Concursos, Vestibulares & ENEM

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 20. Para que fosse feito um levantamento sobre o 22. (ESAF) Em uma determinada semana uma empresa
número de infrações de trânsito, foram escolhidos recebeu as seguintes quantidades de pedidos para os
50 motoristas. O número de infrações cometidas por produtos A e B:
esses motoristas, nos últimos cinco anos, produziu a
seguinte tabela: Produto A 39 33 25 30 41 36 37
Produto B 50 52 47 49 54 40 43
Nº de infrações Nº de motoristas
de 1 a 3 7 Assinale a opção que apresente os coeficientes de
de 4 a 6 10 variação dos dois produtos:
de 7 a 9 15
13 a) CVA = 15,1% e CVB = 12,3%
de 10 a 12 5 b) CVA = 16,1% e CVB = 10,3%
de 13 a 15 0 c) CVA = 16,1% e CVB = 12,3%
maior ou igual a 16 d) CVA = 15,1% e CVB = 10,3%
e) CVA = 16,1% e CVB = 15,1%
Pode-se então afirmar que a média do número de
infrações, por motorista, nos últimos cinco anos, para este 23. (CESGRANRIO) Dos funcionários que trabalham em
grupo, está entre: uma certa empresa, 29% são homens casados, 24%
são mulheres solteiras e 3% são pessoas que não
a) 6,9 e 9,0 são casadas e nem solteiras (por exemplo, viúvas)
b) 7,2 e 9,3 Sabendo-se que 59% dos funcionários são casados
c) 7,5 e 9,6 e que 45% dos funcionários são homens, é correto
d) 7,8 e 9,9 concluir que:
e) 8,1 e 10,2
a) 61% dos funcionários da empresa são solteiros.
21. (ESAF) De posse dos resultados de produtividade b) 54% dos funcionários da empresa são mulheres.
alcançados por funcionários de determinada área c) 30% das mulheres que trabalham na empresa são
da empresa em que trabalha, o Gerente de Recursos
Humanos decidiu empregar a seguinte estratégia: casadas.
aqueles funcionários com rendimento inferior a dois d) 14% dos funcionários da empresa são homens solteiros.
desvios-padrão abaixo da média (Limite Inferior – e) dos funcionários da empresa que não são casados e
LI) deverão passar por treinamento específico para
melhorar seus desempenhos; aqueles funcionários nem solteiros, a metade é mulher.
com rendimento superior a dois desvios-padrão
acima de média 24. (ESAF) Ana possui em seu closet 90 pares de sapatos,
todos devidamente acondicionados em caixas
(Limite Superior – LS) serão promovidos a líderes de numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado a
equipe. Ana quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido
da amiga, Ana retira do closet quatro caixas de
Indicador Frequência sapatos. O número de retiradas possíveis que Ana
0a2 10 pode realizar de modo que a terceira caixa retirada
2a4 20 seja a de número 20 é igual a:
4a6 240
6a8 410 a) 681384
8 a 10 120 b) 382426
Total 800 c) 43262
d) 7488
Assinale a opção que apresenta os limites LI e LS a serem e) 2120
utilizados pelo Gerente de Recursos Humanos.

a) LI = 4,0 e LS = 9,0 25. (ESAF) Marco estuda em uma universidade na qual,
b) LI = 3,6 e LS = 9,4 entre as moças de cabelos loiros, 18 possuem olhos
c) LI = 3,0 e LS = 9,8 azuis e 8 possuem olhos castanhos; entre as moças de
d) LI = 3,2 e LS = 9,4 cabelos pretos, 9 possuem olhos azuis e 9 possuem
e) LI = 3,4 e LS = 9,6 olhos castanhos; entre as moças de cabelos ruivos, 4
possuem olhos azuis e 2 possuem olhos castanhos.
650 Marisa seleciona aleatoriamente uma dessas moças

para apresentar para seu amigo Marco. Ao encontrar O poliedro acima, com exatamente trinta faces MATEMÁTICA
com Marco, Marisa informa que a moça selecionada quadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado como um
possui olhos castanhos. dado, em um jogo.
Com essa informação, Marco conclui que a probabilidade
de a moça possuir cabelos loiros ou ruivos é igual a: Admita que esse dado seja perfeitamente equilibrado e
que, ao ser lançado, cada face tenha a mesma probabilidade
de ser sorteada.

a) 0 Calcule:
a) a probabilidade de obter um número primo ou múltiplo
b) 10
19 de 5, ao lançar esse dado uma única vez;
b) o número de vértices do poliedro.
c) 19
50 31 (UERJ) Um campeonato de futebol será disputado por
20 times, dos quais quatro são do Rio de Janeiro, nas
d) 10 condições abaixo:
50

e) 19
31

(CESPE/UNB) Com relação a probabilidade, I – cada time jogará uma única vez com cada um dos outros;
combinações, arranjos e permutações, julgue os II – todos farão apenas um jogo por semana;
seguintes itens. III – os jogos serão sorteados aleatoriamente.

26. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar Calcule:
3 de seus 6 servidores presenteando cada um deles a) o menor número de semanas que devem ser usadas
com um ingresso para teatro, ele terá mais de 24
maneiras diferentes para fazê-lo. para realizar todos os jogos do campeonato;
b) a probabilidade de o primeiro jogo sorteado ser composto
27. Se uma gaveta de arquivo contiver 7 processos distintos:
3 referentes à compra de materiais hospitalares e 4 por duas equipes cariocas.
referentes à construção de postos de saúde, então,
retirando-se ao acaso, simultaneamente, 3 processos 32. (UNIFESP-2006) As permutações das letras da palavra
dessa gaveta, a probabilidade de que pelo menos PROVA foram listadas em ordem alfabética, como se
dois desses processos sejam referentes à compra de fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A
materiais hospitalares será superior a 0,4. 73ª palavra nessa lista é

28. Sabe-se que, no Brasil, as placas de identificação a) PROVA.
dos veículos têm 3 letras do alfabeto e 4 algarismos, b) VAPOR.
escolhidos de 0 a 9. Então, seguindo-se essa mesma c) RAPOV.
lei de formação, mas utilizando-se apenas as letras d) ROVAP.
da palavra BRASIL, é possível construir mais de e) RAOPV.
600.000 placas diferentes que não possuam letras
nem algarismos repetidos.

29. Se o diretor de uma secretaria do MS quiser premiar 3 33. (UNIFESP) Para ser aprovado num curso, um estudante
de seus 6 servidores presenteando um deles com um precisa submeter-se a três provas parciais durante o
ingresso para cinema, outro com um ingresso para período letivo e a uma prova final, com pesos 1, 1, 2
teatro e o terceiro com um ingresso para show, ele e 3, respectivamente, e obter média no mínimo igual
terá mais de 100 maneiras diferentes para fazê-lo. a 7. Se um estudante obteve nas provas parciais as
notas 5, 7 e 5, respectivamente, a nota mínima que
30. (UERJ) necessita obter na prova final para ser aprovado é

a) 9.

b) 8.

c) 7.

d) 6.

e) 5.

651

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 34. (UNIFESP) Os alunos quartanistas do curso diurno e c) 5,4
do curso noturno de uma faculdade se submeteram d) 5,0
a uma prova de seleção, visando à participação numa
olimpíada internacional. Dentre os que tiraram nota 37. (UEMG) O vencedor da Olimpíada de Matemática de
9,5 ou 10,0 será escolhido um aluno, por sorteio. uma escola estadual poderá escolher, como prêmio,
três livros, entre estes cinco: Álgebra, Geometria,
Nota Diurno Curso Trigonometria, Ângulos e Números. O número de
6 Noturno modos diferentes com que o aluno vencedor poderá
9,5 5 7 escolher três dos cinco livros é igual a
10,0 8
a) 15.
Com base na tabela, a probabilidade de que o aluno b) 10.
sorteado tenha tirado nota 10,0 e seja do curso noturno é:

a) 12 c) 60.
26 d) 120.

b) 6 38. (UERJ) Com o intuito de separar o lixo para fins
14 de reciclagem, uma instituição colocou em suas
dependências cinco lixeiras de diferentes cores, de
c) 4 acordo com o tipo de resíduo a que se destinam:
13 vidro, plástico, metal, papel e lixo orgânico. Sem
olhar para as lixeiras, João joga em uma delas uma
d) 12 embalagem plástica e, ao mesmo tempo, em outra,
52 uma garrafa de vidro.

e) 1
6

35. (UNIFESP) Tomam-se 20 bolas idênticas (ao menos A probabilidade de que ele tenha usado corretamente pelo
na cor), sendo 10 azuis e 10 brancas. Acondicionam- menos uma lixeira é igual a:
se as azuis numa urna A e as brancas numa urna B.
Transportam-se 5 bolas da urna B para a urna A e, a) 25%
em seguida, transportam-se 5 bolas da urna A para a b) 30%
urna B. Sejam p a probabilidade de se retirar ao acaso c) 35%
uma bola branca da urna A e q a probabilidade de se d) 40%
retirar ao acaso uma bola azul da urna B. Então:
39. (FUVEST) Dois dados cúbicos, não viciados,
a) p = q. com faces numeradas de 1 a 6, serão lançados
b) p = 2/10 e q = 3/10. simultaneamente. A probabilidade de que sejam
c) p = 3/10 e q = 2/10. sorteados dois números consecutivos, cuja soma
d) p = 1/10 e q = 4/10. seja um número primo, é de
e) p = 4/10 e q = 1/10.
a) 2
36. (UECE) Num concurso para professores classe A e classe 9
B compareceram 500 candidatos para a categoria A
e 100 para a categoria B. Na prova de Matemática a b) 1
média aritmética de todas as notas foi 4. Considerando 3
apenas a categoria A, a média caiu para 3,8. Nestas
condições, a média das notas para a categoria B foi c) 4
9
a) 6,2
b) 5,8 d) 5
9

e) 2
3

652

MATEMÁTICA

Respostas: 10) b 21) e 31) a) 19 b) 3
11) e 22) b 95
1) c 12) c 23) d 32) e
2) d 24) a 33) a
3) a 13) c 25) b 34) c
5 2 26) f
4) e 14) a) 6 b) 3 27) f 35) a
28) v
5) a 15) b 29) v 36) d
5 4 6305 16) d
6) a) 18 b) 9 c) 6561 17) 120 37) b
38) c
7) d 18) b 39) a
8) e 30) a) 1 b) v=32
9) d 19) a 2
20) a
653

MATEMÁTICA

BLOCO 7

TRIGONOMETRIA

INTRODUÇÃO OOAA1, em que OA1 é o cateto adjacente ao ângulo q e OA é
aârenlmgauçelãdooidqOAa. AAAd11ar=ehlaOBipçBBão11ote=tnauOCnsCCgae11 ndretoeceterbinâevnuoglvuoelonaorsmetmeânedgdeuidltoaasnAgdOeoAns1t;edeodiaos
Inicialmente, discutiremos a Trigonometria no triângulo catetos do triângulo retângulo, ou seja, tg q OAAA11.
retângulo, depois em um triângulo qualquer e por fim o
ciclo trigonométrico. Ao discutir o ciclo trigonométrico, Simbolicamente temos que:
trataremos também das funções, das identidades e das
equações e inequações trigonométricas. sen a = b
a
A trigonometria, no seu início, tinha relação muito mais
forte com a Astronomia do que com a Matemática. Era e cos a = c
ainda é um instrumento importante para analisar os astros. d
Foi por meio de conceitos trigonométricos que o Homem
foi capaz de diferenciar as diferentes fases da Lua e, por tg a = b
conseguinte, as diferentes estações do ano, primavera, c
verão, outono e inverno. Os povos da mesopotâmia, como
babilônios e sumérios, foram os primeiros a tratar desta Se dividbirmos sen a por cos a obtemos a tg a, ou seja,
questão. a
sen a = c = b · a = b tg a.
A trigonometria é um campo da matemática que estuda os cos a a c c
triângulos, particularmente os triângulos retângulos. a
E se o triângulo não for retângulo, é possível estabelecer
A TRIGONOMETRIA DO TRIÂNGULO RETÂNGULO alguma relação entre o ângulo e as medidas dos lados? É
possível em um triângulo qualquer ABC de lados BC, AC e
pCseoCOmi1ss. etpErlohimâsansngoutueuelstmor,saposAosOipsmAao1el,aâsBvnmrOgaouBssl1,oâeoÔnsCgéOutrclCoioâ1smns. gOãuuomslottarsriiââtsonnãdggoouusllsooeessmArreeAett1lââh//nnaBggnuuBtell1oo/sss/, AB, que medem respectivamente a, b e c e com ângulos
ABO1 Ae1C, B1.OB1 e COC1 são retângulos, respectivamente, em Â1, internos Â, B e C, estabelecer as seguintes as relações:

a2 = b2 + c2 – 2b · c · cos Â

b2 = a2 + c2 – 2a · c · cos B

c2 = a2 + b2 – 2a · b · cos C

Essas relações são chamadas lei dos cossenos.

Pelo fato deles serem semelhantes sabemos que as Demonstração:
medidas dos lados não homólogos são proporcionais, logo,
AA1 BB1 CC1
OA = OB = OC . Esta relação depende apenas do ângulo

q e não dos comprimentos envolvidos. Os matemáticos
chamaram esta relação em função do ângulo q, para q
compreendido entre 0º e 90º, de seno de q, ou seja, sen
hqip=oOAteAAn1.uOsaladdootrAiâAn1 géuolocraetteâtnogouplooAstOoAa1.o ângulo q e OA. é a

Outras duas relações podem ser extraídas, são elas:

OA1 = OB1 = OC1 e dOAeAA11c=osOBsBBe11n=o OCdCCo11.âAnrgeulalçoãoq,OOoAAu1 = OB1 = OC1
OA OB OC OB OC
recebeu o nome seja, cos q

654

Em relação à figura acima temos, que b = m + n e o que nos permite escrever b = abc e c = abc . MATEMÁTICA
m sen B 2S sen C 2S
cox  = c Þ m = c · cos Â.
Portanto, em qualquer triângulo ABC, vale a relação
Utilizando o teorema de Pitágoras, encontramos para o a b c
∆BCD a relação a2 = h2 + n2 (I) e para o ∆BAD a relação sen = sen = sen C.
 B
c2 = h2 + m2 .
S ubsti tuind on =b– mm)e2h2→= c2 – m2 em (I), encontramos
a2 = c2 – m2 + (b – a2 = c2 – m2 + b2 –2bm + FICHA 1 – O CICLO TRIGONOMÉTRICO

m2 → a2 = b2 + c2 – 2bm. Ao substituir m por c · cos
Â, encontramos a expressão a2 = b2 + c2 – 2b · c · cos
Â. Esta expressão é denominada Lei dos Cossenos. A Agora que já discutimos as relações trigonométricas
partir da mesma ideia podemos mostrar que também em um triângulo retângulo e em um triângulo qualquer, o
são verdadeiras as expressões b2 = a2 + c2 – 2a · c · cos B e próximo passo é apresentar o ciclo trigonométrico. Para
c2 = a2 + b2 – 2a · b · cos C. isso, tomemos uma circunferência cortada por duas retas
Portanto, a Lei dos Cossenos é uma relação que envolve perpendiculares, com centro na intersecção das retas e de
o lado de um triângulo, seu ângulo oposto e os lados que raio unitário.

formam este ângulo. Da mesma forma que existe a Lei
do Cossenos, podemos mostrar que há a Lei dos Senos.
A Lei dos Senos diz que dado um triângulo qualquer ABC,
os comprimentos dos lados são proporcionais aos senos
a b c
dos ângulos opostos, ou seja, sen  = sen B = sen C.

A demonstração que iremos fazer foi extraída do livro

Trigonometria e Números Complexos1. A área do triângulo
abl2t· uhr.a
ABC abaixo é dada por S = Como já é do seu
conhecimento, para calcular a (h), que é o cateto

oposto ao ângulo Â, podemos nos valer da relação sen  = As duas retas dividem a circunferência em quatro partes,
b · c · sen Â, e cada uma delas recebe o nome de quadrante. Ao dividir a
h Þ h = sen  · c.Logo, S∆ ABC = 2 ou melhor, S∆ ABC circunferência em quatro partes iguais, dividimos também o
c ângulo dela em quatro partes iguais, ou seja,
1
= 2 b · c · sen Â.

A área encontrada é válida para qualquer triângulo 1º Quadrante: 02197º800<0º ºº<q<<q<qq<9<<013º286o70u00º ººo0oou<uu2pqp32<p<<q<2pq<q<p<32p2p
(retângulo, acutângulo, obtusângulo). 2º Quadrante:
3º Quadrante:
4º Quadrante:

Demonstração: O ponto P que aparece na figura tem coordenadas (x,y). O
eixo das abscissas (eixo x) determina o valor do cosseno do
Inicialmente multiplicamos por a ambos os lados da ângulo q, enquanto o eixo das ordenadas (eixo y) determina o
expressão valor do seno do ângulo q.Mas por quê?

aS = 1 abc · sen Â Þ a  = abc Como o sentido adotado para o crescimento do ângulo é
2 sen 2S o anti-horário, então no primeiro quadrante o ponto P tem
coordenadas (x,y); no segundo quadrante (-x,y); no terceiro
Por raciocínio inteiramente análogo, temos ainda para a quadrante (-x,-y); e no quarto quadrante (x,-y). Assim sendo,
área do triângulo ABC as expressões o cosseno de q será positivo no primeiro e no quarto
quadrantes e negativo no segundo e no terceiro quadrantes;
S∆ ABC =21 = a · c · sen B já o seno de q será positivo no primeiro e segundo quadrantes
e e negativo no terceiro e quarto quadrantes.

O teorema de Pitágoras, aplicado ao ciclo trigonométrico,
dá a relação fundamental sen2 q + cos2 q = 1.

A figura a seguir mostra outras duas relações
trigonométricas conhecidas. A tangente do ângulo q,
representada, no ciclo trigonométrico, por uma reta paralela
ao eixo y e a cotangente do ângulo q, representada, no ciclo
trigonométrico, por uma reta paralela ao eixo x.

S∆ ABC =12 = a · b · sen C 655

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Agora calculamos o seno de a, que é igual a sen a = OB =
o cosseno de a, que é igual a cos a = OA = x OP
y = y; e OP 1 = x.
1

AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

Com a criação do cálculo infinitesimal, surgiu a
necessidade de atribuir às relações trigonométricas seno,
cosseno, tangente e as auxiliares cossecante, secante
e cotangente a condição de função real de uma variável
real. Desse modo, da mesma forma que associávamos o
seno a um ângulo qualquer, neste momento, passa-se a
definir o seno de um número real x. Ao fazer isso, definimos

a função f: A→A , ou seja, f(x) = sen(x). Analogamente,
x ↦ sen(x)
temos as funções cosseno, tangente, cotangente, secante e
cossecante de um número real x, que completa as funções
trigonométricas.
É importante destacar que a tangente de q é determinada Uma propriedade fundamental das funções trigonométricas
sen q é a sua periodicidade, ou seja, as funções trigonométricas
pela expressão tg q = cos q e a cotangente de q pela são periódicas. Por isso, as funções trigonométricas são
tg1q, temos outras duas frequentemente utilizadas para descrever fenômenos
expressão ctg q = 1 = sen q. periódicos, oscilatórios ou vibratórios.
tg q cos q

Da mesma forma que ctg q = É importante destacar que uma função é denominada
periódica quando existe um número T ¹ 0 tal que f(x + T) =
relações trigonométricas importantes, que são a secante f(x), para qualquer x Î A. Se isto ocorre, então f(x + aT) f(x)
de um ângulo e a cossecante de um ângulo. A secante de para qualquer x Î A e a Î A. Para definirmos o período T, é
1 preciso encontrar o menor número T > 0, para qualquer x Î
um ângulo é definida pela expressão sec q = cos q, e a A. Assim, se f(x) = sen(x), para qual valor T > 0,teremos f(x +
T) = sen(x + T) = sen(x)? Observando o ciclo trigonométrico
cossecante de um ângulo pela expressão cos sec q = 1 q. acima, você perceberá que o período, tanto para a função
sen seno como para a função cosseno, é de 2p, ou seja, f(x +
2p) = sen (x + 2p) = sen(x) = 0.
ALGUMAS IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Da relação fundamental sen2 q + cos2 q = 1, se dividirmos As funções trigonométricas seno e cosseno podem ser
ambos os membros por cos2 q, encontramos a identidade classificadas segundo a sua paridade, ou seja, em par ou
1 1 ímpar. Uma função f: A → A considerada par quando se tem
sen2 q + sen2 q + cos2 q Þ tg2 q + 1 = cos2 q Þ tg2 q + 1 sec2 q f(– x) = f(x), para qualquer x Î A. Se f(– x) = –f(x) v x Î A,
cos2 q cos2 q
então a função f chama-se ímpar.
Retomando a pergunta sobre por que o eixo das abscissas
determina o valor do cosseno do ângulo q e o eixo das
ordenadas determina o valor do seno do ângulo q, observe A função seno
a figura acima. A função seno de x é uma função periódica de período 2p
e ímpar, pois sen(–x) = –sen(x). O domínio da função f(x)
Resposta: = sen(x) é o conjunto dos números reais e o seu conjunto
imagem é o intervalo [-1,1].
Os pontos A e B que aparecem na figura acima possuem
coordenadas (x,0) e (0,y), respectivamente, pois estão sobre A representação gráfica da função y = sen(x) é:
os eixos x e y; o ponto O é a origem do sistema de coordenadas
e por isso tem coordenadas (0,0). Se calcularmos a diferença
entre os pontos A e O, encontraremos o ponto OA = A – O
= (x,0) – (0,0) = (x,0); se calcularmos a diferença entre os
pontos B e O, encontraremos o ponto OB = B – O = (0,y) –
(0,0) = (0,y). A distância entre os pontos P e O vale um, pois
a corda que temos entre os dois pontos é justamente o raio,
que é unitário.

A diferença x – 0 = x; e a diferença y – 0 = y, logo a
distância entre os pontos A e O mede x; e a distância entre
os pontos B e O mede y. Mais para frente apresentaremos
outra maneira de calcular a distância entre dois pontos. Por
ora, basta o que fizemos!

656

A função cosseno AS FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS COTANGENTE, SECANTE E MATEMÁTICA

A função cosseno de x é uma função periódica de período COSSECANTE
2p e par, pois cos (–x) = cos (x). O domínio da função f(x)
= cos (x) é o conjunto dos números reais e o seu conjunto As funções cotangente de x, secante de x e cossecante
imagem é o intervalo [-1,1].
de x são denominadas funções auxiliares. A função cotg(x)
A representação gráfica da função y = cos (x) é:
= 1 = cos(x) é definida para todo x pertencente ao
tg(x) sen(x)
conjunto dos números reais, exceto para os valores que

anulam a função sen(x), ou seja, D [cotg(x)] = {x Î A | x ¹
kp: k Î ‫}ޚ‬. O conjunto imagem da função cotangente é o
conjunto dos números reais.

A representação gráfica da função cotg(x) é:

Outras funções trigonométricas

Das funções sen(x) e cos(x) encontramos as funções:

tg(x) = sen(x) , cotg(x) = sen(x)
cos(x) cos(x)
1 1
sec(x) = cos(x) e cos sec(x) = sen(x)

A função tangente A função sec(x) = 1 é definida para todo x pertencente
cos(x)
sen(x) ao conjunto dos números reais, exceto para os valores
Destas funções a mais importante é a tg(x) = cos(x) . A
que anulam a função cos(x), ou seja, D [sec(x)] = x Î A |
função tangente não é definida para todo número real,
pois; neste caso, o domínio da função tangente de x é todo
x ¹ k + 2p: k Î ‫ ޚ‬. O conjunto imagem da função secante é
número real menos os múltiplos ímpares de 2p, ou seja, D determinado por Im[sec(x)] =]– ¥, –1] È ]1, + ¥[.
[tg(x)] = x Î A | x ¹ k + 2p: k Î ‫ ޚ‬. Já o conjunto imagem da
função f(x) = tg(x) é o conjunto dos números reais. O domínio da função cos sec(x) = 1 é igual ao da
sen(x)
função cotg(x), ou seja, D [cossec(x)] = {x Î A | x ¹ kp: k Î
‫ }ޚ‬e o seu conjunto imagem é o mesmo da função, isto é,
Mesmo a função tangente de x não estando definida para Im[cos sec(x)] =]– ¥, –1] È ]1, + ¥[.
todo número real x, ela é periódica, porém de período p,
pois tg(x + p) = tg(x), para todo x pertencente ao domínio A representação gráfica da função sec(x) é:
da função.

A representação gráfica da função

A representação gráfica da função cos sec(x) é:

657

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Resumindo as informações sobre as funções
trigonométricas

Função Período Domínio Apesar de ainda não termos discutido os conceitos
relacionados à Geometria Analítica, é necessário
sen(x) 2p A inserir um deles, que é o da distância entre dois pontos.
cos(x) 2p Sendo assim, a distância de dois pontos é dada por:
A d(A,B) = √(xB – xA)2 + (yB – yA)2.
tg(x) p x Î A | x ¹ k + 2p: k Î ‫ޚ‬
Logo, a distância entre os pontos B e C é encontrada por:
cotg(x) p x ¹ kp: k Î ‫ޚ‬ d(A,B) = √(cos(a) – cos(b)2 + (sen(a) – sen(b))2.
x Î A | x ¹ k + 2p: k Î ‫ޚ‬
sec(x) 2p Para facilitar a simplificação, substituiremos d(B,C) por d,
x ¹ kp: k Î ‫ޚ‬ assim, d = √(cos(a) – cos(b))2 + (sen(a) – sen(b))2 Þ
cos sec(x) 2p
Þ d2 = (cos(a) – cos(b))2 + (sen(a) – sen(b))2 Þ
Função Imagem Sinal Þ d2 = cos2 a – 2 cos(a) · cos(b) + cos2 b Þ
1ºQ 2ºQ 3ºQ 4ºQ Þ d2 = –2cos(a) · cos(b) –2sen(b) · sen(b) Þ
sen(x) [-1,1] ++ - - Þ + sen2a + cos2a +sen2b + cos2b Þ
cos(x) [-1,1] +- -+ Þ d2 = –2cos(a) · cos(b) –2sen(b) · sen(b) + 2.
tg(x) +-+-
cotg(x) A Se rotacionarmos os eixos coordenados de um ângulo b
sec(x) +-+- em torno da origem, no sentido anti-horário, os pontos B
cos sec(x) A e C passam a ter, respectivamente, as coordenadas (1,0)
]– ¥, –1] È ]1, + ¥[ +- -+ e (cos(a – b), sen(a – b)). A figura a seguir nos ajudará a
]– ¥, –1] È ]1, + ¥[ perceber isto.
++ - -

Para terminar o capítulo sobre trigonometria, falaremos
das fórmulas da adição e da diferença de dois arcos,
cujas funções são conhecidas, e de algumas equações
trigonométricas que, naturalmente, aparecem na solução
de situações da geometria quando a incógnita escolhida é
um ângulo.

AS FÓRMULAS DA ADIÇÃO E DA DIFERENÇA

O cosseno da diferença (cos(a–b)) Por meio da figura, percebemos que a medida do ângulo
O ciclo trigonométrico desenhado a seguir nos ajudará BÔC = (a – b). Calculando novamente a distância entre os
a encontrar as fórmulas da adição e da diferença que pontos B e C, encontramos:
desejamos. Neste ciclo estão determinados os pontos A,
B e C, que formam os arcos AB e AC, cujas medidas são d = √(cos(a – b) – 1)2 + (sen(a – b) – 0)2 Þ
med(AB) = b e med (AC) = a. Os pontos A, B e C possuem, Þ d2 = cos2 (a – b) – 2cos(a – b) + 1 + sen2 (a – b) Þ
respectivamente, as coordenadas (1,0), (cos(b), sen(b)) e Þ d2 = cos2 (a – b + sen2 (a – b) – 2 cosw (a – b) + 1 Þ
(cos(a), sen (a)).

658

Þ d2 = 2 – 2 cos (a – b) tg(a – b) = 1t+g(tag)(–a)t·gt(gb()b). MATEMÁTICA
Igualando-se d2 = 2 – 2cos(a – b) com d2 = –2cos(a) · cos(b)
– 2sen(a) · sen(b) + 2, obtemos: Não podemos nos esquecer que a ≠ p + kp, b ≠ p + kp e
2 – 2 cos(a – b) = –2cos(a) · cos(b) – 2sen(a) · sen(b) + 2 2 2
Dividindo-se ambos os membros da igualdade por (-2), p
encontramos que o cosseno da diferença de dois arcos é (a –b) ≠ 2 + kp, k Î ‫ޚ‬.
igual a cos(a – b) = cos(a) · cos(b) + sen(a) · sen(b) .
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

O cosseno da soma (cos (a + B)) Resolver uma equação trigonométrica consiste em
Escrevendo cos(a + b) = cos[a – [–b]] = cos(a) · cos(–b) pdeorteerxmeimnaprloo,ssveacloorse(sx)p=ar21a, os quais a igualdade é verificada,
+ sen (a) · sen (–b). Como é do nosso conhecimento que então para o intervalo de 0 ≤ x ≤
cos(–b) = –sen(b), então cos(a+b) = cos(a) · cos(b) =
sen(a) · sen (b). 2p, temos que e x2 = 53p.

O seno da soma SEN (a+ b) As equações fundamentais
As equações sen(x) = sen(a), cos(x) = cos(a) e tg(x) = tg(a) são
Utilizando o que conhecemos da trigonometria, podemos consideradas fundamentais, pois a maioria das equações
trigonométricas se reduz a uma dessas equações. Apenas
dizer que sen(a + b) = cos p – (a + b) pois senb = cos p – b , para variar, iremos examinar para que valores sen(x) =
2 2 sen(a) e nada mais. Para que sen(x) = sen(a), é necessário e
suficiente que as extremidades dos arcos x e a coincidam ou
uma vez p e b são arcos complementares. que sejam simétricos em relação ao eixo das ordenadas. No
2 caso de coincidirem x º a, e no caso da simetria em relação
ao eixo y, x º p – a. Sendo assim, sen(x) = sen(a) se x = a =
Escrevendo sen(a + b = cos p – a –b encontramos sen(a 2kp ou x = (p – a) + 2kp.
2 Exemplificando: Encontre os valores de x, entre 0 ≤ x ≤ 2p,
que satisfazem à equação trigonométrica sen(4x) = sen(x).
+ b) =cos p – a cos(b) + sen p – a sen(b). Temos ainda,
2 2
p
pelo fato dos arcos serem complementares, cos 2 – a =
sen(a).

Logo, sen(a + b) = sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a). Usando a ideia apresentada acima, temos que

O seno da diferença sen(a – b) 4x = x + 2kp Þ 3x = 2kp Þ x = 2kp
Com o mesmo artifício da demonstração do cos(a + b), 3
podemos escrever que sen (a – b =sen[a + (–b)]. Utilizando ou
a fórmula do seno da soma obtida acima, temos que sen(a 2k
– b) = sen(a) cos(–b) + sen(–b) cos(a). Daí, como cos(–b) = 4x = (p – x) + 2kp Þ 5x = p (1 + 2k) Þ x = p + 3
cos(b) e sen(–b) = –sen(b), obtém-se que sen(a – b) = sen(a) 5
cos(–b) – sen(–b) cos(a).
Mais um exemplo: Encontre o conjunto solução da equação
2tg2x + sec2x = 2.
Solução: Utilizando a identidade sec2x = 1 + tg2x.
encontramos:
A partir das demonstrações feitas acima, podemos 2tg2x + sec2x = 2 Þ 2tg2x + 1 + tg2x = 2 Þ
deduzir as fórmulas da tangente da soma a para a tangente
da diferença. ttgg(2xx)==31±Þ√13tg· ·√(√x3)3=Þ± tg(x) = ± √33.
É do nosso conhecimento que a Þ 1 = tg(x) =
sen(a + b) sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) √3tg2x = 1 Þ 3 ± 1 Þ
tg(a + b) = cos(a + b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b) . √3

Dividindo-se a equação por cos(a) cos(b) temos: Þ tg(x) = ± 1· √3 Þ tg(x) = ± √33 .
√3 · √3
sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a)
cos(a) cos(b) Analisaremos primeiro a equação tg(x) = √33. Os arcos cuja
tg(a + b) = cos(a) cos(b) – sen(a) sen(b) Þ √3 no primeiro e terceiro quadrantes
tangente valem 3 estão
cos(a) cos(b)
p 76p.
sen(a) cos(b) + sen(b) cos(a) e são respectivamente 6 e Para a equação tg(x) = –
cos(a) cos(b) + cos(a) cos(b)
Þ sen(a) cos(b) sen(b) cos(a) = tg(a) + tg(b) Þ r√e33sp, oesctaivracomseenstteão56npo segundo e quarto quadrantes e valem
cos(a) cos(b) cos(a) cos(b) 1 – tg(a) tg(b) e 161p. Juntando as duas respostas

Logo, tg(a + b) = tg(a) + tg(b) . temos que na primeira volta da circunferência os arcos cuja
1 – tg(a) tg(b) √3 56p, 7p 11p
tangente valem ± 3 são 6p, 6 e 6 E na segunda,
Analogamente, podemos deduzir que
terceira, quarta voltas, quais seriam os valores dos arcos
659

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM =qu√e33sastãisofadzeetemrmaineaqduoasçãpoeltag(exx)p=re±ss√ã33o? Os arcos cuja tg(x) Usando a mesma ideia do exemplo anterior, para cos x = 21,
; os os arcos estão no primeiro e no quarto quadrantes e valem
p + kp, k Î ‫ޚ‬ 53p; 1
6 respectivamente p e para cos(x) = – 2 os arcos estão no
√3 3
arcos cuja tg(x) = – 3 são determinados pela expressão segundo e no terceiro quadrantes e valem respectivamente

5p + kp, k Î ‫ޚ‬ ; 2p e 43p. Os resultados encontrados valem para a primeira
6 3

Um último exemplo: Para que valores reais a equação volta no ciclo trigonométrico. Se desejarmos saber o valor
3 cos2 x = sen2 x é verdadeira? 21,
do arco que satisfaz e equação cos(x) = ± numa volta
qualquer, a resposta será dada por:
Solução: Utilizando a identidade sen2 x = 1 –cos2 x,
encontramos: 1 p –3p
3cos2x = sen2x Þ 3cos2x = 1 – cos2x Þ S1 = cos x = 2 | "x Î ‫ޒ‬: x = 3 + 2kp e x = + 2kp, k Î ‫ޚ‬

Þ 4cos2x = 1 Þ cos2x = 1 Þ cos x = ± √1 Þ cos x = ± 12. S2 = cos x = 1 | "x Î ‫ޒ‬: x = 2p + kp e x = –23p + 2kp, k Î ‫ޚ‬
4 √4 2 3

660

MATEMÁTICA

BLOCO 7

EXERCÍCIOS

1. (CEFET) Para estimar a medida do ângulo α do 4. (FUND. MED. JUNDIAÍ) Inúmeros incêndios de grandes
triângulo retângulo da figura 1, o único recurso de que proporções são causados pela queda de balões.
um estudante dispõe é o gráfico, em escala, da função Preocupadas com o risco, empresas de um polo
f(x) = tg x. petroquímico mantêm vigilantes preparados para abater
os balões ainda no ar, antes que eles possam causar
danos. A figura, cujas medidas estão em metros, mostra
um balão que estava a uma distância y do topo de uma
torre quando foi abatido por um jato de água de alta
pressão, originário do ponto A. No momento em que foi
abatido, o balão estava a uma distância (y) do topo da
torre de, aproximadamente,

Usando π = 3,14 e o recurso gráfico disponível, α pode ser
estimado, aproximadamente, em

a) 47º. a) 60 √2m
b) 51º. b) 60 √3m
c) 57º. c) 60 (√3 – 1)m
d) 60º. d) 60 (√2 – 1)m
e) 63º. e) 90 (√3 – 1)m

2. (FUVEST) Determine os valores de x no intervalo ]0,2 π[ 5. (UFRJ) O triângulo ABC da figura a seguir tem
para os quais cos x ≥ 3 sen x + 3. ângulo reto em B. O segmento BD é a altura relativa
a AC. Os segmentos AD e DC medem 12 cm e 4 cm,
3. (FUND. MED. JUNDIAÍ) A equação 2cos α = √3 determina respectivamente. O ponto E pertence ao lado BC e
a medida do ângulo α no 1.º quadrante de um círculo BC = 4EC.
de raio 4 cm. A área do setor circular é

a) 4 π cm². Determine o comprimento do segmento DE.

b) 92π cm². 6. (FUVEST) Sabe-se que x = 1 é raiz da equação (cos2 α)
c) 3 π cm². 3
x2 – (4 cos α sen β) x + 2 sen β = 0 sendo α e β os
d) 83π cm².
e) 43π cm².

661

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM ângulos agudos indicados no triângulo retângulo da 10. (ITA) A soma de todas as soluções distintas da
figura abaixo. Pode-se então afirmar que as medidas equação cos 3x + 2cos 6x + cos 9x = 0; que estão no
de α e β são, respectivamente,
intervalo 0 ≤ x ≤ 2p, é igual a
a) p e 3p a) 2p
8 8
3p b) 23 p
b) p e 3 12
6 c) 69p

c) p e p d) 67p
4 4

d) p e p e) 13
3 6 12
3p p
8 p
e) e 8

11. (ITA) Determine todos os valores α Î –2p, p tais que
2
a equação (em x) x4 – 24√3x2 + tgα = 0 admita apenas
raízes reais simples.

Texto para as questões 12 e 13.

7. (FUVEST) Na figura abaixo, O é o centro da circunferência (SENAC) A partir do instante em que uma aeronave atinge
de raio 1, a reta AB é secante a ela, o ângulo β mede a altura de 50 pés (aproximadamente 15 m) sobre a
60º e sen α = √43. pista, ela deve manter um ângulo de 3° até tocar a
pista. Chama-se distância de pouso o comprimento
a) Determine sen OÂB em função de AB. correspondente a 60% do comprimento total da pista
b) Calcule AB. disponível para aterrissagem.

(Aero Magazine n.o 159. Adaptado)

12. Se a distância de pouso necessária para uma
aeronave é de 1800 m, o comprimento total da pista
disponível para aterrissagem, em quilômetros, é
igual a

8. (FUVEST) A medida x, em radianos, de um ângulo a) 2,6.
b) 2,7.
satisfaz p < x < p e verifica a equação sen x + sen 2x + c) 2,8.
2 d) 2,9.
sen 3x = 0. Assim, e) 3,0.

a) determine x. 13. A partir do instante em que a aeronave atinge a altura
b) calcule cos x + cos 2x + cos 3x. de 15 m sobre a pista, se o pouso for realizado de
acordo com os parâmetros indicados no texto e na
9. (ITA) O conjunto imagem e o período de f(x) = 2sen2 figura, ela percorrerá, até tocar o solo, a distância, em
(3x) + sen (6x) – 1 são, respectivamente, metros, de

a) [-3,3] e 2p Adote: sen 3º= 0,05

b) [-2,2] e 2p a) 260.
3 b) 280.
c) 290.
c) [√2, √2] e p d) 300.
2 e) 310.

d) [-1,3] e p
3
2p
662 e) [-1,3] e 3

14. (SENAC) Um prédio possui um andar térreo e dez d) 15√3 MATEMÁTICA
andares com apartamentos. A distância entre as 3
bases de dois andares consecutivos de apartamentos
é 3 m. Uma luneta, colocada no plano do solo onde 17. (UEMG) Considere um canteiro em forma de um triângulo
está apoiado o prédio, aponta para a base do 5º retângulo ABC, reto em B, dado na figura abaixo em que
andar, formando um ângulo de 30º com a horizontal. as medidas dos seus lados são: x, x – 2 e x + 2. Os lados
Se essa luneta tem altura desprezível e está a 30 m x, x – 2 e x + 2 do canteiro estão em metros.
da base do térreo, a distância entre as bases do térreo
e do 1º andar, em metros, é, aproximadamente, igual
a

Dados: √3 ≈ 1,7

Seno Cosseno Tangente

30º 1 √3 √3
22 3

a) 5,0. Para cercar esse canteiro com arame farpado, serão
b) 4,7. necessários (comprar)
c) 4,3.
d) 4,0. a) 48 metros (de arame farpado).
e) 3,3. b) 24 metros (de arame farpado).
c) 32 metros (de arame farpado).
15. (UECE) O conjunto-imagem da função f : A → A, definida d) 44 metros (de arame farpado).
por f(x) = 2cos 2x + cos2 x, é o intervalo:
18. (UFABC) O subconjunto A do intervalo [0,2 π´], onde
a) [-2, 2] sen x ≤ 0 e cos x ≥ 0 para todo x em A, é:
b) [-2, 1]
c) [-2, 3]
d) [-2, 0]

16. (UEMG) Considere a figura a seguir:

a) 0, π
2

b) 2π, π

c) [π, 2 π]

d) 3π , 2π
2

e) [0, π]

19. (UFABC) Na Austrália, vários anos seguidos de secas
impiedosas intensificaram a incidência de incêndios
florestais. Para observar eventuais incêndios em uma
reserva, duas torres e(T1deisTta2)nftoersam6 instaladas, ambas
na mesma altitude km uma da outra.
Um clarão anunciou um foco de incêndio (ponto I),
Sabendo que a distância AB mede 30 metros e o ângulo θ é qecouénefooérbmosbeesremvarovdasodtrodaadaatfoigtrourrerraeT. 2T,1,ssoobbuumm ângulo de 60°,
igual a 60°, a altura h do edifício, em metros, corresponde a ângulo de 30°,
a) 15

b) 15√3

c) 15√2
3
663

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 22. (UFTM) Se sen x + cos x = 1 e sen 2x = – 2245 , com 1 ≤
n 2

x < π e n > 0, então n é igual a

Desprezando-se as alturas das torres e supondo-se que os a) 1
cpaodnatousmT1a,Td2aesI sejam coplanares, determine a que distância b) 2
torres está do foco do incêndio. c) 3
d) 4
e) 5

20. (UFSCAR) As coordenadas dos vértices do triângulo 23. (UNCISAL) Sabendo-se que sen x = √6 com π < x <
ABC num plano cartesiano são A(–4, 0), B(5, 0) e C(sen 3 2
π, pode-se concluir que o valor de cos x é
θ, cos θ). Sendo θ um arco do primeiro quadrante
da circunferência trigonométrica, e sendo a área do
94,
triângulo ABC maior que o domínio de validade de a) √3
θ é o conjunto 3
√2
a) 3π, π b) 3
2
c) √2
6π, π
b) 3 d) –√2

c) 0, π e) – √3
6 3

d) 0, π 24. (VUNESP) Num determinado ambiente convivem duas
4 espécies, que desempenham o papel de predador (C)
e de presa (H). As populações dessas espécies, em
e) 0, π milhares de indivíduos, são dadas pelas seguintes
3 equações:

21. (UFTM) Na figura, na qual estão representados os C(t) = 1 + 1 cos √2t + π
gráficos das funções f(x) = x · sen2 x e g(x) = x · cos2 x, 2 2
P é um ponto onde os dois gráficos se interceptam.

H(t) = 1 + 1 sen √2t + π
2√2 4
onde t é o tempo em meses. Determine qual a
duração do ciclo de crescimento e decrescimento
das populações, isto é, a cada quanto tempo as
populações voltam, simultaneamente, a ter as
mesmas quantidades de indivíduos de t = 0.

Se k é a abscissa do ponto P, então o valor de f(2k) é igual a 25. (VUNESP) A temperatura, em graus Celsius (ºC), de
uma câmara frigorífica, durante um dia completo, da
a) 5π 0 hora às 24 horas, é dada aproximadamente pela
2 função: f(t) = cos 1π2t + cos 6πt , 0 ≤ t ≤ 24, com t em
horas. Determine:
b) 3π
2 a) a temperatura da câmara frigorífica às 2 horas e às 9
horas (use as aproximações √2 = 1,4 e √3 = 1,7;
c) 3π
8 b) em quais horários do dia a temperatura atingiu 0 ºC.

d) 3π√2 26. (VUNESP) A figura mostra a órbita elíptica de um
4 satélite S em torno do planeta Terra. Na elipse estão
assinalados dois pontos: o ponto A (apogeu), que é
e) 0 o ponto da órbita mais afastado do centro da Terra,
e o ponto P (perigeu), que é o ponto da órbita mais
664 próximo do centro da Terra. O ponto O indica o centro

da Terra e o ângulo PÔS tem medida α, com 0º ≤ α ≤ MATEMÁTICA
360º.

A soma das distâncias de P à reta e de P à senoide é:

A altura h, em km, do satélite à superfície da Terra, a) 12 + 2π
5
13 + 2π
dependendo do ângulo α é dada aproximadamente pela b) 5
7.980
função h = –64 + 100 + 5 cos α x 102. c) 14 + 2π
5
Determine: 15 + 2π
d) 5

a) A altura h do satélite quando este se encontra no perigeu e) 16 + 2π
e também quando se encontra no apogeu. 5

b) os valores de α, quando a altura h do satélite é de 1 580 29. (UNIFESP) Considere as funções dadas por f(x) = πx e
km. 2

27. (UFG) Dois observadores, situados nos pontos A e B, g(x) = ax + b, sendo o gráfico de g fornecido na figura.
a uma distância d um do outro, como mostra a figura
abaixo, avistam um mesmo ponto no topo de um
prédio de altura H, sob um mesmo ângulo θ com a
horizontal.

O valor de f(g–1 (2)) é:

a) √2
4
1
b) 2

Sabendo que o ângulo CBA também mede θ e c) √2
desconsiderando a altura dos observadores, a altura H do 2
prédio é dada pela expressão: √3
d) 2
d θ
a) H = 2 · sen 2 · cos θ e) 1

b) H = d · cos θ · sen θ 30. (UNIFESP) Sabe-se que, se b > 1, o valor máximo da

c) H = d · tg θ sen θ expressão y – yb, para y no conjunto A dos números
2 1
1
d) H = d · tg θ sec θ reais, ocorre quando y = b b – 1. O valor máximo que
2
θ a função f(x) = sen(x) sen(2x) assume, para x variando
e) H = d · sen 2 · sec θ em A, é

28. (UNIFESP) Considere a reta de equação 4x – 3y + 15 a) √3
3
2√3
= 0, a senoide de equação y = sen x e o ponto P 2π, 3 , b) 3
conforme a figura.
c) 3
4 665

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM d) 4√3 a) f(x) é periódica de período 2π.
9
e) 1 π
b) f(x) = 2cos x – 3 , para todo x real.

31. (FUVEST) Considere o sistema linear nas variáveis x, y c) O valor máximo de f(x) é atingido em x = 1.
e z:
x + (cos2 a) y + (sen2 a)z = 0 d) O valor mínimo de f(x) é –2.
x + (cos2 b) y + (sen2 b)z = 0
e) f π = 2.
3

(cos2 c) y + (sen2 c)z = 0 33. (FATEC) No triângulo ABC da figura tem-se que BM é a
mediana relativa ao lado AC, o ângulo BÂC é reto, α é
a) Calcule o determinante da matriz dos coeficientes do a medida do ângulo CBM e e β é a medida do ângulo
sistema linear. MBA.

b) Para que valores de a, b e c o sistema linear admite Sabendo que BC = 13 e AB = 5, então tg α é igual a:
soluções não triviais?

c) Calcule as soluções do sistema quando sen2 a = 1 e cos2
1
c = 5 .

32. (UFAL) A função f(x) = cos x + 3 xen x tem gráfico a) 30
esboçado a seguir, para 0 ≤ x ≤ 2π. 97

b) 47
90

c) 30
39

d) 6
5

e) 12
5

Analise as afirmações a seguir, referentes a f(x), e assinale
a alternativa incorreta.

Respostas: 9) c 21) a 31) a) sen²a – sen²b
10) e 22) e b) qualquer a, b e c
1) b 11) 0 ≤ α ≤ π ∕ 3 23) a tais que b=+ –a +
2) 3π ∕ 2 ≤ x ≤ 11π ∕ 6 12) e 24) 4 meses e 13 dias n π nEz
3) e 13) d 25) a) f(2)=0,35º c) S={0;0;0} cosb ≠ 0
4) c 14) a S={ –α, –4 α, α}
5) a) 22,5 15) b f(9)= –0.7º α, se cosb=0
16) b b) 0h,8h,16h,24h
b) x²√2/4 17) b 26) a) 2.000 32) c
6) d 18) d b) 1.580 33) a
7) a) √3 / 4AB 19) a) x=2,25 27) e
28) e
b) √13 + 1/6 b) 125√3 / 16 29) c
8) a) 2π ∕ 3 20) e 30) d

b) 0

666

MATEMÁTICA

BLOCO 8

GEOMETRIA ANALÍTICA

INTRODUÇÃO número real x = d(O,X) se estiver à direita de O e x’ =
–d(O,X) se o X estiver à esquerda da origem.
O nascimento da Geometria Analítica pode ser creditado O número real x que corresponde ao ponto X do eixo é
tanto a Descartes como a Fermat; os dois, na mesma denominado coordenada desse ponto.
época e sem se conhecerem, desenvolveram a geometria x1 x
analítica.
x1 0 x
O nome dado ao sistema de coordenadas ortogonais, ou
seja, plano cartesiano, deriva da palavra cartesius, que é a FICHA 2 – COORDENADAS NO PLANO
tradução para o latim do nome Descartes. A contribuição
dada pelos dois estudiosos promoveu a relevância da Um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais num
geometria analítica para as áreas que trabalham com plano  é constituído de um par de eixos perpendiculares
grandezas vetoriais, ou seja, aquelas grandezas que só OX e OY contidos nesse plano com a mesma origem O. O
ficam bem definidas quando indicamos seu módulo, direção eixo das abscissas é o eixo OX e o eixo das ordenadas é o
e sentido. eixo OY. É possível, a partir desse sistema de coordenadas,
estabelecer a relação biunívoca entre o plano  e R2. Os
Então, o que é a geometria analítica? É o resultado da números x e y são as coordenadas do ponto P em relação
junção da geometria e da análise, a qual estuda os números ao sistema XOY ; o número x é a abscissa do ponto P e o
e as relações entre eles. número y é a ordenada de P.

A primeira ligação entre a geometria e os números foi DISTÂNCIA ENTRE DOIS PONTOS
feita na antiguidade pelos matemáticos gregos que usavam
figuras geométricas para resolver equações (álgebra XODYa,dcoosndfooirsmpeonatofisgAu(rxaA,ayAb)aeixBo(.xBS,yeB)dpeesretejanrcmeonstescaalocupllaarnao
geométrica). Dois mil anos depois, Descartes e Fermat distância entre estes dois pontos, ou seja, d(A,B) , basta
seguiram o caminho inverso e traduziram as relações aplicar o teorema de Pitágoras, conforme indicado a seguir.
geométricas para equações.

Foi com o estudo de trabalhos de Viète que Fermat
e Descartes compreenderam a análise que os gregos
tinham feito. Ao usarem as mesmas técnicas de base que
relacionam a álgebra e a geometria, desenvolveram o que
culminou, mais tarde, na moderna geometria analítica
(Katz, 1993).

Agora apresentaremos os principais conceitos
relacionados à geometria analítica (GA).

FICHA 1 – COORDENADAS NA RETA

Fixada uma unidade de medida conveniente, sejam A e A distância entre os pontos A e B é a medida da
B dois pontos quaisquer. O comprimento do segmento de hipotenusa do triângulo retângulo APB; como sabemos,
reta AB é a distância entre os pontos A e B denotada por no triângulo retângulo vale a relação d2 = (PB)2 + (AP)2.
d(A,B) A noção de distância entre dois pontos possibilita Sabendo-se que PB = y–B x–A)2yAÞe AP =√(xyBB – xxAA),2t+em(xoB s– exnA)t2ã=o
a representação dos pontos da reta por meio de números que d2 = (yB – xA)2 + (xB d= –
reais. Para isso, é necessário dar uma orientação à reta e d (A, B).
definir o ponto que será a origem.
CONDIÇÃO DE ALINHAMENTO DE TRÊS PONTOS
Uma reta orientada é uma reta que possui um sentido de
percurso, sentido este positivo; se invertemos o sentido da Muitas vezes estamos interessados em saber se três
reta, ele será negativo. Já o eixo é uma reta orientada que pontos pertencem ou não a uma mesma reta, isto é, se
possui um ponto de origem. são ou não colineares.

À origem O do eixo faz-se corresponder com o número 667
zero. A cada ponto X do eixo situado à direita da origem
corresponde um número real positivo; o número X
situado à esquerda da origem corresponde a um número
negativo. Assim, a cada ponto X no eixo corresponde o

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Três pontos diferentes estão alinhados ou são colineares Þ xB yC – xBÞyB(–xBy–A yxCA)+· (xyACy–B =yB)xC=y(Bx–C –xCxyB)A ·–(yxBB–yBy+A) xB yA Þ
quando podemos traçar uma reta que contém estes três Þ xB yC – xB yB – yA yC + xA yB – xC yB + xC yA + xB yB – xB yA Þ
pontos. Þ xA yB – xB yC + xC yA – xC yB – xB yA – xA yC = 0

Os pontos A, B e C são colineares (estão alinhados). Calculando o determinante D = xA yA 1 =0
Podemos verificar que d(A,C) = d(A, B) + d(B, C). Neste caso encontramos:
não formam um triângulo ABC. xB yB 1
xC yC 1
Já na figura abaixo constatamos que os três pontos A,
B e C formam um triângulo, logo não são colineares (não xA yA 1
estão alinhados), pois a medida de um lado é sempre D = xB yB 1
menor que a soma das medidas dos outros dois lados.
xC yC 1
Assim, d(A,B) < d(B,C) + d(C,A) ou d(B,C) < d(C,A) + d(A,B)
ou d(C,A) < d(A,B) + d(B,C). = xA yB + xC yA + xB yC – xC yB – xA yC – xB yA = 0

Assim, podemos concluir que se o determinante D =

xA yA 1
xB yB 1 for igual a zero, então os pontos distintos A,
xC yC
1

B e C serão colineares. Da mesma forma, se três pontos

xA yA 1
distintos A, B e C são colineares, então o D = xB yB 1
yC 1
será igual a zero. xC

A EQUAÇÃO GERAL DA RETA

FICHA 3 – TEOREMA Utilizando a ideia apresentada acima em que mostramos
que três pontos são colineares quando o determinante D =

Três pontos A, B e C distintos são colineares se, e somente xA yA 1
se, xB yB 1 for igual a zero, podemos enunciar a seguinte
xC yC 1
xA yA 1
D = xB yB 1 =0 aquuemsatãroe:tsaerj.aPmarAa(xqAu, eyAu) me Bp(oxnB,toyB)qduoailsqpuoenr tpoesrtpeenrçteanàcreenttaers,
yC é preciso que os pontos A, B e P sejam colineares, ou seja,D
xC 1

Demonstração: xy 1

Na figura abaixo temos representados três pontos A, B e = xA yA 1 = 0.
C colineares. xB yB 1

Os triângulos ABD e BCE são semelhantes pois possuem Ao resolvermos o determinante encontraremos a equação
dois ângulos congruentes, ou seja, o ângulo θ é comum e geral da reta r, isto é,
ambos possuem um ângulo de 90º; se os triângulos são
semelhantes, então podemos escrever que: xy 1

BD = AD Þ ((xxBC – xxBA)) = ((yyCB – yyBA)) Þ D = xA yA 1 = xyA + xB y + xA yB – xB yA – xyB – xA y = 0
CE BE – – xB yB 1

668

Þ x (yA – yB) – y (xA – xB) + (xA yB – xB yA) = 0 MATEMÁTICA

Logo,
x (yA – yB) + y (xB – xA) + (xA yB – xB yA) = 0

Fazendo-se a(yAex–pryeBs) s=ãoa,a(xx+B –byx+A) c==b0,eq(uxeAyrBe–prexBsyeAn) t=a c
encontramos a
equação geral da reta r.
Se isolarmos y na equação ax + by + c = 0 encontraremos
a c
by = –ax –c Þ y = – b x b .

Assim, –(x(yBA––xyAB)) ((xyBB – xyAA))
–
– a = = = m
b

m é a inclinação que a reta r faz com o eixo das abscissas RETAS CONCORRENTES
reazoãoch–ambc asreermá oigsuadlea coeficiente angular da reta r; a
n; n é o coeficiente linear da reta Duas retas que estão em um mesmo plano serão
concorrentes se os coeficientes angulares forem distintos;
r, ou seja, o ponto em que a reta corta o eixo das ordenadas. no caso em que os coeficientes angulares são diferentes
Assim, a expressão y = mx + n representa a equação e o produto entre eles for igual a –1, então as retas serão
reduzida da reta r. perpendiculares, ou seja, se r ^ s, então mr · ms = – 1.

O COEFICIENTE ANGULAR DE UMA RETA

Como dito algumas vezes neste livro, o coeficiente angular
de uma reta éa inclinação dxyBBes––sxyaAA reta com o eixo das
abscissas, ou seja, m = tg θ = .

Para facilitar a sua vida, se θ < 90º, então m > 0; se 90º
< θ < 180º, então m < 0; se θ = 90º a reta é perpendicular
ao eixo abscissas então ela é paralela ao eixo das
ordenadas. Portanto, a equação dessa reta será da forma
y = b, com b ≠ 0. Neste caso, a = 0 portanto m não está
definido.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS RETAS DISTÂNCIA ENTRE PONTO E RETA

Duas retas r e s quaisquer pertencentes a um mesmo Para determinar a distância entre duas retas paralelas
plano  podem ser coincidentes, paralelas ou concorrentes. será preciso tomar um ponto pertencente a uma das retas
e calcular a distância deste ponto até a outra reta, ou seja:
RETAS COINCIDENTES OU PARALELAS sejam r e s duas retas paralelas e A Î r. A distância de r até
s (d(r,s)) será igual à distância do ponto A até a reta s, isto
Se elas forem coincidentes, então os coeficientes angular axa + byA + c,
e linear das duas retas serão iguais; se r e s forem paralelas, é, d(A,s). A expressão d(A, s) = √a2 + b2 em que A(xA,yA)
então os seus coeficientes angulares serão iguais e os seus
coeficientes lineares distintos, afinal de contas, as retas são e r : ax + by + c = 0.
diferentes e por isso o “coeficiente da linha” (coeficiente
linear) teria de ser diferente. 669

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM A ÁREA DE UM TRIÂNGULO ponto é exterior à circunferência (analogamente, a distância
do ponto ao centro ultrapassou a circunferência por ser
Dissemos anteriormente que se tivermos três pontos A, B maior que o raio).
e C distintos e que se
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UMA RETA E UMA CIRCUNFERÊNCIA
xy 1
D = xA yA 1 = 0, Seja Ax + By + C = 0 uma reta e Г : (x – a)2 + (y – b)2 = r2

xB yB 1 uma circunferência, para determinarmos a posição relativa
então os pontos serão colineares; porém, se entre a reta e a circunferência basta resolvermos o sistema

xy 1 de equações

D = xA yA 1 ≠ 0 Ax + By + C = 0

xB yB 1 (x – a)2 + (y – b)2 = r2
Ao resolvermos o sistema cairemos, necessariamente, em
os pontos serão os vértices de um triângulo e o valor uma equação do segundo grau; neste caso, observamos o
do determinante será numericamente igual à área de que acontece com o discriminante da equação do segundo
paralelogramo. Como a área do triângulo qéume eAt∆aAdBCe=d21a área grau, ou seja, ∆ = b2 – 4ac. Se ∆ = 0, então encontraremos
do paralelogramo então podemos afirmar |D|. um par ordenado (x, y) como solução e, neste caso, a reta
será tangente à circunferência (afinal, só existirá um ponto
A EQUAÇÃO DE UM CIRCUNFERÊNCIA em comum da reta com a circunferência); se ∆ > 0, então
encontraremos dois pares ordenados (x, y) distintos como
O desenho a seguir mostra uma circunferência desenhada solução e, neste caso, a reta será secante à circunferência
em um plano cartesiano. A partir do desenho, iremos (a interseção da reta com a circunferência é de 2 pontos);
demonstrar a equação de uma circunferência de centro em contudo, se ∆ < 0, não encontraremos nenhum par ordenado
C e raio r. (x,y) como solução e, neste caso, a reta será externa à
circunferência (não há pontos em comum entre a reta e a
Assim, circunferência).

Outra maneira de se encontrar a posição relativa entre
uma reta e uma circunferência é calculando a distância do
centro da circunferência até a reta.
Sejam C o centro da circunferência Г de r o raio e s uma
reta qualquer, se d(C,s) = r, então a reta s é tangente à
circunferência; se d(C,s) < r, então a reta s é secante à
circunferência; por fim, se d(C,s) > r, então a reta s é externa
à circunferência.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DUAS CIRCUNFERÊNCIAS

O triângulo BAO é retângulo em A, logo sabemos que (OB)2 duSaejsamcirГc1:u(nxf–eraê1n)2c+ias(y, –pab1r)a2 =der1t2eermГ2i:n(axr–aa2p)2o+siç(yã–o br2e)2la=tivr2a2
= (OA)2 + (AB)2 Como (OB) = r, que é o raio da circunferência, entre elas basta calcular a distância entre os pontos que
e OA = (x – a) e AB = (y – b); assim r2 = (x – a)2 + (y – b)2, que representam o centro das circunferências.
é a equação de uma circunferência. ciSrecjuanmfeCr1ênecCia2sSseãjaomcoГ1nceêГn2t;rsiceads(;C1,C2) = 0, então as

Se a circunferência passar pela origem, então a sua • esextde(rCn1a,Cs2;) > r1 + r2, então as circunferências são
equação será x2 + y2 = r2. • sseecda(Cn1t,eCs2); < r1 + r2, então as circunferências são
• se 0 i<ntde(rCn1a,Cs2;) < |r1 – r2| , então as circunferências
POSIÇÃO RELATIVA ENTRE UM PONTO E UMA CIRCUNFERÊNCIA são
• staendg(eCn1,tCe2)s =exrt1e+rnra2 s,; então as circunferências são
Dado um ponto P(x,y) e uma circunferência de centro c(a,b) • tsaendg(eC1n,Cte2)s=in|tre1r+nar2s|., então as circunferências são
e raio r.

Se d(P,C) = r então o ponto P pertence à circunferência (visto
que sua ditância ao centro coincidiu com o comprimento do
raio); se d(P,C) < r, então o ponto é interno à circunferência
(afinal, a ditância ao centro é menor que o raio, ou seja, não
conseguiu “alcançar” a circunferência); se d(P,C) > r, então o

670

MATEMÁTICA

BLOCO 8
EXERCÍCIOS

1. (UFV) Durante uma tempestade, um pequeno avião
saiu da cidade A com destino à cidade C, distante
945 km. Quando o avião estava no ponto D, distante
700 km do ponto de partida, o piloto detectou que o
avião se desviara do seu curso seguindo a trajetória,
conforme ilustra a figura abaixo.

4. (UNCISAL-2008) Observe a figura.

Sendo α = 30º o ângulo para um curso paralelo a AC β o
ângulo tal que α + β é o ângulo de correção para que o avião
chegue à cidade C, calcule: (Considere √3 = 1,7)

a) a distância entre B e D; Na circunferência de centro O, a corda AB é lado de um
b) o ângulo de correção. hexágono regular inscrito, e a corda AC, medindo 2√3 cm,
é lado de um triângulo regular inscrito. O perímetro desse
2. (UFPE) Na figura abaixo, o triângulo ABC está inscrito hexágono é igual a
na circunferência de centro em O, e AB é um diâmetro.
Indique o valor do ângulo α, em graus.

a) 12 cm
b) 12√2 cm
c) 12√3 cm
d) 24 cm
e) 24√3 cm

3. (UFPE) Se na figura a seguir o ponto O é o centro da 5. (VUNESP) Seja C a circunferência de centro (2, 0) e
circunferência de raio 8 e OD = 3DB, indique 100sen raio 2, e considere O e P os pontos de interseção de C
α. com o eixo Ox. Sejam T e S pontos de C que pertencem,
respectivamente, às retas r e s, que se interceptam no
ponto M, de forma que os triângulos OMT e PMS sejam
congruentes, como mostra a figura.

671

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 8. (UFTM) Considere no plano cartesiano as circunferências
λp1elea λo2ritgaenmgeentteasngeexntecrianaλm1 eenλt2e, ,coenaforremtae t, que passa
a figura.

a) Dê a equação de C e, sabendo que a equação de s é ecenSnteãtroaouedmqauacaieçrcqãuuonadfçeaãroêcindrcceiuaλn2λfe2érpêenrctieanλc1eéa(ox – 5)2 + y2 = 9 e o o
y = 3x , determine as coordenadas de S. eixo das abscissas,

b) Calcule as áreas do triângulo OMP e da região sombreada a) (x – 20)2 + y2 = 144
formada pela união dos triângulos OMT e PMS. b) (x – 18)2 + y2 = 100
c) (x – 16)2 + y2 = 64
6. (CEFET) Um disco circular de 10 cm de diâmetro será d) (x – 14)2 + y2 = 36
fixado em um suporte de ferro encaixado em uma e) (x – 13)2 + y2 = 25
moldura retangular, conforme indica a figura:

9. (UFTM) A partir de um quadrado ABCD de lado medindo
8 cm, desenha-se uma circunferência que passa pelos

x x vértices A e D e é tangente ao lado BC. A medida do
raio da circunferência desenhada, em cm, é

Sabendo-se que A, B e C são pontos de tangência, a a) 4
medida de x, em cm, é b) 5
c) 4√2
a) 2 d) 6
b) 2,5 e) 5√2
c) 3
d) 3,5

e) 4 10. (FUVEST) A reta r passa pela origem do plano
7. (UFPE) Na figura abaixo, as circunferências têm centros cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A
circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3,0) e
nos pontos A e B e cada uma delas é tangente a três tem centro no eixo x.
lados do retângulo. Sabendo que cada círculo tem área
2, qual é a área do retângulo? a) Para qual valor de m a reta r é tangente a C?

b) Suponha agora que o valor de m seja menor que
aquele determinado no item anterior. Calcule a área do
triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos
de intersecção de r com C.

11. (FUVEST) Na figura a seguir, M é o ponto médio da

corda PQ da circunferência e PQ = 8. O segmento RM

a) 4 é perpendicular a PQ e RM = 4√3 . Calcule:
3

b) 12 a) O raio da circunferência.

b) A medida do ângulo PÔQ, onde O é o centro da
c) 4 circunferência.

d) 12 – 

e) 3

672

MATEMÁTICA

14. (FUVEST) A figura abaixo representa duas polias
rcaeiprscopuiaeladcrtaeivssameCm1enetueCm.2UadmesaruacpioeorrsrfeíRciai1ee=npv4loalncvmae aeesmpRo2Pli=a1 s1,escePmm2,,
12. (FUVEST) Na figura abaixo, as circunferências têm folga. Sabendo-se que a distância entre os pontos P1
5 e P2 é 3√3, determinar o comprimento da correia.
centros A e B. O raio da maior é 4 do raio da menor;

P é um ponto de intersecção delas e a reta AQ é
tangente à circunferência menor no ponto Q.

Calcule:

a) cos (ABQ)
b) cos (ABP)
c) cos (QBP)

15. (FUVEST) Na figura ao lado, os pontos A, B e C são
vértices de um triângulo retângulo, sendo B o ângulo
reto. Sabendo-se que A = (0,0), B pertence à reta x −
2y = 0 e P = (3,4) é o centro da circunferência inscrita
no triângulo ABC, determinar as coordenadas

a) do vértice B.
b) do vértice C.

13. (FUVEST) Em uma semicircunferência de centro C e
raio R, inscreve-se um triângulo equilátero ABC. Seja
D o ponto onde a bissetriz do ângulo ACB intercepta a
semicircunferência. O comprimento da corda AD é :

a) R√2 – √3
b) R√√3 – √2
c) R√√2 – 1
d) R√√3 – 1
e) R√3 – √2

673

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 16. (FUVEST) Na figura abaixo, cada uma das quatro
circunferências externas tem mesmo raio r e cada
uma delas é tangente a outras duas e à circunferência
interna C.

Se o raio de C é igual a 2, determinar

a) o valor de r.
b) a área da região hachurada.

Assim, determine

a) a razão entre R e r.
b) a área do triângulo DEF em função de r.

17. (FUVEST) A reta s passa pela origem O e pelo ponto 20. (FUVEST) São dados, no plano cartesiano de origem
A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à O, a circunferência de equação x2 + y2 = 5, o ponto P
reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e = (1,3) e a reta s que passa por P e é paralela ao eixo
o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular y. Seja E o ponto de ordenada positiva em que a reta
de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do s intercepta a circunferência.
triângulo OAB.
Assim sendo, determine

a) a reta tangente à circunferência no ponto E.
b) o ponto de encontro das alturas do triângulo OPE.

18 (FUVEST) Na figura abaixo, O é o centro da 21. (FUVEST) Na figura, B, C e D são pontos distintos da
circunferência de raio 1, a reta AB é secante a ela, o circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a
ângulo β mede 60º sen α =√23.
ela. Além disso,

(1) A, B, C e A, O, D são colineares;

(2) AB = OB ;

(3) CÔD mede α radianos.

a) Determine sen OÂB em função de AB.
b) Calcule AB.

19. (FUVEST) O círculo C, de raio R, está inscrito no Nessas condições, a medida de ABO, em radianos, é igual
triângulo equilátero DEF. Um círculo de raio r está no a:
interior do triângulo DEF e é tangente externamente a
C e a dois lados do triângulo, conforme a seguir.

a)  – α
4
α
b)  – 2

c)  – 2α
3
674

d)  – 3α 24. (UNIFESP) A figura mostra uma circunferência, de MATEMÁTICA
4 rqcaiuriceouAn4feeerêBcnecsniaãtroompaCoi1on,rt,oqdsueedraataiconirgRceunencficeaerêninntrctoeiarCnma2.maSieaonbr,tee-AsBae
3α mede 8 e tangencia a circunferência menor em T,
e)  – 2 sendo perpendicular à reta que passa por C1 e C2.

22. (nUaEoCrEig)eSmejadme uCm1 esisCt2emduaadsecicrocuonrdfeernêandcaiasseccoumjosceranitoros
medem, respectivamente, 1 m e 2 m. A soma das
medidas dos raios das circunferências simultaneamente
tigaunagiesn, tneosmaesCm1 oesCis2tecmujaosdecceonotrrodsentaêdmasc, oéo: rdenadas

a) 3 m
b) 5 m
c) 4 m
d) 6 m

23. (VUNESP) A reta r da equação y = x intercepta a
2
circunferência de centro na origem e raio √5 em dois
pontos P e Q, sendo que as coordenadas de P são A área da região hachurada é:
ambas positivas. Determine:
a) 92
a) a equação da circunferência e os pontos P e Q; b) 12
b) a equação da reta s, perpendicular a r, passando por P. c) 15
d) 18
e) 21

25. (VUNESP) Escreva as equações das retas que sejam, ao
mesmo tempo, perpendiculares à reta x = y e tangentes
à circunferência (x – 1)2 + (y – 1)2 = 2.

Respostas: 7) b 13) a 20) a) x+2y–5=0
14) C=6(+√3) b) o ponto de encontro
1) a) 350 km 8) a é (7,0)
b) α + β = 75º
9) Exercício igual ao 14 15) a) B(3,6) b) C(2,11) 21) c
2) 37º bloco 2. Alternativa 22) Exercício igual ao 36
3) 60 correta a 16) a) R=2(√2+1)
4) a b) S=8[6+4√2–(2+√2)] bloco II. Alternativa
5) a) C=(x–2)2+y2=4 √3 correta c
10) a) 3 17) M= √2 23) a) C=x2+y2=5; P(2,1);
S=(18/5, 6/5) 2
b) 4/3 u.a e 32/15 u.a b) 2m √–3m2+1 Q(–2,–1)
6) Exercício igual ao 41 m2+1 √3 b) s=2x+y–5=0
bloco 2. Alternativa 18) a) 4AB 24) a
correta c 8√3 25) y–x=0 e y+x–4=0
11) a) 3 b) 120º b) √13+1
6 675
12) a) 4/5 b) 2/5
8+3√21
c) 25 19) a) 3 b) 27r2√3

MATEMÁTICA

BLOCO 9

POLINÔMIOS

FICHA 1 – POLINÔMIOS – INTRODUÇÃO DIVISÃO DE UM POLINÔMIO POR (X – A)

Em nosso primeiro contato escrevemos sobre a álgebra A divisão de um polinômio por um binômio da forma
elementar e demos pouca atenção aos polinômios. É notório (x – a) é o caso mais importante que envolve a divisão de
que os polinômios, diferentemente de outros conceitos polinômios.
matemáticos, não são muito apreciados por aqueles que
só se interessam pela aplicabilidade da Matemática. Se os O teorema do resto diz que, se dividirmos um polinômio
polinômios por si só não satisfazem as necessidades dos q(x) por (x – a), em que a é uma constante qualquer, então o
sedentos por aplicações, são a base para as equações resto da divisão será p(a).
algébricas e para as funções polinomiais, que são
essencialmente aplicações matemáticas. Chega de prosa e Assim, se a é uma raiz da equação polinomial q(x) = 0, o
vamos apresentá-los de uma vez por todas. binômio (x – a) é um divisor de q(x), e reciprocamente, se
(x – a) for um divisor de q(x), a, a é uma raiz da equação
Definição: Um polinômio é uma expressão formal do tipo polinomial q(x) = 0, isto é q(a) = 0. Fantástico, não acha?
capon()xm)s=pãloeaxnoxosns+.coaen–fi1cxine–1nt+e.s..o+uau1xm+a ali0setamoqrdueen(aad0,aa1d,ea2n,ú..m., earno–1s,
Ao dividirmos um polinômio p(x) qualquer por (x – a),
ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES SOBRE OS obtemos o polinômio quociente q(x) e um resto r dessa
divisão, se existir. Assim, p(x) = q(x) · (x – a) + r.
POLINÔMIOS
A Regra Prática de Briot-Ruffini é um dispositivo que
permite determinar o quociente e o resto da divisão de um
polinômio por um binômio da forma (x – a).

Vamos exemplificar o dispositivo de Briot-Ruffini.
Seja p(x) = 3x3 – 2x2 – x + 1 um polinômio de grau três. A
divisão de p(x) por (x – a) pode assim ser determinada:

Se p(x) = 0, então o polinômio será identicamente nulo. 2 3 –2 –1 1
Sejam
347 15
p(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0
e q(x) r(x)

q(x) = bnxn + bn–1xn–1 + ... + b1x + b0. q(x) = 3x2 + 4x + 7
O polinômio p(x) será igual ao polinômio q(x) quando r(x) = 15
a0 = b0, a1 = b1, ..., an = bn. Portanto, p(x) = (x – 2) · (3x2 + 4x + 7) + 15 = 3x3 – 2x2 – x + 1
A cada polinômio Exercício 1: seja p(x) = x4 – 2x3 – 24 + 50 um polinômio
de grau 4. Determine o resultado da divisão deste polinômio
p(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0, por x + 4.

associamos a função polinomial p : A → A, definida por: AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS
p(x) = anxn + an–1xn–1 + ... + a1x + a0.
Se o polinômio p(x) igual a zero, ou melhor, se a função
FICHA 2 – DIVISÃO DE POLINÔMIOS polinomial p(x) for igual a zero, então teremos uma equação
algébrica. Assim, se p(x) =exapnxrne+s saãn-1oxna-1l+g é..b.+riac1ax +ean0cfoonr igual
O conceito de divisibilidade entre os polinômios a for igual a zero, a trada
desempenha um papel importante no estudo de suas raízes. d.(é.a.e0u,acam1o1x,eaaf+2i,ec.iq.ae.u,0naat=çen-ãs1,0o.a.n)aClsgoãémobornicúdami,toeorounsoscecoojamm,pealçenoxxon + acan-1pxínt-u1 lo+,
Se um polinômio p pode ser escrito como o produto de dois do
rpqauoilazinldqôeumepir2o,,séu,mroaauizvsedezejqapu, epsep=,1(exp)s1· op·m2(pxe2),n=tee0ntsÞãeo,paa1(,xé)ua=m0raaoizcuodpne2s(xtpa)1=not0ue s chamados

Teorema: O quociente e o resto da divisão de um Nem sempre é fácil resolver uma equação polinomial
polinômio Q por um polinômio T (não identicamente nulo) de grau n em x, para n ≥ 3, porém, se a é a raiz de um
existem e são únicos. polinômio , porém, se a é a raiz de um polinômio q(x)
de grau n, então p(x) é divisível por (x – a), isto é, existe

676

um polinômio q(x) de grau n – 1, tal que p(x) = (x – a) . Como na decomposição de um polinômio p(x) podem MATEMÁTICA
q(x). Um número complexo é raiz de p(x) se, e somente aparecer fatores repetidos e neste caso haverá multiplicidade
se, é igual a a ou é uma raiz de q(x) . Encontrada uma de uma raiz, então o polinômio p(x) será dado por p(x) = (x
raiz de p(x), reduzimos o grau do problema e passamos – b)n · q(x) e q(b) ≠ 0. Se a multiplicidade da raiz for um, ela
a querer encontrar uma raiz de q(x), que, apesar de ter será chamada de raiz simples; se for de multiplicidade dois,
um grau a menos do que o polinômio p(x), não garante a raiz será dupla, e assim sucessivamente.
que a nossa vida ficará facilitada.
FICHA 3 – RELAÇÕES DE GIRARD
ESMIUÇANDO UM POUCO MAIS AS EQUAÇÕES ALGÉBRICAS

Todo polinômio complexo p(x) de grau n pode ser fatorado Se a equação for do tipo ax3 + bx2 + cx + d = 0, com raízes
k1, k2, k3, então teremos:
na forma p(x) = an(x –b1) · (x – b2) · ...(x –bn), em que an é
um número complexo e b1, b2 ,...,bn são as raízes complexas k1 + k2 + k3 = – b
de p(x). a
c
k1 · k2 + k2 · k3 + k1 · k3 = a

k1 · k2 · k3 = – d
a

677

MATEMÁTICA

BLOCO 9

EXERCÍCIOS

1. Sejam a, b e c as raízes de 2x3 – 30x2 + 15x – 3 = 0, 6. eu(qaImn2uTxAtea2ã)a–opC1rap,ooa1(ng2-e2s,ramei)d3sé,esaqriã4ugeoeeuoaauarlpm5iatosmalãinédoôtairmcseaarioaicsíopzeme(xsf)oaé=r4mx=a=a512xm–,51,a+.n3Sae=a4sxtb14ae,+onaard2d3o=xe-3ms2+e,,
1 1 1
encontre o valor de a + b + c e de a2 + b2 + c2.

(Sugestão: Para resolver o exercício solicitado, utilize
as relações de Girard)

2. (UEL) Dividindo-se o polinômio x4 + 2x3 – 2x2 – 4x – 21 a) –25
por x + 3, obtêm-se: b) –27
c) –36
a) x3 – 2x2 + x – 12 com resto nulo. d) –39
b) x3 – 2x2 + 3 com resto 16. e) –40
c) x3 – x2 –13x + 35 e resto 84.
d) x3 – x2 – 3x + 1 com resto 2. 7. (ITA) Um polinômio P é dado pelo produto de 5
e) x3 – x2 + x –7 e resto nulo. polinômios cujos graus formam uma progressão
geométrica. Se o polinômio de menor grau tem grau
3. (UNICAMP) Seja a um número real e seja: igual a 2 e o grau de P é 62, então o de maior grau tem
grau igual a
3 – x –1 √2
a) 30
p(x) = 0 a – x –1 b) 32
c) 34
0 4 1–x d) 36
e) 38
a) Para a = 1, encontre todas as raízes da equação p(x) = 0.
b) encontre todas as raízes da equação p(x) = 0 tem uma 8. (UNICAMP) Dada a equação polinomial com coeficientes
reais x3 – 5x2 + 9x – a = 0
única raiz real.
a) Encontre o valor numérico de a de modo que o número
4. (VUNESP) Seja x um número real positivo. O volume complexo 2 +i seja uma das raízes da referida equação.
de um paralelepípedo reto-retângulo é dado, em
função de x, pelo polinômio x3 – 7x2 + 14x + 8. Se uma b) Para o valor de a encontrado no item anterior, determine
aresta do paralelepípedo mede x + 1, a área da face as outras duas raízes da mesma equação.
perpendicular a esta aresta pode ser expressa por:
9. (UNICAMP) Para resolver equações do tipo x4 + ax3 +
a) x2 – 6x + 8 bx2 + ax + 1 = 0, podemos proceder do seguinte modo:
b) x2 + 14x + 8 como x = 0 não é uma raiz, divide-se a equação por x2
c) x2 + 7x + 8 e, após fazer a mudança de variáveis u = x + 1x , resolve-
d) x2 – 7x + 8 se a equação obtida [na variável u]. Observe que, se x Î
e) x2 + 6x + 8 A e x > 0, então u ≥ 2.

5. (ITA) Sejam α, β, Î A. Considere o polinômio p(x) dado a) Ache as quatro raízes da equação x4 – 3x3 + 4x2 –
por 3x + 1 = 0
x5 – 9x4 + (α – β – ) x3 + (α + 2β + 2 )
x2 + (α – β – + 1)x – (2α + β + – 1) b) Encontre os valores de para os quais a equação b Î A
para os quais a equação x4 – 3x2 + bx2 – 3x + 1 = 0
Encontre todos os valores α, β, de modo que x = 0 seja
uma raiz com multiplicidade 3 de p(x).

678

10. (UNICAMP) As três raízes da equação x3 – 3x2 + 12x MATEMÁTICA
– q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma
progressão aritmética.

a) Determine q.
b) Utilizando o valor de q determinado no item (a), encontre

as raízes (reais e complexas) da equação.

Respostas: 3) {3;1-2i,1+2i} 7) B 9) a) {1, 1, 1 –i√23, 1 "i√23}
1) ( x³ –6x² + 24x –120) 4) e 8) a) a=5 2 2
5) α=0 β=1-k γ=k b) b < = 4
+530 b) as outras duas raízes 10) a) q=10
2) e " K E R –{-1} da equação são Z-i b) S{1, 1+3i e 1-3i}
6) a e1

679

FÍSICA

FÍSICA

BLOCO 1
MECÂNICA

INTRODUÇÃO Trajetória e posição Aceleração

O ser humano sempre se questionou Vamos usar como exemplo a via Dutra, Acelerar um corpo é variar sua veloci-
sobre os fenômenos que observava na estrada que liga São Paulo ao Rio de Ja- dade (Δv = vfinal – vinicial ) no decorrer
natureza, por exemplo: qual a natureza neiro. Um carro que sai do Rio de Janeiro do tempo (Δt = tfinal –tinicial ).
do calor? de que é composta a luz? por em direção a São Paulo, seguindo essa
que os objetos se movem? via, está determinando, pela sua varia- A aceleração média é dada pela ex-
ção de posição com o passar do tempo, pressão:
Foi por volta de 600 a.C., na Grécia, o que chamamos de trajetória. Imagine
com o nascimento da Filosofia, que que durante a viagem o carro apresen- No sistema internacional, sua unida-
começaram as tentativas de explicar te um problema mecânico. Para que o de é m/s2 (metro por segundo ao qua-
tudo por meio da razão. motorista possa chamar socorro, deve drado).
conhecer sua posição na estrada. Para
Aristóteles (384-322 a.C.), filósofo isso ele procura os marcos quilométricos Movimento Uniforme (MU)
grego, em suas obras, usava o bom da estrada e determina sua posição (ou
senso aliado à lógica, mas não se espaço), isto é, a distância em que ele se Um movimento é chamado de unifor-
preocupava com a comprovação prá- encontra da origem desses marcos. Re- me se sua velocidade se mantém cons-
tica de suas ideias, o que o levou a presentaremos posição ou espaço pela tante no intervalo de tempo estudado.
algumas conclusões equivocadas. letra "s".
Já o cientista italiano Galileu Galilei Equação horária do movimento uni-
(1564-1642), com base em experiên- Velocidade forme: determina as posições do corpo
cias, corrigiu muitos erros de Aristó- em movimento para cada instante:
teles. É uma grandeza que expressa a ra-
pidez com que um corpo muda de po- s = s0 + vt
A Física (do grego physis = natureza) é sição. Para determinar a velocidade
a ciência que se preocupa em descre- mviaégdeiam(eVnm)trededuuams carro que faz uma Em que:
ver e explicar os fenômenos naturais. cidades, A e B, pre- s = espaço final
Ela idealiza modelos a partir de situa- cisamos conhecer seu deslocamento s0 = espaço inicial
ções reais e com eles é capaz de pre- (Δs = sB – sA) e o tempo gasto para ir v = velocidade
ver resultados futuros para o mesmo t = tempo
fenômeno. de uma posição a outra (Δt = tB – tA) .
Gráficos do movimento
FICHA 1 – CINEMÁTICA Assim, a velocidade média é dada pela uniforme

É a parte da Física que estuda o expressão: Variação de espaço com o tempo (S X t)
movimento dos corpos sem consi-
derar suas causas. O movimento de No sistema internacional, a unidade
um corpo vai depender do referencial de velocidade é m/s (metros por se-
adotado. gundo).

O motorista está em repouso em relação ao carro, Quando um motorista olha para o
mas em movimento em relação à pessoa na calçada. velocímetro de um carro durante uma
viagem, ele lê o valor da velocidade ins-
tantânea, isto é, a velocidade do carro
naquele exato momento.

No MU, o deslocamento é o mesmo para intervalos de
tempo iguais.

10 m 10 m 681
t=1s t=1s

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM v (m/s) Gráficos do movimento uni- 0 ºC), o volume (15 litros; 3 cm3). Mas
v formemente variado existem casos em que só o número
e a unidade não são suficientes para
A Gráfico Espaço x Tempo é uma parábola traduzir o significado da grandeza.
Por exemplo: a velocidade do carro é
t t1 t2 t(s) No gráfico de Velocidade x Tempo de 50 km/h, mas em que direção e
Δs = Área em que sentido ele se move? Outro
Velocidade em função do tempo (v X t) a = tg α exemplo: a força aplicada em um cor-
ΔS = Área po, além da intensidade (valor numé-
No gráfico da Aceleração x Tempo rico e unidade), tem que ter direção
Movimento Uniformemente ΔV = Área e sentido. Assim, a grandeza física
Variado (MUV) que necessita de três informações
Classificação dos (intensidade, direção e sentido) para
Nos movimentos que observamos movimentos ficar bem caracterizada é chamada de
diariamente, as velocidades não per- grandeza vetorial.
manecem constantes durante todo o • Progressivo: Quando o móvel está
tempo. São os chamados movimentos indo no sentido da trajetória. Nesse Vetor
variados. Se num movimento ocorre- caso, a velocidade é positiva.
rem variações de velocidades sem- É um conceito matemático utilizado
pre iguais em intervalos de tempos • Retrógrado: Quando o móvel está para facilitar operações que envol-
iguais, o movimento é denominado indo contra o sentido da trajetória. vem grandezas vetoriais. O vetor tem
movimento uniformemente variado. Nesse caso, a velocidade é nega- módulo, direção e sentido. Exemplos
Para que isso ocorra, a aceleração tiva. de grandezas representadas por ve-
escalar média deve ser constante e tores:
diferente de zero. • Acelerado: Quando o módulo da
Equação horária do MUV: determina a velocidade aumenta. A
posição do corpo em movimento varia-
do para cada instante. • Retardado: Quando o módulo da B
velocidade diminui
s = s0 + v0t + at2 A figura representa as ruas de um bairro. O vetor
2 FICHA 2 – CINEMÁTICA vermelho representa o deslocamento que ocorreu de
VETORIAL A para B (Vetor deslocamento).
Em que:
É a parte da cinemática que faz uso Os vetores pretos representam o espaço
s = espaço de vetores para descrever os movi- efetivamente percorrido.
s0 = espaço inicial mentos.
v0 = velocidade inicial FICHA 3 – LANÇAMENTOS
a = aceleração Grandeza escalar e vetorial
t = tempo No estudo de lançamentos se descre-
Certas medidas em física ficam bem ve o comportamento de objetos que
Equação da velocidade caracterizadas apenas com um núme- caem ou são arremessados de uma
ro e uma unidade. São as grandezas certa altura. A característica funda-
Determina a velocidade instantânea escalares. Por exemplo: a grandeza mental nestes casos é a aceleração
do corpo no decorrer do tempo. No massa precisa só de um número e gravitacional adquirida pelo objeto. A
MUV, a aceleração é constante e dife- uma unidade para ficar bem caracteri- velocidade inicial do movimento (em
rente de zero. zada (2kg ; 10 toneladas; 30 gramas). módulo, direção e sentido) irá determi-
Outro exemplo é a temperatura (20 ºC; nar em qual dos estudos abaixo ele se
v = v0 + at encaixa.

Equação de Torricelli Queda Livre

Relaciona a velocidade com o espaço Um corpo em queda livre está cain-
percorrido pelo móvel sem considerar do no vácuo, isto é, sem a resistência
o tempo. oferecida pelo ar. É um exemplo de
movimento retilíneo uniformemente
v2 = v02 + 2 . a . Δs acelerado, no qual o valor médio da
aceleração da gravidade (g) ao nível do
682 mar é de 9,8 m/s2.

Então, o alcance é máximo quando o FÍSICA
ângulo de lançamento é 45º (θ = 45º).
Notamos ainda que para ângulos de
lançamento complementares, o alcan-
ce horizontal é o mesmo.

Lançamento horizontal

É um lançamento onde a velocidade
inicial na direção vertical é zero.

O vetor (vetor velocidade) tem direção tangente à Vo
trajetória da bola.

A aceleração(g) será: h
-g (se a trajetória for orientada para cima) y

+g (se a trajetória for orientada para
baixo)

Movimento Balístico

Lançamento oblíquo x
D
A figura acima mostra um cor-
po em queda livre de uma altura A bola cai uma altura h a uma distância D de onde
h. A relação da altura com o tem- partiu)
po t de queda é dada pela função:
• Tempo de queda:
h = gt2
2 tq = 2h
g

O tempo de queda pode ser calculado • Alcance Horizontal:
pela equação:
(Uma bola lançada obliquamente, aqui Voy = Vo sen D = V0 2h
2h θ Vox = Vo cos θ) g
g
tq = Esse tipo de movimento é uma com-
posição de um movimento na direção
Lançamento vertical horizontal, o qual é um movimento reti- FICHA 4 – MOVIMENTO
líneo uniforme (M.R.U.), com um movi- CIRCULAR
É um movimento retilíneo uniforme- mento na direção vertical, o qual é um
mente acelerado, que acontece quan- movimento retilíneo uniformemente É um movimento cuja trajetória é uma
do um corpo é lançado para cima ou variado (M.R.U.V.). circunferência ou um arco de circunfe-
para baixo na direção vertical com uma rência.
velocidade inicial V0. • O tempo de subida é igual ao tempo
de descida, calculado pela expressão:
A relação entre a altura (h) e o tempo
(t) é dada pela função: •
tsub = V0 sen θ
h = v0t ± gt 2 g Gráfico de uma trajetória circular
2 Onde: φ = ângulo horário
• Altura máxima: s = arco percorrido
A relação entre velocidade (v) e tem- hmax = V02 sen2 θ R = raio
po é dada pela função: v = v0 ± gt 2g
Lineares Angulares Correspondência
Tempo de subida: tsub = v0 • Alcance horizontal: Posição Ângulo (φ) S = φ.R
g D = V02 sen 2 θ Velocidade Velocidade v = ω.R
g Angular (ω)
v 2 Aceleração Acelaração a = α.R
0 Onde D é a distância entre o ponto de Angular (α)
Altura máxima: hmax = lançamento e o de retorno ao solo.
2g Correspondência entre grandeza linear e angular
Analisando a expressão do alcance
horizontal, notamos que o alcance é 683
máximo quando:

sen 2θ = 1; portanto, quando 2θ = 90º

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Velocidade angular (ωm) Análise vetorial 
V B/A = velocidade do barco em re-
Suponha que, num intervalo de tem- No movimento circular a velocidade é lação à água
po Δt, uma partícula em movimento sempre tangente à trajetória. A acele- V A/T = velocidade da água em rela-
circular execute um deslocamento Δφ. ração pode ser dividida em componen-
A velocidade angular média te(ωmmp) odaé tes: ção à terra
partícula nesse intervalo de Temos de considerar que um barco
dada por: • O vetor aceleração a é a soma
tdeosavt eetocreenstrdípaeatacealecr.ação tangen- se movimenta em um rio de diferentes
Movimento circular a = ac + at maneiras:
uniforme (MCU) a) subindo o rio.
• aceleração tangencial: varia o mó- b) descendo o rio.
É um movimento periódico, no qual dulo do vetor velocidade e é em c) atravessando o rio.
a velocidade angular (ω) é constante e módulo igual à aceleração escalar. Um barco subindo o rio
diferente de zero.
• aceleração centrípeta: varia a dire- Quando o barco está subindo o rio,
Período (T): tempo gasto para o mó- ção do vetor velocidade e seu mó- sua velocidade em relação à água é
vel dar uma volta completa. É medido dulo é dado por: maior que a velocidade da água em re-
em unidade de tempo: segundo, minu- lação a terra. A intensidade da veloci-
to, hora, etc.  = v2 dade do barco em relação à terra:
ac R
Exemplo: O período de rotação da Ter- VB/T = VB/A – VA/T
ra é de 24 horas. O período do ponteiro em que V é a velocidade escalar e Um barco descendo o rio
dos minutos no relógio é de 60 minutos. R o raio da trajetória. Ele sempre
aponta para o centro da curva.
Obtém-se, então, uma relação entre
período e velocidade angular:

ω = 2π No Movimento Circular Uniforme, o
T corpo não tem aceleração tangencial
(at = 0), pois o módulo do vetor velo-
Temos que 2π é o ângulo de uma vol- cidade é constante. Mas a direção do
ta completa e T é o período vetor velocidade varia; portanto, existe
aceleração centrípeta (acp).

Frequência (f): o número de vezes FICHA 5 – COMPOSIÇÃO A intensidade da velocidade do barco
que acontece o fenômeno por unidade em relação à terra:
de tempo. É medido em ciclos por se- DOS MOVIMENTOS
gundo, isto é, hertz (Hz) ou em rotações VB/T = VB/A + VA/T
por minuto (rpm). Exemplo: O giro de um Velocidades Relativas
motor é de 60 rotações por minuto. Um barco atravessando o rio
O barco pode atravessar o rio man-
Relação entre período e frequência: tendo seu eixo perpendicular à corren-
teza, isto é, perpendicular à velocidade
}1 volta → T segundos Vamos estudar a velocidade de um da água em relação a terra.
barco em relação a dois referenciais,
f voltas →1 segundo f . T = 1 ou f = 1 um fixo à terra e outro à água, a qual VA/T
T

tem velocidade em relação à terra. O
raciocínio servirá para tratar proble-
Equação horária no MCU mas semelhantes.

• Forma angular da equação tçeãArorva: elVo cBi/Tdapdoeddeosebrarocbotiedma relação a
pela rela-
φ = φ0 + ω . t
  VB/T
Em que: V B/T = V B/A + V A/T

φ = ângulo horário em que: VB/A
φ 0= ângulo horário inicial
ω = velocidade angular  A intensidade da velocidade do
V B/T = velocidade do barco em re- barco em relação à terra será:
t = tempo
lação à terra Vbt = V2 + VA/T 2
684 B/ A

Podemos concluir que: FÍSICA
A velocidade de um móvel em relação
a um referencial fixo é igual à velocida-
de desse móvel em relação a um refe-
rencial móvel somada com a velocida-
de do referencial móvel em relação ao

fixo.  
V N/B = V NA + V A/B

685

FÍSICA

BLOCO 1
EXERCÍCIOS

QUESTÕES RESOLVIDAS 2o auto: parte 20 min = 1 h depois, ou seja, seu tempo de
movimento é 1 h a menos3que o do 1o automóvel.
1. (Fuvest-SP) Dirigindo-se a uma cidade próxima, por
uma autoestrada plana, um motorista estima seu 3
tempo de viagem, considerando que consiga manter
uma velocidade média de 90 km/h. Ao ser surpreen- Logo: s2 = 0 + 80 (t – 1)
dido pela chuva, decide reduzir sua velocidade média
para 60 km/h, permanecendo assim até a chuva pa- 3
rar, quinze minutos mais tarde, quando retoma sua
velocidade média inicial. Essa redução temporária Quando o 2o alcança o 1o, eles estão na mesma posição
aumenta seu tempo de viagem, com relação à esti- da estrada, isto é, s1 = s2
mativa inicial, em:
60.t = 80 (t – 1 )t = 4 h ou t = 80 min = 1 h 20 min

33

Portanto, o tempo de movimento até um alcançar o outro
é, para o 1o automóvel, 1 h e 20 min e para 2o automóvel é
1 h (já que ele sai 20 min depois).

a) 5 minutos QUESTÕES PROPOSTAS
b) 7,5 minutos
c) 10 minutos 3. (UFMG) O gráfico da figura abaixo mostra como a posi-
d) 15 minutos ção x de um carro varia com o tempo t.
e) 30 minutos

Resolução:
No trecho com chuva, o motorista percorre, em um interva-
lo Δt= 15 min = 1h, uma distância d dada por:

4

v = d ⇒ 60 = d ⇒ d = 15 km Em relação ao móvel na situação mostrada, assinale a
Δt 1 alternativa que traz a descrição correta desta variação.

4

O tempo a ser gasto nesse trecho deveria ser de: a) A velocidade do carro aumenta uniformemente até um
certo valor e, depois tende a ficar constante.
v' = d ⇒ 90 = 15 ⇒ Δt' = 1h
Δt' Δt' 6 b) A velocidade do carro aumenta uniformemente até um
certo valor e, depois diminui até parar.
Assim, o tempo de viagem é aumentado em um valor t
dado por: c) A velocidade do carro mantém-se constante até um cer-
to valor e, depois, tende a manter esse valor constante
textra = Δtchuva − Δtseco = 1 − 1 = 1 h = 5 min e não nulo.
4 6 12
d) A velocidade de carro mantém-se constante até um cer-
2. (PUC-PR) Um automóvel parte de Curitiba com destino to valor e diminui até parar.
a Cascavel com velocidade 60 km/h. 20 minutos de-
pois, parte outro automóvel de Curitiba com o mesmo 4. (Vunesp) Sentado em um ponto, um estudante observa
destino à velocidade de 80 km/h. Depois de quanto os carros percorrem um quarteirão (100 m). Usando
tempo da saída do 2o automóvel ele alcança o 1º? seu relógio de pulso, ele marca o tempo gasto por 10
veículos para percorrerem essa distância. Suas anota-
ções mostram:

Resolução: Veículo 1o 2o 3o 4o 5o 6o 7o 8o 9o 10o
1o auto: s1 = 0 + 60 t Tempo (s) 12 5 16 20 9 10 4 15 8 13

686

Com os dados obtidos: 6. (Unicamp-SP) Em muitas praças c) 72 FÍSICA
I) assinale a alternativa que mostra de pedágio de rodovias existe um
sistema que permite a abertu- d) 75
o valor da maior e da menor veloci-
dade média: ra automática da cancela. Ao se e) 150
a) 25 m/s e 5 m/s aproximar, um veículo munido de
b) 30 m/s e 10 m/s um dispositivo apropriado é capaz
c) 35 m/s e 7 m/s de trocar sinais eletromagnéticos 8. Na rodovia BR-101, um automó-
d) 42 m/s e 12 m/s com outro dispositivo na cancela. vel parte do km 370 e entra em
Ao receber os sinais, a cancela MU retrógrado, mantendo a velo-
II) quais veículos tiveram velocidade abre-se automaticamente e o ve- cidade de 65 km/h, em valor ab-
média acima da velocidade máxi- ículo é identificado para posterior soluto. Por qual posição ele esta-
ma permitida de 60 km/h? cobrança. Desconsiderando o ta- rá passando após 2 h 30 min de
manho do veículo: movimento?
a) 1 e 5
b) 2 e 7 I) Um veículo aproxima-se da praça
c) 3 e 8 de pedágio a 40 km/h. A cancela a) km 72
d) 5 e 10 recebe os sinais quando o veículo
e) 2 e 9 se encontra a 50 m de distância. O b) km 123,5

5. (UFSCar-SP) O submarino navegava tempo disponível para a completa c) km 189
com velocidade constante, nivelado abertura da cancela será de:
a 150 m de profundidade, quando d) km 207,5
seu capitão decide levar lentamente
a embarcação à tona, sem contudo a) 2 s e) km 310
abandonar o movimento à frente.
Comunica a intenção ao timoneiro, b) 3 s 9. (UEMG) Dois corpos movimentam-
que procede ao esvaziamento dos c) 4 s -se com velocidade constante na
tanques de lastro, controlando-os d) 4,5 s mesma direção, mas em sentidos
de tal modo que a velocidade se su- e) 6,3 s contrários, se aproximando. O cor-
bida da nave fosse constante. po A tem uma velocidade de 4,0
II) O motorista percebe que a cancela m/s e o B, de 6,0 m/s. Num certo
Se a velocidade horizontal antes não abriu e aciona os freios exata- instante, a distância entre eles é
da manobra era de 18 km/h e foi mente quando o veículo se encon- de 250 m.
mantida, supondo que a subida te- tra a 40 m da mesma, imprimindo Assinale a alternativa que apre-
nha se dado com velocidade cons- uma desaceleração de módulo senta o valor da distância entre
tante de 0,9 km/h, o deslocamen- constante. O valor da desacelera- eles imediatamente após 10 s do
to horizontal que a nave realizou, ção para que o veículo pare exata- instante citado.
do momento em que o timoneiro mente na cancela é de:
iniciou a operação até o instante a) 150 m.
em que a nau chegou à superfície
foi, em m, de: a) 1,0 m/s2 b) 350 m.
a) 4800 b) 1,5 m/s2 c) 250 m.
b) 3000 c) 2,0 m/s2 d) 100 m.
c) 2500
d) 1600 d) 2,5 m/s2 10. (Puccamp-SP) Dois carros deslo-
e) 1200 e) 3,0 m/s2 cam-se em pistas retilíneas, no
mesmo sentido, com velocidades
7. (UFPE) Durante o teste de desem- constantes. O carro que está na
penho de um novo modelo de au- frente desenvolve 20 m/s e o que
tomóvel, o piloto correu a 1ª meta- está atrás, 35 m/s. Num certo
de da pista na velocidade média instante, a distância entre eles é
de 60 km/h e a 2ª metade a 90 de 225 m. A partir desse instan-
km/h. Podemos dizer, então, que a te, que distância o carro de trás
velocidade média desenvolvida du- deve percorrer para alcançar o da
rante o teste completo, em km/h, frente?
foi de:

a) 50 a) 225 m 687
b) 67 b) 525 m

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM c) 630 m S1 = 30 – 80 . t e S2 = 10 + 20 . t.
d) 680 m O instante e a posição de encontro são, respectiva-
e) 720 m mente:

11. (UFPE) Decorrem 5,0 s entre o instante em que um ob- a) 0,4 s e 1,4 m
servador vê um relâmpago e o instante em que ouve o b) 0,2 s e 1,4 m
trovão. Aproximadamente, a quantos metros do obser- c) 2,0 s e 1,4 m
vador caiu o raio? (velocidade do som: 340 m/s; velo- d) 2,0 s e 14,0 m
cidade da luz: 3,0 . 108 m/s) e) 0,2 s e 14,0 m

a) 1,7 . 103 m 14. (Unicamp-SP) Um corredor de 100 metros rasos per-
b) 5 102 m corre os 20 primeiros metros da corrida em 4,0 s com
c) 15 . 103 m aceleração constante. A velocidade atingida ao final
d) 3,5 . 103 m dos 4,0 s é então mantida constante até o final da cor-
e) 4,2 . 102 m rida.

12. (UFMG) Marcelo Negrão, numa partida de vôlei, deu a) Qual é a aceleração do corredor nos primeiros 20 m da
uma cortada na qual a bola partiu com uma velocida- corrida?
de de 126 km/h (35 m/s). Sua mão golpeou a bola
a 3,0 m de altura, sobre a rede, e ela tocou o chão do b) Qual é a velocidade atingida ao final dos primeiros
adversário a 4,0 m da base da rede, como mostra a 20 m?
figura.
c Qual é o tempo gasto pelo corredor em toda a prova?

15. (UFMS) Um carro passa por um radar colocado em um
estrada longa e retilínea. O computador, ligado ao ra-
dar, afere que a equação horária obedecida pelo carro
é dada por s(t) = 2 + 70 . t + 3 . t2, em que s é medido
em km e t em horas. Considerando que o carro é equi-
pado com um limitador de velocidade, que não permi-
te que ele ultrapasse os 100 km/h, e que, no instante
t = 0 h, o carro passa exatamente em frente ao radar,
é correto afirmar que:

(01) o radar está a 2 km do inicio da estrada (km 0)

Nessa situação pode-se considerar, com boa aproxima- (02) se a velocidade máxima permitida no trecho for de
ção, que o movimento da bola é retilíneo e uniforme. 60 km/h, o condutor será multado por excesso de ve-
locidade.

Considerando essa aproximação, pode-se afirmar que (04) a velocidade do carro aumenta a uma taxa de 6 km/h
o tempo decorrido entre o golpe do jogador e o toque em cada hora.

da bola no chão é de: (08) após uma hora, o carro passará pela cidade mais pró-

xima do radar, que se encontra a 73 km do mesmo.

a) 5/126 s (16) após 5 h, o controlador de velocidade será acionado.
b) 4/35 s A soma das alternativas corretas é igual a:

c) 3/35 s

d) 2/63 s a) 03

e) 1/7 s b) 7

13. (FUC-MT) Dois móveis percorrem a mesma trajetória c) 12
e suas posições são medidas a partir de uma origem d) 15
comum. No Sistema Internacional suas funções são: e) 31

688

16. (UFR-RJ) Os gráficos abaixo representam aceleração X S A FÍSICA
tempo e velocidade X tempo para um corpo em movi- B
mento:

tB

Quanto ao movimento pode-se afirmar que é: Marque a afirmativa correta:

a) retilíneo e uniforme. a) Na origem do gráfico, ambos os trens estavam parados.
b) uniformemente retardado e progressivo.
c) uniformemente retardado e retrógrado. b) Os trens aceleraram o tempo todo.
d) uniformemente acelerado e progressivo.
e) uniformemente acelerado e retrógrado. c) No instante tB, ambos os trens têm a mesma veloci-
dade.
17. (PUC-MG) Dizer que um automóvel tem aceleração
igual a 1,0 m/s2 equivale a se afirmar que: d) Ambos os trens têm a mesma aceleração em algum ins-
tante anterior a tB.
a) a cada segundo sua velocidade aumenta de 3,6 km/h.
b) a cada hora sua velocidade aumenta de 1,0 m/s. e) Ambos os trens têm a mesma velocidade em algum ins-
c) a cada hora sua velocidade aumenta de 60 km/h. tante anterior a tB.
d) a cada segundo sua velocidade diminui de 1/3,6 km/h.
e) a cada segundo sua velocidade diminui de 60 km/h. 20. (Vunesp) O gráfico na figura descreve o movimento de
um caminhão de coleta de lixo em uma rua reta e pla-
na, durante 15 s de trabalho.

18. (Mack-SP) Ao abrir o semáforo, um automóvel partiu do
repouso movimentando-se em linha reta, obedecendo
ao gráfico. Após 20 s, o automóvel percorreu 280 m. A
aceleração do carro nos primeiros 5 s foi de:

a) Calcule a distância total percorrida neste intervalo de
tempo.

b) Calcule a velocidade média do veículo.

a) 4,0 m/s2 21. (UF Pelotas-RS) Um automóvel parte de um posto de
b) 3,2 m/s2 gasolina e percorre 400 m sobre uma estrada retilí-
c) 2,4 m/s2 nea, com aceleração escalar constante de 0,5 m/s2.
d) 1,6 m/s2 Em seguida o motorista começa a frear, pois ele sabe
que, 500 m adiante do posto, existe um grande bu-
raco na pista. Sabendo-se que o motorista, durante a
freada do carro, tem aceleração escalar constante de
–2,0 m/s2, podemos afirmar que o carro:

e) 0,8 m/s2

a) para 10 m antes de atingir o buraco.

19. (PUC-RJ) O gráfico mostra a posição, em função do b) chega ao buraco com velocidade escalar de 10 m/s.
tempo, de dois trens que viajam no mesmo sentido em
trilhos paralelos. c) para 20 m antes de atingir o buraco.

689

d) chega ao buraco com velocidade escalar de 5,0 m/s. a) 20,12 km
CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM
e) para exatamente ao chegar ao buraco. b) 19,88 km
Espaço Percorrido (cm)
c) 19,64 km
| | ||||||||||
22. (UFSCar-SP) Os dois registros fotográficos apresenta- d) 19,40 km
dos foram obtidos com uma máquina fotográfica de
repetição montada sobre um tripé, capaz de disparar e) 19,16 km

o obturador, tracionar o rolo de filme para uma nova
exposição e disparar novamente, em intervalos de

Q Rtempo de 1 s entre uma fotografia e outra.
UESTÕES ESOLVIDAS

A placa do ponto de ônibus e o hidrante estão distantes 24. (UEL-PR) No departamento de Física da UEL, foi reali-
3 m um do outro. Analise as afirmações seguintes, so- zado um experimento de queda livre cuja equação de
bre o movimento realizado pelo ônibus: movimento foi obtida com o auxilio de um computador.
O experimento consistiu na aquisição de um sinal elé-
trico cada vez que um objeto, em queda, interrompia
um feixe de luz laser que era direcionado por espelhos
(separados por 2 cm) até ser coletado numa fotocélula
(ver figura). O objeto de estudo foi uma pena, para qual
a resistência do ar não pode ser desprezada. A fotocé-
lula, quando recebia luz, produzia uma tensão elétrica,
e o tempo entre as interrupções de luz era registrado
pelo computador. Ao final da queda, obteve-se um grá-
fico de espaço percorrido versus tempo (S X t) cujos
dados são mostrados no gráfico abaixo. Pelo arranjo
experimental, conseguiu-se simplificar a equação que
descreve o movimento, uma vez que o espaço inicial,
bem como a velocidade inicial, puderam ser conside-
rados zero.

I. O deslocamento foi de 3 m.

II. O movimento foi acelerado 11
III. A velocidade média foi de 3 m/s. 10
IV. A distancia efetivamente percorrida foi de 3 m.
9
Com base somente nas informações dadas, é possível 8
assegurar, apenas, o contido em: 7
6
a) I e III
b) II e IV 5
c) I e IV 4
d) I, II e III 3
e) II, III e IV 2
1

0

-1 | | | | | | | | | |

-0,2 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6 1,8

tempo (s)

23. (Mack-SP) Duas cidades, A e B, são interligadas por Sabendo que a função polinomial que descreve o movi-
uma estrada com 50 km de comprimento. Em certo mento é do tipo F(x)= A + Bx + Cx2, e qauceeleAra=çsã0o=“a0”edBa
instante, um automóvel parte do repouso, da cidade =pevn0a=e0m, qual o valor aproximado da
A rumo à cidade B, com aceleração escalar constante cm/s2?
de 1,0 m/s2, durante 20 s. Após esse tempo, sua ve-
locidade escalar permanece constante. No instante a) 3,6
em que esse automóvel parte da cidade A, um outro b) 5,3
automóvel passa pela cidade B, dirigindo-se à cidade c) 7,1
A, com velocidade escalar constante de 108 km/h. d) 9,8
A distância, relativa à cidade A, medida ao longo da e) 12,2
estrada, em que ocorre o encontro desses dois auto-
móveis é:

690

Resolução: b) o tempo de subida é maior que o tempo de descida. FÍSICA
Distância percorrida pela pena até passar pelo ultimo c) o tempo de subida é igual ao de descida.
espelho = 8 cm, pelo gráfico t = 1,5 s d) a força de resistência do ar atua no mesmo sentido da

s0 = 0 v0 = 0 então temos: gravidade tanto na subida quanto na descida.
e) nenhuma das afirmativas acima é verdadeira.
s = gt2 → 8 = a ⋅1,52 → 16 = a. 1,52 → a = 7,1 cm/s2
22 28. (UFSCar) Um pequeno objeto, quando lançado vertical-
mente para cima, retorna ao local de partida após ter
25. (Vunesp) Segundo se divulga, a Big Tower do parque percorrido o tempo de 2 t. Dos conjuntos de gráficos
de diversões Beto Carreiro World possui uma torre ra- apresentados, aquele que se pode adequar perfeita-
dical com 100 m de altura. Caso o elevador estivesse mente à situação descrita, supondo desprezível a ação
em queda livre por todo esse trecho, e considerando o resistiva do ar, é:
valor da aceleração da gravidade como sendo 10 m/
s2, e que o elevador parte do repouso, conclui-se que
sua velocidade ao final dos 100 m seria, em m/s, de:

a) 33,2
b) 37,4
c) 44,7
d) 49,1
e) 64,0

Resolução:

s = gt2 → 100 = 10t2 → t = 4,47 s
22

Então a velocidade será:
v = v0 + gt →v = 0 + 10 . 4,47 → v = 44,7 m/s

QUESTÕES PROPOSTAS

26. (Vunesp) Para deslocar tijolos, é comum vermos em 29. (Vunesp) Um corpo A é abandonado de uma altura de
obras de construção civil um operário no solo, lançan- 80 m no mesmo instante em que um corpo B é lan-
do tijolos para outro que se encontra posto no piso çado verticalmente para baixo com velocidade inicial
superior. Considerando o lançamento vertical, a resis- de 10 m/s, de uma altura de 120 m. Desprezando a
tência do ar nula, a aceleração da gravidade igual a resistência do ar e considerando a aceleração da gra-
10 m/s2 e a distância entre a mão do lançador e a do vidade como sendo 10 m/s2, é correto afirmar, sobre o
receptor 3,2 m, a velocidade com que cada tijolo deve movimento desses dois corpos, que:
ser lançado para que chegue às mãos do receptor com
velocidade nula deve ser de: a) os dois chegam ao solo ao mesmo tempo.

a) 5,2 m/s b) o corpo B chega ao solo 2,0 s antes que o corpo A.
b) 6,0 m/s
c) 7,2 m/s c) o tempo gasto para o corpo A chegar ao solo é 2,0 s
d) 8,0 m/s menor que o tempo gasto pelo B.
e) 9,0 m/s
d) o corpo A atinge o solo 4,0 s antes que o corpo B.
27. (UnB-DF) Lançando uma pedra verticalmente para
cima e considerando constante a aceleração da gravi- e) o corpo B atinge o solo antes que o corpo A. 691
dade e a resistência do ar, podemos afirmar que:

a) o tempo de subida é menor que o tempo de descida.

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 30. (UFPE) Uma pedra é lançada verticalmente para cima Considere um atleta que consegue elevar seus pés a 0,45
a partir do solo e, depois de transcorridos 10 s, retorna m do chão e a aceleração da gravidade igual a 10 m/s2.
ao ponto de partida. A velocidade inicial do lançamen-
to da pedra vale: 33. O tempo de voo desse atleta, em segundos, correspon-
de aproximadamente a:
a) 20 m/s
b) 40 m/s a) 0,1
c) 50 m/s b) 0,3
d) 80 m/s c) 0,6
e) 90 m/s d) 0,9

31. (UEL-PR) Para calcular a altura de uma ponte sobre o
leito de um rio, um garoto abandonou uma pedra da 34. A velocidade inicial do centro de gravidade desse atle-
ponte, a partir do repouso, e mediu o tempo transcor- ta ao saltar, em metros por segundo, foi da ordem de:

rido até que ela atingisse a superfície da água. Consi-
derando a aceleração da gravidade igual afo1i 0dem2/,s22 e
sabendo que o tempo de queda da pedra s, a) 1

pode-se afirmar que a altura da ponte, em metros, é b) 3
um valor mais próximo de:
c) 6

a) 16 d) 9

b) 20 QUESTÃO RESOLVIDA
c) 22
d) 24

e) 48 35. (Fuvest-SP) Uma bola chutada horizontalmente de

32. (UnB-DF) A famosa cachoeira de Itiquira tem uma altura criiampaadrceiaulmmaenlatejer,ecgoimstrvaedlaoceidmaduemva0,ftoetmo, sua trajetó-
de, aproximadamente, 180 m. Desprezando-se a resis- representa-
tência do ar e considerando-se a aceleração da gravida- da no desenho a seguir. A bola bate no chão, no ponto
de igual a 10 m/s2, pode-se afirmar que a água terá, na A, voltando a atingir o chão em B, em choques parcial-
mente inelásticos.

base da cachoeira, uma velocidade aproximada de:

a) 60 m/s Note e adote:
b) 90 m/s Nos choques, a velocidade horizontal da bola não é al-
c) 18 m/s terada.
d) 120 m/s Desconsidere a resistência do ar, o atrito e os efeitos de
e) 30 m/s rotação da bola.

(UERJ) Utilize as informações a seguir para responder às a) Estime o tempo t, em s, que a bola leva até atingir o
questões de número 33 e 34 chão, no ponto A.
Em um jogo de voleibol, denomina-se tempo de voo o
intervalo de tempo durante o qual um atleta que salta
para cortar uma bola está com ambos os pés fora do
chão, como ilustra a fotografia.

b) Calcule a distância D, em metros, entre os pontos A e B.

c) Determine o módulo da velocidade vertical da bola vAA.,
em m/s, logo após seu impacto com o chão no ponto

Resolução:
a) O movimento vertical da bola é uniformemente variado.
Do lançamento até o ponto A, temos:

692

H1 = gt2 → 3,2 = 10t2 → t2 = 0,8 s 39. (UFMA) Um garoto lança horizontalmente uma bola, FÍSICA
22 da altura de 80,0 cm, com a intenção de atingir um
buraco situado a 0,0080 km do ponto de lançamento,
b) O movimento horizontal da bola é uniforme. Do lança- conforme figura abaixo. Com qual velocidade inicial,
mento até o ponto A, temos: em m/s, a bola deve ser lançada para alcançar direta-
mente o buraco?
v0 = 1, 62 → v0 = 1, 62 → v0 = 2m/s Considere: g = 10 m/s2.
t 0,8

O tempo gasto na segunda descida até o ponto B é dado
por:

H2 = gt '2 → 1,8 = 10t '2 → t’2 = 0,6 s
2 2
a) 5 m/s
Assim, para o calculo da distância D, vem: b 10 m/s
D = v0 . 2t’ → D = 2 . 2 . 0,6 → D = 2,4 m c) 20 m/s
d) 30 m/s
c) Para a primeira subida da bola, na vertical, temos: e) 40 m/s
v = vA – gt’ → 0 = vA – 10 . 0,6 → vA = 6 m/s
40. (FEI-SP) Um avião, em voo horizontal a 2000 m de al-
QUESTÕES PROPOSTAS tura, deve soltar uma bomba sobre um alvo móvel. A
velocidade do avião é de 432 km/h e a do alvo é de 10
36. (Vunesp) Um balão se desloca horizontalmente, a m/s, ambas constantes e de mesmo sentido.
80,0 m do solo, com velocidade constante de 6,0 m/s.
Quando passa exatamente sobre um jovem parado no
solo, um saquinho de areia é abandonado do balão.
Desprezando qualquer atrito do saquinho com o ar e
considerando g = 10,0m/s², calcule:

a) o tempo gasto pelo saquinho para atingir o solo, consi-
derado plano.

b) a distância entre o jovem e o ponto onde o saquinho
atinge o solo.

37. (Fuvest-SP) Num jogo de vôlei, o jogador que está junto Para o alvo ser atingido, o avião deverá soltar a bomba
a rede salta e “corta” uma bola levantada na direção a uma distância d, em metros, igual a:
vertical, no instante em que ela atinge uma altura má-
xima, h = 3,2 m. Nessa “cortada” a bola adquire uma a) 200 m
velocidade de módulo v, na direção paralela ao solo b) 2200 m
e perpendicular à rede, e cai exatamente na linha de c) 2400 m
fundo da quadra. A distância entre a linha de meio da d) 2600 m
quadra (projeção da rede) e a linha de fundo é de d = e) 2800 m
9,0 m. Adote g = 10 m/s2. Calcule:
41. (UFRGS-RS) A figura representa as trajetórias dos pro-
a) o tempo decorrido entre a cortada e a queda da bola na jéteis A e B, desde seu lançamento simultâneo do topo
linha de fundo; de uma torre, até atingirem o solo, considerado perfei-
tamente horizontal. A altura mínima é a mesma para
b) a velocidade v que o jogador transmitiu à bola. as duas trajetórias, e o efeito do ar, desprezível nesses
movimentos.
38. (PUC-RJ) Na ausência de resistência do ar, um objeto
largado sob um avião voando em linha reta horizontal
com velocidade constante:

a) subirá acima do avião e depois cairá.
b) rapidamente ficará para trás.
c) rapidamente ultrapassará o avião.
d) oscilará para frente e para trás do avião.
e) permanecerá sob o avião.

693

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Selecione a alternativa que preenche corretamente as

Q Rlacunas do parágrafo a seguir.
UESTÕES ESOLVIDAS

“O projétil A atinge o solo................ o projétil B. So-
bre a componente horizontal da velocidade no pon- 45. Uma partícula está em MCU, no sentido anti-horário,
to mais alto da trajetória, pode-se afirmar que ela e o raio da circunferência é de 5 cm. Sua velocidade
linear é v = 10π cm/s. Sendo o espaço angular inicial
é......................... . φ0 = 3 rad, determine:

a) antes que – nula para ambos os projéteis. a) a função horária do espaço angular;
b) antes que – maior para o projétil B do que para o projétil b) o período e a frequência;
c) a aceleração centrípeta.
A.
c) antes que – menor para o projétil B do que para o projé- Resolução:

til A . Considerando o sentido anti-horário como positivo, a velo-
d) ao mesmo tempo que – menor para o projétil B do que cidade angular é:

para o projétil A .
e) ao mesmo tempo que – maior para o projétil B do que

para o projétil A.

42. (UECE) Uma bola é lançada para cima, em uma dire- ω = V = 10π ⇒ ω = 2π rad/s
ção que forma um ângulo de 60º com a horizontal. R5
Sabe-se que a velocidade da bola, ao alcançar a altura
máxima, é de 20 m/s. Pode -se afirmar, então, que a
velocidade de lançamento da bola tem módulo:
Logo: φ = φ0 + ω . t → φ = 3 + 2π . t (rad/s)

a) 10 m/s b) ω = 2π ⇒ 2π = 2π ⇒ T = 1s e f = 1 = 1 ⇒ f = 1Hz
b) 20 m/s TT T1
c) 40 m/s
d) 23 m/s ( )c) acp = ω2 ⋅ R = 2π 2 ⋅ 5 = 4π2 ⋅ 5 ⇒ acp = 20πc2m/s2
e) 46 m/s
46. (UEL-PR) A roda de uma motocicleta em movimento
43. Uma pedra é lançada obliquamente no vácuo com ve- gira com uma frequência de 30 Hz. Supondo que o
locidade inicial de módulo 100 m/s segundo o ângulo ≠
de tiro , com sen = 0,60 e cos = 0,80. Considere g = 10 diâmetro da roda seja igual a 50 cm e que a roda não
m/s2 . Determine: deslize no asfalto, determine a velocidade da moto,
em km/h.
a) as componentes horizontal e vertical da velocidade;
b) o tempo de subida; Resolução:
c) a altura máxima;
d) o alcance horizontal. f = 30 Hz R = 25 cm v = ?
≠
44. Uma pedra foi lançada sob angulo de tiro 30° e atingiu
o vértice de sua trajetória após 5 s. Qual a velocidade Como ω = 2π . f, tem-se v = ω . R = 2π . f . R = 2π . (30/π) .
de lançamento, considerando a resistência do ar des- 25 = 1500 cm/s ou 15m/s ou 54 km/h
prezível e g = 10 m/s2.
47. (UFSCar-SP) Para possibilitar o translado da fábri-
a) 50 m/s ca até a construção, o concreto precisa ser mantido
b) 75 m/s em constante agitação. É por esse motivo que as
c) 100 m/s betoneiras, quando carregadas, mantém seu tam-
d) 150 m/s bor misturador sob rotação constante de 4 r.p.m.
694 e) 200 m/s Esse movimento só é possível devido ao engate por
correntes de duas engrenagens, uma grande, presa
ao tambor e de diâmetro 1,2 m, e outra pequena,
de diâmetro 0,4 m, conectada solidariamente a um
motor.

49. (PUC-SP) Um móvel parte do repouso e percorre uma FÍSICA
trajetória circular de raio 100 m, assumindo movimen-
to uniformemente acelerado de aceleração escalar
1 m/s2. Quanto valem as componentes tangencial e
centrípeta da aceleração, respectivamente, em m/s2,
após 10 segundos?

Na obra, para que a betoneira descarregue seu conteú- a) 0 e 1
do, o tambor é posto em rotação inversa, com veloci- b) 1 e 1
dade angular 5 vezes maior que a aplicada durante o c) 1 e 3
transporte. Nesse momento, a frequência de rotação d) 2 e 3
do eixo da engrenagem menor, em r.p.m., é: e) 1 e 2

a) 40 50. (UFMG) Um ventilador acaba de ser desligado e está
b) 45 parando vagarosamente, girando no sentido horário. A
c) 50 direção e o sentido da aceleração da pá do ventilador
d) 55 no ponto P é:
e) 60

Resolução:
As velocidades dos pontos da periferia das engrenagens
maior e menor são iguais. Assim, temos:
v1 = v2 → ω1 . R1 = ω2 . R2 → 2π . f1 . R1 = 2π . f2 . R2 →

→ f ⋅ 0, 4 = 5 ⋅ 4 ⋅ 1,2 → f = 60 rpm 51. (Vunesp) Pesquisadores têm observado que a capaci-
22 dade de fertilização dos espermatozoides é reduzida
quando estas células reprodutoras são submetidas a
48. Uma esfera maciça descreve um movimento circular situações de intenso campo gravitacional, que podem
uniformemente variado de 10 m de raio, a partir do re- ser simuladas usando centrífugas. Em geral, uma cen-
pouso, no sentido horário. A aceleração escalar é igual trífuga faz girar diversos tubos de ensaio ao mesmo
a 1,0 m/s2. Então, no instante t = 5 s, determine: tempo; a figura representa uma centrífuga em alta ro-
tação, vista de cima, com quatro tubos de ensaio pra-
a) a intensidade da velocidade vetorial; ticamente no plano horizontal.
b) a intensidade da aceleração centrípeta;
c) o esquema vetorial, mostrando as componentes da velo-

cidade e da aceleração.

Resolução:

a) v = v0 + a . t = 0 + 1 . 5 , logo v = 5 m/s

b) acp = V2 = 52 ⇒ acp = 2,5m/s2
R 10

c) Num ponto genérico: As amostras são acomodadas no fundo de cada um dos
tubos de ensaio e a distância do eixo da centrífuga até os
extremos dos tubos em rotação é 9,0 cm. Considerando
g = 10m/s2, calcule a velocidade angular da centrífuga
para gerar o efeito de uma aceleração gravitacional de
8,1 g.

695

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 52. (Vunesp) Sem se segurar ou se apoiar em nada, ape- 56. (UFRS) Para um observador O, um disco metálico de
nas se equilibrando sobre os pés, um menino se deslo- raio r gira em movimento uniforme em torno de seu
ca, com velocidade de 4,5 m/s dentro de um carrossel próprio eixo, que permanece em repouso. Considere
de raio 3,0 m. Seu movimento acompanha o sentido as seguintes afirmações sobre o movimento do disco.
de rotação do brinquedo e é executado próximo a sua
borda. Sabendo que a velocidade angular do carros- I – O módulo v da velocidade linear é o mesmo para todos
sel é 3,0 rad/s em relação ao seu eixo, fixo na Terra, os pontos do disco, com exceção do seu centro.

pergunta-se: II –O módulo ω da velocidade angular é o mesmo para to-
dos os pontos do disco, com exceção do seu centro.

a) qual a velocidade angular do menino em relação ao eixo III – Durante uma volta completa, qualquer ponto da peri-
do carrossel? feria do disco percorre uma distância igual a 2πr.

b) caso o carrossel parasse abruptamente e o menino fos- Quais estão corretas do ponto de vista do observador O?
se lançado para fora do brinquedo, qual seria a sua ve-
locidade em relação à Terra? a) apenas II

b) apenas III

53. (UFSE) Uma polia está girando uniformemente com c) apenas I e II
frequência de 20 Hz. Considere um ponto P dessa po- d) apenas II e III
lia a 10 cm do eixo de rotação. Qual o tempo gasto por e) I, II e III
esse ponto para completar uma volta?

a) 0,05 s 57. Um satélite utilizado em comunicação é colocado em
b) 0,10 s órbita circular acima da linha do equador com velo-
c) 0,20 s cidade escalar veSm e raenlagçuãlaor aωuSm .Soabbsee-rsvea qduore nealeT eprerra-
d) 1,0 s manece imóvel
e) 1,2 s (satélite estacionário).

ωSeTn ad voevlToacivdealdoec iadnagduelaers cdaal aTrerdrea,u pmodpeomntoosd aofiermquaard qouree:

54. (Fatec-SP) Um satélite artificial gira ao redor da Terra a) vS > vT e ωS = ωT
à altura de 600 km (dados: raio da Terra é aproxima- b) vS = vT e ωS = ωT
damente igual a 6400 km e período de rotação 24 h
Qual deve ser sua velocidade linear para que um ob- c) vS < vT e ωS > ωT

servador, colocado na Terra, tenha a impressão de que d) vS = vT e ωS < ωT
se encontra parado?
e) vS > vT e ωS > ωT

a) 500 km/h 58. (FEI-SP) Suponha que um elétron se movimenta em
b) 1050 km/h uma trajetória circular em torno de um núcleo, com
c) 1430 km/h velocidade constante de 2 . 106 m/s. Sabendo-se que
d) 1832 km/h o raio dessa órbita é de 0,5 Ǻ, qual o módulo da acele-
e) 2300 km/h ração do elétron? (dado: 1 Ǻ = 10–10 m).

55. (UFPE) A velocidade de um automóvel pode ser medi- a) 2 108
da facilmente através de um dispositivo que registra b) 8 . 1022
o número de rotações efetuadas por uma das rodas, c) 5 . 1017
desde que se conheça seu diâmetro. Considere, por d) 2 . 1020
exemplo, um pneu cujo diâmetro é de 0,50 m. Se o e) 5 . 1012
pneu executa 480 rotações em cada minuto, pode-se
afirmar que a velocidade do automóvel, em m/s, é: 59. (Fuvest-SP) Uma cinta funciona solidária com dois ci-
lqinuderooscidliendraroioms Rai1o=r t1e0nhcamuemRa2 = 50 cm. Supondo-se
a) 4π f2 = 60 rpm: frequência de rotação
b) 8π
c) 12π
d) 16π
e) 20π

696

a) qual a frequência de rotação f1 do cilindro menor? Fazendo (I) + (II), vem: 2 vB = 70 → vB = 35 km/h FÍSICA
b) Qual a velocidade da cinta? Logo, vC = 5,0 km/h

60. (Mack-SP) Duas partículas, A e B, descrevem movi- 62. Um rio de margens retilíneas e largura constante igual
mentos circulares uniformes com velocidades escala- a 5 km tem águas que correm paralelamente às mar-
res respectivamente iguais a v e 2v. O raio da trajetória gens, com velocidade de intensidade 30 km/h. Um
descrita por A é o dobro do raio daquela descrita por B. barco, cujo motor lhe imprime velocidade de intensi-
A relação entre os módulos de suas acelerações cen- dade sempre igual a 50 km/h em relação às águas,
trípetas é: faz a travessia do rio.

a) acpA = 1 acpB a) Qual o mínimo intervalo de tempo possível para que o
8 barco atravesse o rio?

b) acpA = 1 acpB b) Na condição de atravessar o rio no intervalo de tempo
4 mínino, que distância o barco percorre paralelamente às
margens?
c) acpA = 1 acpB
2 c) Qual o intervalo de tempo necessário para que o bar-
co atravesse o rio percorrendo a menor distância pos-
d) acpA = acpB sível?
e) acpA = 2acpB
Resolução:
QUESTÕES RESOLVIDAS a) A travessia do rio é feita no menor intervalo de tempo
possível quando a velocidade do barco em relação às
águas é mantida perpendicularmente à velocidade da
correnteza. O movimento relativo é independente do mo-
vimento de arrastamento.

61. Um barco motorizado desce um rio deslocando-se de
um porto A até o porto B, distante 36 km, em 0,90
h. Em seguida, esse mesmo barco sobe o rio deslo-
cando-se do porto B até o porto A em 1,2 h. Sendo àvsB
a intensidade da velocidade do barco em relação
ráegluaaçãs oe àvsC a intensidade da velocidade das águas em
margens, calcule vB e vC. Travessia em tempo mínimo:

Resolução: vrel = L ⇒ 50 = 5 ⇒ Δt = 0,01h = 6 min
Δt Δt
O barco desce o rio:

b) A distância D que o barco percorre paralelamente às
margens, arrastado pelas águas do rio, é calculada por:

v arr = D ⇒ 30 = D ⇒D = 3 km
Δt 0,1

c) A travessia do rio é feita com o barco percorrendo a
menor distância possível entre as margens quando sua
velocidade em relação ao solo (velocidade resultante) é
mantida perpendicularmente à velocidade da correnteza.

vB + vC = D ⇒ vB + vC = 36 = 40 km/h (I)
Δt1 0,90

O barco sobe o rio:

Travessia em distância mínima;

I) Pelo Teorema de Pitágoras:

v 2 = vr2es + va2rr ⇒ 502 = vr2es + 302 ⇒ vres = 40 km/h
rel

vB − vC = D ⇒ vB − vC = 36 = 30 km/h ( II ) II) v 2 = vr2es = L ⇒ 40 = 5 ⇒ Δt' = 0,125 h = 7,5min
Δt2 1, 2 rel Δt' Δt'

697

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 63. (UFMT) Um homem tem velocidade, relativa a uma 67. (UFBA) Um pássaro parte em voo retilíneo e horizon-
esteira, de módulo 1,5 m/s e direção perpendicular tal, de seu ninho para uma árvore distante 75 m, e vol-
à da velocidade de arrastamento da esteira. A largu- ta sem interromper o voo sobre a mesma trajetória.
ra da esteira é de 3 m e a sua velocidade de arras- Sabendo que sopra um vento de 5 m/s, na direção e
tamento, em relação ao solo, tem módulo igual a 2 sentido da árvore para o ninho, e que o pássaro man-
m/s. Calcule: tém, em relação à massa de ar, uma velocidade cons-
tante de 10 m/s, determine, em segundos, o tempo
a) o módulo da velocidade da pessoa em relação ao solo; gasto no percurso de ida e volta.

b) a distância percorrida pela pessoa, em relação ao solo, a) 10 s
ao atravessar a esteira.
b) 20 s

64. (PUC-RS) A correnteza de um rio tem velocidade cons- c) 30 s
tante de 3 m/s em relação às margens.Um barco, que d) 50 s
se movimenta com velocidade constante de 5 m/s em e) 1 min
relação à água, atravessa o rio indo em linha reta de
um ponto A a outro B, situado imediatamente à frente, 68. (UFPE) Um remador está descendo um rio com veloci-
na margem oposta. Sabendo que a direção AB é per- dade de 3 m/s em relação à margem. A velocidade da
pendicular à velocidade da correnteza, qual é a veloci- correnteza é de 0,5 m/s em relação à margem. Em um
dade do barco em relação às margens? determinado instante, o vento atira o boné do rema-
dor, no rio, a uma distância de 17,5 m m em linha reta,
a) 2 m/s à sua frente. Em quantos segundos o remador alcan-
b) 3 m/s çará o boné deslocando-se em linha reta?
c) 4 m/s

d) 5 m/s a) 10 s
e) 6 m/s b) 5 s

c) 15 s

65. (FEI-SP) Um vagão está animado de velocidade, cujo d) 7 s
módulo é v, relativa ao solo. Um passageiro situado no
interior do vagão move-se com a mesma velocidade e) 2 s
em módulo, com relação ao vagão. Podemos afirmar
que o módulo da velocidade do passageiro, relativa ao
solo, é: 69. (Mack-SP) Um rio corre para o norte com velocidade
de 4,8 km/h. Um homem rema num bote, para cruzar
o rio, com uma velocidade em relação a água de 6,4
a) certamente nulo; km/h para leste. Em relação à Terra, a velocidade do
bote será aproximadamente igual a:
b) certamente menor que v;

c) certamente igual a 2v; a) 8,05 km/h
d) certamente maior que v; b) 9,05 km/h
e) um valor qualquer dentro do intervalo [0, 2v] c) 7,05 km/h

66. (Fatec-SP) Sob a chuva que cai verticalmente, uma d) 6,05 km/h
pessoa caminha horizontalmente com velocidade e) 5,05 km/h
de 1,0 m/s, inclinando o guarda-chuva a 30º (em re-
lação à vertical) para resguardar-se o melhor possí- 70. Uma pessoa caminha com velocidade de 1 m/s dentro
vel. Qual a velocidade da chuva em relação ao solo? de um ônibus que se move a 10m/s. Nesta situação a
(tg 60º = 1,7) menor velocidade que ela pode ter em relação ao solo é:

a) 1,7 m/s a) 10 m/s
b) 2,3 m/s b) 5 m/s
c) 2,8 m/s c) 0 m/s
d) 3 m/s d) 9 m/s
e) 3,6 m/s e) 11 m/s

698

FÍSICA

Respostas 12) e 22) a 37) a) t = 0,8 s 44) c 60) a
3) a 13) e 23) a b) v = 11,25 49) b 63) a) 2,5 m/s
4) I – a 14) a) 2,5 m/s 26) d 50) c
27) a m/s 51) ω = 30 rad/s b) 4 m
II – b b) 10 m/s 28) d 38) e 53) a 65) e
5) b c) 12,0 s 29) a 39) c 54) d 66) a
6) I – d 15) e 30) c 40) b 55) a 67) b
16) d 31) d 41) c 56) d 68) d
II – b 17) a 32) a 42) c 57) a 69) a
7) c 18) b 33) c 43) a)80 m/s e 58) b 70) d
8) d 19) e 34) b 60 m/s 59) a) 5 Hz
9) a 20) a) 72 m 36) a) 6.32 s
10) b b) 4.8 m/s b)6s b) 100π cm/s
11) a 21) e b) 37.92 m c)180m = π m/s
d)960m

699