Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

7.3 Cargas distribuidas 329

Analogía del área y w x
dA ϭ w dx
Observe que el término w dx es igual a un elemento de “área” dA entre la curva de x
carga y el eje x (figura 7.8a) (se utilizan comillas porque w dx es en realidad una y dx
fuerza y no un área). Interpretada de esta manera, la ecuación (7.10) establece que (a)
la fuerza total ejercida por la carga distribuida es igual al “área” A entre la curva
de carga y el eje x: FϭA
A
F = w dx = dA = A. (7.13)
LL LA

Sustituyendo w dx ϭ dA en la ecuación (7.12), se obtiene

x = LL xw dx LA x dA x
= (b)
. (7.14)
Figura 7.8
w dx dA (a) Determinación del “área” entre la función
LL LA
w y el eje x.
La fuerza F es equivalente a la carga distribuida si actúa en el centroide del “área” (b) La fuerza equivalente es igual al “área”, y
entre la curva de carga y el eje x (figura 7.8b). El uso de esta analogía para repre-
sentar una carga distribuida mediante una fuerza equivalente puede ser muy útil la línea de acción pasa por su centroide.
cuando la curva de carga es relativamente simple.

RESULTADOS w Para representar una carga que se distribuye a lo largo del
x eje x, se define una función w tal que la fuerza
y descendente sobre un elemento dx del eje x sea w dx. La
gráfica de w se llama curva de carga.
x dx
w dx

F ϭ w dx, (7.10) La fuerza total descendente y el momento horario
LL total respecto al origen debido a la carga
distribuida w que actúa sobre un intervalo L del
M ϭ xw dx, (7.11) eje x pueden determinarse por integración.
LL

La fuerza total descendente F debida a una carga

distribuida es igual al “área” A entre la curva de
y F ϭ A carga y el eje x. Cuando dicha fuerza se representa

mediante un vector, éste es equivalente a la carga
A distribuida si se coloca en el centroide del “área”.

x (Es decir, el momento horario respecto al origen
debido al vector de fuerza es igual a M.) Lo

www.FreeLibros.organterior se denomina analogía del área.

330 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo activo 7.5 Viga con una carga distribuida (᭤ Relacionado con el problema 7.46)

La viga de la figura está sometida a una carga distribuida “triangular” cuyo valor
en B es de 100 N/m (es decir, la función w se incrementa linealmente de w ϭ 0 en
A hasta w ϭ 100 N/m en B). Determine las reacciones de la viga en A y B.

A 100 N/m
12 m B

Estrategia
Es posible usar la analogía del área para representar la carga distribuida mediante
una fuerza equivalente. Luego se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio para
determinar las reacciones en A y B.

Solución

El “área” de la carga distribuida triangular es y 1 (12 m)(100 N/m)
2 ϭ 600 N
igual a un medio de su base por su altura, o Ax 2 (12 m)
Ay 3ϭ 8 m x
1 (12 m) ϫ (100 N/m) ϭ 600 N.
2

El centroide del “área” triangular está en

x 2 2 (12 m) ϭ 8 m. B
ϭ3 3

12 m

⌺Fx ϭ Ax ϭ 0, Aplique el equilibrio.
⌺Fy ϭ Ay ϩ B Ϫ 600 N ϭ 0,

⌺Mpunto A ϭ (12 m)B Ϫ (8 m)(600 N) ϭ 0.

Resolviendo se obtiene Ax ϭ 0,
Ay ϭ 200 N, y B ϭ 400 N.

Problema de práctica a) Determine w como una función de x para la carga trian-
gular distribuida en este ejemplo. b) Use las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar
la fuerza descendente total y el momento horario total respecto al extremo izquierdo
de la viga debido a la carga triangular distribuida.

100

www.FreeLibros.orgRespuesta:a)w = 12 xN/m.b)Fϭ600N,Mϭ4800N-m.

7.3 Cargas distribuidas 331

Ejemplo 7.6 Viga sometida a cargas distribuidas (᭤ Relacionado con el problema 7.48)

La viga que se muestra en la figura está sometida a dos cargas distribuidas. Deter-
mine las reacciones en A y B.

400 N/m

6m

800 N/m A 400 N/m
6m B

6m

Estrategia y
En este caso puede aplicarse con facilidad la analogía del área a la carga uniforme-
mente distribuida entre A y B. Se tratará a la carga distribuida sobre la sección ver- ϩ 6m
tical de la viga como la suma de cargas uniforme y triangular, y se usará la analogía
del área para representar cada carga distribuida mediante una fuerza equivalente. 400 400 Ax Ay 400 N/m
N/m N/m 6m 6m x
Solución
En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la viga, expresando la carga B
distribuida a la izquierda como la suma de cargas uniforme y triangular. En la fi-
gura b se representan las tres cargas mediante fuerzas equivalentes. El “área” de (a) Diagrama de cuerpo libre de la viga.
la carga distribuida uniforme a la derecha es (6 m) ϫ (400 N/m) ϭ 2400 N, y su
centroide está a 3 m de B. El área de la carga distribuida uniforme sobre la parte y
vertical de la viga es (6 m) ϫ (400 N/m) ϭ 2400 N y su centroide está en y ϭ 3 m.
El área de la carga distribuida triangular es –1 (6 m) ϫ (400 N/m) ϭ 1200 N y su 2400 N 2m 3m 2400 N
centroide se ubica en y ϭ –1 (6 m) ϭ 2 m. 2 1200 N Ax 3m

2 6m x

A partir de las ecuaciones de equilibrio Ay B
6m
͚Fx ϭ Ax ϩ 1200 N ϩ 2400 N ϭ 0,
(b) Representación de las cargas distribuidas
͚Fy ϭ Ay ϩ B Ϫ 2400 N ϭ 0, mediante fuerzas equivalentes.

͚Mpunto A ϭ (6 m)B Ϫ (3 m)(2400 N) Ϫ (2 m)(1200 N) Ϫ (3 m)(2400 N) ϭ 0,

se obtiene Ax ϭ Ϫ3600 N, Ay ϭ Ϫ400 N y B ϭ 2800 N.

Razonamiento crítico

Cuando se analiza un problema que implica cargas distribuidas, ¿debería usarse
siempre la analogía del área para representar las cargas como se hizo en este ejem-
plo? La analogía del área es útil cuando una curva de carga es suficientemente sim-
ple para que su área y la ubicación de su centroide sean fáciles de determinar. Cuando
no se da este caso, pueden usarse las ecuaciones (7.10) y (7.11) para determinar la
fuerza y el momento ejercidos por una carga distribuida. Este enfoque se ilustra en

www.FreeLibros.orgelejemplo7.7.

332 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.7 Viga con una carga distribuida (᭤ Relacionado con el problema 7.49)

La viga que se muestra en la figura está sometida a una carga distribuida, a una
fuerza y a un par. La carga distribuida es w ϭ 300x Ϫ 50x2 ϩ 0.3x4 lb/pie. Deter-
mine las reacciones en el soporte fijo A.

y 2000 lb
w
10,000 pies-lb
A x
10 pies
10 pies

Estrategia
Como se conoce la función w, pueden usarse las ecuaciones (7.10) y (7.11) para
determinar la fuerza y el momento ejercidos sobre la viga por la carga distribui-
da. Después pueden emplearse las ecuaciones de equilibrio para determinar las
reacciones en A.

Solución
En la figura a se aísla la viga y se muestran las reacciones en el soporte fijo. La
fuerza descendente ejercida por la carga distribuida es

10

w dx = 1300x - 50x 2 + 0.3x 42 dx = 4330 lb.
3 L0

L

El momento horario respecto al punto A ejercido por la carga distribuida es

10

xw dx = x1300x - 50x 2 + 0.3x 42 dx = 25,000 fpti-elsb-.lb.
3 L0

L

A partir de las ecuaciones de equilibrio

͚Fx ϭ Ax ϭ 0,
͚Fy ϭ Ay Ϫ 4330 lb ϩ 2000 lb ϭ 0,
͚Mpunto A ϭ MA Ϫ 25,000 pies-lb ϩ (20 pies)(2000 lb) ϩ 10,000 pies-lb ϭ 0,

se obtiene Ax ϭ 0, Ay ϭ 2330 lb y MA ϭ Ϫ25,000 pies-lb.

y

MA w 2000 lb

Ax A 10,000 pies-lb
x

10 pies 10 pies
Ay

(a) Diagrama de cuerpo libre de la viga.

Razonamiento crítico
Cuando se utiliza la ecuación (7.11), es importante tener en cuenta que se está calcu-

www.FreeLibros.orglando el momento horario debido a la carga distribuida w respecto al origen x ϭ 0.

Problemas 333

Problemas

᭤ 7.46 En el ejemplo activo 7.5 suponga que la carga distribuida 7.50 Determine las reacciones en el soporte fijo A que se muestra
se modifica como se indica en la figura. Determine las reacciones en la figura.
sobre la viga en A y en B.
y

60 N/m w ϭ 3(1 Ϫ x2/25) kN/m
AB
A x
8m 4m 5m
Problema 7.46 Problema 7.50

7.47 Determine las reacciones en los puntos A y B de la figura.

200 lb/pie 6 pies 7.51 Un ingeniero mide las fuerzas ejercidas por el suelo sobre
A una sección de 10 m de la cimentación de un edificio y encuen-
tra que dichas fuerzas están descritas por la carga distribuida
6 pies B w ϭ Ϫ10x Ϫ x2 ϩ 0.2x3 kN/m.

a) Determine la magnitud de la fuerza total ejercida sobre la ci-
mentación por la carga distribuida.

b) Determine la magnitud del momento respecto a A debido a la
carga distribuida.

4 pies 200 lb/pie y

Problema 7.47 2m 10 m
A

᭤ 7.48 En el ejemplo 7.6, suponga que las cargas distribuidas se x
modifican como se indica en la figura. Determine las reacciones
sobre la viga en A y en B.

400 N/m

Problema 7.51

6m 400 N/m 7.52 Determine las reacciones sobre la viga mostrada en A y en B.
600 N/m B

A 6m
6m

Problema 7.48 2 kN/m 3 kN/m

A

᭤ 7.49 En el ejemplo 7.7, suponga que la carga distribuida que B
actúa sobre la viga desde x ϭ 0 hasta x ϭ 10 pies está dada por 4m 2m

w ϭ 350 ϩ 0.3x3 lb/pie. a) Determine la fuerza descendente y el

momento horario respecto a A ejercido por la carga distribuida. Problema 7.52
www.FreeLibros.orgb) Determine las reacciones en el soporte fijo.

334 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.53 La fuerza de sustentación aerodinámica del ala que se 7.54 Determine las reacciones sobre la barra AB mostrada en A y
muestra en la figura está descrita por la carga distribuida en B.
w = - 300 21 - 0.04x2 N/m. La masa del ala es de 27 kg y su
centro de masa está ubicado a 2 m del punto R en la raíz del ala. 400 lb/pieB
y
a) Determine las magnitudes de la fuerza y el momento respecto a
R ejercidos por la fuerza de sustentación del ala. 2 pies

b) Determine las reacciones sobre el ala en R.

y

600 lb/pie 400 lb/pie 2 pies
x x

A 4 pies
4 pies

R Problema 7.54
2m

5m

Problema 7.53

7.55 Determine las reacciones sobre el elemento AB en A y en B.

300 lb/pie
AB

6 pies 6 pies 6 pies

C 300 lb/pie
Problema 7.55

7.56 Determine las fuerzas axiales en los elementos BD, CD y CE de la armadura mostrada e indique si están en tensión (T) o en
compresión (C).

A 2m 2m 2m 2m
4 kN/m BD FH

CE 2m
G

8 kN/m

Problema 7.56

www.FreeLibros.org

7.4 Centroides de volúmenes y líneas 335

7.57 Determine las reacciones sobre el elemento ABC mostrado 7.58 Determine las fuerzas sobre el elemento ABC del bastidor

en A y en B. que se muestra en la figura.

400 N/m A
B
200 N/m 1m 3 kN/m

C B
160 mm 1m

C

2m 2m 1m
Problema 7.58
D 240 mm

400 N/m AE

160 160 160
mm mm mm

Problema 7.57

7.4 Centroides de volúmenes y líneas

ANTECEDENTES

En esta sección se definen los centroides, o posiciones promedio, de volúmenes y
líneas, y se muestra cómo determinar los centroides de volúmenes y líneas com-
puestos. En la sección 7.7 se demostrará que si se conocen los centroides de volú-
menes y líneas es posible determinar los centros de masa de ciertos tipos de objetos,
mediante los cuales se sabe dónde actúan de manera efectiva sus pesos.

Volúmenes Considere un volumen V, y sea dV un elemento diferencial de V
con coordenadas x, y y z (figura 7.9). Por analogía con las ecuaciones (7.6) y (7.7),
las coordenadas del centroide de V son

x dV y dV z dV (7.15)
x = LV , y = LV , z = LV .

dV dV dV
LV LV LV

El subíndice V en la integral significa que la integración se lleva a cabo sobre todo
el volumen.

y

dV

yx
z

zx
Figura 7.9

www.FreeLibros.orgVolumen V y elemento diferencial dV.

336 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

A

Vista frontal Vista lateral
(a) y

y

dA dV

y T
x xz

(b)

Figura 7.10
(a) Volumen de espesor uniforme.
(b) Obtención de dV proyectando dA a través

del volumen.

Si un volumen tiene la forma de una placa con espesor uniforme y área A de
sección transversal (figura 7.10a), su centroide coincide con el de A y se encuentra
en el punto medio entre las dos caras. Para demostrar que esto es cierto, se obtiene
un elemento de volumen dV proyectando un elemento dA del área de la sección
transversal a través del espesor T del volumen, de manera que dV ϭ T dA (figura
7.10b). Entonces, las coordenadas x e y del centroide del volumen son

x = LV x dV xT dA x dA
LA LA
= = ,

dV T dA dA
LV LA LA

y = LV y dV yT dA y dA
LA LA
= = .

dV T dA dA
LV LA LA

Por simetría, la coordenada –z ϭ 0. Por lo tanto, el centroide de este tipo de volu-
men se conoce si se sabe cuál es (o es posible determinar) el centroide del área de
y su sección transversal.
L Líneas Las coordenadas del centroide de una línea L son

dL

y x dL y dL z dL (7.16)
x x = LL , y = LL , z = LL ,

z dL dL dL
x LL LL LL

z

Figura 7.11

www.FreeLibros.orgLíneaLyelementodiferencialdL.
donde dL es una longitud diferencial de la línea con coordenadas x, y y z. (Figura
7.11).

7.4 Centroides de volúmenes y líneas 337

RESULTADOS

x ϭ LV x dV y x

, dV

dV y
LV z

zx

y ϭ LV y dV Coordenadas del centroide de
un volumen V.
, (7.15)

dV
LV

z ϭ LV z dV

.

dV
LV

Si un volumen tiene la forma de una A
placa con espesor uniforme y área A de
sección transversal, su centroide Vista frontal Vista lateral
coincide con el centroide de A y está en
el punto medio entre las dos caras.

y
L

dL

x ϭ LL x dL y

, x
z
dL x
LL z

y ϭ LL y dL Coordenadas del centroide de
una línea L.
, (7.16)

dL
LL

z ϭ LL z dL

.

dL
wwLL w.FreeLibros.org

338 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo activo 7.8 Centroide de un cono por integración (᭤ Relacionado con el problema 7.59)

Determine el centroide del cono que se muestra en la figura.

y

zR
x

h

Estrategia
Debido a la simetría axial del cono, el centroide debe encontrarse sobre el eje x. Se
determinará la coordenada x del centroide mediante la aplicación de la ecuación
(7.15)1, usando un elemento de volumen dV en forma de un disco con espesor dx.

Solución

y

z dV Elemento de volumen en
y la forma de un disco.
x
dx x El radio del disco en la
x
Rx posición x es (R/h)x y su
h
volumen es el producto
R
del área del disco y su
x dx
espesor:

R 2
΄΂ ΃ ΅dV ϭ p x
h dx.

h R x2

xp
x dV΄΂ ΃ ΅x ϭ LV h
L0 Rx 3
ϭ 2 ϭ 4 h. Aplique la ecuación (7.15)1.
h
dx
www.FreeLibros.org΄΂ ΃ ΅LV L0 h dV p

7.4 Centroides de volúmenes y líneas 339

Problema de práctica El radio en pies de la sección transversal circular del cono
trunco, que se muestra en la figura, está dado como una función de x por r ϭ 1 ϩ –41 x.
Determine la coordenada x de su centroide.

y

z x
Respuesta: 2.43 pies.
4 pies

Ejemplo 7.9 Centroide de una línea por integración (᭤ Relacionado con el problema 7.66)

La línea L que se muestra en la figura está definida por la función y ϭ x2. Determine y
la coordenada x de su centroide.

Estrategia (1, 1)
Un elemento diferencial dL de una línea (figura a) puede expresarse en términos
de dx y dy:

dL = 2dx 2 + dy2 = dy 2 y ϭ x2
1 + a b dx. L
B dx
x
A partir de la ecuación que describe la línea, la derivada dy͞dx ϭ 2x, por lo que
se tiene una expresión para dL en términos de x:

dL = 21 + 4x 2 dx.

Solución y
Para integrar sobre toda la línea, es necesario integrar desde x ϭ 0 hasta x ϭ 1. La (1, 1)
coordenada x del centroide es
dL
1
dy
x dL x 21 + 4x 2 dx x
x = LL L0
=1 = 0.574. x dx

dL 21 + 4x 2 dx
LL L0

Razonamiento crítico (a) Elemento diferencial de línea dL.

El procedimiento usado en este ejemplo resulta apropiado para determinar el cen-

troide de una línea que se describe mediante una función de la forma y ϭ f(x). En

el ejemplo 7.10 se muestra cómo determinar el centroide de una línea que está des-

www.FreeLibros.orgcrita en términos de coordenadas polares.

340 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.10 Centroide de una línea semicircular por integración (᭤ Relacionado con el problema 7.70)

Determine el centroide de la línea semicircular que se muestra en la figura.

y

R
x

Estrategia
Debido a la simetría de la línea, el centroide se encuentra sobre el eje x. Para de-
terminar –x se integrará en términos de coordenadas polares. Si se le da a u un in-
cremento du, se obtiene un elemento diferencial de línea de longitud dL ϭ R du
(figura a). La coordenada x de dL es x ϭ R cos u.

Solución
Para integrar sobre toda la línea, es necesario integrar con respecto a u desde
u ϭ Ϫp͞2 hasta u ϭ ϩp͞2:

p>2

x= x dL = 1R cos u2R du = R23ssein u4p-p>2>2 = 2R
LL L-p>2 R3u4p-p>2>2 p.

dL p>2
LL
R du
L-p>2

y

du
dL ϭ Rdu

u x
x ϭ R cos u

(a) Elemento diferencial de línea dL ϭ R du.

Razonamiento crítico

Observe que este procedimiento de integración proporciona la longitud correcta de

la línea:

p>2 p>2
-p>2
R du R C u D pR.
L-p>2
www.FreeLibros.orgdL = = =
LL

Problemas 341

Problemas

᭤ 7.59 Use el método descrito en el ejemplo activo 7.8 para de- 7.61 El objeto que se muestra en la figura, diseñado como pedes-
terminar el centroide del cono trunco que se muestra en la figura. tal para un orador, tiene un perfil obtenido al poner en revolución
la curva y ϭ 0.167x2 alrededor del eje x. ¿Cuál es la coordenada x
y del centroide del objeto?

y

zR

x z

h x
2h
0.75 m
2

0.75 m

Problema 7.59

7.60 Un silo para el almacenamiento de granos tiene la forma de Problema 7.61
una superficie de revolución con el perfil mostrado en la figura.
La altura del tanque es de 7 m y su diámetro al nivel del suelo es 7.62 El volumen de un cono nariz se genera al rotar la función
de 10 m. Determine el volumen del tanque y la altura por encima y ϭ x Ϫ 0.2x2 alrededor del eje x.
del nivel del suelo del centroide de su volumen. a) ¿Cuál es el volumen del cono nariz?
b) ¿Cuál es la coordenada x del centroide del volumen?
y

y ϭ ax1/2 y

7m

10 m z x
x 2m
Problema 7.60

Problema 7.62

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342 Capítulo 7 Centroides y centros de masa
7.63 Determine el centroide del volumen semiesférico mostrado. ᭤ 7.66 En el ejemplo 7.9, determine la coordenada y del centroi-

y de de la línea mostrada.

7.67 Determine las coordenadas del centroide de la línea mostrada.
y

y ϭx2

zR
x

Problema 7.63 Ϫ1 x
7.64 El volumen mostrado consiste en un segmento de esfera de Problema 7.67 2
radio R. Determine su centroide.
7.68 Determine la coordenada x del centroide de la línea mostrada.
y y

Rx

R
2

z y ϭ 2 (x Ϫ 1)3/2
3
Problema 7.64
x
7.65 El volumen de revolución que se muestra en la figura se
obtiene al girar la curva x2͞a2 ϩ y2͞b2 ϭ 1 alrededor del eje x.
Determine su centroide.

y

01 5
Problema 7.68

x2 ϩ y2 ϭ1
a2 b2

z

x

www.FreeLibros.orgProblema7.65

7.5 Volúmenes y líneas compuestos 343

7.69 Determine la coordenada x del centroide de la línea mostrada. ᭤ 7.70 Use el método descrito en el ejemplo 7.10 para determinar
y el centroide del arco circular mostrado.

y

y ϭ 2 x3/2
3

a x

x R
02 Problema 7.70

Problema 7.69

7.5 Volúmenes y líneas compuestos

ANTECEDENTES

Los centroides de volúmenes y líneas compuestos se pueden obtener usando el
mismo método que para las áreas. Las coordenadas del centroide de un volumen
compuesto son

a xiVi a yiVi a ziVi
x= i y= i z= i ,
, , (7.17)
a Vi
a Vi a Vi
i
i i

y las coordenadas del centroide de una línea compuesta son

a xi Li a yi Li a zi Li
x= i y= i z= i
, , . (7.18)

a Li a Li a Li

i i i

Los centroides de algunas líneas y volúmenes simples están tabulados en los apén-
dices B y C.

La determinación del centroide de un volumen o línea compuestos requiere de
tres pasos:

1. Escoger las partes. Trate de dividir el elemento compuesto en partes cuyos
centroides se conozcan o puedan determinarse con facilidad.

2. Determinar los valores para las partes. Determine el centroide y el volumen o
longitud de cada parte. Vea si hay relaciones de simetría que puedan simplifi-
car la tarea.

3. Calcular el centroide. Use las ecuaciones (7.17) o (7.18) para determinar el

www.FreeLibros.orgcentroide del volumen o la línea compuestos.

344 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo activo 7.11 Centroide de un volumen compuesto (᭤ Relacionado con el problema 7.71)

y Determine la coordenada x del centroide del volumen compuesto que se muestra
en la figura.

z Estrategia
h El volumen debe dividirse en partes sencillas (en este ejemplo las partes resultan
obvias), después se determinan los volúmenes y las ubicaciones de los centroides
b de las partes, y se aplica la ecuación (7.17).

R

x Solución

y

Selección de las partes 1 2
Divida el volumen en partes sencillas. Se 3h x
muestran las coordenadas x de los cen- 4 hϩ 1b
troides de las partes. Vea el apéndice C.
2

Determinación de los valores de las partes
Tabule los términos necesarios para aplicar la
ecuación (7.17)1.

xi Vi xiVi

3 1 ΂ ΃ ΂ ΃3
4 3 h
Parte 1 (cono) h pR2h 1 pR2h
Parte 2 (cilindro) 43

h ϩ 1 b pR2b ΂ ΃h ϩ 1 b (pR2b)
2 2

x ϭ x1V1 ϩ x2V2 .
V1 ϩ V2
Cálculo del centroide
1 pR2h ϩ h ϩ 1 b
΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃ ΂ ΃3 Use la ecuación (7.17)1 para
h determinar la componente x
pR2b del centroide.
ϭ4 3 2.
1 pR2h ϩ pR2b
3

y

Problema de práctica El volumen compuesto consiste en un cilindro circular y una
semiesfera. Determine la coordenada x de su centroide.

R

A21bB ApR2bB + + 83R 23pR3
23pR3
pR2b
www.FreeLibros.orgz b Respuesta: x Ab B A B .

= +

x

7.5 Volúmenes y líneas compuestos 345

Ejemplo 7.12 Centroide de un volumen que contiene un recorte (᭤ Relacionado con el problema 7.72)

Determine el centroide del volumen que se muestra en la figura. y

Estrategia z
Este volumen puede dividirse en las cinco partes mostradas en la figura a. Observe
que las partes 2 y 3 no tienen el recorte. Se supone que está “rellenado”, lo que sim- y x
plifica las geometrías de dichas partes. La parte 5, que es el volumen del agujero de 25 mm
20 mm de diámetro, se tratará como un volumen negativo en las ecuaciones (7.17). 20 mm
200 mm x
Solución Vista lateral
Selección de las partes El volumen puede dividirse en las cinco partes mostradas
en la figura a. La parte 5 es el volumen del agujero de 20 mm de diámetro. y

Determinación de los valores de las partes Los centroides de las partes 1 y 3 se
localizan en los centroides de sus secciones transversales semicirculares (figura b).
En la tabla siguiente se resume la información para determinar la coordenada x del
centroide. La parte 5 es un volumen negativo.

Información para determinar x– z

x–i (mm) Vi (mm3) x–i Vi (mm4) 20 mm
p12522 40
41252 mm
- 3p 1202 Vista posterior
2
41252 p12522 1202 d
Parte 1 c- dc
3p 2 1
4
Parte 2 100 (200)(50)(20) (100)[(200)(50)(20)]
p12522
41252 c 200 + 41252 p12522 1202 d 2
Parte 3 200 + 3p 1202 dc 5
2 3p 2
3

Parte 4 0 p(25)2(40) 0
Ϫ(200[p(10)2(20)]
Parte 5 200 Ϫp(10)2(20) (a) División del volumen en cinco partes.

Cálculo del centroide La coordenada x del centroide del volumen compuesto es y
x = x 1V1 + x 2V2 + x 3V3 + x 4V4 + x 5V5
13
V1 + V2 + V3 + V4 + V5
41252 p12522 x
c - 3p d c 2 1202 d + 11002[1200215021202]
4(25) 200 mm 4(25)
mm mm

3p 3p

(b) Posiciones de los centroides de las
partes 1 y 3.

+ c200 + 41252 p12522 + 0 - 12002[p110221202]
3p d c 2 1202 d

= p12522 p12522
1202 1202
+ 1200215021202 + + p125221402 - p110221202
22

wwϭ72.77wmm. .FreeLibros.org

346 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Las coordenadas z de los centroides de las partes son iguales a cero, excepto
–z4 ϭ 30 mm. Por consiguiente, la coordenada z del centroide del volumen com-
puesto es

z = z 4V4
V1 + V2 + V3 + V4 + V5

30[p125221402]

= p12522 p12522
1202 1202
+ 1200215021202 + + p125221402 - p110221202
22

ϭ 7.56 mm.

Debido a la simetría, –y ϭ 0.

Razonamiento crítico
Se puede ver que el volumen de este ejemplo podría ser parte de un dispositivo
mecánico. Muchas partes manufacturadas tienen volúmenes que están compuestos
por volúmenes sencillos y el método usado en este ejemplo puede emplearse para
determinar sus centroides; si éstos son homogéneos, también es posible calcular
sus centros de masa.

Ejemplo 7.13 Centroide de una línea compuesta (᭤ Relacionado con el problema 7.81)

Determine el centroide de la línea mostrada. El arco de un cuarto de círculo perte-
nece al plano y–z.

y

2m

zx
(4, 0, 2) m

2(2) y Estrategia
pm La línea debe dividirse en partes (en este caso el arco de un cuarto de círculo y los
(0, 2, 0) m dos segmentos de recta), luego se determinarán los centroides de las partes y se
3 aplicarán las ecuaciones (7.18)

Solución
Selección de las partes La línea consiste en un arco de un cuarto de círculo y en
dos segmentos de recta, que se llamarán partes 1, 2 y 3 (figura a).

2(2) 1 (2, 1, 1) m Determinación de los valores para las partes A partir del apéndice B, las coorde-
pm nadas del centroide de arco de un cuarto de círculo son –x1 ϭ 0, –y1 ϭ –z1 ϭ 2(2)͞p m.
2 x Los centroides de los segmentos rectos están en sus puntos medios. Para el segmento
z (2, 0, 2) m 2, –x2 ϭ 2 m, –y2 ϭ 0 y –z2 ϭ 2 m, y para el segmento 3, –x3 ϭ 2 m, –y3 ϭ 1 m y –z3 ϭ 1 m.

(0, 0, 2) m (4, 0, 2) m La longitud del segmento 3 es L3 = 21422 + 1222 + 1222 = 4.90 m. Esta in-
formación se resume en la tabla.
www.FreeLibros.org(a) Divisióndelalíneaentrespartes.

Problemas 347

Información para determinar el centroide.

x–i (m) –yi (m) –zi (m) Li (m)

Parte 1 0 2(2)͞p 2(2)͞p p(2)͞2
Parte 2 2 0 2 4
Parte 3 2 1 1
4.90

Cálculo del centroide Las coordenadas del centroide de la línea compuesta son

x = x 1L1 + x 2L2 + x 3L3 = 0 + 122142 + 12214.902 = 1.478 m,
L1 + L2 + L3 p + 4 + 4.90

y = y1L1 + y2L2 + y3L3 = [2122>p][p122>2] + 0 + 11214.902 = 0.739 m,
L1 + L2 + L3 p + 4 + 4.90

z 1L1 + z 2L2 + z 3L3 [2122>p][p122>2] + 122142 + 11214.902
L1 + L2 + L3 p+ 4 + 4.90
z = = = 1.404 m.

Razonamiento crítico
¿Qué posibles razones podrían tenerse para querer conocer el centroide (posición
media) de una línea? En la sección 7.7 se demuestra que el centro de masa de una
barra homogénea delgada, que es el punto donde el peso de la barra puede repre-
sentarse mediante una fuerza equivalente, se encuentra aproximadamente en el
centroide del eje de la barra.

Problemas ᭤ 7.72 Use el procedimiento descrito en el ejemplo 7.12 para
determinar la componente x del centroide del volumen mostrado.
᭤ 7.71 En el ejemplo activo 7.11, suponga que el cilindro es
hueco con un radio interno de R͞2 como se muestra en la figura. yy
Si las dimensiones R ϭ 6 pulg, h ϭ 12 pulg y b ϭ 10 pulg, ¿cuál
es la coordenada x del centroide del volumen? 25 mm

y

xz

z R 10 mm
h

b

Rx 60 mm 20
mm

2 Problema 7.72

www.FreeLibros.orgProblema7.71

348 Capítulo 7 Centroides y centros de masa y
En los problemas 7.73 a 7.78 determine los centroides
de los volúmenes. 25 mm 20 mm
75 mm
y
x
zR
x 120 mm 25 mm
z
4R 100 mm

Problema 7.73 Problema 7.76
y
1.75 pulg y
1 pulg

200 mm 5 pulg

300 mm z
4 pulg
1 pulg
Problema 7.77 x

z x y
Problema 7.74

y

z 30 mm 60 mm
z x
60 mm
90 mm 180
mm 180
360 mm x
460 mm mm

Problema 7.78

www.FreeLibros.orgProblema7.75

Problemas 349

7.79 Las dimensiones (en metros) del vehículo espacial Gemini En los problemas 7.82 y 7.83, determine los centroides
que se muestra en la figura son: a ϭ 0.70, b ϭ 0.88, c ϭ 0.74,
d ϭ 0.98, e ϭ 1.82, f ϭ 2.20, g ϭ 2.24 y h ϭ 2.98. Determine el de las líneas.
centroide de su volumen. y

3m

x

y g h 6m
e x Problema 7.82
bc
ad f y

2m

Problema 7.79 2m

x

7.80 En la figura se presentan dos vistas de un elemento de 2m 2m
máquina. Determine el centroide de su volumen.
Problema 7.83
yy
7.84 La parte semicircular de la línea mostrada pertenece al
24 mm plano x–z. Determine el centroide de la línea.

y

18 mm 8 mm
60 mm
8 mm
xz 100 mm 160 mm

20 16 120 mm x
mm mm

50 mm Problema 7.80

᭤ 7.81 En el ejemplo 7.13, suponga que el arco circular se z
remplaza por una línea recta como se muestra en la figura. Problema 7.84
Determine el centroide de la línea de tres segmentos.
7.85 Determine el centroide de la línea mostrada.
y
(0, 2, 0) m y

(0, 0, 2) m 200 mm
60Њ
zx

(4, 0, 2) m x

www.FreeLibros.orgProblema7.81
Problema 7.85

350 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.6 Teoremas de Pappus-Guldinus

ANTECEDENTES

En esta sección se analizan dos teoremas de gran utilidad que relacionan las super-
ficies y los volúmenes de revolución con los centroides de las líneas y áreas que
los generan.

Primer teorema

Considere una línea L en el plano x–y que no interseca al eje x (figura 7.12a). Sean
(–x, –y) las coordenadas del centroide de la línea. Se puede generar una superficie
haciendo girar la línea alrededor del eje x (figura 7.12b). Como la línea gira alre-
dedor del eje x, su centroide se mueve en una trayectoria circular de radio –y.

El primer teorema de Pappus-Guldinus establece que el área de la superficie
de revolución es igual al producto de la distancia que el centroide de la línea reco-
rre y la longitud de la línea:

A ϭ 2p–y L. (7.19)

Para demostrar este resultado, se observa que conforme la línea gira alrededor del
eje x, el área dA generada por un elemento dL de la línea es dA ϭ 2py dL, donde
y es la coordenada y del elemento dL (figura 7.12c). Por lo tanto, el área total
de la superficie de revolución es

A = 2p y dL. (7.20)
LL

A partir de la definición de la coordenada y del centroide de la línea,

y dL
y = LL ,

dL
LL

se obtiene

y dL = yL.
LL
Sustituyendo este resultado en la ecuación (7.20), se obtiene la ecuación (7.19).

y

yy

_ dL
y

L z y
_ x x
y
x
(a)
dA
z
(b) (c)

Figura 7.12
(a) Una línea L y la coordenada y de su centroide.
(b) Superficie generada al hacer girar la línea L alrededor del eje x, y trayectoria seguida

por el centroide de la línea.

www.FreeLibros.org(c) ElementodLdelalíneayelelementodeáreadAquegenera.

7.6 Teoremas de Pappus–Guldinus 351

Segundo teorema

Considere un área A en el plano x–y que no interseca al plano x (figura 7.13a). Sean
(–x, –y) las coordenadas del centroide del área. Se puede generar un volumen hacien-
do girar el área alrededor del eje x (figura 7.13b). Conforme el área gira alrededor
del eje x, su centroide recorre la trayectoria circular de longitud 2p–y.

El segundo teorema de Pappus-Guldinus establece que la magnitud del volumen
de revolución generado es igual al producto de la distancia que recorre el cen-
troide del área por la magnitud del área:

V = 2pyA. (7.21)

Al girar el área alrededor del eje x, el volumen dV generado por un elemento dA del
área es dV ϭ 2py dA, donde y es la coordenada y del elemento dA (figura 7.13c).
Por lo tanto, el volumen total es

V = 2p y dA. (7.22)
LA

A partir de la definición de la coordenada y del centroide del área,

y dA
y = LA ,

dA
LA

se obtiene

y dA = yA.
LA
Sustituyendo este resultado en la ecuación (7.22), resulta la ecuación (7.21).

y

y

y dA

x
y

z _ x
_ y
A y (b) z dV
(a) (c)
x

Figura 7.13
(a) Área A y la coordenada y de su centroide.
(b) Volumen generado al girar el área A alrededor del eje x y la trayectoria seguida por el

centroide del área.

www.FreeLibros.org(c) Elemento dA del área y el elemento de volumen dV que genera.

352 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

RESULTADOS
Primer teorema de Pappus-Guldinus

y

La línea L está en el plano x–y. La L
coordenada y del centroide de L es y. _
y

Si la línea L se gira alrededor del eje x, su y x
centroide se mueve en una trayectoria circular _ x
de radio y. El área de la superficie de y
revolución generada por L al girar es igual al
producto de la distancia que recorre el z
centroide por la longitud de L:

A ϭ 2pyL. (7.19)

Segundo teorema de Pappus-Guldinus

y

El área A se encuentra en el plano x–y.
La coordenada y del centroide de A es y.

A _
y y

x

Si el área A se gira alrededor del eje x, su

centroide se mueve en una trayectoria

circular de radio y.

El volumen de revolución generado por A al

girar es igual al producto de la distancia que

recorre el centroide por el área A: x

V ϭ 2pyA. (7.21) _
y
z

www.FreeLibros.org

7.6 Teoremas de Pappus–Guldinus 353

Ejemplo activo 7.14 Teoremas de Pappus-Guldinus (᭤ Relacionado con el problema 7.86)

Utilice el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área superficial del R
cono que se muestra en la figura.
h
Estrategia
La superficie curva del cono puede generarse haciendo girar una línea recta alrededor
de un eje. Como se conoce la ubicación del centroide de la línea recta, se puede
usar el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área de la superficie
curva.

Solución

Al girar la línea recta alrededor del eje x se y R
genera la superficie curva del cono. Se muestra _1 x
la coordenada y del centroide de la línea. yL ϭ 2 R

La longitud de la línea es L ϭ h2 ϩ R2. h
El área de la superficie curva es

A ϭ 2pyLL ϭ pR h2 ϩ R2.

Al añadir el área de la base, el área total de la
superficie del cono es pR h2 ϩ R2 ϩ pR2.

Problema de práctica Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar
el volumen del cono.

Respuesta: V = 1 phR2.
3

Ejemplo 7.15 Determinación de un centroide con el teorema de Pappus-Guldinus

La circunferencia de una esfera de radio R es 2pR y su área superficial es 4pR2. Use (᭤ Relacionado con el problema 7.88)

esta información para determinar el centroide de una línea semicircular.

Estrategia
Al girar una línea semicircular alrededor de un eje se genera un área esférica. Co-
nociendo el área generada, se puede usar el primer teorema de Pappus-Guldinus
para determinar el centroide de la línea generatriz.

Solución y _
La longitud de la línea semicircular es L ϭ pR, y –yL es la coordenada y de su cen- R yL
troide. Al girar la línea alrededor del eje x se genera la superficie de una esfera. El
primer teorema de Pappus-Guldinus establece que el área de la esfera es x

(2p–yL)L ϭ 2p2R–yL.
Igualando esta expresión al área superficial dada 4pR2, se obtiene –yL:

2R
yL = p .

Razonamiento crítico

Si se puede obtener un resultado usando los teoremas de Pappus-Guldinus, se aho-

rrará tiempo y esfuerzo en comparación con otros métodos. Compare este ejemplo Giro de una línea semicircular alrede-

dor del eje x.
con el ejemplo 7.10, en el que se usó integración para determinar el centroide de una

www.FreeLibros.orglíneasemicircular.

354 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Problemas

᭤ 7.86 Use el método descrito en el ejemplo activo 7.14 para 7.92 Una tobera para el motor de un gran cohete se diseña giran-
determinar el área de la parte curva de la superficie del cono do la función y ϭ –2 (x Ϫ 1)3͞2 alrededor del eje y. Use el primer
trunco que se muestra en la figura.
3
7.87 Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar
el volumen del cono trunco que se muestra en la figura. teorema de Pappus-Guldinus para determinar el área de la superfi-
cie lateral de la tobera.
y
y

z R y ϭ 2 (x Ϫ 1)3/2
3
Problemas 7.86/7.87 x

x 5 pies

h Problema 7.92
2h

2

᭤ 7.88 El área del semicírculo sombreado que se muestra en la 7.93 Las coordenadas del centroide de la línea mostrada son
figura es –1 pR2. El volumen de una esfera es –4 pR3. Extienda el x– ϭ 332 mm y y– ϭ 118 mm. Use el primer teorema de Pappus-
Guldinus para determinar el área de la superficie de revolución
23 obtenida al girar la línea alrededor del eje x.

método descrito en el ejemplo 7.15 para el segundo teorema de 7.94 Las coordenadas del centroide del área entre el eje x y la
Pappus-Guldinus y determine el centroide –yS del área semicircular. línea mostrada son x– ϭ 355 mm y y– ϭ 78.4 mm. Use el segundo
teorema de Pappus-Guldinus para determinar el volumen obtenido
y al girar el área alrededor del eje x.

_ y
yS

x
R

Problema 7.88

7.89 Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar 200 mm x
el volumen generado al girar la curva mostrada alrededor del eje y. 60Њ

7.90 La longitud de la curva mostrada es L ϭ 1.479, y el área Problemas 7.93/7.94
generada cuando gira alrededor del eje x es A ϭ 3.810. Use el
primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar la coorde- 7.95 El volumen de revolución mostrado contiene un orificio de
nada y del centroide de la curva. radio R.

7.91 Use el primer teorema de Pappus-Guldinus para determinar el a) Use integración para determinar su volumen.

área de la superficie generada al girar la curva mostrada alrededor b) Use el segundo teorema de Pappus-Guldinus para determinar
su volumen.
del eje y.
y

(1, 1) Rϩa
R

y ϭ x2

h
x Problema 7.95
www.FreeLibros.orgProblemas7.89–7.91

7.7 Centros de masa de objetos 355

7.96 Determine la magnitud del volumen de revolución mostrado. 7.98 El volumen de revolución mostrado tiene una sección
transversal elíptica. Determine su volumen.
7.97 Determine el área de la superficie del volumen de revolución
mostrado. 230 mm

130 mm

140
mm

180 mm

80
mm

Problemas 7.96/7.97 Problema 7.98

7.7 Centros de masa de objetos

ANTECEDENTES y

El centro de masa de un objeto es el centroide, o posición media, de su masa. A dm
continuación se proporciona la definición analítica del centro de masa y se demues-
tra una de sus propiedades más importantes: el peso de un objeto puede represen-
tarse mediante una sola fuerza equivalente que actúa en su centro de masa. Después
se analiza cómo localizar centros de masa y se muestra que, en los casos de ciertas
clases particulares de objetos, el centro de masa coincide con el centroide de un
volumen, un área o una línea.

El centro de masa de un objeto está definido por

x dm y dm z dm y
x = Lm , y = Lm , z = Lm ,
(7.23) x

dm dm dm z
Lm Lm Lm zx

donde x, y y z son las coordenadas del elemento diferencial de masa dm (figura 7.14). Figura 7.14
Los subíndices m indican que la integración se debe llevar a cabo sobre la toda la Un objeto y un elemento diferencial de
masa dm.
masa del objeto.

Antes de considerar cómo se determina el centro de masa de un objeto, se
demostrará que el peso de un objeto puede representarse mediante una sola fuerza

equivalente que actúa en su centro de masa. Sea dm un elemento de masa de un obje-
to (figura 7.15a). Si el eje y del sistema coordenado apunta hacia arriba, el peso de
dm es Ϫdmg j. Integrando esta expresión sobre la masa m, se obtiene el peso total

del objeto,

- gj dm = - mg j = - Wj.
Lm
El momento del peso del elemento dm respecto al origen es
(xi ϩ yj ϩ zk) ϫ (Ϫdmg j) ϭ gzi dm Ϫ gxk dm.
Al integrar esta expresión sobre m, se obtiene el momento total respecto al origen
debido al peso del objeto:

1gz i dm - gxk dm2 = mgz i - mgx k = W z i - W x k.

www.FreeLibros.orgLm

356 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

y Si el peso del objeto se representa mediante la fuerza –Wj que actúa en el centro
de masa (figura 7.15b), el momento de esta fuerza respecto al origen es igual al
dm (x, y, z) momento total debido al peso:
Ϫdmgj
(–x i ϩ –y j ϩ –z k) ϫ (ϪW j) ϭ W –z i Ϫ W –x k.
x
Este resultado muestra que, cuando se tiene interés sólo en la fuerza total y el
z (a) momento total ejercidos por el peso de un objeto, se puede suponer que su peso
y actúa en el centro de masa.

Para aplicar las ecuaciones (7.23) a objetos específicos, se cambiará la variable
de integración de masa a volumen introduciendo el concepto de densidad. La den-
sidad r de un objeto se define de tal forma que la masa de un elemento diferencial
dV de su volumen es dm ϭ r dV. Por lo tanto, las dimensiones de r son (masa/volu-
men). Por ejemplo, puede expresarse en kg/m3 en unidades SI o en slug/pie3 en uni-
dades de uso común en Estados Unidos. La masa total de un objeto es

m = dm = r dV. (7.24)
Lm LV

(x, y, z) Un objeto cuya densidad es uniforme en todo su volumen se conoce como homo-
ϪWj géneo. En este caso, la masa total es igual al producto de la densidad y el volumen:

m = r dV = rV. Objeto homogéneo (7.25)
LV

x El peso específico se define como g ϭ gr. Puede expresarse en N/m3 en unidades
SI, o en lb/pie3 en unidades de uso común en Estados Unidos. El peso de un ele-
z
(b) mento de volumen dV de un objeto es dW ϭ g dV, y el peso total de un cuerpo
homogéneo es igual a gV.
Figura 7.15
(a) Peso del elemento dm. Al sustituir dm ϭ r dV en la ecuación (7.23), es posible expresar las coorde-
(b) Representación del peso mediante una
nadas del centro de masa en función de integrales de volumen:
sola fuerza en el centro de masa.
x = LV rx dV y = LV ry dV z = LV rz dV

, , . (7.26)

r dV r dV r dV
LV LV LV

Si r se conoce como una función de posición en un objeto, estas expresiones deter-
minan su centro de masa. Además, se pueden usar para demostrar que los centros
de masa de ciertas clases de objetos coinciden con los centroides de volúmenes,
áreas y líneas:

• El centro de masa de un cuerpo homogéneo coincide con el centroide de su
volumen. Si un objeto es homogéneo, r ϭ constante y las ecuaciones (7.26) se
convierten en las ecuaciones para el centroide del volumen,

x dV y dV z dV
x = LV , y = LV , z = LV .

dV dV dV
LV LV LV

A • El centro de masa de una placa homogénea de espesor uniforme coincide

con el centroide del área de su sección transversal (figura 7.16). El centro

de masa de la placa coincide con el centroide de su volumen, y ya se demos-

tró en la sección 7.4 que el centroide del volumen de una placa de espesor uni-

Vista frontal Vista lateral forme coincide con el centroide del área de su sección transversal.

Figura 7.16

www.FreeLibros.orgPlacadeespesoruniforme.
• El centro de masa de una barra delgada homogénea con área uniforme
en su sección transversal coincide aproximadamente con el centroide del

7.7 Centros de masa de objetos 357

yy
dm

dL

xx

z z Figura 7.17
(a) (b) (a) Barra delgada y el centroide de su eje.
(b) Elemento dm.

eje de la barra (figura 7.17a). El eje de la barra se define como la línea que
pasa por el centroide de su sección transversal. Sea dm ϭ rA dL, donde A es
el área de la sección transversal de la barra y dL es un elemento diferencial de
la longitud de su eje (figura 7.17b). Si se sustituye esta expresión en las ecua-
ciones (7.26), éstas se convierten en las ecuaciones para el centroide del eje:

x dL y dL z dL
x = LL , y = LL , z = LL .

dL dL dL
LL LL LL

Este resultado es aproximado porque el centro de masa del elemento dm no coin-
cide con el centroide de la sección transversal donde la barra es curva.

RESULTADOS

y

x ϭ Lm x dm rx dV dm
ϭ LV
, y

dm r dV x
Lm Li z
zx

y ϭ Lm y dm ry dV Coordenadas del centro de masa de un objeto,
ϭ LV donde dm es un elemento infinitesimal de su
, (7.23), (7.26). masa y r es su densidad.

dm r dV
Lm LV

z ϭ Lm z dm rz dV
ϭ LV
.

dm r dV Un objeto es homogéneo si su densidad r es
Lm LV

constante, o uniforme. El centro de masa de

un objeto homogéneo coincide con el

www.FreeLibros.orgcentroidedesuvolumen.

358 Capítulo 7 Centroides y centros de masa A

El centro de masa de una placa homogénea
con espesor uniforme coincide con el
centroide del área de su sección transversal.

Visra frontal Vista lateral
y

El centro de masa de una barra delgada
homogénea con un área de sección transversal
uniforme, coincide aproximadamente con el
centroide del eje de la barra.

x

z

Ejemplo activo 7.16 Representación del peso de una barra en forma de L (᭤ Relacionado con el

B problema 7.99)

A La masa de la barra delgada homogénea que se muestra en la figura es de 80 kg. ¿Qué
1m valor tienen las reacciones en A y B?

Estrategia
Las reacciones pueden determinarse de dos maneras:

Primer método Se representa el peso de cada segmento recto de la barra mediante
1 m una fuerza que actúa en el centro de masa del segmento.

Segundo método Se determina el centro de masa de toda la barra, el cual se
encuentra en el centroide de su eje y se representa el peso de la barra mediante
una sola fuerza que actúa en el centro de masa.

Solución y
Primer método B

1m
(40)(9.81) N

Ax x
Ay
(40)(9.81) N
0.5 m 0.5 m

Represente el peso

⌺Fx ϭ Ax Ϫ B ϭ 0, de cada segmento

⌺Fy ϭ Ay Ϫ (40)(9.81) N Ϫ (40)(9.81) N ϭ 0, recto mediante una
⌺Mpunto A ϭ (1 m)B Ϫ (1 m)[(40)(9.81) N] Ϫ (0.5 m)[(40)(9.81) N] ϭ 0. fuerza que actúa en
el centro de masa

Resolviendo se obtiene Ax ϭ 589 N, Ay ϭ 785 N y B ϭ 589 N. del segmento y

www.FreeLibros.orgapliqueelequilibrio.

Segundo método 7.7 Centros de masa de objetos 359

y
2

1 0.5 m
0.5 m x

xϭ x1L1 ϩ x2L2 ϭ (0.5)(1) ϩ (1)(1) ϭ 0.75 m, Trate al eje de la barra como
L1 ϩ L2 1ϩ1 una línea compuesta por las
partes 1 y 2 y calcule las
yϭ y1L1 ϩ y2L2 ϭ (0)(1) ϩ (0.5)(1) ϭ 0.25 m, coordenadas de su centroide.
L1 ϩ L2 1ϩ1
y
B

1m

Ax x
Ay (80)(9.81) N

0.75 m

⌺Fx ϭ Ax Ϫ B ϭ 0, Coloque el peso de toda la
⌺Fy ϭ Ay Ϫ (80)(9.81) N ϭ 0, barra en su centro de masa y
aplique el equilibrio.
⌺Mpunto A ϭ (1 m)B Ϫ (0.75 m) [(80)(9.81) N] ϭ 0.

Resolviendo se obtiene de nuevo Ax ϭ 589 N,
Ay ϭ 785 N, y B ϭ 589 N.

Problema de práctica La masa de la barra circular homogénea que se muestra en la
figura es de 80 kg. ¿Qué valores tienen las reacciones en A y B?

B

1m

A

www.FreeLibros.orgRespuesta: Ax ϭ 500 N, Ay ϭ 785 N, B ϭ 500 N.

360 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.17 Cilindro con densidad no uniforme (᭤ Relacionado con el problema 7.105)

y Determine la masa del cilindro que se muestra en la figura y la posición de su cen-
tro de masa si a) es homogéneo con densidad r0 y b) si su densidad está dada por
la ecuación r ϭ r0(1 ϩ x͞L).

z Estrategia
L En (a), la masa del cilindro es simplemente el producto de su densidad por su vo-
lumen, y el centro de masa se encuentra en el centroide de su volumen. En la parte
y A (b), el cilindro no es homogéneo y se deben usar las ecuaciones (7.24) y (7.26) para
determinar su masa y su centro de masa.

x

Solución

(a) El volumen del cilindro es LA, por lo que su masa es r0LA. Como el centro

de masa coincide con el centroide del volumen del cilindro, las coordenadas del
x– y– –z
centro de masa son ϭ –1 L, ϭ 0, ϭ 0.

2

(b) La masa del cilindro puede determinarse usando un elemento de volumen dV

en la forma de un disco de espesor dx (figura a). El volumen dV ϭ A dx. La masa

del cilindro es

z dV m = r dV = L + x = 3 r0 AL.
Lv bA dx 2
x L0 r0 a 1
dx x L

(a) Elemento de volumen dV en la forma de La coordenada x del centro de masa es
un disco.
xr dV L + x 2 b A dx
Lv L
x L0 r0 a x 5 L.
= = =
3 9
r dV 2 r0 AL
Lv

Como la densidad no depende de y o z, se sabe por simetría que –y ϭ 0 y –z ϭ 0.

Razonamiento crítico
Observe que el centro de masa de un cilindro no homogéneo no se localiza en el
centroide de su volumen. Su densidad aumenta de izquierda a derecha, por lo que
el centro de masa se ubica a la derecha del punto medio del cilindro. Muchos de los
objetos que se estudian en ingeniería no son homogéneos, pero no es común que
la densidad del objeto varíe en forma continua a través de su volumen, como en este
ejemplo. Con mayor frecuencia, los objetos consisten en ensambles de partes (com-
puestos) que tienen diferentes densidades porque están hechas de materiales dis-
tintos. A menudo, las partes individuales son aproximadamente homogéneas. En la
siguiente sección se analiza la determinación de los centros de masa de este tipo
de objetos compuestos.

www.FreeLibros.org

Problemas 361

Problemas

᭤ 7.99 Suponga que la barra del ejemplo activo 7.16 se remplaza 7.102 La barra mostrada tiene una masa de 80 kg. ¿Qué valor
con esta barra homogénea de 100 kg. a) ¿Cuál es la coordenada x del tienen las reacciones en A y B?
centro de masa de la barra? b) Determine las reacciones en A y B.

y A
0.5 m B 2m
1m
2m
B

A x Problema 7.102
1m
7.103 La masa por unidad de longitud de la barra mostrada es de
Problema 7.99 2 kg/m. Elija la dimensión b para que la parte BC de la barra sus-
pendida sea horizontal. ¿Qué valor tiene la dimensión b y cuáles
7.100 La masa de la placa plana homogénea es de 50 kg. Deter- son las reacciones resultantes sobre la barra en A?
mine las reacciones en los soportes en A y B.

400 mm 100 mm A
200 mm
1m
A B 30Њ
b
B

600 mm 600 mm
800 mm

Problema 7.100 C

7.101 El letrero suspendido que se muestra en la figura consiste Problema 7.103
en una placa plana homogénea con masa de 130 kg. Determine las
fuerzas axiales en las barras AD y CE (note que el eje y es positivo 7.104 La parte semicircular de la barra delgada homogénea per-
hacia abajo). tenece al plano x–z. Determine el centro de masa de la barra.

2m 4m y
AC
1m E
BD x

10 pulg

16 pulg

y y ϭ 1 ϩ 0.0625x2 12 pulg

z
x

Problema 7.104
www.FreeLibros.orgProblema7.101

362 Capítulo 7 Centroides y centros de masa 7.106 Un cono horizontal con 800 mm de longitud y 200 mm de
radio tiene un soporte fijo en el punto A de la figura. Su densidad
᭤ 7.105 La densidad del cono está dada por la ecuación es r ϭ 6000(1 ϩ 0.4x2) kg/m3, con x en metros. ¿Qué valor tienen
r ϭ r0(1 ϩ x͞h), donde r0 es una constante. Use el procedi- las reacciones en A?
miento descrito en el ejemplo 7.17 para demostrar que la
masa del cono está dada por m ϭ (7͞4)r0V, donde V es el y
volumen del cono, y que la coordenada x del centro de masa
del cono es x– ϭ (27͞35)h. 200 mm
Ax
y

zR 800 mm
x Problema 7.106

h

Problema 7.105

7.8 Centros de masa de objetos compuestos

ANTECEDENTES

Las coordenadas del centro de masa de un objeto que consiste en una combinación
de partes pueden determinarse si los centros de masa de sus partes son conocidos.
Las coordenadas del centro de masa de un objeto compuesto por partes con masas
m1, m2, . . . , son

a xi mi a yi mi a zi mi
x= i y= i z= i
, , , (7.27)

a mi a mi a mi

i i i

donde –x i, –y i, –zi son las coordenadas de los centros de masa de las partes. Como los
pesos de las partes están relacionados con sus masas por Wi ϭ gmi, las ecuaciones
(7.27) también se pueden expresar como

a xi Wi a yi Wi a zi Wi
x= i y= i z= i
, , . (7.28)

a Wi a Wi a Wi

i i i

Cuando se conocen las masas o los pesos y los centros de masa de las partes de un
objeto compuesto, se pueden usar esas ecuaciones para determinar su centro de masa.

La determinación del centro de masa de un objeto compuesto requiere de tres
pasos:

1. Escoger las partes. Trate de dividir el objeto en partes cuyos centros de masa
se conozcan o puedan determinarse con facilidad.

2. Determinar los valores para las partes. Determine el centro de masa y la masa

o peso de cada parte. Vea si hay relaciones de simetría que puedan simplifi-

car la tarea.

www.FreeLibros.org3. Calcular el centro de masa. Use las ecuaciones (7.27) o (7.28) para determi-
nar el centro de masa del objeto compuesto.

7.8 Centros de masa de objetos compuestos 363

Ejemplo activo 7.18 Centro de masa de un objeto compuesto (᭤ Relacionado con el problema 7.107)

La pieza de máquina en forma de L que se muestra en la figura está compues- y
240 mm
ta por dos barras homogéneas. La barra 1 es de una aleación de tungsteno con
densidad de 14,000 kg/m3. La barra 2 es de acero con densidad de 7800 kg/m3. 80 mm

Determine la coordenada x del centro de masa de esta pieza.

Estrategia 1 40 mm
Se puede determinar la masa y la coordenada x del centro de masa de cada barra 2 80 mm
homogénea y aplicar la ecuación (7.27)1.
240 mm x
Solución

El volumen de la barra 1 es z
V1 ϭ (80 mm)(240 mm)(40 mm)
Masa de barra 1.
ϭ 7.68 ϫ 105 mm3
ϭ 7.68 ϫ 10Ϫ4 m3, Centro de masa de la barra 1.
por lo que su masa es

m1 ϭ r1V1
ϭ (14,000 kg/m3)(7.68 ϫ 10Ϫ4 m3)

ϭ 10.8 kg.

El centro de masa coincide con
el centroide del volumen de la

barra, entonces

x1 ϭ 1 (80 mm) ϭ 40 mm.
2

La barra 2 tiene el mismo volumen que la Masa de la barra 2.
barra 1, por lo que la masa de la barra 2 es
m2 ϭ r2V2

ϭ (7800 kg/m3)(7.68 ϫ 10Ϫ4 m3)

ϭ 5.99 kg.

La coordenada x del centroide del

volumen de la barra es Centro de masa de la barra 2.
Aplique la ecuación (7.27)1.
x2 ϭ 80 mm ϩ 1 (240 mm) ϭ 200 mm.
2

x ϭ x1m1 ϩ x2m2
m1 ϩ m2

(40 mm)(10.8 kg) ϩ (200 mm)(5.99 kg)
ϭ 10.8 kg ϩ 5.99 kg

ϭ 97.2 mm.

Problema de práctica Determine la coordenada y del centro de masa de la pieza de
máquina en forma de L.

www.FreeLibros.orgRespuesta:–yϭ91.4mm.

364 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.19 Centro de masa de un objeto compuesto (᭤ Relacionado con el problema 7.109)

El objeto compuesto de la figura consiste en una barra soldada a un cilindro. La
barra homogénea es de aluminio (peso específico de 168 lb/pie3), y el cilindro ho-
mogéneo es de bronce (peso específico de 530 lb/pie3). Determine el centro de masa
del objeto.

Vista lateral Vista frontal
y y

2 pulg z
x

4 pulg

10 pulg 55

pulg 12 pulg pulg

Estrategia
Se puede determinar el peso de cada una de las partes homogéneas multiplicando
su volumen por su peso específico. También se sabe que el centro de masa de cada
parte coincide con el centroide de su volumen. El centroide del cilindro se localiza en
su centro, pero es necesario determinar la localización del centroide de la barra tra-
tándola como un volumen compuesto.

Solución
El volumen del cilindro es

Vcilindro ϭ (12 pulg)[p(4 pulg)2 Ϫ p(2 pulg)2]
ϭ 452 pulg3 ϭ 0.262 pie3,

por lo que su peso es

Wcilindro ϭ (0.262 pie3)(530 lb/pie3) ϭ 138.8 lb.

La coordenada x de su centro de masa es –xcilindro ϭ 10 pulg. El volumen de la barra
es

Vbarra ϭ (10 pulg)(8 pulg)(2 pulg) ϩ –1 p(4 pulg)2(2 pulg) Ϫ –1 p(4 pulg)2(2 pulg)

2 2

ϭ 160 pulg3 ϭ 0.0926 pie3,

y su peso es

Wbarra ϭ (0.0926 pie3)(168 lb/pie3) ϭ 15.6 lb.

El centroide del volumen de la barra puede determinarse tratando ésta como un

volumen compuesto que consta de tres partes (figura a). La parte 3 es un “recorte”

www.FreeLibros.orgsemicircular. Los centroides de la parte 1 y del recorte semicircular 3 se localizan

7.8 Centros de masa de objetos compuestos 365

1 y
2 13
3x

4(4)pulg 10 pulg 4(4) pulg
3p 3p

(a) División de la barra en tres partes. (b) Centroides de las dos partes semicirculares.

en los centroides de sus secciones transversales semicirculares (figura b). Usando
la información resumida en la tabla, se tiene

–xxbabrarar = x 1V1 + x 2V2 + x 3V3
V1 + V2 + V3

- 4142 [21 p1422122] + 5[1102182122] - c10 - 4142 d [21 p1422122]
3p 3p

= 1 p1422122 1 p1422122
2 2
+ 1102182122 -

ϭ 1.86 pulg.

Información para determinar la coordenada x del centroide de la barra

x–i (pulg) Vi (pulg3) x–iVi (pulg4)

Parte 1 4142 1 p1422122 - 4142 C 1 p1422122 D
- 3p 2 3p 2

Parte 2 5 (10)(8)(2) 5[(10)(8)(2)]
Parte 3 4142
- 1 p1422122 - c10 - 4142 d C 1 p1422122 D
10 - 3p 2 3p 2

Por lo tanto, la coordenada x del centro de masa del objeto compuesto es
x = xbarraWbarra + xcilindroWcilindro
Wbarra + Wcilindro

11.86 pulg2115.6 lb2 + 110 pulg21138.8 lb2
=

15.6 lb + 138.8 lb
= 9.18 pulg.
Debido a la simetría de la barra, las coordenadas y y z de su centro de masa son
y– ϭ 0 y –z ϭ 0.

Razonamiento crítico
El objeto compuesto de este ejemplo no es homogéneo, lo que significa que no se
podría suponer que su centro de masa coincide con el centroide de su volumen. Pero
la barra y el cilindro son homogéneos de manera independiente, entonces podrían
determinarse sus centros de masa individuales encontrando los centroides de sus
volúmenes. El reto principal en este ejemplo fue determinar el centroide del volu-

www.FreeLibros.orgmen de la barra con su extremo semicircular y su recorte semicircular.

366 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Ejemplo 7.20 Centros de masa de vehículos (᭤ Relacionado con los problemas 7.115, 7.116)

Un automóvil se coloca sobre una plataforma que mide la fuerza normal ejercida
por cada llanta en forma independiente. En la tabla siguiente se muestran los pesos
registrados con la plataforma horizontal y con la plataforma inclinada a a ϭ 15°.
Determine la posición del centro de masa del automóvil.

Mediciones de las fuerzas normales ejercidas por las llantas

Distancia entre ejes = 2.82 m Cargas medidas (N)
Ancho entre ruedas = 1.55 m
a ϭ 0 a ϭ 15°
Rueda frontal izquierda, NLF
Rueda frontal derecha, NRF 5104 4463
Rueda trasera izquierda, NLR 5027 4396
Rueda trasera derecha, NRR 3613 3956
3559 3898

Ancho
entre ruedas

Distancia entre ejes

a

Estrategia
Las mediciones dadas indican las reacciones normales ejercidas por la plataforma
sobre las llantas del automóvil. Al dibujar diagramas de cuerpo libre del vehículo
en las dos posiciones y aplicar las ecuaciones de equilibrio, se obtendrán ecuacio-
nes de las cuales se pueden despejar las coordenadas desconocidas del centro de
masa del automóvil.

y Solución
x En las figuras a y b se dibuja el diagrama de cuerpo libre del automóvil con la pla-
taforma en posición horizontal. El peso del vehículo es

W ϭ NLF ϩ NRF ϩ NLR ϩ NRR

x ϭ 5104 ϩ 5027 ϩ 3613 ϩ 3559
W NLF ϩ NRF
NLR ϩ NRR ϭ 17,303 N.

Distancia entre ejes

A partir de la figura a, se obtiene la ecuación de equilibrio
(a) Vista lateral del diagrama de cuerpo libre

www.FreeLibros.orgcon la plataforma horizontal.
͚Meje z ϭ (distancia entre ejes)(NLF ϩ NRF) Ϫ –x W ϭ 0,

7.8 Centros de masa de objetos compuestos 367

de la cual es posible despejar –x: zy

x = 1distancia entre ejes21NLF + NRF2 z W NLF ϩ NLR
W NRF ϩ NRR Track

12.82 m215104 N + 5027 N2 (b) Vista frontal del diagrama de cuerpo
= libre con la plataforma horizontal.

17,303 N

= 1.651 m.
De la figura b,

͚Meje x ϭ –z W Ϫ (ancho entre ruedas)(NRF ϩ NRR) ϭ 0,
de donde puede despejarse –z:

z = 1ancho entre ruedas21NRF + NRR2
W

11.55 m215027 N + 3559 N2
=

17,303 N
= 0.769 m.
Ahora que se conoce –x, se puede determinar –y a partir del diagrama de cuerpo libre
del automóvil cuando la plataforma está inclinada (figura c). De la ecuación de
equilibrio
͚Meje z ϭ (distancia entre ejes)(NLF ϩ NRF) ϩ –y W sen 15° Ϫ –x W cos 15°

ϭ 0,
se obtiene

y = xW cos15° - 1distancia entre ejes21NLF + NRF2
W sen 15°

11.651 m2117,303 N2 cos 15° - 12.82 m214463 N + 4396 N2
=

117,303 N2 sen 15°

= 0.584 m.
Observe que –y no podría haberse determinado sin las mediciones hechas con el
automóvil en la posición inclinada.

yx

x

NLF ϩ NRF
W

y 15Њ ϩ NRR entre ejes
Distancia
N L R

(c) Vista lateral del diagrama de cuerpo libre con la plataforma

wwwinclinada. .FreeLibros.org

368 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

Problemas

᭤ 7.107 En el ejemplo activo 7.18, suponga que la barra 1 se 7.111 En la figura se muestran dos vistas de un elemento de má-
remplaza por una barra con las mismas dimensiones, la cual quina. La parte 1 es de una aleación de aluminio con densidad de
está hecha de una aleación de aluminio con una densidad de 2800 kg/m3, y la parte 2 es de acero con densidad de 7800 kg/m3.
2600 kg/m3. Determine la coordenada x del centro de masa de la Determine las coordenadas de su centro de masa.
pieza de máquina.
yy
7.108 El tubo cilíndrico mostrado está hecho de aluminio con
densidad de 2700 kg/m3; el tapón cilíndrico está hecho de acero 1
con densidad de 7800 kg/m3. Determine las coordenadas del 24 mm
centro de masa del objeto compuesto.
2 8 mm
y 18 mm 60 mm

8 mm
xz

z 20 16
mm mm

50 mm Problema 7.111

x 7.112 Se tienen las cargas F1 ϭ F2 ϭ 25 kN. La masa de la ar-
madura es de 900 kg. Los elementos de la armadura son barras

homogéneas con la misma sección transversal uniforme. a) ¿Cuál

y y es la coordenada x del centro de masa de la armadura? b) Determi-
Tubo A
ne las reaycciones en A y en G. D F1
Tapón

xz 20 mm 3m
35 mm
B F2
100 100 A E
mm mm
3m
Sección A-A
AG x
Problema 7.108
C
4m 4m

᭤ 7.109 En el ejemplo 7.19, suponga que el objeto se rediseña Problema 7.112
de manera que el radio del cilindro hueco se incrementa de 2 pulg
a 3 pulg. ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa del objeto? 7.113 Con el motor retirado, la masa del automóvil mostrado
es de 1100 kg y su centro de masa está en C. La masa del motor es
7.110 Una máquina consta de tres partes. Las masas y las posi- de 220 kg.
ciones de los centros de masa de dos de las partes son a) Suponga que se desea situar el centro de masa E del motor de
manera que el centro de masa del automóvil quede a la mitad de la
Parte Masa (kg) x– (mm) –y (mm) –z (mm) distancia entre las ruedas frontales A y las traseras B. ¿Qué valor
debe tener la distancia b?
1 2.0 100 50 Ϫ20 b) Si el automóvil se estaciona sobre una pendiente de 15° y de
2 4.5 150 70 0 frente a ésta, ¿qué valor tiene la fuerza normal ejercida por el
suelo sobre las ruedas traseras B?

La masa de la parte 3 es de 2.5 kg. El ingeniero encargado E

C

del diseño quiere colocar la parte 3 de modo que la ubicación del 0.45 m 0.6 m
centro de masa de la máquina sea x– ϭ 120 mm, y– ϭ 80 mm,
–z ϭ 0. Determine la posición requerida para el centro de masa
A 1.14 m B

b
2.60 m

Problema 7.113
www.FreeLibros.orgdelaparte3.

Problemas de repaso 369

7.114 El avión que se muestra en la figura se encuentra esta- ᭤ 7.115 Una maleta de 90 kg se coloca en la cajuela del automó-
cionado con su tren de aterrizaje descansando sobre balanzas. vil descrito en el ejemplo 7.20. La posición del centro de masa de
Los pesos registrados en A, B y C son 30 kN, 140 kN y 146 kN la maleta es –xs ϭ Ϫ0.533 m, –ys ϭ 0.762 m, –zs ϭ Ϫ0.305 m. Si se
respectivamente. Después de que una caja se carga en el avión, considera a la maleta como parte del automóvil, ¿cuál es la nueva
los pesos registrados en A, B y C son 31 kN, 142 kN y 147 kN, posición del centro de masa del automóvil?
respectivamente. Determine la masa y las coordenadas x e y del
centro de masa de la caja. ᭤ 7.116 Un grupo de estudiantes de ingeniería construye un
dispositivo en miniatura del tipo descrito en el ejemplo 7.20 y lo
usa para determinar el centro de masa de un vehículo. Los datos
que obtienen se muestran en la siguiente tabla:

6m B Distancia entre ejes = 36 pulg
Ancho entre ruedas = 30 pulg Cargas medidas (lb)

A a ϭ 0 a ϭ 10°

x

Rueda frontal izquierda, NLF 35 32

6m C Rueda frontal derecha, NRF 36 33
10 m
Rueda trasera izquierda, NLR 27 34
y Rueda trasera derecha, NRR 29 30

Problema 7.114 Determine el centro de masa del vehículo. Use el mismo sistema
coordenado que en el ejemplo 7.20.

Problemas de repaso 7.120 Determine el centroide del área mostrada.
y
7.117 Determine el centroide del área mostrada considerando
que dA es una tira vertical con un ancho dx. 40 mm
7.118 Determine el centroide del área mostrada considerando
que dA es una tira horizontal con una altura dy. 20 mm

y

(1, 1)

40 mm

y ϭ x2 x 80 mm

Problemas 7.117/7.118 120 mm x
7.119 Determine el centroide del área mostrada., 160 mm

y Problema 7.120

60 cm

x

80 cm 60 cm
www.FreeLibros.orgProblema7.119

370 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.121 La viga en voladizo que se muestra en la figura está sujeta 7.124 Determine las reacciones sobre el elemento ABCD mos-
a una carga triangular distribuida. ¿Qué valor tienen las reacciones trado en A y D.
en A?
2 kN/m 2 kN/m
y

DE
1m 1m

200 N/m C
1m
A x
10 m B

Problema 7.121 1m
AF
7.122 ¿Qué valor tiene la carga axial en el elemento BD del bas-
tidor mostrado? 1m

100 N/m Problema 7.124
C

7.125 Estime el centroide del volumen de la configuración de
5 m retorno del módulo lunar Apolo (sin incluir la tobera de su cohete)

considerándolo como un cono y un cilindro.

BD y
5m

A E
10 m
12.8 pies x

Tobera

Problema 7.122 10 pies 14 pies

7.123 Un ingeniero estima que la carga máxima del viento sobre Problema 7.125
la torre de 40 m que se muestra en la figura a puede describirse
mediante la carga distribuida de la figura b. La torre está soportada 7.126 La forma de la tobera de la configuración de retorno lunar
por tres cables, A, B y C, desde la punta de la torre hasta puntos del cohete Apolo se obtiene en forma aproximada haciendo girar la
igualmente espaciados a 15 m de la base de la torre (figura c). Si curva mostrada alrededor del eje x. En términos de las coordenadas
el viento sopla desde el oeste y los cables B y C están flojos, ¿cuál indicadas, determine el centroide del volumen de la tobera.
es la tensión en el cable A? (Modele la base de la torre como un
soporte de cuenca y bola.) y
y ϭ 0.350 ϩ 0.435x Ϫ 0.035x2
200 N/m

B

A N
15 m
40 m x

C

A B, C 400 N/m

2.83 m

Problema 7.126
(a) (b) (c)

www.FreeLibros.orgProblema7.123

7.127 Determine las coordenadas del centroide del volumen. Problemas de repaso 371
y
7.130 Determine la coordenada x del centro de masa de la placa
homogénea de acero mostrada.

y

120 mm 220 mm

40 mm 100
z mm

30 mm 150 mm x

20 mm x 50 mm
Problema 7.130

Problema 7.127

7.128 Determine el área superficial del volumen de revolución 7.131 El área de la placa homogénea mostrada es de 10 pies2.
que se muestra en la figura. Las reacciones verticales sobre la placa en A y B son de 80 lb y
84 lb respectivamente. Suponga que desea igualar las reacciones
en A y B taladrando un agujero de 1 pie de diámetro en la placa.
¿A qué distancia horizontal de A debe estar el agujero? ¿Qué
valor tienen las reacciones resultantes en A y B?

5 pulg

9 pulg A B

6 pulg 5 pies
Problema 7.131
Problema 7.128

7.129 Determine la coordenada y del centro de masa de la placa 7.132 La placa mostrada es de espesor uniforme y está hecha
homogénea de acero mostrada. de un material homogéneo cuya masa por unidad de área de la
placa es de 2 kg/m2. Las reacciones verticales en A y B son de
y 6 N y 10 N respectivamente. ¿Cuál es la coordenada x del
centroide del agujero?

20 mm

10 mm

20 mm 1m

20 mm x AB
2m
80 mm
Problema 7.129 Problema 7.132

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372 Capítulo 7 Centroides y centros de masa

7.133 Determine el centro de masa de la lámina de metal homo- 7.136 El esquema mostrado sirve para determinar la posición
génea que se muestra en la figura. del centro de masa de una persona. Un tablón horizontal tiene
un soporte de pasador en A y descansa sobre una balanza que
y registra pesos en B. La distancia entre A y B es de 2.3 m. Cuando
la persona no está sobre el tablón, la escala en B registra 90 N.
4 pulg x a) Cuando una persona de 63 kg está en la posición (1), la balanza
12 pulg en B registra 496 N. ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa
8 pulg de la persona?
b) Cuando la misma persona está en la posición (2), la balanza
registra 523 N. ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa de
la persona?

y

z
9 pulg

Problema 7.133 A B x
(1) x
7.134 Determine el centro de masa del objeto homogéneo y
mostrado. A B

60 mm
z 10 mm

y

60 mm

20 mm

30 (2)
z mm x Problema 7.136

xy

z 30 mm 7.137 Si se amarra una cuerda a la barra en A y se permite que la
Problema 7.134 10 mm barra mostrada cuelgue libremente, ¿cuál será el ángulo entre AB
y la vertical?

B

7.135 Determine el centro de masa del objeto homogéneo 4 pulg
mostrado.

y 1.5 pulg 5 pulg

x

A

z

z Vista superior 8 pulg

Problema 7.137

xy

3 pulg 1 pulg
x

2 pulg

Vista lateral

www.FreeLibros.orgProblema7.135

Problemas de repaso 373

7.138 Si el camión que se muestra en la figura está descargado, las Proyecto de diseño
reacciones totales en las ruedas delanteras y traseras son A ϭ 54 kN
y B ϭ 36 kN. La densidad de la carga de grava es r ϭ 1600 kg/m3. 7.140 Construya una placa delgada homogénea con la forma
La dimensión de la carga en la dirección z es de 3 m y el perfil de mostrada en la figura a (use el cartón de una libreta para construir
su superficie, dado por la función mostrada, no depende de z. ¿Qué la placa; elija sus dimensiones de manera que la placa resulte lo
valor tienen las reacciones totales en las ruedas del camión cuando más grande posible). Calcule la posición del centro de masa de
éste se encuentra cargado? la placa. Midiendo con el mayor cuidado posible, marque con
claridad el centro de masa en ambos lados de la placa. Luego
y realice los siguientes experimentos.

y ϭ 1.5 Ϫ 0.45x ϩ 0.062x2 a) Equilibre la placa sobre un dedo (figura b) y observe que lo
hace sobre su centro de masa. Explique el resultado de este
x experimento dibujando un diagrama de cuerpo libre de la placa.

AB b) Este experimento requiere una aguja o un clavo delgado, un
tramo de cordel y un pequeño peso. Ate el peso a un extremo
2.8 m 3.6 m del cordel y haga un lazo pequeño en el otro extremo. Inserte
5.2 m la aguja en la placa en cualquier punto que no sea el centro de
masa. Sostenga horizontalmente la aguja de modo que la placa
Problema 7.138 cuelgue libremente (figura c). Use el lazo para colgar el peso
de la aguja y deje que cuelgue libremente de modo que la
7.139 La masa de la Luna es 0.0123 veces la masa de la Tierra. cuerda se encuentre a lo largo de la cara de la placa. Observe
Si el centro de masa de la Luna está a 383,000 km del centro de que la cuerda pasa por el centro de masa de la placa. Repita
masa de la Tierra, ¿qué distancia hay del centro de masa de la este experimento varias veces, insertando la aguja en varios
Tierra al centro de masa del sistema Tierra-Luna? puntos de la placa. Explique los resultados de este experimento
dibujando un diagrama de cuerpo libre de la placa.

c) Sostenga la placa de modo que el plano de ésta sea vertical,
y láncela hacia arriba haciéndola girar como un frisbee. Observe
que la placa gira alrededor de su centro de masa.

1

1

11
(a)

(b) (c)

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CAPÍTULO

8

Momentos de inercia

Las cantidades llamadas momentos de inercia surgen fre-
cuentemente en los análisis de problemas de ingeniería.
Los momentos de inercia de áreas se utilizan en el estudio
de fuerzas distribuidas y en el cálculo de deflexiones de
vigas. El momento ejercido por la presión sobre una placa
plana sumergida se puede expresar en términos del mo-
mento de inercia del área de la placa. En dinámica, los
momentos de inercia de masa se usan para calcular los mo-
vimientos giratorios de objetos. En este capítulo se muestra
cómo calcular los momentos de inercia de áreas y objetos
sencillos, y luego se emplean los resultados llamados teo-
remas de los ejes paralelos para calcular momentos de
inercia de áreas y objetos más complejos.

᭣ La resistencia a la flexión de una viga y su capacidad para soportar cargas
dependen de una propiedad de su sección transversal llamada momento de
inercia. En este capítulo se define y se muestra cómo calcular momentos
de inercia de áreas.

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376 Capítulo 8 Momentos de inercia

ÁREAS

8.1 Definiciones

Considere un área A en el plano x-y (figura 8.1a). Se definen cuatro momentos de
inercia de A:

1. Momento de inercia respecto al eje x:

Ix = y 2 dA, (8.1)
LA

donde y es la coordenada y del elemento diferencial de área dA (figura 8.1b).
En ocasiones, este momento de inercia se expresa en términos del radio de
giro respecto al eje x, kx, el cual se define mediante

Ix = kx2 A. (8.2)

2. Momento de inercia respecto al eje y:

Iy = x 2 dA, (8.3)
LA

donde x es la coordenada x del elemento dA (figura 8.1b). El radio de giro
respecto al eje y, ky, está definido por

Iy = k 2 A. (8.4)
y

y

A

x

(a)
y

dA

y x
r

x

(b)

Figura 8.1

www.FreeLibros.org(a) ÁreaAenelplanox-y.
(b) Elemento diferencial de A.

8.1 Definiciones 377

3. Producto de inercia:

Ix y = xy dA. (8.5)
LA

4. Momento polar de inercia:

JO = r 2 dA, (8.6)
LA

donde r es la distancia radial desde el origen del sistema coordenado hasta
dA (figura 8.1b). El radio de giro respecto al origen, kO, se define como

JO = kO2 A. (8.7)

El momento polar de inercia es igual a la suma de los momentos de inercia respec-
to a los ejes x e y:

JO = r 2 dA = 1y 2 + x 22 dA = Ix + Iy.
LA LA

Al sustituir en esta ecuación las expresiones para los momentos de inercia en tér-
minos de los radios de giro se obtiene

kO2 = kx2 + ky2.

Las dimensiones de los momentos de inercia de un área son (longitud)4, y
los radios de giro tienen dimensiones de longitud. Observe que las definiciones
de los momentos de inercia Ix, Iy y JO y las de los radios de giro implican que
éstos tienen valores positivos para cualquier área. No pueden ser negativos ni
iguales a cero.

Si un área A es simétrica respecto al eje x, para cada elemento dA con coor-
denadas (x, y), existe un elemento dA correspondiente con coordenadas (x, Ϫy),
como se muestra en la figura 8.2. Las contribuciones de estos dos elementos al
producto de inercia Ixy del área se cancelan: xy dA ϩ (Ϫxy) dA ϭ 0. Esto signifi-
ca que el producto de inercia del área es igual a cero. Se puede usar el mismo tipo
de argumento para un área que es simétrica respecto al eje y. Si un área es simé-
trica respecto al eje x o al eje y, su producto de inercia es igual a cero.

y

A dA (x, y) x
dA (x, Ϫy)

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378 Capítulo 8 Momentos de inercia

Ejemplo activo 8.1 Momentos de inercia de un área triangular (᭤ Relacionado con los
problemas 8.1–8.3)
y
Determine Ix e Iy para el área triangular mostrada.

Estrategia
La ecuación (8.3) para el momento de inercia respecto al eje y es muy parecida en
su forma a la ecuación para la coordenada x del centroide de un área, y es posible
evaluarla exactamente del mismo modo, usando un elemento diferencial de área
h dA en forma de una tira vertical de ancho dx. Después se demostrará que Ix puede
evaluarse utilizando el mismo elemento de área.

x Solución y

b

dA
h

f(x) ϭ b–h x x

x
dx

b

Iy ϭ LA x2dA

b La altura de una tira de ancho dx en la posición x es
f(x) ϭ (h/b)x, por lo que su área es dA ϭ f(x) dx.
ϭ x2f(x)dx Use esta expresión para evaluar la ecuación (8.3).
L0

b

΂ ΃ϭ x2 h xdx
L0 b

ϭ 1 hb3.
4

Para evaluar Ix, primero se determina el momento de inercia de la tira vertical dA
respecto al eje x.

y

dAs x
dy

f(x)
y

x
dx

(Ix)tira ϭ Ltira y2dAs

f(x) Sea dAs un elemento de la tira vertical dA;
aplique la ecuación 8.1.
ϭ (y2dx)dy
L0

ϭ 1 [f(x)]3dx.

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