430 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.12 La masa de cada una de las cajas mostradas es de 4 kg. el principio del trabajo y la energía para determinar las velocidades
El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia es angulares de los engranes cuando el engrane A haya girado 100
de 0.032 kg-m2. Las superficies son lisas. Si el sistema se suelta revoluciones.
desde el reposo, ¿a qué velocidad se estarán moviendo las cajas
cuando la caja izquierda se haya movido 0.5 m a la derecha?
19.13 La masa de cada una de las cajas mostradas es de 4 kg. M
El radio de la polea es de 120 mm y su momento de inercia es 90 mm
de 0.032 kg-m2. El coeficiente de fricción cinética entre las cajas B
y las superficies es mk = 0.12. Si el sistema se suelta desde el
reposo, ¿a qué velocidad se estarán moviendo las cajas cuando A
60 mm
la caja izquierda se haya movido 0.5 m a la derecha?
Problema 19.15
30Њ 19.16 Los momentos de inercia de los engranes A y B son
IA = 0.02 kg-m2 e IB = 0.09 kg-m2. El engrane A está conectado a
Problemas 19.12/19.13 un resorte torsional con constante k = 12 N-m/rad. Si al engrane B
se le da una velocidad angular inicial de 10 rad/s en sentido
19.14 La barra de 4 kg que se muestra en la figura se suelta
desde el reposo en la posición horizontal 1 y cae a la posición 2. contrario al de las manecillas del reloj con el resorte torsional
La longitud sin estirar del resorte es de 0.4 m y la constante del
resorte es k = 20 N/m. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad sin estirar, ¿cuál es el ángulo máximo a través del cual gira el
angular de la barra cuando está en la posición 2?
engrane B en sentido contrario al de las manecillas del reloj?
0.6 m 1m 200 mm
B
A
1 A 140 mm
60Њ
2 Problema 19.16
Problema 19.14 19.17 Los momentos de inercia de las tres poleas mostradas,
19.15 Los momentos de inercia de dos engranes que pueden girar que pueden girar libremente sobre sus soportes de pasador, son
libremente sobre sus soportes de pasador son IA = 0.002 kg-m2 e IA = 0.002 kg-m2, IB = 0.036 kg-m2 e IC = 0.032 kg-m2. Las poleas
IB = 0.006 kg-m2. Los engranes están en reposo cuando se aplica están en reposo cuando se aplica un par constante M = 2 N-m a
un par constante M = 2 N-m al engrane B. Ignore la fricción y use
la polea A. ¿Cuál es la velocidad angular de la polea A cuando
ha girado 10 revoluciones?
100 mm 100 mm
M
A 200 mm
C
www.FreeLibros.org200mm B
Problema 19.17
Problemas 431
19.18 Modele el brazo ABC mostrado como un solo cuerpo ᭤ 19.20 La masa del disco cilíndrico homogéneo mostrado es
rígido. Su masa es de 300 kg y el momento de inercia respecto m = 5 kg y su radio es R = 0.2 m. El ángulo b = 15°. El disco está
a su centro de masa es I = 360 kg-m2. Partiendo desde el reposo con en reposo cuando se aplica sobre él un par constante M = 10 N-m
su centro de masa 2 m arriba del suelo (posición 1), los cilindros en el sentido de las manecillas del reloj. Si el disco rueda sin
hidráulicos empujan el brazo ABC hacia arriba. Cuando está deslizarse, ¿cuál es la velocidad del centro del disco cuando se
en la posición mostrada (posición 2), su velocidad angular es ha movido una distancia b = 0.4 m? (Vea el ejemplo activo 19.1).
de 1.4 rad/s en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
¿Cuánto trabajo realizan los cilindros hidráulicos sobre el brazo R
al moverlo de la posición 1 a la posición 2?
M
1.80 m C
1.40 m
0.30 m bb
B 0.80 m
Problema 19.20
A
19.21 La masa del carrete disco escalonado que se muestra
0.70 m en la figura es de 18 kg y su momento de inercia de masa es de
0.28 kg-m2. Si el carrete disco se libera desde el reposo, ¿cuál
2.25 m será su velocidad angular cuando el centro del carrete disco
haya caído 1 m?
Problema 19.18
᭤ 19.19 La masa del disco circular mostrado es de 5 kg y su 0.1
radio es R = 0.2 m. El disco está en reposo cuando se le aplica m
un par constante M = 10 N-m en el sentido de las manecillas del
reloj, con lo que el disco rueda hacia la derecha. Considere el 0.2
instante cuando el centro del disco se ha movido una distancia m
b = 0.4 m.
a) ¿Cuánto trabajo ha realizado el par M sobre el disco? Problema 19.21
b) ¿Cuánto trabajo ha realizado la fuerza de fricción ejercida por
la superficie sobre el disco? 19.22 El disco cilíndrico homogéneo de 100 kg que se muestra
c) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del centro del disco? en la figura está en reposo cuando se aplica la fuerza F = 500 N a
(Vea el ejemplo activo 19.1). una cuerda enrollada alrededor de él, ocasionando que el disco
ruede. Use el principio del trabajo y la energía para determinar la
b velocidad angular del disco cuando éste ha girado una revolución.
M
F
300 mm
Problema 19.19
Problema 19.22
www.FreeLibros.org
432 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.23 Al disco cilíndrico homogéneo de 1 slug que se muestra ᭤ 19.27 El momento de inercia total de las dos ruedas traseras y el
en la figura se le da una velocidad angular de 2 rad/s en el sentido eje trasero del automóvil mostrado es IR, y el momento de inercia
de las manecillas del reloj con el resorte sin estirar. La constante total de las dos ruedas frontales es IF. El radio de las llantas es R y la
del resorte es k = 3 lb/pie. Si el disco rueda, ¿cuánto se moverá su masa total del automóvil, incluyendo las llantas, es m. El automóvil
centro hacia la derecha? se mueve a velocidad v0 cuando el conductor aplica los frenos. Si
éstos ejercen un par de retardo constante M sobre cada rueda y las
k 1 pie
llantas no se deslizan, determine la velocidad del automóvil como
una función de la distancia s desde el punto en que los frenos fueron
aplicados. (Vea el ejemplo 19.2).
Problema 19.23 ᭤ 19.28 El momento de inercia total de las dos ruedas traseras
y el eje trasero del automóvil mostrado es de 0.24 kg-m2. El mo-
19.24 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. El momento mento de inercia total de las dos ruedas frontales es de 0.2 kg-m2.
de inercia de la polea es 0.03 slug-pie2. La superficie inclinada es
lisa. Determine la magnitud de la velocidad del peso de 10 lb cuando El radio de las llantas es de 0.3 m. La masa del automóvil, inclu-
éste ha caído 2 pies.
yendo las llantas, es de 1480 kg. El vehículo se mueve a 100 km/h.
19.25 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. El momento
de inercia de la polea es de 0.03 slug-pie2. El coeficiente de fricción Si los frenos del auto ejercen un par de retardo constante de
cinética entre el peso de 5 lb y la superficie inclinada es mk = 0.3.
Determine la magnitud de la velocidad del peso de 10 lb cuando 650 N-m sobre cada rueda y las llantas no se deslizan, ¿cuál es
éste ha caído 2 pies.
la distancia requerida para que el automóvil se detenga? (Vea el
ejemplo 19.2).
s
5 lb 6 pulg Problemas 19.27/19.28
20Њ
19.29 El radio de la polea es R = 100 mm y su momento de
inercia es I = 0.1 kg-m2. La masa m = 5 kg. La constante del
resorte es k = 135 N/m. El sistema se suelta desde el reposo con
el resorte sin estirar. Determine la velocidad a la que se estará
moviendo la masa cuando haya caído 0.5 m.
10 lb
R
Problemas 19.24/19.25
19.26 Cada una de las cuatro ruedas del carro mostrado pesa 3 lb, km
tiene un radio de 5 pulg y un momento de inercia I = 0.01 slug-pie2.
El carro (sin incluir sus ruedas) pesa 20 lb. El carro está en reposo
cuando se aplica la fuerza horizontal constante F = 10 lb. ¿A qué
velocidad se estará moviendo el carro cuando se haya desplazado
2 pies a la derecha?
F
Problema 19.29
www.FreeLibros.orgProblema19.26
Problemas 433
19.30 Las masas de la barra y el disco mostrados son de 14 kg y 19.34 La masa de la barra delgada de 2m de longitud mostrada es
9 kg respectivamente. El sistema se libera desde el reposo con la de 8 kg. Un resorte torsional ejerce un par ku en sentido contrario
barra horizontal. Determine la velocidad angular de la barra cuando al de las manecillas del reloj sobre la barra, donde k = 40 N-m/rad
esté vertical si la barra y el disco están soldados en A. y u está en radianes. La barra se suelta desde el reposo con u = 5°.
¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular de la barra cuando
19.31 Las masas de la barra y el disco mostrados son de 14 kg y u = 60°?
9 kg respectivamente. El sistema se libera desde el reposo con la
barra horizontal. Determine la velocidad angular de la barra cuando u
esté vertical si la barra y el disco están conectados mediante un
pasador liso en A.
k
A Problema 19.34
O 19.35 La masa del objeto suspendido A es de 8 kg. La masa de
la polea es de 5 kg y su momento de inercia es 0.036 kg-m2. Si se
1.2 m 0.3 m aplica la fuerza T = 70 N al sistema en reposo, ¿cuál es la magnitud
de la velocidad de A cuando se ha elevado 0.2 m?
Problemas 19.30/19.31
T
19.32 La caja de 45 kg es jalada hacia arriba por el malacate sobre
el plano inclinado. El coeficiente de fricción cinética entre la caja y
la superficie es mk = 0.4. El momento de inercia de masa del tambor
en que está enrollado el cable, es IA = 4 kg-m2. La caja parte desde el
reposo y el motor ejerce un par constante M = 50 N-m sobre el
tambor. Use el principio del trabajo y la energía para determinar
la magnitud de la velocidad de la caja cuando se ha desplazado 1 m.
0.15 m M 120 mm
A A
20Њ Problema 19.35
Problema 19.32 19.36 La masa de la polea izquierda es de 7 kg y su momento de
inercia es de 0.330 kg-m2. La masa de la polea derecha es de 3 kg
19.33 En la figura, cada una de las barras delgadas de 2 pies y su momento de inercia es de 0.054 kg-m2. Si el sistema parte
pesa 4 lb y la placa rectangular pesa 20 lb. Si el sistema se suelta desde el reposo, ¿cuál es la velocidad de la masa de 18 kg cuando
desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuál será la velocidad ha caído 0.1 m?
de la placa cuando las barras estén verticales?
0.2 m
B
0.3 m A
45Њ
18 kg
9 kg
Problema 19.36
www.FreeLibros.orgProblema19.33
434 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.37 La escalera de 18 kg mostrada se suelta desde el reposo 19.39 La masa de la barra mostrada es m = 4 kg y su longitud es
con u = 10°. La pared y el piso son lisos. Modelando la escalera l = 1.2 m. La constante del resorte es k = 180 N/m. Si la barra se
como una barra delgada, use la conservación de la energía para suelta desde el reposo en la posición u = 10°, ¿cuál es su velocidad
determinar su velocidad angular cuando u = 40°. angular cuando ha caído a u = 20°?
u k
4m ul
Problema 19.37 Problema 19.39
19.38 La barra delgada de 8 kg mostrada se suelta desde el ᭤ 19.40 La barra delgada de 4 kg que se muestra en la figura
reposo con u = 60°. La superficie horizontal es lisa. ¿Cuál es está articulada a un pistón de 2 kg en A y a un disco cilíndrico
la velocidad angular de la barra cuando u = 30°? homogéneo de 4 kg en B. Ignore la fuerza de fricción sobre el
pistón y suponga que el disco rueda. Si el sistema se suelta desde
el reposo con u = 60°, ¿cuál es la velocidad angular de la barra
cuando u = 0? (Vea el ejemplo 19.3).
2m A
u 1m
Problema 19.38
u
B 200 mm
Problema 19.40
www.FreeLibros.org
Problemas 435
19.41* El collarín de la manga P se desliza sobre la barra horizon- 19.44* La barra AB pesa 5 lb. Cada uno de los collarines de las
tal lisa. La masa de cada barra es de 4 kg y la masa del collarín de mangas A y B pesa 2 lb. El sistema se suelta desde el reposo en la
la manga P es de 2 kg. Si el sistema se suelta desde el reposo posición mostrada. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular
con u = 60°, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del collarín de de la barra cuando el collarín de la manga B se ha movido 3 pulg
la manga P cuando u = 40°? hacia la derecha?
Q
y
1.2 m 1.2 m
A
θ
O
9 pulg
P B
Problema 19.41
x
4 pulg 12 pulg
19.42* El sistema está en equilibrio en la posición mostrada. La Problema 19.44
masa de la barra delgada ABC es de 6 kg, la masa de la barra delgada
BD es de 3 kg y la masa del collarín deslizador en C es de 1 kg. 19.45* Cada una de las barras mostradas tiene una masa de 8 kg
La constante del resorte es k = 200 N/m. Si se aplica en A una fuerza y una longitud de 1 m. La constante del resorte es k = 100 N/m y
constante de 100 N hacia abajo, ¿cuál es la velocidad angular de la el resorte está sin estirar cuando u = 0. Si el sistema se suelta
barra ABC cuando ha girado 20° desde su posición inicial? desde el reposo con las barras en posición vertical, ¿cuál es la
magnitud de la velocidad angular de las barras cuando u = 30°?
A
1m
1m B
1m k
u
50Њ 50Њ k
DC
Problema 19.42
19.43* Las masas de las barras AB y BC mostradas son 5 kg y 3 kg u
respectivamente. Si el sistema se suelta desde el reposo en la posi-
ción mostrada, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras en
el instante anterior a que la articulación junta B toque el piso liso?
AB Problema 19.45
1m
C
2m 1m
www.FreeLibros.orgProblema19.43
436 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.46* El sistema mostrado parte desde el reposo con la manive- 19.47* En el problema 19.46, si el sistema parte desde el reposo
la AB en posición vertical. Un par constante M ejercido sobre la con la manivela AB en posición vertical y el par M = 40 N-m, ¿cuál
manivela ocasiona que ésta gire en el sentido de las manecillas del es la velocidad angular de AB en el sentido de las manecillas del
reloj, comprimiendo el gas en el cilindro. Sea s el desplazamiento reloj cuando la manivela ha girado 45° desde su posición inicial?
(en metros) del pistón hacia la derecha respecto a su posición inicial.
La fuerza neta hacia la izquierda ejercida sobre el pistón por la 50 mm B 125 mm
presión atmosférica y el gas en el cilindro es 350>11 - 10s2 N. El C
momento de inercia de la manivela respecto a A es de 0.0003 kg-m2. A
La masa de la biela BC es de 0.36 kg y su centro de masa está en su M
punto medio. El momento de inercia de la biela respecto su centro
de masa es de 0.0004 kg-m2. La masa del pistón es de 4.6 kg. Si la
velocidad angular de la manivela AB en el sentido de las manecillas
del reloj es de 200 rad/s cuando ésta ha girado 90° desde su posición
inicial, ¿qué valor tiene M? (Ignore el trabajo realizado por los pesos
de la manivela y la biela).
Problemas 19.46/19.47
19.2 Impulso y cantidad de movimiento
ANTECEDENTES
En esta sección se hace un repaso del principio del impulso y la cantidad de movi-
miento lineales del capítulo 16, y después se deduce el principio del impulso y la
cantidad de movimiento angulares para un cuerpo rígido. Estos principios relacio-
nan integrales, respecto al tiempo de las fuerzas y pares sobre un cuerpo rígido, con
los cambios en la velocidad de su centro de masa y su velocidad angular.
Cantidad de movimiento lineal
Al integrar la segunda ley de Newton respecto al tiempo se obtiene el principio del
impulso y la cantidad de movimiento lineales para un cuerpo rígido:
t2 (19.23)
Lt1 ©F dt = mv2 - mv1.
Aquí, v1 y v2 son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2 (figura
19.10). Si se conocen las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo rígido en
función del tiempo, con este principio puede obtenerse el cambio en la velocidad
del centro de masa durante un intervalo de tiempo. En términos del promedio de
la fuerza total desde t1 hasta t2,
1 t2
©Fprom = t2 - t1 Lt1 ©F dt,
se puede escribir la ecuación (19.23) como
1t2 - t12 ©Fprom = mv2 - mv1. (19.24)
www.FreeLibros.orgEsta forma del principio del impulso y la cantidad de movimiento lineales suele
ser útil cuando un objeto está sometido a fuerzas impulsivas. (Vea la sección 16.1).
19.2 Impulso y cantidad de movimiento 437
Tiempo t1 mv1
͚F Tiempo t2 Figura 19.10
mv2 Principio del impulso y la cantidad de
f t2 movimiento lineales.
t1 ͚F dt ϭ mv2 Ϫ mv1
Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos cuerpos rígidos A y B son las fuerzas
que éstos ejercen entre sí, o si otras fuerzas son insignificantes, la cantidad de movi-
miento lineal total de A y B se conserva:
mAvA + mBvB = constante. (19.25)
Cantidad de movimiento angular
Cuando se aplican los principios de las cantidades de movimiento a cuerpos rígi-
dos, a menudo es necesario determinar tanto las velocidades de sus centros de
masa como sus velocidades angulares. Para esta tarea no basta el principio del
impulso y la cantidad de movimiento lineal. En esta sección se deduce el principio
del impulso y la cantidad de movimiento angulares para un cuerpo rígido en movi-
miento plano.
Principios del impulso y la cantidad de movimiento angular El momen-
to total respecto al centro de masa de un cuerpo rígido en movimiento plano es igual
al producto del momento de inercia del cuerpo respecto a su centro de masa por la
aceleración angular:
©M = Ia.
Esta ecuación puede escribirse en la forma
©M = ddHt , (19.26)
donde
H = Iv (19.27)
es la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido respecto a su centro de masa.
Al integrar la ecuación (19.26) con respecto al tiempo, se obtiene una forma del prin-
cipio del impulso y la cantidad de movimiento lineales:
t2 (19.28) v
v
©M dt = H2 - H1.
Lt1
Aquí, H1 y H2 son los valores de la cantidad de movimiento angular en los tiempos t1 r
y t2. Esta ecuación dice que el impulso angular respecto al centro de masa del cuerpo
rígido durante el intervalo de tiempo entre t1 y t2 es igual al cambio en la cantidad de
movimiento angular del cuerpo rígido respecto a su centro de masa. Si se conoce el
momento total respecto al centro de masa como una función del tiempo, la ecuación
(19.28) puede usarse para determinar el cambio en la velocidad angular desde t1 O
hasta t2. Figura 19.11
Se puede deducir otra forma útil de este principio: sea r el vector de posición
www.FreeLibros.orgdel centro de masa del cuerpo rígido respecto a un punto fijo O (figura 19.11). En
Cuerpo rígido en movimiento plano con veloci-
dad v y velocidad angular v.
438 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
mv1
Iv1 Iv 2
mv2
͚MO r2
r1
Figura 19.12 O
El impulso respecto a O es igual al cambio
en la cantidad de movimiento angular f t2
respecto a O.
(r1 ϫ mv1) и k ϩ Iv1 ϩ t1 ͚MO dt ϭ (r2 ϫ mv2) и k ϩ Iv 2
el capítulo 18 se dedujo una relación entre el momento total respecto a O debido
a las fuerzas y pares externos y la razón de cambio de la cantidad de movimiento
angular del cuerpo rígido respecto a O:
©MO = dHO, (19.29)
dt (19.30)
v donde
r HO = 1r * mv2 ؒ k + Iv.
⌺MO
O Integrando la ecuación (19.29) con respecto al tiempo se obtiene una segunda forma
del principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares:
Figura 19.13
Dirección de k. t2 (19.31)
©MO dt = HO2 - HO1.
Lt1
El impulso angular respecto a un punto fijo O durante el intervalo de tiempo desde t1
hasta t2 es igual al cambio en la cantidad de movimiento angular del cuerpo rígido
respecto a O (figura 19.12).
El término 1r * mv2 ؒ k en la ecuación (19.30) es la cantidad de movimiento
angular del cuerpo rígido respecto a O debido a la velocidad de su centro de masa.
k Este término tiene la misma forma que el momento de una fuerza, pero con la can-
tidad de movimiento lineal mv en lugar de la fuerza. Si se definen ©MO y v como
positivas en el sentido contrario al de las manecillas del reloj, el vector unitario k
apunta hacia fuera de la página (figura 19.13) y 1r * mv2 ؒ k es el “momento” en
sentido contrario al de las manecillas del reloj de la cantidad de movimiento lineal.
La expresión vectorial puede usarse para calcular esta cantidad, pero a menudo es
más fácil usar el hecho de que su magnitud es el producto de la magnitud de la can-
tidad de movimiento lineal y la distancia perpendicular desde el punto O hasta la
línea de acción de la velocidad. El “momento” es positivo si es en sentido con-
trario al de las manecillas del reloj (figura 19.14a) y es negativo si tiene la misma
dirección que las manecillas del reloj (figura 19.14b).
v
v vv
D
Figura 19.14 OD O
Cantidad de movimiento Cantidad de movimiento
Determinación de la cantidad de movimiento
angular respecto a O calculando el “momento” de
www.FreeLibros.orgla cantidad de movimiento lineal.
angular HO ϭ D(m͉v͉) ϩ Iv angular HO ϭ ϪD(m͉v͉) ϩ Iv
(a) (b)
19.2 Impulso y cantidad de movimiento 439
Fuerzas y pares impulsivos El promedio del momento respecto al centro de
masa desde t1 hasta t2 es
1 t2
©Mprom = t2 - t1 Lt1 ©M dt.
Usando esta ecuación se puede escribir la ecuación (19.28) como
1t2 - t12©Mprom = H2 - H1. (19.32) A
R
De la misma manera se puede expresar la ecuación (19.31) en términos del B
momento promedio respecto al punto O:
rp
1t2 - t121©MO2prom = HO2 - HO1. (19.33)
O
Cuando se conocen el valor promedio del momento y su duración, es posible usar
la ecuación (19.32) o la (19.33) para determinar el cambio en la cantidad de movi-
miento angular. Con frecuencia, estas ecuaciones son útiles cuando un cuerpo rígi-
do está sometido a fuerzas y pares impulsivos.
Conservación de la cantidad de movimiento angular La ecuación (19.31) A
puede usarse para obtener una ecuación de conservación de la cantidad de movi- ؊R
miento angular total de dos cuerpos rígidos. Sean A y B cuerpos rígidos que se mue-
ven en dos dimensiones en el mismo plano y suponga que están sometidos sólo a B
las fuerzas y pares que se ejercen entre sí, o que las otras fuerzas y pares son insig-
nificantes. Considere que MOA es el momento respecto a un punto fijo O debido a rp
las fuerzas y pares que actúan sobre A, y sea MOB el momento respecto a O debido
a las fuerzas que actúan sobre B. Bajo el mismo supuesto que se hizo al deducir las O
ecuaciones de movimiento —las fuerzas entre cada par de partículas están dirigidas
a lo largo de la línea entre las partículas— el momento MOB = -MOA. Por ejemplo, Figura 19.15
en la figura 19.15, A y B ejercen fuerzas de contacto entre sí. Los momentos resul- Cuerpos rígidos A y B ejerciendo fuerzas entre
tantes respecto a O son MOA = 1rp * R2 ؒ k y MOB = [rp * 1-R2] ؒ k = -MOA. sí por contacto.
Se aplica la ecuación (19.31) a A y B para los tiempos arbitrarios t1 y t2, de
donde se obtiene
t2
Lt1 MOA dt = HOA2 - HOA1
y
t2
MOB dt = HOB2 - HOB1.
Lt1
Sumando estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y resulta
HOA1 + HOB1 = HOA2 + HOB2.
Se ve que la cantidad de movimiento angular total de A y B respecto a O se conserva:
HOA + HOB = constante. (19.34)
Observe que este resultado es válido aunque A y B estén sometidos a fuerzas y
pares externos si el momento total respecto a O debido a esas fuerzas y pares es
igual a cero. En ocasiones se puede escoger el punto O de manera que esta condi-
ción se satisfaga. El resultado también se aplica a un número arbitrario de cuerpos
rígidos: su cantidad de movimiento angular total respecto a O se conserva si el
www.FreeLibros.orgmomento total respecto a O debido a fuerzas y pares externos es igual a cero.
440 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
RESULTADOS
Cantidad de movimiento lineal
Tiempo t1 mv1
Tiempo t2
͚F
mv2
El principio del impulso y la cantidad de movi- t2 (19.23)
miento lineales establece que el impulso lineal
aplicado a un cuerpo rígido es igual al cambio Lt1 ⌺F dt ϭ mv2 Ϫ mv1.
en su cantidad de movimiento lineal.
Impulso
Introduciendo el promedio de la fuerza total con res- lineal
pecto al tiempo desde t1 hasta t2,
(t2 Ϫ t1)⌺Fprom ϭ mv2 Ϫ mv1. (19.24
1 t2
⌺Fprom ϭ t2 Ϫ t1 Lt1 ⌺F dt, mAvA ϩ mBvB ϭ constante. (19.25)
el principio del impulso y la cantidad de movimiento
puede expresarse en términos de la fuerza promedio.
Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos
cuerpos rígidos A y B son las fuerzas que ejercen
entre sí, o si las otras fuerzas son despreciables,
su cantidad de movimiento lineal se conserva.
Cantidad de movimiento angular de un cuerpo rígido en
movimiento plano
Cantidad de movimiento angular respecto al centro de masa. H ϭ Iv. (19.27)
Una forma del principio del impulso y la cantidad de t2 (19.28)
movimiento angulares establece que el impulso angu-
lar respecto al centro de masa durante un intervalo de Lt1 ⌺M dt ϭ H2 Ϫ H1.
tiempo desde t1 hasta t2 es igual al cambio en la canti-
dad de movimiento angular respecto al centro de masa. Impulso
angular
La ecuación (19.28) puede expresarse en términos
www.FreeLibros.orgdel momento promedio respecto al centro de masa.
(t2 Ϫ t1)⌺Mprom ϭ H2 Ϫ H1. (19.32)
19.2 Impulso y cantidad de movimiento 441
v HO ϭ (r ϫ mv) ؒ k ϩ Iv. (19.30)
v
y
r
x
O
Cantidad de movimiento angular respecto
a un punto fijo O.
El término (r ϫ mv) ؒ k puede evaluarse v
calculando el ìmomento ” de la cantidad de v vv
movimiento angular respecto a O.
D
OD
O
Cantidad de movimiento angular Cantidad de movimiento angular
HO ϭ D(m͉v͉) ϩ Iv
HO ϭ ϪD(m͉v͉) ϩ Iv
mv1 r2 Iv2
mv2
Iv1
͚MO
r1
O
Una segunda forma del principio del impulso t2 (19.31)
y la cantidad de movimiento angulares esta-
blece que el impulso angular respecto a un Lt1 ⌺MO dt ϭ HO2 Ϫ HO1.
punto fijo O durante un intervalo de tiempo
entre t1 hasta t2 es igual al cambio en la can- Impulso angular
tidad de movimiento angular respecto a O.
La ecuación (19.31) puede expresarse en térmi- (t2 Ϫ t1)(⌺MO)prom ϭ HO2 Ϫ HO1. (19.33)
nos del momento promedio respecto al punto O.
Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos
cuerpos rígidos A y B son las fuerzas que
ejercen entre sí, o si el momento debido a HOA ϩ HOB ϭ constante. (19.34)
otras fuerzas respecto a un punto fijo O es
despreciable, la cantidad de movimiento an-
www.FreeLibros.orggular total de A y B respecto a O se conserva.
442 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 19.4 Principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares
(᭤ Relacionado con el problema 19.55)
Antes del contacto, el disco A mostrado tiene una velocidad angular v0 en sentido
contrario al de las manecillas del reloj y el disco B está en reposo. En t = 0, el disco
A se pone en contacto con el disco B. Debido a la fricción, la velocidad angular de A
disminuye y la velocidad angular de B en el sentido de las manecillas del reloj aumenta
hasta que no hay deslizamiento entre los discos. ¿Cuáles son las velocidades angula-
res finales vA y vB? Los momentos de inercia de los discos son IA e IB.
ω0
AB
RA RB
Antes del contacto
ωA ωB
AB
Velocidades angulares finales
Estrategia
Los discos giran respecto a ejes fijos que pasan por sus centros de masa mientras
están en contacto, por lo que puede aplicarse el principio del impulso y la cantidad
de movimiento angulares en la forma dada por la ecuación (19.28) a cada disco.
Cuando ya no hay deslizamiento entre los discos, sus velocidades son iguales en su
punto de contacto. Con esta relación cinemática y las expresiones que se obtienen
con el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares, es posible de-
terminar las velocidades angulares finales.
Solución
Ay Ax N f By Bx Dibuje los diagramas de cuerpo
N mB g libre de los discos en contacto. N
y f son las fuerzas normal y de
mAg f fricción que ejercen entre sí.
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19.2 Impulso y cantidad de movimiento 443
Sea tf el tiempo al cual se acaba el deslizamiento. Aplique t2 (1)
el principio del impulso y la cantidad de movimiento an-
gulares al disco A desde t ϭ 0 hasta t ϭ tf, considerando Lt1 ⌺M dt ϭ H2 Ϫ H1:
a los momentos y las velocidades angulares con sentido
contrario al de las manecillas del reloj como positivos. tf
Aplique el principio del impuso y la cantidad de L0 ϪRA f dt ϭ IAvA Ϫ IAv0 .
movimiento angulares al disco B desde t ϭ 0
hasta t ϭ tf, considerando a los momentos y las t2 (2)
velocidades angulares con sentido contrario al de
las manecillas del reloj como positivos. Lt1 ⌺M dt ϭ H2 Ϫ H1:
Divida la ecuación (1) entre la ecuación (2). tf
Cuando el deslizamiento se acaba, las velocidades L0 ϪRB f dt ϭ ϪIB vB Ϫ 0.
de los discos son iguales en su punto de contacto.
RA ϭ IA v A Ϫ IAv0 . (3)
RB ϪIB v B
RAvA ϭ RBvB . (4)
vA ϭ 1 v0,
1ϩ RA2 IB
RB2 IA
Resuelva las ecuaciones (3) y (4) para vA y vB.
vB ϭ RA2/RB v0.
1ϩ RA2 IB
RB2 IA
Problema de práctica El disco A tiene una velocidad angular v0 en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. Antes de que el disco A entre en contacto con el disco B, suponga que usted
desea que el disco B tenga una velocidad angular inicial tal que, cuando se acabe el deslizamiento
entre los dos discos, su velocidad angular sea cero, ¿cuál es la velocidad angular inicial necesaria
del disco B?
Respuesta: RBIA v0 en sentido contrario al de las manecillas del reloj.
RAIB
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444 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.5 Fuerza impulsiva sobre un cuerpo rígido (᭤ Relacionado con el problema 19.56)
A fin de ayudar en la prevención de lesiones en pasajeros, ciertos ingenieros diseñan un
poste de alumbrado público de manera que falle al nivel del suelo al ser golpeado por
un vehículo. A partir de los videos de una prueba de impacto, los ingenieros estiman
que la velocidad angular del poste es v = 0.74 rad/s y que la velocidad horizontal de
su centro de masa es v = 6.8 m/s después del impacto, y calculan que la duración del
impacto es ¢t = 0.01 s. Si el poste se modela como una barra delgada de 70 kg con
longitud l = 6 m, el auto lo golpea a una altura h = 0.5 m sobre el suelo, y el par ejer-
cido sobre el poste por sus soportes se puede ignorar, ¿cuál es la fuerza promedio
requerida para cortar los pernos que soportan al poste?
Estrategia
Se determinará la fuerza promedio aplicando los principios del impulso y la cantidad
de movimiento lineales y angulares, expresados en términos de las fuerzas promedio
y los momentos promedios ejercidos sobre el poste. El principio del impulso y la
cantidad de movimiento angulares puede aplicarse usando la ecuación (19.32) o bien
la (19.33). Se empleará la ecuación (19.33) para demostrar su uso.
Solución
En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre del poste, donde F es la fuerza
promedio ejercida por el auto y S es la fuerza cortante media ejercida por los pernos
sobre el poste. Sea m la masa del poste y v y v la velocidad del centro de masa y su
velocidad angular al final del impacto (figura b). A partir de la ecuación (19.24), el
principio del impulso y la cantidad de movimiento lineal expresado en términos de
la fuerza horizontal promedio es
1t2 - t121©Fx2prom = 1mvx22 - 1mvx21: (1)
¢t1F - S2 = mv - 0.
Para aplicar el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares se usa
la ecuación (19.33), colocando el punto fijo O en el extremo inferior del poste
(figuras a y b). La cantidad de movimiento angular del poste respecto a O al final
del impacto es
HO2 = 31r * mv2 # k + Iv42 = C A 1 lj B * m1vi2 D # k + Iv
2
= - 1 lmv + Iv.
2
y
mg 1
2
F l
h x
SO
www.FreeLibros.org(a) Diagramadecuerpolibredelposte.
19.2 Impulso y cantidad de movimiento 445
y
v
v
r 1l
2
x
O
(b) Velocidad y velocidad angular al final del impacto.
También se puede obtener este resultado calculando el “momento” de la cantidad de
movimiento lineal respecto a O y sumando el término Iv. La magnitud del “momento”
es el producto de la magnitud de la cantidad de movimiento lineal 1mv2 por la distancia
perpendicular desde O hasta la línea de acción de la cantidad de movimiento lineal
A 1 l B, y es negativo porque el “momento” tiene el sentido de las manecillas del reloj.
2
(Vea la figura 19.14). A partir de la ecuación (19.33), se obtiene
1t2 - t121©MO2prom = HO2 - HO1:
¢t1 -hF2 = - 1 lmv + Iv - 0.
2
Resolviendo esta ecuación junto con la ecuación (1) para la fuerza cortante promedio
S, se obtiene
A 1 l - h B mv - Iv
2
S = h ¢t
C 2116 m2 - 0.5 m D 170 kg2 16.8 m/s2 - C 112170 kg2 16 m22 D 10.74 rad/s2
= 10.5 m2 10.01 s2
= 207,000 N.
Razonamiento crítico
Con este ejemplo se demuestran tanto el poder como las limitaciones de los métodos
de la cantidad de movimiento. Cuando el automóvil choca con el poste de alumbra-
do, la estructura del vehículo y el poste de luz se deforman y los pernos que sostienen
el poste fallan. La sucesión de eventos de la fuerza ejercida por el impacto sobre el
automóvil y el poste indican los detalles de este complicado fenómeno. Usando los
métodos de la cantidad de movimiento y la información acerca del movimiento del
poste después del impacto, fue posible estimar el valor promedio de la fuerza pero no
se pudo determinar su sucesión de eventos. Para hacer esto se requerirían experimen-
tos incluso mucho más elaborados o un análisis de la colisión en el que se modelan
las deformaciones del automóvil y el poste. Este tipo de circunstancias ocurre con
frecuencia en ingeniería. Por lo general es posible obtener información limitada
acerca de un fenómeno rápidamente, como se hizo en este ejemplo, pero podría
obtenerse información más exacta y completa invirtiendo el tiempo y los recursos
necesarios. La pregunta que debe responderse es si la inversión adicional es esencial
www.FreeLibros.orgpara alcanzar los objetivos requeridos en ingeniería.
446 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.6 Conservación de la cantidad de movimiento angular
r1 (᭤ Relacionado con el problema 19.58)
En una demostración famosa de la conservación de la cantidad de movimiento lineal,
una persona se para sobre una plataforma giratoria sosteniendo una masa m en cada
mano. El momento de inercia combinado de la persona y la plataforma respecto a
su eje de rotación es IP = 0.4 kg-m2 y cada masa m = 4 kg. Ignore los momentos de
inercia de las masas que sostiene la persona respecto a sus centros de masa; es decir,
r1 trátelas como partículas. Si la velocidad angular de la persona con los brazos extendi-
dos hasta r1 = 0.6 m es v1 = 1 revolución por segundo, ¿cuál es su velocidad angular
v2 cuando ella jala las masas hacia sí hasta r2 = 0.2 m? (Este fenómeno puede ob-
servarse en los patinadores sobre hielo quienes lo usan para controlar su velocidad
v1 angular en un giro al alterar las posiciones de sus brazos).
Estrategia
Si se ignora la fricción en la plataforma giratoria, la cantidad de movimiento angular
total de la persona, la plataforma y las masas respecto al eje de rotación se conserva.
Esta condición puede usarse para determinar v2.
r2 r2 Solución
v2 La cantidad de movimiento angular total es la suma de la cantidad de movimiento
angular de la persona y la plataforma y la cantidad de movimiento angular de las dos
masas. Cuando los brazos de la persona se extienden, la velocidad de cada masa m
es r1v1, por lo que el “momento” de la cantidad de movimiento angular de cada
masa respecto al eje de rotación es r11mr1v12. La cantidad de movimiento angular
total es
HO1 = IPv1 + 2r11mr1v12.
Cuando ella jala las masas hacia sí, la cantidad de movimiento angular total es
HO2 = IPv2 + 2r21mr2v22.
La cantidad de movimiento angular total se conserva.
HO1 = HO2:
1IP + 2mr 212v1 = 1IP + 2mr 222v2,
[0.4 kg-m2 + 214 kg210.6 m22]v1 = [0.4 kg-m2 + 214 kg210.2 m22]v2.
Lo anterior produce v2 = 4.56v1 = 4.56 revoluciones por segundo.
Razonamiento crítico
Calcule la energía cinética total de la plataforma, las masas y la persona, cuando sus
brazos están extendidos y cuando jala las masas hacia sí. Encontrará que la energía
cinética total es mayor en el segundo caso. Es evidente que la conservación de la
energía se viola. Sin embargo, la persona realiza trabajo sobre los pesos al jalarlos
www.FreeLibros.orghacia sí; su energía fisiológica proporciona la energía cinética adicional.
Problemas 447
Problemas
19.48 El momento de inercia del disco mostrado respecto a O 19.51 La masa combinada del astronauta mostrado y su equipo
es de 22 kg-m2. En t = 0, el disco en reposo se somete a un par es de 122 kg, y el momento de inercia de masa respecto al centro de
de torsión constante de 50 N-m. masa común es de 45 kg-m2. La unidad de maniobras ejerce una
a) Determine el impulso angular ejercido sobre el disco desde t = 0 fuerza impulsiva T de 0.2 s de duración, dando al astronauta
hasta t = 5 s. una velocidad angular de 1 rpm en sentido contrario al de las
b) ¿Cuál es la velocidad angular del disco en t = 5 s? manecillas del reloj.
50 N-m a) ¿Cuál es el valor promedio de la fuerza impulsiva?
b) ¿Cuál es la magnitud del cambio resultante en la velocidad del
centro de masa del astronauta?
O
Problema 19.48 T
300 mm
19.49 El momento de inercia del ensamble giratorio del motor
de propulsión mostrado es de 400 kg-m2. El ensamble parte desde
el reposo. En t = 0, la turbina del motor ejerce un par sobre él que
está dado como una función del tiempo por M = 6500 - 125t N-m.
a) ¿Cuál es la magnitud del impulso angular ejercido sobre el
ensamble desde t = 0 hasta t = 20 s?
b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad angular del ensamble
(en rpm) en t = 20 s?
Problemas 19.50/19.51
19.52 Un volante unido a un motor eléctrico está inicialmente en
reposo. En t = 0, el motor ejerce un par M = 200e-0.1t N-m sobre
el volante. El momento de inercia del volante es de 10 kg-m2.
a) ¿Cuál es la velocidad angular del volante en t = 10 s?
b) ¿Cuál es la velocidad angular máxima que alcanzará el volante?
Problema 19.49
19.50 Un astronauta dispara un impulsor de su unidad de manio-
bras ejerciendo una fuerza T = 211 + t2 N, donde t está en segundos.
La masa combinada del astronauta mostrado y su equipo es de
122 kg, y el momento de inercia de masa respecto al centro de masa
común es de 45 kg-m2. Modelando al astronauta y a su equipo como Problema 19.52
un cuerpo rígido, use el principio del impulso angular y la cantidad
de movimiento angular para determinar cuánto tarda su velocidad
www.FreeLibros.organgular en alcanzar el valor de 0.1 rad/s.
448 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.53 Una rueda del tren de aterrizaje principal de un Boeing 777 ᭤ 19.55 En un inicio, el disco A mostrado tiene una velocidad
tiene un radio de 0.62 m y su momento de inercia es de 24 kg-m2. angular v0 = 50 rad/s. Los discos B y C están inicialmente en
Después de que el avión aterriza a 75 m/s, se miden las marcas de reposo. En t = 0, el disco A se pone en contacto con el disco B.
deslizamiento que deja la llanta y se determina que tienen 18 m
de largo. Determine la fuerza de fricción promedio ejercida sobre Determine las velocidades angulares de los tres discos cuando han
la rueda por la pista. Suponga que la velocidad del avión es cons-
tante durante el tiempo que la llanta se desliza sobre la pista. dejado de deslizarse entre sí. Las masas de los discos son mA = 4 kg,
mB = 16 kg y mC = 9 kg. (Vea el ejemplo activo 19.4).
v0 0.4 m 0.3 m
0.2 m B C
A
Problema 19.55
Problema 19.53 ᭤ 19.56 En el ejemplo 19.5, suponga que en una segunda prueba
a una velocidad más alta, la velocidad angular del poste inmedia-
19.54 En la figura se muestra la fuerza que un bastón ejerce tamente después del impacto es de v = 0.81 rad/s, la velocidad
sobre una pelota de golf de 0.045 kg. La pelota tiene 42 mm de horizontal de su centro de masa es v = 7.3 m/s, y la duración
diámetro y se puede modelar como una esfera homogénea. El del impacto es ¢t = 0.009 s. Determine la magnitud de la fuerza
bastón está en contacto con la pelota durante 0.0006 s y la mag- promedio que ejerce el automóvil sobre el poste para cortar los
nitud de la velocidad del centro de masa de la pelota después pernos de soporte. Para hacer esto aplique el principio del impulso
del golpe es de 36 m/s. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad y la cantidad de movimiento angulares en la forma dada por la
angular de la pelota después de ser golpeada? ecuación (19.32).
19.57 En la figura, la fuerza ejercida sobre la bola blanca por
el taco es horizontal. Determine el valor de h para el cual la bola
rueda sin resbalar. (Suponga que la fuerza promedio de fricción
ejercida sobre la bola por la mesa es insignificante).
2.5 mm
F
R
h
Problema 19.54
Problema 19.57
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Problemas 449
᭤ 19.58 En el ejemplo 19.6, al calcular la cantidad de movi- 19.60 La barra de 2 kg mostrada gira en un plano horizontal
miento angular total de la persona, la plataforma y las masas, se respecto al pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre
ignoraron los momentos de inercia de las dos masas m respecto la barra lisa. Suponga que el momento de inercia del collarín A
a los ejes que pasan por sus centros de masa. Suponga que el respecto a su centro de masa es despreciable; es decir, trate al
momento de inercia de cada masa respecto el eje vertical que collarín como una partícula. En el instante mostrado, la velocidad
pasa por su centro de masa es IM = 0.001 kg-m2. Si la velocidad angular de la barra es v0 = 60 rpm y la distancia desde el centro
angular de la persona con los brazos extendidos hasta r1 = 0.6 m del collarín es r = 1.8 m. Determine la velocidad angular de la
es v1 = 1 revolución por segundo, ¿cuál es su velocidad angular barra cuando r = 2.4 m.
v2 cuando jala las masas hacia sí hasta r2 = 0.2 m? Compare su
resultado con la respuesta obtenida en el ejemplo 19.6. 19.61 La barra de 2 kg mostrada gira en un plano horizontal
respecto al pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre
19.59 Dos satélites de investigación de la gravedad 1mA = 250 kg, la barra lisa. El momento de inercia del collarín A respecto a su
IA = 350 kg-m2, mB = 50 kg, IB = 16 kg-m2) están unidos mediante centro de masa es de 0.2 kg-m2. En el instante mostrado, la ve-
un cable. Los satélites y el cable giran con velocidad angular locidad angular de la barra es v0 = 60 rpm y la distancia entre
v0 = 0.25 rpm. Los controladores en Tierra ordenan al satélite A el pasador y el collarín es r = 1.8 m. Determine la velocidad
desenrollar lentamente 6 m de cable adicional. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra cuando r = 2.4 m y compare su respuesta
angular después de esto? con la del problema 19.60.
v0 19.62* La barra de 2 kg mostrada gira en el plano horizontal
A respecto al pasador liso. El collarín A de 6 kg se desliza sobre la
B barra lisa. El momento de inercia del collarín A respecto a su
12 m centro de masa es de 0.2 kg-m2. El resorte está sin estirar cuando
Problema 19.59 r = 0, y la constante del resorte es k = 10 N/m. En el instante mos-
trado, la velocidad angular de la barra es v0 = 2 rad/s, la distancia
entre el pasador y el collarín es de r = 1.8 m y la velocidad radial
del collarín es cero. Determine la velocidad radial del collarín
cuando r = 2.4 m.
v0
k
A
r 3m
Problemas 19.60–19.62
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450 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.63 Una barra circular se suelda a las flechas verticales mos- A
tradas, que pueden girar libremente sobre cojinetes en A y B. Sea I
el momento de inercia de la barra circular y de las flechas respecto R
al eje vertical. La barra circular tiene una velocidad angular inicial
v0 y la masa m se suelta en la posición mostrada sin velocidad en b
relación con la barra. Determine la velocidad angular de la barra m
circular en función del ángulo b entre la vertical y la posición de
la masa. Ignore el momento de inercia de la masa respecto a su v0
centro de masa; es decir, trate a la masa como una partícula. B
Problema 19.63
19.3 Impactos
ANTECEDENTES
En el capítulo 16 se analizaron los impactos entre cuerpos para determinar las velo-
cidades de sus centros de masa después de la colisión. Ahora se analizará cómo
determinar las velocidades de los centros de masa y las velocidades angulares de
cuerpos rígidos después de que chocan.
Conservación de la cantidad de movimiento
Suponga que dos cuerpos rígidos A y B, que se mueven bidimensionalmente en el
mismo plano, chocan. ¿Qué dicen los principios de la cantidad de movimiento lineal
y angular sobre sus movimientos después de la colisión?
Cantidad de movimiento lineal Si otras fuerzas son insignificantes en com-
paración con las de impacto que A y B ejercen entre sí, su cantidad de movimiento
lineal total es la misma antes y después del impacto. Pero este resultado debe apli-
carse con cuidado. Por ejemplo, si uno de los cuerpos tiene un soporte de pasador
(figura 19.16), las reacciones que éste ejerce no se pueden ignorar y la cantidad de
movimiento no se conserva.
AB
O
www.FreeLibros.orgFigura19.16
Cuerpos rígidos A y B en colisión. Debido al soporte de pasador, su cantidad de movimiento
lineal total no se conserva, pero sí su momento angular total respecto a O.
A PB 19.3 Impactos 451
Figura 19.17
Cuerpos rígidos A y B que chocan en P.
Si sólo se ejercen fuerzas en P, se conservan
el momento angular de A respecto a P y el
momento angular de B respecto a P.
Cantidad de movimiento angular Si otras fuerzas y pares son insignifican-
tes en comparación con los de impacto que A y B ejercen entre sí, su cantidad de
movimiento tu (momento) angular total respecto a cualquier punto fijo O es el
mismo antes y después del impacto. [Vea la ecuación (19.34)]. Si además A y B
ejercen sólo fuerzas entre sí en su punto de impacto P y no ejercen ningún par entre
ellos, el momento angular respecto a P de cada cuerpo es el mismo antes y después
del impacto (figura 19.17). Este resultado se infiere del principio del impulso
angular y su momento angular, ecuación (19.31), porque las fuerzas de impacto
sobre A y B no ejercen momento respecto a P. Si uno de los cuerpos rígidos tiene
un soporte de pasador en un punto O, como en la figura 19.16, su momento angular
total respecto a O es el mismo antes y después del impacto.
Coeficiente de restitución
Si dos cuerpos rígidos se adhieren y se mueven como uno solo después de chocar,
sus velocidades y velocidades angulares se pueden determinar usando sólo la con-
servación de su momento angular y las relaciones cinemáticas. Estas relaciones no
bastan si los cuerpos no se adhieren, pero algunos impactos de este tipo se pueden
analizar con el concepto de coeficiente de restitución.
Sea P el punto de contacto de los cuerpos rígidos A y B durante un impacto
(figura 19.18). Considere que sus velocidades en P son vAP y vBP justo antes del
impacto y v¿AP y v¿BP justo después. El eje x es perpendicular a las superficies de
contacto en P. Si la fricción que resulta del impacto es insignificante, se puede
demostrar que las componentes de las velocidades normales a la superficie en P se
relacionan con el coeficiente de restitución e mediante
e = 1vBœ P2x - 1vAœ P2x. (19.35)
1vAP2x - 1vBP2x
Para deducir este resultado, es necesario considerar los efectos del impacto sobre los
cuerpos individuales. Sea t1 el tiempo en el que entran por primera vez en contacto.
Los objetos no son realmente rígidos, sino que se deformarán por la colisión. En un
tiempo tC ocurrirá la deformación máxima y los cuerpos entrarán en una fase de
“recuperación” en la que tienden a retomar sus formas originales. Sea t2 el tiempo en
que se separan.
A
y
P
xB Figura 19.18
Cuerpos rígidos A y B que chocan en P. El
www.FreeLibros.orgeje x es perpendicular a las superficies en
contacto.
452 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos Ry
P
A
y x
rP/B
rP/A
PR B
x
Figura 19.19
Fuerza normal R resultante del impacto.
El primer paso consiste en aplicar el principio del impulso y la cantidad de
movimiento lineales a A y B para los intervalos desde t1 hasta tC y desde tC hasta t2.
Sea R la magnitud de la fuerza normal ejercida durante el impacto (figura 19.19). Se
denota con vA, vAC y vA¿ la velocidad del centro de masa de A en los tiempos t1, tC y
t2 y con vB, vBC y vB¿ las velocidades correspondientes del centro de masa de B. Para
A se tiene
tC (19.36)
(19.37)
- R dt = mA1vAC2x - mA1vA2x,
Lt1
t2
LtC - R dt = mA1vAœ 2x - mA1vAC2x.
y para B,
tC (19.38)
(19.39)
Lt1 R dt = mB1vBC2x - mB1vB2x,
t2
LtC R dt = mB1vBœ 2x - mB1vBC2x.
El coeficiente de restitución es la relación entre el impulso lineal durante la fase de
recuperación y el impulso lineal durante la fase de deformación:
t2
LtC R dt
e= tC . (19.40)
Lt1 R dt
Si se divide la ecuación (19.37) entre la (19.36) y la ecuación (19.39) entre la (19.38),
las ecuaciones resultantes pueden escribirse como
1v¿A2x = -1vA2xe + 1vAC2x11 + e2,
(19.41)
www.FreeLibros.org1v¿B2x = -1vB2xe + 1vBC2x11 + e2.
19.3 Impactos 453
Ahora se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares
a A y B en los intervalos de tiempo desde t1 hasta tC y desde tC hasta t2. Se denota
con vA, vAC y v¿A la velocidad angular de A en sentido contrario al de las maneci-
llas del reloj en los tiempos t1, tC y t2 y con vB, vBC y v¿B las velocidades angulares
correspondientes de B. Se escriben los vectores de posición de P respecto a los cen-
tros de masa de A y B como (figura 19.19)
rP>A = xAi + yA j, (19.42)
rP>B = xBi + yB j.
El momento respecto al centro de masa de A de la fuerza ejercida sobre A por el
impacto es rP>A * 1- Ri2 = yARk. A partir de la ecuación (19.28), se obtienen las
ecuaciones
tC (19.43)
(19.44)
Lt1 yAR dt = IAvAC - IAvA,
t2
yAR dt = IAvAœ - IAvAC.
LtC
Las ecuaciones correspondientes para B son
tC (19.45)
(19.46)
- yBR dt = IB vBC - IB vB,
Lt1
t2
LtC - yBR dt = IB vBœ - IB vB C.
Dividiendo la ecuación (19.44) entre la (19.43) y la ecuación (19.46) entre la (19.45),
se pueden escribir las ecuaciones resultantes como
vAœ = - vAe + vAC11 + e2, (19.47)
vBœ = - vBe + vBC11 + e2.
Expresando la velocidad del punto de A en P en términos de la velocidad del
centro de masa de A y de la velocidad angular de A, y expresando la velocidad
del punto de B en P en términos de la velocidad del centro de masa de B y de la
velocidad angular de B, se obtiene
1vAP2x = 1vA2x - vAyA,
1vAœ P2x = 1vAœ 2x - vAœ yA,
(19.48)
1vBP2x = 1vB2x - vByB,
www.FreeLibros.org1vBœP2x = 1vBœ2x - vBœyB.
454 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
En el tiempo tC, las componentes x de las velocidades de los dos objetos son iguales
en P, de donde se obtiene la relación
1vAC2x - vACyA = 1vBC2x - vBCyB. (19.49)
A partir de las ecuaciones (19.48),
1vBœ P2x - 1vAœ P2x = 1vBœ 2x - vBœ yB - 1vAœ 2x + vAœ yA.
1vAP2x - 1vBP2x 1vA2x - vAyA - 1vB2x + vByB
Sustituyendo las ecuaciones (19.41) y (19.47) en esta ecuación y agrupando términos,
resulta
1vBœ P2x - 1vAœ P2x = e - c 1vAC2x - vACyA - 1vBC2x + vBCyB d 1e + 12.
1vAP2x - 1vBP2x 1vA2x - vAyA - 1vB2x + vByB
Por la ecuación (19.49), el término entre corchetes desaparece y se obtiene la ecua-
ción que relaciona las componentes normales de las velocidades en el punto de con-
tacto con el coeficiente de restitución:
e = 1vBœ P2x - 1vAœ P2x. (19.50)
1vAP2x - 1vBP2x
Para obtener esta ecuación, se supuso que las superficies de contacto son lisas, por lo
que la colisión no ejerce fuerza sobre A o B en la dirección tangente a sus superficies
de contacto.
Aunque se dedujo la ecuación (19.50) con la hipótesis de que los movimientos
de A y B no están restringidos, también es válida si lo están; por ejemplo, si uno de
ellos está conectado a un soporte de pasador.
RESULTADOS
Suponga que dos cuerpos rígidos A y B en movimiento plano, chocan.
Cantidad de movimiento lineal
Si otras fuerzas son despreciables en comparación
con las fuerzas de impacto que A y B ejercen entre
sí, su cantidad de movimiento lineal total es la
www.FreeLibros.orgmisma antes y después del impacto.
Cantidad de movimiento angular 19.3 Impactos 455
Si otras fuerzas son despreciables en compara- A PB
ción con las fuerzas de impacto que A y B ejer-
cen entre sí, su cantidad de movimiento angular A B
total respecto a cualquier punto fijo O es la O
misma antes y después del impacto. Si, además,
A y B ejercen fuerzas entre sí únicamente en su
punto de impacto P, la cantidad de movimiento
angular respecto a P de cada uno de los cuerpos
rígidos es la misma antes y después del impacto.
Si uno de los dos cuerpos rígidos tiene un sopor-
te de pasador en el punto O, su cantidad de mo-
vimiento angular total respecto a O es la misma
antes y después del impacto.
Coeficiente de restitución
A B
y
P
x
Sea P el punto de impacto de los cuerpos rígi- e ϭ (v¿BP)x Ϫ (v¿AP)x . (19.35)
(vAP)x Ϫ (vBP)x
dos A y B, y sean vAP y vBP sus velocidades en
P justo antes del impacto y v¿AP y v¿BP sus velo-
cidades en P justo después del impacto. Las
componentes de las velocidades perpendicula-
res al plano del impacto están relacionadas por
el coeficiente de restitución.
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456 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo activo 19.7 Impacto de una esfera y una barra suspendida
(᭤ Relacionado con el problema 19.70)
C La bola de masa mA que se muestra en la figura se está moviendo con velocidad
horizontal vA cuando golpea la barra delgada en reposo de masa mB y longitud l. El
coeficiente de restitución del impacto es e.
a) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto?
b) Si la duración del impacto es ¢t, ¿qué fuerza horizontal promedio ejerce el soporte
h de pasador C sobre la barra como resultado del impacto?
Estrategia
a) La cantidad de movimiento angular total respecto a C de la bola y la barra es la
misma antes y después del impacto. El coeficiente de restitución relaciona las ve-
vA locidades de la bola y la barra en el punto de impacto antes y después del impacto.
Con estas dos ecuaciones y las relaciones cinemáticas es posible determinar la ve-
locidad de la bola y la velocidad angular de la barra después del impacto.
b) Se puede determinar la fuerza promedio que ejerce el soporte en C sobre la barra
aplicando a ésta el principio del impulso y la cantidad de movimiento angulares.
Solución HCA ϩ HCB ϭ H¿CA ϩ H¿CB :
(a)
h(mAvA) ϩ 0 ϭ h(mAv¿A) ϩ 1 l(mBv¿B) ϩ IB v¿B. (1)
Aplique la conservación de la cantidad de 2
movimiento angular respecto a C. Después
del impacto, v¿A es la velocidad de la bola,
v¿B es la velocidad del centro de masa de la
barra, y v¿B es la velocidad angular de la
barra. IB es el momento de inercia de la
barra respecto a su centro de masa.
yy
xC x
vЈB
1
2l
h
vЈB
vЈA vЈBP
Aplique el coeficiente de restitución. e ϭ v¿BP Ϫ v¿A. (2)
vA Ϫ 0
Después del impacto, v¿BP es la velocidad
www.FreeLibros.orgde la barra en el punto del impacto.
Determine las relaciones cinemáticas. Como v¿B ϭ 1 lv¿B, 19.3 Impactos 457
la barra gira respecto al punto fijo C, sus 2
velocidades en el centro de masa y en el (3)
punto de impacto pueden expresarse en tér- v¿BP ϭ hv¿B, (4)
minos de la velocidad angular de la barra.
Resuelva las ecuaciones (1) a (4) para v¿A, v¿B,
v¿BP y v¿B, y use la relación IB ϭ 1 mBl2 para v¿B ϭ (1ϩe)hmAvA . (5)
12
h2mA ϩ 1 mBl2
obtener la velocidad angular de la barra. 3
(b) Diagrama de cuerpo libre de la barra que muestra
las fuerzas promedio ejercidas durante el impacto.
y
Cy
Cx
h
FP x
Aplique el principio del impulso y la cantidad (t2 Ϫ t1)(⌺MP)prom ϭ H¿B Ϫ HB:
de movimiento angulares en la forma dada
por la ecuación (19.33) respecto al punto P ⌬t(ϪhCx) ϭ Ϫ 1 mBv¿B ϩ IBv¿B Ϫ 0.
donde ocurre el impacto. hϪ 2 l (6)
Resuelva la ecuación (6) para Cx y use las (1 ϩ e) 1 h Ϫ 1 l lmAmBvA
2 3
ϭ 1 mBl2. Cx ϭ .
12
ecuaciones (3) y (5) y la relación IB h2mA ϩ 1
3 mBl2 ⌬t
Problema de práctica Suponga que se retira el soporte de pasador en C, y que la bola
golpea la barra vertical en reposo con velocidad horizontal vA. Suponga que mA = mB
3
y h = 4 l . ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto?
1121(1 + e)vA
l .
www.FreeLibros.orgRespuesta:v¿B=
458 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.8 Impacto con un obstáculo fijo (᭤ Relacionado con los problemas 19.89, 19.90)
La masa combinada de la motocicleta y el conductor de la figura es m = 170 kg y
su momento de inercia combinado respecto a su centro de masa es de 22 kg-m2.
Después de un salto, la motocicleta y el conductor están en la posición mostrada justo
antes de que la rueda trasera toque el suelo. La velocidad de su centro de masa tiene
magnitud ƒ vG ƒ = 8.8 m/s y velocidad angular v = 0.2 rad/s. Si la motocicleta y el con-
ductor se modelan como un solo cuerpo rígido y el coeficiente de restitución del
impacto es e = 0.8, ¿cuáles son la velocidad angular v¿ y la velocidad vG¿ después
del impacto? Ignore la componente tangencial de la fuerza ejercida sobre la rueda
de la motocicleta durante el impacto.
yv
G 780 mm
30Њ x
vG 20Њ
650 mm
Estrategia
Como se decide despreciar la componente tangencial de la fuerza sobre la rueda de
la motocicleta durante el impacto, la componente de la velocidad del centro de masa
paralela al suelo no cambia con el impacto. El coeficiente de restitución relaciona
la velocidad de la motocicleta normal al suelo en el punto de impacto antes de éste
con su valor después del impacto. Además, la fuerza del impacto no ejerce mo-
mento respecto al punto de impacto, por lo que el momento angular de la motoci-
cleta respecto a ese punto se conserva (se supone que el impacto es tan breve que el
impulso angular debido al peso es despreciable). Con esas tres relaciones es posible
determinar las dos componentes de la velocidad del centro de masa y la velocidad
angular después del impacto.
Solución
En la figura a se alinea un sistema coordenado paralelo y perpendicular al suelo
en el punto P, donde ocurre el impacto. Sean vG = vx i + vy j y vG¿ = vx¿ i + vy¿ j, las
y componentes de la velocidad del centro de masa antes y después del impacto,
respectivamente. Las componentes x e y son
0.65 m G 5500ЊЊ 0.78 m vx = 8.8 cos 50° = 5.66 m/s
vG x y
rP/G vy = - 8.8 sen 50° = - 6.74 m/s.
20Њ
Como la componente de la fuerza del impacto tangencial al terreno es insignificante,
P
la componente x de la velocidad del centro de masa no cambia:
(a) Eje x del sistema coordenado, alineado
www.FreeLibros.orgconlatangentealsueloenP.
vx¿ = vx = 5.66 m/s.
19.3 Impactos 459
Se puede expresar la componente y de la velocidad de la rueda en P antes del
impacto en función de la velocidad del centro de masa y la velocidad angular (figura
a) como: # #j vP = j 1vG + * rP>G2
i j k
0 v3 s
#= j c vxi + vy j + 3 0 - 0.78
0
- 0.65
= vy - 0.65v.
(Observe que esta expresión proporciona la componente y de la velocidad en P aun
cuando la rueda se está deslizando). La componente y de la velocidad de la rueda
en P después del impacto es
# #j vPœ = j 1vGœ + ¿ * rP>G2
= vyœ - 0.65v¿.
El coeficiente de restitución relaciona las componentes y de la velocidad de la rueda
en P antes y después del impacto:
#- 1j vPœ 2 = - 1vyœ - 0.65v¿2
.
e=
#j vP vy - 0.65v (1)
La fuerza del impacto no ejerce momento respecto a P, por lo que el momento
angular respecto a P se conserva:
HP = HP¿ :
[1rG>P * mvG2 ؒ k + Iv] = [1rG>P * mvG¿ 2 ؒ k + Iv¿],
i jk i jk
3 0.65 0.78 0 3 # k + Iv = 3 0.65 0.78 0 3 # k + Iv¿.
mvx mvy 0 mvxœ mvyœ 0
Desarrollando los determinantes y evaluando los productos punto se obtiene
0.65mvy - 0.78mvx + Iv = 0.65mvy¿ - 0.78mvx¿ + Iv¿. (2)
Como ya se determinó vx¿, se pueden resolver las ecuaciones (1) y (2) para vy¿ y v¿.
Los resultados son
vy¿ = - 3.84 m/s
y
v¿ = - 14.4 rad/s.
La velocidad del centro de masa después del impacto es vG¿ = 5.66i - 3.84j m/s, y la
velocidad angular es 14.4 rad/s en el sentido de las manecillas del reloj.
Razonamiento crítico
Aunque con frecuencia las fuerzas resultantes de un impacto son tan grandes que
los efectos de otras fuerzas se pueden ignorar, no siempre se da este caso. En este
ejemplo se despreció el peso de la motocicleta y el conductor al determinar su
velocidad y su velocidad angular después del impacto de la rueda trasera con el
suelo. Siempre que existe una duda en las aplicaciones a la ingeniería de los méto-
dos de la cantidad de movimiento, estos efectos deben incluirse en el análisis. Para
hacer esto, es necesario conocer o estimar la duración del impacto de manera que
www.FreeLibros.orgse puedan evaluar los impulsos lineal y angular debidos a otras fuerzas.
460 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Ejemplo 19.9 Automóviles en colisión (᭤ Relacionado con los problemas 19.91, 19.92)
Un ingeniero simula una colisión entre dos autos de 1600 kg modelándolos como
cuerpos rígidos. El momento de inercia de masa de cada uno respecto a su centro
de masa es de 960 kg-m2. El ingeniero supone que las superficies de contacto en
P son lisas y paralelas al eje x y que el coeficiente de restitución e = 0.2. ¿Cuáles
son las velocidades angulares de los autos y las velocidades de sus centros de masa
después de la colisión?
Archivo Edición Orden Mostrar ecuaciones
A 20Њ y
1 m 30 m/s A
1.8 m
1.8 m Px
1m B
B 20 m/s
Estrategia
Como las superficies de contacto son lisas, las componentes x de las velocidades de
los centros de masa no cambian con el impacto. Las componentes y de las velocida-
des deben satisfacer la conservación de la cantidad de movimiento lineal, y las
componentes y de las velocidades en el punto del impacto antes y después de éste
se relacionan mediante el coeficiente de restitución. La fuerza del impacto no ejer-
ce momento respecto a P sobre ninguno de los autos, por lo que el momento angular
de cada uno respecto a P se conserva. A partir de estas condiciones y de las relacio-
nes cinemáticas entre las velocidades de los centros de masa y las velocidades en P, se
pueden determinar las velocidades angulares y las velocidades de los centros de masa
después del impacto.
Solución
Las componentes de las velocidades de los centros de masa antes del impacto son
vA = 30 cos 20°i - 30 sen 20°j
= 28.2i - 10.3j (m/s)
y
www.FreeLibros.orgvB=20i(m/s).
19.3 Impactos 461
Las componentes x de las velocidades no cambian con el impacto:
vA¿ x = vAx = 28.2 m/s, vB¿ x = vBx = 20 m/s.
Las componentes y de las velocidades deben satisfacer la conservación de la cantidad
de movimiento lineal:
mAvAy + mBvBy = mAvA¿ y + mBvB¿ y. (1)
Sean vAP y vBP las velocidades de los dos autos en P antes de la colisión. El
coeficiente de restitución e = 0.2 relaciona sus componentes y en P:
vBœ Py - vAœ Py (2)
0.2 = vAPy - vBPy.
Se pueden expresar las velocidades en P después del impacto en función de las y
velocidades de los centros de masa y las velocidades angulares después del impacto
(figura a). La posición de P respecto al centro de masa del auto A es
1.8 m
rP>A = [11.82 cos 20° - 112 sen 20°]i - [11.82 sen 20° + 112 cos 20°] j 1m A
= 1.35i - 1.56j 1m2.
rP/A
Por lo tanto, la velocidad del punto P del auto A después del impacto es 20Њ P x
rP/B 1m
vAœ P = vAœ + Aœ * rP>A: B
i j k 1.8 m
vAœ Pxi + vAœ Py j = vAœ xi + vAœ y j + 3 0 0 vAœ 3 .
- 1.56 0 (a) Vectores de posición de P respecto a
1.35 los centros de masas.
Igualando las componentes i y j en esta ecuación se obtiene
vA¿ Px = vA¿ x + 1.56v¿A, (3)
vA¿ Py = vA¿ y + 1.35v¿A.
La posición de P respecto al centro de masa del auto B es
rP>B = 1.8i + j 1m2.
La velocidad del punto P del auto B después del impacto se puede expresar como
vBœ P = vBœ + Bœ * rP>B:
i jk
vBœ Px i + vBœ Py j = vBœ x i + vBœ y j + 3 0 0 vBœ 3 .
www.Fre1e.8 1 L0 ibros.org
462 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Igualando las componentes i y j se obtiene
vB¿ Px = vB¿ x - v¿B, (4)
vB¿ Py = vB¿ y + 1.8v¿B.
El momento angular del auto A respecto a P se conserva:
HPA = HPœ A:
# #31rA>P * mAvA2 k + IAvA4 = 31rA>P * mAvAœ 2 k + IAvAœ 4,
i j ki j k
3 -1.35 1.56
mAvAy 0 3 # k + 0 = 3 -1.35 1.56 #0 3 k + IAvAœ .
mAvAx mAvAœ y
0 mAvAœ x 0
Desarrollando los determinantes y evaluando los productos escalares se obtiene
- 1.35mAvAy - 1.56mAvAx (5)
= - 1.35mAvAœ y - 1.56mAvAœ x + IAvAœ .
La cantidad de movimiento angular del auto B respecto a P también se conserva,
HPB = HPœ B:
# #31rB>P * mBvB2 k + IB vB4 = 31rB>P * mBvBœ 2 k + IB vBœ 4,
i jk i jk
3 - 1.8 -1 0 3 # k + 0 = 3 -1.8
#- 1 0 3 k + IBvBœ .
mBvBx
00 mBvBœ x mBvBœ y 0
A partir de esta ecuación, se deduce que
mBvBx = - 1.8mBvBœ y + mBvBœ x + IB vBœ . (6)
Se pueden resolver las ecuaciones (1) a (6) para vA¿ , vA¿ P, vA¿ , vB¿ , vB¿ P y vB¿ . Los
resultados para las velocidades de los centros de masa de los autos y sus velocidades
angulares son
vAœ = 28.2i - 9.08j 1m/s2, vAœ = 2.65 rad/s,
vBœ = 20.0 i - 1.18j 1m/s2, vBœ = - 3.54 rad/s.
Razonamiento crítico
El momento angular total de los dos automóviles respecto a cualquier punto es el
mismo antes y después de su colisión, porque se despreciaron los efectos de las
fuerzas horizontales distintas a la fuerza debida al choque. Pero para determinar
sus movimientos después de la colisión, se debió usar el hecho de que la cantidad
de movimiento angular de cada auto respecto a P es la misma antes y después del
impacto. Esto es cierto porque el momento respecto a P ejercido sobre cada auto-
móvil por la fuerza de la colisión es igual a cero. Observe que se pudo haber evi-
tado el supuesto de que la cantidad de movimiento angular de cada auto respecto
www.FreeLibros.orga cualquier punto es la misma antes y después del impacto.
Problemas 463
Problemas
19.64 Una barra de 10 lb se suelta desde el reposo en la posición a 19.68 La masa del barco mostrado es de 544,000 kg y el mo-
45° que se muestra en la figura. La barra cae y su extremo golpea la mento de inercia del navío con respecto a su centro de masa es
superficie horizontal en P. El coeficiente de restitución del impacto de 4 * 108 kg-m2. El viento ocasiona que el barco se mueva
es e = 0.6. Cuando la barra rebota, ¿cuál es el ángulo relativo a la lateralmente a 0.1 m/s y golpee el muelle fijo en P. El coeficiente
horizontal que gira? de restitución del impacto es e = 0.2. ¿Cuál es la velocidad angular
del barco después del impacto?
19.65 Una barra de 10 lb se suelta desde el reposo en la posición
a 45° que se muestra en la figura. La barra cae y su extremo golpea 19.69 En el problema 19.68, si la duración del impacto del barco
la superficie horizontal en P. La barra rebota hasta una posición a con el muelle es de 10 s, ¿cuál es la magnitud de la fuerza promedio
10° respecto a la horizontal. Si la duración del impacto es de 0.01 s, ejercida por el impacto sobre el barco?
¿cuál es la magnitud de la fuerza vertical promedio que ejerció la
superficie horizontal sobre la barra en P?
16 m
45 m
3 pies P
45Њ Problemas 19.68/19.69
P ᭤ 19.70 En el ejemplo activo 19.7, suponga que la bola A pesa
2 lb, la barra B pesa 6 lb y la longitud de la barra es de 3 pies.
Problemas 19.64/19.65 La bola se mueve a vA = 10 pies/s antes del impacto y golpea a la
barra en h = 2 pies. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra
19.66 La barra de 4 kg mostrada se suelta desde el reposo en después del impacto si la bola se adhiere a la barra?
la posición horizontal sobre el obstáculo fija en A. La distancia
b = 0.35 m. Si se sabe que el impacto de la barra con el obstácu- 19.71 La esfera A de 2 kg mostrada se mueve hacia la derecha a
lo es plástico, es decir, el coeficiente de restitución del impacto es 4 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 5 kg. In-
e = 0, ¿cuál es la velocidad angular de la barra inmediatamente mediatamente después del impacto, la esfera A se mueve hacia la
después del impacto? derecha a 1 m/s. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra después
del impacto?
19.67 La barra de 4 kg mostrada se suelta desde el reposo en la
posición horizontal sobre el obstáculo fija en A. El coeficiente 19.72 La esfera A de 2 kg mostrada se mueve hacia la derecha a
de restitución del impacto es e = 0.6. ¿Qué valor de la distancia b 4 m/s cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 5 kg. El
causaría que la velocidad del centro de masa fuera cero inmediata- coeficiente de restitución es e = 0.4. La duración del impacto es
mente después del impacto? ¿Cuál es la velocidad angular de la de 0.002 segundos. Determine la magnitud de la fuerza horizontal
barra inmediatamente después del impacto? promedio ejercida sobre la barra por el soporte de pasador como
resultado del impacto.
O
1m
0.2 m B
A 1m
b
A
4 m/s
Problemas 19.71/19.72
www.FreeLibros.orgProblemas 19.66/19.67
464 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.73 La esfera A de 2 kg se mueve hacia la derecha a 10 m/s 19.75 La pelota de 5 onzas mostrada se desplaza con veloci-
cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 4 kg cuyo dad vA = 80 pies/s perpendicular al bate justo antes del impacto.
movimiento no está restringido. Si la esfera se adhiere a la barra, El jugador abanica el bate de 31 onzas con velocidad angular
¿cuál es la velocidad angular de la barra después del impacto? v = 6p rad/s. El punto C es el centro instantáneo del bate antes
y después del impacto. Las distancias b = 14 pulg y –y = 26 pulg.
19.74 La esfera A de 2 kg se mueve hacia la derecha a 10 m/s
cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 4 kg cuyo El momento de inercia de masa del bate respecto a su centro
movimiento no está restringido. El coeficiente de restitución del de masa es IB = 0.033 slug-pie2. El coeficiente de restitución es
impacto es e = 0.6. ¿Cuáles son los valores de la velocidad de la e = 0.6 y la duración del impacto es de 0.008 s. Determine la
esfera y de la velocidad angular de la barra después del impacto?
magnitud de la velocidad de la pelota después del impacto y
la fuerza media Ax que ejerce el jugador sobre el bate durante
el impacto si (a) d = 0, (b) d = 3 pulg, y (c) d = 8 pulg.
19.76 En el problema 19.75 demuestre que la fuerza Ax es cero
si d = IB>1mB–y2, donde mB es la masa del bate.
B vA
1m
v
d
10 m/s Ay
A Ax
0.25 m y
Problemas 19.73/19.74 b
C
Problemas 19.75/19.76
www.FreeLibros.org
Problemas 465
19.77 Una barra delgada de 10 lb con longitud l = 2 pies se libera 19.81 La longitud de la barra mostrada es de 1 m, y su masa es de
desde el reposo en la posición horizontal a una altura h = 2 pies 2 kg. Justo antes de que la barra golpee el piso, su velocidad angular
sobre una clavija (figura a). Un pequeño gancho en el extremo de es v = 0 y su centro de masa se mueve hacia abajo a 4 m/s. Si el
la barra se engarza a la clavija, y la barra oscila desde la clavija extremo de la barra se adhiere al piso, ¿cuál es la velocidad angular
(figura b). ¿Cuál es la velocidad angular de la barra inmediatamente de la barra después del impacto?
después de engarzarse en la clavija?
19.82 La longitud de la barra mostrada es de 1 m, y su masa es de
19.78 Una barra delgada de 10 lb con longitud l = 2 pies se libera 2 kg. Justo antes de que la barra golpee el piso liso, su velocidad
desde el reposo en la posición horizontal a una altura h = 1 pie sobre angular es v = 0 y su centro de masa se mueve hacia abajo a 4 m/s.
una clavija (figura a). Un pequeño gancho en el extremo de la barra Si el coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4, ¿cuál es la
se engarza a la clavija, y la barra oscila desde la clavija (figura b). velocidad angular de la barra después del impacto?
a) ¿Cuál es el máximo ángulo que gira la barra respecto a su 19.83 La longitud de la barra mostrada es de 1 m, y su masa es
posición cuando se engarza en la clavija? de 2 kg. Justo antes de que la barra golpee el piso liso, su velocidad
angular es v y su centro de masa se mueve hacia abajo a 4 m/s.
b) En el instante cuando la barra alcanza el ángulo determinado El coeficiente de restitución del impacto es e = 0.4. ¿Qué valor
en el inciso a), compare su energía potencial gravitatoria con la de v causaría que la barra no tuviera velocidad angular después
que tenía al haber sido liberada desde el reposo. ¿Cuánta energía del impacto?
se ha perdido?
l v
h 60Њ
Problemas 19.81–19.83
(a) (b) 19.84 Durante su rutina de barras paralelas, la velocidad del centro
Problemas 19.77/19.78 de masa de la gimnasta de 90 lb es 4i - 10j (pies/s) y su velocidad
angular es cero justo antes de que sujete la barra en A. En la posición
19.79 El disco de 1 slug mostrado rueda a una velocidad mostrada, su momento de inercia respecto a su centro de masa es
v = 10 pies/s hacia un escalón de 6 pulg. La rueda permanece en 1.8 slug-pie2. Si aprieta sus hombros y piernas de manera que pueda
contacto con el escalón y no se desliza mientras rueda sobre él. modelarse como un cuerpo rígido, ¿cuál es la velocidad de su centro
¿Cuál es la velocidad de la rueda una vez que está sobre el escalón? de masa y su velocidad angular justo antes de que sujete la barra?
y
19.80 El disco de 1 slug mostrado rueda hacia un escalón de A
6 pulg. La rueda permanece en contacto con el escalón y no se x
desliza mientras rueda sobre él. ¿Cuál es la velocidad mínima v que
la rueda debe tener al rodar hacia el escalón para poder subirlo?
18 pulg
v 6 pulg
(–8, –22) pulg
Problemas 19.79/19.80
www.FreeLibros.orgProblema19.84
466 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.85 La placa rectangular homogénea de 20 kg mostrada se libera 19.88* Cada una de las barras A y B mostradas tienen 2 m de
desde el reposo (figura a) y cae 200 mm antes de que la cuerda unida longitud y 4 kg de masa. En la figura a, la barra A no tiene velocidad
a la esquina A se tense (figura b). Suponiendo que la componente angular y se mueve hacia la derecha a 1 m/s y la barra B está en
vertical de la velocidad de A es cero justo después de que la cuerda reposo. Si las barras se unen con el impacto (figura b), ¿cuál es su
se tensa, determine la velocidad angular de la placa y la magnitud de velocidad angular v¿ después del choque?
la velocidad de la esquina B en ese instante.
A B
300 mm B
500 mm vЈ
200 mm A
B
A
B 1 m/s A
(a) (b)
Problema 19.85
(a) (b)
Problema 19.88
19.86* Cada una de las barras A y B mostradas tienen 2 m de ᭤ 19.89* La velocidad horizontal del avión mostrado al aterrizar
longitud y 4 kg de masa. En la figura a, la barra A no tiene velocidad es de 50 m/s, su velocidad vertical (razón de descenso) es de 2 m/s
angular y se mueve hacia la derecha a 1 m/s y la barra B está en y su velocidad angular es cero. La masa del avión es de 12 Mg y
reposo. Si las barras se unen con el impacto (figura b), ¿cuál es su el momento de inercia de masa respecto a su centro de masa es
velocidad angular v¿ después del choque? 1 * 105 kg-m2. Cuando las ruedas traseras tocan la pista, permane-
cen en contacto con ella. Ignorando la fuerza horizontal ejercida por
19.87* En el problema 19.86, si las barras no se unen con el la pista sobre las ruedas, determine la velocidad angular del avión
impacto y el coeficiente de restitución es e = 0.8, ¿cuáles son justo después de aterrizar. (Vea el ejemplo 19.8).
las velocidades angulares de las barras después del impacto?
B ᭤ 19.90* Determine la velocidad angular del avión del problema
B 19.89 inmediatamente después de que toca la pista si las ruedas no
permanecen en contacto con ésta y el coeficiente de restitución del
impacto es e = 0.4. (Vea el ejemplo 19.8).
1.8 m
A A 0.3 m
1 m/s vЈ Problemas 19.89/19.90
(a) (b)
www.FreeLibros.orgProblemas 19.86/19.87
Problemas 467
᭤ 19.91* Mientras trataba de conducir por primera vez en una 19.94* El módulo espacial Apollo (A) se acerca a la estación
calle cubierta de hielo, un estudiante derrapó en su auto (A) de
1260 kg y golpeó el Rolls-Royce estacionado (B) del rector cuya espacial Soyuz (B). La masa del Apollo es mA = 18 Mg y su mo-
masa es de 2700 kg. El punto de impacto es P. Suponga que las mento de inercia de masa respecto al eje que pasa por su centro de
superficies de impacto son lisas y paralelas al eje y, y que el coe- masa paralelo al eje z es IA = 114 Mg-m2. La masa de la Soyuz es
ficiente de restitución del impacto es e = 0.5. Los momentos de mB = 6.6 Mg y su momento de inercia de masa respecto al eje por
inercia de los automóviles respecto a sus centros de masa son su centro de masa paralelo al eje z es IB = 70 Mg-m2. La Soyuz
IA = 2400 kg-m2 e IB = 7600 kg-m2. Determine las velocidades está en reposo respecto al marco de referencia mostrado y el módulo
angulares de los automóviles y las velocidades de sus centros de
masa después de la colisión. (Vea el ejemplo 19.9). espacial se le aproxima con velocidad vA = 0.21i + 0.05j (m/s) y
sin velocidad angular. ¿Cuál es su velocidad angular después de
que se acoplan?
᭤ 19.92* El estudiante del problema 19.91 alegó que conducía a
5 km/h antes de la colisión, pero la policía estima que el centro de
masa del Rolls-Royce se desplazaba a 1.7 m/s después del choque.
¿Cuál era la velocidad real del estudiante? (Vea el ejemplo 19.9).
y
A 5 km/h x 7.3 m
0.6 m 1.7 m (A)
y
P 0.6 m
B
3.2 m x
Problemas 19.91/19.92 4.3 m
19.93 Cada una de las barras delgadas mostradas tiene 48 pulg (B)
de longitud y pesa 20 lb. La barra A se libera de la posición ho- Problema 19.94
rizontal mostrada. Las barras son lisas y el coeficiente de resti-
tución del impacto es e = 0.8. Determine el ángulo que gira B
después del impacto.
28 pulg
A
B
Problema 19.93
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468 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
Problemas de repaso
19.95 El momento de inercia de la polea mostrada es de 0.2 kg-m2. 19.98 El carrito de la figura está en reposo cuando se le aplica
El sistema se libera desde el reposo. Use el principio del trabajo y la una fuerza constante F. ¿Cuál será su velocidad cuando haya
energía para determinar la velocidad del cilindro de 10 kg cuando ha rodado una distancia b? La masa del cuerpo del carrito es mc y
caído 1 m. cada una de las cuatro ruedas tiene masa m, radio R y momento
de inercia I.
19.96 El momento de inercia de la polea mostrada es de 0.2 kg-m2.
El sistema se libera desde el reposo. Use los principios de la cantidad F
de movimiento para determinar la velocidad del cilindro de 10 kg un
segundo después de que el sistema se libera.
150 mm
Problema 19.98
5 kg 10 kg 19.99 Cada polea mostrada tiene un momento de inercia
I = 0.003 kg-m2, y la masa de la banda es de 0.2 kg. Si se aplica
Problemas 19.95/19.96 a la polea inferior un par constante M = 4 N-m, ¿cuál será su
velocidad angular cuando haya girado 10 revoluciones?
19.97 El brazo BC mostrado tiene una masa de 12 kg y su momen-
to de inercia respecto a su centro de masa es de 3 kg-m2. El punto B 100 mm
está en reposo. El brazo BC está inicialmente alineado con el eje x
(horizontal) con velocidad angular cero, y un par constante M
aplicado en B lo hace girar hacia arriba. Cuando está en la posición
mostrada, su velocidad angular es de 2 rad/s en sentido contrario al
de las manecillas del reloj. Determine M.
y
C M
Problema 19.99
30m0m
M
40Њ
x
AB
www.FreeLibros.orgProblema19.97
Problemas de repaso 469
19.100 El engrane anular mostrado está fijo. La masa y el mo- 19.103 Cada una de las ruedas frontales del go-cart mostrado pesa
5 lb y tiene un momento de inercia de masa de 0.01 slug-pie2. Las
mento de inercia de masa del engrane central son mS = 22 slug e dos ruedas y el eje traseros forman un solo cuerpo rígido que pesa
IS = 4400 slug-pie2. La masa y el momento de inercia de cada en- 40 lb y tiene un momento de inercia de masa de 0.1 slug-pie2. El
grane periférico son mP = 2.7 slug, IP = 65 slug-pie2. Se aplica al peso total del conductor y el vehículo, incluyendo las ruedas es de
engrane central un par M = 600 lb-pie. Use el trabajo y la energía 240 lb. El vehículo parte del reposo, su motor ejerce un par constan-
te de 15 lb-pie sobre el eje trasero y sus ruedas no se deslizan. Si se
para determinar la velocidad angular del engrane central después ignoran la fricción y la resistencia aerodinámica, ¿qué velocidad
tiene el vehículo cuando ha recorrido 50 pies?
de que ha girado 100 revoluciones.
7 pulg Engrane anular 19.104 Determine la potencia máxima y la potencia promedio
transmitida al go-cart del problema 19.103 por su motor.
34 pulg M
20 pulg
Engranes
periféricos (3)
Engrane central
Problema 19.100 6 pulg 4 pulg
A B
19.101 Los momentos de inercia de los engranes A y B son 60 pulg
IA = 0.014 slug-pie2 e IB = 0.100 slug-pie2. El engrane A está
conectado a un resorte torsional con k = 0.2 lb-pie/rad. Si el re- Problemas 19.103/19.104
sorte no está estirado y se retira la superficie que soporta al peso
de 5 lb, ¿cuál es la velocidad del peso cuando ha caído 3 pulg? 19.105 El sistema mostrado parte desde el reposo con la barra
delgada de 4 kg en posición horizontal. La masa del cilindro sus-
19.102 Considere el sistema del problema 19.101. pendido es de 10 kg. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra
a) ¿Qué distancia máxima cae el peso de 5 lb cuando se retira la cuando está en la posición mostrada?
superficie de soporte?
b) ¿Qué velocidad máxima logra el peso?
3 pulg 10 pulg 3m
45Њ
6 pulg B
A
5 lb
2m
Problema 19.105
www.FreeLibros.orgProblemas 19.101/19.102
470 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.106 La barra delgada de 0.1 kg y el disco cilíndrico de 0.2 kg 19.108 La barra delgada de 4 kg que se muestra en la figura
mostrados se liberan desde el reposo con la barra en posición está articulada a los deslizadores A y B de 2 kg. Si la fricción es
horizontal. El disco rueda sobre la superficie curva. ¿Cuál será la insignificante y el sistema parte desde el reposo en la posición
velocidad angular de la barra cuando esté vertical? mostrada, ¿cuál es la velocidad angular de la barra cuando el
deslizador A ha caído 0.5 m?
A
40 mm
1.2 m
120 mm
45Њ
B
Problema 19.106 0.5 m
Problema 19.108
19.107 La barra delgada de masa m mostrada se libera desde el 19.109 La semiesfera homogénea de masa m se libera desde
reposo en posición vertical y se deja caer. Ignorando la fricción y el reposo en la posición mostrada. Si rueda sobre la superficie
suponiendo que permanece en contacto con el piso y la pared, horizontal, ¿cuál será su velocidad angular cuando su parte
determine su velocidad angular en función de u. plana esté en posición horizontal?
19.110 La semiesfera homogénea de masa m se libera desde
el reposo en la posición mostrada. Si rueda sobre la superficie
horizontal, ¿qué fuerza normal ejerce la superficie horizontal
sobre la semiesfera en el instante en que su parte plana está en
posición horizontal?
lR
u
Problema 19.107 3R
8
Problemas 19.109/19.110
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Problemas de repaso 471
19.111 La barra delgada mostrada gira libremente en un plano 19.113 Un ingeniero decide controlar la velocidad angular de un
horizontal respecto a un eje vertical en O. La barra pesa 20 lb y satélite desplegando pequeñas masas unidas a cables. Si la velocidad
su longitud es de 6 pies. El collarín A pesa 2 lb. Si la velocidad angular del satélite en la configuración a) es de 4 rpm, determine la
angular de la barra es v = 10 rad/s y la componente radial de la distancia d en la configuración b) que hará que la velocidad angular
velocidad de A es cero cuando r = 1 pie, ¿cuál es la velocidad sea de 1 rpm. El momento de inercia del satélite es I = 500 kg-m2 y
angular de la barra cuando r = 4 pies? (El momento de inercia cada masa es de 2 kg (suponga que los cables y las masas giran con
de A respecto a su centro de masa es insignificante; es decir, la misma velocidad angular que el satélite; ignore los cables y los
considere a A como una partícula). momentos de inercia de las masas respecto a sus centros de masa).
v 4 rpm 1 rpm
A 2m d d
2m
r (a) (b)
O
Problema 19.113
Problema 19.111
19.114 Un disco cilíndrico homogéneo de masa m rueda sobre
19.112 Un satélite se lanza con velocidad angular v = 1 rad/s la superficie horizontal con velocidad angular v. Si no resbala o
(figura a). En cierto momento se extienden dos antenas, cada una deja la superficie inclinada al entrar en contacto con ella, ¿cuál
de longitud igual al diámetro del satélite, y la velocidad angular de es la velocidad angular v¿ del disco inmediatamente después?
éste disminuye a v¿ (figura b). Modelando el satélite como una
esfera de 500 kg y 1.2 m de radio y cada antena como una barra v
delgada de 10 kg, determine v¿.
R
b
v
Problema 19.114
1.2 m vЈ 19.115 La barra delgada de 10 lb mostrada cae desde el reposo
(a) en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de
restitución del impacto es e = 0.6, la duración del impacto es 0.1 s
y b = 1 pie. Determine la fuerza promedio ejercida sobre la barra
en B debido al impacto.
2.4 m 2.4 m 19.116 La barra delgada de 10 lb mostrada cae desde el reposo
en la posición vertical y golpea el tope liso en B. El coeficiente de
(b) restitución del impacto es e = 0.6 y la duración del impacto es 0.1 s.
Determine el valor de la distancia b para el que la fuerza promedio
Problema 19.112 ejercida sobre la barra por el soporte A como resultado del impacto
sea igual a cero.
3 pies
AB
www.FreeLibros.orgb
Problemas 19.115/19.116
472 Capítulo 19 Energía y cantidad de movimiento en la dinámica de cuerpos rígidos
19.117 La esfera A de 1 kg mostrada se está moviendo a 2 m/s 19.121 Una barra delgada A se mueve sin girar con velocidad
cuando golpea el extremo de la barra delgada B de 2 kg que se en- v0 cuando golpea una barra delgada B en reposo. Cada barra tiene
cuentra en reposo. Si la velocidad de la esfera después del impacto masa m y longitud l. Si las barras se adhieren al chocar, ¿cuál es
es de 0.8 m/s hacia la derecha, ¿cuál es el coeficiente de restitución?
su velocidad angular después del impacto?
BB
2m
2 m/s A
400 mm A l
2
Problema 19.117 v0
19.118 La barra delgada se suelta desde el reposo en la posición Problema 19.121
mostrada en la figura a y cae una distancia h = 1 pie. Cuando la
barra golpea el piso, su extremo queda soportado por una escalón 19.122 Una astronauta se traslada hacia un satélite sin rotación a
y permanece en contacto con el piso (figura b). La longitud de la 1.0 i (m/s) respecto al satélite. Su masa es de 136 kg y su momento
barra es de 1 pie y su peso es de 4 onzas. ¿Cuál es su velocidad de inercia respecto al eje que pasa por su centro de masa paralelo
angular v justo después de que toca el piso? al eje z es de 45 kg-m2. La masa del satélite es de 450 kg y su mo-
mento de inercia respecto al eje z es de 675 kg-m2. En el instante
45Њ v en que la astronauta se conecta al satélite y empieza a moverse con
h él, la posición del centro de masa de la mujer es 1- 1.8, - 0.9, 02 m.
El eje de rotación del satélite, después de que ella se conecta, es
(a) (b) paralelo al eje z. ¿Cuál es la velocidad angular de ambos?
Problema 19.118 19.123 En el problema 19.122 suponga que los parámetros
de diseño del sistema de control del satélite requieren que su
19.119 La barra delgada mostrada se libera desde el reposo con velocidad angular no exceda de 0.02 rad/s. Si la astronauta se
u = 45° y cae una distancia h = 1 m sobre el piso liso. La longitud mueve paralelamente al eje x y la posición de su centro de masa
de la barra es 1 m y su masa es 2 kg. Si el coeficiente de restitución cuando ella se conecta es 1- 1.8, - 0.9, 02 m, ¿cuál es la velocidad
del impacto es e = 0.4, ¿cuál es la velocidad angular de la barra justo relativa máxima a la que ella debería acercarse al satélite?
después de tocar el piso?
y
19.120 La barra delgada mostrada se libera desde el reposo y cae
una distancia h = 1 m sobre el piso liso. La longitud de la barra es x
1 m y su masa es 2 kg. El coeficiente de restitución del impacto
es e = 0.4. Determine el ángulo u para el cual la velocidad angular
de la barra justo después de que toca el piso es máxima. ¿Cuál es
esa velocidad angular máxima?
1 m/s
u
h
www.FreeLibros.orgProblemas 19.119/19.120
Problemas 19.122/19.123
Problemas de repaso 473
19.124 Un automóvil de 2800 lb que derrapa sobre hielo golpea Proyecto de diseño
un poste de concreto a 3 mi/h. El momento de inercia del vehículo
respecto a su centro de masa es de 1800 slug-pie2. Si las superficies Diseñe y realice experimentos para determinar los momentos
del impacto son lisas y paralelas al eje y, y el coeficiente de res- de inercia de a) una barra delgada homogénea, por ejemplo
titución es e = 0.8, ¿cuál es la velocidad angular del coche y la una vara de un metro de longitud y b) un balón de fútbol o
velocidad de su centro de masa después del impacto? de básquetbol. Para la barra delgada, compare sus valores
experimentales para los momentos de inercia con el valor
y teórico I = 1–12 ml 2 para una barra delgada de longitud l. Para
el balón, compare sus valores experimentales con el valor
3 mi/h teórico I = –32 mR2 para un cascarón esférico delgado de radio R.
Investigue qué tan repetibles son sus métodos experimentales.
2 pies x Escriba un reporte breve donde describa sus experimentos,
analice las posibles fuentes de error y presente sus resultados.
Problema 19.124
19.125 El receptor abierto de 170 lb salta verticalmente para re- (a)
cibir un pase y está en reposo en el instante en que atrapa el balón.
En el mismo instante es golpeado en P por un defensivo de 180 lb
que se mueve horizontalmente a 15 pies/s. El momento de inercia
del receptor respecto a su centro de masa es de 7 slug-pie2. Si los
jugadores se modelan como cuerpos rígidos y se supone que e = 0,
¿cuál es la velocidad angular del receptor inmediatamente después
del impacto?
(b)
14 pulg
P
Problema 19.125
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CAPÍTULO
20
Cinemática y dinámica
tridimensionales de cuerpos rígidos
En muchas aplicaciones de la ingeniería, como el diseño x Z
aeronáutico y de otros vehículos, se debe considerar el X z
movimiento tridimensional. Después de explicar cómo
se describe el movimiento tridimensional de un cuerpo Y
rígido se deducen las ecuaciones del movimiento y se
utilizan para analizar movimientos simples. Finalmente, y
se presentan los ángulos de Euler usados para especificar
la orientación de un cuerpo rígido en tres dimensiones y
expresar en sus términos las ecuaciones del movimiento
angular.
᭣ Con el fin de realizar investigaciones de ingeniería genética, la centrifugadora
somete a los tejidos vegetales a altas aceleraciones.
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476 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
20.1 Cinemática
ANTECEDENTES
Si un ciclista conduce una bicicleta en una trayectoria recta, las ruedas de la misma
describen un movimiento plano. Pero si el ciclista da vueltas, el movimiento de
las ruedas será tridimensional (figura 20.1a). De manera similar, un avión puede
permanecer en movimiento plano mientras vuela a nivel, desciende, asciende o rea-
liza bucles. Pero si se inclina y vira, está en movimiento tridimensional (figura 20.1b).
Al hacer girar un trompo éste permanece en movimiento plano durante un periodo
breve, girando alrededor de un eje vertical fijo. Pero en algún momento, el eje del
trompo empieza a inclinarse y a girar. El trompo está entonces en movimiento tri-
dimensional y muestra un interesante comportamiento, en el que aparentemente
desafía a la gravedad (figura 20.1c). En esta sección se inicia el análisis de tales
movimientos estudiando la cinemática de cuerpos rígidos en el movimiento tridi-
mensional.
Velocidades y aceleraciones
Ya se han estudiado algunos de los conceptos necesarios para describir el movi-
miento tridimensional de un cuerpo rígido respecto a un marco de referencia dado.
En el capítulo 17 se mostró que el teorema de Euler implica que un cuerpo rígido
sometido a cualquier movimiento que no sea traslación tiene un eje instantáneo
de rotación. La dirección de este eje en un instante particular y la razón con que el
cuerpo rígido gira alrededor del eje, pueden especificarse por medio del vector
de velocidad angular.
(a) (b)
(c)
Figura 20.1
www.FreeLibros.orgEjemplos de movimientos planos y tridimensionales.
20.1 Cinemática 477
rA/B A Figura 20.2
B Los puntos A y B de un cuerpo rígido. La
velocidad de A se puede determinar si se cono-
O cen la velocidad de B y el vector de velocidad
angular del cuerpo rígido. La aceleración de
A se puede determinar si se conocen la acelera-
ción de B, la velocidad angular y el vector de la
aceleración angular .
También se ha mostrado que la velocidad del cuerpo rígido está completa-
mente especificada por su vector de velocidad angular y la velocidad de un solo
punto del cuerpo. Para el cuerpo rígido y el marco de referencia de la figura 20.2,
suponga que se conoce el vector de velocidad angular y la velocidad vB de un
punto B. Entonces, la velocidad de cualquier otro punto A del cuerpo está dada por
la ecuación (17.8):
vA = vB + * rA>B. (20.1)
La aceleración de un cuerpo rígido está completamente especificada por su vector
de aceleración angular ␣ = d>dt, su vector de velocidad angular y la acelera-
ción de uno de los puntos del cuerpo. Si se conoce ␣, , y la aceleración aB del
punto B de la figura 20.2, la aceleración de cualquier otro punto A está dada por
la ecuación (17.9):
aA = aB + ␣ * rA>B + * 1 * rA>B2. (20.2)
Marcos de referencia en movimiento
Las velocidades y las aceleraciones en las ecuaciones (20.1) y (20.2) se miden res-
pecto al marco de referencia indicado en la figura 20.2, al que se hará referencia
como marco de referencia primario. Aunque algunas situaciones requieren otras
alternativas, el marco de referencia primario usado más comúnmente en las aplica-
ciones de ingeniería es uno que esté fijo respecto a la Tierra. Cuándo no se esta-
blezca otra cosa, debe suponerse que el marco de referencia primario está fijo a la
Tierra. También se usa un marco de referencia secundario que se mueve respecto al
marco de referencia primario. El marco de referencia secundario y su movimiento se
eligen por su conveniencia para describir el movimiento de un cuerpo rígido en par-
ticular. En algunas situaciones, el marco de referencia secundario se define fijo con
respecto al cuerpo rígido. En otros casos, resulta ventajoso usar un marco de refe-
rencia secundario que se mueva en relación con el marco de referencia primario,
pero que no esté fijo con respecto al cuerpo rígido. (Vea los ejemplos 20.1-20.3).
En la figura 20.3 se muestra un marco de referencia primario, un marco de
referencia secundario xyz y un cuerpo rígido. La velocidad angular del marco
Figura 20.3
y Marcos de referencia primario y secundario.
⍀ El vector ⍀ es la velocidad angular del marco
x de referencia secundario respecto al marco de
Marco de referencia
referencia primario. El vector es la velocidad
z secundario angular del cuerpo rígido respecto al marco de
referencia primario.
www.FreeLibros.orgO
Marco de referencia
primario
478 Capítulo 20 Cinemática y dinámica tridimensionales de cuerpos rígidos
de referencia secundario respecto al marco de referencia primario está especificado
por el vector ⍀, y la velocidad angular del cuerpo rígido respecto al marco de refe-
rencia primario se especifica mediante el vector . Si el marco de referencia
secundario está fijo con respecto al cuerpo rígido, ⍀ ϭ . Si se expresa en térmi-
nos de sus componentes en el marco de referencia secundario como
= vxi + vy j + vzk,
el vector de la aceleración angular del cuerpo rígido respecto al marco de referen-
cia primario es
␣ = d = dvx i + di + dvy j + dj + dvz k + vz ddkt . (20.3)
dt dt vx dt dt vy dt dt
Las derivadas de i, j y k pueden expresarse en términos del vector de veloci-
dad angular ⍀ como (vea la sección 17.5)
di = ⍀ * i, dj dk = ⍀ * k.
dt dt = ⍀ * j, dt
Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (20.3), se obtiene el vector de ace-
leración angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario en la
forma
␣ = dvx i + dvy j + dvz k + ⍀ * . (20.4)
dt dt dt
Observe que, en general, las derivadas dvx>dt, dvy>dt, son las componentes de
␣ sólo cuando ⍀ ϭ 0 o cuando ⍀ ϭ . En caso contrario, el vector de aceleración
angular del cuerpo rígido respecto al marco de referencia primario debe determi-
narse a partir de la ecuación (20.4).
Cuando el marco de referencia secundario no está fijo al cuerpo rígido, resul-
ta conveniente expresar el vector de velocidad angular del cuerpo como la suma
del vector de velocidad angular ⍀ del marco de referencia secundario y el vector de
velocidad angular rel del cuerpo rígido relativo al marco de referencia secunda-
rio (figura 20.4):
= ⍀ + rel. (20.5)
rel
Figura 20.4
El vector rel es la velocidad angular del y
cuerpo rígido respecto al marco de referencia
secundario y el vector ⍀ es la velocidad angu- ⍀
lar del marco de referencia secundario respecto x
Marco de referencia
al marco de referencia primario. El vector de
velocidad angular del cuerpo rígido respecto z secundario
www.FreeLibros.orgal marco de referencia primario es rel ϩ ⍀.
O Marco de referencia
primario
20.1 Cinemática 479
RESULTADOS
rA/B A
B
O
La velocidad y la aceleración de un punto A vA ϭ vB ϩ ϫ rA/B, (20.1)
perteneciente a un cuerpo rígido (respecto a un aA ϭ aB ϩ ␣ ϫ rA/B ϩ ϫ ( ϫ rA/B). (20.2)
marco de referencia dado) puede expresarse en
términos de la velocidad y la aceleración de un
punto B, la posición de A respecto a B, la velo-
cidad angular del cuerpo rígido y la aceleración
angular ␣ ϭ d/dt del cuerpo rígido.
y
⍀
x
Marco de referencia
z secundario
Marco de referencia
O primario
La razón de rotación del marco de referencia se-
cundario respecto al marco de referencia primario
se describe mediante el vector de velocidad angu-
lar ⍀. Si la velocidad angular del cuerpo rígido
respecto al marco de referencia primario se expre-
sa en términos de componentes en el marco de ␣ ϭ dvx i ϩ dvy j ϩ dvz k ϩ ⍀ ϫ . (20.4)
referencia secundario, dt dt dt
ϭ vxi ϩ vyj ϩ vyk,
la aceleración angular ␣ ϭ d/dt del cuerpo rí-
gido relativa al marco de referencia primario con-
tiene un término que surge de la rotación del
www.FreeLibros.orgmarco de referencia secundario.
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Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be
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