คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน 89
คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

12. ทฤษฎบี ท 5
ถา f และ g เปน ฟงกช นั ตอเนื่อง ที่ x = a แลว

1) f + g เปนฟงกช นั ตอเนอ่ื งท่ี x = a

2) f − g เปน ฟงกชันตอเน่อื งที่ x = a
3) f ⋅ g เปน ฟง กชนั ตอ เนือ่ งที่ x = a

4) f เปน ฟงกชันตอ เน่อื งที่ x = a เม่ือ g (a) ≠ 0
g

13. ทฤษฎบี ท 6

สําหรบั จาํ นวนจริง a ใด ๆ ฟงกชนั พหนุ าม p เปน ฟงกช นั ตอเนื่องที่ x = a

14. ทฤษฎีบท 7

ถา f เปนฟงกชันท่ี f ( x) = p(x) เมื่อ p และ q เปนฟงกชันพหุนาม แลว f เปน
q(x)

ฟง กช ันตอ เนื่องท่ี x = a เม่อื a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ ซ่งึ q(a) ≠ 0

15. ความตอ เนอ่ื งของฟง กช ันบนชว งที่กาํ หนด

1) ฟงกช ัน f เปนฟง กชนั ตอเน่ืองบนชว ง (a, b) ก็ตอเมื่อ f เปนฟง กช ันตอเน่ืองที่

ทุกจดุ ในชวง (a, b)

2) ฟง กช นั f เปนฟงกชนั ตอเนื่องบนชวง [a, b] ก็ตอ เมอ่ื

(1) f เปนฟงกชันตอ เนือ่ งที่ทกุ จดุ ในชว ง (a, b) และ

(2) lim f ( x) = f (a) และ lim f ( x) = f (b)
x→a+ x→b−

3) ฟง กช ัน f เปน ฟง กช นั ตอ เนอ่ื งบนชวง (a, b] กต็ อเมอ่ื

(1) f เปน ฟง กชนั ตอเน่ืองท่ีทุกจดุ ในชวง (a, b) และ

(2) lim f ( x) = f (b)
x→b−

4) ฟง กช ัน f เปน ฟงกช นั ตอเนื่องบนชว ง [a, b) ก็ตอ เม่ือ
(1) f เปนฟง กช ันตอ เนือ่ งท่ที กุ จุดในชวง (a, b) และ

(2) lim f ( x) = f (a)
x→a+

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน

90 คูมือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

16. บทนยิ าม 2
ให f เปนฟง กช นั และ a อยูในโดเมนของ f
อัตราการเปลี่ยนแปลงเฉลี่ยของ f เทียบกับ x เมื่อคาของ x เปลี่ยนจาก a เปน
a + h คือ

f (a + h)− f (a)

h

อตั ราการเปล่ียนแปลงของ f เทยี บกบั x ขณะที่ x = a คอื

f (a + h)− f (a)

lim
h→0 h

17. สําหรับฟงกชัน f ถาอัตราการเปล่ียนแปลงของ f เทียบกับ x เปนจํานวนจริงบวก
แสดงวา เมื่อ x เพ่ิมข้ึน คาของ f ( x) จะเพ่ิมข้ึน แตถาอัตราการเปลี่ยนแปลงของ f
เทยี บกับ x เปน จาํ นวนจรงิ ลบ แสดงวาเมอื่ x เพิ่มข้ึน คา ของ f ( x) จะลดลง

18. บทนยิ าม 3
ให f เปน ฟง กช นั อนพุ ันธข องฟง กช นั f ท่ี x เขียนแทนดว ย f ′( x) คือ

f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x)

h→0 h

19. ถา f ′( x) มีคา จะกลา ววาฟง กชัน f มีอนพุ ันธที่ x หรือฟง กชัน f หาอนุพนั ธไดท่ี x
ถา f ′( x) ไมมีคา จะกลาววาฟงกชัน f ไมมีอนุพันธที่ x หรือฟงกชัน f หาอนุพันธ
ไมไดท ี่ x

20. กําหนดให f เปนฟงกชันท่ีนิยามโดยสมการ y = f (x) เขียนแทน อนุพันธของฟงกชัน
f ที่ x ดว ยสัญลกั ษณ dy (อา นวา ดวี ายบายดเี อกซ) หรอื d f (x) หรือ y′

dx dx

21. จาก f ′( x) = lim f ( x + h) − f ( x) เปน อนพุ นั ธข องฟงกชัน f ท่ี x ใด ๆ

h→0 h

ดงั น้ัน สาํ หรบั a ใด ๆ ที่อยูในโดเมนของ f อนุพนั ธของฟงกช ัน f ท่ี x = a คือ

f ′(a) = lim f (a + h) − f (a)

h→0 h

อาจใชสญั ลักษณ d f (x) หรอื dy แทน f ′(a)

dx x=a dx x = a

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน 91
คูมอื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

22. สูตรการหาอนพุ ันธข องฟงกช นั
สูตรท่ี 1 ถา f (x) = c เมอื่ c เปนคาคงตวั แลว f ′(x) = 0

สตู รท่ี 2 ถา f ( x) = x แลว f ′( x) =1

สตู รท่ี 3 ถา f ( x) = xa เมอื่ a เปนจาํ นวนจรงิ แลว f ′( x) = a xa−1

สูตรท่ี 4 ถา ฟง กช ัน f และ g หาอนพุ นั ธไ ดที่ x แลว ( f + g)′ ( x) =f ′( x) + g′( x)

สตู รท่ี 5 ถาฟง กชนั f และ g หาอนพุ นั ธไ ดท ่ี x แลว ( f − g)′ (x) =f ′(x) − g′( x)
สูตรที่ 6 ถา c เปนคาคงตวั และฟงกช ัน f หาอนุพันธไดท่ี x แลว

(cf )′ ( x) = c( f ′( x))
สตู รที่ 7 ถาฟงกชนั f และ g หาอนุพันธไ ดท ่ี x แลว

=( fg )′ ( x) f ( x) g′( x) + g ( x) f ′( x)

สูตรท่ี 8 ถา ฟง กชนั f และ g หาอนพุ ันธไ ดท่ี x และ g (x) ≠ 0 แลว

 f ′ ( x ) = g ( x) f ′(x)− f (x)g′(x)
 g 
  (g (x))2

สูตรท่ี 9 กฎลูกโซ

ถา f หาอนพุ นั ธไดท ่ี x และ g หาอนพุ นั ธไ ดท ่ี f (x) แลว

( g = f )′ ( x) g′( f ( x))⋅ f ′( x)

23. บทนยิ าม 4
กาํ หนดเสน โคงซึ่งเปนกราฟของฟงกชัน y = f (x) และ P(a, f (a)) เปนจดุ บนเสน โคง

เสนสัมผัสเสนโคงที่จุด P(a, f (a)) คือ เสนตรงท่ีผานจุด P และมีความชันเทากับ
f ′(a) จะเรยี กความชนั ของเสน สัมผัสเสนโคง ทีจ่ ดุ P วา ความชันของเสนโคง ท่ีจดุ P
24. บทนิยาม 5
ให f เปน ฟง กช ันที่สามารถหาอนุพนั ธได และอนุพันธข องฟงกชัน f ที่ x เปน ฟงกช นั

ทีส่ ามารถหาอนพุ ันธไ ด จะเรยี กอนพุ นั ธข องฟง กชนั f ′ ท่ี x วา อนพุ นั ธอ นั ดับที่ 2 ของ
ฟง กชัน f ท่ี x และเขยี นแทนดวย f ′′(x)

25. อาจใชส ญั ลักษณ d2y d2 f (x) หรือ y′′ แทนอนุพันธอ ันดับท่ี 2 ของฟง กช นั f ที่ x
dx2 , dx2

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน
92 คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

26. อนพุ นั ธอ นั ดบั อืน่ และสัญลักษณทใ่ี ชเ ขียนแทน มดี ังนี้
อนุพนั ธอ นั ดบั ที่ 3 ของ f เปน อนพุ ันธของอนพุ ันธอ ันดบั ที่ 2 ของ f เขียนแทนดว ย

f ′′′( x) หรอื d3y หรือ y′′′
dx3

อนุพนั ธอ ันดับท่ี 4 ของ f เปนอนพุ นั ธของอนุพันธอันดับที่ 3 ของ f เขยี นแทนดว ย

f (4) ( x) หรือ d4y หรอื y(4)
dx4



อนพุ นั ธอ นั ดบั ท่ี n ของ f เปนอนุพันธข องอนุพนั ธอ ันดบั ที่ n −1 ของ f เขยี น

แทนดวย f (n) ( x) หรือ dny หรือ y(n)
dxn

27. เน่ืองจากอัตราการเปลี่ยนแปลงของ y = f (x) เทียบกับ x ขณะ x ใด ๆ คืออนุพันธของ

ฟงกชัน f ที่ x ดังน้ัน อนุพันธอันดับท่ี 2 ของ f ที่ x คือ อัตราการเปล่ียนแปลงของ

y = f ′(x) เทยี บกับ x ขณะ x ใด ๆ

28. ในการเคล่ือนที่ของวัตถุในแนวตรง มีปริมาณ 3 ชนิดท่ีเกี่ยวของกับเวลา ไดแก ตําแหนง

ของวตั ถุ ความเร็วของวตั ถุ และความเรง ของวัตถุ

• การเคล่ือนท่ีของวัตถุสามารถอธิบายไดดวยฟงกชัน y = s(t) โดยท่ี s(t) คือ

ตําแหนงของวัตถุ ณ ขณะเวลา t ใด ๆ

• ความเร็วของวัตถขุ ณะเวลา t ใด ๆ คอื อตั ราการเปล่ยี นแปลงของ s เทียบกับ t

ณ ขณะเวลา t นั่นคือ ความเร็ว v เปนอนุพันธของ s เทียบกับ t ดังน้ัน v

เปนฟงกช นั ของเวลา t กําหนดโดย

v=(t ) s=′(t ) s(t + h) − s(t)

lim
h→0 h

จะเหน็ วา v เปน ฟง กชันของเวลา t

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 93
คูม อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• ความเรงของวัตถุขณะเวลา t ใด ๆ คืออัตราการเปล่ียนแปลงของความเร็ว v
เทียบกับ t ณ ขณะเวลา t นั่นคือ ความเรง a เปนอนุพันธของ v เทียบกับ t

นั่นคอื a=(t ) v=′(t ) s′′(t)

ดงั นั้น ความเรง คืออนุพันธอ นั ดบั ท่ี 1 ของฟงกช ันความเร็ว v และเปน อนพุ นั ธอันดับ
ที่ 2 ของฟงกชนั ตาํ แหนง s

29. กาํ หนดให f เปน ฟง กช ันซึ่งมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง และ A

เปนสบั เซตของโดเมน
f เปน ฟงกชันเพิ่ม บนเซต A ก็ตอเม่ือ สําหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2
แลว f ( x1 ) < f ( x2 )
f เปน ฟงกชันลด บนเซต A ก็ตอเมื่อ สําหรับ x1 และ x2 ใด ๆ ใน A ถา x1 < x2
แลว f ( x1 ) > f ( x2 )
30. ทฤษฎีบท 8
ให f เปน ฟง กช ันทห่ี าอนุพันธไ ดบนชว ง A ซึง่ เปน สบั เซตของโดเมนของฟงกช นั f
ถา f ′(x) > 0 สําหรับทุก x ในชว ง A แลว f เปนฟงกช ันเพิ่มบนชวง A

ถา f ′(x) < 0 สาํ หรับทกุ x ในชวง A แลว f เปนฟง กชันลดบนชวง A
31. บทนิยาม 6

ฟงกชัน f มีคาสูงสุดสัมพัทธท่ี x = c ถามีชวง (a, b) ซ่ึง c∈(a, b) และ

f (c) ≥ f (x) สําหรับทุก x ในโดเมนของฟงกชัน f ที่อยูในชวง (a, b) เรียก f (c)

วา คาสูงสุดสัมพัทธ ของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) วา จุดสูงสุดสัมพัทธ ของ
ฟงกชัน f

ฟงกชัน f มีคาต่ําสุดสัมพัทธท่ี x = c ถามีชวง (a, b) ซึ่ง c∈(a, b) และ

f (c) ≤ f (x) สําหรับทุก x ในโดเมนของฟงกชัน f ท่ีอยูในชวง (a, b) เรียก f (c)

วา คาตํ่าสุดสัมพัทธ ของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) วา จุดต่ําสุดสัมพัทธ ของ
ฟงกช นั f

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน

94 คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

32. ทฤษฎบี ท 9
ให f เปนฟงกชันท่ีนิยามบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) ถาฟงกชัน f มีคาสูงสุด
สัมพัทธหรอื คาต่าํ สดุ สมั พัทธท่ี x = c และ f ′(c) มคี า แลว f ′(c) = 0

33. บทนิยาม 7
ให f เปน ฟง กชันท่ีนิยามบนชวง (a, b) เรียกจาํ นวนจริง c∈(a, b) ซึง่ ทาํ ให f ′(c) = 0
หรือ f ′(c) ไมมีคา วา คาวิกฤต ของฟงกชัน f และเรียกจุด (c, f (c)) วา จุดวิกฤต
ของฟงกชนั f

34. ทฤษฎีบท 10
ให f เปนฟงกชันท่ีหาอนุพันธไดบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) เปนคาวิกฤตของ f
ถา f ′(x) เปล่ียนจากจํานวนจริงบวกเปนจํานวนจริงลบ เม่ือ x เพ่ิมขึ้นรอบ ๆ c
แลว f (c) เปน คา สงู สุดสมั พัทธข อง f
ถา f ′(x) เปลี่ยนจากจํานวนจริงลบเปนจํานวนจริงบวก เมื่อ x เพ่ิมข้ึนรอบ ๆ c
แลว f (c) เปน คาตา่ํ สุดสัมพทั ธของ f

35. ทฤษฎีบท 11
กําหนดให f เปนฟงกชันท่ีตอเน่ืองบนชวง (a, b) และ c∈(a, b) เปนคาวิกฤตของ
f ซึ่ง f ′(c) = 0 และ f ′′(c) มีคา
1) ถา f ′′(c) > 0 แลว f (c) เปน คา ต่าํ สุดสมั พทั ธของ f
2) ถา f ′′(c) < 0 แลว f (c) เปนคา สูงสดุ สัมพทั ธข อง f

36. บทนยิ าม 8
ฟง กช ัน f มีคาสงู สุดสัมบรู ณ ท่ี x = c เม่ือ f (c) ≥ f ( x) สําหรบั ทุก x∈ Df
ฟง กชนั f มีคา ตา่ํ สุดสมั บูรณ ท่ี x = c เมือ่ f (c) ≤ f ( x) สาํ หรับทกุ x∈ Df

37. ทฤษฎบี ท 12
ถา f เปนฟงกชันตอเน่ืองบนชวงปด [a, b] แลว f จะมีท้ังคาสูงสุดสัมบูรณและ
คา ตาํ่ สดุ สมั บูรณบ นชวงปด [a, b]

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้อื งตน 95
คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

38. ถา ฟง กช ัน f เปน ฟง กชันตอเนื่องบนชว งปด [a, b] และหาอนุพันธไดบนชวงเปด (a, b)

แลว สามารถหาคาสูงสุดสัมบูรณและคาต่ําสุดสัมบูรณของฟงกชัน f บนชวงปด [a, b]

ไดดงั นี้

1) หาคา วกิ ฤตทงั้ หมดในชว งเปด (a, b)

2) หาคา ของฟง กช ัน ณ คา วิกฤตท่ีไดจ ากขอ 1)

3) หาคาของฟงกชนั ทจี่ ดุ ปลายของชว งปด [a, b] นนั่ คือ หา f (a) และ f (b)

4) เปรยี บเทียบคาทไี่ ดทงั้ หมดจากขอ 2) และ 3) ซ่งึ จะทําใหไดขอสรุปวา

• คามากทสี่ ดุ เปนคา สูงสดุ สมั บูรณของฟงกชัน f

• คานอ ยท่สี ุดเปน คาตาํ่ สดุ สมั บูรณข องฟง กช ัน f

39. หลกั การทัว่ ไปในการแกโ จทยปญหาเก่ียวกับคา สูงสดุ หรอื คาต่าํ สดุ

1) ทําความเขาใจปญหาอยางละเอียด วามีปริมาณใดบางท่ีเก่ียวของกัน และเขียน

สมการแสดงความสัมพันธระหวางตัวแปรท่ีแทนปริมาณท่ีเก่ียวของใหอยูในรูปของ

ฟงกช นั บนชว งทส่ี อดคลองกบั เง่ือนไขของโจทยป ญหา

2) หาคาสูงสดุ หรือคาต่ําสุดของฟง กชันนนั้

40. บทนยิ าม 9

ให f เปนฟงกชัน ถา F เปนฟงกชันซึ่ง F′(x) = f (x) สําหรับทุก x ที่อยูในโดเมน

ของ f แลว จะเรยี กฟง กชัน F วา เปน ปฏยิ านุพนั ธ หน่งึ ของฟง กช นั f

41. F (x) + c เปนรูปทั่วไปของปฏิยานุพันธของฟงกชัน f ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ

∫ f (x)dx เรียกวา ปริพันธไมจํากัดเขต ของฟงกชัน f เทียบกับตัวแปร x เรียกส้ัน ๆ

วา ปริพันธของฟงกช นั f เทียบกบั ตัวแปร x

ดังน้ัน ถา F′(x) = f (x)

แลว ∫ f (x)dx = F (x) + c เมอ่ื c เปน คา คงตวั

กลาวคอื ปริพันธไมจ ํากัดเขตของ f กค็ ือ รปู ทว่ั ไปของปฏิยานพุ ันธของ f นน่ั เอง

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอื้ งตน
96 คูมอื ครูรายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

เรียกการหา ∫ f (x)dx วา การหาปริพันธ เรียกเครื่องหมาย “ ∫ ” วา เคร่ืองหมาย

ปริพันธ และเรียก f (x) วา ปริพัทธ โดยสัญลักษณ dx คือ การบอกวาหาปริพันธน้ี
เทยี บกับตวั แปร x

เคร่ืองหมายปริพันธ

ปรพิ ทั ธ รปู ท่ัวไปของปฏยิ านพุ นั ธข องฟง กชนั

42. สตู รสําหรับหาปรพิ นั ธไ มจ าํ กัดเขตของฟง กช นั บางฟงกชนั

สูตรที่ 1 ถา k เปน คา คงตวั แลว ∫ k d=x k x + c เมอ่ื c เปนคา คงตัว

สูตรที่ 2 ถา a เปน จาํ นวนจริงและ a ≠ −1 แลว ∫ x=a dx xa+1 + c
a +1

เม่ือ c เปนคาคงตวั

สูตรท่ี 3 ถา k เปน คาคงตวั แลว ` ∫ k f (x)dx = k∫ f (x)dx

สูตรท่ี 4 ∫( f ( x) + g ( x))dx = ∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx

สตู รที่ 5 ∫( f ( x) − g ( x))dx = ∫ f ( x)dx − ∫ g ( x)dx

43. ถา k1, k2,  , kn เปน คา คงตัว แลว

∫ ∫ ∫ ∫(k 1 f1 ( x) + k 2 f2 ( x) +  + k n fn=( x)) dx k1 f1 ( x) dx + k2 f2 ( x) dx +  + kn fn ( x) dx

44. ในการหาปฏิยานพุ ันธของฟง กช ัน f เมื่อกาํ หนด dy = f (x) มาให สามารถทําไดดังนี้

dx

จาก dy = f ( x)

dx

ดงั น้นั ∫ dy dx = ∫ f ( x)dx
dx

หรอื y = ∫ f ( x)dx

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน 97
คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

45. ปรพิ ันธจํากัดเขต ของฟงกชนั f บนชว งปด [a, b] เขยี นแทนดว ยสัญลกั ษณ

b

∫ f ( x)dx

a

เรียก a วา ลมิ ติ ลา ง ของปรพิ นั ธ และเรยี ก b วา ลมิ ติ บน ของปรพิ ันธ
46. ทฤษฎบี ท 13 ทฤษฎบี ทหลักมูลของแคลคูลสั

กําหนด f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง [a, b] ถา F เปนปฏิยานุพันธของฟงกชัน f

แลว b f ( x=)dx F (b)− F (a)

∫
a

47. กาํ หนดให F (x) b คอื F (b) − F (a)
a

48. ทฤษฎบี ท 14

ให f เปนฟง กชันตอเน่อื งบนชวง [a, b] และ A เปน พนื้ ท่ที ปี่ ด ลอมดว ยเสน โคง

y = f ( x) กบั แกน X จาก a ถึง b

1) ถา f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทกุ x∈[a, b] แลว b

A = ∫ f ( x)dx
a

2) ถา f (x) ≤ 0 สําหรบั ทกุ x∈[a, b] แลว b

A = −∫ f ( x)dx
a

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน
98 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

2.2 ขอเสนอแนะเกีย่ วกับการสอน

ลมิ ิตของฟงกชนั

กิจกรรม : ลิมิตของฟงกช นั
จดุ มุงหมายของกิจกรรม

กจิ กรรมน้ีใชเ พอื่ สอน เรอ่ื ง ลมิ ติ ของฟงกชนั
แนวทางการดาํ เนนิ กิจกรรม
1. ครูใหนักเรียนพจิ ารณาและยกตวั อยา งประกอบขอความ “ x เขา ใกล 2 แต x ≠ 2 ”

แนวคาํ ตอบ
คําตอบของนักเรียนมไี ดหลายแบบ ซึ่งคําตอบของนักเรียนจะมี 2 กลุม คือ กลุม

คาของ x ท่ีมีคานอยกวา 2 ท่ีเขาใกล 2 เชน 1.9 , 1.99, 1.999, … และกลุมคาของ x
ที่มีคา มากกวา 2 ท่ีเขาใกล 2 เชน 2.1 , 2.01, 2.001, …
2. จากคําตอบท่ีไดในขอ 2 ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายเพื่อใหไดวา x เขาใกล 2 แต
x ≠ 2 สามารถสรุปไดเ ปน 2 กรณี ดงั นี้
• กรณีที่ x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 โดยที่ x < 2 จะเรียกวา x เขาใกล 2 ทาง

ดานซา ย แทนดว ยสญั ลักษณ x → 2−

x2

• กรณีที่ x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 โดยที่ x > 2 จะเรียกวา x เขาใกล 2 ทาง
ดานขวา แทนดวยสญั ลกั ษณ x → 2+

2x

3. ครูอธิบายเพ่ิมเติมวา x เขาใกล 2 แต x ≠ 2 เปนการพิจารณา x ที่เขาใกล 2 ทั้ง
ทางดา นซา ยและขวาของ 2 ( x < 2 และ x > 2 ) แทนดวยสญั ลักษณ x → 2

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 99
คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

4. ครูจบั คนู กั เรียนแบบคละความสามารถ แลวใหนักเรยี นแตล ะคูเ ปดไฟล ipst.me/11546
5. ครูใหนักเรียนแตละคูศึกษาการหาคาของฟงกชั=น y f=(x) x2 เม่ือ x เขาใกล 2

ทางดา นซาย โดยใหน ักเรียนคลกิ ท่รี ูปสี่เหล่ียมหนาขอความ “ x เขา ใกล 2 ทางดา นซาย”
จากนั้นคลิกลากปุมบนสไลเดอร d และสังเกตคา ท่ีเปลี่ยนไปของ x และ f (x)
6. จากขอ 5 ครูและนักเรียนรวมกันสรุปใหไดวา “เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานซาย แลว
f (x) จะมีคา เขาใกล 4”
7. ครใู หน ักเรียนแตละคูคลกิ ท่ีรูปสีเ่ หล่ยี มหนาขอ ความ “ x เขาใกล 2 ทางดา นซา ย” อีก
ครั้ง เพื่อซอน x และ f (x) เมือ่ x เขาใกล 2 ทางดานซาย
8. ครูใหนักเรียนแตละคูศึกษาการหาคาของฟงกช=ัน y f=(x) x2 เมื่อ x เขาใกล 2
ทางดา นขวา โดยใหนักเรียนคลิกที่รูปสี่เหลี่ยมหนาขอความ “ x เขาใกล 2 ทางดา นขวา”
จากน้ันคลกิ ลากปมุ บนสไลเดอร e และสังเกตคาทเ่ี ปลยี่ นไปของ x และ f (x)
9. จากขอ 8 ครูและนักเรียนรวมกันสรุปใหไดวา “เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานขวา แลว
f (x) จะมีคา เขาใกล 4”
10. จากคําตอบที่ไดในขอ 7 และ 9 ครูสรุปวา

• เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานซาย แลว f (x) จะมีคาเขาใกล 4 ซึ่งเรียกวา ลิมิตของ
ฟงกชัน f (x) = x2 เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดานซาย เทากับ 4 เขียนแทนดวย

lim f ( x) = 4

x→2−

• เม่ือ x เขาใกล 2 ทางดานขวา แลว f (x) จะมีคาเขาใกล 4 ซง่ึ เรียกวา ลมิ ติ ของ
ฟงกชัน f (x) = x2 เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดานขวา เทากับ 4 เขียนแทนดวย

lim f ( x) = 4

x→2+

11. จากขอ 10 ครูสรุปวา เมื่อ x เขาใกล 2 ทางดานซายและดานขวา แลว f (x) มีคาเขา
ใกล 4 จะกลาววา ลิมิตของฟงกชัน f (x) = x2 เมื่อ x เขาใกล 2 เทากับ 4 เขียนแทน
ดวย lim f ( x) = 4

x→2

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน
100 คมู ือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

12. ครอู ธบิ ายสรปุ เกีย่ วกับกรณีท่ัวไปดงั นี้

• สําหรบั ฟง กชนั f ใด ๆ ทม่ี โี ดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจาํ นวนจริง

ถาคาของ f (x) เขาใกลจํานวนจริง L เมื่อ x เขาใกล a ท้ังทางดานซาย

และขวาของ a แลวจะเรียก L วา ลิมิตของ f ที่ a ซ่ึงเขียนแทนดวย

สญั ลกั ษณ lim f (x) = L และกลาววา lim f (x) มคี าเทา กับ L
x→a x→a

แตถาไมมีจํานวนจริง L ซ่ึง f (x) เขาใกล L เมื่อ x เขาใกล a แลวจะ

กลาววา “ f ไมม ลี ิมติ ท่ี a ” หรือกลาววา “lim f (x) ไมมคี า”
x→a

• สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ที่มีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของจํานวนจรงิ

ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L1 เมื่อ x เขาใกล a ทางดานซายแลว จะ

เรียก L1 วา ลิมิตซายของ f (x) เม่ือ x เขาใกล a ทางดานซาย เขียนแทน

ดว ย lim f ( x) = L1

x→a−

ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L2 เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา จะเรียก

L2 วา ลิมิตขวาของ f (x) เมื่อ x เขาใกล a ทางดานขวา เขียนแทนดวย

lim f (x) = L2

x→a+

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 101
คมู อื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

ประเด็นสาํ คัญเก่ียวกับเนอื้ หาและสิ่งทค่ี วรตระหนกั เกยี่ วกบั การสอน

• เม่อื สอนเร่อื งลิมิตของ f ที่ a ครคู วรใหน กั เรียนเขาใจความหมายของ x เขาใกล a
กอน ซึ่งสามารถแบง ไดเ ปน 2 กรณี ไดแ ก
o กรณีที่ x เขาใกล a โดยที่ x < a จะเรียกวา x เขาใกล a ทางดานซาย แทนดวย
สัญลักษณ x → a−
o กรณีที่ x เขาใกล a โดยท่ี a > 2 จะเรียกวา x เขาใกล a ทางดานขวา แทนดวย
สัญลักษณ x → a+
ทั้งน้ี การพิจารณาวา x เขาใกล a ซึ่งแทนดวยสัญลักษณ x → a ตองพิจารณาท้ัง
x เขาใกล a ทางดา นซา ยและ x เขาใกล a ทางดา นขวา

• การพิจารณาวา lim f (x) มีคาหรือไม ในตัวอยางท่ี 2 อาจพิจารณาโดยไมใชกราฟได
x→0

ดังนี้

จาก f (x) = 1 ;x≥ 0
−1 ;x< 0

เม่อื x เขาใกล 0 ทางดา นซา ย นนั่ คอื x < 0 จะไดวา f (x) = −1

ดังนั้น lim f ( x) =lim (−1) =−1
x→0− x→0−

เมือ่ x เขา ใกล 0 ทางดา นขวา น่นั คือ x > 0 จะไดว า f (x) =1

ดังนน้ั lim f=( x) l=im 1 1
x→0+ x→0+

จะเห็นวา lim f ( x) ≠ lim f ( x) ดงั นั้น lim f ( x) ไมมคี า
x→0− x→0+ x→0

• ครูควรเนนย้ํากับนักเรียนวา สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ถึงแมวา f (x) เขาใกล L เมื่อ

x เขาใกล a แต L อาจไมเทา กบั f (a) ก็ได

• การหา lim  f (x) โดยใชทฤษฎีบท 2 ขอ 5 จะทําไดในกรณีท่ี lim f ( x) และ
 
x→a g ( x) x→a

lim g ( x) หาคาได และ lim g (x) ≠ 0 เทาน้ัน สําหรับกรณีท่ี lim g (x) = 0 อาจหา
x→a x→a x→a

lim  f (x) ไดโ ดยการจัดรปู ของฟง กช นั ดังแสดงในตัวอยางท่ี 10 และ 11
 g ( x) 
x→a

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน
102 คมู อื ครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

• ลิมติ “ไมมีคา” ที่กลา วถงึ ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6
เลม 1 หมายถึงกรณีที่ลิมิตซายไมเทากับลิมิตขวา สําหรับลิมิตไมมีคาในกรณีอื่น ๆ
นกั เรียนจะไดศึกษาในระดบั อดุ มศึกษา

• ในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 น้ี สําหรับ
ฟงกชัน f ที่มีโดเมนเปน [a, b], [a, b), (a, b] หรือ (a, b) จะไมพิจารณา lim f (x)

x→a

และ lim f (x) เชน ฟง กชนั f (x) = x ที่มีโดเมนเปน [0, 1) จะไมพ จิ ารณา lim f (x)
x→b x→0

และ lim f (x) แตน กั เรยี นจะไดศ กึ ษาในระดบั อุดมศึกษา
x→1

• ในการจัดการเรียนรูในบทที่ 2 แคลคูลัสเบ้ืองตน ของหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1 จะไมพ ิจารณาลมิ ติ ของฟงกชนั เมือ่ x เพ่มิ ขนึ้
เร่ือย ๆ อยางไมมีท่ีสิ้นสุด (x → ∞) และลิมิตของฟงกชัน เม่ือ x ลดลงเร่ือย ๆ อยาง
ไมม ีท่สี น้ิ สดุ (x → −∞) ซ่งึ นักเรียนจะไดศึกษาในระดบั อุดมศกึ ษา

• ในการจัดการเรียนรูในบทท่ี 2 แคลคูลัสเบื้องตน ของหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติม
คณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 จะไมกลาวถึงฟงกชันเอกซโพเนนเชียล
ฟง กช นั ลอการทิ ึม ฟง กชันตรีโกณมิติ ซ่ึงนกั เรียนจะไดศ ึกษาในระดับอุดมศกึ ษา

ประเดน็ สําคัญเก่ยี วกบั แบบฝก หดั

• การหาลิมิตของฟงกชันที่กําหนดให โดยพิจารณาจากกราฟของฟงกชัน เชน แบบฝกหัด
2.1ก ขอ 2 – 6 นั้น ครูควรสนับสนุนใหนักเรียนใหเหตุผลประกอบการพิจารณาวาลิมิต
ของฟง กชนั ในขอ ใดมคี า และลมิ ิตของฟง กชนั ในขอ ใดไมม ีคา

• การหาลิมิตของฟงกชันบางฟงกชันโดยใชทฤษฎีบท 2 อาจมีลําดับข้ันตอนการหาที่
แตกตา งกนั เชน แบบฝกหัด 2.1ข ขอ 1 4) อาจหาคําตอบโดย

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลัสเบอ้ื งตน 103
คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

( ( )) ( )วธิ ที ่ี 1
จาก lim ( x + 3) x2 + 2 =  lim ( x + 3)   lim x2 + 2  (ท.บ.2 ขอ 4)
x → −1
x→ −1 x→ −1

( )( )= lim x + lim 3 lim x2 + lim 2 (ท.บ.2 ขอ 2)
x→−1 x→−1 x→−1 x→−1

( )= (−1+ 3) (−1)2 + 2 (ท.บ.1)

=6

ดังน้ัน ( )( )lim ( x + 3) x2 + 2 =6
x → −1

วิธีท่ี 2 ( )จาก ( x + 3) x2 + 2 = x3 + 3x2 + 2x + 6

จะได ( )( )lim ( x + 3) x2 + 2
x → −1

( )= lim x3 + 3x2 + 2x + 6
x → −1

( )= lim x3 + lim 3x2 + lim (2x) + lim 6 (ท.บ.2 ขอ 2)
x → −1 x → −1 x → −1 x → −1 (ท.บ.2 ขอ 1)

= lim x3 + 3 lim x2 + 2 lim x + lim 6 (ท.บ.1)
x → −1 x → −1 x→−1 x→−1

= (−1)3 + 3(−1)2 + 2(−1) + 6

=6

ดงั นน้ั ( )( )lim ( x + 3) x2 + 2 =6
x → −1

• การหาลิมิตของฟงกชันท่ีมีการกําหนดโดเมนออกเปนชวงยอยมากกวา 1 ชวง เชน ใน
แบบฝก หัด 2.1ข ขอ 4 ครูควรตรวจสอบวา นกั เรยี นเลือกใชคา ของฟงกช นั ไดตรงกบั ชวง
ยอ ยท่ีพจิ ารณาหรอื ไม เชน เมอื่ พจิ ารณา lim f (x) ในขอ 2) ตอ งเลือกใช f (x) = x2

x→0−

ความเขา ใจคลาดเคล่ือน

• นักเรียนบางคนอาจเขาใจผดิ เกี่ยวกับสญั ลักษณ x → a− และ x → a+ วา x → 2−
หมายถงึ x เขาใกล −2 ทงั้ นี้ ครูควรย้าํ นกั เรยี นวา x → a− แสดงถึงการพิจารณาคา
ของ x ท่ีนอยกวา a และ x → a+ แสดงถึงการพิจารณาคา ของ x ทีม่ ากกวา a

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน
104 คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

• นกั เรยี นบางคนอาจเขา ใจผิดวา lim f (x) = f (a) เสมอ ทั้งนค้ี รคู วรยกตัวอยางฟงกชันท่ี
x→a

lim f ( x) ≠ f (a) เชน ฟง กช ัน f ( x ) =  1, x≠0 มี f (0) = 0 แต lim f ( x) = 1
 0, x=0
x→a  x→0

จะเห็นวา lim f ( x) ≠ f (0)
x→0

ความตอเน่อื งของฟงกชนั

กจิ กรรม : ฟงกชันตอ เนอ่ื ง

จดุ มงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมนใ้ี ชเพอ่ื สอน เรอ่ื ง ความตอ เนอ่ื งของฟง กชัน

แนวทางการดาํ เนนิ กิจกรรม
1. ครูจบั คนู ักเรียนแบบคละความสามารถ จากน้ันครูแสดงกราฟของฟงกช ันตอไปนี้

รปู ท่ี 1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู ัสเบือ้ งตน 105
คูม ือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

รปู ท่ี 2

รปู ที่ 3

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบื้องตน
106 คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

2. ครูใหนักเรียนแตละคูพิจารณากราฟของฟงกชันในแตละรูปท่ีกําหนดใหในขอ 1 และ
เตมิ ขอ มูลลงในตารางตอ ไปน้ีใหส มบรู ณ

รูปท่ี lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) f (a)

1 x→a− x→a+ x→a f (a)
2
3 lim f ( x) lim f ( x) lim f ( x) L2
L2
แนวคําตอบ x→a− x→a+ x→a L
รูปท่ี
L1 L2 ไมม ีคา
1 L1 L1
L L L1
2
3 L

3. จากคาํ ตอบทไี่ ดใ นขอ 2 ครูใหนกั เรียนพิจารณาวาฟงกช นั f รูปใดที่ lim f (x) = f (a)
x→a
แนวคาํ ตอบ
รูปท่ี 3

4. ครูอธิบายวาฟงกชัน f ท่ีมีสมบัติ lim f (x) = f (a) จะกลาววา f เปนฟงกชัน
x→a

ตอ เน่อื งที่ x = a ดังน้ัน ฟง กชนั f ในรูปที่ 3 เปน ฟงกชันตอ เนอื่ งที่ x = a
5. ครแู ละนกั เรียนรว มกันสงั เกตลกั ษณะกราฟของฟงกช ันในรปู ท่ี 1 – 3 ในประเด็นตอไปน้ี

• กราฟของฟงกช นั ในแตละรปู ขาดตอนหรือไม

• โดเมนของฟงกชันในแตล ะรูปมีการแบงเปน ชว งยอยหรือไม

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน 107
คมู ือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชนั้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

แนวคาํ ตอบ
กราฟของฟงกชัน f ในรูปท่ี 1 มีลักษณะขาดตอน และโดเมนของฟงกชันแบง

ออกเปน 2 ชว งยอ ย ไดแก x < a และ x ≥ a
กราฟของฟงกชัน f ในรูปท่ี 2 มีลักษณะขาดตอน และโดเมนของฟงกชันแบง

ออกเปน 2 ชว งยอย ไดแก x = a และ x ≠ a
กราฟของฟงกชัน f ในรูปที่ 3 มีลักษณะไมขาดตอน และโดเมนของฟงกชันไมมี

การแบงเปน ชว งยอ ย
6. ครอู ธบิ ายเก่ียวกบั บทนิยามของความตอ เน่ืองของฟงกช นั ตามบทนยิ าม 1

หมายเหตุ
• จากคําตอบทีไ่ ดใ นขอ 2 และ 3 ครอู าจอธิบายเพิม่ เตมิ วา

o จากรปู ที่ 1 จะเห็นวา f (a) หาคาได ( f นยิ ามที่ a ) แต lim f (x) ไมมคี า
x→ a

o จากรปู ที่ 2 จะเห็นวา f (a) หาคาได ( f นยิ ามท่ี a ) และ lim f (x) มีคา แต
x→ a

lim f ( x) ≠ f (a)

x→ a

• ฟง กชนั f ในรูปท่ี 1 และ 2 เปน ฟง กชนั ไมต อเนื่องที่ x = a
• ครอู าจเปลย่ี นกราฟของฟงกช นั ทีใ่ หนักเรยี นพจิ ารณาในขอ 1 เปน รปู แบบอนื่

ประเดน็ สาํ คัญเกี่ยวกบั เนอ้ื หาและสง่ิ ที่ควรตระหนักเกยี่ วกบั การสอน

• ในการยกตัวอยางฟงกชนั เพื่อใหนกั เรียนตรวจสอบการเปนฟงกชันตอเน่ืองที่ x = c ครู
ควรเลอื กฟงกชนั ที่นยิ ามบนชว ง (a, b) และ c∈(a, b)

• การพิจารณาวาฟงกชันท่ีกําหนดใหเปนฟงกชันตอเนื่องที่จุด x = c หรือไม อาจ
พิจารณาโดยใชก ราฟ เชน ฟงกช นั f ในตัวอยางที่ 14 เขยี นกราฟไดด ังน้ี

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน
108 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

จากกราฟจะเหน็ วา lim f ( x) = 4 แต f (2) = 3
x→2

ดังนัน้ f เปน ฟง กช นั ไมตอเน่อื งท่ี x = 2
และฟง กชัน f ในตัวอยา งท่ี 15 เขยี นกราฟไดดังนี้

จากกราฟจะเหน็ วา lim f ( x) = 4 และ f (2) = 4
x→2

ดังนั้น f เปน ฟง กช นั ตอ เนือ่ งที่ x = 2

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน 109
คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

• การตรวจสอบความตอเนอ่ื งของฟง กช นั ในตวั อยา งท่ี 17 อาจทาํ ไดดังน้ี

จาก f (x) = x2 x2 − 9 6
− 5x +

จะได f (0) = 02 − 9 = −9 = −3
6 2
02 − 5(0) + 6

และ lim f ( x) = lim x2 − 9

x→0 x→0 x2 − 5x + 6

เน่อื งจาก (lim x2 − 5x + 6) =6 ≠ 0 โดยทฤษฎบี ท 4 จะได
x→0

lim x2 − 9 = 02 − 9 = −9 = −3
6 2
x→0 x2 − 5x + 6 02 − 5(0) + 6

เนื่องจาก lim f ( x) = f (0)
x→0

ดงั น้ัน ฟง กชัน f เปน ฟง กชนั ตอเนื่องท่ี x = 0

• ครูควรเนนยํ้าเก่ียวกับการแสดงวา f เปนฟงกชันตอเนื่องบนชวง (a, b) น้ัน จะตอง

แสดงวา f เปนฟงกชันท่ีตอเน่ืองท่ีทุกจุดในชวง (a, b) โดยสมมติให c เปนจุดใด ๆ

ในชว ง (a, b) แลว แสดงวา f ตอเนอ่ื งที่ x = c

• สําหรับฟงกชัน f ที่ตอเนื่องบนชวง [a, b], (a, b] หรือ [a, b) จะมีความตอเนื่องที่

จดุ ปลายของชวงเปน ดงั นี้

o สําหรับฟงกชัน f ท่ีตอเนื่องบนชวง [a, b] ซ่ึง lim f (x) = f (a) และ
x→a+
lim f (x) = f (b) น้ัน จะไดวา f ตอเนื่องทางดานขวาท่ี x = a และ f
x→b−
ตอเนอื่ งทางดานซา ยท่ี x = b ตามลาํ ดบั

o สําหรับฟงกชัน f ท่ีตอเน่ืองบนชวง (a, b] ซึ่ง lim f (x) = f (b) น้ัน จะไดวา
x→b−
f ตอเนื่องทางดา นซา ยท่ี x = b

o สําหรับฟงกชัน f ท่ีตอเน่ืองบนชวง [a, b) ซึ่ง lim f (x) = f (a) น้ัน จะไดวา
x→a+
f ตอ เนอ่ื งทางดานขวาท่ี x = a

หมายเหตุ

o f ตอเนื่องทางดานขวาท่ี x = a คอื f is continuous from the right at x = a

o f ตอ เนื่องทางดานซายท่ี x = b คือ f is continuous from the left at x = b

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
110 คูมือครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

• ชวงท่ีพิจารณาความตอเน่ืองของฟงกชันตองเปนสับเซตของโดเมนของฟงกชันนั้น เชน
ตวั อยางท่ี 18 – 19

ประเดน็ สําคัญเกีย่ วกับแบบฝก หัด
การพิจารณาความตอเนื่องของฟงกชัน g บนชวง (−∞, 1] ในแบบฝกหัด 2.2 ขอ 4 ซ่ึงมี
ขนั้ ตอนการพจิ ารณา ไดแ ก
1) g เปน ฟง กชนั ตอ เนอ่ื งทที่ ุกจดุ ในชว ง (−∞, 1) และ

2) lim g ( x) = g (1)
x→1−

เนื่องจากฟงกชัน g ท่ีกําหนดให มีโดเมนเปนชวงยอย 3 ชวง ไดแก (−∞, − 2), [−2, 1]
และ (1, ∞) ดังนนั้ การพจิ ารณาความตอเน่ืองของฟงกชนั g ท่ีทุกจดุ ในชว ง (−∞, 1) ตอ ง
พจิ ารณาความตอเนอื่ งของฟง กช นั g บนชวง (−∞,−2) และ [−2,1)

อนพุ นั ธข องฟงกชนั

ประเดน็ สาํ คัญเกี่ยวกบั เนอ้ื หาและสงิ่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกับการสอน
• การแกปญหาเกี่ยวกับอัตราการเปลี่ยนแปลงที่สอดคลองกับชีวิตจริง ครูควรสงเสริมให

นักเรียนแปลความหมายจากผลลัพธท่ีได เชน จากตัวอยางท่ี 20 ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลง
ของ V เทียบกับ r เปนจํานวนจรงิ บวก แสดงวาเมื่อ r เพิ่มข้ึน V (r) จะเพ่ิมข้ึน จึง
อธิบายไดวาเม่ือความยาวของรัศมีของลูกบอลเพ่ิมข้ึน ปริมาตรของลมในลูกบอลจะ
เพิ่มขึ้น แตในตัวอยางท่ี 21 ซึ่งอัตราการเปลี่ยนแปลงของ Q เทียบกับ t เปนจํานวน
จริงลบ แสดงวาเม่ือ t เพ่ิมข้ึน Q(t) จะลดลง จึงอธิบายไดวาเม่ือเวลาเพิ่มขึ้น
ปรมิ าตรของนํา้ ในสระจะลดลง

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู ัสเบือ้ งตน 111
คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

• นักเรียนสามารถเลือกใชสัญลักษณแทนอนุพันธของฟงกชัน f ท่ี x ดวย f ′(x), dy ,

dx

d f (x) หรือ y′ โดยในกรณีที่ใชสัญลักษณ y′ ครูควรช้ีแนะใหนักเรียนระมัดระวัง

dx

วา เปนการเขียนแทนอนุพันธของฟงกชันท่ีมีการละตัวแปรตนไว ซ่ึงนักเรียนควรทราบ
วาฟง กช นั ท่ีกาํ หนดใหม ีตวั แปรใดเปน ตวั แปรตน เชน

สมการ y = f (x) ดังนัน้ y′ จะแทนอนพุ นั ธเทยี บกบั ตวั แปร x
สมการ y = g(t) ดงั นน้ั y′ จะแทนอนพุ ันธเทียบกับตวั แปร t

• สําหรบั ฟง กชันที่หาอนุพันธไดท่ี x ใด ๆ ในโดเมน จะพบวา ฟง กช ันนน้ั ตอเน่ืองท่ี x ดวย
แตในทางกลับกัน ฟงกชันท่ีตอเนื่องที่ x อาจหาคาอนุพันธที่ x ไมได เชน ฟงกชัน
f ( x) = x พบวา f เปนฟงกชันตอเนื่องที่ x = 0 ( lim f ( x) = f (0) ) แตจาก

x→0

ตวั อยางท่ี 25 จะเห็นวา f ′(0) ไมม คี า

ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝก หดั

ปริมาตรของกรวยกลมตรงในแบบฝกหัด 2.3 ขอ 8 หาไดจาก V = 1π r2h เม่ือ r แทน

3

ความยาวของรัศมีของฐาน และ h แทนสวนสูง ทั้งน้ี ในขอ 1) กําหนดใหสวนสูงเปน
คาคงตัว ดังนั้น V เปนฟงกชันของตัวแปร r ในทํานองเดียวกัน ขอ 2) V เปนฟงกชัน
ของตวั แปร h

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน
112 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

การหาอนพุ ันธข องฟง กชนั โดยใชส ูตร

ประเดน็ สาํ คัญเกยี่ วกับเน้ือหาและสิ่งทีค่ วรตระหนักเกีย่ วกับการสอน

• ครูควรยกตัวอยางฟงกชันที่จะหาอนุพันธโดยใชสูตรที่ 4 – 8 ใหสอดคลองกับความรู
พ้นื ฐานของนกั เรยี น

• การหา f ′(a) โดยใชสูตร จะตองหา f ′(x) กอน แลวจึงแทน x ดวย a ดังแสดงใน
ตวั อยา งที่ 33

• การหาอนุพันธของฟงกชันที่จุดแบงของชวงในกรณีท่ีฟงกชันมีการกําหนดโดเมน
ออกเปน ชว งยอ ยมากกวา 1 ชวง นน้ั ไมส ามารถหาอนุพนั ธข องฟงกชันทจ่ี ุดแบง ของชวง
โดยใชสูตรได แตตองใชบทนิยาม 3 ในการหาอนพุ ันธของฟง กช นั

ความเขา ใจคลาดเคลอ่ื น

• นักเรียนบางคนอาจเขาใจผิดวา อนุพันธของผลคูณเทากับผลคูณของอนุพันธของ
แตละฟงกชัน เชน นักเรียนเขาใจผิดวาอนุพันธของฟงกชัน y =(2x +1)(2x −1) คือ

dy= d (2x +1)⋅ d (2x −1=) 2(2=) 4 ในกรณีนี้ ครูควรแสดงรายละเอียดการหา
dx dx dx

อนพุ นั ธข องผลคูณโดยใชสตู รที่ 7 ดังนี้

dy = d ((2x +1)(2x −1))

dx dx

= (2x +1) d (2x −1) + (2x −1) d (2x +1)

dx dx

= (2x +1)(2) + (2x −1)(2)

= 8x

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู ัสเบ้ืองตน 113
คมู ือครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• นักเรียนบางคนอาจเขาใจผิดวา อนุพันธของผลหารเทากับผลหารของอนุพันธของแตละ

ฟงกช นั เชน นักเรยี นเขา ใจผดิ วา อนพุ นั ธข องฟงกชนั y = x2 =คือ dy d (x2 )

=dx 2x
x − 2 dx d ( x − 2)
dx

ในกรณีนี้ ครคู วรแสดงรายละเอยี ดการหาอนพุ ันธของผลหารโดยใชสตู รที่ 8 ดงั นี้

dy = d  x2 
dx  
dx  x − 2 

(x − 2) d (x2 ) − (x2 ) d (x − 2)
= dx dx

( x − 2)2

(x − 2)(2x) − x2
= ( x − 2)2

= x2 − 4x

( x − 2)2

อนพุ นั ธของฟงกชันประกอบ

ประเดน็ สาํ คญั เกยี่ วกับเนอ้ื หาและสง่ิ ทค่ี วรตระหนักเกีย่ วกบั การสอน

นักเรียนอาจประสบปญหาในการกําหนดฟงกชัน u ซึ่งเปนฟงกชันของตัวแปร x และเขียน
ฟงกชัน y ใหอยูในรูปของฟงกชันของตัวแปร u เมื่อกําหนด y เปนฟงกชันของตัวแปร x
ดงั นั้น ครคู วรใหนักเรยี นฝก ทักษะเพิม่ เติม ตามลําดับขนั้ ตอนตอ ไปนี้

ขน้ั ที่ 1 กาํ หนดฟงกชนั u ซึ่งเปน ฟง กชันของตวั แปร x
ขัน้ ท่ี 2 เขยี นฟง กช ัน y ใหอ ยูใ นรปู ของฟงกช นั ของตัวแปร u

(ฟงกช นั y ตองเปนฟงกช ันทหี่ าอนพุ นั ธโดยใชส ตู รได)
เชน สาํ หรบั ฟงกชนั =y 2x −1 สามารถทําไดด ังน้ี

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน
114 คูม ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

วิธีท่ี ข้นั ที่ 1 ขนั้ ที่ 2
1 ให u = 2x จะได =y u −1
จะได y = u
2 ให =u 2x −1

จะเห็นวาในขั้นที่ 2 ของวิธีที่ 1 ฟงกชัน =y u −1 ไมสามารถหาอนุพันธโดยใชสูตรได

โดยตรง แตในขัน้ ที่ 2 ของวิธีที่ 2 ฟงกช นั y = u สามารถหาอนพุ นั ธโ ดยใชสูตรได ดงั น้ัน
ควรเลอื ก =u 2x −1

เสนสัมผัสเสน โคง

ประเด็นสาํ คญั เกย่ี วกับเน้อื หาและสง่ิ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกับการสอน

• การหาสมการของเสนสัมผัสเสนโคงท่ีจุด P(a, f (a)) หรอื ความชันของเสนสัมผัสเสนโคง
ที่จดุ P(a, f (a)) ครคู วรตระหนกั วา จะพิจารณาเฉพาะจดุ ท่ี f ′(a) หาคา ได

• การแกปญหาเกี่ยวกับเสนสัมผัสเสนโคงบางปญหาตองใชความรูเกี่ยวกับเรขาคณิต
วเิ คราะห ดังน้ันครคู วรทบทวนเนือ้ หาที่เกีย่ วของใหกบั นักเรียนดว ย

• จากหมายเหตุในตัวอยางที่ 42 สามารถใชความรูเรื่อง เรขาคณิตวิเคราะหในการหา
ความชนั และสมการของเสนสมั ผสั วงกลมได ดงั น้ี
จากสมการวงกลม x2 + y2 =25
จะไดว า วงกลมน้มี ีจดุ ศูนยกลางอยูที่ (0, 0) และมีรัศมียาว 5 หนวย
เนอ่ื งจาก จุด (−3, 4) อยบู นเสนรอบวงของวงกลมนี้
จะไดวา สวนของเสน ตรงที่เช่ือมระหวา ง (0, 0) และ (−3, 4) เปน รัศมีของวงกลม

ซึง่ มีความชนั เปน 4 − 0 = − 4

−3 − 0 3

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน 115
คูม ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

เนอ่ื งจาก รศั มีของวงกลมท่ีลากผา น (−3, 4) ต้ังฉากกับเสนสมั ผัสวงกลมที่จดุ นน้ั
จะไดว า ผลคณู ของความชนั ของรัศมวี งกลมทล่ี ากผาน (−3, 4) กบั ความชนั ของ
เสนสัมผัสวงกลมที่จดุ น้ันเปน −1

เน่ืองจาก รัศมีของวงกลมที่ลากผา น (−3, 4) มีความชันเปน − 4

3

จะไดวา เสน สมั ผสั วงกลมท่ี (−3, 4) มคี วามชนั เปน 3

4

ดังน้นั สมการของเสนสมั ผสั วงกลมที่จุด (−3, 4) คือ y −=4 3 (x − (−3))

4

หรอื =y 3 x + 25

44

อนุพันธอ นั ดับสงู

ประเดน็ สาํ คัญเก่ยี วกบั เนอื้ หาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเก่ียวกบั การสอน

การหาอนุพันธอันดับสูงที่ x = a จะตองหาอนุพันธอันดับสูงท่ี x กอน แลวจึงแทน x
ดว ย a ดังแสดงในตวั อยางที่ 48

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
116 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

การประยกุ ตของอนุพันธ

กจิ กรรม : ความชันของเสนสัมผัสเสน โคง ของฟงกชนั เพิ่มและฟงกชนั ลด
จดุ มุงหมายของกิจกรรม

กิจกรรมน้ใี ชเ พือ่ สอน เร่ือง ความชนั ของฟงกชนั เพิ่มและฟงกช ันลด
แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม
1. ครทู บทวนบทนยิ าม 4
2. ครูจบั คูนักเรียนแบบคละความสามารถ จากนน้ั ครใู หนักเรียนเปดเวบ็ ไซต ipst.me/11547
3. ครใู หนกั เรียนสํารวจความชันของเสน สัมผัสเสน โคง บนชวง (a, b), (b, c), (c, d ) และ

(d, e) โดยคลิกลากจุด P ไปตามแนวเสนโคง พรอมท้ังสังเกตความชันของเสนโคงท่ี
จดุ P ซึ่งแสดงบนหนา จอ แลว ตอบคําถามตอไปนี้
3.1 ชว งใดบางท่ีความชนั ของเสน โคงเปนจาํ นวนจรงิ บวก

แนวคําตอบ ชวง (b, c) และ (d, e)
3.2 ชวงใดบางทคี่ วามชันของเสน โคง เปนจาํ นวนจริงลบ

แนวคําตอบ ชวง (a, b) และ (c, d )
4. ครูทบทวนความรูข องนักเรยี นเกย่ี วกบั ฟงกช ันเพิ่มและฟง กช ันลด
5. จากขอ 2 ครใู หนกั เรยี นหาวาชวงใดบา งที่ f เปน ฟง กชันเพิม่ และฟง กชนั ลด

แนวคําตอบ
• f เปนฟงกชนั เพม่ิ ในชว ง (b, c) และ (d, e)
• f เปน ฟงกชนั ลดในชวง (a, b) และ (c, d )

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู ัสเบือ้ งตน 117
คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

6. ครใู หน กั เรยี นเปรียบเทียบคําตอบท่ีไดในขอ 3 และขอ 5 โดยเตมิ ขอมลู ลงในตารางตอไปนี้

ชวง ความชนั ของเสน โคง ฟงกชนั เพม่ิ / ลด
เปน จํานวนจริงบวก/ ลบ

(a, b)

(b, c)

(c, d )
(d, e)

แนวคาํ ตอบ ความชันของเสนโคง ฟง กชนั เพิม่ / ลด
ชวง เปนจาํ นวนจริงบวก/ ลบ
ฟง กชนั ลด
(a, b) เปนจาํ นวนจริงลบ ฟงกชนั เพ่ิม
(b, c) ฟงกชันลด
(c, d ) เปน จํานวนจริงบวก ฟง กช ันเพ่มิ
(d, e)
เปนจํานวนจรงิ ลบ

เปน จํานวนจรงิ บวก

7. ครูอธิบายสรุปวา ถาทุก ๆ จุดในชวงมีความชันของเสนโคงเปนจํานวนจริงบวก แลว
ฟงกชันจะเปนฟงกชันเพ่ิมในชวงน้ัน ในทางตรงกันขาม ถาทุก ๆ จุดในชวงมีความชัน
ของเสน โคง เปนจํานวนจริงลบ แลว ฟง กชนั จะเปน ฟงกชนั ลดในชว งนั้น

8. ครอู ธบิ ายทฤษฎบี ท 8

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน
118 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

กิจกรรม : คาสงู สุดสัมพัทธ คาตํ่าสุดสมั พทั ธ และจดุ วกิ ฤต

จุดมงุ หมายของกิจกรรม
กิจกรรมนี้ใชสอนทฤษฎีบท 9 บทนิยาม 7 และทฤษฎีบท 10 ท้ังนี้ครูควรทบทวน

ความหมายของคา สูงสุดสัมพทั ธแ ละคาตํ่าสุดสัมพทั ธใ นบทนยิ าม 6 กอ นใหนักเรยี นทํากิจกรรม
แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม
1. ครจู บั คนู กั เรยี นแบบคละความสามารถ จากนนั้ ครูใหนกั เรยี นเปดเว็บไซต ipst.me/11548
2. จากกราฟของฟงกชัน f ที่แสดงบนหนาจอ ครูใหนักเรียนหาจุดสูงสุดสัมพัทธและจุด

ต่าํ สดุ สัมพทั ธของฟง กชนั f
แนวคําตอบ
• ฟงกช นั f มีจุดสูงสดุ สัมพัทธอ ยูท ีจ่ ุด B(−1, 3) หรอื ท่ี x = −1
• ฟงกชัน f มีจุดตํ่าสุดสัมพัทธอยูท่ีจุด A(−8, −1) และ C (6, − 4) หรือ x = −8

และ x = 6 ตามลําดบั
3. ครูใหนกั เรียนสํารวจความชนั ของเสนโคงของฟงกชัน f ทจี่ ดุ สูงสดุ สมั พัทธและจุดต่ําสุด

สัมพัทธ โดยคลิกลากจุด P ไปตามแนวเสนโคง แลวหาความชันของเสนโคงของฟงกชัน
ทีจ่ ดุ สงู สุดสมั พทั ธและจดุ ตํ่าสุดสมั พัทธแ ตล ะจุด
แนวคําตอบ
• ความชนั ของเสนโคง ของฟงกช ัน f ทีจ่ ดุ สูงสดุ สมั พัทธ B เทากบั 0
• ความชันของเสน โคง ของฟง กช ัน f ทจ่ี ุดตา่ํ สดุ สมั พัทธ A เทากับ 0
• ความชันของเสน โคงของฟง กช ัน f ที่จุดต่ําสดุ สมั พทั ธ C เทา กบั 0
4. ครูอธบิ ายเชือ่ มโยงคําตอบที่ไดจากขอ 3 กบั บทนยิ าม 4 ดังน้ี
• ที่จดุ สูงสุดสมั พัทธ B จะไดวา f ′(−1) =0
• ทีจ่ ดุ ตาํ่ สุดสมั พัทธ A จะไดวา f ′(−8) =0
• ท่จี ุดตํ่าสดุ สัมพทั ธ A จะไดวา f ′(6) = 0

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลัสเบอื้ งตน 119
คมู อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

5. จากคําตอบที่ไดในขอ 4 ครอู ธิบายสรุปทฤษฎีบท 9 จากนั้นแนะนําคาวิกฤตและจุดวิกฤต
ในบทนยิ าม 7

6. ครใู หนกั เรียนหาคาวกิ ฤตและจุดวกิ ฤตของฟงกชัน f ในขอ 1
แนวคาํ ตอบ
• คา วกิ ฤตของฟงกชัน f คอื −8, −1 และ 6

• จดุ วิกฤตของฟง กช ัน f คือ (−8, −1), (−1, 3) และ (6, − 4)
7. ครูใหนักเรียนสํารวจการเปลี่ยนแปลงคาของอนุพันธของฟงกชัน f รอบ ๆ จุดวิกฤต

โดยคลิกลากจุด P ไปตามแนวเสนโคง จากดานซายไปดานขวาของจุดวิกฤตแตละจุด
และหาวา คา ของอนุพันธของฟงกช นั f มีการเปลย่ี นแปลงอยางไร
แนวคาํ ตอบ
• ท่ีจุดวกิ ฤต (−8, −1) พบวา คาของอนุพันธของฟงกช ัน f เปลี่ยนจากจํานวนจริงลบ

เปน จํานวนจรงิ บวก

• ท่ีจุดวิกฤต (−1, 3) พบวา คาของอนุพันธของฟงกชัน f เปล่ียนจากจํานวนจริงบวก
เปนจาํ นวนจริงลบ

• ท่ีจุดวิกฤต (6, − 4) พบวา คาของอนุพันธของฟงกชัน f เปลี่ยนจากจํานวนจริงลบ
เปนจาํ นวนจรงิ บวก

8. ครอู ธบิ ายสรุปทฤษฎีบท 10

ประเด็นสําคญั เกย่ี วกับเนอ้ื หาและสิง่ ทค่ี วรตระหนักเกย่ี วกับการสอน

• ความเร็วและอตั ราเรว็ ในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6
เลม 1 มีความหมายไมแตกตางกันและสามารถใชแทนกันได แตในวิชาฟสิกสความเร็ว
และอัตราเร็วมีความหมายที่แตกตางกัน โดยความเร็วเปนปริมาณเวกเตอร สวน
อัตราเรว็ เปน ปริมาณสเกลาร

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน
120 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• การหาคาสูงสุดหรือคาต่ําสุดสัมพัทธ สามารถทําไดโดยใชบทนิยาม 6 หรือ ทฤษฎีบท 10
หรือ ทฤษฎีบท 11 แตการใชทฤษฎีบท 11 มีขอจํากัดท่ีคาวิกฤต c ของฟงกชัน f ซง่ึ
f ′(c) =0 และ f ′′(c) มีคาและไมเทากับ 0 เชน ในการหาคาสูงสุดสัมพัทธหรือจุด
ตํา่ สดุ สัมพัทธข องฟง กชัน f (x=) x4 − 2x3 ทาํ ไดดังนี้
จาก f ( x=) x4 − 2x3
จะได f ′( x) = 4x3 − 6x2 = x2 (4x − 6)

ดังนั้น f ′( x) = 0 เม่ือ x = 0 หรอื x = 3

2

จะไดวา คาวิกฤตของฟงกช นั f มี 2 คา คอื 0 และ 3

2

ตอไปหาอนพุ นั ธอ นั ดบั ทีส่ องของฟง กชัน f จะได f ′′=(x) 12x2 −12x

เนื่องจาก f ′′(0) = 0 และ f ′′  3  = 9
 2 

จากทฤษฎบี ท 11 จะไดว า f ′ 3  = 0 และ f ′′ 3  = 9 ซึง่ มากกวา 0
2  2 

ดงั น้นั f มคี าตาํ่ สุดสัมพัทธท่ี x= 3 และคาต่ําสดุ สมั พัทธ คอื f  3 
2  2 

แตในกรณีที่ x = 0 จะได f ′′(0) = 0 จงึ ไมส ามารถใชทฤษฎีบท 11 ได

ดงั นน้ั จะพจิ ารณาคาสงู สดุ สัมพัทธแ ละคา ตา่ํ สุดสมั พัทธโ ดยใชทฤษฎีบท 10 ดังน้ี

จาก f ′(=x) 4x3 − 6x2 และคาวิกฤตของฟงกชัน f มี 2 คา คือ 0 และ 3

2

จะไดว า การเปลย่ี นแปลงของอนพุ ันธข องฟง กช ัน f เปน ดังนี้

0

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 121
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

จากรปู จะเห็นวา คา ของอนุพันธข องฟงกชนั f รอบ x = 0 ไมม ีการเปลี่ยนแปลง
จากจํานวนจริงบวกเปนจํานวนจริงลบ หรือไมมีการเปล่ียนแปลงจากจํานวนจริง
ลบเปน จํานวนจรงิ บวก
ดังนัน้ x = 0 เปนคา วกิ ฤตท่ไี มไ ดทาํ ใหฟ ง กชัน f มคี าสงู สดุ สมั พัทธหรอื คา ตํ่าสุด
สัมพัทธ
ดังจะเหน็ ไดจ ากกราฟของฟง กช ัน f ดังนี้

• การแกโจทยปญหาเก่ียวกับคาต่ําสุดหรือคาสูงสุดในหัวขอ 2.8.3 ครูควรเนนยํ้าวาการ
กําหนดโดเมนของฟงกชันตองพิจารณาบริบทของปญหาดวย เชน ตัวอยางท่ี 56 ซึ่ง
กําหนดฟงกชันแสดงความสัมพันธระหวางพ้ืนท่ีและความกวางของรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก
จะไดว า 0 ไมอยใู นโดเมนของฟงกชันน้ี เนอื่ งจากความกวางของรปู ส่ีเหล่ยี มมมุ ฉากตอง
มากกวา 0 หนวย และในตัวอยางที่ 59 ซึ่งกําหนดฟงกชันแทนรายไดตอวันของเจา ของ
โรงแรม จะไดวา 0 อยูในโดเมนของฟงกชันนี้ เน่ืองจากเจาของโรงแรมอาจไมขึ้นราคา
คา หอ งพกั ตอวัน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน
122 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ปฏิยานุพันธแ ละปริพนั ธไ มจ ํากัดเขต

ประเดน็ สําคัญเกี่ยวกบั เนอ้ื หาและสิง่ ท่คี วรตระหนกั เกี่ยวกบั การสอน

• ในการหาปฏยิ านุพนั ธของฟงกช ัน f ที่กําหนดให นักเรียนอาจหาปฏิยานุพันธของฟงกชัน
f ไดแตกตางกัน ครูควรใหนักเรียนตรวจสอบคําตอบที่ไดโดยหาอนุพันธของคําตอบที่ได
แลวพิจารณาวาเทากับฟงกชัน f หรือไม เชน นักเรียนอาจตอบวาปฏิยานุพันธของ

2x − 1 คือ x2 + 1 + c หรือ x2 + x−1 + c เมื่อ c เปนคาคงตัว ทั้งน้ี ครูควรช้ีแนะ
x2
x

ใหนกั เรยี นตรวจสอบโดยหาอนพุ ันธข องปฏยิ านพุ ันธทไ่ี ด ซ่งึ จะไดวา

d  x2 + 1 + c  = 2x − 1
dx  x  x2

d x2 + x−1 + c 1
dx x2
( )และ = 2x −

จะเหน็ วา อนพุ นั ธของคําตอบท้งั สองเทากัน ซง่ึ เทากับ 2x − 1
x2

• การหาปฏิยานุพันธของ 1 หรือ x−1 ไมสามารถทําไดโดยใชสูตรท่ี 2 ท้ังนี้นักเรียนจะได

x

ศึกษาในระดับอดุ มศึกษาตอไป

• ตัวอยางท่ี 74 ขอ 3) จะไดคําตอบจากการแกสมการกําลังสองเปน t = 0 หรือ t = 4

แต t = 0 คอื เวลาเริม่ ตนโยนวัตถุไมใชเวลาทีว่ ตั ถุตกถึงพื้นดนิ ดังนั้นเม่ือเวลาผานไป 4

วนิ าที วตั ถจุ ึงจะตกถึงพ้นื ดิน

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 123
คมู อื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

ความเขาใจคลาดเคล่ือน

นักเรียนอาจเขาใจผิดวา ∫ dy dx = ∫ dy dx = ∫ dy ท้ังน้ี ครูควรชี้แจงวา dy ไมใชเศษสวน
dx dx dx

แตเปนสัญลักษณท่ีใชแทนอนุพันธอันดับ 1 ของ y เทียบกับ x แต ∫ dy dx คือ การหา
dx

ปริพันธท่ีมี dy เปนปริพัทธ และมี dx เปนสัญลักษณท่ีบอกวาการหาปริพันธน้ีเทียบกับ

dx

ตวั แปร x

ประเดน็ สาํ คญั เก่ยี วกบั แบบฝก หดั

• การหาปริพันธไมจํากัดเขตของฟงกชันในแบบฝกหัด 2.9 ขอ 2 อาจตองจัดรูปฟงกชันท่ี
กาํ หนดให กอนใชสูตรการหาปริพนั ธไมจํากัดเขต เชน ขอ 8) สามารถจดั รปู x2 (x − 3)
ไดเปน x3 − 3x2

• แบบฝกหัด 2.9 ขอ 7 3) จะไดคําตอบจากการแกสมการกําลังสองเปน t = 3 หรือ
t =17 ซึ่งเปนไปไดท้ัง 2 คําตอบ โดย t = 3 เปนเวลาท่ีวัตถุกําลงั เคล่ือนที่ขึ้นและอยูใน
ตําแหนงท่ีสูงจากพ้ืนดิน 249.9 เมตร และ t =17 เปนเวลาท่ีวัตถุกําลังเคลื่อนที่ลงและ
อยใู นตาํ แหนงทสี่ ูงจากพนื้ ดนิ 249.9 เมตร

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
124 คูมอื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

ปรพิ ันธจํากัดเขตและพื้นทปี่ ดลอ มดวยเสนโคง
ประเด็นสาํ คัญเกยี่ วกับเนื้อหาและสง่ิ ที่ควรตระหนกั เกี่ยวกบั การสอน

• ครูอาจเริ่มตนการสอนเก่ียวกับพนื้ ทีป่ ดลอมดวยเสนโคงโดยยกตวั อยางการหาพื้นที่ปดลอม
ดวยเสนตรง y = x , แกน X , เสนตรง x =1 ถึง x = 2 โดยใชสูตรหาพื้นท่ีของรูป
เรขาคณิตท่ีนักเรียนเคยเรียนมาแลว จากนั้นจึงเปรียบเทียบกับการใชป ริพันธจํากัดเขต
ดงั นี้

วิธีที่ 1 การหาพืน้ ทสี่ วนทีแ่ รเงาโดยใชสตู รหาพืน้ ที่ของรปู เรขาคณติ
จะเห็นวา พ้ืนท่สี ว นท่ีแรเงาเปนพน้ื ท่ีของรปู ส่ีเหลย่ี มคางหมู
ดังนน้ั พื้นทส่ี วนท่แี รเงา = 1 × ผลบวกของความยาวดา นคขู นาน× ความสงู

2

= 1 × (1+ 2) ×1

2

= 3 ตารางหนวย

2

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู ัสเบื้องตน 125
คมู อื ครูรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

วธิ ีท่ี 2 การหาพน้ื ทส่ี วนทแี่ รเงาโดยใชป ริพันธจ าํ กดั เขต

จะได พ้ืนทสี่ ว นทีแ่ รเงา = 2

∫ x dx
1

= x2 2
2

1

= 4−1
22

= 3 ตารางหนว ย

2

จะเห็นวา พ้ืนทท่ี ี่ไดจากการหาวธิ ที ี่ 1 เทา กบั วธิ ที ี่ 2

• ให A เปน พื้นที่ทปี่ ด ลอ มดว ยเสน โคง y = f (x) กับแกน X จาก a ถงึ b จะพบวา

o ถา f (x) ≥ 0 สาํ หรบั ทุก x ∈[a, b] แลว b

A = ∫ f ( x )dx
a

o ถา f (x) ≤ 0 สําหรบั ทกุ x ∈[a, b] แลว A= b

−∫ f ( x )dx
a

o ถา c∈[a,b] ซึ่ง f ( x) ≥ 0 สําหรับทุก x∈[a,c] และ f ( x) ≤ 0 สําหรับทุก

x ∈[c,b=] แลว A cb

∫ f ( x )dx − ∫ f ( x )dx
ac

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบื้องตน
126 คูมือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2.3 แนวทางการจดั กจิ กรรมในหนังสือเรยี น

กจิ กรรม : สรางถนนอยา งไรใหป ระหยดั งบ
หมูบาน A และหมูบาน B อยูหางกัน 2 กิโลเมตร และหมูบานทั้งสองอยูหางจากถนนสาย
หลัก 10 กิโลเมตร ดังรปู

ถาตองการสรางถนนเชื่อมระหวางหมบู านท้ังสองเชื่อมกับถนนสายหลักโดยมีเง่ือนไขวาระยะ
ทางจากแตล ะหมบู านไปยงั ถนนสายหลักตองเทากัน จะสรางถนนใหม ีความยาวสัน้ ท่ีสดุ เพ่ือให
ประหยดั งบประมาณในการสรา งมากที่สุด ไดอ ยางไร
ขนั้ ตอนการปฏิบตั ิ
1. นักเรยี นมีแนวคิดที่จะสรา งถนนอยางไร ใหส อดคลองกับเง่ือนไขขางตน
2. นําแผนผงั ของหมูบา นท้ังสองและถนนสายหลัก มาเขยี นลงในระบบพกิ ดั ฉาก โดยใหแ กน X

แทนถนนสายหลัก จุด A(−1, 10) แทนตําแหนงของหมูบาน A และจุด B(1, 10) แทน
ตาํ แหนง ของหมูบาน B
3. กาํ หนด c∈[0, 10] และจุด C เปน จดุ บนเสนตรง y = c จงหาพกิ ัดของจุด C ทท่ี ําให

AC = BC

4. ใหจดุ D อยูบนแกน X จงหาพกิ ัดของจุด D ท่ีทาํ ให CD นอ ยท่ีสุด และจงหา CD
ท่ีนอยท่ีสุดในรูปของ c

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 127
คมู อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

5. จงหา c ทท่ี าํ ให AC + BC + CD นอ ยท่ีสุด และจงหา AC + BC + CD ทน่ี อยทีส่ ดุ
6. จากขอ 2 – 5 จงอธิบายวาจะสรางถนนเช่ือมระหวางหมูบานท้ังสองและเช่ือมกับถนนสาย

หลักอยางไร ใหร ะยะทางจากแตละหมูบ านไปยังถนนสายหลักเทากัน และถนนมีความยาว
สั้นท่ีสุด พรอมทั้งหาความยาวของถนนท่สี ั้นท่ีสุดและระยะทางจากแตละหมูบานไปยงั
ถนนสายหลัก

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
128 คูมอื ครูรายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

เฉลยกิจกรรม : สรา งถนนอยา งไรใหป ระหยดั งบ

1. คําตอบในขอน้ีเปนเพียงการคาดการณ นักเรียนสามารถตอบไดอยางอิสระ ท้ังนี้ นักเรียน
สวนใหญอาจมีแนวคิดที่จะสรางถนนโดยเริ่มจากสรางถนนเช่ือมระหวา งหมูบา นท้ังสอง
แลวสรางถนนอีกเสนจากจุดกึ่งกลางถนนเสนแรกไปตั้งฉากกับถนนเสนหลัก จะได
ความยาวของถนนท้ังหมด 12 กิโลเมตร ซ่ึงยังไมใชถนนที่ส้ันท่ีสุด โดยนักเรียนจะได
ศกึ ษาวิธีการหาถนนที่ส้ันท่ีสุดในขน้ั ตอนตอ ๆ ไป

2. นาํ แผนผงั ของหมบู านทัง้ สองและถนนสายหลกั มาเขยี นลงในระบบพกิ ัดฉากไดด งั นี้

3. พิกดั ของจุด C คอื (0, c)
4. CD นอ ยทีส่ ดุ เมอื่ CD ตั้งฉากกบั แกน X ดงั นน้ั จดุ D ตองมีพกิ ัดเปน (0,0)

และ CD ท่ีนอ ยที่สดุ คือ c กโิ ลเมตร

5. เน่อื งจาก AC + BC + CD= 2 1+ (c −10)2 + c

ให f (c)= 2 1+ (c −10)2 + c เมื่อ c ∈[0,10]

=ดงั นน้ั f ′(c) 2(c −10) +1

1+ (c −10)2

ถา f ′(c) = 0 แลว จะได 2(c −10) +1 =0 นั่นคือ =c 10 − 1
1+ (c −10)2 3

ดงั นั้น คาวกิ ฤตในชว งเปด (0,10) คือ 10 − 1

3

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 129
คูม อื ครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

ตอ ไปคาํ นวณหา f (0), f 10 − 1 และ f (10)
3 

จะได f (0) = 2 101

f 10 − 1  =10 + 3
3 

f (10) = 12

สรุปไดวา =c 10 − 1 จะใหค าต่ําสุดสัมบูรณบ นชว ง [0,10]

3

และคา ตาํ่ สุดสัมบรู ณ คือ f 10 − 1  =10 + 3 ≈ 11.732
3 

ดังนัน้ AC + BC + CD นอ ยทีส่ ดุ เมื่อ =c 10 − 1

3

และ AC + BC + CD ท่ีนอ ยท่สี ดุ คอื 10 + 3 ซ่ึงมคี า ประมาณ 11.732

6.

จากรูป เนื่องจากจุด C มีพิกัดเปน  0, 10 − 1 ดังน้ัน จะตองสรางถนนจากแตล ะหมบู า น
 3 

มาเชื่อมกันที่จุดท่ีหางจากจดุ ก่ึงกลางระหวางหมูบานท้ังสอง (ซ่ึงมีพิกัดเปน (0, 10) ) เปน

ระยะทาง 10 − 10 − 1  =1 กิโลเมตร หรือประมาณ 577 เมตร จากน้ัน สรางถนน
3  3

จากจดุ นีไ้ ปตงั้ ฉากกบั ถนนสายหลัก จึงจะทาํ ใหความยาวของถนนท่สี รางส้ันทส่ี ดุ โดยถนน

ท่สี รางจะมคี วามยาวประมาณ 11.732 กิโลเมตร แตเนื่องจากระยะทางจากแตละหมบู านไป

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้อื งตน
130 คมู ือครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

ยังจุด C มีความยาวประมาณ  − 10 − 1 2 +1 =2 กิโลเมตร หรือประมาณ
10 3  3


1.155 กโิ ลเมตร ดงั น้นั ระยะทางจากแตล ะหมบู า นไปยงั ถนนสายหลักมีความยาวประมาณ

11.732 −1.155 =10.577 กิโลเมตร

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 131
คมู ือครูรายวิชาเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ชนั้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

แนวทางการจัดกิจกรรม : สรา งถนนอยางไรใหประหยดั งบ

เวลาในการจัดกิจกรรม 50 นาที

กิจกรรมนี้เสนอไวใหนักเรียนใชความรู เรื่อง แคลคลู ัสเบ้ืองตน เพ่อื แกปญหาในสถานการณท่ี
กาํ หนดให โดยกจิ กรรมนมี้ ีส่ือ/แหลงการเรยี นรู และขน้ั ตอนการดําเนินกจิ กรรม ดังนี้

สอ่ื /แหลงการเรียนรู
1. ใบกจิ กรรม “สรางถนนอยา งไรใหป ระหยดั งบ”
2. เคร่อื งคาํ นวณซ่ึงสามารถเขยี นกราฟได

ข้ันตอนการดําเนินกิจกรรม
1. ครูจับคูนักเรียนแบบคละความสามารถ จากนั้นแจกใบกิจกรรม “สรางถนนอยางไรให

ประหยัดงบ” ใหกบั นกั เรียนทกุ คน แลว ใหน ักเรียนศกึ ษาสถานการณป ญหา
2. ครคู วรนําอภิปรายเกีย่ วกับสถานการณปญ หาในใบกิจกรรมเพ่ือใหน ักเรียนทกุ คนเขาใจ

ตรงกนั
3. ครใู หนักเรยี นตอบคําถามท่ีปรากฏในขั้นตอนการปฏิบตั ขิ อ 1 ในใบกิจกรรม
4. ครูและนักเรียนรวมกันอภิปรายคําตอบท่ีไดในข้ันตอนการปฏิบัติขอ 1 – 3 โดยไมตอง

คาํ นงึ ถึงความถูกตองของคําตอบ
5. ครูใหนักเรียนแตละคูรวมกันตอบคําถามที่ปรากฏในข้ันตอนการปฏิบัติขอ 2 – 6 ในใบ

กิจกรรม ทั้งน้ีครูควรช้ีแนะใหนักเรียนใชเคร่ืองคอมพิวเตอรเปนเครื่องมือชวยในการ
เขยี นกราฟและการคํานวณหาคา ประมาณ
6. ครูและนักเรียนรวมกนั อภิปรายเกย่ี วกับคาํ ตอบทไี่ ดในขนั้ ตอนการปฏิบัติขอ 2 – 6

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน
132 คูมือครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

2.4 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรียน

การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหน่ึงท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นักเรียน ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนําเสนอ
แบบฝกหัดท่ีครอบคลุมเนื้อหาท่ีสําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 2 แคลคูลัสเบื้องตน
ครูอาจใชแ บบฝก หดั เพือ่ วัดผลประเมินผลความรใู นแตล ะเน้อื หาไดด ังนี้

เน้ือหา แบบฝก หดั

การหาลิมิตของฟง กช นั จากตารางและกราฟ 2.1ก ขอ 1 – 7

การหาลิมติ ของฟง กชันโดยใชท ฤษฎีบทเกยี่ วกบั ลมิ ิต 2.1ข ขอ 1 – 6

การพจิ ารณาความตอ เน่ืองของฟง กช นั ทจ่ี ดุ 2.2 ขอ 1, 5

การพิจารณาความตอ เน่ืองของฟง กช ันบนชวง 2.2 ขอ 2 – 4

อัตราการเปล่ยี นแปลงเฉลี่ยและการหาอนุพันธข องฟงกช นั โดยใช 2.3 ขอ 1 – 12
บทนยิ าม

การหาอนพุ นั ธของฟงกช ันโดยใชส ตู ร 2.4 ขอ 1 – 7

การหาอนพุ นั ธของฟงกช นั ประกอบ 2.5 ขอ 1 – 7

การหาความชนั ของเสน โคง และเสนสมั ผสั เสน โคง 2.6 ขอ 1 – 11

การหาอนพุ นั ธอ นั ดับสูง 2.7 ขอ 1 – 5

การประยุกตของอนุพันธเ ก่ียวกบั การเคล่ือนท่ีแนวตรง 2.8.1 ขอ 1 – 4

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบ้ืองตน 133
คูม อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

เน้อื หา แบบฝกหัด

การประยุกตข องอนุพันธเกี่ยวกับคาสงู สุดและคาต่ําสุดของฟง กช นั 2.8.2 ขอ 1 – 4

การแกโ จทยป ญ หาเกี่ยวกบั คาสูงสดุ และคาตํา่ สดุ 2.8.3 ขอ 1 – 16

การหาปฏยิ านุพันธและปริพนั ธไ มจํากัดเขต และการแกโจทยป ญหา 2.9 ขอ 1 – 12
โดยใชความรเู ก่ยี วกับปฏยิ านุพันธและปริพนั ธไ มจ ํากัดเขต

การหาปริพันธจํากัดเขตและการแกโจทยปญหาโดยใชความรู 2.10 ขอ 1 – 2
เก่ยี วกับปรพิ ันธไมจ ํากัดเขต

การหาพื้นทปี่ ดลอ มดว ยเสน โคง 2.11 ขอ 1 – 4

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน
134 คมู ือครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

2.5 การวิเคราะหแบบฝกหัดทายบท

หนงั สอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 มีจุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเรยี นจบบทท่ี 2 แคลคลู สั เบือ้ งตน แลว นักเรียนสามารถ

1. หาลมิ ติ ของฟง กชนั ที่กาํ หนดให
2. ตรวจสอบความตอเนอื่ งของฟงกชนั ทก่ี าํ หนดให
3. หาความชนั ของเสน โคง
4. หาอนุพันธของฟง กช นั ทก่ี าํ หนดใหแ ละนาํ ไปใชแกปญหา
5. หาปริพันธไมจ ํากัดเขตและจํากัดเขตของฟงกช ันท่กี าํ หนดให และนาํ ไปใชแกป ญ หา
ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ทา ยบททป่ี ระกอบดว ยโจทยเ พ่ือตรวจสอบความรูห ลังเรียน โดยมีวัตถุประสงคเพื่อวัดความรูความ
เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะหรือโจทยที่มีความนาสนใจ
และโจทยทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตาม
จุดมุงหมายของบทเพื่อตรวจสอบวานักเรียนมีความสามารถตามจุดมุงหมายเมื่อเรียนจบ
บทเรยี นหรือไม

ทงั้ นี้ แบบฝกหัดทายบทแตล ะขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6
บทท่ี 2 แคลคลู สั เบื้องตน สอดคลองกับจุดมงุ หมายของบทเรียน ดงั น้ี

จดุ มุงหมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอ ท่ี
1. หาลมิ ิตของฟงกช นั ทก่ี าํ หนดให
1 1) – 8)
2 1) – 6)
3 1) – 4)
9*
10 1)

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 135
คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จดุ มงุ หมาย แบบฝกหดั ทา ยบทขอ ที่
2. ตรวจสอบความตอ เน่ืองของฟงกช ันท่กี าํ หนดให
4 1) – 4)
3. หาความชนั ของเสนโคง 5 1) – 4)
4. หาอนพุ นั ธข องฟง กช นั ทก่ี าํ หนดใหและนาํ ไปใชแกปญหา 6 1) – 4)
7 1) – 2)
8
9*
10 2)
12 1) – 2)
15 1) – 2)
16
17
19
20
13 1) – 4)
14 1) – 10)
18
21
22
23
24
25
26
27 1) – 4)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบือ้ งตน
136 คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จุดมุง หมาย แบบฝกหดั ทา ยบทขอ ที่
4. หาอนพุ นั ธของฟงกช ันที่กําหนดใหและนําไปใชแกป ญหา (ตอ )
28 1) – 3)
5. หาปรพิ นั ธไ มจ าํ กดั เขตและจํากดั เขตของฟงกช ันที่กาํ หนดให 29 1) – 2)
และนาํ ไปใชแกปญหา 30 1) – 4)
31
32 1) – 2)
33
34
35
36 1) – 2)
37 1) – 4)
38 1) – 2)
39
40
44
45 1) – 8)
46
47 1) – 2)
48 1) – 2)
50
51
52
53 1) – 3)
55 1) – 4), 6) – 7)

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน 137
คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จุดมงุ หมาย แบบฝก หัดทา ยบทขอที่
5. หาปริพันธไมจาํ กัดเขตและจาํ กดั เขตของฟง กชนั ท่ีกาํ หนดให
56 1) – 3)
และนําไปใชแ กปญหา (ตอ) 57
58
โจทยฝกทักษะ/โจทยที่มคี วามนาสนใจ 59
โจทยทาทาย 60
62 1) – 2)
63 1) – 2)
64
11
49
41
42
43 1) – 2)
54
55 5), 8)
61

หมายเหตุ
แบบฝก หัดทายบทขอ 9 สอดคลองกับจดุ มุง หมายของบทเรียนมากกวา 1 จุดมงุ หมาย

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคลู สั เบอ้ื งตน
138 คูมอื ครรู ายวิชาเพ่ิมเตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

2.6 ความรูเ พมิ่ เตมิ สําหรบั ครู

ความรูเพ่ิมเติมสําหรับครูที่จะกลาวถึงในคูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6
เลม 1 บทท่ี 2 แคลคลู สั เบ้ืองตน มี 3 หวั ขอ ไดแก

1. การพิสูจนทฤษฎีบทเก่ียวกับแคลคูลัสที่กลาวถึงแตไมไดแสดงการพิสูจนไวใน
หนังสอื เรยี นรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2. ความสัมพนั ธระหวา งอนพุ ันธแ ละความตอเนื่องของฟง กช นั f ทจ่ี ุด c
3. ปรพิ ันธไมต รงแบบ (Improper Integral)
โดยมีรายละเอียดในแตละหัวขอ เปน ดังน้ี

การพิสูจนทฤษฎีบทเกยี่ วกับแคลคลู ัสที่กลา วถึงในหนงั สอื เรยี น
หวั ขอนแ้ี บง การนาํ เสนอเปน 2 สว น ไดแก

สว นท่ี 1 ทฤษฎีบท บทนิยาม และบทแทรกทใ่ี ชใ นการพิสจู น
สวนท่ี 2 แนวทางการพิสูจนทฤษฎีบทในหนงั สอื เรยี น
โดยมีรายละเอยี ดในแตล ะสวนเปน ดงั น้ี
สวนที่ 1 ทฤษฎบี ท บทนยิ าม และบทแทรกท่ีใชในการพิสจู น
• ทฤษฎีบท i
ให a และ b เปน จาํ นวนจรงิ ใด ๆ

1. a − b = b − a

2. a + b ≤ a + b (อสมการสามเหลี่ยม : Triangle Inequality)

3. a − b ≤ a + b
4. a − b ≤ a − b

• ทฤษฎีบท ii
ให x และ a เปนจาํ นวนจรงิ ใด ๆ และ n เปน จาํ นวนเตม็ บวก แลว

( )xn − an = ( )x − a ⋅ xn−1 + axn−2 + a2 xn−3 + ... + an−1

สถาบนั สงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี