Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

380 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

Ejemplo 18.5 Cuerpos rígidos conectados (᭤ Relacionado con los problemas 18.53, 18.54)

La barra delgada de la figura tiene masa m y está articulada en A a un bloque me-
tálico de masa mB que descansa sobre una superficie horizontal lisa. El sistema se
suelta desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuál es la aceleración angular de
la barra en el instante de la liberación?

u A
l

A

Estrategia
Se deben dibujar diagramas de cuerpo libre de la barra y del bloque y aplicarles de
manera individual las ecuaciones de movimiento. Para completar la solución, tam-
bién se debe relacionar la aceleración del centro de masa de la barra y su aceleración
angular con la aceleración del bloque.

Solución
Dibujo de los diagramas de cuerpo libre En la figura a se dibujan los diagramas
de cuerpo libre de la barra y del bloque. Observe las fuerzas opuestas que ejercen
entre sí en el punto en que están articulados.

Aplicación de las ecuaciones de movimiento Si se escribe la aceleración del
centro de masa de la barra como aG = ax i + ay j , a partir de la segunda ley de
Newton se tiene que

©Fx = Ax = max
y

©Fy = Ay - mg = may.

Si a es la aceleración angular de la barra en sentido contrario al de las manecillas
del reloj (figura b), la ecuación del movimiento angular es

©M = Ax A 1 l cos u B + Ay A 1 l sen u B = Ia.
2 2

yu y
ay
G
a
mg Ay Ay G ax
Ax Ax mBg
1 l aA
2
aA

Nx x

www.FreeLibros.org(a) Diagramasdecuerpolibredelabarraydelbloque.
(b) Definiciones de las aceleraciones.

18.2 Ecuaciones de movimiento plano 381

Se expresa la aceleración del bloque como aAi (figura b) y se escribe la segunda ley
de Newton para el bloque:

©Fx = - Ax = mBaA,
©Fy = N - Ay - mBg = 0.

Determinación de las relaciones cinemáticas Para relacionar el movimiento de yu
la barra con el del bloque, se expresa la aceleración del centro de masa de la barra
en términos de la aceleración del punto A (figuras b y c):

aG = aA + * rG>A - v2rG>A, G
rG/A
i j k
a 3 - 0. 1
ax i + ay j = aA i + 3 0 2l A
0
0 x

- 1 l sen u 1 l cos u
2 2

(c) Vector de posición de G respecto a A.

Igualando las componentes i y j, se obtiene

ax = aA - 1 la cos u
2

y

ay = - 1 la sen u.
2

Se tienen cinco ecuaciones de movimiento y dos relaciones cinemáticas en términos

de siete incógnitas: Ax, Ay, N, ax, ay, a y aA. Resolviéndolas para la aceleración
angular y usando la relación I = –112 ml 2 para el momento de inercia de la barra, se
obtiene

a = 3 1g> l2 sen u .
2 cos2 u

1 - 3 C m>1m + mB2 D
4

Razonamiento crítico
Este ejemplo es un caso sencillo de un tipo de problema muy importante. El méto-
do usado es aplicable al análisis de movimientos planos de una gran variedad de
máquinas que constan de partes móviles interconectadas. Primero se dibujan por
separado los diagramas de cuerpo libre de las partes, incluyendo las fuerzas y pares
que las partes ejercen entre sí. Las ecuaciones de movimiento se escriben para cada
parte. La solución se completa al determinar las relaciones cinemáticas. En este
ejemplo, el bloque está restringido a moverse de manera horizontal. El bloque y la
barra tienen la misma aceleración en el pasador A, y la aceleración del centro de
masa G de la barra se relaciona con la aceleración angular de la barra y la acele-
ración del punto A porque la barra está articulada en A. Como lo ilustra este ejem-
plo, la determinación de las relaciones cinemáticas es comúnmente la parte más

www.FreeLibros.orgcomplicada de la solución.

382 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

Problemas

18.1 Se aplica una fuerza horizontal F = 30 lb sobre un refrigerador ᭤ 18.4 El Boeing 747 mostrado comienza su carrera de despe-
de 230 lb como muestra la figura. La fricción es insignificante. gue en el tiempo t = 0. Las fuerzas normales ejercidas sobre sus
llantas en A y B son NA = 175 kN y NB = 2800 kN. Si se supone
a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del refrigerador? que estas fuerzas son constantes y se ignoran las fuerzas horizon-

b) ¿Qué fuerzas normales ejerce el piso sobre el refrigerador en tales distintas al empuje T, ¿a qué velocidad se estará moviendo
A y B? el avión en t = 4 s? (Vea el ejemplo activo 18.1).

18.2 Resuelva el problema 18.1 si el coeficiente de fricción
cinética en los puntos A y B es mk = 0.1.

T 3m 5m

AB

F 26 m 2m

Problema 18.4

60 pulg 18.5 La grúa mostrada se mueve hacia la derecha con aceleración
constante, y la carga de 800 kg se mueve sin oscilar.
28 pulg a) ¿Cuál es la aceleración de la grúa y la carga?
b) ¿Qué valores tienen las tensiones en los cables unidos en A y B?

A B
14 pulg 14 pulg

Problemas 18.1/18.2

18.3 Cuando la avioneta de 2800 lb mostrada comienza su carrera 5Њ 5Њ
de despegue en t = 0, su hélice ejerce una fuerza horizontal A B
T = 1000 lb. Ignore las fuerzas horizontales ejercidas por la pista
sobre las ruedas. 1m

a) ¿Cuál es la distancia recorrida por la avioneta en t = 2 s?

b) ¿Cuáles son las fuerzas normales ejercidas sobre las llantas en
A y B?

1.5 m 1.5 m

Problema 18.5
T

4 pies 3 pies W B
A 5 pies 2
pies

Problema 18.3

www.FreeLibros.org

Problemas 383

18.6 El peso total de un go-cart y su conductor es de 240 lb. En 18.8 El momento de inercia del disco mostrado respecto a O es
la figura se muestra la ubicación de su centro de masa combinado. I = 20 kg-m2. En t = 0, el disco en reposo se somete a un par de
Las ruedas traseras ejercen juntas una fuerza horizontal de 24 lb torsión constante de 50 N-m.
sobre la pista. Ignore las fuerzas horizontales ejercidas sobre las a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración angular del disco?
ruedas frontales. b) ¿A qué velocidad (en rpm) estará girando el disco cuando t = 4 s?

a) ¿Cuál es la magnitud de la aceleración del go-cart? 50 N-m

b) ¿Cuáles son las fuerzas normales ejercidas sobre las ruedas en
A y en B?

O

15 pulg Problema 18.8

6 pulg 4 pulg 18.9 La barra de 10 lb que se muestra en la figura está sobre
A B una mesa horizontal lisa. En la figura se muestra la barra vista
desde arriba. Su momento de inercia respecto al centro de masa
16 pulg es I = 0.8 slug-pie2. La barra está en reposo cuando se aplica la
fuerza F = 5 lb en la dirección paralela al eje y. En ese instante,
60 pulg determine a) la aceleración del centro de masa, y b) la aceleración
del punto A.
Problema 18.6
18.10 La barra de 10 lb que se muestra en la figura está sobre
18.7 En la figura, el peso total de la bicicleta y su conductor es de una mesa horizontal lisa. En la figura se muestra la barra vista
160 lb. Se muestra la posición del centro de masa combinado. Las desde arriba. Su momento de inercia respecto al centro de masa
dimensiones mostradas son b = 21 pulg, c = 16 pulg y h = 38 pulg. es I = 0.8 slug-pie2. La barra está en reposo cuando se aplica la
¿Cuál es la aceleración máxima que puede tener la bicicleta sin que fuerza F = 5 lb en la dirección paralela al eje y. En ese instante,
la rueda delantera se levante del suelo? Ignore la fuerza horizontal determine la aceleración del punto B.
ejercida por el camino sobre la rueda frontal.

Estrategia: Se desea determinar el valor de la aceleración
que ocasiona que la fuerza normal ejercida por el camino sobre
la rueda frontal sea igual a cero.

y

A 2 pies 2 pies B

F x
h

Problemas 18.9/18.10

AB
bc

www.FreeLibros.orgProblema18.7

384 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.11 El momento de inercia del astronauta y la unidad de 18.13 Los momentos de inercia de las poleas mostradas son
maniobras mostrados respecto al eje que pasa por su centro IA = 0.0025 kg-m2, IB = 0.045 kg-m2 e IC = 0.036 kg-m2. Se aplica
de masa perpendicular a la página es I = 40 kg-m2. Un propulsor un par de 5 N-m sobre la polea A en sentido contrario al de las
puede ejercer una fuerza T = 10 N. Por seguridad, el sistema de
control de la unidad de maniobras no permite que su velocidad manecillas del reloj. Determine las aceleraciones angulares

angular sea mayor a 15° por segundo. Si en un inicio el astronauta resultantes para las tres poleas.
no está girando, y en t = 0 activa el propulsor hasta quedar girando
a 15° por segundo, ¿cuántos grados habrá rotado en t = 10 s? 100 mm

100 mm

A 200 mm
B C

200 mm

Problema 18.13

T 18.14 El momento de inercia del ventilador del túnel de viento
300 mm mostrado es de 225 kg-m2. El ventilador parte desde el reposo, el par
de torsión ejercido sobre él por el motor está dado en función de la
Problema 18.11 velocidad angular del ventilador como T = 140 - 0.02v2 N-m.

18.12 El momento de inercia del rotor del helicóptero mostrado a) Cuando el ventilador ha girado a 620 revoluciones, ¿cuál es su
es de 420 slug-pie2. El rotor parte desde el reposo. En t = 0, el velocidad angular en rpm (revoluciones por minuto)?
piloto comienza a acelerar de manera que el par de torsión (en
lb-pie) ejercido por el motor sobre el rotor está dado como una b) ¿Cuál es la máxima velocidad angular en rpm que alcanza el
función del tiempo en segundos por T = 200t. ventilador?
a) ¿Cuánto tiempo tardará el rotor en girar diez revoluciones?
b) ¿Cuál será la velocidad angular del rotor (en rpm) después de Estrategia: Escriba la ecuación del movimiento angular a fin
haber girado diez revoluciones? de determinar la aceleración angular del ventilador en términos de
su velocidad angular. Después use la regla de la cadena:

dv dv du dv
a= = = v.
dt du dt du

Problema 18.14

www.FreeLibros.orgProblema18.12

Problemas 385

18.15 El momento de inercia de la polea mostrada respecto a 18.18 La barra delgada de 5 kg se suelta desde el reposo en la
su eje es I = 0.005 kg-m2. Si la masa A de 1 kg se suelta desde posición horizontal mostrada. Determine la aceleración angular de
el reposo, ¿a qué distancia cae en 0.5 s? la barra en sentido contrario al de las manecillas del reloj a) en el
instante de su liberación y b) en el instante que ha girado 45°.
Estrategia: Dibuje diagramas de cuerpo libre individuales de
la polea y la masa. ᭤ 18.19 La barra delgada de 5 kg se suelta desde el reposo en
la posición horizontal mostrada. En el instante que ha girado 45°,
100 mm su velocidad angular es de 4.16 rad/s. En ese instante, determine
la magnitud de la fuerza ejercida sobre la barra por el soporte de
pasador. (Vea el ejemplo 18.4).

18.20 La barra delgada de 5 kg se suelta desde el reposo en
la posición horizontal mostrada. Determine la magnitud de su
velocidad angular cuando ha caído hasta la posición vertical.

A Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la barra
cuando ésta ha caído un ángulo arbitrario u y aplique la ecuación
Problema 18.15 de movimiento angular para determinar la aceleración angular de
la barra en función de u. Después use la regla de la cadena para
18.16 El radio de la polea es de 125 mm y el momento de inercia escribir la aceleración angular como
respecto a su eje es I = 0.05 kg-m2. Si el sistema se suelta desde el
reposo, ¿a qué distancia cae la masa de 20 kg en 0.5 s? ¿Cuál es la dv dv du dv
tensión en la cuerda entre la masa de 20 kg y la polea? a= = = v.
dt du dt du

1.2 m

Problemas 18.18 –18.20

4 kg 18.21 El objeto mostrado consiste en la barra delgada ABC de
20 kg 2 kg soldada a la barra delgada BDE de 3 kg. El eje y es vertical.
a) ¿Cuál es el momento de inercia del objeto respecto al punto D?
Problema 18.16 b) En el instante mostrado, determine la aceleración angular del
objeto en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
18.17 El momento de inercia de la polea mostrada es de
0.4 slug-pie2. El coeficiente de fricción cinética entre el peso 18.22 El objeto mostrado consiste en la barra delgada ABC de
de 5 lb y la superficie horizontal es mk = 0.2. Para cada caso, 2 kg soldada a la barra delgada BDE de 3 kg. El eje y es vertical.
determine la magnitud de la aceleración del peso de 5 lb. En el instante mostrado, el objeto tiene una velocidad angular
de 5 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
Determine las componentes de la fuerza ejercida sobre el objeto
por el soporte de pasador.

5 lb 5 lb Ay

0.2 m

B DE
x
6 pulg 6 pulg 0.2 m 0.4 m
(b) 0.2 m
2 lb
(a) 2 lb

C

www.FreeLibros.orgProblema18.17
Problemas 18.21/18.22

386 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.23 La longitud de la barra delgada que se muestra en la figura 18.26 El brazo BC de la figura tiene una masa de 12 kg y el mo-
es l = 4 m y su masa es m = 30 kg. Se suelta desde el reposo en la mento de inercia respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. El
posición mostrada. punto B está en reposo y el brazo BC tiene una velocidad angular
a) Si x = 1 m, ¿cuál es la aceleración angular de la barra en el constante de 2 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del
instante que se suelta? reloj. En el instante mostrado, determine el par y las componentes
b) ¿para qué valor de x la aceleración angular de la barra horizontal de la fuerza ejercida sobre el brazo BC en B.
es máxima? ¿Cuál es esa aceleración angular máxima?
18.27 El brazo BC de la figura tiene una masa de 12 kg y el mo-
m mento de inercia respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. En el
instante mostrado el brazo AB tiene una velocidad angular constante
x de 2 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj y el brazo BC
l tiene una velocidad angular de 2 rad/s en la dirección contraria y
una aceleración angular de 4 rad/s2 en el sentido de las manecillas
Problema 18.23 del reloj. Determine el par y las componentes de la fuerza ejercida
sobre el brazo BC en B.
18.24 Modele el brazo ABC mostrado como un cuerpo rígido
sencillo. Su masa es de 320 kg y el momento de inercia respecto y
a su centro de masa es I = 360 kg-m2. Si el punto A está en reposo
y el pistón hidráulico ejerce una fuerza de 14 kN sobre el brazo C
en B, ¿cuál es la aceleración angular del brazo? 30m0m

y

1.80 m 40Њ
1.40 m x
C A B
B x
0.30 m 700 mm
A 0.80 m

0.70 m

Problemas 18.26/18.27

Problema 18.24 18.28 El motor del control de altura del transbordador espacial
ejerce dos fuerzas Ff = 8 kN y Fr = 2 kN. Los vectores de fuerza y
18.25 La plataforma del camión mostrado pesa 8000 lb y su el centro de masa G pertenecen al plano x-y del marco de referencia
momento de inercia respecto a O es de 33,000 slug-pie2. En el inercial. La masa del transbordador es de 54,000 kg, y su momento
instante mostrado, las coordenadas del centro de masa de la de inercia respecto al eje que pasa por el centro de masa, paralelo al
plataforma son (10, 12) pies y las coordenadas del punto B son eje z, es 4.5 * 106 kg-m2. Determine la aceleración del centro de
(15, 11) pies. Si la plataforma tiene una aceleración angular masa y la aceleración angular (se puede ignorar la fuerza ejercida
de 0.2 rad/s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj, sobre el transbordador por su peso).
¿cuál es la magnitud de la fuerza ejercida por el cilindro hidráu-
lico AB sobre la plataforma en B? 18.29 En el problema 18.28, suponga que Ff = 4 kN y se desea
que la aceleración angular del transbordador sea cero. Determine la
y fuerza Fr necesaria y la aceleración resultante del centro de masa.

y

2m

B 2m

Ff Fr

30Њ A G
5Њ 6Њ

O x 18 m 12 m

x

www.FreeLibros.orgProblema18.25
Problemas 18.28/18.29

Problemas 387

18.30 Los puntos B y C pertenecen al plano x-y; el eje y es ᭤ 18.32 El radio del disco de 2 kg que se muestra en la figura es
vertical. El centro de masa del brazo BC de 18 kg está en el R = 80 mm. Su momento de inercia es I = 0.0064 kg-m2 y rueda
punto medio de la línea que va de B a C, y el momento de sobre la superficie inclinada. Si el disco se suelta desde el reposo,
inercia del brazo respecto al eje que pasa por el centro de masa, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de su centro dos segundos
paralelo al eje z es de 1.5 kg-m2. En el instante mostrado, los después? (Vea el ejemplo activo 18.2).
vectores de la velocidad y la aceleración angulares del brazo
AB son vAB = 0.6k (rad/s) y aAB = -0.3k 1rad/s22. Los vectores ᭤ 18.33 El radio del disco de 2 kg que se muestra en la figura
de la velocidad y la aceleración angulares del brazo BC son es R = 80 mm. Su momento de inercia es I = 0.0064 kg-m2.
vBC = 0.4k 1rad/s2 y aBC = 2k 1rad/s22. Determine la fuerza y ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario
el par ejercidos sobre el brazo BC en B. para que el disco ruede sin deslizar, en vez de deslizarse, sobre
la superficie inclinada? (Vea el ejemplo activo 18.2).
18.31 Los puntos B y C pertenecen al plano x-y. El eje y es
vertical. El centro de masa del brazo BC de 18 kg está en el R
punto medio de la línea que va de B a C, y el momento de iner-
cia del brazo respecto al eje que pasa por el centro de masa, 30Њ
paralelo al eje z es de 1.5 kg-m2. En el instante mostrado, los
vectores de la velocidad y la aceleración angulares del brazo Problemas 18.32/18.33
AB son vAB = 0.6k 1rad/s2 y aAB = -0.3k 1rad/s22. El vector de
la velocidad angular del brazo BC es vBC = 0.4k 1rad/s2. Si se
desea programar el robot de manera que la aceleración angular
del brazo BC sea cero en ese instante, ¿cuál es el par que debe
ejercerse sobre el brazo BC en B?

y C 18.34 Un anillo delgado y un disco circular homogéneo, cada
760 mm uno de masa m y radio R, se sueltan desde el reposo sobre una
superficie inclinada. Determine la razón vanillo>vdisco de las velo-
cidades de sus centros cuando han rodado una distancia D.

RR

A 15Њ 900 mm x D
z 50Њ D

B

Problema 18.34

18.35 El carretedisco escalonado que se muestra en la figura
pesa 40 lb y su momento de inercia es I = 0.2 slug-pie2. Si se
suelta desde el reposo, ¿cuánto tarda el centro del carretedisco
en caer 3 pies? (Suponga que la cuerda permanece vertical).

Problemas 18.30/18.31

4 pulg

8 pulg

www.FreeLibros.orgProblema18.35

388 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.36 El radio de la polea mostrada es R = 100 mm y su mo- 18.39 El disco mostrado pesa 12 lb y su radio es de 6 pulg. Está
mento de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg y la cons- en reposo sobre la superficie cuando se aplica la fuerza F = 10 lb.
tante del resorte es k = 135 N/m. El sistema se suelta desde el
reposo con el resorte sin estirar. En el instante cuando la masa a) Si el disco rueda sobre la superficie, ¿cuál es la aceleración de
su centro?
ha caído 0.2 m, determine a) la aceleración angular de la polea
b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo necesario
y b) la tensión en la cuerda entre la masa y la polea. para que el disco ruede en vez de deslizarse al aplicar la fuerza?

18.37 El radio de la polea mostrada es R = 100 mm y su mo- F
mento de inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg y la cons-
tante del resorte es k = 135 N/m. El sistema se suelta desde el Problema 18.39
reposo con el resorte sin estirar. ¿Cuál es la máxima distancia
que cae la masa antes de rebotar? 18.40 Una esfera de 42 lb y radio R = 4 pulg se coloca sobre una
superficie horizontal con velocidad angular inicial v0 = 40 rad/s.
Estrategia: Suponga que la masa ha caído una distancia El coeficiente de fricción cinética entre la esfera y la superficie es
arbitraria x. Escriba las ecuaciones de movimiento para la masa y mk = 0.06. ¿Cuál es la velocidad máxima que alcanzará el centro
la polea y úselas para determinar la aceleración a de la masa en de la esfera y cuánto tardará en llegar a ella?
función de x. Después aplique la regla de la cadena:
Estrategia: La fuerza de fricción ejercida por la superficie
dv dv dx dv sobre la esfera giratoria causará que ésta acelere hacia la derecha.
dt = dx dt = dx v. La fuerza de la fricción también causará que su velocidad angular
disminuya. El centro de la esfera acelerará hasta que ésta ruede
R sobre la superficie en lugar de deslizarse. Use la relación entre la
velocidad del centro y la velocidad angular de la esfera cuando
km está rodando a fin de determinar el instante en que empieza a rodar.
x
v0

Problemas 18.36/18.37 Problema 18.40

18.38 La masa del disco mostrado es de 45 kg, y su radio es
R = 0.3 m. La constante del resorte es k = 600 N/m. El disco se
rueda hacia la izquierda hasta que el resorte se comprime 0.5 m
y es soltado desde el reposo.
a) Si se supone que el disco rueda, ¿cuál es su aceleración angular
en el instante que se suelta?
b) ¿Cuál es el coeficiente de fricción estática mínimo para que el
disco no se deslice al soltarlo?

kR

www.FreeLibros.orgProblema18.38

Problemas 389

18.41 Un jugador de fútbol patea el balón hacia un compañero 18.43 El engrane anular mostrado está fijo. La masa y el mo-
mento de inercia del engrane central son mS = 320 kg e IS = 40
que está a 8 m. El balón sale del pie del jugador a 6 m/s paralelo kg-m2. La masa y el momento de inercia de cada engrane periféri-
co son mP = 38 kg e IP = 0.60 kg-m2. Si se aplica un par M = 200
al terreno sin velocidad angular. El coeficiente de fricción cinética N-m al engrane central, ¿cuál es la aceleración angular resultante
en los engranes periféricos.
entre el balón y el césped es mk = 0.32. ¿Cuánto tarda el balón en
llegar al compañero? El radio del balón es de 112 mm y su masa 18.44 En el problema 18.43, ¿cuál es la magnitud de la fuerza
tangencial ejercida sobre el engrane central por cada engrane
es de 0.4 kg. Estime el momento de inercia del balón usando la periférico en sus puntos de contacto cuando se aplica la fuerza
de 200 N-m al engrane central?
ecuación para un cascarón esférico delgado: I = 2 mR2.
3

0.18 m Engrane anular

0.86 m M
0.50 m

Problema 18.41 Engranes
periféricos (3)
18.42 El disco cilíndrico de 100 kg mostrado está en reposo
cuando la fuerza F se aplica a una cuerda enrollada a su alrededor. Engrane central
Los coeficientes estático y cinético de fricción entre el disco y la
superficie es igual a 0.2. Determine la aceleración angular del Problemas 18.43/18.44
disco si a) F = 500 N y b) F = 1000 N.
᭤ 18.45 La escalera de 18 kg se suelta desde el reposo en la
Estrategia: Primero resuelva el problema suponiendo que el posición mostrada. Modélela como una barra delgada e ignore
disco no se desliza, sino que rueda sobre la superficie. Determine la fricción. En el instante en que se libera, determine a) la acele-
la fuerza de fricción y vea si excede el producto del coeficiente ración angular de la escalera y b) la fuerza normal que ejerce el
de fricción por la fuerza normal. Si es así, resuelva de nuevo el piso sobre la escalera. (Vea el ejemplo activo 18.3).
problema suponiendo que el disco se desliza.

F

300 mm

30Њ
4m

Problema 18.42

Problema 18.45

www.FreeLibros.org

390 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.46 La escalera de 18 kg se suelta desde el reposo en la 18.48 Las masas de la barra y el disco mostrados son 14 kg y
posición mostrada. Modélela como una barra delgada e ignore 9 kg, respectivamente. El sistema se suelta desde el reposo con la
la fricción. Determine su aceleración angular en el instante de la barra horizontal. Determine la aceleración angular de la barra en
liberación. ese instante si a) la barra y el disco están soldados en A y si b) la
barra y el disco están conectados mediante un pasador liso en A.

Estrategia: En el inciso b), dibuje diagramas de cuerpo libre
individuales de la barra y el disco.

30Њ A
4m O

1.2 m
0.3 m

Problema 18.48

20Њ 18.49 La barra horizontal de 5 lb está conectada con el disco de
10 lb mediante un pasador liso en A. El sistema se suelta desde el
Problema 18.46 reposo en la posición mostrada. ¿Cuáles son las aceleraciones
angulares de la barra y el disco en ese instante?
18.47 La barra delgada de 4 kg se suelta desde el reposo en
la posición mostrada. Determine su aceleración angular en ese A
instante si a) la superficie es rugosa y la barra no se desliza, y O
si b) la superficie es lisa.

3 pies 1 pie

Problema 18.49

18.50 La barra delgada de 0.1 kg y el disco cilíndrico de 0.2 kg

1 m mostrados se sueltan desde el reposo con la barra horizontal. El
disco rueda sobre la superficie curva. ¿Cuál es la aceleración

angular de la barra en el instante de la liberación?

60Њ 40 mm

Problema 18.47

120 mm
Problema 18.50

www.FreeLibros.org

Problemas 391

18.51 En la figura, la masa del objeto suspendido A es de 8 kg. ᭤ 18.53 La barra delgada de 2 kg y el bloque de 5 kg se sueltan
La masa de la polea es de 5 kg, y su momento de inercia es de desde el reposo en la posición mostrada. Si la fricción es insignifi-
0.036 kg-m2. Si la fuerza T = 70 N, ¿cuál es la magnitud de la cante, ¿cuál es la aceleración del bloque en ese instante? (Vea el
aceleración de A? ejemplo 18.5).

᭤ 18.54 La barra delgada de 2 kg y el bloque de 5 kg se sueltan
desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuál es el mínimo
T coeficiente de fricción estática entre el bloque y la superficie
horizontal, que sería necesario para que el bloque no se moviera
al soltar el sistema? (Vea el ejemplo 18.5).

120 mm 1m
A 55Њ

Problema 18.51

18.52 En la figura, el objeto suspendido A pesa 20 lb. Las Problemas 18.53/18.54
poleas son idénticas; cada una de ellas pesa 10 lb y tiene un
momento de inercia de 0.022 slug-pie2. Si la fuerza T = 15 lb, 18.55 Como resultado del par constante M aplicado al disco
¿cuál es la magnitud de la aceleración de A? de 1 kg que se muestra en la figura, la aceleración angular de la
barra delgada de 0.4 kg es igual a cero. Determine M y la acele-
T ración angular del disco rodante en sentido contrario al de las
manecillas del reloj.

4 pulg 40Њ
1 m 0.25 m
4 pulg
A M
Problema 18.52 Problema 18.55

www.FreeLibros.org

392 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.56 La barra delgada mostrada pesa 40 lb y la caja pesa 80 lb. 18.59 En la figura, las masas de las barras delgadas AB y BC son
En el instante mostrado, la velocidad de la caja es cero y tiene una de 10 kg y 12 kg, respectivamente. Las velocidades angulares de
aceleración de 14 pies/s2 hacia la izquierda. La superficie horizontal las barras son iguales a cero en el instante mostrado y la fuerza
es lisa. Determine el par M y la tensión en la cuerda. horizontal F = 150 N. La superficie horizontal es lisa. Determine
las aceleraciones angulares de las barras.
18.57 La barra delgada mostrada pesa 40 lb y la caja pesa 80 lb.
En el instante mostrado, la velocidad de la caja es cero y tiene AB
una aceleración de 14 pies/s2 hacia la izquierda. El coeficiente
de fricción cinética entre la caja y la superficie horizontal es
mk = 0.2. Determine el par M y la tensión en la cuerda.

0.4 m

CF

6 pies 0.4 m 0.2 m

Problema 18.59

M

3 pies 6 pies 18.60 Considere que el momento total de inercia de las dos ruedas
y el eje traseros del automóvil mostrado es IR, y que el momento
Problemas 18.56/18.57 total de inercia de las dos ruedas delanteras es IF. Los radios de las
llantas es R, y la masa total del automóvil, incluyendo las ruedas,
18.58 La barra AB mostrada está girando con una velocidad es m. Si el motor del automóvil ejerce un par de torsión T sobre las
angular constante de 10 rad/s en el sentido de las manecillas del llantas traseras y éstas no se deslizan, demuestre que la aceleración
reloj. La barra delgada BC de 8 kg se desliza sobre la superficie de automóvil es
horizontal. En el instante mostrado, determine la fuerza total
(incluyendo su peso) que actúa sobre la barra BC y el momento a = RT .
total respecto a su centro de masa. IF
R2m + IR +
y
Estrategia: Aísle las ruedas y dibuje los diagramas de
B cuerpo libre.

0.4 m 10 rad/s C x
A

0.4 m 0.8 m

Problema 18.58 Problema 18.60

www.FreeLibros.org

Problemas 393

18.61 La masa combinada de la motocicleta y su conductor es 18.64 Cada una de las barras mostradas tiene una longitud de 1 m
de 160 kg. Cada rueda de 9 kg tiene un radio de 330 mm y un y una masa de 2 kg. Ambas giran en el plano horizontal. La barra
momento de inercia I = 0.8 kg-m2. El motor impulsa la rueda AB gira con una velocidad angular constante de 4 rad/s en sentido
trasera. Si la rueda trasera ejerce una fuerza horizontal de 400 N contrario al de las manecillas del reloj. En el instante mostrado, la
sobre el camino y no se ignora la fuerza horizontal que ejerce la barra BC gira a 6 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del
rueda frontal sobre el camino, determine a) la aceleración de reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra BC?
la motocicleta y b) las fuerzas normales que ejercen las ruedas
trasera y frontal sobre el camino. (Se muestra la posición del 4 rad/s B
centro de masa de la motocicleta sin incluir sus ruedas). A

18.62 En el problema 18.61, si la rueda frontal se levanta 6 rad/s
ligeramente del camino cuando el conductor acelera, determine
a) la aceleración de la motocicleta y b) el par ejercido por el 135Њ aBC
motor sobre la rueda trasera.

C

Problema 18.64

723 mm 18.65 Cada una de las barras OQ y PQ pesa 6 lb. El peso P del
collarín y la fricción entre el collarín y la barra horizontal son
A 649 mm B insignificantes. Si el sistema se suelta desde el reposo con u = 45°,
¿cuáles son las aceleraciones angulares de las dos barras?
1500 mm
18.66 En el problema 18.65, ¿cuáles son las aceleraciones
angulares de las dos barras si el collarín P pesa 2 lb?

Q

Problemas 18.61/18.62

2 pies 2 pies

18.63 El momento de inercia de la manija vertical mostrada u
respecto a O es 0.12 slug-pie2. El objeto B pesa 15 lb y perma- O
nece en reposo sobre una superficie lisa. El peso de la barra AB
es insignificante (lo que significa que la barra puede considerarse P
como un elemento de dos fuerzas). Si la persona ejerce una
fuerza horizontal de 0.2 lb sobre la manija a 15 pulg arriba de O, Problemas 18.65/18.66
¿cuál es la aceleración angular resultante de la manija?

A

6 pulg B

O
12 pulg

www.FreeLibros.orgProblema18.63

394 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.67 La barra delgada de 4 kg que se muestra en la figura 18.69 La barra AB mostrada gira en el plano horizontal con una
están articuladas a los bloques deslizadores de 2 kg en A y B. Si velocidad angular constante de 10 rad/s en sentido contrario al de
la fricción es insignificante y el sistema se suelta desde el reposo las manecillas del reloj. Las masas de las barras delgadas BC y
en la posición mostrada, ¿cuál es la aceleración angular de la CD son 3 kg y 4.5 kg, respectivamente. En el instante mostrado,
barra en ese instante? determine las componentes x e y de las fuerzas ejercidas sobre la
barra BC por los pasadores en B y C.

y

A
C

B

1.2 m 10 rad/s 0.2 m
A
D
x

45Њ 0.2 m 0.2 m
B
Problema 18.69

0.5 m 18.70 La barra de 2 kg mostrada gira en el plano horizontal
Problema 18.67 alrededor de un pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre
la barra lisa. En el instante mostrado, r = 1.2 m, v = 0.4 rad/s,
18.68 En la figura, la masa de la barra delgada es m y la masa del y el collarín se está deslizando hacia fuera a 0.5 m/s respecto
disco homogéneo es 4m. El sistema se suelta desde el reposo en la a la barra. Si se ignora el momento de inercia del collarín (es
posición mostrada. Si el disco rueda y la fricción entre la barra y decir, si se trata al collarín como una partícula), ¿cuál es la
la superficie horizontal es insignificante, muestre que la aceleración aceleración angular de la barra?
angular del disco es a = 6g>95R en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. Estrategia: Dibuje diagramas individuales de cuerpo libre de
la barra y del collarín y escriba la Segunda Ley de Newton, para el
R collarín, en coordenadas polares.

18.71 En el problema 18.70, suponga que el momento de inercia
del collarín respecto a su centro de masa es 0.2 kg-m2. Determine
la aceleración angular de la barra y compare su respuesta con la
solución al problema 18.70.

v

2R A
Problema 18.68

r 2m

www.FreeLibros.orgProblemas 18.70/18.71

Apéndice: Momentos de inercia 395

Apéndice: Momentos de inercia M L
(a)
Cuando un cuerpo rígido está sometido a fuerzas y pares, el movimiento rotacio-
nal resultante depende no sólo de su masa, sino también de cómo está distribuida M
la masa. Aunque los dos objetos de la figura 18.7 tienen la misma masa, las acele- L
raciones angulares causadas por el par M son diferentes. Esta diferencia se refleja
en la ecuación del movimiento angular M = Ia a través del momento de inercia I. (b)
El objeto de la figura 18.7a tiene un momento de inercia menor respecto al eje L,
por lo que su aceleración angular es mayor. Figura 18.7
Objetos de igual masa con momentos de
Al deducir las ecuaciones de movimiento de un cuerpo rígido en las seccio- inercia de masa diferentes respecto a L.
nes 18.1 y 18.2, se modeló un cuerpo como un número finito de partículas y se
expresó su momento de inercia de masa respecto a un eje LO como

IO = a mir2i ,

i

donde mi es la masa de la i-ésima partícula y ri es la distancia perpendicular
desde LO hasta la i-ésima partícula (figura 18.8a). Para calcular momentos de
inercia de objetos, suele ser más conveniente modelarlos como distribuciones
continuas de masa y expresar el momento de inercia de masa respecto a LO como

IO = r 2 dm, (18.21)
Lm

donde r es la distancia perpendicular de LO al elemento diferencial de masa dm mi
(figura 18.8b). Cuando el eje pasa por el centro de masa del cuerpo, se denota con ri

L el eje y con I el momento de inercia de masa respecto a L.
Las dimensiones del momento de inercia de un objeto son 1masa2 * 1longitud22.

Observe que la definición implica que su valor debe ser positivo.

Objetos simples LO
(a)
Se comienza por determinar los momentos de inercia de algunos objetos sencillos.
En la siguiente subsección se describirá el teorema de los ejes paralelos, que sim- dm
plifica la tarea de determinar los momentos de inercia de objetos compuestos por
combinaciones de partes sencillas. r

Barras delgadas Se determinará el momento de inercia de una barra recta esbel- LO
ta respecto a un eje perpendicular L que pasa por el centro de masa de la barra (b)
(figura 18.9a). “Delgada” significa que la longitud de la barra es mucho mayor que Figura 18.8
su ancho. Sea l la longitud de la barra, A el área de su sección transversal y m su Determinación del momento de inercia de
masa. Se supone que A es uniforme a lo largo de la barra y que el material es masa modelando un objeto como a) un número
homogéneo. Considere un elemento diferencial de la barra de longitud dr a una finito de partículas y b) una distribución
distancia r del centro de masa (figura 18.9b). La masa del elemento es igual al pro- continua de masa.
ducto de su volumen por su densidad: dm = rA dr. Sustituyendo esta expresión en
la ecuación (18.21), se obtiene el momento de inercia de la barra respecto a un eje
perpendicular que pasa por su centro de masa:

l>2

I = r2 dm = rAr2 dr = 1 rAl3.
Lm L-l>2 12

La masa de la barra es igual al producto de la densidad por su volumen 1m = rAl2,
y se puede expresar el momento de inercia de masa como

I = 1 ml2. (18.22)
12

Para obtener este resultado, se han ignorado las dimensiones laterales de la barra. Es
decir, se consideró al elemento diferencial de masa dm como si estuviera concentra-

www.FreeLibros.orgdo sobre el eje de la barra. En consecuencia, la ecuación (18.22) es una aproximación

396 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

L para el momento de inercia de masa de una barra. Más adelante se determinarán los
momentos de inercia para una barra de dimensiones laterales finitas y se verá que la
l ecuación (18.22) es una buena aproximación cuando el ancho de la barra es pequeño
en comparación con su longitud.
(a)
dm Placas delgadas Considere una placa plana homogénea con masa m y espesor
uniforme T. No se especificará la forma de su sección transversal. Considere un
r dr sistema coordenado cartesiano ordenado de modo que la placa quede en el plano
(b) x-y (figura 18.10a). El objetivo aquí es determinar los momentos de inercia de la
Figura 18.9 placa respecto a los ejes x, y y z.
(a) Barra delgada.
(b) Elemento diferencial de longitud dr. Se puede obtener un elemento diferencial de volumen de la placa proyectan-
do un elemento de área dA a través del espesor T de la placa (figura 18.10b). El
volumen resultante es T dA. La masa de este elemento de volumen es igual al pro-
ducto de la densidad por el volumen: dm = rT dA. Sustituyendo esta expresión en
la ecuación (18.9), se obtiene el momento de inercia de la placa respecto al eje z
en la forma

Ieje z = r 2 dm = rT r 2 dA,
Lm LA

donde r es la distancia desde el eje z hasta dA. Como la masa de la placa es
m = rTA, donde A es el área de la sección transversal, el producto rT = m>A. La
integral de la derecha es el momento polar de inercia JO de la sección transversal
de la placa. Por lo tanto, se puede escribir el momento de inercia de masa de la

placa respecto al eje z como

m (18.23)
Ieje z = A JO.

y y De la figura 18.10b, se observa que la distancia perpendicular del eje x al elemento

de área dA es la coordenada y de dA. En consecuencia, el momento de inercia de la

placa respecto al eje x es

T

xz Ieje x = y2 dm = rT y2 dA = m (18.24)
Lm LA A Ix,

(a) donde Ix es el momento de inercia de la sección transversal respecto al eje x. El

y y momento de inercia de la placa respecto al eje y es

dA dm Ieje y = x2 dm = rT x2 dA = m (18.25)
Lm LA A Iy,

yr xz donde Iy es el momento de inercia de la sección transversal de la placa respecto al
x eje y.

(b) Como la suma de los momentos de inercia Ix e Iy del área es igual al momento
polar de inercia JO, el momento de inercia de la placa delgada respecto al eje z es
Figura 18.10 igual a la suma de sus momentos de inercia respecto a los ejes x e y:
(a) Placa de forma arbitraria y espesor

uniforme T. Ieje z = Ieje x + Ieje y. (18.26)
(b) Elemento de volumen obtenido al proyectar
Así, se han expresado los momentos de inercia de masa de una placa delgada homo-
un elemento de área dA a través de la placa. génea de espesor uniforme en términos de los momentos de inercia de la sección

transversal de la placa. De hecho, estos resultados explican por qué las integrales de

área Ix, Iy y JO se llaman momentos de inercia.
El uso de la misma terminología y símbolos similares para los momentos de

inercia de áreas y los momentos de inercia de objetos puede resultar confuso, pero

es muy utilizada en la práctica de la ingeniería. El tipo de momento de inercia al que

se hace referencia puede determinarse por el contexto o por las unidades, 1longitud24

www.FreeLibros.orgparamomentosdeinerciadeáreasy1masa2 * 1longitud22 para momentos de inercia
de objetos.

Apéndice: Momentos de inercia 397

Ejemplo 18.6 Momento de inercia de una barra en forma de L (᭤ Relacionado con el problema 18.72)

Dos barras delgadas homogéneas, cada una de longitud l, masa m y área de sección l
transversal A, están soldadas formando el cuerpo en forma de L que se muestra
en la figura. Use la integración para determinar el momento de inercia del objeto
respecto al eje LO que pasa por O. El eje LO es perpendicular a las dos barras.

Estrategia Ol
Usando el mismo procedimiento de integración que se empleó para una sola barra, LO

se puede determinar el momento de inercia de masa de cada barra respecto a LO y y
sumar los resultados.

Solución
Se orienta un sistema coordenado con el eje z a lo largo de LO y el eje x colineal con
la barra 1 (figura a). La masa del elemento diferencial de longitud dx de la barra 1
es dm = rA dx. El momento de inercia de la barra 1 respecto a LO es

l

1IO21 = r2 dm = rAx2 dx = 1 rAl3.
Lm L0 3

En términos de la masa de la barra, m = rAl, este resultado puede escribirse como 2

1IO21 = 1 ml 2. dm
3 1
O
x
x dx
La masa del elemento de la barra 2 de longitud dy que se muestra en la figura b es
dm = rA dy. En la figura, se observa que la distancia perpendicular desde LO hasta (a) Elemento diferencial de la barra 1.
el elemento es r = 2l2 + y2 . Por lo tanto, el momento de inercia de la barra 2
respecto a LO es

l

1IO22 = r2 dm = rA1l2 + y22 dy = 4 rAl3. y dy
Lm L0 3 dm

En términos de la masa de la barra, se obtiene

1IO22 = 4 ml2. ry
3 2

El momento de inercia de masa del cuerpo en forma de L respecto a LO es O x
1

IO = 1IO21 + 1IO22 = 1 ml 2 + 4 ml2 = 5 ml2. (b) Elemento diferencial de la barra 2.
3 3 3

Razonamiento crítico
En este ejemplo se usó la integración para determinar un momento de inercia de
un objeto consistente en dos barras rectas. El mismo procedimiento podría apli-
carse a objetos más complicados construidos con barras de este tipo, pero obvia-
mente esto podría resultar fastidioso. Una vez que se ha usado la integración para
determinar un momento de inercia de una sola barra, como en la ecuación (18.22),
sería muy conveniente usar ese resultado para determinar momentos de inercia de
objetos compuestos hechos de barras sin tener que recurrir de nuevo a la integra-

www.FreeLibros.orgción. En la siguiente sección se mostrará cómo hacer esto.

398 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

Ejemplo 18.7 Momentos de inercia de una placa triangular (᭤ Relacionado con el problema 18.76)

y La placa delgada homogénea de la figura tiene un espesor uniforme y masa m.
Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z.

Estrategia
Los momentos de inercia respecto a los ejes x e y están dados por las ecuaciones
(18.24) y (18.25) en términos de los momentos de inercia del área de la sección
h transversal de la placa. A partir de la ecuación (18.26) se puede determinar el mo-
mento de inercia de masa de la placa respecto al eje z.

x Solución

b De acuerdo con el apéndice B, los momentos de inercia del área triangular respecto
1 1
a los ejes x e y son Ix = 12 bh3 e Iy = 4 hb3. Por lo tanto, los momentos de inercia

de la placa respecto a los ejes x e y son

Ieje x = m = m A 1 bh3 B = 1 mh2
A Ix 12 6
1 bh
2

y

Ieje y = m = m A 1 hb3 B = 1 mb2.
A Iy 4 2
1 bh
2

El momento de inercia respecto al eje z es

Ieje z = Ieje x + Ieje y = m A 1 h2 + 1 b2 B .
6 2

Razonamiento crítico
Como lo demuestra este ejemplo, los momentos de inercia de las áreas tabuladas
en el apéndice B pueden usarse para determinar momentos de inercia de placas
delgadas homogéneas. Para placas con formas más complicadas, se pueden usar
métodos con los que se determinan momentos de inercia de áreas compuestas.

Teorema de los ejes paralelos

El teorema de los ejes paralelos permite determinar el momento de inercia de un obje-
to compuesto cuando se conocen los momentos de inercia de sus partes. Suponga que
se conoce el momento de inercia I respecto a un eje L que pase por el centro de masa
de un objeto, y que se desea determinar su momento de inercia de masa IO respecto a
un eje paralelo LO (figura 18.11a). Para determinar IO, se introducen sistemas coor-
denados paralelos xyz y x¿y¿z¿, con el eje z a lo largo de LO y el eje z¿ a lo largo de L,
como se muestra en la figura 18.11b. (En esta figura, los ejes LO y L son perpendicu-
lares a la página). El origen O del sistema coordenado xyz está contenido en el plano
x¿-y¿. Los términos dx y dy son las coordenadas del centro de masa respecto al sistema
coordenado xyz.

El momento de inercia del cuerpo respecto a LO es

IO = r2 dm = 1x2 + y22 dm, (18.27)
Lm Lm

donde r es la distancia perpendicular desde LO hasta el elemento diferencial de masa
dm, x y y son las coordenadas de dm en el plano x-y. Las coordenadas x-y de dm
están relacionadas con sus coordenadas x¿-y¿ por

x = x¿ + dx
y

www.FreeLibros.orgy=y¿+dy.

Apéndice: Momentos de inercia 399

y yЈ

dx dm xЈ
rЈ
r x Figura 18.11
dy (a) Eje L que pasa por el centro de masa de
d un objeto y un eje paralelo LO.
L O (b) Sistemas coordenados x y z y x¿y¿z¿.

LO (b)
(a)

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (18.27), ésta puede escribirse como

IO = [1x¿22 + 1y¿22] dm + 2dx x¿ dm + 2dy y¿dm
Lm Lm Lm

+ Lm1d2x + dy22 dm. (18.28)

Como 1x¿22 + 1y¿22 = 1r¿22, donde r¿ es la distancia perpendicular desde L hasta dm,
la primera integral en el lado derecho de esta ecuación es el momento de inercia de
masa I del objeto respecto a L. Recuerde que las coordenadas x¿ e y¿ del centro
de masa del objeto respecto al sistema coordenado x¿y¿z¿ están definidas por

x¿ = Lm x¿dm , y¿ = Lm y¿dm

.

dm dm
Lm Lm

Como el centro de masa del objeto está en el origen del sistema x¿y¿z¿, –x ¿ = 0 e
–y ¿ = 0. Por lo tanto, las integrales en los términos segundo y tercero del lado

derecho de la ecuación (18.28) son iguales a cero. En la figura 18.11b, se observa

que d 2 + d 2 = d 2, donde d es la distancia perpendicular entre los ejes L y LO. Por
x y

lo tanto, se obtiene

IO = I + d2m. (18.29)

Éste es el teorema de los ejes paralelos para momentos de inercia de objetos. La
ecuación (18.29) relaciona el momento de inercia I de un objeto respecto a un eje
que pasa por el centro de masa con su momento de inercia IO respecto a cualquier
otro eje paralelo, donde d es la distancia perpendicular entre los dos ejes y m es la
masa del objeto.

Con el teorema de los ejes paralelos es posible determinar los momentos de
inercia de objetos compuestos. La determinación del momento de inercia respecto
a un eje LO dado suele requerir tres pasos:

1. Elegir las partes. Trate de dividir el objeto en partes cuyos momentos de inercia
puedan determinarse con facilidad.

2. Determinar el momento de inercia de las partes. Determine el momento de
inercia de cada parte respecto al eje que pasa por su centro de masa paralelo
a LO. Luego se puede usar el teorema de los ejes paralelos para determinar su
momento de inercia respecto a LO.

3. Sumar los resultados. Sume los momentos de inercia de las partes (o réstelos en
el caso de agujeros o recortes) para obtener el momento de inercia del objeto

www.FreeLibros.orgcompuesto.

400 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

Ejemplo 18.8 Aplicación del teorema de los ejes paralelos (᭤ Relacionado con los problemas 18.82, 18.83)

Dos barras delgadas homogéneas, cada una de longitud l y masa m, están soldadas
entre sí creando el objeto en forma de L que se muestra en la figura. Determine el
momento de inercia del cuerpo respecto al eje LO que pasa por el punto O. (El eje
l LO es perpendicular a las dos barras).

Ol Estrategia
LO El momento de inercia de una barra delgada homogénea respecto a un eje perpen-
dicular que pasa por su centro de masa está dado por la ecuación (18.22). Se puede
usar el teorema de los ejes paralelos para determinar los momentos de inercia de las
barras respecto al eje LO y sumarlos a fin de obtener el momento de inercia de la barra
compuesta.

Solución

Elección de las partes Las partes son las dos barras, que se llamarán barra 1 y
barra 2 (figura a).

2

Determinación de los momentos de inercia de las partes De acuerdo con el

΂ ΃l2ϩ1 2 1/2 apéndice C, el momento de inercia de cada barra respecto a un eje perpendicular

2l que pasa por su centro de masa es I = –1 ml 2. La distancia desde LO hasta el eje
paralelo que pasa por el centro de masa la barra a). Por lo tanto,
12 1 es –1 l (figura

de 2

1 el momento de inercia de masa de la barra 1 respecto a LO es
LO
1IO21 = I + d2m = 1 ml2 + A 1 l B 2m = 1 ml2.
1 12 2 3
2l
La distancia desde LO hasta el eje paralelo que pasa por el centro de masa de la
(a) Las distancias desde LO hasta los ejes
paralelos que pasan por los centros de barra 2 es [l 2 + A –1 l B2]1>2. El momento de inercia de la barra 2 respecto a LO es
masa de las barras 1 y 2.
2

1IO22 = I + d2m = 1 ml2 + Cl2 + A 1 l B 2 D m = 4 ml2.
12 2 3

Suma de los resultados El momento de inercia del objeto en forma de L respecto
a LO es

IO = 1IO21 + 1IO22 = 1 ml2 + 4 ml2 = 5 ml 2.
3 3 3

Razonamiento crítico
Compare esta solución con el ejemplo 18.6, donde se usó integración para deter-
minar el momento de inercia del mismo objeto respecto a LO. Se obtuvo el resulta-
do con mayor facilidad usando el teorema de los ejes paralelos, pero es necesario
conocer los momentos de inercia de las barras respecto a los ejes que pasan por sus
centros de masa.

www.FreeLibros.org

Apéndice: Momentos de inercia 401

Ejemplo 18.9 Momentos de inercia de un objeto compuesto 0.2 m

(᭤ Relacionado con los problemas 18.102, 18.103)

El objeto mostrado consiste en una barra delgada de 3 kg soldada a un disco delgado
circular de 2 kg. Determine su momento de inercia de masa respecto al eje L que pasa
por su centro de masa. (El eje L es perpendicular a la barra y al disco).

Estrategia 0.6 m
Se debe localizar el centro de masa del objeto compuesto y aplicar el teorema de los
ejes paralelos. Del apéndice C se pueden obtener los momentos de inercia de la L
barra y del disco.

Solución y

Elección de las partes Las partes son la barra y el disco. Introduciendo el siste- x
ma coordenado de la figura a, se tiene, para la coordenada x del centro de masa del
objeto compuesto, 0.3 m
_
x= xbarrambarra + xdiscomdisco x
mbarra + mdisco 0.8 m

10.3 m213 kg2 + 10.6 m + 0.2 m212 kg2 (a) Coordenada –x del centro de masa del
= 13 kg2 + 12 kg2 = 0.5 m. objeto.

Determinación de los momentos de inercia de las partes La distancia desde el y
centro de masa de la barra hasta el centro de masa del objeto compuesto es 0.2 m
(figura b). Por lo tanto, el momento de inercia de la barra respecto a L es

Ibarra = 1 13 kg210.6 m22 + 13 kg210.2 m22 = 0.210 kg-m2. 0.5 m
12

La distancia desde el centro de masa del disco hasta el centro de masa del objeto x
compuesto es de 0.3 m (figura c). El momento de inercia del disco respecto a L es

0.2 m

Idisco = 1 12 kg210.2 m22 + 12 kg210.3 m22 = 0.220 kg-m2. (b) Distancia desde L hasta el centro de
2 masa de la barra.

Suma de los resultados El momento de inercia del objeto compuesto respecto a y
0.5 m
L es
I = Ibarra + Idisco = 0.430 kg-m2.

Razonamiento crítico x
Este ejemplo demuestra el procedimiento más común en aplicaciones de ingeniería
para determinar momentos de inercia de objetos. Por lo general, éstos consisten en 0.3 m
partes ensambladas. Se debe determinar el centro de masa de cada parte y el momen-
to de inercia respecto al eje que pasa por dicho centro de masa (puede ser necesario (c) Distancia desde L hasta el centro de
determinar esta información de manera experimental, aunque en ocasiones es pro- masa del disco.
porcionada por los fabricantes de subensambles). Después se determina el centro de
masa del objeto compuesto, y se usa el teorema de los ejes paralelos para determi-
nar el momento de inercia de cada parte respecto al eje que pasa por el centro de
masa del objeto compuesto. Por último, se suman los momentos de inercia indivi-
duales para obtener el momento de inercia del objeto compuesto.

www.FreeLibros.org

402 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

Ejemplo 18.10 Momentos de inercia de un cilindro homogéneo

(᭤ Relacionado con los problemas 18.95, 18.96)

y El cilindro homogéneo mostrado, tiene masa m, longitud l y radio R. Determine sus
momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z.

x

Estrategia
Se pueden determinar los momentos de inercia del cilindro por medio de una inte-
R resante aplicación del teorema de los ejes paralelos. Primero se usa para determi-
nar los momentos de inercia respecto a los ejes x, y y z de un elemento infinitesimal
l del cilindro que consiste en un disco de espesor dz. Después se integran los resul-
z tados con respecto a z para obtener los momentos de inercia del cilindro.

Solución
Considere un elemento del cilindro de espesor dz a una distancia z del centro del ci-
lindro (figura a). (Usted puede imaginar que este elemento se obtiene “rebanando”
el cilindro perpendicularmente a su eje). La masa del elemento es igual al produc-
to de la densidad por el volumen del elemento: dm = r1pR2dz2. Se obtienen los
momentos de inercia del elemento usando los valores para una placa delgada circular
dados en el apéndice C. El momento de inercia respecto al eje z es

dIeje z = 1 dm R2 = 1 1rpR2 dz2R2.
2 2

y Se integra este resultado respecto a z desde -l>2 hasta l>2, sumando de esta manera
los momentos de inercia de los elementos infinitesimales de disco que forman el
x cilindro. El resultado es el momento de inercia del cilindro respecto al eje z:
xЈ
l>2

Ieje z = L-l>2 1 rpR4 dz = 1 rpR 4l.
2 2

Este resultado puede escribirse en términos de la masa del cilindro, m = r1pR2l2, como

zz Ieje z = 1 mR 2.
2
dz
El momento de inercia del elemento de disco respecto al eje x¿ es
(a) Elemento diferencial del cilindro en
la forma de un disco. dIeje x¿ = 1 dm R2 = 1 1rpR2 dz2R2.
4 4

Se usa este resultado y el teorema de los ejes paralelos para determinar el
momento de inercia del elemento respecto al eje x:

dIeje x = dIeje x¿ + z2 dm = 1 1rpR2 dz2R 2 + z21rpR2 dz2.
4

Integrando esta expresión con respecto a z desde -l>2 hasta l>2, se obtiene el
momento de inercia del cilindro respecto al eje x:

l>2

= A 1 rpR4 + rpR2z2 B dz = 1 rpR4l + 1 rpR2l 3.
www.FreeLibros.orgIejex L-l>2 4 4 12

Problemas 403

En términos de la masa del cilindro,

Ieje x = 1 mR 2 + 1 ml 2.
4 12

Debido a la simetría del cilindro,
Ieje y = Ieje x.

Razonamiento crítico
Cuando el cilindro es muy largo en comparación con su ancho 1l W R2, el primer
término en la ecuación para Ieje x se puede ignorar y así obtener el momento de
inercia de una barra delgada respecto a un eje perpendicular, ecuación (18.22). Por
otra parte, cuando el radio del cilindro es mucho mayor que su longitud 1R W l2,
el segundo término en la ecuación para Ieje x se puede ignorar y así obtener el
momento de inercia para un disco delgado circular respecto a un eje paralelo al

disco. Esto indica la magnitud de los términos que se ignoran al usar las expresio-

nes aproximadas para los momentos de inercia de una barra “delgada” o “esbelta”

y de un disco “delgado”.

Problemas 18.74 La barra delgada mostrada se encuentra en el plano x-y.
Su masa es de 6 kg y el material es homogéneo. Use integración
᭤ 18.72 En la figura, el eje LO es perpendicular a ambos segmen- para determinar su momento de inercia respecto al eje z.
tos de la barra delgada en forma de L. La masa de la barra es de 6 kg
y el material es homogéneo. Use integración para determinar el mo- 18.75 La barra delgada mostrada se encuentra en el plano x-y.
mento de inercia de la barra respecto a LO. (Vea el ejemplo 18.6). Su masa es de 6 kg y el material es homogéneo. Use integración
para determinar su momento de inercia respecto al eje y.
1m

y

LO 2 m 2m

Problema 18.72 50Њ x

18.73 Dos barras delgadas homogéneas, cada una con masa m 1m
y longitud l, están soldadas para crear el cuerpo en forma de T Problemas 18.74/18.75
que se muestra en la figura. Use integración para determinar el
momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por O y
que es perpendicular a las barras.

Ol l

www.FreeLibros.orgProblema18.73

404 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

᭤ 18.76 La placa delgada homogénea que se muestra en la 18.80 La masa del objeto mostrado es de 10 kg. Su momento
figura tiene una masa m = 12 kg y dimensiones b = 1 m y h = 2 m. de inercia respecto a L1 es de 10 kg-m2. ¿Cuál es su momento de
Determine los momentos de inercia de la placa respecto a los
ejes x, y y z. (Vea el ejemplo 18.7). inercia respecto a L2? (Los tres ejes están en el mismo plano).

y

h
x

b 0.6 m 0.6 m
Problema 18.76
L L1 L2
18.77 La arandela de latón mostrada tiene un espesor uniforme y
masa m. Problema 18.80
a) Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x y z.
b) Considere que Ri = 0 y compare sus resultados con los valores ᭤ 18.81 Un ingeniero que está recabando datos para diseñar
dados en el apéndice C para una placa delgada circular. una unidad de maniobras determina que el centro de masa de la
astronauta está en x = 1.01 m, y = 0.16 m y que su momento de
y inercia de masa respecto al eje z es de 105.6 kg-m2. La masa

de la astronauta es de 81.6 kg. ¿Cuál es su momento de inercia de
masa respecto al eje z¿ que pasa por su centro de masa?

Ro y yЈ
Ri xЈ

x

x

Problema 18.77 Problema 18.81

18.78 La placa delgada homogénea de la figura tiene espesor ᭤ 18.82 Dos barras delgadas homogéneas, cada una de masa m y
uniforme y pesa 20 lb. Determine su momento de inercia respecto longitud l, están soldadas entre sí formando el objeto en forma de T
al eje y. mostrado. Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el
momento de inercia del cuerpo respecto al eje que pasa por O y
18.79 Determine el momento de inercia de la placa de 20 lb que es perpendicular a las barras. (Vea el ejemplo 18.8).
respecto al eje x.
᭤ 18.83 Use el teorema de los ejes paralelos para determinar el
y momento de inercia del objeto en forma de T mostrado respecto al
y ϭ 4 Ϫ 1 x2 pies eje que pasa por el centro de masa del objeto y que es perpendicular
4 a las dos barras. (Vea el ejemplo 18.8).

x O l
l
Problemas 18.78/18.79

www.FreeLibros.orgProblemas 18.82/18.83

Problemas 405

18.84 La masa de la barra delgada homogénea mostrada es de 18.89 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en
30 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje z. la figura es de 36 kg. Determine su momento de inercia respecto
al eje x.
18.85 La masa de la barra delgada homogénea mostrada es de
30 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje z¿ que 18.90 Determine el momento de inercia de la placa de 36 kg
pasa por su centro de masa. respecto al eje z.

yЈ y
y

xЈ 0.4 m 0.4 m

0.8 m

x 0.3 m

0.6 m 2m 0.3 m
x
Problemas 18.84/18.85
Problemas 18.89/18.90
18.86 La barra delgada homogénea pesa 5 lb. Determine su
momento de inercia respecto al eje z. 18.91 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en
la figura es de 20 kg. Determine su momento de inercia respecto
18.87 Determine el momento de inercia de la barra de 5 lb al eje x.
respecto al eje z¿ que pasa por su centro de masa. 18.92 La masa de la placa delgada homogénea que se muestra en
la figura es de 20 kg. Determine su momento de inercia respecto
y yЈ al eje y.

4 pulg y

xЈ 1000 mm

x 400 mm

8 pulg 400 mm

Problemas 18.86/18.87 200 200
mm mm
18.88 El cohete mostrado se utiliza para hacer investigación x
atmosférica. Su peso y su momento de inercia respecto al eje z Problemas 18.91/18.92
que pasa por su centro de masa (incluyendo el combustible) son
10,000 lb y 10,200 slug-pie2 respectivamente. El combustible
pesa 6000 lb, su centro de masa está en x = -3 pies, y = 0, z = 0
y el momento de inercia de masa del combustible respecto al eje
paralelo al eje z que pasa por el centro de masa del combustible
es de 2200 slug-pie2. Cuando el combustible se agota, ¿cuál es
el momento de inercia del cohete respecto al eje que pasa por
su nuevo centro de masa y que es paralelo al eje z?

y

x

www.FreeLibros.orgProblema18.88

406 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.93 El radiador térmico mostrado (que se usa para eliminar el 18.97 El objeto homogéneo mostrado tiene la forma de un cono
exceso de calor de un satélite) puede modelarse como una placa trunco y está hecho de bronce con densidad r = 8200 kg/m3.
delgada rectangular homogénea. Su masa es de 5 slugs. Determine Determine el momento de inercia del objeto respecto al eje z.
su momento de inercia de masa respecto a los ejes x, y y z.
18.98 Determine el momento de inercia del objeto descrito en el
y problema 18.97 respecto al eje x.

3 pies 6 pies y

3 pies

x

2 pies 60 mm
x

Problema 18.93 180 mm z

18.94 En la figura, la masa de la placa delgada homogénea es 180 mm
de 2 kg. Determine su momento de inercia respecto al eje que
pasa por el punto O y que es perpendicular a la placa. Problemas 18.97/18.98

80 mm 18.99 El paralelepípedo rectangular homogéneo mostrado tiene
masa m. Determine sus momentos de inercia respecto a los ejes x,
10 mm 30 mm y y z y compárelos con los valores dados en el apéndice C.

y

O
30
mm

130 mm

Problema 18.94 a

᭤ 18.95 El cono homogéneo mostrado tiene masa m. Determine z
su momento de inercia respecto al eje z y compare su resultado b
con el valor dado en el apéndice C. (Vea el ejemplo 18.10).

c x
Problema 18.99
᭤ 18.96 En la figura, determine los momentos de inercia del

cono homogéneo de masa m respecto a los ejes x e y, y compare

sus resultados con los valores dados en el apéndice C. (Vea el

ejemplo 18.10).

y

x

R

z
h

www.FreeLibros.orgProblemas 18.95/18.96

Problemas 407

18.100 El cono con cabeza de esfera mostrado está hecho de 18.104 La parte de máquina homogénea que se muestra en la
un material con densidad de 7800 kg/m3. El radio R = 80 mm.
Determine su momento de inercia respecto al eje x. figura está hecha de una aleación de aluminio con densidad de
18.101 Determine el momento de inercia del cono con cabeza masa r = 2800 kg/m3. Determine el momento de inercia de la
de esfera descrito en el problema 18.100 respecto al eje y.
parte respecto al eje z.
y
18.105 Determine el momento de inercia de la parte de máquina
zR descrita en el problema 18.104 respecto al eje x.

yy

20 mm

xz

40 mm

120 mm 40
mm

Problemas 18.104/18.105

x 18.106 El cuerpo mostrado está hecho de acero con densidad
4R r = 7800 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al

eje LO que pasa por el punto O.

Problemas 18.100/18.101 18.107 Determine el momento de inercia del objeto descrito en
el problema 18.106 respecto al eje que pasa por el centro de masa
del objeto y que es paralelo a LO.

᭤ 18.102 El cilindro circular mostrado está hecho de aluminio 20 mm
(Al) con densidad 2700 kg/m3 y hierro (Fe) con densidad de O
7860 kg/m3. Determine su momento de inercia respecto al eje x¿.

(Vea el ejemplo 18.9).

᭤ 18.103 Determine el momento de inercia del cilindro 100 mm
compuesto descrito en el problema 18.102 respecto al eje y¿.
(Vea el ejemplo 18.9). 10 mm 30 mm

y LO
Problemas 18.106/18.107

yЈ 18.108 La placa delgada de la figura está hecha de acero con
Al densidad r = 15 slug/pie3. Determine su momento de inercia de
masa respecto al eje z.
z Fe
600 mm 200 mm 18.109 Determine el momento de inercia del objeto descrito
en el problema 18.108 respecto al eje x.
zЈ 600 mm x, xЈ
yy

Problemas 18.102/18.103 2 pulg 2 pulg

4 pulg

xz

4 pulg

4 8 pulg 4 4

www.FreeLibros.orgpulg pulg pulg
Problemas 18.108/18.109

408 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

Problemas de repaso

18.110 El avión mostrado está en el inicio de su carrera de des- 18.112 Una caja de 2 kg está sometida a una fuerza horizontal
pegue. Su peso es de 1000 lb, y el empuje inicial T ejercido por su de 40 N. Ignore la fricción.
motor es de 300 lb. Suponga que el empuje es horizontal e ignore a) Si la caja permanece sobre el piso, ¿cuál es su aceleración?
las fuerzas tangenciales ejercidas sobre sus ruedas. b) Determine el intervalo de valores de c para los cuales la caja
a) Si la aceleración del avión permanece constante, ¿cuánto tarda permanecerá sobre el piso cuando se aplique la fuerza.
en alcanzar su velocidad de despegue de 80 mi/h?
b) Determine la fuerza normal ejercida sobre la rueda delantera al 40 N
inicio de la carrera de despegue.

c

T
AB

6 pulg 100 mm 100 mm

Problema 18.112

1 pie 7 pies

Problema 18.110 18.113 La barra delgada AB de 2 slug tiene 3 pies de longitud.
Está articulada al carro en A y se apoya contra él en B.
18.111 Las poleas mostradas pueden girar libremente sobre sus a) Si la aceleración del carro es a = 20 pies/s2, ¿qué fuerza normal
soportes de pasador. Sus momentos de inercia son IA = 0.002 kg-m2, ejerce el carro sobre la barra en B?
IB = 0.036 kg-m2, e IC = 0.032 kg-m2. Está inicialmente en reposo
y en t = 0 se aplica a la polea A un par constante M = 2 N-m. ¿Cuál b) ¿Cuál es la aceleración máxima a para la cual la barra

es la velocidad angular de la polea C y cuántas revoluciones ha permanecerá en contacto con la superficie en B?

girado en t = 2 s? B
a

100 mm A 60Њ

100 mm

A 200 mm Problema 18.113
200 mm B C
18.114 Para determinar el momento de inercia de masa de un
Problema 18.111 neumático de 4.5 kg, un ingeniero lo deja rodar hacia abajo
sobre una superficie inclinada. Si tarda 3.5 s en rodar 3 m
partiendo del reposo, ¿cuál es el momento de inercia de masa
del neumático respecto a su centro de masa?

330 mm

15Њ

www.FreeLibros.orgProblema18.114

Problemas de repaso 409

18.115 La polea A pesa 4 lb, IA = 0.060 slug-pie2, e IB = 0.014 18.118 Para reducir el ángulo de elevación de la escalera fija
slug-pie2. Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿qué distancia de 200 kg que se muestra en la figura, los engranes que la elevan
cae el peso de 16 lb en 0.5 s? se desacoplan y una fracción de segundo después se acopla un
segundo conjunto de engranes que la bajan. En el instante en que
8 pulg los engranes que la elevan se desacoplan, ¿cuál es la aceleración
B angular de la escalera y cuáles son las componentes de la fuerza
ejercida sobre la escalera por su soporte en O? El momento de
inercia de la escalera respecto a O es IO = 14,000 kg-m2, y las
coordenadas de su centro de masa en el instante en que los
engranes se desacoplan son –x = 3 m, –y = 4 m.

12 pulg A y

16 lb

8 lb

Problema 18.115 Ox

18.116 Modele el brazo ABC de la excavadora mostrada como

un cuerpo rígido. Su masa es de 1200 kg, y el momento de inercia
respecto a su centro de masa es I = 3600 kg-m2. La velocidad
angular del brazo es cero y su aceleración angular es de 1 rad/s2

en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Qué fuerza

ejerce el cilindro hidráulico vertical sobre el brazo en B?

Problema 18.118

18.117 Modele el brazo ABC de la excavadora mostrada como 18.119 Las barras delgadas mostradas pesan cada una 4 lb y
un cuerpo rígido. Su masa es de 1200 kg, y el momento de inercia tienen una longitud de 10 pulg. La placa homogénea pesa 10 lb.
respecto a su centro de masa es I = 3600 kg-m2. La velocidad Si el sistema se suelta desde el reposo en la posición mostrada,
angular del brazo es 2 rad/s en sentido contrario al de las maneci- ¿cuál es la aceleración angular de las barras en ese instante?
llas del reloj y su aceleración angular es de 1 rad/s2 en la misma

dirección. ¿Cuáles son las componentes de la fuerza ejercida sobre

el brazo en A?

y 45Њ
8 pulg
B 3.0 m C
2.4 m x 40 pulg
Problema 18.119

A

1.7 m 1.7 m

www.FreeLibros.orgProblemas 18.116/18.117

410 Capítulo 18 Dinámica plana de cuerpos rígidos

18.120 Una barra delgada de masa m se suelta desde el reposo 18.122 La barra AB mostrada gira con velocidad angular
en la posición mostrada. Los coeficientes de fricción estática y constante de 10 rad/s en sentido contrario al de las manecillas
cinética en el piso y la pared tienen el mismo valor m. Si la del reloj. Las masas de las barras delgadas BC y CDE son 2 kg
barra se desliza, ¿cuál es su aceleración angular en el instante y 3.6 kg, respectivamente. El eje y señala hacia arriba. Determine
en que se suelta? las componentes de las fuerzas ejercidas por los pasadores en B
y C sobre la barra BC en el instante mostrado.

y

B

400 mm 10 rad/s C D E
A x

l

700 mm 400 700 mm
mm

u Problema 18.122

Problema 18.120 18.123 En el instante mostrado, los brazos del manipulador ro-
bótico tienen velocidades angulares constantes vAB = - 0.5 rad/s,
18.121 Cada una de las ruedas frontales del go-cart mostrado pesa vBC = 2 rad/s y vCD = 4 rad/s. La masa del brazo CD es de 10 kg,
5 lb y tiene un momento de inercia de masa de 0.01 slug-pie2. Las y su centro de masa está en su punto medio. En este instante, ¿qué
dos ruedas traseras y el eje trasero forman un cuerpo rígido que pesa
40 lb y tiene un momento de inercia de 0.1 slug-pie2. El peso total fuerza y par se ejercen sobre el brazo CD en C?
del vehículo y el conductor es de 240 lb. (En la figura se muestra
la posición del centro de masa del vehículo y el conductor sin y
incluir las ruedas frontales, las ruedas traseras o el eje trasero).
Si el motor ejerce un par de 12 lb-pie sobre el eje trasero, ¿cuál 300 mm 250 mm
es la aceleración del go-cart?
30Њ B 20Њ

C D
A x

250 mm

Problema 18.123

15 pulg

6 pulg 4 pulg
A B

16 pulg

60 pulg

Problema 18.121

www.FreeLibros.org

Problemas de repaso 411

18.124 En la figura cada barra tiene longitud de 1 m y masa de 18.128* Si en el instante mostrado en el problema 18.127, el
4 kg. La superficie inclinada es lisa. Si el sistema se suelta desde cigüeñal AB tiene una velocidad angular de 2000 rpm en sentido
el reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son las aceleraciones contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la aceleración
angulares de las barras en ese instante? del pistón debida al par M y a la fuerza ejercida por la mezcla
de combustible y aire?
18.125 En la figura cada barra tiene longitud de 1 m y masa de
4 kg. La superficie inclinada es lisa. Si el sistema se suelta desde 50 mm B 125 mm
el reposo en la posición mostrada, en ese instante ¿cuál es la mag- A 40Њ C
nitud de la fuerza ejercida sobre la barra OA por el soporte O en
ese instante?

A

M

O 45Њ B Problemas 18.127/18.128
30Њ
Proyecto de diseño
Problemas 18.124/18.125
Investigue los efectos de los coeficientes de fricción y las
18.126* El engrane anular fijo está en el plano horizontal. Los dimensiones b, c y h sobre la capacidad del conductor de la
engranes piñón y periférico están unidos. La masa y el momento bicicleta para acelerar y desacelerar. Considere un rango de
coeficientes de fricción que puedan abarcar superficies secas,
de inercia de los engranes piñón y periférico combinados son húmedas y congeladas. Al estudiar la desaceleración considere
mHP = 130 kg e IHP = 130 kg-m2. El momento de inercia del los casos en que los frenos actúan sólo sobre la rueda frontal,
engrane central es IS = 60 kg-m2. La masa de la barra acopladora únicamente sobre la rueda trasera y sobre ambas ruedas. Preste
biela es de 5 kg y se puede idealizar como una barra delgada. atención especial a la restricción de que las ruedas trasera
y delantera de la bicicleta no pueden separarse del suelo.
Si se aplica al engrane central un par de 1 kN-m en sentido Escriba un informe breve donde presente los análisis y haga
observaciones acerca de sus implicaciones para el diseño de
contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la aceleración bicicletas. Observe que el conductor puede alterar las dimen-
siones h, b y c hasta cierto punto al cambiar la posición de la
angular resultante en los engranes piñón y periférico unidos? parte alta de su cuerpo. Comente sobre la manera en que el
conductor puede afectar el desempeño de la bicicleta en lo
Engrane periférico 140 340 referente a la aceleración y la desaceleración.
Engrane piñón mm mm

Barra acopladora 240 mm

720 mm

Engrane central
Engrane anular

Problema 18.126

18.127* El sistema está en reposo en el momento mostrado. La h
fuerza neta ejercida sobre el pistón por la mezcla explosiva de com-

bustible y aire y por la fricción es de 5 kN hacia la izquierda. Un par

M = 200 N-m actúa sobre el cigüeñal AB en el sentido de las mane-

cillas del reloj. El momento de inercia del cigüeñal respecto a A es de

0.0003 kg-m2. La masa de la biela BC es de 0.36 kg, y su centro

de masa está a 40 mm de B sobre la línea de B a C. El momento de

inercia de la biela respecto a su centro de masa es de 0.0004 kg-m2. bc
La masa del pistón es de 4.6 kg. ¿Cuál es la aceleración del pistón?

www.FreeLibros.org(Ignore las fuerzas gravitatorias sobre el cigüeñal y la biela).

www.FreeLibros.org

CAPÍTULO

19

Energía y cantidad de movimiento
en la dinámica de cuerpos rígidos

En los capítulos 15 y 16 se demostró que los métodos de la energía ⌺M du
y de la cantidad de movimiento son muy útiles para resolver L
ciertos tipos de problemas en dinámica. Si las fuerzas sobre un
objeto se conocen como funciones de la posición, se puede usar
el principio del trabajo y la energía para relacionar el cambio en
la magnitud de la velocidad del objeto con su movimiento entre
dos posiciones. Si las fuerzas se conocen como funciones del
tiempo, se puede usar el principio del impulso y la cantidad de
movimiento para determinar el cambio en la velocidad del objeto
durante un intervalo de tiempo. Ahora se extienden estos métodos
a situaciones en las que se deben considerar tanto los movimientos
traslacionales como los rotatorios de los objetos.

᭣ El viento realiza trabajo sobre el rotor de la turbina de viento (aeroturbina),
lo que ocasiona que ésta gire y active un generador eléctrico.

www.FreeLibros.org

414 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

19.1 Trabajo y energía

ANTECEDENTES

mi Se demostrará que el trabajo realizado sobre un cuerpo rígido, por fuerzas y pares
externos mientras éste se mueve entre dos posiciones, es igual al cambio en su ener-
ri gía cinética. Para llegar a este resultado, se adopta el mismo método usado en el
capítulo 18 donde se obtuvieron las ecuaciones de movimiento para un cuerpo rígi-
O do. Se deducirá el principio del trabajo y la energía para un sistema de partículas y
Figura 19.1 se utilizará en la obtención del principio para un cuerpo rígido.
Sistema de partículas. El vector ri es el vector
de posición de la i-ésima partícula. Sea mi la masa de la i-ésima partícula de un sistema de N partículas, y sea ri la
posición de la i-ésima partícula respecto a un punto O que está fijo en relación con
un marco de referencia inercial (figura 19.1). La suma de las energías cinéticas de
las partículas se denota con

#T = 1 vi,
a 2 mivi (19.1)

i

donde vi = dri>dt es la velocidad de la i-ésima partícula. El objetivo aquí es rela-
cionar el trabajo realizado sobre el sistema con el cambio en T. Se inicia con la

segunda ley de Newton para la i-ésima partícula,

a fij + f E = d
i dt 1mivi2,
j

donde fij es la fuerza ejercida sobre la i-ésima partícula por la j-ésima partícula y
E
f i es la fuerza externa sobre la i-ésima partícula. Se toma el producto punto de esta

ecuación por vi y se suma desde i = 1 hasta N:

# # #a a fij vi + f E vi = d
ij i dt 1mivi2.
a a vi (19.2)

i i

El término del lado derecho de esta ecuación puede expresarse como la razón de
cambio de la energía cinética total:

d d dT
dt 1mivi2 dt
# #a vi = a 1 mivi vi = .
i 2 dt
i

Multiplicando la ecuación (19.2) por dt se obtiene

# #a a fij E dri = dT.
dri + a f i

ij i

Al integrar esta ecuación resulta

# #1ri22 1ri22

a a L1ri21 fij dri + a L1ri21 f E dri = T2 - T1. (19.3)
i
i j i
f12 f21
m1 m2 Los términos del lado izquierdo son el trabajo realizado sobre el sistema por las
r1
r2 fuerzas internas y externas cuando las partículas se mueven de las posiciones 1ri21
a 1ri22. Se observa que el trabajo realizado por fuerzas internas y externas cuando
un sistema de partículas se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en la

energía cinética total del sistema.
O Si las partículas representan un cuerpo rígido, se supone que las fuerzas inter-

Figura 19.2 nas entre cada par de partículas están dirigidas a lo largo de la recta que las une, el
Partículas 1 y 2 y las fuerzas que ejercen

www.FreeLibros.orgentresí.
trabajo que realizan las fuerzas internas es igual a cero. Para demostrar que esto es
cierto se consideran dos partículas de un cuerpo rígido llamadas 1 y 2 (figura 19.2).

19.1 Trabajo y energía 415

La suma de las fuerzas que las dos partículas ejercen entre sí es cero 1f12 + f21 = 02,
por lo que la razón a la que las fuerzas realizan trabajo (la potencia) es

# # #f12 v1 + f21 v2 = f21 1v2 - v12.

Se puede demostrar que f21 es perpendicular a v2 - v1 y, consecuentemente, que la
razón a la que las fuerzas internas realizan trabajo entre estas dos partículas es

cero. Como éstas son puntos de un cuerpo rígido, su velocidad relativa puede
expresarse en términos de la velocidad angular ␻ del cuerpo rígido como

v2 - v1 = ␻ * 1r2 - r12. (19.4)

Esta ecuación demuestra que la velocidad relativa v2 - v1 es perpendicular a r2 - r1,
que es el vector de posición de la partícula 1 a la partícula 2. Como la fuerza f21 es
paralela a r2 - r1, es perpendicular a v2 - v1. Este argumento puede repetirse para
cada par de partículas del cuerpo rígido y ver que la razón total a la que las fuerzas
internas realizan trabajo es cero. Esto implica que el trabajo que realizan cuando un
cuerpo rígido se mueve entre dos posiciones es cero. Observe que si un objeto no es
rígido, las fuerzas internas pueden realizar trabajo.

Por lo tanto, en el caso de un cuerpo rígido, el trabajo realizado por las fuerzas
internas en la ecuación (19.3) se suprime. Si se denota con U12 el trabajo efectua-
do por las fuerzas externas, se obtiene el principio del trabajo y la energía para un
cuerpo rígido: El trabajo realizado por fuerzas y pares externos cuando un cuerpo
rígido se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en la energía cinética total

del cuerpo:

U12 = T2 - T1. (19.5) mi
Ri
También se puede establecer este principio para un sistema de cuerpos rígidos: El tra-
bajo realizado por fuerzas y pares externos e internos cuando un sistema de cuerpos ri
rígidos se mueve entre dos posiciones es igual al cambio en la energía cinética total r
del sistema.
O
Energía cinética Figura 19.3
Representación de un cuerpo rígido como un
La energía cinética de un cuerpo rígido puede expresarse en términos de la velocidad sistema de partículas.
del centro de masa del cuerpo y de su velocidad angular. Primero se considerará un
movimiento plano general y después la rotación alrededor de un eje fijo.

Movimiento plano general A continuación se modelará un cuerpo rígido como
un sistema de partículas. Sea Ri el vector de posición de la i-ésima partícula respecto
al centro de masa del cuerpo (figura 19.3). La posición del centro de masa es

a miri
i
r= ,
m

donde m es la masa del cuerpo rígido. La posición de la i-ésima partícula respec-
to a O está relacionada con su posición respecto al centro de masa por

ri = r + Ri, (19.6)
y los vectores Ri satisfacen la relación

a miRi = 0. (19.7)

i

La energía cinética del cuerpo rígido es la suma de las energías cinéticas de sus
partículas, dada por la ecuación (19.1):

#T
=www.FreeLibros.orgia1mivivi. (19.8)
2

416 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

Plano de
movimiento

mi y y
mi

Ri L ri ϭ ͉Ri͉ sen b Ri L
ϭ ͉k ϫ Ri͉ b
z ␻ x
x z k

Figura 19.4 r
(a) Sistema coordenado con el eje z alineado
O (b)
con L. (a)
(b) La magnitud de k * Ri es la distancia

perpendicular de L a mi.

Derivando con respecto al tiempo la ecuación (19.6) se obtiene

vi = v + dRi,
dt

donde v es la velocidad del centro de masa. Sustituyendo esta expresión en la ecua-
ción (19.8) y usando la ecuación (19.7), se obtiene la energía cinética del cuerpo
rígido en la forma

#T 1 1 dRi dRi,
= 2 mv2 + a 2 mi dt dt (19.9)

i

donde v es la magnitud de la velocidad del centro de masa.
Sea L el eje que pasa por el centro de masa y que es perpendicular al plano de

movimiento (figura 19.4a). En términos del sistema coordenado mostrado, se puede
expresar el vector de velocidad angular como ␻ = vk. La velocidad de la i-ésima
partícula respecto al centro de masa es dRi>dt = vk * Ri, por lo que se puede escri-
bir la ecuación (19.9) como

#T 1 1 1k * Ri2 d v2.
= 2 mv2 + 2 c a mi1k * Ri2 (19.10)

i

La magnitud del vector k * Ri es la distancia perpendicular ri desde L hasta la
i-ésima partícula (figura 19.4b), por lo que el término entre corchetes en la ecua-

ción (19.10) es el momento de inercia del cuerpo respecto a L:

#a mi1k * Ri2 a mi ƒ k Ri ƒ 2 = 2 =
* Ri2 1k = * a mir i I.

i ii

Así, se obtiene la energía cinética de un cuerpo rígido en movimiento plano general
con la forma

T = 1 mv2 + 1 Iv 2, (19.11)
2 2
v T ϭ 1 mv2 ϩ 1 Iv2
v 22 donde m es la masa del cuerpo rígido, v es la magnitud de la velocidad del centro
de masa, I es el momento de inercia respecto al eje L que pasa por el centro de
Figura 19.5 masa y v es la velocidad angular. Se observa que la energía cinética consiste en
Energía cinética en movimiento plano general. dos términos: la energía cinética traslacional, debida a la velocidad del centro de
masa, y la energía cinética rotatoria debida a la velocidad angular (figura 19.5).

www.FreeLibros.orgRotación con un eje fijo Un cuerpo que gira alrededor de un eje fijo está en
movimiento plano general y su energía cinética está dada por la ecuación (19.11).

19.1 Trabajo y energía 417

Pero en este caso hay otra expresión para la energía cinética que suele ser conve- v ϭ vd
niente. Suponga que un cuerpo rígido gira con velocidad angular v respecto a un eje v
fijo O. En términos de la distancia d desde O hasta el centro de masa del cuerpo, la Od
velocidad del centro de masa es v = vd (figura 19.6a). Según la ecuación (19.11),
la energía cinética es (a)

T = 1 m1vd22 + 1 Iv2 = 211I + d 2m2v2. v
2 2 O

De acuerdo con el teorema de los ejes paralelos, el momento de inercia respecto a 1
O es IO = I + d 2m, por lo que se obtiene la energía cinética de un cuerpo rígido 2

girando respecto a un eje fijo O en la forma (figura 19.6b)

T ϭ IOv2

T = 1 IOv 2. (19.12)
2

Trabajo y energía potencial (b)

Los procedimientos para determinar el trabajo que realizan los diferentes tipos de Figura 19.6
fuerzas, así como las expresiones para las energías potenciales de fuerzas que se (a) Velocidad del centro de masa.
estudiaron en el capítulo 15, proporcionan las herramientas esenciales para aplicar (b) Energía cinética de un cuerpo rígido que
el principio del trabajo y la energía a un cuerpo rígido. El trabajo realizado sobre
un cuerpo rígido por una fuerza F está dado por gira alrededor de un eje fijo.

#1rp22 (19.13)

U12 = L1rp21 F drp,

donde rp es la posición del punto de aplicación de F (figura 19.7). Si el punto de
aplicación está fijo, o si la dirección de su movimiento es perpendicular a F, no se
realiza trabajo.

Una fuerza F es conservativa si existe una energía potencial V tal que

F ؒ drp = -dV. (19.14)

En términos de su energía potencial, el trabajo efectuado por una fuerza conserva-
tiva F es

#1rp22 V2

U12 = L1rp21 F drp = LV1 - dV = - 1V2 - V12,

donde V1 y V2 son los valores de V en 1rp21 y 1rp22.
Si un cuerpo rígido está sometido a un par M (figura 19.8a), ¿cuál es el tra-

bajo realizado mientras el cuerpo se mueve entre dos posiciones? Se puede evaluar
el trabajo representando el par mediante fuerzas (figura 19.8b) y determinando el

F
F

(rp)2 Figura 19.7
El trabajo realizado por una fuerza sobre un
(rp)1

cuerpo rígido se determina por la trayectoria

www.FreeLibros.orgO delpuntodeaplicacióndelafuerza.

418 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

trabajo que efectúan éstas. Si el cuerpo gira un ángulo du en la dirección del par

(figura 19.8c), el trabajo que realiza cada fuerza es A –1 D du BF, por lo que el trabajo

2
total es DF du = M du. Integrando esta expresión se obtiene el trabajo realizado por

un par M al girar el cuerpo de u1 a u2 en la dirección de M:

M u2 (19.15)
(a)
U12 = M du.
Lu1

F Si M es constante, el trabajo es simplemente el producto del par por el desplazamien-
to angular:

D U12 = M1u2 - u12 (par constante)

Un par M es conservativo si existe una energía potencial V tal que

F

(b) M du = - dV. (19.16)

1 El trabajo realizado por un par conservativo puede expresarse en función de su ener-
2 Ddu gía potencial:
F
du u2 V2

U12 = M du = - dV = - 1V2 - V12.
Lu1 LV1

F Por ejemplo, en la figura 19.9 un resorte torsional ejerce sobre una barra un par que
1 es proporcional al ángulo de rotación de la barra: M = - ku. En la relación
2 Ddu
M du = - ku du = - dV,
(c)

Figura 19.8 se observa que la energía potencial debe satisfacer la ecuación
(a) Cuerpo rígido sometido a un par.
(b) Par equivalente que consiste en dos dV
du = ku.
fuerzas: DF = M.
(c) Determinación del trabajo realizado por Integrando esta ecuación, se encuentra que la energía potencial del resorte torsional

las fuerzas.

es

V = 1 ku 2. (19.17)
2

Si todas las fuerzas y todos los pares que trabajan sobre un cuerpo rígido son
conservativos, se puede expresar el trabajo realizado al moverse entre las posiciones
1 y 2 en términos de la energía potencial total de las fuerzas y pares:

U12 = V1 - V2.

Combinando esta relación con el principio del trabajo y la energía, ecuación (19.5),
se concluye que la suma de la energía cinética y la energía potencial total es cons-
tante—la energía se conserva:

T1 + V1 = T2 + V2 (19.18)

Si un sistema está sujeto tanto a fuerzas conservativas como a no conservativas, el
principio del trabajo y la energía puede escribirse en la forma

T1 + V1 + U12 = T2 + V2 (19.19)

El término U12 incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas
que actúan sobre el sistema cuando se mueve de la posición 1 a la posición 2. Si

una fuerza es conservativa, hay una decisión que debe tomarse. El trabajo que rea-

www.FreeLibros.orgliza la fuerza puede calcularse e incluirse en U12, o bien la energía potencial de la
fuerza se puede incluir en V.

19.1 Trabajo y energía 419

Potencia k

El trabajo que realiza una fuerza F sobre un cuerpo rígido durante un desplaza- (a)
miento infinitesimal drp de su punto de aplicación es
ku u
F ؒ drp.
(b)
Se obtiene la potencia P transmitida al cuerpo rígido —la razón a la que se reali- Figura 19.9
za trabajo sobre él— dividiendo esta expresión entre el intervalo de tiempo dt duran- (a) Resorte torsional lineal conectado a una
te el cual tiene lugar el desplazamiento. Se obtiene
barra.
P = F ؒ vp, (19.20) (b) El resorte ejerce un par de magnitud ku

donde vp es la velocidad del punto de aplicación de F. en la dirección opuesta a la rotación de
De manera similar, el trabajo realizado por un par M sobre un cuerpo rígido la barra.

en movimiento plano durante una rotación infinitesimal du en la dirección de M es

M du.

Dividiendo esta expresión entre dt, se encuentra que la potencia transmitida al
cuerpo rígido es el producto del par por la velocidad angular:

P = M v. (19.21)

El trabajo total realizado sobre un cuerpo rígido durante un intervalo de tiempo
es igual al cambio en la energía cinética del cuerpo, por lo que la potencia total trans-
mitida es igual a la razón de cambio de su energía cinética:

P= dT
.
dt

El promedio con respecto al tiempo de la potencia durante un intervalo de tiempo
de t1 a t2 es

Pprom = t2 1 t2 = t2 1 T2 = T2 - T1.
- - t2 - t1
P dt dT
t1 Lt1 t1 LT1

Esta expresión muestra que la potencia promedio transmitida a un cuerpo rígido o
desde él durante un intervalo de tiempo se puede determinar dividiendo el cambio
en su energía cinética, o el trabajo total realizado, entre el intervalo de tiempo:

Pprom = T2 - T1 = U12 . (19.22)
t2 - t1 t2 - t1

RESULTADOS
Principio del trabajo y la energía

Sea T la energía cinética total de un sistema de cuerpos rí-

gidos. El principio del trabajo y la energía establece que el

trabajo realizado por fuerzas y pares internos y externos, U12 ϭ T2 Ϫ T1. (19.5)

cuando el sistema se mueve entre dos posiciones, es igual al

www.FreeLibros.orgcambio en la energía cinética total del sistema.

420 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

Energía cinética

v
v

La energía cinética de un cuerpo rígido en movi- T ϭ 1 mv2 ϩ 1 Iv2. (19.11)
miento plano general es la suma de la energía ci- 2 2
nética traslacional y la energía cinética rotacional.

v T ϭ 1 IOv2. (19.12)
O 2

Energía cinética de un cuerpo rígido que experimen-
ta movimiento plano respecto a un eje fijo O. IO es el
momento de inercia del cuerpo rígido respecto a O.

Trabajo realizado por una fuerza

F

F

(rp)2

(rp)1

O

Trabajo realizado sobre un cuerpo rígido por

una fuerza F cuando el punto de aplicación de

la fuerza se mueve de la posición (rp)1 a la (rp)2 (19.13)
posición (rp)2. Una fuerza F es conservativa si
existe una energía potencial V tal que U12 ϭ L(rp)1 F ؒ drp.

www.FreeLibros.orgFؒdrpϭϪdV.(19.14)

19.1 Trabajo y energía 421

Trabajo realizado por un par

M

Trabajo realizado sobre un cuerpo rígido por un par M u2 (19.15)

cuando el cuerpo rígido gira desde una posición angular U12 ϭ Lu1 M du.
(en radianes) u1 hasta la posición angular u2. Un par M Si M es constante,
es conservativo si existe una energía potencial V tal que
U12 ϭ M (u2 Ϫ u1).
M du ϭ ϪdV. (19.16)

Conservación de la energía T1 ϩ V1 ϭ T2 ϩ V2. (19.18)

Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un sis-
tema de cuerpos rígidos son conservativas, la suma
de la energía cinética total y la energía potencial total
es la misma en cualesquiera dos posiciones.

Cuando sobre un sistema de cuerpos rígidos realizan traba- T1 ϩ V1 ϩ U12 ϭ T2 ϩ V2. (19.19)
jo tanto fuerzas conservativas como no conservativas, el
principio del trabajo y la energía puede expresarse en tér-
minos de la energía potencial V de las fuerzas conservativas
y el trabajo U12 realizado por las fuerzas no conservativas.

1. Identificar las fuerzas y los pares que realizan trabajo. Use dia-
gramas de cuerpo libre para determinar qué fuerzas y pares
externos realizan trabajo sobre el sistema.

La aplicación de los mé- 2. Aplicar el principio del trabajo y la energía o de la conservación

todos energéticos a un de la energía. Iguale el trabajo total realizado durante un cambio

cuerpo rígido o sistema de de posición con el cambio en la energía cinética, o bien iguale la

cuerpos rígidos suele im- suma de las energías cinética y potencial en las dos posiciones.

plicar tres pasos. 3. Determinar relaciones cinemáticas. Para completar la solución,

a menudo es necesario obtener relaciones entre las velocidades de

www.FreeLibros.orglos puntos de los cuerpos rígidos con sus velocidades angulares.

422 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

Potencia

La potencia transmitida a un cuerpo rígido por una P ϭ F ؒ vp. (19.20)

fuerza. El término vp es la velocidad del punto de
aplicación de la fuerza.

La potencia transmitida a un cuerpo rígido por un P ϭ Mv. (19.21)
par es el producto del par por la velocidad angular
del cuerpo rígido.

La potencia promedio transmitida a un cuerpo rígido Ppromϭ T2 Ϫ T1 ϭ U12 . (19.22)
durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en la t2 Ϫ t1 t2 Ϫ t1
energía cinética del cuerpo, o el trabajo total realizado
durante ese tiempo, dividido entre el intervalo de tiempo.

Ejemplo activo 19.1 Aplicación del trabajo y la energía a un disco rodante

(᭤ Relacionado con los problemas 19.19, 19.20)

Un disco de masa m y momento de inercia I = 21mR2 se suelta desde el reposo
R sobre la superficie inclinada que se muestra en la figura. Suponiendo que el disco

rueda sin deslizarse, ¿cuál es la magnitud de la velocidad de su centro cuando se ha

desplazado una distancia b?

b Estrategia
b Se igualará el trabajo realizado cuando el disco rueda una distancia b con el cambio
en su energía cinética. Para determinar la velocidad del centro del disco, se necesi-
tará la relación entre la velocidad del centro y la velocidad angular del disco.

Solución
Identificación de las fuerzas y los pares que realizan trabajo

mg sen b Diagrama de cuerpo libre del disco. N y f son las fuerzas normal
y de fricción ejercidas por la superficie inclinada. El peso del
disco realiza trabajo al rodar, pero la fuerza normal y la fuerza
de fricción no lo hacen. Para explicar por qué sucede esto, el
trabajo efectuado por una fuerza F puede escribirse como

f mg cos b (rp)2 t2 drp t2 vp dt,
dt
L(rp)1 F ؒ drp ϭ Fؒ dt ϭ F ؒ
Lt1 Lt1

N donde vp es la velocidad del punto de aplicación de F. Como la
velocidad del punto en que actúan las fuerzas normal y de

www.FreeLibros.orgfricción es igual a cero, éstas no realizan trabajo.

19.1 Trabajo y energía 423

Aplicación del trabajo y la energía U12 ϭ (mg sen b)b.

El trabajo realizado por el peso del disco es mgb sen b ϭ 1 mv2 ϩ 1 Iv2 Ϫ 0. (1)
el producto de la componente del peso en la 2 2
dirección del movimiento por la distancia b.
Observe que este resultado también se obtie-
ne al multiplicar el peso del disco mg por la
disminución en la altura del centro de masa.

Iguale el trabajo con el cambio en la energía
cinética del disco. La energía cinética inicial
es igual a cero. Sea v la velocidad del centro
del disco y v su velocidad angular cuando el
centro se ha movido una distancia b.

Determinación de las relaciones cinemáticas

v
Rv

Relación entre la velocidad del centro del v ϭ Rv. (2)
disco y la velocidad angular en el
movimiento rodante.

Despejando v y v de las ecuaciones (1) y (2) y 4gb sen b
vϭ 3 .
sustituyendo I ϭ 1 mR2 se obtiene la velocidad.
2

Problema de práctica Suponga que el disco se suelta desde el reposo y está some-
tido a un par constante M en el sentido de las manecillas del reloj cuando rueda hacia
abajo sobre la superficie inclinada. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del centro del
disco cuando se ha movido una distancia b?

4 Mb .
A 3 agb sen b mR
vwww.FreeLibros.orgRespuesta:=+ b

424 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

Ejemplo 19.2 Aplicación del trabajo y la energía a una motocicleta

(᭤ Relacionado con los problemas 19.27, 19.28)

Cada rueda de la motocicleta mostrada tiene masa mW = 9 kg, radio R = 330 mm y
momento de inercia I = 0.8 kg-m2. La masa combinada del conductor y la motoci-
cleta, sin incluir las ruedas es mC = 142 kg. La motocicleta parte desde el reposo y
su motor ejerce un par constante M = 140 N-m sobre la rueda trasera. Suponga que
las ruedas no se deslizan. ¿Qué distancia horizontal b debe recorrer la motocicleta
para alcanzar una velocidad de 25 m/s?

RR

Estrategia
Para determinar la distancia b, se puede aplicar el principio del trabajo y la energía
al sistema que consiste en el conductor y la motocicleta, incluyendo las ruedas.

Solución
La determinación de la distancia b requiere tres pasos.
Identificación de las fuerzas y los pares que realizan trabajo En la figura a se
dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema. Los pesos no realizan trabajo porque
el movimiento es horizontal, y las fuerzas ejercidas por el camino sobre las ruedas
no trabajan porque la velocidad de sus puntos de aplicación es cero. (Vea el ejemplo
activo 19.1). Así, las fuerzas y los momentos pares externos no realizan ningún
trabajo. Sin embargo, el par M que ejerce el motor sobre la rueda trasera sí trabaja
(figura b). Aunque se trata de un par interno para el sistema considerado (las ruedas
ejercen un par opuesto sobre el cuerpo de la motocicleta) se realiza un trabajo neto
porque las ruedas giran y el cuerpo no.

mC g

mWg mWg

Ax Bx
Ay By

www.FreeLibros.org(a) Diagramadecuerpolibredelsistema.

19.1 Trabajo y energía 425

M Cy M mC g mWg
Ax Cx Bx By
Cx
mWg Cy

Ay

(b) Rueda trasera aislada.

Aplicación del trabajo y la energía Si la motocicleta se mueve una distancia
horizontal b, las ruedas giran un ángulo b>R rad y el trabajo realizado por el par
constante M es

b
U12 = M1u2 - u12 = M a R b .

Sea v la velocidad de la motocicleta y v la velocidad angular de las ruedas cuando
se ha movido una distancia b. El trabajo es igual al cambio en la energía cinética total:

b = 1 mCv2 + 2 a 1 mWv2 + 1 Iv2 b - 0. (1)
MaRb 2 2 2

Determinación de las relaciones cinemáticas La velocidad angular de las ruedas
está relacionada con la velocidad v por v = v>R. Sustituyendo esta relación en la
ecuación (1) y despejando b, se obtiene

1 I Rv 2
b = a 2 mC + mW + R 2 b M

1 0.8 kg-m 2 10.33 m2 125 m/s22
= c 21142 kg2 + 19 kg2 + 10.33 m22 d
140 N-m

= 129 m.

Razonamiento crítico
Aunque se dibujaron por separado los diagramas de cuerpo libre de la motocicleta
y su rueda trasera para clarificar el trabajo realizado por el par que ejerce el motor,
observe que se trata a la motocicleta, incluyendo sus ruedas, como un solo sistema al
aplicar el principio del trabajo y la energía. Al hacerlo así, no fue necesario conside-
rar el trabajo realizado por las fuerzas internas entre el cuerpo de la motocicleta y
sus ruedas. Al aplicar el principio del trabajo y la energía a un sistema de cuerpos
rígidos, suele ser más sencillo expresar el principio para el sistema en su conjunto.
Lo anterior contrasta con la determinación del movimiento de un sistema de cuerpos
rígidos usando las ecuaciones de movimiento, lo que usualmente requiere dibujar dia-
gramas de cuerpo libre de cada cuerpo rígido y aplicarles las ecuaciones de manera

wwindividual.w.FreeLibros.org

426 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

Ejemplo 19.3 Aplicación de la conservación de la energía a un mecanismo

(᭤ Relacionado con el problema 19.40)

Las barras delgadas AB y BC del mecanismo mostrado tienen masa m y longitud l,

el collarín C tiene masa mC. Un resorte torsional en A ejerce un par en el sentido de
las manecillas del reloj horario ku sobre la barra AB. El sistema se libera desde el
reposo en la posición u = 0 y se permite que caiga. Ignorando la fricción, determine
la velocidad angular v = du>dt de la barra AB como función de u.

Estrategia
El objetivo en este ejemplo —la determinación de una velocidad angular en función
C de la posición del sistema— incita al uso de un método energético. Primero se deben
identificar las fuerzas y pares que realizan trabajo sobre el sistema: si son conser-
vativos, se puede aplicar la conservación de la energía para determinar v como una
función de u. Si existen fuerzas no conservativas que efectúen trabajo sobre el sis-
tema, se puede explicar el principio del trabajo y la energía.

B Solución
u
Identificación de las fuerzas y los pares que realizan trabajo En la figura a
A se dibuja el diagrama de cuerpo libre del sistema. Las fuerzas y pares que trabajan
—los pesos de las barras y el collarín y el par ejercido por el resorte torsional— son
conservativos. Para determinar v en función de u, se puede usar la conservación de
la energía y las relaciones cinemáticas entre las velocidades angulares de las barras
y la velocidad del collarín.

Aplicación de la conservación de la energía El centro de masa de la barra BC

se denota con G y su velocidad angular con vBC (figura b). El momento de inercia
–1 2.
de cada barra respecto a su centro de masa es I = m l Como la barra AB gira
12
alrededor de un punto fijo A, se puede escribir su energía cinética como

Tbarra AB = 1 IAv2 = 1 C I + A 1 l B 2m D v2 = 1 ml 2v 2.
2 2 2 6

C N La energía cinética de la barra BC es

Tbarra BC = 1 mvG2 + 1 IvB2C = 1 mvG2 + 1 ml 2vB2C.
2 2 2 24

mCg La energía cinética del collarín C es

u Tcollarín = 1 mCvC2.
B 2
mg
Usando el nivel de referencia de la figura a, se obtienen las energías potenciales
de los pesos:

u Vbarra AB + Vbarra BC + Vcollarín = mg121 l cos u2 + mg123 l cos u2 + mcg12 l cos u2.
Ay

La energía potencial del resorte torsional está dada por la ecuación (19.17):

mg Nivel de Vresorte = 1 ku2.
ku Ax referencia 2

(a) Diagrama de cuerpo libre del sistema. Ahora se tienen todos los elementos para aplicar la conservación de la energía. Se
iguala la suma de las energías cinética y potencial en la posición u = 0 con la suma
de las energías cinética y potencial en un valor arbitrario de u:

T1 + V1 = T2 + V2:

0+ 2mgl + 2mCgl = 1 ml 2v 2 + 1 mvG2 + 1 ml 2vB2C + 1 mCvC2
6 2 24 2

+ 2mgl cos u + 2mCgl cos u + 1 ku2.
2

www.FreeLibros.orgPara determinar v a partir de esta ecuación, se debe expresar las velocidades vG, vC
y vBC en términos de v.

19.1 Trabajo y energía 427

Determinación de las relaciones cinemáticas Se puede determinar la velocidad vC
del punto B en términos de v y después expresar la velocidad del punto C en función
de la velocidad del punto B y de la velocidad angular vBC. C
vBC
La velocidad de B es
G
vB = vA + AB * rB>A u

i j k
=0+ 3 0 0 v3

- l sen u l cos u 0 B
v
= - lv cos u i - lv sen uj. y
u
La velocidad de C, expresada en términos de la velocidad de B, es
A
vCj = vB + BC * rC>B j k x
0 vBC 3 .
i l cos u (b) Velocidades angulares de las barras
= - lv cos u i - lv sen uj + 3 0 0 y velocidad del collarín.

l sen u

Igualando las componentes i y j se obtiene

vBC = -v, vC = -2lv sen u.

(El signo menos indica que las direcciones de las velocidades son opuestas a las
direcciones supuestas en la figura b). Ahora que se conoce la velocidad angular de la
barra BC en términos de v, se puede determinar la velocidad de su centro de masa en
términos de v, expresándola en función de vB:

vG = vB + BC * rG>B

i j k
-v 3
= - lv cos u i - lv sen uj + 3 0 0
0
1 l sen u 1 l cos u
2 2

= - 1 lv cos u i - 3 lv sen uj.
2 2

Sustituyendo estas expresiones para vBC, vC y vG en la ecuación de la conservación
de la energía y despejando v se obtiene

2gl1m + mC2 11 - cos u2 - 1 ku 2 1>2
+ 1m + 2
v = c 2 d .
1 ml 2mC2l 2 sen2 u
3

Razonamiento crítico
En este ejemplo puede aplicarse la segunda ley de Newton y la ecuación del movi-
miento angular para un cuerpo rígido en vez de la conservación de la energía.
¿Cómo se decide el método que debe usarse? Por lo general, los métodos energé-
ticos que se han descrito son útiles sólo cuando se puede determinar con facilidad
el trabajo realizado por las fuerzas y los pares que actúan sobre un sistema o sus
energías potenciales asociadas. Cuándo se da este caso a menudo es preferible usar
un método energético. Para aplicar la segunda ley de Newton y la ecuación del
movimiento angular a este ejemplo, sería necesario dibujar diagramas de cuerpo
libre individuales de las dos barras y el collarín C, con lo que se introducirían en
la formulación las fuerzas ejercidas sobre las barras y el collarín en los pasadores
que los conectan. En contraste, fue posible aplicar la conservación de la energía al

www.FreeLibros.orgsistema en su conjunto, lo que simplificó en gran medida la solución.

428 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos

Problemas

19.1 El momento de inercia del rotor de la centrifugadora médica 19.4 En un inicio, la estación espacial no está girando. Su sistema
mostrada es I = 0.2 kg-m2. El rotor parte desde el reposo y el motor de control por propulsión ejerce un par constante sobre ella hasta que
ejerce un par de torsión constante de 0.8 N-m sobre él. ha girado 90°, después ejerce un par constante de la misma magnitud
a) ¿Cuánto trabajo habrá realizado el motor sobre el rotor cuando en la dirección opuesta de manera que su velocidad angular dismi-
este último haya girado cuatro revoluciones? nuya a cero cuando la estación haya logrado un giro de 180°. La
b) ¿Cuál será la velocidad angular del rotor (en rpm) cuando éste maniobra requiere 6 horas. El momento de inercia de la estación
haya girado cuatro revoluciones? respecto al eje de rotación es I = 1.5 * 1010 kg-m2. ¿Cuánto trabajo
se realiza al efectuar esta maniobra? En otras palabras, ¿cuánta ener-
gía se gasta en la forma de combustible de control por propulsión?

Problema 19.1 Problema 19.4

19.2 La barra delgada de 4 lb que se muestra en la figura tiene una 19.5 El rotor del helicóptero mostrado parte desde el reposo.
longitud de 2 pies. Partió desde el reposo en una posición inicial Suponga que su motor ejerce un par constante de 1200 lb-pie
respecto al marco de referencia inercial. Cuando está en la posición sobre el rotor y la resistencia aerodinámica es insignificante. El
mostrada, la velocidad del extremo A es 2i + 6j (pies/s) y la barra momento de inercia del rotor es I = 400 slug-pie2.
tiene una velocidad angular de 12 rad/s en sentido contrario al de las a) Use el trabajo y la energía para determinar la magnitud de la
manecillas del reloj. ¿Cuánto trabajo se realizó sobre la barra mien- velocidad angular del rotor cuando ha girado 5 revoluciones.
tras ésta se movía desde su posición inicial hasta su posición actual? b) ¿Cuál es la potencia promedio transferida al rotor mientras éste
gira 5 revoluciones?
y
B 19.6 El rotor del helicóptero mostrado parte desde el reposo. El
momento ejercido sobre él (en N-m) está dado en función del
A 30Њ x ángulo que ha girado en radianes por M = 6500 - 20u. El momento
de inercia del rotor es I = 540 kg-m2. Determine la velocidad
Problema 19.2 angular del rotor (en rpm) cuando ha girado 10 revoluciones.

19.3 El disco de 20 kg mostrado está en reposo cuando se aplica
el par constante de 10 N-m en sentido contrario al de las maneci-
llas del reloj. Determine la velocidad angular del disco (en rpm)
cuando ha girado cuatro revoluciones a) aplicando la ecuación
del movimiento angular ©M = Ia y b) aplicando el principio del
trabajo y la energía.

10 N-m

0.25 m

www.FreeLibros.orgProblema19.3
Problemas 19.5/19.6

Problemas 429

19.7 Durante una actividad extravehicular, la velocidad angular 19.9 La barra de 20 lb mostrada se suelta desde el reposo en
de una astronauta es inicialmente igual a cero. Ella activa dos la posición horizontal 1 y cae a la posición 2. Además de la
fuerza ejercida sobre la barra por su peso, está sometida a un
impulsores de su unidad de maniobras, ejerciendo fuerzas iguales par M = 30 lb-pie en sentido contrario al de las manecillas del
y opuestas T = 2 N. El momento de inercia de la astronauta y su reloj. Determine la velocidad angular de la barra en la misma
equipo respecto al eje de rotación es de 45 kg-m2. Use el principio dirección en la posición 2.

del trabajo y la energía para determinar el ángulo que ha girado

cuando su velocidad angular llega a 15° por segundo.

T 4 pies y
1 x

M 40Њ A

1.0 m

T
M

2
Problema 19.9

19.10 El objeto mostrado consiste en una barra delgada de 8 lb
soldada a un disco circular. Cuando el objeto se suelta desde el
reposo en la posición 1, su velocidad angular en la posición 2 es
de 4.6 rad/s. ¿Cuál es el peso del disco?

Problema 19.7 19.11* El objeto mostrado consiste en una barra delgada de 8 lb
soldada a un disco circular de 12 lb. El objeto se suelta desde el
19.8 La barra delgada de 8 kg que se muestra en la figura se suelta reposo en la posición 1. Determine las componentes x e y de las
desde el reposo en la posición horizontal 1 y cae a la posición 2. fuerzas ejercidas sobre el objeto por el soporte de pasador cuando
a) ¿Cuánto trabajo es realizado por el peso de la barra cuando ésta se encuentra en la posición 2.
cae de la posición 1 a la posición 2?
b) ¿Cuánto trabajo es realizado por la fuerza ejercida sobre la barra y
por el soporte de pasador cuando la barra cae de la posición 1 a la
posición 2? 22 pulg
c) Use la conservación de la energía para determinar la velocidad
angular de la barra cuando está en la posición 2. 5 pulg

y 1 Ax
2m 45Њ

1x
A

2
Problemas 19.10/19.11

www.FreeLibros.orgProblema19.82