Concursos, Vestibulares & ENEM

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM DCAB ~ DAHB Þ a = c Þ c2 = a · m
c m
a b
b = n Þ b2 = a · n

DCAB ~ DAHC Þ c a
h b
= Þ b · c = a · h

DAHB ~ DAHC Þ a = c Þ c2 = m · n
n h

TEOREMA DE PITÁGORAS

O teorema de Pitágoras é uma relação entre as medidas
dos lados de um triângulo retângulo. O teorema diz que
a “hipotenusa ao quadrado é igual à soma dos
quadrados dos catetos”, seja, se c é a medida da
hipotenusa do triângulo e a e b são as medidas dos catetos,
então, simbolicamente, temos que c2 = a2 + b2.

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA DE PITÁGORAS

O que desejamos demonstrar aqui é que a hipotenusa ao CONHECENDO A CIRCUNFERÊNCIA
quadrado é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Um primeiro elemento da circunferência que
Somando-se as relações métricas c² = a · m e b² = a · n, poderíamos mencionar é a corda, que é um segmento
obtemos b² + c² = a · m + a · n. Como a = m + n encontramos traçado de um extremo a outro da circunferência; quando este
que b2 + c2 = a · (m + n) Þ b2 + c2 = a · a Þ a2 = b2 + c2. segmento passa pelo centro, dizemos que ele é o diâmetro da
circunferência e a sua medida é igual a duas vezes a medida
FICHA 7 – CÍRCULO E CIRCUNFERÊNCIA do raio.

Na geometria de Euclides, uma circunferência é o lugar Um segundo elemento da circunferência é o arco,
geométrico de todos os pontos de um plano que estão a que é a porção da circunferência compreendida entre dois
uma certa distância, denominada raio, de um certo ponto, pontos extremos. A amplitude de um arco de circunferência
denominado centro. é a medida do ângulo com vértice no centro da circunferência
correspondente e definido pelos extremos do arco.
A circunferência é o contorno de um círculo, ou melhor, o
círculo é a porção do plano limitada pela circunferência. O terceiro e o quarto elementos da circunferência são
as retas tangentes e secantes. A reta tangente é uma
reta que intercepta a circunferência em um único ponto; a reta
secante é uma reta que intercepta a circunferência em dois
pontos distintos.

600

ÂNGULOS E CIRCUNFERÊNCIA FICHA 8 – VOLUMES E ÁREAS MATEMÁTICA

A ideia aqui é discutir a correspondência entre arcos e Para terminar o capítulo sobre a geometria euclidiana,
ângulos. Os ângulos recebem denominações especiais, iremos estudar os volumes dos prismas, das pirâmides,
de acordo com a posição que se encontram em relação à dos cilindros, dos cones e das esferas, que são os sólidos
circunferência. Assim, se o ângulo tem vértice no centro da mais conhecidos e simples. Intuitivamente, o volume de um
circunferência, é denominado ângulo central. O ângulo sólido é a quantidade de espaço por ele ocupado.
central tem a mesma medida do arco compreendido entre
seus lados. Para determinar sem maiores preocupações o volume de
um sólido geométrico qualquer, é necessário enunciar o
Outro tipo de ângulo é o ângulo inscrito, cujo vértice princípio de Cavalieri, que é um axioma.
coincide com um ponto da circunferência e os lados são
secantes a ela. A medida ângulo inscrito é a metade da O princípio de Cavalieri: São dados dois sólidos e um
medida do ângulo central correspondente. plano. Se todo plano paralelo ao plano dado secciona os
dois sólidos segundo figuras de mesma área, então esses
Temos ainda o ângulo circunscrito, que é o ângulo cujo sólidos têm mesmo volume.
vértice é exterior à circunferência e os lados são tangentes
ou secantes à ela. Neste caso, a medida do ângulo
circunscrito é igual à metade da diferença dos arcos
compreendidos entre seus lados.

AS RELAÇÕES MÉTRICAS NA CIRCUNFERÊNCIA

Da mesma forma que existem as relações métricas em um
triângulo, também há relações métricas na circunferência
que podem ser assim enunciadas. A discussão sobre as
relações métricas na circunferência está relacionada ao
fato de um ponto ser interior ou exterior à circunferência.
Sejam duas secantes a um circunferência cuja intersecção
é um ponto interno a ela. Sendo AB e CD :as duas secantes
e P o ponto de intersecção entre elas, então a relação PA .
PB = PC. PD.
Se duas secantes são concorrentes em um ponto P Juntamente com os volumes destes sólidos, vamos
exterior à circunferência e interceptam-na nos pontos A, B, aproveitar para relembrar as áreas das principais figuras
C e D, então as distâncias de P aos pontos A, B, C e D são planas que aqui aparecerão como faces destes sólidos.
PA PC
proporcionais, ou seja, PD = PB Þ PA · PB = PC · PD O PARALELEPÍPEDO RETÂNGULO

Cada um dos produtos que aparece na fórmula acima são O paralelepípedo retângulo é um poliedro formado por
denominados potências do ponto P. seis retângulos. Este paralelepípedo fica perfeitamente
Para terminar o assunto sobre circunferência, vamos determinado por três medidas: o seu comprimento (a), a sua
apresentar os polígonos regulares inscritos em uma largura (b) e a sua altura (h).
circunferência. Os polígonos regulares possuem as medidas
de todos os lados congruentes. O interesse em estudar estes
polígonos deve-se à especificidade do raio desta circunferência,
ou melhor, a medida deste raio, denominado apótema.
Se dividirmos a circunferência em n arcos (n>2)
congruentes, formaremos um polígono regular de n lados,
inscritos na circunferência.
Se o polígono formado for um quadrado, então a medida
do lado deste quadrado será l = r√2 e a medida do apótema

será a = r√3 . Para determinar o volume de um paralelepípedo, basta
2

Se o polígono formado for um triângulo equilátero, então a multiplicar a área da ubmasreet(âSn) gpuelolaeaaltuárraeah.doAsrseitmânVgpul=o
medida do lado deste triângulo será l = r√3 e a medida do S · h. Como a base é
é determinada pelo produto do comprimento pela largura,
r temos que S = a · b, logo Vapltu=raa · b · h. Como se trata de um
apótema será a = 2 . paralelepípedo reto, a sua é igual ao valor de qualquer

Se o polígono formado for um hexágono regular, então a uma das arestas, lembrando que a aresta é a intersecção
medida do lado deste triângulo será l = r e a medida do
entre duas faces quaisquer.
Ainda em relação ao paralelepípedo retângulo, podemos
apótema será a = r√3 . determinar a sua área total, que é a soma das seis áreas
2
laterais.

601

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM OS PRISMAS AS PIRÂMIDES

O prisma é um sólido geométrico delimitado por faces Uma pirâmide é um sólido geométrico formado por uma
planas, no qual as bases se situam em planos paralelos. face inferior e um vértice que une todas as faces laterais.
Quanto à inclinação das arestas laterais, os prismas podem As faces laterais de uma pirâmide são regiões triangulares,
ser retos ou oblíquos. e o vértice que une todas as faces laterais é chamado de
vértice da pirâmide. O número de faces laterais de uma
Se o prisma for reto, as arestas laterais serão retangulares pirâmide corresponde ao número de lados do polígono da
e perpendiculares ao plano da base; se o prisma for oblíquo, base. Assim, as pirâmides são classificadas de acordo com
as arestas laterais serão oblíquas ao plano de base, porém a sua base conforme, novamente, sugere a tabela a seguir.
não retangulares. Tanto no prisma reto como no oblíquo, as
arestas laterais têm o mesmo comprimento. Pirâmide Base Desenho

Os prismas também são classificados de acordo com a
base, conforme sugere a tabela abaixo.

Prisma Base Desenho

Triangular Triângulo

Triangular Triângulo

Quadrangular Quadrado

Quadrangular Quadrado á Pentagonal Pentágono

O volume de uma pirâmide é igual a um terço do produto
1
Pentagonal Pentágono da área da base pela altura, ou seja, V = 3 SQ · h. Assim,

por exemplo, se a pirâmide for quadrangular, o seu volume
1
V será igual a V = 3 SQ · h, em que SQ é a área da base

quadrangular. A área total de uma pirâmide quadrangular
será a soma das áreas das faces triangulares com a área da
base quadrangular, ou seja, éSTa=á4reSaD +daSQb,aesme qquueadSrDaéngauálarer.a
das faces triangulares e SQ

Hexagonal Hexágono OS CILINDROS

O volume de um prisma é determinado também O cilindro é o objeto tridimensional gerado pela superfície
multiplicando a área da base pela altura. Assim, por exemplo, de revolução de um retângulo em torno de um de seus
se o prisma for triangular, o seu volume V será determinado lados. O cilindro é um corpo alongado e de aspecto roliço,
base · altura com o mesmo diâmetro ao longo de todo o comprimento.
pela fórmula, V = SD · h, em que SD = 2 . A área
O volume de um cilindro é produto da área da base pela
total de um prisma triangular será a soma das áreas das altura, ou seja, V = S · h. A área da base de cilindro é um
faces, ou seja, ST = 2SD 2SR + 1SQ, em que SD é a área da círculo, logo, V = pr2 · h. A área total de um cilindro é a soma
da área da face lateral com as duas bases circulares, ou
abaásreeatrdiaanfgauclaer,laStReréalaqáuraedardanagfualcaer.lateral retangular e SQ é slaetjear,aSl,T q=uSeLé+d2eStBe,remminqaudea SpBoré2apárr2e· ah.da base e SL é a área

602

da circunferência do círculo. O conjunto desses pontos, ou MATEMÁTICA
seja, a totalidade da circunferência, tem o nome de diretriz,
porque é a direção que as geratrizes tomam para criar a
superfície cônica. Um cone será oblíquo quando não for
reto, ou seja, quando o eixo for oblíquo ao plano da base. Por
fim, um cone será equilátero se ele for reto e se a medida da
geratriz for igual à medida do diâmetro da base.
O volume de um cone é igual a um terço do produto da
pr2 · h.
área da base pela altura, ou seja, V = 3 A área total de

um cone é aemáreqauelaSte=ra√lrm2 +aihs2aéáareaaltduarablaasteer,aol udosecjoan, eS.T =
pr2 + pr · s,

OS CONES

Um cone é um sólido geométrico formado por todos os
segmentos de reta que têm uma extremidade em um ponto
V (vértice) em comum e a outra extremidade em um ponto
qualquer de uma mesma região plana R. Os cones podem
ser retos, oblíquos ou equiláteros.

O cone será reto quando a sua base é uma circunferência e
a reta que liga o vértice superior ao centro da circunferência
da sua base for perpendicular ao plano da base. A face lateral
deste cone é formada por geratrizes (g), que são linhas
retas que ligam o vértice superior a pontos constituintes

603

MATEMÁTICA

BLOCO 2
EXERCÍCIOS

1. (FUVEST) O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo 3. (FUVEST) Pedrinho, brincando com seu cubo mágico,
equilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do colocou-o sobre um copo, de maneira que:
triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois
lados do triângulo, conforme a figura. – apenas um vértice do cubo ficasse no interior do copo,
conforme ilustra a foto;

– os pontos comuns ao cubo e ao copo determinassem um
triângulo equilátero.

Sabendo-se que o bordo do copo é uma circunferência de
raio 2 √3 cm, determine o volume da parte do cubo que
ficou no interior do copo.

Assim, determine

a) a razão entre R e r. 4. (UFSCAR) Em um jardim circular, cujo contorno tem
b) a área do triângulo DEF em função de r. 25,12 m, foi construído um gramado com forma de
hexágono regular, conforme a figura.
2. (FAC. MED. JUNDIAÍ) A figura mostra uma pista circular
para a prática de caminhadas em um campus. Sabe-se
que o ponto P (vestiários) dista 180 metros do ponto B
e 100 metros do ponto A, em linha reta. O tempo que
um usuário levará para dar dez voltas completas nessa
pista, caminhando a uma velocidade constante de 9
km/h, será de, aproximadamente,

Dado: p = 3,14

a) 16 min 45 s. Do centro do gramado, seguindo pelos apótemas do
b) 15 min 30 s. hexágono, partirão fileiras de minirroseiras de várias cores.
c) 14 min 45 s. O comprimento total dessas fileiras é de, aproximadamente,
d) 14 min 15 s.
e) 12 min 30 s. a) 15 m.
b) 17 m.
604 c) 19 m.
d) 21 m.
e) 23 m.

5. (UFSCAR) Um garotinho ganhou uma barra de chocolate 8. (UFABC) Observe a figura. As duas áreas retangulares MATEMÁTICA
contendo vários tabletes quadrados de 1 cm de lado. são utilizadas para o plantio de cana-de–
Como não resistiu, ele comeu alguns tabletes de um –açúcar, sendo que a área R está para a área H
dos cantos da barra, como mostra a figura. na razão de 9 para 5. Sabe-se que um hectare
(ha) de cana produz 8 mil litros de etanol. Dado:
1 ha = 10 000 m²

O número de tabletes que ainda restam na barra do
garotinho é de

a) 58.

b) 60. Pode-se concluir, então, que as áreas R e H, juntas,
c) 62. produzem
d) 64.
e) 66. a) 2,5 x 106 litros de etanol.
b) 3,6 x 106 litros de etanol.
6. (UFSCAR) Duas conchas semiesféricas de 6 cm de c) 4,5 x 106 litros de etanol.
diâmetro de sorvete foram colocadas num copinho de d) 5,6 x 106 litros de etanol.
sorvete, na forma de cone, com 10 cm de profundidade e) 6,2 x 106 litros de etanol.
e também com 6 cm de diâmetro no topo. Se o sorvete
derreter para dentro do copinho, podemos afirmar que

a) não transbordará e ainda sobrarão de espaço no copinho 9. (SENAC) A figura indica parte do projeto de uma calha
aproximadamente 19 cm³. para a captação de água da chuva:

b) não transbordará e ainda sobrarão de espaço no copinho
aproximadamente 13 cm³.

c) encherá exatamente toda a capacidade do copinho.

d) transbordará um volume de sorvete de aproximadamente
13 cm³.

e) transbordará um volume de sorvete de aproximadamente Admitindo-se que a parte da calha, em destaque, é um
19 cm³. paralelepípedo oblíquo de base retangular, e que a distância
entre os planos que contêm suas bases é 30 cm, o volume
7. (UFABC) A figura mostra um espelho quadrado, de lado máximo de água que essa parte da calha pode comportar,
L, guarnecido com faixas decorativas retangulares em cm³é igual a
de madeira nobre, de largura igual a x cm, formando
uma semimoldura, que aparece sombreada na figura. a) 1.200.
Sabendo-se que somente o espelho (sem a moldura) b) 2.400.
tem 3600cm², determine a área em madeira.

c) 3.600.

d) 4.800.

e) 6.000.

(SENAC) Texto para as questões 10 e 11:

Para o transporte de materiais para uma obra, dois
lingotes cilíndricos são colocados lado a lado de modo a
se encostarem ao longo de sua extensão e, sobre os dois,
coloca-se um terceiro lingote, como indica a figura.

605

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM a) insuficiente, faltando 125 .
b) insuficiente, faltando 100 .
c) suficiente, não faltando nem restando medicamento.
d) suficiente, restando ainda 125 .
e) suficiente, restando ainda 225 .

Adote nos cálculos 20 cm para o diâmetro do lingote e 1 m 13. (UFTM) Se a medida da diagonal de um cubo é m, a
para o comprimento do lingote. área total da superfície desse cubo, em função de m,
10. De acordo com as informações disponibilizadas, a tem medida igual a

medida da altura h da pilha, em cm, é igual a a) 2 m2
a) 10 (√3 + 2) b) 2 √2 m2
b) 20 (√3 + 1) c) 2 √3 m2
c) 10 (√6 + 1) d) 3 √3 m2
e) 6m2

d) 20 (√6 + 1) 14. (UFTM) A partir de um quadrado ABCD de lado medindo
8 cm, desenha-se uma circunferência que passa
e) 20 (√6 + 1) pelos vértices A e D e é tangente ao lado BC. A medida
do raio da circunferência desenhada, em cm, é
11. O volume total dos três lingotes juntos é equivalente
ao volume de um único lingote cilíndrico de raio R e a) 4
comprimento C. A relação correta entre R e C, ambos b) 5
dados em centímetros, é c) 4√2
d) 6
a) 3 · R · C = 103 e) 5√2
b) R2 · C = 3 · 103
c) R2 · C = 3 · 104 15. (FUVEST) Na figura, OAB é um setor circular com
d) R2 = C · 3 · 104 centro em O, ABCD é um retângulo e o segmento CD
e) R2 = C · 3 · 103 é tangente em X ao arco de extremos A e B do setor
circular. Se AB = 2 √3 e AD = 1, então a área do setor
12. (UNCISAL) Um recipiente, na forma de um prisma reto de OAB é igual a
base quadrada, cuja área lateral é igual ao sêxtuplo da
área da base, contém um determinado medicamento que
ocupa 3/4 de sua capacidade total. Conforme prescrição
médica, três doses diárias desse medicamento, de 50
cm cada uma, deverão ser ministradas a um paciente
durante seis dias. Nessas condições, é correto afirmar
que, para ministrar a quantidade total prescrita, o
medicamento contido nesse recipiente será

a) p
3
2p
b) 3

c) 4p
3
5p
d) 3

e) 7p
3

606

16. (FUVEST) A figura representa um retângulo ABCD, com 18. (FUVES) O cubo de vértices ABCDEFGH, indicado na MATEMÁTICA
AB= 5 e AD= 3. O ponto E está no segmento CD de figura, tem arestas de comprimento a. Sabendo-se
maneira que CE= 1, e F é o ponto de interseção da que M é o ponto médio da aresta AE, então a distância
diagonal AC com o segmento BE. do ponto M ao centro do quadrado ABCD é igual a

Então a área do triângulo BCF vale

a) 6 a) a √3
5 5
5
b) 4 √3
3
c) 4 b) a
3
7 c) a √3
d) 5 2

e) 3 d) a√3
2
e) 2a√3

17. (FUVEST) Uma empresa de construção dispõe de 117 19. (UNICAMP) Sejam A, B, C e D os vértices de um
blocos de tipo X e 145 blocos de tipo Y. Esses blocos quadrado cujos lados medem 10 cm cada. Suponha
têm as seguintes características: todos são cilindros que a circunferência C passe pelos pontos C e D, que
retos, o bloco X tem 120 cm de altura e o bloco Y tem formam o lado CD do quadrado, e que seja tangente,
150 cm de altura. no ponto M, ao lado oposto AB.

a) Calcule a área do triângulo cujos vértices são C, D e M.
b) Calcule o raio da circunferência C.

A empresa foi contratada para edificar colunas, sob as 20. (UEL) Considere um cone circular reto e um cilindro
seguintes condições: cada coluna deve ser construída circular reto, ambos com diâmetro da base igual a 12
sobrepondo blocos de um mesmo tipo e todas elas devem cm e também uma esfera com diâmetro de 12 cm,
ter a mesma altura. Com o material disponível, o número todos com volumes iguais. A altura do cone e a altura
máximo de colunas que podem ser construídas é de do cilindro devem ser respectivamente iguais a:

a) 12 cm e 4 cm
b) 30 cm e 10 cm
c) 24 cm e 8 cm

a) 55 d) 9 cm e 3 cm
b) 56 e) 18 cm e 6 cm

c) 57 21. (UEL) Um retângulo é inscrito no triângulo equilátero
d) 58 de lado a, de modo que a base do retângulo está
e) 59 contida na base do triângulo, como ilustra a figura
abaixo.

607

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 23. (UEL) Considere o cubo de aresta 3 cm e vértices
ABCDEFG. Considere o ponto P situado no
prolongamento da aresta EA de modo que PA = 5 cm,
como está estabelecido na figura.

Se a altura do retângulo é 3a, então a área do retângulo em A maior e a menor aresta lateral da pirâmide PEFGH
função do lado do triângulo é dada por: medem, respectivamente:

a) A = a2 (9 – 2√3 ) a) √82 cm e 8 cm
27 b) √82 cm e 4 cm
c) √82 cm e 8 cm
b) A = a2 (9 + 2√3 ) d) 20 cm e 10 cm
27 e) 12 cm e 8 cm

c) A = a2 (9 – 2√3 ) 24. (UEL) Existem pessoas que nascem com problemas
18 de saúde relacionados ao consumo de leite de vaca. A
pequena Laura, filha do Sr. Antônio nasceu com este
d) A = a2 (9 + 2√3 ) problema. Para solucioná-lo, o Sr.Antônio adquiriu
18 uma cabra que pasta em um campo retangular
medindo 20 m de comprimento e 16 m de largura.
e) A = a2 (2 – 3√2 ) Acontece que as cabras comem tudo o que aparece
3 à sua frente, invadindo hortas, jardins e chácaras
vizinhas. O Sr. Antônio resolveu amarrar a cabra em
22. (UEL) Um engenheiro deseja projetar um bloco vazado uma corda presa pelas extremidades nos pontos A e
cujo orifício sirva para encaixar um pilar. O bloco, por B que estão 12 m afastados um do outro. A cabra tem
motivos estruturais, deve ter a forma de um cubo de uma argola na coleira por onde épassada a corda, de
lado igual a 80 cm e o orifício deve ter a forma de um tal modo que ela possa deslizar livremente por toda a
prisma reto de base quadrada e altura igual a 80 cm, extensão da corda.
conforme as figuras seguintes. É exigido que o volume
do bloco deva ser igual ao volume do orifício.

Observe a figura e responda a questão a seguir.

É correto afirmar que o valor “L” do lado da base quadrada
do prisma reto corresponde a:

a) 20√2 cm
b) 40√2 cm
c) 50√2 cm
d) 60√2 cm
608 e) 80√2 cm

Qual deve ser o comprimento da corda para que a cabra 27. (UFT) Na figura abaixo considere MATEMÁTICA
possa pastar na maior área possível, dentro do campo
retangular? Â = 30º, a = B e b = C
3 3
a) 10 m.
b) 15 m. No triângulo BDC o ângulo D mede:
c) 20 m.
d) 25 m.
e) 30 m.

25. (UFES) Uma banheira com forma de cilindro circular
reto de altura H e raio r, apoiada por sua base em
um plano horizontal, contém inicialmente água até a
aálgtuuaraeh, e1.mApseógsuuimdaa, pessoa mergulhar totalmente na
sair da banheira, a altura da água
nNaesbsaanshceoirnadpiçaõsesso,uoavsoelurmigeuadleassha2,pseesnsdooa0é< h2 < h1.

a) pr2 (H – h1) a) 90º
b) pr2 (H – h1 – h2) b) 130º
c) pr2 (H – h1 + h2) c) 150º
d) pr2 (H + h1 – h2) d) 120º
e) pr2 (H – h2)
28. (UFT) Seja ABCD um retângulo de área igual a 80
26. (MACKENZIE) A figura representa a maquete de cm². Considere o ponto médio de cada lado conforme
uma escada que foi construída com a retirada a figura abaixo.
de um paralelepípedo retorretângulo, de outro
paralelepípedo retorretângulo de dimensões 12, 4 e
6. O menor volume possível para essa maquete é

a) 190 Sabendo que o lado menor do retângulo mede 8 cm,
b) 180 podemos afirmar que o perímetro do quadrilátero inscrito é:
c) 200
d) 194 a) 16 cm
b) 12 cm
e) 240 c) 18 cm
d) 14 cm

29. (UEL) Com a crise nas penitenciárias brasileiras
decorrentes das rebeliões simultâneas em várias
instituições, houve discussões sobre o uso de
bloqueadores de celulares. “O princípio do bloqueio
é gerar um sinal, por meio de uma antena instalada
internamente no presídio, que interfere na frequência
da rede celular e que seja mais forte do que o sinal
da operadora” (Fonte: Eduardo Neger em entrevista
publicada por IDG NOW! www.idgnow.com.br em
16/05/06. Acesso em 20/07/2006).

609

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM A dificuldade, porém, está em evitar que o bloqueio
extrapole a área do presídio. Supondo um determinado
presídio inteiramente contido em um círculo com raio de
500 m, no qual a antena para o bloqueio esteja instalada
no centro deste círculo e o bloqueio de celulares
extrapole este círculo em 10% do raio, assinale qual
a alternativa que corresponde à área indevidamente
bloqueada fora deste círculo:

a) 52.000 p m²
b) 52.500 p m²
c) 53.000 p m²
d) 53.500 p m²
e) 54.000 p m²

30. (FUVEST) Na figura, ABC e CDE são triângulos a) 1
retângulos, AB = 1,BC = √3 BE = 2DE. Logo, a medida 2
de AF é

b) 1
3

c) 1
4

d) 1
5

e) 1
6

a) √3 32. (FUVEST) Na figura, ABCD é um quadrado de lado 1,
2 DEB e CEA são arcos de circunferências de raio 1.
Logo, a área da região hachurada é

b) √5
2

c) 7
2

d) √11
2

e) √13
2

31. (FUVEST) A figura abaixo mostra uma pirâmide reta a) 1– p + √3
de base quadrangular ABCD de lado 1 e altura EF = 6 4

1. Sendo G o ponto médio da altura EF e a a medida b) 1– p + √3
do ângulo AGB, então cos(a) vale 3 2

c) 1– p + √3
6 4

d) 1– p + √3
3 2

610 e) 1– p – √3
3 4

33. (FUVEST) A reta s passa pela origem O e pelo ponto (3) CÔD mede a radianos. MATEMÁTICA
A do primeiro quadrante. A reta r é perpendicular à
reta s, no ponto A, e intercepta o eixo x no ponto B e
o eixo y no ponto C. Determine o coeficiente angular
de s se a área do triângulo OBC for o triplo da área do
triângulo OAB.

34. (FUVEST) Um torneiro mecânico dispõe de uma peça
de metal maciça na forma de um cone circular reto
de 15 cm de altura e cuja base B tem raio de 8 cm
(Figura 1). Ele deverá furar o cone, a partir de sua
base, usando uma broca, cujo eixo central coincide
com o eixo do cone. A broca perfurará a peça até Nessas condições, a medida de ABO, em radianos, é igual a
atravessá-la completamente, abrindo uma cavidade
cilíndrica, de modo a obter-se o sólido da Figura 2.
2 a) p– a
Se a área da base deste novo sólido é 3 da área de B, 4
determine seu volume.
b) p– a
2
2a
c) p– 3

d) p– 3a
4
3a
e) p– 2

35. (FUVEST) No paralelogramo ABCD abaixo, tem-se que 37. (FUVEST) Os comprimentos dos lados de um triângulo
AD= 3 AD= 3 AD= 3 e DÂB= 30°. Além disso, sabe-se ABC formam uma PA. Sabendo-se também que o
que o ponto P pertence ao lado DC e à bissetriz do perímetro de ABC vale 15 e que o ângulo  mede
ângulo DÂB. 120º, então o produto dos comprimentos dos lados é
igual a

a) 25
b) 45
c) 75
d) 105
e) 125

38. (FUVEST) Um fabricante de cristais produz três tipos
de taças para servir vinho. Uma delas tem o bojo no
formato de uma semiesfera de raio r; a outra, no
formato de um cone reto de base circular de raio 2r e
altura h; e a última, no formato de um cilindro reto de
base circular de raio x e altura h.

Sabendo-se que as taças dos três tipos, quando
completamente cheias, comportam a hxméesigmuaal quantidade
a) Calcule AP. de vinho, é correto afirmar que a razão a
b) Determine AB sabendo que a área do quadrilátero ABCP
a) √3
é 21. 6
√3
36. (FUVEST) Na figura, B, C e D são pontos distintos da b) 3
circunferência de centro O, e o ponto A é exterior a
ela. Além disso, c) 2√3
3
(1) A,B,C e A,O,D são colineares;
(2) AB = OB; d) √3

e) 4√3
3

611

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 39. (FUVEST) A figura representa sete hexágonos
regulares de lado 1 e um hexágono maior, cujos
vértices coincidem com os centros de seis dos
hexágonos menores. Então, a área do pentágono
hachurado é igual a

a) 3 √3 Sabendo-se que A, B e C são pontos de tangência, a
medida de x, em cm, é
b) 2 √3
a) 2.
c) 4√3 b) 2,5
2 c) 3
d) 3,5
d) √3 e) 4
42. (FUND. MED. JUNDIAÍ) Para efeito de construção, o

proprietário dividiu o terreno ABCD, com frente para
a Av. Jundiaí, em duas partes, I e II, como mostra a
figura. Sabe-se que AE e DC são congruentes, e que
E é o ponto médio de BC. Comprimento total do muro
construído nas laterais (AD e BC) e no fundo (DC) do
terreno inteiro é

e) √3
2

40. (UE MG-2007) Observe o desenho a seguir:

O vasilhame I é cúbico com a medida da aresta igual a a) 69 m.
10 cm. O vasilhame II tem a forma de um paralelepípedo b) 57 m.
retangular com dimensões 10 cm, 12 cm e 40 cm. c) 52 m.
d) 42 m.
Enchendo o vasilhame I de água e despejando esse líquido e) 33 m.
na II, que está vazia, está terá sua capacidade ocupada em,
aproximadamente, 43. (UNCISAL) Observe a figura.

a) 20,8%
b) 28%
c) 22,2%
d) 12,5%

41. (CEFET) Um disco circular de 10 cm de diâmetro será Para identificar corretamente a formulação de um determinado
fixado em um suporte de ferro encaixado em uma medicamento, um rótulo retangular R, que tem 251,2 cm2
moldura retangular, conforme indica a figura: será colado em um recipiente com a forma de um cilindro
circular reto, contornando-o totalmente, até as extremidades
se encontrarem, sem haver superposição. O volume desse
recipiente, desprezando-se a sua espessura, é igual a

a) 100p cm³

612

b) 140p cm³ d) 8 MATEMÁTICA
c) 160p cm³ e) 8 √2

d) 250p cm³ 46. (UFPE) Na ilustração abaixo, temos um cilindro
e) 360p cm³ reto, medindo 30 cm de altura, preenchido por um
líquido até certa altura e apoiado em uma superfície
44. (UFV) Uma fábrica deseja produzir uma chapa horizontal. Os pontos A e B são extremos de um
retangular a partir de uma chapa metálica que tem diâmetro da base e B e C estão em uma mesma
a forma de um triângulo isósceles. Suponha que A, B geratriz do cilindro. Quando inclinamos o cilindro,
e C são os vértices da chapa triangular; que D, E, F e mantendo o ponto B na superfície, até que o nível de
G são os vértices da chapa retangular; e que AB = AC líquido esteja no ponto A, o nível em C fica a 10 cm
= 4m e o ABC = 60º, conforme ilustra a figura abaixo. do ponto B. Qual a altura do líquido quando o cilindro
Determine: está na vertical?

a) o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos A a) 4 cm
e B. b) 5 cm
c) 6 cm
b) as dimensões, em metros, da chapa retangular para que d) 7 cm
sua área seja máxima. e) 8 cm

(UFPE) As informações seguintes referem-se
às questões 47, 48, 49 e 50.

45. (UFPE) Na figura abaixo, ABD e BCD são triângulos A figura abaixo ilustra um prisma hexagonal regular reto
retângulos isósceles. Se AD = 4, qual é o comprimento AmBeCdDinEdFoA11B21.C1D1E1F1 com altura medindo 7, e lado da base
de DC?

a) 4 √2 47. Analise a veracidade das afirmações seguintes,
b) 6 referentes às posições relativas de retas e planos
c) 6 contendo vértices do prisma ABCDEFA1B1C1D1E1F1.

0) A reta contendo a aresta AB e a reta contendo a aresta
D1E1 são paralelas.

613

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 1) A reta contendo a aresta AB e a reta contendo a aresta 51. Calcule a área, em m2, do jardim e indique a soma dos
C1D1 são reversas. dígitos do valor obtido.

2) O plano contendo a face ABB1A1 e o plano contendo a 52. Instalando-se uma torneira no ponto A, qual é o
face DEE1D1 são paralelos. comprimento mínimo, em metros, da mangueira que
permita alcançar todos os pontos do jardim, sem
3) O plano contendo a face ABB1A1 e o plano contendo a passar pelo interior (ou por cima ou por baixo) da
face CDD1C1 são paralelos. casa?

4) A reta contendo a aresta AB é paralela ao plano contendo 53. (UFPE) Um reservatório tem a forma de um cone
a face CDD1C1. 3
circular reto invertido. Ele está preenchido até 4 de
48. (UFPE) As diagonais de um prisma são os segmentos
com extremos nos vértices do prisma, que não são sua altura, como ilustrado abaixo. Calcule o percentual
arestas do prisma nem diagonais de suas faces.
Calcule o comprimento de uma diagonal do prisma (p) do volume que está preenchido e indique o inteiro
ABCDEFA1B1C1D1E1F1, com maior medida. mais próximo de p.

49. (UFPE) Analise a veracidade das afirmações seguintes,
referentes a pontos no espaço equidistantes de
vértices do prisma.

0) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A
e B formam um plano.

1) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A,
B e C formam uma reta.

2) Os pontos do espaço que estão à mesma distância de A,
B, C, D, E e F formam uma reta.

3) Existe um único ponto do espaço que está à mesma
distância de todos os vértices do prisma.

4) O ponto da interseção de AD1 com DA1 equidista de todos 54. Um cilindro reto está inscrito em um cone, ou seja,
os vértices do prisma. a base do cilindro está contida na base do cone,
e a circunferência da outra base está contida na
50. (UFPE) Existe uma esfera circunscrita ao prisma. superfície lateral do cone, como ilustrado abaixo. Se
Calcule seu diâmetro. a medida do raio do cone é o triplo da medida do raio
(UFPE) As informações a seguir referem--se às do cilindro e a altura do cone é 12, indique a altura do
questões 51 e 52. cilindro.

A ilustração abaixo representa uma região retangular onde
será construída uma casa, que ocupará a área hachurada.
Na região do retângulo não ocupada pela casa será
construído um jardim. As medidas estão em metros, e todos
os ângulos são retos.

(UFPE) As informações seguintes referem-se às
questões 55 e 56.
A figura a seguir ilustra um triângulo com lados medindo
13, 14 e 15.

614

55. Indique a medida da altura relativa ao lado que mede MATEMÁTICA
14.

56. Indique o raio da circunferência inscrita no triângulo.

Respostas: 16) b 32) c √2 formato de um qua-
17) e 2 drado de dimensões
1) a) 3 b) 27r2√3 18) c 33) ms = de 2 m.
2) a 19) a) 50 cm2 b) 6,25 cm 45) e
3) 9√2 cm2 20) c 34) 600  √3 cm3 46) b
4) d 21) a 9 47) 0) v 1) v 2) v
5) b 22) b 35) a) AP = 3√2+√3 3) f 4) f
6) e 23) a b)AB = 31/2 48) 25
7) 225 cm² 24) c 49) 0) v 1) v 2) v
8) d 25) e 36) c 3) v 4) v
9) b 26) e 50) 25
10) a 27) b 37) d 51) 175 m2 de área e a
11) c 28) Sem alternativa correta soma dos dígitos é 13.
12) e 38) e 52) 23 m
13) a resposta seria 4√41 53) 42,18%
14) a 29) b 39) e 54) 8
15) c 30) c 55) 12
31) b 40) a 56) 4

41) c 615

42) d

43) c

44) a) m= - raiz 3

b) Para a área ser má-
xima, a chapa terá o

MATEMÁTICA

BLOCO 3

ÁLGEBRA PARTE 2

FICHA 1 – FUNÇÃO FICHA 2 – AS FUNÇÕES

Neste capítulo, estudare- EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA
mos com um pouco mais
de profundidade alguns O gráfico acima representa o número total de habitantes no
aspectos que envolvem as Brasil, de 1872 a 2000. O modelo matemático que melhor
funções, que foram pouco ajustou os dados foi o modelo exponencial. A curva desenhada
explorados no capítulo 1. no gráfico é uma curva exponencial e sua lei de formação é y
Além disso, ampliaremos os = 3 x 10–12 e 0,0227 x. Utilizando ferramentas computacionais
seus tipos. associadas à regressão não linear, podemos afirmar que o
Uma função é uma lei que modelo encontrado possui 99,68% de ajuste. Os modelos
associa a cada elemento do exponenciais são muito adequados para ajustar dados de
domínio um único elemento crescimento populacional, seja a população humana mundial
no contradomínio. A relação ou a de uma cultura de bactérias.
entre os dois conjuntos se
dá por meio dessa lei de Como você deve saber, o modelo exponencial está
formação. Cada conjunto associado à função exponencial, que iremos estudar agora.
representa uma variável
e possui uma quantidade A FUNÇÃO EXPONENCIAL
finita ou infinita de ele-
mentos. Os elementos do Seja a um número real positivo maior do que zero e
conjunto imagem, que é um diferente de 1. A função exponencial de base a, f: A → A+,
subconjunto do contradomí- indicada pela notação f(x) = ax, deve ser definida de modo a
nio, representam a variável ter as seguintes propriedades, para quaisquer x, y Î A.
dependente, enquanto os elementos do domínio represen- I) ax · ay = ax+y;
tam a variável independente. II) a1 = a;
Se o conjunto imagem for exatamente igual ao
contradomínio, então a função é sobrejetora. Se cada
elemento do domínio possuir um único e exclusivo
correspondente no conjunto imagem, então diremos que a
função é injetora, simbolicamente, se "x1, x2, Î D(f) x1 ≠ x2
eÞlafs(xe1r)á≠bfi(jxe2t)o.rSaeeaadfumniçtãiroá for injetora e sobrejetora, então
uma função inversa.
Seja f(x) uma função conhecida e u = f(x) uma equação;
se for possível escrever x = g(u), então g(u) ou [f – 1(x)]
a função inversa de f(x). Este processo somente será
possível e único se f(x) for bijetora e nos possibilita criar
novas funções. Outro processo pode ser encontrado a partir
das funções compostas. Assim, se u = h(z) e z = g(x), então
u = f(x) = h(g[x]). Por exemplo, se z = g(x) = x – 1 e u = h(z) =
√z , então u = f(x) = h[g(x)] = √x – 1.
As funções também podem ser classificadas conforme
sua paridade. Assim, f(x) será par se para qualquer x Î
D(f), f(x) = f(x); se para qualquer x Î D(f), f(-x) = –f(x), ,
então será ímpar.

III) x < y Þ ax < ay, quando a > 1 e x < y Þ ax > ay , quando 0
<a<1.

616

A função f(x) = ax será crescente se a > 1 e decrescente Demonstração: MATEMÁTICA
se 0 < a < 1.
Se loga x = u Û au = x (1) e loga y = v Û ay = y (2), então se
FUNÇÃO LOGARÍTMICA: A INVERSA DA FUNÇÃO EXPONENCIAL multiplicarmos membro a membro (1) e (2), obtemos, au · av
=x· y Û au + y = x · y ou loga (x · y) = loga x (au + y) u + v (x · y) =
loga x + loga y.
Os logaritmos, na época das grandes navegações,
facilitaram muito os cálculos marítimos, pois transformavam
multiplicações e divisões em adições e subtrações,
respectivamente; com o advento das calculadoras e 2) O logaritmo do quociente de dois números reais numa
base a é igual ao logaritmo do dividendo menos o
computadores, seus serviços foram substituídos e a x
atenção voltou-se para a função logarítmica, que é a inversa logaritmo do divisor, na mesma base a, ou seja, loga y
= loga x – loga y.
da função exponencial; mais ainda é muito pouco provável
que você possa resolver uma equação exponencial sem o
auxílio do logaritmo, seja ele o neperiano (loge a = lna), ou o Para demonstrar essa propriedade, use a mesma
decimal (log10 a = log a). estratégia da demonstração anterior, porém, em vez de
multiplicar membro a membro, você irá dividir membro a
Assim, a função logarítmica é a inversa da função membro. Assim, eu deixo para você esta demonstração,
aexspsooncieancaialcaddeabnaúsemear,oderefianlidpaopsiotirvologxa x: A+ → A, que mas é para fazer!
o número real,
chamado logaritmo de x na base a.
Por definição de função inversa, tem-se alogax = x e loga (ax) 3) Seja k um número real qualquer, então podemos
= x. afirmar que o logaritmo da potência de expoente k de
um número real x, numa base a, é igual ao produto do
paArsasiomb,telorgoa x é o expoente ao qual se deve elevar a base a expoente k pelo logaritmo de x na base a, ou seja, loga xk
número x, ou seja, y = loga x Û ay = x. = k · loga x.

Algumas consequências da definição: Demonstração:

a) loga 1 = 0 aSuemlaogpaoxtê=nuciÛa ka,ute=rex,meonstã(ao,u)ske=exlkeÞvaramuko=s ambos os lados
b) loga a = 1 loga xk Þ loga xk Þ loga xk = u · k. xk Þ loga (au·k) =
c) loga an = n
d) alogab = b Como u = loga x, portanto loga xk = k · loga x.
e) loga b = loga c Û b = c
4) A última propriedade é a de mudança de base e consiste
Algumas propriedades imediatas: em se obter o logaritmo de x na base b desconhecida,
em função do logaritmo de x na base a conhecida,
1) O logaritmo do produto de dois ou mais fatores numa llooggaa x
base a é igual à soma dos logaritmos dos fatores na assim, se b Î A+* e a ≠ 1, então Þ logb x= b .
mesma base a, ou seja, loga (x · y) = loga x + loga y.
mAesmsbimro,ssdealoigguaaxld=audeÛvoacuê=enx,ceonnttãraoráa.plicando loga aos dois

617

MATEMÁTICA

BLOCO 3
EXERCÍCIOS

1. (UNIFESP) Há funções y = f(x) que possuem a seguinte b) 3 e 4, apenas.
propriedade: “a valores distintos de x correspondem c) 2 e 4, apenas.
valores distintos de y”. Tais funções são chamadas d) 1, 2 e 3, apenas.
injetoras. Qual, dentre as funções cujos gráficos e) 1, 2, 3 e 4.
aparecem abaixo, é injetora?

3. (UNIFESP) Seja f: Z → Z uma função crescente e
sobrejetora, onde Z é o conjunto dos números inteiros.
Sabendo-se que f(2) = – 4, uma das possibilidades
para f(n) é

a) f(n) = 2(n – 4).
b) f(n) = n – 6.
c) f(n) = –n – 2.
d) f(n) = n.
e) f(n) = –n2.

4. (UNIFESP) Se A é o conjunto dos números reais
x + 1
diferentes de 1, seja f: A → A dada por f(x) = x – 1 . Para

um inteiro positivo n, fn (x) é definida por fn (x) = f(x), se
n = 1 e fn (x) = f (fn–1 (x)), se n > 1. Então, f5 (x) é igual a:

a) x+1
x–1

b) x
x+1
2. (UNIFESP) Seja a função f: A → A dada por f(X) = sen(x)
. c) x

Considere as afirmações seguintes. d) x4

I. A função f(x) é uma função par, isto é, f(x) = f(-x), para e) x+1 5
todo x real. x–1

II. A função f(x) é periódica de período 2p, isto é, f(x + 2p) 5. (FUVEST) Uma função f satisfaz a identidade f(ax) =
= f(x), para todo x real. af(x) para todos os números reais a e x. Além disso,
sabe-se que f(4) = 2 . Considere ainda a função g(x) =
III. A função f(x) é sobrejetora. f(x – 1) + 1 para todo número real x.

IV. f(0) = 0, f p = √3 e f p = 1. a) Calcule.
3 3 3 b) Determine f(x), para todo x real.

São verdadeiras as afirmações c) Resolva a equação g(x) = 8.

a) 1 e 3, apenas.

618

6. (VUNESP) Seja f uma função de R em R, definida por f(x) 10. (UNIFESP) A relação Pu(mt) aPq0 u(a1nt+idra)dt,eoPndqeuer >0é MATEMÁTICA
= 2x + 1. Se f–1 é a função inversa de f, então f(f(1/2)) constante, representa cresce
–f–1(5) é igual a: exponencialmente em éfuançtãaoxadodetecmrepsocitm>e0n.toP0nuéma
quantidade inicial er
a) f(1) dado período de tempo. Neste caso, o tempo de dobra
b) f(-2) da quantidade é o período de tempo necessário para
c) 2.f(1/2) ela dobrar. O tempo de dobra T pode ser calculado
d) 3.f(-1/2) pela fórmula:
e) 1/2.f(-1)
a) T = log (1 + r)2.
7. (FUVEST) Seja b) T = logr 2.
c) T = log (1 + r)2.
f(x) = log3 (3x + 4) – log3 (2x – 1) d) T = log2 r.
Os valores de x, para os quais f está definida e satisfaz e) T = log (1 + r)(2r).
f(x) > 1, são:

a) x < 7 11. (UNIFESP) O valor de log2 2, 4, 6 ... 2n é:
3 n!

b) 1 < x a) n2
2 b) 2n
c) n
c) 1 < x < 7 d) 2 log2n
2 3 e) log2n

d) – 4 < x
3

e) – 4 < x < 1
3 2

8. (UERJ) Em uma cidade, a população que vive nos 12. (UNIFESP) Um ponto do plano cartesiano é
subúrbios é dez vezes a que vive nas favelas. A primeira, representado pelas coordenadas (x +3y, –x –y) e
porém, cresce 2% ao ano, enquanto a segunda cresce também por (4 + y, 2x + y), em relação a um mesmo
15% ao ano. Admita que essas taxas de crescimento sistema de coordenadas. Nestas condições, xy é igual
permaneçam constantes nos próximos anos. a

a) Se a população que vive nas favelas e nos subúrbios a) – 8.
hoje é igual a 12,1 milhões de habitantes, calcule o b) – 6.
número de habitantes das favelas daqui a um ano. c) 1.
d) 8.
b) Essas duas populações serão iguais após um
determinado tempo t, medido em anos.

Se t = 1 x, determine o valor de x. e) 9.
log 13. (UNIFESP) O valor de x que é solução da equação

9. (U NIFE S P) Uma da s r aíze s da e quaç ão 22x – 8 · log102 + log10 (x + 1) – log10(x) = 1 é
2x + 12 = 0 é x = 1. A outra raiz é:

a) 1 + log10 3 a) 0,15.
2 b) 0,25.
lloogg1100 3 c) 0,35.
b) 1 + 2 d) 0,45.
e) 0,55.
c) log10 3
14. (UNIFAP) Considere a seguinte equação: 5log3 x =
d) log210 6 51l2og5x2, onde x > 0.

e) log10 3 619
2

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Tendo a informação acima como referência inicial, some c) 1.
o(s) valor(es) da(s) proposição(ões) CORRETA(S): d) 0.
e) -1.
(1) x3 103
3
(2) x = 10

(4) 3 logx = 3 20. (UFSCAR) Seja f : N → ! uma função definida
x =+1, se x é ímpar
(8) log(3x3) = 3 por f(x) = 2x , se x é par .

15. (VUNESP) Considere as funções f(x) = –5 + dloegfi2n(1id–a Se n é ímpar e f(f(f(n))) = 5, a soma dos algarismos de n é
x), definida para x < 1, e g(x) = x2 –4x –4, igual a
para todo x real.

a) Resolva a inequação f(x) £ g (4) e a equação g(x) = f 7 . a) 10.
8 b) 9.
c) 8.
b) Determine o domínio da função composta fog, , isto é, os d) 7.
valores de x Î A para os quais está definida. Determine e) 6.
também em qual valor de x a composta fog atinge seu
valor máximo.

16. (VUNESP) Considere as funções f(x) = log3(9x2) e g (x) 21. (UFSCAR) Adotando-se log2 = a e log3 = b, o valor de
definidas para todo x > 0 . log1,5135 é igual a

= log3 1 a) 3ab
x b–a

a) Resolva as duas equações: f(x) = 1 e g(x) = –3. b) 2b – a + 1
b) Mostre que 1 + f(x) + g(x) = 3 + log3x. 2b – a
3b – a
c) b–a

17. (UNCISAL) Se log3 (x – y) = p e x + y + 81, então log3 d) 3b + a
(x2 – y2) é igual a b–a
3b – a + 1
e) b–a

a) 4 + p 22. (UFG) A lei de resfriamento de Newton estabelece
b) 2 + p para dois corpos, A e B, com temperatura inicial de 80
c) 4 . p ºC e 160 ºC, respectivamente, imersos num meio com
d) 2 . p temperatura constante de 30 ºC, que as temperaturas
e) 81 + p dos corpos, após um tempo t, serão dadas pelas
ofunndçeõkeséTuAm=a3c0o+ns5ta0nxte1.0Q-kut ael TseB r=á 30 + 130 x 10-2kt
o tempo decorrido
até que os corpos tenham temperaturas iguais?
3x + y =1
18. (UNCISAL) Dado o sistema 2x + 2y =2 é correto afirmar
que
a) 1 log 5
a) x = y k

b) x = –y b) 2 log 18
k 5
c) x = 2y

d) x + y = –2 c) 1 log 13
k 5
e) x – y = 1

19. (UFTM) O valor de log 8 é igual a d) 2 log 5
1 k 2
log 8

a) 6 log2 e) 1 log 5
b) log2 k 2

620

23. (UFAC) Um automóvel, quando zero-quilômetro, 28. (UERJ) Um grupo de 20 ovelhas é libertado para MATEMÁTICA
roda, em média 12 km com um litro de combustível. reprodução numa área de preservação ambiental.
Admita-se que, a cada ano que passa, o consumo Submetidas a um tratamento especial, o número N
aumenta, em média, 5%. A função matemática que de ovelhas existentes após t anos pode ser estimado
dá a quantidade de quilômetros rodados por litro, ao 220
longo dos anos é: pela seguinte fórmula: N = 1 + 10 · (0,83)t

a) 12 · 5n Admita que a população de ovelhas seja capaz de se
12 manter estável, sem esse tratamento especial, depois de
b) (1,05)n – 1 atingido o número de 88 ovelhas.

c) 12 · (1,05)n-1 a) Calcule o número de ovelhas existentes após seis meses.
12 b) Considerando In2 = 0,7 In3 = 1,1 e In5 = 1,6, calcule a
d) 5n
partir de quantos anos não haverá mais a necessidade de
e) (1,05) · 12n tratamento especial do rebanho.

24. (UFABC) Uma empresa varejista iniciou suas 29. (UERJ) Numa reserva florestal foram computados
atividades operando com várias lojas e, em 2 anos, 3.645 coelhos. Uma determinada infecção alastra-
o número total de suas lojas aumentou. As raízes da se de modo que, ao final do primeiro dia, há cinco
equação log2(x – 4) – log(x – 4) = 0 correspondem, coelhos infectados e, a cada cinco dias, o número
respectivamente, ao número de lojas no início de suas total de coelhos infectados triplica.
atividades e após 2 anos. Calcule o número de lojas
dessa empresa nesses dois momentos.

25. (UFABC) Na cafeicultura, o sistema de plantio adensado a) Determine a quantidade de coelhos infectados ao final
(mais pés por hectare) vem proporcionando maior do 21º dia.
rentabilidadeaoprodutor.Arazãoentreonúmerodemudas
plantadas por hectare no sistema tradicional e no plantio b) Calcule o número mínimo de dias necessário para que
toda a população de coelhos esteja infectada.

adensado é de y para x, sendo x e y soluções do sistema 30. (UEMG) Na lei P(t) = 2.400 3 t–2 está representada a
2x + 3y =11 2
2x – 3y =5 . Sabendo-se que no sistema tradicional são população P(t) que uma pequena cidade terá, daqui
plantadas 2 000 mudas por hectare, calcule quantas a t anos, contados a partir de hoje. Sabendo-se que,
mudas, no máximo, poderão ser plantadas no sistema daqui a x anos, o número de habitantes da pequena
adensado numa área de 40 hectares. cidade será de 3.600 habitantes, o valor numérico de

26.(UFABC) Se 3x = 2 para algum x real, o valor de 3- x é. x corresponde a
2

a) √2 a) um divisor de 100.
b) um par e maior que 4.
b) 3 c) um múltiplo de 5.
d) um divisor de 150.
c) 2
√2
d) 2

e) 3
2
31. (UECE) Se os números p e q são as soluções da
27. (UFABC) Os números reais positivos a e b, ambos equação (2 + log2x)2 – log2x9 = 0, então o produto p . q
é igual a:
diferentes de 1, soluções do sistema de equações
1
ab = 16 b , quando multiplicados, têm como produto a) 16
log1 a= b) 36
c) 48
2
d) 32
o número:

a) 2

b) 4

c) 1 32. (SENAC) Um dos efeitos do enorme desenvolvimento e
2 barateamento dos transportes de longa distância é o de que
os países estão muito mais vulneráveis à disseminação de
d) 1 epidemias e doenças. Admita que o número N de pessoas
4 contaminadas pela doença X no mundo esteja relacionado
à velocidade v de desenvolvimento dos transportes aéreos,
e) 8.

621

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM marítimos e terrestres pela fórmula N =10v. De acordo com Por algum motivo, a população do grupo E está ilegível. A
essa fórmula, se o número de pessoas contaminadas pela partir de valores da tabela, pode-se deduzir que a população
doença X for 500 000, então v é igual a do grupo E é

a) 6 – log2. a) 170.000.
b) 6 – log3. b) 180.000.
c) 5 + log3. c) 250.000.
d) 5 + log2. d) 300.000.
e) 4 + log2. e) 350.000.

33. (UFES) A massa m (t) de um certo material radioativo, 35.(FUVEST) O número real a é o menor dentre os valores
mnumo0ainpsmetaraínostsdeaotidnaeincoi1as4l, .ée0e0ax0purmaensonssaú,mpaoerrmomar(seTsa)al=pdmoos0aimtTi,vasote.enErdimaol
sofre uma redução de 80%. Calcule: de x que satisfazem a equação 2 log2 (1 + √2x) – log2 (
2a + 4
a) em quantos anos a massa inicial do material reduz-se à √2x) = 3. Então, log 3 é igual a
metade;
a) 1
b) o percentual da massa inicial que restará em 100.000 4
anos. 1
b) 2
Obs.: Considere log10 2 = 0,3
c) 1

d) 3
2

e) 2

34.(UNIFESP) A tabela apresenta valores de uma escala
logarítmica decimal das populações de grupos A, B, C,
... de pessoas.

Grupo População (p) log10(p)
A 5 0,69897
B 35 1,54407
C 3,25527
D 1.800 4,77815
E 60.000 5,54407
F 7,00039
-
10.009.000

Respostas: 10) a 21) e acontecerá,
11) c 22) e aproximadamente,
1) e 12) a 23) b após 50 meses.
2) c 13) b 24) a) 5 29) a) 405 coelhos
3) b 14) b b) 31 dias
4) s 15) a) x=2 b) 14 30) d
5) a) 2 25) 360000 mudas 31) b
b) –1<x<5 26) a) X=3 32) a
b) 16) a) x=27 33) a) 36%
c) 15 b) X=-3 b) 1,5 horas
6) a b) 3+log x 27) a 34) e
7) c 3 28) a) 12 meses de 35) b
8) a) 1265000 17) a
b) x=1127 18) b experiência
9) b 19) e b) maior número
20) a
622 inteiro de peças
é 499, que

MATEMÁTICA

BLOCO 4
PROGRESSÕES

FICHA 1 – SÉRIES E SEQUÊNCIAS denominada razão r. Esta sequência é chamada de
progressão aritmética (PA).
Existem dois conceitos matemáticos, aparentemente
inofensivos, mas que na verdade possuem um potencial Uma progressão aritmética (PA) pode ser: crescente
de aplicabilidade espantoso. Estamos falando aqui das (a razão precisa ser positiva); decrescente (a razão será
sequências e das séries. negativa); ou ainda constante (a razão será igual a zero).

Cada número de uma sequência numérica recebe o nome Já a sequência 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... é a dos números
de termo. Uma sequência é um conjunto ordenado formado “saltantes”, como 21,22,23,... e assim por diante. Como você
por n elementos. Esse conjunto pode ser finito ou infinito. já deve ter percebido, a lei de formação dessa sequência
Se for finito, a sua soma é facilmente encontrada, porém, se é o termo anterior multiplicado por 2, ou o termo sucessor
for infinito, a resolução torna-se mais complexa. Trataremos dividido por 2. Os números dessa sequência crescem mais
aqui das sequências infinitas, com a pretensão de calcular rápido que os da sequência anterior e o motivo é simples; em
a soma de seus infinitos termos. vez de somar uma constante a cada termo, multiplicamo-lo
cao3S,mi.m..n,baoplnie}c,raetmemnecqneutene,teaa1aréeopocreopsnriejmunnetatiorçoãdtooesdrmenoúumme eaarnsoéesqonueaêntnuécrsiaaimisé.o{ate1r,mao2,, por uma constante.

Tomaremos dois exemplos de sequências, a partir de 2
camisas com cores diferenciadas, para apresentar alguns
conceitos importantes. As sequências são às de camiseta 4=2·2
preta, ou seja, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128... e a de camiseta
branca 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... 8 = 2 · 4 = 2 · (2)2

É importante você saber que é possível descobrir um 16 = 2 · 8 = 2 · (2)3
termo qualquer de uma sequência desde que você conheça
a lei de formação da referida sequência. 32 = 2 · 16 = 2 · (2)4

A sequência 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7... é a dos números naturais ...
e a sua lei de formação é o termo anterior adicionado 1, ou
melhor, o sucessor é o anterior menos 1. Os números dessa 2n = 2 · (2)n – 1
sequência crescem de 1 em 1, ou seja,
O número 2, que aparece sendo elevado a uma potência
1 positiva, recebe o nome de razão e o outro 2 é o primeiro
termo da sequência.

Generalizando, seja S = {a1, a2, a3,..., an}, e se

2= 1 + 1 a1 ,
a2 = a1 · q
3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1 = 2(1) + 1 . a3 = a2 · q = a1 · q · q = a1 · q2
4 = 3 + 1 = 1 + 2(1) + 1 = 3(1) + 1 a4 = a3 · q = a1 · q3
...
...
an = a1 · qn – 1
n = (n – 1) (1) + 1
esenqtãuoênaciaexdperensúsmãoeroasn r=eaais1, · qn – 1 é o termo geral da
O número 1, que aparece em todas as linhas, multiplicado no qual cada termo, a partir
pelo antecessor, é a razão. O número que aparece do segundo, é igual ao anterior multiplicado por uma
somando cada termo da sequência é o primeiro termo. constante, denominada razão q. Esta sequência é chamada
Generalizando, seja S = {a1, a2, a3,..., an}, e se
de progressão geométrica (PG).

a1 A SOMA DOS TERMOS DE UMA PA E DE UMA PG
a2= a1 + r
a3= a2 + r = a1 + r + r = a1 + 2 · r , As séries são somas infinitas dos termos de uma
a4= a3 + r = a1 + 2r + r = a1 + 3 · r sequência. Muitas são as séries, geométricas, harmônicas,
... de Taylor, de MacLaurin, Fourier, entre outras, e muitas
são as suas aplicações dentro da área de Engenharia, por
an = a1 + (n – 1) · r exemplo. Trataremos aqui apenas das séries relacionadas à
soma dos termos de uma progressão aritmética e de uma
esenqtãuoênacieaxpdreesnsúãmoearon s= rae1ai+s, (n – 1) · réo termo geral de progressão geométrica.
no qual cada termo, a partir
do segundo, é igual ao anterior somado a uma constante, 623

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Antes de mais nada, gostaríamos de caracterizar um 1 · 1– 1 n+1
pouco as séries. Antes de mais nada, é impossível somar 2 2
todos os termos de uma sequência infinita. Precisaríamos Sn =
de uma vida inteira para isso e, mesmo assim, não 1 – 1
chegaríamos ao resultado final. Como a vida é muito 2

mais do que meramente somar números, os matemáticos À medida que n → ¥, ou seja, que n torna-se cada vez
1 n+1
estudaram o comportamento da série e, por meio de uma maior, a expressão 2 aproxima de zero e, desse
série de testes e fórmulas, encontraram métodos eficientes modo, se

para determinar se uma série converge para algum número 1 1 n+1 1
real ou se diverge. 2 2 2
Uma série é dita convergente quando encontramos um · 1– 1 1 · (1 – 0) 1
1– 2 2 1– 1 2
número real que representa a série e divergente quando não Sn = → 2 = =1 = S.

encontramos este número. Como exemplo, apresentaremos
as seguintes séries:
1 1 1 1 1 1 Generalizando, eax1a+taad1eq (+IIIa)1,qe2n+co.n..tr+ama1oqsn + ... (III). Para
SG = 2 + 4 + 6 + 16 + 32 + 64 +... calcular a soma primeiro a sua
enésima soma parcial.
e S1 = a1 + a2 = a1 + a1 · q
1 1 1 1 1 1 1 S2 = a1 + a2 + a3 = S1 + a3 = a1 + a1 · q + a1 · q2
SH = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +... . S3 = a1 + a2 + a3 + a4 = S2 + a4 = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3
...
sééSdrGiievéeSrugGmeénacteso.énrUvieemrggaeesonémteriéeetréticedamiveesroSgmHeénatuiegmuqaaulasanéduriome n;hãjaáormateôsmnéirciueam.SAaH Sn = Sn–1 + an = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn

soma. Isto significa que as somas parciais não se aproximam Se (III) possuir uma soma exata s, então certamente
de um limite finito quando n cresce para o infinito. Isto pode parece razoável que devemos nos aproximar cada vez mais
acontecer de diversas maneiras diferentes.
Como já sabemos que SH diverge, voltaremos à nossa de s quando somamos mais termos, isto é, quando as
atenção para a série SG. sIsotmo saisgnpiafirccaiaqiuseddeesvnemsãoos tomadas para n cada vez maior.
1 1 1 ser capazes de calcular a soma s
S1 = a1 + a2 = a1 + a1 · q = 2 + 2 · 2 lim sn
como um limite S = .
S2 = a1 + a2 + a3 = S1 + a3 = a1 +1a12 · q + a1 · q2 = n→ ¥
+ 1 + 2
1 2 1 1 Está tudo muito bem em princípio, mas o que torna
2 2 2 possível um cálculo explícito é o fato de que existe uma
= · · fcóormmoulfaunfeçãchoaddeans.imPaprlaesacphaarraeassna-éfósrimmaulas,ommualtpipalirccaiaml ossn

S3 = a1 + a2 + a3 + a4 = S2 + a4 = a1 2++a121 · q+ 3a1 · q2 + a1 · q3 sn por r e escrevemos as duas somas juntas, como se segue:
· 1 · 1 · 1 Sn = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn
= 1 + 1 2 + 1 2 2 q · Sn = a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn + a1 · qn+1
2 2 2

Sn = Sn–1 + an = a1 + a1 · q + a1 · q2 + a1 · q3 + ... + a1 · qn Vemos imediatamente que essas somas têm muitos
termos em comum. Isto sugere que devemos subtrair
= 1 + 1 · 1 + 1 · 1 2 1 · 1 3 + ... + 1 · 1n a segunda equação da primeira e tirar vantagem dos
2 2 2 2 2 2 2 2 2 cancelamentos indicados, obtendo-se Sn – qSn = a1 · qn + 1
+

Se multiplicarmos a expressão a1 (1 – qn + 1)
(1 – q)
Sn = 1 + 1 · 1 + 1 · 1 2 + 1 · 1 3 + ... + 1 · 1n ou Sn (1 – q) = a1 (1 – qn + 1) Þ Sn = (4), pois q ≠ 1.
2 2 2 2 2 2 2 2 2
1 Mas sabemos que qn + 1 → 0 quando n → ¥, porque |q| <1.
(I) pela razão q = 2 encontraremos a expressão
a1 (1 – qn + 1) a1
1 · Sn = 1 · 1 + 1 · 1 2 + 1 · 1 3 +...+ 1 · 1 n + 1 · 1 n+1 É, portanto, claro que Sn = (1 – q) → – , quando
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 n → ¥.
(1 q)

(II).Subtraindo-se as expressões I e II, obtemos: Assim, admitindo que exista uma soma exata S para
a série geométrica a1 + a1 · q + a1 · q2 + ... + a1 · qn + ...,

Sn = 1 · 1 + 1 · 1 2 + 1 · 1 3 +...+ 1 · 1n a1 (1 – qn + 1)
2 2 2 2 2 2 2 2 (1 – q)
podemos usar a fórmula Sn = para calculá-la

a · Sn = 1 · 1 + 1 · 1 2 + 1 · 1 3 +...+ 1 · 1 n + 1 · 1 n+1 a1
b 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 –
por meio da ideia expressa em Sn = lim sn = Sn = (1 q) . Isto

1 1 1 1 n+ n→¥
2 2 2 2
Sn – Sn = – · éo que queremos dizer quando escrevemos a1 + a1 · q +
a1 · q2 + |q| <1.
Sn – 1 Sn = 1 – 1 · 1 n+1 Sn · 1 –12 = 1 · 1– 1 n+1 ... + a1 · qn + ... + = a1
2 2 2 2 2 2 (1 – q)
Þ Þ

624

MATEMÁTICA

BLOCO 4
EXERCÍCIOS

1. (UNESP) Os comprimentos dos lados de um triângulo b) Os canais 200 e 285 são reservados para uso exclusivo
retângulo formam uma progressão aritmética. Qual o das rádios comunitárias. Qual a frequência do canal
comprimento da hipotenusa se o perímetro do triângulo 285, supondo que todas as frequências possíveis são
mede 12? utilizadas?

2. (FATEC) Em uma progressão aritmética (PA) crescente, 5. ad(U4e,NqaIu5F,eE3Sa,Pas7)o,Ama8sa,e.d.q.)e,uotênrnêdcseitaae2rd=me4onesúacmo6 en=rs3oes,ctunetamivtouasrapqirusoap(airs1ieq, 4duae, adr 3ée,
o segundo, o quarto e o nono termo, nessa ordem, sempre igual a 13.
formam uma progressão geométrica (PG) de três
termos. O mmc (a102, a214) é:

Se o quarto termo da PA é igual a 10, então a razão da
PG é:

a) 1. a) 3.
b) 1,5. b) 4.
c) 2. c) 6.
d) 2,5. d) 12.
e) 3. e) 36.

3. (MACKENZIE) Se an = cos np , n Î N*, o valor de a1 + a2 6. (UFSCAR) Sejam as sequências (75, a2, a3, a4, ...) e (25, b2,
+ ... + a100 2
b3, b4, ...) duas progressões aritméticas de mesma razão.
Se a100 + b100 = 496, então a100 a:
√3 b100 é igual
2
a) –

b) – 3 a) 273
2 223

c) 0 b) 258
191
3
d) 2 c) 269
219
e) √3
2 d) 236
171

4. (UNICAMP) A ANATEL determina que as emissoras e) 247
de rádio FM utilizem as frequências de 87,9 a 107,9 187
MHz, e que haja uma diferença de 0,2 MHz entre
emissoras com frequências vizinhas. A cada emissora, 7. (UFTM) Numa progressão aritmética, a soma dos
identificada por sua frequência, é associado um canal, 50 primeiros termos é 200 e a soma dos próximos
que é um número natural que começa em 200. Desta 50 termos é 2.700. Assim, o primeiro termo dessa
forma, à emissora cuja frequência é de 87,9 MHz progressão é igual a
corresponde o canal 200; à seguinte, cuja frequência
é de 88,1 MHz, corresponde o canal 201, e assim por a) –21,5.
diante. Pergunta-se: b) –20,5.
c) –9,5.
a) Quantas emissoras FM podem funcionar [na mesma d) 3,5.
região], respeitando-se o intervalo de frequências e) 15,5.
permitido pela ANATEL? Qual o número do canal com
maior frequência?

625

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 8. (FAC. MED. JUNDIÁI) De janeiro (m1) a junho a) 1
(m6), o número de atendimentos em um Pronto-
-Socorro Infantil cresceu em progressão aritmética, b) 1 – 1
devido a um surto virótico. Sabendo-se que o número de n
atendimentos em janeiro mais o número de atendimentos
em fevereiro foi igual a 1.300, e que o número de c) n – 1
atendimentos em março mais o número de atendimentos n2
em abril foi igual a 2.500, pode-se afirmar que o número
total de atendimentos desse Pronto-Socorro, nesse d) 1 – 1
período (janeiro a junho), foi igual a n2

a) 7.000. e) 1 – 1 – 1
b) 7.500. n2 n2
c) 8.500.
d) 9.000. 12. (UNIFESP) Se 0 < a < b, racionalizando o denominador,
e) 9.500. 1 =√2√aa+1+–√4√bb+.
tem-se q+ue√2√a+1 + √b Assim o valor da soma
9. (UNCISAL) Quando a CPMF foi adaptada a seu atual 1 √3 + 1
formato, uma das metas que deveriam ser atingidas ... + √999 + √1000 é
com a injeção maciça de recursos na saúde era erradicar 1 + √2
a dengue. Porém, uma década depois, o número de
casos registrados da doença cresceu assustadoramente. a) 10 √10 – 1
Suponha que de 1996 a 2006 o número de casos de b) 10 √10
dengue tenha crescido em uma progressão aritmética de c) 99
r=sepaum34zcão1e1o6sn9srmú.i9vSm6aila,mecbpraeeo2sn-osotdesee,n.qsNúucemeeanssdpeso1oraso+sprd1pceeo2og=nincsdúa3tirmsç8aoõ4deseormsors,eidplgeecoimsadctseraoa1-sssd9oe,os9esa8rqfe,eiugrmmeeispata1r2ras9+qsd9iuomp7es3, d) 100
o número de casos de dengue registrados em 2006 foi e) 101

13. (UNIFESP) O 2007º dígito na sequência
123454321234543... é

a) 364 mil. a) 1.
b) 344 mil. b) 2.
c) 328 mil. c) 3.
d) 326 mil. d) 4.
e) 324 mil. e) 5.
14. (UNIFESP) “Números triangulares” são números que
10. (FUVEST) Sabe-se sobre a progressão geométri-
ca aa1, ap2r,oag3r,e..s, sqãuoe gaNe1eo>sms0aéstericaca6on=ad1i–,çõ9ae5s√,,3a.o9A, lpé..rm.odtdeuimtso- podem ser representados por pontos arranjados na
so, igual a 9. forma de triângulos equiláteros. É conveniente definir
razão 1 como o primeiro número triangular. Apresentamos
a2 · a7 vale a seguir os primeiros números triangulares.

a) –27 √3
b) –3 √3
c) – √3
d) 3 √3
e) 27 √3

11. (FGV) Seja uma sequência de n elementos (n > 1) TTn3S==eT6Tnn,–Tr1e4+p=rne1,s0pe,anertaaaonssn=im-é2s,pi3mo,ro4dn,i.a.ú.,nmpteeo.rdoDeta-rsidaeondgqueuldaeur,TzenirnsqtaãutoeisTfTa11z0=0a1ér,iegTlu2aa=çlã3ao,
1
(n>1), dos quais um deles é 1 – n , e os demais a) 5.050
b) 4.950
são todos iguais a 1. A média aritmética dos n
números dessa sequência é

626

c) 2.187 c) 800. MATEMÁTICA
d) 1.458 d) 780.
e) 729 e) 740.

15. u(UmFaSCp)roSgerjeasmsã(aon)aruitmmaétpicroagcreusjasãroazgãeooémdéatrircaazãeo(bdna) 18. (FUVEST) Um número racional r tem representação
progressão geométrica (an). decimal da forma r = a1a2a3 onde 1 ≤ a1 ≤ 9, 0 ≤ a2 ≤
9 e 0 ≤ a3 ≤ 9.

Sabendo que a1 = b1 = 2 e que a12 = b7, calcule a soma b1 Supondo-se que:
+ b2 + ... + b7 • a parte inteira de r é o quádruplo de a3,
•a1,a2,a3 estão em progressão aritmética,
16. (UFRJ) Uma parede triangular de tijolos foi construída da • a2 é divisível por 3, então a3 vale:
seguinte forma. Na base foram dispostos 100 tijolos, na
camada seguinte, 99 tijolos, e assim sucessivamente até a) 1
restar 1 tijolo na última camada, como mostra a figura. b) 3
Os tijolos da base foram numerados de acordo com uma c) 4
progressão aritmética, tendo o primeiro tijolo recebido d) 6
o número 10, e o último, o número 490. Cada tijolo das e) 9
camadas superiores recebeu um número igual à média
aritmética dos números dos dois tijolos que o sustentam.

19. (FUVEST) Três números positivos, cuja soma é 30,
estão em progressão aritmética. Somando-se,
respectivamente, 4, −4 e −9 aos primeiro, segundo
e terceiro termos dessa progressão aritmética,
obtemos três números em progressão geométrica.
Então, um dos termos da progressão aritmética é

Determine a soma dos números escritos nos tijolos. a) 9
17. (CEFET) Observe as seis primeiras linhas de uma b) 11
c) 12
figura cujo padrão de formação é: d) 13
e) 15

20. (FUVEST) Staeijsaqmuea,1lo,ag22,aa31,,alo4,ga25an2,úlmoge2rao3s, estritamente
positivos, log2 a4, log2 a5

formam, nesta ordem, uma progressão aritmética de
razão 12. Se a1 = 4, então o valor da soma a1 + a2 + a3
+ a4 + a5 é igual a

Sabendo-se que a última linha da figura possui 40 círculos a) 24 + √2
brancos e 1 círculo escuro, o total de círculos brancos da b) 24 + 2 √2
figura completa é igual a c) 24 + 12 √2
d) 28 + 12 √2
a) 840. e) 28 + 18 √2
b) 820.

627

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM 21. (FUVEST) Um polinômio de grau 3 possui três raízes
reais que, colocadas em ordem crescente, formam

uma progressão aritmética em que a soma dos

termos é igual a 9 . A diferença entre o quadrado da
5 é
maior raiz e o quadrado da menor raiz 24 .
5

Sabendo-se que o coeficiente do termo de maior grau do
polinômio é 5, determine

a) a progressão aritmética. O menor valor para a altura h, se o empilhamento pudesse
b) o coeficiente do termo de grau 1 desse polinômio. ser feito indefinidamente, é:

a) 3

22. (UNIFESP) No interior de uma sala, na forma de um b) 5
2
paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com
31, 91, 1 c) 7
arestas de medidas 1, 27 , e assim por diante, 3

conforme mostra a figura: d) 2

e) 3
2

Respostas: b) sua frequência será 11) d 19) c
104,7 12) a 20) d
1) 5 13) c 21) a) PA (-7/5, 3/5, 13/5)
2) d 5) c 14) a
3) b 6) a 15) S7 =77 b) a1 = –73/5
4) a) 101 emissoras 7) b 16) 1262500 22) e
8) b 17) b
canal 301 9) b 18) e
10) a
628

MATEMÁTICA

BLOCO 5

MATRIZES, DETERMINANTES E
SISTEMAS LINEARES

Em nosso estudo, os sistemas lineares, bem como as Exemplo: Sabendo-se que as equações das retas que
matrizes, serão mais explorados do que os determinantes. aparecem no gráfico a seguir são y = 2x + 1 e y = –3x – 1,
Focaremos os sistemas lineares, as matrizes e os deter- encontre o ponto de intersecção entre as duas retas.
minantes. O estudo conjunto destes três assuntos é uma
prerrogativa nossa. Ao estudá-los simultaneamente não
estamos diminuindo a importância de um diante do outro.
É apenas uma opção para tentar fazer você compreender
melhor esta parte da Matemática.

FICHA 1 – OS SISTEMAS LINEARES

A nossa discussão ficará restrita aos sistemas lineares com
duas equações com duas incógnitas, duas equações com três
incógnitas e três equações com três incógnitas. A primeira
questão a ser abordada diz respeito à pergunta: O que é um
sistema de equações lineares?
A resposta é simples: um sistema de equações é dito linear
quando as incógnitas das equações possuem expoente 1, ou
seja, ax1 + bx1 = c Se o expoente da ou das incógnitas for
a1x1 + b1x2 = c1 Resolução:

maior do que 1, ou se a incógnita for logarítmica, trigonométrica, Como as duas retas são concorrentes, então elas
exponencial etc., então o sistema é não linear. Podemos fazer possuem um ponto em comum e este ponto é visualizado
uma analogia de sistema linear à um sistema cujas equações no gráfico e encontrado por meio da resolução do sistema
formem “linhas”, ou seja, equações cujos gráficos sejam retas. linear y = –3x – 1 . Como há um ponto em comum, isto
As soluções de tais sistemas (se houverem) seriam os pontos
de encontros das retas, ou seja, a intersecção de ambas y = 2x + 1
(veremos isto em interpretações geométricas). significa que podemos igualar as duas equações, assim

Um sistema de equações lineares pode ser possível e –3x –1 = 2x +1e encontrar o valor de x. Assim, 2
determinado, possível e indeterminado ou impossível. Além –3x – 1 = 2x +1Þ – 3x – 2x = 1 + 1 Þ –5x = 2 Þ 5
disso, um sistema linear pode ser homogêneo e, neste caso, y = – 0,4. x = – Þ

os coeficientes independentes das incógnitas serão todos Para determinar o valor de y, basta substituir o valor de x
nulos, ou seja, ax1 + bx1 = 0 Um sistema linear ainda pode
equivalente aa1xo1u+trbo1xe2, =0 encontrado em qualquer uma das duas equações.
neste
ser caso, significa que os dois Substituindo-se x = –0,4 em y = –3x – 1, encontramos:
sistemas terão o mesmo conjunto solução. y = –3x – 1 Þ y = –3 (– 0,4) – 1 Þ y = 1,2 – 1 Þ y = 0,2

OS SISTEMAS LINEARES E A SUA INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA Portanto, o ponto de intersecção das duas retas é P(-0,4;
0,2).

Um avanço e tanto é o fato de ser possível discutir, apresentar Quando analisamos a posição relativa entre duas retas,
um mesmo assunto matemático do ponto de vista algébrico e elas podem ser classificadas em coincidentes, paralelas ou
do ponto de vista geométrico. É uma ideia que agrada, com reversas. A interpretação algébrica destas posições relati-
certeza, a gregos e troianos. vas seria um sistema possível e indeterminado quando as
retas forem coincidentes (ou seja, infinitos pontos em co-
Se estivermos pensando em um sistema dois por dois, ou mum) e um sistema impossível quando as retas forem para-
seja, duas equações e duas incógnitas, é fato que a interseção lelas ou reversas (sem nenhum ponto em comum).
entre duas retas – quando elas são concorrentes – é um ponto.
Este ponto é encontrado, algebricamente, resolvendo um Se estivermos agora com um problema que envolva dois
sistema com as duas equações das retas e geometricamente planos, eles também podem ser classificados em paralelos,
desenhando no plano cartesiano as duas retas. coincidentes ou secantes. Para cada um dos casos, tere-
mos uma interpretação algébrica para eles e esta interpre-
tação algébrica dar-se-á, ou melhor, traduzir-se-á por meio

629

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM de um sistema dois por três (duas equações com três in- casos, mas iremos discutir aqui apenas três: um em que os
cógnitas). Contudo, somente teremos um sistema possível e três planos são paralelos, outro em que os três planos são
indeterminado quando eles forem coincidentes ou secantes coincidentes e um terceiro em que os três planos têm um único
e um sistema impossível se os planos forem paralelos. ponto em comum. A interpretação algébrica quando os três
planos são paralelos é de um sistema de equações lineares
Um sistema de equações lineares será: possível e de- impossível. Se os planos forem coincidentes, o sistema será
terminado, quando a solução for única (apenas uma inter- possível e indeterminado e se os planos tiverem um único
seção); possível e indeterminado, quando existirem infi- ponto em comum o sistema será possível e determinado.
nitas soluções, ou seja, impossível de se encontrar uma
única solução); impossível, quando não existir nenhuma so- Exemplo: Sejam
lução (não existem pontos em comum entre as retas).
σ1 : 5x – 2y + 2z = 2, σ2 : 3x + y + 4z =
Voltando aos dois planos, vamos exemplificar o que aca-
bamos de escrever. –1 e σ1 : 4x – 3y + z = 3

Exemplo: Sabendo-se que as equações gerais dos planos três planos. Monte um sistema com as três equações dos
que aparecem no desenho a seguir são x – 2y + 3z = 1 e x planos e resolva-o.
+ y + z = 1, encontre a reta que representa a intersecção
entre os planos. Montando o sistema,
5x –2y + 2z = 2
3x + y + 4z = – 1
4x –3y + z = 3

Para resolver um sistema linear três por três, ou seja, três
equações com três incógnitas, o processo mais viável é por
meio do escalonamento do sistema. Mas como escalonar um
sistema de equações?

Muitos alunos preferem isolar uma incógnita e depois
substituí-la uma, duas vezes e depois isolar uma segunda
incógnita e substituí-la e aí sim encontrar uma terceira e
substituí-la nas anteriores até encontrar a solução final.

Para encontrar essa reta, basta resolver o sistema O escalonamento ou eliminação gaussiana
formado pelas duas equações dos planos, ou seja,
Para começar, iremos colocar os coeficientes das incógnitas
x –2y + 3z = 1 das três equações mais os seus respectivos coeficientes
independentes num quadro retangular, observe:
x+y+z=1
Para resolver o sistema em questão, primeiro indicaremos 5 –2 2 2
p1: x – 2y + 3x = 1 e p2 : x + y + z = 1; 3 1 4 –1
4 –3 1 3
agora subtraímos p1 de p2 e encontramos o sistema
Chamaremos este quadro retangular de S. S estará
equivalente x – 2y + 3z = 1. escalonado quando o primeiro elemento não-nulo de cada
–3y + 2z = 0 uma das suas linhas situar-se à esquerda do primeiro elemento
não-nulo da linha seguinte. Além disso, as linhas que tiverem
t–eCr3moymi=noa–rv2oozceêÞxdeyrecv=íeciot23e,zriespooelarscmuebbossidtiyotu,eíammeopqs1u,eaimsçtãopo1é.p,–A2s3ms+iumd2,ozu=. Para todos os seus elementos iguais a zero devem estar abaixo das
0Þ demais.

x – 2 32z + 3z = 1 Þ x – 34z + 3z = 1 Þ O método do escalonamento baseia-se no fato de que todo
sistema é equivalente a um sistema escalonado. Para se
x+ –4z + 9z = 1 Þ x – 35z = 1 Þ x = 1 – 53z. chegar a um sistema escalonado equivalente, será preciso
3 considerar uma sequência de operações elementares, como:

I) trocar a ordem das equações do sistema;

Portanto, a reta que representa a interseção entre os dois II) substituir numa equação do sistema por sua soma com um
planos tem equação reduzida múltiplo de outra equação do mesmo sistema.

5 –2 2 2 L1 5 –2 2 2 L1

x = 1 – 35z 3 1 4 –1 L2 ~ 3 1 4 –1 3L1–L2
y = 2 z 4 –3 1 3 L3 4 –3 1 3 4LI–5L3
3
5 –2 2 2 L1 5 –2 2 2 L1
A equação da reta encontrada é denominada reduzida, pois
escrevemos duas das coordenadas em função da terceira. ~ 0 –11 –14 11 L2 ~ 0 –11 –14 11 L2
0 7 3 –7 7L2+11L3 0 7 3 –7 L3
Por fim, se estivermos novamente trabalhando com planos,
só que agora com três planos, poderemos vislumbrar vários Agora que S está escalonado, podemos escrever um sistema
equivalente ao do exemplo acima. Assim,
630

5 –2 2 2 for chamada de coluna, é porque a mesma possui uma única MATEMÁTICA
0 –11 –14 11 coluna; se for dita quadrada é porque o número de linhas é
0 0 –65 0 igual ao número de colunas; se a matriz for chamada de
diagonal isto significa que todos os seus elementos, exceto
e os da diagonal principal, são nulos, ou seja,
5x –2y +2z =2
0x –11y –14z =11 a11 0 0
0x +0y –65z =0 0 a22 0
0 0 a33
Temos –65z = 0 Þ z = 0
Substituindo z = 0 em L2, obtemos –11y – 14 (0) = 11 Þ com nau11la, ,ae22,isas3o3 ≠o0c.oArremqautraizndaointdoadopsodoes ser classificada
– 11y = 11 Þ y = –1 como seus elementos
Substituindo-se y = –1 e z = 0 em L1, encontramos são iguais a zero; e como identidade de ordem n, isto é,
se a matriz for quadrada e do tipo diagonal, porém com os
5x – 2 (–1) + 2 (0) = 2 Þ 5x + 2 + 0 = 2 Þ 5x = 0 Þ x = 0. coeficientes da diagonal principal iguais a 1, ou seja,

O ponto que representa a intersecção de σ1, σ2 e σ3, ou 100
I3 0 1 0
seja, P ≡ σ1 ∩ σ2 ∩ σ3 ≡ (0, – 1,0).
001
Apenas como ilustração, os sistemas equivalentes a
5x –2y +2z =2 Dada uma matriz M a11 a12 a matriz Mt a11 a12
3x –y –4z =–1 a21 a22 a21 a22
4x +3y –z =3 é chamada de matriz transposta da matriz M. Isso ocorre
porque os elementos das colunas trocaram de posição com
e que gerou a solução (0,-1,0) são: os elementos das linhas. Dada a mesma matriz
5x –2y +2z =2 5x –2y +2z =2
3x –y –4z =–1 ~ 0x –11y –14z =11 Þ M a11 a12 a matriz M –a11 –a12
4x +3y –z =3 0x +7y +3z =–7 a21 a22 –a21 –a22

é chamada de matriz oposta da matriz M e issue
multiplicamos todos os elementos da matriz M, inclusive o
M, por (-1).

5x –2y +2z =2 5x –2y +2z =2 De modo resumido
~ 0x –11y –14z =11 ~ 0x –11y –14z =11
M · (– 1) = – M = (– 1) · a11 a12 = (– 1) · a11 (– 1) · a12 Þ
0x +0y –65z =0 z =0 a21 a22 (– 1) · a21 (– 1) · a22
–a11 –a12
Agora que já discutimos um pouco a respeito dos sistemas = –a21 –a22
lineares, vamos para as matrizes.

FICHA 2 – MATRIZES OPERAÇÕES COM MATRIZES

O quadro retangular que usamos para escalonar o sistema As matrizes, os números reais, os números complexos e
acima (o S) é uma matriz do tipo m por n, em que m representa outros conjuntos recebem um nome sugestivo na Álgebra
o número de linhas e n o número de colunas. Como você Linear: espaço vetorial. O que é isso? Basicamente,
percebeu, as matrizes são normalmente utilizadas para um conjunto é denominado espaço vetorial se ele for
organizar dados. Entre os diversos usos das matrizes, um munido de duas operações: adição e multiplicação por um
deles é o que exemplificamos acima, ou seja, um quadro escalar (número real) com oito propriedades. Estas oito
com os coeficientes dependentes e independentes das propriedades são as mesmas apresentadas quando se
incógnitas em um sistema linear de equações. define o conjunto dos números reais, ou seja: associativa,
A definição de matriz que adotaremos aqui será: Matriz é o comutativa, existência do elemento neutro da adição e da
conjunto de elementos dispostos em m linhas e n colunas. multiplicação, o elemento oposto da adição e o inverso
Se A é uma matriz qualquer, então cada elemento de A será multiplicativo.
da forma aij, em que i é a i-ésima linha e j a j-ésima coluna.
Assim, Adição de matrizes

a11 a12 a13 ... a1n Sejam A e B duas matrizes do mesmo tipo, ou seja, A =
a21 a22 a23 ... a2n (sbdaeieji.jr)ATmdexeomnBeom,sBdeqos=umme(obe, ipsjt)mmiaprxooan)t,siApobommasmaattrarmxizsmooCsm, dsoaeuurramsáseoamjsar,aecCtsariu=dzleat(acseinj)(lemteelxmands,eacdnijset=oovamedimj+ae
A= a31 a32 a33 ... a3n A com o seu respectivo correspondente em B. Assim,
...
... ... ... ...

am1 am2 am3 ... amn

AS MATRIZES E A SUA CLASSIFICAÇÃO a11 a12 b11 b12 a11 +b12 b11 +a12
a21 a22 b21 b22 a21 +b22 b21 +a22
Quando a matriz for chamada de linha, o que se entende é A+B= + =
que essa matriz é formada por uma única linha; se a matriz
a31 a32 b31 b32 a31 +b32 b31 +a32 631

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Multiplicação de uma matriz por um número real Caracterização das matrizes invertíveis

Seja A = l(a.ij)Ausmeraá matriz do tipo m x n e l número real. Uma matriz A admite inversa se, e somente se, o
O produto a matriz M cujos elementos serão do determinante de A for diferente de zero, ou seja, det A ≠ 0.

tipo (ml u· latiipj)liocuarsmeojas, M= m(matijr)mizxpn,ormuijm= nlúm· aeirj.oTrreaadlu, zbiansdtoa, FICHA 3 – DETERMINANTES
para uma
multiplicar cada elemento de A por l. Assim,

l·A=l· a11 a12 l · a11l · a12 O determinante de uma matriz M a1 b1 é o número det
a21 a22 = l · a21l · a22 M = D = a1 · b2 – b1 · a2. a2 b2
a31 a32
l · a31l · a32

Multiplicação de matrizes O número em questão tem sua origem no quadro
retangular que representa os coeficientes dependentes e
Sejam A e B duas matr izes dos ti p os A = t(iapioj ) mmx nx e independentes das incógnitas de um sistema de equações
.Bc.u. =+jo(abijn-ij)ébnsnxji.pm.AAossmeimlaetm,rieznCtose(rcáij)o, produto de A e B, do p lineares quando da tomada de decisão se um sistema
é dado por: cij = ai1b1j + ai2b2j + é possível ou impossível. O determinante acima é uma
possibilidade de verificar se o sistema admite ou não
A·B= a11 a12 · b11 b12 Þ solução.
a21 a22 b21 b22
a31 a32 Partindo-se do pressuposto que você considera
verdadeira a exposição acima e que não a questiona por
= a11 · b11 +a12· b21 a11 · b12 +a12· b22 julgar adequada a justificativa, podemos pensar em como
a21 · b11 +a22· b21 a21 · b12 +a22· b22 seria o determinante de uma matriz três por três, composta
a31 · b11 +a32· b21 a31 · b12 +a32· b22 por três linhas e três colunas, cujo sistema apresenta três
equações e três incógnitas.
Um exemplo que irá nos ajudar a definir outro tipo
de matriz pode ser o seguinte: Sejam as matrizes Para se resolver um determinante 3x3 há algumas
–2 1 possibilidades. A mais usual é aquela em que você duplica
A 1 2 eB de ordem dois. Qual será a matriz as duas primeiras colunas e multiplica os elementos das
3 4 3 –12 diagonais principais e secundárias. Veja:
2
obtida pelo produto A · B ? a1 b1 c1 a1 b1
D = a2 b2 c2 a2 b2 Þ D = a1 b2 c3 + b1 c2 a3 + c1 a2 b3
Resolução:
a3 b3 c3 a3 b3
A·B= 1 2 · –2 1 – (b1 c2 a3 + a1 b2 c3 + c1 a2 b3) Þ
3 4 3 –21 D = a1 b2 c3 + c1 a2 b3 + b1 c2 a3 Þ
2 a1 b2 c3 – b1 c2 a3 – c1 a2 b3.

1 · (–2) + 2 · 3 1·1+2· – 3 1 0 Cada uma das seis parcelas é um produto do tipo, com
2 2 0 1 índices aparecendo, um por vez, em todas as parcelas. A
= permutação que ocorre é das letras abc e não dos índices.
3 3 Assim, cada letra ocupa uma mesma posição duas vezes
3 · (–2) + 4 · 2 3·1+4· – 2 e o que determina o sinal positivo ou negativo é a ordem
com que as letras aparecem. Se a ordem for cíclica, o sinal
O produto é a matriz identidade de ordem dois. A matriz será positivo, porém se a ordem for aleatória, o sinal será
pBouaéraaailneidlnoavecgoresmnaendrúaamlimzeaarnotrdsizor,Aanc,-i1oou=nas1niesj,qa2u, -e1B=é=o12A-ie1n=vée1Aors.ionFvadezoresnnoúdmdoeeur2mo, negativo. A propriedade cíclica pode ser assim entendida:
real n, para todo n ≠ 0.
abc; cab; bca; abc; cab; bca; ...
Simbolicamente, temos:
A regra aqui utilizada é a de Sarrus. Outra maneira de
1 · 2 = 1; 1 · n = 1, " n Î A*; 1 A = 1 analisar a regra de Sarrus é a seguinte: as parcelas com
2 n n sinal positivo representam o produto dos elementos das
diagonais principais e as parcelas com sinal negativo
MATRIZ INVERSA representam o produto dos elementos das diagonais
secundárias.
A matriz inversa de A é uma matriz B que multiplicada por
A resulta na matriz identidade. A matriz inversa nem sempre Os determinantes possuem inúmeras propriedades que
existe são, frequentemente, utilizadas no Cálculo Vetorial. São
elas:
632 1. Quando trocamos as linhas da matriz pelas colunas

correspondentes, o determinante não se altera.

2. Um determinante é nulo quando todos os elementos A23 = (– 1)5 · 2 4 = (– 1) · (8 – 12) = 4 MATEMÁTICA
de uma mesma linha da matriz (ou mesma coluna) são 3 4
nulos.
A32 = (– 1)5 · 2 1 = (– 1) · (2 – 1) = – 1
3. Quando permutamos duas linhas (ou duas colunas) 1 1
quaisquer da matriz, o determinante muda de sinal.
2 1 –5 2 –4 1
4. Se multiplicarmos uma linha (ou coluna) da matriz por
um número, o determinante fica multiplicado por aquele Ac –4 1 4 Þ Act = 1 1 –1
número. 1 –1 2 –5 4 2

5. Se uma linha da matriz é a soma de duas parcelas, seu A matriz inversa de A, A–1 = 1 · 2 –4 1
determinante é a soma de dois outros, e em cada um 3 1 1 –1
deles a linha em questão é substituída por uma das –5 4 2
parcelas.
Para ter certeza de que a matriz encontrada é a inversa de
6. Se uma linha da matriz é combinação linear das outras A, multiplicamos uma pela outra e o produto delas será a
duas, ou seja, se é possível escrever uma das linhas da matriz identidade de ordem três.
matriz em função das outras duas linhas, o determinante Assim, 2 –34 1
dessa matriz é zero. 3 3
2 –4 1 1 1 –13
O COFATOR A · A–1 = 1 1 –1 · 3 3 =
–5 4 2
–53 4 2
O cofator é o produto de (-1)i+j pelo determinante de uma 3 3
matriz A = (qj)m x n eliminando-se a i-ésima e a j-ésima coluna.
4+4–5 8+4+4 2–4+2
Apassraims, eCodfe(tAe)r=mi(n–a1r)iu+mj · ademt Aaitj.riOz sincvoefarstoar,eosusãsoejuat,iliszeadAo-s1 33 3 100
1 = 010
existe, então A–1 = det A · Act em que Act é a matriz transposta 2+3–5 4+3+4 1–3+2
33 3 001
dos cofatores de A. Veja um exemplo:
241 6 + 4 – 10 –12 + 4 + 8 3–4+4
33 3

Encontre, se existir, a matriz inversa da matriz A = 1 3 1 Teorema de Laplace
342
Resolução:
De acordo com o Teorema de Laplace, cada determinante
241 de ordem “n” é igual à soma dos produtos dos elementos de
det (A) = 1 3 1 = 12 + 12 + 4 – 9 – 8 Þ det (A) = 3 uma linha ou coluna qualquer pelos respectivos cofatores.

342 a11 a12 a13 o seu determinante será dado
Dada a matriz a21 a22 a23
A11 = (– 1)1 + 1 · det A11 A21 = (– 1)2 + 1 · det A21
A12 = (– 1)1 + 2 · det A12 A22 = (– 1)2 + 2 · det A22 a31 a32 a33
A13 = (– 1)1 + 3 · det A13 A23 = (– 1)2 + 3 · det A23 plinoOhr:Ta∆eeo=mraeq1m1u· eaA1Ad11e+1,aAL11a22p,·AAl1a132cs+eãaoé13om·sAac1i3sosfuaemtfoormreesés.tcoodlohipdaoraa primeira
calcular
A31 = (– 1)3 + 1 · det A31 o determinante de uma matriz.

A32 = (– 1)3 + 2 · det A32

A33 = (– 1)3 + 3 · det A33 Regra de Cramer

A11 = (– 1)2 · 3 1 = 6 – 4 = 2 Esta regra é um dos métodos mais conhecidos e
4 2 tradicionais para resolver um sistema de equações
lineares, porém, apresenta uma vantagem e uma
1 1 desvantagem: a vantagem deste método é que apresenta
A12 = (– 1)3 · 3 2 = (– 1) · (2 – 3) = 1 os valores das incógnitas a partir do quociente de dois

A13 = (– 1)4 · 1 3 = 4– 9 = – 5 determinantes; já a sua desvantagem está relacionada
3 4 ao fato de que possibilita apenas resolver sistemas
possíveis e determinados, ou seja, se o determinante
da matriz dos coeficientes do sistema for igual a zero, a
A31 = (– 1)4 · 4 1 = (4 – 3) = 1 Regra de Cramer não tem nenhuma utilidade.
3 1
a1x +b1y +c1z =d1
A33 = (– 1)6 · 2 4 = (6 – 4) = 2 Definição: Seja o sistema linear a2x +b2y +c2z =d2 .
1 3
a3x +b3y +c3z =d3
A21 = (– 1)3 · 4 1 = (– 1) · (8 – 4) = – 4 Se o determinante da matriz dos coeficientes do
4 2 sistema for diferente de zero, ou seja, ∆ ≠ 0 o sistema é
possível e determinado e os valores das incógnitas serão
2 1 ∆∆x; ∆y ∆∆z.
A22 = (– 1)4 · 3 2 = (4 – 3) = 1 determinados assim: x = y = ∆ ; z = 633

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Os determinantes ∆, ∆x, ∆y, ∆z, são calculados da seguinte 2 –2 2
maneira: ∆x = –1 1 4 = 2 – 24 + 6 – 6 + 24 – 2 = 0
1
a1 b1 c1 d1 b1 c1 a1 d1 c1 a1 b1 d1 3 –3
∆ = a2 b2 c2 , ∆x = d2 b2 c2 , ∆y = a2 d2 c2 e ∆ = a2 b2 d2
a3 b3 c3 d3 b3 c3 a3 d3 c3 a3 b3 d3 52 2
∆y = 3 –1 4 = – 5 + 32 + 18 + 8 – 60 – 6 = – 13
5x –2y +2z =2
43 1
Exemplificando: resolva o sistema 3x +y +4z =–1
4x +3y +z =3
utilizando a Regra de Cramer. 5 –2 2
∆z = 3 1 –1 = 15 + 8 – 18 – 8 – 15 + 18 = 0
5 –2 2
∆ = 3 1 4 = 5 – 32 – 18 – 8 + 60 + 6 = 13 4 –3 3

4 –3 1 Logo, x = ∆x = 0 = 0; y = ∆y = –13 = –1 e z = ∆z = –13 = 0
∆ 13 ∆ 13 ∆ 13

Portanto, {S = x, y, z Î A | x = 0; y = – 1 e z = 0}

634

MATEMÁTICA

BLOCO 5
EXERCICIOS

1. (CEFET) Admita a seguinte correspondência entre letras R$ 47,30. Nas condições dadas, a compra de três
e números: A → 1, B → 2, C → 3, D → 4 Utilizando essa lâmpadas, sendo uma de cada tipo, custa nessa loja
correspondência, diremos que os elementos da matriz
Mcon=ve(rmtidij)o2sx e2mnacódoirgdoesmalfmab11é,mtic1o2,sm, c21o,nmfo22rmpeodinedmicasdeor a) R$ 30,50.
nos dois exemplos a seguir: b) R$ 31,40.
c) R$ 31,70.
M= 2 1 → código BADC d) R$ 32,30.
4 3 e) R$ 33,20.

M= 3 3 → código CCAB
1 2

Se a matriz 1 – 1 indica a inversa da matriz M, o x 0
3 6 2008 y
5. (UFTM) A matriz M = , em que x e y são
1 2
– 3 3 –1 0
0 –1
código transmitido pela matriz M é: números reais, é tal que M2 + 2M= Nessas
condições, é correto concluir que:
a) DABB.

b) DACC. a) x = 1 e y = –1

c) CABD. b) x = 0 e y = 0

d) CABB. c) x = 1 e y = 2008
2008
e) ABDC. d) x = 1 e y = 1

2. (FAC. MED. JUNDIAÍ) Seja a matriz A = (aij)2x2 e) x = 2008 e y = –2008
2i, se i < j .
defina por aij = –1, se i ≥ j

O determinante de A é 6. (UNCISAL) O sistema de equações lineares
ax + 2y = –6 nas variáveis x e y é
a) -3 (a + 2)x + y = 3
b) -2
c) -1 a) sempre possível.
d) 2 b) possível e determinado apenas para a = – 4.
e) 3 c) possível e indeterminado para a = – 3.
d) impossível para a = – 4.
3. (FUVEST) João entrou na lanchonete BOG e pediu 3 e) possível e indeterminado para a = 1.
hambúrgueres, 1 suco de laranja e 2 cocadas, gastando
R$ 21,50. Na mesa ao lado, algumas pessoas pediram 8 7. (UNCISAL-2008) Dadas as matrizes A = x y 1 eB
hambúrgueres, 3 sucos de laranja e 5 cocadas, gastando R$ –1 1 x
57,00. Sabendo-se que o preço de um hambúrguer, mais o
de um suco de laranja, mais o de uma cocada totaliza R$ = 1 –1 0 sendo B · At = –4 –2 , pode-se afirmar que
10,00, calcule o preço de cada um desses itens. 010 81

4. (UFSCAR) Uma loja vende três tipos de lâmpada (x, y a) x = 2y.
e z). Ana comprou 3 lâmpadas tipo x, 7 tipo y e 1 tipo b) y = 2x.
z, pagando R$ 42,10 pela compra. Beto comprou 4 c) x = y = 8.
lâmpadas tipo x, 10 tipo y e 1 tipo z, o que totalizou

635

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM d) x – y = –2. a) √2
e) x = y + 4. 4
8. (Unicamp) Considere o sistema linear abaixo, no qual a
b) √2
é um parâmetro real: c) 2
d) 3
ax + y + z = 1 e) 33√2
x + ay + z = 2
x + y + az = –3 12. (FGV-SP) Na matriz indicada, a soma dos elementos
de uma linha qualquer é igual à soma dos elementos
a) Mostre que para a = 1 o sistema é impossível. de uma coluna qualquer.
b) Encontre os valores do parâmetro a para os quais o 492
816
sistema tem solução única. 357

9. (VUNESP) Considere a matriz O menor número de elementos dessa matriz que devem
ser modificados para que todas as seis somas (somas dos
x1x elementos das três linhas e das 3 colunas) sejam diferentes
umas das outras é
A= 0 x 1– x a) 0.
2
b) 2.
20 x
O determinante de A é um polinômio p(x). c) 3.

a) Verifique se 2 é uma raiz de p(x). d) 4.
b) Determine todas as raízes de p(x).
e) 5.
10. (UNIFESP-2005) Certo dia um professor de Matemática
desafiou seus alunos a descobrirem as idades x, y, z, em 14. (VUNESP) Uma lapiseira, três cadernos e uma caneta
anos, de seus três filhos, dizendo ser o produto delas igual custam, juntos, 33 reais. Duas lapiseiras, sete
a 40. De pronto, os alunos protestaram: a informação “x · cadernos e duas canetas custam, juntos, 76 reais. O
y · z = 40” era insuficiente para uma resposta correta, em custo de uma lapiseira, um caderno e uma caneta,
vista de terem encontrado 6 ternas de fatores do número 40 juntos, em reais, é:
cujo produto é 40. O professor concordou e disse, apontando
para um dos alunos, que a soma x + y + z das idades (em a) 11.
anos) era igual ao número que se podia ver estampado na b) 12.
camisa que ele estava usando. Minutos depois os alunos c) 13.
disseram continuar impossível responder com segurança, d) 17.
mesmo sabendo que a soma era um número conhecido, e) 38.
o que levou o professor a perceber que eles raciocinavam
corretamente (chegando a um impasse, provocado por 15. (VUNESP) Um grupo de x estudantes se juntou para
duas ternas). Satisfeito, o professor acrescentou então duas comprar um computador portátil (notebook) que custa
informações definitivas: seus três filhos haviam nascido no R$ 3.250,00. Alguns dias depois, mais três pessoas se
mesmo mês e, naquele exato dia, o caçula estava fazendo juntaram ao grupo, formando um novo grupo com x +
aniversário. Neste caso a resposta correta é: 3 pessoas. Ao fazer a divisão do valor do computador
pelo número de pessoas que estão compondo o novo
a) 1, 5, 8. grupo, verificou-se que cada pessoa pagaria R$ 75,00
b) 1, 2, 20. a menos do que o inicialmente programado para cada
c) 1, 4, 10. um no primeiro grupo. O número x de pessoas que
d) 1, 1, 40. formavam o primeiro grupo é:
e) 2, 4, 5.
a) 9.
x y1 b) 10.
11. (UNIFESP) Dada a matriz, 3 x 3, A = 1 1 1 c) 11.
d) 12.
–1 –1 1 e) 13.
a distância entre as retas r e s de equações,

respectivamente, det(A) = 0 e det(A) = 1 vale:

636

16. (FUVEST) Por recomendação médica, uma pessoa 19. (UNIFESP) Uma indústria farmacêutica produz, MATEMÁTICA
deve fazer, durante um curto período, dieta diariamente, p unidades do medicamento X e q
alimentar que lhe garanta um mínimo diário de unidades do medicamento Y, ao custo unitário de r e
7 miligramas de vitamina A e 60 microgramas s reais, respectivamente. Considere as matrizes M, 1
de vitamina D, alimentando-se exclusivamente r
de um iogurte especial e de uma mistura de x 2, e N, 2 x 1: M = [2q p] e N = 2s
cereais, acomodada em pacotes. Cada litro do
iogurte fornece 1 miligrama de vitamina A e 20 A matriz produto representa o custo da produção de
microgramas de vitamina D. Cada pacote de
cereais fornece 3 miligramas de vitamina A e 15 a) 1 dia.
microgramas de vitamina D. Consumindo x litros b) 2 dias.
de iogurte e y pacotes de cereais diariamente, a c) 3 dias.
pessoa terá certeza de estar cumprindo a dieta se d) 4 dias.
e) 5 dias.
a) x + 3y ≥ 7 e 20x + 15y ≥ 60
b) x + 3y ≤ 7 e 20x + 15y ≤ 60 20. (VUNESP) Sejam A = x –2y 1 , B = 21
c) x + 20y ≥ 7 e 3x + 15y ≥ 60 3x +y –1 –1 2
d) x + 20y ≤ 7 e 3x + 15y ≤ 60 e 13 matrizes reais.
e) x + 15y ≥ 7 e 3x + 20y ≥ 60 3 –5

17. (UNIFESP) A tabela mostra a distância s em a) Calcule o determinante de A, det(A), em função de x e y,
centímetros que uma bola percorre descendo por um e represente no plano cartesiano os pares ordenados (x,
plano inclinado em t segundos. y) que satisfazem a inequação det(A) ≤ det(B).

t 01234 b) Determine x e y reais, de modo que A + 2B = C.
s 0 32 128 288 512
21. (UECE) Seja x = M + M2 + M3 + ... + Mk em que M é
A distância s é função de t dada pela expressão s(t) =
at2 + bt + c onde a, b, c são constantes. A distância s em a matriz 11 e k é um número natural. Se o
centímetros, quando t = 25 segundos, é igual a 01
determinante da matriz X é igual a 324, então o valor
a) 248. de k2 + 3k –1 é:
b) 228.
c) 208. a) 377
d) 200. b) 207
e) 190. c) 237
d) 269

18. (UNIFESP) Considere o sistema de equações

x –y =2 onde c é uma constante real. Para que 22. (UECE) O valor de h para que o sistema
cx +y =3 2x –y +3z =0
a solução do sistema seja um par ordenado no interior x +2y –z =0 tenha a solução não nula é
do primeiro quadrante (x > 0, y > 0 ) do sistema de x +hy –6z =0
eixos cartesianos ortogonais com origem em (0, 0), é
necessário e suficiente que a) 5

a) c ≠ –1 b) 6

b) c < – 1 c) 7

c) c< – 1 ou c > 3 d) 8
2
3 123
d) 2 < c 23. (UECE) Considere a matriz M = 2 3 2 . A soma das

e) – 1 < c < 3 32 x
2 raízes da equação det (M2) = 25 é igual a

637

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM a) 14 d) √3
b) –14 2
c) 17
d) –17 e) 3
2
28. (Unicamp) – Três planos de telefonia celular são
apresentados na tabela abaixo:

24. (UEMG) Um clube promoveu uma festa com o Plano Custo fixo Custo adicional
objetivo de arrecadar fundos para a campanha de mensal por minuto
crianças carentes. No dia da festa, compareceram A R$ 35,00 R$ 0,50
230 pessoas entre sócios e não sócios. O valor total B R$ 20,00 R$ 0,80
arrecadado foi de R$ 2.450,00 e todas as pessoas C 0 R$ 1,20
presentes pagaram ingresso. O preço do ingresso foi
R$ 10,00 para sócio e R$ 15,00 para não sócio.

Com base nesses dados o número de sócios do clube a) Qual é o plano mais vantajoso para alguém que utilize
presentes à festa corresponde a 25 minutos por mês?

a) 165. b) A partir de quantos minutos de uso mensal o plano A é
b) 180. mais vantajoso que os outros dois?
c) 200.
d) 210. 29. (UERJ) A temperatura corporal de um paciente foi
medida, em graus Celsius, três vezes ao dia, durante
cinco dias. àCtaedmapeerlaetmureanotobsearijvaddaa matriz abaixo
25. (UFAC) Considere o sistema linear x +y =7 corresponde no instante i do
É correto afirmar que: 2x –2y =10 dia j.

35,5 35,7 36,1 37,0 39,2

36,1 37,0 37,2 40,5 40,4

a) existem somente 5 maneiras distintas de resolvê-lo. 35,6 36,4 38,6 38,0 36,0
b) só podemos resolvê-lo pelos métodos de Cramer e da
Determine:
comparação.
c) só podemos resolvê-lo pelo método de adição e a) o instante e o dia em que o paciente apresentou a maior
temperatura;
geometricamente, interpretando cada uma de suas
equações como uma reta do plano cartesiano. b) a temperatura média do paciente no terceiro dia de
d) só podemos resolvê-lo pelos métodos de Cramer e da observação.
substituição.
e) existem mais de 6 maneiras distintas de resolvê-lo. 30. (VUNESP) Seja A uma matriz.
100
26. (UFABC) Dadas as matrizes A = 11 e B=
20 Se a = 0 6 14 , o determinante de A é:
4 2 a) 8. 0 14 34
6 0 calcule o determinante da matriz X, onde X · A
b) 2√2
= B.
c) 2.
27. (FUVEST) Uma matriz real A é ortogonal se AAt = I onde
d) 3√2
I indica a matriz identidade e At indica a transposta
e) 1.

xx 31. (UFAL) Se a terna ( x0, y0, z0 ) é a solução
de A. Se A = 2 é ortogonal, então x2 + y2 é
yz 3x –2y +z =6
x +y –z 3
igual a: do sistema = 2 , então a soma x0 +

1 –6x +4y –3z =–14
4
a) y0 + z0 é igual a

b) √2 a) 5
4 2

1 b) 2
2
c) c) 3
2
638

d) 1 figura a seguir ilustra a transformação da imagem 1 MATEMÁTICA
na imagem 2.
e) 1 Um dos procedimentos que consiste em transformar o
2 ponto (x, y) no ponto (a, b) é realizado, através de operações
com matrizes, de acordo com as seguintes etapas:
32. (UFSC) Assinale a soma dos números associados à(s)
proposição(ões) CORRETA(S).

01. Uma pequena indústria produz três tipos de produto (x, y) (a, b)
que indicamos por x, y, z. As unidades vendidas de cada imagem 1 imagem 2
produto e o faturamento bruto da empresa em três
meses consecutivos são os dados na tabela abaixo.
Então, os preços dos produtos x, y e z só podem ser,
respectivamente,

R$ 1.000,00, R$ 5.000,00 e R$ 3.000,00.

Mês Unidades Unidades Unidades Faturamento Etapa 1: Fixe duas matrizes invertíveis M e E, de ordem 2, e
de x de x de z bruto considere M-1 a matriz inversa de M.
1
2 vendidas vendidas vendidas R$ 35.000,00 Etapa 2: Tome P e Q as matrizes cujas entradas são as
3 1 5 3 R$ 15.000,00 coordenadas dos pontos (x,y) e (a,b), respectivamente,
4 1 2 R$ 50.000,00
5 6 5 x a
y b
isto é, P = eQ= .

02. Se um sistema de equações é indeterminado, então não Etapa 3: Obtenha Q a partir de P por meio da expressão
se pode encontrar solução para ele. Q = E · M-1 · p

241 2 2
04. A solução da equação 2 4 x = 0 é x = 1. –3 3

312

1230 Considerando estas etapas e as matrizes M = e

08. A matriz 4 2 5 1 não possui inversa. E= 0 1 , determine:
5 4 8 1 –1 0

3120

33. (UFV) Em computação gráfica, quando um programa a) a inversa de M.
altera a forma de uma imagem, está transformando b) o ponto que é obtido do ponto por meio da expressão
cada ponto de coordenadas (x, y), que forma a
imagem, em um novo ponto de coordenadas (a, b). A Q = E · M-1 · p

Respostas: 15) b 27) e
p(x)=x3-2x2-x+2 16) a 28) a) O Plano C
a) p(2)=8-8-2+2=0 17) d b) a partir de 50
1) a 18) e minutos
2) e 2 é raiz de p(x) 29) a) na segunda
3) Hambúrguer R$ 4,00 b) p(x)=2(x-2)-(x-2) 19) b medição do 4º dia
20) a) y≤4x-3
Suco R$ 2,50 p(x)=(x-2) (x2-1) b) x=1 y=2 b) 37,3º
Cocada R$ 3,00 p(x)=(x-2) (x-1) (x-1) 30) A
As raízes de p(x) são: 2, 1, -1 21) c
4) c 22) c 31) A
5) a 9) a) sim {-1,1,2} 32) 12
6) d 10) a 23) b 33) a) uma matriz
7) b 11) a 24) c
12) d 25) e 1/4 –1/6
x 1 1–x2x =x3+2-x-2x2 13) a
0 x 14) c 26) uma matriz 3 0 1/4 1/6 1
1 2 0
8) b) uma matriz

20 x 639

MATEMÁTICA

BLOCO 6

ANÁLISE COMBINATÓRIA, PROBABILIDADE
E ESTATÍSTICA

FICHA 1 – A ANÁLISE COMBINATÓRIA Se uma vdeezctiosãmoadda1 pode ser tomada de n maneiras e
se, uma a decisão od1n, úamdeercoisdãeomd2apnuedirearssdeer
A análise combinatória é a parte da Matemática que analisa tomada de m maneiras, então
estruturas e relações discretas. Ela dispõe de técnicas gerais se tomarem as decisões d1 e d2 é igual a mn.
que permitem resolver certos tipos de problemas, porém,
a resolução de problemas de combinatória normalmente No segundo exemplo, temos os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5 e
requer engenhosidade e clareza absolutas do problema queremos escrever números com cinco algarismos distintos
descrito. Não é simplesmente aplicar uma ou outra técnica. a partir deles. Usando a mesma ideia, temos para a posição
Não é tão simples assim e é aí que reside o encanto ou da dezena de milhar cinco possibilidades, para a unidade
o desencanto por ela, pois problemas com enunciados de milhar quatro possibilidades, para a centena três, para a
muito simples podem ser muito complicados para resolver. dezena duas e para a unidade uma, logo, 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120.
A análise combinatória nas últimas décadas cresceu muito
por causa da importância dos problemas de enumeração Observe que o número de objetos em cada posição vai
na teoria dos gráficos, na análise de algoritmos etc. diminuindo de um em um. Assim, se tivemos n objetos
distintos, de quantos modos poderíamos ordená-los?
Os conceitos que apresentaremos aqui estão relacionados
ao estudo de combinações, arranjos e permutações e O número de modos de ordenar n objetos distintos é
permite determinar o número de elementos de conjuntos n · (n – 1) · (n – 2) · ... 1 = n!.
formados de acordo com certas regras, sem que haja a
necessidade de enumerar seus elementos. Cada ordenação dos n objetos é chamada de uma
permutação simples dos n objetos e o número dessas
FICHA 2 – PERMUTAÇÕES SIMPLES permutações simples é representado por Pn = n!
O símbolo n1 é o fatorial de um número e significa o
Quantos números de três algarismos diferentes podem produto dos números naturais decrescendo e um em um e
ser formados com os algarismos 5, 7 e 9? Seis são as até um. Assim 3 · 2 · 1 = 3! e 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 5!
possibilidades: 579, 597, 795, 759, 975 e 957.
COMBINAÇÕES SIMPLES
E se pedíssemos para você determinar o número de
possibilidades de escrever números com cinco algarismos De quantas maneiras podemos escolher dois números
usando os algarismos 1, 2, 3, 4 e 5? Neste caso, teríamos distintos entre os números ímpares de zero a dez?
um pouco mais de trabalho, mas mesmo assim não haveria Será que podemos resolver utilizando a permutação
muito problema em responder a essa pergunta, porém, fica simples?
inviável enumerar todos os elementos deste conjunto. Por
isso, poderíamos utilizar o conceito de permutação simples. Temos cinco possibilidades para a casa da dezena e
Observe como resolvemos estes dois problemas simples de quatro possibilidades para a casa da unidade, ou seja,
contagem sem enumerar o conjunto todo. 5 · 4 = 20 possibilidades.

No primeiro exemplo, temos os algarismos 5, 7 e 9 e As vinte possibilidades:
queremos encontrar todas as possibilidades de escrevermos
números com três algarismos a partir deles. As seis {1,3} , {1,5} , {1,7} , {1,9} , {3,1} , {3,5} , {3,7} , {3,9} , {5,1} ,
possibilidades podem ser encontradas por enumeração ou {5,3} , {5,7} , {5,9} , {7,1} , {7,3} , {7,5} , {7,9} , {9,1} , {9,3} ,
a partir da seguinte ideia: para a casa da centena temos
três possibilidades para escolher uma, para a casa da {9,5} , {9,7}
dezena duas possibilidades e para a casa da unidade uma
possibilidade, logo, 3 · 2 · 1 = 6. Como desejamos escolher dois números, as opções {1,3} e
{3,1} são iguais, da mesma forma que {1,5} e {5,1} também
Se você ainda não entendeu, veja se fica mais claro assim: são. Como para cada par de números há duas opções que
Na casa da centena podemos escolher um entre os dois aqui são iguais, temos que dividir as vinte possibilidades
algarismos 5, 7 e 9. Se já escolhemos uma para a casa por dois e aí sim encontraremos o resultado correto que são
da centena, sobram duas possibilidades para a casa da dez possibilidades.
dezena e uma para a casa das unidades. A multiplicação
das possibilidades é devida ao Princípio Fundamental da Outro exemplo antes de formalizarmos o conceito que aqui
Contagem, que diz: aparece. E se, em vez de escolhermos dois números distintos
entre os números ímpares de zero a dez escolhêssemos
640 três números?

Para a casa da centena teríamos cinco possibilidades; NÚMEROS BINOMIAIS MATEMÁTICA
para a casa da dezena quatro possibilidades e para a
casa da unidade três possibilidades. Logo, 5 · 4 · 3 = 60 Os números binomiais são todos os números definidos por
possibilidades. n n!
p = Cn, p = p! · (n – p)! , em que n, p Î N. O famoso triângulo
Algumas das sessenta possibilidades:

{1,3,5} , {1,3,7} , {1,3,9} , {1,5,3} , {3,5,1} , {3,1,5} , {5,1,3} , de Pascal é formado por números binomiais, olha só!
{5,3,1}, ...,
1 C0, 0
Para cada terna de números, por exemplo {1,3,5}, temos 11 C0, 1 C1, 1
seis possibilidades que, neste caso, são todas iguais. Por 121 C0, 2 C1, 2 C2, 2
isso, devemos dividir as sessenta possibilidades por seis e 1331 C0, 3 C1, 3 C2, 3 C3, 3
aí sim encontramos o verdadeiro resultado que, novamente, 14631 C0, 4 C1, 4 C2, 4 C3, 4 C4, 4
será igual a dez. ... ...
As duas possibilidades que encontramos no exemplo
anterior referem-se ao fato de termos uma permutação de Se contarmos as linhas e colunas do triângulo começando
n
denoicsoenltermamenostons,oloegxoe,mPp2l=o 2! = 2. Já as seis possibilidades que em zero, o elemento da linha n e coluna p será p = Cn, p.
atual referem-se ao fato de termos
uma permutação de três elementos, logo, P3 = 3! = 6. Uma propriedade dos números binomiais e que nos
Juntando as informações, no exemplo anterior ajuda a construir o triângulo de Pascal é a relação de
n n n+1
construiríamos o número total de possibilidades da seguinte Stifel: p + p+1 = p+1 , isto é, somando dois
mtoatanledireap: 5o2s·!s4ib, eilindoadeexesmdaplsoeagtuuianlt,eenmcaonnetriraar:ía5m· o34s! ·
o número elementos consecutivos de uma mesma linha, obtemos o
3. elemento situado abaixo da última parcela.

Generalizando, se tivéssemos que escolher p objetos Relação das combinações complementares
edleemnenptoosssívfeoirsma{ed1o,es2,..r.e,ecne} b,ercáadao
distintos de um total Temos n = n isto é, em uma mesma linha do
subconjunto com p p p–1
nome de combinação simples de classe p dos n objetos
p{ee1l,ae2f,ó..r.,menu}.laOCnnú, pm=enro· total de combinações simples é dado triângulo de Pascal, elementos equidistantes dos extremos
(n – 1) ·...· (n – p + 1) são iguais.
p! , 0 < p < n.
n! n!
A expressão mais usual é encontrada multiplicando o Cn, n – p = (n – p)! · [n – (n – p)]! = p! · (n – p)! = Cn, p

numerador e o denominador por (n – p) assim: Cn, p =
n · (n – 1) ·...· (n – p + 1) · (n – p)! n!
p! · (n – p)! Þ Cn, p = p! · (n – p)! , 0 ≤ p Teorema das linhas:

≤ n. É comum usar Cn, p, p = Cnp = n . Cn, 0 + Cn, 1 + Cn, 2 + ... + Cn, n = 2n
p isto é, a soma dos elementos da linha n vale 2n.

Antes de exercitarmos um pouco, gostaríamos de voltar Teorema das colunas:
às permutações e verificar o que acontece quando os
elementos não são todos distintos. Para isso, o seguinte Cp, p + Cp, p + 1 + Cp, p + 2 + ... + Cp, p + n = Cp, + 1, p + n + 1
exemplo poderá nos ajudar.
ou seja, a soma dos elementos de uma coluna do triângulo
Os anagramas são as diferentes combinações que fazemos (começando no primeiro elemento da coluna) é igual ao
com uma palavra. Por exemplo, quantos anagramas possui a elemento que está avançado uma linha e uma coluna sobre
a última parcela da soma.
palavra “OURINHOS”? A resposta anãpoalaévPra8 = 8! = 40320. E
por que não? A resposta é porque “OURINHOS” tem 1
uma letra que aparece duas vezes, logo temos que excluir do 11
número total dos anagramas encontrados nos casos em que 1 2 [1]
há repetição. O jeito para se fazer isso é dividir a permutação 1 3 [3] 1
pelo fatorial do número de vezes que a letra aparece. Assim, 1 4 [6] 4 1
8! 1 5 10 [10] 5 1
o número de anagramas da palavra “OURINHOS” é P82 = 2!
=20.160.
E se a palavra fosse “ELENILTON”, quantos seriam os
anagramas? As letras E, L, Naparecem duas vezes cada,
logo, o número total de anagramas da palavra “ELENILTON” BINÔMIO DE NEWTON

seria P92, 2, 2 = 2! · 9! · 2! = 362880 = 45.360. Teorema: Se x e a são números reais e n é um inteiro
2! 8
positivo,
Generalizando, o número de permutações de n objetos n n n
dos quais são iguais a a, b são iguais a b, ..., λ iguais a l (x + a)n = ∑n k ak · xn – k = 0 = a0 · xn + 1 a1 · xn – 1 Þ
k=0

(a + b + ... + λ = n) é Pna, b, ..., λ = a! n! λ!. = +...+ n an · x0
b! ... n
641

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM É importante destacar que o desenvolvimento do binômio da necessidade. Num debate entre Hobbes e o doutor
de Newton possui n + 1 termos e que os coeficientes do Bramhall, bispo de Derry, documentado por volta de 1646,
desenvolvimento deste binômio são os elementos da linha Hobbes argumentou que era a ignorância dessas causas
n do triângulo de Pascal. Se escrevermos os termos do que impedia alguns homens de perceberem a necessidade
desenvolvimento na ordem acima, é possível encontrar um dos eventos e que os fazia atribuí-los ao acaso.
termo qualquer, por exemplo, o termo de ordem k + 1, ou
seja, O bispo, entretanto, tinha ideias diferentes. Embora
n raramente usasse a palavra acaso na sua tentativa de
Tk + 1 = k = ak xn – k argumentar que o homem sem dúvida tem livre-arbítrio,
ele admitia uma indeterminabilidade nos eventos que
FICHA 3 – PROBABILIDADE denominava contingência. Eventos contingentes são
aqueles que podem ou não acontecer, ou podem acontecer
ACASO OU NECESSIDADE ? de alguma outra forma. Como exemplo, o bispo utilizou o
lance de dois dados que resulta em um par de 1 (às vezes
Será que um acontecimento aleatório não é totalmente chamado de “olhos de cobra”):
previsível e é somente aleatório em virtude da nossa
ignorância dos fatores concorrentes mais ínfimos? Ou seriam Supondo-se que a [posição] da mão do participante que de
os fatores concorrentes incognoscíveis, tornando, portanto, fato lançou os dados, que o formato da mesa e dos próprios
aleatório um resultado que jamais pode ser determinado? dados, que a quantidade de força aplicada e que todos os
Seriam os eventos aparentemente aleatórios meros outros aspectos que colaboraram para a produção daquela
resultados de flutuações superpostas num determinado jogada fossem exatamente iguais aos que haviam sido, não
sistema, mascarando sua previsibilidade? Ou existe alguma há dúvida de que, nesse caso, a jogada é necessária pois,
desordem intrínseca ao próprio sistema? se todas essas causas concorrentes, ou algumas delas
fossem contingentes ou livres, a jogada não seria de modo
A questão filosófica do acaso versus necessidade remonta algum necessária. A começar pelo jogador: ele poderia
aos gregos e continua sendo debatida até hoje. O primeiro negar sua cooperação e não jogar logo; ele poderia dobrar
atomista, Leucipo (cerca de 450 a.C.), disse: “Nada ou reduzir sua força ao lançar os dados, a seu bel-prazer;
acontece aleatoriamente; tudo acontece por alguma razão ele poderia jogar os dados em outra mesa. Em todos esses
e por necessidade”. A escola atômica sustentava que o casos, o que seria do par de 1? Incertezas semelhantes
acaso não poderia significar sem causas, já que tudo tem apresentam-se ao fabricante das mesas, ao fabricante dos
uma causa. O acaso deve, sim, significar causa oculta. dados, ao dono das mesas, ao tipo da madeira e a uma
Essa opinião continuou a ser sustentada pelo sucessor de quantidade desconhecida de outras circunstâncias.
Leucipo, Demócrito (cerca de 460-370 a.C.), para quem o
acaso significava ignorância da causa determinante. O bispo estava salientando que, apesar de qualquer
jogada específica ser determinada pelas leis da física,
Séculos mais tarde, os estoicos também repudiaram o existem tantos aspectos circunstanciais na situação que o
evento sem causa. Crísipo (cerca de 280-207 a.C.) teria resultado é indeterminado.
dito: “Não existe nada que se possa chamar de ausência
de causa ou espontaneidade. Nos chamados impulsos Hobbes contrapôs que, se um simples aspecto da
acidentais, inventados por alguns, existem causas ocultas à situação for alterado, uma nova jogada é necessariamente
nossa visão que determinam o impulso numa determinada determinada e que a indeterminabilidade significa
direção”. É muito provável que a referência aos chamados simplesmente que não sabemos qual necessidade ocorrerá.
impulsos acidentais seja uma alusão à filosofia contrária, de O bispo retrucou que o efeito é necessário “quando os
Epicuro (341-270 a.C.) e seus discípulos. dados são lançados mas não antes que os mesmos sejam
lançados”. O bispo estava fazendo uma distinção perspicaz:
Os epicuristas asseguravam que a crença na necessidade a física daquela situação casual é determinista quando
— ou seja, em que os eventos são predeterminados — e a acontece, mas indeterminista antes de acontecer. Esse não
eliminação dos eventos sem causa eram incompatíveis com era o ponto de vista em geral aceito na época.
o conceito do livre-arbítrio. Epicuro aceitava a teoria básica
dos atomistas, mas se distanciava deles ao acreditar que Se todas as condições iniciais fossem conhecidas, o
um desvio sem causa e espontâneo dos átomos faziam lançamento dos dados seria aleatório? O bispo de Derry,
com que colidissem, e que a incerteza do desvio admitia em 1646, provavelmente diria que, se as condições
o elemento do livre-arbítrio. A filosofia epicurista é mais iniciais pudessem ser completamente conhecidas ou
bem documentada por Lucrécio, o poeta romano que viveu completamente controladas, o jogo de dados não estaria na
entre 96 e 55 a.C., em seu poema De rerum natura. Se o categoria dos eventos aleatórios. Se fosse possível construir
acaso para os atomistas Leucipo e Demócrito significava uma máquina que produzisse um determinado lançamento
ignorância da causa, para Epicuro e Lucrécio abrangia o de dados com 99% de precisão, o bispo provavelmente diria
aspecto indeterminista. que ele apresentava 1% de contingência.

Uma visão determinista do mundo predominou na Mesmo hoje, ainda consideraríamos aleatório o
Europa durante a Idade Média, incentivada pela crença da lançamento da máquina; os resultados simplesmente
incipiente igreja cristã de que tudo acontecia sob o comando não têm probabilidades iguais. Mesmo se pudéssemos
do Criador. O filósofo inglês Thomas Hobbes (1588-1679) aumentar a precisão da máquina para 99,9%, ainda assim
assegurava que todos os eventos eram predeterminados por consideraríamos os lançamentos aleatórios — cada um
Deus ou por causas extrínsecas determinadas por Deus. No deles com uma certa probabilidade de ocorrer. No entanto,
642 seu universo não havia espaço para o acaso; tudo provinha assim que a precisão chegasse a 100% ou o resultado
fosse garantido, o evento seria puramente determinista,

sem envolver nenhuma incerteza. Se não há incerteza, não A proposta do texto é trazer à tona a dificuldade que os MATEMÁTICA
há aleatoriedade. cientistas encontraram ao longo dos séculos para aceitar
o acaso. A relação entre acaso e necessidade é intrínseca.
Pouco tempo depois do debate entre o bispo de Derry Um ser menos avisado diria que são sinônimos, o que bem
e Thomas Hobbes fora feita uma descoberta científica sabemos não são.
que, estranhamente, complementava o determinismo
cristão e que pelos dois séculos seguintes desequilibrou o Mas em que momento a probabilidade aparece? Na sua
debate em favor da necessidade em detrimento do acaso. leitura do texto você deve ter percebido que experimentos
Essa descoberta foi a física newtoniana – um sistema repetidos sob as mesmas condições, que não produzem
de pensamento que representou o florescimento total resultados essencialmente idênticos são chamados de
da Revolução Científica no final do século XVII. Com base aleatórios. Por isso, como não há 100% de certeza de
no trabalho de Newton e de muitos outros, desenvolveu- que se repetíssemos novamente o mesmo experimento
se uma crença entre os cientistas de que tudo no mundo encontraríamos o resultado esperado, associamos a
natural poderia ser conhecido por meio da Matemática e, se cada possibilidade de ocorrência de um resultado uma
tudo se adequava a um projeto matemático, então deveria probabilidade.
existir um Grande Projetista. Não havia nessa filosofia lugar
para o puro acaso ou para a aleatoriedade. Traduzindo 1:
No lançamento de moeda não-viciada, duas possibilidades
Esse determinismo pode ser visto claramente no prefácio podem ocorrer – cara ou coroa – a probabilidade de
de John Arbuthnot, datado de 1962, para a tradução de ocorrência de cada uma delas é de 50%.
De retiociniis in ludo alea (Cálculos em jogos de azar) de
Christiaan Huygens, o primeiro texto impresso sobre a teoria Traduzindo 2:
da probabilidade. Arbhuthnot afirma: “São pouquíssimas Se em média chegam duas chamadas telefônicas por
as coisas que conhecemos que não podem ser reduzidas minuto numa central telefônica, qual a probabilidade de
a um pensamento matemático, e, quando não é possível que cinco minutos sejam registradas exatamente dez
reduzi-las, é um sinal de que nosso conhecimento a seu chamadas?
respeito é pequeno e confuso. Quanto ao acaso, disse ele,
“é impossível para um dado, com uma determinada força Traduzindo 3:
e direção, não cair sobre um determinado lado a menos
que eu desconheço a força e a direção que fariam com ele Numa linha de produção, 1% das peças fabricadas são
caísse sobre aquele determinado lado. Portanto, chamo de defeituosas. Sabemos que estas peças são organizadas
acaso aquilo que não passa de falta de perícia”. em caixas com 10 unidades. Qual a probabilidade de você
escolher uma caixa ao acaso e nesta caixa encontrar 5
Quando os cientistas começaram a investigar com peças defeituosas?
diligência os céus e a Terra em torno deles durante a
Revolução Científica, tentaram reduzir tudo à matemática. Muitos, mais muitos experimentos e fenômenos aleatórios
Na crença fervorosa que a análise numérica exata deveria existem, e a probabilidade aparece em todos eles para
levar as leis universais, mediram distâncias na Terra, modelá-los. A probabilidade é uma ferramenta poderosíssima
distâncias no espaço, órbitas, marés — parecia que tudo se no mundo contemporâneo, em que precisamos muitas vezes
encontrava dentro dos limites da capacidade humana de fazer previsões que podem mudar a vida de muitas pessoas.
medir, contar e calcular. A melhora na qualidade do produto comprado e a redução do
preço pago por ele têm forte relação com a probabilidade e a
No entanto, apesar dos melhores instrumentos e métodos, estatística; o gerenciamento de risco, relacionado ao mercado
os cientistas competentes não cessavam de obter medidas financeiro, também usa probabilidade e estatística. Os
diferentes ao medir a mesma entidade. Era até provável exemplos são inúmeros, por isso, não será possível mencionar
que o mesmo cientista, se fizesse mais de uma observação todos.
do mesmo objeto, obtivesse resultados diferentes. O
erro aleatório aparecia, de forma bastante inesperada, Dando continuidade ao nosso estudo de probabilidade,
nos trabalhos dos cientistas da natureza que tentavam iremos apresentar agora os principais conceitos relacionados
descobrir fatos sobre fenômenos exatos, como distâncias a esta bela área do conhecimento matemático. Para isso,
astronômicas e orbitais — fenômenos que pareciam iremos nos valer de um exemplo.
representar a antítese dos eventos aleatórios.
Situação: Na última aula de matemática o professor
O texto “Acaso ou necessidade?” foi extraído do livro Aleatoriedade, de Deborah J. Bennett; pediu para que nós resolvêssemos o seguinte problema: Um
tradução Waldéa Barcello. São Paulo: Martins Fontes, 2003 (pp. 95-101). número inteiro maior ou igual a 100 e menor ou igual 999
é escolhido por meio de um sorteio. Determine a chance de
QUESTÕES PARA INTERPRETAR O TEXTO esse número ser divisível por cinco.

Questão 1. No que diz respeito ao debate (as controvérsias) Foi apresentada a seguinte solução:
entre o bispo de Derry e Thomas Hobbes, qual das duas
opiniões mais se aproxima do seu ponto de vista? 900 → 100% Þ 900 = 100% Þ x = 180 · 100 Þ x = 20%
180 → x 180 x 180
Questão 2. Defenda o seu ponto de vista, valendo-se do
texto.

Questão 3. Defina, segundo o texto, o que significa
aleatoriedade.

643

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM Vamos por partes: Logo, P (A ) = 1 – P (A).

– O fato de você sortear um número já torna o experimento Teorema:
aleatório.

– O número 900 representa todos os resultados possíveis Se A Ç B ≠ Ø, então P (A È B) = P (A) + P (B) – P (A È B).
de ocorrência do experimento aleatório. Este resultado é
denominado espaço amostral e será indicado pela letra Probabilidade condicional
grega Ω. O espaço amostral é um conjunto.

– O sorteio do número divisível por cinco é um subconjunto Dados dois eventos A e B, a probabilidade condicional de
do espaço amostral e recebe o nome de evento P (A Ç B)
elementar. O número 180 representa todos os resultados A, dado B, é o número P (A È B) = P (B) .
favoráveis ao evento: sair um número divisível por cinco.
Os eventos serão indicados por uma letra maiúscula do Um exemplo pode facilitar mais a sua
nosso alfabeto. compreensão

– Para determinarmos a chance de ocorrência deste evento, Três urnas I, II e III contêm, respectivamente, 1 bola branca
basta encontrar o quociente entre o número de casos e 2 pretas, 2 brancas e 1 preta e 3 brancas e 2 pretas. Uma
favoráveis ao evento e o número de casos possíveis, urna é escolhida ao acaso e dela é retirada uma bola, que
ou seja, se A é o nosso evento, a chance de ocorrência é branca. Qual é a probabilidade de que a urna escolhida
deste evento é determinada por: ter sido a II?
número de casos favoráveis
P(A)= número de casos possíveis I branca (1)
preta (2)

Sistematizando Urnas II branca (1) .
O espaço amostral é um conjunto formado pelos resultados preta (2)
possíveis do experimento aleatório; os elementos do espaço
amostral são chamados eventos elementares; o evento é III branca (1)
um subconjunto do espaço amostral; a probabilidade é o preta (2)
quociente do número de casos favoráveis sobre o número
de casos possíveis. Evento B: retirar uma bola branca; Evento II. Urna
escolhida é a II
Consequências imediatas da definição de O evento que já ocorreu foi o B, logo a probabilidade de
probabilidade ocorrência do evento II, dado que o evento B já ocorreu, é
a) Para todo evento A, 0 ≤ P (A) ≤ 1 P (B Ç II) 2 1
b) P (Ω) = 1 igual a P (B|II) = P (B) = 6 = 3 @ 0,3333 @ 33,33%
c) P (Ø) = 0, porque # Ø = 0
d) Se A Ç B = Ø Þ P (A È B) = P (A) + P (B) Um exemplo para você resolver

Mais consequências Um grupo de pessoas está classificado da seguinte forma:

Fala inglês Fala alemão Fala francês

Homens 92 35 47
Mulheres 101 33 52

I) Quando A Ç B = Ø, dizemos que os eventos são Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que esta
mutuamente excludentes. pessoa fala alemão, qual é a probabilidade de que seja
mulher?
II) A intersecção de dois eventos ocorrerá se, e somente se,
ocorrerem, simultaneamente, o evento A e o evento B. Independência de eventos
Dados dois eventos A e B de um espaço amostral a Ω,
III) A união entre dois eventos ocorrerá se, e somente se, se P (A|B) = P (A) e P (A|B) = P (B), os dois eventos dizem-
ocorrer pelo menos um desses eventos (A, B, ou A e B). se independentes. A ocorrência de um deles não interfere
na ocorrência do outro. A probabilidade condicional de
IV) Se A for um evento, o seu complementar A aquele que um deles, dado o outro, é igual à respectiva probabilidade
ocorrerá se, e somente se, não ocorrer o evento A. simples. Nesse caso, P (A Ç B) = P (A) · P (B).

Proposição:

P(A) = 1 – P(A)

Demonstração: Mais um exemplo:
A È A = Ω Þ A Ç A = Ø Þ P (A È A ) = P (A) + P (A ) Þ
Um sistema de alarmes contra ladrões é constituído dos
P (A) + P (A ) = P (Ω) =1 dispositivos A, B e C, trabalhando independentemente, cada
um com probabilidade 0,9 de funcionar convenientemente
644

e dispostos de tal forma que basta um deles funcionar para Nesse exemplo fica então definida a seguinte distribuição de MATEMÁTICA
que o sistema funcione, fazendo soar o alarme. Calcule a probabilidades, que fornece as probabilidades de ocorrência
probabilidade de funcionamento do sistema. de cada um dos possíveis resultados do experimento aleatório,
por meio das probabilidades assumidas pelos possíveis
RESOLUÇÃO: Para que o alarme soe, basta que ao valores da variável aleatória.
menos um dispositivo funcione. Pensando nisso, a
única possibilidade do alarme não soar é se nenhum x 0123 4
dos dispositivos funcionar. Assim, como os eventos são P (X=x) 44,4225 41,0054 12,8142 1,66689 0,0893
independentes, ou melhor, os dispositivos são independentes
e a probabilidade de não funcionamento de cada um é igual 56 Total
a 0,1, então a probabilidade do sistema não funcionar será 0,001661 0,000006 100
igual a 0,1 · 0,1 · 0,1 = 0,13 = 0,001 = 0,10%. Para encontrar a
probabilidade de funcionamento do sistema, basta fazer P (A Indicando as probabilidades de ocorrência de cada um dos
Ç B Ç C) = 1 – P (A Ç B Ç C) = 1 – 0,001 = 0,999 = 99,90%. valores da vaasrisáevgeul ianlteeastócroiandXiçpõoersP: (xi) = P(X = xi), devem ser
satisfeitas
Para resolver este exemplo, utilizamos a proposição
P(A) = 1 – P(A ). 1ª) P(xi) ≥ 0, para todo i;

Em muitas situações, será mais prático calcular primeiro 2ª) ∑n P(xi) = 1.
a probabilidade do evento complementar para depois
encontrar a probabilidade de ocorrência do evento em i=1
questão.
Distribuição binomial
Variável aleatória discreta Consideremos agora um experimento com apenas dois
resultados possíveis, que chamaremos de sucesso e
O conceito de variável aleatória nos permite associar fracasso.
aos resultados de um experimento aleatório números Por exemplo:
reais para que, utilizando o conceito de função, possamos
calcular mais facilmente as probabilidades de ocorrência a) Testamos uma lâmpada e dissemos que o sucesso
dos vários eventos correspondentes a esse experimento. ocorre se a lâmpada apresentar defeito, e fracasso se
Consideramos, então, variável aleatória como uma função ela estiver perfeita.
definida no espaço amostral e que assume valores no
conjunto dos números reais. b) Lançamos um dado e atribuímos sucesso se ocorrer
número par e fracasso se ocorrer número ímpar.
Uma variável aleatória poderá ser discreta ou contínua
conforme os seus possíveis valores formem um conjunto Esses experimentos são conhecidos como experimentos
enumerável de valores ou intervalos contínuos da reta real. de Bernoulli ou ensaios de Bernoulli. Chamaremos de p a
Como não é comum discutir o conceito de variável aleatória probabilidade de sucesso e q = 1 –p a probabilidade de
e, por conseguinte, distribuição de probabilidade, no Ensino fracasso.
Médio, iremos apresentar apenas, como ilustração, uma
destas distribuições de probabilidade, que é a Distribuição Devemos ressaltar que qualquer um dos dois resultados
Binomial. possíveis do experimento poderá ser chamado de sucesso,
para isso bastando que a sua probabilidade de ocorrência
Distribuição de probabilidades seja indicada por p.

As distribuições de probabilidades são discretas ou Consideremos, então, o experimento que consiste na
descontínuas quando a variável aleatória envolvida é realização de n ensaios independentes de Bernoulli,
enumerável ou contável. cada um com probabilidade de sucesso constante e igual
a p. Dizemos que a variável aleatória X, igual ao número
Consideremos o seguinte exemplo: de sucessos obtidos nos n ensaios de Bernoulli, tem
distribuição binomial, com parâmetros n e p, e indicamos:
No jogo da Sena são sorteadas 6 dezenas distintas X ~ Bin (n, p).
entre as dezenas 01, 02, 03, ... , 50. O apostador escolhe
6 dezenas e é premiado se são sorteadas 4 (quadra), 5 Teorema binomial: A probabilidade de ocorrerem
(quina) ou 6 (sena principal). Determine a probabilidade de exatamente k sucessos em uma sequência de n provas
um apostador fazer: independentes, na qual a probabilidade de sucesso em
n
cada prova é p, é igual a k = pk · (1 – p)n – k.

a) uma quadra; Exemplificando de novo:
b) uma quina; Sabe-se que numa linha de produção 10% das peças são
c) a sena principal. defeituosas, e as peças são acondicionadas em caixas com

645

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM cinco unidades. Seja X a variável aleatória igual ao número ao número de peças defeituosas, isto é, (X ≥ 2) = {2, 3, 4,
de peças defeituosas encontradas numa caixa, determine 5}. Para calcular a probabilidade de uma caixa conter duas
a probabilidade de uma caixa conter duas ou mais peças ou mais peças defeituosas, utilizamos P (X ≥ 2) = P (X = 2)
defeituosas. + P (X = 3) + P (X = 4) + P (X = 5). Para não termos muito
trabalho, calcularemos P (X ≤ 2) = P (X = 0) + P (X = 1).

RESOLUÇÃO: Estamos interessados em estudar P (X = 0) + 5 · 0,100 · 0,905 = 1 · 1 · 0,5905 = 0,5905 = 59,05%
as peças defeituosas, por isso, chamaremos de 0
sucesso a probabilidade de ocorrência de peça 5
defeituosa, ou seja, p = 0,10 , e de fracasso a P (X = 1) + 1 · 0,101 · 0,904 = 5 · 1 · 0,6561 = 0,3281 = 32,81%
probabilidade de ocorrência de peça perfeita, ou
seja, q = 0,90. O número de provas que temos P (X ≤ 2) = 0,5905 + 0,3281 = 0,9186 = 91,86%
refere-se à quantidade de peças por caixas, neste
caso, n = 5. A nossa variável aleatória X refere-se P (X ≤ 2) = 1 – P (X ≤ 2) = 1 – 0,9186 = 0,814 = 8,14%

646

MATEMÁTICA

BLOCO 6
EXERCÍCIOS

1. (CEFET) Uma caixa contém apenas peças defeituosas, d) 18%.
e os defeitos podem ser dos tipos A, B e C. Em relação
às peças na caixa, sabe-se que: e) 20%.

40% têm defeito do tipo A; 4. (FAC. MED. JUNDIAÍ) De um grupo de recém–
30% têm defeito do tipo B; –formados em Medicina presentes numa solenidade,
18% têm defeitos dos tipos A e C; 25 trabalham no Hospital A, 35 no Hospital B, 15 no
10% têm defeitos dos tipos A e B; Hospital C, 10 trabalham nos Hospitais A e B, 11 nos
9% têm defeitos dos tipos B e C. hospitais A e C, 9 nos hospitais B e C e 5 trabalham
Sendo p a probabilidade de que uma peça dessa caixa, nos três hospitais. Sabendo-se que cada médico
sorteada ao acaso, tenha o defeito C, pode-se afirmar que pode trabalhar em um ou mais desses hospitais
simultaneamente, escolhendo-se ao acaso um dos
a) 0,56 ≤ p ≤ 0,61 médicos presentes, a probabilidade de que ele não
b) 0,60 ≤ p ≤ 0,69 trabalhe no hospital B é de
c) 0,56 ≤ p ≤ 0,61
d) 0,58 ≤ p ≤ 0,67 a) 42%.
e) 0,59 ≤ p ≤ 0,68 b) 46%.
b 48%.
2. (MACKENZIE) Em um escritório, onde trabalham 6 d) 36%.
mulheres e 8 homens, pretende-se formar uma equipe e) 30%.
de trabalho com 4 pessoas, com a presença de pelo
menos uma mulher. O número de formas distintas de 5. (FUVEST) Em uma classe de 9 alunos, todos se dão
se compor essa equipe é: bem, com exceção de Andreia, que vive brigando com
Manoel e Alberto. Nessa classe, será constituída uma
a) 721 comissão de cinco alunos, com a exigência de que
b) 1.111 cada membro se relacione bem com todos os outros.
c) 841 Quantas comissões podem ser formadas?
d) 931
e) 1.001 a) 71
b) 75
3. (FAC. MED. JUNDIAÍ) Considere uma prova descritiva de c) 80
Matemática em um vestibular, contendo 5 questões d) 83
distintas, e as n formas possíveis de se montar essa e) 87
prova, permutando-se a ordem das questões. Sabe-se
que nesse vestibular serão utilizadas apenas 12 versões 6. (FUVEST) Em um jogo entre Pedro e José, cada um
dessa prova, que representam, do total de versões deles lança, em cada rodada, um mesmo dado honesto
possíveis, uma única vez. O dado é cúbico, e cada uma de suas
6 faces estampa um único algarismo de maneira que
a) 10%. todos os algarismos de 1 a 6 estejam representados
a) 12%. nas faces do dado.
c) 15%.
Um participante vence, em uma certa rodada, se a
diferença entre seus pontos e os pontos de seu adversário
for, no mínimo, de duas unidades. Se nenhum dos

647

CONCURSOS, VESTIBULARES & ENEM participantes vencer, passa-se a uma nova rodada. Dessa c) 840.
forma, determine a probabilidade de
d) 1.120.

a) Pedro vencer na primeira rodada. e) 1.240.

b) nenhum dos dois participantes vencer na primeira rodada. 10. (UFMT) Um dado honesto é lançado três vezes e seus
c) um dos participantes vencer até a quarta rodada. resultados são anotados. A probabilidade de que se
possa arranjar os três resultados obtidos formando
7. (SENAC) A probabilidade de ocorrência da doença X uma progressão aritmética de razão 1 é igual a:
está relacionada somente à ocorrência simultânea dos
fatores A e B. Sabe-se que a ocorrência do fator A nos a) 1
indivíduos independe da ocorrência do fator B. 6
1
Admita um indivíduo com as seguintes características: b) 9

– tem 60% de chance de possuir o fator A; c) 1
– tem 40% de chance de possuir a doença X. 27
A probabilidade de esse indivíduo possuir o fator B é igual a 1
d) 54

e) 1
108

a) 1 11. (UNCISAL) Para direcionar e adequar conteúdos, um
3 cursinho preparatório fez uma pesquisa com seus 280
3 alunos e constatou que 200 farão sua inscrição para
b) 10 o vestibular em universidades federais, 220 farão sua
inscrição em universidades estaduais e 40 farão a
c) 2 inscrição somente em universidades particulares. O
5 número de alunos que farão a inscrição para o vestibular
2 somente em universidades estaduais é igual a
d) 3
a) 100.
e) 3
4

8. (SENAC) De um grupo com 5 homens e 6 mulheres, b) 90.
deseja-se formar uma comissão que tenha as seguintes c) 80.
características: d) 60.
e) 40.
– de 4 a 5 pessoas;
– com 3 ou mais mulheres; 12. (UNCISAL) Um hospital está reorganizando a sua
– com pelo menos 1 homem. farmácia e, para facilitar a visualização e agilizar
a localização de medicamentos, selecionou 8
O número de comissões diferentes que se pode formar é cores para identificar 6 grupos de medicamentos
essenciais, sendo que cada grupo de medicamentos
a) 245. deverá estar associado a uma cor distinta. Sabe-se
b) 273. que já foi designada a cor amarela para o grupo de
c) 286. antibióticos. Dessa maneira, o número de diferentes
d) 324. composições de cores que poderão ser formadas é
e) 375. igual a

a) 20.160.

9. (SENAC) A malha de estações de metrô de uma cidade b) 6.720.
disponibiliza 5 linhas para ir do ponto A para o ponto B, c) 2.520.
e 8 linhas para ir de B para C. Sabendo-se que todas as d) 1.440.
linhas fazem percursos nos dois sentidos das viagens, e) 720.
o número de maneiras distintas de ir e voltar de A até
C, passando por B, sem repetir a mesma linha nos 13. (VUNESP) Sabe-se que, num dado momento, no caixa
trajetos de ida e de volta, é de um supermercado há 40 moedas, que totalizam a
quantia de R$ 3,75. Sabe-se também que:
a) 720.
b) 760.

648

• as moedas são apenas de três tipos: 5 centavos, 10 MATEMÁTICA
centavos e 25 centavos;

• o número de moedas de 10 centavos é o triplo da
quantidade das de 25 centavos.

A probabilidade de retirar-se desse caixa, sucessivamente a) 5!
e sem reposição, três moedas em ordem crescente de 25!
valores é

a) 21 b) 5! · 5!
988 25!

b) 23 c) 5! · 20!
988 25!

c) 25 d) 5! · 5! · 20!
988 25!

d) 27 e) 5! · 5! · 25!
988 20!

e) 29 17. (VUNESP – ADAPTADO) Considere todos os números
988 formados por 6 algarismos distintos obtidos
permutando-se, de todas as formas possíveis, os
14. (VUNESP) Joga-se um dado honesto. O número algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Determine quantos
que ocorreu (isto é, da face voltada para cima) é o números é possível formar (no total) e quantos
coeficiente b da equação x2 + bx + 1 = 0. números se iniciam com o algarismo 1.

Determine 18. (UFG) De acordo com diagnóstico do Banco Central
a respeito de meios de pagamento de varejo no
a) a probabilidade de essa equação ter raízes reais. Brasil, no ano de 2006, constata-se que 24% dos
b) a probabilidade de essa equação ter raízes reais, pagamentos foram feitos com cheque e 46%, com
cartão. O valor médio desses pagamentos foi de
sabendo-se que ocorreu um número ímpar. R$ 623,00 para os cheques e de R$ 65,00 para os
cartões. O valor médio, quando se consideram todos
15. (UNIFESP) A figura exibe um mapa representando os pagamentos efetuados com cheque e cartão, é,
13 países. Considerando-se como países vizinhos aproximadamente,
aqueles cujas fronteiras têm um segmento em
comum, o número mínimo de cores que se pode a) R$ 179,00.
utilizar para colori-los, de forma que dois países b) R$ 240,00.
vizinhos não tenham a mesma cor, é: c) R$ 256,00.
d) R$ 302,00.
a) 2. e) R$ 344,00.
b) 3.
c) 4. 19. (VUNESP) Numa certa região, uma operadora
d) 5. telefônica utiliza 8 dígitos para designar seus
e) 6. números de telefones, sendo que o primeiro é sempre
3, o segundo não pode ser 0 e o terceiro número é
diferente do quarto. Escolhido um número ao acaso, a
probabilidade de os quatro últimos algarismos serem
distintos entre si é

a) 63
125

b) 567
1250
16. (UNIFESP) Um engradado, como o da figura, tem
capacidade para 25 garrafas. Se, de forma aleatória, c) 189
forem colocadas 5 garrafas no engradado, a 1250
probabilidade de que quaisquer duas delas não
recaiam numa mesma fila horizontal, nem numa d) 63
mesma fila vertical, é: 1250

e) 7
125
649