Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

480 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

␻rel

y
⍀

x
Marco de referencia
z secundario
Marco de referencia
O primario

Sea ␻rel la velocidad angular del cuerpo rígido ␻ ϭ ⍀ ϩ ␻rel . (20.5)
relativa al marco de referencia secundario. En
ocasiones es conveniente expresar la velocidad
angular del cuerpo rígido respecto al marco de re-
ferencia primario como la suma de la velocidad
angular del marco de referencia secundario y la
velocidad angular del cuerpo rígido relativa al
marco de referencia secundario.

Ejemplo activo 20.1 Uso de un marco de referencia secundario (᭤ Relacionado con el problema 20.2)

El neumático del automóvil que se muestra en la figura está rodando sobre una super-
ficie nivelada. Mientras el auto vira, el punto medio B de la llanta se mueve a 5 m͞s en
una trayectoria circular respecto al punto fijo P (vea la vista superior) y el neumático
permanece perpendicular a la línea que une a B con P. ¿Cuál es el vector ␻ de velo-
cidad angular del neumático respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra?

P

10 m
(No está a escala)

B 0.36 m

B A

0.36 m
Vista superior

Estrategia
Considere un marco de referencia secundario con su origen en B y su eje y a lo largo
de la línea que une a B con P. Mientras la llanta rueda, se supone que el eje y sigue

www.FreeLibros.orgapuntando hacia P y que el eje x permanece horizontal. El movimiento de este sis-

20.1 Cinemática 481

tema coordenado es simple: Gira respecto a su eje z mientras el automóvil vira. El
movimiento de la llanta respecto este sistema coordenado también es sencillo: Gira
respecto al eje y. Al determinar la velocidad angular del sistema coordenado secun-
dario respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra y la velocidad angular
del neumático respecto al marco de referencia secundario, se puede usar la ecua-
ción (20.5) para determinar la velocidad angular de la llanta respecto al marco de
referencia fijo a la Tierra.

P

10 m
(No está a escala)

y

Sistema coordenado secundario en rota- BA x
ción. El origen B permanece en el centro 0.36 m
de la llanta, el eje y sigue apuntando hacia 5 m/s
P y el eje x permanece horizontal.
⍀ ϭ Ϫ0.5k (rad/s).
Velocidad angular del sistema coordenado
secundario
La magnitud de la velocidad angular de la
línea PB alrededor de P es

(5 m/s)/(10 m) ϭ 0.5 rad/s.
El sistema coordenado secundario gira alrede-
dor de su eje z en el sentido de las manecillas
del reloj, por lo que su vector de velocidad
angular apunta en la dirección negativa de z.

Velocidad angular de la llanta respecto al ␻rel ϭ Ϫ13.9j (rad/s).
sistema coordenado secundario
El centro de la llanta se mueve a 5 m/s y su radio
es de 0.36 m, por lo que la magnitud de la velo-
cidad angular de la llanta respecto al eje y es
(5 m/s)/(0.36 m) ϭ 13.9 rad/s. La regla de la
mano derecha indica que el vector de velocidad
angular apunta a la dirección negativa de y.

Velocidad angular de la llanta respecto a ␻ ϭ ⍀ ϩ ␻rel
un marco de referencia fijo a la Tierra ϭ Ϫ0.5k Ϫ 13.9j (rad/s).
Aplique la ecuación (20.5).

Problema de práctica Determine la velocidad del punto A, el punto en la posición
más posterior del neumático en el instante mostrado, respecto a un marco de referencia
fijo a la Tierra.

www.FreeLibros.orgRespuesta:vA = -5i - 0.18j + 5k(m/s).

482 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo 20.2 Velocidad angular y aceleración angular de un disco giratorio

(᭤ Relacionado con el problema 20.10)

El disco mostrado es perpendicular a la parte horizontal de la flecha y gira respec-
to a ésta con velocidad angular constante vd. Respecto a un marco de referencia
fijo a la Tierra, la flecha gira alrededor del eje vertical con velocidad angular cons-
tante v0. Determine los vectores de velocidad angular y de aceleración angular del
disco respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.

vd

v0
R

Estrategia
El movimiento del disco relativo al marco de referencia fijo a la Tierra es bastante
complicado. Sin embargo, en relación con un marco de referencia que está fijo con
respecto a la flecha, el disco simplemente gira alrededor de un eje fijo con veloci-
dad angular constante. Por lo tanto se introducirá un sistema coordenado secunda-
rio que esté fijo con respecto a la flecha. El vector de velocidad angular que se busca
es la suma del vector de velocidad angular del sistema coordenado secundario y el
vector de velocidad angular del disco relativo al sistema coordenado secundario.
El vector de aceleración angular del disco está dado por la ecuación (20.4).

y Solución
z
Se introduce el sistema coordenado secundario que se muestra en la figura a, el

cual está fijo con respecto a la flecha. El vector de velocidad angular del sistema
coordenado secundario respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es ⍀ ϭ ␻0 j.
El vector de velocidad angular del disco respecto al sistema coordenado secunda-
rio es ␻rel ϭ vdi. Por lo tanto, el vector de velocidad angular del disco respecto al
vd marco de referencia fijo a la Tierra es

v0 ␻ = ⍀ + ␻rel = vdi + v0 j.
R x Como vd y v0 son constantes, se encuentra a partir de la ecuación (20.4) que el

vector de aceleración angular del disco respecto al marco de referencia fijo a la

Tierra es

␣ = ⍀ * ␻ = - v0vdk.

(a)

Razonamiento crítico
Si las componentes del vector de velocidad angular del disco son constantes, ¿cómo
puede el disco tener una aceleración angular respecto al marco de referencia fijo a
la Tierra? Recuerde que vd y v0 son las componentes de ␻ expresadas en térmi-
nos del sistema coordenado secundario. En este ejemplo, la magnitud y la direc-
ción del vector ␻ son constantes respecto al sistema coordenado secundario, pero

www.FreeLibros.org␻ gira respecto al marco de referencia fijo a laTierra.

20.1 Cinemática 483

Ejemplo 20.3 Velocidad angular y aceleración angular de un disco rodante

(᭤ Relacionado con los problemas 20.20–20.22)

La barra doblada que se muestra en la figura está unida rígidamente a la flecha verti- h
cal, la cual gira con velocidad angular constante v0. El disco circular está articulado b
a la barra doblada y rueda sobre la superficie horizontal.
(a) Determine el vector de velocidad angular ␻disco y el vector de aceleración angular b
␣disco del disco. v0 P
(b) Determine la velocidad del punto P, que es el punto en la posición más alta del
disco circular, en el instante presente. R

Estrategia Vector de
(a) En este ejemplo, el marco de referencia primario está fijo con respecto a la super-
ficie sobre la que rueda el disco. Para simplificar el análisis del movimiento angular velocidad
del disco, se usará un sistema coordenado secundario que está fijo con respecto a la angular de la y
barra doblada. Aplicando la ecuación (20.1) a la barra doblada, se determinará la ve-
locidad del centro del disco. Se encontrará el vector de velocidad angular del disco barra y el h
reconociendo que la velocidad del punto del disco en contacto con la superficie sistema
horizontal es cero. Después se puede usar la ecuación (20.4) para determinar el
vector de aceleración angular del disco. coordenado
(b) Conociendo la velocidad del centro del disco y el vector de velocidad angular
del disco, se puede aplicar la ecuación (20.1) al disco para determinar la veloci- ␻barra ϭ ⍀
dad del punto P.
zB b
Solución v0
(a) Considere que el sistema coordenado de la figura a está fijo con respecto a la barra bx
doblada. El eje x coincide con la parte horizontal de la barra y el eje y coincide con
la flecha vertical. El vector de velocidad angular ␻barra de la barra y el vector de ve- A
locidad angular ⍀ del sistema coordenado son iguales: R

␻␻bbaarrra = ⍀ = v0 j. (a) Vector de velocidad angular del disco
respecto al sistema coordenado
Sea el punto B el origen en reposo del sistema coordenado, y sea el punto A el cen-
tro del disco (figura a). El vector de posición de A respecto a B es

rA>B = 1h + b cos b2i - b sen bj.

A partir de la ecuación (20.1), la velocidad del punto A es y

vA = vB + barra * rA>B

i j k ⍀ ϭ v0j Vector de velocidad
=0+ 3 0 03 angular del disco
v0 z respecto al sistema
h + b cos b - b sen b 0 coordenado

= - v01h + b cos b2k. bx

Como el sistema coordenado está fijo con respecto a la barra doblada, se puede P
escribir el vector de velocidad angular del disco respecto al sistema coordenado vrel
como (figura b) A

C vrel

www.FreeLibros.orgrel = vrelcosbi - vrelsenbj.
(b) Análisis del movimiento del disco.

484 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Sea el punto C de la figura b el punto del disco que está en contacto con la superficie.
Para determinar vrel, se usa la condición vC ϭ 0. La posición de C respecto a A es

rC>A = - R sen bi - R cos bj.
Por lo tanto,

vC = vA + disco * rC>A

i j k
= - v01h + b cos b2k + 3 vrel cos b 0 3 = 0.
v0 - vrel sen b
-R sen b - R cos b 0

Despejando vrel de esta ecuación, se obtiene
hb

vrel = - v0 a R + R cos b - sen bb .

El vector de velocidad angular del sistema coordenado es ⍀ ϭ v0 j, por lo que el
vector de velocidad angular del disco es

disco = + rel = vrel cos bi + 1v0 - vrel sen b2j.

Aun cuando las componentes de ␻disco son constantes, se encuentra a partir de
la ecuación (20.4) que la aceleración angular del disco no es igual a cero:

i jk

disco = * disco = 3 0 v0 0 3

vrel cos b v0 - vrel sen b 0

= - v0vrel cos bk.

(b) El vector de posición del punto P respecto al centro del disco es

rP>A = R sen bi + R cos bj.

Usando la ecuación (20.1) y el resultado para la velocidad vA del centro del disco,
se determina la velocidad del punto P:

vP = vA + disco * rP>A

i j k
= - v01h + b cos b2k + 3 vrel cos b 03
v0 - vrel sen b
R sen b R cos b 0

= 3 - v01h + b cos b + R sen b2 + vrelR4k
= - 2v01h + b cos b2k.

Razonamiento crítico

En comparación con el ejemplo 20.2, este ejemplo se complicó por el hecho de

que no se conocía la velocidad angular del disco respecto a la barra. Sin embargo,

sí se conocía la dirección de su eje de rotación. Observe que fue posible usar esa

información y el hecho de que la velocidad el punto C del disco en contacto con

la superficie es cero para determinar vrel. Éste fue el paso esencial para la deter-
minación del vector de velocidad angular del disco respecto al marco de referencia

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Problemas 485

Problemas

20.1 La velocidad angular de un avión respecto a un marco de re- 20.3 La velocidad angular de un cubo respecto al marco de referen-
ferencia fijo a la Tierra, expresada en términos del sistema coordena- cia primario, expresada en términos del sistema coordenado fijo al
do fijo al cuerpo mostrado, es ␻ ϭ 0.62i ϩ 0.45j Ϫ 0.23k (rad͞s). cuerpo mostrado, es ␻ = - 6.4i + 8.2j + 12k (rad/s) . La veloci-
Las coordenadas del punto A del avión son (3.6, 0.8, Ϫ1.2) m. dad del centro de masa G del cubo respecto al marco de referencia
¿Cuál es la velocidad del punto A respecto a la velocidad del primario en el instante mostrado es vG ϭ 26i ϩ 14j ϩ 32k (m͞s).
centro de masa del avión? ¿Cuál es la velocidad del punto A del cubo respecto al marco de

referencia primario en el instante mostrado?

20.4 El sistema coordenado que se muestra en la figura está fijo
con respecto al cubo. La velocidad angular del cubo respecto al
marco de referencia primario, ␻ = - 6.4i + 8.2j + 12k (rad/s),
es constante. La aceleración del centro de masa G del cubo res-

pecto al marco de referencia primario en el instante mostrado es
aG = 136i + 76j - 48k (m/s2) . ¿Cuál es la aceleración del punto
A del cubo respecto al marco de referencia primario en el instante

mostrado?

yA x 20.5 El origen del sistema coordenado secundario que se muestra
z en la figura está fijo al centro de masa G del cubo. La velocidad
del centro de masa G del cubo respecto al marco de referencia prima-
Problema 20.1 rio en el instante mostrado es vG = 26i + 14j + 32k (m/s) . El
cubo gira respecto al sistema coordenado secundario con veloci-
᭤ 20.2 En el ejemplo activo 20.1, suponga que el centro del dad angular ␻rel ϭ 6.2i Ϫ 5j ϩ 8.8k (rad͞s). El sistema coorde-
neumático se mueve a una velocidad constante de 5 m͞s mientras nado secundario gira respecto al marco de referencia primario
el automóvil vira (en consecuencia, cuando la velocidad angular con velocidad angular ⍀ ϭ 2.2i ϩ 4j Ϫ 3.6k (rad͞s).
a) ¿Cuál es la velocidad del punto A del cubo respecto al marco
de la llanta respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra se de referencia primario en el instante mostrado?
b) Si las componentes de los vectores ␻rel y ⍀ son constantes,
expresa en términos de componentes en el marco de referencia ¿cuál es la aceleración angular del cubo respecto al marco de refe-
secundario, ␻ ϭ vxi ϩ vyj ϩ vzk, las componentes vx, vy y vz rencia primario?
son constantes). ¿Cuál es la aceleración angular ␣ del neumático
respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra? y

2m
GA

z
x

O Marco de referencia
primario
Problemas 20.3–20.5

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486 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.6 Los puntos A y B del paralelepípedo rígido mostrado están 20.8 La flecha vertical mostrada gira alrededor de su eje con
fijos respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra y el cuerpo velocidad angular v0 ϭ 4 rad͞s, respecto a un marco de referencia
gira alrededor del eje AB con una velocidad angular de 30 rad͞s. fijo a la Tierra. El sistema coordenado secundario xyz está fijo con
Determine las velocidades de los puntos C y D respecto al marco de respecto a la flecha y su origen está en reposo. Respecto al siste-
referencia fijo a la Tierra. ma coordenado secundario, el disco (radio ϭ 8 pulg) gira con
velocidad angular vd ϭ 6 rad͞s. En el instante mostrado, determine
20.7 Los puntos A y B de un paralelepípedo rígido están fijos la velocidad del punto A a) respecto al marco de referencia secun-
respecto al sistema coordenado xyz mostrado y el cuerpo gira dario y b) respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
alrededor del eje AB con una velocidad angular de 30 rad͞s.
Respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra, el punto A 20.9 La flecha vertical mostrada gira alrededor de su eje con
está fijo y el sistema coordenado xyz gira con velocidad angular velocidad angular constante v0 ϭ 4 rad͞s, respecto a un marco de
⍀ ϭ Ϫ5i ϩ 8j ϩ 6k (rad͞s). Determine las velocidades de los referencia fijo a la Tierra. El sistema coordenado secundario xyz
puntos C y D respecto al marco de referencia fijo a la Tierra. está fijo con respecto a la flecha y su origen está en reposo. Res-
pecto al sistema coordenado secundario, el disco (radio ϭ 8 pulg)
y gira con velocidad angular constante vd ϭ 6 rad͞s.
a) ¿Cuál es la aceleración angular del disco respecto al marco de
C B referencia fijo a la Tierra?
D 0.2 m b) En el instante mostrado, determine la aceleración del punto A
respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
x
y

zA 30 rad/s
0.4 m 0.4 m

A vd
45Њ
Problemas 20.6/20.7

x
z

v0

Problemas 20.8/20.9

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Problemas 487

᭤ 20.10 El radio del disco mostrado es R ϭ 2 pies. El disco está 20.11 La flecha vertical que soporta la antena parabólica mostra-
perpendicular a la parte horizontal de la flecha y gira alrededor de da gira con velocidad angular constante v0 ϭ 0.2 rad͞s. El ángulo
ésta con velocidad angular constante vd ϭ 36 rad͞s. Respecto a u entre la horizontal y el eje de la antena es de 30° en el instante
un marco de referencia fijo a la Tierra, la flecha gira alrededor del mostrado y está aumentando a una razón constante de 15° por
eje vertical con velocidad angular constante v0 ϭ 8 rad͞s. segundo. El sistema coordenado secundario xyz que se muestra en
a) Determine la velocidad respecto al marco de referencia fijo la figura está fijo con respecto al plato.
a la Tierra del punto P, que es el punto en la posición más alta
del disco. a) ¿Cuál es la velocidad angular del plato respecto a un marco de
referencia fijo a la Tierra?
b) Determine el vector de aceleración angular ␣ del disco respec-
to al marco de referencia fijo a la Tierra. b) Determine la velocidad del punto de la antena con coordenadas
(4, 0, 0) m respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra.
(Vea el ejemplo 20.2.)
20.12 La flecha vertical que soporta la antena parabólica mostra-
y da gira con velocidad angular constante v0 ϭ 0.2 rad͞s. El ángulo
u entre la horizontal y el eje de la antena es de 30° en el instante
3 pies mostrado y está aumentando a una razón constante de 15° por se-
gundo. El sistema coordenado secundario xyz que se muestra en
P la figura está fijo con respecto al plato.
vd
a) ¿Cuál es la aceleración angular del plato respecto a un marco
z x de referencia fijo a la Tierra?
v0
b) Determine la aceleración del punto de la antena con coordena-
das (4, 0, 0) m respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra.

R

Problema 20.10

y x
v0 u

Problemas 20.11/12.12

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488 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.13 El radio del disco circular mostrado es R ϭ 0.2 m y b ϭ 0.3 m. El disco gira con velocidad angular vd ϭ 6 rad͞s respecto a la
barra horizontal, la cual a su vez gira con velocidad angular vb ϭ 4 rad͞s respecto a la flecha vertical. Por su parte, la flecha vertical
gira con velocidad angular v0 ϭ 2 rad͞s respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. Suponga que el marco de referencia secunda-
rio mostrado está fijo con respecto a la barra horizontal.

a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ␻rel del disco respecto al marco de referencia secundario?

b) Determine la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto P, que es el punto en la posición más alta del disco.

y

b P
vb vd

z R x
v0

Problema 20.13

20.14 El objeto de la figura a está sostenido por cojinetes en A y B como se muestra en la figura b. El disco circular horizontal está sopor-
tado por una flecha vertical que gira con velocidad angular v0 ϭ 6 rad͞s. La barra horizontal gira con velocidad angular v ϭ 10 rad͞s.
En el instante mostrado, ¿cuál es la velocidad respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra del extremo C de la barra vertical?

20.15 El objeto de la figura a está sostenido por cojinetes en A y B como se muestra en la figura b. El disco circular horizontal está
soportado por una flecha vertical que gira con velocidad angular constante v0 ϭ 6 rad͞s. La barra horizontal gira con velocidad angular
constante v ϭ 10 rad͞s.
a) ¿Cuál es la aceleración angular del objeto respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra?
b) En el instante mostrado, ¿cuál es la aceleración respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra del extremo C de la barra vertical?

y

v
y AC

0.1 m

z B
x x

0.2 m 0.1 m v0

0.4 m
(a)

www.FreeLibros.orgProblemas 20.14/20.15 (b)

Problemas 489

20.16 Respecto a un marco de referencia primario, el bastidor 20.18 La punta de un trompo permanece en un punto fijo sobre
del giroscopio circular mostrado gira alrededor del eje vertical a el piso, que es el origen O del marco de referencia secundario
2 rad͞s. La rueda de 60 mm de diámetro gira a 10 rad͞s respecto mostrado. La velocidad angular del trompo respecto al marco de
al bastidor. Determine las velocidades de los puntos A y B respec- referencia secundario, ␻rel ϭ 50k (rad͞s), es constante. La veloci-
to al marco de referencia primario. dad angular del marco de referencia secundario respecto a un marco
de referencia primario fijo a la Tierra es ⍀ ϭ 2j ϩ 5.6k (rad͞s).
20.17 Respecto a un marco de referencia primario, el bastidor Las componentes de este vector son constantes (observe que está
del giroscopio circular mostrado gira alrededor del eje vertical con expresado en términos del marco de referencia secundario). Deter-
una velocidad angular constante de 2 rad͞s. La rueda de 60 mm mine la velocidad respecto al marco de referencia primario del
de diámetro gira con una velocidad angular constante de 10 rad͞s punto del trompo con coordenadas (0, 20, 30) mm.
respecto al bastidor. Determine las aceleraciones de los puntos A y
B respecto al marco de referencia primario. 20.19 La punta de un trompo permanece en un punto fijo sobre
el piso, que es el origen O del marco de referencia secundario mos-
60 mm y trado. La velocidad angular del trompo respecto al marco de refe-
2 rad/s rencia secundario, ␻rel ϭ 50k (rad͞s), es constante. La velocidad
angular del marco de referencia secundario respecto a un marco
Marco de referencia primario fijo a la Tierra es ⍀ ϭ 2j ϩ 5.6k (rad͞s).
Rueda Las componentes de este vector son constantes (observe que está
expresado en términos del marco de referencia secundario).
B a) ¿Cuál es la aceleración angular del trompo respecto al marco
A 20Њ de referencia primario.
b) Determine la aceleración respecto al marco de referencia fijo a
10 la Tierra del punto del trompo con coordenadas (0, 20, 30) mm.
z rad/s
z
80 mm
x

y

Problemas 20.16/20.17

O

x
Problemas 20.18/20.19

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490 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

᭤ 20.20* El cono mostrado rueda sobre la superficie horizontal, 20.23* El radio y la longitud del cilindro mostrado son R ϭ 0.1 m
la cual está fija con respecto a un marco de referencia fijo a la y l ϭ 0.4 m. La superficie horizontal está fija con respecto a un
Tierra. El eje x del marco de referencia secundario coincide en marco de referencia fijo a la Tierra. Un extremo del cilindro rueda
forma permanente con el eje del cono, y el eje z permanece hori- sobre la superficie mientras su centro, el origen del marco de re-
zontal. Mientras el cono rueda, el eje z gira en el plano horizontal ferencia secundario, permanece en reposo. El ángulo b ϭ 45°. El
con velocidad angular de 2 rad͞s. eje z del marco de referencia secundario coincide en forma perma-
a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ⍀ del marco de refe- nente con el eje del cilindro, y el eje y permanece horizontal. Mien-
rencia secundario? tras el cilindro rueda, el eje y gira en un plano horizontal con
velocidad angular v0 ϭ 2 rad͞s.
b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ␻rel del cono respecto a) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ⍀ del marco de refe-
al marco de referencia secundario? rencia secundario?

(Vea el ejemplo 20.3). b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular ␻rel del cilindro res-
pecto al marco de referencia secundario?
Estrategia: Para resolver el inciso b), considere el hecho de que
la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la Tierra de los 20.24* El radio y la longitud del cilindro mostrado son
puntos del cono en contacto con la superficie es igual a cero. R ϭ 0.1 m y l ϭ 0.4 m. La superficie horizontal está fija con
respecto a un marco de referencia fijo a la Tierra. Un extremo
᭤ 20.21* El cono mostrado rueda sobre la superficie horizon- del cilindro rueda sobre la superficie mientras su centro, el ori-
tal, la cual está fija con respecto a un marco de referencia fijo a gen del marco de referencia secundario, permanece en reposo.
la Tierra. El eje x del marco de referencia secundario coincide en El ángulo b ϭ 45°. El eje z del marco de referencia secundario
forma permanente con el eje del cono, y el eje z permanece hori- coincide en forma permanente con el eje del cilindro, y el eje y
zontal. Mientras el cono rueda, el eje z gira en el plano horizon- permanece horizontal. Mientras el cilindro rueda, el eje y gira
tal con velocidad angular de 2 rad͞s. Determine la velocidad en un plano horizontal con velocidad angular v0 ϭ 2 rad͞s. De-
respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto de la termine la velocidad respecto al marco de referencia fijo a la
base del cono con coordenadas x ϭ 0.4 m, y ϭ 0 y z ϭ 0.2 m. Tierra del punto del extremo superior del cilindro con coordena-
(Vea el ejemplo 20.3). das x ϭ 0.1 m, y ϭ 0, y z ϭ 0.2 m.

᭤ 20.22* El cono mostrado rueda sobre la superficie horizon- x
tal, la cual está fija con respecto a un marco de referencia fijo a z
la Tierra. El eje x del marco de referencia secundario coincide en
forma permanente con el eje del cono, y el eje z permanece hori- l R
zontal. Mientras el cono rueda, el eje z gira en el plano horizontal b
con velocidad angular constante de 2 rad͞s. Determine la acelera- y
ción respecto al marco de referencia fijo a la Tierra del punto de v0
la base del cono con coordenadas x ϭ 0.4 m, y ϭ 0 y z ϭ 0.2 m.
(Vea el ejemplo 20.3).

y

0.2 m x Problemas 20.23/20.24

2 rad/s
z

0.4 m
Problemas 20.20–20.22

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20.25* El tren de aterrizaje del avión P-40 usado en la Segunda 20.2 Ecuaciones de Euler 491
Guerra Mundial se retrae al girar 90° alrededor del eje horizontal
hacia la parte posterior del avión. Mientras la rueda se retrae, un Posición
mecanismo gira el puntal que sostiene la rueda 90° alrededor del retraída
eje longitudinal del puntal de manera que la rueda quede horizon-
tal en la posición retraída (visto desde el eje horizontal hacia la yx
rueda, el puntal gira en el sentido de las manecillas del reloj). El
eje x del sistema coordenado que se muestra en la figura permane- y z
ce paralelo al eje horizontal y el eje y permanece paralelo al puntal
mientras la rueda se retrae. Sea vW la magnitud de la velocidad vW Eje
angular de la rueda cuando el avión despega y suponga que ésta z horizontal
permanece constante. Sea v0 la magnitud de la velocidad angular Puntal
constante del puntal alrededor del eje horizontal mientras el tren
de aterrizaje se retrae. La magnitud de la velocidad angular del Posición
puntal respecto a su eje longitudinal también es igual a v0. El desplegada
tren de aterrizaje comienza a retraerse en t ϭ 0. Determine el x
vector de velocidad angular de la rueda respecto al avión como
una función del tiempo. Problema 20.25

20.2 Ecuaciones de Euler

ANTECEDENTES

Las ecuaciones tridimensionales de movimiento para un cuerpo rígido se llaman
ecuaciones de Euler. Consisten en la segunda ley de Newton,

©F = ma, (20.6)

la cual establece que la suma de las fuerzas externas sobre un cuerpo rígido es igual
al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa, y las ecuaciones
de movimiento angular. Para deducir las ecuaciones de movimiento angular, se
considera primero el caso especial del giro de un cuerpo rígido respecto a un punto
fijo y después el movimiento general tridimensional de un cuerpo rígido.

Rotación respecto a un punto fijo mi
ri
Sea mi la masa de la i-ésima partícula de un cuerpo rígido y ri su posición respecto O
a un punto fijo O que está fijo respecto a un marco de referencia primario inercial
(figura 20.5). En la sección 18.1 se mostró que para un sistema de partículas, la
suma de los momentos respecto a O es igual a la razón de cambio de la cantidad
de movimiento angular total respecto a O:

©MO = dHO, (20.7)
dt

donde la cantidad de movimiento angulares Figura 20.5
Masa y posición de la i-ésima partícula
HO = a ri * mi dri . de un cuerpo rígido.
dt
i

Si el cuerpo rígido gira respecto a O con velocidad angular ␻, la velocidad de la
i-ésima partícula es dri>dt = ␻ * ri, y la cantidad de movimiento angular es

HO = a ri * mi1␻ * ri2. (20.8)

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492 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

y
(xi, yi, zi)

ri x
␻

O

z

Figura 20.6
Sistema coordenado secundario con su
origen en O.

En la figura 20.6, se introduce un sistema coordenado con su origen en O. Los

vectores ␻ y ri se expresan en términos de sus componentes en este sistema coor-
denado como

␻ = vxi + vy j + vzk

y
ri = xii + yi j + zik,

donde 1xi, yi, zi2 son las coordenadas de la i-ésima partícula. Sustituyendo estas
expresiones en la ecuación (20.8) y evaluando los productos cruz, las componen-
tes resultantes del vector de la cantidad de movimiento angular pueden escribirse
en las formas

HOx = Ixx vx - Ixy vy - Ixz vz, (20.9)
HOy = - Iyx vx + Iyy vy - Iyz vz,
HOz = - Izx vx - Izy vy + Izz vz.
Los coeficientes

Ixx = a mi1y 2 + z 2i 2,
i
i

Iyy = a mi1x 2 + z 2i 2, (20.10)
i
i

Izz = a mi1x 2 + y i22
i
i

se llaman momentos de inercia respecto a los ejes x, y, z, y los coeficientes

Ixy = Iyx = a mixiyi,

i

Iyz = Izy = a miyizi, (20.11)

i

Ixz = Izx = a mixizi

i

www.FreeLibros.orgse llaman productos de inercia. (La evaluación de los momentos y productos de
inercia se analiza en el apéndice de este capítulo).

20.2 Ecuaciones de Euler 493

Para obtener las ecuaciones de movimiento angular, es necesario sustituir
las componentes de la cantidad de movimiento angular dadas por las ecuaciones
(20.9) en la ecuación (20.7). El sistema coordenado secundario en el que se expre-
san estas componentes se elige usualmente como fijo, por lo que gira respecto al
marco de referencia primario con la velocidad angular ␻ del cuerpo rígido. Sin
embargo, en la sección anterior se vio que en algunas situaciones es conveniente
usar un sistema coordenado que gire, pero que no esté fijo al cuerpo. El vector
de velocidad angular del sistema coordenado secundario se denota con ⍀, donde
⍀ ϭ ␻ si el sistema coordenado está fijo al cuerpo. Expresando el vector de la
cantidad de movimiento angular en términos de sus componentes como

HO = HOxi + HOy j + HOzk,

se obtiene la derivada de HO con respecto al tiempo:

dHO = dHOx i + di + dHOy j + dj + dHOz k + dk
dt dt HOx dt dt HOy dt dt HOz dt .

Usando esta expresión y escribiendo las derivadas respecto al tiempo de los vec-
tores unitarios en términos de la velocidad angular ⍀ del sistema coordenado,

di = ⍀ * i, dj dk = ⍀ * k,
dt dt = ⍀ * j, dt

se puede escribir la ecuación (20.7) como

©MO = dHOx i + dHOy j + dHOz k + ⍀ * HO.
dt dt dt

Sustituyendo las componentes de HO de la ecuación (20.9) en esta ecuación, se
obtienen las ecuaciones del movimiento angular (vea el problema 20.60):

©MOx = Ixx dvx - Ixy dvy - Ixz dvz
dt dt dt

- z1 - Iyxvx + Iyyvy - Iyzvz2

+ y1 - Izxvx - Izyvy + Izzvz2,

©MOy = - Iyx dvx + Iyy dvy - Iyz dvz
dt dt dt

+ z1Ixxvx - Ixyvy - Ixzvz2 (20.12)

- x1 - Izxvx - Izyvy + Izzvz2,

©MOz = - Izx dvx - Izy dvy + Izz dvz
dt dt dt

- y1Ixxvx - Ixyvy - Ixzvz2

www.FreeLibros.org+ x1-Iyxvx + Iyyvy - Iyzvz2.

494 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Al realizar este paso final, se ha supuesto que los momentos y productos de iner-
cia son constantes. Lo anterior sucede cuando el marco de referencia secundario
está fijo al cuerpo, pero debe confirmarse cuando las condiciones son diferentes.
Las ecuaciones (20.12) pueden escribirse como la ecuación matricial

©MOx Ixx - Ixy - Ixz dvx>dt
Iyy - Iyz S C dvy>dt S
C ©MOy S = C - Iyx
- Izy Izz dvz>dt
©MOz - Izx

0 -z y Ixx - Ixy - Ixz vx (20.13)
0 - xS C - Iyx Iyy - IyzS CvyS ,
+C z
-y x 0 - Izx - Izy Izz vz

donde

Ixx - Ixy - Ixz (20.14)
C - Iyx Iyy - Iyz S = 3I4

- Izx - Izy Izz

se llama matriz de inercia del cuerpo rígido.

Movimiento tridimensional general

Sea Ri la posición de la iϪésima partícula de un cuerpo rígido respecto al centro
de masa del cuerpo (figura 20.7). En la sección 18.1 se mostró que la suma de los
momentos respecto al centro de masa es igual a la razón de cambio de la cantidad de
movimiento angular del cuerpo respecto a su centro de masa; es decir,

©M = ddHt , (20.15)

donde la cantidad de movimiento angular total es

H = a Ri * mi dRi .
dt
i

En términos de la velocidad angular ␻ del cuerpo rígido, la velocidad de la i-ésima
partícula es dRi>dt = ␻ * Ri, y la cantidad de movimiento angular es

H = a Ri * mi1␻ * Ri2. (20.16)

i

mi
Ri
␻

Figura 20.7
Posición de la i-ésima partícula de un

www.FreeLibros.orgcuerpo rígido respecto al centro de
masa del cuerpo.

20.2 Ecuaciones de Euler 495

y
(xi, yi, zi)

Ri x
z␻

Figura 20.8
Sistema coordenado con su origen en el
centro de masa del cuerpo.

Se introduce un sistema coordenado secundario con su origen en el centro de masa

(figura 20.8) y se expresan los vectores ␻ y Ri en términos de sus componentes en
este sistema coordenado como

␻ = vx i + vy j + vzk

y
Ri = xi i + yi j + zi k.

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (20.16) y evaluando los productos
cruz, se obtienen las componentes del vector de la cantidad de movimiento angu-
lar en las formas

Hx = Ixx vx - Ixy vy - Ixz vz, (20.17)
Hy = - Iyx vx + Iyy vy - Iyz vz,
y
Hz = - Izx vx - Izy vy + Izz vz,

donde las expresiones para los momentos y productos de inercia están dados de
nuevo por las ecuaciones (20.10) y (20.11). Denotando con ⍀ el vector de velocidad
angular del sistema coordenado y siguiendo los mismos pasos usados para obtener
las ecuaciones (20.12), se obtienen las ecuaciones del movimiento angular,

©Mx = Ixx dvx - Ixy dvy - Ixz dvz
dt dt dt

- z1 - Iyxvx + Iyyvy - Iyzvz2

+ y1 - Izxvx - Izyvy + Izzvz2,

©My = - Iyx dvx + Iyy dvy - Iyz dvz
dt dt dt

+ z1Ixxvx - Ixyvy - Ixzvz2 (20.18)

- x1 - Izxvx - Izyvy + Izzvz2,

©Mz = - Izx dvx - Izy dvy + Izz dvz
dt dt dt

- y1Ixxvx - Ixyvy - Ixzvz2

www.FreeLibros.org+ x1-Iyxvx + Iyyvy - Iyzvz2,

496 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

que pueden escribirse como la ecuación matricial

©Mx Ixx - Ixy - Ixz dvx>dt
Iyy - Iyz S C dvy>dt S
C ©My S = C - Iyx
- Izy Izz dvz>dt
©Mz - Izx (20.19)
-z
0 0 y Ixx - Ixy - Ixz vx
- x S C - Iyx Iyy - Iyz S C vy S .
+C z x
-y 0 - Izx - Izy Izz vz

Se han obtenido ecuaciones que son idénticas en forma a las ecuaciones de movi-
miento angular para la rotación respecto a un punto fijo. Las ecuaciones (20.12) y
(20.13) se expresan en términos del momento total respecto a un punto fijo O alre-
dedor del cual gira el cuerpo rígido, y los momentos y productos de inercia y las
componentes de los vectores se expresan en términos de un sistema coordenado
con su origen en O. Las ecuaciones (20.18) y (20.19) se expresan en términos del
momento total respecto al centro de masa del cuerpo, y los momentos y productos
de inercia y las componentes de los vectores se expresan en términos de un siste-
ma coordenado con su origen en el centro de masa.

Si el sistema coordenado secundario usado para aplicar las ecuaciones (20.12),
(20.13), (20.18) y (20.19) está fijo al cuerpo, los términos dvx͞dt, dvy͞dt, y dvz͞dt
son las componentes de la aceleración angular ␣ del cuerpo rígido. Pero por lo
general esto no sucede si el sistema coordenado secundario gira pero no está fijo al
cuerpo. [Vea la ecuación (20.4)].

Ecuaciones de movimiento plano

Aquí se demuestra cómo pueden obtenerse las ecuaciones del movimiento angular

para un cuerpo rígido en movimiento plano a partir de las ecuaciones tridimensiona-

les. Considere un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo LO. Se introduce
un sistema coordenado secundario fijo al cuerpo con el eje z alineado con LO de
manera que el vector de velocidad angular del cuerpo rígido es V ϭ vzk (figu-
ra 20.9). Sustituyendo ⍀x ϭ vx ϭ 0, ⍀y ϭ vy ϭ 0, y ⍀z ϭ vz en las ecuaciones
(20.12), se encuentra que la tercera ecuación se reduce a ©MOz = Izz1dvz>dt2.
Introduciendo la notación más simple ©MOz = ©MO, Izz = IO, y vz = v, se
obtiene

©MO = IO dv
. (20.20)
dt

Ésta es la ecuación que se usó en el capítulo 18 para analizar el giro de un cuerpo
rígido alrededor de un eje fijo. [Vea la ecuación (18.17)]. El momento total res-
pecto al eje fijo es igual al producto del momento de inercia respecto al eje fijo por
la aceleración angular

y

␻

z x
LO

www.FreeLibFigura2r0.9 os.org

20.2 Ecuaciones de Euler 497

Para el movimiento plano general, se introduce un sistema coordenado secunda- y
rio fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa del cuerpo y el eje z perpen- ␻
dicular al plano del movimiento (figura 20.10). El vector de velocidad angular del z
cuerpo rígido es ␻ ϭ vzk. Sustituyendo ⍀x ϭ vx ϭ 0, ⍀y ϭ vy ϭ 0, y ⍀z ϭ vz
en las ecuaciones (20.18), la tercera ecuación se reduce a ⌺Mz ϭ Izz(dvz͞dt). Con
la notación ⌺Mz ϭ ⌺M, Izz ϭ I y vz ϭ v, se obtiene

©M = I ddvt . (20.21) x

Plano del
movimiento

Ésta es la ecuación del movimiento angular que se usó en el capítulo 18 para ana- Figura 20.10
lizar el movimiento plano de un cuerpo rígido. [Vea la ecuación (18.20)]. El mo-
mento total respecto al centro de masa del cuerpo es igual al producto del momento
de inercia respecto al centro de masa por la aceleración angular (el término I es el
momento de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa y que es per-
pendicular al plano del movimiento).

RESULTADOS

Las ecuaciones de movimiento tridimensional para un cuerpo rígido se llaman
ecuaciones de Euler. Consisten en la segunda ley de Newton y las ecuaciones del
movimiento angular.

Segunda ley de Newton

La suma de las fuerzas externas sobre un ⌺F ϭ ma. (20.6)
cuerpo rígido es igual al producto de su masa
por la aceleración de su centro de masa res-
pecto a un marco de referencia inercial.

Giro respecto a un punto fijo

Considere un cuerpo rígido restringido a girar

alrededor de un punto O que está fijo respecto a y
un marco de referencia inercial. El sistema

coordenado secundario xyz tiene su origen en O.

␻ es el vector de velocidad angular del cuerpo ␻
⍀
rígido respecto al marco de referencia inercial y x
⍀ es el vector de velocidad angular del sistema O

coordenado xyz respecto al marco de referencia z

inercial. Si el sistema coordenado xyz está fijo al
wwcuerpo,⍀wϭ␻. .FreeLibros.org

498 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

⌺MOx ϭ Ixx dvx Ϫ Ixy dvy Ϫ Ixz dvz
dt dt dt

Ϫ Vz(ϪIyx vx ϩ Iyy vy Ϫ Iyz vz)

Ecuaciones de movimiento angular. Los términos ϩ Vy(ϪIzx vx Ϫ Izy vy ϩ Izz vz),

⌺MOx, ⌺MOy, y ⌺MOz son las componentes del mo- ⌺MOy ϭ ϪIyx dvx ϩ Iyy dvy Ϫ Iyz dvz
mento externo total respecto al punto O que actúan dt dt dt

sobre el cuerpo rígido. Los términos Ixx, Iyy, e Izz son ϩ Vz(Ixx vx Ϫ Ixy vy Ϫ Ixz vz) (20.12)
los momentos de inercia del cuerpo rígido respecto a
Ϫ Vx(ϪIzx vx Ϫ Izy vy ϩ Izz vz),
los ejes x, y y z, y los términos Ixy ϭ Iyx, Iyz ϭ Izy, y
Izx ϭ Ixz son los productos de inercia. dvx dvy dvz
dt dt dt
⌺MOz ϭ ϪIzx Ϫ Izy ϩ Izz

Ϫ Vy(Ixx vx Ϫ Ixy vy Ϫ Ixz vz)

ϩ Vx(ϪIyx vx ϩ Iyy vy Ϫ Iyz vz).

Las ecuaciones (20.12) pueden escribirse como una ecuación matricial.

⌺MOx Ixx ϪIxy ϪIxz dvx/dt
dvy/dt
⌺MOy ϭ ϪIyx Iyy ϪIyz dvz/dt

⌺MOz ϪIzx ϪIzy Izz

0 ϪVz Vy Ixx ϪIxy ϪIxz vx
vy ,
ϩ Vz 0 ϪVx ϪIyx Iyy ϪIyz vz (20.13)
ϪVy Vx 0 ϪIzx ϪIzy Izz (20.14)

donde

Ixx ϪIxy ϪIxz

ϪIyx Iyy ϪIyz ϭ [I]

ϪIzx ϪIzy Izz

es la matriz de inercia del cuerpo rígido.

Movimiento tridimensional general

Considere un cuerpo rígido en movimiento tridimensional y
general respecto a un marco de referencia inercial. El sis-

tema coordenado secundario xyz tiene su origen en el cen-

tro de masa. ␻ es el vector de velocidad angular del cuerpo ⍀␻
rígido respecto al marco de referencia inercial y ⍀ es el x

vector de velocidad angular del sistema coordenado xyz z

respecto al marco de referencia inercial. Si el sistema coor-
www.FreeLibros.orgdenado secundario está fijo al cuerpo, ⍀ ϭ ␻.

20.2 Ecuaciones de Euler 499

⌺Mx ϭ Ixx dvx Ϫ Ixy dvy Ϫ Ixz dvz
dt dt dt

Ϫ Vz(ϪIyx vx ϩ Iyy vy Ϫ Iyz vz)

ϩ Vy(ϪIzx vx Ϫ Izy vy ϩ Izz vz),

⌺My ϭ ϪIyx dvx ϩ Iyy dvy Ϫ Iyz dvz Ecuaciones del movimiento angular. Los térmi-
dt dt dt nos ⌺Mx, ⌺My, y ⌺Mz son las componentes del
momento externo total respecto al centro de
ϩ Vz(Ixx vx Ϫ Ixy vy Ϫ Ixz vz) (20.18)
masa del cuerpo rígido.
Ϫ Vx(ϪIzx vx Ϫ Izy vy ϩ Izz vz),

⌺Mz ϭ ϪIzx dvx Ϫ Izy dvy ϩ Izz dvz
dt dt dt

Ϫ Vy(Ixx vx Ϫ Ixy vy Ϫ Ixz vz)

ϩ Vx(ϪIyx vx ϩ Iyy vy Ϫ Iyz vz).

Las ecuaciones (20.18) pueden escribirse como una
ecuación matricial.

⌺Mx Ixx ϪIxy ϪIxz dvx/dt

⌺My ϭ ϪIyx Iyy ϪIyz dvy/dt

⌺Mz ϪIzx ϪIzy Izz dvz/dt

0 ϪVz Vy Ixx ϪIxy ϪIxz vx (20.19)
ϩ Vz 0 ϪVx ϪIyx Iyy ϪIyz vy ,
ϪIzx ϪIzy Izz vz
ϪVy Vx 0

1. Escoja un sistema coordenado. Si un objeto gira respecto a Por lo general, el uso de las
un punto fijo O, por lo general es preferible usar un sistema ecuaciones de Euler para
coordenado secundario con su origen en O y expresar las analizar movimientos tridi-
ecuaciones del movimiento angular en las formas dadas por mensionales de cuerpos rígi-
las ecuaciones (20.12). En caso contrario, es necesario usar dos implica tres pasos.
un sistema coordenado secundario con su origen en el centro
de masa y expresar las ecuaciones del movimiento angular
en las formas dadas por las ecuaciones (20.18). En ambos
casos, casi siempre resulta conveniente elegir un sistema
coordenado que simplifique la determinación de los momen-
tos y productos de inercia. Con excepción de ciertas aplica-
ciones que involucran objetos simétricos, debe usarse un
sistema coordenado fijo al cuerpo de manera que los mo-
mentos y productos de inercia sean constantes.

2. Dibuje el diagrama de cuerpo libre. Aísle el objeto e iden-
tifique las fuerzas y pares externos que actúan sobre él.

3. Aplique las ecuaciones de movimiento. Use las ecuacio-
nes de Euler para relacionar las fuerzas y pares que actúan
sobre el objeto con la aceleración de su centro de masa y

www.FreeLibros.orgsu aceleración angular.

500 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo activo 20.4 Dinámica tridimensional de una barra (᭤ Relacionado con el problema 20.26)

b Una barra delgada vertical de masa m está rígidamente unida al disco horizontal
mostrado. El disco está unido a una flecha vertical que gira con velocidad angular
constante v0. Determine la fuerza y el par ejercidos por el disco sobre la barra.

l Estrategia
Las fuerzas y pares externos que actúan sobre la barra son su peso, y la fuerza y el
par ejercidos por el disco. Se conocen la velocidad y la aceleración angulares de la
barra, y es posible determinar la aceleración de su centro de masa. Por lo tanto pue-
den usarse las ecuaciones de Euler para determinar la fuerza y el par totales ejercidos
sobre la barra.

v0

Solución
Selección de un sistema coordenado

y

v0 El sistema coordenado está fijo al cuer-
po y su origen está en el centro de masa
b de la barra. El eje y apunta hacia arriba.
z El eje x apunta radialmente hacia fuera
desde el eje de rotación del disco.

x

Dibujo del diagrama de cuerpo libre

y

b La barra está sujeta a su peso y a la fuer-
z za F y el par C ejercidos por el disco.

mg x

F
C

Aplicación de la segunda ley de Newton

Cuando el disco gira con velocidad angular constante v0, ⌺F ϭ ma:
el centro de masa de la barra se mueve en una trayectoria
F Ϫ mgj ϭ m(Ϫbv20i).

circular con radio b. En consecuencia, el centro de masa

www.FreeLibros.orgtiene una componente normal de aceleración Ϫbv20i.
La fuerza ejercida por el disco sobre la barra
F ϭ Ϫmbv20i ϩ mgj.

20.2 Ecuaciones de Euler 501

Aplique la ecuación de movimiento angular i jk
El momento total respecto al centro de masa de la
barra es la suma del par C y el momento debido a ⌺M ϭ C ϩ 0 Ϫ 1 l 0
F respecto al centro de masa. 2

Momentos y productos de inercia para una barra Ϫmbv02 mg 0
delgada en términos del sistema coordenado xyz.
ϭ C Ϫ 1 mlbv20k.
Aplique las ecuaciones (20.18) con 2
vx ϭ Vx ϭ 0, vy ϭ Vy ϭ v0, y vz ϭ Vz ϭ 0.
Ixx ϪIxy ϪIxz 1 ml2 0 0

12

ϪIyx Iyy ϪIyz ϭ 0 0 0

ϪIzx ϪIzy Izz 0 0 1 ml2

12

⌺Mx ϭ Ixx dvx Ϫ Ixy dvy Ϫ Ixz dvz
dt dt dt

Ϫ Vz(ϪIyx vx ϩ Iyy vy Ϫ Iyz vz)

ϩ Vy(ϪIzx vx Ϫ Izy vy ϩ Izz vz):

Cx ϭ 0.

⌺My ϭ ϪIyx dvx ϩ Iyy dvy Ϫ Iyz dvz
dt dt dt

ϩ Vz(Ixx vx Ϫ Ixy vy Ϫ Ixz vz)

Ϫ Vx(ϪIzx vx Ϫ Izy vy ϩ Izz vz):

Cy ϭ 0.

⌺Mz ϭ ϪIzx dvx Ϫ Izy dvy ϩ Izz dvz
dt dt dt

Ϫ Vy(Ixx vx Ϫ Ixy vy Ϫ Ixz vz)

ϩ Vx(ϪIyx vx ϩ Iyy vy Ϫ Iyz vz):

Cz Ϫ 1 mlbv02 ϭ 0.
2

El par ejercido por el disco sobre la barra es

Cϭ 1 mlbv02k.
2

Problema de práctica Se puede considerar que la barra gira respecto a cualquier y
punto dado sobre el eje fijo de rotación del disco. El origen O del sistema coordenado
fijo al cuerpo que se muestra en la figura se encuentra sobre el eje de rotación del disco v0
y el eje y apunta hacia arriba. Los momentos y productos de inercia de la barra en tér-
minos de este sistema coordenado son O
z
Ixx - Ixy - Ixz 31ml2 - 21mlb 0
C - Iyx Iyy - Iyz S = C - 21mlb mb2
- Izy 0 S.
- Izx Izz 0 0 31ml2 + mb2

Use la segunda ley de Newton y las ecuaciones (20.12) para determinar la fuerza y el par
ejercidos por el disco sobre la barra.

www.FreeLibros.orgRespuesta:F = -mbv02i + mgj,C = 21mlbv20k. x

502 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo 20.5 Dinámica tridimensional de una placa (᭤ Relacionado con el problema 20.27)

Durante un proceso de ensamblado, la placa rectangular de 4 kg mostrada se mantie-
ne fija en O por medio de un manipulador robótico. El punto O está fijo. En el instante
mostrado, la placa está horizontal, su velocidad angular es ␻ ϭ 4i Ϫ 2j (rad͞s)
y su vector de aceleración angular es ␣ ϭ Ϫ10i ϩ 6j (rad͞s2). Determine el par que
ejerce el manipulador sobre la placa.

zy
150 mm
150 mm

300 mm
O

300 mm

x

Estrategia
La placa gira respecto al punto fijo O, por lo que se puede usar la ecuación (20.13)
para determinar el momento total ejercido sobre la placa respecto a O.

Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre Se denota con F y C la fuerza y el par que
ejerce el manipulador sobre la placa (figura a).

zF y
C

O 300 mm
150 mm

(4)(9.81) N

x
(a) Diagrama de cuerpo libre de la placa.

Aplicación de las ecuaciones de movimiento El momento total respecto a O es
la suma del par ejercido por el manipulador y el momento respecto a O debido al
peso de la placa:

©MO = C + 10.15i + 0.30j2 * 3 - 14219.812k4 (1)
= C - 11.77i + 5.89j 1N-m2.

Para obtener el par desconocido C se puede determinar el momento total respecto

www.FreeLibros.orga O con la ecuación (20.13).

20.2 Ecuaciones de Euler 503

Considere que el sistema coordenado secundario está fijo al cuerpo, por lo que
su velocidad angular ⍀ es igual a la velocidad angular de la placa ␻. En el ejemplo
20.9 se determina la matriz de inercia de la placa, y se obtiene

0.48 - 0.18 0
3I4 = C - 0.18 0.12 0 S kg-m2.
0
0 0.6

Por lo tanto, el momento total respecto a O ejercido sobre la placa es

©MOx Ixx - Ixy - Ixz dvx>dt
Iyy - Iyz S C dvy>dt S
C ©MOy S = C - Iyx
- Izy Izz dvz>dt
©MOz - Izx

0 - vz vy Ixx - Ixy - Ixz vx

+ C vz 0 - vx S C - Iyx Iyy - Iyz S C vy S

- vy vx 0 - Izx - Izy Izz vz

0.48 - 0.18 0 - 10
= C - 0.18 0.12 0 SC 6 S
0.6 0
0 0

0 0 - 2 0.48 -0.18 04
0 SC -2S
+ C 0 0 - 4 S C - 0.18 0.12 0.6 0

24 0 0 0

- 5.88
= C 2.52 S N-m.

0.72

Sustituyendo este resultado en la ecuación (1), se obtiene

©MO = C - 11.77i + 5.89j = - 5.88i + 2.52j + 0.72k,

y se despeja el par C:

C = 5.89i - 3.37j + 0.72k 1N-m2.

Razonamiento crítico
Observe que se especificaron la velocidad y la aceleración angulares de la placa
y se usaron las ecuaciones de movimiento angular para determinar el par ejercido
sobre ella. En este capítulo, se estudiarán muchos ejemplos en los que se especifi-
ca el movimiento de un objeto y se usan las ecuaciones de Euler para determinar
las fuerzas y los pares que actúan sobre éste. El problema inverso, la determina-
ción del movimiento tridimensional de un objeto cuando se conocen las fuerzas y
pares que actúan sobre él, es más difícil y por lo general debe resolverse con méto-

www.FreeLibros.orgdosnuméricos.

504 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Ejemplo 20.6 Dinámica tridimensional de un cilindro inclinado

v0 (᭤ Relacionado con los problemas 20.55, 20.56)

El cilindro inclinado homogéneo que se muestra en la figura experimenta un mo-
vimiento estable en el cual un extremo rueda sobre el piso mientras su centro de masa
permanece fijo. El ángulo b entre el eje del cilindro y la horizontal permanece cons-
R tante, y el eje del cilindro gira respecto al eje vertical con velocidad angular constan-
te v0. El cilindro tiene masa m, radio R y longitud l. ¿Qué valor tiene v0?

l Estrategia

b Expresando las ecuaciones del movimiento angular en términos de v0, se puede
determinar el valor de v0 necesario para satisfacer las ecuaciones. Por lo tanto, la
primera tarea consiste en determinar la velocidad angular ␻ del cilindro en términos

de v0. Esta tarea puede simplificarse usando un sistema coordenado secundario que
no esté fijo al cuerpo.

v0 z Solución
x
Selección de un sistema coordenado Se usa un sistema coordenado secundario
b cuyo eje z permanezca alineado con el eje del cilindro y cuyo eje y permanezca
horizontal (figura a). La razón para hacerlo así es que la velocidad angular del sis-
tema coordenado es fácil de describir —el sistema coordenado gira respecto al eje
vertical con velocidad angular v0— y la rotación del cilindro respecto al sistema
coordenado es también fácil de describir. El vector de velocidad angular del siste-
ma coordenado es

= v0 cos bi + v0 sen bk.

C Respecto al sistema coordenado, el cilindro gira alrededor del eje z. Escribiendo

mg su velocidad angular respecto al sistema coordenado como vrelk, el vector de velo-
cidad angular del cilindro se expresa como
P
N = + vrelk = v0 cos bi + 1v0 sen b + vrel2k.

(a) Sistema coordenado con el eje z Se puede determinar vrel a partir de la condición de que la velocidad del punto P
alineado con el eje del cilindro y en contacto con el piso es igual a cero. Expresando la velocidad de P en términos
el eje y horizontal. de la velocidad del centro de masa C, se obtiene

vP = vC + ␻ * rP>C:

0 = 0 + 3v0 cos bi + 1v0 sen b + vrel2k4 * 3 -Ri - 1 lk4
2

= C 1 lv0 cos b - R1v0 sen b + vrel2 D j.
2

Despejando vrel se obtiene

vrel = c 1 a l b cos b - sen b d v0.
2 R

Por lo tanto, el vector de velocidad angular del cilindro es

+ 1 l
2 a R b v0
www.FreeLibros.org␻ = v0 cos bi cos bk.

20.2 Ecuaciones de Euler 505

Dibujo del diagrama de cuerpo libre En la figura a se dibuja el diagrama de
cuerpo libre del cilindro, mostrando su peso y la fuerza normal ejercida por el piso.
Como el centro de masa del cilindro está en reposo, el piso no ejerce fuerza horizon-
tal sobre el cilindro y que la fuerza normal es N ϭ mg.

Aplicación de las ecuaciones de movimiento El momento respecto al centro de
masa debido a la fuerza normal es

©M = AmgR sen b - 1 mgl cos b B j.
2

Según el apéndice C, los momentos y productos de inercia son

1 mR2 + 1 ml2 0 0
4 12
1 mR2 1 ml2
C0 4 + 12 0 S.

0 0 1 mR2
2

Aunque el sistema coordenado que se utiliza no está fijo al cuerpo, observe que los
momentos y productos de inercia son constantes debido a la simetría del cilindro.
Sustituyendo las expresiones para Æ, ␻, ©M, y los momentos y productos de
inercia en la ecuación del movimiento angular, ecuación (20.19), y evaluando los
productos matriciales, se obtiene la ecuación

mgAR sen b - 1 l cos b B = A 1 mR 2 + 1 ml 2 B v 2 sen b cos b
2 4 12 0

- 1 A 1 mR 2 B v 2 a l b cos 2 b.
2 2 0 R

De esta ecuación puede despejarse v 02:

2 gAR sen b - 1 l cos b B
0 2
v = 1 lR . (1)
A 1 2 1 2 B 4 2 b
4 R + 12 l sen b cos b - cos

Razonamiento crítico

Si la solución produce un valor negativo de v02 para un valor dado de b, el supuesto 25
movimiento estable del cilindro no es posible. Por ejemplo, si el diámetro del cilin- 20
15
dro es igual a su longitud 12R = l2, se puede escribir la ecuación (1) como

10

Rv20 = sen b - cos b Rv02/g 5
g cos2b. 0
7 sen b cos b - 1 Ϫ5
12 2 Ϫ10
Ϫ15

Ϫ20

En la figura se muestra la gráfica de esta ecuación en función de b. Para valores Ϫ25
0 10Њ 20Њ 30Њ 40Њ 50Њ 60Њ 70Њ 80Њ 90Њ

www.FreeLibros.orgde b desde 40° hasta 45° aproximadamente, no hay solución real para v0. b

506 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Problemas

᭤ 20.26 En el ejemplo activo 20.4, suponga que la flecha que so- 20.30 Un cuerpo rígido gira alrededor del punto fijo O. Se mues-
porta al disco está inicialmente en reposo, y en t ϭ 0 está sometida tra su matriz de inercia en términos del sistema coordenado fijo
a una aceleración angular constante a0 en sentido contrario al de las al cuerpo. En el instante presente, la velocidad angular del cuerpo
manecillas del reloj vista desde arriba del disco. Determine la fuerza rígido es ␻ ϭ 6i ϩ 6j Ϫ 4k (rad͞s) y su aceleración angular
y el par ejercidos por el disco sobre la barra en ese instante. es cero. ¿Cuál es el momento total respecto a O ejercido sobre el
cuerpo rígido?
᭤ 20.27 En el ejemplo 20.5, suponga que la placa horizontal está
inicialmente en reposo, y que en t ϭ 0 el manipulador robótico 20.31 Un cuerpo rígido gira alrededor del punto fijo O. Se mues-
ejerce un par C sobre la placa en el punto fijo O de tal manera tra su matriz de inercia en términos del sistema coordenado fijo al
que la aceleración angular de la placa en ese instante es cuerpo. En el instante presente, la velocidad angular del cuerpo rí-
␣ = 150i + 320j + 25k (rad/s2). Determine C. gido es ␻ ϭ 6i ϩ 6j Ϫ 4k (rad͞s). El momento total respecto a O
debido a las fuerzas y pares que actúan sobre el cuerpo rígido son
20.28 Un manipulador robótico mueve una pieza de fundición. Se iguales a cero. ¿Qué valor tiene su aceleración angular?
presenta la matriz de inercia de la pieza en términos de un sistema
coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa. En el y
instante presente, la velocidad y la aceleración angulares de la pieza
son ␻ ϭ 1.2i ϩ 0.8j Ϫ 0.4k (rad͞s) y ␣ ϭ 0.26i Ϫ 0.07j ϩ 0.13k O
(rad͞s2). ¿Cuál es el momento ejercido por el manipulador respec- z
to al centro de masa de la pieza?
x
20.29 Un manipulador robótico mueve una pieza de fundición.
Se presenta la matriz de inercia de la pieza en términos de un siste-
ma coordenado fijo al cuerpo con su origen en el centro de masa.
En el instante presente, la pieza está en reposo. Si el manipulador
ejerce un momento ©M = 0.042i ϩ 0.036j ϩ 0.066k (N-m) res-
pecto al centro de masa, ¿cuál es la aceleración angular de la pieza
en ese instante?

yx

Ixx ϪIxy ϪIxz 4 Ϫ2 0
ϪIyx Iyy 3 1 slug-pie2.
ϪIyz ϭ Ϫ2

ϪIzx ϪIzy Izz 0 15

Problemas 20.30/20.31

20.32 Las dimensiones de la placa delgada de 20 kg que se
muestra en la figura son h ϭ 0.4 m y b ϭ 0.6 m. La placa está en
reposo respecto a un marco de referencia inercial cuando se aplica
la fuerza F ϭ 10 N en la dirección perpendicular a la placa. No
existen otras fuerzas o pares que actúen sobre la placa. En el ins-
tante que se aplica F, ¿cuál es la magnitud de la aceleración del
punto A respecto al marco de referencia inercial?

A
b

h

Ixx ϪIxy ϪIxz 0.05 Ϫ0.03 0 kg-m2.

ϪIyx Iyy ϪIyz ϭ Ϫ0.03 0.08 0

ϪIzx ϪIzy Izz 0 0 0.04 F
Problema 20.32
www.FreeLibros.orgProblemas 20.28/20.29

Problemas 507

20.33 En términos del sistema coordenado que se muestra en la 20.35 En la figura se presenta la matriz de inercia de una placa de
figura, la matriz de inercia de la barra delgada de 6 kg es 2.4 kg en términos del sistema coordenado dado. El vector de ve-
locidad angular de la placa es ␻ ϭ 6.4i ϩ 8.2j ϩ 14k (rad͞s) y su
Ixx - Ixy - Ixz 0.500 0.667 0 vector de aceleración angular es ␣ ϭ 60i ϩ 40j Ϫ 120k (rad͞s2).
C - Iyx Iyy 2.667 0 S kg-m2. ¿Cuáles son las componentes del momento total ejercido sobre la
- Izy - Iyz S = C 0.667 placa respecto a su centro de masa?
- Izx 0 3.167
Izz 0 20.36 En la figura se presenta la matriz de inercia de una placa
de 2.4 kg en términos del sistema coordenado dado. En t ϭ 0, la
La barra está en reposo respecto a un marco de referencia inercial placa está en reposo y sometida a una fuerza F ϭ Ϫ10k (N) en
el punto con coordenadas (220, 0, 0) mm. No existen otras fuerzas
cuando se aplica la fuerza F ϭ 12k (N) en el extremo derecho o pares que actúen sobre la placa. Determine a) la aceleración del
centro de masa de la placa y b) la aceleración angular de la placa
de la barra. No existe otro par o fuerza que actúe sobre la barra. en el instante que se aplica la fuerza.

Determine a) la aceleración angular de la barra respecto al marco

de referencia inercial y b) la aceleración del extremo derecho de

la barra respecto al marco de referencia inercial en el instante que

se aplica la fuerza.

y

y

1 m 220 mm

x

2m 150 mm
Problema 20.33
x

20.34 En términos del sistema coordenado que se muestra en la 50 mm
figura, la matriz de inercia de la barra delgada de 12 kg es
Ixx ϪIxy ϪIxz 0.0318 Ϫ0.0219 0
ϪIyx 0 kg-m2.
Ixx - Ixy - Ixz 2 -3 0 ϪIzx Iyy ϪIyz ϭ Ϫ0.0219 0.0357 0.0674
0 S kg-m2. ϪIzy
Izz 0 0

C - Iyx Iyy - Iyz S = C - 3 8

- Izx - Izy Izz 0 0 10 Problemas 20.35/20.36

La barra está en reposo respecto a un marco de referencia inercial 20.37 Una barra delgada de 3 kg está rígidamente unida a un
cuando se aplica una fuerza F ϭ 20i ϩ 40k (N) en el punto x ϭ 1 m, disco circular delgado de 2 kg. En términos del sistema coordena-
y ϭ 1 m. No existen otras fuerzas o pares que actúen sobre la barra. do fijo al cuerpo que se muestra, la velocidad angular del cuerpo
Determine a) la aceleración angular de la barra y b) la aceleración compuesto es ␻ ϭ 100i Ϫ 4j ϩ 6k (rad͞s) y su aceleración angular
del punto x ϭ Ϫ1 m, y ϭ Ϫ1 m, respecto al marco de referencia es cero. ¿Cuáles son las componentes del momento total ejercido
inercial en el instante que se aplica la fuerza. sobre el objeto respecto a su centro de masa?

y

1m 20.38 Una barra delgada de 3 kg está rígidamente unida a un
x disco circular delgado de 2 kg. En t ϭ 0, el objeto compuesto está
en reposo y sometido al momento ⌺M ϭ Ϫ10i ϩ 10j (N-m)
1m respecto a su centro de masa. Ninguna otra fuerza o par actúan sobre
el objeto. Determine su aceleración angular en t ϭ 0.

y

1m
200 mm

z

x
1m

600 mm

www.FreeLibros.orgProblema20.34
Problemas 20.37/20.38

508 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.39 La flecha vertical que soporta la antena parabólica mostra- 20.43 Un subensamble de una estación espacial se puede mode-
lar como dos barras delgadas rígidamente unidas, cada una con
da gira con una velocidad angular constante de 1 rad͞s. El ángulo masa de 5000 kg. El subensamble no está girando en t ϭ 0 cuando
u ϭ 30°, du͞dt ϭ 20°͞s y d2u>dt2 = - 40°/s2. La masa de la ante- un motor de reacción de control ejerce una fuerza F ϭ 400k (N)
na es de 280 kg, y sus momentos y productos de inercia en kg-m2 en B. ¿Cuál es la aceleración del punto A respecto al centro de
masa del subensamble en t ϭ 0?
son Ixx ϭ 140, Iyy ϭ Izz ϭ 220, e Ixy ϭ Iyz ϭ Izx ϭ 0. Determine el
par ejercido sobre la antena en A por su soporte en ese instante.

20.44 Un subensamble de una estación espacial se puede modelar
como dos barras delgadas rígidamente unidas, cada una con masa

de 5000 kg. Si el subensamble gira respecto al eje x a razón cons-

tante de 1 revolución cada 10 minutos, ¿cuál es la magnitud del par
y x que su sistema de reacción de control está ejerciendo sobre ella?

u y
v0
20 m

x

A B
20 m
Problema 20.39
Problemas 20.43/20.44
20.40 La placa triangular de 5 kg que se muestra en la figura
está conectada en O mediante un soporte de bola y cuenca. Si la 20.45 El disco circular delgado de radio R ϭ 0.2 m y masa
placa se suelta desde el reposo en la posición horizontal, ¿cuáles m ϭ 4 kg, que se muestra en la figura está rígidamente unido a
son las componentes de su aceleración angular en ese instante? la flecha vertical. El disco está inclinado en un ángulo b ϭ 30°

20.41 Si la placa de 5 kg mostrada se suelta desde el reposo en respecto al plano horizontal. La flecha gira con velocidad angular
la posición horizontal, ¿cuál es la fuerza que ejerce el soporte de constante v0 ϭ 25 rad͞s. Determine la magnitud del par que
bola y cuenca sobre la placa en ese instante? ejerce la flecha sobre el disco.

20.42 La placa triangular de 5 kg que se muestra en la figura está
conectada en O mediante un soporte de bola y cuenca. Si la placa
se suelta desde el reposo en la posición horizontal con velocidad
angular ␻ ϭ 4i (rad͞s), ¿cuáles son las componentes de su vector
de aceleración angular en ese instante?

0.6 m x R
b

y 0.9 m v0
O

Problema 20.45

www.FreeLibros.orgProblemas 20.40–20.42

Problemas 509

20.46 La barra delgada de masa m ϭ 8 kg y longitud l ϭ 1.2 m 20.49 El eje vertical mostrado gira con velocidad angular cons-
tante v0. El ángulo de 35° entre el borde de la placa rectangular
que se muestra en la figura está soldada a un eje horizontal que delgada de 10 lb articulada al eje y éste permanece constante. De-
termine v0.
gira con velocidad angular constante v0 ϭ 25 rad͞s. El ángulo
b ϭ 30°. Determine las magnitudes de la fuerza F y el par C ejer- v0

cidos por el eje sobre la barra. (Escriba las ecuaciones del movi- 2 pies

miento angular en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo

que se muestra). x

y

v0 b

l
2 35Њ

Problema 20.46 1 pie

20.47 La barra delgada de masa m ϭ 8 kg y longitud l ϭ 1.2 m Problema 20.49
que se muestra en la figura está soldada a un eje horizontal que
gira con velocidad angular constante v0 ϭ 25 rad͞s. El ángulo 20.50 El radio del disco circular delgado de 20 lb que se muestra
b ϭ 30°. Determine las magnitudes de la fuerza F y el par C ejer- en la figura es R ϭ 1 pie. El disco está montado sobre un flecha
cidos por el eje sobre la barra (escriba las ecuaciones del movi- horizontal que gira respecto a la misma con velocidad angular
miento angular en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo constante vd ϭ 10 rad͞s. La flecha horizontal de 2 pies de largo fle-
que se muestra. Vea el problema 20.98). cha vertical que gira con velocidad angular constante v0 ϭ 4 rad͞s.
Determine la fuerza y el par que ejerce la flecha horizontal en el
y centro del disco.

v0 b y

x vd x
z R
l
2 v0

Problema 20.47

20.48 La barra delgada de longitud l y masa m está articulada
al eje vertical en O. El eje vertical gira con velocidad angular
constante v0. Muestre que el valor v0 necesario para que la barra
permanezca en un ángulo constante b respecto a la vertical es

v0 = 23g>12l cos b2.

v0
Problema 20.50

O

l

b

www.FreeLibros.orgProblema20.48

510 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.51 El objeto de la figura a consiste en dos barras delgadas verticales de 1 kg soldadas a la barra delgada horizontal de 4 kg. En
la figura b, el objeto está sostenido por cojinetes en A y B. El disco circular horizontal está soportado por una flecha vertical que gira con
velocidad angular constante v0 ϭ 6 rad͞s. La barra horizontal gira con velocidad angular constante v ϭ 10 rad͞s. En el instante mostrado,
determine las componentes y y z de las fuerzas ejercidas sobre el objeto en A y B.

y

v
yA

0.1 m

z B
x x

0.1 m 0.2 m 0.1 m v0
0.1 m (a)

(b)

Problema 20.51

20.52 El disco circular delgado de 10 lb de la figura está 20.53 El telescopio Hubble está girando respecto a su eje longitu-

unido rígidamente a la flecha delgada horizontal de 12 lb. Ambos dinal con velocidad angular constante v0. El sistema coordenado
está fijo en relación con al panel solar. Respecto al telescopio, el
giran respecto al eje de la flecha con velocidad angular constante
panel solar gira alrededor del eje x con velocidad angular constan-
vd ϭ 20 rad͞s. El ensamble completo gira respecto al eje vertical
con velocidad angular constante v0 ϭ 4 rad͞s. Determine las com- te vx. Suponga que se conocen los momentos de inercia Ixx, Iyy e
ponentes de la fuerza y el par que ejerce el disco sobre la flecha Izz, y que Ixy ϭ Iyz ϭ Izx ϭ 0. Muestre que el momento respecto
al eje x que deben ejercer los mecanismos de servicio sobre el
horizontal.
panel solar es

©Mx = 1Izz - Iyy2v20 ssein u cos u.

vd

12 pulg
v0

18 pulg 18 pulg y
u
Ay y
Az 18 pulg ωx
x
By

Ax x Panel

Bx ω0 solar

z

z
Problema 20.53
www.FreeLibros.orgProblema20.52

Problemas 511

20.54 La placa rectangular delgada que se muestra en la figura ᭤ 20.55* En la figura, el eje del cono circular recto de masa
está unida al bastidor rectangular por medio de pasadores. El basti- m, altura h y radio R gira respecto al eje vertical con velocidad
dor gira con velocidad angular constante v0. Demuestre que angular constante v0. El centro de masa del cono es fijo y su
base rueda sobre el piso. Demuestre que la velocidad angular
d2b = - v 2 ssein b cos b. necesaria para este movimiento es v0 = 210g>3R.
dt 2 0
(Vea el ejemplo 20.6).

b
z

v0 x
v0

z
R

b y h
h Problema 20.55

x
Problema 20.54

᭤ 20.56 El cono homogéneo inclinado que se muestra en la figura experimenta un movimiento estable en el que su extremo plano

rueda sobre el piso mientras el centro de masa permanece en reposo. El ángulo b entre el eje y la horizontal permanece constante, y el

eje gira respecto al eje vertical con velocidad angular constante v0. El cono tiene masa m, radio R y altura h. Demuestre que la veloci-
dad angular v0 que se requiere para este movimiento satisface la ecuación

v02 = g(R ssein b - 1 h cos b) .
4 b-

3 (R2 + 1 h2) sein b cos 3 hR cos 2 b
20 4 40

(Vea el ejemplo 20.6).

v0

b

h
R

www.FreeLibros.orgProblema20.56

512 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.57* Los dos discos delgados que se muestran en la figura están 20.59 Si el conductor de la motocicleta mostrada vira a su izquier-
rígidamente conectados mediante una barra delgada. El radio del da, ¿tenderá el par que ejercen las ruedas sobre la motocicleta a
ocasionar que ésta se incline hacia el lado izquierdo o hacia el
disco grande es de 200 mm y su masa es de 4 kg. El radio del disco derecho del conductor?

pequeño es de 100 mm y su masa es de 1 kg. La barra tiene 400 mm

de longitud y su masa es insignificante. El objeto compuesto experi-

menta un movimiento estable en el que gira respecto al eje verti-

cal y que pasa por su centro de masa con velocidad angular v0. La
barra está horizontal durante este movimiento y el disco grande

rueda sobre el piso. ¿Cuál es el valor de v0?
y

v0

x

z

Problema 20.57 Problema 20.59

20.58 En la figura a se muestra el tren de aterrizaje de un avión 20.60* Sustituyendo las componentes de HO dadas por las ecua-
visto desde la parte posterior del aeroplano. El radio de la rueda ciones (20.9), en la ecuación
es de 300 mm y su momento de inercia es de 2 kg-m2. El avión
despega a 30 m͞s. Después del despegue, el tren se recoge girando ©MO = dHOx i + dHOy + dHOz + ⍀ * HO,
hacia el lado derecho del avión, como se muestra en la figura b. De- dt j k
termine la magnitud del par ejercido por la rueda sobre su soporte
(ignore el movimiento angular del avión). dt dt

deduzca las ecuaciones (20.12).

45 grad/s

300
mm
(a) (b)

www.FreeLibros.orgProblema20.58

20.3 Ángulos de Euler 513

20.3 Ángulos de Euler

ANTECEDENTES

Las ecuaciones del movimiento angular relacionan el momento total que actúa sobre Z, z
un cuerpo rígido con su velocidad y aceleración angulares. Si se conocen el momento
total y la velocidad angular, es posible determinar la aceleración angular. Sin embargo, X, x Y,y
¿cómo puede usarse la aceleración angular para determinar la posición angular u orien- (a) yЈ
tación en función del tiempo? Para explicar cómo se hace esto, primero se debe mostrar Z , zЈ
cómo especificar la orientación de un cuerpo rígido en tres dimensiones.

Se ha visto que para describir la orientación de un cuerpo rígido en movi-
miento plano se requiere sólo el ángulo u que especifica la rotación del cuerpo
respecto a alguna orientación de referencia. En el movimiento tridimensional se
requieren tres ángulos. Para entender por qué, considere un eje particular fijo res-
pecto a un cuerpo rígido. Se necesitan dos ángulos para especificar la dirección
del eje y un tercer ángulo para especificar la rotación del cuerpo rígido respecto
al eje. Aunque comúnmente se usan varios sistemas de ángulos para describir la
orientación de un cuerpo rígido, el mejor sistema conocido es el de los ángulos
de Euler. En esta sección se definen tales ángulos y se expresan las ecuaciones del
movimiento angular en términos de ellos.

Y

Objetos con un eje de simetría

Primero se explica cómo usar los ángulos de Euler para describir la orientación de c xЈ
un cuerpo que tiene un eje de simetría rotacional, porque este caso proporciona las X
ecuaciones más sencillas para el movimiento angular.
(b)
Definiciones Se supone que un objeto tiene un eje de simetría rotacional y se
introducen dos sistemas coordenados: un sistema coordenado secundario xyz, con Z , zЈ y yЈ
su eje z coincidiendo con el eje de simetría del cuerpo, y el sistema coordenado Y
primario XYZ. Se comienza con el objeto en una posición de referencia tal que los u
sistemas xyz y XYZ quedan sobrepuestos (figura 20.11a). z

El primer paso consiste en girar el objeto y el sistema xyz juntos a través de Xc xЈ, x
un ángulo c respecto al eje Z (figura 20.11b). En esta orientación intermedia se
denota con xЈyЈzЈ el sistema coordenado secundario. Enseguida, se gira el objeto (c)
y el sistema xyz juntos a través de un ángulo u respecto al eje xЈ (figura 20.11c).
Finalmente, se gira el objeto respecto al sistema xyz a través de un ángulo f Z y
respecto a su eje de simetría (figura 20.11d). Observe que el eje x permanece en el
plano XY. u
z
Los ángulos c y u especifican la orientación del sistema secundario xyz
respecto al sistema primario XYZ. El ángulo c se denomina ángulo de precesión Y
y u se llama el ángulo de nutación. El ángulo f que especifica el giro del cuerpo f
rígido respecto al sistema xyz, se llama ángulo de giro. Estos tres ángulos especi-
fican la orientación del cuerpo rígido respecto al sistema coordenado primario Xc x
y se llaman ángulos de Euler. Se puede obtener cualquier orientación del objeto res-
pecto al sistema coordenado de referencia mediante una elección apropiada de
estos ángulos: se escoge c y u para obtener la dirección deseada del eje de simetría,
y después se elige f para obtener la posición giratoria deseada del objeto respecto
a su eje de simetría.

Ecuaciones del movimiento angular Para analizar el movimiento de un (d)

objeto en términos de los ángulos de Euler, se deben expresar las ecuaciones del Figura 20.11

movimiento angular en función de ellos. En la figura 20.12a se muestra la rotación c (a) Posición de referencia.

desde la orientación de referencia del sistema xyz hasta su orientación intermedia (b) Rotación c respecto al eje Z.

x¿y¿z¿. La velocidad angular del sistema coordenado d#ebido a la razón de cambio
de c se representa con el vector de velocidad angular c apuntando en la dirección

www.FreeLibros.orgz¿ (seusaelpuntoparadenotarladerivadarespectoaltiempo).Enlafigura20.12b
(c) Rotación u respecto al eje xЈ.
(d) Rotación f del objeto respecto al

sistema xyz.

514 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Z , zЈ se muestra la segunda rotación u. La veloc#idad angular debida a la razón de cam-
c bio de u se representa mediante el vector f apuntando en la dirección x. También

se descompone el vector de velocidad angular c en componentes en las direccio-

nes y y z. Las componentes de la velocidad angular del sistema xyz respecto al sis-

tema coordenado primario son

yЈ # (20.22)
Y x = u,

#
y = c sen u,

y#
z = c cos u.

c xЈ En la figura 20.12c, se represen#ta la velocidad angular del cuerpo rígido respec-
X to al sistema xyz con el vector f. Sumando esta velocidad angular a la del siste-

(a)

zЈ y ma xyz, se obtienen las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido
u
respecto al sistema XYZ:
c
# (20.23)
z csenu vx = u,

#
vy = c seinn u,

yЈ y ##
vz = f + c cos u.
ccosu

u Derivando estas ecuaciones respecto al tiempo se obtiene

(b) xЈ, x dvx = $
y dt u,

zf dvy $ ##
dt = c seinn u + cu cos u, (20.24)
f
y

dvz = $ + $ - ##
dt f c cos u cu seinn u.

A causa de la simetría rotacional del cuerpo, los productos de inercia Ixy, Ixz e
(c) x Iyz son cero, e Ixx ϭ Iyy. La matriz de inercia es de la forma

Figura 20.12 # Ixx 0 0 (20.25)
3I4 = C 0 Ixx 0 S .
(a) Rotación c y velocidad angula#r c.
(b) Rotación u, velocidad ang# ular u, y componentes 0 0 Izz

de la velocidad angular c. #

(c) Rotación f y velocidad angular f. Sustituyendo las ecuaciones (20.22) a (20.25) en las ecuaciones (20.18), se obtie-

nen las ecuaciones del movimiento angular en términos de los ángulos de Euler:

©Mx = $ + 1Izz - Ixx2c# 2 sein u cos u + ## (20.26)
Ixxu Izzfc seinn u, (20.27)
(20.28)
$ ## ## ##
©My = Ixx1c seinn u + 2cu cos u2 - Izz1fu + cu cos u2,

$$ ##
©Mz = Izz1f + c cos u - cu ssein u2.

www.FreeLibros.orgPara determinar los ángulos de Euler en función del tiempo cuando se conoce
el momento total, esas ecuaciones suelen resolverse por integración numérica.

20.3 Ángulos de Euler 515

Sin embargo, se puede obtener una clase importante de soluciones cerradas supo- Z y
niendo un tipo específico de movimiento. u= const.
z Y
Precesión estable El movimiento llamado prece# sión estable se observa común- f= const. c= const.
mente en trompos y giróscopos. La razón de giro f del objeto respecto al sistema x
coordenado xyz se supone constante (figura 20.13). El ángulo de nutación u, es X
decir, la inclinación# del eje de giro z respecto al eje Z, se supone constante; y la Figura 20.13
razón de precesión c, que es la razón a la que el sistema xyz gira respecto al eje Z, Precesión estable.
también se supone constante. El último supuesto explica el nombre dado a este
movimiento.

Con estos supuestos, las ecuaciones (20.26) a (20.28) se reducen a

©Mx = 1Izz - Ixx2c# 2 seinn u cos u + ## u, (20.29)
Izzfc ssein (20.30)

©My = 0,

y (20.31)
©Mz = 0.

Se analizarán dos ejemplos: la precesión estable de un trompo girando y la precesión
estable de un objeto axialmente simétrico que está libre de momentos externos.

Precesión de un trompo El comportamiento peculiar de un trompo (figu- (a)
ra 20.14a) inspiró algunos de los primeros estudios analíticos de los movimientos
tridimensionales de cuerpos rígidos. Cuando el trompo se pone en movimiento, su Z
eje de giro es inicialmente vertical, y se dice que el trompo está dormido. Confor- z
me la fricción reduce la razón de giro, el eje de rotación se inclina girando alrededor
del eje vertical. Esta fase del movimiento se aproxima a la precesión estable (la u
razón de giro disminuye debido a la fricción, pero en la precesión estable se
supone que es constante).

Para analizar el movimiento, se coloca el sistema coordenado primario XYZ
con su origen en la punta del trompo y el eje Z hacia arriba. Luego se alinea el eje z
del sistema xyz con el eje de giro (figura 20.14b). Se supone que la punta del trom-
po descansa en una pequeña depresión, de modo que permanece en un punto fijo
sobre el piso. El ángulo de precesión c y el de nutación u especifican la or#ientación
del eje de giro, y la razón de giro del trompo respecto al sistema xyz es f.

El peso del trompo ejerce un momento ©Mx ϭ mgh sen u respecto al origen, y
los momentos ©My ϭ 0 y ©Mz ϭ 0. Sustituyendo ©Mx ϭ mgh sen u en la ecuación
(20.29), se obtiene

f hy
mg
mgh = 1Izz - Ixx2c# 2 cos u + ## (20.32)
Izzfc,

y las ecuaciones (20.30) y (20.31) se satisfacen de manera idéntica. La ecuación Y

(20.32) relaciona la razón de giro, el áng# ulo de nutación y la razón de precesión. Por
ejemplo, si se conoce la razón de giro# f y el ángulo de nutación u, se puede despe-
jar la razón de precesión del trompo c.
c
X
Precesión estable libre de momento Un objeto simétrico a su eje en rota- x

ción, sin momentos externos, como un satélite simétrico a su eje en órbita, puede (b)

exhibir un movimiento similar al de precesión estable de un trompo. Este movi- Figura 20.14
(a) Un trompo girando parece desafiar la
miento se observa cuando se lanza un balón de fútbol americano en espiral “osci-

lante”. Para analizarlo, se coloca el origen del sistema xyz en el centro de masa del gravedad.

objeto (figura 20.15a). La ecuación (20.29) se vuelve (b) El ángulo de precesión c y el ángulo

##

www.FreeLibros.org1Izz - Ixx2ccosu + Izzf = 0,
(20.33) de nutación u especifican la orientación
del eje de giro.

516 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Z Z Figura 20.15
(a) Objeto simétrico a su eje.
u y y (b) Los puntos sobre la línea recta inclinada el
z u
ángulo b respecto al eje z están fijos respecto
f z al sistema coordenado XYZ.
Y (c), (d) Conos de cuerpo y espacial. El cono de
b cuerpo rueda sobre el cono espacial fijo.
(e) Cuando b Ͼ u, la superficie interior del cono
de cuerpo rueda sobre el cono espacial fijo.

c x
X
(b)
(a)

Z Cono Z Cono Z
u espacial u espacial
b z
z y u Cono
f b espacial

z y

b

Cono Y Y
del cuerpo x

Cono c Cono
del cuerpo (d) x del cuerpo

X c

(c) X (e)

y las ecuaciones (20.30) y (20.31) se satisfacen de manera idéntica. Para un valor
dado del ángulo de nutación, la ecuación (20.33) relaciona las razones de prece-
sión y giro del objeto.

La ecuación (20.33) puede interpretarse de manera que sea posible visualizar
el movimiento. Se busca un punto en el plano y-z para el cual la velocidad del cuer-
po respecto al centro de masa sea cero en el instante actual. Se desea encontrar un
punto con coordenadas (0, y, z) tal que

# ##
␻ * 1yj + zk2 = 31c# ssein u2j + 1#f + #c cos u2k4 * 3yj + zk4

= 3zc sein u - y1f + c cos u24i = 0.

Esta ecuación se satisface en puntos del plano y-z tales que
#
y c ssein u
= # #.
z f + c cos u

Esta relación se satisface con los puntos sobre la recta negra punteada de la fi-

gura 20.15b, donde #

y c ssein u
tan b = = # #.
z f + c cos u

#
Despejando de la ecuación (20.33) f y sustituyendo el resultado en la ecuación

anterior, se obtiene

www.FreeLibros.orgtanb = a Izz b tan u.
Ixx

20.3 Ángulos de Euler 517

Si Ixx Ͼ Izz, el ángulo b Ͻ u. En la figura 20.15c se muestra un cono imaginario de Z, z
la mitad del ángulo b, llamado cono de cuerpo, cuyo eje coincide con el eje z. Este
cono está en contacto con uno fijo llamado cono espacial, cuyo eje coincide con Y, y
el eje Z. Si el cono de cuerpo rueda sobre la superficie curva del cono espacial con-
forme el eje z precesa respecto al eje Z (figura 20.15d), los puntos del cono de X, x
cuerpo sobre la recta de la figura 20.15b tienen velocidad cero respecto al sistema (a)
XYZ. Esto significa que el movimiento del cono de cuerpo es idéntico al del objeto.
Se puede visualizar el movimiento del objeto observando el movimiento del cono Z , zЈ
de cuerpo a medida que rueda alrededor de la superficie exterior del cono espacial.
Este movimiento se llama precesión directa. yЈ
Y
Si Ixx Ͻ Izz, el ángulo b Ͼ u. En este caso se debe visualizar la superficie inte-
rior del cono de cuerpo rodando sobre el cono espacial fijo (figura 20.15e). Este X c xЈ
movimiento se llama precesión retrógrada. (b)

Objetos arbitrarios Z , zЈ yЉ

En el análisis de objetos axialmente simétricos, se consideró que el objeto se
movía respecto al sistema coordenado secundario xyz, girando alrededor del eje z.
En consecuencia, sólo se requieren dos ángulos —el ángulo de precesión c y el
ángulo de nutación u— para especificar la orientación del sistema coordenado xyz,
y esto simplifica las ecuaciones de movimiento angular. El objeto debe ser axial-
mente simétrico respecto al eje z, por lo que los momentos y productos de inercia
no cambiarán mientras éste gira. En el caso de un objeto arbitrario, los momentos
y productos de inercia serán constantes sólo si el sistema coordenado xyz está fijo
al cuerpo. Esto significa que se requieren tres ángulos para especificar la orienta-
ción del sistema coordenado; las ecuaciones de movimiento angular resultantes
son más complicados.

Definiciones Se comienza con una posición de referencia en la que los siste-

mas fijo al cuerpo xyz y primario XYZ están sobrepuestos (figura 20.16a). Primero zЉ u
se gira el sistema xyz a través del ángulo de precesión c respecto al eje Z (figu- yЈ
ra 20.16b) y se denota con xЈyЈzЈ en esta orientación intermedia. Luego se gira el

sistema xyz a través del ángulo de nutación u respecto al eje xЈ (figura 20.16c) y se Y

denota con x ЉyЉzЉ. Se obtiene la orientación final del sistema xyz girándolo a tra-

vés del ángulo f respecto al eje z Љ (figura 20.16d). Observe que se ha usado una Xc xЈ, xЉ
rotación más del sistema xyz que en el caso de un objeto axialmente simétrico.

Por medio de estas tres rotaciones se puede obtener cualquier orientación del (c)

sistema coordenado fijo al cuerpo respecto al sistema coordenado de referencia. Se y
escoge c y u para obtener la dirección deseada del eje z y después se elige f para yЉ
obtener la orientación deseada de los ejes x e y.

Como en el caso de un cuerpo con simetría rotacional, se deben expresar las zЉ, z x
componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido en términos de los ángulos

de Euler para obtener las ecuaciones del movimiento angular. En la figura 20.17a,

se muestra la rotación c desde la orientación de referencia del sistema xyz hasta la f

orientación intermedia xЈyЈzЈ. La velocidad angular del sistema coo#rdenado fijo al xЉ
cuerpo debido a la razón de cambio de c se representa con el vector c apuntando en

la dirección zЈ. En la figura 20.17b se muestra la siguiente rotación u que lleva al sis-

tema fijo al cuerpo a la orientación intermedia xЉyЉzЉ#. La velocidad angular debida (d)
a la razón de cambio de u se representa con el vector u apuntando en la dirección xЉ.

E# n esta figura, también se muestran las componentes del vector de velocidad angular Figura 20.16
c en las direcciones yЉ y zЉ. En la figura 20.17c se muestra la tercera rotación f (a) Posición de referencia.

que lleva al sistema fijo al cuerpo a su orientación final definida por los tres ángulos (b) Rotación c respecto al eje Z.
de Euler. L# a velocidad angular debida a la razón de cambio de f se representa con

www.FreeLibros.orgel vector f apuntando en la dirección z.
(c) Rotación u respecto al eje x¿.
(d) Rotación f respecto al eje z–.

518 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Z, zЈ zЈ yЉ y yЉ
cؒ cؒ
zЉ cؒ u zЉ, z fؒ cؒ sen u
senu cؒ cos u x
yЈ yЈ uؒ
Y f
cؒ cos u (c) xЉ

uؒ

X c xЈ xЈ, xЉ
(a) (b)

y

yЉ x yЉ x z cؒ sen u cos f Ϫ uؒ sen f
y cؒ sen u y

f uؒ cos f f
cؒ sen u sen f
cؒ sen u cos f uؒ xЉ cؒ cos u ϩ fؒ x
xЉ
cؒ sen u sen f ϩuؒ cos f
uؒ sen f

(d) (e) (f)

Figura 20.17 #

(a) Rotación c y velocidad angular# c. #
(b) Rotación u, velocidad angular u, #y componentes de c en el sistema x–y–z–
(c) Rotación f y velocidad angular f.
##
(d), (e) Componentes de las velocidades angulares csseinn u y u en el sistema xyz.

(f) Velocidades angulares vx, vy, vz.

Para determinar vx, vy y vz en términos de los ángulos de Euler, es necesario
determinar las componentes de las velocidad#es a#ngulares de la figura 20.17c en las
direcciones de los ejes x, y y z. Los vectores f y c cos u apuntan en la dirección del

eje z. En las figuras 20.17d y e, que están dibujadas con el eje z apu# ntando ha# cia
afuera de la página, se determinan las componentes de los vectores c sein u y f en

las direcciones de los ejes x– y y–. Sumando las componentes de las velocidades

angulares en las tres direcciones coordenadas (figura 20.17f), se obtiene

## (20.34)
vx = c sein u seinn f + u cos f,

##
vy = c sein u cos f - u ssein f,

##
vz = c cos u + f.

Las derivadas respecto al tiempo de estas ecuaciones son

dvx = $ + ## + ##
c sein u ssein f cu cos u sein f cf ssein u cos f
dt
$ ##
+ u cos f - uf sein f,

dvy $ # # # # (20.35)
dt = c seinn u cos f + cu cos u cos f - cf ssein u sein f

$ ##
- u seinn f - uf cos f,

$ ## $
c cos u cu ssein u f.
www.FreeLibros.orgdvz = - +
dt

20.3 Ángulos de Euler 519

Ecuaciones del movimiento angular Con las ecuaciones (20.34) y (20.35)
se pueden expresar las ecuaciones del movimiento angular en términos de los tres
ángulos de Euler. Para simplificar las ecuaciones, se supone que el sistema coor-
denado xyz fijo al cuerpo es un conjunto de ejes principales. (Vea el apéndice de
este capítulo). Entonces, las ecuaciones del movimiento angular, ecuaciones
(20.18), se convierten en

©Mx = Ixx dvx - 1Iyy - Izz2vy vz,
dt

dvy
©My = Iyy dt - 1Izz - Ixx2vz vx,

©Mz = Izz dvz - 1Ixx - Iyy2vx vy.
dt

Sustituyendo las ecuaciones (20.34) y (20.35) en estas relaciones, se obtienen las
ecuaciones del movimiento angular en términos de los ángulos de Euler:

$$
©Mx = Ixx c ssein u sein f + Ixx u cos f
## ## ##
+ Ixx1cu cos u ssein f + cf sein u cos f - uf sein f2
# ## #
- 1Iyy - Izz21c ssein u cos f - u sein f21c cos u + f2,

$$
©My = Iyy c sein u cos f - Iyy u ssein f (20.36)
## ## ##
+ Iyy1cu cos u cos f - cf ssein u sein f - uf cos f2
# ## #
- 1Izz - Ixx21c cos u + f21c sein u sein f + u cos f2,
$ $ ##
©Mz = Izz c cos u + Izz f - Izz c u sein u
## # #
- 1Ixx - Iyy21c sein u seinn f + u cos f21c sein u cos f - u sein f2.

Si se conocen los ángulos de Euler junto con sus primeras y segundas derivadas
respecto al tiempo, se pueden resolver las ecuaciones (20.36) para obtener las compo-
nentes del momento total. O, si se conoce el momento total, los ángulos de Euler y
sus primeras derivadas respecto al tiempo, es posible determinar las segundas deri-
vadas de los ángulos de Euler. De esta manera se pueden encontrar los ángulos de
Euler en función del tiempo cuando se conoce el momento total, pero usualmente
se requiere una integración numérica.

RESULTADOS

Los ángulos de Euler son un conjunto de ángulos usados para describir la orienta-
ción de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia primario.

Ángulos de Euler para un objeto con un eje de simetría

Z, z

Objeto con un eje de simetría. El sistema coordenado pri-
mario XYZ y un sistema coordenado secundario xyz están
Y, y superpuestos. Los ejes Z y z están alineados con el eje de
simetría del objeto.

wwX,x w.FreeLibros.org

520 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos Z, z¿

El primer ángulo de Euler c, el ángulo de precesión, es- y¿
pecifica una rotación del sistema coordenado secundario Y
y el objeto respecto al eje Z. Observe que la rotación
está en la dirección positiva de la regla de la mano dere- X c x¿
cha cuando el pulgar de dicha mano apunta en la direc-
ción positiva del eje Z. En esta posición intermedia, el Z, z¿ y
sistema coordenado secundario se marca x¿ y¿ z¿.
u y¿
El segundo ángulo de Euler u, el ángulo de nutación, es- z
pecifica una rotación del sistema coordenado secundario
y el objeto respecto al eje x¿. Y

Xc x¿, x

Zy

El tercer ángulo de Euler f, el ángulo de giro, especifica una u
rotación del objeto respecto al sistema coordenado secundario z
alrededor del eje z. Esto significa que el sistema coordenado
secundario no está fijo al cuerpo. Sin embargo, debido a la si- Y
metría del objeto, los momentos y productos de inercia expre- f
sados en términos del sistema coordenado xyz son constantes.
Xc
x

Las componentes de la velocidad angular del cuerpo rígido . (20.23)
respecto al sistema coordenado primario pueden expresarse vx ϭ u,
en términos de los ángulos de Euler. Los puntos denotan
derivadas respecto al tiempo. .
vy ϭ c sen u,

..
vz ϭ f ϩ c cos u.

Z y Precesión estable

u = const. Y
z
f = const.

c = const.
Xx

Ecuaciones de movimiento angular en ⌺Mx ϭ (Izz Ϫ Ixx)c. 2 sen u cos u ϩ Izz .. sen u, (20.29)
fc

precesión estable., en las que se supone la⌺My ϭ 0, (20.30)
razón.de giro f, la razón de precesión c,⌺Mz ϭ 0. (20.31)

www.FreeLibros.orgy el ángulo de nutación u son constantes.

20.3 Ángulos de Euler 521

Z
z

u

f hy
mg Y

c x
X

Ecuación que describe la precesión mgh ϭ (Izz Ϫ Ixx)c.2 cos u ϩ Izz .. (20.32)
estable de un trompo simétrico. fc.

Precesión estable libre de momento

Z y

u
z

f

c Y
X x

Ecuación que describe la precesión(Izz Ϫ . cos u ϩ Izz . ϭ 0. (20.33)
estable de un objeto simétrico que no Ixx)c
f
www.FreeLibros.orgestá sometido a momentos externos.

522 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Conos espacial y de cuerpo

Z

Una forma de visualizar la prece- Z u Cono
sión estable libre de momento. El espacial
cono espacial está fijo en el espacio. u Cono z
El cono de cuerpo rueda sobre la zb espacial Cono
superficie del cono espacial. El ob- espacial
jeto en precesión experimenta el f y y
mismo movimiento que el cono de
cuerpo. El ángulo b se relaciona Cono de b Y
con el ángulo de nutación mediante cuerpo x
Cono de
΂ ΃tan b ϭ Izz tan u. X Y cuerpo
Ixx
cx

Z

z
u
b

Si b Ͼ u, la superficie interior
del cono de cuerpo rueda sobre
la superficie exterior del cono
espacial.

Cono de c
cuerpo

X

Ángulos de Euler para un objeto arbitrario

Z , z Z , zЈ

yЈ

Y, y Y

El sistema coordenado xyz está fijo X, x X c xЈ
al cuerpo y alineado con el sistema (a) (b)
coordenado primario XYZ en la
orientación inicial (a). El ángulo de Z , zЈ yЉ y
precesión c es una rotación del ob- yЉ
jeto respecto al eje Z (b). El ángulo u
de nutación u es una rotación del zЉ zЉ, z x
objeto respecto al eje x¿ (c). El án-
gulo de giro f es una rotación del yЈ f
objeto respecto al eje z– (d).
Y

xЉ

xЈ, xЉ
www.FreeLibros.orgX c
(c)(d)

20.3 Ángulos de Euler 523

Las componentes de la velocidad .. (20.34)
angular del cuerpo rígido respecto al vx ϭ c. sen u sen f ϩ u. cos f,
sistema coordenado primario pueden vy ϭ c. sen u cos.f Ϫ u sen f,
expresarse en términos de los ángu- vz ϭ c cos u ϩ f.
los de Euler. Los puntos denotan de-
rivadas respecto al tiempo.

Ecuaciones de movimiento angular .. .. ..
en términos de los ángulos de Euler .. .. ..
cuando el sistema coordenado xyz .
es un conjunto de ejes principales. . (20.36)
.. ..
.. .. .
. ..
.. ..
.. .. ..
.
.

Ejemplo activo 20.7 Precesión estable de un disco (᭤ Relacionado con el problema 20.63)

El disco circular delgado de radio R y masa m que se muestra en la figura rueda
a lo largo de una trayectoria circular de radio r sobre una superficie horizontal. El
ángulo u entre el eje del disco y la vertical permanece constante (una moneda rodan-
do describe un movimiento de este tipo). Determine la magnitud v de la velocidad
del centro del disco en función del ángulo u.

r
u

R

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524 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Estrategia
Se puede determinar la velocidad del centro del disco suponiendo que éste se en-
cuentra en precesión estable y determinando las condiciones necesarias para que
las ecuaciones del movimiento se satisfagan.

Considere que el eje z de un sistema coordenado

secundario está alineado con el eje de giro del y

disco y suponga que el eje x permanece paralelo a

la superficie horizontal. u es el ángulo de notación. u rG ϭ r Ϫ R cos u
z
El centro del disco se mueve en una trayectoria

circular de radio rG ϭ r Ϫ R cos u. Por lo tanto, v
la razón de precesión —la razón a la que el eje x

gira en el plano horizontal— es

.v (1) x
cϭ .

rG

De las ecuaciones (20.23), las componentes de la

velocidad angular del disco son

.
vx ϭ u ϭ 0,

.v
vy ϭ c sen u ϭ rG sen u,
.. .v
vz ϭ f ϩ c cos u ϭ f ϩ cos u,
. rG

donde f es la razón de giro. Se expresa la velocidad

Determine la razón de giro del disco del punto del disco en contacto con la superficie en
en términos de la velocidad v usando
el hecho de que la velocidad del términos de la velocidad del centro:
punto del disco en contacto con la
superficie es cero. 0 ϭ vi ϩ ␻ ϫ (ϪRj)

ij k

v .v
ϭ vi ϩ 0 rG sen u f ϩ rG cos u .

0 ϪR 0

Desarrollando el determinante y despejando la razón
de giro se obtiene

΂ ΃. 1 1 (2)

f ϭ Ϫv R ϩ rG cos u .

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20.3 Ángulos de Euler 525

y

u v2
z an ϭ rG

mg x
T

N

Aplique la segunda ley de Newton. El N ϭ mg, (3)
centro de masa del disco no tiene acelera- T ϭ m rvG2. (4)
ción vertical, por lo que la fuerza normal
ejercida por la superficie es igual al peso
del disco. Como un resultado del movi-
miento del centro de masa a lo largo de
su trayectoria circular, tiene una compo-
nente normal de aceleración an ϭ v2/ rG.

Usando las ecuaciones (3) y (4), calcule ⌺Mx ϭ TR sen u Ϫ NR cos u
el momento total respecto al eje x.
ϭ m v2 R sen u Ϫ mgR cos u. (5)
rG

Sustituya las ecuaciones (1), (2) y (5) en la 4g(r Ϫ R cos u)2 cot u
ecuación (20.29) para la precesión estable y v ϭ 6r Ϫ 5R cos u .

use las relaciones Ixx ϭ 1 mR2 e Izz ϭ 1 mR2
4 2

para determinar la velocidad.

Problema de práctica Suponga que el objeto rodante es un aro circular de radio R
y masa m, de manera que Ixx = 21mR2 e Izz = mR2. Determine la magnitud v de la ve-
locidad del centro del aro como una función del ángulo u.

2g(r - R cos u)2 cot u

www.FreeLibros.orgRespuesta: v = A 4r - 3Rcosu .

526 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

Problemas

20.61 Un barco tiene un motor de turbina. El eje de giro de la ᭤ 20.63 El radio del disco de 5 kg que se muestra en la figura
turbina axial asimétrica que se muestra en la figura es horizontal y es R ϭ 0.2 m. El disco está articulado con la flecha horizontal y
está alineada con el eje longitudinal del barco. La turbina gira a gira con velocidad angular constante vd ϭ 6 rad͞s respecto a la
10,000 rpm. Su momento de inercia respecto a su eje de giro es flecha. La flecha vertical gira con velocidad angular constante
de 1000 kg-m2. Si el barco vira a una razón constante de 20 grados
por minuto, ¿cuál es la magnitud del momento que ejerce la turbi- v0 ϭ 2 rad͞s. Tratando el movimiento del disco como una prece-
na sobre el barco? sión estable, determine la magnitud del par ejercido por la flecha

Estrategia: Trate el movimiento de la turbina como una horizontal sobre el disco. (Vea el ejemplo activo 20.7).
precesión estable con ángulo de nutación u ϭ 90°.

vd

R
v0

Problema 20.63

Problema 20.61 20.64 El helicóptero de la figura se encuentra en reposo. El eje z
del sistema coordenado fijo al cuerpo apunta hacia abajo y coincide
20.62 El centro de la rueda A del auto mostrado viaja en una tra- con el eje del rotor del helicóptero. El momento de inercia del rotor
yectoria circular alrededor de O a 15 mi͞h. El radio de la rueda respecto al eje z es de 8600 kg-m2. Su velocidad angular es
es de 1 pie y su momento de inercia respecto a su eje de rotación es Ϫ258k (rpm). Si el helicóptero comienza una maniobra de lanza-
de 0.8 slug-pie2. ¿Cuál es la magnitud del momento externo total miento durante la cual su velocidad angular es 0.02j (rad͞s), ¿cuál
respecto al centro de masa de la rueda? es la magnitud del momento giroscópico ejercido por el rotor sobre
el helicóptero? ¿El momento tiende a causar que el helicóptero
Estrategia: Trate el movimiento de la rueda como una prece- ruede respecto al eje x en el sentido de las manecillas del reloj
sión estable con ángulo de nutación u ϭ 90°. (como se ve en la fotografía) o en la dirección contraria?

O x
18 pies
y

z

A Problema 20.64

www.FreeLibros.orgProblema20.62

Problemas 527

20.65 La barra doblada que se muestra en la figura está rígida- 20.68 El cohete está en precesión estable lib#re de momento con
mente unida a la flecha vertical, la cual gira con velocidad angular ángulo de nutación u ϭ 40° y razón de giro f = 4 revoluciones
constante v0. El disco de masa m y radio R está articulado a la por segundo. Sus momentos de inercia son Ixx ϭ 10,000 kg-m# 2 e
barra doblada y gira con velocidad angular constante vd respecto Izz ϭ 2000 kg-m2. ¿Cuál es la razón de precesión del cohete c en
a la barra. Determine las magnitudes de la fuerza y el par ejercidos revoluciones por segundo?
por la barra sobre el disco.
20.69 Trace un bosquejo de los conos de cuerpo y espacial para
20.66 La barra doblada que se muestra en la figura está rígida- el movimiento del cohete del problema 20.68.
mente unida a la flecha vertical, la cual gira con velocidad angular
constante v0. El disco de masa m y radio R está articulado a la zZ
barra doblada y gira con velocidad angular constante vd respecto u
a la barra. Determine el valor de vd para el cual la barra no ejerce
ningún par sobre el disco.

y
fؒ
R

Y

vd c x
b X
v0
Problemas 20.68/20.69
b
h 20.70 El trompo de la figura está en precesión e# stable con ángulo
de nutación u = 15° y razón de precesión c = 1 revolución
Problemas 20.65/20.66 por segundo. La masa del trompo es de 8 ϫ 10Ϫ4 slugs, su centro
de masa está a 1 pulg de la punta y sus momentos de inercia son
Ixx ϭ 6 ϫ 10Ϫ6# slug-pie2 e Izz ϭ 2 ϫ 10Ϫ6 slug-pie2. ¿Cuál es la
razón de giro f del trompo en revoluciones por segundo?

20.67 Un disco circular delgado experimenta precesión estable 20.71 Suponga que el t#rompo descrito en el problema 20.70
libre de momento. El eje z es perpend#icular al #disco. Demuestre que tiene una razón de giro f = 15 revoluciones por segundo. Dibuje
la razón de precesión del disco es c = - 2f>cos u. (Observe una gráfica de la razón de precesión (en revoluciones por segun-
que cuando el ángulo de nutación es pequeño, la razón de prece- do) en función del ángulo de nutación u para valores de u entre
sión es aproximadamente igual a dos veces la razón de giro). cero y 45°.

Z
z

u

zZ y
u

fؒ fؒ y
Y

cx Y
X
c x
Problema 20.67 X

Problemas 20.70/20.71

www.FreeLibros.org

528 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos

20.72 El rotor de un giróscopo bamboleante puede modelarse co- 20.76* Los dos discos delgados que se muestran en la figura están
mo si estuviera en precesión estable libre de momentos. Los momen- rígidamente conectados mediante una barra delgada. El radio del
tos de inercia del giróscopo #son Ixx ϭ Iyy ϭ 0.04 kg-m2 e Izz ϭ 0.18
kg-m2. Su razón de giro es f = 1500 rpm y la nutación del ángulo disco grande es de 200 mm y su masa es de 4 kg. El radio del disco
es u ϭ 20°.
a) ¿Cuál es la razón de precesión del giróscopo en rpm? pequeño es de 100 mm y su masa es de 1 kg. La barra tiene 400 mm

b) Trace un bosquejo de los conos de cuerpo y espacial. de longitud y su masa es insignificante. El objeto compuesto

20.73 Un satélite puede modelarse como un cilindro de 800 kg experimenta un movimiento estable en el que gira respecto al eje
de 4 m de longitud y 2 m de# diámetro. Si el ángulo de nutación es
u ϭ 20° y su razón de giro f es# de una revolución por segundo, vertical y que pasa por su centro de masa con velocidad angular
¿cuál es su razón de precesión c en revoluciones por segundo?
v0. Durante este movimiento, la barra se encuentra en posición
horizontal y el disco grande rueda sobre el piso. Determine v0 tra-
tando el movimiento como precesión estable.

y
v0

Z y
zu

x

fؒ z
Y

c x
X
Problema 20.76

Problema 20.73 20.77* Suponga que usted está probando un auto y que usa

20.74* El trompo mostrado consiste en un disco delgado unido a acelerómetros y giróscopos para medir sus ángulos de Euler y sus
una barra delgada. El radio del disco es de 30 mm y su masa es de
0.008 kg. La longitud de la barra es de 80 mm y su masa es insig- derivadas respecto a un sistema coordenado de referencia. En un
nificante en comparación con el disco. Cuando el trompo está en
precesión estable con un ángulo de nutación de 10°, se observa que instante particular, c ϭ 15°, u ϭ 4°, f ϭ 15°, las razones de
la razón de precesión es de 2 revoluciones por segundo en la misma
dirección en la que está girando el trompo. ¿Cuál es la razón de cambio de los ángulos d$e Euler$son cero y sus fs$eg=un-da0s.5deraridv/as2d.as
giro del trompo? respecto al tiempo son c = 0, u = 1 rad/s2, y

Los momentos de inercia principales del auto en kg-m2 son

Ixx ϭ 2200, Iyy ϭ 480 e Izz ϭ 2600. ¿Cuáles son las componentes
del momento total respecto al centro de masa del auto?

10Њ 20.78* Si los ángulos de Euler y sus segundas derivadas para el
automóvil descrito en el problem#a 20.77 tienen l# os valores dados,
p# ero sus razones de cambio son c = 0.2 rad/s, u = - 2 rad/s, y
f = 0, ¿cuáles son las componentes del momento total respecto
al centro de masa del automóvil?

20.79* Suponga que los ángulos de Euler del auto descrito en el
problema 20.77 son c ϭ 40°, u ϭ 20° y f ϭ 5°, sus razones de

cambio son cero y las componentes del momento total respecto al
centro de masa del auto son ©Mx ϭ Ϫ400 N-m, ©My ϭ 200 N-m
y ©Mz ϭ 0. ¿Cuáles son las componentes x, y y z de la aceleración
angular del automóvil?

zZ

Problema 20.74 x y
Y

X
Problemas 20.77–20.79
20.75 Resuelva el problema 20.58 tratando el movimiento como

www.FreeLibros.orgprecesiónestable.

Apéndice: Momentos y productos de inercia 529

Apéndice: Momentos y productos de inercia y

Para usar las ecuaciones de movimiento a fin de predecir el comportamiento de un dm
cuerpo rígido en tres dimensiones, es necesario conocer sus momentos y productos
de inercia, dados por las ecuaciones (20.10) y (20.11). En este apéndice se demues- y
tra cómo pueden evaluarse los momentos y productos de objetos simples como
barras delgadas y placas delgadas. Se deducen los teoremas de los ejes paralelos, x
lo que hace posible determinar los momentos y productos de inercia de objetos z
compuestos. También se introduce el concepto de ejes principales, que simplifica zx
las ecuaciones de movimiento angular. Figura 20.18
Determinación de los momentos y pro-
Objetos simples ductos de inercia modelando un objeto
como una distribución continua de masa.
Si se modela un cuerpo rígido como una distribución continua de masa, es posible
expresar la matriz de inercia [ecuaciones (20.10) y (20.11)] como

Ixx - Ixy - Ixz
3I4 = C - Iyx Iyy - Iyz S

- Izx - Izy Izz

1y2 + z22 dm - xy dm - xz dm
Lm Lm Lm
= F - yx dm
1x2 + z22 dm - yz dm V , (20.37)
Lm Lm Lm
- zx dm
- zy dm 1x2 + y22 dm
Lm Lm Lm

donde x, y y z son las coordenadas del elemento diferencial de masa dm (fi-
gura 20.18).

Barras delgadas Considere que el origen del sistema coordenado está en el
centro de masa de una barra delgada, con el eje x dirigido a lo largo de la barra
(figura 20.19a). La barra tiene longitud l, área A en su sección transversal, y masa m. Se
supone que A es uniforme a lo largo de la barra y el material es homogéneo.

Considere un elemento diferencial de la barra de longitud dx a una distancia
x del centro de masa (figura 20.19b). La masa del elemento es dm = rA dx,
donde r es su densidad de masa. Se decide ignorar las dimensiones laterales de la
barra y se supone que las coordenadas del elemento diferencial dm son (x, 0, 0).
Como consecuencia de esta aproximación, el momento de inercia de la barra res-
pecto al eje x es cero:

Ixx = 1y2 + z22 dm = 0.
Lm

y y

dm ϭ rA dx
A

zl zx Figura 20.19

(a) Barra delgada y un sistema coordenado

dx x con el eje x alineado con la barra.
x

www.FreeLibros.org(a)
(b) Un elemento diferencial de masa con
(b) longitud dx.