คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คูม� อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติม ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท� ่ี

คณติ ศาสตร� ๖

เลม� ๑

ตามผลการเรียนรู�
กลม�ุ สาระการเรยี นร�ูคณิตศาสตร� (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑

v= ds
dt

ฉบับเผยแพร พ.ค. 63



คมู อื ครู

รายวชิ าเพม่ิ เตมิ
คณิตศาสตร

ชนั้

มธั ยมศกึ ษาปที่ ๖ เลม ๑

ตามผลการเรียนรู
กลมุ สาระการเรยี นรคู ณิตศาสตร (ฉบับปรบั ปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐)
ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาขน้ั พื้นฐาน พทุ ธศกั ราช ๒๕๕๑

จดั ทําโดย
สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธิการ



คาํ นาํ

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) มีหนาที่ในการ
พัฒนาหลักสูตร วิธีการเรียนรู การประเมินผล การจัดทําหนังสือเรียน คูมือครู แบบฝก
ทักษะ กิจกรรม และสื่อการเรียนรูเพื่อใชประกอบการเรียนรูในกลุมสาระการเรียนรู
วิทยาศาสตรแ ละคณิตศาสตรข องระดับการศึกษาขน้ั พืน้ ฐาน

คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี ๖ เลม ๑ นี้ จัดทําตาม
ผลการเรียนรู กลุมสาระการเรียนรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรับปรุง พ.ศ. ๒๕๖๐) ตามหลักสูตร
แกนกลางการศึกษาข้ันพื้นฐาน พุทธศักราช ๒๕๕๑ โดยมีเน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะ
เก่ียวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การวัดผลประเมินผลระหวางเรียน
การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทา ยบทกับจดุ มงุ หมายประจําบท ความรเู พิม่ เติม
สําหรับครู ซึ่งเปนความรูท่ีครูควรทราบนอกเหนือจากเน้ือหาในหนังสือเรียน ตัวอยาง
แบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด ซ่ึงสอดคลองกับหนังสือเรียน
รายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๖ เลม ๑ ทต่ี องใชค วบคกู ัน

สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูเลมน้ีจะเปนประโยชนตอการจัดการเรียนรู
และเปนสวนสําคัญในการพัฒนาคุณภาพและมาตรฐานการศึกษากลุมสาระการเรียนรู
คณิตศาสตร ขอขอบคุณผูทรงคณุ วุฒิ บคุ ลากรทางการศกึ ษา และหนว ยงานตาง ๆ ท่ีมีสว น
เก่ียวของในการจดั ทําไว ณ โอกาสน้ี

(ศาสตราจารยชกู จิ ลิมปจาํ นงค)
ผูอ าํ นวยการสถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



คําชแ้ี จง

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี (สสวท.) ไดจัดทําผลการ
เรียนรูและสาระการเรียนรูเพิ่มเติม กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ.
๒๕๖๐) ตามหลกั สตู รแกนกลางการศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศกั ราช ๒๕๕๑ โดยมจี ดุ เนนเพ่ือ
ตองการพัฒนาผูเรียนใหมีความรูความสามารถทางคณิตศาสตรท่ีทัดเทียมกับนานาชาติ
ดวยการลงมือปฏิบัติทํากิจกรรมและแกปญหาท่ีหลากหลายเพ่ือใหผูเรียนเกิดทักษะและ
กระบวนการทางคณิตศาสตร รวมท้ังมีทักษะแหงศตวรรษที่ ๒๑ สสวท. จึงไดจัดทําคูมือครู
ประกอบการใชหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี ๖ เลม ๑
ท่ีเปนไปตามมาตรฐานหลักสูตร เพื่อเปนแนวทางใหโรงเรียนนําไปจัดการเรียนการสอนใน
ชัน้ เรยี น

คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ ๖ เลม ๑ นี้ ประกอบดวย
เน้ือหาสาระ ขอเสนอแนะเกี่ยวกับการสอน แนวทางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน การ
วัดผลประเมินผลระหวางเรียน การวิเคราะหความสอดคลองของแบบฝกหัดทายบทกับ
จุดมุงหมายประจําบท ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูซ่ึงเปนความรูที่ครูควรทราบนอกเหนือจาก
เนื้อหาในหนังสือเรียน ตัวอยางแบบทดสอบประจําบทพรอมเฉลย รวมท้ังเฉลยแบบฝกหัด
ซ่ึงครูผูสอนสามารถนําไปใชเปนแนวทางในการวางแผนการจัดการเรียนรูใหบรรลุ
จุดประสงคที่ตั้งไว โดยสามารถนําไปจัดกิจกรรมการเรียนรูไดตามความเหมาะสมและความ
พรอมของโรงเรียน ในการจัดทําคูมือครูเลมน้ี ไดรับความรวมมือเปนอยางดีย่ิงจาก
ผูทรงคุณวุฒิ คณาจารย นักวิชาการอิสระ รวมทั้งครูผูสอน นักวิชาการ จากสถาบัน และ
สถานศึกษาทั้งภาครัฐและเอกชน จึงขอขอบคณุ มา ณ ทนี่ ้ี

สสวท. หวังเปนอยางย่ิงวา คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษา
ปท ่ี ๖ เลม ๑ น้ี จะเปน ประโยชนแกผสู อนและผทู ี่เกี่ยวของทุกฝา ย ทีจ่ ะชว ยใหจ ัดการศึกษา
ดานคณิตศาสตรไดอยางมีประสิทธิภาพ หากมีขอเสนอแนะใดท่ีจะทําใหคูมือครูเลมน้ี
มคี วามสมบูรณย่งิ ขึ้น โปรดแจง สสวท. ทราบดว ย จะขอบคณุ ยง่ิ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร

แนะนําการใชค มู อื ครู

ในหนังสือเลมนี้แบงเปน 2 บท ตามหนังสือเรียนหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร
ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 โดยแตละบทจะมสี วนประกอบ ดงั น้ี

ตวั ชี้วัดและสาระการเรยี นรูแกนกลาง

ตัวช้ีวัดระบุส่ิงที่นักเรียนพึงรูและปฏิบัติได รวมทั้งคุณลักษณะของผูเรียนในแตละ
ระดับช้ัน ซ่ึงสะทอนถึงมาตรฐานการเรียนรู มีความเฉพาะเจาะจงและมีความเปน
รปู ธรรม นําไปใชใ นการกาํ หนดเนอ้ื หา จัดทาํ หนว ยการเรียนรู จัดการเรยี นการสอน และ
เปน เกณฑสาํ คัญสาํ หรับการวัดประเมนิ ผลเพือ่ ตรวจสอบคณุ ภาพผเู รยี น

จุดมุงหมาย

เปา หมายท่ีนักเรียนควรไปถึงหลงั จากเรียนจบบทนี้

ความรูก อนหนา

ความรูท ่ีนกั เรยี นจาํ เปนตอ งมีกอนท่ีจะเรียนบทนี้

ประเดน็ สําคัญเกย่ี วกบั เนือ้ หาและสิ่งท่ีควรตระหนักเกี่ยวกับการสอน

ประเด็นเกี่ยวกับเนื้อหาท่ีครูควรเนนย้ํากับนักเรียน ประเด็นเก่ียวกับเนื้อหาที่ครูควร
ระมัดระวัง จุดประสงคของตัวอยางที่นําเสนอในหนังสือเรียน เน้ือหาที่ควรทบทวน
กอนสอนเน้อื หาใหม และประเดน็ ท่ีครคู วรตระหนักในการสอน

ความเขาใจคลาดเคลอื่ น

ประเด็นทนี่ กั เรยี นมักเขา ใจผิดเกีย่ วกบั เนอ้ื หา

ประเด็นสําคญั เกีย่ วกับแบบฝกหดั

ประเด็นที่ครูควรทราบเกี่ยวกับแบบฝกหัด เชน จุดมุงหมายของแบบฝกหัด
เนื้อหาทค่ี วรทบทวนกอ นทําแบบฝก หดั และเร่ืองทีค่ รคู วรใหความสาํ คญั ในการทํา
แบบฝกหัดของนักเรยี น

กิจกรรมในคมู ือครู

กิจกรรมที่คูมือครูเลมนี้เสนอแนะไวใหครูนําไปใชในชั้นเรียน ประกอบดวย
กิจกรรมนําเขาสูบทเรียน ท่ีใชเพื่อตรวจสอบความรูกอนหนาที่นักเรียนจําเปนตอง
ทราบกอนเรียนเนื้อหาใหม และกิจกรรมท่ีใชสําหรับสรางความคิดรวบยอด
ในเน้อื หา โดยหลงั จากทํากจิ กรรมแลว ครูควรเชื่อมโยงผลทีไ่ ดจากการทาํ กจิ กรรม
กบั ความคิดรวบยอดที่ตองการเนน ท้งั นี้ ครูควรสงเสริมใหนักเรียนไดลงมือปฏิบัติ
กจิ กรรมเหลา นด้ี วยตนเอง

กิจกรรมในหนงั สือเรียน

กิจกรรมท่ีนักเรียนสามารถศึกษาเพิ่มเติมไดดวยตนเอง เพื่อชวยพัฒนาทักษะการ
เรียนรูและนวัตกรรม (learning and innovation skills) ที่จําเปนสําหรับศตวรรษท่ี 21
อันไดแก การคิดสรางสรรคและนวัตกรรม (creative and innovation) การคิด
แบบมีวิจารณญาณและการแกปญหา (critical thinking and problem solving)
การส่ือสาร (communication) และการรว มมือ (collaboration)

เฉลยกจิ กรรมในหนงั สือเรยี น

เฉลยคําตอบหรือตวั อยางคาํ ตอบของกิจกรรมในหนังสือเรยี น

แนวทางการจัดกิจกรรมในหนงั สือเรยี น

ตัวอยางการจัดกิจกรรมในหนังสือเรียน ที่มีขั้นตอนการดําเนินกิจกรรม
ซงึ่ เปดโอกาสใหนักเรยี นไดใชแ ละพฒั นาทกั ษะและกระบวนการทางคณติ ศาสตร

สารบัญ บทท่ี 1 – 2

บทท่ี เน้ือหา หนา

1 บทท่ี 1 ลาํ ดบั และอนุกรม 1
1.1 เน้อื หาสาระ 3
ลําดบั และอนุกรม 1.2 ขอเสนอแนะเก่ยี วกบั การสอน 12
1.3 การวดั ผลประเมินผลระหวางเรยี น 47
d 49
1.4 การวิเคราะหแบบฝก หัดทายบท 53
2 1.5 ความรูเ พิ่มเติมสําหรบั ครู 71
1.6 ตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท
แคลคูลสั เบื้องตน
และเฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท

บทที่ 2 แคลคลู สั เบอื้ งตน 84
2.1 เนอ้ื หาสาระ 86
2.2 ขอ เสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน 98
2.3 แนวทางการจดั กิจกรรมในหนังสอื เรยี น 126
132
2.4 การวดั ผลประเมินผลระหวา งเรียน 134
2.5 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท 138
2.6 ความรเู พม่ิ เตมิ สาํ หรับครู 161
2.7 ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

และเฉลยตัวอยา งแบบทดสอบประจาํ บท

สารบัญ เนื้อหา หนา

บทที่ เฉลยแบบฝกหัดและวธิ ีทําโดยละเอียด 174
บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม 174
บทที่ 2 แคลคูลสั เบอื้ งตน 360

1 แหลง เรียนรเู พิ่มเติม 549
1 บรรณานกุ รม 550
552
คณะผจู ัดทาํ

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 1
คูมอื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

บทที่ 1

ลาํ ดับและอนกุ รม

ความรูเกย่ี วกับลาํ ดบั และอนุกรมเปนพน้ื ฐานสําคัญทนี่ าํ ไปใชในการแกปญ หาตาง ๆ ในชวี ิตจริง เชน
ปริมาณยาที่ลดลงในรางกาย การออมเงิน การผอนคาสินคา ซ่ึงในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม
คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนาํ เสนอเน้ือหา เรอื่ ง ความหมายของลําดับและการเขียน
แสดงลําดับ ลําดับเลขคณิต ลําดับเรขาคณิต ลําดับฮารมอนิก ลิมิตของลําดับอนันต ความหมายของ
อนุกรมและการเขียนแสดงอนุกรม อนุกรมเลขคณิต อนุกรมเรขาคณิต อนุกรมอนันต สัญลักษณ
แสดงการบวก การประยกุ ตของลําดบั และอนุกรม โดยเฉพาะอยางย่ิงการประยุกตของลําดับและ
อนุกรมในการแกปญหาเกี่ยวกับดอกเบี้ยและมูลคาของเงิน ซึ่งเปนเนื้อหาสําคัญท่ีมีในหลักสูตร
กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลางการศึกษา
ข้นั พนื้ ฐาน พทุ ธศักราช 2551

ในบทเรียนนี้มุงใหนักเรียนบรรลุตัวช้ีวัดตามสาระการเรียนรูแกนกลาง บรรลุผลการเรียนรูตาม
สาระการเรยี นรูเ พม่ิ เตมิ และบรรลจุ ดุ มงุ หมายดังตอไปน้ี

ตัวชว้ี ดั และสาระการเรียนรูแกนกลาง/ผลการเรยี นรแู ละสาระการเรยี นรเู พิม่ เติม

ตวั ช้ีวดั สาระการเรียนรแู กนกลาง
• เขาใจและนําความรเู กีย่ วกับลําดบั • ลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต
• อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
และอนุกรมไปใช • ดอกเบีย้
• มลู คา ของเงนิ
• เขาใจและใชค วามรูเกี่ยวกับดอกเบ้ีย • คา รายงวด
และมูลคาของเงนิ ในการแกปญหา

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม
2 คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

ผลการเรียนรู สาระการเรียนรูเพม่ิ เตมิ
• ระบไุ ดว าลําดับทก่ี ําหนดให • ลําดบั จํากดั และลําดับอนันต
• ลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณิต
เปน ลาํ ดับลเู ขาหรือลูออก • ลมิ ิตของลําดบั อนันต
• หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม • อนุกรมจํากดั และอนุกรมอนนั ต
• อนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
เลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต • ผลบวกอนกุ รมอนนั ต
• การนาํ ความรเู กยี่ วกบั ลาํ ดบั และ
• หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต
• เขา ใจและนําความรเู กยี่ วกับลําดับ อนุกรมไปใชในการแกปญหามลู คา
ของเงนิ และคา รายงวด
และอนุกรมไปใช

จดุ มงุ หมาย

1. หาพจนตา ง ๆ ของลําดบั เลขคณิตและลาํ ดับเรขาคณติ
2. หาลมิ ิตของลําดับอนนั ตโดยใชทฤษฎบี ทเก่ยี วกบั ลมิ ติ
3. ระบุไดวา ลาํ ดับที่กาํ หนดใหเปนลําดบั ลูเขาหรือลําดับลูออก
4. หาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ และอนุกรมเรขาคณิต
5. หาผลบวกของอนกุ รมอนนั ต
6. ระบุไดว า อนุกรมท่กี าํ หนดใหเ ปนอนุกรมลูเขาหรืออนกุ รมลอู อก
7. ใชความรูเกี่ยวกับลําดับและอนุกรมในการแกปญหา

ความรกู อ นหนา

• เลขยกกาํ ลัง
• ความสมั พนั ธแ ละฟง กช นั

ipst.me/10550

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 3
คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

1.1 เน้ือหาสาระ

1. บทนิยาม 1
ลาํ ดบั คือ ฟง กชันที่มีโดเมนเปนเซต {1, 2, 3, , n} หรอื มโี ดเมนเปนเซตของจาํ นวนเตม็ บวก

2. ในการเขียนแสดงลําดับ จะเขียนเฉพาะสมาชิกของเรนจเรียงกัน กลาวคือ ถา a เปน
ลาํ ดบั ซ=งึ่ a(1) a=1, a(2) a=2, a(3) a3, =, a(n) an แลว
เรยี ก a1 วา พจนท ่ี 1 ของลาํ ดับ
เรียก a2 วา พจนท ่ี 2 ของลําดบั
เรยี ก a3 วา พจนที่ 3 ของลําดับ



และเรยี ก an วา พจนท ่ี n ของลาํ ดับ หรอื พจนท วั่ ไปของลาํ ดบั
3. ลาํ ดับทีม่ โี ดเมนเปน เซต {1, 2, 3, , n} เรยี กวา ลําดบั จํากัด

และลาํ ดบั ทมี่ โี ดเมนเปน เซตของจาํ นวนเต็มบวก เรยี กวา ลาํ ดับอนนั ต
กรณี a เปน ลาํ ดบั จาํ กัด เขียนแทนลําดับดว ย a1, a2, a3, , an
กรณี a เปน ลาํ ดบั อนันต เขยี นแทนลําดับดวย a1, a2, a3, , an, 
4. บทนิยาม 2
ลําดับเลขคณิต คือ ลําดับซึ่งมีผลตางท่ีไดจากการนําพจนที่ n +1 ลบดวยพจนท่ี n เปนคา
คงตัวทเี่ ทากัน สําหรบั ทกุ จาํ นวนเต็มบวก n และเรยี กคา คงตัวที่เปน ผลตางน้ีวา ผลตา งรวม

จากบทนิยาม ลําดับ a1, a2, a3, , an,  จะเปนลําดับเลขคณิต ก็ตอเม่ือ มีคาคงตัว
d ที่ an+1 − an =d สาํ หรับทกุ จํานวนเตม็ บวก n
5. บทนิยาม 3
ลําดับเรขาคณิต คือ ลําดับซ่ึงมีอัตราสวนของพจนท่ี n +1 ตอพจนท่ี n เปนคาคงตัวที่
เทา กัน สําหรบั ทุกจาํ นวนเต็มบวก n และเรยี กคา คงตัวที่เปน อตั ราสวนนวี้ า อัตราสว นรว ม

จากบทนิยาม ลําดับ a1, a2, a3, , an,  จะเปนลําดับเรขาคณิต ก็ตอเม่ือ มีคาคงตัว

r ท่ี an+1 = r สาํ หรับทุกจํานวนเตม็ บวก n

an

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
4 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

6. บทนยิ าม 4

ลําดับฮารมอนิก คือ ลําดับ an ซ่ึงมีสมบัติวา ลําดับของสวนกลับ bn = 1 เปนลําดับ
an

เลขคณติ

7. บทนยิ าม 5

ให a1, a2, a3, , an,  เปนลําดับอนันต ถา n มากข้ึนโดยไมมีที่สิ้นสุดแลว an เขาใกล

หรือเทากับจํานวนจริง L เพียงจํานวนเดียวเทาน้ัน จะเขียน lim an = L (อานวา ลิมิตของ

n→∞

ลําดับ an เมื่อ n มากข้ึนโดยไมมีท่ีส้ินสุด เทากับ L ) และจะเรียก L วา ลิมิตของ

ลาํ ดับ และกลา ววา ลําดับนีม้ ลี ิมิตเทากบั L เรยี กลาํ ดบั อนันตท ่ีมลี มิ ิตวา ลําดบั ลเู ขา และ

เรียกลาํ ดับอนนั ตท ี่ไมใ ชลาํ ดบั ลเู ขาวา ลําดับลูอ อก

8. ทฤษฎบี ท 1

ให r เปนจาํ นวนจรงิ บวก จะไดวา lim 1 =0 และ lim nr ไมม คี า

n→∞ nr n→∞

9. ทฤษฎบี ท 2

ให r เปนจาํ นวนจริง จะไดว า

ถา r <1 แลว lim rn = 0
n→∞

ถา r >1 แลว lim rn ไมม ีคา
n→∞

10. ทฤษฎีบท 3

ให an, bn, tn เปนลําดับของจํานวนจริง A, B เปนจํานวนจริง และ c เปนคาคงตัวใด ๆ

โดยท่ี lim an = A และ lim bn =B จะไดว า

n→∞ n→∞

1) ถา tn = c ทุกจาํ นวนเต็มบวก n แลว lni→m=∞tn li=m c c

n→∞

2) ln=i→m∞ can c=lni→m∞ an cA

( )3)
lim an + bn =lim an + lim bn =A + B
n→∞
n→∞ n→∞

( )4) − =A −
lim an − bn =lim an lim bn B
n→∞
n→∞ n→∞

( )5)
lim an ⋅ bn = lim an ⋅ lim bn= AB

n→∞ n→∞ n→∞

6) ถา bn ≠ 0 ทุกจํานวนเต็มบวก n และ B ≠ 0 แลว lni→m∞= abnn  ln=i→m∞ an A
lim bn B

n→∞

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 5
คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

11. ทฤษฎบี ท 4

ให a1, a2, a3, , an,  เปนลําดบั ซงึ่ an ≠ 0 สําหรบั ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n

ถา  1  = 0 แลว ลาํ ดบั a1, a2 , a3, , an ,  จะลอู อก
lim  an 
n→∞  

12. สาํ หรับลาํ ดับที่พจนท ่ัวไปอยใู นรูปเศษสวนของพหนุ าม

• ถาดีกรขี องพหนุ ามทีเ่ ปนตวั สวนมากกวาดกี รีของพหนุ ามที่เปนตวั เศษแลว ลําดบั จะมี

ลมิ ิตเปน ศนู ย

• ถาดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวเศษเทากับดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวสวนแลว ลําดับจะ

เปนลําดับลเู ขาท่ีมีลมิ ติ ไมเ ปน ศนู ย

• ถาดีกรีของพหุนามท่ีเปนตัวสวนนอยกวาดีกรีของพหุนามที่เปนตัวเศษแลว ลําดับจะ

เปน ลาํ ดบั ลูออก

13. ทฤษฎบี ท 5

ให an เปนลําดับของจํานวนจริงที่มากกวาหรือเทากับศูนย L เปนจํานวนจริง และ m
เปนจาํ นวนเต็มทีม่ ากกวาหรอื เทา กบั สอง จะไดวา

ถา แลวlim an = L lni=→m∞ m an m=lni→m∞ an m L
n→∞

14. ถา a1, a2, a3, , an เปนลําดับจํากัดที่มี n พจน จะเรียกการเขียนแสดงการบวกของ

พจนทกุ พจนของลําดบั ในรปู a1 + a2 + a3 ++ an วา อนุกรมจํากดั

เรยี ก a1 วา พจนท ี่ 1 ของอนกุ รม

เรยี ก a2 วา พจนที่ 2 ของอนกุ รม

เรียก a3 วา พจนท ี่ 3 ของอนกุ รม



และเรียก an วา พจนท ่ี n ของอนกุ รม

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม
6 คมู ือครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

15. ให Sn แทนผลบวก n พจนแ รกของอนุกรม นัน่ คือ

S1 = a1

S=2 a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3



Sn = a1 + a2 + a3 +  + an

16. อนกุ รมที่ไดจ ากลําดบั เลขคณติ เรยี กวา อนุกรมเลขคณติ
17. ให a1, a2, a3, , an เปนลําดับเลขคณิต ซง่ึ มี d เปน ผลตางรว ม

ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณิต คอื

=Sn n ( a1 + an ) หรอื S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2 2

18. อนกุ รมทไ่ี ดจากลําดับเรขาคณติ เรียกวา อนุกรมเรขาคณิต

19. ให a1, a2, a3, , an เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ซ่งึ มี r เปนอตั ราสวนรวม

( )Sn
ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ คือ = a1 1− rn เมอ่ื r ≠1
1− r

20. ถา a1, a2, a3, , an,  เปน ลําดับอนันต จะเรียกการเขยี นแสดงการบวกในรปู

a1 + a2 + a3 +  + an +  วา อนุกรมอนนั ต

เรียก a1 วา พจนท ่ี 1 ของอนกุ รม

เรยี ก a2 วา พจนที่ 2 ของอนุกรม



และเรยี ก an วา พจนท่ี n ของอนุกรม

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 7
คูมือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

21. บทนิยาม 6
กาํ หนด a1 + a2 + a3 + + an + เปน อนกุ รมอนันต

ให S1 = a1

S=2 a1 + a2

S3 = a1 + a2 + a3



Sn = a1 + a2 + a3 +  + an

เรียก Sn วา ผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรม เม่อื n เปน จํานวนเตม็ บวก เรยี กลาํ ดบั
อนันต S1, S2, S3, , Sn,  วา ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรม
22. บทนยิ าม 7

กําหนดอนกุ รมอนันต a1 + a2 + a3 + + an +

ให S1, S2, S3, , Sn,  เปน ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี

ถา ลาํ ดับ Sn เปนลําดับลเู ขา โดย lim Sn =S เมอื่ S เปน จํานวนจริง

n→∞

แลวจะกลาววาอนุกรม a1 + a2 + a3 ++ an + เปน อนุกรมลูเขา และเรียก S วา

ผลบวกของอนุกรม

ถา ลาํ ดับ Sn เปน ลาํ ดับลูอ อก จะกลา ววา อนกุ รม a1 + a2 + a3 ++ an + เปน อนกุ รม
ลอู อก

23. การแสดงวา อนุกรมอนันตใ ดจะเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ทาํ ไดดงั น้ี

1) พิจารณาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรม และหาสูตรท่ัวไปของผลบวกยอย n

พจนแรก (Sn ) ของอนุกรม

2) พิจารณาลิมิตของ Sn ถา lim Sn =S เม่ือ S เปนจํานวนจริง แลวอนุกรมนั้นเปน

n→∞

อนุกรมลูเขา และมีผลบวกเทากับ S แตถา lim Sn ไมมีคา แลวอนุกรมน้ันเปน

n→∞

อนกุ รมลอู อก

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนุกรม
8 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

24. ทฤษฎีบท 6
กําหนดใหอ นุกรมเรขาคณิตมี a1 เปนพจนแรก และ r เปนอตั ราสวนรว ม

ถา r <1 แลว อนกุ รมนเี้ ปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมเทากับ a1

1− r

ถา r ≥1 แลว อนกุ รมน้เี ปน อนกุ รมลอู อก

25. การเขียนอนุกรมเพื่อความสะดวกจะใชตัวอักษรกรีกตัวพิมพใหญ ∑ (อานวา ซิกมา)
เปนสญั ลกั ษณแสดงการบวก

กลาวคือ จะเขียนแทนอนุกรมจํากัด a1 + a2 + a3 + + an ดวยสัญลักษณ n

∑ ai
i =1

(อานวา ซัมเมชัน ai เมื่อ i เทากับ 1 ถึง n) และเขียนแทนอนุกรมอนันต

a1 + a2 + a3 + + an +  ดวยสัญลักษณ ∞ (อานวา ซัมเมชัน ai เมื่อ i เทากับ 1

∑ ai
i =1

ถึง ∞) เรียกตัวแปร i ที่ปรากฏในสัญลักษณ n หรือ ∞ วา ดัชนี ซ่ึงอาจจะใช

∑ ai ∑ ai
i=1 i=1

ตัวแปรอ่นื แทน i ได

26. ทฤษฎีบท 7
ให n เปนจาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดวา

1) n = nc เม่ือ c เปนคา คงตัว

∑c
i =1

2) nn เมื่อ c เปนคาคงตวั

∑cai = c∑ ai
=i 1=i 1

n nn
3) ∑(ai + bi )= ∑ ai + ∑bi
=i 1 =i 1=i 1

n nn

4) ∑(ai − bi )= ∑ ai − ∑bi
=i 1 =i 1=i 1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 9
คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

27. ทฤษฎบี ท 8
ให n เปน จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ จะไดวา

1) n = n(n + 1)

∑i
i=1 2

∑2) n i 2= n(n +1)(2n +1)

i=1 6

∑ ∑==3) in1=i 3 =n (n2+ 1) 2  in1 i 2


28. ทฤษฎบี ท 9

ถาเริม่ ฝากเงินดวยเงินตน P บาท ไดรบั อัตราดอกเบ้ีย i% ตอป โดยคดิ ดอกเบี้ยแบบทบตน

ทุกป (ปละครงั้ ) แลว เม่อื สนิ้ ปที่ n จะไดเ งินรวม P(1+ r)n บาท เม่ือ r = i

100

29. ทฤษฎบี ท 10
ถา เรม่ิ ฝากเงินดวยเงนิ ตน P บาท ไดรับอตั ราดอกเบ้ีย i% ตอ ป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตน

ปล ะ k ครง้ั แลวเมอื่ ฝากเงินครบ n ป จะไดเงนิ รวม P 1 + r kn บาท เมือ่ r= i
k  100

30. ถาลงทุน P บาท ไดรับอัตราดอกเบ้ีย i% ตอป โดยคิดดอกเบี้ยแบบทบตนปละ k ครั้ง

เปนเวลา n ป กาํ หนดให r = i แลว เมือ่ ครบ n ป เงินรวมท่ีได คือ

100

=S P 1 + r kn
k 

เรยี ก S วามูลคาอนาคตของเงนิ ตน P

ในทางกลบั กนั จะเรียก P วามลู คา ปจ จบุ นั ของเงินรวม S

ดงั นนั้ มลู คา ปจจุบัน P ของเงินรวม S คือ

=P S 1 + r  − kn
k 

31. การรบั หรอื จายคางวด มีลักษณะ 3 ประการ ดังน้ี

1) รับหรอื จา ยเทากนั ทุกงวด

2) รับหรือจายติดตอ กันทุกงวด

3) รบั หรอื จายตอนตนงวดหรือสนิ้ งวด

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนุกรม
10 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

32. คางวดที่รบั หรอื จา ยตอนตนงวด
พิจารณาการรับหรือจายเงินแตละงวด โดยที่แตละงวดเปนเงิน R บาท ซ่ึงเริ่มรับหรือ

จายเงินตอนตน งวด รวมท้งั หมด n งวด และอตั ราดอกเบ้ียแตละงวดเปน i%
ให r = i

100

จะได แผนภาพแสดงคา งวดแตละงวด ดงั น้ี

จะได เงนิ รวมเม่อื ส้นิ งวดท่ี n คอื R(1+ r) + R(1+ r)2 +  + R(1+ r)n
ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตที่มี n พจน โดยพจนแรก คือ R(1+ r) และอัตราสวนรวม
คือ 1+ r

ดงั นั้น เงนิ รวมเมอ่ื สนิ้ งวดที่ n คอื ( )R(1+ r ) (1+ r )n −1 ซง่ึ เทากับ

(1+ r ) −1

( )R(1+ r ) (1+ r )n −1

r

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม 11
คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

33. คา งวดทีร่ บั หรือจายตอนส้ินงวด
พิจารณาการรับหรอื จายเงนิ แตละงวด โดยท่ีแตละงวดเปนเงิน R บาท ซึง่ เรม่ิ รบั

หรือจายเงินตอนสิน้ งวด รวมท้ังหมด n งวด และอตั ราดอกเบย้ี ตอ งวดเปน i%

ให r = i

100

จะได แผนภาพแสดงคางวดแตล ะงวด ดังนี้

จะได เงนิ รวมเมื่อสิน้ งวดท่ี n คือ R + R(1+ r) + R(1+ r)2 +  + R(1+ r)n−1

ซ่ึงเปนอนุกรมเรขาคณิตทมี่ ี n พจน พจนแ รก คอื R และอัตราสวนรว ม คอื 1+ r

ดงั น้นั เงนิ รวมเมอื่ สิ้นงวดท่ี n คอื ( )R (1+ r )n −1 ซึ่งเทา กับ ( )R (1+ r )n −1

(1+ r ) −1 r

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม
12 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

1.2 ขอเสนอแนะเกี่ยวกบั การสอน

ลาํ ดบั

ความหมายของลาํ ดับ

กจิ กรรม : แนะนําลําดบั

จุดมงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมน้ีใชเพื่อนําเขาสูบทเรียน เรื่อง ลําดับ เพ่ือใหนักเรียนเขาใจความหมายของ

ลําดบั และการเขยี นแสดงลําดบั
แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม
1. ครใู หนักเรยี นพิจารณาแบบรูปตอ ไปนี้ โดยสงั เกตจาํ นวนจุดในแตล ะรปู

• แบบรปู ชดุ ท่ี 1

รปู ท่ี 1 รปู ที่ 2 รูปที่ 3 รูปที่ 4 รปู ท่ี 5
• แบบรปู ชดุ ท่ี 2

รปู ท่ี 1 รปู ท่ี 2 รปู ที่ 3 รูปที่ 4 

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม 13
คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

2. ครูใหนักเรียนเขียนเซตของคูอันดบั จากแบบรูปชุดที่ 1 และ 2 โดยใหสมาชิกตัวหนาของ
คูอันดับคือรูปท่ี และสมาชิกตัวหลังของคูอันดับคือจํานวนจุดในแตละรูป เชน แบบรูป
ชุดท่ี 1 รูปที่ 1 มีจาํ นวนจดุ 1 จุด เขียนไดเปน (1, 1)
แนวคาํ ตอบ

• เซตของคอู นั ดบั จากแบบรูปชดุ ท่ี 1 คอื {(1, 1), (2, 3), (3, 6), (4, 10), (5, 15)}

• เซตของคูอนั ดับจากแบบรูปชุดท่ี 2 คอื {(1, 4), (2, 9), (3, 16), (4, 25), }

3. จากคาํ ตอบทไ่ี ดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพจิ ารณาวาเซตของคูอนั ดบั ท่ีไดในขอ 2 ตามแบบ
รูปชุดที่ 1 และ 2 เปน ฟง กชนั หรือไม เพราะเหตใุ ด
แนวคาํ ตอบ
เซตของคูอันดับที่ไดในขอ 2 ตามแบบรูปชุดท่ี 1 และ 2 เปนฟงกชัน เน่ืองจาก
สมาชิกตัวหนาของแตล ะคอู นั ดบั จับคกู บั สมาชิกตัวหลงั เพยี งตัวเดียวเทานนั้

4. จากคําตอบที่ไดในขอ 3 ครูใหนักเรียนหาโดเมนและเรนจของฟงกชันที่ไดจากแบบรูป
ชุดที่ 1 และ 2
แนวคําตอบ
• ฟงกช นั ท่ีไดจ ากแบบรูปชุดท่ี 1 มโี ดเมน คอื {1, 2, 3, 4, 5} และเรนจ คือ

{1, 3, 6, 10, 15}

• ฟง กชันที่ไดจากแบบรูปชุดที่ 2 มีโดเมน คือ {1, 2, 3, } และเรนจ คือ {4, 9, 16, }
5. จากคาํ ตอบที่ไดในขอ 4 ครชู แี้ นะใหนกั เรียนสังเกตวา โดเมนของฟง กชนั ท่ีไดจากแบบรูป

ชุดที่ 1 เปนสับเซตของเซตของจํานวนเต็มบวก และโดเมนของฟงกชันท่ีไดจากแบบรูป
ชุดที่ 2 เปนเซตของจํานวนเตม็ บวก จากนัน้ ครูใหน กั เรียนพิจารณาวา โดเมนของฟง กชัน
ท่ไี ดจ ากแบบรูปแตล ะชุดเปนเซตจํากดั หรอื เซตอนันต
แนวคาํ ตอบ
• โดเมนของฟง กชนั ทไ่ี ดจากแบบรูปชดุ ท่ี 1 เปน เซตจํากัด

• โดเมนของฟง กช ันที่ไดจากแบบรปู ชุดท่ี 2 เปนเซตอนันต
6. ครนู าํ เขาสูบ ทนยิ ามของลาํ ดับ (บทนยิ าม 1) และการเขียนแสดงลาํ ดบั

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม
14 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

ประเด็นสาํ คญั เกย่ี วกบั เน้ือหาและสิง่ ท่คี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน

• ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขาใจวา ลําดับเปนฟงกชันที่มีโดเมนเปนสับเซตของเซตของ
จาํ นวนเตม็ บวกหรอื เซตของจํานวนเต็มบวก โดยในการเขยี นแสดงลําดบั จะเขยี นเฉพาะ
สมาชิกของเรนจเรียงกัน และใชเคร่ืองหมายจุลภาค (,) ค่ันระหวางแตละตัว โดยไม
เขียนโดเมน

• หนังสือเรียนรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 ใชส ัญลักษณ an
แทนท้งั พจนท ี่ n ของลําดับ และพจนทว่ั ไปของลําดบั

• การเขียนแสดงลําดับโดยเขียนแจกแจงพจนของลําดับในหัวขอนี้ ตองเขียนพจนทั่วไป
กํากับไวเสมอ เนื่องจากมีบางลําดับท่ีมีพจนแรก ๆ เหมือนกัน แตมีพจนท่ัวไปแตกตางกัน

เชน เขียนแจกแจงพจนของลาํ ดับที่ an = 1 ไดเปน 1, 1 , 1 , 
n
23

เขยี นแจกแจงพจนของลําดับท่ี bn= 1 (n2 − 6n +11) ไดเปน 1, 1 , 1 , 

6 23

จะเห็นวา ท้ังสองลําดับมีสามพจนแรกเหมือนกัน จึงอาจจะเขาใจผิดวาลําดับ an และ

bn เปนลําดับเดียวกัน อยางไรก็ตามเมื่อพิจารณาพจนท่ี 4 จะไดวา a4 = 1 แต b4 = 1
4 2

นั่นคือ ลาํ ดบั an และ bn ไมใชลาํ ดับเดยี วกนั

ดังนั้น การเขียนแจกแจงพจนของลําดับ an และ bn โดยเขียนพจนที่ n กํากับไว

จะไดเ ปน 1, 1 , 1 , , 1 ,  และ 1, 1 , 1 , , 1 (n2 − 6n +11),  ตามลาํ ดบั
23 n 23 6

• เนื่องจากการกําหนดพจนแรก ๆ แลวใหหาพจนท่ัวไปของลําดับนั้น นักเรียนอาจได

พจนท่ัวไปท่ีแตกตางกัน ดังน้ัน หนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ัน

มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 หัวขอ 1.1.1 จึงกลาวถึงเฉพาะการหาพจนแรก ๆ จากพจน

ทั่วไปท่ีกําหนดให โดยไมกลาวถึงการหาพจนท่ัวไปจากพจนแรก ๆ ที่กําหนดให สวน

การหาพจนทั่วไปจากพจนแรก ๆ ท่ีกําหนดใหนั้น ไดกลาวถึงเฉพาะในกรณีท่ีศึกษา

เก่ยี วกับลําดับเลขคณิตหรอื ลาํ ดบั เรขาคณิตเทาน้นั

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 15
คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

• ลาํ ดบั ท่ี an = n + (−1)n n ในตวั อยางท่ี 2 สามารถเขยี นไดใ นอีกรูปแบบหน่ึง คอื
เมื่อ เปนจาํ นวนคู

เมือ่ เปนจํานวนคี่

ท้ังน้ี ในกรณีทีน่ กั เรยี นมีขอสงสยั สามารถอธิบายไดด งั น้ี

ให n เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ
กรณที ่ี n เปน จาํ นวนคูบวก จะไดว า มจี าํ นวนเตม็ บวก k ที่ทาํ ให n = 2k

จาก an = n + (−1)n n
เม่อื n = 2k จะได an = a2k

= 2k + (−1)2k (2k )

= 2k + 2k
= 4k

= 2(2k )

= 2n

กรณีที่ n เปนจาํ นวนคี่บวก จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก k ท่ีทาํ ให =n 2k −1

จาก an = n + (−1)n n = a2k −1
เมอ่ื =n 2k −1 จะได an

= (2k −1) + (−1)2k−1 (2k −1)

= (2k −1) − (2k −1)

=0 2n เมอ่ื n เปน จํานวนคู

ดังนัน้ an = n + (−1)n n เขียนไดใ นรูป an = 

0 เมอ่ื n เปน จํานวนคี่

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม
16 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

• ลําดับ bn ซ่ึง b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 ในตัวอยางท่ี 4 สามารถเขียนไดใน

อกี รูปแบบหนึง่ คอื bn = n! ทง้ั น้ี ในกรณีที่นักเรียนมขี อสงสัยสามารถอธบิ ายไดดงั นี้

จาก ลาํ ดับ bn ซง่ึ b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2

จะได b1 = 1 = 1!

b2 = 2b1 = 2 ×1 = 2!
= 3!
b3 = 3b2 = 3× 2 ×1 = 4!

b4 = 4b3 = 4 × 3× 2 ×1

bn = nbn−1 = n × (n −1) × (n − 2) ×× 3× 2 ×1 = n!

ดังนน้ั ลาํ ดับ bn ซ่งึ b1 =1 และ bn = nbn−1 เมื่อ n ≥ 2 เขยี นไดใ นรูป bn = n!

นอกจากนี้ การแสดงวาลาํ ดบั bn สามารถเขียนไดในอีกรปู แบบหนง่ึ คือ bn = n! นัน้

สามารถทําไดโดยใชว ธิ ีอปุ นัยเชิงคณติ ศาสตร ซงึ่ แสดงไวในความรเู พิ่มเตมิ สาํ หรับครู

ลาํ ดับเลขคณิต ลําดบั เรขาคณิต และลาํ ดบั ฮารม อนกิ

กจิ กรรม : แนะนําลาํ ดบั เลขคณติ

จุดมงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมน้ีใชเพื่อนําเขาสูบทเรียน เร่ือง ลําดับเลขคณิต เพ่ือใหนักเรียนเขาใจความหมาย

ของลาํ ดบั เลขคณติ

แนวทางการดําเนนิ กจิ กรรม 2) 1, 4, 16, 64, , 4n−1
1. ครกู าํ หนดลําดบั ตอไปนี้
4) 1, −1, 1, −1, 1, , ( )−1 n+1 , 
1) 6, 10, 14, 18, , 4n + 2, 
3) 2 , 4 , 2, 8 , , 2 n ( )6) 2, 4, 6, , − 2 n3 − 6n2 − 6 , 
11
33 3 3

5) 10, 6, 2, − 2, , 10 − 4(n −1)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 17
คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

2. จากแตละลําดับที่กําหนดใหในขอ 1 ครูใหนักเรียนหาผลตางของพจนที่อยูติดกัน โดย
นําพจนท ่ีอยหู ลงั ลบดว ยพจนที่อยูกอ นหนา ทัง้ นี้ ครคู วรเนน ย้ําใหน กั เรยี นหาผลตา งของ
พจนท ่ี n และ n −1 ดว ย
แนวคําตอบ

1) a2 − a1 = 10 − 6 = 4

a3 − a2 = 14 −10 = 4

a4 − a3 = 18 −14 = 4

และ an − an−1= (4n + 2) − (4(n −1) + 2)= 4

2) a2 − a1 = 4 −1 = 3

a3 − a2 = 16 − 4 = 12

a4 − a3 = 64 −16 = 48

และ ( )an − an−1 = 4n−1 − 4(n−1)−1 = 3 4n−2

3) a2 − a1 = 4 − 2 = 2
3 3 3

a3 − a2 =2 − 4 = 2
3 3

a4 − a3 = 8 −2= 2
3 3

และ an − an−1 = 2 n − 2 (n −1) = 2
3
33

4) a2 − a1 =−1 −1 =−2

a3 − a2 = 1− (−1) = 1+1 = 2

a4 − a3 =−1 −1 =−2

a5 − a4 = 1− (−1) = 1+1 = 2

และ an − an−1 =(−1)n+1 − ( )−1 (n+1)−1 =−2(−1)n

5) a2 − a1 =6 −10 =−4

a3 − a2 =2 − 6 =−4

a4 − a3 =−2 − 2 =−4

และ ( )an − an−1 =(10 − 4(n −1)) − 10 − 4((n −1) −1) =−4

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
18 คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

6) a2 − a1 = 4 − 2 = 2

a3 − a2 = 6 − 4 = 2

( ) ( )และ an − an−1  −2   2 
=  11 n3 − 6n2 − 6  −  − 11 (n −1)3 − 6(n −1)2 − 6 

( )= − 2 3n2 −15n + 7
11

3. จากคําตอบท่ีไดในขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวาลําดับในขอใดท่ีมีผลตางของพจนที่

อยตู ิดกนั เปนคาคงตัวทีเ่ ทา กัน

แนวคาํ ตอบ

ลาํ ดบั ในขอ 1, 3 และ 5 มผี ลตา งของพจนที่อยตู ิดกนั เปน คา คงตัวทเี่ ทากัน

4. ครูนําเขาสูบทนิยามของลําดับเลขคณิต (บทนิยาม 2) โดยจากขอ 3 จะไดวาลําดับในขอ

1, 3 และ 5 ซง่ึ มผี ลตา งของพจนท ี่อยตู ิดกนั เปน คาคงตัวทเ่ี ทากัน เปน ลําดบั เลขคณิต ท้งั น้ี

ครคู วรเนน ย้ําความสําคัญของการตรวจสอบผลตางของพจนท่ี n และพจนที่ n −1 ใน

การพิจารณาวาลําดับที่กําหนดใหเปนลําดับเลขคณิตหรอื ไม เนื่องจาก อาจมีบางลําดับ

ซ่ึงผลตางของพจนท ี่อยูติดกันพจนแรก ๆ เปนคา คงตวั ที่เทากัน แตไ มเทา กับผลตา งของ

พจนท ่ี n และ n −1 (เชน ลําดับในขอ ที่ 6)

หมายเหตุ
• ครูอาจใหน กั เรียนทาํ กจิ กรรมนีเ้ ปนกลุม กลุมละ 3 – 4 คน

• ครูสามารถใชกิจกรรมในลักษณะเดียวกับกิจกรรมน้ี เพ่ือนําเขาสูบทเรียน เร่ือง ลําดับ
เรขาคณิต เพอ่ื ใหน กั เรียนเขา ใจความหมายของลาํ ดับเรขาคณิต

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 19
คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

ประเด็นสําคัญเกย่ี วกบั เนอ้ื หาและส่ิงทีค่ วรตระหนักเก่ยี วกบั การสอน

• ลําดับท่ีมีทุกพจนเปนจํานวนเดียวกันท่ีไมเปนศูนย จะเปนทั้งลําดับเลขคณิตที่มี d = 0
และลาํ ดบั เรขาคณติ ท่มี ี r =1 เชน 1, 1, 1, 

• ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบ ในการระบุวาลําดับท่ีกําหนดใหเปน
ลําดับเลขคณติ หรือเปนลําดบั เรขาคณติ

• ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชเคร่ืองคํานวณชวยในการคํานวณเกี่ยวกับลําดับ เชน
ตัวอยา งที่ 14 และ 18

• จากบทนิยาม 4 จะเหน็ วา ไมม ีพจนใ ดของลาํ ดบั ฮารม อนกิ ทเ่ี ปน 0

ประเด็นสําคญั เก่ยี วกับแบบฝกหัด

• การหาพจนท ่ีหายไปของลําดับเรขาคณติ ท่ีกําหนดใหในแบบฝกหดั 1.1.3 ขอ 10 ครูควร
เนนย้ําใหนักเรียนหาอัตราสวนรวมกอน จึงจะหาพจนที่หายไป และสําหรับขอท่ีมี
อัตราสวนรวมมากกวา 1 คา ครูควรกระตุนใหนักเรียนหาอัตราสวนรวมอื่น ๆ ที่ทําให
ลําดับท่ีกําหนดใหเปนลําดับเรขาคณิต แลวจึงหาพจนที่หายไปอีกคร้ัง เชน ขอ 2) มี

อตั ราสว นรว ม คือ 1 หรอื − 1 ทาํ ใหล ําดับเรขาคณติ ในขอนี้ คือ 2, 2 , 2 , 2 , 2 หรือ
33 3 9 27 81

2, − 2 , 2 , − 2 , 2
3 9 27 81

• เมื่อกําหนดให a เปนพจนท่ีอยูระหวาง 2 พจนที่กําหนดใหในแบบฝกหัด 1.1.3 ขอ 11

จะไดวา a เปนไดท ้ังจาํ นวนจริงบวกและจาํ นวนจริงลบ เนอื่ งจาก a2 เปนจาํ นวนจรงิ บวก

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม
20 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

ลิมติ ของลาํ ดับอนนั ต

กจิ กรรม : แนะนาํ ลิมิตของลําดับอนันต
จุดมุงหมายของกิจกรรม

กิจกรรมนี้ใชเพ่ือนําเขาสูบทเรียน เรื่อง ลิมิตของลําดับอนันต เพ่ือใหนักเรียนมีความ
เขาใจพน้ื ฐานเกย่ี วกับลมิ ิตของลาํ ดับอนนั ต
แนวทางการดาํ เนินกจิ กรรม
1. ครูแจกกระดาษท่ีตัดเปนรูปส่ีเหล่ียมมุมฉากท่ีมีลักษณะดังรูปใหนักเรียนแตละคน โดย

กาํ หนดใหก ระดาษนี้มพี ื้นท่ีเปน 1 ตารางหนวย

2. ครูใหนักเรียนพับคร่ึงกระดาษในขอ 1 ตามแนวนอนไปเร่ือย ๆ จนไดเปน 2, 4, 8 และ

16 สวน ท่ีเทากันตามลําดับ โดยในการพับแตละคร้ัง ใหพิจารณาวาพื้นท่ีของกระดาษ

แตละสว นเปน เทาใด แลว เตมิ คําตอบลงในตารางตอไปนี้

การพบั จํานวนสวนของกระดาษ พ้ืนที่ของกระดาษแตละสวน

กระดาษคร้ังที่ ทเี่ กิดจากการพับ (ตารางหนว ย)

12

24

38

4 16

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 21
คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

แนวคําตอบ พื้นทีข่ องกระดาษแตล ะสว น
การพบั จํานวนสวนของกระดาษ (ตารางหนว ย)

กระดาษครั้งท่ี ท่ีเกดิ จากการพบั 1

12 2
1
24
4
38 1

4 16 8
1

16

3. จากขอ 2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวา หากพับกระดาษตอไปเรื่อย ๆ พื้นที่ของกระดาษ
แตละสว นจะเปน อยางไร
แนวคําตอบ
เม่ือพับกระดาษตอไปเร่ือย ๆ พื้นท่ีของกระดาษแตละสวนจะนอยลงเรื่อย ๆ จน
เกอื บเปน 0

4. ครูใหนักเรียนเปดเว็บไซต ipst.me/11545 แลวปฏิบัติตามข้ันตอนและตอบคําถาม
ตอไปนี้
4.1 เล่ือนสไลเดอรเพ่ือปรับคา n สังเกตวาหนาจอจะปรากฏพื้นที่ของกระดาษแตละ
สว นทไ่ี ดจากการพบั กระดาษ n ครง้ั
4.2 ตรวจสอบคําตอบในขอ 3 โดยเลอื่ นสไลเดอรเพื่อหาวา เมอ่ื n มีคา มากขึ้นเรื่อย ๆ
พืน้ ทีข่ องกระดาษแตละสว นที่ไดจากการพบั กระดาษ n ครงั้ จะเปนอยางไร
แนวคาํ ตอบ
เมื่อ n มีคามากข้ึนเรื่อย ๆ พ้ืนที่ของกระดาษแตละสวนที่ไดจากการพับ
แตล ะครัง้ จะนอยลงเรือ่ ย ๆ จนเกือบเปน 0 แตไ มเ ทากบั 0

5. ครูนําเขาสูบทนิยามเก่ียวกับลิมิตของลําดับอนันต ลําดับลูเขา และลําดับลูออก (บท
นิยาม 5)

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม
22 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

ประเด็นสาํ คญั เก่ยี วกบั เน้อื หาและสงิ่ ที่ควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน

• ในการสอนเก่ียวกับลําดับลูเขาและลําดับลูออก ครูควรจัดกิจกรรมใหนักเรียนไดลงมือ
เขียนกราฟของลําดับหลาย ๆ แบบ โดยอาจใชลําดับตามท่ีนําเสนอในหนังสือเรียน
รายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 หรือในรปู แบบท่ใี กลเคยี งกัน

• การเขยี นกราฟเพ่ือพิจารณาลิมติ ของลาํ ดับอนันต ไมมีขอกําหนดที่แนนอนวาตองเขียน
กราฟของลาํ ดับกี่พจน แตต องเขียนใหเ หน็ แนวโนมของกราฟ เพื่อใหไ ดขอสรุปวาลําดับ
อนนั ตทก่ี ําหนดเปน ลําดบั ลูเขาหรือลาํ ดบั ลอู อก

• ทฤษฎบี ททนี่ าํ เสนอไวใ นหนงั สือเรียนรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6
เลม 1 บทที่ 1 ลําดับและอนุกรม มีไวเพื่อใหนักเรียนนําไปใชไดโดยไมตองพิสูจน
อยางไรกต็ าม ครูอาจเพม่ิ เตมิ การพิสจู นท ฤษฎีบทเหลา นีใ้ หนักเรยี นไดโดยพิจารณาตาม
ความสามารถของนักเรยี น

• การสอนทฤษฎีบท 1 และ 2 น้ัน ครูควรใหนักเรียนพิจารณาแนวโนมคาของ an เมื่อ n
มากขึ้นโดยไมม ีทส่ี น้ิ สุด หรอื เขียนกราฟของลาํ ดับ แลว พจิ ารณาแนวโนมของกราฟ เชน

o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับที่ an = 1 (ดังแสดงในตัวอยางท่ี 21 ขอ 1) และ
n2

an = 1 เพ่ือนําไปสูทฤษฎีบท 1 ที่วา lim 1 = 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริงบวกใด ๆ
nr
1 n→∞

n2

1

ทง้ั นี้ นักเรยี นควรสรุปไดวา เมอื่ n มากขนึ้ โดยไมม ีท่ีส้ินสุด n2 และ n2 จะมากขึ้น

โดยไมม ที ่ีสิน้ สุดดวย ซึ่งทําให 1 และ 1 มคี า นอ ยลงและเขาใกล 0
n2
1

n2

o ใหนักเรียนพจิ ารณาลาํ ดับ an = n3 (ดงั แสดงในตวั อยางท่ี 21 ขอ 2) และ an 1

= n3

เพื่อนาํ ไปสูท ฤษฎบี ท 1 ที่วา lim nr ไมมคี า เม่ือ r เปนจํานวนจรงิ บวกใด ๆ ทั้งนี้
n→∞

1

นักเรียนควรสรุปไดวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมีท่ีส้ินสุด n3 และ n3 จะมากข้ึน

โดยไมมีท่สี ้ินสุดดว ย

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 23
คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับ an =  1 n และ an =  − 1 n (ดังแสดงในตัวอยางที่ 22
 3   2 

ขอ 1) เพอ่ื นาํ ไปสูทฤษฎีบท 2 ท่ีวา lim rn = 0 เมื่อ r เปนจํานวนจริง และ r <1
n→∞

o ใหนักเรียนพิจารณาลําดับ an =  − 5 n และ an = 2n (ดังแสดงในตัวอยางท่ี 22
 4 

ขอ 2 และ 3 ตามลําดับ) เพ่อื นาํ ไปสูทฤษฎีบท 2 ท่ีวา lim rn ไมม ีคา เมือ่ r เปน
n→∞

จํานวนจริง และ r >1

• ทฤษฎีบท 2 อธิบายเก่ียวกับลิมิตของลําดับอนันตท่ีอยูในรูป rn เม่ือ r เปนจํานวนจริง
และ r ≠1 แตใ นกรณที ี่ r =1 จะไดเปนลิมติ ของคา คงท่ี

• เม่ือนักเรียนไดเรียนทฤษฎีบท 2 แลว ครูอาจแสดงใหนักเรียนเห็นวาการหาคาลิมิตของ
ลําดับในตวั อยางที่ 22 สอดคลอ งกับทฤษฎบี ท 2 ดงั นี้

จาก จะได1)an = − 1 n lni→m∞=an lim  − 1 n
 2   2 
n→∞

เนื่องจาก − 1 =1 ซง่ึ 1 <1

22 2

โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดว า lim an =0

n→∞

จาก จะได2)an = − 5 n lni→m∞=an lim  − 5 n
 4   4 
n→∞

เน่อื งจาก − 5 =5 ซงึ่ 5 >1

44 4

โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดวา lim an ไมมคี า

n→∞

3) จาก an = 2n จะได lim an = lim 2n
n→∞
n→∞

เนื่องจาก 2 = 2 ซึ่ง 2 >1

โดยทฤษฎบี ท 2 จะไดวา lim an ไมมีคา

n→∞

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
24 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• การหาลิมิตของลําดับโดยใชทฤษฎีบท 3 ตองมีเงื่อนไขเบ้ืองตนท่ีเปนจริงกอน เชน จะ

ใชทฤษฎีบท lim an = lim an ไดเม่ือ lim an และ lim bn หาคาได และ lim bn ≠ 0

n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

bn→∞ lim bn
n
n→∞

แตถามีเง่ือนไขเบ้ืองตนเง่ือนไขใดไมเปนจริง จะไมสามารถใชทฤษฎีบทดังกลาวได เชน

เม่ือตอ งการหา lim 2n2 − 3n จะไมส ามารถใชทฤษฎีบท 3 ได เนือ่ งจาก (lim 2n2 − 3n)
n→∞ 4n − 5 n→∞

และ lim(4n − 5) ไมมีคา
n→∞

ความเขา ใจคลาดเคลอ่ื น

นักเรียนอาจเขาใจผิดเก่ียวกับลําดับลูเขา วาเปนลําดับอนันตที่มีลิมิตของลําดับเปน 0
เทานั้น เพ่ือแกไขความเขาใจผิดดังกลาว ครูควรเนนย้ํานักเรียนเกี่ยวกับบทนิยาม 5 วา
ลําดับลูเขา คือ ลําดับอนันตท่ีเมื่อ n มากข้ึนโดยไมมีที่ส้ินสุดแลว an เขาใกลหรือเทากับ
จํานวนจริง L เพยี งจาํ นวนเดยี วเทา น้นั พรอมกบั ยกตวั อยางลําดบั ลเู ขา อ่นื ๆ เพม่ิ เติม ทม่ี ี

ลิมิตของลําดับเปนจํานวนจริงอ่ืนท่ีไมใช 0 เพ่ิมเติม เชน สําหรับลําดับท=ี่ an  1 n −1
 2 

จะไดว า

lim an = lim   1 n 
  2  − 1
n→∞ n→∞

= lim  1 n − lim1
 2 
n→∞ n→∞

= 0–1

= −1

จะเห็นวา ลิมิตของลาํ ดับท=่ี an  1 n −1 เปน −1 น่นั คอื ลําดับน้ีเปน ลําดับลเู ขา
 2 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม 25
คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

อนุกรม

กิจกรรม : ผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณติ

จุดมุงหมายของกจิ กรรม
กิจกรรมนี้ใชเพ่ือสอนนักเรยี นเก่ียวกบั ท่ีมาของสูตรที่ใชในการหาผลบวก n พจนแรก

ของอนกุ รมเลขคณิต

แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม
แนวทางการดําเนินกจิ กรรมแบง เปน 3 สวน ดังนี้

สว นท่ี 1 การแนะนํากลวิธี

1. ครูกระตุนความสนใจของนักเรียนโดยถามนักเรียนวา 1+ 2 + 3 +  +10 มีคาเทาใด

และหาไดอ ยางไร

2. ครูอธิบายวิธีการพิสูจนแบบใชรูปภาพเปนหลัก (Proof without word) ในการหาคาของ

1+ 2 + 3 +  +10

2.1 ครูแทนจํานวน 1, 2, 3, , 9 และ 10 ดวยวงกลมสีดําจํานวน 1, 2, 3, , 9 และ

10 รูป ตามลําดับ เรียงตอ กันในแนวเสนตรง ดงั นี้

1 แทนดวย เรียกวา รูปแทน 1

2 แทนดวย เรียกวา รูปแทน 2

3 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 3

4 แทนดว ย เรยี กวา รปู แทน 4

5 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 5

6 แทนดวย เรยี กวา รปู แทน 6

7 แทนดวย เรยี กวา รูปแทน 7

8 แทนดว ย เรียกวา รูปแทน 8

9 แทนดวย เรียกวา รปู แทน 9

10 แทนดว ย เรยี กวา รูปแทน 10

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม
26 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

2.2 ครูใหนักเรียนพิจารณาวาจะหาคาของ 1+ 2 + 3 +  +10 โดยใชรูปแทน

1, 2, 3, , 9 และ 10 ทไ่ี ดในขอ 2.1 ไดอ ยา งไร

แนวคําตอบ

นักเรียนอาจตอบไดหลายแบบ แตครูตองช้ีแนะวาจะหาคําตอบโดยนํารูป

แทน 1, 2, 3, , 9 และ 10 มาวางตอกันดงั นี้

แถวที่ 1 (รปู แทน 1)

แถวท่ี 2 (รปู แทน 2)

แถวที่ 3 (รูปแทน 3)

แถวท่ี 4 (รูปแทน 4)

แถวท่ี 5 (รูปแทน 5)

แถวท่ี 6 (รูปแทน 6)

แถวท่ี 7 (รูปแทน 7)

แถวที่ 8 (รปู แทน 8)

แถวที่ 9 (รปู แทน 9)

แถวที่ 10 (รูปแทน 10)

รปู ท่ี 1

จะไดว า

• แถวที่ l จะมวี งกลมจาํ นวน l รูป เมอื่ l ∈{1, 2, 3, , 10}

• คา ของ 1+ 2 + 3 +  +10 เทา กบั จํานวนวงกลมสีดําในรปู ท่ี 1

2.3 ครูจําลองรูปท่ี 1 โดยเปล่ียนวงกลมสีดําเปนวงกลมสีขาว โดยเรียกวารูปท่ี 2 แลว

สอบถามความเขาใจของนักเรียนวาจํานวนวงกลมสีขาวในรูปท่ี 2 สัมพันธกับ

จาํ นวนวงกลมสีดาํ ในรูปท่ี 1 อยา งไร

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 27
คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

แนวคําตอบ

แถวท่ี 1
แถวท่ี 2
แถวที่ 3
แถวท่ี 4
แถวท่ี 5
แถวที่ 6
แถวที่ 7
แถวท่ี 8
แถวท่ี 9
แถวท่ี 10

รปู ที่ 2
จะเห็นวา จํานวนวงกลมสีขาวในรูปท่ี 2 และจํานวนวงกลมสีดําในรูปท่ี 1 มี
จาํ นวนเทากัน
2.4 ครหู มุนรูปที่ 2 ดวยมมุ 180 องศา ในทศิ ทางทวนเขม็ นาฬิกา ไดดังน้ี

แถวที่ 10
แถวท่ี 9
แถวท่ี 8
แถวท่ี 7
แถวท่ี 6
แถวท่ี 5
แถวท่ี 4
แถวท่ี 3
แถวที่ 2
แถวที่ 1

รปู ที่ 3

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม
28 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

2.5 ครูนาํ รูปที่ 1 และ 3 มาตอกัน โดยนาํ แถวที่ 1 ในรปู ท่ี 1 มาตอ กับแถวที่ 10 ในรูปท่ี 3
ในแนวเสนตรงเดียวกัน โดยเรียกวารูปที่ 4 แลวสอบถามความเขาใจของนักเรียน
วาในรปู ที่ 4 มีแถวใดหรือไม
• ทีม่ ีวงกลมซอ นทบั กนั
• ทมี่ วี งกลมไมเรยี งตอ กนั ในแนวเสนตรง
แนวคําตอบ

แถวที่ 1
แถวที่ 2
แถวท่ี 3
แถวท่ี 4
แถวท่ี 5
แถวที่ 6
แถวท่ี 7
แถวท่ี 8
แถวที่ 9
แถวที่ 10

รปู ที่ 4
จะไดว า
• ไมมีแถวใดท่มี วี งกลมซอนทับกัน
• ไมม ีแถวใดที่มวี งกลมไมเรยี งตอกนั ในแนวเสน ตรง
หมายเหตุ

ครูควรสรปุ วาการตอรูปตามท่ีกําหนดให ทาํ ใหไดร ปู ที่ตอกนั สนิทพอดี ไมมีแถว
ใดทมี่ ีวงกลมซอ นทับกัน และไมมแี ถวใดทวี่ งกลมไมเ รยี งตอกันในแนวเสน ตรง

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 29
คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2.6 ครูกระตุนใหนักเรียนพิจารณาวามีวิธใี ดบางท่ีสามารถหาจํานวนวงกลมทั้งหมดใน
รูปที่ 4 ได
แนวคาํ ตอบ
(1) พิจารณาจํานวนวงกลมสีดําและสีขาวในแตละแถวในรูปท่ี 4 ดังน้ันจํานวน
วงกลมท้ังหมดในรูปท่ี 4 เทากับผลบวกของจํานวนวงกลมสีดําและสีขาวใน
แตละแถวในรูปท่ี 4
(2) เนื่องจากจํานวนวงกลมสีขาวในรูปที่ 3 เทากับจํานวนวงกลมสีดําในรูปที่ 1
และจํานวนวงกลมทั้งหมดในรูปที่ 4 เทากับผลบวกของจํานวนวงกลมสีดํา
และสีขาว ดังน้ัน จํานวนวงกลมทั้งหมดในรูปที่ 4 เทากับ 2 เทาของจํานวน
วงกลมสดี ําในรูปท่ี 1
หมายเหตุ ครคู วรกระตนุ ใหนกั เรยี นไดคาํ ตอบทั้งในขอ (1) และ (2)

2.7 จากแนวคําตอบ 2.6 (1) ครูใหนกั เรยี นพิจารณาหาจํานวนวงกลมสีดําและสขี าวใน
แตละแถวในรปู ท่ี 4
แนวคาํ ตอบ
จํานวนวงกลมท้ังหมดในแถวท่ี l หาไดจากจํานวนวงกลมสีดํา (ซ่ึงมาจาก
แถวท่ี l ในรปู ท่ี 1) รวมกับจาํ นวนวงกลมสีขาว (ซึ่งมาจากแถวที่ 10 − (l −1) ใน
รูปที่ 3) เม่ือ l ∈{1, 2, 3, , 10} เชน จํานวนวงกลมท้ังหมดในแถวท่ี 1 หาไดจาก
จํานวนวงกลมสีดํา (ซ่ึงมาจากแถวที่ 1 ในรูปที่ 1) รวมกับจํานวนวงกลมสีขาว (ซึ่ง
มาจากแถวที่ 10 − (1−1) ในรูปที่ 3) ไดเปน 1+ (10 − (1−1)) =1+10 =11 รูป

2.8 จากขอ 2.7 ครูใหน ักเรยี นหาจํานวนวงกลมทั้งหมดในรปู ท่ี 4
แนวคาํ ตอบ
จาํ นวนวงกลมทั้งหมดในรปู ที่ 4 = (1+10) + (2 + 9) + (3 + 8) ++ (10 +1)

= 11+11+11+  +11

= 10 ×11

= 10(10 +1) รูป

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม
30 คูมอื ครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

2.9 จากแนวคําตอบ 2.6 (2) และขอ 2.8 ครูใหนักเรยี นหาจํานวนวงกลมสดี ําในรูปที่ 1
แนวคําตอบ

จํานวนวงกลมสดี าํ ในรปู ท่ี 1 เทากบั 10(10 +1) รปู

2

3. จากขอ 2 ครูสรปุ วา 1+ 2 + 3 +  + 10 10 (10 + 1)

=
2

สว นที่ 2 การลงมือใชกลวิธี

1. ครูแบง นกั เรียนเปน กลุม กลุมละ 3 – 4 คน แบบคละความสามารถ

2. ครใู หนักเรยี นแตละกลุมใชวธิ ใี นสวนท่ี 1 ขอ 2 แตละกลุมหา

• 1+ 2 + 3 +  +18 +19 + 20

• 1+ 2 + 3 +  + 24 + 25 + 26

• 1+ 2 + 3 +  + 37 + 38 + 39

• 1+ 2 + 3 +  + 48 + 49 + 50

• 1+ 2 + 3 +  + 60 + 61+ 62

แนวคาํ ตอบ
เมือ่ ใชวธิ ีในสวนที่ 1 ขอ 2 แลว จะไดว าคําตอบของแตล ะขอ เปนดงั น้ี

• 1+ 2 + 3 +  +18 +=19 + 20 20=(20 +1) 210

2

• 1+ 2 + 3 +  + 24 +=25 + 26 26=(26 +1) 351

2

• 1+ 2 + 3 +  + 37 +=38 + 39 39(=39 +1) 780

2

• 1+ 2 + 3 +  + 48 +=49 + 50 50(=50 +1) 1, 275

2

• 1+ 2 + 3 +  + 60 +=61+ 62 62(=62 +1) 1,953

2

3. ครใู หนกั เรียนพิจารณาวาคา 1+ 2 + 3 +  + n เปนเทาใด

4. ครใู หน ักเรยี นดูคลิปวีดทิ ัศนในเวบ็ ไซต ipst.me/11561

5. ครสู รปุ วา 1+ 2 + 3 +  + n =n(n +1)

2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 31
คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

สว นท่ี 3 การหาขอสรปุ ในกรณขี องลาํ ดับเลขคณิต
1. ครูกําหนดให a1, a2, a3,, an เปนลําดับเลขคณิตท่ีมีพจนแรก คือ a1 และผลตางรวม

คอื d แลวใหนักเรยี นเขยี น a2, a3 และ an ในรปู a1 และ d
แนวคําตอบ

a=2 a1 + d

a=3 a2 + 2d

an = a1 + (n −1) d

2. จากขอ 1 ครูใหนักเรียนหาคาของ a1 + a2 + a3 ++ an หรือหาคาของผลบวก n
พจนแรกทไี่ ดจ ากลําดับเลขคณติ a1, a2, a3,, an ในรูปของ n, a1 และ an
แนวคาํ ตอบ

( )a1 + a2 + a3 ++ an = a1 + (a1 + d ) + (a1 + 2d ) ++ a1 + (n −1) d

n พจน

= na1 + (d + 2d + 3d ++ (n −1) d ) (*)
(**)
= na1 + (1+ 2 + 3 ++ (n −1)) d
(***)
(n −1)n

= na1 + 2 d

= n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

= n ( a1 + ( a1 + ( n − 1) d ))
2

= n ( a1 + an )
2

หมายเหตุ

• การเขียนบรรทัดท่ี (*) ใหอ ยใู นรปู ตามบรรทัดที่ (**) ครูอาจแนะนําใหน ักเรียน

ใชส มบัตกิ ารแจกแจง ซง่ึ จะเห็นวาบรรทดั ที่ (*) มีตวั คณู รวม คือ d

• การเขียนบรรทัดท่ี (**) ใหอยูในรูปตามบรรทัดที่ (***) ครูอาจแนะนําให

นกั เรยี นใช 1+ 2 + 3 +  + n =n(n +1) ซงึ่ ไดจ ากสวนท่ี 2

2

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
32 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

3. จากขอ 2 ครอู ธิบายวา จะแทน a1 + a2 + a3 ++ an ดว ยสัญลักษณ Sn จึงสรปุ ไดวา

• Sn ในรปู n, a1 และ an เขยี นไดเปน =Sn n ( a1 + an )
2

• Sn ในรูป n, a1 และ d เขยี นไดเปน S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับเน้ือหาและสิ่งท่ีควรตระหนกั เก่ียวกบั การสอน

( )Sn
• การหาผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต โดยใช = a1 1− rn เม่ือ r ≠ 1 นั้น
1− r

อาจจดั รูปใหมไ ดเปน Sn = ( )a1 rn −1

r −1

• ครูควรเปดโอกาสใหนักเรยี นใชเ ครอ่ื งคาํ นวณชว ยในการคํานวณเกย่ี วกบั อนกุ รม

กจิ กรรม : อนุกรมอนันตและผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมอนนั ต

จดุ มุงหมายของกจิ กรรม
กจิ กรรมนี้ใชเพอ่ื สอน เรือ่ ง อนุกรมอนนั ตและผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนกุ รมอนนั ต

แนวทางการดาํ เนินกิจกรรม
1. ครูแจกกระดาษขนาด A4 ใหนักเรียนแตละคน จากนั้นครูกําหนดใหพ้ืนท่ีทั้งหมดของ

กระดาษ เปน 1 ตารางหนวย
2. ครใู หนักเรียนพับครึง่ ตามรูปแลวตัดกระดาษตามรอยพบั ออกเปน 2 สว น

สว นท่ี 1 สว นท่ี 2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 33
คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

3. ครูใหนักเรียนหาพ้ืนท่ีของกระดาษแตละสวนที่ไดจากการตัด และเขียนคําตอบท่ีไดลง
ในกระดาษสวนท่ี 2 แลว นํากระดาษสว นนใ้ี สไ วในกลอง

สวนที่ 1 สว นท่ี 2
4. นํากระดาษสว นท่ี 1 มาทาํ ซา้ํ ตามข้ันตอนในขอที่ 2 และ 3 อกี 4 ครง้ั

หมายเหตุ กระดาษที่ไดจากการตัดกระดาษครั้งที่ 2, 3, 4 และ 5 ที่ตองนําไปใสไวใน

กลอ ง มพี ้นื ที่ 1 , 1 , 1 และ 1 ตารางหนวย ตามลําดับ
4 8 16 32

5. ครูใหนักเรียนหาวาพ้ืนท่ีของกระดาษสวนที่นําไปใสในกลองหลังจากการตัดครั้งที่ n

เทา กบั เทา ใด

แนวคําตอบ

1 ตารางหนว ย
2n

หมายเหตุ ครูอาจช้ีแนะใหนักเรียนพิจารณาจากพ้ืนท่ีของกระดาษสวนที่นําไปใสใน

กลอ งหลังจากการตัดครงั้ ท่ี 1, 2, 3, 4 และ 5 ซง่ึ นักเรียนจะเห็นวา

หลงั จากการตดั คร้งั ท่ี พนื้ ท่ขี องกระดาษสว นท่ีนําไปใสกลอง
(ตารางหนวย)

1 1= 1
2 21

2 1= 1
4 22

3 1= 1
8 23

4 1=1
16 24

5 1=1
32 25

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม
34 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

6. ครูใหนักเรียนพิจารณาวา ถาการตัดกระดาษในรูปแบบนี้สามารถดําเนินการตอไปได
เร่ือย ๆ แลวใหนักเรียนเขียนแสดงพ้ืนที่ของกระดาษสวนที่นําไปใสในกลองหลังจาก
การตดั โดยเรยี งตามลําดับการตดั
แนวคําตอบ

1, 1, 1, 1, 1 , , 1 , 
2 4 8 16 32 2n

หมายเหตุ ในการตอบคําถามขอน้ี ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเขียนพจนที่ n กํากับไว

เสมอ เนื่องจากมบี างลําดับที่มพี จนแรก ๆ เหมอื นกนั แตม พี จนทว่ั ไปแตกตา งกนั

7. ครูสรปุ วา คําตอบท่ีไดใ นขอ 6 เปน ลาํ ดบั อนนั ต

8. ครใู หนักเรียนเติมขอมลู ลงในตารางตอ ไปนใ้ี หส มบรู ณ

หลังจากการตัดครง้ั ที่ พนื้ ทรี่ วมของกระดาษท่อี ยูในกลอง
(ตารางหนวย)

1

2

3

4

5

แนวคําตอบ พืน้ ทรี่ วมของกระดาษทีอ่ ยใู นกลอง
หลงั จากการตัดครงั้ ท่ี (ตารางหนว ย)

11
2

2 1 + 1 =3
244

3 1 + 1 + 1 =7
2488

4 1 + 1 + 1 + 1 =15
2 4 8 16 16

5 1 + 1 + 1 + 1 + 1 =31
2 4 8 16 32 32

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 35
คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

9. ครูใหน กั เรยี นหาพืน้ ที่รวมของกระดาษที่อยใู นกลองหลังจากการตดั คร้ังท่ี n

แนวคําตอบ
พนื้ ที่รวมของกระดาษทอี่ ยใู นกลองหลงั จากการตดั คร้งั ที่ n เทากับ

1 + 1 + 1 +1 + 1 + + 1 =2n −1 =1 − 1 ตารางหนวย
2 4 8 16 32 2n 2n 2n

หมายเหตุ ในการหาคําตอบของขอน้ี ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนเขียนพื้นที่รวมของ

กระดาษท่ีอยูในกลองหลังจากการตัดคร้ังท่ี n ใหอยูในรูป 2n −1 ได โดยอาจพิจารณา
2n

จากแบบรปู ของพนื้ ท่รี วมของกระดาษท่ีอยูในกลองที่ไดในขอ 8 หรือความรอู ื่นกอนหนานี้

สําหรับ 1− 1 มาจากการพิจารณาพ้ืนที่กระดาษทั้งหมดลบดวยพ้ืนท่ีกระดาษ
2n

สว นท่ี 1 หลงั จากการตดั ครงั้ ท่ี n

10. จากขอ 9 ครูใหนักเรียนพิจารณาหาพื้นท่ีรวมของกระดาษที่อยูในกลองเมื่อสามารถ

ดําเนินการตดั กระดาษตามรปู แบบขางตน ตอไปเรื่อย ๆ ได โดยเขียนในรูปผลบวก

แนวคําตอบ

1 + 1 + 1 + 1 + 1 ++ 1 +
2 4 8 16 32 2n

11. ครสู รุปวา

• คําตอบทไ่ี ดในขอ 10 ซ่งึ คือ 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + + 1 + เรียกวา อนุกรม
2 4 8 16 32 2n

อนนั ต

• คําตอบทีไ่ ดใ นขอ 9 ซ่งึ คือพ้ืนที่รวมของกระดาษท่อี ยูใ นกลองหลังจากการตัดคร้ัง

ท่ี n เรียกวา ผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมอนันต แทนดวยสัญลักษณ

Sn น่ันคือ

Sn = 1 + 1 + 1 +1 + 1 ++ 1
2 4 8 16 32 2n

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม
36 คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

• คําตอบท่ีไดในขอ 8 จะไดวา พ้ืนที่รวมของกระดาษที่อยูในกลองหลังจากการตัด

ครงั้ ที่ 1 คือ S1 ซึง่ เทากับ 1 ในทาํ นองเดียวกนั จะไดว า
2

S2= 1+1
24

S3 = 1 + 1 + 1
2 4 8

S4 = 1 + 1 + 1 + 1
2 4 8 16

S5 = 1 + 1 + 1 +1 + 1
2 4 8 16 32

12. ครูอธบิ ายสรปุ เก่ียวกับอนุกรมอนนั ตและบทนยิ าม 6

ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเน้อื หาและสง่ิ ทคี่ วรตระหนักเกี่ยวกับการสอน

ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 การพิจารณาวา
อนกุ รมท่ีกําหนดใหเ ปนอนุกรมลูเ ขาหรืออนุกรมลูออก จะทาํ ไดจ ากการพจิ ารณาลําดับของ
ผลบวกยอ ยของอนุกรม เชน การพิจารณาอนุกรม 1+1+1+  +1n−1 +  ทําไดดังนี้

จากสูตร =Sn n ( a1 + an )
2

จะได Sn = n (1+1)= n

2

นนั่ คอื lim Sn = lim n

n→∞ n→∞

จากทฤษฎบี ท 1 จะได lim n ไมมีคา
n→∞

ดงั นนั้ อนุกรม 1+1+1+  +1n−1 +  เปน อนกุ รมลูอ อก

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม 37
คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ความเขาใจคลาดเคล่อื น

นักเรียนอาจเขาใจผิดวา “ทุกอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิตเปนอนุกรมลูออก” ทั้งน้ี

ครูควรยกตัวอยางอนุกรมอนันตที่เปนอนุกรมเลขคณิต แตเปนอนุกรมลูเขา เชน อนุกรม

เลขคณติ ท่มี ี=a1 0=, d 0 จะไดวา Sn = 0 ดงั นั้น lim Sn =0

n→∞

ประเดน็ สําคัญเก่ยี วกบั แบบฝก หัด

จากแบบฝก หัด 1.3.3 ขอ 1
• ในการสรุปวาอนุกรมที่กําหนดใหเปนอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิตน้ัน ครู

ควรเนนยํ้าใหนักเรียนตรวจสอบวาพจนที่ n ในอนุกรมท่ีกําหนดให เปนพจนที่ n
ของอนุกรมเลขคณิตหรืออนุกรมเรขาคณิตจริง เชน จากขอ 4) จะไดวาเปนอนุกรม
เลขคณิตที่มี a1 = 2 และ d = −3 จะเห็นวาพจนที่ n ของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ
2 + (n −1)(−3) =5 − 3n ซึ่งเทากับพจนท่ี n ในอนุกรมทีโ่ จทยก ําหนด
• ในการหาลําดับของผลบวกยอยของอนุกรมที่กําหนดให ครูอาจใหนักเรียน
เปรียบเทียบ S1, S2 และ S3 ที่หาไดจากผลบวก 1, 2 และ 3 พจนแรกของอนุกรมท่ี
กาํ หนด กับทห่ี าไดจากสตู รการหาผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รม

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
38 คมู อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

สญั ลกั ษณแสดงการบวก

ประเดน็ สาํ คญั เกี่ยวกบั เน้ือหาและสงิ่ ทีค่ วรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน

• ครอู าจแนะนาํ สญั ลกั ษณ ∑ ไปพรอมกบั การสอน เรอื่ ง อนกุ รมอนันต ไดเ ลย หากพจิ ารณา

แลว วา สอดคลอ งกบั แนวทางการจัดการเรียนรทู ีป่ ฏบิ ตั อิ ยู

• การเขียนแสดงการบวกดวยสัญลักษณ ∑ อาจเขียนไดหลายรูปแบบ โดยดัชนีไมจําเปน

ตองเร่ิมจาก 1 เชน ในตัวอยางที่ 51 นอกจากเขียนแสดง 2x + 4x2 + 6x3 + 8x4 +10x5

ไ ด เ ป น 5 แ ล ว อ า จ เ ขี ย น ไ ด เ ป น แ บ บ อื่ น ท่ี ดั ช นี ไ ม เ ร่ิ ม จ า ก 1 เ ช น

∑ 2ixi
i =1

6 หรือ 7

∑ 2(i −1) xi−1 ∑ 2(i − 2) xi−2
i=2 i=3

• การจดั รูป 4 ในตัวอยา งท่ี 60 ทําไดดงั นี้

(4i − 3)(4i +1)

ให ( 4i − 4 4i=+ 1) A+B นน่ั คือ =4 A(4i +1) + B (4i − 3)
4i − 3 4i + 1
3)(

เมื่อ i = 3 จะได A =1

4

เม่ือ i = − 1 จะได B = −1

4

ดงั น้ัน ( 4i − 4 4i=+ 1) 1 −1
4i − 3 4i + 1
3)(

เรียกการจัดรปู โดยวธิ ีนี้วาการแยกเศษสว นยอ ย (Partial fraction decomposition)

ประเด็นสําคญั เกยี่ วกับแบบฝกหัด

การหาผลบวก n พจนแ รก และผลบวก 20 พจนแ รกของอนกุ รมท่กี ําหนดใหในแบบฝกหัด
1.4 ขอ 8 นัน้ นกั เรยี นอาจจัดรปู อนุกรมท่กี ําหนดใหในทํานองเดียวกับตวั อยางที่ 60

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี