คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 389

2) ให V แทน ปรมิ าตรของกรวยกลมตรงที่มีความสูง h
โดยรศั มขี องฐานมีคาคงตัว เทา กบั r

จะได V (h) = 1π r2h

3

อตั ราการเปลย่ี นแปลงของปริมาตรของกรวยกลมตรงเทียบกบั สวนสูง ขณะสว นสูงยาว

h หนวย เมือ่ ความยาวของรัศมีของฐานมีคาคงตวั เทากับ r คือ

V (h + k)−V (h) 1πr2 (h + k) − 1πr2h
= lim 3 3
lim
k→0 k k→0 k

= lim π r2k
k→0 3k

= lim π r2
k→0 3

= π r2 ลกู บาศกห นวยตอ หนวย

3

9. ให F ( r ) = k
r2

อตั ราการเปล่ียนแปลงของ F เทียบกับ r ขณะที่ r เปนจํานวนจริงทม่ี ากกวา 0 คอื

F (r + h) − F (r) (r k − k
r2
lim = lim + h)2

h→0 h h→0 h

= lim −2rkh − kh2

h→0 hr 2 ( r + h)2

= lim −2rk − kh

h→0 r 2 ( r + h )2

= − 2k นวิ ตนั ตอ เมตร
r3

ดงั น้ัน อัตราการเปลย่ี นแปลงของ F เทยี บกบั r ขณะท่ี r เปนจํานวนจริงทีม่ ากกวา 0

คือ − 2k นวิ ตนั ตอเมตร
r3

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

390 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

10. จาก s(t) แทนความสูงของปะการังเทยี มจากระดบั นํ้าทะเล ณ เวลา t หลังจากหยอ น
ปะการงั เทยี มจากเฮลิคอปเตอร
ดังนนั้ s(5) = 0 หมายถึง ความสูงของปะการังเทียมจากระดบั น้าํ ทะเลเทา กับ 0 ณ เวลา
5 วินาที
s′(5) = − 27 หมายถึง ณ เวลา 5 วนิ าที หลงั จากหยอนปะการงั เทียมจากเฮลิคอปเตอร
อัตราการเปลย่ี นแปลงของความสงู ของปะการังเทียมเปน −27 เมตรตอ วนิ าที หรือเมื่อเวลา
เพิ่มขนึ้ ความสูงของปะการังเทยี มลดลงดวยอตั รา 27 เมตรตอ วินาที

11. 1) f ′(x) = 3( x + h)2 − 3x2
2)
3) lim
h→0 h

= lim 6xh + 3h2
h→0 h

= lim(6x + 3h)
h→0

= 6x

f ′(x) = lim ( x + h)3 − x3
h→0
h

= lim 3x2h + 3xh2 + h3
h→0 h

( )= lim 3x2 + 3xh + h2
h→0

= 3x2

 x 1 h  − 1
 +  x
f ′(x) = lim
h→0 h

= lim −h

h→0 hx ( x + h )

= lim −1

h→0 x ( x + h )

= −1
x2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 391

11
(x + h)3 − x3
4) f ′(x) = lim
12. 1) h→0 h

lim  ( x + 1 − 1 ⋅ (x + 2 +(x+ 1 1 + 2 
 (x + +(x+ + 
h→0 h)3 x3 h)3 h)3 x3 x3 

=  h 2 1 1 2

h)3 h)3 x3 x3



 (x + h)− x 
= lim  
  2 1 1 2  
h→0  ( +(x  
h)3 h)3 x3 x3 
 h x + + +




h
lim  
=   2 1 1 2  
h→0   
( h)3 +(x h)3 x3 x3 
 h x + + +



 
lim  1 
=  2 1 1 2 
h→0 (x+
( h)3 h)3 x3 x3
x + + +

1
=2

3x 3

จาก f ( x=) x2 − x

จะได f ′(0) = f (0 + h) − f (0)

lim
h→0 h

= lim f (h) − f (0)
h→0
h

= lim (h2 − h) − 0
h→0
h

= lim(h −1)
h→0

= −1

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

392 คมู อื ครูรายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

12. 2) จาก f (=x) 2x3 +1
3)
จะได f ′(2) = f (2 + h) − f (2)

lim
h→0 h

= lim ( ) ( )2(2 + h)3 +1 − 2(2)3 +1
h→0
h

= lim ( )(2 8 +12h + 6h2 )+ h3 +1 − (2(8) +1)
h→0
h

= lim 24h + 12h2 + 2h3
h→0 h

( )= lim 24 +12h + 2h2
h→0

= 24

จาก f (x) = 1
x2

จะได f ′(−1) = f (−1+ h) − f (−1)

lim
h→0 h

1 h)2 − 1

= lim ( −1 + ( −1)2
h→0
h

= lim 1− (−1+ h2 )

h→0 ( −1 + h )2 ( −1) h

= lim 1− (1− 2h + h2 )

h→0 −h(−1+ h)2

= lim 2h − h2

h→0 −h ( −1 + h )2

= lim h−2

h→0 ( −1 + h )2

−2
= −1

=2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 393

แบบฝกหดั 2.4 y = −3
1. 1) จาก
dy = d (−3)
จะได dx
2) จาก dx

จะได =0

3) จาก y = x3 + x
จะได 3

4) จาก dy = d  x3 + x 
จะได dx dx  3 

( )=d x3 + d  x 
dx dx  3 

= d (x3 ) + 1 d (x)
dx 3 dx
= 3x2 + 1

3
y = x3 − 3x + 7

d x3 − 3x + 7
dx
( )dy=

dx

= d (x3 ) − d (3x) + d (7)
dx dx dx

= d (x3 ) − 3 d (x) + d (7)
dx dx dx

= 3x2 − 3 + 0

= 3x2 − 3

y = −5x2 + x + 2 x − 1
x

= −5x2 + x + 1 − − 1
2
2x2 x

dy = d  −5 x2 + x + 1 − − 1 
dx dx  2 
2x2 x 



( )=dy dy ( x) dy  1  dy  − 1 
dx −5x2 + dx + dx   − dx  2 
 2x2   x 

−5 dy dy dy  1  dy  − 1 
dx dx dx  2  dx  2 
( )= x2 + ( x) + 2  x  −  x 

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

394 คูมือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

= −5( 2x ) + 1 + 2  1 − 1  −  − 1  − 3
 2 2   2  2
 x  x

= −10x +1 + 1 + 1
x 2x x

5) จาก s = 4t5 − 3t2 + t − 8
จะได ds
dt d 4t5 − 3t2 + t − 8
6) วิธที ่ี 1 dt
เนอื่ งจาก ( )=
วิธที ่ี 2
= d (4t5 ) − d (3t2 ) + d (t ) − d (8)
7) จาก
จะได dt dt dt dt

= 4 d (t5 ) − 3 d (t2 ) + d (t) − d (8)
dt dt dt dt

= 4(5t4 ) − 3(2t ) +1− 0

= 20t4 − 6t + 1

s = (4t2 + t −1)(t + 2)

ds d (4t2 + t −1)(t + 2)
dt
dt
( )จะได =

= (4t2 + t −1) d (t + 2) + (t + 2) d (4t2 + t −1)
dt dt

= (4t2 + t −1)(1+ 0) + (t + 2)(8t +1− 0)

( ) ( )= 4t2 + t −1 + 8t2 +17t + 2

= 12t2 +18t +1

เนอ่ื งจาก s = (4t2 + t −1)(t + 2)

= 4t3 + 9t2 + t − 2

( )ds

dt
จะได = d 4t3 + 9t2 + t − 2
dt

= d (4t3 ) + d (9t2 ) + d (t ) − d (2)

dt dt dt dt

= 4(3t2 ) + 9(2t ) +1− 0

= 12t2 +18t +1

y = x( x +1)( x + 2)

dy = d ( x( x +1)( x + 2))
dx
dx

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 395

= x d (( x +1)( x + 2)) + ( x +1)( x + 2) d ( x)

dx dx

= x  ( x + 1) d ( x + 2) + ( x + 2) d ( x + 1)  + ( x + 1) ( x + 2) (1)
 dx dx 

= x(( x +1)(1+ 0) + ( x + 2)(1+ 0)) + ( x +1)( x + 2)

= x(x +1+ x + 2) + (x2 + 3x + 2)

8) จาก = 2x2 + 3x + x2 + 3x +1
จะได
= 3x2 + 6x + 2
9) จาก
จะได y = (4x − x2 )(x2 + 3)

10) จาก ( )dy
จะได
dx
= d (4x − x2 )(x2 + 3)

dx

= (4x − x2 ) d (x2 + 3) + (x2 + 3) d (4x − x2 )
dx dx

= (4x − x2 )(2x + 0) + (x2 + 3)(4 − 2x)

= −4x3 + 12x2 − 6x + 12

y = x( x2 +1)

( )( )dy

dx
= d x x2 +1
dx

= x d ( x2 +1) + ( x2 +1) d ( x)
dx dx

= x(2x + 0) + ( x2 +1)(1)

= 3x2 +1

x3 + 2
y=

x

dy d  x3 + 2 
=  
dx dx  x 

x d (x3 + 2) − (x3 + 2) d (x)
= dx dx
x2

x(3x2 + 0) − ( x3 + 2)(1)
= x2

2x3 − 2
= x2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

396 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

11) จาก y =3
จะได 3x2 +1

12) จาก dy d  3 
จะได dx = dx  3x2 +1 

13) จาก (3x2 +1) d (3) − 3 d (3x2 +1)
จะได dx dx
3x2 +1 2
( )=

(3x2 +1)(0) − 3(3(2x) + 0)
( )= 3x2 +1 2

− 18x
3x2 +1 2
( )=

y = 1+ 3x
1− 3x

dy d  1 + 3x 
dx = dx  1 − 3x 

(1− 3x) dy (1+ 3x) − (1+ 3x) dy (1− 3x)
dx dx
=
(1− 3x)2

(1− 3x)(0 + 3) − (1+ 3x)(0 − 3)
= (1− 3x)2

(3−9x) + (3+ 9x)
= (1− 3x)2

6

= (1− 3x)2

s = t 12 − 1 
t2 

ds = d  t 12 − 1  
dt dt  t2  
 

= t d 12 − 1  + 12 − 1  d (t)
dt t2  t2  dt

( )=td 12 1  d (t )
dt 12 − t −2 + − t2  dt

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 397

( )= 12 1  (1)
t 0 − (−2)t−3 + − t2 

= t  2  + 12 − 1 
 t3  t2 

= 1 + 12
t2

14) จาก x5 − 3x2 + 5x − 2
จะได y=

15) จาก x2
จะได
dy d  x5 − 3x2 + 5x − 2 
=  
dx dx  x2 

( ) ( ) ( )x2 d x5 − 3x2 + 5x − 2 − x5 − 3x2 + 5x − 2 d x2
= dx dx

(x2 )2

( ) ( )x2 5x4 − 6x + 5 − 0 − x5 − 3x2 + 5x − 2 (2x)

= x4

( ) ( )5x6 − 6x3 + 5x2 − 2x6 − 6x3 +10x2 − 4x

= x4

3x6 − 5x2 + 4x
= x4

= 3x2 − 5 + 4
x2 x3

s = 5t6 + t − 3
t

ds d  5t6 + t − 3 
=  
dt dt  t

( )t d (5t6 + t − 3) − (5t6 + t − 3) d t
= dt dt

( )2

t

( )( ) ( )t  1 − 1 
30t5 + 1 − 0 − 5t6 + t − 3  2 t 2 
 
=
( )2

t

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

398 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

1

11 1 − 5 t 11 − t2 + 3 t − 1
2 2
30t 2 +t2
2 22
= t

= 55t4 t + 1 + 3
2 2 t 2t t

16) จาก ( )y  1 1 
จะได =  x + x2  3x3 + 27

17) จาก ( )dy d   1 1 
จะได dx   x x2  
dx
= + 3x3 + 27

( ) ( )= 1 1  d d  1 1 
 x + x2  dx 3x3 + 27 + 3x3 + 27 dx  x + x2 

( ) ( )= 1 1   1 2 
 x + x2  9x2 + 0 + 3x3 + 27  − x2 − x3 

= 6x + 3 − 27 − 54
x2 x3

y = 4x +1
x2 − 5
dy
dx d  4x +1
= dx  x2 − 5 

( x2 − 5) d (4x +1) − (4x +1) d ( x2 − 5)
dx dx
x2 − 5 2
( )=

( x2 − 5)(4 + 0) − (4x +1)(2x − 0)
( )= x2 − 5 2

− 4x2 + 2x + 20
x2 − 5 2
( )=

 3x + 2 
 x 
( )18) จาก
y = x−5 +1

จะได

d  3x + 2  
dx   x  
( )dy = x−5 +1

dx 

( ) ( )=3x +2 d d  3x + 2 
 x  dx x−5 +1 + x−5 +1 dx  x 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 399

( ) ( )=3x +2 x−5  x d (3x + 2) − (3x + 2) d (x) 
 x  −5x−6 + 0  
+ +1  dx x2 dx 
 


( ) ( )=3x +2  x(3+ 0) − (3x + 2)(1) 
 x  −5x−6 + x−5 +1 
 x2 


( ) ( )= (3x + 2) −5x−7 + x−7 + x−2 (−2)

= −15x−6 −10x−7 − 2x−7 − 2x−2

= − 2 − 15 − 12
x2 x6 x7

19) จาก y= 3
x +2

จะได dy = d 3
dx dx  x + 2 

( ) (x + 2 d (3) − 3 d x + 2)
dx dx

2
( )=
x +2

( )= x +2 ( 0 ) − 3  1 x −1 
 2 2 + 0

( )x + 2 2

3

2
( )= −
2 x x+2

20) จาก ( )y  x −1
จะได = 2x7 − x2  x +1

( )dy d  x −1
dx   x +1  
dx
= 2x7 − x2

( ) ( )= d  x −1   x −1  d
2x7 − x2 dx  x +1  +  x +1  dx 2x7 − x2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

400 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

 ( x + 1) d ( x −1) − ( x − 1) d ( x + 1)   x −1 
 dx ( x +1)2 dx   x +1 
( ) ( )=  
2x7 − x2   + 14x6 − 2x



 ( x + 1) (1 − 0) − ( x −1) (1 + 0)   x −1 
 ( x +1)2   x +1 
( ) ( )=
2x7 − x2 + 14x6 − 2x

( ) ( )2x7 − x2 (2) + ( x −1) 14x6 − 2x ( x +1)

= ( x +1)2

14x8 + 4x7 −14x6 − 2x3 − 2x2 + 2x

= ( x +1)2

2. 1) จาก f ( x) = 2x3 − 1 = 2x3 − −1
x
x2

จะได f ′(x) = d  2x3 − −1 
ดังน้ัน dx  
x2

= 6x2 −  − 1  −3
 2 
x2

= 6x2 + 1

3

2x2

f ′(1) = 6(1)2 + 1 13
=
3
2 (1) 2 2

2) จาก f ( x) = 1 x5 − 1 x3 + 1 x2 − 4x + 5

532

จะได f ′(x) = d  1 x5 − 1 x3 + 1 x 2 − 4 x + 5 
dx  5 3 2 

ดงั น้นั = x4 − x2 + x − 4

f ′(1) = 14 −12 +1− 4 = −3

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 401

3) จาก f ( x) = (2x2 – 3x +1)( x – x2 )

( )จะได ( )( )f ′( x) = d 2x2 – 3x +1 x – x2
dx

( ) ( ) ( ) ( )= 2x2 – 3x +1 d x – x2 + x – x2 d 2x2 – 3x +1
dx dx

( ) ( )= 2x2 – 3x +1 (1– 2x) + x – x2 (4x – 3 + 0)

( ) ( )= 2x2 – 3x +1 (1– 2x) + x – x2 (4x – 3)

ดงั น้ัน

( ) ( )f ′(−1) = 2(−1)2 – 3(−1) +1 (1– 2(−1)) + (−1) – (−1)2 (4(−1) – 3) = 32

4) จาก f (x) = 2x −1
จะได
x +1
ดังนั้น
f ′(x) = d  2x −1
dx  x +1 

( x +1) d (2x −1) − (2x −1) d ( x +1)
dx dx
=
( x +1)2

( x +1)(2 − 0) − (2x −1)(1+ 0)
= ( x +1)2

= 3

( x +1)2

f ′(2) = 3 1
=
(2 +1)2
3

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

402 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

3. 1) จาก g ( x) = x f ( x) 1

= x2 f (x)

จะได g′(x) = d  1 f ( x) 
ดังน้นั dx  
x2

= 1 d ( f ( x)) + f (x) d  1 
dx dx  
x2 x2

= x f ′( x) + f ( x) 1 −1 
2 
x2

= x f ′(x)+ f (x)

2x

g′(4) = 4 f ′(4)+ f (4)

24

= 4 (−5) + 3

24

= − 37
4

2) จาก g(x) = f (x)
จะได
x
ดังนั้น
g′(x) = d  f (x)
 
dx  x 

x d ( f (x))− f (x) d (x)
= dx dx
x2

x ⋅ f ′( x) − f ( x)(1)

= x2

x⋅ f ′(x)− f (x)

= x2

g′(4) = 4⋅ f ′(4)− f (4)

42

4 ⋅(−5) − 3

= 42

= − 23
16

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 403

4. 1) จาก F ( x) = 2 f ( x) + 4g ( x)

จะได F′( x) = d (2 f ( x) + 4g ( x))

dx

= 2 f ′(x)+ 4g′(x)
ดังน้ัน F′(2) = 2 f ′(2) + 4g′(2)

= 2(−1) + 4(0)

= −2

2) จาก F(x) = f (x) + 3g (x) f ( x) + 3
g(x)= g ( x)

จะได F′(x) = d  f ( x) + 
dx  g ( x) 3

= g(x) f ′(x) − f (x)g′(x)

(g (x))2

ดงั นน้ั F′(2) = g(2) f ′(2) − f (2)g′(2)
(g (2))2

(2)(−1) − (1)(0)

=

(2)2

5. จาก = −1
2

P ( x) = ax2 + bx + c

จะได P′( x) ( )= d ax2 + bx + c
dx
จาก P′(0) = 2ax + b
จะได 2a(0) + b = −3
น่ันคอื
จะไดว า = −3
จาก
จะได b = −3

P′( x) = 2ax − 3
P′(1) = −1
2a(1) − 3 = −1

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

404 คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

นนั่ คือ a =1
จะไดว า
และ P′( x) = 2x − 3
จาก P( x) = x2 − 3x + c
P(1) = 1
จะได (1)2 − 3(1) + c = 1
นน่ั คือ
ดังน้นั c =3

P(x) = x2 − 3x + 3

6. 1) จาก s( x) = 3x +145 เมอื่ x แทนจํานวนวนั ต้ังแตเ ริม่ ตนงานมหกรรมลดราคา
x+8

และ ณ เวลาเร่มิ ตน มหกรรมลดราคา ซึง่ x = 0

จะได s(0) = 3(0) +145

0 + 8 = 18.125

ดังน้ัน จาํ นวนสินคา ณ เวลาเร่มิ ตน มหกรรมลดราคา มีอยูประมาณ 1,813 ช้นิ

2) จะได s (10) = 3(10) +145

≈ 9.722
10 + 8

ดังนัน้ จํานวนสินคาคงเหลอื ในวันที่ 10 มีประมาณ 972 ชิน้

จาก s′( x) = d  3x +145 
dx  x + 8 

( x + 8) d (3x +145) − (3x +145) d ( x + 8)
dx dx
=
(x + 8)2

( x + 8)(3 + 0) − (3x +145)(1+ 0)
= ( x + 8)2

= − ( 121

x + 8)2

จะได s′(10) = − 121 ≈ − 0.373

(10 + 8)2

ดังนั้น อตั ราการเปลี่ยนแปลงของจาํ นวนสินคาในวนั ท่ี 10 คือ − 37 ชิน้ ตอ วนั

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 405

3) จะได s (15) = 3(15) +145 ≈ 8.261

15 + 8

ดงั นนั้ จาํ นวนสินคา คงเหลอื ในวนั ท่ี 15 มีประมาณ 826 ชิ้น

จาก s′( x) = − ( 121

x + 8)2

จะได s′(15) = − 121 ≈ −0.229

(15 + 8)2

= − 121
529

ดงั น้ัน อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจาํ นวนสนิ คา ในวันที่ 15 คอื − 23 ชิ้นตอวนั

4) จะได s (25) = 3(25) +145 ≈ 0.667

25 + 8

ดงั นั้น จาํ นวนสินคา คงเหลอื ในวันที่ 25 มปี ระมาณ 667 ชนิ้

จาก s′( x) = − ( 121

x + 8)2

จะได s′(25) = − ( 121 )2 ≈ − 0.111
25 + 8

ดังนั้น อัตราการเปลี่ยนแปลงของจํานวนสินคาในวนั ท่ี 25 คอื −11 ชน้ิ ตอวัน

5) จาก S′( x) = − 121

( x + 8)2

และ ( x + 8)2 > 0 สาํ หรบั ทุก x ∈ 

ดังนนั้ S′( x) < 0 สําหรับทกุ x∈ 

จะเหน็ วา อตั ราการเปลย่ี นแปลงของจํานวนสินคา คงเหลือเปนจาํ นวนลบ หมายความ

วา จาํ นวนสนิ คา ท่ีเหลอื จะลดลงเมื่อจํานวนวันเพิ่มขึ้น

นน่ั คือ มลี กู คา เขามาอุดหนุนสินคาอยูตลอด

แตอตั ราการเปลยี่ นแปลงของจาํ นวนสนิ คา คงเหลอื จาก 2), 3) และ 4) จะเหน็ วา

121 > 121 > 1
324 529 9

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

406 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

แสดงวาการเปล่ยี นแปลงของจาํ นวนสินคา คงเหลือลดลงเม่ือเวลาเพิ่มขนึ้
นน่ั คอื ยอดขายสนิ คาของรานน้ีลดลง เมื่อเวลาเพ่ิมข้นึ
ดังนั้น ในชวงวันที่ 10 ถึงวนั ท่ี 25 รานคานี้ขายสินคาไดท ุกวัน แตขายไดนอยลงเมื่อเวลาเพ่ิมข้ึน
7. ให P แทนรายรบั รวม (หนว ยเปนบาท) ทไี่ ดจ ากการขายสินคาหลังจากปป จ จุบนั
จะไดวา P = P( x)
n แทนจํานวนสนิ คาทข่ี ายได (หนวยเปน ชิ้น) ในปที่ x ปห ลังจากปป จ จบุ ัน
q(x) แทนราคาของสินคา (หนวยเปน บาท) ในปท ่ี x ปห ลังจากปปจจบุ ัน
จะได n( x) = 200,000 − 6,000x

q ( x) = 250 +10x

และ P( x) = n( x) ⋅ q( x) = (200,000 − 6,000x)(250 +10x)

จะได P(x) = d ((200,000 − 6,000x)(250 +10x))
น่ันคือ
= dx

P′(3) = (200,000 − 6,000x)(10) + (250 +10x)(−6,000)

(200,000 − 6,000(3))(10) + (250 +10(3))(−6,000)

= 140,000

ดังนั้น อตั ราการเปล่ียนแปลงของรายรับรวมท่ไี ดจากการขายสนิ คา ชนดิ นใี้ นปที่ 3 คือ

140,000 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 407

แบบฝกหดั 2.5

1. 1) ให =u 2x + 3

ดังน=้ัน y (=2x + 3)5 u5

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

d u5 ⋅ d (2x + 3)

du dx
( )=

= (5u4 )(2)

= 10(2x + 3)4

2) ให u =1– 3x

ดงั น=นั้ y (1=– 3x)3 u3

โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

d u3 ⋅ d (1 – 3x)

du dx
( )=

= (3u2 )(−3)

= −9(1 – 3x)2

3) ให u = 3 – 4x2

ดัง=นัน้ y ( )=3 – 4x2 4 u4

โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

d u4 ⋅ d 3 – 4x2
du dx
( ) ( )=

= (4u3 )(–8x)

( )= −32x 3 – 4x2 3

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

408 คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

4) ให u = 2 – 3x + 4x2

=ดงั นน้ั y ( )=2 – 3x + 4x2 3 u3

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

d u3 ⋅ d 2 – 3x + 4x2
du dx
( ) ( )=

= (3u2 )( –3 + 8x)

( )= 3 2 – 3x + 4x2 2 ( –3 + 8x)

5) ให u = x3 – 2x

ดัง=นนั้ y ( )=x3 – 2x 4 u4

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

d u4 ⋅ d x3 – 2x
du dx
( ) ( )=

= (4u3 )(3x2 – 2)

( ) ( )= 4 x3 – 2x 3 3x2 – 2

6) ให u= 1− 2x

1

ดงั นัน้ y = 1− 2x =u 2

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

= d  u 1  ⋅ d (1 − 2 x )
du  2  dx

 1 u − 1  ( −2)
 2 2 
=

= − 1
1− 2x

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 409

7) ให =u 3x2 + 2

1

ดังนน้ั =y 3x2 +=2 u 2

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )=d  1  d
du  u 2  ⋅ dx 3x2 + 2

 1 u − 1  ( 6 x )
 2 2 
=

3x
= 3x2 + 2

8) ให =u x2 − 3

1

ดังนน้ั y= 3 x2 − 3= u3

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )=d  1  d
du  u 3  ⋅ dx x2 −3

 1 u − 2  ( 2x )
 3 3 
=

2x
=2

( )3 x2 − 3 3

9) ให u = 2t2 – 1

( )ด=งั นั้น s =2t2 – 1 −3 u−3

โดยกฎลูกโซ จะได ds = ds ⋅ du
dt du dt

d u−3 ⋅ d 2t2 – 1
du dt
( ) ( )=

( )= −3u−4 (4t )

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

410 คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

( )= −4
−12t 2t2 –
1

= − 12t

( )2t2 −1 4

10) ให u = t2 − 3t + 2

( )=ดงั นน้ั s =t2 − 31t + 2 2 u−2

โดยกฎลกู โซ จะได ds = ds ⋅ du
dt du dt

d u−2 ⋅ d t2 − 3t + 2
du dt
( ) ( )=

( )= −2u−3 (2t − 3)

− 2(2t − 3)

t2 − 3t + 2 3
( )=

11) ให =u x2 + 2x

ดังน=ัน้ y =1 −1
x2 + 2x
u2

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )=d  −1  d
du   ⋅ dx x2 + 2x
u2

 − 1 u − 3  ( 2 x + 2 )
 2 2 
=

=− x +1

3
( )x2 + 2x 2

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 411

12) ให u = x2 − 2x + 3

=ดงั นั้น y =1 −1
3 x2 − 2x + 3
u3

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )=d  − 1  d
du  u 3  ⋅ dx x2 − 2x + 3

 − 1 u − 4  ( 2x − 2)
 3 3 
=

=− 2x − 2

4
( )3 x2 − 2x + 3 3

13) จาก y = ( x – 3)3 (2x +1)

dy d ( x – 3)3 (2x +1)
dx
dx
( )จะได =

( x – 3)3 d (2x +1) + (2x +1) d ( x – 3)3

dx dx
( )=

( x – 3)3 (2) + (2x +1) d ( x – 3)3

dx
( )=

พจิ ารณา d ( x − 3)3

dx

ให u = x – 3

ดงั นัน้ ( x – 3)3 = u3

( ) ( )d (x – 3)3

dx
โดยกฎลูกโซ จะได = d u3 ⋅ d ( x – 3)

du dx

= (3u2 )(1)

= 3( x – 3)2

dy ( x – 3)3 (2) + (2x +1) d ( x – 3)3
dx
dx
( )ดังนัน้ =

( )= ( x – 3)3 (2) + (2x +1) 3( x – 3)2

= (8x − 3)( x – 3)2

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

412 คูมือครูรายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

14) ให u = 2x +1
1− 2x

ดงั น=้นั y =12−x +2x13 u3

โดยกฎลูกโซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )= d u3 ⋅ d  2x +1 
du dx  1− 2x 

( )=  (1 − 2 x ) d ( 2 x +1) − (2x + 1) d (1 − 2 x ) 
 dx (1− 2x)2 dx 
3u 2  
 


3 2x +1 2  (1 − 2 x ) (2) − (2x + 1) ( −2 ) 
1− 2x   (1− 2x)2 
=

= 3 2x +1 2  (1 4 
1− 2x   
 − 2x)2 

12(2x +1)2
= (1− 2x)4

15) จาก (2x + 3)3

( )y = 4x2 −1 8

dy d  (2x + 3)3 
( )จะได  
dx = dx  4x2 −1 8 

( ) ( )( ) ( )4x2 −1 8 d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 d 4x2 −1 8
dx dx
4x2 −1 8 2
( )( )=

พิจารณา d (2x + 3)3

dx

ให =u 2x + 3

ดังน้นั (2x + 3)3 =u3

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 413

d (2x + 3)3 d (u3)⋅ d (2x + 3)

dx du dx
( )โดยกฎลกู โซ จะได =

= (3u2 )(2)

= 6(2x + 3)2

พิจารณา ( )d 4x2 −1 8
dx

ให =y 4x2 −1

ดงั น้นั ( )4x2 −1 8 =y8

( )โดยกฎลูกโซ จะได
( )d 4x2 −1 8 = d ( y8 ) ⋅ d (4x2 −1)

dx dx dx

= (8y7 )(8x)

( )= 64x 4x2 −1 7

( ( ) ) ( )ดังนนั้
4x2 −1 8 d (2x + 3)3 − (2x + 3)3 d 4x2 −1 8

dx dx
4x2 −1 8 2
( ) ( )dy
( )dx =

( ) ( )( ) ( )4x2 −1 8 6(2x + 3)2 − (2x + 3)3 64x 4x2 −1 7
( )( )= 4x2 −1 8 2

( ) ( ( ) )4x2 −1 7 (2x + 3)2 6 4x2 −1 − (2x + 3)64x

( )= 4x2 −1 16

( )(2x + 3)2 24x2 − 6 −128x2 −192x
( )= 4x2 −1 9

( )(2x + 3)2 −104x2 −192x − 6
( )= 4x2 −1 9

( )2 52x2 + 96x + 3 (2x + 3)2
( )= −
4x2 −1 9

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

414 คมู ือครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2. วธิ ีท่ี 1 จาก f (x) = x
จะได f ′(x) = x2 +1
d x 
= dx  x2 +1 

= ( x2 +1) d ( x) − x d ( x2 +1)
dx dx
= ( )x2 +1 2

( x2 +1)(1) − x(2x + 0)
( )x2 +1 2

1− x2

( )x2 +1 2

จาก g ( x) = 3x −1
ให u = 3x −1

จะไดว า g (x=) 1

3x −1= u 2

โดยกฎลกู โซ จะได g′(x) = dg ⋅ du
du dx

= d  u 1  ⋅ d ( 3x − 1)
du  2  dx

 1 u − 1  ( 3)
 2 2 
=
3
=
2 3x −1
F(x) =
เนือ่ งจาก F′(x) = f (g(x))
โดยกฎลูกโซ จะได
= ( fog )′ ( x)

( )1− (g ( x))2 3
3x −1
(g ( x))2 +1 2 ⋅ 2

( )1− 3x −1 2

= ( ) 2 + 12 ⋅ 3
2 3x −1
3x −1

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 415

วิธที ่ี 2 จาก = 2 − 3x
ดังน้นั 6x2 3x −1
F(x) =
f (g(x))
=
= f ( )3x −1

= 3x −1

F′(x) = ( )2
3x −1 +1
=
3x −1
= 3x
= d  3x −1 
dx  3x 

( )3x d 3x −1 − 3x −1 d (3x)
dx dx
(3x)2

( )3x d 3x −1 − 3x −1(3)
dx
9x2

ให u = 3x −1 ( )d u ⋅ d (3x −1)

1 du dx

จะไดวา 3x −1 =u2

โดยกฎลูกโซ จะได d ( )3x −1
dx

=  1 u −1  (3)
 2 2 

3

= 2 3x −1

ดงั นน้ั F′( x) = ( )3x d 3x −1 − 3x −1(3)
dx
9x2

 3 − 1  − 3 3x −1
3x  3x 
= 
= 2

9x2

9x − 6(3x −1)

( )9x2 2 3x −1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

416 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

6 −9x

( )=
9x2 2 3x −1

2 − 3x
= 6x2 3x −1

3. จาก F ( x) = f ( g ( x))

โดยกฎลูกโซ จะได F′(x) = f ′(g(x))⋅ g′(x)

ดงั นัน้ F′(2) = f ′( g (2))⋅ g′(2)

= f ′(4)⋅5

= 9×5

= 45

4. จาก f (x) = g ( x) x−1g ( x)

x

จะได f ′(x) = d  g(x)
 
dx  x 

x d (g(x))− g(x) d (x)
= dx dx
x2

x⋅ g′(x)− g(x)
= x2

จาก F ( x) = f ( g ( x))

โดยกฎลกู โซ จะได F′( x) = f ′( g ( x))⋅ g′( x)

ดงั น้ัน F′(2) = f ′( g (2))⋅ g′(2)

= f ′(3)⋅9

 3g′(3) − g (3)  ⋅9
= 
 32

 3(8) − 2  ⋅9
=  
 32

= 22

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1 417

5. 1) จาก x(t) = 300t 2
จะได 1+ t2

dx d  300t2 
=  
dt dt  1+ t2 

( ) ( ) ( )1+ t2 d 300t2 − 300t2 d 1+ t2
dt dt
1+t2 2
( )=

( )1+ t2 (600t ) − 300t2 (2t )
( )= 1+ t2 2

600t

( )= 1+ t2 2

1

จาก P( x) = 2 x − 20 = 2x2 − 20

จะได dP d  1 − 
dx = dx  20 
2x2

=  1 −1  − 0
2  2 
x2

1
=x

2) โดยกฎลูกโซ จะได dP = dP ⋅ dx
dt dx dt

1⋅ 600t
x 1+ t2
( )= 2

1 ⋅ 600t
300t 2 1+ t2
( )= 2

1+ t2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

418 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

dP 1 600 ( 2 )
dt t=2 =
300 ( 2 )2 1+ 22 2
( )ดงั น้ัน ⋅

1+ 22

600 ( 2 )

= 2(10 3)
⋅ 25
5

4 15
=

5

6. ให u = t +10
จาก N (t ) = (t +10)5 = u5

โดยกฎลูกโซ จะได dN dN ⋅ du
dt = du dt

= d (u5 ) ⋅ d (t +10)
=
du dt

(5u4 )(1)

= 5(t +10)4

จากที่ t แทนจํานวนชั่วโมง จะไดว า t > 0 น่นั คือ 5(t +10)4 > 0 จะไดวา อตั ราการ
เปล่ยี นแปลงของจาํ นวนแบคทีเรยี เปนบวก น่ันคือ แบคทีเรยี มจี ํานวนเพ่มิ ขน้ึ เม่อื เวลาผาน
ไปโดยอยูในรปู กําลงั ส่ีของเวลา

ดังนนั้ d=N 5(t +10)4 และแบคทเี รียมีจาํ นวนเพม่ิ ข้นึ เมอ่ื เวลาผานไปโดยอยใู นรูปกําลงั ส่ี

dt

ของเวลา

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 419

7. ให u = 1+ r
1200

เน่อื งจาก A(r) = 106 1 + r 216 =106 u216
1200 

โดยกฎลกู โซ จะได A′(r ) = dA ⋅ du
du dr

( )= d d 1 + r 
du 106 u216 ⋅ dr 1200 

( )= 1
106 (216)u215  1200 

= 180, 000 1 + r 215
1200 

ดังนนั้ A′(1.5) = 180, 000 1 + 1.5 215
1200 

A′(2.5) = 180, 000 1 + 2.5 215
1200 

A′(3) = 180, 000 1 + 3 215
1200 

ดังน้นั อัตราการเปล่ียนแปลงของจํานวนเงินในบัญชขี องวนดิ า เทียบกบั อตั ราดอกเบ้ยี 1.5%,

2.5% และ 3% ตอ ป คือ 180, 000 1 + 1.5 215 , 180, 000 1 + 2.5 215 และ
1200  1200 

180, 000 1 + 3 215 ตามลําดับ
1200 

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

420 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

แบบฝกหัด 2.6

1. 1) จาก =y x2 − 3x

จะได ( )dy = d x2 − 3x = 2x − 3
dx dx

ดงั นนั้ ความชนั ของเสน โคงที่จุด (3, 0) คือ dy = 3

dx x=3

เน่ืองจากเสนสัมผัสเสน โคง ท่จี ุด (3, 0) เปน เสน ตรงทผี่ านจดุ (3, 0) และมคี วามชัน 3
ดงั น้ัน สมการของเสนสัมผัสเสน โคง ทจ่ี ุด (3, 0) คือ y − 0= 3(x − 3)
นั่นคือ =y 3x − 9
2) จาก =y 5x2 − 6

จะได ( )=dy d 5x2 −=6 10x
dx dx

ดังนนั้ ความชันของเสนโคงท่ีจดุ (2, 14) คอื dy = 20

dx x=2

เนือ่ งจากเสนสัมผัสเสนโคงทจ่ี ุด (2, 14) เปน เสนตรงที่ผา นจดุ (2, 14) และมีความชัน 20
ดังนน้ั สมการของเสน สัมผสั เสนโคง ทจี่ ุด (2, 14) คอื y −14= 20(x − 2)
นั่นคือ=y 20x − 26
3) จาก y= x − x2

จะได ( )dy =d x − x2 =1− 2x
dx dx

เมอ่ื x=1 จะได y =1 −  1 2 =1
2 2  2  4

ดังนัน้ ความชันของเสนโคงท่ีจดุ  1 , 1  คอื dy = 0
 2 4  dx x=1

2

เนอ่ื งจากเสน สัมผัสเสน โคง ทจี่ ุดซ่ึง x = 1 เปน เสน ตรงท่ผี านจดุ  1, 1 และมคี วามชนั 0
 2 4 
2

ดงั นน้ั สมการของเสนสมั ผสั เสนโคงที่จุดซึง่ x=1 คอื y − 1= 0  x − 1 
2 4 2 

นน่ั คอื y = 1

4

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1 421

4) จาก y = x2 + 2

x

dy d  x2 + 2  d x + 2x−1
=  dx

dx dx  x 
( )จะได = = 1 − 2x−2

เม่ือ x =1 จะไ=ด y 1=2 + 2 3
1

ดังนัน้ ความชันของเสน โคง ที่จุด (1,3) คือ dy = −1

dx x=1

เนอื่ งจากเสน สัมผัสเสนโคง ท่ีจุดซ่งึ x =1 เปน เสนตรงท่ีผานจุด (1, 3) และมีความชัน −1
ดังนน้ั สมการของเสนสัมผสั เสน โคงทีจ่ ุดซึ่ง x =1 คอื y − 3 =−(x −1)
นน่ั คอื y =−x + 4

5) จา=ก y 3 3x2 − 4
ให u = 3x2 − 4

1

ดังนน้ั y = u3

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )= d  1  d
du  u 3  ⋅ dx 3x2 − 4

 1 u − 2  ( 6 x )
 3 3 
=

2x
=

( )3 3x2 − 4 2

ดงั นน้ั ความชนั ของเสน โคงท่ีจดุ (−2,2) คือ dy = −1

dx x=−2

เนอื่ งจากเสน สมั ผสั เสนโคงท่จี ุด (−2,2) เปนเสน ตรงทีผ่ า นจดุ (−2,2) และมีความชนั −1

ดงั นนั้ สมการของเสน สัมผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (−2,2) คือ y − 2 = (−1)(x − (−2))

นนั่ คือ y = −x

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

422 คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จาก y= 5
x2 − x −1 2
( )6)

ให u = x2 − x −1

ดงั นน้ั y = 5
u2

โดยกฎลกู โซ จะได dy = dy ⋅ du
dx du dx

( )= d  5  d
du  u2  ⋅ dx x2 − x −1

=  − 10  ( 2 x − 1)
 u3 

10(2x −1)

−
x2 − x −1 3
( )=

ดังนน้ั ความชันของเสนโคงที่จุด  3, 1 คือ dy = −2
 5  dx 5
x=3

เน่ืองจากเสน สมั ผัสเสน โคง ทจี่ ุด  3, 1 เปน เสนตรงท่ผี านจดุ  3, 1 และมีความชนั −2
 5   5  5

ดังนน้ั สมการของเสน สมั ผสั เสนโคงที่จุด  3, 1  คอื y − 1 = − 2  ( x − 3)
 5  5 5 

นั่นคอื y =− 2 x + 7

55

2. เนือ่ งจาก กราฟของ y = ax ขนานกับเสน สัมผสั เสน โคง =y 3x2 + 8 ท่ีจดุ (1, 11)

ดงั นน้ั เสนตรง y = ax มคี วามชันเทากับความชนั ของเสนสมั ผัสเสนโคง =y 3x2 + 8
ทจ่ี ดุ (1, 11)

จะได =dy d (3x2 +=8) 6x

dx dx

ดังนน้ั ความชันของเสน โคงท่ีจดุ (1, 11) คอื dy = 6

dx x=1

เน่ืองจาก ความชันของเสนตรง y = ax คือ a
ดังน้นั a = 6

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1 423

3. 1) จากเงอ่ื นไขของโจทย สามารถเขยี นกราฟของเสนตรง 1 และกราฟของฟง กชนั f
ไดม ากกวาหนงึ่ แบบ แตในทน่ี ี้จะนาํ เสนอเปนแนวทางตวั อยางเพียงแบบเดียวเทา นน้ั

2) จากเงอ่ื นไขของโจทย สามารถเขียนกราฟของเสนตรง 2 และกราฟของฟงกช นั g
ไดมากกวา หนึ่งแบบ แตในท่ีน้ีจะนาํ เสนอเปนแนวทางตวั อยางเพียงแบบเดียวเทาน้ัน

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

424 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

3) จากเงอื่ นไขของโจทย สามารถเขยี นกราฟของเสนตรง 3 และกราฟของฟงกชัน h
ไดม ากกวา หน่ึงแบบ แตใ นที่น้ีจะนําเสนอเปนแนวทางตวั อยา งเพียงแบบเดียวเทา นนั้

4. เน่อื งจาก f ′(2) คือ ความชันของเสน โคง y = f ( x) ทีจ่ ุด (2, f (2))
และเสน ตรง 3x − y =1 เปนเสน สมั ผสั เสน โคง y = f ( x) ท่จี ุด (2, f (2))
ดงั นน้ั f ′(2) คอื ความชนั ของเสนตรง 3x − y =1
นน่ั คือ f ′(2) = 3

5. เนอ่ื งจาก f ′(3) คอื ความชนั ของเสนโคง y = f ( x) ท่ีจดุ (3, f (3)) และ f (3) = −1
ดังน้นั ความชันของเสน โคง ที่จุด (3, −1) คอื 5
เนอ่ื งจากเสนสัมผสั เสนโคง ทจี่ ุด (3, −1) เปน เสนตรงที่ผานจุด (3, −1) และมคี วามชัน 5
ดงั นน้ั สมการของเสนสมั ผัสเสนโคง ทีจ่ ดุ (3, −1) คอื y − (−1=) 5(x − 3)
นน่ั คอื =y 5x −16

6. เนอ่ื งจาก y =−x + x2

จะได ( )dy =d −x + x2 =−1+ 2x
dx dx

ดังน้นั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคงที่จุด (a, b) คอื dy =−1+ 2a

dx x=a

เนอ่ื งจาก ความชันของเสน สัมผัสเสน โคงที่จุด (a, b) คือ 3
ดังน้ัน −1+ 2a =3
นัน่ คอื a = 2

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 425

เน่อื งจาก เสน โคง y =−x + x2 ผานจุด (a, b)
ดงั นน้ั b =−a + a2 =−2 + 22 =2
จะได a = 2 และ b = 2
7. เน่อื งจาก =y 3x2 − 5

จะได dy = ( )d 3x2 − 5 = 6x − 0 = 6x
dx dx

ดงั นั้น ความชนั ของเสนสัมผัสเสน โคงทจ่ี ดุ (1, − 2) คอื dy= 6=(1) 6

dx x=1

เนื่องจาก เสนตรง =y mx + c ขนานกบั เสนสมั ผสั เสน โคงทจี่ ุด (1, − 2)
ดงั นัน้ เสน ตรง =y mx + c มคี วามชัน 6 และ c เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ
นน่ั คอื m = 6 และ c เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ
8. เนื่องจาก y = x3

จะได= dy ( )d=x3 3x2
dx dx

ดงั น้นั ความชนั ของเสนสัมผัสเสนโคง ที่จุด (1, 1) คือ dy= 3=(12 ) 3
dx x=1

จะไดวา เสนตรงทีต่ องการมีความชนั 3 และผา นจดุ (2, 3)
ดงั นนั้ สมการเสนตรงทต่ี องการ คือ y − 3= 3(x − 2) น่ันคอื =y 3x − 3
9. ให (a, b) เปน จุดบนเสนโคง =y x3 − 3x ซง่ึ เสนสัมผสั เสน โคง ทีจ่ ดุ น้ีขนานกบั แกน X
เนื่องจาก =y x3 − 3x

จะได ( )dy = d x3 − 3x = 3x2 − 3
dx dx

ดงั นั้น ความชนั ของเสน สัมผัสเสน โคง ท่ีจุด (a, b) คอื dy = 3a2 − 3

dx x=a

เนอื่ งจาก เสน สมั ผัสเสน โคงที่จุด (a, b) ขนานกบั แกน X
ดงั นน้ั เสนสมั ผัสเสน โคงท่จี ดุ (a, b) มีความชันเปน 0
นั่นคือ 3a2 − 3 =0
จะได a = −1 หรอื a =1
เนื่องจาก (a, b) เปนจุดบนเสน โคง =y x3 − 3x

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

426 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ดังนน้ั =b a3 − 3a

ดงั นัน้ เมือ่ a = −1 จะได b =(−1)3 − 3(−1) =2
และ เมื่อ a =1 จะได b =13 − 3(1) =−2
ดงั นั้น จุดบนเสน โคง =y x3 − 3x ซง่ึ เสนสัมผัสเสน โคงทีจ่ ดุ นขี้ นานกบั แกน X คือ
(−1, 2) และ (1, − 2)

10. ให (a, b) เปนจดุ บนเสนโคง y = x4 ซง่ึ เสนสัมผัสเสนโคง ที่จดุ น้มี คี วามชัน 1

2

เน่ืองจาก y = x4

จะได= dy ( )d=x4 4x3
dx dx

ดงั นน้ั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสนโคงท่จี ดุ (a, b) คอื dy = 4a3

dx x=a

เนอ่ื งจาก เสน สมั ผัสเสน โคง ท่ีจดุ (a, b) มีความชนั 1

2

ดงั นั้น 4a3 = 1

2

นนั่ คือ a = 1

2

เน่ืองจาก (a, b) เปน จุดบนเสน โคง y = x4

ดงั นนั้ =b a=4  1 =4 1
 2 16

จะไดวา เสนตรงที่มคี วามชัน 1 และสัมผัสเสนโคง y = x4 จะผา นจุด ( a, b ) =  1 , 1 
2  2 16 

เนือ่ งจากเสนตรงทตี่ องการ เปน เสน ตรงทผ่ี า นจดุ  1 , 1  และมีความชัน 1
 2 16  2

ดังน้นั เสนตรงทม่ี คี วามชัน 1 และสัมผัสเสนโคง y = x4 คอื y− 1 = 1  x − 1 
16 2  2 
2

นนั่ คือ =y 1 x − 3

2 16

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 427

11. เนอ่ื งจาก y = ax2

จะ=ได dy d=(ax2 ) 2ax
dx dx

ดงั น้นั ความชนั ของเสนสมั ผัสเสน โคงท่จี ดุ ซ่ึง x = 2 คือ d=y 2=a(2) 4a

dx x=2

เน่อื งจาก สมการของเสน สัมผัสเสน โคงท่ี x = 2 คือ 4x + y =b
ดังนน้ั เสน สัมผสั เสน โคงท่ี x = 2 จะมีความความชัน −4
นั่นคือ −4 =4a
จะได a = −1
เน่อื งจาก เสนตรง 4x + y =b สมั ผสั เสน โคง y = −x2 ที่ x = 2

และจดุ (2, − 22 ) =(2, − 4) เปนจุดบนเสนโคง y = −x2

ดังน้นั เสน ตรง 4x + y =b ผานจุด (2, − 4)
นัน่ คอื =b 4(2) + (−=4) 4
ดังนั้น a = −1 และ b = 4

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

428 คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

แบบฝก หัด 2.7

1. 1) จาก f ( x) = 5x2 – 4x + 2

จะได d 5x2 – 4x + 2
dx
( )f ′( x) =

= 10x – 4

ดงั นั้น f ′′( x) = d (10x – 4)

dx

2) จาก = 10

f ( x) = 5 + 2x + 4x3 – 3x5

จะได d 5 + 2x + 4x3 – 3x5
dx
( )f ′( x) =

= 2 +12x2 – 15x4

ดังนนั้ d 2 +12x2 – 15x4
dx
( )f ′′( x) =

= 24x – 60x3

3) จาก 1

f ( x) = 3x4 − 2x + x − 5 = 3x4 − 2x + x2 − 5

จะได f ′(x) = d  − 2x + 1 
ดังน้ัน dx  3x4 − 5
x2

= 12 x3 − 2 + 1 −1

2 x2

f ′′( x) = d  − 2 + 1 −1 
dx 12x3 2 
x2

= 36x2 − 1 −3

4 x2

= 36x2 − 1

3

4x2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 429

4) จาก f (x) = 3 x − 2 + 4x2 = 1
จะได f ′(x) = x
x3 − 2x−1 + 4x2
ดังน้นั =
d  1 − 2 x −1 + 4x2 
5) จาก f ′′( x) = dx  
จะได x3
ดงั นั้น =
= 1 −2 + 2 x −2 + 8x
6) จาก
จะได f (x) = 3 x3
ดังนน้ั
d  1 −2 + 2 x −2 
dx  3 + 8x 
x3

− 2 −5 − 4 x −3 + 8

9 x3

− 2 − 4 +8
x3
5

9x3

( )( )5x2 – 3 7x3 + x = 35x5 −16x3 − 3x

d 35x5 −16x3 − 3x
dx
( )f ′( x) =

= 175x4 − 48x2 − 3

d 175x4 − 48x2 − 3
dx
( )f ′′( x) =

= 700x3 − 96x

f (x) = x +1 = 1+ x−1

x

d 1+ x−1
dx
( )f ′( x) =

= −x−2

d −x−2
dx
( )f ′′( x) =

= 2x−3

2
= x3

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

430 คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

7) จาก f (x) = 3x − 2 = 3 − 2 x−1

5x 5 5

จะได f ′(x) = d  3 − 2 x−1 
dx  5 5 

= 2 x−2
5

ดงั นนั้ f ′′( x) = d  2 x−2 
dx  5 

= − 4 x−3
5
=
− 4
f (x) = 5x3

2. 1) จาก x–5 + x5

จะได d x–5 + x5
dx
( )f ′( x) =

= −5x–6 + 5x4

d −5x–6 + 5x4
dx
( )f ′′( x) =

= 30x–7 + 20x3

ดงั นนั้ f ′′′( x) = ( )d 30x–7 + 20x3

dx

= −210x–8 + 60x2

= − 210 + 60 x 2
x8

2) จาก f (x) = 5x2 – 4x + 7

จะได d 5x2 – 4x + 7
dx
( )f ′( x) =

= 10x – 4

f ′′( x) = d (10x – 4)

dx

= 10

ดงั น้ัน f ′′′( x) = d (10)

dx

=0

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูม อื ครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 431

3) จาก f ( x) = 3x–2 + 4x–1 + x

d 3x–2 + 4x–1 + x
dx
( )จะได
f ′(x) =

= −6x–3 − 4x–2 +1

d −6x–3 − 4x–2 +1
dx
( )f ′′( x) =

= 18x– 4 + 8x–3

ดังน้ัน f ′′′( x) = ( )d 18x–4 + 8x–3

dx

= −72x–5 − 24x–4

= − 72 − 24
x5 x4

4) จาก f (x) = x
x +1

จะได f ′(x) = d x 
dx  x +1 

( x +1) d ( x) − x d ( x +1)
dx dx
=
( x +1)2

( x +1)(1) − x(1)
= ( x +1)2

= ( x +1)−2

d ( x +1)−2

dx
( )f ′′( x) =

= −2( x +1)−3 d ( x +1)

dx

= −2( x +1)−3

d −2( x +1)−3

dx
( )ดงั นั้น
f ′′′( x) =

= 6( x +1)−4 d ( x +1)

dx

= 6( x +1)−4

6

= ( x +1)4

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

432 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

3. จาก f ( x) = 3x2 – 2

จะได d 3x2 – 2
dx
( )f ′(x) =

= 6x

f ′′( x) = d (6x)

dx

=6

และ f ′′′( x) = d (6)

dx

=0

ดงั นน้ั f ′′′(2) = 0

4. จาก y = 6 6x−4
จะได dy x4 =
dx
ดงั นัน้ d 6x−4
5. จาก d2y dx
dx2 ( )=
จะได
d3y = −24x−5
dx3
d −24x−5
d4y dx
dx4 ( )=

f (x) = 120x−6
f ′(x)
d 120x−6
dx
( )=

= −720x−7

d −720x−7
dx
( )=

= 5,040x−8

= 1 = (1 − x)−1

1− x

= d (1 − )x −1

dx

= −1(1− x)−2 d (1− x)

dx

= −1(1− x)−2 (−1)

= (1 − x)−2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1 433

f ′′( x) = d (1− )x −2

dx

= −2(1− x)−3 d (1− x)

dx

= −2(1− x)−3 (−1)

= (1)(2)(1− x)−3

( )f ′′′( x) = d 2(1− x)−3
dx

= 2 d (1 − x)−3

dx

= 2  −3(1 − )x −4 d (1 − x) 
dx 

( )= 2 −3(1− x)−4 (−1)

= (1)(2)(3)(1− x)−4



ดงั นนั้ f (n) ( x) = (1)(2)(3)(n)(1− x)−(n+1)

n!

= (1 − x)n+1

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

434 คมู อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

แบบฝก หดั 2.8.1
1. จาก s(t )= 2t3 − t + 5

จะไดวา v(t) = s′(t) = 6t2 −1
และ a=(t ) v=′(t ) 12t
ดงั นน้ั ระยะหา งของวัตถจุ ากตําแหนง เรมิ่ ตน ขณะเวลา 1 วนิ าที

( ) ( )คือ s(1) − s(0) = 2(1)3 − (1) + 5 − 2(0)3 − (0) + 5 = 1 =1 เมตร

ความเรว็ ของวัตถุขณะเวลา 1 วินาที คือ v(=1) 6(1)2 =−1 5 เมตรตอวินาที
และ ความเรง ของวัตถขุ ณะเวลา 1 วนิ าที คือ a(1) =12 เมตรตอ วนิ าที2
2. จาก s (t ) = t3 – 3t2 + t + 5
จะไดว า v(t ) = s′(t ) = 3t2 − 6t +1
และ a(t=) v′(t=) 6t − 6
ดังนนั้ ระยะหา งของวัตถุจากตาํ แหนงเริ่มตน ขณะ t = 1

( ) ( )คอื ( ) ( )s(1) − s(0) = 13 − 3 12 +1+ 5 − 03 − 3 02 + 0 + 5 = −1 =1 เมตร

ความเร็วของวัตถุขณะ t =1 คอื ( )v(1) =3 12 − 6(1) +1 =−2 เมตรตอวินาที

และความเรงของวตั ถุขณะ t =1 คือ a(1=) 6(1) − 6= 0 เมตรตอ วนิ าท2ี
3. จาก s(t ) =−5t2 + 50

จะไดว า v(t) = s′(t) = −10t
และ a(t ) = v′(t ) = −10
1) ระยะหา งของวตั ถจุ ากตาํ แหนงเรมิ่ ตน หลังจากปลอยวตั ถุไปแลว 3 วนิ าที

( ) ( )คือ s(3) − s(0) =−5(3)2 + 50 − −5(0)2 + 50 =45 =45 เมตร

2) ความเรว็ ของวัตถขุ ณะเวลา 2 วินาที คือ v(2) =−10(2) =−20 เมตรตอวินาที
3) ความเรงของวตั ถุขณะเวลา 5 วินาที คอื a(5) = −10 เมตรตอวนิ าที2

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1 435

4. จาก s (=t ) 10t − 5t2
จะไดว า v(t=) s′(t=) 10 −10t
และ a(t ) = v′(t ) = −10
1) ความเรว็ ของกอนหินขณะเวลา t ใด ๆ คือ 10 −10t เมตรตอวนิ าที
2) ความเรง ของกอนหนิ ขณะเวลา t ใด ๆ คอื −10 เมตรตอวินาท2ี
3) วิธีท่ี 1 เน่อื งจาก s(=t) 10t − 5t2
จะได s(t) =−5(t −1)2 + 5
น่นั คือ กราฟของ s เปนพาราโบลาควาํ่ ท่ีมจี ดุ ยอดอยูที่ (1, 5)
ดังนั้น เมื่อเวลาผา นไป 1 วินาที กอ นหนิ จงึ จะอยูในตาํ แหนงสูงทสี่ ุดจาก
ตําแหนงเรม่ิ ตน
วธิ ที ่ี 2 จาก s(=t) 10t − 5t2
จะได v(t=) s′(t=) 10 −10t
เนอ่ื งจาก เม่ือกอนหนิ อยใู นตําแหนงที่สูงทีส่ ุดจากตาํ แหนงเรม่ิ ตน กอ นหนิ จะ
มคี วามเรว็ เปน 0 เมตรตอ วินาที
นน่ั คอื v(t) = 0
จะได 10 −10t = 0

t =1

ดังน้นั เมอ่ื เวลาผานไป 1 วนิ าที กอนหินจึงจะอยูในตําแหนงสูงท่สี ดุ จาก
ตําแหนง เริ่มตน

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

436 คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

แบบฝก หดั 2.8.2
1. 1) เนื่องจาก f ′( x) =−2 − 2x =−2( x +1)

ดังน้ัน f ′( x) = 0 เมื่อ x = −1
พิจารณาคาของ f ′(x) โดยเขียนเสน จํานวนและจุดแบง ชวง ดงั น้ี

จะไดว า f ′( x) > 0 บนชว ง (−∞,−1)
และ f ′( x) < 0 บนชวง (−1,∞)
ดงั นั้น f เปนฟง กชันเพิ่มบนชวง (−∞,−1) และ f เปนฟงกช นั ลดบนชวง (−1,∞)
2) เน่ืองจาก f ′( x=) 4x −1
ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 1

4

พจิ ารณาคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสน จํานวนและจดุ แบง ชวง ดังน้ี

จะไดวา f ′(x) < 0 บนชวง  −∞, 1 
 4 

และ f ′(x) > 0 บนชว ง  1 , ∞ 
 4 

ดังนั้น f เปน ฟง กช นั ลดบนชว ง  −∞, 1  และ f เปน ฟง กช ันเพิ่มบนชวง  1, ∞ 
 4   4 

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

คูมอื ครรู ายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 437

3) เนือ่ งจาก f ′( x)= 3x2 − 2x − 8= (3x + 4)( x − 2)
ดงั นน้ั f ′( x) = 0 เม่ือ x = − 4 หรือ x = 2

3

พจิ ารณาคาของ f ′(x) โดยเขยี นเสน จํานวนและจุดแบงชว ง ดงั น้ี

จะไดว า f ′(x) > 0 บนชว ง  −∞, − 4  และชว ง (2, ∞)
 3 

และ f ′(x) < 0 บนชว ง  − 4, 2 
 3 

ดังนั้น f เปน ฟงกชนั เพิม่ บนชวง  −∞, − 4  และชวง (2, ∞)
 3 

และ f เปน ฟงกช นั ลดบนชวง  − 4, 2 
 3 

4) เนอื่ งจาก f ′( x) = 6x2 + 6x − 36 = 6( x + 3)( x − 2)

ดงั น้นั f ′( x) = 0 เมื่อ x = −3 หรือ x = 2

พจิ ารณาคาของ f ′(x) โดยเขยี นเสน จํานวนและจุดแบง ชว ง ดังนี้

จะไดวา f ′( x) > 0 บนชว ง (−∞, − 3) และชวง (2, ∞)
และ f ′( x) < 0 บนชว ง (−3, 2)
ดงั นน้ั f เปน ฟงกชนั เพม่ิ บนชวง (−∞, − 3) และชว ง (2, ∞)
และ f เปนฟงกชนั ลดบนชว ง (−3, 2)

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

438 คูมือครูรายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

5) เน่อื งจาก f ′( x)= 3x2 − 4x − 4= (3x + 2)( x − 2)
พจิ ารณาคา ของ f ′(x) โดยเขียนเสนจํานวนและจุดแบงชวง ดังน้ี

จะไดว า f ′(x) > 0 บนชวง  −∞, − 2  และชวง (2, ∞)
 3 

และ f ′(x) < 0 บนชวง  − 2, 2 
 3 

ดังนั้น f เปนฟง กช นั เพ่ิมบนชวง  −∞, − 2  และชวง (2, ∞)
 3 

และ f เปน ฟง กชันลดบนชว ง  − 2, 2 
 3 

2. 1) จาก f ( x) = x2 − 8x + 7

จะได f ′( x) = 2x − 8 = 2( x − 4)

ดังนั้น f ′( x) = 0 เมอ่ื x = 4

จะไดวา คาวกิ ฤตของฟง กช นั f คือ 4

ตอ ไปหาอนุพันธอ นั ดบั ที่ 2 ของฟงกชัน f จะได f ′′(x) = 2

เนือ่ งจาก f ′′(4) = 2 ซงึ่ 2 > 0

ดงั นน้ั f มีคาตาํ่ สุดสมั พัทธท ี่ x = 4 และคา ตา่ํ สุดสัมพัทธค อื f (4) = −9

2) จาก f ( x) = x3 − 3x + 6

จะได f ′( x)= 3x2 − 3= 3( x2 −1)= 3( x −1)( x +1)

ดังน้นั f ′( x) = 0 เมอื่ x = −1 หรอื x =1

จะไดวาคาวกิ ฤตของฟง กช ัน f มี 2 คา คอื −1 และ 1

ตอไปหาอนุพนั ธอ ันดับที่ 2 ของฟงกช นั f จะได f ′′(x) = 6x

เนอื่ งจาก f ′′(−1) = −6 ซึ่ง −6 < 0

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี