330 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
y
A vA rel
aA rel
B x
z
Figura 17.27
Imagínese a usted mismo en reposo respecto al
cuerpo rígido.
A fin de obtener una ecuación para la aceleración del punto A, se deriva respec-
to al tiempo la ecuación (17.11) y se usa la ecuación (17.12). El resultado es (vea el
problema 17.142)
Av aA = aB + (a'A r'el '+'2''*'v'A r'el '+'␣'*)r'A>'B '+ ''*'1''*'r'A>'B2*, (17.13)
(a) aA>B
donde
v d 2x d 2y d 2z (17.14)
aA rel = dt 2 i + dt 2 j + dt 2 k
A es la aceleración de A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo. Es decir, aA es
B la aceleración A respecto al marco de referencia primario, y aA rel es la aceleración
de A relativa al cuerpo rígido.
(b)
En el caso del movimiento plano es posible expresar la ecuación (17.13) en la
x forma más sencilla
v aA = aB + (a'A r'el '+'2' '*'v'A r'el )+ '␣'*'r'A>B''- 'v2'rA'>B*.
aA>B
y (17.15)
x
vA rel ϭ vi
A En resumen, vA y aA son la velocidad y la aceleración del punto A respecto al
B marco de referencia primario—el marco de referencia respecto al cual se describe
el movimiento del cuerpo rígido. Los términos vA rel y aA rel son la velocidad y la
(c) aceleración del punto A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo. Es decir, son
vx la velocidad y la aceleración medidas por un observador que se mueve con el cuer-
y x po rígido (figura 17.27). Si A es un punto del cuerpo rígido. Entonces vA rel y aA rel
son iguales a cero, y las ecuaciones (17.11) y (17.13) son idénticas a las ecuaciones
(17.8) y (17.9).
v Estos conceptos pueden ilustrarse con un ejemplo simple. En la figura 17.28a
A se muestra un punto A que se mueve con velocidad v paralela al eje de una barra.
B (Imagine que A es un insecto caminando a lo largo de la barra). Suponga que al
mismo tiempo, la barra gira respecto a un punto fijo B con una velocidad angular
(d) constante v relativa a un marco de referencia fijo a la Tierra (figura 17.28b). Se
Figura 17.28 usará la ecuación (17.11) para determinar la velocidad de A respecto al marco de
(a) Punto que se mueve a lo largo de una referencia fijo a la Tierra.
barra. Considere que el sistema coordenado de la figura 17.28c está fijo con respecto
(b) La barra está girando. a la barra, y sea x la posición actual de A. En términos de este marco de referencia
(c) Marco de referencia fijo al cuerpo.
www.FreeLibros.org(d) ComponentesdevA.
fijo al cuerpo, el vector de velocidad angular de la barra (y el marco de refe-
rencia) respecto al marco de referencia primario fijo a la Tierra es = vk. En
17.6 Contactos deslizantes 331
relación con el marco de referencia fijo al cuerpo, el punto A se mueve a lo largo
del eje x con velocidad v, por lo que vA rel = vi. A partir de la ecuación (17.11),
la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es
vA = vB + vA rel + * rA>B
= 0 + vi + 1vk2 * 1xi2
= vi + vxj.
Respecto al marco de referencia fijo a la Tierra, A tiene una componente de velo-
cidad paralela a la barra y también una componente perpendicular debida a la rota-
ción de la barra (figura 17.28d). Aunque vA es la velocidad de A respecto al marco
de referencia fijo a la Tierra, observe que se expresa en componentes que están en
términos del marco de referencia fijo al cuerpo.
RESULTADOS
y
A
rA/B
Bx Marco de
referencia secundario
z rA (fijo al cuerpo)
rB
O
Marco de
referencia
primario
Los términos vA, vB, aA, y aB son las velocidades y
aceleraciones de los puntos A y B respecto al marco de
referencia primario. y ␣ son la velocidad y la acele- vA ϭ vB ϩ vA rel ϩ ϫ rA/B, (17.11)
ración angulares del cuerpo rígido respecto al marco aA ϭ aB ϩ aA rel ϩ 2 ϫ vA rel
de referencia primario. El término
vA rel ϭ dx iϩ dy jϩ dz k (17.12) ϩ ␣ ϫ rA/B ϩ ϫ ( ϫ rA/B). (17.13)
dt dt dt
En el caso del movimiento plano, la ecuación
es la velocidad de A relativa al marco de referencia se- (17.13) puede escribirse
cundario, es decir, respecto al cuerpo rígido. El término
aA ϭ aB ϩ aA rel ϩ 2 ϫ vA rel
d2x d2y d2z
aA rel ϭ dt2 iϩ dt2 jϩ dt2 k (17.14) ϩ ␣ ϫ rA/B Ϫ v2rA/B. (17.15)
es la aceleración de A respecto al marco de referencia
wwsecundariwo. .FreeLibros.org
332 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 17.7 Eslabonamiento con un contacto deslizante (᭤ Relacionado con el problema 17.117)
10 rad/s2 A La barra AB de la figura tiene una velocidad angular de 2 rad͞s y una aceleración
2 rad/s 400 mm angular de 10 rad͞s2, ambas en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En
el instante mostrado, determine la velocidad angular de la barra AC y la velocidad
BC del pasador A respecto a la ranura de la barra AB.
800 mm
Estrategia
Introduciendo un marco de referencia secundario que esté fijo con respecto a la
barra ranurada AB, se puede aplicar la ecuación (17.11) a los puntos A y B, para así
expresar la velocidad del pasador A en términos de su velocidad relativa a la ranu-
ra (el término vA rel) y la velocidad angular conocida de la barra AB. El pasador A
es un punto de la barra AC, por lo que también se puede aplicar la ecuación (17.8)
a los puntos A y C a fin de expresar la velocidad del pasador A en términos de la ve-
locidad angular desconocida de la barra AC. Igualando las dos expresiones para la
velocidad de A, se obtendrán dos ecuaciones en términos de la velocidad de A res-
pecto a la ranura y de la velocidad angular de la barra AC.
Solución
y A
10 rad/s2 rA/B 400 mm
2 rad/s C x
B
800 mm vA ϭ vB ϩ vA rel ϩ ϫ rA/B
El sistema coordenado está fijo con respecto a i jk
la barra AB. Es decir, gira con la barra. Apli-
que la ecuación (17.11) a los puntos A y B. ϭ 0 ϩ vA rel ϩ 0 0 2
0.8 0.4 0
y
A vA rel ϭ vA rel Ϫ 0.8i ϩ 1.6j. (1)
Bb 400 mm
Cx
800 mm
La velocidad del pasador A respecto al marco de
referencia fijo al cuerpo es paralela a la ranura. Sea vA rel ϭ vA rel cosbi ϩ vA rel senbj. (2)
vA rel la velocidad desconocida de A a lo largo de la
www.FreeLibros.orgranura. El ángulo b ϭ arctan(0.4/0.8) ϭ 26.6Њ.
17.6 Contactos deslizantes 333
Sustituya la ecuación (2) en la vA ϭ (vA rel cos 26.6Њ Ϫ 0.8)i ϩ (vA rel sen 26.6Њ ϩ 1.6)j. (3)
ecuación (1).
y
A
rA/C
400 mm
vAC
B aAC x
C
Sea vAC la velocidad angular des- vA ϭ vC ϩ AC ϫ rA/C (4)
conocida de la barra AC en sentido i jk
contrario al de las manecillas del
reloj. Aplique la ecuación (17.8) a ϭ 0 ϩ 0 0 vAC
los puntos A y C. 0 0.4 0
ϭϪ0.4vACi.
Iguale las expresiones (3) y (4) (vA rel cos 26.6Њ Ϫ 0.8) i + (vA rel sen 26.6Њ + 1.6) j ϭ Ϫ0.4vAC i.
para determinar vA rel y vAC. Igualando las componentes i y j resultan las dos ecuaciones
vA rel cos 26.6Њ Ϫ 0.8 ϭ Ϫ0.4vAC,
vA rel sen 26.6Њ ϩ 1.6 ϭ 0.
Resolviendo, se obtiene vA rel ϭ Ϫ3.58 m/s y vAC ϭ 10 rad/s.
En este instante, el pasador A se está moviendo respecto a la
ranura a 3.58 m/s hacia B. El vector de velocidad del pasador A
respecto a la ranura es
vA rel ϭ vA rel cos 26.6Њ i ϩ vA rel sen 26.6Њ j
ϭ (Ϫ3.58) cos 26.6Њ i ϩ (Ϫ3.58) sen 26.6Њ j
ϭ Ϫ3.2 i Ϫ 1.6 j (m/s).
Problema de práctica En el instante mostrado, determine la aceleración angular de la barra AC y la
aceleración del pasador A respecto a la ranura de la barra AB.
www.FreeLibros.orgRespuesta: aAC ϭ 170 rad͞s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, A se acelera a 75.1 m͞s2 hacia B.
334 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.8 Barra deslizante respecto a un soporte (᭤ Relacionado con los problemas 17.130, 17.131)
El collarín mostrado en B se desliza a lo largo de la barra circular, ocasionando
que el pasador B se mueva a velocidad constante v0 en una trayectoria circular de
radio R. La barra BC se desliza por el collarín en A. En el instante mostrado, deter-
mine la velocidad y la aceleración angulares de la barra BC.
C
A
v0 b
B
R
b
Estrategia
Se usará un marco de referencia secundario con su origen en B que está fijo al cuerpo
con respecto a la barra BC. Usando las ecuaciones (17.11) y (17.15) para expresar
la velocidad y la aceleración del pasador en reposo A en términos de la velocidad
y la aceleración del pasador B, se puede determinar la velocidad angular y la ace-
leración angular de la barra BC.
Solución
Velocidad angular Considere la velocidad y la aceleración angulares de la barra
BC, que también son la velocidad y la aceleración angulares del sistema coorde-
nado fijo al cuerpo, sea vBC y aBC (figura a). La velocidad del pasador en reposo
A es igual a cero. A partir de la ecuación (17.11),
vA = 0 = vB + vA rel + * rA>B, (1)
y A C
b
aBC
vBC
v0
x
B
R
b
(a) Marco de referencia fijo con respecto a la
wwbarraBC. w.FreeLibros.org
17.6 Contactos deslizantes 335
donde vA rel es la velocidad de A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo y y
ϭ vBCk es el vector de la velocidad angular del sistema coordenado. La velocidad vA rel
del pasador B es vB = v0 j. La velocidad del pasador fijo A respecto al sistema
coordenado fijo al cuerpo es paralela a la barra (figura b), por lo que puede expresarse A
en la forma
vA rel = vA rel cos 45°i + vA rel seinn 45°j (2)
y se escribe la ecuación (1) como
0 = v0 j + vA rel cos 45°i + vA rel seinn 45°j 45Њ
B
x
ij k (b) Dirección de la velocidad del pasador fijo
+ 3 0 0 vBC 3 . A respecto al sistema coordenado fijo al
cuerpo.
bb 0
De las componentes i y j de esta ecuación, se obtiene
vA rel cos 45° - bvBC = 0,
v0 + vA rel seinn 45° + bvBC = 0.
Resolviendo estas ecuaciones, se determina que la velocidad del pasador A respecto
al sistema coordenado fijo al cuerpo es
vA rel = vA rel cos 45°i + vA rel seinn 45°j
= - v0 i - v0 j
22
y la velocidad angular de la barra BC es
vBC = - v0 .
2b
Aceleración angular La aceleración del pasador A es cero. A partir de la ecua-
ción (17.5),
aA = 0 = aB + aA rel + 2 * vA rel + ␣ * rA>B - v2rA>B. (3)
La aceleración del pasador B es aB = - 1v02>R2i. La aceleración del pasador A y
respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo es paralelo a la barra (figura c). Por
aA rel
lo tanto, puede expresarse como A
aA rel = aA rel cos 45°i + aA rel seinn 45°j (4)
y la ecuación (3) se escribe como
0 = - v 2 i + aA rel cos 45°i + aA rel seinn 45°j
0
45Њ
R
i j k ij k x
B
+ 23 0 0 vBC 3 + 3 0 0 aBC 3
(c) Dirección de la aceleración del pasador
- v0>2 - v0>2 0 bb 0 fijo A respecto al sistema coordenado fijo
al cuerpo.
www.FreeLibros.org- v2BC1bi + bj2.
336 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
De las componente i y j de esta ecuación, se obtiene
- v 2 + aA rel cos 45° + v0vBC - baBC - bvB2C = 0,
0
R
aA rel seinn 45° - v0vBC + baBC - bvB2C = 0.
Resolviendo estas ecuaciones, se determina que la aceleración angular de la barra
BC es
aBC = - v 2 a 1 + 1 b .
0 R b
2b
Razonamiento crítico
En este ejemplo, la barra BC se desliza respecto a su soporte en A. Observe que
el soporte fijo A se mueve en relación con el sistema coordenado que está fijo al
cuerpo respecto a la barra BC. Como la barra BC está en reposo con respecto al sis-
tema coordenado fijo al cuerpo, se sabía que la velocidad y la aceleración del
soporte A respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo eran paralelas a la barra
BC. Esta fue la razón por la que éstas pudieron expresarse en las formas dadas
por las ecuaciones (2) y (4).
Ejemplo 17.9 Análisis de un contacto deslizante (᭤ Relacionado con los problemas 17.136, 17.137)
1 rad/s B La barra AB mostrada gira con una velocidad angular constante de 1 rad͞s en
sentido contrario al de las manecillas del reloj. El bloque B se desliza en una ranura
A 500 350 mm circular en la barra curva BC. En el instante mostrado, el centro de la ranura circu-
D mm C lar está en D. Determine la velocidad y la aceleración angulares de la barra BC.
500 Estrategia
mm Como se conoce la velocidad angular de la barra AB, es posible determinar la veloci-
1000 mm dad del punto B. Como B no es un punto de la barra BC, se debe aplicar la ecuación
(17.11) a los puntos B y C. Igualando las expresiones para vB, es posible despejar
y la velocidad angular de la barra BC. Después, siguiendo la misma secuencia de
pasos pero esta vez usando la ecuación (17.15), se puede determinar la aceleración
angular de la barra BC.
1 rad/s rB/A B Solución
Cx
Ab Para determinar la velocidad de B, se expresa en términos de la velocidad de A y
D de la velocidad angular de la barra AB: vB = vA + AB * rB>A. En términos
del sistema coordenado mostrado en la figura a, el vector de posición de B respecto
a A es
500 500 rB>A = 10.500 + 0.500 cos b2i + 0.350j = 0.857i + 0.350j 1m2,
mm mm donde b ϭ arcsen(350͞500) ϭ 44.4°. Por lo tanto, la velocidad de B es
(a) Determinación de la velocidad del punto B.
i j k
vB = vA + AB * rB>A = 0 + 3 0 0 13
0.350
0.857 0
www.FreeLibros.org= -0.350i + 0.857j1m/s2. (1)
17.6 Contactos deslizantes 337
y y
vBC
aBC vB rel
B
B
rB/C
A b Cx
D
b
500 D Cx
mm
(c) Velocidad de B relativa al sistema
(b) Sistema coordenado fijo con respecto a coordenado fijo al cuerpo.
la barra curva.
Para aplicar la ecuación (17.11) a los puntos B y C, se introduce un sistema coor-
denado secundario paralelo que gire con la barra curva (figura b). La velocidad de
B es
vB = vC + vB rel + BC * rB>C. (2)
El vector de posición de B respecto a C es
rB>C = - 10.500 - 0.500 cos b2i + 0.350j = - 0.143i + 0.350j 1m2.
Respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo, el punto B se mueve en una
trayectoria circular alrededor del punto D (figura c). En términos del ángulo b, el
vector
vB rel = - vB rel seinn bi + vB rel cos bj.
Las expresiones anteriores se sustituyen para rB>C y vB rel en la ecuación (2), de
donde se obtiene
i j k
vB = - vB rel seinn bi + vB rel cos bj + 3 0 0 vBC 3 .
0.350
- 0.143 0
Igualando esta expresión para vB con su valor dado en la ecuación (1) resultan las
dos ecuaciones
- vB rel seinn b - 0.350vBC = - 0.350,
vB rel cos b - 0.143vBC = 0.857.
Resolviendo estas ecuaciones se obtiene vB rel = 1.0 m/s y vBC = - 1.0 rad/s.
Se sigue la misma sucesión de pasos para determinar la aceleración angular de
la barra BC. La aceleración del punto B es
aB = aA + ␣AB * rB>A - v2ABrB>A
= 0 + 0 - 112210.857i + 0.350j2
www.FreeLibros.org= -0.857i - 0.350j1m/s22. (3)
338 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
aBt y Como el movimiento del punto B respecto al sistema coordenado fijo al cuerpo es
B
v2B rel una trayectoria circular alrededor del punto D, existe una componente tangencial
0.5
de aceleración, que se denota por aBt, y una componente normal de aceleración
vB2 rel>10.5 m2. Estas componentes se muestran en la figura d. En términos del
ángulo b, el vector
b C x
D
aB rel = - aBt seinn bi + aBt cos bj
500 - 1v2B rel>0.52 cos bi - 1v2B rel>0.52 seinn bj.
mm
Aplicando la ecuación (17.15) a los puntos B y C, se obtiene la aceleración de B:
(d) Aceleración de B respecto al sistema
coordenado fijo al cuerpo.
aB = aC + aB rel + 2BC * vB rel
+ ABC * rB>C - vB2 CrB>C
= 0 - aBt seinn bi + aBt cos bj
- 31122>0.54 cos bi - 31122>0.54 seinn bj
i j k
+ 23 0 0 -1 3
112 cos b
- 112 seinn b 0
i j k
+3 0 0 aBC 3 - 1 - 1221 - 0.143i + 0.350j2.
0.350
- 0.143 0
Igualando esta expresión para aB con su valor dado en la ecuación (3) resultan las
dos ecuaciones
- aBt seinn b - 0.350aBC + 0.143 = - 0.857,
aBt cos b - 0.143aBC - 0.350 = - 0.350.
Resolviendo se obtiene aBt = 0.408 m/s2 y aBC = 2.040 rad/s2.
Razonamiento crítico
Este ejemplo se distinguió por el hecho de que la barra ranurada tiene la forma de
un arco circular. Como resultado, el bloque B se movía en una trayectoria circular
respecto al sistema coordenado que está fijo en relación con la barra circular. La
dirección de la velocidad vB rel era tangencial a la trayectoria circular. Sin embar-
go, debido a la trayectoria curva, se supo que aB rel tendría componentes tangencial
y normal a la trayectoria. Además, la magnitud de la componente normal podría
escribirse en términos de la magnitud de la velocidad y del radio de la trayectoria
circular. Por lo tanto, una vez que se conoció vB rel, sólo era necesario determinar
www.FreeLibros.orgla componente tangencial de aB rel.
Problemas 339
Problemas
᭤ 17.117 En el ejemplo activo 17.7, suponga que la distancia 17.121 La barra AC tiene una velocidad angular de 2 rad͞s en
desde el punto C hasta el pasador A de la barra vertical AC es sentido contrario al de las manecillas del reloj que está disminu-
de 300 mm en vez de 400 mm. Trace un bosquejo del eslabona- yendo a razón de 4 rad͞s2. El pasador en C se desliza en la ranura
miento con su nueva geometría. Determine la velocidad angular de la barra BD.
de la barra AC y la velocidad del pasador A respecto a la ranura a) Determine la velocidad angular de la barra BD y la velocidad
en la barra AB. del pasador respecto a la ranura.
17.118 La barra mostrada gira con velocidad angular constante b) Determine la aceleración angular de la barra BD y la acelera-
de 10 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj y ción del pasador respecto a la ranura.
el collarín A se desliza a velocidad constante de 4 pies͞s con res-
pecto a la barra. Use la ecuación (17.15) para determinar la ace- 17.122 La velocidad del pasador C mostrado respecto a la
leración de A. ranura es de 21 pulg͞s hacia arriba y disminuye a razón de
42 pulg͞s2. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración angulares
y de la barra AC?
10 rad/s 4 pies/s x 17.123 ¿Cuáles deberían ser la velocidad y la aceleración angu-
B A lares de la barra AC mostrada si se quiere que la velocidad y la
aceleración angulares de la barra BD sean de 4 rad͞s y de
2 pies 24 rad͞s2, respectivamente, y que ambas tengan un sentido contra-
Problema 17.118 rio al de las manecillas del reloj?
17.119 El collarín C mostrado se desliza a 1 m͞s con respecto a D
la barra BD. Use el sistema coordenado fijo al cuerpo que se
muestra en la figura para determinar la velocidad de C. C
17.120 Las aceleraciones angulares de las dos barras mostra- 4 pulg
das son cero y el collarín C se desliza con una velocidad cons-
tante de 1 m͞s con respecto a la barra BD. ¿Cuál es la AB
aceleración del collarín C? 7 pulg
y 1 m/s Problemas 17.121–17.123
4 rad/s D
B x
C
400
mm
600
mm
2 rad/s
A
600
mm
Problemas 17.119͞17.120
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340 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.124 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular de 4 17.128 En la figura, la velocidad angular vAC ϭ 5° por segundo.
rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la veloci- Determine la velocidad angular del actuador hidráulico BC y la
dad del pasador B respecto a la ranura?
razón a la cual se extiende el actuador.
17.125 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular de 17.129 En la figura, la velocidad angular vAC ϭ 5° por segundo
4 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj y una aceleración y la aceleración angular aAC ϭ Ϫ2° por segundo al cuadrado.
angular de 10 rad͞s2 en la dirección contraria. ¿Cuál es la acelera- Determine la aceleración angular del actuador hidráulico BC y la
ción del pasador B respecto a la ranura? razón de cambio de la razón de extensión del actuador.
B
60 mm
AC C
2.4 m
aAC
80 mm 35 mm vAC
Problemas 17.124͞17.125 AB
17.126 El actuador hidráulico BC de la grúa se extiende (aumen- 1.4 m 1.2 m
ta su longitud) a razón de 0.2 m͞s. En el instante mostrado, ¿cuál
es la velocidad angular del aguilón AD de la grúa? Problemas 17.128͞17.129
Estrategia: Use la ecuación (17.8) para escribir la velocidad ᭤ 17.130 El collarín en el punto A de la figura se desliza hacia
del punto C en términos de la velocidad del punto A, y use la arriba con velocidad constante de 10 m͞s. La barra AC se desliza
ecuación (17.11) para escribir la velocidad del punto C en térmi- a través del collarín en B. Determine la velocidad angular de la
nos de la velocidad del punto B. Después iguale las dos expresiones barra AC y la velocidad con que ésta se desliza respecto al collarín
para la velocidad del punto C. en B. (Vea el ejemplo 17.8).
17.127 El actuador hidráulico BC de la grúa se extiende (aumenta ᭤ 17.131 El collarín en el punto A de la figura se desliza hacia
su longitud) a razón de 0.2 m͞s. En el instante mostrado, cuál es arriba con velocidad constante de 10 m͞s. Determine la aceleración
la aceleración angular del aguilón AD de la grúa? angular de la barra AC y la razón de cambio de la velocidad con
que se desliza respecto al collarín en B. (Vea el ejemplo 17.8).
D
C
2.4 m A 10 m/s
1m A
B
1m
1.8 m 1.2 m 30Њ
Problemas 17.126͞17.127 B
www.FreeLibros.orgC
Problemas 17.130͞17.131
Problemas 341
17.132 El bloque A mostrado se desliza hacia arriba sobre la 17.138* El disco mostrado rueda sobre la superficie plana con
superficie inclinada a 2 pies͞s. Determine la velocidad angular de una velocidad angular de 10 rad͞s en sentido contrario al de las
la barra AC y la velocidad del punto C. manecillas del reloj. La barra AB se desliza sobre la superficie del
disco en A. Determine la velocidad angular de la barra AB.
17.133 El bloque A mostrado se desliza hacia arriba sobre la super-
ficie inclinada a una velocidad constante de 2 pies͞s. Determine la 17.139* El disco mostrado rueda sobre la superficie plana con
aceleración angular de la barra AC y la aceleración del punto C. una velocidad angular constante de 10 rad͞s en sentido contrario
al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular de
y la barra AB.
C
B 10 rad/s A
2 pies
2 pies 6 pulg 45Њ B
C
2 pies
A 6 pulg x 1 pie
20Њ
4 pies 6 pulg
Problemas 17.132͞17.133 Problemas 17.138͞17.139
17.134 La velocidad angular de la pala de la excavadora que se 17.140* La barra BC mostrada gira con una velocidad angular
muestra en la figura es de 1 rad͞s en el sentido de las manecillas de 2 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Un
del reloj. Determine la razón a la que se está extendiendo el actuador pasador en B se desliza en una ranura circular de la placa rectangu-
hidráulico AB. lar. Determine la velocidad angular de la placa y la velocidad a la
que el pasador se desliza respecto a la ranura circular.
17.135 La velocidad angular de la pala de la excavadora que se
muestra en la figura es de 1 rad͞s en el sentido de las manecillas 17.141* La barra BC mostrada gira con una velocidad angular
del reloj y su aceleración angular es cero. Determine la razón de constante de 2 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del
cambio de la razón a la que se está extendiendo el actuador hi- reloj. Determine la aceleración angular de la placa.
dráulico AB.
B
C
2 pies 1 pie 6 pulg
A DE AB
40 mm
5 pies 2 pies 30 mm
1 pie 6 pulg Pala
C
Problemas 17.134͞17.135
᭤ 17.136 Suponga que la barra curva del ejemplo 17.9 gira con 40 mm 60 mm
una velocidad angular de 2 rad͞s en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. Problemas 17.140͞17.141
a) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra AB?
17.142* Derivando la ecuación (17.11) respecto al tiempo y
b) ¿Cuál es la velocidad del bloque B respecto a la ranura? usando la ecuación (17.12), deduzca la ecuación (17.13).
᭤ 17.137 Suponga que la barra curva del ejemplo 17.9 tiene una
velocidad angular de 4 rad͞s en el sentido de las manecillas del
reloj y una aceleración angular de 10 rad͞s2 en la dirección con-
www.FreeLibros.orgtraria. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra AB?
342 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.7 Marcos de referencia móviles
ANTECEDENTES
En esta sección se verán de nuevo los temas de los capítulos 13 y 14—el movimiento
de un punto y la segunda ley de Newton. En muchas situaciones, es conveniente des-
cribir el movimiento de un punto usando un marco de referencia secundario que se
mueva respecto a algún marco de referencia primario. Por ejemplo, para medir
el movimiento de un punto respecto a un vehículo en movimiento, se puede usar
un marco de referencia secundario que esté fijo con respecto al vehículo. Aquí se
muestra cómo están relacionadas la velocidad y la aceleración de un punto res-
pecto a un marco de referencia primario con sus valores en un marco de referen-
cia secundario que se mueve. También se analiza cómo aplicar la segunda ley de
Newton usando marcos de referencia secundarios cuando el marco de referencia
primario es inercial. En el capítulo 14 se mencionó el ejemplo de jugar tenis sobre
la cubierta de un barco. Si el barco se traslada con velocidad constante, se puede
usar la ecuación ©F = ma expresada en términos de un marco de referencia fijo con
respecto al barco para analizar el movimiento de la pelota. No se puede hacer así
si el barco gira o modifica su velocidad. Sin embargo, se puede aplicar la segunda
ley usando marcos de referencia que aceleran y giran con respecto a un marco de
referencia inercial, si se toman en cuenta de manera apropiada la aceleración y la
rotación. En la presente sección se explicará cómo hacer esto.
Movimiento de un punto respecto a un marco
de referencia móvil
Las ecuaciones (17.11) y (17.13) proporcionan la velocidad y la aceleración de un
punto arbitrario A respecto a un punto B de un cuerpo rígido en términos de un mar-
co de referencia fijo al cuerpo:
vA = vB + vA rel + * rA>B, (17.16)
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + ␣ * rA>B (17.17)
+ * 1 * rA>B2.
Pero estos resultados no requieren suponer que el marco de referencia secundario
está conectado a algún cuerpo rígido. Se aplican a cualquier marco de referencia
con un origen móvil B y que gira con velocidad angular y aceleración angular
␣ respecto a un marco de referencia primario (figura 17.29). Los términos vA y aA
y
A
rA/B
␣ x
B Marco de
z rB referencia
rA secundario
O
Figura 17.29 Marco de
Un marco de referencia secundario con origen
referencia
www.FreeLibros.orgenByunpuntoarbitrarioA. primario
17.7 Marcos de referencia móviles 343
y
vA rel
A aA rel
B Figura 17.30
Imagínese a usted mismo en reposo respecto al
z x marco de referencia secundario.
son la velocidad y la aceleración de A respecto a un marco de referencia primario.
Los términos vA rel y aA rel son la velocidad y la aceleración de A respecto al marco de
referencia secundario. Es decir, son la velocidad y la aceleración medidas por un
observador que se mueve con el marco de referencia secundario (figura 17.30).
Cuando se conoce la velocidad y la aceleración de un punto A respecto a un
marco de referencia secundario móvil, se pueden usar las ecuaciones (17.16) y
(17.17) para determinar la velocidad y la aceleración de A respecto al marco de
referencia primario. También se presentarán situaciones en las que se conocen la
velocidad y la aceleración de A respecto al marco de referencia primario, en tal
caso pueden usarse las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar la velocidad
y la aceleración de A respecto a un marco de referencia secundario móvil.
Marcos de referencia inerciales
Se dice que un marco de referencia es inercial si se puede usar para aplicar la
segunda ley de Newton en la forma ©F = ma. ¿Por qué suele suponerse que un
marco de referencia fijo a la Tierra es inercial, aun cuando ésta acelera y gira?
¿Cómo se puede aplicar la segunda ley de Newton usando un sistema coordena-
do que está fijo respecto a un barco o un avión? Ahora es posible responder esas
preguntas.
Marco de referencia sin rotación, centrado en la Tierra Se comienza
mostrando por qué un marco de referencia sin giro, con su origen en el centro
de la Tierra, puede suponerse inercial con el fin de describir movimientos de los
objetos cerca de la Tierra. En la figura 17.31a se muestra un marco de referencia
hipotético sin giro y sin aceleración con origen en O, y otro marco de referencia
secundario sin giro con su centro en la Tierra. La Tierra (y por ende el marco de
gB gB
B B
rB rB rA/B
O
gA
O rA A
͚F
(a) (b)
Figura 17.31
(a) Marco de referencia inercial y marco de referencia no giratorio
con su origen en el centro de la Tierra.
www.FreeLibros.org(b) DeterminacióndelmovimientodeunobjetoA.
344 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
referencia centrado en ella), acelera debido a las atracciones gravitatorias del Sol,
la Luna, etcétera. Se denota la aceleración de la Tierra con el vector gB.
Suponga que se desea determinar el movimiento de un cuerpo A de masa m
(figura 17.31b). A también está sometido a las atracciones gravitatorias del Sol, la
Luna, etcétera, y se denota la aceleración gravitatoria resultante con el vector gA.
El vector ©F es la suma de todas las otras fuerzas externas que actúan sobre A,
incluyendo la fuerza gravitatoria ejercida por la Tierra. La fuerza externa total que
actúa en A es ©F + mgA. Se puede aplicar la segunda ley de Newton a A, usan-
do el marco de referencia inercial hipotético:
©F + mgA = maA. (17.18)
Aquí, aA es la aceleración de A respecto a O. Como el marco de referencia centrado
en la Tierra no gira, puede usarse la ecuación (17.17) para escribir aA como
aA = aB + aA rel,
donde aA rel es la aceleración de A respecto al marco de referencia centrado en la
Tierra. Usando esta relación y la definición de la aceleración de la Tierra aB = gB
en la ecuación (17.18), se obtiene
©F = maA rel + m1gB - gA2. (17.19)
Si el objeto A está en la Tierra o cerca de ella, su aceleración gravitatoria gA debi-
da a la atracción del Sol, etcétera, es casi igual a la aceleración gravitatoria de la
Tierra, gB. Si se desprecia la diferencia, la ecuación (17.19) se convierte en
©F = maA rel. (17.20)
Así, se puede aplicar la segunda ley de Newton usando un marco de referencia sin
giro centrado en la Tierra. Aun cuando este marco de referencia acelera, virtual-
mente la misma aceleración gravitatoria actúa sobre el objeto. Observe que esto no
es válido si el objeto no está cerca de la Tierra.
Marco de referencia fijo a la Tierra Para muchas aplicaciones, el mejor
marco de referencia es un sistema coordenado local fijo a la Tierra. ¿Por qué gene-
ralmente se puede suponer que un sistema así es inercial? En la figura 17.32 se
B rA/B muestra un sistema coordenado sin giro con su origen O en el centro de la Tierra
rB A y un marco secundario fijo a la Tierra con su origen en un punto B. Como se puede
O rA ͚F suponer que el marco de referencia sin giro centrado en la Tierra es inercial, se
puede escribir la segunda ley de Newton para un cuerpo A de masa m como
©F = maA, (17.21)
Figura 17.32 donde aA es la aceleración de A respecto a O. El marco de referencia fijo a la Tierra
Un marco de referencia, sin giro, centrado en la gira con la velocidad angular de ésta, que se denota con E. Puede usarse la ecua-
Tierra (origen O), un marco de referencia fijo a
la Tierra (origen B) y un objeto A. ción (17.17) para escribir la ecuación (17.21) en la forma
©F = maA rel + m3aB + 2E * vA rel (17.22)
+ E * 1E * rA>B24,
donde aA rel es la aceleración de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra.
Si se pueden despreciar los términos entre corchetes del lado derecho de la ecua-
ción (17.22), el marco de referencia fijo a la Tierra puede tomarse como iner-
www.FreeLibros.orgcial. Se considerará cada término. (Recuerde, de la definición del producto cruz, que
͉U ϫ V͉ ϭ ͉U͉͉V͉ sen u, donde u es el ángulo entre los dos vectores. Por lo tanto,
17.7 Marcos de referencia móviles 345
la magnitud del producto cruz está limitada por el producto de las magnitudes de
los vectores).
• El término E * 1E * rA>B2: La velocidad angular de la Tierra vE
es aproximadamente de una revolución por día ϭ 7.27 ϫ 10Ϫ5 rad͞s.
Por lo tanto, la magnitud de este término está limitada por
vE2 ƒ rA>B ƒ = 15.29 * 10-92 ƒ rA>B ƒ . Por ejemplo, si la distancia ƒ rA>B ƒ
del origen del marco de referencia fijo a la Tierra al objeto A es de 10,000 m,
este término no es mayor que 5.3 ϫ 10Ϫ5 m͞s2.
• El término aB: Es la aceleración del origen B del marco de referencia fijo a la
Tierra respecto al centro de ésta. B se mueve en una trayectoria circular debi-
do a la rotación de la Tierra. Si B se encuentra en la superficie de la Tierra, aB
está limitado por v2ERE, donde RE es el radio de la Tierra. Usando el valor
RE ϭ 6370 km, se encuentra que vE2RE = 0.0337 m/s2. Este valor es muy
grande como para despreciarlo, y normalmente se incluye el término como parte
del valor local de la aceleración debida a la gravedad.
• El término 2E ϫ vA rel: Es la aceleración de Coriolis. Su magnitud está limi-
tada por 2E͉vA rel͉ ϭ (1.45 ϫ 10Ϫ4)͉vA rel͉. Por ejemplo, si la magnitud de la
velocidad de A respecto al marco de referencia fijo a la Tierra es de 10 m͞s,
este término no es mayor que 1.45 ϫ 10Ϫ3 m͞s2.
Se observa que en la mayoría de las aplicaciones los términos entre corchetes
de la ecuación (17.22) pueden ignorarse. Sin embargo, en algunos casos esto no es
posible. La aceleración de Coriolis se vuelve significativa si la velocidad de un
objeto respecto a la Tierra es grande, y aun aceleraciones muy pequeñas son
importantes si el movimiento tiene que predecirse en un periodo largo de tiempo.
En tales casos, aún se puede usar la ecuación (17.22) para determinar el movi-
miento, pero se deben retener los términos significativos. Cuando se hace esto, los
términos entre corchetes suelen moverse al lado izquierdo:
©F - maB - 2mE * vA rel - mE * 1E * rA>B2 = maA rel. (17.23)
Escrita de esta manera, la ecuación tiene la forma usual de la segunda ley de
Newton excepto que el lado izquierdo contiene “fuerzas” adicionales. (Se usan
comillas porque las cantidades que representan estos términos no son fuerzas, sino
que surgen del movimiento del marco de referencia fijo a la Tierra).
Efectos de Coriolis El término Ϫ2mE ϫ vA rel en la ecuación (17.23) se
llama fuerza de Coriolis. Explica cierto número de fenómenos físicos que exhiben
comportamientos diferentes en los hemisferios norte y sur. El vector de velocidad
angular E de la Tierra apunta hacia el norte. Cuando un objeto en el hemisferio
norte, que se está moviendo tangente a la superficie de la Tierra, viaja hacia el
norte (figura 17.33a), el producto cruz E ϫ vA rel apunta hacia el oeste (figura
17.33b). Por lo tanto, la fuerza de Coriolis señala hacia el este; ocasiona que un
objeto que se mueve hacia el norte se desvíe hacia la derecha (figura 17.33c). Si el
objeto se está moviendo hacia el sur, la dirección de vA rel se invierte y la fuerza de
Coriolis apunta hacia el oeste; su efecto es ocasionar que el objeto que se mueve
hacia el sur gire a la derecha (figura 17.33c). Por ejemplo, en el hemisferio norte
los vientos que convergen en un centro de baja presión tienden a girar alrededor
de él en sentido contrario al de las manecillas del reloj (figura 17.34a).
Cuando un objeto en el hemisferio sur viaja hacia el norte (figura 17.33d), el
producto cruz E ϫ vA rel apunta hacia el este (figura 17.33e). La fuerza de
Coriolis apunta hacia el oeste y ocasiona que el objeto gire hacia la izquierda (fi-
www.FreeLibros.orggura 17.33f). Si el objeto se está moviendo hacia el sur, la fuerza de Coriolis apun-
346 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos E N
N vA rel (c)
N
E vA rel E ϫ vA rel
(b)
(a)
N
E E
vA rel vA rel
E ϫ vA rel
(d) (e) (f)
Figura 17.33
(a) Objeto en el hemisferio norte que se mueve hacia el norte.
(b) Producto cruz de la velocidad angular de la Tierra por la velocidad del
objeto.
(c) Efectos de la fuerza de Coriolis en el hemisferio norte.
(d) Objeto en el hemisferio sur que se mueve hacia el norte.
(e) Producto cruz de la velocidad angular de la Tierra por la velocidad del
objeto.
(f) Efectos de la fuerza de Coriolis en el hemisferio sur.
(a) (b)
Figura 17.34
Tormentas en (a) el hemisferio norte y (b) el hemisferio sur.
ta hacia el este y ocasiona que el cuerpo gire hacia la izquierda (figura 17.33f). En
el hemisferio sur, los vientos que convergen en un centro de baja presión tienden
a girar alrededor de él en el sentido de las manecillas del reloj (figura 17.34b).
Marco de referencia arbitrario ¿Cómo se puede analizar el movimiento de
www.FreeLibros.orgun objeto respecto a un marco de referencia que experimenta un movimiento arbi-
trario, como el marco de referencia fijo a un vehículo en movimiento? Suponga
17.7 Marcos de referencia móviles 347
que el marco de referencia primario con su origen en O de la figura 17.35 es inercial ␣ ͚F
y que el marco de referencia secundario con su origen en B experimenta un movi-
miento arbitrario con velocidad angular y aceleración angular ␣. Se puede escri- rA/B
bir la segunda ley de Newton para un objeto A de masa m como
B A
rB
©F = maA, (17.24)
rA
O
donde aA rel es la aceleración de A respecto a O. Se usa la ecuación (17.17) para
escribir la ecuación (17.24) en la forma
©F - m3aB + 2 * vA rel + ␣ * rA>B + * 1 * rA>B24 = maA rel, Figura 17.35
Marco de referencia inercial (origen O) y marco
(17.25) de referencia que experimenta un movimiento
arbitrario (origen B).
donde aA rel es la aceleración de A respecto al marco de referencia secundario. Ésta
es la segunda ley de Newton expresada en términos de un marco de referencia
secundario que experimenta un movimiento arbitrario respecto a un marco de refe-
rencia primario inercial. Si se conocen las fuerzas que actúan sobre A y el movi-
miento del marco de referencia secundario, se puede usar la ecuación (17.25) para
determinar aA rel.
RESULTADOS
Movimiento de un punto relativa a un marco
de referencia móvil
y
A
rA/B
␣ x
B Marco de
z rB referencia
rA secundario
O
Marco de
referencia
primario
vA ϭ vB ϩ vA rel ϩ ϫ rA/B, (17.16)
Los términos vA, vB, aA, y aB son las velocida- aA ϭ aB ϩ aA rel ϩ 2 ϫ vA rel
des y aceleraciones de los puntos A y B relati- ϩ ␣ ϫ rA/B ϩ ϫ ( ϫ rA/B). (17.17)
vas al marco de referencia primario. y ␣
son la velocidad y la aceleración angulares del En ecuaciones planares, la ecuación
marco de referencia secundario relativas al (17.17) puede escribirse de la siguiente forma
marco de referencia primario. Los términos
vA rel y aA rel son la velocidad y la aceleración
www.FreeLibros.orgde A relativa al marco de referencia secundario.
aA ϭ aB ϩ aA rel ϩ 2 ϫ vA rel
ϩ ␣ ϫ rA/B Ϫ v2rA/B.
348 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Marcos de referencia inerciales
Se dice que un marco de referencia es inercial si éste puede usar-
se para aplicar la segunda ley de Newton en la forma ⌺F ϭ ma.
␣ ͚F
rA/B
B A
rB
rA
O
Se supone que el marco de re- La segunda ley de Newton para el objeto A puede expresarse en términos de la ace-
ferencia con origen O es iner- leración de A respecto al marco de referencia inercial.
cial. El marco de referencia
secundario con origen B expe- ⌺F ϭ maA. (17.24)
rimenta un movimiento arbitra-
rio respecto al marco de refe- Usando la ecuación (17.17), la segunda ley de Newton también puede expresarse
rencia inercial. y ␣ son la en términos de la aceleración de A respecto al marco de referencia secundario:
velocidad y la aceleración an-
gulares del marco de referencia ⌺F Ϫ m[aB ϩ 2 ϫ vA rel ϩ ␣ ϫ rA/B ϩ ϫ ( ϫ rA/B)] ϭ maA rel. (17.25)
secundario respecto al marco de
referencia inercial. El punto A Cuando la segunda ley de Newton se expresa de esta forma, aparecen “fuerzas”
es el centro de masa de un obje- adicionales en el lado izquierdo de la ecuación las cuales son artificios surgidos del
to con masa m. movimiento del marco de referencia secundario.
Ejemplo activo 17.10 Un marco de referencia secundario giratorio (᭤ Relacionado con el problema 17.143)
El carrusel mostrado gira con velocidad angular constante v respecto a un marco
de referencia primario que está fijo en relación con la Tierra. Suponga que usted está
en el centro en B y observa el movimiento de una segunda persona A, usando un sis-
tema coordenado que está fijo respecto al carrusel. La persona A está de pie sobre
el suelo enseguida del carrusel. En el instante mostrado, ¿cuáles son la velocidad y
la aceleración de la persona respecto al marco de referencia creado por usted?
y
v
B
A
B A
O x
R
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17.7 Marcos de referencia móviles 349
Estrategia
La persona A está en reposo respecto a la Tierra, por lo que su velocidad y acelera-
ción respecto al marco de referencia primario son conocidas. Se pueden usar las
ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar su velocidad vA rel y su aceleración
aA rel respecto al marco de referencia secundario.
Solución vA ϭ vB ϩ vA rel ϩ ϫ rA/B:
i jk
Aplique la ecua-
ción (17.16) 0 ϭ 0 ϩ vA rel ϩ 0 0 v
R0 0
ϭ 0 ϩ vA rel ϩ vRj.
La velocidad de la persona respecto a su marco de referencia es
vA rel ϭ ϪvRj.
aA ϭ aB ϩ aA rel ϩ 2 ϫ vA rel
ϩ ␣ ϫ rA/B Ϫ v2rA/B:
Aplique la ecua- i j k
ción (17.17) 0 ϭ 0 ϩ aA rel ϩ 2 0
0 v ϩ 0 Ϫ v2 (Ri)
vy 0 ϪvR 0
ϭ 0 ϩ aA rel ϩ 2v2Ri Ϫ v2Ri.
La aceleración de la persona respecto a su marco de referencia es
aA rel ϭ Ϫv2Ri.
B v2R A x Aunque la persona A está en reposo
vR con respecto a la Tierra, tiene una
velocidad y una aceleración respec-
to al marco de referencia giratorio.
y
v
Problema de práctica Suponga que la persona A no está de pie sobre el suelo, sino B A
que está parada sobre el borde externo del carrusel, moviéndose con él. Ahora la perso- O x
na está en reposo respecto al marco de referencia secundario. Use las ecuaciones (17.16)
y (17.17) para determinar su velocidad y su aceleración respecto a la Tierra. R
www.FreeLibros.orgRespuesta: vA = vRj,aA = -v2Ri.
350 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.11 Marco de referencia fijo con respecto a un barco (᭤ Relacionado con el problema 17.147)
En el instante mostrado, el barco B se mueve hacia el norte con velocidad constan-
te de 15.0 m͞s respecto a la Tierra y está girando hacia el oeste a razón constante
de 5.0° por segundo. Respecto al sistema coordenado fijo en el barco, su radar in-
dica que la posición, velocidad y aceleración del helicóptero A son
rA>B = 420.0i + 236.2j + 212.0k 1m2,
vA rel = - 53.5i + 2.0j + 6.6k 1m/s2,
y
aA rel = 0.4i - 0.2j - 13.0k 1m/s22.
¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del helicóptero respecto a la Tierra?
y
A
rA/B
x
B
Estrategia
Se tiene la velocidad del barco y suficiente información para determinar su acele-
ración, velocidad angular y aceleración angular respecto a la Tierra. También se co-
noce la posición, la velocidad y la aceleración del helicóptero respecto al sistema
coordenado secundario fijo al cuerpo. Por lo tanto, se pueden usar las ecuaciones
(17.16) y (17.17) para determinar la velocidad y la aceleración del helicóptero res-
pecto a la Tierra.
Solución
En términos del sistema coordenado fijo al cuerpo, la velocidad del barco es
vB ϭ 15.0i (m͞s). La velocidad angular del barco debido a su razón de giro es
v ϭ (5.0͞180)p ϭ 0.0873 rad͞s. El barco está girando respecto al eje y. Si el arco
de los dedos de la mano derecha señala en la dirección de la rotación del barco al-
rededor del eje y, se encuentra que el pulgar señala en la dirección y positiva, por
lo que el vector de velocidad angular es ϭ 0.0873j (rad͞s). La velocidad del
helicóptero respecto a la Tierra es
vA = vB + vA rel + * rA>B
i j k
= 15.0i + 1 -53.5i + 2.0j + 6.6k2 + 3 0 0.0873 03
236.2
420.0 212.0
www.FreeLibros.org= -20.0i + 2.0j - 30.1k1m/s2.
17.7 Marcos de referencia móviles 351
Se puede determinar la aceleración del barco expresándola en sus compo-
nentes normal y tangencial en la forma dada por la ecuación (13.37) (figura a):
dv du
aB = dt et + v dt en = 0 + 115210.08732en
= 1.31en 1m/s22.
El eje z es perpendicular a la trayectoria del barco y señala hacia su lado convexo
(figura b). Por lo tanto, en términos del sistema coordenado fijo al cuerpo, la ace-
leración del barco es aB ϭ Ϫ1.31k (m͞s2). El vector de la velocidad angular del
barco es constante, por lo que ␣ ϭ 0. La aceleración del helicóptero respecto a la
Tierra es
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + ␣ * rA>B j k
+ * 1 * rA>B2 0.0873 03
i
2.0 6.6
= - 1.31k + 10.4i - 0.2j - 13.0k2 + 2 3 0
- 53.5
i j k
+ 0 + 10.0873j2 * 3 0 0.0873 03
236.2
420.0 212.0
= - 1.65i - 0.20j - 6.59k 1m/s22.
en en x
et u et
(a) Determinación de la aceleración del barco. z
(b) Correspondencia entre las componentes
normal y tangencial y el sistema coor-
denado fijo al cuerpo.
Razonamiento crítico
Observe las diferencias sustanciales entre la velocidad y la aceleración del heli-
cóptero respecto a la Tierra y los valores que el barco mide usando su sistema
coordenado fijo al cuerpo. Los instrumentos del barco, como los usados en cualquier
vehículo en movimiento, intrínsecamente hacen mediciones respecto a un marco
de referencia fijo al cuerpo. Las ecuaciones (17.16) y (17.17) deben usarse para
transformar las mediciones de velocidad y aceleración en valores relativos a otros
www.FreeLibros.orgmarcos de referencia.
352 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.12 Un marco de referencia fijo a la Tierra (᭤ Relacionado con el problema 17.151)
El satélite A está en una órbita polar circular (órbita que interseca al eje de rotación
de la Tierra). Respecto a un marco de referencia primario que no gira, con su ori-
gen en el centro de la Tierra, el satélite se mueve en una trayectoria circular de
radio R con una velocidad de magnitud constante vA. En el instante presente, el sa-
télite está sobre el ecuador. El marco de referencia secundario fijo a la Tierra que
se muestra en la figura está orientado con el eje y en la dirección del polo norte y
el eje x en dirección del satélite. ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del sa-
télite respecto al marco de referencia fijo a la Tierra? Sea vE la velocidad angular
de la Tierra.
y
N
vA
B x
R A
Estrategia
Se tiene información suficiente para determinar la velocidad y la aceleración del
satélite, vA y aA, respecto al marco de referencia primario no giratorio y el vector de
velocidad angular del marco de referencia secundario. Por lo tanto, se pueden
usar las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar la velocidad y la acelera-
ción del satélite respecto al marco de referencia fijo a la Tierra, vA rel y aA rel.
Solución
En el instante presente, la velocidad y la aceleración del satélite respecto a un marco
de referencia primario no giratorio con su origen en el centro de la Tierra son
vA = vA j y aA = - 1vA2 >R2i. El vector de velocidad angular de la Tierra apunta
hacia el norte (confirme esto usando la regla de la mano derecha), por lo que la
www.FreeLibros.org
17.7 Marcos de referencia móviles 353
velocidad angular del marco de referencia fijo a la Tierra es = vE j. A partir de
la ecuación (17.16),
vA = vB + vA rel + * rA>B:
i jk
vA j = 0 + vA rel + 3 0 vE 0 3 .
R00
Despejando vA rel, se encuentra que la velocidad del satélite respecto al marco de re-
ferencia fijo a la Tierra es
vA rel = vA j + RvEk.
El segundo término en el lado derecho de esta ecuación es la velocidad del satélite
hacia el oeste respecto al marco de referencia giratorio fijo a la Tierra.
A partir de la ecuación (17.17),
aA = aB + aA rel + 2 * vA rel + ␣ * rA>B + * 1 * rA>B2:
- v2A i = 0 + aA rel + i j k ij k
R 230 vE 0 3 + 0 + 3 0 vE 0 3.
0 vA RvE 0 0 - RvE
Despejando aA rel, se encuentra la aceleración del satélite respecto al marco de
referencia fijo a la Tierra:
aA rel = - a vA2 + v2ER b i.
R
Razonamiento crítico
En este ejemplo, se supuso que el movimiento del satélite se conocía respecto a un
marco de referencia primario no giratorio con su origen en el centro de la Tierra,
y se usaron las ecuaciones (17.16) y (17.17) para determinar su velocidad y su
aceleración respecto a un marco de referencia secundario fijo a la Tierra. En la
práctica, es más común el procedimiento inverso. Los instrumentos de medición
terrenos miden la aceleración y la velocidad respecto a un marco de referencia fijo
a la Tierra, y las ecuaciones (17.16) y (17.17) se usan para determinar sus valores
respecto a otros marcos de referencia.
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354 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 17.13 Marcos de referencia inerciales (᭤ Relacionado con el problema 17.154)
Suponga que usted y un amigo juegan tenis sobre la cubierta de un barco, y que
usa el sistema coordenado fijo en el barco con origen en B para analizar el movi-
miento de la pelota A. En el instante mostrado, la posición y velocidad de la pe-
lota respecto al sistema coordenado fijo en el barco son rA͞B ϭ 5i ϩ 2j ϩ 12k (m)
y vrel A ϭ i Ϫ 2j ϩ 7k (m͞s). La masa de la pelota es de 0.056 kg. Desprecie la
fuerza aerodinámica que actúa sobre la pelota en el instante mostrado. Como re-
sultado del movimiento del barco, la aceleración del origen B respecto a la Tierra
es aB ϭ 1.10i ϩ 0.07k (m͞s2), y la velocidad angular del sistema coordenado fijo
al barco es constante e igual a ϭ 0.1j (rad͞s). Use la segunda ley de Newton para
determinar la aceleración de la pelota respecto al sistema coordenado fijo al barco,
(a) suponiendo que el sistema coordenado fijo al barco es inercial y (b) sin suponer
que el sistema coordenado fijo al barco es inercial, pero suponiendo que un siste-
ma coordenado local fijo a la Tierra es inercial.
y
B x
A
z
Estrategia
En el inciso (a), se conoce la masa de la pelota y las fuerzas externas que actúan sobre
ella, por lo que se puede aplicar la segunda ley de Newton para determinar la ace-
leración. En la parte (b) se puede expresar la segunda ley de Newton en la forma dada
por la ecuación (17.25), que se aplica a un sistema coordenado que experimenta un
movimiento arbitrario respecto a un sistema coordenado inercial.
Solución
(a) Si se supone que el sistema coordenado fijo al barco es inercial, se puede apli-
car la segunda ley de Newton a la pelota en la forma ©F = maA rel. La única fuerza
externa sobre la pelota es el peso,
- 10.056219.812j = 0.056aA rel,
www.FreeLibros.orgporloqueseobtieneaArel = -9.81j1m/s22.
Problemas 355
(b) Si se considera que el marco de referencia fijo a la Tierra es inercial, se puede
resolver la ecuación (17.25) para la aceleración de la pelota respecto al marco de re-
ferencia fijo al barco:
1
aA rel = m ©F - aB - 2 * vA rel - ␣ * rA>B - * 1 * rA>B2
= 1 3 - 10.056219.812j4 - 11.10i + 0.07k2 - i j k
0.056 2C0 0.1 0S
-2 7
1
ij k
- 0 - 10.1j2 * C 0 0.1 0 S
5 2 12
= - 2.45i - 9.81j + 0.25k 1m/s22.
Razonamiento crítico
En este ejemplo se ilustra lo cuidadoso que se debe ser al aplicar la segunda ley de
Newton. Cuando se supone que el sistema coordenado fijo al barco es inercial, la
segunda ley de Newton no predijo correctamente la aceleración de la pelota respecto
al sistema coordenado, porque no se tomaron en cuenta los efectos del movimien-
to del sistema coordenado sobre el movimiento relativo de la pelota.
Problemas
᭤ 17.143 En el ejemplo activo 17.10, suponga que el carrusel 17.145 La placa metálica de la figura está unida a un soporte
tiene una velocidad angular v en sentido contrario al de las mane- de bola y cuenca en O. El pasador A se desliza en una ranura de
cillas del reloj y una aceleración angular a en la misma dirección. la placa. En el instante mostrado, xA = 1 m, dxA>dt = 2 m/s, y
La persona A aún está de pie sobre el suelo. En el instante mostra- d2xA>dt2 = 0, y la velocidad y aceleración angulares de la placa
do, determine la aceleración de la persona respecto al marco de son = 2k 1rad/s2 y A = 0. ¿Cuáles son las componentes x, y, z
referencia creado por usted. de la velocidad y aceleración de A respecto a un marco de referen-
cia sin giro y con su origen en O?
17.144 El sistema de coordenadas x-y está fijo al cuerpo con res-
pecto a la barra. El ángulo u (en radianes) está dado como una fun- 17.146 El pasador A se desliza en una ranura de la placa
ción del tiempo por u ϭ 0.2 ϩ 0.04t2. La coordenada x del collarín que se muestra en la figura. Suponga que en el instante mos-
A (en pies) está dada en función del tiempo por x ϭ 1 ϩ 0.03t3. trado, xA = 1 m, dxA>dt = - 3 m/s, d2xA>dt2 = 4 m/s2, y
Use la ecuación (17.16) para determinar la velocidad del collarín en que la velocidad y la aceleración angulares de la placa son
t ϭ 4 s respecto a un marco de referencia no giratorio con su origen = - 4j + 2k 1rad/s2 y ␣ = 3i - 6j 1rad/s22. ¿Cuáles son las
en B. (Aunque se está determinando la velocidad de A respecto a un componentes x, y, z de la velocidad y aceleración de A respec-
marco de referencia no giratorio, su respuesta se expresará en térmi- to a un marco de referencia sin rotación que está en reposo
nos de componentes del marco de referencia fijo al cuerpo). respecto a O?
x y
y A Ax
x
Bu y ϭ 0.25x2 m
O
www.FreeLibros.orgProblema17.144
Problemas 17.145͞17.146
356 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
᭤ 17.147 El sistema coordenado que se muestra está fijo res- 17.149 El tren sobre la vía circular de la figura viaja a una velo-
pecto al barco B. En el instante mostrado, el barco se dirige cidad constante de 50 pies͞s en la dirección mostrada. El tren sobre
hacia el norte a 5 m͞s respecto a la Tierra y su velocidad angular la vía recta viaja a 20 pies͞s en la dirección mostrada e incrementa
es de 0.26 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del su velocidad a razón de 2 pies͞s2. Determine la velocidad del pasa-
reloj. Usando un radar, se determina que la posición del avión jero A que el pasajero B observa respecto al sistema de coordenadas
es 1080i ϩ 1220j ϩ 6300k (m) y que su velocidad respecto al dado, el cual está fijo al vagón en que viaja B.
sistema coordenado del barco es 870i Ϫ45j – 21k (m͞s).
¿Cuál es la velocidad del avión respecto a la Tierra? (Vea el 17.150 En el problema 17.149, determine la aceleración del pa-
ejemplo 17.11). sajero A que el pasajero B observa respecto al sistema coordenado
fijo al vagón en que viaja B.
y
A y
N
500 pies
500 pies
B Ax
B x 50 pies/s 20 pies/s
Problema 17.147
17.148 El transbordador espacial mostrado intenta recuperar Problemas 17.149͞17.150
un satélite para repararlo. En el momento actual, la posición del
satélite respecto a un sistema coordenado fijo al transbordador es ᭤ 17.151 El satélite A está en órbita circular polar (órbita que
50i (m). Los giróscopos del transbordador indican que su velocidad interseca al eje de rotación de la Tierra). El radio de la órbita es
angular actual es 0.05j ϩ 0.03k (rad͞s). El piloto del transbordador R, y la magnitud de la velocidad del satélite respecto a un marco
mide la velocidad del satélite respecto al sistema coordenado fijo de referencia sin giro con origen en el centro de la Tierra es vA.
al cuerpo y determina que es Ϫ2i Ϫ 1.5j ϩ 2.5k (rad͞s). ¿Cuáles En el instante mostrado, el satélite se encuentra sobre el ecuador.
son las componentes x, y, z de la velocidad del satélite respecto a Un observador B sobre la Tierra directamente abajo del satélite
un sistema coordenado sin giro con su origen fijo al centro de mide su movimiento usando el sistema coordenado fijo a la Tierra
masa del transbordador? que se muestra en la figura. ¿Cuáles son la velocidad y la acelera-
ción del satélite respecto al sistema coordenado de B fijo a la
y Tierra? El radio de la Tierra es RE y su velocidad angular es vE.
(Vea el ejemplo 17.12).
x
50 m y
N
Problema 17.148
vA
RE B A x
R
www.FreeLibros.orgProblema17.151
Problemas 357
17.152 Un automóvil A en latitud norte L viaja hacia el norte en ᭤ 17.154 Para realizar experimentos relacionados con vuelos
una carretera con orientación norte-sur a una velocidad constante espaciales de larga duración, ciertos ingenieros construyen en la
v. El radio de la Tierra es RE y su velocidad angular es vE. (El Tierra un laboratorio que gira alrededor del eje vertical en B con
vector de velocidad angular de la Tierra apunta hacia al norte). velocidad angular constante v de una revolución cada 6 s. Se esta-
El sistema coordenado está fijo a la Tierra y el eje x pasa por la blece un sistema coordenado fijo al laboratorio con su origen en B
posición del automóvil en el instante mostrado. Determine la velo- y el eje z dirigido hacia arriba. Un ingeniero sostiene un objeto en
cidad y la aceleración del automóvil a) respecto al sistema coor- el punto A, a 3 m del eje de rotación, y lo suelta. En el instante
denado fijo a la Tierra y b) respecto a un marco de referencia sin en que suelta el objeto, determine su aceleración relativa al siste-
giro con su origen en el centro de la Tierra. ma coordenado fijo al laboratorio a) suponiendo que el sistema
coordenado fijo al laboratorio es inercial; b) sin suponer que el
N sistema coordenado fijo al laboratorio es inercial, pero suponiendo
que un sistema coordenado fijo a la Tierra con origen en B sí es
y inercial. (Vea el ejemplo 17.13).
v
y
x
A v
L
B RE
BA x
3m
Problema 17.152
y
17.153 En la figura, el avión B realiza pruebas de vuelo de
un misil. En el instante mostrado, el avión viaja a 200 m͞s respec- B A
to a la Tierra en una trayectoria circular de 2000 m de radio en Problema 17.154 x
un plano horizontal. El sistema coordenado está fijo respecto al
avión. El eje x es tangente a la trayectoria y apunta hacia adelante.
El eje y apunta hacia afuera del lado derecho del avión y el z hacia
afuera del piso del avión. El ángulo del avión (la inclinación del
eje z respecto a la vertical) es constante e igual a 20°. Respecto al
sistema coordenado del avión, el piloto mide la posición y la velo-
cidad del cohete y determina que éstos son rA>B = 1000 i 1m2 y
vA>B = 100.0 i + 94.0j + 34.2k 1m/s2.
a) ¿Cuáles son las componentes x, y, z del vector de velocidad
angular del avión?
b) ¿Cuáles son las componentes x, y, z de la velocidad del misil
respecto a la Tierra?
2000 m
y
B
20Њ x
zA
www.FreeLibros.orgProblema17.153
358 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.155 El disco mostrado gira en el plano horizontal alrede- 17.157* Considere un punto A sobre la superficie de la Tierra
dor de un eje fijo en el origen con velocidad angular constante
v ϭ 10 rad͞s. El bloque deslizante A de 2 kg se mueve en una ra- con latitud norte L. El radio de la Tierra es RE y su velocidad
nura lisa del disco. El resorte no está estirado cuando x ϭ 0 y su angular es vE. Una plomada suspendida justo sobre el suelo en
constante es k ϭ 400 N͞m. Determine la aceleración de A respec- A cuelga con un pequeño ángulo b respecto a la vertical debido
to al sistema coordenado fijo al cuerpo cuando x ϭ 0.4 m.
a la rotación de la Tierra. Demuestre que b se relaciona con la
Estrategia: Use la ecuación (17.25) a fin de expresar la se-
gunda ley de Newton para el bloque deslizante en términos del latitud por
sistema coordenado fijo al cuerpo.
tan b = v2ERE seinnL cos L .
y g - vE2RE cos2 L
v Estrategia: Usando el sistema coordenado fijo a la Tierra que
se muestra en la figura, exprese la segunda ley de Newton en la
forma dada por la ecuación (17.22).
x x N x
kA yx b
A A
L
B
RE
Problema 17.155
17.156* Ciertos ingenieros realizan pruebas de vuelo de un Problema 17.157
cohete a 30° de latitud norte. Los ingenieros miden el movimiento
del cohete usando un sistema coordenado fijo a la Tierra con el 17.158* Suponga que una estación espacial está en órbita alrede-
eje x dirigido hacia arriba y el eje y hacia el norte. En un instante dor de la Tierra y que dos astronautas dentro de ella se lanzan entre
particular, la masa del cohete es de 4000 kg, su velocidad relativa sí una pelota. Observan que la pelota parece viajar entre ellos en
al sistema coordenado de los ingenieros es 2000i ϩ 2000j (m͞s) línea recta a velocidad constante.
y la suma de las fuerzas ejercidas sobre el cohete por su empuje, a) Escriba la segunda ley de Newton para la pelota al viajar entre
peso y fuerzas aerodinámicas es 400i ϩ 400j (N). Determine la ellos en términos de un sistema coordenado sin giro con su origen
aceleración del cohete respecto al sistema coordenado de los inge- fijo a la estación. ¿Qué es el término ©F? Use la ecuación que es-
nieros a) suponiendo que su sistema coordenado fijo a la Tierra cribió para explicar el comportamiento de la pelota observado por
es inercial y b) sin suponer que su sistema coordenado fijo a la los astronautas.
Tierra es inercial.
b) Escriba la segunda ley de Newton para la pelota al viajar entre
N ellos en un sistema coordenado sin giro con su origen fijo al cen-
tro de la Tierra. ¿Qué es el término ©F? Explique la diferencia
y entre esta ecuación y la obtenida en el inciso a).
x
30Њ
Problema 17.156
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Problemas de repaso 359
Problemas de repaso
17.159 Si u ϭ 60° y la barra OQ mostrada gira en sentido con- 17.162 Si el cigüeñal AB mostrado gira a 2000 rpm en sentido
trario al de las manecillas del reloj a 5 rad͞s, ¿cuál es la velocidad contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la velocidad del
angular de la barra PQ? pistón?
17.160 Si u ϭ 55° y el collarín P mostrado se mueve hacia la 17.163 Si el pistón mostrado se mueve con velocidad
izquierda a 2 m͞s, ¿cuáles son las velocidades angulares de las vC ϭ 20j (pies͞s), ¿cuáles son las velocidades angulares del
barras OQ y PQ? cigüeñal AB y de la biela BC?
Q 400 mm 17.164 Si el pistón mostrado se mueve con velocidad
200 mm vC ϭ 20j (pies͞s) y su aceleración es cero, ¿cuáles son las acelera-
ciones angulares del cigüeñal AB y de la biela BC?
y
u
O
P
Problemas 17.159͞17.160 C
5 pulg
17.161 En la figura, determine la velocidad vertical vH del gan-
cho y la velocidad angular de la polea pequeña.
45Њ x
B
2 pulg
A
Problemas 17.162–17.164
120 mm/s
40 mm
vH
Problema 17.161
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360 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.165 La barra AB mostrada gira a 6 rad͞s en sentido contra- 17.170 En la figura, los puntos B y C están en el plano x-y.
rio al de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para
determinar la velocidad angular de la barra BCD y la velocidad Los vectores de velocidad angular de los brazos AB y BC son
del punto D.
AB ϭ Ϫ0.5k (rad͞s) y BC ϭ Ϫ2.0k (rad͞s). Determine la velo-
cidad del punto C.
17.166 La barra AB mostrada gira a una velocidad angular cons- 17.171 Si la velocidad del punto C de la figura es vC ϭ 1.0i (m͞s),
tante de 6 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿cuáles son los vectores de velocidad angular de los brazos
Determine la aceleración del punto D.
AB y BC?
yD 8 pulg 17.172 Los vectores de velocidad angular de los brazos AB y
C BC de la figura son AB ϭ Ϫ0.5k (rad͞s), y BC ϭ 2.0k (rad͞s),
12 pulg y sus vectores de aceleración angular son ␣AB ϭ 1.0k (rad͞s2) y
6 rad/s x ␣BC ϭ 1.0k (rad͞s2). ¿Cuál es la aceleración del punto C?
AB
17.173 La velocidad del punto C de la figura es vC ϭ 1.0i (m͞s)
y aC ϭ 0. ¿Cuáles son los vectores de la velocidad y la aceleración
angulares del brazo BC?
y
8 pulg 6 pulg 4 pulg 760 mm C
Problemas 17.165͞17.166
17.167 El punto C de la figura se está moviendo hacia la dere- A 15Њ 900 mm x
cha a 20 pulg͞s. ¿Cuál es la velocidad del punto medio G de la z 50Њ
barra BC?
B
17.168 El punto C de la figura se está moviendo hacia la derecha
con una velocidad constante de 20 pulg͞s. ¿Cuál es la aceleración
del punto medio G de la barra BC?
17.169 Si la velocidad del punto C de la figura es
vC ϭ 1.0i (pulg͞s), ¿cuáles son los vectores de velocidad
angular de los eslabones AB y BC?
Problemas 17.170–17.173
y 17.174 La manivela AB tiene una velocidad angular constante
B de 200 rpm en el sentido de las manecillas del reloj. ¿Qué valo-
res tienen la velocidad y la aceleración del pistón P?
4 pulg G
A 10 pulg B
3 pulg Cx 2 pulg A
4 pulg P
Problemas 17.167–17.169 2 pulg 6 pulg
www.FreeLibros.orgProblema17.174
Problemas de repaso 361
17.175 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular de 17.178 Si se desea programar el robot de manera que en el instan-
10 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una te mostrado la velocidad del punto D sea vD ϭ 0.2i ϩ 0.8j (m͞s)
aceleración angular de 20 rad͞s2 en la dirección de las manecillas y la velocidad angular del brazo CD sea 0.3 rad͞s en sentido con-
del reloj. Determine la aceleración angular de la barra BC y la
trario al de las manecillas del reloj, ¿cuáles son las velocidades
aceleración del punto C.
angulares necesarias de los brazos AB y BC?
y y
8 pulg
6 pulg 300 mm 250 mm D
10 rad/s B 30Њ x
A B 20Њ
A C
20 rad/s2
4 pulg 250 mm
C
x
Problema 17.175
17.176 En la figura, la velocidad angular del brazo AC es de Problema 17.178
1 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es
la velocidad angular de la pala? 17.179 El engrane planetario está en reposo, y el engrane central
gira a 120 rpm en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
17.177 La velocidad angular del brazo AC mostrado es de 2 rad͞s Determine la velocidad angular de los engranes periféricos y la
en sentido contrario al de las manecillas del reloj y su aceleración magnitud de la velocidad de sus centros.
angular es de 4 rad͞s2 en la dirección de las manecillas del reloj.
¿Cuál es la aceleración angular de la pala? 7 pulg Engrane anular
1m 34 pulg
D
20 pulg
C
1m
0.6 m
A B
Engranes periféricos (3)
0.15 m 0.6 m Pala Engrane central
Problemas 17.176͞17.177 Problema 17.179
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362 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
17.180 El brazo AB mostrado gira a 10 rad͞s en el sentido de las 17.184 La barra AB mostrada tiene una velocidad angular cons-
manecillas del reloj. Determine la velocidad angular del brazo BC tante de 2 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
y la velocidad a la que se desliza respecto al collarín en C. El collarín C de 1 kg se desliza sobre la barra horizontal lisa. En el
instante mostrado, ¿cuál es la tensión en el cable BC?
17.181 El brazo AB mostrado gira a una velocidad angular de
10 rad͞s y una aceleración angular de 20 rad͞s2, ambas en el sen- B
tido de las manecillas del reloj. Determine la aceleración angular
del brazo BC. 2m
B
1.8 m C
A
30Њ C 1m 2m
A
Problema 17.184
2m
17.185 El atleta de la figura ejercita su brazo levantando una
Problemas 17.180͞17.181 masa m de 8 kg. La articulación del hombro A está en reposo.
La distancia AB es de 300 mm, la distancia BC es de 400 mm
17.182 El brazo AB mostrado gira a una velocidad angular y la distancia de C a la polea es de 340 mm. Las velocidades
constante de 10 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del angulares vAB ϭ 1.5 rad͞s y vBC ϭ 2 rad͞s son constantes. ¿Cuál
reloj. Determine la velocidad y la aceleración verticales de la cre- es la tensión en el cable?
mallera R del engrane de piñón y cremallera.
17.183 La cremallera R del engrane de piñón y cremallera C
mostrado se mueve hacia arriba a una velocidad constante de vBC 30Њ
10 pies͞s, ¿cuáles son la velocidad y la aceleración angulares
de la barra BC?
B vAB 60Њ
12 pulg C
A
AB m
6
pulg 10 pulg
6 pulg
D
R Problema 17.185
16 pulg 6
pulg
Problemas 17.182͞17.183
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Problemas de repaso 363
17.186 El actuador hidráulico BC de la grúa se extiende (aumenta Proyecto de diseño
su longitud) a una razón constante de 0.2 m͞s. Cuando el ángulo
b ϭ 35°, ¿cuál es la velocidad angular del aguilón AD de la grúa? La barra AB mostrada gira alrededor del punto fijo A con
velocidad angular constante v0.
2m a) Determine las longitudes necesarias de las barras AB y BC
D para que cuando la barra AB gire, el collarín C se mueva alter-
nadamente entre las posiciones D y E.
3m C
b) Dibuje gráficas de la velocidad y la aceleración del collarín
b C como funciones de la posición angular de la barra AB.
AB
c) Suponga que una restricción de diseño es que la magnitud
2m de la aceleración del collarín C no debe ser mayor de 200 m͞s2.
¿Cuál es el valor permisible máximo de v0?
B
v0
A
0.8 m
Problem 17.186 D CE
17.187 El sistema coordenado de la figura está fijo respecto 0.8 m 1.0 m
al barco B. Éste usa su radar para medir la posición de una boya A
estacionaria y determina que es 400i ϩ 200j (m). También mide
la velocidad de la boya respecto a su sistema coordenado fijo al
cuerpo y determina que es 2i Ϫ 8j (m͞s). ¿Cuáles son la veloci-
dad y la velocidad angular del barco respecto a la Tierra? (Suponga
que la velocidad del barco es en la dirección del eje y).
y
A
Bx
Problema 17.187
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CAPÍTULO
18
Dinámica plana de cuerpos rígidos
En el capítulo 17 se analizaron los movimientos planos de cuerpos a
rígidos sin considerar las fuerzas y pares que los producen; en este ⌺M
capítulo se deducen ecuaciones planas para el movimiento angular
de un cuerpo rígido. Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un
objeto y aplicar las ecuaciones de movimiento, es posible determi-
nar la aceleración de su centro de masa y su aceleración angular
en términos de las fuerzas y pares a los cuales está sometido.
᭣ Los ciclistas ejercen fuerzas sobre los pedales de las bicicletas ejercitadoras, lo
que resulta en movimientos planos de los cigüeñales, la cadena y las ruedas.
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366 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
18.1 Principios de la cantidad de movimiento
para un sistema de partículas
ANTECEDENTES
Las deducciones de las ecuaciones de movimiento para cuerpos rígidos se basan en
los principios que rigen el movimiento de un sistema de partículas. En esta sección
se resumen estos importantes principios generales.
mi Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal
ri Se comienza por mostrar que la suma de las fuerzas externas sobre un sistema de
O partículas es igual a la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal total.
Figura 18.1
Sistema de partículas. El vector ri es el vector Considere un sistema de N partículas; la masa de la i-ésima partícula se denota con
de posición de la i-ésima partícula.
mi y su vector de posición respecto al origen O de un marco de referencia inercial
es ri (figura 18.1). Sea fij la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre la j-ésima
E
partícula y sea f i la fuerza externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza
total ejercida por objetos ajenos al sistema de partículas considerado). La segunda
ley de Newton establece que la fuerza total sobre la i-ésima partícula es igual al
producto de su masa por la razón de cambio de su cantidad de movimiento lineal;
es decir,
a fij + f E = d (18.1)
i dt 1mivi2,
j
donde vi = dri>dt es la velocidad de la i-ésima partícula. Escribiendo esta ecuación
para cada partícula del sistema y sumando desde i = 1 hasta N, se obtiene
a a fij + f E = d mivi. (18.2)
i
ij a i dt a
i
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de las fuerzas
internas sobre el sistema de partículas. Como consecuencia de la tercera ley de
Newton 1fij + fji = 02, este término es igual a cero:
a a fij = f12 + f21 + f13 + f31 + Á = 0.
ij
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (18.2) es la suma de las
fuerzas externas sobre el sistema. Denotándolo con ©F, se concluye que la suma
de las fuerzas externas sobre el sistema es igual a la razón de cambio de su can-
tidad de movimiento lineal total:
©F = d a mivi. (18.3)
dt i
Sea m la suma de las masas de las partículas:
m = a mi.
i
La posición del centro de masa del sistema es
a miri
i
r= , (18.4)
m
por lo que la velocidad del centro de masa es
dr a mivi
dt i.
m
www.FreeLibros.orgv = =
18.1 Principios de la cantidad de movimiento para un sistema de partículas 367
Usando esta expresión, se puede escribir la ecuación (18.3) como
©F = d 1mv2.
dt
La fuerza externa total sobre un sistema de partículas es igual a la razón de cambio
del producto de su masa total por la velocidad de su centro de masa. Dado que cual-
quier objeto o colección de objetos, incluyendo un cuerpo rígido, se puede modelar
como un sistema de partículas, este resultado es uno de los más generales y ele-
gantes de la mecánica. Además, si la masa total m es constante, se obtiene
©F = ma,
donde a = dv>dt es la aceleración del centro de masa. Se observa que la fuerza
externa total es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro de
masa.
Principios del momento y la cantidad de movimiento mi
angular
Ri
Ahora se obtienen relaciones entre la suma de los momentos debidos a las fuerzas ri
que actúan sobre un sistema de partículas y la razón de cambio de su momento
angular total. En la figura 18.2, ri es el vector de posición de la i-ésima partícula de r
un sistema de partículas, r es el vector de posición del centro de masa del sistema
y Ri es el vector de posición de la i-ésima partícula respecto al centro de masa. O
Estos vectores están relacionados por
Figura 18.2
ri = r + Ri. (18.5) El vector Ri es el vector de posición de la
i-ésima partícula respecto al centro de masa.
Se toma el producto cruz de la segunda ley de Newton para la i-ésima partícula,
(ecuación 18.1), por el vector de posición ri y la suma desde i = 1 hasta N, escri-
biendo la ecuación resultante de la forma
a a ri * fij + a ri * f E = d a ri * mivi. (18.6)
i
ij i dt i
El primer término del lado izquierdo de esta ecuación es la suma de los momentos
respecto a O debidos a las fuerzas ejercidas sobre las partículas por las demás par-
tículas del sistema. Este término desaparece si se supone que las fuerzas mutuas
ejercidas por cada par de partículas no sólo son iguales y opuestas sino que tam-
bién están dirigidas a lo largo de la recta entre las dos partículas. Por ejemplo, con-
sidere las partículas 1 y 2 de la figura 18.3. Si las fuerzas que ejercen las partícu-
las entre sí están dirigidas a lo largo de la recta entre las partículas, se puede
escribir el momento respecto a O como
r1 * f12 + r1 * f21 = r1 * 1f12 + f212 = 0. f21 2
r2
(18.7) f12
1
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (18.6) es la suma de los
momentos respecto a O debido a las fuerzas y pares externos, que se denota con r1
©MO. Se escribe la ecuación (18.6) como
©MO = dHO, (18.8) O
dt
donde Figura 18.3
Partículas 1 y 2 y las fuerzas que ejercen entre
sí. Si las fuerzas actúan a lo largo de la línea
HO = a ri * mivi
www.FreeLibros.orgi
(18.9) entre las partículas, su momento total respecto
a O es igual a cero.
368 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
es la cantidad de movimiento angular total respecto a O. La suma de los momentos
respecto a O es igual a la razón de cambio de la cantidad de movimiento angular
total respecto a O. Usando las ecuaciones (18.4) y (18.5), se puede escribir la ecua-
ción (18.8) como
d (18.10)
©MO = dt 1r * mv + H2,
donde
H = a Ri * mi dRi (18.11)
dt
i
mv es la cantidad de movimiento angular total del sistema respecto al centro de masa.
r También es necesario determinar la relación entre la suma de los momentos
OH respecto al centro de masa del sistema, que se denota con ©M, y H. Se puede obte-
ner esta relación haciendo que el punto fijo O coincida con el centro de masa en el
HO ϭ H ϩ r ϫ mv instante presente. En ese caso, ©MO = ©M y r = 0, y de la ecuación (18.10) se
observa que
Figura 18.4
El momento angular respecto a O es igual a la ©M = ddHt . (18.12)
suma del momento angular respecto al centro
de masa y el momento angular respecto a O La suma de los momentos respecto al centro de masa es igual a la razón de cambio
debido a la velocidad del centro de masa. de la cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa. Las cantidades de
movimiento angulares respecto al punto O y respecto al centro de masa están rela-
cionadas por (figura 18.4)
HO = H + r * mv. (18.13)
RESULTADOS
Las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido pueden obtenerse a partir de
los principios que rigen el movimiento de un sistema de partículas. En la presente
sección se resumen estos principios.
Considere un sistema de N partículas. Sea mi la masa de
la i-ésima partícula, y sea ri su posición respecto al mi
origen O de un marco de referencia inercial. La posición
del centro de masa del sistema es Ri
⌺miri ri
rϭ im , (18.4)
⌺donde m es la masa total del sistema y denota la r
i
O
suma desde i ϭ 1 hasta N. El vector Ri es la posición de
www.FreeLibros.orgla i-ésima partícula respecto al centro de masa.
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 369
Principio de la fuerza y la cantidad de movimiento lineal
La suma de las fuerzas externas sobre un ⌺F ϭ d (mv).
sistema de partículas (que puede representar dt
virtualmente cualquier objeto, incluyendo un
cuerpo rígido) es igual a la razón de cambio Si la masa total es constante
de su cantidad de movimiento lineal. La can-
tidad de movimiento lineal es el producto de da
la masa total m y la velocidad v ϭ dr/dt del ⌺F ϭ m .
centro de masa. El término a ϭ dv/dt es la dt
aceleración del centro de masa.
Principios del momento y la cantidad de movimiento angular
La suma de los momentos respecto al ori- ⌺MO ϭ dHO , (18.8)
gen O debidos a las fuerzas que actúan dt
sobre un sistema de partículas es igual a la
razón de cambio de la cantidad de movi- donde la cantidad de movimiento
miento angular total respecto a O. angular total respecto a O es
⌺HO ϭ ri ϫ mivi. (18.9)
i
La suma de los momentos respecto al centro ⌺M ϭ dH , (18.12)
de masa debidos a las fuerzas que actúan dt
sobre un sistema de partículas es igual a la
razón de cambio de la cantidad de movimien- donde la cantidad de movimiento angular
to angular total respecto al centro de masa. total respecto al centro de masa es
Relación entre la cantidad de movimiento ⌺H ϭ Ri ϫ mi dRi (18.11)
angular total HO respecto al origen y la dt
cantidad de movimiento angular total H i
respecto al centro de masa.
HO ϭ H ϩ r ϫ mv. (18.13)
18.2 Ecuaciones de movimiento plano
ANTECEDENTES
Ahora se deducirán las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígido en movi-
miento plano. Ya hemos mostrado que la fuerza externa total sobre cualquier obje-
to es igual al producto de su masa por la aceleración de su centro de masa:
©F = ma. (18.14)
Esta ecuación, llamada segunda ley de Newton, describe el movimiento del centro
de masa de un cuerpo rígido. Para deducir las ecuaciones del movimiento angular,
primero se considera la rotación alrededor de un eje fijo y luego el movimiento
plano general.
Rotación alrededor de un eje fijo
Sea O un punto que está en reposo respecto a un marco de referencia inercial
y sea LO una línea sin giro que pasa por O. Suponga que un cuerpo rígido gira
www.FreeLibros.orgalrededor de LO. En términos de un sistema coordenado con el eje z alineado
370 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Plano del movimiento con LO (figura 18.5a), se puede expresar el vector de velocidad angular como
mi y = vk, y la velocidad de la i-ésima partícula del cuerpo rígido es
ri dri = * ri = vk * ri.
dt
LO
z v Ox Sea ©MO = ©MO ؒ k la suma de los momentos respecto a LO. Tomando el producto
punto de la ecuación (18.8) por k, se obtiene
(a)
©MO = dHO, (18.15)
dt
donde
mi y # #HO = HO k = a [ri * mi1vk * ri2] k
i
ri ϭ ͉ri͉ sen b ri es la cantidad de movimiento angular respecto a LO. Si se usa la identidad
ϭ ͉k ϫ ri͉ U ؒ 1V * W2 = 1U * V2 ؒ W, se puede escribir esta expresión como
b
z kO x LO #HO = a mi1k * ri2 1k * ri2v = a mi ƒ k * ri ƒ 2v. (18.16)
ii
(b)
En la figura 18.5b, se muestra que ƒ k * ri ƒ es la distancia perpendicular de LO a la
Figura 18.5 i-ésima partícula, que se denota con ri. Usando la definición del momento de inercia
(a) Sistema coordenado con el eje z alineado de masa del cuerpo rígido respecto a LO,
con el eje de rotación, LO. IO = a mir 2i ,
(b) La magnitud de k * ri es la distancia
i
perpendicular desde el eje de rotación
se puede escribir la ecuación (18.16) como
a mi.
HO = IOv.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (18.15) se obtiene la ecuación del movi-
miento angular de un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo. La suma de
los momentos respecto al eje fijo es igual al producto del momento de inercia res-
pecto al eje fijo por la aceleración angular:
©MO = IOa. (18.17)
Movimiento plano general
En la figura 18.6a se muestra el plano del movimiento de un cuerpo rígido en
movimiento plano general. El punto O es un punto fijo contenido en el plano, LO
es la línea que pasa por O y que es perpendicular al plano, y L es la línea paralela
a LO que pasa por el centro de masa del cuerpo rígido. En términos del sistema
coordenado que se muestra, puede expresarse el vector de velocidad angular como
= vk, y la velocidad de la i-ésima partícula respecto al centro de masa es
dRi = * Ri = vk * Ri.
dt
Al calcular el producto punto cruz de la ecuación (18.10) por k, se obtiene
©MO = d [1r * mv2 # k + H], (18.18)
dt
donde
www.FreeLibros.orgH = H#k = a[Ri * mi1vk * Ri2]#k
i
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 371
es el movimiento angular respecto a L. Usando la identidad U ؒ 1V * W2 = 1U * V2 Plano del movimiento
ؒ W, se puede escribir esta ecuación para H como
mi y
#H = a mi1k * Ri2 1k * Ri2v = a mi ƒ k * Ri ƒ 2v. Ri
ii
L
El término ƒ k * Ri ƒ = ri es la distancia perpendicular de L a la i-ésima partícula
(figura 18.6b). En términos del momento de inercia de masa del cuerpo rígido
respecto a L, zx
r
I = a mir i2, LO
i O
(a)
la cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido respecto a L es
H = Iv.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (18.18) se obtiene mi y
Ri
©MO = d [1r * mv2 # k + Iv] = 1r * ma2 # k + Ia. (18.19) ri ϭ ͉Ri͉ sen b b L
dt ϭ ͉k ϫ Ri͉ k
Con esta ecuación se puede obtener la relación entre la suma de los momentos res- z x
pecto a L, que se denota con ©M, y la aceleración angular. Si se hace que el eje
fijo LO coincida con L en el instante presente, entonces ©MO = ©M y r = 0, y a (b)
partir de la ecuación (18.19) se obtiene la ecuación del movimiento angular para
un cuerpo rígido en movimiento plano. La suma de los momentos respecto al cen- Figura 18.6
tro de masa es igual al producto del momento de inercia respecto al centro de masa (a) Sistema coordenado con el eje z
por la aceleración angular:
alineado con L.
©M = Ia. (18.20) (b) La magnitud de k * Ri es la distancia
perpendicular de L a mi.
RESULTADOS
La suma de las fuerzas externas sobre cual- ⌺F ϭ ma. (18.14)
quier objeto es igual al producto de su masa
y la aceleración de su centro de masa respec-
to a un marco de referencia inercial.
a
⌺MO
O
Si un cuerpo rígido experimenta movimiento
plano respecto a un eje fijo O, la suma de los
momentos respecto a O debidos a las fuerzas ⌺MO ϭ IOa. (18.17)
y pares externos es igual al producto del mo-
mento de inercia del cuerpo rígido respecto a
www.FreeLibros.orgO por la aceleración angular.
372 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
a
⌺M
Si un cuerpo rígido experimenta movimiento pla- ⌺M ϭ Ia. (18.20)
no, la suma de los momentos respecto al centro de
masa debidos a las fuerzas y pares externos es
igual al producto del momento de inercia del
cuerpo rígido respecto al centro de masa por la
aceleración angular. Si la aceleración angular es
cero, la suma de los momentos respecto al centro
de masa es igual a cero.
Las ecuaciones de movimiento plano pue- 1. Dibujar el diagrama de cuerpo libre. Aísle el cuerpo e iden-
den usarse para obtener información acerca tifique las fuerzas y pares externos que actúan sobre él.
del movimiento de un objeto, para determi-
nar fuerzas o pares desconocidos que actúan 2. Aplicar las ecuaciones de movimiento. Escriba las ecuacio-
sobre el objeto, o para ambas cosas. Lo nes de movimiento, eligiendo un sistema de coordenadas
anterior, normalmente requiere la realización apropiado para aplicar la segunda ley de Newton. Por ejem-
de tres pasos. plo, si el centro de masa se mueve en una trayectoria circular,
sería provechoso usar componentes normales y tangenciales.
3. Determinar relaciones cinemáticas. Si es necesario, com-
plemente las ecuaciones de movimiento con relaciones entre
la aceleración del centro de masa y la aceleración angular del
objeto.
Ejemplo activo 18.1 Objeto en traslación (᭤ Relacionado con el problema 18.4)
El avión mostrado pesa 830,000 lb y el empuje total de sus motores durante su
carrera de despegue es T = 208,000 lb. Determine la aceleración del avión y las
fuerzas normales ejercidas por la pista sobre sus ruedas en A y B. Ignore las fuerzas
horizontales ejercidas sobre sus ruedas.
6 pies
T
9 pies
AB
68 pies
www.FreeLibp1ie6s ros.org
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 373
Estrategia
Se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre del avión para identificar las fuerzas ex-
ternas que actúan sobre él. Puede aplicarse la segunda ley de Newton para determi-
nar la aceleración horizontal. Después se usarán dos condiciones para determinar las
fuerzas normales en A y en B. (1) La aceleración del avión en la dirección vertical
es cero, por lo que la suma de las fuerzas en la dirección vertical debe ser igual a cero.
(2) La aceleración angular del avión es cero durante su carrera de despegue, por lo
que la ecuación de movimiento angular establece que la suma de los momentos res-
pecto al centro de masa debidos a las fuerzas sobre el avión es igual a cero.
Solución
y
Dibuje el diagrama 6 pies
de cuerpo libre del T
avión.
A 16 W 68 pies 9 pies
Aplique la segunda ley de Newton para deter- pies x
minar la aceleración.
B
El avión no tiene aceleración vertical, por lo que
la suma de las fuerzas verticales es igual a cero. La masa del avión es
m ϭ W 830,000 lb ϭ 25,800 slug.
g ϭ 32.2 pies/s2
⌺Fx ϭ T ϭ max.
La aceleración es
ax ϭ T ϭ 208,000 lb ϭ 8.07 pies/s2.
m 25,800 slug
⌺Fy ϭ A ϩ B Ϫ W ϭ 0. (1)
El avión no tiene aceleración angular, por lo que ⌺M ϭ (6 pies)T ϩ (68 pies)B Ϫ (16 pies)A ϭ 0. (2)
la suma de los momentos respecto al centro de
masa es igual a cero.
Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) con
W ϭ 830,000 lb y T ϭ 208,000 lb se obtiene
A ϭ 687,000 lb y B ϭ 143,000 lb.
Problema de práctica Con motores mejorados, la aceleración del avión durante su
carrera de despegue es de 9 pies/s2. Su peso no cambia. Determine las fuerzas normales
ejercidas por la pista sobre sus ruedas en A y B.
www.FreeLibros.orgRespuesta: A = 688,000 lb, B = 142,000 lb.
374 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 18.2 Movimiento de rodadura (᭤ Relacionado con los problemas 18.32, 18.33)
R El disco homogéneo circular con radio R y masa m de la figura, se suelta desde el
reposo sobre la superficie inclinada. El momento de inercia del disco respecto a su
centro es I= –1 mR2. Determine la aceleración angular del disco mientras éste rueda
2
hacia abajo sobre la superficie.
Estrategia
Se debe dibujar el diagrama de cuerpo libre individual del disco y aplicar las ecua-
b ciones de movimiento. También debe usarse la relación entre la aceleración angular
del disco y la aceleración de su centro de masa.
Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre
mg sen b Diagrama de cuerpo libre del disco. N y f
son las fuerzas normal y de fricción ejer-
f mg cos b cidas por la superficie inclinada.
N
Aplicación de las ecuaciones de movimiento
Aplique la segunda ley de Newton. ⌺Fx ϭ mg sen b Ϫ f ϭ max. (1)
y
a
ax
x
Aplique la ecuación del movimiento angular.
En este caso es conveniente definir el momen- ⌺M ϭ Rf ϭ Ia. (2)
to y la aceleración angulares como positivos
en el sentido de las manecillas del reloj.
www.FreeLibros.org
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 375
Determinación de relaciones cinemáticas ax ϭ Ra. (3)
2g
Relación entre la aceleración del
centro del disco y la aceleración a ϭ 3R sen b.
angular en el movimiento de
rodadura.
Resolviendo las ecuaciones (1) a (3)
para las tres variables ax, a, y f y
sustituyendo I ϭ 1 mR2 se obtiene
2
la aceleración angular.
Problema de práctica Cuando el disco se soltó desde el reposo sobre la superficie in-
clinada, se supuso que éste rodaría y no se deslizaría. Sea ms el coeficiente de fricción
estática entre el disco y la superficie. ¿Cuál es el valor máximo del ángulo b para el cual
el disco rodará en vez de deslizarse?
Respuesta: b = arctan13ms2.
Ejemplo activo 18.3 Barra en movimiento plano general (᭤ Relacionado con el problema 18.45)
La barra delgada de masa m que se muestra en la figura se desliza sobre el piso y la
pared lisos. En el instante mostrado, tiene una velocidad angular v en sentido con-
trario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra?
u
l
v
Estrategia
Después de dibujar el diagrama de cuerpo libre de la barra, se aplicará la segunda
ley de Newton y la ecuación de movimiento angular. De aquí se obtendrán tres ecua-
ciones en términos de las dos componentes de la aceleración del centro de masa de
la barra, la aceleración angular y las fuerzas desconocidas que el piso y la pared
ejercen sobre la barra. Para completar la solución, se deben obtener dos relaciones
www.FreeLibros.orgcinemáticas entre la aceleración del centro de masa y la aceleración angular.
376 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre
y
P 1
u l
Diagrama de cuerpo libre de la ba- 2
rra. N y P son las fuerzas normales G
ejercidas por el piso y la pared.
1
mg 2 l
x
N
Aplicación de las ecuaciones de movimiento
Exprese la aceleración del centro de ⌺Fx ϭ P ϭ max, (1)
masa G de la barra en términos de sus ⌺Fy ϭ N Ϫ mg ϭ may. (2)
componentes
aG ϭ axi ϩ ayj,
y escriba la segunda ley de Newton.
y
ay ax
G a
x
Escriba la ecuación del movimiento
angular. Aquí, I ϭ 1 ml2 es el mo- ⌺M ϭ N 1 1
12 2 l sen u ϪP 2 l cos u ϭ Ia. (3)
mento de inercia de la barra respec-
www.FreeLibros.orgtoasucentrodemasa.
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 377
Determinación de las relaciones cinemáticas aG ϭ aA ϩ ␣ϫrG/A Ϫ v2rG/A:
Exprese la aceleración del cen- i jk
tro de masa en términos de la
aceleración del extremo inferior axi ϩ ay j ϭ aAi ϩ 0 0a
A de la barra. Igualando las
componentes j se obtiene una Ϫ 1 l sen u 1 l cos u 0
relación entre ay y la aceleración 2 2
angular a.
Ϫv2 1 1 uj
y Ϫ 2 l sen ui ϩ 2 l cos .
Igualando las componentes j se obtiene
ay ϭ Ϫ 1 l(a sen u ϩ v2 cos u). (4)
2
B 1
1 2l
2l A
u
rG/B G
rG/A
x
aG ϭ aB ϩ ␣ϫrG/B Ϫ v2rG/B:
i jk
Exprese la aceleración del centro axi ϩ ayj ϭ aBj ϩ 0 0a
de masa en términos de la acelera-
ción del extremo superior B de la 1 l sen u Ϫ 1 l cos u 0
barra. Igualando las componentes 2 2
i se obtiene una relación entre ax y
la aceleración angular a. Ϫv2 1 l sen ui Ϫ 1 l cos uj .
2 2
Igualando las componentes i se obtiene
ax ϭ Ϫ 1 l(a cos u ϩ v2 sen u). (5)
2
Al resolver las ecuaciones (1) a (5) para a ϭ 3g sen u.
2l
las cinco variables ax, ay, a, N y P se
obtiene la aceleración angular.
Problema de práctica Suponga que la barra se suelta desde el reposo con u = 30°. En
ese instante, ¿cuáles son las fuerzas normales ejercidas sobre la barra por el piso y la pared?
www.FreeLibros.orgRespuesta:N=0.813mg,P=0.325mg.
378 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos
Ejemplo 18.4 Barra que gira alrededor de un eje fijo (᭤ Relacionado con el problema 18.19)
La barra delgada de masa m que se muestra en la figura se suelta desde el reposo
en la posición horizontal mostrada. Determine la aceleración angular de la barra y
A la fuerza ejercida sobre ésta por el soporte A en el instante mostrado.
l
Estrategia
Como la barra gira alrededor de un punto fijo, se puede usar la ecuación (18.22) para
determinar su aceleración angular. La ventaja de usar esta ecuación en vez de la
ecuación (18.23) es que las reacciones desconocidas en A no aparecen en la ecua-
ción del movimiento angular. Una vez que se conozca la aceleración angular, será
posible determinar la aceleración del centro de masa y usar la segunda ley de Newton
para obtener las reacciones en A.
Solución
Dibujo del diagrama de cuerpo libre En la figura a se dibujó el diagrama de
cuerpo libre de la barra mostrando las reacciones en el soporte de pasador.
G y x
Ay
mg Ax
1
(a) Diagrama de cuerpo libre de la barra. 2l
Aplicación de las ecuaciones de movimiento Considere que la aceleración del
centro de masa G de la barra es aG = axi + ay j, y que su aceleración angular en sen-
tido contrario al de las manecillas del reloj es a (figura b). La segunda ley de
Newton para la barra es
©Fx = Ax = max,
©Fy = Ay - mg = may.
y
(b) Aceleración angular y componentes a ay x
de la aceleración del centro de masa. G A
ax
1
2l
La ecuación del movimiento angular respecto al punto fijo A es
www.FreeLibros.org©MA = A 1 l B mg = IAa. (1)
2
18.2 Ecuaciones de movimiento plano 379
El momento de inercia de una barra delgada respecto a su centro de masa es
I = –112 ml 2. (Vea el apéndice C). A partir del teorema de los ejes paralelos, el
momento de inercia de la barra respecto a A es
IA = I + d 2m = 1 ml 2 + A 1 l B 2m = 1 ml 2.
12 2 3
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (1), se obtiene la aceleración angular:
a = 1 mgl = 3 g
2 2 l.
1 ml2
3
Determinación de las relaciones cinemáticas Para encontrar las reacciones Ax
y Ay, es necesario determinar las componentes ax y ay de la aceleración. Esto puede
hacerse expresando la aceleración de G en términos de la aceleración de A:
aG = aA + ␣ * rG>A - v2rG>A.
En el instante en que se suelta la barra, su velocidad angular v = 0. Asimismo,
aA = 0, por lo que se obtiene
aG = ax i + ay j = 1ak2 * A - 1 li B = - 1 la j.
2 2
Igualando las componentes i y j, resulta
ax = 0,
ay = - 1 la = - 3 g.
2 4
Sustituyendo estas componentes de aceleración en la segunda ley de Newton, se
encuentra que las reacciones en A en el instante en que la barra se suelta son
Ax = 0,
Ay = mg + m A - 3 g B = 1 mg.
4 4
Razonamiento crítico
Se podría haber determinado la relación cinemática entre la aceleración angular de
la barra y la aceleración del centro de masa G de manera menos formal. Como G
describe una trayectoria circular alrededor de A, se sabe que la componente tan-
gencial de la aceleración es igual al producto de la distancia radial desde A hasta G
por la aceleración angular de la barra. Debido a la manera en que se definieron las
direcciones positivas de ay y a, se tiene que ay = -1l>22a. La componente normal
de la aceleración de G es igual al cuadrado de su velocidad dividida entre el radio de
su trayectoria circular. La velocidad es igual a cero en el instante en que se suelta
www.FreeLibros.orgla barra, por lo que ax = 0.
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Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be
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