Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

30 Capítulo 13 Movimiento de un punto st

Pueden usarse integrales definidas para determinar dv ϭ v dt,
la posición. Aquí, s0 es la posición en el tiempo t0, Ls0 Lt0
y s es la posición en el tiempo t. Este resultado
muestra que el cambio en la posición del tiempo t0 t
al tiempo t es igual al área definida por la gráfica
de la velocidad desde el tiempo t0 hasta el tiempo t. s ϭ s0 ϩ v dt.
Lt0

v

Área ϭ s(t) Ϫ s(t0)
t0 t t

Cuando la aceleración es constante

Suponga que la aceleración es una constante v ϭ v0 ϩ a0(t Ϫ t0), (13.11)
(13.12)
a ϭ a0. Las ecuaciones (13.3) a (13.5) pueden s ϭ s0 ϩ v0(t Ϫ t0) ϩ 1 a0(t Ϫ t0)2, (13.13)
integrarse para obtener estos resultados conve- 2

nientes para la velocidad v y la posición s en el v2 ϭ v20 ϩ 2a0(s Ϫ s0).
tiempo t. Aquí v0 es la velocidad en el tiempo t0,
y s0 es la posición en el tiempo t0.

Ejemplo activo 13.1 Aceleración que es una función del tiempo (᭤ Relacionado con el problema 13.12)

La aceleración (en m/s2) del punto P mostrado respecto al punto O está dada como una
función del tiempo por a ϭ 3t2, donde t está en segundos. En t ϭ 1 s, la posición de
P es s ϭ 3 m y en t ϭ 2 s, la posición de P es s ϭ 7.5 m. ¿Cuál es la posición de P en
t ϭ 3 s?

OP s
s

Estrategia
Debido a que la aceleración está dada como una función del tiempo, ésta puede
integrarse para obtener una ecuación para la velocidad en función del tiempo.
Después se puede integrar la velocidad para obtener una ecuación para la posición
en función del tiempo. Las ecuaciones resultantes contendrán dos constantes de
integración. Estas expresiones pueden evaluarse usando los valores dados de la po-
sición en t ϭ 1 s y t ϭ 2 s.

www.FreeLibros.org

Solución 13.2 Movimiento en línea recta 31
Integre la aceleración para determinar la velocidad como
una función del tiempo. A es una constante de integración. a ϭ dv ϭ 3t2,
dt
Integre la velocidad para determinar la posición como
una función del tiempo. B es una constante de integración. v ϭ t3 ϩ A.

Use las posiciones conocidas en t ϭ 1 s y en t ϭ 2 s v ϭ ds ϭ t3 ϩ A,
para determinar A y B, obteniendo A ϭ 0.75 y B ϭ 2. dt

Determine la posición en t ϭ 3 s. s ϭ 1 t4 ϩ At ϩ B.
4

s tϭ1 s ϭ 3 ϭ 1 (1)4 ϩ A(1) ϩ B,
4

s tϭ2 s ϭ 7.5 ϭ 1 (2)4 ϩ A(2) ϩ B.
4

s ϭ 1 t4 ϩ 0.75t ϩ 2 :
4

s tϭ3 s ϭ 1 (3)4 ϩ 0.75(3) ϩ 2 ϭ 24.5 m.
4

Problema de práctica La aceleración (en pies/s2) del punto P respecto al punto O está
dado como una función del tiempo por a ϭ 2t, donde t está dado en segundos. Cuando
t ϭ 3 s, la posición y la velocidad de P son s ϭ 30 pies y v ϭ 14 pies/s. ¿Qué valores
tienen la posición y la velocidad de P en t ϭ 10 s?

OP s
s

Respuesta: s ϭ 389 pies, v ϭ 105 pies/s.

www.FreeLibros.org

32 Capítulo 13 Movimiento de un punto

Ejemplo 13.2 Movimiento en línea recta con aceleración constante (᭤ Relacionado con el problema 13.1)

Los ingenieros que prueban un vehículo que debe lanzarse por paracaídas estiman
que la velocidad vertical del automóvil al tocar el suelo será de 6 m/s. Si sueltan el
vehículo desde el bastidor de prueba mostrado, ¿a qué altura h se debe soltar para
simular la caída con paracaídas?

h

Estrategia
Si la única fuerza significativa que actúa sobre un objeto cerca de la superficie de
la Tierra es su peso, la aceleración del objeto es aproximadamente constante e igual
a la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar. Por lo tanto, se supone que
la aceleración del vehículo durante su corta caída es g ϭ 9.81 m/s2. Se pueden in-
tegrar las ecuaciones (13.3) y (13.4) para obtener la velocidad y la posición del
vehículo como funciones del tiempo y después usarlas para determinar la posición
del vehículo cuando su velocidad es igual a 6 m/s.

Solución
Sea t ϭ 0 el tiempo en el que el vehículo se suelta, y sea s la posición del fondo de
la plataforma que soporta al vehículo respecto a su posición en t ϭ 0 (figura a). La
aceleración del vehículo es a ϭ 9.81 m/s2.
De la ecuación (13.4),

dv = a = 9.81 m/s2.
dt

Integrando, se obtiene

v ϭ 9.81t ϩ A,

donde A es una constante de integración. Como el vehículo se encuentra en reposo
al soltarlo, v ϭ 0 cuando t ϭ 0. Por lo tanto, A ϭ 0, y la velocidad del vehículo en
función del tiempo es

www.Freevϭ9L.81tm/s.ibros.org

13.2 Movimiento en línea recta 33

s

a) La coordenada s mide la posición del fondo de la plataforma respecto a su
posición inicial.

Se sustituye este resultado en la ecuación (13.3) para obtener

ds = v = 9.81t
dt

y se integra, de donde resulta

s ϭ 4.91t2 ϩ B.

La posición s ϭ 0 cuando t ϭ 0, por lo que la constante de integración B ϭ 0, y la
posición en función del tiempo es

s ϭ 4.91t2.

De la ecuación para la velocidad como una función del tiempo, el tiempo necesario
para que el vehículo alcance 6 m/s es

v 6 m/s
t = 9.81 m/s2 = 9.81 m/s2 = 0.612 s.

Sustituyendo este tiempo en la ecuación para la posición en función del tiempo, se
obtiene la altura h requerida:

h ϭ 4.91t2 ϭ 4.91(0.612)2 ϭ 1.83 m.

Razonamiento crítico
Observe que la altura h, desde la cual debe soltarse el vehículo, podría haberse
determinado de una manera más simple usando la ecuación (13.13), que relaciona
la velocidad con la posición.

v2 ϭ v20 ϩ 2a0(s Ϫ s0):

(6 m/s)2 ϭ 0 ϩ 2(9.81 m/s2)(h Ϫ 0).

Al resolver, se obtiene h ϭ 1.83 m. Pero resulta esencial recordar que las ecuaciones
(13.11) a (13.13) son aplicables sólo cuando la aceleración es constante, como en

www.FreeLibros.orgesteejemplo.

34 Capítulo 13 Movimiento de un punto

Ejemplo 13.3 Solución gráfica de un movimiento en línea recta (᭤ Relacionado con el problema 13.26)

El guepardo, Acinonyx jubatus, puede correr a 75 mi/h. Si se supone que la acelera-
ción del animal es constante y que alcanza su velocidad máxima en 4 s, ¿qué distancia
podrá recorrer en 10 s?

Estrategia
La aceleración tiene un valor constante durante los primeros 4 s y después es cero.
Se puede determinar la distancia recorrida durante cada una de esas “fases” del mo-
vimiento y sumarlas para obtener la distancia total recorrida. Esto se hará de manera
analítica y gráfica.

Solución
La velocidad máxima en pies por segundo es

75 mi/h = 175 mi/h2a5280 pies b a 1 h b = 110 pies/s.
1 mi 3600 s

Primer método Sea a0 la aceleración durante los primeros 4 s. Se integra la ecua-
ción (13.4) y resulta

vt

L0 dv = L0 a0 dt,

vt

c v d = a0 c t d ,

00

v - 0 = a01t - 02,

de donde se obtiene la velocidad en función del tiempo durante los primeros 4 s:

v ϭ a0 t pies/s.

Cuando t ϭ 4 s, v ϭ 110 pies/s; entonces a0 ϭ 110͞4 ϭ 27.5 pies/s2. Por lo tanto,
la velocidad durante los primeros 4 segundos es v ϭ 27.5t pies/s. Ahora se integra
la ecuación (13.3),

st

ds = 27.5t dt,
L0 L0

s t2 t
cs d = 27.5c d ,

0 20
t2

s - 0 = 27.5a - 0b ,
2

y se obtiene la posición como función del tiempo durante los primeros 4 s:

www.FreeLibros.orgsϭ13.75t2pies.

13.2 Movimiento en línea recta 35

En t ϭ 4 s la posición es s ϭ 13.75(4)2 ϭ 220 pies.
De t ϭ 4 s a t ϭ 10 s, la velocidad v ϭ 110 pies/s. Se escribe la ecuación

(13.3) como

ds ϭ v dt ϭ 110 dt

y se integra para determinar la distancia viajada durante la segunda fase del movi-
miento,

s 10

ds = 110 dt,
L0 L4

s 10

cs d = 110 c t d ,

04

s - 0 = 110110 - 42,

obteniendo s ϭ 660 pies. La distancia total que viaja el guepardo en 10 s es 220 pies
ϩ 660 pies ϭ 880 pies, o 293 yd.

Segundo método En la figura a se dibuja la gráfica de la velocidad del guepardo
en función del tiempo. La aceleración es constante durante los primeros 4 s de su
movimiento, por lo que su velocidad es una función lineal del tiempo desde v ϭ 0
en t ϭ 0 hasta v ϭ 110 pies/s en t ϭ 4 s. La velocidad es constante durante los úl-
timos 6 s. La distancia total recorrida es la suma de las áreas durante las dos fases
del movimiento:

–1 (4 s)(110 pies/s) ϩ (6 s)(110 pies/s) ϭ 220 pies ϩ 660 pies ϭ 880 pies.

2

v (pies/s) El área es igual a la distancia
recorrida de t ϭ 0 a t ϭ 10 s.

110

0 10
04

t (s)

(a) Velocidad del guepardo en función del
tiempo.

Razonamiento crítico
Observe que en el primer método se usaron integrales definidas en vez de indefi-
nidas para determinar la velocidad y posición del guepardo en función del tiempo.
Se sugiere resolver este ejemplo usando integrales indefinidas y comparar los
resultados de ambos métodos. El uso de integrales definidas o indefinidas es una
cuestión de preferencia personal, pero es necesario estar familiarizado con ambos

www.FreeLibros.orgprocedimientos.

36 Capítulo 13 Movimiento de un punto

Problemas

Los siguientes problemas implican movimiento en línea 13.3 En un experimento para estimar la aceleración debida a la
recta. El tiempo t está en segundos a menos que se gravedad, un estudiante deja caer una pelota a una distancia de 1 m
indique otra cosa. sobre el piso. Su compañero de laboratorio mide el tiempo que la
pelota tarda en caer y obtiene una estimación de 0.46 s.
᭤ 13.1 En el ejemplo 13.2 suponga que el vehículo se deja a) ¿Cuál es su estimación de la aceleración debida a la gravedad?
caer desde una altura h ϭ 6 m. a) ¿Qué valor tiene la velocidad b) Sea s la posición de la pelota respecto al piso. Usando el valor
descendente 1 s después de soltar el vehículo? b) ¿Qué valor de la aceleración debida a la gravedad obtenida por los estudiantes,
tiene la velocidad descendente justo antes de llegar al suelo? y suponiendo que la pelota se suelta en t ϭ 0, determine s (en m)
como una función del tiempo.
13.2 La fresadora que se muestra en la figura está programada de
modo que durante el intervalo de tiempo desde t ϭ 0 hasta t ϭ 2 s, s
la posición de su cabeza (en pulgadas) está dada como una función
del tiempo por s ϭ 4t Ϫ 2t2. ¿Cuál es la velocidad (en pulg/s) y la
aceleración (en pulg/s2) de la cabeza cuando t ϭ 1 s?

s sϭ0
Problema 13.2

Problema 13.3

www.FreeLibros.org

Problemas 37

13.4 La posición del bote que se muestra en la figura durante 13.7 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo
el intervalo de tiempo desde t ϭ 2 s hasta t ϭ 10 s está dada por desde t ϭ 0 hasta t ϭ 3 s es s ϭ 12 ϩ 5t2 Ϫ t3 pies.
s ϭ 4t ϩ 1.6t2 Ϫ 0.08t3 m. a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo,
a) Determine la velocidad del bote y la aceleración en t ϭ 4 s. y en qué momento ocurre?
b) ¿Cuál es la velocidad máxima del bote durante este intervalo b) ¿Cuál es la aceleración cuando la velocidad es máxima?

de tiempo y cuándo ocurre? 13.8 La manivela giratoria que se muestra en la figura ocasio-
na que la posición del punto P como una función del tiempo sea
s ϭ 0.4 sen(2pt) m.
a) Determine la velocidad y la aceleración de P en t ϭ 0.375 s.
b) ¿Cuál es la magnitud máxima de la velocidad de P?
c) Cuando la magnitud de la velocidad de P es máxima, ¿cuál es
la aceleración de P?

13.9 Para el mecanismo del problema 13.8, dibuje gráficas de
la posición s, la velocidad v y la aceleración a del punto P como
funciones del tiempo para 0 Յ t Յ 2 s. Usando sus gráficas, con-
firme que la pendiente de la gráfica de s es cero en los tiempos
para los cuales v es igual a cero y que la pendiente de la gráfica
de v es cero en los tiempos para los cuales a es igual a cero.

Problema 13.4 P

13.5 El cohete que se muestra en la figura parte del reposo en t = 0 s
y viaja hacia arriba en línea recta. Su altura sobre el suelo como una
función del tiempo puede aproximarse por s ϭ bt2 ϩ ct3, donde b y Problemas 13.8/13.9
c son constantes. En t ϭ 10 s, la velocidad del cohete y la acelera-
ción son v ϭ 229 m/s y a ϭ 28.2 m/s2. Determine el tiempo en el 13.10 Un sismógrafo mide el movimiento horizontal del terreno
que el cohete alcanza la velocidad supersónica (325 m/s). ¿Cuál es durante un sismo. Al analizar los datos, un ingeniero determina que
la altura cuando esto ocurre? para un intervalo de 10 segundos comenzando en t ϭ 0, la posición
se puede expresar aproximadamente con s ϭ 100 cos(2pt) mm.
¿Cuáles son a) la velocidad máxima y b) la aceleración máxima del
terreno durante el intervalo de 10 segundos?

13.11 En una operación de ensamblaje, el brazo de robot mostrado
se mueve a lo largo de una línea recta. Durante un intervalo de tiem-
po de t ϭ 0 a t ϭ 1 s, su posición está dada por s ϭ 30t2 Ϫ 20t3 mm.
a) Determine la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo.
b) ¿Qué valores tienen la posición y la aceleración cuando la
velocidad es máxima?

ss

Problema 13.5

13.6 La posición de un punto durante el intervalo de tiempo

desde t ϭ 0 hasta t ϭ 6 s está dada por s ϭ Ϫ–12 t3 ϩ 6t2 ϩ 4t m.

a) ¿Cuál es la velocidad máxima durante este intervalo de tiempo

y en qué momento ocurre?

www.FreeLibros.orgb) ¿Cuáleslaaceleracióncuandolavelocidadesmáxima?
Problema 13.11













































































76 Capítulo 13 Movimiento de un punto

Ejemplo 13.11 Relación de las componentes cartesianas y las componentes tangenciales

(᭤ Relacionado con el problema 13.122)

Durante un vuelo en el que un helicóptero parte del reposo en t ϭ 0, las componentes
cartesianas de su aceleración son

ax ϭ 0.6t m/s2
y

ay ϭ 1.8 Ϫ 0.36t m/s2.

¿Cuáles son las componentes normal y tangencial de su aceleración y el radio de
curvatura instantáneo de su trayectoria en t ϭ 4 s?

Estrategia

Se pueden integrar las componentes cartesianas de la aceleración para determinar

las componentes cartesianas de la velocidad en t ϭ 4 s, y después pueden deter-

minarse las componentes del vector unitario tangencial et dividiendo el vector de
velocidad entre su magnitud: et ϭ v͉͞v͉. Enseguida se puede determinar la com-
ponente tangencial de la aceleración al evaluar el producto punto del vector de ace-

leración por et. Conociendo la componente tangencial de la aceleración, se puede
evaluar la componente normal y determinar el radio de curvatura de la trayectoria
a partir de la relación an ϭ v2͞r.

Solución
Integrando las componentes de la aceleración respecto al tiempo (vea el ejemplo
activo 13.6), se encuentra que las componentes cartesianas de la velocidad son

vx ϭ 0.3t2 m/s
y

vy ϭ 1.8t Ϫ 0.18t2 m/s.

En t ϭ 4 s, vx ϭ 4.80 m/s y vy ϭ 4.32 m/s. El vector unitario tangencial et en t ϭ 4 s
es (figura a)

v 4.80i + 4.32j
et = ƒ v ƒ = 214.8022 + 14.3222 = 0.743i + 0.669j.

Las componentes cartesianas de la aceleración en t ϭ 4 s son

ax ϭ 0.6(4) ϭ 2.4 m/s2
y

www.FreeLibros.orgay ϭ 1.8 Ϫ 0.36(4) ϭ 0.36 m/s2,

13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial 77

y

4.32 m/s
et

4.80 m/s

x
(a) Componentes cartesianas de la velocidad y

el vector et.

entonces, la componente tangencial de la aceleración en t ϭ 4 s es

#at = et a
= 10.743i + 0.669j2 # 12.4i + 0.36j2

= 2.02 m/s2.

La magnitud de la aceleración es 212.422 + 10.3622 = 2.43 m/s2 , por lo que la mag-
nitud de la componente normal de la aceleración es

an = 2 ƒ a ƒ 2 - at2 = 212.4322 - 12.0222 = 1.34 m/s2.

Así que el radio de curvatura de la trayectoria es

ƒ v ƒ 2 14.8022 + 14.3222

r = an = 1.34 = 31.2 m.

Razonamiento crítico
Las componentes cartesianas de un vector son paralelas a los ejes del sistema de
coordenadas cartesianas, mientras que las componentes normal y tangencial tienen
esa condición respecto a la trayectoria. En este ejemplo, las componentes carte-
sianas de la aceleración del helicóptero fueron dadas como funciones del tiempo.
¿Cómo podrían determinarse las componentes normal y tangencial de la acelera-
ción en t ϭ 4 s si no se conocía la trayectoria? Observe que se usó el hecho de que
el vector de velocidad es tangente a la trayectoria. Se integraron las componentes
cartesianas de la aceleración para determinar las componentes cartesianas de la
velocidad en t ϭ 4 s, con esto se conoció la dirección de la trayectoria. Al dividir
el vector de velocidad entre su magnitud se obtuvo un vector unitario tangente a la

www.FreeLibros.orgtrayectoria que apuntaba en la dirección del movimiento, que es el vector et.

78 Capítulo 13 Movimiento de un punto

Ejemplo 13.12 Centrífuga (᭤ Relacionado con el problema 13.128)

La distancia desde el centro de la centrifugadora médica hasta sus muestras es de
300 mm. Cuando la centrifugadora se enciende, su motor y su sistema de control
le dan una aceleración angular a ϭ A Ϫ Bv2. Elija las constantes A y B de manera
que las muestras estén sometidas a una aceleración horizontal máxima de 12,000 g
y de modo que la centrifugadora alcance 90% de su velocidad operativa máxima
en 2 minutos.

300 mm

Estrategia
Como se conoce tanto el radio de la trayectoria circular sobre la que se mueven las
muestras como la aceleración horizontal a la que éstas se encuentran sometidas, se
puede obtener la velocidad angular operativa de la centrifugadora. Se usará la ace-
leración angular dada para determinar la velocidad angular de la centrifugadora como
una función del tiempo, en términos de las constantes A y B. Luego puede usarse la
velocidad angular operativa y la condición de que la centrifugadora alcance 90% de
dicha velocidad angular en 2 minutos, para determinar las constantes A y B.

Solución
Por la ecuación (13.45), las muestras están sometidas a una aceleración normal

an ϭ Rv2.

Estableciendo an ϭ (12,000)(9.81) m/s2 y R ϭ 0.3 m y despejando la velocidad
angular, se encuentra que la velocidad operativa máxima deseada es vmáx ϭ 626
rad/s.

La aceleración angular es

a = dv = A - Bv2.
dt

Se separan variables para obtener

dv
A - Bv2 = dt.

www.FreeLibros.org

13.6 Movimiento curvilíneo: Componentes normal y tangencial 79

Después se integra para determinar v como una función del tiempo, suponiendo
que la centrifugadora parte desde el reposo en t ϭ 0:

v dv t

L0 A - Bv2 = L0 dt.

Evaluando las integrales, se obtiene

1 ln a A + 2ABv b = t.
2 2AB A - 2ABv
La solución de esta ecuación para v es

v= A e22ABt - 1b.
a
A B e22ABt + 1

Conforme t se vuelve más grande, v se aproxima a 2A>B , por lo tanto se tiene
la condición de que

A (1)
A B = vmáx = 626 rad/s,

y se puede escribir la ecuación para v como

v = e22ABt - 1b. (2)
vmáx a e22ABt + 1

También se tiene la condición de que v ϭ 0.9vmáx después de 2 minutos. Estable-
ciendo v ϭ 0.9vmáx y t ϭ 120 s en la ecuación (2) y despejando 2AB se obtiene

2AB = ln1192 .

240

Se resuelve esta ecuación junto con la ecuación (1), para obtener A ϭ 7.69 rad/s2
y B ϭ 1.96 ϫ 10Ϫ5 radϪ1. En la gráfica se muestra la velocidad angular de la cen-

trifugadora en función del tiempo.

700v (rad/s)
600
500
400
300
200
100

0
0 100 200 300 400
t (s)

www.FreeLibros.org