Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

630 Solución a problemas de práctica ⌺Fx ϭ T ϭ max (1)
Ejemplo activo 18.1 ϭ (25,800 slug) (9 pies/s2)
ϭ 232,000 lb.
Aplique la segunda ley de Newton para determinar
la fuerza de empuje total de los motores del avión. ⌺Fy ϭ A ϩ B Ϫ W ϭ 0.

El avión no tiene aceleración vertical, por lo que ⌺M ϭ (6 pies)T ϩ (68 pies)B Ϫ (16 pies)A ϭ 0.
la suma de las fuerzas verticales es igual a cero.
f ϭ 1 mg sen b.
El avión no tiene aceleración angular, por lo 3
que la suma de los momentos respecto al
centro de masa es igual a cero. N ϭ mg cos b.

Resolviendo las ecuaciones (1) y (2) con f ϭ msN :
W ϭ 830,000 lb y T ϭ 232,000 lb produce
A ϭ 688,000 lb y B ϭ 142,000 lb. 1 mg sen b ϭ msmg cos b.
3
Ejemplo activo 18.2
Resuelva las ecuaciones (1) a la (3) para De esto se obtiene
determinar el valor de la fuerza de fricción
cuando el disco rueda.

Determine la fuerza normal. La suma de las
fuerzas sobre el disco en la dirección normal
a la superficie es igual a cero.

Suponga que el disco está a punto de
deslizarse y resuelva para b.

b ϭ arctan (3ms).

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Solución a problemas de práctica 631

Ejemplo activo 18.3

En el instante que la barra se libera, v = 0. Las ecuaciones (1) a la (5) pueden resol-
verse para determinar P y N.

Sustituya la ecuación (5) en la ecuación P ϭ 1 mla cos u, (6)
(1) y la ecuación (4) en la ecuación (2). 2

N ϭ mg Ϫ 1 mla sen u. (7)
2

Sustituya las ecuaciones (6) y (7) en la ecua- aϭ3 g
sen u.
1 ml2. 2l (8)
ción (3) y resuelva para a, using I ϭ
12

Sustituya la ecuación (8) en las ecua- P ϭ 3 mg sen u cos u,
ciones (6) y (7). Con u ϭ 30Њ, estas 4
expresiones resultan en N ϭ 0.813mg
y P ϭ 0.325mg. N ϭ mg Ϫ 3 mg sen2 u.
4

Ejemplo activo 19.1 U12 ϭ (mg sen b)b ϩ M b .
R
Aplicación del trabajo y la energía

Trabajo realizado por el peso del disco y por
el par M. Como el centro del disco se mueve
a una distancia b, el disco gira a través de un
ángulo (en radianes) b/R en el sentido de las
manecillas del reloj. Por lo tanto, el trabajo
que realiza el par constante es Mb/R.

Iguale el trabajo con el cambio en la mgb sen b ϩ M b ϭ 1 mv2 ϩ 1 Iv2 Ϫ 0. (1)
energía cinética del disco. La energía ci- R 2 2
nética inicial es cero. Sea v la velocidad
del centro del disco y v su velocidad v ϭ Rv. (2)
angular cuando el centro se ha movido
una distancia b.

Determinación de las relaciones cinemáticas

Relación entre la velocidad del centro
del disco y la velocidad angular en el
movimiento rodante.

Despejando v y v de las ecuaciones

1 4 gb sen b ϩ Mb
2 3 mR
(1) y (2) y sustituyendo I ϭ mR2 ΂ ΃v ϭ .

www.FreeLibros.orgse obtiene la velocidad.

632 Solución a problemas de práctica t2 (1)

Ejemplo activo 19.4 Lt1 ⌺M dt ϭ H2 Ϫ H1 :

Sea tf el tiempo en el que finaliza el deslizamien- tf
to. Aplique al disco A el principio del impulso y
la cantidad de movimiento angulares desde t ϭ 0 L0 ϪRA f dt ϭ 0 Ϫ IAv0 .
hasta t ϭ tf, considerando a los momentos y ve-
locidades angulares en sentido contrario al de las t2
manecillas del reloj como positivos.
Lt1 ⌺M dt ϭ H2 Ϫ H1:
Sea vB0 la velocidad angular inicial en sentido
contrario al de las manecillas del reloj del disco tf
B. Aplique el principio del impulso y la cantidad
de movimiento angulares al disco B desde t ϭ 0 L0 ϪRB f dt ϭ 0 ϪIBv B0 Ϫ 0. (2)
hasta t ϭ tf, considerando a los momentos y
velocidades angulares en sentido contrario al de vB0 ϭ RBIA v0.
las manecillas del reloj como positivos. RAIB

Divida la ecuación (1) entre la ecuación
(2), a fin de obtener una ecuación para vB0.

Ejemplo activo 19.7 mAvA ϩ 0 ϭ mAv¿A ϩ mBv¿B. (1)

En este caso, la cantidad de movimiento lineal HA ϩ HB ϭ H¿A ϩ H¿B:
total es la misma antes y después del impacto.
΂ ΃ ΂ ΃h Ϫ 1 l
En este caso, la cantidad de movimiento angu- 2
lar total respecto a cualquier punto fijo es la (mAvA) ϩ 0 ϭ hϪ 1l (mAv¿A) ϩ IBv¿B. (2)
misma antes y después del impacto. Aplique la 2
conservación de la cantidad de movimiento
angular respecto al centro de masa de la barra. eϭ v¿BP Ϫ v¿A . (3)
vA Ϫ 0
Aplique el coeficiente de restitución.
Después del impacto v¿BP , es la velocidad
de la barra en el punto de impacto.

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Solución a problemas de práctica 633

v¿BP ϭ v¿A ϩ ␻¿B ϫ rP/B:

ij k

Determine las relaciones cinemáticas. La v¿BPi ϭ v¿Bi ϩ 0 0 v¿B ,
velocidad de la barra en el punto de
impacto puede expresarse en términos de ΂ ΃0 Ϫ 1
la velocidad del centro de masa. hϪ l 0
2

hϪ 1l
2
΂ ΃v¿BP ϭ v¿B ϩ v¿B. (4)

Resolviendo las ecuaciones (1) a (4) para

v¿A, v¿B, y v¿BP, y v¿B y use las relaciones 12 (1 ϩ e)vA
11
v¿B ϭ .
ϭ 43 1 l
h l, mA ϭ mB, e IB ϭ 12 mBl2 para

obtener la velocidad angular de la barra.

Ejemplo activo 20.1

Aplique la ecuación (20.1). vA ϭ vA ϩ ␻ ϫ rA/B
i jk

ϭ Ϫ5i ϩ 0 Ϫ13.9 Ϫ0.5
0.36 0 0

ϭ Ϫ5i Ϫ 0.18j ϩ 5k (m/s).

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634 Solución a problemas de práctica y
Ejemplo activo 20.4
Dibujo del diagrama de cuerpo libre O mg
z C
La barra está sometida a su peso y a la
fuerza F y el par C ejercidos por el disco. F

Aplicación de la segunda ley de Newton x

El centro de masa tiene una componente normal ⌺F ϭ ma:
de aceleración Ϫbv20i.
F Ϫ mgj ϭ m(Ϫbv20i).
Aplicación de la ecuación de movimiento angular La fuerza que el disco ejerce
El momento total respecto al punto O es la sobre la barra es
suma del par C y el momento respecto a O
debido al peso y a la fuerza F. F ϭ Ϫmbv02i ϩ mgj.

ij k ij k
0ϩ b 0 0
⌺M ϭ C ϩ b 1 l 0 Ϫmbv20 mg 0
2

0 Ϫmg

ϭ C.

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Solución a problemas de práctica 635

⌺MOx ϭ Ixx dvx Ϫ Ixy dvy Ϫ Ixz dvz
dt dt dt

Ϫ Vz (ϪIyx v x ϩ Iyy v y Ϫ Iyz v z)

ϩ Vy (ϪIzx v x Ϫ Izy v y ϩ Izz v z):

Cx ϭ 0.

⌺MOy ϭ ϪIyx dvx ϩ Iyy dvy Ϫ Iyz dvz
dt dt dt

ϩ Vz (Ixx v x Ϫ Ixy v y Ϫ Ixz v z)

Aplique las ecuaciones (20.12) con Ϫ Vx (ϪIzx v x Ϫ Izy v y ϩ Izz v z),
vx ϭ Vx ϭ 0, vy ϭ Vy ϭ v0, y vz ϭ Vz ϭ 0. Cy ϭ 0.

⌺MOz ϭ ϪIzx dvx Ϫ Izy dvy ϩ Izz dvz
dt dt dt

Ϫ Vy (Ixx v x Ϫ Ixy v y Ϫ Ixz v z)

ϩ Vx (ϪIyx v x ϩ Iyy v y Ϫ Iyz v z):

Cz ϭ 1 mlbv02.
2

El par que ejerce el disco sobre la barra es

C ϭ 1 mlbv02k.
2

Ejemplo activo 20.7

Sustituya las ecuaciones (1), (2) y (5) en la m v2 R sen u Ϫ mgR cos u ϭ 1 mR2 v2 sen u cos u
rG 2 r2G
ecuación (20.29) para la precesión estable y

use las relaciones Ixx ϭ 1 mR2 y Izz ϭ 1 mR2. ΂ ΃ϪmR2 v2 1ϩ 1 sen u.
2 2 rG R rG
cos u

Resolviendo para v se obtiene
2g(r - R cos u)2 cot u

v = B 4r - 3R cos u .

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636 Solución a problemas de práctica

Ejemplo activo 21.1

La ecuación (4) es la ecuación de movimiento del x~ ϭ A sen vt ϩ B cos vt, (5)
sistema en términos del desplazamiento de la masa
respecto a su posición de equilibrio. La solución dx~ ϭ Av cos vt Ϫ Bv sen vt. (6)
general de esta ecuación está dada por la ecuación dt
(21.8), donde A y B son constantes. Sustituyendo las condiciones iniciales en
las ecuaciones (5) y (6) se obtiene
En t ϭ 0, la posición de la masa es ~x ϭ h y su veloci-
dad es dx~/dt ϭ 0. Use estas condiciones iniciales a fin A ϭ 0,
de resolver para las constantes A y B. Sustituyendo los B ϭ h.
resultados en la ecuación (5) determine la posición de La posición en función del tiempo es
la masa en función del tiempo. x~ ϭ h cos vt.

Ejemplo activo 21.3 k 8 N/m
v ϭ m ϭ 2 kg ϭ 2 rad/s,
Evalúe v y d. El amortiguamiento es supercrítico.

dϭ c ϭ 12 N-s/m ϭ 3 rad/s.
2m 2(2 kg)

La solución general está dada por la ecuación x ϭ CeϪ(d Ϫ h)t ϩ DeϪ(d ϩ h)t (1)
(21.24) con ϭ CeϪ0.764t ϩ DeϪ5.24t.

h ϭ d2 Ϫ v2 ϭ 2.24 rad/s.

En t ϭ 0, la posición de la masa es x ϭ 0.1 m dx ϭ Ϫ0.764CeϪ0.764t Ϫ5.24DeϪ5.24t. (2)
y su velocidad es dx/dt ϭ 0. Use estas condi- dt
ciones iniciales a fin de resolver para las Sustituyendo las condiciones iniciales en las
constantes C y D. Sustituyendo los resultados ecuaciones (1) y (2) y resolviendo se obtiene
en la ecuación (1) se determina la posición de
la masa en función del tiempo. C ϭ 0.117 m,
D ϭ Ϫ0.0171 m.
Ejemplo activo 21.5 La posición en función del tiempo es

x ϭ 0.117eϪ0.764t Ϫ0.0171DeϪ5.24t m.

La función de excitación

a(t) ϭ F(t)/m ϭ 10 sen 4t m/s2

tiene la forma de la ecuación (21.27) con Ep ϭ a20 ϩ b02

a0 ϭ 10 m/s2, b0 ϭ 0, y v0 ϭ 4 rad/s. Las constantes (v2 Ϫ v02)2 ϩ 4d2v02
v ϭ k/m ϭ 2 rad/s y d ϭ c/2m ϭ 0.25 rad/s.
ϭ 0.822 m.

Sustituir estos valores en la ecuación (21.31) produce

www.FreeLibros.orgla amplitud de la solución particular.

Respuestas a los
problemas con número par

Capítulo 12 13.58 v = –2(1-s2)1/2 m/s.

12.2 (a) e = 2.7183; (b) e2 = 7.3891; (c) e2 = 7.3892. 13.60 (a) 1.29 pies; (b) 4.55 pies/s.
12.4 17.8 m2. 13.62 v0 = 35,900 pies/s = 24,500 mi/hr.
12.6 13.66 1266 s o 21.1 min.
12.8 La llave de 1 pulg se ajusta a la tuerca de 25 mm. 13.68 r = 266.0i + 75.3j-36.7k (m).
12.10 13.70 (a) R = 35.3 m; (b) R = 40.8 m; (c) R = 35.3 m.
12.12 (a) 267 mi/h; (b) 392 pies/s. 13.72
12.14 13.74 98.3 pies/s.
12.16 310 N-m. 13.76
12.18 g = 32.2 pies/s2. 13.78 19.0 m.
12.20 (a) 0.0208 m2; (b) 32.2 pulg2. 13.80 31.2 6 v0 6 34.2 pies/s.
12.22 2.07 * 106 Pa. 13.82 (a) Sí; (b) No.
12.24 13.84
12.26 27.4 lb/pie. 13.86 82.5 m.
12.28 13.90 | v | = 38.0 pies/s, t = 1.67 s.
12.30 (a) kg-m/s; (b) 2.70 slug-pie/s. 13.94
13.96 17.2 m.
(a) 0.397 kg; (b) 0.643 N. v = 0.602i-4.66j (m/s).
(a) 4.60 * 1019 slug; (b) 6.71 * 1020 kg. a = –0.099i + 0.414j (m/s2).
(a) Positiva; (b) 7.27 * 10-5 rad/s, la Tierra rota 15°.
163 lb.
430 s.
32.1 km.

345,000 km.

Capítulo 13 13.98 14.6 s.
13.100 (a) v = 1.70 rad/s; (b) u = 1 rad 157.3°2.

13.2 v = 0, a = -4 pulg/s2. 13.102 de>dt = –8.81i + 13.4j.
13.4 (a) v = 13.0 m/s, a = 1.28 m/s2; 13.104 v = 12.5et (m/s), a = 3et + 0.391en (m/s2).
13.106 (a) 1730 rpm; (b) 3.01 rad/s2.
13.6 (b) v = 14.7 m/s en t = 6.67 s. 13.108 1060 m/s2 (108 g’s).
13.8 13.110 (a) v = 16et (m/s), a = 16et + 64en (m/s2);
(a) v = 28 m/s en t = 4 s; (b) a = 0. (b) s = 8 m.
13.10 (a) v = -1.78 m/s, a = -11.2 m/s2; 13.112
13.12 13.114 (a) vB = 87.3 et (pies/s); (b) vB = -61.7i - 61.7j(pies/s).
13.14 (b) 2.51 m/s; (c) Cero. 13.116
13.16 (a) 0.628 m/s; (b) 3.95 m/s2. 13.118 v = R 2g>RE.
13.18 13.120 v = 18.3et 1m/s2, a = 0.6 et + 6.68en 1m/s22.
13.20 s = 77 m, v = 66 m/s. 13.122 v = 12.05et (m/s), a = 0.121et + 2.905en (m/s2).
13.22 13.124 (a) |a| = 45.0 pies/s2; (b) |a| = 59.9 pies/s2.
13.24 s = 100 m, v = 80 m/s.
4.33 m/s2. v = 6.46et (m/s).
(a) v = 15.2et (m/s), a = –1.63et + 9.67en (m/s2);
2.47 s, 2430 m/s. (b) r = 24.0 m.
a = -6.66 m/s2.

s = 505 pies.
s = 1070 m, a = -24 m/s2.

13.26 825 pies. 13.126 218 m.

13.28 3630 pies. 13.128 a = 3.59et + 1.72en (m/s2).

13.30 No. 66.7 pies/s (45.5 mi/h). 13.130 an = g> 31 + (gt>v0)2 .
13.32 51.9 años solares.
13.34 (a) 45.5 s; (b) 3390 m. 13.132 dy>dt = 0.260 m/s, d2y>dt2 = - 0.150 m/s2.
13.36 10 s. 13.134 (a) r = 16.7 pies; (b) an = 77.3 pies/s2.

13.38 v = 6.73 pies/s, a = -8.64 pies/s2. 13.138 v = - 0.971er - 1.76eu (m/s) .
13.40 20 s. 13.140 aA = 0.331er + 0.480eu (m/s2) .

13.42 v = 3.33 m/s. 13.142 (a) vA = 3.75er + 1.40eu (pies/s);

13.44 v = 2.80 pulg/s. (b) du>dt = 0.468 rad/s.

13.46 11.2 km. 13.144 (a) v = 0.32er + 2.03eu (mրs);

13.48 3240 pies. (b) v = 0.32i + 2.03j (mրs).
13.50 2300 m. 13.146 aA = - 58.0er - 27.0eu 1m/s22.

13.52 42.5 m/s. 13.148 aA = - 1.09er 1m/s22.

13.54 v = 3.42 pies/s.

www.FreeLibros.org13.56 c=38,900.
13.152 vC = 13.2er + 18eu (m/s) .
13.154 a = 0, a = –0.631 rad/s2.

637

638 Respuestas a los problemas con número par

13.156 (a) a = –3.52er + 4.06eu (m/s2); 14.72 (a) ©Ft = 9740 lb, ©Fn = 28,800 lb;
(b) a = –0.38i - 5.36j (m/s2). (b) du>dt = 3.95°/s.

13.158 (a) a = –225er - 173eu (pies/s2); 14.76 u = 49.9°, |v| = 10.8 pies/s.
(b) a = –108i - 263j (pies/s2). 14.78 2.62 Յ v Յ 3.74 m/s.

13.160 v = 1047eu + 587ez (pies/s), 14.80 (a) 207,000 lb; (b) 41,700 pies.
a = –219,000er (pies/s2). 14.82
13.162 (a), (b) vA>B = - 3.66i + 3.66j (m/s). (a) v = 140 m/s; (b) r = 815 m.
13.164 aA>B = 200i + 200j (pies/s2). 14.86
13.166 aA>B = 5i - 2j (pies/s2). 14.88 u = L0>R - 3(L0>R)2 - (2v0>R)t .
13.168 9.93° al este del nortenoreste, 42.0 min. 14.90 r = 697 m, e = 0.916i-0.308j + 0.256k.
13.170 14.92
13.172 2.34 m/s, 342 s. 14.94 b = 68.2°
13.174 14.96 11.4 m/s2.
13.176 (a) 7.10 m; (b) 2.22 s; (c) 11.8 m/s. 14.98
13.178 14.100 ©Fr = - 16.8 N, ©Fu = 20.7 N.
13.180 v = 42.3 m/s. 14.102 9.46er + 3.44eu (N).
13.182 14.104 vr = 14.8 m/s.
13.184 13.1 s. 14.106 |v| = 2.89 m/s, T = 41.6 N.
14.108
68.6 pies/s. 14.110 N = 1.02 lb.
|v| = 2.19 m/s, |a| = 5.58 m/s2. 14.112
a = –2.75er - 4.86eu (m/s2). ms = 0.406. La masa se desliza hacia O.
(a) v = –2.13er + 6.64eu (m/s); –1.48er-0.20eu (lb).
(b) v = –5.90i + 3.71j (m/s). k = 2mv20.
11.5er + 44.2eu + 10ez (N).
@ ©F @ = 8.36 N en t = 4.39 s.

Capítulo 14 14.114 (a) |v| = 1020 m/s; (b) t = 2.36 * 106 s (27.3 días).
14.116
14.2 (a) 6.70 m/s; (b) 10.0 m.

14.4 F = 9.91 lb.

14.6 4.03 m/s hacia abajo sobre la superficie inclinada.

14.8 1.77 s.

14.10 V = [22i + 2j + 40k] m/s.

14.12 ©F = 2.40i + 1.20j + 2.08k 1kN2.

14.14 18.8 pies/s2.
14.16 (a) No; (b) Sí, ax = 0.5 m/s2; (c) x = 2 m.
14.18 Fx = - 198 N, Fy = 1800 N.

14.20 W = 88.3 kN, T = 61.7 kN, L = 66.9 kN.

14.22 L = 293.2 kN, D = 33.0 kN. 14.118 v0 = 35,500 pies/s.
14.24 (66, 138, –58) m. 14.120 (a) 34.6 pies/s2, 3490 lb; (b) ms = 1.07.
14.26 Fx = 0.359 N, Fy = 19.888 N. 14.122 (a) F1 = 63 kN, F2 = 126 kN, F3 = 189 kN.
14.28 2.10 m/s. (b) F1 = 75 kN, F2 = 150 kN, F3 = 225 kN.
14.30 14.124 La desaceleración es de 1.49 m/s2, en comparación
14.32 (a) 3.93 lb; (b) 19.5 pies/s. con 8.83 m/s2 sobre un camino nivelado.
14.34 (a) 1.01 m/s2; (b) 6.47 m/s2. 14.126
14.36 F = 125 N. 14.128 14,300 pies (2.71 mi).
14.38 14.130
14.40 4.43 pies hacia arriba sobre la superficie. 14.132 10.5 lb.
14.134 aA = 4.02 pies/s2, T = 17.5 lb.
14.42 (a) 1200 N; (b) 1.84 m/s. 14.136 29.7 pies.
14.44 0.332 m/s2 hacia delante, 7.04 m/s2 hacia atrás.
9.30 N.
v = ; 2 24 - s2 m/s . tan a = v2>rg.
(a) 773 pies/s2 (24 g); (b) 28.0 pies/s.

14.46 (a) 11.9 pies; (b) 813 lb. 14.138 ©F = -10.7er + 2.55eu (N).
14.48 y = –18.8 mm.

14.50 (a) 50 s; (b) 40.8 N; (c) 4.8i + j (m/s). Capítulo 15
14.52 2.06 m/s2 hacia la parte superior de la barra.
14.54 @ aA@ = 7.89 pies/s2. 15.2 8.06 m.
14.56
t = 0.600 s.

14.58 Fx = –0.544 N. 15.4 3.50 pies/s.

14.60 Fx = –73.4 N, Fy = 612 N. 15.6 Pprom = 1.62 kW (kilowatts).
15.8 (a) 2.57 * 106 pie-lb/s (4670 hp).
14.62 0.284 s.

14.64 vx = 0.486 m/s, vy = –0.461 m/s. (b) 1.57 * 106 pie-lb/s (2850 hp).

15.10 (a) 1.32 * 107 pie-lb/s (24,000 hp).
(b) 6.60 * 106 pie-lb/s (12,000 hp).

15.12 3.27 m/s.
14.66 © Ft = 0, © Fn = 373 lb .
14.68 v = 17.6 m/s, © Fn = 620 N .

www.FreeLibros.org14.70 Latensiónesde4.8N,lafuerzaesde0.6N.