คู่มือคณิตศาสตร์เพิ่มเติม ม.6 เล่ม1_compressed

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 39
คมู ือครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

การประยกุ ตของลาํ ดับและอนกุ รม

กจิ กรรม : ออมกอ นรวยกวา

จดุ มุงหมายของกจิ กรรม
กิจกรรมนี้ใชเพื่อใหนักเรียนฝกแกปญหาเกี่ยวกับเงินรวมเม่ือส้ินงวดที่ n ใน

สถานการณท ่กี าํ หนดให โดยใชความรูเก่ียวกบั ผลบวกยอย n พจนแรกของอนุกรมเรขาคณิต

แนวทางการดาํ เนนิ กจิ กรรม
1. ครูจับคนู กั เรียนแบบคละความสามารถ แลวใหน กั เรยี นแตล ะคูอ า นสถานการณตอไปน้ี

วิภาวีฝากเงิน 10,000 บาท เปนประจําทุกวันที่ 1 ตุลาคม โดยเร่ิมฝากคร้ังแรก
เม่ือวันท่ี 1 ตุลาคม 2550 และธนาคารคิดดอกเบี้ยแบบทบตนรอยละ 2 ในวันที่
30 กนั ยายน ของทุกป
2. จากสถานการณในขอ 1 ครูใหนกั เรียนพจิ ารณาวา ณ วนั ท่ี 30 กนั ยายน 2580 วิภาวีจะ
มเี งินตน รวมจากการฝากเงนิ ทั้งหมดเทา ใด
แนวคาํ ตอบ
เน่อื งจาก วิภาวีเร่ิมฝากเงนิ ในวนั ท่ี 1 ตลุ าคม 2550 และฝากเปนประจําทุกปใ น
วนั ที่ 1 ตุลาคม จนกระทัง่ ถึงวันท่ี 30 กันยายน 2580
นนั่ คือ วิภาวีฝากเงินงวดสุดทายในวันที่ 1 ตุลาคม 2579
จะไดวา วภิ าวีจะตอ งฝากเงนิ ท้ังหมด 30 งวด
ดงั นนั้ จํานวนเงินตนรวมของวภิ าวี คอื 30×10,000 =300,000 บาท

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม

40 คมู ือครรู ายวิชาเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

3. ครใู หน กั เรียนอา นสถานการณตอ ไปน้ี
วิภาวรรณเปนนองสาวฝาแฝดของวิภาวี วางแผนจะเร่ิมฝากเงินจํานวนหน่ึงในวันที่
1 ตุลาคม 2565 และจะฝากเงินจํานวนดังกลา วเปน ประจําทุกป ในวนั ท่ี 1 ตลุ าคม
โดยธนาคารจะคดิ ดอกเบยี้ แบบทบตน รอ ยละ 2 ในวันที่ 30 กันยายน ของทกุ ป

4. จากสถานการณในขอ 3 ครใู หนกั เรยี นพิจารณาวา วิภาวรรณตองฝากเงินปล ะเทาใด จงึ
จะมีเงินตน รวม ณ วันที่ 30 กนั ยายน 2580 เทากับเงนิ ตนรวมของวภิ าวที ่ีไดใ นขอ 2
แนวคําตอบ
เนือ่ งจาก วิภาวรรณเริ่มฝากเงินในวนั ที่ 1 ตุลาคม 2565 และฝากเปนประจําทุกป
ในวันท่ี 1 ตุลาคม จนกระทัง่ ถงึ วันท่ี 30 กนั ยายน 2580
น่นั คอื วภิ าวฝี ากเงินงวดสดุ ทา ยในวันที่ 1 ตลุ าคม 2579
จะไดว า วภิ าวีจะตอ งฝากเงนิ ทัง้ หมด 15 งวด
เนื่องจาก จํานวนเงินตน รวมของวิภาวี คอื 300,000 บาท
ดงั น้นั วิภาวรรณตอ งฝากเงนิ ปล ะ 300,000 ÷15 =20,000 บาท

5. จากขอ 1 – 4 ครใู หน ักเรยี นคาดการณว า ณ วนั ที่ 30 กันยายน 2580 วภิ าวีหรือวภิ าวรรณ
จะมเี งินรวมมากกวา
แนวคําตอบ
ในขอนี้นักเรียนอาจยังไมไดคําตอบท่ีถูกตอง แตครูควรสงเสริมใหนักเรียนให
เหตุผลประกอบคําตอบ เชน
• วิภาวรรณจะมีเงินรวมมากกวา เน่ืองจาก ในแตละปที่วิภาวรรณฝากเงินมากกวา
วิภาวี 2 เทา
• วิภาวีจะมีเงินรวมมากกวา เนื่องจาก วภิ าวฝี ากเงินนานกวา และเปน การคิดดอกเบี้ย
แบบทบตน
• ท้ังสองคนมีเงินรวมเทากัน เน่ืองจากทั้งสองคนมีเงินตนเทากัน และธนาคารให
ดอกเบ้ียเทากัน

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 41
คูมือครรู ายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

6. จากขอ 1 และ 2 ครูใหน กั เรียนหาเงนิ รวมของวิภาวี ณ วันที่ 30 กนั ยายน 2580
6.1 เขียนแผนภาพแสดงการฝากเงนิ ของวภิ าวี
แนวคําตอบ

6.2 จากขอ 6.1 จงเขียนอนุกรมแสดงเงินรวมของวิภาวี ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580

พรอ มทง้ั ระบพุ จนท ่ี 1 และอตั ราสว นรวมของอนุกรมที่ได

แนวคําตอบ
อนุกรมแสดงเงินรวมทั้งหมดของวิภาวี ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 คือ

10000(1.02) +10000(1.02)2 +  + 10000(1.02)30

โดยอนุกรมนมี้ ีพจนท ่ี 1 คอื 10,000(1.02) และอตั ราสวนรว ม คือ 1.02
6.3 จากขอ 6.2 จงหาเงินรวมโดยประมาณของวภิ าวี ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 โดย

ใชค วามรูเกยี่ วกบั ผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเรขาคณติ
แนวคําตอบ

( )Sn
จาก = a1 1− rn
1− r

( )=จะได S30
(10,000(1.02)) 1− (1.02)30 ≈ 413,794.41

1 − 1.02
ดงั นัน้ เงินรวมของวภิ าวี ณ วนั ที่ 30 กันยายน 2580 คือ ประมาณ

413,794.41 บาท

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
42 คูม ือครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

7. จากขอ 3 และ 4 ครใู หนักเรยี นหาเงินรวมของวภิ าวรรณ ณ วนั ท่ี 30 กันยายน 2580
7.1 เขยี นแผนภาพแสดงการฝากเงนิ ของวภิ าวรรณ
แนวคาํ ตอบ

7.2 จากขอ 7.1 จงเขียนอนุกรมแสดงเงินรวมของวิภาวรรณ ณ วันที่ 30 กันยายน 2580

พรอมท้ังระบพุ จนท่ี 1 และอตั ราสวนรวมของอนุกรมทไี่ ด

แนวคําตอบ
อนุกรมแสดงเงินรวมท้ังหมดของวิภาวรรณ ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580 คือ

20000(1.02) + 20000(1.02)2 +  + 20000(1.02)15

โดยอนกุ รมนม้ี พี จนท ี่ 1 คอื 20,000(1.02) และอตั ราสว นรวม คอื 1.02
7.3 จากขอ 7.2 จงหาเงินรวมโดยประมาณของวิภาวรรณ ณ วันท่ี 30 กันยายน 2580

โดยใชความรูเกีย่ วกบั ผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ
แนวคาํ ตอบ

( )Sn
จาก = a1 1− rn
1− r

( )=จะได S15
(20,000(1.02)) 1− (1.02)15 ≈ 352,785.71

1 − 1.02

ดงั นัน้ เงินรวมของวิภาวรรณ ณ วันที่ 30 กันยายน 2580 คือ ประมาณ

352,785.71 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 43
คูม อื ครรู ายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

8. จากขอ 6 และ 7 ครูใหนักเรยี นพจิ ารณาวา วภิ าวหี รอื วิภาวรรณจะมเี งนิ มากกวากนั ณ
วันที่ 30 กันยายน 2580
แนวคําตอบ
วิภาวจี ะมีเงินมากกวา

9. จากขอ 6, 7 และ 8 ครูสรุปวา ถงึ แมว าวภิ าวแี ละวภิ าวรรณมเี งินตน เทากัน และธนาคาร
ใหดอกเบ้ียเทากัน แตเนื่องจากการใหดอกเบ้ียของธนาคารเปนแบบทบตน และวิภาวี
เรม่ิ ตนฝากเงินในธนาคารกอนวิภาวรรณ (วิภาวีฝากเงินในธนาคารนานกวาวิภาวรรณ)
จะไดวาจํานวนคร้ังทีธ่ นาคารคิดดอกเบี้ยใหกับเงินฝากของวภิ าวีมากกวา วภิ าวรรณ จึง
สง ผลใหว ภิ าวีไดดอกเบีย้ จากธนาคารมากกวา วภิ าวรรณ

ประเด็นสําคัญเก่ียวกบั เนอื้ หาและสง่ิ ท่ีควรตระหนกั เกีย่ วกบั การสอน

• ครูควรเปดโอกาสใหนักเรียนใชเครื่องคํานวณชวยในการคํานวณเพ่ือแกปญหาเก่ียวกับ
การประยกุ ตข องลําดับและอนกุ รม ทง้ั นี้ ครูควรเนนกระบวนการหาคาํ ตอบของนักเรียน
มากกวาคําตอบสุดทาย ซงึ่ คําตอบสุดทายของนักเรียนอาจประมาณเปนจํานวนเต็มหนวย
กไ็ ด โดยคํานึงถึงความสมเหตสุ มผลของคําตอบ

• การประยุกตของลําดับและอนุกรมในบทนี้จะมีตัวอยางที่เกี่ยวของกับการเงิน ซึ่งครูไม
ควรละเลยการสอนเน้ือหาดังกลาว เน่ืองจากเปนเนื้อหาท่ีสอดคลองกับชีวิตจริง
ในหวั ขอการประยกุ ตของลาํ ดบั และอนกุ รม r จะแทนอตั ราดอกเบีย้ แบบทบตน ตอปซึ่ง
แตกตางจาก r ที่เปนอัตราสวนรวมท่ีกลาวถึงในหัวขอลําดับเรขาคณิตหรืออนุกรม
เรขาคณติ

• ครคู วรสนบั สนุนใหนักเรียนเขียนแผนภาพประกอบการแกปญ หาเกยี่ วกับมูลคาปจจุบัน
มลู คาอนาคต และคา งวด

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม
44 คมู ือครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

• ครูควรเนนยํ้าใหนักเรียนเห็นความสําคัญของการตรวจสอบเง่ือนไขใหถูกตองกอนนํา
สูตรมาใชเสมอ เชน ในการกลาวถึงดอกเบี้ยทบตน (ตามทฤษฎีบท 9) มูลคาปจจุบัน
และมูลคาอนาคตนั้น อัตราดอกเบี้ย i% จะเปนอัตราดอกเบ้ียตอป แตในการกลาวถึง
คา งวดน้นั i% จะเปน อตั ราดอกเบี้ยตองวด

• “เม่ือส้ินปที่ n” ตามทฤษฎบี ท 9 มีความหมายเชนเดียวกับ “ครบ n ป” ตามทฤษฎีบท 10
• การกลาวถึงการรับหรือจายคางวดในโจทยในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร

ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ตองมีขอมูลครบท้ัง 3 ประการ คือ รับหรือจายเทากันทุก
งวด รับหรือจา ยตดิ ตอ กันทกุ งวด และรบั หรอื จา ยตอนตน งวดหรือส้ินงวด
• จากแผนภาพแสดงคางวดแตละงวดที่รับหรือจายตอนตนงวด จะไดวา “งวดท่ี” อยู
ระหวางตัวเลขท่อี ยูแถวบนสดุ ของแผนภาพ ดงั รูป

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 45
คมู อื ครูรายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

และสําหรับแผนภาพแสดงคางวดแตละงวดที่รับหรือจายตอนส้ินงวด จะไดวา “งวดท”่ี
อยรู ะหวางตวั เลขทีอ่ ยแู ถวบนสดุ ของแผนภาพเชนเดียวกัน ดังรปู

• ตัวอยา งสถานการณในชีวิตจริงที่เกยี่ วกับคางวดท่ีจา ยหรือรับตอนตนงวด คอื การฝากเงิน
ในธนาคารแบบประจํา 24 เดือน และท่ีเก่ียวกับคางวดที่จายหรือหรือรับตอนสิ้นงวด
คือ การผอนคาบาน อยางไรก็ตาม ครูไมควรยกตัวอยางการผอนคาบานใหนักเรียนหา
คําตอบ เน่ืองจากบานมีราคาสูง และตองใชเวลาในการผอนหลายงวด จึงไมสะดวกใน
การเขียนแผนภาพและการหาคาํ ตอบ

• นักเรียนไมจําเปนตองจําสูตรการหาเงินรวมตอนตนงวดและส้ินงวด เน่ืองจากสามารถ
คาํ นวณหาเงินรวมตอนตนงวดและสิ้นงวดไดจากสูตรการหาผลบวกของอนุกรมเรขาคณิต

• การหาคาประมาณของทศนิยมเพ่อื ตอบคําถามของโจทยป ญหาในหัวขอน้ี ตองพจิ ารณา
ความสอดคลองกบั บริบททีโ่ จทยกําหนดดว ย

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนุกรม
46 คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

ประเดน็ สําคญั เกย่ี วกับแบบฝกหัด
• การหาคําตอบของแบบฝกหัด 1.5 ขอ 1 2) ซ่ึงตองมีการแกสมการ (1.04)n = 3 น้ัน

อาจใชความรูเก่ียวกับสมบัติของลอการิทึมในการแกสมการเอกซโพเนนเชียล ซ่ึงทําได
ดังน้ี

จาก (1.04)n = 3
จะได n = log1.04 3

n = log 3
log1.04

n ≈ 28.01

ดงั นนั้ จะตองฝากเงนิ ครบ 29 ป จึงจะมเี งินเพ่มิ ขึน้ อยางนอยสามเทาของเงินตน
นอกจากนี้ นกั เรียนอาจใชการหาคาประมาณของเลขยกกําลังท่ีมีเลขช้กี าํ ลังเปนจํานวน
เต็มบวก ซ่ึงจะสังเกตไดวา (1.04)28 ≈ 2.9987 และ (1.04)29 ≈ 3.1187 แตเนื่องจาก
n แทนจํานวนปท่ีนอยท่ีสุดท่ีจะทําใหมีเงินเพ่ิมข้ึนเปนอยางนอยสามเทาของเงินตน
ดังน้ัน n = 29 จึงเปน คาํ ตอบของโจทยป ญหาขอนี้
• การฝากเงินตามเงื่อนไขในแบบฝกหัด 1.5 ขอ 9 น้ัน จะตองพิจารณาเงินที่ฝากเมื่อสิ้น
ไตรมาสที่ 4 ของปท ่ี 4 ดว ย
• การหาพจนที่ขาดหายไปของลําดับเลขคณิตหรือลําดับเรขาคณิตที่กําหนดใหใน
แบบฝกหัดทายบท ขอ 16 ตองตรวจสอบท้ังลําดับเลขคณิตและลําดับเรขาคณิต
เนอื่ งจากบางลําดบั เปน ทงั้ ลาํ ดบั เลขคณิตและลําดับเรขาคณติ

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 47
คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

1.3 การวดั ผลประเมนิ ผลระหวา งเรยี น

การวัดผลระหวางเรียนมีจุดมุงหมายเพ่ือปรับปรุงการเรียนรูและพัฒนาการเรียนการสอน และ
ตรวจสอบนักเรียนแตละคนวามีความรูความเขาใจในเรื่องที่ครูสอนมากนอยเพียงใด การให
นักเรียนทําแบบฝกหัดเปนแนวทางหนึ่งท่ีครูอาจใชเพื่อประเมินผลดานความรูระหวางเรียนของ
นักเรียน ซึ่งหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ไดนําเสนอ
แบบฝกหัดที่ครอบคลุมเน้ือหาที่สําคัญของแตละบทไว สําหรับในบทท่ี 1 ลําดับและอนุกรม
ครูอาจใชแ บบฝกหัดเพือ่ วัดผลประเมินผลความรูใ นแตละเน้ือหาไดด ังน้ี

เนอื้ หา แบบฝกหัด

การหาพจนใ นลําดบั จากพจนทั่วไปท่ีกําหนด 1.1.1 ขอ 1 – 3
การหาพจนในลําดับเลขคณติ และพจนทว่ั ไปของลาํ ดับเลขคณิต 1.1.2 ขอ 1 – 14

การประยุกตข องลาํ ดับเลขคณติ 1.1.2 ขอ 15 – 16

การหาพจนในลําดบั เรขาคณติ และพจนท่วั ไปของลาํ ดบั เรขาคณิต 1.1.3 ขอ 1 – 12

การประยกุ ตข องลาํ ดับเรขาคณิต 1.1.3 ขอ 13 – 14

การหาพจนใ นลําดบั ฮารมอนิกและการประยุกตข องลําดับฮารมอนกิ 1.1.4 ขอ 1 – 3

การใชกราฟเพ่ือตรวจสอบการเปนลําดับลูเขา ลําดับลูออก และ 1.2 ขอ 1
หาลิมติ ของลําดบั ลเู ขา

การใชทฤษฎีบทเก่ียวกับลิมิตของลําดับเพื่อตรวจสอบการเปน 1.2 ขอ 2
ลําดบั ลเู ขา ลําดับลอู อก และหาลมิ ิตของลาํ ดบั ลเู ขา

การประยกุ ตของลิมิตของลาํ ดบั อนันต 1.2 ขอ 3 – 4

การหาผลบวก n พจนแ รกของอนกุ รมเลขคณติ 1.3.1 ขอ 1 – 4

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
48 คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

เน้อื หา แบบฝก หัด
1.3.1 ขอ 5 – 10
การประยกุ ตข องอนุกรมเลขคณติ 1.3.2 ขอ 1 – 3
การหาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ 1.3.2 ขอ 4 – 10
การประยกุ ตของอนุกรมเรขาคณิต 1.3.3 ขอ 1
การหาลําดับของผลบวกยอยของอนกุ รม 1.3.3 ขอ 2 – 3
การหาผลบวกของอนกุ รม 1.3.3 ขอ 4 – 9
การประยกุ ตของอนุกรมอนันต
การเขียนสัญลักษณแสดงการบวกและการหาผลบวกของอนุกรม 1.4 ขอ 1 – 12
ที่เขียนอยใู นรูปสัญลักษณแ สดงการบวก
การประยุกตของลําดับและอนุกรมเก่ียวกับดอกเบ้ียและมูลคา 1.5 ขอ 1 – 11
ของเงนิ

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 49
คมู ือครรู ายวิชาเพิ่มเติมคณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

1.4 การวเิ คราะหแบบฝกหัดทายบท

หนังสอื เรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 มจี ุดมุงหมายวาเม่ือนักเรียน
ไดเ รยี นจบบทที่ 1 ลําดบั และอนกุ รม แลวนักเรียนสามารถ

1. หาพจนต า ง ๆ ของลําดบั เลขคณติ และลาํ ดบั เรขาคณิต
2. หาลิมิตของลาํ ดับอนนั ตโ ดยใชทฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลิมติ
3. ระบไุ ดว า ลาํ ดับท่ีกาํ หนดใหเ ปน ลาํ ดับลเู ขา หรือลาํ ดบั ลูออก
4. หาผลบวก n พจนแรกของอนกุ รมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต
5. หาผลบวกอนุกรมอนันต
6. ระบุไดว า อนุกรมท่กี ําหนดใหเปน อนุกรมลูเขา หรืออนุกรมลูออก
7. ใชค วามรเู ก่ียวกบั ลาํ ดับและอนกุ รมในการแกป ญ หา
ซ่ึงหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ไดนําเสนอแบบฝกหัด
ทา ยบทที่ประกอบดว ยโจทยเพื่อตรวจสอบความรหู ลังเรียน โดยมวี ตั ถปุ ระสงคเพื่อวัดความรูความ
เขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย ซ่ึงประกอบดวยโจทยฝกทักษะที่มีความนาสนใจและโจทย
ทาทาย ครูอาจเลือกใชแบบฝกหัดทายบทวัดความรูความเขาใจของนักเรียนตามจุดมุงหมาย
ของบทเพอ่ื ตรวจสอบวานักเรยี นมคี วามสามารถตามจุดมุงหมายเมอ่ื เรียนจบบทเรยี นหรอื ไม

ทั้งน้ี แบบฝก หัดทายบทแตล ะขอในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปที่ 6
บทท่ี 1 ลาํ ดบั และอนกุ รม สอดคลอ งกับจดุ มงุ หมายของบทเรียน ดงั นี้

จุดมุงหมาย แบบฝก หัดทายบทขอที่
1. หาพจนต า ง ๆ ของลาํ ดบั เลขคณติ และลําดบั เรขาคณติ
1 1) – 4)
2
3
4
5
9

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม
50 คูมอื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทา ยบทขอที่

1. หาพจนต า ง ๆ ของลําดบั เลขคณติ และลาํ ดบั เรขาคณติ (ตอ ) 10

11

12

13

16 1) – 4)

2. หาลมิ ติ ของลําดับอนนั ตโ ดยใชท ฤษฎบี ทเกี่ยวกบั ลมิ ติ 18
21 1) – 16)

22

3. ระบไุ ดว า ลาํ ดับทีก่ ําหนดใหเ ปนลําดบั ลูเขา หรอื ลาํ ดบั ลอู อก 20 1) – 6)

23

4. หาผลบวก n พจนแ รกของอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิต 24

25

26

27

31

32 1) – 3)

33

5. หาผลบวกอนกุ รมอนนั ต 38 1) – 6)
39 1) – 8)

40*

46 1) – 2)

6. ระบไุ ดวา อนกุ รมที่กําหนดใหเ ปนอนกุ รมลูเขาหรืออนกุ รมลูออก 40*

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 51
คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

จดุ มุงหมาย แบบฝกหดั ทายบทขอท่ี
7. ใชความรูเก่ยี วกบั ลําดับและอนุกรมในการแกป ญ หา
7
8 1) – 3)
14
15 1) – 2)
19
28 1) – 2)
29 1) – 6)
30
34
35 1) – 3)
36 1) – 4)
41
42
43
44
47 1) – 3)
48
49
50
51
52
53
54
55

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม
52 คูม อื ครูรายวชิ าเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

จุดมงุ หมาย แบบฝก หดั ทายบทขอ ท่ี
7. ใชความรูเก่ยี วกบั ลาํ ดบั และอนุกรมในการแกป ญหา (ตอ )
56
ปญหาทาทาย 57
59
60
6
17
37 1) – 3)
45
46 3)
58

หมายเหตุ
แบบฝก หัดทา ยบทขอ 40 สอดคลอ งกบั จุดมงุ หมายของบทเรยี นมากกวา 1 จุดมุงหมาย

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 53
คูมอื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณิตศาสตร ชนั้ มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

1.5 ความรูเพ่ิมเตมิ สาํ หรับครู

ความรูเพิ่มเติมสําหรับครูที่จะกลาวถึงในคูมือครูรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6
เลม 1 บทท่ี 1 ลําดบั และอนกุ รม คอื การพสิ จู นทฤษฎบี ทเกีย่ วกบั ลาํ ดับและอนุกรมทก่ี ลาวถึงแต
ไมไดแสดงการพิสูจนไวในหนังสือเรียนรายวิชาเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1
โดยจะแยงการนําเสนอเปน 2 สวน ไดแ ก

สวนท่ี 1 ทฤษฎีบท บทนิยาม และบทแทรกทีใ่ ชใ นการพิสจู น
สวนท่ี 2 แนวทางการพสิ จู นท ฤษฎบี ทในหนงั สอื เรียน
โดยมรี ายละเอยี ดในแตละสวนเปน ดังน้ี
สว นที่ 1 ทฤษฎบี ท บทนิยาม และบทแทรกท่ใี ชใ นการพสิ ูจน
• ทฤษฎบี ท i (อสมการแบรนลู ลี : Bernoulli’s Inequality)
สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนจริง x ท่ี x > −1 จะไดว า (1+ x)n ≥1+ nx ทุกจาํ นวนเตม็ บวก n

• ทฤษฎีบท ii (สมบัตอิ ารคมิ ีดิส : Archimedean Property)
1. สําหรับทกุ จาํ นวนจริงบวก x จะมจี ํานวนเต็มบวก n ที่ x < n

2. สาํ หรับทกุ จาํ นวนจรงิ บวก x จะมจี าํ นวนเตม็ บวก n ท่ี 1 < x

n

• ทฤษฎบี ท iii
ให a และ b เปนจํานวนจรงิ ใด ๆ

1. a − b = b − a (อสมการสามเหลี่ยม : Triangle Inequality)
2. a + b ≤ a + b

3. a − b ≤ a + b

4. a − b ≤ a − b

• บทนยิ าม iv

ให xn เปนลําดับของจาํ นวนจรงิ จะกลาววาลาํ ดับ xn ลูเขา สูจ ํานวนจริง x เขียนแทนดว ย

สญั ลักษณ lim xn = x ถาสาํ หรับทุก ε > 0 จะมีจาํ นวนเต็มบวก N ซ่ึง xn − x <ε

n→∞

สาํ หรบั ทกุ n ≥ N

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนุกรม
54 คูมอื ครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

• บทนยิ าม v

ลําดับ xn เปน ลาํ ดับทีม่ ีขอบเขต (bounded) ถามี M > 0 ท่ี xn ≤ M สําหรับทุก
จาํ นวนเตม็ บวก n

• บทแทรก vi

ลาํ ดับ xn เปนลําดับทไ่ี มมีขอบเขต (unbounded) เมือ่ สําหรับทุก M > 0
จะมีจํานวนเตม็ บวก n ท่ี xn > M

• ทฤษฎบี ท vii

ทุกลําดบั ลเู ขา เปนลําดับทีม่ ีขอบเขต

• บทแทรก viii

ทุกลาํ ดับที่ไมมีขอบเขตเปน ลําดบั ลูออก

• ทฤษฎบี ท ix

ให A ⊂  f : A →  เปน ฟงกชนั ตอ เนอ่ื ง ลาํ ดับ xn เปนลําดบั บน A และ x∈ A

( )ถา แลว
lim xn = x =nli→m∞ f ( xn ) =f nli→m∞ xn f (x)

n→∞

• ทฤษฎีบท x (หลักอุปนัยเชงิ คณติ ศาสตร : Principal of Mathematical Induction)

ให P(n) แทนประโยคเปดทมี่ ีเอกภพสมั พัทธคือจาํ นวนเต็มบวก สมมตวิ า

1. P(1) เปน จริง

2. สาํ หรบั ทุกจาํ นวนเตม็ บวก k ถา P(k) เปน จรงิ แลว P(k +1) เปน จริงดว ย

จะสรุปไดวา P(n) เปน จรงิ สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนเตม็ บวก n

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 55
คูมือครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

สวนท่ี 2 แนวทางการพิสูจนท ฤษฎบี ทในหนงั สือเรยี น

• ทฤษฎีบท 1
ให r เปน จํานวนจริงบวก จะไดวา

1. lim 1 =0

n→∞ nr

2. lim nr ไมมคี า
n→∞

พสิ ูจน

1. จะแสดงวา lim 1 =0 เมือ่ r เปน จํานวนจรงิ บวก

n→∞ nr

ให r เปน จาํ นวนจรงิ บวก และ ε > 0

จะไดวา 1 >0

εr

โดยสมบตั ิอารค ิมีดสิ จะไดวา มจี ํานวนเต็มบวก N ท่ี 1 1

N <εr

ให n เปนจํานวนเต็มบวก ที่ n ≥ N

1 − =0  1 r ≤  1 r < ε
nr  n   N 

น่นั คือ lim 1 =0
nr
n→∞

2. จะแสดงวา lim nr ไมม คี า โดยแสดงวา ลาํ ดับ nr เปน ลาํ ดับทไ่ี มม ีขอบเขต
n→∞

ให r เปน จํานวนจรงิ บวก และ M > 0

จะไดว า 1 >0

Mr

1

โดยสมบัตอิ ารคิมดี สิ จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก n ท่ี M r < n

n=r nr > M

จะไดวา ลําดบั nr เปน ลําดับทไี่ มม ขี อบเขต
ดงั น้ัน lim nr ไมมีคา

n→∞

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม
56 คมู ือครูรายวชิ าเพ่ิมเตมิ คณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

• ทฤษฎีบท 2

ให r เปน จํานวนจรงิ บวก จะไดวา

1. ถา r <1 แลว lim rn = 0
n→∞

2. ถา r >1 แลว lim rn ไมม คี า
n→∞

พิสจู น

1. จะแสดงวา ถา r <1 แลว lim rn = 0
n→∞

ถา r = 0 จะไดว า lim=rn lim=0n l=im 0 0
n→∞ n→∞ n→∞

ให r เปนจาํ นวนจรงิ บวก ซง่ึ 0 < r <1

จะไดว า 1 >1 หรอื 1 −1 > 0

rr

จะมจี ํานวนจรงิ บวก h ซึ่ง =h 1 −1

r

ดงั น้ัน r =1
1+ h

จากอสมการแบรน ลู ลี จะไดวา (1+ h)n ≥ 1+ nh ทุกจาํ นวนเต็มบวก n

ให ε > 0

เน่ืองจาก h > 0 จะไดว า hε > 0

โดยสมบัติอารคิมดี สิ จะไดวา มจี าํ นวนเตม็ บวก N ท่ี 1 < hε

N

ให n เปน จาํ นวนเตม็ บวก ที่ n ≥ N

rn −0 = rn=  1 n ≤ 1 < 1 ≤ 1 < ε
 1+ h  1+ nh nh Nh

นั่นคือ lim rn = 0 เมื่อ 0 < r <1
n→∞

2. จะแสดงวา ถา r >1 แลว lim rn ไมมีคา โดยแสดงวา ลําดบั rn เปนลาํ ดับที่ไมมขี อบเขต
n→∞

ให r เปนจาํ นวนจริงบวก ซึ่ง r >1

จะไดว า r −1 > 0

จะมจี ํานวนจรงิ บวก a ซ่งึ a= r −1

ดงั นน้ั r= 1+ a

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 57
คูมือครรู ายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

จากอสมการแบรน ูลลีจะไดวา r n = (1+ a)n ≥ 1+ na สําหรบั ทกุ จาํ นวนเต็มบวก n
ให M > 0

โดยสมบตั ิอารค ิมดี สิ จะไดวา มีจาํ นวนเตม็ บวก N ซงึ่ N > M

a

พิจารณา r N = r N ≥ 1+ Na > Na > M

ดังนัน้ ลาํ ดับ rn เปนลาํ ดบั ที่ไมมีขอบเขต

โดยบทแทรก viii จะไดว า ลาํ ดับ rn เปนลาํ ดับลอู อก

นน่ั คอื lim rn ไมมคี า
n→∞

• ทฤษฎีบท 3

ให an, bn, tn เปนลําดับของจาํ นวนจรงิ A, B เปนจํานวนจรงิ และ c เปนคา คงตวั ทีเ่ ปน

จาํ นวนจรงิ โดยที่ lim an =A และ lim bn =B จะไดว า

n→∞ n→∞

1. ถา tn = c ทุกจาํ นวนเต็มบวก n แลว nli→=m∞ tn l=im c c

n→∞

2. nl=i→m∞ can c=nli→m∞ an cA

3. lim ( an + bn ) =lim an + lim bn =A + B
n→∞
n→∞ n→∞

4. lim ( an − bn ) =lim an − lim bn =A − B
n→∞
n→∞ n→∞

5. lim ( an ⋅ bn ) =lim an ⋅ lim bn =A ⋅ B
n→∞
n→∞ n→∞

6. ถา bn ≠ 0 ทกุ จํานวนเตม็ บวก n และ B≠0 แลว l=im an nl=i→m∞ an A
n→∞ bn lim bn B

n→∞

พสิ ูจน

1. ให c เปน คาคงตัวทเี่ ปนจํานวนจรงิ n เปนจาํ นวนเตม็ บวก และ ε > 0

จาก tn = c ทกุ จํานวนเตม็ บวก n

จะไดว า tn − c = c − c = 0 < ε

นัน่ คือ nli→=m∞ tn l=im c c

n→∞

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม
58 คูม อื ครูรายวชิ าเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2. ให c เปนคาคงตัวทีเ่ ปนจาํ นวนจริง และ ε > 0

เน่ืองจาก c ≥ 0

ดงั น้ัน c +1 > 0

จะไดวา ε > 0

c +1

เนือ่ งจาก lim an = A

n→∞

จะไดว า มีจาํ นวนเตม็ บวก N ซ่งึ an − A < ε ทุก n≥N
c +1

ให n เปนจาํ นวนเต็มบวก ท่ี n ≥ N

can − cA = c ⋅ an − A < c⋅ ε <ε
c +1

นนั่ คือ lim ca=n c=A c lim an

n→∞ n→∞

3. ให ε > 0

เนื่องจาก lim an = A

n→∞

จะไดว า มจี ํานวนเต็มบวก N1 ซึง่ an − A < ε ทุก n ≥ N1
2

และจาก lim bn = B

n→∞

จะไดว า มีจาํ นวนเต็มบวก N2 ซ่งึ bn − B < ε ทกุ n ≥ N2
2

ให N = max{N1 , N2} และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก ที่ n ≥ N

จะไดว า (an + bn ) − ( A + B) = (an − A) + (bn − B)

≤ an − A + bn − B

< ε +ε
22

=ε

น่ันคอื lim ( an + bn ) = A+ B = lim an + lim bn

n→∞ n→∞ n→∞

4. ให ε > 0

เนื่องจาก lim an = A

n→∞

จะไดว า มีจํานวนเตม็ บวก N1 ซง่ึ an − A < ε ทกุ n ≥ N1
2

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดับและอนุกรม 59
คูม ือครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

และจาก lim bn = B

n→∞

จะไดวา มจี ํานวนเต็มบวก N2 ซ่ึง bn − B < ε ทกุ n ≥ N2
2

ให N = max{N1 , N2} และ n เปน จาํ นวนเต็มบวก ท่ี n ≥ N

จะไดวา (an − bn ) − ( A − B) = (an − A) − (bn − B)

≤ an − A + bn − B

< ε +ε
22

=ε

นน่ั คอื (lim an − bn ) = A− B = lim an − lim bn
n→∞
n→∞ n→∞

5. ให ε > 0

เนอ่ื งจาก lim an = A

n→∞

จะไดว า มีจํานวนเต็มบวก N1 ซ่งึ an − A < ε ทุก n ≥ N1

2( B +1)

เน่อื งจาก ลําดับ an เปนลําดบั ลูเขา

โดยบทแทรก vii จะไดว า ลาํ ดับ an เปนลําดับท่ีมขี อบเขต

ดังนัน้ จะมี M > 0 ซ่ึง an < M ทกุ จํานวนเตม็ บวก n

เนอื่ งจาก lim bn = B

n→∞

จะไดว า มีจํานวนเต็มบวก N2 ซ่ึง bn − B < ε ทุก n ≥ N2
2M

ให N = max{N1 , N2} และ n เปนจาํ นวนเต็มบวก ที่ n ≥ N

จะไดวา anbn − A=B anbn + (−an B + an B) − AB

= (anbn − anB) + (anB − AB)

≤ anbn − an B + an B − AB

= an bn − B + B an − A

< M⋅ ε + B ⋅ 2( ε + 1)
2M B

<ε

นน่ั คอื lim (an ⋅ bn ) = A⋅B = lim an ⋅ lim bn

n→∞ n→∞ n→∞

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม
60 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

6. ให bn ≠ 0 ทกุ จํานวนเตม็ บวก n และ B ≠ 0

ตอ งการแสดงวา lim 1 = 1
n→∞ bn B

เนอื่ งจาก lim bn =B

n→∞

จะไดว า มจี าํ นวนเตม็ บวก N1 ซ่ึง

bn − B < B ทุก n ≥ N1
2

B − bn ≤ B − bn < B ทกุ n ≥ N1
2

bn > B−B ทุก n ≥ N1

2

bn >B ทุก n ≥ N1
ทกุ n ≥ N1
2

1 <2

bn B

ให ε > 0

เน่ืองจาก lim bn =B

n→∞

จะไดว า มจี ํานวนเตม็ บวก N2 ซ่งึ bn − B < B2ε ทุก n ≥ N2
2

ให N = max{N1 , N2} และ n เปน จํานวนเตม็ บวก ที่ n ≥ N

จะไดวา 1 − 1 =B − bn
bn B bn B

= 1 ⋅ 1 ⋅ bn − B
bn B

< 2 ⋅ 1 ⋅ B2ε
BB 2

=ε

ดังนั้น lim 1 = 1
n→∞ bn B

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 61
คูมอื ครรู ายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

จากบทพสิ ูจนกอนหนา จะไดวา

lim an = lim  an ⋅ 1  = lim ( an ) ⋅ lim 1  = A⋅ 1 =A
n→∞ bn  bn    B B
n→∞   n→∞ n→∞  bn 

นั่นคือ lim an= =A lim an เม่ือ B ≠ 0

n→∞ bn n→∞

• ทฤษฎบี ท 4 B lim bn

n→∞

ให an เปนลําดบั ซึง่ an ≠0 สาํ หรบั ทกุ จาํ นวนเตม็ บวก n ถา lim 1 =0 แลว
an
n→∞

ลาํ ดับ an เปนลําดบั ลอู อก

พิสจู น

จะแสดงวา ถา lim 1 =0 แลว ลาํ ดับ an เปน ลําดบั ลอู อก
an
n→∞

โดยแสดงวา ลําดบั an เปน ลาํ ดับท่ไี มมีขอบเขต

ให an เปน ลาํ ดับซ่ึง an ≠ 0 สําหรบั ทุกจํานวนเต็มบวก n และ M > 0

เนอ่ื งจาก lim 1 = 0

n→∞ an

จะไดว า มีจาํ นวนเตม็ บวก N ซึ่ง

1 −0 < 1 สําหรับ n ≥ N
an M

ดงั น้ัน 1 < 1

aN M

aN > M

นนั่ คือ ลําดบั an เปน ลาํ ดับทไ่ี มมีขอบเขต
โดยบทแทรก viii จะไดว า ลาํ ดบั an เปน ลาํ ดบั ลอู อก

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม
62 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 5

ให an เปนลาํ ดับของจํานวนจรงิ ทม่ี ากกวา หรอื เทากบั ศนู ย L เปนจํานวนจริง และ m เปน

จาํ นวนเต็มท่มี ากกวา หรอื เทา กบั สอง จะไดวา ถา lim an = L แลว nl=i→m∞ m an m=nli→m∞ an mL

n→∞

พสิ จู น

ให m เปนจาํ นวนเต็ม ท่ี m ≥ 2 และ fm : + ∪{0} →  โดยท่ี fm ( x) = m x
สําหรับ x∈+ ∪{0}

จะเหน็ วา fm มีความตอเนอ่ื งบน + ∪{0}

สมมติให lim an =L

n→∞

เน่ืองจาก fm ตอเน่ืองบน + ∪{0} ลาํ ดบั an เปน ลําดับบน + ∪{0} และ L∈+ ∪{0}

( )โดยทฤษฎบี ท ix จะไดวา =nli→m∞ fm (an ) =fm nli→m∞ an fm (L)

ดังนน้ั nl=i→m∞ m an m=nli→m∞ an m L

หมายเหตุ สาํ หรับจํานวนเต็ม m ที่ m ≥ 2 ฟง กช นั fm : + ∪{0} →  นิยามโดย

fm (x) = m x สาํ หรบั x∈+ ∪{0} จะมีความตอเน่ือง สามารถพิสูจนไดในแคลคลู สั

• ทฤษฎบี ท 6

กาํ หนดใหอนุกรมเรขาคณิตมี a1 เปนพจนแ รก และ r เปน อัตราสว นรวม

1. ถา r <1 แลว อนุกรมนเ้ี ปนอนุกรมลูเขา และผลบวกของอนุกรมนี้เทากับ a1

1− r

2. ถา r ≥1 แลว อนกุ รมนีเ้ ปนอนุกรมลูอ อก

พสิ ูจน

1. จะแสดงวา อนุกรมเรขาคณิต ∞ เปน อนุกรมลูเขา และลูเ ขาสูคา a1 เม่อื r <1
1− r
∑ a1rn−1

n=1

สมมติให r <1

ให n เปนจํานวนเตม็ บวก

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนกุ รม 63
คูมือครูรายวิชาเพมิ่ เติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

พิจารณาผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณติ น้ี จะไดว า

( )a1 1− rn

Sn = 1− r

เน่อื งจาก r <1 โดยทฤษฎีบท 2 จะไดวา lim rn = 0
n→∞

ดงั น้นั lim (1− rn )= lim 1− lim rn = 1
n→∞ n→∞ n→∞

( ) ( )ฉะนั้น lim
n→∞
Sn = lim a1 1 − rn = a1 ⋅ lim 1 − rn = a1
n→∞ 1− r 1− r n→∞ 1− r

น่ันคือ อนุกรมเรขาคณติ ∞ เปน อนุกรมลูเ ขา และลเู ขาสคู า a1 เมอ่ื r <1
1− r
∑ a1rn−1

n=1

2. จะแสดงวา อนุกรมเรขาคณิต ∞ เปน อนุกรมลูออก เมื่อ r ≥1 โดยการพสิ จู น

∑ a1rn−1
n=1

หาขอขัดแยง

ให r ≥1

สมมตวิ า อนุกรมเรขาคณิต ∞ เปนอนกุ รมลูเขา

∑ a1rn−1
n=1

ดังนั้น ลําดับของผลบวกยอ ยเปน ลาํ ดับลเู ขา

ให n เปน จํานวนเต็มบวก

จะแยกพิจารณา r เปน 2 กรณี ดงั นี้

กรณี 1 r =1

จาก r =1 จะไดว า ∞∞

∑ ∑a1rn−1 = a1
=n 1=n 1

และมลี าํ ดบั ของผลบวกยอย คอื a1,2a1,3a1,,na1,

เน่ืองจาก lim na1 ไมม ีคา

n→∞

ดังนนั้ ลาํ ดบั ของผลบวกยอยเปนลําดบั ลอู อก

จะไดวา ∞ เปนอนกุ รมลูออก ซึ่งขัดแยงกบั ที่กาํ หนด

∑ a1rn−1
n=1

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม
64 คมู ือครรู ายวิชาเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

กรณี 2 r ≥1 โดยท่ี r ≠ 1

พจิ ารณาผลบวกยอย n พจนแ รกของอนุกรมเรขาคณิตน้ี จะไดว า

( )Sn
= a1 1 − rn
1− r

จากอนุกรมเรขาคณติ ∞ เปนอนุกรมลเู ขา

∑ a1rn−1
n=1

ดังนน้ั ลําดับของผลบวกยอยเปนลาํ ดับลูเขา

นน่ั คอื จะมีจํานวนจริง S ที่ lim Sn = S

n→∞

( ) ( )S
ดงั นนั้ = lim Sn = lim a1 1 − rn = a1 ⋅ lim 1 − rn ----- (*)
n→∞ n→∞ 1− r 1 − r n→∞

จาก r ≥1 โดยท่ี r ≠1 จะแยกพจิ ารณาออกเปน 2 กรณียอย ดงั น้ี

กรณยี อ ย 1 r >1

พิจารณาเม่อื n มากข้นึ โดยไมม ีท่สี ้นิ สุด

จาก r >1 จะไดวา rn จะมีคา มากขึ้นและไมเขา ใกลจํานวนจริงใดจาํ นวนหนึ่ง

ดังน้ัน −rn จะมคี าลดลงและไมเ ขาใกลจํานวนจริงใดจํานวนหน่ึง

จะไดว า 1− rn จะมีคาลดลงและไมเขาใกลจ าํ นวนจรงิ ใดจํานวนหนึง่

ดงั นัน้ ( )lim 1− rn ไมมีคา ซ่ึงขดั แยงกับ (*)
n→∞

กรณยี อย 2 r ≤1

พิจารณาเมอื่ n มากขน้ึ โดยไมมีที่สิ้นสดุ

จาก r ≤1 จะไดว า rn จะมีคา แกวง กวดั และไมเ ขาใกลจาํ นวนจรงิ ใดจาํ นวนหนึ่ง

ดงั น้นั −rn จะมคี า แกวง กวดั และไมเ ขา ใกลจาํ นวนจรงิ ใดจํานวนหน่ึง

จะไดวา 1− rn จะมีคา แกวง กวัดและไมเขาใกลจ ํานวนจรงิ ใดจาํ นวนหน่ึง

ดังนั้น (lim 1− )rn ไมม ีคา ซงึ่ ขดั แยงกบั (*)
n→∞

จากทั้ง 2 กรณี สรุปไดว า อนุกรมเรขาคณติ ∞ เปนอนกุ รมลูออก เมื่อ r ≥1

∑ a1rn−1
n=1

หมายเหตุ คาํ วา “มีคา แกวงกวัด” ในที่นี้หมายความวา มีคาเปน จาํ นวนจริงลบและ

จาํ นวนจรงิ บวกสลบั กนั หรอื จาํ นวนจริงบวกและจาํ นวนจรงิ ลบสลบั กัน

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 65
คูม อื ครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

• ทฤษฎบี ท 7
ให n เปนจาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ จะไดว า

1. n เมอ่ื c เปนคา คงตวั ทเ่ี ปนจํานวนจรงิ

∑c = nc
i =1

2. n n เม่ือ c เปนคาคงตัวทเี่ ปน จาํ นวนจรงิ

∑cai = ∑c ai
=i 1=i 1

n nn
∑ ∑ ∑3. (ai + bi )=
ai + bi

=i 1 =i 1=i 1

n nn

∑ ∑ ∑4. (ai − bi )= ai − bi
=i 1 =i 1=i 1

พสิ ูจน

1. ให P(n) แทน n = nc เมอื่ c เปนคาคงตัวท่เี ปน จาํ นวนจรงิ

∑c
i =1

พิจารณา P(1)

เน่อื งจาก 1 c= 1⋅ c

∑c=
i =1

ดังนนั้ P(1) เปนจรงิ

ให k เปน จํานวนเตม็ บวกใด ๆ

สมมตใิ ห P(k) เปน จริง นน่ั คอื k = kc

∑c
i =1

พจิ ารณา k +1 k

∑=c ∑c + c
i=1 i=1

= kc + c

= (k +1) ⋅ c

ดงั นัน้ P(k +1) เปน จรงิ

โดยหลกั อปุ นัยคณิตศาสตร จะไดวา n = nc ทุก n ทเี่ ปนจํานวนเตม็ บวกใด ๆ

∑c
i =1

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม
66 คูม ือครรู ายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

2. ให P(n) แทน n = n เม่ือ c เปนคาคงตัวท่เี ปนจํานวนจริง

∑ cai ∑c ai
=i 1=i 1

พิจารณา P(1)

เนอ่ื งจาก 1 ca1= 1

∑ cai= ∑c ⋅ ai
=i 1 =i 1

ดงั น้ัน P(1) เปน จรงิ

ให k เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ

สมมตใิ ห P(k) เปน จริง นั่นคือ k = k

∑ cai ∑c ai
=i 1=i 1

k +1 k

=cai cai + cak+1
∑ ∑พิจารณา
i=1 i=1

= k

∑c ai + cak+1
i =1

∑ k 

= c  ai + ak+1 
 i=1 

k +1

∑= c ai
i =1

ดงั นั้น P(k +1) เปนจริง

โดยหลักอุปนยั คณิตศาสตร จะไดว า n = n ทุก n ที่เปน จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ

∑ cai ∑c ai
=i 1=i 1

3. ให P(n) แทน n nn

∑(ai + bi )= ∑ ∑ai + bi
=i 1 =i 1 =i 1

พจิ ารณา P(1)

เนอื่ งจาก 1 a1 + b1 = 11

∑(ai + bi ) = ∑ ∑ai + bi
=i 1 =i 1 =i 1

ดงั นนั้ P(1) เปน จรงิ

ให k เปนจาํ นวนเต็มบวกใด ๆ

สมมติให P(k) เปน จรงิ นัน่ คอื k + bi )= kk

∑ ( ai ∑ ∑ai + bi
=i 1 =i 1=i 1

สถาบันสงเสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 67
คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

k +1 k

(ai + b=i ) (ai + bi ) + (ak+1 + )bk+1
∑ ∑พิจารณา
i=1 i=1

∑ ∑ ( ) k k 

=  ai + bi  + ak+1 + bk+1
= i 1=i 1 

∑ ∑ k   k 

=  ai + ak+1  +  bi + bk+1 
= i 1=  i 1 

k +1 k +1
∑ ∑=
ai + bi

=i 1=i 1

ดงั นัน้ P(k +1) เปน จรงิ

โดยหลักอปุ นัยคณิตศาสตร จะไดวา n + bi )= nn ทุก n ท่ีเปน

∑ ( ai ∑ ∑ai + bi
=i 1 =i 1=i 1

จํานวนเต็มบวกใด ๆ

4. ให P(n) แทน n − bi )= nn

∑ ( ai ∑ ∑ai − bi
=i 1 =i 1=i 1

พิจารณา P(1)

เน่อื งจาก 1 11

∑ ∑ ∑(ai − bi ) = a1 − b1 = ai − bi
=i 1 =i 1 =i 1

ดงั นนั้ P(1) เปน จริง

ให k เปนจํานวนเตม็ บวกใด ๆ

สมมตใิ ห P(k) เปนจริง นน่ั คอื k − bi )= kk

∑ ( ai ∑ ∑ai − bi
=i 1 =i 1 =i 1

k +1 k

(ai − b=i ) (ai − bi ) + (ak+1 − )bk+1
∑ ∑เนือ่ งจาก
i=1 i=1

∑ ∑ ( ) k k 

=  ai − bi  + ak+1 − bk+1
= i 1=i 1 

∑ ∑ k   k 

=  ai + ak+1  −  bi + bk+1 
= i 1=  i 1 

k +1 k +1
∑ ∑=
ai − bi

=i 1=i 1

ดงั นัน้ P(k +1) เปน จริง

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม
68 คูมอื ครูรายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

โดยหลักอุปนยั คณิตศาสตร จะไดวา n − bi )= nn ทกุ n ท่เี ปน

∑ ( ai ∑ ∑ai − bi
=i 1 =i 1=i 1

จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ

• ทฤษฎีบท 8

ให n เปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ จะไดว า

∑n n(n +1)

1. i =
i=1 2

∑2. n i2 = n(n +1)(2n +1)
i=1 6

 n(n +1) 2  n 2
 i
=
∑ ∑n

=3. i3
i 1= 2   i 1 

พสิ จู น

1. ให P(n) แทน n n(n +1)

∑i = 2

i =1

พิจารณา P(1)

เน่ืองจาก 1 1= 1(1 + 1)

∑i= 2
i =1

ดังนั้น P(1) เปนจริง

ให k เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ

สมมติให P(k) เปนจรงิ นน่ั คอื k = k (k +1)

∑i 2

i =1

พจิ ารณา k +1 = k

∑i ∑i + (k +1)
i=1 i=1

= k (k +1) + (k +1)

2

=( k + 1)  k + 1
 2

= (k +1)(k + 2)

2

(k +1)((k +1) +1)

=
2

สถาบนั สงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม 69
คูมอื ครูรายวชิ าเพ่มิ เตมิ คณติ ศาสตร ช้ันมธั ยมศกึ ษาปท ี่ 6 เลม 1

ดังนั้น P(k +1) เปนจรงิ

โดยหลกั อุปนยั คณิตศาสตร จะไดวา n n(n +1) ทกุ n ทเี่ ปน จํานวนเตม็ บวกใด ๆ

∑i = 2

i =1

2. ให P(n) แทน n = n(n +1)(2n +1)

∑i2 6

i =1

พจิ ารณา P(1)

เนอื่ งจาก 1 12 = 1= 1(1+1)(2 ⋅1+1)

∑i2 = 6
i =1

ดงั นนั้ P(1) เปน จริง

ให k เปน จาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ

สมมติให P(k) เปนจรงิ นัน่ คือ k = k (k +1)(2k +1)

∑i2 6

i =1

k +1 k

i2= i2 + (k +1)2
∑ ∑พจิ ารณา
i=1 i=1

= k (k +1)(2k +1) + (k +1)2

6

= ( k + 1)  k ( 2k + 1) + ( k + 1) 
6 
 

( )(k +1) 2k2 + k + 6k + 6

=
6

( )(k +1) 2k2 + 7k + 6

=
6

= (k +1)(k + 2)(2k + 3)

6

(k +1)((k +1) +1)(2(k +1) +1)

=
6

ดังนัน้ P(k +1) เปนจรงิ

โดยหลกั อปุ นัยคณิตศาสตร จะไดวา n = n(n +1)(2n +1) ทุก n ทเ่ี ปน

∑i2 6

i =1

จาํ นวนเต็มบวกใด ๆ

สถาบันสง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
70 คูมอื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

ให P(n) แทน n  n(n +1) 2
∑3. i =1 i3 =  
 2 

พจิ ารณา P(1)

∑เนื่องจาก 1 13= 1=  1(1+1) 2
 
i3=  2 

i =1

ดังนั้น P(1) เปน จรงิ

ให k เปนจาํ นวนเตม็ บวกใด ๆ

สมมตใิ ห P(k) เปน จริง น่นั คอื k =  k (k +1) 2

∑i3 
2
i =1

k +1 k

i=3 i3 + (k +1)3
∑ ∑พจิ ารณา
i=1 i=1

=  k (k +1) 2 + (k + 1)3
 
 2 

= (k + 1)2  k2 + (k + 1) 
 22 
 

( )(k +1)2 k 2 + 4k + 4

=
22

(k +1)2 (k + 2)2

=
22

=  (k +1)(k + 2) 2
 
2 

 (k +1)((k +1) +1) 2

=  2 

ดงั นนั้ P(k +1) เปนจริง

โดยหลกั อุปนัยคณิตศาสตร จะไดว า n =  n(n +1) 2 ทกุ n ท่เี ปนจํานวนเต็มบวกใด ๆ

∑i3  
2
i =1

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 71
คมู อื ครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

1.6 ตวั อยางแบบทดสอบประจาํ บทและเฉลยตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

ในสวนนี้จะนําเสนอตัวอยางแบบทดสอบประจําบทท่ี 1 ลําดับและอนุกรม สําหรับรายวิชาเพิ่มเติม
คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1 ซึ่งครูสามารถเลือกนําไปใชไดตามจุดประสงคการเรียนรู
ทต่ี องการวดั ผลประเมนิ ผล

ตัวอยางแบบทดสอบประจาํ บท

1. จงหาพจนท ี่ 20 ของลําดบั เลขคณิตท่มี พี จนท ี่ 3 และพจนท ี่ 17 เปน 12 และ 40 ตามลําดับ

2. จงหาอัตราสว นรว มของลําดับเรขาคณิตทม่ี พี จนท ี่ 2 เปน 2 และพจนที่ 7 เปน − 2

3 27

3. จํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 301 กับ 450 ที่หารดวย 3 ลงตัว แตหารดวย 6 ไมลงตัว มีทั้งหมด
ก่จี าํ นวน

4. จงหาวา ( )− 2−9 เปนพจนท่เี ทาใดของลําดบั เรขาคณิตทม่ี =ี a2 4=, a6 1
4

5. จงพิจารณาวา ลําดับในแตละขอ ตอไปน้ีเปนลําดบั ลูเขา หรือลาํ ดบั ลูออก ถาเปน ลําดบั ลูเ ขา

จงหาลิมิต

1) an = 1− n2 2) an = n2 − n +7
2 + 3n2 2n3 + n2

3) an = 2 −  − 1 n 4) an = 1 + (−1)n
 2 

6. ให an เปน ลําดับเลขคณิตทม่ี ีพจนที่ 8 เปน 50 และมีผลบวกหาพจนแ รกเปน 50

จงหาผลตางรว มของลําดบั เลขคณติ นี้

7. ให an เปนลําดบั เรขาคณติ ที่มีพจนที่ 5 เปน 2 และมอี ัตราสว นรว มเปน −1 จงหาผลบวก
2

5 พจนแรกของลําดบั เรขาคณติ นี้

8. จงหาผลบวกของจาํ นวนนับไมเ กิน 200 ทหี่ ารดว ย 4 ลงตวั

9. ลาํ ดับเรขาคณิตหน่งึ มี S9 = 513 และ S10 =1,026 จงหาพจนท่ี 10 ของลาํ ดับเรขาคณิตน้ี

10. จงเขียนทศนิยมซ้ํา • ใหอยูในรูปเศษสว น โดยใชความรูเรอ่ื งอนกุ รมอนนั ต

0.24 9

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม
72 คมู ือครูรายวชิ าเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชัน้ มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

11. จงพิจารณาวาอนุกรมในแตละขอตอไปน้ีเปนอนุกรมลูเขาหรืออนุกรมลูออก ถาเปนอนุกรม

ลเู ขา จงหาผลบวกของอนุกรม

1) 4 +  − 8  + 16 +  − 32  + + 4  − 2 n + 
3  9  27  81  3  3 

2) 1 + 1 + 1 +  + 1 + 
3 15 35 4n2 −1

12. จงหาผลบวก 20 พจนแรกของอนุกรม 1(1−1) + 2(2 −1) + 3(3 −1) +  + n(n −1) + 

13. โรงละครแหงหน่ึงจัดเกาอ้ีเปนแถวสําหรับผูเขาชม โดยแถว A มี 8 ที่น่ัง และแถวตอไปจะ

เพิ่มจํานวนเกาอี้จากแถวกอนหนา 3 ตัวเสมอ ถาโรงละครน้ีมีท่ีนั่งตั้งแตแถว A ถึง Z จงหา

วาโรงละครแหงนีส้ ามารถจผุ ูชมไดท้งั หมดกคี่ น

14. นิวฝากเงิน 10,000 บาท กับสถาบันการเงินแหงหน่ึงท่ีใหอัตราดอกเบี้ย 2% ตอป โดยคิด

ดอกเบี้ยแบบทบตนทุก 6 เดือน จงหาเงินรวมของนิวเม่ือฝากเงินครบ 2 ป โดยที่ไมมีการ

ฝากและถอนเงนิ ในระหวางนี้

15. นิดตองการฝากเงินกับสถาบันการเงินแหงหนึ่งซ่ึงกําหนดอัตราดอกเบี้ย 2% ตอป โดยคิด

ดอกเบี้ยแบบทบตนทุก 6 เดือน ถานิดตองการใหมีเงินในบัญชีประมาณ 10,000 บาท เมื่อ

ส้นิ สุดปที่ 3 นิดควรฝากเงินกับสถาบนั การเงินแหงนอ้ี ยางนอ ยกบ่ี าท

16. กุกไกซื้อโทรศัพทมือถือราคา 12,000 บาท โดยจายเงินในวันท่ีตัดสินใจซื้อโทรศัพทมือถือ

2,000 บาท และผอนชําระสวนทเ่ี หลือเปน จํานวนเงนิ เทา กนั ทกุ เดือน เปนเวลา 6 เดอื น โดย

ผอนชําระทุกส้ินเดือน ถาอัตราดอกเบ้ียผอนชําระเปน 12% ตอป โดยคิดดอกเบ้ียแบบทบ

ตน ทกุ เดือนแลว กกุ ไกจ ะตองผอ นชําระประมาณเดือนละเทาใด

เฉลยตวั อยา งแบบทดสอบประจําบท

1. จา=ก a3 1=2, a17 40 และ an = a1 + (n −1) d

จะได 12 = a1 + (3 −1)d

น่นั คือ 12 = a1 + 2d ----- (1)
----- (2)
และ 40 = a1 + (17 −1)d

น่ันคือ 40 = a1 +16d

สถาบนั สง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนุกรม 73
คมู ือครูรายวชิ าเพม่ิ เติมคณิตศาสตร ช้ันมธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

จาก (1) และ (2) จะได d = 2 และ a1 = 8
ดังนั้น a20 =8 + (20 −1)(2) =8 + (19)(2) =8 + 38 =46
นน่ั คอื พจนที่ 20 ของลําดับเลขคณิตนี้ คือ 46

2. จาก a2 = 2, a7 = −2 และ an = a1rn−1
3 27

จะได 2 = a1r 2−1
3

นนั่ คือ 2 = a1r ----- (1)
3 ----- (2)

และ −2 = a1r 7−1
27

นนั่ คอื −2 = a1r6
27

จาก (1) และ (2) จะได r =− 1 =− 3

33

ดงั นัน้ อตั ราสว นรวมของลาํ ดับเรขาคณิตนี้ คอื − 3

3

3. จาํ นวนเต็มบวกที่นอยที่สดุ ที่อยรู ะหวาง 301 กบั 450 ที่หารดว ย 3 ลงตัว คอื 303
จํานวนเต็มบวกทีม่ ากที่สดุ ท่ีอยรู ะหวาง 301 กบั 450 ท่ีหารดวย 3 ลงตัว คือ 447
จะไดวา ลําดับของจํานวนนับท่ีอยูระหวาง 301 กับ 450 ทีห่ ารดวย 3 ลงตวั คือ
303, 306, 309, …, 447 เปน ลําดบั เลขคณิตท่ีมีพจนแรกเปน 303 ผลตางรว มเปน 3 และ
พจนท่ี n เปน 447
จาก an = a1 + (n −1)d
จะได 447 = 303 + (n −1)(3)

149 = 101+ (n −1)

n −1 = 149 −101
n = 48 +1

n = 49

ดังนน้ั จาํ นวนเต็มบวกท่ีอยูระหวา ง 301 กบั 450 ท่หี ารดวย 3 ลงตัว มที ้งั หมด 49 จํานวน

สถาบันสง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม
74 คูมอื ครรู ายวชิ าเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

จาํ นวนเต็มบวกท่นี อ ยท่ีสดุ ที่อยรู ะหวา ง 301 กบั 450 ทีห่ ารดว ย 6 ลงตัว คอื 306
จาํ นวนเตม็ บวกท่ีมากทีส่ ุดท่ีอยูร ะหวาง 301 กบั 450 ทห่ี ารดวย 6 ลงตวั คือ 444
จะไดวา ลําดับของจํานวนเต็มบวกที่อยูระหวาง 301 กับ 450 ที่หารดวย 6 ลงตัว เปนลาํ ดับ

เลขคณิตทมี่ ีพจนแ รกเปน 306 ผลตา งรว มเปน 6 และพจนท ี่ n เปน 444
จาก an = a1 + (n −1)d
จะได 444 = 306 + (n −1)(6)

74 = 51+ (n −1)

n −1 = 74 − 51
n = 23 +1

n = 24

ดังนนั้ จํานวนเต็มบวกที่อยรู ะหวาง 301 กบั 450 ท่ีหารดว ย 6 ลงตวั มที ง้ั หมด 24 จาํ นวน

นั่นคอื จํานวนเต็มบวกท่อี ยูระหวา ง 301 กบั 450 ท่หี ารดวย 3 ลงตวั แตหารดวย 6 ไมล งตวั

มที ้งั หมด 49 − 24 =25 จาํ นวน

4. จาก an = a1r n−1

จะได 4 = a1r2−1

นั่นคือ 4 = a1r ----- (1)

และ 1 = a1r 6−1
4

น่ันคอื 1 = a1r 5 ----- (2)
4

จาก (1) และ (2) จะได r = 1 หรอื r = − 1

22

กรณี r=1 จะได a1 =8
2

ให ( )− 2−9 เปนพจนท ี่ n ของลาํ ดับเรขาคณิตนี้

( )จะได  1 n −1
 2 
− 2−9 = 8

 1 n−1 −  1 
 2   29 
=
8

 1 n−1 =  − 1  1 
 2   29   23 

สถาบนั สงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดับและอนกุ รม 75
คมู อื ครรู ายวิชาเพิม่ เติมคณติ ศาสตร ช้นั มัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

 1 n−1 = −  1 
 2   212 

 1 n−1 = −  1 12
 2   2 

ดังนัน้ ไมม จี าํ นวนจริงใดทีท่ ําใหสมการน้เี ปน จริง

กรณี r= −1 จะได a1 = −8
2

ให ( )− 2−9 เปนพจนท่ี n ของลําดบั เรขาคณติ นี้

จะได  1 n −1
 2 
( )− 2−9 = ( −8) −

 1 n−1 −  1 
 2   29 
− =
−8

 1 n −1  1  1 
 2   29  23 
− =

 1 n −1 1
 2  212
− =

 1 n −1  1 12
 2   2 
− = −

นั่นคอื n −1 = 12

จะได n = 13

ดงั น้นั ( )− 2−9 เปน พจนท ่ี 13 ของลาํ ดับเรขาคณิตทีก่ ําหนดให

5. 1) พิจารณา  1− n2  n2  1 − 1
 n2
lim   = lim
 2 + 3n2  n→∞  2 + 3
n→∞ n2  n2

1 −1
n2
= lim
n→∞ 2
n2 +3

= lim 1 − lim1
n2 n→∞
n→∞

lim 2 + lim 3
n2 n→∞
n→∞

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนกุ รม
76 คมู อื ครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณติ ศาสตร ชัน้ มธั ยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

= −1
3

ดังนน้ั ลําดบั นเ้ี ปนลาํ ดับลูเขา มีลิมิตเปน − 1

3

2) พจิ ารณา  n2 − n + 7  n3  1 − 1 + 7 
 n n2 n3 
lim   = lim
 2n3 + n2  n→∞  1 
n→∞ n3  2 + n 

= lim 1 − lim 1 + lim 7
n n→∞ n2 n→∞ n3
n→∞

lim 2 + lim 1
n→∞ n→∞ n

=0
2

=0

ดงั นัน้ ลําดับนีเ้ ปนลําดับลูเขา มลี ิมติ เปน 0

3) พจิ ารณา lim  2 −  − 1 n  = lim 2 − lim  − 1 n
  2    2 
n→∞ n→∞ n→∞

= 2−0

=2

ดังนั้น ลําดับนี้เปน ลําดับลเู ขา มีลิมติ เปน 2

4) จากพจนท่ี n ของลาํ ดับ คอื an = 1+ (−1)n
จะไดลําดับ an คอื 0, 2, 0, 2, 
นั่นคือ เมือ่ n เปน จํานวนค่ี พจนที่ n ของลําดับ an เปน 0 และเมอ่ื n เปนจํานวนคู
พจนท ี่ n ของลําดับ an เปน 2
จะไดวา เมื่อ n มากขน้ึ โดยไมมีท่ีสิน้ สุด พจนท่ี n ของลาํ ดบั นี้ จงึ ไมเ ขาใกลจาํ นวนใด

จํานวนหนึ่ง

ดงั นั้น ลําดบั นเี้ ปนลําดับลอู อก

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 77
คมู ือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

6. จาก a8 = 50 และ an = a1 + (n −1)d ----- (1)
จะได 50 = a1 + (8 −1)d
นน่ั คือ 50 = a1 + 7d

จาก S5 = 50 _และ S=n n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได 50 = 5 ( 2a1 + ( 5 − 1) d )
2

นน่ั คือ 10 = a1 + 2d ----- (2)

จาก (1) และ (2) จะได d = 8

ดงั นั้น ผลตา งรวมของลาํ ดบั เลขคณิตน้ี คอื 8

7. จาก =และa52,r = −1 an = a1r n−1
2

จะได 2 = a1  − 1 5−1
 2 

2 = a1  − 1 4
 2 

2 = a1  1 
 16 

นัน่ คอื a1 = 32
จาก
( )Sn
จะได = a1 1 − r n
1− r

32  −  − 1 5 
1  2  
S5 =
 1 
1 −  − 2 

32 1 + 1 
32 
=
3

2

=  32 × 33  × 2
 32  3

= 22

ดงั นนั้ ผลบวก 5 พจนแรกของลําดับเรขาคณติ นี้ คอื 22

สถาบันสง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 1 | ลําดบั และอนุกรม
78 คูม อื ครรู ายวิชาเพิม่ เตมิ คณติ ศาสตร ชั้นมธั ยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

8. จาํ นวนนับท่ีนอ ยที่สดุ ทีไ่ มเกิน 200 ทีห่ ารดว ย 4 ลงตวั คือ 4
จํานวนนับที่มากทีส่ ุดท่ีไมเ กิน 200 ที่หารดว ย 4 ลงตวั คือ 200
จะไดวา ลาํ ดบั ของจาํ นวนนบั ทไี่ มเกิน 200 ท่หี ารดวย 4 ลงตัว คอื 4, 8, 12, …, 200 ซึง่ เปน
ลําดับเลขคณติ ท่มี ี=a1 4=, d 4 และ an = 200
จาก an = a1 + (n −1)d
จะได 200 = 4 + (n −1)(4)

50 = 1+ (n −1)

n = 50

พจิ ารณาผลบวกของจํานวนนบั ทไ่ี มเ กนิ 200 ท่หี ารดวย 4 ลงตวั โดยพิจารณา S50

จาก Sn = n ( a1 + an )
2

จะได S50 = 50 (4 + 200)

2

S50 = 5,100

ดงั นัน้ ผลบวกของจาํ นวนนบั ไมเ กิน 200 ท่ีหารดว ย 4 ลงตวั เทากบั 5,100

9. เนื่องจาก S9 = a1 + a2 + a3 +  + a9
และ S10 = a1 + a2 + a3 +  + a9 + a10
จะได a10 = S10 − S9

= 1,026 − 513

= 513

ดังน้ัน พจนท ี่ 10 ของลาํ ดบั เรขาคณติ น้ี คือ 513

10. จาก 0.249 = 0.24999

= 0.24 + 0.009 + 0.0009 + 0.00009 +

= 24 + 9 + 9 + 9 + 
100 1,000 10,000 100,000

จะไดวา 9 + 9 + 9 + เปน อนกุ รมเรขาคณิตทม่ี ี a1 = 1, 9 และ r= 1
1,000 10,000 100,000 000 10

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนุกรม 79
คูมอื ครรู ายวชิ าเพิ่มเตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

เนอื่ งจาก =r 1 <1 จะไดวา อนุกรมนเี้ ปนอนกุ รมลเู ขา และผลบวกของอนกุ รม

10

9

คือ =a1 1=, 000 1
1− 1 100
1− r

10

จะไดว า 0.249 = 24 + 1 = 25 = 1

100 100 100 4

11. 1) 4 +  − 8  + 16 +  − 32  +  + 4  − 2 n +  เปน อนุกรมเรขาคณติ ท่ีมี
3  9  27  81  3  3 

a1 = 4 และ r= −2
3 3

เนื่องจาก r =− 2 <1 จะไดวา อนกุ รมนี้เปนอนกุ รมลูเขา

3

4

และผลบวกของอนกุ รม คือ a1 =3= 4
 2  5
1− r 1 −  − 3 

2) สาํ หรบั จํานวนนบั k ใด ๆ จะไดว า=4k21−1 (2k −1)1=(2k +1) 1  1 − 1
2  2k −1 2k +1 

เขียนผลบวกยอ ย n พจนแ รกของอนุกรมไดดังนี้

Sn = 1  1 − 1  + 1  1 − 1  + 1  1 − 1  +  + 1  1 − 1 1 
2  1 3  2  3 5  2  5 7  2  2n −1 2n + 

= 1  1 − 1  +  1 − 1  +  1 − 1  +  +  1 − 1 
2  3   3 5   5 7   2n −1 2n +1 

= 1 1 − 1 1 
2 2n + 

พิจารณา lim Sn = lim  1 1 − 1 1  
 2 2n +  
n→∞ n→∞  

= 1 lim 1 − 1 1 
2 2n + 
n→∞

= 1  lim1 − lim  1 1  
2   2n +  
n→∞ n→∞

สถาบันสง เสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดบั และอนกุ รม
80 คูมือครูรายวิชาเพิ่มเตมิ คณิตศาสตร ช้ันมัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

 n  1  
   n  
= 1  lim1 − lim  

2  n→∞ n→∞  n  2 + 1  
   n   

  1 
  
= 1  lim1 − lim  n 
2   + 1
n→∞ n→∞  2 n  


 lim 1 
 n→∞ n 
= 1  lim1 − 

2  n→∞ lim  2 + 1  
  n  
n→∞

= 1  lim1 − lim 1 1 
2  n 
 n→∞ lim n→∞ 
 lim 
 2+ n→∞ n 
n→∞

= 1 1 − 2 0 0 
2 + 

=1
2

ดงั นน้ั อนกุ รม 1 + 1 + 1 +  + 1 − 1 +  เปนอนุกรมลเู ขา มีผลบวกของ
3 15 35 4n2

อนุกรมเทากับ 1

2

12. จาก 1(1−1) + 2(2 −1) + 3(3 −1) +  + n(n −1) + = ∞ ∞ ( n2 − n )

∑(n(n −1=)) ∑
=n 1=n 1

จะได ผลบวก 20 พจนแ รกของอนกุ รมน้ี คอื

∑( )20
S20 = n2 − n

n=1

20 20

= ∑n2 − ∑n
=n 1=n 1

20(20 +1)(2(20) +1) 20(20 +1)

=−
62

= 20 × 21× 41 − 20 × 21
62

= (10 × 7 × 41) − (10 × 7 × 3)

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลําดับและอนกุ รม 81
คูมือครรู ายวชิ าเพ่ิมเติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศกึ ษาปที่ 6 เลม 1

= (10× 7)(41− 3)

= 70 × 38

= 2,660

ดงั นัน้ ผลบวก 20 พจนแ รกของอนุกรม 1(1−1) + 2(2 −1) + 3(3 −1) +  + n(n −1) + 

เทากบั 2,660

13. ลําดับของจํานวนเกา อี้แตละแถวในโรงละครจากแถว A ถงึ Z คือ 8, 11, 14, , an
ซ่ึงเปน ลาํ ดบั เลขคณติ ท่ีมี=a1 8=, d 3 และ n = 26
ดังน้ัน จํานวนเกา อ้ีทั้งหมดในโรงละครแหงนี้ คือ S26

จาก Sn = n ( 2a1 + ( n − 1) d )
2

จะได S26 = 26 (2(8) + (26 −1)(3))

2

= 13(16 + 75)

= 13× 91

= 1,183

ดงั นน้ั โรงละครแหงนีส้ ามารถจุผูช มไดทงั้ หมด 1,183 คน

14. ให= P 10000=, i 2=, k 2 และ n = 2 จะได= r =2 0.02

100

จะได จํานวนเงินรวมของนิวเมื่อฝากเงินครบ 2 ป คือ 10, 000 1 + 0.02 4 หรือประมาณ
2 

10,406.04 บาท

ดังนั้น เงินรวมของนิวเม่ือฝากเงินครบ 2 ป โดยที่ไมมีการฝากและถอนเงินในระหวางนี้

ประมาณ 10,406.04 บาท

15. ให =S 10000=, i 2=, k 2 และ n = 3 จะได= r =2 0.02

100

จะได มูลคาปจ จุบันของเงินรวม 10,000 บาท คือ

P = 10, 000 1 + 0.02 −(2)(3) ≈ 9,420.45
2 

ดังนัน้ นดิ ควรนําเงนิ ไปฝากอยา งนอย 9,420.45 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดับและอนุกรม
82 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ่ี 6 เลม 1

16. ให R แทนคางวดทีก่ กุ ไกต อ งผอนชําระทกุ สน้ิ เดือน
และ =i 1=2 1 จะได= r =1 0.01

12 100

เนอื่ งจากกกุ ไกจายเงินในวนั ท่ตี ัดสินใจซ้ือโทรศพั ทม ือถือ 2,000 บาท ทําใหเหลอื เงินท่ตี องชําระ
อีก 12,000 – 2,000 = 10,000 บาท โดยกุกไกจ ะตอ งผอ นชําระทกุ สน้ิ เดือนเปน เวลา 6 เดือน
เขยี นแผนภาพแสดงมลู คาปจ จุบนั ของเงนิ ผอ นแตล ะงวดไดด ังนี้

จากแผนภาพ จะได มูลคาปจจุบนั ของเงนิ ผอนงวดที่ 1, 2, 3, …, 6 คอื

R (1.01)−1 , R (1.01)−2 , R (1.01)−3 , ..., R (1.01)−6 ตามลําดับ
นน่ั คือ ผลรวมของมลู คาปจจุบันของเงินผอนทั้ง 6 งวด คือ

R (1.01)−1 + R (1.01)−2 + R (1.01)−3 +  + R (1.01)−6

ซึง่ เปน อนกุ รมเรขาคณิตท่ีมี 6 พจน โดยพจนแรก คือ R(1.01)−1 และอตั ราสว นรวม คอื (1.01)−1

ดังนัน้ ผลรวมของมูลคาปจจบุ ันของเงนิ ผอ นท้ัง 6 งวด คอื ( )R (1.01)−1 1− (1.01)−6

1 − (1.01)−1

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 1 | ลาํ ดบั และอนกุ รม 83
คมู ือครรู ายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มธั ยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

จาก กุกไกเหลือเงินท่ตี อ งชาํ ระอีก 10,000 บาท จะไดวา

10,000 = ( )R(1.01)−1 1− (1.01)−6

1 − (1.01)−1

( )10,000 1− (1.01)−1
( )R =

(1.01)−1 1 − (1.01)−6

R ≈ 1,725.48

ดังนนั้ กกุ ไกจ ะตองผอ นชําระเดอื นละประมาณ 1,725.48 บาท

สถาบนั สง เสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบอื้ งตน
84 คูมือครูรายวชิ าเพมิ่ เตมิ คณิตศาสตร ช้นั มัธยมศกึ ษาปท ่ี 6 เลม 1

บทท่ี 2

แคลคูลสั เบ้ืองตน

แคลคูลสั เปนสาระการเรียนรูทสี่ ามารถบูรณาการรวมกับศาสตรอื่น ๆ อยางแพรหลาย เชน ฟสิกส
แพทยศาสตร ภูมิศาสตร เพื่อศึกษาและสรา งแบบจําลองคณิตศาสตรท ี่เก่ยี วกบั การเปล่ียนแปลงท่ี
พบในชีวิตจริง เชน การเปล่ียนแปลงความเร็วในการเคล่ือนที่ของวัตถุ การศึกษาการแพรกระจาย
ของโรคติดเช้ือ การสรางแบบจําลองคณิตศาสตรเพื่อทํานายการไหลของมวลนํ้าเม่ือเกิดอุทกภัย
ซึ่งในหนังสือเรียนรายวิชาเพิ่มเติมคณิตศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1 บทที่ 2 แคลคูลัส
เบ้ืองตน ไดนําเสนอเนื้อหา เร่ือง ลิมิตของฟงกชันและทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของฟงกชัน ความ
ตอ เนื่องของฟงกชนั และความตอเนือ่ งบนชวง อนุพนั ธของฟงกชนั การหาอนุพันธของฟงกชันโดย
ใชสูตร อนุพันธของฟงกชันประกอบ เสนสัมผัสเสนโคง อนุพันธอันดับสูง การประยุกตของ
อนุพนั ธ ปฏิยานุพันธแ ละปรพิ ันธไมจ าํ กัดเขต ปริพนั ธจ ํากดั เขต และพนื้ ท่ีท่ีปด ลอมดวยเสน โคง

ในบทเรียนน้ีมุงเนนใหนักเรียนบรรลุผลการเรียนรูตามสาระการเรียนรูเพิ่มเติม และบรรลุ
จุดมงุ หมายดังตอไปน้ี

ผลการเรยี นรแู ละสาระการเรียนรูเพิม่ เติม

ผลการเรียนรู สาระการเรยี นรเู พ่ิมเตมิ
• ตรวจสอบความตอเนื่องของฟงกช นั • ลิมติ และความตอเนื่องของฟงกชัน
• อนุพนั ธของฟงกชันพชี คณติ
ทก่ี ําหนดให • ปริพนั ธข องฟงกช นั พีชคณิต

• หาอนุพันธข องฟงกช ันพีชคณิต
ทีก่ ําหนดให และนาํ ไปใชแ กป ญหา

• หาปริพันธไมจาํ กัดเขตและจํากัดเขต
ของฟง กช นั พีชคณิตทก่ี าํ หนดให และ
นําไปใชแ กปญหา

สถาบันสงเสรมิ การสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทท่ี 2 | แคลคูลสั เบ้ืองตน 85
คมู อื ครูรายวิชาเพม่ิ เตมิ คณติ ศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปที่ 6 เลม 1

จุดมงุ หมาย

1. หาลิมติ ของฟง กช ันที่กําหนดให
2. ตรวจสอบความตอ เนอ่ื งของฟงกช ันที่กาํ หนดให
3. หาความชนั ของเสน โคง
4. หาอนุพนั ธของฟง กชันที่กําหนดใหแ ละนําไปใชแ กปญหา
5. หาปรพิ ันธไมจาํ กดั เขตและจํากัดเขตของฟง กช นั ทีก่ ําหนดให และนําไปใชแ กปญ หา

ความรูกอนหนา ipst.me/10551

• จํานวนจรงิ
• ความสมั พันธและฟงกชัน
• เรขาคณิตวิเคราะห

สถาบนั สง เสรมิ การสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบื้องตน
86 คมู อื ครูรายวชิ าเพ่มิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศกึ ษาปท่ี 6 เลม 1

2.1 เนือ้ หาสาระ

1. สาํ หรบั ฟงกชนั f ใด ๆ ท่มี โี ดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง ถา คาของ

f (x) เขาใกลจํานวนจริง L เม่ือ x เขาใกล a ท้ังทางดานซายและขวาของ a แลว

จะเรยี ก L วา ลิมติ ของ f ท่ี a ซ่งึ เขยี นแทนดวยสัญลักษณ lim f (x) = L และกลาว
x→a

วา lim f ( x) มคี า เทากับ L
x→a

แตถ าไมมีจํานวนจริง L ซง่ึ f (x) เขา ใกล L เมอ่ื x เขา ใกล a แลว จะกลาววา f ไมมี

ลิมิตที่ a หรือกลา ววา lim f (x) ไมม คี า
x→a

อาจแทนสัญลักษณ lim f ( x) = L ดว ย f ( x) → L เม่ือ x → a
x→a

2. สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ถา f (x) เขาใกล L เมื่อ x เขาใกล a แลว L อาจไมเทากับ

f (a) ก็ได

3. ในการหาลิมิตของฟงกชัน y = f (x) เม่ือ x เขาใกล a นั้น จะพิจารณาคาของ f (x)

วาเขาใกลจํานวนจริงใดในขณะที่ x เขาใกล a แต x ≠ a นั่นหมายความวา จะไม

พิจารณาคาของ f (x) ท่ี x = a ดังนั้น ฟงกชัน f อาจจะนิยามหรือไมนิยามที่ a ก็ได

แตฟง กชนั f จะตอ งนยิ ามทแี่ ตล ะจดุ ทใี่ กล a

4. สําหรับฟงกชัน f ใด ๆ ท่ีมีโดเมนและเรนจเปนสับเซตของเซตของจํานวนจริง

ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L 1 เม่ือ x เขาใกล a ทางดานซายแลว จะเรียก L 1 วา

ลมิ ติ ซา ยของ f (x) เมือ่ x เขาใกล a ทางดานซาย เขียนแทนดวย lim f (x) = L1

x→a−

ถา f (x) เขาใกลจํานวนจริง L 2 เม่ือ x เขาใกล a ทางดานขวาแลว จะเรียก L 2 วา

ลมิ ิตขวาของ f (x) เมอื่ x เขาใกล a ทางดา นขวา เขยี นแทนดว ย lim f (x) = L2

x→a+

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรและเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคูลสั เบอ้ื งตน 87
คูมือครรู ายวิชาเพ่มิ เติมคณิตศาสตร ชน้ั มัธยมศึกษาปท่ี 6 เลม 1

รปู ที่ 1 รูปท่ี 2

จากรปู ที่ 1 และ 2 จะเหน็ วา lim f (x) = L1 และ lim f (x) = L2

x→a− x→a+

ถา L1= L2 แลว lim f (x) มีคา และ lim f ( x=) L=1 L2

x→a x→a

แตถา L1≠ L2 แลว lim f (x) ไมมีคา

x→a

5. ทฤษฎบี ท 1

ให a เปน จาํ นวนจรงิ จะไดวา

1) lim c = c เม่ือ c เปนคาคงตัวใด ๆ
x→a

2) lim xn = an เมื่อ n ∈ 
x→a

6. ทฤษฎบี ท 2

กาํ หนดให a, L และ M เปนจํานวนจริงใด ๆ ถา f และ g เปน ฟง กชนั ท่มี โี ดเมนและเรนจ

เปนสบั เซตของเซตของจํานวนจริง โดยที่ lim f ( x) = L และ lim g (x) = M แลว
x→a x→a

1) l=im cf ( x) c=lim f ( x) cL เมือ่ c เปนคา คงตวั ใด ๆ
x→a x→a

2) lim ( f ( x) + g ( x)) =lim f ( x) + lim g ( x) =L + M
x→a x→a x→a

3) lim ( f ( x) − g ( x)) =lim f ( x) − lim g ( x) =L − M
x→a x→a x→a

4) lim ( f ( x) ⋅ g ( x)) =lim f ( x) ⋅ lim g ( x) =L ⋅ M
x→a x→a x→a

สถาบันสงเสริมการสอนวทิ ยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี

บทที่ 2 | แคลคลู สั เบือ้ งตน
88 คูม อื ครรู ายวชิ าเพม่ิ เติมคณติ ศาสตร ชั้นมัธยมศึกษาปท ี่ 6 เลม 1

5)  f (x) lim f ( x) L เมอ่ื M ≠ 0
lxi→ma= g ( x)  xl=i→ma g ( x)
M
x→a

n

=lim f ( x)
( )6) Ln เมือ่ n ∈ 
li=m ( f ( x))n x→a
x→a

7) li=m n f ( x) n=lim f ( x) n L เม่ือ n ∈  −{1}, n f ( x) ∈  สําหรับ x ท่ีเขา
x→a x→a

ใกล a และ n L ∈

7. ทฤษฎบี ท 3

ให p เปน ฟงกชนั พหุนาม และ a เปนจาํ นวนจริงใด ๆ จะไดว า lim p(x) = p(a)
x→a

8. ทฤษฎีบท 4

ให f เปนฟงกชันที่ f ( x) = p(x) เม่ือ p และ q เปนฟงกชันพหุนาม จะไดวา
q(x)

lim f (x) = p(a) สําหรบั จาํ นวนจรงิ a ใด ๆ ท่ี q(a) ≠ 0
q(a)
x→a

9. ในกรณที ่ี lim f ( x) และ lim f ( x) มีคา
x→a− x→a+

จะไดว า lim f ( x) = L กต็ อเมื่อ lim f ( x)= L= lim f ( x)
x→a x→a− x→a+

10. บทนิยาม 1

ให f เปนฟงกชันซ่ึงนิยามบนชวงเปด (a, b) และ c∈(a, b) จะกลาววา f เปน

ฟง กช นั ตอ เนอื่ ง ท่ี x = c กต็ อเมอ่ื lim f (x) = f (c)
x→c

11. ถา f เปน ฟง กชนั ตอเน่อื งท่ี x = c ตอ งมีสมบัตคิ รบทั้งสามขอดังตอไปน้ี

1) f (c) หาคาได (นนั่ คอื c อยใู นโดเมนของ f )

2) lim f ( x) มีคา
x→c

3) lim f ( x) = f (c)
x→c

สถาบันสงเสริมการสอนวิทยาศาสตรแ ละเทคโนโลยี