คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 289

12. ให a เปนจํานวนทบี่ วกกับ 5, 22 และ 107 แลว 5 + a, 22 + a, 107 + a เปนลาํ ดบั เรขาคณติ

จะไดอตั ราสว นรว มของลําดบั เรขาคณติ นี้หาไดจาก 22 + a หรอื 107 + a

5 + a 22 + a

นั่นคอื 22 + a = 107 + a
5+a 22 + a

(22 + a)(22 + a) = (107 + a)(5 + a)

484 + 44a + a2 = 535 +112a + a2

−68a = 51

a = −3
4

ดงั นั้น a = − 3 ทําให 5 + a, 22 + a, 107 + a เปน ลาํ ดับเรขาคณติ

4

13. ให a1, a1r และ a1r2 เปน สามพจนแ รกของลาํ ดับเรขาคณติ ทมี่ ีอัตราสว นรวม คือ r (r ≠ 0)
เนือ่ งจากผลบวกของสามพจนน้ี คอื −3

จะไดวา a1 + a1r + a1r2 = −3

( )a1 1+ r + r2 = −3 ----- (1)

เนอื่ งจากผลคูณของสามพจนน ้ี คอื 8

จะไดวา ( )(a1 )(a1r ) a1r2 = 8

a13r3 = 8

a1r = 2

a1 = 2
r

แทน a1 ดว ย 2 ใน (1) จะได
r

( )2 1+ r + r2 = −3

r

2r2 + 5r + 2 = 0

(2r +1)(r + 2) = 0

นน่ั คือ r = − 1 หรือ r = −2

2

กรณี r = − 1 จะได a1 = − 4

2

ดังน้นั พจนทัว่ ไปของลําดับนี้ คือ ( − 4)  − 1 n−1
 2 

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

290 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

กรณี r = −2 จะได a1 = −1

ดงั นั้น พจนท ่ัวไปของลําดบั น้ี คือ (−1)( )−2 n−1
14. การรณรงคลดการใชถ งุ พลาสติกในอาํ เภอหนึง่ ทําใหจ ํานวนถุงพลาสตกิ ท่ใี ชแ ลวลดลงปล ะ 5%

ของจํานวนถงุ พลาสตกิ ทใ่ี ชแลว ในปกอ นหนา
จาก ปที่เรม่ิ ตนการรณรงคมีจํานวนถงุ พลาสติกท่ีใชแ ลว 100,000 ถงุ จะไดว า
ในการรณรงคปท่ี 1 จะมจี ํานวนถงุ พลาสตกิ ท่ใี ชแ ลว 100,000(0.95) ถุง

ในการรณรงคปที่ 2 จะมีจาํ นวนถงุ พลาสติกท่ีใชแลว 100,000(0.95)(0.95) =100,000(0.95)2 ถงุ
ในการรณรงคป ที่ 3 จะมีจํานวนถุงพลาสติกทใ่ี ชแลว 100,000(0.95)2 (0.95) =100,000(0.95)3 ถงุ

ในทํานองเดียวกนั ในการรณรงคป ท ี่ n จะมจี ํานวนถุงพลาสติกทใ่ี ชแลว 100,000(0.95)n ถงุ
จะไดวา ในการรณรงคปที่ 1, 2, 3, , n จะมจี ํานวนถุงพลาสติกใชแลว

100000(0.95), 100000(0.95)2 , 100000(0.95)3 , , 100000(0.95)n

ซ่งึ เปนลําดบั เรขาคณิตทมี่ ีพจนแรก คือ 100,000(0.95) อัตราสว นรว ม คือ 0.95

และพจนท่วั ไป คือ 100,000(0.95)n

ดังน้ัน สตู รการคาํ นวณจาํ นวนถุงพลาสตกิ ทีใ่ ชแ ลวในการรณรงคแตล ะป คือ 100,000(0.95)n

และจาํ นวนถุงพลาสตกิ ท่ีใชแลว ในการรณรงคป ท่ี 10 คอื 100,000(0.95)10 หรือประมาณ 59,874 ถุง

15. พิจารณาเมือง A ซ่งึ มพี ืน้ ทป่ี า 400 ตารางกโิ ลเมตร โดยพืน้ ที่ปา ลดลงเฉลย่ี ปละ 4% ของ

พ้นื ทป่ี า ในปก อนหนา จะไดว า

อีก 1 ปข างหนา เมือง A จะมีพน้ื ทป่ี า 400(0.96) ตารางกิโลเมตร

อกี 2 ปขา งหนา เมอื ง A จะมพี น้ื ทปี่ า 400(0.96)(0.96) = 400(0.96)2 ตารางกิโลเมตร

อกี 3 ปขางหนา เมอื ง A จะมพี ืน้ ท่ีปา 400(0.96)2 (0.96) = 400(0.96)3 ตารางกโิ ลเมตร



จะเหน็ วา อกี 1, 2, 3, … ปขางหนา เมอื ง A จะมีพ้ืนทีป่ า 400(0.96), 400(0.96)2 , 400(0.96)3 , 

ตารางกโิ ลเมตร ซงึ่ เปน ลาํ ดับเรขาคณติ ที่มพี จนแรก คือ 400(0.96) และอัตราสวนรว ม คือ 0.96

ให an แทนลาํ ดบั ของพืน้ ทีป่ าของเมอื ง A

โดยพจนท วั่ ไป คือ an = 400(0.96)n ----- (1)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 291

พจิ ารณาเมือง B ซง่ึ มีพ้นื ท่ีปา 60 ตารางกิโลเมตร โดยพื้นทปี่ าเพมิ่ ขึน้ ทกุ ปเ ฉลีย่ ปล ะ 2%

ของพ้นื ท่ปี าในปก อ นหนา จะไดวา

อีก 1 ปข างหนา เมือง B จะมีพ้นื ทปี่ า 60(1.02) ตารางกโิ ลเมตร

อกี 2 ปข า งหนา เมือง B จะมีพ้นื ท่ีปา 60(1.02)(1.02) = 60(1.02)2 ตารางกโิ ลเมตร

อกี 3 ปขางหนา เมือง B จะมพี ้นื ทป่ี า 60(1.02)2 (1.02) = 60(1.02)3 ตารางกิโลเมตร



จะเหน็ วา อีก 1, 2, 3, … ปขางหนา เมอื ง B จะมีพ้นื ท่ีปา 60(1.02), 60(1.02)2 , 60(1.02)3 , 

ตารางกิโลเมตร ซึ่งเปนลําดบั เรขาคณิตท่ีมีพจนแรก คอื 60(1.02) และอตั ราสว นรวม คอื 1.02

ให bn แทนลาํ ดับของพนื้ ท่ีปา ของเมอื ง B

โดยพจนท ว่ั ไป คอื bn = 60(1.02)n ----- (2)

1) พจิ ารณาพื้นที่ปาในอีก 10 ปข างหนาของเมือง A และ B โดยแทน n ดว ย 10 ใน (1) และ (2)

=จะได a10 400(0.96)10 ≈ 265.93

=และ b10 60(1.02)10 ≈ 73.14
ดงั นน้ั อกี 10 ปข างหนา เมือง A จะมีพืน้ ท่ีปา มากกวาเมอื ง B อยูประมาณ

265.93 − 73.14 =192.79 ตารางกิโลเมตร

2) สมมตใิ หอกี n ปข างหนา เมอื ง B มพี นื้ ทปี่ า มากกวาเมือง A

นั่นคือ bn > an
จาก (1) และ (2) จะไดวา

60(1.02)n > 400(0.96)n

 1.02 n > 400
 0.96  60

 17 n > 20
 16  3

log  17 n > log  20 
 16   3 

n log  17  > log  20 
 16   3 

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

292 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

log  20 
 3 
n> ≈ 31.29
 17 
จาก n เปนจํานวนเตม็ บวก log  16 

จะไดวา อีกอยางนอย 32 ป เมอื ง B จะมีพื้นท่ีปามากกวา เมือง A

16. 1) พจนทห่ี ายไปของลาํ ดบั นี้ คอื a4, a5 และ a6
กรณีทีล่ ําดับนเ้ี ปนลาํ ดบั เลขคณิต จะตอ งไดวา a2 − a1 = a3 − a2

เนอ่ื งจาก a2 − a1 = 27 −11 = 5 และ a3 − a2 =16 − 27 = 5
2 2 2 2

จะเห็นวา a2 − a1 = a3 − a2

ดังนั้น ลาํ ดับนเ้ี ปนลาํ ดับเลขคณิต ที่มี a1 = 11 และ d = 5
2

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได a4 = 11 + (4 − 1)  5  = 37
 2  2

a5 = 11+ (5 − 1)  5  = 21
 2 

a6 = 11 + (6 − 1)  5  = 47
 2  2

ดงั นนั้ พจนท ่ขี าดหายไป คอื 37 , 21 และ 47 ตามลาํ ดบั

22

กรณที ลี่ ําดับนเี้ ปน ลําดับเรขาคณติ จะตอ งไดวา a2 = a3

a1 a2

27

เนือ่ งจาก a=2 =2 27 และ =a3 1=6 32 ซงึ่ 27 ≠ 32
a1 11 27
22 a2 27 22 27

2

จะเห็นวา a2 ≠ a3

a1 a2

ดงั น้นั ลําดับนีไ้ มเ ปนลาํ ดับเรขาคณติ

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 293

2) พจนท่ีหายไปของลาํ ดับนี้ คือ a3, a5 และ a6

กรณีทลี่ ําดบั นเ้ี ปนลําดบั เลขคณิต จะตองไดว า d = a2 − a1 = 11 − 7 = 72
7 11 77

a1 = 7 และ a4 = 265
11 77

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได a4 = 7 + (4 −1) 72 = 265
77
11 77

ดงั นั้น ลําดบั นเี้ ปน ลําดับเลขคณติ ทม่ี ี a1 =7 และ d = 72
11 77

จะได a3 = 7 + (3 −1) 72  = 193
11 77  77

a5 = 7 + (5 − 1)  72  = 337
11  77  77

a6 = 7 + (6 − 1)  72  = 409
11 77  77

ดังนนั้ พจนท ี่ขาดหายไป คอื 193, 337 และ 409 ตามลาํ ดับ
77 77 77

11

กรณที ลี่ าํ ดับน้ีเปน ลําดับเรขาคณิต จะตอ งไดว า =r a=2 7= 121 และ a4 = 265
a1 7 49 77

11

จาก an = a1rn−1

=จะได a4 17=1 14291 3−1 102, 487 ซึ่ง 102, 487 ≠ 265
539 539 77

นั่นคอื ลาํ ดับนไ้ี มเปน ลําดับเรขาคณิต

3) พจนท ี่หายไปของลาํ ดบั น้ี คอื a4, a5 และ a6
กรณีที่ลาํ ดบั นเ้ี ปนลาํ ดบั เลขคณติ จะตอ งไดว า a2 − a1 = a3 − a2

เนือ่ งจาก a2 − a1 =4 − 6 =−2 และ a3 − a2 =8 − 4 =− 4
33

จะเห็นวา a2 − a1 ≠ a3 − a2

ดังนน้ั ลาํ ดบั นี้ไมเ ปน ลาํ ดบั เลขคณติ

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

294 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

กรณที ล่ี ําดบั นี้เปน ลําดบั เรขาคณิต จะตอ งไดว า a2 = a3

a1 a2

8

เน่ืองจาก a2= 4= 2 และ a3= 3= 2
a1 6 3 a2 4 3

จะเหน็ วา a2 = a3

a1 a2

ดังน้นั ลําดับนีเ้ ปน ลาํ ดบั เรขาคณติ ทีม่ ี a1 =6 และ r = 2
3

จาก an = a1rn−1

จะได= a4 6= 32 4−1 16
9

=a5 6= 32 5−1 32
27

=a5 6= 23 6−1 64
81

ดงั นนั้ พจนท ขี่ าดหายไป คอื 16 , 32 และ 64 ตามลําดับ
9 27 81

4) พจนท ี่หายไปของลาํ ดบั น้ี คอื a3, a5 และ a6

กรณที ่ีลําดับน้ีเปนลาํ ดับเลขคณิต จะตองไดว า d =a2 − a1 =− 5 − 5 =− 15
3 6 6

a1 = 5 และ a4 = − 20
6 3

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได a4 =5 + (4 − 1)  − 15  =− 20
6 6  3

ดงั นน้ั ลาํ ดบั นี้เปน ลาํ ดับเลขคณิต ทมี่ ี a1 = 5 และ d = − 15
6 6

จะได a3 =5 + (3 − 1)  − 15  =− 25
6  6  6

a5 =5 + (5 − 1)  − 15  =− 55
6  6  6

a6 =5 + (6 − 1)  − 15  =− 35
6 6  3

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 295

ดงั นัน้ พจนที่ขาดหายไป คือ − 25 , − 55 และ − 35 ตามลาํ ดบั
66 3

กรณที ่ีลาํ ดบั น้เี ปนลาํ ดบั เรขาคณิต จะตอ งไดว า r = a2 = −5 = −2
a1 3
5

6

a1 = 5 และ a4 = − 20
6 3

จาก an = a1rn−1

จะได a4 =5 (−2)4−1 =− 20
3
6

ดงั นัน้ ลําดับนเี้ ปนลําดับเรขาคณิต ที่มี a1 = 5 และ r = −2
6

จะได a3 =5 ( )−2 3−1 =10
6 3

a5 =5 ( )−2 5−1 =40
6 3

a6 =5 (−2)6−1 =− 80
3
6

ดงั น้ัน พจนท ขี่ าดหายไป คือ 10 , 40 และ − 80 ตามลําดบั
33 3

17. ให t เปน จํานวนจรงิ ใด ๆ

และกาํ หนดให a = t

เนอื่ งจาก a,b,c เปนลําดบั เรขาคณิต ทม่ี ีอตั ราสว นรว ม คอื r

จะไดวา b = tr และ c = tr2

เนือ่ งจาก b,a,c เปน ลาํ ดบั เลขคณติ ที่มผี ลตา งรว ม คอื d

จะไดวา t= b + d และ c= t + d

ดงั น้ัน tr = t − d ----- (1)

tr2 = t + d ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได

tr2 + tr − 2t = 0

t (r + 2)(r −1) = 0

ดังน้ัน t = 0 หรอื r = −2 หรอื r =1

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

296 คมู ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

กรณี t = 0 จะไดวา=a 0=, b 0=, c 0 ซ่ึงไมเ ปนลาํ ดับเรขาคณิต เนอ่ื งจากอตั ราสว นรวมไมนิยาม

กรณี r = −2 จาก (1) จะได d = 3t

นั่นคอื b = −2t และ c = 4t

จะไดวา a, b และ c คอื t, − 2t และ 4t ตามลาํ ดบั เม่อื t เปนจํานวนจริงใด ๆ ทไี่ มเทากับ 0

กรณี r =1 จาก (1) จะได d = 0

นั่นคอื b = t และ c = t

จะไดวา a, b และ c คือ t, t และ t ตามลาํ ดบั เมื่อ t เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ ที่ไมเทากบั 0

ดังนัน้ จาํ นวนจริง a,b และ c ทัง้ หมด ทท่ี าํ ใหล าํ ดับ a,b,c เปนลาํ ดับเรขาคณิต

และลาํ ดับ b,a,c เปนลําดับเลขคณิต มี 2 กรณี คือ

กรณที ่ี 1 a = t, b = −2t และ c = 4t

กรณีที่ 2 =a t,=b t และ c = t

เมื่อ t เปนจํานวนจริงใด ๆ ที่ไมเทากบั 0

18. ให 10, a2, a3 เปนลาํ ดับเลขคณติ ท่ีมีผลตางรว ม คือ d
และ 10, b2, b3 เปนลาํ ดบั เรขาคณติ ท่ีมีอตั ราสว นรวม คอื r
เน่อื งจาก a2 = b2 และ b3 − a3 =2.5

จะไดวา 10 + d = 10r

d = 10r −10 ----- (1)
----- (2)
และ 10r2 − (10 + 2d ) = 2.5

จาก (1) และ (2) จะไดว า

10r2 − (10 + 2(10r −10)) = 2.5

10r2 − 20r +10 = 2.5

4r2 − 8r + 3 = 0

(2r − 3)(2r −1) = 0

จะไดวา r = 3 หรือ r = 1

22

กรณี r = 3 จะได d = 5

2

ดงั น้นั พจนท วั่ ไปของลาํ ดบั เลขคณติ คือ 10 + (n −1)(5)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 297

และ พจนท ่ัวไปของลาํ ดับเรขาคณิต คือ  3 n −1
 2 
10

กรณี r = 1 จะได d = −5

2

ดังน้ัน พจนท ัว่ ไปของลําดบั เลขคณิต คอื 10 + (n −1)(−5)

และ พจนทัว่ ไปของลาํ ดับเรขาคณิต คอื  1 n −1
 2 
10

19. พิจารณาบรษิ ัท A ซึง่ ใหเงนิ เดอื นเริ่มตน 20,000 บาท และแตละปจ ะขนึ้ เงนิ เดอื นให

1,500 บาท จะไดว า

ปท่ี 1 ของการทํางาน เจาหนาทฝ่ี ายทรัพยากรบุคคลของบริษัท A จะไดร ับเงินเดือน 20,000 บาท

ปท ี่ 2 ของการทาํ งาน เจา หนา ท่ฝี ายทรพั ยากรบคุ คลของบริษัท A จะไดรับเงินเดอื น

20,000 +1,500 บาท

ปท ่ี 3 ของการทํางาน เจาหนา ทีฝ่ า ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท A จะไดร ับเงนิ เดือน

(20,000 +1,500) +1,500= 20,000 + 2(1,500) บาท

ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดว า ปที่ n ของการทํางาน เจาหนาที่ฝา ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท A

จะไดร บั เงนิ เดอื น 20,000 + (n −1)(1,500) บาท

นน่ั คอื ปท ่ี 1, 2, 3, , n ของการทํางาน เจาหนาทฝ่ี า ยทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท A จะได

รับเงนิ เดอื น 20000, 20000 +1500, 20000 + 2(1500), , 20000 + (n −1)(1500) บาท

ซึ่งเปน ลําดบั เลขคณิตทมี่ ีพจนแ รก คอื 20,000 และผลตา งรว ม คอื 1,500

ให an แทนลาํ ดับของเงนิ เดือนของเจาหนา ทฝ่ี ายทรัพยากรบุคคลของบรษิ ทั A
โดยพจนท ั่วไป คือ a=n 20000 + (n −1)(1500) ----- (1)
พิจารณาบริษทั B ซงึ่ ใหเงินเดือนเรมิ่ ตน 20,000 บาท และแตล ะปจ ะขึน้ เงินเดอื นให 5%

ของเงนิ เดอื นปก อ นหนา จะไดวา

ปท ่ี 1 ของการทํางาน เจา หนาท่ฝี า ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท B จะไดรบั เงินเดือน 20,000 บาท

ปท่ี 2 ของการทํางาน เจาหนา ทฝ่ี ายทรัพยากรบุคคลของบริษัท B จะไดรบั เงนิ เดือน

20,000(1.05) บาท

ปท ่ี 3 ของการทํางาน เจาหนาท่ฝี ายทรพั ยากรบคุ คลของบริษทั B จะไดรบั เงินเดอื น

20,000(1.05)(1.05) = 20,000(1.05)2 บาท

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

298 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

ในทํานองเดยี วกนั จะไดวา ปท่ี n ของการทาํ งาน เจาหนาท่ีฝา ยทรพั ยากรบุคคลของบริษัท B

จะไดร บั เงนิ เดือน 20,000(1.05)n−1 บาท

นนั่ คือ ปท่ี 1, 2, 3, , n ของการทาํ งาน เจา หนา ทฝี่ ายทรัพยากรบคุ คลของบริษัท B จะไดร ับ

เงนิ เดือน 20000, 20000(1.05), 20000(1.05)2 , , 20000(1.05)n−1 บาท ซง่ึ เปนลําดบั

เรขาคณิตทมี่ พี จนแรก คอื 20,000 และผลอัตราสวนรวม คอื 1.05

ให bn แทนลําดับของเงินเดือนของเจา หนาทฝ่ี า ยทรพั ยากรบคุ คลของบรษิ ัท B

โดยพจนท่ัวไป คอื bn = 20000(1.05)n−1 ----- (2)

1) สําหรับเจา หนา ท่ีทรัพยากรบคุ คลของบรษิ ทั A

จาก ปที่ 1, 2, 3, , n ของการทาํ งาน เจาหนาที่ฝา ยทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท A จะไดร บั

เงนิ เดือน 20000, 20000 +1500, 20000 + 2(1500), , 20000 + (n −1)(1500) บาท

ดังน้ัน ลําดบั แทนเงินเดอื นเจา หนา ท่ฝี า ยทรัพยากรบคุ คลของบรษิ ทั A ในแตล ะป คือ

20000, 20000 +1500, 20000 + 2(1500), , 20000 + (n −1)(1500)

สําหรับเจา หนาทท่ี รพั ยากรบคุ คลของบริษทั B
จาก ปท่ี 1, 2, 3, , n ของการทาํ งาน เจาหนา ท่ีฝายทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท B จะไดร ับ
เงินเดอื น 20000, 20000(1.05), 20000(1.05)2 , , 20000(1.05)n−1 บาท
ดังนน้ั ลาํ ดับแทนเงินเดือนเจาหนาที่ฝายทรัพยากรบุคคลของบรษิ ัท B ในแตละป คือ

20000(1.05), 20000(1.05)2 , 20000(1.05)3 , , 20000(1.05)n

2) พิจารณาเงินเดอื นในปที่ 10 โดยแทน n ดว ย 10 ใน (1) และ (2)
จะได a1=0 20000 + (10 −1)(1500=) 33,500

=และ b10 20000(1.05)10−1 ≈ 31,027
น่ันคือ เงนิ เดือนในปท่ี 10 ของเจาหนา ทฝ่ี า ยทรัพยากรบุคคลของบริษัท A เทา กบั
33,500 บาท และบริษทั B ประมาณ 31,027 บาท
ดงั นน้ั ผลตางของเงนิ เดอื นในปที่ 10 ของเจา หนา ทฝ่ี ายทรัพยากรบคุ คลของทง้ั สอง
บรษิ ัทประมาณ 33,500 – 31,027 = 2,473 บาท

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 299

20. 1) จาก an = 2cos nπ
6

เขยี นกราฟของลาํ ดบั ไดดงั นี้

จากกราฟ จะเหน็ วา แตละพจนของลาํ ดบั an คือ จาํ นวนจรงิ ซ่ึงอยใู นชว ง [−2, 2]
น่ันคือ เม่ือ n มากขนึ้ โดยไมมที ่ีสน้ิ สุด an ไมเ ขา ใกลจ ํานวนใดจาํ นวนหน่ึง
ดงั นน้ั ลําดบั นีเ้ ปนลาํ ดบั ลูออก

2) จาก an = 1 sin 2  nπ 
n  12 

เขยี นกราฟของลาํ ดับไดดงั น้ี

จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0
ซ่งึ หมายความวา เมื่อ n มากข้ึนโดยไมม ีที่สิ้นสุด an จะเขา ใกล 0 แตไ มเ ทากบั 0
ดงั นัน้ ลําดบั น้เี ปนลําดบั ลเู ขา และลมิ ิตของลําดับเทากบั 0

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

300 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

3) จาก an = 8
n2 + 8

เขียนกราฟของลําดบั ไดด ังนี้

จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0

ซึ่งหมายความวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมมที ีส่ ้นิ สุด an จะเขา ใกล 0 แตไมเทา กับ 0
ดังนั้น ลําดับนีเ้ ปน ลาํ ดบั ลูเ ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั เทา กับ 0

4) จาก an = log(n +10)

n

เขียนกราฟของลําดับไดดังนี้

จากกราฟ จะเหน็ วา แนวของจดุ ในกราฟจะเขาใกล 0
ซ่ึงหมายความวา เมื่อ n มากขึ้นโดยไมม ีทส่ี ิน้ สุด an จะเขา ใกล 0 แตไมเทากบั 0
ดังนั้น ลาํ ดบั นีเ้ ปน ลําดับลูเขา และลิมิตของลาํ ดับเทากบั 0

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 301

5) จาก an = 2n
n2

เขียนกราฟของลําดับไดด งั นี้

จากกราฟ จะเห็นวา เมื่อ n มากขน้ึ โดยไมมที ่ีส้นิ สดุ an มีคา เพ่ิมขึ้นและไมเขาใกล
จํานวนใดจาํ นวนหนึ่ง
ดงั นัน้ ลําดับน้ีเปนลําดับลูอ อก

6) จาก an = 2n
n!

เขียนกราฟของลําดับไดดงั น้ี

จากกราฟ จะเห็นวา แนวของจุดในกราฟจะเขาใกล 0
ซ่ึงหมายความวา เมื่อ n มากข้ึนโดยไมม ที ่ีส้นิ สุด an จะเขาใกล 0 แตไมเทา กับ 0
ดงั น้นั ลาํ ดบั นเี้ ปนลําดบั ลูเขา และลมิ ิตของลําดับเทา กับ 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

302 คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

เนื่องจาก  1  n2  1  
 2n2 +1    n2  
21. 1) lim = lim  
  1  
2) n→∞ n→∞  n2  2 + n2  
3)
1
 
= lim  n2 
 
n→∞ 2 + 1
n2

= lim  1 
 n2 
n→∞

lim  2 + 1 
 n2 
n→∞

= lim  1 
 n2 
n→∞

lim 2 + lim  1 
 n2 
n→∞ n→∞

=0
2+0

=0

ดังนนั้ lim  1 = 0
 2n2 + 1 
n→∞

นัน่ คือ ลําดับน้ีเปนลาํ ดับลูเขา และลิมิตของลาํ ดับคือ 0

เน่อื งจาก lim 2n = lim  2 n
7n  7 
n→∞ n→∞

และ 2 <1 จะได lim  2 n = 0
7  7 
n→∞

นนั่ คอื lim 2n =0
7n
n→∞

ดังน้นั ลําดับน้ีเปน ลาํ ดับลเู ขา และลมิ ติ ของลําดบั คือ 0

( )เนอื่ งจาก ( )−1 4n+3 =(−1)4n (−1)3 =(−1)4 n (−1) =1n (−1) =1(−1) =−1 สําหรับ

ทุกจาํ นวนนบั n

จะได lim ( )−1 4n+3 =lim (−1) =−1
n→∞ n→∞

ดังนัน้ ลาํ ดบั น้ีเปน ลาํ ดับลูเขา และลมิ ิตของลาํ ดบั คอื 0

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 303



4) พจิ ารณา lim 1  1 
n→∞ an = lim  5 n 
 2  
n→∞ 3

= 1 lim  2 n
3  5 
n→∞

เน่ืองจาก 2 <1 จะได lim  2 n = 0
5  5 
n→∞

น่นั คอื 1 lim  =52 n 1=(0) 0
3 
n→∞ 3

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดับ an เปน ลําดับลูอ อก

5) จาก an =2 + n =6 + n
3 3


 
พจิ ารณา 1 = lim  6 1 n 
lim  + 
n→∞ an n→∞

3

= lim  6 3 n 
 + 
n→∞

 n  3  
  n  
= lim  
  6 n  
n→∞  n  n + n  

3
 
= lim  6 n 
 + 
n→∞ 1

n 

= lim  3 
 n 
n→∞

lim  6 + 1
 n
n→∞

3 lim  1 
 n 
= n→∞

lim  6  + lim 1
 n 
n→∞ n→∞

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

304 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

3 lim  1 
 n 
= n→∞

6 lim  1  + lim 1
 n 
n→∞ n→∞

= 3(0)
6(0) +1

=0
1

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลําดบั an เปนลาํ ดบั ลอู อก

6) เนือ่ งจาก 3n2 (n − 2)! 3n2 (n − 2)! 3n
n(n −1)(n − 2)! = n −1
=
n!

จะได 3n2 (n − 2)! lim 3n

lim = n→∞ n −1
n→∞ n!

3
= lim

n→∞ 1− 1
n

lim 3
= n→∞

lim1 − lim 1
n→∞ n→∞ n

=3
1− 0

=3

ดังน้นั 3n2 (n − 2)!

lim = 3
n→∞ n!

นั่นคอื ลาํ ดบั น้ีเปน ลาํ ดบั ลเู ขา และลิมติ ของลาํ ดับน้ี คอื 3

7) เนือ่ งจาก lim 1 = 1 และ lim=3 3 lim=1 3=(0) 0
n→∞ 2 2 n→∞ n n→∞ n

จะได lim  1 + 3  = lim 1 + lim 3
 2 n  n→∞ 2 n→∞ n
n→∞

= 1+0
2

=1
2

ดงั นนั้ ลําดับนเี้ ปนลําดบั ลเู ขา และลิมติ ของลําดับน้ี คอื 1

2

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 305

8) เน่อื งจาก ( ) ( )(n +1)2 − (n −1)2 n2 + 2n +1 − n2 − 2n +1 4=n 2
==
2n 2n 2n

จะได (n +1)2 − (n −1)2

lim = l=im 2 2 = lim 2
n→∞ 2n n→∞ n→∞

ดังน้ัน ลาํ ดับนเี้ ปนลําดบั ลูเขา และลิมิตของลําดบั นี้ คือ 2

9) เนื่องจาก lim (n +1)2 = lim n2 + 2n +1
n2 − 2n + 2
n→∞ (n − 1)2 +1 n→∞

n2 1 + 2 + 1 
n n2 
= lim
n→∞ n2 1 − 2 2 
n + n2 

1+ 2 + 1
n n2
= lim
2 2
n→∞ 1− n + n2

lim1 + lim 2 + lim 1
n n2
= n→∞ n→∞ n→∞

lim 1 − lim 2 + lim 2
n n2
n→∞ n→∞ n→∞

= 1+0+0
1− 0 + 0

=1

ดงั นัน้ lim (n +1)2 =1

n→∞ (n − 1)2 +1

น่ันคอื ลาํ ดบั นเ้ี ปนลําดบั ลูเ ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั น้ี คือ 1

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

306 คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

( () )จาก10)
=an 23=nn−+33 3n 1  3 n
= 27 ⋅8  2 

27 ⋅ 8 2n



พิจารณา lim 1  1 
n→∞ an = lim  1 n 
 27 ⋅8   
n→∞ 3
2


 
= lim  27 ⋅8 
 3 n 
n→∞   2  



 1 
= ( 27 ⋅8) lim  3 n 
n→∞  2  



= ( 27 ⋅ 8) lim  2 n
 3 
n→∞

เน่ืองจาก 2 <1 จะได lim  2 n = 0
3  3 
n→∞

นั่นคือ ( 27 ⋅ 8) lim  2 n =(27 ⋅8)(0) =0
 3 
n→∞

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลาํ ดับ an เปน ลําดับลูออก

จาก ( ) ( )11) 4 4n
an = 4n+1 + 23n+2 = 9n 4 8n = 4  4 n + 4  8 n
32n + 9  9 

9n

พิจารณา lim  4  4 n + 4  8 n  = lim 4  4 n + lim 4  8 n
  9   9    9   9 
n→∞ n→∞ n→∞

= 4 lim  4 n + 4 lim  8 n
 9   9 
n→∞ n→∞

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 307

เนอื่ งจาก 4 <1 และ 8 <1 จะได lim  4 n =0 และ lim  8 n =0
9  9   9 
9 n→∞ n→∞

ดังนัน้ lim  4  4 n + 4  8 n  = 4(0) + 4 (0) = 0
  9   9  
n→∞

นน่ั คอื ลําดับนเี้ ปน ลาํ ดับลเู ขา และลมิ ติ ของลาํ ดบั คือ 0

12) จา=ก an =n 1
และ 3 n +1
n2

1

n3 +1

lim 1 1 
n→∞ an  n3 +1
= lim  1

n→∞ n 2 

1 
 n3 1 
= lim 1 + 
 n 2 1 
n→∞
n2

=  −1 −1 
lim  n 6 +n 2 

n→∞


1 1 
= lim  + 
1 1
n→∞ 6
n2
n

 1   1 
   
= lim  1  + lim  1 

n→∞ n6 n→∞ n2



= 0+0

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั an เปน ลาํ ดับลอู อก

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

308 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

13) เน่ืองจาก lim n3 + 8 n3 1 + 8 
n→∞ 8n3 + n − 8 n3 
= lim
n→∞  1 8 
n3  8 + n2 − n3 

1+ 8
n3
= lim
n→∞ 1 8
8+ n2 − n3

lim 1 + lim 8
n3
= n→∞ n→∞

lim 8 + lim 1 − lim 8
n2 n→∞ n3
n→∞ n→∞

= 1+0
8+0−0

=1
8

จะได lim n3 + 8 = lim n3 + 8
8n3 + n − 8
n→∞ n→∞ 8n3 + n − 8

=1
8

=2
4

ดงั นน้ั ลาํ ดบั นี้เปน ลําดบั ลูเขา และลิมติ ของลําดับ คอื 2

4

( ) ( )=14) จาก (n +1)3 − (n −1)3
n3 + 3n2 + 3n + 1 − n3 − 3n2 + 3n −1 3n2 + 1
=
2n 2n n


 
จะได lim 1 = lim  1 

n→∞ an n→∞  3n2 + 1 
n

= lim  n
 3n2 + 1 
n→∞

 n2  n  
  n2  
= lim  1 
  3n2 n2  
n→∞  n2  n2 +  
 

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 309

 1 
  n  
= lim  
  1  
n→∞   3 + n2  

= lim  1 
 n 
n→∞

lim  3 + 1 
 n2 
n→∞

= lim  1 
 n 
n→∞

lim 3 + lim  1 
 n2 
n→∞ n→∞

=0
3+0

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดวา ลําดบั an เปนลําดับลูออก

( )15) จาก =n − n2 + 3
n(n − 7) − n2 + 3 −7n − 3

= n−7
n−7 n−7

จะได lim  n − n2 + 3  = lim  −7n − 3 
 n−7   n−7 
n→∞   n→∞

 n  − 7n − 3  
  n n  
= lim  
n→∞   n 7  
 n  n − n  

= lim  −7 − 3 
 n 
n→∞  
 1− 7 
 n

lim  −7 − 3 
 n 
= n→∞

lim 1 − 7 
n 
n→∞

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

310 คูมือครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

lim ( −7 ) − lim  3 
 n 
= n→∞ n→∞

lim 1 − lim  7 
 n 
n→∞ n→∞

lim ( −7 ) − 3 lim  1 
 n 
= n→∞ n→∞

lim 1 − 7 lim  1 
 n 
n→∞ n→∞

−7 − 3(0)
= 1− 7(0)

= −7

ดังนั้น ลําดบั นี้เปนลําดับลเู ขา และลิมติ ของลําดับ คอื −7

( )16) จาก=n +1 + n − 3n2
2 6n − 5
(n +1)(6n − 5) + 2 n − 3n2 3n − 5
2=(6n − 5) 12n −10

จะได lim  n +1 + n− 3n2  = lim  3n −5 
 2 6n −5   12n − 10 
n→∞   n→∞

 n  3n − 5  
  n n  
= lim  
  12n 10  
n→∞  n  n − n  

 3 − 5 
 − 
= lim  n 
10 
n→∞  12

 n

lim  3 − 5 
 n 
= n→∞

lim 12 − 10 
n 
n→∞

lim 3 − lim  5 
 n 
= n→∞ n→∞

lim 12 − lim  10 
 n 
n→∞ n→∞

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 311

lim 3 − 5 lim  1 
 n 
= n→∞ n→∞

lim 12 − 10 lim  1 
 n 
n→∞ n→∞

3 − 5(0)
= 12 −10(0)

=1
4

ดงั นั้น ลาํ ดบั นี้เปนลาํ ดบั ลเู ขา และลิมิตของลําดับ คอื 1

4

22. วธิ ีการหาลมิ ติ ของลําดับ an ท่ีกําหนดให ซง่ึ เปนการใชทฤษฎบี ท 3 ขอ 6) นัน้ ไมถ ูกตอง

เนื่องจาก การหาลิมิตโดยใชความรูวา lim an = lim an จะใชไดเม่ือ lim an และ lim bn

n→∞ n→∞ n→∞

bn→∞ lim bn
n
n→∞

หาคา ได และ lim bn ≠0

n→∞

แต (lim 2n4 )− n2 และ (lim 3n4 +13) ไมม คี า จึงไมส ามารถใชวธิ ดี งั กลาวได
n→∞ n→∞

23. ให x เปน จาํ นวนเต็ม

สมมตใิ หล าํ ดับ an เปนลําดบั ลูเ ขา โดยที่ an =  2x2 +1 n
 x2 + 5 
 

จะไดว า ลําดับ an เปน ลาํ ดบั เรขาคณิตท่มี ี a1 = 2x2 +1 และ r = 2x2 +1
x2 + 5 x2 + 5

จากลาํ ดบั an เปน ลาํ ดับลูเ ขา จะไ=ดวา r 2x2 +1 <1
x2 + 5

ดังน้ัน −1 < 2x2 +1 <1 ----- (1)
x2 + 5

จาก x เปนจํานวนเต็ม จะไดว า x2 ≥ 0

ดงั นนั้ x2 + 5 > 0

จาก (1) จะไดวา −x2 − 5 < 2x2 +1 < x2 + 5

พจิ ารณา −x2 − 5 < 2x2 +1

จะไดว า −2 < x2 ซง่ึ เปนจรงิ สาํ หรับทกุ จํานวนเต็ม x

พิจารณา 2x2 +1 < x2 + 5

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

312 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จะไดวา x2 < 4

ดังน้นั −2 < x < 2

จะไดว า จาํ นวนเตม็ x ท่ีสอดคลอ งกับ −2 < x < 2 คอื −1, 0 และ 1

ดังนั้น จํานวนเต็ม x ทัง้ หมดทที่ ําให an เปนลําดับลูเขา คือ x =−1, x =0 และ x = 1
24. จาก an = a1 + (n −1) d

อนุกรมทก่ี ําหนดใหม ี a1 =19, d = 4 และ an = 999
จะได 999 = 19 + (n −1)(4)

999 = 19 + 4n − 4

n = 246

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S246 = 246 (19 + 999) = 125,214

2

ดงั น้ัน ผลบวกของอนกุ รมเลขคณิตน้ี คือ 125,214

25. 1) อนุกรมทีก่ ําหนดใหมี a1 = 2 และ d = 4

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S40 = 40 (2(2) + (40 −1)(4)) = 3,200

2

ดังน้ัน ผลบวก 40 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 3,200

2) อนุกรมท่ีกําหนดใหมี a1 = 20 และ d = −3

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S70 = 70 (2(20) + (70 −1)(−3)) = −5,845

2

ดังน้ัน ผลบวก 70 พจนแรกของอนุกรมเลขคณติ นี้ คือ −5,845

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 313

3) อนกุ รมทกี่ าํ หนดใหมี a1 = −1 และ d = 2
3 3

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S100 = 100  2  − 1  + (100 − 1)  2   = 9,800
2   3   3   3
 

ดงั นัน้ ผลบวก 100 พจนแรกของอนุกรมเลขคณิตนี้ คือ 9,800

3

26. จาํ นวนเต็มต้งั แต 9 ถึง 357 ท่ีนอยท่สี ดุ ทีห่ ารดว ย 7 ลงตัว คอื 14 = 7(2)
และจํานวนเต็มตงั้ แต 9 ถงึ 357 ท่ีมากท่สี ุดท่ีหารดวย 7 ลงตัว คือ 357 = 7(51)
จะไดวา ลําดบั ของจาํ นวนเตม็ ตงั้ แต 9 ถงึ 357 ทีห่ ารดวย 7 ลงตัว คือ 14, 21, 28, , 357
ซ่ึงเปน ลาํ ดับเลขคณติ ทีม่ ีพจนแ รกเปน 14 ผลตา งรวมเปน 7 และพจนท่ี n เปน 357
จาก an = a1 + (n −1) d
จะไดว า 357 =14 + (n −1)(7)
น่นั คอื n = 50
จากผลบวกของจาํ นวนเตม็ ตงั้ แต 9 ถงึ 357 ทีห่ ารดว ย 7 ลงตวั คอื 14 + 21+ 28 +  + 357
พจิ ารณา 14 + 21+ 28 +  + 357 = 14 + 21+ 28 +  + (14 + (50 −1)(7))

50

= ∑(14 + (i −1)(7))
i =1

50

= ∑(7i + 7)
i =1

50 50

= ∑(7i) + ∑7
=i 1 =i 1

50 50

= 7∑i + ∑7
=i 1 =i 1

= 7  50 ( 50 + 1)  + 50 ( 7)
 2 
 

= 9,275

ดังนน้ั ผลบวกของจํานวนท่ี 7 หารลงตัว ตั้งแต 9 ถึง 357 คอื 9,275

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

314 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

27. ให a4 = 11 และ a9 = − 4 ----- (1)
จะได 11 = a1 + (4 −1)d ----- (2)
นนั่ คอื 11 = a1 + 3d
และ − 4 = a1 + (9 −1)d
นน่ั คือ − 4 = a1 + 8d
จาก (1) และ (2) จะได d = −3 และ a1 = 20
พจิ ารณาผลบวกของพจนท ่ี 12 ถึงพจนท ี่ 25 คอื

a12 + a13 + a14 +  + a25 = (a1 + a2 + a3 +  + a25 ) − (a1 + a2 + a3 +  + a11 ) = S25 − S11

จาก S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S25 = 25 (2(20) + (25 −1)(−3)) = − 400

2

และ S11 = 11(2(20) + (11−1)(−3)) = 55

2

นน่ั คือ S25 − S11 =− 400 − 55 =− 455

ดงั น้ัน ผลบวกของพจนท ี่ 12 ถงึ พจนท่ี 25 ของลําดับเลขคณิตนี้ คอื −455

28. โรงละครแหง หนึง่ จดั เกา อแ้ี ถวแรกไว 12 ตวั แถวทส่ี อง 14 ตัว แถวที่สาม 16 ตัว เชน นี้ไปเรื่อย ๆ

นน่ั คอื จาํ นวนเกาอ้ีในแถวที่ 1, 2, 3, … เทากับ 12, 14, 16, … ซึง่ เปนลําดับเลขคณิตท่มี ี

พจนแรก คือ 12 และอัตราสวนรวม คือ 2

1) ตอ งการจดั เกาอไ้ี วท ง้ั หมด 20 แถว

พิจารณาผลบวกของจํานวนเกาอี้ตั้งแตแ ถวที่ 1 ถึงแถวที่ 20 คือ a1 + a2 + a3 +  + a20 =S20

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S20 = 20 (2(12) + (20 −1)(2)) = 620

2

ดังนัน้ ถาตองการจัดเกา อ้ีไวทงั้ หมด 20 แถว จะตองใชเกาอท้ี ัง้ หมด 620 ตัว

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 315

2) จากขอ 1) ถาจัดเกาอี้ 20 แถว จะมเี กาอท้ี ้งั หมด 620 ตวั แตตองการจดั เกา อีเ้ พยี ง 600 ตวั

ดงั นนั้ จะพิจารณาวา ถามีเกา อ้ี 19 แถว จะมีเกาอ้ีทง้ั หมดกี่ตัว

นั่นคือ ตอ งหาคา ของ S19

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S19 = 19 (2(12) + (19 −1)(2)) = 570

2

จะเหน็ วาเมอื่ จดั เกาอี้ตามเงอ่ื นไขที่กําหนดจาํ นวน 19 แถว จะมีเกาอที้ ั้งหมด 570 ตวั

จึงตอ งจัดเกาอ้ีเพิ่มเปน แถวที่ 20 อีก 30 ตวั จึงจะไดเกา อีท้ ัง้ หมด 600 ตัว

ดังนนั้ จะตอ งจัดเกาอ้ีท้ังหมด 20 แถว และในแถวสุดทาย (แถวที่ 20) จะมเี กาอ้ี 30 ตัว

29. 1) ระยะหา งระหวา งตะกรากับชามใบท่ี 1 เทากบั 5 เมตร

2) ระยะหางระหวางตะกรากบั ชามใบท่ี 2 เทา กับ 5 + 3 =8 เมตร

3) ระยะหา งระหวางตะกรา กับชามใบท่ี 3 เทากับ 5 + 3 + 3 =11 เมตร

4) จากขอ 1), 2) และ 3) จะไดวา ระยะหางระหวา งตะกรากับชามใบที่ 1, 2, 3, … คอื

5, 8, 11, … ซงึ่ เปน ลาํ ดบั เลขคณิตท่ีมี a1 = 5 และ d = 3
จาก an = a1 + (n −1)d
จะได an = 5 + (n −1)(3)

= 5 + 3n − 3

= 3n + 2

ดังนน้ั ระยะหางระหวา งตะกรากับชามใบที่ n เทา กับ 3n + 2 เมตร

5) ใหก ารแขง ขนั นีม้ ีชาม n ใบ

จากขอ 4) จะไดวา 23 = 3n + 2

n=7

ดังนนั้ จาํ นวนชามทั้งหมด เทา กบั 7 ใบ

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

316 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

6) 6.1) จากขอ 5) และผูเขา แขงขนั ไมทาํ ลกู ปง ปองตกเลย จะไดว า

การตักลูกบอลลูกที่ 1 ไปยงั ชามใบท่ี 1 ผเู ขา แขงขันตองวง่ิ ไปและกลับเปนระยะทาง

5 +=5 2(5=) 2a1 เมตร
การตกั ลูกบอลลูกที่ 2 ไปยังชามใบที่ 2 ผูเขาแขงขันตอ งวิง่ ไปและกลับเปน ระยะทาง

8 +=8 2(8=) 2a2 เมตร
การตกั ลกู บอลลูกที่ 3 ไปยังชามใบที่ 3 ผเู ขา แขงขันตองวิง่ ไปและกลบั เปนระยะทาง

11+1=1 2(11=) 2a3 เมตร
ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดวา การตกั ลูกบอลลูกท่ี 7 ไปยงั ชามใบที่ 7 ผูเขาแขง ขันตอง

วง่ิ ไปและกลับเปนระยะทาง 2a7 เมตร
ดังนน้ั ระยะทางจากจดุ เร่มิ ตน จนสิน้ สดุ การแขงขัน เทากบั

2a1 + 2a2 + 2a3 +  + 2a7 = 2(a1 + a2 + a3 +  + a7 )= 2S7 เมตร

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S7 = 7 (2(5) + (7 −1)(3)) = 98

2

ดงั นั้น ถาผเู ขาแขงขนั ไมทําลูกปง ปองตกเลย จะได ระยะทางจากจดุ เรมิ่ ตน

จนสนิ้ สุดการแขงขัน คือ 2×98 =196 เมตร

6.2) จากผเู ขาแขง ขันทําลกู ปงปองตกระหวางทน่ี ําลูกปง ปองไปใสใ นชามใบท่ี 4

โดยทาํ ตกหางจากตะกรา 3 เมตร

จะไดว า ผูเขา แขงขันตอ งวงิ่ กลบั ไปยงั จุดเริ่มตนเปนระยะทาง 3 เมตร เพ่ือตักลกู

ปงปองลูกใหม

ดังนั้น ผูเขาแขงขันจะตอ งว่ิงเปน ระยะทางที่เพ่มิ ขนึ้ 3 + 3 =6 เมตร

จากขอ 6.1) จะไดว า ผูเขาแขงขันจะตองวิ่งเปนระยะทางทั้งหมด 196 + 6 = 202 เมตร

ดงั นั้น ถาผูเ ขาแขง ขันทําลูกปงปองตกระหวา งทนี่ าํ ลกู ปง ปองไปใสในชามใบที่ 4

โดยทาํ ตกหา งจากตะกรา 3 เมตร จะไดร ะยะทางจากจดุ เริ่มตน จนส้ินสุดการ

แขงขนั คือ 202 เมตร

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 317

30. ปรมิ าตรของอิฐท่ใี ชส รา งบันไดขน้ั ท่ี 15 (ขนั้ บนสดุ ) คือ 1× 0.25× 0.35 ลกู บาศกเมตร
ปรมิ าตรของอิฐท่ใี ชส รางบนั ไดขน้ั ท่ี 14 คือ 1× 0.25× 2(0.35) ลูกบาศกเมตร
ปริมาตรของอิฐท่ีใชส รางบนั ไดขน้ั ที่ 13 คือ 1× 0.25×3(0.35) ลกู บาศกเมตร
ในทํานองเดียวกนั จะไดว า ปรมิ าตรของอิฐทีใ่ ชส รา งบนั ไดขั้นที่ 1 คือ
1× 0.25×15(0.35) ลกู บาศกเมตร
ดงั นั้น ปริมาตรรวมของอิฐท่ใี ชสรา งบันไดนี้ เทากับ

(1× 0.25× 0.35) + (1× 0.25× 2(0.35)) + (1× 0.25× 3(0.35)) +  + (1× 0.25×15(0.35))
=1× 0.25× 0.35(1+ 2 + 3 +  +15) ลูกบาศกเ มตร

∑เนอ่ื งจาก 1+ 2 + 3 +  +15=15 15 (1+15=) 120

=i
i=1 2

จะได ปรมิ าตรรวมของอิฐที่ใชส รา งบนั ไดน้ี เทากับ

1× 0.25× 0.35(1+ 2 + 3 +  +15) =1× 0.25× 0.35(120) =10.5 ลกู บาศกเ มตร

31. อนุกรมเลขคณิตทกี่ าํ หนดใหมี =a1 6=, r 3 และ an =1,458

จาก an = a1rn−1

จะได 1,458 = 6( )3 n−1

243 = ( )3 n−1

นน่ั คือ 35 = (3)n−1

n −1 = 5

n= 6

( )Sn
แทน n ดวย 6 ใน = a1 rn −1
r −1

จะได 6(36 −1)

S6 = 3 −1 = 2,184

ดงั นั้น 6 +18 + 54 + +1, 458 =2,184

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

318 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

31. จากอนุกรมเรขาคณิต 6 +18 + 54 + +1,458

จะได =a1 6=, r 3 และ an =1,458
จาก an = a1rn−1

จะได 1,458 = 6( )3 n−1

243 = ( )3 n−1

นนั่ คอื 35 = ( )3 n−1
จะได
n −1 = 5
n= 6

( )Sn
แทน n ดวย 6 ใน = a1 rn −1
r −1

จะได 6(36 −1)

S6 = 3 −1 = 2,184

ดังนน้ั 6 +18 + 54 + +1, 458 =2,184

32. 1) จากลาํ ดับเรขาคณิต 1, 4,16, 64,

จะได a1 =1 และ r = 4

แทน n ดว ย 30 ใน Sn = ( )a1 rn −1

r −1

( ) ( )จะได
S30 1 430 −1 = 1 430 −1
= 3

4 −1

2) จากลาํ ดบั เรขาคณติ − 3 , 3 , − 3 , 3 ,

32 16 8 4

จะได a1 = −3 และ r = −2
32

แทน n ดว ย 43 ใน Sn = ( )a1 1− rn

1− r

− 3 1 − (−2)43
( )จะได (−2)43 −1
S43 = 32
=
1− (−2) 32

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 319

3) จากลาํ ดับเรขาคณติ 27 , 9 , 3, 1 ,

32 16 8 4

จะได a1 = 27 และ r=2
32 3

แทน n ดว ย 28 ใน Sn = ( )a1 1− rn

1− r

27  −  2 28   28 
32 1  3   1  
จะได S28 = = 81  2
1− 2 32 −  3

3

33. ให a5 = − 4 และ a8 = 1
2

จะได − 4 = a1r5−1

นน่ั คือ − 4 = a1r4 ----- (1)

และ 1 = a1r8−1
2

นั่นคือ 1 = a1r7 ----- (2)
2

จาก (1) และ (2) จะได r = −1 และ a1 = − 64
2

พจิ ารณาผลบวกของพจนท ่ี 2 ถึงพจนท่ี 9 คือ

a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 = (a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 + a8 + a9 ) − a1 = S9 − a1

( )จาก
Sn = a1 1 − rn
1− r

− 64  −  − 1 9 
1  2  
จะได S9 = = − 171
 1  4
1 −  − 2 

จะได S9 − a1 = −171 − (− 64) = 85
4
4

ดงั น้ัน ผลบวกของพจนท ่ี 2 ถงึ พจนท ่ี 9 คอื 85

4

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

320 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

34. วิทยามเี งนิ 6,561 บาท

เขาไปเท่ยี วและใชเงินทกุ วนั โดยที่แตล ะวันใชเงนิ 1 ของเงินทเ่ี หลือจากวันกอ นหนา จะไดว า

3

วันที่ 1 วทิ ยาใชเงินไป 1 (6,561) บาท

3

นัน่ คอื เมอ่ื ครบ 1 วัน วิทยาเหลอื เงนิ อยู 6,561− 1 (6,561) =2 (6,561) บาท

33

วันท่ี 2 วทิ ยาใชเ งนิ ไป 1  2 ( 6, 561)  บาท
3  3 

น่นั คอื เมอื่ ครบ 2 วัน วทิ ยาเหลือเงนิ อยู 2 ( 6, 561) − 1  2 ( 6, 561)  = 32 2 (6,561) บาท
3 3  3 

วนั ท่ี 3 วิทยาใชเงินไป 1   2 2 ( 6, 561)  บาท
3   3  

นน่ั คอื เมอื่ ครบ 3 วนั วทิ ยาเหลอื เงนิ อยู  2 2 ( 6, 561) − 1   2 2 ( 6, 561)  = 23 3 (6,561) บาท
 3  3   3  

ในทาํ นองเดียวกนั วนั ท่ี วิทยาใชเงินไป 1   2 n −1  บาท
3   3  
n ( 6, 561)

นัน่ คอื เม่อื ครบ n วนั วทิ ยาเหลือเงินอยู  2 n ( 6, 561) บาท
 3 

ดังนน้ั เมือ่ ครบ 8 วัน วิทยาจะมีเงนิ เหลือ  2 8 ( 6, 561) = 256 บาท
 3 

35. 1) การแขง ขันรอบที่ 1 มผี เู ขา แขงขนั ทัง้ หมด 32 คน จะมีการแขงขัน 16 คู

การแขง ขันรอบที่ 2 มีผเู ขา แขง ขนั คอื ผูช นะจากรอบท่ี 1 ซึง่ มี 16 คน

จะมกี ารแขงขัน 8 = 1 (16) คู

2

การแขง ขนั รอบที่ 3 มีผูเขาแขงขนั คือ ผชู นะจากรอบท่ี 2 ซึ่งมี 8 คน

จะมกี ารแขง ขนั 4 =  1 2 (16 ) คู
 2 

ในทาํ นองเดยี วกัน จะไดวา การแขง ขนั รอบท่ี n จะมีการแขง ขนั  1 n−1 (16) คู
 2 

ดังนน้ั ในรอบท่ี n มผี ูเขาแขงขัน  1 n−1 (16) คู
 2 

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 321

2) เนอ่ื งจากรอบสดุ ทายทจี่ ะไดผ ชู นะ จะมกี ารแขง ขนั เพียง 1 คู

นนั่ คอื หา n ทท่ี าํ ให an =1

จะไดว า 1 =  1 n−1 (16)
 2 

1 =  1 n−1
16  2 

 1 4 =  1 n−1
 2   2 

4 = n −1

นัน่ คอื n = 5

ดงั นั้น รายการลกู ทงุ เสียงทองมกี ารแขงขนั ทั้งหมด 5 รอบ

3) จาก 1) และ 2) จะไดว า รายการลกู ทุงเสยี งทองมกี ารแขง ขันทั้งหมด 5 รอบ

โดยรอบท่ี 1, 2, 3 และ 5 มกี ารแขงขัน 16, 8, 4 และ 1 คู ตามลาํ ดบั

พจิ ารณาการแขงขนั รอบท่ี 4 จะไดวา มีการแขงขนั  1 4−1 (16) = 2 คู
 2 

ดังนน้ั รายการลกู ทงุ เสยี งทองมีการแขงขันทัง้ หมด 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 คู

36. คอนโดมิเนียมแหงหนึ่งไดป ระมาณจํานวนแมลงสาบที่มีอยูข ณะเรม่ิ ตน โครงการไว 6,000 ตัว

หลังจากวางยากําจัดแมลงสาบในจดุ ตา ง ๆ พบวา อัตราการลดลงของจาํ นวนแมลงสาบ

เทากบั 17% ตอ วนั

นนั่ คือ จํานวนแมลงสาบลดลงวนั ละ 17% ของจํานวนแมลงสาบท่เี หลืออยูในวันกอนหนา

ถา ไมมแี มลงสาบเพิ่มข้นึ ในระยะเวลา 7 วัน จะไดว า

จํานวนแมลงสาบทถี่ ูกกําจดั ในวนั ที่ 1 ท่ดี ําเนินโครงการ เทากับ 17 (6,000) ตวั

100

ทาํ ใหเหลือจํานวนแมลงสาบอยู 6,000 − 17 (6,000) =83 (6,000) ตัว

100 100

จํานวนแมลงสาบท่ถี ูกกาํ จดั ในวนั ที่ 2 ที่ดําเนินโครงการ เทากบั 17  83 (6, 000)  ตัว
100  100 

ทาํ ใหเ หลือจาํ นวนแมลงสาบอยู 83 ( 6, 000 ) − 17  83 ( 6, 000 )  = 18030 2 (6,000) ตัว
100 100  100 

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

322 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

จํานวนแมลงสาบท่ีถูกกาํ จดั ในวันที่ 3 ท่ดี ําเนินโครงการ เทากับ 17   83 2 ( 6, 000)  ตัว
100   100  

ทําใหเ หลือจํานวนแมลงสาบอยู  83 2 ( 6, 000 ) − 17   83 2 ( 6, 000)  = 18030 3 (6,000) ตวั
 100  100   100  

ในทาํ นองเดยี วกนั จาํ นวนแมลงสาบทถี่ ูกกาํ จัดในวันท่ี n ทด่ี ําเนนิ โครงการ เทา กบั

17   83 n−1 ( 6, 000 )  ตวั ทาํ ใหเหลอื จาํ นวนแมลงสาบอยู  83 n ( 6, 000) ตัว
100   100    100 

1) เนอื่ งจาก จํานวนแมลงสาบที่ถกู กําจัดในวนั ท่ีเร่มิ ตน โครงการ คอื จํานวนแมลงสาบท่ี

ถกู กาํ จัดในวนั ท่ี 1 ทดี่ ําเนินโครงการ ซึง่ เทา กับ 17 (6,000) =1,020 ตวั

100

ดังนน้ั จาํ นวนแมลงสาบทีถ่ ูกกาํ จัดในวนั ท่ีเริ่มตนโครงการ เทา กบั 1,020 ตัว
2) เน่ืองจาก จํานวนแมลงสาบขณะเริ่มตนโครงการ เทากับ 6,000 ตัว

และจาํ นวนแมลงสาบท่ีถูกกําจดั ในวนั ท่ี 1 ทีด่ าํ เนินโครงการ เทากับ 1,020 ตวั

ดงั น้นั จาํ นวนแมลงสาบที่เหลืออยหู ลงั จากดําเนินโครงการไปแลว 1 วนั เทา กับ
6,000 – 1,020 = 4,980 ตวั

3) เน่ืองจาก จาํ นวนแมลงสาบท่ีถูกกาํ จัดในวนั ท่ี 1, 2, 3, , n ที่ดาํ เนนิ โครงการ เทา กบั

17 17  83  17   83 2  17   83 n −1 
100 100  100  100   100   100   100  
( 6, 000 ) , ( 6, 000) , ( 6, 000 ) , , ( 6, 000 )

ซึ่งเปนลาํ ดบั เรขาคณิตที่มพี จนแ รก คอื 17 (6,000) ผลตางรวม คอื 83 และ

100 100

พจนทัว่ ไป คือ 17   83 n−1 ( 6, 000) 
100   100  

และจํานวนแมลงสาบท้ังหมดทถ่ี ูกกําจัดหลังจากดําเนนิ โครงการไปแลว 7 วนั คือ ผลรวมของ

จาํ นวนแมลงสาบทถี่ ูกกําจดั ในวันท่ี 1, 2, 3, , 7 ท่ีดาํ เนนิ โครงการ ซง่ึ เทากับ

a1 + a2 + a3 + a4 + a5 + a6 + a7 =S7

( )จาก Sn = a1 1− rn
1− r

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 323

6, 000  17   −  83 7 
 100  1  100  
จะได S7 = ≈ 4,372 ตัว
1− 83
100

ดังนน้ั จาํ นวนแมลงสาบทงั้ หมดท่ีถูกกาํ จดั หลังจากดําเนนิ โครงการไปแลว 7 วัน

มปี ระมาณ 4,372 ตัว

4) เน่ืองจาก จาํ นวนแมลงสาบขณะเร่มิ ตน โครงการ เทากบั 6,000 ตวั

และจํานวนแมลงสาบท้ังหมดที่ถกู กาํ จัดหลงั จากดาํ เนินโครงการไปแลว 7 วนั ประมาณ

4,372 ตัว

ดังนน้ั จาํ นวนแมลงสาบท่ีเหลืออยูห ลงั จากดําเนนิ โครงการไปแลว 7 วนั ประมาณ

6,000 – 4,372 = 1,628 ตัว

37. จาก จํานวนวนั ในการปฏิบตั ิภารกจิ 25 วัน จะไดว า

แบบที่ 1 เศรษฐีจะจายคาตอบแทนท้ังหมด 25×50,000 =1,250,000 บาท

แบบที่ 2 เศรษฐจี ะจายคาตอบแทน ในวนั ท่ี 1, 2, 3, … เปน เงิน 5, 10, 20, … สตางค

ซึง่ เปนลําดับเรขาคณติ ที่มี a1 = 5 และ r = 2

จะไดว า เศรษฐจี ะจายคาตอบแทนรวมในแบบที่ 2 เทากับ S25

( )จาก
Sn = a1 rn −1
r −1

( )จะได
S25 5 225 −1
= = 167,772,155

2 −1

นนั่ คอื เศรษฐีจะจายคา ตอบแทนรวมในแบบที่ 2 เทา กับ 167,772,155 สตางค

หรอื 1,677,721.55 บาท

1) เนอื่ งจาก เศรษฐีจะตองจา ยคา ตอบแทนรวมในแบบที่ 1 เทากบั 1,250,000 บาท

และ เศรษฐีจะตอ งจา ยคา ตอบแทนรวมในแบบท่ี 2 เทา กับ 1,677,721.55 บาท

ดังนน้ั เศรษฐคี วรเลือกจายคา ตอบแทนแบบที่ 1 จงึ จะประหยัดเงนิ ที่สุด

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

324 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

2) ถาใชเวลาปฏบิ ัตภิ ารกิจ 30 วนั
3) แบบที่ 1 จะเสียคา ตอบแทน 30× 50,000 =1,500,000 บาท
38. 1)
แบบที่ 2 จะเสยี คา ตอบแทน S30 = ( )5 1− 230 หรอื เทา กบั

1− 2

5,368,709,115 สตางค หรอื 53,687,091.15 บาท

ดงั น้นั ถา เลอื กจา ยคาตอบแทนแบบที่ 1 จะประหยดั เงินกวา การจา ยคาตอบแทน

แบบท่ี 2 เปนจํานวนเงิน 52,187,091.15 บาท

การจายคาตอบแทนแบบท่เี ลือกในขอ 1) อาจไมประหยัดกวา อีกแบบ เชน เม่อื จาํ นวนวนั

ในการปฏิบตั ิภารกจิ เปน 24 วนั จะไดว า

แบบท่ี 1 จะเสียคา ตอบแทน 24× 50,000 =1,200,000 บาท

แบบท่ี 2 จะเสียคาตอบแทน S24 = ( )5 1− 224 หรอื เทา กับ

1− 2

83,886,075 สตางค หรือ 838,860.75 บาท

จะเห็นวาการจา ยคาตอบแทนแบบที่ 2 ประหยัดกวาการจา ยคาตอบแทนแบบที่ 1

กรณีท่อี นุกรมนี้เปน อนกุ รมเลขคณิต จะตอ งไดว า a2 − a1 = a3 − a2
เนือ่ งจาก a2 − a1 = 8 − 2 = 6 และ a3 − a2 = 32 − 8 = 24

จะเห็นวา a2 − a1 ≠ a3 − a2
ดังน้ัน อนกุ รมนไี้ มเ ปนอนกุ รมเลขคณติ

กรณีท่อี นุกรมนี้เปน อนกุ รมเรขาคณติ จะตอ งไดวา a2 = a3

a1 a2

เนอ่ื งจาก a2= 8= 4 และ a=3 3=2 4
a1 2 a2 8

จะเห็นวา a2 = a3

a1 a2

ดังนน้ั อนกุ รมนเี้ ปน อนุกรมเรขาคณิต ที่มี =a1 2=, r 4 และ an = 8,192

จาก an = a1rn−1

จะได 8,192 = 2( )4 n−1

4,096 = 4n−1
46 = 4n−1

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 325

น่ันคือ n −1 = 6

n=7

ดงั นน้ั 8,192 เปน พจนที่ 7 ของอนุกรมนี้

( )จาก
Sn = a1 rn −1
r −1

( )จะได
S7 = 2 47 −1

= 10,922
4 −1

ดังนน้ั 2 + 8 + 32 + + 8,192 เปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มีผลบวกของอนกุ รม เทา กับ 10,922

2) กรณีท่ีอนุกรมนเ้ี ปน อนุกรมเลขคณติ จะตองไดว า a2 − a1 = a3 − a2

เนื่องจาก a2 − a1 = 14 − 7 = 7 และ a3 − a2 = 21−14 = 7

จะเหน็ วา a2 − a1 = a3 − a2

ดงั นัน้ อนกุ รมนเี้ ปนอนกุ รมเลขคณติ ทีม่ ี=a1 7=, d 7 และ an = 98

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได 98 = 7 + (n −1)(7)

98 = 7n

n = 14

ดังนั้น 98 เปน พจนท ่ี 14 ของอนุกรมน้ี

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S14 = 14 (7 + 98) = 735

2

ดังนน้ั 7 +14 + 21++ 98 เปน อนกุ รมเลขคณิตทมี่ ีผลบวกของอนุกรม เทา กบั 735

กรณที ่ีอนกุ รมนีเ้ ปน อนกุ รมเรขาคณิต จะตองไดว า a2 = a3

a1 a2

เนื่องจาก a=2 1=4 2 และ a=3 2=1 3
a1 7 a2 14 2

จะเหน็ วา a2 ≠ a3

a1 a2

ดงั นั้น อนุกรมนไ้ี มเปน อนุกรมเรขาคณิต

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

326 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

3) กรณีที่อนุกรมนเ้ี ปน อนุกรมเลขคณิต จะตอ งไดวา a2 − a1 = a3 − a2

เน่อื งจาก a2 − a1 =1 − 1 =1 และ a3 − a2 = 3 −1= 1
2 2 2 2

จะเหน็ วา a2 − a1 = a3 − a2

ดงั นนั้ อนุกรมนี้เปน อนกุ รมเลขคณติ ท่ีม=ี a1 1=, d 1 และ an = 30
2 2

จาก an = a1 + (n −1) d

จะได 30 = 1 + ( n − 1)  1 
2  2 

30 = 1 n
2

n = 60

ดงั นน้ั 30 เปน พจนท่ี 60 ของอนกุ รมน้ี

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S60 = 60  1 + 30  = 915
2  2 

ดังน้ัน 1 +1+ 3 ++ 30 เปน อนกุ รมเลขคณิตทีม่ ีผลบวกของอนุกรม เทา กบั 915

22

กรณีทอี่ นกุ รมนี้เปน อนกุ รมเรขาคณิต จะตองไดวา a2 = a3

a1 a2

3

เนื่องจาก a2= 1= 2 และ a3= 2= 3
a1 1 1 2
a2

2

จะเหน็ วา a2 ≠ a3

a1 a2

ดงั นน้ั อนกุ รมนไี้ มเปน อนกุ รมเรขาคณิต

4) กรณที ี่อนุกรมนีเ้ ปนอนกุ รมเลขคณิต จะตอ งไดว า a2 − a1 = a3 − a2

เนอ่ื งจาก a2 − a1 =8 −16 =−8 และ a3 − a2 =4 − 8 =− 4
จะเหน็ วา a2 − a1 ≠ a3 − a2
ดังนัน้ อนุกรมนี้ไมเ ปน อนุกรมเลขคณิต

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 327

กรณที ีอ่ นกุ รมนี้เปน อนกุ รมเรขาคณิต จะตองไดวา a2 = a3

a1 a2

เนอ่ื งจาก a=2 8= 1 และ a3= 4= 1
a1 16 2 a2 8 2

จะเห็นวา a2 = a3

a1 a2

ดังนนั้ อนุกรมนีเ้ ปน อนกุ รมเรขาคณิต ที่ม=ี a1 1=6, r 1 และ an = 1
2 32

จาก an = a1rn−1

จะได 1 = 16  1 n−1
32  2 

1  1 n −1
25  2 
= 24

1  1 n−1
25 ⋅ 24 =  2 

 1 9 =  1 n−1
 2   2 

นัน่ คือ n −1 = 9

n = 10

ดังน้นั 1 เปน พจนที่ 10 ของอนุกรมนี้

32

( )จาก
Sn = a1 1 − rn
1− r

16  −  1 10 
1  2  
จะได S10 1, 023
= 1− 1 = 32

2

ดงั นน้ั 16 + 8 + 4 ++ 1 เปนอนุกรมเรขาคณติ ทม่ี ผี ลบวกของอนกุ รม เทากบั 1,023

32 32

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

328 คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

5) กรณที อี่ นุกรมน้ีเปนอนกุ รมเลขคณิต จะตองไดวา a2 − a1 = a3 − a2
เน่อื งจาก a2 − a1 = 3 − (−1) = 4 และ a3 − a2 =−9 − 3 =−12
จะเหน็ วา a2 − a1 ≠ a3 − a2
ดงั นัน้ อนกุ รมนีไ้ มเ ปนอนุกรมเลขคณติ

กรณที ่ีอนกุ รมนเ้ี ปนอนุกรมเรขาคณติ จะตองไดวา a2 = a3

a1 a2

เน่ืองจาก a2 = 3 = −3 และ a3 = −9 = −3
a1 −1 a2 3

จะเห็นวา a2 = a3

a1 a2

ดังนนั้ อนุกรมนเ้ี ปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี a1 =−1, r =−3 และ an = −729

จาก an = a1rn−1

จะได −729 = −1( )−3 n−1

729 = ( )−3 n−1

(−3)6 = ( )−3 n−1

นน่ั คอื n −1 = 6

n=7

ดังนน้ั −729 เปนพจนท ่ี 7 ของอนุกรมน้ี

( )จาก
Sn = a1 1 − rn
1− r

( )จะได
S7 = (−1) 1− (−3)7 = −547

1− (−3)

ดงั นัน้ (−1) + 3 + (−9) ++ (−729) เปนอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมีผลบวกของอนุกรม เทา กับ −547

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 329

6) กรณีท่อี นุกรมนเ้ี ปนอนกุ รมเลขคณิต จะตองไดว า a2 − a1 = a3 − a2
39. 1) เนอ่ื งจาก a2 − a1 =−6 − (−10) =4 และ a3 − a2 =−2 − (−6) =4
จะเห็นวา a2 − a1 = a3 − a2
ดังน้นั อนกุ รมน้เี ปน อนุกรมเลขคณติ ท่มี ี a1 =−10, d =4 และ an = 90
จาก an = a1 + (n −1) d
จะได 90 = −10 + (n −1)(4)

90 = −14 + 4n

n = 26

ดังนัน้ 90 เปน พจนท ่ี 26 ของอนุกรมน้ี

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S26 = 26 (−10 + 90) = 1,040

2

ดังนน้ั −10 − 6 − 2 ++ 90 เปนอนกุ รมเลขคณิตทม่ี ีผลบวกของอนุกรม เทากับ 1,040

กรณที ีอ่ นุกรมนเี้ ปนอนุกรมเรขาคณติ จะตอ งไดว า a2 = a3

a1 a2

เน่อื งจาก =a2 =−6 3 และ a=3 −=2 1
a1 −10 5 a2 −6 3

จะเห็นวา a2 ≠ a3

a1 a2

ดงั นน้ั อนกุ รมน้ไี มเปนอนกุ รมเรขาคณติ

จากอนุกรม 9  3 n −1 จะได
5  5 
5+3+ +  + 5 +

S1 = 5

S2 = 5 + 3 = 8

S3 = 5+3+ 9 = 49
5 5

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )

จากอนุกรมที่กาํ หนดใหเ ปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 =5 และ r = 3
5

และผลบวกยอ ย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn

1− r

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

330 คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

5  −  3 n   n 
1  5   1  
จะไดว า Sn = = 25 −  3
1− 3 2  5

5

ดังนนั้ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมนี้ คือ 5, 8, 49 , , 25  −  3 n  , 
5 2 1  5  

2) จากอนุกรม 9 + 3 + 1 +  + 9  5 n−1 +  จะได
25 5 25  3 

S1 = 9
25

S2 = 9 +3 = 24
25 5 25

S3 = 9 + 3 +1 = 49
25 5 25

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn )

จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเ ปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มี a1 = 9 และ r =5
25 3

และผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn

1− r

จะได Sn = 9   5 n  = 27   5 n 
25   3  − 1 50   3  − 1

5 −1
3

ดงั นั้น ลําดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี คอื 9 , 24 , 49 , , 27   5 n  
25 25 25 50   3  − 1 ,

3) จากอนุกรม 1 +  − 1  + 1 ++ ( )−1 n−1 + จะได
9  27  81
3n+1

S1 = 1
9

S2 = 1 +  − 1  = 2
9  27  27

S3 = 1 +  − 1  + 1 = 7
9  27  81 81

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 331

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )

จากอนุกรมที่กาํ หนดใหเปน อนกุ รมเรขาคณติ ที่มี a1 = 1 และ r = −1
9 3

และผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn

1− r

1  −  − 1 n  1   1 n 
9 1  3   12 1  3  
จะได Sn = = − −
 1 
1 −  − 3 

ดังนนั้ ลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมน้ี คอื 1, 2 , 7, , 1  −  − 1 n  
9 27 81 12 1  3   ,

4) จากอนุกรม 1+ (−1) + (−3) + + (3 − 2n) + จะได

S1 = 1

S2 = 1+ (−1) = 0

S3 = 1+ (−1) + (−3) = −3

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี (Sn )
จากอนุกรมท่ีกาํ หนดใหเ ปนอนกุ รมเลขคณิต ท่มี ี a1 =1 และ d = −2

และผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณติ คอื =Sn n ( a1 + an )
2

จะได Sn = n (1+ (3 − 2n)) = n (4 − 2n) = 2n − n2

2 2

ดงั นัน้ ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนุกรมน้ี คอื 1, 0, − 3, , 2n − n2, 

5) จากอนุกรม (4 + 0 + (−14) + + 4 + n2 )− n3 + จะได

S1 = 4

S2 = 4 + 0 = 4

S3 = 4 + 0 + (−14) = −10

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี

เน่อื งจากผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมน้ี คือ ∑(n )− i3
4 + i2
i =1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

332 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

จะได n
∑( )Sn =
4 + i2 − i3

i =1

nn n
= ∑4 + ∑i2 − ∑i3
=i 1 =i 1 =i 1

n(n +1)(2n +1)  n(n +1) 2
= 4n + − 
6  2 

( ) ( )48n + 4n3 + 6n2 + 2n − 3n4 + 6n3 + 3n2

=
12

= −3n4 − 2n3 + 3n2 + 50n
12

ดังนัน้ ลาํ ดับของผลบวกยอยของอนกุ รมนี้ คือ 4, 4, −10, , −3n4 − 2n3 + 3n2 + 50n , 

12

6) จากอนุกรม 18 +1.8 + 0.18 + +18(0.1)n−1 + จะได

S1 = 18

S2 = 18 +1.8 = 19.8

S3 = 18 +1.8 + 0.18 = 19.98

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมนี้ (Sn )

จากอนุกรมท่ีกําหนดใหเปน อนกุ รมเรขาคณิต ที่มี a1 =18 และ r = 0.1

และผลบวกยอย n พจนแรกของอนกุ รมเรขาคณติ คือ Sn = ( )a1 1− rn

1− r

( ) ( )จะได
18 1− (0.1)n
Sn = 1− 0.1 = 20 1− (0.1)n

( )ดังนัน้ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนกุ รมนี้ คอื 18, 19.8, 19.98, , 20 1− (0.1)n , 

7) จากอนกุ รม 3 + 5 + 7 ++ 2n +1 + จะได
1⋅ 4 4⋅9 9 ⋅16
n2 (n +1)2

S1 = 3
4

S2 =3 + 5 =8
4 36 9

S3 =3 + 5 + 7 =15
4 36 144 16

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 333

สําหรบั จํานวนนับ k ใด ๆ จะได

( )2k +1
2k +1+ k2 − k2
=
k 2 (k +1)2 k 2 (k +1)2

( )k 2 + 2k +1 − k 2

=

k 2 (k +1)2

(k +1)2 − k 2

=

k 2 (k +1)2

= (k +1)2 − k2 k2
k 2 (k +1)2
(k +1)2

= 1− 1

k 2 (k +1)2

น่ันคือ 3 + 5 + 9 7 +  + 2n +1
1⋅ 4 4⋅9 ⋅16
n2 (n + 1)2

= 1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  + +  1 − (n 1 
 1 4   4 9   9 16   n2 
 + 1)2 

= 1 − ( 1

n + 1)2

n(n + 2)
= (n +1)2

ดงั นน้ั ลาํ ดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมนี้ คือ 3, 8 , 15 , , n(n + 2) , 
4 9 16 (n +1)2

8) สําหรับจาํ นวนนบั k ใด ๆ จะได

k +1− k k +1 − k = 1− 1
=
k ⋅ k +1 k ⋅ k +1 k ⋅ k +1 k k +1

จะได S1 = 2 −1 = 1− 1
1⋅ 2 2

S2 = 2 −1+ 3− 2 = 1− 1  +  1− 1 = 1− 1
1⋅ 2 2⋅ 3 2   2 3  3

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

334 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

S3 = S2 + 2 − 3 = 1− 1  +  1 − 1  =1
3 2 3   3 2  2
⋅

สาํ หรับพจนท ่ัวไปของลําดับของผลบวกยอ ยของอนุกรม พิจารณา

Sn = 2 −1+ 3 − 2 + 2− 3 ++ n+1− n
1⋅ 2 2⋅ 3 3⋅2 n ⋅ n+1

= 1 − 1  +  1− 1  +  1− 1  +  +  1− 1
2   2 3   3 4   n n +1 

= 1− 1
n +1

ดงั นน้ั ลาํ ดบั ของผลบวกยอยของอนุกรมน้ี คอื 1− 1 , 1− 1 , 1 , , 1− 1 , 
2 32 n +1

40. 1) 5+3+ 9 +  + 5  3 n−1 +  เปนอนุกรมเรขาคณติ ที่มี a1 =5 และ r = 3
2) 5  5  5
3)
เนอื่ งจาก r= 3 <1 จะไดว า อนกุ รมนเ้ี ปน อนุกรมลเู ขา
4)
5

และผลบวกของอนกุ รม คือ a1 = 5 = 25
1− 3 2
1− r

5

9 + 3 + 1 +  + 9  5 n−1 +  เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่มี ี a1 = 9 และ r=5
25 5 25  3  25 3

เนือ่ งจาก r= 5 >1 จะไดวา อนุกรมนีเ้ ปน อนกุ รมลูออก

3

1 +  − 1  + 1 +  + ( )−1 n−1 + เปน อนกุ รมเรขาคณติ ท่ีมี a1 = 1 และ r = −1
9  27  81 9 3
3n+1

เนือ่ งจาก r= 1 <1 จะไดว า อนกุ รมน้เี ปน อนกุ รมลเู ขา

3

1

และผลบวกของอนกุ รม คือ a1 = 9 = 1
1− r 12
1 −  − 1 
 3 

1+ (−1) + (−3) + + (3 − 2n) +

เปนอนุกรมท่ีมีผลบวกยอย n พจนแรกคือ S=n 2n − n2
จากลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมซ่ึงคือ S1, S2, S3, , Sn, 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 335

พจิ ารณา lim 1 = lim 1
n→∞ Sn
n→∞ 2n − n2

n2  1 
 n2 
= lim
n→∞  2 − 1
n2  n

1

= lim n2
n→∞ 2 −1
n

= lim  1 
 n2 
n→∞

lim  2 − 1
 n
n→∞

= lim  1 
 n2 
n→∞

lim  2  − lim 1
 n 
n→∞ n→∞

= lim  1 
 n2 
n→∞

2 lim  1  − lim 1
 n 
n→∞ n→∞

= 0

2(0) −1

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลาํ ดบั นเี้ ปนลําดบั ลอู อก

ดงั นน้ั อนุกรมนี้เปน อนุกรมลูออก

( )5) 4 + 0 + (−14) +  + 4 + n − n3 + 

เปน อนุกรมทม่ี ผี ลบวกยอย n พจนแรกคอื Sn = −3n4 − 2n3 + 3n2 + 50n
12

จากลาํ ดับของผลบวกยอยของอนุกรมซ่ึงคือ S1, S2, S3, , Sn, 

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

336 คูมอื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

พจิ ารณา 1 = lim  −3n4 − 12 3n2 + 50n 
lim  2n3 + 
n→∞ Sn n→∞

 n 4  12  
  n4  
= lim  
n→∞   2 3 50  
 n 4  −3 − n + n2 + n3  

 12 
 
= lim  2 n4 50 
n→∞  n +3 n3 
−3 − +
n2

= lim  12 
 n4 
n→∞

lim  −3 − 2 + 3 + 50 
 n n2 n3 
n→∞

= lim  12 
 n4 
n→∞

lim (−3) − lim  2  + lim  3  + lim  50 
 n   n2   n3 
n→∞ n→∞ n→∞ n→∞

12 lim  1 
 n4 
= n→∞

− lim 3 − 2 lim  1  + 3 lim  1  + 50 lim  1 
 n  n→∞  n2   n3 
n→∞ n→∞ n→∞

= 12(0)
−3 − 2(0) + 3(0) + 50(0)

=0

จากทฤษฎีบท 4 จะไดว า ลาํ ดับน้ีเปนลําดบั ลูออก

ดงั นน้ั อนุกรมน้ีเปนอนุกรมลูออก

6) 18 +1.8 + 0.18 + +18(0.1)n−1 เปนอนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี a1 = 18 และ r =1
10

เนื่องจาก =r 1 <1 จะไดว า อนกุ รมนเ้ี ปน อนกุ รมลูเ ขา

10

และผลบวกของอนุกรม คือ a1 = 18 = 20
1− r 1− 1

10

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 337

7) 3 + 5 + 7 +  + 2n +1 + 
1⋅ 4 4⋅9 9 ⋅16
n2 (n +1)2

เปนอนกุ รมทม่ี ีผลบวกยอย n พจนแ รก=คือ Sn n(n + 2) n2 + 2n
n2 + 2n +1
=

(n +1)2

จากลาํ ดบั ของผลบวกยอ ยของอนกุ รมซง่ึ คือ S1, S2, S3, , Sn, 

พจิ ารณา 1  n2 + 2n +1
lim = lim  
n→∞ Sn n→∞  n2 + 2n 

 n2 1 + 2 + 1  
 n n2  
= lim  
n→∞  1 2  
 n2 + n  

 1 +2+ 1 
 n n2 
= lim  1+ 2 
 n 
n→∞

lim 1 + 2 + 1 
n n2 
= n→∞

lim 1 + 2 
n 
n→∞

lim 1 + lim  2  + lim  1 
 n   n2 
= n→∞ n→∞ n→∞

lim 1 + lim  2 
 n 
n→∞ n→∞

lim 1 + 2 lim  1  + lim  1 
 n   n2 
= n→∞ n→∞ n→∞

lim 1 + 2 lim  1 
 n 
n→∞ n→∞

1+ 2(0) + 0
= 1+ 2(0)

=1

ดังนน้ั อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลูเ ขา และผลบวกของอนุกรม คอื 1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

338 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

8) 2 −1 + 3 − 2 + 2 − 3 +  + n +1 − n + 
1⋅ 2 2 ⋅ 3 3 ⋅2 n ⋅ n+1

เปน อนุกรมทีม่ ีผลบวกยอย n พจนแ รกคอื Sn =1− 1 =1− 1
n +1 n +1

จากลําดับของผลบวกยอ ยของอนกุ รมซงึ่ คือ S1, S2, S3, , Sn, 

พิจารณา lim Sn =  − 1
lim 1 n +1 
n→∞
n→∞

= lim 1 − lim  1
 n +1 
n→∞ n→∞

= lim 1 − lim  n 1 1 
 + 
n→∞ n→∞

 n  1  
  n  
= lim 1 − lim  
n→∞  n 1 + 1  
n→∞  n  

1
 
= lim 1 − lim  n 

n→∞ n→∞ 1+ 1

 n

= lim1− lim  1 
 n 
n→∞

n→∞ lim 1 + 1 
n 
n→∞

= lim1− lim  1 
 n 
n→∞

n→∞ lim 1 + lim  1 
 n 
n→∞ n→∞

= 1− 0
1+ 0

=1

ดังนน้ั อนกุ รมนี้เปน อนุกรมลูเขา และผลบวกของอนกุ รม คอื 1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี