180 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares
ANTECEDENTES
Se ha visto que si la componente tangencial de la fuerza externa total sobre un
objeto se conoce en función de la distancia a lo largo de su trayectoria, el princi-
pio del trabajo y la energía puede usarse para relacionar un cambio de posición con
el cambio de velocidad del objeto. Sin embargo, para ciertos tipos de fuerzas se
puede determinar no sólo el trabajo sin conocer la componente tangencial de la
fuerza en función de la distancia a lo largo de la trayectoria, sino que incluso no es
necesario conocer la trayectoria. Dos ejemplos importantes son el peso y la fuerza
ejercida por un resorte.
Peso
Para evaluar el trabajo hecho por el peso de un objeto, se orienta un sistema coor-
denado cartesiano con el eje y hacia arriba y se supone que el objeto se mueve de
la posición 1 con coordenadas 1x1, y1, z12 a la posición 2 con coordenadas 1x2, y2,
z22 (figura 15.3a). La fuerza ejercida por el peso del objeto es F = -mgj. (Hay otras
fuerzas que pueden actuar sobre el objeto, pero aquí sólo interesa el trabajo reali-
zado por su peso). Como v = dr>dt, se puede multiplicar la velocidad, expresada
en coordenadas cartesianas, por dt a fin de obtener una expresión para el vector dr:
dr = a dx i + dy + dz k b dt = dx i + dy j + dz k.
dt dt j dt
Tomando el producto punto de F y dr se obtiene
F # dr = 1-mgj2 # 1dx i + dy j + dz k2 = -mg dy.
El trabajo realizado al moverse el cuerpo de la posición 1 a la posición 2 se reduce
a una integral con respecto a y:
#r2 y2
U12 = Lr1 F dr = Ly1 - mg dy.
y y
1 (x1, y1, z1) 1
Ϫmgj x x
2 (x2, y2, z2) 2
zz
(a) (b)
Figura 15.3
(a) Objeto que se mueve entre dos posiciones.
www.FreeLibros.org(b) El trabajo realizado por el peso es igual para cualquier trayectoria.
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 181
eu er
rF
RE u
Figura 15.4
Expresión del peso de un objeto
en coordenadas polares.
Evaluando la integral se obtiene el trabajo realizado por el peso de un objeto cuando
éste se mueve entre dos posiciones:
U12 = -mg1y2 - y12. (15.11)
El trabajo es simplemente el producto del peso por el cambio en la altura del obje-
to. El trabajo realizado es negativo si la altura aumenta y positivo si disminuye.
Observe que el trabajo realizado es el mismo independientemente de la trayecto-
ria que siga el cuerpo entre la posición 1 y 2 (figura 15.3b). Así, no es necesario
conocer la trayectoria para determinar el trabajo realizado por el peso de un objeto;
sólo se requiere conocer las alturas relativas de las posiciones inicial y final.
¿Qué trabajo realiza el peso de un objeto si se toma en cuenta su variación con
la distancia desde el centro de la Tierra? En términos de coordenadas polares, se
puede escribir el peso de un objeto a una distancia r desde el centro de la Tierra
como (figura 15.4)
F = - mgR 2 er.
r2 E
Usando la expresión para la velocidad en coordenadas polares, se obtiene, para el
vector dr = v dt,
dr du (15.12)
dr = a dt er + r dt eu b dt = dr er + r du eu.
El producto punto de F y dr es
mgRE2 mgRE2
r2 r2
# #F b -
dr = a- er 1dr er + r du eu2 = dr,
por lo que el trabajo se reduce a una integral con respecto a r:
#U12 = r2 dr = r2 mgRE2 dr.
r2
F -
Lr1 Lr1
Evaluando la integral, se obtiene el trabajo realizado por el peso de un objeto, con-
siderando la variación del peso con la altura:
www.FreeLibros.orgU12=mgRE2a1 - 1 (15.13)
r2 r1 b .
182 Capítulo 15 Métodos energéticos
r u r
k k(r Ϫ r0)
Figura 15.5
Expresión de la fuerza ejercida por un resorte lineal en
coordenadas polares.
De nuevo, el trabajo es independiente de la trayectoria entre las posiciones 1 y 2.
Para evaluarlo, sólo se necesita conocer la distancia radial del cuerpo desde el
centro de la Tierra en las dos posiciones.
Resortes
Suponga que un resorte lineal conecta un cuerpo a un soporte fijo. En términos de
coordenadas polares (figura 15.5), la fuerza ejercida sobre el objeto es
F = - k1r - r02er,
donde k es la constante del resorte y r0 es la longitud del resorte sin estirar. Usando
la ecuación (15.12), se obtiene el producto punto de F y dr:
# #F dr = 3 - k1r - r02er4 1dr er + r du eu2 = - k1r - r02 dr.
Resulta conveniente expresar el trabajo realizado por un resorte en términos de
su alargamiento, definido por S = r - r0. (Aunque por lo general la palabra alar-
gamiento significa un incremento de longitud, aquí el término se usa de manera
más general para denotar el cambio de longitud del resorte. Un alargamiento
negativo reduce la longitud). En términos de esta variable, F ؒ dr = -kS dS, y el
trabajo es
r2 S2
F dr = -kS dS.
#U12 =
Lr1 LS1
El trabajo realizado por un resorte unido a un soporte fijo es
U12 = - 1 k1S 2 - S 212, (15.14)
2 2
donde S1 y S2 son el alargamiento en las posiciones inicial y final. No es nece-
sario conocer la trayectoria del objeto para determinar el trabajo realizado por el
resorte. Sin embargo, recuerde que la ecuación (15.14) se aplica sólo a un resor-
te lineal. En la figura 15.6 se determina el trabajo efectuado al estirar un resorte
www.FreeLibros.orglineal calculando el área definida por la gráfica de la fuerza como una función
de S.
15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 183
Uϭ 1 S2(kS2) Ϫ 1 S1(kS1) ϭ 1 k(S22 Ϫ S21 )
2 2 2
kS
kS2 Figura 15.6
S Trabajo realizado al estirar un resorte lineal de
kS1
S1 S1 a S2. (Si S2 7 S1, el trabajo realizado sobre el
resorte es positivo, por lo que el trabajo realizado
S2
por el resorte es negativo).
RESULTADOS
Peso y
Cuando el peso puede considerarse 1 (x1, y1, z1)
constante, el trabajo es
U12 ϭ Ϫmg(y2 Ϫ y1), (15.11)
donde el eje positivo y apunta hacia
arriba. El trabajo es el producto
del peso y el cambio en la x
2 (x2, y2, z2)
altura. Es negativo si la altura Ϫmgj
aumenta y positivo si la z
altura disminuye.
Para algunos tipos de Peso variable 2
fuerzas, el trabajo rea- Cuando se debe considerar la r2
lizado durante un mo- variación de la gravedad con RE
vimiento de una la altura, el trabajo es
posición 1 a una posi- r1
ción 2 puede determi- 11 1
narse con facilidad. Ϫ
Observe que el trabajo
es independiente de la r2 r1
trayectoria de 1 a 2. U12 ϭ mgRE2 , (15.13)
donde RE es el radio de la Tierra.
Resortes 2
El trabajo realizado sobre un objeto 1
por un resorte lineal es
U12 ϭ Ϫ12 k(S22 Ϫ S21), (15.14)
donde S1 y S2 son los valores del
estiramiento del resorte en las
posiciones inicial y final.
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184 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo activo 15.4 Trabajo realizado por pesos y resortes (᭤ Relacionado con el problema 15.49)
El martillo de 40 kg mostrado en la figura se levanta a la posición 1 y se libera
desde el reposo. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2.
La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando
el martillo se encuentra en la posición 2. Ignore la fricción. ¿Cuál es la velocidad
del martillo justo antes de que golpee la pieza de trabajo?
1 Martillo
k k 400
mm
2
Pieza de trabajo 300 mm
Estrategia
El peso del martillo y las fuerzas ejercidas sobre éste por los dos resortes realizan
trabajo sobre él. Se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al movimien-
to del martillo de la posición 1 a la posición 2 para determinar su velocidad en la
posición 2.
Solución Upesoϭ (peso)(cambio en altura)
ϭ [(40 kg)(9.81 m/s2)](0.4 m)
Calcule el trabajo realizado por el peso: El ϭ 157 N-m.
martillo cae hacia abajo, por lo que el trabajo
es positivo, y su magnitud es el producto del
peso por el cambio en la altura.
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15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 185
S1 ϭ (0.3 m)2 ϩ (0.4 m)2 Ϫ 0.3 m
ϭ 0.2 m,
Calcule el trabajo realizado por cada S2 ϭ 0,
uno de los resortes. Los resortes están
sin estirar en la posición 2. Uresorte ϭ Ϫ12 k(S22 Ϫ S12)
ϭ Ϫ 1 (1500 N/m)[(0)2 Ϫ (0.2 m)2]
2
ϭ 30 N-m.
Upeso ϩ 2(Uresorte) ϭ 1 mv22 Ϫ 1 mv21:
2 2
Aplique el trabajo y la energía para obtener 157 N-m ϩ 2(30 N-m) ϭ 1 (40 kg)v22 Ϫ 0.
la velocidad del martillo en la posición 2. 2
Resolviendo, se obtiene
v2 ϭ 3.29 m/s.
Problema de práctica Al martillo de 40 kg se le da una velocidad hacia abajo de 2 m/s
en la posición 1. Cae y golpea a una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La
constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo
se encuentra en la posición 1. Ignore la fricción. ¿Cuál es la velocidad del martillo justo
antes de golpear la pieza de trabajo?
k1 Martillo
2 k
400
Pieza de trabajo mm
Respuesta: v2 = 2.97 m/s. 300 mm
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186 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.5 Trabajo realizado por el peso (᭤ Relacionado con el problema 15.31)
El esquiador de la figura, viaja a 15 m/s en la posición 1 acercándose a su salto.
Cuando llega al extremo horizontal de la rampa en la posición 2, 20 m abajo de la
posición 1, salta hacia arriba, alcanzando una componente vertical de velocidad de
3 m/s. (No tome en cuenta el pequeño cambio en la posición vertical de su centro
de masa debido al movimiento de su salto). Ignore la resistencia aerodinámica y la
fricción en sus esquís.
a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del esquiador cuando deja la rampa en la
posición 2?
b) En el punto más alto de su salto, posición 3, ¿cuáles son las magnitudes de su ve-
locidad y la altura de su centro de masa sobre la posición 2?
1
3
2
Estrategia
a) Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas y de fricción, la única fuerza que realiza
trabajo entre las posiciones 1 y 2 es el peso del esquiador. La fuerza normal ejerci-
da por la rampa sobre los esquís no trabaja porque es perpendicular a la trayectoria.
Sólo es necesario conocer el cambio en la altura del esquiador desde la posición 1
hasta la posición 2 para calcular el trabajo realizado por su peso, por lo que se puede
aplicar el principio del trabajo y la energía para determinar su velocidad en la posi-
ción 2 justo antes de saltar.
b) Entre el tiempo que deja la rampa en la posición 2 y cuando alcanza la posición
3, la única fuerza que actúa sobre el esquiador es su peso, por lo que la componen-
te horizontal de su velocidad es constante. Esto significa que se conoce la magni-
tud de su velocidad en la posición 3, porque se está moviendo horizontalmente en
ese punto. Por lo tanto, se puede aplicar el principio del trabajo y la energía al mo-
vimiento del esquiador de la posición 2 a la posición 3 para determinar su altura sobre
la posición 2.
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y 15.2 Trabajo realizado por fuerzas particulares 187
2
x
(a) La altura del centro de masa del esquiador
se mide respecto a la posición 2.
Solución
a) Se usará la ecuación (15.11) para evaluar el trabajo realizado por el peso del es-
quiador, midiendo la altura de su centro de masa respecto a la posición 2 (figura a).
El principio del trabajo y la energía entre la posición 1 y la posición 2 es
U12 = - mg1y2 - y12 = 1 mv22 - 1 mv21:
2 2
- m19.81210 - 202 = 1 mv22 - 1 m11522.
2 2
Despejando v2, se encuentra que la velocidad del esquiador en la posición 2 antes
de saltar es de 24.8 m/s. Después de saltar, la magnitud de su velocidad en la posi-
ción 2 es v2œ = 2124.822 + 1322 = 25.0 m/s.
b) La magnitud de la velocidad del esquiador en la posición 3 es igual a la compo-
nente horizontal de su velocidad en la posición 2: v3 = v2 = 24.8 m/s. Aplicando el
trabajo y la energía a su movimiento entre la posición 2 y la 3, se obtiene
U23 = - mg1y3 - y22 = 1 mv23 - 1 m1v2œ 22:
2 2
- m19.8121y3 - 02 = 1 m124.822 - 1 m125.022,
2 2
de donde se deduce que y3 = 0.459 m.
Razonamiento crítico
¿Por qué no fue necesario incluir el efecto de la fuerza normal ejercida por la
rampa sobre el esquiador? La razón es que es perpendicular a su trayectoria y por
lo tanto no trabaja. Para obtener una predicción exacta del movimiento del esquia-
dor, podría ser necesario tomar en cuenta la fuerza de fricción ejercida por la
rampa y las fuerzas aerodinámicas. No obstante, el análisis aproximado de este
ejemplo proporciona un acercamiento útil, mostrando cómo el trabajo realizado
por la gravedad mientras el esquiador desciende, hace que su energía cinética se
incremente. Observe que el trabajo efectuado por la gravedad está determinado por
su cambio en la altura, no por la longitud de su trayectoria.
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188 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.6 Trabajo realizado por la gravedad de la Tierra (᭤ Relacionado con el problema 15.74)
RE r1 Una nave espacial localizada a una distancia r1 = 2RE del centro de la Tierra tiene
v1 una velocidad de magnitud v1 = 22gRE>3 respecto a un marco de referencia no
giratorio con su origen en el centro de la Tierra. Determine la magnitud de la velo-
cidad de la nave espacial cuando ésta se encuentra a una distancia r2 = 4RE desde
el centro de la Tierra.
Estrategia
Aplicando la ecuación (15.13) para determinar el trabajo realizado por la fuerza
gravitacional sobre la nave espacial, se puede usar el principio del trabajo y la ener-
gía para determinar la magnitud de la velocidad de la nave espacial.
Solución
A partir de la ecuación (15.13), el trabajo realizado por la gravedad mientras la nave
espacial se mueve de una distancia r1 desde el centro de la Tierra a una distancia r2 es
U12 = mgRE2 a 1 - 1 b .
r2 r1
Sea v2 la magnitud de la velocidad de la nave espacial cuando se encuentra a una
distancia r2 del centro de la Tierra. Aplicando el principio del trabajo y la energía
resulta
U12 = mgRE2 a 1 - 1 = 1 mv22 - 1 mv21.
r2 r1 b 2 2
Se despeja v2, para obtener
v2 = Cv21 + 2gRE2 a 1 - 1 b
r2 r1
= C a 2gRE b + 2gR2E a 1 - 1
3 4RE 2RE b
= gRE.
A6
La velocidad v2 = v1>2.
Razonamiento crítico
Observe que no fue necesario especificar la dirección de la velocidad inicial de la
nave espacial para determinar la magnitud de su velocidad a una distancia diferente
del centro de la Tierra. Esto ilustra el poder del principio del trabajo y la energía, así
como una de sus limitaciones. Aun si se conoce la dirección de la velocidad inicial,
el principio del trabajo y la energía indica sólo la magnitud de la velocidad a una
www.FreeLibros.orgdistanciadiferente.
Problemas 189
Problemas
᭤ 15.31 En el ejemplo 15.5, suponga que el esquiador se mueve 15.35 En el caso a), una bola de 5 lb se suelta desde el reposo en
a 20 m/s cuando está en la posición 1. Determine la componente la posición 1 y cae hasta la posición 2. En el caso b), la bola se
horizontal de su velocidad cuando alcanza la posición 2, 20 m suelta desde el reposo en la posición 1 y oscila hasta la posición 2.
debajo de la posición 1. Para cada caso use el principio del trabajo y la energía para deter-
minar la magnitud de la velocidad de la bola en la posición 2. [En
15.32 Suponga que alguien está de pie en el borde de un precipi- el caso b), observe que la fuerza ejercida por la cuerda sobre la
cio de 200 pies y lanza rocas a 30 pies/s en las tres direcciones bola es perpendicular a su trayectoria].
mostradas. Ignorando la resistencia aerodinámica, use el principio
del trabajo y la energía en cada caso para determinar la magnitud 11
de la velocidad de la roca justo antes de golpear el suelo.
(a) 2 pies 2
30Њ
2
(b) (a) (b)
30Њ
Problema 15.35
(c)
200 pies
Problema 15.32 15.36 La bola de 2 kg mostrada en la figura se suelta desde el
reposo en la posición 1 con la cuerda horizontal. La longitud de
15.33 La caja de 30 kg que se muestra en la figura se desliza la cuerda es L = 1 m. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la
hacia abajo sobre la superficie lisa a 1 m/s cuando está en la posi- bola cuando está en la posición 2?
ción 1. En cada caso, determine la magnitud de la velocidad de la
caja en la posición 2. 15.37 La bola de 2 kg mostrada en la figura se suelta desde el
reposo en la posición 1 con la cuerda horizontal. La longitud de
15.34 Resuelva el problema 15.33 si el coeficiente de fricción la cuerda es L = 1 m. ¿Cuál es la tensión en la cuerda cuando la
cinética entre la caja y la superficie inclinada es mk = 0.2. bola está en la posición 2?
Estrategia: Dibuje el diagrama de cuerpo libre de la bola
cuando está en la posición 2 y escriba la segunda ley de Newton
en términos de las componentes normal y tangencial.
1 1
1 40Њ
L
2m 2
2
2 Problemas 15.36/15.37
60Њ 40Њ
(a) (b)
Problemas 15.33/15.34
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190 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.38 La bola de demolición de 400 lb que se muestra en la figura 15.42 El collarín de 4 lb mostrado se desliza hacia abajo por el
oscila en el extremo de un cable de 25 pies. Si la magnitud de la ve- alambre rígido liso desde la posición 1 hasta la posición 2. Cuando
locidad de la bola en la posición 1 es de 4 pies/s, ¿cuál es la magni- llega a la posición 2, la magnitud de su velocidad es de 24 pies/s.
tud de su velocidad justo antes de golpear la pared en la posición 2? ¿Cuál es la magnitud de su velocidad en la posición 1?
15.39 La bola de demolición de 400 lb que se muestra en la y
figura oscila en el extremo de un cable de 25 pies. Si la magnitud
de la velocidad de la bola en la posición 1 es de 4 pies/s, ¿cuál (Ϫ2, 6, 4) pies
es la tensión máxima en el cable durante el movimiento de la 1
bola desde la posición 1 hasta la posición 2?
4 lb
65Њ
95Њ
x
1 z
2 2
(4, Ϫ1, 4) pies
Problemas 15.38/15.39
15.40 Un conductor quiere guiar un automóvil a través del lazo Problema 15.42
circular de radio R = 5 m que se muestra en la figura. Determine
la velocidad mínima v0 a la que el automóvil puede entrar al lazo 15.43 Las fuerzas que actúan sobre el avión de 28,000 lb mostrado
y recorrerlo sin perder contacto con la pista. ¿Cuál es la velocidad son el empuje T y la resistencia D, las cuales son paralelas a la
del automóvil en la parte superior del lazo? trayectoria del avión; la sustentación L, que es perpendicular a la tra-
yectoria; y el peso W. El avión se eleva de 3000 pies a una altura
R de 10,000 pies. Durante la elevación, la magnitud de su velocidad
disminuye de 800 pies/s a 600 pies/s.
a) ¿Cuál es el trabajo realizado sobre el avión por la fuerza de
sustentación durante la elevación?
b) ¿Cuál es el trabajo realizado por las fuerzas de empuje y
resistencia combinadas?
v0 L T
Problema 15.40 D
W
15.41 El collarín de 2 kg mostrado parte desde el reposo en la
posición 1 y se desliza hacia abajo por el alambre rígido liso. El Problema 15.43
eje y apunta hacia arriba. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad
del collarín cuando alcanza la posición 2?
y 1 (5, 5, 2) m
2 kg
x
z 2 (3, Ϫ1, 3) m
www.FreeLibros.orgProblema15.41
Problemas 191
15.44 El automóvil de 2400 lb mostrado viaja a 40 mi/h en la 15.47 Un ingeniero biomecánico interesado en los requerimien-
posición 1. Si el efecto combinado de la resistencia aerodinámica tos energéticos de los deportes, determina a partir de un video que
sobre el automóvil y la fuerza tangencial ejercida sobre el camino cuando el atleta comienza su movimiento para lanzar la bala de
por sus neumáticos es una fuerza tangencial neta nula sobre el 7.25 kg (figura P15.47a), la bala está en reposo y a 1.50 m sobre
vehículo, ¿cuál es su velocidad en la posición 2? el suelo. En el instante que el atleta la suelta (figura P15.47b), la
bala está a 2.10 m sobre el suelo. La bala alcanza una altura máxi-
15.45 El automóvil de 2400 lb mostrado viaja a 40 mi/h en la ma de 4.60 m sobre el suelo y recorre una distancia horizontal de
posición 1. Si el efecto combinado de la resistencia aerodinámica 18.66 m desde el punto donde es lanzada. ¿Cuánto trabajo realiza
sobre el automóvil y la fuerza tangencial ejercida sobre el camino el atleta sobre la bala desde el inicio de su movimiento hasta el
por sus neumáticos es una fuerza tangencial constante de 400 lb instante en que la suelta?
sobre el vehículo en la dirección de su movimiento, ¿cuál es la
velocidad del automóvil en la posición 2?
120 pies
30Њ
2
1
30Њ (a) (b)
Problema 15.47
100 pies
Problemas 15.44/15.45 15.48 Una pequeña canica de masa m = 0.2 kg se desliza desde la
posición de reposo en 1 a lo largo de la superficie lisa del cilindro
15.46 La masa del cohete mostrado es de 250 kg. Su motor tiene mostrado, hasta la posición 2, donde u = 30°.
un empuje constante de 45 kN. La longitud total de la rampa de a) ¿Qué trabajo se efectúa sobre la canica al deslizarse de la
lanzamiento es de 10 m. Si la magnitud de la velocidad del cohete posición 1 a la 2?
cuando éste llega al final de la rampa es de 52 m/s, ¿cuánto trabajo b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la canica en la
realizan la fricción y la resistencia aerodinámica sobre el cohete? posición 2?
2m 1
2
m
0.8 m u
Problema 15.46
Problema 15.48
᭤ 15.49 En el ejemplo activo 15.4, suponga que se desea in-
crementar el valor de la constante de resorte k de manera que la
velocidad del martillo justo antes de golpear la pieza de trabajo
www.FreeLibros.orgsea de 4 m/s. ¿Cuál es el valor requerido de k?
192 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.50 Suponga que se desea diseñar un “parachoques” que 15.54 El sistema mostrado se libera desde el reposo con el resorte
detenga un paquete de 50 lb que se mueve a 10 pies/s a 6 pulg sin estirar. La constante del resorte es k = 200 N/m. Determine la
del punto de contacto. Si la fricción es insignificante, ¿cuál es magnitud de la velocidad de los cuerpos cuando la masa de la dere-
la constante de resorte k necesaria? cha ha caído 1 m.
15.51 En el problema 15.50, ¿qué constante de resorte se re- 15.55 El sistema mostrado se libera desde el reposo con el resor-
quiere si el coeficiente de fricción cinética entre el paquete y el te sin estirar. La constante del resorte es k = 200 N/m. ¿Cuál es la
piso es mk = 0.3 y el paquete entra en contacto con el parachoques velocidad máxima hacia abajo que alcanza la masa de la derecha
moviéndose a 10 pies/s? mientras cae?
10 pies/s
k
Problemas 15.50/15.51
4 kg 20 kg
15.52 El paquete de 50 lb que se muestra en la figura parte k
desde el reposo, se desliza hacia abajo sobre la rampa y es
detenido por el resorte. Problemas 15.54/15.55
a) Si se desea que el paquete llegue al reposo a 6 pulg del punto
de contacto, ¿qué valor debe tener la constante k del resorte? 15.56 El sistema mostrado se suelta desde el reposo. La masa
b) ¿Cuál es la desaceleración máxima a la que está sometido el de 4 kg se desliza sobre la superficie horizontal lisa. La constante
paquete? del resorte es k = 100 N/m y la tensión en el resorte cuando el
sistema se libera es 50 N. Usando el principio del trabajo y la
15.53 El paquete de 50 lb que se muestra en la figura parte energía, determine la magnitud de la velocidad de los cuerpos
desde el reposo, se desliza hacia abajo sobre la rampa y es dete- cuando la masa de 20 kg ha caído a 1 m.
nido por el resorte. El coeficiente de fricción estática entre el
paquete y la rampa es mk = 0.12. Si se desea que el paquete 15.57 Resuelva el problema 15.56 si el coeficiente de fricción
llegue al reposo a 6 pulg del punto de contacto, ¿qué valor debe cinética entre la masa de 4 kg y la superficie horizontal es mk = 0.4.
tener la constante k del resorte?
4 pies k 4 kg
k
30Њ
Problemas 15.52/15.53
20 kg
www.FreeLibros.orgProblemas 15.56/15.57
Problemas 193
15.58 La caja de 40 lb mostrada se libera desde el reposo sobre 15.63 El collarín de 4 kg mostrado se suelta desde el reposo en la
la superficie lisa inclinada con el resorte sin estirar. La constante posición 1 sobre la barra lisa. La constante de resorte es k = 6 kN/m
del resorte es k = 8 lb/pie. y el resorte no está estirado en la posición 2. ¿Cuál es la velocidad
a) ¿Qué distancia recorre la caja a lo largo de la superficie inclinada del collarín cuando éste ha caído a la posición 2?
antes de detenerse?
b) ¿Qué velocidad máxima alcanza en su recorrido descendente? 15.64 El collarín de 4 kg mostrado se suelta desde el reposo en la
posición 1 sobre la barra lisa. La constante de resorte es k = 4 kN/m.
15.59 Resuelva el problema 15.58 si el coeficiente de fricción La tensión en el resorte en la posición 2 es de 500 N. ¿Cuál es la
cinética entre la caja de 4 kg y la superficie es mk = 0.2. velocidad del collarín cuando ha caído a la posición 2?
k 15.65 El collarín de 4 kg mostrado se suelta desde el reposo en
la posición 1 sobre la barra lisa. Su velocidad cuando ha caído a la
posición 2 es de 4 m/s. El resorte no está estirado cuando el collarín
está en la posición 2. ¿Qué valor tiene la constante de resorte k?
30Њ 1
Problemas 15.58/15.59 250 mm k
15.60 El collarín de 4 kg mostrado parte desde el reposo en la 2
posición 1 sobre la barra lisa y con el resorte sin estirar. La cons-
tante del resorte es k = 100 N/m. ¿A qué distancia cae el collarín 200 mm
respecto a la posición 1?
15.61 En la posición 1 sobre la barra lisa mostrada, el collarín de
4 kg tiene una velocidad hacia abajo de 1 m/s y el resorte está sin
estirar. La constante del resorte es k = 100 N/m. ¿Cuál es la velo-
cidad máxima hacia abajo que alcanza el collarín mientras cae?
15.62 El collarín de 4 kg mostrado parte desde el reposo en la Problemas 15.63–15.65
posición 1 sobre la barra lisa. La tensión en el resorte en la posi-
ción 1 es de 20 N. La constante del resorte es k = 100 N/m. ¿A 15.66 El collarín de 10 kg mostrado parte del reposo en la posi-
qué distancia cae el collarín respecto a la posición 1? ción 1 y se desliza a lo largo de la barra lisa. El eje y apunta hacia
arriba. La constante del resorte es k = 100 N/m y la longitud del
k resorte sin estirar es de 2 m. ¿Cuál es la velocidad del collarín
cuando éste alcanza la posición 2?
y 2 (4, 4, 2) m
(6, 2, 1) m
1
1 (1, 1, 0) m
x
z
Problema 15.66
www.FreeLibros.orgProblemas 15.60–15.62
194 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.67 Un mortero accionado por resortes se usa para lanzar al 15.70 El collarín de 2 kg mostrado está inicialmente en reposo en
aire paquetes de fuegos artificiales de 10 lb. El paquete parte desde la posición 1. Una fuerza constante de 100 N se aplica a la cuerda,
el reposo con el resorte comprimido a una longitud de 6 pulg. La ocasionando que el collarín se deslice hacia arriba sobre la barra
longitud no estirada del resorte es de 30 pulg. Si la constante de lisa vertical. ¿Cuál es la velocidad del collarín cuando alcanza la
resorte es k = 1300 lb/pie, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del posición 2? (Vea el problema 15.69).
paquete cuando sale del mortero?
15.68 Suponga que el mortero del problema 15.67 se quiere 200 mm
diseñar para lanzar el paquete a una altura de 150 pies sobre su 2
posición inicial. Ignorando la fricción y la fuerza de arrastre,
determine la constante de resorte necesaria.
500 mm
100 N
30 pulg
6
pulg 1
60Њ
Problema 15.70
Problemas 15.67/15.68 15.71 El collarín de 10 kg mostrado parte desde el reposo en la
posición 1. La tensión en la cuerda es de 200 N y el eje y apunta
15.69 Suponga que un objeto está unido a una cuerda con tensión hacia arriba. Si la fricción es insignificante, ¿cuál es la magnitud
constante T como se muestra. La fuerza ejercida sobre el objeto se de la velocidad del collarín cuando éste alcanza la posición 2?
puede expresar en coordenadas polares como F = -Ter. Demuestre (Vea el problema 15.69).
que el trabajo realizado sobre el objeto cuando éste se mueve a lo
largo de una trayectoria plana arbitraria desde una posición radial y 2 (4, 4, 2) m
r1 a otra posición radial r2 es U12 = -T1r2 - r12.
r (6, 2, 1) m
1 (1, 1, 0) m 200 N
u
x
z
Problema 15.71
T
www.FreeLibros.orgProblema15.69
Problemas 195
15.72 Cuando el avión F/A-18 mostrado aterriza a 210 pies/s, el 15.75 Un pedazo de material se desprende debido al choque de
cable que une los puntos A y B se acopla al gancho de freno del un meteoro contra la Luna. Cuando se encuentra a 1000 km sobre
avión en C. El mecanismo de frenado mantiene la tensión del la superficie de la Luna, la magnitud de su velocidad (respecto a
cable en un valor constante, y hace que el avión de 26,000 lb se un marco de referencia no giratorio con su origen en el centro de
detenga a una distancia de 72 pies. ¿Cuál es la tensión en el cable? la Luna) es de 200 m/s. ¿Cuál es la magnitud de su velocidad justo
(Vea el problema 15.69). antes de chocar con la superficie lunar? (La aceleración debida a
la gravedad en la superficie de la Luna es de 1.62 m/s2. El radio
15.73 Si el avión del problema 15.72 aterriza a 240 pies/s, ¿cuál es de la Luna es de 1738 km).
la distancia que rueda antes de que el sistema de frenado lo detenga?
1000 km 200 m/s
Problema 15.75
72 pies 15.76 Un satélite en una órbita circular de radio r alrededor de la
Tierra tiene una velocidad v = 2gRE2>r, donde RE = 6370 km es
el radio de la Tierra. Suponga que se está diseñando un cohete
para transferir un satélite de comunicaciones de 900 kg desde una
órbita circular de espera de 6700 km de radio a una órbita geosin-
crónica de 42,222 km de radio. ¿Cuánto trabajo debe realizar el
cohete sobre el satélite?
C 15.77 La fuerza ejercida sobre una partícula cargada por un
AB campo magnético es
66 pies F = qv * B,
Problemas 15.72/15.73 donde q y v son la carga y la velocidad de la partícula y B es el
vector de campo magnético. Suponga que las otras fuerzas sobre
᭤ 15.74 Una nave espacial localizada a 320 km sobre la superficie la partícula son despreciables. Use el principio del trabajo y la
de la Tierra tiene una velocidad de escape vesc = 10,900 m/s. ¿Cuál energía para demostrar que la magnitud de la velocidad de la
es la distancia desde el centro de la Tierra cuando su velocidad es partícula es constante.
50 por ciento de la velocidad inicial? El radio de la Tierra es de
6370 km. (Vea el ejemplo 15.6).
vesc
320 km
Problema 15.74
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196 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas
ANTECEDENTES
Energía potencial
El trabajo realizado sobre un objeto por algunas fuerzas se puede expresar como el
cambio de una función de la posición del objeto, llamada energía potencial. Cuando
todas las fuerzas que efectúan trabajo sobre un sistema tienen esta propiedad, el
principio del trabajo y la energía puede establecerse como una ley de conservación:
La suma de las energías cinética y potencial es constante.
Cuando se dedujo el principio del trabajo y la energía en la sección 15.1 integran-
do la segunda ley de Newton, fue posible evaluar la integral a un lado de la ecuación
y se obtuvo el cambio en la energía cinética:
#r2 1 2 1 21.
U12 = ©F dr = 2 mv 2 - 2 mv (15.15)
Lr1
Suponga que se podría determinar una función escalar de la posición V tal que
dV = - ©F # dr. (15.16)
Entonces también se podría evaluar la integral que define el trabajo:
#r2 V2
U12 = ©F dr = - dV = - 1V2 - V12, (15.17)
Lr1 LV1
donde V1 y V2 son los valores de V en las posiciones r1 y r2, respectivamente.
Sustituyendo esta expresión en la ecuación (15.15), se obtiene el principio del tra-
bajo y la energía de la forma
1 mv21 + V1 = 1 mv22 + V2. (15.18)
2 2
Si la energía cinética aumenta mientras el objeto se mueve de la posición 1 a la posi-
ción 2, la función V debe disminuir, y viceversa, como si V representara un depósito
de energía cinética “potencial”. Por esta razón, V se llama energía potencial.
La ecuación (15.18) establece que la suma de las energías cinética y potencial de
un objeto tiene el mismo valor en cualesquiera dos puntos. La energía se conserva.
Sin embargo, existe una restricción importante en el uso de este resultado. Se llegó
a la ecuación (15.18) suponiendo que existe una función V, la energía potencial,
que satisface la ecuación (15.16). Esto es cierto para un tipo limitado de fuerzas, que
se denominan conservativas. Las fuerzas conservativas se analizan en la siguiente
sección. Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre un objeto son conservativas,
es posible aplicar la ecuación (15.18), donde V es la suma de las energías potenciales
de las fuerzas que realizan trabajo sobre el objeto. En caso contrario, la ecuación
(15.18) no puede utilizarse. Se dice que un sistema es conservativo si todas las
fuerzas que efectúan trabajo sobre el sistema son conservativas. En un sistema
conservativo, la suma de las energías cinética y potencial se conserva.
Un objeto puede estar sometido tanto a fuerzas conservativas como no conser-
vativas. Cuando se da este caso, a menudo resulta conveniente introducir las ener-
gías potenciales de las fuerzas que son conservativas en el enunciado del principio del
trabajo y la energía. Para permitir esta opción, se escribe la ecuación (15.15) como
www.FreeLibros.org1 mv12 + V1 + U12 = 1 mv22 + V2. (15.19)
22
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 197
Cuando el principio del trabajo y la energía se escribe de esta manera, el término
U12 incluye el trabajo realizado por todas las fuerzas no conservativas que actúan
sobre el objeto. Si una fuerza conservativa efectúa trabajo sobre el objeto, existe
una alternativa. El trabajo se puede calcular y ser incluido en U12, o bien la ener-
gía potencial de la fuerza puede incluirse en V. Este procedimiento también puede
aplicarse a un sistema que está sometido tanto a fuerzas conservativas como no
conservativas. La suma de las energías cinética y potencial de un sistema en la
posición 1 más el trabajo efectuado mientras el sistema se desplaza de la posición
1 a la posición 2 es igual a la suma total de las energías cinética y potencial en la
posición 2.
Fuerzas conservativas 2
mkmg
La conservación de la energía se puede aplicar sólo si las fuerzas que realizan traba- 1
jo sobre un objeto o sistema son conservativas y sus energías potenciales se conocen Figura 15.7
(o pueden determinarse). En esta sección se determinan las energías potenciales de Trayectoria del libro de la posición 1 a la posi-
algunas fuerzas conservativas y se presentan aplicaciones de la conservación de la ción 2. La fuerza de fricción apunta en dirección
energía. Pero antes de analizar fuerzas conservativas, se demuestra con un sencillo opuesta a la del movimiento del libro.
ejemplo que las fuerzas de fricción no son conservativas.
y
El trabajo hecho por una fuerza conservativa, cuando un objeto se mueve de
una posición 1 a una posición 2, es independiente de la trayectoria del objeto. Esto
se deduce de la ecuación (15.17), que establece que el trabajo depende sólo de la
energía potencial en las posiciones 1 y 2. La ecuación (15.17) también implica que
si el objeto se mueve a lo largo de una trayectoria cerrada, que lo hace regresar a
la posición 1, el trabajo realizado por una fuerza conservativa es igual a cero.
Suponga que un libro de masa m descansa sobre una mesa y es empujado horizon-
talmente deslizándose a lo largo de una trayectoria de longitud L. La magnitud de
la fuerza de fricción es mkmg, y su dirección es opuesta a la del movimiento del
libro (figura 15.7). El trabajo realizado es
L
U12 = L0 - mkmg ds = - mkmgL.
El trabajo es proporcional a la longitud de la trayectoria del objeto y por lo tanto
no es independiente de la trayectoria, Como lo demuestra este ejemplo sencillo, las
fuerzas de fricción no son conservativas.
El peso de un objeto y la fuerza ejercida por un resorte unido a un soporte fijo
son fuerzas conservativas. Usándolas como ejemplos, se demostrará cómo determi-
nar las energías potenciales de otras fuerzas conservativas. También se emplean las
energías potenciales de estas fuerzas como ejemplos del uso de la conservación de
la energía para analizar los movimientos de sistemas conservativos.
Peso Para determinar la energía potencial asociada con el peso de un objeto, se
usa un sistema cartesiano con su eje y dirigido hacia arriba (figura 15.8). El peso
es F = - mgj y su producto punto con el vector dr es
F # dr = 1-mgj2 # 1dx i + dy j + dz k2 = -mg dy.
De la ecuación (15.16), la energía potencial V debe satisfacer la relación x
dV = -F # dr = mg dy, Ϫmgj
(15.20)
que se puede escribir como z
Figura 15.8
Peso de un objeto expresado en un sistema
coordenado con el eje y dirigido hacia arriba.
= dVmg.
www.FreeLibros.orgdy
198 Capítulo 15 Métodos energéticos
Integrando esta ecuación se obtiene
V = mgy + C,
donde C es una constante de integración arbitraria. Esta expresión satisface la
ecuación (15.20) para cualquier valor de C. Otra manera de entender por qué C es
arbitraria es observar en la ecuación (15.18) que la diferencia en la energía poten-
cial entre dos posiciones es la que determina el cambio en la energía cinética. Se
hace C = 0 y se escribe la energía potencial del peso de un objeto como
V = mgy. (15.21)
La energía potencial es el producto del peso del objeto por la altura. La altura se puede
medir desde cualquier nivel de referencia conveniente, o datum. Como la diferencia
de energía potencial determina el cambio en la energía cinética, es la diferencia de
altura lo que importa, no el nivel desde el cual se mide ésta.
La montaña rusa (figura 15.9a) es un ejemplo clásico de la conservación de la
energía. Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas y de fricción, el peso del vagón es
la única fuerza que realiza trabajo y el sistema es conservativo. La energía poten-
cial del vagón de la montaña rusa es proporcional a la altura de la vía respecto a
Nivel de
referencia
(a)
Energía cinética
Energía total ϭ 0
Energía potencial
(b)
Figura 15.9
(a) Montaña rusa y nivel de referencia, o datum.
www.FreeLibros.org(b) La suma de las energías potencial y cinética es constante.
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 199
un nivel de referencia. En la figura 15.9b, se supone que el vagón parte desde el
reposo en el nivel de referencia. La suma de las energías cinética y potencial es
constante, por lo que la energía cinética “refleja” la energía potencial. En puntos
de la vía que tienen igual altura, las magnitudes de las velocidades son iguales.
Para tomar en cuenta la variación del peso con la distancia desde el centro de
la Tierra, se puede expresar el peso en coordenadas polares como
F = - mgR 2 er,
r2 E
donde r es la distancia desde el centro de la Tierra (figura 15.10). De la ecuación eu er
(15.12), el vector dr en términos de coordenadas polares es rF
RE u
dr = dr er + r du eu. (15.22)
Figura 15.10
La energía potencial debe satisfacer Expresión del peso en términos de
coordenadas polares.
#dV = dr = mgR2E
-F r2 dr,
o
dV = mgR 2
dr r2
E.
Se integra esta ecuación y se iguala a cero la constante de integración, obteniendo
la energía potencial
V = - mgR 2 (15.23)
r E.
Compare esta expresión con la energía potencial gravitatoria dada por la ecuación
(15.21), donde la variación de la fuerza gravitatoria con la altura es insignificante.
(Vea el problema 15.109).
Resortes En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida sobre un objeto
por un resorte lineal es
F = - k1r - r02er,
donde r0 es la longitud sin estirar del resorte (figura 15.11). Usando la ecuación
(15.22), se observa que la energía potencial debe satisfacer
dV = - F ؒ dr = k1r - r02 dr.
rr
u k(r Ϫ r0)
k
Figura 15.11
www.FreeLibros.orgExpresión de la fuerza ejercida por un resorte
lineal en coordenadas polares.
200 Capítulo 15 Métodos energéticos
Expresada en términos del alargamiento del resorte S = r - r0 esta ecuación es
dV = kS dS, o
dV = kS.
dS
Integrando, se obtiene la energía potencial de un resorte lineal:
V = 1 kS2. (15.24)
2
RESULTADOS
Fuerzas conservativas y energía potencial
Para una fuerza dada F, si existe una función de posición V tal que
dV ϭ ϪFؒdr,
entonces se dice que F es conservativa, y V se denomina la energía
potencial asociada con F.
Conservación de la energía
Si todas las fuerzas que realizan tra- 1 mv21 ϩ V1 ϭ 1 mv22 ϩ V2. (15.18)
bajo sobre un objeto son conservati- 2 2
vas, la suma de la energía cinética y
la energía potencial total es la misma
en cualesquiera dos puntos.
Cuando tanto fuerzas conservativas como 1 mv21 ϩ V1 ϩ U12 ϭ 1 mv22 ϩ V2. (15.19)
no conservativas realizan trabajo sobre un 2 2
objeto, el principio del trabajo y la energía
puede expresarse en términos de la energía
potencial V de las fuerzas conservativas y
el trabajo U12 efectuado por las fuerzas no
conservativas.
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Por lo general, la aplicación de la conser- 15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 201
vación de la energía implica tres pasos.
1. Determinar si las fuerzas son conservativas. Dibuje un
diagrama de cuerpo libre para identificar las fuerzas que
realizan trabajo y confirme que éstas son conservativas.
2. Determinar la energía potencial. Evalúe las energías
potenciales de las fuerzas que realizan trabajo.
3. Aplicar la conservación de la energía. Iguale la suma de las
energías cinética y potencial del sistema en dos posiciones.
De ahí se obtiene una expresión que relaciona un cambio en
la posición con el cambio en la energía cinética.
Energías potenciales asociadas con fuerzas particulares
Peso y
Cuando el peso se puede considerar Ϫmgj
constante, la energía potencial es
V ϭ mgy, (15.21)
donde el eje y positivo apunta hacia arri- x
ba. La energía potencial es el producto
del peso por la altura sobre un nivel de
referencia, o datum, arbitrario.
z
Peso variable r
Cuando debe considerarse la variación RE u
de la gravedad con la altura, la energía
potencial es
V ϭ Ϫ mgR2E , (15.23)
r
donde RE es el radio de la Tierra.
Resortes
La energía potencial de un resorte lineal es
V ϭ 1 kS2, (15.24)
2
k
donde S es el estiramiento del resorte.
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202 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo activo 15.7 Energía potencial de peso y resortes (᭤ Relacionado con el problema 15.89)
El martillo de 40 kg mostrado se levanta a la posición 1 y se libera desde el reposo.
Cae y golpea una pieza de trabajo cuando está en la posición 2. La constante del re-
Martillo sorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin estirar cuando el martillo se encuentra
en la posición 2. La fricción es insignificante. Use la conservación de la energía para
1 determinar la velocidad del martillo cuando llega a la posición 2.
k k 400
2
mm Estrategia
Pieza de trabajo Se debe confirmar que las fuerzas que realizan trabajo sobre el martillo son con-
servativas. Si lo son, es posible determinar la velocidad del martillo en la posi-
ción 2 igualando las sumas de las energías cinética y potencial en las posiciones
1 y 2.
300 mm Solución
En el diagrama de cuerpo libre del martillo FF
se observa que el trabajo es realizado sólo mg
por su peso y las fuerzas ejercidas por los
resortes. El sistema es conservativo.
Elija un nivel de referencia para la energía Vpeso ϭ mgy.
potencial asociada con el peso del martillo.
Considere que el nivel de referencia (y ϭ 0)
es la posición 2.
y
1 Martillo
k
k 400
2 mm
Nivel de referencia
Pieza de trabajo
300 mm
Energía potencial de uno de los resortes Vresorte ϭ 1 kS2.
en términos del estiramiento S del resorte. 2
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Calcule el estiramiento de 15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 203
uno de los resortes en las
posiciones 1 y 2. S1 ϭ (0.3 m)2 ϩ (0.4 m)2 Ϫ 0.3 m
ϭ 0.2 m,
S2 ϭ 0.
(Vpeso)1 ϩ 2(Vresorte)1 ϩ 1 mv12 ϭ (Vpeso)2 ϩ 2(Vresorte)2 ϩ 1 mv22:
2 2
mgy1 ϩ 2 1 kS12 ϩ 1 mv21 ϭ ϩ 1 kS22 ϩ 1 mv22,
2 2 mgy2 2 2 2
Aplique la conservación de ΄ ΅(40 kg) 9.81 m/s2 (0.4 m) ϩ 2 1 m)2
la energía a las posiciones 2 (1500 N/m)(0.2 ϩ0
1 y 2 para determinar la
velocidad en la posición 2. ϭ 0 ϩ 0 ϩ 1 (40 kg)v22.
2
Resolviendo, se obtiene
v2 ϭ 3.29 m/s.
Problema de práctica Al martillo de 40 kg que se muestra en la figura se le da una
velocidad hacia abajo de 2 m/s en la posición 1. Cae y golpea una pieza de trabajo cuando
está en la posición 2. La constante del resorte es k = 1500 N/m, y los resortes están sin
estirar cuando el martillo se encuentra en la posición 1. La fricción es insignificante. Use la
conservación de la energía para determinar la velocidad del martillo justo antes de golpear
la pieza de trabajo.
k1 Martillo
2 k
400
Pieza de trabajo mm
300 mm
www.FreeLibros.orgRespuesta: v2=2.97m/s.
204 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.8 Conservación de la energía de un sistema (᭤ Relacionado con el problema 15.91)
El resorte que se muestra en la figura 1k = 300 N/m2 está conectado al piso y al co-
llarín A de 90 kg. El collarín A está en reposo, soportado por el resorte, cuando la
caja B de 135 kg se suelta desde el reposo en la posición mostrada. ¿Cuáles son las
velocidades de A y B cuando B ha caído 1 m?
2m
3m
B
A
k
Estrategia
Si todas las fuerzas que realizan trabajo sobre el sistema son conservativas, se puede
aplicar la conservación de la energía para obtener una ecuación en términos de las
velocidades de A y B cuando B ha caído 1 m. Para completar la solución, también se
debe usar la cinemática para determinar la relación entre las velocidades de A y B.
Solución
Py Definición del sistema como conservativo Se considera el collarín A, la caja B
y la polea como un solo sistema. A partir del diagrama de cuerpo libre del sistema
Px en la figura a, se observa que el trabajo es realizado sólo por los pesos del collarín
mAg MP y la caja y por la fuerza F del resorte. Entonces, el sistema es conservativo.
N Determinación de la energía potencial Usando la posición inicial del collarín A
F
como su nivel de referencia, la energía potencial asociada con el peso de A cuando
mBg éste se ha elevado una distancia xA (figura b) es VA = mAgxA. Usando la posición ini-
(a) Diagrama de cuerpo libre del sistema. cial de la caja B como su nivel de referencia, la energía potencial asociada con su
peso cuando éste ha caído una distancia xB es VB = -mBgxB. (El signo de menos es
necesario porque xB es positiva hacia abajo).
Para determinar la energía potencial asociada con la fuerza del resorte, se debe
tomar en cuenta el hecho de que en la posición inicial, el resorte está comprimido
por el peso del collarín A. El resorte está inicialmente comprimido una distancia d
tal que mAg = kd (figura c). Cuando el collar se ha movido hacia arriba una distancia
xA, el estiramiento del resorte es S = xA - d = xA - mAg>k, por lo que su energía
potencial es
= 1 kS2 = 1 k a xA - mAg b 2
2 2 k
www.FreeLibros.orgVS .
15.3 Energía potencial y fuerzas conservativas 205
La energía potencial total del sistema en términos de los desplazamientos del collarín 2m
y la caja es
V = VA + VB + VS
= mAgxA - mBgxB + 1 k a xA - mAg b 2
2 k
.
3m
Aplicación de la conservación de la energía La suma de las energías cinética y A xB
potencial del sistema en su posición inicial y en la posición mostrada en la figura b xA B
deben ser iguales. Si se denota la energía cinética total con T, se tiene
T1 + V1 = T2 + V2:
1 mAg 2 1 mAvA2 1 mBv2B
2 k 2 2
0 + k a - b = +
+ mAgxA - mBgxB + 1 k a xA - mAg b 2 (b) Desplazamientos del collarín y
2 k la caja.
.
(1)
Se desea determinar vA y vB cuando xB = 1 m, pero sólo se tiene una ecuación en xA Posición del collarín
términos de xA, xB, vA y vB. Para completar la solución, se debe relacionar el des- A cuando el resorte
plazamiento y la velocidad del collarín A con el desplazamiento y la velocidad de está sin estirar
d mAg
la caja B.
kd
En la figura b, la disminución en la longitud de la cuerda desde A hasta la
polea cuando el collarín se eleva debe ser igual a la distancia que cae la caja:
213 m22 + 12 m22 - 213 m - xA22 + 12 m22 = xB.
Resolviendo esta ecuación para el valor de xA cuando xB = 1 m, se obtiene xA =
1.33 m. Tomando la derivada de esta ecuación con respecto al tiempo, también se
obtiene una relación entre vA y vB:
c 3 m - xA m22 d vA = vB. (c) Determinación de la compresión
m - xA22 + inicial del resorte.
213 12
Estableciendo xA = 1.33 m, a partir de la ecuación anterior se determina que
0.641vA = vB.
Se resuelve esta ecuación junto con la ecuación (1) para las velocidades del collarín
y la caja cuando xA = 1.33 m y xB = 1 m, obteniendo vA = 3.82 m/s y vB = 2.45 m/s.
Razonamiento crítico
¿Por qué no se consideraron las fuerzas ejercidas por la cuerda sobre el collarín y
la caja? La razón es que éstas son fuerzas internas cuando el collar, la caja y la
polea se consideran un solo sistema. Este ejemplo demuestra con claridad la ven-
taja de aplicar la conservación de la energía a un sistema completo, cuando esto es
wwposible. w.FreeLibros.org
206 Capítulo 15 Métodos energéticos
Ejemplo 15.9 Conservación de la energía de una nave espacial (᭤ Relacionado con el problema 15.103)
r0 Una nave espacial a una distancia r0 = 2RE del centro de la Tierra se mueve hacia
RE el exterior con una velocidad inicial v0 = 22gRE>3. Determine la velocidad de
la nave espacial en función de su distancia al centro de la Tierra.
v0
Estrategia
La energía potencial asociada con la gravedad de la Tierra está dada por la ecuación
(15.23). Se conocen la posición radial inicial y la velocidad de la nave espacial, por
lo que puede usarse la conservación de la energía para determinar su velocidad
como una función de su posición radial.
Solución
Definición del sistema como conservativo Si sólo la gravedad realiza trabajo
sobre la nave espacial, el sistema es conservativo.
Determinación de la energía potencial La energía potencial asociada con el peso
de la nave está dada en términos de su distancia r desde el centro de la Tierra por la
ecuación (15.23):
V = - mgRE2 .
r
Aplicación de la conservación de la energía Sea v la magnitud de la velocidad
de la nave a una distancia arbitraria r. Las sumas de las energías potencial y cinética
en r0 y r deben ser iguales:
- mgR2E + 1 mv02 = - mgR2E + 1 mv2:
r0 2 r 2
- mgRE2 + 1 m A 2 gRE B = - mgR2E + 1 mv2.
2RE 2 3 r 2
Despejando v, se encuentra que la velocidad de la nave en función de r es
v = CgRE a 2RE - 1
r 3b.
Razonamiento crítico
En la gráfica se muestran la energía cinética, la energía potencial y la energía total
como funciones de r>RE. La energía cinética disminuye y la energía potencial
aumenta conforme la nave se mueve hacia fuera hasta que su velocidad disminu-
ye a cero en r = 6RE.
1–2 mv02
Energía cinética
Energía total
Energía potencial
– –m––rg0–R–E2–
012 34 5 6
www.FreeLibrr/RE os.org
Problemas 207
Problemas
15.78 La caja de 10 lb que se muestra en la figura se suelta desde 15.80 El módulo lunar usado en los alunizajes del Apolo podía
el reposo en la posición 1 y se desliza hacia abajo sobre la superficie descender a la superficie lunar de manera segura si su velocidad
inclinada lisa hasta la posición 2. vertical durante el impacto no era mayor a 5 m/s. Use la conserva-
ción de la energía para determinar la altura máxima h a la que el
a) Si el nivel de referencia se coloca al nivel del piso como se piloto podía apagar el motor si la velocidad vertical del módulo
muestra en la figura, ¿qué valor tiene la suma de las energías ciné- de aterrizaje era de a) 2 m/s hacia abajo y b) 2 m/s hacia arriba.
tica y potencial de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 1? La aceleración debida a la gravedad en la superficie lunar es
de 1.62 m/s2.
b) ¿Qué valor tiene la suma de las energías cinética y potencial de
la caja cuando ésta se encuentra en la posición 2?
c) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de
la velocidad de la caja cuando ésta se encuentra en la posición 2.
1
2 5 pies
30Њ 2 pies Nivel
Problema 15.78 de
referencia
15.79 Suponga que una pelota de fútbol de 0.45 kg está a 1 m h
sobre el suelo cuando es pateada directamente hacia arriba a 12 m/s. Problema 15.80
Use la conservación de la energía para determinar la velocidad de
la pelota cuando ésta se encuentra a 4 m sobre el suelo. Obtenga la
respuesta colocando el nivel de referencia a) al nivel de la posición
inicial de la pelota; b) al nivel del suelo.
12 m/s 12 m/s 15.81 El collarín de 0.4 kg mostrado parte desde el reposo en la
1m posición 1 y se desliza hacia abajo por el alambre rígido liso. El
Nivel eje y apunta hacia arriba. Use la conservación de la energía para
de determinar la magnitud de la velocidad del collarín cuando éste
alcanza el punto 2.
referencia
1m
Nivel y 1 (5, 5, 2) m
de
(a) (b)
Problema 15.79 referencia
0.4 kg
x
2
www.FreeLibros.orgz (3,0,2)m
Problema 15.81
208 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.82 En el instante mostrado, la masa de 20 kg se mueve hacia 15.84 La masa de la bola mostrada es m = 2 kg y la longitud
abajo a 1.6 m/s. Sea d el desplazamiento hacia abajo de la masa de la cuerda es L = 1 m. La bola se libera desde el reposo en la
respecto a su posición actual. Use la conservación de la energía posición 1. Cuando la cuerda está en posición vertical, golpea el
para determinar la magnitud de la velocidad de la masa de 20 kg soporte fijo que se muestra en la figura.
cuando d = 1 m.
a) Use la conservación de la energía para determinar el ángulo
mínimo u necesario para que oscile hasta la posición 2.
b) Si la bola se suelta en el ángulo mínimo u determinado en
el inciso a), ¿cuál es la tensión en la cuerda justo antes y justo
después de que ésta golpee el pasador?
4 kg Lu 1L
20 kg 2
Problema 15.82 2
15.83 La masa de la bola de la figura es m = 2 kg y la longitud 1
de la cuerda es L = 1 m. La bola se suelta desde el reposo en la Problema 15.84
posición 1 y oscila hasta la posición 2, donde u = 40°.
a) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud 15.85 Una pequeña canica de masa m = 0.2 kg parte desde el
de su velocidad en la posición 2. reposo en la posición 1 mostrada y se desliza hacia abajo sobre la
b) Dibuje gráficas de la energía cinética, la energía potencial y la superficie lisa del cilindro hasta la posición 2. El radio R = 0.8 m.
energía total para valores de u desde 0 hasta 180°. Use la conservación de la energía para determinar la magnitud de
la velocidad de la canica en la posición 2 si u = 45°.
1 15.86 En el problema 15.85, ¿cuál es el valor del ángulo u en el
u que la canica pierde contacto con la superficie del cilindro?
L
1
m2
Problema 15.83 20Њ 2
u m
R
Problemas 15.85/15.86
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Problemas 209
15.87 La barra de la figura es lisa. Al deslizador de 10 kg en A 15.90 Un escalador en roca de peso W está unido, por seguridad,
se le da una velocidad hacia abajo de 6.5 m/s. a una cuerda amarrada a una distancia h debajo de él. Suponga
a) Use la conservación de la energía para determinar si el deslizador que el alpinista cae y que la cuerda se comporta como un resorte
llegará al punto C. Si lo hace, ¿cuál es la magnitud de su velocidad lineal con longitud sin estirar h y constante de resorte k = C>h,
en el punto C? donde C es una constante. Use la conservación de la energía
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal que ejerce la barra para determinar la máxima fuerza ejercida por la cuerda sobre el
sobre el deslizador cuando éste pasa por el punto B? escalador. (Observe que la fuerza máxima es independiente de h,
lo que tranquiliza a los alpinistas: La fuerza máxima que resulta
15.88 La barra de la figura es lisa. Al deslizador de 10 kg en A se de una caída larga es la misma que en una caída corta).
le da una velocidad hacia abajo de 7.5 m/s.
a) Use la conservación de la energía para determinar si el deslizador
llegará al punto D. Si lo hace, ¿cuál es la magnitud de su velocidad
en el punto D?
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza normal que ejerce la barra
sobre el deslizador cuando éste pasa por el punto B?
1m
CD
h
2m
10 kg A
1m
B Problema 15.90
Problemas 15.87/15.88
᭤ 15.89 En el ejemplo activo 15.7, suponga que se desea in- ᭤ 15.91 El collarín A mostrado se desliza sobre la barra hori-
crementar el valor de la constante k del resorte de manera que la zontal lisa. La constante del resorte k = 40 lb/pie. Los pesos son
velocidad del martillo justo antes de golpear la pieza de trabajo WA = 30 lb y WB = 60 lb. En el instante mostrado, el resorte está
es de 4 m/s. Use la conservación de la energía par determinar el sin estirar y B se mueve hacia abajo a 4 pies/s. Use la conserva-
valor requerido de k. ción de la energía para determinar la velocidad de B cuando este
bloque se ha movido 2 pies hacia abajo desde su posición actual.
(Vea el ejemplo 15.8).
k
A
B
www.FreeLibros.orgProblema15.91
210 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.92 La constante del resorte mostrado k = 700 N/m. Las masas 15.94 La masa m = 1 kg, la constante del resorte k = 200 N/m,
mA = 14 kg y mB = 18 kg. La barra horizontal es lisa. En el instante y la longitud sin estirar del resorte es 0.1 m. Cuando el sistema
mostrado, el resorte está sin estirar y la masa B se mueve hacia se suelta desde el reposo en la posición mostrada, el resorte se
abajo a 1 m/s. ¿A qué velocidad se estará moviendo B cuando este contrae, jalando la masa hacia la derecha. Use la conservación
bloque se haya movido 0.2 m hacia abajo desde su posición actual? de la energía para determinar la magnitud de la velocidad de la
masa cuando la cuerda y el resorte están paralelos.
0.3 m 15.95 En el problema 15.94, ¿cuál es la tensión en la cuerda
k cuando ésta y el resorte están paralelos?
0.15 m
A
0.3 m
B
k
Problema 15.92 0.15 m
15.93 La barra semicircular mostrada es lisa. La longitud sin 0.25 m
estirar del resorte es de 10 pulg. Al collarín de 5 lb en A se le da Problemas 15.94/15.95
una velocidad hacia abajo de 6 pies/s, y cuando éste llega a B la
magnitud de su velocidad es de 15 pies/s. Determine la constante
k del resorte.
5 2 pulg A 15.96 La fuerza ejercida sobre un objeto por un resorte no lineal es
pulg k
F = - 3k1r - r02 + q1r - r0234er,
1 pie
donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin esti-
rar. Determine la energía potencial del resorte en términos de su
alargamiento S = r - r0.
B r
Problema 15.93 k
u
Problema 15.96
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Problemas 211
15.97 El cilindro de 20 kg mostrado se libera desde la posición 15.100 El sistema está en reposo en la posición mostrada, con
mostrada y cae sobre el resorte lineal 1k = 3000 N/m2. Use la con- el collarín A de 12 lb descansando sobre el resorte 1k = 20 lb/pie2,
servación de la energía para determinar la distancia que el cilindro cuando una fuerza constante de 30 lb se aplica al cable. ¿Cuál es
se desplaza hacia abajo después de hacer contacto con el resorte. la velocidad del collarín cuando se ha desplazado 1 pie? (Vea el
problema 15.99).
15.98 El cilindro de 20 kg se libera desde la posición mostrada
y cae sobre el resorte no lineal. En términos del estiramiento 30 lb
3 pies
S del resorte, su energía potencial es V = 1 kS2 + 1 qS4, donde
2 4
k = 3000 N/m y q = 4000 N/m3. ¿Cuál es la velocidad del cilindro
cuando el resorte se ha comprimido 0.5 m?
A
2
pies
k
2m
Problema 15.100
1.5 m 15.101 Un disco de 1 kg se desliza sobre una mesa horizontal
lisa y está unido a una cuerda que pasa a través de un orificio en la
Problemas 15.97/15.98 mesa. Se ejerce una fuerza constante T = 10 N sobre la cuerda. En
15.99 La cuerda mostrada ejerce una fuerza de magnitud cons- el instante mostrado, r = 1 m y la velocidad del disco en términos
tante T sobre el objeto. Use coordenadas polares para demostrar de coordenadas polares es v = 6eu (m/s). Use la conservación de la
que la energía potencial asociada con esta fuerza es V = Tr. energía para determinar la magnitud de la velocidad del disco
cuando r = 2 m. (Vea el problema 15.99).
r
u 15.102 Un disco de 1 kg se desliza sobre una mesa horizontal lisa
y está unido a una cuerda que pasa a través de un orificio en la mesa.
Se ejerce una fuerza constante T = 10 N sobre la cuerda. En el
instante mostrado, r = 1 m y la velocidad del disco en términos de
coordenadas polares es v = 8eu (m/s). Como éste es un movimiento
de fuerza central, el producto de la posición radial r por la compo-
nente transversal de la velocidad vu es constante. Use este hecho
y la conservación de la energía para determinar la velocidad del
disco en términos de coordenadas polares cuando r = 2 m.
r
T
Problema 15.99
T
www.FreeLibros.orgProblemas 15.101/15.102
212 Capítulo 15 Métodos energéticos
᭤ 15.103 Un satélite se pone inicialmente en órbita a una distancia 15.107 Las sondas espaciales Voyager y Galileo observaron
r0 = 8800 km desde el centro de la Tierra. Cuando se encuentra a una nubes volcánicas sobre la superficie del satélite Io. Se pensó
distancia r = 18,000 km desde el centro de la Tierra, la magnitud de que éstas consistían de azufre condensado o dióxido de azufre
su velocidad es v = 7000 m/s. Use la conservación de la energía gaseoso. Se estimó que la nube observada sobre un volcán llamado
para determinar la velocidad inicial v0. El radio de la Tierra es de Prometeo se extendía a 50 km sobre la superficie. La aceleración
6370 km. (Vea el ejemplo 15.9). debida a la gravedad en la superficie es de 1.80 m/s2. Usando
la conservación de la energía e ignorando la variación de la
v gravedad con la altura, determine la velocidad a la que una
partícula sólida tendría que ser expulsada para alcanzar 50 km
sobre la superficie de Io.
15.108 Resuelva el problema 15.107 usando la conservación de
r la energía y tomando en cuenta la variación de la gravedad con la
altura. El radio de Io es 1815 km.
v0
RE r0
Problema 15.103 Problemas 15.107/15.108
15.104 Unos astrónomos detectan un asteroide a 100,000 km de 15.109* Determine la relación entre la ecuación (15.21), que
la Tierra, que se mueve a 2 km/s respecto al centro de ésta. Supon- es la energía potencial gravitatoria ignorando la variación de la
ga que el asteroide choca con la Tierra. Use la conservación de fuerza gravitatoria con la altura, y la ecuación (15.23), que toma
la energía para determinar la magnitud de su velocidad al entrar en cuenta dicha variación. Exprese la distancia desde el centro
a la atmósfera. (Se puede ignorar el espesor de la atmósfera en de la Tierra como r = RE + y, donde RE es el radio de la Tierra e
comparación con el radio de la Tierra de 6370 km). y es la altura sobre la superficie, de manera que la ecuación
(15.23) pueda escribirse como
15.105 Un satélite se encuentra en la órbita elíptica mostrada
alrededor de la Tierra. Su velocidad, en términos de coordenadas V= - mgRE .
polares, cuando está en el perigeo A es v = 8640eu (m/s). Determine y
la velocidad del satélite en términos de coordenadas polares cuando 1+
éste se encuentra en el punto B. RE
15.106 En el problema 15.105, use la conservación de la ener- Desarrollando esta ecuación como una serie de Taylor en términos
gía para determinar la magnitud de la velocidad del satélite en de y>RE y suponiendo que y>RE V 1, demuestre que se obtiene
el apogeo C. Con base en su resultado, confirme numéricamente una energía potencial equivalente a la ecuación (15.21).
que las velocidades en el perigeo y en el apogeo satisfacen la
relación rAvA = rCvC.
B
13,900 km
CA
16,000 km
8000 km 8000 km
www.FreeLibros.orgProblemas 15.105/15.106
15.4 Relaciones entre la fuerza y la energía potencial 213
15.4 Relaciones entre la fuerza
y la energía potencial
ANTECEDENTES
Aquí se considerarán dos cuestiones: 1) Dada una energía potencial, ¿cómo se puede
determinar la fuerza correspondiente? 2) Dada una fuerza, ¿cómo se puede determi-
nar si ésta es conservativa? Es decir, ¿cómo se puede determinar si existe una energía
potencial asociada?
La energía potencial V de una fuerza F es una función de la posición que satis-
face la relación
dV = - F ؒ dr. (15.25)
Si expresamos V en términos de un sistema de coordenadas cartesiano:
V = V1x, y, z2.
La diferencia de V es
dV = 0V dx + 0V dy + 0V dz. (15.26)
0x 0y 0z
Expresando F y dr en términos de componentes cartesianas y tomando su produc-
to punto se obtiene
F # dr = 1Fxi + Fyj + Fzk2 # 1dxi + dyj + dzk2
= Fx dx + Fy dy + Fz dz.
Sustituyendo esta expresión y la ecuación (15.26) en la ecuación (15.25), se obtiene
0V dx + 0V dy + 0V dz = - 1Fx dx + Fy dy + Fz dz2,
0x 0y 0z
lo cual implica que
Fx = - 0V, Fy = - 0V, y Fz = - 0V. (15.27)
0x 0y 0z
Dada una energía potencial V expresada en coordenadas cartesianas, las ecuaciones
(15.27) se pueden usar para determinar la fuerza correspondiente. La fuerza
F = - a 0V i + 0V + 0V k b = - §V, (15.28)
0x 0y j 0z
donde §V es el gradiente de V. Usando expresiones para el gradiente en otros sis-
temas coordenados, se puede determinar la fuerza F cuando se conoce la energía
potencial en términos de esos sistemas coordenados. Por ejemplo, en términos de
coordenadas cilíndricas,
0V 1 0V 0V
0r r 0u eu 0z
www.FreeLibros.orgF= - a er + + ez b . (15.29)
214 Capítulo 15 Métodos energéticos
Si una fuerza F es conservativa, su rotacional § * F es cero. La expresión
para el rotacional de F en coordenadas cartesianas es
i jk
§*F= 40 0 0 4 . (15.30)
0x 0y 0z
Fx Fy Fz
Sustituyendo las ecuaciones (15.27) en esta expresión, se confirma que § * F = 0
cuando F es conservativa. La afirmación inversa también es cierta. Una fuerza F
es conservativa si su rotacional es cero. Esta condición se puede usar para deter-
minar si una fuerza dada es conservativa. En términos de coordenadas cilíndricas,
el rotacional de F es
er reu ez
§ * F = 14 0 0 0 4 . (15.31)
r 0r 0u 0z
Fr rFu Fz
RESULTADOS
dV ϭ ϪFؒdr. (15.25) Definición de la energía potencial V asociada con
una fuerza conservativa F.
Coordenadas cartesianas
F ϭ ϪѨV iϩ ѨV jϩ ѨV k . (15.28)
Ѩx Ѩy Ѩz
Una fuerza conservativa F
puede determinarse a partir
de su energía potencial V.
Coordenadas cilíndricas
ѨV 1 ѨV ѨV
Ѩr r Ѩu Ѩz ez
F ϭ Ϫ er ϩ eu ϩ . (15.29)
Coordenadas cartesianas
i jk
ѨѨѨ (15.30)
ٌ ϫ F ϭ Ѩx Ѩy Ѩz .
Una fuerza F es conservativa Fx Fy Fz
sí y sólo si su rotacional Coordenadas cilíndricas
ٌ ϫ F es cero.
er reu ez
ٌϫFϭ 1 Ѩ Ѩ Ѩ (15.31)
r Ѩr Ѩu Ѩz .
www.FreeLibFrrrFou Fz s.org
Problemas 215
Ejemplo activo 15.10 Determinación de la fuerza a partir de una energía potencial
(᭤ Relacionado con los problemas 15.112, 15.113)
La energía potencial asociada con el peso de un objeto de masa m a una distancia r
del centro de la Tierra es (en coordenadas cilíndricas)
V = - mgrRE2,
donde RE es el radio de la Tierra. Use esta expresión para determinar la fuerza ejer-
cida sobre el cuerpo por su peso.
Estrategia
La energía potencial está expresada en coordenadas cilíndricas, por lo que se usará
la ecuación (15.29) para obtener la fuerza.
Solución ѨV ϭ mgRE2 ,
Ѩr r2
Evalúe las derivadas parciales
de la ecuación (15.29). ѨV ϭ 0,
Ѩu
ѨV ϭ 0.
Ѩz
Determine la fuerza a par- F ϭ Ϫ mgR2E er.
tir de la ecuación (15.29). r2
Problema de práctica Determine si la fuerza F obtenida en este ejemplo es conservativa.
Respuesta: Sí.
Problemas
15.110 La energía potencial asociada a una fuerza F que actúa y
sobre un objeto es V = x2 + y3 N/m, donde x e y están en metros.
a) Determine F. 2
(1, 1) m
b) Suponga que el objeto se mueve de la posición 1 a la posición
2 a lo largo de la trayectoria A y después se desplaza de 1 a 2 a A
través de la trayectoria B. Determine el trabajo realizado por F en
cada trayectoria.
15.111 Un objeto está sometido a la fuerza F = yi - xj (N),
donde x e y están en metros. 1B x
a) Demuestre que F no es conservativa.
b) Suponga que el objeto se mueve del punto 1 al punto 2 a lo
largo de las trayectorias A y B mostradas en el problema 15.110.
www.FreeLibros.orgDetermine el trabajo realizado por F a lo largo de cada trayectoria.
Problemas 15.110/15.111
216 Capítulo 15 Métodos energéticos
᭤ 15.112 En términos de coordenadas polares, la energía potencial 15.115 En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida
asociada con la fuerza F ejercida sobre un objeto por un resorte no sobre un objeto de masa m por la gravedad de un planeta hipotético
lineal es bidimensional es F = -1mgTRT>r2er, donde gT es la aceleración
debida a la gravedad en la superficie, RT es el radio del planeta y r
V = 1 - r022 + 1 - r024, es la distancia al objeto desde el centro del planeta.
2 k1r 4 q1r
a) Determine la energía potencial asociada con esta fuerza
donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar. gravitatoria.
Determine F en términos de coordenadas polares. (Vea el ejemplo
b) Si el objeto tiene una velocidad v0 a una distancia r0, ¿cuál es
activo 15.10). su velocidad v en función de r?
᭤ 15.113 En términos de coordenadas polares, la fuerza ejercida v0
sobre un objeto por un resorte no lineal es
r0
F = - 3k1r - r02 + q1r - r0234er, RT
donde k y q son constantes y r0 es la longitud del resorte sin estirar.
Use la ecuación (15.31) para demostrar que F es conservativa. (Vea
el ejemplo activo 15.10).
15.114 La energía potencial asociada con una fuerza F que actúa Problema 15.115
sobre un objeto es V = - r sen u + r2 cos2 u lb-pie, donde r está en
pies. 15.116 Sustituyendo las ecuaciones (15.27) en la ecuación
a) Determine F. (15.30), confirme que § * F = 0 si F es conservativa.
b) Si el objeto se mueve del punto 1 al punto 2 a lo largo de la
trayectoria circular, ¿cuánto trabajo realiza F? 15.117 Determine cuáles de las siguientes fuerzas son conser-
vativas:
y a) F = 13x2 - 2xy2i - x2j;
b) F = 1x - xy22i + x2yj;
2 c) F = 12xy2 + y32i + 12x2y - 3xy22j.
1 pie
x
1
Problema 15.114
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Problemas de repaso 217
Problemas de repaso
15.118 El conductor de un automóvil de 3000 lb que circula a 15.121 Los coeficientes de fricción entre la caja de 20 kg y la
40 mi/h aplica una fuerza creciente sobre el pedal del freno. La superficie son ms = 0.24 y mk = 0.22. Si la caja parte desde el
magnitud de la fricción ejercida sobre el vehículo por el camino reposo y la fuerza horizontal es F = 200 N, ¿cuál es la magnitud
es f = 250 + 6s lb, donde s es la posición horizontal del auto (en de la velocidad de la caja cuando ésta se ha desplazado 2 m?
pies) respecto a la que tenía cuando se aplicaron los frenos. Supo-
niendo que los neumáticos no se deslizan, determine la distancia 15.122 Los coeficientes de fricción entre la caja de 20 kg y la
necesaria para que el auto se detenga a) usando la segunda ley de superficie son ms = 0.24 y mk = 0.22. Si la caja parte desde el
Newton y b) usando el principio del trabajo y la energía. reposo y la fuerza horizontal es F = 40 N, ¿cuál es la magnitud
de la velocidad de la caja cuando ésta se ha desplazado 2 m?
15.119 Suponga que el automóvil del problema 15.118 viaja
sobre un pavimento húmedo y que los coeficientes de fricción F
entre los neumáticos y el camino son ms = 0.4 y mk = 0.35.
Determine la distancia necesaria para que el auto se detenga.
30Њ
Problemas 15.121/15.122
15.123 La locomotora Big Boy de la Union Pacific pesa 1.19
millones de libras y el esfuerzo de tracción (fuerza tangencial)
de sus ruedas motrices es de 135,000 lb. Si se ignoran las otras
fuerzas tangenciales, ¿qué distancia requiere para acelerar de
cero a 60 mi/h?
Problemas 15.118/15.119 15.124 En el problema 15.123, suponga que la fuerza tangen-
cial total sobre la locomotora al acelerar de cero a 60 mi/h es
15.120 Un astronauta en una pequeña nave espacial (masa com- 1F0>m211 - v>882, donde F0 = 135,000 lb, m es su masa y v
binada = 450 kg) en vuelo estacionario a 100 m sobre la superficie es su velocidad en pies por segundo.
de la Luna, descubre que el combustible casi se ha agotado y
puede ejercer el empuje necesario sólo durante 5 segundos más. a) ¿Cuánto trabajo se realiza al acelerar el tren hasta 60 mi/h?
Rápidamente considera dos estrategias para llegar a la superficie:
a) Descender 20 m, ejercer el empuje durante 5 s y caer el resto del b) Determine la velocidad de la locomotora en función del tiempo.
trayecto; b) descender 40 m, ejercer el empuje durante 5 s y caer
el resto del trayecto. ¿Cuál estrategia le da mayor probabilidad de
sobrevivir? ¿Cuánto trabajo es realizado por el empuje del motor
en cada caso? (gLuna = 1.62 m/s2).
Problemas 15.123/15.124
15.125 Un automóvil que se desplaza a 65 mi/h choca contra la
barrera descrita en el problema 15.14. Determine la desaceleración
máxima a la que están sometidos los pasajeros si el auto pesa
a) 2500 lb y b) 5000 lb.
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218 Capítulo 15 Métodos energéticos
15.126 En el diseño preliminar de una máquina clasificadora del 15.129 El peso de 30 lb mostrado se suelta desde el reposo con
correo, los paquetes que se mueven hacia abajo sobre una rampa los dos resortes 1kA = 30 lb/pie, kB = 15 lb/pie2 sin estirar.
lisa a 2 pies/s son detenidos por un resorte lineal. ¿Cuál debería a) ¿Qué distancia cae el peso antes de rebotar?
ser la constante del resorte si no se quiere que un paquete de 10 lb
quede sometido a una desaceleración máxima superior a 10g? b) ¿Qué velocidad máxima alcanza?
2 pies/s kA
k 3 pies kB
Problema 15.126
15.127 Cuando el collarín de 1 kg está en la posición 1, la tensión Problema 15.129
en el resorte es de 50 N y la longitud del resorte sin estirar es de
260 mm. Si el collarín se jala hacia la posición 2 y se suelta desde 15.130 En la figura, el pistón y la carga que soporta son acelerados
el reposo, ¿cuál es su velocidad cuando regresa a la posición 1? hacia arriba por el gas en el cilindro. El peso total del pistón y la
carga es 1000 lb. El cilindro ejerce una fuerza de fricción constante
15.128 Cuando el collarín de 1 kg está en la posición 1, la tensión de 50 lb sobre el pistón cuando éste se eleva. La fuerza neta ejercida
en el resorte es de 100 N y cuando está en la posición dos, la sobre el pistón por la presión es 1p2 - patm2A, donde p es la presión
tensión en el resorte es de 400 N. del gas, patm = 2117 lb/pie2 es la presión atmosférica, y A = 1 pie2
a) ¿Cuál es la constante k del resorte? es el área transversal del pistón. Suponga que el producto de p por
b) Si al collarín se le da una velocidad de 15 m/s en la posición 1, el volumen del cilindro es constante. Cuando s = 1 pie, el pistón está
¿cuál es la magnitud de su velocidad justo antes de alcanzar la en reposo y p = 5000 lb/pie2. ¿Cuál es la velocidad del pistón cuando
posición 2? s = 2 pies?
300 mm k
Pistón
12 Gas
600 mm s
Problemas 15.127/15.128 Problema 15.130
15.131 Cuando el motor de un cohete de 22,000 kg se apaga a
una altura de 2 km, su velocidad es de 3 km/s y viaja con un ángulo
de 60° respecto a la horizontal. Ignore la variación de la fuerza
gravitatoria con la altura.
a) Si se ignoran las fuerzas aerodinámicas, ¿cuál es la magnitud de
la velocidad del cohete cuando éste alcanza una altura de 6 km?
b) Si la velocidad real del cohete cuando éste alcanza una altura
de 6 km es de 2.8 km/s, ¿cuánto trabajo realizan las fuerzas aero-
www.FreeLibros.orgdinámicas cuando el cohete se desplaza de 2 km a 6 km de altura?
Problemas de repaso 219
15.132 El collarín A de 12 kg está en reposo en la posición 15.134 Un estudiante de 180 lb corre a 15 pies/s, se cuelga de
mostrada en t = 0 y se encuentra sometido a la fuerza tangencial una cuerda y oscila sobre un lago. Suelta la cuerda cuando su
F = 24 - 12t2 N durante 1.5 s. Ignorando la fricción, ¿qué altura velocidad es cero.
h máxima alcanza el collarín? a) ¿Cuál es el ángulo u cuando el estudiante suelta la cuerda?
b) ¿Cuál es la tensión en la cuerda justo antes de que la suelte?
c) ¿Cuál es la tensión máxima en la cuerda?
FA 15.135 Si el estudiante del problema 15.134 suelta la cuerda
h cuando u = 25°, ¿qué altura máxima alcanza respecto a su posición
cuando sujeta la cuerda por primera vez?
2m
Problema 15.132
15.133 Suponga que para diseñar un lazo para una pista en un u 30 pies
parque de diversiones se ha establecido como criterio de seguridad
que en la parte superior del lazo la fuerza normal ejercida sobre
un pasajero sea igual al 10% del peso de éste. (Es decir, el “peso
efectivo” que comprime al pasajero en su asiento es el 10 por
ciento de su peso). El vagón se mueve a 62 pies/s cuando entra al
lazo. ¿Cuál es el radio de curvatura instantáneo r necesario de la
vía en la parte superior del lazo?
Problemas 15.134/15.135
r 15.136 Un niño comienza a correr y salta sobre su trineo en la
posición 1 de la figura. Abandona el terreno en la posición 2 y
50 pies aterriza en la nieve a una distancia b = 25 pies. ¿Qué velocidad
tenía en la posición 1?
15.137 En el problema 15.136, si el niño tiene una velocidad de
15 pies/s en la posición 1, ¿qué distancia b recorre en el aire?
Problema 15.133 1
15 pies 2 35Њ
5 pies
b
Problemas 15.136/15.137
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220 Capítulo 15 Métodos energéticos 15.141 En la figura, el eje y es vertical y la barra curva es lisa.
Si la magnitud de la velocidad del deslizador de 4 lb es de 6 pies/s
15.138 El collarín A de 1 kg está unido por una cuerda a un en la posición 1, ¿cuál es la magnitud de su velocidad cuando
resorte lineal 1k = 500 N/m2. El collarín parte desde el reposo llega a la posición 2?
en la posición mostrada, y la tensión inicial en la cuerda es de
100 N. ¿Qué distancia recorre el collarín sobre la barra lisa?
k 15.142 En el problema 15.141, determine la magnitud de la velo-
A cidad del deslizador cuando éste alcanza la posición 2 si durante su
movimiento está sometido a una fuerza adicional F = 3xi - 2j (lb).
y
1
Problema 15.138 2 pies
15.139 Las masas mA = 40 kg y mB = 60 kg. El collarín A se desli- 2
za sobre la barra horizontal lisa. El sistema se suelta desde el reposo. x
Use la conservación de la energía para determinar la velocidad del
collarín A cuando éste se ha desplazado 0.5 m a la derecha. 4 pies
Problemas 15.141/15.142
A 15.143 Suponga que un objeto de masa m está bajo la superficie
de la Tierra. En términos de un sistema de coordenadas polar con
su origen en el centro de la Tierra, la fuerza gravitatoria sobre el
objeto es - 1mgr>RE2er, donde RE es el radio de la Tierra. Demuestre
que la energía potencial asociada con la fuerza gravitatoria es
B V = mgr2>2RE.
Problema 15.139 15.144 Se afirma que si se pudieran perforar túneles rectos a través
de la Tierra entre puntos sobre su superficie, los trenes podrían viajar
15.140 La constante del resorte mostrado es k = 850 N/m, entre esos puntos usando la fuerza gravitatoria para acelerar y
mA = 40 kg, y mB = 60 kg. El collarín A se desliza sobre la barra desacelerar (los efectos de la fricción y de la fuerza de arrastre
horizontal lisa. El sistema se suelta desde el reposo en la posición aerodinámica se podrían minimizar vaciando los túneles y usando
mostrada con el resorte sin estirar. Use la conservación de la trenes con levitación magnética). Suponga que un tren así viaja
energía para determinar la velocidad del collarín A cuando éste del Polo Norte a un punto sobre el ecuador. No tome en cuenta la
se ha movido 0.5 m a la derecha. rotación de la Tierra. Determine la magnitud de la velocidad del
tren a) cuando llega al ecuador; b) cuando se encuentra a la mitad
k del camino entre el Polo Norte y el ecuador. El radio de la Tierra
es RE = 3960 millas. (Vea el problema 15.143).
A
N
0.4 m
B
0.9 m
www.FreeLibros.orgProblema15.140
Problema 15.144
Problemas de repaso 221
15.145 En el problema 15.123, ¿cuál es la máxima potencia Proyecto de diseño
transferida a la locomotora durante su aceleración?
Determine las especificaciones (longitud sin estirar y constante
15.146 Justo antes de despegar, un avión de 10,500 kg tiene de resorte k) para la cuerda elástica que se va a utilizar en la
una velocidad de 60 m/s. La fuerza horizontal total ejercida por instalación de un salto de bungee. Los participantes deben saltar
sus motores es de 189 kN, y el avión está acelerando a 15 m/s2. desde una plataforma a 150 pies sobre el suelo. Al rebotar, deben
a) ¿Cuál es la potencia que transmiten sus motores al avión? evitar un obstáculo que se extiende 15 pies por debajo del punto
b) ¿Cuál es la potencia total transmitida al avión? en el que saltan. Determine las especificaciones para la cuerda,
estableciendo límites de seguridad razonables para las distancias
mínimas por las cuales los participantes deben evitar el suelo y
el obstáculo. Tome en cuenta el hecho de que los participantes
tendrán pesos diferentes. Si es necesario, especifique un peso
permisible máximo para los participantes. Escriba un informe
breve donde presente su análisis y haga una recomendación
para las especificaciones de la cuerda.
Problema 15.146
15.147 El “Cañón París”, usado por Alemania en la Primera
Guerra Mundial, tenía un alcance de 120 km, un cañón de 37.5 m,
una velocidad inicial de 1550 m/s y disparaba un proyectil de
120 kg.
a) Si se supone que la aceleración del proyectil era constante,
¿qué potencia máxima se le transmitía al viajar a lo largo del barril?
b) ¿Qué potencia media se le transmitía al proyectil?
Problema 15.147
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CAPÍTULO
16
Métodos de la cantidad
de movimiento
Al integrar la segunda ley de Newton con respecto al vA
tiempo, se obtiene una relación entre la integral respecto
al tiempo de las fuerzas que actúan sobre un objeto y el v¿B
cambio en su cantidad de movimiento lineal. Con este re-
sultado, llamado el principio del impulso y la cantidad de
movimiento, se puede no sólo determinar el cambio en
la velocidad de un objeto cuando se conocen las fuerzas
externas en función del tiempo, sino también analizar
impactos entre objetos y evaluar las fuerzas ejercidas por
flujos continuos de masa.
v¿A
᭣ La cantidad de movimiento lineal total de la bola de billar es aproxima-
damente la misma antes y después del impacto. En este capítulo se emplean
métodos basados en las cantidades de movimiento lineal y angular para
analizar los desplazamientos de los objetos.
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224 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
16.1 Principio del impulso y la cantidad
de movimiento
ANTECEDENTES
El principio del trabajo y la energía es una herramienta muy útil en mecánica. Se
puede obtener otra herramienta útil para el análisis del movimiento al integrar la
segunda ley de Newton con respecto al tiempo. Dicha ley se expresa en la forma
©F = dv
m.
dt
Luego se integra con respecto al tiempo para obtener
t2 (16.1)
©F dt = mv2 - mv1,
Lt1
donde v1 y v2 son las velocidades del centro de masa en los tiempos t1 y t2. El tér-
mino de la izquierda se llama impulso lineal, y mv es la cantidad de movimiento
lineal. La ecuación (16.1) se denomina el principio del impulso y la cantidad de
movimiento: El impulso aplicado a un objeto durante un intervalo de tiempo es
igual al cambio en su cantidad de movimiento lineal (figura 16.1). Las dimensio-
nes del impulso lineal y la cantidad de movimiento lineal son (masa) ϫ (longitud)
͞(tiempo).
El promedio respecto al tiempo de la fuerza total que actúa sobre un objeto
desde t1 hasta t2 es
1 t2
©Fprom = t2 - t1 Lt1 ©F dt,
de manera que la ecuación (16.1) puede escribirse como
(t2 Ϫ t1) ©Fprom ϭ mv2 Ϫ mv1. (16.2)
Con esta ecuación se puede determinar el valor promedio de la fuerza total que
actúa sobre un objeto durante un intervalo de tiempo dado si se conoce el cambio
en su velocidad.
Una fuerza que actúa durante un intervalo pequeño de tiempo, pero que ejer-
ce un impulso lineal significativo, se llama fuerza impulsiva. En la figura 16.2 se
muestra una fuerza impulsiva y su promedio respecto al tiempo. La determinación
del desarrollo temporal real de tal fuerza suele ser impráctica, pero algunas veces
Tiempo t2
Tiempo t1
mv1 ͚F
f t2 mv2
t1 ͚F dt ϭ mv2 Ϫ mv1
Figura 16.1
www.FreeLibros.orgPrincipio del impulso y la cantidad de movimiento.
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 225
puede especificarse su valor promedio con la ecuación (16.2). Por ejemplo, una pelo- F t
ta de golf golpeada por un palo está sometida a una fuerza impulsiva. Filmando a
gran velocidad es posible determinar la duración del impacto, la velocidad de la Fprom
pelota y el movimiento resultante por el impacto. Conociendo la duración y la canti-
dad de movimiento lineal de la pelota resultantes del impacto, es posible determinar t1 t2
la fuerza promedio ejercida sobre la pelota por el palo (vea el ejemplo 16.3). Figura 16.2
Fuerza impulsiva y su valor promedio.
Las ecuaciones (16.1) y (16.2) pueden expresarse en formas escalares que a
menudo resultan útiles. La suma de las fuerzas en la dirección tangente a la tra-
yectoria de un objeto es igual al producto de su masa por la razón de cambio de su
velocidad a lo largo de la trayectoria (vea la ecuación 14.7):
dv
©Ft = mat = m dt .
Integrando esta ecuación con respecto al tiempo, se obtiene
t2 (16.3)
Lt1 ©Ft dt = mv2 - mv1,
donde v1 y v2 son las velocidades a lo largo de la trayectoria en los tiempos t1 y t2. El
impulso aplicado a un objeto por la suma de las fuerzas tangentes a su trayectoria
durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en la cantidad de movimiento
lineal a lo largo de la trayectoria. En términos del promedio con respecto al tiem-
po de la suma de las fuerzas tangentes a la trayectoria, o bien
1 t2
©Ft prom = t2 - t1 Lt1 ©Ft dt,
la ecuación (16.3) puede escribirse como
(t2 Ϫ t1) ©Ft prom ϭ mv2 Ϫ mv1. (16.4)
Esta ecuación relaciona el promedio de la suma de las fuerzas tangentes a la tra-
yectoria durante un intervalo de tiempo con el cambio en la velocidad a lo largo
de la trayectoria.
Observe que la ecuación (16.1) y el principio del trabajo y la energía, ecua-
ción (15.6), son muy similares. Ambas expresiones relacionan la integral de las
fuerzas externas con el cambio en la velocidad de un objeto. La ecuación (16.1) es
una ecuación vectorial que proporciona el cambio en la magnitud y la dirección de
la velocidad, mientras que el principio del trabajo y la energía, que es una ecuación
escalar, sólo proporciona el cambio en la magnitud de la velocidad. Sin embargo,
hay una gran diferencia entre los dos métodos: en el caso del impulso y la canti-
dad de movimiento, no hay tipos de fuerzas equivalentes a las fuerzas conservativas
que facilitan en gran medida la aplicación del trabajo y la energía.
Cuando se conocen las fuerzas externas que actúan sobre un objeto como fun-
ciones del tiempo, el principio del impulso y la cantidad de movimiento puede
aplicarse para determinar el cambio en su velocidad durante un intervalo de tiempo.
Aunque éste es un resultado importante, no es nuevo. En el capítulo 14, cuando se
usó la segunda ley de Newton para determinar la aceleración de un objeto y luego
se integró la aceleración con respecto al tiempo para determinar su velocidad, se esta-
ba aplicando de manera efectiva el principio del impulso y la cantidad de movimien-
to. En el resto de este capítulo se mostrará que tal principio puede extenderse a
www.FreeLibros.orgnuevas e interesantes aplicaciones.
226 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
RESULTADOS
Tiempo t1 Tiempo t2
mv2
mv1 ͚F
Al integrar la segunda ley de Newton con respecto t2 (16.1)
al tiempo desde t1 hasta t2 se obtiene el principio
del impulso y la cantidad de movimiento: el im- 3t1 ⌺F dt ϭ mv2 Ϫ mv1.
pulso lineal aplicado a un objeto es igual al cam-
bio en su cantidad de movimiento lineal. Impulso lineal
Introduciendo el promedio de la fuerza total con (t2 Ϫ t1)⌺Fprom ϭ mv2 Ϫ mv1 (16.2)
respecto al tiempo de t1 a t2 ,
1 t2
⌺Fprom ϭ t2 Ϫ t1 Lt1 ⌺F dt,
el principio del impulso y el momento puede
expresarse en términos de la fuerza promedio.
Una fuerza que actúa a lo largo de un interva-
lo de tiempo pequeño pero que ejerce un im-
pulso lineal significativo se denomina fuerza
impulsiva. Con frecuencia, el principio del
impulso y la cantidad de movimiento puede
usarse para determinar el valor promedio de
una fuerza impulsiva.
Formas alternativas del principio del impulso y la
cantidad de movimiento que se usan con frecuen- t2
cia. ⌺Ft es la componente tangencial de la fuerza Lt1 ⌺Ft dt ϭ mv2 Ϫ mv1, (16.3)
total sobre un objeto y ⌺Ft prom es el promedio de
⌺Ft desde t1 hasta t2. Los términos v1 y v2 son las
www.FreeLibros.orgvelocidadesalolargodelatrayectoriaen t1yt2.
(t2 Ϫ t1)⌺Ft prom ϭ mv2 Ϫ mv1. (16.4)
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 227
Ejemplo activo 16.1 Aplicación del impulso y la cantidad de movimiento (᭤ Relacionado con
el problema 16.7)
Un helicóptero de 1200 kg parte desde el reposo en el tiempo t ϭ 0. Las componentes
de la fuerza total (en newtons) sobre el helicóptero desde t ϭ 0 hasta t ϭ 10 s son
©Fx = 720t,
©Fy = 2160 - 360t,
©Fz = 0.
Determine la velocidad del helicóptero en t ϭ 10 s.
y
x
Estrategia
Se conoce la velocidad del helicóptero en t ϭ 0 y las componentes de la fuerza total
que actúa sobre éste como una función del tiempo, por lo tanto se puede usar la
ecuación (16.1) para determinar su velocidad en t ϭ 10 s.
Solución t2
Aplique el principio del Lt1 ⌺F dt ϭ mv2 Ϫ mv1:
impulso y la cantidad de
movimiento desde t ϭ 0 10
hasta t ϭ 10 s.
30 [720ti ϩ (2160 Ϫ 360t)j]dt ϭ (1200)v2 Ϫ (1200)(0),
10
΄ ΅360t2i ϩ (2160t Ϫ 180t2)j ϭ 1200v2,
0
36,000i ϩ 3600j ϭ 1200v2.
Despejando v2, la velocidad en t ϭ 10 s es 30i ϩ 3j (m/s).
Problema de práctica Suponga que no se conocen las componentes de la fuer-
za total que actúa sobre el helicóptero desde t ϭ 10 s hasta t ϭ 20 s. Sin embargo, se
sabe que en t ϭ 20 s, la velocidad del helicóptero es 36i ϩ 8j (m͞s). ¿Cuál es la fuerza
total promedio que actúa sobre éste desde t ϭ 10 s hasta t ϭ 20 s?
www.FreeLibros.orgRespuesta:720i + 600j(N).
228 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento
Ejemplo activo 16.2 Impulso y cantidad de movimiento tangentes a la trayectoria
(᭤ Relacionado con los problemas 16.29, 16.30)
La motocicleta mostrada parte desde el reposo en el tiempo t ϭ 0. La componen-
te tangencial de la fuerza total (en newtons) que actúa sobre la motocicleta desde
t ϭ 0 hasta t ϭ 30 s es
©Ft = 300 - 9t.
La masa combinada de la motocicleta y su piloto es de 225 kg. ¿Cuál es la magni-
tud de la velocidad de la motocicleta en t ϭ 30 s?
Estrategia
Se conoce la velocidad en t ϭ 0 y se sabe cuál es la componente tangencial de la
fuerza total en función del tiempo, por lo tanto se puede utilizar la ecuación (16.3)
para determinar la magnitud de la velocidad en t ϭ 30 s.
Solución t2
Aplique la ecuación (16.3) Lt1 ⌺Ft dt ϭ mv2 Ϫ mv1:
al intervalo de tiempo
entre t ϭ 0 y t ϭ 30 s. 30
30 (300 Ϫ 9t)dt ϭ 225v2 Ϫ 225(0),
30
΄ ΅300t Ϫ 4.5t2 ϭ 225v2,
0
4950 ϭ 225v2.
Se obtiene v2 = 22 m/s.
Problema de práctica ¿Cuál es el promedio de la componente tangencial de la
fuerza total que actúa sobre la motocicleta desde t ϭ 0 hasta t ϭ 30 s?
www.FreeLibros.orgRespuesta:©Ft = 165N.
16.1 Principio del impulso y la cantidad de movimiento 229
Ejemplo 16.3 Determinación de una fuerza impulsiva (᭤ Relacionado con el problema 16.33)
Una pelota de golf en vuelo es fotografiada a intervalos de 0.001 s como se muestra
en la figura. La pelota de 1.62 onzas tiene 1.68 pulg de diámetro. Si el palo estuvo en
contacto con la pelota durante 0.0006 s, estime la fuerza impulsiva promedio ejer-
cida por el palo.
Estrategia
Midiendo la distancia recorrida por la pelota en uno de los intervalos de 0.001 s es
posible calcular su velocidad después de ser golpeada; luego puede usarse la ecua-
ción (16.2) para determinar la fuerza promedio total sobre la pelota.
Solución
Comparando la distancia recorrida durante uno de los intervalos de 0.001 s con el
diámetro conocido de la pelota, se estima que ésta viajó 1.9 pulg y que su direc-
ción fue de 21° sobre la horizontal (figura a). La magnitud de la velocidad de la
pelota es
11.9 >122pies
= 158 pies/s.
0.001 s
y
21Њ
1.9 pulg x
(a) Estimación de la distancia viajada recorrida
en un intervalo de 0.001 s.
El peso de la pelota es 1.62͞16 ϭ 0.101 lb, por lo que su masa es 0.101͞32.2 ϭ
3.14 ϫ 10Ϫ3 slug. De la ecuación (16.2), se obtiene
1t2 - t12©Fprom = mv2 - mv1:
10.0006 s2©Fprom =
13.14 * 10-3 slug21158 pies/s21cos 21°i + sen 21°j2 - 0,
de donde resulta
©Fprom ϭ 775i ϩ 297j (lb).
Razonamiento crítico
La fuerza promedio durante el tiempo en que el palo está en contacto con la pelo-
ta incluye tanto la fuerza impulsiva ejercida por el palo como el peso de la pelota.
En comparación con la gran fuerza impulsiva promedio ejercida por el palo, el
peso (Ϫ0.101j lb) es insignificante.
La determinación del desarrollo temporal de la fuerza ejercida por el palo sobre
la pelota requeriría un análisis complicado que tomase en cuenta la deformación
de la pelota durante el impacto. En contraste, fue posible determinar la fuerza pro-
medio ejercida sobre la pelota mediante la aplicación directa del principio del impul-
www.FreeLibros.orgso y la cantidad de movimiento.
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