130 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.48 En un tubo de rayos catódicos, un electrón (masa ϭ 9.11 ϫ 14.51 ¿Cuál es la aceleración del collarín A de 8 kg respecto a la
10Ϫ31 kg) se proyecta en O con velocidad v ϭ (2.2 ϫ 107)i (m͞s). barra lisa que se muestra en la figura?
Mientras está entre las placas cargadas, el campo eléctrico genera- 14.52 Determine la aceleración del collarín A de 8 kg respecto
do por ellas lo somete a una fuerza F ϭ ϪeEj, donde la carga del a la barra mostrada si el coeficiente de fricción cinética entre el
electrón e ϭ 1.6 ϫ 10Ϫ19 C (coulombs) y la intensidad del cam- collarín y la barra es mk ϭ 0.1.
po eléctrico E ϭ 15 kN͞C. Las fuerzas externas sobre el electrón
son insignificantes cuando éste no está entre las placas. ¿En qué 20Њ
parte de la pantalla incide el electrón?
A 200 N
14.49 En el problema 14.48 determine en qué parte de la
pantalla incide el electrón si la magnitud del campo eléctrico es
E ϭ 15 sen (vt) kN͞C, donde la frecuencia v ϭ 2 ϫ 109 sϪ1.
Pantalla
y
ϪϪϪϪ 45Њ
O x
ϩϩϩϩ
Problemas 14.51/14.52
30 100 mm
mm
Problemas 14.48/14.49 14.53 En la figura, la fuerza F ϭ 50 lb. ¿Cuál es la magnitud de
la aceleración del collarín A de 20 lb a lo largo de la barra lisa en
14.50 Una astronauta quiere desplazarse desde una estación espa- el instante mostrado?
cial hasta un satélite S que necesita reparación. La astronauta sale de
la estación espacial en O. Un dispositivo de lanzamiento a base de 14.54* En el problema 14.53, determine la magnitud de la acele-
resorte da a su unidad de maniobras una velocidad inicial de 1 m͞s ración del collarín A de 20 lb, a lo largo de la barra en el instante
(respecto a la estación espacial) en la dirección y. En ese instante, la mostrado, si el coeficiente de fricción estática entre el collarín y la
posición del satélite es x ϭ 70 m, y ϭ 50 m, z ϭ 0 y está viajando barra es mk ϭ 0.2.
a 2 m͞s (respecto a la estación) en la dirección x. La astronauta inter-
cepta el satélite aplicando un empuje constante paralelo al eje x. La y
masa total de la astronauta y su unidad de maniobras es de 300 kg. (5, 3, 0) pies
a) ¿Cuánto tarda la astronauta en alcanzar el satélite? A F
(2, 2, 2) pies
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza de empuje que debe aplicar
para hacer la intercepción?
c) ¿Cuál es la velocidad de la astronauta respecto al satélite cuan-
do lo alcanza?
y zx
S (2, 0, 4) pies
Problemas 14.53/14.54
Ox
www.FreeLibros.orgProblema14.50
Problemas 131
14.55 El collarín de 6 kg mostrado parte desde el reposo en 14.58 En la figura, si y = 100 mm, dy>dt = 600 mm/s, y
la posición A, donde las coordenadas de su centro de masa son d2y>dt2 = - 200 mm/s2, ¿qué fuerza horizontal ejerce la ranura
(400, 200, 200) mm, y se desliza hacia arriba por la barra lisa
hasta la posición B, donde las coordenadas de su centro de masa lisa circular sobre el deslizador A de 0.4 kg?
son (500, 400, 0) mm, bajo la acción de una fuerza constante
F ϭ Ϫ40i ϩ 70j Ϫ 40k (N). ¿Cuánto tiempo se requiere para
desplazar el collarín desde A hasta B?
14.56* En el problema 14.55, ¿cuánto tiempo se requiere para
desplazar el collarín desde A hasta B si el coeficiente de fricción
cinética entre el collarín y la barra es mk ϭ 0.2?
yA
y
B 300 mm
A Problema 14.58
x
14.59 El collarín P de 1 kg se desliza sobre la barra vertical
F mostrada y tiene un pasador que se desliza en la ranura curva. La
z barra vertical se mueve con velocidad constante v ϭ 2 m/s y el eje
y apunta hacia arriba. ¿Cuáles son las componentes x e y de
Problemas 14.55/14.56 la fuerza total ejercida sobre el collarín por la barra vertical y la
barra ranurada cuando x ϭ 0.25 m?
14.57 La caja de la figura es jalada a lo largo del piso por un y
malacate que repliega el cable a una razón constante de 0.2 m͞s.
La masa de la caja es de 120 kg y el coeficiente de fricción cinéti- y ϭ 0.2 sen px x
ca entre la caja y el piso es mk ϭ 0.24. P
a) En el instante mostrado, ¿cuál es la tensión en el cable?
v
b) Obtenga una solución “cuasiestática” para la tensión en el cable 1m
despreciando la aceleración de la caja. Compare esta solución con
su resultado del inciso a). Problema 14.59
2m
4m
Problema 14.57
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132 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.60* El automóvil de 1360 kg viaja a lo largo de un camino 14.63 El vehículo de 3000 lb ha despegado del suelo después de
recto con desnivel creciente, cuyo perfil está dado por la ecuación pasar por un montículo. En el instante mostrado se está moviendo
mostrada. La magnitud de la velocidad del automóvil es constante horizontalmente a 30 mi͞h y la parte inferior de sus llantas está a
100 km͞h. Cuando x ϭ 200 m, ¿cuáles son las componentes x e y de 24 pulg aproximadamente sobre el nivel del suelo. El sistema co-
la fuerza total que actúa sobre el automóvil (incluyendo su peso)? ordenado fijo a la Tierra se coloca con su origen a 30 pulg sobre el
suelo, a la altura del centro de masa del vehículo cuando las llan-
Estrategia: Se sabe que la componente tangencial de la ace- tas hacen contacto por primera vez con el suelo (suponga que el
leración del automóvil es cero. Esta condición puede usarse junto automóvil permanece horizontal). Cuando ocurre eso, el centro de
con la ecuación para el perfil del camino a fin de determinar las masa del vehículo inicialmente se continúa moviendo hacia abajo y
componentes x e y de la aceleración del automóvil. luego rebota hacia arriba debido a la flexión del sistema de suspen-
sión. Mientras las llantas están en contacto con el suelo, la fuerza
y ejercida sobre ellas por el suelo es Ϫ2400i Ϫ 18,000yj (lb), donde y
es la posición vertical del centro de masa en pies. Cuando el vehícu-
y ϭ 0.0003x2 lo rebota, ¿cuál es la componente vertical de la velocidad del centro
de masa en el instante que las ruedas despegan del suelo? (Las rue-
x das se separan del suelo cuando el centro de masa está en y ϭ 0).
Problema 14.60
14.61* En la figura, los dos bloques de 100 lb se sueltan desde el 24 pulg 30 pulg
reposo. Determine las magnitudes de sus aceleraciones si la fricción x 24 pulg
en todas las superficies de contacto es insignificante.
30 pulg
Estrategia: Use el hecho de que las componentes de las ace-
leraciones de los bloques perpendiculares a su interfaz mutua y
deben ser iguales. Problema 14.63
14.62* En la figura, los dos bloques de 100 lb se sueltan desde 14.64* A una esfera de acero se le da una velocidad inicial
el reposo. El coeficiente de fricción cinética entre todas las super- v ϭ 2i (m͞s) en el origen del sistema de coordenadas mostrado. El
ficies de contacto es mk ϭ 0.1. ¿Cuánto tarda el bloque A en radio de la esfera es de 15 mm. La densidad del acero es de 8000
descender 1 pie? kg͞m3 y la densidad del aceite es de 980 kg͞m3. Si V es el volumen
de la esfera, la fuerza de flotación (hacia arriba) sobre la esfera es
A igual al peso de un volumen V de aceite. La magnitud de la fuerza
de resistencia hidrodinámica D sobre la esfera, conforme ésta cae,
B es ƒ D ƒ = 1.6 ƒ v ƒ N, donde ƒ v ƒ es la magnitud de la velocidad de la
esfera en m͞s. ¿Cuáles son las com-
ponentes x e y de la velocidad de la esfera en t ϭ 0.1 s?
14.65* En el problema 14.64, ¿cuáles son las coordenadas x e y
de la esfera en t ϭ 0.1 s?
70Њ y
Problemas 14.61/14.62
x
www.FreeLibros.orgProblemas 14.64/14.65
14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial 133
14.3 Aplicaciones: Componentes
normal y tangencial
Cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva plana, es posible descom-
poner la suma de las fuerzas que actúan sobre él en sus componentes normal y
tangencial (figura 14.5a). También se puede expresar la aceleración del objeto en
términos de sus componentes normal y tangencial (figura 14.5b) y escribir la segun-
da ley de Newton, ⌺F ϭ ma, en la forma
©Ftet + ©Fnen = m1atet + anen2, (14.6)
donde
at = dv y an = vr2.
dt
Igualando las componentes normal y tangencial en la ecuación (14.6), se obtienen
dos ecuaciones escalares de movimiento:
dv v2 (14.7)
©Ft = mat = m dt , ©Fn = man = m r .
La suma de las fuerzas en la dirección tangencial es igual al producto de la masa
por la razón de cambio de la magnitud de la velocidad, y la suma de las fuerzas en
la dirección normal es igual al producto de la masa por la componente normal
de la aceleración. Si la trayectoria del centro de masa pertenece a un plano, la acele-
ración del centro de masa perpendicular al plano es cero, por lo que la suma de las
fuerzas perpendiculares al plano también es igual a cero.
en et an
͚Fn ͚Ft at
(a) (b)
Figura 14.5
(a) Componentes normal y tangencial de la suma de las fuerzas
sobre un objeto.
(b) Componentes normal y tangencial de la aceleración del
www.FreeLibros.orgcentrodemasadelobjeto.
134 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.5 Componentes tangencial y normal (᭤ Relacionado con el problema 14.66)
El bote, que junto con sus pasajeros pesa 1200 lb, se mueve a 20 pies͞s en una tra-
yectoria circular con radio R ϭ 40 pies. En t ϭ 0, el conductor presiona el acelerador
de manera que la componente tangencial de la fuerza total que actúa sobre la lancha
se incrementa a 100 lb y permanece constante. El conductor continúa en la misma
trayectoria circular. En t ϭ 2 s, determine la magnitud de la velocidad del bote y la
fuerza total que actúa sobre éste en la dirección perpendicular a su trayectoria.
R
Estrategia
Se puede aplicar la segunda ley de Newton en la dirección tangencial para determinar
la componente tangencial de la aceleración del bote e integrar la aceleración para
obtener la velocidad en una función del tiempo. Una vez que se ha determinado la
velocidad en t ϭ 2 s, se puede aplicar la segunda ley de Newton en la dirección
perpendicular al bote para determinar la fuerza normal total en t ϭ 2 s.
Solución mϭ W ϭ321.220p0ielsb/s2ϭ 37.3 slug.
Determine la masa del bote. g
Aplique la segunda ley de ⌺Ft ϭ mat :
Newton en la dirección tan- 100 lb ϭ (37.3 slug)at,
gencial para determinar la
componente tangencial de la 100 lb
aceleración del bote. at ϭ 37.3 slug
ϭ 2.68 pies/s2
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14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial 135
Integre la aceleración tan- at ϭ dv ϭ 2.68 pies/s2 :
gencial para determinar la dt
velocidad del bote en fun-
ción del tiempo. vt
Evalúe la velocidad en dv ϭ 2.68 dt,
t ϭ 2 s. L20 L0
v ϭ 20 ϩ 2.68t pies/s.
v ϭ 20 ϩ 2.68(2)
ϭ 25.4 pies/s.
Determine la componen- an ϭ v2 (25.4 pies/s)2 ϭ 16.1 pies/s2.
te normal de la acelera- r ϭ 40 pies
ción del bote en t ϭ 2 s.
Aplique la segunda ley de ⌺Fn ϭ man
Newton en la dirección nor- ϭ (37.3 slugs)(16.1 pies/s2).
mal para determinar la fuer- ϭ 600 lb.
za normal que actúa sobre el
bote en t ϭ 2 s.
Problema de práctica El bote se está moviendo a 20 pies͞s en una trayectoria circular
con radio R ϭ 40 pies. Suponga que en t ϭ 0 el conductor presiona el acelerador de ma-
nera que la componente tangencial de la fuerza total (en libras) que actúa sobre el bote
está dada en función del tiempo por ⌺Ft ϭ 200t. El bote continúa con la misma trayec-
toria circular. En t ϭ 2 s, determine la magnitud de la velocidad del bote y la fuerza total
que actúa sobre éste en la dirección perpendicular a su trayectoria.
Respuesta: La velocidad es 30.7 pies͞s, la fuerza normal es 880 lb.
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136 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.6 Tren sobre vías elevadas (᭤ Relacionado con el problema 14.79)
El tren que se muestra en la figura está soportado por fuerzas de repulsión magné-
ticas ejercidas en dirección perpendicular a las vías. El movimiento del tren en la
dirección transversal es impedido por soportes laterales. El tren de 20,000 kg viaja
a 30 m͞s sobre un segmento circular de vía de radio R ϭ 150 m y con un ángulo de
inclinación de 40°. ¿Qué fuerza debe ejercer el sistema de levitación magnética para
soportar el tren y qué fuerza total ejercen los soportes laterales?
Estrategia
Se conoce la velocidad del tren y el radio de su trayectoria circular, por lo que es
posible determinar su componente normal de aceleración. Expresando la segunda
ley de Newton en términos de las componentes normal y tangencial, es posible de-
terminar las componentes de fuerza normal y transversal a la vía.
Solución
Vista superior del tren donde se muestran en
et
los vectores unitarios normal y tangencial.
El vector et es tangencial a la trayectoria
del tren y el vector en apunta hacia el
centro de su trayectoria circular.
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14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial 137
Vista frontal del tren. Las fuerzas en S
que actúan sobre éste son su peso,
la fuerza magnética M normal a 40Њ M
las vías, y la fuerza S ejercida por mg
los soportes laterales.
M cos 40Њ ϩ S sen 40Њ Ϫ mg ϭ 0. (1)
La suma de las fuerzas en la
dirección vertical (perpendicular ⌺Fn ϭ man: (2)
a la trayectoria circular del tren) v2
debe ser igual a cero.
M sen 40Њ Ϫ S cos 40Њ ϭ m r .
Aplique la segunda ley de Newton
en la dirección en.
an ϭ v2
R
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2)
con m ϭ 20,000 kg, g ϭ 9.81 m/s2,
v ϭ 30 m/s, y r ϭ 150 m se obtiene
M ϭ 227 kN y S ϭ 34.2 kN.
Problema de práctica ¿Para qué velocidad v del tren la fuerza lateral S sería igual
a cero? (Ésta es la velocidad óptima para que el tren viaje sobre las vías elevadas. Si
usted fuera un pasajero, no necesitaría ejercer ninguna fuerza lateral para permanecer
en su sitio).
Respuesta: 35.1 m/s.
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138 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.7 Segunda ley de Newton en las componentes normal y tangencial
(᭤ Relacionado con el problema 14.73)
Las estaciones espaciales del futuro podrán diseñarse con movimiento giratorio a fin
de simular una gravedad artificial para sus habitantes. Si la distancia desde el eje de
rotación de la estación al anillo externo habitado es R ϭ 100 m, ¿que razón de ro-
tación se necesita para simular una gravedad igual a la mitad de la terrestre?
Estrategia
Dibujando el diagrama de cuerpo libre de una persona, y expresando la segunda ley
de Newton en términos de las componentes normal y tangencial, se puede relacio-
nar la fuerza ejercida sobre la persona por el piso con la velocidad angular de la
estación. La persona ejerce una fuerza igual y opuesta sobre el piso, que es su peso
efectivo.
Solución
En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de una persona parada en el ani-
llo exterior, donde N es la fuerza ejercida por el piso. Con respecto al marco de re-
ferencia que no gira con origen en el centro de la estación, la persona se mueve en
en
et
N
www.FreeLibros.org(a) Diagrama de cuerpo libre de una persona
parada en el anillo habitado.
14.3 Aplicaciones: Componentes normal y tangencial 139
una trayectoria circular de radio R. En la figura b se muestran las componentes normal
y tangencial de su aceleración. Aplicando las ecuaciones (14.7), se obtiene
dv
©Ft = 0 = m dt
y
©Fn = N = m v2
.
R
an ϭ v2
R
at ϭ dv
dt
(b) Componentes normal y tangencial de
la aceleración de la persona.
La primera ecuación simplemente indica que la magnitud de la velocidad de la persona
es constante. La segunda ecuación indica la fuerza N. La magnitud de su velocidad es
v = Rv, donde v es la velocidad angular de la estación. Si se simula una gravedad
igual a la mitad de la terrestre, N = 1 mg. Por lo tanto,
2
1 1Rv22
N = mg = m .
2R
Resolviendo para v, se obtiene la velocidad angular necesaria de la estación:
g 9.81 m/s2
v = A 2R = C21100 m2 = 0.221 rad/s.
Es decir, una revolución cada 28.4 segundos.
Razonamiento crítico
Cuando usted está de pie en un cuarto, el piso lo empuja hacia arriba con una
fuerza N igual a su peso. El efecto de la gravedad sobre su cuerpo no puede dis-
tinguirse del efecto de una fuerza de magnitud N que empuja sobre sus pies hacia
arriba y le da una aceleración g en ausencia de gravedad. (Esta observación fue
uno de los puntos de partida de Einstein para desarrollar su teoría general de la
relatividad). Ésta es la base para simular gravedad usando rotación, y explica por
qué se estableció N ϭ mg͞2 en este ejemplo a fin de simular la mitad de la grave-
www.FreeLibros.orgdadterrestre.
140 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.8 Dinámica de vehículos motorizados (᭤ Relacionado con los problemas 14.89, 14.90)
El diseño preliminar de una rampa de autopista realizado por un ingeniero civil es
circular con radio R ϭ 60 m. Si se supone que el coeficiente de fricción estática
entre los neumáticos y el camino es de por lo menos ms ϭ 0.4, ¿cuál es la máxima
velocidad a la que los vehículos pueden entrar a la rampa sin perder tracción?
60 m
et Estrategia
Como un vehículo sobre la rampa se mueve en una trayectoria circular, tiene
f en una componente de aceleración normal que depende de su velocidad. La compo-
nente normal de la fuerza necesaria es ejercida por la fricción entre los neumáticos
(a) Vista superior del diagrama de cuerpo y el camino, y la fuerza de fricción no puede ser mayor que el producto de ms por
libre. la fuerza normal. Suponiendo que la fuerza de fricción es igual a este valor, se
puede determinar la velocidad máxima para que no ocurra deslizamiento.
mg
Solución
en En la figura a se observa el diagrama de cuerpo libre de un auto sobre la rampa visto
desde arriba y en la figura b se puede ver desde el frente. En la figura c se muestra
la aceleración del automóvil, que es perpendicular a la trayectoria circular del
vehículo y dirigida hacia el centro de dicha trayectoria. La suma de las fuerzas en la
dirección en es igual al producto de la masa y la componente normal de la ace-
leración; es decir
v2
©Fn = man = m R ,
f o bien
N
v2
(b) Vista frontal del diagrama de f=m .
cuerpo libre.
R
an ϭ v2 La fuerza de fricción requerida aumenta con la velocidad v. La fuerza de fricción
R máxima que la superficie puede proporcionar es fmáx ϭ msN ϭ msmg. Por lo tanto,
la velocidad máxima para que no ocurra deslizamiento es
v = 2msgR = 20.419.81 m/s22160 m2 = 15.3 m/s,
(c) Aceleración en la vista
www.FreeLibros.orgfrontal.
o bien 55.2 km/h 134.3 mi/h2.
Problemas 141
Problemas 14.70 El disco circular mostrado permanece en el plano horizon-
tal. En el instante mostrado, el disco gira con una velocidad angular
᭤ 14.66 El bote del ejemplo activo 14.5 pesa 1200 lb con sus de 4 rad͞s y una aceleración angular de 2 rad͞s2, ambas en sentido
pasajeros. Suponga que el bote se mueve a velocidad constante de contrario al de las manecillas del reloj. El deslizador A de 0.5 kg
20 pies͞s en una trayectoria circular con radio R ϭ 40 pies. Deter- está soportado de manera horizontal por la ranura lisa y la cuerda
mine las componentes tangencial y normal de la fuerza que actúa conectada en B. Determine la tensión en la cuerda y la magnitud
sobre el bote. de la fuerza horizontal ejercida por la ranura sobre el deslizador.
14.67 En estudios de diseño preliminar para un automóvil de 2 rad/s2 4 rad/s A
energía solar se estima que la masa del vehículo y el conductor será B
de 100 kg y el par de torsión producido por el motor resultará en
una fuerza tangencial de 60 N sobre el automóvil. Suponga que el 0.6 m
vehículo parte desde el reposo sobre la pista en A y está sometido
a una fuerza tangencial constante de 60 N. Determine la magnitud
de la velocidad del automóvil y la componente normal de la fuer-
za sobre el vehículo cuando llega a B.
14.68 En una prueba de un automóvil de energía solar, la masa
del vehículo y el conductor es de 100 kg. El automóvil inicia desde
el reposo sobre la pista en A, moviéndose hacia la derecha. La
fuerza tangencial ejercida sobre el vehículo (en newtons) está dada
como una función del tiempo por © Ft = 20 + 1.2t. Determine
la magnitud de la velocidad del automóvil y la componente normal
de la fuerza sobre éste en t ϭ 40 s.
Problema 14.70
50 m 14.71 El disco circular mostrado permanece en el plano hori-
B zontal y gira con una velocidad angular constante de 4 rad͞s en
sentido contrario al de las manecillas del reloj. El deslizador A
A de 0.5 kg está soportado de manera horizontal por la ranura lisa
y la cuerda conectada en B. Determine la tensión en la cuerda y
200 m la magnitud de la fuerza horizontal ejercida por la ranura sobre
Problemas 14.67/14.68 el deslizador.
14.69 Un candidato a astronauta con una masa de 72 kg se so- B
mete a una prueba en una centrifugadora con un radio de 10 m. La
0.6 m
centrifugadora gira en el plano horizontal. Parte desde el reposo
en t ϭ 0 y tiene una aceleración angular constante de 0.2 rad͞s2. 90Њ
Determine la magnitud de la fuerza horizontal ejercida sobre él
por la centrifugadora a) en t ϭ 0; b) en t ϭ 10 s.
4 rad/s A
0.6 m
10 m Problema 14.71
Problema 14.69
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142 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.72 El avión de 32,000 libras que se muestra en la figura está 14.75 La masa m de 1 slug gira alrededor del poste vertical en
volando en el plano vertical a 420 pies͞s. En el instante mostrado, una trayectoria horizontal circular. El ángulo u ϭ 30° y la longi-
el ángulo u ϭ 30°, y las componentes cartesianas de la aceleración tud de la cuerda es L ϭ 4 pies. ¿Cuál es la magnitud de la veloci-
del avión son ax ϭ Ϫ6 pies͞s2, ay ϭ 30 pies͞s2. dad de la masa?
a) ¿Cuáles son las componentes tangencial y normal de la fuerza Estrategia: Observe que la aceleración vertical de la masa
total que actúa sobre el avión (incluyendo su peso)? es igual a cero. Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la masa
y escriba la segunda ley de Newton en términos de las componen-
b) ¿Qué valor tiene du͞dt en grados por segundo? tes tangencial y normal.
y 14.76 La masa m de 1 slug gira alrededor del poste vertical
en una trayectoria horizontal circular. La longitud de la cuerda es
L ϭ 4 pies. Determine la magnitud de la velocidad de la masa y el
ángulo u si la tensión en la cuerda es de 50 lb.
u
x
Problema 14.72 uL
᭤ 14.73 Considere a una persona con una masa de 72 kg quien se m
encuentra en la estación espacial descrita en el ejemplo 14.7. Cuan-
Problemas 14.75/14.76
do está en el anillo habitado exterior, su peso simulado en newtons
es 21(72 kg)(9.81 m/s2) = 353 N . Suponga que la persona escala 14.77 La masa m de 10 kg gira alrededor del poste vertical mos-
hasta una posición en uno de los túneles radiales que conducen al trado en una trayectoria circular horizontal de radio R ϭ 1 m. Si la
magnitud de su velocidad es v = 3 m/s, ¿cuáles son las tensiones
centro de la estación. Sea r su distancia en metros desde el centro en las cuerdas A y B?
de la estación. a) Determine el peso simulado en su nueva posi- 14.78 La masa m de 10 kg gira alrededor del poste vertical mos-
trado en una trayectoria circular horizontal de radio R ϭ 1 m.
ción en términos de r. b) ¿Cuál sería su peso simulado cuando al- ¿Cuál es el intervalo de valores de la velocidad v para los cuales
la masa permanecerá en la trayectoria circular descrita?
canza el centro de la estación?
14.74 Las pequeñas piezas de la figura se encuentran sobre una
banda transportadora que se mueve con velocidad v constante y caen
en un cajón. Demuestre que el ángulo u en el que las piezas empie-
zan a deslizarse sobre la banda satisface la ecuación
1 v2
cos u - sen u = gR,
ms
donde ms es el coeficiente de fricción estática entre las piezas y la 35Њ
banda. A
u B
R 55Њ
v R
m
www.FreeLibros.orgProblema14.74
Problemas 14.77/14.78
Problemas 143
᭤ 14.79 Suponga que se va a diseñar un sistema de transporte 14.81 En la figura, la masa m de 2 kg está en equilibrio.
por monorriel que viajará a 50 m͞s. El ángulo u con que los a) ¿Cuáles son las tensiones en las cuerdas A y B?
vagones oscilarán respecto a la vertical al tomar una curva no b) Si se corta la cuerda A, ¿cuál es la tensión en la cuerda B inme-
debe ser mayor que 20°. Si las curvas son circulares con radio diatamente después de esto?
R, ¿cuál es el mínimo valor admisible de R? (Vea el ejemplo
activo 14.6).
B
m 45Њ
A
Problema 14.81
u 14.82 Un avión vuela con velocidad v constante a lo largo de
Problema 14.79 una trayectoria circular en un plano vertical. El radio de su trayec-
toria circular es de 2000 m. La masa del piloto es de 72 kg.
a) El piloto experimentará “ingravidez” en la cima de la trayec-
toria circular si el avión no ejerce ninguna fuerza neta sobre él
en ese punto. Dibuje un diagrama de cuerpo libre del piloto y
utilícelo para determinar la velocidad v necesaria para lograr
esta condición.
b) Suponga que usted no quiere que la fuerza ejercida por el avión
sobre el piloto exceda cuatro veces su peso. Si él realiza esta ma-
niobra cuando v = 200 m/s, ¿cuál es el radio mínimo aceptable
de la trayectoria circular?
14.80 Un avión con peso W ϭ 200 000 lb realiza un viraje a alti- v
tud constante y a velocidad constante v ϭ 600 pies/s. El ángulo de
inclinación es de 15°. Problema 14.82
a) Determine la fuerza L de sustentación.
b) ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria del avión?
15Њ
L
W
Problema 14.80
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144 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.83 La barra circular lisa de la figura gira con velocidad angu- 14.86 Una masa m está unida a una cuerda enrollada alrededor
lar constante v0 alrededor del eje vertical AB. El radio R ϭ 0.5 m de un poste fijo de radio R. En t ϭ 0, se le da a la masa una velo-
y la masa m permanece en reposo respecto a la barra circular cidad v0, como se muestra en la figura. Ignore las fuerzas externas
cuando b = 40°. Determine v0. sobre m excepto la ejercida por la cuerda. Determine el ángulo u
en función del tiempo.
A L0
m
RR
v0
b m u
v0 Problemas 14.85/14.86
B
14.87 La suma de las fuerzas ejercidas sobre el avión deportivo
Problema 14.83 de 360 kg que se muestra en la figura (incluyendo su peso) durante
un intervalo de tiempo es
14.84 La fuerza ejercida por un campo magnético sobre una par-
tícula cargada es 1 - 1000 + 280t2i + 1480 - 430t2j + 1720 + 200t2k,
donde t es el tiempo en segundos. En t ϭ 0, la velocidad del centro
F = qv * B, de masa del avión respecto al marco de referencia fijo en la Tierra
es 20i ϩ 35j Ϫ 20k (m͞s). Si se descompone la suma de las fuerzas
donde q y v son la carga y el vector de velocidad de la partícula y B sobre el avión en las componentes tangente y normal a la trayecto-
es el vector de campo magnético. Una partícula de masa m y carga ria del avión en t ϭ 2 s, ¿cuáles son los valores de ⌺Ft y ⌺Fn?
positiva q se proyecta en O con velocidad v = v0i a un campo
magnético uniforme B = B0k. Usando las componentes normal y 14.88 En el problema 14.87, ¿cuál es el radio instantáneo de la
tangencial, demuestre que a) la magnitud de la velocidad de la par- curvatura de la trayectoria del avión en t ϭ 2 s? Las componentes
tícula es constante y b) la trayectoria de la partícula es un círculo vectoriales de la suma de las fuerzas en las direcciones tangencial
con radio mv0>qB0. y normal a la trayectoria pertenecen al plano osculador. Determine
las componentes de un vector unitario perpendicular al plano
y osculador en t ϭ 2 s.
v0 x
O
y
Problema 14.84
14.85 Una masa m está unida a una cuerda enrollada alrededor
de un poste fijo de radio R. En t ϭ 0, se le da a la masa una velo-
cidad v0, como se muestra en la figura. Ignore las fuerzas externas x
sobre m excepto la ejercida por la cuerda. Determine la tensión en
la cuerda en función del ángulo u.
Estrategia: El vector velocidad de la masa es perpendicular
a la cuerda. Exprese la segunda ley de Newton en términos de las
www.FreeLibros.orgcomponentes normal y tangencial.
z
Problemas 14.87/14.88
Problemas 145
᭤ 14.89 Una rampa de acceso a una carretera es circular con 14.92 Un automóvil viaja a 30 m͞s y está en el fondo de una
radio de 60 m (figura a). La rampa tiene una pendiente  ϭ 15° depresión. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y el
(figura b). Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas camino es mk ϭ 0.8. El radio de curvatura instantáneo de la tra-
de un automóvil y el camino es ms ϭ 0.4, ¿cuál es la velocidad yectoria del automóvil es de 200 m. Si el conductor aplica los
máxima a la que un automóvil puede viajar en la rampa sin perder frenos y las llantas del automóvil se bloquean, ¿cuál es la desace-
tracción? (Vea el ejemplo 14.8). leración resultante del automóvil en la dirección tangente a su tra-
yectoria? Compare su respuesta con la del problema 14.91.
᭤ 14.90* Una rampa de acceso a una carretera es circular con
radio de 60 m (figura a). La rampa tiene una pendiente b (figura b). Problema 14.92
Si el coeficiente de fricción estática entre las llantas de un automó-
vil y el camino es ms ϭ 0.4, ¿cuál es la pendiente b mínima nece-
saria para que (en teoría) un automóvil pueda entrar a la rampa a
cualquier velocidad sin perder tracción? (Vea el ejemplo 14.8).
14.93 La masa combinada de la motocicleta y su conductor es de
160 kg. La motocicleta parte desde el reposo en t ϭ 0 y se mueve
a lo largo de una pista circular con un radio de 400 m. La compo-
nente tangencial de la aceleración de la motocicleta en función del
tiempo es at ϭ 2 ϩ 0.2t m͞s2. El coeficiente de fricción estática
entre las llantas y la pista es ms ϭ 0.8. ¿Cuánto tiempo después
de iniciar su movimiento, la motocicleta alcanza el límite de adhe-
60 m sión (cuando sus neumáticos están a punto de deslizarse)? ¿A qué
velocidad se mueve la motocicleta cuando sucede esto?
Estrategia: Dibuje un diagrama de cuerpo libre donde se
muestren las componentes tangencial y normal de la fuerza que
(a) actúa sobre la motocicleta.
b
(b)
Problemas 14.89/14.90
14.91 Un automóvil viaja a 30 m͞s y está en la cima de una colina. O
El coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos y el cami- s
no es mk ϭ 0.8. El radio de curvatura instantánea de la trayectoria
del automóvil es de 200 m. Si el conductor aplica los frenos y las
ruedas del vehículo se bloquean, ¿cuál es la desaceleración resul-
tante en la dirección tangente a la trayectoria?
P en 400 m
et
Problema 14.91 Problema 14.93
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146 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.4 Aplicaciones: Coordenadas
polares y cilíndricas
Cuando un objeto se mueve en una trayectoria curva planar, el movimiento del
centro de masa del objeto se puede describir en términos de coordenadas pola-
res. Al descomponer la suma de las fuerzas paralelas al plano en componentes
polares (figura 14.6a) y al expresar la aceleración del centro de masa en términos
de componentes polares (figura 14.6b), la segunda ley de Newton, ©F = ma,
puede escribirse en la forma
©Fr er + ©Fu eu = m1ar er + au eu2, (14.8)
donde
ar = d2r - du 2 = d2r - rv2
dt2 ra b dt2
dt
y
d2u dr du dr
au = r dt2 + 2 dt dt = ra + 2 dt v.
Igualando las componentes er y eu en la ecuación (14.8), se obtienen las ecuacio-
nes escalares
©Fr = mar = d2r - rv2 b (14.9)
m a dt2
yy
eu er au ar
͚Fu ͚Fr r
r
u u x
(a) x
(b)
Figura 14.6
Componentes polares de (a) la suma de las fuerzas
www.FreeLibros.orgy (b) la aceleración del centro de masa.
y 14.4 Aplicaciones: Coordenadas polares y cilíndricas 147
dr (14.10)
©Fu = mau = m a ra + 2 dt v b .
El movimiento tridimensional de un objeto se puede describir usando coor-
denadas cilíndricas, en las cuales la posición del centro de masa perpendicular
al plano x-y está medida por la coordenada z y el vector unitario ez apunta en la
dirección positiva de z. La suma de las fuerzas se descompone en las componentes
radial, transversa y z (figura 14.7a) y la aceleración del centro de masa se expresa
en términos de las componentes radial, transversa y z (figura 14.7b). Las tres ecua-
ciones escalares de movimiento son las ecuaciones polares (14.9) y (14.10) y la
ecuación de movimiento en la dirección z,
©Fz = maz = m dvz = d2z (14.11)
dt m dt2 .
y x ͚Fu ͚Fr
z (a)
eu er
y r ez
u
͚Fz
z
x au ar
z az
r
u
z
(b)
Figura 14.7
(a) Componentes de la suma de las fuerzas sobre un objeto en
coordenadas cilíndricas.
www.FreeLibros.org(b) Componentes de la aceleración del centro de masa.
148 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.9 Coordenadas polares (᭤ Relacionado con los problemas 14.98, 14.99)
v0 La barra lisa que se muestra en la figura gira en el plano horizontal con velocidad
angular constante v0. La longitud sin estirar del resorte lineal es r0. El collarín A
tiene una masa m y se suelta en r = r0 sin velocidad radial. Determine la veloci-
dad radial del collarín en función de r.
A Estrategia
k La única fuerza sobre el collarín en la dirección radial es la fuerza del resorte, que
puede expresarse en coordenadas polares en términos de r. Integrando la ecuación
(14.9), se puede determinar la componente radial de la velocidad vr = dr>dt en fun-
ción de r.
Solución Diagrama de cuerpo libre
del collarín A con la fuerza
y ejercida por el resorte expre-
N sada en términos de r. La
barra ejerce una fuerza trans-
A versa N sobre el collarín.
k(r Ϫ r0)
u
x
⌺Fr ϭ mar:
Aplique la segunda ley de Ϫk(r Ϫ r0) ϭ md2r rv2 dvr
Newton en la dirección dt2 Ϫ ϭm dt Ϫ rv20 ,
radial. Lo anterior resulta
en una ecuación para la que puede escribirse como
componente radial de la
aceleración en función de r. dvr ϭ rv20 Ϫ k (r Ϫ r0).
dt m
y
au
ar
A
u
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Problemas 149
Use la regla de la cadena dvr ϭ dvr dr ϭ dvr vr ϭ rv20 Ϫ k (r Ϫ r0),
para expresar la acelera- dt dr dt dr m
ción radial en términos
de r en vez de t, separe ΄ ΅vr r v20 Ϫ k r ϩ k r0 dr,
variables, e integre. m m
L0 vr dvr ϭ Lr0
Resuelva para obtener la veloci-
dad radial como una función de r. 1v2rϭ1 v02 Ϫ k (r2 Ϫ r20) ϩ k r0(r Ϫ r0).
2 m m
2
vr ϭ v02 Ϫ k (r2 Ϫ r20) ϩ 2k r0(r Ϫ r0).
m m
Problema de práctica Determine la fuerza transversa N ejercida por la barra sobre
el collarín como una función de r.
Respuesta: N = 2mv0 A a v20 - k b (r2 - r20) + 2k r0(r - r0).
m m
Problemas 14.95 Un hombre de 100 lb camina sobre un gran disco que gira
con una velocidad angular constante v0 = 0.3 rad/s. Él camina a
14.94 El centro de masa del objeto de 12 kg se mueve en el una velocidad constante v0 ϭ 5 pies͞s a lo largo de una línea ra-
plano x-y. Sus coordenadas polares están dadas en función del dial pintada sobre el disco. Determine las componentes polares de
tiempo por r ϭ 12 Ϫ 0.4t2 m, u ϭ 0.02t3 rad. Determine las la fuerza horizontal ejercida sobre el hombre cuando se encuentra
componentes polares de la fuerza total que actúa sobre el objeto a 6 pies del centro del disco. (¿Cómo son estas fuerzas ejercidas
en t ϭ 2 s. sobre el hombre?).
y
v0 v0
r
u x
Problema 14.94
www.FreeLibros.orgProblema14.95
150 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.96 El manipulador robótico de la figura está programado de ᭤ 14.98 La barra lisa mostrada gira en el plano horizontal con
modo que la parte A de 0.4 kg describa la trayectoria velocidad angular constante v0 = 60 rpm . Si la velocidad radial del
collarín A de 1 kg es vr = 10 m/s cuando su posición radial es
r ϭ 1 Ϫ 0.5 cos 2pt m, r ϭ 1 m, ¿cuál es su velocidad radial cuando r ϭ 2 m? (Vea el
u ϭ 0.5 Ϫ 0.2 sen 2pt rad. ejemplo activo 14.9).
Determine las componentes polares de la fuerza ejercida sobre A v0
por las tenazas del robot en t ϭ 2 s.
rA A
u
r 3m
Problema 14.96 Problema 14.98
14.97 Un objeto P de 50 lb se mueve a lo largo de la trayectoria ᭤ 14.99 La barra lisa mostrada gira en el plano horizontal con ve-
en espiral r ϭ (0.1)u pies, donde u está en radianes. Su posición locidad angular constante v0 = 60 rpm . La constante del resorte
angular está dada en función del tiempo por u ϭ 2t rad, y r ϭ 0 en es k ϭ 20 N͞m y la longitud del resorte sin estirar es de 3 m. Si la
t ϭ 0. Determine las componentes polares de la fuerza total que velocidad radial del collarín A de 1 kg es vr = 10 m/s cuando su
actúa sobre el objeto cuando t ϭ 4 s. posición radial es r ϭ 1 m, ¿cuál es su velocidad radial cuando
r ϭ 2 m? (Vea el ejemplo activo 14.9).
P
v0
r
u k
Problema 14.97 A
r 3m
Problema 14.99
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Problemas 151
14.100 En la figura, la masa m de 2 kg se libera del reposo 14.104* Una masa de 2 kg descansa sobre una barra plana horizon-
con la cuerda en posición horizontal. La longitud de la cuerda tal. La barra comienza a girar en el plano vertical alrededor de O
es L ϭ 0.6 m. Usando la segunda ley de Newton en términos de con una aceleración angular constante de 1 rad͞s2. Se observa que la
coordenadas polares, determine la magnitud de la velocidad de la masa se desliza respecto a la barra cuando está 30° arriba de la hori-
masa y la tensión de la cuerda cuando u ϭ 45°. zontal. ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática entre la masa y
la barra? ¿La masa se desliza acercándose o alejándose de O?
L
u 1 rad/s2 2 kg
m O
Problema 14.100 1m
14.101 Al bloque A de 1 lb se le da una velocidad inicial Problema 14.104
v0 ϭ 14 pies͞s hacia la derecha cuando está en la posición u ϭ 0,
ocasionando que éste se deslice hacia arriba por la superficie lisa 14.105* El deslizador A de 1͞4 lb es empujado a lo largo de la
circular. Usando la segunda ley de Newton en términos de coorde- barra circular por la barra ranurada como se muestra en la figura.
nadas polares, determine la magnitud de la velocidad del bloque La barra circular está en el plano horizontal. La posición angular
cuando u ϭ 60°. de la barra ranurada es u ϭ 10t2 rad. Determine las componentes
polares de la fuerza externa total ejercida sobre el deslizador en
14.102 Al bloque de 1 lb se le da una velocidad inicial t ϭ 0.2 s.
v0 ϭ 14 pies͞s hacia la derecha cuando está en la posición u ϭ 0,
ocasionando que éste se deslice hacia arriba por la superficie lisa 14.106* El deslizador A de 1͞4 lb es empujado a lo largo de la
circular. Determine la fuerza normal ejercida por la superficie barra circular por la barra ranurada como se muestra en la figura.
sobre el bloque cuando u ϭ 60°. La barra circular está en el plano vertical. La posición angular
de la barra ranurada es u ϭ 10t2 rad. Determine las componentes
4 pies polares de la fuerza externa total ejercida sobre el deslizador en
t ϭ 0.25 s.
u
A
Problemas 14.101/14.102 A
u
14.103 El esquiador de la figura pasa por el punto A a 17 m͞s. De
A a B, el radio de su trayectoria circular es de 6 m. Usando la se- 2 pies
gunda ley de Newton en coordenadas polares, determine la magni-
tud de su velocidad en el momento en que abandona la rampa en B. 2 pies
Ignore las fuerzas tangenciales excepto la componente tangencial
de su peso.
Problemas 14.105/14.106
45Њ
A
B
www.FreeLibros.orgProblema14.103
152 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.107* La barra ranurada de la figura gira en el plano horizontal 14.110 En el instante mostrado, las coordenadas cilíndricas de la
con velocidad angular constante v0. La masa m tiene un pasador parte A de 4 kg sostenida por el manipulador robótico son r ϭ 0.6 m,
que embona en la ranura de la barra. Un resorte mantiene el pasador u ϭ 25° y z ϭ 0.8 m (el sistema coordenado está fijo con respecto
contra la superficie de la leva fija. La superficie de la leva se des- a la Tierra y el eje y apunta hacia arriba). La posición radial de A se
cribe con r = r012 - cos u2. Determine las componentes polares está incrementando en dr͞dt ϭ 0.2 m͞s y d2r͞dt2 ϭ Ϫ0.4 m͞s2.
de la fuerza externa total sobre el pasador en función de u. El ángulo u está aumentado cuando du͞dt ϭ 1.2 rad͞s y d2u͞dt2 ϭ
2.8 rad͞s2. La base del brazo manipulador se está acelerando en
14.108* En el problema 14.107, suponga que la longitud del re- la dirección z en d2z͞dt2 ϭ 2.5 m͞s2. Determine el vector de fuer-
sorte sin estirar es r0. Determine el valor mínimo de la constante za ejercido sobre A por el manipulador en términos de coordenadas
del resorte k para el cual el pasador permanecerá sobre la superfi- cilíndricas.
cie de la leva.
14.111 Suponga que el manipulador robótico se usa en una esta-
v0 m Leva ción espacial para investigar técnicas de fabricación con gravedad
k cero. Durante un intervalo de tiempo, el manipulador se programa
de manera que las coordenadas cilíndricas de la parte A de 4 kg
son u ϭ 0.15t2 rad, r ϭ 0.5(1 ϩ sen u) m, y z ϭ 0.8(1 ϩ u) m.
Determine el vector de fuerza ejercido sobre A por el manipulador
en t ϭ 2 s en términos de coordenadas cilíndricas.
u 14.112* En el problema 14.111, dibuje una gráfica de la magni-
tud de la fuerza ejercida sobre la parte A por el manipulador en
función del tiempo desde t ϭ 0 hasta t ϭ 5 s, y use la gráfica para
r0 estimar la fuerza máxima durante ese intervalo de tiempo.
y
Problemas 14.107/14.108 x A
r
14.109 Una partícula cargada P se mueve en un campo mag-
nético a lo largo de la trayectoria en espiral descrita por r ϭ 1 m, zu
u ϭ 2z rad, donde z está en metros. La partícula se mueve a lo largo
de la trayectoria en la dirección mostrada con velocidad constante z
ƒ v ƒ = 1 km/s. La masa de la partícula es 1.67 ϫ 10Ϫ27 kg. Deter-
mine la suma de las fuerzas sobre la partícula en términos de coor- Problemas 14.110–14.112
denadas cilíndricas.
y
x
P
z
1 km/s
Problema 14.109
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14.5 Mecánica de órbitas 153
14.5 Mecánica de órbitas
ANTECEDENTES
En este punto resulta apropiado incluir un análisis de la mecánica de órbitas den-
tro del capítulo sobre las aplicaciones de la segunda ley de Newton. La determi-
nación analítica de Newton con respecto a las órbitas elípticas de los planetas, que
se habían deducido a partir de datos observados por Johannes Kepler, constituyó
un triunfo de la mecánica newtoniana y una confirmación de la relación inversa
cuadrada de la aceleración gravitatoria.
Se puede usar la segunda ley de Newton expresada en coordenadas polares
para determinar la órbita de un satélite terrestre o de un planeta. Suponga que en
t ϭ 0 un satélite tiene velocidad inicial v0 a una distancia r0 del centro de la Tierra
(figura 14.8a). Se supone que la velocidad inicial es perpendicular a la línea que
va del centro de la Tierra al satélite. La posición de éste durante su movimiento
subsecuente está especificada por sus coordenadas polares (r, u), donde u se mide
desde su posición en t ϭ 0 (figura 14.8b). El objetivo aquí consiste en determinar
r en función de u.
Determinación de la órbita
Si se modela la Tierra como una esfera homogénea, la fuerza ejercida sobre el saté-
lite por la gravedad a una distancia r del centro de la Tierra es mgR2E>r2, donde
RE es el radio de la Tierra. (Vea la ecuación 12.5). A partir de la ecuación (14.9),
la ecuación de movimiento en la dirección radial es
©Fr = mar:
- mgR 2 = d 2r - du 2
r2 E m c dt 2 ra b d.
dt
De la ecuación (14.10), la expresión del movimiento en la dirección transversa es
©Fu = mau:
d 2u dr du
0 = m a r dt 2 + 2 dt dt b .
er
eu
r
v0
u
r0
(a) (b)
Figura 14.8
(a) Posición y velocidad iniciales de un satélite terrestre.
(b) Especificación de la trayectoria subsecuente en
coordenadas polares.
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154 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Por lo tanto, se obtienen las dos ecuaciones
d 2r - du 2 = - gR 2 (14.12)
dt 2 ra b E (14.13)
dt r2
y
d 2u dr du
r dt2 + 2 dt dt = 0.
La ecuación (14.13) se puede escribir en la forma
1 d a r2 du b = 0,
r dt dt
que indica que
r2 du = rvu = constante. (14.14)
dt
En t ϭ 0 las componentes de la velocidad son vr ϭ 0 y vu ϭ v0, y la posición radial
es r ϭ r0. Por lo tanto, puede escribirse la constante en la ecuación (14.14) en tér-
minos de las condiciones iniciales:
r2 du = rvu = r0v0. (14.15)
dt
Usando esta ecuación para eliminar du>dt de la ecuación (14.12) se obtiene
d 2r - r 02v 2 = - grR22E. (14.16)
dt 2 0
r3
Se puede resolver esta ecuación diferencial introduciendo el cambio de variable
u = 1r. (14.17)
Al hacer esto, también se cambiará la variable independiente de t a u porque se
desea determinar r en función del ángulo u y no de t. Para expresar la ecuación
(14.16) en términos de u se debe determinar d 2r>dt 2 en términos de u. Usando la
regla de la cadena, se escribe la derivada de r con respecto al tiempo como
dr d 1 1 du 1 du du
dt = dt a u b = - u2 dt = - u2 du dt . (14.18)
Observe en la ecuación (14.15) que
www.FreeLibros.orgdu = r0v0 = r0v0u2. (14.19)
dtr2
14.5 Mecánica de órbitas 155
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (14.18) se obtiene
dr du (14.20)
dt = - r0v0 du.
Se diferencia esta expresión con respecto al tiempo y se aplica de nuevo la regla
de la cadena:
d 2r d du du d du du d 2u
dt 2 = dt a - r0v0 du b = - r0v0 dt du a du b = - r0v0 dt du 2.
Usando la ecuación (14.19) para eliminar du>dt de esta expresión, se obtiene la
segunda derivada respecto al tiempo de r en términos de u:
d 2r = - r02 v02 u2 d 2u
dt 2 du 2 .
Sustituyendo este resultado en la ecuación (14.16) se obtiene una ecuación dife-
rencial lineal de u en función de u:
d2u + u = rg02RvE202.
du2
La solución general de esta ecuación es
u = A sen u + B cos u + gR 2 ,
E
(14.21)
r 2 v 2
0 0
donde A y B son constantes. Es posible usar las condiciones iniciales para deter-
minar A y B. Cuando u = 0, u = 1>r0. Así mismo cuando u ϭ 0 la componente
radial de la velocidad vr = dr>dt = 0, por lo que a partir de la ecuación (14.20),
se observa que du>du = 0. De esas dos condiciones se obtiene
A=0 y B = 1 - rg20RvE220.
r0
Sustituyendo estos resultados en la ecuación (14.21), se puede escribir la solución
resultante para r = 1>u como
r 1+e
= , (14.22)
r0 1 + e cos u
donde
r0v 2
www.FreeLibros.orge= 0 - 1. (14.23)
gR 2
E
156 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Directriz Tipos de órbitas
Sección cónica
La curva llamada sección cónica (figura 14.9) tiene la propiedad de que la razón
d de r sobre la distancia perpendicular d a una línea recta, llamada directriz, es cons-
tante. Esta razón, r>d = r0>d0, se llama excentricidad de la curva. En la figura,
r se observa que
u
r cos u + d = r0 + d0,
que puede escribirse como
r0 d0 r = 1 1 + 1r0>d02 .
r0 + 1r0>d02 cos u
Figura 14.9
Si la razón r͞d es constante, la curva describe Comparando esta expresión con la ecuación (14.22), se observa que la órbita del
una sección cónica. satélite describe una sección cónica con excentricidad e. El valor de la excentri-
cidad determina el carácter de la órbita.
Órbita circular Si la velocidad inicial v0 se escoge de modo que e ϭ 0 la
ecuación (14.22) se reduce a r ϭ r0 y la órbita es circular (figura 14.10). Si se es-
tablece e ϭ 0 en la ecuación (14.23) y despejando v0, se obtiene
v0 = gR 2 (14.24)
C r0 E,
que concuerda con la velocidad de una órbita circular obtenida en el ejemplo 14.5
por un método diferente.
´ϭ1 ´Ͼ1 Órbita elíptica Si 0 6 e 6 1, la órbita es una elipse. El radio máximo de la
elipse ocurre cuando u ϭ 180°. Haciendo u igual a 180° en la ecuación (14.22),
se obtiene una expresión para el radio máximo de la elipse en términos del radio
inicial y e:
0Ͻ´Ͻ1 1+e
´ϭ0 rmáx = r0 a 1 b. (14.25)
- e
Órbita parabólica Observe que a partir de la ecuación (14.25), el radio máxi-
mo de la órbita elíptica aumenta sin límite cuando e : 1. Cuando e = 1, la órbi-
ta es una parábola (figura 14.10). La velocidad v0 correspondiente es la velocidad
inicial mínima para la cual el radio r aumenta sin límite, que es la velocidad de
escape. Haciendo e = 1 en la ecuación (14.23) y despejando v0, se obtiene
Figura 14.10 2gR 2
Órbitas para diferentes excentricidades. r0
E.
v0 = C
Éste es el mismo valor obtenido para la velocidad de escape que en el ejemplo 13.5
para el caso de un objeto que se mueve alejándose del centro de la Tierra.
www.FreeLibros.orgÓrbita hiperbólica Si e 7 1, la órbita es una hipérbola (figura 14.10).
14.5 Mecánica de órbitas 157
La solución que se ha presentado, basada en la hipótesis de que la Tierra es una
esfera homogénea, proporciona una aproximación a la órbita de un satélite terres-
tre. La determinación precisa de la órbita requiere tomar en cuenta las variaciones
del campo gravitatorio de la Tierra debido a su distribución real de masa. De mane-
ra similar, dependiendo de la exactitud requerida, la determinación de la órbita de
un planeta alrededor del Sol puede requerir que se tomen en cuenta las perturba-
ciones debidas a las atracciones gravitatorias de los otros planetas.
RESULTADOS
r
v0
u
r0
Ecuación polar para la órbita de un satélite terrestre
con las condiciones iniciales mostradas. El parámetro
eϭ r0v02 Ϫ 1, (14.23) r ϭ 1ϩe , (14.22)
gRE2 r0 ϩ e cos u
1
donde g es la aceleración debida a la gravedad al ni-
vel del mar y RE es el radio de la Tierra modelada
como una esfera homogénea.
eϭ1 eϾ1
El tipo de órbita está determinado por el valor 0ϽeϽ1
de e. eϭ0
e ϭ 0 Circular
0 Ͻ e Ͻ 1 Elíptica
e ϭ 1 Parabólica
e Ͼ 1 Hiperbólica
La posición radial del satélite y su componente
transversal de velocidad satisfacen la relación
www.FreeLibros.orgrvuϭconstante.
(14.14)
158 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.10 Órbita de un satélite terrestre (᭤ Relacionado con el problema 14.115)
Un satélite terrestre se pone en órbita con una velocidad inicial v0 = 9240 m/s.
La posición inicial del satélite está a 6600 km del centro de la Tierra. Demuestre
que la órbita resultante es elíptica y determine su radio máximo. El radio de la
Tierra es de 6370 km.
v0
r0
Estrategia
Se debe calcular el valor de e a partir de la ecuación (14.23) para determinar el tipo
de órbita. Después puede usarse la ecuación polar para la órbita, ecuación (14.22),
a fin de obtener el radio máximo.
Solución
e ϭ r0v20 Ϫ 1
gRE2
Calcule el valor de e. La órbita es elíptica. (6600 ϫ 103 m)(9240 m/s)2
ϭ (9.81 m/s2)(6370 ϫ 103 m)2 Ϫ 1
Determine el radio máximo a partir
de la ecuación polar para la órbita ϭ 0.416.
con u ϭ 180Њ. Se muestra la gráfica
de la órbita elíptica. 1ϩe
1 ϩ e cos 180Њ
rmáx ϭ r0
1ϩe
1Ϫe
ϭ r0
ϭ (6600 km) 1 ϩ 0.416
1 Ϫ 0.416
ϭ 16,000 km.
Problema de práctica Determine la velocidad del satélite cuando se encuentra en su
radio máximo.
www.FreeLibros.orgRespuesta:3810m/s.
Problemas 159
Problemas 14.117 El tiempo requerido para que un satélite en una órbita
circular terrestre complete una revolución se incrementa confor-
Use los valores RE = 6370 km = 3960 mi para el radio de me el radio de la órbita aumenta. Si el radio se escoge de manera
la Tierra. apropiada, el satélite completará una revolución en 24 horas. Si un
14.113 La Estación Espacial Internacional está en una órbita satélite se coloca en una órbita de este tipo directamente arriba del
circular a 225 millas sobre la superficie terrestre. ecuador y moviéndose de oeste a este, permanecerá en el mismo
a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la estación espacial? punto sobre la Tierra mientras el planeta gira debajo de él. Este
b) ¿Cuánto tiempo tarda en completar una revolución alrededor tipo de órbita concebida por Arthur C. Clarke, se denomina geo-
de la Tierra? sincrónica, y se usa para satélites de comunicación y de cadenas
de televisión. Determine el radio de una órbita geosincrónica en
Problema 14.113 kilómetros.
14.118* Una nave espacial puede ser enviada de la Tierra a la
Luna de la manera siguiente: Primero se lanza la nave en una órbi-
ta circular “estacionaria” de radio r0 alrededor de la Tierra (figura
P.14.118a). Después se incrementa su velocidad en la dirección
tangente a la órbita circular hasta un valor v0, de forma que siga
una órbita elíptica cuyo radio máximo sea igual al radio rM de la
órbita de la Luna alrededor de la Tierra (figura P.14.118b). El
radio rM ϭ 238,000 mi. Sea r0 ϭ 4160 mi. ¿Qué velocidad v0
es necesaria para enviar una nave espacial a la Luna? (Esta des-
cripción está simplificada porque no se toma en cuenta la grave-
dad de la Luna).
Órbita Órbita de Órbita
estacionaria la Luna elíptica
v0
14.114 La Luna está aproximadamente a 383,000 km de la r0 r0
Tierra. Si se supone que la órbita de la Luna alrededor de la Tierra rM
es circular con velocidad dada por la ecuación (14.24)
a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la Luna? (a) (b)
b) ¿Cuánto tarda la Luna en completar una revolución alrededor Problema 14.118
de la Tierra?
14.119* En t ϭ 0, un satélite terrestre está a una distancia r0
᭤ 14.115 Suponga que un satélite se pone en una órbita terres- del centro de la Tierra y tiene una velocidad inicial v0, en la di-
tre elíptica con un radio inicial r0 ϭ 6700 km y una velocidad rección mostrada. Demuestre que la ecuación polar de la órbita
inicial v0 tal que el radio máximo de la órbita es de 13,400 km.
a) Determine v0. b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del sa- resultante es
télite cuando se encuentra en su radio máximo? (Vea el ejemplo
activo 14.10). r 1e + 12 cos2 b
= ,
v0 r0 31e + 12 cos2 b - 14 cos u - 1e + 12 sen b cos b sen u + 1
donde e = 1r0v 2 > gR 2E2 - 1.
0
r0 b v0
Problema 14.115
14.116 A un satélite se le da una velocidad inicial v0 = 6700 m/s RE r0
a una distancia r0 = 2RE del centro de la Tierra, como se muestra
www.FreeLibros.orgen la figura 14.8a. Dibuje una gráfica de la órbita resultante.
Problema 14.119
160 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Problemas de repaso
14.120 El Acura NSX puede frenar desde 60 mi͞h hasta detenerse 14.123 En una misión futura, una nave espacial se aproxima a la
en una distancia de 112 pies. El automóvil pesa 3250 lb. a) Si se superficie de un asteroide que pasa cerca de la Tierra. Justo antes
supone que la desaceleración del vehículo es constante, ¿qué valo- de aterrizar, la nave desciende a velocidad constante respecto a la
res tienen su desaceleración y la magnitud de la fuerza horizontal superficie del asteroide y su empuje hacia abajo es de 0.01 N. La
que sus llantas ejercen sobre el camino? b) Si los neumáticos del computadora disminuye el empuje a 0.005 N, y el interferómetro
automóvil están en el límite de adhesión (es decir, el deslizamien- láser a bordo determina que la aceleración de la nave respecto a la
to es inminente), y la fuerza normal ejercida sobre el vehículo por superficie es ahora de 5 * 10-6 m/s2 hacia abajo. ¿Cuál es la ace-
el camino es igual a su peso, ¿qué valor tiene el coeficiente de leración gravitatoria del asteroide cerca de su superficie?
fricción ms? (En este análisis se ignoran los efectos de las fuerzas
aerodinámicas horizontal y vertical).
14.121 Usando el coeficiente de fricción obtenido en el proble-
ma 14.120, determine la máxima velocidad constante a la que el
NSX puede conducirse sobre una pista plana, circular, de 600 pies
de radio sin que se deslice.
14.122 Una locomotora de “cremallera” jala tres vagones de Problema 14.123
turistas hasta la cumbre de una montaña en Bavaria. La masa
de cada vagón, incluidos sus pasajeros, es de 10,000 kg y las fuerzas 14.124 Un automóvil con una masa de 1470 kg, incluyendo a su
de fricción ejercidas por las ruedas de los vagones son insignifi- chofer, es conducido a 130 km͞h sobre una ligera elevación en el
cantes. Determine las fuerzas en las uniones 1, 2 y 3 si a) la loco- camino. En la cúspide de la elevación, el conductor aplica los fre-
motora se mueve a velocidad constante; b) la locomotora acelera nos. El coeficiente de fricción estática entre los neumáticos y el
hacia arriba a 1.2 m͞s2. camino es ms = 0.9, y el radio de curvatura de la elevación es de
160 m. Determine la desaceleración del automóvil en el instante
que se aplican los frenos y compárela con la desaceleración sobre
un camino plano.
3 Problema 14.124
2 14.125 El automóvil de la figura viaja a velocidad constante
1 hacia arriba sobre el segmento recto de camino que se encuentra a
40Њ la izquierda. Si los neumáticos del vehículo continúan ejerciendo
Problema 14.122 la misma fuerza tangencial sobre el camino después de que el
vehículo ha pasado la cresta, y viaja ahora sobre el segmento
recto de camino situado a la derecha, ¿cuál será la aceleración del
automóvil?
www.FreeLibros.org5Њ 8Њ
Problema 14.125
Problemas de repaso 161
14.126 El portaviones Nimitz pesa 91,000 tons (una ton equivale 14.130 Los pesos de los bloques mostrados son WA ϭ 120 lb y
a 2000 lb). Suponga que está viajando a su velocidad máxima de WB ϭ 20 lb, y sus superficies son lisas. Determine la aceleración
aproximadamente 30 nudos (un nudo equivale a 6076 pies͞h) del bloque A y la tensión en la cuerda.
cuando se apagan sus motores. Si el agua ejerce una fuerza de
arrastre de 20,000v lb, donde v es la velocidad del portaviones en
pies por segundo, ¿qué distancia recorre éste antes de detenerse?
14.127 Si mA = 10 kg, mB = 40 kg, y el coeficiente de fricción A
cinética entre todas las superficies mostradas es mk = 0.11, ¿cuál B
es la aceleración de B hacia abajo sobre la superficie inclinada?
Problema 14.130
14.128 Si A pesa 20 lb, B pesa 100 lb y el coeficiente de fricción
cinética entre todas las superficies mostradas es mk = 0.15, ¿cuál
es la tensión en la cuerda cuando B resbala hacia abajo sobre la
superficie inclinada?
A 14.131 El transbordador espacial de 100 Mg está en órbita
B cuando sus motores se encienden, ejerciendo un empuje
20Њ T ϭ 10i Ϫ 20j ϩ 10k (kN) durante 2 s. Ignore el cambio resultante
en su masa. Al final de los dos segundos, el combustible está aún
Problemas 14.127/14.128 agitándose en los tanques del transbordador. ¿Cuál es el cambio
en la velocidad del centro de masa del transbordador (incluyendo
14.129 Para investigar propiedades de materiales se usa una pis- el combustible que contiene) debido al encendido de los moto-
tola de gas que acelera proyectiles a altas velocidades. El proyectil res durante 2 segundos?
se mantiene en su lugar mientras se bombea gas a una alta presión
p0 en la parte izquierda del tubo y simultáneamente se evacua su 14.132 En la figura se muestra un esquiador acuático que entra a
parte derecha. El proyectil se libera y es acelerado por el gas en ex- la rampa con una velocidad de 25 mi͞h paralela a la superficie
pansión. Suponga que la presión p del gas está relacionada con el de la rampa. Si se desprecia la fricción y se supone que la cuerda de
volumen V que ocupa por pV␥ ϭ constante, donde ␥ es una cons- arrastre no ejerce fuerza sobre él una vez que toca la rampa, calcu-
tante. Si se puede despreciar la fricción, demuestre que la velocidad le la longitud horizontal de su salto desde el extremo de la rampa.
del proyectil en la posición x es
8 pies
v = 2p0Ax0g a 1 - 1 20 pies
Cm1g - 12 xg0 - 1 xg - 1 b , Problema 14.132
donde m es la masa del proyectil y A es el área de la sección trans-
versal del tubo.
Proyectil
p0
x0 v
p
x
www.FreeLibros.orgProblema14.129
162 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.133 Suponga que se está diseñando una pista para un parque 14.136 Si se quieren diseñar los vagones de un tren de manera
de diversiones que conducirá los vagones por un lazo vertical de que se inclinen al entrar a una curva para lograr la máxima como-
40 pies de radio. Si se decide que, por seguridad, la fuerza hacia didad de los pasajeros, ¿cuál es la relación entre el ángulo u de
abajo ejercida sobre un pasajero por su asiento en la parte superior inclinación deseada, la velocidad v del tren y el radio de curvatu-
del lazo debe ser por lo menos de la mitad de su peso, ¿cuál es la ra instantáneo de la vía?
mínima velocidad segura que los carros deben tener en la parte su-
perior del lazo? u
40 pies
Problema 14.133
14.134 Cuando la barra lisa mostrada gira en un plano horizontal,
la cuerda se enrolla sobre el cilindro fijo y atrae al collarín A de
1 kg. La barra parte desde el reposo cuando t ϭ 0 en la posición
mostrada y gira con aceleración angular constante. ¿Cuál es la
tensión en la cuerda cuando t ϭ 1 s?
Problema 14.136
14.135 En el problema 14.134, suponga que el coeficiente de 14.137 Para determinar el coeficiente de fricción estática entre
fricción cinética entre el collarín y la barra es mk ϭ 0.2. ¿Cuál es dos materiales, una ingeniera del Instituto Nacional de Normas y
la tensión en la cuerda cuando t ϭ 1 s? Tecnología de Estados Unidos coloca una pequeña muestra de uno
de los materiales sobre un disco horizontal con su superficie en
6 rad/s2 contacto con la del otro; luego se gira el disco partiendo del repo-
so con una aceleración angular constante de 0.4 rad͞s2. Si ella
determina que la pequeña muestra se desliza sobre el disco luego de
9.903 s, ¿cuál es el coeficiente de fricción?
400 mm A
200 mm
100 mm
Problemas 14.134/14.135 Problema 14.137
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Problemas de repaso 163
14.138* El deslizador A de 1 kg es empujado por la barra ranu- Proyecto de diseño
rada a lo largo de la barra curva. La barra curva está en el plano
horizontal y su perfil se describe mediante r = 21u>2p + 12 m, El diseño propuesto para una defensa de absorción de energía
donde u está en radianes. La posición angular de la barra ranurada en un automóvil ejerce una fuerza de desaceleración de magni-
es u ϭ 2t rad. Determine las componentes polares de la fuerza tud bs ϩ cv sobre el automóvil cuando éste choca con un obs-
externa total ejercida sobre el deslizador cuando u ϭ 120°. táculo rígido, donde s es la distancia que viaja el vehículo
desde el punto en que hace contacto con el obstáculo y v es su
14.139* En el problema 14.138, suponga que la barra curva se velocidad. Así, la fuerza ejercida sobre el auto por la defensa
encuentra en el plano vertical. Determine las componentes polares es una función de la posición y de la velocidad del vehículo.
de la fuerza total ejercida sobre A por las barras curva y ranurada
cuando t ϭ 0.5 s. a) Suponga que en t ϭ 0 el automóvil hace contacto con el
obstáculo con velocidad inicial v0. Demuestre que la posición
A del auto está dada en función del tiempo por
u s = v0 C e-1d - h2t - e-1d + h2t D ,
2h
Problemas 14.138/14.139
donde d = c>2m, h = 2d 2 - b>m, y m es la masa del
vehículo. Para hacer esto, primero muestre que la ecuación
satisface la segunda ley de Newton. Después confirme que sa-
tisface las condiciones iniciales s = 0 y v = v0 en t = 0.
b) Investigue los efectos de la masa y la velocidad inicial del
automóvil y de las constantes b y c sobre el movimiento
del auto cuando éste choca con el obstáculo (suponga que
d2 > b/m). Preste atención especial en cómo afectan sus elec-
ciones de b y c la desaceleración máxima a la que estarán
sometidos los ocupantes del automóvil. Escriba un informe
breve donde presente los resultados de su análisis y dé sus
conclusiones respecto al diseño de defensas para la absorción
de energía.
v0
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CAPÍTULO
15
Métodos energéticos
Los conceptos de energía y conservación de la energía se ori- yv
ginaron mayormente en el estudio de la mecánica clásica. Una Nivel de referencia
transformación sencilla de la segunda ley de Newton resulta
en una ecuación que da lugar a las definiciones de trabajo,
energía cinética (energía debida al movimiento de un objeto)
y energía potencial (energía debida a la posición de un obje-
to). Esta relación puede simplificar en forma considerable la
solución de problemas en los que intervienen fuerzas que
dependen de la posición de un cuerpo, como las fuerzas
gravitatorias o las fuerzas ejercidas por resortes.
᭣ Un columpio proporciona diversión al transformar la energía potencial de
la altura en la energía cinética del movimiento. En este capítulo se emplean
los métodos energéticos para analizar el movimiento de los objetos.
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166 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.1 Trabajo y energía cinética
ANTECEDENTES
Principio del trabajo y la energía
Se ha usado la segunda ley de Newton para relacionar la aceleración del centro de
masa de un cuerpo con su masa y las fuerzas externas que actúan sobre él. Ahora
se mostrará la manera en que la segunda ley de Newton, que es una ecuación vec-
torial, puede transformarse en una forma escalar muy útil en ciertas circunstancias.
Se comienza con la segunda ley de Newton en la forma
©F = m ddvt , (15.1)
y se toma el producto punto de ambos lados con la velocidad:
©F # v = m dv # v. (15.2)
dt
Se expresa el lado izquierdo de esta ecuación como
©F # v = ©F # dr
dt
y se escribe el lado derecho como
m dv #v = #1 m d 1v v2,
dt dt
2
de donde se obtiene
#©F dr = 1 m d1v22, (15.3)
2
donde v2 = v ؒ v es el cuadrado de la magnitud de la velocidad. El término en el lado
izquierdo de la ecuación (15.3) es el trabajo expresado en términos de la fuerza
externa total sobre el objeto y del desplazamiento infinitesimal dr de su centro de
masa. Integrando la ecuación (15.3) se obtiene
#r2 = 1 mv22 - 1 12,
©F dr 2 2 mv (15.4)
Lr1
donde v1 y v2 son las magnitudes de la velocidad del centro de masa del objeto cuan-
–1 mv2
do éste se encuentra en las posiciones r1 y r2, respectivamente. El término se
2
denomina la energía cinética asociada con el movimiento del centro de masa. Si el
trabajo realizado cuando el centro de masa se mueve de r1 a r2 se denota con
#r2 (15.5)
U12 = Lr1 ©F dr,
Se obtiene el principio del trabajo y la energía:
El trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dos
posiciones es igual al cambio en su energía cinética.
www.FreeLibros.orgU12 = 1 mv22 - 1 mv 21. (15.6)
2 2
15.1 Trabajo y energía cinética 167
Las dimensiones del trabajo y consecuentemente las de la energía cinética, son
(fuerza) * (longitud). En unidades SI, el trabajo se expresa en N-m o joules (J). En
unidades de uso común en Estados Unidos, el trabajo se expresa en pies-lb.
Si el trabajo realizado sobre un objeto cuando éste se mueve entre dos posi-
ciones puede ser evaluado, el principio del trabajo y la energía permite determinar
el cambio en la magnitud de la velocidad del objeto. También se puede aplicar este
principio a un sistema de objetos, igualando el trabajo total realizado por fuerzas
externas con el cambio en la energía cinética total del sistema. Pero el principio
debe aplicarse con cuidado porque, como se demuestra en el ejemplo 15.3, las fuer-
zas internas pueden realizar trabajo neto sobre un sistema.
Aunque el principio del trabajo y la energía relaciona el cambio en la posición
de un objeto con el cambio en su velocidad, no es conveniente para obtener otra
información acerca del movimiento del objeto, como el tiempo requerido para
moverse de una posición a otra. Además, como el trabajo es una integral respecto
a la posición, por lo general sólo puede evaluarse cuando las fuerzas que lo reali-
zan se conocen como funciones de la posición. A pesar de estas limitaciones, el
principio es muy útil para ciertos problemas porque el trabajo puede determinarse
con facilidad.
Evaluación del trabajo
Considere un objeto en movimiento curvilíneo respecto a un marco de referencia
inercial (figura 15.1a) y especifique su posición por la coordenada s medida a lo
largo de su trayectoria desde un punto de referencia O. En términos del vector
unitario tangencial et, la velocidad del objeto es
ds
v = dt et.
Como v = dr>dt, se puede multiplicar la velocidad por dt a fin de obtener una
expresión para el vector dr que describe un desplazamiento infinitesimal a lo largo
de la trayectoria (figura 15.1b):
dr = v dt = ds et.
El trabajo realizado por las fuerzas externas que actúan sobre el objeto como resul-
tado del desplazamiento dr es
©F # dr = 1©F # et2 ds = ©Ftds,
et dr s2
͚Ft
Os ds
(a) Os s1
(c)
(b)
Figura 15.1
(a) Coordenada s y vector unitario tangente.
(b) Desplazamiento infinitesimal dr.
(c) El trabajo realizado de s1 a s2 está determinado por la componente
www.FreeLibros.orgtangencial de las fuerzas externas.
168 Capítulo 15 Métodos energéticos
͚Ft ͚Ft
s2 s
s1 s1 s2 s
(a) (b)
͚Ft s2 s
s1
(c)
Figura 15.2
(a) El trabajo es igual al área definida por la gráfica de la fuerza
tangencial en función de la distancia a lo largo de la trayectoria.
(b) Si la fuerza tangencial es opuesta a la dirección del movimiento, se
realiza un trabajo negativo.
(c) El trabajo realizado por una fuerza tangencial constante es igual al
producto de la fuerza por la distancia.
donde ©Ft es la componente tangencial de la fuerza total. Por lo tanto, al moverse
el objeto de una posición s1 a una posición s2 (figura 15.1c), el trabajo es
s2 (15.7)
U12 = Ls1 ©Ft ds.
El trabajo es igual a la integral de la componente tangencial de la fuerza total
respecto a la distancia a lo largo de la trayectoria. Así, el trabajo efectuado es
igual al área definida por la gráfica de la fuerza tangencial de s1 a s2 (figura
15.2a). Las componentes de fuerza perpendiculares a la trayectoria no traba-
jan. Observe que si ©Ft es opuesta a la dirección del movimiento sobre alguna
parte de la trayectoria, lo que significa que el objeto se está desacelerando, el
trabajo es negativo (figura 15.2b). Si ©Ft es constante entre s1 y s2, el trabajo
es simplemente el producto de la fuerza total tangencial por el desplazamiento
(figura 15.2c):
U12 = ©Ft1s2 - s12. Fuerza tangencial constante (15.8)
Potencia
La potencia es la razón con que se efectúa trabajo. El trabajo realizado por las
fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo durante un desplazamiento infini-
tesimal dr es
©F ؒ dr.
Se obtiene la potencia P dividiendo esta expresión entre el intervalo de tiempo dt
durante el cual tiene lugar el desplazamiento:
www.FreeLibros.orgP=©Fؒv. (15.9)
15.1 Trabajo y energía cinética 169
Ésta es la potencia transmitida hacia o desde el objeto, dependiendo de si P es
positiva o negativa. En unidades SI, la potencia se expresa en newton-metro por
segundo, que es un joule por segundo 1J/s2 o watt (W). En unidades de uso común
en Estados Unidos, la potencia se expresa en libras-pie por segundo o el anacronis-
mo caballos de fuerza (hp), que es igual a 746 W o aproximadamente 550 pies-lb/s.
Observe en la ecuación (15.3) que la potencia es igual a la razón de cambio
de la energía cinética del objeto:
P = d A 1 mv2 B.
dt 2
La transmisión de potencia hacia o desde un objeto hace que su energía cinética
aumente y disminuya, respectivamente. Si se emplea esta relación, es posible
escribir el promedio de la potencia respecto al tiempo durante un intervalo de tiem-
po de t1 a t2 como
1 t2 1 v 2
- - 2
P dt 1
PpProamv = t2 t1 Lt1 = t2 t1 Lv 12 2 m d1v 22.
Efectuando la integración, se encuentra que la potencia promedio transmitida
hacia o desde un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su
energía cinética, o al trabajo realizado, dividido entre el intervalo de tiempo:
PpProamv = 1 mv 2 - 1 mv12 = U12 .
2 2 - 2 t2 - t1
(15.10)
t2 t1
RESULTADOS
Principio del trabajo y la energía
La energía cinética asociada con el movimiento m
del centro de masa de un objeto con masa m se v
define como 1 mv2, donde v2 es el cuadrado de
2
la magnitud de la velocidad del centro de masa.
El trabajo realizado por la fuerza externa total que ac- ⌺F
túa sobre un objeto cuando su centro de masa se mueve r1
de una posición r1 a una posición r2 está definido por
r2 r2
U12 ϭ Lr1 ⌺F ؒ dr. (15.5)
www.FreeLibros.org
170 Capítulo 15 Métodos energéticos U12 ϭ 1 mv 2 Ϫ 1 mv 2 . (15.6)
2 2 2 1
El principio del trabajo y la energía establece
que el trabajo realizado sobre un objeto cuan-
do éste se mueve entre dos posiciones es
igual al cambio en su energía cinética.
Evaluación del trabajo
s2
͚Ft
s1
Trabajo realizado cuando un objeto se s2 (15.7)
mueve de un punto s1 a un punto s2, U12 ϭ Ls1 ⌺Ft ds,
donde ⌺Ft es la componente tangencial
de la fuerza externa total sobre el objeto.
Las componentes de fuerza normales a
la trayectoria no trabajan.
Si ⌺Ft es constante entre s1 y s2, el trabajo U12 ϭ ⌺Ft (s2 Ϫ s1). (15.8)
es el producto de la fuerza tangencial por
la distancia a lo largo de la trayectoria.
Potencia P ϭ ⌺F ؒ v, (15.9)
Potencia, o razón a la cual se realiza el
trabajo sobre un objeto por la fuerza ex-
terna total que actúa sobre éste, donde v
es la velocidad del centro de masa.
La potencia promedio transmitida a un
objeto durante un intervalo de tiempo de 1 mv22 Ϫ 1 mv21 U12
2 2 t2 Ϫ t1
t1 a t2 es igual al cambio en su energía ci-Pprom ϭ ϭ . (15.10)
nética, o al trabajo realizado sobre el obje- t2 Ϫ t1
www.FreeLibros.orgto dividido entre el intervalo de tiempo.
15.1 Trabajo y energía cinética 171
Ejemplo activo 15.1 Trabajo y energía en el movimiento rectilíneo (᭤ Relacionado con el problema 15.1)
El recipiente A de 180 kg que se muestra en la figura parte desde el reposo en la po- A
sición s = 0. La fuerza horizontal (en newtons), que es ejercida sobre el recipiente s
por el pistón hidráulico, está dada como una función de la posición s en metros por
F = 700 - 150s. El coeficiente de fricción cinética entre el recipiente y el piso es
mk = 0.26. ¿Cuál es la velocidad del recipiente cuando éste ha alcanzado la posición
s = 1 m?
Estrategia
La fuerza que actúa sobre el recipiente está dada como una función de su posición,
por lo que se puede usar la ecuación (15.7) para determinar el trabajo realizado
sobre éste. Aplicando el principio del trabajo y la energía, es posible determinar el
cambio en su velocidad.
Solución
Dibuje el diagrama de cuerpo libre del recipien- A
te e identifique las fuerzas que realizan trabajo.
La fuerza ejercida por el cilindro hidráulico y la F
fuerza de fricción son tangentes a la trayectoria. (180 kg)(9.81 m/s2)
Para calcular la fuerza de fricción, se necesita la s
fuerza normal N. El recipiente no tiene acelera-
ción en la dirección vertical, por lo que mkN N
N ϭ (180 kg)(9.81 m/s2) ϭ 1770 N.
Evalúe el trabajo realizado mientras el recipiente se s2
mueve desde su posición inicial hasta s ϭ 1 m.
U12 ϭ Ls1 ⌺Ft ds
A
v 1
s ϭ L0 (F Ϫ mkN)ds
1
ϭ [(700 Ϫ 150s) Ϫ (0.26)(1770)]ds
L0
ϭ 166 N-m.
Aplique el principio del trabajo y la energía U12 ϭ 1 mv22 Ϫ 1 mv21 :
para determinar la velocidad del recipiente 2 2
cuando éste llega a s ϭ 1 m. Resolviendo
se obtiene v2 ϭ 1.36 m/s. 166 N-m ϭ 1 (180 kg)v22 Ϫ 0.
2
Problema de práctica Suponga que la masa del recipiente A es de 120 kg. ¿Cuál es
su velocidad cuando llega a la posición s = 1 m?
www.FreeLibros.orgRespuesta:2.31m/s.
172 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.2 Aplicación del trabajo y la energía a un sistema (᭤ Relacionado con el problema 15.23)
Las dos cajas mostradas se liberan desde el reposo. Sus masas son mA = 40 kg y
mB = 30 kg, y el coeficiente de fricción cinética entre la caja A y la superficie in-
clinada es mk = 0.15. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las cajas cuando
se han desplazado 400 mm?
A
20Њ Estrategia
B La velocidad se determinará de dos maneras.
Primer método Dibujando los diagramas de cuerpo libre de las cajas aisladas y
aplicando el principio del trabajo y la energía de manera individual, se pueden
obtener dos ecuaciones en términos de la magnitud de la velocidad y la tensión en
el cable.
Segundo método Se puede dibujar un solo diagrama de cuerpo libre de las dos
cajas, el cable y la polea, y aplicar el principio del trabajo y la energía al sistema
completo.
0.4 m Solución
20Њ Primer método En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja A.
Las fuerzas que realizan trabajo cuando la caja se mueve hacia abajo sobre el plano
T son las fuerzas tangenciales a su trayectoria: la tensión T; la componente tangencial
del peso, mAg sen 20°; y la fuerza de fricción mkN. Como la aceleración de la caja
mAg normal a la superficie es cero, N = mAg cos 20°. La magnitud v de la velocidad a
la cual se mueve A en forma paralela a la superficie es igual a la magnitud de la
mkN A velocidad a la cual cae B (figura b). Usando la ecuación (15.7) para determinar el
trabajo, se iguala el trabajo realizado sobre A, cuando ésta se mueve de s1 = 0 a
N s2 = 0.4 m, con el cambio en su energía cinética.
(a) Diagrama de cuerpo libre de A.
s2 1 1
2 2
Ls1 ©Ft ds = mv22 - mv21:
0.4
L0 3T + mAg sen 20° - mk1mAg cos 20°24 ds = 1 mAv22 - 0. (1)
2
v Las fuerzas que realizan trabajo sobre la caja B son su peso mBg y la tensión T (figu-
ra c). La magnitud de la velocidad de B es igual que la de la caja A. El trabajo hecho
A
20Њ sobre B es igual al cambio en su energía cinética.
B s2 1 mv22 1 mv21:
2 2
v Ls1 ©Ft ds = -
(b) La magnitud de la velocidad de cada caja 0.4
es la misma.
L0 1mBg - T2 ds = 1 mBv22 - 0. (2)
2
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15.1 Trabajo y energía cinética 173
Sumando las ecuaciones (1) y (2) se elimina T y se obtiene T
0.4 m
0.4
B mBg
L0 1mAg sen 20° - mkmAg cos 20° + mBg2 ds = 211mA + mB2v22: (c) Diagrama de cuerpo libre de B.
340 sen 20° - 10.1521402 cos 20° + 30419.81210.42 = 21140 + 302v22.
Despejando la velocidad, se obtiene v2 = 2.07 m/s.
Segundo método Se dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema que con-
siste en las cajas, el cable y la polea de la figura d. Observe que la tensión del
cable no aparece en este diagrama. Las reacciones en el soporte de pasador de la
polea no realizan trabajo porque el soporte no se mueve. El trabajo total realizado
por las fuerzas externas sobre el sistema cuando las cajas se mueven 400 mm es
igual al cambio en la energía cinética total del sistema.
0.4 0.4
L0 3mAg sen 20° - mk1mAg cos 20°24 ds + L0 mBg ds
= 1 mAv22 + 1 mBv22 - 0:
2 2
340 sen 20° - 10.1521402 cos 20° + 30419.81210.42 = 21140 + 302v22.
Esta ecuación es idéntica a la obtenida aplicando el principio del trabajo y la energía
de manera individual a las cajas.
0.4 m
20Њ
mAg
mkN N A
0.4 m
B mBg
(d) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Razonamiento crítico
A menudo se encontrará que es más sencillo aplicar el principio del trabajo y la
energía a un sistema completo que a sus partes por separado. Sin embargo, como
se verá en el siguiente ejemplo, las fuerzas internas en un sistema pueden realizar
un trabajo neto.
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174 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.3 Trabajo neto realizado por fuerzas internas (᭤ Relacionado con el problema 15.30)
Las cajas A y B de la figura se sueltan desde el reposo. El coeficiente de fricción ci-
nética entre A y B es mk, y la fricción entre B y la superficie inclinada puede igno-
rarse. ¿Cuál es su velocidad cuando las cajas se han movido una distancia b?
A
B
u
Estrategia
Aplicando el principio del trabajo y la energía a cada caja se pueden obtener dos
ecuaciones en términos de la tensión en el cable y la velocidad.
Solución
Se dibujan los diagramas de cuerpo libre de las cajas en las figuras a y b. La acele-
ración de A normal a la superficie inclinada es cero, por lo que N = mAg cos u. Las
magnitudes de las velocidades de A y B son iguales (figura c). El trabajo efectuado
sobre A es igual al cambio en su energía cinética.
U12 = 1 mAv22 - 1 mAv12:
2 2
b
L0 1T - mAg sen u - mkmAg cos u2 ds = 1 mAv22. (1)
2
b
T
mAg
N mkN
(a) Diagrama de cuerpo libre
de A.
v
mkN N A
T B
mBg v
b u
M
(c) La magnitud de la velocidad de cada una de
(b) Diagrama de cuerpo libre las cajas es la misma.
de B.
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15.1 Trabajo y energía cinética 175
El trabajo realizado sobre B es igual al cambio en su energía cinética.
U12 = 1 mBv22 - 1 mBv12:
2 2
b
L0 1-T + mBg sen u - mkmAg cos u2 ds = 1 mBv22. (2)
2
Sumando estas ecuaciones para eliminar T y despejando v2 se obtiene
v2 = 22gb31mB - mA2 sen u - 2mkmA cos u4>1mA + mB2.
Razonamiento crítico
Si se intenta resolver este ejemplo aplicando el principio del trabajo y la energía al
sistema consistente en las cajas, el cable y la polea (figura d), se obtiene un resul-
tado incorrecto. Igualando el trabajo hecho por las fuerzas externas con el cambio
en la energía cinética total del sistema, resulta
bb
L0 mBg sen u ds - L0 mAg sen u ds = 1 mAv22 + 1 mBv22:
2 2
1mBg sen u2b - 1mAg sen u2b = 1 mAv22 + 1 mBv 22.
2 2
b
mAg
mBg
b
M
(d) Diagrama de cuerpo libre del sistema.
Pero si se suman las ecuaciones de trabajo y energía para las cajas individuales
—ecuaciones (1) y (2)— se obtiene la ecuación correcta:
31mBg sen u2b - 1mAg sen u2b4 + 3 - 12mkmAg cos u2b4 = 1 mAv22 + 1 mBv22.
2 2
('''''')''''''* ('''')''''*
Trabajo realizado por Trabajo realizado por
las fuerzas externas las fuerzas internas
Las fuerzas de fricción interna que las cajas ejercen entre sí realizan trabajo neto
sobre el sistema. Este trabajo no se toma en cuenta al aplicar el principio del tra-
bajo y la energía al diagrama de cuerpo libre del sistema completo.
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176 Capítulo 15 Métodos energéticos
Problemas
᭤ 15.1 En el ejemplo activo 15.1, ¿cuál es la velocidad del 15.5 La pelota de fútbol de 0.45 kg que se muestra en la figura
recipiente cuando éste ha llegado a la posición s = 2 m? está a 1 m sobre el suelo cuando es pateada directamente hacia
arriba a 10 m/s. Usando el principio del trabajo y la energía, de-
15.2 La masa del helicóptero Sikorsky UH-60A es de 9300 kg. termine: a) la altura a la que llega la pelota, b) la magnitud de la
Despega verticalmente con su rotor ejerciendo un empuje constan- velocidad de la pelota cuando cae de nuevo a una altura de 1 m
te hacia arriba de 112 kN. Use el principio del trabajo y la energía sobre el suelo, c) la magnitud de la velocidad de la pelota inme-
para determinar la altura a la que se eleva el helicóptero cuando su diatamente antes de golpear el suelo.
velocidad es de 6 m/s.
15.6 Suponga que la pelota de fútbol mostrada está en reposo hasta
Estrategia: Asegúrese de dibujar el diagrama de cuerpo libre que es pateada hacia arriba a 12 m/s. La duración de la patada
del helicóptero. es 0.02 s. ¿Cuál es la potencia promedio transferida a la pelota
durante la patada?
12 m/s
1m
Problema 15.2
15.3 La caja de 20 lb se encuentra en reposo sobre la superfi- Problemas 15.5/15.6
cie horizontal cuando se aplica la fuerza constante F = 5 lb. El
coeficiente de fricción cinética entre la caja y la superficie es mk 15.7 El vehículo de carreras de 2000 lb que se muestra en la
= 0.2. Determine la velocidad a la que se está moviendo la caja figura parte desde el reposo y recorre una pista de un cuarto de
cuando se ha desplazado 2 pies desde su posición inicial a) apli- milla. Completa el recorrido en 4.524 segundos y cruza la línea
cando la segunda ley de Newton; b) aplicando el principio del de meta a 325.77 mi/h. a) ¿Cuánto trabajo se realiza sobre el
trabajo y la energía. vehículo mientras éste recorre la pista? b) Suponga que la fuerza
horizontal ejercida sobre el vehículo es constante y utilice el
F principio del trabajo y la energía para determinarlo.
Problema 15.3 15.8 El vehículo de carreras de 2000 lb que se muestra en la
figura parte desde el reposo y recorre una pista de un cuarto de
15.4 En el instante mostrado, la caja de 30 lb se mueve hacia milla. Completa el recorrido en 4.524 segundos y cruza la línea
arriba sobre la superficie inclinada lisa a 2 pies/s. La fuerza de meta a 325.77 mi/h. Suponga que la fuerza horizontal ejercida
constante F = 15 lb. ¿A qué velocidad se estará moviendo la sobre el vehículo es constante. Determine a) la potencia máxima
caja cuando ésta se haya desplazado 1 pie hacia arriba sobre y b) la potencia promedio transmitida al vehículo mientras éste
la superficie a partir de su posición actual? recorre la pista de un cuarto de milla.
F
20Њ
Problema 15.4
www.FreeLibros.orgProblemas15.7/15.8
Problemas 177
15.9 Cuando el avión de 32,000 lb despega, la componente tangen- 15.14 La fuerza ejercida sobre un automóvil por una barrera pro-
cial de la fuerza ejercida sobre él por sus motores es ©Ft = 45,000 totipo al golpear el automóvil contra ésta es F = -1120s + 40s32 lb,
lb. Si se desprecian las otras fuerzas ejercidas sobre el avión, use el donde s es la distancia en pies medida desde el punto de contacto
principio del trabajo y la energía para determinar cuánta distancia se inicial. La longitud efectiva de la barrera es de 18 pies. ¿Hasta qué
requiere para que su velocidad llegue a 200 mi/h. velocidad puede estarse moviendo un automóvil de 5000 lb para
que sea detenido dentro de la longitud efectiva de la barrera?
15.10 Cuando el avión de 32,000 lb despega, la componente
tangencial de la fuerza ejercida sobre él por sus motores es 15.15 Un automóvil de 5000 lb golpea la barrera prototipo mos-
©Ft = 45,000 lb. Si se desprecian las otras fuerzas ejercidas sobre trada a 80 mi/h y se detiene en 0.11 segundos. ¿Cuál es la potencia
el avión, determine a) la potencia máxima y b) la potencia prome- promedio transmitida por el automóvil durante el impacto?
dio transmitida al avión mientras su velocidad aumenta de cero
a 200 mi/h. s
15.11 El avión de 32,000 lb parte desde el reposo en la posición Problemas 15.14/15.15
s = 0. La fuerza tangencial total ejercida sobre él por sus motores
y la resistencia aerodinámica (en libras) está dada como una
función de su posición s por ©Ft = 45,000 - 5.2s. Use el principio
del trabajo y la energía para determinar la velocidad a la que se
desplaza el avión cuando su posición es s = 950 pies.
15.16 Un grupo de estudiantes de ingeniería construye un automó-
vil de energía solar y lo prueba en una pista circular con un radio
de 1000 pies. El automóvil, con un peso de 460 lb incluyendo a su
ocupante, parte desde el reposo. La componente tangencial total de
la fuerza sobre el auto es
©Ft = 30 - 0.2s lb,
Problemas 15.9–15.11 donde s es la distancia (en pies) que recorre el automóvil a lo
largo de la pista desde la posición de inicio.
15.12 El resorte mostrado 1k = 20 N/m2 se encuentra sin estirar
cuando s = 0. El carrito de 5 kg se mueve a la posición s = -1 m y a) Determine el trabajo realizado sobre el automóvil cuando éste
se suelta desde el reposo. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad ha recorrido una distancia s = 120 pies.
cuando regrese a la posición s = 0?
b) Determine la magnitud de la fuerza horizontal total ejercida por
el camino sobre las llantas del automóvil cuando éste se encuentra
en la posición s = 120 pies.
15.13 El resorte mostrado 1k = 20 N/m2 se encuentra sin estirar
cuando s = 0. El carrito de 5 kg se mueve a la posición s = -1 m y
se suelta desde el reposo. ¿Cuál es la distancia máxima hacia abajo
sobre la superficie inclinada que se mueve el carrito con respecto
a su posición inicial?
ks
20Њ
www.FreeLibros.orgProblemas 15.12/15.13
178 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.17 En el instante mostrado, el centro de masa del saltador 15.19 Los coeficientes de fricción entre la caja de 160 kg y la
de 160 lb se encuentra a 8.5 pies sobre el suelo y la componente rampa son ms = 0.3 y mk = 0.28.
vertical de su velocidad es de 4 pies/s. Mientras la garrocha se a) ¿Qué tensión T0 debe ejercer el malacate para que la caja
endereza, ésta ejerce sobre el saltador una fuerza vertical de empiece a moverse hacia arriba sobre la rampa?
magnitud 180 + 2.8y2 lb, donde y es la posición vertical de su
centro de masa respecto a su posición en el instante mostrado. b) Si la tensión permanece en el valor T0 después de que la caja
Esta fuerza se ejerce sobre el saltador desde y = 0 hasta y = 4 pies, empieza a deslizarse, ¿cuál es el trabajo total realizado sobre la
cuando él suelta la garrocha. ¿Cuál es la altura máxima sobre el caja mientras ésta se desliza una distancia s = 3 m hacia arriba de
suelo que alcanza el centro de masa del saltador? la rampa? y ¿cuál es la velocidad resultante de la caja?
15.20 En el problema 15.19, si el malacate ejerce una tensión
T = T011 + 0.1s2 después de que la caja empieza a deslizarse,
¿cuál es el trabajo total realizado sobre la caja mientras ésta se
desliza una distancia s = 3 m hacia arriba de la rampa? y ¿cuál
es la velocidad resultante de la caja?
18Њ s
Problemas 15.19/15.20
Problema 15.17 15.21 La pistola de gas de 200 mm de diámetro que se muestra
en la figura es evacuada a la derecha del proyectil de 8 kg. A
15.18 Los resortes mostrados 1k = 25 lb/pie2 están sin estirar la izquierda del proyectil, el tubo contiene gas a una presión
cuando s = 0. El peso de 50 lb se suelta desde el reposo en la p0 = 1 * 105 Pa (N/m2). La fuerza F aumenta lentamente, mo-
posición s = 0. viendo el proyectil 0.5 m hacia la izquierda desde la posición
a) Cuando el peso ha caído 1 pie, ¿cuánto trabajo ha sido realizado mostrada. Después se elimina la fuerza y el proyectil se acelera
sobre él por cada uno de los resortes? hacia la derecha. Si se desprecia la fricción y se supone que la
b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del peso cuando éste ha presión del gas se relaciona con su volumen por pV = constante,
caído 1 pie? ¿cuál es la velocidad del proyectil cuando éste regresa a su
posición original?
k 15.22 En el problema 15.21, si se supone que la presión del
s gas está relacionada con su volumen por pV = constante mientras
el gas es comprimido (proceso isotérmico) y por la expresión
k pV1.4 = constante mientras se está expandiendo (proceso isoen-
trópico), ¿cuál es la velocidad del proyectil cuando éste regresa
Problema 15.18 a su posición original?
Gas Proyectil
F
1m
Problemas 15.21/15.22
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Problemas 179
᭤ 15.23 En el ejemplo 15.2, suponga que el ángulo entre la 15.28 Las masas de los tres bloques mostrados son mA = 40 kg,
superficie inclinada y la horizontal se aumenta de 20° a 30°. mB =16 kg y mC = 12 kg. Ignore la masa de la barra que mantiene
¿Cuál es la magnitud de la velocidad de las cajas cuando éstas a C en su sitio. La fricción es insignificante. Aplicando el principio
se han movido 400 mm? del trabajo y la energía a A y B de manera individual, determine la
magnitud de sus velocidades cuando se hayan movido 500 mm.
15.24 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. La masa
de 4 kg se desliza sobre la superficie horizontal lisa. Usando el 15.29 Resuelva el problema 15.28 aplicando el principio del
principio del trabajo y la energía, determine la magnitud de la trabajo y la energía al sistema formado por A, B, el cable que
velocidad de las masas cuando la de 20 kg ha caído 1 m. los conecta y la polea.
15.25 Resuelva el problema 15.24 si el coeficiente de fricción ᭤15.30 Las masas de los tres bloques mostrados son mA = 40
cinética entre la masa de 4 kg y la superficie horizontal es mk = 0.4. kg, mB =16 kg y mC = 12 kg. El coeficiente de fricción cinética
entre todas las superficies es mk = 0.1. Determine la magnitud de
4 kg la velocidad de los bloques A y B cuando se han movido 500 mm.
(Vea el ejemplo 15.3).
20 kg C
B
Problemas 15.24/15.25 A
15.26 Cada una de las cajas mostradas pesa 50 lb y las superficies 45Њ
inclinadas son lisas. El sistema se suelta desde el reposo. Determine
la magnitud de las velocidades de las cajas cuando éstas se han Problemas 15.28 –15.30
movido 1 pie.
15.27 Resuelva el problema 15.26 si el coeficiente de fricción
cinética entre las cajas y las superficies inclinadas es mk = 0.05.
30Њ
45Њ
Problemas 15.26/15.27
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