คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คมู ือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 539

∫3)  3 −3  = 5 −1
 x 2 − x 2  dx
 x2 − x 2 + c
5 −1
22

5

= 2x2 + 2 + c เมอื่ c เปน คาคงตวั

5x

4  3 −3  5 4
 2x2
∫  x2 − x 2  dx =  5 
ดังนั้น 2
1  + x  1
=
 2 ( 4) 5 + 2  −  2 (1) 5 + 
 2 4   2 2
  5 1 
 5

= 57
5

4) ∫ ( x +1)( x + 3) dx = ∫ ( x2 + 4x + 3)dx

= x3 +  x2  + 3x + c
3 4 2 



= x3 + 2x2 + 3x + c เมือ่ c เปนคา คงตวั

3

1  x3  1
 3 
ดงั นั้น ∫ ( x +1)( x + 3)dx =  + 2x2 + 3x

−1  −1

=  13 + 2 (1)2 + 3(1)   ( −1)3 + 2 ( −1)2 + 
  − 
 3  3 3( −1) 

5) เนอื่ งจาก x −1 = 20
x+ x 3

( x −1)( x +1)
= x ( x +1)

x −1
=

x

−1

= 1− x 2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

540 คมู อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

จะได ∫ ∫x −1 dx =  −1 
1 − x 2  dx
x+ x 

1

= x− x2 +c
1

2

= x − 2 x + c เมอื่ c เปนคา คงตวั

∫9 x −1 9

dx = x−2 x
( )ดงั น้ัน
4 x+ x 4

= (9 − 2 9) −(4 − 2 4)

6) เนือ่ งจาก =3

x + 2 = x + 2 เมอ่ื x ≥ −2

จะได ∫ x + 2 dx = ∫( x + 2)dx

= x2 + 2x + c เมอ่ื x ≥ −2 และ c เปนคา คงตวั
2

∫1  x2  1
 2 
ดงั นั้น x + 2 dx =  + 2x

−2  −2

=  12 + 2(1)  −  ( −2 )2 + 
  
 2  2 2 ( −2 ) 

=9
2

 1 1 34
 x 2 + x3  dx
∫7)  = x2 + x3 +c
34

23

34

= 2x2 + 3x3 + c เมอ่ื c เปน คา คงตวั

34

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 541

3 4 64

ดังนน้ั 64  1 1   2x2 3x 3 
 3 4 
∫  x2 + x3  dx = +  1

1 

 2 ( 64 ) 3 + 4  −  2 (1) 3 + 4 
 2   2 
3(64)3   3 3(1)3 
=  3
4 4

= 6,383
12

 1  2 1 
 x3 −1 x3 + x3 +1
x −1 =  
8) เนือ่ งจาก 1 2
2
 x3 −1 x3
x − x3



21

x3 + x3 +1
=2

x3

−1 −2 เมื่อ x ≠ 1

= 1+ x 3 + x 3

จะได ∫ ∫x−1 dx =  −1 −2
ดังนน้ั 1+ x 3 + x 3  dx
2  

x − x3

21

= x + x3 + x3 + c
21

33

2

= x + 3x3 1 +c เมือ่ x ≠1 และ c เปนคา คงตัว
2
+ 3x3

∫27  x −1   2 1 27
 dx 
 2  =  x + 3x 3 + 3x3 
 
8  x − x3  2  8

 2 1  2 1 
   
=  27 + 3 ( 27 ) 3 + 3(27)3  −  8 + 3(8)3 + 3(8)3 

2 2

= 59
2

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

542 คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

56. 1) กราฟของ f ( x) =−3x + 7 เปน เสนตรง และ f ( x) ≥ 0 สาํ หรับทุก x∈[−5, 2]
ให A แทนพนื้ ทขี่ องบริเวณทีป่ ดลอ มดว ยเสน โคง y =−3x + 7 กับแกน X จาก
2) x = −5 ถงึ x = 2
3) เนือ่ งจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ที่อยใู นชวง [−5, 2]

จะได A = ∫2  −3x2 + 7x  2 = 161
 2  −5 2
(−3x + 7) dx =  

−5

ดังนน้ั พ้ืนท่ีของบริเวณท่ปี ดลอมดว ยเสนโคง y =−3x + 7 กบั แกน X จาก x = −5

ถงึ x = 2 เทากับ 161 ตารางหนวย

2

กราฟของ f ( x) = 3x2 − 2x −1 เปน รปู พาราโบลาหงาย

และ f ( x) ≥ 0 สําหรบั ทกุ x∈[1, 3]

ให A แทนพื้นที่ของบริเวณทปี่ ดลอ มดวยเสน โคง y = 3x2 − 2x −1 กับแกน X จาก
x =1 ถึง x = 3

เนอ่ื งจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ท่อี ยใู นชว ง [1, 3]

จะได ( ) ( )∫3 3
3x2 − 2x −1 dx =
A= x3 − x2 − x = 16
1
1

ดังน้นั พื้นที่ของบรเิ วณที่ปดลอมดวยเสนโคง y = 3x2 − 2x −1 กบั แกน X จาก x =1

ถึง x = 3 เทากับ 16 ตารางหนวย

กราฟของ f (x) = 12 − x − x2 เปน รูปพาราโบลาควํ่า

และ f (x) ≤ 0 สาํ หรบั ทกุ x∈[−6, − 4]

ให A แทนพืน้ ที่ของบรเิ วณที่ปดลอ มดวยเสนโคง y = 12 − x − x2 กับแกน X จาก

x = −6 ถงึ x = −4

เนือ่ งจาก f (x) ≤ 0 สําหรบั ทุก x ทีอ่ ยใู นชว ง [−6, − 4]

∫ ( )จะได A −4  x2 x3  −4 = 50
12 − x − x2 dx =− 12x − 2 − 3  −6 3
=− 

−6

ดงั น้นั พ้นื ที่ของบริเวณที่ปด ลอมดวยเสนโคง y = 12 − x − x2 กับแกน X จาก x = −6

ถึง x = −4 เทากับ 50 ตารางหนวย

3

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 543

57. ข้นั แรกหาพกิ ดั ของจุด A
เนอ่ื งจากจดุ A เปนจุดท่เี สน โคง f (x) =−4x2 +16 ตดั กับแกน X
ให y = 0 จะได 4x2 =16 นน่ั คือ x = −2 หรือ x = 2
ดงั นัน้ พิกัดของจดุ A คอื (2, 0)
ตอไปหาพกิ ัดของจดุ B
เน่อื งจากจุด B เปนจดุ ที่เสนโคง f (x) =−4x2 +16 ตดั กบั แกน Y
ให x = 0 จะได y =16
ดังนั้น พกิ ัดของจดุ B คอื (0, 16)
เนอ่ื งจาก f (x) ≥ 0 สําหรับทุก x ทีอ่ ยูในชวง [0, 2]

จะได พ้นื ท่ีสวนทแ่ี รเงา = 2 + 16) dx − 1 (2)(16)

∫ ( −4 x2 2

0

=  −4x3 + 16x  2 − 1 (2)(16)
 3  0
  2

= 16 ตารางหนวย

3

58. ให s(t) แทนระยะทางท่ีรถบรรทุกเคล่ือนท่ีไปไดในเวลา t ชวั่ โมง

และ v(t) แทนอัตราเรว็ ของรถบรรทุก ณ เวลา t ช่ัวโมง

ตองการหาคา ของ s  49 
 60 

เนอื่ งจาก s(t) เปนปฏิยานพุ นั ธของ v(t)

49

จากทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคลู ัส จะไดว า s  49  − s ( 0) 60
 60 
=∫ v(t)dt
0

เน่อื งจาก

49

60 = พ้นื ท่ีของบริเวณท่ีปด ลอมดว ยกราฟของ v บนชวง 0, 49 
60 
∫ v(t )dt

0

= 1  20  ( 70) + 1  ( 49 − 25) + ( 47 − 27)  ( 60) + 1  ( 47 − 35) + (45 − 38)  ( 20)
2  60  2   2  
 60   60 

≈ 25.33

และ s(0) = 0

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

544 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

จะได s  49  ≈ 25.33 กิโลเมตร
 60 

เนือ่ งจาก 25.33×15 ≈ 380 ซึ่งมีคานอยกวา 450

ดงั นัน้ พรนภาตองจายเงนิ คาขนยาย 380 บาท

59. จาก f ′′( x) = 0 สําหรับทุกจาํ นวนจรงิ x

จะได f ′( x) = ∫ f ′′( x)dx

= ∫ 0dx
= c1 เม่ือ c1 เปน คา คงตัว

ดงั นัน้ f ( x) = ∫ f ′( x)dx

= ∫ c1dx เมอ่ื c2 เปน คาคงตัว

เนือ่ งจาก = c1x + c2
ดงั นน้ั
น่นั คอื f (−1) = 0
เนอื่ งจาก
ดังนนั้ −c1 + c2 = 0
น่ันคือ
จะได c2 = c1
เนือ่ งจาก
f (1) = 4

c1 + c1 = 4

c1 = 2

f (x) = 2x + 2

∫ f ( x)dx = ∫(2x + 2)dx

=  x2  + 2x + c
2 2 



= x2 + 2x + c เมือ่ c เปน คา คงตัว

จะไดวา ปฏยิ านุพันธข อง f ( x=) 2x + 2 คือ F ( x) = x2 + 2x + c

ดังนัน้ ( )∫2

f ( x) dx =
x2 + 2x 2
1
1

= (22 + 2(2)) − (12 + 2(1))

=5

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 545

60. จาก F ( x) = ax2 + x +1

จะได F′(x) = 2ax +1

น่นั คอื F′(1) = 2a +1

เน่อื งจาก ความชนั ของเสนสัมผัสเสน โคง y = F (x) เมื่อ x =1 คอื 5

ดงั นัน้ F′(1) = 5

2a +1 = 5

น่นั คอื a =2

F (x) = 2x2 + x +1

และ f ( x) = F′( x) = 4x +1

เนอ่ื งจาก 4x +1 ≤ 0 บนชว ง −1, − 1 และ 4x +1 ≥ 0 บนชวง − 1 , 1 
4  4 

ดังนนั้ พนื้ ทปี่ ดลอมดว ยเสนโคง y = f (x) จาก x = −1 ถึง x =1 คอื

−1
∫ ∫4 1 −1
= −F (x) 4 + F ( x ) 1 1
− f ( x)dx + f ( x)dx −
−1 4

−1 − 1
4

( ) ( )= −1 1
− 2x2 + x +1 2x2 + x +1 −1
4+
4
−1

 2  1 2  1   
 4   4  + 1
2(−1)2 + (−1) +1 


( )= − − + − −

( ) 2 (1)2   1 2  1  
  4   4  + 1
+

+ (1) +1 − 2 − + −

= −  7 − 2  +  4 − 7 
8  8 

= 2 ตารางหนวย

61. เน่อื งจาก f (x) ≥ 0 สาํ หรับทุกจํานวนจริง x

จงึ ไดว า สําหรับจํานวนจรงิ a,b โดยท่ี 0 ≤ a ≤ b พน้ื ที่ที่ปดลอ มดวยเสน โคง y = f (x)

จาก x=a ถงึ x=b มคี า เทากับ b f ( x)dx

∫
a

เน่อื งจากกราฟของ f มีแกน Y เปนแกนสมมาตร

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

546 คมู อื ครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

จะไดว า f (−x) =f (x) สาํ หรับทุกจํานวนจริง x
ดงั น้นั พื้นทีท่ ี่ปดลอ มดว ยเสนโคง y = f (x) จาก x = a ถึง x = b มคี าเทากบั พ้ืนท่ีทปี่ ด ลอ ม
ดวยเสนโคง y = f ( x) จาก x = −b ถึง x = −a

น่ันคือ b f ( x)dx = −a f ( x)dx สําหรับทกุ จํานวนจริง a,b ที่ 0≤a≤b

∫ ∫
a −b

นอกจากนี้ สังเกตวา ถา f (x) ≥ 0 บนชวงปด [a, b] และ c∈[a, b]

จะได พื้นทปี่ ด ลอมดวยเสน โคง y = f (x) กับแกน X จาก x = a ถึง x = b

b

= ∫ f ( x)dx
a

cb

= ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
ac

ดังน้นั 2 012

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
−1 −1 0 1

อ 112

= ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
001

12

= 2 ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
01

เนอ่ื งจาก 2 f ( x) dx = 12 และ 1 f ( x) dx = 3

∫ ∫
−1 0

จะได 2

12 = 2(3) + ∫ f ( x)dx
1

นน่ั คือ 2

∫ f ( x)dx = 6
1

จะไดว า 2 −1 2

∫ f ( x)dx = ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
−2 −2 −1

22

= ∫ f ( x)dx + ∫ f ( x)dx
1 −1

= 6 + 12

= 18

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 547

62. 1) จาก W′(t) = − t

40

จะได W (t) = ∫ − t dt
40

= − t2 + c เม่ือ c เปนคาคงตัว

80

เนอ่ื งจาก W (t) คือปริมาณนํา้ ในถัง ณ เวลา t นาที

ดงั นัน้ ปรมิ าณน้ําที่ไหลออกตั้งแตเวลา t = 0 ถึง t =15 นาที คือ

W (0) −W (15) =  02 +  −  − 152 + 
− 80 c  80 c
 
 

= 45 แกลลอน

16

2) จาก W (t ) = − t2 + c และ W (0) = 320

80

จะได − 02 + c = 320
320
80

นน่ั คอื c =

63. 1) จะได W (t) = − t2 + 320

80

เนื่องจาก W (t) = 0 เมื่อ =t 320 ⋅80= 160

ดังนนั้ ตอ งใชเ วลา 160 นาที นา้ํ จงึ จะไหลออกทง้ั หมด
ให P(t) แทนจํานวนประชากรโลก (มีหนวยเปน ลา นคน) ในป ค.ศ. t

จะได P′(t) = p(t)

= −0.012t2 + 48t − 47,925

ดงั น้นั ∫P(t) = (−0.012t2 + 48t − 47,925)dt

= −0.004t3 + 24t2 − 47,925t + c เมือ่ c เปน คาคงตวั
เนือ่ งจากใน ค.ศ. 2017 มจี ํานวนประชากรโลกประมาณ 7,500 ลานคน ดังนนั้

P(2017) = 7,500

−0.004(2017)3 + 24(2017)2 − 47,925(2017) + c = 7,500

น่นั คอื c = 31,856, 245

จะได P(t ) = −0.004t3 + 24t2 − 47,925t + 31,856,245

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

548 คมู ือครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

2) เน่อื งจาก

P(2050) = −0.004(2050)3 + 24(2050)2 − 47,925(2050) + 31,856,245

= 9,495

ดงั นั้น จํานวนประชากรโลกใน ค.ศ. 2050 มีอยปู ระมาณ 9,495 ลา นคน

64. จาก dG = − P + 2
dP 25

จะได ∫G =  − P + 2  dP
 25 

= − P2 + 2P + c เม่อื c เปน คาคงตัว
50

เนอ่ื งจาก G = 38 เม่ือ P =10

จะได 38 = − (10)2 + 2(10) + c

50

นั่นคอื c = 20

จงึ ไดวา G = − P2 + 2P + 20
50

ดงั นน้ั ถาในโปรตนี ผสมสตู รพิเศษมยี ีสตอยรู อ ยละ 75 หนูจะมนี ้ําหนกั เพ่ิมขน้ึ

− (75)2 + 2(75) + 20 =57.5 กรัม

50

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 549

แหลง เรยี นรูเ พิ่มเตมิ

forvo.com เปนเว็บไซตที่รวบรวมการออกเสียงคําในภาษาตาง ๆ กอต้ังขึ้นเม่ือ ค.ศ. 2008
โดยมีจุดมุงหมายเพ่ือพัฒนาการสอ่ื สารทางการพูด ผานการแลกเปลี่ยนการออกเสยี งคําในภาษา
ตาง ๆ ท้ังจากบุคคลท่ีเปนเจาของภาษาและบุคคลท่ีไมใชเจาของภาษา forvo.com ไดรับคัดเลือก
จากนติ ยสาร Times ใหเ ปน 50 เว็บไซตที่ดที ี่สดุ ใน ค.ศ. 2013 (50 best websites of 2013) ปจจบุ ัน
เว็บไซตน้ีเปนฐานขอมูลที่รวบรวมการออกเสียงที่ใหญที่สุด มีคลิปเสียงท่ีแสดงการออกเสียง
คาํ ศพั ทป ระมาณสลี่ า นคําในภาษาตาง ๆ มากกวา 330 ภาษา

ครอู าจใชเว็บไซต forvo.com เพอ่ื ศึกษาเพิ่มเติมเก่ียวกับการออกเสียงคําศัพทคณิตศาสตร
หรือชื่อนักคณิตศาสตรในภาษาอังกฤษหรอื ภาษาอ่ืน ๆ ท่ีปรากฏในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ได เชน finite sequence และ infinite sequence ซ่ึง
เปน คําศพั ทค ณิตศาสตรในภาษาองั กฤษ หรอื Fibonacci ซง่ึ เปน ชอ่ื นักคณติ ศาสตรชาวอิตาเลียน

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

550 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

บรรณานุกรม

คณาจารยภ าควชิ าคณิตศาสตร คณะวทิ ยาศาสตร จฬุ าลงกรณมหาวิทยาลยั . (2542). แคลคูลัส
เลมที่ 1. กรงุ เทพฯ: พทิ ักษการพมิ พ.

มาริสา มยั ยะ และ วันเพญ็ จันทรงั ษ.ี (2550). แคลคลู ัส I. กรงุ เทพฯ: สํานกั พมิ พแสงสวาง
เวิลดเ พรส.

วชิ าญ ล่วิ กรี ตยิ ุตกุล. (2562). คณติ วิเคราะห. กรงุ เทพฯ: วิสคอมเซ็นเตอร.
สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2558). คมู อื ครรู ายวิชาพ้นื ฐานคณติ ศาสตร

เลม 3 ชัน้ มัธยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลมุ สาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลาง
การศึกษาข้ันพ้ืนฐาน พุทธศักราช 2551. กรงุ เทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพราว.
สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2557). คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร
เลม 6 ชนั้ มัธยมศึกษาปท ี่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณติ ศาสตร ตามหลกั สตู รแกนกลาง
การศึกษาข้ันพนื้ ฐาน พุทธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค. ลาดพรา ว.
สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี. (2563). หนงั สอื เรยี นรายวชิ าเพม่ิ เติม
คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 ตามผลการเรียนรูกลมุ สาระการเรยี นรู
คณิตศาสตร (ฉบับปรับปรุง พ.ศ. 2560) ตามหลกั สูตรแกนกลางการศกึ ษาข้ันพนื้ ฐาน
พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค. ลาดพราว.
สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี. (2558). หนงั สือเรยี นรายวชิ าพ้ืนฐาน
คณิตศาสตร เลม 3 ช้ันมธั ยมศึกษาปที่ 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลกั สูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพน้ื ฐาน พทุ ธศกั ราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพมิ พ สกสค.
ลาดพรา ว.
สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลย.ี (2557). หนังสอื เรยี นรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร เลม 6 ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 กลุมสาระการเรียนรูคณิตศาสตร ตามหลกั สูตร
แกนกลางการศึกษาขั้นพื้นฐาน พทุ ธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพ สกสค.
ลาดพราว.

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 551

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2557). หนงั สอื เรยี นรูเ พิ่มเตมิ เพอ่ื เสริม
ศกั ยภาพคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 4 – 6 แคลคูลัสเบื้องตน . กรุงเทพฯ: พฒั นา
คณุ ภาพวชิ าการ.

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลย.ี (2557). หนงั สอื เรยี นรูเพ่ิมเติมเพ่อื เสริม
ศกั ยภาพคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 4 – 6 ลาํ ดบั และอนกุ รม. กรุงเทพฯ: พฒั นา
คุณภาพวิชาการ.

สํานักงานคณะกรรมการการศกึ ษาขัน้ พื้นฐาน. (2560). ตัวชีว้ ดั และสาระการเรยี นรูแกนกลาง
กลุม สาระการเรียนรคู ณิตศาสตร (ฉบบั ปรบั ปรงุ พ.ศ. 2560) ตามหลักสูตรแกนกลาง
การศึกษาขน้ั พน้ื ฐาน พุทธศักราช 2551. กรุงเทพฯ: โรงพิมพชุมนมุ สหกรณการเกษตร
แหงประเทศไทย.

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

552 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

คณะผูจัดทาํ

คณะทีป่ รกึ ษา สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ศ. ดร.ชูกจิ ลมิ ปจํานงค สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.ศรเทพ วรรณรตั น
ดร.วนิดา ธนประโยชนศ กั ด์ิ

คณะผูจ ดั ทําคมู อื ครู สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
วา ท่ีรอ ยเอก ดร.ภณฐั กว ยเจรญิ พานิชก สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวปฐมาภรณ อวชยั สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวอมั ริสา จันทนะศริ ิ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายพฒั นชยั รววิ รรณ สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวภิญญดา กลบั แกว สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.ศศิวรรณ เมลืองนนท สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.สธุ ารส นลิ รอด สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายกฤษณะ ปอมดี สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.จิณณวัตร เจตนจ รงุ กจิ สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.จุฬาลักษณ แกว หวงั สกูล สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นายทศธรรม เมขลา โรงเรียนพระปฐมวิทยาลยั จังหวัดนครปฐม
นางสาวปรารถนา วิริยธรรมเจรญิ โรงเรียน มอ.วิทยานุสรณ จงั หวัดสงขลา
นายสถติ พงษ เพ็ชรถึง โรงเรียนยานตาขาวรัฐชนูปถมั ภ จงั หวดั ตรงั
นางสุธิดา นานชา โรงเรยี นบุญวัฒนา จังหวัดนครราชสีมา
นายสุบรรณ ตงั้ ศรีเสรี

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 553

คณะผพู จิ ารณาคูมอื ครู สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายประสาท สอา นวงศ สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี
รศ. ดร.สมพร สตู นิ ันทโอภาส สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางสาวจนิ ตนา อารยะรงั สฤษฏ สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นางสาวจําเรญิ เจียวหวาน สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
นายสเุ ทพ กติ ติพทิ กั ษ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี
ดร.สพุ ตั รา ผาติวสิ ันต์ิ สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ดร.อลงกรณ ตงั้ สงวนธรรม มหาวทิ ยาลยั ราชภฏั สวนสุนนั ทา กรุงเทพฯ
ผศ. ตีรวชิ ช ทินประภา มหาวทิ ยาลัยราชภัฏสวนสนุ นั ทา กรุงเทพฯ
ผศ. ดร.ธนชั ยศ จาํ ปาหวาย จุฬาลงกรณม หาวทิ ยาลัย กรงุ เทพฯ
ดร.นธิ ิ รุงธนาภิรมย
สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
บรรณาธกิ าร
รศ. ดร.สริ พิ ร ทพิ ยคง โรงเรียนราชวินติ บางเขน กรงุ เทพฯ
โรงเรยี นสาธติ แหง มหาวิทยาลัยเกษตรศาสตร
ฝายสนบั สนนุ วิชาการ ศนู ยว ิจยั และพฒั นาการศึกษา กรุงเทพฯ
นางสาวขวัญใจ ภาสพนั ธุ โรงเรยี นสตรีภูเก็ต จงั หวดั ภูเกต็
นายณรงคฤ ทธ์ิ ฉายา โรงเรียนทับปุดวทิ ยา จังหวดั พงั งา
โรงเรียนสตรสี ิริเกศ จงั หวัดศรสี ะเกษ
นายถนอมเกยี รติ งานสกุล โรงเรยี นบางละมุง จังหวดั ชลบรุ ี
นางนงนุช ผลทวี โรงเรียนวทิ ยาศาสตรจ ฬุ าภรณราชวิทยาลัย เพชรบุรี
นางมยุรี สาลีวงศ จังหวัดเพชรบุรี
นางสาวศราญลกั ษณ บุตรรัตน โรงเรียนเฉลมิ ขวัญสตรี จงั หวัดพษิ ณุโลก
นายศรัณย แสงนลิ าวิวฒั น ขาราชการบาํ นาญ

วาทีร่ อ ยตรสี ามารถ วนาธรัตน สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
นางศุภรา ทวรรณกลุ

554 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

นายสุกิจ สมงาม ขา ราชการบาํ นาญ
นางสปุ ราณี พวงพี ขา ราชการบํานาญ
นายชัยรตั น สุนทรประพี นักวชิ าการอสิ ระ
นางสาวปยาภรณ ทองมาก สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี
ฝายนวัตกรรมเพื่อการเรยี นรู สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี



สถาบนั สง� เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ� ละเทคโนโลยี
กระทรวงศกึ ษาธกิ าร