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BIOLOGIA

BLOCO 8

ECOLOGIA

INTRODUÇÃO de uma região. O conceito de ecossis- mento e necessitam se alimentar de
tema é técnico. O ecossistema pode outros seres vivos para obter nutrien-
O estudo das inter-relações existentes ser pequeno, como um aquário, ou tes indispensáveis à vida.
entre os seres vivos e, também, destes imenso como o próprio planeta Terra.
com o ambiente, recebem o nome de Os heterótrofos são: consumido-
Ecologia (oikos = casa; logia = estudo). Habitat: é o lugar ou região que um res (primários, secundários e terciá-
organismo ocupa em um ecossistema. rios) e decompositores.
Termos importantes em Ecologia Pode ser definido, também, como o
População: conjunto de indivíduos local onde encontramos o ser vivo na • Consumidores primários: todos
da mesma espécie que vive em de- natureza. os organismos que se alimentam
terminada região, ao mesmo tempo, e de produtores (animais herbívoros
que mantêm relação entre si. São exemplos: o Pólo Norte, hábitat e onívoros).
São exemplos: os esquilos de uma flo- do urso polar; o Pantanal, hábitat do
resta, os humanos de uma cidade; as jacaré; a Mata Atlântica, hábitat do • Consumidores secundários: to-
onças das matas; o capim de um pasto. mico-leão-dourado. dos os organismos que se alimen-
Comunidade ou Biocenose: conjun- tam de um consumidor primário.
to de todas as populações que vivem Nicho ecológico: é a descrição do
em uma determinada região e que inte- modo de vida de um organismo, ou • Consumidores terciários: todos
ragem entre si, ou seja, conjuntos de seja, caracteriza-se pelo conjunto de os organismos que se alimentam
indivíduos de espécies diferentes. atividades desempenhadas por um de- de um consumidor secundário.
São exemplos: os sapos, os insetos, terminado ser vivo. Tanto os consumidores secundá-
as algas, os iguapés, os peixes de uma rios como os terciários são ani-
lagoa. São exemplos: o tamanduá-bandeira mais carnívoros ou onívoros.
As populações e as comunida- possui hábitos diurnos, vive cerca de
des de uma região que interagem 25 anos, tem um filhote a cada gesta- • Decompositores: São os orga-
entre si representam os fatores ção, alimenta-se de formigas e cupins, nismos que obtêm seus nutrien-
bióticos, ou seja, todos os orga- e suas patas dianteiras apresentam tes por meio da decomposição
nismos vivos dessa região. garras fortes para cavar os formiguei- dos produtores (ou de suas par-
As populações e comunidades que ros e cupinzeiros. tes) e dos consumidores (ou de
vivem em uma região e que interagem suas partes). São exemplos de
entre si estão sujeitos à interação dos Observação: Para fins didáticos, decompositores os fungos e as
fatores climáticos, químicos e geoló- podemos comparar o hábitat ao “en- bactérias.
gicos dessa região. Esses fatores são dereço”, e o nicho ecológico à “pro-
chamados fatores abióticos. fissão”. Mas é bom lembrar que esta FICHA 1 – TRANSFERÊNCIA
São fatores abióticos: temperatu- comparação é apenas didática.
ra, umidade, índice pluviométrico, sali- DE NUTRIENTES E ENERGIA
nidade, tipo de solo. Em um ecossistema qualquer, po- EM UM ECOSSISTEMA
Os componentes físicos, quími- demos classificar os fatores bióticos
cos e geológicos de uma região em: Nos ecossistemas, a transferência
são chamados de fatores dos nutrientes (fluxo de matéria) e da
abióticos. Organismos Autótrofos: são todos energia (fluxo de energia) necessária
os seres vivos que sintetizam seu à vida é feita pelas cadeias e teias ali-
próprio alimento a partir de subs- mentares.
tâncias inorgânicas por meio de dois
processos: fotossíntese e quimios- Observe o esquema geral de uma
síntese. Esses organismos são cha- cadeia alimentar:
mados produtores.

Os principais organismos autótrofos
(produtores) de um ecossistema são
as plantas e as algas.

Ecossistema: é o conjunto formado Organismos Heterótrofos: são os
pelos fatores bióticos e abióticos organismos que não sintetizam ali-

550

As setas indicam o fluxo da matéria que se relacionam. Veja o exemplo 1) Pirâmide de números: revela a BIOLOGIA
e da energia (quem serve de alimento abaixo: quantidade de indivíduos existen-
a quem). Os decompositores sempre tes em cada nível da cadeia ali-
ocupam posição paralela nas cadeias mentar. São exemplos desse tipo
e teias alimentares. de pirâmide:

Exemplo de cadeia alimentar: Consumidores
Primários
Produtores
Sais minerais

Consumidores
Secundários

Decompositores
(fungos)

Plantas: produtor – 1º nível trófico. Consumidores
Caramujo: consumidor primário – Terciários
2º nível trófico.
Peixe: consumidor secundário – Importante: 2) Pirâmide de biomassa: é definida
3º nível trófico. A quantidade de energia que passa como a quantidade de matéria
Ave pernalta: consumidor terciário de um nível trófico a outro diminui, orgânica presente em um determi-
– 4º nível trófico pois parte é gasta no metabolismo do nado nível trófico. Podemos exempli-
Fungos e bactérias: decomposi- ser vivo e parte é perdida para o am- ficar com o esquema a seguir:
tores (não apresentam um nível tró- biente.
fico específico, pois se alimentam O fluxo de energia é unidirecional,
de qualquer um dos organismos que pois a mesma não é renovada, mas
compõem a cadeia ou teia alimentar). sim perdida ao longo da cadeia ou teia
Poderão apresentar um nível trófico alimentar.
definido, caso seja especificado na Por outro lado, o fluxo de matéria é
cadeia ou teia alimentar o organismo cíclico, pois é renovado devido à ação
que estará sofrendo a ação dos de- dos organismos decompositores que
compositores. degradam a matéria orgânica morta,
devolvendo-a na forma inorgânica para
Nível trófico: posição ocupada pelo o solo.
organismo em uma cadeia ou teia ali-
mentar. Lembrando que em uma teia FICHA 2 – PIRÂMIDES
alimentar, os organismos podem ocu-
par diferentes níveis tróficos. ECOLÓGICAS

Teia alimentar: é formada pelo con- As pirâmides ecológicas permitem
junto de várias cadeias alimentares mostrar a estrutura dos níveis tró-
ficos de uma cadeia alimentar. Há três
tipos de pirâmide ecológica:

Ilustração de cadeia alimentar

Aves da Lambaris 3) Pirâmide de energia: permite re-
margem Plantas do fundo presentar a quantidade de energia
presente na matéria orgânica em
Peixes maiores cada nível trófico.

Caramujos 551

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Como em cada nível trófico há perda digestivo, digerem essa madeira e, Inquilinismo: um indivíduo se abriga
de energia, os níveis tróficos superio- com isso, os cupins podem aprovei- no corpo de outro para proteger-se.
res nunca contém maior energia do tar os nutrientes. Os protozoários, por
que o nível trófico inferior. sua vez, se desenvolvem em ambiente Exemplo: o peixe fierasfer e o pepino-
protegido e com alimentos. Tanto os do-mar. O peixe, quando se sente ame-
FICHA 3 – RELAÇÕES cupins como os protozoários são bene- açado, se esconde dentro do pepino-
ficiados. Esse tipo de relação também do-mar.
ECOLÓGICAS ocorre em ruminantes e os protozo-
ários e bactérias. Epifitismo: uma planta usa outras
O equilíbrio das comunidades de um plantas como suporte e fica em posi-
ecossistema depende das diferentes Protocooperação: relação entre ção privilegiada para captar a luz do
interrelações entre os seres vivos. Es- indivíduos de espécies diferentes em Sol. São plantas epífitas as orquídeas
sas relações podem ser intraespe- que ambos são beneficiados, mas e as bromélias.
cíficas, que ocorrem entre indivíduos que se forem separados, ambos so-
da mesma espécie, ou interespe- brevivem. 3) Relações Desarmônicas
cíficas, entre indivíduos de espécies
diferentes. Exemplos: o boi e o pássaro; peixe- Competição: disputa por alimento,
palhaço e a anêmona; o caranguejo território e acasalamento. Pode ocorrer
Essas relações podem ser harmô- paguro ou ermitão e a anêmona. entre indivíduos da mesma espécie
nicas, nas quais pelo menos um dos ou entre espécies diferentes.
envolvidos é beneficiado (interações Os pássaros se alimentam dos carra-
+) sem prejuízo do outro ser, ou desar- patos e de outros parasitas que vivem A competição controla o tamanho da
mônicas, pois um dos envolvidos na na pele do boi. Assim, o pássaro con- população e seleciona os indivíduos
relação é prejudicado (interações -). segue seu alimento, e o boi se livra dos com maiores possibilidades de sobre-
parasitas. vivência.
1) Relações Intraespecíficas
Harmônicas: O peixe-palhaço se protege entre os Amensalismo ou Antibiose: rela-
tentáculos da anêmona e esta, ocasio- ção em que indivíduos de uma popula-
Sociedade: relação entre indivíduos nalmente, recebe pequenos pedaços ção secretam substâncias que inibem
da mesma espécie separados anato- de alimento dos peixes-palhaços. ou impedem o desenvolvimento de
micamente, em que há divisão de tra- indivíduos de populações de outras
balho, ou seja, cada indivíduo realiza A anêmona protege o paguro, pois os espécies.
determinada função e cada um desses seus tentáculos são urticantes, e o pa-
indivíduos apresenta modificações que guro possibilita à anêmona deslocar-se Exemplos: os fungos produzem an-
permitem esse trabalho. Todos os indi- no ambiente. tibióticos que inibem a proliferação
víduos relacionados são beneficiados. das bactérias; a maré vermelha, uma
Comensalismo: relação ecológica proliferação de algas que produzem
São exemplos: a sociedade de formi- entre indivíduos de espécies dife- substâncias tóxicas que, em grande
gas, abelhas, cupins, humanos. rentes em que apenas um indiví- concentração, são fatais aos animais
duo se beneficia, sem haver prejuízo marinhos.
Colônia: é um conjunto de indivíduos ao outro.
da mesma espécie unidos anatomi- Predatismo e Herbivorismo: são
camente. Em algumas colônias não Exemplos: a rêmora e o tubarão. relações nas qual uma espécie utili-
há divisão de trabalho (como nas algas A rêmora se fixa ao tubarão, por meio za a outra espécie como alimento.
e corais) e, em outras ocorre divisão de de uma ventosa, e aproveita os restos Quando, nas cadeias ou teias alimen-
trabalho (como é o caso da caravela). alimentares dele. tares, um organismo se alimenta de
Todos os indivíduos relacionados são consumidores, a relação é de preda-
beneficiados. tismo (o organismo que persegue,
mata e se alimenta de outro é chama-
2) Relações Interespecíficas do de predador e o organismo que
Harmônicas: serve de alimento é chamado de pre-
sa). No caso do consumidor primário,
Mutualismo: relação entre indivídu- que se alimenta de plantas e algas,
os de espécies diferentes, em que a relação entre eles é chamada de
ambos são beneficiados e se, por herbivorismo.
um motivo qualquer, eles forem sepa-
rados, não sobreviverão.

Exemplos: os cupins e os protozoários;
as leguminosas e as bactérias, os li-
quens (associação entre algas e fungos).

O cupim se alimenta de madeira,
mas não consegue digeri-la. Os proto-
zoários, que vivem em seu aparelho

552

um terreno qualquer da cidade que foi A respiração de plantas e animais e BIOLOGIA
limpo e depois abandonado. a decomposição dos seres mortos de-
vtaomlvebmémopCoOde2 à atmosfera. O mesmo
Cada etapa da sucessão ecológica ser devolvido por meio
até atingir o clímax é denominada es- da combustão da madeira, lixo, carvão
tágio serial ou série. e derivados do petróleo.
A grande preocupação da vida mo-
A primeira comunidade a se instalar é derna é que o carbono é devolvido à
conhecida como comunidade pionei- atmosfera mais rápido do que levou
ra ou ecese; a intermediária por seres; para ser armazenado. Assim, a nature-
Parasitismo: relação ecológica em e a última por comunidade clímax. za não compensa essa alteração e tem
que um indivíduo se instala no corpo alterado o clima e interferido no efeito
do outro (interna ou externamente), No estágio inicial a diversidade de estufa.
vive à custa do outro e o prejudica. espécies é baixa, devido às condições
São exemplos de parasitas externos: desfavoráveis do ambiente (intensa O que ocorre com o gás carbônico
pulga, carrapato, sanguessuga, iluminação, solo muito úmido ou mui- na natureza?
mosquitos, pulgões. to seco, temperatura elevada do solo),
havendo grande predomínio de autó- Plantas, animais, fungos, algas e os
São exemplos de parasitas internos: trofos (líquens e musgos). microrganismos necessitam de ener-
lombriga, solitária, esquistossomos, gia para se manterem vivos. Essa ener-
amebas, bactérias. Analisando-se os estágios da suces- gia obtida está presente nos alimentos
são ecológica, percebe-se que: (normalmente açúcares e gorduras)
FICHA 4 – SUCESSÃO que participam dos processos metabó-
ECOLÓGICA • No início as espécies se alteram ra- licos que chamamos genericamente de
pidamente. respiração e fermentação.
A sucessão ecológica é a sequ-
ência de mudanças pelas quais • Com o passar do tempo aumenta a A respiração e a fermentação, além
passa uma comunidade ou bio- diversidade de espécies. de produzirem energia, liberam no
cenose ao longo do tempo, com- ambiente o gás carbônico. Esse gás,
preendendo a sua origem, cres- • A biomassa da comunidade au- por sua vez, é aproveitado pelos se-
cimento, até chegar a um estado menta. res vivos que apresentam clorofila
de equilíbrio com o meio ambien- (plantas, algas e algumas bactérias)
te. A sucessão não surge repentina- • As teias alimentares tornam-se para produzir alimento, através da fo-
mente, de uma forma abrupta, mas complexas. tossíntese. Esse alimento será usado
sim em um aumento crescente de es- para a produção de energia para todos
pécies, até atingir uma situação que • A produtividade líquida vai redu- os seres vivos.
não se modifica com o meio ambien- zindo. O Efeito Estufa e o Aquecimento
te. Dependendo da sua etapa inicial, Global
pode ser classificada em primária Na comunidade clímax, a produtivida-
ou secundária. de líquida é nula, portanto tudo que é “O efeito estufa é um componen-
produzido pelos organismos que sobre- te climático natural da Terra, onde
É primária quando o início da ocu- vivem nesta comunidade é consumido gases atmosféricos (conhecidos como
pação por seres vivos de um deter- por eles mesmos. gases estufa) absorvem radiações
minado ambiente ocorre sem que o de calor que a terra emite depois de
mesmo tenha sido habitado ante- FICHA 5 – CICLOS receber energia solar. Este fenômeno
riormente. São ambientes adversos BIOGEOQUÍMICOS é essencial à vida na terra, já que
à ocupação por seres vivos, como, sem ele a Terra seria aproximadamen-
por exemplo, superfície de rochas Entre os seres vivos e o ambiente te 30º C mais fria. Entretanto, certas
nuas, dunas, lavas vulcânicas ou ocorre o fluxo de matéria. Os elemen- atividades humanas têm o potencial
uma lagoa. tos químicos utilizados no metabolismo, de amplificar o efeito estufa pela
e que constituem o corpo desses orga- emissão de gases estufa (dióxidos de
É secundária, quando os primeiros nismos, entram e saem do ambiente carbono primários, metano, óxido de
seres se instalam em um ambiente e, quando o ser vivo morre, ocorre a enxofre, clorofluorcarbonetos, halo-
que anteriormente havia sido habita- decomposição e esses elementos são genados e ozônio troposférico) para a
do. É o que ocorre, por exemplo, em disponibilizados para novos seres. atmosfera, causando aumento de suas
concentrações. O resultado é um au-
Ciclo do Carbono mento nas temperaturas médias
globais, isto é, o aquecimento cli-
A maior parte do carbono é encon- mático (The World Bank, 1991)”.
trada na crosta terrestre na forma de
compostos inorgânicos (carbonatos) A atmosfera é transparente à radia-
ou de depósitos orgânicos fósseis (pe- ção solar (ressalvada a interferência
tróleo e carvão). Uma pequena parte é
encontrada na atmosfera na forma de 553
dióxido de carbono (CO2).
clAorfoixfailçaãdoosdoaCtrOav2 éésfediotapproecloesssvoegdeatafois-
tossíntese.

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM muito significativa da refletividade bada de árvores provoca o aumento também são muito importantes para a
das nuvens e da superfície) que aque- da quantidade de dióxido de carbono mtarbaasntoésrrfçoiaãrmooardgmeânCoiOca2C, Ospó2oliisdaatemspotoasrsfémtraicemoiobeédmma
ce a superfície da Terra. A superfície na atmosfera pela queima da madeira
compensa esse aquecimento com e também por decomposição natural.
contra-radiação infravermelha. Essa Além disso, as árvores absorvem di- fotossíntese, “limpando” a atmosfera.
radiação aumenta com a temperatu- óxido de carbono e liberam oxigênio. Portanto, um aumento no número de
ra crescente da superfície, e a tem- Uma menor quantidade de árvores árvores plantadas (e não derrubadas)
peratura ajusta-se até se alcançar o significa também menos dióxido de pode ajudar a diminuir a concentração
equilíbrio. A atmosfera não é transpa- carbono absorvido. No processo de de CPOr2ontoa caotmloosdfeeraK.yoto,
rente ao infravermelho. Desta forma queima de florestas, o gás carbônico O que entrou
a Terra aquece um pouco mais pela que estava armazenado durante vá- em vigor em fevereiro de 2005, de-
devolução à superfície terrestre da rios anos, é emitido de volta para a termina que os países desenvolvidos
radiação do espaço (gases naturais atmosfera. (que fazem parte do acordo) se com-
como efeito de estufa) de um certo prometam a reduzir até 2012 a emis-
fluxo de radiação infravermelha. Isso Consequências do Efeito de são de gases de efeito estufa em pelo
é o que é chamado de efeito estufa Estufa menos 5%, de acordo com os níveis de
natural que contrabalança o resfria- 1990. Em outras palavras, cada país
mento do planeta e a menor insola- deve avaliar o quanto emitia de gases
ção recebida. O aquecimento global poderá levar estufas no ano de 1990, e deve re-
Os gases estufa agem como iso- à ocorrência de variações climáticas duzir essa emissão de poluentes em
lantes por absorver uma parte da tais como: alteração na precipitação, pelo menos 5% dentro do prazo esti-
energia irradiada pela Terra. Na au- subida do nível dos oceanos (dege- pulado.
sência desta ação isolante, a Terra los) e ondas de calor. Uma profunda Os Estados Unidos, um dos países
iria se resfriar muito. Se os níveis alteração do clima terá uma influência mais poluidores do mundo (respon-
dos gases estufa proverem um iso- desastrosa nas sociedades, afetando dendo por 36% do total mundial) não
lamento durante um período longo a produção agrícola e as reservas de ratificaram (não transformaram em lei)
de tempo, a Terra poderá eventual- água, originando também alterações o acordo. Juntos, EUA, Rússia, Alema-
mente se tornar muito quente para econômicas e sociais. nha, Grã Bretanha e Japão respondem
a manutenção da vida. O problema por 70% das emissões acumuladas de
não está na existência dos gases es- Um caso bastante atual refere-se gases de efeito estufa.
tufa, pois eles são de origem natural ao fenômeno do El Niño, que con-
e executam uma função essencial siste na elevação da temperatura no
para a vida no planeta. O problema sistema oceânico e que deu origem Ciclo do Oxigênio
a ondas quentes que afetaram vá-
consiste no excesso das concentra- rias partes do mundo. Como resul- O oxigênio livre é encontrado na for-
ções desses gases. tado direto, verificou-se um desloca-
Os principais gases (estufa), com mento dos mosquitos responsáveis mhidaromsofeleracu, lacrom(Oo2) na atmosfera e na
poder absorvedor de radiações infra- pela propagação da malária e febre produto da fotos-
amarela para regiões temperadas e síntese de vegetais. Esse oxigênio é
vermelhas, são os vapores de água, altitudes mais elevadas, atacando utilizado na respiração de plantas e
que é o principal “gás estufa”, cuja grupos de pessoas mais vulnerá-
quantidade contida no ar varia muito, veis à doença. Se a temperatura do animais, e quando misturado com o hi-
planeta aumenta, crescem também drogênio forma água.
no tempo e no espaço, o dióxido de as ocorrências de epidemias e en- Essa água pode ser utilizada no me-
(cnCaioFrCb()oNenOoo2)m(,CeOot2sa) ,ncooloó(CrxoHidf4lo)u. odrecanribtroongoês- demias, a proliferação de bactérias
e outros organismos prejudiciais à tabolismo e eliminada através da respi-
saúde humana. ração, transpiração e excreção, voltan-
do à atmosfera.
quOeiCmOa2 é oriundo, principalmente, da Os oceanos absorvem grande Nos vegetais a água é utilizada na sín-
de combustíveis fósseis e de parte do gás carbônico da atmos- tese de carboidratos, através da fotos-
biomassa. O tNemO2péeroartiuunradsoedequceomenbuses-- fera por dois motivos: porque o gás
tões a altas se dissolve na água (lembre-se que síntese. Assim o oxigênio fica livre do
2/3 do planeta é coberto por água) e hidrogênio e volta à atmosfera.
jam que o nitrogênio do ar reaja com o porque as pequenas algas marinhas
oxigênio, como, também, é oriundo de consomem CO2 durante o processo
fertilizantes do solo. de fotossíntese. Os oceanos podem Ciclo do Nitrogênio
Os CFC’s provêm dos gases utiliza- ser considerados como o grande “su-
dos em refrigeração e obiCoHm4a(smsae,tadnoos) midouro” do CO2 atmosférico. Porém,
provém da queima de vale lembrar que é possível dissolver O nitrogênio é o quarto elemento
arrozais, do trato digestivo do gado bo- mais abundante nas plantas, sendo
vino e dos aterros sanitários. superado apenas pelo carbono, pelo
A ação do ser humano na natureza maiores quantidades de um gás em oxigênio e pelo hidrogênio. É consti-
tem provocado o aumento da quanti- águas mais frias. Se a temperatura tuinte essencial de aminoácidos, pro-
dade de dióxido de carbono na atmos- das águas dos oceanos aumentar, teínas, bases nitrogenadas, ácidos
fera, através de uma queima intensa como consequência do efeito estufa, nucleicos, hormônios e clorofila, en-
e descontrolada de combustíveis fós- sua capacidade de absorver ofloCrOes2 tdaas tre outras moléculas.
554 seis e do desflorestamento. A derru- atmosfera irá diminuir. As
A maioria das plantas obtém o nitro-
gênio do solo sob a forma de íon nitrato

(NO3-), havendo algumas que o absorve Desnitrificação: é o processo em nos ecossistemas aquáticos. São mui- BIOLOGIA
sob a forma de íon amônio (NH4+). que bactérias existentes no solo, nos to frequentes as notícias de mortes
O ar atmosférico também possui ni- oceanos, são capazes de produzir, a de peixes e de outros organismos em
trogênio, cerca de 78% da constituição partir de nitratos, o nitrogênio livre que rios e litorais poluídos. Também são
gasosa da atmosfera é formada por ni- volta para a atmosfera. Essas bacté- comuns as notícias sobre a contamina-
trogênio molecular (Ne2u).cariontes rias são chamadas desnitrificantes. ção de alimentos provenientes de rios
Os organismos são ou do mar.
tinêc-laopaazuems adefoarmbsaoarvsesrimoilNá2veel. conver- FICHA 6 – POLUIÇÃO
Assim, Os rios que abastecem as regiões
oatrNa2vémsovdeo-sseesptaôrma adteons,trosadinadoplalongtao Poluição do ar mais povoadas sofrem descarga contí-
em seguida, sem que possa ser utili- nua de dejetos humanos, detergentes
zado. A poluição do ar resulta dos diversos domésticos, resíduos industriais, fer-
Os átomos encontram-se unidos de tipos (gases poluentes e partículas só- tilizantes e defensivos agrícolas. Todo
uma maneira muito estável na molé- lidas) e das quantidades de poluentes esse material orgânico e inorgânico
cula de nitrogênio e, por esse motivo, que nele se encontram. É especial- causa a poluição das águas. Mesmo
para que o Na2spsiomsisláavseel réconnevceerstisdáoriao mente comum nas grandes cidades e as águas subterrâneas têm sido con-
uma forma afeta não só o homem, mas também taminadas por produtos que não são
o fornecimento de temperatura e as plantas e os animais. biodegradáveis.
pressão muito elevadas (fixação Alguns dos principais gases poluen-
industrial) ou a presença de um sis- tes são: o dióxido de enxofre, os sulfa- Os esgotos das cidades, por exem-
tema enzimático apropriado (fixa- tos, o monóxido de carbono, o dióxido plo, lançam nos rios dejetos humanos
ção biológica). de nitrogênio e os óxidos de chum- e detergentes domésticos. Excremen-
bo. As partículas sólidas mais comuns tos humanos constituem matéria or-
grAaçfaixsaaçãuom abeionlzóimgiac,ad ednoo mNi2naodcaornrei- na atmosfera são: poeira, fragmen- gânica favorável ao desenvolvimento
trogenase, presente apenas em alguns tos de sílica, partículas de amian- de certas bactérias, cuja intensa ativi-
organismos procariontes. to, grãos de pólen, esporos de fun- dade reduz a quantidade de oxigênio
gos, bactérias e vírus. na água, impedindo a existência de
é Portanto, boionloitgroicgaêmnieontmeonleãcouluatri,liNzá2-, As principais fontes de poluição do ar organismos mais complexos. Ao atin-
um gás gir um número muito elevado, essas
vel pela maioria dos seres vivos. Seu são as indústrias, os motores de carros bactérias podem esgotar o oxigênio
ingresso no mundo vivo ocorre graças e de aviões, e a queima de lixo. Rara- e possibilitar o desenvolvimento de
à atividade dos microrganismos fixa- mente a poluição do ar se deve a um bactérias anaeróbias. Esse proces-
dores, as algas azuis e algumas bac- só tipo de poluente. Nas grandes cida- so, juntamente com a existência de
térias. des, o que ocorre é uma associação agentes patogênicos e de partículas
dos diversos agentes poluentes, o que em suspensão, explica a ausência de
O processo ocorre em três etapas: frequentemente agrava ainda mais a peixes e outros organismos aquáticos
situação. em rios poluídos. Neles, podemos en-
Por exemplo, somente o dióxido de contrar apenas vírus, esporos de fun-
1) Amonização: os compostos orgâ- enxofre, o poluente mais comum na gos e bactérias, cistos de protozoários
nicos nitrogenados são transforma- atmosfera, é capaz de provocar sérios e ovos de vermes.
ddoecsoemmpaomsitôonrieas(.NH3), por ação dos distúrbios respiratórios. E quando se
combina com sulfatos, torna-se mais Os resíduos industriais lançados
perigoso ainda, podendo causar a mor- nos rios e nos mares são altamente
Nitrogênio orgânico → NH3 te de pessoas, devido a complicações tóxicos. Dentre outros, podem ser
citados os cianetos, derivados fenó-
pulmonares. licos, nitratos, vários sais de metais,
2) Nitrozação: as bactérias do gêne- Vários tipos de problemas crônicos além de arsênico e mercúrio, que são
ro Nitrossomonas e Nitrosococcus dos pulmões, como ataques de asma, perigosos. Ficou muito conhecido,
oxidam a amônia (NH3) até a for- bronquite e reações alérgicas das vias por exemplo, o episódio de envene-
mação do ácido nitroso (HNO2). respiratórias, são causados por gases namento por mercúrio que eclodiu
no Japão, em 1955. Uma fábricae
tóxicos e partículas em suspensão na plástico que lançava mercúrio no mar
2NH3 + 3O2 → 2HNO2 + 2H2O atmosfera. Outro exemplo é o das fi- estava contaminando peixes e os-
bras de amianto, que causam câncer tras. Ocorreram inúmeros casos de
de pulmão. Essas fibras podem ser envenenamento de pessoas que se
3) Nitratação: as bactérias do gê- encontradas em quantidades elevadas alimentavam daqueles organismos
nero Nitrobacter oxidam o ácido na atmosfera das grandes cidades, contaminados. O saldo trágico do
nitroso em ácido nítrico e este se pois escapam das lonas de freio dos acontecimento contabilizou inúmeras
dissocia em nitratos (NO3-). automóveis. mortes de pessoas, além de casos
2HNO2 + O2 → 2HNO3 de alterações do sistema nervoso
(surdez, cegueira, perda da fala e dos
Os nitratos formados serão absorvi- Poluição das águas movimentos) e de lesões no fígado,
dos pelas raízes dos vegetais e trans- rins e intestinos.
formados em matéria orgânica nitroge- A atividade humana vem causando,
nada. nos últimos anos, um grande impacto Os defensivos agrícolas, especial-
mente os inseticidas à base de DDT,

555

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM são altamente poluidores. Pulveriza- Poluentes Principais emissores Danos à saúde
dos nas lavouras, eles são arrasta- CO (monóxido de Carros a gasolina (49%), O CO liga-se à hemoglobi-
dos pelas chuvas até os rios e mares, na no sangue, no lugar do
chegando a matar peixes, crustáceos, carbono) carros a álcool (17%), oxigênio. Em altas concen-
moluscos detc. Entretanto, quando veículos a diesel (28%) trações, prejudica a oxige-
doses não letais são acumuladas nes- PI (partículas nação do organismo, causa
ses organismos, podem chegar até o inaláveis). Veículos a diesel (30%), diminuição dos reflexos e da
homem na forma de alimento conta- carros a gasolina (10%), acuidade visual. As pessoas
minado. O3 (ozônio) com problemas cardíacos e
HC indústrias (10%). circulatórios são mais preju-
Os mares podem sofrer, ainda, a con- É formado pela reação dicadas.
taminação pelo petróleo e seus deri- (hidrocarbonetos) dos hidrocarbonetos e Instalam-se nos pulmões,
vados. Os navios petroleiros são os óxido de nitrogênio na diminuindo a capacidade
grandes responsáveis por esse tipo de NOn2i (dióxido de presença de luz solar respiratória. O material
poluição, pois os reservatórios de pe- trogênio) Carros a gasolina (53%), particulado pode aumen-
tróleo são lavados com água do mar. veículos a diesel (21%), tar os efeitos fisiológicos
Além disso, ocorrem acidentes com SO3e(ndixóoxfirdeo) de carros a álcool (19%). de outros gases presentes
poços de extração submarina e vaza- Veículos a diesel (81%), no ar.
mento de petroleiros. carros a gasolina (10%), Irritação dos olhos e vias
respiratórias, diminuição
O petróleo derramado no mar pode carros a álcool (5%). da capacidade pulmonar,
aderir à plumagem das aves marinhas, Veículos a diesel (77%), envelhecimento e corro-
impedindo seu voo e matando-as por indústrias (15%), carros são dos tecidos. Pessoas
afogamento. Por formar uma cama- com asma são mais sus-
da impermeável na superfície do mar, a gasolina (8%). cetíveis aos efeitos do
também destrói o plâncton, com sérias ozônio.
consequências para todos os seres Diminuem a capacidade do
marinhos que dele dependem. Quan- sangue de transportar oxi-
do as doses não são letais para os or- gênio e afetam os sistemas
ganismos marinhos, eles poderão ser cardiovascular, nervoso e o
ingeridos pelo homem, que sofrerá os pulmão. Os hidrocarbonetos
seus efeitos. aromáticos (benzeno, tolue-
no e xileno) são canceríge-
Fontes de contaminação nos.
da água Penetra no sistema res-
piratório, podendo dar
Insumos agrícolas: agrotóxicos e fer- origem a substâncias mu-
tilizantes usados na agricultura pene- tagênicas e carcinogêni-
tram no solo e contaminam o lençol cas. Também é irritante,
freático. As substâncias também po- e pode causar sintomas
dem ser carregadas pela chuva até os semelhantes aos do enfi-
córregos e rios mais próximos. sema.
Concentrações elevadas
Poluição atmosférica: os gases provocam irritação no siste-
emitidos por indústrias e pelos meios ma respiratório e problemas
de transporte com a queima de com- cardiovasculares. A concen-
bustíveis fósseis não só contaminam a tração do dióxido de enxofre,
atmosfera e acentuam o efeito estufa, nos últimos dez anos, tem-
como voltam para a terra e para os cur- se mantido abaixo do nível
sos d’água, através das chuvas. aceitável.

Lixões: o resíduo líquido formado Esgoto sem tratamento: o des- como lixeira é comum em periferias do
da decomposição de matéria orgâni- pejo sem tratamento por indústrias, mundo todo. Não apenas o esgoto tem
ca nos lixões a céu aberto, o chamado de modo ilegal, e por moradias que destino certo, como também os deje-
chorume, penetra no solo, contamina o não recebem esse tipo de serviço tos em geral, que contaminam o córre-
lençol freático e escorre até atingir rios das prefeituras, é uma das princi- go e, em última instância, a bacia.
e represas das redondezas. pais fontes de contaminação de rios
e mares. Fontes: Agência Nacional de Águas (ANA), Organização
Vazamentos de petróleo: aciden- das Nações Unidas para a Educação, Ciência e Cultura
tes com petroleiros prejudicam todo o Descuido da população: o riacho que (Unesco), Agência Nacional de Energia Elétrica (Aneel).
ecossistema marinho e costeiro. A na- passa próximo das casas e é usado O Estado de São Paulo, 22 de março de 2007, caderno
tureza leva décadas para se recuperar
desse tipo de contaminação. especial Dia Mundial da Água.

556

Poluição do solo basta saber que cada habitante pro- Aterro sanitário: a concepção de BIOLOGIA
duz, em média, dois litros de detritos aterro sanitário está relacionada ao
Poluição decorrente do uso indis- sólidos por dia. Se uma cidade possuir tratamento dos resíduos sólidos. O lixo
criminado de fertilizantes e de 2 ou 3 milhões de habitantes, ela pro- é acondicionado em solo compactado
agrotóxicos duz cerca de 2 a 3 mil toneladas de lixo em camadas sucessivas e coberto por
por dia. material inerte, e é realizada a drena-
Para que se possa atender a uma gem de gases e percolados. O proces-
demanda cada vez maior de alimentos O lixo urbano é constituído predomi- so de inertização dos resíduos é ace-
em função do crescimento populacio- nantemente de matéria orgânica e, lerado, minimizando e recuperando a
nal, a produção e o uso de fertilizantes como tal, sofre intensa decomposição, área de deposição.
vêm aumentando consideravelmente. permitindo a reciclagem. Além dessa
Para a produção desses fertilizantes, matéria, o lixo também pode apresen- Compostagem: a compostagem
a indústria retira significativas quanti- tar componentes de difícil decomposi- dos resíduos orgânicos é um dos méto-
dades de gás nitrogênio do ar e fosfato ção. Veja a tabela abaixo: dos mais antigos de reciclagem. É um
das rochas, podendo alterar o equilí- método natural em que os materiais
brio ambiental. Material Tempo estimado para geralmente considerados como “lixo
sua decomposição orgânico” (restos de alimentos, apa-
O emprego excessivo de fertilizantes Papel De 3 a 7 meses ras e podas de plantas, e folhas) são
não permite aos agentes decomposito- Chiclete e 5 anos transformados em um material humifi-
res (geralmente as bactérias) uma reci- cado que pode ser utilizado em hortas
clagem completa dos componentes e cigarro 13 anos e jardins. Cientificamente o composto
essa “sobra”, conduzida pelos ventos e Madeira Mais de 100 anos é o resultado da degradação biológica
pelas chuvas, pode provocar o fenôme- Plástico e da matéria orgânica em presença de
no da eutrofização. 1 milhão de anos oxigênio do ar.
metal Indeterminado
A eutrofização permite grande pro- Vidro Incineração: a incineração é uma
liferação de bactérias aeróbias (que Borracha forma de tratamento de resíduos
consomem gás oxigênio) devido à onde os materiais são queimados
grande quantidade de nutrientes. Tratamento e disposição do lixo: em alta temperatura (acima de 900º
Isso faz com que a taxa de oxigênio do a poluição atmosférica causada pela C) em mistura com uma determinada
lago ou do rio diminua a tal ponto que queima do lixo a céu aberto e a con- quantidade de ar e um período previa-
se esgote todo o gás oxigênio dissolvi- taminação de águas subterrâneas por mente determinado, com o objetivo
do na água, provocando grande mor- substâncias químicas presentes na de transformá-los em material inerte,
talidade dos seres vivos que habitam massa de resíduos, são exemplos típi- diminuindo simultaneamente o seu
essas águas. cos da ação nociva que o lixo exerce peso e volume.
sobre a saúde das pessoas e o meio
Da mesma forma que a utilização de ambiente. Reciclagem: é um processo através
fertilizantes é justificada pela necessi- do qual os materiais que se tornariam
dade de aumentar a produção de ali- Lixão: “Lixão” é uma forma inade- lixo são recuperados para serem utili-
mentos, o uso indiscriminado de agro- quada de disposição final de resíduos zados como matéria prima para a pro-
tóxicos tem como objetivo a eliminação sólidos, que se caracteriza pela simples dução de diversos produtos. Um dos
de seres vivos que comprometem a descarga sobre o solo, sem medidas pressupostos básicos da reciclagem é
quantidade dos alimentos a serem pro- de proteção ao meio ambiente ou à a coleta seletiva de lixo. Os benefí-
duzidos. saúde pública. Os resíduos assim lan- cios da reciclagem são:
çados acarretam problemas à saúde • Preservação dos recursos naturais.
Os agrotóxicos são bioacumulati- pública, como proliferação de vetores • Diminuição da poluição do ar e das
vos, ou seja, acumulam-se no corpo de doenças (moscas, mosquitos, bara-
dos seres vivos e são repassados, em tas, ratos etc.), geração de maus odores águas.
doses cada vez mais altas, ao longo e, principalmente, a poluição do solo e • Diminuição da quantidade de resí-
da cadeia alimentar. Como o homem das águas superficiais e subterrâneas
geralmente ocupa o topo das cadeias através do chorume, comprometendo duos a serem aterrados.
e teias alimentares, ele recebe uma os recursos hídricos. Acrescenta-se a • geração de empregos através da
concentração maior de agrotóxicos, esta situação o total descontrole quan-
podendo comprometer a sua saúde e to aos tipos de resíduos recebidos nes- criação de usinas de reciclagem.
até levar o indivíduo à morte. tes locais, verificando-se até mesmo a
disposição de dejetos originados dos FICHA 7 – CAMADA DE
Eliminação e acúmulo de resíduos serviços de saúde e das indústrias. Co- OZÔNIO
sólidos (lixo) no solo: mumente ainda se associam aos lixões
fatos altamente indesejáveis, como a Toda a vida da Terra depende de uma
Todos os resíduos sólidos não apro- criação e pastagem de animais e a exis- camada fina que se encontra na estra-
veitados de residências, indústrias, tência de catadores (os quais, muitas tosfera (camada superior da atmosfe-
comércio e das ruas formam o lixo de vezes, residem no próprio local). ra): a camada de ozônio.
uma cidade.
557
Para se ter uma ideia da quantidade
de lixo que é produzida em uma cidade,

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM O ozônio dessa camada absorve qua- • Procedimentos regulatórios com- A intoxicação aguda resulta da inalação
se toda a radiação ultravioleta nociva plementares para produção e im- de concentrações elevadas de SO2. A
(UV-B) que vem do Sol, protegendo as portação de SDO. absorção pela mucosa nasal é bastante
plantas e animais que, se expostos a rápida, e aproximadamente 90% de todo
uma dose elevada dessa radiação, po- • Programas de treinamento de téc- o SO2 inalado é absorvido na via aérea
deriam ser mortos. nicos e certificação de estabeleci- superior, onde a maioria dos efeitos
mentos de reparos em equipamen- ocorre, provocando bronquite, asma e
A atividade humana e o desenvol- tos de refrigeração. enfisema pulmonar. logo após a absor-
vimento tecnológico produzem subs- ção, ele é distribuído prontamente pelo
tâncias que, lançadas na atmosfera, • Programas específicos de cons- organismo, atingindo tecidos e o cérebro.
provocam a destruição de parte dessa cientização para pequenas indús-
camada e dão origem aos “buracos na trias e empresas de serviços. Portanto, o dióxido de enxofre (SO2)
camada de ozônio”. é um gás venenoso, originado da queima
• Regulamentação para coibir as industrial de combustíveis, como o car-
As principais substâncias que destro- emissões voluntárias e fugitivas vão mineral e o óleo diesel, apresentan-
em a camada de ozônio são os CFC’s durante a manutenção ou opera- do enxofre como impureza. Além disso,
(clorofluorcabonos), inventados em ção de equipamentos contendo reagindo com vapor de água na atmos-
1928, e que foram utilizados durante SDO. fera, esse óxido pode formar ácido sul-
anos em geladeiras, condicionadores fúrico, que se precipita com a umidade,
de ar, sistemas de refrigeração, isolan- • Programa de garantia de qualidade formando as chuvas ácidas.
tes térmicos e sprays. para gases reciclados e substân-
cias alternativas. O vapor-d’água presente na atmosfe-
Programa Brasileiro de Eliminação ra pode reagir quimicamente com ga-
da Produção e do Consumo das (Fonte: http://www.mma.gov.br) ses de enxofre, de nitrogênio e com o
Substâncias que Destroem a Ca- gás carbônico, formando substâncias
mada de Ozônio – PBCO FICHA 8 – CHUVA ÁCIDA ácidas. Essas substâncias chegam ao
solo em forma de chuva, neblina ou
O PBCO prevê, por parte do governo, O SO2 é um gás irritante e seus efei- neve, provocando a destruição de flo-
o estabelecimento de uma política que tos são provenientes da formação de restas; a morte de peixes de lagos e
defina reduções das cotas de produ- ácido sulfúrico e ácido sulfuroso ao rios por causa de mudanças na compo-
ção de substâncias que destroem a contato com as mucosas umedecidas, sição da água; e também a destruição,
camada de ozônio (SDO) para todas as em consequência de sua rápida com- por erosão, de construções, estátuas e
empresas produtoras locais. Além dis- binação com água, quando ocorre rea- monumentos.
so, contempla estratégias de limitação ção de oxidação.
gradual e proibição de importações
de SDO, bem como a proposição do Efeitos nocivos da radiação UV (Ul-
aumento de taxas federais/estaduais travioleta)
aplicáveis às mesmas. Outras ações
mais específicas compreendem: No homem Nos outros seres No ambiente/
vivos material
• Proibição da fabricação, importa-
ção, exportação e comercialização Risco à visão: exposição Prejudica os estágios Redução do consumo
no mercado interno de novos pro- em longo prazo. iniciais do desenvol- de gás carbônico,
dutos que contenham SDO. vimento de peixes,
camarão, caranguejo e aumentando o efeito
• Estímulo à substituição e desenco- outras formas de vida estufa.
rajamento do uso de SDO.
aquática.
• Incentivo tributário para estimular
consumidores a adotarem tecnolo- Alterações do sistema Diminuição do fitoplânc- Plásticos, borrachas
gias alternativas. imunológico. ton: a base das cadeias e madeiras poderão
apresentar problemas
• Etiquetagem (selo) para substân- Risco de câncer de pele. e teias alimentares de cor, perda de resis-
cias não danosas à Camada de aquáticas. tência e limitação de
Ozônio.
Diminuição do cresci- durabilidade.
• Criação de linhas de crédito para mento vegetal, o que
estimular projetos de conversão afeta a produtividade e
industrial para pequenas e médias a qualidade das colhei-
empresas. tas e danifica florestas.

558

BIOLOGIA

BLOCO 8

EXERCÍCIOS

QUESTÕES DE MÚLTIPLA ESCOLHA a) são consumidores primários
b) têm o mesmo hábitat
1. (FGV-SP) Durante a aula de campo, a professora cha- c) são consumidores secundários
mou a atenção para o fato de que, naquela área, havia d) têm o mesmo nicho ecológico
inúmeros formigueiros, cada um deles de uma espécie e) pertencem à mesma espécie
diferente e todos eles interagindo pelos recursos da-
quela área. Em Ecologia, cada formigueiro em particu- 4. (FAAM-SP) Nesta época em que a conservação do
lar e o conjunto de formigueiros em interação referem- meio ambiente é preocupação de todos, convém res-
se, respectivamente a: saltar que a resposta a qualquer questão prática sobre
o meio ambiente deve envolver o estudo de como vive,
a) ecossistema e população do que necessita e com o que contribui cada membro
b) comunidade e ecossistema de uma comunidade biológica. Ao papel que o organis-
c) população e ecossistema mo desempenha no ambiente dá-se o nome de:
d) comunidade e população
e) população e comunidade a) ecossistema
b) hábitat
2. (UFPI-PI) Durante uma expedição científica em uma c) ecologia
área de mata Atlântica, os pesquisadores observa- d) biótipo
ram, entre as árvores (1), muitos lagartos herbívoros e) nicho ecológico
(2), cutias dispersoras (3), raposas carnívoras (4), e, no
chão, viram coloridos fungos (5). Indique a alternativa 5. (FUVEST-SP) O esquema a seguir mostra as condições
que correlaciona corretamente os números dos exem- ambientais em que vive um gafanhoto:
plos acima com os níveis tróficos que esses organis-
mos ocupam nessa cadeia alimentar, considerando:

P - produtores
Cp - consumidores primários
Cs - consumidores secundários
D - decompositores

a) 1 - P; 2 - Cp; 3 - Cs; 4 - D; 5 – D. Nesse ambiente, a quantidade de fatores bióticos e
b) 1 - P; 2 - Cp; 3 - Cp; 4 - Cs; 5 – D. abióticos é respectivamente:
c) 1 - Cp; 2 - Cs; 3 - Cs; 4 - D; 5 – P.
d) 1 - D; 2 - Cp; 3 - Cs; 4 - Cs; 5 – P. a) 1 e 6 559
e) 1 - D; 2 - Cs; 3 - Cs; 4 - Cp; 5 – P. b) 2 e 5
c) 3 e 4
3. (UFMA-MA) Em uma mesma flor podemos encontrar d) 4 e 3
uma aranha e uma abelha. A primeira come insetos e e) 5 e 2
a segunda alimenta-se de recursos florais. Esses dois
animais:

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 6. (UEPA-PA) Analise a ilustração abaixo, que representa 8. (UEL-PR) Considere as frases seguintes:
um ecossistema:
I. Atualmente, Rattus norvegicus ocorre em todos os con-
tinentes.

II. As ratazanas de uma cidade vivem principalmente na
rede de esgoto e nos depósitos de lixo.

III. Um rato branco é submetido a um experimento de fisio-
logia em laboratório.

Analise as frases acima e diga qual delas refere-se, res-
pectivamente, a um indivíduo, a uma espécie e a uma
população:

a) I, II e III

b) I, III e II

Em relação à composição trófica do ecossistema repre- c) II, III e I
sentado na figura anterior, pode-se afirmar que o(s): d) III, I e II
e) III, II e I

a) tucano e o papagaio são produtores 9. (FGV-SP) Pesquisadores descobrem novo ecossistema
b) tucano e o papagaio são consumidores terciários em lago antártico.
c) tucano e o papagaio são consumidores primários
d) macacos são consumidores terciários Um lago com água sete vezes mais salgada que a do
e) tucano e o papagaio são consumidores secundários mar, soterrado por vários metros de gelo em uma re-
gião desértica do continente antártico, abriga um ecos-
7. (ENEM) Um agricultor, que possui uma plantação de sistema composto por criaturas hoje totalmente desco-
milho e uma criação de galinhas, passou a ter sérios nhecidas. (...)
problemas com os cachorros-do-mato que atacavam O melhor ainda está por vir, quando os pesquisadores
sua criação. O agricultor, ajudado pelos vizinhos, exter- estudarem a porção líquida e os organismos nesse há-
minou os cachorros-do-mato da região. Passado pouco bitat isolado. (...) O líder do grupo afirmou que “preten-
tempo, houve um grande aumento no número de pás- dem voltar ao lago em dois anos para atingir a água e
saros e roedores que passaram a atacar as lavouras. caracterizar a vida lá. Ainda não o fizemos porque que-
Nova campanha de extermínio e, logo depois da des- ríamos ter certeza de que estaríamos fazendo do jeito
truição de pássaros e roedores, uma grande praga de mais limpo e menos perturbador possível”. A grande
gafanhotos destruiu totalmente a plantação de milho e preocupação é não contaminar o lago com organismos
as galinhas ficaram sem alimento. do mundo exterior.

Analisando os acontecimentos acima, assinale a alter- Folha de S. Paulo, 17/12/2002.
nativa que demonstra corretamente o desequilíbrio na
teia alimentar apresentada, com o extermínio do ca- No texto, o termo ecossistema estará sendo aplicado
chorro-do-mato: adequadamente, apenas se:

a) milho gafanhotos pássaros galinha roedores cachorro-do-mato a) as “criaturas desconhecidas” forem descritas pela
ciência.
pássaros
b) o lago abrigar espécies animais e vegetais.
b) milho gafanhoto cachorro-do-mato c) o gelo for eliminado, permitindo que uma comunidade ali
galinha
roedores se estabeleça.
d) no lago existir uma comunidade interagindo com o am-
c) galinha milho gafanhoto cachorro-do-mato
roedores biente físico.
e) não houver contaminação do lago com organismos do
pássaros
mundo exterior.

d) cachorro-do-mato roedores milho
pássaros cachorro-do-mato
gafanhoto 10. (UFMA-MA) A figura a seguir representa uma teia ali-
galinha mentar em um lago:

e) galinha milho gafanhoto pássaros roedores

560

Peixe 12. (UFSC-SC) No final da década de 1970, foram desco- BIOLOGIA
bertas comunidades biológicas vivendo no fundo dos
Ninfa de oceanos, em profundidades de 2,5 mil metros, próxi-
Odonata mo a fendas por onde extravasa magma quente que
superaquece a água ao redor. Essas comunidades são
formadas principalmente por bactérias que obtêm
energia pela qouxeidasçeãnoudtreemH2Sdefloarsm. aEdnotrenaoss fendas e
Ninfa de Camarão por animais animais
efemérida

dessas comunidades, estão vermes tubulares gigan-
tescos, com mais de um metro de comprimento, que
se nutrem à custa de bactérias quimiossintetizantes
que vivem como simbiontes, dentro de seus corpos.

Nessas comunidades submarinas, as bactérias que ob-
têm energia pela toexxitdoaçaãtuoadme,Hre2Sspeeocstivvearmmeensteg,igcaonmteos:
mencionados no

Plantas aquáticas Algas microscópicas a) produtores e consumidores primários
b) produtores e decompositores

Com relação aos níveis tróficos, podemos afirmar: c) consumidores primários e consumidores secundários

I. Nesta teia alimentar estão representados quatro consu- d) decompositores e produtores
midores.
e) decompositores e consumidores primários

II. O peixe atua apenas como um consumidor terciário. 13. (FUVEST-SP) O cogumelo shiitake é cultivado em troncos
III. Caso a pesca aumente muito, não haverá nenhuma im- de árvores, onde suas hifas nutrem-se das moléculas
orgânicas constituintes da madeira. Uma pessoa, ao co-
plicação na população das ninfas de odonata. mer cogumelos shiitake, está se comportando como:
IV. Toda energia dessa cadeia alimentar vem das algas mi-
a) produtor.
croscópicas.

Marque a alternativa: b) consumidor primário.
c) consumidor secundário.

a) se apenas a I estiver correta. d) consumidor terciário.
b) se apenas I e II estiverem corretas. e) decompositor.

c) se apenas I, II e III estiverem corretas. 14. (VUNESP-SP) Observe, inicialmente, as duas cadeias
d) se todas as afirmações estiverem corretas. alimentares:

e) se nenhuma das afirmações estiver correta.

11. (UFSM-RS) A decomposição da matéria orgânica é É correto afirmar, com relação às cadeias 1 e 2 e aos
promovida por certos tipos de bactérias e fungos. In- modelos de pirâmides I e II, que:
dique a alternativa que apresenta a característica que
esses organismos chamados decompositores têm em 561
comum:

a) realizam fotossíntese
b) formam hifas
c) são eucariontes
d) são simbiontes
e) são pluricelulares

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM a) a pirâmide I pode representar tanto o número de indiví- A menor quantidade de energia disponível deve ser en-
duos como a quantidade de energia disponível, em cada contrada no nível trófico:
nível trófico da cadeia 2.

b) a pirâmide II pode representar tanto o número de indiví- a) I
duos como a quantidade de energia disponível, em cada b) II
nível trófico da cadeia 1. c) III
d) IV
c) a pirâmide II pode representar a quantidade de energia e) V
disponível em cada nível trófico da cadeia 2.

d) a pirâmide I pode representar o número de indivíduos
em cada nível trófico da cadeia 1.

e) a pirâmide I pode representar o número de indivíduos 17. (UEL-PR) Uma cadeia alimentar marinha de quatro ní-
da cadeia 2, e a pirâmide II, a quantidade de energia veis tróficos pode ser composta pelos seguintes ele-
disponível em cada nível trófico da cadeia 1. mentos: fitoplâncton como produtores, zooplâncton
como consumidores primários, anchovas como consu-
15. (UNIFOR-CE) Considere a pirâmide de biomassa midores secundários e atuns como consumidores ter-
abaixo: ciários. Com base no texto e nos conhecimentos sobre
cadeias alimentares marinhas, é correto afirmar:

0,5 kg Coruja a) fitoplâncton são organismos macroscópicos de vida lon-
1,5 kg Texugo ga, com pouca energia disponível.
100 kg Rato
b) a maior quantidade de energia está disponível nos pro-
dutores.

c) atuns são consumidores de vida curta, devido à baixa
disponibilidade de energia interna.

d) o nível de energia da cadeia determina os ciclos de vida
dos produtores.

18. (UEPA-PA) Analise o quadro abaixo relativo às intera-
ções entre os seres vivos:
900 kg Gafanhoto

No Descrição Exemplos

5.000 kg Capim I Caracteriza-se pela

cooperação entre os seres
vivos de uma mesma
Com base nas informações que ela apresenta, pode-se espécie, anatomicamente Abelhas, formigas,
afirmar que: separados uns dos outros. cupins.

a) é necessária maior quantidade de massa no 1o nível Em alguns casos pode-se
trófico da cadeia alimentar para sustentar os outros notar divisão de trabalho
níveis. entre os seus componentes.

b) ao longo da cadeia alimentar, acumula-se energia. II Caracteriza-se pela
c) no nível trófico das corujas há mais energia do que nos cooperação entre os seres
vivos de uma mesma
níveis tróficos em que se encontram ratos e texugos. espécie, anatomicamente Corais, caravelas,
d) na cadeia alimentar, a massa dos ratos é igual à dos separados uns dos outros. bactérias.
Em alguns casos pode-se
texugos que se alimentam deles. notar divisão de trabalho
e) a massa de consumidores secundários é maior do que a entre os seus componentes.

de consumidores primários. III Relação em que os Liquens,
componentes se beneficiam micorrizas.
16. (PUC-SP) Analise a cadeia alimentar abaixo: e mantêm relação de
dependência.

IV Relação em que um indivíduo
mata outro de outra espécie Plantas carnívoras,
para se alimentar. coruja e
camundongo.

562

As interações às quais o quadro se refere são, respecti- 22. (VUNESP-SP) Considere a rede alimentar: BIOLOGIA
vamente:

a) I sociedade; II colônia; III mutualismo; IV predatismo.
b) I colônia; II sociedade; III mutualismo; IV predatismo.
c) I mutualismo; II predatismo; III sociedade; IV colônia.
d) I predatismo; II colônia; III sociedade; IV predatismo.
e) I colônia; II mutualismo; III predatismo; IV sociedade.

19. (UESPI-PI) Na natureza, as hienas acompanham à Sabe-se que, quando a espécie f é retirada experimen-
distância os leões e alimentam-se dos restos da caça talmente, a população da espécie d apresenta um de-
desses predadores. Por isso, no filme “O rei Leão”, de clínio acentuado. Isso indica que a relação interespe-
Walt Disney, as hienas são chamadas de “carnicei- cífica que provavelmente existe entre a espécie d e a
ras”. Esse é um exemplo de relação ecológica deno- espécie e, na ausência de f, é:
minada:
a) parasitismo.
a) amensalismo. b) competição.
b) protocooperação. c) predação.
c) mutualismo. d) mutualismo.
d) comensalismo.
e) competição interespecífica.

20. (UCDB-MT) O tipo de associação em que um indivíduo e) protocooperação.
de uma espécie procura abrigo ou suporte em outro 23. (UNIFOR-CE) A agricultura moderna utiliza grande
indivíduo de espécie diferente sem prejudicá-lo é co-
nhecido como: quantidade de herbicidas para garantir maior produti-
vidade. A relação ecológica existente nas culturas que
a) inquilinismo. é afetada por essa prática é:

b) parasitismo. a) a competição.
c) predatismo. b) o herbivorismo.
d) mutualismo. c) o parasitismo.
e) simbiose. d) o mutualismo.

21. (PUC-RJ) Indique a opção que apresenta a relação eco- e) a predação.
lógica ilustrada nos seguintes exemplos: 24. (VUNESP-SP) Um jornal de grande circulação comentou

I. Um cavalo está cheio de carrapatos, fixos a sua pele, o alto faturamento em dólares de uma empresa que
sugando seu sangue. está exportando ovos de uma traça, parasitados por mi-
núsculas vespas especializadas em atacar a broca de
II. A tênia é um platelminto que vive no intestino de mamí- cana, a lagarta-cartucho do milho e pragas do tomatei-
feros. ro. Esses ovos vão para os EUA, Suíça, França, Holanda,
Portugal, Espanha e Dinamarca, para serem usados
III. Os afídeos (pulgões) são insetos que retiram seiva ela- para a reprodução das vespas. A empresa também ven-
borada de certas plantas. de casulos de outra pequena vespa que, liberada, vai
colocar seus ovos e destruir lagartas que são pragas em
a) parasitismo. lavouras. (O Estado de S.Paulo, 17/9/2003).
b) competição. Pelo texto, pode-se afirmar que a reportagem refere-se:
c) mutualismo.

d) sociedade. a) à produção de polinizadores a serem utilizados para a
e) canibalismo. inseminação de plantas.

563

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM b) à produção de genes específicos para a utilização de a) predatismo.
técnicas de engenharia genética aplicadas à agricul- b) mutualismo.
tura. c) parasitismo.
d) inquilinismo.
c) à produção de larvas de insetos a serem utilizadas como e) amensalismo.
predadores de folhas atacadas por doenças.
27. (UFMG-MG) Para minimizar o uso de inseticidas sin-
d) à utilização das técnicas do controle biológico no téticos na fruticultura e atender às normas de segu-
combate a pragas agrícolas, através da utilização de rança alimentar da FAO (Food and Agriculture Orga-
insetos. nization), estão sendo implantadas “biofábricas” de
controle de pragas no Nordeste do Brasil. Essas “bio-
25. (FUVEST-SP) Considere o seguinte gráfico, obtido a fábricas” podem adotar todas as seguintes tecnolo-
partir de experimentos com duas espécies (X e Y) de gias, exceto:
angiospermas flutuantes que habitam lagos e lagoas.

a) produção de parasitas de pragas.
b) extração de inseticidas naturais.
c) criação de comensais das pragas.
d) produção de machos estéreis das pragas.

28. (MACK-SP) A emissão excessiva de certos gases,
cgoramdoatoivoCOd2a, tem sido responsabilizada pelo aumento
temperatura da superfície terrestre, com
graves consequências previstas para o futuro, como
a inundação das cidades localizadas ao nível do mar.
Esse aumento da temperatura é causado pela:

Pela análise do gráfico, é possível constatar que entre a) radiação ultravioleta do Sol, absorvida pelos gases que
as espécies X e Y existe uma relação de: estão em excesso na atmosfera.

a) simbiose. b) radiação infravermelha, que, após a absorção da ener-
b) mutualismo. gia solar pelo solo, é irradiada na forma de calor.
c) parasitismo.
d) competição. c) radiação ultravioleta do Sol, que, devido à destruição da
e) antibiose. camada de ozônio, chega com maior intensidade à su-
perfície terrestre.
26. (MACK-SP) O gráfico mostra as flutuações de duas
populações de microorganismos mantidas em um d) radiação visível do Sol, que, devido à destruição da ca-
mesmo meio de cultura. O tipo de relação ecológica mada de ozônio, chega com maior intensidade à superfí-
existente entre essas duas populações é: cie terrestre.

e) radiação infravermelha, que é absorvida pelo solo e não
é irradiada à atmosfera.

29. (UFJF-MG) “Nova York pode afundar, diz Greenpeace:
no ano 2080, Manhattam e Xangai poderão estar de-
baixo d’água, secas e enchentes serão mais extremas
e centenas de milhões de pessoas estarão em risco de
fome, falta de água e doenças.” (Folha de S.Paulo, p.
A-12, 28/10/2002).

Essa previsão é apresentada pela ONG Greenpeace,
caso os países não reduzam a emissão de gases que
provocam o efeito estufa, que consiste no:

a) aquecimento global da Terra, provocado pelo aumento
da concentração de gases, como o gás carbônico e o
óxido nitroso.

564

b) aquecimento global da Terra, provocado pelo aumento c) apenas a proposição III é verdadeira. BIOLOGIA
do buraco na camada de ozônio, que filtra os raios sola- d) apenas as proposições I e II são verdadeiras.
res. e) as proposições I, II e III são verdadeiras.

c) derretimento das calotas polares, provocado pela deser- 32. (UFF-RJ) As instituições de defesa do meio ambiente
tificação e pelas queimadas, que liberam anidrido sulfu- têm procurado exercer um controle mais rigoroso so-
roso e monóxido de carbono. bre o garimpo de ouro em rios e lagos. Tal controle é
importante para evitar:
d) aquecimento global da Terra, provocado pelos gases li-
berados na queima de carvão e petróleo como os cloro-
fluorcarbonos (CFCs).

e) aquecimento global da Terra, provocado pelo aumento a) a mortandade de peixes devida à desoxigenação da
da camada de gases como o metano e ozônio, liberados água.
pelas atividades industriais.
b) o desequilíbrio ecológico causado pelo desmatamento
30. (UFPE-PE) Uma alternativa satisfatória para resolver o das margens.
problema do lixo urbano consiste na utilização de um
método em que os restos orgânicos são convertidos c) a poluição das águas pelo mercúrio utilizado na separa-
a um produto final que pode servir como fertilizante ção do ouro.
para o solo. Nesse caso, materiais tais como plásticos,
vidros e metais devem, anteriormente, ser separados d) a turvação das águas decorrente da deposição de resí-
do lixo orgânico. Essa alternativa corresponde a: duos.

e) a poluição das águas por dejetos humanos não tra-
tados.

a) aterro sanitário. 33. (PUC-RS) Se o prefeito eleito de sua cidade prometeu
b) compostagem. desenvolver um programa com o objetivo de contribuir
c) incineração em aparelhos apropriados. para a diminuição do efeito estufa em nível local, isso
d) queima total. significa que ele pretende incentivar a adoção de me-
e) manutenção de lixões. didas de controle da poluição atmosférica através da
redução da emissão de e
pelas atividades humanas.

31. (UEG-GO) Os ecossistemas podem sofrer interferência a) clorofluorcarbonetos - óxido sulfúrico
em seus mecanismos de equilíbrio natural, tal como a b) clorofluorcarbonetos - monóxido de carbono
poluição, uma modificação indesejável do ambiente. c) dióxido de carbono - óxido sulfúrico
Em relação à poluição e às suas consequências, julgue
as proposições a seguir:

I. A queima de combustíveis fósseis em fábricas, usinas e d) dióxido de carbono - metano
veículos motorizados, lança uma série de produtos tóxi- e) monóxido de carbono - metano
cos no ar. Um desses produtos é o monóxido de carbono
(CO), capaz de combinar-se com a hemoglobina, dificul- 34. (PUCCAMP-SP) Durante a digestão dos animais ru-
tando a oxigenação dos tecidos. minantes ocorre a formação do gás metano (cons-
tituído pelos elementos carbono e hidrogênio), que
II. Os efeitos da poluição sonora dependem da intensida- é eliminado pelo arroto do animal. O aumento dos
de do som, do tempo de exposição e da sensibilidade rebanhos de ruminantes tem causado preocupação
da pessoa podem provocar problemas como: zumbidos, devido à liberação excessiva de metano e seu possí-
perda passageira da audição e até de sua redução irre- vel efeito na:
versível. Além disso, é estressante, pois estimula a pro-
dução de adrenalina e colesterol, causando problemas a) destruição da camada de ozônio.
cardíacos e emocionais.

III. O aquecimento global é preocupação internacional. A b) eutrofização dos lagos.
maioria dos países apoiou a proposta, chamada Proto- c) temperatura da Terra.
colo de Kyoto, de reduzir progressivamente até o ano de d) degradação dos solos.
2012 a emissão de gás carbônico.

Marque a alternativa correta: e) poluição das águas.

a) apenas a proposição I é verdadeira. 35. (UNIFOR-CE) Acredita-se que os gases do tipo CFCs
b) apenas a proposição II é verdadeira. (clorofluorcarbonetos) estejam relacionados à incidên-
cia de câncer de pele em seres humanos porque:

565

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM a) aumentam a taxa de mitose epitelial.
b) destroem a camada de ozônio.
c) apresentam ação mutagênica.
d) acarretam aquecimento da atmosfera.
e) danificam moléculas de DNA e RNA.

36. (UFSM-RS) Veja algo curioso de uma revista de jardi- a) O que é nicho ecológico?
nagem: “Você já percebeu como a chuva com relâm- b) Interprete a figura sob o ponto de vista da alimentação
pagos deixa tudo mais verde? Algumas pessoas dizem
que o relâmpago é o céu namorando com a Terra.”. das aves.
(Horta é saúde, 1998.).

Esse fenômeno, verdade ou ficção, relaciona-se com a fi- 39. (FUVEST-SP) O esquema abaixo representa as princi-
xação atmosférica do que, estando disponível pais relações alimentares entre espécies que vivem
às plantas, permite a formação de proteínas e ácidos nuc- num lago de uma região equatorial.
léicos.

Indique a alternativa que completa corretamente a la-
cuna:

a) cálcio
b) nitrogênio
c) fósforo
d) potássio
e) cobre

37. (PUC-RS) O nitrogênio é essencial para os ambientes Com relação a esse ambiente:
naturais, bem como para os sistemas agrícolas, pois é
um dos macronutrientes responsáveis por cerca de 5% a) Indique os consumidores primários.
da composição química das plantas, juntamente com b) Dentre os consumidores, indique quais ocupam um úni-
os micronutrientes (por exemplo, zinco, boro, cobre,
ferro, manganês, molibdênio e cobalto). Os demais co nível trófico.
95% são constituídos de carbono, oxigênio e hidrogê- c) Explique como o aumento das populações das aves
nio. O nitrogênio (N2) disponível no ambiente não é
utilizável pela maioria dos seres vivos. A conversão de pode impactar as populações de mosquitos.
sua forma biologicamente não-utilizável em uma for-
ma utilizável é realizada:

a) por algumas bactérias.
b) por angiospermas e gimnospermas.
c) por todas as plantas clorofiladas.
d) por todos os seres autótrofos.
e) principalmente pelo fitoplâncton.

QUESTÕES DISSERTATIVAS 40. (FUVEST-SP) Esquematize duas cadeias alimentares
em que você participe como consumidor primário e
terciário, respectivamente.

38. (EEM-SP) As curvas da figura apresentam o nicho eco- 41. (UFOP-MG) A figura a seguir representa o esquema de
lógico das andorinhas e bem-te-vis em função do ta- uma cadeia alimentar:

566 manho de insetos utilizados em suas alimentações.

a) Indique o tipo de relação ecológica existente entre esses BIOLOGIA
pássaros e os insetos.

b) Explique o fato de não existir competição direta entre os
pássaros.

44. (FUVEST-SP) Observe o esquema, abaixo:

Analise o esquema e responda:

a) O que significa cadeia alimentar? a) O esquema mostra, de maneira simplificada, o ciclo de
b) No esquema proposto, quais são os produtores, os con- qual elemento químico?

sumidores e os decompositores? b) Que informação, contida no esquema, permite identifi-
c) Qual(is) seria(m), no esquema proposto, o(s) car esse elemento químico?

consumidor(es) terciário(s)? c) Cite duas classes de macromoléculas presentes nos se-
d) O que acontece com as substâncias que os consumido- res vivos, que contenham esse elemento químico.

res incorporam aos seus corpos?

42. (UFAL-AL) O esquema abaixo representa a transferên-
cia de energia ao longo das cadeias alimentares.

a) Explique o que acontece com o fluxo de energia ao longo
da cadeia alimentar.

b) Justifique a dissipação de energia nos diferentes níveis
tróficos.

43. (UERJ-RJ) Os três pássaros abaixo, identificados pelas
letras A, B e C, coexistem na mesma floresta. Cada
um deles se alimenta de insetos que vivem em locais
diferentes da mesma árvore, indicados pelos círculos.

567

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM GABARITO 40. Sugestão:

Questões de múltipla escolha: alface homem bactérias da flora
intestinal

(consumidor primário)

1–e 20 – a fitoplâncton zooplâncton peixes
2–b 21 – a homem
3–b 22 – c
4–e 23 – b (consumidor terciário)
5–d 24 – d
6–c 25 – d 41.
7–b 26 – a a) Cadeia alimentar é uma sequência linear de organismos
8–d 27 – d
9–d 28 – a em que um serve de alimento para o outro.
10 – a 29 – a b) Produtores: plantas com raiz e algas.
11 – d 30 – b
12 – a 31 – e Consumidores: copépodes, besouros-d’água, formas
13 – c 32 – c bentônicas e peixes.
14 – a 33 – d Decompositores: bactérias e fungos.
15 – a 34 – c c) Consumidores terciários: os peixes.
16 – e 35 – b d) As substâncias participarão de processos metabólicos
17 – b 36 – b ou serão incorporadas ao corpo desses organismos e
18 – a 37 – a serão posteriormente devolvidas ao ambiente, através
19 – d da ação dos decompositores.

Questões dissertativas: 42.
a) A transferência de energia é unidirecional, ou seja,
38.
a) Nicho ecológico é a caracterização do modo de vida cada nível trófico recebe uma quantidade de energia
menor que a disponível no nível trófico anterior.
de um organismo, hábitos, alimentação, é a “profissão” b) A dissipação da energia ocorre devido às atividades
que ele desempenha. metabólicas e, como também, é perdida para o am-
b) Pelo gráfico, os bem-te-vis alimentam-se, preferencial- biente (pelas fezes, pela urina, pelo suor).
mente, de insetos maiores (cerca de 60 mm) enquanto
as andorinhas, de insetos menores (cerca de 30 mm) 43.
não havendo sobreposição de nichos. Há sobreposição a) A relação entre os pássaros e os insetos é o predatis-
destes, quando os insetos têm 40 mm, pois eles ser-
vem de alimento aos dois tipos de organismo. mo. Os pássaros são os predadores e os insetos, as
presas.
b) Não há competição direta, pois o alimento dos
pássaros é encontrado em lugares diferentes da
mesma árvore, não havendo sobreposição de nichos
ecológicos.

39. 44.
a) São consumidores primários o zooplâncton e o peixe 1. a) O elemento químico nitrogênio.
b) Consumidores primários: zooplâncton e peixe 1. b) O fato de as bactérias serem os únicos seres capazes

Consumidores secundários: larvas de mosquito. de retirar ou de repor o nitrogênio no ambiente.
Consumidor terciário: peixes 2, 3 e 4. c) As macromoléculas que, em sua composição, apre-
Consumidores quaternários: peixe 5, aves 1 e 3.
c) O aumento das populações de aves, provoca diminuição sentam o nitrogênio são: as proteínas e os ácidos nu-
das populações de peixes 1, 2, 3 e 4. Este fato fará cleicos.
com que haja um maior número de larvas de mosquito
terminando sua metamorfose e, consequentemente, o
número de mosquitos será maior.

568

MATEMÁTICA

MATEMÁTICA

BLOCO 1
ÁLGEBRA

INTRODUÇÃO EXPRESSÕES ALGÉBRICAS

Com o intuito de situá-lo no contexto algébrico, é Já usamos o termo “expressão algébrica” com certa
imprescindível que você tenha uma ideia de qual foi o frequência. Isso significa qualquer operação matemática
percurso traçado pela álgebra ao longo dos séculos. escrita por meio de letras e números, ou só com as letras,
por exemplo, 9z; r + s; 2x² + 3x = 5.
Uma parte significativa do conhecimento que chegou a
nós, brasileiros, veio da Europa, que por sua vez, absorveu Um primeiro ponto a destacar sobre as expressões
o conhecimento proveniente dos árabes, que resgataram algébricas é como elas são classificadas, e esta
grande parte da produção intelectual dos gregos e, por categorização é dada de acordo com a disposição de suas
conseguinte, de outras antigas civilizações, devido ao variáveis. Se as variáveis da expressão algébrica aparecem
domínio territorial e intelectual dos gregos na Antiguidade. dentro de um radical, então a expressão receberá o nome
de irracional, por exemplo, Ö x – 1 + 2x; se as variáveis da
Partindo-se desse pressuposto, e não só dele, a álgebra foi expressão algébrica não aparecem dentro de um radical,
concebida a partir da aritmética produzida pelo matemático então a expressão receberá o nome de racional, por
árabe Al-Khowarizmi, mais especificamente, por meio exemplo, 2x² + 3x + 5; as variáveis poderiam ainda aparecer
do seu livro mais importante, Al-jabr Wa’I muqabalah, de no denominador de uma expressão algébrica e, neste caso,
onde provém o termo álgebra e que mais tarde foi levado à a expressão receberia o nome de fracionária, por exemplo,
Europa, o que permitiu aos europeus tomarem contato com
este ramo da Matemática. x3 .
x+3
Esta etapa da álgebra é chamada de retórica, pois eram
usadas palavras para resolver “situações algébricas”. Após classificar as expressões algébricas, o próximo
passo será olhar para os elementos que a compõem. Cada
Quem introduziu, muito timidamente, símbolos para elemento, termo de uma expressão algébrica, recebe o
trabalhar com a álgebra foram Diofante e Brahmagupta. A nome de monômio. Voltemos aos três primeiros exemplos:
sincopação foi o termo usado para descrever essa etapa da 9z é um monômio, pois é formado pela multiplicação de um
álgebra. É a álgebra sincopada. número real por uma letra; já r + x possui dois monômios,
r e s, por isso recebe o nome de binômio; a expressão
No século XVI, o francês François Viète dá um passo à algébrica 2x² + 3x + 5 possui três monômios (2x², 3x e 5)
frente e sistematiza o uso das letras para representar os logo recebe o nome de trinômio. Se a expressão algébrica
valores (conhecidos e desconhecidos) em uma expressão tem dois ou mais termos, ela recebe o nome de polinômio.
algébrica. Essa etapa da álgebra é conhecida como
simbólica. Apenas para não deixar dúvida, cada termo de uma
expressão algébrica é composto de um produto de número
A álgebra continuou e continua evoluindo, porém paramos por uma ou mais incógnitas, e cada um destes termos ou
em Viète, para que possamos focar outros aspectos monômios é separado por um sinal de adição ou subtração.
algébricos, e não só sua evolução histórica.
Em um monômio ou polinômio poderíamos destacar
A Álgebra, como outros ramos da Matemática, possui suas outro elemento, que é seu grau. No caso do monômio, o
particularidades, seus conceitos próprios, que serão aqui grau é dado pela soma dos expoentes das letras. Como?
resumidamente apresentados, Nos exemplos 9z e 13xy²z, os graus dos monômios são
respectivamente um e quatro. Já no caso dos polinômios,
FICHA 1 – EXPRESSÕES ALGÉBRICAS, o grau é dado pelo termo de maior grau. Assim, em r + s o
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS, EQUAÇÕES, grau é um e em 2x² + 3x + 5 o grau é dois.

INEQUAÇÕES E FUNÇÕES Dando continuidade ao nosso estudo sobre as expressões
algébricas, temos os termos semelhantes, que são os
Quando falamos de Álgebra, logo pensamos em expressões monômios que possuem a mesma parte literal. Para
algébricas, operações algébricas, equações, inequações e simplificar, reduzimos a um só termo. A expressão algébrica
funções, e são a elas que vamos nos ater daqui para frente, 2x² + 3x + 5x + x² possui termos semelhantes que podem
destacando os elementos que compõem cada um destes ser agrupados, reduzidos, simplificados. Reduzindo os
conceitos. termos semelhantes, temos a expressão 3x² + 8x.

Mas, antes de apresentar cada um destes conceitos, Ainda sobre as expressões algébricas, se substituirmos
destaquemos dois termos importantíssimos da álgebra e as letras por números encontraremos o valor numérico
que nos acompanharão a todo o momento – a incógnita e da expressão. Por exemplo, na expressão algébrica s0 + vt,
a variável.

570

smeen+cao1tnr0itbrmaumi/rsmo×sos2pasor=av3aal0oermxp1,r0qeusmesãpoaodasel0gr,éia1bsr0iecrmain/sst0e+rapvrvet teoadv2aolscooram10to, Da mesma forma, poderíamos considerar (a – b)² = (a – b) MATEMÁTICA
a distância percorrida por um móvel durante dois segundos, ∙ (a – b) = a² – 2ab + b², que significa que o quadrado da
partindo da posição inicial 10 metros, com velocidade diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro
constante de 10 metros por segundo. termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo,
mais o quadrado do segundo; ou ainda, (a – b) ∙ (a + b) = a²
– b², que significa que o produto da soma de dois termos
pela diferença dos mesmos termos é igual ao quadrado do
OPERAÇÕES ALGÉBRICAS primeiro menos o quadrado do segundo. Uma outra forma de
produto notável é a distribuição, o que é caracterizada pelo
produto de um fator simples por uma soma ou subtração de
O estudo das expressões algébricas é reconhecidamente dois outros termos deste modo a ∙ (b + c).
importante para o entendimento das equações, inequações
e funções, assim como o das operações algébricas, Agora que já conhecemos os produtos notáveis do
principalmente no caso da fatoração, que possibilita a você segundo grau, vamos fatorar expressões algébricas com o
resolver, sem o auxílio de fórmulas, equações dos mais auxílio deles, lembrando que a palavra fatoração significa,
variados graus. neste contexto, escrever uma expressão algébrica por meio
de um produto de expressões mais simples.
As operações com números que deram origem às
demais foram: a adição e multiplicação. Como já é do Veja o exemplo que ocorreu em uma sala de aula:
seu conhecimento, o resultado de uma multiplicação
que envolve números ou mesmo letras é um produto; Um professor pediu aos seus alunos que avaliassem a
os produtos que estudaremos aqui são chamados resolução de um exercício. A atividade pedia para que a
de notáveis, pois aparecem com muita frequência e ax2 + bx – ay2 + by
são imprescindíveis na simplificação de expressões expressão algébrica fracionária (x + y) fosse
algébricas, na resolução de equações e em outros
problemas algébricos. escrita de um modo mais simples.

Os produtos notáveis que iremos estudar aqui são de Vamos acompanhar o caminho que os alunos percorreram
segundo grau, o que não significa que só existam eles. para chegar à solução.
Os produtos notáveis eram utilizados pelos árabes para
resolver equações de segundo grau, e o mais espetacular Como aparece (x + y) no denominador e o exercício pede
é que a resolução era feita geometricamente. Vamos nos para escrever a expressão algébrica simplificada, então
apropriar um pouco dessa ideia. Seja S a área do quadrado significa que deve existir alguma maneira de cancelar algum
abaixo decomposta em quatro áreas, S1, S2, S3 e S4. Assim, termo do numerador com o denominador. Mas como fazer
isso? O primeiro passo é colocar em evidência o a e depois
S = S1 + S2 + S3 + S6 o b:

Sendo, a(x2 – y2) + b (x + y)
S1 = a ∙ b (x + y)
S2 = a²
S3 = a ∙ b Lembre-se que (x2 – y2) = (x – y) . (x + y) ; então pode-se escrever:
S3 = b²
a(x – y) · (x + y) + b(x – y)
Temos que: (x + y)

S = a ∙ b + a² + a ∙ b + b² = a² + 2a ∙ b + b² = (a + b) ∙ (a + b) Cancela-se o (x + y) do numerador e do denominador, e ter
= (a + b)² como resposta a expressão:

b a.b b2 a(x – y) + b
Vamos discutir alguns casos que envolvem a fatoração de
expressões algébricas.

a a2 a.b Caso 1. Colocar um fator comum em evidência

ab Em um polinômio qualquer, podemos procurar entre seus
O produto (a + b)² = (a + b) ∙ (a + b) = a² + 2ab + b², termos se existe algum fator que é comum a todos. Caso
interpretado geometricamente acima, significa que o exista este fator em comum, o destacamos, ou melhor,
quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do o colocamos em evidência. Por exemplo, na expressão
primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo algébrica ax² – ay², o fator comum é o a. Neste caso,
segundo, mais o quadrado do segundo. colocando-o em evidência, a expressão fatorada fica a(x²
– y²). Já na expressão algébrica bx + by, o fator comum é
o b, e se o colocarmos em evidência, a expressão fatorada
será b(x + y).

Isso significa que uma expressão algébrica pode ser
escrita na forma parcelada (bx + by) ou fatorada (b ∙ (x + y).

571

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Sendo assim, podemos concluir que se ax² – ay² = a(x² Caso 2: Fatoração utilizando os produtos notáveis
– y²), então a(x² – y²) = ax² – ay². Se voltarmos à situação
anterior, a fatoração da expressão algébrica fracionária Neste segundo caso, as expressões algébricas podem
ax2 + bx – ay2 + by ser escritas por meio dos produtos notáveis discutidos
(x + y) foi feita por meio de um agrupamento anteriormente.
de fatores comuns. Vamos rever a simplificação feita pelo
aluno, separando-a em passagens. A expressão algébrica pode ser um trinômio quadrado
Passagem 1: Agrupam-se os termos que possuem o a e o perfeito e, neste caso, verificamos se os dois termos
b como fatores comuns e os colocamos em evidência. extremos são quadrados perfeitos; se forem, extraímos
a raiz quadrada de ambos. Lembre-se de que o quadrado
ax2 + bx – ay2 + by = perfeito é um número que, ao se extrair sua raiz quadrada,
(x + y) o resultado será um número inteiro positivo. Se os extremos
forem quadrados perfeitos, então verificamos se o duplo
(ax2 – ay2) + (bx + by) = produto dessas raízes é igual ao termo do meio. Sendo a
(x + y) verificação válida, podemos escrever a expressão algébrica
por meio de um trinômio quadrado perfeito.
a · (x2 – y2) + b · (x + y)
(x + y) Exemplificando, temos:
Na expressão z² + 4z + 4 primeiro extraímos a raiz
Passagem 2: Fatora-se a expressão (x² – y²), ou seja, (x² quadrada do primeiro e do último termo do trinômio. Assim,
– y²) = (x – y) ∙ (x+ y). Ö z2 = z e Ö 4 = Ö 22 = 2. Como os termos extremos são
quadrados perfeitos, então verificamos se o duplo produto
a · (x – y) · (x + y) + b · (x + y) dessas raízes é igual ao termo do meio, ou seja, 2(z) ∙ (2) =
(x + y) 4z. Como a verificação é válida, então a expressão z² + 4z +
4 será igual a (z + 2)² = (z + 2) ∙ (z + 2).
Passagem 3: Agrupam-se os termos que possuem o (x + y) A expressão também poderia ter o termo do meio com
como fator comum e os colocamos em evidência. o sinal negativo e mesmo assim teríamos um trinômio
quadrado perfeito, isto é, z² + 4z + 4 = (z – 2) ∙ (z – 2), que
a · (x – y) · (x + y) + b · (x + y) = é igual a (z – 2)².
(x + y) A expressão algébrica pode também ser escrita como a
diferença de dois quadrados e, neste caso, a expressão é um
(x – y) · [a · (x + y) + b] binômio cujos termos são quadrados perfeitos, e a operação
(x + y) que os separa é a da subtração. Veja o exemplo a seguir:
Na expressão 4z² – 4, podemos escrever 4z² como (2z)² e
Passagem 4: Cancela-se o (x + y) que aparece no o 4 como 2².
numerador e no denominador. Logo,

(4z² – 4) = [(2z)² – (2)²] = (2z – 2) ∙ (2z + 2)

Caso 3: A soma e o produto

(x – y) · [a · (x – y) + b] = Neste último caso, que chamamos de “a soma e o produto”
(x – y) é fato que podemos escrever um trinômio do segundo grau
na forma x² – Sx + P, em que S é a soma de dois números e
a · (x – y) + b = ax – ay + b P o produto destes mesmos dois números. Se encontrarmos
dois números que satisfazem tanto a soma como o produto,
Logo, a expressão algébrica ax2 + bx – ay2 + by é igual a: então podemos escrever o trinômio do segundo grau na
(x + y) forma fatorada. Analise o exemplo em questão.

a(x – y) + b = ax – ay + b Na expressão algébrica r² – 5r + 6, precisamos encontrar
dois números que tenham soma – 5 e produto 6.
A fatoração feita acima se chama fatoração por
agrupamento e recai no caso do fator comum. Os números são – 2 e – 3, pois (– 2) + (– 3) = – 5 e
(– 2) ∙ (– 3) = 6.
572
Agora que já encontramos os números, trocamos o (– 5r)
na expressão r² – 5 + 6 por (– 2r – 3r) e agrupamos,
convenientemente, os termos que possuem fatores comuns.
Assim,

r² – 2r –3r + 6 = 6 ∙ (r – 2) – 3(r – 2) = (r – 2) ∙ (r – 3)

Como você percebeu, os números que encontramos Mesmo que apliquemos a propriedade distributiva, MATEMÁTICA
permitem escrever a expressão na sua forma fatorada. nenhum termo se anulará, logo a nossa fração algébrica
t u
Veja outro exemplo a seguir. a+b + a – b, com mesmo denominador, será igual a
A expressão 2t² + 6t – 8 também pode ser escrita utilizando
o caso da soma e do produto, mas, para isso, precisamos, t · (a – b) + u · (a + b)
inicialmente, colocar o 2 em evidência, assim: 2t² + 6t – 8 (a2 – b2)
= 2(t² + 3t – 4). Agora sim, procuramos os números que
satisfazem a soma e o produto. Ao colocarmos o 2 em Você viu que, para operar com as frações algébricas que
evidência, temos a expressão t² + 3t – 4, e os números que possuem denominadores diferentes, é necessário recorrer
procuramos têm soma 3 e produto – 4. Estes números são aos conceitos de mínimo múltiplo comum e máximo divisor
o (– 1) e o 4, pois (– 1) + 4 = 3 e (– 1) ∙ 4 = – 4. Logo, a comum. Em nosso exemplo, os denominadores eram,
expressão t² + 3t – 4 pode ser escrita como (t – 1) ∙ (t + 4) teoricamente, simples. E se não fossem tão simples assim,
e, portanto, como proceder? Para facilitar sua tarefa, se é que isto é
possível, vamos pensar o seguinte:
2t² + 6t – 8 = 2(t – 1) ∙ (t + 4)
Toda vez que você tiver que operar com frações algébricas
FRAÇÕES ALGÉBRICAS com denominadores diferentes, o mínimo múltiplo comum
entre os denominadores será o polinômio formado do
A expressão algébrica ax2 + bx – ay2 + by é um tipo de fração produto dos fatores primos comuns e não comuns nessas
(x + y) expressões, considerados uma única vez e com os maiores
expoentes.
algébrica, e na maior parte das vezes estamos interessados
em simplificá-la. Simplificar uma fração algébrica significa Apenas para sistematizar, o máximo divisor comum entre
transformá-la em uma expressão mais simples e de menor expressões algébricas será o produto dos fatores primos
grau. Para isso, é necessário que retomemos dois conceitos, comuns considerados uma única vez e com os menores
muito comumente utilizados, na teoria dos números, que são expoentes.
o máximo divisor comum (m.d.c.) e o mínimo múltiplo comum
(m.m.c.). FICHA 2 – EQUAÇÕES

Para o seu melhor entendimento, utilizaremos um exemplo Depois de situá-lo no universo operacional da álgebra,
genérico para explicar estes dois conceitos, do ponto de daremos um passo à frente e trataremos de um conceito
vista algébrico. muito importante para o ensino da Matemática, com a
t u finalidade de ser um instrumento para a proposição e
Para simplificar a expressão algébrica a + b + a – b, em resolução de situações-problema, contextualizadas dentro
e fora da Matemática. Este conceito algébrico, que dará
que a ≠ b. Qual seria o primeiro passo? origem a outros conceitos imprescindíveis à Matemática, é a
equação. Aqui estudaremos, prioritariamente, as equações
O primeiro passo é igualar os denominadores. Para isto, do primeiro e segundo graus.
é necessário encontrar o menor múltiplo comum dos
números que aparecem no denominador das frações, ou A definição de equação é: uma sentença matemática
seja, o m.m.c. Se um número for múltiplo do outro, então aberta expressa por uma igualdade, que envolve expressões
tomamos como o m.m.c. o maior desses números; e se um algébricas. A essência de uma equação é encontrar o
número não fosse múltiplo do outro, então olhávamos para valor ou os valores desconhecidos que satisfazem uma
o máximo divisor comum destes números. Neste caso, duas determinada sentença matemática aberta, expressa por
eram as possibilidades, porém, tomaremos apenas uma uma igualdade. Tal valor desconhecido recebe o nome de
delas, que é o caso em que o máximo divisor comum entre incógnita.
os números era igual a 1. Quando isto acontecia, o m.m.c.
dos denominadores era o produto deles. O CONCEITO DE EQUAÇÃO

Os denominadores são (a + b) e (a – b) e, como eles não são Uma equação é formada por dois lados. O lado à esquerda
múltiplos um do outro, pois o máximo divisor comum entre da igualdade é o primeiro membro da equação, e o lado à
os dois é o 1, para calcular o m.m.c. é preciso multiplicar direita da igualdade é o segundo membro da equação. Cada
(a + b) por (a – b). Portanto, o mmc (a + b; a – b) = (a + b) ∙ um destes membros é constituído por termos, que são as
(a – b) = a² – b². parcelas. Vamos identificar na equação X2 + 2X = 1 – X o
que acabamos de escrever.
O segundo passo é encontrar as frações equivalentes
e, neste caso, utilizaremos a tão famosa ideia de dividir X2 + 2X = 1 – X
o m.m.c. pelo denominador e multiplicar o resultado pelo 1ºmembro 2ºmembro
numerador. Quando resolvemos uma equação, o resultado encontrado
recebe o nome de conjunto solução. Duas equações que
Veja como fica o nosso exemplo: têm o mesmo conjunto solução são equivalentes.
São fatores que interferem no tipo, na classificação de
t + u = t · (a – b) + u · (a + b) uma equação, as soluções, as operações, a natureza dos
+ – (a + b) · (a – b)
a b a b 573

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM coeficientes, o grau e a quantidade de letras que aparecem A EQUAÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
em uma equação.
Qualquer equação tem uma forma geral e, no caso da
A SOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO equação do primeiro grau, esta forma é dada por ax + b = 0,
em que a e b são números reais, denominados coeficientes.
Se uma equação tiver uma única solução, então diremos O grau da equação determina o número de raízes que ela
que a equação é determinada; se houver mais de uma terá. Uma equação do primeiro grau terá no máximo uma
solução, então diremos que a equação é indeterminada; raiz, quando o coeficiente da incógnita x for diferente de
se não encontrarmos nenhuma solução, então a equação zero, e esta raiz será determinada, facilmente, isolando a
é impossível. b
incógnita x em ax + b = 0, ou seja, ax = –b Þ x = – a .

AS OPERAÇÕES QUE ENVOLVEM UMA EQUAÇÃO Quando o coeficiente da incógnita x for igual a zero, então
devemos analisar o valor do coeficiente independente da
Quando discutimos as expressões algébricas, as incógnita x. Se este coeficiente for igual a zero, então a
classificamos em racionais, irracionais e fracionárias. No equação se verifica para qualquer valor atribuído a x. Isto
caso das equações, não é nada diferente. As equações significa que ela admite infinitas soluções; caso contrário,
irracionais são aquelas em que a incógnita aparece em um se o valor do coeficiente independente da incógnita x for
radical ou tem expoente fracionário; as equações racionais diferente, então a equação não admite nenhuma solução.
são aquelas em que a incógnita não aparece em um radical Simbolicamente, temos que:
e não tem expoente fracionário; as fracionárias são aquelas • se a = 0 e b = 0, então a equação é indeterminada, pois
em que a incógnita aparece no denominador ou tem
expoente negativo. admite infinitas soluções;
• se a = 0 e b ≠ 0, então a equação é impossível, pois não

admite nenhuma solução.

A NATUREZA DOS COEFICIENTES DE UMA EQUAÇÃO INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE FUNÇÃO POLINOMIAL DE 10 GRAU

Os coeficientes podem ser números ou letras; se os A depreciação de um determinado bem
coeficientes da equação forem somente números, então a Contabilmente, a depreciação é uma despesa equivalente
equação é numérica; se pelo menos um dos coeficientes da à perda do valor de um bem, quer seja por deterioração,
equação for uma letra, então a equação é literal. quer seja por obsolescência. Os bens que podem ser
objeto de depreciação são todos os bens físicos sujeitos
O GRAU DE UMA EQUAÇÃO ao desgaste pelo uso, por causas naturais, obsolescência
normal, inclusive edifícios e construções, bem como
Já discutimos sobre o grau de polinômio, certo? A ideia projetos florestais destinados à exploração dos respectivos
aqui é a mesma. Em uma equação, a incógnita com o maior frutos1.
expoente determina o grau da equação; se o maior expoente Os bens que não podem ser objeto de depreciação são
da incógnita for 1, então a equação é do primeiro grau; se os terrenos, salvo em relação aos melhoramentos ou
for 2, do segundo grau; se for 3, do terceiro grau; se for n, construções, os prédios, ou construções não alugados
do enésimo grau. nem utilizados pelo proprietário na produção dos seus
rendimentos, bem como destinados à revenda, bens que
A QUANTIDADE DE LETRAS DA EQUAÇÃO normalmente aumentam de valor com o tempo, como obras
de arte e antiguidades e bens para os quais seja registrada
Outro conceito surge quando tratamos da quantidade quota de exaustão2.
de letras de uma equação. O valor desconhecido que A taxa de depreciação aplicável a cada caso é obtida
chamávamos de incógnita deixa de receber este nome mediante a divisão de 100% pelo prazo de vida útil, em
e passa a ser chamado de variável, pelo motivo que meses, trimestres ou em anos, apurando-se assim a taxa
trataremos com mais cuidado daqui a pouco. Desse modo, mensal, trimestral ou anual a ser utilizada. A tabela 1
equações com uma variável, duas variáveis ou três variáveis mostra o tipo de bem, a taxa de depreciação anual e o prazo
aparecem comumente na Matemática, o que também de depreciação.
interfere na classificação de uma equação.
1 O texto acima foi extraído do site da receita federal, www.receita.fazenda.gov.br, em
Mas, para você, o importante neste momento são as 23/10/2003, às 13h30.
equações com uma variável. Agora que já conhecemos 2 Exaustão é um fenômeno patrimonial que caracteriza a perda de valor que sofrem
o caráter geral de uma equação, a proposta é discutir as imobilizações suscetíveis de exploração e que se esgotam no correr do tempo,
as equações do primeiro e segundo graus, bem como as como, por exemplo, as reservas minerais e vegetais (bosques, florestas, jazidas, etc.).
inequações e as funções. Quando resolvemos uma equação Corresponde à perda do valor decorrente de recursos minerais ou florestais ou de bens
qualquer, o valor que satisfaz a equação, ou seja, que anula aplicados nessa exploração. (Extraído do site www.ccsa.ufpb.br/~nca/depreciacao.
a expressão, recebe o nome de raiz. html, em 23/10/2003 às 14h13)

574

Bens Taxa de Prazo Agora que já descobrimos qual é a depreciação anual, qual seria MATEMÁTICA
Depreciaçao o valor da máquina após um ano? E após dois anos? E após três
Edifícios e 4% ao ano 25 anos anos? E após dez anos?
benfeitorias
Móveis e utensílios 10% ao ano 10 anos Resolução:
Máquinas e 10% ao ano 10 anos
equipamentos Neste caso, a conta é tão simples quanto a primeira,
Veículos em geral 20% ao ano 05 anos pois como já conhecemos o valor anual da depreciação e
Computadores e 20% ao ano 05 anos como este valor é constante, podemos então utilizar o valor
periféricos nominal e subtrair da depreciação após cada ano.
Motociclos, 25% ao ano 04 anos
tratores e V1 = 80.000 – 5.000 ∙ 1 = 75.000 u.m.
caminhões V2 = 80.000 – 5.000 ∙ 2 = 70.000 u.m.
V3 = 80.000 – 5.000 ∙ 3 = 65.000 u.m.
Agora que você já sabe um pouco a respeito da depreciação
de um bem, iremos relacionar a depreciação a um conceito ‫ށ‬
matemático fantástico. Bom, mas, antes de escrever sobre
este conceito matemático interessantíssimo, resolveremos V10 = 80.000 – 5.000 ∙ 10 = 30.000 u.m.
algumas situações.
Da mesma forma que encontramos uma expressão que
Situação 1: permitia escrever a depreciação em função do número de
Certa máquina foi comprada pelo preço de R$ 80.000,00, anos, podemos e devemos escrever agora uma expressão
que representa seu valor nominal, e vendida depois de que dá o valor (V) da máquina em função do tempo (n). Para
dez anos (vida útil) por R$ 30.000,00. Supondo que a escrever esta expressão, basta substituir o número de anos
depreciação a cada ano seja constante, qual a depreciação npoeltaaçleãtoramna, taesmsiámti,cVan = 80.000 – 5.000 ∙ n. Usando aquela
total e anual desta máquina? que iremos explicar posteriormente,
temos V(n) = 80.000 – 5.000 ∙ n.

Situação 2:

Resolução: Depreciação Linear

Se a máquina foi comprada por R$ 80.000,00 e vendida 1600Valores em unidades monetárias
depois de dez anos por R$ 30.000,00, isto significa que ela 1500
sofreu uma depreciação de R$ 50.000,00 neste período. 1400
Como o enunciado afirma que a depreciação foi constante, 1300
então podemos concluir que, se em dez anos a depreciação 1200
foi de R$ 50.000,00, a cada ano a sua depreciação foi de 1100
R$ 5.000,00. 1000

Simbolicamente, poderíamos escrever assim: 900
800
DT = 80.000 – 30.000 = 50.000 Þ 700
600
DA = R$ 50.000,00 = R$ 50.000/ano 500
10 anos 400
300
DT = depreciação total 200
DA = depreciação anual. 100

A cada ano a depreciação é de R$ 5.000,00, isto significa 0
que em um ano a máquina perdeu R$ 5.000,00. Em dois 012345
anos R$ 10.000,00, em três R$ 15.000,00 e assim por Anos
diante, até não ter nenhum valor para efeito contábil.
Poderíamos pensar então em uma expressão matemática O gráfico abaixo representa a depreciação linear de
que permitisse escrever a depreciação (D) em função do um equipamento ao longo de cinco anos. A partir das
tempo em ano (n). informações contidas no gráfico, é possível encontrar o valor
da depreciação do equipamento para cada um dos cincos
Resolução: anos e a expressão que dá a depreciação D em função do
número de anos?
Se D é a depreciação e n o número de anos, então
D1 = 5.000; D2 = 5.000 ∙ 2; Dn = 5.000 ∙ n Resolução:
Para melhorar esta expressão, pode-se utilizar uma
notação matemática e, assim, Analisando o gráfico, percebemos que o valor do
D(n) = 5.000 ∙ n equipamento novo foi R$ 1.500,00 (0, 1500); no primeiro
ano, o equipamento valia R$ 1.200,00 (1, 1200); no segundo
ano, R$ 900,00 (2, 900); no terceiro ano, R$ 600,00 (3,
600); no quarto ano, R$ 300,00 (4, 300) e no quinto ano
o equipamento valia, contabilmente, nada. A partir destas
informações e sabendo que a depreciação é constante ao
longo dos cinco anos, descobrimos pela diferença de dois
anos consecutivos quaisquer que o valor da depreciação
anual foi de R$ 300,00. Desse modo, no primeiro ano temos

575

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Do 1q=ue3n0o0s∙ 1p;enrmo siteegeusncdreovDe2r = 300 ∙ 2 e assim sucessivamente, Sistematizando o conhecimento matemático
a expressão que dá a depreciação trabalhado nas duas situações
D em função ndoosnpúomsseirboilintadeenacnonostr,aarsasiemxp: rDe(sn)s=ão3q0u0e∙ n. O
gráfico ainda dá o Nas expressões que encontramos a partir do gráfico, temos
valor do equipamento ano a ano. A expressão a que estamos
nos referindo é V(n) = 1500 – 300 ∙ n. que a variável independente, número de anos, aparece
no eixo x, e a variável dependente, valor do equipamento,
aparece no eixo y. S–ub2s0t0itxuin+d1o.-5se00V,(nu) mpoar f(x) e n por x,
Contextualizando matematicamente as duas situações: encontramos f(x) = expressão que

Na situação 1 escrevemos d5u.0a0s0ex∙ pnr.eTsasnõtoesaqdueepfroercaiamçãDo(n,) determina o valor da variável f(x) = y em função da variável
c=o5m.0o0o0n∙ únmeeVro(n) = 80.000 – x. Esta expressão recebe o nome de função afim. Afim
porque a variável independente x tem como seu maior e
de anos são variáveis, pois assumem mais único expoente o número 1. A forma geral de uma função
de um valor, conforme mostrado na resolução da situação.
Na expressão Dn(ún)m=e5ro.0d0e0 ∙ n temos a depreciação escrita afim é dada por f(x) = ax + b com a, b Î A. O coeficiente a
em função do anos, então podemos dizer que recebe o nome de taxa de variação e é determinado a partir

a depreciação, neste caso, depende do número de anos e, da expressão a = Dy = y – yO e o coeficiente b recebe o
portanto, é a nossa variável dependente. Se a depreciação Dx x – x0
é nossa variável dependente, então o número de anos é a nome de coeficiente linear.

nossa variável independente. Na expressão eVm(n) 80.000 – Para entender melhor
5.000 ∙ n, o valor do equipamento está escrito função do
número de anos. Então, novamente, podemos afirmar que,
neste caso, o valor depende do número de anos, portanto é A função afim tem como representação gráfica uma reta,
que pode ser crescente ou decrescente e passar ou não
a nossa variável dependente, enquanto o número de anos pela origem O (0, 0) do sistema de coordenadas cartesianas.
faz o papel da variável independente.
Já na situação 2, a partir da representação gráfica, A equação da reta é dada pela expressão y –ouy0s=ejaa(,xa–sxu0a),
encontramos as expressões Dte(nm) =os3p0a0raecaVd(n)a=ex1p.r5e0s0sã–o em que a é o coeficiente angular da reta,
300 ∙ n. Como você já sabe, inclinação em relação ao eixo das abscissas.

duas variáveis, uma dependendo da outra. Na primeira Particularizando a função afim
expressão, a depreciação depende do número de anos e, • Se o coeficiente linear for igual a zero, ou seja, b = 0,
na segunda, o valor do equipamento depende do número de
anos. O interessante desta situação é que determinamos então a função receberá o nome de função linear e será
as expressões a partir de um gráfico, diferentemente das da forma f(x) = ax;
duas primeiras expressões da situação 1. Vamos explorar • Se a taxa de variação for igual a zero, ou seja, a = 0,
um pouco mais a questão do gráfico. então a função receberá o nome de função constante e
será da forma f(x) = ax.

Explorando o gráfico Explorando o gráfico de novo
Agora que as coisas ficaram mais claras, pensemos em
O gráfico foi construído a partir de duas retas uma boa maneira de esboçar um gráfico de uma função afim.
perpendiculares, que são os eixos coordenados; o eixo Para isto, é necessário traçar uma reta, que existe a partir
horizontal é o das abscissas (0x) e o vertical das ordenadas de dois pontos. Como podem ser dois pontos quaisquer,
(0y). O gráfico desenhado é uma reta, o eixo x representa o escolheremos estes pontos atribuindo o valor zero para a
número de anos e o eixo y o valor do equipamento ao longo variável independente x e verificamos o que acontece com
dos cinco anos. Trata-se de um gráfico decrescente, pois, à a variável dependente y.
medida que os valores de x vão aumentando, os valores de y • Se o valor encontrado para y for diferente de zero, então para
vão diminuindo, ou seja, as grandezas valor do equipamento
e número de anos são inversamente proporcionais. determinar o segundo ponto atribuímos o valor zero para a
A taxa de decrescimento corresponde à depreciação anual variável y e encontramos a abscissa deste ponto. Desse
que encontramos, ou seja, 300 unidades monetárias por modo, escolhemos dois pontos que cortam respectivamente
ano. o eixo das abscissas e das ordenadas.
Vamos analisar outra maneira de encontrar esta taxa de • Se o valor encontrado para y for igual zero, significa que
decrescimento. Tomemos os pontos A(0,1500) e B(1,1.500). a reta passa pela origem e então escolhemos outro valor
Estes pontos, como você já sabe, são pares ordenados (x, y). qualquer para x e encontramos a ordenada deste ponto.
Chamando de Δx e Δy as variações de x e de y,
respectivamente, nestes pontos, obtemos Δx = 1 – 0 = 1 e
Situação 3:
Δy = 1200 – 1500 = – 300. Escrevendo DDyx, encontramos a
Dy 1.200 – 1.500 Um empreendedor compra material ao preço de R$ 15,00
taxa de decrescimento que é Dx = 1–0 = –300. o quilograma e vende cada quilograma deste material por R$
25,00. O custo diário C deste empreendedor, dado em função
Se escolhermos quaisquer dois pontos, encontraremos a da quantidade q de material comprado, é C(q) = 15 ∙ q. A sua
mesma taxa. Por exemplo, se tomarmos os pontos A(0, 1500) receita diária R, dada em função da quantidade q de material
vendida, que se supõe igual à quantidade comprada, é
e C(2, 900) teremos, Dy = 900 – 1.500 = – 600 = – 300. R(q) = 25 ∙ q. A partir destas informações, encontre a expressão
Dx 2–0 2

576

que determina o lucro diário deste empreendedor e depois quantidade vendida seja a mesma que a comprada, isto é, MATEMÁTICA
construa o gráfico desta função. q. Logo, R(q) = 6,4q. O lucro da empresa é determinado pela
expressão,
Resolução:
Chamaremos o lucro deste empreendedor de L. O lucro é L(q) = CT – R(q) = 30 + (4q – 6,4q) → L(q) = 30 – 2,4q
dado a partir da diferença entre o valor da receita e o valor O próximo gráfico, que passa pela origem, é o da receita; o
do custo. Sendo assim, que não passa pela origem é o do custo total.

L(q) = R(q) – C(q) = 25q – 15q → L(q) = 10q

Para construir o gráfico, inicialmente identificamos na
expressão do lucro quais são as variáveis dependente e
independente. O lucro L é a nossa variável dependente e
a quantidade q a variável independente. Posteriormente,
atribuímos o valor zero para q e substituímos na =fu0n.çãCoomL(oq)
= 10q. Simbolicamente, temos que L(0) = 10 ∙0
a reta passa pela origem, atribuímos outro valor qualquer
para q. Se q for igual a 1, temos que u.m. A partir dos
pontos (0, 0) e (1, 10) traçamos a reta.

Lucro 30 Por fim, para determinar para quais valores a empresa
29 terá lucro positivo, negativo e nulo é preciso encontrar,
28 primeiramente, o ponto de equilíbrio das funções receita
27 e custo total, ponto este calculado a partir da intersecção
26 dos dois gráficos. O ponto de equilíbrio é o ponto em que a
25 receita é exatamente igual ao custo total.
24
23 Para encontrar o ponto de intersecção, precisamos
22
21 resolver o sistema de equações Cr = 30 + 4q .
20 R = 6,4q
19
18 Como o ponto de equilíbrio é o ponto em que a receita
17
16
15
14
13
12
11
10

9
8
7
6
5
4
3
2
1
0

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3

Quantidade

é exatamente igual ao custo total, basta igualar as duas
funções, isto aé,exCpTre=ssRã.o Ao igualar as duas funções,
O gráfico esboçado abaixo é crescente e, por isso, as encontramos 30 + 4q = 6,4q. Resolvendo-a,
grandezas são diretamente proporcionais. A taxa de
proporcionalidade que, neste caso, é de crescimento, é temos:

dada por Dy e vale 10. A expressão L(q) = 10 ∙ q é uma 30 + 4q = 6,4q → 30 = 6,4q – 4q →
Dx → 30 = q(6,4 – 4) → 30 = 2,4q.
função linear.

Situação 4: Logo, q = 30 = 12,5.
O preço da matéria-prima para a confecção de certo 2,4
produto é de 4 u.m. o quilograma e o custo fixo da produção
é de 30 u.m. O preço de venda do produto manufaturado O valor encontrado significa que, se a empresa não quiser
é de 60% a mais do que o preço de custo. Encontre as ter prejuízo, terá que vender, no mínimo, 12,5 kg do produto
expressões que determinam o custo total da produção, a manufaturado. Porém, se a empresa vender menos de 12,5
receita e o lucro da empresa. Em seguida, esboce o gráfico kg, terá prejuízo, ou seja, lucro negativo; consequentemente,
das funções receita e custo total, no mesmo sistema se vender acima de 12,5 kg, a empresa terá lucro positivo.
cartesiano. Por fim, determine para que valores a empresa
terá lucro positivo, negativo e nulo. Apenas como informação: se a empresa vender exatamente
Resolução: 12,5 kg, seu custo total será igual a sua receita, que será
igual a 80 unidades monetárias.

O cálculo feito acima também poderia ser realizado pela
expressão do lucro, ou seja, L(q) = 30 – 2,4q.

A expressão que determina o custo total é dada por: CT = INEQUAÇÕES 577
CF + CV, em que CT é o custo total, CF é o custo fixo e CV é o
custo variável. O custo variável é dado por Cv = 4q, em que q Veja as expressões seguintes:
é quantidade de material comprado. Portanto, o custo total
será dado por CT = 30 + 4q. Já a expressão que determina (1) Se L(q) = 0; então 30 – 2,4q = 0;
a receita é a mesma discutida anteriormente, ou seja, (2) Se L(q) > 0; então 30 – 2,4q > 0;
preço de venda vezes quantidade vendida. Supomos que a (3) Se L(q) < 0; então 30 – 2,4q < 0.

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM A expressão 1 é uma equação do primeiro grau, enquanto para aumentar o expoente da potência de base a, basta
que as expressões 2 e 3 são inequações do primeiro grau. multiplicá-la, sucessivamente, por a. A mesma ideia é
As inequações diferem das equações, exclusivamente, por válida quando queremos diminuir o expoente da potência.
causa do sinal de desigualdade. Na expressão 2, o sinal Se temos a5 e queremos encontrar a4, basta dividir a5 por
de desigualdade que aparece é denominado maior que; a; se pretendemos calcular a3, basta dividir a4 por a. Isto
na expressão 3, o sinal de desigualdade que aparece é é válido, pois na divisão de potências de mesma base,
denominado menor que. A resolução de uma inequação tem conserva-se a base e subtraem-se os expoentes. Por isso,
lá suas particularidades, mas na essência é muito parecida se queremos calcular a0, tomamos a1 e dividimos por a, o
com a resolução de uma equação. aqu0eendoisviddáimao0s=paaor=a1, ,csheeqgaunedreomaosssicmalcauolarreasu–1l,tatodmo aam–1o=s

As particularidades das inequações do primeiro grau ao = 1a .
a

Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas: a5 = a6–1 = a6 ÷ a
a4 = a5–1 = a5 ÷ a
a) se – 2 é menor do que – 1, então 2 é maior do que 1. a3 = a4–1 = a4 ÷ a
a2 = a3–1 = a3 ÷ a
b) se 3 é maior do que 2, então 1 é menor do que 21. a1 = a2–1 = a2 ÷ a
3 a0 = a1 = a ÷ a1–1
a–1 = a0–1 = a0 ÷ a
As sentenças acima são todas verdadeiras, mas por quê?
Como mostrar que elas são verdadeiras?
Na sentença a, bastaria multiplicar ambos os lados por
(–1). Ao multiplicar a desigualdade – 2 < – 1 por (–1) o sinal
da desigualdade também será invertido, pois, caso contrário, Retomando ao conceito de inequação: seria bastante
teríamos o absurdo 2 < 1. Esta ideia só é válida porque pertinente apresentar as propriedades que permitem
estamos multiplicando ambos os lados da desigualdade operar com elas.
por um número negativo. Se o número fosse positivo, nada
mudaria. Por exemplo, se multiplicarmos a desigualdade A primeira propriedade, chamada de transitiva, diz que
– 2 < – 1 por 3, o resultado encontrado será – 6 < – 2. O dados três números a, b e c, se a for maior do que b e b for
mesmo pensamento é válido se dividirmos uma desigualdade maior do que c, então a é maior do que c. A demonstração
desta propriedade pode ser feita da seguinte maneira.

por um número diferente de zero. (1) Se a > b → a – b > 0
Na sentença (b), elevaríamos a (–1) ambos os lados da (2) Se b > c → b – c > 0
desigualdade. Ao elevarmos a (–1) um número, ele passa a
ser o denominador de uma fração com numerador igual a 1,
1 31.
ou seja, 3–1 = 31 = Ao elevarmos a (–1) ambos os lados Somando as inequações (1) e (2), encontramos que a – b +
b – c > 0 → a – c > 0, portanto a > 0.
de uma desigualdade, o sinal será invertido, pois, como
1 12. Logo, se a > b e b > c → a > c.
sabemos, se 3 > 2, então 3 <

Apesar de não ser o assunto discutido no momento, se A segunda propriedade, chamada de monotonicidade da
você permitir, gostaríamos de abrir parênteses para discutir adição, diz que, somando-se o mesmo número aos dois
particularmente o que significa elevar um número ao membros de uma desigualdade, resulta uma desigualdade
expoente negativo 1, pois trataremos com mais cuidado dos do mesmo sentido. A demonstração da segunda propriedade
outros casos em outro momento. é feita assim:

Seja a um número natural qualquer, diferente de zero. Se a>b Þ a–b>0. Adicionando-se o número k–k, (k–k = 0),
Observe o que acontece quando elevamos este número a ao número a – b , o que não altera a desigualdade, tem-se:
segunda, terceira, quarta, quinta potências.
Se a–b + k–k > 0 → (a+k) – (b+k) > 0 ou a+k > b+k Þ a>b.

a–1 = 1 A terceira propriedade, chamada de monotonicidade da
3 multiplicação, diz que, multiplicando-se os dois membros
a0 = 1 de uma desigualdade por um mesmo número diferente de
a1 = a0+1 = a0 ∙ a zero, a desigualdade terá o mesmo sentido se o número for
a2 = a1+1 = a0 a ∙ a positivo; e terá sentido contrário se o número for negativo.
a3 = a2+1 = a2 ∙ a Simbolicamente, se a > b → a – b > 0; dado certo número n,
a4 = a3+1 = a3 ∙ a duas situações podem ocorrer:
a5 = a4+1 = a4 ∙ a
a) para n > 0 Þ an – bn > 0 Þ an > bn
Você já sabe que, em uma multiplicação com potências b) para n < 0 Þ an – bn < 0 Þ an < bn
de mesma base, conserva-se a base e somam-se os
expoentes. Sendo assim, se temos a1 e queremos Uma consequência relacionada à terceira propriedade diz
encontrar a2, basta multiplicar a1 por a; se desejarmos respeito à desigualdade ax > b, pois se o coeficiente de x
calcular a3, basta multiplicar a2 por a. Você percebe que, for negativo, então teremos uma situação semelhante à

578

sentença (a) descrita nas particularidades da inequação Encontrando os valores de x que satisfazem a inequação MATEMÁTICA
b λ (lambda).
do primeiro grau; isto é, se ax > b e a<0, então x < a .
4x + 8 < 3x + 15 → 4x – 3x < 15 – 8 → x<7
Logo, a desigualdade mudará de sentido. Exemplificando
numericamente: Se – 2x > 3, então x < 23. Após resolver as duas inequações, o próximo passo é
encontrar os valores de x que satisfazem, simultaneamente,
Como as inequações são pouco conhecidas, apesar da sua β e λ. Como em β x tem que ser um número maior do que
relevância, vamos resolver algumas situações puramente 2 e em λ x tem que ser um número menor do que 7, então
matemáticas que recaem em inequações do primeiro grau, os valores de x que satisfazem tanto β quanto λ estão
para nos familiarizar mais com elas. compreendidos entre os números 2 e 7. Simbolicamente,
poderíamos escrever 2 < x < 7 ou ]2; 7[.
Exercício 1
Verifique se cada passo na solução das inequações abaixo A solução S do sistema de inequações seria dada assim:
está correto. Justifique sua resposta, sempre que possível, S: {x Î A | 2 < x 7}.
usando ou não a linguagem matemática.
EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU

a) – 5x + 3 > –2x + 12 → Como já foi dito anteriormente, qualquer equação tem uma
–5x –2x > + 3 + 12 →
9 forma geral e, no caso, das equações do segundo grau, esta
–3x > 9 Þ x > 3 \ x > 3 forma é dada por ax2 + bx + c = 0 , em que a, b e c são números

b) 5x – 2 < 3x + 4 Þ reais, com a ≠ 0, denominados coeficientes. Se o coeficiente
que acompanha a incógnita x for igual a zero, não teremos
5x – 3x < 4 + 2 Þ uma equação do segundo grau, mas sim do primeiro grau. O
6
2x < 6 Þ x > 2 \ x < 3 grau da equação determina o número de raízes que ela terá.
Uma equação do segundo grau terá, no máximo, duas raízes
reais.
c) 2x + 1 > 2x – 13 Þ
3 As equações do segundo grau são classificadas em
completas e incompletas. Para que uma equação da
2x + 1 > 3 (2x – 13) Þ forma ax2 + bx + c = 0 seja completa, os coeficientes b

2x + 1 > 6x – 39 Þ e c deverão ser diferentes de zero; Caso pelo menos um

2x – 6x > –39 – 1 Þ –4x > – 40 Þ destes coeficientes seja diferente de zero, a equação será

Þ 4x < 40 Þ x 40 \ x < 10. incompleta.
4 É importante destacar que, se a equação do segundo grau
for incompleta, sua resolução será mais simples. Vejamos
Exercício 2 o porquê disso:

Da mesma forma que temos sistemas de equações do As equações do segundo grau incompletas são da forma
primeiro grau, também é possível resolver um sistema ax2 + bx + c = 0; ax2 + c = 0 ou ax2 = 0.
formado por inequações do primeiro grau. Veja como faríamos Para resolver o caso ax2 + bx + c = 0 , podemos colocar

isto. Dado o sistema de inequações 7x – 1 > 5x + 3 quais em evidência a incógnita x e depois aplicar a propriedade
4x + 8 < 3x + 15 dos números reais que diz: “se o produto de dois números
seriam os valores de x pertencentes ao conjunto dos
números reais que fariam parte do conjunto solução? é igual a zero, então o primeiro e/ou o segundo números
são iguais a zero”.
Resolução: Como você já sabe lá dos sistemas de
equações do primeiro grau, ao resolver um sistema, Simbolicamente,
ax2 + bx + c = 0 → x . (ax + b) = 0 →
estamos interessados em encontrar quais são os pares x = 0 ou ax + b = 0. Resolvendo ax + b = 0 encontramos:
ordenados (x, y) que satisfazem o sistema, se ele é da forma
ax + b = 0 → ax = –b → x = – b .
ax + b = c para " a, b, c, d, e, f Î A, com a, d ≠ 0. a
dx + e = f Para resolver o caso ax2 + C = 0, isolamos a incógnita x2 e

No caso de um sistema de inequações, o nosso interesse é depois utilizamos a operação inversa da potenciação para
o mesmo, porém precisamos encontrar apenas o valor de x. eliminar o expoente 2 da incógnita x.
Voltando ao exercício 2, estamos interessados em encontrar Simbolicamente,
um valor para x que satisfaça, simultaneamente, as duas c
inequações. Para encontrar este valor, primeiramente, ax2 + bx + c = 0 → ax2 = – c → x2 = – a
resolvemos cada uma delas, isoladamente.
é só pensar quais são os números que, elevados ao
Chamaremos de β a primeira inequação e de l segunda –ac ? Os
inequação. Assim, β : 7x – 1 > 5x + 3 e λ β : 7x – 1 > 5x + 3 ou x = – números
e l : 4x + 8 < 3x + 15. √ √ √quadrado, têm como resultado o número
x
Encontrando os valores de x que satisfazem a inequação procurados são ± – c , ou seja = – c – c .
a a a

β (beta). 7x – 1 < 5x + 3 Þ 7x – 5x > 3 + 1 Þ Ou seja, qual é o número que elevado ao quadrado é igual
a 16 (X2 = 16)? Quando x = ± 4, sabemos que (– 4) . (4) =
2x < 4 Þ x > 4 \ x < 2. 16 e 4 . 4 = 16.
2
579

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM O terceiro e último caso de equação do segundo grau Caso 1: Fatoração utilizando os produtos notáveis
incompleta é ax2 = 0. E, neste caso, o único número que
multiplicado por a e que torna o produto nulo é o próprio A equação do segundo grau da forma geral ax2 + bx + c = 0,
zero. pode ser um trinômio quadrado perfeito e, neste caso,
verificamos se os dois termos extremos são quadrados
Para resolver equações do segundo grau completas, pode- perfeitos; se forem, extraímos a raiz quadrada de ambos.
-se seguir a fórmula ax2 + bx + c = 0. Segue alguns exemplos: Lembre-se de que o quadrado perfeito é um número que,
ao se extrair sua raiz quadrada, o resultado será um número
Demonstração: inteiro não negativo. Se os extremos forem quadrados
perfeitos, então verificamos se o duplo produto dessas
A equação geral pode ser escrita ax2 + bx = – c raízes é igual ao termo do meio. Sendo a verificação válida,
Dividindo cada termo da equação por a, obtemos: podemos escrever a equação do segundo grau por meio de
b c um trinômio quadrado perfeito.
x2 + a x = – a
Exemplificando, temos – 53:
Procurando o número para completar o trinômio quadrado Na equação do segundo grau x2 + 4x + 4 = 0, extraímos a
b c raiz quadrada do primeiro e do último termo do trinômio.
perfeito: x2 + a x + ... = – a + ... b 2ba, Assim √x2 = x e √4 = √22 . Como os termos extremos
a são quadrados perfeitos, então verificamos se o duplo
O número encontrado será o quadrado de: ÷ 2 = ou produto dessas raízes é igual ao termo do meio, ou seja,
2 · (x) · (2) = 4x. Como a verificação é válida, então a
( )sejab2 equação x2 + 4x + 4 = 0 será igual a (x + 2)2 = 0.
2a Resolvendo a equação (x + 2)2 = 0 encontramos quex + 2
= 0, logo x = –2.
Logo: b b 2 c b 2
a 2a a 2a
x2 + x + = – + Û

b 2 b2 – 4ac Caso 2: A soma e o produto
2a 4a2 Observando a tabela a seguir, percebemos que:
> x + = – Û

√Û x + b =± –b2 – 4ac Û – b b
2a 4a2 a a
Equação x1 x2 x1 + x2 x1 . x2
3
x = b ± √b2 – 4ac Û 2x2 – 8x + 6 = 0 1 34 4 3
2a 4a2 5
5 8 8 5 3
Û x = –b ± √b2 – 4ac 3x2 + 8x + 5 = 0 – 3 -1 – 3 – 3 3
2a 6
x2 – 5x + 6 = 0 2 35 5 6

A fórmula –b ± √b2 – 4ac , chamada de fórmula de x2 + 2x – 15 = 0 -5 3 -2 -2 -15 -15
2a
grOasu.nAúms elerotrsasx1ae, xb2 são as raízes de uma equação do 2º
Bhaskara, permite resolver qualquer equação do 2º grau. ec são os coeficientes da equação.

DISCUSSÃO DAS RAÍZES DE UMA EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU Analisando as colunas x1 + x2 e – b de cada equação,
a
Antes de resolver uma equação do 20 grau pela fórmula de observamos que os resultados encontrados são sempre
Bhaskara, costuma-se calcular o valor da expressão b2 – 4ac. os mesmos. Desse modo, podemos afirmar que a soma
A expressão é denominada discriminante da equação e das raízes de uma equação do 2o grau é o oposto da razão
costumamos representá-la pela letra grega Δ (lê-se delta). entre os coeficientes b e a; da mesma forma, analisando
c
Se Δ, então a equação admite duas raízes reais distintas. as colunas x1 . x2 e a de cada equação, observamos que
Se Δ, então a equação admite duas raízes reais idênticas.
Se Δ, a equação não admite raízes reais. os resultados encontrados são sempre os mesmos. Desse
modo, podemos afirmar que o produto das raízes de uma
RESOLVENDO EQUAÇÕES DO SEGUNDO GRAU SEM A FÓRMULA equação do 2o grau é a razão entre os coeficientes c e a.
DE BHASKARA Se chamarmos a soma das raízes de S e o produto delas de
b c
Para resolver equações do segundo grau sem a fórmula P, então S = x1 + x2 = – a e P = x1 · x2 = a Vamos resolveros
de Bhaskara, devemos recorrer à fatoração de expressões
algébricas e aos produtos notáveis. exercícios abaixo sem o auxílio da fórmula de Bhaskara.

580 Exercício 3
A expressão algébrica x2 + 6x + 9 é um trinômio quadrado
perfeito. Sabemos que ele é o resultado de (x + 3) · (x + 3)
ou de (x + 3)2. Por isso, a forma fatorada de x2 + 6x + 9 é
(x + 3)2. Veja como usamos esse conhecimento.

Para resolver os três próximos exercícios, você poderá A situação proposta a seguir nos ajudará a desenvolver MATEMÁTICA
utilizar a fórmula de Bhaskara um conceito matemático relacionado diretamente com a
equação do segundo grau.
Exercício 7

A solução de uma equação quadrática com três termos Situação 5
parece ter sido demasiado difícil para os egípcios, mas O diretor de uma banda pop percebeu que, com o ingresso
Neugebauer, em 1930, revelou que tais equações tinham a 9 u.m., em média 300 pessoas assistem aos shows e
sido tratadas eficientemente pelos babilônios em alguns que, para cada redução de 1 u.m. no preço dos ingressos,
dos mais antigos textos de problemas. Por exemplo, um o público aumenta de 100 espectadores. O diretor, um
problema pede o lado de um quadrado se a área menos homem muito preocupado em otimizar os ganhos dos
o lado dá 870. A solução desse problema é equivalente a seus músicos, decidiu fazer um estudo para descobrir qual
resolver a equação x2 – x = 870. deveria ser o preço do ingresso para que sua receita fosse
máxima. Ajude-o.
Até os tempos modernos não havia ideia de como resolver
uma equação quadrática da forma x2 + px + q = 0 em que Resolução:
p e q são positivos e a equação não tem raiz positiva. Por Vamos, inicialmente, tentar analisar o problema
isso, as equações quadráticas na Antiguidade e na Idade numericamente.
Média, e mesmo no começo do período moderno, foram A tabela 1 abaixo nos ajuda com isso.
classificadas em três tipos:

1) x2 + px = q, Preço do ingresso Quantidade de Receita
2) x2 = px + q, pessoas
3) x2 + q = px. 9 300 2.700
8 400 3.200
Todos esses tipos são encontrados em textos do 7 500 3.500
período babilônio antigo, de uns 4.000 anos atrás. O 6 600 3.600
terceiro tipo de equação aparece frequentemente em 5 700 3.500
textos de problemas, em que é tratado como equivalente 4 800 3.200
ao sistema simultâneo x + y = p e xy = q. Tão numerosos 3 900 2.700
são os problemas em que se pede achar dois números 2 1.000 2.000
dados seu produto e/ou sua soma ou sua diferença, que 1 1.100 1.100
eles parecem ter sido para os antigos, tanto babilônios
quanto gregos, uma espécie de forma “normal” à qual Tabela 1
as quadráticas se reduzem. Então, transformando
as equações simultâneas xy = a e x ± y = b no par de
equações lineares x ± y = b e x ± y = b2 ± 4a, os valores de
x e y são achados por uma adição e uma subtração. Uma
tabela cuneiforme de Yale, por exemplo, pede a solução
do sistema x + y = 6,5 e xy = 7,5. A tabela já nos deu a resposta do problema, porém
x+y=p vamos continuar com o exercício, tentando encontrar uma
a) Mostre x2 + q = px é equivalente a xy = q fórmula matemática que nos permite encontrar a resposta
do problema, sem que para isso tenhamos que resolvê-la
b) Resolva o sistema encontrado na tabela cuneiforme de numericamente. Imagine se o preço do ingresso fosse 900
Yale. u.m., resolver o problema numericamente seria inviável.

c) Encontre a solução da equação x2 – x = 870 que aparece Observe agora a mesma tabela, mas em formato
no texto acima. diferente:

Exercício 8 Preço do Quantidade de pessoas Receita
Uma empresa promove excursões para grupos de, no ingresso
mínimo, 20 turistas, cobrando 100 u.m. de cada um. Acima 300 300 2.700
desse número, a cada novo turista que se integra à excursão, a 9 (300 + 100) (300 + 100 · 1) 3.200
empresa dá um desconto de 2 u.m. no preço. Assim, havendo (9 – 1) (300 + 200) (300 + 100 · 2) 3.500
20 + x turistas, cada um paga 100 – 2x. Numa dessas (9 – 2) (300 + 300) (300 + 100 · 3) 3.600
excursões, a empresa arrecadou um total de 2.322 u.m. (9 – 3) (300 + 500) (300 + 100 · 5) 3.200
Quantos turistas participaram da excursão? (9 – 5) (300 + 600) (300 + 100 · 6) 2.700
(9 – 6) (300 + 700) (300 + 100 · 7) 2.000
Exercício 9 (9 – 7) (300 + 800) (300 + 100 · 8) 1.100
Uma turma comprou um presente de 96 u.m. (unidades (9 – 8)
monetárias) para um amigo que estava indo fazer intercâmbio
na Índia. O custo foi dividido em partes iguais. Se a turma Na tabela acima observe o que acontece com cada linha
tivesse 16 pessoas a mais, cada pessoa teria dado 1 u.m. da primeira e da terceira colunas. Você deve ter percebido
a menos. Traduza a situação proposta para a linguagem que a redução do preço do ingresso segue a expressão
matemática e depois encontre o número de pessoas que tem (9 – 1 · x) e o aumento da quantidade de pessoas segue
a turma. a expressão (300 + 100 · x). Como a receita é o produto
do preço ingresso pela quantidade de pessoas, chegamos

581

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM à expressão R (x) = (9 – X) · (300 + 100X). Aplicando a A FÓRMULA DO VÉRTICE
propriedade distributiva, encontramos R (x) = 2700 +
900x – 300x – 100x2 = – 100x2 + 600x + 2700 → R (x) O vértice é o ponto (x, y) por onde passa o eixo de simetria
= – 100x2 + 600x + 2700. da parábola. Para determinarmos a expressão do vértice,
procedemos assim:
Agora que você já ajudou ao diretor da banda pop a Sejam x1 e x2 as raízes de uma equação do segundo
encontrar o valor do ingresso para que a receita seja grau. Sabemos que x1 + b
máxima, ou seja, se o ingresso for igual a 6 u.m. a receita x2 – a e que o ponto médio
será de 3.600 u.m., iremos estudar um pouco o que
encontramos a partir da construção da tabela. destas raízes dá a abscissa do vértice da parábola, isto é,
b
A expressão encontrada acima é uma função quadrática, xv = x1 + x2 = – a =– b · 1 Þ xv = – b
pois a variável independente x tem como maior expoente 2 a 2 2a
o número 2. A forma geral de uma função quadrática é 2
dada por f (x) = ax2 + bx + c , com a, b e c Î A e a ≠ 0. 1

Se substituirmos – b na função y = ax2 + bx + c,
2a
Clareando as coisas ( )encontraremos a ordenada do vértice. Assim,

A função quadrática tem como representação gráfica yv = a · –2ba 2 –2ba +c = a · b2 – b2 + c
uma parábola e a sua concavidade está relacionada ao 4a2 2a
coeficiente da variável x2, pois se este coeficiente for +b
positivo, então a parábola terá a concavidade voltada
para cima; caso o coeficiente seja negativo, a parábola yv = b2 – b2 + c = b2 – 2b2 + 4ac =
terá a concavidade voltada para baixo. 4a 2a 1 4a

A parábola é uma curva simétrica em relação ao eixo b2 + 4ac = b2 –4a4ac.
das ordenadas e, por isso, possui um eixo de simetria. O 4a
eixo de simetria passa pelo vértice da parábola. O vértice
é um ponto com coordenadas x e y e pode ser definido a Substituindo D = b2 – 4ab, encontramos yv = – D .
partir de uma fórmula. Antes de apresentar esta fórmula, 4a
porém, poderíamos pensar nos casos em que o uso da
fórmula é desnecessário. Logo, o vértice V da parábola é dado por –2ba; – D .
4a
Você já sabe que as raízes de uma equação do segundo
grau são os valores que a incógnita x assume e que Agora vamos conhecer sua representação gráfica, ou
validam a identidade ax2 + bx + c = 0. Se desejarmos seja, a parábola, e aprender como esboçar este gráfico.
encontrar os valores em que a parábola corta o eixo das Tomemos para isso a função da situação anterior, porém,
abscissas, atribuímos o valor zero para f (x) e caímos, contextualizada dentro da Matemática.
novamente, em uma equação do segundo grau. Como
dissemos anteriormente, a fórmula de Bhaskara só Situação 6
seria aplicada se a equação do segundo grau estivesse
sendo utilizada como uma ferramenta para resolver outra Seja f (x) = – 100x2 + 600x + 2.700 uma função do segundo
situação. grau definida dentro do conjunto dos números reais. Esboce
o gráfico desta função.
Se o discriminante da equação do segundo grau, ou
seja, se o Δ for positivo, a equação terá duas raízes Resolução:
distintas, logo a parábola cortará o eixo x em dois pontos;
se o Δ for nulo, a equação terá duas raízes idênticas, logo Para esboçar o gráfico de uma função quadrática, é preciso
a parábola cortará o eixo x em um único ponto; se o Δ for construir alguns pontos-chave. Os pontos em que o gráfico
negativo, a equação não terá raiz real, logo a parábola corta o eixo x, o eixo y e o vértice são estes pontos-chave.
não cortará o eixo x em nenhum ponto.
O gráfico corta o eixo x no ponto que tem ordenada igual
Quando a parábola cortar o eixo x em dois pontos, a a zero, ou seja, f (x) = y = 0. Substituindo-se f (x) = y = 0. na
abscissa do vértice será dada pelo ponto médio das função f (x) = –100x2 + 600x + 2.700, obtemos:
raízes e a ordenada pela substituição deste ponto médio
na função; quando a parábola cortar o eixo x em um – 100 x 2 + 600x + 2.700 = 0 (Inicialmente, dividimos
único ponto, a abscissa do vértice será a própria raiz e a ambos os lados da equação por (– 100).
ordenada, o valor da função quando a variável assumir o
valor da raiz encontrada. (A equação x2 – 6x – 27 = 0 encontrada pode ser
resolvida por fatoração ou pela fórmula de Bhaskara.
Escolha um método e vá em frente).

x2 – 6x – 27 = 0
a = 1; b = 6; c = –27

Nestes dois casos não é necessário utilizar a fórmula S = x1 + x2 = – b = (–6) = 6
a 1
c (–27)
–2ba; – D para determinar o vértice, apenas no último S = x1 + x2 = – a = 1 = – 27
4a
caso, quando a parábola não corta o eixo x em nenhum P: produto e S: soma. Quais são os dois números que
ponto. somados dão 6 e multiplicados dão – 27? A resposta é

582

(–3) e (9), pois (– 3) + 9 = 6 e (– 3) q∙ u9e=a–p2a7rá. bLoolgaoc, ox1r = – Para você resolver MATEMÁTICA
e3ixeoxx2 = 9. Portanto, os pontos em ta o
são: (– 3, 0) e (9, 0).
É do seu conhecimento que a Física e a Matemática
caminham juntas, uma vez que a Matemática é
• O gráfico corta o eixo y no ponto que tem abscissa comumente usada pela Física como ferramenta. Neste
igual a zero, ou seja, x = 0. Substituindo-se x = 0 na sentido, as funções representam um papel ímpar
função f (x) = – 100x2 + 600x + 2700, obtemos: f nesta relação. Como estamos estudando as funções
(0) = – 100 . (0)2 + 600. (0) + 2.700) → f (0) = y = quadráticas, vamos resolver uma situação em que
2.700. Logo, o ponto em que a parábola corta o eixo estas funções são usadas na Física para determinar um
y é (0,2700). Movimento Uniformemente Variado (MUV). O movimento

uniformemente variado é modelado a partir de uma
• Para calcular o vértice usamos a fórmula do vértice 1
ou, como a parábola corta o eixo x em dois pontos, função quadrática f(t) = 2 at2 + bt + c. Os coeficientes

a abscissa do vértice é o ponto médio das raízes, ou a, b e c nesta expressão assumem, respectivamente,
x1 + x2 ti–ce–é32s+ó9su+b26sti=tu3ir.xPpaorra3ennacofnutnrçaãr oa. o papel da aceleração (a), da velocidade inicial (no
seja, xv = do2vér instante t = 0) (b) e da posição inicial do ponto (c).
ordenada
Assim, f (3) = – 100 · (3)2 + 600 · (3) + 2.700 → f (3) = Exercício 13 (Adaptada de Lima et al., 1999)

y = 3.600. Logo, o ponto da parábola que representa Uma partícula que é posta em movimento sobre um eixo
o vértice dela é (3,3600). a partir do ponto de abscissa – 6, com velocidade inicial
de 5m/seg e aceleração constante de – 2m/seg2, tem sua
• Após a determinação dos pontos-chave, é só esboçar função horária dada por f(t) = – t2 + 5t – 6. Construa o gráfico
o gráfico. desta função horária e depois estude o comportamento da
partícula.

Exercício 14

Este exercício tem como finalidade trabalhar um pouco
mais a representação gráfica das funções quadráticas. É
importante que você saiba esboçar um gráfico, porém é mais
importante ainda que você saiba interpretá-lo, concorda?

Para cada uma das funções abaixo, esboce o gráfico,
estude o sinal da função e determine o ponto de máximo
ou de mínimo. Apenas como lembrete, se a concavidade da
parábola for para baixo, ela terá ponto de máximo, e se for
para cima, ela terá ponto de mínimo.

A concavidade da parábola é para baixo neste gráfico, a) f(x) = x2
pois o coeficiente de x2 é negativo. A reta que passa pelo b) f(x) = – x2
ponto x = 3 (abscissa do vértice) é o eixo de simetria. O valor c) h(x) = x2 + 2x + 1
máximo que a função assume é f(x) = 3.600, quando x for d) h1(x) = x2 – 2x + 1
igual a 3, que é a resposta da situação 5. e) g(x) = 2x2 +10x + 12
f) g1(x) = 2x2 –10x + 12
Estudando o sinal da função quadrática g) j(x) = 3x2 + 2x + 2
Exercício 15

Para estudar o sinal de uma função do segundo grau, Tomando-se como referência o gráfico abaixo, encontre a
precisamos recorrer à inequação do segundo grau. função quadrática correspondente e estude o sinal dela.

Se analisarmos a situação 5, do ponto de vista puramente
matemático, poderíamos estudar o comportamento da
função quando f(x) < 0, f(x) = 0 e f(x) > 0. Observando-se o
gráfico acima, percebemos que:

• f(x) será menor do que zero quando a variável Para finalizar o capítulo, consideramos importante que
independente x assumir valores menores que – 3 e você faça uma síntese do que foi trabalhado apontando
maiores que 9, isto é, f(x) < 0, para x < – 3 e x > 9;
583
• f(x) será igual a zero quando a variável independente x
assumir os valores – 3 e 9, isto é, f(x) = 0, para – 3 e 9;

• f(x) será maior do que zero quando a variável
independente x assumir valores entre – 3 e 9, isto é, f(x)
> 0 para – 3 < x < 9.

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM suas dificuldades, facilidades, do que gostou mais e do Exercício 16
que gostou menos. Como já mencionamos, voltaremos
em breve para discutir muito mais sobre a Álgebra. Por Saindo um pouco das nossas cinco situações
ora ficamos por aqui, mas, antes de irmos para o próximo contextualizadas na economia, defina o domínio de cada
capítulo, seria bom sistematizar um pouco mais o conceito uma das funções a seguir, seguindo para isso o exemplo
de função. Pode ser? dado no item a.
=sãxo+xto1d. oAsfuonsçãnoúmh(exr)oés
Conceito de função polinomial do 20grau a) h (x) rhea(0is) ,=ou10 uma função racional e seu
Dos assuntos que discutimos neste capítulo, as funções domínio reais menos o zero, pois
são conceitos matemáticos que possuem grande poder de
conexão com outras áreas do conhecimento. A partir do que para x = 0 Þ que não está definido no conjunto
trabalhamos, podemos definir uma função como sendo uma dos números qualquer outro conjunto numérico.
relação de dependência entre duas variáveis. As funções Portanto, D (h) = A –{o} ou D (h) = A*.
aqui estudadas são reais de uma variável, isto é, funções
f : x → A que têm como domínio um subconjunto x Ì A e b) f (x) = x2 + x –1
cujos valores f(x), para todo x Î A , são números reais.
A relação de dependência entre as duas variáveis é c) g (x) = √x + 1
expressa por meio de uma lei de formação da função. Se
pensarmos nos elementos que compõem uma função d) j (x) = √x2 – 1
qualquer, destacaríamos o domínio e o conjunto imagem, a
lei de formação e o gráfico, em um primeiro momento. e) h (x) = x+1
O gráfico de uma função f: X → Y é um subconjunto G(f) x–2
do produto cartesiano X x Y formado por todos os pares
ordenados (x, y), em que x Î X e y = f(x). Simbolicamente, Exercício 17
G(f) = {(x, y) Î X x Y | y = f(x)} ou escrito de outra forma,
G(f) = {(x, y) Î X x Y | y = f(x)}. A situação a seguir ocorreu em uma sala de aula. O
Recordando que o produto cartesiano X x Y de dois professor pediu para que o aluno definisse o domínio da
conjuntos X e Y é o conjunto X x Y formado por todos os
pares ordenados (x, y) cuja coordenada X Î X e y Î Y. função f (x) = dx√igx+a+11se. Veja a resolução apresentada pelo
Simbolicamente, X x Y = {(x, y) | x Î X, y Î Y}. aluno e depois ela está correta ou não, justificando
Em nosso trabalho sobre as funções não discutimos sua resposta.
muito sobre o domínio de uma função e nem sobre o
contradomínio e o conjunto imagem. Pensando em nossas Resolução do aluno:
situações (1, 2, 3, 4 e 5) contextualizadas na economia, o A função f(x) pode ser escrita por meio de outras duas funções,
domínio das funções Custo, Receita, Lucro e Depreciação emque e h (x) = √x + 1 , logo g (x) = x + 1. Agora é só encontrar
não podem assumir valores negativos, portanto o domínio o domínio de cada uma das funções e pronto. O domínio de
destas funções seriam todos os números reais não h são todos os números reais não negativos menores que
negativos. (– 1), e o domínio de g são todos os números reais menos o
(– 1). Portanto, o domínio da função f são todos os números
reais não negativos.

584

MATEMÁTICA

BLOCO 1
EXERCÍCIOS

1. (UEL) Um automóvel zero Km é comprado por R$ No entanto, o diretor, para ajudar, colaborou com
32.000,00. Ao final de cada ano, seu valor diminui 10% R$ 630,00. Quanto pagou cada aluno participante da
em função da depreciação do bem. O valor aproximado festa?
do automóvel, após seis anos, é de:
a) R$ 136,00
a) R$ 15.006,00. b) R$ 138,00
b) R$ 19.006,00. c) R$ 140,00
c) R$ 16.006,00. d) R$ 142,00
d) R$ 12.800,00. e) R$ 144,00
e) R$ 17.006,00.

2. (UEL) Uma cadeia de restaurantes estima que a 4. (FUVEST) A soma e o produto das raízes da equação de
demanda de arroz, a cada 30 dias, seja de 600 segundo grau (4m + 3m) x2 – 5nx + (m – 2) = 0 valem,
kg. Desde que começou as atividades, a empresa 5 332.
mantém um estoque mínimo de 50 kg como reserva. respectivamente, 8 e Então m + n é igual a:
Considerando que todos os dias é consumida a mesma
quantidade de arroz nos restaurantes; que o estoque a) 9
geral é reposto a cada 10 dias no começo de cada
período e que a função A = A(t), com 0 ≤ t ≤ 30 expressa b) 8
a quantidade de arroz em estoque em cada dia t, então
a função A é dada por: c) 7

d) 6

e) 5

200 – 20t se 0 ≤ t < 10 5. (FUVEST) João entrou na lanchonete e pediu 3
a) A = A (t) 400 – 20t se 10 ≤ t < 20 hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando
se 20 ≤ t ≤ 30 R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram
600 – 20t 8 hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas,
gastando R$ 57,00. Sabendo-se que o preço de um
20t + 250 se 0 ≤ t < 10 hambúrguer, mais o de um suco de laranja, mais o de
b) A = A (t) 20t + 450 se 10 ≤ t ≤ 20 uma cocada totaliza R$ 10,00, calcule o preço de cada
se 20 < t ≤ 30 um desses itens.
20t + 650

20t + 200 se 0 ≤ t < 10 6. (FAC. MED. JUNDIAÍ) O Centro de Diagnósticos de um
c) A = A (t) 20t + 400 se 10 ≤ t ≤ 20 hospital comprou do fornecedor A uma determinada
se 20 < t ≤ 30 quantidade de certo produto, pagando R$ 300,00 pelo
20t + 600 lote todo. Em seguida, ele constatou que no fornecedor
B o preço unitário desse produto era R$ 1,00 menor
20t se 0 ≤ t < 10 e que, com o mesmo total gasto, ele poderia ter
d) A = A (t) 20t – 250 se 10 ≤ t ≤ 20 comprado 10 unidades a mais. O preço unitário pago
se 20 < t ≤ 30 ao fornecedor A foi
20t – 450
a) R$ 10,00.
250 – 20t se 0 ≤ t < 10 b) R$ 8,00.
e) A = A (t) 450 – 20t se 10 ≤ t < 20 c) R$ 7,00.
se 20 ≤ t ≤ 30 d) R$ 6,00.
650 – 20t e) R$ 5,00.

3. (FUVEST) Os estudantes de uma classe organizaram 585
sua festa de final de ano, devendo cada um contribuir
com R$ 135,00 para as despesas. Como 7 alunos
deixaram a escola antes da arrecadação e as
despesas permaneceram as mesmas, cada um dos
estudantes restantes teria de pagar R$ 27,00 a mais.

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 7. (UFSCAR) O gráfico a seguir é da função t em minutos. Se o trem parte de P no instante t = 0,
então, o tempo de viagem até chegar e parar em Q,
em minutos, é igual a

a) 1,0.
b) 1,5.
c) 2,0.
d) 2,5
e) 3,0.

A área do retângulo, em unidades de área, é 11. (UNCISAL) O gráfico esboçado da função y = ax + b
representa o custo unitário de produção de uma
a) 3. seringa descartável em função da quantidade
b) 4. semanal produzida. Para que esse custo unitário seja
c) 6. igual a R$ 4,00, a produção semanal deverá ser de:
d) 9.
e) 12.

8. (UFABC) A figura indica a representação gráfica da
função , sendo V o seu vértice, A e B seus zeros e C a
abscissa do vértice. Admitindo-se que a reta r passe
por V e A, determine a equação geral da reta r e a área
do triângulo ACV.

9. (SENAC) No estudo de uma cadeia alimentar sabe-se a) 1.200 unidades.
que o número de espécies de A e B relaciona-se por A = b) 1.250 unidades.
3B + 2, e que o número de espécies de C e A relaciona- c) 1.300 unidades.
se por C = 2ª – 3. Sendo assim, é correto afirmar que d) 1.350 unidades.
o número de espécies de A somado com o número de e) 1.400 unidades.
espécies de C é igual a
12. (UFTM) Ana dá para Bianca a mesma quantidade de
a) 9B + 2. dinheiro que Bianca já tem e, para Carlos, a mesma
b) 9B + 3. quantidade de dinheiro que ele já tem. Em seguida,
c) 8B + 3. Bianca dá para Ana e para Carlos a mesma quantidade
d) 8B + 2. de dinheiro que cada um deles tem. Por fim, Carlos
e) 6B + 2. dá para Bianca e para Ana a mesma quantidade de
dinheiro que cada uma delas tem. Sabendo-se que
10. (SENAC) A velocidade v em função do tempo t de cada um ficou com R$ 16,00 no final das transações,
um trem urbano entre as estações P e Q é dada Ana tinha, de início, exatamente
pela função v(t) = – 320t2 + 320t. Nessa função, a
velocidade v está sendo medida em km/h, e o instante a) R$ 32,00.
b) R$ 30,00.
586 c) R$ 28,00.
d) R$ 26,00.
e) R$ 24,00.

13. (UFSCAR) A figura indica a representação gráfica, no a) Calcule o valor inicial Q0. MATEMÁTICA
plano cartesiano ortogonal xOy, das funções y = x2 + b) Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou R$
2x – 5 e xy = 6.
75,00 em 10 corridas, quantos quilômetros seu carro
percorreu naquele dia?

Sendo P, Q e R os pontos de intersecção das curvas, e 16. (VUNESP) Uma companhia telefônica oferece aos
p, q e r as respectivas abscissas dos pares ordenados que seus clientes 2 planos diferentes de tarifas. No plano
representam esses pontos, então p + q + r é igual a básico, a assinatura inclui 200 minutos mensais de
ligações telefônicas. Acima desse tempo, cobra-se
a) – 2 uma tarifa de R$ 0,10 por minuto. No plano alternativo,
3 a assinatura inclui 400 minutos mensais, mas o
b) – 1 tempo de cada chamada desse plano é acrescido
de 4 minutos, a título de taxa de conexão. Minutos
c) – 3 adicionais no plano alternativo custam R$ 0,04. Os
2 custos de assinatura dos dois planos são iguais e não
d) –2 existe taxa de conexão no plano básico. Supondo que
todas as ligações durem 3 minutos, qual o número
e) – 3 máximo de chamadas para que o plano básico tenha
um custo menor ou igual ao do plano alternativo?
14. (VUNESP) Como resultado de uma pesquisa sobre a
relação entre o comprimento do pé de uma pessoa, 17. (VUNESP) A altura y(t) de um projétil, lançado a 15
em centímetros, e o número (tamanho) do calçado m do solo, numa região plana e horizontal, com
brasileiro, Carla obteve uma fórmula que dá, em velocidade vertical inicial 10 m/s, é dada por
média, o número inteiro n (tamanho do calçado) em y (t) = –5t2 + 10t + 15, considerando como o instante
função do comprimento c, do pé, em cm. do lançamento. A posição horizontal x(t) é dada por
x (t) = 10 √3t . Determine a altura máxima e o alcance
Pela fórmula, tem-se mn a=io[rx]o, uonigduealxa=x.54Pocr + 7 e [x] (deslocamento horizontal máximo) que o projétil
indica o menor inteiro exemplo, atinge, considerando que ele caia no solo.
se c = 9 cm, então x = 18,25 e n = [18,25] = 19. Com
base nessa fórmula, 18. (UEL) Um grupo de amigos alugou um ônibus com
40 lugares para uma excursão. Foi combinado com
o dono do ônibus que cada participante pagaria R$
60,00 pelo seu lugar e mais uma taxa de R$ 3,00 para
cada lugar não ocupado. O dono do ônibus receberá,
no máximo:

a) R$ 2.400,00
b) R$ 2.520,00
c) R$ 2.620,00
d) R$ 2.700,00
e) R$ 2.825,00

a) determine o número do calçado correspondente a um pé 19. (CESGRANRIO) Uma carga rodoviária de 55 toneladas
cujo comprimento é 22 cm. parte da cidade de Curitiba e faz três paradas para
entregas: uma na cidade de São Paulo, a segunda,
b) se o comprimento do pé de uma pessoa é c = 24 cm, no Rio de Janeiro e, por último, em Vitória, onde
então ela calça 37. Se c > 24 cm, essa pessoa calça 38 finaliza a entrega. Fica acertado o valor de R$
ou mais. Determine o maior comprimento possível, em 150,00 por escala. As distâncias aproximadas entre
cm, que pode ter o pé de uma pessoa que calça 38. as respectivas cidades são as mostradas na tabela
abaixo.
15. (UNICAMP) O custo de uma corrida de táxi é constituído
por um valor inicial Q0, fixo, mais um valor que varia De Curitiba-PR a São Distância
proporcionalmente à distância D percorrida nessa Paulo-SP (em quilômetros)
corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram
percorridos 3,6 km, a quantia cobrada foi de R$ 8,25, 408
e que em outra corrida, de 2,8 km, a quantia cobrada
foi de R$ 7,25. 587

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM De São Paulo-SP ao Rio de 429 a) 219.996,00
Janeiro-RJ 521 b) 74.690,00
c) 50.238,00
Do Rio de Janeiro-RJ a d) 24.750,00
Vitória-ES e) 16.746,00

Considerando que o custo por quilômetro rodado é de
R$ 12,00, o custo total, em reais, do transporte será de

Respostas: 9) Considerando 2ª – 3 = 2A – 3 temos alternativa b
10) a
1) e 11) a
2) e 12) a
3) e 13) d
4) a 14) a) 35 b) 24,8 cm
5) Hambúrguer = R$ 4,00 Cocada = R$ 3,50 15) a) R$ 3,75 b) 30 Km
Suco = R$ 2,50 16) 200 minutos
6) d 17) Altura máxima 20 m; alcance
7) c 18) d
8) Reta = 2x – y + 2 = 0 Área = 4 19) e

588

MATEMÁTICA

BLOCO 2
GEOMETRIA PLANA

FICHA 1 – AS GEOMETRIAS 3. Dado qualquer ponto, pode ser desenhado um círculo
com qualquer raio, com aquele ponto no centro.
Após um breve estudo da Álgebra, a proposta neste
capítulo é apresentar as geometrias, mais especificamente, 4. Todos os ângulos retos são iguais.
a Geometria euclidiana. 5. Dada uma linha que cruze duas linhas retas de modo

A GEOMETRIA DE EUCLIDES que a soma dos ângulos internos do mesmo lado
seja menor do que dois ângulos retos, então as duas
Uma coisa é quase certa; não é creditada a Euclides linhas, quando prolongadas, acabarão por se encontrar
nenhuma lei importante da geometria, porém, ele é o mais (naquele lado da linha).
famoso geômetra de todos os tempos. Ao escrever a obra
Os Elementos, Euclides fez com que o mundo contemplasse O último postulado é o “postulado das paralelas” e não
a geometria. Mas se Euclides não recebeu o crédito por era intuitivo e suficientemente simples como os demais.
nenhuma lei importante da geometria, por que então é o Por isso, matemáticos de outras épocas afirmavam que
geômetra mais conhecido de todos os tempos? A resposta ele deveria ser demonstrado como um teorema. Foi a
neste caso é mais simples do que parece, pois em sua partir deste postulado e dessa ideia que outras geometrias
obra Euclides condensou todo o conhecimento geométrico floresceram, mas isso deixaremos para depois.
e numérico da Antiguidade e, mais ainda, apresentou a
geometria como um sistema lógico. Os Elementos é o FICHA 2 – PONTOS, RETAS E PLANOS
primeiro e mais nobre exemplo de um sistema lógico. Para
construir a geometria a partir de um sistema lógico, Euclides Os conceitos de ponto, reta e plano são primitivos, ou
utilizou o método axiomático. seja, não definidos, e serão estudados agora, a partir das
relações que eles mantêm. Três propriedades essenciais,
O método axiomático consiste em admitir como que relacionam as noções de ponto, reta e plano, podem
verdadeiras certas proposições, mais ou menos evidentes, ser assim enunciadas:
e a partir delas, por meio de um encadeamento lógico,
chegar a proposições mais gerais. • P1. Dados dois pontos distintos do espaço, existe uma,
e somente uma, reta que os contém.
Primeiramente, Euclides formulou 23 definições, cinco
postulados geométricos e cinco postulados adicionais • P2. Dados três pontos não colineares do espaço, existe
que chamou de “noções comuns”. A partir dessa base, um, e somente um, plano que os contém.
ele demonstrou 465 teoremas, que contemplam todo o
conhecimento geométrico do seu tempo. Junto às definições • P3. Se uma reta possui dois de seus pontos em um
aparecem os conceitos primitivos de ponto, reta, plano e plano, ela está contida no plano.
espaço, que possibilitam enunciar os cinco postulados
geométricos. A partir dos conceitos primitivos e dos axiomas A partir dessas três propriedades, podemos demonstrar o
(conceitos ou verdades absolutas) vêm as definições, os seguinte teorema.
teoremas construídos a partir das definições, dos axiomas
e de teoremas anteriores, rigorosamente demonstrados. Teorema: Existe um único plano que contém uma reta e
Esta é a geometria euclidiana, que foi um modelo de rigor um ponto não pertencente a ela.
para diversas áreas do conhecimento humano, durante um
bom tempo.

Os cinco postulados geométricos de Euclides Prova: Seja P ponto não pertencente à reta r. Tomemos,
sobre r, dois pontos distintos Q e R. Os pontos P, Q e
1. Dados quaisquer dois pontos, pode ser traçada uma R não são colineares, por P1, pois r é a única reta que
linha reta tendo estes pontos como suas extremidades. passa por Q e R e, por hipótese, P não pertence a r; por
P2 sabemos que existe um, e somente um, plano que os
2. Qualquer linha pode ser prolongada indefinidamente em contém; por P3 a reta está contida no plano, logo, como
qualquer direção. este é o único plano que contém P, Q e R, ele é o único
que contém P e r.

589

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETA E PLANO

Sejam uma reta r e um plano a quaisquer, três situações

podem ocorrer; na primeira situação a reta r possui dois ou

mais pontos pertencentes ao plano a, logo r está contida
em a.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE RETAS

Sejam r e s duas retas quaisquer distintas. As retas r e
s podem ter no máximo um ponto em comum, pois como
existe uma única reta que passa por dois pontos distintos,
duas retas que tenham mais de um ponto comum são
obrigatoriamente coincidentes.

Se as retas r e s tiverem este único ponto em comum, então
elas são ditas concorrentes e, neste caso, determinam um
plano.

Na segunda situação a reta r possui apenas um ponto

pertencente ao plano a, logo r não está contida em a, mas

como possui um ponto de intersecção, então r é secante a

a.

Se as retas r e s não tiverem este ponto em comum, então
elas podem ou não determinar um plano. Digo que podem ou
não, pois se as retas r e s forem paralelas, elas não possuem
nenhum ponto em comum e determinam um plano. Se r e s
não tiverem nenhum ponto em comum e também não forem
paralelas, então elas são não coplanares ou reversas.

Na terceira situação a reta r não possui nenhum ponto de

intersecção com o plano a, mas é paralela a uma reta s que
está contida no plano a, logo r é paralela a a.

Resumindo, temos que:
• Se r e s forem concorrentes, então a intersecção de r e

s será exatamente um ponto;
• Se r e s forem paralelas ou reversas, então a intersecção

de r e s será vazia.

590

Resumindo temos que: FICHA 3 – PARALELISMO E MATEMÁTICA

• Se r está contida em a, então a intersecção de r e a PERPENDICULARISMO

será a própria reta r. Após a discussão sobre a posição relativa entre retas, planos
e entre retas e planos, apresentaremos algumas relações
• Se r é secante a a, então a intersecção de r e a será de paralelismo e perpendicularismo destes dois conceitos
primitivos. É importante considerar que as situações descritas
um ponto. são demonstráveis, logo não são postulados e sim teoremas.

• Se r é paralela a a, então a intersecção de r e a será

vazia.

POSIÇÃO RELATIVA ENTRE DOIS PLANOS • Uma reta é paralela a um plano se, e somente se, for
Sejam a e b dois planos quaisquer, neste caso duas paralela a uma reta do plano.
situações podem ocorrer; na primeira situação a e b
• Dados dois planos secantes, uma reta de um deles é
possuem intersecção e ela será uma reta, pois se dois paralela ao outro plano se, e somente se, ela for paralela à
planos distintos possuem mais de um ponto em comum, reta de intersecção dos dois planos.
sua intersecção é uma reta e, neste caso, os planos são
secantes. • Dois planos são paralelos se, e somente se, um deles é
paralelo a duas retas concorrentes do outro.

• Duas retas concorrentes são perpendiculares quando o
ângulo formado entre elas for de 90º.

• Uma reta é perpendicular a um plano quando ela for
perpendicular a todas as retas do plano que passam pelo
ponto de intersecção dela com o plano.

• Dois planos são ortogonais se, e somente se, um deles
contém uma reta perpendicular ao outro.

ÂNGULO ENTRE RETA E PLANO

Na segunda situação, a e b não possuem intersecção, Ao discutir as posições relativas entre as retas, os planos
e entre reta e plano, outro conceito surge para ser discutido,
logo são planos paralelos. que é o conceito de ângulo.

O conceito de ângulo é uma das vinte e três definições
propostas por Euclides e foi definida por ele como sendo
a inclinação recíproca de duas linhas que se tocam numa
superfície plana e que não fazem parte da mesma linha
reta. Uma definição mais usual é a que diz que um ângulo
é uma figura formada por duas semirretas que têm origem
comum. Daqui a pouco daremos uma classificação destes
ângulos. Discutiremos agora brevemente a ideia de ângulo
entre retas, entre planos e entre retas e planos.

O ângulo formado por duas retas concorrentes é definido
como o menor dos quatro ângulos que elas formam, logo se
for este ângulo, ele estará compreendido entre 0º e 90º, ou
seja, 0 ≤Â≤90°. Se  = 0°, as retas são coincidentes e, se Â
= 90°, as retas são perpendiculares.

Resumindo, temos que:

• Se a e b são planos secantes, então a intersecção será

uma reta.

• Se a e b são planos paralelos, então a intersecção será

vazia.

591

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Já o ângulo formado entre dois planos é igual ao ângulo a Terra era redonda e, como um ano tinha 360 dias, nada mais
formado por duas retas respectivamente perpendiculares a natural do que dividir a circunferência em 360 partes iguais.
estes planos.
As subunidades de medidas do grau são o minuto e o
segundo, ou seja, 1° = 60min e 1min = 60 seg.

Para você transformar de grau para radiano, é necessário
lembrar que o comprimento de uma circunferência de raio
unitário é igual a 2p radianos. Utilizando a regra de três
simples, encontramos que um grau é igual a:

360° 2p rad
1° x}

300º 2prad Þ 360º = 2prad Þ 360º x = 2prad Þ
1º x 1º x

x = 2prad Þ x = p rad
360º 180

As retas perpendiculares aos planos a e b, são Quando discutirmos as funções trigonométricas, faremos
outras considerações pertinentes sobre o grau e o radiano.
respectivamente, r’ e s’. O ângulo entre estas duas retas é Por ora, basta o que foi apresentado para que você possa
exatamente o mesmo das retas r e s, retas estas que estão encontrar a medida de ângulo.

contidas nos planos a e b, respectivamente. COMO PODEMOS CLASSIFICAR OS ÂNGULOS?

Para completar, temos que o ângulo entre uma reta r e um

plano a é igual ao menor ângulo formado por r e uma reta
qualquer do plano a.

Esta é uma boa pergunta e respondê-la é o nosso próximo
passo! Primeiramente, vamos nomear os ângulos, tomando
como referência o ângulo reto, que você já sabe que é um
ângulo que mede 90º. Se o ângulo medido for maior do que
90º, ele será obtuso; se o ângulo medido for menor do que
90º, ele será agudo. Um ângulo é dito raso quando a sua
medida for igual a 180º.

Neste caso, a reta s está contida no plano a, e o ângulo

 que ela forma com a reta r é exatamente o ângulo entre a

reta r e o plano a.

FICHA 4 – CONHECENDO OS ÂNGULOS

MEDINDO UM ÂNGULO Dando continuidade, a figura acima nos ajudará a classificar
pares de ângulos.

Agora que você já recordou o que é um ângulo, o próximo • Dois ângulos consecutivos e que não possuem pontos
passo é recordar quais são as unidades de medidas usuais para internos comuns são ditos adjacentes. Neste caso, os
se calcular um ângulo. As unidades mais usuais são o grau e o
radiano, porém há também o grado que não é muito utilizado. A AÔB e BÔC
nossa discussão irá se ater ao grau e ao radiano. Como já deve
ser do seu conhecimento, o grau é uma medida que trabalha BÔB e CÔD
no sistema sexagesimal. Este sistema de numeração de base
sessenta foi difundido por antigas civilizações mesopotâmicas ângulos são ângulos adjacentes. CÔD e DÔC
há aproximadamente três mil anos. O valor de um grau é DÔA e AÔB
a medida do arco de uma circunferência dividida em 360
partes iguais. A ideia de dividir a circunferência em 360 partes EÔA e AÔB
iguais está diretamente relacionada ao fato de que, para os
babilônios, sumérios, e outros povos mesopotâmicos antigos, DÔE e EÔA

592 • Dois ângulos são opostos pelo vértice quando os lados
de um deles são semirretas opostas aos lados do
outro. Neste caso, os pares de ângulos DÔA e BÔC; DÔC
e AÔB são ângulos opostos pelo vértice.

• Dois ângulos são suplementares quando a sua soma for Na figura acima, os ângulos MATEMÁTICA
igual a 180º. Na figura acima, os pares de ângulos AÔB e
BÔC; BÔC e CÔD; DÔA e AÔB são suplementares. (c, f) e (d, ê) são alternos internos
(â, h) e (b, g) são alternos externos
• Dois ângulos são complementares quando a sua soma (c, ê) e (d, f) são colaterais internos
for igual a 90º. Na figura acima, os ângulos EÔA e AÔB (â, g) e (b, h) são colaterais externos
são complementares. (â, ê, c, g) e (b, f, d, h) são correspondentes

• Dois ângulos são replementares quando a soma das Agora que já fizemos uma boa discussão sobre os entes
suas medidas for igual a 360º. Na figura abaixo, os geométricos ponto, reta e plano e sobre o conceito de
ângulos AÔC e CÔA são replementares. ângulo, iremos nos ater a outro conceito definido por
Euclides, que é o de polígono.

FICHA 5 – OS POLÍGONOS

Antes de qualquer coisa, é importante que você saiba
que uma linha poligonal é a linha formada por dois ou mais
segmentos colineares. A linha poligonal pode ser fechada
ou aberta. Se ela for aberta, então a origem da linha não
coincide com a sua extremidade; se ela for fechada, então
a origem da linha coincide com a sua extremidade. Um
polígono é uma figura formada por uma linha poligonal
fechada.

ÂNGULOS ALTERNOS, COLATERAIS E CORRESPONDENTES ESMIUÇANDO OS POLÍGONOS

As denominações alternos, colaterais e correspondentes Os polígonos são classificados de acordo com o número
para ângulos são percebidas na situação em que temos de lados. O polígono com o menor número de lados é o
duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal. triângulo, com três lados. Os polígonos que possuem nomes
Nessa situação, são formados oitos ângulos, conforme a específicos estão compreendidos na tabela a seguir. Os
figura abaixo. polígonos que não aparecem na tabela recebem o nome de
“n” lados, e n é o número de lados que ele contém.

Os ângulos â, d e b, c, formados a partir da intersecção da Denominação Número de lados
reta r que a reta t, são opostos pelos vértices. Da mesma Triângulo 3
forma, os ângulos ê, h e f, g, formados a partir da intersecção 4
da reta s com a reta t, também são opostos pelos vértices. Quadrilátero 5
Como as retas r e s são paralelas e estão sendo cortadas por Pentágono 6
uma mesma reta t transversal, então podemos concluir que â Hexágono 7
≡ d ≡ ê ≡ h e b ≡ c ≡ f ≡ g. Heptágono 8
Octógono 9
ÂNGULOS ALTERNOS Eneágono 10
Decágono 11
Os ângulos alternos são ângulos que estão em lados Undecágono 12
diferentes da transversal; estes ângulos podem ser internos Dodecágono 15
ou externos. Pentadecágono 20
Isoságono

A DIAGONAL DE UM POLÍGONO

Como você já deve saber, a diagonal de um polígono é o
segmento de reta entre dois vértices não consecutivos do
polígono.

Tomando a definição acima como verdadeira, será que é
possível calcular o número de diagonais de um triângulo?
Um triângulo tem diagonal?

Há uma fórmula simples que permite calcular o número
de diagonais de um polígono com mais de três lados.

593

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Para demonstrar a fórmula do número de diagonais de Por que no vértice C só computei uma diagonal? Não
um polígono, é preciso recorrer ao conceito de indução há duas?
finita. Por isso, propomos que, em vez de prová-la, vamos
observar sua regularidade nos polígonos de quatro, cinco e Por que nos vértices D e E não computei nenhuma
seis lados. A partir deles tentaremos encontrá-la. diagonal, já que há duas?

As diagonais AC e CA são as mesmas, então não há por
que contá-las duas vezes. Da mesma forma, AD = DA; BD
= DB; BE = EB; CE = EC, por isso, não contamos nenhuma
diagonal para os vértices D e E.

No quadrilátero, cada vértice dá origem a uma diagonal. No hexágono, cada vértice dá origem a três diagonais,
Então, do vértice A sai uma diagonal em direção ao vértice então pelo vértice A podemos traçar as diagonais AE, AD
C, que é a mesma diagonal que sai do vértice C em direção e AC. Vamos, novamente, utilizar a tabela para facilitar as
ao A, não podemos contá-la duas vezes; a mesma situação nossas conclusões.
ocorre no vértice D, pois a diagonal que sai de D em direção
ao vértice B é a mesma que sai de B em direção a D, logo
não podemos contá-la duas vezes. Portanto, no quadrilátero
temos quatro vértices e duas diagonais.

Vértice Diagonais Número de diagonais
A AE, AD e AC 3
B BF, BE, BD 3
C CF, CE, CA 2
D DF, DB, DA 1
E EC, EB, EA 0
F FD, FC, FB 0
9
Total de diagonais

No pentágono, cada vértice dá origem a duas diagonais, E se o nosso polígono tivesse sete lados? Qual seria o
então pelo vértice A podemos traçar as diagonais AD e AC. número de diagonais? E se fosse um polígono de vinte
Para facilitar a nossa visualização, veja a tabela a seguir. lados, quantas diagonais ele teria?

Para responder às perguntas é só olhar os exemplos
anteriores e perceber a relação existente entre o número
de lados e a quantidade de diagonais. Mais uma vez,
iremos utilizar uma tabela para expressar o que queremos
dizer.

Vértice Diagonais Número de diagonais Número de lados do Quantidade de
A AD e AC 2 polígono diagonais
B BE e BD 2 4
C CA e CE 1 5 d = 4 x (4 – 3) = 2
D DA e DB 0 2
E EB e EC 0
5 d = 5 x (5 – 3) = 5
Total de diagonais 2

594

6 d = 6 x (6 – 3) = 9 MATEMÁTICA
2

7 d = 7 x (7 – 3) = 14
2

8 d = 8 x (8 – 3) = 20
2

Ӈ Ӈ FICHA 6 – OS TRIÂNGULOS

n d = n x (n – 3) OS ELEMENTOS DE UM TRIÂNGULO
2
O primeiro elemento que iremos tratar é da altura de
Analisando a fórmula encontrada, percebemos que, para um triângulo, que é determinada a partir de uma reta
determinar o número de diagonais que parte de cada perpendicular traçada de qualquer um dos três vértices
vértice, é preciso subtrair o número de lados por 3; como em direção ao seu lado oposto. Como temos três vértices,
as diagonais AD e DA, por exemplo, são iguais, para não podemos afirmar que é possível traçar três alturas em um
contá-las duas vezes, dividimos o resultado da subtração triângulo qualquer. A intersecção das três alturas é o ponto
por 2; por fim, multiplicamos o resultado encontrado pelo denominado ortocentro.
número de lados do polígono. Você perceberá que, quando
a subtração for um número ímpar, o número de diagonais O segundo elemento importante de um triângulo é a
será par, o que permitirá dividir o resultado encontrado por bissetriz interna, que é o segmento de reta traçado a
dois. partir de qualquer um dos vértices em direção ao seu lado
oposto e que divide o ângulo em dois ângulos congruentes.
Agora que você já sabe como encontrar o número de Como temos três vértices, podemos afirmar que é possível
diagonais de um polígono a partir do número de lados, é só determinar três bissetrizes internas em um triângulo
substituir n por 20 e encontrar o número de diagonais do qualquer. A intersecção das três bissetrizes é o ponto
nosso polígono de vinte lados. denominado incentro.

Retomando, antes de estudar com mais afinco um caso
particular de polígono, gostaríamos apenas de chamar
a atenção para os polígonos regulares, que são aqueles
polígonos cujos lados e ângulos são congruentes.

Uma característica importante dos polígonos regulares
é que eles podem ser inscritos ou circunscritos em uma
circunferência. Desse modo, se um polígono regular é
inscritível, então neste polígono há uma única circunferência
que passa pelos seus vértices; já se um polígono regular
é circunscritível, então existe uma única circunferência
inscrita nesse polígono.

SOMA DOS ÂNGULOS INTERNOS DE UM POLÍGONO QUALQUER O terceiro elemento é a mediana, que é o segmento de
reta traçado a partir de um dos três vértices do um triângulo
Por que a soma dos ângulos internos de um triângulo é e que intercepta o lado oposto no ponto médio. Como você
180º? já sabe, é possível determinar três medianas e, por isso,
o ponto de encontro destas medianas recebe o nome de
Para responder a esta pergunta, vamos precisar do auxílio baricentro ou centro de gravidade do triângulo. Uma
da figura construída a seguir. propriedade importante deste ponto é que o segmento que

595

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que 4. No triângulo retângulo, as alturas se encontram no
une o baricentro ao lado oposto deste vértice. vértice do ângulo reto.

5. Ao maior lado de um triângulo opõe-se ao maior ângulo.

CONGRUÊNCIA DE TRIÂNGULOS

Dois triângulos são congruentes (º) se for possível
estabelecer uma correspondência entre seus vértices
de modo que lados e ângulos correspondentes sejam
congruentes.

CLASSIFICAÇÃO DE UM TRIÂNGULO

Os triângulos podem ser classificados tomando-se Por exemplo, se DABC º DMNP, então AB º MN: BC º NP;
como referência o ângulo de 90º. Assim, um triângulo CA º PM e  º M; B º N e C º P.
que têm um ângulo de 90º é classificado como triângulo
retângulo. Se um triângulo não tem um ângulo reto, ele O estudo dos casos que envolvem congruência de
então pode ser enquadrado em dois casos; se todos os triângulos nos permite decidir se dois triângulos são ou não
ângulos forem menores do que 90º, ou seja, se todos os congruentes sem, necessariamente, ter que analisar todas
ângulos forem agudos, então o triângulo é acutângulo; as seis correspondências.
porém se o triângulo possuir um ângulo maior do
90º, ou seja, um ângulo obtuso, então o triângulo é Caso 1) ALA: ângulo, lado, ângulo
obtusângulo. Dois triângulos que possuem dois ângulos e o lado
compreendido entre esses ângulos respectivamente
Os triângulos também podem ser classificados de congruentes são congruentes.
acordo com a medida dos lados. Desse modo, se um
triângulo tem as três medidas dos lados congruentes,
então ele é um triângulo equilátero; se duas medidas
dos lados forem congruentes, então ele é classificado
como um triângulo isósceles; e, por fim, se o triângulo
não possui nenhuma medida do lado congruente, ele é
um triângulo escaleno.

ALGUMAS CONSIDERAÇÕES IMPORTANTES A RESPEITO DA

CLASSIFICAÇÃO DOS TRIÂNGULOS

1. É importante destacar que a medida de cada lado de Como AB º MN e B º N e C º P, então DABC º DMNP.
um triângulo é menor que a soma dos outros dois, é a Caso 2) LAL: lado, ângulo, lado
famosa desigualdade triangular.

Dois triângulos que possuem os dois lados e o ângulo
compreendido por esses lados respectivamente congruentes
são congruentes.

2. No triângulo equilátero, o ortocentro coincide com Como AB º MN e B º C e BC º NP, então DABC º DMNP.
o incentro que coincide com o baricentro, ou seja, Caso 3) LLL: lado, lado, lado
calculando um destes pontos, os outros ficam Dois triângulos que possuem os três lados respectivamente
determinados. congruentes são congruentes.

3. No triângulo isósceles, a altura traçada do vértice ao
menor lado é igual à mediana e à bissetriz.

596

Igualando-se (1) e (2), obtemos: MATEMÁTICA

10 · EC = 5 · AE Þ AC = 2 · EC. (3)
EF EF (4)

Como AC = AE + EC Þ AC = 3 · EC.

Igualando-se (4) e (1), obtemos:

3 · EC = 10 · EC Þ EF = 10 · EC Þ EF =130
EF 3· EF
Como AB º MN, BC º NP e CA º PM, então DABC º DMNP.
Alternativa correta: d
Caso 4) Triângulos retângulos (caso especial)
Dois triângulos retângulos que possuem ordenadamente a Você deve ter percebido que, para resolver o exemplo
hipotenusa e um dos catetos congruentes são congruentes. acima, aplicamos o conceito de semelhança de triângulos. A
proposta agora é discutir os diferentes casos que envolvem
a semelhança de triângulos, porém, antes disso, é preciso
retomar o teorema de Tales, que você conheceu no Ensino
Fundamental e que o ajudará a compreender um pouco
mais a relação de proporcionalidade entre os lados de dois
triângulos semelhantes.

TEOREMA DE TALES

Como AB º MN e BC º NP, então DBAC º DNMP. Duas retas r e s transversais quaisquer, cortadas por um
feixe de retas paralelas, determinam sobre elas segmentos
SEMELHANÇA DE POLÍGONOS proporcionais.

Dois polígonos são semelhantes quando seus lados
homólogos forem proporcionais e os ângulos homólogos
forem respectivamente iguais.

Exemplo: (UFRGS) Na figura abaixo AB, CD e EF são
paralelos. AB e CD medem, respectivamente, 10 cm e 5 cm.

Como p // q // t, r e s são transversais, então AC, CE, BD,

DF são proporcionais, logo AC = BDDF .
CE

O comprimento de EF é: SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS
5
a) 3

b) 2 Retomando ao assunto triângulo, iremos apresentar os
casos que envolvem semelhança de triângulos.
c) 3
Caso 1: Dois triângulos são semelhantes se possuírem
d) 10 dois ângulos respectivamente iguais
3

e) 4

Resolução:

DBAC ~ DFEC, pois  º Ê e C é comum.

Daí, temos que:

10 = AC Þ AC = 10E·FEC. (1)
EF EC (2)

DDCA ~ DFEA, pois C º Ê E Â é comum.

Daí, temos que: Se B º B’ e C º C’, então DABC ~ DA’B’C’.

5 = AC Þ AC = 5 · AE .
EF AE EF

597

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Caso 2: Dois triângulos que possuem um ângulo igual a) Qual deve ser o comprimento de uma aresta da caixa?
formado por lados proporcionais são semelhantes. b) Supondo que a altura máxima da água na caixa é de

85% da altura da caixa, quantos litros de água podem
ser armazenados na caixa?

4. (UNICAMP–2002) Um homem, de 1,80 m de altura,
sobe uma ladeira com inclinação de 30º, conforme
mostra a figura.
B

Se B º B’ e AC = AB , então DABC ~ DA’B’C’. C 1,80 m
A’C’ A’B’ sombra
5m

EXERCÍCIOS 30º

1. João Pedro foi chamado à lousa para resolver um No ponto A está um poste vertical de 5 metros de
exercício de semelhança de polígonos. O exercício era altura, com uma lâmpada no ponto B. Pede-se para:
assim: a) Calcular o comprimento da sombra do homem depois
que ele subiu 4 metros ladeira acima.
Os polígonos abaixo são semelhantes ou não? Justifique a b) Calcular a área do triângulo ABC.
sua resposta.

Gilberto respondeu que não eram semelhantes, pois 5. (UEL-2003) Após um tremor de terra, dois muros
não existia proporcionalidade entre os lados homólogos paralelos em uma rua de uma cidade ficaram
(correspondentes) dos dois polígonos. ligeiramente abalados. Os moradores se reuniram
e decidiram escorar os muros utilizando duas barras
A resposta dada por Gilberto está correta? Não basta que metálicas, como mostra a figura abaixo. Sabendo que
os ângulos sejam congruentes para que qualquer par de os muros têm alturas de 9 m e 3 m, respectivamente,
polígonos seja semelhante? a que altura do nível do chão as duas barras se
interceptam? Despreze a espessura das barras.
(Ao responder as duas perguntas, não se esqueça
de justificá-las). a) 1,50 m
2. Um triângulo ABC qualquer tem um ângulo de 60º e b) 1,75 m
c) 2,00 m
outro de 45º. Outro triângulo DEF qualquer tem um d) 2,25 m
ângulo de 75º e outro de 45º. Pode-se dizer que os e) 2,50 m
dois triângulos são semelhantes, ou alguma outra 6. (UEL-2004) Assinale a alternativa que apresenta a área
informação precisaria ser dada?
(Novamente, não se esqueça de justificar a sua hachurada da figura a seguir, sabendo que:
resposta). I. M é o ponto médio de AB .
3. (UNICAMP–2003) Uma caixa-d’água cúbica, de volume II. N é o ponto médio de BC.
máximo, deve ser colocada entre o telhado e a laje de III. AM = 2 √3 cm
uma casa, conforme mostra a figura IV. Â = 60º
V. C = 30º
D

C

AB

Dados: AB = 6m, AC = 1,5m e CD = 4m.

598

a) 3√3 cm2 a) 90º MATEMÁTICA
2 b) 130º
9√3 c) 150º
b) 2 cm2 d) 120º

c) 6√3 cm2 10. (UFSC-2005) Na figura a seguir, o segmento de reta
AE é paralelo ao segmento BF e o segmento de reta
d) 18√3 cm2 CG é paralelo ao segmento DH; o trapézio ABDC
tem os lados medindo 2 cm, 10 cm, 5 cm e 5 cm,
e) 24√3 cm2 assim como o trapézio EFHG; esses trapézios estão
situados em planos paralelos que distam 4 cm um do
7. (UEL-2004) Um arquiteto fez um projeto para construir outro. Calcule o volume (em cm3) do sólido limitado
canteiros de flores na entrada de um clube. Nesse pelas faces ABFE, CDHG, ACGE, BDHF e pelos dois
projeto, os canteiros têm áreas equivalentes. Um dos trapézios.
canteiros tem a forma de um hexágono regular de 60
cm de lado. Outro tem a forma de um quadrado. Qual a
medida do lado desse quadrado?

a) 30 4√27 cm
b) 30 4√108 cm
c) 300 4√108 cm

d) 97 √3 cm

e) 5.400 √3 cm

8. (UFSC-2006) Considere um hexágono equiângulo
(ângulos internos iguais) no qual quatro lados
consecutivos medem 20 cm, 13 cm, 15 cm e 23
cm, conforme figura abaixo. Calcule o perímetro do
hexágono.

AS RELAÇÕES QUE ENVOLVEM OS TRIÂNGULOS

Volta e meia caímos em questões que envolvem os
triângulos. Agora, por exemplo, discutiremos as relações
métricas existentes. As relações métricas são relações que
envolvem as medidas dos lados de um triângulo. A mais
conhecida delas é o famoso teorema de Pitágoras, que já
foi provado em mais de trezentas maneiras diferentes.

ENCONTRANDO AS OUTRAS RELAÇÕES MÉTRICAS NO

TRIÂNGULO RETÂNGULO

9. (UFT-2008) Na figura abaixo considere  = 30º; a = B ;
3
C
b = 3 . No triângulo BDC o ângulo D é:

O triângulo CAB é semelhante ao triângulo AHB que é
semelhante ao triângulo AHC , sendo assim temos que:

599