Mecanica.para.ingenieria.estatica.5ed.Bedford.Fowler-FREELIBROS.ORG

Problemas de repaso 79

2.160 La componente z del vector de fuerza F es de 80 lb. a) Ex- 2.164 La magnitud de la fuerza vertical W es de 160 N.
prese F en términos de sus componentes. b) ¿Cuáles son los ángu-
los ux, uy y uz entre F y los ejes coordenados positivos? Los cosenos directores del vector de posición de A a B son

y cos ux ϭ 0.500, cos uy ϭ 0.866 y cos uz ϭ 0, y los cosenos
directores del vector de posición de B a C son cos ux ϭ 0.707,
cos uy ϭ 0.619 y cos uz ϭ Ϫ0.342. El punto G es el punto medio
de la línea de B a C. Determine el vector rAG ϫ W, donde rAG es
el vector de posición de A a G.

F

O 20Њ x y 600 mm C
60Њ A G

BW

z 600 mm
Problema 2.160

2.161 La magnitud del vector de fuerza FB es de 2 kN. Expréselo A
en función de sus componentes escalares.
z x
2.162 La magnitud del vector de fuerza vertical F es de 6 kN.
Determine las componentes vectoriales de F paralela y normal a la
línea que va de B a D.

2.163 La magnitud del vector de fuerza vertical F es de 6 kN. Problema 2.164
Dado que F ϩ FA ϩ FB ϩ FC ϭ 0, ¿cuáles son las magnitudes de
FA, FB y FC? 2.165 La cuerda CE ejerce una fuerza T de 500 N sobre la puer-
ta con bisagras que se muestra en la figura.
y a) Exprese T en términos de sus componentes.
F b) Determine la componente vectorial de T que es paralela a la
línea que va del punto A al punto B.
D (4, 3, 1) m
2.166 En el problema 2.165, sea rBC el vector de posición del
FA FC punto B al punto C. Determine el producto cruz rBC ϫ T.
FB
E
A (0.2, 0.4, Ϫ0.1) m

zC y
x

(6, 0, 0) m
B (5, 0, 3) m

Problemas 2.161–2.163

T D

C
(0, 0.2, 0) m

A (0.5, 0, 0) m x

B
(0.35, 0, 0.2) m

www.FreeLibros.orgz
Problemas 2.165/2.166

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CAPÍTULO

3

Fuerzas

En el capítulo 2 se representaron fuerzas con vectores y se usó la
adición vectorial para sumarlas. En este capítulo se analizarán
con mayor detalle las fuerzas y se presentarán dos de los con-
ceptos más importantes de la mecánica: el equilibrio y el diagra-
ma de cuerpo libre. Se usarán los diagramas de cuerpo libre para
identificar las fuerzas sobre cuerpos y se empleará el equilibrio
para determinar fuerzas desconocidas.

᭣ Las fuerzas debidas al peso del puente se transfieren a las torres verticales
de soporte mediante cables. En este capítulo se usan diagramas de cuerpo
libre para analizar las fuerzas que actúan sobre objetos en equilibrio.

www.FreeLibros.org

82 Capítulo 3 Fuerzas 3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre

Línea de ANTECEDENTES
F acción
El concepto de fuerza resulta muy familiar, como se evidencia con palabras del
de F tipo de empujar, jalar y elevar que se usan en las conversaciones diarias. En inge-
Figura 3.1 niería se trata con muchos tipos de fuerzas en un gran intervalo de magnitudes. En
Una fuerza F y su línea de acción. esta sección se definen algunos términos usados para describir fuerzas, se analizan
fuerzas particulares que ocurren con frecuencia en aplicaciones de ingeniería y se
introducen los conceptos de equilibrio y diagrama de cuerpo libre.

Terminología

Línea de acción Cuando una fuerza se representa mediante un vector, la línea
recta colineal al vector se denomina línea de acción de la fuerza (figura 3.1).

Sistemas de fuerzas Un sistema de fuerzas es simplemente un conjunto par-
ticular de fuerzas. Un sistema de fuerzas es coplanar o bidimensional si las líneas
de acción de las fuerzas residen en un plano; de otra manera, se trata de un siste-
ma tridimensional. Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneas de acción de
las fuerzas se encuentran en un punto (figura 3.2a) y es paralelo si las líneas de acción
son paralelas (figura 3.2b).

Fuerzas externas e internas Se dice que un objeto dado está sometido a una
fuerza externa si ésta es ejercida por otro objeto. Cuando una parte de un objeto
está sometida a una fuerza por otra parte del mismo cuerpo, se dice que está suje-
ta a una fuerza interna. Estas definiciones requieren que se precise con claridad
el cuerpo que se está considerando. Por ejemplo, si supone que usted es el cuer-
po, cuando está de pie, el piso —que es un cuerpo diferente— ejerce una fuerza
externa sobre sus pies, y si aprieta sus manos, su mano izquierda ejerce una fuer-
za interna sobre su mano derecha. Sin embargo, si su mano derecha es el cuerpo
en consideración, la fuerza ejercida por su mano izquierda es una fuerza externa.

Fuerzas de cuerpo y de superficie Una fuerza ejercida sobre un cuerpo se
denomina fuerza de cuerpo si actúa sobre el volumen del cuerpo y fuerza de super-
ficie si actúa sobre su superficie. La fuerza gravitatoria sobre un cuerpo es una
fuerza de cuerpo; una fuerza de superficie se puede ejercer sobre un cuerpo
mediante su contacto con otro cuerpo. Las fuerzas de cuerpo y de superficie pue-
den ser resultado de efectos electromagnéticos.

Fuerzas gravitatorias

Cuando se levanta algo pesado se percibe la fuerza ejercida sobre un objeto por la
gravedad de la Tierra. La fuerza gravitatoria o peso de un objeto puede represen-
tarse mediante un vector (figura 3.3).

FA FB FA FB FD

FC FC W

Figura 3.2 Figura 3.3

(a) Fuerzas concurrentes.

www.FreeLibros.org(b) Fuerzasparalelas.
(a) Representación del peso de un objeto mediante
(b) un vector.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre 83

F ϪF Figura 3.4
(a) (b) (c) (a) Al empujar una pared, se ejerce una fuerza

de contacto sobre ella.
(b) El vector F representa la fuerza que se

ejerce sobre la pared.
(c) La pared ejerce una fuerza ϪF sobre la

mano.

La magnitud del peso de un objeto se relaciona con su masa m por la fórmula

ƒWƒ = mg, (3.1)

donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Se usarán los valo-
res g ϭ 9.81 m/s2 en unidades SI y g ϭ 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en
Estados Unidos.

Las fuerzas gravitatorias, y también las electromagnéticas, actúan a distancia.
Los objetos sobre los que actúan no necesitan estar en contacto con los objetos que
ejercen las fuerzas. En la sección siguiente se analizarán fuerzas que resultan del
contacto entre objetos.

Fuerzas de contacto

Las fuerzas de contacto son las que resultan del contacto entre objetos, por
ejemplo, al empujar una pared (figura 3.4a). La superficie de la mano ejerce una
fuerza sobre la superficie de la pared que se puede representar con un vector F
(figura 3.4b). La pared ejerce una fuerza igual y opuesta ϪF sobre la mano (figu-
ra 3.4c) (recuerde la tercera ley de Newton: las fuerzas ejercidas entre sí por dos
partículas cualesquiera son iguales en magnitud y opuestas en dirección; si le
queda duda de que la pared ejerce una fuerza sobre la mano, intente empujar la
pared usando patines).

Se tratará con fuerzas de contacto ejercidas sobre objetos mediante el contac-
to con las superficies de otros cuerpos y por medio de cuerdas, cables y resortes.

Superficies Considere dos superficies planas en contacto (figura 3.5a). La
fuerza ejercida sobre la superficie derecha por la superficie izquierda se repre-
senta con el vector F en la figura 3.5b. Es posible separar F en una componen-
te N normal a la superficie y una componente f paralela a ésta (figura 3.5c). La
componente N se denomina fuerza normal y la componente f se denomina fuerza de
fricción. En ocasiones se supone que la fuerza de fricción entre dos superficies
es insignificante respecto a la fuerza normal; dicha condición se describe al decir
que las superficies son lisas. En este caso se muestra sólo la fuerza normal
(figura 3.5d). Cuando la fuerza de fricción no se puede despreciar, se dice que
las superficies son rugosas.

Figura 3.5

(a) Dos superficies planas en contacto.

NN (b) La fuerza F ejercida sobre la superficie
derecha.

f (c) La fuerza F se separa en sus componentes
normal y paralela a la superficie.
(d) Sólo se muestra la fuerza normal cuando

la fricción es insignificante.
F

www.FreeLibros.org(a) (b)
(c) (d)

84 Capítulo 3 Fuerzas

Figura 3.6 N
(a) Superficies curvas en contacto. La línea
f
discontinua indica el plano tangente a las
superficies en su punto de contacto. (a) (b)
(b) Fuerza normal y fuerza de fricción sobre
la superficie derecha. Si las superficies en contacto son curvas (figura 3.6a), la fuerza normal y la
fuerza de fricción son, respectivamente, perpendicular y paralela al plano tangen-
te a las superficies en su punto común de contacto (figura 3.6b).

Cuerdas y cables Una fuerza de contacto puede ejercerse sobre un objeto
uniendo una cuerda o un cable al cuerpo y tirando de él. En la figura 3.7a, el cable
de la grúa está unido a un contenedor de materiales de construcción. La fuerza que
el cable ejerce sobre el contenedor se puede representar mediante un vector T
(figura 3.7b). La magnitud de T se denomina tensión en el cable y la línea de
acción de T es colineal al cable. El cable ejerce una fuerza igual y opuesta ϪT
sobre la grúa (figura 3.7c).

Observe que se ha supuesto que el cable es recto y que la tensión donde el cable
se conecta al contenedor es igual a la tensión cerca de la grúa. Esto es aproximada-
mente cierto si el peso del cable es pequeño en comparación con la tensión. En caso
contrario, el cable se pandeará en forma considerable y la tensión variará a través de
su longitud. En el capítulo 9 se analizarán cuerdas y cables cuyos pesos no son
pequeños en comparación con sus tensiones. Por ahora se supondrá que las cuerdas
y los cables son rectos y que sus tensiones son constantes a través de sus longitudes.

Una polea es una rueda con un borde ranurado que puede usarse para cam-
biar la dirección de una cuerda o un cable (figura 3.8a). Por ahora se supondrá

T

(b)

ϪT
(a)

(c)
Figura 3.7
(a) Grúa con su cable unido a un contenedor.
(b) Fuerza T ejercida por el cable sobre el contenedor.

www.FreeLibros.org(c) FuerzaϪTejercidaporelcablesobrelagrúa.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre 85

|T1| ϭ |T2|

T1
Figura 3.8
(a) Una polea cambia la dirección de una
cuerda o un cable.
(b) Por ahora, se debe suponer que las

T2 tensiones a cada lado de la polea son
(a) (b) iguales.

Resorte
Amortiguador

Resorte

Amortiguador Figura 3.9
Resortes en la suspensión de un auto. El
dispositivo de la derecha se llama soporte
MacPherson.

que la tensión es la misma en ambos lados de una polea (figura 3.8b). Esto es

cierto, o al menos aproximadamente cierto, cuando la polea puede girar libre-

mente y la cuerda o el cable es estacionario, o cuando se hace girar la polea a

una velocidad constante. L0

Resortes Los resortes se usan para ejercer fuerzas de contacto en dispositivos (a)

mecánicos, por ejemplo en la suspensión de vehículos (figura 3.9). Considere un

resorte cuya longitud no elongada 6, es decir la longitud del resorte cuando sus

extremos están sueltos, es L0 (figura 3.10a). Cuando el resorte se elonga, una lon- L
gitud L mayor que L0 (figura 3.10b) tirará del objeto al que está unido con una (b)
fuerza F (figura 3.10c). El objeto ejerce una fuerza igual y opuesta ϪF sobre el F

resorte (figura 3.10d). Cuando el resorte se comprime una longitud L menor que

L0 (figuras 3.1la, b), empuja al objeto con una fuerza F y el objeto ejerce una fuer-
za igual y opuesta ϪF sobre el resorte (figuras 3.1lc, d). Si el resorte se compri-

me demasiado, puede pandearse (figura 3.11e). Un resorte diseñado para ejercer (c)

una fuerza al comprimirse suele tener un soporte lateral para evitar el pandeo; por

ejemplo, se puede encerrar en un cilindro. En las suspensiones de automóviles

mostradas en la figura 3.9, los amortiguadores dentro del resorte impiden que éste ϪF
se pandee.

La magnitud de la fuerza ejercida por un resorte depende del material con el (d)

que fue hecho, su diseño y de cuánto varía con respecto a su longitud original. Figura 3.10

Cuando el cambio de longitud no es muy grande en comparación con la longitud (a) Resorte de longitud no elongada L0.
no elongada, los resortes que suelen usarse en dispositivos mecánicos ejercen una (b) El resorte elongado a una longitud

fuerza aproximadamente proporcional al cambio de longitud:

www.FreeLibros.orgƒFƒ = kƒL - L0ƒ.
(3.2) L Ͼ L0.
(c, d) Fuerza F ejercida por el resorte y fuerza

ϪF ejercida sobre el resorte.

86 Capítulo 3 Fuerzas Como la fuerza es una función lineal del cambio de longitud (figura 3.12), un
resorte que cumple con esta relación se denomina resorte lineal. El valor de la
L0 constante del resorte k depende de su material y diseño. Sus dimensiones son
(a) (fuerza)/(longitud). Observe en la ecuación (3.2) que k es igual a la magnitud de la
L fuerza requerida para estirar o comprimir el resorte una unidad de longitud.
(b)
Suponga que la longitud sin elongar de un resorte es L0 ϭ 1 m y k ϭ 3000
F N/m. Si el resorte se elonga hasta alcanzar una longitud L ϭ 1.2 m, la magnitud
(c) de la fuerza de tensión que ejerce es

(d) kƒL - L0ƒ = 300011.2 - 12 = 600 N.

Aunque es cierto que los resortes se utilizan comúnmente en dispositivos
mecánicos, también despiertan el interés por una razón diferente: pueden usarse
para modelar situaciones en que las fuerzas dependen de los desplazamientos. Por
ejemplo, la fuerza necesaria para flexionar la viga de acero de la figura 3.13(a) es
una función lineal del desplazamiento d, o bien

ƒFƒ = kd,

ϪF

si d no es muy grande. Por consiguiente, es posible modelar el comportamiento
fuerza-deflexión de la viga como un resorte lineal (figura 3.13b).

(e) Equilibrio

Figura 3.11 En la conversación diaria, equilibrio significa un estado invariable, una estabiliza-
(a) Resorte de longitud L0. ción. Antes de establecer con precisión qué significa este término en mecánica, se
(b) El resorte comprimido a una longitud considerarán algunos ejemplos familiares. Si usted se encuentra dentro de una cons-
trucción mientras lee esto, los objetos que observa a su alrededor y que están en
L Ͻ L 0. reposo (estacionario) en relación con la construcción, como adornos o muebles,
(c, d) El resorte empuja a un objeto con una están en equilibrio. Una persona sentada o parada en reposo en relación con la
construcción también está en equilibrio. Si un tren viaja a velocidad constante
fuerza F y el objeto ejerce una fuerza en una trayectoria recta, los objetos que están en reposo con respecto al tren, como un
ϪF sobre el resorte. pasajero sentado o una persona de pie en el pasillo (figura 3.14a), se encuentran en
(e) Un resorte se pandeará si se comprime equilibrio. La persona en reposo relativo a la construcción y el pasajero de pie en el
demasiado. pasillo del tren no experimentan aceleración. Sin embargo, si el tren aumenta o

d d F
F
k
(b)

͉F͉
k

1

͉L Ϫ L0͉

Figura 3.12

La gráfica de la fuerza ejercida por un resorte

lineal en función de su elongación o contrac- (a)

ción es una línea recta con pendiente k.
Figura 3.13
(a) Viga de acero flexionada por una fuerza.

www.FreeLibros.org(b) Modelado del comportamiento de la viga mediante un resorte lineal.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre 87

disminuye su velocidad, la persona de pie en el pasillo ya no estará en equilibrio (a)
y podría perder su estabilidad (figura 3.14b).

Se define que un objeto está en equilibrio sólo si cada punto del objeto tiene
la misma velocidad constante, lo cual se denomina traslación uniforme. La velo-
cidad debe medirse con respecto a un marco de referencia en el que sean válidas
las leyes de Newton. Tal marco se llama marco de referencia newtoniano o iner-
cial. En muchas aplicaciones de ingeniería, un marco de referencia que esté fijo
con respecto a la Tierra puede verse como inercial. Por lo tanto, puede suponer-
se que los objetos en traslación uniforme con respecto a la Tierra están en equi-
librio. A lo largo del presente libro se parte de este supuesto. En los ejemplos que
se citaron en el párrafo anterior, los muebles y la persona en reposo dentro de una
construcción, así como el pasajero sentado y la persona de pie dentro del tren
que se mueve a velocidad constante, están en translación uniforme con respecto
a la Tierra y por ende están en equilibrio.

La suma vectorial de las fuerzas externas que actúan sobre un objeto en equi-
librio es igual a cero. Se usará el símbolo ͚F para denotar la suma de las fuerzas
externas. Así, cuando un objeto está en equilibrio,

©F = 0. (3.3)

En algunas situaciones, esta ecuación de equilibrio puede usarse para determinar (b)
fuerzas desconocidas que actúan sobre un cuerpo en equilibrio. El primer paso
consiste en dibujar un diagrama de cuerpo libre del objeto para identificar las Figura 3.14
fuerzas externas que actúan sobre el cuerpo. (a) Mientras el tren se mueve a velocidad

Diagramas de cuerpo libre constante, una persona de pie en el pasillo
está en equilibrio.
Un diagrama de cuerpo libre sirve para enfocar la atención en el cuerpo de interés (b) Si el tren acelera, la persona lo pierde.
y ayuda a identificar las fuerzas externas que actúan sobre él. Aunque en estática
interesarán sólo cuerpos en equilibrio, los diagramas de cuerpo libre se usan en
dinámica para analizar los movimientos de los objetos.

Aunque es una de las herramientas más importantes en mecánica, el diagra-
ma de cuerpo libre es un concepto sencillo. Es el dibujo de un objeto y de las
fuerzas externas que actúan sobre él, sin incluir nada además del cuerpo de inte-
rés. El dibujo muestra el cuerpo aislado o liberado de su entorno.

El trazado de un diagrama de cuerpo libre implica tres pasos:

1. Identificar el cuerpo a aislar. Como lo muestran los ejemplos siguientes, D
la elección suele estar dictada por las fuerzas particulares que se desean C
determinar.

2. Dibujar un bosquejo del objeto aislado de su entorno y mostrar las dimen-
siones y ángulos relevantes. El dibujo debe ser razonablemente preciso, pero
pueden omitirse detalles irrelevantes.

3. Dibujar los vectores que representen todas las fuerzas externas que actúen
sobre el cuerpo aislado y marcarlos. No se debe olvidar la inclusión de la
fuerza gravitatoria, a menos que se ignore de manera intencional.

Se necesita un sistema coordenado para expresar las fuerzas sobre el objeto B

aislado, en términos de sus componentes. A menudo es conveniente elegir el sis-

tema de coordenadas antes de dibujar el diagrama de cuerpo libre, pero en ciertos A
casos la mejor elección de un sistema coordenado no será evidente hasta después

de dibujar el diagrama.

Un ejemplo sencillo demostrará cómo elegir los diagramas de cuerpo libre

para determinar fuerzas particulares y también que se debe distinguir con cuidado

entre fuerzas externas e internas. En la figura 3.15, dos bloques estacionarios de
igual peso W están suspendidos por medio de cables. El sistema está en equilibrio.

www.FreeLibros.orgSuponga que se desea determinar las tensiones en los dos cables.
Figura 3.15
Bloques estacionarios suspendidos mediante
cables.

88 Capítulo 3 Fuerzas

D
C

Figura 3.16 B TAB y
(a) Aislamiento del bloque inferior y parte del A A TAB

cable AB. (a) A
(b) La indicación de las fuerzas exteriores
W W x
completa el diagrama de cuerpo libre. (b) (c)
(c) Introducción de un sistema de coordenadas.

Para determinar la tensión en el cable AB, primero se aísla un “objeto” que con-
sista en el bloque inferior y parte del cable AB (figura 3.16a). Después, se determi-
nan las fuerzas que pueden ejercerse sobre este objeto aislado mediante objetos que
no se incluyen en el diagrama. La Tierra ejerce una fuerza gravitatoria de magnitud
W sobre el bloque, y en el sitio donde se “corta” el cable AB, éste se encuentra some-
tido a una fuerza de contacto igual a la tensión en el cable (figura 3.16b). Las flechas
en esta figura indican las direcciones de las fuerzas. El escalar W es el peso del blo-
que y TAB es la tensión en el cable AB. El peso de la parte del cable incluido en el
diagrama de cuerpo libre puede ignorarse si se compara con el peso del bloque.

Como el diagrama de cuerpo libre está en equilibrio, la suma de las fuer-
zas externas es cero. La ecuación de equilibrio se obtiene en términos de un sistema
coordenado con el eje y dirigido hacia arriba (figura 3.16c),

©F = TAB j - W j = 1TAB - W2j = 0.

Así, la tensión en el cable AB es TAB ϭ W.
Ahora se puede determinar la tensión en el cable CD aislando el bloque superior

(figura 3.17a). Las fuerzas externas son el peso del bloque superior y las tensiones en
los dos cables (figura 3.17b). En este caso se obtiene la ecuación de equilibrio

©F = TCD j - TAB j - W j = 1TCD - TAB - W2j = 0.

Como TAB ϭ W, se encuentra que TCD ϭ 2W.

y

D TCD

CC

W
BB

Figura 3.17 A
TAB

(a) Aislamiento del bloque superior para x

determinar la tensión en el cable CD.
(b) Diagrama de cuerpo libre del bloque
(a) (b)
www.FreeLibros.orgsuperior.

3.1 Fuerzas, equilibrio y diagramas de cuerpo libre 89

y
D TCD

CC

W
BB

AA

Figura 3.18
(a) Elección alternativa para determinar la
W tensión en el cable CD.
x (b) Diagrama de cuerpo libre que incluye
(a) (b) ambos bloques y el cable AB.

También se podría haber determinado la tensión en el cable CD tratando los
dos bloques y el cable AB como un solo objeto (figura 3.18a, b). La ecuación de
equilibrio es

©F = TCD j - W j - W j = 1TCD - 2W2j = 0,

y se obtiene de nuevo TCD ϭ 2W.
¿Por qué la tensión en el cable AB no aparece en el diagrama de cuerpo libre de

la figura 3.18(b)? Recuerde que en los diagramas de cuerpo libre se muestran sólo
fuerzas externas. Como en este caso el cable AB es parte del diagrama de cuerpo libre,
las fuerzas que ejerce sobre los bloques superiores e inferiores son fuerzas internas.

RESULTADOS

Linea de acción Línea de
La línea recta colineal a un vector que F acción F
representa una fuerza es la línea de acción
de la fuerza.

Sistemas de fuerzas FA FB FA FB FD
Un sistema de fuerzas es bidimensional si las líneas FC
de acción de las fuerzas se encuentran en un plano. FC
En caso contrario el sistema es tridimensional.
Un sistema de fuerzas es concurrente si las líneas
de acción de las fuerzas se cortan en un punto y
paralelo si las líneas de acción son paralelas.

Fuerzas concurrentes Fuerzas paralelas

Fuerzas externas e internas
Un objeto está sometido a una fuerza externa
si la fuerza es ejercida por un objeto diferente.
Una fuerza ejercida sobre una parte de un
objeto por otra parte del mismo objeto es una

www.FreeLibros.orgfuerzainterna.

90 Capítulo 3 Fuerzas

Fuerzas gravitatorias
El peso de un objeto puede representarse mediante
un vector. Su magnitud al nivel del mar está relacio-
nada con la masa m del objeto mediante la ecuación

͉W͉ ϭ mg, (3.1)

donde g es la aceleración debida a la gravedad al W
nivel del mar.
AB
Fuerzas de contacto
Los objetos en contacto ejercen entre Objetos A y B con superficies
sí fuerzas que son iguales y opuestas. planas en contacto.

ϪF
AB

F
Fuerzas de contacto que A y B
ejercen entre sí.

B
N

f
Descomposición de la fuerza
sobre B en las fuerzas normal
y de fricción.

B
N

Cuando la fuerza de fricción
puede ignorarse sólo existe una
fuerza normal.

Cuerdas y cables A
Si el peso de una cuerda o cable que conecta a dos B
objetos es insignificante en comparación con su tensión,
éste ejerce fuerzas iguales y opuestas sobre los objetos, Objetos A y B conectados por un cable.
las cuales son paralelas a la cuerda o el cable.
F ϪF
A B

Fuerzas ejercidas sobre A y B.

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3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 91

Resortes lineales A
La magnitud de las fuerzas iguales y opuestas B
ejercidas sobre dos objetos conectados por un
resorte lineal es Objectos A y B conectados por un resorte.

͉F͉ ϭ k͉L Ϫ L0͉, (3.2) F
A
donde k es la constante del resorte, L es la lon- ϪF
B
gitud del resorte y L0 su longitud sin elongar.

Fuerzas ejercidas sobre A y B.

Equilibrio
Un objeto está en equilibrio si está en translación uniforme (cada
punto del objeto tiene la misma velocidad constante) en relación
con un marco de referencia inercial. La suma de las fuerzas
externas que actúan sobre un objeto en equilibrio es igual a cero:

⌺F ϭ 0. (3.3)

Diagramas de cuerpo libre 1. Identificar al objeto que se
Un diagrama de cuerpo libre es el dibujo de un desea aislar.
objeto, aislado de su entorno, que muestra las fuer-
zas exteriores que actúan sobre el objeto. Dibujar 2. Dibujar un bosquejo del
un diagrama de cuerpo libre implica tres pasos. objeto aislado de su entorno.

3. Dibujar vectores representando
las fuerzas externas que actúan
sobre el objeto.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas

Suponga que el sistema de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo en
equilibrio es bidimensional (coplanar). Al orientar un sistema coordenado de
manera que las fuerzas queden en el plano x–y, es posible expresar la suma de las
fuerzas externas como

©F = 1©Fx2i + 1©Fy2j = 0,

donde ͚Fx y ͚Fy son las sumas de las componentes x e y de las fuerzas. Como
un vector es cero sólo si cada uno de sus componentes es cero, se obtienen dos
ecuaciones de equilibrio escalar:

©Fx = 0, ©Fy = 0. (3.4)

Las sumas de las componentes x e y de las fuerzas externas que actúan sobre un

www.FreeLibros.orgobjeto en equilibrio debe ser igual a cero.

92 Capítulo 3 Fuerzas

Ejemplo activo 3.1 Uso del equilibrio para determinar fuerzas (᭤ Relacionado con el problema 3.1)

El automóvil de 1440 kg se mantiene en su lugar sobre la rampa inclinada median-
te el cable horizontal desde A hasta B. Los frenos del automóvil no están activados,
por lo que las llantas ejercen sólo fuerzas normales sobre la rampa. Determine la
magnitud de la fuerza ejercida por el cable sobre el automóvil.

AB

20Њ

Estrategia
Como el automóvil está en equilibrio, es posible dibujar su diagrama de cuerpo libre
y usar las ecuaciones (3.4) para determinar la fuerza ejercida por el cable.
Solución
Dibuje el diagrama de cuerpo libre del automóvil

Dibuje un bosquejo del automóvil aislado.

Complete el diagrama de cuerpo libre T
mostrando las fuerzas ejercidas sobre el mg
automóvil por su peso, el cable y la rampa.

Aplique las ecuaciones de equilibrio N

y ⌺Fx ϭ T Ϫ N sen 20Њ ϭ 0,
T ⌺Fy ϭ N cos 20Њ Ϫ mg ϭ 0.

mg N Al eliminar N se obtiene
20Њ
mg sen 20Њ
x T ϭ cos 20Њ

(1440 kg)(9.81 m/s2)sen 20Њ
ϭ cos 20Њ
ϭ 5140 N.

Problema de práctica Suponga que el punto de unión del cable en B se mueve
hacia arriba de manera que el cable sea paralelo a la rampa. Determine la magnitud
de la fuerza ejercida por el cable sobre el automóvil.

www.FreeLibros.orgRespuesta:4830N.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 93

Ejemplo 3.2 Elección de un diagrama de cuerpo libre (᭤ Relacionado con el problema 3.3)

El motor de automóvil que se muestra en la figura está suspendido mediante un B 60Њ45Њ C
sistema de cables. La masa del motor es de 200 kg. El sistema es estacionario. A
¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

Estrategia
Se necesita un diagrama de cuerpo libre en el que se muestren las fuerzas que se de-
sean determinar. Aislando parte del sistema de cables cerca del punto A, donde se
unen los cables, se puede obtener un diagrama de cuerpo libre que está sometido al
peso del motor y a las tensiones desconocidas en los cables AB y AC.

Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre Aislando parte del sistema de cables cerca

del punto A (figura a), se obtiene un diagrama de cuerpo libre sometido al peso del
motor W ϭ mg ϭ (200 kg)(9.81 m/s2) ϭ 1962 N y a las tensiones en los cables AB
y AC (figura b).

TAB TAC y TAB sen 60Њ
BC 45Њ TAB TAC sen 45Њ
TAC
60Њ
60Њ 45Њ
A
TAB cos 60Њ A TAC cos 45Њ

W W
x
(a) (b)
(a) Aislamiento de parte del sistema de (c) Selección de un sistema coordenado y
descomposición de las fuerzas en sus
cables. componentes.
(b) Diagrama de cuerpo libre completo.

Aplicación de las ecuaciones de equilibrio Se selecciona el sistema coordena-
do que se muestra en la figura c y se descomponen las tensiones de los cables en sus
componentes x y y. Las ecuaciones de equilibrio resultantes son

͚Fx ϭ TAC cos 45° Ϫ TAB cos 60° ϭ 0,

͚Fy ϭ TAC sen 45° ϩ TAB sen 60° Ϫ 1962 N ϭ 0.

Al resolver estas ecuaciones, se encuentra que las tensiones en los cables son
TAB ϭ 1436 N y TAC ϭ 1016 N.

Razonamiento crítico
¿Cómo puede escogerse un diagrama de cuerpo libre que permita determinar las
tensiones desconocidas en los cables? No existen reglas específicas para elegir
diagramas de cuerpo libre. Usted aprenderá a hacerlo con los ejemplos que se
presentarán, pero siempre encontrará situaciones nuevas. Quizá sea necesario
ensayar varios diagramas de cuerpo libre antes de encontrar el que proporcione
la información requerida. Recuerde que las fuerzas que se desean determinar
deben aparecer como fuerzas externas en el diagrama de cuerpo libre, y que el
objetivo es obtener un número de ecuaciones de equilibrio igual al número de

www.FreeLibros.orgfuerzas desconocidas.

94 Capítulo 3 Fuerzas

Ejemplo 3.3 Aplicación del equilibrio a un sistema de poleas (᭤ Relacionado con el problema 3.54)

La masa de cada polea del sistema es m, y la masa del objeto suspendido A es mA.
Determine la fuerza T necesaria para que el sistema esté en equilibrio.

D

C

B T
A

Estrategia
Al dibujar diagramas de cuerpo libre de las poleas individuales y al aplicar el equi-
librio, es posible relacionar la fuerza T con los pesos de las poleas y el objeto A.

Solución
Primero se dibuja un diagrama de cuerpo libre de la polea C, a la cual se le aplica
la fuerza T (figura a). Observe que se supone que la tensión en el cable soportada
TD por la polea es igual a T en ambos lados (vea la figura 3.8). A partir de la ecuación
de equilibrio

D C mg TD - T - T - mg = 0,

se determina que la tensión en el cable soportada por la polea D es

TT TD = 2T + mg.

C (a) Ahora se conocen las tensiones en los cables que se extienden desde las poleas
C y D hasta la polea B en términos de T. Al dibujar el diagrama de cuerpo libre
B TD ϭ 2T ϩ mg de la polea B (figura b), se obtiene la ecuación de equilibrio
T TT
T + T + 2T + mg - mg - mAg = 0.

Resolviendo, se obtiene T ϭ mA g/4.

A Razonamiento crítico
Observe que los objetos que se aislaron en las figuras a y b incluyen partes de los
B mg

cables. Los pesos de esas partes del cable son fuerzas que actúan en los diagramas

de cuerpo libre. ¿Por qué no fueron incluidas? Se supuso de manera tácita que los
mAg pesos de esas partes podrían ignorarse en comparación con los pesos de las poleas

(b) y el objeto suspendido A. A través del libro, usted se dará cuenta que a menudo

los pesos de los objetos son ignorados al analizar las fuerzas que actúan sobre

(a) Diagrama de cuerpo libre de la ellos. Ésta es una aproximación válida para un objeto dado si su peso es pequeño

polea C. en comparación con las otras fuerzas que actúan sobre él; sin embargo, en cual-

(b) Diagrama de cuerpo libre de la

www.FreeLibros.orgpoleaB.
quier aplicación real de ingeniería, este supuesto debe evaluarse con cuidado. En
el capítulo 7 se analizan los pesos de los objetos a mayor detalle.

3.2 Sistemas bidimensionales de fuerzas 95

Ejemplo 3.4 Fuerzas sobre un avión en equilibrio (᭤ Relacionado con los problemas 3.60–3.62)

En la figura se muestra un avión que vuela en el plano vertical y su diagrama de
cuerpo libre. Las fuerzas que actúan sobre el avión son su peso W, el empuje T
ejercido por sus motores, y las fuerzas aerodinámicas que resultan de la distri-
bución de presión sobre la superficie del avión. La línea discontinua indica la
trayectoria que sigue el avión. Las fuerzas aerodinámicas se descomponen en
una componente perpendicular a la trayectoria, la fuerza de elevación L, y una
componente paralela a la trayectoria, la fuerza de arrastre D. El ángulo g entre
la horizontal y la trayectoria se denomina ángulo de la trayectoria de vuelo, y a
es el ángulo de ataque. Si el avión permanece en equilibrio durante un intervalo
de tiempo, se dice que se encuentra en vuelo uniforme. Si g ϭ 6°, D ϭ 125 kN,
L ϭ 680 kN y la masa del avión es de 72,000 kg, ¿qué valores de T y de a son
necesarios para mantener un vuelo uniforme?

y

Trayectoria L

x T
ga

Horizontal D
W

Estrategia
Se supone que el avión está en equilibrio. Aplicando las ecuaciones (3.4) al dia-
grama de cuerpo libre dado, se obtendrán dos ecuaciones con las cuales podrá de-
terminarse T y a.

Solución
En términos del sistema coordenado de la figura, las ecuaciones de equilibrio son

͚Fx ϭ T cos a Ϫ D Ϫ W sen g ϭ 0, (1)
͚Fy ϭ T sen a ϩ L Ϫ W cos g ϭ 0, (2)

donde el peso del avión es W ϭ (72,000 kg)(9.81 m/s2) ϭ 706,000 N. De la ecua-
ción (2) se despeja sen a, de la ecuación (1) se despeja cos a y se dividen para
obtener una ecuación para tan a:

W cos g - L
tan a =

W sein g + D

1706,000 N2 cos 6° - 680,000 N
= 1706,000 N2 sein 6° + 125,000 N = 0.113.

El ángulo de ataque a ϭ arctan(0.113) ϭ 6.44°. Ahora se usa la ecuación (1) para
determinar el empuje:

W sein g + D
T=

cos a
1706,000 N2 ssein 6° + 125,000 N
= = 200,000 N.

cos 6.44°

Observe que el empuje necesario para un vuelo uniforme es de 28% del peso del

www.FreeLibros.orgavión.

96 Capítulo 3 Fuerzas

Problemas

᭤ 3.1 En el ejemplo activo 3.1, suponga que el ángulo de la 3.5 Una pesada cuerda que se usa como amarradero para un
rampa que soporta el automóvil se aumenta de 20° a 30°. Dibuje barco crucero se cuelga en la forma mostrada. Si la masa de la
el diagrama de cuerpo libre del automóvil que muestre la nueva cuerda es 90 kg, ¿cuáles son las tensiones en la cuerda en A y B?
geometría. Suponga que el cable de A a B debe ejercer una fuerza
horizontal de 1900 lb sobre el auto para mantenerlo en su lugar. 55Њ A
Determine el peso del automóvil en libras.

3.2 El anillo de la figura pesa 5 lb y está en equilibrio. La fuerza B 40Њ
F1 ϭ 4.5 lb. Determine la fuerza F2 y el ángulo a.
Problema 3.5
F2 y
3.6 Un fisiólogo estima que el músculo masetero de un depreda-
a F1 dor es capaz de ejercer una fuerza M de hasta 900 N. Suponga que
30Њ la quijada está en equilibrio y determine la fuerza necesaria T que
x ejerce el músculo temporal y la fuerza P ejercida sobre un objeto
mordido por el depredador.
Problema 3.2
22Њ
T
P

᭤ 3.3 En el ejemplo 3.2, suponga que el punto de unión C se M 36Њ
mueve a la derecha y el cable AC se extiende de manera que el án- Problema 3.6
gulo entre el cable AC y el techo disminuye de 45° a 35°. El ángu-
lo entre el cable AB y el techo permanece en 60°. ¿Cuáles son las
tensiones en los cables AB y AC?

3.4 Un motor de 200 kg está suspendido por los cables AB y AC.
El ángulo a ϭ 40°. En la figura se muestra el diagrama de cuerpo
libre obtenido al aislar la parte del sistema dentro de la línea dis-
continua. Determine las fuerzas TAB y TAC.

y

B TAB TAC
C
aa x
A A

(200 kg) (9.81 m/s2)

wwwPr.obleFma3.4 reeLibros.org

Problemas 97

3.7 Los dos resortes de la figura son idénticos, con longitudes sin 3.10 La masa de una grúa es de 20,000 kg. El cable de la grúa
elongar de 250 mm y constantes k ϭ 1200 N/m. está unido a un bloque cuya masa es de 400 kg. La tensión en su
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque A. cable es de 1 kN.
b) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del bloque B.
c) ¿Cuáles son las masas de los dos bloques? a) Determine las magnitudes de las fuerzas normal y de fricción
ejercidas sobre la grúa por el terreno a nivel del suelo.
3.8 Los dos resortes de la figura son idénticos, con longitudes sin
elongar de 250 mm. Suponga que la constante k es desconocida y b) Determine las magnitudes de las fuerzas normal y de fricción
que la suma de las masas de los bloques A y B es 10 kg. Determi- ejercidas sobre el cajón por el suelo a nivel del suelo.
ne el valor de k y las masas de los dos bloques.
Estrategia: Para resolver el inciso a), dibuje el diagrama de
cuerpo libre de la grúa y la parte de su cable dentro de la línea
discontinua.

300 mm

45Њ

A
Problema 3.10

280 mm 3.11 La superficie inclinada es lisa. La caja de 100 kg se mantie-
ne estacionaria mediante la fuerza T aplicada al cable.
B a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la caja.
b) Determine la fuerza T.
Problemas 3.7/3.8
T
3.9 La superficie inclinada es lisa (recuerde que “lisa” significa
que se puede ignorar la fricción). Los dos resortes son idénticos.
Con longitudes sin elongar de 250 mm y constantes de resorte
k ϭ 1200 N/m, ¿cuáles son las masas de los bloques A y B?

300 mm 60Њ
Problema 3.11
A
280 mm
B

30Њ
Problema 3.9

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98 Capítulo 3 Fuerzas

3.12 El automóvil de 1200 kg que se muestra en la figura se 3.15 Una caja de 80 lb se mantiene en su lugar sobre una su-
estaciona en una calle inclinada. perficie lisa inclinada mediante la cuerda AB que se muestra en
la figura. Determine la tensión en la cuerda y la fuerza normal
a) Si a ϭ 20°, ¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas totales ejercida sobre la caja por la superficie inclinada.
normal y de fricción ejercidas sobre las llantas del auto por el
pavimento? A B
30Њ
b) El automóvil permanecerá estacionado sólo si la fuerza de fric-
ción total necesaria para el equilibrio no es mayor que 0.6 veces la
fuerza normal total. ¿Cuál es el máximo ángulo a para el cual el
automóvil permanecerá estacionado?

50Њ

Problema 3.15

a 3.16 El automóvil de 1360 kg y el camión de remolque de 2100
kg que se muestran en la figura están estacionados. La superficie
Problema 3.12 fangosa sobre la que descansan las llantas del automóvil ejerce
fuerzas de fricción despreciables sobre éstas. ¿Cuál es la tensión
3.13 Una caja de 100 lb está en equilibrio sobre la superficie lisa en el cable del remolque?
que se muestra en la figura. La constante del resorte es k ϭ 400
lb/pie. Sea S la elongación del resorte. Obtenga una ecuación para 10Њ 18Њ
S (en pies) como una función del ángulo a.

26Њ

a Problema 3.16

Problema 3.13 3.17 Cada caja pesa 40 lb. Los ángulos se miden en relación
con la horizontal. Las superficies son lisas. Determine la tensión
3.14 Una caja de 600 lb se mantiene en equilibrio sobre la plata- en la cuerda A y la fuerza normal ejercida sobre la caja B por la
forma lisa de un camión de volteo por medio de la cuerda AB. superficie inclinada.
a) Si a ϭ 25°, ¿cuál es la tensión en la cuerda?
b) Si la cuerda resiste con seguridad una tensión de 400 lb, ¿cuál A
es el valor máximo permisible para a?

B B
A
C
a 70Њ 45Њ D

20Њ

www.FreeLibros.orgProblema3.14 Problema 3.17

Problemas 99

3.18 Un cuadro de 10 kg está colgado con un alambre, soportado 3.22 Una trabajadora ejerce una fuerza de 20 lb sobre la cuerda
por un clavo. La longitud del alambre es 1.3 m. que se muestra en la figura para mantener la caja en equilibrio y
en su posición. ¿Cuál es el peso de la caja?
a) ¿Cuál es la tensión en el alambre?

b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre el clavo por el
alambre?

5Њ

1.2 m

30Њ

Problema 3.18

3.19 Un cuadro de 10 kg está colgado con un alambre, soportado
por dos clavos. La longitud del alambre es 1.3 m.
a) ¿Cuál es la tensión en el alambre?
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza ejercida sobre cada clavo por
el alambre? (Suponga que la tensión es la misma en cada parte del
alambre).

Compare sus respuestas con los resultados del problema 3.18.

Problema 3.22

0.4 m 0.4 m 0.4 m 3.23 Un trabajador en la Luna, donde la aceleración debida a la
gravedad es de 1.62 m/s2, mantiene en equilibrio la misma caja
descrita en el problema 3.22 en la posición mostrada. ¿Qué fuerza
debe ejercer sobre el cable para mantener la caja en equilibrio
a) en newtons y b) en libras?

Problema 3.19 5Њ
30Њ
3.20 Suponga que el alpinista de 150 lb que se muestra en la
figura está en equilibrio. ¿Cuáles son las tensiones en la cuerda
al lado izquierdo y al lado derecho del alpinista?

3.21 Si la masa del alpinista del problema 3.20 es de 80 kg,
¿cuáles son las tensiones en la cuerda al lado izquierdo y al lado
derecho del alpinista?

24Њ 15Њ

Problema 3.23

www.FreeLibros.orgProblemas3.20/3.21

100 Capítulo 3 Fuerzas

3.24 La persona que se muestra en la figura quiere hacer que 3.26 Las longitudes de los cables AB y BC que se muestran en la
la caja de 200 lb comience a deslizarse hacia la derecha. Para figura tienen 3 m y 4 m de longitud, respectivamente. Los puntos
lograr esto, la componente horizontal de la fuerza ejercida por la A y C están a la misma altura. La masa del objeto suspendido es
cuerda sobre la caja debe ser igual a 0.35 veces la fuerza normal 350 kg. Determine las tensiones en los cables AB y BC.
ejercida por el piso sobre la caja. En la figura (a), la persona jala
la cuerda en la dirección mostrada. En la figura (b), la persona 3.27 La longitud del cable AB es ajustable. El cable BC tiene
une la cuerda a un soporte como se muestra en la figura y la jala 4 m de largo. Si usted no desea que la tensión en el cable AB o en
hacia arriba. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza que la persona el cable BC exceda 3 kN, ¿cuál es la longitud mínima aceptable
debe ejercer sobre la cuerda en cada caso? del cable AB?

5m

A
C

20Њ
B

(a)

10Њ Problemas 3.26/3.27
(b)
3.28 ¿Cuáles son las tensiones en los cables superior e inferior?
(Deberá dar sus respuestas en términos de W; ignore el peso de la
polea).

Problema 3.24 45Њ 30Њ

3.25 Un ingeniero de tráfico desea suspender un semáforo de W
200 lb encima del centro de los dos carriles derechos de una Problema 3.28
avenida de cuatro carriles, como se muestra en la figura. Los
puntos A y C están a la misma altura. Determine las tensiones
en los cables AB y BC.

80 pies 3.29 Después de un accidente, dos camiones de remolque elevan
una motocicleta de 600 lb para sacarla de la barranca que se mues-
A 20 pies C tra en la figura. Si la motocicleta se encuentra en equilibrio en la po-
10 pies B sición mostrada, ¿cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

30 pies y (36, 36) pies
(12, 32) pies C

B

(26, 16) pies
A

Problema 3.25

www.FreeLibros.orgProblema3.29 x

Problemas 101

3.30 Una aspirante a astronauta realiza experimentos sobre una 3.32 El collarín A está en equilibrio y la barra es lisa. ¿Cuál es la
plataforma neumática. Mientras efectúa calibraciones, la platafor- masa del collarín?
ma se mantiene en equilibrio mediante los tirantes AB, AC y AD.
Las fuerzas ejercidas por los tirantes son las únicas fuerzas hori- 20Њ
zontales que actúan sobre la plataforma. Si la tensión en el tirante
AC es de 2 N, ¿cuáles son las tensiones en los otros dos tirantes?

VISTA SUPERIOR A 200 N
D
45Њ
4.0 m
A Problema 3.32

3.5 m 3.33 La masa de 20 kg que se muestra en la figura está suspen-
BC dida de tres cables. El cable AC está equipado con un torniquete,
de manera que su tensión puede ajustarse, y un calibrador, que
3.0 m 1.5 m permite medir su tensión. Si la tensión en el cable AC es de 40 N,
Problema 3.30 ¿cuáles son las tensiones en los cables AB y AD?

0.4 m 0.4 m 0.48 m
BC
0.64 m D

3.31 La cubeta de la figura contiene concreto y pesa 5800 lb. A
¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC?

(5, 34) pies B C (20, 34) pies
y
Problema 3.33

(12, 16) pies A

x

Problema 3.31

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102 Capítulo 3 Fuerzas
3.34 La junta estructural se encuentra en equilibrio. Si FA ϭ 1000 lb y FD ϭ 5000 lb, ¿cuáles son los valores de FB y FC?

FC
80Њ
FB

65Њ

35Њ FD
FA

Problema 3.34

3.35 El collarín A se desliza sobre la barra vertical lisa que se 3.36* Suponga que se desea diseñar un sistema de cables para
muestra en la figura. Las masas mA ϭ 20 kg y mB ϭ 10 kg. Cuan- suspender del techo un objeto con peso W. Los dos cables deben
do h ϭ 0.1 m, el resorte está sin elongar. Cuando el sistema está ser idénticos, y la dimensión b es constante. La razón de la tensión
en equilibro, h ϭ 0.3 m. Determine la constante k del resorte. T en cada cable sobre su área de sección transversal A debe ser
igual a un valor específico T͞A ϭ s. El “costo” de su diseño es el
0.25 m volumen total de material en los dos cables, V ϭ 2A͙ෆb2 ෆϩෆh2.
Determine el valor de h que minimiza el costo.

h bb
A hh

B W
Problema 3.36
k

Problema 3.35

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Problemas 103

3.37 Un sistema de cables sostiene un banco de luces de 1000 lb 3.39 Mientras trabaja en otra muestra, un curador del Instituto
sobre un estudio cinematográfico. Determine las tensiones en los Smithsonian jala hacia un lado el avión Voyager suspendido de la
cables AB, CD y CE que se muestran en la figura. figura, uniendo los tres cables horizontales mostrados. La masa
del avión es de 1250 kg. Determine las tensiones en los segmentos
3.38 Un técnico cambia la posición del banco de luces de 1000 lb de cable AB, BC y CD.
retirando el cable CE. ¿Cuál es la tensión en el cable AB después
del cambio? D
C 30Њ
20 pies 18 pies
B 50Њ
B D
C 70Њ
45Њ A
A 30Њ
E

Problema 3.39

Problemas 3.37/3.38

3.40 Un vendedor de camiones quiere suspender un vehículo de 4000 kg como se muestra en la figura, con fines publicitarios. La
distancia b ϭ 15 m y la suma de las longitudes de los cables AB y BC es de 42 m. Los puntos A y C tienen la misma altura. ¿Cuáles
son las tensiones en los cables?

40 m C
b
A

B

Problema 3.40

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104 Capítulo 3 Fuerzas

3.41 La distancia h ϭ 12 pulg y la tensión en el cable AD es de 3.44 Las masas m1 ϭ 12 kg y m2 ϭ 6 kg se suspenden mediante
200 lb. ¿Cuáles son las tensiones en los cables AB y AC? el sistema de cables mostrado en la figura. El cable BC es horizon-

B tal. Determine el ángulo a y la tensión en los cables AB, BC y CD.

12 pulg A D A D
C 12 pulg h α C 70Њ
B
8 pulg

12 pulg 8 pulg m1
m2

Problema 3.41 Problema 3.44

3.42 Suponga que usted está diseñando un sistema de cables para 3.45 Los pesos W1 ϭ 50 lb y W2 se suspenden mediante el siste-
soportar un objeto suspendido con peso W. Como su diseño requiere ma de cables que se muestra en la figura. Determine el peso W2 y
que los puntos A y B se coloquen como lo muestra la figura, no tiene las tensiones en los cables AB, BC, CD.
control sobre el ángulo a, pero puede elegir el ángulo b colocando el
punto C donde desee. Demuestre que para minimizar las tensiones 3.46 Suponga que W2 ϭ W1/2. Si no se desea que la tensión
en los cables AB y BC, se debe elegir b ϭ a si el ángulo a Ն 45°. supere 200 lb en ningún punto del cable, ¿Cuál es el mayor
valor aceptable para W1?
Estrategia: Dibuje un diagrama de la suma de fuerzas ejerci-
das por los tres cables en A. 30 pulg 30 pulg 30 pulg

A D
20 pulg 16 pulg

B bC B C
a W1 W2

A Problemas 3.45/3.46

W 3.47 El cilindro hidráulico está sujeto a tres fuerzas. Se ejerce
una fuerza de 8 kN sobre el cilindro en B, la cual es paralela al ci-
Problema 3.42 lindro y apunta desde B hacia C. El eslabón AC ejerce una fuerza
en C que es paralela a la línea que va de A a C. El eslabón CD
3.43* La longitud del cable ABC que se muestra en la figura es ejerce una fuerza en C que es paralela a la línea que va de C a D.
1.4 m. La fuerza de 2 kN se aplica sobre una pequeña polea. El
sistema es estacionario. ¿Cuál es la tensión en el cable? a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cilindro (el peso del ci-
lindro es insignificante).
1m
A b) Determine las magnitudes de las fuerzas ejercidas por los esla-
bones AC y CD.

1m
D

C Cilindro C
hidráulico A
1m
0.6 m

B

0.75 m B

15Њ 2 kN 0.15 m 0.6 m Pala

www.FreeLibros.orgProblema3.43
Problema 3.47

Problemas 105

3.48 Un cilindro de 50 lb descansa sobre dos superficies lisas. 3.51 El cable AB tiene 0.5 m de longitud. La longitud sin elon-
a) Dibuje el diagrama de cuerpo libre del cilindro. gar del resorte es de 0.4 m. Cuando la masa de 50 kg se suspende
b) Si a ϭ 30°, ¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas ejercidas en B, la longitud del resorte se incrementa a 0.45 m. ¿Cuál es la
sobre el cilindro por las superficies izquierda y derecha? constante k del resorte?

3.49 Obtenga una ecuación para la fuerza ejercida por la superfi- 0.7 m
cie izquierda sobre el cilindro de 50 lb en términos del ángulo a A
de dos maneras: a) usando un sistema coordenado con el eje y
vertical, y b) usando un sistema de coordenadas con el eje y pa- C
ralelo a la superficie derecha.

k

B

a 45Њ

Problema 3.51

Problemas 3.48/3.49

3.50 Los dos resortes son idénticos; cada uno tiene una longitud 3.52* La esfera pequeña que se muestra en la figura tiene una
sin elongar de 0.4 m. Cuando la masa de 50 kg se suspende en B, masa m, está unida a un cordón de longitud L y descansa sobre
la longitud de cada resorte se incrementa a 0.6 m. ¿Cuál es la la superficie lisa de una esfera fija de radio R. El centro de la
constante k del resorte? esfera está directamente por debajo del punto donde está unido el
cordón. Obtenga una ecuación para determinar la tensión en
el cordón, en términos de m, L, h y R.

0.6 m
A

C hL
m
k k
B R

Problema 3.50
Problema 3.52

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106 Capítulo 3 Fuerzas

3.53 La superficie inclinada es lisa. Determine la fuerza T queϭ 3.56 La masa suspendida m1 ϭ 50 kg. Si se ignoran las masas de
debe ejercerse sobre el cable para mantener en equilibrio la caja de las poleas, determine el valor de la masa m2 necesaria para que el
100 kg que se muestra en la figura y compare su respuesta con sistema esté en equilibrio.
el resultado del problema 3.11.

A
T

60Њ B

Problema 3.53 C
m2
᭤ 3.54 En el ejemplo 3.3, suponga que la masa del objeto
suspendido es mA y las masas de las poleas son mB ϭ 0.3mA, m1
mC ϭ 0.2mA y mD ϭ 0.2mA. Muestre que la fuerza T necesaria Problema 3.56
para que el sistema esté en equilibrio es de 0.275 mAg.

3.55 La masa de cada polea del sistema que se muestra en la
figura es m y la masa del objeto A suspendido es mA. Determine
la fuerza T necesaria para que el sistema esté en equilibrio.

T

A
Problema 3.55

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Problemas 107

3.57 El niño que se muestra en la figura se está elevando a sí mismo usando la polea y el polipasto mostrados. Si el peso de la polea y
el polipasto son insignificantes, y el peso combinado del niño y la viga sobre la que está sentado es de 120 lb, ¿qué fuerza debe ejercer
sobre la cuerda para elevarse a una velocidad constante? (Desprecie la desviación de las cuerdas con respecto a la vertical).

Problema 3.57

3.58 En la figura se muestran sistemas que contienen una, dos y ᭤ 3.60 Un avión de 14,000 kg se encuentra en vuelo uniforme
tres poleas. Sin considerar los pesos de las poleas, determine la en el plano vertical. La trayectoria de vuelo es g ϭ 10°, el ángulo
fuerza T requerida para soportar el peso W en cada caso. de ataque es a a ϭ 4° y la fuerza de empuje ejercida por el motor
es T ϭ 60 kN. ¿Cuáles son las magnitudes de las fuerzas de eleva-
3.59 El número de poleas en el tipo de sistema mostrado en la fi- ción y arrastre que actúan sobre el avión? (Vea el ejemplo 3.4).
gura podría extenderse de manera obvia a un número arbitrario N.
a) Si se desprecian los pesos de las poleas, determine la fuerza T ᭤ 3.61 Un avión se encuentra en vuelo uniforme, el ángulo de
requerida para soportar el peso W como una función del número N ataque a ϭ 0, la razón del empuje sobre el arrastre T͞D ϭ 2 y
de poleas en el sistema. la razón de la elevación sobre el arrastre L͞D ϭ 4. ¿Cuál es el
b) Usando los resultados del inciso (a), determine la fuerza T re- ángulo g de la trayectoria del vuelo? (Vea el ejemplo 3.4).
querida para soportar el peso W para un sistema con 10 poleas.

TT T ᭤ 3.62 Un avión planea en vuelo uniforme (T ϭ 0) y su razón de
W elevación sobre arrastre L͞D ϭ 4.

a) ¿Cuál es el ángulo g de la trayectoria del vuelo?

b) Si el avión planea desde una altura de 1000 m hasta una altura
de 0 m, ¿qué distancia horizontal viajará? (Vea el ejemplo 3.4).

(a) Una polea

W

(b) Dos poleas W

(c) Tres poleas

www.FreeLibros.orgProblemas3.58/3.59

108 Capítulo 3 Fuerzas

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas

Las situaciones de equilibrio que se han considerado hasta ahora implicaron sólo
fuerzas coplanares. Cuando el sistema de fuerzas externas que actúan sobre un
cuerpo en equilibrio es tridimensional, es posible expresar la suma de las fuerzas
externas como

©F = 1©Fx2i + 1©Fy2j + 1©Fz2k = 0.
Cada componente de esta ecuación debe ser igual a cero, lo que resulta en tres
ecuaciones de equilibrio escalares

©Fx = 0, ©Fy = 0, ©Fz = 0. (3.5)

Las sumas de las componentes x, y y z de las fuerzas externas que actúan sobre un
cuerpo en equilibrio deben ser iguales a cero.

Ejemplo activo 3.5 (᭤ Relacionado con el problema 3.63)

El cilindro de 1000 kg que se muestra en la figura pende del techo por un sistema
de cables sostenidos en los puntos B, C y D. ¿Cuáles son las tensiones en los cables
AB, AC y AD?

C y
(Ϫ2, 0, Ϫ2) m

(Ϫ3, 0, 3) m x
D B

(4, 0, 2) m

z A (0, Ϫ4, 0) m

100 kg

Estrategia
Si se aísla parte del sistema de cables cerca del punto A, se obtendrá un diagrama
de cuerpo libre sometido a las fuerzas causadas por las tensiones en los cables.
Como cada suma de las componentes x, y y z de las fuerzas externas debe ser igual
a cero, se pueden obtener tres ecuaciones para las tres tensiones desconocidas. Para
hacer esto, es necesario expresar las fuerzas ejercidas por las tensiones en términos
de sus componentes.

Solución
Dibuje el diagrama de cuerpo libre y aplique el equilibrio

y
C

Aísle parte del sistema de cables cerca del x
punto A y muestre las fuerzas ejercidas por B TAC
las tensiones en los cables. La suma de las
fuerzas debe ser igual a cero: D TAD TAB
z
⌺F ϭ TAB ϩ TAC ϩ TAD Ϫ (981 N)j ϭ 0. A A

Ϫ(100 kg)(9.81 m/s2)j

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3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 109

Escriba los vectores en términos de sus componentes

y

C x
D B
rAB (4, 0, 2) m

z A (0, Ϫ4, 0) m

rAB ϭ (xB Ϫ xA)i ϩ (yB Ϫ yA)j ϩ (zB Ϫ zA)k. Obtenga un vector unitario que tenga
la misma dirección de la fuerza TAB
ϭ 4i ϩ 4j ϩ 2k (m). dividiendo el vector de posición rAB
del punto A al punto B entre su
eAB ϭ rAB ϭ 0.667i ϩ 0.667j ϩ 0.333k. magnitud.
͉rAB͉
Exprese la fuerza TAB en términos
TAB ϭ TAB eAB de sus componentes escribiéndola
ϭ TAB(0.667i ϩ 0.667j ϩ 0.333k), como el producto de la tensión TAB
en el cable AB por el vector unitario
TAC ϭ TAC (Ϫ0.408i ϩ 0.816j Ϫ 0.408k), eAB. Exprese las fuerzas TAC y TAD
TAD ϭ TAD(Ϫ0.514i ϩ 0.686j ϩ 0.514k). en términos de sus componentes
usando el mismo procedimiento.

Sustituya estas expresiones en la ecuación de equilibrio

TAB ϩ TAC ϩ TAD Ϫ (981 N)j ϭ 0.
Como las componentes i, j y k deben ser iguales a cero,
esto resulta en tres ecuaciones:

0.667TAB Ϫ 0.408TAC Ϫ 0.514TAD ϭ 0,
0.667TAB ϩ 0.816TAC ϩ 0.686TAD Ϫ 981 N ϭ 0,
0.333TAB Ϫ 0.408TAC ϩ 0.514TAD ϭ 0.

Resolviendo estas tres ecuaciones, se obtiene TAB ϭ 519 N, TAC ϭ 636 N y
TAC ϭ 168 N.

Problema de práctica Suponga que los cables AB, AC y AD se alargan de manera
que el punto de unión A se ubica en el punto (0, Ϫ6, 0) m. ¿Cuáles son las tensiones
en los cables?

www.FreeLibros.orgRespuesta:TAB = 432N, TAC = 574N, TAD = 141N.

110 Capítulo 3 Fuerzas

Ejemplo 3.6 Aplicación del producto punto (᭤ Relacionado con el problema 3.79)

El collarín C de 100 lb que se muestra en la figura se mantiene en su lugar sobre
la barra lisa mediante el cable AC. Determine la tensión en el cable y la fuerza
ejercida sobre el collarín por la barra.

y
B

4 pies

A
6 pies

7 pies C
z O

x

4 pies D 4 pies

Estrategia
Como se desea determinar las fuerzas que actúan sobre el collarín, es necesario
dibujar su diagrama de cuerpo libre. Las fuerzas externas que actúan sobre el co-
llarín son su peso y las fuerzas ejercidas sobre él por el cable y la barra. Si este
ejemplo se resuelve como el anterior, el siguiente paso consiste en expresar las
fuerzas en función de sus componentes. Sin embargo, no se conoce la dirección
de la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín. Como la barra lisa ejerce una
fuerza de fricción insignificante, se sabe que la fuerza es normal al eje de la barra.
Por lo tanto, es posible eliminar esta fuerza de la ecuación ͚F ϭ 0 tomando el pro-
ducto punto de la ecuación con un vector unitario que sea paralelo a la barra.

Solución

Dibuje el diagrama de cuerpo libre Se aísla el collarín (figura a) y se comple-
ta el diagrama de cuerpo libre mostrando el peso del collarín, la fuerza T ejercida
por la tensión en el cable y la fuerza normal N ejercida por la barra (figura b).

Aplique las ecuaciones de equilibrio La suma de las fuerzas externas que
actúan sobre el diagrama de cuerpo libre es

©F = T + N - 1100 lb2j = 0. (1)

Sea eBD el vector unitario que apunta desde el punto B hacia el punto D. Como N
es perpendicular a la barra, eBD ؒ N ϭ 0. Por lo tanto,

eBD # 1©F2 = eBD # [T - 1100 lb2j] = 0. (2)

Determinación de eBD: Se determina el vector que va del punto B al punto D,

rBD ϭ (4 Ϫ 0)i ϩ (0 Ϫ 7)j ϩ (4 Ϫ 0)k ϭ 4i Ϫ 7j ϩ 4k (pie),

y se divide entre su magnitud para obtener el vector unitario eBD:

www.FreeLibros.orgeBD = rBD = 4 - 7 + 4
i j k.
ƒ rBD ƒ
9 9 9

3.3 Sistemas tridimensionales de fuerzas 111

Expresión de T en términos de componentes: Es necesario determinar las coorde-
nadas del collarín C. El vector que va de B a C puede escribirse en términos del
vector unitario eBD,

rBC ϭ 6eBD ϭ 2.67i Ϫ 4.67j ϩ 2.67k (pie),

y luego puede sumarse al vector que va del origen O a B para obtener el vector de
O a C:

rOC = rOB + rBC = 7j + 12.67i - 4.67j + 2.67k2
ϭ 2.67i ϩ 2.33j ϩ 2.67k (pie),

Las componentes de este vector son las coordenadas del punto C. Ahora se puede
determinar un vector unitario con la misma dirección que T. El vector de C a A es

rCA = 10 - 2.672i + 17 - 2.332j + 14 - 2.672k (a)
ϭ Ϫ 2.67i ϩ 4.67j ϩ 1.33k (pie), T

y el vector unitario que apunta desde el punto C hacia el punto A es N

eCA = rCA = - 0.482i + 0.843j + 0.241k. Ϫ100 j (lb)
(b)
ƒ rCA ƒ
(a) Aislamiento del collarín.
Sea T la tensión en el cable AC. Entonces se puede escribir el vector T como (b) Diagrama de cuerpo libre del collarín

T = TeCA = T1 - 0.482i + 0.843j + 0.241k2. donde se muestran las fuerzas ejercidas
por su peso, el cable y la barra.
Determinación de T y N: Si se sustituye en la ecuación (2) las expresiones para eBD
y T en términos de sus componentes, resulta

0 = eBD # 3T - 1100 lb2j4

= a4i - 7 + 4 kb # [-0.482T i + 10.843T - 100 lb2j + 0.241T k]
j
999

= - 0.762T + 77.8 lb,

y se obtiene la tensión T ϭ 102 lb.

Usando la ecuación (1) ahora es posible determinar la fuerza ejercida por la
barra sobre el collarín:

N = - T + 1100 lb2j
= - 1102 lb21- 0.482i + 0.843j + 0.241k2 + 1100 lb2j
= 49.1i + 14.0j - 24.6k 1lb2.

Razonamiento crítico
Al obtener el producto punto de la ecuación de equilibrio para el collarín con
un vector unitario eBD que es paralelo a la barra lisa BD, se obtuvo la ecuación (2),
la cual no contiene la fuerza normal N. ¿Por qué pasa esto? La respuesta formal
es que eBD es perpendicular a N, y entonces eBD ؒ N ϭ 0. Pero la interpretación
física de la ecuación (2) proporciona una explicación más convincente: Ésta
establece que la componente del peso del collarín paralela a la barra está balan-
ceada por la componente de T paralela a la barra. La fuerza normal ejercida sobre
el collarín por la barra lisa no tiene componente paralela a la barra. Entonces
se tuvo la posibilidad de resolver para la tensión en el cable sin conocer la fuerza

www.FreeLibros.orgnormalN.

112 Capítulo 3 Fuerzas

Problemas

᭤ 3.63 En el ejemplo activo 3.5, suponga que el punto de unión 3.67 El tractor de la figura ejerce una fuerza F ϭ 2i (kip) en A.
B se mueve al punto (5, 0, 0) m. ¿Cuáles son las tensiones en los ¿Cuáles son las tensiones en las cables AB, AC y AD?
cables AB, AC y AD?
y
3.64 La fuerza F ϭ 800i ϩ 200j (lb) actúa en el punto A donde
se unen los cables AB, AC y AD. ¿Cuáles son las tensiones en los 6 pies
tres cables?
C

8 pies

3.65* Suponga que usted desea aplicar una fuerza F de 1000 lb B 2 pies
en el punto A con una dirección tal que las tensiones resultantes en A
los cables AB, AC y AD sean iguales. Determine las componentes 3 pies
de F. z D
4 pies 8 pies

y F Problema 3.67 x
D (0, 6, 0) pies

A

C (12, 4, 2) pies x
(0, 4, 6) pies B (6, 0, 0) pies

z 3.68 Antes de su despegue, un globo que lleva un conjunto de
Problemas 3.64/3.65 experimentos a gran altura se sostiene en su lugar por grupos
de estudiantes voluntarios que sostienen los tirantes en B, C y D.
3.66 El disco A de 10 lb de metal está soportado por la super- La masa del globo, el paquete de experimentos y el gas que
ficie lisa inclinada y los cordones AB y AC. El disco se localiza contiene es de 90 kg, y la fuerza de flotación del globo es 1000 N.
en las coordenadas (5, 1, 4) pies. ¿Cuáles son las tensiones en El profesor supervisor estima de manera conservadora que cada
los cordones? estudiante puede ejercer al menos una tensión de 40 N sobre el
tirante durante el intervalo de tiempo necesario. Con base en esta
y estimación, ¿cuál es el número mínimo de estudiantes necesarios
en B, C y D?
B
(0, 6, 0) pies y
C
(8, 4, 0) pies

2 piesx
A

8 pies

z 10 pies
Problema 3.66

A (0, 8,0) m

C (10,0,Ϫ12) m

D x

(Ϫ16,0,4) m
www.FreeLibros.orgz B(16,0,16)m
Problema 3.68

Problemas 113

3.69 La masa de 20 kg se suspende mediante cables unidos a tres 3.71 El automóvil de la figura a y la plataforma que lo sostiene
postes verticales de 2 m. El punto A está en (0, 12, 0) m. Determi- pesan 3000 lb. Están soportados por cuatro cables AB, AC, AD y
ne las tensiones en los cables AB, AC y AD. AE. Las ubicaciones de los puntos de unión sobre la plataforma se
muestran en la figura b. Las tensiones en los cables AB y AE son
y iguales. Determine las tensiones en los cables.
C
y
B D
A A (0, 10, 0) pies

1m 1m x
2m
0.3 m
z Problema 3.69

E
C

3.70 El peso de la sección de pared horizontal es W ϭ 20,000 lb. z
Determine las tensiones en los cables AB, AC y AD. B

(a) x

8 pies 6 pies

D C
4 pies
A

10 pies D 7 pies 5 pies
x

6 pies B C 14 pies
4 pies
8 pies 5 pies

W EB

6 pies 5 pies
z
Problema 3.70
(b)

Problema 3.71

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114 Capítulo 3 Fuerzas

3.72 La carga de 680 kg suspendida desde el helicóptero está 3.75* El automóvil de 3400 lb que se muestra en la figura se
en equilibrio. La fuerza de arrastre aerodinámica sobre la carga encuentra en reposo sobre la superficie plana. El vector unitario
es horizontal. El eje y es vertical, y el cable OA pertenece al en ϭ 0.456i ϩ 0.570j ϩ 0.684k es perpendicular a la superficie.
plano x–y. Determine la magnitud de la fuerza de arrastre y las Determine las magnitudes de la fuerza normal total N y la fuerza
tensiones en el cable OA. de fricción total f ejercida sobre la superficie por las llantas
del auto.
3.73 Las coordenadas de los tres puntos de unión de los
cables B, C y D son (Ϫ3.3, Ϫ4.5, 0) m, (1.1, Ϫ5.3, 1) m y y
(1.6, Ϫ5.4, Ϫ1) m, respectivamente. ¿Cuáles son las tensiones
en los cables OB, OC y OD? en

yA x
10Њ
z
Problema 3.75

Ox 3.76 El sistema que se muestra en la figura ancla un puntal de
un techo suspendido por cables. Si la tensión en el cable AB es
de 900 kN, ¿cuáles son las tensiones en los cables EF y EG?

B 3.77* Cada uno de los cables del sistema que se muestra en la
CD figura puede soportar de manera segura una tensión de 1500 kN.
Con base en este criterio, ¿cuál es el valor seguro máximo de la
Problemas 3.72/3.73 tensión en el cable AB?

3.74 Si la masa de la barra AB es despreciable en comparación y
con la masa del objeto E suspendido, la barra ejerce una fuerza
sobre la “bola” en B que apunta desde A hacia B. La masa del G
objeto E es de 200 kg. El eje y apunta hacia arriba. Determine las (0, 1.4, Ϫ1.2) m
tensiones en los cables BC y BD.
F E (2, 1, 0) m (3.4, 1, 0) m
Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre de la bola (0, 1.4, 1.2) m (1, 1.2, 0) m
en B. (El peso de la bola es despreciable).
z
y BA
(0, 4, Ϫ3) m (2.2, 0, Ϫ1) m

C D
x
D
(0, 5, 5) m B (2.2, 0, 1) m
(4, 3, 1) m C

Problemas 3.76/3.77

x
A

E

z

www.FreeLibros.orgProblema3.74

Problemas 115

3.78 El collarín de 200 kg en A es mantenido en su lugar sobre la 3.82* El collarín A de 10 kg y el collarín B de 20 kg se mantie-
barra vertical lisa mediante el cable AB. nen en su lugar sobre las barras lisas mediante el cable de 3 m
a) Determine la tensión en el cable. que va de A a B y la fuerza F que actúa sobre A. La fuerza F es
b) Determine la fuerza ejercida por la barra sobre el collarín. paralela a la barra. Determine F.

y y
(0, 5, 0) m
2m
B

(0, 3, 0) m F

A 3m
B

5m A (4, 0, 0) m x

2m z (0, 0, 4) m

2m x Problema 3.82
z

Problema 3.78

᭤ 3.79 En el ejemplo 3.6, suponga que el cable AC se reemplaza
por uno más largo, de manera que la distancia desde el punto B
hasta el collarín C aumenta de 6 a 8 pies. Determine la tensión en
el cable.

3.80 El cable AB mantiene en su lugar al collar A de 8 kg sobre
la barra lisa CD. El eje y apunta hacia arriba. ¿Cuál es la tensión
en el cable?

3.81* Determine la magnitud de la fuerza normal ejercida por la
barra lisa sobre el collarín A.

y
0.15 m

B 0.4 m

C

A 0.2 m 0.3 m

0.5 m

Ox

0.25 m
D

0.2 m

z

Problemas 3.80/3.81

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116 Capítulo 3 Fuerzas

Problemas de repaso

3.83 La caja de 100 lb que se muestra en la figura es mantenida 3.85 El motor de 400 lb que se muestra en la figura está suspendi-
en equilibrio sobre la superficie lisa por la cuerda AB. Determine do por los cables AB y AC. Si usted no desea que TAB ni TAC sean
la tensión en la cuerda y la magnitud de la fuerza normal ejercida mayores a 400 lb, ¿cuál es el valor mínimo aceptable del ángulo a?
por la superficie sobre la caja.
y

B TAB TAC
C
A aa x
45Њ A A

B

30Њ 400 lb

Problema 3.83 Problema 3.85
3.84 El sistema mostrado se llama tracción de Russell. Si la 3.86 El cable AB mostrado es horizontal y la caja de la derecha
suma de las fuerzas hacia abajo ejercidas en A y B por las pesa 100 lb. Las superficies son lisas.
piernas del paciente es de 32.2 lb, ¿cuál es el peso W? a) ¿Cuál es la tensión en el cable?
b) ¿Cuál es el peso de la caja de la izquierda?
y
AB

20Њ
40Њ

20Њ 60Њ Problema 3.86
B
25Њ 3.87 Suponga que las fuerzas ejercidas sobre el alpinista de
A 170 lb que se muestra en la figura, por las paredes inclinadas
de la “chimenea”, son perpendiculares a las paredes. Si él está
W en equilibrio y ejerce una fuerza de 160 lb sobre la cuerda,
¿cuáles son las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre el
x alpinista por las paredes izquierda y derecha?

10Њ

Problema 3.84

www.FreeLibros.org4Њ 3Њ
Problema 3.87

3.88 La masa del objeto suspendido A es mA y las masas de las Problemas de repaso 117
poleas son insignificantes. Determine la fuerza T necesaria para
3.90 La masa del bloque A que se muestra en la figura es de
que el sistema esté en equilibrio. 42 kg, y la masa del bloque B es de 50 kg. Las superficies son
lisas. Si los bloques están en equilibrio, ¿qué valor tiene la
fuerza F?

B
F 45Њ

A

20Њ

TA Problema 3.90

Problema 3.88 3.91 El alpinista A está recibiendo ayuda de dos compañeros
para subir la pendiente de hielo. Su masa es de 80 kg y los
3.89 El ensamble A mostrado, que incluye la polea, pesa 60 lb. cosenos directores de la fuerza ejercida sobre él por la pendien-
¿Qué fuerza F se necesita para que el sistema esté en equilibrio? te son cos ux ϭ Ϫ0.286, cos uy ϭ 0.429 y cos uz ϭ 0.857. El
eje y es vertical. Si el alpinista está en equilibrio en la posición
mostrada, ¿cuáles son las tensiones en las cuerdas AB y AC, y
cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por la pendiente sobre
el alpinista?

3.92 Considere al alpinista A que está siendo ayudado por sus
compañeros en el problema 3.91. Para tratar de que las tensiones
en las cuerdas sean menos desiguales, el alpinista B se mueve a
la posición (4, 2, 0) m. ¿Cuáles son las nuevas tensiones en las
cuerdas AB y AC, y cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por
la pendiente sobre el alpinista?

y

F B C
A (2, 2, 0) m (5, 2, Ϫ1) m

Problema 3.89 zA x
(3, 0, 4) m

Problemas 3.91/3.92

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118 Capítulo 3 Fuerzas

3.93 Un alpinista ayuda a subir a su amigo, quien jala una caja 3.96 Para soportar la tienda de campaña mostrada, la tensión en
de suministros por una pendiente con hielo. Si la masa del amigo la cuerda AB debe ser de 35 lb. ¿Cuáles son las tensiones en las
es de 90 kg y la masa de los suministros es de 22 kg, ¿cuáles son cuerdas AC, AD y AE?
las tensiones en las cuerdas AB y CD? Suponga que la pendiente
es lisa, es decir, que sólo la pendiente ejerce fuerzas normales y
sobre el hombre y la caja.

A
20Њ
B

C (0, 6, 6) pies D (0, 5, 0) pies
40Њ C (6, 4, 3) pies

75° A B (8, 4, 3) pies

D x

60Њ E
(3, 0, 3) pies
Problema 3.93
3.94 El automóvil de 2800 lb se mueve a velocidad constante z
sobre un camino con la pendiente que se muestra en la figura. Las Problema 3.96
fuerzas aerodinámicas sobre el auto son el arrastre D ϭ 270 lb, el
cual es paralelo al camino y la elevación L ϭ 120 lb, que es perpen- 3.97 El cable AB de la figura está unido a la parte superior del
dicular al camino. Determine las magnitudes de las fuerzas totales poste vertical de 3 m de altura y su tensión es de 50 kN. ¿Cuáles
normal y de fricción ejercidas por el camino sobre el automóvil. son las tensiones en los cables AO, AC y AD?

L y 5m
D 5m

15Њ C
D
Problema 3.94
3.95 Un ingeniero que realiza estudios preliminares para el dise- 4m
ño de un nuevo radiotelescopio proyectó una plataforma triangular 8m
suspendida por cables apoyados en tres torres de 40 m de altura
igualmente espaciadas. La plataforma tiene una masa de 20 Mg (6, 2, 0) m B
(megagramos) y está 10 m abajo del punto más alto de las torres. OA
¿A qué tensión están sometidos los cables? z 3m

VISTA SUPERIOR 12 m
x

Problema 3.97

20 m
65 m

www.FreeLibros.orgProblema3.95

3.98* El automóvil de 1350 kg que se muestra en la figura está y Problemas de repaso 119
en reposo sobre una superficie plana con los frenos activados. El
vector unitario en ϭ 0.231i ϩ 0.923j ϩ 0.308k es perpendicular a B en
la superficie. El eje y apunta hacia arriba. Los cosenos directores ep A
del cable que va de A a B son cos ux ϭ Ϫ0.816, cos uy ϭ 0.408,
cos uz ϭ Ϫ0.408, y la tensión en el cable es de 1.2 kN. Determine x
las magnitudes de las fuerzas normal y de fricción que ejercen las
llantas del automóvil sobre la superficie. z
Problemas 3.98/3.99
3.99* Los frenos del automóvil del problema 3.98 se sueltan, y el
auto se mantiene en equilibrio sobre la superficie plana mediante
el cable AB. Las ruedas frontales se alinean de manera que las
llantas no ejercen fuerzas de fricción paralelas al eje longitudinal
del automóvil. El vector unitario ep ϭ Ϫ0.941i ϩ 0.131j ϩ 0.314k
es paralelo a la superficie plana y está alineado con el eje
longitudinal del auto. ¿Cuál es la tensión en el cable?

Proyecto de diseño 1 En la figura se muestra un posible b) Suponga que puede usar los mismos componentes —el plato,
diseño para una báscula simple con la que se desea pesar obje- el transportador, un resorte, un cordón— así como una o más
tos. La longitud del resorte AB es 0.5 m. Cuando un objeto se poleas. Sugiera otra posible configuración para la báscula. Use
coloca en el plato, el resorte se elonga y el cordón AB gira. El la estática para analizar su configuración propuesta y compare
peso del objeto puede determinarse mediante la observación su exactitud con la de la configuración mostrada en la figura
del cambio en el ángulo a. para objetos con masas en el rango de 0.2 a 2 kg.

1m Proyecto de diseño 2 Suponga que las posiciones de los
Ba puntos A, C y D del sistema de cables, de donde pende la masa
de 100 kg, están fijos. Sin embargo, usted tiene la libertad de
A elegir las coordenadas x y z del punto B. Investigue los efectos
C sobre las tensiones en los cables de diferentes opciones para la
ubicación del punto B. Si el costo del cable AB es proporcional
al producto de la tensión en el cable y su longitud, investigue
el efecto sobre el costo del cable de las diferentes opciones
para la ubicación del punto B. Escriba un reporte breve donde
describa los resultados de sus investigaciones y recomiende
una ubicación para el punto B.

y
C

(Ϫ2, 0, Ϫ2) m x
B
(Ϫ3, 0, 3) m
D (x, 0, z) m

a) Suponga que se pesarán objetos con masas en el rango de

0.2 a 2 kg. Elija la longitud sin elongar y la constante del re- z A (0, Ϫ4, 0) m
sorte con el propósito de obtener lecturas exactas de los pesos

en el rango deseado (ignore los pesos del plato y el resorte;

observe que, para determinar el peso de manera exacta, es

www.FreeLibros.orgnecesario un cambio significativo en el ángulo a). 100 kg

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CAPÍTULO

4

Sistemas de fuerzas y momentos

Los efectos de las fuerzas dependen no sólo de sus mag-
nitudes y direcciones, sino también de los momentos o
pares de torsión que ejercen. Los giros de objetos como
las ruedas de un vehículo, el cigüeñal de un motor y el
rotor de un generador eléctrico resultan de los momentos
de las fuerzas ejercidas sobre ellos. Si un objeto está en
equilibrio, el momento con respecto a cualquier punto
debido a las fuerzas actuantes sobre el cuerpo es igual a
cero. Antes de continuar con el estudio del diagrama
de cuerpo libre y del equilibrio, es necesario entender
cómo calcular los momentos e introducir el concepto de
sistemas equivalentes de fuerzas y momentos.

᭣ El contrapeso de la grúa de construcción ejerce un gran momento que la
estructura de la grúa debe soportar durante el ensamble. En este capítulo se
calculan momentos de fuerzas y se analizan sistemas de fuerzas y momentos.

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122 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.1 Descripción bidimensional del momento

ANTECEDENTES

Considere una fuerza de magnitud F y un punto P, y una vista en la dirección per-
pendicular al plano que los contiene (figura 4.1a). La magnitud del momento de la
fuerza respecto a P es el producto DF, donde D es la distancia perpendicular de
P a la línea de acción de la fuerza (figura 4.1b). En este ejemplo, la fuerza tendería
a causar un giro en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj alre-
dedor del punto P. Es decir, si se imagina que la fuerza actúa sobre un objeto que
puede girar alrededor del punto P, la fuerza generará un giro en sentido contrario al

Figura 4.1 F F F
(a) La fuerza y el punto P. P P
(b) Distancia perpendicular D del punto P a la P
(a) D (c)
línea de acción de F. (b)
(c) La dirección del momento es en sentido

contrario al movimiento de las manecillas
del reloj.

movimiento de las manecillas del reloj (figura 4.1c). Se dice que la dirección del
momento es contraria al sentido de las manecillas del reloj. Se definen los momen-
tos en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como positivos y
los momentos en el sentido del movimiento de las manecillas del reloj como nega-
tivos. (Ésta es la convención usual, aunque se encontrarán situaciones en las que
será más conveniente definir los momentos en sentido del movimiento de las mane-
cillas del reloj como positivos.) Así, el momento de la fuerza respecto a P es

MP = DF. (4.1)

P Observe que si la línea de acción de F pasa por P, la distancia perpendicular D ϭ 0
W y el momento de F respecto a P también es igual a cero.

Las dimensiones del momento son (distancia) ϫ (fuerza). Por ejemplo, los

D1 momentos pueden expresarse en newton-metro en unidades SI y en lb-pie en las
(a) unidades de uso común en Estados Unidos.

Suponga que se desea colocar un televisor en una repisa, pero no se tiene la

seguridad de que la unión de la repisa a la pared sea suficientemente fuerte para

resistir la carga. De manera intuitiva, se colocará el aparato cerca de la pared

(figura 4.2a), sabiendo que es más probable que la conexión falle si se coloca

lejos de ella (figura 4.2b). ¿Cuál es la diferencia en los dos casos? La magnitud

y la dirección de la fuerza ejercida sobre la repisa por el peso del televisor son

las mismas en ambos casos, pero los momentos ejercidos sobre la unión son dife-

P rentes. El momento ejercido respecto a P por el peso, cuando éste se halla cerca

W de la pared, MP ϭ ϪD1W, es de menor magnitud que el momento respecto a P
cuando el peso está lejos de la pared, MP ϭ ϪD2W.

El método descrito en esta sección puede usarse para determinar la suma de
D2 los momentos de un sistema de fuerzas respecto a un punto si éstas son bidimen-

(b) sionales (coplanares) y el punto se encuentra en el mismo plano. Por ejemplo,

Figura 4.2 considere la grúa para construcción que se muestra en la figura 4.3. La suma de
(a) La colocación del televisor cerca de la los momentos ejercidos respecto al punto P por la carga W1 y el contrapeso W2 es

pared minimiza el momento ejercido sobre ©MP = D1W1 - D2W2.
el soporte de la repisa en P.

(b) La colocación del televisor lejos de la pared Este momento tiende a ocasionar que la parte superior de la torre vertical gire, lo cual
ejerce un gran momento sobre el soporte

www.FreeLibros.orgen P y podría ocasionar que éste fallase.
podría ocasionar su colapso. Si la distancia D2 se ajusta de modo que D1W1 ϭ D2W2,
el momento respecto al punto P debido a la carga y al contrapeso será igual a cero.

4.1 Descripción bidimensional del momento 123

PP

W1 W2 Figura 4.3
D1 D2 Grúa de torre usada en la construcción de
edificios altos.

Si una fuerza se expresa en términos de sus componentes, el momento de
la fuerza respecto a un punto P es igual a la suma de los momentos de sus com-
ponentes respecto a P. En la próxima sección se demostrará este resultado que
es de gran utilidad.

RESULTADOS

Tanto el vector fuerza de magnitud F como el F
punto P , están contenidos en el plano de la página. P

Magnitud del momento F
La magnitud del momento de F respecto a P es el
producto DF, donde D es la distancia perpendicular P
desde P hasta la línea de acción de F. D

Dirección y signo del momento

Se dice que la dirección del momento es contraria al sentido de las

manecillas del reloj si F tendiera a rotar un objeto clavado en P en F

dirección contraria a las manecillas del reloj con respecto a P.

Excepto donde se establezca lo contrario, se define a los momentos

en sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj como

positivos y a los momentos en sentido del movimiento de las P

manecillas del reloj como negativos. Así, el momento de la fuerza

mostrada respecto a P es

MP ϭ DF. (4.1)

y

F

Si F se expresa en términos de sus

componentes, el momento de F respecto a P

es igual a la suma de los momentos de las

componentes de F respecto a P. P

www.FreeLibrx os.org

124 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo activo 4.1 Determinación de un momento (᭤ Relacionado con el problema 4.1)

¿Cuál es el momento de la fuerza de 40 kN que se muestra en la figura respecto al
punto A?

40 kN

A 30°
6m

Estrategia
La magnitud del momento puede calcularse determinando la distancia perpendicu-
lar del punto A a la línea de acción de la fuerza.

Solución

6m 40 kN La distancia perpendicular de A a la línea de
A 30Њ acción de la fuerza es

D D ϭ (6 m)sen30Њ ϭ 3m.

Por lo tanto la magnitud del momento es
(3 m)(40 kN) ϭ 120 kN-m.

La dirección del momento es en sentido
contrario a las manecillas del reloj, por lo tanto,

MA ϭ 120 kN-m.

Problema de práctica Descomponga la fuerza de 40 kN en sus componentes hori-
zontal y vertical, y calcule la suma de los momentos de las componentes respecto a A.

Respuesta: 120 kN-m.

Ejemplo 4.2 Momento de un sistema de fuerzas (᭤ Relacionado con el problema 4.12)

Cuatro fuerzas actúan sobre la parte de máquina que se muestra en la figura.
4 kN ¿Qué valor tiene la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O?

2 kN 30Њ

300 mm Estrategia
O 3 kN Se pueden determinar los momentos de las fuerzas respecto al punto O directa-
mente de la información dada excepto para la fuerza de 4 kN. Se determinará su
5 kN momento expresándolas en términos de sus componentes y sumando los momen-
tos de las componentes.

300 mm 400 mm

Solución

Momento de la fuerza de 3 kN La línea de acción de la fuerza de 3 kN pasa

www.FreeLibros.orgpor O. No ejerce momento respecto a O.

4.1 Descripción bidimensional del momento 125

Momento de la fuerza de 5 kN La línea de acción de la fuerza de 5 kN también
pasa por O. Tampoco ejerce momento respecto a O.
Momento de la fuerza de 2 kN La distancia perpendicular de O a la línea de
acción de la fuerza de 2 kN es 0.3 m, y el sentido del momento respecto a O es
en sentido del movimiento de las manecillas del reloj. El momento de la fuerza
de 2 kN respecto a O es

-10.3 m212 kN2 = - 0.600 kN-m.

(Observe que la distancia perpendicular se convirtió de milímetros a metros, con
lo que se obtuvo el resultado en términos de kilonewton-metros.)

Momento de la fuerza de 4 kN En la figura a se introduce un sistema coorde-
nado y la fuerza de 4 kN se expresa en términos de sus componentes x e y. La dis-
tancia perpendicular de O a la línea de acción de la componente x es de 0.3 m, y
la dirección del momento respecto a O es en el sentido del movimiento de las ma-
necillas del reloj. El momento de la componente x respecto a O es

-10.3 m214 cos 30° kN2 = - 1.039 kN-m.

y

4 sen 30Њ kN

4 kN

2 kN 4 cos 30Њ kN

300 x
mm O

3 kN 5 kN

300 400
mm mm

(a) Descomposición de la fuerza de 4 kN en
sus componentes.

La distancia perpendicular del punto O a la línea de acción de la componente y
es de 0.7 m, y el sentido del momento respecto a O es en sentido contrario al
movimiento de las manecillas del reloj. El momento de la componente y respecto
a O es

(0.7 m)(4 sen 30° kN) ϭ 1.400 kN-m.

La suma de los momentos de las cuatro fuerzas respecto a O es

©M0 = - 0.600 - 1.039 + 1.400 = - 0.239 kN-m.

Las cuatro fuerzas ejercen un momento en sentido del movimiento de las maneci-
llas del reloj de 0.239 kN-m respecto al punto O.

Razonamiento crítico
Si un objeto está sometido a un sistema de fuerzas conocidas, ¿por qué es útil
determinar la suma de los momentos de las fuerzas respecto a un punto dado?
Como se analizará en el capítulo 5, el objeto está en equilibrio sólo si la suma de
los momentos respecto a cualquier punto es igual a cero, entonces el cálculo de la
suma de los momentos proporciona una prueba para el equilibrio (observe que el
objeto de este ejemplo no está en equilibrio). Es más: en dinámica puede determi-
narse la suma de los momentos de las fuerzas que actúan sobre los objetos para

www.FreeLibros.organalizar sus movimientos angulares.

126 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

Ejemplo 4.3 Suma de momentos para determinar una fuerza desconocida (᭤ Relacionado con el

problema 4.23)

B El peso W ϭ 300 lb. La suma de los momentos respecto a C debido al peso W y
de la fuerza ejercida sobre la barra CA por el cable AB es igual a cero. ¿Cuál es la
tensión en el cable?

7 pies A Estrategia
Sea T la tensión en el cable AB. Usando las dimensiones dadas es posible expresar
4 pies las componentes horizontal y vertical de la fuerza ejercida sobre la barra por el cable
W en términos de T. Después, igualando a cero la suma de los momentos respecto a C
C debidos al peso de la barra y la fuerza ejercida por el cable, puede obtenerse una ecua-
ción para T.
2 pies 2 pies

Solución
Usando triángulos semejantes, se expresa la fuerza ejercida sobre la barra por el

B cable en términos de sus componentes horizontal y vertical (figura a). La suma de
los momentos respecto a C debidos al peso de la barra y a la fuerza ejercida por el

3 pies T3 cable AB es
5T
A ©MC = 4a 4 Tb + 4a 3 Tb - 2W = 0.
5 5
4
4 pies T Despejando T se obtiene

C 5 T = 0.357W = 107.1 lb.

W

22 Razonamiento crítico
pies pies Este ejemplo es un precedente de las aplicaciones que se considerarán en el capí-
tulo 5 y demuestra por qué es necesario saber cómo calcular momentos de fuerzas.
(a) Descomposición de la fuerza Si la barra está en equilibrio, la suma de los momentos respecto a C es cero. La
ejercida por el cable en sus aplicación de esta condición permite determinar la tensión en el cable. ¿Por qué es
componentes horizontal y necesario considerar la fuerza ejercida sobre la barra por su soporte en C? Porque
vertical. se sabe que el momento de esa fuerza respecto a C es igual a cero.

Problemas

᭤ 4.1 En el ejemplo activo 4.1, la fuerza de 40 N apunta 30° por 4.3 Las ruedas de la grúa aérea ejercen fuerzas descendentes
encima de la horizontal. Ahora suponga que la fuerza apunta 30° sobre la viga horizontal I en B y C. La fuerza en B es de 40 kip
por debajo de la horizontal. Trace un bosquejo de la viga con la y la fuerza en C es de 44 kip; determine la suma de los momen-
nueva orientación de la fuerza. ¿Cuál es el momento de la fuerza tos de las fuerzas sobre la viga respecto a) al punto A y b) al
respecto al punto A? punto D.

4.2 La masa m1 ϭ 20 kg. La magnitud del momento total respecto 10 25 pies 15 pies
a B debido a las fuerzas ejercidas sobre la barra AB por los pesos pies
de las dos masas suspendidas es 170 N-m. ¿Cuál es la magnitud
del momento total debido a las fuerzas respecto al punto A?

0.35 m 0.35 m 0.35 m
A
AB CD

B

m1 m2

www.FreeLibros.orgProblema4.2 Problema 4.3

Problemas 127

4.4 ¿Cuál es la fuerza F aplicada a las pinzas que se requiere para 4.6 La fuerza F = 8 kN. ¿Cuál es el momento de la fuerza respec-
ejercer un momento de 4 N-m respecto al centro del perno en P? to al punto P?

4.7 Si la magnitud del momento debido a la fuerza F respecto a
Q es 30 kN-m, ¿cuál es el valor de F?

y
(3, 7) m

FQ
(8, 5) m

P (7, 2) m
(3, 2) m

x

Problemas 4.6/4.7

P
4.8 El soporte en el extremo izquierdo de la viga fallará si el mo-
mento respecto a A de la fuerza de 15 kN es mayor a 18 kN-m. Con
base en este criterio, ¿cuál la longitud máxima permisible de la viga?

165 F F 30Њ
mm B

42Њ A
25Њ

Problema 4.4

Problema 4.8

4.5 Dos fuerzas de igual magnitud F se aplican sobre la llave 4.9 La barra AP tiene una longitud de 650 mm. El radio de la
según se muestra en la figura. Si se requiere un momento de polea mide 120 mm. Se aplican fuerzas iguales T ϭ 50 kN en los
50 N-m para aflojar la tuerca, ¿cuál es el valor necesario de F? extremos del cable. ¿Cuál es el valor de la suma de los momentos
de las fuerzas a) respecto a A; b) respecto a P?

45Њ A 30Њ
T

T

300 mm
F 380 mm
F 30Њ

20Њ P 45Њ

FF Problema 4.9

www.FreeLibros.orgProblema4.5

128 Capítulo 4 Sistemas de fuerzas y momentos

4.10 La fuerza F = 12 kN. Un ingeniero estructural determina 4.14 El momento ejercido respecto al punto E por el peso es
que la magnitud del momento debido a F respecto a P no debe ex- de 299 pulg-lb. ¿Cuál es el momento que ejerce el peso respecto
ceder 5 kN-m. ¿Cuál es el rango aceptable del ángulo a? Suponga al punto S?
que 0 Յ a Յ 90°.

F S 13 pulg
a 30Њ E 40Њ

1m 12 pulg
P
Problema 4.14
2m
4.15 Las magnitudes de las fuerzas ejercidas sobre el pilar D
Problema 4.10 mediante los cables A, B y C son iguales: FA ϭ FB ϭ FC.
La magnitud del momento total respecto a E debido a las fuerzas
4.11 La longitud de la barra AB es 350 mm. Los momentos ejercidas mediante los tres cables en D es 1350 kN-m. ¿Cuál es el
ejercidos respecto a los puntos B y C por la fuerza vertical F valor de FA?
son MB ϭ Ϫ1.75 kN-m y MC ϭ Ϫ4.20 kN-m. Determine la
fuerza F y la longitud de la barra AC.

C B D D
20° 30° 6m FC

A FA FB

A BC

F E 4m
Problema 4.11 4m

᭤ 4.12 En el ejemplo 4.2, suponga que la fuerza de 2 kN apunta 4m
hacia arriba en vez de hacia abajo. Trace un bosquejo de la parte de
máquina donde se muestren las orientaciones de las fuerzas. ¿Cuál Problema 4.15
es la suma de los momentos de las fuerzas respecto al origen O?
4.16 Tres fuerzas actúan sobre la tubería. Determine la suma de
4.13 Dos fuerzas iguales y opuestas actúan sobre la viga. De- los momentos de las tres fuerzas respecto al punto P.
termine la suma de los momentos de las dos fuerzas a) respecto
al punto P; b) respecto al punto Q, y c) respecto al punto coor- 2 kN 20Њ
denado x ϭ 7 m, y ϭ 5 m.

4 kN 2 kN 0.2 m

y

40 N 30Њ P

P 30Њ 40 N Q 0.2 m
x
0.2 m

2m 2m 0.2 m

www.FreeLibros.orgProblema4.13
Problema 4.16