Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

530 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

z

xl y

Figura 20.20
Alineación del eje y con la barra.

El momento de inercia respecto al eje y es

1>2

Iyy = 1x 2 + z 22 dm = rAx 2 dx = 1 rAl 3.
Lm L-1>2 12

Expresando este resultado en términos de la masa de la barra m = rAl, se obtiene

Iyy = 1 ml2.
12

El momento de inercia respecto al eje z es igual al momento de inercia respecto al
eje y:

Izz = 1x2 + y 22 dm = 1 ml 2.
Lm 12

Como las coordenadas y y z de dm son cero, los productos de inercia son cero y la
matriz de inercia de la barra delgada es

0 0 0
3I4 = C 0
1 ml2 0 S. (20.38)
0 12
1 ml2
0 12

Es importante recordar que los momentos y productos de inercia dependen de la
orientación del sistema coordenado respecto al cuerpo. En términos del sistema
coordenado alternativo que se muestra en la figura 20.20, la matriz de inercia de
la barra es

1 ml2 0 0
12

3I4 = C 0 0 0 S .

0 0 1 ml2
12

Placas delgadas

Suponga que una placa homogénea de espesor uniforme T, área A y forma inde-
finida está contenida en el plano x-y (figura 20.21a). Sus momentos de inercia

www.FreeLibros.orgpueden expresarse en términos de los momentos de inercia del área de su sección
transversal.

Apéndice: Momentos y productos de inercia 531

yy

A x T
(a) z
O
y y

x dA dm ϭ rTdA

ry

xz
O

(b)
Figura 20.21
(a) Placa delgada contenida en el plano x-y.
(b) Obtención de un elemento diferencial de masa proyectando un

elemento de área dA a través de la placa.

Al proyectar un elemento de área dA a través del espesor T de la placa (figu-
ra 20.21b), se obtiene un elemento diferencial de masa dm = rT dA. Se decide
ignorar el espesor de la placa al calcular los momentos de inercia, por lo que las
coordenadas del elemento dm son (x, y, 0). El momento de inercia de la placa res-
pecto al eje x es

Ixx = 1y2 + z 22 dm = rT y 2 dA = rTIx,
Lm LA

donde Ix es el momento de inercia del área de la sección transversal de la placa res-
pecto al eje x. Como la masa de la placa es m = rTA, el producto rT = m/A, y
se obtiene el momento de inercia en la forma

m
Ixx = A Ix.

El momento de inercia respecto al eje y es

Iyy = 1x 2 + z 22 dm = rT x 2 dA = m
Lm LA A Iy,

donde Iy es el momento de inercia del área de la sección transversal respecto al eje y.
El momento de inercia respecto al eje z es

m
A JO,
www.FreeLibros.orgIzz=1x 2+ y 22 dm =
Lm

532 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

donde JO ϭ Ix ϩ Iy es el momento polar de inercia del área de la sección transver-
sal. El producto de inercia Ixy es

Ixy = xy dm = m IxAy,
Lm A

donde

IxAy = xy dA
LA

es el producto de inercia del área de la sección transversal (se usa un superíndice
A para distinguir el producto de inercia del área de la sección transversal de la
placa, del producto de inercia de su masa). Si el área A de su sección transversal
es simétrica respecto al eje x o al eje y, IAxy = 0.

Como la coordenada z de dm es cero, los productos de inercia Ixz e Iyz son cero.
Por lo tanto, la matriz de inercia para la placa delgada es

m Ϫ- m IxAy 0
A Ix A
0 V.
3I4 = FϪ- m IxAy m m (20.39)
A A Iy A JO

0 0

Si se conocen, o se pueden determinar, los momentos y los productos de inercia
del área de la sección transversal de la placa, se puede usar la ecuación (20.39)
para obtener los momentos y productos de inercia de la placa.

Teoremas de los ejes paralelos

Suponga que se conoce la matriz de inercia 3I¿4 de un objeto en términos de un
sistema coordenado x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa, y se desea deter-
minar la matriz de inercia [I ] en términos de un sistema coordenado paralelo xyz
(figura 20.22). Sean 1dx, dy, dz2 las coordenadas del centro de masa en el sistema
xyz. Las coordenadas de un elemento diferencial de masa dm en el sistema xyz
están dadas en términos de sus coordenadas en el sistema x¿y¿z¿ por

x = x¿ + dx, y = y¿ + dy, z = z¿ + dz. (20.40)

y
yЈ

dm xЈ
(dx, dy, dz)

Figura 20.22 zЈ
x
Sistema coordenado x¿y¿z¿ con su origen en O

el centro de masa y un sistema coordenado z

www.FreeLibros.orgparaleloxyz.

Apéndice: Momentos y productos de inercia 533

Sustituyendo esas expresiones en la definición de Ixx se obtiene

Ixx = C 1y¿22 + 1z¿22 D dm + 2dy y¿ dm
Lm
Lm (20.41)

+ 2dz z¿ dm + 1d 2 + d z22 Lm dm.
Lm y

La primera integral de la derecha es el momento de inercia del objeto respecto al
eje x¿. Se puede demostrar que la segunda y la tercera integrales son iguales a cero
usando las definiciones del centro de masa del cuerpo expresado en términos del
sistema coordenado x¿y¿z¿:

x¿ = Lm x¿ dm y¿ = Lm y¿ dm z¿ = Lm z¿ dm

, , .

dm dm dm
Lm Lm Lm

El centro de masa del objeto está en el origen del sistema x¿y¿z¿, y entonces
x¿ = y¿ = z¿ = 0. Por lo tanto, en la ecuación (20.41) la segunda y tercera inte-

grales de la derecha son cero, y se obtiene

Ixx = Ix¿x¿ + 1dy2 + d 2z2 m,

donde m es la masa del objeto. Sustituyendo las ecuaciones (20.40) en la defini-
ción de Ixy se obtiene

Ixy = x¿y¿ dm + dx y¿ dm + dy x¿ dm + dxdy Lm dm
Lm Lm Lm

= Ix¿y¿ + dxdym.

Si se procede de esta manera para cada uno de los momentos y productos de iner-
cia, se obtienen los teoremas de los ejes paralelos:

Ixx = Ix¿x¿ + 1d 2 + d z22 m,
y

Iyy = Iy¿y¿ + 1dx2 + dz22 m,

Izz = Iz¿z¿ + 1dx2 + d y22 m, (20.42)

Ixy = Ix¿y¿ + dxdym,

Iyz = Iy¿z¿ + dydzm,

Izx = Iz¿x¿ + dzdxm.

Si se conoce la matriz de inercia de un objeto en términos de un sistema coorde-
nado particular, se pueden usar estos teoremas para determinar su matriz de inercia
en términos de cualquier sistema coordenado paralelo. También es posible utilizar-

www.FreeLibros.orglos para determinar las matrices de inercia de objetos compuestos.

534 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

y Momento de inercia respecto a un eje arbitrario
LO
Si se conoce la matriz de inercia de un cuerpo rígido en términos de un sistema
␻ coordenado dado con origen O, es posible determinar su momento de inercia res-
pecto a cualquier eje arbitrario que pase por O. Suponga que el cuerpo rígido gira
e x con velocidad angular ␻ respecto a un eje arbitrario fijo LO que pasa por O, y sea
O e un vector unitario con la misma dirección que ␻ (figura 20.23). Entonces, en tér-
minos del momento de inercia IO respecto a LO, el momento angular del cuerpo
z rígido respecto a LO es

Figura 20.23 HO = IO ƒ ␻ ƒ .
Cuerpo rígido que gira alrededor de LO.
El vector de velocidad angular puede expresarse como

␻ = ƒ ␻ ƒ 1exi + ey j + ez k2,

por lo que vx = ƒ ␻ ƒ ex, vy = ƒ ␻ ƒ ey, y vz = ƒ ␻ ƒ ez. Usando estas expresiones y
las ecuaciones (20.9), se obtiene el momento angular respecto a LO:

#HO = HO e = 1Ixx ƒ ␻ ƒ ex - Ixy ƒ ␻ ƒ ey - Ixz ƒ ␻ ƒ ez2ex

+ 1 - Iyx ƒ ␻ ƒ ex + Iyy ƒ ␻ ƒ ey - Iyz ƒ ␻ ƒ ez2ey

+ 1 - Izx ƒ ␻ ƒ ex - Izy ƒ ␻ ƒ ey + Izz ƒ ␻ ƒ ez2ez.

Igualando las dos expresiones para HO, resulta
IO = Ixxex2 + Iyyey2 + Izzez2 - 2Ixyexey - 2Iyzeyez - 2Izxezex. (20.43)

Observe que el momento de inercia respecto a un eje arbitrario depende de los pro-
ductos de inercia y los momentos de inercia respecto a los ejes coordenados. Si se
conoce la matriz de inercia de un objeto, es posible usar la ecuación (20.43) para
determinar su momento de inercia respecto a un eje que pase por O y cuya direc-
ción esté especificada por el vector unitario e.

Ejes principales

Para cualquier objeto y origen O, existe al menos un sistema coordenado para el
cual los productos de inercia son cero:

Ixx 0 0 (20.44)
3I4 = C 0 Iyy 0 S .

0 0 Izz

Esos ejes coordenados se llaman ejes principales y los momentos de inercia se
denominan momentos de inercia principales.

www.FreeLibros.orgSi se conoce la matriz de inercia de un objeto rígido en un sistema coordena-
do x¿y¿z¿ y los productos de inercia son cero, entonces x¿y¿z¿ es un conjunto de

Apéndice: Momentos y productos de inercia 535

ejes principales. Suponga que los productos de inercia no son cero y que se desea y
encontrar un conjunto de ejes principales xyz y los momentos de inercia principa-
les correspondientes (figura 20.24). Se puede demostrar que los momentos de iner- yЈ
cia principales son raíces de la ecuación cúbica
z
I3 - 1Ix¿x¿ + Iy¿y¿ + Iz¿z¿2I2 xЈ

+ 1Ix¿x¿Iy¿y¿ + Iy¿y¿Iz¿z¿ + Iz¿z¿Ix¿x¿ - I2x¿y¿ - Iy2¿z¿ - I2z¿x¿2I (20.45) O
zЈ
- 1Ix¿x¿Iy¿y¿Iz¿z¿ - Ix¿x¿Iy2¿z¿ - Iy¿y¿I2x¿z¿ - Iz¿z¿Ix2¿y¿ - 2Ix¿y¿Iy¿z¿Iz¿x¿2 = 0.
x
Para cada momento de inercia principal I, el vector V con componentes Figura 20.24
El sistema x¿y¿z¿ con su origen en O y un con-
Vx¿ = 1Iy¿y¿ - I21Iz¿z¿ - I2 - Iy2¿z¿, junto de ejes principales xyz.
Vy¿ = Ix¿y¿1Iz¿z¿ - I2 + Ix¿z¿Iy¿z¿,
Vz¿ = Ix¿z¿1Iy¿y¿ - I2 + Ix¿y¿Iy¿z¿ (20.46)

es paralelo al eje principal correspondiente.
Cuando se conoce la matriz de inercia de un objeto en términos de un sistema

coordenado con origen O, la determinación de los momentos de inercia principa-
les asociados y de un conjunto de ejes principales implica dos pasos:

1. Determine los momentos de inercia principales obteniendo las raíces de la
ecuación (20.45).

2. Si los tres momentos de inercia principales son distintos sustituya cada uno de
ellos en las ecuaciones (20.46) para obtener las componentes de un vector
paralelo a los ejes principales correspondientes. Los tres ejes principales pue-
den denotarse con x, y, z de manera arbitraria, siempre y cuando el sistema
coordenado resultante sea derecho. Si los tres momentos de inercia principa-
les son iguales, el momento de inercia respecto a cualquier eje que pase por
O tiene el mismo valor, y cualquier sistema coordenado con origen en O es un
conjunto de ejes principales. Esto ocurre si, por ejemplo, el objeto es una esfe-
ra homogénea con origen en su centro O (figura 20.25a). Si sólo dos de los
momentos principales son iguales, el tercero se puede sustituir en las ecua-
ciones (20.46) para determinar el eje principal asociado. Entonces, el momen-
to de inercia respecto a cualquier eje que pase por O y que sea perpendicular
al eje determinado tiene el mismo valor, por lo tanto cualquier sistema coor-
denado con origen O que tenga un eje coincidente con el eje determinado es
un conjunto de ejes principales. Esto sucede cuando un objeto tiene un eje de
simetría rotacional y O está sobre el eje (figura 20.25b).

x

yy

x

Figura 20.25

O (a) Esfera homogénea. Cualquier sistema
coordenado con su origen en el centro es

un conjunto de ejes principales.

z (b) Objeto rotacionalmente simétrico. El eje
(b)
z

www.FreeLibros.org(a)
de simetría es un eje principal y cualquier
eje perpendicular es un eje principal.

536 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo 20.8 Teorema de los ejes paralelos (᭤ Relacionado con los problemas 20.90, 20.91)

El aguilón AB de la grúa mostrada tiene una masa de 4800 kg; el aguilón BC tiene una masa
de 1600 kg y es perpendicular a AB. Modelando cada uno de ellos como una barra del-
gada y tratándolos como un sólo objeto, determine los momentos y productos de inercia
del objeto en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura.

x

6m
B

C

y 18 m

50Њ
A

Estrategia
Se pueden aplicar los teoremas de los ejes paralelos a cada aguilón para determinar sus
momentos y productos de inercia en el sistema coordenado dado. Los momentos y pro-
ductos de inercia del objeto combinado son las sumas de los correspondientes a los dos
aguilones.

x, xЈ Solución
B
Aguilón AB En la figura a, se introduce un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con
yЈ su origen en el centro de masa del aguilón AB. En términos del sistema x¿y¿z¿, la ma-
triz de inercia del aguilón AB es

0 0 00 0 0
3I¿4 = C 0 11214800211822
1 ml2 0 S = C0 0 S kg-m2.
0 12 0 11214800211822
1 ml2
y 18 m 0 12 0
A 9m
Las coordenadas del origen del sistema x¿y¿z¿ respecto al sistema xyz son dx ϭ 9 m,
dy ϭ 0, dz ϭ 0. Aplicando los teoremas de los ejes paralelos, se obtiene

Ixx = Ix¿x¿ + 1d2y + dz22 m = 0,

(a) Aplicación de los teoremas de los ejes Iyy = Iy¿y¿ + 1d2x + d2z2 m = 1 14800211822 + 1922148002
paralelos al aguilón AB. 12

= 518,400 kg-m2,

Izz = Iz¿z¿ + 1d2x + dy22 m = 1 14800211822 + 1922148002
12

= 518,400 kg-m2,

Ixy = Ix¿y¿ + dxdym = 0,
Iyz = Iy¿z¿ + dydzm = 0,

y

www.FreeLibros.orgIzx = Iz¿x¿ + dzdxm = 0.

Apéndice: Momentos y productos de inercia 537

Aguilón BC En la figura b se introduce un sistema coordenado x¿y¿z¿ paralelo con su yЈ x 6m
origen en el centro de masa del aguilón BC. En términos del sistema x¿y¿z¿, la matriz de B xЈ
inercia de BC es

1 ml2 0 0 1121160021622 0 0 18 m 3m C
12 0 S kg-m2.

3I¿4 = C 0 0 0 S=C 0 0

0 0 1 ml2 0 0 1121160021622 y
12

Las coordenadas del origen del sistema x¿y¿z¿ respecto al sistema xyz son dx ϭ 18 m,
dy ϭ Ϫ3 m, dz ϭ 0. Aplicando los teoremas de los ejes paralelos, se obtiene

(b) Aplicación de los teoremas de los

Ixx = Ix¿x¿ + 1dy2 + dz22 m = 1 1160021622 + 1 - 322116002 ejes paralelos al aguilón BC.
12

= 19,200 kg-m2,

Iyy = Iy¿y¿ + 1dx2 + d2z2 m = 0 + 11822116002 = 518,400 kg-m2,

Izz = Iz¿z¿ + 1d2x + d2y2 m = 1 1160021622 + 311822 + 1 - 3224116002
12

= 537,600 kg-m2,

Ixy = Ix¿y¿ + dxdym = 0 + 11821 - 32116002 = - 86,400 kg-m2,

Iyz = Iy¿z¿ + dydzm = 0,

y

Izx = Iz¿x¿ + dzdxm = 0.

Sumando los resultados para los dos aguilones, se obtiene la matriz de inercia del objeto
compuesto:

19,200 - 1- 86,4002 0

3I4 = C - 1- 86,4002 518,400 + 518,400 0S

0 0 518,400 + 537,600

19,200 86,400 0
= C 86,400 1,036,800 0 S kg-m2.

0 0 1,056,000

Razonamiento crítico

La mayoría de los objetos que se encuentran en la práctica de la ingeniería son ensambles
de partes más simples, como el aguilón de grúa de este ejemplo. Cuando se conocen los
momentos y productos de inercia de las partes, los momentos y productos de inercia del
ensamble pueden determinarse usando el procedimiento de este ejemplo. Se aplican los
teoremas de los ejes paralelos a cada parte para determinar sus momentos y productos de
inercia en términos de un sistema coordenado específico, después se suman los resultados
para las partes a fin de obtener los momentos y productos de inercia del ensamble en tér-
minos de ese sistema coordenado. Observe que para aplicar los teoremas de los ejes para-
lelos, los momentos y productos de inercia de las partes deben expresarse en términos de

www.FreeLibros.orgsistemas coordenados paralelos.

538 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo 20.9 Matriz de inercia de una placa (᭤ Relacionado con los problemas 20.82, 20.83)

La placa rectangular de 4 kg se encuentra en el plano x-y del sistema coordenado fijo
al cuerpo que se muestra en la figura.
(a) Determine los momentos y productos de inercia de la placa.
(b) Determine el momento de inercia de la placa respecto al eje diagonal LO.
(c) Si la placa está girando respecto al punto fijo O con velocidad angular
␻ ‫ ؍‬4i ؊ 2j (rad͞s), ¿cuál es la cantidad de movimiento angular de la placa res-
pecto a O?

z

y

300 mm

O
LO

600 mm

x

Estrategia
(a) A partir del apéndice B se pueden obtener los momentos y productos de inercia
del área rectangular de la placa y usar las ecuaciones (20.39) para obtener sus mo-
mentos y productos de inercia.
(b) Una vez conocidos los momentos y productos de inercia, se puede usar la ecua-
ción (20.43) para determinar el momento de inercia respecto a LO.
(c) El momento angular respecto a O está dado por la ecuación (20.9).

Solución
(a) Del apéndice B, los momentos de inercia del área de la sección transversal de la
placa son (figura a):

Ix = 1 bh3, IAxy = 1 b2h2,
3 4

Iy = 1 hb3, JO = 1 1bh3 + hb32.
3 3

z
y

b ϭ 300 mm

h ϭ 600 mm

x
(a) Determinación de los momentos de inercia del área de la

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Apéndice: Momentos y productos de inercia 539

Por lo tanto, los momentos y productos de inercia son

Ixx = m = 142 a 1 b 10.3210.623 = 0.48 kg-m2,
A Ix 10.3210.62 3

Iyy = m = 142 a 1 b 10.6210.323 = 0.12 kg-m2,
A Iy 10.3210.62 3

Ixy = m IxAy = 142 a 1 b 10.32210.622 = 0.18 kg-m2,
A 10.3210.62 4

Izz = m = 142 a 1 b 310.3210.623 + 10.6210.3234 = 0.60 kg-m2,
A JO 10.3210.62 3

y
Ixz = Iyz = 0.

(b) Para aplicar la ecuación (20.43) se deben determinar las componentes de un vector
unitario paralelo a LO:

300 i + 600j
e = = 0.447i + 0.894j.

ƒ 300 i + 600j ƒ

El momento de inercia respecto a LO es
IO = Ixxex2 + Iyyey2 + Izze2z - 2Ixyexey - 2Iyzeyez - 2Izxezex
= 10.48210.44722 + 10.12210.89422 - 210.18210.447210.8942
= 0.048 kg-m2.

(c) La cantidad de movimiento angular de la placa respecto a O es

HOx Ixx - Ixy - Ixz vx
Iyy - Iyz S C vy S
C HOy S = C - Iyx
- Izy Izz vz
HOz - Izx

0.48 - 0.18 0 4

= C -0.18 0.12 0 S C -2 S

0 0 0.6 0

2.28
= C - 0.96 S kg-m2/s.

0

Razonamiento crítico
¿Podrían usarse los resultados del inciso a) y los teoremas de los ejes paralelos para
determinar los momentos y productos de inercia de la placa en términos de cual-
quier otro sistema coordenado? Recuerde que los teoremas de los ejes paralelos
relacionan los momentos y productos de inercia de un objeto en términos de un sis-
tema coordenado que tiene su origen en el centro de masa con aquellos en térmi-
nos de un sistema coordenado paralelo. Por lo tanto, primero sería necesario aplicar
los teoremas de los ejes paralelos a los resultados del inciso a) para determinar los
momentos y productos de inercia de la placa en términos de un sistema coordena-
do paralelo con su origen en el centro de masa.

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540 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo 20.10 Ejes y momentos de inercia principales (᭤ Relacionado con el problema 20.96)

En términos de un sistema coordenado x¿y¿z¿ con su origen en el centro de masa,
la matriz de inercia de un cuerpo rígido es

4 -2 1
3I¿4 = C - 2 2 - 1 S kg-m2.

1 -1 3

Determine los momentos de inercia principales y las direcciones de un conjunto de
ejes principales respecto al sistema x¿y¿z¿.

Estrategia
Los momentos de inercia principales son las raíces de la ecuación (20.45). Para
cada momento principal de inercia, las ecuaciones (20.46) proporcionan las com-
ponentes de un vector que es paralelo al eje principal correspondiente.

Solución
Sustituyendo los momentos y productos de inercia en las ecuaciones (20.45), se ob-
tiene la ecuación

20 I3 - 9I2 + 20I - 10 = 0. (1)
15
10 En la gráfica se muestra el valor del lado izquierdo de esta ecuación en función de I.
5 Las tres raíces, que son los valores de los momentos de inercia principales en kg-m2,
0
Ϫ5 son I1 ϭ 0.708, I2 ϭ 2.397 e I3 ϭ 5.895.
Ϫ10 Sustituyendo el momento de inercia principal I1 ϭ 0.708 kg-m2 en las
Ϫ15
Ϫ20 ecuaciones (20.46) y dividiendo el vector resultante V entre su magnitud, se obtiene

0 1 2 34 56 7 un vector unitario paralelo al eje principal correspondiente:
I (kg-m2)
e1 = 0.473i + 0.864j + 0.171k.

Sustituyendo I2 ϭ 2.397 kg-m2 en las ecuaciones (20.46) se obtiene el vector
unitario

e2 = - 0.458i + 0.076j + 0.886k,

y sustituyendo I3 ϭ 5.895 kg-m2 en las ecuaciones (20.46) se obtiene el vector
unitario

e3 = 0.753i - 0.497j + 0.432k.

yЈ
y

Ϫ0.458i ϩ 0.076j ϩ 0.886k 0.473i ϩ 0.864j ϩ 0.171k
z xЈ

0.753i Ϫ 0.497j ϩ 0.432k

www.FreeLzЈibrox s.org

Problemas 541

Se han determinado los momentos de inercia principales y las componentes de los
vectores unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. Se muestran los
ejes principales, designándolos en forma arbitraria de modo que Ixx ϭ 5.895 kg-m2,
Iyy ϭ 0.708 kg-m2 e Izz ϭ 2.397 kg-m2.

Razonamiento crítico
Existen muchas calculadoras programables y paquetes de software que permiten
determinar las raíces de ecuaciones algebraicas no lineales. Así es como se obtu-
vieron los valores precisos de las raíces de la ecuación (1) para este ejemplo. Fue
necesario determinar las tres raíces de la ecuación cúbica. A menos que el programa
usado esté diseñado para encontrar todas las raíces de una ecuación de orden N, se
puede dar el caso de que el programa continúe convergiendo en una raíz que ya
se había determinado, en vez de encontrar la que se está buscando. Lo anterior
puede evitarse de una manera sencilla. En este ejemplo, se comenzaría por pedir-
le al programa la determinación de una raíz de la ecuación (1). Suponga que la raíz
encontrada es 0.708 (este valor está redondeado a tres cifras significativas; con-
serve tanta precisión como sea posible en su computadora). Después busque una
raíz de la ecuación

I3 - 9I2 + 20I - 10 = 0.
I - 0.708

De esta forma, se estará “dividiendo” la raíz ya determinada. Si la siguiente raíz
obtenida es 2.937, obtenga la raíz final buscando una raíz de la ecuación

I3 - 9I2 + 20I - 10 = 0.
1I - 0.70821I - 2.3972

Problemas

20.80 La masa de la barra mostrada es de 6 kg. Determine los 20.81 El objeto mostrado consiste en dos barras delgadas verticales
momentos y productos de inercia de la barra en términos del siste- de 1 kg soldadas a una barra delgada horizontal de 4 kg. Determi-
ma coordenado que se muestra en la figura. ne sus momentos y productos de inercia en términos del sistema
coordenado que se muestra en la figura.

y

y

0.1 m

x
1m

0.1 m

x

2m 0.1 m 0.2 m 0.1 m

www.FreeLibros.orgProblema20.80
Problema 20.81

542 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

᭤ 20.82 La placa rectangular delgada de 4 kg mostrada está en 20.86 Determine la matriz de inercia de la placa de acero de 2.4
el plano x-y. Determine los momentos y productos de inercia de kg en términos del sistema coordenado que se muestra en la figura.
la placa en términos del sistema coordenado que se muestra en la
figura. (Vea el ejemplo 20.9). 20.87 La masa de la placa de acero mostrada es de 2.4 kg.
a) Determine sus momentos y productos de inercia en términos
᭤ 20.83 Si la placa de 4 kg mostrada está girando con velocidad de un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con su origen en el cen-
angular ␻ ϭ 6i ϩ 4j Ϫ 2k (rad͞s), ¿cuál es su cantidad de movi- tro de masa de la placa.
miento angular respecto a su centro de masa? (Vea el ejemplo 20.9).
b) Si la placa está girando con velocidad angular ␻ ϭ 20i ϩ
z 10j Ϫ 10k (rad͞s), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular
respecto a su centro de masa?
y
y

300 mm 220 mm

600 mm 150 mm

x x

Problemas 20.82/20.83 50 mm
Problemas 20.86/20.87
20.84 La placa triangular de 30 lb mostrada está en el plano x-y. 20.88 La barra delgada de masa m que se muestra en la figura gira
Determine sus momentos y productos de inercia en términos del respecto al punto fijo O con velocidad angular ␻ ϭ vy j ϩ vzk.
sistema coordenado que se muestra en la figura. Determine su cantidad de movimiento angular a) respecto a su
centro de masa y b) respecto a O.
20.85 La placa triangular de 30 lb mostrada está en el plano x-y. y

(a) Determine sus momentos y productos de inercia en términos O
de un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con su origen en el cen-
tro de masa de la placa. z

(b) Si la placa está girando con velocidad angular ␻ ϭ 20i Ϫ l
12j ϩ 16k (rad͞s), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular x
respecto a su centro de masa?
Problema 20.88
z 4 pies 20.89 La barra delgada de masa m que se muestra en la figura es
y paralela al eje x. Si el sistema coordenado está fijo al cuerpo y su
velocidad angular respecto al punto fijo O es ␻ ϭ vy j, ¿cuál es la
x cantidad de movimiento angular de la barra respecto a O?

6 pies y

Problemas 20.84/20.85

l
h

O
z

www.FreeLibros.orgProblema20.89 x

Problemas 543

᭤ 20.90 En el ejemplo 20.8, los momentos y productos de iner- 20.94* La barra delgada homogénea de 8 kg de la figura tiene
cia del objeto compuesto formado por los aguilones AB y BC se soportes de bola y cuenca en A y B.
determinaron en términos del sistema coordenado xyz mostrado en a) ¿Cuál es su momento de inercia respecto al eje AB?
el ejemplo. Determine los momentos y productos de inercia del
objeto en términos de un sistema coordenado paralelo x¿y¿z¿ con b) Si la barra gira respecto al eje AB a 4 rad͞s, ¿cuál es la magni-
su origen en el centro de masa del objeto. tud de su momento angular respecto a su eje de rotación?

᭤ 20.91 Suponga que la grúa descrita en ejemplo 20.8 experi- 20.95* La barra delgada homogénea de 8 kg de la figura se suelta
menta una rotación de cuerpo rígido respecto al eje vertical de desde el reposo en la posición mostrada. (El plano x-z es horizon-
0.1 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj cuan- tal). ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular de la barra
do se ve desde arriba. respecto al eje AB en el instante de la liberación?

a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ␻ de la grúa en términos B
del sistema coordenado xyz fijo al cuerpo que se muestra en el
ejemplo?

b) ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del objeto forma- y 1m
do por los aguilones AB y BC respecto a su centro de masa?

20.92 Una barra delgada de 3 kg está unida rígidamente a un disco x
circular delgado de 2 kg. En términos del sistema coordenado fijo
al cuerpo que se muestra, la velocidad angular del objeto compues- A 2m
to es ␻ ϭ 100i Ϫ 4j ϩ 6k (rad͞s). ¿Cuál es la cantidad de movi- 1m
miento angular del objeto respecto a su centro de masa?

y

200 mm z
x Problemas 20.94/20.95

600 mm

Problema 20.92 ᭤ 20.96 En términos de un sistema coordenado x¿y¿z¿ con origen
en el centro de masa, la matriz de inercia de un cuerpo rígido es

20.93* La masa de la barra delgada homogénea que se mues- 20 10 - 10
tra en la figura es m. Si la barra gira con velocidad angular
␻ ϭ v0(24i ϩ 12j Ϫ 6k), ¿cuál es su cantidad de movimiento 3I¿4 = C 10 60 0 S kg-m2.
angular respecto a su centro de masa?
- 10 0 80
y
Determine los momentos de inercia principales y los vectores
b unitarios paralelos a los ejes principales correspondientes. (Vea el
x ejemplo 20.10).

b 20.97 Para el objeto del problema 20.81, determine los momentos
de inercia principales y los vectores unitarios paralelos a los ejes
principales correspondientes. Trace un bosquejo del objeto donde
muestre los ejes principales.

b z
b

www.FreeLibros.orgProblema20.93

544 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.98 La barra delgada de 1 kg y 1 m de longitud mostrada está 20.99* La masa de la placa delgada homogénea de la figura es
en el plano x¿– y¿. Su matriz de inercia en kg-m2 es de 3 slugs. Para un sistema coordenado con origen en O, determi-
ne los momentos de inercia principales y los vectores unitarios
1 seinn22 b - 1 seinn b cos b 0 paralelos a los ejes principales correspondientes.
12 12
1 1 cos2 0 S.
3I¿4 = C - 12 seinn b cos b 12 b
1
0 0 12

Use las ecuaciones (20.45) y (20.46) para determinar los momen- yЈ
tos de inercia principales y los vectores unitarios paralelos a los 3 pies
ejes principales correspondientes.

yЈ

2 pies

b O xЈ
xЈ 4 pies

Problema 20.98 zЈ
Problema 20.99

Problemas de repaso

20.100 El disco de la figura está articulado al eje horizontal y 20.102 El cono de la figura está conectado a un poste de 100 mm
gira respecto a él con velocidad angular vd. Respecto a un marco mediante una junta de bola y cuenca en su vértice. El radio de su
de referencia fijo a la Tierra, el eje vertical gira con velocidad base es de 100 mm y la base rueda sobre el piso. La velocidad del
angular v0. centro de la base es vC ϭ 2k (m͞s).
a) Determine vector de velocidad angular ␻ del disco respecto al
marco de referencia fijo a la Tierra. a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ␻ del cono?

b) ¿Cuál es la velocidad del punto A del disco respecto al marco b) ¿Cuál es la velocidad del punto A?

de referencia fijo a la Tierra? y

20.101 El disco de la figura está articulado al eje horizontal y z 400 mm
gira respecto a él con velocidad angular constante vd. Respecto a 100 mm
un marco de referencia fijo a la Tierra, el eje vertical gira con A
velocidad angular constante v0. ¿Cuál es la aceleración del punto 60Њ
A del disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra? C

y x
b
A Problema 20.102
z u
v0 x
R

vd

www.FreeLibros.orgProblemas 20.100/20.101

Problemas de repaso 545

20.103 El mecanismo mostrado es un tipo de junta universal 20.106 Determine la matriz de inercia de la placa delgada de
llamada de yunque y araña. El eje L se encuentra en el plano x-z. 0.6 slug en términos del sistema coordenado que se muestra en
Determine la velocidad angular vL y el vector de velocidad angular la figura.
␻S de la “araña” en forma de cruz, en términos de la velocidad
angular vR en el instante mostrado. 20.107 En t ϭ 0, la placa delgada de 0.6 slug tiene velocidad
angular ␻ ϭ 10i ϩ 10j (rad͞m) y está sometida a la fuerza
y F ϭ Ϫ10k (lb) que actúa en el punto (0, 6, 0) pulg. Ninguna otra
fuerza o par actúa sobre la placa. ¿Cuáles son las componentes
L vL vR x de su aceleración angular en ese instante?
f
y

z 2b 6 pulg 1.5 pulg
Problema 20.103 2b

x

3 pulg

20.104 La matriz de inercia de un cuerpo rígido en un sistema
coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa es

4 1 -1 Problemas 20.106/20.107
3I4 = C 1 2 0 S kg-m2.

-1 0 6

Si la velocidad angular del cuerpo rígido es ␻ ϭ 10i Ϫ 5j ϩ 10k 20.108 La matriz de inercia de un cuerpo rígido en un sistema
(rad͞s), ¿cuál es su cantidad de movimiento angular respecto al coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa es
centro de masa?
4 1 -1
20.105 ¿Cuál es el momento de inercia del cuerpo rígido descri- 3I4 = C 1 2 0 S kg-m2.
to en el problema 20.104 respecto al eje que pasa por el origen y
el punto (4, Ϫ4, 7) m? -1 0 6

Estrategia: Determine las componentes de un vector unitario Si la velocidad angular del cuerpo rígido es ␻ ϭ 10i Ϫ 5j ϩ 10k
paralelo al eje y use la ecuación (20.43). (rad͞s) y su aceleración angular es cero, ¿cuáles son las compo-
nentes del momento total respecto a su centro de masa?

20.109 Si el momento total respecto al centro de masa del cuer-
po rígido descrito en el problema 20.108 es cero, ¿cuáles son las
componentes de su aceleración angular?

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546 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.110 La barra delgada de longitud l y masa m de la figura 20.112* Una placa delgada de masa m gira alrededor de un eje
está articulada a la barra en forma de L en O. La barra en L gira
respecto al eje vertical con una velocidad angular constante v0. vertical con su plano perpendicular al piso. La esquina de la placa
Determine el valor de v0 necesario para que la barra permanezca
con un ángulo constante b respecto a la vertical. en O descansa en una ranura de manera que permanece en el mismo

v0 punto sobre el piso. La placa gira con velocidad angular constante
O
v0 y el ángulo b también es constante.
l
b a) Demuestre que la velocidad angular v0 está relacionada con el
ángulo b por
b
hv02 = seinn22 b 2 cos b - sseinn b cos2 .
g - 2 sseinn b cos b - b

b) La ecuación obtenida en el inciso a) indica que v0 ϭ 0 cuando
2 cos b Ϫ sen b ϭ 0. ¿Qué interpretación se le puede dar a este

resultado?

20.113* En el problema 20.112, determine el intervalo de valores
del ángulo b para los cuales la placa permanecerá en el movimien-
to estable descrito.

v0

Problema 20.110 h
2h
20.111 Una barra delgada de longitud l y masa m está rígidamente
unida al centro de un disco circular delgado de radio R y masa m. b
El objeto compuesto está sometido a un movimiento en el que la
barra gira en un plano horizontal con velocidad angular constante
v0 respecto al centro de masa del objeto compuesto, y el disco
rueda sobre el piso. Demuestre que v0 = 2 2g>R.

v0 v0 O
R Problemas 20.112/20.113

l 20.114 El brazo BC tiene una masa de 12 kg y sus momentos y

Problema 20.111 productos de inercia en términos del sistema coordenado de la figu-

ra son Ixx ϭ 0.03 kg-m2, Iyy ϭ Izz ϭ 4 kg-m2 e Ixy ϭ Iyz ϭ Ixz ϭ 0.
En el instante mostrado, el brazo AB está girando en un plano hori-

zontal con una velocidad angular constante de 1 rad͞s en sentido

contrario al de las manecillas del reloj vista desde arriba. Respecto

al brazo AB, el brazo BC está girando respecto al eje z con veloci-

dad angular constante de 2 rad͞s. Determine la fuerza y el par

ejercidos sobre el brazo BC en B. x

2 rad/s

C

1 rad/s y 300 mm

40Њ
AB

700 mm

www.FreeLibros.orgProblema20.114

Problemas de repaso 547

20.115 Un balón de fútbol americano se lanza con un movi- 20.118 Los momentos de inercia principales en slug-pie2 del
miento espiral oscilante y un ángulo de nutación de 25°. Los avión mostrado son Ixx ϭ 8000, Iyy ϭ 48,000 e Izz ϭ 50,000.
momentos de inercia del balón son Ixx ϭ Iyy ϭ# 0.003 slug-pie2 e
Izz ϭ 0.001 slug-pie2. Si su razón de giro es f = 4 revoluciones (a) El avión parte de la posición de referencia mostrada y manio-
por segundo, ¿cuál es su magnitud de la razón de precesión (la bra con la orientación c ϭ u ϭ f ϭ 45°. Dibuje un esquema que
razón a la que oscila el balón)? muestre la orientación del avión relativa al sistema XYZ.

20.116 Dibuje los conos de cuerpo y espacial para el movimien- (b) Si el avión está con la orientación descrita en el inciso
to del balón de fútbol americano del problema 20.115. a#), las ra# zones de cambio# de los ángulos de Euler son
c = 0, u = 0.2 rad/s, y f = 0.2 rad/s, y las segundas derivadas
z de los ángulos respecto al tiempo son cero, ¿cuáles son las compo-
nentes del momento total respecto al centro de masa del avión?

25Њ 20.119 ¿Cuáles son las componentes x, y y z de la aceleración
Z angular del avión descrito en el problema 20.118?

20.120 Si la orientación del avión del problema 20.118 es
c ϭ 45°, u ϭ 60°# y f ϭ# 45°, las razones# de cambio de los ángu-
los de Euler son c = 0, u = 0.2 rad/s,y f = 0.1 rad/s, y las

componentes del momento total respecto al centro de masa son

©Mx ϭ 400 lb-pie, ©My ϭ 1200 lb-pie y ©Mz ϭ 0, ¿cuáles
son las componentes x, y y z de la aceleración angular del avión?

Problemas 20.115/20.116

20.117 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra Z, z
en la figura es de 1 kg. Para el sistema de coordenadas mostrado, X, x
determine los momentos de inercia principales y las direccio-
nes de los vectores unitarios paralelos a los ejes principales Problemas 20.118–20.120
correspondientes.

yЈ

160
mm

160
mm

160
mm

O xЈ
zЈ
400 mm

Problema 20.117

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CAPÍTULO

21

Vibraciones

Las vibraciones han sido del interés de la ingeniería desde
el principio de la Revolución Industrial. Empezando
con el desarrollo de dispositivos electromecánicos
capaces de crear y medir vibraciones mecánicas, las
aplicaciones en ingeniería de las vibraciones han incluido
las diversas áreas de la acústica, desde la acústica
arquitectónica hasta la detección y análisis de sismos. En
este capítulo se consideran sistemas vibratorios de un
grado de libertad, es decir, en los que la posición o
configuración de cada sistema se especifica con una sola
variable. Los conceptos fundamentales que se presentan,
incluyendo la amplitud, la frecuencia, el periodo, el
amortiguamiento y la resonancia, también se usan en
el análisis de sistemas con múltiples grados de libertad.

᭣ Los sismos —vibraciones naturales de la Tierra— representan un gran
desafío para el análisis y el diseño en ingeniería. En este capítulo se analizan
las vibraciones de sistemas mecánicos simples.

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550 Capítulo 21 Vibraciones

x 21.1 Sistemas conservativos
k
ANTECEDENTES

Se inicia con la presentación de diferentes ejemplos de sistemas con un grado de
libertad, sometidos a fuerzas conservativas, y se demuestra que sus movimientos
pueden describirse mediante la misma ecuación diferencial. Después se examinan
soluciones de esta ecuación y se utilizan para describir las vibraciones de sistemas
conservativos con un grado de libertad.

(a) x Ejemplos
kx
mg El sistema oscilatorio masa-resorte (figura 21.1a) es el ejemplo más sencillo de un
(b) N sistema vibratorio con un grado de libertad. Una sola coordenada x que mide el
desplazamiento de la masa respecto a un punto de referencia es suficiente para
especificar la posición del sistema. En la figura 21.1b se dibuja el diagrama de
cuerpo libre de la masa ignorando la fricción y suponiendo que el resorte está sin
estirar cuando x = 0. Aplicando la segunda ley de Newton, se puede escribir la
ecuación del movimiento horizontal de la masa como

d 2x k (21.1)
dt 2 + m x = 0.

k Esta ecuación puede obtenerse usando un método diferente que resulta muy útil.
x La única fuerza que realiza trabajo sobre la masa, la fuerza ejercida por el resorte,
es conservativa, lo que significa que la suma de las energías cinética y potencial es
constante:

1 dx 2 + 1 kx 2 = constant.e.
2 m a dt b 2

(c) Derivando esta ecuación respecto al tiempo, el resultado puede escribirse como

Figura 21.1 dx d 2x k
(a) El sistema oscilatorio masa-resorte tiene a dt b a dt 2 + m x b = 0,

un grado de libertad. obteniendo de nuevo la ecuación (21.1).
(b) Diagrama de cuerpo libre de la masa. Suponga que la masa está suspendida del resorte, como se muestra en la figu-
(c) Masa suspendida.
ra 21.1c, y que experimenta un movimiento vertical. Si el resorte está sin estirar
cuando x = 0, resulta fácil confirmar que la ecuación del movimiento es

d 2x k
dt 2 + m x = g.

Si la masa suspendida está en reposo, la magnitud de la fuerza ejercida por el
resorte debe ser igual al peso 1kx = mg2, por lo que la posición de equilibrio es
x = mg>k (observe que también se puede determinar la posición de equilibrio
igualando a cero la aceleración en la ecuación de movimiento). Se introducirá
una nueva variable ෂx que mida la posición de la masa respecto a su posición de
equilibrio: ෂx = x - mg>k. Escribiendo la ecuación de movimiento en términos de
esta variable, se obtiene

www.FreeLibros.orgd2x~ + k x~ = 0, (21.2)
dt 2m

21.1 Sistemas conservativos 551

que es idéntica a la ecuación (21.1). El movimiento vertical de la masa de la figu- A
ra 21.1c respecto a su posición de equilibrio está descrito por la misma ecuación
que describe el movimiento horizontal de la masa en la figura 21.1a respecto a su u
posición de equilibrio.

Ahora se considerará un sistema diferente con un-grado-de-libertad. Si se gira
la barra de la figura 21.2a a través de cierto ángulo y se suelta, oscilará de un lado
a otro (un objeto que oscila desde un punto fijo se llama péndulo). Existe un solo
grado de libertad, puesto que u especifica la posición de la barra. Dibujando el dia-
grama de cuerpo libre de la barra (figura 21.2b) y escribiendo la ecuación del
movimiento angular respecto a A, se obtiene

(a)

d 2u 3g (21.3) Ay
dt 2 + 2l seinn u = 0. Ax

Esta ecuación también puede obtenerse usando la conservación de la energía. La 1 Nivel de
1 IA1du>dt22. 2l referencia
energía cinética de la barra es T = 2 Si se coloca el nivel de refe-

rencia en el plano del punto A (figura 21.2b), la energía potencial asociada con el
1
peso de la barra es V = - mg A 2 l cos uB , por lo que

1 1 2 du 2 1
2 3 dt 2
T + V = A ml B a b - mgl cos u = consttaanntte.. mg

Derivando esta ecuación respecto al tiempo y escribiendo el resultado en la (b)
forma
Figura 21.2
du d 2u 3g (a) Péndulo formado por una barra delgada.
a dt b a dt 2 + 2l seinn u b = 0, (b) Diagrama de cuerpo libre de la barra.

se obtiene la ecuación (21.3).
Observe que la ecuación (21.3) no tiene la misma forma que la ecuación (21.1).

Sin embargo, si se expresa sen u en términos de series de Taylor,

ssein u = u - 1 u 3 + 1 u 5 + Á,
6 120

y se supone que u permanece suficientemente pequeño como para aproximar
sen u mediante u, entonces la ecuación (21.3) se vuelve idéntica en forma a la
ecuación (21.1):

d 2u 3g (21.4)
dt 2 + 2l u = 0.

Los análisis realizados para el sistema oscilatorio masa-resorte y el péndulo
produjeron ecuaciones de movimiento idénticas en forma. Para lograr esto en el
caso del oscilador masa-resorte, se tuvo que expresar la ecuación del movimien-
to en términos del desplazamiento relativo a la posición de equilibrio. En el caso
del péndulo, fue necesario suponer que las amplitudes eran pequeñas. Pero den-
tro de esas restricciones, la forma de ecuación obtenida describe los movimientos
de muchos sistemas conservativos con un-grado-de-libertad.

Soluciones

Considere la ecuación diferencial

d 2x+v 2x=0, (21.5)

www.FreeLibros.orgdt2

552 Capítulo 21 Vibraciones

donde v es una constante. Se vio que con v2 = k>m, esta ecuación describe el mo-
vimiento de un sistema oscilatorio masa-resorte, y con v2 = 3g>2l, describe los
pequeños movimientos de una barra delgada suspendida. La ecuación (21.5) es una
ecuación diferencial ordinaria porque se expresa en términos de derivadas ordinarias
(no parciales) de la variable dependiente x con respecto a la variable independiente t.
Asimismo, la ecuación (21.5) es lineal, lo que significa que no contiene términos no
lineales de x o de sus derivadas, y es homogénea, pues cada término contiene a x o a
una de sus derivadas. Finalmente, la ecuación (21.5) tiene coeficientes constantes, es
decir que los coeficientes que multiplican a la variable dependiente x o a su derivada
en cada término no dependen de la variable independiente t. El método más común
para resolver una ecuación diferencial de este tipo consiste en suponer que la solución
es de la forma

x = Celt, (21.6)

donde C y l son constantes. Sustituyendo esta expresión en la ecuación (21.5) se
obtiene

Celt1l2 + v22 = 0.

Esta ecuación se satisface para cualquier valor de la constante C si l = iv o l = -iv,
donde i = 2 - 1, por lo que existen dos soluciones no triviales con la forma de
la ecuación (21.6), que se escribe como

x = Ceivt + De-ivt. (21.7)

Usando la identidad de Euler eiu = cos u + i sen u, la ecuación (21.7) puede expre-
sarse en la forma alternativa

x = A sen vt + B cos vt, (21.8)

donde A y B son constantes arbitrarias.
Aunque en problemas prácticos la ecuación (21.8) es a menudo la forma más

conveniente de la solución de la ecuación (21.5), las propiedades de la solución se
pueden describir con mayor facilidad al expresarla en la forma alternativa

x = E sen 1vt - f 2, (21.9)

donde E y f son constantes. Para demostrar que esta solución es equivalente a la
ecuación (21.8), se usa la identidad

E sen (vt - f) = E(sen vt cos f - cos vt sen f)
= (E cos f) sen vt + (-E sen f) cos vt.

Esta expresión es idéntica a la ecuación (21.8) si las constantes A y B están rela-

cionadas con E y f mediante

www.FreeLibros.orgA=Ecosf, y B=-Esenf. (21.10)

x 21.1 Sistemas conservativos 553

E vt
f

Figura 21.3
Gráfica de x en función de vt.

La ecuación (21.9) demuestra claramente la naturaleza oscilatoria de la solución de la
ecuación (21.5). Llamada movimiento armónico simple, describe una función si-
nusoidal de vt (figura 21.3). La constante positiva E se llama amplitud de la vibra-
ción. Elevando al cuadrado las ecuaciones (21.10) y sumándolas se obtiene una
relación entre la amplitud y las constantes A y B:

E = 2A2 + B2. (21.11)

La ecuación (21.9) puede interpretarse en términos del movimiento uniforme
de un punto a lo largo de una trayectoria circular. Se dibuja un círculo cuyo radio
es igual a la amplitud (figura 21.4) y se supone que la línea que une a O y a P gira
en sentido contrario al de las manecillas del reloj con velocidad angular constante
v. Si se elige la posición de P en t = 0 como se indica, la proyección de la línea
OP sobre el eje vertical es E sen1vt - f 2. Así, existe una correspondencia uno-a-uno
entre el movimiento circular de P y la ecuación (21.9). El punto P realiza una
revolución completa, o ciclo, durante el tiempo requerido para que el ángulo vt
crezca 2p radianes. El tiempo t = 2p>v requerido para un ciclo se llama periodo
de la vibración. Como t es el tiempo requerido para un ciclo, su inverso f = 1>t
es el número de ciclos por unidad de tiempo, o frecuencia de la vibración. La fre-

x

P f
E
vt
O f vt

Posición de
P en t ϭ 0

Figura 21.4
Correspondencia del movimiento armónico simple con el movimiento

www.FreeLibros.orgcirculardeunpunto.

554 Capítulo 21 Vibraciones

x t1 Ͻ t2 Ͻ t3 Ͻ t4
f1 Ͼ f2 Ͼ f3 Ͼ f4
12 3 4

vt

Figura 21.5
Efecto de incrementar el periodo (disminución de
la frecuencia) del movimiento armónico simple.

cuencia suele expresarse en ciclos por segundo, o Hertz (Hz). En la figura 21.5 se
ilustra el efecto de cambiar el periodo y la frecuencia.

Se observa que el periodo y la frecuencia están dados por

t = 2p, (21.12)
v (21.13)

f = 2vp.

El periodo y la frecuencia de un sistema se determinan mediante sus propiedades

físicas y no dependen de la forma funcional en la que se expresa su movimiento.

La frecuencia f es el número de revoluciones que el punto P se mueve alrededor
de la trayectoria circular de la figura 21.4 en un tiempo unitario, por lo que v = 2pf
es el número de radianes por unidad de tiempo. Por lo tanto, v también es una
medida de la frecuencia y se expresa en radianes por segundo (radրs).

Suponga que la ecuación (21.9) describe el desplazamiento del sistema osci-
latorio masa-resorte de la figura 21.1a, de modo que v2 = k/m. Entonces, la energía
cinética de la masa es

1 dx 2 1 mE2v2 cos21vt
2 dt 2
T = m a b = - f2, (21.14)

y la energía potencial del resorte es

V = 1 kx2 = 1 mE2v2 ssein21vt - f2. (21.15)
2 2

La suma de las energías cinética y potencial, T + V = 1 mE2v2, es constante
2
(figura 21.6). Cuando el sistema vibra, su energía total oscila entre energía cinéti-

ca y energía potencial. Observe que la energía total es proporcional al cuadrado de

la amplitud y al cuadrado de la frecuencia natural.

Cinética Potencial Total

1

Energía/ 1 mE2v2 0.5
2
Figura 21.6
Energías cinética, potencial y total de un sistema

www.FreeLibros.orgoscilatoriomasa-resorte.
0 vtϪf
01 234 56

21.1 Sistemas conservativos 555

RESULTADOS

Se dice que un sistema tiene un grado de libertad si su posición, o configuración,
puede especificarse sólo con una variable. Un sistema conservativo es aquel en el
que las fuerzas que realizan trabajo son conservativas.

Si la configuración de un sistema conservativo se d (T ϩ V) ϭ 0.
especifica sólo con una variable, su ecuación de dt
movimiento puede obtenerse al evaluar la deri-
vada con respecto al tiempo t de la suma de sus
energías cinética y potencial T ϩ V ϭ constante.

x El sistema oscilatorio masa-resorte es el
k ejemplo más sencillo de un sistema vibra-
torio con un grado de libertad.

Con v2 ϭ k/m, esta ecuación rige el desplaza- d2x ϩ v2x ϭ 0. (21.5)
miento de la masa de un sistema oscilatorio dt2
masa-resorte especto a su posición de equilibrio.
Las vibraciones pequeñas de muchos sistemas x ϭ A sen vt ϩ B cos vt, (21.8)
conservativos con un-grado-de-libertad respecto a
una posición de equilibrio están regidas por esta x ϭ E sen (vt Ϫ f). (21.9)
misma ecuación, con la constante v determinada
por las características físicas del sistema. E ϭ A2 ϩ B2. (21.11)

Formas alternativas de la solución general de la
ecuación (21.5), donde A, B, E y f son constantes.

Amplitud de la vibración descrita por las
ecuaciones (21.8) y (21.9).

x

t
t

El periodo t de la vibración regida por la ecuación

(21.5) es el tiempo requerido para una oscilación com- 2p (21.12)
pleta, o ciclo. La frecuencia f es el número de ciclos tϭ v ,

por unidad de tiempo. Un ciclo por segundo se deno- v
f ϭ 2p . (21.13)
mina un Hertz (Hz). El término v ϭ 2pf también es

www.FreeLibros.orguna medida de la frecuencia y se expresa en rad/s.

556 Capítulo 21 Vibraciones

Ejemplo activo 21.1 Vibración de un sistema conservativo con un-grado-de-libertad

R (᭤ Relacionado con los problemas 21.1, 21.2)

La polea mostrada tiene radio R y momento de inercia I. La masa m se desplaza
hacia abajo desde su posición de equilibrio y se libera. ¿Cuál es la frecuencia de las
vibraciones resultantes del sistema?

km Estrategia
Con una sola coordenada que especifica la posición vertical de la masa se puede es-
pecificar la posición del sistema, por lo que se tiene un sistema con un grado de li-
bertad. Si la ecuación de movimiento del sistema puede expresarse en la forma de
la ecuación (21.5), es posible determinar la frecuencia de sus vibraciones a partir
de la ecuación (21.13).

Primero se obtendrá la ecuación de movimiento dibujando diagramas de cuer-
po libre y aplicando las ecuaciones de movimiento del cuerpo rígido. Después se
demostrará cómo puede obtenerse usando la conservación de la energía.

Determinación de la ecuación de movimiento aplicando las ecuaciones
de movimiento del cuerpo rígido.

a

Ay Ax

kx TC
Nivel de TC
x referencia

mg

Sea x el desplazamiento hacia abajo de la La segunda ley de Newton para la masa es
masa respecto a su posición cuando el
resorte está sin estirar. TC es la tensión mg Ϫ TC ϭ m d2x . (1)
en el cable entre la masa y la polea. a es dt2
la aceleración angular de la polea en el
sentido de las manecillas del reloj. La ecuación del movimiento angular de la polea es

RTC Ϫ R(kx) ϭ Ia. (2)

Despejando TC de la ecuación (2),
sustituyendo el resultado en la ecuación

(1) y usando la relación cinemática d2x
dt2
aϭ 1 d2x ΂ ΃m ϩ I ϩ kx ϭ mg. (3)
R dt2 R2

se obtiene la ecuación de movimiento

del sistema en términos de x.

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21.1 Sistemas conservativos 557

Determinación de la ecuación de movimiento aplicando la conservación de la energía

Exprese la energía cinética total en términos ΂ ΃T ϭ 1 m dx 2 1 Iv2
de x. La velocidad angular v de la polea está
relacionada con la velocidad de la masa por ϩ
2 dt 2
v ϭ 1 dx .
R dt ΂ ΃ ΂ ΃ϭ 1m ϩ I dx 2
2 R2
dt .

Exprese la energía potencial total en V ϭ Ϫmgx ϩ 1 kx2.
términos de x. Se coloca el nivel de refe- 2
rencia para la energía potencial asociada
con el peso de la masa en x ϭ 0.

Obtenga la ecuación de movimiento eva- ΂ ΃d (T ϩ V) ϭ m ϩ I dx d2x Ϫ mg dx ϩ kx dx ϭ 0:
luando la derivada con respecto a t de la R2 dt dt2 dt dt
suma de las energías cinética y potencial dt
T ϩ V ϭ constante.
ϩ΂ ΃m I d2x ϩ kx ϭ mg. (3)
R2 dt2

Expresión de la ecuación de movimiento en términos del desplazamiento
respecto a la posición de equilibrio.

Haciendo d2x/dt2 ϭ 0 en la ecuación (3), d2~x ϩ v2~x ϭ 0, (4)
se observa que la posición de equilibrio del dt2 (5)
sistema es x ϭ mg/k. Considere que una
nueva variable x~ ϭ x Ϫ mg/k denota el donde
desplazamiento del sistema respecto a la
posición de equilibrio y exprese la ecuación v2 ϭ k .
(3) en términos de x~.
m ϩ I
R2

La ecuación (4) es de la forma de la ecua- v k.
ción (21.5). La frecuencia de vibración del f ϭ 2p I
sistema está dada por la ecuación (21.13). m ϩ R2
ϭ1
2p

Problema de práctica La masa m se desplaza hacia abajo a una distancia h de su po-
sición de equilibrio y se suelta desde el reposo en t = 0. Determine la posición de la
masa respecto a su posición de equilibrio como una función del tiempo.

www.FreeLibros.orgRespuesta:x~= hcosvt.

558 Capítulo 21 Vibraciones

Ejemplo 21.2 Frecuencia de un sistema (᭤ Relacionado con los problemas 21.32, 21.33)

k El resorte unido a la barra delgada de masa m que se muestra en la figura está sin
estirar cuando u = 0. Ignorando la fricción, determine la frecuencia de las vibra-
u ciones pequeñas que experimenta la barra respecto a su posición de equilibrio.

Estrategia
El ángulo u especifica la posición de la barra, por lo que hay un grado de libertad. Se
pueden expresar las energías cinética y potencial en términos de u y de su derivada
respecto al tiempo y derivar respecto al tiempo la energía total para obtener la ecuación
l de movimiento.

Solución
La energía cinética de la barra es

T = 1 mv 2 + 1 I a du b 2
2 2 dt
,

donde v es la velocidad del centro de masa e I = 1 ml2. La distancia desde el
12

centro instantáneo de la barra hasta su centro de masa es 1 l (figura a), por lo que
la energía cinética es 2
A 1 B
v = 2 l 1du>dt2, y

1 1 du 2 1 1 2 du 2 1 2 du 2
2 2 dt 2 12 dt 6 dt
T = m c l a b d + a ml b a b = ml a b .

Alargamiento Centro
ϭ l Ϫ l cos u instantáneo

(a) Determinación de la velocidad del 1 l 1l
centro de masa, del alargamiento 2 2
del resorte y de la altura del centro de
masa sobre el nivel de referencia. u
v

cos u

Nivel de
referencia

En términos de u, el alargamiento del resorte es l - l cos u. El plano de referencia
para la energía potencial asociada con el peso se coloca en las parte baja de la barra
(figura a), por lo que la energía potencial total es

V = mg A 1 l cos u B + 1 k1l - l cos u22.
2 2

La suma de las energías cinética y potencial es constante:

1 2 du 2 1 1 211 cos u22
6 dt 2 2
T + V = ml a b + mgl cos u + kl - = constante.

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21.1 Sistemas conservativos 559

Derivando esta ecuación respecto al tiempo, se obtiene la ecuación del movimiento:

1 ml 2 d 2u - 1 mglsen u + kl 211 - cos u2 sen u = 0. (1)
3 dt 2 2

Para expresar esta ecuación en la forma de la ecuación (21.5), es necesario escribirla
considerando oscilaciones pequeñas respecto a la posición de equilibrio. Sea ue
el valor de u cuando la barra está en equilibrio. Haciendo d2u>dt2 = 0 en la ecua-
ción (1), se encuentra que ue debe satisfacer la relación

= 1 - mg
cos ue . (2)
2kl

Se define ~u = ~u - ue, y se desarrolla sen u y cos u en series de Taylor en
términos de ~u

sen u = sen1ue + ~u2 = sen ue + cos ue~u + Á ,

cos u = cos1ue + ~u2 = cos ue - sen ue~u + Á .

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (1), ignorando los términos en ~u de
segundo orden y superiores, y usando la ecuación (2), se obtiene

d 2~u + v2~u = 0,
dt 2

donde

v2 = 3g - mg
a1 b.
l 4kl

De la ecuación (21.13), la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la barra es

v 1 3g mg
f = 2p = 2p B l a1 - 4kl b .

Razonamiento crítico
Con este ejemplo se demuestra la ventaja de utilizar la conservación de la energía
para obtener la ecuación de movimiento de un sistema conservativo con un
grado de libertad. Se recomienda comprobar que también se puede obtener la ecua-
ción de movimiento dibujando el diagrama de cuerpo libre de la barra y aplicando
la segunda ley de Newton y la ecuación de movimiento angular. Sin embargo, ese
procedimiento es considerablemente más complicado, en parte porque es necesa-
rio considerar las fuerzas normales ejercidas sobre los extremos de la barra. En
este caso fue posible ignorar dichas fuerzas al aplicar la conservación de la ener-
gía debido a que no realizan trabajo sobre la barra.

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560 Capítulo 21 Vibraciones

Problemas

᭤ 21.1 En el ejemplo activo 21.1, suponga que la polea tiene un 21.5 En la figura, la masa m = 4 kg y la constante del resorte es
radio R = 100 mm y su momento de inercia es I = 0.005 kg-m2. k = 64 N/m. Para la vibración del sistema oscilatorio masa-resorte
La masa m = 2 kg y la constante del resorte es k = 200 N/m. Si la respecto de su posición de equilibrio, determine a) la frecuencia
masa se desplaza hacia abajo desde su posición de equilibrio y en Hz y b) el periodo.
se suelta, ¿cuáles son el periodo y la frecuencia de la vibración
resultante? 21.6 En la figura, la masa m = 4 kg y la constante del resorte es
k = 64 N/m. El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0, x = 0
᭤ 21.2 En el ejemplo activo 21.1, suponga que la polea tiene y la masa tiene una velocidad de 2 m/s hacia abajo sobre la super-
un radio R = 4 pulg y su momento de inercia es I = 0.06 slug-pie2. ficie inclinada. ¿Cuál es el valor de x en t = 0.8 s?
El objeto suspendido pesa 5 lb, y la constante del resorte es
k = 10 lb/pie. El sistema está inicialmente en reposo. En t = 0, se
le da al objeto suspendido una velocidad hacia abajo de 1 pie/s.
Determine la posición del objeto suspendido respecto a su posición
de equilibrio como una función del tiempo.

21.3 Se tiene la masa m = 4 kg. El resorte está sin estirar cuando k
x = 0. Se mide el periodo de vibración de la masa y se determina x
que es de 0.5 s. La masa se desplaza hasta la posición x = 0.1
m y se suelta desde el reposo en t = 0. Determine su posición en m
t = 0.4 s.
20Њ

21.4 Se tiene la masa m = 4 kg. El resorte está sin estirar cuando Problemas 21.5/21.6
x = 0. Se mide la frecuencia de vibración de la masa y se determi-
na que es de 6 Hz. La masa se desplaza hasta la posición x = 0.1 m y 21.7 Suponga que en un curso de diseño mecánico se le pide di-
se le da una velocidad dx>dt = 5 m/s en t = 0. Determine la amplitud señar un reloj de péndulo y usted inicia por el péndulo. La masa
de la vibración resultante. del disco es de 2 kg. Determine la longitud L de la barra para que
el periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo sea de 1 s.
Para esta estimación preliminar, ignore la masa de la barra.

x 21.8 En la figura, la masa del disco es de 2 kg y la masa de la barra
k delgada es de 0.4 kg. Determine la longitud L de la barra para que el
periodo de las pequeñas oscilaciones del péndulo sea de 1 s.
m
Estrategia: Dibuje una gráfica del valor del periodo para un
Problemas 21.3/21.4 intervalo de longitudes L a fin de estimar el valor de L correspon-
diente a un periodo de 1 s.

L 50 mm

www.FreeLibros.orgProblemas21.7/21.8

Problemas 561

21.9 La constante del resorte mostrado es k = 785 N/m. El resorte 21.12 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m y el
está sin estirar cuando x = 0. Ignore la masa de la polea, es decir, resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa de cada objeto es
suponga que la tensión en la cuerda es la misma en ambos lados de de 30 kg. La superficie inclinada es lisa. Ignore la masa de la
la polea. El sistema se suelta desde el reposo con x = 0. Determine x polea. El sistema se suelta desde el reposo con x = 0.
en función del tiempo.
a) Determine la frecuencia y el periodo de la vibración resultante.
21.10 La constante del resorte mostrado es k = 785 N/m. El re- b) ¿Cuál es el valor de x en t = 4 s?
sorte está sin estirar cuando x = 0. El radio de la polea es de 125
mm y el momento de inercia respecto a su eje es I = 0.05 kg-m2. 21.13 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m, y el
El sistema se suelta desde el reposo con x = 0. Determine x en resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa de cada objeto es
función del tiempo. de 30 kg. La superficie inclinada es lisa. El radio de la polea es de
120 mm y su momento de inercia I = 0.03 kg-m2. En t = 0, x = 0
y dx>dt = 1 m/s.

a) Determine la frecuencia y el periodo de la vibración resultante.
b) ¿Cuál es el valor de x en t = 4 s?

4 kg 20 kg k x
k x 20Њ

Problemas 21.12/21.13

Problemas 21.9/21.10 21.14 El disco de 20 lb mostrado rueda sobre la superficie hori-
zontal. Su radio es R = 6 pulg. Determine la constante k del resorte
21.11 Un saltador de bungee que pesa 160 lb salta desde un de manera que la frecuencia de vibración del sistema respecto a su
puente sobre un río. La cuerda del bungee tiene una longitud sin posición de equilibrio sea f = 1 Hz.
estirar de 60 pies, y se estira 40 pies adicionales antes de que el
saltador rebote. Modele la cuerda como un resorte lineal. Cuando 21.15 El disco de 20 lb mostrado rueda sobre la superficie
el movimiento del saltador está cerca de detenerse, ¿cuáles son el horizontal. Su radio es R = 6 pulg. La constante del resorte es
periodo y la frecuencia de sus oscilaciones verticales? (Durante la k = 15 lb/pie. En t = 0, el resorte está sin estirar y el disco tiene
primera parte del movimiento no es posible modelar la cuerda una velocidad angular de 2 rad/s en el sentido de las manecillas
como un resorte lineal. ¿Por qué no?) del reloj. ¿Cuál es la amplitud de las vibraciones resultantes del
centro del disco?

kR

Problemas 21.14/21.15

www.FreeLibros.orgProblema21.11

562 Capítulo 21 Vibraciones

21.16 La barra de 2 lb que se muestra en la figura está articulada 21.19 La placa rectangular delgada está unida al marco rectangu-
al disco de 5 lb. El disco rueda sobre la superficie circular. ¿Cuál lar mostrado mediante pasadores. El marco gira con velocidad an-
es la frecuencia de las pequeñas vibraciones del sistema respecto a gular constante v0 = 6 rad/s. El ángulo b entre el eje z del sistema
su posición de equilibrio vertical? coordenado fijo al cuerpo y la vertical está regido por la ecuación

d2b = - v 2 seinn b cos b.
dt 2 0

15 pulg Determine la frecuencia de las vibraciones pequeñas de la placa
respecto a su posición horizontal.
4 pulg
Estrategia: Escribiendo sen b y cos b en términos de sus series
de Taylor y suponiendo que b es pequeño, demuestre que la ecua-
ción que rige a b puede expresarse en la forma de la ecuación (21.5).

21.20 Considere el sistema descrito en el problema 21.19. En
t = 0, el ángulo b = 0.01 rad y db>dt = 0. Determine b en función
del tiempo.

Problema 21.16

21.17 La masa del objeto suspendido A es de 4 kg. La masa de b
la polea es de 2 kg y su momento de inercia es de 0.018 N-m2. La z
constante del resorte es k = 150 N/m. Para la vibración del sistema
respecto a su posición de equilibrio, determine a) la frecuencia en v0
Hz y b) el periodo.
b y
21.18 La masa del objeto suspendido A es de 4 kg. La masa de h
la polea es de 2 kg y su momento de inercia es de 0.018 N-m2. La
constante del resorte es k = 150 N/m. El resorte está sin estirar
cuando x = 0. En t = 0, el sistema se suelta desde el reposo con
x = 0. ¿Cuál es la velocidad del objeto A en t = 1 s?

x
Problemas 21.19/21.20

k

120 mm

A
x

Problemas 21.17/21.18

www.FreeLibros.org

Problemas 563

21.21 Una barra delgada de masa m y longitud l está articulada 21.23 Ciertos ingenieros usan el dispositivo mostrado para medir
a un soporte fijo. Un resorte torsional de constante k unido a la el momento de inercia de un astronauta. La tabla horizontal está ar-
barra en el soporte está sin estirar cuando la barra se encuentra ticulada en O y soportada por el resorte horizontal con constante
en posición vertical. Demuestre que la ecuación que rige las k = 12 kN/m. Cuando el astronauta no está presente, se mide la fre-
vibraciones pequeñas de la barra desde su posición vertical de cuencia de las vibraciones pequeñas de la tabla respecto a O y se
equilibrio es determina que es de 6.0 Hz. Cuando el astronauta está sobre la
tabla como se muestra en la figura, la frecuencia de las vibracio-
d 2u + v2u = 0, v2 = Ak - 1 mgl B . nes pequeñas de la tabla respecto a O es de 2.8 Hz. ¿Cuál es el
dt 2 2 momento de inercia del astronauta respecto al eje z?
cuwahnedroe
1 ml2 21.24 En el problema 21.23, el centro de masa del astronauta está
3 en x = 1.01 m, y = 0.16 m, y su masa es de 81.6 kg. ¿Cuál es su mo-
mento de inercia respecto al eje zЈ que pasa por su centro de masa?
21.22* Las condiciones iniciales de la barra delgada del pro-
blema 21.21 son y y'

u=0 x'
t = 0 c du #
Ox
dt = u0.
1.90 m
a) Si k 7 1 mgl, demuestre que u está dada en función del
2 Problemas 21.23/21.24

tiempo por 21.25* Una boya flotante (dispositivo medidor del sonido) está en
equilibrio en la posición vertical mostrada (su centro de masa está
# Ak - 1 mgl B suficientemente bajo para mantenerse estable en esta posición). El
u0 2 dispositivo es un cilindro de 10 kg de 1 m de longitud y 125 mm
u = v ssiennv␻t,t, cwuahnerdeo v2 = . de diámetro. La densidad del agua es de 1025 kg/m3, y la fuerza de
1 ml2 flotación que soporta a la boya es igual al peso del agua que ocu-
3 paría el volumen de la parte del cilindro bajo la superficie. Si
la boya se empuja ligeramente hacia abajo y se suelta, ¿cuál es la
b) Si k 6 1 mgl, demuestre que u está dada en función del frecuencia de las vibraciones verticales resultantes?
2

tiempo por

# A 1 mgl - kB
u0 2
u = 2h 1eht - e-ht2, cuwahnedroe h2 = .
1 ml2
3

Estrategia: Para resolver el inciso b), busque una solución
de la ecuación de movimiento de la forma x = Celt, donde C y l

son constantes.

u

k
Problemas 21.21/21.22

Problema 21.25

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564 Capítulo 21 Vibraciones

21.26 El disco mostrado gira en el plano horizontal con veloci- 21.28 Un disco homogéneo de 100 lb con radio R = 1 pie está
dad angular constante ⍀ = 12 rad/s. La masa m = 2 kg se desliza unido a dos barras cilíndricas idénticas de acero de longitud
en una ranura lisa del disco y está unida a un resorte con constante L = 1 pie. La relación entre el momento M que ejerce una de
k = 860 N/m. La posición radial de la masa cuando el resorte no las barras sobre el disco y el ángulo de giro u del disco es
está estirado es r = 0.2 m.
M= GJ
a) Determine la posición de “equilibrio” de la masa, es decir el u,
valor de r en que la masa permanecerá en reposo respecto al cen- L
tro del disco.
donde J es el momento polar de inercia de la sección transver-
b) ¿Cuál es la frecuencia de vibración de la masa respecto a su sal de la barra y G = 1.7 * 109 lb/pie2 es el módulo de cortan-
posición de equilibrio? te del acero. Determine el radio requerido de las barras si la

Estrategia: Aplique la segunda ley de Nevton a la masa en frecuencia de las vibraciones rotacionales del disco debe ser
términos de coordenadas polares.
de 10 Hz.

u

21.27 El disco mostrado gira en el plano horizontal con veloci- R
dad angular constante ⍀ = 12 rad/s. La masa m = 2 kg se desliza
en una ranura lisa del disco y está unida a un resorte con constante
k = 860 N/m. La posición radial de la masa cuando el resorte no
está estirado es r = 0.2 m. En t = 0, la masa está en la posición
r = 0.4 m y dr>dt = 0. Determine la posición r en función del
tiempo.

V L L
Problema 21.28
m
k 21.29 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostrados
son IA = 0.025 kg-m2 e IB = 0.100 kg-m2. El engrane A está conec-
r tado a un resorte torsional con constante k = 10 N-m/rad. ¿Cuál

es la frecuencia de las vibraciones angulares pequeñas de los

engranes?

Problemas 21.26/21.27 21.30 En t = 0, el resorte torsional del problema 21.29 está sin
estirar y el engrane B tiene velocidad angular de 2 rad/s en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. Determine la posición angu-
lar en sentido contrario al de las manecillas del reloj del engrane B
respecto a su posición de equilibrio en función del tiempo.

A 200 mm
B

140 mm

www.FreeLibros.orgProblemas 21.29/21.30

Problemas 565

21.31 En la figura, cada barra delgada de 2 kg tiene 1 m de longi- ᭤ 21.33* Las masas de la barra y el disco del problema 21.32
tud. ¿Qué valores tienen el periodo y la frecuencia de las vibraciones son m = 2 kg y md = 4 kg, respectivamente. Las dimensiones son
pequeñas del sistema? l = 1 m y R = 0.28 m, y la constante del resorte es k = 70 N/m.

a) Determine el ángulo ue con el que el sistema está en equilibrio.

b) El sistema está en reposo en la posición de equilibrio cuando al
disco se le imparte una velocidad angular de 0.1 rad/s en el sentido de
las manecillas del reloj. Determine u en función del tiempo. (Vea el
ejemplo 21.2).

k

Problema 21.31

᭤ 21.32* Las masas de la barra delgada y el disco homogéneo l
mostrados son m y md respectivamente. El resorte está sin estirar u
cuando u = 0. Suponga que el disco rueda sobre la superficie
horizontal.

a) Demuestre que el movimiento está regido por la ecuación

1 3md cos2u d2u 3md du 2 R
3 2m dt2 2m dt
a + b - seinn u cos u a b Problemas 21.32/21.33
21.34 En la figura, la masa de cada barra delgada es de 1 kg. Si
- g + k 11 - cos u2 ssein u = 0. la frecuencia de las vibraciones pequeñas del sistema es 0.935 Hz,
2l seinn u m ¿cuál es la masa del objeto A?

b) Si el sistema está en equilibrio en el ángulo u = ue y
~u = u - ue, demuestre que la ecuación que rige las vibracio-

nes pequeñas respecto a la posición de equilibrio es

a 1 + 3md cos2ue b d2~u 350 280
3 2m dt2 mm mm

k g ~u A
c m 1cos ue 2l
+ - cos2ue + ssein2ue2 - cos ue d = 0.

(Vea el ejemplo 21.2.) 350 mm

Problema 21.34

21.35* La barra delgada de 4 kg tiene una longitud de 2 m. Se
mantiene en equilibrio en la posición u0 = 35° mediante un resorte
torsional con constante k. El resorte está sin estirar cuando la barra
se encuentra en posición vertical. Determine el periodo y la frecuen-
cia de las vibraciones pequeñas de la barra respecto a la posición de
equilibrio mostrada.

u0
k

www.FreeLibros.orgProblema21.35

566 Capítulo 21 Vibraciones

21.2 Vibraciones amortiguadas

ANTECEDENTES

Si la masa de un sistema oscilatorio masa-resorte se desplaza y se libera, ésta no
vibrará de manera indefinida. Su movimiento disminuirá y finalmente se detendrá
debido a la fricción o a los mecanismos de amortiguamiento que actúan sobre el
sistema. Estos mecanismos amortiguan o atenúan la vibración. En algunos casos,
los ingenieros incluyen intencionalmente mecanismos amortiguadores en los sis-
temas vibratorios. Por ejemplo, los amortiguadores de los autos se diseñan para
absorber vibraciones de la suspensión respecto al bastidor. En la sección previa
se decidió ignorar el amortiguamiento y las soluciones que se obtuvieron descri-
ben sólo movimientos en periodos suficientemente breves para poder ignorar el
amortiguamiento. Ahora se verá un método sencillo para modelar el amortigua-
miento en sistemas vibratorios.

El sistema oscilatorio masa-resorte de la figura 21.7a tiene un elemento
amortiguador. El diagrama esquemático para el elemento amortiguador representa
un pistón que se mueve en un cilindro con fluido viscoso. La fuerza requerida
para alargar o acortar un elemento amortiguador se define como el producto de
una constante c, llamada constante de amortiguamiento, y la razón de cambio de la
longitud del elemento (figura 21.7b). Por lo tanto, la ecuación del movimiento de
la masa es

dx d 2x
- c dt - kx = m dt 2 .

Definiendo v = 2k>m y d = c>2m, se puede escribir esta ecuación en la forma

d 2x + 2d dx + v 2x = 0. (21.16)
dt 2 dt

Esta ecuación describe las vibraciones de muchos sistemas amortiguados con un-
grado-de-libertad. La forma de su solución, y en consecuencia el carácter del com-
portamiento del sistema que describe la ecuación, depende de si la constante d es
menor, igual o mayor que v. En las siguientes secciones se estudiarán estos casos.

Amortiguamiento subcrítico

Si d Ͻ v, se dice que el sistema está subcríticamente amortiguado. Suponiendo
una solución de la forma

x = Celt (21.17)

y sustituyéndola en la ecuación (21.16), se obtiene

l2 + 2dl + v2 = 0.

x c dx x
c dt

kx mg

Figura 21.7 k

(a) Sistema oscilatorio masa-resorte(a) N
amortiguado. (b)

www.FreeLibros.org(b) Diagramadecuerpolibredelamasa.

21.2 Vibraciones amortiguadas 567

Esta ecuación cuadrática produce dos valores para la constante l que se pueden
escribir como

l = - d ; ivd,

donde

vd = 2v2 - d2. (21.18)

Debido a que se ha supuesto que d Ͻ v, la constante vd es un número real. Las
dos raíces para l proporcionan dos soluciones en la forma de la ecuación (21.17).

La solución general resultante de la ecuación (21.16) es

x = e-dt1Ceivdt + De-ivdt2,

donde C y D son constantes. Usando la identidad de Euler eiu = cos u + i sen u, se
puede expresar la solución en la forma

x = e-dt(A sen vdt + B cos vdt), (21.19)

donde A y B son constantes. La ecuación (21.19) es el producto de una función
exponencial decreciente en el tiempo por una expresión idéntica en forma a la
solución que se obtuvo para un sistema sin amortiguamiento. La función exponen-
cial describe el efecto esperado de amortiguamiento: la amplitud de la vibración
se atenúa con el tiempo. El coeficiente d determina la razón con que disminuye la
amplitud.

El amortiguamiento tiene un efecto importante además de la atenuación. Como
la parte oscilatoria de la solución es idéntica en forma a la ecuación (21.8), excep-
to que el término v es reemplazado por vd, se infiere de las ecuaciones (21.12) y
(21.13) que el periodo y la frecuencia del sistema amortiguado son

= 2p = vd .
td , fd 2p (21.20)
vd

De la ecuación (21.18), se observa que vd Ͻ v, por lo que el periodo de vibración
aumenta y su frecuencia disminuye como resultado del amortiguamiento subcrítico.

A menudo, la razón de amortiguamiento se expresa en términos del decremento

logarítmico d, que es el logaritmo natural de la razón de la amplitud en un tiempo t
sobre la amplitud en un tiempo t + td. Como la amplitud es proporcional a e-dt, se
puede obtener una relación sencilla entre el decremento logarítmico, el coeficiente d

y el periodo:

e-dt
d = ln c e-d1t + td2 d = dtd.

Amortiguamientos crítico y supercrítico

Cuando d Ն v, el carácter de la solución de la ecuación (21.16) es diferente del
caso de amortiguamiento subcrítico. Suponga que d Ͼ v. Cuando éste es el caso,
se dice que el sistema está supercríticamente amortiguado. De nuevo se sustituye
una solución de la forma

x = Celt (21.21)

en la ecuación (21.16) y se obtiene(21.22)

www.FreeLibros.orgl2+2dl+v2=0.

568 Capítulo 21 Vibraciones

Las raíces de esta ecuación pueden escribirse como

l = - d ; h,

donde

h = 2d2 - v2. (21.23)

La solución general resultante de la ecuación (21.16) es (21.24)
x = Ce-1d - h2t + De-1d + h2t,

donde C y D son constantes.
Cuando d = v, se dice que el sistema está críticamente amortiguado. La

constante h = 0, por lo que la ecuación (21.22) tiene una raíz repetida l = - d, y
se obtiene sólo una solución de la forma (21.21). En este caso, se puede demos-
trar que la solución general de la ecuación (21.16) es

x = Ce-dt + Dte-dt, (21.25)

donde C y D son constantes.
Las ecuaciones (21.24) y (21.25) indican que el movimiento del sistema no es

oscilatorio cuando d Ն v. Estas ecuaciones están expresadas en términos de fun-
ciones exponenciales y no contienen senos ni cosenos. La condición d = v define la
cantidad mínima de amortiguamiento necesario para evitar un comportamiento osci-
latorio, que es la razón por la que se le llama caso críticamente amortiguado. En la
figura 21.8 se muestra el efecto de cantidades crecientes de amortiguamiento sobre
el comportamiento de un sistema vibratorio.

El concepto de amortiguamiento crítico tiene importantes implicaciones en el
diseño de muchos sistemas. Por ejemplo, es deseable introducir suficiente amortigua-
miento en la suspensión de un automóvil para que su movimiento no sea oscilatorio,
aunque demasiado amortiguamiento haría muy “rígida” la suspensión.

Desplazamiento Desplazamiento Desplazamiento Desplazamientodϭ0
(a) t

dϽv
(b) t

dϭv
(c) t

dϾv
(d) t

Figura 21.8
Historial de desplazamiento de un sistema
vibratorio que (a) no está amortiguado, (b)

www.FreeLibros.orgestá subcríticamente amortiguado, (c) está
críticamente amortiguado y (d) supercrítica-
mente amortiguado.

21.2 Vibraciones amortiguadas 569

RESULTADOS

x El sistema oscilatorio masa-resorte amortigua-
c do es el ejemplo más sencillo de un sistema
vibratorio amortiguado con un grado de liber-
k tad. El elemento de amortiguamiento ejerce
una fuerza de resistencia que es proporcional a
c dx x la velocidad de la masa.
dt mg
N
kx

Con v2 ϭ k/m y d ϭ c/2m, esta ecuación rige el des- d2x ϩ 2d dx ϩ v2x ϭ 0. (21.16)
plazamiento de la masa de un sistema oscilatorio masa- dt2 dt
resorte amortiguado respecto a su posición de equilibrio.
Las vibraciones pequeñas de muchos sistemas amorti-
guados con un-grado-de-libertad respecto a una posición
de equilibrio están regidas por esta misma ecuación,
donde las constantes v y d están determinadas por las
características físicas del sistema.

Amortiguamiento subcrítico x ϭ eϪdt(A sen vdt ϩ B cos vdt), (21.19)
donde (21.18)
Cuando d Ͻ v, se dice que el sistema está subcrí-
ticamente amortiguado. La solución general de la vd ϭ v2 Ϫ d2.
ecuación (21.6) es el producto de una función del
tiempo exponencialmente decreciente por una 2p fd ϭ vd . (21.20)
expresión idéntica en forma a la solución general td ϭ vd , 2p
para un sistema sin amortiguamiento.

El periodo de vibración del sistema aumenta y la
frecuencia disminuye como resultado de amortigua-
miento subcrítico.

El decremento logarítmico, una medida de atenuación, eϪdt
es el logaritmo natural de la razón de la amplitud en el eϪd(t ϩ td)
΄ ΅d ϭ ln ϭ dtd.
www.FreeLibros.orgtiempo t sobre la amplitud en el tiempo t ϩ td.

570 Capítulo 21 Vibraciones

Amortiguamiento crítico y supercrítico

Cuando d Ͼ v, se dice que el sistema está supercrítica- x ϭ CeϪ(d Ϫ h)t ϩ DeϪ(d ϩ h)t, (21.23)
mente amortiguado. En este caso, la solución general de la donde (21.24)
ecuación (21.16) no presenta comportamiento oscilatorio.
h ϭ d2 Ϫ v2.

Cuando d ϭ v, el sistema está críticamente amortigua- x ϭ CeϪdt ϩ DteϪdt. (21.25)
do. Ésta es la cantidad mínima de amortiguamiento para
la cual la solución de la ecuación (21.16) no presenta
comportamiento oscilatorio.

Ejemplo activo 21.3 Sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado

(᭤ Relacionado con los problemas 21.36–21.38)

El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado de la figura tiene masa m = 2 kg,
constante de resorte k = 8 N/m y constante de amortiguamiento c = 1 N-s/m. En
el tiempo t = 0, la masa se suelta desde reposo en la posición x = 0.1 m. Deter-
mine su posición en función del tiempo.

x
c

k

Estrategia
La ecuación de movimiento para el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado está
dada por la ecuación (21.16). Calculando los valores de v y d, se determinará si el
amortiguamiento es subcrítico, crítico o supercrítico y en consecuencia se elegirá la
forma apropiada de la solución. Después se pueden usar las condiciones iniciales para
obtener la posición en función del tiempo.

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21.2 Vibraciones amortiguadas 571

Solución k 8 N/m
Evalúe v y d. El amortiguamiento es subcrítico. v ϭ m ϭ 2 kg ϭ 2 rad/s,

d ϭ c ϭ 1 N-s/m ϭ 0.25 rad/s.
2m 2(2 kg)

La solución general está dada por la ecuación x ϭ eϪdt(A sen vdt ϩ B cos vdt), (1)
(21.19) con ϭ eϪ0.25t(A sen 1.98t ϩ B cos 1.98t).

vd ϭ v2 Ϫ d2 ϭ 1.98 rad/s. dx ϭ Ϫ0.25eϪ0.25t(A sen 1.98t ϩ B cos 1.98t) (2)
dt
En t ϭ 0, la posición de la masa es x ϭ 0.1 m y su
velocidad es dx/dt ϭ 0. Use estas condiciones ϩ1.98eϪ0.25t(A cos 1.98t Ϫ B sen 1.98t).
iniciales para despejar las constantes A y B. Al sus-
tituir los resultados en la ecuación (1) se determina Sustituyendo las condiciones iniciales en las ecua-
la posición de la masa en función del tiempo. ciones (1) y (2) y resolviendo se obtiene

A ϭ 0.0126 m,
B ϭ 0.1 m.

La posición en función del tiempo es

x ϭ eϪ0.25t(0.0126 sen 1.98t ϩ 0.1 cos 1.98t) m.

La gráfica de la posición para x (m) 0.1 t (s)
los primeros 10 s de movi- 0 5 10
miento muestra claramente la
atenuación de la amplitud. Ϫ0.1

Problema de práctica Suponga que el elemento de amortiguamiento del sistema
oscilatorio masa-resorte amortiguado se reemplaza con una constante de amorti-
guamiento c = 12 N-s/m. En el tiempo t = 0, la masa se suelta desde el reposo en la
posición x = 0.1 m. Determine su posición en función del tiempo.

Respuesta: x = 0.117e- 0.764t - 0.0171e- 5.24t m.

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572 Capítulo 21 Vibraciones

Ejemplo 21.4 Movimiento de un sistema amortiguado (᭤ Relacionado con los problemas 21.53, 21.54)

La masa del carrete que se muestra en la figura es m = 20 kg, su radio R = 0.3 m

y su momento de inercia es I = 1 mR2. La constante del resorte es k = 60 N/m y
2

la constante de amortiguamiento es c = 24 N-s/m. Determine la posición del centro

k c del disco en función del tiempo si el disco se suelta desde el reposo con el resorte
sin estirar.

R Estrategia
2R Se obtendrá la ecuación de movimiento para el disco dibujando su diagrama de cuer-
po libre y usando la segunda ley de Newton y la ecuación del movimiento angular.
Si la ecuación resultante puede expresarse en la forma de la ecuación (21.16), este
movimiento se puede analizar usando el mismo método aplicado al sistema oscila-
torio masa-resorte del ejemplo activo 21.3.

Solución
Sea x el desplazamiento hacia abajo del centro del disco respecto a su posición cuan-
do el resorte está sin estirar. De la posición del centro instantáneo del disco (figura a),
se puede ver que la razón a la que el resorte se estira es 21dx>dt2 y la razón a la que
el elemento de amortiguamiento se alarga es 31dx>dt2. Cuando el centro del disco
se desplaza una distancia x, el alargamiento del resorte es 2x.

En la figura b se dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco, donde se muestran
las fuerzas ejercidas por el resorte, el elemento de amortiguamiento y la tensión en el
cable. La segunda ley de Newton es

x

dx d2x
mg - T - 2kx - 3c = m dt2 ,
dt
dx
dt dx dx y la ecuación del movimiento angular es
3 dt
2 dt

(a) Uso del centro instantáneo para RT - R12kx2 - dx = A 1 mR2 B a.
determinar las relaciones entre 2R a3c dt b 2
las velocidades.

La aceleración angular está relacionada con la aceleración del centro del disco por
a = 1d2x>dt22>R. Eliminando T de la segunda ley de Newton y la ecuación de

movimiento angular, se obtiene la ecuación de movimiento:

T 2kx dx 3 d2x dx
3c dt
2 m dt2 + 9c + 4kx = mg.
dt
x

R a Igualando en esta ecuación d2x>dt2 y dx>dt con cero, se encuentra que la posición
2R
de equilibrio del disco es x = mg>4k. Expresando la ecuación del movimiento en
mg
términos de la posición del centro del disco respecto a su posición de equilibrio,
x~ = x - mg>4k, se obtiene

(b) Diagrama de cuerpo libre del disco.

www.FreeLibros.orgd2x~ + 6c dx~ + a 8k b x~ = 0.
dt2a m b dt3m

x~ (m) 21.2 Vibraciones amortiguadas 573

Esta ecuación es idéntica en forma a la ecuación (21.16), donde las constantes son

6c 1621242
d = 2m = 1221202 = 3.60 rad/s
y

8k 1821602
v = A 3m = B1321202 = 2.83 rad/s.

El amortiguamiento es supercrítico 1d Ͼ v2, por lo que el movimiento está descrito
por la ecuación (21.24) con h = 2d2 - v2 = 2.23 rad/s:

x~ = Ce-1d - h2t + De-1d + h2t = Ce-1.37t + De-5.83t.

La velocidad es

dx~ = - 1.37Ce-1.37t - 5.83De-5.83t.
dt

En t = 0, x~ = - mg>4k = - 0.818 m y dx~>dt = 0. De estas condiciones se
obtiene C = -1.069 m y D = 0.252 m, por lo que la posición del centro del disco
respecto a su posición de equilibrio es

x~ = - 1.069e-1.37t + 0.252e-5.83t m.

En la siguiente gráfica se muestra la posición para los primeros cuatro segundos
del movimiento.

0

Ϫ0.2

Ϫ0.4

Ϫ0.6

Ϫ0.8

Ϫ1
0 1 2 34
t (s)

Razonamiento crítico
El disco de este ejemplo gira y su centro se mueve en dirección vertical. ¿Por qué
es éste un sistema con un grado de libertad? Cuando el disco se mueve hacia abajo
una distancia x, el disco gira a través de un ángulo u = x>R en el sentido de las mane-
cillas del reloj. Por consiguiente, tanto la posición del centro del disco como su

www.FreeLibros.orgposición angular se especifican al expresar x. El sistema tiene un grado de libertad.

574 Capítulo 21 Vibraciones

Problemas

᭤ 21.36 En la figura, la masa m = 2 slug, la constante del resorte 21.39 En la figura, la masa m = 2 kg, la constante del resorte es
es k = 72 lb/pie, y la constante de amortiguamiento es c = 8 lb- k = 8 N/m y el coeficiente de amortiguamiento es c = 12 N-s/m.
s/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa se desplaza El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0, la masa se suelta
hasta la posición x = 1 pie y se suelta desde el reposo. desde el reposo con x = 0. Determine el valor de x en t = 2 s.
a) Si el amortiguamiento es subcrítico, ¿cuál es la frecuencia de
las vibraciones amortiguadas resultantes? 21.40 En la figura, la masa m = 0.15 slugs, la constante del
b) ¿Cuál es el valor de x en t = 1 s? resorte es k = 0.5 lb/pie y el coeficiente de amortiguamiento es
(Vea el ejemplo activo 21.3). c = 0.8 lb-s/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. En t = 0,
la masa se suelta desde el reposo con x = 0. Determine el valor de
᭤ 21.37 En la figura, la masa m = 2 slug, la constante del re- x en t = 2 s.
sorte es k = 72 lb/pie, y la constante de amortiguamiento es
c = 32 lb-s/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa c
se desplaza hasta la posición x = 1 pie y se suelta desde el reposo. x
a) Si el amortiguamiento es subcrítico, ¿cuál es la frecuencia de
las vibraciones amortiguadas resultantes? k
b) ¿Cuál es el valor de x en t = 1 s? m
(Vea el ejemplo activo 21.3).

᭤ 21.38 En la figura, la masa m = 4 slug y la constante del resorte 20Њ
es k = 72 lb/pie. El resorte está sin estirar cuando x = 0. Problemas 21.39/21.40

a) ¿Cuál es el valor de la constante de amortiguamiento c que
causa que el sistema esté críticamente amortiguado?

b) Suponga que c tiene el valor determinado en el inciso a). En
t = 0, x = 1 pie y dx>dt = 4 pies/s. ¿Cuál es el valor de x en t = 1 s?

(Vea el ejemplo activo 21.3).

x
c

m
k

Problemas 21.36–21.38

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Problemas 575

21.41 Un automóvil de prueba de 2570 lb se mueve con veloci- 21.43 El movimiento de la suspensión de automóvil mostrada
dad v0 = 5 mi/h y choca contra una barrera rígida en t = 0. Como puede modelarse mediante un sistema oscilatorio masa-resorte
resultado del comportamiento de su parachoques-amortiguador, amortiguado con m = 36 kg, k = 22 kN/m, y c = 2.2 kN-s/m. Su-
ponga que no existen fuerzas externas que actúen sobre la llanta y
la respuesta del automóvil a la colisión puede simularse mediante la rueda. En t = 0, el resorte está sin estirar y a la llanta y rueda se
les da una velocidad dx>dt = 10 m/s. Determine la posición x en
el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en función del tiempo.
la figura con k = 8000 lb/pie y c = 3000 lb-s/pie. Suponga que la
masa se mueve hacia la izquierda con velocidad v0 = 5 mi/h y Resorte helicoidal
que el resorte está sin estirar en t = 0. Determine la posición del
automóvil a) en t = 0.04 s y b) en t = 0.08 s.

21.42 Un automóvil de prueba de 2570 lb se mueve con veloci- xx
dad v0 = 5 mi/h y choca contra una barrera rígida en t = 0. Como m
resultado del comportamiento de su parachoques-amortiguador,
la respuesta del automóvil a la colisión puede simularse mediante k c
el sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado que se muestra en Amortiguador del impacto
la figura con k = 8000 lb/pie y c = 3000 lb-s/pie. Suponga que la
masa se mueve hacia la izquierda con velocidad v0 = 5 mi/h y Problema 21.43
que el resorte está sin estirar en t = 0. Determine la desaceleración
del automóvil a) inmediatamente después de hacer contacto con la 21.44 En la figura, la barra delgada de 4 kg tiene 2 m de longi-
barrera, b) en t = 0.04 s y c) en t = 0.08 s. tud. La resistencia aerodinámica sobre la barra y la fricción en el
soporte ejercen un momento resistente respecto al soporte de pasa-
v0 dor con magnitud de 1.41du>dt2 N-m, donde du>dt es la velocidad
angular en rad/s.
y a) ¿Cuáles son el periodo y la frecuencia de las vibraciones
pequeñas de la barra?
x b) ¿Cuánto tiempo pasa antes de que la amplitud de la vibración
disminuya a la mitad de su valor inicial?
Automóvil que choca contra una barrera rígida.

v0 y 21.45 A la barra descrita en el problema 21.44 se le da un despla-
c zamiento u = 2° y se suelta desde el reposo en t = 0. ¿Cuál es el
valor de u (en grados) cuando t = 2 s?

k x

Modelo de simulación
Problemas 21.41/21.42

u

Problemas 21.44/21.45

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576 Capítulo 21 Vibraciones

21.46 El radio de la polea mostrada es R = 100 mm y su momento 21.49 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m, y el
de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg y la constante del resorte está sin estirar cuando x = 0. La masa de cada objeto es
resorte k = 135 N/m. El cable no se desliza respecto a la polea. de 30 kg y la superficie inclinada es lisa. El radio de la polea es de
La coordenada x mide el desplazamiento de la masa respecto a la 120 mm y su momento de inercia es I = 0.03 kg-m2. Determine la
frecuencia y el periodo de vibración del sistema respecto a su po-
posición en que el resorte está sin estirar. Determine x en función sición de equilibrio si a) c = 0 y b) c = 250 N-s/m.
del tiempo si c = 60 N-s/m y el sistema se suelta desde el reposo
con x = 0.

21.47 Para el sistema descrito en el problema 21.46, determine x 21.50 La constante del resorte mostrado es k = 800 N/m, y el re-
en función del tiempo si c = 120 N-s/m y el sistema se suelta des- sorte está sin estirar cuando x = 0. La constante de amortiguamiento
de el reposo con x = 0. es la masa de cada objeto es de 30 kg y la superficie inclinada es
lisa. El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia
21.48 Para el sistema descrito en el problema 21.46, escoja el es I = 0.03 kg-m2. En t = 0, x = 0 y dx>dt = 1 m/s. ¿Cuál es el
valor de c de manera que el sistema sea críticamente amortiguado valor de x en t = 2 s?
y determine x en función del tiempo si el sistema se suelta desde
el reposo con x = 0. c

k 20Њ x

R

m Problemas 21.49/21.50

kc x 21.51 El disco homogéneo mostrado pesa 100 lb, su radio es
R = 1 pie y rueda sobre la superficie plana. La constante del resorte
Problemas 21.46–21.48 es k = 100 lb/pie y la constante de amortiguamiento es c = 3 lb-s/pie.
Determine la frecuencia de las vibraciones pequeñas del disco
respecto a su posición de equilibrio.

21.52 En el problema 21.51, el resorte está sin estirar en t = 0 y
el disco tiene una velocidad angular horaria de 2 rad/s. ¿Cuál es la
velocidad angular del disco cuando t = 3 s?

c
R

k

Problemas 21.51/21.52

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Problemas 577

᭤ 21.53 El momento de inercia del carrete que se muestra en el 21.55 Los momentos de inercia de los engranes A y B mostra-
ejemplo es I. Sea u el desplazamiento angular del disco respecto dos son IA = 0.025 kg-m2 e IB = 0.100 kg-m2. El engrane A está
a su posición cuando el resorte está sin estirar. Demuestre que conectado a un resorte torsional con la constante k = 10 N-m/rad.
la ecuación que rige a u es idéntica en forma a la ecuación
(21.16), donde El cojinete que soporta al engrane B contiene un elemento amor-

R 2c anyd v2 = 4R2k tiguador que ejerce un momento resistente sobre el engrane B de
d = 2I . magnitud 21duB>dt2 N-m, donde duB>dt es la velocidad angular
el engrane B en rad/s. ¿Cuál es la frecuencia de las vibraciones
I
pequeñas angulares de los engranes?

(Vea el ejemplo 21.4). 21.56 En t = 0, el resorte torsional del problema 21.55 está sin
estirar y el engrane B tiene una velocidad angular de 2 rad/s
᭤ 21.54 En el problema 21.53, el radio R = 250 mm, k = 150 N/m en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine
y el momento de inercia del disco es I = 2 kg-m2. la posición angular del engrane B en sentido contrario al de las
a) ¿Qué valor de c hará que el sistema esté críticamente amor- manecillas del reloj, respecto a su posición de equilibrio y como
tiguado? una función del tiempo.
b) En t = 0, el resorte está sin estirar y la velocidad angular del
disco es de 10 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj.
Determine u en función del tiempo si el sistema está críticamente
amortiguado.
c) Usando el resultado del inciso b), determine el máximo despla-
zamiento angular resultante del disco y el tiempo en que ocurre.
(Vea el ejemplo 21.4.)

u A 200 mm
B
2R
R 140 mm

Problemas 21.55/21.56

k 21.57 Para el caso del movimiento críticamente amortiguado,
c confirme que la expresión
Problemas 21.53/21.54
x = Ce-dt + Dte-dt

es una solución de la ecuación (21.16).

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578 Capítulo 21 Vibraciones

21.3 Vibraciones forzadas

ANTECEDENTES

El término vibraciones forzadas significa que fuerzas externas afectan las vibra-
ciones de un sistema. Hasta ahora se ha analizado la vibración libre de sistemas, la
vibración no afectada por fuerzas externas. Por ejemplo, durante un sismo, un edi-
ficio experimenta vibraciones forzadas inducidas por fuerzas oscilatorias ejercidas
sobre su cimentación. Después de que el sismo cesa, el edificio vibra libremente
hasta que su movimiento termina por amortiguamiento.

El sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado de la figura 21.9a está some-
tido a una fuerza horizontal F1t2 dependiente del tiempo. A partir del diagrama de
cuerpo libre de la masa (figura 21.9b), su ecuación de movimiento es

dx d2x
F1t2 - kx - c dt = m dt2 .

Definiendo d = c>2m, v2 = k>m, y a1t2 = F1t2>m, se puede escribir esta ecua-
ción en la forma

d 2x + 2d dx + v 2x = a1t2. (21.26)
dt 2 dt

La expresión a1t2 se denomina función forzante de excitación. La ecuación (21.26)
describe las vibraciones forzadas de muchos sistemas amortiguados con un grado de
libertad. No es homogénea, porque la función forzante de excitación no contiene a
x o a una de sus derivadas. Su solución general consta de dos partes, la solución
homogénea y la solución particular:

x = xh + xp.

La solución homogénea xh es la solución general de la ecuación (21.26) con el lado
derecho igualado a cero. Por lo tanto, es la solución general para vibraciones
libres, que se describieron en la sección 21.2. La solución particular xp es una
solución que satisface a la ecuación (21.26). En las secciones siguientes se anali-
zarán las soluciones particulares para dos tipos de funciones de excitación que
ocurren con frecuencia en las aplicaciones.

x c dx x
c dt

F(t) F(t)

k kx mg

N
(a) (b)

Figura 21.9

www.FreeLibros.org(a) Sistema oscilatorio masa-resorte amortiguado sometido a una fuerza dependiente
del tiempo.
(b) Diagrama de cuerpo libre de la masa.

21.3 Vibraciones forzadas 579

Función forzante oscilatoria

Las ruedas y ejes desbalanceados ejercen fuerzas que oscilan a sus frecuencias de
rotación. Cuando las ruedas de un automóvil están desbalanceadas, ejercen fuerzas
oscilatorias que causan vibraciones perceptibles para los pasajeros. Los ingenie-
ros diseñan dispositivos electromecánicos que transforman corrientes oscilatorias
en fuerzas oscilatorias para usarlas en pruebas de sistemas vibratorios. Sin embargo,
la razón principal por la que este tipo de función de excitación resulta interesante, es
que casi cualquiera de ellas puede representarse como una suma de funciones for-
zantes oscilatorias de excitación con diferentes frecuencias o un espectro continuo
de frecuencias.

Al estudiar el movimiento de un sistema vibratorio sometido a una función
forzante oscilatoria, es posible determinar su respuesta en función de la frecuencia
de la fuerza. Suponga que la función forzante de excitación es una función oscila-
toria de la forma

a1t2 = a0 ssein v0t + b0 cos v0t, (21.27)

donde a0, b0, y la frecuencia circular v0 de la función forzante de excitación son
constantes dadas. La solución particular de la ecuación (21.26) se puede obtener

buscando una solución de la forma

xp = Ap sein v0t + Bp cos v0t, (21.28)

donde Ap y Bp son constantes por determinar. Sustituyendo esta expresión y la
ecuación (21.27) en la ecuación (21.26), se puede escribir el resultado como

1 - v20Ap - 2dv0Bp + v2Ap - a02sein v0t
+ 1 - v02Bp + 2dv0Ap + v2Bp - b02cos v0t = 0.

Igualando los coeficientes de sen v0t y cos v0t a cero y despejando Ap y Bp, se
obtiene

Ap = 1v2 - v022a0 + 2dv0b0
1v2 - v0222 + 4d2v20

y

Bp = - 2dv0a0 + 1v2 - v202b0 . (21.29)
1v2 - v2022 + 4d2v20

Al sustituir estos resultados en la ecuación (21.28) resulta la solución particular:

xp = c 1v2 - v202a0 + 2dv0b0 dsein v0t
1v2 - v0222 + 4d2v02

c - 2dv0a0 + 1v2 - v022b0
1v2 - v0222 + 4d2v02
www.FreeLibros.org+ d cos v0t. (21.30)