80 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.108 Una centrifugadora usada para someter a componentes de
ingeniería a altas aceleraciones tiene un radio de 8 m. Parte desde
᭤ 13.104 En el ejemplo activo 13.9, determine la velocidad y la el reposo en t ϭ 0, y durante su fase de aceleración de 2 minutos
aceleración de la motocicleta cuando t ϭ 5 s, en términos de sus está programada para que su aceleración angular sea una función
componentes normal y tangencial. del tiempo en segundos, dada por a ϭ 0.192 Ϫ 0.0016t rad/s2.
En t ϭ 120 s, ¿cuál es la magnitud de la aceleración a la que está
13.105 La armadura mostrada parte desde el reposo en t ϭ 0 y sometido un componente?
tiene una aceleración angular constante a ϭ 2 rad/s2. En t ϭ 4 s,
¿qué valor tienen la velocidad y la aceleración del punto P respecto
al punto O en términos de sus componentes normal y tangencial?
P
O
80 mm Problema 13.108
Problema 13.105 13.109 Se está probando la maniobrabilidad de una lancha de
motor, la cual parte desde el reposo en t ϭ 0 y es conducida en una
13.106 Suponga que se quiere diseñar una centrifugadora para trayectoria circular de 12 m de radio. La componente tangencial de
someter muestras a aceleraciones normales de 1000 g. la aceleración de la lancha en función del tiempo es at ϭ 0.4t m/s2.
a) Si la distancia del centro de la centrifugadora a la muestra es
de 300 mm, ¿qué velocidad de rotación en rpm se necesita? a) ¿Cuáles son los valores de la velocidad y la aceleración de
b) Si se quiere que la centrifugadora alcance sus rpm de diseño en la lancha en términos de sus componentes normal y tangencial
1 min. ¿qué aceleración angular constante se necesita? cuando t ϭ 4 s?
b) ¿Qué distancia se desplaza la lancha a lo largo de su trayectoria
circular desde t ϭ 0 hasta t ϭ 4 s?
13.107 La centrifugadora médica que se muestra en la figura parte
desde el reposo en t ϭ 0 y se encuentra sometida a una aceleración
angular constante a ϭ 3 rad/s2. ¿Cuál es la magnitud de la acelera-
ción total a la que están sometidas las muestras en t ϭ 1 s?
300 mm Problema 13.109
Problemas 13.106/13.107
www.FreeLibros.org
Problemas 81
13.110 Se tiene el ángulo u ϭ 2t2 rad. ᭤ 13.114 Suponga que es posible excavar un túnel circular de
a) ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración del punto P en radio R debajo del ecuador. En principio podría colocarse un saté-
términos de las componentes normal y tangencial cuando t ϭ 1 s? lite en órbita alrededor del centro de la Tierra dentro del túnel. La
b) ¿Qué distancia a lo largo de la trayectoria circular recorre P aceleración debida a la gravedad en el túnel sería gR͞RE, donde g
desde t ϭ 0 hasta t ϭ 1 s? es la aceleración debida a la gravedad al nivel del mar y RE es el
radio de la Tierra. Determine la velocidad del satélite y demuestre
13.111 El ángulo u ϭ 2t2 rad, ¿qué valores tienen la velocidad que el tiempo requerido para completar una órbita es independiente
y la aceleración del punto P, en términos de las componentes del radio R. (Vea el ejemplo 13.10).
normal y tangencial, cuando P ha realizado un giro alrededor de
la trayectoria circular comenzando en t ϭ 0? Ecuador
P RE R
u Túnel
O
4m
Problema 13.114
Problemas 13.110/13.111 13.115 En el instante mostrado, la magnitud de la velocidad del
avión es de 130 m/s, su componente tangencial de aceleración es
13.112 En el instante mostrado, la manivela AB gira con una at ϭ Ϫ4 m/s2, y la razón de cambio del ángulo de su trayectoria
velocidad angular de 5000 rpm contraria al giro de las manecillas es du͞dt ϭ 5°͞s.
del reloj. Determine la velocidad del punto B a) en términos de
las componentes normal y tangencial y b) en términos de las a) ¿Cuáles son la velocidad y la aceleración del avión en términos
componentes cartesianas. de sus componentes normal y tangencial?
b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria
del avión?
13.113 La manivela AB gira con una velocidad angular constante u
de 5000 rpm, contraria al giro de las manecillas del reloj. Determine Problema 13.115
la aceleración del punto B a) en términos de las componentes normal
y tangencial y b) en términos de las componentes cartesianas.
y
C
45Њ x
B
2 pulg
A
www.FreeLibros.orgProblemas 13.112/13.113
82 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.116 En el diseño preliminar de un automóvil solar, un 13.121 Ciertos candidatos a astronauta presentarán una prueba en
grupo de estudiantes de ingeniería estima que su aceleración una centrifugadora con radio de 10 m en el plano horizontal. Los
será de 0.6 m/s2. Suponga que el automóvil parte desde el reposo ingenieros que realizan la prueba desean someter a los candidatos
en el punto A y que la componente tangencial de su aceleración es a una aceleración de 5 g, o cinco veces la aceleración debida a la
at ϭ 0.6 m/s2. ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración gravedad. La gravedad de la Tierra ejerce de manera efectiva una
del automóvil en términos de sus componentes normal y tangencial aceleración de 1 g en la dirección vertical. Determine la velocidad
cuando llega al punto B? angular de la centrifugadora en revoluciones por segundo de modo
que la magnitud de la aceleración total sea de 5 g.
13.117 Después de someter el diseño de un automóvil a pruebas
en un túnel de viento, los estudiantes estiman que la componente 10 m
tangencial de su aceleración será at ϭ 0.6 Ϫ 0.002v2 m/s2, donde
v es su velocidad en m/s. Si el automóvil parte desde el reposo en
el punto A, ¿qué valores tienen su velocidad y su aceleración
en términos de las componentes normal y tangencial cuando llega
al punto B?
13.118 Suponga que la componente tangencial de la acelera- Problema 13.121
ción de un automóvil está dada en términos de su posición por
at ϭ 0.4 Ϫ 0.001s m/s2, donde s es la distancia viajada por el ᭤ 13.122 En el ejemplo 13.11, ¿cuál es la velocidad del helicópte-
auto a lo largo de la pista desde el punto A. ¿Qué valores tienen ro en términos de las componentes normal y tangencial en t ϭ 4 s?
su velocidad y su aceleración en términos de las componentes
normal y tangencial cuando llega al punto B? 13.123 El atleta mostrado lanza la bala con velocidad v ϭ 16 m/s.
a) ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración de la bala
50 m en términos de sus componentes normal y tangencial cuando
B está en el punto más alto de su trayectoria?
b) ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la bala cuando
A se encuentra en el punto más alto de su trayectoria?
200 m 13.124 En t ϭ 0, el atleta mostrado lanza la bala con velocidad
v ϭ 16 m/s.
Problemas 13.116–13.118 a) ¿Qué valores tienen la velocidad y la aceleración de la bala en
términos de sus componentes normal y tangencial cuando t ϭ 0.3 s?
13.119 El automóvil mostrado incrementa su velocidad a una b) Utilice la relación an ϭ v2͞r para determinar el radio de
razón constante desde 40 mi/h en A hasta 60 mi/h en B. ¿Cuál es la curvatura instantáneo de la bala cuando t ϭ 0.3 s?
magnitud de su aceleración 2 s después de que pasa por el punto A?
13.125 En t ϭ 0, el atleta mostrado lanza la bala con velocidad
13.120 El automóvil mostrado incrementa su velocidad a una v ϭ 16 m/s. Utilice la ecuación (13.42) para determinar el radio
razón constante desde 40 mi/h en A hasta 60 mi/h en B. Determine de curvatura instantáneo de la bala cuando t ϭ 0.3 s?
la magnitud de su aceleración cuando ha viajado a lo largo del ca-
mino, una distancia a) de 120 pies desde A y b) de 160 pies desde A. v
20Њ
y
120 pies
30Њ B
A
30Њ 80 pies x
100 pies
80 pies
Problemas 13.119/13.120
www.FreeLibros.orgProblemas 13.123–13.125
Problemas 83
13.126 Las coordenadas cartesianas de un punto que se mueve 13.130* En el problema 13.129, ¿cuál es la componente normal
en el plano x–y son de la aceleración del avión en función del tiempo?
x ϭ 20 ϩ 4t 2 m y y ϭ 10 Ϫ t 3 m. y
¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo de la trayectoria del
punto en t ϭ 3 s?
13.127 El helicóptero mostrado parte desde el reposo en t ϭ 0. x
Las coordenadas cartesianas de su aceleración son ax ϭ 0.6t m/s2 O
y ay ϭ 1.8 Ϫ 0.36t m/s2. Determine las componentes tangencial y
normal de la aceleración en t ϭ 6 s.
y
Problemas 13.129/13.130
13.131 Si y ϭ 100 mm, dy͞dt ϭ 200 mm͞s y d2y͞dt2 ϭ 0,
¿cuáles son la velocidad y la aceleración de P en términos de
las componentes normal y tangencial?
13.132* Suponga que el punto P se mueve hacia arriba por la
ranura con velocidad v ϭ 300 et (mm/s). Cuando y ϭ 150 mm,
¿qué valor tienen dy͞dt y d2y͞dt2?
x
Problema 13.127
᭤ 13.128 Suponga que cuando la centrifugadora del ejemplo 13.12 P
se enciende, su motor y sistema de control le dan una aceleración
angular (en rad/s2) a ϭ 12 Ϫ 0.02v, donde v es la velocidad an-
gular de la centrifugadora. Determine las componentes tangencial
y normal de la aceleración de las muestras en t ϭ 0.2 s.
y
13.129* Para el entrenamiento de astronautas, el avión mos- 300 mm
trado debe alcanzar la “ingravidez” por un corto periodo de
Problemas 13.131/13.132
tiempo volando a lo largo de una trayectoria tal que su acelera-
ción sea ax ϭ 0 y ay ϭ Ϫg. Si su velocidad en O en t ϭ 0 es 13.133* Un auto viaja a 100 km/h cuesta arriba por un camino
v ϭ v0i, demuestre que el piloto automático debe volar el avión recto cuyo perfil vertical se puede aproximar mediante la ecuación
de manera que su componente tangencial de aceleración en mostrada. Cuando la coordenada horizontal del auto es x ϭ 400 m,
¿cuáles son las componentes tangencial y normal de su aceleración?
función del tiempo sea
y
at = g gt>v0 .
21 + 1gt>v022
y ϭ 0.0003x2
x
www.FreeLibros.orgProblema13.133
84 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.134 Un niño patina sobre la superficie de concreto de un 13.136* Utilizando las ecuaciones (13.41), a) demuestre que las
canal vacío descrito por la ecuación mostrada. El niño parte de relaciones entre los vectores unitarios cartesianos y los vectores
y ϭ 20 pies y la magnitud de su velocidad se aproxima mediante unitarios et y en son
v = 22132.22120 - y2 pies/s.
a) Use la ecuación (13.42) para determinar el radio de curvatura i ϭ cos u et Ϫ sen u en
instantánea de la trayectoria del niño cuando éste llega al fondo.
j ϭ sen u et ϩ cos u en.
b) ¿Cuál es la componente normal de la aceleración del niño
cuando éste llega al fondo? y b) demuestre que
13.135 En el problema 13.134, ¿cuál es la componente normal de det = du y den = du
la aceleración del niño cuando ha pasado por el fondo y alcanza la dt dt en dt - dt et.
posición y ϭ 10 pies?
y
y ϭ 0.03x2
x
Problemas 13.134/13.135
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas
polares y cilíndricas
ANTECEDENTES
Las coordenadas polares suelen usarse para describir el movimiento curvilíneo de
un punto. El movimiento circular, los problemas de ciertas órbitas y, de manera
más general, los problemas de fuerza central, en los que la aceleración de un punto
se dirige hacia un punto dado, pueden expresarse convenientemente en coordena-
das polares.
Considere un punto P en el plano x–y de un sistema coordenado cartesiano. Se
puede especificar la posición de P respecto al origen O mediante sus coordenadas
cartesianas x, y y o por medio de sus coordenadas polares, r, u (figura 13.26a). Para
expresar vectores en coordenadas polares, se define un vector unitario er que apun-
ta en la dirección de la línea radial desde el origen hacia P y un vector unitario eu,
perpendicular a er y que apunta en la dirección creciente de u (figura 13.26b). En
términos de esos vectores, el vector de posición r desde O hasta P es
r ϭ rer. (13.52)
(Observe que r no tiene componente en la dirección de eu).
Se puede determinar la velocidad de P en términos de coordenadas polares
derivando respecto al tiempo la ecuación (13.52):
dr dr r der.
dt dt er dt
www.FreeLibros.orgv = = + (13.53)
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas 85
yy
eu
P P er
(x, y) r x
r
u xO u
O (b)
(a)
Figura 13.26
(a) Coordenadas polares de P.
(b) Vectores unitarios er y eu y vector de posición r.
Cuando P se mueve a lo largo de una trayectoria curvilínea, el vector unitario er
gira con velocidad angular v ϭ du͞dt. Por lo tanto, de la ecuación (13.33), la deri-
vada respecto al tiempo de er en términos de eu se puede expresar como
der = du (13.54)
dt dt eu.
Sustituyendo este resultado en la ecuación (13.53) se obtiene la velocidad de P:
dr du dr (13.55)
v = dt er + r dt eu = dt er + rveu.
y
Se puede obtener el resultado de un modo menos riguroso, pero más directo e P
r⌬u
intuitivo. En la figura 13.27 se muestra el vector de posición de P en los tiempos
t y t ϩ ¢t. El cambio en el vector de posición, r(t ϩ ¢t) Ϫ r(t), consiste en dos r(t ϩ ⌬t) P ⌬r
componentes. La componente ¢r se debe al cambio en la posición radial r y tiene la ⌬u
dirección de er. La componente r¢u debida al cambio en u tiene la dirección de eu.
Así, el cambio en la posición de P es (aproximadamente) r(t)
r1t + ¢t2 - r1t2 = ¢rer + r¢ueu. Ox
Dividiendo esta expresión entre ¢t y obteniendo el límite cuando ¢t S 0, se obtie- Figura 13.27
ne la velocidad de P: Vector de posición de P en t y en t ϩ ¢t.
¢r ¢u
v = lím a er + r ¢t eub
¢t
¢t : 0
dr
= dt er + rveu.
Una componente de la velocidad está en la dirección radial y es igual a la razón de
cambio de la posición radial r. La otra componente es normal, o transversal a la
dirección radial, y es proporcional a la distancia radial y a la razón de cambio de u.
La aceleración de P se obtiene derivando la ecuación (13.55) respecto al
tiempo:
dv d 2r dr der dr du d 2u r du deu.
dt dt 2 er dt dt dt dt eu r dt 2 eu dt dt
www.FreeLibros.orga==+ + + + (13.56)
86 Capítulo 13 Movimiento de un punto
y deu ϭ Ϫ du er der ϭ du eu La derivada respecto al tiempo del vector unitario er debido a la razón de cambio
dt dt dt dt de u está dada por la ecuación (13.54). Cuando P se mueve, eu también gira con
velocidad angular du͞dt (figura 13.28). En esta figura se puede ver que la deriva-
eu
da respecto al tiempo de eu tiene la dirección Ϫer si du͞dt es positiva:
er
r du P deu du
dt - dt er.
u dt x =
O
Figura 13.28 Sustituyendo esta expresión y la ecuación (13.54) en la ecuación (13.56), se obtiene
Derivadas respecto al tiempo de er y eu. la aceleración de P:
d2r du 2 d 2u dr du
a = c dt 2 - r a dt b d er + c r dt 2 + 2 dt dt d eu.
Así, la velocidad y la aceleración son respectivamente (figura 13.29)
y dr (13.57)
donde v = vrer + vu eu = dt er + rveu (13.58)
a = arer + aueu,
ar = d 2r - du 2 = d 2r - rv2
dt 2 r a dt b dt 2
(13.59)
d 2u dr du dr
au = r dt 2 + 2 dt dt = ra + 2 dt v.
El término Ϫrv2 en la componente radial de la aceleración se llama aceleración
centrípeta, y el término 2(dr͞dt)v en la componente transversal se llama acelera-
ción de Coriolis.
Los vectores unitarios er y eu se relacionan con los vectores cartesianos uni-
tarios por medio de
er ϭ cos ui ϩ sen uj (13.60)
y
eu ϭ Ϫsen ui ϩ cos uj.
yy
vu eu v au eu a
eu vrer eu arer
er er
rP rP
u
O
(a)
Figura 13.29 x u x
Componentes radial y transversal de la velocidad O
www.FreeLibros.org(a)ydelaaceleración(b). (b)
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas 87
Movimiento circular El movimiento circular puede describirse de manera con- y
veniente usando las componentes radial y transversal o las componentes normal y
tangencial. A continuación se compararán esos dos métodos para expresar la velo- eu
cidad y la aceleración de un punto P que se mueve en una trayectoria circular de P er
radio R (figura 13.30). Como la coordenada polar r ϭ R es constante, la ecuación
(13.57) para la velocidad se reduce a R
ux
v ϭ Rveu.
(a)
En términos de las componentes normal y tangencial, la velocidad es
et
v ϭ vet. P
Observe en la figura 13.30 que eu ϭ et. Comparando esas dos expresiones para la en
velocidad, se obtiene la relación entre la velocidad y la velocidad angular en el s
movimiento circular:
R
v ϭ Rv.
(b)
De las ecuaciones (13.58) y (13.59), la aceleración en coordenadas polares Figura 13.30
para una trayectoria circular de radio R es Punto P moviéndose en una trayectoria circular.
(a) Coordenadas polares.
a ϭ ϪRv2er ϩ Raeu, (b) Componentes normal y tangencial.
y la aceleración en términos de las componentes normal y tangencial es
dv v2
a = dt et + R en.
El vector unitario er ϭ Ϫen. Debido a la relación v ϭ Rv, las componentes nor-
males de la aceleración son iguales: v2͞R ϭ Rv2. Igualando las componentes
transversal y tangencial, se obtiene la relación
dv
dt = at = Ra.
Coordenadas cilíndricas Las coordenadas polares describen el movimiento
de un punto P en el plano x–y. El movimiento tridimensional se puede describir
usando coordenadas cilíndricas r, u y z (figura 13.31). Las coordenadas cilíndri-
cas r y u son las coordenadas polares de P medidas en el plano paralelo al plano
y eu er
O r P
z ez
xr
u
z
Figura 13.31
Coordenadas cilíndricas r, u, y z del punto P y vectores
www.FreeLibros.orgunitarioser,euyez.
88 Capítulo 13 Movimiento de un punto
x–y, y las definiciones de los vectores unitarios er y eu no cambian. La posición de
P perpendicular al plano x–y se mide mediante la coordenada z, y el vector unita-
rio ez apunta en la dirección positiva del eje z.
El vector de posición r en términos de coordenadas cilíndricas es la suma de
la expresión para el vector de posición en coordenadas polares y la componente z:
r ϭ rer ϩ zez. (13.61)
(La coordenada polar r no es igual a la magnitud de r excepto cuando P se encuentra
en el plano x–y). Derivando respecto al tiempo, se obtiene la velocidad
dr (13.62)
v = dt = vr er + vueu + vz ez
dr dz
= dt er + rv eu + dt ez
y la aceleración,
dv (13.63)
a = dt = ar er + au eu + az ez,
donde
ar = d 2r - rv2, dr y d 2z (13.64)
dt 2 au = ra + 2 dt v az = dt 2 .
Observe que las ecuaciones (13.62) y (13.63) se reducen a las expresiones en coor-
denadas polares para la velocidad y aceleración, las ecuaciones (13.57) y (13.58),
cuando P se mueve a lo largo de una trayectoria en el plano x–y.
y RESULTADOS
Coordenadas polares
y
v aueu a
vueu
eu vrer eu arer
er er
rP rP
u x u x
O O
r ϭ rer, (13.52)
Posición r, velocidad v y aceleración a v ϭ vrer ϩ vueu ϭ dr er ϩ rveu, (13.57)
de P en términos de coordenadas polares. dt
El vector unitario er apunta en la direc- a ϭ arer ϩ aueu, (13.58)
ción de la línea radial del origen O al donde
punto P. El vector unitario eu es perpen- ar ϭd2r Ϫr du 2 d2r Ϫ rv2,
dicular a er y apunta en la dirección dt2 dt dt2
creciente de u. ϭ
d2u dr du dr (13.59)
dt2 dt dt dt
ϭr ϩ 2 ϭ ra ϩ 2 v.
www.FreeLibros.orgau
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas 89
y
eu
P er
R
ux
Relaciones entre los vectores unitarios. er ϭ cosui ϩ senuj, (13.60)
eu ϭ Ϫsenui ϩ cosuj.
Coordenadas cilíndricas er
y
eu
r P
ez
O xr
z
u
z r ϭ rer ϩ zez, (13.61)
Posición r, velocidad v y aceleración a v ϭ vrer ϩ vueu ϩ vzez
de P en términos de coordenadas
cilíndricas. ϭ dr er ϩ rveu ϩ dz ez, (13.62)
dt dt (13.63)
a ϭ arer ϩ aueu ϩ azez, (13.64)
donde
ar ϭ d2r Ϫ rv2, au ϭ ra ϩ 2 dr v, az ϭ d2z .
dt2 dt dt2
www.FreeLibros.org
90 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo activo 13.13 Análisis del movimiento en términos de coordenadas polares
(᭤ Relacionado con el problema 13.138)
El brazo robótico que se muestra en la figura está programado para que el punto P
siga la trayectoria descrita por
r ϭ 1 Ϫ 0.5 cos 2pt m,
u ϭ 0.5 Ϫ 0.2 sen 2pt rad.
¿Cuál es la velocidad de P en términos de las coordenadas polares cuando t ϭ 0.8 s?
y
r
P
u
x
Estrategia
Las coordenadas polares r y u de P están dadas en función del tiempo, entonces
se pueden calcular las derivadas de la expresión para la velocidad en términos de
coordenadas polares y evaluar la velocidad en t ϭ 0.8 s.
Solución
Determine las derivadas dr ϭ psen2pt,
de la expresión para la dt
velocidad. du ϭ Ϫ0.4pcos2pt.
dt
Determine la velocidad como v ϭ dr er ϩ r du eu
una función del tiempo. dt dt
ϭ psen2pter ϩ (1 Ϫ 0.5cos2pt)(Ϫ0.4pcos2pt)eu.
Evalúe la velocidad en v ϭ Ϫ2.99er Ϫ 0.328eu (m/s).
t ϭ 0.8 s.
Problema de práctica ¿Cuál es la aceleración de P en términos de coordenadas
polares cuando t ϭ 0.8 s?
www.FreeLibros.orgRespuesta: a ϭ 5.97er Ϫ 4.03eu (m/s2).
13.7 Movimiento curvilíneo: Coordenadas polares y cilíndricas 91
Ejemplo 13.14 Expresión del movimiento en términos de coordenadas polares v0 v0
(᭤ Relacionado con el problema 13.141)
Suponga que está usted de pie sobre un gran disco que gira con velocidad angular
constante v0, y usted empieza a caminar con velocidad constante v0 a lo largo de
una línea recta radial pintada sobre el disco. ¿Cuáles son su velocidad y aceleración
cuando se encuentre a una distancia r del centro del disco?
Estrategia
Se puede describir su movimiento en coordenadas polares (figura a). Usando la
información duda acerca de su movimiento y el movimiento del disco, es posible
evaluar los términos en las expresiones para la velocidad y la aceleración en tér-
minos de coordenadas polares.
Solución
La velocidad con que usted camina a lo largo de la línea radial es la razón de cam-
bio de r, dr͞dt ϭ v0, y la velocidad angular del disco es la razón de cambio de u,
v ϭ v0. Su velocidad es
dr
v = dt er + rveu = v0er + rv0eu.
Su velocidad consta de dos componentes: una componente radial debida a la velo- y
cidad con que usted va caminando, y una componente transversal debida a la razón eu
r
de rotación del disco. La componente transversal se incrementa conforme aumenta
u
su distancia desde el centro del disco.
Su velocidad al caminar v0 ϭ dr͞dt es constante, por lo que d 2r͞dt 2 ϭ 0.
Asimismo, la velocidad angular del disco, v0 ϭ du͞dt es constante, por lo que
d 2u͞dt 2 ϭ 0. La componente radial de su aceleración es
ar = d 2r - rv2 = - rv02, er
dt2 x
y la componente transversal es
au = ra + dr = 2v0v0.
2v
dt
(a) Su posición en términos de coordena-
das polares.
Razonamiento crítico
¿Por qué no se utilizaron las componentes normal y tangencial para determinar
su velocidad y aceleración? La razón por la que no serían convenientes en este
ejemplo es que la trayectoria no se conoce, y las componentes normal y tangencial
están definidas en términos de la trayectoria.
Si usted ha tratado alguna vez de caminar sobre un disco de este tipo, sabrá
que no es fácil. Este ejemplo indica por qué: Subjetivamente, usted ha caminan-
do a lo largo de una línea recta con velocidad constante, pero en realidad usted
experimenta la aceleración centrípeta ar y la aceleración de Coriolis au debido a
www.FreeLibros.orgla rotación del disco.
92 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Ejemplo 13.15 Velocidad en términos de componentes polares y cartesianas
(᭤ Relacionado con los problemas 13.155 y 13.156)
En el mecanismo de leva y seguidor que se muestra en la figura, la barra ranurada
gira con velocidad angular constante v ϭ 4 rad/s, y la posición radial del seguidor
está determinada por el perfil elíptico de la leva en reposo. La trayectoria del se-
guidor puede describirse mediante la ecuación polar
r = 1 + 0.15 m.
0.5 cos u
y
r Seguidor
u x
Leva
Determine la velocidad del seguidor cuando u ϭ 45° en términos de (a) coordenadas
polares y (b) coordenadas cartesianas.
Estrategia
Tomando la derivada respecto al tiempo de la ecuación polar para el perfil de la leva,
se puede obtener una relación entre la velocidad angular conocida y la componente
radial de la velocidad que permita evaluar la velocidad en términos de coordenadas
polares. Luego, empleando la ecuación (13.60), puede obtenerse la velocidad en tér-
minos de coordenadas cartesianas.
Solución
a) La ecuación polar para el perfil de la leva tiene la forma r ϭ r(u). Tomando su
derivada con respecto al tiempo, se obtiene
dr dr1u2 du
dt = du dt
d 0.15 du
= du a 1 + 0.5 cos u b dt
0.075 sen u du
c 0.5 cos u22 d
www.FreeLibros.org= 11 + .
dt
Problemas 93
Por lo tanto, la velocidad del seguidor en coordenadas polares es
dr du
v = dt er + r dt eu
= c 11 0.075 sen u d du er + a1 + 0.15 du
+ 0.5 cos u22 dt 0.5 cos u b dt eu.
La velocidad angular v ϭ du͞dt ϭ 4 rad/s, por lo que pueden evaluarse las com-
ponentes polares de la velocidad cuando u ϭ 45°, obteniendo
v ϭ 0.116er ϩ 0.443eu (m/s).
b) Sustituyendo las ecuaciones (13.60) con u ϭ 45° en la expresión de coordena-
das polares para la velocidad, se obtiene la velocidad en términos de coordenadas
cartesianas:
v ϭ 0.116er ϩ 0.443eu
ϭ 0.116(cos 45°i ϩ sen 45°j) ϩ 0.443(Ϫsen 45°i ϩ cos 45°j)
ϭ Ϫ0.232i ϩ 0.395j (m/s).
Razonamiento crítico
Observe que, al determinar la velocidad del seguidor, se hizo el supuesto tácito de que
éste permanece en contacto con la superficie de la leva mientras la barra gira. Los
diseñadores de mecanismos de leva deben asegurar que el resorte sea suficientemen-
te fuerte para que el seguidor no pierda contacto con la superficie. En el capítulo 14
se introducen los conceptos necesarios para analizar este tipo de problemas.
Problemas ᭤ 13.138 En el ejemplo activo 13.13, suponga que el brazo
robótico se reprograma para que el punto P siga la trayectoria
13.137 Las coordenadas polares del collarín A están dadas descrita por
como funciones del tiempo en segundos por r ϭ 1 ϩ 0.2t2 pies
y u ϭ 2t rad. ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la r ϭ 1 Ϫ 0.5 sen 2pt m,
aceleración del collarín cuando t ϭ 2 s? u ϭ 0.5 Ϫ 0.2 cos 2pt rad.
A ¿Cuál es la velocidad de P en términos de coordenadas polares
r cuando t ϭ 0.8 s?
u
www.FreeLibros.orgProblema13.137
94 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.139 En el instante mostrado, r ϭ 3 m y u ϭ 30°. Las componentes cartesianas de la velocidad del punto A son vx ϭ 2 m/s y
vy ϭ 8 m/s.
a) Determine la velocidad del punto A en términos de las coordenadas polares.
b) ¿Cuál es la velocidad angular du͞dt de la grúa en el instante mostrado?
13.140 Las coordenadas polares del punto A de la grúa están dadas como funciones del tiempo en segundos por r ϭ 3 ϩ 0.2t2 m y
u ϭ 0.02t2 rad. Determine la aceleración del punto A en términos de coordenadas polares cuando t ϭ 3 s.
y
A
r
u
x
Problemas 13.139/13.140
᭤ 13.141 La línea radial mostrada gira con velocidad angular constante de 2 rad/s. El punto P se mueve a lo largo de la línea con
velocidad constante de 4 m/s. Determine las magnitudes de la velocidad y la aceleración de P cuando r ϭ 2 m. (Vea el ejemplo 13.14).
y
4 m/s 2 rad/s
P
r
Ox
Problema 13.141
www.FreeLibros.org
Problemas 95
13.142 En el instante mostrado, las coordenadas del collarín A 13.145 El collarín A se desliza sobre la barra circular mostrada. La
son x ϭ 2.3 pies, y ϭ 1.9 pies. El collarín se desliza sobre la barra posición radial de A (en metros) está dada como una función de u
desde B hacia C a una velocidad constante de 4 pies/s. por r ϭ 2 cos u. En el instante mostrado, u ϭ 25° y du͞dt ϭ 4 rad/s.
Determine la velocidad de A en términos de coordenadas polares.
a) ¿Cuál es la velocidad del collarín en términos de coordenadas
polares? 13.146 En el problema 13.145, d 2u͞dt2 ϭ 0 en el instante mos-
trado. Determine la aceleración de A en términos de las coordena-
b) Use la respuesta al inciso a) para determinar la velocidad das polares.
angular de la línea radial desde el origen hasta el collarín A en
el instante mostrado.
13.143 En el instante mostrado, las coordenadas del collarín A y
son x ϭ 2.3 pies, y ϭ 1.9 pies. El collarín se desliza sobre la barra
desde B hacia C a una velocidad constante de 4 pies/s. A
a) ¿Cuál es la aceleración del collarín en términos de coordenadas r
polares? u
b) Use la respuesta al inciso a) para determinar la aceleración
angular de la línea radial desde el origen hasta el collarín A en
el instante mostrado.
x
y Problemas 13.145/13.146
C
A 13.147 La coordenada radial del satélite terrestre que se muestra
en la figura se relaciona con su posición angular u por
r = 1.91 * 107 m.
1 + 0.5 cos u
60Њ x El producto de la posición radial y la componente transversa de la
B velocidad es
Problemas 13.142/13.143 rvu ϭ 8.72 ϫ 1010 m2/s.
¿Cuál es la velocidad del satélite en términos de coordenadas po-
13.144* Una embarcación que busca sitios arqueológicos sub- lares cuando u ϭ 90°?
marinos en el Mar Egeo navega a 4 nudos y sigue la trayectoria
r ϭ 10u m, con u en radianes. (Un nudo es una milla náutica, o 13.148* En el problema 13.147, ¿cuál es la aceleración del saté-
1852 m, por hora). Cuando u ϭ 2p rad, determine la velocidad lite en términos de coordenadas polares cuando u ϭ 90°?
de la embarcación a) en términos de coordenadas polares y b) en
términos de coordenadas cartesianas. Satélite
y
ru
x
Problemas 13.147/13.148
www.FreeLibros.orgProblema13.144
96 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.149 Una cuenta se desliza a lo largo de un alambre que gira 13.151* A partir de datos astronómicos, Johannes Kepler dedujo
en el plano x–y con velocidad angular constante v0. La compo- que la línea desde el Sol hasta un planeta describe áreas iguales en
nente radial de la aceleración de la cuenta es cero. La componente
radial de su velocidad es v0 cuando r ϭ r0. Determine las compo- tiempos iguales (figura a). Demuestre que este resultado se deduce
nentes polares de la velocidad de la cuenta en función de r.
del hecho que la componente transversa au de la aceleración de su
Estrategia: La componente radial de la velocidad es planeta es cero [cuando r cambia en una cantidad dr y u cambia
dr una cantidad du (figura b), el elemento diferencial resultante del
vr = dt , área es dA ϭ –12 r(r du)].
y la componente radial de su aceleración es t2
A
ar = d2r - du 2 = dvr - rv02. t2 ϩ ⌬t t1 ϩ ⌬t
dt2 ra b dt A
dt t1
Usando la regla de la cadena,
dvr = dvr dr = dvr vr,
dt dr dt dr
la componente radial de la aceleración puede expresarse en la
forma
ar = dvr vr - rv20. (a)
dr y
y
v r ϩ dr
r du dA
x u
r
Problema 13.149
x
13.150 Si el movimiento de un punto en el plano x–y es tal
que su componente transversa de aceleración au es igual a cero, (b)
muestre que el producto de su posición radial y su velocidad
transversa es constante: rvu ϭ constante. Problema 13.151
www.FreeLibros.org
Problemas 97
13.152 La barra mostrada gira en el plano x–y con velocidad ᭤ 13.155 En el ejemplo 13.15, determine la velocidad del seguidor
angular constante v0 ϭ 12 rad/s. La componente radial de la de leva cuando u ϭ 135° a) en términos de coordenadas polares y
aceleración del collarín C (en m/s2) está dada como una función b) en términos de coordenadas cartesianas.
de la posición radial en metros por ar ϭ Ϫ8r. Cuando r ϭ 1 m, la
componente radial de la velocidad de C es vr ϭ 2 m/s. Determine ᭤ 13.156* En el ejemplo 13.15, determine la aceleración del
la velocidad de C en términos de coordenadas polares cuando seguidor de leva cuando u ϭ 135° a) en términos de coordenadas
r ϭ 1.5 m. polares y b) en términos de coordenadas cartesianas.
Estrategia: Use la regla de la cadena para escribir el primer 13.157 En el mecanismo de leva y seguidor mostrado, la barra
ranurada gira con velocidad angular constante v ϭ 10 rad/s y la
término en la componente radial de la aceleración como posición radial del seguidor A está determinada por el perfil de
la leva en reposo. La trayectoria del seguidor puede describirse
d2r = dvr = dvr dr = dvr vr. mediante la ecuación polar
dt2 dt dr dt dr
r ϭ 1 ϩ 0.5 cos 2u pies.
y
Determine la velocidad del seguidor cuando u ϭ 30° a) en términos
v0 de coordenadas polares y b) en términos de coordenadas cartesianas.
C 13.158* En el problema 13.157, determine la aceleración del
seguidor de leva cuando u ϭ 30° a) en términos de coordenadas
polares y b) en términos de coordenadas cartesianas.
r y
x
Problema 13.152 rA
ux
13.153 El actuador hidráulico de la figura mueve el pasador P
hacia arriba con velocidad v ϭ 2j (m/s). Determine la velocidad
del pasador en términos de coordenadas polares y la velocidad
angular de la barra ranurada cuando u ϭ 35°.
13.154 El actuador hidráulico de la figura mueve el pasador P Problemas 13.157/13.158
hacia arriba con velocidad constante v ϭ 2j (m/s). Determine la
aceleración del pasador en términos de coordenadas polares y
la aceleración angular de la barra ranurada cuando u ϭ 35°.
y
P
u
x
2m
www.FreeLibros.orgProblemas 13.153/13.154
98 Capítulo 13 Movimiento de un punto
13.159* Las coordenadas cartesianas de un punto P en el 13.160 El avión mostrado vuela en línea recta a 400 mi/h. El
plano x–y están relacionadas con las coordenadas polares por radio de su hélice es de 5 pies y gira a 2000 rpm en dirección
las ecuaciones x ϭ r cos u, e y ϭ r sen u. contraria a la de las manecillas del reloj, vista desde el frente del
a) Demuestre que los vectores unitarios i y j están relacionados avión. Determine la velocidad y la aceleración de un punto en la
con los vectores unitarios er y eu por punta de la hélice en términos de coordenadas cilíndricas (consi-
dere que el eje z está orientado como se muestra en la figura).
i ϭ cos u er Ϫ sen u eu
y 5 pies
z
j ϭ sen u er ϩ cos u eu.
Problema 13.160
b) Iniciando con la expresión para el vector de posición de P
en términos de coordenadas cartesianas, r ϭ xi ϩ yj, deduzca 13.161 Una partícula cargada P en un campo magnético se
la ecuación (13.52) para el vector de posición en términos de mueve a lo largo de la trayectoria espiral descrita por r ϭ 1 m,
coordenadas polares. u ϭ 2z rad, donde z está en metros. La partícula se mueve en
c) Tomando la derivada respecto al tiempo del vector de posición la dirección mostrada con velocidad constante ͉v͉ ϭ 1 km/s.
del punto P expresado en términos de coordenadas cartesianas, ¿Cuál es la velocidad de la partícula en términos de coordenadas
deduzca la ecuación (13.55) para la velocidad en términos de cilíndricas?
coordenadas polares.
y
eu y
rP x
er
u x P z
Problema 13.159
1 km/s
Problema 13.161
www.FreeLibros.org
13.8 Movimiento relativo 99
13.8 Movimiento relativo rA A
ANTECEDENTES rB rA/B
O B
Hasta ahora se ha estudiado el movimiento curvilíneo de un punto respecto a un Figura 13.32
marco de referencia dado. En muchas aplicaciones, es necesario analizar los
movimientos de dos o más puntos respecto a un marco de referencia, así como
los movimientos de los puntos relativos entre sí. Como un ejemplo simple, consi-
dere un pasajero a bordo de un autobús en movimiento. Si el pasajero camina por
el pasillo, la posición y la velocidad que son importantes para él son su posición
en el autobús y qué tan rápido se está moviendo por el pasillo. Su movimiento
subjetivo es relativo al autobús. Pero también tiene una posición y una velocidad
relativa a la Tierra. Sería conveniente tener un marco para analizar el movimiento
del autobús respecto a la Tierra, el movimiento del pasajero respecto al autobús
y el movimiento del pasajero respecto a la Tierra. En esta sección se desarrolla un
marco de este tipo, presentando conceptos y terminología que serán usados en
muchos contextos a lo largo del libro.
Sean A y B dos puntos cuyos movimientos deben describirse respecto a un
marco de referencia con origen O. Las posiciones de A y B respecto a O se denotan
con rA y rB (figura 13.32). También se desea describir el movimiento del punto A
respecto al punto B, y la posición de A respecto a B se denota con rA͞B. Estos vec-
tores se relacionan mediante
rA ϭ rB ϩ rA͞B. (13.65)
Expresado en palabras, la posición de A es igual a la posición de B más la posi-
ción de A respecto a B. Observe que cuando se dice simplemente “posición de A”
o “posición de B,” se trata de sus posiciones respecto a O. La derivada de la ecua-
ción (13.65) con respecto al tiempo es
drA = drB + drA>B
dt dt .
dt
Esta ecuación puede escribirse como
vA ϭ vB ϩ vA͞B, (13.66)
donde vA es la velocidad de A respecto a O, vB es la velocidad de B respecto a O,
y vA͞B ϭ drA͞B͞dt es la velocidad de A respecto a B. La velocidad de A es igual a
la velocidad de B más la velocidad de A respecto a B. Ahora se toma la derivada
de la ecuación (13.66) con respecto al tiempo,
dvA = dvB + dvA>B
,
dt dt dt
y se escribe esta ecuación como
aA ϭ aB ϩ aA͞B. (13.67)
El término aA es la aceleración de A respecto a O, aB es la aceleración de B res-
pecto a O, y aA͞B ϭ dvA͞B͞dt es la aceleración de A respecto a B. La aceleración
de A es igual a la aceleración de B más la aceleración de A respecto a B.
Aunque las ecuaciones (13.65) a (13.67) y sus conceptos subyacentes tienen
una forma muy simple, son extremadamente útiles y se aplican en una variedad de
www.FreeLibros.orgcontextos a lo largo del libro.
100 Capítulo 13 Movimiento de un punto
RESULTADOS
A
rA rA/B
B
rB
O
Sean rA y rB las posiciones de dos rA ϭ rB ϩ rA/B. (13.65)
puntos A y B respecto al origen O vA ϭ vB ϩ vA/B. (13.66)
de un marco de referencia dado. aA ϭ aB ϩ aA/B. (13.67)
La posición de A es igual a la po-
sición de B más la posición rA/B
de A respecto a B.
La velocidad de A respecto a O es
igual a la velocidad de B respecto
a O más la velocidad vA/B de A
respecto a B.
La aceleración de A respecto a O es
igual a la aceleración de B respecto
a O más la aceleración aA/B de A
respecto a B.
Ejemplo activo 13.16 Movimiento de un barco en una corriente (᭤ Relacionado con el problema 13.167)
Un barco que se mueve a 5 nudos (millas náuticas por hora) respecto al agua está
en una corriente uniforme que fluye hacia el este a 2 nudos. Si el capitán quiere na-
vegar hacia el noroeste respecto a la Tierra, ¿en qué dirección debe dirigir el barco?
¿Cuál será la magnitud resultante de la velocidad del barco respecto a la Tierra?
y
N
B W E
2 nudos A S
www.FreeOLibrosx .org
13.8 Movimiento relativo 101
Estrategia
Considere que el marco de referencia mostrado está fijo con respecto a la Tierra. Se
denota al barco con A y se define B como un punto que se encuentra fijo respecto
al agua. Es decir, el punto B se mueve hacia el este a 2 nudos. Aplicando la ecua-
ción (13.66) se puede determinar la dirección del movimiento del barco respecto al
agua y la magnitud de la velocidad del barco respecto a la Tierra.
Solución
y
N
5 nudos WE
vA vA/B S
45Њ
vB
2 nudos
Ox
La velocidad del barco respecto a vA ϭ vB ϩ vA/B.
la Tierra es igual a la velocidad vA ϭ ϪvAcos45Њi ϩ vAsen45Њj.
del agua respecto a la Tierra más
la velocidad del barco respecto al
agua.
Sea vA la magnitud desconocida de la
velocidad del barco vA respecto a la
Tierra, que apunta hacia el noroeste.
Use el hecho de que se conoce la vA/B ϭ vA Ϫ vB ϭϪ(vAcos45Њ ϩ 2 nudos)i ϩ vAsen45Њj,
magnitud de la velocidad del barco |vA/B| ϭ (vAcos45Њ ϩ 2 nudos)2 ϩ (vAsen45Њ)2 ϭ 5 nudos.
respecto al agua, |vA/B| ϭ 5 nudos, Resolviendo, se obtiene vA ϭ 3.38 nudos.
para determinar vA.
Use la solución de vA para deter- vA/B ϭ Ϫ(vAcos45Њ ϩ 2 nudos)i ϩ vAsen45Њj,
minar las componentes de la ϭ Ϫ4.39i ϩ 2.39j (nudos).
velocidad del barco respecto al
agua. Éstas indican que el piloto
debe apuntar el barco a arctan
(4.39/2.39) ϭ 61.4Њ al oeste del
norte, para viajar hacia el noro-
este respecto a la Tierra.
Problema de práctica Si el piloto desea viajar hacia el norte respecto a la Tierra, ¿a
qué dirección debe apuntar el barco? ¿Cuál es la magnitud resultante de la velocidad
del barco respecto a la Tierra?
www.FreeLibros.orgRespuesta: 23.6° al oeste del norte, 4.58 nudos.
102 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas 13.165 El tren sobre la vía circular mostrada viaja a 50 pies/s. El
tren sobre la vía recta viaja a 20 pies/s. En términos del sistema
13.162 En t ϭ 0, se disparan de manera simultánea dos proyectiles coordenado fijo a la Tierra que se muestra, ¿cuál es la velocidad
A y B desde O con las velocidades y ángulos de elevación iniciales del pasajero A respecto al pasajero B?
mostrados. Determine la velocidad del proyectil A respecto al
proyectil B a) en t ϭ 0.5 s y b) en t ϭ 1 s.
y 13.166 El tren sobre la vía circular mostrada viaja a una velo-
cidad constante de 50 pies/s. El tren sobre la vía recta viaja a
10 m/s 20 pies/s y está incrementando su velocidad a 2 pies/s2. En
términos del sistema coordenado fijo a la Tierra que se muestra,
A ¿cuál es la aceleración del pasajero A respecto al pasajero B?
10 m/s y
B
60Њ 30Њ
O
x
Problema 13.162
13.163 En relación con un sistema coordenado fijo en la Tierra, el 500 pies
disco mostrado gira respecto al punto fijo O a 10 rad/s. ¿Cuál es la
velocidad del punto A respecto al punto B en el instante mostrado? O BA x
13.164 En relación con un sistema coordenado fijo en la Tierra, 20 pies/s
el disco mostrado gira respecto al punto fijo O con una velocidad
angular constante de 10 rad/s. ¿Cuál es la aceleración del punto A 50 pies/s
respecto al punto B en el instante mostrado?
y
A 10 rad/s
2 pies O Bx
Problemas 13.165/13.166
Problemas 13.163/13.164 ᭤ 13.167 En el ejemplo activo 13.16, suponga que la velocidad
de la corriente se incrementa a 3 nudos fluyendo hacia el este. Si
el piloto desea viajar hacia el noroeste respecto a la Tierra, ¿a qué
dirección debe apuntar el barco? ¿Cuál es la magnitud resultante
de la velocidad del barco respecto a la Tierra?
www.FreeLibros.org
Problemas 103
13.168 Un piloto privado desea volar de una ciudad P a una ciudad 13.171* El bote mostrado navega hacia el norte con velocidad
Q que está a 200 km directamente al norte de la ciudad P. El avión v0 ϭ 6 nudos (millas náuticas por hora) respecto a la Tierra y
volará con una velocidad en el aire de 290 km/h. A la altura en la que luego hacia el este a la misma velocidad. El dispositivo indicador
estará volando el avión, hay un viento del este (es decir, la dirección de la figura muestra la dirección del viento respecto al bote. De-
del viento es hacia el oeste) con una velocidad de 50 km/h. ¿A qué termine la dirección y la magnitud de la velocidad del viento (en
dirección deberá apuntar el piloto al avión para volar directamente nudos) respecto a la Tierra.
de la ciudad P a la ciudad Q? ¿Cuánto tiempo tardará el viaje?
Q
N 200 km 50 km/h v0 v0
Indicador 60Њ
WE
S N
WE
P
Problema 13.168 S
13.169 El río mostrado fluye hacia el norte a 3 m/s. (Suponga Problema 13.171
que la corriente es uniforme). Si se quiere viajar en línea recta del
punto C al punto D en un bote que navega a una velocidad cons-
tante de 10 m/s respecto al agua, ¿en qué dirección debe apuntar
el bote? ¿Cuánto tarda en realizar el cruce?
13.170 El río mostrado fluye hacia el norte a 3 m/s. (Suponga que
la corriente es uniforme). ¿Cuál es la velocidad mínima del bote
respecto al agua, necesaria para navegar en línea recta del punto C
al punto D? ¿Cuánto tardará en realizar el cruce?
Estrategia: Dibuje un diagrama vectorial mostrando las rela-
ciones de la velocidad del río respecto a la Tierra, la velocidad del
bote respecto al río y la velocidad del bote respecto a la Tierra.
Observe cuál es la dirección de la velocidad del bote respecto al
río que ocasiona que su magnitud sea mínima.
3 m/s
D
400 m N
WE
S
C
500 m
www.FreeLibros.orgProblemas 13.169/13.170
104 Capítulo 13 Movimiento de un punto
Problemas de repaso
13.172 Suponga que usted lanza una pelota directamente hacia 13.177 La aceleración de un punto que se mueve a lo largo de
arriba a 10 m/s, desde 2 m sobre el suelo. una línea recta es a ϭ Ϫcv3, donde c es una constante. Si la ve-
a) ¿Cuál es la altura máxima sobre el suelo que alcanza la pelota? locidad del punto es v0, ¿qué distancia se mueve antes de que su
b) ¿Cuánto tiempo después de lanzar la pelota, ésta golpea el suelo? velocidad disminuya a v0͞2?
c) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad justo antes de golpear el
suelo? 13.178 El agua sale de la boquilla de una manguera a 20°
sobre la horizontal y toca la pared en el punto indicado. ¿Cuál
13.173 Suponga que se debe determinar la duración de la luz es la velocidad del agua cuando sale de la boquilla?
ámbar en la intersección de una carretera. Los vehículos se aproxi-
man a la intersección a no más de 65 mi/h, los tiempos de reacción Estrategia: Determine el movimiento del agua tratando cada
de los conductores son de 0.5 s, y los vehículos pueden alcanzar de partícula de agua como un proyectil.
manera segura una desaceleración de al menos 0.4g.
a) ¿Cuánto tiempo debe permanecer la luz ámbar para que los 20Њ 20 pies
conductores se detengan de manera segura antes de que se 12 pies
encienda la luz roja?
b) ¿A qué distancia mínima deben estar los vehículos de la 35 pies
intersección cuando se pone la luz ámbar para poder detenerse
de manera segura en la intersección? Problema 13.178
13.174 La aceleración de un punto que se mueve a lo largo de 13.179 En una práctica, un mariscal de campo lanza el balón
una línea recta es a ϭ 4t ϩ 2 m/s2. Cuando t ϭ 2 s, su posición con velocidad v0 a 45° sobre la horizontal. En el mismo instante,
es s ϭ 36 m, y cuando t ϭ 4 s, su posición es s ϭ 90 m. ¿Cuál es el receptor que se encuentra a 20 pies frente a él, empieza a correr
su velocidad cuando t ϭ 4 s? en línea recta a 10 pies/s y recibe el balón. Suponga que el balón
se lanzó y recibió a la misma altura sobre el suelo. ¿Cuál es la
13.175 Un modelo de cohete despega en línea recta ascendente. velocidad v0?
Su aceleración durante los 2 s que su motor está encendido es de
25 m/s2. Desprecie la resistencia aerodinámica y determine
a) la velocidad máxima del cohete durante el vuelo y
b) la altura máxima alcanzada por el cohete.
13.176 En el problema 13.175, si el paracaídas del cohete no se
abre, ¿cuál es el tiempo total de vuelo desde el despegue hasta que
el cohete toca el suelo?
v0 10 pies/s
45Њ
20 pies
Problema 13.179
www.FreeLibros.orgProblemas 13.175/13.176
Problemas de repaso 105
13.180 La velocidad v ϭ 2 m/s es constante. ¿Cuáles son las 13.184 En el mecanismo de leva y seguidor que se muestra en
magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto P cuando la figura, la barra ranurada gira con velocidad angular constante
x ϭ 0.25 m? v ϭ 12 rad/s, y la posición radial del seguidor A está determinada
por el perfil elíptico de la leva en reposo. La barra ranurada está
13.181 La velocidad v ϭ 2 m/s es constante. ¿Cuál es la ace- articulada a una distancia h ϭ 0.2 m a la izquierda del centro de
leración del punto P en términos de las componentes normal y la leva circular. El seguidor se mueve en una trayectoria circular
tangencial cuando x ϭ 0.25 m? de 0.42 m de radio. Determine la velocidad del seguidor cuando
u ϭ 40° a) en términos de coordenadas polares y b) en términos
13.182 La velocidad v ϭ 2 m/s es constante. ¿Cuál es la acelera- de coordenadas cartesianas.
ción del punto P en términos de las coordenadas polares cuando
x ϭ 0.25 m? 13.185* En el problema 13.184, determine la aceleración del
seguidor cuando u ϭ 40° a) en términos de coordenadas polares
y y b) en términos de coordenadas cartesianas.
y ϭ 0.2 sen px
y
P
x
v rA
1m
ux
Problemas 13.180–13.182 h
13.183 Un punto P se mueve a lo largo de la trayectoria espiral Problemas 13.184/13.185
r ϭ (0.1)u pies, donde u está en radianes. La posición angular
u ϭ 2t rad, donde t está en segundos, y r ϭ 0 en t ϭ 0. Determine Proyecto de diseño
las magnitudes de la velocidad y la aceleración de P en t ϭ 1 s. Diseñe y realice experimentos para medir la aceleración debida
a la gravedad. Galileo (1564-1642) lo hizo al medir los movi-
P mientos de objetos que caían. Use este método, pero también
r trate de imaginar otros enfoques que podrían resultar más exac-
tos. Investigue qué tan repetibles son sus medidas. Escriba un
u informe breve describiendo sus experimentos, donde analice
las posibles fuentes de error y presente sus resultados.
Problema 13.183
www.FreeLibros.org
www.FreeLibros.org
CAPÍTULO
14
Fuerza, masa y aceleración
Hasta ahora se han analizado los movimientos de
cuerpos sin considerar las fuerzas que los causan.
En este capítulo se relaciona la causa con el efecto:
dibujando el diagrama de cuerpo libre de un objeto
para identificar las fuerzas que actúan sobre él, se
puede usar la segunda ley de Newton para deter-
minar su aceleración. De manera alternativa, cuan-
do se conoce la aceleración de un objeto, se puede
usar la segunda ley de Newton para obtener infor-
mación acerca de las fuerzas que actúan sobre él.
᭣ La fuerza normal ejercida por la nieve sobre los esquís le da al esquiador
una componente normal de aceleración, que resulta en su trayectoria curva.
www.FreeLibros.org
108 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.1 Segunda ley de Newton
ANTECEDENTES
Newton estableció que la fuerza total sobre una partícula es igual a la razón de
cambio de su cantidad de movimiento lineal, que es el producto de su masa y de su
velocidad:
f = d 1mv2.
dt
Si la masa de la partícula es constante, la fuerza total es igual al producto de su ma-
sa y de su aceleración:
f = m dv = ma. (14.1)
dt
En el capítulo 12 se indicó que la segunda ley precisa los términos fuerza y masa.
Una vez elegida una unidad de masa, la unidad de fuerza se define como la fuerza
necesaria para dar a la unidad de masa una aceleración de magnitud unitaria. Por
ejemplo, el newton, que es la unidad de fuerza en el SI, es la fuerza necesaria para
imprimir a una masa de un kilogramo una aceleración de un metro sobre segundo
al cuadrado. En principio, la segunda ley da el valor de cualquier fuerza y la masa
de cualquier cuerpo. Sometiendo una masa de un kilogramo a una fuerza arbitra-
ria y midiendo la aceleración, se puede encontrar con ayuda de la segunda ley la
dirección de la fuerza y su magnitud en newtons. Sometiendo una masa arbitraria
a una fuerza de un newton y midiendo la aceleración, es posible resolver la segun-
da ley para el valor de la masa en kilogramos.
Si se conocen la masa de una partícula y la fuerza total que actúa sobre ella,
la segunda ley determina su aceleración. En el capítulo 13 se describió cómo deter-
minar la velocidad, la posición y la trayectoria de un punto si se conoce su acele-
ración. Por lo tanto, con la segunda ley se puede determinar el movimiento de una
partícula si se conoce la fuerza total que actúa sobre ella, o se puede encontrar la
fuerza total cuando se conoce el movimiento.
Ecuación de movimiento para el centro de masa
La segunda ley de Newton se postula para una partícula, o pequeño elemento de
materia, pero una ecuación con exactamente la misma forma describe el movi-
miento del centro de masa de un objeto arbitrario. Se puede demostrar que la
fuerza externa total sobre un cuerpo cualquiera es igual al producto de su masa por
la aceleración de su centro de masa.
Para ello se considera un sistema arbitrario de N partículas. Sea mi la masa de
la i-ésima partícula, y sea ri su vector de posición (figura 14.1a). Sea m la masa
total de las partículas; es decir,
m = a mi,
i
donde la sumatoria con subíndice i significa “la suma sobre i desde 1 hasta N”. La
posición del centro de masa del sistema es
www.Freer= Laimmiri.ibros.org
14.1 Segunda ley de Newton 109
r
O ri mi afij ϩ fiE
j
O ri mi
(a) (b)
Figura 14.1
(a) División de un objeto en partículas. El vector ri es
el vector de posición de la i-ésima partícula y r es el
vector de posición del centro de masa del objeto.
(b) Fuerzas sobre la i-ésima partícula.
Derivando dos veces esta expresión se obtiene
a mi d 2ri = m d 2r = ma, (14.2)
dt 2 dt 2
i
donde a es la aceleración del centro de masa del objeto.
La i-ésima partícula puede estar sometida a fuerzas ejercidas por las otras par-
tículas. Sea fij la fuerza ejercida por la i-ésima partícula sobre la j-ésima. La tercera
ley de Newton establece que la j-ésima partícula ejerce sobre la i-ésima partícu-
la una fuerza de igual magnitud y dirección opuesta: fji ϭ Ϫfij. Si se denota la fuerza
externa sobre la i-ésima partícula (es decir, la fuerza total que ejercen otros obje-
tos sobre la i-ésima partícula) con f Ei , la segunda ley de Newton para la i-ésima
partícula es (figura 14.1b)
a fij + f E = mi dd2tr2i.
i
j
Esta ecuación se puede escribir para cada partícula del sistema. Sumando las ecua-
ciones resultantes de i ϭ 1 a N, se obtiene
a a fij + a f E = a mi dd2tr2i. (14.3)
i
ij i i
El primer término del lado izquierdo, que es la suma de las fuerzas internas sobre
el sistema, es cero por la tercera ley de Newton:
a a fij = f12 + f21 + f13 + f31 + Á = 0.
ij
El segundo término del lado izquierdo de la ecuación (14.3) es la suma de las fuer-
zas externas sobre el sistema. Denotando esta suma con ⌺F y usando la ecuación
(14.2) se concluye que la suma de las fuerzas externas es igual al producto de la
masa total por la aceleración del centro de masa:
www.FreeLibros.org©F = ma. (14.4)
110 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Como esta ecuación es idéntica en forma al postulado de Newton para una
sola partícula, por comodidad también se llama segunda ley de Newton.
Observe que al obtener la ecuación (14.4) no se hicieron supuestos que res-
tringieran la naturaleza del sistema de partículas ni su estado de movimiento. La
suma de las fuerzas externas sobre un objeto o conjunto de objetos, sólidos, líqui-
dos o gaseosos, es igual al producto de la masa total por la aceleración del centro
de masa.
Por ejemplo, suponga que el transbordador espacial está en órbita y aún
tiene combustible en sus tanques. Si se encienden sus motores, el combustible
empieza a agitarse en forma complicada, afectando el movimiento del transborda-
dor debido a las fuerzas internas entre el combustible y la nave. Sin embargo,
puede usarse la ecuación (14.4) para determinar la aceleración exacta del centro de
masa del transbordador, incluyendo el combustible que contiene, y por ende obtener
la velocidad, la posición y la trayectoria del centro de masa.
Marcos de referencia inerciales
Cuando se analizó el movimiento de un punto en el capítulo 13, se especificó su
posición, velocidad y aceleración del punto respecto a un marco de referencia
arbitrario. Pero la segunda ley de Newton no se puede expresar en términos de
cualquier marco de referencia. Suponga que ninguna fuerza actúa sobre una par-
tícula y que se mide su movimiento respecto a determinado marco de referencia,
y se determina que su aceleración es cero. En términos de este marco de referen-
cia, la segunda ley de Newton concuerda con la observación realizada aquí. Pero
si después se mide el movimiento de la partícula respecto a un segundo marco de
referencia que tiene una aceleración o rotación respecto al primero, se encontraría
que su aceleración no es cero. En términos del segundo marco de referencia, la
segunda ley de Newton, por lo menos en la forma dada por la ecuación (14.4), no
predice el resultado correcto.
Un ejemplo bien conocido es una persona que aborda un elevador. Suponga
que usted realiza un experimento en el que se encuentra dentro de un elevador
parado sobre una báscula que mide su peso (figura 14.2a). Las fuerzas que actúan
sobre usted son su peso W y la fuerza N ejercida sobre usted por la báscula (figu-
ra 14.2b). Usted ejerce una fuerza igual y opuesta N sobre la báscula que es la
fuerza que ésta mide. Si el elevador está en reposo, se observa que la báscula
registra su peso, N ϭ W. La suma de las fuerzas sobre usted es cero, y la segun-
da ley de Newton establece de manera correcta que su aceleración respecto al
elevador es cero. Si el elevador tiene una aceleración a hacia arriba (figura
14.2c), usted sabe que se sentirá más pesado y, de hecho, observa que la báscu-
la registra una fuerza más grande que su peso, N Ͼ W. En términos de un marco
de referencia fijo en la tierra. La segunda ley de Newton relaciona de manera
correcta las fuerzas que actúan sobre usted con su aceleración: ⌺F ϭ N Ϫ W ϭ ma.
Pero suponga que se usa el elevador como marco de referencia. Entonces la
suma de las fuerzas que actúan sobre usted no es igual a cero, por lo que la segun-
da ley de Newton establece que usted se está acelerando respecto al elevador. sin
embargo, usted se encuentra en reposo respecto al elevador. Así, expresada en
términos de este marco de referencia acelerado, la segunda ley de Newton da un
resultado erróneo.
Newton estableció que la segunda ley debe expresarse en términos de un
marco de referencia sin giro y sin aceleración respecto a las “estrellas fijas”. Aun
si las estrellas estuvieran fijas esto no sería práctico, ya que virtualmente todo
marco de referencia conveniente acelera, gira o hace ambas cosas debido al movi-
miento de la Tierra. La segunda ley se puede aplicar rigurosamente usando marcos
www.FreeLibros.orgde referencia sometidos a giros y aceleraciones, mediante la consideración apro-
piada de la aceleración y la rotación. En el capítulo 17 se explicará cómo hacerlo
14.1 Segunda ley de Newton 111
W
N
(a)
(b)
a
(c)
Figura 14.2
(a) Dentro de un elevador parado sobre una báscula
(b) Diagrama de cuerpo libre de su cuerpo.
(c) Aceleración hacia arriba del elevador.
pero, por ahora, es necesario proporcionar cierta guía de cuándo se puede aplicar
la segunda ley de Newton.
Por fortuna, en casi todas las aplicaciones “terrestres” se puede aplicar la
segunda ley de Newton en la forma dada por la ecuación (14.4) en términos de
un marco de referencia fijo respecto a la Tierra, y obtener respuestas suficiente-
mente precisas. Por ejemplo, si se tira un pedazo de tiza a través de un cuarto, con
un sistema coordenado fijo respecto al cuarto se puede predecir su movimiento.
Mientras la tiza está en movimiento, la Tierra gira y, con ella, el sistema coor-
denado. Pero, como el vuelo de la tiza es breve, el efecto en la predicción es muy
pequeño (la Tierra gira con lentitud: su velocidad angular es la mitad de la de la
aguja horaria de un reloj). Por lo general, la ecuación (14.4) se puede aplicar usan-
do un marco de referencia que se traslade con velocidad constante respecto a la
Tierra. Por ejemplo, si dos personas juegan tenis sobre la cubierta de un barco que
se mueve a velocidad constante, la ecuación (14.4) puede expresarse en términos
de un marco de referencia fijo respecto al barco para analizar el movimiento de la
pelota. Pero ese marco de referencia “fijo en el barco” no se puede usar si el barco
está girando o modificando su velocidad.
Se dice que un marco de referencia en el que se puede aplicar la ecuación (14.4)
es newtoniano o inercial. En el capítulo 17 se analizarán los marcos de referencia
inerciales a mayor detalle. Por ahora, se debe suponer que los ejemplos y proble-
www.FreeLibros.orgmas están expresados en términos de marcos de referencia inerciales.
112 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
RESULTADOS
a
⌺F
La segunda ley de Newton implica que la suma de las fuerzas ⌺F ϭ ma. (14.4)
externas sobre cualquier objeto es igual al producto de su
masa por la aceleración de su centro de masa respecto a un
marco de referencia inercial. En muchas situaciones, un mar-
co de referencia (sistema coordenado) que está fijo con res-
pecto a la Tierra puede asumirse como inercial.
En unidades SI, usualmente la fuerza se expresa en newtons,
la masa en kilogramos y la aceleración en metros por segun-
do al cuadrado. En unidades de uso común en Estados Uni-
dos, por lo general la fuerza se expresa en libras, la masa en
slugs y la aceleración en pies por segundo al cuadrado.
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas
y movimiento en línea recta
Al dibujar el diagrama de cuerpo libre de un objeto, se pueden identificar las fuer-
zas externas que actúan sobre él y usar la segunda ley de Newton para determinar
la aceleración del objeto. De manera inversa, si se conoce el movimiento de un
objeto, se puede emplear la segunda ley de Newton para determinar la fuerza
externa total. En particular, si se sabe que la aceleración de un objeto en una direc-
ción particular es igual a cero, la suma de las fuerzas externas en esa dirección
debe ser cero.
Si se expresa la suma de las fuerzas que actúan sobre un objeto de masa m y
la aceleración de su centro de masa en términos de sus componentes en un marco
de referencia cartesiano (figura 14.3), la segunda ley de Newton establece que
©F = ma,
o bien
www.FreeLibros.org1©Fxi + ©Fyj + ©Fzk2 = m1axi + ayj + azk2.
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta 113
yy
͚Fy x ay x
͚Fz ͚Fx az ax
z z (b)
(a)
Figura 14.3
(a) Componentes cartesianas de la suma de las
fuerzas sobre un objeto.
(b) Componentes de la aceleración del centro de
masa del objeto.
Despejando las componentes x, y y z se obtienen tres ecuaciones escalares de mo-
vimiento:
©Fx = max, ©Fy = may, ©Fz = maz. (14.5)
La fuerza total en cada dirección coordenada es igual al producto de la masa por la
componente de la aceleración en esa dirección.
Si el movimiento de un objeto se limita al plano x-y, az ϭ 0, por lo que la su-
ma de las fuerzas en la dirección z es cero. Así, cuando el movimiento de un objeto
se limita a un plano fijo, la componente de la fuerza total normal al plano es igual
a cero. Para un movimiento en línea recta a lo largo del eje x (figura 14.4a), las
ecuaciones (14.5) son
©Fx = max, ©Fy = 0, y ©Fz = 0.
Se observa que en el movimiento en línea recta, las componentes de la fuerza total
perpendicular a la línea son iguales a cero, y la componente de la fuerza total tan-
gente a la línea es igual al producto de la masa por la aceleración a lo largo de la
línea (figura 14.4b).
yy
͚Fy ϭ 0
zz
ax ͚Fx
͚Fz ϭ 0
x x
(a) (b)
Figura 14.4
(a) Aceleración de un objeto en movimiento a lo largo de
una línea recta sobre el eje x.
(b) Las componentes y y z de la fuerza total que actúa
www.FreeLibros.orgsobre el objeto son iguales a cero.
114 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.1 Movimiento en línea recta (᭤ Relacionado con el problema 14.1)
La caja de 100 lb que se muestra en la figura se suelta desde el reposo sobre la su-
perficie inclinada en el tiempo t ϭ 0. Los coeficientes de fricción entre la caja y la
superficie inclinada son ms ϭ 0.2 y mk ϭ 0.15. ¿A qué velocidad se estará movien-
do la caja en t ϭ 1 s?
20Њ
Estrategia
Primero es necesario determinar si la caja se desliza al soltarla. Suponiendo que
permanece en reposo, se puede obtener la fuerza de fricción necesaria para mantener
la caja en equilibrio y determinar si ésta excede la fuerza de fricción estática máxi-
ma que soportarán las superficies. Si la caja se desliza, puede usarse la segunda ley
de Newton para determinar su aceleración hacia abajo sobre la superficie inclinada.
Una vez que se conoce la aceleración, ésta se puede integrar para determinar la
velocidad de la caja como una función del tiempo.
Solución
y
Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la 20Њ
caja. Las fuerzas externas son el peso de W
la caja y las fuerzas normal y de fricción
ejercidas por la superficie inclinada. f
N
x
Suponiendo que la caja está en reposo, use ⌺Fx ϭ W sen 20Њ Ϫ f ϭ 0,
las ecuaciones de equilibrio para determinar ⌺Fy ϭ N Ϫ W cos 20Њ ϭ 0.
la fuerza de fricción necesaria para el equi-
librio y la fuerza normal. Resolviendo se obtiene
f ϭ W sen 20Њ ϭ (100 lb) sen 20Њ ϭ 34.2 lb,
N ϭ W cos 20Њ ϭ (100 lb) cos 20Њ ϭ 94.0 lb.
www.FreeLibros.org
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta 115
Calcule la fuerza de fricción estática msN ϭ (0.2)(94.0 lb) ϭ 18.8 lb.
máxima que soportarán las superficies.
Este valor es menor que la fuerza de
fricción necesaria para el equilibrio,
por lo tanto la caja se desliza.
⌺Fx ϭ W sen 20Њ Ϫ mkN ϭ max :
ax ϭ W sen 20Њ Ϫ mkN ,
m
Aplique la segunda ley de Newton La masa de la caja es
para determinar la aceleración de la
caja. La magnitud de la fuerza de fric- mϭ W ϭ 100 lb ϭ 3.11 slug,
ción sobre la caja deslizante es mkN. g 32.2 pies/s2
y entonces la aceleración es
ax ax ϭ (100 lb) sen 20Њ Ϫ (0.15)(94.0 lb) ϭ 6.47 pies/s2.
3.11 slug
x ax ϭ dvx ϭ 6.47 pies/s2 ,
dt
Integre para determinar la velocidad
de la caja en función del tiempo. En vx t
t ϭ 1 s, la caja se mueve a 6.47 pies/s.
L0 dvx ϭ 6.47 dt,
L0
vx ϭ 6.47t pies/s.
Problema de práctica Suponga que la superficie inclinada es lisa (se dice que una
superficie es “lisa” cuando ejerce una fuerza de fricción insignificante). ¿A qué velocidad
se estará moviendo la caja en t ϭ 1 s?
Respuesta: 11.0 pies͞s.
www.FreeLibros.org
116 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo activo 14.2 Coordenadas cartesianas (᭤ Relacionado con el problema 14.10)
El movimiento del objeto de 2 kg que se muestra en la figura está limitado al plano
x-y. La fuerza total sobre el objeto está dada como una función del tiempo por
© F = 6i + 2tj (N) . En t ϭ 0, la posición del objeto es r = 5i + 3j (m) y su ve-
locidad es v = 12i + 5j (m/s) . ¿Cuál es la posición del objeto en t = 3 s?
y
⌺F
x
Estrategia
Se puede usar la segunda ley de Newton para determinar la aceleración del objeto
en función del tiempo, para después integrar y así encontrar su velocidad y su po-
sición como funciones del tiempo.
Solución
Use la segunda ley de Newton para deter- ax ϭ ⌺Fx ϭ 6N ϭ 3 m/s2 ,
minar las componentes de la aceleración. m 2 kg
ay ϭ ⌺Fy ϭ 2t N ϭ t m/s2 .
m 2 kg
ax ϭ dvx ϭ 3 m/s2 ,
dt
Integre para determinar vx, usando la condición vx t
vx ϭ 12 m/s en t ϭ 0.
L12 dvx ϭ 3 dt,
L0
vx ϭ 12 ϩ 3t m/s.
dx
vx ϭ dt ϭ 12 ϩ 3t m/s,
Integre para determinar x, usando la condición xt
x ϭ 5 m en t ϭ 0.
dx ϭ (12 ϩ 3t) dt,
L5 L0
x ϭ 5 ϩ 12t ϩ 3 t2 m.
www.FreeLibros.o2 rg
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta 117
ay ϭ dvy ϭ t m/s2.
dt
Integre para determinar vy, usando vy t
la condición vy ϭ 5 m/s en t ϭ 0.
L5 dvy ϭ L0 t dt,
vy ϭ 5 ϩ 1 t2 m/s.
2
vy ϭ dy ϭ 5 ϩ 1 t2 m/s.
dt 2
Integre para determinar y, usando yt
la condición y ϭ 3 m en t ϭ 0. dy ϭ
5ϩ 1 t2 dt,
L3 L0 2
y ϭ 3 ϩ 5t ϩ 1 t3 m.
6
Determine la posición en t ϭ 3 s. x͉tϭ3 s ϭ 5 ϩ 12(3) ϩ 3 (3)2 ϭ 54.5 m,
2
y͉tϭ3 s ϭ 3 ϩ 5(3) ϩ 1 (3)3 ϭ 22.5 m.
6
Problema de práctica El movimiento del objeto de 10 lb está restringido al plano x-y.
La posición del objeto está dada como una función del tiempo por r ϭ 8t2i ϩ t3j (pies).
¿Cuál es la fuerza total que actúa sobre el objeto en t = 4 s?
y
x
Respuesta: ©F = 4.97i + 7.45 j (lb).
www.FreeLibros.org
118 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.3 Objetos conectados en movimiento rectilíneo (᭤ Relacionado con el problema 14.28)
Las dos cajas de la figura se sueltan desde el reposo. Sus masas son mA = 40 kg
y mB = 30 kg, y los coeficientes de fricción entre la caja A y la superficie inclinada
son ms = 0.2 y mk = 0.15. ¿Cuál es la aceleración de las cajas?
A
20Њ
B
y Estrategia
Primero es necesario determinar si A se desliza. Se supondrá que las cajas permane-
20Њ T cen en reposo y se verá si la fuerza de fricción necesaria para el equilibrio excede
a la fuerza de fricción máxima. Si ocurre el deslizamiento, se puede determinar la
f mAg aceleración resultante dibujando los diagramas de cuerpo libre de las cajas y apli-
N cándoles de manera individual la segunda ley de Newton.
x Solución
(a) Diagrama de cuerpo libre de la caja A. En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la caja A y se introduce un
sistema coordenado. Si se supone que la caja no se desliza, son aplicables las si-
guientes ecuaciones de equilibrio:
⌺Fx ϭ T ϩ mAg sen 20° Ϫ f ϭ 0;
©Fy = N - mAg cos 20° = 0.
En la primera ecuación, la tensión T es igual al peso de la caja B; por lo tanto, la
fuerza de fricción necesaria para el equilibrio es
f ϭ mBg ϩ mAg sen 20°
ϭ (30 kg)(9.81 m/s2) ϩ (40 kg)(9.81 m/s2) sen 20°
= 429 N.
La fuerza normal N = mAg cos 20°, por lo que la fuerza de fricción máxima que la
superficie soportará es
fmáx ϭ msN
= 10.223140 kg219.81 m/s22 cos 20°4
www.FreeL=73.7Ni. bros.org
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta 119
Por consiguiente, la caja A se desliza y la fuerza de fricción es f = mkN. En la
figura b se muestra la aceleración de la caja hacia abajo del plano. Su aceleración
perpendicular al plano es igual a cero (es decir, ay = 0). Aplicando la segunda ley
de Newton se obtiene
⌺Fx ϭ T ϩ mAg sen 20° Ϫ mkN ϭ mAax
©Fy = N - mAg cos 20° = 0.
y
y
T
ax
mBg
x x
(b) Aceleración de la caja. (c) Diagrama de cuerpo libre de caja B.
En este caso, no se conoce la tensión T porque la caja B no está en equilibrio. En
las figuras c y d se muestran el diagrama de cuerpo libre de la caja B y la acelera-
ción vertical. La ecuación de movimiento es
©Fx = mBg - T = mBax.
(En términos de los dos sistemas coordenados que se usaron, las dos cajas tienen
la misma aceleración ax). Así, al aplicar la segunda ley de Newton a ambas cajas,
se obtuvieron tres ecuaciones en términos de las incógnitas T, N y ax. Resolviendo
para ax se obtiene ax = 5.33 m/s2.
y
T
ax T
x
(e) Se supone que la tensión
(d) Aceleración vertical es igual en ambos lados
de la caja B. de la polea.
Razonamiento crítico
Observe que se supuso que la tensión en el cable es la misma en cada lado de la
polea (figura e). De hecho, las tensiones deben ser diferentes porque se necesita un
momento para ocasionar una aceleración angular a la polea. Por ahora, el único
recurso con que se cuenta es suponer que la polea es suficientemente ligera para
que el momento necesario para acelerarla sea insignificante. En el capítulo 18 se
incluye el análisis del movimiento angular de la polea en problemas de este tipo y
www.FreeLibros.orgse obtienen soluciones más realistas.
120 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Ejemplo 14.4 Aplicación al movimiento en línea recta (᭤ Relacionado con el problema 14.45)
El avión que se muestra en la figura aterriza sobre el portaviones con una veloci-
dad horizontal de 50 m/s respecto al barco. El mecanismo de detención ejerce una
fuerza horizontal de magnitud Tx = 10,000v newtons (N), donde v es la velocidad del
avión en metros por segundo. La masa del avión es de 6500 kg.
a) ¿Qué fuerza horizontal máxima ejerce el mecanismo de detención sobre el avión?
b) Si las otras fuerzas horizontales pueden despreciarse, ¿qué distancia recorre el
avión antes de detenerse?
Estrategia
a) Como el avión comienza a desacelerar cuando entra en contacto con el mecanismo
de detención, la fuerza máxima se presenta durante ese contacto, es decir cuando
v = 50 m/s.
b) La fuerza horizontal ejercida por el mecanismo de detención es igual al producto
de la masa del avión por su aceleración. Una vez conocida la aceleración, es posible
integrar para determinar la distancia requerida para que el avión se detenga.
Solución
a) En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del avión y se introduce un sis-
tema coordenado. Las fuerzas Tx y Ty son las componentes horizontal y vertical de la
fuerza ejercida por el mecanismo de detención, y N es la fuerza vertical sobre el tren
y
mg
x
Tx
N
Ty
(a) Introducción de un sistema coordenado con el eje x paralelo a la fuerza
www.FreehorizontalL. ibros.org
14.2 Aplicaciones: Coordenadas cartesianas y movimiento en línea recta 121
de aterrizaje. La fuerza horizontal sobre el plano es ©Fx = - Tx = - 10,000v N.
La magnitud de la fuerza máxima es
10,000v = 110,00021502 = 500,000 N,
o bien 112,400 lb.
b) En términos de la componente de aceleración horizontal del plano (figura b), se
obtiene la ecuación de movimiento:
©Fx = max:
- 10,000vx = max.
y
ax
x
(b) Aceleración horizontal del avión.
La aceleración del avión es una función de su velocidad. Se usa la regla de la cadena
para expresar la aceleración en términos de la derivada respecto a x:
max = m dvx = m dvx dx = m dvx vx = - 10,000vx.
dt dx dt dx
Ahora se separan variables y se integra, definiendo x ϭ 0 como la posición en la que
el avión entra en contacto con el mecanismo de detención:
0x
L50 m dvx = - 10,000 dx.
L0
Evaluando las integrales y despejando x, se obtiene
x = 50m = 1502165002 = 32.5 m.
10,000 10,000
Razonamiento crítico
La fuerza ejercida por el mecanismo de detención depende de la velocidad del
avión, lo que resultó en una aceleración que depende de dicha velocidad. El uso
que se le dio a la regla de la cadena para determinar la velocidad como una fun-
ción de la posición cuando la aceleración es una función de la velocidad se analiza
www.FreeLibros.orgenlasección13.3.
122 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
Problemas
᭤ 14.1 En el ejemplo activo 14.1, suponga que el coeficiente de 14.6 La superficie inclinada que se muestra en la figura es lisa.
fricción cinética entre la caja y la superficie inclinada es mk = 0.12. La velocidad de la caja de 14 kg es cero cuando se somete a una
Determine la distancia que se ha movido la caja sobre la superfi- fuerza horizontal constante F ϭ 20 N. ¿Cuál es la velocidad de la
cie inclinada cuando t = 1 s. caja dos segundos después?
14.2 El helicóptero Sikorsky UH-60A tiene una masa de 9300 kg. 14.7 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 14 kg
Despega verticalmente con su rotor ejerciendo un empuje constan- y la superficie inclinada de la figura es mk = 0.1. La velocidad
te hacia arriba de 112 kN. de la caja es cero cuando se somete a una fuerza horizontal
constante F ϭ 20 N. ¿Cuál es la velocidad de la caja dos segun-
a) ¿A qué velocidad se estará elevando el helicóptero 3 s después dos después?
de haber despegado?
F
b) ¿A qué altura se habrá elevado 3 s después del despegue?
Estrategia: Asegúrese de dibujar el diagrama de cuerpo libre 20Њ
del helicóptero. Problemas 14.6/14.7
14.3 El helicóptero Sikorsky UH-60A tiene una masa de 14.8 El esquiador de 170 lb que se muestra en la figura desciende
9300 kg. Despega verticalmente en t ϭ 0. El piloto presiona el por una pendiente de 25°. En el instante mostrado, se mueve a
acelerador de manera que el empuje hacia arriba de su motor (en 40 pies͞s. El coeficiente de fricción cinética entre sus esquís y la
kN) está dado como una función del tiempo en segundos por nieve es mk = 0.08. Si él no hace intentos por verificar su velocidad,
T = 100 + 2t2. ¿cuánto tiempo tardará en llegar a 60 pies͞s?
a) ¿A qué velocidad se estará elevando el helicóptero 3 s después
de haber despegado?
b) ¿A qué altura se habrá elevado 3 s después del despegue?
Problemas 14.2/14.3 14.9 El esquiador de 170 lb que se muestra en la figura descien-
de por una pendiente de 25°. En el instante mostrado, se mueve
14.4 La superficie horizontal mostrada es lisa. La caja de 30 lb a 40 pies͞s. El coeficiente de fricción cinética entre sus esquís y la
está en reposo cuando se aplica la fuerza constante F. Dos se- nieve es mk = 0.08. La resistencia aerodinámica ejerce una fuerza
gundos después, la caja se mueve hacia la derecha a 20 pies͞s. sobre el esquiador con magnitud 0.015v2, donde v es la magnitud
Determine F. de su velocidad. Si él no hace intentos por verificar su velocidad,
¿cuánto tiempo tardará en llegar a 60 pies͞s?
14.5 El coeficiente de fricción cinética entre la caja de 30 lb y la
superficie horizontal mostrada es mk = 0.1. La caja está en reposo
cuando se aplica la fuerza constante F. Dos segundos después, la
caja se mueve hacia la derecha a 20 pies͞s. Determine F.
F
20Њ
www.FreeLibros.orgProblemas14.4/14.5
Problemas 14.8/14.9
Problemas 123
᭤ 14.10 La fuerza total externa sobre el objeto de 10 kg 14.14 En el instante mostrado, la componente horizontal de ace-
que se muestra en la figura es constante e igual a leración del avión de 26,000 lb debida a la suma de las fuerzas
© F = 90i - 60j + 20k (N). En el tiempo t = 0, su velocidad externas que actúan sobre él es de 14 pies͞s2. Si el piloto aumenta
es v = - 14i + 26j + 32k (m/s). ¿Cuál es su velocidad en repentinamente la magnitud de la fuerza de empuje T en 4000 lb,
t = 4 s? (Vea el ejemplo activo 14.2). ¿cuál es la componente horizontal de la aceleración del avión in-
mediatamente después de eso?
14.11 La fuerza total externa sobre el objeto de 10 kg que se mues-
tra en el problema 14.10 está dada como una función del tiempo y
por ©F = 1-20t + 902i - 60j + 110t + 402k 1N2. En el tiempo T
t = 0, su posición es r = 40i + 30j - 360k 1m2 y su velocidad
es v = - 14i + 26j + 32k 1m/s2. ¿Cuál es su posición en t = 4 s? 15Њ
14.12 La posición del objeto de 10 kg que se muestra en x
la figura está dada como una función del tiempo por
r = 120t3 - 3002i + 60t2j + 16t4 - 40t22k 1m2. ¿Cuál es Problema 14.14
su velocidad en t = 2 s?
y
͚F 14.15 En el instante mostrado, el cohete viaja hacia arriba a
x 100 m͞s. Su masa es de 90,000 kg y la fuerza de empuje de su
motor es de 2400 kN. El arrastre aerodinámico ejerce una fuerza
de resistencia (en newtons) de magnitud 0.8v2, donde v es la mag-
nitud de la velocidad. ¿Cuánto tarda el cohete en llegar a una ve-
locidad de 200 m͞s?
z
Problemas 14.10–14.12
14.13 La fuerza total ejercida sobre el vehículo de lanzamiento
de 80,000 lb que se muestra en la figura por el empuje de su
motor, su peso y las fuerzas aerodinámicas durante el intervalo de
tiempo desde t = 2 s hasta t = 4 s está dada como una función
del tiempo por © F = (2000 - 400t2)i + (5200 + 440t)j +
(800 + 60t2)k (lb) . En t = 2 s, su velocidad es v ϭ 12i ϩ 220j Ϫ
30k (pies/s). ¿Cuál es su velocidad en t = 4 s?
Problema 14.15
www.FreeLibros.orgProblema14.13
124 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.16 Un carrito de 2 kg que contiene 8 kg de agua se encuentra 14.17 El peso combinado de la motocicleta y su conductor es de
inicialmente en reposo (figura P.14.16a). El centro de masa del 360 lb. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y el ca-
“objeto” consistente en el carrito y el agua está en x ϭ 0. El carrito mino es mk = 0.8. El motociclista parte desde el reposo, girando
está sometido a la fuerza dependiente del tiempo que se muestra la rueda trasera. Ignore la fuerza horizontal ejercida sobre la rue-
en la figura P14.16b, donde F0 = 5 N y t0 = 2 s. Suponga que el da frontal por el camino. En dos segundos, la motocicleta se des-
carrito no derrama agua y que las fuerzas horizontales ejercidas plaza 35 pies. ¿Cuál fue la fuerza normal entre la rueda trasera y
por el piso sobre las ruedas son insignificantes. el camino?
a) ¿Se conoce la aceleración del carrito durante el periodo
0 6 t 6 t0?
b) ¿Se conoce la aceleración del centro de masa del “objeto” con-
sistente en el carrito y el agua durante el periodo 0 6 t 6 t0?
c) ¿Cuál es la coordenada x del centro de masa del “objeto”
cuando t 7 2t0?
y
(a) x Problema 14.17
t
F 14.18 La masa de la pala B mostrada es de 180 kg. Desde t ϭ 0
F0 hasta t ϭ 2 s, las coordenadas x e y del centro de masa de la pala
son
ϪF0 t0 2t0
y x = - 0.2t3 + 0.05t2 + 10 m,
y = 0.1t2 + 0.4t + 6 m.
F
Determine las componentes x e y de la fuerza ejercida sobre la
pala por sus soportes en t ϭ 1 s.
y
B
x
(b) x
Problema 14.16
Problema 14.18
www.FreeLibros.org
Problemas 125
14.19 Durante un vuelo de prueba un helicóptero de 9000 kg 14.23 Las coordenadas en metros del centro de masa del avión de-
parte desde el reposo en t ϭ 0, la aceleración de su centro de masa portivo de 360 kg que se muestra en la figura, respecto a un marco
des-de t ϭ 0 y t ϭ 10 s es de referencia fijo en la tierra durante un intervalo de tiempo, son
a = 0.6ti + 11.8 - 0.36t2j 1m/s22. x = 20t - 1.63t2,
y = 35t - 0.15t3,
¿Cuál es la magnitud de la fuerza externa total sobre el helicópte-
ro (incluido su peso) en t ϭ 6 s? y
z = - 20t - 1.38t2,
14.20 Los ingenieros que realizan la prueba descrita en el pro-
blema 14.19 quieren expresar la fuerza total sobre el helicóptero donde t es el tiempo en segundos. El eje y apunta hacia arriba. Las
en t ϭ 6 s en términos de tres fuerzas: el peso W, una componente fuerzas ejercidas sobre el avión son su peso, el vector de empuje T
T tangente a la trayectoria y una componente L normal a la trayec- ejercido por su motor, el vector de fuerza de sustentación L y el
toria. ¿Cuáles son los valores de W, T y L? vector de la fuerza de arrastre D. En t ϭ 4 s, determine T + L + D.
y
L 14.24 La fuerza en newtons que sobre el avión deportivo de 360 kg
T (mostrado en el problema 14.23) ejercen su motor, la fuerza de sus-
tentación y la fuerza de arrastre durante un intervalo de tiempo es
Trayectoria W
T + L + D = 1 - 1000 + 280t2i + 14000 - 430t2j
+ 1720 + 200t2k,
donde t es el tiempo en segundos. Si las coordenadas del centro de
masa del avión son (0, 0, 0) y su velocidad es 20i ϩ 35j Ϫ 20k (m͞s)
x en t = 0, ¿cuáles son las coordenadas del centro de masa en
t = 4 s?
Problemas 14.19/14.20
14.21 En el instante mostrado, la velocidad del avión de y
v = 270 i 1m/s2. Las fuerzas que actúan sobre el avión son su peso,
el empuje T = 110 kN, la sustentación L = 260 kN, y el arrastre
D = 34 kN. (El eje x es paralelo a la trayectoria del avión). Deter-
mine la magnitud de la aceleración del avión.
14.22 En el instante mostrado, la velocidad del avión de 11,000 x
kg es v = 300 i 1m/s2. La razón de cambio de la magnitud de la
velocidad es dv>dt = 5 m/s2. El radio de curvatura de la trayecto- z
ria del avión es de 4500 m, y el eje y apunta hacia el lado cóncavo Problemas 14.23/14.24
de la trayectoria. La fuerza de empuje es T = 120,000 N. Determi-
ne las fuerzas de sustentación L y de arrastre D.
y
L T x
D
15Њ
15Њ Trayectoria
Horizontal
mg
www.FreeLibros.orgProblemas 14.21/14.22
126 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.25 El manipulador robótico de la figura está programado de ᭤ 14.28 Las dos masas mostradas se sueltan desde el reposo.
manera que x ϭ 40 ϩ 24t2 mm, y ϭ 4t3 mm, y z ϭ 0 durante el ¿A qué velocidad se estarán moviendo cuando t ϭ 0.5 s? (Vea el
intervalo de tiempo de t ϭ 0 a t ϭ 4 s. El eje y apunta hacia arriba. ejemplo 14.3).
¿Cuáles son las componentes x e y de la fuerza total ejercida por las
tenazas del manipulador sobre la pieza A de 2 kg cuando t ϭ 3 s? 2 kg
5 kg
14.26 El manipulador robótico de la figura está programado de
manera que se encuentra en reposo en t ϭ 0 y las componentes
de la aceleración de A son ax = 400 - 0.8vx mm/s2 y
ay = 200 - 0.4vy mm/s2 desde t = 0 a t = 2 s, donde vx y vy son
las componentes de la velocidad en mm͞s. El eje y apunta hacia arri-
ba. ¿Cuáles son las componentes x e y de la fuerza total ejercida por
las tenazas del manipulador sobre la pieza A de 2 kg cuando t ϭ 1 s?
y
Problema 14.28
A 14.29 Los dos pesos mostrados se sueltan desde el reposo. La
superficie horizontal es lisa. a) ¿Cuál es la tensión en el cable des-
pués se soltar los pesos? b) ¿A qué velocidad se estarán moviendo
y los pesos un segundo después de haberlos soltado?
x 14.30 Los dos pesos mostrados se sueltan desde el reposo. El
Problemas 14.25/14.26 coeficiente de fricción cinética entre la superficie horizontal y el
x peso de 5 lb es mk = 0.18. a) ¿Cuál es la tensión en el cable des-
pués de soltar los pesos? b) ¿A qué velocidad se estarán moviendo
los pesos un segundo después de haberlos soltado?
14.27 En el deporte del curling, la idea es deslizar una “roca” con 5 lb
peso de 44 lb hacia el centro de la meta localizada a 31 yardas del
punto de lanzamiento. En términos del sistema coordenado que se
muestra en la figura, el punto de lanzamiento está en x ϭ 0, y ϭ 0.
Suponga que un tiro se detiene en x ϭ 31.0 yardas, y ϭ 1 yarda. Su-
ponga que el coeficiente de fricción cinética es constante e igual a
mk = 0.01. ¿Cuáles fueron las componentes x e y de la velocidad
de la roca en el lanzamiento?
y
10 lb
31 yd Problemas 14.29/14.30
Roca de 14.31 La masa de cada una de las cajas mostradas es de 14 kg.
curling Un segundo después de soltarlas desde el reposo, se han movido a
0.3 m de su posición inicial. ¿Cuál es el coeficiente de fricción ci-
nética entre las cajas y la superficie?
30Њ
x
www.FreeLibros.orgProblema14.27
Problema 14.31
Problemas 127
14.32 Las masas mA ϭ 15 kg y mB ϭ 30 kg, y los coeficientes de 14.36 La caja de 100 lb que se muestra en la figura está inicial-
fricción entre todas las superficies son ms ϭ 0.4 y mk ϭ 0.35. Los mente en reposo. Los coeficientes de fricción entre la caja y la
bloques están en reposo cuando se aplica la fuerza constante F. superficie inclinada son ms ϭ 0.2 y mk ϭ 0.16. Determine la dis-
tancia que recorre la caja desde su posición inicial en 2 s si la
Determine la aceleración resultante del bloque B si a) F ϭ 200 N; fuerza horizontal es F ϭ 90 lb.
b) F ϭ 400 N.
A 14.37 En el problema 14.36, determine la distancia que se re-
corre la caja desde su posición inicial en 2 s si la fuerza horizontal
F es F ϭ 30 lb.
B
Problema 14.32 F
30Њ
14.33 La carretilla A de la grúa mostrada se mueve hacia la dere-
cha con aceleración constante y la carga de 800 kg se mueve sin Problemas 14.36/14.37
oscilar.
a) ¿Cuál es la aceleración de la carretilla y de la carga?
b) ¿Cuál es la suma de las tensiones en los cables paralelos que
soportan la carga?
A 14.38 La caja mostrada tiene una masa de 120 kg y los coefi-
5Њ cientes de fricción entre ella y el plano inclinado son ms ϭ 0.6 y
mk ϭ 0.5.
a) ¿Qué tensión debe ejercer el malacate sobre el cable para que
la caja en reposo empiece a deslizarse hacia arriba sobre el plano
inclinado?
b) Si la tensión se mantiene en el valor determinado en el inciso
a), ¿cuál es la magnitud de la velocidad de la caja cuando ésta ha
ascendido 2 m sobre el plano inclinado?
Problema 14.33 30Њ
Problema 14.38
14.34 En la figura, la masa de A es de 30 kg y la masa de B es
de 5 kg. La superficie horizontal es lisa. La fuerza constante F
ocasiona que el sistema se acelere. El ángulo u ϭ 20° es constan-
te. Determine F.
14.35 En la figura, la masa de A es de 30 kg y la masa de B es
de 5 kg. El coeficiente de fricción cinética entre A y la superficie
horizontal es mk ϭ 0.2. La fuerza constante F ocasiona que el sis-
tema se acelere. El ángulo u ϭ 20° es constante. Determine F.
A
F
u
B
www.FreeLibros.orgProblemas 14.34/14.35
128 Capítulo 14 Fuerza, masa y aceleración
14.39 Los coeficientes de fricción entre la carga A y la plataforma 14.42 La fuerza ejercida por el resorte lineal sobre la masa de
del vehículo utilitario son ms ϭ 0.4 y mk ϭ 0.36. Si el piso está 10 kg es F ϭ Ϫks, donde k es la constante del resorte y s es el des-
nivelado (u ϭ 0), ¿cuál es la máxima aceleración (en m͞s2) del plazamiento de la masa respecto a la posición en que el resorte no
vehículo para la cual la carga no se deslizará sobre la plataforma? está estirado. El valor de k es de 40 N͞m. La masa está en la posi-
ción s ϭ 0 y se le da una velocidad inicial de 4 m͞s hacia la derecha.
14.40 Los coeficientes de fricción entre la carga A y la platafor- Determine la velocidad de la masa como una función de s.
ma del vehículo utilitario son ms ϭ 0.4 y mk ϭ 0.36. Si el ángulo
u ϭ 20°. Determine las máximas aceleraciones del vehículo hacia Estrategia: Use la regla de la cadena para escribir la acelera-
delante y hacia atrás para la cual la carga no se deslizará sobre la ción como
plataforma.
dv dv ds dv
= = v.
dt ds dt ds
s
Ak
Problema 14.42
u
Problemas 14.39/14.40 14.43 El bote de 450 kg de la figura se mueve a 10 m͞s cuando su
motor es apagado. La magnitud de la fuerza de resistencia hidrodi-
14.41 El paquete mostrado parte desde el reposo y se desliza námica (en newtons) es de 40v2, donde v es la magnitud de la
hacia abajo por la rampa lisa. El dispositivo hidráulico B ejerce
una fuerza constante de 2000 N y detiene al paquete a una distan- velocidad en m͞s. Cuando la velocidad del bote ha disminuido a
cia de 100 mm del punto en el cual hace contacto. ¿Cuál es la 1 m͞s, ¿cuál es la distancia que ha recorrido desde su posición al
masa del paquete? apagar el motor?
A
2m
Problema 14.43
B
30Њ
Problema 14.41
www.FreeLibros.org
Problemas 129
14.44 Un paracaidista y su paracaídas pesan 200 lb. Él está cayen- 14.46 Un saltador de bungee de 200 lb se lanza sobre un río desde
do verticalmente a 100 pies͞s cuando su paracaídas se abre. En- un puente a 130 pies de altura. La cuerda que lo sostiene mide
tonces, la magnitud de la fuerza de arrastre (en libras) es 0.5 v2. 60 pies sin estirar y su constante de resorte es k ϭ 14 lb͞pie.
a) ¿Cuál es la magnitud de su aceleración en el instante que el pa- a) ¿A qué altura sobre el río se encuentra el saltador cuando la
racaídas se abre? cuerda lo detiene?
b) ¿Cuál es la magnitud de su velocidad cuando ha descendido 20 b) ¿Cuál es la fuerza máxima que ejerce la cuerda sobre él?
pies desde el punto en que se abrió el paracaídas?
Problema 14.46
Problema 14.44 14.47 Un helicóptero que pesa 20,500 lb despega verticalmen-
te desde el nivel del mar, y su velocidad hacia arriba en pies͞s
᭤ 14.45 El Panavia Tornado, con una masa de 18,000 kg, aterri- está dada como una función de su altura h en pies, mediante
za a una velocidad de 213 km͞h. La fuerza de desaceleración (en v = 66 - 0.01h.
newtons) ejercida sobre el avión por sus frenos y la resistencia
aerodinámica es 80,000 ϩ 2.5v2, donde v es la velocidad del a) ¿Cuánto tarda el helicóptero en elevarse hasta una altura de
avión en m͞s. ¿Cuál es la longitud de su desplazamiento después 4000 pies?
de aterrizar? (Vea el ejemplo 14.4).
b) ¿Cuál es la suma de las fuerzas verticales sobre el helicóptero
cuando su altura es de 2000 pies?
Problema 14.45
www.FreeLibros.org
The words you are searching are inside this book. To get more targeted content, please make full-text search by clicking here.
Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be
Discover the best professional documents and content resources in AnyFlip Document Base.
Search
Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be
- 1 - 50
- 51 - 100
- 101 - 150
- 151 - 200
- 201 - 250
- 251 - 300
- 301 - 350
- 351 - 400
- 401 - 450
- 451 - 500
- 501 - 550
- 551 - 600
- 601 - 650
- 651 - 672
Pages: