www.FreeLibros.org
Mecánica para ingeniería
DINÁMICA
QUINTA EDICIÓN
Anthony Bedford • Wallace Fowler
University of Texas at Austin
TRADUCCIÓN
Jesús Elmer Murrieta Murrieta
Maestro en Investigación de Operaciones
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Morelos
REVISIÓN TÉCNICA
Alex Elías Zúñiga Miguel Ángel Ríos Sánchez
Departamento de Ingeniería Mecánica Departamento de Ingeniería Mecánica y Mecatrónica
Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores
de Monterrey, Campus Monterrey de Monterrey, Campus Estado de México
www.FreeLibros.org
Datos de catalogación bibliográfica
BEDFORD, ANTHONY; FOWLER, WALLACE T.
Mecánica para ingeniería. Dinámica
Quinta edición
PEARSON EDUCACIÓN, México, 2008
ISBN: 978-970-26-1278-0
Área: Ingeniería
Formato: 20 ϫ 25.5 cm Páginas: 672
Authorized translation from the English language edition, entitled Engineering mechanics: Dynamics, 5th edition by Anthony Bedford and Wallace T.
Fowler, published by Pearson Education, Inc., publishing as Prentice Hall. Copyright © 2008. All rights reserved.
ISBN 0136129161
Traducción autorizada de la edición en idioma inglés titulada Engineering mechanics: Dinamics 5th edition por Anthony Bedford y Wallace T. Fowler,
publicada por Pearson Education, Inc., publicada como Prentice Hall. Copyright © 2008. Todos los derechos reservados.
Esta edición en español es la única autorizada.
Edición en español
Editor: Luis Miguel Cruz Castillo
e-mail: [email protected]
Editor de desarrollo: Bernardino Gutiérrez Hernández
Supervisor de producción: Rodrigo Romero Villalobos
Edición en inglés Director of Creative Services: Paul Belfanti
Vice President and Editorial Director, ECS: Marcia J. Horton Creative Director: Juan Lopez
Acquisitions Editor: Tacy Quinn Art Director: Jonathan Boylan
Associate Editor: Dee Bernhard Interior Designer: Kenny Beck
Managing Editor: Scott Disanno Cover Designer: Jonathan Boylan
Media Editor: David Alick Art Editor: Xiaohong Zhu
Marketing Manager: Tim Galligan Manufacturing Manager: Alexis Heydt-Long
Production Editor: Craig Little Manufacturing Buyer: Lisa McDowell
Media Project Manager: Rich Barnes
QUINTA EDICIÓN, 2008
D.R. © 2008 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Atlacomulco 500-5o. piso
Col. Industrial Atoto
53519, Naucalpan de Juárez, Estado de México
Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031.
Prentice Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V.
Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación
de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o
cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.
El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.
ISBN 10: 970-26-1278-0
ISBN 13: 978-970-26-1278-0
Impreso en México. Printed in Mexico.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 11 10 09 08
www.FreeLibros.org
Contenido
Prefacio xiii
Acerca de los autores xxi
Créditos de fotografías xxiii
12 Introducción 3
12.1 Ingeniería y mecánica 4
Resolución de problemas 4
Números 5 8
Espacio y tiempo 5
Leyes de Newton 6
Sistema internacional de unidades 7
Unidades de uso común en Estados Unidos
Unidades angulares 8
Conversión de unidades 8
12.2 Gravitación de Newton 15
www.FreeLibros.oriiig
iv Contenido
13 Movimiento de un punto 21
13.1 Posición, velocidad y aceleración 22
13.2 Movimiento en línea recta 24
Descripción del movimiento 24
Análisis del movimiento 26 29
Cuando se conoce la aceleración como una función del tiempo 29
Cuando se conoce la velocidad como una función del tiempo
Cuando la aceleración es constante 30
13.3 Movimiento en línea recta cuando la aceleración
depende de la velocidad o de la posición 41
13.4 Movimiento curvilíneo: Coordenadas
cartesianas 49
13.5 Movimiento angular 61
Movimiento angular de una línea 61
Rotación de un vector unitario 61
Movimiento angular de una línea 63
Rotación de un vector unitario 63
13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal
y tangencial 67
Movimiento planar 67 72
Movimiento circular 70
Movimiento tridimensional 71
Componentes normal y tangencial en el movimiento planar
Movimiento en el plano x–y de un marco de referencia
cartesiano 73
Movimiento en una trayectoria circular 73
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares
y cilíndricas 84
Coordenadas polares 88
Coordenadas cilíndricas 89
13.8 Movimiento relativo 99
Problemas de repaso 104
www.FreeLibros.org
Contenido v
14 Fuerza, masa y aceleración 107
14.1 Segunda ley de Newton 108 108
Ecuación de movimiento para el centro de masa
Marcos de referencia inerciales 110
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento
en línea recta 112
14.3 Aplicaciones: Componentes normal
y tangencial 133
14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilíndricas 146
14.5 Mecánica de órbitas 153
Determinación de la órbita 153
Tipos de órbitas 156
Problemas de repaso 160
15 Métodos energéticos 165
15.1 Trabajo y energía cinética 166
Principio del trabajo y la energía 166
Evaluación del trabajo 167
Potencia 168 169
Principio del trabajo y la energía
Evaluación del trabajo 170
Potencia 170
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 180
Peso 180
Resortes 182
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 196
Energía potencial 196 201
Fuerzas conservativas 197
Fuerzas conservativas y energía potencial 200
Conservación de la energía 200
Energías potenciales asociadas con fuerzas particulares
15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía
potencial 213
Problemas de repaso 217
www.FreeLibros.org
vi Contenido
16 Métodos de la cantidad de movimiento 223
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 224
16.2 Conservación de la cantidad de movimiento 255
lineal y los impactos 238 257
Conservación de la cantidad de movimiento lineal 238
Impactos 239
Colisión perfectamente plástica 242
Impactos 242
Conservación de la cantidad de movimiento lineal 242
Impacto central directo 243
Impacto central oblicuo 243
16.3 Cantidad de movimiento angular 255
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular
Movimiento bajo una fuerza central 256
Cantidad de movimiento angular 257
Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular
Movimiento bajo una fuerza central 258
16.4 Flujos de masa 263
Problemas de repaso 272
17 Climática plana de cuerpos rígidos 279
17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento 280
Traslación 281
Rotación respecto a un eje fijo 281
Movimiento plano 282
17.2 Rotación respecto a un eje fijo 283
17.3 Movimientos generales: velocidades 290
Velocidades relativas 290
Vector de la velocidad angular 292
Velocidades relativas 294
Movimiento de rodadura 295
Vector de velocidad angular 295
17.4 Centros instantáneos 308
17.5 Movimientos generales: aceleraciones 315
Velocidades y aceleraciones relativas 318
Movimiento plano 318
Movimiento de rodadura 318
17.6 Contactos deslizantes 328
17.7 Marcos de referencia móviles 342
Movimiento de un punto respecto a un marco
de referencia móvil 342
Marcos de referencia inerciales 343
Movimiento de un punto respecto a un marco
de referencia móvil 347
Marcos de referencia 348
www.FreeLibros.orgProblemasderepaso 359
Contenido vii
18 Dinámica plana de cuerpos rígidos 365
18.1 Principios de la cantidad de movimiento para
un sistema de partículas 366
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 366
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 367
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal 369
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular 369
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 369
Rotación alrededor de un eje fijo 369
Movimiento plano general 370
Apéndice: Momentos de inercia 395
Objetos simples 395
Teorema de los ejes paralelos 398
Problemas de repaso 408
19 Energía y cantidad de movimiento en
la dinámica de cuerpos rígidos 413
19.1 Trabajo y energía 414
Energía cinética 415
Trabajo y energía potencial 417
Potencia 419
Principio del trabajo y la energía 419
Energía cinética 420
Trabajo realizado por una fuerza 420
Trabajo realizado por un par 421
Conservación de la energía 421
Potencia 422
19.2 Impulso y cantidad de movimiento 436
Cantidad de movimiento lineal 436
Cantidad de movimiento angular 437
Cantidad de movimiento lineal 440
Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido
en movimiento plano 440
19.3 Impactos 450
Conservación de la cantidad de movimiento
Coeficiente de restitución 451 450
Cantidad de movimiento lineal 454
Cantidad de movimiento angular 455
Coeficiente de restitución 455
Problemas de repaso 468
www.FreeLibros.org
viii Contenido
20 Cinemática y dinámica tridimensionales
de cuerpos rígidos 475
20.1 Cinemática 476 477
Velocidades y aceleraciones 476
Marcos de referencia en movimiento
20.2 Ecuaciones de Euler 491
Rotación respecto a un punto fijo 491
Movimiento tridimensional general 494
Ecuaciones de movimiento plano 496
Segunda ley de Newton 497
Giro respecto a un punto fijo 497
Movimiento tridimensional general 498
20.3 Ángulos de Euler 513
Objetos con un eje de simetría 513
Objetos arbitrarios 517 519
Ángulos de Euler para un objeto con un eje de simetría
Precesión estable 520
Precesión estable libre de momento 521
Conos espacial y de cuerpo 522
Ángulos de Euler para un objeto arbitrario 522
Apéndice: Momentos y productos de inercia 529
Objetos simples 529 534
Placas delgadas 530
Teoremas de los ejes paralelos 532
Momento de inercia respecto a un eje arbitrario
Ejes principales 534
Problemas de repaso 544
21 Vibraciones 549
21.1 Sistemas conservativos 550
Ejemplos 550
Soluciones 551
21.2 Vibraciones amortiguadas 566
Amortiguamiento subcrítico 566
Amortiguamientos crítico y supercrítico 567
Amortiguamiento subcrítico 569
Amortiguamiento crítico y supercrítico 570
21.3 Vibraciones forzadas 578
Función forzante de excitación oscilatoria 579
Función forzante de excitación polinomial 581
Solución particular para una función forzante de excitación
oscilatoria 583
Solución particular para una función de excitación polinomial 583
www.FreeLibros.orgProblemasderepaso 592
Contenido ix
APÉNDICES 597
A Repaso de matemáticas
A.1 Álgebra 597
Ecuaciones cuadráticas 597
Logaritmos naturales 597
A.2 Trigonometría 598
A.3 Derivadas 598
A.4 Integrales 599
A.5 Series de Taylor 600
A.6 Análisis vectorial 600
Coordenadas cartesianas 600
Coordenadas cilíndricas 600
B Propiedades de áreas y líneas 601
B.1 Áreas 601
B.2 Líneas 604
C Propiedades de volúmenes y objetos
homogéneos 605
D Coordenadas esféricas 608
E Principio de D’Alembert 609
Soluciones a los problemas de práctica 611
Respuestas a los problemas
con número par 637
Índice 645
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
Prefacio
El desarrollo de la quinta edición de Mecánica para Ingeniería: comprensión de los conceptos. Los números de estos proble-
Estática y Dinámica comenzó al preguntarnos de qué manera mas se mencionan al inicio de cada ejemplo, de manera que los
podrían reestructurarse nuestros libros de texto para ayudar a profesores puedan usarlos con facilidad para estimular el estu-
los estudiantes a aprender mecánica de manera más eficaz y dio de ciertos temas seleccionados.
eficiente.
Resultados
Desde las primeras ediciones, nuestro objetivo ha sido pre-
sentar el material de una forma que emule el desarrollo de los La mayoría de las secciones del libro ahora concluye con una
conceptos por parte del profesor en el salón de clases y enfatice nueva subsección de resultados, una descripción completa y
el análisis visual para mejorar la comprensión del estudiante. suficiente de los resultados necesarios para entender los ejem-
plos y problemas siguientes. Para una comprensión más fácil,
Ahora, con base en nuestras experiencias a través de mu- se presentan en el mismo formato de ilustraciones y texto inte-
chos años en el salón de clases y los comentarios de colegas y grados que se usa en los ejemplos activos y se puede consultar
estudiantes, hemos diseñado la quinta edición para apegarnos de manera eficiente estas subsecciones mientras se estudia el
a la manera en que los estudiantes actualmente usan los libros ejemplo y trabaja con los problemas.
de texto para aprender mecánica. Durante el desarrollo de
los nuevos elementos descritos anteriormente seguimos ape- Conjunto de problemas
gados a nuestros objetivos originales de enseñar procedimien-
tos eficaces para la resolución de problemas y la importancia En este texto, treinta por ciento de los problemas son nuevos.
central de los diagramas de cuerpo libre. Se han marcado con un asterisco aquellos que son relativa-
mente más largos o difíciles. También es posible generar pro-
Novedades en esta edición blemas adicionales usando el sistema de tareas en línea con sus
capacidades algorítmicas (vea el sitio Web de este libro).
Ejemplos activos
Un nuevo formato de ejemplo diseñado para ayudar a los estu-
diantes a aprender conceptos y métodos, y a probar la compren- Elementos especiales de este texto
sión de los mismos. Los análisis se relacionan de manera visual
con figuras y ecuaciones en un diseño con ilustraciones y texto Ejemplos
integrados para una lectura eficiente. Al final del ejemplo activo Además de los nuevos ejemplos activos, mantenemos los
se proporciona un “problema de práctica” de manera que los que siguen una estructura con tres partes —Estrategia/
estudiantes se vean motivados a verificar si comprendieron el Solución/Razonamiento crítico— diseñados para ayudar a los
material; y pueden evaluar fácilmente sus conocimientos al con- estudiantes a desarrollar sus habilidades en la resolución de
sultar la respuesta, que se proporciona en la misma página, o problemas de ingeniería. En las secciones de estrategia, demos-
estudiando la solución completa que se presenta en el apéndice, tramos cómo planear la solución de un problema, la cual pre-
con el mismo formato de ilustraciones y texto integrados. senta los pasos detallados necesarios para llegar a los resulta-
Problemas con enfoque en ejemplos dos requeridos.
Algunos de los ejemplos se concentran en el diseño y pro-
porcionan análisis detallados de aplicaciones de la dinámica al
diseño de ingeniería.
xi
Se incluyen nuevos problemas de tarea diseñados para incen-
www.FreeLibros.orgtivar a los alumnos a estudiar los ejemplos dados y expandir su
xii Prefacio
Mecánica en computadoras Triple verificación de la exactitud:
Compromiso con los estudiantes
Algunos profesores prefieren enseñar dinámica sin dar énfa- y profesores
sis al uso de la computadora. Otros la usan como una oportu-
nidad de introducir a los estudiantes al uso de las computado- Nuestro compromiso con los estudiantes y profesores es tomar
ras en ingeniería, y piden a los alumnos que escriban sus precauciones para asegurar la exactitud del texto hasta donde
propios programas en un lenguaje de nivel básico o que uti- nuestra capacidad lo permita. Usamos un sistema de triple veri-
licen software de nivel superior para la resolución de proble- ficación de la exactitud en el cual tres participantes, además de
mas. Nuestro libro es compatible con ambos enfoques. Existe los autores, resuelven los problemas en un esfuerzo por asegurar
material opcional de mecánica en computadoras en el sitio que las respuestas son correctas y que tienen un nivel de dificul-
Web Companion, donde se incluyen tutoriales en MathCad y tad apropiado. Nuestro equipo de exactitud se compone de:
MATLAB. Para mayor información, vea la sección de suple-
mentos. • Scott Hendricks, de la Virginia Polythecnic University
Programa de ilustraciones • Karim Nohra de la University of South Florida
Reconocemos la importancia de ayudar a los estudiantes a • Kurt Norlin del Laurel Technical Services
visualizar los problemas de mecánica. Los alumnos prefieren
y se sienten más motivados con situaciones reales. Nuestros Estos participantes también revisaron el texto, los ejemplos y los
textos incluyen muchas fotografías y “figuras realistas” que problemas para asegurar su exactitud. Cualquier error sigue sien-
ayudan a visualizar las aplicaciones y proporcionar una cone- do responsabilidad de nosotros, los autores, y agradeceremos la
xión más fuerte con la práctica de la ingeniería. comunicación de estudiantes y profesores en relación con yerros
o áreas de mejoramiento. Nuestra dirección de correo es Depart-
Uso del segundo color ment of Aerospace Engineering and Engineering Mechanics,
University of Texas at Austin, Texas 78712. Nuestra dirección
Para ayudar a reconocer e interpretar los elementos de las figu- de correo electrónico es: [email protected].
ras, hemos usado ciertos valores de identificación:
Recursos adicionales
Vectores unitarios Recursos para el estudiante
Fuerzas
El paquete de estudio Dynamics está diseñado para pro-
porcionar a los estudiantes herramientas que mejoren sus habi-
lidades al dibujar diagramas de cuerpo libre, y para repasar los
temas antes de los exámenes. Contiene una ayuda para los dia-
gramas de cuerpo libre con cincuenta problemas de práctica de
dificultad ascendente, los cuales incluyen soluciones comple-
tas. Las estrategias y recomendaciones adicionales ayudan a
los estudiantes a comprender cómo utilizar los diagramas en
la resolución de problemas relacionados. Este suplemento y
material de repaso adicional para cada capítulo fue preparado
por Peter Schiavone de la University of Alberta.
Posiciones Evaluación en la red y tutoriales: Los estudiantes pueden
acceder a los recursos de ayuda, como los problemas de prácti-
ca complementarios, en el sitio Web de este libro.
www.pearsoneducacion.net/bedford
El sitio Web cuenta con archivos de ayuda para MATLAB y
Pares MathCad. En cada uno de estos archivos se analiza un concep-
to básico de mecánica, y después se demuestra cómo resolver
un problema específico relacionado con este concepto usando
MATLAB y MathCad. Existen veinte archivos de ayuda tanto
en MATLAB como en MathCad. La hojas de cálculo fueron desa-
www.FreeLibros.orgrrolladas por Ronald Larsen y Stephen Hunt de la Montana State
University-Bozeman.
Prefacio xiii
Adicionalmente, los profesores pueden asignar tareas en Gautam Batra
línea a los estudiantes usando PH GradeAssist. Las respuestas University of Nebraska
y los resultados se califican y registran de manera electrónica.
David M. Bayer
Recursos para el profesor University of North Carolina
Manual de soluciones para el profesor: Este suple- Glenn Beltz
mento, disponible para los profesores en la página Web, con- University of California-Santa Barbara
tiene soluciones completas. Cada solución viene con el enunciado
del problema e ilustraciones asociadas. Cabe aclarar que todos Mary Bergs
estos complementos se encuentran en idioma inglés. Marquette University
Evaluación en la red y recursos adicionales: A través Don L. Boyer
de PH GradeAssist, el profesor puede crear tareas en línea para Arizona State University
los estudiantes usando problemas del texto, los cuales están en
un formato algorítmico, de manera que cada alumno trabaje con Spencer Brinkerhoff
problemas un poco diferentes. Las respuestas a los problemas se Northern Arizona University
registran en un libro de calificaciones en línea que puede ba-
jarse en Excel. Para recursos adicionales, acceda al sitio Web del L. M. Brock
libro, donde encontrará series de problemas complementarios University of Kentucky
y demás información. Para mayores detalles contacte a su re-
presentante de Pearson Educación. William (Randy) Burkett
Texas Tech University
Reconocimientos
Donald Carlson
Los siguientes colegas realizaron revisiones con base en su University of Illinois
conocimiento y experiencia en la enseñanza, las cuales fueron
de gran ayuda al preparar tanto esta edición como las anteriores. Major Robert M. Carpenter
U.S. Military Academy
Shaaban Abdallah
University of Cincinnati
Edward E. Adams Douglas Carroll
Michigan Technological University University of Missouri, Rolla
George G. Adams Paul C. Chan
Northeastern University New Jersey Institute of Technology
Raid S. Al-Akkad Namas Chandra
University of Dayton Florida State University
Jerry L. Anderson James Cheney
Memphis State University University of California, Davis
James G. Andrews Ravinder Chona
University of Iowa Texas A & M University
Robert J. Asaro Daniel C. Deckler
University of California, San Diego The University of Akron Wayne College
Leonard B. Baldwin Anthony DeLuzio
University of Wyoming Merrimack College
Haim Baruh
www.FreeLibros.orgRutgersUniversity
Mitsunori Denda
Rutgers University
xiv Prefacio
James F. Devine Paul R. Heyliger
University of South Florida Colorado State University
Craig Douglas James Hill
University of Massachussets, Lowell University of Alabama
Marijan Dravinski Robert W. Hinks
University of Southern California Arizona State University
S. Olani Durrant Allen Hoffman
Brigham Young University Worcester Polytechnic Institute
Estelle Eke Edward E. Hornsey
California State University, Sacramento University of Missouri, Rolla
Bogdan I. Epureanu Robert A. Howland
University of Michigan University of Notre Dame
William Ferrante Joe Ianelli
University of Rhode Island University of Tennessee, Knoxville
Robert W. Fitzgerald Ali Iranmanesh
Worcester Polytechnic Institute Gadsden State Community College
George T. Flowers David B. Johnson
Auburn University Southern Methodist University
Mark Frisina E. O. Jones, Jr.
Wentworth Institute Auburn University
Robert W. Fuessle Serope Kalpakjian
Bradley University Illinois Institute of Technology
Walter Gerstle Kathleen A. Keil
University of New Mexico California Polytechnic University, San Luis Obispo
William Gurley Yohannes Ketema
University of Tennessee, Chattanooga University of Minnesota
John Hansberry Seyyed M. H. Khandani
University of Massachusetts, Dartmouth Diablo Valley College
Mark J. Harper Charles M. Krousgrill
United States Naval Academy Purdue University
W. C. Hauser B. Kent Lall
California Polytechnic University, Pomona Portland State University
Linda Hayes Chad M. Landis
University of Texas-Austin Rice University
R. Craig Henderson Kenneth W. Lau
Tennessee Technological University University of Massachusetts, Lowell
www.FreeLibros.org
Prefacio xv
Norman Laws Shanti Nair
University of Pittsburgh University of Massachusetts, Amherst
William M. Lee Saeed Niku
U.S. Naval Academy California Polytechnic State University, San Luis Obispo
Donald G. Lemke Mohammad Noori
University of Illinois, Chicago North Carolina State University
Richard J. Leuba Harinder Singh Oberoi
North Carolina State University Western Washington University
Richard Lewis James O’Connor
Louisiana Technological University University of Texas, Austin
John B. Ligon Samuel P. Owusu-Ofori
Michigan Tech University North Carolina A & T State University
Bertram Long Venkata Panchakarla
Northeastern University Florida State University
V. J. Lopardo Assimina A. Pelegri
U.S. Naval Academy Rutgers University
Frank K. Lu Noel C. Perkins
University of Texas, Arlington University of Michigan
Mark T. Lusk Corrado Poli
Colorado School of Mines University of Massachusetts-Amherst
K. Madhaven David J. Purdy
Christian Brothers College Rose-Hulman Institute of Technology
Nels Madsen Yitshak Ram
Auburn University Louisiana State University
James R. Matthews Colin E. Ratcliffe
University of New Mexico U.S. Naval Academy
Gary H. McDonald Daniel Riahi
University of Tennessee University of illinois
James McDonald Charles Ritz
Texas Technical University California Polytechnic State University, Pomona
Jim Meagher George Rosborough
California Polytechnic State University, San Luis Obispo University of Colorado, Boulder
Lee Minardi Edwin C. Rossow
Tufts University Northwestern University
Norman Munroe Kenneth Sawyers
Florida International University Lehigh University
www.FreeLibros.org
xvi Prefacio
Robert Schmidt Mark R. Virkler
University of Detroit University of Missouri, Columbia
Robert J. Schultz William H. Walston, Jr.
Oregon State University University of Maryland
Richard A. Scott Andrew J. Walters
University of Michigan Mississippi University
Brian Self Reynolds Watkins
U.S. Air Force Academy Utah State University
William Semke Charles White
University of North Dakota Northeastern University
Patricia M. Shamamy Norman Wittels
Lawrence Technological University Worcester Polytechnic Institute
Sorin Siegler Julius P. Wong
Drexel University University of Louisville
Peng Song T. W. Wu
Rutgers State University University of Kentucky
Candace S. Sulzbach Constance Ziemian
Colorado School of Mines Bucknell University
L. N. Tao Los elementos nuevos que diferencian esta edición de las
Illinois Institute of Technology anteriores, particularmente la integración de texto e ilustraciones,
fueron desarrollados con ayuda de estudiantes, colegas y
Craig Thompson editores. Los revisores de las primeras pruebas nos motivaron
Western Wyoming Community College y sugirieron refinamientos útiles. Después de haber establecido
el nuevo formato, el apoyo que recibimos de Prentice Hall en el
John Tomko desarrollo de los libros fue estupendo. Nuestra editora Tacy
Cleveland State University Quinn organizó el gran esfuerzo en equipo que requieren los
libros de este tipo y nos ofreció una ayuda entusiasta y consejos
Kevin Z. Truman valiosos. Marcia Horton y Tim Galligan hicieron la revisión
Washington University más importante desde las conversaciones iniciales acerca de
nuestras ideas hasta la publicación del libro. Craig Little
John Valasek continuó enseñándonos los detalles de la producción del libro y
Texas A & M University fue el instrumento para mantener el proyecto dentro del calendario
establecido. De nuevo, Xiaohong Zhu nos proporcionó un apoyo
Christine Valle consumado en los aspectos relativos a ilustraciones y foto-
Georgia Institute of Technology grafías. Dee Bernhard y Mack Patterson administraron nuestra
comunicación con los revisores y usuarios de los libros. Jennifer
Dennis VandenBrink Lonschein proporcionó apoyo editorial y de producción. David
Western Michigan University Alick, Ben Paris y Kristin Mayo coordinaron el desarrollo de los
recursos en línea que se han convertido en herramientas tan
Thomas J. Vasko esenciales para los usuarios. Jonathan Boylan diseñó las
University of Hartford portadas. Agradecemos a Peter Schiavone por desarrollar los
www.FreeLibros.org
Prefacio xvii
paquetes de estudio que acompañan a los libros, y a Stephen nos ofreció consejo editorial y nos ayudó con la revisión.
Hunt y Ronald Larsen por escribir los apoyos en MATLAB y Muchas otras personas talentosas y profesionales tanto de
MathCad. Scout Hendricks, Karim Nohra y Kart Norlin, Prentice Hall como de otras partes también contribuyeron en la
valiosos colegas de nuestras campañas anteriores, nos dieron revisión de este texto, por lo que les estamos agradecidos. Y
consejos con respecto al estilo y la claridad, corrigieron muchos una vez más agradecemos a nuestras familias, especialmente a
de nuestros errores y revisaron los manuales de solución. Somos Nancy y Marsha, por su paciencia y comprensión en la reali-
responsables por los errores que aún quedan. Nancy Bedford zación de las nuevas ediciones.
Anthony Bedford y Wallace Fowler
Austin, Texas
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
Acerca de los autores
Anthony Bedford (l ) y Wallace T. Fowler
Anthony Bedford es profesor emérito de Ingeniería Aero- Wallace T. Fowler es Profesor Centenario Paul D. & Betty
espacial e Ingeniería Mecánica en la University of Texas at Robertson de ingeniería en la University of Texas y es director
Austin, y ha ejercido la docencia desde 1968. Es miembro de la del Consorcio de Apoyo Espacial de Texas. Pertenece al Ame-
Academia de Maestros Distinguidos de la University of Texas. rican Institute of Aeronautics and Astronautic (AIAA) y a la
Su actividad profesional principal ha sido la educación y la in- American Society for Engineering Education (ASEE). El
vestigación en la mecánica para ingeniería. Ha escrito artículos Dr. Fowler recibió el premio de excelencia en la enseñanza de
sobre teoría mixta, propagación de ondas y la mecánica de im- dinámica general en 1976, el premio John Leland Atwood
pactos a alta velocidad, y es autor de los libros Principio de de AIAAA y ASEE en 1985 (para el mejor profesor en inge-
Hamilton en Mecánica Continua, Introducción a la Propagación niería aeroespacial), el premio a la enseñanza del concejo de
Elástica de Ondas (con D. S. Drumheller) y Mecánica de Ma- maestros de la University of Texas en 1990-1991, además
teriales (con K. M. Liechti). Tiene experiencia industrial en del premio a la enseñanza en diseño Fred Merryfield de ASEE
Douglas Aircraft Company, TRW, y Sandia National Laborato- en 1994. En 1997 fue seleccionado para pertenecer a la acade-
ries. mia de profesores distinguidos de la University of Texas. El
Dr. Fowler también se desempeñó como presidente de la Ame-
rican Society for Engineering Education de 2000 a 2001. Los in-
tereses del Dr. Fowler relativos a la investigación y la enseñanza
en la UT en Austin, se enfocan en la ingeniería y el diseño de
sistemas espaciales.
www.FreeLibros.orxixg
www.FreeLibros.org
Mecánica para ingeniería
DINÁMICA
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
CAPÍTULO
12
Introducción
¿Cómo diseñan y construyen los ingenieros los disposi-
tivos que se usan en la vida diaria, desde objetos simples
como sillas y sacapuntas hasta estructuras complica-
das como presas, automóviles, aviones y naves espacia-
les? Ellos deben tener un conocimiento profundo de la
física subyacente al diseño de tales dispositivos y ser ca-
paces de usar modelos matemáticos para predecir su
comportamiento. Al estudiar mecánica, los estudiantes
de ingeniería comienzan a aprender cómo analizar y pre-
decir los comportamientos de los sistemas físicos.
᭣ Los movimientos del bobsled (trineo) y su tripulación —sus posiciones,
velocidades y aceleraciones— pueden analizarse usando las ecuaciones de la
dinámica. Los ingenieros emplean la dinámica para predecir los movimientos
de los objetos.
www.FreeLibros.org
4 Capítulo 12 Introducción
12.1 Ingeniería y mecánica
ANTECEDENTES
¿Cómo pueden los ingenieros diseñar sistemas complejos y predecir sus característi-
cas antes de construirlos? Los ingenieros siempre han confiado en su conocimiento
de diseños anteriores, en experimentos y en su ingenio y creatividad para producir
nuevos diseños. Los ingenieros modernos tienen además una poderosa técnica: desa-
rrollan ecuaciones matemáticas basadas en las características físicas de los objetos
que diseñan. Con estos modelos matemáticos predicen el comportamiento de sus
diseños, los modifican y los prueban antes de su construcción real. Los ingenieros
aeroespaciales usan modelos matemáticos para predecir las rutas que seguirá un tras-
bordador espacial durante su vuelo; los ingenieros civiles usan modelos matemáti-
cos para analizar los efectos de las cargas sobre edificios y sus cimientos.
En su nivel más básico, la mecánica es el estudio de las fuerzas y sus efectos.
La mecánica elemental se divide en estática, que es el estudio de los objetos en
equilibrio, y dinámica, que es el estudio de los objetos en movimiento. Los resul-
tados obtenidos en la mecánica elemental se aplican directamente a muchos cam-
pos de la ingeniería. Los ingenieros civiles y mecánicos que diseñan estructuras
usan ecuaciones de equilibrio obtenidas por medio de la estática. Los ingenieros
civiles que analizan las respuestas de edificios frente a terremotos y los ingenie-
ros aeroespaciales que determinan las trayectorias de satélites, usan las ecuaciones
de movimiento obtenidas de la dinámica.
La mecánica fue la primera ciencia analítica, por eso los conceptos funda-
mentales, los métodos analíticos y las analogías de la mecánica se encuentran en
casi todas las ramas de la ingeniería. Los estudiantes de ingeniería química y eléc-
trica aprecian de una manera más profunda conceptos básicos de sus campos,
como el equilibrio, la energía y la estabilidad, al aprenderlos en sus contextos
mecánicos originales. Cuando estudian mecánica vuelven a trazar el desarrollo
histórico de esas ideas.
La mecánica consiste en principios generales que rigen el comportamiento de
los objetos. En este libro se describen esos principios y se proporcionan ejemplos
que muestran algunas de sus aplicaciones. Aunque es esencial que el estudiante
resuelva problemas similares a esos ejemplos, y se incluyen muchos problemas
de este tipo, el objetivo del texto es ayudar a entender los principios suficiente-
mente bien para aplicarlos a las nuevas situaciones que se presenten. Cada genera-
ción de ingenieros se enfrenta a problemas nuevos.
Resolución de problemas
En el estudio de la mecánica usted aprenderá procedimientos para resolver pro-
blemas que usará en cursos posteriores y a lo largo de su carrera. Aunque los dife-
rentes tipos de problemas requieren distintos métodos, los siguientes pasos se apli-
can a muchos de ellos:
• Identifique la información dada y la información, o respuesta, que debe deter-
minarse. Con frecuencia resulta útil reformular el problema en sus propias
palabras. Cuando sea apropiado, asegúrese de que entiende el sistema físico o
el modelo involucrado.
• Desarrolle una estrategia para el problema. Esto es, identifique los principios
y ecuaciones aplicables y decida cómo los usará. Cuando sea posible, dibuje
diagramas para visualizar y resolver el problema.
• Siempre que pueda, trate de predecir la respuesta. Esto desarrollará su intui-
ción y lo ayudará a reconocer una respuesta incorrecta.
• Resuelva las ecuaciones y, cuando sea posible, interprete sus resultados y
www.FreeLibros.orgcompárelos con su predicción. El último paso se llama verificación en la rea-
lidad. ¿Es razonable su respuesta?
12.1 Ingeniería y mecánica 5
Números
Las mediciones, los cálculos y los resultados de ingeniería se expresan en nú-
meros. Usted necesita saber cómo se expresan los números en los ejemplos y
problemas de este libro, y cómo deberá expresar los resultados de sus propios
cálculos.
Dígitos significativos Este término se refiere al número de dígitos significati-
vos (o sea, exactos) en un número, contando hacia la derecha a partir del primer
dígito distinto de cero. Los números 7.630 y 0.007630 están expresados con cua-
tro dígitos significativos. Si se sabe que sólo los primeros cuatro dígitos del núme-
ro 7,630,000 son exactos, esto se puede indicar escribiendo el número en notación
científica como 7.630 ϫ 106.
Si un número es el resultado de una medición, los dígitos significativos que
contiene están limitados por la exactitud de la medición. Si el resultado de una
medición es 2.43, esto significa que el valor real estará más cercano a 2.43 que a
2.42 o a 2.44.
Los números pueden redondearse a cierta cantidad de dígitos significativos.
Por ejemplo, el valor de puede expresarse con tres dígitos significativos, 3.14, o
con seis dígitos significativos, 3.14159. Cuando se usa una calculadora o una com-
putadora, el número de dígitos significativos está limitado por la cantidad de cifras
significativas que la máquina puede manejar según su diseño.
Uso de números en este libro Los números dados en los problemas deben
tratarse como valores exactos sin importar cuántos dígitos significativos conten-
gan. Si un problema establece que una cantidad es igual a 32.2, se puede suponer
que su valor es 32.200. . . . Por lo general se utilizarán al menos tres dígitos sig-
nificativos para expresar los resultados intermedios y las respuestas en los ejem-
plos, así como las respuestas a los problemas. Si usa calculadora, sus resultados
deben tener esa exactitud. Asegúrese de evitar los errores que ocurren al redon-
dear resultados intermedios cuando realice una sucesión de cálculos. En vez de
esto, efectúe sus cálculos con la exactitud disponible reteniendo los valores en su
calculadora.
Espacio y tiempo
El espacio se refiere simplemente al universo tridimensional en que vivimos. Las
experiencias diarias proporcionan una noción intuitiva del espacio y las ubicacio-
nes, o posiciones, de los puntos en éste. La distancia entre dos puntos en el espa-
cio es la longitud de la línea recta que los une.
Para medir la distancia entre puntos en el espacio se requiere una unidad de
longitud. Se usarán tanto las unidades del Sistema Internacional, o unidades SI,
como las unidades de uso común en Estados Unidos. En unidades SI, la unidad de
longitud es el metro (m); en unidades de uso común en Estados Unidos la unidad
de longitud es el pie.
Por supuesto, el tiempo resulta familiar; la vida se mide por medio de él. Los
ciclos diarios de luz y oscuridad, y las horas, minutos y segundos medidos por un
reloj proporcionan una noción intuitiva del tiempo. Éste se mide mediante los
intervalos entre eventos repetidos, como las oscilaciones del péndulo de un reloj o
las vibraciones en un reloj de cristal de cuarzo. Tanto en las unidades SI, como
en las de uso común en Estados Unidos, la unidad de tiempo es el segundo (s);
también se usan comúnmente minutos (min), horas (h) y días.
Si la posición de un punto en el espacio en relación con algún punto de refe-
rencia cambia con el tiempo, la razón del cambio de su posición se llama veloci-
dad, y la razón del cambio de su velocidad se denomina aceleración. En unidades
SI, la velocidad se expresa en metros por segundo (m/s) y la aceleración en metros
www.FreeLibros.orgpor segundo cuadrado (m/s2). En las unidades de uso común en Estados Unidos, la
6 Capítulo 12 Introducción
velocidad se expresa en pies por segundo (pie/s) y la aceleración en pies por segun-
do cuadrado (pie/s2).
Leyes de Newton
La mecánica elemental se estableció sobre una base sólida con la publicación en
1687 de Philosophiae Naturalis Principia Mathematica de Isaac Newton. Aunque
sumamente original, este trabajo se basó en conceptos fundamentales desarrolla-
dos durante una lucha larga y difícil hacia el conocimiento (figura 12.1).
Guerra del Peloponeso 400 a.C. Aristóteles: Estática de palancas, especulaciones sobre dinámica
Invasión de Roma a Bretaña 0 Arquímedes: Estática de palancas, centros de masa, flotación
400 d. C. Hero de Alejandría: Estática de palancas y poleas
Papo: Definición precisa del centro de masa
Juan Filopono: Concepto de inercia
Coronación de Carlomagno 800
Conquista normanda de Bretaña 1200 Jordano de Nemora: Estabilidad del equilibrio
Firma de la Carta Magna 1400
1600 Alberto de Sajonia: Velocidad angular
Peste bubónica en Europa 1650 Nicola d’Oresme: Cinemática gráfica, coordenadas
Impresión de la Biblia de Gutenberg William Heytesbury: Concepto de aceleración
1700
Viaje de Colón Nicolás Copérnico: Concepto del sistema solar
Dominic de Soto: Cinemáticas de objetos que caen
Fundación de la colonia de Jamestown Tycho Brahe: Observaciones de movimientos planetarios
Guerra de los Treinta Años Simon Stevin: Principio del trabajo virtual
Johannes Kepler: Geometría y cinemática de
Llegada de los peregrinos a Massachusetts movimientos planetarios
Fundación de la Universidad de Harvard Galileo Galilei: Experimentos y análisis en estática y
dinámica, movimiento de un proyectil
Colonización de Carolina René Descartes: Coordenadas cartesianas
Evangelista Torricelli: Experimentos sobre hidrodinámica
Cesión de Pennsylvania a William Penn Blaise Pascal: Análisis en hidrostática
Juicios a brujas de Salem
John Wallis, Christopher Wren, Christiaan Huyghens:
Impactos entre objetos
Isaac Newton: Concepto de masa, leyes de movimiento,
postulado de la gravitación universal, análisis
de movimientos planetarios
Figura 12.1
Cronología de desarrollos en mecánica hasta la publicación del Principia de Newton en
www.FreeLibros.orgrelación con otros eventos en la historia de Estados Unidos.
12.1 Ingeniería y mecánica 7
Newton enunció tres “leyes” del movimiento que, expresadas en términos
modernos, son:
1. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a cero,
su velocidad es constante. En particular, si inicialmente la partícula se en-
cuentra en reposo, permanecerá en reposo.
2. Cuando la suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula no es igual a
cero, la suma de las fuerzas es igual a la razón de cambio de la cantidad de
movimiento lineal de la partícula. Si la masa es constante, la suma de las
fuerzas es igual al producto de la masa de la partícula y su aceleración.
3. Las fuerzas ejercidas por dos partículas entre sí son iguales en magnitud y
opuestas en dirección.
Observe que no se definió fuerza ni masa antes de enunciar las leyes de Newton. La
visión moderna es que estos términos se definen mediante la segunda ley. Para
demostrarlo, suponga que se elige un cuerpo arbitrario y se especifica que tiene
masa unitaria. Luego se define una unidad de fuerza como la fuerza que imparte a
esta masa unitaria una aceleración de magnitud unitaria. En principio, es posible
determinar la masa de cualquier cuerpo: se le aplica una fuerza unitaria, se mide la
aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la masa. También se
puede determinar la magnitud de cualquier fuerza: se le aplica a la masa unitaria,
se mide la aceleración resultante y se usa la segunda ley para determinar la fuerza.
De esta manera, la segunda ley de Newton proporciona significados precisos
a los términos masa y fuerza. En unidades SI, la unidad de masa es el kilogramo
(kg). La unidad de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para
impartir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro por segundo al
cuadrado (m/s2). En las unidades del uso común en Estados Unidos, la unidad de
fuerza es la libra (lb). La unidad de masa es el slug, que es la cantidad de masa ace-
lerada a un pie por segundo cuadrado por una fuerza de una libra.
Aunque los resultados que se analizan en este libro son aplicables a muchos
de los problemas que surgen en la práctica de la ingeniería, hay límites para la vali-
dez de las leyes de Newton. Por ejemplo, éstas no dan resultados precisos si un
problema implica velocidades que no son pequeñas comparadas con la velocidad
de la luz (3 ϫ 108 m/s). La teoría de la relatividad especial de Einstein se aplica a
tales problemas. La mecánica elemental también falla en problemas que implican
dimensiones que no son grandes comparadas con las dimensiones atómicas. Para
describir los fenómenos en la escala atómica se debe usar la mecánica cuántica.
Sistema internacional de unidades
En unidades SI, la longitud se mide en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). El Tabla 12.1 Prefijos comunes usados
tiempo se mide en segundos (s), aunque cuando es conveniente también se usan en las unidades SI y los múltiplos que
los minutos (min), las horas (h) y los días. A los metros, kilogramos y segundos se representan.
les llama unidades básicas del SI. La fuerza se mide en newtons (N). Recuerde que
esas unidades están relacionadas por la segunda ley de Newton: un newton es la
fuerza requerida para imprimir a un objeto de un kilogramo de masa una acelera-
ción de un metro por segundo cuadrado:
1 N = 11 kg211 m/s22 = 1 kg-m/s2. Prefijo Abreviatura Múltiplo
Como el newton se puede expresar en función de las unidades básicas, se le llama nano- n 10-9
unidad derivada. micro- m 10-6
Para expresar cantidades por medio de números de tamaño conveniente, los milli- m 10-3
múltiplos de unidades se indican por medio de prefijos. En la tabla 12.1 se mues- kilo- k 103
tran los prefijos más comunes, sus abreviaturas y los múltiplos que representan. mega- M 106
Por ejemplo, 1 km es 1 kilómetro, o sea 1000 m, y 1 Mg es 1 megagramo, que son giga- G 109
www.FreeLibros.org106 g o 1000 kg. Con frecuencia se usan los kilonewtons (kN).
8 Capítulo 12 Introducción
Unidades de uso común en Estados Unidos
En las unidades de uso común en Estados Unidos, la longitud se mide en pies y la
fuerza en libras (lb). El tiempo se mide en segundos (s). Éstas son las unidades
básicas de uso común en Estados Unidos. En este sistema de unidades la masa es
una unidad derivada. La unidad de masa es el slug, que es la masa de material ace-
lerado a un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra. La segun-
da ley de Newton establece que
1 lb ϭ (1 slug)(1 pie/s2).
A partir de esta expresión se obtiene
1 slug = 1 lb-s2/pie.
En este sistema se usan otras unidades como la milla (1 mi ϭ 5280 pies) y
la pulgada (1 pie ϭ 12 pulg). También se utiliza la kilolibra (kip), que es igual a
1000 lb.
s Unidades angulares
u En ambos sistemas de unidades los ángulos se expresan normalmente en radianes
(rad). En la figura 12.2 se muestra el valor de un ángulo u en radianes. Se define
u ϭ s como la razón de la parte de la circunferencia subtendida por u y el radio del círcu-
R lo. Los ángulos también se expresan en grados. Como hay 360 grados (360°) en
R un círculo completo y la totalidad de la circunferencia del círculo es 2pR, 360° son
iguales a 2p rad.
Figura 12.2
Definición de un ángulo en radianes. Las ecuaciones que contienen ángulos casi siempre se obtienen suponiendo
que los ángulos se expresan en radianes. Consecuentemente, cuando se desee sus-
tituir el valor de un ángulo expresado en grados en una ecuación, primero se debe
convertir a radianes. Una excepción notable a esta regla es que muchas calculado-
ras están diseñadas para aceptar ángulos expresados ya sea en grados o en radia-
nes cuando se utilizan para evaluar funciones como sen u.
Tabla 12.2 Conversión de unidades. Conversión de unidades
Tiempo 1 minuto ϭ 60 segundos En la práctica de la ingeniería surgen muchas situaciones que requieren convertir
1 hora ϭ 60 minutos valores expresados en unidades de una clase a valores en otras unidades. Por
1 día ϭ 24 horas ejemplo, si algunos de los datos que deben usarse en una ecuación están dados en
unidades SI y otros en unidades de uso común en Estados Unidos, todos ellos se
deben expresar en términos de un solo sistema de unidades antes de ser sustitui-
dos en la ecuación. La conversión de unidades es directa pero debe hacerse con
cuidado.
Suponga que se desea expresar 1 milla por hora (mi/h) en términos de pie por
segundo (pie/s). Como 1 milla es igual a 5280 pies y 1 hora equivale a 3600 segun-
dos, se pueden emplear las expresiones
Longitud 1 pie ϭ 12 pulgadas ⎛ 5280 pies ⎞ y ⎛ 1h ⎞
1 milla ϭ 5280 pies ⎝ 1 mi ⎠ ⎝ 3600 s ⎠
1 pulgada ϭ 25.4 milímetros
1 pie ϭ 0.3048 metros como razones cuyos valores son iguales a 1. De esta forma se obtiene
Ángulo 2p radianes ϭ 360 grados 5280 pies 1 h
Masa 1 slug ϭ 14.59 kilogramos 1 mi/h = 11 mi/h2a b a b = 1.47 pies/s.
1 mi 3600 s
Fuerza 1 libra ϭ 4.448 newtons
www.FreeLibros.orgEn la tabla 12.2 se proporcionan algunas conversiones útiles entre unidades.
RESULTADOS 12.1 Ingeniería y mecánica 9
Identifique la información dada y la información Resolución de problemas:
que debe determinarse. Estos pasos se aplican a
Desarrolle una estrategia; identifique los principios muchos tipos de problemas.
y ecuaciones aplicables y decida cómo los usará.
Siempre que sea posible, trate de predecir la respuesta. Sistemas de unidades.
Obtenga la respuesta y, cuando sea posible,
interprétela y compárela con su predicción
Unidades SI: Las unidades básicas son el tiempo en segundos (s),
la longitud en metros (m) y la masa en kilogramos (kg). La unidad
de fuerza es el newton (N), que es la fuerza requerida para acele-
rar una masa de un kilogramo a un metro por segundo cuadrado.
Unidades de uso común en Estados Unidos: Las unidades básicas
son el tiempo en segundos (s), la longitud en pies y la fuerza en
libras (lb). La unidad de masa el slug, que es la masa acelerada a
un pie por segundo cuadrado mediante una fuerza de una libra.
s
u Definición de un
ángulo en radianes.
R u ϭ s
R
Las cantidades equivalentes, como 1 hora ϭ 60 minutos,
pueden escribirse como razones cuyos valores son 1:
1h ϭ 1,
60 min
Conversión de unidades.
y usarse para realizar la conversión de unidades.
Por ejemplo,
15 min ϭ 15 min 1 h ϭ 0.25 h.
60 min
Existe un documento muy completo sobre unidades recopilado por Russ Rowlett
de la University of North Carolina en Chapel Hill, el cual está disponible en línea
en www.unc.edu/~rowlett/units.
www.FreeLibros.org
10 Capítulo 12 Introducción
Ejemplo activo 12.1 Conversión de unidades (᭤ Relacionado con el problema 12.11)
Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 6 metros por segundo (m/s).
¿Qué tan rápido se desplaza en kilómetros por hora (km/h)?
Estrategia
Un kilómetro equivale a 1000 metros y una hora a 60 minutos ϫ 60 segundos ϭ
3600 segundos. Estas unidades de conversión pueden utilizarse para determinar su
velocidad en km/h.
Solución
Convierta de metros a kilómetros.
Convierta de segundos a horas.
6 m/s ϭ 6 m/s 1 km 3600 s
1000 m 1 h
ϭ 21.6 km/h.
Problema de práctica Un hombre maneja una bicicleta a una velocidad de 10 pies por
segundo (pie/s). ¿Qué tan rápido se desplaza en millas por hora (mi/h)?
Respuesta: 6.82 mi/h.
Ejemplo 12.2 Conversión de unidades de presión (᭤ Relacionado con el problema 12.6)
La presión ejercida en un punto del casco del vehículo de sumersión profunda es de
3.00 ϫ 106 Pa (pascales). Un pascal es 1 newton por metro cuadrado. Determine la
presión en libras por pie cuadrado.
Estrategia
A partir de la tabla 12.2, 1 libra ϭ 4.448 newtons y 1 pie ϭ 0.3048 metros. Con estas
conversiones de unidades es posible calcular la presión en libras por pie cuadrado.
Solución
La presión (con tres dígitos significativos) es
3.00 * 106 N/m2 = 13.00 * 106 N/m22 a 1 lb 0.3048 m 2
ba b
4.448 N 11pfite
ϭ 62,700 lb/pie2
Vehículo de sumersión profunda. Razonamiento crítico
¿Cómo podría haberse obtenido este resultado de una manera más directa?
Observe en la tabla para conversión de unidades de la contraportada de este libro
que 1 Pa ϭ 0.0209 lb/pie2. Por lo tanto,
⎛ 0.0209 lb/pie 2 ⎞
⎝⎜ 1 N/m2 ⎠⎟
3.00 × 106 N/m2 = (3.00 × 106 N/m 2 )
= 62,700 lb/pie2.
www.FreeLibros.org
12.1 Ingeniería y mecánica 11
Ejemplo 12.3 Determinación de unidades a partir de una ecuación (᭤ Relacionado con el problema 12.20)
Suponga que en la ecuación de Einstein
E = mc2,
la masa m está en kilogramos y la velocidad de la luz c en metros por segundo.
a) ¿Cuáles son las unidades SI de E?
b) Si el valor de E en unidades SI es igual a 20, ¿cuál es su valor en las unidades
básicas de uso común en Estados Unidos?
Estrategia
a) Como se conocen las unidades de los términos m y c, es posible deducir las uni-
dades de E a partir de la ecuación dada.
b) Pueden usarse las conversiones de unidades para la masa y la longitud dadas en
la tabla 12.2 para convertir E de unidades SI a unidades de uso común en Estados
Unidos.
Solución
a) De la ecuación para E,
E = 1m kg21c m/s22,
las unidades SI de E son kg-m2/s2.
b) De la tabla 12.2, 1 slug ϭ 14.59 kg y 1 pie ϭ 0.3048 m. Por lo tanto,
1 kg-m2/s2 = (1 kg-m2/s2 ) ⎛ 1 slug ⎞ ⎛ 1 pie ⎞ 2
⎝⎜ 14.59 kg ⎟⎠ ⎝ 0.3048 m ⎠
= 0.738 slug-pie2/s2.
El valor de E en unidades de uso común en Estados Unidos es
E = (20)(0.738) = 14.8 slug-pie2/s2.
Razonamiento crítico
En el inciso a), ¿cómo se supo que era posible determinar las unidades de E al
determinar las unidades de mc2? Las dimensiones, o unidades, de cada término en
una ecuación deben ser las mismas. Por ejemplo, en la ecuación a + b = c, las
dimensiones de cada uno de los términos a, b, y c deben ser las mismas. Se dice
que la ecuación es dimensionalmente homogénea. Este requisito se expresa me-
diante la frase coloquial. “No se pueden comparar peras con manzanas”.
www.FreeLibros.org
12 Capítulo 12 Introducción 12.4 Una portería de fútbol tiene 24 pies de ancho y 8 pies de
alto, por lo que el área es 24 pies ϫ 8 pies ϭ 192 pies2. ¿Cuál es
Problemas el área en m2 con tres dígitos significativos?
12.1 El valor p es 3.14159265. . . . Si C es la circunferencia de
un círculo y r su radio, determine el valor de r/C con cuatro dígi-
tos significativos.
r
C
Problema 12.1 Problema 12.4
12.2 La base de los logaritmos naturales es e ϭ 2.718281828. . . . 12.5 El Burj Dubai, que debe estar terminado en 2008, será el
a) Exprese e con cinco dígitos significativos. edificio más alto del mundo, con una altura de 705 m. El área de
b) Determine el valor de e2 con cinco dígitos significativos. su base será de 8000 m2. Convierta su altura y su área de base a
c) Use el valor de e obtenido en el inciso a) para determinar el unidades de uso común en Estados Unidos con tres dígitos signifi-
valor de e2 con cinco dígitos significativos. cativos.
[El inciso c) demuestra el peligro de usar valores redondeados du-
rante los cálculos].
12.3 Un técnico perfora un agujero circular en un panel con un
radio nominal r ϭ 5 mm. El radio real del agujero está en el rango
r ϭ 5 Ϯ 0.01 mm.
a) ¿Con cuántos dígitos significativos se puede expresar el radio?
b) ¿Con cuántas cifras significativas se puede expresar el área del
agujero?
5 mm
Problema 12.3
www.FreeLibros.orgProblema12.5
Problemas 13
12.6 Suponga que acaba de comprar un Ferrari F355 coupe y 12.10 El motor del Porsche ejerce un par de torsión de 229 pies-
desea saber si puede usar su juego de llaves SAE (unidades de uso lb (pies-libra) a 4600 rpm. Determine el valor del par de torsión
común en Estados Unidos) para trabajar en él. Usted tiene llaves con en N-m (newton-metros).
anchos w ϭ 1/4 pulg, 1/2 pulg, 3/4 pulg y 1 pulg y el automóvil
tiene tuercas con dimensiones n ϭ 5 mm, 10 mm, 15 mm, 20 mm
y 25 mm. Si se establece que una llave ajusta si w no es 2% mayor
que n, ¿cuál de sus llaves puede usar?
wn
Problema 12.6
12.7 Suponga que se sabe que la altura del Monte Everest está Problema 12.10
entre 29,032 pies y 29,034 pies. Con base en esta información, ¿a
cuántos dígitos significativos puede expresarse la altura a) en pies ᭤ 12.11 La energía cinética del hombre del ejemplo activo 12.1
y b) en metros? 1
se define mediante 2 mv2, donde m es su masa y v es su velocidad.
12.8 El tren maglev (levitación magnética) que viaja de Shanghai
al aeropuerto en Pudong alcanza una velocidad de 430 km/h. De- La masa del hombre es 68 kg y se mueve a 6 m/s, de forma que su
termine su velocidad a) en mi/h y b) en pies/s.
energía cinética es 21(68 kg)(6 m/s)2 = 1224 kg-m2/s2. ¿Cuál es
su energía cinética en unidades de uso común en Estados Unidos?
12.12 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar en
unidades SI es g = 9.81 m/s2. Mediante la conversión de unidades,
utilice este valor para determinar la aceleración debida a la grave-
dad al nivel del mar en unidades de uso común en Estados Unidos.
12.13 Un estadio por quincena es una unidad de velocidad en
broma, inventada tal vez por un estudiante como comentario satí-
rico sobre la gran variedad de unidades con la que deben tratar los
ingenieros. Un estadio equivale a 660 pies (1/8 milla). Una quin-
cena consta de 2 semanas (14 noches). Si usted camina rumbo a
su clase a 2 m/s, ¿cuál es su velocidad en estadios por quincena
con tres dígitos significativos?
Problema 12.8 12.14 Determine el área de la sección transversal de la viga a) en
m2; b) en pulg2.
y
40 mm
12.9 En los Juegos Olímpicos de Invierno de 2006, la carrera de 120 mm x
ski a campo traviesa de 15 km fue ganada por Andrus Veerpalu de 40 mm
Estonia en un tiempo de 38 minutos, 1.3 segundos. Determine su
velocidad promedio (la distancia viajada entre el tiempo utilizado) 40
con tres dígitos significativos a) en km/h; b) en mi/h. mm
www.FreeLibros.org200mm
Problema 12.14
14 Capítulo 12 Introducción
12.15 El área de la sección transversal de la viga de acero Canal 12.18 Las cargas distribuidas sobre vigas se expresan en unida-
Estándar Americano C12 ϫ 30 es A ϭ 8.81 pulg2. ¿Cuál es el área des de fuerza por unidad de longitud. Si el valor de una carga dis-
de su sección transversal en mm2? tribuida es de 400 N/m, ¿cuál es su valor en lb/pie?
y 12.19 El momento de inercia del área rectangular con respecto
A al eje x está dado por la ecuación
x I = 1 bh3.
3
Las dimensiones del área son b ϭ 200 mm y h ϭ 100 mm. Deter-
mine el valor de I con cuatro dígitos significativos en términos de
a) mm4, b) m4, y c) pulg4.
y
Problema 12.15 h x
᭤ 12.16 Un transductor de presión mide un valor de 300 lb/pulg2. b
Determine el valor de la presión en pascales. Un pascal (Pa) es Problema 12.19
igual a un newton por metro cuadrado.
᭤ 12.20 En el ejemplo 12.3, en vez de la ecuación de Einsten
12.17 Un caballo de fuerza equivale a 550 pies-lb/s. Un watt es considere la ecuación L ϭ mc, donde la masa m está en kilogra-
igual a 1 N-m/s. Determine cuántos watts son generados por los mos y la velocidad de la luz c está en metros por segundo.
motores de un jet comercial, si éstos producen 7000 caballos de a) ¿Cuáles son las unidades SI de L? b) Si el valor de L en unida-
fuerza. des SI es 12, ¿cuál es el valor en unidades básicas de uso común
en Estados Unidos?
Problema 12.17 12.21 La ecuación
My
s=
I
se usa en la mecánica de materiales para determinar esfuerzos nor-
males en vigas.
a) Cuando esta ecuación se expresa en términos de unidades bási-
cas SI, M está en newton-metros (N-m), y está en metros (m) e I
está en metros a la cuarta potencia (m4). ¿Cuáles son las unidades
SI de s?
b) si M ϭ 2000 N-m, y ϭ 0.1 m e I ϭ 7 ϫ 10–5 m4, ¿cuál es el
valor de s en unidades básicas de uso común en Estados Unidos?
www.FreeLibros.org
12.2 Gravitación de Newton 15
12.2 Gravitación de Newton
ANTECEDENTES m1
Newton postuló que la fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que están sepa-
radas por la distancia r (figura 12.3) es
F = Gm1m2 , (12.1) F
r2
donde G se denomina constante de gravitación universal. El valor de G en unida- r F m2
des SI es 6.67 ϫ 10–11 N-m2/kg2. Con base en su postulado, Newton calculó la
fuerza gravitatoria entre una partícula de masa m1 y una esfera homogénea de masa
m2, y encontró que también está dada por la ecuación (12.1), donde r denota la dis-
tancia de la partícula al centro de la esfera. Aunque la Tierra no es una esfera
homogénea, es posible usar este resultado para obtener el peso aproximado de un
cuerpo de masa m debido a la atracción gravitatoria de la Tierra. Se tiene
W = GmmE , (12.2) Figura 12.3
r2 Las fuerzas gravitatorias entre dos partículas
son iguales en magnitud y están dirigidas a lo
donde mE es la masa de la Tierra y r es la distancia del centro de la Tierra al obje- largo de la línea que las une.
to. Observe que el peso de un cuerpo depende de su posición con respecto al cen-
tro de la Tierra, mientras que la masa del cuerpo es una medida de la cantidad de
materia que contiene y que no depende de su posición.
Cuando el peso de un objeto es la única fuerza que actúa sobre él, la acelera-
ción resultante se denomina aceleración debida a la gravedad. En este caso la
segunda ley de Newton establece que W = ma, y de la ecuación (12.2) se observa
que la aceleración debida a la gravedad es
a = Grm2E. (12.3)
La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar se denota con g. Si el
radio de la Tierra se representa mediante RE, se observa a partir de la ecuación
(12.3) que GmE = gR2E. Sustituyendo este resultado en la ecuación (12.3), se
obtiene una expresión para la aceleración debida a la gravedad a una distancia r
del centro de la Tierra en función de la aceleración debida a la gravedad al nivel del
mar:
a = g Rr 22E. (12.4)
Como el peso del cuerpo es W ϭ ma, el peso de un cuerpo a una distancia r
del centro de la Tierra es
W = mg Rr 2E2 . (12.5)
Al nivel del mar (r ϭ RE), el peso de un cuerpo está dado en función de su
masa mediante la simple relación
W = mg. (12.6)
El valor de g varía de lugar a lugar sobre la superficie de la Tierra. Los valo-
res que se usarán en los ejemplos y problemas son g ϭ 9.81 m/s2 en unidades SI
www.FreeLibros.orgy g ϭ 32.2 pies/s2 en unidades de uso común en Estados Unidos.
16 Capítulo 12 Introducción
RESULTADOS
La fuerza gravitatoria entre dos masas m1 y m2 que
están separadas por la distancia r es
F ϭ Gm1m2 , (12.1) Gravitación de Newton.
r2
Aceleración debida a
donde G es la constante de gravitación universal. la gravedad de la tierra.
El valor de G en unidades SI es
Peso de un objeto al
6.67 ϫ 10Ϫ11 N-m2/kg2. nivel del mar.
Cuando la Tierra se modela como una esfera homogé-
nea de radio RE, la aceleración debida a la gravedad a
una distancia r desde el centro es
a ϭ g R2E , (12.4)
r2
donde g es la aceleración debida a la gravedad al nivel
del mar.
W ϭ mg, (12.6)
donde m es la masa del objeto y g es la acele-
ración debida a la gravedad al nivel del mar.
Ejemplo activo 12.4 Peso y masa (᭤ Relacionado con el problema 12.22)
La prensa C que se muestra en la figura pesa 14 oz al nivel del mar. [16 oz (onzas)
ϭ 1 lb]. La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es g ϭ 32.2 pies/s2.
¿Cuál es la masa de la prensa C en slugs?
Estrategia
Primero debe determinarse el peso de la prensa C en libras. Después puede usarse
la ecuación (12.6) para determinar la masa en slugs.
Solución
14 oz ϭ 14 oz 1 lb ϭ 0.875 lb. Convierta el peso de
16 oz onzas a libras.
mϭ W ϭ320..287p5ieslb/s2ϭ 0.0272 slug. Use la ecuación (12.6) para
g calcular la masa en slugs.
Problema de práctica La masa de la prensa C es 0.397 kg. La aceleración debida a
la gravedad al nivel del mar es g = 9.81 m/s2. ¿Cuál es el peso de la prensa C al nivel
del mar en newtons?
Respuesta: 3.89 N.
www.FreeLibros.org
12.2 Gravitación de Newton 17
Ejemplo 12.5 Determinación del peso de un objeto (᭤ Relacionado con el problema 12.27)
Cuando el vehículo exploratorio de Marte (Mars Exploration Rover) se ensambló
por completo, su masa fue de 180 kg. La aceleración debida a la gravedad en la su-
perficie de Marte es 3.68 m/s2 y el radio de Marte es 3390 km.
a) ¿Cuál era el peso del Rover cuando estaba al nivel del mar en la Tierra?
b) ¿Cuál es el peso del Rover sobre la superficie de Marte?
c) La fase de introducción comenzó cuando la nave espacial alcanzó el punto de in-
terfaz con la atmósfera de Marte a 3522 km desde el centro de Marte. ¿Cuál era el
peso del Rover en ese punto?
Operación de ensamble del vehículo exploratorio de Marte.
www.FreeLibros.org
18 Capítulo 12 Introducción
Estrategia
El peso del Rover al nivel del mar en la Tierra está dado por la ecuación (12.6) con
g ϭ 9.81 m/s2.
El peso sobre la superficie de Marte puede determinarse mediante el uso de la ecua-
ción (12.6), con la aceleración debida a la gravedad igual a 3.68 m/s2.
Para determinar el peso del Rover al inicio de la fase de introducción, se puede es-
cribir una ecuación para Marte equivalente a la ecuación (12.5).
Solución
a) El peso al nivel del mar en la Tierra es
W = mg
= 1180 kg219.81 m/s22
= 1770 N 1397 lb2.
b) Sea gM ϭ 3.68 m/s2 la aceleración debida a la gravedad en la superficie de Marte.
Entonces el peso del Rover sobre la superficie de Marte es
W = mgM
= 1180 kg213.68 m/s22
= 662 N 1149 lb2.
c) Sea RM ϭ 3390 km el radio de Marte. A partir de la ecuación (12.5), el peso del
Rover cuando éste se encuentra a 3522 km por encima del centro de Marte es
W = mgM R2M
r2
= 1180 kg213.68 m/s22 13,390,000 m22
13,522,000 m22
= 614 N 1138 lb2.
Razonamiento crítico
En el inciso c), ¿cómo se supo que la ecuación (12.5) podía aplicarse a Marte? La
ecuación 12.5 se aplica a la Tierra con base en su modelación como una esfera
homogénea. La ecuación puede ser aplicada a otros cuerpos celestes bajo el mismo
supuesto. La exactitud de los resultados depende de qué tan poco esférico y no
homogéneo sea el objeto.
www.FreeLibros.org
Problemas 19
Problemas 12.28 Si un objeto está cerca de la superficie de la Tierra, a me-
nudo la variación de su peso con la distancia desde el centro de la
᭤ 12.22 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de Tierra puede ignorarse. La aceleración debida a la gravedad al
la Luna es 1.62 m/s2. a) ¿Cuál sería la masa de la prensa C del nivel del mar es g ϭ 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370
ejemplo activo 12.4 sobre la superficie de la Luna? b) ¿Cuál sería km. El peso de un objeto al nivel del mar es mg, donde m es su
el peso de la prensa C en newtons sobre la superficie de la Luna? masa. ¿A que altura sobre la superficie terrestre el peso del objeto
se reduce a 0.99 mg?
12.23 El cubo de hierro de 1 pie ϫ 1 pie ϫ 1 pie pesa 490 lb
al nivel del mar. Determine el peso en newtons de un cubo de 12.29 El planeta Neptuno tiene un diámetro ecuatorial de 49,532
1 m ϫ 1 m ϫ 1 m del mismo material al nivel del mar. km y su masa es 1.0247 ϫ 1026 kg. Si el planeta se modela como
una esfera homogénea, ¿cuál es la aceleración debida a la grave-
1 pie dad en su superficie? (La constante gravitatoria universal es
G ϭ 6.67 ϫ 10–11 N-m2/kg2).
1 pie 1 pie
Problema 12.23
12.24 El área del Océano Pacífico es 64,186,000 millas cuadra-
das y tiene una profundidad promedio de 12,925 pies. Suponga
que el peso por unidad de volumen del agua del océano es 64
lb/pie3. Determine la masa del Océano Pacífico a) en slugs y b) en
kilogramos.
12.25 La aceleración debida a la gravedad al nivel del mar es
g ϭ 9.81 m/s2. El radio de la Tierra es de 6370 km. La constante
gravitatoria universal es G ϭ 6.67 ϫ 10–11 N-m2/kg2. Use esta in-
formación para determinar la masa de la Tierra.
12.26 Una persona pesa 180 lb al nivel del mar. El radio de la Problema 12.29
Tierra es de 3960 millas. ¿Qué fuerza ejerce la atracción gravitato-
ria de la Tierra sobre la persona si ésta se encuentra en una esta- 12.30 En un punto entre la Tierra y la Luna, la magnitud de la
ción espacial en órbita a 200 millas sobre la superficie de la fuerza ejercida sobre un objeto por la gravedad de la Tierra es
Tierra? igual a la magnitud de la fuerza ejercida sobre el objeto por la
gravedad de la Luna. ¿Cuál es la distancia desde el centro de
᭤ 12.27 La aceleración debida a la gravedad en la superficie de la Tierra hasta ese punto con tres dígitos significativos? La dis-
la Luna es 1.62 m/s2. El radio de la Luna es RM ϭ 1738 km. (Vea tancia desde el centro de la Tierra hasta el centro de la Luna
el ejemplo 12.5). es 383,000 km y el radio de la Tierra es 6370 km. El radio de la
a) ¿Cuál es el peso en newtons en la superficie de la Luna de un Luna es 1738 km y la aceleración debida a la gravedad en su
objeto que tiene una masa de 10 kg? superficie es 1.62 m/s2.
b) Usando el método descrito en el ejemplo 12.5, determine la
fuerza ejercida sobre el objeto por la gravedad de la Luna si éste
se encuentra a 1738 km por encima de la superficie lunar.
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
CAPÍTULO
13
Movimiento de un punto
En este capítulo se inicia el estudio del movimiento. Aquí no se an at
tiene interés en las propiedades de los objetos ni en las causas de
sus movimientos; el objetivo consiste sólo en describir y analizar
el movimiento de un punto en el espacio. Después de definir la
posición, velocidad y aceleración de un punto, se considera el
caso más sencillo: el movimiento a lo largo de una línea recta.
Posteriormente se muestra la manera en que el movimiento de
un punto a lo largo de una trayectoria arbitraria se expresa y
analiza usando diversos sistemas coordenados.
᭣ Las líneas muestran las trayectorias seguidas por partículas subatómicas que
se mueven en un campo magnético. Las partículas con trayectorias curvas
tienen tanto componentes de aceleración tangenciales como normales.
www.FreeLibros.org
22 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.1 Posición, velocidad y aceleración
ANTECEDENTES
Si alguien observa a la gente que se encuentra dentro de una habitación, por ejem-
plo un grupo de personas en una fiesta, podrá percibir las posiciones en relación
con la habitación. Algunas personas estarán en el fondo de la habitación, otras en
medio del cuarto, etcétera. La habitación es su “marco de referencia”. Para preci-
sar esta idea se puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas con sus
ejes alineados con las paredes del cuarto como en la figura 13.1a y especificar la
posición de una persona (en realidad, la posición de algún punto de la persona, por
ejemplo su centro de masa) indicando las componentes del vector de posición r en
relación con el origen del sistema coordenado. Este sistema de coordenadas es un
marco de referencia conveniente para los objetos en la habitación. Si alguien está
sentado en un avión, podrá percibir las posiciones de los objetos dentro del avión
en relación con éste. En tal caso, el interior del avión es su marco de referencia.
Para especificar de manera precisa la posición de una persona dentro del avión, se
puede introducir un sistema de coordenadas cartesianas que esté fijo en relación
con el avión y mida la posición del centro de masa de una persona especificando
las componentes del vector de posición r en relación con el origen (figura 13.1b).
Un marco de referencia es simplemente un sistema coordenado que es adecuado
para especificar posiciones de puntos. Se recomienda familiarizarse por lo menos
con las coordenadas cartesianas. En este capítulo se analiza otro ejemplo y a lo
largo del libro se continúa el estudio de los marcos de referencia.
Se puede describir la posición de un punto P en relación con un marco de
referencia dado con origen O mediante el vector de posición r desde O hasta P
(figura 13.2a). Suponga que P está en movimiento respecto al marco de referencia
escogido, de manera que r es una función del tiempo t (figura 13.2b). Lo anterior
se expresa mediante la notación
r ϭ r(t).
La velocidad de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define como
dr r1t + ¢ t2 - r1t2
v = = lím , (13.1)
dt ¢t : 0 ¢t
y
x
O r
y
z
(a)
Figura 13.1 O r
Marcos de referencias convenientes para espe- x
cificar posiciones de objetos
(a) en una habitación;
www.FreeLibros.org(b) enunavión.
z
(b)
13.1 Posición, velocidad y aceleración 23
PP
r
O O
(a) (b)
r(t ϩ ⌬t) P(t ϩ ⌬t)
r(t ϩ ⌬t) Ϫ r(t)
P(t) Figura 13.2
(a) Vector de posición r de P respecto a O.
r(t) (b) Movimiento de P respecto al marco de
O
referencia.
(c) (c) Cambio en la posición de P de t a t ϩ ¢t.
donde el vector r(t ϩ ¢t) Ϫ r(t) es el cambio de posición, o desplazamiento de P, v(t ϩ ⌬t)
durante el intervalo de tiempo ¢t (figura 13.2c). Así, la velocidad es la razón de
cambio de la posición de P. v(t)
Las dimensiones de una derivada se determinan como si fuera una proporción, O v(t ϩ ⌬t)
por lo que las dimensiones de v son (distancia)͞(tiempo). El marco de referencia
usado suele ser obvio, y se llamará simplemente v a la velocidad de P. Sin embargo, v(t ϩ ⌬t) Ϫ v(t)
recuerde que la posición y la velocidad de un punto pueden especificarse sólo con
respecto a un marco de referencia. v(t)
Observe en la ecuación (13.1) que la derivada de un vector con respecto al
tiempo se define exactamente igual que la derivada de una función escalar. Por lo
anterior, la derivada de un vector comparte algunas propiedades de la derivada de
una función escalar. Se usarán dos de esas propiedades: la derivada con respecto
al tiempo, o derivada del tiempo, de la suma de dos funciones vectoriales u y w es
d 1u + w2 = du + ddwt , Figura 13.3
dt dt Cambio en la velocidad de P desde t hasta
t ϩ ¢t.
y la derivada respecto al tiempo del producto de una función escalar f y una función
vectorial u es
d1fu2 = df + f ddut . P
dt dt u rЈ
OЈ r
La aceleración de P respecto al marco de referencia dado en el tiempo t se define
como O
a = dv = v1t + ¢t2 - v1t2 (13.2) (a)
dt lím ¢t , P
¢t : 0
donde v(t ϩ ¢t) Ϫ v(t) es el cambio en la velocidad de P durante el intervalo de rЈ
tiempo ¢t (figura 13.3). La aceleración es la razón de cambio de la velocidad de P OЈ r
en el tiempo t (la segunda derivada respecto al tiempo del desplazamiento), y sus
dimensiones son (distancia)͞(tiempo)2. R
O
Se ha definido la velocidad y la aceleración de P en relación con el origen O
(b)
del marco de referencia. Se puede demostrar que un punto tiene la misma velocidad
y aceleración en relación con cualquier punto fijo en un marco de referencia dado.
Sea OЈ un punto fijado de manera arbitraria, y sea rЈ el vector de posición de OЈ a
www.FreeLibros.orgP (figura 13.4a). La velocidad de P relativa a OЈ es vЈ ϭ drЈ͞dt. La velocidad de P
Figura 13.4
(a) Vectores de posición de P relativos a O y OЈ.
(b) Vector de posición de OЈ relativo a O.
24 Capítulo 13 Movimiento de un punto
relativa al origen O es v ϭ dr͞dt. Se desea demostrar que vЈ ϭ v. Sea R el vector
de O a OЈ (figura 13.4b), de modo que
rЈ ϭ r Ϫ R.
Como el vector R es constante, la velocidad de P relativa a OЈ es
v¿ = dr¿ = dr - dR = dr = v.
dt dt dt dt
La aceleración de P relativa a OЈ es aЈ ϭ dvЈ͞dt, y la aceleración de P relativa a O
es a ϭ dv͞dt. Como vЈ ϭ v, aЈ ϭ a. Así, la velocidad y aceleración de un punto P
relativas a un marco de referencia dado no dependen de la ubicación del punto de
referencia fijo usado para especificar la posición de P.
RESULTADOS
Posición P
La posición de un punto P en relación con r
un sistema coordenado específico, o marco O
de referencia, con origen O puede describir-
se mediante el vector de posición r de O a P.
Velocidad v ϭ dr . (13.1)
La velocidad de P relativa a O en el tiem- dt
po t es la derivada de la posición r con
respecto a t (la razón de cambio de r).
Aceleración a ϭ dv . (13.2)
La aceleración de P relativa a O en un dt
tiempo t es la derivada de la velocidad v
con respecto a t (la razón de cambio de v).
Un punto tiene la misma velocidad y ace-
leración relativas a cualquier punto fijo en
un marco de referencia dado.
13.2 Movimiento en línea recta
ANTECEDENTES
Este tipo simple de movimiento se analiza primordialmente para que usted obtenga
experiencia antes de pasar al caso general del movimiento de un punto. Sin embar-
go, en muchas situaciones prácticas los ingenieros deben analizar movimientos en
línea recta, como el movimiento de un vehículo sobre un camino recto o el movi-
miento de un pistón en un motor de combustión interna.
Descripción del movimiento
Considere una línea recta que pasa por el origen O de un marco de referencia dado.
www.FreeLibros.orgSe supone que la dirección de la línea relativa al marco de referencia está fija (por
ejemplo, el eje x de un sistema de coordenadas cartesianas pasa por el origen y
13.2 Movimiento en línea recta 25
tiene una dirección fija en relación con el marco de referencia). Se puede especi- OP s
ficar la posición de un punto P sobre una línea recta respecto a O por medio de una s
coordenada s medida a lo largo de la línea que va de O a P. En la figura 13.5a se (a)
define a s como positiva hacia la derecha, por lo que s es positiva cuando P está a
la derecha de O y negativa cuando P está a la izquierda de O. El desplazamiento O P s
de P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el cambio de posición s(t) Ϫ s(t0), r e
donde s(t) denota la posición en el tiempo t.
(b)
Al introducir un vector unitario e que es paralelo a la línea y que apunta en la
dirección positiva de s (figura 13.5b), es posible escribir el vector de posición de Figura 13.5
P respecto a O como (a) Coordenada s de O a P.
(b) Vector unitario e y vector de posición r.
r ϭ se.
Como la magnitud y la dirección de e son constantes, de͞dt ϭ 0, por lo que la velo-
cidad de P respecto a O es
v = dr = ds e.
dt dt
Se puede escribir el vector velocidad como v ϭ ve, y obtener la ecuación escalar
v = ddst. s
La velocidad v de un punto P a lo largo de la línea recta es la razón de cambio de su v
posición s. Observe que v es igual a la pendiente en un tiempo t de la línea tangente
a la gráfica de s como una función del tiempo (figura 13.6).
La aceleración de P respecto a O es
a = dv = d 1ve2 = dv e. 1
dt dt dt
Al escribir el vector de aceleración como a ϭ ae se obtiene la ecuación escalar tt
dv d2s Figura 13.6
a = dt = dt 2. La pendiente de la línea recta tangente a la
gráfica de s contra t es la velocidad en el
La aceleración a es igual a la pendiente en el tiempo t de la línea tangente a la grá- tiempo t.
fica de v como una función del tiempo (figura 13.7).
Con la introducción del vector unitario e, se han obtenido ecuaciones escalares
que describen el movimiento de P. La posición queda especificada por la coordena-
da s, y la velocidad y la aceleración están regidas por las ecuaciones
v = ds (13.3)
dt (13.4)
y v
a = ddvt .
Aplicando la regla de la cadena del cálculo diferencial, es posible escribir la deri- a
vada de la velocidad con respecto al tiempo como
dv dv ddst , 1
dt ds
=
con lo que se obtiene una expresión alternativa para la aceleración que frecuente- tt
mente resulta útil: Figura 13.7
dv La pendiente de la línea recta tangente a la
ds gráfica de v contra t es la aceleración en el
tiempo t.
www.FreeLibros.orga= v. (13.5)
26 Capítulo 13 Movimiento de un punto
O Análisis del movimiento
s En algunas situaciones se conoce la posición s de algún objeto como función del
Figura 13.8 tiempo. Los ingenieros usan métodos como el radar y la interferometría de láser
La coordenada s mide la posición del centro para medir posiciones en función del tiempo. En este caso, con las ecuaciones
de masa del camión respecto a un punto de (13.3) y (13.4) pueden obtenerse por diferenciación la velocidad y la aceleración
referencia. como funciones del tiempo. Por ejemplo, si la posición del camión de la figura
13.8 durante el intervalo de tiempo de t ϭ 2 s a t ϭ 4 s está dada por la ecuación
s = 6 + 1 t3 m,
3
entonces, su velocidad y aceleración durante ese intervalo de tiempo son
v = ds = t 2 m/s
dt
y
a = dv = 2t m/s2.
dt
Sin embargo, es más común conocer la aceleración de un cuerpo que su posición,
porque la aceleración de un cuerpo se puede determinar mediante la segunda ley de
Newton cuando se conocen las fuerzas que actúan sobre él. Cuando se conoce la
aceleración, con las ecuaciones (13.3) a (13.5) se pueden determinar por integración
la velocidad y la posición.
Aceleración especificada como función del tiempo Si la aceleración es
una función conocida del tiempo, se puede integrar la relación
dv = a (13.6)
dt
con respecto al tiempo para determinar la velocidad en función del tiempo. Se
obtiene
v = a dt + A,
L
donde A es una constante de integración. Después se puede integrar la relación
ds = v (13.7)
dt
para determinar la posición en función del tiempo,
s = v dt + B,
L
donde B es otra constante de integración. Para determinar las constantes A y B se
necesita información adicional acerca del movimiento, por ejemplo los valores de
v y s en un tiempo dado.
En vez de usar integrales indefinidas, la ecuación (13.6) puede escribirse como
www.FreedvϭLadt ibros.org
13.2 Movimiento en línea recta 27
e integrar en términos de integrales definidas:
vt (13.8)
dv = a dt.
Lv0 Lt0
El límite inferior v0, es la velocidad en el tiempo t0 y el límite superior v es la velo-
cidad en un tiempo t cualquiera. Evaluando la integral del lado izquierdo de la
ecuación (13.8), se obtiene una expresión para la velocidad en función del tiempo:
t
v = v0 + a dt. (13.9)
Lt0
Se puede escribir la ecuación (13.7) como
ds ϭ v dt
e integrar en términos de integrales definidas,
st
ds = v dt,
Ls0 Lt0
donde el límite inferior s0 es la posición en el tiempo t0 y el límite superior s es
la posición en un tiempo t arbitrario. Evaluando la integral del lado izquierdo, se
obtiene la posición como una función del tiempo:
t (13.10)
s = s0 + v dt.
Lt0
Aunque se ha mostrado cómo determinar la velocidad y la posición cuando se
conoce la aceleración como una función del tiempo, no es recomendable memorizar
resultados como las ecuaciones (13.9) y (13.10). Como se demostrará en los ejem-
plos, se recomienda que los problemas de movimiento en línea recta se resuelvan
usando las ecuaciones (13.3) a (13.5).
Se pueden realizar algunas observaciones útiles sobre las ecuaciones (13.9) y
(13.10):
• El área definida por la gráfica de la aceleración de P como una función del
tiempo de t0 a t es igual al cambio en la velocidad de t0 a t (figura 13.9a).
• El área definida por la gráfica de la velocidad de P como una función del
tiempo de t0 a t es igual al cambio en la posición de t0 a t (figura 13.9b).
A menudo estas relaciones pueden usarse para obtener una apreciación cualitativa
del movimiento de un cuerpo, y en algunos casos incluso se pueden usar para deter-
minar su movimiento en forma cuantitativa.
av
Área ϭ v(t) Ϫ v(t0) Área ϭ s(t) Ϫ s(t0)
Figura 13.9
t t Relaciones entre áreas definidas por las gráficas
de la aceleración y la velocidad de P, y cambios
en su velocidad y posición.
t0 t t0 t
(b)
www.FreeLibros.org(a)
28 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Aceleración constante En algunas situaciones, la aceleración de un objeto es
constante, o casi constante. Por ejemplo, si se deja caer un objeto denso, como una
pelota de golf o una roca, y éste no cae muy lejos, la aceleración de este cuerpo es
aproximadamente igual a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar.
Sea la aceleración una constante conocida a0. A partir de las ecuaciones (13.9)
y (13.10), la velocidad y la posición como funciones del tiempo son
v ϭ v0 ϩ a0(t Ϫ t0) (13.11)
y
s = s0 + v01t - t02 + 1 - t022, (13.12)
2 a01t
donde s0 y v0 son la posición y la velocidad, respectivamente, en el tiempo t0. Observe
que si la aceleración es constante, la velocidad es una función lineal del tiempo.
A partir de la ecuación (13.5), puede escribirse la aceleración como
dv
a0 = ds v.
Escribiendo esta expresión como v dv ϭ a0 ds e integrando,
vs
v dv = a0 ds,
Lv0 Ls0
se obtiene una ecuación para la velocidad como una función de la posición:
v2 = v20 + 2a01s - s02. (13.13)
Aunque las ecuaciones (13.11) a (13.13) pueden ser útiles cuando la aceleración es
constante, no deben ser usadas en otros casos.
RESULTADOS
Posición OP s
s
La posición de un punto P sobre una línea recta
respecto a un punto de referencia O puede descri-
birse mediante la coordenada s medida a lo largo
de la línea desde O hasta P. El desplazamiento de
P durante un intervalo de tiempo de t0 a t es el
cambio en posición s(t) Ϫ s(t0), donde s(t) denota
la posición en el tiempo t.
Velocidad
v ϭ ds .
dt
La velocidad de P respecto a O en el tiempo t es (13.3)
la derivada de la posición s con respecto a t (la
www.FreeLibros.orgrazóndecambiodes).
13.2 Movimiento en línea recta 29
Aceleración a ϭ dv . (13.4)
dt
La aceleración de P respecto a O en un
tiempo t es la derivada de la velocidad v
con respecto a t (la razón de cambio de v).
Aplicando la regla de la cadena a ϭ dv v. (13.5)
ds
a ϭ dv ϭ dv ds
dt ds dt
se obtiene una expresión alternativa para la
aceleración que con frecuencia resulta útil.
Cuando se conoce la aceleración como una función dv ϭ a,
del tiempo dt
La aceleración puede integrarse con v ϭ a dt ϩ A.
respecto al tiempo para determinar la L
velocidad como una función del tiempo.
A es una constante de integración. vt
De manera alternativa se pueden usar inte- dv ϭ a dt,
grales definidas para determinar la veloci- Lv0 Lt0
dad. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo
t0, y v es la velocidad en el tiempo t. Este t
resultado muestra que el cambio en la velo-
cidad del tiempo t0 al tiempo t es igual al v ϭ v0 ϩ a dt.
área definida por la gráfica de la acelera- Lt0
ción desde el tiempo t0 hasta el tiempo t.
a
Área ϭ v(t) Ϫ v(t0)
t0 t t
Cuando se conoce la velocidad como una función
del tiempo
La velocidad puede integrarse con respecto ds ϭ v,
al tiempo para determinar la posición como dt
una función de éste. B es una constante des ϭ v dt ϩ B.
L
www.FreeLibros.orgintegración.
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 672
Pages: