CAPÍTULO
9
Fricción
Las fuerzas de fricción tienen muchos efectos importantes, tanto
deseables como indeseables, en las aplicaciones de ingeniería. La
teoría de la fricción de Coulomb permite estimar las fuerzas de
fricción máxima que pueden ejercerse entre superficies en contacto
y las fuerzas de fricción ejercidas por superficies deslizantes. Esto
abre el camino para el análisis de nuevos e importantes tipos de
soportes y máquinas, incluidas cuñas (calzas), conexiones roscadas,
cojinetes y bandas.
᭣ La pieza de trabajo ejerce fuerzas normales y de fricción sobre el disco del
esmeril. En este capítulo se analizan las fuerzas de fricción entre superficies
en contacto.
www.FreeLibros.org
430 Capítulo 9 Fricción
9.1 Teoría de la fricción seca
ANTECEDENTES
Suponga que una persona sube por una escalera que se encuentra recargada contra
una pared lisa. En la figura 9.1a se muestra el diagrama de cuerpo libre de la per-
sona y la escalera. Si la persona permanece quieta sobre la escalera, pueden usar-
se las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza de fricción. Pero hay una
pregunta importante que no puede responderse sólo con las ecuaciones de equili-
brio: ¿Permanecerá la escalera en reposo o resbalará sobre el piso? Si un camión
se estaciona sobre un terreno inclinado, la fuerza de fricción ejercida sobre sus
llantas por el camino impide que se deslice cuesta abajo (figura 9.1b). Se pueden
usar las ecuaciones de equilibrio para determinar la fuerza de fricción total. Sin
embargo, surge otra pregunta que no puede contestarse: ¿Cuál es la pendiente que
puede tener el terreno sin que el camión estacionado se deslice?
Para responder estas preguntas es necesario examinar con mayor detalle la
naturaleza de las fuerzas de fricción. Coloque un libro sobre una mesa y empúje-
lo con una pequeña fuerza horizontal, como muestra la figura 9.2a. Si la fuerza que
usted ejerce es suficientemente pequeña, el libro no se moverá. En la figura 9.2b
se muestra el diagrama de cuerpo libre del libro. La fuerza W es el peso del libro
y N es la fuerza normal ejercida por la mesa sobre la superficie del libro que está
en contacto con la mesa. La fuerza F es la fuerza horizontal que usted aplica y f es
la fuerza de fricción ejercida por la mesa. Como el libro está en equilibrio, f ϭ F
Ahora incremente lentamente la fuerza aplicada sobre el libro. Mientras éste
permanezca en equilibrio, la fuerza de fricción debe aumentar de manera corres-
pondiente puesto que es igual a la fuerza que se aplica. Cuando la fuerza aplicada
llega a ser muy grande, el libro se deslizará sobre la mesa. Después de alcanzar
cierto valor máximo, la fuerza de fricción ya no puede mantener el libro en equi-
librio. Observe también que la fuerza que usted debe aplicar para mantener al libro
en movimiento es menor que la requerida para ocasionar el deslizamiento (usted está
familiarizado con este fenómeno si alguna vez ha empujado un mueble sobre el
piso).
Fuerza de fricción (b) Fuerza de
F fricción
(a)
Figura 9.1 W
Objetos soportados mediante fuerzas de fricción.
f
Figura 9.2 N
(a) Se ejerce una fuerza horizontal sobre
un libro.
(a) (b)
www.FreeLibros.org(b) Diagramadecuerpolibredellibro.
9.1 Teoría de la fricción seca 431
¿Cómo ejerce la mesa una fuerza de fricción sobre el libro? ¿Por qué éste se Figura 9.3
desliza? ¿Por qué para mantenerlo en movimiento se requiere una fuerza menor Las rugosidades de las superficies pueden
que para empezar a moverlo? Si las superficies de la mesa y del libro se amplifi- verse en una vista ampliada.
can suficientemente, adquieren un aspecto rugoso (figura 9.3). Las fuerzas de fric-
ción surgen en parte debido a las interacciones de las rugosidades o asperezas de
las superficies en contacto. Se puede obtener mayor conocimiento de este meca-
nismo de fricción considerando un modelo simple bidimensional de las superficies
rugosas del libro y la mesa.
Considere una idealización de las asperezas del libro y de la tabla, con los
perfiles bidimensionales en forma de “dientes de sierra” que se muestran en la
figura 9.4a. Cuando la fuerza horizontal F se incrementa, el libro permanecerá está-
tico hasta que la fuerza sea suficientemente grande para causar que el libro se
deslice hacia arriba, como muestra la figura 9.4 b. ¿Qué valor tiene la fuerza
horizontal necesaria para que ocurra esto? Para saberlo, se debe determinar el valor
de F necesario para que el libro esté en equilibrio en la posición “deslizada” de la
figura 9.4b. La fuerza normal Ci ejercida sobre la i-ésima aspereza con forma de
diente de sierra del libro se presenta en la figura 9.4c (observe que en este modelo
sencillo se supone que las superficies en contacto de las asperezas son lisas).
Denotando la suma de las fuerzas normales ejercidas por la mesa sobre las aspere-
zas del libro mediante C ϭ a Ci, se obtienen las ecuaciones de equilibrio
i
͚Fx ϭ F Ϫ C sen a ϭ 0,
͚Fy ϭ C cos a Ϫ W ϭ 0.
Al eliminar C de estas ecuaciones se obtiene la fuerza necesaria para ocasionar que
el libro se deslice sobre la tabla:
F ϭ (tan a)W.
Se observa que la fuerza necesaria para ocasionar que el libro se deslice es propor-
cional a la fuerza que presiona entre sí a las superficies en forma de diente de sierra
(el peso del libro). Considere una situación en la que apila un número creciente de
libros y aplica sobre ellos una fuerza horizontal. A medida que el número de libros
aumenta, se requiere una fuerza progresivamente más grande para ocasionar que los
libros se deslicen. Asimismo, en el experimento imaginario bidimensional, el ángulo
a es una medida de la rugosidad de las superficies con forma de diente de sierra.
Cuando a S 0, las superficies se vuelven lisas y la fuerza necesaria para ocasionar
que el libro se deslice tiende a cero. Cuando a aumenta, la rugosidad se incrementa y
la fuerza necesaria para causar el deslizamiento del libro se vuelve más grande.
y W Figura 9.4
F (a) Modelo bidimensional de superficies
x rugosas en contacto.
(b) Deslizamiento del libro respecto a la mesa.
(c) Fuerza normal sobre una de las asperezas
del libro.
aa
aa
Ci
(c)
www.FreeLibros.org(a) (b)
432 Capítulo 9 Fricción
Las siguientes secciones presentan una teoría que incorpora los fenómenos
básicos que se acaban de describir y que resulta útil para determinar las fuerzas de
fricción entre superficies secas (la fricción entre superficies lubricadas es un fenó-
meno hidrodinámico y debe analizarse en el contexto de la mecánica de fluidos).
Coeficientes de fricción
TABLA 9.1 Valores típicos del La teoría de la fricción seca, o fricción de Coulomb, predice las fuerzas de fricción
coeficiente de fricción estática. máximas que pueden ser ejercidas por superficies secas en contacto, y que se
encuentran en reposo entre sí. También predice las fuerzas de fricción ejercidas por
las superficies cuando éstas se encuentran en movimiento, o deslizamiento, relati-
vo. Primero se considerarán las superficies que no están en movimiento relativo.
Materiales Coeficiente de Coeficiente estático La magnitud de la fuerza de fricción máxima que se puede
fricción estática ms ejercer entre dos superficies planas, secas, en contacto, que no están en movimiento
Metal sobre metal 0.15–0.20 relativo entre sí, es
Mampostería sobre 0.60–0.70 f ϭ ms N, (9.1)
mampostería
Madera sobre madera 0.25–0.50 donde N es la componente normal de la fuerza de contacto entre las superficies y
Metal sobre mampostería 0.30–0.70
Metal sobre madera 0.20–0.60 ms es una constante llamada coeficiente de fricción estática. Se supone que el valor
Hule sobre concreto 0.50–0.90 de ms depende sólo de los materiales de las superficies en contacto y de sus condi-
ciones (lisura y grado de contaminación por otros materiales). En la tabla 9.1 se
muestran valores típicos de ms para distintos materiales. El intervalo relativamente
grande de valores para cada par de materiales refleja la sensibilidad de ms respecto
a las condiciones de las superficies. En las aplicaciones de ingeniería suele ser nece-
sario medir el valor de ms para cada una de las superficies reales usadas.
De regreso al ejemplo del libro sobre la mesa (figura 9.2), si se aplica una
fuerza horizontal específica F sobre el libro y éste permanece en equilibrio, ¿qué
valor tiene la fuerza de fricción ejercida por la mesa sobre el libro? En el diagra-
ma de cuerpo libre de la figura 9.2b puede verse que f ϭ F. Observe que no se usó
la ecuación (9.1) para responder la pregunta. Pero suponga que se desea conocer la
fuerza máxima F que puede aplicarse al libro sin ocasionar su deslizamiento. Si
(a) se conoce el coeficiente de fricción estática ms entre el libro y la mesa, la ecua-
ción (9.1) indica la fricción máxima que puede ejercer la tabla sobre el libro. Por
lo tanto, la fuerza máxima F que puede aplicarse sin causar que el libro se deslice
Dirección del es F ϭ f ϭ msN. Asimismo, a partir del diagrama de cuerpo libre de la figura 9.2b, se
deslizamiento inminente sabe que N ϭ W, por lo que la fuerza máxima que no ocasionará que el libro se desli-
ce es F ϭ msW.
La ecuación (9.1) determina la magnitud de la fuerza de fricción máxima pero
no su dirección. La fuerza de fricción es un máximo, y la ecuación (9.1) es apli-
cable si las dos superficies están a punto de deslizarse una con respecto a la otra.
Se dice que el deslizamiento es inminente y que las fuerzas de fricción resisten el
movimiento inminente. Suponga que en la figura 9.5a la superficie inferior está
fija y el deslizamiento de la superficie superior hacia la derecha es inminente. La
f ϭ msN fuerza de fricción sobre la superficie superior resistirá este movimiento inminente
(figura 9.5b). La fuerza de fricción sobre la superficie inferior tendrá la dirección
N opuesta.
N f ϭ msN El coeficiente cinético De acuerdo con la teoría de la fricción seca, la magni-
tud de la fuerza de fricción entre dos superficies planas y secas en contacto, que
están en movimiento (deslizamiento) relativo entre sí, es
(b)
Figura 9.5 f ϭ mkN, (9.2)
(a) La superficie superior está a punto de
deslizarse hacia la derecha.
www.FreeLibros.org(b) Direccionesdelasfuerzasdefricción.
donde N es la fuerza normal entre las superficies y mk es el coeficiente fricción
cinética. Se supone que el valor de mk depende sólo de las composiciones de las
Dirección del 9.1 Teoría de la fricción seca 433
movimiento relativo
Figura 9.6
(a) La superficie superior se mueve hacia la
derecha respecto a la superficie inferior.
(b) Direcciones de las fuerzas de fricción.
f ϭ mkN
N
N
(a) f ϭ mkN
(b) f
N
superficies y de sus condiciones. Para un par de superficies dado, su valor es gene-
ralmente menor que el de ms. (a)
Una vez que el libro de la figura 9.2 ha comenzado a deslizarse sobre la mesa, Ru
la fuerza de fricción f ϭ mkN ϭ mkW. Por lo tanto, la fuerza que debe ejercerse
para mantener el libro en movimiento uniforme es F ϭ f ϭ mkW. (b)
Figura 9.7
Cuando dos superficies están deslizándose entre sí, las fuerzas de fricción (a) Fuerza de fricción f y fuerza normal N.
resisten el movimiento relativo. Suponga que en la figura 9.6a la superficie inferior (b) Magnitud R y ángulo de fricción u.
se encuentra fija y que la superficie superior está moviéndose hacia la derecha. La
fuerza de fricción sobre la superficie superior actúa en dirección opuesta a la de su
movimiento (figura 9.6b). La fuerza de fricción sobre la superficie inferior actúa en
la dirección opuesta.
Ángulos de fricción
La reacción ejercida sobre una superficie debido a su contacto con otra se ha
expresado en términos de sus componentes paralela y perpendicular a la superfi-
cie, la fuerza de fricción f y la fuerza normal N (figura 9.7a). En algunas situacio-
nes es más conveniente expresar la reacción en términos de su magnitud R y del
ángulo de fricción u entre la reacción y la normal a la superficie (figura 9.7b). Las
fuerzas f y N están relacionadas con R y u por
f ϭ F sen u, (9.3)
N ϭ R cos u, (9.4)
El valor de u cuando el deslizamiento es inminente se llama ángulo de fricción
estática us, y su valor cuando las dos superficies están en movimiento relativo se
llama ángulo de fricción cinética uk. Usando las ecuaciones (9.1) a (9.4), los ángulos
de fricción estática y cinética pueden expresarse en términos de los coeficientes de
fricción:
tan us ϭ ms, (9.5)
tan uk ϭ mk. (9.6)
RESULTADOS
Las fuerzas resultantes del contacto entre superficies planas pueden expresarse en
dos formas alternativas:
En términos de la fuerza normal N f
y la fuerza de fricción f. N
N
www.FreeLibf ros.org
434 Capítulo 9 Fricción u
RR
En términos de la magnitud R y u
el ángulo de fricción u.
Coeficientes de fricción
La magnitud de la fuerza de fricción máxima que puede ser ejercida por superfi-
cies secas que están en reposo con respecto a la otra (es decir, cuando hay desli-
zamiento inminente) es
f ϭ msN, (9.1)
donde ms el el coeficiente de fricción estática. El ángulo de fricción cuando el des-
lizamiento es inminente se relaciona con el coeficiente de fricción estática por
tan us ϭ ms. (9.5)
La magnitud de la fuerza de fricción ejercida por superficies secas que están en
movimiento (deslizamiento) con respecto a la otra es
f ϭ mkN, (9.2)
donde mk es el coeficiente de fricción cinética. El ángulo de fricción cuando las su-
perficies están deslizándose se relaciona con el coeficiente de fricción cinética por
tan uk ϭ mk (9.6)
Para evaluar la fuerza y el ángulo de fricción se requiere tomar una serie de deci-
siones que se resumen en el siguiente diagrama:
Sí ¿Están las superficies en movimiento No
relativo (deslizándose) entre sí?
f ϭ mkN y tan uk ϭ mk. ¿Se sabe si el desliza-
La fuerza de fricción se opo- miento es inminente?
ne al movimiento relativo. Sí No
f ϭ msN y tan us ϭ ms. Se deben determinar la mag-
La fuerza de fricción se opo- nitud y la dirección de la
ne al movimiento inminente. fuerza de fricción a partir de
las ecuaciones de equilibrio.
si f Ͼ msN o tan us Ͼ ms,
www.FreeLibros.orgelsistemanopuedeestar
en equilibrio.
9.1 Teoría de la fricción seca 435
Ejemplo activo 9.1 Determinación de una fuerza de fricción (᭤ Relacionado con el problema 9.1)
La cuerda mostrada en la figura ejerce una fuerza horizontal sobre la caja en reposo
de 180 lb. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la rampa es ms ϭ 0.4. Si
la cuerda ejerce una fuerza de 90 lb sobre la caja, ¿qué valor tiene la fuerza de fric-
ción ejercida por la rampa sobre la caja?
20Њ
Estrategia
La caja no se está deslizando sobre la rampa y no se sabe si el deslizamiento es in-
minente, por lo que se debe determinar la fuerza de fricción aplicando las ecuacio-
nes de equilibrio.
Solución y
x
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja. La T
dirección de la fuerza de fricción f no se conoce,
por lo que debe escogerse de manera arbitraria. El 20Њ
signo de la respuesta para f indicará su dirección. Wf
N
Aplique el equilibrio. El valor ne- ⌺Fx ϭ f ϩ T cos 20Њ Ϫ W sen 20Њ ϭ 0,
gativo de la fuerza de fricción indi- ⌺Fy ϭ N Ϫ T sen 20Њ Ϫ W cos 20Њ ϭ 0.
ca que su dirección es hacia abajo Estableciendo W ϭ 180 lb y T ϭ 90 lb resolviendo
de la rampa. las ecuaciones se obtiene N ϭ 200 lb y f ϭ Ϫ23.0 lb
Calcule la fuerza de fricción máxi- msN ϭ (0.4)(200 lb) ϭ 80 lb.
ma que soportará la superficie para
confirmar que no es superada por
la magnitud de la fuerza de fric-
ción necesaria para el equilibrio.
Problema de práctica ¿Qué valor tiene la fuerza horizontal máxima que puede ejer-
cer la cuerda sobre la caja sin ocasionar que ésta empiece a deslizarse hacia arriba sobre
la rampa?
www.FreeLibros.orgRespuesta:161lb.
436 Capítulo 9 Fricción
Ejemplo 9.2 Análisis de un freno de fricción (᭤ Relacionado con el problema 9.22)
El movimiento del disco que se muestra en la figura está controlado por la fuerza
de fricción ejercida en C por el freno ABC. El actuador hidráulico BE ejerce una fuer-
za horizontal F sobre el freno en B. Los coeficientes de fricción entre el disco y el
freno son ms y mk. ¿Qué par M es necesario para que el disco gire con velocidad cons-
tante en dirección inversa a la de las manecillas del reloj?
1 h E M
2 C
1 h rD
2 B
A
b
Estrategia
Puede usarse el diagrama de cuerpo libre del disco para obtener una relación entre
M y la reacción ejercida por el freno sobre el disco, y luego usar el diagrama de
cuerpo libre del freno para determinar la reacción en términos de F.
M Solución
uk Dx En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco, representando con una
sola fuerza R la fuerza ejercida por el freno. La fuerza R se opone al giro del disco
R Dy en contra de las manecillas del reloj, y el ángulo de fricción es el ángulo de fricción
cinética uk ϭ arctan mk. Sumando momentos respecto a D, se obtiene
(a) Diagrama de cuerpo libre del disco.
͚Mpunto D ϭ M Ϫ (R sen uk)r ϭ 0.
Luego, del diagrama de cuerpo libre del freno (figura b), se obtiene
bR ©Mpunto A = - F a 1 h b + 1R cos uk2h - 1R sen uk2b = 0.
2
1 uk
2 h
F 1 De estas dos ecuaciones se pueden despejar M y R. La solución para el par M es
2
h
A Ax M = 11>22hr F sen uk = 11h> 2-2hbr mFkmk .
h cos uk - b sen uk
Ay
(b) Diagrama de cuerpo libre del freno.
Razonamiento crítico
R Si el coeficiente de fricción mk es suficientemente pequeño, el denominador de la
b k solución para el par M, el término h cos uk Ϫ b sen uk, es positivo. Al crecer mk, el
denominador se vuelve más pequeño porque cos uk se reduce y sen uk aumenta.
h Cuando el denominador se acerca a cero, el par requerido para que el disco gire
F
tiende a infinito. Para entender este resultado, observe que el denominador es igual
A Ax a cero cuando tan uk ϭ h͞b, lo que significa que la línea de acción de la fuerza R
Ay pasa por el punto A (figura c). Cuando mk crece y la línea de acción de R se acerca
al punto A, la magnitud de R necesaria para equilibrar el momento de F respecto a
A tiende a infinito. Como resultado, la predicción analítica para M tiende también
(c) Línea de acción de R pasando por el a infinito. Por supuesto, en algún valor de M, las fuerzas F y R excederían los valo-
www.FreeLibros.orgpuntoA.
res que el freno podría soportar.
9.1 Teoría de la fricción seca 437
Ejemplo 9.3 Determinación del vuelco de un objeto (᭤ Relacionado con el problema 9.45) F
Suponga que se desea empujar la caja de herramientas mostrada en la figura sobre
el piso aplicando la fuerza horizontal F. Si se aplica la fuerza a una altura h muy gran-
de, la caja se volcará antes de deslizarse. Si el coeficiente de fricción estática entre
el piso y la caja es ms, ¿cuál es el máximo valor de h para que la caja se deslice
antes de volcarse?
Estrategia h
Cuando la caja está a punto de volcarse, se encuentra en equilibrio sin ninguna re- W
acción en B. Se puede usar esta condición para determinar F en términos de h.
Luego, determinando el valor de F que hará que la caja se deslice, se obtendrá el A B
valor de h que ocasionará que la caja esté a punto de volcarse y a punto de deslizarse.
b b
2 2
Solution y
En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja cuando está a punto F
de volcarse. Sumando momentos respecto a A, se obtiene
1
©Mpunto A = Fh - W a 2 b b = 0.
El equilibrio también requiere que f ϭ F y N ϭ W.
Cuando la caja está a punto de deslizarse,
f ϭ msN, h
W
por lo que
A Bx
f
F ϭ f ϭ msN ϭ msW.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación de momentos, se obtiene N
b
2
msWh - Wa1 bb = 0. (a) Diagrama de cuerpo libre cuando la caja
2 está a punto de volcarse.
Despejando h de esta ecuación se encuentra que cuando la caja está a punto de desli-
zarse, también se encuentra a punto de voltearse si ésta se empuja a la altura
b
h= .
2ms
Si h es menor que este valor, la caja empezará a deslizarse antes de volcarse.
Razonamiento crítico
Observe que el máximo valor de h para que la caja se deslice antes de volcarse es
independiente de F. Si la caja se vuelca o no depende sólo de dónde se aplica la carga
y no de la magnitud de ésta. ¿Cuál es la motivación para la solución en este ejem-
plo? La posibilidad de caída de objetos pesados es un riesgo obvio a la seguridad,
y los análisis de este tipo pueden influenciar su diseño. Una vez que dichos objetos
estén en uso, los ingenieros de seguridad pueden establecer directrices para evitar
un vuelco (por ejemplo, marcando una línea horizontal sobre un gabinete vertical
www.FreeLibros.orgo una máquina arriba de la cual no debe empujarse).
438 Capítulo 9 Fricción
Problemas
᭤ 9.1 En el ejemplo activo 9.1, suponga que el coeficiente de 9.4 El automóvil de 2975 lb que se muestra en la figura está esta-
fricción estática entre la caja de 180 lb y la rampa es ms ϭ 0.3. cionado sobre una calle inclinada. Los frenos están aplicados tanto
¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal mínima que debe en sus ruedas delanteras como traseras.
ejercer la cuerda sobre la caja para evitar que ésta se deslice hacia a) Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas del
abajo por la rampa? automóvil y el camino es ms ϭ 0.8, ¿cuál es la pendiente más
inclinada (en grados respecto a la horizontal) sobre la cual el
9.2 Una persona coloca un libro de 2 lb sobre una mesa que automóvil podría permanecer en equilibrio?
está inclinada 15° respecto a la horizontal. La persona encuentra b) Si la calle estuviera cubierta de hielo y el coeficiente de fricción
que si ejerce una fuerza muy pequeña sobre el libro, como estática entre las llantas del automóvil y el camino fuera ms ϭ 0.2,
muestra la figura, el libro permanece en equilibrio, pero si retira ¿cuál es la pendiente más inclinada sobre la cual el automóvil podría
la fuerza el libro se desliza hacia abajo sobre la mesa. ¿Qué permanecer en equilibrio?
fuerza debe ejercer esta persona sobre el libro (en la dirección
paralela a la mesa) para causar que éste se deslice hacia arriba
sobre la mesa?
15Њ
Problema 9.4
Problema 9.2 9.5 El cabrestante del camión mostrado ejerce una fuerza horizontal
sobre la caja de 200 kg en un esfuerzo por jalarla hacia abajo sobre
9.3 Un estudiante empuja una caja de libros de 200 lb sobre el la rampa. El coeficiente de fricción estática entre la caja y la rampa
piso. El coeficiente de fricción cinética entre la alfombra y la caja es ms ϭ 0.6.
mostradas es mk ϭ 0.15. a) Si el cabrestante ejerce una fuerza horizontal de 200 N sobre la
a) Si él ejerce la fuerza F en un ángulo a ϭ 25°, ¿cuál es la caja, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por la
magnitud de la fuerza que debe ejercer para deslizar la caja rampa sobre la caja?
sobre el piso? b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal que debe ejercer
b) Si él dobla más sus rodillas y ejerce la fuerza F en un ángulo el cabrestante sobre la caja para ocasionar que ésta empiece a
a ϭ 10°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza que debe ejercer para moverse hacia abajo sobre la rampa?
deslizar la caja?
Problema 9.5 20Њ
a 9.6 El dispositivo de la figura está diseñado para colocar maletas
F sobre una rampa y ejerce una fuerza paralela a ésta. La maleta
mostrada pesa 40 lb. Los coeficientes de fricción entre la maleta y
Problema 9.3 la rampa son ms ϭ 0.20 y mk ϭ 0.18.
a) ¿La maleta permanecerá en reposo sobre la rampa cuando el
dispositivo no ejerza fuerza sobre ella?
b) ¿Qué fuerza debe ejercer el mecanismo sobre la maleta para
empujarla hacia arriba sobre la rampa a una velocidad constante?
www.FreeLibros.org20Њ
Problema 9.6
Problemas 439
9.7 El coeficiente de fricción estática entre la caja de 50 kg 9.12 La masa de la caja que se muestra a la izquierda es de 30 kg
que se muestra en la figura y la rampa es ms ϭ 0.35. La longitud y la masa de la caja a la derecha es de 40 kg. El coeficiente de fric-
sin estirar del resorte es de 800 mm, y la constante del resorte ción estática entre cada caja y la superficie inclinada es ms ϭ 0.2.
es k ϭ 660 N/m. ¿Cuál es el valor mínimo de x con el que la Determine el ángulo mínimo a para el cual las cajas permanecerán
caja puede permanecer en reposo sobre la rampa? en reposo.
x Problema 9.12 a 30Њ
k
50Њ 9.13 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 100 kg
Problema 9.7 que se muestra en la figura y la superficie inclinada es 0.35.
Determine la tensión T necesaria para jalar la caja hacia arriba
de la superficie a una velocidad constante.
9.8 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 40 kg que T
se muestra en la figura y el piso inclinado es mk ϭ 0.3. Si el ángulo
a ϭ 20°, ¿qué tensión debe ejercer la persona sobre la cuerda para
mover la caja a velocidad constante?
9.9 En el problema 9.8, ¿para qué ángulo a la tensión necesaria
para mover la caja a velocidad constante es mínima? ¿Qué valor
tiene la tensión necesaria?
60Њ
a Problema 9.13
10Њ 9.14 La caja mostrada está en reposo sobre la superficie inclinada.
El coeficiente de fricción estática es ms.
Problemas 9.8/9.9 a) Si la masa de la caja es 10 kg, a ϭ 20°, b ϭ 30° y ms ϭ 0.24,
¿cuál es la fuerza T necesaria para que la caja empiece a deslizarse
9.10 La caja A de la figura pesa 100 lb y la caja B 30 lb. Los
coeficientes de fricción entre la caja A y la rampa son ms ϭ 0.30 hacia arriba sobre la superficie?
y mk ϭ 0.28. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida
sobre la caja A por la rampa? b) Demuestre que la fuerza T necesaria para que la caja empiece a
9.11 La caja A de la figura pesa 100 lb y los coeficientes de fricción deslizarse hacia arriba por la superficie es el valor mínimo cuando
entre la caja A y la rampa son ms ϭ 0.30 y mk ϭ 0.28. ¿Para qué tan b ϭ ms.
intervalo de pesos de la caja B el sistema permanece en reposo?
9.15 Para explicar las observaciones hechas durante la botadura
de barcos en el puerto de Rochefort en 1779, Coulomb analizó el
sistema mostrado a fin de determinar la fuerza T mínima necesaria
para mantener la caja en reposo sobre la superficie inclinada.
Demuestre que el resultado es
T = 1sen a - ms cos a2mg .
cos b - ms sen b
T
b
A
B
30Њ
a
www.FreeLibros.orgProblemas9.10/9.11
Problemas 9.14/9.15
440 Capítulo 9 Fricción
9.16 Dos hojas de madera terciada A y B yacen sobre la plata- 9.19 Cada una de las cajas mostradas pesa 10 lb. El coeficiente
forma del camión mostrado. Ambas tienen el mismo peso W, y de fricción estática entre la caja A y la caja B es 0.24 y el coefi-
el coeficiente de fricción estática entre las dos hojas de madera ciente de fricción estática entre la caja B y la superficie inclinada
y entre la hoja B y la plataforma del camión es ms. es 0.3 ¿Cuál es el máximo ángulo a para el cual la caja B no se
a) Si usted aplica una fuerza horizontal a la hoja A y ninguna deslizará?
fuerza a la hoja B, ¿puede deslizar la hoja A hacia afuera del
camión sin hacer que se mueva la hoja B? ¿Qué fuerza es nece- Estrategia: Dibuje diagramas de cuerpo libre individuales de
saria para que la hoja A empiece a deslizarse? las dos cajas y escriba sus ecuaciones de equilibrio suponiendo
que el deslizamiento de la caja B es inminente.
b) Si usted impide que la hoja A se mueva ejerciendo una fuerza
horizontal sobre ella, ¿qué fuerza horizontal sobre la hoja B se
necesita para que ésta empiece a deslizarse?
A
B
a
Problema 9.19
A
B
9.20 Las masas de las cajas mostradas son mA ϭ 15 kg y
mB ϭ 60 kg. El coeficiente de fricción estática entre las cajas
A y B y entre la caja B y la superficie inclinada es 0.12. ¿Qué
valor tiene la máxima fuerza F que no ocasionará que las cajas
se deslicen?
Problema 9.16 9.21 En el problema 9.20, ¿cuál es la fuerza F mínima para la
cual las cajas no se deslizarán?
9.17 Los pesos de las dos cajas mostradas son W1 ϭ 100 lb y A
W2 ϭ 50 lb. Los coeficientes de fricción entre la caja de la izquierda F
y la superficie inclinada son ms ϭ 0.12 y mk ϭ 0.10. Determine
la tensión que debe ejercer el hombre sobre la cuerda para jalar B
las cajas hacia arriba a una velocidad constante.
20Њ
9.18 En el problema 9.17, ¿para qué intervalo de tensiones ejerci-
das por el hombre sobre la cuerda las cajas permanecerán en reposo?
30Њ W1 Problemas 9.20/9.21
30Њ
᭤ 9.22 En el ejemplo 9.2, ¿qué par M en el sentido de las mane-
cillas del reloj necesitaría aplicarse al disco para causar que éste
gire a una velocidad constante en la misma dirección?
W2
Problemas 9.17/9.18
www.FreeLibros.org
Problemas 441
9.23 La barra homogénea horizontal AB que se muestra en la figura pesa 20 lb. El disco homogéneo pesa 30 lb. El coeficiente de fric-
ción cinética entre el disco y la superficie inclinada es mk ϭ 0.24. ¿Cuál es la magnitud del par que necesitaría aplicarse al disco para
ocasionar que éste gire a una velocidad constante en el sentido de las manecillas del reloj?
9.24 La barra homogénea horizontal AB que se muestra en la figura pesa 20 lb. El disco homogéneo pesa 30 lb. El coeficiente de fric-
ción cinética entre el disco y la superficie inclinada es mk ϭ 0.24. ¿Cuál es la magnitud del par que necesitaría aplicarse al disco para
ocasionar que este gire a una velocidad constante en sentido inverso al de las manecillas del reloj?
5 pies
1 pie
AB
20Њ
Problemas 9.23/9.24
9.25 La masa de la barra mostrada es 4 kg. El coeficiente de 9.28 La escalera y la persona mostradas pesan 30 lb y 180 lb,
fricción estática entre la barra y el piso es 0.3. Ignore la fricción respectivamente. El centro de masa de la escalera de 12 pies de
entre la barra y la pared. longitud está en su punto medio. El coeficiente de fricción estática
a) Si a ϭ 20°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida entre la escalera y el piso es ms ϭ 0.5. ¿Cuál es el valor máximo
por el piso sobre la barra? de a para el que la persona puede alcanzar la parte superior de
la escalera sin que ésta se deslice?
b) ¿Cuál es el valor máximo de a para el cual la barra no se
deslizará? 9.29 La escalera y la persona mostradas pesan 30 lb y 180 lb, res-
pectivamente. El centro de masa de la escalera de 12 pies de longitud
9.26 El coeficiente de fricción estática entre la barra de 4 kg y el está en su punto medio. El coeficiente de fricción estática entre
piso, y entre la barra y la pared es 0.3 que se muestra en la figura la escalera y el piso es 0.5 y el coeficiente de fricción entre la escalera
(9.25/9.26). ¿Cuál es el ángulo máximo a para el cual la barra no y la pared es 0.3. ¿Cuál es el valor máximo del ángulo a para el que
se deslizará? la persona puede alcanzar la parte superior de la escalera sin que ésta
se deslice? Compare su respuesta con la del problema 9.28.
1m
a
a
Problemas 9.25/9.26
9.27 La escalera y la persona mostradas pesan 30 lb y 180 lb,
respectivamente. El centro de masa de la escalera de 12 pies de
longitud está en su punto medio. El ángulo a ϭ 30°. Suponga
que la pared ejerce una fricción insignificante sobre la escalera.
a) Si x ϭ 4 pies, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción
ejercida por el piso sobre la escalera?
b) ¿Cuál es el coeficiente mínimo de fricción estática entre la es- x
Problemas 9.27–9.29
calera y el piso, necesario para que la persona sea capaz de llegar
www.FreeLibros.orga la parte superior de la escalera sin que ésta se deslice?
442 Capítulo 9 Fricción
9.30 El disco de la figura pesa 50 lb y la barra pesa 25 lb. Los 9.34 El coeficiente de fricción estática entre las hojas de las
coeficientes de fricción entre el disco y la superficie inclinada pinzas la figura y el objeto sujetado es 0.36. ¿Cuál es el valor
son ms ϭ 0.6 y mk ϭ 0.5. máximo del ángulo a para el que el objeto sujetado no se desliza?
a) ¿Cuál es el par máximo M que puede aplicarse al disco en reposo Ignore el peso del objeto.
sin ocasionar que éste empiece a girar?
Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre del objeto y
b) ¿Cuál es el par M necesario para girar al disco a una velocidad suponga que el deslizamiento es inminente.
constante?
5 pulg
20 pulg a
M
Problema 9.34
30Њ
Problema 9.30 9.35 Un disco en reposo de 300 mm de radio está unido a un
soporte de pasador en D como muestra la figura. El disco es
9.31 El radio del cilindro homogéneo de 40 kg que se muestra mantenido en posición por el freno ABC en contacto con el disco
en la figura es R ϭ 0.15 m. La pared inclinada es lisa y el ángulo en C. El actuador hidráulico BE ejerce una fuerza horizontal de
a ϭ 30°. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y el 400 N sobre el freno en B. Los coeficientes de fricción entre el
piso es ms ϭ 0.2. ¿Cuál es el par máximo M que puede aplicarse disco y el freno son ms ϭ 0.6 y mk ϭ 0.5. ¿Qué par debe aplicarse
al cilindro sin causar que éste deslice? al disco en reposo para que se deslice en dirección opuesta a la
de las manecillas del reloj?
9.32 El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene C 300 D
un peso W. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y mm
ambas superficies es ms. ¿Cuál es el par máximo M que puede
aplicarse al cilindro sin causar que éste deslice? (Suponga que el 200 mm E B
cilindro se desliza antes de rodar hacia arriba sobre la superficie 200 mm
inclinada.)
A
9.33 El cilindro homogéneo que se muestra en la figura tiene 200
un peso W. El coeficiente de fricción estática entre el cilindro y mm
ambas superficies es ms. ¿Cuál es el valor mínimo de ms con el Problema 9.35
que el par M causará que el cilindro ruede hacia arriba sobre la
superficie inclinada sin deslizarse?
R
M
a
www.FreeLibros.orgProblemas9.31–9.33
Problemas 443
9.36 En la figura se muestra una idea conceptual preliminar de 9.39 La barra horizontal mostrada en la figura está unida a un
un dispositivo que ejerce una fuerza de frenado sobre una cuerda collarín que se desliza sobre la barra vertical. El collarín en P se
cuando la cuerda es jalada hacia abajo por la fuerza T. El coefi- desliza sobre la barra horizontal lisa. La masa total de la barra
ciente de fricción cinética entre la cuerda y las dos barras es horizontal y los dos collarines es de 12 kg. El sistema se mantiene
mk ϭ 0.28. Determine la fuerza T necesaria para jalar la cuerda en posición mediante el pasador y la ranura circular. El pasador
hacia abajo a una velocidad constante si F ϭ 10 lb y a) a ϭ 30°; hace contacto sólo con la superficie inferior de la ranura, y el
b) a ϭ 20°. coeficiente de fricción estática entre el pasador y la ranura es 0.8.
Si el sistema se encuentra en equilibrio y y ϭ 260 mm, ¿cuál es
la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por la ranura sobre
el pasador?
F 6 pulg F 9.40 En el problema 9.39, ¿cuál es la altura y mínima a la que el
F F a sistema puede estar en equilibrio?
3 pulg
a
T T P
Problema 9.36
9.37 La masa del bloque B mostrado es 8 kg. El coeficiente de y
fricción estática entre las superficies de la abrazadera y el bloque
es ms ϭ 0.2. Cuando la abrazadera está alineada como se muestra, 300 mm
¿qué fuerza mínima debe ejercer el resorte para impedir que el
bloque se deslice? Problemas 9.39/9.40
9.38 Modificando sus dimensiones, rediseñe la abrazadera del 9.41 La placa rectangular de 100 lb que se muestra en la figura
problema 9.37 de manera que la fuerza mínima que el resorte está soportada por los pasadores A y B. Si se puede ignorar la fric-
deba ejercer para impedir el deslizamiento del bloque sea de ción en A y el coeficiente de fricción estática entre el pasador en B
180 N. Haga un bosquejo de su nuevo diseño. y la ranura es ms ϭ 0.4, ¿cuál es el máximo ángulo a con el que la
placa no se deslizará?
160 mm 45Њ 9.42 Si se puede ignorar la fricción en el punto B de la figura y
el coeficiente de fricción estática entre el pasador en A y la ranura
es ms ϭ 0.4, ¿cuál es el máximo ángulo a con el que la placa de
100 lb no se deslizará?
200 mm
a 2 pies 3 pulg
B
B
A
100
mm
Problemas 9.37/9.38 2
2 pies
www.FreeLibros.orgpies
Problemas 9.41/9.42
444 Capítulo 9 Fricción
9.43 El peso del avión mostrado es W ϭ 2400 lb. Sus frenos 9.46 Para obtener una evaluación preliminar de la estabilidad
mantienen bloqueadas las ruedas traseras y el coeficiente de de un automóvil nuevo, imagine que se somete el automóvil en
fricción estática entre las ruedas y la pista es ms ϭ 0.6. La rueda reposo a una fuerza lateral creciente F a la altura de su centro
frontal (nariz) puede girar libremente y también ejerce una fuerza de masa, y determine si el carro se deslizará lateralmente antes de
de fricción insignificante sobre la pista. Determine la fuerza de volcarse. Muestre que éste será el caso si b͞h Ͼ 2ms (observe la
empuje horizontal máxima T que puede generar la hélice sin importancia de la altura del centro de masa respecto al ancho del
ocasionar que las ruedas traseras se deslicen. automóvil: lo anterior refleja análisis recientes sobre la estabili-
dad de vehículos utilitarios deportivos y camionetas que tienen
centros de masa relativamente altos).
T F
4 pies
h
W
bb
A 5 pies B 22
Problema 9.46
2 pies
Problema 9.43
9.44 El refrigerador de la figura pesa 220 lb. Se encuentra sopor- 9.47 El hombre que se muestra en la figura ejerce una fuerza P
tado en A y B. El coeficiente de fricción estática entre los soportes sobre el automóvil en un ángulo a ϭ 20°. El automóvil de
y el piso es ms ϭ 0.2. Asumiendo que el refrigerador no se volteará 1760 kg tiene tracción delantera. El conductor gira las ruedas
antes de deslizarse, ¿cuál es la fuerza F necesaria para que el frontales, y el coeficiente de fricción cinética es mk ϭ 0.02. La
deslizamiento sea inminente? nieve detrás de las llantas traseras ejerce una fuerza de resistencia S.
Para comenzar a mover el automóvil se requiere superar una
᭤ 9.45 El refrigerador de la figura pesa 220 lb. Se encuentra fuerza S ϭ 420 N ejercida por la nieve sobre las llantas traseras.
soportado en A y B. El coeficiente de fricción estática entre los ¿Qué fuerza debe ejercer el hombre?
soportes y el piso es ms ϭ 0.2. La distancia h ϭ 60 pulg y la di-
mensión b ϭ 30 pulg. Cuando se aplica la fuerza F para empujar 9.48 En el problema 9.47, ¿qué valor del ángulo a minimiza la
al refrigerador sobre el piso, ¿se volcará antes de deslizarse? magnitud de la fuerza P que debe ejercer el hombre para superar
(Vea el ejemplo 9.3). la fuerza de resistencia S ϭ 420 N ejercida por la nieve sobre las
llantas traseras? ¿Cuál es la fuerza que debe ejercer el hombre?
F
h
A B P
b b a
2 2
Problemas 9.44/9.45
0.90 m
S
1.62 m
2.55 m
www.FreeLibros.org3.40m
Problemas 9.47/9.48
Problemas 445
9.49 El coeficiente de fricción estática entre las llantas del auto- 9.51 La mesa mostrada pesa 50 lb y el coeficiente de fricción
móvil de 3000 lb y la calle es ms ϭ 0.5. Determine la pendiente estática entre sus patas y la superficie inclinada es 0.7.
máxima (valor máximo del ángulo a) que el automóvil puede
subir a velocidad constante si tiene a) tracción en las ruedas a) Si se aplica una fuerza en A, paralela a la superficie inclinada
traseras, b) tracción en las ruedas delanteras o c) tracción en las para empujar la mesa hacia arriba sobre dicho plano inclinado, ¿la
cuatro ruedas. mesa se volcará antes de deslizarse? Si no es así, ¿qué fuerza se
requiere para que la mesa empiece a moverse sobre la superficie?
19 pulg
b) Si se aplica una fuerza en B, paralela a la superficie inclinada
para empujar la mesa hacia abajo sobre dicho plano inclinado, ¿la
mesa se volcará antes de deslizarse? Si no es así, ¿qué fuerza se
requiere para que la mesa empiece a moverse sobre la superficie?
35 pulg B
72 pulg
a 32 pulg
28 pulg
A
Problema 9.49 23 pulg
23 pulg
9.50 El armario en reposo que se muestra tiene un peso W. 20Њ
Determine la fuerza F que se debe ejercer para que se mueva si
a) el coeficiente de fricción estática en A y en B es ms; b) el Problema 9.51
coeficiente de fricción estática en A es msA y el coeficiente de
fricción estática en B es msB. 9.52 El coeficiente de fricción estática entre la barra de la dere-
cha y la superficie en A es ms ϭ 0.6. Ignore los pesos de las ba-
FG rras. Si a ϭ 20°, ¿cuál es la magnitud de la fuerza de fricción
ejercida en A?
h H 9.53 El coeficiente de fricción estática entre la barra de la derecha
A B y la superficie en A es ms ϭ 0.6. Ignore los pesos de las barras.
¿Cuál es el ángulo máximo a para el que la armadura permanecerá
bb en reposo sin resbalar?
22
F
Problema 9.50
aa
A
Problemas 9.52/9.53
www.FreeLibros.org
446 Capítulo 9 Fricción
9.54 La barra BC está soportada por un piso rugoso en C. Si 9.57 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura es
F ϭ 2 kN y la barra BC no se desliza en C, ¿cuál es la magnitud de 6 kg. La estructura está soportada en B por las fuerzas normal
de la fuerza de fricción ejercida sobre la barra en C? y de fricción ejercidas por la pared sobre la placa. Ignore los pesos
de las barras.
9.55 La barra BC está soportada por un piso rugoso en C. Si a) ¿Qué magnitud tiene la fuerza de fricción ejercida sobre la
F ϭ 2 kN, ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción placa en B?
estática para que la barra BC no se deslice en C? b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario
para que la estructura permanezca en equilibrio?
F B
A 9.58 Suponga que las longitudes de las barras del problema 9.57
son LAB ϭ 1.2 m y LAC ϭ 1.0 m y sus masas son mAB ϭ 3.6 kg y
600 mm mAC ϭ 3.0 kg.
C a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la
placa en B?
b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario
para que la estructura permanezca en equilibrio?
500 mm 500 mm 200
mm
C
Problemas 9.54/9.55
30Њ
9.56 El peso de la caja mostrada es 20 lb y el coeficiente de Placa
fricción estática entre la caja y el piso es ms ϭ 0.65. Ignore los
pesos de las barras. ¿Cuál es el valor máximo de la fuerza F que A
no ocasionará que la caja se deslice? B 8Њ
44 8 pulg
pulg pulg
F Problemas 9.57/9.58
8 pulg 9.59 El bastidor de la figura está soportado por la fuerza normal
y de fricción ejercidas por las superficies fijas sobre las placas en
A y G. El coeficiente de fricción estática en A es ms ϭ 0.6. ¿Se
deslizará el bastidor en A cuando se someta a las cargas mostradas?
1m 1m 1m
AB 6 kN
C
Problema 9.56 1m
8 kN
1m
GED
Problema 9.59
www.FreeLibros.org
Problemas 447
9.60 El bastidor de la figura está soportado mediante la fuerza 9.62* El disco de metal A de 10 lb que se muestra en la figura
normal y de fricción ejercidas por la pared sobre la placa en A. está en el centro de la superficie inclinada. La tensión en el cordón
AB es de 5 lb. ¿Cuál es el valor mínimo del coeficiente de fricción
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida sobre la estática entre el disco y la superficie, necesario para que el disco
placa en A? no se deslice?
b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo en A y
necesario para que la estructura permanezca en equilibrio?
B (0, 6, 0) pies
E D 6 kN
1m C 2 pies
x
1m 1m
A A 8 pies
B 10 pies
2m 2m z
Problema 9.60
Problema 9.62
9.61 Los cosenos directores del cable de la grúa son 9.63* La caja de 5 kg que se muestra en la figura está en reposo
cos ux ϭ 0.588, cos uy ϭ 0.766, cos uz ϭ 0.260. El eje y es vertical. sobre la superficie inclinada. El eje y apunta hacia arriba. El vector
El cajón en reposo al cual está unido el cable pesa 2000 lb y yace unitario 0.557i ϩ 0.743j ϩ 0.371k es perpendicular al plano incli-
sobre el suelo horizontal. Si el coeficiente de fricción estática nado. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de fricción ejercida por la
entre el cajón y el suelo es ms ϭ 0.4, ¿qué tensión es necesaria en el superficie sobre la caja?
cable para ocasionar que el cajón se deslice?
9.64* En el problema 9.63, ¿cuál es el valor mínimo del coeficiente
y de fricción estática para que la caja permanezca en reposo sobre la
superficie inclinada?
y
x
z
Problema 9.61
x
z
Problemas 9.63/9.64
www.FreeLibros.org
448 Capítulo 9 Fricción
9.2 Cuñas
Una cuña es una herramienta bifacial cuyas caras forman un pequeño ángulo agudo
(figuras 9.8a y b). Cuando una cuña se empuja hacia adelante, sus caras ejercen
grandes fuerzas laterales como resultado del pequeño ángulo entre ellas (figura
9.8c). Las cuñas se usan de varias maneras en muchas aplicaciones de ingeniería.
Las grandes fuerzas laterales generadas por una cuña se pueden usar para levan-
tar una carga (figura 9.9a). Sea WL el peso de la carga y WW, el peso de la cuña. Para
determinar la fuerza F necesaria para empezar a elevar la carga, se supone que el des-
lizamiento de la carga y de la cuña es inminente (figura 9.9b). A partir del diagrama
de cuerpo libre de la carga se obtienen las ecuaciones de equilibrio
͚Fx ϭ Q Ϫ N sen a Ϫ msN cos a ϭ 0
y
͚Fy ϭ N cos a Ϫ msN sen a Ϫ msQ Ϫ WL ϭ 0.
(a) (b)
Figura 9.8
(a) Cuña primitiva: un “hacha manual” de
Olduvai Gorge, África Oriental.
(b) Hoja de cincel moderno.
(c) Las caras de una cuña pueden ejercer
grandes fuerzas laterales.
(c)
yy
Carga Q WWLL
Cuña msQ
N msN
F msN a a F
N x
a x WWWW
P msP
(a) (b)
Figura 9.9
(a) Elevación de una carga por medio de una cuña.
www.FreeLibros.org(b) Diagramas de cuerpo libre de la carga y de la cuña cuando el deslizamiento es inminente.
9.2 Cuñas 449
Del diagrama de cuerpo libre de la cuña se obtienen las ecuaciones
͚Fx ϭ N sen a ϩ msN cos a ϩ msP Ϫ F ϭ 0
y
͚Fy ϭ P Ϫ N cos a ϩ msN sen a Ϫ WW ϭ 0.
Estas cuatro ecuaciones determinan las fuerzas normales Q, N y P y la fuerza F.
La solución para F es
F = msWW + 11 - ms22 tan a + 2ms d WL.
c - m2s 2 - 2ms tan a
11
Suponga que WW ϭ 0.2WL y a ϭ 10°. Si ms ϭ 0, la fuerza necesaria para elevar la
carga es sólo 0.176WL. Pero si ms ϭ 0.2, la fuerza resulta de 0.680WL y si ms ϭ 0.4,
la fuerza requerida es de 1.44WL. Desde este punto de vista, la fricción es indeseable.
Pero si no hubiera fricción, la cuña no podría permanecer en su posición cuando se
retirara la fuerza F.
Ejemplo activo 9.4 Fuerzas sobre una cuña (᭤ Relacionado con los problemas 9.65, 9.66, 9.67)
Se usa una cuña para partir un tronco. El ángulo a ϭ 10° y los coeficientes de fric- a
ción entre la cuña y el tronco son ms ϭ 0.22 y mk ϭ 0.20. Si la cuña se introduce en
el tronco con velocidad constante mediante una fuerza vertical F, ¿qué magnitud tie-
nen las fuerzas normales ejercidas por la cuña sobre el tronco (es decir, cuáles son
las magnitudes de las fuerzas que causan que el tronco se parta)?
Estrategia
Las fuerzas de fricción ejercidas por el tronco se oponen a la penetración de la
cuña y tienen una magnitud mkN. Se pueden aplicar las ecuaciones de equilibrio para
determinar N en términos de F.
Solución
F
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la cuña. mkN a mkN
NN
La suma de las fuerzas en la dirección vertical es
a a
2
2N sen
2
ϩ 2mkN cos Ϫ F ϭ 0.
Al resolver para N se obtiene
Nϭ F Aplique el equilibrio.
2[sen(a/2) ϩ mk cos(a/2)]
ϭF
2[sen(10Њ/2) ϩ (0.20) cos(10Њ/2)]
ϭ 1.75F.
Problema de práctica Si se retira la fuerza F, ¿la cuña permanecerá en su lugar en
el tronco?
www.FreeLibros.orgRespuesta:Sí.
450 Capítulo 9 Fricción
Problemas 9.69 Las masas de los bloques mostrados son mA ϭ 30 kg y
mB ϭ 70 kg. Entre todas las superficies en contacto, ms ϭ 0.1.
᭤ 9.65 En el ejemplo activo 9.4, los coeficientes de fricción ¿Cuál es la fuerza F máxima que puede aplicarse sin ocasionar
entre la cuña y el tronco son ms ϭ 0.22 y mk ϭ 0.20. ¿Cuál es el
máximo valor del ángulo a para el cual la cuña permanecería en que los bloques se deslicen?
el tronco al retirar la fuerza F?
᭤ 9.66 La cuña mostrada se usa para partir un tronco. La cuña 30Њ F
pesa 20 lb y el ángulo a es igual a 30°. El coeficiente de fricción A
cinética entre las caras de la cuña y el tronco es 0.28. Si la fuerza 20Њ
normal ejercida por cada cara de la cuña debe ser igual a 150 lb
para partir el tronco, ¿Cuál es la fuerza F necesaria para introducir
la cuña en el tronco a una velocidad constante? (Vea el ejemplo
activo 9.4).
᭤ 9.67 El coeficiente de fricción estática entre las caras de
la cuña y el tronco del problema 9.66 es 0.30. ¿Permanecerá la
cuña en su lugar cuando la fuerza F sea retirada? (Vea el ejemplo
activo 9.4).
B
Fa
F
Problema 9.69
Problemas 9.66/9.67 9.70 Cada uno de los bloques mostrados pesa 200 lb. Entre todas
las superficies en contacto, ms ϭ 0.1. ¿Cuál es la fuerza F máxima
9.68 Los pesos de los bloques mostrados son WA ϭ 100 lb y que puede aplicarse sin ocasionar que el bloque B se deslice hacia
WB ϭ 25 lb. Entre todas las superficies en contacto, ms ϭ 0.32
y mk ϭ 0.30. ¿Qué fuerza F se requiere para mover B hacia la arriba?
izquierda a una velocidad constante?
B
A A C F
10Њ B 80Њ 80Њ
F
Problema 9.68
Problema 9.70
www.FreeLibros.org
Problemas 451
9.71 Las pequeñas cuñas llamadas calzas pueden usarse para 9.75 La caja A de la figura tiene una masa de 80 kg y la cuña B
mantener un objeto en su lugar, como muestra la figura. El coefi- tiene una masa de 40 kg. Entre todas las superficies en contacto,
ciente de fricción cinética entre las superficies en contacto es 0.4. ms ϭ 0.15 y mk ϭ 0.12. ¿Qué fuerza F se requiere para elevar A
¿Cuál es la fuerza F necesaria para empujar la calza hacia abajo con velocidad constante?
hasta que la fuerza horizontal ejercida sobre el objeto A sea de
200 N? 9.76 Suponga que la caja A de la figura pesa 800 lb y B pesa
400 lb. Los coeficientes de fricción entre todas las superficies
9.72 El coeficiente de fricción cinética entre las superficies en contacto son ms ϭ 0.15 y mk ϭ 0.12. ¿Permanecerá B en
en contacto de la figura es 0.44. Si las calzas están en reposo y posición si se retira la fuerza F?
ejercen una fuerza horizontal de 200 N sobre el objeto A, ¿cuál es
la fuerza ascendente que debe ejercerse sobre la calza izquierda
para aflojarla?
F A F
Calzas
10Њ
5Њ B
A 5Њ 10Њ
Problemas 9.75/9.76
Problemas 9.71/9.72
9.73 La caja A mostrada pesa 600 lb. Entre todas las superficies
en contacto, ms ϭ 0.32 y mk ϭ 0.30. Ignore los pesos de las cuñas.
¿Qué fuerza F se requiere para mover A hacia la derecha con velo-
cidad constante?
9.74 Suponga que entre todas las superficies en contacto que se
muestran en la figura, ms ϭ 0.32 y mk ϭ 0.30. Ignore los pesos de
las cuñas de 5°. Si se requiere una fuerza F ϭ 800 N para mover A
hacia la derecha con velocidad constante, ¿cual es la masa de A?
F
5Њ
A
5Њ
www.FreeLibros.orgProblemas9.73/9.74
452 Capítulo 9 Fricción
9.77 Entre los objetos A y B de la figura, ms ϭ 0.20, y entre B y C, 9.78 En la figura, las masas de A, B y C son de 8 kg, 12 kg y
ms ϭ 0.18. Entre C y la pared, ms ϭ 0.30. Los pesos WB ϭ 20 lb y 80 kg respectivamente. Entre todas las superficies en contacto,
WC ϭ 80 lb. ¿Qué fuerza F se requiere para que C empiece a ms ϭ 0.4. ¿Qué fuerza F se requiere para que C empiece a moverse
hacia arriba?
moverse hacia arriba?
C F 10Њ
C
FB
15Њ A
B
A
Problema 9.77 12Њ
Problema 9.78
9.3 Roscas
ANTECEDENTES
Las roscas resultan familiares debido a que se usan en tornillos para madera, en tor-
nillos de máquinas y en otros elementos de máquinas. En la figura 9.10a se muestra
un eje con roscas cuadradas. La distancia axial p de una rosca a la siguiente se llama
paso de la rosca, y el ángulo a es su pendiente. Se considerará sólo el caso en que el
eje tiene una sola rosca continua, donde la relación entre el paso y la pendiente es
tan a = p , (9.7)
2pr
donde r es el radio medio de la rosca.
F
aM
p
(b)
Figura 9.10
(a) Eje con rosca cuadrada.
(b) El eje dentro de un manguito con
ranura correspondiente. La dirección dL a
de M puede ocasionar que el eje
comience a moverse en la dirección r dR (c)
www.FreeLibros.orgaxialopuestaaF. (a) a us
(c) Elemento diferencial de la rosca
cuando el deslizamiento es inminente.
9.3 Roscas 453
Suponga que el eje roscado está dentro de un manguito fijo con una ranura
correspondiente y se somete a una fuerza axial F (figura 9.10b). La aplicación de
un par M en la dirección mostrada ocasionará que el eje empiece a girar y se mueva
en la dirección axial opuesta a F. El objetivo aquí consiste en determinar el par M
necesario para que el eje empiece a girar.
En la figura 9.10c se dibujó el diagrama de cuerpo libre de un elemento dife-
rencial de la rosca de longitud dL, representando con la fuerza dR la reacción ejer-
cida por la ranura correspondiente. Si el eje está a punto de girar, dR resiste el
movimiento inminente y el ángulo de fricción es el ángulo de fricción estática us.
La componente vertical de la reacción sobre el elemento es dR cos (us ϩ a). Para
determinar la fuerza vertical total sobre la rosca, se debe integrar esta expresión
sobre la longitud L de la rosca. Por equilibrio, el resultado debe ser igual a la fuerza
axial F que actúa sobre el eje.
cos1us + a2 dR = F. (9.8)
LL
El momento respecto al centro del eje debido a la reacción sobre el elemento es
r dR sen(us ϩ a). El momento total debe ser igual al par M ejercido sobre el eje:
r sen1us + a2 dR = M.
LL
Dividiendo esta ecuación entre la ecuación (9.8), se obtiene el par M necesario
para que el eje esté a punto de girar y moverse en la dirección axial opuesta a F:
M ϭ rF tan(us ϩ a). (9.9)
Sustituyendo el ángulo de fricción estática us en esta expresión por el ángulo de F
fricción cinética uk, se obtiene el par requerido para que el eje gire con velocidad M
constante.
Si el par M se aplica al eje en la dirección opuesta (figura 9.11a), el eje tien-
de a girar y moverse en la dirección axial de la carga F. En la figura 9.11b se mues-
tra la reacción sobre un elemento diferencial de la rosca de longitud dL cuando el
deslizamiento es inminente. La dirección de la reacción se opone al giro del eje.
Aquí, la componente vertical de la reacción sobre el elemento es dR cos(us Ϫ a).
Por equilibrio se requiere que
cos1us - a2 dR = F. (9.10)
LL
(a)
El momento respecto al centro del eje debido a la reacción es r dR sen(us Ϫ a),
por lo que
r sen1us - a2 dR = M.
LL
dL a
Dividiendo esta ecuación entre la ecuación (9.10) se obtiene el par M necesario
para que el eje esté a punto de girar y moverse en la dirección de la fuerza F: (b)
M ϭ rF tan(us Ϫ a). (9.11) dR
a
Sustituyendo us por uk en esta expresión, se obtiene el par necesario para que el eje us
gire con velocidad constante. Figura 9.11
Observe en la ecuación (9.11) que el par requerido para un movimiento inmi- (a) Dirección de M que puede causar que el
nente es igual a cero cuando us ϭ a. Cuando el ángulo de fricción es menor que
este valor, el eje girará y se moverá en la dirección de la fuerza F sin la aplicación
www.FreeLibros.orgdeningúnpar.
eje se mueva en la dirección axial de F.
(b) Elemento diferencial de la rosca cuando el
deslizamiento es inminente.
454 Capítulo 9 Fricción
RESULTADOS
F a
M
La pendiente a de la rosca se relaciona con su paso p y
p
el radio r por
p (9.7)
tan a ϭ 2pr .
r
M ϭ rF tan(us ϩ a). (9.9) Par M requerido para que la rotación y
M ϭ rF tan(us Ϫ a). (9.11) el movimiento axial del eje opuesto a
la dirección F sean inminentes, donde
us ϭ arctan ms.
Par M (opuesto a la dirección mostrada)
requerido para que la rotación y el mo-
vimiento axial del eje en la dirección de
F sean inminentes. Si us Ͻ a, el eje gi-
rará y se moverá en la dirección de F sin
la aplicación de ningún par.
Ejemplo activo 9.5 Rotación de un collarín roscado (᭤ Relacionado con el problema 9.79)
20 pulg 20 pulg El extremo derecho de la barra AB de la figura está conectado al collarín B sin rosca
A B que descansa sobre el collarín roscado C. El radio medio del eje vertical roscado
C es r ϭ 1.6 pulg y su paso es p ϭ 0.2 pulg. Los coeficientes de fricción entre las
roscas del collarín C y el eje vertical son ms ϭ 0.25 y mk ϭ 0.22. El objeto suspen-
dido de 400 lb puede subirse o bajarse haciendo girar el collarín C. Cuando el sis-
tema está en la posición mostrada, con la barra AB horizontal, ¿cuál es la magnitud
del par que debe aplicarse al collarín C para que empiece a girar a una velocidad
constante y el objeto suspendido se mueva hacia arriba?
Estrategia
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de la barra AB y el collarín B, es posible
determinar la fuerza axial ejercida sobre el collarín C. Luego se puede usar la
www.FreeLibros.orgecuación (9.9), remplazando us con uk, para determinar el par requerido.
9.3 Roscas 455
Solución Ax Ay B
F
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de 400 lb
la barra y el collarín B.
Aplique el equilibrio.
De la suma de momentos respecto al punto A,
⌺Mpunto A ϭ (40 pulg)F Ϫ (20 pulg)(400 lb) ϭ 0,
la fuerza F ϭ 200 lb. Ésta es la fuerza axial
ejercida sobre el collarín C.
F
C
De la ecuación (9.7)
tan a ϭ p ϭ 0.2 pulg ϭ 0.0199,
2pr 2p(1.6 pulg)
la pendiente de la rosca es a ϭ 1.14Њ. Aplique la
El ángulo de fricción cinética es ecuación (9.9).
uk ϭ arctan mk ϭ arctan(0.22) ϭ 12.4Њ.
Sustituyendo estos valores en la ecuación (9.9),
M ϭ rF tan(uk ϩ a)
ϭ (1.6 pulg)(200 lb) tan(12.4Њ ϩ 1.14Њ)
ϭ 77.1 pulg-lb.
Problema de práctica Cuando el sistema se encuentra en la posición mostrada, con
la barra AB horizontal, ¿cuál es la magnitud del par que debe aplicarse sobre el collarín
C para que éste empiece a girar con una velocidad constante y mueva el objeto suspen-
dido hacia abajo?
www.FreeLibros.orgRespuesta:63.8pulg-lb.
456 Capítulo 9 Fricción
Problemas
᭤ 9.79 En el ejemplo activo 9.5, suponga que el paso de la rosca 9.82 El paso del eje roscado de la abrazadera en C mostrada
se cambia de p ϭ 0.2 pulg a p ϭ 0.24 pulg. ¿Cuál es la pendiente es p ϭ 0.05 pulg, y el radio medio de la rosca es r ϭ 0.15 pulg.
de la rosca? ¿Cuál es la magnitud del par que debe aplicarse al Los coeficientes de fricción entre el eje roscado y el collarín
collarín C para ocasionar que éste gire a una velocidad constante correspondiente son ms ϭ 0.18 y mk ϭ 0.16.
y mueva el objeto suspendido hacia arriba? a) ¿Cuál es el par máximo que debe aplicarse sobre el eje para
ejercer una fuerza de 30 lb sobre el objeto sujeto?
9.80 El paso de la rosca es p ϭ 2 mm y el radio medio de la
rosca es r ϭ 20 mm. Los coeficientes de fricción entre la rosca y b) Si se ejerce una fuerza de 30 lb sobre el objeto sujeto, ¿cuál
la ranura correspondiente son ms ϭ 0.22 y mk ϭ 0.20. El peso es el par que debe aplicarse sobre el eje para empezar a aflojar
W ϭ 500 N. Ignore el peso del eje roscado. ¿Qué par debe la abrazadera?
aplicarse al eje para bajar el peso a velocidad constante?
W
Problema 9.82
C
Problema 9.80 9.83 La masa del bloque A es de 60 kg. Ignore el peso de la cuña
de 5°. El coeficiente de fricción cinética entre las superficies en
9.81 La posición de la viga horizontal se puede ajustar haciendo contacto del bloque A, la cuña, la mesa y la pared es mk ϭ 0.4.
girar el tornillo A. Ignore el peso de la viga. El paso del tornillo El paso del eje roscado es de 5 mm, el radio medio de la rosca es
es p ϭ 1 mm y el radio medio de la rosca es r ϭ 4 mm. Los coefi- de 15 mm y el coeficiente de fricción cinética entre la rosca y la
cientes de fricción entre la rosca y la ranura correspondiente son ranura correspondiente es de 0.2. ¿Qué par debe ejercerse sobre
ms ϭ 0.20 y mk ϭ 0.18. Si el sistema está inicialmente en reposo, el eje roscado para elevar el bloque A con velocidad constante?
determine el par que se debe aplicar al tornillo para que la viga
empiece a moverse a) hacia arriba o b) hacia abajo.
A
400 N
5Њ
A
100 mm 300 mm Problema 9.83
Problema 9.81
www.FreeLibros.org
Problemas 457
9.84 La prensa de tornillo mostrada ejerce fuerzas de 80 lb sobre 9.88 El gato de automóvil mostrado en la figura funciona haciendo
A. Los ejes roscados están sometidos sólo a cargas axiales por las girar el eje horizontal roscado en A. El eje embona dentro de un
mordazas de la prensa. El paso de sus roscas es p ϭ 1͞8 pulg, el collarín correspondiente en B. Conforme el eje gira, los puntos A y B
radio medio de las roscas es r ϭ 1 pulg y el coeficiente de fricción se acercan o se alejan, causando que el gato se mueva hacia arriba o
estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.2. hacia abajo. El paso del eje roscado es p ϭ 0.1 pulg, el radio medio
Suponga que se quiere aflojar la prensa haciendo girar uno de los de la rosca es r ϭ 0.2 pulg y el coeficiente de fricción cinética
ejes. Determine el par que se debe aplicar (a) al eje B; (b) al eje C. entre la rosca y el collarín correspondiente en B es 0.15. ¿Qué par
debe aplicarse en A para que el eje gire a velocidad constante y
9.85 Suponga que se quiere apretar la prensa del problema 9.84 eleve el gato cuando éste se halla en la posición mostrada y la
haciendo girar uno de los ejes. Determine el par que se debe aplicar carga L ϭ 1400 lb?
a) al tornillo B;
b) al tornillo C. 9.89 El gato de automóvil mostrado en la figura funciona haciendo
girar el eje horizontal roscado en A. El eje embona dentro de un
A collarín correspondiente en B. Conforme el eje gira, los puntos A y B
se acercan o se alejan, causando que el gato se mueva hacia arriba o
4 pulg hacia abajo. El paso del eje roscado es p ϭ 0.1 pulg, el radio medio
de la rosca es r ϭ 0.2 pulg y el coeficiente de fricción cinética
B entre la rosca y el collarín correspondiente en B es 0.15. ¿Qué par
4 pulg debe aplicarse en A para que el eje gire a velocidad constante y
baje el gato cuando éste se halla en la posición mostrada y la
carga L ϭ 1400 lb?
C
Problemas 9.84/9.85 L
9.86 El eje roscado de la figura tiene un soporte de bola y cuenca
en B. La carga A de 400 lb puede subirse o bajarse haciendo girar
el eje, lo cual ocasiona que el collarín roscado en C se mueva con
respecto al eje. Ignore los pesos de los elementos. El paso del eje
es p ϭ –14 pulg, el radio medio de la rosca es r ϭ 1 pulg y el coefi-
ciente de fricción estática entre la rosca y la ranura correspondiente
es 0.24. Si el sistema está en reposo en la posición mostrada, ¿qué
par se requiere para que el tornillo gire y eleve la carga?
9.87 En el problema 9.86, si el sistema está en reposo en la
posición mostrada, ¿qué par se necesita para que el tornillo
empiece a girar y baje la carga?
9 pulg C 3 pulg B A
12 pulg 3 pulg
B A
5 pulg
Problemas 9.88/9.89
www.FreeLibros.orgProblemas9.86/9.879 pulg 9 pulg18 pulg
458 Capítulo 9 Fricción
9.90 Un templador como el mostrado en la figura se usa para 9.94 Los elementos CD y DG de la armadura mostrada tienen
ajustar la tensión en una barra o cable y está roscado en ambos templadores. (Vea el problema 9.90). El paso de las roscas es
extremos. Al hacer girar el templador los extremos roscados se p ϭ 4 mm, su radio medio es r ϭ 10 mm y el coeficiente de
acercan o se alejan uno del otro. Suponga que el paso de las fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes
roscas es p ϭ 0.05 pulg, su radio medio es r ϭ 0.25 pulg y el es 0.18. ¿Qué par debe aplicarse al templador del elemento CD
coeficiente de fricción estática entre las roscas y las ranuras para que empiece a aflojar?
correspondientes es 0.24. Si T ϭ 200 lb, ¿qué par debe ejercerse
sobre el templador para que éste empiece a apretar? 9.95 En el problema 9.94, ¿qué par debe aplicarse sobre el
templador del elemento DG para que empiece a aflojar?
9.91 Suponga que el paso de las roscas del templador mostrado
es p ϭ 0.05 pulg, su radio medio es r ϭ 0.25 pulg y el coeficiente CEG
de fricción estática entre las roscas y las ranuras correspondientes
es 0.24. Si T ϭ 200 lb, ¿qué par debe ejercerse sobre el templador 2m
para que éste empiece a aflojar?
A H
BDF
T 2 kN
T 4 kN
Problemas 9.90/9.91 2m 2m 2m 2m
Problemas 9.94/9.95
9.92 El elemento BE del bastidor mostrado tiene un templador. 9.96* La carga W ϭ 800 N puede subirse o bajarse haciendo
(Vea el Problema 9.90). Las roscas tienen un paso p ϭ 1 mm, el girar el eje roscado que se muestra en la figura. Las distancias son
radio medio de las roscas es r ϭ 6 mm y el coeficiente de fricción b ϭ 75 mm y h ϭ 200 mm. Las barras de pasador tienen cada una
estática entre las roscas y las ranuras correspondientes es 0.2. 300 mm de longitud. El paso del eje roscado es p ϭ 5 mm, el
¿Qué par debe aplicarse al templador para que empiece a aflojar? radio medio de la rosca es r ϭ 15 mm y el coeficiente de fricción
cinética entre la rosca y la ranura correspondiente es 0.2. Cuando
9.93 En el problema 9.92, ¿qué par debe ejercerse sobre el el sistema está en la posición mostrada, ¿qué par debe aplicarse
templador para que empiece a apretar? para que el tornillo gire a velocidad constante y la carga se eleve?
0.4 m 1.0 m 600 N b
AB C W
0.5 m h
D E F
0.8 m 0.4 m
Problemas 9.92/9.93
www.FreeLibros.orgProblema9.96
9.4 Cojinetes 459
M MM
F F rF r F us
F
a R us
a r senus
(f)
(a) (b) (c) (d) (e)
Figura 9.12
(a) Flecha soportada por chumaceras.
(b) Polea soportada por la flecha.
(c) La flecha y la chumacera cuando no se aplica ningún par sobre la flecha.
(d) Un par ocasiona que la flecha ruede dentro de la chumacera.
(e) Diagrama de cuerpo libre de la flecha.
(f) Las dos fuerzas sobre la flecha deben ser iguales y opuestas.
9.4 Cojinetes
ANTECEDENTES (a)
Rueda
Un cojinete es un soporte. Este término se refiere generalmente a soportes dise-
ñados para permitir que el objeto soportado se mueva. Por ejemplo, en la figura
9.12a una flecha horizontal está soportada por dos cojinetes especiales llamados
chumaceras que permiten que la flecha gire. La flecha puede entonces soportar
una carga perpendicular a su eje, como en el caso de una carga sujeta por una
polea (figura 9.12b).
Aquí se analizarán chumaceras que consisten en ménsulas con agujeros a
través de los cuales pasa la flecha. El radio de la flecha es ligeramente menor que
el de los agujeros de las chumaceras. El objetivo es determinar el par que se debe
aplicar a la flecha para que gire en las chumaceras. Sea F la carga total soportada
por la flecha, incluido el peso de ésta. Cuando no se aplica ningún par sobre la
flecha, la fuerza F presiona las chumaceras como muestra la figura 9.12c. Cuando
se ejerce un par M sobre la flecha, ésta rueda sobre las superficies de las chuma-
ceras (figura 9.12d). El término a es el ángulo entre el punto original de contacto
de la flecha y su punto de contacto cuando se aplica M.
En la figura 9.12e se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la flecha cuando
M es lo bastante grande para que el deslizamiento sea inminente. La fuerza R es la
reacción total ejercida por las dos chumaceras. Como R y F son las únicas fuerzas
que actúan sobre la flecha, el equilibrio requiere que a ϭ us y R ϭ F (figura 9.12f).
La reacción ejercida sobre la flecha por las chumaceras se desplaza una distancia
r sen us, desde la línea vertical que pasa por el centro de la flecha. Al sumar momen-
tos respecto al centro de la flecha, se obtiene el par M que hace que la flecha esté
a punto de deslizarse:
M ϭ rF sen us. (9.12)
Éste es el máximo par que puede ejercerse sobre la flecha sin que ésta empiece a (b)
girar. Al reemplazar us en esta expresión por el ángulo de fricción cinética uk, se Figura 9.13
obtiene el par necesario para que la flecha gire con velocidad constante.
(a) Chumacera con una hilera de baleros.
El tipo de chumacera que se ha descrito es muy primitiva para la mayoría de (b) Ensamble de la chumacera de la rueda de
las aplicaciones. Las superficies donde la flecha y la chumacera están en contacto
se desgastarían rápidamente. Por lo general, los diseñadores incorporan “baleros”
www.FreeLibros.orgo “rodillos” en las chumaceras para minimizar la fricción (figura 9.13).
un automóvil. Hay dos hileras de baleros
entre la rueda giratoria y el cilindro
interior fijo.
460 Capítulo 9 Fricción
RESULTADOS
Una chumacera tiene un orificio circular un poco
más grande que la flecha circular que soporta.
El par M que debe aplicarse para que el desliza- M
miento sea inminente respecto a la chumacera es F
M ϭ rF senus, (9.12)
donde r es el radio del eje, F es la carga lateral so-
portada por la flecha, y us ϭ arctan ms.
Ejemplo activo 9.6 Polea soportada por chumaceras (᭤ Relacionado con el problema 9.97)
El peso de la carga mostrada en la figura es W ϭ 1000 lb. La polea P tiene un radio
de 6 pulg y está rígidamente unida a un eje horizontal circular soportado por chu-
maceras. El radio del eje es de 0.5 pulg y el coeficiente de fricción cinética entre el
eje y la chumacera es mk ϭ 0.2. Los pesos de la polea y el eje son insignificantes.
¿Qué tensión debe ejercer el cabrestante A sobre el cable para elevar la carga a ve-
locidad constante?
P 45Њ
W
A
Estrategia
La ecuación (9.12) con us reemplazada por uk relaciona el par M requerido para
que la polea gire a velocidad constante con la fuerza lateral F soportada por el eje.
Expresando M y F en términos de las fuerzas ejercidas sobre la polea por el cable
y aplicando la ecuación (9.12), es posible obtener una ecuación para la tensión que
www.FreeLibros.orgdebe ejercer el cabrestante.
Solución 6 pulg 9.4 Cojinetes 461
W
Fuerzas ejercidas por el cable sobre la polea. La fuerza 45Њ
T es la tensión ejercida por el cabrestante. T
45Њ
T
W
F
F ϭ (W ϩ T sen 45Њ)2 ϩ (T cos 45Њ)2. La suma vectorial de las fuerzas ejerci-
das por el cable sobre la polea es la fuer-
za lateral F que debe soportar el eje de
la polea. La magnitud de F puede ex-
presarse en términos de W y T.
M ϭ (6 pulg)(T Ϫ W). La polea se mueve en dirección a la de las
manecillas del reloj. Exprese el par en el
sentido de las manecillas del reloj sobre
la polea en términos de T y W.
El ángulo de fricción cinética es Aplique la
uk ϭ arctan mk ϭ arctan(0.2) ϭ 11.3Њ. ecuación (9.12).
La ecuación (9.12) es
M ϭ rF sen uk:
(6 pulg)(T Ϫ W) ϭ (0.5 pulg) (W ϩ T sen 45Њ)2 ϩ (T cos 45Њ)2 sen11.3Њ.
Estableciendo W ϭ 1000 lb y resolviendo se obtiene
T ϭ 1030 lb.
Problema de práctica ¿Cuál es la tensión que debe ejercer el cabrestante A sobre
el cable para bajar la carga a velocidad constante?
www.FreeLibros.orgRespuesta:Tϭ970lb.
462 Capítulo 9 Fricción
Problemas
᭤ 9.97 En el ejemplo activo 9.6, suponga que la colocación del 9.102 La polea de 8 pulg de radio está montada sobre un eje de
cabrestante en A se cambia de manera que el ángulo entre el cable 1 pulg de radio. El eje está soportado por dos chumaceras. El
que va de A a P y la horizontal aumenta de 45° a 60°. Si la carga coeficiente de fricción estática entre las chumaceras y el eje es
suspendida pesa 1500 lb, ¿qué tensión debe ejercer el cabrestante ms ϭ 0.15. Ignore los pesos de la polea y del eje. El bloque A
sobre el cable para elevar la carga a una velocidad constante? de 50 lb de peso descansa sobre el piso. Si se agrega lentamente
arena a la cubeta B, ¿qué peso tiene la cubeta junto con la arena
9.98 El radio de la polea mostrada es 4 pulg. La polea está unida cuando el eje se desliza en las chumaceras?
rígidamente a un eje horizontal, el cual está soportado por dos
chumaceras. El radio del eje es 1 pulg, y el peso combinado de la 8 pulg
polea y el eje es de 20 lb. Los coeficientes de fricción entre el eje
y las chumaceras son ms ϭ 0.30 y mk ϭ 0.28. Determine el peso
máximo W que puede suspenderse como se muestra, sin causar
que el eje en reposo se deslice en las chumaceras.
9.99 En el problema 9.98, suponga que el peso W ϭ 4 lb. ¿Qué
par debería aplicarse al eje horizontal para elevar el peso a una
velocidad constante?
B
A
W Problema 9.102
Problemas 9.98/9.99
9.100 La polea que se muestra en la figura está montada sobre 9.103 La polea de 50 mm de radio está montada sobre un eje
un eje horizontal soportado por chumaceras. El coeficiente de de 10 mm de radio. El eje está soportado por dos chumaceras. La
fricción cinética entre el eje y las chumaceras es mk ϭ 0.3. El masa del bloque A es de 8 kg. Ignore los pesos de la polea y del
radio del eje es de 20 mm y el radio de la polea es de 150 mm. eje. Si se necesita una fuerza T ϭ 84 N para levantar el bloque A
La masa m ϭ 10 kg. Ignore las masas de la polea y del eje. ¿Qué a velocidad constante, ¿cuál es el coeficiente de fricción cinética
fuerza T debe aplicarse al cable para mover la masa hacia arriba entre el eje y las chumaceras?
a velocidad constante?
9.101 En el problema 9.100, ¿qué fuerza T debe aplicarse al 50 mm 20Њ
cable para que la masa descienda a velocidad constante?
10 mm T
A
Problema 9.103
m
T
www.FreeLibros.orgProblemas 9.100/9.101
Problemas 463
9.104 La masa del objeto suspendido que se muestra en la figura 9.108 Las dos poleas tienen radios de 4 pulg y están montadas
es de 4 kg. La polea tiene un radio de 100 mm y se encuentra rígida- sobre ejes de 1 pulg de radio soportados por chumaceras. Ignore
mente unido a un eje horizontal soportado por chumaceras. El radio los pesos de las poleas y los ejes. La tensión en el resorte es de
del eje horizontal es 10 mm y el coeficiente de fricción cinética entre 40 lb. El coeficiente de fricción cinética entre los ejes y las chu-
el eje y las chumaceras es 0.26. ¿Qué tensión debe ejercer la persona maceras es mk ϭ 0.3. ¿Qué par M se requiere para hacer girar la
sobre la cuerda para elevar la carga a una velocidad constante? polea izquierda a velocidad constante?
9.105 En el problema 9.104, ¿qué tensión debe ejercer la persona M
sobre la cuerda para bajar la carga a una velocidad constante? 4 pulg
25Њ Problema 9.108
100 mm 9.109 Los pesos de las cajas mostradas son wA ϭ 65 lb y
WB ϭ 130 lb. El coeficiente de fricción estática entre las cajas
Problemas 9.104/9.105 A y B y entre la caja B y el piso es 0.12. La polea tiene un radio
de 4 pulg y está montada sobre un eje con radio de 0.8 pulg. El
coeficiente de fricción estática entre la polea y el eje es 0.16.
¿Cuál es la máxima fuerza F con la que las cajas no se deslizarán?
9.106 La polea mostrada tiene un radio de 200 mm, y está mon- F
tada sobre un eje con radio de 20 mm. El coeficiente de fricción A 20Њ
estática entre la polea y el eje es ms ϭ 0.18. Si FA ϭ 200 N, ¿cuál
es la fuerza máxima FB que puede aplicarse sin ocasionar que la
polea gire? Ignore el peso de la polea.
y B
FB
40Њ
Problema 9.109
FA 9.110 El coeficiente de fricción estática entre la caja de 100 kg
y la superficie inclinada es 0.35. Cada polea tiene un radio de
x 100 mm y está montada sobre un eje de 5 mm soportado por
chumaceras. El coeficiente de fricción cinética entre los ejes y
Problema 9.106 las chumaceras es 0.18. Determine la tensión T necesaria para
jalar la caja hacia arriba sobre la superficie a velocidad constante.
9.107 Las masas de las cajas mostradas son mA ϭ 15 kg y
mB ϭ 60 kg. El coeficiente de fricción estática entre las cajas A T
y B y entre la caja B y la superficie inclinada es 0.12. La polea
tiene un radio de 60 mm y está montado sobre un eje con radio
de 10 mm. El coeficiente de fricción estática entre la polea y el
eje es 0.16. ¿Cuál es la máxima fuerza F con la que las cajas no
se deslizarán?
A 60Њ
F
B
20Њ
www.FreeLibros.orgProblema9.107 Problema 9.110
464 Capítulo 9 Fricción
9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues
ANTECEDENTES
Un cojinete de empuje axial soporta un eje giratorio sometido a una carga axial. En
el tipo mostrado en las figuras 9.14a y b, el extremo cónico de la flecha es presio-
nado contra la cavidad cónica correspondiente por una carga axial F. A continua-
ción se determinará el par M necesario para hacer girar la flecha.
El elemento diferencial de área dA de la figura 9.14c es
dA = 2pr ds = 2pra dr b.
cos a
Integrando esta expresión de r ϭ ri a r ϭ r0 se obtiene el área de contacto:
A = p1ro2 - r i22.
cos a
Si se supone que la superficie correspondiente ejerce una presión p uniforme, la
componente axial de la fuerza total debida a p debe ser igual a F: pA cos a ϭ F.
Por lo tanto, la presión es
p FF r 2i 2.
= A cos a = 2
o
p1r -
Conforme el eje gira alrededor de su eje, el momento respecto al eje debido a la
fuerza de fricción sobre el elemento dA es rmk(p dA). El momento total es
ro F 2pr drc
M= LAmkrp dA = mkr r 2i 2 d a b.
Lri p1r 2 cos a
o -
Integrando, se obtiene el par M necesario para hacer girar la flecha a velocidad
constante:
M 2mkF a r 3 - r 3 b . (9.13)
3 cos a o - r i
= 2
2 i
r o
ri a ro M
F
(a) (b)
dr ro M
ds
F
a
ri r
dA
Figura 9.14
(a), (b) Un cojinete de empuje axial soporta a
un eje sometido a una carga axial. p
(c) El elemento diferencial dA y la presión (c)
www.FreeLibros.orguniforme p ejercida por la cavidad.
9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues 465
F F
r M
M
(a) (b)
Figura 9.15
Cojinete de empuje axial que soporta un eje de extremos planos.
En las figuras 9.15a y b se muestra un cojinete de empuje más sencillo. La F
ménsula soporta el extremo plano de un eje de radio r que está sometido a una
carga axial F. El par necesario para hacer girar la flecha a velocidad constante se
puede obtener con la ecuación (9.13) haciendo a ϭ 0, ri ϭ 0 y ro ϭ r:
2 (9.14)
M = 3 mkFr.
Aunque estos cojinetes de empuje son buenos ejemplos del análisis de las Rodillos
fuerzas de fricción, se desgastarían muy rápidamente usándolos en la mayoría de
las aplicaciones. El diseñador del cojinete de empuje axial de la figura 9.16 mini- Figura 9.16
miza la fricción incorporando “rodillos” al diseño. Cojinete de empuje axial con dos hileras de
rodillos cilíndricos entre el eje y el soporte
Un embrague es un dispositivo usado para conectar y desconectar dos ejes fijo.
coaxiales en rotación. El tipo mostrado en las figuras 9.17a y b consiste en discos
de radio r unidos a los extremos de flechas. Cuando los discos se separan (figura
9.17a), el embrague está desacoplado y las flechas pueden girar libremente una
respecto a la otra. Cuando el embrague está acoplado, oprimiéndose los discos uno
contra el otro con fuerzas F (figura 9.17b), los ejes pueden soportar un par M debi-
do a las fuerzas de fricción entre los discos. Si el par M es muy grande, el embra-
gue se desliza.
Las fuerzas de fricción ejercidas sobre una cara del embrague por la otra cara
son idénticas a las fuerzas de fricción ejercidas por el la ménsula de la figura 9.15
sobre el extremo plano de un eje. Por lo tanto, es posible determinar el máximo par
que el embrague puede soportar sin deslizamiento, al reemplazar mk por ms en la
ecuación (9.14):
2 (9.15)
M = 3 msFr.
F r
M M
Figura 9.17
F Embrague.
(a) Posición desacoplada.
www.FreeLibros.org(a) (b) (b) Posiciónacoplada.
466 Capítulo 9 Fricción
RESULTADOS
a ro M
ri F
2mkF ro3 Ϫ r3i Par requerido para hacer girar un eje soportado por
3 cos a ro2 Ϫ r2i un cojinete de empuje axial, en términos de la fuerza
M ϭ . (9.13) axial aplicada al eje.
F F
r M
M
M ϭ 2 mkFr. (9.14) Par requerido para hacer girar un eje de extremos
3 planos soportado por un cojinete de empuje axial,
en términos de la fuerza axial aplicada al eje.
F r
M M
F
Par requerido para que el deslizamiento de un embra-
M ϭ 2 msFr.
www.FreeLibros.org3
(9.15) gue sea inminente, en términos de la fuerza axial apli-
cada al embrague.
9.5 Cojinetes de empuje axial y embragues 467
Ejemplo activo 9.7 Cojinete de empuje axial (᭤ Relacionado con el problema 9.111)
La fuerza axial sobre el cojinete de empuje mostrado es F ϭ 200 lb. Los diáme-
tros Do ϭ 3 –1 pulg y Di ϭ 1 pulg, y el ángulo a ϭ 72°. El coeficiente de fricción
2
cinética es mk ϭ 0.18. ¿Qué par se requiere para hacer girar el eje a una velocidad
constante?
Di Do
aF
Estrategia
El par está dado por la ecuación (9.13).
Solución
Los radios ro ϭ 1.75 pulg y ri ϭ 0.5 pulg.
2mkF r3o Ϫ r3i
3 cos a r2o Ϫ r2i
M ϭ
(1.75 pulg)3 Ϫ (0.5 pulg)3 Aplique la
(1.75 pulg)2 Ϫ (0.5 pulg)2 ecuación (9.13).
2(0.18)(200 lb)
΄ ΅ϭ 3 cos 72Њ
ϭ 145 pulg-lb.
Problema de práctica La fuerza axial sobre el cojinete de empuje mostrado es
F ϭ 200 lb. Los diámetros Do ϭ 3 –12 pulg y Di ϭ 1 pulg, y la dimensión b ϭ 5 pulg.
El coeficiente de fricción cinética es mk ϭ 0.18. ¿Qué par se requiere para hacer
girar el eje a una velocidad constante?
Di Do
aF
b
www.FreeLibros.orgRespuesta:Mϭ184pulg-lb.
468 Capítulo 9 Fricción
Ejemplo 9.8 Fricción en una lijadora de disco (᭤ Relacionado con el problema 9.118)
La lijadora manual de la figura tiene un disco giratorio D de 4 pulg de radio, con
papel de lija unido a ella. La fuerza total hacia abajo ejercida por el operador y el
peso de la lijadora suman 15 lb. El coeficiente de fricción cinética entre la lija y la
superficie es mk ϭ 0.6. ¿Qué par (de torsión) M debe ejercer el motor para hacer girar
la lijadora a velocidad constante?
Estrategia
D Cuando el disco D gira, se somete a fuerzas de fricción análogas a las fuerzas de
fricción ejercidas por un cojinete de empuje sobre un eje de extremos planos. El
par requerido para hacer girar el disco D a velocidad constante puede determinarse
mediante la ecuación (9.14).
Solución
El par requerido para hacer girar el disco a velocidad constante es
22
M = 3 mkrF = 3 10.6214 pulg2115 lb2 = 24 pulg-lb.
Razonamiento crítico
Las ecuaciones (9.13) a (9.15) se obtuvieron bajo el supuesto de que la fuerza
normal (y en consecuencia la fuerza de fricción) está distribuida de manera uni-
forme sobre las superficies en contacto. La evaluación y la mejora sobre este su-
puesto requerirían análisis de las deformaciones de las superficies en contacto en
aplicaciones específicas como la lijadora de disco de este ejemplo.
Problemas
᭤ 9.111 En el ejemplo activo 9.7, suponga que los diámetros 9.113 El eje circular de extremos planos que se muestra en la fi-
Do ϭ 3 –12 pulg y Di ϭ 1 –12 pulg y el ángulo a ϭ 72°. ¿Qué par gura se presiona dentro del cojinete de empuje mediante una carga
se requiere para hacer girar al eje a una velocidad constante? axial de 600 lb. El peso del eje es insignificante. Los coeficientes
de fricción entre el extremo del eje y el cojinete son ms ϭ 0.20 y
9.112 El eje circular de extremos planos que se muestra en la fi- mk ϭ 0.15. ¿Qué par M se requiere para hacer girar el eje a velo-
gura se presiona dentro del cojinete de empuje mediante una carga cidad constante?
axial de 600 lb. El peso del eje es insignificante. Los coeficientes
de fricción entre el extremo del eje y el cojinete son ms ϭ 0.20 y 600 lb
mk ϭ 0.15. ¿Cuál es el máximo par M que se puede aplicar al eje
en reposo sin ocasionar que el cojinete gire? 2 pulg
M
www.FreeLibros.orgProblemas 9.112/9.113
Problemas 469
9.114 El disco D mostrado está rígidamente unido al eje vertical. 9.117 Un motor hace girar un tornillo revolvedor que mezcla
El eje tiene extremos planos soportados por cojinetes de empuje. El productos químicos. El eje del motor está acoplado al tornillo por
disco y el eje pesan juntos 220 kg y el eje tiene 50 mm de diámetro. medio de un embrague de fricción del tipo mostrado de la figura
La fuerza vertical del cojinete superior en el extremo del eje es 9.17. El radio de los discos del embrague es de 120 mm y el coefi-
de 440 N. El coeficiente de fricción cinética entre los extremos ciente de fricción estática entre ellos es de 0.6. Si el motor trans-
del eje y los cojinetes es de 0.25. ¿Qué par M se requiere para hacer mite un par máximo de 15 N-m al tornillo, ¿qué fuerza normal
girar el eje a velocidad constante? mínima entre las placas del embrague se necesita para impedir el
deslizamiento?
9.115 Suponga que los extremos del eje del problema 9.114 están Embrague
soportados por cojinetes de empuje como los de la figura 9.14,
donde ro ϭ 25 mm, ri ϭ 6 mm, a ϭ 45° y mk ϭ 0.25. ¿Qué par M Tornillo
se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante?
M Problema 9.117
D
M ᭤ 9.118 El cojinete de empuje axial de la figura está soportado
D
por el contacto del collarín C con una placa fija. El área de con-
tacto es un anillo con diámetro interior D1 ϭ 40 mm y diámetro
exterior D2 ϭ 120 mm. El coeficiente de fricción cinética entre
el collarín y la placa es mk ϭ 0.3. La fuerza F ϭ 400 N. ¿Qué
par M se requiere para hacer girar el eje a velocidad constante?
(Vea el ejemplo 9.8).
Problemas 9.114/9.115 FF
9.116 El eje de la figura está soportado por cojinetes de empuje M M
axial que lo someten a una carga axial de 800 N. Los coeficientes C C
de fricción cinética entre el eje y los cojinetes izquierdo y derecho
son 0.20 y 0.26, respectivamente. ¿Qué par se requiere para hacer
girar el eje a velocidad constante?
D1
D2
Problema 9.118
15 mm
38 mm
38
mm
Problema 9.116
www.FreeLibros.org
470 Capítulo 9 Fricción
9.119 Un diseño experimental de freno de automóvil funciona 9.121 El coeficiente de fricción estática entre los discos del
oprimiendo la placa anular fija (en azul) que se muestra en la embrague de un automóvil es 0.8. Si los discos se oprimen con
figura contra la rueda giratoria. Si mk ϭ 0.6, ¿qué fuerza F debe una fuerza F ϭ 2.60 kN, ¿cuál es el par de torsión máximo que
presionar la placa contra la rueda para ejercer sobre ésta un par el embrague puede soportar sin deslizarse?
de 200 N-m?
9.120 Un diseño experimental de freno de automóvil funciona 75 mm
oprimiendo la placa anular fija (en azul) que se muestra en la 150 mm
figura contra la rueda giratoria. Suponga que mk ϭ 0.65 y que
la fuerza que oprime la placa contra la rueda es F ϭ 2 kN. F
Problema 9.121
a) ¿Qué par se ejerce sobre la rueda?
b) ¿Qué porcentaje de incremento se obtiene en el par ejercido
sobre la rueda si el radio exterior del freno se incrementa de
90 mm a 100 mm?
F 9.122* El “cono Morse” mostrado se usa para sostener la
pieza de trabajo sobre el cabezal del torno. El cono se empuja
50 mm 90 mm
dentro del husillo y se mantiene en su posición debido a la fricción.
Si el husillo ejerce una presión uniforme p ϭ 15 psi sobre el cono
y ms ϭ 0.2, ¿qué par se debe ejercer respecto al eje del cono para
aflojarlo?
Husillo Cono
Problemas 9.119/9.120 1.25 pulg
2 pulg
9 pulg
Problema 9.122
www.FreeLibros.org
9.6 Fricción en bandas 471
9.6 Fricción en bandas
ANTECEDENTES T2 T1
Si una cuerda se enrolla alrededor de un poste fijo como muestra la figura 9.18, Figura 9.18
una gran fuerza T2 ejercida en un extremo de la cuerda puede ser soportada por una Cuerda enrollada alrededor de un poste.
fuerza T1 relativamente pequeña en el otro extremo. En esta sección se analiza este
fenómeno común, conocido como fricción en bandas porque se puede usar un pro-
cedimiento similar para analizar las bandas utilizadas en maquinarias, como las que
impulsan los alternadores y otros dispositivos de un automóvil.
Considere una cuerda enrollada alrededor de un cilindro fijo en un ángulo b
(figura 9.19a). Se supondrá que la tensión T1 se conoce. El objetivo aquí es deter-
minar la máxima fuerza T2 que se puede aplicar al otro extremo de la cuerda sin
que ésta se deslice.
Se inicia dibujando el diagrama de cuerpo libre de un elemento de la cuerda
cuyos límites son los ángulos a y a ϩ ¢a, desde el punto en que la cuerda entra en
contacto con el cilindro (figuras 9.19b y c). La fuerza T es la tensión en la cuerda
en la posición definida por el ángulo a. Se sabe que la tensión en la cuerda varía
con la posición, porque crece de T1 en a ϭ 0 a T2 en a ϭ b. Por lo tanto, se escribe
la tensión en la cuerda en la posición a ϩ ¢a como T ϩ ¢T. La fuerza ¢N es la
fuerza normal ejercida por el cilindro sobre el elemento. Como se desea determinar
el valor máximo de T2 que no ocasionará que la cuerda se deslice, se supone que la
fuerza de fricción es igual a su valor máximo posible ms¢N, donde ms es el coefi-
ciente de fricción estática entre la cuerda y el cilindro.
Las ecuaciones de equilibrio en las direcciones tangencial y normal a la línea
central de la cuerda son
©Ftangencial = ms¢N + T cos a ¢a b - 1T + ¢T2 cos a ¢a b = 0,
2 2
(9.16)
©Fnormal = ¢N - 1T + ¢T2 sen a ¢a b - T sen a ¢a b = 0.
2 2
Al eliminar ¢N, es posible escribir la ecuación resultante como
c cos a ¢a b - ms sen a ¢a b d ¢T - sen1¢a>22 = 0.
2 2 ¢a msT ¢a>2
⌬a
a
b
T ϩ ⌬T
T
ms⌬N
⌬N
T2 T1 T2 T1 ⌬a
(a) (b) (c)
Figura 9.19
(a) Cuerda enrollada alrededor de un cilindro fijo.
(b) Elemento diferencial con límites en los ángulos a y a ϩ ¢a.
www.FreeLibros.org(c) Diagramadecuerpolibredelelemento.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 655
Pages: