS La suma de fuerzas es igual a cero:
Ecuaciones de equilibrio
⌺F ϭ 0. (5.1)
Cuando un objeto está en
equilibrio, el sistema de La suma de los momentos respecto a
fuerzas y momentos que cualquier punto es igual a cero:
actúa sobre él satisface
dos condiciones. ⌺Mcualquier punto ϭ 0. (5.2)

Cuando el sistema de fuerzas y ⌺Fx ϭ 0, (5.3)
momentos que actúa sobre un objeto ⌺Fy ϭ 0, (5.4)
en equilibrio es bidimensional, satisface ⌺Mcualquier punto ϭ 0. (5.5)
tres ecuaciones de equilibrio escalar.
Soporte de pasador y
Soportes
Ax x
Para dibujar el diagrama de cuerpo Ay
libre de un objeto, éste se aísla de sus
soportes y se muestran las reacciones, Componentes de dos fuerzas
las fuerzas y los momentos que pue-
den ejercer los soportes (tabla 5.1). Soporte de rodillo A

Una fuerza normal a la
superficie de soporte

y
MA

Ax x

Ay

Componentes de dos fuerzas
y un par
www.FreeLibros.orgSoportefijo(empotrado)

202 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo activo 5.1 Reacciones en un soporte fijo (᭤ Relacionado con el problema 5.1)

La viga que se muestra en la figura tiene un soporte fijo en A y está sujeta a una
fuerza de 4 kN. a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y b) determine las
reacciones en el soporte fijo.

4 kN
A

2m

Estrategia
Para dibujar el diagrama de cuerpo libre de la viga, éste debe aislarse del soporte em-
potrado y mostrar las reacciones que puede ejercer el soporte. Después pueden apli-
carse las ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones desconocidas.

Solución

(a) Dibuje un diagrama de la viga y 4 kN
aislada de su soporte fijo y muestre
las reacciones debidas al soporte. Ax x
MA Ay
(b) Escriba las ecuaciones de equilibrio
⌺Fx ϭ Ax ϭ 0, 2m
⌺Fy ϭ Ay Ϫ 4 kN ϭ 0,
⌺Mextremo izquierdo ϭ MAϪ (2 m) (4 kN) ϭ 0,

y resuélvalas, para obtener
Ax ϭ 0, Ay ϭ 4 kN, MA ϭ 8 kN-m.

Problema de práctica La viga que se muestra en la figura tiene soportes de pasador
y rodillo y está sujeta a una fuerza de 4 kN. (a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la
viga. (b) Determine las reacciones en los soportes.

4 kN

AB

2m
3m

www.FreeLibros.orgRespuesta: Ax ϭ 0, Ay ϭ 1.33 kN, B ϭ 2.67 kN.

5.1 Aplicaciones bidimensionales 203

Ejemplo 5.2 Reacciones en un soporte fijo (᭤ Relacionado con el problema 5.9)

El objeto de la figura tiene un soporte fijo en A y está sometido a dos fuerzas y un
par. ¿Qué valor tienen las reacciones en el soporte?

100 lb
30°

2 pies

200 lb

A 300 pies-lb
2 pies
2 pies

2 pies

Estrategia
Se obtendrá un diagrama de cuerpo libre aislando el objeto del soporte fijo en A
y mostrando las reacciones ejercidas en dicho punto, se incluirá el par que puede
ser ejercido por un soporte fijo. Luego pueden determinarse las reacciones des-
conocidas al aplicar las ecuaciones de equilibrio.

Solución

Dibujo del diagrama de cuerpo libre. Se aísla el cuerpo de su soporte y se mues-
tran las reacciones en el soporte fijo (figura a). Hay tres reacciones desconocidas:
dos componentes de fuerza Ax y Ay y un par MA (recuerde que las direcciones de esas
flechas pueden escogerse de manera arbitraria). También se puede descomponer la
fuerza de 100 lb en sus componentes.

100 lb y 100 sen 30Њ lb 100 lb

200 lb 30Њ 200 lb

A MA 100 cos 30Њ lb
A 2 pies
300 pies-lb x
Ax
Ay 300 pies-lb

222 (a) Dibujo del diagrama de cuerpo libre.
pies pies pies

Aplicación de ecuaciones de equilibrio Si se suman los momentos respecto al
punto A, las ecuaciones de equilibrio son

͚Fx ϭ Ax ϩ 100 cos 30° lb ϭ 0,
͚Fy ϭ Ay Ϫ 200 lb ϩ 100 sen 30° lb ϭ 0,
͚Mpunto A ϭ MA ϩ 300 pies-lb Ϫ (2 pies)(200 lb) Ϫ (2 pies)(100 cos 30° lb)

ϩ (4 pies)(100 sen 30° lb) ϭ 0.

Al resolver esas ecuaciones se obtienen las reacciones Ax ϭ Ϫ86.6 lb, Ay ϭ 150 lb
y MA ϭ 73.2 pies-lb.

Razonamiento crítico
¿Por qué el par de 300 pies-lb y el par MA, generados por el soporte fijo, no apare-
cen en las dos primeras ecuaciones de equilibrio? Recuerde que un par no ejerce
una fuerza neta. Asimismo, como el momento debido a un par es el mismo res-
pecto a cualquier punto, el momento respecto al punto A debido al par en sentido
contrario al movimiento de las manecillas del reloj de 300 pies-lb es de 300 pies-lb

www.FreeLibros.orgen este mismo sentido.

204 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo 5.3 Elección del punto respecto al cual evaluar los momentos (᭤ Problema

2m relacionado 5.15)

2m La estructura AB que se muestra en la figura soporta una masa suspendida de 2 Mg
B (megagramos). La estructura está unida a un pistón en una ranura vertical en A y tiene
un soporte de pasador en B. ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?

3m Estrategia
A Se dibujará el diagrama de cuerpo libre de la estructura y la masa suspendida re-
moviendo los soportes en A y B. Observe que el soporte en A puede ejercer sólo
una reacción horizontal. Después pueden usarse las ecuaciones de equilibrio para
determinar las reacciones en A y B.

B Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se aísla la estructura y la masa de los
A soportes y se muestran las reacciones en éstos y la fuerza ejercida por el peso de la
masa de 2000 kg (figura a). La ranura en A puede ejercer sólo una fuerza horizontal
y By sobre el pistón.
2m 2m
Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Si se suman los momentos respecto
3m B Bx al punto B, se encuentra que las ecuaciones de equilibrio son

AA x ͚Fx ϭ A ϩ Bx ϭ 0,
͚Fy ϭ By Ϫ (2000)(9.81) N ϭ 0,
(2000)(9.81) N ͚Mpunto B ϭ (3 m)A ϩ (2 m)[(2000)(9.81) N] ϭ 0.
(a) Dibujo del diagrama de cuerpo libre.
Las reacciones son A ϭ Ϫ13.1 kN, Bx ϭ 13.1 kN y By ϭ 19.6 kN.

Razonamiento crítico
Aunque el punto respecto al cual se evalúan los momentos para escribir las ecua-
ciones de equilibrio se puede elegir de manera arbitraria, a menudo una elección
cuidadosa puede simplificar la solución. En este ejemplo, el punto B está sobre
las líneas de acción de las dos reacciones desconocidas Bx y By. Al evaluar los
momentos respecto a B, se obtuvo una ecuación que contiene sólo una incógnita,
la reacción en A.

Ejemplo 5.4 Análisis de un portaequipaje (᭤ Relacionado con los problemas 5.65–5.68)

En la figura se muestran un portaequipaje mantenido en equilibrio en posición in-
clinada y su diagrama de cuerpo libre. Si el portaequipaje soporta un peso W ϭ 50
lb, a ϭ 30°, a ϭ 8 pulg, b ϭ 16 pulg y d ϭ 48 pulg, ¿qué fuerza F debe ejercer
el usuario?

Estrategia
Las reacciones desconocidas en el diagrama de cuerpo libre son la fuerza F y la
fuerza normal N ejercida por el piso. Sumando momentos respecto al centro de

www.FreeLibros.orgla rueda C, se obtiene una ecuación donde F es la única reacción desconocida.

Problemas 205

F
dA

bW h
a

Ra
C

N

Solución
Sumando momentos respecto a C,

͚M(punto C) ϭ d(F cos a) ϩ a(W sen a) Ϫ b(W cos a) ϭ 0,
y despejando F, se obtiene

1b - a tan a2W
F= .

d

Sustituyendo los valores de W, a, a, b y d, la solución es F ϭ 11.9 lb.

Problemas

Suponga que los objetos están en equilibrio. En los 5.3 La viga que se muestra en la figura está sujeta a la carga
enunciados de las respuestas, las componentes x F ϭ 400 N y se encuentra soportada por la cuerda y las superfi-
son positivas hacia la derecha y las componentes cies lisas en A y B.
y son positivas hacia arriba.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga.
᭤ 5.1 En el ejemplo activo 5.1, suponga que la viga está sometida a
un par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj b) ¿Cuáles son las magnitudes de las reacciones en A y B?
de 6 kN en el extremo derecho, además de la fuerza descendente de
4 kN. Dibuje los diagramas de cuerpo libre de la viga y aplique las A F
ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A. 45Њ
B
30Њ

5.2 La viga de la figura tiene un soporte fijo en A y está cargada
por dos fuerzas y un par. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la
viga y aplique las ecuaciones de equilibrio para determinar las
reacciones en A.

4 kN 2 kN 1.2 m 1.5 m 1 m
60Њ Problema 5.3
6 kN-m
A

1 m 1.5 m 1.5 m
www.FreeLibros.orgProblema5.2

206 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.4 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga de la figura. 5.7 La mesa de planchar mostrada tiene soportes en A y B que
b) Determine la tensión en la cuerda y las reacciones en B. pueden modelarse como soportes de rodillo.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la mesa.
30Њ b) Determine las reacciones en A y B.
30Њ 600 lb
y
A
B

AB

x

5 pies 9 pies 10 lb 3 lb

Problema 5.4 12 10 20
pulg pulg pulg
5.5 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la prensa perfora-
dora de 60 lb de peso mostrada, suponiendo que las superficies Problema 5.7
de A y B son lisas.
b) Determine las reacciones en A y B. 5.8 La distancia x en la figura es de 9 m.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga.
b) Determine las reacciones en los soportes.

10 kN

60 lb AB
6m
x

Problema 5.8

AB ᭤ 5.9 En el ejemplo 5.2, suponga que la fuerza descendente de
200 lb y el par en sentido contrario al movimiento de las maneci-
10 pulg 14 pulg llas del reloj de 300 pies-lb cambian lugares; la fuerza descendente
de 200 lb actúa en el extremo derecho de la barra horizontal, y el
Problema 5.5 par en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj de
300 pies-lb actúa sobre la barra horizontal de 2 pies a la derecha
5.6 Las masas del clavadista y del trampolín son de 54 kg y 36 kg, del soporte A. Haga un bosquejo del objeto donde muestre la nuevas
respectivamente. Suponga que están en equilibrio. cargas. Dibuje el diagrama de cuerpo libre del objeto y aplique las
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del trampolín. ecuaciones de equilibrio para determinar las reacciones en A.
b) Determine las reacciones en los soportes A y B.
5.10 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga que se
muestra en la figura.
b) Determine las reacciones en los soportes.

100 lb 400 lb

AB 900 pies-lb

WP B
WD A

1.2 m 3 pies 4 pies 3 pies 4 pies
2.4 m

Problema 5.10

4.6 m

wwwPr.obleFma5.6 reeLibros.org

Problemas 207

5.11 Una persona ejerce fuerzas de 20 N sobre las pinzas que se 5.13 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga.
muestran en la figura. Se presenta el diagrama de cuerpo libre de b) Determine las reacciones en los soportes.
una parte de ellas. Observe que el pasador en C que conecta las
dos partes de las pinzas se comporta como un soporte de pasador. y
Determine las reacciones en C y la fuerza B ejercidas por el perno A
sobre las pinzas.

6m
40 kN

B
x

8m
12 m

Problema 5.13

25 80 5.14 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga.
mm mm b) Si F ϭ 4 kN, ¿cuáles son las reacciones en A y en B?
B
A 2 kN-m
C
50 mm 0.3 m F 0.2 m
Cx Cy 45Њ 0.3 m 0.2 m
B
C 20 N
0.4 m

Problema 5.14

20 N ᭤ 5.15 En el ejemplo 5.3, suponga que el punto de unión para
la masa suspendida se mueve hacia el punto B de forma que la
20 N distancia horizontal de A al punto de unión aumenta de 2 a 3 m.
Problema 5.11 Trace un bosquejo de la viga AB mostrando la nueva geometría.
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y aplique las ecua-
5.12 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. ciones de equilibrio para determinar las reacciones en A y en B.
b) Determine las reacciones en el soporte del pasador A.
5.16 Un hombre que hace ejercicio se detiene en la posición
mostrada. Su peso W es de 180 lb y actúa en el punto que se
muestra en la figura. Las dimensiones son a ϭ 15 pulg, b ϭ 42
pulg y c ϭ 16 pulg. Determine la fuerza normal ejercida por el
piso sobre cada una de sus manos y sobre cada uno de sus pies.

8 kN 8 kN

A 2 kN-m 30Њ B

600 500 600 600 c
mm mm mm mm W

Problema 5.12

www.FreeLibros.orga b
Problema 5.16

208 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.17 El pistón hidráulico AB que se muestra en la figura ejerce 5.20 La longitud sin elongar del resorte CD que se muestra en
una fuerza de 400 lb sobre la escalera en B, en la dirección paralela la figura es de 350 mm. Suponga que se desea que la palanca
al pistón. Determine el peso de la escalera y las reacciones en C. ABC ejerza una fuerza normal de 120 N sobre la superficie lisa
en A. Determine el valor necesario de la constante k del resorte
y las reacciones resultantes en B.

C

6 pies k
230
W mm 450
3 pies mm
D
A
B
C

6 pies 3 20Њ 180
pies B mm

Problema 5.17 A

330 300
mm mm

5.18 Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la estructura mostrada Problema 5.20
aislándola de sus soportes en A y E. Determine las reacciones en
A y E. 5.21 En la figura se muestra un móvil que está en equilibrio. El
pez B pesa 27 onzas. Determine los pesos de los peces A, C y D.
D (Los pesos de las barras son insignificantes).
400 lb
2 pies

200 pies-lb 12 pulg 3 pulg

1 pie A BC A
1 pie D
100 lb 6 pulg 2 pulg
E B
2 pulg
7 pulg C

2 pies 2 pies 2 pies

Problema 5.18

Problema 5.21

5.19 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga. 5.22 La base de las ruedas del automóvil que se muestra en la figu-
b) Determine la tensión en el cable y las reacciones en A. ra (la distancia entre las ruedas) es de 2.82 m. La masa del automóvil
es de 1760 kg y su peso actúa en el punto x ϭ 2.00 m, y ϭ 0.68 m.
AB 30° C Si el ángulo a ϭ 15°, ¿qué valor tiene la fuerza normal total ejercida
por la rampa inclinada sobre las dos llantas traseras?
30 pulg 800 lb
y

x

30 pulg 30 pulg

Problema 5.19

a

www.FreeLibros.orgProblema5.22

Problemas 209

5.23 El eslabón AB mostrado ejerce una fuerza paralela al esla- 5.25 La masa del remolque mostrado es de 2.2 Mg (megagramos).
bón sobre la cubeta de la excavadora en A. El peso W ϭ 1500 lb. Las distancias son a ϭ 2.5 m y b ϭ 5.5 m. La camioneta está en
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cubeta y determine las reposo y las ruedas del remolque pueden girar libremente, lo cual sig-
reacciones en C (la conexión en C es equivalente a un soporte de nifica que el camino no ejerce ninguna fuerza horizontal sobre ellas.
pasador para la cubeta). El enganche en B puede modelarse como un soporte de pasador.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del remolque.
14 pulg b) Determine la fuerza normal total ejercida sobre las llantas
B traseras en A y las reacciones ejercidas sobre el remolque en el
soporte de pasador B.
16 pulg A C
4 pulg B

W

A b
a

W Problema 5.25

88 5.26 El peso total de la carretilla que se muestra en la figura y su
pulg pulg carga es W ϭ 100 lb. (a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ascen-
Problema 5.23 dente F necesaria para levantar del suelo el soporte en A? (b)
¿Cuál es la magnitud de la fuerza descendente necesaria para le-
vantar la rueda del suelo?

5.24 La sierra de cadena que se muestra en la figura pesa 14.5 lb F
y está sometida a las cargas en A ejercida por el tronco que está W
cortando. Determine las reacciones R, Bx y By que debe aplicar un
operador para mantener la sierra en equilibrio.

y
R

60Њ

AB

1.5 pulg By 7 pulg 40 pulg 14
12 pulg pulg
A x
5 lb Bx Problema 5.26

10 lb 14.5 lb 5.27 El peso del avión que se muestra en la figura es W ϭ 2400 lb.
13 pulg Sus frenos mantienen bloqueadas las ruedas traseras. La rueda
2 6 pulg frontal (nariz) puede girar libremente, es decir, el suelo no ejerce
pulg ninguna fuerza horizontal sobre ella. La fuerza T ejercida por la
hélice del aeroplano es horizontal.
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del avión. Determine la re-
acción ejercida sobre la rueda frontal y la reacción normal total
ejercida sobre las ruedas traseras.
b) cuando T ϭ 0;
c) cuando T ϭ 250 lb.

Problema 5.24 T

4 pies

W

A 5 pies B
2
www.FreeLibros.orgpies
Problema 5.27

210 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.28 Un ingeniero de seguridad trata de establecer límites sobre las cargas que pueden ser manejadas por un montacargas y para ello
analiza la situación mostrada. Las dimensiones son a ϭ 32 pulg, b ϭ 30 pulg y c ϭ 26 pulg. El peso combinado del montacargas y el
operador es WF ϭ 1200 lb. Conforme el peso WL soportado por el montacargas aumenta, la fuerza normal ejercida sobre el piso por las
llantas traseras en B disminuye. El montacargas está a punto de voltearse hacia delante cuando la fuerza normal en B es igual a cero.
Determine el valor de WL que causará esta condición.

WL

WF B
A c

ab

Problema 5.28

5.29 Los paleontólogos especulan que el estegosaurio podía apoyarse sobre sus patas traseras por cortos periodos de tiempo para
alimentarse. Con base en el diagrama de cuerpo libre mostrado y suponiendo que m ϭ 2000 kg, determine las magnitudes de las
fuerzas B y C ejercidas por el ligamento del músculo y por la columna vertebral; también calcule el ángulo a.

580 mg
mm

160 BC
mm

22Њ a 790
mm
415
mm

Problema 5.29

www.FreeLibros.org

Problemas 211

5.30 El peso del ventilador mostrado es W ϭ 20 lb. Su base tiene 5.33 Una fuerza F ϭ 400 N actúa sobre la ménsula mostrada.
cuatro patas igualmente espaciadas de longitud b ϭ 12 pulg. Cada ¿Qué valor tienen las reacciones en A y B?
pata tiene una almohadilla cerca del extremo, la cual hace contacto
con el piso y soporta al ventilador. La altura h ϭ 32 pulg. Si las F
aspas del ventilador ejercen un empuje T ϭ 2 lb, ¿qué valor tiene A
la fuerza normal total ejercida sobre las dos patas en A?

5.31 El peso del ventilador mostrado es W ϭ 20 lb. Su base 80 mm
tiene cuatro patas igualmente espaciadas de longitud b ϭ 12 pulg.
Cada pata tiene una almohadilla cerca del extremo, la cual hace B
contacto con el piso y soporta al ventilador. La altura h ϭ 32 pulg. 320 mm
Conforme el empuje T del ventilador aumenta, la fuerza normal
en A disminuye. Cuando la fuerza normal en A es igual a cero, Problema 5.33
el ventilador está a punto de voltearse. Determine el valor de T
que causará esta condición. 5.34 El peso del letrero es Ws ϭ 32 lb y actúa en el punto mos-
trado en la figura. El peso de 10 lb de la barra AD actúa en el
T punto medio de la barra. Determine la tensión en el cable AE y las
reacciones en D.

W b 11 30 pulg 11
h
pulg pulg
E

T

AB 30°
20°
Vista lateral Vista superior A
B
Problemas 5.30/5.31

5.32 Como una medida para disminuir costos, el fabricante del C
ventilador descrito en el problema 5.31 propone soportar un ven- D
tilador con tres patas igualmente espaciadas en vez de usar el
sistema de cuatro patas. Se le asigna a un ingeniero de seguridad
el análisis de las implicaciones del cambio propuesto. El peso del
ventilador disminuye a W ϭ 19.6 lb. Las dimensiones b y h no
cambian. ¿Cuál valor del empuje T causará que el ventilador esté
a punto de voltearse en este caso? Compare su respuesta con la
solución al problema 5.31.

b Ws
T 33 pulg

Problema 5.34

Problema 5.32

www.FreeLibros.org

212 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.35 El dispositivo mostrado ayuda a una persona a levantar 5.37 Un gimnasta olímpico está en reposo en la posición “cruz
cargas pesadas (dispositivos de este tipo se usaron en Egipto de hierro”. En la figura se muestra el peso de su brazo izquierdo
alrededor del año 1550 a.C. y aún se usan en varias partes del y el peso de su cuerpo, sin incluir los brazos. Las distancias son
mundo). Las dimensiones son a ϭ 3.6 m y b ϭ 1.2 m. La masa a ϭ b ϭ 9 pulg y c ϭ 13 pulg Considere el hombro S como un
de la barra y el contrapeso es de 90 kg, y su peso W actúa en el soporte fijo y determine las magnitudes de las reacciones en éste,
punto mostrado. La masa de la carga que se está levantando es es decir, determine la fuerza y el par que el hombro debe soportar.
de 45 kg. Determine la fuerza vertical que la persona debe ejercer
para soportar la carga en reposo a) cuando la carga está justo
sobre el suelo (la posición mostrada); b) cuando la carga está a
1 m sobre el suelo (suponga que la cuerda permanece vertical).

a S
b
144 lb 8 lb
25Њ

W

ab c
Problema 5.37
Problema 5.35

5.36 La estructura mostrada, llamada armadura, tiene un soporte 5.38 Determine las reacciones en A de la figura.
de pasador en A y un soporte de rodillo en B, y está cargada por
dos fuerzas. Determine las reacciones en los apoyos. A
5 pies
Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre, tratando la
armadura entera como un solo objeto. 800 pies-lb

300 lb 200 lb

4 kN 45° 30° 2 kN

200 lb 3 pies
b 6 pies

A B Problema 5.38
b b bb

Problema 5.36

www.FreeLibros.org

Problemas 213

5.39 Los frenos del auto inmovilizan las ruedas traseras, pero 5.43 Determine las reacciones en el soporte fijo A.
las ruedas frontales pueden girar. Determine las fuerzas ejercidas
por el suelo sobre las ruedas frontales y traseras cuando el auto y 40 lb 150 pies-lb
está estacionado a) sobre una pendiente de subida con a ϭ 15° 30 lb 45Њ x
y b) sobre una pendiente de bajada con a ϭ Ϫ15°.
A

70 pulg 20 pulg x 3 pies 3 pies 6 pies
36
pulg Problema 5.43
y

3300 lb 5.44 Suponga que se desea representar las dos fuerzas y el par
a que actúan sobre la viga en el problema 5.43 por una fuerza
equivalente F como lo muestra la figura. a) Determine F y la
Problema 5.39 distancia D a la que su línea de acción cruza el eje x. b) Suponga
que F es la única carga que actúa sobre la viga y determine las
5.40 La longitud de la barra mostrada es L ϭ 4 pies. Su peso reacciones en el soporte fijo en A. Compare sus respuestas con
W ϭ 6 lb actúa en el punto medio de la barra. El piso y la pared la solución al problema 5.43.
son lisos. El resorte está sin elongar cuando el ángulo a ϭ 0. Si
la barra está en equilibrio cuando a ϭ 40°, ¿qué valor tiene la y
constante k del resorte? F

5.41 El peso W de la barra mostrada actúa en su punto medio. A
El piso y la pared son lisos. El resorte está sin elongar cuando el x
ángulo a ϭ 0. Determine el ángulo a en el que la barra está en
equilibrio en términos de W, k y L. D

Problema 5.44

5.45 El freno de bicicleta que se muestra en la figura está unido
k al bastidor mediante un pasador en A. Determine la fuerza ejercida

por la almohadilla del freno sobre el borde de la rueda en B, en
términos de la tensión T en el cable.

αL T

35°

Problemas 5.40/5.41

5.42 La placa de la figura está soportada por un pasador en una 40 mm
ranura lisa en B. ¿Qué valor tienen las reacciones en los soportes?

2 kN-m 6 kN-m Almohadilla B 45 mm
A B del freno A

60Њ Borde de
la rueda

40 mm
2m

www.FreeLibros.orgProblema5.42
Problema 5.45

214 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

5.46 La masa de cada uno de los pesos suspendidos es de 80 kg. 5.50 Determine las reacciones en los soportes mostrados.
Determine las reacciones en los soportes en A y en E.
6 pulg 5 pulg

A 50 lb
100 pulg-lb
5.47 Los pesos suspendidos tienen cada uno una masa m. Los 3 pulg
apoyos en A y en E soportarán cada uno una fuerza con magnitud
de 6 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es el valor máximo 3 pulg
seguro de m?

AB C B
30Њ

300 mm Problema 5.50

D 5.51 En la figura, el peso W ϭ 2 kN. Determine la tensión en el
cable y las reacciones en A.
E
5.52 El cable mostrado en la figura soportará con seguridad
200 mm 200 mm una tensión de 6 kN. Con base en este criterio, ¿cuál es el valor
máximo del peso W que puede soportarse con seguridad?

Problemas 5.46/5.47

5.48 La tensión en el cable BC mostrado es de 100 lb. Determine A 30°
las reacciones en el soporte fijo.

C 0.6 m W
0.6 m

Problemas 5.51/5.52

6 pies 5.53 Los bloques que están siendo comprimidos por la mordaza
de la figura ejercen una fuerza de 200 N sobre el pasador en D, la
A cual apunta desde A hacia D. El eje roscado BE ejerce una fuerza
B sobre el pasador en E que apunta desde B hacia E.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del brazo DCE de la
200 lb 300 pies-lb mordaza, suponiendo que el pasador en C se comporta como un
soporte de pasador.
3 3 6 b) Determine las reacciones en C.
pies pies pies

Problema 5.48 5.54 Los bloques que están siendo comprimidos por la mordaza
de la figura ejercen una fuerza de 200 N sobre el pasador en A, la
5.49 La tensión en el cable AB mostrado es de 2 kN. ¿Qué valor cual apunta desde D hacia A. El eje roscado BE ejerce una fuerza
tienen las reacciones en C en cada caso? sobre el pasador en B que apunta desde E hacia B.
a) Dibuje un diagrama de cuerpo libre del brazo ABC de la
mordaza, suponiendo que el pasador en C se comporta como un
soporte de pasador.
b) Determine las reacciones en C.

A 60Њ B C A 60Њ B C 125 mm 125 mm 125 mm
B E

2m 1m 2m 1m 50 mm A

(a) (b) 50 mm C

Problema 5.49 50 mm

D

www.FreeLibros.orgProblemas5.53/5.54

Problemas 215

5.55 Suponga que se quiere diseñar una válvula de seguridad de 5.57 El brazo de la grúa tiene un soporte de pasador en A. El
manera que ésta se abra cuando la diferencia entre la presión p en cilindro hidráulico BC ejerce una fuerza sobre el brazo en C con
el tubo circular (diámetro ϭ 150 mm) y la presión atmosférica sea una dirección paralela a BC. El brazo de la grúa tiene una masa
de 10 MPa (megapascales: un pascal es 1 N/m2). El resorte está de 200 kg, y puede suponerse que su peso actúa en un punto 2 m
a la derecha de A. Si la masa de la caja suspendida es de 800 kg
comprimido 20 mm cuando la válvula se encuentra cerrada. ¿Qué y el sistema está en equilibrio, ¿cuál es la magnitud de la fuerza
ejercida por el cilindro hidráulico?
valor debe tener la constante del resorte?

150 mm 250 mm 5.58 En el problema 5.57, ¿cuál es la magnitud de la fuerza ejer-
cida sobre el brazo de la grúa por el soporte de pasador en A?

k

A C
p
2.4 m A
150 mm 1m
Problema 5.55 B

5.56 El peso de 10 lb de la barra AB mostrada actúa en el punto 1.8 m 1.2 m
medio de la barra. La longitud de la barra es 3 pies. Determine la
tensión en la cuerda BC y las reacciones en A. 7m
Problemas 5.57/5.58
C
5.59 Un sistema de bocinas está suspendido mediante cables
unidos en D y E. La masa del sistema de bocinas es 130 kg y su
peso actúa en G. Determine las tensiones en los cables y las
reacciones en A y C.

3 pies B 0.5 m 0.5 m 0.5 m 0.5 m
1m

C E

A 30Њ A
1m
1 pie
Problema 5.56 BD

G
Problema 5.59

www.FreeLibros.org

216 Capítulo 5 Objetos en equilibrio 5.63 El pescante de la grúa soporta una carga suspendida de 15
kip. Cada una de los largueros BC y DE tiene 20 pies de longitud.
5.60 En la figura, el peso W1 ϭ 1000 lb. Ignore el peso de la Las distancias son a ϭ 15 pies y b ϭ 2 pies, y el ángulo u ϭ 30°.
barra AB. El cable pasa sobre una polea en C. Determine el peso Determine la tensión en el cable AB y las reacciones en los
W2 y las reacciones en el soporte de pasador en A. soportes de pasador C y D.

B B

50° 35° E
W1 A u

C

W2

Problema 5.60 A CD

5.61 Las dimensiones en la figura son a ϭ 2 m y b ϭ 1 m. El ab
par M ϭ 2400 N-m. La constante del resorte k ϭ 6000 N/m y
el resorte no se encontraría elongado si h ϭ 0. El sistema está en Problema 5.63
equilibrio cuando h ϭ 2 m y la viga está en posición horizontal.
Determine la fuerza F y las reacciones en A. 5.64 El dispositivo mostrado controla los elevadores de un
avión (los elevadores son las superficies de control horizontal
k en la cola del avión). Los elevadores están unidos al elemento
h EDG. Las presiones aerodinámicas sobre los elevadores ejercen
un par horario de 120 pulg-lb. El cable BG está flojo y su tensión
se puede ignorar. Determine la fuerza F y las reacciones en el
soporte de pasador en A.

AM 6 pulg B E Elevador

aF A D 120
b pulg-lb
2.5 pulg
Problema 5.61 G
FC 1.5 pulg
5.62 La barra tiene una longitud de 1 m y su peso W actúa en
su punto medio. La distancia b ϭ 0.75 m y el ángulo a ϭ 30°. 3.5 2 pulg 2.5 pulg 2.5 pulg
La constante del resorte es k ϭ 100 N/m, y el resorte no está pulg
elongado cuando la barra se encuentra en posición vertical. 120 pulg
Determine W y las reacciones en A. (No está a escala)

Problema 5.64

᭤ 5.65 En el ejemplo 5.4, suponga que a ϭ 40°, d ϭ 1 m,
a ϭ 200 mm, b ϭ 500 mm, R ϭ 75 mm, y la masa del equipaje
es 40 kg. Determine F y N.

k W ᭤ 5.66 En el ejemplo 5.4, suponga que a ϭ 35°, d ϭ 46 pulg,
a a ϭ 10 pulg, b ϭ 14 pulg, R ϭ 3 pulg, y no se desea que el
usuario tenga que ejercer una fuerza F mayor a 20 lb. ¿Cuál
A es el peso máximo del equipaje que puede colocarse sobre el
carrito?

b

www.FreeLibros.orgProblema5.62

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados 217

᭤ 5.67 Una de las dificultades al tomar decisiones de diseño ᭤ 5.68 En el ejemplo 5.4, suponga un usuario que sujetaría la
es que no se sabe cómo el usuario colocará el equipaje sobre manija del portaequipajes en h ϭ 36 pulg por encima del piso.
el carrito del ejemplo 5.4. Si usted supone que el punto donde el Asuma que R ϭ 3 pulg, a ϭ 6 pulg, b ϭ 12 pulg y d ϭ 4 pies. La
peso actúa puede estar dentro de la “envoltura” R Յ a Յ 0.75c y razón resultante de la fuerza que el usuario debe ejercer contra el
0 Յ b Յ 0.75d. Si a ϭ 30°, c ϭ 14 pulg, d ϭ 48 pulg, R ϭ 3 pulg peso del equipaje es F͞W ϭ 0.132. Suponga que este portaequipaje
y W ϭ 80 lb, ¿cuál es la fuerza máxima F que el usuario tendrá lo usan personas con una variedad de alturas. Obtenga una gráfica
que ejercer para cualquier colocación del equipaje? de F͞W como una función de h para 24 Յ h Յ 36 pulg.

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados

ANTECEDENTES

En la sección 5.1 se analizaron ejemplos en los que se pueden usar las ecuaciones
de equilibrio para determinar fuerzas y pares desconocidos actuando sobre objetos en
equilibrio. Es necesario que se conozcan dos situaciones comunes en las que este
procedimiento no conduce a la solución. Primero, el diagrama de cuerpo libre de un
cuerpo puede tener más fuerzas o pares desconocidos que el número de ecuaciones
independientes de equilibrio que se pueden obtener. Por ejemplo, como no se pue-
den escribir más de tres de tales ecuaciones para un diagrama de cuerpo libre en un
problema bidimensional, si hay más de tres incógnitas, éstas no se pueden determi-
nar sólo con ecuaciones de equilibrio. Esto ocurre, por ejemplo, si un cuerpo tiene
más soportes que el mínimo necesario para mantenerlo en equilibrio. Se dice que
tal cuerpo tiene soportes redundantes. La segunda situación es cuando los soportes
de un cuerpo están diseñados en forma impropia, de modo que no pueden mantener
el equilibrio bajo las cargas actuantes. Se dice entonces que el objeto tiene soportes
impropios. En cualquiera de estas situaciones se dice que el cuerpo es estáticamente
indeterminado.

Los ingenieros usan soportes redundantes para aumentar la resistencia y la
seguridad siempre que es posible. Sin embargo, algunos diseños requieren que el
objeto se soporte en forma incompleta de manera que pueden realizar con liber-
tad ciertos movimientos. Estas dos situaciones —más soportes de los necesarios
para el equilibrio o soportes insuficientes— son tan comunes que se analizarán en
detalle.

Soportes redundantes

Considere una viga con un soporte fijo (figura 5.9a). De su diagrama de cuerpo
libre (figura 5.9b), se obtienen las ecuaciones de equilibrio

©Fx = A x = 0,

©Fy = A y - F = 0,

L
©Mpuonintot A MA a bF 0.
= - 2 =

Suponiendo que se conoce la carga F, se tienen tres ecuaciones y tres reacciones des-
conocidas, para las cuales se obtienen las soluciones Ax ϭ 0, Ay ϭ F y MA ϭ FL͞2.

y

FF

A MA
A

x
Ax

LL Ay Figura 5.9
LL
(a) Viga con un soporte fijo.
22 22
(b)
www.FreeLibros.org(a)
(b) El diagrama de cuerpo libre tiene tres
reacciones desconocidas.

218 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

y

F

MA A B
F x

Figura 5.10 A Ax B
(a) Viga con un soporte fijo y un soporte de B Ay

rodillo. LL L L
(b) El diagrama de cuerpo libre tiene cuatro 22 2 2

reacciones desconocidas. (a) (b)

Ahora suponga que se añade un soporte de rodillo en el extremo derecho de la
viga (figura 5.10a). Del nuevo diagrama de cuerpo libre (figura 5.10b) se obtienen
las ecuaciones de equilibrio

©Fx = A x = 0, (5.6)
(5.7)
©Fy = A y - F + B = 0,
(5.8)
L
©Mpuonintot A MA a bF LB 0.
= - 2 + =

Ahora se tienen tres ecuaciones y cuatro reacciones desconocidas. Aunque la pri-
mera ecuación indica que Ax ϭ 0, no es posible resolver las ecuaciones (5.7) y
(5.8) para las reacciones Ay, B y MA.

Cuando enfrentan esta situación, algunos estudiantes intentan sumar momen-

tos respecto a otro punto, como el B, para obtener una ecuación adicional:

L
©Mpuonintot B MA a bF L Ay 0.
= + 2 - =

Por desgracia esto no ayuda. No se trata de una ecuación independiente sino de una
combinación lineal de las ecuaciones (5.7) y (5.8):

L
©Mpuonintot B MA a bF L Ay
= + 2 -

L L1A y
MA a bF LB F B2.
= - 2 + - - +

(''')'''* (''')'''*

EcuaciEóqn. (15.82) EcuaciEóqn. (155.7)2

Como lo demuestra este ejemplo, cada soporte adicional en un objeto cualquiera
conlleva reacciones adicionales. La diferencia entre el número de reacciones y el
número de ecuaciones independientes de equilibrio se denomina grado de redun-
dancia. Aun si un cuerpo es estáticamente indeterminado debido a sus soportes
redundantes, quizá sea posible determinar algunas de las reacciones con las ecua-
ciones de equilibrio. Observe que en los ejemplos anteriores fue posible determi-
nar la reacción Ax aunque no se pudo determinar las otras reacciones.

Como los soportes redundantes son tan ubicuos, podría surgir la pregunta de
por qué se invierte tanto esfuerzo en enseñar a analizar cuerpos cuyas reacciones
se pueden determinar con las ecuaciones de equilibrio. Se desea desarrollar una
comprensión del concepto de equilibrio y se quiere que el estudiante practique la
formulación de las ecuaciones correspondientes. Las reacciones sobre un cuerpo
con soportes redundantes se pueden determinar complementando las ecuaciones
de equilibrio con ecuaciones adicionales que relacionen las fuerzas y pares actuan-

www.FreeLibros.orgtes sobre el objeto con su deformación o cambio de forma. Por ello, la obtención
de las ecuaciones de equilibrio es el primer paso para su solución.

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados 219

Soportes impropios F
AB
Se dice que un objeto tiene soportes impropios si no permanece en equilibrio bajo
la acción de las cargas ejercidas sobre él. Así, un cuerpo con soportes impropios (a)
se moverá al aplicarle cargas. En problemas bidimensionales, esto puede ocurrir F
de dos maneras:
AB
1. Los soportes sólo pueden ejercer fuerzas paralelas. Esto deja al cuerpo con
libertad para moverse en la dirección perpendicular a las fuerzas de soporte. Si AB
las cargas ejercen una componente de fuerza en esa dirección, el objeto no (b)
estará en equilibrio. En la figura 5.11a se muestra un ejemplo de esta situación.
Los dos soportes de rodillo pueden ejercer sólo fuerzas verticales, mientras que Figura 5.11
la fuerza F tiene una componente horizontal. La viga se moverá horizontal- (a) Una viga con dos soportes de
mente cuando se aplique F. Esto se resulta evidente en el diagrama de cuerpo
libre (figura 5.11b). La suma de las fuerzas en la dirección horizontal no puede rodillo no está en equilibrio cuando
ser igual a cero porque los soportes de rodillo sólo pueden ejercer reacciones se somete a la carga mostrada.
verticales. (b) La suma de las fuerzas en la
dirección horizontal no es igual a
2. Los soportes sólo pueden ejercer fuerzas concurrentes. Si las cargas ejercen un cero.
momento respecto al punto en que las líneas de acción de las fuerzas de soporte
se intersecan, el cuerpo no estará en equilibrio. Por ejemplo, considere la viga Figura 5.12
de la figura 5.12a. De su diagrama de cuerpo libre (figura 5.12b) se observa que (a) Una viga con soportes de rodillo sobre
las reacciones A y B no ejercen momento respecto al punto P, que es donde sus
líneas de acción se cortan, pero esto sí ocurre en el caso de la carga F. La suma superficies inclinadas.
de los momentos respecto a P no es igual a cero y la viga girará cuando se (b) La suma de los momentos respecto al
aplique la carga.
punto P no es igual a cero.
Excepto cuando se abordan de manera explícita soportes impropios, en estos
ejemplos los objetos tienen soportes adecuados. Debe desarrollarse el hábito de
examinar cuerpos en equilibrio y reflexionar si están adecuadamente soportados
según las cargas que actúan sobre ellos.

Las líneas de
acción de las
reacciones se
P intersecan.

F A F
AB A 45Њ
B
45Њ 45Њ 45Њ B
(a) (b)

RESULTADOS

Se dice que un objeto apoyado es estáticamente indeterminado en dos circunstancias:

Soportes redundantes
El objeto tiene más soportes que el número mínimo necesario para
mantener el equilibrio. La diferencia entre el número de reacciones
debidas a los soportes y el número de ecuaciones de equilibrio
independientes se denomina grado de redundancia.

Soportes impropios
Los soportes no pueden mantener al objeto en equilibrio bajo las cargas

www.FreeLibros.orgqueactúansobreél.

220 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Ejemplo activo 5.5 Reconocimiento de un objeto estáticamente indeterminado (᭤ Relacionado con

el problema 5.69)

La viga tiene dos soportes de pasador y está cargada con una fuerza de 2 kN.
a) Demuestre que la viga es estáticamente indeterminada y encuentre el grado de
redundancia.
b) Determine tantas reacciones como le sea posible.

2 kN

AB

3m 2m

Estrategia
La viga es estáticamente indeterminada si su diagrama de cuerpo libre tiene más
reacciones desconocidas que el número de ecuaciones independientes de equilibrio
que se pueden obtener. La diferencia entre el número de reacciones y el número de
ecuaciones de equilibrio es el grado de redundancia. Aun si la viga es estática-
mente indeterminada, es posible resolver las ecuaciones de equilibrio para algunas
de las reacciones.

Solución

y 2 kN Dibuje el diagrama de cuerpo libre.
Hay cuatro reacciones
A B desconocidas.
x
Ax
Ay Bx
By

⌺Fx ϭ Ax ϩ Bx ϭ 0, Escriba las ecuaciones de equilibrio.
⌺Fy ϭ Ay ϩ By Ϫ 2 kN ϭ 0,
⌺Mpunto A ϭ (5 m)By Ϫ (3 m)(2 kN) ϭ 0.

Hay tres ecuaciones de equilibrio independientes, consecuentemente,

la viga es estáticamente indeterminada y el grado de redundancia es
4 Ϫ 3 ϭ 1. No es posible determinar Ax o Bx a partir de las ecuaciones
de equilibrio, pero se puede determinar Ay y By.

(3 m)(2 kN) Determine las reacciones Ay y By.
By ϭ (5 m) ϭ 1.2 kN,
Ay ϭ 2 kN Ϫ By ϭ 0.8 kN.

Problema de práctica Suponga que el soporte de pasador en el punto A de la viga se
reemplaza con un soporte fijo. (a) Demuestre que la viga es estáticamente indeterminada
y encuentre el grado de redundancia. (b) Determine tantas reacciones como sea posible.

www.FreeLibros.orgRespuesta: (a) El grado de redundancia es 2. (b) No puede determinarse ninguna reacción.

5.2 Cuerpos estáticamente indeterminados 221

Ejemplo 5.6 Soportes adecuados e impropios (᭤ Relacionado con los problemas 5.75, 5.76)

Indique si las barras en L están adecuadamente soportadas. Si una barra está ade- B
cuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes.

Estrategia
Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de cada barra es posible determinar si las
reacciones de los soportes pueden ejercer sólo fuerzas paralelas o concurrentes
sobre ésta. En caso de ser así, se puede reconocer si la carga aplicada resulta en que
la barra no esté en equilibrio.

BF

LLL

A A A
B
F F
L L L

(a) (b) (c)

Solución y
Considere los diagramas de cuerpo libre de las barras (que se muestran abajo): A
Ay
Barra (a) Las líneas de acción de las reacciones en los dos soportes de rodillo (c)
se intersecan en P, y la fuerza F ejerce un momento respecto a P. Esta barra está
impropiamente soportada.

Barra (b) Las líneas de acción de las reacciones se intersecan en A y la fuerza F
ejerce un momento respecto a A. Esta barra también está impropiamente soportada.

Barra (c) Las tres fuerzas de soporte no son ni paralelas ni concurrentes. Esta
barra está soportada en forma adecuada. Las ecuaciones de equilibrio son

͚Fx ϭ Ax Ϫ B ϭ 0,
͚Fy ϭ Ay Ϫ F ϭ 0,
͚Mpunto A ϭ BL Ϫ FL ϭ 0.

Al resolver estas ecuaciones, las reacciones son Ax ϭ F, Ay ϭ F y B ϭ F.

P B Las líneas F B
B de acción de B
Las líneas las reacciones B
de acción de se intersecan. x x
las reacciones y F
se intersecan. B Ax
A
A
Ax

A F Ay
(a) (b)

Razonamiento crítico
Una parte esencial del aprendizaje de la mecánica es desarrollar su intuición acerca

del comportamiento de los sistemas físicos que se estudian. En este ejemplo, piense

en los efectos de las cargas sobre los tres sistemas y vea si puede predecir si están

soportados en forma adecuada. ¿Las cargas causarán que las barras se mueven o no?

www.FreeLibros.orgLuego vea si su juicio se confirma por el análisis dado en el ejemplo.

222 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Problemas ᭤ 5.75 Indique si cada una de las barras en L mostradas está
soportada en forma adecuada o impropia. Si una barra está ade-
᭤ 5.69 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga de la cuadamente soportada, determine las reacciones en sus soportes
figura y demuestre que ésta es estáticamente indeterminada (vea (vea el ejemplo activo 5.6).
el ejemplo activo 5.5).
b) Determine tantas reacciones como le sea posible.

5.70 Escoja soportes en A y B tales que la viga no sea estática- F C
mente indeterminada. Determine las reacciones en los soportes. L F

A 20 N-m B B 1
L

2
1

L
2

800 mm 300 mm A AB
L L 45Њ
Problemas 5.69/5.70 (1) (2)

5.71 a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la viga y demuestre 45° C
que es estáticamente indeterminada (el par externo M0 se conoce).
b) Mediante un análisis de la deflexión de la viga, se determina que F 1L
la reacción vertical B ejercida por el soporte de rodillos se relaciona 2
con el par M0 por B ϭ 2M0͞L. ¿Cuáles son las reacciones en A? A 1L
45° L B 2
5.72 Elija soportes en A y B de manera que la viga no sea estáti-
camente indeterminada. Encuentre las reacciones en los soportes. (3)

M0 Problema 5.75

A B ᭤ 5.76 Indique si cada una de las barras en L mostradas está
L soportada de manera adecuada o impropia. Si cualquiera de las
barras está adecuadamente soportada, determine las reacciones
Problemas 5.71/5.72 en sus soportes (vea el ejemplo activo 5.6).

5.73 Dibuje el diagrama de cuerpo libre del tubo en forma de C 1L F 1
L de la figura y demuestre que es estáticamente indeterminado. F 2 L
Determine tantas reacciones como le sea posible. A
A 1 L L 2
Estrategia: Coloque el sistema coordenado de modo que el B 2 (2) 1L
eje x pase por los puntos A y B. 2
B
5.74 Elija los soportes en A y B de la figura de modo que el tubo
no sea estáticamente indeterminado. Determine las reacciones en L 45Њ
los soportes. (1)

C

80 N B F 1L
A 100 N-m 2

300 mm 1L
2
AB

L

300 mm 700 mm (3)
Problema 5.76
www.FreeLibros.orgProblemas5.73/5.74

5.3 Aplicaciones tridimensionales 223

5.3 Aplicaciones tridimensionales

ANTECEDENTES

Se ha visto que cuando un cuerpo en equilibrio está sometido a un sistema bidi-
mensional de fuerzas y momentos, no se pueden obtener más de tres ecuaciones
independientes de equilibrio. En el caso de un sistema tridimensional de fuerzas y
momentos, se pueden obtener hasta seis ecuaciones independientes de equilibrio.
Las tres componentes de la suma de las fuerzas deben ser iguales a cero y las tres
componentes de la suma de los momentos respecto a cualquier punto deben tam-
bién ser iguales a cero. El procedimiento para determinar las reacciones sobre
cuerpos sometidos a sistemas tridimensionales de fuerzas y momentos —dibujar
el diagrama de cuerpo libre y aplicar las ecuaciones de equilibrio— es el mismo
que para el de dos dimensiones.

Ecuaciones de equilibrio escalares

Cuando un objeto está en equilibrio, el sistema de fuerzas y pares que actúa sobre
dicho objeto satisface las ecuaciones (5.1) y (5.2). La suma de las fuerzas es cero
y la suma de los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero. Al expresar
estas ecuaciones en términos de componentes cartesianas en tres dimensiones pro-
duce las seis ecuaciones de equilibrio escalares.

©Fx = 0, (5.9)
©Fy = 0, (5.10)
©Fz = 0, (5.11)
©Mx = 0, (5.12)
©My = 0, (5.13)
©Mz = 0. (5.14)

Las sumas de los momentos pueden evaluarse respecto a cualquier punto. Aunque
se pueden obtener más ecuaciones sumando momentos respecto a otros puntos,
éstas no serían independientes de las seis ecuaciones iniciales. No se pueden obte-
ner más de seis ecuaciones de equilibrio independientes a partir de un diagrama
de cuerpo libre dado; entonces, pueden determinarse cuando mucho seis fuerzas
o pares desconocidos.

Los pasos requeridos para determinar reacciones en tres dimensiones resultan
familiares por las aplicaciones bidimensionales que se han analizado. Primero obten-
ga un diagrama de cuerpo libre aislando un objeto y mostrando las cargas y reaccio-
nes que actúan sobre éste, después use las ecuaciones (5.9)-(5.14) para determinar
las reacciones.

Soportes

Se presentan cinco convenciones que suelen utilizarse en problemas tridimensio-
nales. De nuevo, aun cuando los soportes reales no se parezcan físicamente a esos
modelos, se representarán mediante los modelos si éstos ejercen las mismas (o
aproximadamente las mismas) reacciones.

Soporte de bola y cuenca En el soporte de bola y cuenca, el cuerpo sopor-
tado está unido a una bola encerrada dentro de una cuenca esférica (figura 5.13a).
La cuenca permite que la bola gire libremente (se ignora la fricción) pero impide
que se traslade en cualquier dirección.

Imagine que usted sostiene una barra unida a un soporte de bola y cuenca (figu-
ra 5.13b). Si trata de trasladar la barra (moverla sin girarla) en cualquier dirección,

www.FreeLibros.orgel soporte ejercerá una fuerza reactiva que impedirá el movimiento. Sin embargo,

224 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

y
Ay

z Az Ax x

(a) (b) (c)

Figura 5.13
(a) Soporte de bola y cuenca.
(b) Sujeción de una barra soportada.
(c) El soporte de bola y cuenca puede generar tres componentes de fuerza.

Cuenca usted puede girar la barra respecto al soporte. El soporte no puede generar un par
para evitar la rotación. El soporte de bola y cuenca no puede entonces ejercer
Bola un par pero sí tres componentes de fuerza (figura 5.13c). Es el modelo tridimen-
sional análogo al soporte de pasador bidimensional.
Fémur Pelvis
La rótula de la cadera humana es un ejemplo de soporte de bola y cuenca (figu-
Figura 5.14 ra 5.14). El soporte de la palanca de velocidades de un auto se puede modelar como
El fémur humano está unido a la pelvis por soporte de bola y cuenca en el intervalo de su movimiento.
medio de un soporte de bola y cuenca.
Soporte de rodillo El soporte de rodillo (figura 5.15a) es un soporte de bola y
cuenca que puede rodar sobre una superficie de apoyo. Un soporte de rodillo puede
ejercer sólo una fuerza normal a la superficie de apoyo (figura 5.15b). Las ruedas
que se usan en ocasiones para soportar las patas de los muebles son soportes de este
tipo.

Articulación El soporte de articulación (bisagra) es el que se utiliza común-
mente para soportar puertas. Permite que el cuerpo soportado gire respecto a
una línea o eje de la articulación. Un cuerpo unido a una articulación se mues-
tra en la figura 5.16a. El eje z del sistema coordenado está alineado con el eje
de la articulación.

Si se imagina sujetando una barra unida a una articulación (figura 5.16b),
observe que se puede hacer girar la barra alrededor del eje de la articulación.
Ésta no puede generar un par respecto a su eje (el eje z) para impedir la rotación.

y

A

x
z
(a) (b)

www.FreeLibros.orgFigura5.15
(a) Soporte de rodillo.
(b) La reacción es normal a la superficie de soporte.

y 5.3 Aplicaciones tridimensionales 225

y

Articulación Cuerpo A
A soportado
z
(b) x

x y
z Ay

(a)

yy

Ay Ay

MAy

MAx Ax Ax
Ax x x

Az x z Az z
z (d)
(e)
(c)

Figura 5.16
(a) Articulación. El eje z está alineado con el eje de la articulación.
(b) Sujeción de una barra soportada.
(c) En general, una articulación puede generar cinco reacciones:

tres componentes de fuerza y dos pares.
(d) Las reacciones cuando la articulación no genera pares.
(e) Las reacciones cuando la articulación no genera pares ni una

fuerza paralela al eje de ésta.

Sin embargo, no se puede hacer girar la barra respecto a los ejes x o y porque la
articulación puede generar pares respecto a esos ejes para impedir el movimien-
to. Además, no se puede trasladar la barra en ninguna dirección. En la figura
5.16c se muestran las reacciones que una articulación puede generar sobre un
objeto. Hay tres componentes de fuerza, Ax, Ay y Az, y pares respecto a los ejes
x e y, MAx y MAy.

En algunas situaciones una articulación no genera pares sobre el objeto que
soporta o éstos son suficientemente pequeños para ignorarse. Un ejemplo del últi-
mo caso es cuando las articulaciones que soportan una puerta están apropiada-
mente alineadas. Aquí la articulación genera sólo fuerzas sobre el cuerpo (figura
5.16d). Se presentan también casos en que una articulación no genera pares sobre
el cuerpo ni fuerza en la dirección de su eje (la articulación puede de hecho estar
diseñada para que no soporte una fuerza paralela a su eje). La articulación genera
entonces reacciones sólo en las direcciones perpendiculares a su eje (figura 5.16e).
En los ejemplos y en los problemas se indicará cuándo una articulación no genere
las cinco reacciones mostradas en la figura 5.16c.

Cojinete El tipo de cojinete mostrado en la figura 5.17a soporta una flecha
circular que puede girar alrededor de su eje. Las reacciones son idénticas a las
generadas por una articulación. En el caso más general (figura 5.17b), el cojine-
te puede generar tanto una fuerza sobre la flecha soportada en cada dirección
coordenada, como pares respecto a ejes perpendiculares a la flecha, pero no un
par respecto al eje de la flecha.

Como en el caso de la articulación, puede haber casos en que el cojinete no
genere pares (figura 5.17c) o no genere ni pares ni fuerza paralela al eje de la

www.FreeLibros.orgflecha (figura 5.17d). Algunos cojinetes están diseñados así para aplicaciones

226 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

y y

Cojinete Ay
Flecha MAy

z MAx
(a) Ax
y
Ay xx
Az

z
(b)

y

Ay

Ax Ax
x x

Az z
z

(c) (d)

Figura 5.17
(a) Cojinete. El eje z está alineado con el eje de la flecha.
(b) En general, un cojinete puede generar cinco reacciones: tres componentes de

fuerza y dos componentes de par.
(c) Reacciones cuando el cojinete no genera pares.
(d) Reacciones cuando el cojinete no genera pares ni una fuerza paralela al eje de

la flecha.

específicas. En los ejemplos y problemas se indicará cuándo un cojinete no
ejerce todas las reacciones mostradas en la figura 5.17b.

Soporte fijo Ya se ha estudiado el soporte fijo, o empotrado, (figura 5.18a).
Imagine que sujeta una barra con un soporte fijo (figura 5.18b); no puede trasla-
darla en ninguna dirección ni hacerla girar respecto a algún eje. El soporte es capaz

Cuerpo yy

soportado
y

Ay
MAy

x Ax
xx

MAx

z z MAz
(a) (b) z Az

(c)

Figura 5.18
(a) Soporte fijo.
(b) Sujeción de una barra soportada.

www.FreeLibros.org(c) Un soporte fijo puede ejercer seis reacciones: tres componentes de fuerza y tres componentes de par.

5.3 Aplicaciones tridimensionales 227

de ejercer fuerzas Ax, Ay y Az en cada dirección coordenada, así como pares MAx,
MAy y MAz respecto a cada eje coordenado (figura 5.18c).

En la tabla 5.2 se resumen las convenciones de soportes usados comúnmente
en las aplicaciones tridimensionales.

Tabla 5.2 Soportes usados en aplicaciones tridimensionales.

Soportes Reacciones

T

Cuerda o cable Una fuerza colineal
y y

A

x x

z z
Contacto con una superficie lisa Una fuerza normal
y
y

Ay

x x
Az Ax
z z
Contacto con una superficie rugosa Tres componentes de fuerza

y y

Ay

x x
Az Ax
z z
Soporte de bola y cuenca Tres componentes de fuerza

y y

A

xx

z z
Una fuerza normal
www.FreeLibros.orgSoportederodillos

228 Capítulo 5 Objetos en equilibrio

Tabla 5.2 continuación Reacciones
Soportes y

y Ay

MAy

x x

z Az MAx Ax
Articulación
z
(El eje z es paralelo al eje
de la articulación) Tres componentes de fuerza,
Dos componentes de par

y

Ay

y x
Az Ax
x z
(Cuando no se ejercen pares)
z
Cojinete y

(El eje z es paralelo al eje Ay
de la flecha soportada)
x
Ax
z
(Cuando no se generan pares
ni fuerza axial)

y y
Ay
x
z MAy
Soporte fijo (empotrado)
MAz MAx x
Az Ax

z
Tres componentes de fuerza,

tres componentes de par

www.FreeLibros.org