Mecanica_para_Ingenieria_Dinamica_5ed_Be

280 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento

ANTECEDENTES

Si se lanza un ladrillo (figura 17.1a), se puede determinar el movimiento de su centro
de masa sin tener que considerar su movimiento rotacional. La única fuerza signi-
ficativa es su peso, y la segunda ley de Newton determina la aceleración de su
centro de masa. Sin embargo, suponga que el ladrillo está parado sobre el piso y
usted lo vuelca (figura 17.1 b) porque desea determinar el movimiento de su centro
de masa al caer. En este caso el ladrillo está sujeto a su peso y a una fuerza ejercida
por el piso. No se puede determinar la fuerza ejercida por el piso ni el movimien-
to del centro de masa sin analizar su movimiento rotacional.

Antes de poder analizar tales movimientos es necesario considerar cómo des-
cribirlos. Un ladrillo es un ejemplo de cuerpo cuyo movimiento puede describirse
tratándolo como cuerpo rígido. Un cuerpo rígido es un modelo idealizado de un
cuerpo que no se deforma. La definición precisa es que la distancia entre todo par
de puntos del cuerpo rígido permanece constante. Aunque cualquier cuerpo se defor-
ma al moverse, si su deformación es pequeña su movimiento puede aproximarse
modelándolo como cuerpo rígido. Por ejemplo, un bastón se puede modelar en su
uso normal como cuerpo rígido (figura 17.2a), pero no puede hacerse lo mismo
con una caña de pescar (figura 17.2b).

(a) (b)
Figura 17.1
(a) Lanzamiento de un ladrillo: su rotación no afecta el movimiento

de su centro de masa.
(b) Volcamiento de un ladrillo: su rotación y el movimiento de su

centro de masa están relacionados.

(a) (b)
Figura 17.2

www.FreeLibros.org(a) Unbastónpuedemodelarsecomouncuerporígido.
(b) Bajo uso normal, una caña de pescar es demasiado flexible para
modelarla como un cuerpo rígido.

17.1 Cuerpos rígidos y tipos de movimiento 281

Figura 17.3
(a) Un objeto en traslación no gira.
(b) La parte en traslación del columpio,

sobre la que está sentada la niña,
(a) (b) permanece en su nivel.

Para describir el movimiento de un cuerpo rígido se requiere un marco de
referencia (sistema coordenado) respecto al cual se midan los movimientos de los
puntos del cuerpo rígido y su movimiento angular. En muchas situaciones, resulta
conveniente usar un marco de referencia que esté fijo respecto a la Tierra. Por
ejemplo, se podría usar un marco de referencia fijo a la tierra de este tipo para des-
cribir el movimiento del centro de masa y el movimiento angular del ladrillo de la
figura 17.1. En los párrafos siguientes, se analizan algunos tipos de movimientos
de cuerpos rígidos respecto a un marco de referencia dado que se presentan con
frecuencia en las aplicaciones.

Traslación

Si un cuerpo rígido en movimiento respecto a un marco de referencia dado no gira,
se dice que está en traslación (figura 17.3a). Por ejemplo, el columpio de la niña
de la figura 17.3b está diseñado para que la barra horizontal a la que está unido el
asiento esté en traslación. Aunque cada punto de la barra horizontal se mueve en
una trayectoria circular, la barra no gira sino que permanece horizontal, lo que
hace más fácil que la niña se monte con seguridad. Cada punto de un cuerpo
rígido en traslación tiene la misma velocidad y aceleración, por lo que el movimien-
to del cuerpo rígido se puede describir completamente describiendo el movimiento
de un solo punto.

Rotación respecto a un eje fijo

Después de la traslación, el tipo más sencillo de movimiento de cuerpo rígido es
la rotación alrededor de un eje que está fijo respecto a un marco de referencia dado
(figura 17.4a). Cada punto del cuerpo rígido sobre el eje está en reposo y cada
punto que no esté sobre el eje se mueve en una trayectoria circular alrededor de
éste mientras el cuerpo rígido gira. El rotor de un motor eléctrico (figura 17.4b) es
un ejemplo de un objeto que gira alrededor de un eje fijo. El movimiento de la héli-
ce de un barco relativo a la nave también es una rotación respecto a un eje fijo. En
la siguiente sección se analizará con más detalle este tipo de movimiento.

Figura 17.4

(a) Cuerpo rígido que gira alrededor de un eje

Rotor fijo.

(b) Con respecto al bastidor de un motor
eléctrico, su rotor gira alrededor de un

www.FreeLibros.org(a) (b) ejefijo.

282 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Plano del Movimiento plano
movimiento
Considere un plano que está fijo respecto a un marco de referencia dado y un
cuerpo rígido intersecado por el plano (figura 17.5a). Si el cuerpo rígido experi-
menta un movimiento en el que los puntos intersecados por el plano permanecen
en el plano, se dice que es un movimiento bidimensional o plano. El plano fijo
se denomina plano de movimiento. La rotación de un cuerpo rígido respecto a
un eje fijo es un caso especial del movimiento plano. Como otro ejemplo, cuando
un auto sigue una trayectoria recta, sus ruedas están en movimiento bidimensio-
nal (figura 17.5b).

Los componentes de un motor de combustión interna ilustran estos tipos de
movimiento (figura 17.6). Respecto a un marco de referencia que se encuentra fijo
con respecto al motor, los pistones se trasladan dentro de los cilindros. Las bielas
están en movimiento plano general, y el cigüeñal gira alrededor de un eje fijo.

(a)

(b) Pistón
(traslación)
Figura 17.5
(a) Cuerpo rígido intersecado por un plano Biela
(movimiento
fijo. plano general)
(b) Rueda en movimiento plano.
Cigüeñal
(rotación)
Figura 17.6
Traslación, rotación respecto a un eje fijo, y el
movimiento plano en un motor de automóvil.

RESULTADOS

Cuerpo rígido
Modelo idealizado de un objeto que no se deforma. La distancia entre
cada par de puntos de un cuerpo rígido permanece constante.

Traslación
Movimiento de un cuerpo rígido en el
que éste no gira. Cada punto de un cuer-
po rígido en traslación tiene la misma
velocidad y aceleración, por lo que el
movimiento del objeto está completa-

www.FreeLibros.orgmente descrito por el desplazamiento de
un solo punto.

17.2 Rotación respecto a un eje fijo 283

Rotación respecto a un eje fijo
Movimiento de un cuerpo rígido en el que
los puntos sobre un eje fijo están en reposo.
Cada punto que no se encuentra sobre el eje
se mueve en una trayectoria circular alrede-
dor del eje mientras el cuerpo rígido gira.

Movimiento plano
Movimiento de un cuerpo rígido en el
que los puntos intersecados por un plano
fijo permanecen en el plano. La rotación
alrededor de un eje fijo es un caso
especial del movimiento plano.

Plano del
movimiento

17.2 Rotación respecto a un eje fijo

ANTECEDENTES

Al considerar la rotación de un objeto alrededor de un eje que está fijo respecto a
un marco de referencia dado, se pueden introducir algunos de los conceptos del
movimiento de cuerpos rígidos en un contexto familiar. En este tipo de movi-
miento, cada punto del cuerpo rígido se mueve en una trayectoria circular alrededor
del eje fijo, consecuentemente, los movimientos de los puntos pueden analizarse
usando los resultados desarrollados en el capítulo 13.

En la figura 17.7 se muestra un cuerpo rígido que gira alrededor de un eje fijo
y se introducen dos líneas perpendiculares al eje. La línea de referencia está fija y
la línea fija al cuerpo gira con el cuerpo rígido. El ángulo u entre la línea de refe-

Línea fija Eje fijo
al cuerpo

u

Línea de

referencia Figura 17.7

www.FreeLibros.orgEspecificación de la orientación de un objeto
que gira alrededor de un eje fijo.

284 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

v rencia y la línea fija al cuerpo describe la posición, u orientación, del cuerpo rígido
alrededor del eje fijo. La velocidad angular del cuerpo rígido, o razón de rotación,
r y su aceleración angular son
v
= du dv d 2u
(a) v , a = dt = dt 2 . (17.1)
dt
at
Cada punto del objeto que no está sobre el eje fijo se mueve en una trayectoria
an circular alrededor de él. Con el conocimiento adquirido sobre el movimiento de
r un punto en una trayectoria circular, se puede relacionar la velocidad y la acele-
ración de un punto con la velocidad y la aceleración angulares del objeto. En la
av figura 17.8, se observa el objeto en dirección paralela al eje fijo. La velocidad de
un punto a una distancia r del eje es tangente a su trayectoria (figura 17.8a) y está
(b) dada, en términos de la velocidad angular del objeto, por
Figura 17.8
(a) Velocidad y (b) aceleración de un punto v = rv. (17.2)

de un cuerpo rígido que gira alrededor de Un punto tiene componentes de aceleración tangencial y normal a su trayectoria
un eje fijo. circular (figura 17.8b). En términos de la velocidad y la aceleración angulares del
objeto, las componentes de la aceleración son

at = ra, an = v2 = rv2. (17.3)
r

Con estas relaciones se pueden analizar problemas de objetos que giran alrededor

de ejes fijos. Por ejemplo, suponga que se conoce la velocidad angular vA, y la ace-
leración angular aA del engrane izquierdo de la figura 17.9 respecto a un marco de
referencia particular, y desea determinar vB y aB. Las velocidades de los engranes
deben ser iguales en P porque no hay movimiento relativo entre ellos en la direc-

ción tangencial en P. Por lo tanto, rAvA ϭ rBvB, y se encuentra que la velocidad
angular del engrane B es

vB = a rA b vA.
rB

Derivando esta ecuación respecto al tiempo, se determina la aceleración angular
del engrane B:

aB = a rA b aA.
rB

αBωB

ωA rB
αA

P

rA

www.FreeLibros.orgFigura17.9
Relación entre las velocidades angulares y las
aceleraciones angulares de engranes acoplados.

17.2 Rotación respecto a un eje fijo 285

Con este resultado se observa que las componentes tangenciales de la aceleración
de los engranes en P son iguales: rAaA = rBaB. Sin embargo, las componentes
normales de las aceleraciones de los engranes en P tienen direcciones diferentes
y, si los engranes cuentan con radios distintos, también son diferentes en magni-
tud. La componente normal de la aceleración del engrane A en P apunta hacia
el centro del engrane A, y su magnitud es rAvA2 . La componente normal de la ace-
leración del engrane B en P apunta hacia el centro del engrane B, y su magnitud es
rB v2B = 1rA>rB21rAv2A2.

RESULTADOS

Línea fija al Eje fijo
cuerpo
Línea de
u referencia

La posición de un cuerpo rígido que gira v ϭ du , aϭ dv ϭ d2u . (17.1)
alrededor de un eje fijo puede especificarse dt dt dt2
mediante el ángulo u entre una línea fija al
cuerpo y una línea de referencia fija. La ve-
locidad angular v y la aceleración angular
a de la línea fija al cuerpo son la velocidad
angular y la aceleración angular del cuerpo
rígido respecto al eje.

v

Visto con el eje de rotación fijo en posi- v ϭ rv. (17.2)
ción perpendicular a la página, cada punto
del cuerpo rígido describe una trayectoria r

circular alrededor del eje fijo mientras el v

cuerpo rígido gira. La velocidad de un

punto puede expresarse en términos de su

distancia radial al eje y de la velocidad

angular del cuerpo rígido. Las componen-

tes tangencial y normal de la aceleración at at ϭ ra,
del punto pueden expresarse en términos
de la distancia radial, la velocidad angular an (17.3)
y la aceleración angular del cuerpo rígido. r
v2
av an ϭ r ϭ rv2.

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286 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Ejemplo activo 17.1 Giro de objetos alrededor de ejes fijos (᭤ Relacionado con el problema 17.1)

El engrane A del malacate de la figura hace girar al engrane B, que eleva el gan-
cho H. El engrane A parte desde el reposo en el tiempo t ϭ 0 y su aceleración
angular en el sentido de las manecillas del reloj (en rad͞s2) como una función del
tiempo es aA ϭ 0.2t. ¿Cuál es la velocidad hacia arriba del gancho y cuál es la dis-
tancia vertical que se ha elevado en t ϭ 10 s?

50 mm 200 mm
A 100

B mm

H

Estrategia
Igualando las componentes tangenciales de la aceleración de los engranes A y B en
sus puntos de contacto, se puede determinar la aceleración angular del engrane B.
Luego se puede integrar para obtener la velocidad angular del engrane B y el ángulo
que ha girado en t ϭ 10 s. Con esa información es posible determinar la velocidad
del gancho y la distancia que ha recorrido.

Solución

50 mm 200 mm aB
0.2t rad/s2

at

En su punto de contacto, los engranes tienen at ϭ (0.05 m)(0.2t rad/s2) ϭ (0.2 m)aB.
la misma componente tangencial de la ace-
Por lo tanto, la aceleración angular de B en sen-
leración. La componente tangencial de la
tido contrario al de las manecillas del reloj es
aceleración es igual al producto de la distan-

cia radial al eje de rotación por la acelera- aB ϭ (0.05 m)(0.2t rad/s2) ϭ 0.05t rad/s2.
ción angular. (0.2 m)

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Integre aB ϭ dvB/dt para determi- 17.2 Rotación respecto a un eje fijo 287
nar la velocidad angular del engrane
B en función del tiempo. vB t

Integre vB ϭ duB/dt para determi- 30 dvB ϭ 30 0.05t dt:
nar el ángulo que ha girado el en- vB ϭ 0.025t2 rad/s.
grane B en función del tiempo.
uB t
Determine vB y uB en t ϭ 10 s.
30 duB ϭ 30 0.025t2 dt:
vH ϭ (0.1 m) vB uB ϭ 0.00833t3 rad.

100 mm vB ϭ 0.025(10)2
ϭ 2.5 rad/s,
vB
uB ϭ 0.00833(10)3
La velocidad del gancho es igual a la ϭ 8.33 rad.
velocidad del engrane B en r ϭ 0.1 m.
vH ϭ (0.1 m)vB
ϭ (0.1 m)(2.5 rad/s)
ϭ 0.25 m/s.

La cantidad de cable enrollado alre- (0.1 m)uB ϭ (0.1 m)(8.33 rad)
dedor del tambor en t ϭ 10 s, que es ϭ 0.833 m.
la distancia que se ha elevado el

gancho, es igual al producto de uB
por el radio del tambor.

Problema de práctica Sea PA el punto del engrane A que está en contacto con el engrane B en t ϭ 10 s.
¿Cuál es la magnitud de la aceleración de PA en ese instante?

www.FreeLibros.orgRespuesta:5.00m/s2.

288 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Problemas

᭤ 17.1 En el ejemplo activo 17.1 suponga que en un instante dado 17.5 La velocidad angular del disco izquierdo que se muestra en
el gancho H se mueve hacia abajo a 2 m͞s. ¿Cuál es la velocidad la figura se da en función del tiempo por vA ϭ 4 ϩ 0.2t rad͞s.
angular del engrane A en ese instante? a) ¿Cuáles son las velocidades angulares vB y vC en t ϭ 5 s?
b) ¿Qué ángulo gira el disco derecho desde t ϭ 0 hasta t ϭ 5 s?
17.2 El ángulo u (en radianes) está dado en función del tiempo
por u ϭ 0.2pt2. En t ϭ 4 s, determine las magnitudes de a) la 100 mm
velocidad del punto A y b) las componentes tangencial y normal
de la aceleración del punto A.

100 mm

2 pies A ωA ωB ωC
θ 200 mm
200 mm
Problema 17.5

Problema 17.2 17.6 a) Si la rueda de engranes (sprocket) de bicicleta mostrada
mide 120 mm y gira una revolución, ¿cuántas revoluciones gira
17.3 La masa A parte desde el reposo en t ϭ 0 y cae con una ace- el engrane de 45 mm? b) Si la velocidad angular de la rueda de en-
leración constante de 8 m͞s2. Cuando la masa ha caído un metro, granes es de 1 rad͞s, ¿cuál es la velocidad angular del engrane?
determine las magnitudes de a) la velocidad angular de la polea y
b) las componentes tangencial y normal de la aceleración de un 17.7 La rueda trasera de la bicicleta mostrada tiene un radio de
punto en el borde exterior de la polea. 330 mm y está rígidamente unida al engrane de 45 mm. Si el ci-
clista gira los pedales, que están rígidamente unidos a la rueda de
100 mm engranes de 120 mm, a una revolución por segundo, ¿cuál es la
velocidad de la bicicleta?

A

Problema 17.3 45
mm
17.4 En el instante mostrado, el disco izquierdo tiene una veloci-
dad angular de 3 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del 120
reloj y una aceleración angular de 1 rad͞s2 en la dirección de las mm
manecillas del reloj.
Problemas 17.6͞17.7
a) ¿Qué valores tienen la velocidad angular y la aceleración
angular del disco derecho? (Suponga que no existe movimiento
relativo entre los discos en su punto de contacto).

b) ¿Cuáles son las magnitudes de la velocidad y la aceleración
del punto A?

3 rad/s 2.5 m A
1 rad/s2 2m

1m

www.FreeLibros.orgProblema17.4

Problemas 289

17.8 El disco mostrado gira con velocidad angular constante 17.11 Si la barra mostrada tiene una velocidad angular en sentido
en el sentido de las manecillas del reloj de 100 rpm. Determine contrario al de las manecillas del reloj de 8 rad͞s y una aceleración
las componentes x e y de la velocidad de los puntos A y B angular en el sentido de las manecillas del reloj de 40 rad͞s2, ¿cuá-
(en pulg͞s). les son las magnitudes de las aceleraciones de los puntos A y B?

17.9 El disco mostrado gira con velocidad angular constante 17.12 Si las magnitudes de la velocidad y la aceleración del punto
en el sentido de las manecillas del reloj de 100 rpm. Determine A en la barra giratoria mostrada son ͉vA͉ ϭ 3 m͞s y ͉aA͉ ϭ 28 m͞s2,
las componentes x e y de la aceleración de los puntos A y B ¿qué valores tienen ͉vB͉ y ͉aB͉?
(en pulg͞s2).
A
y

0.4 m

A

8 pulg B

x

8 pulg 16 pulg 0.2 m

0.4 m 0.4 m B

Problemas 17.8͞17.9 Problemas 17.11͞17.12

17.10 El radio de las llantas del Corvette es de 14 pulg. Viaja 17.13 Un disco de radio R ϭ 0.5 m rueda sobre una superficie
a 80 mi͞h cuando el conductor aplica los frenos, sometiendo al horizontal. La relación entre la distancia horizontal x que mueve
automóvil a una desaceleración de 25 pies͞s2. Suponga que las el centro del disco y el ángulo b a través del cual gira el disco es
llantas continúan girando, no derrapan, sobre la superficie del x ϭ Rb. Suponga que el centro del disco se mueve a la derecha
camino. En ese instante, ¿cuáles son las magnitudes de las compo- con una velocidad constante de 2 m͞s.
nentes tangencial y normal de la aceleración (en pies͞s2) de un
punto en el borde exterior de una llanta respecto a un sistema a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco?
coordenado no giratorio con su origen en el centro de la llanta?
b) En relación con un marco de referencia no giratorio con su ori-
y gen en el centro del disco, ¿cuáles son las magnitudes de la velo-
cidad y la aceleración de un punto que se encuentra en el borde
del disco?

x R
R β

Problema 17.10

x
Problema 17.13

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290 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.3 Movimientos generales: velocidades

ANTECEDENTES

Cada punto de un cuerpo rígido en traslación experimenta el mismo movimien-
to. Cada punto de un cuerpo rígido que gira respecto a un eje fijo experimenta un
movimiento circular alrededor de éste. Para analizar movimientos más complejos
que combinan traslación y rotación, es necesario desarrollar ecuaciones que relacio-
nen los movimientos relativos de los puntos de un cuerpo rígido con su movimien-
to angular.

Velocidades relativas

En la figura 17.10a se observa un cuerpo rígido perpendicular al plano de su movi-
miento. A y B son puntos del cuerpo rígido contenidos en el plano, y O es el origen
de un marco de referencia dado. La posición de A respecto a B, rA>B, se relaciona
con las posiciones de A y B en relación con O mediante

rA = rB + rA>B.

Derivando esta ecuación respecto al tiempo se obtiene

vA = vB + vA>B, (17.4)

A vA/B ϭ vrA/B A
rA/B
rA/B
rA v
B
B

rB O (b)

O La velocidad de A es la suma
(a) vectorial de estas velocidades

A vB
vrA/B

v

vB
B

Figura 17.10

(a) Cuerpo rígido en movimiento plano.

(b) Velocidad de A respecto a B.
(c) La velocidad de A es la suma de su velocidad

www.FreeLibros.orgrespecto a B y la velocidad de B.
O
(c)

17.3 Movimientos generales: velocidades 291

donde vA y vB son las velocidades de A y B respecto al marco de referencia dado
y vA>B = drA>B>dt es la velocidad de A respecto a B. (Cuando se mencione sim-
plemente la velocidad de un punto, se estará hablando de su velocidad respecto al
marco de referencia dado).

Se puede demostrar que vA͞B se relaciona de manera simple con la velocidad
angular del cuerpo rígido. Como A y B son puntos del cuerpo rígido, la distancia
entre ellos, rA͞B ϭ ͉rA͞B͉, es constante. Lo que significa que A se mueve respecto
a B en una trayectoria circular mientras el cuerpo rígido gira. Por lo tanto, la velo-
cidad de A respecto a B es tangente a la trayectoria circular e igual al producto
de rA͞B y la velocidad angular v del cuerpo rígido (figura 17.10b). A partir de la
ecuación (17.4), la velocidad de A es la suma de la velocidad de B y la velocidad
de A respecto a B (figura 17.10c). Este resultado se puede usar para relacionar
velocidades de puntos de un cuerpo rígido en movimiento plano cuando se conoce
su velocidad angular.

Por ejemplo, en la figura 17.11a se muestra un disco circular de radio R que
rueda sobre una superficie plana estacionaria con velocidad angular v en senti-
do contrario al de las manecillas del reloj. Decir que la superficie es estaciona-
ria significa que se está describiendo el movimiento del disco en términos de un
marco de referencia que está fijo con respecto a la superficie. Rodar implica que

vy

vB/C ϭ Rv B

R R x
v
C
(a) C
y (b)

y La velocidad de A es la
suma de estas velocidades

v vA/B ϭ Rv Rv
B RA
B

vB ϭ Rv Rv A

x x
(c) (d)

Figura 17.11
(a) Disco rodando con velocidad angular v.
(b) Velocidad del centro B respecto a C.
(c) Velocidad de A respecto a B.
(d) La velocidad de A es igual a la suma de la velocidad

www.FreeLibros.orgde B y la velocidad de A respecto a B.

292 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

la velocidad del disco en su punto de contacto C respecto a la superficie es igual
a cero. En la figura 17.11b se ilustra la velocidad del centro B del disco respec-
to a C. Como vC ϭ 0, la velocidad de B en términos del sistema de coordenadas
mostrado es

vB = vC + vB>C = - Rvi.

Este resultado es muy útil: La magnitud de la velocidad del centro de un cuerpo
redondo que rueda sobre una superficie estacionaria es igual al producto del
radio por la magnitud de la velocidad angular.

La velocidad de cualquier otro punto del disco se puede determinar de la
misma forma. En la figura 7.11c se muestra la velocidad de un punto A respecto al
punto B. La velocidad de A es la suma de la velocidad de B y la velocidad de A
respecto a B (figura 17.11d):

vA = vB + vA>B = - Rvi + Rvj.

Vector de la velocidad angular

La razón de rotación de un cuerpo rígido puede expresarse como un vector. El
teorema de Euler establece que un cuerpo rígido restringido a girar alrededor de
un punto fijo B, puede moverse entre dos posiciones cualesquiera con una simple
rotación respecto a algún eje que pase por B. Suponga que se elige un punto arbi-
trario B de un cuerpo rígido sometido a un movimiento arbitrario en un tiempo t.
El teorema de Euler permite expresar el cambio en la posición respecto a B del
cuerpo durante un intervalo de tiempo desde t hasta t ϩ dt como una simple rota-
ción a través de un ángulo du respecto a algún eje. En el tiempo t, la razón de giro
del cuerpo rígido respecto al eje es su velocidad angular v ϭ du͞dt, y el eje alre-
dedor del cual gira se llama eje instantáneo de rotación.

El vector de velocidad angular, denotado por ␻, especifica tanto la dirección
del eje instantáneo de rotación como la velocidad angular. El vector de velocidad
angular se define paralelo al eje instantáneo de rotación (figura 7.12a) y su mag-
nitud es la razón de rotación, es decir el valor absoluto de v. Su dirección está rela-
cionada con la dirección de la rotación del cuerpo rígido por la regla de la mano

Eje de rotación instantáneo Dirección de la rotación

␻␻

(a) (b)
Figura 17.12
(a) Vector de velocidad angular.

www.FreeLibros.org(b) Regladelamanoderechaparaladireccióndelvector.

17.3 Movimientos generales: velocidades 293

derecha: si los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor de ␻ en la direc- y
ción de la rotación entonces el pulgar de la mano derecha debe apuntar hacia ␻ v
(figura 17.12b).
x
Por ejemplo, el eje de rotación del disco rodante de la figura 17.11 es paralelo z
al eje z, por lo que su vector de velocidad angular es paralelo al eje z y su magni-
tud es v. Si los dedos de la mano derecha se enrollan alrededor del eje z en la
dirección de la rotación, el pulgar apuntará en la dirección z positiva (figura 17.13).
El vector de velocidad angular del disco es ␻ = vk.

El vector de velocidad angular permite expresar los resultados de la sección
anterior en una forma muy conveniente. Sean A y B puntos de un cuerpo rígido con
velocidad angular ␻ (figura. 17.14a). Se puede demostrar que la velocidad de A
respecto a B es

drA>B (17.5) Figura 17.13
vA>B = dt = ␻ * rA>B. Determinación de la dirección del vector de
velocidad angular de un disco rodando.

En el instante presente y respecto a B, el punto A se mueve en una trayectoria
circular de radio ͉rA͞B͉ sen b, donde b es el ángulo entre los vectores rA͞B y ␻
(figura 17.14b). La magnitud de la velocidad de A respecto a B es igual al produc-

to del radio de la trayectoria circular por la velocidad angular del cuerpo rígido; es
decir ͉vA͞B͉ ϭ (͉rA͞B͉ sen b)͉␻͉. El lado derecho de esta ecuación es la magnitud
del producto cruz de rA͞B por ␻. Además, vA͞B es perpendicular tanto a ␻ como a
rA͞B. Pero, ¿es vA͞B igual a ␻ ϫ rA͞B o a rA͞B ϫ ␻? En la figura 17.14b observe
que, apuntando con los dedos de la mano derecha en la dirección de ␻ y cerrándo-

los hacia rA͞B, el pulgar apunta en la dirección de la velocidad de A respecto a B,
por lo que vA͞B ϭ ␻ ϫ rA͞B. Sustituyendo la ecuación (17.5) en la ecuación (17.4),
se obtiene una ecuación para la relación entre las velocidades de dos puntos de un

cuerpo rígido en términos de su velocidad angular:

vA = vB + ␻('*)r'A>*B. (17.6)
vA>B

Si se conocen el vector de velocidad angular y la velocidad de un punto de un
cuerpo rígido, puede usarse la ecuación (17.6) para determinar la velocidad de
cualquier otro punto del cuerpo rígido. Volviendo al ejemplo del disco de radio R

A ͉rA/B͉ sen b

␻ rA/B A vA/B

␻ b rA/B
B

B
(a) (b)

Figura 17.14
(a) Puntos A y B de un cuerpo rígido en rotación.

www.FreeLibros.org(b) AsemueveenunatrayectoriacircularrespectoaB.

294 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

y v

B A
rA/B

x

Figura 17.15
Disco en rotación y vector de posición de A
respecto a B.

que rueda con velocidad angular v (figura 17.15), se usará la ecuación (17.6) para
determinar la velocidad del punto A. La velocidad del centro del disco está dada
en términos de su velocidad angular por vB = - Rvi, el vector de velocidad angu-
lar del disco es ␻ = vk, y el vector de posición de A respecto al centro es
rA>B = Ri. La velocidad del punto A es

vA = vB + ␻ * rA>B = - Rvi + 1vk2 * 1Ri2
= - Rvi + Rvj.

Compare este resultado con la velocidad del punto A mostrado en la figura 17.11d.

RESULTADOS
Velocidades relativas

rA A
rA/B
rB B
O

La velocidad de A (respecto a un

marco de referencia) es igual a la vA ϭ vB ϩ vA/B. (17.4)
velocidad de B más la velocidad de
www.FreeLibros.orgArespectoaB, vA/BϭdrA/B/dt.

Movimiento de rodadura 17.3 Movimientos generales: velocidades 295

El objeto redondo de radio R rueda sobre la superficie v
plana estacionaria con una velocidad angular v en sen-
tido contrario al de las manecillas del reloj. La velocidad B
del punto C en contacto con la superficie es igual a cero. vB ϭ Rv
La velocidad del centro B es Rv en la dirección mostrada.
C

Vector de velocidad angular Dirección de rotacion (giro)
␻
El vector de velocidad angular ␻ describe la rotación de un
objeto respecto a un marco de referencia dado. El vector se
define paralelo al eje de rotación del objeto. Su dirección se
especifica mediante la regla de la mano derecha: cuando
los dedos de la mano derecha se doblan alrededor del eje x
en la dirección de la rotación del objeto, el pulgar apunta en
la dirección de ␻. La magnitud de ␻ es la velocidad angu-
lar del objeto respecto a su eje de rotación.

y
v

Suponga que el eje de rotación de un objeto es paralelo al x
eje z y que el objeto gira en sentido contrario al de las
manecillas del reloj con velocidad angular v. Entonces,
su vector de velocidad angular es ␻ ϭ vk.

www.FreeLibros.oz rg

296 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos vA ϭ vB ϩ ␻ ϫ rA/B. (17.6)
vA/B
A
␻ rA/B
B

La velocidad del punto A de un
objeto respecto a un punto B
puede expresarse en términos
de la posición de A respecto a
B y el vector de velocidad an-
gular del objeto.

Ejemplo activo 17.2 Determinación de velocidades y velocidades angulares

(᭤ Relacionado con el problema 17.33)

La barra AB mostrada gira con velocidad angular de 10 rad͞s en la dirección de las
manecillas del reloj. El punto C se desliza sobre la superficie horizontal. En el ins-
tante mostrado, determine la velocidad angular de la barra BC y la velocidad del
punto C.

B

0.4 m 10 rad/s C
A

0.4 m 0.8 m

Estrategia
La velocidad angular de la barra AB está dada y el punto A es fijo, por lo tanto puede
usarse la ecuación (17.6) para determinar la velocidad del punto B. Luego, aplicando
de nuevo la ecuación (17.6) a los puntos B y C de la barra BC, se puede determinar
tanto la velocidad angular de la barra BC como la velocidad del punto C.

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Solución 17.3 Movimientos generales: velocidades 297

y B C
x
0.4 m rB/A
A
10 rad/s

0.4 m

El eje de rotación de la barra AB es paralelo al eje vB ϭ vA ϩ ␻AB ϫ rB/A
z y la barra gira en el sentido de las manecillas del i jk
reloj, por lo que su vector de velocidad angular es
ϭ 0 ϩ 0 0 Ϫ10
␻AB ϭ Ϫ10k (rad/s). 0.4 0.4 0

Aplique la ecuación (17.6) para determinar la velo- ϭ 4i Ϫ 4j (m/s).
cidad del punto B.

y
B
vBC

0.4 m rC/B C vC
A
x

0.8 m vC ϭ vB ϩ ␻BC ϫ rC/B :

La velocidad angular vBC de la barra BC y la i jk
velocidad horizontal vC del punto C son des-
conocidas. Como ya se determinó la velocidad vCi ϭ 4i Ϫ 4j ϩ 0 0 vBC
del punto B, aplicando las ecuaciones (17.6) a 0.8 Ϫ0.4 0
los puntos B y C se obtienen dos ecuaciones en
términos de vBC y vC. ϭ (4 ϩ 0.4vBC)i ϩ (Ϫ4 ϩ 0.8vBC)j.
Igualando las componentes i y j.

vC ϭ 4 ϩ 0.4vBC,
0 ϭ Ϫ4 ϩ 0.8vBC,
y resolviendo se obtiene vBC ϭ 5 rad/s
y vC ϭ 6 m/s.

Problema de práctica Suponga que en el instante presente las barras AB y BC están
en las posiciones mostradas. ¿Qué valor debería tener la velocidad angular de la barra
AB para que el punto C se moviera hacia la izquierda a 3 m͞s? ¿Cuál sería la velocidad
angular de la barra BC?

Respuesta: Barra AB, 5 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Barra BC,

www.FreeLibros.org2.5 rad͞s en la dirección de las manecillas del reloj.

298 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Ejemplo 17.3 Análisis de una estructura articulada (᭤ Relacionado con el problema 17.36)

La barra AB de la figura gira con una velocidad angular de 10 rad͞s en el sentido
de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad vertical vR de la cremallera del en-
grane de cremallera y piñón?

B
C

12 pulg 10 pulg
A
10 rad/s

6 pulg vR
D

y C 6 16 6
B pulg pulg pulg
rC/D
rB/A Estrategia
10 rad/s vCD Para determinar la velocidad de la cremallera se debe determinar la velocidad angu-
A D lar del elemento CD. Como se conoce la velocidad angular de la barra AB, es posible
aplicar la ecuación (17.6) a los puntos A y B para determinar la velocidad de B. Luego
puede aplicarse la ecuación (17.6) a los puntos C y D a fin de obtener una ecuación
para vC en términos de la velocidad angular del elemento CD. También se puede apli-
car la ecuación (17.6) a los puntos B y C y obtener una ecuación para vC en función de
la velocidad angular de la barra BC. Igualando las dos expresiones para vC, se obtiene
una ecuación vectorial con dos incógnitas: las velocidades angulares de BC y CD.

Solución
Primero se aplica la ecuación (17.6) a los puntos A y B (figura a). En términos
del sistema coordenado que se muestra, el vector de posición de B respecto a
A es rB͞A ϭ 0.5i ϩ j (pies), y el vector de velocidad angular de la barra AB es
␻AB ϭ Ϫ10k (rad͞s). La velocidad de B es

ij k
vB = vA + ␻AB * rB>A = 0 + 3 0 0 - 10 3
x 0.5 1 0

= 10i - 5j (1pfti/ess2/.s).

(a) Determinación de las velocidades de Ahora se aplica la ecuación (17.6) a los puntos C y D. Sea vCD la velocidad angu-
los puntos B y C. lar desconocida del elemento CD (figura a). El vector de posición de C respecto

a D es rC͞D ϭ Ϫ0.500i ϩ 0.833j (pies), y el vector de velocidad angular del ele-
mento CD es ␻CD ϭ ϪvCD k. La velocidad de C es

i j k
vC = vD + ␻CD * rC>D = 0 + 3 0 0 - vCD 3
0.833
- 0.500 0

www.FreeLibros.org= 0.833vCDi + 0.500vCDj.

17.3 Movimientos generales: velocidades 299

Ahora se aplica la ecuación (17.6) a los puntos B y C (figura b). La velocidad
angular desconocida de la barra BC puede denotarse por vBC. El vector de posición

de C respecto a B es rC͞B ϭ 1.333i Ϫ 0.167j (pies), y el vector de velocidad angu-
lar de la barra BC es ␻BC ϭ vBCk. Expresando la velocidad de C en términos de la
velocidad de B se obtiene

i jk

vC = vB + ␻BC * rC>B = vB + 3 0 0 vBC 3

1.333 -0.167 0

= vB + 0.167vBCi + 1.333vBCj.

y C
vBC

B

rC/B

x

(b) Expresión de la velocidad del punto C en
términos de la velocidad del punto B.

Sustituyendo las expresiones para vB y vC en esta ecuación, se obtiene

0.833vCDi + 0.500vCDj = 10i - 5j + 0.167vBCi + 1.333vBCj.

Igualando las componentes i y j, resultan dos ecuaciones en términos de vBC
y vCD:

0.833vCD = 10 + 0.167vBC,
0.500vCD = - 5 + 1.333vBC.

Resolones, se obtiene vBC = 8.92 rad/s y vCD = 13.78 rad/s.
La velocidad vertical de la cremallera es igual a la velocidad del engrane en

el punto en que éste se encuentra en contacto con la cremallera:
vR ϭ (0.5 pies)vCD ϭ (0.5)(13.78) 5 6.89 pies/s.

Razonamiento crítico
¿Cómo se supo cuál era la secuencia de pasos que determinaría la velocidad del
engrane de cremallera y piñón? La sección de estrategia puede darle la impresión
de que sólo existe un método de solución y que éste resulta obvio. Ninguna de
estas impresiones es verdadera. La mayoría de los problemas de este tipo pueden
resolverse aplicando repetidamente la ecuación (17.6) hasta obtener suficientes
ecuaciones para determinar lo que se necesita conocer. Sólo recuerde que la ecua-
ción (17.6) se aplica sólo a dos puntos del mismo cuerpo rígido. Por ejemplo, en
este caso se podría aplicar la ecuación (17.6) a los puntos B y C, pero no podría haber-

www.FreeLibros.orgse aplicado a los puntos A y C.

300 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Problemas

17.14 La turbina mostrada gira respecto al sistema coordenado a 17.17 Un disco de radio R ϭ 0.5 m rueda sobre una superficie
30 rad͞s alrededor de un eje fijo que coincide con el eje x. ¿Cuál horizontal. Las relaciones entre la distancia horizontal x que recorre
es el vector de velocidad angular? el centro del disco y el ángulo b a través del cual gira el disco es
x ϭ Rb. Suponga que el centro del disco se mueve a la derecha con
y una velocidad constante de 2 m͞s.
a) ¿Cuál es la velocidad angular del disco?
z 30 rad/s
b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del disco?

y

R

x β x
R
Problema 17.14
17.15 La placa rectangular mostrada oscila en el plano x-y con x
barras de igual longitud. ¿Cuál es el vector de velocidad angular
de a) la placa rectangular y b) de la barra AB? Problema 17.17

y

A x 17.18 El cuerpo rígido mostrado gira con velocidad angular
v ϭ 12 rad͞s. La distancia rA͞B ϭ 0.4 m.
10 rad/s a) Determine las componentes x e y de la velocidad de A res-
B pecto a B representando la velocidad como se muestra en la fi-
gura 17.10b.

b) ¿Cuál es el vector de velocidad angular del cuerpo rígido?

c) Use la ecuación (17.5) para determinar la velocidad de A
respecto a B.

Problema 17.15 y

17.16 La barra OQ gira en la dirección de las manecillas del v x
reloj a 4 rad͞s. ¿Cuáles son los vectores de velocidad angular de
las barras OQ y PQ? BA
rA/B
Estrategia: Observe que si se conoce la velocidad angular
de la barra OQ, también se sabe cuál es la velocidad angular de la
barra PQ.

yQ

1.2 m 1.2 m Problema 17.18

4 rad / s

O

x
P

www.FreeLibros.orgProblema17.16

Problemas 301

17.19 La barra mostrada gira en sentido contrario al de las mane- 17.24 El disco mostrado gira respecto al eje z a 50 rad͞s en el
cillas del reloj con velocidad angular v. La magnitud de la velocidad sentido de las manecillas del reloj. Determine las componentes x
del punto A es 6 m͞s. Determine la velocidad del punto B. e y de las velocidades de los puntos A, B y C.

17.20 La barra mostrada gira en sentido contrario al de las mane- 17.25 Si la magnitud de la velocidad del punto A respecto al
cillas del reloj con velocidad angular v. La magnitud de la velocidad punto B es de 4 m͞s, ¿cuál es la magnitud de la velocidad angular
del punto A respecto a B es 6 m͞s. Determine la velocidad del del disco?
punto B.
y
y A

A

0.4 m 100 mm

␻ x

x

0.2 m C B
45Њ 45Њ

0.4 m 0.4 m B

Problemas 17.19͞17.20 Problemas 17.24͞17.25

17.21 La ménsula mostrada gira alrededor del punto O con velo- 17.26 El radio de las llantas del Corvette es de 14 pulg. El automó-
cidad angular v en sentido contrario al movimiento de las maneci- vil viaja a 80 mi͞h. Suponga que las llantas ruedan, no derrapan,
llas del reloj. La magnitud de la velocidad del punto A respecto al sobre la superficie del camino.
punto B es de 4 m͞s. Determine v. a) ¿Cuál es la velocidad angular de las llantas?
b) En términos del sistema coordenado fijo a la Tierra que se mues-
A tra en la figura, determine la velocidad (en pies͞s) del punto de la
llanta con coordenadas (Ϫ14 pulg, 0, 0).
y
y
120 mm B
O x

48Њ 180 mm

Problema 17.21 x

17.22 Determine las componentes x e y de la velocidad del punto Problema 17.26
A mostrado.

17.23 Si la velocidad angular de la barra mostrada es constante,
¿cuáles son las componentes x e y de la velocidad del punto A 0.1 s
después del instante mostrado?

y A
2m

5 rad/s
30Њ
Ox

www.FreeLibros.orgProblemas 17.22͞17.23

302 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.27 El punto A del disco rodante mostrado se mueve hacia la 17.30 Los puntos A y B de la barra de 2 m mostrada se deslizan
derecha. La magnitud de la velocidad del punto C es 5 m͞s. De- sobre las superficies planas. El punto B se mueve hacia la derecha
termine las velocidades de los puntos B y D. a 3 m͞s. ¿Cuál es la velocidad del punto medio G de la barra?

y Estrategia: Primero aplique la ecuación (17.6) a los puntos
A y B para determinar la velocidad angular de la barra. Después
D aplique la ecuación (17.6) a los puntos B y G.
45Њ
y
C
A

0.6 m
A

G

Bx

Problema 17.27 70Њ
Bx
17.28 El helicóptero de la figura está en movimiento bidimen-
sional en el plano x-y. En el instante mostrado, la posición del Problema 17.30
centro de masa, G, de la nave es x ϭ 2 m, y ϭ 2.5 m; y su velocidad
es vG ϭ 12i ϩ 4j (m͞s). La posición del punto T donde está mon- 17.31 La barra AB mostrada gira a 6 rad͞s en el sentido de las
tado el rotor de la cola es x ϭ Ϫ3.5 m, y ϭ 4.5 m. La velocidad manecillas del reloj. Determine la velocidad (en pulg͞s) del desli-
angular del helicóptero es 0.2 rad͞s en el sentido de las manecillas zador C.
del reloj. ¿Cuál es la velocidad del punto T?
B
y

T 4 pulg 6 rad/s
G A

x 3 pulg

Problema 17.28 C
17.29 La barra se mueve en el plano x-y y gira en sentido contra-
rio al de las manecillas del reloj. La velocidad del punto A respecto 4 10
al marco de referencia es vA ϭ 12i Ϫ 2j (m͞s). La magnitud de la pulg pulg
velocidad del punto A respecto al punto B es de 8 m͞s. ¿Cuál es
la velocidad del punto B respecto al marco de referencia? Problema 17.31

y 17.32 Si en la figura u ϭ 45° y el collarín P se mueve hacia la
derecha a 2 m͞s, ¿cuáles son las velocidades de las barras OQ
y PQ?

Q

B 1.2 m 1.2 m

2m

O θ

30Њ

Ax P

www.FreeLibros.orgProblema17.29
Problema 17.32

Problemas 303

᭤ 17.33 En el ejemplo activo 17.2, considere el instante cuando ᭤ 17.36 En el ejemplo 17.3, determine la velocidad angular de
la barra AB está en posición vertical y gira en el sentido de las ma- la barra AB que sería necesaria para que la velocidad hacia abajo
necillas del reloj a 10 rad͞s. Trace un bosquejo mostrando las po- de la cremallera sea vR ϭ 10 pies͞s en el instante mostrado.
siciones de las dos barras en ese instante. Determine la velocidad
angular de la barra BC y la velocidad del punto C. 17.37 La barra AB mostrada gira a 12 rad͞s en el sentido de las
manecillas del reloj. Determine las velocidades angulares de
17.34 La barra AB mostrada gira en sentido contrario al de las las barras BC y CD.
manecillas del reloj a 6 rad͞s. Determine la velocidad angular de
la barra BD y la velocidad del punto D. C

yD

B
350

0.32 m mm

C 200
mm 12 rad/s

A D

0.48 m 300 mm 350 mm
x
6 rad/s Problema 17.37
AB

0.32 m 0.24 m 0.16 m 17.38 La barra AB gira a 10 rad͞s en sentido contrario al de las
Problema 17.34 manecillas del reloj. El disco rueda sobre la superficie circular.
Determine las velocidades angulares de la barra BC y del disco
en el instante mostrado.

17.35 En el instante mostrado, la velocidad del pistón es 1m 3m
vC ϭ Ϫ14i (m͞s). ¿Cuál es la velocidad angular de la
manivela AB? A 3m
2m C
y

B

50 mm B C Problema 17.38
A x

175 mm

50 mm

Problema 17.35

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304 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.39 La barra AB mostrada gira a 2 rad͞s en sentido contrario 17.42 En la figura, la manija y mordaza superiores de la pinza ABC
al de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto se encuentran en reposo. La manija inferior DEF gira a 0.2 rad͞s
medio G de la barra BC. en el sentido de las manecillas del reloj. En el instante mostrado,
¿cuál es la velocidad angular de la mordaza inferior CFG?

y

12 pulg C En reposo C
BG AB
30 mm
10 pulg 30Њ D x G
EF
2 rad/s
45Њ
A

D

Problema 17.39 70 mm 30 mm 30 mm

17.40 La barra AB mostrada gira a 10 rad͞s en sentido contrario al Problema 17.42
de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto E.
17.43 El elemento horizontal ADE que soporta la pala mostrada
y se encuentra en reposo. Si el eslabón BD gira en el sentido de las
manecillas del reloj a 1 rad͞s, ¿cuál es la velocidad angular de
la pala?

B B
C

400 mm 2 pies 1 pie
A
10 rad/s C D E A 6 pulg
x DE

5 pies 2 pies pala
1 6 pulg
700 mm 400 700 mm pie
mm

Problema 17.40 Problema 17.43

17.41 La barra AB mostrada gira a 4 rad͞s en sentido contrario al 17.44 El diámetro del disco mostrado es de 1 m y la longitud de
de las manecillas del reloj. Determine la velocidad del punto C. la barra AB es de 1 m. El disco está rodando y el punto B se desli-
za sobre la superficie plana. Determine la velocidad angular de la
yC barra AB y la velocidad del punto B.

B 400 mm 4 rad/s
D

600 mm 500 mm A
A Ex B

300 600 mm 200 Problema 17.44
mm mm 300

mm

Problema 17.41

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Problemas 305

17.45 En la figura, un motor hace girar al disco montado en A, 17.48 El disco mostrado rueda sobre la superficie curva. La
dando a la sierra un movimiento de vaivén (la sierra está soporta- barra gira a 10 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del
da por una ranura horizontal de modo que C se mueve horizontal- reloj. Determine la velocidad del punto A.
mente). El radio AB es de 4 pulg y el eslabón BC tiene 14 pulg de
longitud. En la posición mostrada, u ϭ 45° y el eslabón BC está y
en posición horizontal. Si el disco gira a una revolución por se-
gundo en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es 10 rad/s A
la velocidad de la sierra? 40 mm

17.46 En el problema 17.45, si la velocidad angular del disco es de x
una revolución por segundo en dirección contraria a la de las ma-
necillas del reloj y u ϭ 270°, ¿cuál es la velocidad de la sierra? 120 mm

y

C B Problema 17.48
θ

Ax
17.49 En la figura, si vAB ϭ 2 radրs y vBC ϭ 4 radրs, ¿cuál es la
velocidad del punto C, donde el cubo de la excavadora está co-

nectado?

Problemas 17.45͞17.46 17.50 En la figura, si vAB ϭ 2 radրs, ¿qué velocidad angular vBC
en el sentido de las manecillas del reloj hará que la componente
17.47 Los discos mostrados ruedan sobre la superficie plana. La
velocidad angular del disco izquierdo es de 2 rad͞s en el sentido vertical de la velocidad del punto C sea cero? ¿Cuál es la veloci-
de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la velocidad angular del disco
derecho? dad resultante de C?
y

vAB B C
vBC

2 rad/s 3 pies 5.5 m 5m
1 pie 1.6 m
A

1 pie

x

4m 3m 2.3 m

Problema 17.47 Problemas 17.49͞17.50

17.51 En la figura se muestra el eslabonamiento de dirección de un automóvil. El elemento DE gira alrededor del pasador fijo E. El
disco de freno derecho está unido rígidamente al elemento DE. El tensor CD está articulado en C y D. En el instante mostrado, el brazo
Pitman AB tiene una velocidad angular en sentido contrario de las manecillas del reloj de 1 rad͞s. ¿Cuál es la velocidad angular del
disco de freno derecho?

Discos de freno

A 180 mm 100 mm E
B 220 mm

200

C mm
D

Eslabón de dirección 460 340 70

www.FreeLibros.orgProblema17.51
mm mm mm

306 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.52 El atleta de la figura ejercita su brazo levantando la masa 17.56 El eslabón AB del brazo de robot mostrado gira a 2 rad͞s
m. La articulación del hombro A está en reposo. La distancia AB en sentido contrario al de las manecillas del reloj, el eslabón BC
gira a 3 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj, y el eslabón
es de 300 mm y la distancia BC es de 400 mm. En el instante mos- CD gira a 4 rad͞s en sentido contrario al de las manecillas del
trado, vAB ϭ 1 radրs y vBC ϭ 2 radրs. ¿Con qué rapidez se eleva la reloj. ¿Cuál es la velocidad del punto D?
masa m?

17.53 En la figura, la distancia AB es de 12 pulg, la distancia BC y
es de 16 pulg, vAB ϭ 0.6 radրs, y la masa m se eleva a 24 pulg͞s.
¿Cuál es la velocidad angular vBC? 300 mm 250 mm D
30Њ x
C B 20Њ
vBC 30Њ A C

250 mm

vAB 60Њ

AB m

Problemas 17.52͞17.53 Problema 17.56

17.54 En la figura, los puntos B y C están en el plano x-y. 17.57 En la figura, la persona presiona los mangos de las tijeras,
Los vectores de velocidad angular de los brazos AB y BC son ocasionando las velocidades angulares mostradas. ¿Cuál es la ve-
␻AB = - 0.2k 1rad/s2 y ␻BC = 0.4k 1rad/s2. ¿Cuál es la veloci- locidad angular resultante de la mordaza BD?
dad del punto C?

17.55 En la figura, considere que la velocidad del punto C del
brazo robótico es vC = - 0.15i + 0.42j 1m/s2, ¿cuáles son las
velocidades angulares de los brazos AB y BC?

y

760 mm B 920 mm
30Њ

40Њ x 0.12 rad/s
A
C D
z
18 mm
BC

E

25 mm 25 mm 0.12 rad/s

www.FreeLibros.orgProblemas 17.54͞17.55
Problema 17.57

Problemas 307

17.58 En la figura, determine la velocidad vW y la velocidad 17.61 En la figura, suponga que el anillo externo gira en el senti-
angular de la polea pequeña. do de las manecillas del reloj a 5 rpm y se desea que los puntos
centrales de los portadores permanezcan en reposo durante el pro-
50 mm ceso de pulido. ¿Cuál es la velocidad angular necesaria del anillo
interno?
0.6 m/s
Anillo externo

1.0 m

0.6 m

100 mm 12 rpm

vW Portadores (3)
Problema 17.58
17.59 Determine la velocidad del bloque mostrado y la veloci- Anillo interno
dad angular de la polea pequeña.
7 rpm
2 pulg 9 pulg/s
3 pulg Problemas 17.60͞17.61

17.62 En la figura, el engrane anular está fijo y los engranes piñón
y planetario están unidos. La biela gira en sentido contrario al de
las manecillas del reloj a 60 rpm. Determine la velocidad angular
del engrane central y la magnitud de la velocidad del punto A.

Engrane planetario A

Engrane piñón 140
Biela mm

340
mm

240 mm

Problema 17.59 720 mm

17.60 El dispositivo mostrado se usa en la industria de los semi- Engrane central
conductores para pulir discos de silicio. Los discos se colocan Engrane anular
sobre las caras de los portadores. Después, los anillos externo e
interno se giran, ocasionando que los discos se muevan y giren Problema 17.62
contra una superficie abrasiva. Si el anillo externo gira en el senti-
do de las manecillas del reloj a 7 rpm y el anillo interno gira en 17.63 En la figura, el engrane grande está fijo. La barra AB tiene
sentido contrario al de las manecillas del reloj a 12 rpm, ¿cuál
es la velocidad angular de los portadores? una velocidad angular en sentido contrario al de las manecillas

del reloj de 2 rad͞s. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las

barras CD y DE?

4 16 10
pulg pulg pulg

BC D

4 pulg

10 pulg 2 rad/s
AE

www.FreeLibros.orgProblema17.63

308 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

A v 17.4 Centros instantáneos
vA/C ϭ rA/Cv
rA/C ANTECEDENTES
C
El centro instantáneo es un punto de un cuerpo rígido cuya velocidad es cero en
(a) un momento dado. “Instantáneo” significa que podría tener velocidad igual a cero
v sólo en el instante considerado, aunque también se refiere a un punto fijo como un
centro instantáneo, por ejemplo el punto de un eje fijo respecto al cual gira un cuer-
C po rígido.

(b) Cuando se conoce la posición del centro instantáneo de un cuerpo rígido en
Figura 17.16 movimiento plano y también su velocidad angular, las velocidades de otros puntos
(a) Un centro instantáneo C y un punto A son fáciles de determinar. Por ejemplo, suponga que el punto C de la figura 17.16a
es el centro instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento plano con velocidad
diferente. angular v. Respecto a C, un punto A se mueve en una trayectoria circular. La velo-
(b) Cada punto gira alrededor del centro cidad de A respecto a C es tangente a la trayectoria circular e igual al producto de
la distancia desde C hasta A por la velocidad angular. Pero como C está en reposo
instantáneo. en el instante presente, la velocidad de A respecto a C es la velocidad de A. En ese
momento, cada punto del cuerpo rígido gira respecto a C(figura 17.16b).

Con frecuencia, el centro instantáneo de un cuerpo rígido en movimiento
plano puede localizarse mediante un procedimiento sencillo. Suponga que se cono-
cen las direcciones de los movimientos de dos puntos A y B y éstas no son parale-
las (figura 17.17a). Si se dibujan líneas a través de A y B perpendiculares a sus
direcciones de movimiento, entonces el punto C, donde se intersecan las líneas, es
el centro instantáneo. Para demostrar que esto es cierto, se expresará la velocidad
de C en función de la velocidad de A (figura 17.17b):

vC = vA + ␻ * rC>A.

El vector ␻ * rC>A es perpendicular a rC>A, por lo que esta ecuación indica que
la vC es paralela a la dirección del movimiento de A. También se puede expresar la
velocidad de C en términos de la velocidad de B:

vC = vB + ␻ * rC>B.

El vector ␻ * rC>B es perpendicular a rC>B, por lo que esta ecuación indica que
vC es paralela a la dirección del movimiento de B. Se ha demostrado que la com-
ponente de vC perpendicular a la dirección del movimiento de A es igual a cero y
que la componente de vC perpendicular a la dirección del movimiento de B tam-
bién es cero, por lo que vC ϭ 0.

Dirección del Dirección del
movimiento de A movimiento de B

A

B
A

B

C rC/A
rC/B

Figura 17.17 C

(a) Localización del centro instantáneo en Centro

movimiento plano. instantáneo (b)
(a)
www.FreeLibros.org(b) DemostracióndequevC = 0.

17.4 Centros instantáneos 309

Dirección del Dirección del

movimiento de A movimiento de B

A A
B B

Centro C C
(b)
Instantáneo
(a)

Figura 17.18 v
(a) Centro instantáneo externo al cuerpo rígido. R
(b) Cuerpo extendido en forma hipotética. El punto C estaría en

reposo.

Un centro instantáneo puede no ser un punto del cuerpo rígido (figura 17.18a). C
Esto significa simplemente que en este instante el cuerpo rígido gira alrededor de (a)
un punto externo. Es conveniente imaginar el cuerpo rígido extendido de modo y
que quede incluido el centro instantáneo (figura 17.18b). La velocidad del punto C
del cuerpo extendido sería cero en el instante considerado. vA ϭ 2 Rv

Observe en la figura 17.18a que si se cambian las direcciones del movimiento 2R A
de A y B de modo que las líneas perpendiculares a sus direcciones de movi- v
miento resulten paralelas, C se desplaza al infinito. En este caso, el cuerpo rígido
está en traslación pura, con una velocidad angular igual a cero. x
C
Volviendo de nuevo al ejemplo del disco de radio R que rueda con velocidad
angular v (figura 17.19a), el punto C, en contacto con el piso, está en reposo en el (b)
instante mostrado es el centro instantáneo del disco. Por lo tanto, la velocidad de
cualquier otro punto es perpendicular a la línea que va de C al punto y su magni- Figura 17.19
tud es igual al producto de v por la distancia desde C hasta el punto. En términos del (a) El punto C es el centro instantáneo del
sistema coordenado dado en la figura 17.19b, la velocidad del punto A es
disco rodante.
vA = - 22Rv cos 45°i + 22Rv seinn 45°j (b) Determinación de la velocidad del punto A.
= - Rvi + Rvj.

RESULTADOS

Un punto de un cuerpo rígido cuya velocidad es cero en un instante dado se llama
centro instantáneo. “Instantáneo” significa que el punto puede tener velocidad cero
sólo en el instante considerado, aunque un punto fijo, como aquel perteneciente a
un eje fijo alrededor del cual gira un cuerpo rígido, también se conoce como centro
instantáneo.

v

A Si un punto C es el centro instantáneo de un

rA/C cuerpo rígido que experimenta movimiento
bidimensional con velocidad angular v, pue-

vA/C ϭ rA/Cv C den determinarse la magnitud y la dirección
www.FreeLibros.orgde la velocidad de cualquier otro punto A.

310 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Dirección del Dirección del Si se conocen las direcciones del movimiento de dos pun-
movimiento de A movimiento de B tos A y B de un cuerpo rígido en movimiento bidimensio-
nal, puede determinarse la ubicación del centro instantáneo
A B C. Éste es la intersección de las líneas trazadas a través de
A y B perpendiculares a sus direcciones de movimiento.
C Observe que si las direcciones del movimiento de A y B
son paralelas, el centro instantáneo está en el infinito, es
Centro decir, el cuerpo rígido está en traslación.
instantáneo

Ejemplo activo 17.4 Análisis de eslabonamientos por centros instantáneos

(᭤ Relacionado con el problema 17.70)

La barra AB mostrada gira con velocidad angular de 10 rad͞s en sentido contrario

al de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las velocidades angulares de las barras BC

y CD? B

C

2m

10 rad/s D
A

2m 2m

Estrategia
Las barras AB y CD giran respecto a ejes fijos, por lo que se conocen las direcciones
del movimiento de los puntos B y C y por ende se puede localizar el centro instantá-
neo de la barra BC. Usando estos centros instantáneos y las relaciones entre las velo-
cidades de los puntos de las barras y las velocidades angulares de las barras, se pueden
determinar las velocidades angulares.

Solución

B C
vB

2m

10 rad/s D
A

Comience con la barra AB, porque

su velocidad angular es conocida vB ϭ (2 m)(10 rad/s) ϭ 20 m/s.
y use su centro instantáneo para

www.FreeLibros.orgdeterminar la velocidad del punto B.

Localice el centro instantáneo de la barra 17.4 Centros instantáneos 311
BC dibujando líneas a través de los puntos B
y C perpendiculares a sus direcciones de 20 m/s ϭ (2 m) vBC,
movimiento. Use el centro instantáneo y la por tanto
velocidad conocida del punto B para deter-
minar la velocidad angular de la barra BC. vBC ϭ 20 m/s ϭ 10 rad/s.
2m

Centro instantáneo de la barra BC

vBC 8m
2m C
B
vC
20 m/s
D
A

Use el centro instantáneo y la velocidad vC ϭ ( 8 m) (10 rad/s)
angular de la barra BC para determinar ϭ 10 8 m/s.
la velocidad del punto C.

BC

8m
vC

A vCD D

Use la velocidad del punto C y el vC ϭ ( 8 m) vCD,
centro instantáneo de la barra CD por tanto
para determinar la velocidad angu-
lar de la barra CD. vCD ϭ vC
8m

ϭ 10 8 m/s
8m

ϭ 10 rad/s.

Problema de práctica Suponga que en el instante mostrado la barra CD gira en sen-
tido contrario al de las manecillas del reloj a 5 rad͞s. Use centros instantáneos para
determinar la velocidad angular de la barra BC.

www.FreeLibros.orgRespuesta: 5 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj.

312 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Problemas

17.64 Si la barra mostrada tiene una velocidad angular de 10 rad͞s 17.67 Los puntos A y B de la barra de 1 m mostrada se desliza
en el sentido de las manecillas del reloj y vA ϭ 20 m͞s, ¿cuáles son sobre las superficies planas. La velocidad de B es vB ϭ 2i (m͞s).
las coordenadas de su centro instantáneo y el valor de vB? a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro instantáneo de la
barra?
17.65 En la figura, si vA ϭ 24 m͞s y vB ϭ 36 m͞s, ¿cuáles son b) Use el centro instantáneo para determinar la velocidad de A.
las coordenadas del centro instantáneo de la barra y su velocidad
angular? y

y
vA vB

A

x

AB
1m 1m

Problemas 17.64͞17.65 G

17.66 La velocidad del punto O del bate mostrado es 70Њ x
vO ϭ Ϫ6i Ϫ 14j (pies͞s), y el bate gira alrededor del eje z con B
una velocidad angular de 4 rad͞s en sentido contrario al de las
manecillas del reloj. ¿Cuáles son las coordenadas x e y del centro Problema 17.67
instantáneo del bate?

y

17.68 La barra mostrada tiene un movimiento bidimensional
en el plano x-y. La velocidad del punto A es vA ϭ 8i (pies͞s), y B
se mueve en la dirección paralela a la barra. Determine la veloci-

dad de B a) usando la ecuación (17.6) y b) usando el centro

instantáneo de la barra.

y

B

4 pies

Ox 30Њ x
Problema 17.66 A

Problema 17.68

www.FreeLibros.org

Problemas 313

17.69 El punto A de la barra se mueve a 8 m͞s en la dirección 17.72 Cuando el mecanismo del problema 17.71 está en la posi-
del vector unitario 0.966i Ϫ 0.259j, y el punto B se mueve en la ción que se muestra a continuación, use centros instantáneos para
dirección del vector unitario 0.766i ϩ 0.643j. determinar la velocidad horizontal de B.
a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro instantáneo de la
barra? 1 rad/s

b) ¿Cuál es la velocidad angular de la barra?

y

B A
2m
B
30Њ O
A
Problema 17.72

x

Problema 17.69 17.73 En la figura, el ángulo u ϭ 45°, y la barra OQ gira en el
sentido contrario al de las manecillas del reloj a 0.2 rad͞s. Use
᭤ 17.70 La barra AB gira con una velocidad angular de 10 rad͞s centros instantáneos para determinar la velocidad del collarín P.
en sentido contrario al de las manecillas del reloj. En el instante
mostrado, ¿cuáles son las velocidades angulares de las barras BC Q
y CD? (Vea el ejemplo activo 17.4).

BC 2 pies 2 pies

2m u
O

10 rad/s P
A
D
1m Problema 17.73

2m

Problema 17.70 17.74 En la figura, la barra AB gira en sentido contrario al de las
manecillas del reloj a 5 rad͞s. El disco rueda sobre la superficie
17.71 Use centros instantáneos para determinar la velocidad horizontal. Determine la velocidad angular de la barra BC.
horizontal del punto B mostrado.

B C D
0.2 m
1 rad/s 5 rad/s
A A
6 pulg
0.4 m 0.2 m 0.2 m

B Problema 17.74

O
12
pulg

www.FreeLibros.orgProblema17.71

314 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.75 La barra AB mostrada gira a 6 rad͞s en el sentido de las 17.78 La barra AB mostrada gira a 12 rad͞s en el sentido de las
manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar la manecillas del reloj. Use centros instantáneos para determinar
velocidad angular de la barra BC. las velocidades angulares de las barras BC y CD.

B C

4 pulg 6 rad/s B
A 350
mm
3 pulg
200
C mm

A 12 rad/s

4 10 D
pulg pulg

Problema 17.75 300 mm 350 mm

17.76 En la figura, la manivela AB gira en el sentido de las ma- Problema 17.78
necillas del reloj a 2000 rpm (revoluciones por minuto).
a) En el instante mostrado, ¿cuáles son las coordenadas del centro 17.79 En la figura, el elemento horizontal ADE que soporta la
instantáneo de la biela BC? pala se encuentra en reposo. El eslabón BD gira a 1 rad͞s en el
b) Use centros instantáneos para determinar la velocidad angular sentido de las manecillas del reloj. Use centros instantáneos para
de la biela BC en el instante mostrado. determinar la velocidad angular de la pala.

y B
C

2 pies 1 pie

A 6 pulg
DE

5 2 pies
1 6 pulg
B pies pala
A
50 mm C pie
x
Problema 17.79

175 mm 17.80 El disco mostrado está en movimiento plano. En la figura
se muestran las direcciones de las velocidades de los puntos A y B.
50 mm La velocidad del punto A es vA ϭ 2 m͞s.
a) ¿Cuáles son las coordenadas del centro instantáneo del disco?
Problema 17.76
b) Determine la velocidad vB y la velocidad angular del disco.

y

17.77 Los discos ruedan sobre la superficie plana. El disco vB
izquierdo gira a 2 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj.
Use centros instantáneos para determinar las velocidades angula-
res de la barra y del disco derecho.

2 rad/s 3 pies 70Њ
1 pie B
vA (0.5, 0.4)m x

A 30Њ

1 pie

www.FreeLibros.orgProblema17.77
Problema 17.80

17.5 Movimientos generales: aceleraciones 315

17.5 Movimientos generales: aceleraciones

ANTECEDENTES

En el capítulo 18 se estudiará cómo determinar el movimiento de un cuerpo rígido cuan-
do se conocen las fuerzas y los pares externos que actúan sobre él. Las ecuaciones que
lo rigen se expresan en función de la aceleración del centro de masa del cuerpo rígido y
de su aceleración angular. Para resolver tales problemas es necesario entender las rela-
ciones entre las aceleraciones de puntos de un cuerpo rígido y su aceleración angular.
En esta sección se extienden a las aceleraciones los métodos ya utilizados para analizar
velocidades de cuerpos rígidos.

Considere los puntos A y B de un cuerpo rígido en movimiento plano respecto a
un marco de referencia dado (figura 17.20a). Sus velocidades se relacionan mediante
la ecuación

vA = vB + vA>B.

Derivando esta ecuación respecto al tiempo, se obtiene

aA = aB + aA>B,

A arA/B
v2rA/B A
rA/B
B a
v rA/B
rB rA
O B
(a)
O
(b)

La aceleración de A es la suma
vectorial de estas tres aceleraciones

arA/B

v2rA/B A aB
a

v

B aB

O
(c)

Figura 17.20
(a) Puntos A y B de un cuerpo rígido en movimiento plano y vector

de posición de A respecto a B.
(b) Componentes de la aceleración de A respecto a B.

www.FreeLibros.org(c) AceleracióndeA.

316 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos v
a
v
a B
Ra
B
R

(a) (b)
y

Ba La aceleración de C es la suma
v vectorial de estas aceleraciones

Rv2 B
Ra

Rv2

C Ra Ra C Ra x

(c) (d)

Figura 17.21
(a) Disco que rueda con velocidad angular v y aceleración angular a.
(b) Aceleración del centro B.
(c) Componentes de la aceleración de C respecto a B.
(d) Aceleración de C.

donde aA y aB son las aceleraciones de A y B respecto al marco de referencia y
aA>B es la aceleración de A respecto a B. (Cuando se mencione simplemente la
aceleración de un punto, se estará hablando de su aceleración respecto al marco

de referencia dado). Como A se mueve en una trayectoria circular respecto a B
mientras el cuerpo rígido gira, aA>B tiene componentes normal y tangencial
(figura 17.20b). La componente tangencial es igual al producto de la distancia
rA>B = ƒ rA>B ƒ y la aceleración angular a del cuerpo rígido. La componente
normal apunta hacia el centro de la trayectoria circular, y su magnitud es
ƒ vA>B ƒ 2>rA>B = v2rA>B. La aceleración de A es igual a la suma de la aceleración
de B más la aceleración de A respecto a B (figura 17.20c).

Por ejemplo, considere un disco circular de radio R que rueda sobre una

superficie plana fija. El disco tiene una velocidad angular v en sentido contrario

al de las manecillas del reloj y aceleración angular a en la misma dirección

(figura 17.21a). El centro B del disco se mueve en una línea recta con velocidad
Rv. Su velocidad es hacia la izquierda si v es positiva. Por lo tanto, la aceleración
de B es d͞dt(Rv) ϭ Ra y es hacia la izquierda si a es positiva (figura 17.21b).
En otras palabras, la magnitud de la aceleración del centro de un objeto redondo

que rueda sobre una superficie en reposo es el producto del radio por la acelera-

ción angular.

Ahora que se conoce la aceleración del centro del disco, se determinará la ace-

leración del punto C que está en contacto con la superficie. Respecto a B, el punto

www.FreeLibros.orgC se mueve en una trayectoria circular de radio R con velocidad angular v y ace-
leración a. En la figura 17.21c se muestran las componentes tangencial y normal

17.5 Movimientos generales: aceleraciones 317

de la aceleración de C respecto a B. La aceleración de C es la suma de la acelera-
ción de B más la aceleración de C respecto a B (figura 17.21d). En términos del
sistema de coordenadas mostrado

aC = aB + aC>B = - Rai + Rai + Rv2j
= Rv2j.

La aceleración del punto C paralela a la superficie es cero, pero tiene una acelera-
ción normal a la superficie.

La expresión de la aceleración de un punto A respecto a un punto B en térmi-
nos de la trayectoria circular de A respecto a B, como se ha hecho, resulta útil para
visualizar y entender la aceleración relativa. Sin embargo, como se hizo en el caso
de la velocidad relativa, es posible obtener aA>B en una forma más conveniente
para las aplicaciones usando el vector de velocidad angular ␻. La velocidad de A
respecto a B está dada en términos de ␻ por la ecuación (17.5):

vA>B = ␻ * rA>B.

Derivando esta ecuación respecto al tiempo se obtiene

aA>B = d␻ * rA>B + ␻ * vA>B
dt

d␻
= dt * rA>B + ␻ * 1␻ * rA>B2.

Enseguida se define el vector de aceleración angular ␣ como la razón de cambio
del vector de velocidad angular,

␣ = dd␻t . (17.7)

La aceleración de A respecto a B es

aA>B = ␣ * rA>B + ␻ * 1␻ * rA>B2.

Usando esta expresión, se pueden escribir ecuaciones que relacionen las velocida-
des y aceleraciones de dos puntos de un cuerpo rígido en términos de su velocidad
y su aceleración angulares:

␣ ϫ rA/B

vA = vB + ␻ * rA>B, (17.8) ␻ ϫ (␻ ϫ rA/B) A
aA = aB + ␣ * rA>B + ␻ * 1␻ * rA>B2. (17.9)

a

En el caso del movimiento plano, el término ␣ * rA>B de la ecuación (17.9) es la v

componente tangencial de la aceleración de A respecto a B y ␻ * 1␻ * rA>B2 B
es la componente normal (figura 17.22). Por lo tanto, se puede escribir la ecua-

ción (17.9) en la forma más sencilla

Figura 17.22
www.FreeLibros.orgaA = aB + ␣ * rA>B - v2rA>B.
mploavniamr imenototiopnlano (17.10) Componentes vectoriales de la aceleración de
A respecto a B en el movimiento plano.

318 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos
RESULTADOS

Velocidades y aceleraciones relativas

A

rA/B
B

rB rA
O

La velocidad y la aceleración de A (respecto a vA ϭ vB ϩ ␻ ϫ rA/B, (17.8)
un marco de referencia dado) pueden expre- vA/B (17.9)
sarse en términos de la velocidad y la acelera-
ción de B, la posición de A respecto a B, la aA ϭ aB ϩ ␣ ϫ rA/B ϩ ␻ ϫ (␻ ϫ rA/B).
velocidad angular del cuerpo rígido y la ace- aA/B
leración angular ␣ ϭ d␻/dt del cuerpo rígido.

Movimiento plano

En el movimiento plano, un punto A de un cuer- arA/B (17.10)
po rígido se mueve en una trayectoria circular v2rA/B A
respecto al punto B. Las componentes tangencial a
y normal de la aceleración de A respecto a B v rA/B
pueden expresarse en términos de la distancia B
desde A hasta B y de la velocidad angular y la
aceleración angular del cuerpo rígido. O

La ecuación (17.9) puede expresarse de una aA ϭ aB ϩ ␣ ϫ rA/B Ϫ v2 rA/B.
manera más sencilla en el movimiento plano.

Movimiento de rodadura

a

El objeto redondo de radio R que rueda sobre la su-

perficie plana en reposo tiene una aceleración angu-

lar a en sentido contrario al de las manecillas del B

reloj. La componente de la aceleración del punto C aB ϭ Ra
tangencial a la superficie es igual a cero. La acele-

ración del centro B es aR en la dirección mostrada.

www.FreeLibrC os.org

17.5 Movimientos generales: aceleraciones 319

Ejemplo activo 17.5 Aceleración de un punto de un disco con movimiento de rodadura

(᭤ Relacionado con el problema 17.85)

El disco mostrado rueda sin deslizar y tiene una velocidad angular v y una aceleración v
angular ␣ en sentido contrario al de las manecillas del reloj. ¿Cuál es la acelera- a
ción del punto A?

Estrategia A
Se conoce la aceleración del centro de un disco rodante en términos de su radio y R
de su aceleración angular. Se puede obtener la aceleración del punto A al sumar la
aceleración del centro y las componentes tangencial y normal de la aceleración de
A respecto al centro.

Solución

yv
a

B A
aB ϭ aR

x

Exprese la aceleración del centro B del disco aB ϭ ϪaBi ϭ ϪaRi.
como un vector en términos del sistema de
coordenadas mostrado.

y
aR

BA
v2R

x

Respecto a B, el punto A sigue una trayectoria circu- aA/B ϭ Ϫv2Ri ϩ aRj.
lar. Exprese las componentes tangencial y normal de
la aceleración de A respecto a B como un vector.

La aceleración de A es igual a la aceleración de aA ϭ aB ϩ aA/B
B más la aceleración de A respecto a B. ϭ ϪaRi Ϫ v2Ri ϩ aRj.

Problema de práctica Determine la aceleración del punto A aplicando la ecuación
(17.10) al punto A y al centro B del disco.

www.FreeLibros.orgRespuesta:aA = -aRi - v2Ri + aRj.

320 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Ejemplo 17.6 Aceleración angular de los elementos de un eslabonamiento

(᭤ Relacionado con el problema 17.90)

La barra AB de la figura tiene una velocidad angular de 10 rad͞s en sentido con-
trario al de las manecillas del reloj y una aceleración angular de 300 rad͞s2 en el
sentido de las manecillas del reloj. ¿Cuáles son las aceleraciones angulares de las
barras BC y CD?

y

C
B

10 rad/s 2m

300 rad/s2 D
A x

2m 2m

Estrategia

Como se conoce la velocidad angular de la barra AB, se puede determinar la velo-

cidad del punto B. Después se puede aplicar la ecuación (17.8) a los puntos C y D

a fin de obtener una ecuación para vC en términos de la velocidad angular de la
barra CD. También se puede aplicar la ecuación (17.8) a los puntos B y C a fin de

obtener una ecuación para vC en términos de la velocidad angular de la barra BC.
Igualando las dos expresiones para vC, se obtendrá una ecuación vectorial con
dos incógnitas: las velocidades angulares de BC y CD. Luego, siguiendo la misma

secuencia de pasos, pero usando la ecuación (17.10), se pueden obtener las acele-

raciones angulares de las barras BC y CD.

Solución
La velocidad de B es (figura a)

vB = vA + ␻AB * rB>A
= 0 + 110k2 * 12j2

= - 20i 1m/s2.

y C Sea vCD la velocidad angular desconocida de la barra CD (figura b). La
B velocidad de C en términos de la velocidad de D es

rB/A

10 rad/s 2m vC = vD + ␻CD * rC>D
300 rad/s2
Dx ij k
A = 0 + 3 0 0 vCD 3

-2 2 0

= - 2vCDi - 2vCDj.
www.FreeLibros.org(a) DeterminacióndelmovimientodeB.

17.5 Movimientos generales: aceleraciones 321

Denotando la velocidad angular de la barra BC con vBC (figura c), se obtiene la y
velocidad de C en términos de la velocidad de B:
BC
vC = vB + ␻BC * rC>B rC/D
= - 20i + 1vBCk2 * 12i2 2m
= - 20i + 2vBCj.
A vCD Dx
Igualando las dos expresiones para vC resulta aCD

- 2vCDi - 2vCDj = - 20i + 2vBCj. 2m

Igualando las componentes i y j se obtiene vCD ϭ 10 rad͞s y vBC ϭ Ϫ10 rad͞s. (b) Determinación del movimiento de C
Se puede usar la misma secuencia de pasos para determinar las aceleraciones en términos del movimiento angular
de la barra CD.
angulares. La aceleración de B es (figura a)
y
aB = aA + ␣AB * rB>A - v2ABrB>A
= 0 + 1 - 300k2 * 12j2 - 1102212j2 aBC vBC C
= 600i - 200j 1m/s22. B

La aceleración de C en términos de la aceleración de D es (figura b) rC/B

aC = aD + ␣CD * rC>D - vC2 DrC>D A Dx
ijk
2m
= 0 + 3 0 0 aCD 3 - 110221 - 2i + 2j2
-2 2 0 (c) Determinación del movimiento de C
en términos del movimiento angular
= 1200 - 2aCD2i - 1200 + 2aCD2j. de la barra BC.

La aceleración de C en términos de la aceleración de B es (figura c)
aC = aB + ␣BC * rC>B - v2BCrC>B
= 600i - 200j + 1aBCk2 * 12i2 - 1 - 102212i2
= 400i - 1200 - 2aBC2j.

Igualando las expresiones para aC, se obtiene

1200 - 2aCD2i - 1200 + 2aCD2j = 400i - 1200 - 2aBC2j.

Igualando las componentes i y j se obtienen las aceleraciones angulares
aBC ϭ 100 rad͞s2 y aCD ϭ Ϫ100 rad͞s2.

Razonamiento crítico
Para determinar las aceleraciones angulares de un conjunto de cuerpos rígidos ar-
ticulados, por lo general es necesario encontrar primero sus velocidades angulares,
porque la velocidad angular aparece en las ecuaciones (17.9) y (17.10). Pero como
lo demuestra este ejemplo, el paso inicial proporciona una guía para llegar a la
solución. Una vez que se ha encontrado una secuencia de pasos usando la ecuación
(17.8) para determinar las velocidades angulares, puede usarse la misma secuen-
cia de pasos, pero empleando las ecuaciones (17.9) o (17.10), a fin de encontrar las

www.FreeLibros.orgaceleraciones angulares.

322 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

Problemas

17.81 El cuerpo rígido de la figura gira alrededor del eje z con 17.84 El helicóptero mostrado está en movimiento bidimensio-
velocidad angular v ϭ 4 rad͞s y aceleración angular a ϭ 2 rad͞s2,
nal en el plano x-y. En el instante mostrado, la posición de
ambas con sentido contrario al de las manecillas del reloj. La su centro de masa G es x ϭ 2 m, y ϭ 2.5 m, su velocidad es
vG ϭ 12i ϩ 4j (m͞s), y su aceleración es aG ϭ 2i ϩ 3j (m͞s2).
distancia rA͞B ϭ 0.6 m. La posición del punto T donde está montado el rotor de la cola es
a) ¿Cuáles son los vectores de la velocidad angular y de la acele- x ϭ Ϫ3.5 m, y ϭ 4.5 m. La velocidad angular del helicóptero
es de 0.2 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj, y su ace-
ración angular? leración angular es de 0.1 rad͞s2 en sentido contrario al de las

b) Determine la aceleración del punto A respecto al punto B, manecillas del reloj. ¿Cuál es la aceleración del punto T?

primero usando la ecuación (17.9) y luego empleando la ecua-

ción (17.10). y

ay
v

BA x T
rA/B G

Problema 17.81 x

17.82 La barra mostrada gira con una velocidad angular de 5 rad͞s Problema 17.84
y una aceleración angular de 30 rad͞s2, ambas en sentido contrario
al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración de A a) usan- ᭤ 17.85 El punto A del disco rodante que se muestra en la figura
do la ecuación (17.9) y b) empleando la ecuación (17.10). se mueve hacia la derecha y acelera en esa misma dirección. La
magnitud de la velocidad del punto C es de 2 m͞s, y la magnitud
y de su aceleración es de 14 m͞s2. Determine las aceleraciones de
los puntos B y D. (Vea el ejemplo activo 17.5).
5 rad/s2 A
30 rad/s2

y

30Њ x
2m

Problema 17.82 D 300 mm
45Њ A
17.83 La barra mostrada gira con una velocidad angular de
20 rad͞s y una aceleración angular de 6 rad͞s2, ambas en sentido C
contrario al de las manecillas del reloj.
B x
a) Aplique la ecuación (17.10) al punto A y a un punto fijo O
para determinar la aceleración del punto A.

b) Use el resultado del inciso a) y aplique la ecuación (17.10) a
los puntos A y B para determinar la aceleración del punto B.

y

Problema 17.85

20 rad/s 6 rad/s2 B
A x

O

1m 1m

www.FreeLibros.orgProblema17.83

Problemas 323

17.86 El disco mostrado rueda sobre la superficie circular con 17.88 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB
una velocidad angular constante de 1 rad͞s en el sentido de las mostrada son vAB ϭ 2 rad͞s y aAB ϭ 10 rad͞s2. Las dimensiones
manecillas del reloj. ¿Cuáles son las aceleraciones de los puntos de la placa rectangular son 12 pulg ϫ 24 pulg. ¿Cuáles son la ve-
A y B?
locidad y la aceleración angulares de la placa rectangular?
Estrategia: Comience por determinar la aceleración del centro
del disco. Observe que el centro se mueve en una trayectoria 20 pulg D
circular y la magnitud de su velocidad es constante.
12 pulg B 45Њ
y A 45Њ avAABB C

A

0.4 m

x

B Problema 17.88
1.2 m
17.89 El engrane anular mostrado se encuentra en reposo y
el engrane central tiene una aceleración angular de 10 rad͞s2 en
sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determine la ace-
leración angular de los engranes periféricos.

7 pulg Engrane anular

Problema 17.86 34 pulg

17.87 La longitud de la barra mostrada es L ϭ 4 pies y el ángulo 20 pulg
u ϭ 30°. La velocidad angular de la barra es v ϭ 1.8 rad͞s y su
aceleración angular es a ϭ 6 rad͞s2. Los extremos de la barra Engranes periféricos (3)
se deslizan sobre las superficies planas. Determine la aceleración Engrane central
del punto medio G.
Problema 17.89
Estrategia: Comience por aplicar la ecuación (17.10) a los
extremos de la barra para determinar sus aceleraciones.

y

᭤ 17.90 En el ejemplo 17.6, ¿cuál es la aceleración del punto
medio de la barra BC?

17.91 El disco de 1 m de diámetro mostrado rueda sobre la su-
perficie plana, y el punto B de la barra de 1 m de largo se desliza
sobre la misma superficie. Determine la aceleración angular de la
barra y la aceleración del punto B.

u 10 rad/s2
L 4 rad/s

G A

v
a

x B

www.FreeLibros.orgProblema17.87
Problema 17.91

324 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.92 En la figura, si u ϭ 45° y el collarín P se mueve hacia la 17.96 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB
derecha con una velocidad constante de 2 m͞s, ¿cuáles son las mostrada son vAB ϭ 4 rad͞s y aAB ϭ Ϫ6 rad͞s2. Determine las
aceleraciones angulares de las barras OQ y PQ? aceleraciones angulares de las barras BC y CD.

17.93 En la figura, si u ϭ 50° y la barra OQ tiene una velocidad y
angular constante de 1 rad͞s en el sentido de las manecillas del
reloj, ¿cuál es la aceleración del collarín P? 2m B
A
Q 1m
vAB aAB

1.2 m 1.2 m C

θ 1m
O D

P 1m 2m

Problemas 17.92͞17.93 Problema 17.96
17.97 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB
17.94 En la figura, el ángulo u ϭ 60°, y la barra OQ tiene una ve- mostrada son vAB ϭ 2 rad͞s y aAB ϭ 8 rad͞s2. ¿Cuál es la acelera-
locidad angular constante de 2 rad͞s en el sentido de las manecillas ción del punto D?
del reloj. ¿Cuál es la aceleración angular de la barra PQ?
yD

Q 0.32 m
200 mm C

400 mm

θ 0.48 m
O x

P vAB aAB
AB

Problema 17.94

17.95 En el instante mostrado, la velocidad y la aceleración del 0.32 m 0.24 m 0.16 m
pistón son vC ϭ Ϫ14i (m͞s) y aC ϭ Ϫ2200i (m͞s2). ¿Cuál es la
aceleración angular de la manivela AB? Problema 17.97

y 17.98 En la figura, la velocidad angular vAB ϭ 6 rad͞s. Si la ace-
leración del deslizador C en el instante mostrado es igual a cero,
¿cuál es el valor de la aceleración angular aAB?

y

B

50 mm B C 4 pulg
A x A aAB
vAB
3 pulg

Cx

175 mm

4 pulg 10 pulg
50 mm

www.FreeLibros.orgProblema17.95
Problema 17.98

Problemas 325

17.99 La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB 17.101 En la figura, si vAB ϭ 2 rad͞s, aAB ϭ 2 rad͞s2,
vBC ϭ 1 rad͞s, y aBC ϭ 4 rad͞s2, ¿cuál es la aceleración del
mostrada son vAB ϭ 5 rad͞s y aAB ϭ 10 rad͞s2. Determine la ace- punto C donde está conectada la pala de la excavadora?
leración angular de la barra BC.

B C D 17.102 Si la velocidad del punto C de la excavadora mostrada
A
es vC ϭ 4i (m͞s) y ésta es constante, ¿qué valores tienen vAB, aAB,
vBC y aBC?

0.2 m aAB vAB y

0.4 m 0.2 m 0.2 m vAB B
aAB vBC aBC C

Problema 17.99 5.5 m
1.6 m
5m

17.100 En el instante mostrado, la barra AB gira a 10 rad͞s en el A
sentido de las manecillas del reloj y tiene una aceleración angular
de 20 rad͞s2 en la misma dirección. El disco rueda sobre la super- x
ficie circular. Determine las aceleraciones angulares de la barra
BC y el disco. 4m 3m 2.3 m

Problemas 17.101͞17.102

1m 3m

A 3m
2m C

B

Problema 17.100

17.103 En la figura se muestra el eslabonamiento de dirección de un automóvil. El elemento DE gira alrededor del pasador fijo E. El
disco de freno derecho está unido rígidamente al elemento DE. El tensor CD está articulado en C y D. En el instante mostrado, el brazo
Pitman AB tiene una velocidad angular en sentido contrario de las manecillas del reloj de 1 rad͞s y una aceleración angular en el sentido
de las manecillas del reloj de 2 rad͞s2. ¿Cuál es la aceleración angular del disco de freno derecho?

Discos de freno

A 180 mm 100 mm E
B 220 mm

200

C mm
D

Eslabón de dirección 460 340 70

mm mm mm
www.FreeLibros.orgProblema17.103

326 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos 17.107 En la figura se muestran las velocidades y las aceleracio-
nes angulares de los mangos de las tijeras. ¿Cuál es la aceleración
17.104 En el instante mostrado, la barra AB no tiene velocidad angular resultante de la mordaza BD?
angular pero sí una aceleración angular de 10 rad͞s2 en sentido
contrario al de las manecillas del reloj. Determine la aceleración
del punto E.

y

B

400 mm CD E
A x

700 mm 400 700 mm
mm

Problema 17.104 BC D 0.12 rad/s0.08 rad/s2
E 18 mm
17.105 En la figura, si vAB ϭ 12 rad͞s y aAB ϭ 100 rad͞s2,
¿cuáles son las aceleraciones angulares de las barras BC y CD? 0.12 rad/s
0.08 rad/s2
C

B 25 mm 25 mm
350
mm aAB
vAB
200
mm D Problema 17.107

A

300 mm 350 mm

Problema 17.105

17.106 En la figura, si vAB ϭ 4 rad͞s y aAB ϭ 12 rad͞s2, ambas
en sentido contrario al de las manecillas del reloj, ¿cuál es la acele-

ración del punto C?

yC

B 400 mm
D

600 mm 500 mm

A Ex
600 mm

300 200 300
mm mm mm

www.FreeLibros.orgProblema17.106

Problemas 327

17.108 Si el brazo AB de la figura tiene una velocidad angular 17.112 El mango y la mordaza superiores de la pinza ABC
constante de 0.8 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj, el mostrada se encuentran en reposo. El mango inferior DEF gira en
brazo BC tiene una velocidad angular constante de 0.2 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj con una velocidad angular
la misma dirección, y el brazo CD permanece vertical, ¿cuál es la constante de 0.2 rad͞s. En el instante mostrado, ¿cuál es la acele-
aceleración de la parte D? ración angular de la mordaza inferior CFG?

17.109 Si el brazo AB de la figura tiene una velocidad angular En reposo C
constante de 0.8 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj, y se AB
quiere que la parte D tenga velocidad y aceleración iguales a cero,
¿cuáles son las velocidades y aceleraciones angulares necesarias 30 mm
de los brazos BC y CD? G

17.110 Si se desea que el brazo CD permanezca vertical y que la EF
parte D tenga velocidad vD ϭ 1.0i (m͞s) y aceleración igual a cero,
¿cuáles son las velocidades y aceleraciones angulares necesarias D
de los brazos AB y BC?
70 mm 30 mm 30 mm
y
Problema 17.112
300 mm
B 17.113 El elemento horizontal ADE que soporta la pala de la ex-
cavadora mostrada se encuentra en reposo. Si el eslabón BD tiene
15Њ una velocidad angular de 1 rad͞s en el sentido de las manecillas
C del reloj y una aceleración angular de 2 rad͞s2 en la dirección
300 mm contraria, ¿cuál es la aceleración angular de la pala?

170 mm B
D C

50Њ x 2 pies 1 pie 6 pulg
A

A DE

5 pies 2 pies Pala
1 pie 6 pulg

Problemas 17.108–17.110 Problema 17.113

17.111 El eslabón AB del brazo robótico mostrado gira con una 17.114 El engrane anular mostrado está fijo y los engranes piñón
velocidad angular constante de 2 rad͞s en sentido contrario al de las y planetario están unidos. La biela tiene una aceleración angular de
manecillas del reloj, y el eslabón BC gira con una velocidad angu- 10 rad͞s2 en sentido contrario al de las manecillas del reloj. Determi-
lar constante de 3 rad͞s en el sentido de las manecillas del reloj. ne las aceleraciones angulares de los engranes planetario y central.
El eslabón CD gira a 4 rad͞s en sentido contrario al de las mane-
cillas del reloj y tiene una aceleración angular de 6 rad͞s2 en la 17.115 La biela de la figura tiene una velocidad angular de 4 rad͞s
misma dirección. ¿Cuál es la aceleración del punto D?
en sentido contrario al de las manecillas del reloj y una aceleración
y angular de 12 rad͞s2 en el sentido de las manecillas del reloj. De-

termine la magnitud de la aceleración del punto A.

Engrane planetario A

300 mm 250 mm Engrane piñón 140 340
30Њ Biela mm mm
B 20Њ
A C D 240 mm
x

250 mm

720 mm

Engrane central

Engrane anular

www.FreeLibros.orgProblema17.111
Problemas 17.114͞17.115

328 Capítulo 17 Cinemática plana de cuerpos rígidos

17.116 En la figura, el engrane grande está fijo. La velocidad y la aceleración angulares de la barra AB son vAB ϭ 2 rad͞s y aAB ϭ 4 rad͞s2.
Determine las aceleraciones angulares de las barras CD y DE.

4 16 pulg 10 pulg
pulg D

BC

4 pulg

10 pulg vAB
A aAB
E

Problema 17.116

A 17.6 Contactos deslizantes

BC ANTECEDENTES
Figura 17.23
Eslabón con un contacto deslizante. En esta sección se considera un tipo de problema que es superficialmente similar a
los que ya se han analizado en este capítulo, pero que requiere un método de solu-
ción diferente. Por ejemplo, en la figura 17.23, el pasador A de la barra conectada
en C se desliza en una ranura de la barra conectada en B. Suponga que se conoce la
velocidad angular de la barra conectada en B y que se desea determinar la velocidad
angular de la barra AC. No puede usarse la ecuación vA = vB + ␻ * rA>B para
expresar la velocidad del pasador A en términos de la velocidad angular de la
barra fija en B, porque se dedujo bajo el supuesto de que A y B son puntos del mismo
cuerpo rígido. Aquí el pasador A se mueve respecto a la barra conectada en B mien-
tras éste se desliza a lo largo de la ranura. Éste es un ejemplo de contacto deslizante
entre cuerpos rígidos. Para resolver este tipo de problemas, se deben volver a dedu-
cir las ecuaciones (17.8), (17.9) y (17.10) sin suponer que A es un punto del cuerpo
rígido.

Para describir el movimiento de un punto que se mueve respecto a un cuerpo
rígido dado, resulta conveniente usar un marco de referencia que se mueva con
el cuerpo rígido. Se dice que tal marco de referencia está fijo al cuerpo. En la
figura 17.24, se presenta un marco de referencia xyz fijo al cuerpo, con su origen

y

A

rA/B

Bx Marco de referencia
secundario (fijo al cuerpo)
rA
z
rB

Figura 17.24 O

Punto B de un cuerpo rígido, marco de Marco de

referencia secundario fijo al cuerpo y punto referencia
primario
www.FreeLibros.orgarbitrarioA.

17.6 Contactos deslizantes 329

en el punto B del cuerpo rígido, además del marco de referencia primario con ori-
gen O. (El marco de referencia primario es el sistema respecto al cual se describe
el movimiento del cuerpo rígido). No se hace el supuesto de que A es un punto del
cuerpo rígido. La posición de A respecto a O es

rA = rB + xi + yj + zk,
('')''*
rA>B

donde x, y y z son las coordenadas de A en términos del marco de referencia fijo al y
cuerpo. El siguiente paso es derivar respecto al tiempo esta expresión a fin de obte-
ner una ecuación para la velocidad de A. Al hacerlo, se reconoce que los vectores
unitarios i, j y k no son constantes puesto que giran con el marco de referencia fijo
al cuerpo:

dx di dy dj dz dk BP x
vA = vB + dt i + x dt + dt j + y dt + dt k + z dt . i

Ahora, ¿cuáles son las derivadas de los vectores unitarios? En la sección 17.3 se z

mostró que si rP>B es la posición de un punto P de un cuerpo rígido respecto a otro Figura 17.25
punto B del mismo cuerpo rígido, drP>B>dt = vP>B = ␻ * rP>B. Como se Interpretación de i como el vector de posición
puede considerar al vector unitario i como el vector de posición de un punto P del de un punto P respecto a B.

cuerpo rígido (figura 17.25), su derivada es di>dt = ␻ * i. Aplicando el mismo

argumento a los vectores unitarios j y k, se obtiene

di = ␻ * i, dj dk = ␻ * k.
dt dt = ␻ * j, dt

Usando esas expresiones es posible escribir la velocidad del punto A como

vA = vB + v(A're'l '+ )␻ '*'r'A>B*, (17.11)
vA>B

donde

dx dy dz (17.12)
vA rel = dt i + dt j + dt k

es la velocidad de A respecto al marco de referencia fijo al cuerpo. Es decir, vA es
la velocidad de A respecto al marco de referencia primario y vA rel es la velocidad
de A relativa al cuerpo rígido.

La ecuación (17.11) expresa la velocidad de un punto A como la suma de tres

términos (figura 17.26): la velocidad de un punto B del cuerpo rígido, la velocidad

␻ * rA>B de A respecto a B debido a la rotación del cuerpo rígido, y la veloci-
dad vA rel de A respecto al cuerpo rígido.

vB A
A ␻ ϫ rA/B

A

vA rel

vB ϩ rA/B ϩ

Figura 17.26
Expresión de la velocidad de A en términos de
la velocidad de un punto B del cuerpo rígido.
B

www.FreeLibros.orgB ␻