Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

230 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Problemas

16.1 La caja de 20 kg mostrada está en reposo en el tiempo t ϭ 0; 16.3 La masa del helicóptero mostrado es de 9300 kg. Despega
se encuentra sujeta a una fuerza horizontal dada como una función verticalmente en el tiempo t ϭ 0. El piloto presiona el acelerador
del tiempo (en newtons) por F ϭ 10 ϩ 2t2. de manera que el empuje hacia arriba de su motor (kN) está dado
como una función del tiempo en segundos por T ϭ 100 ϩ 2t2.
a) Determine la magnitud del impulso lineal ejercido sobre la caja
desde t ϭ 0 hasta t ϭ 4 s. a) Determine la magnitud del impulso lineal debido a las fuerzas
que actúan sobre el helicóptero desde t ϭ 0 hasta t ϭ 3 s.
b) Use principio del impulso y la cantidad de movimiento para
determinar qué tan rápidamente se está moviendo la caja en b) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para
t ϭ 4 s. determinar la velocidad a la que se mueve el helicóptero en t ϭ 3 s.

F

Problema 16.1

16.2 La caja de 100 lb mostrada se suelta desde el reposo sobre Problema 16.3
la superficie inclinada en el tiempo t ϭ 0. El coeficiente de fricción
cinética entre la caja y la superficie es mk ϭ 0.18. 16.4 Un barco carguero de 150 millones de kg parte desde el
reposo. La fuerza total ejercida sobre éste por sus motores y la re-
a) Determine la magnitud del impulso lineal debido a las fuerzas sistencia aerodinámica (en newtons) puede aproximarse como una
que actúan sobre la caja desde t ϭ 0 hasta t ϭ 2 s. función del tiempo en segundos por ©Ft ϭ 937,500 – 0.65t2.
Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para de-
b) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para terminar la velocidad a la que se estará moviendo el barco después
determinar la velocidad a la que se mueve la caja en t ϭ 2 s. de 16 minutos.

30Њ
Problema 16.2

Problema 16.4

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Problemas 231

16.5 La masa combinada de la motocicleta mostrada y su con- ᭤ 16.7 En el ejemplo activo 16.1, ¿cuál es la fuerza total pro-
ductor es de 136 kg. El coeficiente de fricción cinética entre los medio que actúa sobre el helicóptero desde t ϭ 0 hasta t ϭ 10 s?
neumáticos de la motocicleta y el camino es mk ϭ 0.6. El conduc-
tor parte desde el reposo y hace girar la rueda trasera (motriz). 16.8 En el tiempo t ϭ 0, la velocidad del objeto de 15 kg que se
La fuerza normal entre la rueda trasera y el camino es de 790 N. muestra en la figura es v ϭ 2i ϩ 3j – 5k (m͞s). La fuerza total
que actúa sobre el objeto desde t ϭ 0 hasta t ϭ 4 s es
a) ¿Qué impulso ejerce la fuerza de fricción sobre la rueda
trasera en 2 s? ©F = (2t2 - 3t + 7)i + 5tj + (3t + 7)k (N).

b) Si se ignoran otras fuerzas horizontales, ¿cuál es la velocidad Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para de-
que alcanza la motocicleta en 2 s? terminar su velocidad en t ϭ 4 s.

16.9 En el tiempo t ϭ 0, la velocidad del objeto de 15 kg que se
muestra en la figura es v ϭ 2i ϩ 3j – 5k (m͞s). La fuerza total
que actúa sobre el objeto desde t ϭ 0 hasta t ϭ 4 s es

©F = (2t2 - 3t + 7)i + 5tj + (3t + 7)k (N).

¿Cuál es la fuerza total promedio que actúa sobre el objeto duran-
te el intervalo de tiempo entre t ϭ 0 y t ϭ 4 s?

y

Problema 16.5 ͚F

16.6 Un ingeniero biomecánico modela la fuerza generada por las x
alas del petrel de las nieves de 0.2 kg mostrado en la figura, me- z
diante una ecuación de la forma F ϭ F0(1 ϩ sen vt), donde F0 y v
son constantes. A partir de mediciones en video de un ave despe- Problemas 16.8͞16.9
gando, el ingeniero estima que v ϭ 18 y determina que el ave re-
quiere 1.42 s para despegar y cuando lo hace se mueve a 6.1 m͞s.
Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para
determinar la constante F0.

Problema 16.6

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232 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.10 El collarín A de 1 lb está inicialmente en reposo en la po- 16.12 Durante los primeros 5 s del recorrido de despegue de
un avión de 14,200 kg, el piloto aumenta el empuje del motor a
sición mostrada sobre la barra horizontal lisa. En t ϭ 0, se aplica una razón constante de 22 kN hasta alcanzar su empuje total de
1 1 1 112 kN.
una fuerza F = 20 t2i + 10 tj - 30 t3k 1lb2 sobre el collarín, ocasio-
a) ¿Qué impulso ejerce el empuje sobre el avión durante los 5 s?
nando que éste se deslice a lo largo de la barra. ¿Cuál es la velocidad
b) Si se ignoran otras fuerzas, ¿qué tiempo total se requiere para
del collarín en t ϭ 2 s? que el avión alcance su velocidad de despegue de 46 m͞s?

y

F
A

4 pies
Problema 16.10

16.11 En la figura, el eje y es vertical y la barra curva es lisa. El Problema 16.12
deslizador de 4 lb se suelta desde el reposo en la posición 1 y re-
quiere 1.2 s para deslizarse hasta la posición 2. ¿Cuál es la magni- 16.13 La caja de 10 kg que se muestra en la figura parte desde el
tud de la fuerza tangencial promedio que actúa sobre el deslizador reposo sobre la superficie lisa y se somete a la fuerza horizontal
mientras éste se mueve de la posición 1 a la posición 2? descrita en la gráfica. Use el principio del impulso y la cantidad de
movimiento para determinar la velocidad de la caja en t = 12 s.
y
1 16.14 La caja de 10 kg que se muestra en la figura parte desde el
reposo sobre la superficie lisa y se somete a la fuerza horizontal
2 pies descrita en la gráfica. Los coeficientes de fricción entre la caja y
la superficie son ms ϭ mk ϭ 0.2. Determine la velocidad de la caja
en t = 12 s.

2 F
x

4 pies

Problema 16.11 F (N)
50 N

t (s)
0 4 8 12

Problemas 16.13͞16.14

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Problemas 233

16.15 La caja mostrada tiene una masa de 120 kg y los coeficien- 16.19 En un tubo de rayos catódicos, un electrón
tes de fricción entre ésta y la superficie inclinada son ms ϭ 0.6 y (masa ϭ 9.11 ϫ 10Ϫ31 kg) se proyecta en O con velocidad
mk ϭ 0.5. La caja parte desde el reposo y el malacate ejerce una v ϭ (2.2 ϫ 107)i (m͞s). Mientras el electrón está entre las placas
tensión T ϭ 1220 N. cargadas, el campo eléctrico generado por éstas lo somete a una
a) ¿Qué impulso se aplica a la caja durante el primer segundo de fuerza F ϭ ϪeEj. La carga del electrón es e ϭ 1.6 ϫ 10Ϫ19 C
movimiento? (coulombs) y la intensidad del campo eléctrico es E ϭ 15
b) ¿Cuál es la velocidad de la caja después de 1 s? sen(vt) kN͞C, donde la frecuencia v ϭ 2 ϫ 109 sϪ1.

16.16 Resuelva el problema 16.15 si la caja parte desde el reposo a) ¿Qué impulso ejerce el campo eléctrico sobre el electrón mien-
en t ϭ 0 y el malacate ejerce una tensión T ϭ 1220 ϩ 200t N.
tras éste se encuentra entre las placas?

b) ¿Cuál es la velocidad del electrón cuando sale de la región

localizada entre las placas?

y
ϪϪϪϪϪ ϪϪϪ

Ox

30Њ ϩϩϩϩϩ ϩϩϩ
Problemas 16.15͞16.16 30 mm

Problema 16.19

16.17 En un proceso de ensamblado, el paquete A de 20 kg parte 16.20 Los dos pesos mostrados se sueltan desde el reposo en el
desde el reposo y resbala sobre la rampa lisa mostrada. Suponga tiempo t ϭ 0. El coeficiente de fricción cinética entre la superficie
que se quiere diseñar el dispositivo hidráulico B para que ejerza horizontal y el peso de 5 lb es mk ϭ 0.4. Use el principio del im-
una fuerza constante de magnitud F sobre el paquete y lo detenga pulso y el momento para determinar la magnitud de la velocidad
en 0.15 s. ¿Cuál es la fuerza F requerida? del peso de 10 lb en t ϭ 1 s.

16.18 En un proceso de ensamblado, el paquete A de 20 kg Estrategia: Aplique el principio a cada peso de manera in-
parte desde el reposo y resbala sobre la rampa lisa mostrada. dividual.
Si el dispositivo hidráulico B ejerce una fuerza de magnitud
F ϭ 540(1 ϩ 0.4t2) N sobre el paquete, donde t está en segundos 5 lb
medidos desde el momento del primer contacto, ¿qué tiempo se
requiere para llevar el paquete al reposo?

A

2m

B

10 lb
30Њ

www.FreeLibros.orgProblemas 16.17͞16.18
Problema 16.20

234 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.21 Las dos cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus 16.24 En t = 0, a un proyectil de 20 kg se le da una velocidad
masas son mA ϭ 40 kg y mB ϭ 30 kg, y el coeficiente de fricción inicial v0 = 20 m͞s en u0 = 60° sobre la horizontal.
cinética entre la caja A y la superficie inclinada es mk ϭ 0.15. ¿Cuál
es la magnitud de las velocidades de las cajas después de 1 s? a) Usando la segunda ley de Newton para determinar la acelera-
ción del proyectil, determine su velocidad en t = 3 s.
A
b) ¿Qué impulso es aplicado al proyectil por su peso desde t = 0
hasta t = 3 s?
c) Use el principio del impulso y la cantidad de movimiento para
determinar la velocidad del proyectil en t = 3 s.

20Њ 16.25 Un jugador de fútbol patea una pelota en reposo de 0.45 kg
B hacia un compañero de equipo. El balón alcanza una altura máxi-
ma sobre el suelo de 2 m a una distancia horizontal de 5 m desde
Problema 16.21 el punto donde fue pateado. La duración de la patada fue de 0.04
segundos. Ignorando el efecto de la resistencia aerodinámica, de-
termine la magnitud de la fuerza promedio que el jugador ejerció
sobre la pelota.

16.22 Las dos cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus
masas son mA ϭ 20 kg y mB ϭ 80 kg, y las superficies son lisas.
El ángulo u ϭ 20°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja
A después de 1 s?

Estrategia: Aplique el principio del impulso y la cantidad de
movimiento a cada caja de manera individual.

16.23 Las dos cajas mostradas se sueltan desde el reposo. Sus
masas son mA ϭ 20 kg y mB ϭ 80 kg. El coeficiente de fricción
cinética entre las superficies en contacto es mk ϭ 0.1. El ángulo
u ϭ 20°. ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de la caja A
después de 1 s?

A Problema 16.25
B
u

Problemas 16.22͞16.23

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Problemas 235

16.26 Un objeto de masa m ϭ 2 kg se desliza con velocidad ᭤ 16.29 La motocicleta mostrada parte del reposo en t ϭ 0 y se
constante v0 ϭ 4 m͞s sobre una mesa horizontal (vista desde arri- desplaza a lo largo de una pista circular con 300 m de radio. Desde
ba en la figura). El cuerpo está unido con una cuerda de longitud t ϭ 0 hasta t ϭ 10 s, la componente de la fuerza total sobre la
L ϭ 1 m al punto fijo O y se encuentra en la posición mostrada, motocicleta tangente a su trayectoria es ©Ft ϭ 600 N. La masa
con la cuerda paralela al eje x, en t ϭ 0. combinada de la motocicleta y su conductor es de 150 kg. Use el
principio del impulso y la cantidad de movimiento para determi-
a) Determine las componentes x e y de la fuerza ejercida por la nar la magnitud de la velocidad de la motocicleta en t ϭ 10 s.
cuerda sobre la masa en función del tiempo. (Vea el ejemplo activo 16.2).

b) Use sus resultados del inciso a) y el principio del impulso y la ᭤ 16.30 La motocicleta mostrada parte del reposo en t ϭ 0 y
cantidad de movimiento para determinar el vector de velocidad de se desplaza a lo largo de una pista circular con 300 m de radio.
la masa en t ϭ 1 s. Desde t ϭ 0 hasta t ϭ 10 s, la componente de la fuerza total
sobre la motocicleta tangente a su trayectoria está dada en fun-
Estrategia: Para solucionar el inciso a), escriba la segunda ción del tiempo por ©Ft ϭ 460 ϩ 3t2 N. La masa combinada de
ley de Newton para la masa en coordenadas polares. la motocicleta y su conductor es de 150 kg. Use el principio
del impulso y la cantidad de movimiento para determinar la
y v0 magnitud de la velocidad de la motocicleta en t ϭ 10 s. (Vea
OL m el ejemplo activo 16.2).

x

Problema 16.26

16.27 Un cañón sobre rieles que usa un campo electromagnético
para acelerar un objeto acelera un proyectil de 30 g a 5 km͞s en
0.0004 s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida
sobre el proyectil?

16.28 La masa de la lancha mostrada y su pasajero es de 420 kg. Problemas 16.29͞16.30
En el tiempo t ϭ 0, la lancha viaja a 14 m͞s cuando su motor se
apaga. La magnitud de la resistencia hidrodinámica sobre la
lancha (en newtons) está dada como una función del tiempo por
830(1 – 0.08t). Determine el tiempo necesario para que la veloci-
dad de la lancha disminuya a 5 m͞s.

Problema 16.28

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236 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.31 El rotor de titanio de una ultracentrifugadora Beckman 16.35 Una ingeniera biomecánica que utiliza un maniquí instru-
Coulter usada en la investigación biomédica contiene muestras de mentado para probar una máscara protectora para porteros de
2 gramos a una distancia de 41.9 mm desde el eje de rotación. El hockey, lanza un disco de 170 g de manera que golpee la máscara
rotor alcanza su velocidad máxima de 130,000 rpm en 12 minutos. moviéndose horizontalmente a 40 m͞s. Por las fotografías del im-
pacto, se estima que la duración de éste es de 0.02 s y se observa
a) Determine la fuerza tangencial promedio ejercida sobre una que el disco rebota a 5 m͞s.
muestra durante los 12 minutos que el rotor está acelerando.
a) ¿Qué impulso lineal ejerce el disco?
b) Cuando el rotor alcanza su velocidad máxima, ¿a qué acelera-
ción normal están sujetas las muestras? b) ¿Cuál es el valor promedio de la fuerza impulsiva ejercida
sobre la máscara por el disco?
16.32 El ángulo u entre la horizontal y la trayectoria del avión
que se muestra en la figura varía desde u ϭ 0 hasta u ϭ 30° a una
razón constante de 5 grados por segundo. Durante esta maniobra,
la fuerza de empuje y la resistencia aerodinámica están balancea-
das, de manera que la única fuerza ejercida sobre el avión en la di-
rección tangente a su trayectoria se debe a su peso. La magnitud
de la velocidad del avión cuando u ϭ 0 es de 120 m͞s. Use el
principio del impulso y la cantidad de movimiento para determi-
nar la magnitud de la velocidad cuando u ϭ 30°.

u

Problema 16.32

Problema 16.35

᭤ 16.33 En el ejemplo 16.3, suponga que la masa de la pelota 16.36 Un objeto frágil que cae sobre una superficie dura se
de golf es de 0.046 kg y su diámetro es de 43 mm. El palo hace rompe debido a que queda sometido a una gran fuerza impulsiva.
contacto con la pelota durante 0.0006 s, y la distancia que ésta re- Si se deja caer un reloj de 2 onzas desde 4 pies, la duración del
corre en un intervalo de 0.001 s es de 50 mm. ¿Cuál es la magni- impacto es de 0.001 s y el reloj rebota 2 pulg sobre el piso, ¿cuál
tud de la fuerza impulsiva promedio ejercida por el palo? es el valor promedio de la fuerza impulsiva?

16.34 En una prueba de una barrera antichoques, un automóvil
de 2800 lb se conduce hasta chocar contra ésta a 5 mi͞h. La
duración del impacto es de 0.4 segundos. Cuando el automóvil
rebota de la barrera, la magnitud de su velocidad es de 1.5 mi͞h.
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza horizontal promedio ejercida
sobre el automóvil durante el impacto?
b) ¿Cuál es la desaceleración promedio del vehículo durante el
impacto?

www.FreeLibros.orgProblema16.34

Problemas 237

16.37 La pelota de fútbol de 0.45 kg que se muestra en la figura 16.39 Una pelota de béisbol de 5 onzas está a 3 pies sobre el
recibe una patada con duración de 0.12 s. El balón se acelera suelo cuando es golpeada con un bate. La distancia horizontal
desde el reposo hasta una velocidad de 12 m͞s a 60° sobre la hasta el punto donde la pelota golpea el suelo es de 180 pies. Los
horizontal. estudios fotográficos indican que la pelota se movía aproximada-
mente en dirección horizontal a 100 pies͞s antes de ser golpeada,
a) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza total promedio ejercida sobre la duración del impacto fue de 0.015 s y la pelota viajó a 30°
la pelota durante la patada? sobre la horizontal después de haber sido golpeada. ¿Cuál fue
la magnitud de la fuerza impulsiva promedio ejercida por el bate
b) ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida sobre la sobre la pelota?
pelota por el pie del jugador durante la patada?

Estrategia: Use la ecuación (16.2) a fin de calcular la fuerza
total promedio sobre la pelota. Para determinar la fuerza promedio
ejercida por el pie del jugador, se debe restar el peso de la pelota a
la fuerza total promedio.

30Њ

Problema 16.39

16.40 Según las reglas oficiales del frontón, una pelota estándar
tiene 241 pulgadas de diámetro, pesa 1.4 onzas (16 onzas ϭ 1 libra),
y rebota entre 68 y 72 pulgadas después de caer 100 pulgadas a
una temperatura entre 70 y 74 grados Fahrenheit. Suponga que una
pelota rebota 71 pulgadas cuando se deja caer desde una altura de
100 pulgadas. Si la duración del impacto es de 0.08 s, ¿cuál es la
fuerza promedio ejercida por el piso sobre la pelota?

Problema 16.37 16.41 Se tienen las masas mA ϭ mB sobre la superficie lisa mos-
trada. En t ϭ 0, A se encuentra en reposo, el resorte está sin estirar,
16.38 Un entomólogo mide el movimiento de un insecto de 3 g y a B se le da una velocidad v0 hacia la derecha.
durante su salto y se determina que acelera desde el reposo hasta a) En el movimiento subsecuente, ¿cuál es la velocidad del centro
3.4 m͞s en 25 ms (milisegundos). El ángulo de despegue es de de masa común de A y B?
55° sobre la horizontal. ¿Cuáles son las componentes horizontal
y vertical de la fuerza impulsiva promedio ejercida por las patas b) ¿Cuáles son las velocidades de A y B cuando el resorte está
traseras del insecto durante el salto? sin estirar?

Estrategia: Para resolver el inciso b), considere los movimien-
tos de las masas respecto a su centro de masa común.

16.42 Se tienen las masas mA ϭ 40 kg y mB ϭ 30 kg, y
k ϭ 400 N͞m. Las dos masas se sueltan desde el reposo sobre la
superficie lisa mostrada con el resorte estirado 1 m. ¿Cuáles son
las magnitudes de las velocidades de las masas cuando el resorte
está sin estirar?

k
mA mB

www.FreeLibros.orgProblemas 16.41͞16.42

238 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.2 Conservación de la cantidad
de movimiento lineal y los impactos

A ANTECEDENTES
FAB
En esta sección se consideran los movimientos de varios objetos y se muestra que
si las fuerzas externas pueden ignorarse, la cantidad de movimiento lineal total de
los objetos se conserva. (Por fuerzas externas se entiende aquellas fuerzas que no
son ejercidas por los objetos bajo consideración). Este resultado proporciona una
herramienta poderosa para analizar interacciones entre objetos, como las colisiones,
y también permite determinar las fuerzas ejercidas sobre los objetos como resultado
de la ganancia o pérdida de masa.

FBA B Conservación de la cantidad de movimiento lineal

Figura 16.3 Considere los objetos A y B de la figura 16.3. FAB es la fuerza ejercida sobre A
Dos objetos y las fuerzas que ejercen entre sí. por B y FBA es la fuerza ejercida sobre B por A. Esas fuerzas podrían resultar del
contacto entre los dos cuerpos, o podrían ser ejercidas por un resorte que los
conectara. Como consecuencia de la tercera ley de Newton, esas fuerzas son igua-
les y opuestas, de manera que

FAB + FBA = 0. (16.5)

Suponga que ninguna otra fuerza externa actúa sobre A y B, o que las otras fuer-
zas externas son insignificantes en comparación con las fuerzas que A y B ejercen
entre sí. Entonces se puede aplicar el principio del impulso y la cantidad de movi-
miento a cada objeto durante tiempos arbitrarios t1 y t2:

t2

Lt1 FAB dt = mAvA2 - mAvA1,

t2

A FBA dt = mBvB2 - mBvB1.
Lt1

rA r B Al sumar estas ecuaciones, los términos de la izquierda se cancelan y se tiene
rB mAvA1 + mBvB1 = mAvA2 + mBvB2,

lo que significa que la cantidad de movimiento lineal total de A y B se conserva:

mAvA + mBvB = constant.e. (16.6)

O Se puede demostrar que la velocidad del centro de masa combinado de A y B (es

Figura 16.4 decir, de A y B considerados como un solo objeto) también es constante. Sean rA
Vector de posición r del centro de masa común y rB, los vectores de posición de sus centros de masa individuales (figura 16.4). La
de A y B. posición del centro de masa combinado es

r = mArA + mBrB.
mA + mB

Derivando esta ecuación respecto al tiempo y usando la ecuación (16.6), se

obtiene

v = mAvA + mBvB = constaanntte,, (16.7)
mA + mB

donde v = dr>dt es la velocidad del centro de masa combinado. Aunque por lo
general el objetivo consistirá en determinar los movimientos individuales de los
objetos, si se sabe que la velocidad del centro de masa combinado es constante
contribuye al mejor entendimiento del problema, y en algunos casos el movi-

www.FreeLibros.orgmiento del centro de masa combinado puede ser la única información que puede
obtenerse.

16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos 239

Aun cuando haya fuerzas externas que actúen sobra A y B, si las fuerzas exter-
nas son insignificantes en una dirección particular, las ecuaciones (l6.6) y (16.7)
son aplicables en esa dirección. Estas ecuaciones también se aplican a un número
arbitrario de cuerpos: si las fuerzas externas que actúan sobre cualquier conjunto
de cuerpos son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de los cuer-
pos se conserva y la velocidad de sus centros de masa es constante.

Impactos

En máquinas que realizan operaciones de estampado o de forja, los troqueles se vЈA v vЈB
impactan contra las piezas de trabajo. Las impresoras mecánicas crean imáge-
nes impactando elementos metálicos contra papel y placas. Hay vehículos que se AB
impactan de manera intencional, como cuando los vagones de ferrocarril se hacen
chocar para acoplarlos entre sí, y otros sin intención, en los accidentes. Los impac- vA v vB
tos ocurren en muchas situaciones de interés para la ingeniería. En esta sección se A
considera un asunto básico: si se conocen las velocidades de dos objetos antes de que B
choquen, ¿cómo se pueden determinar las velocidades después de la colisión? Es (a)
decir, ¿cuál es el efecto del impacto sobre los movimientos de los objetos?
v
Si los cuerpos que chocan no están sujetos a fuerzas externas, sus cantidades de
movimiento lineal total deben ser las mismas antes y después del impacto. Aun cuan- AB
do estén sujetos a fuerzas externas, la fuerza del impacto a menudo es tan grande
y su duración es tan breve, que el efecto en sus movimientos durante el impacto es
insignificante. Suponga que los objetos A y B con velocidades vA y vB entran en
colisión; sean vЈA y vBœ sus velocidades después del impacto (figura 16.5a). Si los
efectos de fuerzas externas son insignificantes, la cantidad de movimiento lineal
total del sistema compuesto por A y B se conserva:

mAvA + mBvB = mAvAœ + mBvBœ . (16.8)

Además, la velocidad v del centro de masa de A y B es la misma antes y después vA v vB
del impacto. Así, de la ecuación (16.7), A
B
v = mAvA + mBvB. (16.9) (b)
mA + mB

Si A y B se adhieren y permanecen juntos después de la colisión, se dice que expe- Figura 16.5
rimentan un impacto perfectamente plástico. La ecuación (16.9) proporciona la (a) Velocidades de A y B antes y después del
velocidad del centro de masa del objeto que ellos forman después del impacto
(figura 16.5b). Un aspecto notable de este resultado es que se puede determinar la impacto y velocidad v de sus centros de
velocidad posterior al impacto sin considerar la naturaleza física del impacto. masa.
(b) Impacto perfectamente plástico.
Si A y B no se adhieren, la conservación de la cantidad de movimiento lineal
por sí misma no es suficiente para determinar sus velocidades después del impac-
to. Primero se considerará el caso en que viajan a lo largo de la misma línea recta
antes y después de que tengan la colisión.

Impactos centrales directos Suponga que los centros de masa de A y B via-

jan a lo largo de la misma línea recta con velocidades vA y vB antes de su impacto
(figura 16.6a). Sea R la magnitud de la fuerza que ejercen entre sí durante el impac-

to (figura 16.6b). Se supone que las superficies que chocan están orientadas de

manera que R es paralela a la línea en la que viajan los dos objetos y que está diri-

gida hacia sus centros de masa. Esta condición, llamada impacto central directo,

significa que A y B pueden seguir viajando en la misma línea recta después del

impacto (figura 16.6c). Si los efectos de las fuerzas externas durante el impacto son

insignificantes, la cantidad de movimiento lineal total de los objetos se conserva:

www.FreeLibros.orgmAvA + mBvB = mAvAœ + mBvBœ.(16.10)

240 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

vA vB

A B (a) Antes del
A impacto
Figura 16.6 B
(a) Objetos A y B que recorren la misma línea A R B (b) Durante del
R impacto
recta.
(b) Durante el impacto, ejercen entre sí una vAЈ vBЈ (c) Después del
B impacto
fuerza R.
(c) Recorren la misma línea recta después

del impacto central.

A

Sin embargo, se necesita otra ecuación para determinar las velocidades vAœ y vBœ .
Para obtenerla se debe considerar el impacto con mayor detalle.

AB Sea t1 el tiempo en que A y B entran por primera vez en contacto (figura 16.7a).
(a) Como resultado del impacto, primero se deforman y sus centros de masa continúan

AB acercándose uno al otro. En un tiempo tC, sus centros de masa habrán alcanzado
su máxima proximidad (figura 16.7b). En este tiempo, la velocidad relativa de los

dos centros de masa es cero, por lo que ambos tendrán la misma velocidad; ésta

se denota con vC. Los objetos comienzan a separarse en un tiempo t2 (figura
16.7c). Se aplica el principio del impulso y la cantidad de movimiento a A duran-

te los intervalos de tiempo desde t1 hasta el tiempo de máxima proximidad tC y
también de tC a t2:

tC

(b) B Lt1 - R dt = mAvC - mAvA, (16.11)
A (16.12)
t2

LtC - R dt = mAvAœ - mAvC.

(c) Después se aplica este principio a B en los mismos intervalos de tiempo:

Figura 16.7 tC (16.13)
(16.14)
(a) Primer contacto, t = t1. Lt1 R dt = mBvC - mBvB,
(b) Acercamiento más próximo, t = tC.
(c) Fin del contacto, t = t2. t2

R dt = mBvBœ - mBvC.
LtC

Como resultado del impacto, parte de la energía cinética de los objetos puede

perderse debido a una variedad de mecanismos, incluidos la deformación perma-

nente y la generación de calor y sonido. En consecuencia, el impulso que se imparten

entre sí durante la fase de “restitución” del impacto de tC a t2 es, en general, menor
que el impulso que se imparten de t1 a tC. La razón de esos impulsos se llama coefi-
ciente de restitución:

t2

LtC R dt

e= tC . (16.15)

Lt1 R dt

El valor de e depende de las propiedades de los objetos y de sus velocidades y

www.FreeLibros.orgorientaciones al chocar, y se puede determinar sólo mediante experimentos o por
un análisis detallado de las deformaciones durante el impacto.

16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos 241

Si se divide la ecuación (16.12) entre la ecuación (16.11) y se divide la
ecuación (16.14) entre la ecuación (16.13), se pueden expresar las ecuaciones resul-
tantes en las formas

1vC - vA2e = vAœ - vC

y
1vC - vB2e = vBœ - vC.

Restando la primera ecuación de la segunda, se obtiene

e = vBœ - vAœ . (16.16)
vA - vB

Así, el coeficiente de restitución se relaciona de manera sencilla con las velocida-

des relativas de los objetos antes y después del impacto. Si se conoce e, puede

usarse la ecuación (16.16) junto con la ecuación de la conservación de la cantidad
de movimiento lineal, ecuación (16.10), para determinar vAœ y vBœ .

Si e ϭ 0, la ecuación (16.16) indica que vBœ = vAœ . Los objetos permanecen

juntos después del impacto, y éste es perfectamente plástico. Si e ϭ 1, puede
demostrarse que la energía cinética total es la misma antes y después del impacto:

1 mAvA2 + 1 mBvB2 = 1 mA1vAœ 22 + 1 mB1vBœ 22 1(cwuhaenndoee=ϭ112)..
2 2 2 2

Un impacto en el que se conserva la energía cinética se denomina perfectamente vЈA y vЈB
elástico. Aunque a veces ésta es una aproximación útil, en cualquier impacto entre A
cuerpos materiales siempre se pierde energía. Si un choque se puede escuchar, la B
energía cinética se ha convertido en sonido. Las deformaciones permanentes y las x
vibraciones de los cuerpos en colisión después del impacto también representan
pérdidas de energía cinética. vB

Impactos centrales oblicuos El procedimiento utilizado para analizar los vA B

impactos centrales se puede extender al caso en que los cuerpos se aproximan A
Figura 16.8
entre sí con un ángulo oblicuo. Suponga que A y B se aproximan con velocidades Impacto central oblicuo.

arbitrarias vA y vB (figura 16.8) y que las fuerzas que ejercen entre sí durante su
impacto son paralelas al eje x y apuntan hacia sus centros de masa. Ninguna fuer-

za se ejerce sobre A y B en las direcciones y o z, por lo que sus velocidades en esas

direcciones no cambian con el impacto:

1vAœ 2y = 1vA2y, 1vBœ 2y = 1vB2y, (16.17)
1vAœ 2z = 1vA2z, 1vBœ 2z = 1vB2z.

En la dirección x se conserva la cantidad de movimiento lineal

mA1vA2x + mB1vB2x = mA1vAœ 2x + mB1vBœ 2x. (16.18)

Mediante el mismo análisis que se usó para obtener la ecuación (16.16), las com- vЈA y
ponentes x de la velocidad satisfacen la relación A

e = 1vBœ 2x - 1vAœ 2x. (16.19)
1vA2x - 1vB2x

Si la fricción es insignificante, se puede analizar un impacto en el que un objeto x
A choca con un objeto en reposo B. Suponga que B está restringido de manera que no B

puede moverse con respecto al marco de referencia inercial. Por ejemplo, en la figu- vA
ra 16.9, A golpea una pared B que está fija respecto a la Tierra. Las componentes y y

z de la velocidad de A no cambian, porque la fricción se ignora y el impacto no ejer- A
ce ninguna fuerza en esas direcciones. La componente x de la velocidad de A después

del impacto está dada por la ecuación (16.19) con la velocidad de B igual a cero:
www.FreeLibros.org1vAœ2x = -e1vA2x.
Figura 16.9
Impacto con un objeto en reposo.

242 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

RESULTADOS
Conservación de la cantidad de movimiento lineal

Si las únicas fuerzas que actúan sobre dos mAvA ϩ mBvB ϭ constante. (16.6)
objetos A y B son las fuerzas que ejercen (16.7)
entre sí, su cantidad de movimiento lineal v ϭ mAvA ϩ mBvB ϭ constante.
total se conserva y la velocidad v de su mA ϩ mB
centro de masa común es constante.

vЈA Impactos
A
v vЈB
vA B
A
v vB
B

Si dos objetos A y B entran en colisión y los mAvA ϩ mBvB ϭ mAv¿A ϩ mBv¿B, (16.8)
efectos de las fuerzas externas son insignifi- (16.9)
cantes, su cantidad de movimiento lineal total v ϭ mAvA ϩ mBvB .
y la velocidad de su centro de masa común mA ϩ mB
son las mismas antes y después del impacto.

Colisión perfectamente plástica

v
AB

vA v vB
A B

En este tipo de colisión, A y B se adhie-
ren y permanecen juntos después del
impacto. La velocidad de su centro de
masa común después del impacto está

www.FreeLibros.orgdada por la ecuación (16.9).

16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos 243

Impacto central directo

vA vB

AB Antes del
AB impacto

A R Durante el
R impacto
B
Después del
vAЈ vBЈ impacto
B
A

La cantidad de movimiento lineal se conser- mAvA ϩ mBvB ϭ mAv¿A ϩ mBv¿B, (16.10)
va y las velocidades antes y después del (16.16)
impacto están relacionadas por el coefi- eϭ v¿B Ϫ v¿A .
ciente de restitución e. Si e ϭ 0, la colisión vA Ϫ vB (16.17)
es perfectamente plástica, y si e ϭ 1, se
conserva la energía cinética total.

Impacto central oblicuo

vЈA y vЈB

A B
vA x

A vB

B

Las componentes de velocidad paralelas al (v¿A)y ϭ (vA)y, (v¿B)y ϭ (vB)y,
plano del impacto no cambian. (v¿A)z ϭ (vA)z, (v¿B)z ϭ (vB)z.

Se conserva la cantidad de movimiento lineal mA(vA)x ϩ mB(vB)x ϭ mA(v¿A)x ϩ mB(v¿B)x. (16.18)

en la dirección perpendicular al plano del im- (v¿B)x Ϫ ((vv¿BA))x.x
(vA)x Ϫ
pacto y las componentes de la velocidad están eϭ (16.19)

www.FreeLibros.orgrelacionadas por el coeficiente de restitución.

244 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Ejemplo activo 16.4 Conservación de la cantidad de movimiento lineal

(᭤ Relacionado con el problema 16.43)

Una persona de masa mP está de pie sobre el centro de la barcaza en reposo con
masa mB, que se muestra en la figura. Suponga que la persona corre hacia el extre-
mo derecho de la barcaza y se detiene. ¿Cuál es su posición y la de la barcaza
respecto a sus posiciones originales? Ignore las fuerzas horizontales ejercidas por
el agua sobre la barcaza.

1L 1L
22

Estrategia
Las únicas fuerzas horizontales ejercidas sobre la persona y la barcaza son las
que éstas ejercen entre sí. Por lo tanto, la velocidad horizontal de su centro de
masa común debe ser constante. Su velocidad inicial es cero, por lo que debe per-
manecer en reposo: no se mueve. Esta condición puede usarse para determinar las po-
siciones de los centros de masa de la persona y la barcaza cuando la primera se
encuentra en el extremo derecho de la barcaza.

Solución

Coloque el origen del sistema coordena- y xP
do en la posición original del centro de xB
masa común de la barcaza y la persona.
Sea xP la posición de la persona cuando 1L x
ésta se ha detenido en el extremo dere- 2
cho de la barcaza, y sea xB la posición
de la barcaza a la izquierda del origen.

La posición del centro de masa común xϭ xPmP ϩ (ϪxB)mB ϭ 0.
de la persona y la barcaza debe per- mP ϩ mB
manecer en x ϭ 0.
Resolviendo esta ecuación junto con la relación

xP ϩ xB ϭ L/2 se obtienen las dos posiciones.

ϭ mBL , ϭ mPL .
2(mP ϩ mB) 2(mP ϩ mB)
www.FreeLibros.orgxP xB

16.2 Conservación de la cantidad de movimiento lineal y los impactos 245

Problema de práctica Si la persona deja su posición inicial sobre el centro de
la barcaza en reposo y comienza a correr con velocidad vP hacia la derecha, ¿cuál
es la velocidad resultante de la barcaza?

y vP
vB

x

Respuesta: vB = (mP>mB)vP htoawciaardlathizeqlueifetr.da.

Ejemplo activo 16.5 Análisis de un impacto (᭤ Relacionado con el problema 16.60)

Las masas A y B de 4 kg se deslizan sobre la barra horizontal lisa con las velocidades
mostradas. Determine sus velocidades después de entrar en colisión si su coefi-
ciente de restitución es e ϭ 0.8.

10 m/s 5 m/s

AB

Estrategia
Conociendo las masas, las velocidades antes de la colisión y el coeficiente de
restitución, se pueden usar las ecuaciones (16.10) y (16.16) para determinar las ve-
locidades de las dos masas después de la colisión.

Aplique la ecuación (16.10) (conserva- mAvA ϩ mBvB ϭ mAv¿A ϩ mBv¿B :
ción de la cantidad de movimiento lineal). (4 kg)(10 m/s) ϩ (4 kg)(Ϫ5 m/s) ϭ (4 kg)v¿A ϩ (4 kg)v¿B. (1)

Aplique la ecuación (16.16) (defini- e ϭ v¿B Ϫ v¿A :
ción del coeficiente de restitución). vA Ϫ vB

0.8 ϭ v¿B Ϫ v¿A . (2)

10 m/s Ϫ (Ϫ5 m/s)

Resuelva las ecuaciones (1) y (2) para ob- v¿A ϭ Ϫ3.5 m/s, v¿B ϭ 8.5 m/s.
tener las velocidades después del impacto.

Problema de práctica Suponga que las masas A y B están cubiertas con velcro y se
adhieren entre sí al entrar en colisión. ¿Cuál es su velocidad después del impacto?

www.FreeLibros.orgRespuesta:2.5m͞s.

246 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Ejemplo 16.6 Aplicación de los métodos de la cantidad de movimiento al acoplamiento
de una nave espacial (᭤ Relacionado con el problema 16.77)

El módulo de servicio y comando Apolo (A) intenta acoplarse con la cápsula Soyuz
(B) el 15 de julio de 1975. Sus masas son mA ϭ 18 Mg y mB ϭ 6.6 Mg. El Soyuz se
encuentra en reposo respecto al marco de referencia mostrado, y el módulo de ser-
vicio se aproxima con velocidad vA ϭ 0.2i ϩ 0.03j Ϫ 0.02k (m͞s).
a) Si el primer intento de acoplamiento tiene éxito, ¿cuál es la velocidad del centro
de masa de los dos vehículos combinados después de haberse acoplado?
b) Si el primer intento no tiene éxito y el coeficiente de restitución del impacto
resultante es e ϭ 0.95, ¿cuáles son las velocidades de los dos vehículos después del
impacto?

y

x

vA B
Az

Estrategia
a) Si el acoplamiento tuvo éxito, el impacto es perfectamente plástico y se puede
emplear la ecuación (16.9) para determinar la velocidad del centro de masa del ob-
jeto combinado después del impacto.
b) Suponiendo un impacto central oblicuo con las fuerzas ejercidas por los collares
de acoplamiento paralelos al eje x, se pueden usar las ecuaciones (16.18) y (16.19)
para determinar las velocidades de ambos vehículos después del impacto.

Solución
a) A partir la ecuación (16.9), la velocidad del centro de masa de los vehículos com-
binados es

v = mAvA + mBvB
mA + mB

118 Mg230.2i + 0.03j - 0.02k 1m/s24 + 0
= 18 Mg + 6.6 Mg
= 0.146i + 0.0220j - 0.0146k 1m/s2.

b) Las componentes y y z de las velocidades de ambos vehículos espaciales no
cambian. Para determinar las componentes x, primero se usa la conservación de la
cantidad de movimiento lineal, ecuación (16.18).

mA1vA2x + mB1vB2x = mA1vAœ 2x + mB1vBœ 2x:

www.FreeLibros.org118Mg210.2m/s2 + 0 = 118Mg21vAœ2x + 16.6Mg21vBœ2x.

Problemas 247

Después se usa el coeficiente de restitución, ecuación (16.19), para obtener

e = 1vBœ 2x - 1vAœ 2x :
1vA2x - 1vB2x

0.95 = 1vBœ 2x - 1vAœ 2x.
0.2 m/s - 0

Resolviendo estas dos ecuaciones, se obtiene 1vAœ 2x = 0.0954 m/s y
1vBœ 2x = 0.285 m/s, por lo que las velocidades de los vehículos espaciales
después del impacto son

vAœ = 0.0954i + 0.03j - 0.02k 1m/s2,
vBœ = 0.285i 1m/s2.

Razonamiento crítico
¿Por qué son útiles los cálculos de este tipo? Las simulaciones analíticas del im-
pacto entre dos vehículos espaciales durante su acoplamiento se usaron en el diseño
de los mecanismos de acople así como en el entrenamiento de astronautas que reali-
zaron esta maniobra.

Problemas 16.44 Los vagones de ferrocarril mostrados, con pesos
WA ϭ 120,000 lb y WB ϭ 70,000 lb, chocan y quedan acoplados.
᭤ 16.43 Una joven que pesa 80 lb está de pie en reposo sobre una El carro A está lleno y el B lleno hasta la mitad de ácido carbólico.
plataforma flotante que pesa 325 lb. Empieza a correr a 10 pies͞s Cuando los vagones chocan, el ácido en B se agita con violencia.
respecto a la plataforma hasta llegar al extremo. Ignore la fuerza a) Inmediatamente después del impacto, ¿cuál es la velocidad del
horizontal ejercida por el agua sobre la plataforma. centro de masa común de los dos vagones?
b) Cuando ha terminado la agitación en B, ¿cuál es la velocidad
a) Después de que la joven empieza a correr, ¿cuál es su veloci- de los dos vagones?
dad respecto al agua?
16.45 Los pesos de los vagones de ferrocarril mostrados son
b) Mientras ella está corriendo, ¿cuál es la velocidad del centro WA ϭ 120,000 lb y WB ϭ 70,000 lb. La vía tiene una pendiente
de masa común de la joven y la plataforma respecto al agua? (Vea constante de 0.2 grados hacia arriba a la derecha. Si los vagones
el ejemplo activo 16.4). están a 6 pies de distancia en el instante mostrado, ¿cuál es la
velocidad de su centro de masa común inmediatamente después
del acoplamiento?

A 2 pies/s B 1 pie/s

Problemas 16.44͞16.45

www.FreeLibros.orgProblema16.43

248 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.46 El satélite S de 400 kg que se muestra en la figura, viaja a 16.49 Un niño que pesa 80 lb está sentado sobre un carro en
7 km͞s y es golpeado por un meteoro M de 1 kg que viaja a 12 km͞s. reposo de 20 lb y quiere simular una propulsión de reacción lan-
Debido al impacto, el meteoro se incrusta en el satélite. Determine zando ladrillos desde el carro. Ignore las fuerzas horizontales
la magnitud de la velocidad de su centro de masa común después sobre las ruedas. Si tiene tres ladrillos de 10 lb de peso cada uno
del impacto y el ángulo b entre la trayectoria del centro de masa y y los lanza con una velocidad horizontal de 10 pies͞s respecto al
la trayectoria original del satélite. carro, determine la velocidad alcanzada a) si lanza uno a la vez;
b) si los lanza todos juntos.
16.47 El satélite S de 400 kg que se muestra en la figura, viaja a
7 km͞s y es golpeado por un meteoro M de 1 kg. Debido al impacto,
el meteoro se incrusta en el satélite. ¿Cuál debería ser la magnitud
de la velocidad del meteoro para ocasionar que el ángulo b entre
la trayectoria original del satélite y la trayectoria del centro de
masa combinado del satélite y el meteoro después del impacto sea
de 0.5°? ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del centro de masa
después del impacto?

S 7 km/s b

45Њ Problema 16.49

M

Problemas 16.46͞16.47 16.50 La catapulta mostrada, diseñada para lanzar un cable a
embarcaciones en peligro, lanza un proyectil de 2 kg. La masa de
16.48 Un astronauta de 68 kg se encuentra inicialmente en reposo la catapulta es de 36 kg, y descansa sobre una superficie lisa. Si la
en el lado izquierdo de un módulo experimental dentro de un trans- velocidad del proyectil respecto a la Tierra cuando éste sale del
bordador espacial en órbita. El centro de masa del transbordador de tubo es de 50 m͞s en u0 ϭ 30° sobre a la horizontal, ¿cuál es la
105,000 kg está 4 m a la derecha del astronauta. Él se impulsa con velocidad resultante de la catapulta hacia la izquierda?
los pies hacia el centro de masa del transbordador a 1 m͞s respecto a
la nave. Se desplaza 8 m respecto al transbordador antes de llegar al 16.51 La catapulta mostrada, que tiene una masa de 36 kg y
reposo en la pared opuesta del módulo experimental. lanza un proyectil de 2 kg, descansa sobre una superficie lisa. La
a) ¿Cuál es el cambio en la magnitud de la velocidad del transbor- velocidad del proyectil respecto a la catapulta cuando éste sale
dador respecto a su velocidad original durante el desplazamiento del tubo es de 50 m͞s en u0 ϭ 30° sobre la horizontal, ¿cuál es
del astronauta? la velocidad resultante de la catapulta hacia la izquierda?
b) ¿Cuál es el cambio en la magnitud de la velocidad del trans-
bordador respecto a su velocidad original después del “vuelo” del v
astronauta?
c) ¿Dónde está el centro de masa del transbordador respecto al u0
astronauta después de su “vuelo”?

Problemas 16.50͞16.51

www.FreeLibros.orgProblema16.48

Problemas 249

16.52 Una bala con masa de 3.6 gramos se mueve horizontalmen- 16.54 La banda transportadora que se muestra en la figura deja
te con velocidad v y golpea un bloque de madera de 5 kg y se in- caer el paquete A de 12 kg en la caja B de l.6 kg. El paquete es pe-
crusta en él. Después del impacto, la bala y el bloque se deslizan gajoso y se adhiere al fondo de la caja. Si el coeficiente de fricción
24 mm sobre el piso. Si el coeficiente de fricción cinética entre el entre la caja y la banda horizontal es mk ϭ 0.2, ¿qué distancia se
bloque y el piso es mk ϭ 0.4, determine la velocidad v. desliza la caja después del impacto?

v 26Њ

Problema 16.52 A 0.2 m/s
1 m/s
16.53 Una bala de 0.12 onzas golpea un bloque colgante de ma-
dera de 15 lb y se incrusta en él. Los alambres de los que cuelga el B
bloque oscilan través de un ángulo de 7° como consecuencia del
impacto. ¿Cuál era la velocidad de la bala? Problema 16.54

2 pies 7Њ 16.55 Un autobús de 12,000 lb choca con un automóvil de 2800
Problema 16.53 lb. La velocidad del autobús antes del choque era vB ϭ 18i (pies͞s)
y la velocidad del automóvil era vC ϭ 33j (pies͞s). Los dos vehícu-
los quedaron trabados y permanecieron juntos después de la
colisión. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas de
los vehículos y el camino es mk ϭ 0.6.

a) ¿Cuál es la velocidad del centro de masa común de los vehícu-
los inmediatamente después de la colisión?

b) Determine la posición final aproximada del centro de masa
común de los vehículos respecto a su posición cuando ocurrió el
impacto? (suponga que las llantas se traban y no ruedan sobre
el camino).

y

vB
vC

x

Problema 16.55

www.FreeLibros.org

250 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.56 La velocidad del astronauta A de 200 kg que se muestra 16.59 Los objetos A y B de la figura con velocidades vA = 20 m͞s
en la figura, respecto a la estación espacial es 40i ϩ 30j (mm͞s). y vB = 4 m͞s sufren un impacto central directo. Sus masas son
La velocidad del elemento estructural B de 300 kg respecto a la mA ϭ 8 kg y mB ϭ 12 kg. Después del impacto, el objeto B se
estación es Ϫ20i ϩ 30j (mm͞s). Cuando se aproximan uno al otro, mueve hacia la derecha a 16 m͞s. ¿Cuál es el coeficiente de res-
el astronauta se sujeta del elemento estructural y permanece titución?
junto a él.
vA vB
a) ¿Cuál es la velocidad de su centro de masa común cuando lle-
gan a la estación? AB
Problema 16.59
b) Determine la posición aproximada en la que entran en contacto
con la estación.

y ᭤ 16.60 La masa A de 8 kg y la masa B de 12 kg se deslizan
sobre la barra horizontal lisa con las velocidades mostradas. Si el
6m coeficiente de restitución es e ϭ 0.2, determine las velocidades de
A las masas después de la colisión. (Vea el ejemplo activo 16.5).

9m B 3 m/s 2 m/s
x A B
Problema 16.56

16.57 Los pesos de los objetos de la figura son WA ϭ 5 lb y Problema 16.60
WB ϭ 8 lb. El objeto A se mueve a vA = 2 pies͞s y sufre un impacto
perfectamente elástico con el objeto estacionario B. El coeficiente de 16.61 En un estudio de los efectos de un accidente sobre los
restitución es e 5 0.8. Determine las velocidades de los objetos ocupantes simulados de los dos vehículos que se muestran en la
después del impacto. figura, el automóvil de 1900 lb con velocidad vA = 30 mi͞h choca
con el automóvil de 2800 lb con velocidad vB = 20 mi͞h. Si el
16.58 Los pesos de los objetos de la figura son WA ϭ 5 lb y coeficiente de restitución del impacto es e ϭ 0.15, ¿cuáles son las
WB ϭ 8 lb. El objeto A se mueve a vA = 2 pies͞s y sufre un im- velocidades de los automóviles después de la colisión?
pacto central directo con el objeto estacionario B. El coeficiente
de restitución es e ϭ 0.8. Determine las velocidades de los objetos 16.62 En un estudio de los efectos de un accidente sobre los ocu-
después del impacto. pantes simulados de los dos vehículos que se muestran en la figura,
el automóvil de 1900 lb con velocidad vA = 30 mi͞h choca con el
vA automóvil de 2800 lb con velocidad vB = 20 mi͞h. El coeficiente
de restitución del impacto es e ϭ 0.15 y la duración de la colisión
AB es de 0.22 s. Determine la magnitud de la aceleración promedio
a la que están sometidos los ocupantes de cada uno de los auto-
Problemas 16.57͞16.58 móviles.

vA vB

www.FreeLibros.orgProblemas 16.61͞16.62

Problemas 251

16.63 Las bolas mostradas tienen igual masa m. Las bolas B y C 16.66 Suponga que se investiga un accidente en el que un auto A
se conectan mediante un resorte sin estirar y están en reposo. La de 3400 lb golpea el auto B de 1960 lb que se encuentra estacionado.
bola A se mueve hacia la B con velocidad vA. El impacto de A con Las cuatro ruedas de B estaban frenadas y las marcas de patinaje
B es perfectamente elástico (e ϭ 1). indican un deslizamiento de 20 pies después del impacto. Si el
coeficiente de fricción cinética entre los neumáticos de B y el pa-
a) ¿Cuál es la velocidad del centro de masa común de las bolas B vimento se estima en mk ϭ 0.8 y el coeficiente de restitución des-
y C inmediatamente después del impacto? pués del impacto es e ϭ 0.2, ¿cuál fue la velocidad vA del auto A
justo antes del impacto? (Suponga que sólo ocurrió un impacto).
b) ¿Cuál es la velocidad del centro de masa común de las bolas B
y C en el tiempo t después del impacto?

16.64 En el problema 16.63, ¿cuál es la fuerza compresiva máxi- vA B
ma en el resorte como resultado del impacto? A

16.65* Las bolas mostradas tienen igual masa m. Las bolas B y Problema 16.66
C se conectan mediante un resorte sin estirar y están en reposo.
La bola A se mueve hacia la B con velocidad vA. El impacto de A 16.67 Cuando el jugador suelta la pelota desde el reposo a una
con B es perfectamente elástico (e ϭ 1). Suponga que esto se inter- altura de 5 pies sobre el piso, rebota hasta una altura de 3.5 pies.
preta como un impacto entre la bola A y el “objeto” D consistente Si él lanza la pelota hacia abajo, soltándola a 3 pies sobre el piso,
en las bolas conectadas B y C. ¿a qué velocidad necesita lanzarla para que rebote a una altura
de 12 pies?
a) ¿Cuál es el coeficiente de restitución del impacto entre A y D?

b) Si se considera la energía total después del impacto como la

suma de las energías cinéticas 1 m1vAœ 22 + 2112m21vDœ 22, donde vDœ
2

es la velocidad del centro de masa de D después del impacto,

¿cuánta energía se “pierde” como resultado del impacto?

c) ¿Cuánta energía se pierde en realidad como resultado del
impacto? (Este problema es un modelo interesante para uno de
los mecanismos de la energía perdida en los impactos entre obje-
tos. La energía “perdida” que se calcula en el inciso b se transforma
en “energía interna”, los movimientos vibratorios de B y C respec-
to a su centro de masa común.)

vA C 5 pies
k Problema 16.67

AB
Problemas 16.63–16.65

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252 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.68 En la figura, la pelota de fútbol de 0.45 kg se encuentra a 16.72 En una operación de forja, el peso de 100 lb se levanta
1 m sobre el suelo cuando es pateada hacia arriba a 12 m͞s. Si hasta la posición 1 y luego se libera desde el reposo. Al caer gol-
el coeficiente de restitución entre la pelota y el suelo es e ϭ 0.6, pea una pieza de trabajo en la posición 2. Si el peso se mueve a
¿cuál es la altura máxima sobre el suelo que alcanzará el balón en 15 pies͞s inmediatamente antes del impacto y el coeficiente de res-
su primer rebote? titución es e ϭ 0.3, ¿cuál es la velocidad del peso inmediatamente
después del impacto?
16.69 En la figura, la pelota de fútbol de 0.45 kg se encuentra
en reposo justo antes de ser pateada hacia arriba a 12 m͞s. Si el 16.73 El peso de 100 lb mostrado se suelta desde el reposo en la
impacto dura 0.02 s, ¿cuál es la fuerza promedio ejercida sobre la posición 1. La constante del resorte es k ϭ 120 lb͞pie, y los resortes
pelota por el pie del jugador? están sin estirar en la posición 2. Si el coeficiente de restitución
del impacto del peso con la pieza de trabajo en la posición 2 es
12 m/s e ϭ 0.6, ¿cuál es la magnitud de la velocidad del peso inmediata-
mente después del impacto?

1m 1

Problemas 16.68͞16.69 16 pulg
16.70 Tomando medidas directamente de la fotografía de una
pelota de golf rebotando, estime el coeficiente de restitución. 2

16.71 Si la pelota de golf del problema 16.70 se lanza horizon- k k
talmente a 2 pies͞s y se suelta a 4 pies sobre la superficie, ¿cuál es Pieza de trabajo
la distancia entre los dos primeros rebotes?
12 pulg

Problemas 16.72͞16.73

Problemas 16.70͞16.71

www.FreeLibros.org

Problemas 253

16.74* Un ingeniero biomecánico que estudia el diseño de un ᭤ 16.77 En el ejemplo 16.6, si el módulo de servicio y comando
casco utiliza un aparato experimental con el cual lanza un casco Apolo se aproxima a la nave espacial Soyuz con una velocidad de
de 2.4 kg, que contiene una cabeza de plástico de 2 kg modelando 0.25i ϩ 0.04j ϩ 0.01k (m͞s) y el acoplamiento es exitoso, ¿cuál
la cabeza humana, contra una superficie rígida a 6 m͞s. La cabeza, es la velocidad del centro de masa de los vehículos combinados
suspendida dentro del casco, no es afectada inmediatamente por el después del acoplamiento?
impacto y continúa moviéndose hacia la derecha a 6 m͞s, hasta
que choca con el casco. Si el coeficiente de restitución del impacto 16.78 En la figura, el objeto A de 3 kg y el objeto B de 8 kg
del casco con la superficie es de 0.85 y el de la cabeza con el casco sufren un impacto central oblicuo. El coeficiente de restitución
es de 0.15, ¿cuál es la velocidad de la cabeza después de su im- es e ϭ 0.8. Antes del impacto, vA ϭ 10i ϩ 4j ϩ 8k (m͞s) y vB ϭ
pacto inicial con el casco? Ϫ2i Ϫ 6j ϩ 5k (m͞s). ¿Cuáles son las velocidades de A y B des-
pués del impacto?
16.75* a) En el problema 16.74, si la duración del impacto de
la cabeza con el casco es de 0.004 s, ¿cuál es la magnitud de la y
fuerza media ejercida sobre la cabeza a consecuencia del impacto?
b) Suponga que la cabeza sola golpea la superficie a 6 m͞s, el AB
coeficiente de restitución es 0.5 y la duración del impacto es de x
0.0002 s. ¿Cuál es la magnitud de la fuerza promedio ejercida
sobre la cabeza por el impacto?

6 m/s

Problema 16.78

Problemas 16.74͞16.75 16.79 Un bate de béisbol (mostrado en la figura con el eje
del bate perpendicular a la página) golpea una pelota en movi-
16.76 Las dos bolas mostradas, cada una con peso de 1 lb, miento. Antes del impacto, la velocidad de la pelota es de
cuelgan de cuerdas con longitud L ϭ 3 pies. La bola izquierda se vb ϭ 132(cos 45°i ϩ cos 45°j) (pie͞s) y la velocidad del bate
suelta desde el reposo con u ϭ 35°. El coeficiente de restitución es vB ϭ 60(Ϫcos 45°i Ϫ cos 45°j) (pie͞s). Ignore el cambio en
del impacto es e ϭ 0.9. ¿Hasta qué ángulo máximo oscila la bola la velocidad del bate debido al impacto central directo. El coefi-
derecha? ciente de restitución es e ϭ 0.2. ¿Cuál es la velocidad de la pelota
después del impacto? Suponga que la pelota y el bate se mueven
de manera horizontal.¿El bateador logra un potencial hit o un
posible foul?

y

vb

Pelota de
béisbol

L L vB Bate
u

m

mx

www.FreeLibros.orgProblema16.76 Problema 16.79

254 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.80 En la figura, el taco le proporciona a la bola blanca en A 16.83 La velocidad del disco de hockey de 170 g que se muestra
una velocidad paralela al eje y. La bola blanca golpea en B a la bola en la figura es vP ϭ 10i Ϫ 4j (m͞s). Si se ignora el cambio en la
8 que después entra en la buchaca. Si la magnitud de la velocidad velocidad vS = v S j del bastón por el impacto y el coeficiente de
de la bola blanca justo antes del impacto con la bola 8 es de 2 m͞s restitución es e ϭ 0.6, ¿qué valor debe tener vS para enviar el disco
y el coeficiente de restitución es e ϭ 1, ¿cuáles son los vectores de hacia la portería?
velocidad de las dos bolas justo después del impacto? (Las bolas
tienen masas iguales). 16.84 En el problema 16.63, si el bastón responde al impacto como
un objeto con la misma masa que el disco y el coeficiente de resti-
16.81 En el problema 16.80, ¿cuáles son los vectores de veloci- tución es e ϭ 0.6, ¿qué valor debe tener vS para enviar el disco
dad de las dos bolas inmediatamente después del impacto si el hacia la portería?
coeficiente de restitución es e ϭ 0.9?

yy
Dirección de
la portería

20Њ

45Њ B vP x
A vS

x Problemas 16.83͞16.84

Problemas 16.80͞16.81

16.82 En la figura, si el coeficiente de restitución es el mismo
para ambos impactos, demuestre que la trayectoria de la bola
blanca después de golpear dos bandas es paralela a su trayectoria
original.

www.FreeLibros.orgProblema16.82

16.3 Cantidad de movimiento angular 255

16.3 Cantidad de movimiento angular

ANTECEDENTES

En esta sección se obtiene un resultado, análogo al principio del impulso y la can-
tidad de movimiento, que relaciona la integral respecto al tiempo de un momento
con el cambio en una cantidad llamada cantidad de movimiento angular.

Principio del impulso y de la cantidad
de movimiento angular

La posición de un objeto respecto a un marco de referencia inercial con origen O
puede describirse con el vector de posición r de O al centro de masa del objeto
(figura 16.10a). Recuerde que se obtuvo el útil principio del trabajo y la energía
tomando el producto punto de la segunda ley de Newton por la velocidad. Aquí
se obtendrá otro resultado tomando el producto vectorial de la segunda ley de
Newton por el vector de posición. Este procedimiento proporciona una relación
entre el momento de las fuerzas externas respecto a O y el movimiento del objeto.

Si se toma el producto cruz de la segunda ley de Newton por r:

* ©F = * = * dv
r r ma r m. (16.20)
dt

Observe que la derivada respecto al tiempo de la cantidad r * mv es

d dr dv
dt 1r * mv2 = a dt * mv b + a r * m dt b .

(')'*

=0

(El primer término en el lado derecho es cero porque dr>dt = v y el producto
cruz de vectores paralelos es igual a cero). Usando este resultado es posible escribir
la ecuación (16.20) como

r * ©F = dHO, (16.21)
dt

donde el vector

HO = r * mv (16.22)

͚F v

r

r O
O

HO ϭ r ϫ mv

(a) (b)

Figura16.10
(a) Vector de posición y fuerza externa total sobre un objeto.
(b) Vector de la cantidad de movimiento angular y regla de la mano

www.FreeLibros.orgderecha para determinar su dirección.

256 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

se llama cantidad de movimiento angular respecto a O (figura 16.10b). Si se inter-

preta la cantidad de movimiento angular como el momento de la cantidad de movi-

miento lineal del objeto respecto a O, la ecuación (16.21) establece que el momento
r * ©F es la razón de cambio del momento de la cantidad de movimiento res-
pecto al punto O. Si el momento es cero durante un intervalo de tiempo, HO es
constante.

Integrando la ecuación (16.21) respecto al tiempo, se obtiene

t2 (16.23)

Lt1 1r * ©F2 dt = 1HO22 - 1HO21.

La integral de la izquierda se llama impulso angular y la ecuación se llama prin-

cipio del impulso y de la cantidad de movimiento angular: el impulso angular

aplicado a un objeto durante un intervalo de tiempo es igual al cambio en su can-
tidad de movimiento angular. Si se conoce el momento r * ©F en función del
tiempo, se puede determinar el cambio en la cantidad de movimiento angular.
Las dimensiones del impulso y la cantidad de movimiento angular son (masa) ϫ
(longitud)2͞(tiempo).

Movimiento bajo una fuerza central

Si la fuerza total que actúa sobre un cuerpo permanece dirigida hacia un punto fijo
respecto a un marco de referencia inercial, se dice que el objeto se encuentra en
movimiento bajo una fuerza central. El punto fijo se llama centro del movimien-
to. Los problemas de órbitas son los casos más comunes de movimientos bajo una
fuerza central. Por ejemplo, la fuerza gravitatoria sobre un satélite de la Tierra per-
manece dirigida hacia el centro del planeta.

Si se coloca el punto de referencia O en el centro del movimiento (figura 16.11a),
el vector de posición r es paralelo a la fuerza total, por lo que r * ©F es igual a
cero. Consecuentemente, la ecuación (16.23) indica que en un movimiento bajo una
fuerza central, la cantidad de movimiento angular del objeto se conserva:

HO ϭ constante. (16.24)

En un movimiento bajo una fuerza central plana, r y v pueden expresarse en coor-
denadas cilíndricas (figura 16.11b):

r = rer, v = vrer + vueu.

͚F
vu

y vr

ry

x r
O

z x
(a) O

(b)

Figura 16.11
(a) Movimiento bajo una fuerza central.

www.FreeLibros.org(b) Expresión de la posición y la velocidad en coordenadas cilíndricas.

16.3 Cantidad de movimiento angular 257

Sustituyendo estas expresiones en la ecuación (16.22), se obtiene el movimiento
angular:

HO = 1rer2 * m1vrer + vueu2 = mrvuez.

A partir de esta expresión se observa que

rvu = conssttaanntte.. (16.25)

RESULTADOS
Cantidad de movimiento angular

v

r
O

HO ϭ r ϫ mv

El producto cruz del vector de posición del cen- HO ϭ r ϫ mv. (16.22)
tro de masa por la cantidad de movimiento lineal
se llama cantidad de movimiento angular asocia-
da con el movimiento del centro de masa.

Principio del impulso y de la cantidad de movimiento angular

͚F

r
O

La integral con respecto al tiempo del momento

ejercido por las fuerzas externas sobre un objeto, t2

el impulso angular, es igual al cambio en su can- (r ϫ ⌺F)dt ϭ (HO)2 Ϫ (HO)1. (16.23)
tidad de movimiento lineal. Si el momento es Lt1
cero durante un intervalo de tiempo, la cantidad
www.FreeLibros.orgde movimiento angular es constante.
Impulso angular

258 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Movimiento bajo una fuerza central

͚F

y

O r
z x

Movimiento en el que la fuerza total que ac- HO ϭ constante. (16.24)
túa sobre un objeto sigue dirigida hacia un
punto O que está fijo respecto a un marco de
referencia inercial. El momento respecto a O
es cero, por lo que la cantidad de movimiento
angular respecto a O es constante.

vu
vr

y

r

x
O

En el movimiento bajo una fuerza central, el rvu ϭ constante. (16.25)
producto de la distancia radial desde el centro
del movimiento por la componente transver-
sal de la velocidad es constante.

Ejemplo activo 16.7 Impulso y cantidad de movimiento angular (᭤ Relacionado con el problema 16.91)

Or El disco de masa m que se muestra en la figura se desliza sobre una mesa horizon-
F
tal lisa. El disco está unido a una cuerda que es jalada a través de un orificio en O
a una velocidad constante v0. En t ϭ 0, la posición radial es r ϭ r0 y la velocidad
transversal del disco es cero. El disco está sometido a una fuerza con magnitud

constante F y que es perpendicular a la cuerda. Determine la velocidad del disco en

función del tiempo

Estrategia
Expresando r en función del tiempo, es posible determinar el momento de la fuer-
za respecto a O que actúa sobre el disco en función del tiempo. La cantidad de mo-
v0 vimiento angular del disco depende de su velocidad, por lo que se puede aplicar el

www.FreeLibros.orgprincipio del impulso y de la cantidad de movimiento angular para obtener infor-
mación sobre la velocidad en función del tiempo.

Solución 16.3 Cantidad de movimiento angular 259
r ϭ r0 Ϫ v0t.
Exprese r en términos del radio inicial
r0 y la velocidad constante v0.

eu er

r F
T

O

Exprese el momento respecto a O en r ϫ ⌺F ϭ rer ϫ (ϪTer ϩ Feu)
términos de coordenadas cilíndricas. ϭ F(r0 Ϫ v0t)ez.

Exprese la cantidad de movimiento angular res- HO ϭ r ϫ mv
pecto a O en términos de coordenadas cilíndricas. ϭ rer ϫ m(vrer ϩ vueu)
ϭ mvu(r0 Ϫ v0t)ez.
Aplique el principio del impulso y de la
cantidad de movimiento angular para el t2
intervalo de tiempo desde 0 hasta t.
(r ϫ ⌺F) dt ϭ (HO)2 Ϫ (HO)1 :
Exprese la velocidad como una función del Lt1
tiempo en términos de coordenadas cilíndricas.
t

F(r0 Ϫ v0t)ez dt ϭ mvu(r0 Ϫ v0t)ez Ϫ 0,
L0

΂ ΃ ΂ ΃F 1 v0t2
r0t Ϫ 2 ez ϭ mvu r0 Ϫ v0t ez.

Despeje vu.

vu ϭ [r0t Ϫ (1/2)v0t2]F
(r0 Ϫ v0t)m

v ϭ vrer ϩ vueu

ϭ Ϫv0er ϩ [r0t Ϫ (1/2)v0t2]F eu.
(r0 Ϫ v0t)m

Problema de práctica Considere que la fuerza transversal F ϭ 0. La cuerda se jala
a través de un orificio en el punto O de la mesa a velocidad constante v0. Suponga que
en t ϭ 0, la posición radial es r ϭ r0 y la velocidad transversal del disco es v0. Use el

hecho de que el disco está en movimiento bajo una fuerza central para determinar su
velocidad en función del tiempo.

r0 v0
- v0t
=www.FreeLibros.orgRespuesta:v- v0er+r0eu.

260 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Ejemplo 16.8 Aplicación de la conservación de la cantidad de movimiento y la energía a
un satélite (᭤ Relacionado con los problemas 16.87, 16.88)

vP Cuando un satélite terrestre está en su perigeo (el punto en que se encuentra más cer-
rP
cano a la Tierra), la magnitud de su velocidad es vP = 7000 m/s y su distancia
al centro de la Tierra es rP = 10,000 km. ¿Cuáles son las magnitudes de su veloci-
dad vA y de su distancia rA al centro de la Tierra en su apogeo (el punto en que se
encuentra más alejado de la Tierra)? El radio de la Tierra es RE = 6370 km.

rA Estrategia
vA Como el satélite experimenta un movimiento bajo una fuerza central respecto al

centro de la Tierra, el producto de la distancia desde el centro de ésta por la com-

ponente transversal de la velocidad del satélite es constante. Lo anterior proporciona
una ecuación que relaciona vA y rA. Podemos obtener una segunda ecuación que re-
laciona vA y rA usando la conservación de la energía.

Solución
De la ecuación (16.25), la conservación del movimiento angular requiere que

rAvA = rPvP.

A partir de la ecuación (15.27), la energía potencial del satélite en términos de la
distancia al centro de la Tierra es

V = - mgR 2 .
r E

La suma de las energías cinética y potencial en el apogeo y en el perigeo deben
ser iguales:

1 mvA2 - mgR 2 = 1 mv 2 - mgR 2
2 E 2 P
E.
rA rP

Sustituyendo rA = rPvP>vA en esta ecuación y reordenando términos, se obtiene

1vA - vP2 a vA + vP - 2gRE2 b = 0.
rPvP

Esta ecuación da la solución trivial vA = vP y también la solución para la velo-
cidad en el apogeo:

vA = 2gR 2 - vP.
E

rPvP

Sustituyendo los valores de g, RE, rP, y vP, se obtiene vA = 4370 m/s y
rA = 16,000 km.

Razonamiento crítico
En este ejemplo se conocía la velocidad del satélite y su distancia desde el centro de

la Tierra en el perigeo. Observe que con esta información puede usarse la ecuación
(16.25) para determinar la componente transversal de la velocidad del satélite, vu,
en cualquier posición radial dada. Se puede emplear la conservación de la energía

para determinar la magnitud de la velocidad del satélite en la misma posición ra-

dial, lo que significa que también puede determinarse la componente radial de la

www.FreeLibros.orgvelocidad del satélite, vr.

Problemas 261

Problemas

16.85 En el instante mostrado (t1 ϭ 0), la posición del centro de ᭤ 16.87 Un satélite está en la órbita terrestre que se muestra en
masa del objeto de 2 kg es r ϭ 6i ϩ 4j ϩ 2k (m) y su velocidad la figura. Su velocidad en el perigeo A es de 8640 m͞s. El radio de
es v ϭ Ϫ16i ϩ 8j Ϫ 12k (m͞s). Ninguna fuerza externa actúa la Tierra es de 6370 km.
sobre el objeto. ¿Cuál es la cantidad de movimiento angular del a) Use la conservación de la cantidad de movimiento angular
objeto respecto al origen O en t2 ϭ 1 s? para determinar la magnitud de la velocidad del satélite en el
apogeo C.
16.86 La fuerza externa total sobre el objeto de 2 kg que se mues- b) Use la conservación de la energía para determinar la magnitud
tra en la figura, dada en función del tiempo, es ©F ϭ 2ti ϩ 4j (N). de la velocidad en C. (Vea el ejemplo 16.8).
En el tiempo t1 ϭ 0, su posición y velocidad son r ϭ 0 y v ϭ 0.
a) Use la segunda ley de Newton para determinar la velocidad v y ᭤ 16.88 Para el satélite del problema 16.87, determine las magni-
la posición r del objeto en función del tiempo. tudes de la velocidad radial vr y la velocidad transversal vu en B.
b) Integrando r ϫ ©F con respecto al tiempo desde t1 ϭ 0 hasta (Vea el ejemplo 16.8).
t2 ϭ 6 s, determine el impulso angular respecto a O ejercido sobre
el objeto durante este intervalo de tiempo. B
c) Use los resultados del inciso a) para determinar el cambio en el
movimiento angular del cuerpo entre t1 ϭ 0 y t2 ϭ 6 s. 13,900 km

A
C
y

r 16,000 km 8000 km 8000 km
Ox
Problemas 16.87͞16.88
z
Problemas 16.85͞16.86

www.FreeLibros.org

262 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.89 La barra mostrada gira en el plano horizontal alrededor de 16.93 Un disco de 1 kg se desliza sobre una mesa horizontal y
un pasador liso en el origen. La manga A de 2 kg se desliza sobre está unido a una cuerda que pasa por un agujero en la mesa.
la barra lisa, y la masa de la barra es insignificante en comparación a) Si la masa se mueve en una trayectoria circular de radio r ϭ 1 m
con la masa de la manga. La constante del resorte es k ϭ 40 N͞m, con velocidad transversal de 2 m͞s, ¿cuál es la tensión T?
y éste se encuentra sin estirar cuando r ϭ 0. En t ϭ 0, la posición b) Iniciando desde la condición inicial descrita en el inciso a),
radial de la manga es r ϭ 0.2 m y la velocidad angular de la barra la tensión T se incrementa de manera que la cuerda se jala a través
es v0 ϭ 6 rad͞s. ¿Cuál es la velocidad angular de la barra cuando del agujero a razón constante hasta que r ϭ 0.5 m. Determine el
r ϭ 0.25 m? valor de T en función de r mientras esto ocurre.

16.90 La barra mostrada gira en el plano horizontal alrededor de 16.94 En el problema 16.93, ¿cuánto trabajo se efectúa sobre la
un pasador liso en el origen. La manga A de 2 kg se desliza sobre masa al tirar de la cuerda a través del agujero, como se describió
la barra lisa, y la masa de la barra es insignificante en comparación en el inciso b)?
con la masa de la manga. La constante del resorte es k ϭ 40 N͞m,
y éste se encuentra sin estirar cuando r ϭ 0. En t ϭ 0, la posición r
radial de la manga es r ϭ 0.2 m, su velocidad radial es vr = 0, y
la velocidad angular de la barra es v0 = 6 rad/s. ¿Cuáles son la
velocidad angular de la barra y la velocidad radial de la manga
cuando r ϭ 0.25 m?

v0

k

A

T
r

Problemas 16.93͞16.94

Problemas 16.89͞16.90 16.95 Dos satélites para investigación de la gravedad
(mA ϭ 250 kg, mB ϭ 50 kg) están unidos por un cable. Los satéli-
᭤ 16.91 Un disco de 2 kg se desliza sobre una mesa horizontal tes y el cable giran con velocidad angular v0 = 0.25 revoluciones
lisa y está conectado a una cuerda elástica cuya tensión es T ϭ 6r por minuto. Los controladores en Tierra ordenan al satélite A
N, donde r es la posición radial del disco en metros. Si el disco está desenrollar con lentitud 6 m de cable adicional. ¿Cuál es la ve-
en r ϭ 1 m y se le da una velocidad inicial de 4 m͞s en la dirección locidad angular después de esto?
transversal, ¿cuáles son las magnitudes de las componentes radial
y transversal de su velocidad cuando r ϭ 2m? (Vea el ejemplo v0
activo 16.7). B

16.92 En el problema 16.91, determine el valor máximo de r A
alcanzado por el disco.
12 m

r Problema 16.95

www.FreeLibros.orgProblemas 16.91͞16.92

16.4 Flujos de masa 263

16.96 Un astronauta se mueve en el plano xϪy sujeto al extremo 16.98 Una bola suspendida de una cuerda que pasa por un aguje-
de una cuerda de 10 m unida a una estación espacial en O. La masa
total del astronauta y su equipo es de 120 kg. ro en el techo en O se mueve con velocidad vA en una trayectoria
circular horizontal de radio rA. Después, la cuerda se jala a través
a) ¿Cuál es su cantidad de movimiento angular respecto a O antes del agujero hasta que la esfera se mueve con velocidad vB en una
de que la cuerda se tense? trayectoria circular horizontal de radio rB. Use el principio del im-
b) ¿Cuál es la magnitud de la componente de su velocidad pulso angular y de la cantidad de movimiento angular para mostrar
perpendicular a la cuerda inmediatamente después de que la
cuerda se tensa? que rAvA = rBvB.

16.97 Un astronauta se mueve en el plano xϪy sujeto al extremo Estrategia: Sea e un vector unitario perpendicular al techo. Aun-
de una cuerda de 10 m unida a una estación espacial en O. La masa
total del astronauta y su equipo es de 120 kg. El coeficiente de resti- que éste no es un problema de fuerza central —# 1rel peso de la bola
tución del “impacto” que ocurre cuando el astronauta alcanza el ex- * ©F2 = 0, por
tremo de la cuerda es e ϭ 0.8, ¿cuáles son las componentes x e y de nlooqaupeuent#aHhOacsiae O— se puede demostrar que e
su velocidad inmediatamente después de que la cuerda se tensa? conserva.

y O

2i (m/s)

vB
rB

6m vA rA
O x Problema 16.98

Problemas 16.96͞16.97

16.4 Flujos de masa

ANTECEDENTES

En esta sección, se usa la conservación de la cantidad de movimiento lineal para de- v

terminar la fuerza ejercida sobre un cuerpo que emite o absorbe un flujo continuo m

de masa. La ecuación resultante se aplica a diversas situaciones como la determi-

nación del empuje de un cohete y el cálculo de las fuerzas ejercidas sobre cuerpos (a)
por flujos de fluidos o materiales granulares.

Suponga que un objeto de masa m y velocidad v no está sometido a fuerzas

externas (figura 16.12a) y que emite un elemento de masa ¢mf con velocidad vf

respecto al objeto (figura 16.12b). Se denota con v ϩ ⌬v la nueva velocidad del m Ϫ ⌬mf v ϩ ⌬v
cuerpo. La cantidad de movimiento lineal del objeto antes de la emisión del ele-

mento de masa es igual a la cantidad de movimiento lineal total del cuerpo y el

elemento después de la emisión: ⌬mf v ϩ vf
mv = 1m - ¢m f21v + ¢v2 + ¢m f1v + vf2. (b)

Figura16.12
Masa y velocidad de un objeto (a) antes y
(b) después de emitir un elemento de masa.
Evaluando los productos y simplificando se obtiene (16.26)

www.FreeLibros.orgm¢v + ¢mfvf - ¢mf¢v = 0.

264 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Ahora se supone que, en vez de un elemento de masa discreto, se emite un flujo

continuo de masa y que ¢mf es la cantidad emitida en un intervalo de tiempo ¢t.
Se divide la ecuación (16.26) entre ¢t y se escribe el resultado como

m ¢v + ¢mf vf - ¢mf ¢v ¢t = 0.
¢t ¢t ¢t ¢t

Tomando el límite de esta ecuación cuando ¢t : 0, se obtiene

- dmf vf = ma,
dt

donde a es la aceleración del centro de masa del cuerpo y el término dmf>dt es la
razón de flujo másico—la razón a la que la masa fluye del objeto. Comparando es-

ta ecuación con la segunda ley de Newton, se concluye que un flujo de masa desde

un objeto ejerce una fuerza

Ff = - dmf vf (16.27)
dt

sobre dicho objeto. La fuerza es proporcional a la razón de flujo másico y a la mag-
nitud de la velocidad relativa del flujo, y su dirección es opuesta a la dirección de
la velocidad relativa. Por el contrario, un flujo de masa hacia un objeto ejerce una
fuerza en la misma dirección que la velocidad relativa.

RESULTADOS

vf

La fuerza ejercida sobre un objeto debida al Ff ϭ Ϫ dmf vf. (16.27)
flujo de masa que sale de un objeto (cohete de dt
propulsión o manguera de agua, por ejemplo)
con velocidad relativa vf. El término dmf/dt es
la velocidad del flujo de masa, o masa por uni-
dad de tiempo, que sale del objeto.

Ejemplo activo 16.9 Fuerza resultante de un flujo de masa (᭤ Relacionado con el problema 16.113)

El trineo de propulsión mostrado disminuye su velocidad mediante un freno de agua
después de haber apagado su motor. Un tubo se extiende hacia abajo hasta un canal de
agua entre los rieles. El extremo abierto del tubo apunta hacia delante, de manera que
el agua entra en dirección paralela al eje x mientras el trineo se sigue moviendo ha-
cia el frente. El otro extremo del tubo apunta hacia arriba, de manera que el agua sale
en dirección paralela al eje y. Si v es la velocidad del trineo, el agua entra al trineo
con velocidad v respecto a éste y sale con la misma velocidad. La razón del flujo de

www.FreeLibros.orgmasa a través del tubo es rvA, donde r = 1000 kg/m3 es la densidad del agua y

16.4 Flujos de masa 265

A ϭ 0.01 m2 es el área de la sección transversal del tubo. En el instante cuando
v = 300 m/s, ¿cuál es la fuerza ejercida sobre el trineo por el flujo de agua que entra
en éste?

y

z

x

Estrategia
Se puede usar la ecuación (16.27) para determinar la fuerza ejercida por el agua
que entra al trineo.
Solución

Determine la velocidad La velocidad del agua que entra
del flujo de masa res- al trineo respecto a éste es
pecto al objeto.
vf ϭ Ϫvi

ϭ Ϫ300i (m/s).

Como el agua está entrando al trineo,

Determine la razón dmf ϭ ϪrvA
del flujo de masa. dt

Aplique la ecua- ϭ Ϫ(1000 kg/m3)(300 m/s)(0.01 m2)
ción (16.27)
ϭ Ϫ3000 kg/s.

La fuerza ejercida sobre el trineo es

Ff ϭ Ϫ dmf vf
dt

ϭ Ϫ(Ϫ3000 kg/s)[Ϫ300i (m/s)]

ϭ Ϫ900,000i (N).

Problema de práctica Use la ecuación (16.27) para determinar la fuerza ejercida
sobre el trineo por el flujo de agua que sale de él.

www.FreeLibros.orgRespuesta:Ff = -900,000j(N).

266 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Ejemplo 16.10 Fuerza de empuje de un cohete (᭤ Relacionado con el problema 16.110)

El ejemplo clásico de una fuerza creada por un flujo de masa es un cohete. Supon-
ga que el mostrado en la figura tiene una velocidad de escape uniforme vf paralela
al eje x.
(a) ¿Cuál es la fuerza ejercida sobre el cohete por el flujo de masa de su escape?
y (b) Si la fuerza determinada en el inciso a) es la única fuerza que actúa sobre el
cohete, y éste parte desde el reposo con una masa inicial m0, determine la veloci-
dad del cohete como una función de su masa m.

vf x

Estrategia
(a) La ecuación (16.27) proporciona la fuerza ejercida sobre el cohete en términos
de la velocidad de escape y la razón del flujo de masa del combustible.
(b) Se puede utilizar la segunda ley de Newton para obtener una ecuación para la
velocidad del cohete en función de su masa.

Solución

(a) En términos del sistema coordenado que se muestra en la figura, el vector de ve-

locidad del escape es vf = – v fi. De la ecuación (16.27), la fuerza ejercida sobre
el cohete es

Ff = - dmf vf = dmf v f i,
dt dt

donde dmf>dt es la razón del flujo de masa del combustible del cohete. La fuerza
ejercida sobre el cohete por su escape es hacia la derecha, en dirección opuesta al

flujo del escape.

b) La segunda ley de Newton aplicada al cohete es

©Fx = dmf v f = m dvx,
dt dt

donde m es la masa del cohete. La razón de flujo del combustible es la razón a la
cual la masa del cohete se está consumiendo. Por lo tanto, la razón de cambio de
la masa del cohete es

dm = - dmf.
dt dt

Usando esta expresión, la segunda ley de Newton puede escribirse como

dm
dvx = - vf m .

Como la velocidad de escape vf es constante, se puede integrar esta ecuación para
determinar la velocidad del cohete en función de su masa:

vx m dm
L0 dvx = - vf Lm0 m .
El resultado es

vx = vf ln a m0 b .
m

Razonamiento crítico

La velocidad lograda por el cohete está determinada por la velocidad de escape y

la cantidad de masa consumida. Así, el cohete puede ganar más velocidad consu-
miendo más masa. Sin embargo, observe que el incremento de la razón m0>m de
10 a 100 sólo aumenta la velocidad en un factor de dos. Por el contrario, al incre-

www.FreeLibros.orgmentar la velocidad de escape se obtiene un aumento proporcional en la velocidad

16.4 Flujos de masa 267

del cohete. Los ingenieros en esta área utilizan combustibles como el oxígeno y el
hidrógeno líquidos porque éstos producen una velocidad de escape relativamente
grande. Este objetivo también ha llevado a la investigación sobre motores para
cohete que utilizan campos electromagnéticos para acelerar partículas cargadas de
combustible a grandes velocidades.

Ejemplo 16.11 Fuerza resultante de un flujo de masa (᭤ Relacionado con el problema 16.104)

Una corriente horizontal de agua con velocidad v0 y razón de flujo másico dmf>dt u
golpea una placa que desvía el agua en el plano horizontal a través de un ángulo u.
y v0
Suponga que la magnitud de la velocidad del agua cuando ésta abandona la placa u

es aproximadamente igual a v0. ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre la placa? v0
FP
Estrategia x
Se puede determinar la fuerza ejercida sobre la placa considerando la parte de la co-
rriente en contacto con la placa como un cuerpo con un flujo de masa que entra y (a) Diagrama de cuerpo libre de la
sale de él. corriente.

Solución ϪFP

En la figura a se dibuja el diagrama de cuerpo libre de la parte de la corriente en (b) Fuerza ejercida sobre
contacto con la placa. Corrientes de masa con velocidad v0 entran y salen de este la placa.
“objeto”, y FP es la fuerza que ejerce la placa sobre la corriente. Se desea determi-
nar la fuerza ϪFP que ejerce la corriente sobre la placa. Primero se considera la
corriente de agua que sale. La razón de flujo másico de agua que sale del diagrama

de cuerpo libre debe ser igual a la razón de flujo másico que entra. En términos del

sistema coordenado que se muestra, la velocidad de la corriente que sale es

vf ϭ v0 cos ui ϩ v0 sen uj.

Sea FD la fuerza que ejerce la corriente que sale sobre el objeto. De la ecuación
(16.27),

FD = - dmf vf = - dmf 1v0 cos u i + v0 sein u j2.
dt dt

La velocidad de la corriente que entra es vf = v0i. Como este flujo ingresa al objeto
en vez de salir de él, la fuerza resultante FE tiene la misma dirección que la velocidad
relativa:

FE = dmf vf = dmf v0i.
dt dt

La suma de las fuerzas sobre el diagrama de cuerpo libre debe ser igual a cero:

FD + FE + FP = 0.
Por lo cual, la fuerza que ejerce el agua sobre la placa es (figura b)

- FP = FD + FE = dmf v0311 - cos u2i - ssein u j4.
dt

Razonamiento crítico

Este sencillo ejemplo proporciona una idea de cómo las cuchillas de las turbinas

y las alas de los aviones crean fuerzas al desviar corrientes de líquidos o gases (c) Patrón del fluido en movimien-
www.FreeLibros.org(figurac).
to alrededor del ala de un avión.

268 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

Ejemplo 16.12 Motor de reacción (᭤ Relacionado con los problemas 16.118–16.120)

En un motor turborreactor, entra al compresor una razón de flujo másico dmc>dt
de aire con velocidad vi. El aire se mezcla con combustible y se enciende en la
cámara de combustión. Luego la mezcla fluye por la turbina que impulsa al com-
presor. Los gases de escape, con una razón de flujo másico igual a la del aire más la
razón de flujo másico del combustible 1dmc>dt + dmf>dt2, salen a una alta velo-
cidad ve, ejerciendo una gran fuerza sobre el motor. Suponga que dmc͞dt ϭ 13.5 kg͞s
y que dmf>dt = 0.130 kg/s. La velocidad de entrada del aire es vi = 120 m/s y
la velocidad de escape es ve = 480 m/s. ¿Cuál es el empuje del motor?

dmf
dt

dmc dmc
dt dt

⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩
⎧
⎪
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪
⎪
⎩

Compresor Cámara de Turbina
combustión

Estrategia
Se puede determinar el empuje del motor usando la ecuación (16.27). Para deter-
minar el empuje neto se debe incluir la fuerza ejercida por el escape del motor y
la fuerza ejercida por el flujo másico del aire que entra al compresor.

Solución
La descarga del motor ejerce una fuerza hacia la izquierda igual al producto de la
razón del flujo másico de la mezcla combustible-aire por la velocidad de escape.
El aire de entrada ejerce una fuerza hacia la derecha igual al producto de la razón
del flujo másico del aire entrante por la velocidad de entrada. El empuje del motor
(fuerza neta hacia la izquierda) es

T = a dmc + dmf b ve - dmc vi
dt dt dt

= 113.5 + 0.130214802 - 113.5211202

= 4920 N.

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Problemas 269

Problemas

16.99 El barco Cheverton de bomberos y rescate que se muestra 16.102 El vehículo limpianieve mostrado se desplaza a 1 m͞s
en la figura, puede lanzar con cada uno de sus cañones 3.8 kg͞s y recoge 750 kg͞s. Determine la fuerza ejercida por el flujo en-
de agua a una velocidad de 44 m͞s. Si ambos cañones apuntan en trante de nieve.
la misma dirección, ¿qué fuerza total ejercen sobre el barco?

16.103 El vehículo limpianieve mostrado recoge 750 kg͞s y
lanza la nieve a 45° desde una boquilla a 2 m sobre el suelo. La
nieve cae a 20 m de distancia. ¿Qué fuerza horizontal ejerce sobre
el vehículo el flujo de la nieve lanzada?

Problema 16.99

16.100 La razón del flujo de masa de agua a través de la boqui-
lla mostrada es 1.6 slug͞s. Determine la magnitud de la fuerza
horizontal ejercida sobre el camión por el flujo de agua.

Problemas 16.102͞16.103

20Њ 20 pies ᭤ 16.104 Una boquilla emite una corriente de agua horizontal a
12 pies 40 m͞s con una razón de flujo másico de 30 kg͞s, y la corriente es
desviada en el plano horizontal por una placa. Determine la fuerza
35 pies que ejerce la corriente sobre la placa en los casos a), b) y c). (Vea el
ejemplo 16.11).
Problema 16.100
y
16.101 El tractor con pala al frente que se muestra en la figura,
se mueve a 2 mi͞h recogiendo mineral de hierro. La fuerza hori- 45Њ
zontal constante ejercida sobre el tractor es de 400 lb. ¿Cuál es el
peso del mineral de hierro recogido en 3 s? x
(a)

yy

x x
(b)
(c)

Problema 16.104

www.FreeLibros.orgProblema16.101

270 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.105* Una corriente de agua con velocidad de 80i (m͞s) y razón 16.107 Un flujo de 45 kg͞s de grava sale de una tolva a 2 m͞s
de flujo másico de 6 kg͞s golpea la cuchilla de una turbina que se y cae sobre una banda que se mueve a 0.3 m͞s. Determine las
mueve a una velocidad constante de 20i (m͞s). componentes de la fuerza que ejerce el flujo de la grava sobre la
banda si u = 0.
(a) ¿Qué fuerza ejerce el agua sobre la cuchilla?
16.108 Resuelva el problema 16.107 si u = 30°.
(b) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad del agua al perder con-
tacto con la cuchilla?

y 45Њ
70Њ y

80 m/s 20 m/s 2m
Problema 16.105 x
0.3 m/s
u

x

16.106 En el instante mostrado, la boquilla A del rociador de Problemas 16.107͞16.108
agua se localiza en (0.1, 0, 0) m. De la boquilla sale agua a 8 m͞s,
respecto a la boquilla con una razón de flujo másico de 0.22 kg͞s. 16.109 Suponga que se está diseñando un auto de juguete
El flujo respecto a la boquilla en A tiene la dirección del vector que será impulsado por el agua que sale de un tanque interior a
unitario 10 pies͞s respecto al auto. El peso total del auto y su “combustible”
de agua debe ser de 2 lb. Si se desea que el auto alcance una velo-
e = 1 i - 1 j + 1 k. cidad de 12 pies͞s, ¿qué parte del peso total debe ser de agua?
13 13 13
20Њ
Determine el momento total respecto al eje z que ejercen los flujos
de las cuatro boquillas sobre el rociador.

y
Problema 16.109

Ax ᭤ 16.110 El cohete mostrado consta de una carga útil de 1000
kg y un impulsor de 9000 kg. El 80% de la masa del impulsor es
combustible y su velocidad de escape es de 1200 m͞s. Si el cohete
parte desde el reposo y se ignoran las fuerzas externas, ¿qué velo-
cidad alcanzará? (Vea el ejemplo 16.10).

Impulsor Carga útil
Problema 16.110
Problema 16.106

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Problemas 271

16.111* El cohete mostrado consta de una carga útil de 1000 kg y un impulsor. Este último tiene dos etapas con masa total de 9000 kg.
El ochenta por ciento de la masa de cada etapa es combustible y la velocidad de cada etapa es 1200 m͞s. Cuando el combustible de la
etapa 1 se agota, ésta se desprende del impulsor y se enciende el motor de la etapa 2. Suponga que el cohete parte desde el reposo e ig-
nore las fuerzas externas. Determine la velocidad alcanzada por el cohete si las masas de las dos etapas son m1 ϭ 6000 kg y m2 ϭ 3000 kg.
Compare su resultado con el del problema 16.110.

12 Carga útil
Problema 16.111

16.112 Un cohete de masa inicial m0 despega directamente hacia ᭤ 16.113 La masa del trineo impulsado del ejemplo activo
arriba. Su velocidad de escape vf y la razón del flujo másico de 16.9 es de 440 kg. Suponiendo que la única fuerza significativa
su motor mf ϭ dmf͞dt son constantes. Demuestre que, durante sobre el trineo en la dirección de su movimiento es la fuerza ejer-
la parte inicial del vuelo, cuando la resistencia aerodinámica es cida por el flujo de agua entrando en éste, ¿cuáles son la dis-
tancia y el tiempo requeridos para que el trineo desacelere de
insignificante, la velocidad hacia arriba del cohete en función del 300 m͞s a 100 m͞s?

tiempo es

v = vf ln a m0 m- 0m# f t b - gt. 16.114* Suponga que usted sujeta el extremo de una cadena
que pesa 3 lb͞pie y la levanta del piso a una velocidad constante
de 2 pies͞s.

a) Determine la fuerza F hacia arriba que usted debe ejercer en
función de la altura s.

b) ¿Cuánto trabajo efectúa al levantar la parte superior de la ca-
dena hasta s ϭ 4 pies?

Estrategia: Trate la parte de la cadena que ha levantado como
un cuerpo que está ganando masa.

16.115* Resuelva el problema 16.114 suponiendo que usted

levanta del piso el extremo de la cadena con una aceleración
constante de 2 pies͞s2.

s
Problema 16.112

www.FreeLibros.orgProblemas 16.114͞16.115

272 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.116* Se ha sugerido que para detener gradualmente un avión ᭤ 16.119 Un motor turborreactor se encuentra en un avión
después de aterrizar podría usarse una pesada cadena. Un gancho que vuela a 400 km͞h. La razón de flujo másico del aire que entra
unido al extremo de la cadena se engarza en la rueda frontal del en el compresor es de 13.5 kg͞s y la razón de flujo másico del
avión y éste jala una longitud creciente de la cadena al rodar sobre combustible es de 0.13 kg͞s. La velocidad efectiva del aire que
la pista. Sea m la masa del avión, v0 es su velocidad inicial y rL la entra al compresor es igual a la velocidad del avión y la velocidad
masa por unidad de longitud de la cadena. Si se ignoran la fricción de escape (relativa al avión) es de 500 m͞s. ¿Cuál es el empuje del
y la resistencia aerodinámica, ¿cuál es la velocidad del avión en motor? (Vea el ejemplo 16.12).
función de s?

16.117* En el problema 16.116, en realidad la fuerza de fricción ᭤ 16.120 Un inversor del empuje del motor turborreactor
que ejerce el suelo sobre la cadena dominaría a las otras fuerzas ocasiona que la descarga salga del motor a 20° respecto a la línea
conforme aumentara la distancia s. Si el coeficiente de fricción central de éste. La razón de flujo másico del aire que entra al com-
estática entre la cadena y el suelo es mk y se ignoran todas las presor es de 44 kg͞s y el aire entra a 60 m͞s. La razón de flujo
fuerzas excepto la de fricción, ¿cuál es la velocidad del avión másico del combustible es de 1.5 kg͞s y su velocidad de escape es
en función de s? de 370 m͞s. ¿Qué fuerza de frenado ejerce el motor sobre el
avión? (Vea el ejemplo 16.12).

s 20Њ

Problemas 16.116͞16.117 20Њ
Problema 16.120
᭤ 16.118 Se está probando un motor turborreactor. La razón de
flujo másico del aire que entra al compresor es de 13.5 kg͞s y la
razón de flujo másico del combustible es de 0.13 kg͞s. La veloci-
dad efectiva del aire que entra al compresor es cero y la velocidad
de escape es de 500 m͞s. ¿Cuál es el empuje del motor? (Vea el
ejemplo 16.12).

Problemas de repaso

16.121 La fuerza externa total sobre un cuerpo de 10 kg es cons- 16.123 Para detener aeroplanos cuyos sistemas de frenos fallan
tante e igual a 90i Ϫ 60j ϩ 20k (N). En t ϭ 2 s, la velocidad del se usa un sistema de detención de aviones. El sistema detiene un
objeto es Ϫ8i ϩ 6j (m͞s). avión de 47,500 kg que se mueve a 80 m͞s en 9.15 s.
a) ¿Qué impulso se aplica al objeto desde t ϭ 2 s hasta t ϭ 4 s?
b) ¿Cuál es la velocidad del objeto en t ϭ 4 s? a) ¿Qué impulso se aplica al avión durante los 9.15 s?

16.122 La fuerza externa total sobre un objeto es F ϭ 10ti ϩ 60j b) ¿Cuál es la desaceleración promedio a la que se someten los
(lb). En t ϭ 0, la velocidad del objeto es v ϭ 20j (pies͞s). En pasajeros?
t ϭ 12 s, la componente x de su velocidad es de 48 pies͞s.
a) ¿Qué impulso se aplica al objeto entre t ϭ 0 y t ϭ 6 s?
b) ¿Cuál es la velocidad del objeto en t ϭ 6 s?

www.FreeLibros.orgProblema16.123

Problemas de repaso 273

16.124 El cañón Austrian 1895 de 150-mm tenía una longitud 16.127 Dos jugadores de hockey (mA ϭ 80 kg, mB ϭ 90 kg) al
de 1.94 m de largo, una velocidad de 300 m͞s en la boca y dispa- converger hacia el disco en x ϭ 0, y ϭ 0 se traban y caen al hielo.
raba un obús de 38 kg. Si el obús tardaba 0.013 s en recorrer la Antes de la colisión, vA ϭ 9i ϩ 4j (m͞s) y vB ϭ Ϫ3i ϩ 6j (m͞s).
longitud del cañón, ¿qué fuerza promedio se ejercía sobre el obús? Si el coeficiente de fricción cinética entre los jugadores y el hielo
es mk ϭ 0.1, ¿cuál es su posición aproximada cuando dejan de
16.125 Un atleta lanza una bala que pesa 16 lb. Cuando la suelta, deslizarse?
la bala está a 7 pies sobre el suelo y sus componentes de velocidad
son vx ϭ 31 pies͞s y vy ϭ 26 pies͞s. y
a) Suponga que el atleta acelera la bala desde el reposo en 0.8 s y
como primera aproximación que la fuerza F ejercida sobre ésta es x
constante, use el principio del impulso y la cantidad de movimien-
to para determinar las componentes x e y de F.

b) ¿Cuál es la distancia horizontal desde el punto en que el atleta
suelta la bala hasta el punto en que ésta toca el suelo?

y AB

Problema 16.127

Problema 16.125 16.128 El cañón de 400 lb de peso que se muestra en la figura dis-
paró un proyectil de 10 lb de peso con una velocidad de 200 pies͞s
x al momento de salir de la boca. Para el ángulo de elevación de 10°
mostrado, determine a) la velocidad del cañón después del dis-
paro y b) la distancia que recorre el proyectil. (Ignore la resisten-
cia del aire).

16.126 La camioneta A de 6000 lb que circula a 40 pies͞s choca 10Њ
contra el automóvil B de 4000 lb que circula a 30 pies͞s.

a) ¿Cuál es la magnitud de la velocidad de su centro de masa
común después del impacto?

b) Si la colisión se trata como un impacto perfectamente plástico.
¿Cuánta energía cinética se pierde?

Problema 16.128
A

30Њ
B

www.FreeLibros.orgProblema16.126

274 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.129 Una pelota de 1 kg se mueve horizontalmente a 12 m͞s 16.131 Un remolcador (masa ϭ 40,000 kg) y una barcaza
y golpea un bloque de 10 kg. El coeficiente de restitución del im- (masa ϭ 160,000 kg) están en reposo con una cuerda floja que los
pacto es e ϭ 0.6, y el coeficiente de fricción cinética entre el bloque conecta. El remolcador acelera a 2 nudos (1 nudo ϭ 1852 m͞h)
y la superficie inclinada es mk ϭ 0.4. ¿Qué distancia se desliza el antes de que la cuerda se tense. Determine las velocidades del re-
bloque antes de detenerse? molcador y la barcaza justo después de que la cuerda se tense a) si
el “impacto” es perfectamente plástico (e ϭ 0); b) si el “impacto”
es perfectamente elástico (e ϭ 1). Ignore las fuerzas ejercidas por
el agua y los motores del remolcador.

v 16.132 En el problema 16.131, determine la magnitud de la fuerza
25Њ impulsiva ejercida sobre el remolcador en los dos casos si la dura-
ción del “impacto” es de 4 s. Ignore las fuerzas ejercidas por el
Problema 16.129 agua y los motores del remolcador durante este periodo.

16.130 Un voluntario de los Cuerpos de Paz diseña el dispositivo Problemas 16.131͞16.132
sencillo que se muestra en la figura para perforar pozos en áreas
alejadas. Un “martillo” como una sección de tronco o un tambor 16.133 La masa A de 10 kg mostrada se mueve a 5 m͞s cuando
de acero parcialmente lleno con cemento de 70 kg de masa, se le- está a 1 m de la masa B de 10 kg en reposo. El coeficiente de
vanta hasta h ϭ 1 m y se deja caer sobre la cabeza del tubo de per- fricción cinética entre el piso y las dos masas es mk ϭ 0.6 y el
foración. La masa combinada de la cabeza y del tubo es de 20 kg. coeficiente de restitución del impacto es e ϭ 0.5. Determine
Suponga que el coeficiente de restitución es casi cero. cuánto se desplaza B desde su posición inicial a consecuencia del
impacto.
a) ¿Cuál es la velocidad de la cabeza y el tubo inmediatamente
después del impacto?

b) Si el tubo se mueve 30 mm hacia abajo cuando el martillo
lo golpea, ¿qué fuerza resistente ejerce el suelo sobre el tubo?
(Suponga que esta fuerza es constante durante el movimiento
del tubo).

Martillo 5 m/s
A
B

h 1m
Problema 16.133

Problema 16.130

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Problemas de repaso 275

16.134 Los coeficientes de fricción cinética entre las cajas de 5 16.137 El taco de la figura da a la bola blanca en A una veloci-
kg A y B y la superficie inclinada son 0.1 y 0.4, respectivamente. dad de 3 m͞s. El ángulo b ϭ 0 y el coeficiente de restitución del
El coeficiente de restitución entre las cajas es e ϭ 0.8. Si las cajas impacto de la bola blanca con la bola 8 en B es e ϭ 1. Si la magni-
se sueltan desde el reposo en la posición mostrada, ¿cuáles son tud de la velocidad de la bola 8 después del impacto es de 0.9 m͞s,
las magnitudes de sus velocidades inmediatamente después de que ¿cuál fue el coeficiente de restitución del impacto de la bola blan-
chocan? ca con la baranda? (Las bolas tienen masas iguales).

16.135 Resuelva el problema 16.134 si la caja A tiene una velo- 16.138 ¿Cuál es la solución del problema 16.137 si el ángulo
cidad de 0.2 m͞s hacia abajo sobre la superficie inclinada y la b ϭ 10°?
caja B se encuentra en reposo cuando las cajas están en la posi-
ción mostrada. 16.139 ¿Cuál es la solución del problema 16.137 si el ángulo
b ϭ 15° y el coeficiente de restitución del impacto entre las dos
bolas es e ϭ 0.9?

A

0.1 m 30 Њ b
A B
B

60Њ Problemas 16.137–16.139
Problemas 16.134͞16.135

16.136 Un objeto pequeño parte del reposo en A y se desliza 16.140 A una pelota se le da una velocidad horizontal de 3
hacia abajo sobre la rampa lisa mostrada. El coeficiente de restitu- m͞s a 2 m sobre el piso liso. Determine la distancia D entre
ción de su impacto con el piso es e ϭ 0.8. ¿A qué altura sobre el su primer y segundo rebotes si el coeficiente de restitución es
piso el objeto golpea a la pared? e ϭ 0.6.

A
3 m/s

3 pies 60Њ 2m
1 pie

6 pies D
Problema 16.136
Problema 16.140

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276 Capítulo 16 Métodos de la cantidad de movimiento

16.141* Una pelota de baloncesto lanzada al suelo desde una 16.145 En la figura, la nieve tiene 2 pies de profundidad y pesa
altura de 4 pies rebota a una altura de 3 pies. En el lanzamiento 20 lb͞pie3; la camioneta limpianieve tiene 8 pies de ancho y viaja
mostrado, la magnitud de la velocidad de la pelota es de 5 pies͞s
y los ángulos entre su vector de velocidad y los ejes coordenados a 5 mi͞h. ¿Qué fuerza ejerce la nieve sobre la camioneta?
positivos son ux ϭ 42°, uy ϭ 68° y uz ϭ 124° justo antes de tocar
el tablero. ¿Cuáles son la magnitud de su velocidad y los ángulos
entre su vector de velocidad y los ejes coordenados positivos justo
después de que rebota en el tablero?

16.142* En el problema 16.141 el diámetro de la pelota es de Problema 16.145
9.5 pulgadas, las coordenadas del centro del borde de la canasta
son x ϭ 0, y ϭ 0, z ϭ 12 pulg y el tablero está en el plano x-y. 16.146 Un tambor vacío de 55 lb con 3 pies de diámetro está
Determine las coordenadas x e y del punto en que la pelota debe sobre una balanza. El agua empieza a verterse en el tambor a
golpear el tablero para que el centro de la pelota pase por el 1200 lb͞min desde 8 pies sobre el fondo del tambor. La densidad
centro del borde de la canasta. del agua es aproximadamente 62.4 lb͞pie3. ¿Qué peso indica la
balanza 40 s después de que comenzó a verterse el agua?
y

x

z 8 pies
Problema 16.146
Problemas 16.141͞16.142

16.143 Un satélite en r0 ϭ 10,000 millas del centro de la Tierra
recibe una velocidad inicial v0 ϭ 20,000 pies͞s en la dirección
mostrada. Determine la magnitud de la componente transversal
de su velocidad cuando r ϭ 20,000 millas. (El radio de la Tierra
es de 3960 millas).

16.144 En el problema 16.143, determine las magnitudes de las
componentes radial y transversal de la velocidad del satélite cuando
r ϭ 15,000 millas.

r

v0
u

45Њ

RE r0

www.FreeLibros.orgProblemas 16.143͞16.144

16.147 El sistema de propulsión por chorro recibe agua en A y Problemas de repaso 277
la expulsa en B a 80 pies͞s respecto a la lancha. Suponga que el
agua recibida entra sin velocidad horizontal relativa con respecto Proyecto de diseño
al agua. La razón máxima de flujo másico del agua a través del Diseñe y realice experimentos para medir los coeficientes de
motor es de 2.5 slug͞s. La resistencia hidrodinámica ejerce sobre restitución cuando a) una pelota de tenis de mesa, b) una pelota
la lancha una fuerza de 1.5v lb, donde v es la velocidad de la lancha de tenis y c) una pelota de fútbol o baloncesto rebota sobre una
en pies por segundo. Si se desprecia la resistencia aerodinámica, superficie rígida. Compruebe que sus resultados puedan reprodu-
¿cuál es la velocidad máxima de la lancha? cirse y determine qué tan sensibles son a la velocidad de la pelo-
ta. Escriba un informe breve donde describa sus experimentos,
16.148 La lancha del problema 16.147 pesa 2800 lb. La velocidad analice las posibles fuentes de error y presente sus resultados.
de flujo másico del agua que pasa por su motor es de 2.5 slug͞s, También comente las posibles razones para las diferencias en
y la nave parte desde el reposo en t ϭ 0. Determine la velocidad de sus resultados para los tres tipos de pelotas.
la lancha a) en t ϭ 20 s y b) en t ϭ 60 s.

BA
Problemas 16.147͞16.148

16.149* Una caja de masa m se desliza a lo largo de un piso liso
jalando una cadena que está apilada y en reposo. La masa por uni-
dad de longitud de la cadena es rL. Si la velocidad de la caja es v0
cuando s ϭ 0, ¿cuál es su velocidad en función de s?

s

Problema 16.149

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CAPÍTULO

17

Cinemática plana de cuerpos rígidos

Si se conocen las fuerzas que actúan sobre un objeto, puede v
usarse la segunda ley de Newton para determinar el movimiento a
de su centro de masa sin considerar ningún movimiento angu-
lar del objeto respecto a su centro de masa. Sin embargo, en
muchas situaciones también debe considerarse el movimiento
angular. Los movimientos rotacionales de algunos objetos son
fundamentales para su funcionamiento, como en el caso de en-
granes, ruedas, generadores y turbinas. En este capítulo se anali-
zan los movimientos de los objetos, incluyendo sus movimientos
rotacionales.

᭣ Al diseñar un motor de reacción, los ingenieros deben analizar el
movimiento rotacional de su ventilador, compresor y turbina.

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